Lineer Cebir 1. vize Tobb Etü

TOBB-ETU. Mat 201 Dogrusal grusal Cebir 1. Ara Sınavı (3 Kasım 2013) ˘ MAT MAT − 201

1.

1

˘ ˙ ˙ INC ˙ DOGRUSAL CEBIR BIR I˙ ARA SINAVI ÇÖZÜMLERI˙

3 R

vektör vektör uzay ı ındaki n (4 2 6) vektörünün,  {(2 (2 −1 1) 1) (1 (1 3 2) 2) (3 (3 2 3)} 3)} alt uzay ı ında n daki (4 da bulunup bulunmad ı ı˘ g n ı ın ı ı gösteriniz.

Çözüm: (4 (4 2 6) ∈  {(2 (2 −1 1) 1) (1 (1 3 2) 2) (3 (3 2 3)} 3)} olup olmaması, (4 (4 2 6) =  = (2 (2 −1 1) +  + (1 (1 3 2) +  + (3 (3 2 3)

olacak biçimde    sayılarının bulunup bulunmamasına bagl g˘lıdır. (4 (4 2 6) = (2 (2 −1 1) +  + (1 (1 3 2) +  + (3 (3 2 3) 2 +  +  + + 3 3 = 4 3  + 2 2 = 2 lineer denklem sistemine denktir. e¸sitli tl igi, gi, − + 3 ˘  + 2 2  + 3 3 = 6

⎡ ⎣

2 1 3 4 −1 3 2 2 1 2 3 6

23 +2

2

→

∼

⎡ ⎣0

1 1 1 0 0 0

1

0

⎤ ⎦

⎡ ⎣0

1 ↔3

∼

⎡ ⎣

3 1 −1 − 0 −3 −3

1

⎤ 8 ⎦

−10

16

2

1 16

6 8 − −8

3 →3

∼

⎤ ⎦

2 3 6 −1 3 2 2 2 1 3 4 1

⎤ ⎦

( 1)2 −

11 +2

∼ ( 2)1 +3 −

⎡ ⎣0 0 ⎤ 10 8 ⎦

∼

⎡ ⎣0

0 1 1 1 0 0 0

−

1

1

2 5 0 −3

3

→

3 1 1 −3 −3 103 +1

6 8 −8

1

→

∼ ( 8)3 +2 −

3 5 −3

1

2

1

2

→

⎡ ⎣0

2

→

2

→

⎤ ⎦

( 2)2 +1

⎡ ⎣0

−

∼ 32 +3

1 1 1 0 0 0

1

0

⎤ ⎦

6 8 −8

1

→

3

→

0 0 1

⎤ ⎦

dır. En son bulunan bulunan indirgenmi indirgenmi¸¸s satırca basamak matrisinin gösterdigi gi lineer denklem sis˘ teminin çözüm kümesi bo¸s kümedir. küm edir. Buna göre verilen veri len e¸sitli sitli gi gi saglayan glayan    sayıları yoktur. ˘ ˘ Dolayısıyla (4 (4 2 6) ∈   {(2 (2 −1 1) 1) (1 (1 3 2) 2) (3 (3 2 3)} 3)} tür. ¤

2.  =

∙2 1¸ 7

3

olsun.  matrisinin tersinir olup olmad ı ı˘ g n gösteriniz. iz. Tersinir ersinir ise bu ı ın ı ı gösterin

matrisi elementer matrislerin çarpı m mı ı olarak yaz ı ın n z. (15 puan) ı ı z. ×  biçimindeki bir  kare matrisi,   matrisine sat ırca denk ise  matrisinin Çözüm:  ×  tersinir oldu˘gunu gunu ve elementer matrislerin çarp ımı olarak  =  =  1 1  2 1     1 −

−

−

biçiminde yazılabildigini gini biliyoruz.  matrisini satırca indirgemeye çalı¸salım. ˘ 1

−

((  ))

= 

1 ( ) 3

−

oldugundan g˘undan yararlanarak her adımda kullanılan elementer sat ır i¸sleminin slemini n matrisinin matrisin in inversini de sag˘ yana yazacag˘ız.

