BAB III INDUKSI MATEMA MATEMATIKA TIKA ( Matematika Wajib )
Jika kita menjumlahkan bilangan ganjil : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … sampai dengan n suku, maka untuk mempermudah perhitungan, kita buat pola sebagai berikut : 2
S1 = 1
=1
=1
S2 = 1 + 3
=4
=2
2
S3 = 1 + 3 + 5
=9
=3
2
S4 = 1 + 3 + 5 + 7
= 16
=4
2
S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
= 25
S6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
= 36
=6
2
S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
= 49
=7
2
S20 = 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 39
= 400 = 202
S30 = 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 59
= 900 = 302
2
=5 52
…dan seterusnya ……………………… ……………………… Sn = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ……..+ (2n – 1) = n
2
Secara umum akan diperoleh kesimpulan bahwa : Sn = n2, sehingga : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2n – 1 ) = n 2 Apakah kesimpulan itu benar? untuk meyakinkannya maka perlu adanya adanya suatu pembuktian bahwa pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan asli n. Cara pembuktiaannya adalah dengan Induksi Matematika sebagai berikut : Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan dimana kebenarannya kebenarann ya ditentukan oleh nilai n. Jika P(n) memenuhi sifat : 1. untuk n = 1 , P(n) bernilai benar 2. Untuk n = k, maka di asumsikan P(k) bernilai benar -1-
3. Untuk n = k + 1, maka P(k+1) juga bernilai benar, Jika 1), 2) dan 3) bernilai benar, maka P(n) bernilai benar untuk setiap bilangan asli n , Contoh 1: Buktikan bahwa : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2n – 1 ) = n 2, Untuk semua bilangan asli n Penyelesaian : 2 1. Untuk n = 1 1=1 ( Benar ) 2. Untuk n = k diasumsikan : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2k – 1 ) = k 2 (Benar) 3. Untuk n = k+1 berlaku bahwa: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2k – 1 ) +(2(k + 1) – 1 ) = (k + 1)2 2 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2k – 1 ) +( (2k + 2 – 1 ) = k + 2k + 1 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2k – 1 ) + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 (benar ) Ruas kiri
Ruas kanan
Bukti : Ruas Kiri = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2k – 1 ) + (2k + 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2k -1 ) + (2k + 1) 2
= k + (2k + 1) 2 = k + 2k + 1 = Ruas Kanan Kesimpulan : Dari 1), 2) dan 3) terbukti bahwa :1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2n – 1 ) = n2, untuk semua bilangan asli n
-2-
Contoh 2 : Buktikan bahwa : 1 + 2 + 3 + … + n =
1 2
n( n + 1), Untuk semua bilangan asli n
Penyelesaian : 1.
Untuk n = 1
1=
3
Untuk n = k
2
.1( 1 + 1)
= 1 ( Benar )
1 2
1
diasumsikan : 1 + 2 + 3 + … + k =
Untuk n = k + 1
= = =
1 2 1 2 1 2
Ruas kiri =
( k + 1 )[( k + 1) +1 ] ( k + 1 )[ k + 1 +1 ] ( k + 1 )[ k + 2 ] ( juga benar) Ruas kanan
1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1)
=
1 2
k( k + 1)
= ( k + 1) [ = ( k + 1) =
2
k( k + 1) ( Benar )
berlaku bahwa:
1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1)
Bukti : Ruas Kiri
1
1 2
1 2
1 2
+ (k + 1).1
Sif Distributif
k+1] [k+2]
( k + 1) (k + 2 )
= Ruas Kanan Kesimpulan : Dari 1), 2) dan 3) terbukti bahwa : 1 + 2 + 3 + … + n = Untuk semua bilangan asli n
-3-
1 2
n( n + 1),
Contoh 3 : Buktikan bahwa : n3 + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap n bilangan bulat positif Jawab : 1) Untuk n = 1 ,diperoleh : 13 + 2(1) = 3 , benar kelipatan 3 2. Untuk n = k , asumsikan bahwa k 3 + 2k adalah benar kelipatan 3, sehingga k3 + 2k dapat dimisalkan dengan 3p dan p anggota bil. real 3. Untuk n = k + 1 diperoleh : (k + 1)3 + 2(k + 1) adalah benar kelipatan 3 Bukti : (k + 1)3 + 2(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k+1 + 2k + 2 = k3 + 2k + 3k2 + 3k + 3 = (k3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3) Diambil dari pemisalan = (k
3
+ 2k) + 3 (k 2 + k + 1)
pada langkah 2)
= 3p + 3 (k 2 + k + 1) = 3 (p + k2 + k + 1) = adalah benar kelipatan 3 Kesimpulan : Dari langkah 1), 2) dan 3) terbukti bahwa : n 3 + 2n adalah benar kelipatan 3 untuk setiap n bilangan bulat positif Latihan 1 : dari soal dibawah ini , buktikan bahwa : 1. 1 + 2 + 3 + ... + n = ½ n(n + 1) adalah benar untuk setiap bilangan asli 2. 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n + 1) , untuk setiap bilangan asli n. n 3. 8 – 1 habis dibagi 7, untuk setiap bilangan asli n n 4. 5 – 1 habis dibagi 4, untuk setiap bilangan asli n LATIHAN 2 : dari soal dibawah ini , buktikan bahwa n −1 = 2n – 1 , untuk setiap bilangan asli n 1. 1 + 2 + 4 + 8 + ... 2 n(n + 1 )(2n + 1) untuk setiap bilangan asli n 6 n(n + 1 )( n + 2) untuk setiap bilangan asli n 3 1 2 + 2 3 + 3 4 + ... + n (n +1)= 2 4. n(n + 1 ) habis dibagi 2, untuk setiap bilangan asli n 4n 5. 3 – 1 habis dibagi 8, untuk setiap bilangan asli n
2
12 + 2 2 + 3 2 + ... + n2 = ⋅
⋅
⋅
-4-
