Lineer Cebir - Ankara Üniversitesi Ders Notları (FULL)

1/2

= E ja k 1 2 ) k=1

ile taıumhdır. Bu norm, Hilbert uzay ında 1 2 metri ğini gerektirece ğinden 1/2

İ

d (p, q) = E

k=1

ak

— bk 1 2 )

ile tanımlanan d fonksiyonu 1 2 metri ğidir. Bu yüzden 1 2 uzayı bir metrik uzayıdır. 1 2 uzaymın tam oldu ğu gösterilebilir. Bu uzay aynı zamanda ayrılabilir Hilbert uzay ı (separable Hilbert space) olarak da adlarıdırılır. 2. Sonlu boyutlu Rn uzayı , iç çarp ım ve norm uygun biçimde tan ımlanmak üzere sonlu boyutlu gerçel bir Hilbert uzay ıdır. Benzer şekilde Cn uzayı da sonlu boyutlu karma şık Hilbert uzayıdır. Bilindiği üzere Öklid uzay ı ve karma şık Öklid uzayı adını alan bu sonlu boyutlu Hilbert uzayları 1 2(n) ve U n (ya da yine 1 2 (n)) ile gösterilir. 3.

I = [a, b aral ığı üzerinde

S' If

(X

) 1 2 dx < cx)

şeklinde karesi integre edilebilen bütün fonksiyonlar uzaya L2 (a, b) ya da kısaca L2 ile gösterilir. Bu uzay da ilgiye de ğer önemli bir Hilbert uzayıdır. Bu fonksiyonlar uzayında iç çarp ım ve norm sırasiyle 112


f(x) g(x) dx

=

a' ve VI]

» j. 1f (x) 1 2 dx

1/2

1/2

a

ile tanımlıdır. Son derece yararl ı ve ilginç iç çarp ım uzayları, iç çarpımın bir integral ile tanımh olduğu fonksiyonlar uzayıdır. İç çarpım uzayları ile son derece yakı ndan ilgili olan Fourier seriberi teorisinde ortaya ç ıkan tam ortonormal alt cümlelere ili şkin iki örnek verelim:

e

[0,271 uzayında iç çarp ım 2n

x(t) y(t) dt o ile tammlamrsa bir gerçel iç çarp ım uzayı elde edilir. =

Bu uzayda 1

x,(t) =

1

x n(t) =

c osnt, y n(t). =

1/I1

1 1/Tc

s nnt, n = 1, 2, ...

şeklinde tanımlanan fonksiyonlar cümlesi, yani x 0, x ı , x2,... ve yı , y2,... den oluşan cümle bir tam ortonormal cümledir. Benzer olarak [0,27c] aralığında karma şık değerli fonksiyonlar, yani

e ([0,27,], C) uzayında iç çarpım 27r

=

o

x(t) y(t) dt

ile tanımlan ırsa bir karmaşık iç çarp ım uzayı elde edilir. Bu uzayda

un(t) =

1

eint, ıı. = O, + 1, 12, ...

'\/'2

şeklinde tan ımlanan fonksiyonlar cümlesi yine bir tam ortonormal cümle oluşturur.

113

Yeri gelmişken önemli bir durumu vurgulamada yarar vard ır. w pozitif değerli belli bir sürekli fonksiyon olmak üzere e [a, b] uzaymda
y> =

f b w (t) x(t) y(t) dt

aJ

şeklinde daha genel bir iç çarp ım tarumlanabilir. Bu iç çarp ımın SturmLiouville problemlerinin öz fonksiyonlarının incelenmesinde büyük önemi vardır. Şimdiye kadar pozitif definit iç çarp ımh lineer uzaylar üzerinde durduk. Bununla beraber bu kesimin ba şında bir iç çarp ımın kesinlikle pozitif definit olmas ı gerekmedi ğinden de söz etmi ştik. Böylece şimdi de aşağıda pozitif definit olmayan iç çarp ımlar ve bunlara ili şkin genel ortogonal bazlar üzerinde duraca ğız. V, bir iç çarpımlı K cismi üzerinden sonlu boyutlu bir lineer uzay olsun. Bu iç çarp ımın pozitif definit olması gerekmez, çünkü V, R üzerinden olsa bile böyle iç çarp ım örnekleri vardır. Örneğin, (x 1 , x2) ve y = (y i , y2) vektörlerinin iç çarp ımı = x ıY ı x2Y2 şeklinde tamıxılanabilir. Buradan = x2 1 — x22 olur. Böyle çarp ımlar bir çok uygulamalarda karşımıza çıkarlar. Örneğin fizikte 4 boyutlu uzayda x = (x, y, z, t) şeklinde vektörlerin çarpımına ilişkin işlemlerde

= x2 + y

z2 t2

olarak alınır. Aşağıda ortogonal bazlara ili şkin teoremlerin nas ıl su üstüne çıkarılabileceğini görece ğiz. V, iç çarpı mh K cismi üzerinden sonlu boyutlu bir lineer uzay olsun. W bir alt uzay ise, V nin genel olarak W ve Wi ın doğrudan toplam ı olduğu daima doğru de ğildir. Gerçekten = 0 olacak ş ekilde V de sıfırdan farklı vektör olabilir. Örne ğin karmaşık sayılar üzerin.den.(1, i) e C2 vektörü böyle bir vektördür. [Ancak W, V nin bir alt uzayı ve V de bir iç çarp ım pozitif definit ise V,W ile W-1nin doğrudan toplamıdır, yani V = W C) Wl d ır (Ahştırma 25)]. Bununla beraber bir ortogonal bazm varl ığı hakkında teorem keza do ğrudur ve sözü edilen bu teoremi a şağıda uygun bir de ğişiklik ile ispatlayacağı z. Bunun için bazı uyarılarda bulunahm. Öncelikle V nin her u 114

eleman için = 0 oldu ğunu varsayalım. Bu durumda bu iç çarpıma sıfır iç çarptm ve V de sıfır uzay adım alır. Bunun nedeni V de her v, w için = 0 olma zorunlu ğudur. Gerçekten = [ — 1 yazılabilir. Varsayım nedeniyle bu e şitliğin ikinci yanı sıfıra eşittir. Bu durumda V nin herhangi bir baz ı bu tanım nedeniyle bir ortogonal bazdır. TEOREM 4.6.5. V, K üzerinden sonlu boyutlu bir lineer uzay olsun ve V nin bir iç çarpıma sahip olduğu varsayahm. V

0 } ise V bir ortogonal baza sahiptir.

Ispat: Bu teoremi, V nin boyutu üzerinden tüme var ımla ispatlayacağız. V bir boyutlu ise bu durumda V nin s ıfırdan farklı herhangi bir eleman, V nin bir ortogonal baz ıdır, böylece bu belirgin bir durumdur. Şimdi dim V = n > 1 oldu ğunu varsayalim. Buna göre iki durum ay ırdetmek gerekir. DURUM 1. Her u e V için = 0 d ır. Bu durumda zaten V nin herhangi bir baz ının bir ortogonal baz oldu ğunu gördük. DURUM 2. 0 olacak şekilde V nin bir v 1 eleman]. vardır. Bu takdirde pozitif definit durumda kullan ılan aynı Gram-Schmidt ortogonal şekle getirme yöntemi uygulanabilir. Gerçekte ispatlayaca ğız ki 0 olacak şekilde v 1 , V nin bir eleman ve Vi de v i tarafından gerilen 1 boyutlu uzay ise V, V i ve V

i ın do ğrudan

toplamıdır. v e V ve c de her zaman oldu ğu gibi c

==.
vi >

şeklinde olsun. Bu durumda v-cv 1 , Vi de bulunur ve buradan v = (v ev i )

ev i

ifadesi V nin, V i ile Vil ın toplamı olduğunu gösterir. Ayrıca bu do ğrudan bir toplamdır, çünkü V i il Vi, Vi ın bir alt uzayıdır ve V i e eşit olamaz (çünkü < v i , v i > 0) ve buradan V i bir boyutlu olduğundan [0} belirgin uzay olmak zorundad ır dim Vi < dimV olduğundan, viı uzayın" ele alarak tüm i şlem yinelenebilir, ba şka bir deyimle tüme varım uygulanabilir. Böylece V i ın, diyelim {v2,..., vn } şeklinde bir ortogonal baz ı bulunur. Buradan {v i ,..., v n } nin V nin bir ortogonal bazı olduğu anlaşılır.

115

ÖRNEKLER 1. R2 de x = (x i , x2) ve y = (y ı , Y2) olsun. Bu iki vektörün < x, Y>= x ıYı — x2Y2

çarpımım tammlayahm. Buna göre (1, 0) ve (0, 1) keza bu çarp ım için bir ortogonal bazd ır. Benzer olarak (1, 2) ve (2, 1) vektörler cümlesi de bu çarpım için bir ortogonal bazd ır. Bununla beraber ikinci cümle adi ya da do ğal iç çarp ım için bir ortogonal baz de ğildir. 2. ıl = (1,2,1) ve v = (1,1,1) vektörleri taraf ından gerilen R 3 ün alt uzayı V olsun. x = (x ı , x2 , x3 ) ve y = (y ı , y2 , y3 ), R3 de vektörler ise onların çarpımını = x ıYı — x2Y2 x3Y3 olarak tanımlıyahm. Bu çarp ıma göre V nin bir ortogonal baz ıııı bulmak istiyoruz. = — 4 0 oldu ğundan vi = u olsun. Buna göre



c

1

olmak üzere v ortogonalle ştirilebilir. Buradan v 2 = v — u olur. O halde verilen çarp ıma göre {v ı , v2 }, V nin bir ortogonal baz ıdır.

ALIŞTIRMALAR 1. V, R ya da C üzerinden lineer uzay olmak üzere her v, w E V için iç çarpımdan hareketle

(a) w> I < Ilv liğinin varlığını ispatlaymız? (b) patlayınız?

w

II

Cauchy-Schwarz-Bunyakovski e şitsiz-

Minkowski eşitsizliğinin varlığını is-

2. (1,1, -- 2,3,4,5) ve (0,0,1,1,0,7) vektörlerine dik R 6 nin alt uzayının boyutunu bulunuz? 3. (1,1,0,0), (1, — 1,1,1) ve (-1,0,2, 1) vektörleri ile geriden R 4 ı için bir ortonormal baz bulunuz ? ünaltuzy 4. (1,2,1,0) ve (1,2,3,1) vektörleri taraf ından gerilen R4 ün alt uzayı için bir ortonormal baz bulunuz? 116

5. (1,-1,-i) ve (i, 1,2) vektörleri taraf ından gerilen C 3 ün alt uzayı için bir ortonormal baz bulunuz? 6. u = (a ı ,...,, a n) v = (b ı ,..., b n) olmak üzere Rn uzay ında = a ı b ı a nb n şeklinde tanımlanan adi çarp ımın üzerinde bir iç çarp ım olduğunu ispatlayınız? Ayrıca dejenere olmad ı ğını ve pozitif definit oldu ğunu gösteriniz? 7. u = (z ı) ve v= (w ı) olmak üzere C" uzay ında = z ı wı ... z nw n ş eklinde tanımlanan adi çarp ımın Cn üzerinde bir iç çarpım olduğunu ispatlaymı z? Dejenere olmad ığını ve pozitif definit olduğunu gösteriniz? 8 . V = e [a, b ], R) ve f, g EV olmak üzere = f(t) g(t)dt (

ile tanı mlanan iç çarp ımın V üzerinde bir iç çarp ım olduğ unu ispatlarınz ? Ayrıca dejenere olmad ığını ve pozitif definit oldu ğun- u gösteriniz? 9. V -= e [a, b ], C) ve f, g E V olmak üzere -= f(t) g(t) dt a' (

ile tanımlanan iç çarp ımın V üzqrinde bir iç çarp ım olduğunu ispatlaymız? Ayrıca dejenere olmad ığım ve pozitif definit oldu ğunu gösteriniz ? 10. [O, 1] aralığı üzerinde sürekli gerçel de ğerli fonksiyonlar ın neer uzayının bir alt uzayı 1, t, t 2, t3 fonksiyonları tarafından geriliyor. Bu uzay için bir ortonormal baz bulunuz? 11. M, transpozesine e şit bir nxn karesel matris olsun. X, Y n bileşenli kolon vektörleri ise = XT MY dönüşümünün IP1, IP2, IP3 özeliklerini sa ğladığını gösteriniz? Dördüncü özeli ği sağlamayan bir 2x2 türünde M matris örne ği veriniz? 12. R üzerinden nxn matrislerin V lineer uzay ında herhangi iki A, B matrislerinin = iz (AB) ş eklinde tanımlanan çarp ımının iç çarp ım özeliklerini sa ğlad ığın ı ve ayrıca dejenere olmad ığını gösteriniz (iz A = A n ın köşegen elemanlarının toplamıdır)? 13 . [ — ,

TC,

n] üzerinde sürekli gerçel de ğerli fonksiyonlarm V li7C

neer uzayı üzerinde iç çarp ım =i f(t) g(t) dt ile tan ımlanıyor.

117

cost, cos 2t, sint, sin 2t,...} cümlesinin, V nin bir ortogonal alt cümlesi olduğunu gösterin iz? 14. [0, 7 üzerinde sürekli gerçel de ğerli fonksiyonlarm V lineer uzayı üzerinde iç çarp ım Alıştırma 13 deki gibi olmak üzere 1, cost, cos2t, cosnt,... cümlesinin V nin bir ortogonal alt cümlesi (ya da V üzerinde bir ortogonal cümle) oldu ğunu gösteriniz? 15. [0, Tc] üzerinde sürekli gerçel de ğerli fonksiyonlarm V lineer uzayı üzerinde iç çarp ım Alıştırma 13 deki gibi olmak üzere sint, sin2t, ..., sinnt cümlesinin V nin bir ortogonal alt cümlesi (ya da V üzerinde bir ortogonal cümle) oldu ğunu gösteriniz? ,

16. u, v i , v2, e V ve a,b e C olmak üzere < u, av a

bv2 > =

a < u, v i > -I- b olduğunu gösteriniz? 17. u = (x i , x2) ve v = (y i , y2) olmak üzere = x ıY ı — x1Y2 x2Y ı 3 x2y2 çarp ımının R2 de bir iç çarp ım olduğunu gösteriniz ? 18. Aşa ğıda belirtilen iç çarp ımlara göre verilen u, v vektörleri tarafından gerilen R 3 ün alt uzay ı= ortogonal bazlar ını bulunuz? (a) u = (1,1,1), v = (1, —1, 2); = x iyi

2x2y 2

(b) u = (1, ---1, 4), v = (-1, 1, 3); = x ıYı

x3y3

3x2Y2

x 1 y3 -+ yıx3 — x 3y2 — x2y3 19. Aşa ğıda belirtilen iç çarp ımlara göre C üzerinden C 2 uzayı için bir ortogonal baz bulunuz? (a) = x ıYı (b) = xiy2

ix2Y1 x2y i

ixı Y2 — 2x2y2 4xiy i

20. u, v ye ortogonal ise u nun her skaler kat ınm keza v ye ortogonal olduğunu gösteriniz. R 3 de v i = (1,1,2) ve v 2 = (0,1,3) vektörlerine ortogonal bir birim vektör bulunuz? 21. u = (1,2,3, —1, 2) ve v = (2, 4, 7, 2, —1) ile gerilen R3 ün alt uzayı W olsun. W nin Wi ortogonal tümleyeninin bir haz ım bulunuz? 22. C 3 deki adi çarp ıma göre v i = (1, i, 0) ve v2 = (1, 2, 1—i) ile gerilen C 3 ün W alt uzaymın bir ortonormal haz ım. bulunuz? 118

23.

{u / ,..., un } ortonormal cümlesinin lineer ba ğımsız olduğunu ve her v E V için w = v — Uı — U2 — — ur i ye ortogonal oldu ğunu gösteriniz? vektörünhbiu 24. W, V iç çarpım uzayının bir alt uzayı olsun. V nin bir ortonormal hazırım bir parças ı olan W nin bir ortonormal bazınm var olduğunu gösteriniz ? 25. W, pozitif definit iç çarp ımlı bir V iç çarpım uzayınm bir alt uzayı olsun. Bu durumda V = W

W1 olduğunu gösteriniz?

119

5. Bölüm

MATRİSLER VE L İNEER DENKIEM SİSTEMLER İ 5.1. GIRI Ş Bu bölümde matrisler, determinantlar ve bunlar ın lineer cebirsel denklem sistemleri ile olan ili şkileri üzerinde durulacakt ır. Liııeer cebirsel denklem sistemleri bilim ve mühendislikte s ık sık ortaya ç ıkarlar. Bazan bir sistem, bir fiziksel durumu tan ımlayan bir matematiksel modeldir. Örne ğin, ş ekil 5.1.1. de gösterilen yainy ı gözönüne alal ım Böyle bir yap ın ın A noktas ına diyelim 20 tonluk bir yük uygulandığında yapının çeşitli üyelerindeki denge kuvvetlerini arayal ım.

Sekil

5. 1. I

Yapının çeşitli kısımlarındaki yükün dağılımmı incelemek için Şekil 5.1.2 yi kullanal ım: f1 ve f2 kuvvetleri, büyüklükleri s ırasiyle ficos45 ve f2cos30 olan dik bileşenlere sahiptir. Bu iki kuvvet 20 tonluk yükü dengeleyece ğinden f1 ve f2 , f1 cos45 4- f2cos 30 = 20 e şitliğini sağlamak zorundad ır. f2 ve f4 ün dik bileşenleri B noktas ında dengelenmesi gerekir: 120

Al

Ş ekil 5.1.2 f4 = f2co5n Aynı şekilde fı ve f5 in dik bileş enleri noktas ında dengelenmesi gerektiğinden f5 = f1 cos45 dır. Öte yandan f1 ve f2 nin B ve C deki yatay bile şenleri de f3 tarafına., dengelenmesi gerekti ğinden f3 = f1 sin45 f3 = f2sin30 dır. Bu çözümleme sonucunda f 1 ,f2,f3 ,f4 ,f5 kuvvetlerinin a şağıdaki sistemi sa ğlaması gerekti ği anlaşılır: f1cos45

f2cos30 = 20

f2cos30 = 0 f1 cos45 — f5 = 0 f1 sin45 — f3 = 0 f2sin30 — f3 = 0 Bu sistem, bir lineer cebirsel denklem sistemidir. Daha çok üyeli benzer yap ılar, bizleri daha çok bilinmiyen ve daha çok denklem kapsayan sistenılere götürür. Dahas ı lineer sistemler, diferensiyel denklemleri kapsayan bir matematiksel modeli çözmede kar şılaşılan ikinci derece bir problem olarak ortaya ç ıkarlar. Sistem, yakla şıklıklar sonucu olabilir, analitik çö121

zümde zorunlu bir basamak olarak ortaya ç ıkabilir ya da başlangıç şartları sağlanacak biçimde isteksel sabitlerin belirtilmesinde ortaya ç ıkabilir. Böylece sistemler, uygulamalarda çok geni ş biçimde ortaya çıktıklarından onlar için uygun gösterim ve elde edilebilir uygun hesaplama araçlarına sahip olmanın büyük yararları vardır. Bu nedenle matris cebiri ile işe başlanarak, lineer cebirsel denklem sistemlerinin çözümlerini bulmada, çözümlerin ay ırdedici nitelilderini anlamada etkili matris yöntemleri üzerinde durulacakt ır. 5.2. MATRİ S GÖSTERİMİ Matris, yatay sat ır ve dik koloıllarla dizilen elemanlar ın bir dikdörtgensel düzenidir. m satır ve n kolonlu bir matris

an 8.01

a12 a22

• • • • nın • ... a2 n

;m ı

am2 •

A

(I

. . . amn

biçiminde gösterilir. A matrisi, sat ır boyutu daima önce yaz ı lmak üzere mxn basamağına sahiptir denir. Elemanların ikili alt indis gösterimi, genel bir matrisin elemanlarını etkili bir biçimde incelemeye olanak sa ğlar. aij elemanmda alt indisler, s ırasiyle eleman ın bulunduğu satır ve kolonu gösterir. (i, j) s ıralı çifti aii elemanm ın yeri (adresi) adını alır ve aii de A nın (i, j) konumundaki elemanıdır. aii eleman ımn satır indisi i ve kolon indisi j dir. İki matris, ayn ı boyuta ve her bir konumda ayn ı elemana sahip ise eşit matrisler adını alır. Satır ve kolon sayısı ayni olan matris, karesel matristir. Örneğin: 3x3 biçiminde bir karesel matris, üçüncü basamak-

tan karesel matris olarak adland ırılır. Öte yandan, örne ğin M = (5, 1, 2 O) ,

matrisi lx4 basama ğma sahiptir ve dördüncü basamaktan bir satır matrisi olarak tanunlamr. Bir sat ı r matrisinin elemanlarını göstermede genel olarak ikili alt indis kullan ılması gerekmez. n yinci basamaktan bir satır matrisinin do ğal gösterimi R -= (r i , r2 ,..., rn) 122

dir. ri ler R'nin bıleşenleri ve n de R satır matrisiain. boyutu'dur. Bir boyutlu vektörler skaler adını alır ve bunlar analizin do ğal nicelikleridir. Kolon biçiminde, örne ğin —3 C = ( 21 5 \ matrisi 3x1 basama ğına sahiptir ve 3 üncü basamaktan bir kolon matrisi olarak tanımlanır. Satır matrislerinde oldu ğu gibi, m yinci basamaktan bu kolon matrisinin elemanlarını göstermede yine sadece birli alt indisler kullanılır:

TANIM: 5.2.1. Bir A matrisinin köşegen elemanları, eşit satır ve eşit kolon indisli a ii , a 22 , a33 ,... elemanlarıdır. Karesel bir D me.t risi, şegen üzerinde olmayan bütün elemanlar ı sıfır, yani i j için aijkö 0 ise bir köşegen matris adını alır. Bir köşegen matriste köşegen üzerindeki elemanlar genel olarak a n , a22,..., ann ise, bu köşegen matris yer kazanmak bak ımmdan D = pg (a i ı , a22,• • • , ann) ile gösterilir. Alt üçgensel elemanların hepsi sıfır olan bir karesel matrise üst üçgensel matris, üst üçgensel elemanların hepsi sıfır olan bir karesel matrise alt üçgensel matris denir.

Alt üçgensel elemanlar,

4-o'•

Üst üçgensel elemanlar ,

(

Oi , İ < j

a i j , i >j

Ş ekil 5. 2. I 123

Örne ğin,

7 N = (O O

3 0 O M— ( 2 4 O ) —5 0 —2

3 —5 ) 0 —10

matrisleri sırasiyle üçüncü basamaktan bir alt üçgensel ve bir üst üçgensel matrislerdir. Kö şegen üzerindeki ve alt ındaki bütün elemanlar sıfır olan bir karesel matris kuvvetli üst üçgensel matris adını alır. Benzer tanım kuvvetli alt üçgensel matris için geçerlidir. Matrisler büyük harflerle, elemanlar ı küçük harflerle gösterilecektir. Bir matris, bir tek harften daha kar ışık bir ada sahip ise, yani Dg(3,7, —2) biçiminde ise, onun adı daima büyük harf ile ba şlayacakt ır. Bir matrisin biçimini belirtmek gerekli ise, do ğrudan Amxn şeklinde matrisin adının altına yazılacaktn. Bir büyük harf, diyelim A bir matrisi gösterirse bu durumda buna karşılık iki indisli kiiciik harf, A n ın bir elemanını gösterecektir. Karışık adli matrisler içi,. A nın (i, j) komnumundaki elemanım göstermek için entij(A) = aij g.5sterimini kullanmak uygun olacakt ır. Buna göre ilerde gözönüne alınabilecek A (2B -I- 3C) gibi bir matrisin (i, j) konumundaki eleman ı, M = A (2B 3C) olmak üzere entij(A (2B -I- 3C)) = mij ile gösterilecektir. Her eleman ı sıfır olan matris,

sıfır matrisidir ve 0 ile gösterilir.

Verilen bir M matrisinden, M nin belli elemanlarını çıkarmakla elde edilen matrisleri gözönüne almak yararl ı olacaktır. TANIM 5.2.2. M matrisinin bir altmatrisi, M den belli satır ve /ya da kolon.larmı çıkarmakla elde edilen bir matristir. rxc biçiminde bir M matrisinin baz ı önemli altmatris çe şitleri şunlardır: 1. Rowi (M) =--- (mii , mi2,•••, Lut e), M nin i yinci satırı (1/4 mı / M21

2. Colj(M) =

, M nin j yinci kolonu

mri / 124

3. M nin i yinci sat ır ve j yinci kolonunu ç ıkarniakla elde edilen M nin r-lxc-1 biçimindeki altmatrisi, M nin (i,j) konumunun minörü adını alır ve Minii(M) ile gösterilir. Örneğin, 1 2 3 4 5 6 7 8 ) ( 9 0 1 2

A matrisi için

3 Row2 (A)

(5,6,7,8), Col 3 (A) = il 3 4\ , min.34 (A) =

Minn (A)

1 2)

71 ) 2 3\ (5 6 7/

dir. Yukarda karşılaşılan üç özel altmatris çe şidi sık sık karşılaşılan matrisler olmakla beraber bazan bir M matrisini alt matrislere bölme son derece yararl ı olur. Örne ğin, m11 M12 m21 M22 m 31 m32 111 41 m42

1 M 13 I m 14 m15 I m23 E m24 m25 I m33 1 m34 m35 1 m43 I m44 m45

M11 M12 M13) (

M21 M22 M23

gibi. Böyle matrislere bölmeli matrisler ya da blok matrisleri denir. Uygulamalarda s ıkça karşımıza çıkan bölmeli matrislere ilişkin iki özel durum ilgiye de ğer niteliktedir. Örne ğin, (1 2; 0 0 0 B =

7-41000

‘B11

OO1 O0]9411 OO1O20

\O B22/

( 1 2

3 2 -7 , (9 4 11

7 -4

O2O

Dg

Dg (Bil, B22)

ve 125

4 —5 7 j —I 2)

6 2 4

T =

80

O 001 2 —1 OOO! 4 3

i Ti ı Tİ,\

ko

T22 /

(

gibi. B matrisi blok kö şegen ve T matrisi de blok üst üçgensel olarak tammlamr. Şimdi ş öyle bir soru akla gelebilir. Matrisler nerede kar şımıza çıkarlar? Böyle bir sorunun cevab ı modern inceleme bakımından oldukça fazla sahadan verilebilir. Şimdilik bu soruya bu bölümün kapsam ına uygun üç cevap gözönüne alalım: 1. Lineer cebirsel denklem sistemleri 2. Birinci basamaktan lineer diferensiyel denklem sistemleri 3. Analitik geometri ve /ya da vektör cebiri Cebirsel problemlerde s ık sık karşılaşılan, diyelim 2x-3y+ 6z =5 4x-F2y-7z =--12 sistemini gözönüne alalım. Bu sistem, sisteme ili şkin matrisler A

=_-

(2 —3 6 \ k4 2 —7)

Katsayılar matrisi

( 5 K

X

12 )

y

Girdi matrisi

, Çıktı matrisi 2 —3 6 I 5

(A:K) =

, Eklemeli matris 4 2 —7 112 )

olmak üzere AX = K biçimindedir. Yukardakine benzer sistemler, do ğal ve toplumsal bilimlerin tüm alanlarında karşımıza çıkar. Do ğal bilimlerde böyle denklemler genel olarak kararl ı durumları gösterirler. Birinci basamaktan lineer diferesiyel denklem sistemlerine ili şkin bir örnek olarak 126

x 1 '(t) - 3x2'(t) = 4x 1 (t) - 2x 2 (t) 2x 1 '(t)

5x2'(t) = 3x 1 (t)

sin 3t

7x2 (t) + 3

sistemini gözönüne alalım. Bu sistemi ve x 1(0) = 3, x2(0) = 0 başlangıç şartlarını sağlayan x 1 (t), x2(t) fonksiyonlarını ara dığımızda aşağıdaki matrisler kar şımıza çıkar: A =

(4 -2 , B = 3 7

(1 -3

Katsayı matrisleri

2 5

X (t) .= ( xl(t) ) X'(t) -= ( xl:(t) Çıktı matrisi ve çıktı x2 '(t)) matrisinin türevi x2(t) X (0) ( O3 ) F(t) -=

(sin3t)

başlangıç durum matrisi

Girdi matrisi ya da kuvvet fonksiyonlar ı matrisi

3 Buna göre yukardaki sistem BX'(t) = AX (t) + F (t); X (0) = (3,0)T biçiminde bir matris denklemi olarak yaz ılabilir. Birinci basamaktan lineer diferensiyel denklem sistemleri, uygulamalı bilimlerde büyük öneme sahiptir. Örne ğin, fiziksel sistemlerin davranışlarının incelenmesi, kimyasal ve ekonomik bir çok problemler karşımıza bu tür bir sistemi çıkarır. Herhangi basamaktan diyelim 2 ya da 3 üncü basamaktan bir satır matrisi, 2 ya da 3 boyutlu uzayda bir noktamn koordinatlar ı olarak yorumlanabilir. Orijinden ç ıkan vektörlerle, o vektörün uç nok , ı arasında bire bir ilişki olduğundan, örne ğin 3tas=kordinl boyutlu uzayda vektörler ile 3 üncü basamaktan sat ır matrisleri arasında bire bir ilişki vardır. R =(ri, r2, r3) ve S =(s i , s2 , s 3) bu biçimde yorumlanır ve vektör cebirinin bilinen sonuçları kullamlirsa

R+S= (ri -1-

82,

r2+ 8 2, r3 + s 3)

R.S = ro l + r2s2 + r3s 3 127

aR = (ar ı , ar2, ar3) IR = ,N/ R.R = ,\/ r 1 2 + r22+ r32 (gerçekte R nin normu) dır. Satır matrisleri için belirtilen toplam, elemanter fizikte paralelkenar yasası olarak bilinir Vektörlerin toplam ı, nokta gösterimi ile kolaylıkla anlaşılır. Şekil 5.2.2 de görüldü ğü üzere R =(r ı , r 2) ve S =(s 1 , s2) ise karşılık gelen koordinatlar toplanmak üzere

Şekil 5.2.2. T = R

S = (r ı ,

sı,

r2

s2)

t2)

dir.

Uç boyutluya uygulandığında paralelkenar yasas ının incelenmesi, tamamen aynı tür sonuçların geçerli oldu ğunu gösterir.

R=

(rı , r2, r3), S = (s ı , s2, 83)

ise T

t2, t 3) = R + S = (r ı

s1, r2

s2, r3

s3)

dür. Vektörlerin toplam kavram ı , bir vektörü bile şenlerine ayırma düşüncesini ortaya getirir. R = (r ı , r2) , R ı = (r ı , O) , R2 = (O, r2) vektörlerini gözönüne alalım. Burada R 1 , x 1 ekseni üzerinde ve uzunlu ğu I R ı I olan bir vektör, R2 de x2 ekseni üzerinde ve uzunlu ğu R2 I olan bir vektördür Buna göre 128

R = R ı + R2 = (r ı , 0) -I- (0, r2)

(r i , r2)

R 1 ve R2 vektörlerine, koordinat eksenleri boyunca R nin vektör bileşenleri denir. Daha yüksek boyutlu uzaylarda geni şletilebilecek olan bir vektörü, koordinat eksenleri boyunca onun vektör bile şenlerine ayırma kavram ı yerine göre oldukça yarar Sa ğlar. Bir skaler ile çulıma kuralı uygulan ırsa R 1 =(r 1 , 0) = r 1 (1,0),

R2 (0,r2) = = r2(0,1) ve buradan R = (r i , r2) = r 1 (1,0) r 2 (0,1) dır. (1,0) ve (0,1) sırasiyle x ı ve x2 eksenleri üzerinde uzunluklar ı 1 olan vektörlerdir. Bu vektörler birim vektörler ad ını alır ve E 1 , E2 ile gösterilir. r i ve r2 sayıları , R nin x 1ve x2 ekseni boyunca skaler bilesenleri'dir. Benzer olarak üç boyutlu uzayda R =(r 1 , r2 , r3 ) vektörü R =(r 1 , r2 , r3) = r 1 (1,0,0)

r2(0,1,0)

r3(0,0,1)

= rl E i + r2E 2 + r3E 3 biçiminde yazılabilir. Buradan bir düzlemde herhangi bir vektör, E i = (1,0), E2 = (0,1) biçiminde iki birim vektörün ve üç boyutlu uzayda herhangi bir vektör E i = (1,0,0), E2 = (0,1,0), E 3 = (0,0,1) biçiminde üç birim vektörün skaler ile çarp ımlarmın toplamı olarak yazılabilir. R. S iç çarpımı önceden bilinen bir gerçektir. Geometrik görü ş açısından iç çarpım tabii olarak 0, R ile S vektörleri aras ındaki açı , (R , R vektörünün uzunlu ğu olmak üzere R.S = IR ISI cos0 ile tammlamr. R ve S vektörlerinin dik olmas ı, R.S = 0 olması ile eş değerdir. Bundan başka 1 R I = VR.11 analitik geometride bilinen uzunluk formülüdür. a R vektörü de uzunlu ğu a ile çarp ılan ve a > 0 ise R ile aynı yönde a < 0 ise R ile ters yönde olan bir vektördür.

ALIŞTIRMALAR 1.

A=

1 12 ( 4

—2 0 2

3 7 6

5 —3) 17

matrisi gözönüne al ınıyor. (a) Anın basamağı nedir? (b) A nın (2, 3) ve (3, 4) konumundaki eleman]. nedir?

129

(e) -2,6 ve 5 nin adresi nedir? (d) A nın köşegen elemanlar ı nedir? (e) A nın üst üçgensel elemanlar ını belirtiniz? (f) Row2(A), Co13(A), Min22(A), Min24(A), Row ı (min ı3(A)) yı yazınız ? (g) A nın kaç tane 3x3 ve kaç tane 2x2 böçiminde altmatrisi vardır? (h) ent 33 (A), ent 12(A), ent22(A) yi bulunuz? 2.

