Cap Cap´ıtulo ıtulo 1: Conj Conjunto untoss 0.1
Exerc´ Exerc´ıcios ıcios Recomendado Recomendadoss - unidades unidades 1 e 2
coes o˜es a seguir s˜ ao corretas. Justifique suas respostas. ao 1. Decida quais das afirma¸c˜ (a) (b) (d) . (c) . Solu¸c˜ ao: FALSA: o conjunto vazio n˜ao ao cont´em em nenhum elemento. eleme nto. (a) . VERDADEIRA VERDADEIRA:: o conjunto conjunto vazio est´ a contido em qualquer conjunto, em particular, (b) no pr´ oprio oprio conjunto vazio. (c) VERDADEIRA: ´e um conjunto conju nto unit´ario ario cujo unico u ´ni co element ele mentoo ´e . (d) VERDADEIRA: o conjunto vazio est´a contido em qualquer conjunto. 2. Demonstre as propriedades de distributividade: (a) a opera¸c˜ cao a˜o de uni˜ao ao em rela¸c˜ cao a˜o a` interse¸c˜ cao: a˜o: A (B C ) = (A B ) (A C ). ). (b) a opera¸c˜ cao a˜o de interse¸c˜ cao a˜o em rela¸c˜ c˜ao ao a` uni˜ao: ao: A (B C ) = (A B ) (A C ). ). Solu¸c˜ ao: ´ f´acil ). E acil ver que esta igualdade ´e (a) Queremos mostrar que A (B C ) = (A B ) (A C ). verdadeira se A = , B = ou C = . Se A Se A = = temos A temos A (B C ) = (B C ) = B C e (A ( A B ) (A C ) = ( B ) ( C ) = B C . Se B Se B = temos A temos A (B C ) = A ( C ) = A = A e A e (A B ) (A C ) = (A ) (A C ) = A (A C ) = A. A . O caso C = ´e analogo a´logo ao caso B = . Podemos ent˜ ao ao supor A = , B = e C = . Temos
∅ ∈ ∅
∅ ⊂ ∅
∅ ∈ {∅}
∅ ⊂ {∅}
∅ ∈ ∅ ∅ ⊂ ∅
∅ ∈ {∅} ∅ ⊂ {∅}
{∅}
∅
∪ ∩ ∩ ∪
∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩
∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∅ ∅ ∅ ∅ ∪ ∩ ∅∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∪ ∅∪ ∩ ∅∪ ∩ ∅ ∪ ∩ ∪ ∅∩ ∪∅ ∪ ∩ ∪ ∪∅ ∩ ∪ ∩ ∪ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ x ∈ A ∪ (B ∩ C ) ⇔ x ∈ A ou x ∈ (B ( B ∩ C ) ⇔ x ∈ A ou (x ∈ B e x ∈ C ) C ) B ) e (x ∈ A ou x ∈ C ) C ) ⇔ x ∈ (A ( A ∪ B ) e x ∈ (A ( A ∪ C ) ⇔ ⇔ (x ∈ A ou x ∈ B) ( A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ) ⇔ x ∈ (A ). Como em (a), ´e f´ acil acil ver que esta (b) Queremos mostrar que A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ). igualdade iguald ade ´e verdadeira verdade ira se A = ∅, B = ∅ ou C = ∅. Podemos ent˜ ao ao supor A = ∅, B = ∅ e C = ∅. Temos x ∈ A ∩ (B ∪ C ) ⇔ x ∈ A e x ∈ (B ( B ∪ C ) ⇔ x ∈ A e (x ∈ B ou x ∈ C ) C ) B ) ou (x (x ∈ A e x ∈ C ) C ) ⇔ x ∈ (A ( A ∩ B ) ou x ∈ (A ( A ∩ C ) ⇔ ⇔ (x ∈ A e x ∈ B) ( A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ) ⇔ x ∈ (A 3. Demonstre que A ∪ B = B ⇐⇒ A ⊂ B ⇐⇒ A ∩ B = A Para provarmos provarmos as equivalˆ equivalˆencias encias propostas, basta provarmos provarmos que A
∪ B = B ⇒ A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A ⇒ A ∪ B = B .
Como Com o no exerc´ exe rc´ıcio ıci o anterio ante rior, r, ´e f´ acil acil ver que as implica¸c˜ c˜oes oes acima s˜ao ao verdadeiras se A = ou B = . Podemos ent˜ao ao supor que A e B s˜ao ao n˜ ao ao vazios. A B. B . (i) Mostremos que A B = B Suponhamos A B = B. B . Como A A B = B, B , temos A B. B . A B = A. A . (ii) Mostremos que A B Suponhamos A Suponhamos A B. B . Para provarmos que A que A B = A, A , temos que mostrar as inclus˜ oes A oes A B A e A A B . Como Como a primei primeira ra inclus˜ inclus˜ ao ´e obvia, o´bvia, mostremos a segunda. segunda. Seja x A. Como, por hip´otese, otese, A B, B , temos, x temos, x B. B . Portanto, x A e x B, B , ou seja, x A B , como com o quer que r´ıamos. ıam os.
∅
∅
⊂ ∩
⊂
∪ ⇒ ⊂ ∪ ⊂ ∪ ⊂ ⇒ ∩ ⊂ ∩ ∈ ∈
1
⊂
∈
∈ ∩
∈
∩ ⊂
(iii) Mostremos que A B = A A B = B. Suponhamos A B = A. Para provarmos que A B = B, temos que mostrar que B A B e A B B . Como a primeira inclus˜ ao ´e o´bvia, mostremos a segunda. Seja x A B: ent˜ao, x A ou x B. Se x B, a prova termina aqui. Se x A, ent˜ao como, por hip´ otese. A B = A, temos x A B e como A B B, temos x B. 4. Dados A, B U , demonstre as rela¸c˜oes de De Morgan: (a) (A B)c = A c B c ; (b) (A B)c = A c B c ; ´ f´acil ver que estas igualdades s˜ ao verdadeiras se A = ou B = . Podemos ent˜ ao Solu¸c˜ ao: E supor A e B n˜ao vazios. (a) Temos
∩
∩
∪ ⊂ ∈ ∈ ∈ ∈ ∩ ⊂ ∪ ∩
⇒ ∪
∪
∩ ⊂
∩
∈
⊂ ∪ ∈ ∪ ∩
∈
∪
∅
c
x (A
∈ ∪ B) ⇔ x ∈/ A ∪ B ⇔ x ∈/ A e x ∈/ B ⇔ x ∈ A
∅
c
e x B c
c
ou x B c
∈
c
c
⇔ x ∈ A ∩ B .
(b) Temos c
x (A
∈ ∩ B) ⇔ x ∈/ A ∩ B ⇔ x ∈/ A ou x ∈/ B ⇔ x ∈ A
∈
c
c
⇔ x ∈ A ∪ B .
