Lineer Cebir - Ankara Üniversitesi Ders Notları (FULL)
Lineer Cebir - Ankara Üniversitesi Ders Notları (FULL)
Lineer Cebir - Yıldız Teknik Üniversitesi Ders Notları
Lineer Cebir - Yıldız Teknik Üniversitesi Ders NotlarıFull description
Lineer Operatörler ve Fonksiyoneller Fonksiyoneller Analizde pek çok problemde bir lineer uzayda tanımlı diğer bir lineer uzayda ( Muhtemelen aynı uzay) değerler alan lineer operatörlerin öz ön!ne alındığı alındığı olur" #rneğin$ #rneğin$ interal denklemler teorisinde ( Ax)( s )
%
&
a ( s$ t ) x(t ) dt
'eklinde tanımlanan biçimdeki A operatörleri ortaya çıkar" çıkar" u denklemde denklemde *&$% x*&$%
!zerinde s!rekli bir +onksiyon olarak ve x (t ) yi
+onksiyon olarak alıyoruz" u takdirde Ax in
s *&$%
a ( s $ t )
yi
!zerinde s!rekli bir
* &$%
in s!rekli bir +onksiyonu$ +onksiyonu$ dolayısı
ile Ax , C *&$% C *&$%
x
olduğu açıktır"-!nk! A +onksiyonu
!zerinde$ ba'ka bir s!rekli +onksiyona +onksiyona öndererek$
i'lem yapar$ yapar$ +onksiyonel analizde analizde yayın olarak olarak A ya$ mantıklı olarak$ bir operatör operatör deriz" x$ y C *&$% +onksiyonları
.nteralin /lineer0 özelliklerinden her
ve
$ skalerleri
için
A( x y) A( x) A( y )
anlamında A nın bir lineer lineer operatör olduğu ör!l!r" ör!l!r" -ok sayıda lineer operatör tiplerini bu böl!mde ve ilerki böl!mlerde özön!ne ala1ağız ( öl!m 2 de sonsuz matrislerle matrislerle tanımlanan lineer operatörleri in1eleye1eğiz)" in1eleye1eğiz)" 3imdilik bazı enel tanım ve özelliklerle ililene1eğiz" Lineer Operatör 4 $ 5 lineer uzaylar olsun" 6ğer her A( x%
oluyorsa
A , X
Y
x% 8 7
X
ve b!t!n $ skalerleri için
x 7 ) A( x% ) A( x 7 )
+onksiyonuna bir lineer operatör( denir" denir"
Lineer Fonksiyonel 6ğer
A , X
C
+onksiyonu bir lineer lineer operatör ise yani$ kompleks kompleks değerli bir lineer lineer
operatörse operatörs e A ya lineer +onksiyonel denir" ir operatör!n çekirdeği Ker ( A)
: x X , A( x )
9
k!mesine A operatör!n! op eratör!n!nn çekirdeği denir" ir lineer operatör!n çekirdeği çekirdeği 4 lineeer uzayının uzayının bir alt alt uzayıdır" uzayıdır" ;ot, iz 4 i çoğunlukla kompleks kompleks lineer olarak alıyoruz" alıyoruz" 6ğer 4 reel lineer ise bu takdirde bir lineeer lineeer +onksiyonel +onksiyonel 4 !zerinde reel reel değerli bir lineer lineer operatör olarak olarak tanımlanır" tanımlanır" #rnek <" (i) = !zerinde tanımlı b!t!n interal +onksiyonların uzayı > olsun" u takdirde
A( f ) f ?
ile tanımlanan
A , I I di+eransiyel
operatör! > dan > içine bir lineer
operatörd!r" Lineerlik t!revin bilinen özelliklerinden elde edilirken$
f ?