2 (-2o

A

0 16 9 1 17 3 9 5

7

11 6 -1 4

matrisi içi n Alıştırma 1 deki soruları cevaplay ınız? 3. 4x4 biçiminde kö şegen olmaya n ancak blok kö ş egen olan bir matris yazınız? 4. 4x4 biçiminde üst üçgensel olmayan ancak blok üst üçgensel olan bir matris yaz ınız? 5 Aş ağıdaki matrisleri tam olarak yaz ınız? (a) D 1 = Dg(3, —5, 2, 6)

(b) D2 = - 5 ,

İ2

o\

(1 2

kı

21

0

0 2 1

O O) 2

(

(e) ent 32(D2), ent 55 (D2) yi bulunuz? 6. Aşağıdaki lineer denklem sistemlerini, gerekli matrisleri belirterek bir matris denklemi olarak yaz ımz? (a) x

y + z =-- 4

2x + y — 3z = 6 (b) 3x 1 + 2x2 + 16x3 + 5x4 = 1 2x2 + 10x3 + 8x4 = 4 x ı + x2 + 7x3 + 3x4 = 1 (c) Y ı = 7 Y2 = 12 3 Y1 Y2 + Y3 = 19 —4Y ı 6y ı + 3Y2 + 3y4 = 0 130

(d) 2x i + x2 -I- 5x 3 + x4 = 5 x i + x2 - 3x3 - 4X4 = -1

3X İ

6x2 - 2x3 + X4 = 8

2x i

2x2

(e) Yı i (t) 3y' i(t)

2x3

3x4 = 2

2y' 2 (t) = 12Yi(t) — 5y2(t) 3e- t 2(t) 4e- t 2y' 2(t) = 30y ı (t) — 12y

(f) x' / (t) — 3x' 2(t) = 4x i(t) — 2x2 (t) 2x' ı (t) (g) 3x' i(t)

2x'2(t) x' ı (t)

5x'2(t) = 3x i (t) + 7x2(t) 2x' 2 (t)

15x' 3 (t)

sin3t 3 5x4(t) +e-3t

5x'4(t) = 2x i(t)

10X3(t) + 8X' 4(t) = 4X ı (t) + 2x3(t) x'2(t)

7x'3(t)

sin3t

3x'4 (t) = 8x i (t) — 3x 2(t)

7. Hangi tür katsayı matrisleri için m denklem ve n bilinmiyenden oluşan bir sistemi çözmek daha kolayd ır, açıklaymı z? 5.3. MATRİ SLER ÜZERINDE AR İ TMETİ K I ŞLEMLER Bu kesimde matrislere ili şkin toplam, bir skaler ile çarp ım ve çarpım denen üç aritmetik i şlem üzerinde durulacakt ır. Bu işlemler her ne kadar do ğal aritmetik ile (lx1 durumu) belli özelikleri payla şıyor iseler de ayn ı zamanda belli ayrıcalıkları da içerirler. Matris toplamı çok basit bir i şlemdir. Ayn ı biçimde iki matrisin toplamı, karşılık olarak gelen elemanlar ı toplamakla elde edilir. TANIM 5.3.1. A ve B matrisleri mxn biçiminde ise, onlar ın A+B

toplamı, i = 1,2,..., m ve j = 1,2,..., n için entii(A

b) = entii(A)

entii(B) = aij

bıi

eşitliğini sa ğlayan mxn matrisidir. İlgiye de ğer durumları belirtmede yarar vard ır: 1. Matris toplamı, sadece aynı basamaktan matrisler aras ında tanımhdır ve aynı basama ğa sahiptir. İki matrisin toplam ı tanımh ise, onlar toplama göre uygundur denir. 2. mxn biçiminde iki matrisin toplamı bir diğer mxn matrisidir. Buna göre bütün mxn matrisleri cümlesi toplama göre kapandır denir ya da matris toplam ı, mxn matrisleri cümlesinde bir ikili i şlemdir. 131

3. Paralelkenar yasas ı nedeniyle vektör toplamı , matris toplamı nın özel bir durumudur. Matris toplamı, skaler toplamdakine benzer özeliklere sahiptir. Aşağıdaki teorem bu özelikleri belirten bir teoremdir. Yaz ılan bütün matrislerin toplama göre uygun olduklar ı varsayılıyor. TEOREM 5.3.1. Matris toplam ı aşa ğıdaki özeliklere sahiptir: 1. A + B = B+ A dır. (De ğişme özeliği) 2. A + (B + C) = (A + B) + C d ır. (Birle şme özeli ği) 3. Matris toplamı için bir birim eleman vardır: yani, her bir A matrisi için A + Z = Z + A = A e şitliğini sağlayan bir tek Z matrisi Vard ır. 4. Toplama göre bir ters matris (negatifi) vard ır: yani, her bir A matrisi için A + (—A) == Z e şitliğini sağlayan bir tek —A matrisi vardır. 5. A+ B = A + C ise B = C dir. (Yoketme yasas ı) Ispat. 1. entij (A + B) = antii(A) + entii(B) entii(B + A) = entii(B) + entii(A) dır. Her i ve j için ikinci yanlar e şit olduğundan A + B = B + A d ır. 2. i ve j ye herhangi bir özel ba şvuru yapmaksızı n entii(A +(B + C)) = entiMA + B) + C) olduğu gösterilirse, bu durumda A + (B + C) = (A + B) -I- C olduğu anlaşılacaktır. Tanım 5.3.1. den entii(A + (B + C)) = ent ii (A) + entii(B + C) entii(A) + (entii(B) + entii(C))

ve entii((A

B) + C) = entii(A + B) + entij(C) =--- (entii(A) + entii(B)) + entii(C)

yazılabilir. Son iki gösterim, say ıların toplama göre birle ş me yasasının bir sonucu olarak aynıdır. 132

3. A matrisi mxn biçiminde ise, bu durumda A + Z = A olmas ı , Z nin her bir eleman= o olmas ı ile eş değ erdir. O halde Z = O d ır. (Konuların gelişimi içersinde 0 ın bir matris ya da bir skaler olup olmadığı, karışıklık olmaksızın anla şılacaktır). 4. —A matrisi, elemanlar ı entij(- A) = — entii(A) eşitliğini sa ğlayan matristir. 5. Yoketme yasas ı , diğer özeliklerden anla şılır: A + B = A + C nin her iki yanına —A eklenirse (—A) -F (A + B) = (—A) ± (A +- C) (—A A) + B = (—A -I- A) B =--- C

C (Özellik 2 nedeniyle) (Özelik 3 ve 4 nedeniyle)

elde edilir. Şimdi matrislerin fark'm ın ne anlama geldiği tammlanabilir. A — B = A + (—B) ve buradan entii(A — B) = entii(A) — entij(B) dir. Bir matrisin bir skaler ile çarp ımı, matris toplamı ve fark ından da kolaydır. Tanım az da olsa A + A A = 3A v.b. yazabilme iste ğine açıklık kazandırır. TANIM 5.3.2. b bir skaler ve A mxn biçiminde bir matris ise bu durumda bA skaler ile çarpım ı, entij(bA) = bentii(A) = hali ile tammh mxn matrisidir. TEOREM 5.3.2. A ve B toplama göre uygun matrisler, a ve b isteksel sayılar olsun. Bu durumda skaler ile çarp ım aşağıdaki özeliklere sahiptir: 1. (a

b) A = aA

2. a (A -F B) = aA

bA aB

3. a (bA) = (ab)A 4. 1. A

A

5. o . A = O 133

Ispat. 1 . enti ı ((a entiı (aA

b) A) = (a b) ent iı (A) = aentiı (A) + benti ı (A) bent iı (B) bA) = ent iı (aA) entiı (bA) = aenti ı (A)

2. ent ii(a (A -F B))

B)

a ent iı (A

entıı (B))

a (ent iı (A) entii (aA

aB)

a ent iı (A)

aentiı (B)

ent ıi (aA)

entiı (aB) aeııt ij(B)

= aentiı (A)

3. 3. ent ij(a (bA) = aenti ı (bA) = (ab) enti ı (A) enti ı ((ab)A) = (ab) entij(A) 4. entiı (1A) = 1. enti ı (A) = ent ii (A) 5. entiı (oA) = o. entii(A) = o (Her iki yandaki s ıfı r, sayıdır.) Matrisler üzerinde en önemli i şlem, matris çarp ımıdır. Matris çarpımmın genel tanı mı en iyi şekkilde aş a ğıdaki tanı mda verilen bir satır matrisi ile bir kolon ınatrisi ııin çarpımı cinsinden anlaşılır. Bu çarp ım, daha önce sözü edilen iç çarp ım ile yakından ilgilidir. TANIM 5.3.3. m yinci basamaktan bir sat ır matrisi R = (r 1 ,r2 ,..., r,a) ve m yinci basamaktan bir kolon matrisi el*

oz C=

olsun. RC çarpımı

RC

r ic i

= (r ı )r2)..., rın

r2c2

.• • -1- rmem

E rici i=1

sayısı olarak tammlamr. Bu tanım, a ıx ı

134

a2x2

amxm = k lineer denkleminin,

/

xj X2

(a l ,

a m)

=k

biçiminde matris denklemi olarak yazılmasını mümkün kılar. TANIM 5.3.4. A ve B s ırasiyle mxn ve nxp biçiminde matrisler olsun. AB çarpımı, elemanları entij(AB) = Row i(A) Colj(B)

I bis\ b24 == (ai2, ai2,

alib ij

ain)

ai2b2j

ai nb nj

ile tanımlı mxp biçiminde matris olarak tamml ıdır. Toplam gösterimi kullanılarak bu ba ğıntı entij(AB) = E aikbkj = E eatik(A) entkj(B) k=1

k=1

biçiminde yazılabilir. A ve B nin sırasiyle mxn ve sxp biçiminde olduklarını varsayarak matris çarp ımı hakkında önemli gözlemleri belirtelim: 1. AB çarp ımının tanımlı olması, n = s olması ile eş değerdir, yani ilk çarpaııııı kolon sayısının ikinci çarpanın satır sayısına eşit olması ile eş değerdir. Bu durumda AB çarp ımı mxp niçimindedir. Genel olarak AmxıiB mq, = AB mxp gösterimi kullanılır. AB çarp ımı tanımlı ise A ve B matrislerine çarpıma göre uygundur denir. 2. AB çarp ımı tanımlı ise, BA çarpımı tanımlı olabilir, olmayabilir. Gerçekten BA çarp ımı= tanımlı olması, p = m olması ile eş değerdir. Bu durumda BA, sxn biçimindedir, yani BsxmAmx n = BAsx n 135

dır. Buradan AB ve BA çarp ımları tanımb olsa bile aynı biçimli olmaları gerekmez. Örne ğin, A ve B sırasiyle 2x3 ve 3x2 biçiminde ise AB ve BA tan ımlı olup s ırasiyle 2x2 ve 3x3 biçimindedir. 3. AB ve BA çarp ımlarmın her ikisinin tanımh ve ayva biçimli olması , ın = n = s = p olmas ı, yani A ve B nin aynı basamaktan karesel matrisler olmas ı ile e ş değerdir. 4. A ve B, n yinci basamaktan karesel matrisler olsa bile AB =BA oldu ğu sonucu çıkarılamaz. Bununla beraber, AB ve BA n ın daima farklı olması da gerekmez Örne ğin,

A=

il3

26 )

ve

B=

Ve

BA

(21

—2

İ 14,

28\

ise 0

k-7 —14 İ

dır. AB ve BA ayn ı biçimli ancak AB -7L BA dır. Öte yandan

A

-1

2 —1

= ( 1

—1) 2/

-N, e

B = (-5 5

6 —5

—5) 6

ise 22 AB -= BA = (-21 2l

—21 22 —21

21 —21) 22

dır. Matris kuramında verilen bir A matrisi ile de ğiş me özeliğini sağ layan bütün B matrislerini bulmak zor bir problem olma niteli ğini korumaktadır. AB = BA ise A ve B değişme özeli ğine sahiptir denir. Özel olarak A ve B ayn ı biçimde kö şegen matris iseleı AB ----- BA dır. 5. nxn biçiminde I n = Dg (1, 1,..., 1) köşegen. matrisi AI n -= A. ve Ini de I mA = A özeliğini Sağlar. I n matrisine, n yinci basamaktan birim matris denir. I nın biçimi sözün geli şinden açık ise, alt indisi çoğunlukla yazılmaz. I birim matrisi, ço ğunlukla İ% j Kronecker deha gösterimi

sıı =

o,

i

1,

i= j

olmak üzere I = (,% i ) ile gösterilir.

136

6. Herhangi bir e skaleri için eI = D g (e, c) olmak üzere cA (d) A dı r. cI matrisi, skaler matris adını alır. Skaler matris, kö şegen elemanları aynı olan bir köş egen matristir. 7. Kesim 5.2 de verilen bir lineer cebirsel denklem sisteminin AX = K ve bir lineer diferensiyel denklem sisteminin BX'(t) = AX (t) + F (t) biçiminde bir tek matris denklemi olarak yaz ılabilmesi, matris çarp ımmın bir sonucudur. 8. A ve B matrisleri için A B ve AB çarp ımmın her ikisinin tanımlı olması , A ve B nin aynı bas amaktan karesel matrisler olmas ı ile eşdeğerdir. 9. Karesel matrisler için çarpmaya göre birim eleman vard ır, yani AI = IA = A dır. Ancak s ıfır olmayan her A karesel matrisi için AB = BA = I olacak şekilde çarp ıma göre bir B tersi yoktur. Örne ğin, A =

(_ 21

4\ -2/

için AB = BA

I olacak şekilde bir B matrisi bulunamaz.

10. Matris çarp ımında yoketme yasas ı geçerli de ğildir, yani A 0 olmak üzere AB =AC den genel olarak B =C sonucu ç ıkarılamaz. Örne ğin, ^

1 1 O 3 4 2 O O -1 A = (2 0 2) , B = ( O -2 O) , C = (-2 -1 -1) O 5 5 -1 -3 -1 -5 O O olsun. Buna göre 1 3 1 AC =--BC = ( ( 4 2 2 -15 -20 -10 ) dır. Bununla beraber, e şitliğin her iki yanından C yokedilirse ya da her iki yan sa ğdan C-1 ile çarp ılırsa A =B elde edilir ki bu do ğru de ğildir, çünkü A ve B matrisleri e şit değildir. Bu işlemin do ğru olmayışnun. nedeni, C nin tersinin olmamas ı dır. Ancak daha sonra görülece ği üzere (bak Alırtırma 22) C-1 var ve AC =BC ise A ---=B ve C-1 var ve CA =CB ise A =B dır. 137

Öte yandan s ıfırdan farklı matrislerin çarp ımı sıfır olabilir. Gerçekten yukardaki matrisler için AC =BC geçerli idi. Bu e şitlik AC-BC =O ya da (A-B) C=0 biçiminde yaz ılabilir. Buradan 1 1 1 A—B = (2 2 2) 5 5 5 ve C matrisi d ıfırdan farklı oldu ğu halde (A—B) C =0 dır. Do ğal aritmetikte ise böyle bir durum yoktur, çünkü xy =0 ise ya x =0 ya da y =0 dır. Matrislerde ise durum böyle de ğildir, yani iki matrisin çarp ımı sıfır ise, çarpanlardan birinin s ıfır olmas ı gerekmez. Ancak s ıfırdan farklı iki matrisin çarp ımı sıfır ise, her iki matris ayk ırı dır, yani tersleri yoktur. Gerçekten A / 0 ve B olmak üzere AB =0 oldu ğunu varsayalım. E ğer A nın bir A— ltersi olsaydı bu durumda A-1AB = A-1 0 = 0

IB =O B =O olması gerekir idi. Bu ise yukardaki varsayı ma ters dü ş er. Buradan A -1 varolmz.Benduiçgrl. Her ikisi s ıfırdan farklı ancak çarp ımı sıfır olan iki A ve B matris çifti sıfır bölenleri adını alır. Do ğal aritmetikte ise s ıfır bölenleri diye bir ş ey yoktur. 11. Sıfırdan farklı bir A matrisi için, n > 1 olmak üzere An =O olabilir. Bu türden mat ı isler etkisiz (nilpotent) matris adını alır An =0 özeli ğini gerçekleyen en küçük n tamsay ısnaa A nın etkisizlik derecesi (nilpotentlik derecesi ya da indeksi) denir. Örne ğin,

(

1 -1 0

1 —1 0

2 —2) 0/

1

1

—2

—1

3 6) —3

matrisleri s ırasiyle 2 inci ve 3 üncü dereceden etkisiz matrislerdir. Öte yandan A nxn biçiminde kuvvetli üst ya da alt üçgensel matris ise Alı =0 dır. 12. A bir karesel matris ise A 2 =AA, A3 =AAA, v.b. tammlanabilir. Genel olarak p (x) polinomu P (x) = ao+ a ı x+a2x2 +...+ a kxk biçiminde herhangi bir polinom ise, bu durumda 138

p (A) = a0I a ıA+a2A2 +...+ a kAk biçiminde tan ımlamr. p (A) ya A matrisi için p (x) polinomunun de ğeri denir. Sabit terim yerine a oI yazmanın zormıluluğuna ilgi çekilmelidir. Matris çarpımı= de ğişme özeliğini sa ğlamaması ve çarpmaya göre terslerinin daima olmamas ı, matris çebiri ile skaler cebiri aras ındaki iki büyük farktı r. Bununla beraber, matris çarp ımı skaler ile çarp ımın bazı anlamlı özeliklerini payla şır. Özel olarak, kapsanan matrislerin sadece uygun olduklar ı varsayılırsa birle ş me ve da ğılma yasaları geçerlidir. TEOREM 5.3.3. (Birleş me yasası) A,B ve C, AB ve BC çarp ımları tanımlı olacak şekilde herhangi matrisler ise, bu durumda A (BC) = (AB) C dır. Ispat. A,B,C ınatrislerinin s ırasiyle mxn, nxt ve txs biçiminde olduklarını varsayahm. Bu durumda A (BC) ve (AB) C nin her ikisi mxs biçimindedir ve onlar ın e şit olduklarını göstermek için, her i =1,2,..., m ve j =1,2,..., s için entii(A(BC) ) = entii( (AB)C) olduğunu göstermek yeter. Tan ım 5.3.4 den entii(A(BC) ) = E entik(A) entkj(BC) k-1 t = E k=1

aik ( E

u=ı

bkucuj

dır. Adi çarpımın birleş me ve dağılma yasaları nedeniyle bu e şitlik n

entij(A(BC) ) = E

t

E aik(bkucui) tı--4

eşitliğine indirgenir. Benzer olarak t entii( (AB)C) = E enti u(AB) entuj(C) ıı-ı t

E 11-1

(

n E k=1

a ı kbku )Gul

139

dır. Toplamlar sonlu oldu ğundan toplamm basama ğı Buradan t

entjj( (AB)C) = E

E (a ıkbku) Cui k=1

n

t

k=1

u=1

anchkueui

entjj(A(BC))

dır. Bu e şitlik, i ve j nin her bir seçimi için geçerli oldu ğundan ispat tamamlanır. TEOREM 5.3.4. (Da ğılma yasası) A, B ve C, Al B ve AC tanımlı olacak şekilde herhangi matrisler ise, bir durumda (A+B) C= ACH-BC ve A+B, CA tanımlı ise, bu durumda C (A+B) = CA+CB dır. Ispat. A ve B nin mxn ve C nin nxt biçiminde olduklar ını varsayalım. Bu durumda AC+BC ve (A+B) C nin her ikisi mxt biçimindedir. Bunların eşit olduklarını ispatlamak için her bir i=1,2,..., m ve j=1,2,..., t için entij ( (A+B)C) = entij(AC+BC) olduğunu göstermek yeter. Tanım 5.3.4 ve 5.3.1 den entjj( (A+B)C) = Z ientik(A+B) entki(C) = k=1

(aı k+ bı k) eki

ve aritmeti ğin da ğılma yasası kullanılarak, bu eşitlik n

n

entij( (A+B)C) = E (a ıkeki+ bıkeki) = E k=1

k=1

eşitliğine indirgenir. Yine Tanım 5.3.1 ve 5.3.4 den entij( (A+B)C) = entjj(AC) entjj (BC) = entij(AC+BC) 140

aikek3+

E k=1

bikeki

yazılabilir. Bu eşitlik, i ve j ye bağlı olmadığından (her i ve j için geçerli olduğundan) (A+B) C =AC+ BC dır. Şimdi teremin ikinci kısmının ispatını yapalım C nin mxn ve A, B nin nxt biçiminde olduklar ını varsayalım. Bu durumda C (A+B) ve CA+CB nin her ikisi mxt biçimindedir. Bunlar ın eşit olduklarını ispatlamak için her bir i m ve her bir j =1,2,.., t için entii(C(A+B) ) = entij(CA+CB) olduğunu göstermek yeter. Tanım 5 3 4 ve 5.3.1 den n

entij(C(A+B) ) = E entik(C) entki(A+B) k =1 n

= E

Cik(akj+

k=1 n

E

bkj) n

eikakj+

k=1

eikbki ( k-1

aritmetikte da ğılma yasası ned.)

dır. Öte yandan entii(CA+CB) = entii(CA) + entij(CB) entik(C) entki(B)

= E entik(C) entki(A) k =1

k=1

n

n

= E

eikakj+ E

k=1

Cikbkj

k=1

olduğundan ikinci yanlar her i ve j için e şittir. Ohalde birinci yanlar da eşittir. Buradan entii(C(A+B) ) = entij(CA+CB)

C (A+B) = CA÷CB

dır. Bu kesimde ğözönüne alınan son konu, bir matrisin çarpmaya göre tersi olacaktır. TANIM 5.3.5. A bir karesel matris ve B de AB =BA =I olacak şekilde bir matris ise, bu durumda B matrisi A n ın çarpmaya göre tersi141

dir. A nın çarpmaya göre bir tersi var ise, bu durumda A ya düzgün ya da tersine çevrilebilir matris denir. A nın çarpmaya göre bir tersi yok ise, A aykırı, ya da tersine çevrilemez matris adını alır.

Her matrisin çarpmaya göre bir tersi olmad ığı gibi bir çok matrisin çarpmaya göre tersi vard ır. Bazı örnekler verelim. Bu a şamada iki çarpımı kontrol etmek gerekir. Ancak daha sonra ispatlanacakt ır ki A karesel ve AB =I ise bu durumda BA =I de geçerlidir.

ÖRNEK 1. A=

ki

3İ

ve B -

(-1 1) matrisleri birbirinin çarpmaya göre tersleridir. Gerçekten AB =BA =I dır.

ÖRNEK 2.

T

1OOO 24 O O (1 2 0 O -12 12 0 0 2 1 3 0 nin tersi U = - 12 -4 8 0 1 2 1 4 3 -5 -2 6 /

dır, yani TU =UT =I dır.

ÖRNEK 3. 3 3 3 1 (3 P= — 6 3 1 -5 1 3 1

nin tersi kendisidir,

yani P2 =I dır. Bu özeli ğe sahip matrisler involütif matris adını alır. involütif bir A matrisi için A =A -1 dir. Birleşme yasas ı nedeniyle bir matrisin en fazla bir terse sahip olduğu kolaylıkla gösterilebilir. Gerçekten AB =BA =I ve AC =CA =I olduğunu varsayalım. Buradan C (AB) =CI =C ve birle ş me özeliği nedeniyle C = C (AB) = (CA) B = IB = B dır. 142

TANIM 5.3.6. Bir düzgün A matrisinin çarpmaya göre tersi tektir ve A-lile gösterilir. Kesinlikle A-1

'

1 — A

— ya da A

böyle bir durumda örne ğin,

B

biçiminde yazdamaz. Çünkü

gösteriminden bunun A -1 B mi yok-

sa BA- lmi olduğu açıkça anla şılamaz. Bu nedenle matrislerde bölme kuralı yoktur. Tersin önemli özelikleri vardır. Bunları bir teorem ile verelim. TEOREM 5.3.5. Çarpmaya göre ters a şağıdaki özeliklere sahiptir: 1. A-1var ise, bu durumda (A -1 ) -1 -= A dır. 2. c_() ve A -1 var ise, bu durumda (cA)-1= — 1 A-1 dir. e 3. A-1 ve B -1 var ise, bu durumda (AB) -1 = B-1 A-1 dir. Ispat. 1. A nın tersi var ve A - lolduğuna göre AA-1 = A-1 A=I dır. Buradan A-lin de tersi vard ır ve A dır. (çünkü A nın tersi B ise, B nin tersi de A dir.) Ohalde (A -1 ) -1 = A dır. 2. (cA) (c-1 A-1 ) = ec-1 (AA-1 ) =

I ve

(c -1A-1) ( cA) = c-ı c (A-1A) -= dır. Buradan c -1A-1 = 1 — A-1 , cA n ın tersidir, yani e

(cA)-1 = 1 A-1 dır. 3. (AB) (B -1 A-1 ) = A (BB -1 ) A-1 = AIA-1 = AA-1 = I ve (B-1A-1 ) (AB) = B-1 (A-1A) B =B -1 IB =B -1 B ----J oldu ğundan AB nin tersi B -1A- 1 dır, yani (AB)-1 = B-1A-1 dir. 143

Şimdiye kadar bir matrisin tersini bulman ın etkili teknikleri üzerinde henüz durulmu ş değildir. Ancak Alıştırma 10 da sadece 2x2 biçiminde matrisler için bir formül veriliyor. Bir ba şka özel durum Alıştırmalarda gözönüne al ınıyor. Bununla beraber, bir matrisirı tersini bulmanın genel teknikleri üzerinde daha sonraki kesimlerde durulacaktır.

ALI ŞTIRMALAR 1 2 3 L A -=-

ve B (4 5 6

1O (2 3) \0 4

veriliyor. AB ve BA yı bulunuz. A+ B tan ımlı midir? 2 —1 5 2. A = ( 3 2 4) , B 8 0 —2

0 1 2 —3 5 6 2) , C = (-1 3 O) 1 —2 1 1 —1 —1

için A (BC) = (AB) C yi gerçekleyiniz ? 1 2 O) N =(-1 5 6 3. M =(

, S = 5 —3 4/

\ 2 O —1)

1 O 1 7 3 5 —2 ( —5 2 4 3 2

için (M+ N)S =MS +NS olduğunu gerçekleyiniz ? S(M+ N) =SM+ SN midir, aç ıklayını z ? (0 2

4. J

21 O O) için J 3-3J 2'+ 41 yı bulunuz? O 0 —1

2 —1 1 5. S = (-1 2 —12) ve m (x) =x 2-5x + 4 için m (S) de ğerini 1 —1 bulunuz ? 6. T

1 2 6 (O —1 4) ve p(x) = x 3-6x2 + 7x-5 için O O 3

p (T) nin değerini bulunuz ? p (T) nin kö ş egen elemanlar ının p (1), p (-1) ve p (3) oldu ğunu gerçekleyiniz ? 7. Tl ve T2, nxn biçiminde üst üçgensel matrisler olsun. T 1 T2 ğunu gerçekleyiniz ? T 1 T2nin köşegen elemanları nideüstçglou nedir? T nxn biçiminde bir üst üçgensel matris ve p (x) herhangi bir polinom olsun. p (T) nin, kö ş egen elemanları p (t ı i ), p (t 22),..., p (t im) olan bir üst üçgnesel matris oldu ğunu gösteriniz ? 144

1

8. A

0

ile de ğişme özeliğini gerçekleyen en genel B matrisini bulunuz? için N 2, N3 , N 4 v.b. hulunuz? Nk ılımını elde Buna göre eN = E k! aç k=0

(O 1 0 0‘ 9. N= 0010 0 001 \O 0 0 0/

ediniz 9 (a

10. ad-be-/-0 olmak üzere A 1 ad-be

(bi C

) ve

d -b)

olsun. Buna göre AB ve BA y ı a hulunuz. 11. Aşağıdaki matris çarpl ınlarını hulunuz? B=

1 0 (a) (0 .0 O 1

O 1)f O

a b (d e e k) g h

(b)

10O a(0 0) OO1

e ( d e f) h i/

100 abc O 1 O) (d e f) (d) (e) ( k 0 1 h i

c) ( ad e gh

1 O O O 1) (O O 1 O

a b c 1OO (e) (d e f ) (O k 0) (f) g h i 001

,a b e e f) ( d g h il

1 0 0 O) 1 (0 k 0 1

12. A matrisi bir sıfır satırma sahip ise, herhangi bir uygun bir B matrisi için AB matrisinin bir s ıfır satırına sahip olduğ unu gösteriniz? Benzer olarak, B matrisi bir s ıfır kolonuna sahip ise, herhangi bir uygun A matrisi için AB nin de bir s ıfır kolonuna sahip oldu ğunu gösteriniz? -3 5 6 A -=-= (-1 2 21 ise A-1 1 -1 -1

0 1 2\\ (-1 3 O) 1 1 -1

ve 3 -1 2 -3 6 3 B = (21 1) ise B-1 = (-1 2 1) 1 -3 0 7 -8 -5 olduklarını gerçekleyiniz? Ayrıca (AB) -1 , (BA) -1 (A2) -1 , (ABA) -1 matrislenbuz? 145

14. D = Dg(d ı t , d22,..., d rı n) köşegen matrisi ne zaman bir terse sahiptir? Var olmas ı durumunda D -1 için bir formül bulunuz? 15. A- Ivo B- lvar ancak (A+B) ayk ırı olacak şekilde 2x2 biçiminde A ve B matrisleri bulunuz? A -1 , B- lye (A+B) -1 var ise (A+B) -1 --= A-1 + B -1 eşitliği do ğru mudur, aç ıklayınız ? 16. Alıştırma 4 ün sonucunu kullanarak J nin J -1 tersini bulunuz ? 17. Alıştırma 5 in sonucunu kullanarak S in S -1 tersini bulunuz? 18. Alıştırma 16 ve 17 nin sonuçlarını genelleştiren bir teorem ifade ediniz ve teoremi ispatlaym ız 9 19. Katsaydar matrisi düzgün olan AX =K matris denkleminin çözümleri hakkında ne söylenebilir, aç ıklaymız 20. A ve B, AB tanımlı olacak şekilde matrisler olsun. Herhangi bir c gerçel sayısı için A (cB) = c (AB) = (cA)B oldu ğunu gösteriniz ? 21. A ve B, Alıştırma 13 deki matrisler olsun. Buna göre Row2 (AB) = — Row ı (B) 2Row2(B) 2Row 3(B) Ve

Co13 (AB) = 2Co1 1 (A) olduğunu gösteriniz ?

Co12(A)

22 . Aşağıdaki yoketme yasalarını gerçekleyiniz 9 (a) A-1 var ve AB = AC ise B = C d ır, (b) A-1 var ve BA = CA ise B = C dir.

M—

1 -1 0 1 2 -2 1

5

O

2 1 5 I 2

I

1

( M 11 M12) \ M21 M22/

Ve

(N1 1 N2 İ

N ı2) N22

olsun. Buna göre do ğrudan bir işlem ile

MIIN ıı

MN = (

olduğunu gerçekleyiniz ? 146

M12N21

M21N11 M22N2 ı

M22N12 Mi2N22)

M21N12 M22N22

24. (2 O)

O)

JP P

nin sadece P ayk ırı ve J = \0 2

1

2

için geçerli oldu ğunu gösteriniz? 25. A-1 var ve AB -= 1 ise, bu durumda BA = I oldu ğunu gösteriniz? 5.4. TRANSPOZ İ SYON Matris toplantı ve matris çarp ımı , ikili matris işlemi örnekleridir, yani verilen iki matristen yeni bir matris üreten i şlemlerdir. Bu nedenle ikili matris i şlemi, çoğunlukla iki matris değişkenli bir matris de ğerli fonksiyon olarak dü şünülebilir. Bu kesimde bir tek matris de ğişkenli bir matris de ğerli fonksiyondan sözedilecektir, yani bir tek matrise ilişkin bazı önemli işlemler üzerinde durulacakt ı r. TANIM 5.4.1. A bir mxn matrisi ise, bu durumda A nın AT ile gösterilen transpozu, entii(AT) = entii(A) = aji ile tanım!! nxm matrisidir. AT matrisi, satır ve kolonlarını değiştirmekle A dar elde edilen bir matris olarak dü şünülebilir. ÖRNEK 1. 1

5 -3 \ _2

A = (

ise 4

6)

1 4 AT = ( 2 -51 -3 6

dır. Köşegen elemanları, yer değiştirmede aynı kalır. ÖRNEK 2.

1 C = (-2

kolon matrisi için CT = (1, -2, 3, 0)

0

3

)

biçiminde bir sat ır matrisidir. Bir kolon matrisi, yer kazanma ve daktiloya kolaylık sağlaması bakımından ço ğunlukla bir satır matrisinin transpozu olarak yaz ıhr. 147

Bir matrisin transpozunun tan ımı, matrisin elemanlar ının yapısıbağlı olarak anlam kazan ır. Elemanları karma şık sayılar olan matrisler için uygulamalarda yararl ı olan bir kavram vard ır. z = a + ib bir karmaşık sayı ise, z nin karmaşı k e şleniği z = a — ib dir. Kesim 4.6 da belirtildiği üzere yararl ı olaca ğı düşüncesi ile karma şık sayılarm kolaylıkla gerçeklenebilen baz ı özeliklerinden sözedelim• 1. Herhangi bir z karma şık sayısı için 2 = z dir. 2. Herhangi iki z ı ve z 2 karma şı k sayıları için _z ı + z 2 = z ı + z2 ve z ı z 2 = z ı z 2 dir. 3. z = a + ib ise zi = a 2

b2 =

z 2 > 0 dir.

4. Bir z = a + ib karma şık sayısının gerçel olmas ı

z

z

olması ile ve tamamen sanal olmas ı

z = —z olmas ı ile eş değerdir. TANIM 5.4.2. A bir mxn karmaşık matris ise, bu durumda A n ın

eşleniği, enti ı (k) = ent ij(A) = aij ile tanımlı mxn biçiminde karma şık A matrisidir. A nın Hermitiyen e şleniği, A* =AT = A.T ya da entii(A*) = ent ii(A) = aii ile tanımla nxm biçiminde karma şık A* matrisidir. AT = AT yerine A* gösterimi Ostrowski'ye aittir. ÖRNEK 3. 3 5+6i A = ( 2 3i 2+3i 2-i ise = dır. 148

5-6i 3 —3i ) 2 2-3i 2+i

3

2

2-3i

ve A* = \5-6i -3i 2 + i

Transpoze ve Hermitiyen e şleniğin özelikleri birbirine çok benzer. Gerçekten, A sadece gerçel elem anlara sahip ise A* = AT dır. Bu durumda Hermitiyen e şlenik ile gerçel rnatrislerin transpozu hakk ında söylenenler ayni olma özeli ğini korur. .