TOBB-ETU. Mat 201 Dog ˘ rusal Cebir 1. Ara Sınavı (3 Kasım 2013)

2

∙2 1¸ 7 3 ∙2 1¸ 1 0 ∙ 0¸

−

∼ 1 ↔2

2

→

( 2)1 +2 −

1

 1

2

1

→

0

∼

1

1

−

1

∼

1

2

∙2 1¸  1 0 ∙ 0¸  2 1 ∙ 0¸

( 3)1 +2

=  1

1

−

∙1 0¸ ( ) = 3 1 ∙0 1¸ ( ) = 1 0 ∙1 0¸ 2

 2 1 =  2 1 −

−

2

 3 1 =  3 1 ( 2 ) =



−

−

2 1

dır. Böylece  matrisinin,  2 matrisine satırca denk oldug˘unu gördük. Buna göre  matrisi tersinir matristir ve elementer matrislerin çarp ımı olarak 1

1

1

 =  1 ·  2 ·  3 = −

−

−

∙ 1 0 ¸∙ 0 1 ¸∙ 1 0 ¸ 3

1

1 0

2 1

biçiminde yazılabilir. Bu e¸sitlig˘in dog˘rulug˘unu, sa˘g yandaki çarpımı hesaplayarak görebilirsiniz. ¤

3.

−1 + 42 + 23 = −3

1 − 2 − 3 = 2 lineer denklem sistemini Cramer yöntemiyle çözünüz. −1 + 22 + 3 = −3

Çözüm: Verilen denklem sisteminin katsayılar matrisi  olsun.

¯¯¯ det  = ¯¯ ¯

−1

4 1 −1 2 −1

2 −1 1

¯¯¯ ¯¯¯ ¯¯¯ ¯

= ( −1)(−1)1+1

¯¯¯ + 4( 1 ¯

−1

−1

2

−1)1+2

¯¯¯ ¯

1 −1

= ( −1) · (1) + 4 · 0 + 2 · 1 = −1 − 0 + 2 = 1

¯¯¯ + 2( 1 ¯

−1

−1)1+3

¯¯¯ ¯

1 −1

dır. det  6 = 0 oldug˘undan verilen denklem sistemi Cramer sistemidir. Öyleyse 1 =

1 1

¯¯¯ ¯¯¯

−3

4 2 −1 −3 2

2 −1 1

¯¯¯ ¯¯¯ =

−

1 1 · 3

3 =

dir.

¤

¯¯¯ 1 3 2 ¯¯¯ 2 1 ¯¯ =  = ¯¯ 1 ¯ 1 3 1¯ ¯ 4 3 ¯¯ 1 2 ¯¯ = · (2) = 2 ¯

1 1

= 3

¯¯¯ ¯¯¯

−1

1 −1

1 1

2

−

−

−

−

−

−

2

−3

4. A¸sa ˘ g ıd aki kavramlar ı tan ım lay ın ı z . (10 puan)

1 1

1 1

· (−1) =

−1

¯¯¯ 2 ¯

−1

TOBB-ETU. Mat 201 Dog ˘ rusal Cebir 1. Ara Sınavı (3 Kasım 2013) (a) Alt üçgen matris

3

(b) Bir matrisin tersi

(c) Reel vektör uzay ı

(d) Alt vektör uzay ı

Çözüm: (a)  = [ ]  olmak üzere    için  = 0 ise  matrisine alt üçgen matris denir. Daha açık olarak gösterilirse, alt üçgen matris, ×

⎡ ⎢⎢⎢  ⎢⎢ . ⎣ ..

31

0 22 32

0 0 33

1

2

3   

11 21

.. .

.. .

  

.. .

0 0 0

.. .



⎤ ⎥⎥⎥ ⎥⎥ ⎦

biçiminde bir matristir.

¤

×

(b)   inci basamaktan bir kare matris olsun.  ·  =   ve  ·  =   olacak biçimde bir  matrisi varsa bu  matrisine,  nın çarpmaya göre tersi (inversi) denir ve  1 ile −

gösterilir.

¤

(c)  bo¸ s olmayan bir küme ve R reel say ı lar kümesi olsun. A¸sa ˘ g ı daki önermeler do˘ gru ise  kümesi reel vektör uzayıd ır , denir. slem tan ım (V1)  kümesinde + ile gösterilen ve ad ın a toplama denilen bir i¸ lanm ıs ¸t ır . Bu i¸slemin a¸sa ˘ g ıd aki özellikleri vard ır .

