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Lista de Exercícios 02 – Campos Eletrostáticos 1. Lei de Coulomb
1.1) Descreva a Lei de Coulomb. 1.2) Três cargas pontuais Q1 = 1 mC, Q2 = 2 mC e Q3 = –3 mC estão localizadas em (0, 0, 4),
(–2, 6, 1) e (3, –4, –8), respectivamente. Determine a força sobre Q1. 1.3) Determine a carga total:
(a) Sobre uma linha dada por 0 x 5 m , se L 12 x 2 mC m . (b) Sobre um cilindro oco dado por 3, 0 z 4 m , se S z 2 nC m 2 . (c) Dentro de uma esfera com r 4 m , se v
10 r sen
C m3 .
1.4) Defina intensidade de campo elétrico. 1.5) Três cargas pontuais idênticas, de 10 nC cada uma, estão localizadas nos vértices de um
triângulo equilátero de 10 cm de lado. Calcule a intensidade:
(a) Da força F sobre cada carga;
(b) Do campo elétrico E no centro do triângulo. 1.6) Uma carga pontual Q está localizada em P em P (0, (0, –4, 0), enquanto que uma carga de 10 nC está
distribuída uniformemente ao longo de um anel semicircular, como mostra a Figura 1. Determine
o valor de Q tal que E (0, 0, 0) = 0.
Figura 1 – Referente ao exercício 1.6.
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1.7) Um disco circular de raio a, sobre o plano xy e com centro na origem, está carregado com
uma distribuição de carga dada por S
1
C m 2 . Calcule o campo elétrico em (0, 0, h).
1.8) Seja um retângulo descrito por a x a, b y b e z 0 , carregado com uma distri-
buição uniforme de carga S C m 2 : (a) Demonstre que o campo elétrico no ponto (0, 0, h), devido ao retângulo, é dado por:
E
S o
arctg
ab 12
2 2 2 ha b h
a z .
(b) Se a = 2 m, b = 5 m e S 105 , determine a carga total sobre o retângulo e a intensidade de campo elétrico em (0, 0, 10).
1.9) O plano x 2 y 5 está carregado com S 6 nC m . Determine E em (–1, 0, 1). 2
2. Densidade de fluxo elétrico
2.1) Um anel dado por y 2 z 2 4 e x 0 está carregado com uma distribuição uniforme de
carga de 5 C m .
(a) Determine D em P (3, 0, 0). (b) Se duas cargas pontuais idênticas Q forem colocadas em (0, –3, 0) e (0, 3, 0), nas pro
ximidades do anel, determine o valor de Q tal que D 0 em P . 2.2) Três superfícies carregadas estão localizadas no espaço livre como segue: 10 C m 2 em
x = 2, 20 C m em y = –3, e 30 C m em z = 5. Calcule D em (a) P (5, –1, 4), (b) R(0, –2, 2
2
1), e (c) S (3, –4, 10). 2.3) Uma linha uniformemente carregada com 10 nC m está posicionada em x = 0, y = 2, en-
quanto uma outra linha, também uniformemente carregada, com 10 nC m , está posicionada
em x = 0, y = –2. Determine D na origem.
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2.4) Determine a densidade de cargas devido a cada uma das seguintes densidades de fluxo elétrico:
(a) D 8 xy a x 4 x 2 a y C m 2 .
(b) D 4 sen a 2 cos a 2 z 2 a z C m 2 .
(c) D
2 cos r3
ar
sen a C m 2 . 3 r
3. Lei de Gauss
3.1) Qual é o enunciado da Lei de Gauss? 3.2) Qual é o procedimento para o emprego da Lei de Gauss na determinação de um campo elé-
trico? 3.3) Use a Lei de Gauss para determinar o vetor densidade de fluxo elétrico em um ponto P para
as seguintes distribuições de carga: (a) Carga pontual localizada na origem; (b) Linha infinita de carga (uniformemente carregada) sobre o eixo z ; (c) Lâmina infinita de carga (uniformemente carregada) no plano z = 0; (d) Esfera de raio a (uniformemente carregada) centrada na origem (para r a e r a ). 3.4) Determine a distribuição de cargas que gera o seguinte campo elétrico:
E
1
3r ar V m . 1 cos 2
r
3.5) As cargas 5 C , 3 C , 2 C e 10 C estão localizadas em (–12, 0, 5), (0, 3, –4),
(2, –6, 3) e (3, 0, 0), respectivamente. Calcule o fluxo através das superfícies esféricas de raios: (a) r = 1; (b) r = 10; (c) r = 15. 3.6) Dado que
12 nC m 3 , 1 2 m v = fora desse intervalo 0,
determine D em qualquer ponto.
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3.7) Seja v =
0 r
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nC m , 0 r a , onde 0 é constante. (a) Determine E dentro e fora de 3
r a ; (b) Calcule a carga total.
4. Potencial elétrico
4.1) Qual é a definição de potencial elétrico?
4.2) Em um campo elétrico E 20 r sen ar 10 r cos a V m , determine a energia emprega-
da ao transferir uma carga de 10 nC (a) De A(5, 30°, 0°) até B(5, 90°, 0°); (b) De A até C (10, 30°, 0°); (c) De A até D(5, 30°, 60°); (d) De A até E (10, 90°, 60°).