TEOREM 5.4.1. Transpoze a şağıdaki özeliklere sahiptir: 1. Her A matrisi için (AT)T = A d ır. 2. A + B tanımlı ise (A + B)T = AT + BT dir. 3. Herhangi bir a skaleri ve herhangi bir B matrisi için (aB)T = aBT dir. 4. AB çarp ımı tanımlı ise (AB)T = BTAT dir. Ispat. 1. Bir matrisin transpozumm tan ı mı nedeniyle entii(AT)T = entj i(AT) = ent i i(A) olduğundan AT = A d ır. 2.

Matris toplamı ve transpozun tan ımı nedeniyle

entıj((A

B))T = ent ji(A + B) = ent j i(A)

entii(B)

entis(AT)

ent ii(BT) = cntii(AT 4- BT) r. nedeniyle (A + B)T = AT + BT di 3. entii(aB)T) = ent ii(aB) = a ent j i(B) = a entij(BT) = entij(aB)T nedeniyle (aB)T = aBT 4. A ve B nin s ırasiyle mxn ve nxs biçiminde oldu ğunu varsayal ım. Bu durumda AB, mxs ve (AB)T, BTAT matrislerinin her ikisi sxm biçimindedir. Transpoze ve matris çarp ımının tanım ı nedeniyle

n entij((AB)T) = entii(AB) = E entjk(A) ent ki(B) k=1

= E

entkj(AT) ent ik(BT)

k=1

149

= E

entik(BT) entkj(AT)

k=1

= ent ii (BTAT) olduğundan (AB)T = BTAT dır. Hermitiyen e şleni ğin özelikleri, transpozeninkilere oldukça benzer. TEOREM 5.4.2. Hermitiyen e şlenik a ş a ğıdaki özeliklere sahiptir: 1. Her karma şık A matrisi için (A*)* = A d ır. 2. A

B tanımh ise (A --F B)* = A* --F B* dir.

3. Herhangi bir a skaleri ve herhangi bir B matrisi için (aB)* = ü B* dır. 4.

AB çarp ımı tan ı mlı ise (AB)* = B*A* d ır.

Ispat. 1. Bir matrisin Hermitiyen e şleniğinin tanımı nedeniyle entii((A*)*) = ent j i(A*) = enti i (A) = ai i oldu

ğundan (A*)* = A dır. 2.

Matris toplam ı

v e Hermitiyen eşleniğin tanımı nedeniyle

ent i MA B)*) = entii(A = entii(A) = entii(A*) entii(A* nedeniyle (A 3.

B) enti i (B) entij(B*) B*)

B)* = A* -H B* dır.

entii((aB)*) = entii(aB) = â ent i i(B) = â ent ij (B*) = ent iPB)*

olduğundan (aB)* = ü B* d ır. 4. A ve B nin sırasiyle mxn ve nxs biçiminde Olduğunu varsayalım. Bu durumda AB, mxs ve (AB)*, B*A* In her ikisi sxm biçimindedir. Hermitiyen e şlenik ve matris çarp ımı nedeniyle entij((AB)*) = ent i i(AB)

150

n

n

= E ent i k(A) entki(B) = E entik(A) ent ki(B) k=1

k=1

= E ent kj (A*) entik(B*) k=1

= E entik(B*) entki(A*) k=1

entii(B*A*) olduğundan (AB)* -= B*A* dır. Transpoze ve Hermitiyen e şlenik, dört önemli özel türde karesel matrisleri tanımlamada kullan ılır. TANIM 5.4.3. AT = A ise A gerçel matrisi simetrik,

BT = — B ise B gerçel matrisi ters simetrik, H* = H ise H karmaşık matrisi Hermitiyen, S* = — S ise S karma şık matrisi ters Hermitiyen matris adını alır. Örne ğin, A = (-2 3

O 6) ve 5 6

B=(2 O 5) –3 –5 O

matrisleri s ırasiyle simetrik ve ters simetrik matrislerdir. Bir ters simetrik matrisin kö şegen elemanları sıfır olmak zorundadır. Simetrik matris de gerçel elemanl ı Hermitiyen matristir. Öte yandan,

H=

0 3+i —2i 0 3+i —2i 3—i 1 —4 ) ve S = (-3+i 2i 4 ( 2i --4 7 —3i —2i —4

matrisleri de s ırasiyle Hermitiyen ve ters Hermitiyen matrisleridir. Bir Hermitiyen matrisin kö şegen elemanları gerçel oldu ğu halde bir ters Hermitiyen matrisin kö ş egen elemanları sanal olmak zorundadır. 151

Simetrik ve Hermitiyen matrisler, uygulamalarda s ık sık karşılaşılan türden matrislerdir. Simetrik matrislerin bir uygulamas ı , kuadratik formlar denen çok de ğişkenli ikinci dereceden polinomlar ı incelemektir. İ kinci dereceden ve x ı ,x2 ,..., x n değişkenli bir kuadratik form Q (x i ,x2 ,...,x n)

E

i=1

auxixi = a11x1 2

a l.x2x j a nix nx j

a1 2xix2 + • • . + ainxixn

a22x2 2 a n2x nx2

• • • + a2nx2xn • • • + annxn 2

biçimindedir. xixj ve xjxi nin ajj ve aji katsayılarını eşit varsaymak genelliği bozmaz. (E ğer de ğilse, onların ortalamas ı alınabilir, yani 3x ix2 5x2x i = 4x ix2 4x i x2 gibi.) Bu varsayım ile Q nün terimleri yeniden düzenlenirse

Q = E xj E aijxj = (x j , 1=1

XTAX

Xn A

biçiminde yazılabilir. Burada XT = (x l ,x2 ,..., x n ) ve A tek olarak belirlenen bir simetrik matristir. Böylece ispatlanan a şağıdaki teoreme varılmış olur. TEOREM 5.4.3. XT = (xı ,x2,..., x n) ve A simetrik olmak üzere n

her Q = E auxixj kuadratik polinomu, Q = XTAX olarak tek bir ii=1

biçimde yazılabilir. ÖRNEK 4. Q (x i , x2 , x 3 ) = 3x ı 2 + 6x32

7x ıx 3 + 1 2x2 2— 8x2 x3

kuadritik polinomunu Q =XTAX biçiminde yazal ım. Q(x1, x 2 , x3) = 3x ı 2+ 8x ix2— 7x 1x3 + 12x22— 8x2x3 + 6x32 1 2 + 4x ix2—

7

x ix 3 +

4X2X1+ 12x2 2- 4X2X3+

152

3x

7 —'

4x 3x2 + 6x3 2 7 1 -1- 4x2- -2- x3 4x 1 + 12x2- 4x 3

(x1, X29 X3

( 3x 27- x 1 - 4x2+ 6x 3

x2, x3)

.._

3

4

74

12

-2? \ x2 x3

-4

XTAX

-4 °) ALI Ş TIRMALAR 1 2 İ l -1 2 \ 1. A -= ( 2 O) ve B =--1 1 k2 1 Ol için (AB)T , BTAT , ATBT, ATA, BBTyı bulunuz? 2-3i 2. C =

4+2i

-2

-2 +i

) ve D=

(3-2i ( 3i 5 için (CD)*, D*C*, C*D*, C*C, DD* i bulunuz?

4+2i

3. (A l A2A3)T = A 3TA2TA 1 Toldugunu gösteriniz? Bu özeli ği bir sonlu çarpıma genelle ştiriniz? T, * ile değiştirilirse bu özelik yine geçerli midir, açıklayınız? 4. (a) A simetrik ise, bu durumda PTAP nin de simetrik oldu ğunu gösteriniz? (b) H Hermitiyen ise, bu durumda R* HR nin de Hermitiyen olduğunu gösteriniz? 5. A simetrik olmak üzere aşağıdaki kuadratik polinomları XTAX biçiminde yaz ınız? (a)

Q (x ı , x2) = 2x 1 2 + 24 x 1x2 + x22

Q (x,y,z) = 3x 2- 8xy+2y 2 + 6xz-3z2 (e) Q (x1, x2 , x 3) = 3x 1 2- 5x 1x2 + 7x22 + 4x 1x 3- 6x2x3 + x3 2 (b)

153

6. Aş ağıdaki özeliklerin geçerlili ğini gösteriniz? (a)

Ters simetrik bir matrisin kö şegen elemanlar ı sıfırdır.

(b)

Bir Hermitiyen matrisin kö şegen elemanları gerçeldir.

(e) Bir ters Hermitiyen matrisin kö ş egen elemanları sanaldır. 7. Herhangi bir mxn biçiminde gerçel A matrisi için, ATA n ın köşegen elemanları negatif olmayan simetrik matris oldu ğunu gösteriniz ? 8. Alıştırma 7 yi karma şık matrisler için genelle ştiriniz ve ileri sürülen özeli ği ispatlaymız?. 9. Herhangi bir nxn biçiminde gerçel A matrisinin, bir simetrik ve bir ters simetrik matrisin toplam ı olarak yaz ılabilece ğini gösteriniz ? Buna göre

A

1 4 —2 4 6 2) = (7 1 3

matrisinin simetrik ve ters simetrik k ısımlarını bulunuz? 10. Alıştırma 9 u karmaşık matrisler için genelle ştiriniz ve ispat ını yapmız. Bir örnek veriniz ? 11. A düzgün bir matris ise ATnm düzgün oldu ğunu gösteriniz? 12. A düzgün bir karma şık matris ise A*In düzgün oldu ğunu gösteriniz ? 13. W, nxl biçiminde herhangi bir karma şık matris olsun. H 1-2WW* ın bir Hermitiyen matris oldu ğunu gösteriniz? W n ın aşağıdaki durumlarında H yı bulunuz? (a) W=(1,2,3)T, (b) W=(1-1-43,2—i)T 5.5. BÖLMELİ MATRİ SLERLE I Ş LEMLER Bu kesimde bölmeli matrislere ili şkin bazı yararlı yöntemler üzerinde durulacaktır. A ve B matrislerinin çarp ıma göre uygun olduklar ını ve aşağıdaki gibi bölündüklerini varsayalım:

A

A ıı (

154

A21

I

Al2 B =

I A22

12 (BnB I B 21

I

I B22 I

B 13 ) B23

Altmatrisleri sayılar gibi düşünerek AB çarp ımmın AB — ( Al ı Bl ı + Al2B21 I A l1B12+ Al2B22 I Al1B13+ Al2B23 A21 B 11+ A22B21 l A21 13 12+ A22B22 I A21B13+ A22B23

biçiminde yazılabilmesi için, belirtilen bütün çarp ım ve toplamlarm tanımlı olması gerekir. Bu durum bir çok ko şulun geçerli olmas ını gerektirir. Ancak bu şartlar, ilk çarpanda dik bölme çizgisi ile ikinci çarpanda yatay bölme çizgisinin benzer yerde bulunma şartuaa e şdeğerdir. Bu tek ş art, AB çarp ımında bütün çarp ım ve toplamları tammlı kılar. A nın mxn, B nin nxt biçiminde oldu ğunu varsayahm. Bu durumda , Al ı m 1xn 1 ve B 11 , n 1xt 1 dir. Matris çarp ımınm tanımından ent ıı (AB) =Row ı (A)Col ı (B) = - - (Rw ı (Ali) I Rnwi (Al2) ) = E a libi l

Coli(R ıı Col ı (R21 /

1=

ni = E a libi ı + E a libi l 1=2 ı-n +1

= Row ı (AII) Colı (B II) + Rowı (Al2) Col ı (B2ı ) = ent ı ı (A 11 13 11 ) + erıt ı ı (A l2B21 ) ent ıı (A l ı B ı l + Al2B 21 ) elde edilir AB nin diğer durumları için benzer işlemler, çarp ı mm geçerliliğini ortaya koyar. A şağıdaki teorem, bu açıklamalara kesinlik kazand ırıyor. ispat ı doğrudan önceki işleme dayanır TEOREM 5.5.1. m =m ı + m2 +... + ms , n=--n ı + n2+ + npve t =t 1 + t2 +...+ tuolmak üzere A, mxn ve B de nxt biçiminde olsun. A = (4) ve B =(B ij ) nin, Ali mixnj ve Bij nixtj olacak şekilde A ve B nin bölmeleri oldu ğunu varsayahm. Bu durumda P Cij = E AikBkj k=1

olmak üzere AB, sxu biçiminde C -=-(C ii) bölmeli matrisidir. Bu teoremin, ayr ı ayrı belirtmeğe değer çe şitli özel durumları vardır. Eğer B sat ırlarına bölünmüş ve A bölünmemiş ise, bu durumda 155

Rowi(AB) nin işlemi, sadece Rowi(A) daki elemaAlar ı kapsar. İlgi bu elemanlar üzerinde toplan ı rsa Row ı (B)'\

AB

ai i ai t • • • ain

Row 2 (B)

iiowi(AB)

Rown(B) yazılabilir. Buradan Teorem 5.5.1 in a ş ağı daki sonucuna varılır. SONUÇ 5.5.1. Rowi(AB)=a il Row l (B)-Fa i2 Row2

Rown

(B) = Rowi (A) B dır. Bu sonuç, AB nin i yinci sat ırının, katsayıları A nin i yinci satırmdan gelmek üzere B nin sat ırlarının bir lineer kombinasyonu oldu ğunu gösterir. Benzer olarak, A kolonlarına bölünmüş ve B bölünmemiş ise, bu durumda Colj(AB) nin i şlemi, sadece Col i (B) deki elemanlar ı kapsar. İlgi bu elemanlar üzerinde toplan ırsa bij..

b21

(...Coli(A13)...)

(Col i (A), Co1 2 (A),..., Col n(A) b nj

a

. yazılabilir. Bu gözlem de bizleri, Teorem 5.5.1 in a şağıdaki ikinci sonucuna götürür. SONUÇ 5.5.2. Coli(AB) =Col1(A)bli+C 012(A)b2J+ •••+Coln(A)bni AColj(B) dır. Bu sonuç da, AB nın j yinci kolonunun, katsay ıları B nin j yinci kolonundan gelmek üzere A nin kolonlar ının bir lineer kombinasyonu olduğunu gösterir. Toplama göre uygun iki bölmeli matrisin blok biçimli toplanabilmesinin, onların özde ş bölmeli olmaları ile eş değerli olduğu açıktır. Ayrıca, A karesel bölmeli bir matris ise, bu durumda A 2 + 3A gibi 156

matris polinomlarının blok biçimli bulunabilmesi, A n ın bütün köşegen blokları karesel olacak şekilde bölünmüş olması ile eş değerlidir. Düzgün bir matrisin tersinin bulunmas ına ilişkin ilgiye değer özel bir yöntem, bölmeli matris kavram ı ile tersinin bulunmas ıdır. TEOREM 5.5.2. A n , A İ 2 , A2 1 , A22 sırasiyle sxs, sxm, mxs, mxm (n =m+s) biçiminde altmatrisler ve A 22-1 var olmak üzere (Al ı A ı 2)

A

A21

A22

biçiminde bölnieli matris olsun. Bu durumda B ii , B 12 , B21 , B22 sırasiyle sxs, sxm, mxs, mxm biçiminde olmak üzere A n ın = (B

ıl

B 21

B 12 B22)

biçiminde A ile ayn ı ş ekilde bölünen bir tersi vard ır. Ispat. A22 nin bir tersi var oldu ğuna göre A 22 1in bilindiğini varsayalım Bu durumda AA-1 = I nedeniyle (A11

A 21

Al2) A22

(B i İ.

Bit

\B 21

B22

(

ıs o

',al

yazılabilir. Buradan bilinmiyen B 11 , B 12 , B 2 1, B22 altmatrisleri için dört eşitlik elde edilir: Al ı B ı l+ A„B2, Al ',Bu+ A l2B 22 = 0 A21 13 /1 + A22B2 İ = 0

A21 B 12+ A22B22 = Im Üçüncü eşitlikten bulunan

(i)

B 21 = - A22 1 A21 B ı l değeri birinci e şitlikte yerine konursa A l ı Bil - A l2 A-1 22 A21 B 11 = Is ya da tersin tan ımı nedeniyle Bii

= (An - A ı 2 A22 A21 )

(ii)

elde edilir Dördüncü e şitlikten

B 22

= A22 -1 -A22 -1 A21 B 12

ve ikinci eşitlik ile (üi) den yararlanılarak bulunan 157

A ll B 12 + A l2 eşitliği düzenlenirse

1 - A22-1 A21 B 12) = 0

(A11-Al2A22 -1 A21) B ı 2=-- - A l2 A22-1 ve(i)dnyarl ılarak (iv)

B12= - B11Al2A22-1

elde edilir. Buna göre B11, Biz, B 2 ı , B22 için dizisel olarak çözülebilen dört eşitlik elde edilir. A22 1 var oldu ğundan B il , B 12 , B 21 , B22 altmatrisleri vard ır. Buradan A22-1 var ise bütün işlemler yapılarak aranan altmatrisler bulunabilir. A nın yüksek basamaktan olmas ı halinde B 11i bulmak zor olabilir. Ancak bu zorluk da bölmelemeyi iki ya da çok say ıda yapmakla aşılabilir. Bu teoremden üzerinde durmaya de ğer bazı özel sonuçlar ç ıkarılabilir: 1. A2 1 =O ise bu durumda A 11 -1 ve A22 1 var olmak üzere

(A 11 - 1 O

-A l IA/2 A22-1 -1

A2

biçimindedir. 2. A l2 -= 0 ise bu durumda A 11 -1 ve A221 var olmak üzere A-1 =

0

( A 11-1 - A22-1 A 2 1 A1 1-1

A22-1 /

biçimindedir. 3. A l2 = 0 ve A21 = 0 ise bu durumda A=D g(A /1 , A22) dır ve A 11 -1 , A221var olmak üzere

A-1 -=- Dg(AH- 1, A22-1) biçimindedir. 4. A ll = I ve A21 = 0 ise A22 1 var olmak üzere A-1 =

-A İ2A22-1 ) A22-1

biçimindedir. 158

ÖRNEK.

2 ( 1 0 A =

3 I 0 5 7 ( 6 4

biçimindee bölmeli matrisin tersini bulunuz ? A22 =

4 dır. Buna göre C

B il = (An -A-12A22-1A21)-1

1 /6 \

( 1 /5

0 ,

= (2_,(1,0) (-2 /15 1 /6 \ /3 \ \ -1 0 , k7

1/5 (

= (2 — (-2 /15, 1 /6)

B12 =

-2 /15

olduğuna göre A-1 =

5)

73

-2 /15 (1 ,0) 37 ( 1 /5 (-2 /15

B 2 1 = - A22-1 A21B11 =

1 /5

3 30

)) -1 1 /6

30

B11A12A22-1 = —

4

5\ k't' ..- 37 ,

0

1 /6

30 — /-23 k7 ,

O

k-18 /37,

37

/15 1 /6/15 1 /6 B22 = A22 1 - A22-1 A2113 12 =

k

1/5 0

ii

/k

1/5 O ,k7

\ 37 /

-8 /37 10 /37 \ (

5 /37 3 /37,

olduğuna göre

A-1 =

( 30 /37 -23 /37 -18 /37

4 /37 -8 /37 5 /37

-5 /37 10 /37 3 /37

30 4 -5 \ 1 37

-23 -8 10 -18 5 3/ (

biçiminde bulunur. ALIŞTIRMALAR 1. (

A=

1

2

4 0 2 -5

3 1 -4 B —5 1 0 2 3

3 -1 2) 159

olmak üzere AB yi önce do ğrudan ve daha sonra belirtilen bölme ile bulumiz? 2.

1 1 0 O

O\

O 0

01000 C=00231 0 0 5 0 2 0 0 4 1 2/

0 O () O O 0 O 0 00100 0001 OI 00001/

D=

olmak üzere etkili bir bölme kullanarak CD yi bulunuz? 3. matrisi veriliyor.

p(x) = (x2 -- 4x — 2) ( x 2 — 7) olmak üzere 3A 3 — 6A2 -H 31 ve p(A) yı bulunuz. Kesim 5.3 Al ıştırma 10 ve Teorem 5.5.2 yi kullanarak A-1i bulunuz? 4. Kesim 5.3 Alıştırma 10 ve Teorem 5.5.2 yi kullanarak a şağıdaki matrislerin terslerini bulunuz ?

fl

(a)

3

2 () -1 3

4 0

o

0

l\ 2 2

(b)

(d) D g ((

1

O

-2 1 )'

O (1

01) CO

A22 karesel matrisler olmak üzere

A11

= (

A , 12 ) ise, herhangi p(x) polinomu için

A21 I -t1-22

p(A) =

0

olduğunu gösteriniz? 160

Karışık

P(A11)

\

I

p(A22)

i))

6. A1 2 )

An

A -=

ise AT yı bulunuz.

(A2 1 A22

7. A-1 ın, K nin n farkl ı seçimi için AX = K sistemini çözmekle bulunduğunu gösteriniz? 8.

AX = Y nin X

(A Y) (

) = 0 ya da (A 1)

0

a eş değer oldu ğunu gösteriniz? 9. A =

Al2)

(A11

matrisi düzgün ve A 11 düzgün olacak

\ A21 A22

şekilde bölünmüş ise, X = A ii- 1 Al2, Y — A21All 1 ve C =- A22 -- YAl2 = A22 - A2 1 X = A22 - A'1A11-11Al2 olmak üzere, do ğrudan bir çarpı m ile A-1

(A11 -1

XC- 1Y

1

—XC-1 C-

olduğunu gerçekleyiniz?

Buna göre A 11 , 2x2 biçiminde olmak üzere A =

4 -1 2 3 4 1) matrisinin tersini bulunuz? (-2 -2 4

5.6. IZ VE DETERMINANT Şimdiye kadar matris de ğerli fonksiyonlardan sözedildi. Öte yandan matrisler üzerinde çe şitli skaler de ğerli fonksiyonlar vard ır. Bu kesimde böyle fonksiyonlardan sadece karesel matrisler için tan ımb iz fonksiyonu ve determinant fonksiyonu üzerinde durulacakt ır.

izi

TANIM 5.6.1. Herhangi bir nxn biçiminde A matrisi için A n ın (trace), izA = tr(A) = i=1

aii = E en.tii(A) 1=1

ile tammlıdır. 161

Bu tanıma göre, iz, A n ın köşegen elemanlarının toplamıdır. Buna . göre 1 2 5 A = (7 6 83) ise tr(A) = 1 + 4 + 8 5 4

13

dür. Daha sonra çe şitli ilişkiler içersinde kullanılacak olan iz fonksiyonunun temel özeliklerini gözönüne alal ım. TEOREM 5.6.1. A ve B n yinci basamaktan karesel matrisler ve a, b skaler ise, bu durumda a şağıdaki özelikler geçerlidir: 1. tr (aA + bB) = atr(A) + btr(B) 2.

tr(AT) = tr(A)

3.

tr(AB) = tr(BA)

ispat, 1. tr(aA bB) = E entii(aA + bB) = E (aentii(A) + i=1 bentii(13)) = a E entii(A) ± b E entk i(B) = atr(A) + btr(B) 2. en.tii(AT) = entii(A)

nedeniyle açıktır.

3. tr(AB) = E entii(AB) = E ı=ı i=1

= E k=1

n E entik(A) entki(B) k=1

E entki(B) entik(A) 1=1

n

E

entkk(BA) = tr(BA)

k=1

Bu teoremde birinci özelik, özellikle önemlidir. Bu özelik, izin bir lineer fonksiyon olduğunu gösterir ve daha sonraki bölümde üzerinde durulaca ğı üzere di ğer bir çok fonksiyon tarafından payla şılan bir özeliktir. 162

Okuyucu, determinant kuram ının klasik incelenmesinin bir k ısmı ile haberdar oldu ğu düşünülerek burada verilecek olan tan ım esas olarak tüme varımsaldır ve bir dereceye kadar klasik görü şten farkl ıdır. Aş a ğıdaki tanım, daha önce Tanım 5 2 2 de verilen Min.ii (A) altmatrisleriııi kapsar. TANIM 5.6.2. Bir matris bir tek elemandan olu şuyor ise, matrisin determinantt o elemana e şittir. E ğer A, ıl > 2 yinci basamaktan bir karesel matris ise A nın determinantt, genel olarak ail elemaıumn kofaktörü ya da A nin (i, j) konumunun kofaktörü cofıi(A)

(-1)i+j det(Min ii (A))

olmak üzere

det(A) =

f ı k(A)

k=1

= a11cof11(A)

a i2cof12 (A)

a incofin(A)

ile tammlıdır. Bu tanım, det (A) n ın değerini, birinci sat ıra göre basama ğı A nınkinden daha az matrisleriıı determinantları cinsinden veren tan ımdır. Bu tanıma göre ikinci basamaktan

A =

(a l a2 ı

a i2) a22

matrisinin determinantı det(A) = a ı 1(-1 ) 171-I det (a22)+ a i2(-1) 1 +2det (a 21 ) = al ı a22—a12a21 ve üçüncü basamaktan B

a21. (a21 a31 matrisinin determinant ı det(B) = a11( -1 ) 1+1 det

a 13 (-1) 1 +3det

a12

a13

a22 a 32

a23 a33

(a22

a32 (a21 a 31

a23 a 33

a12(-1 )

14-2det

a 21

a23)

a31

a22

a22) a 32

163

- 11( -22-„ 33

a23a 32)

a 12( a21 a 33

a 23a 31) + a 13( a21 a 32 -a22a3i)

a 11 a22a 33 a12a23a31 4- a 13 a 21 a32 — (a n , 3a32 a 13a 22a 31) biçimiudedir.

a 12 a 21 a 33

B matrisinin determinant ı

0

21

32 biçiminde Sarrus kurala denen bir yöntemle de bulunabilir. Ancak bu yöntem sadece 3x3 biçiminde matrislerin determinant ı için geçerlidir. Tanı m 5.6.2. 4x4 biçiminde bir matrise uyguland ığmda her biri 4 sayının çarpımı olan 4.6 = 24 = 4! terim, 5x5 biçiminde bir matrise uygulandığında her biri 5 sayının çarp ımı olan 5.24 = 120 = 5! terim elde edilir. nxn biçiminde bir matrise uyguland ığında her biri n sayının çarpımı olan n! terim elde edilir. Hatta az çok büyük say ılabilecek n için bile n! sayısı oldukça büyüktür ve i şlem elle yap ılmas ı durumunda ömür tüketebilir! O halde determinant fonksiyonu uygulamada kullanılmas ı gerekiyorsa determinant ın de ğerinin hesabı için daha etkili yolların bulunması gerekir. Şimdi det (A) nın hesabında daha etkili yolları bulmada yararl ı olan determinant fonksiyonunun baz ı özeliklerini ortaya ç ıkaralım. ÖZEL İ K 1. Herhangi bir A karesel matris için, det (AT) = det (A) dır. Bu özelik, determinantlar hakk ında herbir sat ır yerine bir kolon benzerli ğini kurmada kullanılabilir. Örne ğin, bu özelik nedeniyle Min i, / (A)

(Min i k(AT) )T oldu ğundan

det (A) =-.--. E a kl cofkl (A) k=1

yazılabilir. Deterninant ın bu ifadesi, Tanım 5 6 2 den ayrıcalı k gösteir. Bu gösteri"; ilk sat ırın elemanları yerine ilk kolonun elemanlar ını ve onların kofaktörlerini kapsar. E ğer Co1 1 (A) da Row 1 (A) dan daha çok s ıfır eleman' var ise bu formülün, tanımdakinden daha etkili olaca ğı açıktır, 164

...,t ım olan bir ÖZELİ K 2. T matrisi, kö şegen elemanlar ı üçgensel matris ise det (T) =t 11 t29...t nn dir. Bu öze ltilkb, 122 " ııin alt üçgensel, üst üçgensel ve kö şegen olması durumlarında geçerlidir. ÖZELİK 3. Bir B matrisi, Row i (A) yı Rowi(A) ile de ğiştirerek A dan elde ediliyorsa (111<-> Ri), bu durumda det (B) = det (A) d ır. Benzer olarak, B matrisi, Coli(A) ile Coli(A) y ı de ğiş tirmekle A dan elde ediliyorsa (C i<-› Cj ), bu durumda da det (B) - det (A) d ır. ÖZELİ K 4. A matrisi bir s ıfır satıra ya da bir sıfı r kolonuna sahip ise, bu durumda det (A) = 0 d ır. ÖZELİK 5. A matrisi iki e şit satıra ya da iki eşit kolona sahip ise, bu durumda det (A) = 0 d ır. ÖZEL İ K 6. LAPLACE ACILIMI. nxn biçiminde herhangi bir A matrisi için her bir i

için det (A) =

E a ikcofi k(A) k=1

her. bir k =1,2,...,11 için det (A) =

aikeofik(A)

dır. Bu özelik, A nin herhangi bir satır ya da kolonu, tammda kullanılan ilk satır olarak kullan ılabilir. Yukardaki ilk gösterim, i yinci sat ır nedeniyle Laplace aç ılımı, ikinci gösterim, k yinci kolon nedeniyle Laplace aç ılımı adını alır. ÖZELİK 7. B matrisij Rowi(A) ya da Col j (A) nın her bir elemanını bir e skaleri ile çarpmakla A dan elde ediliyorsa, bu durumda det (B) =c• det (A) d ır. ÖZELİK 8. Rowi(A) elemanlarının j yinci sat ırın kofaktörleri ile çarpımlarmın toplamı, ij için sıfırdır, yani i--/-j için Z aikcofjk(A) k=1

=0 dır. Benzer olarak, i j için

Z akicofki (A) =0 dır. k=1

165

ÖZELİ K 9. B matrisi, A dan Rowi(A), sRow i(A)+ Rowi(A) ile değiştirilerek (sRj+ R i) elde ediliyor ise, bu durumda det (B) = det (A) d ır. Benzer olarak, B matrisi A dan Coli(A), sColj(A) + Coli(A)ile de ğiştirilerek (cCi+ Ci) elde ediliyor ise, bu durumda det (B) = det (A) d ır. Gerek tanım ve gerekse özeliklerden belli türde karesel matrislerin determinantlarını bulmak kolaydır. Örne ğin, bütün lx1 ve 2x2 biçimindeki matrisler, üçgensel matrisler, Özelik 4,5,7 deki matrisler gibi. Bununla beraber genel bir A karesel matrisi için tan ımdan bağımsız det (A) yı bulmanın tabii yöntemi, Özelik 3,7 ve 9 u kullanmakt ır. Bu özelikler, k bilinen bir sabit ve det (B) n ın hesab ı kolay olmak üzere det (A) kdet (B) olacak şekilde A matrisini bir B matrisine dönü ştürür. Aşağıdaki tablo, bu indirgemede kullanılan işlemleri ve onların determinant üzerindeki etkilerini gösteriyor. Bu i şlemler elemanter satır işlemleri (ERO) ya da elemanter kolon i şlemleri (ECO) adını alır. Tür

Gösterim

Açıklama

Determinant üzerindeki etki

Elde edilen matfis B ise

R-I

Rj<-> BI

Rowi(A) ile Rowi(A) değiştirilir.

İşaret değiştirir

det (B) = -det(A)

R-II

kRi, k# 0

Rowi(A), k ile çarpılır.

k ile çarpılmış olur.

det (B)=k det (A)

R-III

kRj + Ri

K Rowj(A), Rowi(A) ya eklenir.

yok

det (B)= det (A)

C-I

C14-+ Cj

Coli(A) ile Colj (A) değiştirilir.

İşaret de ğiştirir

det (B)=-det (A)

C-II

kC i, k

0

Coli(A), k ile çarpilır.

k ile çarpılmış olur

det (B)=- k det (A)

C-III

kC J+ C.ı

k ColJ(A)' Coli(A) i (A) ya eklenir.

Yok

det (B)=det (A)

ÖRNEK 1.

det (A) = de t

Il -1 2 3) 2 2 O 2 4 1 -1 -1 \1 2 3 0

nın değerini bulalım. 1 -1 2 3) ---> 2 2 O 2 2 i -1- R, -1"i A "--- ( 4 1 - 1 -1 -4R i -F R 3 1 2 3 O -Ri -f- R4 166

1 -1 2 3 0 4-4 -4 0 3 -9 -13 .A1 O 3 1 -3

--> il 1 T., 0 0 4 "2 ‘0

-1 1 5 3

2 3 -1 -1 -9 -13 1 -3

-->

1 O

-1 1

2 -1

-311 2 + R4

0

0

-4

O

0

4

-1 O O O

2 -1 1 0

.

4R3

+ 114

l

0 0

/1

-1

2

0

1

-1

0 \O

0 3

-4 1

A2 ----> -5_R2+ R3 3 -1 -8 O

--> 1, - T-u3

1 O 0 0

-1 1 0 0

2 -1 1 4

3 -1 -8 -3 3\

- 21 ) = A 3 O

3 -1 2 = B -8

olduğuna göre det (A 1 ) = det (A), det (A 2 ) = 4 det (A İ ), det (A 3 ) = - det (A2) det (A 3) ve det (B) = - 8 det (B) dır. Buradan det (B) = det (A 3) = - det (A2) = - -5 det (Al)

6 det (A)

nedeniyle det (A) = - 16 det (B) olduğu sonucuna varıhr.

- 16. (-8) = 128

Bu örnekte verilen A matrisi, elemanter sat ır işlemleri ile determinantı kolaylıkla bulunabilen bir üçgensel matrise indirgendi. Bununla beraber işi bu kadar uzatmadan bir kolon sadele ştikten sonra (örne ğin A1durumunda), Laplace aç ıhmı kullanılarak verilen matrisin determinantı , daha az basamaktan matrisin determinant ına indirgenebilir. Öte yandan Örnek 1 deki sonuç, sadece kolon i şlemleri kullanılarak da elde edilebilir. Elemanter satır ve kolon i şlemleri dışında elbette elemanter olmayan işlemler de vard ır. Karma şık elemanh matrisler için geçerli olan ve yukardaki i şlemlere karşılık gelen işlemler Ri+-> Rj, Rj-÷ kRj Cl+-> Cj, C1-. kCj,

,

k0, Rj-> kRj + Rl Cl--> kCj Cj

biçimindedir. Bu işlemler sırasiyle Hermitiyen sat ır işlemleri ve Hermitiyen kolon i şlemleri adım alır. Determinant, bir matrisin - tersini bulmada genel bir teknik olu şturmak için kullanılabilir.