(1)

Her   ∈  için  +  tan ı ml ıd ı r ve  + 

∈



dir. Sözle anlat ır sak  kümesi toplama i¸slemine göre kapal ıd ır .

(2)

Her  ∈  için ( + ) +  =  + ( + )

dir. Sözle anlat ır sak  kümesinde toplama i¸sleminin birle¸sme özelli ˘ gi vard ır .

(3)

[∃0 ∈  (∀ ∈  için  + 0 =  ve 0 +  = )]

d ır . Sözle anlat ır sak  kümesinde toplama i¸sleminin etkisiz (birim) eleman ı vard ır . Bu etkisiz eleman ı 0 simgesi ile gösterdik.

(4) Her  ∈  için  kümesinde − ile gösterilen ve  + (−) = 0 ve (−) +  = 0 e¸sitliklerini sa ˘ glayan bir − eleman ı vard ır . Sözle anlat ır sak,  kümesindeki her bir  eleman ın stir. ın toplamaya göre tersi vard ır .  nun tersi − ile gösterilmi¸

(5) Her   ∈  için  +  =  +  tir. Sözle anlat ı rsak  kümesinde toplama i¸sleminin de ˘ gi¸sme özelli ˘ gi vard ı r.

(V2)

×  →  ( ) →  biçiminde, ad ın slemi denilen bir fonksi a skalarla çarpma i¸ yon tan ım sa ˘ g ıd grular: lanm ıs ¸t ır ve bu fonksiyon a¸ aki önermeleri do˘ R

(2a) Her  ∈ R her   ∈  için ( + ) =  + 


4

(2b) Her   ∈ R her  ∈  için ( + ) =  +  (2c) Her   ∈ R her  ∈  için () = () (2d) R n ın guna göre  nin her eleman ı için 1 =  çarpmaya göre birim eleman ı 1 oldu ˘ dur.

¤

(d)  bir reel vektör uzay ı ve  ,  nin bo¸s olmayan bir alt kümesi olsun. A¸ sa ˘ g ıd aki iki önerme do˘ gru ise  kümesi  nin bir alt vektör uzayıdır, denir.

(a) ∀ [( ∈  ve  ∈  )

⇒

(b) ∀ ∀ [( ∈ R ve  ∈  )

⎡ 0 5.  = ⎣ cos 

0 1 − sin  0 sin  cos  0

yararlanarak bulunuz.

Çözüm:

 + 

⇒

∈

 ∈  ]

⎤ ⎦ olsun. 

1

−

⎡ 0 det ⎣ cos 

0 1 − sin  0 sin  cos  0

 ] ¤

matrisi varsa bu matrisi ek (adjoint) matristen

⎤ ⎦ = 1 · (

−1)1+3

oldu˘gundan  matrisi tersinir matristir. −

−

22 = (−1)2+2 31 = (−1)3+1

−

−

33



olur.

¤

1

−

=

1 det 

−

1+2

−

12

13 = (−1)1+3

oldu˘gundan

¯¯¯ =0 = 1 dir. det  6 cos  ¯

− sin 

¯¯¯ sin  0 ¯¯¯ ¯¯¯ cos  0 ¯¯¯  = ( 1) ¯ cos  0 ¯ = 0 ¯ sin  0 ¯ = 0 ¯¯¯ cos  sin  ¯¯¯ ¯¯¯ 0 1 ¯¯¯  = ( 1) ¯ sin  cos  ¯ = 1 ¯ cos  0 ¯ = cos  ¯¯¯ 0 1 ¯¯¯ ¯¯¯ 0 0 ¯¯¯  = ( 1) ¯ sin  0 ¯ = sin  ¯ sin  cos  ¯ = 0 ¯¯¯ 0 1 ¯¯¯ ¯¯¯ 0 1 ¯¯¯  = ( 1) ¯ sin  0 ¯ = sin  ¯ cos  0 ¯ = cos  ¯¯¯ 0 0 ¯¯¯  = ( 1) ¯ cos  sin  ¯ = 0 ⎡ 0 cos  sin  ⎤ ⎡ 0 cos  sin  ⎤ sin  cos  ⎦ = ⎣ 0 sin  cos  ⎦ () = ⎣ 0

1+1

11 = (−1)

¯¯¯ cos  ¯ sin  21

−

2+1

23

−

2+3

32

−

3+2

3+3

−

1 1

−

1

−

0

0

1

0

0

TOBB-ETU. Mat 201 Dog ˘ rusal Cebir 1. Ara Sınavı (3 Kasım 2013) 6.