5. Considere P, Q e R condi¸c˜oes aplic´aveis a elementos de um conjunto U ; e A, B e C os subconjuntos de U dos elementos que satisfazem P, Q e R, respectivamente. Expresse, em termos de implica¸co˜es entre P, Q e R, as seguintes rela¸co˜es entre os conjuntos A, B e C . (a) A B c C ; (b) Ac B c C (c) Ac B C c (d) A c B c C (e) A B c C c . Indiquemos por X a nega¸c˜ao da condi¸c˜ao X . As rela¸co˜es entre A, B e C se traduzem como: (a) P ( Q) R: se P ´e verdadeira e Q ´e falsa, ent˜ ao R ´e verdadeira. R: se P ou Q ´e falsa, ent˜ ao R ´e verdadeira. (b) ( P ) ( Q) (c) ( P ) Q ( R): se P ´e falsa ou Q ´e verdadeira, ent˜ao R ´e falsa. ( Q) R: se P ´e falsa, ent˜ ao Q ´e falsa ou R ´e verdadeira. (d) ( P ) (e) P ( Q) R: se P ´e verdadeira, ent˜ao Q ´e falsa ou R ´e falsa. 6. Recorde a defini¸c˜ao da diferen¸ca entre conjuntos: B A = x : x B e x / A . Mostre que: (a) B A = se e somente se B A; (b) B A = B se e somente se A B = ; (c) vale a igualdade B A = A B se e somente se A = B; (d) Determine uma condi¸c˜ao necess´ aria e suficiente para que se tenha A (B C ) = (A B) C . ´ claro, pela defini¸ca˜o, que B A = B Ac . E B Ac = B A. (a) B A = c (b) B A = B B A = B B A c A B= . c c c (c) B A = A B = B A = A B A; como A A = , temos B A. Analogamente, mostramos que A B. Logo A = B. Se A = B, temos A B = A B c = A B c = A Ac = ; analogamente B A = B Ac = B Ac = B B c = . Logo A B = B A. (d) Antes de ver a resolu¸ca˜o, dˆe uma olhada nas figuras abaixo. Temos
∩ ⊂
¬ ∧ ¬ ⇒ ¬ ∨ ¬ ⇒ ¬ ∨ ⇒¬ ¬ ⇒¬ ∨ ⇒ ¬ ∨ − −
∪ ⊂
∪ ⊂
⊂ ∪
−
∅
{
∈
⊂ ∪
∈ }
⊂ ∩ ∅ − − − − − ∩ − ∅ ⇐⇒ ∩ ∅ ⇐⇒ ⊂ − ⇐⇒ ∩ ⇐⇒ ⊂ ⇐⇒ ∩ ∅ − − ⇒ ∩ ∩ ⊂ ∩ ∅ ⊂ ⊂ − ∩ ∩ ∩ ∅ − ∩ ∩ ∅ − −
− −
∩
x (A
∈ − B) − C ⇐⇒ x ∈ (A − B) e x ∈/ C ⇐⇒ x ∈ A e x ∈/ B e x ∈/ C ; assim (A − B) − C consiste dos elementos que pertencem a A e n˜ao pertencem a B nem a C , isto
´e, pertencem apenas a A. Por outro lado,
∈ − (B − C ) ⇐⇒ x ∈ A e x ∈/ (B − C ) ⇐⇒ x ∈ A e x ∈/ B ou x ∈ C ; assim A − (B − C ) consiste dos elementos que pertencem a A e n˜ao pertencem a B mas podem pertencer a C , ou seja, elementos que pertencem apenas a A ou pertencem a A ∩ C . Para que os x A
2
conjuntos (A B) C e A (B C ) sejam iguais, devemos ter A C = , isto ´e devemos ter A e C disjuntos. As figuras abaixo mostram os conjuntos (A B) C e A (B C ): na figura da esquerda, a parte hachurada ´e (A B) C e na da direita ´e A (B C )
− −
− −
− − − −
− −
A
∩ − −
B
∅
A
C
B
C
7. Dˆe exemplos de implica¸co˜es, envolvendo situa¸co˜es do ensino m´edio, que sejam: verdadeiras com rec´ıproca verdadeira, verdadeiras com rec´ıproca falsa, falsas com rec´ıproca verdadeiras, falsas com rec´ıproca falsa. 8. Escreva as implica¸c˜oes l´ogicas que correspondem a` resolu¸ca˜o da equa¸ca˜o x + x = 2, veja quais s˜ao revers´ıveis e explique o aparecimento de ra´ızes estranhas. Fa¸ ca o mesmo com a equa¸ca˜o x + 3 = x.
√
√
√ x + x = 2 =⇒ √ x = 2 − x =⇒ x = x − 4 x + 4 =⇒ x − 5 x + 4 = 0 =⇒ x = 1 ou x = 4. Aparece a raiz estranha x = 4. Isto ocorre pois a implica¸ca˜o (2) n˜ao ´e revers´ıvel. √ x + 3 = x. Em primeiro lugar, notemos que pela equa¸c˜ao vemos Tratemos agora da equa¸ c ˜ a o √ que x deve satisfazer x = x + 3 ≥ 3. √ x + 3 = x =⇒ √ x = x − 3 =⇒ x = x − 6 x + 9 =⇒ x − 7 x + 9 = 0 =⇒ x = 7 + √ 13 2 √ 7 − 13 (1)
(2)
(1)
(3)
2
(2)
(3)
2
(4)
2
(4)
2
1
ou x2 =
. 2 Pela observa¸c˜ao acima x1 ´e raiz da equa¸c˜ao original e x2 n˜ao ´e. Como no caso da equa¸ ca˜o anterior, o aparecimento da raiz estranha x 2 se deve ao fato que a implica¸c˜ao (2) n˜ao ´e revers´ıvel. Outro modo: chamemos z = x; ent˜ao x = z 2 e a equa¸ca˜o dada fica z + 3 = z 2 , que tem as 1 + 13 1 13 solu¸co˜es z 1 = e z 2 = (aparece a raiz estranha z 2 porque elevamos z = x ao 2 2 7 + 13 quadrado; o correto seria escrever: “a equa¸c˜ao fica z + 3 = z 2 e z 0”). Logo x = z 2 = . 2 9. Considere as seguintes (aparentes) equivalˆencias l´ ogicas:
√ − √
√
≥
x = 1
2
2
√ √
2
⇐⇒ x − 2 x + 1 = 0 ⇐⇒ x − 2 · 1 + 1 = 0 ⇐⇒ x − 1 = 0 ⇐⇒ x = ±1 Conclus˜ao(?): x = 1 ⇐⇒ x = ±1. Onde est´a o erro? x = 1 ´e uma solu¸ca˜o da equa¸ca˜o x − 2 x + 1 = 0 (uma equa¸c˜ao ´e uma igualdade que est´ a 2
satisfeita apenas para alguns valores de x). Quando substituimos x por 1 em apenas alguns dos termos desta equa¸ca˜o, obtemos uma outra equa¸ca˜o, que pode ter ra´ızes estranhas. 10. Escreva as rec´ıprocas, contrapositivas e nega¸ co˜es matem´ aticas das seguintes afirma¸co˜es : (a) Todos os gatos tˆem rabo; (b) Sempre que chove, eu saio de guarda-chuva ou fico em casa; (c) Todas as bolas de ping pong s˜ao redondas e brancas; (d) Sempre que ´e ter¸ca feira e o dia do mˆes ´e um n´ umero primo, eu vou ao cinema; (e) Todas as camisas amarelas ou vermelhas tˆem manga comprida; (f) Todas as coisas quadradas ou redondas s˜ ao amarelas ou vermelhas. 3
Rec´ıprocas (a) Todos os animais que tˆem rabo s˜ ao gatos ; (b) Sempre que eu saio de guarda-chuva ou fico em casa, chove; (c) Todas as bolas redondas e brancas s˜ ao de ping pong; (d) Sempre que eu vou ao cinema, ´e ter¸ ca feira e o dia do mˆes ´e um n´ umero primo; (e) Todas as camisas que tˆem manga comprida s˜ ao amarelas ou vermelhas; (f) Todas as coisas amarelas e vermelhas s˜ ao quadradas ou redondas. Contrapositivas (a) Todos os animais que n˜ ao tˆem rabo n˜ao s˜ao gatos ; (b) Sempre que eu saio sem guarda-chuva ou fico em casa, n˜ ao chove; (c) Todas as bolas que n˜ ao s˜ao redondas ou brancas n˜ ao s˜ao de ping pong; (d) Sempre que eu n˜ a o vou ao cinema, ou n˜ao ´e ter¸ca feira ou o dia do mˆes n˜ ao ´e um n´umero primo; (e) Todas as camisas que n˜ ao tˆem manga comprida n˜ ao s˜ao amarelas nem vermelhas; (f) Todas as coisas que n˜ao s˜ao amarelas nem vermelhas n˜ ao s˜ao quadradas nem redondas. Nega¸ c˜ oes matem´ aticas (a) Nem todos os gatos tˆem rabo (Existe ao menos um gato que n˜ ao tem rabo); (b) Nem sempre que chove, eu saio de guarda-chuva ou fico em casa (Existem instantes em que chove e eu saio de casa sem guarda-chuva); (c) Nem todas as bolas de ping pong s˜ao redondas e brancas (Existem bolas de ping pong que n˜ ao s˜ao redondas ou brancas); (d) Nem sempre que ´e ter¸ca feira e o dia do mˆes ´e um n´ umero primo, eu vou ao cinema (Existem ter¸cas feiras em que o dia do mˆes ´e um n´ umero primo, eu n˜ao vou ao cinema); (e) Nem todas as camisas amarelas ou vermelhas tˆem manga comprida (Existem camisas amarelas ou vermelhas que n˜ao tˆem manga comprida; (f) Nem todas as coisas quadradas ou redondas s˜ ao amarelas e vermelhas (Existem coisas quadradas ou redondas que n˜ ao s˜ao amarelas e vermelhas).