167

TANIM 5.6.3. A nxn biçiminde bir matris ise, bu durumda A nin Adj (A) ile gösterilen ekmatrisi (adjoint) nxn biçiminde bir matristir ve entii (Adj (A) ) = cofii(A) = (-1)• -FidetMinii(A) ile tammlıdır. Bu tanıma göre Adj (A), A n ın her elemamm onun kofaktörü ile değiştirmek daha sonra elde edilen matrisin transpozunu almakla elde edilen matristir. ÖRNEK 2. B=

3 (6 1

1 9 2

-4 -2) 1

matrisinin ekmatrisini bulal ı m.

det

9

6 - det

•

-det

(2

-21 )

(2

-14 )

(9

-4 -2)

det

det 13 (

\34

-8

(1

-2] )

(13

- 14 )

- det

(3 6 --42) 13 (-8 3

T

-53) -18 21

-9 7 -5

det

-det det

34 8 ) -1 21

dır, Bu matris için BAdj (B) = 191 =det (B) I d ır. Bu sonuç genel olarak geçerlidir ve a ş a ğıdaki teoremin içeri ğini oluşturur. TEOREM 5.6.2. nxn biçiminde herhangi bir B matrisi için Adj (B) B =det (B) I

BAdj (B) dır.

Ispat. Matrsi çarp ı mının ve ekmatrisin tan ımından n

n

b ikeofik(B)

entii(BAdj (B) ) = E bikentki(Adj (B) ) = k=1

168

k=1

dır. i=j ise bu eşitlik Laplace açılımı nedeniyle det (B) ye indirgenir. ij ise Özelik 8 nedeniyle s ıfırdır. Böylece BAdj (B) = det (B) I d ır. Adj (B) B =det (B) I oldu ğunun ispatı benzer biçimde yap ılabilir. Bu teoremden önemli bir sonuç elde edilir. SONUÇ 5.6.1. det (B) / 0 ise bu durumda B -1 vardır ve

B-1= det(B) Adj (B) formülü ile bulunur. Örnek 2 deki B matrisi için 13 B-1=

19

Adj (B) =

19

(3

-9 34 7 -18 -5 21 )

dır. Her ne kadar B -1 için ekmatris formülü, kuram ı geliştirmede yararlı olmakla beraber anlat ım ve hat ırlatma bak ımından kolay ise de yüksek basamaktan bir matrisin tersini bulmada etkili bir araç de ğildir. Bir matrisin tersini bulman ın daha etkili yöntemleri üzerinde sonraki kesimlerde durulacakt ır. Sonuç 5.6.1 ın tersi de do ğrudur, yani B - Ivar ise det (B)

0 dır.

Bu aşağıdaki önemli özeli ğin bir sonucudur. ÖZELİ K 10. AB çarp ımı tammlı ise, bu durumda det (AB) = det (A) det (B) dır. Bu özelikten düzgün bir matrisin s ıfırdan farkl ı bir determinanta sahip olduğu sonucunun nasıl çıktığını anlamak için B -1 B =I özde şliğinin her iki yanının determinant ını alalım. det (B -1 B) =det (B -1 ) det (B) =det (I) =1 nedeniyle det (B)

0 dır ve ayrıca det (B-1) —

1 det (B)

olduğu anla şılır. 169

Aynı basamaktan karesel A ve B matrislerinin toplam ının determinantı için Özelik 10 a benzer bir kural yoktur, yani genel olarak det (A+B) det (A) det (B) dir. Ekmatris formülünün kuramsal sonuçlar ından biri Cramer kuralı olarak bilinen a ş a ğı daki teoremdir. TEOREM 5.6.3. Cramer Kurala. det (A) 0 ise, Ac i‹-› K matrisi A dan, Coli(A) yı K kolon matrisi ile de ğiştiren matris olmak üzere AX =K sisteminin çözümü —

det (Ac i <->K) det (A)

dır. ispat. X =A-1 K —

1

det (A) Adj (A) K

olduğuna göre Xi =

det (A)

entii(Adj (A) ) ki =

det (A)

i=i

kicofii(A)

dır. Son toplam, det (Ac i<->K) nın i yinci kolon nedeniyle Laplace aç ıhmıdır ve böylece ispat tamamla ınr. Cramer kurahndan ço ğunlukla determinantlarm incelenmesinde önemli bir araç olarak sözedilir. Ancak ça ğdaş hesaplama kurallara nedeniyle bu tam olmayan bir anlatımdır, çünkü determinantlar bilinen en iyi tekniklerle bulunsa bile Cramer kural ı çok bilimiyenli sistemleri çözmede etkili bir teknik de ğildir. Bir sonraki kesimde AX =K sistemini çözmede hem daha genel hem de Cramer kural ından daha etkin teknikler geli ştirilecektir.

ÖRNEK 3. A = (2 -1 -2) ve K = (-20 ) 3 O 4 olmak üzere AX =K sistemi Cramer kuralı ile çözülürse 170

x1

det (Ac, ‹-›1‹.) det (A)

20 33

x2

det (Ac, <-+K) det (A)

4 33

x3

det (Ac, 4-3.K.) det (A)

15 33

bulunur. Diferensiyel denklem kuramında önemli bir araç olan a şağıdaki matrisi bu aşamada gözönüne almada yarar vard ır.

1

1

•

Xi X12

X2 x22

. . . Xn • • • xn2

x i n-1

x2n-I

. • .

•

1

x 2ı ..., xn) =

xnn-1

Bu meşhur ve yararl ı matris, Vandermonde matrisi olarak bilinir.

ÖRNEK 4.

V (x1 , x2, x3 , x4) =

1 1 1 1 XI X2 X3 X4 1 2 x22 x32 x42x ‘X 1 3 X23 X3 3 x4 3

biçiminde dördüncü basamaktan. Vandermonde matrisinin determinantını bulalım.

(1

v — x 1 R3 + R4 i R2+ R3 x i Ri + R2—x

1 X2- x i X4— xi X3— X1 x42— x 1x4 0 x X 1x2 x 3 2— x 1x3 O X2 3- x 1x22 x3 3- x 1x32 x4 3- x 1x4

= Vi

denirse

det V (x 1 , x2 , x3 , x4) = detV1 ( x2- x1 = det x22- x ıx2 x23- x1x2 2

x4— xi x3— X1 x42— xix4 x32—x ix3 x33—x 1 x32 x43— x 1x42

171

1 (x2- xi ) (x3- x1) (x4- x1) det (X2

x2 2

1 x3 x3 2

dır. Şimdi -x2 R2 + R3, -x2 R i + R2 işlemler dizisi son eşitlikteki üçüncü basamaktan V (x 2 , x3 , x4) Vandermonde matrisine uygulan ırsa 1 V( x2 , X 3 , x4 ) =

(

x2 x3

x4 2 )

x2 2 x32

-1-13t ,

(O -x2R i +R2 O \0 x32-x2x3

x4

X4-X2

x42—X2X4 ,

elde edilir Buna göre detV (x1, x2 , x3 , x4) =- (x2-xi) (x 3-x ) (x4-xı ) detV (x2,x3 ,x4) 1 (x2-xi ) (x3-x 1 ) (x4-x ı ) (x 3-x2) (x4-x2) detV(x3 ,x4) = (x2-xi) (x3-x 1 ) (x4-x ı ) (x3-x2) (x4-x2) (x4-x3) biçiminde bulunur. Bu i şlemlerin ışığı nda genelle ştirmeye gidilerek detV (x ı ,x2,...,xn) bulunabilir. Gerçekten detV

(x2-x 1 ) (x3-x 1 )

(xn-xi) detV (x2,x3 ,...,xn)

detV (x2 ,x3 ,...,x n) = (x 3-x2) (x4-x2).- (xn-x2) detV (x3,x 4,.•.,xn) detV (x3 ,x4,...,xn) = (x4-x3) (x5-x3)...(x n-x3) detV (x4,x 5,...,xn)

detV (x n_2 ,xn_ i ,x n (Xn_ i ,xn)

_ 1 -xn_2) (xn-xn_2 ) det (xn-1, x n) detV

= (xn- xn-1)

olduğuna göre detV (x i,x2,..., n

= (x2- x i) (x 3- x ı )...(x n- xi) (x 3- x2) (x4- x2) • • •

(xn- x2). (x4- x3) (x 5- x 3 ) ... (xn- x3) (xn_1xn-2) (xn -xn-2) (xn -Xn-1)

H (xi- xj)

1
0 olduğu açıktır.

ALI ŞTIRMALAR 1. Aynı basamaktan karesel A,B,C matrisleri için tr (ABC) (BAC) oldu ğunu gösteriniz ?

tr

2. Herhangi düzgün bir P matrisi için tr (P -1 AP) = tr (A) oldu ğunu gösteriniz ? 3. Karmaşık bir A matrisi için tr (A*) ile tr (A) aras ında nasıl bir ilişki vardır, açiklayınız. Bir Hermitiyen matrisin daima bir gerçel ize sahip olduğunu gösteriniz ? 4.

2 1

A =

3 4) 23 12

1 -1 -1 1 -1 1

matrisi için do ğrudan Tanım 5 6.2 yi kullanarak det (A) yi bulunuz ?

5. Determinantm özeliklerini 1 den 10 a kadar ispatlaymiz ?

6. A—

a

(b) \c d

matrisi için e (x) = det (xI-A) = x 2 + tr (A) x+det (A) ve e (A) =O oldu ğunu gösteriniz ?

7. Aşağıdaki matrisler için c (x) =det (xI-B) yi bulunuz ve x in hangi değerleri için det (xI-B) =0 d ır, belirtiniz ?

(a)

B =

O 1 O 1 0 -4 4) OO 1) (b) B = ( O 5 ( 2 1 -2/ 4 3

8. Karma şık bir A matrisi için det (A) ile det (A ) aras ında nasıl bir ilişki vardır, açıkları/11z ? 9. X,Y ııxl niçiminde olmak üzere tr (XYT) = YTX oldu ğunu gösteriniz ? 10. A bir nxn biçiminde matris ise, det (A) ile det (cA) arsa ında nasıl bir ilişki vardır, açiklaymiz? 11.

det

det

(a+b c+ d

ke

f

/a

e

ke

de ğerini bulunuz ve bunu /b d) ve det (

ke

ile karşılaştırmiz ?

173

12. nxn biçiminde bir A matrisi Row Bı (A)

A

şeklinde yazılıyor. Q 1ve Q2 satır matrisleri olmak üzere Row 1 (A) =Q 1 + Q2 olduğunu

varsayahm. Ah ştırma 11 nı bir genelle ştirilmesi olarak

(Q ı +B Q2)

det (A) = det

= det

İQ İ

+ det

( QB2

olduğunu gösteriniz? 13.

0

1

0 1

O

) olmak üzere det (xI—C) y ı bulunuz? (Bilgi: xC2+ C 1 , C=( O 1 x2C 3 + C i , x3C4+ C 1 işlem-ao —al , — a2 —a3 lerini kullammz.) 14. A mxn ve B nxm biçiminde olmak üzere tr (AB) =tr (BA) olduğunu gösteriniz? 1,5. A =----D g(x,1,...,1) ve i ile j yinci satırları değiştirilmiş olarak B =A dır. Buna göre det (A) =x ve det (B) = —x oldu ğunu gösteriniz? 16. A üzerinde —2R 1 + R2, -4R 1 + R3 ,-R 1 + R4, R2, -5R2 +R3, -3R2+ R4, R3+ R4 işlemler dizisinin B yi verdiğini varsayahm. Buna göre det (A) ile det (B) aras ında nasıl bir ilişki vardır, belirtiniz?

(1 —1 2 0 2 2 1 —1 A=4 1 2 3

2

ise B, det (B) ve det (A) y ı bulunuz ?

0

17. Elemanter sat ır işlemleri (ERO) yardımıyle aşağıdaki matrislerin determinantlarnu bulunuz? (a) A =

(-1

1

3 (b)

24

(e) C

2

21/

2

3

4\

1

2

1 —1

1

3 2

(1

1

174

B=

ıı

1 —1 2 1

1 2 1\ 101 110 3 1 01

3 —2 1 6 0\ 5 —4 2 11 1 = 1 —2 2 —1 —5 3(d) 13 1 —6 3 10 4 —7 7 —3 .16 21

18. Sadece kolon işlemleri (ECO) yardımiyle Alıştırma 17 deki A ve C matrislerinin determin.antlar ım bulunuz ? 19. Aşağıdaki matrislerin determinantlarm ı sırasiyle Hermitiyen satır işlemleri (HRO) ve Hermitiyen kolon i şlemleri (HCO) yard ııııiyle bulunuz ? 1+i 3+4i 3i 5 6+7i \ 2-3i 4 (a) A= (4+ 2i 1+i 3-5i ) (b) B = (1-i 3-4i 2+3i 5 6+i 3 2-i 20. 5x5 biçiminde bir A matrisi için 2 Row 1 (A)- 2 Row 3 (A)+ 4 Row4(A) = 0 olduğuna göre det (A) = 0 oldu ğunu gösteriniz ? 21. A =

(Al ı O ) \0

Bilgi:

A22

olsun. Özellik 10 u kullanarak det (A) = det (A n). det (A22) olduğunu gösteriniz?

= (I (An O k0 A22 / \O

O

(0Aıı 0i)

A22)

22. Ekmatris formülü yard ımiyle Alıştırma 17 de C matrisinin C-1 tersini bıdunuz ? 23. cofii(A) = det (ARI<->Rowi (I)) oldu ğunu ispatlaynuz ?

5.7. SATIRCA E ŞDE ĞERLİ K ve LİNEER S İSTEMLER Bu kesimde a şağdaki genel lineer cebirsel denklem sistemini çözme problemi gözönüne alınıyor: a12x2 + a i3x3 +...+ İ nxn = k ı anxi + a22x24- a23x3 + • • . -4- a2 nxn = k2

am ixi + am2x2+

amnxn = km

A mxn biçiminde katsay ılar matrisi, X = (x 1, x2,..., xn) 1 çıktı matrisi ya da bilinmiyenler matrisi ve K = (k i , k2,..., km)T girdi matrisi ya da kuvvet fonksiyonu olmak üzere bu sistem AX =K biçiminde bir tek matris denklemi olarak yaz ılabilir. 175

Bu sistem hakkında gözönüne alman sorular, birinci basamaktan başlangı ç de ğer problemleri hakk ında sorulan sorunlar ın aynıdır: 1. Çözümler var midir? 2. Bir çözüm var ise, o tek midir? 3. Çözüm ya da çözümler nas ıl bulunacaktır? Bu soruları tam olarak cevapla mak mümkündür. Bu kez elde edilen sonuçlar, birinci basamaktan lineer diferensiyel denklemler için elde edilen sonuçlara benzedi ği gibi, aynı zamanda daha yüksek basamaktan lineer diferensiyel denklemler ve birinci basamaktan lineer diferensiyel denklem sistemleri için elde edilen sonuçlara da benzerdir. Birinci basamaktan lineer diferensiyel denklemin incelenmesinde oldu ğu gibi homogen olmayan AX =K sisteminin çözümlerinin yap ısı , büyük çapta sisteme ilişkin AX =0 homogen sisteminin çözümlerinin yap ısına ba ğlıdır. AX =K ve BX =H gibi iki sistem tamamen ayn ı çözümlere sahip iseler, eşdeğer sistemler adını alırlar. Buna göre AX =K sistemini çözmenin temel yöntemi, çözümler ya belirgin ya da kolayl ıkla elde edilebilir olacak biçimde e şdeğer BX =H sistemini bulmakt ır. Şimdi de şu sorular akla gelebilir: 1. Hangi tür B katsay ılar matrisi için BX =H sistemini çözmek kolaydır? 2. Eşde ğer bir sistem elde etmek için AX =K sistemine ne yap ılabilir ? Birinci sorunun cevab ını düşünme fırsatı daha önce kar şımıza çıktı (bak. Kesim 5.2, Alıştırma 7). Kesinlikle B kö şegen ya da üçgensel ise BX =H sistemini çözmek kolayd ır. B köşegen olması durumunda sistem tamamen ayr ılmıştır, yani b iixi = hi biçiminde m denklemden oluşur. B üçgensel ise çözüm o kadar belirgin de ğil ancak kolaylıkla elde edilebilir. 3x3 biçiminde üst üçgensel matris ile bunu göstermek yetecektir. Bu durumda sistem h ı lxı + b ı2x2+ b ı 3x3 = h ı h22x2+ hı3x3 = hı b 33x3 = h3 176

biçimindedir. Geriye doğru konum (back-substitution) denen bir teknikle sistem çözülebilir, b i; / 0 olmak şartı ile son denklemden x 3 , ara denklemden x2ve ilk denklemden de x ı bulunur. b 33 =O ise h3 =0 olmadıkça sistem uyumlu de ğildir, yani çözümü yoktur. b 33 =h3 =O ise x3 istekseldir ve bu durumda çözüm tek de ğildir. Genel olarak, çözüm var olmak ş artı ile herhangi b ii =0 ise çözüm tek de ğildir. İkinci soruya gelince, denklem sistemleri üzerindeki a şağıdaki işlemlerin bizleri daima bir e ş değer sisteme götürdü ğünü bil*yoruz: Tür I. i ve j denkleminin yerlerini de ğiştirmek. Tür II. i yiuci denklemi bir k (k 0) skaleri ile çarpmak. Tür III. j denkleminin k kat ını i denklemine eklemek. Bu işlemeler, daha önce tan ımlanan elemanter sat ır işlemlerini tamamen (A : K) eklemeli matrisinin satırlarma uygulamaya kar şılık gelir: Tür I. (A c K) üzerinde Ri4-› Ri işlemine karşıl ık gelir. Tür II. (A K) üzerinde kR i işlemine karşılık gelir. Tür III. (A K) üzerinde kR i

Ri işlemine karşıhk gelir.

AX =K sistemini çözmede önerilen yöntem grafik olarak a şağıdaki akış tablosu gibidir.

Sistem BX=H

Sistem

AX=K

Matris

Çözüm

X

Matris

(AK)

ERO

(B:H)

Şimdi bazı örnekler gözönüne alal ım

ÖRNEK 1.

2x 1 + 4x2+ 3x3 + 2x4 = 33c1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 2 2x 1 + 5x2 + 2x3 + 3x4 = 3 4x1 + 5x2 + 14x3 + 14x4 = 11

sistemini gözönüne alalım.

177

(2 4 36 (A IK) =,-- 2 5 45 , 3R3 +R4 R2,,R 3

3 2 I 2 5 2 1 2 2 -3 1 3 14 14 11

24 3 2 2 0 1 -1 -5 1 0 0 1 /2 -1 j -1 (O0 5 -5 10

2 4 3 2 1 2 O 1 -1 -5 1 1 -R3+ R4 O O 1 -2 1 --2 O0 O114

-3 /2R 1 -; R t + R3 2-R -211 1 + R4 -.

2R3 1.„ :5'4

4 0 1 -3

0 O 2 0 O O

4 1 0 0

3 1 /2 -5 3 3 -1 1 1

2 -5 -2 -1

2 -2 -5 10

1 2 1 -1 1 1 1 7

1 2 1 1 1 -2 1 2

= (B : H)

(

olduğuna göre BX =H sistemi 2x 1 + 4x2 + 3x 3 + 2x4 = 2 x2-x3- 5x4 = 1 x3- 2x4 = - 2 x4 -- 4 biçimindedir. Buradan çözüm, geriye do ğru konum ile x4 = 4, x3 = 6, x2 = 27, x i = - 66 olarak bulunur. Yukardaki satır indirgeme aşağıdaki biçimde sürdürülebilir:

(13 11-1)

-3 R3 -1-R;

/2 4 3 2 1 2 (2 0 1 -1 -5 1 1 2R4 +->R3 0 0 0 1 -2 1 -2 5R4+ R, O \O 0 0 1 4 -2R4 + R i 0 2 4 0 0 1 -24 O 1 0 0 1 27 OO 1 0 1 6 00 O 1 1 4

4 1 O O

1 O -4R2 + R 1 0 1 0 0 1 /2R 1 O 0

3 O (-6 -1 O f 21 1 0 j 6 O 1 4 0 0 1-66\ 0 0 j 27 6 1 0 0 1 1 4/

Daha ileri bir sadele ştirme sözkonusu de ğildir. Son eklemeli matrise ilişkin sistem xi = - 66 x2= 27 3 - 6x x4 = 4 biçimindedir ve buradan çözüm belirgindir. 178

ÖRNEK 2.

A

2 4 3) K = 5) = ( -1 -2 6 -7

olmak üzere AX =K sistemi veriliyor. AX =K sistemi ile buna ili şkin AX =0 homogen sisteminin genel çözümünü bulunuz ?

-

1 2 -1 I 4

1 2 -1 14

( 2 4 3 I 5) -2R 1 -F- R2 (O 0 5 I -3) R 1 -1- R3 O 0 5 I -3 -1 -2 6 I -7

(A IK)

-> -R2+ R3

1 2 0 17 /5 (0 0

-3 /5)

0001

--I /5R2

(B III)

O

R2+ Ri olduğuna göre BX =H sistemi

17 5

2x2 -=

X3

3 = - Ç

dir ve buradan genel çözüm, e isteksel olmak üzere ( 17 5

biçimindedir. AX =O homogen sistemi için eklemeli matris (A 10) oldu ğuna göre (A 1K) yı (B IH) ye indirgemede kullan ılan aynı işlemler (A 10) ı (B 10) a indirger. Burada BX =0 sistemi Xi + 2X2 = 0 X3 = 0

ve genel çözümü -2c

X

Xh (X 2) ""=-X3

2

=e (

O)

(

O 179

biçimindedir. Buna göre AX =K homogen olmayan sisteminin ge lel çözümü / 17

I —2

5

X

=

17 5—

Xh+ Xp

e 3

biçiminde yazılabilir. Burada Xh, AX =O homogen sisteminin genel çözümü ve Xp de AX =K sisteminin bir özel çözümüdür. Örnek 2 nedeniyle bir lineer denklem sisteminin birden fazla çözüme sahip olabilece ği açıktır. Bu durum 3 boyutlu geometri ile uyumludur, çünkü m =n =3 durumunda her bir denklem bir düzlem gösterir ve çözümler, arakesit noktalar ı= koordinatlar ıdır. Geometrik olarak uzayda üç düzlem ya bir noktaya ya sonsuz say ıda ortak noktaya sahiptir ya da ortak noktalar ı yoktur. Örnek 2 aynı zamanda her karesel matrisin bir kö şegen matrise sat ırca indirgenemiyece ğini gösterir. Matrislerin sat ırca indirgemesini irdelemede yarar sa ğlayan tanımı verelim. TANIM 5.7.1. A ve B mxn biçiminde iki matris olmak üzere B, sonlu sayıda elemanter sat ır işlemleri dizisi ile A dan elde ediliyorsa, A. ve B matrislerine satırca eşdeğerdir. (A 'k' B) denir. Satırca eş değerlik, matrisler aras ında eşitliğe göre daha az kısıtlayıcı bir ilişkidir, ancak eşitliğin temel özeliklerini Sa ğlar: Her Amatrisi için A

k' B dır. (Yansıma özeliği)

A R B ise B Z' A dır. (Simetri özeliği) A 1":£ B ve B R C ise A j'j, C dır. (Geçi şme özeliği) Bu kesimin irdelenmesi a şağıdaki teoremde özetleniyor. TEOREM 5.7.1. (A I K) ve (B H) eklemeli matrisleri sat ırca eşdeğer ise AX =K ve BX =H sistemleri tamamen ayn ı çözümlere sahiptir. 180

Bu teoremin tersi kesinlikle do ğru de ğildir, çünkü iki sistem e şdeğer olabilir, ancak ayn ı sayıda denkleme sahip olmayabilir. Bu durumda eklemeli matrisler ayn ı sayıda satırlara sahip olmazlar. Bu kesimin son teoremi, bir matrisin elemanter sat ır işlemleri ile nasıl tamamen basit bir şekle getirilebilece ğini açıklıyor. TEOREM 5.7.2. Her mxn biçiminde bir A matrisi, a şağıdaki özeliklere sahip bir tek E matrisine sat ırca eşdeğerdir: 1. Her bir sat ırın sıfırdan farklı ilk elemanı 1 dır ve onun gözüktüğü kolon birim matrisin bir kolonudur. 2. E nin sıfır satırları , eğer var ise en sonra gelir. 3. Sıfırdan farklı satırlarda temel 1 ler (1, c i ), (2, c 2),..., (r,c r) konumlarında gözüküyorsa, bu durumda c i < c2 < < cr dir. Bu teoremde verilen üç ko şulu sağlayan bir matrise satır indirgemeli eşelon biçimindedir denir. E ş elon biçiminde bazı matris örnekleri, Örnek 1 ve 2 de elde edildi. Di ğer böyle bir matris

120400 7 0 01200-2 000010 000001 3 000000 (

biçimindedir. Bu matris için s ıfırdan farklı satırlarda temel 1 ler, (1,1), (2,3), (3,5) ve (4,6) konumlarındadır, yani c l = 1, c2 = 3, e 3 = 5 ve c4 -= 6 dır. Colc ı (E) = Col ı (I), Col e2 (E) = Co12(I), Cole3(E) = Co1 3 (I) ve Col" (E) =Co14(I) dır. Teorem 5.7.2 nedeniyle herhangi bir A matrisi bir tek E matrisine satırca eşdeğerdir. Bu E matrisi, satır indirgemeli eşelon matrisi ya da A nın satır kanonik biçimi adını alır. A karesel ise, bu durumda E e şelon matrisi üst üçgenseldir ve E bir sıfır satıra sahip olmadığı sürece E =I d ır (bak. Örnek 1 ve 2). AX =0 homogen sisteminin A katsay ılar matrisi karesel ve A I ise, bu durumda AX =0 sistemi tek X =0 çözümüne sahiptir. E eşelon matrisi I değilse, bu durumda E bir s ıfır satırma sahiptir ve homogen sistemin sıfırdan farklı çözümü vardır. AX = K sistemini, (A l K) eklemeli matrisin e şelon formuna indirgeyerek çözmeye Gauss-Jordan yoketme yöntemi denir. Örnek 1 de olduğu gibi, bir üst üçgensel matrise vard ıktan sonra satır indirgeme 181

durdurularak çözüm geriye do ğru konumla elde edilirse bu yönteme de Gauss yoketme yöntemi denir. Genel olarak Gauss yoketme yöntemi,

Gauss-Jordan yoketme yönteminden daha az say ısal işlem gerektirir.

ALIŞTIRMALAR Eklemeli matrisi e şelon biçimine sat ırca indirgeyerek a şağıdaki sistemlerin her birinin genel çözümünü bulunuz? 1. 3x i- x2 + 2x3 =-- - 4 2x 1 + x2 + x3 = - 1 xi + 3x2 = 2 3• xi- x2- x 3- x4 = 5 x i + 2x2 + 3x3 + x4 = - 2 3x i + x2+ 2x4 - 1

2. x 1 -x 3 = 3 x2 + 3x3 = 1 x i + 2x2 = 7 4. 3x1 + 2x2 + 16 x3 + 5x4 =0

2x2 10x3 + 8x4 = 0 xi + X24- 7x34- 3x4 = 0

2x1 + 2x3+ 3x4 = 3 5. 7x 1- 8x2 + 8x3 = - x l 1- 16x2- 18x3 — - x29x 1 + 11x2 + 13x3 = -5x - x3

6. x i + 4x3 = 3x1 5x2 + 4x 3 = 3x2 -4x 1 + 4x2 + 3x 3 = 3x 3

7. (A:K) 7z; (B !H) ise' bu durumda A 7t, B ve K R H olduğunu gösteriniz. Bunun tersi do ğru mudur, aç ıklaymız? 3-12100 B = (2 1 1 0 1 O) 8. 1-30001 matrisi için satır indirgemeli e şelon matrisini bulunuz? 9.

A

1 2 3 2 4 5) olmak üzere (A IK I IK2 'K3) matrisini sa= ( 3 5 6 tırca indirgeyerek a ş ağıdaki üç sistemi

aynı anda çözüniiZ? (a) AX -=K = (1) (b) AX =K 2 = (-3 ) (e) AX=K 3 = 2) -2 2/ 10.

A 182

1 3 3 0 1 0 1 3 4) olmak üzere AX = (0) , AY = (1) , AZ = (0) = (1 4 3 1 0 0

biçiminde verilen üç sistemi ayn ı anda çözünüz ? B =(X,Y,Z) ise AB ve BA yı bulunuz ? 11.

3x1— x2+ 2x3 = 2 2x2 +

X2+

x3 + 3X2

X3 = 1 =2

sistemini, eklemeli matrisi sat ırca indirgeyerek çözmeye çal ışınız. Ortaya çıkan durumun geometrik anlam ı nedir, açıklaymız ? 12. Aşağıdaki sistemin uyumlu olmas ı için h ın alabileceği değer ya da değerleri bulunuz ? xi + 2x2+ 3x3 + X4 = 3 3x1 + 2x2 + x3 + 4x4 = 7 2x2+ 4X3+ X4 = 1 ,_ xi+ x2 + x3 + x4 = h 13. Bir matris üzerinde her elemanter sat ır işleminin aynı bir elemanter sat ır işlemi ile geri alınabileceğini gösteriniz ? 14. Aşağıdaki işlemler dizisinin A üzerindeki etkisi nedir? Ri+ Ri, -Ri+ Ri, Ri+ Rj —Ri ,

15. E matrisi, r (r < m) s ıfırdan farklı satırlı bir mxn eşelon matrisi olsun. Buna göre a 1 Row 1 (E) + a2 Row2(E) +...+ arRow,(E) = 0 ise a l = a2 =... = ar =0 olduğunu gösteriniz 16. A ve B, A R B olmak üzere karesel matrisler olsun. S ıfırdan farklı herhangi k i skaleri için det (A) = k 1 det (B) olduğunu ve ayrıca B nın aykırı olmasının, A nın aykırı olması ile eşdeğer bulunduğunu gösteriniz. 17. A "k' B ise bu durumda B nin satırlarmın, A nin satırlarının lineer kombinasyonları olduğunu gösteriniz ? 18. Eirinci basamaktan Y' (t) = AY (t) lineer diferensiyel denklem sistemi gözönüne al ın ıyor. A katsayılar matrisi basit (kö şegen ya da üçgensel) ise, çözüm kolayl ıkla bulunabilir. Buna göre a şağıdaki durumlarda r(t):=AY (t) sisteminin çözümünü bulunuz ?

183

(a) A 3/ (b)

,

-1 0 A = ( O OO -1

Y (0) \ 2/ O ,

3 Y (0) = 8)

-3 (e)

-1 3 -2 0 = O 3 2) Y (0) = (1 ) O O -1 O

5.8. ELEMANTER SATIR I Ş LEMLERI YARDIMIYLE TERS MATRİ SLERİN BULUNMASI Bu kesimde nxn biçiminde düzgün bir A matrisi ııiıı tersini bulmada satır indirgeme tekniklerinin nas ıl kullan ılacağı görülecektir. Herhangi bir K için AX =K sistemi bir tek çözüme sahip olacak ş ekilde A nın I ye sat ırca eş de ğer olduğunu varsayahm. Özel olarak, K =(1,0,0,...,0)T = Co1 1 (I), K =--(0,1,0,...,0)T = Co1 2(I),..., K =(0,0,0,...,1)T = Col n(I) için sistem, Gauss yoketme yöntemi ile rahatl ıkla çözülebilir. Bu ıı sistem, birlikte Col n(I) ) (A 1Col ı (I) I Co12 (I) matrisini sat ırca indirgemekle çözülebilir.

(A II)

A ?'{, I olduğundan bu sat ır indirgeme ile, P nin kolonları yukardaki n. sistemin çözümleri, yani ACol 1 (P) = Col 1 (I), ACo1 2(P) = Co1 2(I),..., ACol n(P) = Col n (I) olmak üzere (I IP) matrisine var ılır. Bu rı eşitlik, bir tek AP =I e şitliğine e ş değerdir. Öte yandan A I olduğundan det (A) / 0 (bak. Kesim 5.7, Al ıştırma 16) ve Sonuç 5.6.1 nedeniyle de A-1 vardır. Buna göre AP =I soldan A -1 ile çarpılarak P-1 =A-1 AP —A-1 I =-A-1 olduğ u sonucuna vardır. Bu irdeleme a şağıdaki teoremde özetleniyor. TEOREM 5.8.1. A nxn biçiminde ve (A II) 'it' (I IP) ise P =A -1 dır. Bu teoremin sonucu, bir matrisin tersini bulmada son derece etkili bir yöntem verir. Bu yöntemin, Kesim 5.6 da irdelenen adjoint formülü kullanmaya göre daha az aritmetik i şlem gerektirece ği açıktır. 184

ÖRNEK 1.

(A

-1 -1

2 0

3 2

1

-11 3

-1 83

A ---

1 2 4 \1

(1 2

-1 -1

2 O

1 1

1 9

-Il 3

-1 83

2 -4 -19 1

:3 I -4 1 -13 I 80

-2 -4 1 13

-1 -4 I 7 I 92 I

-2 6 5

1 -5 -3

O 1 0

0 0, 1/

13 I 11 24 , 22 6 '7 I -73 1

-9 -19 r-5 62

92

O\ 0 I O) 1

ise

A-1 i bulunuz?

1 O

O 1

0 O

O) O

0 0

0 0

1 0

0 1

1

0

O

O

-2 -4 -1

1 0 O

0 1 0

0 0 1

3 1 2 1

I)

/1

-1

-2R 1 + R,

0

1

R, -R 1 -1- R

O

5 3

0

ı. +-3R2 + R4

0

ı,

0 \O

0 0

.

0 o\

N

il

0

2R,-1- R ; 4R,-1- R .-2 -13R,-1- R .;

0 0 ‘O \

1 0 0

00 1 O_

> -7R 4 + R, -24114 1- R2 -13R4 + R i

il 1 0

0 1

0 0

01 01

\00 \0

0

1

01

0

0

1I

960 1774 517 -73

-815 -1507 -439 62

1 -13 171 316 92 -13

-13 -24 -7 1

=

(I 1 A-1

)

oldu ğuna. göre

A-1

960 -815 171 -13 1774 -1507 316 -24 517 -439 92 -7 62 -13 -73 (

dır. Görüldüğü üzere bir matris sadece tamsay ı elemanlarma sahip ise, bu durumda Teorem 5.8.1 ın yöntemi kullanılarak kesirli herhangi bir işlem yapmaksızın, onun tersi bulunabilir. Daha çok el i şlemleri için önerilen yöntem a ş a ğıdaki örnekte veriliyor. 185

ÖRNEK 2.

