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Engenharia Civil
Hiperestática
Exercícios - Utilize o Método dos deslocamentos para calcular as reações de apoio e trace os diagramas de esforços normal, cortante e momento fletor dos quadros hiperestáticos: 6 kN/m
15 kN/m B
C
A
B
3EI
3EI
C
2m
EI
4m
1)
5) D
3m
A
2m
5m 10,8 kN/m 18 kN/m A B
2)
B
C
C
4EI
EI
3m
3m
6) E
D
4m
A
4m
4m 12 kN/m
12 kN/m
B
3)
D
C
4EI
A
B
3EI
EI
4m
C
EI
7) E
D
5m
A
5m
3m
3m
3m
6 kN/m
6 kN/m 1 kN
A
B
C
C
4EI
D
EI
4)
8)
2m
4m
EI
3m
B A
D
3m
2m
6m
Obs.: Confirme as reações de apoio e os esforços com o software: Ftool http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/
Método dos Deslocamentos
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2)
18 kN/m
B
C
4EI
EI
3m
A
4m Solução: 1- Sistema Principal 1
1 B
A
2- Efeitos no sistema principal 10
11
1
1
B
B
A
A
Carregamento Externo barra BC:
M B1
Rotação 1 barra BC:
qL21 8
18x 4 2 8
36
k C1
3EI L1
3x 4EI
4EI
4
3EI
barra AC: Temos então:
10 M B1 36
k C 2
4EI L2
3
1,333EI
Temos então:
11 k C1 k C2 11 3EI 1,333EI 4,333EI Método dos Deslocamentos
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3- Cálculo da incógnita Sabemos que:
1
10 111 0 1 1
Hiperestática
10 36 1 4,333EI 11
8,30769 EI
4- Reações de Apoio
VB
VBo 1VB1
VB
VB
3qL1 8
1
3 18 4
8 VB 33,23 kN
H A H oA
3EI L21
8,30769 3 4EI 2 EI 4
1 H 1A
H A 0 1
6EI L22
8,30769 6EI EI 3 2
H A 0 HA
5,54 kN
M A MA
M1A 1
M A 0
2EJ
o
M A 0
L2
1
2EJ 8,30769 3
EJ
5,54 kNm
MA
Representação gráfica das reações de apoio
As demais reações de apoio podem ser calculadas por equilíbrio estático. Fy 0
33,23 VA VA
18x 4 0
38,77 kN
F
0 5,54 H B 0 H B 5,54 kN x
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5- Diagramas de esforços Barra BC Equações com origem em B (x=0).
0x4m N ( x ) H B V ( x ) VB
18x M ( x ) VB x 9 x 2 Barra AC Equações com origem em A (x=0).
0x 3m N( x ) VA V( x ) H A M( x) M A
HAx
a) Esforço Normal
b) Cortante
c) Momento Fletor
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4) 6 kN/m
A
B
C
2m D
3m
2m
Solução: 1
1 A
C
Sistema Principal
D
11
10
6 kN/m
1
1 A
A
C
C
Rotação 1
Carregamento Externo
D
D
Carregamento Externo:
M B1 M B2
qL2AB 12
qL2BC 8
6 32 12
6 22 8
Rotação
9
k B1
2
3
Temos então:
9
10 M B1 M B2 3 2
3 2
k B 2
k B3
Cálculo da incógnita
1
4EI L AB 3EI L BC 4EI L BD
4 EI
3 3 EI
2 4 EI
2
4
3
3 2
Sabemos que:
EI
10 111 0 1 10 11
2EI
1
Temos então:
4
3
29
3
2
6
11 EI EI 2EI
Método dos Deslocamentos
1
EI
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EI
2
29 6
1
3
EI
9 29EI profwillian.com
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4- Reações de Apoio
VA
VAo 1VA1
VA VA
qL AB 2
1
6 EI 2
L AB
63
9 6 EI 267 2 2 29 29EI 3
VA 9,207 kN M A M oA 1M1A
MA MA
qL2AB 12 6 32 12
1
2 EI L AB
9 2 EI 273 29 EI 3 58
M A 4,707 kNm VD VDo 1VD1 6EI 3EI qL 5qL BC VD AB 1 2 2 8 2 L AB L BC 6 3 5 6 2 9 6 EI 3 EI VD 2 2 2 8 29 EI 2 3 VD 16,526 kN M D M oD 1M1D
M D 0 1
2EI L BD