0.2
Exerc´ıcios Suplementares - unidades 1 e 2
aria e suficiente para que se tenha 1. Sejam A , B e C conjuntos. Determine uma condi¸c˜ao necess´ A (B C ) = (A B) C . Comparando a igualdade A (B C ) = (A B) (A C ), v´alida quaisquer que sejam A , B , C (veja a p´agina 1) com a igualdade proposta
∪ ∩
∪ ∩
∪ ∩
∪ ∩ ∪
A
∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ C vemos que devemos ter A ∪ C = C , ou seja A ⊂ C (veja o Exerc´ıcio 3, p´ agina 2). Mostremos que essa condi¸ca˜o ´e necess´ aria e suficiente para que A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ C . Se A ⊂ C temos A ∪ C = C e portanto A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) = (A ∪ B) ∩ C. Reciprocamente, se A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ C , temos A ⊂ A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ C ⊂ C . 2. Express˜oes tais como “para todo”e “qualquer que seja”s˜ ao chamadas de quantificadores e aparecem em senten¸cas dos tipos: (1) “Para todo x, ´e satisfeita a condi¸c˜ao P (x)” (2) “Existe algum x que satisfaz a condi¸ca˜o P (x)”, em que P (x) ´e uma condi¸ca˜o envolvendo a 4
vari´avel x. a) Sendo A o conjunto de todos os objetos x (de um certo conjunto universo U ) que satisfazem a condi¸ca˜o P (x), escreva as senten¸cas (1) e (2) acima, usando a linguagem de conjuntos. b) Quais s˜a o as nega¸co˜es de (1) e (2)? Escreva cada uma destas nega¸ c˜oes usando conjuntos e compare com as senten¸cas obtidas em a). c) Para cada senten¸ca abaixo, diga se ela ´e verdadeira ou falsa e forme sua nega¸ c˜ao: Existe um n´umero real x tal que x2 = 1. Para todo n´ umero inteiro n, vale n2 > n. Para todo n´ umero real x , tem-se x > 1 ou x2 < 1. Para todo n´ umero real x existe um n´ umero natural n tal que n > x. Existe um n´umero natural n tal que, para todo n´ umero real x, tem-se n > x. 3. Considere os conjuntos abaixo: F = conjunto de todos os fil´ osofos M = conjunto de todos os matem´ aticos C = conjunto de todos os cientistas P = conjunto de todos os professores a) Exprima cada uma das afirmativas abaixo usando a linguagem de conjuntos: 1) Todos os matem´ aticos s˜ao cientistas: M C 2) Alguns matem´ aticos s˜ao professores: M P = 3) Alguns cientistas s˜ao fil´osofos: C F = 4) Todos os fil´ osofos s˜ao cientistas ou professores: F (C P ). 5) Nem todo professor ´e cientista: P C = (isto ´e, P C c = ) b) Fa¸ca o mesmo com as afirmativas abaixo: 6) Alguns matem´ aticos s˜ao fil´osofos: M F = 7) Nem todo fil´osofo ´e cientista: F C = (isto ´e, F C c = ) 8) Alguns fil´osofos s˜ao professores: F P = 9) Se um fil´ osofo n˜ ao ´e matem´atico, ele ´e professor: (F M ) P (isto ´e, F M c P ) 10) Alguns fil´ osofos s˜ao matem´ aticos: F M = (c) Tomando as cinco primeiras afirmativas como hip´oteses, verifique quais das afirmativas do segundo grupo s˜ ao necessariamente verdadeiras. Nenhuma das afirmativas (6)-(10) ´e consequˆ ancia das afirmativas (1)-(5). Tomemos, por exemplo, U = a,b,c,d,e,x e M, C, P, F U dados por
• • • • •
−
⊂ ∩ ∅ ∩ ∅ − ∅
⊂ ∪ ∩ ∅
∩ ∅ − ∅ ∩ ∅
∩ ∅
∩ ∅
{
− ⊂
∩
⊂
}
⊂ M = {a, b}, C = {a,b,c,e}, P = {a,d,x} e F = {e} Temos M ⊂ C , M ∩ P = ∅, C ∩ F = ∅, F ⊂ (C ∪ P ) e P ∩ C = ∅, mas M ∩ F = ∅, F ∩ C = {e} ∩ {d, x} = ∅, F ∩ P = ∅, F ∩ M = {e} ∩ {c,d,e,x} = {e} ⊂ P e F ∩ M = ∅. c
c
c
4. Considere um grupo de 4 cart˜ oes que possuem uma letra escrita em um dos lados e um n´umero do outro. Suponha que seja feita, sobre estes cart˜ oes, a seguinte afirma¸c˜ao : Todo cart˜ ao com uma vogal de um lado tem um n´ umero ´ımpar do outro . Quais dos cart˜ oes abaixo vocˆe precisaria virar para verificar se essa afirmativa ´e verdadeira ou falsa?
A
1
B
4
A afirma¸ca˜o sobre os cart˜ oes relaciona vogais a n´ umeros ´ımpares. Assim, n˜ao importa o verso das cartas B e 1 . Precisamos saber apenas o verso dos cart˜ oes A e 4 . Logo, basta virar estas cartas.
5
6. O conjunto das partes de A ´e o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A. Prove o teorema de Cantor: se A ´e um conjunto e P (A) ´e o conjunto das partes de A, n˜ao existe fun¸c˜ao f : A P (A) que seja sobrejetiva. Suponhamos, por absurdo, que existe uma fun¸c˜ao sobrejetiva f : A P (A). Seja X = x A : x / f (x) (´e claro que X A). Como f ´e sobre, existe a A tal que f (a) = X (pois X A). Se a X , ent˜ao pela defini¸ca˜o de X temos a / f (a) = X , uma contradi¸ca˜o. Se a / X , ent˜ao, pela defini¸c˜ao de X temos a f (a) = X , novamente uma contradi¸ca˜o. Estas contradi¸c˜oes mostram que n˜ao pode existir tal fun¸ca˜o.
→
⊂
∈
}
⊂
∈
∈ ∈
0.3
→
{ ∈
∈ ∈
Outros exerc´ıcios
Propriedades da reuni˜ ao e interse¸c˜ ao: Sejam A , B e C conjuntos quaisquer. Mostre que: (a) (associativas) A (B C ) = (A B) C e A (B C ) = (A B) C . (b) (comutativas) A B = B A e A B = B A. (c) (distributivas) A (B C ) = (A B) (A C ) e A (B C ) = (A B) (A C ).
∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∩
∪ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩
As igualdades acima est˜ao trivialmente verificadas se algum dos conjuntos ´e vazio. Vamos ent˜ao supor que todos os conjuntos s˜ a o n˜ao vazios. Como em (a) e (b) as demonstra¸c˜o es s˜ao semelhantes, faremos apenas o caso da reuni˜ ao. (a) Temos x A
∈ ∪ (B ∪ C ) ⇐⇒ x ∈ A ou x ∈ B ∪ C ⇐⇒ x ∈ A ou (x ∈ B ou x ∈ C ) ⇐⇒ ⇐⇒ (x ∈ A ou x ∈ B) ou x ∈ C ⇐⇒ x ∈ A ∪ B ou x ∈ C ⇐⇒ ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∪ C
(b) Temos x A
∈ ∪ B ⇐⇒ x ∈ A ou x ∈ B ⇐⇒ x ∈ B ou x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B ∪ A
(c) Veja o Exerc´ıcio Recomendado 2, p´ agina 2. 1. 2011 Sejam P 1 , P 2 , Q1 , Q2 propriedades referentes a elementos de um conjunto-universo U . Suponha que P 1 e P 2 esgotam todos os casos poss´ıveis (ou seja, um elemento qualquer de U ou tem a propriedade P 1 ou tem P 2 ). Suponha ainda que Q1 e Q2 s˜ao incompat´ıveis (isto ´e, excluem-se mutuamente). Suponha, finalmente, que P 1 Q1 e P 2 Q2 . Prove que valem as rec´ıprocas: Q1 P 1 e Q2 P 2 . Suponhamos que um elemento x goze da propriedade Q1 . Como Q1 e Q2 excluem-se mutuamente, x n˜ao possui a propriedade Q2 . Como consequˆencia da hip´ otese P 2 Q2 , o elemento x n˜ao tem a propriedade P 2. Como P 1 e P 2 esgotam todos os casos, temos que x possui a propriedade P 1 . Logo, Q 1 P 1. A prova da outra implica¸ca˜o ´e an´aloga. 3. Sejam X 1 , X 2 , Y 1 , Y 2 subconjuntos do conjunto-universo U . Suponha que X 1 X 2 = U e Y 1 Y 2 = , que X 1 Y 1 e que X 2 Y 2. Prove que X 1 = Y 1 e X 2 = Y 2 . Devemos mostrar que Y 1 X 1 . Se Y 1 = a inclus˜ao ´e trivial: assim, vamos supor Y 1 = . Seja x Y 1 . Como Y 1 Y 2 temos que x / Y 2 e como X 2 Y 2 , temos x / X 2 . Finalmente, como X 1 X 2 = U , temos necessariamente x X 1 . A prova da outra inclus˜ao ´e an´aloga. 4. Compare o exerc´ıcio anterior com o primeiro em termos de clareza e simplicidade dos enunciados. Mostre que qualquer um deles pode ser resolvido usando o outro. Estabele¸ ca resultados an´alogos com n propriedades ou n subconjuntos em vez de 2. Veja no livro ”Coordenadas no
→
→
→
→
⇒
→
∩
∪
∅
∈
⊂
∩
⊂
∪
⊂
∈ ∈
∅
⊂
6
∈
∅
Espa¸co”, (Cole¸ca˜o do Professor de Matem´ atica, S.B.M.) p´ag. 83 uma utiliza¸c˜ao deste fato com n = 8. 4.A. Sejam X 1 , . . . , Xn , Y 1 , . . . , Yn U tais que X 1 . . . X n = U e Y i Y j se i = j. Mostre que se X 1 Y 1 , . . . , Xn Y n , ent˜ao X 1 = Y 1 , . . . , Xn = Y n . Mostremos que Y 1 X 1 (as outras inclus˜oes s˜ao provadas de modo an´ alogo). Como X i Y i , i = 1, temos x / X 1 , para todo i = 1. Como X 1 ... X n = U , temos necessariamente x X 1 . 5. Ainda no tema do primeiro exerc´ıcio, seria v´alido substituir as implica¸co˜es P 1 Q1 e P 2 Q2 na hip´oteses por suas rec´ıprocas Q 1 P 1 e Q2 P 2 ? A conclus˜ao ´e falsa. Vamos enunciar nosso problema na linguagem de conjuntos. Tomemos X 1 o conjunto dos n´ uneros naturais pares e X 2 o conjunto dos n´ umeros naturais ´ımpares, Y 1 = 2 e Y 2 = 3 . Temos X 1 X 2 = N e Y 1 Y 2 = , mas n˜ao ´e verdade que X 1 = Y 1 nem que X 2 = Y 2 . 8A. Mostre que para todo m > 0 a equa¸c˜ao x + m = x tem exatamente uma raiz. Em primeiro lugar, notemos que pela equa¸c˜ao vemos que x deve satisfazer x = x + m m. Procedendo como no Exerc´ıcio Recomendado 8
⊂
⊂ ∀ ∈
⊂
⊂
⊂
∪ ∪
∈
→
{ }
∩
{}
∪ ∪
→
→
∪
∩
∅
√
√
√ x + m = x =⇒ √ x = x − m =⇒ x = x − 2 m x + m =⇒ x − (2 m + 1) x + m (1)
(2)
→
2 (3)
2
2
≥
2
=0
Como o discriminante desta equa¸c˜ao ´e positivo (∆ = 4 m + 1), ela tem duas ra´ızes reais distintas x1 , x2 Estas ra´ızes devem satisfazer x 1 x2 = m 2 ; assim, uma deve ser > m e a outra < m. Logo, a equa¸ca˜o original tem exatamente uma raiz (como no exerc´ıcio 8, a implica¸ c˜ao (2) n˜ ao ´e revers´ıvel).
√
outro modo: Chamando z = x (notemos que z 0) a equa¸ca˜o fica z +m = z 2 , ou z 2 z m = 0, 1 4m + 1 1 + 4m + 1 que tem as ra´ızes z 1 = (que n˜ ao interessa, pois z 1 < 0) e z 2 = . ent˜ ao 2 2 x = z 22 = 2m + 1 + 4m + 1.
√
− √
≥
√ − −
Fun¸c˜ oes 0.4
Exerc´ıcios Recomendados - unidade 3
1. Em cada um dos itens abaixo, defina uma fun¸ca˜ o com a lei de forma¸ca˜o dada (indicando dom´ınio e contradom´ınio). Verifique se ´e injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, a fun¸ ca˜o umeros naturais associa seu mdc; (a) que a cada dois n´ (b) que a cada vetor do plano associa seu m´odulo; (c) que a cada matriz 2 2 associa sua matriz transposta; (d) que a cada matriz 2 2 associa seu determinante; (e) que a cada polinˆ omio (n˜ao nulo) com coeficientes reais associa seu grau; (f) que a cada figura plana fechada e limitada no plano associa a sua a´rea; (g) que a cada subconjunto de R associa seu complementar; (h) que a cada subconjunto finito de N associa seu n´ umero de elementos; (i) que a cada subconjunto n˜ ao vazio de N associa seu menor elemento; (j) que a cada fun¸c˜ao f : R R associa seu valor no ponto x 0 = 0.
× ×
Solu¸c˜ oes:
→
N dada por f (m, n) = m d c (m, n) (a) f : N N (i) f n˜ao ´e injetiva; de fato, f (6, 8) = f (6, 10) = 2.