B

3 2 (1

=

2

-1 1 -3

ise B -1 i bulunuz.

11 0

3 -1 (B II) = (2 1 1 -3

2

1

1

0

0 O

0 1 O

-> 1 -3 -21t 1 + R2 (O 7

8

0 1 1 1 2 1

0 O 1

O 1 1 -3 01 O -> 1 -2 (O -1 -1 I -1 0 -3 ) -R3 + R2 \ O 8 2 I 1

1 -3 (O 1 O 8

O 1 1 I 2 1

O 1 1

-31t 1 + R3 O

- R2

-R3 6Rİ 26R

6 (O \O

1 /6R i (I 1 1 /6R2 1 /6R3

0 18 6 6 O 6

O O) R <->R3 1

1 -3 O 1 (2 1 1 1 3 -1 2 1

O

O 1

O

1 1 o) O Ol

O

1)

1

1

O -3

O 1 -> 1 O 3 I 3 -3 -2 -1 -1) 3R2+ R ı (O 1 1 I 1 -1 -1) 0 -3 -8R2 + +R3 O 0 -6 I -7 8 5

18 -18

6 -6 7 -8

12 -> 6 -6) -R 3 + R2 (O -5 -3R3 + 7O

O 6 O

O I -3 6 3 O 1 -1 2 -1) 7 -8 -5 6

1

6

\ 7 -8 -5/ /

olduğuna göre

B-1=

61

C-31 26 -31) 7 -8 -5

dır. Şimdi elemanter satır işlemleri ve matris çarpımı arasmdaki önemli ve yararlı bir ili şkiyi belirten bir teoremden sözedelim. Bu ili şki matris tersleri hakkında önemli gerçekleri ortaya ç ıkarmada yararl ı olacaktır. Daha önce Kesim 5.3 de Alıştırma 11 olarak verilen matris çarp ımları bu teoremiıı bazı özel durumlarını içermektedir.

TEOREM 5.8.2. Bir A matrisi üzerinde bir elemanter sat ır işlemi, A matrisini üzerinde belirtilen i şlemin yapıldığı bir birim matris ile soldan (ya da A dan önce) çarpmakla elde edilebilir, yani A ER O = (IER0) A dır, ya da açık olarak 186

Tür I = (IB,1<->Rj) A AR,v(->Rj Tür II Akil.' = (IkRi) A Tür III AkR1+ Rj = (IkRi+Rj) A dır. Ispat. Bu teoremin ispat ıııda kullanılacak temel araç, Sonuç 5.5.1 dır, yani Rowi(EA) = (Rowi(E) ) A ve bunun özel bir durumu olan Rowi(A) = (Rowi(I) ) A dır. Buna göre iki yandaki matrislerin e şit satırlara sahip oldukları gösterilirse matrislerin e şit oldukları sonucuna varılacaktır. Tür I. i ymcı satır için Rowi( (IRj*-->Rj) A) -= (Rowi(IRI<->Rj) ) A =Rowi(I) A = Rowj(A) = Rowi(AR“-->Ri) Benzer olarak j y ıncı satır için Rowj( (IRi e-->Rj) A) = (Rowi(IRI <-4B,j) ) A = (Rowi(I) ) A = Rowi(A) = Rowi(ARj+->Rj) ve h

i,j olmak üzere h yıncı satır için Rowb( (IRi4-4Rj)A) = (Rowh(IRi<-+Rj) ) A = (Rowh(I) ) A =-- Rowh(A) = Rowh(AR ı<->RJ) dır. Böylece (IR14-›Rj) A ve ARi•-->gi matrisleri e şit satırlara sahip olduklarından e şittirler. ^

Tür II. Herhangi bir j ymc ı satır için Rowi(IkRiA) = (Rowj(IkRi) ) A (Row j(I) A Rowj(A) = Rowj(Ak ıtı) ve j =i ymcı satır için Rowi(IkRiA) = (Rowi(IkRi) ) A = k. Row i(I) ) A = kRowi(A) = Rowi(AkR ı) olduğundan AkRi ve (I kRi) A eşit satırlara sahiptirler ve e şittirler. Tür III. Herhangi bir ij sat ırı için A) = (Row4kRı +Rj) ) A = Rowi(I) A = Rowi(A) = Rowt(AkR ı+RJ) ve i =j yıncı satır için Row ı(

Rowj( (I kRi+Rj ) A) -= (Rowi(IkRi+Rj) ) A [kRowi(I)+ Rowj(I) I A =kRowi(1) A+ Rowi(I) A = kRowi(A)+Rowj(A) =- Rowi(Aut ı-I-Ri) 187

olduğundan AkRi+Rj ve (IkRi+Rj) A matrisleri e şit satırlara sahip olduklarından e şittirler. Bu teoremde gözüken IR1<->Rj, IkRi, IkRi +Rj matrisleri, matris kurammm gelişiminde son derece önemlidir. TANIM 5.8.1. Bir tek elemanter sat ır işlemi ile birim matristen elde edilen matrise bir elemanter matris denir. Buna göre IRI4-)Rj, IkRi +Rj matrisleri s ırasiyle birinci, ikinci ve üçüncü türden elemanter matrislerdir. Aşağıdaki özeliklerin do ğruluğu Teorem 5.8.2 yi kullanarak ya da doğrudan gösterilebilir: (Igi<_>RJ)-1 = IRiHRj

(IkB,i) -1 = I ı Ri, k0 k

(IkRı+Ri)-1 = I-kR i +Ri Bu yüzden bir elemanter matris diizgündiir ve onun tersi ayn ı türden bir elamenter matristir, Örne ğin, 3x3 biçiminde elemanter matrisler için O0

(IRI<->R3) -1

(ı kR2 )-- i

1 )1

—( o o o ı lo

ı 0 o -İ —

o 0 1 — (o ı0o) o ı

= I R İ <-->R3

1 0 0

O k O) = (O 1 /k O) O O 1 O O 1

= I iir-R2

(

1 0 O

( I kR2+R3) -1

=

-1

1

(o ı o ) = (o ,0 k i/ \o

0 k ı

O

1/)

i_ kR2+R3

dır. Satırca e şdeğerlik, Teorem 5.8.2 yı kullanarak matris çarp ımı cincinden ayırdedilebilir. TEOREM 5.8.3. A R B ise, PA =B olacak ş ekilde elemanter matrislerin çarp ımı olan düzgün bir P matrisi vard ır. Tersine olarak, P düzgün bir matris olmak üzere PA=B ise, bu durumda A 'ft,' B dır. Ispat. A 7c, B ise E l , E2,..., Et, A yı B ye indirgeyen elemanter satır işlemlerine karşılık elemanter matrisler olsun. Teorem 5.8.2 nedeniyle 188

Et(... (E 2(E İA) )...) = (EtEt_ 1 ... E2E 1 ) A=B dır. Böylece P =E tEt_ İ ... E2E 1 alınabilir. Bunun tersini ispatlamak için, P düzgün ise P Z' I olaca ğından Teorem 5.8.3 ün ilk kısmı nedeniyle P elemanter matrislerin çarp ımıdır. Yukardaki ispat düzenindeki basamaklar geri alınarak ikinci kısmın ispatı tamamlanabilir. P =PI=(EtE t _İ ... E2E 1 ) I olduğundan, elemanter sat ır işlemleri A yı B =PA ya indirgiyor ise bu durumda do ğal olarak I üzerinde ayn ı işlemler dizisinin de P yi verece ği anlaşılır. Böylece şu sonuca varıhr. SONUÇ 5.8.1. (A II) Z (B IP) ise bu durumda PA =B d ır. Bu sonucun özel bir durumu B =I olmak üzere PA =I d ır ve bu da Teorem 5.8.1 ın ba ğımsız bir ispatmı verir. Şimdi bu kesimde elde edilen sonuçlar, matrislerin terslerinin varl ığı hakkında bazı yararh gerçekleri kurmada kullan ılabilir. TEOREM 5.8.4. nxn biçiminde bir A matrisi için a ş ağıdaki anlatımlar eşdeğerdir: 1. A 'it' I dır. 2. A elemanter matrislerin çarp ımıdır. 3. A-1 vardır. 4. A bir sol terse sahiptir. (PA =I olacak şekilde P matrisi vardır.) 5. AX =0 ise X =O dır. 6. det (A)

0 dır.

Ispat. 3 ve 6 anlat ımlarmm eş değer olduğu bilindiğinden aşağıdaki gerektirmeler zincirini kurmak yetecektir: 1- 2 -> 3 --> 4 -> 5 --> 1 1-*2. Teorem 5.8.3 ve Sonuç 5.8.1 den, Ei elemanter matrisler olmak üzere A -1 = (EtEt_1 ... E2E1) dıır. Teorem 5.3.5 den A =(EtEt_ İ ... E2E 1 )-1 = E İ-1 E2-1 ... E t_İ lEt-ldır. Tanım 5.8.1 i izleyen uyarıda belirtildi ği üzere bir elemanter matrisin tersi de bir elemanter matristir. Teorem 5.3.5 ve yukarıdaki uyarıdan bütün elemanter matrislerin düzgün oldu ğu sonucuna vardır. 189

3-4. Belirgindir. 4->5. AX =0 sistemi soldan A n ın tersi ile çarp ılırsa X =0 olduğu anlaşılır. 5->1. A 'j; I oldu ğu doğru değil ise, bu durumda A nın satır indirgemeli biçimi bir sıfır satırma sahip olaca ğından AX =0 sistemi sıfırdan farkh çözümlere sahip olur. Matris tersi, kuramsal görü ş açısından temel öneme sahiptir. A-1-

ın elemanlarına açık olarak pek seyrek gereksinim duyuldu ğu halde çoğunlukla verilen herhangi bir B matrisi için A -1 B çarpımıııa gereksinim duyulur. Böyle bir çarp ım en etkili biçimde (A IB) ERO (I IP) den P =A-1 B olarak bulunur. ALI ŞTIRMALAR Teorem 5.8.1 i kullanarak aşağıdaki matrislerin terslerini bulunuz ? 1

LA

3. C

=

=

7. G

9. J

190

2. B (3

e

(3 -,2/

0 1 O 1 1 1 3

5\

=

4/

1 (3 1 1 -1 2 1

S. E

2

2

1 O O

4. D

=

2 0 1 1

1 1 O O 1 4 16 64

8. H

=

O 0 O 3

10. K

=

1

1

1

1 1

2

3

1

4 9 8 27

3 1 O O

0 3 1 O

0 O 4 1

6. F

=

4 (O ‘2

1 1 O

4 t) 3'

1 -1 1 -1

3 4 2 1 2 3 -1 1 2 1 -1 1

1 2 4 8

0 1 1 1 -1 O 4 1 0 12 -1 0

1 3 (-4 2

0 2 1 3

0 O 3 5

0 O O 4

11. A simetrik ise, A-1 in var olmak koşulu ile A-1 in de simetrik' olduğunu gösteriniz ? 12.

A =

1 2 -1 B = (-1 1 21 2 -1 1

2 3 4 4 3 1) (1 2 4

ise PA =B olacak şekilde düzgün bir P matrisi bulunuz. A n ın tersinin varlığını gerektirmeyen bir yöntem türetebilirmisiniz, aç ıklayınız ? 13. A =BC ve A düzgün olacak şekilde A,B,C karesel matrisler ise, bu durumda B ve C nin de düzgün olduğunu gösteriniz ? (Bilgi: özelik 10 dan değil Teorem 5.8.4 den yararlan ınız.) 4 1 2 6 14. A = ( 1 2 4 1 O -1 -2 1 O 6 12 O

ise PA e şelon biçiminde olacak şekilde düzgün bir P matrisi bulımuz. P tek midir?

15. Ahştırma 1 ve 3 ün A ve C matrislerini, elemanter matrislerin çarpımı olarak yazınız ? 16. Bir elemanter matrisin transpozunun da bir elemanter matris olduğunu gösteriniz? 17. E bir elemanter matris ise det (EA) = det (E) det (A) oldu ğunu gösteriniz? 18. Teorem 5.8.4. ve Alıştım-la 17 nin sonuçlarını kullanarak, A düzgün ise det (AB) = det (A) det (B) oldu ğunu ispatlaymız ? Daha sonra Ahştırma 13 ve Teorem 5.8.4 ün 6 ıncı anlatımından yararlanarak bütün durumlarda det (AB) = det (A) det (B) oldu ğunu gösteriniz? 19. P,A-1 e bir yaklaşıkhk olsun (PA, I den sadece bir kaç yerde farkediyor). P ve PA dan A -1 in nasıl bulunaca ğını gösteriniz? 20. A ve B nin k yineı kolon dışında benzer ve A-1 ın bilindiğini varsayahm. B -1 ın A-1 den nasıl bulunacağını gösteriniz ? 21. Satırca eş değerliğin, bir eş değerlik bağıntısı olduğunu, yani yansıma (A it A), simetri (A 'k' B ise B Z, A) ve geçi şme (A "it B ve B 'ir, C ise A `İ ', C) özeliklerini sa ğladığını gösteriniz? 22. Aşağıdaki matris çarp ımlarım bulunuz ? 1 2 \ -1 (2 5 \ (a) 3 4 1 \3

-2)

(b)

1 0 1 -1 4 1 4 (O 1 O) (3 1 O) 2 0 3 1 0 O 191

10 -3-3 23. P = ( -8 ) 2ve A = -3 1 1

17 12 18 -) -16 -9 24 ( -5 -4 -4

ise (P-1 A) P yi bulunuz ?

5.9. AX =X SISTEMININ ÇÖZÜMLERİ Nİ N YAPISI Bu kesimde AX =K sisteminin çözümlerinin varl ığı ve tekli ği üzerinde durulacaktır. Bu konudaki sonuçlar ço ğunlukla a şağıda tanımlanan bir matrisin rank kavramına dayanır TANIM 5.9.1. Herhangi bir A mxn matrisi için, A ya sat ırca eş değer bir tek satır indirgemeli e şelon matrisi E olsun rank (A) ile gösterilen A nın rank ı, E nin sıfırdan farkh sat ırlarmın sayısı olarak tammlamr. İki matrisin sat ırca eşdeğer olması, onların aynı eşelon matrisine satırca eşdeğer olması ile eşanlamh olduğundan aşa ğıdaki teorem verilebilir. TEOREM 5.9.1. Sat ırca e şdeğer matrisler e şit ranka sahiptir. Bu noktada belirtelim ki Tan ım 5.9.1, rank (A) nın klasik tanımı değildir. rank (A) nın klasik tanımı, A nın sıfırdan farkh determinantl ı en büyük karesel altmatrisinin basama ğı olarak verilen tammd ır. Bu iki tanım eşdeğerdir, ancak uygulamada A nın rankı hemen hemen doğrudan klasik tan ımdan gidilerek bulunmaz. Rankın belirtilen tammma göre, her matrisin tamamen belirli ve tamsayı olan bir rankı vardır. Bir matris sıfır matrisi de ğilse en azından determinantı sıfırdan farklı birinci basamaktan bir altmatris kapsar ve bu durumda rankı 1 dır. Sıfır matrisinin rank ı 0 olarak kabul edilir Herhangi bir A nxn matrisi için A R I olmas ı , A-1 ın var olması ile eş değer oldu ğundan, A-1 ın var olmasının rank (A) = n olmas ı ile e ş değer olacağı açıktır. Bu koşul, Teorem 5.8.4 de verilen A -1 ın varlığına e şdeğer şartlar listesine eklenebilir. AX =K sistemine, eğer en az bir çözüme sahip ise uyumludur denir. Sistemdeki herhangi bir uyu ş mazlık, eklemeli matris satır indirgemeli oldu ğunda su üstüne çıkar. Uyarı işareti, indirgemenin herhangi bir basamağıııda son kolon dışında sıfır olan bir satım ortaya çıkışında görülür. Buna göre verilen sisteme ili şkin (A IK) eklemeli matrisi sat ırca indirgenerek (B III) matrisi bulunur. Buradan 192

rank (A) = rank (B) = B nin s ıfırdan farklı satırlarının sayısı < (B 111) ın sıfırdan farkl ı satırlarının sayısı = rank (B ILI) = rank (A 1K) dır. Eğer hiç bir zorluk ortaya ç ıkmıyorsa, s ıfırdan farklı r satıra sahip (B IH) sat ır indirgemeli e şelon matrisine vard ır ve bu durumda r=rank (A) = rank (A 1K) = rank (B 1H) dır. Bu durumda BX =H sistemi r denkleme sahiptir ve ve bu denk emler r bilinmiyeni, geri kalan n-r bilinmiyen cinsinden belirtir. ÖRNEK 1. Satır indirgemeli eşelon matrisi olmak /1

—2 0 5 0 0 0 3 013-1002

0 B 11)

(A K)

0 000 0103 0 0 0 0 OO1 o

ko

o o o o o 0 o

üzere AX =K sistemini gözönüne alal ım Buna göre BX =H sistemi xl--2x2 +5x4 = 3 x3 +3x4—x5 = 2 x6 x7

x i = 3+2x2--5x4 ya da x3 =- 2-3x4 -Lx5

3

x6 =3

=--- O

x7 — O_

=

biçimindedir. Buna göre x 2, x4 ve x5 isteksel, yani x2 = c i , x4 = c2, x5 = c3 olmak üzere AX =K sisteminin genel çözümü • 3 +2c1-3c2 el '

—3c,--1--c

x

ç2

C2

c3 3 O 3

2° cı

-

h-

0

0 (3

biçimindedir. 193

Doğal kullanış bakımından bu sistem 3 serbestlik derecesine sahiptir. rank (B) = 4 ve serbestlik derecesi say ısı, bilin.miyen sayısı ile B nin rankı farkına eşittir. TEOREM 5.9.2. A r ranklı bir mxn matrisi olsun. Buna göre AX =K sisteminin uyumlu olması, r =rank (A) = rank (A 1K) olmas ı ile eşdeğ erdir. Bu durumda genel çözümde n—r serbestlik derecesi (ba ğımsı z isteksel sabitler) vard ır. AX =K sisteminin genel çözümü, normal olarak belli isteksel sabitler kapsar, Genel çözümde isteksel sabitlere belli de ğerler vermekle özel çözümler elde edilir. Lineer diferensiyel denklendere gelince durum aynıdı r. AX =K sistemi, K =0 durumunda homogen sistemdir. Bu durumda X =O, daima AX=_ O sisteminin bir çözümü oldu ğundan uyuşmazlık diye bir sorun yoktur. Homogen durumda önemli sorun, s ıfırdan farklı çözümlerin var olup olmamas ıdır. A, n yinci basamaktan bir karesel matris ve rank (A) = n ise, bu durumda det (A) 0 ve A -1 vardır. Kuş kusuz bu durumda tek çözüm olarak X = 0 elde edilir A mxn biçiminde herhangi bir matris ise, tabii olarak (A 10) eklemeli matrisi sat ırca indirgenir. Her ERO son kolonu de ğiştirmiyeceğinden, B eş elon biçiminde olmak üzere sat ır indirgemeli (B 10) matrisine vard ır. r .----rank (A) = rank (B) = B nin sıfırdan farklı satırlar= sayısı olsun. r< n ise, yukarda olduğ u gibi r bilinmiyen, değerleri isteksel olmak üzere geri kalan n-r bilinmiyen cinsinden çözülebilir. r =n ise, bu durumda tek çözüm X =0 dır. TEOREM 5.9.3. A mxn biçiminde olsun. AX =0 homogen sisteminin sıfırdan farkh çözümlere sahip olmas ı, r =rank (A) < n olması ile eşdeğerdir. Bu durumda genel çözümde n-r serbestlik derecesi (ba ğımsız isteksel sabitler) vard ır. Teoremin ko şulları m
HOMOGEN OLMAYAN SISTEM AX=K

S İ STEM AX = K A mxn K = mxl Hay ı r

Evet

rank (AEK =rank(A)midir

HOMOGEN SISTEM AX = 0

Evet

midir?

=rank(A) r=n midir?

Hay ır

Evet Uyumsuz sistem: çözüm yok

/r=rank( /r.rı midir? Hayı r

Evet

1 r< n sonsuz sayı _ da çözüm vard ı r.

Tek çözüm vard ı r. r=m=n ise 1 A vard ı r ve x=A I K d ı r.

X O tek çözümdür

Hay ı r r< n sonsuz say ı da s ıf ı rdan farkl ı Gözüm vard ı r .

Genel Çözüm

1

r bilinmeyen

Genel çözüm r bilinmeyen ,

geri kalan n - r

geri kalan n-r bilinme_ yen cinsinden bulunur.

bulunur.

bilinmeyen cinsinden

Şekil

5. 9.1

ÖRNEK 2. Örnek 1 deki sisteme ili şkin AX =O homogen sistemini gözönüne alalım. Buna göre 1-205 00010 O 013-10010 (A 1 0) 'ii` (B10)----= 0 0 0 0 O 1 010

O O O O O O 110 O 0 0 O 0 0 0 1 O dır. Buradan BX =0 sistemi x 1-2x2 + 5 x4 = 0 x3 +3x4—x5 = O o ya da x6 = x7 = O biçimindedir İkinci düzende X2, belirgindir. Genel çözüm

X

XI X2 X3 = X4 Xs X6 X7

2Cr---5C2 Ci. —3C2+CS C2 C3

O 0

X İ. X3

= 2X2-5X4 = —3X4 + X5

X = 0 6 „

x7 =

x 4 ve x5 isteksel olmak üzere çözüm

(1 0 el 0 o

+C3

\o \o

=c1X ı +c2X2

c 3X

biçimindedir. X1=

,

X2 = (-5,0,-3,1,0,0,0)T ,

X3

=

(0,0,1,0,1,0,0)T

,

X2 =1, X4 =0, X5 =O X2 =0, X4 =1, X5 =O X2 =0, X4 =O, X5 =1

olmak üzere özel durumlard ır. X İ , X2 ve X3 kolon matrisleri ba ğımsızdır, çünkü onların herhangi biri, di ğer ikisinin bir lineer kombinasyonu olarak elde edilemez. Ba şka bir anlatım ile c ıX i + c2X2 + c3X3 =-0 olması, sadece c i = c2 = c 3 =0 olması durumunda geçerlidir. Bu aşamada matris kurammdan yararlanarak çe şitli lineer uzaylarda lineer ba ğımsızlık ve lineer ba ğımlılık kavramları üzerinde Kesim 5.10 da durulacakt ır. Ancak daha önce Kesim 4.4 de oradaki boyutlar içerisinde bunlarla birlikte baz ve boyut kavramlar ı da verilmişti. Buna göre Örnek 2 de kullan ılan yöntem, herhangi bir homogen sisteme uygulanabilir. TEOREM 5.9.4. A rankı r (r
196

C İ X İ + c2X2+...+

en_rXn_r

biçimindedir. Örnek 1 ve 2 karşılaştırıhrsa AX =K sisteminin genel çözümünün; AX =0 homogen sisteminin genel çözümü Xh ve AX =K sisteminin bir özel çözümü Xp olmak üzere, X =Xh+ X p biçiminde olduğu anlaşılır. Bu sonuç, aşağıdaki teoremde görülece ği üzere genel olarak geçerlidir. TEOREM 5.9.5. AX =K uyumlu bir sistem olsun. AX =0 homogen sisteminin genel çözümü Xh ve AX =K sisteminin bir özel çözümü X p p dir. olmaküzer,AX=KsitngelçözümX=h+ Ispat. AXh =0 ve AXp =K olduğundan A (Xh+ Xp) = AXh-FAXp ır. O halde Xh4=Xp bir çözümdür. Y herhangi bir çözüm ise =0+K d Y =(Y—Xp)+ Xp olarak alalım Bu durumda A (Y—X p) = AY—AXp ır ve dolayısiyle Y—Xp, AX =0 in bir çözümüdür. Buradan =K—0d Y nin gereken biçimde oldu ğu anlaşılır. Teorem 5.9.4 ve 5.9.5, birinci basamaktan bir lineer diferensiyel denklemin çözümlerinin yapısına çok benzer. Bu nedenle bu iki durumu karşılaştıran bir tablo verelim. İncelenebilecek di ğer lineer sistemler için tabloya ba şka kolonlar eklenebilir: Lineer Denklem Türleri Tür

Cebirsel AX = K

Tipik denklem A: mxn, K. mxl Aranan çözümler

Homogen durum

Homogen olmayan durum

Birinci basamaktan Diferensiyel dy — -I- p (x) y=Q (x),0
Bütün nxl matrisler cümlesi

a
K--= O Bütün çözümler cümlesi, matris toplamı ve skaler ile çarpım altında kapahdır ve sonlu lineer ba ğınısız çözümler cümlesi ile elde edilir.

q (x)=-0 cümlesi, Bütün çözümler toplama ve skaler ile çarpım altında kapalıdır ve bir tek sıfırdan farklı çözüm ile elde edilir

Xh, homogen sistemin genel çözümü ve Xp de homogen olmayan sistemin bir özel çözümü olmak üzere genel çözümX=Xh+ Xp biçimindedir. Bütün çözümler cümlesi, toplama ve skaler ile çarpnn altında kapalı değildir.

denklemin Yh, homogen genel çözümü ve Yp de homogen olmayan denklemin bir özel küzümü olmak üzere genel çözüm. Y=Yh + Yp biçimindedir. cümlesi, Bütün çözümler toplama ve skaler ile çarpım altında kapalı değildir.

197

-

ALIŞTIRMALAR Aşağı daki sistemlerin her biri için katsay ılar matrisinin rankıııı, eklemeli matrisin rankını ve sistem uyumlu ise genel çözümü bulunuz? Genel çözümü Xh+ Xp biçiminde yaz ınız?

1.

xi+ 3x 2+x3

=4

1

Xi+X2-X3

2x1 + 4x2 3. xi +2x2 —x3 +2x4

—2x1-5 x2 +3x3 x2 + x3 -F 1 0x4

=5 0 =2 — -7

=

=5 2. x i 4-x2 +x3 -hx4 x ı -1-3x2 +2x3 +4x4 -= 3 =2 2x i -Fx3-x4 =O 4. 2x x x -4-2x 3 , ___4 ___ İ-__2-__ =1 -x i +2x2 -Fx3-x4 xi +3x2 +2x3 +3x4 = 0 =1 2x 1-3x2-x3 +4x4

Aş ağıdaki homogen sistemlerin her biri, için genel çözümü olu şturan lineer ba ğımsız çözümleri bulunuz? 5. 2x 1 +3x2 +4x3 4x1 4-3x2 +x3 8x ı +6x2 +2x3

=0 =0 =0

7. x 1 +2x2 +3x3 -1-x4 = 0 3x 1 4-2x2+x3 --Fx4 = —O 2x2+4x3-1-x4 = 0

6. 2x2-6x2 --1-7x 3-8x4 4X İ- 13X2+5X3-X4

8.

=O =O

2 O 0 0 J= 1200 OO2O O O 1 2

olmak üzere JX =2X sisteminin genel çözümünü olu şturan ba ğımsız çözümleri bulunuz? 5.10. L İNEER BAĞIMSIZLIK, BAZ VE BOYUT Lineer bağımsızlık ve ba ğımlılık tanımı herhangi bir lineer uzay için Kesim 4.4 de verilmişti. Elemanları matrisler olan lineer uzaylar için de benzer tarımın geçerli olaca ğı açıktır. TANIM 5.10.1. M i, M2 ,..., Mk aynı biçimli isteksel matrisler cümlesi olsun. M i , M2,..., Mk cümlesine, c ıMi + c2M2 ckMk =0 ba ğuıtısı ancak c i = c2 =... = ck =0 için geçerli ise lineer bağunsızd ır denir. Cümle lineer ba ğımsız de ğilse, lineer bağımhdır denir. Buradan bir matrisler cümlesinin lineer ba ğımsız olması, daima belli bir homogen lineer denklem sisteminin sadece s ıfır çözümüne sahip olmasının gösterilmesine indirge ıaiyor demektir. Aynı şekilde bir matris198

ler cümlesinin lineer ba ğımlı olması da bir homogen sistemin s ıfırdan farklı bir çözümünün varlığını göstermeyi ya da bulmayı kapsar.

ÖRNEK 1. lineer uzayında (4x1 biçiminde bütün gerçel matrislerin lineer uzay ı) aşağıdaki beş kolon matrisinin lineer ba ğımsız olup olmadığını gösteriniz? 2 Mi (3) , 4

9) O

5° M4 M2 = (-6) 32 , M3 = (3) 1

° M5 =

2

0

1 3

4

2

ciM ı + c2M2+ c 3M3 + c4M4 + c5M5 = 0 olduğunu varsayahm. Bu bağıntıdan c i-2c2 +9c4+c5 = O 2c 1 +3c2 +5c3 +3c 5 = 0 3c 1 +6c2 +3c3 +4c 5 = 0 4ci+c2+2c4+2c5 = O sistemine varılır. Bu homogen sistem, bilinmiyenden daha az denkleme sahiptir. Sonuç 5.9.1 nedeniyle sistemin s ıfırdan farklı çözümleri vardır. O halde verilen kolon matrisleri lineer ba ğımlıdır (bileşen sayısı, vektör sayısından az olan vektör cümlesi lineer ba ğımlıdır.)

ÖRNEK 2. A = i l

2

-2 4\

\3 0 -1, '

B (

6 0 -2,

biçiminde 22x3 lineer uzay ında verilen matrisler cümlesinin lineer bağımsız ya da ba ğımlı olduğunu -gösteriniz? Yöntem 1. B =2A oldu ğundan iki matris lineer ba ğımlıdır. Yöntem 2. aA-FbB =0 oldu ğunu varsayahm. a+2b= 0 -2a-4b =O

4a+8b=-- 0

-a-2b= 0

3a+6b= 0

sistemi a+2b =0 denklemine indirgenir. Ohalde A ve B matrisleri lineer bağımlıdır. Bir V lineer uzayının bir a2,..., a n } vektörler cümlesini"' lineer bağımsızlığını incelemede aş ağıdaki basamaklar ı izlemek bir yöntem olarak salık verilir: 199

I. x ioc i +

x nac, =O oldu ğu varsayılır.

II. Basamak I deki anlat ım, AX =0 lineer homogen denklem sistemi olarak yorumlanır. (Burada kullan ılan teknik V nin yap ısına bağlıdır.) III. Basamak II deki sistem, belirgin olmayan bir çözüme sahip ise, bu durumda ai ler lineer ba ğımlıdır. (AX =0 homogen sisteminin belirgin olmayan bir çözüme sahip olmas ı, rank (A) < A n ın kolonlarmın sayısı olması ile e ş değer olduğunu ammsayalım )

ÖRNEK

3.

R1x4 de aşağıdaki vektörler cümlesini gözönüne alal ım:

al = (1,2,-1,2), oc 2 = (-2,-5,3,0), oc 3 = (1,0,1,10) I.

x i oc i + x2a2 + x3 a3 =O denklemi

x i (1,2,-1,2) -L- x 2 (-2,-5,3,0) ± x 3 (1,0,1,10) ya da

(0,0,0,0)

(x 1-2x2 ±x3 , 5x2 ,—x i + 3x2 + x3 , 2x 1 ± 10x 3 ) = (0,0,0,0) denkhmine (vektör cebirsel denklemi) e ş değerdir. II. AX =0 sistemi, x1-2x21-x 3 2x1-5x2

0 =0

—x1-1-3x2-1-x3 2x1 +10x3

=0 =0

1 —1

ya da _2 1 —5 3 0 ) 1 2 0 10

(IQ

x2 = O x3 0

biçiminde bir matris cebirsel denklemidir. III. Şimdi (A 10) eklemeli matrisini sat ırca indirgeyerek sistemi çözelim:

(A 10) =

R2+ R3 4R2+ R4 R2

-

(1 —2 1 I O) 2 —5 0 I 0 —1 3 1 I O 2 0 10 10

ı —2 1 0 1 2 0 0 O O 0 O

I 1 1 I

............). —2111 -1-R2 Ri d-R3 —2R1 -I-R4

—2 1 1 O) 0 —1 —2 J 0 0 1 2 1 0 O 4 8 1 O

(:.

O O O O

olduğuna göre rank (A) = 2 < 3 = bilinmiyenlerin say ısıdır. Buna göre sistem belirgin olmayan bir çözüme sahiptir. Ohalde a l , a2 , oc 3 vektörleri 200

lineer ba ğımlıdır. Sistemin çözümünü bulmaks ızm, lineer bağı mlılık için sistemin belirgin olmayan bir çözümünün varl ığını göstermekle yetindik. Kuşkusuz sistem çözülebilir ve genel çözüm x l) -5c e d e) = X = (x2 = (-2

-5 (-2 ) 1

X3

biçiminde bulunur. Örnek 3 de elemanları matrisler olan lineer uzaylar için aç ıklanan yöntem, elemanlar ı polinomlar olan lineer uzaylar için de geçerlidir.