9 2EI M D 0 29EI 2 M D 0,310 kNm VC VCo 1VC1 3EI 3qL BC VC 1 2 8 L BC 3 6 2 9 3EI VC 2 8 29EI 2 VC 4,267 kN H D H oD 1H1D 6 EI H D 0 1 2 L BD 9 6EI H D 0 2 29EI 2 H D 0,466 kN H A 0,466 kN
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8)
6 kN/m 1 kN C
4EI
D
EI
4m
3m
EI B A
6m Sistema Principal
2
1
3
2
1
3
1 =
Rotação do nó C (deslocabilidade interna) 2 = Rotação do nó D (deslocabilidade interna) 3 = Translação da direção CD (deslocabilidade externa)
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Direção 0 – Carregamento original 6 kN/m 2
1
3
6 kN/m
MC0
MD0 VD0
VC0 MC0
MD0 HC0
HD0
HB0 HA0 MA0 Para a barra CD temos os seguintes valores: 2 2 q 66 M C0 18 12 12 M D0
q
2
12
q
2
12 66
18
18 2 2 Os demais valores (na cor azul) são todos iguais a zero. VC 0
VD 0
66
Método dos Deslocamentos
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Hiperestática
Direção 1 – Rotação unitária na direção de 1 3
2
1
MC1
MD1 VD1
VC1 MC1
MD1 HC1
HD1
HB1 HA1 MA1 Para a barra CD temos os seguintes valores: Para a barra AC temos os seguintes valores: 4( 4EI) 4(4EI) 16EI 8EI 4EI 4EI M C1 M C1 EI 6 6 3 4 2EI 2EI EI 2( 4EI) 2(4EI) 8EI 4EI M D1 M A1 6 6 3 4 2 6(4EI) 24 EI 24EI 2EI 6EI 6EI 6EI 3EI VC1 VD1 H C1 H A1 2 2 2 2 6 36 3 4 16 8 Os demais valores (na cor azul) são todos iguais a zero.
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Hiperestática
Direção 2 – Rotação unitária na direção de 2 3
2
1
MC2
MD2 VD2
VC2 MC2
MD2 HC2
HD2
HB2 HA2 MA2 Para a barra CD temos os seguintes valores: Para a barra BD temos os seguintes valores: 3EI 3EI 2( 4EI) 2( 4EI) 8EI 4EI MD2 EI M C2 3 6 6 3 3EI 3EI 3EI EI 4( 4EI) 4( 4EI) 16 EI 8EI H D 2 H B2 2 2 M D2 3 9 3 6 6 3 6( 4EI) 24EI 24EI 2EI VC 2 VD 2 2 2 6 36 3 Os demais valores (na cor azul) são todos iguais a zero.
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Direção 3 – Translação unitária na direção de 3 3
2
1
MC3
MD3 VD3
VC3 MC3
MD3 HC3
HD3
HB3 HA3 MA3 Para a barra AC temos os seguintes valores: Para a barra BD temos os seguintes valores: 6EI 6EI 6EI 3EI 3EI 3EI 3EI EI M C3 M A 3 2 2 M D3 2 2 4 16 8 3 9 3 12EI 12EI 12EI 3EI 3EI 3EI 3EI EI H C3 H A3 3 3 H D 3 H B3 3 3 4 64 16 3 27 9 Os demais valores (na cor azul) são todos iguais a zero.
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Equações de compatibilidade M 1 0 10 11 1 12 2
M H
13 3 0
0 20 21 1 22 2 23 3 0
2
3
Hiperestática
1 30 31 1 32 2 33 3 1
Onde: 10 M C 0
18 20 M D 0 18 30 0 11 M C1 M C1 21 M D1 31 H C1
8EI 3
EI
11EI 3
4EI 3 3EI 8
12 21 22 M D 2 M D 2 32 H D 2
8EI 3
EI
11EI 3
EI 3
13 31 23 32 33 H C3 H D3
3EI 16
EI 9
43EI 144
Assim:
11 12 13 1 10 0 21 22 23 2 20 0 31 32 33 3 30 1
EI
11
4
3
3 4
3 11
8 1
3 3
3 1
3 43
8
3
144
1 18 2 18 1 3
1 8,1391722 1 7 , 3845231 2 5,3269346 EI 3 Reações de Apoio: VA VA 0 1VA1 2 VA 2 3 VA 3
H A H A 0 1H A1 2 H A 2 3 H A 3 M A M A 0 1M A1 2 M A 2 3 M A 3 VB VB 0 1VB1 2 VB 2 3 VB3 H B H B0 1H B1 2 H B 2 3 H B3
Método dos Deslocamentos
17,4969 kN H A 2,0539 kN M A 2,0720 kN VB 18,5031 kN H B 3,0539 kN VA
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