× →
7
(ii) f ´e sobre; de fato, dado n N, temos f (n, n) = n. (b) Denotemos por V o conjunto de todos os vetores no plano: fixado um sistema de vetores mutuamente ortogonais i, j em V , cada vetor v = x i + y j V pode ser identificado com o par R ordenado (x, y) de n´ umeros reais; o seu m´odulo ´e v = x2 + y 2 . Definimos ent˜ ao f : V por f (v) = x2 + y 2 . (i) f n˜ao ´e injetiva; de fato, f (1, 0) = f (0, 1) = 1. (ii) f n˜ao ´e sobre, pois f (x, y) 0, para todo (x, y). Se definirmos f : R2 [0, [ por f (x, y) = (x, y) = x2 + y 2 , ent˜ao f ´e sobre; de fato, dado z N, temos f (z, 0) = z . (c) Denotemos por M 2(R) o conjunto de todas as matrizes 2 2. Lembremos que se A = a1 1 a1 2 a1 1 a2 1 , ent˜ao At = a2 1 a2 2 a1 2 a2 2 f : M 2 (R) M 2 (R) por f (A) = A t . (i) f ´e injetiva; a1 1 a1 2 b1 1 b1 2 a1 1 a2 1 b1 1 b2 1 Dadas A = eB= , temos At = e Bt = a 2 1 a2 2 b 2 1 b2 2 a1 2 a2 2 b1 2 b2 2 a1 1 a2 1 b1 1 b2 1 Se f (A) = f (B), isto ´e, At = B t , ent˜ao = e portanto a1 2 a2 2 b1 2 b2 2
∈
{ }
≥ → ∞
∈
∈
→
×
→
a1 1 = b 1 1 , a2 1 = b 2 1 , a1 2 = b 1 2 , a2 2 = b 2 2 , ou seja A = B. Logo, f ´e injetiva. (ii) f ´e sobre; de fato, dada M M 2 (R), a matriz A = M t satisfaz At = (M t )t = M , ou seja f (A) = M . De (i)e (ii), temos que f ´e bijetora. (d) f : M 2 (R) R por f (A) = det(A). 1 0 0 1 (i) f n˜ao ´e injetiva; de fato se A = eB= , temos f (A) = f (B) = 0. 0 0 0 0 1 0 (ii) f ´e sobre; de fato, dado r R, a matriz M = satisfaz f (A) = r. 0 r (e) Denotemos por P (R) o conjunto de todos os polinˆomios n˜ao nulos com coeficientes reais. Definamos N por f ( p) = gr( p) (em que gr( p) denota o grau de p) f : P (R) (i) f n˜ao ´e injetiva; de fato f (x2 + 1) = f (x2 + x + 1) (ii) f ´e sobre; dado n N, n 1 o polinˆomio p(x) = x n satisfaz f ( p) = n. Se n = 0, o polinˆomio p(x) = 1 satisfaz f ( p) = 0. (f) Denotemos por o conjunto de todas as figuras fechadas limitadas no plano. Definamos f : [0, [ por f (A) a a´rea de A. (i) f n˜ao ´e injetiva; de fato, se A ´e quadrado de lado 4 e B ´e o retˆangulo de lados 2 e 8, ent˜ ao f (A) = f (B) = 16. (ii) f ´e sobre; dado r [0, [, o retˆangulo B de lados 1 e r satisfaz f (B) = r. (g) Denotemos por (R) o conjunto de todos os subconjuntos de R. Definamos (R) por f (A) = A c . f : (R) (i) f ´e injetiva; de fato se f (A) = f (B), isto ´e, se Ac = B c , ent˜ao, tomando complementares, temos A = B. (ii) f ´e sobre; dado A (R), o conjunto B = A c satisfaz f (B) = (Ac )c = A. (h) Denotemos X = A N : A ´e finito . Definamos f : X N por f (A) = #A, o n´ umero de elementos de A. (i) f n˜ao ´e injetiva; de fato se f ( 3 ) = f ( 4 ), mas 3 = 4 . N, n (ii) f ´e sobre; dado n 0, o conjunto A = 1, 2, . . . , n satisfaz #A = n, ou seja, f (A) = n. Se n = 0 tomamos A = : ´e claro que f ( ) = 0.
∈
→
∈
→
∈
F → ∞
P → P
→
≥
F
∈ ∞ P ∈ P { ⊂ ∈
{} ≥ ∅
} {}
∅
8
{ } { } { }
(i) Denotemos X = A N : A = . Definamos f : X N por f (A) o menor elemento de A. (i) f n˜ao ´e injetiva; de fato se f ( 2, 3 ) = f ( 2, 4, 15 ). (ii) f ´e sobre; dado n N, n 0, o conjunto A = n satisfaz f (A) = n. R. Definamos (j) Denotemos por (R, R) o conjunto de todas as fun¸c˜oes f : R R por F (f ) = f (0). F : (R, R) R s˜ (i) f n˜ao ´e injetiva; de fato se f, g : R ao dadas por f (x) = x e g(x) = x 2 , para todo x R, temos F (f ) = 0 = F (g), mas f = g. R, a fun¸ R tal que f (x) (ii) f ´e sobre; dado r ca˜o f : R r satisfaz f (0) = r, ou seja, F (f ) = r. 2. Mostre que a fun¸ca˜o inversa de f : X Y , caso exista, ´e u´nica, isto ´e, se existem g1 : Y X e g2 : Y X satisfazendo f g1 = f g2 = I Y e g1 f = g 2 f = I X , ent˜ao g1 = g 2 . (Sugest˜ ao: Lembre-se que duas fun¸c˜oes s˜ao iguais se e s´o se possuem mesmos dom´ınios e contradom´ınios e seus valores s˜ao iguais em todos os elementos do dom´ınio. Assim, procure mostrar que g1 (y) = g 2 (y), para todo y Y .)
{ ⊂
→
F
→
∈ F
≥
∅} { }
→
Tomemos y Portanto
∈ Y arbitr´ario.
→
∈
→
◦
∈
} {}
→
∈
{
◦
≡
→
◦
→
◦
Como f ´e bijetora, existe um u´nico x
g1 (y) = g 1[f (x)] = x
∈ X tal que f (x) = y.
e g2 (y) = g 2[f (x)] = x.
Assim, g1 (y) = g2 (y), y Y . Como g1 e g2 tˆem mesmo dom´ınio, Y , e mesmo contra dom´ınio, X , e verificam g1 (y) = g 2(y), y Y , segue-se que g1 = g 2 . 3. Seja f : X Y uma fun¸c˜ao. Mostre que: (a) f ´e sobrejetiva se, e somente se, existe g : Y X tal que f g = I Y (isto ´e, f admite uma fun¸c˜ao inversa a` direita). X tal que g f = I X . (isto ´e, f admite uma (b) f ´e injetiva se, e somente se, existe g : Y fun¸c˜ao inversa a` esquerda). Solu¸co ˜es:
∀ ∈
→
∀ ∈
→
◦
→
◦
(a) Antes de resolver o exerc´ıcio, mostrar como as coisas se processam no exemplo: tome X = a,b,c,d,e , Y = 1, 2, 3 e f : X Y , dada por f (a) = 1, f (b) = f (c) = 2 e f (d) = f (e) = 3; uma tal g : Y X ´e g(1) = a, g(2) = b e g(3) = e (alternativamente poder´ıamos definir g(2) = c e g(3) = d). ( =) Suponhamos que existe g : Y X tal que f (g(y)) = y para todo Y . Vamos mostrar que f ´e sobrejetiva. Dado y Y tomando x = g(y) temos f (x) = f (g(y)) = y. Logo f ´e sobrejetiva. ( =) Suponhamos f ´e sobrejetiva. Vamos definir g : Y X tal que f (g(y)) = y para todo y Y . Dado y Y existe ao menos um x X tal que f (x) = y. Escolhemos um tal x e definimos ´ claro que temos f (g(y)) = f (x) = y g(y) = x. Com isto fica definida uma fun¸ ca˜o g : Y X . E para todo y Y . X tal que g f = I X . (isto ´e, f admite uma (b) f ´e injetiva se, e somente se, existe g : Y fun¸c˜ao inversa a` esquerda). Antes de resolver o exerc´ıcio, mostrar como as coisas se processam no exemplo: tome X = a,b,c , Y = 1, 2, 3, 4, 5 e f : X Y , dada por f (a) = 1, f (b) = 2 e f (c) = 3; uma tal g : Y X ´e g(1) = a, g(2) = b e g(3) = c; podemos atribuir a g(4) e g(5) qualquer valor: por exemplo g(4) = g(5) = a, ou g(4) = g(5) = b, ou g(4) = a, g(5) = c, etc. Temos g(f (a)) = g(1) = a, g(f (b)) = g(2) = b e g(f (c)) = g(3) = c (observe n˜ ao importa quais s˜ao os valores g(4) e g(5)).
{
}
→
{
}
→
⇐
→
∈
⇐
{
∈ ∈
} →
→
∈
{
}
∈
→
→
( =) Suponhamos que existe g : Y que f ´e injetiva.
⇐
∈
◦
→
→ X tal que g(f (x)) = x para todo x ∈ X . Vamos mostrar 9
Suponhamos que x 1 , x2 Logo f ´e injetiva.
∈ X s˜ao tais que f (x ) = f (x ); ent˜ao x 1
2
( =) Suponhamos f ´e injetiva. Vamos definir g : Y
⇐
1
= g(f (x1 )) = g(f (x2 )) = x 2.
→ X tal que g(f (x)) = x para todo x ∈ X .