ÖRNEK 4. Sonlu dereceli ve gerçel katsay ıh polinomlarm lineer uzaymdan aşağıdaki vektörleri gözönüne alalım: P ı (x) = x 2-1, p 2(x) = x 2 +x-2, p 3 (x) = x2 + 3x+2 aip i(x) + a2p2(x) + a 3p3 (x) = 0 denklemi a ı (x2-1) ± a 2 (x2 +x-2) + a 3 (x2 ± 3x+2) =0 ya da (-a 1-2a2 + 2a3 ) + (a2 +3a3) x+(a l +a2 +a3) x2 =0 denklemine e şde ğerdir. Buradan -a1-2a2 +2a3 =0 a2 ±3a3 =O a2 +a2 +a3 =0 , sistemine ya da ( O 1 3) 1 1 1

ci) a2 = a3

(0) O

matris cebirsel denlemine vardır. Bu sistemin eklemeli matrisi sat ırca indirgenerek -1 -2 2 1 O (A 10) = (O 1 3 O) 1 1 1 1 O

R2 +R3

1 2 -2 (O 1 3 O 0 6

1 1 '1

2 -2 1 0 1 -> R ı +R3 (O 1 3 ( O) O -1 3 10 -R İ

O O) O 201

matrisine vardır. Son matristen, homogen sistemin tek çözüm.iinün a 1 = a2 = a 3 = 0 oldu ğu anlaşılır. Ohalde p 1(x), p 2(x), p 3 (x) polinomları lineer bağımsızdır. yani

Örnek 3 ve 4 de kullan ılan yöntem, aynı ş ekilde fonksiyonlarm, [a,b ] de vektörlerin lineer ba ğımsızlığı için de kullanılabilir.

e

ÖRNEK 5. e [0,5] de aşağıdaki vektörleri gözönüne alal ım: f (t) = et, g (t) = e 3t, h (t) = e -2t x1f (t) + x2g (t) + x3h (t) = O olduğunu varsayahm. Bunun anlamı,

0 < to < 5 aralığında her bir belli to için x1f (to) + x2g (to) + x3h (to) = 0 demektir. Bu hesaplar t, = 0, l ıı2 aşağıdaki üç denkleme vard ır:

0.69, 1n3F.,..‹1.09 için yapıhrsa

= x2+ x2 + x3 xif (0) + x2 g (0) + x3h (0) x1f (1n2) + x2g (1112) + x3h (1n2) = 2x 2 H- 8x2+

=0 4

X3= 0

x1f (1n3) + x2g (1n3) + x3h (1n3) = 3x2 + 27x2 + -ğ---x3 = 0 Bu denklemler 1 1 1 O (0) (: 21 ) (2 8 1 /4) .■ x3 , \.3 27 1 /9/ \O/ matris denklemine eşdeğerdir. Bu sistemin eklemeli matrisi sat ırca indirgenerek 1 1 1 1 O 1 1 1 10 (A10) = (2 8 1 /4 O) -211 / 1-R2 (O 6 -7 /4 1 O) -3R 1 +R3 O 24 -26 /9 1 0 3 27 1 /9 I O 1 1 1 1 0 -> (O 6 -7 /4 1 O) -4R2 +R3 0 0 37 /9 1 O matrisine varıhr. Bu matristen rank (A) = 3 oldu ğundan AX =0 sisteminin tek çözümü X =0 d ır. Ohalde f,g ve h fonksiyonlar ı lineer bağımsızdır. UYARI: Örnek 5 de verilen yöntem, fonk şiyonlarm lineer ba ğımsızlığını ispatlamada uygundur, ancak lineer ba ğımlılığı kanıtlamada 202

uygun düşmez Çünkü x ıf x2g + x3h fonksiyonu, seçilen özel noktalarda sıfır olabilir, ancak gözönüne al ınan aralık üzerinde her noktada sıfır olmaz. Bu nedenle lineer ba ğımlı oldukları sonucuna varılamaz. Bu türde ilginç bir problemi, ayrıntılı biçimde daha sonra gözönüne alacağız (bak. Örnek 15). Şimdi

e [0,12 ] de aşağıdaki vektörleri gözönüne alahm•

f (t) = ezt, g (t) = 3 e2t, h ( t) = e-t Bu fonksiyonlar cümlesi lineer ba ğımlıdır, yani tanım nedeniyle 0 < to < 12 aralığında her to için xıf (t) + x2g (t) + x 3h (t) = O olacak biçimde hepsi s ıfır olmayan x ı , x2 , x3 skalerleri bulunabilir. Gerçekten xle 2t+ x2(3e2t) + x 3e-t = 0 ya da (x 1 + 3x2) e2t

x ı + 3x2 =0 X3 =0

x3 =0, x2

x3e--t= O dan

x ı =- 3c

olması nedeniyle belirtilen aralıkta her t o için özdeşlik sağlanacak biçimde hepsi s ıfır olmayan katsayılar bulunabiliyor demektir. Ohalde verilen fonksiyonlar lineer ba ğımlıdır. Öte yandan Örnek 5 deki yöntem, diyelim to =0, 1n2, 1n4 için bu fonksiyonlara uygulan ırsa katsay ılarm sıfır olması, yani fonksiyonlarm lineer ba ğımsız oldukları sonucuna varılır ki bu doğru değildir. Ohalde (I) de verilen fonksiyonlar cümlesinin lineer ba ğımsızlığı herhangi bir yöntemle önceden biliniyorsa Örnek 5 deki yöntem do ğru cevap verir. Ancak yukardaki örnek nedeniyle yöntemin tersinin do ğru olmad ığı açıktır, yani yöntem gere ği sonuçta katsay ılarm sıfır olması gerekti ği ortaya çıkıyorsa, verilen fonksiyonlarm kesinlikle lineer ba ğımsız oldukları sonucuna varılamaz.

e

e (I)

Şimdi de verilen fonksiyonlar cümlesinin lineer ba ğımsızlığı hakkında doğrudan kesinlik kazandıran ölçütler üzerinde durahm. LEMMA 5.10.1. y1 (x), y2(x), y n(x) fonksiyonlarının I üzerinde n-1 inci basamaktan sürekli türevlere sahip (I) de fonksiyonlar olduğunu ve I de herhangi bir x o noktasında

e

(yı(x0), y' ı(xo),...,y1(n-1 )(x0) ), i=1,2,...,n vektörlerinin R ıxn de lineer ba ğımsız olduklarını varsayahm. Bu durumda y l (x), y 2(x),...,y n(x) fonksiyonları (I) de lineer ba ğımsızdır.

e

203

Ispat. I üzerinde her x o için (x)

c ny n (x) = 0

c2y2( x)

olduğunu varsayalım. Bu özde şlik ile onun ilk ıı-1 türevi alınarak x =x0 konulursa e1y1(x0) ciy ı '(xo)

elYı (n-1) (xo) sistemine vardır.

e2y2 (xo) e2Y2'(xo)

... ...

cnyn (xo) = e ny'n(x0) = 0

nyn (2-1) (x0 ) = 0

e2Y2(11-1)(xo)

i =1,2,...,n. için (yi(x,), y;(x o), yı"(x0),..., yi(11-1 )(x0) ) vektörleri W ıxn de bağımsız olduklarından sistemden e l = c2 =... = c n =0 olması gerekti ği anlaşılır. Ohalde y 1 (x), y2(x),..., y n(x) fonksiyonları en-1 (I) de ve dolayısiyle e (I) de lineer ba ğımsızdır.

ÖRNEK 6. ex, xex, x2ex fonksiyonlarının e oo , co) da lineer ba ğımsız olup olmadıklarını gösteriniz ? xo =0 için Lemma 5. 10. 1 uygulan ırsa R ix3 de i =1,2,3 için (yı (xo),y'i(x0), yı"(x0 ) ) vektörleri (1,1,1), (0,1,2), (0,0,2) biçimindedir. Bu vektörler R i x3 de lineer ba ğımsız olduklarından verilen fonksiyonlar cümlesi e co, co) da lineer bağımsız fonksiyonlardır. Y ı (x), Y2 (x),..., yn(x ), en-1 (I) de herhangi fonksiyonlar ve I de her bir x için Y ı (x) ı(x) (x)

W

Y2(X) Y'2(x)

Y2,•••, Ya)

ya(x) • • Y'/1(x) •

(- 1)( x) y 2 (n-1) (x)

x

matrisini gözönüne alal ım. Bu matris, y ı , y2 ,..., y n nin Wronskiyen matrisi ve w

204

(x) = W (Y ı , Y2,—, Y ıl) = detW (x)

skaler fonksiyonuna da y ı , Y2^•••, Yn nin Wronski determinant ı ya da Wronskiyeni denir. Wronskiyenin herhangi bir xo noktasındaki değeri de w (xo) = w (Y ı , ile gösterilir.

Y2,•••›

Yn) (xo) = detW (xo)

Buna göre Lemma 5.10.1, wronskiyen kavram ından yararlanarak yeniden aşağıdaki biçimde verilebilir: LEMMA 5.10.1./y 1 (x), y2 (x),..., y n (x) fonksiyonları en-1 (I) de olmak üzere, I de herhangi bir x o için w (xo) 0 ise, y l (x), y2 (x),..., yn (x) fonksiyonlar cümlesi lineer ba ğımsızdır. Buradan verilen fonksiyonlar cümlesinin Wronskiyeninin I de herhangi bir x o için bile sıfırdan farklı olması, onların lineer ba ğımsız olmasına yetiyor. Öte yandan Lemma 5.10,1' ş öyle de verilebilir: Verilen fonksiyonlar cümlesi lineer ba ğımlı ise, bu durumda w (xo) -=- 0 dır. Bu Lemmanın tersi do ğru de ğildir, yani bağımsı z fonksiyonlar cümlesinin ' Wronskiyeni özdeş olarak sıfır olabilir. Örne ğin, -1 < x < 1 aralığında

-1 < x <0

O

x2 , -1

f (x) =

g (x) = x2 ;

O

0 , O
ile tanımlı iki fonksiyonu gözönüne alalım; Bu fonksiyonlarm her ikisi türevlenebilir ve Wronskiyen 0 x2

, -1
O 2x x2 0

, 0
c1/1-1. y

an(x) dxn

an- ı (x) dxn- ı

dy ...1-aı (x) — +ao(x) y =O dx

homogen lineer denklemini gözönüne alalım. Katsayılar I de sürekli ve a n(x) temel katsayısı I üzerinde özde ş olarak sıfırdan farklı ise, denklem normal denklem adını alır. 205

y1 (x), y2(x),..., y n(x) fonksiyonları normal n yinci basamaktan homogen diferensiyel denklemin ba ğımsız çözümleri iseler, bu durumda Lemma 5.10.1'bir eş değerlik anlatımı biçimine girer, yani fonksiyonlar cümlesi lineer ba ğımsız ise, onların Wronskiyeni özdeş olarak sıfırdan farklıdır. Wronskiyen özdeş olarak sıfırdan farklı ise çözümler lineer bağımsızdır. Öte yandan lineer ba ğımlı çözümlerin Wronskiyeni özdeş olarak sıfıra eşittir ve Wronskiyen özde ş olarak sıfıra eşit ise çözümler lineer ba ğımlıdır.

ÖRNEK 7. x, x2, x3 fonksiyonları lineer bağımsızdır. Gerçekten x2 2x 2

x w (x) =

1 0

x2

3x2 6x

= 2x3 0

oldugundan lineer ba ğımsızdır. Bununla beraber bu fonksiyonlar cümlesi x =0 noktasmı kapsayan bir aralikta bir homogen lineer diferensiyel denklemin ba ğımsız çözümleri olamazlar. Bir fonksiyonlar cümlesinin lineer ba ğımsız ya da bağımlı olması, uzayın yapısına da ba ğlıdır. Örneğin, X bir karmaşık lineer uzay olsun. x z 0 olmak üzere xEX ise ixEX dır. Buna göre X de x ve ix den olu ş an cümle, e ıx+ c2 (ix) = 0 dan c1+ ic2 = 0 ya da e l = - ic2 nedeniyle

lineer bağımlıdır. Öte yandan x ve ix den olu şan cümle R üzerinden, bu kez e l + ic2 = 0 dan c ı = e2 =0 olması nedeniyle lineer ba ğımsızdır. Fonksiyonlar uzaymda fonksiyonlarm ba ğımlılık ya da bağımlığı uzaym üzerinde tanındı olduğu aralığa da bağlıdır. I:-1
f (x) -= 1; — 1 < x <1 0 ,

—1


g (x) =

x< 0

h (x) =

x2 , P (x) = c if (x)

c2g (x)

0
c 3h (x) = O

olduğunu varsayahm. p (0) = e l = 0, p (1) = c 2 + c3 = 0 ve p

= c2+ c 3 =0 dan ci = c2 = c 3 =0 olması nedeniyle verilen fonksiyonlar cümlesi lineer ba ğımsızdır. Öte yandan aynı foıksiyonlar -1x<0 aralığma kısıtlanırsa bu durumda onlar lineer ba ğımlıdır. Gerçekten -1 S x < O için

206

0.f (x)

1.g (x) + 1.h (x) = O

dır. Buradan verilen bir aral ık üzerinde lineer ba ğımlı olan fonksiyonlar cümlesi, fonksiyonların daha geniş bir aralığa genişletilmeleri halinde lineer ba ğımsz olabilirler. Bununla beraber, fonksiyonlar ın lineer bağımsız cümlesi, daha geni ş bir aralığa genişletilmeleri halinde yine aynı kalır. Kesim 4.4 de V de verilen herhangi vektörler taraf ından gerilen altuzay, baz ve boyut kavramları üzerinde durulmu ştu. Şimdi bunları biraz daha açahm. TANIM 5.10.2. Bir V lineer uzaymda a l , a2,..., at herhangi vektörler olsun. Verilen vektörleri kapsayan V nin en küçük altuzay ına ocitaraftndan gerilen altuzay denir. Bu altuzay, S = j a l , a2,—, at} olmak üzere L (S) = Span { a l , a2,..., at} ile gösterilir. Örneğin, jy y"-F w2y =O} = Span j coswt, sinwt} dir. Bir altuzay herhangi bir lineer kombinasyona göre kapal ı olduğundan, a ia i + a20:21-•••+ atat biçiminde her vektörü kapsar. O halde t

Span ja i , a2,..., at } ------

E aiai aieR -1

dır. Span jai , a2,..., at} = V olması durumunda V uzayı a l , tarafmdan geriliyor denir. Başka bir anlatım ile V de her vektör, ai vektörleri cinsinden yaz ılabilir demektir. Örne ğin, e l = (1,0,0,0)T, e2 = (0,1,0,0)T, e3 = (0,0,1,0)T, e4 = ( 0,0,0,1)T vektörleri 6R4X1 lineer uzayın; 1,x,x2 polinoınları f3 lineer uzaymı gerer. TANIM 5.10.3. V yi geren lineer ba ğımsız vektörler cümlesi, V nin bir buzun oluşturur. Eğer {a l, a2,..., at} vektörler cümlesi V nin bir bazm ı oluşturuyorsa, bu durumda 'V de her vektör, cinin bir tek lineer kombinasyonu olarak yazılabilir. Tersine olarak, V de her vektör ai nin bir tek lineer kom207

binasyonu olarak yaz ılabilirse, a2,..., at} vektörler cümlesi V nin bir bazını oluşturur. V uzayı t elemandarı, oluşan bir baza sahip ise, V nin herhangi t+1 vektörleri cümlesi lineer ba ğımlı olmak zorundad ır. Buradan bir V lineer uzayı için her baz aynı sayıda eleman kapsar. V uzayının bir bazmdaki vektörlerin say ısı uzaym önemli bir özeliğidir. TANIM 5.10.4. Bir V lineer uzayma, sonlu bir baza sahip ise, sonlu boyutludur denir. Herhangi bir bazdaki vektörlerin say ısı V nin boyutu ad ın ı alır ve dimV ile gösterilir . V sonlu bir baza sahip de ğil ise, V sonsuz boyutludur denir.

A herhangi bir gerçel mxn matrisi olsun. A n ın satırları R 1 , R2,...,Rm 6Rixn de vektörler olarak gözönüne al ınabilir. ilegöstr,buvk Bu vektörler A nın satır uzayı denen W i xn nin bir altuzayını gerer, yani A nın satır uzayı = Span {R 1 , R2,..., Rm} dır. Benzer olarak A n ın kolonları Wmxi de vektörler olarak dü şünülebilir. Bu vektörler de A nın kolon uzay ı denen Rmxi in bir altuzaymı gerer, yani A nın kolon uzayı = Span{C 1 C 2 ,..., C ıi } ,

dır. Satırca e şdeğer matrisler aynı satır uzayma, kolonca eş değer matrisler aynı kolon uzayma sahiptir. Sat ır indirgemeli e şelon matrislerinin ayni satır uzayma sahip olmalar ı, onların sıfırdan farkh aynı satırlara sahip olmaları ile eşdeğerdir.

ÖRNEK 8. u 1 = (1,2,-1,3), u2 = (2,4,1,-2), u 3 = (3,6,3,-7) vektörleri tarafından gerilen U uzayı n ın, vi = (1,2,-4,11), v 2 = (2,4,-5,14) taraf ından gerilen V uzayı ile aynı olduğunu gösteriniz ? Satırları ui olan A matrisi ile sat ırları vi olan B matrisi satırca indirgenerek, A

(2 3

6

3

1

2

—1

—2R2 + R3 (O 1/3R2 0

0

1

0

0

ve 208

—7) 3

-8 /3) 0

—2 R1-1-R2 —311 1 4-R3

`0

0

6

—16 )

B (2 4 —5 14

12

) —2R 1 4-R2

(1 2 —4 11\

O 0 3 —8)

—4 11 \

o 0. 1 —8/3

1 2R2

elde edilir indirgenmiş matrislerin s ıfırdan farklı satırları aynı olduğundan A ve B nin satır uzayları aynıdır ve U =V dir. Bir A matrisinin sat ır uzayı ve kolon uzayımn boyutlarına sırasiyle A nin satır rankı ve kolon rankı denir. Hemen belirtelim ki A matrisinin satır rankı ve kolon rankı eşittir ve bu say ı A matrisinin rank ıdır. Böylece bir matrisin rank ı, bağımsız satırları= ve bağımsız kolonlarının maksimum sayısını verir.

ÖRNEK 9. V =1?İx3 olsun. Bu durumda s ı (1,0,0), s2 =--- (0,1,0) ve E3 = ( 0,0,1) vektörleri 6R1x3 için bir baz oluşturur. Ohalde dim R1x3 = 3 dür. ÖRNEK 10. R2x2 lineer uzayının boyutu nedir ? Bu uzay için bir baz bulunur ? R2x2 uzayında bir matris a b

k

1 0 = a

c d

OO

1 +b

0 1 OO

OO\

0O +

+ d ( 1O

O

)

biçiminde tek olarak yazılabilir. Buradan R2x2 lineer uzaymm boyutu 4 dür ve bu uzayda bir baz ( 01 00) ' (00 011 ' (Ol 00) ' (00

biçimindedir.

ÖRNEK 11. Rrox , lineer uzayınm boyutunu ve bir barım bulunur ? mxn. biçiminde bütün gerçel matrislerin lineer uzay ınııı boyutu dim Rinxn = m.n bir. Bu uzay için bir baz, E fi matrisinde (i,j) konumunda 1, diğer konumlarda s ıfır olmak üzere 209

{Eij} = {E ii , E İ2 ,..., E ı n , E 2i , E22,..., E2 n,..., E mi , Emn } biçimindedir. Buna göre, mn+1 tane mxn biçiminde matrisler cümlesi lineer ba ğımlı olmak zorundadır. ÖRNEK 12.

e [a,b fonksiyonlar uzayı , en [a,b ] altuzaylar ı sonlu boyutlu değildir. Sonlu dereceli bütün polinomlar ın lineer uzayı da sonsuz boyutludur (bak. Kesim 4.4). Öte yandan gözönüne alman lineer uzay, herhangi bir problemin çözüm uzayı ise, boyut genel çözümde serbestlik derecesinin say ısına eşittir. ÖRNEK 13. A bir mxn matris ise, bu durumda AX =0 homogen sisteminin bütün çözümlerinin cümlesi, AX =0 sisteminin çözüm uzay ı ya da A mn sıfır uzayı (maıll space) NS (A) = { X E Rnx ı I AX =O } ile gösterilir. R nxi in bu alt ciimlesi, bir altuzayd ır. Bölüm 6 da bu uzay üzerinde ayrıca durulacakt ır. Buna göre AX =0 homogen sisteminin çözüm uzaymın boyutu yada sistemin lineer ba ğımsız çözümlerinin sayısı =dimNS (A) = n - rank (A) d ır (bak. Teorem 5.9.3). I üzerinde normal n yinci basamaktan bir homogen lineer diferensiyel denklemin çözüm uzay ı . e (I) nın n boyutlu bir altuzayıdır. ÖRNEK 14. d2y 4-

Y=O, a
y =f (X) E e 2 [a,b ] — + y =0,a
e

(I) nın altuzayı olan çözüm

d2y _j_ Y O, ax_Gb = 2 dx2 -°

dır ve uzayın bir bazı { cosx, sinx } d ır. Bu kesimin son örne ği, yaklaşıklık kuramı olarak bilinen matematiğin önemli bir dalı için uygulamalara sahiptir. Bu örnek diferensiyel denklem kuramında da ba şvurulan araçlardan biridir. 210

ÖRNEK 15. 1,x,x2,..., xn-1 } polinomlar cümlesinin, derecesi n den küçük bütün polinomlarm lineer uzay ı için bir baz olu şturduğu açıktır. Şimdi bu lineer uzay için son derece yararl ı bir diğer baz oluşturalım. t 1 t2,..., t n herhangi n farkl ı nokta ve li(x),

n, de

0 , ji ( 5.10.1)

l i(ti ) 1 „ j =i

koşulları ile tek olarak belirtilen f n de polinomlar olsun. Bu şekilde oluşturulan l i(x) polinomları lineer bağımsızdır. Gerçekten a1 1 1 (x)

a21 2(x)

a n l n(x) = 0

olduğunu varsayalım. Bu özdG şliği x =ti için bulursak, li(x) in tan ımmdan 0=a 1 1 1 (ti)

...

aili(ti)

a n l n(ti) = ai

olduğu anlaşılır. Ohalde ileri sürüldü ğii- üzere li(x) polinomlar ı lineer bağımsı zdır. Öte yandan V n boyutlu bir lineer uzay ise, bu durumda V nin herhangi bir n lineer ba ğımsız vektör cümlesi V için bir baz olduğundan li(x) polinomlar ı pn için bir baz olu şturur. f (x), Tn nin herhangi bir elemam ise, bu durumda herhangi uygun ci skaleri. için f (x) =

.1"

1

c 1 1 1 (x)

c212(x)

...

cnln(x) (5.10.2)

dır. (5.10.2) e şitliği x=ti için bulunursa f (tj) = E cili(tj) = ci olduğundan f (x) = E f (tl) li(x)

(5.10.3)

iQı

yazılabilir. k =0,1,2,..., n-1 olmak üzere f (x) = xk için (5.10.3) eşitliği

xk = E tikl i(x) elde edilir. Bu denklemler 211

I

I

tl

t2 t22

t12

. . 1 tn

•

.•

1 2(X) 13 (x )

v

t112

O

.

13 •

(r‘

t ln-1

IZ)(x) \in (x)

• • • . VII -

biçiminde bir matris denklemi olarak yaz ılabilir.

(5.10.4.)

Görüldüğü üzere bu sistemin katsay ılar matrisi Vandermonde matrisidir.Bu sistemden l i(x) polinomları do ğrudan bulunabilir. Kolay yol çarpan teoremini kullanmakt ır Bu teorem şöyle verilebilir: p (x) bir ,polinom ve p (a) = 0 ise, bu durumda herhangi bir q (x) polinomu için p (x) = (x-a) q (x) dir. 1 1(x) ın tammından, (x-t2), (x-t 3),..., (x-t n) nin her biri 1 1(x) ın çarpanları olmak zorundadır, yani 1 1(x) =(x-t2) (x-t 3)...(x-t n ) q (x) dır. 1( 1x), Tn de olduğundan derecesi n den az olmak zorundad ır ve dolayısiyle q (x) in q (x) = q gibi bir sabit olması gerekir. Buna göre 1 =1 1(t1) eşitliğinden

(t1- t2) (t 1- t 3)

q

(t i— t2)

(t l- tn) q

t 3) ...(t ı— t.)

ve 1 1(x) =

(x-

t2 )

(x-t3

(x-t n)

)

( t1 - t2) ( t 1 - t 3)

(x—ti)

( ti- t n)

i=1 (t ı— ti)

(5.10.5)

j 6i

biçiminde olur. Benzer i şlemler tekrarlanarak

li(x) --=---

i=1

(x-ti)

(x- t2)

(x- ti_i) (x- ti,ı)

ta)

(ti- t 1)

(ti- ti_i) (ti- ti,i)

(x- t n) 5.10.6

(ti- t n)

elde edilir. Yukardaki irdelemeden, Tn de herhangi bir f (x) fonksiyonu için f (x) =

212

f (ti) li(x) = E f (4) II (x-xj) ti) i=1

(5.10.7)

olduğu sonucuna varılır. (5.10.7) formülü, Lagrange ara değeri bulma formülü (Lagrange interpolation formula) olarak adland ırılır. (5.10.4) matris ba ğıntısmdan

yazılabilir. li(x) polinomları bilindiğinden bu ba ğmtı bir Vandermonde matrisinintersini bulmada kullanılabilir, yani hangi matris ile (1,x,x 2,..., xn-1 )T nin matris çarp ımı (l i (x), 1 2(x), 1 3 (x),..., 1 (x) )T dir? düşüncesinden gidilerek V-1 bulunabilir. ALIŞTIRMALAR W1 x3 uzaymda a şağıda verilen vektörler cümlesinin lineer ba ğımsız ya da ba ğımlı olduklarını gösteriniz? 1. X I = (1,2,3), X2 =-(4,5,6), X3 = (7,8,9) 2. "Yi = (1,-2,1), Y2 = (2,1,-1), Y3 -= (7,-4,3)

Rapci uzayında aşağıda verilen vektörler cümlesinin lineer ba ğımsız olup olmad ıklarını gösteriniz? 3. B i (0,1,2,1)T, B2 = (1,2,3,1) T , B 3 = (3,6,9,3)T, B4 = (-2,0,2,2)T 4. C i = (0,1,1,1)T, C2 = (1,1,0,1)T, C 3 (0,0,1,1)T, C2 = (1,1,0,0)T

W2x2 uzaymda a şağıdaki matrisler cümlesinin lineer ba ğımlı olup olmadıklarını gösteriniz ? 5. 11 A =

(1 1/

B -= '

1

O)

(O 1

,C

1 1 (O O)

6. A = 3 1)

B

(2 2/

C

(-4 O

7. Bir A karesel matrisinin sat ırları ya da kolonlar ı lineer ba ğımlı ise det (A) = 0 oldu ğunu gösteriniz ? 213

8. Y i = (1,1,1) ve Y2 = (2,-1,4) veriliyor. Y 1 , Y2 ve Y3 bağımsız olacak biçimde bir Y3 matrisi bulur-tuz. Y i , Y2 ve Y3 ba ğımsız ise geometrik olarak Y3 ün nerede bulunmas ı gerekir? 9. X, Y, Z ba ğımsı z matrisler ise a şağıdaki matrisler cümlesinin bağımsız olup olmadıklarını gösteriniz? (a) X, X+Y, Z+X (b) X +Y, X—Y, X-2Y+Z 10. Sıfır matrisi kapsayan herhangi matrisler cümlesinin lineer bağımlı olduğunu gösteriniz Polinomlar uzayında aş ağıda verilen vektörler cümlesinin lineer bağımsız olup olmadıklarını gösteriniz? 11. x3 + 2x+5, 3x2 +2, 6x, 6 12. t 3-3t 2 +5t+1, t 3—t2 +8t+2, 2t 3-4t 2 +9t+5 13. x2 , x2+1 , x 2.4 14. (x+1) (x-2), (2x-1) (x+3), (x+2) (x-1) Fon.ksiyorılar uzayında a ş ağıda verilen fonksiyonlar cümlesinin herhangi I ya da belirtilen aral ıklar üzerinde lineer ba ğımsız olup olmadıklarını gösteriniz? 15. 1,

2 e2x

I

16. x 1 /2 , xii 3

(O, co)

17. 1, sin 2x, 1—cosx 1 18. in x 1 x+ 1 '

(—oc, —1) (-1,1)

19. ,\/ 1—x2 , x 20. sinx, cosx, exhz

;I

21. 1, sin2x, cos2x 22. 1,x,x2,..., xn 23. sinx, sin2x,...,sinkx 24. erix, er2x,..., e rnx 25. e ocx, Xe ax

xm—l e ocx

; I ; [0,2z] ; için ; exeR

Ti

Ti

;I ;I

26. xmeax sinbx, xmeax cosbx ; a,bER,b>0,m tamsay ı ; (—co,00) Aş ağı daki fonksiyonlar cümlesinin lineer ba ğımsız olup olmadıklarını inceleyiniz 9 214

27. 28. 29. 30. 31.

x, erx, rEC sinx, eix cosx, 3(eix+e-ix) x2, xixl sinx, cosx, x

; (— 00, 00) (-

;

co, °°)

;(—G°, °°)

;(—co, C°)

32. arctanx, arctan (2x), arctan tost), A2 (t)

33. A l (t) =

co, co)

3x 1-2x 2

(

; (— oo, co)

t2, sint), A3 (t) = (t-t 2,

cos (t + :)); (- co, co) 34. m nin tek ve çift olma durumuna göre xm, Ix ı m fonksiyonlar cümlesinin lineer ba ğımsız ya da bağımlı olduğunu gösteriniz ? 35. W1x3 uzaymda a l = (1,-1,1), oc 2 = (-1,2,2), a3 = (-3,5,6) vektörleri veriliyor. (a) yılın 9

= (-6,10,15) vektörü, Span {a l , a2, oc 3 } de midir, açıkla-

(b) Span

oc2, a3 } = R 1x3 olup olmadığım inceleyiniz?

36. a = (1+i, 2i), [3 (1,1+i) vektörler cümlesinin lineer ba ğımsızlık durumunu C karma şık ve R gerçel cisim üzerinden inceleyiniz ? ---

37. V, R gerçel cisim üzerinden karma şık sayılar çiftinin lineer uzayı olsun. V de maksimum lineer ba ğımsız bir vektör cümlesini ve V nin boyutunu bulunuz ? 38. Bir V lineer uzaymda v i, v2,..., vk, k > 2 cümlesinin lineer bağımlı olması , cümledeki vektörlerin en az birinin di ğerlerinin bir lineer kombinasyonu olarak yaz ılabilmesi ile e ş değer olduğunu gösteriniz ? 39. V uzayı t eleman kapsayan bir baza sahip ise, V de herhangi bir t+1 vektör cümlesinin lineer ba ğımlı olduğunu gösteriniz ? 40. V n boyutlu bir lineer uzay ise, bu durumda V de herhangi n lineer ba ğımsız vektör cümlesinin V nin bir bazı olduğunu gösteriniz ? 41. A = (

1 -3 4 3 2 ) olmak üzere dim (NS (A) ) yi bulunuz ? 7 4 -2 6 1 1

42, B

2 -1

4 matrisinin satırları tarafmdan. gerilen Rix4 -1 -2 6 -7 ün altuzayı için bir baz bulunuz ? B nin rankı nedir? 2 4 3

B nin kolonları tarafmdan gerilen altuzay için bir baz bulunuz ? 215

43. Kesim 5.9 da Alıştırma 5,6,7 ve 8 deki homogen sistemlerin her biri için çözüm uzayının boyutunu ve bir bazmı bulunuz ? 44. nxn biçimindeki üst üçgensel matrisler uzay ının boyutunu ve bir bazmı bulunuz? 45. R2,, 3 matrisler uzay ında bir lineer bağımsız cümle en fazla kaç eleman kapsar? Bu uzay ın bir hazım bulunuz ? 46. 2x2 biçiminde simetrik matrisler uzay ımn boyutunu ve bir bazım bulunuz ? 47. nxn biçiminde simetrik matrisler uzaymın boyutu ve bir bazmı bulunuz ? 48. nxn biçiminde köşegen matrisler uzay ının boyutunu ve bir hazım bulunuz? 49. y'"-y" = 0 diferensiyel deııkleminin çözüm uzayın ve uzayın bir bazmı bulunuz? 50. I üzerinde normal n. yinci basamaktan bir homogen lineer diferensiyel denklemin çözüm ıı zayının, e (I) nın n boyutlu bir altuzayı olduğunu gösteriniz? 51. Örnek 15 in sonunda verilen görü şü kullanarak a şağıdaki Vandermonde matrislerinin terslerini bulunuz ?

() 1 1 1 (a) V= 1 3 2 1 9 4.

(b)

(1 1 1 1 2 -2 3 -4 4 4 9 16 8 -8 ' 27 -64

5.11. E Ş DEGERLIK Kesim 5.6 da elemanter kolon i şlemlerinin, elemanter sat ır işlemlerinden ayr ı yada birlikte determinantlar ın hesabında kullamlabileceğini gördük. Önceki kesimlerde elde edilen sat ırca e şdeğerlik kuramına tamamen paralel bir kolouca e ş değerlik kuramı geliştirmek olanağı vardır. Ancak bu kuram üzerinde büyük çapta durulmayacakt ır. Bununla beraber Teorem 5.8.2 ve Teorem 5.8.3 ün kolon benzerlikleri kullanılacaktır. TEOREM 5.11.1. Bir A matrisi üzerinde bir elemanter kolon i şlemi, A matrisini belirtilen i şlemin yapıldığı bir birim matris ile sa ğdan 216

(ya da A dan sonra) çarpmakla elde edilebilir, dır, ya da daha aç ık olarak

yani AECO

Tür I

Act,->ci

= A (Ic ı<-4ci)

Tür II

AkCi

= A (Ikci)

Tür III

AkCi+ Cj

= A (Ikc ı +ci)

A ( ı Eco)

dır. Ispat. Bu teoremin ispat ında kullanılan temel araç Sonuç 5.5.2 dir, yani Coli (AE) = ACol j (E) nin özel bir durumu olan Coli (A) =A Coli (I) dır. Tür I. İki matrisin eşit kolonlara sahip oldukları gösterilirse onlar eşit olacaktır. Buna göre j yinci kolon için Coli (A (Ici+->cJ) ) = ACol i (Ici<->ci) =AColi (I) Coli (A) = Col i (Ack,cj) ve benzer olarak i yinci kolon için Coli(A(Ici+->ci) ) = AColi(Ici ÷-> cj)=AColj(I) = Cloj (A) = Coli (Aci‹-->ci)

hj, i olmak üzer'e h yıncı kolon için Colh (A (Icı+4c;) ) = A Colh (Ick->ci) = A Col h(I) = Colh (A) = Colh (Ack-->ci) olduğundan A(Ici,_,ci) ve eşittirler.

ACi<->Cj

eşit kolonlara sahiptir ve dolay ısiyle

Tür II. Birinci tür i şleradeki gibi gidilerek, herhangi j yinci (j ^i) kolon için

Coli(A(Ikc ı) ) = AColi (Ikc ı) = ACol i (I) = Coli (A) = Col i (Akca) ve j =i yinci kolon için Coli(A(Ikci) ) = A Col i

= A (kColi (I) )

= k.A Coli (I) = Colı (Akc ı) olduğundan A(Ikci) ve Akci e şit kolonlara sahiptir ve dolay ısiyle eşittirler. 217

Tür III. Herhan gi t yinc i (ij) kolon Coli(A(Ikci + ci) ) = A Colj (Ikci+ci) ----- A Coli (I) = Coli (A) = Coli (Akc ı cı) ve i =j yinci kolon için Colj(A(Ikc i+ci ) ) = A Colj (Ikci±ej) = A [kColi (I) H-- Colj (I) ] = k. A Coli (I) + A Colj (I) = kColi (A)

olj (A)

= Colj (Akci +cj ) olduğundan A(Ikc ı-ı-ci) ve siyle eşittirler.