4.3) Um disco circular de raio a está carregado com S =
1
C m 2 . Calcule o potencial em (0, 0, h).
4.4) Para verificar se E yz a x xz a y xy az V m é verdadeiramente um campo elétrico, de-
monstre que:
(a) E 0 ; e
(b) E dl 0 , onde L é o perímetro de um quadrado definido por 0 x , y 2 , z 1 . L
4.5) Uma distribuição esférica de cargas é dada por:
r , r a v = 0 a 0, ra
Determine V e E em qualquer ponto.
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4.6) Dado o campo elétrico em certa região do espaço
E z 1 sen a z 1 cos a sen a z V m , determine o trabalho realizado ao movimentar uma carga de 4 nC de (a) De A(1, 0, 0) até B(4, 0, 0); (b) De B(4, 0, 0) até C (4, 30°, 0); (c) De C (4, 30°, 0) até D(4, 30°, –2); e (d) De A até D.
5. O dipolo elétrico
5.1) Um dipolo elétrico com p p a z C m está localizado em ( x, z ) = (0 , 0). Se o potencial em
(0, 1) nm é de 9 V, determine o potencial em (1, 1) nm.
6. Densidade de energia em campos eletrostáticos
6.1) Se V 2 z sen , calcule a energia dentro da região definida por 1 4 , 2 z 2 ,
0 3 .
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Respostas 1. Lei de Coulomb
1.1) A “Lei de Coulomb” estabelece que a força F 12 entre duas cargas Q1 e Q2 (exercida por Q1
em Q2) é diretamente proporcional ao produto das cargas Q1 e Q2, inversamente proporcio
nal ao quadrado da distância R12 entre elas, e está na orientação da linha imaginária de Q1 para Q2. Assim, a força que a carga Q1 exerce sobre a carga Q2 é dada por:
F 12
Q1Q2 R12
[N], onde 0 8,854 10 12 F/m é a permissividade do espaço livre.
4 0 R 3 12
1.2) (67,995; –265,349; 304,493) N 1.3) (a) 500 mC
(b) 1,206 µC (c) 1579,140 C
1.4) A “intensidade de campo elétrico” E é definida como a força por unidade de carga imersa
em um campo elétrico. O vetor intensidade de campo elétrico E possui a mesma direção
da força F 12 (na direção da carga Q1 ao ponto de interesse “2”). Ou seja:
E
F 12 Q2
Q1
R12
4 0 R 12
3
[V/m], onde 0 8,854 10 12 F/m é a permissividade do espaço livre.
1.5) (a) 118,897 nN
(b) 0 V/m 1.6) 25,465 nC
1.7) E
a 2 0 h a 2 h 2
a z
1.8) (a) A própria demonstração
(b) 400 µC e 31,572 kV/m 1.9) (151,529; 303,059; 0) V/m
2. Densidade de fluxo elétrico
2.1) (a) 320,019 a x nC/m2
(b) –51,185 µC
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2.2) (a) (5; –10; –15) µC /m2 2
(b) (–5; –10; –15) µC /m 2
(c) (5; 10; 15) µC /m
2.3) 1,592 a nC/m
2
2.4) (a) 8 y C/m3
(b) 6sen a 4 z a z C/m3 (c) 0 C/m3
3. Lei de Gauss 3.1) A “Lei de Gauss” estabelece que o fluxo elétrico total através de qualquer superfície
fechada é igual à carga total encerrada por esta superfície. Ou seja:
v
S
Qenc v dv D d S [C], onde D [C/m3] é o vetor densidade de fluxo elétrico.
3.2) Metodologia para determinar o campo elétrico E ou a densidade de fluxo elétrico D :
(i)
Verificar se a distribuição de cargas é simétrica;
(ii)
Construir uma superfície matemática fechada (superfície gaussiana) que passe pelo ponto de interesse;
(iii) A superfície é escolhida de modo que o vetor densidade de fluxo elétrico D seja normal ou tangencial à superfície:
Quando D for normal à superfície: D d S D dS ; Quando D for tangencial à superfície: D d S 0 .
3.3) (a) D
(b) D
Q
a r (superfície gaussiana esférica)
4 r 2
L
a (superfície gaussiana cilíndrica)
2 (c) D S a z (superfície gaussiana paralelepipédica) 2 r v 3 a r , r a (d) D (superfície gaussiana cilíndrica) 3 a a r , r a v 3 r 2 3.4) v r , ,
3 o sen 3r 2
r
[C/m3]
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3.5) (a) 0 C
(b) 9 µC (c) 14 µC
0, 0 1 m 2 1 2 3.6) D 4 a nC m , 1 2 m 28 2 2 m a nC m , o 0r a 2 a r nV m , o 3.7) (a) E 2 o a a r nV m , r a 2 o r 2 (b) 2 a 2 o nC
4. Potencial elétrico 4.1) O “potencial elétrico” em um dado ponto é a diferença de potencial entre esse ponto e um
ponto escolhido (normalmente, no infinito) no qual o potencial é arbitrado como zero. O potencial elétrico pode ser calculado por: Q
V r
4 o r r '
[V], onde r é o ponto de interesse e r ' é a posição da carga Q.
4.2) (a) –1,25 µJ
(b) –3,75 µJ (c) 0 J (d) –8,75 µJ
a a 2 h2 4.3) ln 2 o h 1
4.4) (a) e (b) A própria demonstração
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