Seja y f (X ); ent˜ao existe x X tal que f (x) = y. Como f ´e injetiva, tal elemento x ´e u´nico (com efeito, se existisse x1 X , x1 = x, tal que f (x1 ) = y ter´ıamos f (x1 ) = f (x) contrariando a hip´otese de f ser injetiva).
∈
∈
Definimos g : Y
∈
→ X do seguinte modo:
se y = f (x) f (X ) pomos g(y) = x. Se y Y f (X ), escolhemos x0 X e definimos g(y) = x 0. Pela defini¸c˜ao de g, temos g(f (x)) = x para todo y Y . Y uma fun¸ca˜o. Mostre que se existem g1 : Y X e g2 : Y X tais que 4. Seja f : X f g1 = I Y e g2 f = I X , ent˜ao g1 = g 2 (portanto, neste caso, f ser´a invert´ıvel).
∈
◦
∈ −
∈
∈
→ ◦
→
→
Seja y Y . Da igualdade g2 f = I X (isto ´e, g2 (f (x)) = x, x X ) com x = g1 (y), temos g1 (y) = g2 (f (g1 (y))). De f g 1 = I Y , temos f (g1 (y)) = y, y Y . Combinando estas duas igualdades obtemos g1(y) = g 2 (y), y Y . Logo, g1 = g 2 .
∈
◦
◦
∀ ∈ ∀ ∈
∀ ∈
5. Podemos garantir que a inversa `a esquerda e a inversa a` direita (definidas como no Exerc´ıcio 3), caso existam, s˜ao u´nicas? Justifique sua resposta. Quando a fun¸c˜ao n˜ao ´e bijetiva, pode existir mais de uma inversa lateral. Por exemplo, a fun¸c˜ao f : R [0, [, f (x) = x2 ´e sobre. As fun¸c˜oes g1 , g2 : [0, por g1 (y) = y e g 2 (y) = y s˜ao inversas a` direita de f
→ ∞ ∞) → R dadas √ − √ √ √ √ f ◦ g (y) = f ( y) = ( y) = y e f ◦ g (y) = f (− y) = (− y) = y Por exemplo, a fun¸c˜ao f : N → N, f (n) = n + 2 ´e injetiva. As fun¸co˜es g , g : N → N dadas por m − 2, se m ≥ 3 m − 2, se m ≥ 3 √
2
1
2
2
1
g1 (m) =
1,2,
se m = 1 se m = 2
g2 (m) =
s˜ao inversas a` esquerda de f . Tomemos n g1
2
se m = 1 se m = 2
2,1,
∈ N : como n + 2 ≥ 3, temos ◦ f (n) = g (n + 2) = n + 2 − 2 = n e g ◦ f (n) = g (n + 2) = n + 2 − 2 = n 1
2
2
ao invert´ıveis. Para cada um dos exemplos que vocˆe der, determine 6. Dˆe exemplos de fun¸c˜oes n˜ a rela¸c˜ao inversa, a fun¸ca˜o inversa a` direita e a fun¸c˜ao inversa a` esquerda, caso existirem.
7. Seja f : X Y uma fun¸ca˜o e seja A um subconjunto de X . Define-se f (A) = f (x); x A Y . Se A e B s˜ao subconjuntos de X , mostre que f (A B) = f (A) f (B).
→
∪
∪
{
∈ }⊂
Neste e em alguns outros exerc´ıcios usaremos o seguinte fato: A B, temos f (A) f (B), cuja demonstra¸ca˜o ´e imediata: se y f (A), ent˜ao existe x A tal que f (x) = y; como A B, temos x B. Logo, f (x) f (B). f (A B ). Como A A B , temos f (A) f (A B ); (i) Mostremos que f (A) f (B) analogamente como B A B, temos f (B) f (A B). Logo f (A) f (B) f (A B). (ii) Mostremos que f (A B) f (A) f (B). Se y f (A B), ent˜ao existe ao menos um x A B (ou seja, x A ou x B) tal que f (x) = y. Se x A, temos y = f (x) f (A) f (A) f (B); se x B, temos y = f (x) f (B) f (A) f (B). Assim, em qualquer um dos casos, temos y f (A) f (B). Como y ´e arbitr´ ario, temos f (A B) f (A) f (B).
∈
⊂
⊂
∈ ∈ ⊂ ∈ ∪ ⊂ ∪ ⊂ ∪ ⊂ ∪ ⊂ ∪ ⊂ ∪ ∪ ⊂ ∪ ∪ ⊂ ∪ ∈ ∪ ∈ ∪ ∈ ∈ ∈ ⊂ ∪ ∈ ⊂ ∪ ∪ ⊂ ∪
∈ ∈ ∈ ∪ 8. Seja f : X → Y uma fun¸c˜ao e sejam A e B subconjuntos de X . (a) Mostre que f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B). (b) ´e poss´ıvel afirmar que f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B), para todos A, B ⊂ X ? Justifique. 10
(c) Determine que condi¸c˜oes deve satisfazer f para que a afirma¸ca˜o feita no item (b) seja verdadeira. Solu¸c˜ oes: (a) Como A B A, temos f (A B) f (A); analogamente, como A B f (B). Logo, f (A B) f (A) f (B).
∩ ⊂ ∩ ⊂
∩
∩ ⊂ B, temos f (A ∩ B) ⊂
∩ ⊂
R, dada por f (x) = x2 , A = [ 2, 1] e (b) N˜ao ´e poss´ıvel. Tomemos, por exemplo, f : R B = [0, 3]. Temos A B = [0, 1] e portanto f (A B) = [0, 1] enquanto que f (A) f (B) = [0, 4] [0, 9] = [0, 4]. (c) Uma condi¸ca˜o suficiente ´e que f seja injetiva, isto ´e, se f ´e injetiva, ent˜ao f (A B) = f (A) f (B), para todos A, B X . Como vale sempre a inclus˜ ao f (A B) f (A) f (B), s´o falta mostrar que f (A) f (B) f (A B). Se f (A) f (B) = , ´e claro que vale a inclus˜ ao. Vamos ent˜ ao supor f (A) f (B) = . Dado y f (A) f (B), existem x1 A, x 2 B tais que y = f (x1) e y = f (x2 ). Como f ´e injetiva, temos x1 = x 2 , que, portanto, pertencem a A e a B e assim pertencem a A B. Portanto y f (A B). Logo, f (A) f (B) f (A B).
→ ∩
∩
∩ ∩ ∩
⊂
∈
∩
∩
∅
∩
∈ ∩
⊂
∩ ⊂
−
∩ ∩ ∩ ⊂ ∅ ∈ ∩
∩
∩
∈
∩
Na verdade, a condi¸c˜ao acima ´e necess´ aria e suficiente. Vamos mostrar que se f (A B) = f (A) f (B), para todos A, B X , ent˜ao f ´e injetiva. Tomemos A = x1 , B = x2 , com x1 = x2 arbitr´arios em X . Como A B = , temos f (A B) = . Por hip´otese, f ( x1 ) f ( x2 ) = f (A B) = . Com isso mostramos que, dados arbitrariamente x1 , x2 X , com x1 = x 2 , temos f (x1 ) = f (x2 ). Logo, f ´e injetiva. Obs.:
∩ ∩
0.5
⊂ { } { }∩ { }
{ } ∈
∅
∩
∩
∩
∅
∅
Exerc´ıcios Suplementares - unidade 3
1. Seja f : X Y uma fun¸ca˜o. Dado y Y , definimos a contra imagem ou imagem inversa de x como sendo o seguinte subconjunto de X: f 1 (y) = x X ; f (x) = y (uma nota¸c˜ao mais precisa seria f 1( y )). (a) Se f ´e injetiva e y ´e um elemento qualquer de Y , o que se pode afirmar sobre a imagem inversa f 1 (y)?
→ −
∈
{ ∈
−
{}
}
−
(b) Se f ´e sobrejetiva e y ´e um elemento qualquer de Y , o que se pode afirmar sobre a imagem inversa f 1(y)? (c) Se f ´e bijetiva e y ´e um elemento qualquer de Y , o que se pode afirmar sobre a imagem inversa f 1 (y)? −
−
Solu¸c˜ oes: (a) Se y / f (X ), ent˜ ao f 1 (y) ´e o conjunto vazio. Se y f (X ), ent˜ao existe x X tal que f (x) = y; como f ´e injetiva, tal elemento x ´e u´nico: assim, f 1 (y) ´e um conjunto unit´ario.