AkCi+Cj

eşit kolonlara sahiptirler ve dolay ı-

Ict<->ci = IRiFıRj , IkCi = IkR1 Ve IkCi4Cj = IkRj + Ri olduğundan elemanter kolon matrislerini sunmaya gerek yoktur. Koku e şdeğerliğini matris çarp ımı cinsinden ayırdeden teorem de Teorem 5.8.3 ün kolon benzerliğidir. TEOREM 5.11.2. B sonlu sayıda elemanter kolon i şlemleri dizisi ile A dan elde ediliyor ise (A 'j B), bu durumda Q elemanter matrislerin çarpımı olmak üzere B =AQ dür. Teorem 5.8.3 un ispatı Teorem 5.8.2 den yararlanılarak yapıldığı gibi, Teorem 5.11.2 nin ispatı için de Teorem 5.11.1 den yararlan ılabilir. Bu nedenle burada ayr ıntılara girmiyoruz. Öte yandan ( I ) r'j c

BQ

ise, bu durumda AQ =B olduğuna ilgi çekilmelidir. Bu sonuç, kolon işlemleri yardımiyle A-1- in hesabında kullanılabilir. Şimdi hem elemanter sat ır hem de elemanter kolon i şlemleri kullanılarak matrisler üzerinde daha genel bir ba ğmtı tammlanabilir. Bu yeni bağıntı özel durum olarak hem sat ırca hem de kolonca e şdeğerliği kapsar. TANIM 5.11.1. B sonlu say ıda elemanter sat ır işlemleri ve /ya da kolon işlemleri dizisi ile A dan elde ediliyor ise A ve B matrislerine eşdeğerdir (A ti B) denir. 218

ÖRNEK 1. 1 2 —1 2 A = —2 —5 3 O ) 1 0 1 10 matrisi veriliyor. A ya e şdeğer en basit matrisi bulunuz ?

1 2 —1 2 ) A

2R1-1-112 R1+R3

R

_

0 —2 2 8

-->(

1 2 —1 2 ) —4 ı —2 2 8

o 0

—

1 0 1 10 —> O 1 —1 —4 ) .= B —2R2+11-1 O O O O 2R2+ R3 B matrisi satır indirgemeli e şelon biçimindedir. Şimdi kolon iş lemleri kullanılarak

—Cl

—10C 1 + C4

1 O O O --> Oo 1 —1 —4 O O o ) C2+-C 3

4C2+ C4

12 o '000 o) (o 1 oo ) —( o 000

elde edilir. Bu örnek a şağıdaki teoremde verilen genel durumun kapsam ına girer.

TEOREM 5.11.3. A r ranklı nxn biçiminde ise , bu durumda A matrisi ( Ir

O\

\O 01 matrisine e ş değerdir. Ispat. Sadece sat ır işlemleri kullanılarak A matrisi, satır indirgemeli eşelon biçiminde r tane s ıfırdan farklı satıra sahip bir E matrisine indirgenebilir. Gerekirse Tür I kolon i şlemleri ile kolonlar yeniden düzenlenerek Ir S A E O O) elde edilir. Daha sonra Tür III kolon i şlemleri dizisi ile 219

A~E

(

Ir 0

Ir S 0 O)

( O O/

sonucuna varılır. Teorem 5.8.3 ve 5.11.2 birle ştirilerek e ş değerliğin aşağıdaki ayırdedici niteli ğine varılır.

TEOREM 5.11.4. AtiB ise, bu durumda B =PAQ olacak biçimde düzgün P ve Q matrisleri vard ır. (P ve Q sırasiyle kullan ılan satır ve kolon işlemleri sonunda elde edilen matrislerdir). Ispat. P ve Q yü belirtmek için, A üzerinde elemanter sat ır ve kolon işlemleri dizisi (A I

J

düzenine uygulanarak

/ B P

Q

elde edilirse, bu durumda sadece PAQ =B oldu ğunu gözlemek gerekir.

ÖRNEK 2. (1 1 2 3) 2 2 2 012 A 3 3 3 3 ise PAQ = I olacak biçimde düzgün P ve Q matrislerini bulunuz ?

(Al ;

k

)

(1123,1000 0 1 2 3 0 1 0 0 2223001.0 3333!0001 1 O O 0 O 1 O O O O 1 0 O O O 1 (11 2 3 1000 ) 01 2 3 0100 O O —2 —3 —2 O 1 O 0 O —3 —6 —3 O O 1

-3R1 +R4

1 O O1 O O 0 0

220

OO O 1 0 0 1 O

1 0 O O

--Ct+C2 —2C1-1--C3 -4 Ğ 1+ Cd

1 O 0 O

O O 1 -3

O O 3 -6

1 O O O

-1 0 1 -2 1 0 O O

0 -3 0 1

1

0

(1 O O 0

—2C2-f-C3 -3C-H-C 4

R3

O O 3 2 -2 -3 -3 -6 ------- .---+ -1 -2 -3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 O O

O 1 O 0

01 00 00

1000 0100) -2 0 1 0 -3 0 0 1

1000 0100) 1011 -3 0 0 1

1000 0O 0100 0 0;101-1 1003-2

0 O 1 0

3R H-R4

—3C33-4-C4 /3C4

0 O 0

1 0 0

1 -1 1/3

-2 1 0

(

P ) I

olduğuna göre

P =

(1 O 1 O

0 1 0 0

0 0 1 3

O\ 0 -1 -2/

1 (O ve Q = O 0

-1 1 0 0

0 -2 1 0

0 1 -1 1/3

ve buradan PAQ =1 d ır. Bu sonuç nedeniyle A-1 bulunabilir. TEOREM 5.11.5. PAQ = I ise, bu durumda A-1 = QP dir. Ispat. Soldan P-1 ve sa ğdan Q-1 ile çarpılarak A = P- 1 (PAQ) Q-1 = p-1Q-1 (QP)-1 ve tersi alınarak A-1 = QP elde edilir.

221

Örnek 2 deki matris için

ro),

A-I

-1 (01 1 -°2 °1 = 0 0 I . -1 0 0 0 1 /3

01 4 1 ) Ö O" ° -21 1. °1 : 1 0 1 -1 7" 1 O -2 1 O 0 3 -2 O 0 1 -2/3

dir. Elemanter matris tan ımı, Ioiti(I nın j yıncı satırı sıfırlarla de ğiştirilmiş) aykırı matrisleri kapsayacak biçimde geni şletilirse bu durumda nxn matrisi

o°

0

)

= IORr + IORr +2••• IORn

biçiminde yazılabilir. Teorem 5.11.3 ve 5.11.4 den

A = P-1 (gir

O ,İ Iour+2.•• Ioan) Q- 1 (Ioar = P-1 o ) Q-1

dır. P-1 ve Q-1 düzgün olduğundan, onlar Teorem 5.8.4 nedeniyle elemanter matrislerin çarpımıdır. Böylece ispat ı verilen a şağıdaki teoreme varılır. TEOREM 5.11.6. Her A nxn aykırı matrisi, elemanter matrislerle biçiminde aykırı elemanter matrislerin çarp ımıdır. Ionı Bu teorem yard ımıyle determinant kurammdaki det (AB) =-det (A) det (B) özeli ği kolaylıkla ispatlanabilir. (Ah ştırma 10). ALIŞTIRMALAR

1.

ı 0 1 B = ( 3 1 0 ) 1 0 0

ise kolon işlemlerini kullanarak B -1 i bulunuz? 2.

A—

2 3 4 1 2 -1 4 3 1 , B = -1 1 2 ) ( 8 6 2 -2 2 4

ise AQ = B olacak şekilde düzgün bir Q matrisi bulunuz? 3. Teorem 5.7.2 nin kolon benzerli ğini ifade ediniz? 222

Aş ağıdaki matrisleri

1 4. A El 2

i, 1• 1

2 0 1

Ir 0 o

O

1 1 ) O

biçimine indirgeyiniz?

$. B =

6. C=.--

1 -1 1 -1

4 1 0 0 2 2 -1 1

1 2 -1 6 3 2 1 -1

2 4 -2 12

6 1 1 0

4) 3 2 1

Teorem 5.11.5. in sonucunu kullanarak a şağıdaki matrislerin terslerini bulunuz? 1

ı. 7.A-...-

2 3

1 2 1 4

2 1 1 2

1 1 0 0)

9. B =

14 6 64 1

3 9 27 1

2 4 8 1

1 1 1 1

(

1

2 1 9. C = 1 -1

3 4 2 3 1 2

10. Teorem 5.11.6 ve Kesim 5.8 Al ıştırma 17 nin bir sonucu olarak det (AB) = det (A) det (B) oldu ğunu gösteriniz? 11. Herhangi düzgün bir P matrisi için det (P - IAP) = det (A) olduğunu gösteriniz? 12. Teorem 5.11.4 ün P ve Q matrislerinin tekli ğini irdeleyiniz? 13. Teorem 5.11.3 ün ( Ör ° O

matrisinin, tekli ğini ispatlapmz?

14. Alıştırma 13 ün bir sonucu olarak, " İki matrisin e ş değer olması, onların aynı ranka sahip olmaları ile eşdeğerdir" özeliğini ispatlaynnz? 15.

elemanter kolon i şlemleri ile (

P)

ye indirgeniyorsa bu

durumda P = BA- I olduğunu gösteriniz? Bu sonucu kullanarak 2 3 4 1 0 1 B = ( 4 3 1 ) ve A ( o k 31 0 O 8 6 2 ise BA-1 i bulunuz?

) 223

5.12. B İR MATRİ S İN NORMU, GELİŞ TİRİ LMİŞ TERS MATRİ S, TÜREV VE İNTEGRASYON Vektör normuna benzer biçimde bir A matrisinin normu, a şağıdaki özelikleri sağlayan A nın elemanlarımn gerçel de ğerli bir A II fonksiyonudur: (i) A

0 ise IIA II > 0 dır.

a herhangi bir skaler olmak üzere la A (iii) (iv)

IIB

B il < IIA

il

= la I lA

il

dır.

I

IIAB Il < IIA II IIB 11 skaler de-

Buradan bir matrisin normu, bir matris de ğişkenli ğerli fonksiyondur. Kullanışlı iki matris normu [IA Ile = (Zaii l au [2)1/2 ij ve

IIA lle = n max ki; dir. Bu normlardan ilki, A matrisini n 2 boyutlu bir vektör gibi dü şünüp Öklid vektör normunu kullanarak elde edilir İkinci norm, vektörler için kübik normun matrisler için do ğrudan bir gösterimidir. Yukarda tanınılı iki matris normu, onlar ın vektör normlar ı ile ilişkisi nedeniyle (i), (ii) ve (iü) özeliklerini Sa ğlar. Herhangi bir matris normu için (iv) özeli ğinin varlığı da kolayiıkla gösterilebilir. Örneğin, n

Öklid matris normu için, AB nin ij yinci eleman

E k=1

duğundan n

II A

1,i

E k=1

2 aik bki

n i,j

k=1

= E I aik

2

1 2 E I bli 1 2

fiA fie2 IIB fie2 224

n

aik

bii

aikbkj ol-

dır. Buradan IIAB Ile < IIA Ile ilB Ile nedeniyle Öklid matris normu için (iv) özeliği sağlanır. Herhangi bir vektör normu için, ona kar şılık gelen bir matris normu tammlanabilir: IIA Ils = IIA II = max x0

IlAx I il

max =1

Il

I XI

Bu tanımın, bir matris norma için yukarıdaki koşulları sağlad ığı kolaylıkla gerçeklenebilir ve bu norm özel vektör normuna bağlı matris normu ya da ikinci derecede matris normu adını alır. Bağlı matris normun ilginç bir özeliği, onun aynı vektör normu ile uyumlu olan herhangi diğer bir matris normuna e şit ya da daha küçük olmasıdır. Buna göre ba ğlı matris normu IIAxII<
IIIIxII

özeliğini sağlayaca ğı açıktır. Bu özeliği sağlayan matris ve vektör normlarına uyumludur denir. Gerçekten lIx II herhangi bir vektör no ı mu, IIA Il da lIx Il ile uyumlu herhangi bir matris normu ve IIA Il s de lIx Il vektör normuna bağlı bir matris normu (subordinate) ise, tan ım nedeniyle Ily Il = 1 ve IIA. Ils = IlAy II olacak şekilde bir y vektörü vard ı r. IIA Ils ile tanımlanan norm, A nın türetilen normu (induced norm) olarak da adlandırıhr. Sonhi boyutlu vektörler ve matrislerle i şlemler yapıldığında aynı şekilde yararlı çok sayıda norm seçimleri vard ır:

IIA II =

max

laij = max laij

1 < i < rn 1
11A =

laij I

IIA Il = max (Z aii I ) Bütün bu normlar, norm fonksiyonunun özeliklerini sa ğladığı gibi bunlardan kullan ılan yerde amaca uygun olan ı beninısenir. Öte yandan AB çarp ımmın tanımlı olması durumunda

225

HABx < HA il ilBx <

HB

ve A mxn, B de nxq biçiminde ise IIABH < n IIA 11131 geçerlidir. Ayrıca A nxn biçiminde ise HA2 II < n HAH 2

IlAk II< nk-1 IjAll k dır. Genelleştirilmiş Ters Matris Herhangi bir A matrisi (karesel olup düzgün ya da ayk ırı ya da dikdörtgensel) için AA( -1 ) A = A ba ğmtıı ile tanımh ve A(-1 ) ile gösterilen bir şartlı ya da genelleştirilmiş tersi (ya da pseudo invers) vard ır. A matrisi karesel ve düzgün ise A( -1 ) tektir ve A-1 e eşittir. Aksi halde bağmtıyı sağlayan sonsuz sayıda A(-1 ) matrisi vardır. A, m ranklı ve nxm (m < n) biçiminde bir matris ise, bu durumda A(-1), mxn basama ğındandır ve A( -1) A = Im, AA(-I) / I dır. Bu durumda A(-1 ) sol ters adını alır. A, , n ranklı nxm (m > n) biçiminde bir matris ise, bu durumda A(-1 ) mxn basama ğındandır ve AA( -1 ) = A(-1 ) A I dır. Bu durumda A( -1 ) sağ ters adını alır. A ancak karesel ve düzgün oldu ğunda, hem sağ hem de sol tersi vard ır ve bu durumda her ikisi A nın A- 1 şittir. Genelle ştirilmiş ters matris kavram ının da-ilegöstrn ha genel olarak lineer dönü şümlerle ilişkisi üzerinde Kesim 6.5 de durulacakt ır. Genelleştirilmiş ters matris, a şa ğıdaki dört e şitliği sağlayan matris olarak da tammlanabilir• AA(-1 )A = A, A( -1 )AA( -1 ) = A(-1) (Am-1))* = Am-1) , (A(-1>A)* = I ve A(-1 ) A I Karesel ve ayk ırı bir A matrisi için AA(-1 ) dır, ancak yukardaki ba ğıntılar daima sa ğlanır. O halde karesel ve aykırı bir matris için sağ ters ve sol ters yoktur, genelle ştirilmiş ters vardır. Bu bakımdan her sol ters ve sa ğ ters bir genelle ştirilmiş terstir, ancak her genelle ştirilmiş tersin sol ters ya da sa ğ ters olması gerekmez. 226

Örnek 1. 3 (2) 1

A

kolon matrisi için (1 /3, 0, 0) sat ır matrisi bir sol terstir. Gerçekten 3 (2) = 1 1

A(-1 )A = (1 /3, 0,0)

dır. Öte yandan x ve y nin herhangi de ğ erleri için (x, y, 1 - 3 x - 2y) satır matrisi, A kolon matrisi için bir genelle ştirilmiş terstir. A kolon matrisinin sağ tersi yoktur. Örnek 2. 2 (1 4

A =

3 -2) 5

matrisinin rankı 2 dir. O halde çarp ım 12 olacak şekilde A matrisi 2x3 biçiminde A(-1 ) sol tersler cümlesine sahiptir. Gerçekten (x ı

Yı

x2

Y2

= I2z2 z2 )

1 3 -25 ) --= ( o

2 1 (4

O 1/

eşitliğinden 2xı -I- y ı

4z ı = 1 ,

3xı — 2yı -1- 5z ı = O , sistemlerine var ılır. Buradan /2

1

4

k3

-2

5

11 1 1 O

10 1 11 )

+ Y2 + 4z2 = 0 5 z2 = 2Y2 3 x2 2x2

...> ( 214 -3 /2R ı + R2 -2R2

°

7

2

ili 1 1 13 i

O) -2

2xı +yı 4z ı = 1) 2 13 3 2 . e ı, = 3 ; z ı = c ı , Y ı = -7— — - 7- cı , x ı = ,-y- — --T 7yı -1- 2z ı 2 X2+Y2+ 4 z2= O 2y2+2z2 = —

2

Z2 = c2, Y2 =

2

2

1 c2, x2 =

7—

13 c2 7

olduğ una göre aranan 2x3 biçiminde sol tersler cümlesi

227

3 2 / 7 — 13 7- c l 7 — 7 el

cl

A(-1> 13

7 C2 —

\\Ihr 7 —

2

2

e2 e2

biçimindedir ve A< -1 ) A = 12 sağlamr Örnek 3. A = ( 1 3 -1 4 5 2 matrisinin rank ı 2 olduğundan çarpım 12 olacak ş ekilde A matrisi 3x2 biçiminde A( -1 ) sağ tersler cümlesine sahiptir. Gerçekten 1

3

x1

1

AA (-1) = I2x9 kil

5

2 1 \ x 32

Yı Y2) = Y3

eşitliğinden 3x2 — x3 = 1 ,

xı 1

5x2

Y ı + 3Yz — Y3 = 0

2x3 =0 , 4y i +- 5y2 2y3 = 4x 1

sistemlerine vardır. Buradan 3 -1 ; 1

0

3 -1

k4 5 2 0 1 -4BR 2 1+R2 7 -6

1IO 4

ı -1

matrisinden 4 x 3 = e l, x2 = 7

6 + 7 cı, xı —

1 Y3 = C2, Y2 =

6

5 7

3 c2,Y1 — 7

11 7 cı

11 7

ez

elde edilir. Ohalde aranan 3x2 biçiminde A( -1 > sağ tersler cümlesi 228

11

5

ei

3 7

11 —

A(-1) I 7

6

7-

-I-

6 7

C2

cz

el biçimindedir ve AA( -1 ) = I, sağlanır.

ÖRNEK 4.

A

1 2 3 2 5 61 = (3 7 9

karesel matrisinin rank ı 2 dir. Böyle bir matris için sol ya da sa ğ ters yoktur, ancak genelle ş tirilmi ş ters vard ır. Genelleştirilmi ş tersler cümlesi, AA (-1 )A =A bağıntısından hareketle bulunabilir. Bununla beraber karesel aykırı matrisin herhangi bir genelle ştirilmiş tersi do ğrudan bulunabilir. A nın rankı 2 olduğuna göre A dan tersi olan 1., 2. sat ır ve 1., 2. kolon alınarak 2x2 biçiminde (12

2\ 5İ

matrisini gözönüne alalım. Bunun tersi 5 -2 \ -2 1 \ biçimindedir. Bu matris, 3x3 biçiminde A(-1 ) matrisinde 1., 2. sat ırda (satırlar kolonlarla, kolonlar sat ırlarla de ğiştirilerek) yerine konur ve diğer elemanlar sıfır alınır Buna göre bir A( -1 ) genelle ştirilmiş ters matris 5 -2 0 A(-1) ( -2 1 0) O O O biçimindedir. A matrisinden 1., 2. sat ır ve 2., 3. kolon al ınırsa ( 27 39 matrisi elde edilir. Bunun tersi 229

1 3

9 -3 \ \ -7 2

( -73 3

)

dır. Buna göre A nın bir diğer A(-1 >genelleştirilmiş tersi, bulunan ters matris 1., 3. kolon ve 2., 3. sat ırda yerleştirilerek di ğer elemanları sıfır alınırsa

A(-1 )

O (-3

0

7 0 3

1 2 3

biçiminde bulunur. Bunun gibi A nın 2., 3. satır ve 1., 2. kolonu alınarak gidilseydi bir başka A(-1 )genelle ştirilmiş ters de 0 -7 5 3 -2 ) A(-1 ) = 0 O 0 0 biçiminde bulunurdu. Bütün bu genelle ştirilmiş ters matrisler AA( -1 )A--,-- A bağıntısım sağlar. Öte yandan A, n yinci basamaktan r rankh bir ayk ırı matris ise, A nın herhangi bir genelleştirilmiş tersi bir başka biçimde de bulunabilir. Gerçekten A+MK düzgün olacak şekilde M, nx (n-r) ve K, (n-r) xn biçiminde seçilirse, (A-FMK) -1 matrisi, A nın bir genelleştirilmiş tersidir (bak. Al ıştırma 11). Matris Fonksiyonunun Türev ve İntegrasyonu A (t) =(aii (t) ) matris fonksiyonunun türevi, A n ın elemanlarının türevlerini almakla elde edilir, yani dA = / daii(t) dt dt j

k

dır. Buradan d dA (A+B) — dt dt d — d-t- (AB)

230

dB dt

dB dt • 13+A. dt

dA

dır. Benzer olarak . A nın integrali (belirli ya da belirsiz), A n ın her bir elemanının iııtegralini alarak elde edilir: t2

t2

Adt =

ajj (t) dt 1 , f Adt =

t2

fa jj (t) dt

t2

A (t) nm determinantının türevı ise, A (t) nın sırasiyle sat ırlar= (yada kolonlarmın) türevlerini almak suretiyle elde edilen n. determiminantın toplamıdır. Buna göre bir A (t) matris fonksiyonunun türev ve integrali, matris de ğerli fonksiyonlar ve determinantnıı n türevi ise skaler de ğerli fonksiyondur. ALIŞTIRMALAR 1. wA ile = (trA*A) 1 /2 oldu ğunu gösteriniz? 2. Aşağıdaki matrisler için ilA 11 =

1 E laik I normunu i=1

k

E i= ı

bulunuz? -1 2 -1 A= ( ),A= \ 1 1/ \ 2 3. Aşağıdaki matrisler için

E laik I normunu

= max J

1-1

bulunuz ? 2 4 3 A— —7 O 2 ) , A = 3 12 4 liAB le

6 4 3 \ 2 1 5

O0 A=OO) 10

IIB Ile olduğunu gösteriniz ?

5. [lA < 1 ise (I-A) - 1=

± An olduğunu gösteriniz? n

6. lIA = max llAx Ile ile tanımlanan oktahedral vektör norIlx Ilo =1 muna bağlı matris normunun ilA Ils = max E

laij I biçiminde ol-

i=1

duğunu gösteriniz ? 231

7.

!ls = max IlAx ile ile tanımlanan, kübik vektör normuna Ilx -=1

bağlı matris normunun IIA

biçiminde olduğunu

max

gösteriniz? Aşağıdaki matrislerin varsa sa ğ ya da sol terslerini yoksa genelle ş tirilmiş terslerini bulunuz?

8. A = (2 41 9. A = 3 6

) 10. A = 3 6 Ol

OO

Aş ağıdaki karesel ayk ırı matrisler için herhangi bir genelle ştirilmi ş ters bulunuz. Verilen matrislerin her biri için di ğer bir genelleştirilmiş tersi de M ve K yı uygun biçimde seçerek A+MK matrisi yard ımiyle bulunuz?

11. A

1 1 2 1 12. A -= -1 -13 -1 -1 -1) -1 0 -1 -2 1 -1 -1 3 -1 O 3 6 O -1 -1 -1 3

Örnek 3, Ahştırma 8 ve 11 ın genelleştirilmiş ters matrisleri için aş a ğıdaki özellikleri gerçekleyiniz? 13. AA(-- 1)A=A

14. A(-1 ).AM-1 )= A(-1 )

15. (AA(-1 ))* = AA(-1)

16. (A(-1 )A)* A(-1).A.

17. A*AA(-1 ) = A* =A( -1 )AA* 18. (A(-1))(-1)= A 19. A*(A(-1))*A(- 1)= A(-1) = A(-1)(A(-1))*A* 20. A düzgün ise A(-1 )=-- A-1 olduğunu gösteriniz? 21. A*A düzgün ise A(-1 ) = (A*A) -1.A* olduğunu gösteriniz? 22. A (t) ve B (t) elemanlar ı t nin türevlenebilir fonksiyonlar ı olan nxn biçiminde matrisler ise, bu durumda d d (A (t) B (t) ) = , dt -- (A (t) ) B (t) dt

d A (t) dt (B (t) )

= A'(t) B (t) --F A (t) B'(t) olduğunu ispatlaymız? 232

23. A (x) elemanları x in türevlenebilir fonksiyonlar ı ve Ai(x) de i yıncı satırın her bir elemanmm türevini almakla A (x) den elde edilen matris olmak üzere, d

Tt- (det (A (x) )

E det (A i (x) )

olduğunu ispatlaynuz ? 24. A herhangi bir nxn biçiminde sabitler matrisi olmak üzere — (det (xI-A) ) = tr (Adj (xI-A) ) ddx olduğunu ispatlaymız ?

233

6. Bölüm

LİNEER DÖNÜŞKER 6.1. DÖNC Ş CMLER Bölüm I de Fonksiyonlar üzerinde durmu ş ve her fonksiyon.un özel anlamda bir dönü şüm oldu ğunu görmüştük. A dan B ye f: A -> B ile belirtilen f dönü şümü altında keyfi bir x e A eleman ının görüntüsünü x f (x) ile göstermi ştik. Genel olarak dönü şüm kavramı, bir fonksiyon kavramını genelleştirir. Örne ğin herhangi sayıda diyelim 3 de ğişkenli bir fonksiyon, A tanım bölgesi sıralı sayı üçlülerinin bir kolleksiyonu ve B görüntü cümlesi de gerçel say ı sisteminin bir kısmı olan dönüşümün özel bir durumudur. Bununla beraber A ve B keyfi cümleler olarak almabilece ğinden dönümümler daha geneldir.

ÖRNEKLER 1. A = il -3 5 \2 4 -1 İ deki vektörleri kolon ile verilen 2x3 matrisini gözönüne alahm. R 3 ve vektörleri olarak yazarsak bu durumda A matrisi, v E R 3 olmak üzere v -> Av ya da T (v) = Av ile tan ımlanan T: R 3-> GR2 dönüşümünü belirtir. Örneğin 3 v = 1) ise T (v) = Av -2

-10 12

dır. Uyarı : Bir K cismi üzerinden (K, R gerçel ya da C karma şık cisim olabilir) her mxn türünde bir A matrisi, Kn ve Km deki vektörler kolon vektörleri olarak yaz ılmak üzere v -> Av ile tan ımlanan T: K/1-> Km dönüşümünü belirtir. Uygunluk bak ımından bu dönüşümü genellikle matris için kullanılan aynı simge ile yani A ile gösterece ğiz. 234

2. V, R gerçel cisim üzerinden t de ğişkenli polinomlarm vektör uzayı olsun. Bu durumda herhangi bir f E V polinomu için D (f) -= df

Tt- olmak üzere türev D:V -> V

ş eklinde bir dönüşüm tanımlar. Örne ğin

D (3t 2- 5t H- 2) = 6t-5 d ır. 3. V, Örnek 2 de R üzerinden t de ğişkenli polin.omların vektör uzayı olsun. Bu durumda herhangi bir f E V polinomu için diyelim 0 dan 1 e kadar integral eT (f) = f f (t) dt

o ile gösterilirse integral a°: V -* R ş eklinde bir dönü şüm tanımlar. Örneğin 3t2-7t+5) = 2 dır. Bu dönü şüm V lineer uzayından R skaler cisim içine ( R gerçel sayı sistemi içine) bir dönü şüm olduğu halde önceki dönüşüm V den V içine bir dönüşümdür. 4. f: A -> B ve g: B -> C dönü şümlerini gözönüne alal ım. a e A ise f (a), g nin tan ım bölgesindedir. f (a) n ın g dönüşümü altında g (f (a) ) görüntüsü elde edilebilir. A dan C içine olan a - g (f (a) ) dönü şümü, f ve g nin bileşimi (conıposition) ya da çarpımı (product) adını alır ve gof ile gösterilir. Ba şka bir deyimle (gof): A -> C, (gof) (a) = g (f (a) ) ile tanımlanan dönü şümdür. Dönüşümlerin bileşimi, birleş me özeliğini sağlar, yani f: A --> B, g: B -> C ve h: C -> D ise ho (gof) = (hog) of özeli ği geçerlidir. Yani her a E A için ho (gof) (a) = h ( (gof) (a) ) = h (g (f (a) ) ) ( (hog) of) (a) = (hog) (f (a) ) =-- h (g (f (a) ) ) dır. 6.2. L İNEER DÖNÜŞ ÜMLER Lineer uzaylar ııı incelenmesinde ortaya ç ıkan ve dönüşümler arasında büyük öneme sahip olan dönü şümler lineer dönüşümlerdir. Lineer uzayların önemi temelde onların ortaya ç ıkardıkları lineer dönüşümleı de yatar. Cebrin ve analizin bir çok konular ı gerçek yerlerine yerle ştirildiklerinde, onlar bir lineer uzaydan bir di ğer lineer uzay içine lineer 235

dönüşümlerin incelenmesine indirgenir. Örne ğin matrisler kuram ı, bu sahanm küçük bir kö şesidir. Bunun gibi belli türden diferensiyel denklemler, integral denklemler ve integrasyon kuram ı modern incelenme yönleri bakımından bu sahanm içersinde gerçek yerlerini bulurlar. V ve U, K üzerinden iki lineer uzay yada ayn ı skaler sistemli iki lineer uzay olsun. A şağıdaki iki ş artı sağlayan bir F: V ---> U dönü şümüne bir lineer dönüşüm (lineer transformasyon =lineer operatör =Vektör uzayı homomorfizmi) denir: Herhangi v, w E V için F (v+w) = F (v) + F (w) Herhangi bir

k

E

(6.2.1)

K ve herhangi bir v E V için

F (kv) = kF (v)

(6.2.2)

Başka bir anlatım ile bir lineer dönü şüm öyle bir F fonksiyonudur ki her k skaleri ve v,w vektörleri için (6.2.1) ve (6.2.2) sa ğlanacak şekilde V de her v vektörüne U da bir tek F (v) vektörü kar şıhk gelir. Bir lineer dönüşümde, bir lineer uzayın iki temel işlemi olan toplama ve skaler ile çarpma i şlemleri aynen korunur, yani bir lineer dönüşüm V deki toplamı U da bir toplama, V de bir skalerle çarp ımı U da bir skalerle çarp ıma götürür. Bir lineer dönü şüm, En lineer uzayından Em lineer uzayma (m >, = , < olabilir) tan ımlanabilir, ancak m n ise v ile F (v) aynı uzayda noktalar olarak gözönüne alnamaz.

e

(6.2.2) de k =0 konulursa F (0) = 0 elde edilir. Yani her lineer dönüşüm sıfır vektörünü sıfır vektörüne götürür. Herhangi a, b e K skalerleri ve herhangi v, w E V vektörleri için (6.2.1) ve (6.2.2) lineerlik şartları F (av+bw) = F (av) + F (bw) = aF (v) + bF (w)

(6.2.3)

şartına eş değerdir. a =b =1 ise (6.2.1) ve b =0 ise (6.2.2) ş artı elde edilir. Bir lineer dönüşümün, bir skalerle çarp ım özeliğini korumasma ço ğunlukla lineer dönüşümün homogenlik özeli ği denir. Daha genel olarak herhangi aie K skalerleri ve herhangi v i e V vektörleri için F (aiv i + a2v2+ + a nvn) = a 1 F (v i ) + a2F (v2) -+- ••• + anF (vn) şeklinde lineer dönüşümlerin temel özeli ği elde edilir. Belirtelim ki (6.2.3) şartı, lineer dönüşünderi tamamen belli eder ve ço ğunlukla lineer dönüşümlerin tanımı olarak kullanılır. 236

ÖRNEKLER 1. x = (x i, x2) vektörü R2 de keyfi bir vektör olsun. Buna göre A (x) = (x ı , — x2) dönüşümü, x ieksenine göre simetri nedeniyle R2 den R2 üzerine bir lineer dönü şüm gösterir. Gerçekten her al (i =1,2) skalerleri ve her x = (x i , x2), y (y ı , y2) E R2 vektörleri için A (a ix + a2y)

= A (a ixi + a2y 1 , a 1 x2 + a2y2) a2y2) = (a ix i + a2y1 , = (a ıx i, —a ix2) + (a2y i , —a2y2) = al (x ı , —x2) + ak ı , —Y2) = a l A (x) + a2A (y)

dır. 2. R2 den R2 üzerine A (x i , x2) (x 1 + x2, x2) ile gösterilen dönüşüm bir lineer dönüşümdür. Bu dönüşüm x1 eksenini aynı bıraktığı halde x2 eksenini ters yönde 45° de ğiştirir. Yani A (x 1 , 0) = (x i, 0), A (0, x2) = (x2, x2) dır. 3. A, K cismi üzerinden herhangi bir mxn matrisi olsun. Daha önce belirtildi ği üzere A matrisi v—>Av ile tan ımlanan bir T: Kn-->- Km dönüşümü belirtir. Bu dönü şüm lineerdir. Gerçekten, matrislerin özelikleri nedeniyle, v,w E Kn ve k e K için T (v+w) = A (v+w) = Av+Aw = T (v) + T (w) T (kv) = A (kv) = kAv = kT (v) dır. Bu türden lineer dönü şümler sık sık karşımıza çıkar. Sonlu boyutlu bir lineer uzaydan bir diğer sonlu boyutlu lineer uzay içine her lineer dönüşüm, bu türden bir lineer dönü şüm olarak gösterilebilir. 4. F: R3—> R 3 dönüşümü, F (x, y, z) = (x, y, o) şeklinde xy düzleminde "izdüşüm" dönüşümü olsun. F lineer dönü şümdür. Gerçekten v = (a,b,c) ve w.(a' b', c') olsun. Bu durumda F (v+w) = F (a+a', b+b', c+c') = (a+a', b+b', 0) = (a,b,0) + (a', b',0) = F (v) + F (w) ve herhangi k e R için F (kv) = F (ka, kb, kc) = (ka, kb, 0) = k (a,b,0) = kF (v) olduğundan F lineer dönüşümdür. 237