5

4 R

uzay ı nda {(3 0 2 0) (1 1 −3 2) (−1 2 −8 4)} kümesinin lineer ba ˘ g ı ms ı z olup olmad ı˘ g ın ı gösteriniz.

Çözüm: {(3 0 2 0) (1 1 −3 2) (−1 2 −8 4)} kümesi, kümesidir.

4 R

uzayının 3 elemanlı bir alt

1 1 + 2 2 + 3 3 = 0 e¸sitli˘ gi (31 + 2 − 3  01 + 2 + 23  21 − 32 − 83  01 + 22 + 43 ) = (0 0 0 0)

e¸sitli˘gine denktir. Bu e¸sitlik 31 + 2 − 3 01 + 2 + 23 21 − 32 − 83 01 + 22 + 43

= = = =

0 0 0 0

(1)

denklem sistemini verir.

⎡3 ⎢⎢ 0 ⎣2 0 ⎡ ⎢⎢ 0 ⎣0

1 1 −3 2

−1

0 2 0 −8 0 4 0

7 2 1 −11 −22 0 2 4

1

4

⎤ ⎥⎥ ⎦ 0 0 0 0

⎡ 4 ⎢⎢ 0 1 ⎣2 3 0 2 ⎡ 0 ⎢⎢ 0 ⎣0 0 1

( 1)3 +1 −

1

→

−

∼

⎤ ⎥⎥ ⎦

( 4)2 +1 −

∼ 112 +3

1

−1

1

3

→

( 2)2 +4 −

1

→

4

→

0

⎤ ⎥⎥ ⎦ ⎤ 0 0 ⎥ ⎥ 0 ⎦

7 0 2 0 −8 0 4 0

0

( 2)1 +3 −

3

→

∼

2 0 0 0

dır. En son elde edilen sat ırca indirgenmi¸s matrisin gösterdi g˘i denklem sisteminde 3 =  seçilirse 1 = −2 ve 2 =  bulunur. Demek ki 1 1 + 22 + 3 3 = 0 e¸sitli˘gini do˘grulayan ve en az biri sıf ır olmayan 1  2  3 sayıları bulunabiliyor. Örneg˘in  = 1 için 1 =

−2

2 = 1 3 = 1

elde edilir. En az biri sıf ırdan farklı olan böyle 1  2  3 sayılarının bulunabilmesi, {1  2  3 } kümesinin lineer bag˘ımlı bir küme oldug˘unu gösterir. ¤

7.  = [ ]3

3

×

ve det  =

−2 olsun.

Determinant fonksiyonunun özelliklerinden yararla-

narak

determinant ın ı hesaplay ın ız .

¯¯¯ ¯¯¯ ¯

1  2 11 1 2 21 1  2 31

312

13 − 411

322

23 − 421

332

33 − 431

¯¯¯ ¯¯¯ ¯

Çözüm: Bir determinantın bir sütunu bir  sayısı ile çarpıldı˘gında determinant  ile çarpıl-

6


mı¸s olur. Buna göre

¯¯¯ ¯¯¯ ¯

1 2 11 1 2 21

312

13 − 411

322

23 − 421

1 2 31

332

33 − 431

¯¯¯ ¯¯¯ = ¯

1 2

¯¯¯  · 3 ¯¯  ¯

11 21 31

12 22 32

13 − 411 23 − 421 33 − 431

¯¯¯ ¯¯¯

yazılabilir. Bir determinantın bir sütununun bir  katı ba¸ska bir sütuna eklendi g˘inde determinantın deg˘eri deg˘i¸smez. Yukarıdaki determinantın birinci sütununun 4 katı üçüncü sütuna eklenerek 3 2

¯¯¯  ¯¯¯  

11 21 31

elde edilir.

¤

12 22 32

13 − 411 23 − 421 33 − 431

¯¯¯ ¯¯¯ =

3 2

¯¯¯  ¯¯¯  

11 21 31

12 22 32

13 23 33

¯¯¯ ¯¯¯ =

3 2 (−2) = −3

Lineer Cebir 1. vize Tobb Etü

Recommend Documents