∈ ∈
−
∈
−
(b) Como f ´e sobrejetiva, temos Y = f (X ); portanto para todo y Y , existe ao menos um x tal que f (x) = y. Logo, f 1 (y) = (f 1(y) pode conter mais de um elemento). (c) Como f ´e sobrejetiva, para todo y Y , existe ao menos um x X tal que f (x) = y. Como f ´e injetiva tal elemento x ´e u´nico. Logo, f 1 (y) ´e um conjunto unit´ario.
∅
−
−
∈
−
∈ ∈
∈ X
2. Seja f : X Y uma fun¸ca˜o. Dado B Y , definimos a contra imagem ou imagem inversa de B como sendo o subconjunto de X definido por f 1 (B) = x X ; f (x) B . Mostre que
→
(a) f 1 (A −
(b) f
1
−
⊂
∪ B) = f (A ∩ B) = f
Solu¸co ˜es:
1
−
(A)
1
−
∪ f (A) ∩ f
1
−
(B);
1
−
−
(B).
11
{ ∈
∈ }
(a) Como A A B, temos f 1 (A) f 1 (A B); analogamente, como B A B, temos 1 1 1 1 1 f (B) f (A B). Portanto f (A) f (B) f (A B). Mostremos agora que f 1 (A B) f 1 (A) f 1 (B). Seja x f 1 (A B); existe x X tal que f (x) A B, ou seja f (x) A (isto ´e, x f 1(A)) ou f (x) B (isto ´e, x f 1 (B)): assim x f 1 (A) f 1 (B).
⊂ ∪ ⊂ ∪ ⊂ ∪ ⊂ ∪ ∪ ⊂ ∪ ∪ ⊂ ∪ ∈ ∪ ∈ ∈ ∪ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∪ (b) Como A ∩ B ⊂ A, temos f (A ∩ B) ⊂ f (A); analogamente, como A ∩ B ⊂ B, temos f (A ∩ B) ⊂ f (B). Portanto f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B). Mostremos agora que f (A) ∩ f (B) ⊂ f (A ∩ B ). Seja x ∈ f (A) ∩ f (B); ent˜ ao f (x) ∈ A e f (x) ∈ B, donde f (x) ∈ A ∩ B, ou seja x ∈ f (A ∩ B). 3. Seja f : X → Y uma fun¸c˜ao. (a) Mostre que f (f (B)) ⊂ B, para todo B ⊂ Y , (b) Mostre que f (f (B)) = B, para todo B ⊂ Y se, e somente se, f ´e sobrejetiva. −
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
1
1
−
1
1
−
−
1
−
1
−
1
1
−
1
−
−
1
−
1
−
1
−
−
1
−
1
−
1
−
Solu¸co ˜es:
(a) Para todo y f (f 1 (B)), existe x f 1 (B) tal que f (x) = y. Mas, dizer que x significa que f (x) B, ou seja y B. Logo, f (f 1 (B)) B.
∈ ∈
∈
−
∈
−
⊂
−
∈ f
1
−
(B)
ao, (b) Mostremos que se f ´e sobrejetiva ent˜ao B f (f 1 (B)) para todo B Y (a outra inclus˜ B f (f 1(B)), vale sempre). Como f ´e sobrejetiva, dado y B , existe x X tal que f (x) = y. Pela defini¸c˜ao de imagem inversa, temos x f 1 (B) e portanto y = f (x) f (f 1 (B)). Logo B f (f 1(B)). Mostremos agora que se f 1 (f (B)) = B para todo B Y ent˜ao f ´e sobrejetiva. Dado y Y , temos y = f (f 1 ( y )), isto ´e, y f (f 1 ( y )) e portanto y = f (x) para algum x f 1 ( y ): assim todo y Y ´e imagem de algum x. Logo f ´e sobrejetiva. 4. Seja f : X Y uma fun¸c˜ao. (a) Mostre que f 1 (f (A)) A, para todo A X , (b) Mostre que f 1 (f (A)) = A, para todo A X se, e somente se, f ´e injetiva.
⊃
⊂ ∈ ∈
−
∈
−
∈
∈
∈
−
{ }
{} →
−
−
∈
{}
−
⊂
−
∈
⊃
−
⊂
−
⊂
−
−
{}
⊂ ⊂
Solu¸co ˜es:
(a) Para todo x A, temos f (x) f (A) e, pela defini¸ca˜o de imagem inversa, temos x f 1 (f (A)). Logo, A f 1 (f (A)) (b) Mostremos que se f ´e injetiva ent˜ao f 1 (f (A)) A para todo A X (a outra inclus˜ ao, 1 f (f (A)) A, vale sempre). Dado x f 1 (f (A)), pela defini¸ca˜o de imagem inversa, temos f (x) f (A). Pela defini¸ca˜o de f (A), existe z A tal que f (z ) = f (x). Como f ´e injetiva, temos z = x. Portanto, x A. Logo f 1 (f (A)) A. Mostremos agora que se f 1 (f (A)) = A, para todo A X , ent˜ao f ´e injetiva. Se f n˜ao fosse injetiva, existiriam x1 = x2 X tais que f (x1 ) = f (x2). Tomando A = x1 ter´ıamos f 1 (f (A)) x1 , x2 = A, contrariando a hip´ otese. Logo, f ´e injetiva.
⊂
−
∈
∈
⊂
−
⊃ ∈ ∈ ⊂
−
∈
⊂ ∈
−
−
∈
⊂
−
∈
⊃{
−
{ }
} outro modo: Dados x = x ∈ X , temos {x } = f (f ({x })) e {x } = f (f ({x })). Como x = x , temos f (f ({x })) = f (f ({x })), que implica f ({x }) = f ({x }), isto ´e, f (x ) = f (x ). Logo, f ´e injetiva. 5. Mostre que existe uma inje¸ca˜o f : X → Y se, e somente se, existe uma sobreje¸ca˜o g : Y → X . Suponha que f : X → Y ´e injetiva. Vamos definir uma fun¸c˜ao g : Y → X do seguinte modo. Fixemos x ∈ X . Seja y ∈ Y . Se y ∈ f (X ), ent˜ao existe (um u ´ nico, pois f ´e injetiva) x ∈ X tal que f (x) = y. Pomos g(y) = x. Se y ∈ / f (X ), ent˜ao pomos g(y) = x . Com isto fica definida uma fun¸ca˜o g : Y → X . Para mostrar que g ´e sobre notemos que dado x ∈ X , o elemento y = f (x) ∈ Y ´e tal que g(y) = x. Suponha que g : Y → X ´e sobre. Vamos definir uma fun¸c˜ao f : X → Y do seguinte modo. −
1
1
1
−
2
2
1
1
1
−
1
−
1
2
2
1
2
0
0
12
1
−
2
2
1
Seja x X . Como g ´e sobre, existe ao menos um y Y tal que g(y) = x. Escolhemos um tal y e pomos f (x) = y. Com isto fica definida uma fun¸ca˜o f : X Y com a propriedade: g(f (x))) = x, x X . Vamos mostrar que f ´e injetiva. Dados x1 , x2 X , sejam y1 = f (x1 ) , y2 = f (x2 ): se f (x1) = f (x2), ent˜ao y1 = y 2 e portanto g(y1 ) = g(y2 ), que implica g(f (x1 ))) = g(f (x2))), ou seja x1 = x 2 . Logo, f ´e injetiva.
∈
∈
→ ∈
∀ ∈
0.6
Outros Exerc´ıcios
→
∈
c˜ao f (x) = n possui 1. Defina uma fun¸ca˜o sobrejetiva f : N N tal que, para todo n N, a equa¸ uma infinidade de ra´ızes (Sugest˜ a o: todo n´ umero natural se escreve, de modo u´nico, sob a forma 2a b, em que a N 0 e b ´e ´ımpar).