n!n interal +onksiyon
olduğu kolay1a ör!lememektedir" u durum ise tanım k!mesi !zerinde analitik olan +onksiyonların sonsuz di+eransiyellenebilmesi ile ilili bilinen kompleks deği'ken teoreminden elde edilir" (bkz" Ahl+ors$ =ompleks Analiz)" (ii) 6ğer yakınsak
x
ile tanımlanan A +onksiyonu c !zerinde bir lineer +onksiyoneldir" c
A( x) lim n x n
!zerinde ba'ka bir lineer +onksiyonel c deki her bir
B( x)
c ise bu takdirde
( x n ) dizilerinin uzayı
x
için mutlak yakınsak olan
%
n7 n %
serisi ile verilen
B , c
(iii) @enel bir
A , X
edilebildiği ibi
C
+onksiyonelidir" lineer operatör! (7) de
Y
&
koyarak kolay1a elde
özelliğine sahiptir" 4 deki ve 5 deki sı+ır arasında bir ayırım
A( )
yapmamamızdan dolayı hiç bir karı'ıklık ortaya çıkmaya1aktır" ;ormlu uzaylar !zerindeki lineer ve s!rekli olan operatörler özellikle ili çeki1idirler" !reklilik norm tara+ından verilen metrik s!reklilik olarak anla'ıla1aktır" öyle1e eğer her
& için x x&
oluyorsa
A , X
Y
A( x ) A( x & )
olduğunda
ye
x&
X
ola1ak 'ekilde bir
( x & $)
var
de s!reklidir denir" urada ve sonra 4 deki normu 5 deki
normdan ayırt etmememiz bir sorun çıkarmaya1aktır" ir normlu uzay !zerindeki diğer bir operatör tipi de aslında s!rekli lineer operatör olduğu ortaya çıkan sınırlı operatörd!r, ınırlı lineer operatör 6ğer b!t!n A( x )
x X
ler için
M x
ola1ak 'ekilde bir M sabiti varsa
A , X
Y
lineer operatör!ne sınırlıdır denir"
u sınırlılık tanımının sıradan bir kompleks +onksiyonun$ bir k!medeki b!t!n z ler için
f ( z )
M
olması 'eklinde tanımlanan$ sınırlılık tanımı ile aynı olmadığı ör!lmektedir"
Ayrı1a X deki b!t!n
x
ler için
f ( x )
M x
e'itsizliğini sağlaya1ak 'ekilde bir M
sabitinin var olduğu durumda X !zerindeki sınırlı bir
f
lineer +onksiyoneline sınırlıdır
dendiğine dikkat ediyoruz" #rnek B" #rnek < (ii) deki A +onksiyonellerdir" -!nk!$
x sup x n
ve B operatörleri c !zerinde sınırlı olduğunda her n doğal sayısı için
e'itsizliği sağlanır ve dolayısı ile c !zerinde
A( x ) lim x n x
x n x
olur" Ayrı1a$
%
B( x)
n7
n %
" x n
7
C
" x
dir" 3imdi s!rekli lineer operatörlerin bazı özelliklerini vere1eğiz" Deorem B" 4 $ 5 normlu uzaylar olsun ve
A , X
Y
bir lineer operatör olsun" u
takdirde a'ağıdakiler sağlanır, (i)
A nın oriEinde s!rekliliği A nın 4 !zerinde d!z!n s!rekliliğini erektirir"
(ii)
A nın 4 !zerinde s!rekli olması için erek ve yeter ko'ul sınırlı olmasıdır"
.spat" (i) A nın oriEinde s!rekli olduğunu kabul edelim" u takdirde olduğunda A( x
A( x )
y )
A( x )
olur" öyle1e$ A nın lineerliğinden$
A( y )
A( x )
M
y
olduğunda
olur"
(ii) #n1e A sınırlı olsun, 4 !zerinde x y
x
x
A( x )
olur" u takdirde
M x
olursa
A( y )
A( x
y )
M " x
y
olur" öyle1e A d!z!n s!rekli olur" 3imdi de A nın 4 !zerinde s!rekli olduğunu kabul edelim" u takdirde A +onksiyonu olduğunda
A( x )
%
ola1ak 'ekilde bir
da s!rekli olur ve dolayısı ile
(%)
vardır" erhani bir
x x
alalım" u takdirde x
7 x
x
7 x
7
olur dolayısı ile A(
7 x
x
7
x
)
A( x)
A( x)
%
7
A(
x
7
x
)
7
x
A( x)
olduğundan dolayı
olkur ki buradan da
%
x
elde edilir" 6ğer !zerinde
olur"
x
A( x)
ise bu takdirde 7
x
A( x )
A( )
olur" O halde A sınırlıdır"
5arı normlar için Deorem B (i) ye benzer bir sonuç vardır"