∈ ∪{ }
Definindo f (2a b) = a, vemos que para todo n
∈ N temos
f 1 ( n ) = 2n , 2n 3, 2n 5, 2n 7, . . . −
{} {
}
Esta igualdade de conjuntos implica que f ´e sobre e que f (x) = n possui uma infinidade de ra´ızes. ao existem n! bije¸co˜es 2. Prove, por indu¸ca˜o, que se X ´e um conjunto finito com n elementos ent˜ f : X X . O resultado ´e verdadeiro para n = 1. Se X = x ent˜ ao a identidade ´e a u´nica bije¸ca˜o X X . Suponhamos que o resultado seja verdadeiro para k, isto ´e, existem k! bije¸co˜ es de X k = x1 , . . . , xk em si mesmo. Vamos mostrar que ele ´e verdadeiro para k + 1. Denotemos X k+1 = X k xk+1 em si mesmo Cada bije¸ca˜o f : X k X k determina (k + 1) bije¸c˜oes X k+1 X k+1 :
→
{
{}
} }
∪{
→
F 1 (xk+1 ) = f (x1 ), F 1 (x1) = x 1 .. .
→
→ e F (x ) = f (x ) se j = 1 e j = k + 1 1
j
j
F k (xk+1 ) = f (xk ), F k (x1 ) = x k e F 1 (x j ) = f (x j ) se j = k e j = k + 1 F k+1 (x j ) = f (x j ) se j k e F k+1 (xk+1) = x k+1.
≤
4. Prove, por indu¸ca˜o, que um conjunto com n elementos tem 2n subconjuntos. O resultado ´e verdadeiro para n = 1: o conjunto a tem os 21 subconjuntos e a (ou, se preferir come¸car com n = 0: se X = , ent˜ao (X )) = ). Suponhamos que o resultado seja verdadeiro para k, isto ´e, se X tem k elementos, ent˜ ao k (X ) = A1 , . . . , A2 . Seja X k+1 = X a , (a / X ). Para cada j, 1 j 2 , consideremos o conjunto A j = A j a : ent˜ao (X )) A1 , . . . , A2 , A1 , . . . , A2 , que tem 2k+1 elementos.
∅
P
{
} ∪ { } k
∗
≥
P ∪ { } ∈ P ⊂ {
{ } {∅} k
∅ { }
∗
∗
k
}
≤ ≤
5. Dados n (n 2) objetos de pesos distintos, prove que ´e poss´ıvel determinar qual o mais leve e ´ esse o n´ qual o mais pesado fazendo 2 n 3 pesagens em uma balan¸ca de pratos.E umero m´ınimo de pesagens que permitem determinar o mais leve e o mais pesado?
−
Consideremos a afirma¸ca˜o P (n): Dados n (n 2) objetos de pesos distintos, ´e poss´ıvel determinar qual o mais leve e qual o mais pesado fazendo 2 n 3 pesagens em uma balan¸ca de pratos ´ claro que P (2) ´e verdadeira: com uma s´ E o pesagem sabemos qual dos dois objetos ´e o mais leve e qual o mais pesado. Suponhamos que P (n) ´e verdadeira: efetuando 2 n 3 pesagens, descobrimos o objeto mais pesado e o mais leve de uma cole¸c˜ao qualquer de n objetos distintos. Dada uma cole¸c˜ao de n +1 objetos distintos, x 1 , x2 , .. . , xn , xn+1 efetuando 2 n 3 pesagens, descobrimos o objeto mais pesado P e o mais leve L dentre x 1 , x2 , .. . , xn . Agora efetuamos no m´aximo mais duas pesagens para comparar os pesos de xn+1, L e P . Se xn+1 for mais leve que
≥
−
−
−
13
o de L, ent˜ao xn+1 ´e o mais leve dos n + 1 objetos e P o mais pesado dos n + 1 objetos. Se o peso de xn+1 for maior que o de L, ent˜ao L o mais leve dos n + 1 objetos. Na pr´oxima pesagem determinamos: se x n+1 ´e mais leve do que P , ent˜ao P ´e o mais pesado dos n + 1 objetos; se x n+1 ´e mais leve do que P , ent˜ao x n+1 ´e o mais pesado dos n + 1 objetos. Com isto efetuamos no m´ aximo 2 n 3 + 2 = 2 (n + 1) 3 pesagens. Logo, a afirma¸ca˜o P (n) ´e verdadeira para todo n.
−
−
6. Prove que, dado um conjunto X com n elementos, ´e poss´ıvel fazer uma fila com seus subcon juntos de tal modo que cada conjunto da fila pode ser obtido a partir do anterior pelo acr´escimo ou pela supress˜ a o de um u´nico elemento. Consideremos a afirma¸ca˜o: P (n): dado um conjunto com n elementos, ´e poss´ıvel fazer uma fila com seus subconjuntos de tal modo que cada conjunto da fila pode ser obtido a partir do anterior pelo acr´escimo ou pela supress˜ a o de um u ´nico elemento. ´ claro que P (1) ´e verdadeira. E Suponhamos que P (n) seja verdadeira. Assim, se X ´e um conjunto com n elementos todos os seus subconjuntos est˜ ao dispostos em uma fila, de modo que cada um desses subconjuntos difira do anterior pelo acr´escimo ou retirada de um elemento. Denotemos (X n ) = A1 , . . . , A2 1 , A2 . Tomemos o (n + 1) ´esimo elemento e estendemos a fila acrescentando-o na ordem inversa a cada subconjunto da fila anterior, come¸ cando com o u´ltimo, ou seja, (X n+1 ) = A1 , . . . , A2 1 , A2 , A2 xn+1 , A2 1 xn+1 , . . . , A1 xn+1 . Desta maneira obteremos todos os subconjuntos de X dispostos como est´ a prescrito no enunciado. outro modo: Denotemos X n = x1 , . . . , xn ´ claro que a afirma¸ca˜o ´e verdadeira para X 1: de fato P (X 1 ) = , x1 E H.I. (X n ) = A1 , . . . , A2 ´e ordenado como desejado Seja X n+1 = x1 , . . . , xn , xn+1 . Vamos mostrar que (X n+1 ) = A1 , . . . , A2 +1 ´e ordenado como desejado. Escrevemos
P
−
P
{
P
n
{
{
∪ {
n
−
n
{ }
}
n
n
∪{
−
}
}
}
{
n
∪{
{∅ { }} {
P
n
−
}
}
}
n
P (X ) = {A , A ∪ {x } , A ∪ {x } , A , A , A ∪ {x } , . . . , A } 1
n
1
n+1
2
n+1
2
3
3
2n
n+1
Vamos inserir conjuntos na sucess˜ ao acima do seguinte modo: se k ´e ´ımpar, escrevemos Ak , Ak
∪ {x } , A ∪ {x } , A n+1
k+1
n+1
k+1
se k ´e par, escrevemos Ak , Ak+1 , Ak+1
∪ {x } n+1
ao ocupados, quando chegam os trens 7. Todos os quartos do Hotel Georg Cantor est˜ T 1 , T 2 , .. . , T n , . . . (em quantidade infinita), cada um deles com infinitos passageiros. Que deve fazer o gerente para hospedar todos? Considere a seguinte decomposi¸ca˜o: N = X 1 X 2 X 3 X 4 , em que X 1 = 3, 5, 7, . . . , X 2 = 2 3, 2 5, 2 7 . . . , X 3 = 22 3, 22 5, 22 7, . . . , X 4 = 23 3, 23 5, 23 7, . . . . O gerente manda os atuais h´ ospedes para os quartos 3, 5, 7, . . . e hospeda os passageiros do trem T 1 nos quartos 2 3, 2 5, 2 7, . . . , os passageiros do trem T 2 nos quartos 22 3, 22 5, 22 7, . . . , e assim por diante. Note que ainda ficam vagos os quartos de n´umeros 2, 4, 8, 16, . . .
{ ·
·
·
·
}
·
{ ·
∪ ∪ ∪ ∪··· · · } { ·
·
·
·
14
{
·
·
}
·
}