5. F: V -> U dönüşümü, her v e V elemanına 0 e U elemanını karşılık getiren bir dönü şüm olsun. Herhangi v, w E V ve herhangi k e K için F (v+w) = O = 0+0 = F (v) + F (w) ve F (kv) = O = k.0 = kF(v) olduğundan F bir lineer dönü şümdür. F dönüşümüne sıfır dönüşümü denir ve ço ğunlukla 0 ile gösterilir. 6. F: R2._›. dönüşümü F (x,y) = (x+1,y+2) ile tanımlanan "kayma" dönüşümü olsun. F (0) = F (0,0) = (1,2) / 0 olduğundan yani sıfır vektörü, s ıfır vektörü üzerine dönü şmediğinden F lineer dönüşüm değildir. 7. Her v e V eleman ını kendi üzerine dönü ştüren I: V -> V özde ş lik dönü şümü'nü gözönüne alahm. Herhangi v, w E V ve herhangi a, b e K için I (av + bw) = av + bw = al (v) + bI (w) olduğundan I lineerdir.

el

e

8. D: [a, b] -> [a, b] dönüşümü D (f) = f' ile tan ımlanan türev dönü şümünü göstersin. Bu dönü şüm D (f1 + f2) = D (f1 ) + D (f2) ve D (af) = aDf

en

e [a,

b dönüşünedeniyle lineerdir. Daha genel olarak Dn: [a, b ] --> mü, n yinci basamaktan Dn (f) = f(n) ile tanımlanan türev dönü şümünü gösterirse bu dönü şüm [a, b arahğnıda n kez sürekli türevlenebilir fonksiyonlar uzayını, [a, b aralığında sürekli fonksiyonlar uzay ı içine götüren bir lineer dönü şümdür. Daha sonra görece ğimiz gibi türev dönü şümleri yerine daha çok türev ya da diferensiyel operatörler deyimini kullanaca ğız. Buna göre D ve Dn sırasiyle birinci ve n yinci basamaktan diferensiyel operatörlerdir. 9. a°:

e

[a, b ] - R dönü şümü, (f) =

aJ b

f(t) dt

ile tanımlanan in.tegral dönüşümü olsun. Aynı şekilde fl , f2 ve her ai (i = 1, 2) skalerleri için (a ifi + a2f2) = a fb [aifi(t) + a 2f2(t)] dt

= a fb a ifi(t) dt + a fb a2f2 (t)dt 238

E

e [a, b

= a 1 a fb f1 (t) dt = al a' (fı ) oldu ğundan lineer dönüşümdür.

a2 a fb f2(t) dt

aza' (f2)

Bir lineer uzaydan bir skaler alan içine olan bu türden dönü şümler, kendilerine özgü ilginç özeliklere sahip olmalar ı nedeniyle ilerde ayrıca yeni bir ad ve yeni bir kesim alt ında incelenecektir. 10. F:V -4- U bire bir ve üzerine bir lineer dönü şüm olsun. Bu durumda F-1 : U -> V ters dönü şümü vardır ve ters dönü şüm lineerdir. Gerçekten, u, e U olsun. F bire bir ve üzerine olud ğundan F (v) = u ve F (v') = u' olacak şekilde v, v' e V vektörleri vardır. F lineer olduğundan F (v

v') = F (v) H-- F (v')

u'

ve F (kv) = kF (v) = ku geçerlidir. Ters dönü şümün tanımı nedeniyle F-1 (u) = v, F - (u') = v', F-1 (u u') = v v' ve F-1 (ku) = kv dır. O halde F-1 (u

u') = v

v' = F-1 (u)

F-1 (u')

ve F-1 (ku) = kv = kF -1 (u) olduğundan F-1 dönüşümü bire bir ve üzerine bir lineer dönü şümdür. Bir F:V -> U lineer dönü şümde v 1 , v2 e V için F(v 1 ) = F(v2) eşitliği ancak v 1 = v2 olması halinde geçerli ise F lineer dönü şümüne bire bir dönüşüm denir. Başka bir deyimle F in bire bir olması ; F in, V deki elemanları U da farklı elemanlara dönü ştürmesi demektir. U daki her eleman, V deki en az bir eleman'n görüntüsü ise F lineer dönü şümü üzerine bir dönüşümdür. F lineer dönüşümü hem bire bir hem de üzerine ise bire bir ve üzerine dönüşüm admı alır. F:V -> U lineer dönü şümü bire bir ve üzerine ise F lineer dönü şümüne bir şekil benzerliği (ya da iç benzerlik = isomorphism) denir. Bu durumda V ve U lineer uzaylar ına eş biçimli (isomorphic) dir denir. E ş biçimli iki sonlu boyutlu lineer uzaylarm boyutlar ı aynıdır. Buradan n boyutlu bütün lineer uzaylar e ş biçimlidir. Eş biçimli "benzer görünü ş ya da yapıya ancak farklı kökenlere sahip" anlam ındadır. v n }, V de bir baz ve u n } de U da bir baz ise i = n için F (vi) = ui olacak ş ekilde F lineer dönü şümü, V den U üzerine bir şekil benzerliğidir. V, K üzerinden n boyutlu bir vektör uzay ı ve 239

{eh ..., e n } de V nin bir bazı olsun. Bu bazm tabii baz olmas ı gerekmez Bu durumda her v E V vektörünü {e i } bazma göre koordinat vektörü içine dönüştüren v ---> [v], dönü şümü, V nin Kn üzerine bir şekil benzerliğidir. Yani her v E V vektörüne, verilen {e i , e2 ,..., e n } bazma göre Kn de bir n li karşılık gelir. Öte yandan, (a 1 , a2,..., a n) E Kn ise buna V de a let a2e2 ... + a nen vektörü karşılık gelir. Böylece {ei} baz ı, V deki vektörlerle Kn deki n liler aras ında bire bir kar şılık olmak üzere bir bağ kurar. v = a2e2 + ... a nen vektörüne (a ba,,..., a n) n lisi, ve w = b 1e 1 bnen vektörüne (b1,b2,—, bn) n lisi kar şılık b2e2 .•• geliyorsa v w = (a i -I- b i ) e i (a2 b2) e2 ••• H- (an + bn) en vektörüne (a 1 , a2,..., a n ) + (b i , b2 ,..., b n) n lisi karşılık gelir. Ayrıca herhangi k e K skaleri için kv = (ka l ) e l (kat) e2 ••• (kan) en vektörüne k (a 1 , a2,..., a n) n. lisi karşılık gelir. Yani [v w], = [v],

[w] e ve [kv] e = k [v],

dır. Daha önce 4.4 de ifade edildi ği gibi V ile Kn arasında bire bir karşılık olıria durumu, vektör uzay ının toplama ve skalerle çarpma i şlemlerini aynen korur. Bu yüzden V ile Kn e ş biçimlidir. Bazan bu durum V = Kn şeklinde gösterilir. Bir lineer dönü şüm, bir bazdaki elemanlarla tamamen belirtilebilir. Gerçekten, V ve U uzayları K üzerinden lineer uzaylar ve {v 1 , v2, vn } V nin bir bazı, u 1 , u2,..., u n de U da herhangi vektörler olsun. Bu durumda F (v 1 ) = u i , F (v2) = u2,..., F (v n) = u n olacak şekilde bir tek F:V U lineer dönü şümü vardır. Burada u i, u2,..., u n vektörleri tamamen keyfidir, bunlar lineer ba ğımlı olabilir, hatta her biri bir diğerine eşit olabilir. Ancak U da farkl ı vektörlerin seçimi farkl ı lineer dönüş üm verir ve V den U ya her lineer dönü şüm bu şekilde elde edilebilir. F, V den U ya bir lineer dönüşüm ve {v i , v2,..., vn } V de bir baz olsun. Bu durumda x =

x2v2 ••• XnVn

vektörü V de herhangi bir vektör ise F (x) = x, F(v i)

x2F(v2)

xnF (ve)

(6.2.4)

vektörü U dadır. Bir lineer dönü şüm, lineer kombinasyonları lineer kombinasyonlara dönü ştürür. Gerçekten F lineer oldu ğundan 240

F (x) = F (x ivi +x2v2 +...+xev e) =x ı F(vi)±x2 F(v2)+...-Fx eF (v e) dır. Böylece F(x) in de ğeri, U daki F (v 1), F (v2),..., F (v e) vektörleri ile tamamen belirtiliyor yani F lineer dönü şümü V nin bir bazı üzerindeki de ğerleri ile tek olarak bulunuyor. Ayr ıca u 1 , u2,..., u n vektörleri U da keyfi vektörler ise F:V U lineer dönü şiimü F (v1 ), = u i , F (v2) =- u2 ,..., F (v e) = u n koymak suretiyle V de her x için F(x) in değeri tek olarak bulunabilir. Böylece (6.2.4) ifadesi, V den U ya bütün lineer dönüşümlerin nasıl bulunabilece ğini belirtir. U da farklı vektörlerin seçimi farkl ı lineer dönü şümler tanımlandığından V deki vektörler kadar V den U ya lineer dönüşüm vardır. Aynı zamanda V nin bir bazı üzerindeki de ğerleri ile belirtilen lineer dönü şüm, V deki hazin der ğişimi ile değişikliğe uğradığı gibi U daki farklı vektörlerin seçimi ile de değişikliğe uğrar. 6.3. B İR LİNEER DÖNÜ Ş ÜMÜN ÇEKIRDE ĞI VE GÖRÜNTÜ CÜMLES İ F:V --> U bir lineer dönü şüm olsun. F in RF ya da R (F) ile gösterilen görüntü cümlesi RF = R (F) = iu E U: Her v e V için F (v) = u}

şeklinde U daki görüntü noktalarının cümlesidir. F in D (F) ile gösterilen tanım bölgesi V cümlesidir. F in Kernel F ya da kısaca KerF ile gösterilen çekirdeği (kernel) ya da sıfır uzayı (null space), Kernel F = KerF = iv E V:F (v) = o} şeklinde o E U eleman ına dönüşen V deki elemanlar cümlesidir. KerF, daima V nin sıfır vektörünü kapsar. F:V --> U bir lineer dönü şüm olsun. Bu durumda F in görüntü cümlesi U nun ve F in çekirde ği V nin bir alt uzayıdır. Başka bir ifade ile, R (F) görüntü cümlesi U da ve KerF çekirde ği de V de bir lineer manifolddur. Gerçekten F (o) = 0 oldu ğundan 0 E R (F) dır. u, u' E R (F) ve a, b E K olsun. u ve u', F in görüntü cümlesinde oldu ğundan F (v) = u ve F (v') = u' olacak ş ekilde v, v' E V vektörleri vard ır. Buradan F (av + bv') = aF (v) bF (v') = au -I- bu' E R (F) dıır. O halde F in görüntü cümlesi U nun bir alt uzay ıdır. F (0) = 0 oldu ğundan 0 e KerF dır. v, w E KerF ve a, b E K olsun. v, ve w, F in çekirde ğine ait oldu ğundan F (v) = 0 ve F (w) = 0 dır. O halde

241

F (av bw) = aF (v) bF (w) = a 0 b 0 olduğundan av + bw e KerF d ır. Böylece F in çekirde ği V nin bir alt uzayıdır. Örnekler 1. I : V --> V özde şlik dönüşümü olsun. Özde şlik dönüş ümü hem bire bir hem de üzerine oldu ğundan R (I) = V ve KerI = {0} d ır. 2. O: V --> U s ıfır dönü şümü olsun. S ıfır dönüşümünün tanımı nedeniyle R (0) = {O} ve KerO = V d ır. 3. F: R 3 ->R 3 dönüşümü F (x, y, z) = (x, y, 0) şeklinde xy düzlemi içine izdü şüm dönü şümü olsun. F in görüntü cümlesi R (F) = {(a., b, o) : a, b E R} şeklinde tüm xy düzlemidir. F in çekirdeği de KerF = {(0, 0, c) : c E R} şeklinde z eksenidir. Sadece z ekseni üzerindeki noktalar O = (0, 0, 0) sıfır vekti3rüne dönü şiir. 4. D, derecesi n den küçük T„ polinomlar uzayında diferensiyel operatör olsun. D nin çekirde ği, sıfır polinomu ile birlikte derecesi s ıfır olan bütün polinomlar cümlesidir. D nin görüntü cümlesi de s ıfır polinomi ve derecesi < n-1 olan bütün polinomlardan olu şur. 5. şeklinde gerçel sayılardan oluşan bütün sonsuz diziler uzayı V° olsun. Bu lineer uzay üzerinde A = B = <0, x i , x,,...> şeklinde tanımlanan iki lineer dönüşüm A ve B olsun. Ker A, x 1 keyfi olmak üzere < x 1 , 0,0,... > şeklinde bütün dizilerden olu şur ve V° un bir alt uzayıdır. A nın görüntü cümlesi, dönüşüm üzerine olduğundan R (A) = V° dur. Öte yandan KerB = {O} şeklinde sadece sıfır dizisinden olu ş an cümlesir. B nin görüntü cümlesi ise, ilk elemanı sıfır olan bütün dizilerden olu şur. 6. A (E4 , Sz olmak üzere A: ri ---> R11-1Sn) -=dönüşümünü gözönüne alalım. Bu dönüşüm üzerinedir, ancak herhangi bir n eR için A , z2,..., Sn) = G25 3,•••, /.1) olduğundan bire bir değildir. Anın görüntü cümlesi R (A) =r1 -1 dır. Wn de bir x =(1, 2, ,S n) ,

(n

242

vektörü, ancak 2 = 3 = = = 0 ise -Rn-1 de sıfır vektörüne dönüşür. Bu yüzden A nın çekirde ği, (I, 0, ..., 0) vektörü ile gerilen uzaydır, yani keyfi olmak üzere KerA = {(

0, 0,..., 0): E. 1 E R}

cümlesidir. 7. L: e2 (— 00, co) _› e (— co, co) dönü şümü D2 _ I lineer döniişümü olsun. Buna göre L (y) = (D 2 — I) y =

ği,

d2y dx2

dy dx2

y dır. L nın çekirde-

y = 0 olacak şekilde e2 (— co, co) deki bütün y lerin cüm-

lesidir. Yani KerL = Ker (D 2 — I), homogen diferensiyel denklemin çözümlerinin cümlesidir. Böylece (D 2 — I) y = 0 denkleminin bütün çözümleri ııi bulma problemi, D 2 — I lineer dönü şümünün çekirde ğini bulma problemi ile aynıdır. y ı ve y 2 , L (y) = 0 denkleminin iki çözümü ise, herhangi c ı ve c2 sabitleri için c İYI -F. c2y2 de L(y) = 0 ın bir çözümüdür. Gerçekten y ı ve y2 , L(y) = 0 in iki çözümü ise L(y ı ) = 0 ve L (ya) = 0 dır. L lineer olduğundan c2y2) = c iL (y ı ) e2 L(y2) = e ı (0) + c 2 (0 ) = 0 L (e ıYı dır. Böylece c 1y1 c 2y2 de L(y) = 0 denkleminin bir çözümüdür. Bu özelik, lineer homogen diferensiyel denklemlerin çözümünde üstüste gelme Kuralı (principle of superposition) olarak bilinir Buna göre yukarda verilen L lineer dönü şümünün çekirde ği, e-x ve ex tarafından gerilen bir lineer uzayd ır, yani KerL = Ker (D 2 — I) = {c i e-x e2ex: c i , c, E R} dır. v n vektörlerinin. V yi gerdi ğini ve F:V -› U dönü şümünün lineer oldu ğunu varsayalım. Bu durumda F (v i ),..., F (v n) E U vektörleri de R(F) yi gerer. Gerçekten u E R (F) ise herhangi bir v E V için F(v) = u dur. vi, V yi gerdi ğinden ve v E V olduğundan v = a 1v1 a2v2 ... anvn olacak şekilde a n skalerleri vardır. Buna göre u = F(v) = F (a ıv ı a2v2 a nv n) = a l F(v ı ) a2F (v2) + ... a n F (vn) dır ve buradan F (v i),..., F (v n) vektörlerinin R(F) yi gerdi ği sonucu çıkar. Örneğ in, K üzerinden keyfi bir 4x3 türünde A matrisi gözönüne alalım: 243

(a ı

A =

bi

a2

b2

cı dı

a3

b3 e3 d3

Bu matris A:K 3 -> K4 ş eklinde bir lineer dönü şümdür. K 3 ün {e i , e2 , e 3 } tabii bazı K 3 ü gerer ve bu vektörlerin A alt ında Ae i , Ae2 , Ae 3 ğerleri, A nın görüntü cümlesini gerer. Ae i, Ae2 , Ae3 vektörleri A de nın kolonlarıdır:

a l a2 i b2 i c2 d, d--2

(

Ae

Ae2

fa i bi ı \d i

d3

a2 2. 3\ b2 b 3 c ı e3 d d2 (1 3 1

a i a2 i b2 ı C2 i d2

Ae3

a3 b 3b e3 c

a3 b 3b C3 e d 3d

1

/al\ bi cı

a2\ b2 e2 \d2/ a3 b3 C3 d3

(

Buradan A nın görüntü cümlesi, tamamen A nın kolon uzayıdır. Buna göre A, A:Kn--> Km şeklinde bir lineer dönü şüm olarak dü şünülen K üzerinden mxn türünde herhangi bir matris ise, A n ın görüntü cümlesi tamamen A nın kolon uzayıdır: Bir F: V --> U lineer dönü şümünde F in görüntü cümlesi U nun, F in çekideği de V nin alt uzayı olduğunu görmüştük. V sonlu boyutlu ise dimV=dim (KerF)

dim (R (F) )

(6.3.1)

dı r. Yani bir lineer dönü şümün görüntü cümlesinin boyutu ile çekirdeğinin boyutunun toplamı tanım bölgesinin boyutuna e şittir. Bir lineer dönüşümde görüntü cümlesinin boyutu, kesinlikle tan ım bölgesinin boyutunu aş amaz. F in görüntü cümlesinin boyutuna F in rankı, çekirde ğinin boyutuna da F in nulitesi (nullity) denir. Buna göre rankF = r(F) = dim (R (F) ) ve nulite (F) = n (F) = dim (KerF) dır. Ohalde (6.3.1) e şitliği 244

dimV =nalite (F) + rank (F) ya da kısaca

(6.3.2) d (V) = n (F) + r (F)

şeklinde yazılabilir. Bir A matrisinin rankı, Kesim 5.8 de A nın kolon uzayı ya da satır uzayının boyutu olarak tan ımlandığmı hatırlar ve bu defa A bir lineer dönüşüm olarak dikkate al ınırsa, A nın görüntü çümlesinin tamamen A nın kolon uzayı olması nedeniyle her iki rank tan ımının uyumlu olduğu sonucuna varılır.

ÖRNEKLER 1. Yukarda verilen Örnek 6 da rankA =dim (R (A) ) = ıı.-1 ve ıı (A) = dim (KerA) =1 d ır. Rn nin boyutu n oldu ğundan (6.3.2) eşitli ği sağlamr. 2. A =(1,2,3) 1 matrisi A: R 1 ->R 3 şeklinde bir lineer dönü şüm gösterir. A nm rankı 1 dir. Çünkü

(

2 ) (x 2) = (b21 ) 3 b3

olduğuna göre A lineer dönüşümü, R 1 de bir (x1 ) vektörünü R 3de (b i , b2, b 3 ) .=(x 1 3x 1 ) vektörü üzerine dönü ştürür. Bir boyutlu uzayının üç boyutlu R3 uzayındaki görüntü cümlesi olan R(A) {x 1 (1,2,3): x i E R} bir doğru gösterir. Ohalde dim (R (A) ) = r (A) =1 dır. Öte yandan KerA = ()} oldu ğundan n (A) = dim (KerA) = 0 ve dim R 1 =1 dır. Böylece (6.3.2) sa ğlamr. E ğer A matrisi (1,2,3) biçiminde alınırsa bu A: R 3->R 1 şeklinde bir lineer dönüşüm gösterir. Bu defa bu dönüşüm. ,

(1,2,3)

X2 = Xi+ 2x2+ 3X3 x) X3

şeklinde R 3 de bir (x i , x2, x3) vektörünü 2 1 de x i +2x2 +3x 3 vektörüne

dönüştürdüğünden bu defa yine rank A =1 dır, ancak dim R3 = 3 ve nullity (A) = n (A) = 2 dır. Çünkü A nın çekirdeği, xi + 2x2 + 3x3 ıfır yapan R3 deki vektörler cümlesi oldu ğuna göre x i + denklmis 2x2 + 3x3 = 0 düzlemi, bağımsız (-2,1,0) ve (-3,0,1) vektörleri taraf ından gerilir. Buradan 245

x 3 (- O ) : x 2 , x 3 e R}

KerA =

ve n (A) = dim (KerA) = 2 dır. Bir F: V -> U lineer dönü ş ümünde R (F) c U ve KerF c V oldu ğunu biliyoruz. F lineer dönü ş ümü sonsuz boyutlu olsa bile R (F) ve KerF sırasiyle daima U ve V nin alt uzaylar ıdır. Ancak (6.3.2) e şitliği, V sonla boyutlu ise geçerlidir. Öte yandan (6.3.2) den R (F) KerF =V gibi her zaman do ğru olmayan bir sonuç ç ıkarmamak gerekir. Gerçekten F,V den V içine ise e şitlik doğru de ğildir. Örne ğin R 2 den W 2 içine bir dönüşüm O1\ A = ( 0 O) olsun. Bu dönüş ümün görüntü cümlesi ve çekirde ği sırasiyle 1 KerA = x 1 ( ) :. x ı E R er

1 R (A) = x2 ( ) : x 2 E R

O

5'

.

O

dır. Buradan rankA =r (A) =1 ve nullity (A) = n (A) = 1 d ır. Görüldü ğü üzere görüntü cümlesi (1,0)T vektörü taraf ından geriliyor ve bu vektör aynı zamanda sıfır uzayın! geriyor. Buradan R (A) + KerA = W 2 olmadığı açıktır. Buradaki toplam, iki cümlenin bile şimi değil 4.4 de sözü edilen iki cümlenin toplam ı anlamı ndadır.

6.4. AYKIRI ve AYKIRI OLMAYAN DÖNÜ ŞÜMLER Bir F: V -± U lineer dönü şümü, ancak s ıfırdan farklı herhangi bir vektörün F alt ında görüntüsü s ıfır vektörü ise, yani v-ı-0 olmak üzere F (v) = 0 olacak ş ekilde v E V vektörü varsa F lineer dönü şümüne ayk ırı (singular) dönüşüm denir. E ğer sadece 0 E V eleman 0 E U elemanma dönü şüyorsa, yani çekirdek sadece s ıfır vektöründen oluşuyorsa (KerF = 0} ), F lineer dönü şümüne düzenli ya da ayk ırı olmayan (nonsingular) dönüşüm denir. Bir F: V V --> U lineer dönümülıürt bire bir olmas ı, F in çekirde ğinin sadece sıfır vektöründen olu şmasıdır. Bunun tersi de do ğrudur, yani F düzenli ise (KerF = { 0 } ), F lineer dönü şümü bire birdir. F hem bire bir hem de üzerine ise F lineer dönü şümünün F -1 : U > V tersi vard ır ve bu ters dönüşüm de lineer olmakla beraber bire bir ve üzerinedir. 246

v E V, u E U olmak üzere F (v) = u ise v ---- F-1 (u) dur, yani u, F altında v nin görüntüsü ise, v de F -1 ters döniişümii altında u nun görüntüsüdür. F bire bir ve üzerine oldu ğunda F (v) =u ve v F -1 (u) eş değer dönüşümlerdir. Bu durumda R (F) = D (F -1 ) dır, yani F in görüntü cümlesi F -1 in tanım bölgesidir. Bir F: V -> U lineer dönüşümü düzenli olmakla beraber, V sonlu boyutlu ise dimR (F) = dimV d ır. Buradan V =R (F) d ır. Kesim 6.3 de görüldüğü üzere boyutlar ı kaldırma işlemi (6.3.1) için genel olarak geçerli değildir. Burada V nin sonlu boyutlu olmas ı zorunludur. V ve U lineer uzaylarmın her ikisi sonlu n boyutuna sahip olmak üzere F: -->- U lineer dönü şümü düzenli ise bu durumda F ayn ı zamanda üzerine olacağından R (F) = U dur. Buradan R (F) = U <,> Ker F = {O} dır. Bu eş değerlik durumu F lineer dönü şmü bire bir ve üzerine oldu ğunda ya da F: V -> U lineer dönü şümü düzenli olmakla beraber, V ve U aynı sonlu n boyutlu oldu ğunda geçerlidir. Buna göre V sonlu boyutlu olmak üzere F: V --> V lineer dönü şümünün düzenli olmas ı, F in tersine çevrilebilir olmas ı ile eş değerlidir. F: V -> U lineer dönü şümü sadece üzerine oldu ğu zaman R (F) = U olur, ancak bu defa KerF = {O} olmas ı gerekmez. Öte yaratan sadece KerF = {O} olmas ı da R (F) = U olmas ını gerektirmez. Gerçekten A (x 1 , x2) -= (x i , x i + x2, x i- x2) lineer dönüşümü için KerA = {O} olduğu halde A: R2-> R1 dönüşümünde R 1 , daha az boyutlu R 2 tarafından doldurulamıyaca ğından üzerine de ğildir, yani R (A) R3 dür. Öte yandan B (x i , x2,x3) = (x i + x2 , x2- x 3) ile tanımlanan lineer dönü şüm üzerinedir, ancak bire bir de ğildir, yani B: R 3--> R 2 dönüşümünde R (B) =-- R 2 ve Ker B j0} d ır. Bu durumlarda dönü şümün tersi yoktur. Bununla beraber belirtelim ki her tersine çevrilebilir dönü şüm düzenlidir, ancak her düzenli dönü şüm tersine çevrilemez. Bir F: V -> U lineer dönü şümü bir şekil benzerligi ise KerF -= {0} ,> R (F) = U e şdeğerliği geçerlidir. Buradan F bir şekil benzerliği ise F-1 : U -> V tersi vard ır. Düzenli ya da aykırı olmayan dönüşümler keza ba ğımsız cümleleri, bağımsız cümlelere götüren dönü şümler olarak ayırd edilme niteli ğine sahiptirler. Yani bir F: V -> U lineer dönü şümü, ancak ve ancak bir bağımsız cümlenin görüntü cümlesi ba ğımsız ise düzenli dönü şümdiir. Gerçekten F düzeni i dönü şüm ve { vm } de V nin ba ğımsız bir alt cümlesi olsun. Bu durumda F (v i), F (v2),..., F (v e) vektörlerinin bağımsız olduğunu gösterece ğiz.

247

ai E K olmak üzere a 1 F (v ı ) a 2F (v2)+... a nF(v n) = 0 oldu ğunu varsayalım. F lineer olduğundan (a ıv ı + a2v2+... + a nv n) = a 1 F v 1 ) a2F (v2) ••• an F (vn) = 0 dır. Buradan a 1v 1 F düzenli dönü şüm e KerF dır. a2v2+ ... 4- a nv n olduğundan a ıv ı + a2v 2 a nv n = O ve vi lerin lineer ba ğımsız olması nedeniyle de ai katsayıları sıfırdır. Ohalde F (vi) ler lineer ba ğımsızdır. Ba şka bir deyimle v n } bağımsız cümlesinin görüntü cümlesi bağımsızdır. Öte yandan herhangi bir ba ğımsız cümlenin görüntü cümlesinin ba ğımsız olduğunu varsayalım. E ğer v E , V elemam sıfırdan farkl ı ise cümlesi ba ğımsızdır. Bu durumda F (v) ba ğımsızdır ve dolayısiyle F (v) 0 dır. Ohalde F, sadece s ıfır elemanmı sıfıra dönüştürdüğünden aykırı olmayan dönüşümdür. F in tanım bölgesinde her v ve görüntü cümlesinde her u için (F-1 ) -1 = F , F-1 (F (v) ) = v , F (F -1 (u) ) geçerlidir. Son iki e şitlik özdeşliktir. Gerçekten I v ve In sırasıyle V ve U üzerinde özde şlik dönüşümleri olmak üzere F-1 F = I v , FF-1 = I n

(6.4.1)

dur.

ÖRNEKLER 1. T: R2-> R 2 dönüşümü, eksenieri orijin etraf ında 0 açısı kadar döndüren bir lineer dönü şüm olsun: T (x, y)

(xcos 0 — ysin 0, xsin 0

ycos 0)

Bu dönüşüm sadece s ıfır vektörünü s ıfır vektörüne dönüştürür, yani KerT = {(0, 0)} d ır. O halde T bir aykırı olmayan dönüşümdür. Öte yandan V sonlu oldu ğundan T-1 tersi vard ır. Bu ters dönü şüm eksenleri orijin etrafında — 0 açısı kadar döndürür. Gerçekten bu ters dönüşüm T (x, y) = (u, v) = (xcos 0 — ysin 0, xsin. 0 + ycos 0) dan T-1 (u, v) = (x, y) şeklin dedir.

(ucos 0 ± vsin 0, — usin O

T-1 (T (x, y)) = T -1 (u, v) = (x, y) ve

248

vcos 0)

T (T-1 (u, v)) = (x, y) = (u, v) dı r. 2. A: R 3 -* R 3 dönüşümü, A (x1, x2 , x3) = (x1, H- x 2 , x2 , x3) ile tanımlanan lineer dönüşüm olsun. Bu dönüşüm de KerA = {0} olması nedeniyle ayk ırı olmayan bir dönü şümdür ve A n ın tersi vard ır ve bu ters dönüşüm A-1 (u 1 , u2 , u 3) (x i , x2 , x3) = (u ı , — u2, u2, u3) şeklindedir.' 3. A: R2 R 3 dönüşümü A (x ı , x2) = (x i 2x2 , x2 , 3x2) ile tanımlanan bir lineer dönü şüm olsun. KerA = {O } oldu ğundan A bire birdir, ancak üzerine de ğildir. Çünkü R 3 uzayı daha az boyutlu R 2 uzayı tarafından doldurulamaz. A:V --> U lineer dönü şümünde V sonlu boyutlu ve A düzenlidir. Buradan dim V = dim k 2 = dim R (A) dır. A nın görüntü ciimlesi (1, 0, 0) ve (2, 1, 3) vektörleri taraf ından gerilir. Görüntü cümlesi bir düzlemdir ve R 3 ün bir alt uzayıdır dim R (A) = 2 dir. KerA = {0} oldu ğu halde V ile U aynı boyutlu olmad ığından A-1 : -> R2 ters dönü şümü yoktur. Öte yandan A nın A-1 (u i , u2 , u 3 ) =- (x1, x2) =- (u1 — 2u2 , u3) ile gösterilen bir tersi vard ır, ancak bilinmelidir ki bu ters dönü şüm R3 2 ye de ğil, A nın görüntü cümlesi olan R 2 den R 2 ye bir lineer dö- denR nüşümdür. Görüldüğü üzere A:V -> U lineer dönü şümü bire bir ve üzerine olmadığı zaman da ters dönü şümü olabilir, ancak bu ters dönü şüm bu defa U dan V ye de ğil, U nun bir alt uzayından V ye bir lineer dönüşüm olur. Bununla beraber A:V U lineer dönü şümü hem bire bir hem de üzerine oldu ğunda kesinlikle A-1 : U -> V ters lineer dönüşümü vardır. Öte yandan V ve U nun ayn ı sonlu boyutlu olmas ı halinde de A n ın tersi olması gerekmez. Gerçekten A (x l; x2) = (xi, 0) lineer dönüşümünün tersi yoktur. Çünki KerA .= {x 2 (0, 1): X2 e R} cümlesi sadece s ıfır vektöründen olu şmuyor. Bu nedenle ayk ırı bir dönüşümdür. Bu dönüşüm ne üzerine ne de bire birdir. 4. F:R 3 -> 6 3 dönüşümü, z ekseni etrafından bir vektörü 0 aç ısı kadar döndüren bir lineer dönü şüm olsun: F (x, y, z)

(xcos 0 — ysin 0, xsin 0

ycos 0, z)

ve sadece s ıfır Bu dönüşüm bire bir ve üzerinedir. R (F) = vektörü sıfır vektörüne dönü ştüğünden KerF = {0} d ır. O halde F in tersi vardır. F in tersi 249

F-1 (u, v, w) = (x, y, z) = (ucos 0 -E- vsin 0, — usin 0 vcos 0, w) şeklindedir. 5. F:V -* U lineer ve V nin sonlu boyutlu olduğunu varsayalım. Ancak ve ancak F düzenli ise dimV = dimR (F) d ır. Gerçekten (6.3.1) eşitliği nedeniyle dimV = dim (KerF) dimR(F) d ır. Buradan ancak ve ancak dim (KerF) = 0 ya da KerF -= {O} ise, yani F düzenli ise V ve R (F) aynı boyuta sahiptir. Tersine olarak V ve R(F) ayn ı boyuta sahip ise F düzenlidir. Buna göre örne ğin F: R4 -> R 3 ile gösterilen dönüşümler aras ında düzenli ya da ayk ırı olmayan dönüşüm yoktur. Çünkü R 3 ün boyutu, R4 ün boyutundan azdır, yani V ile R (F) aynı boyuta sahip değildir. O halde R 4 den R2 uzayına hiç bir lineer dönü şüm düzenli ya da aykırı olmayan bir dönüşüm olamaz. K üzerinden n bilinmiyenli m denklemden oluşan aijxj = bi , i = 1,2,..., m J-1 lineer denklem sistemi gerçekte Kn den Km ye bir lineer dönü şüm tanımlar. A = (aii) katsayılar matrisi ya da dönü şümün matrisi, x = (xj) ve b = (b i) sırasiyle bilinmiyenlerin ve sabitlerin kolon vektörleri olmak üzere lineer sistem Ax = b matris denklemin.e e ş değerdir. A matrisi A:Kn -* Km şeklinde bir lineer dönü şüm olarak gözönüne al ınabilir. A nxn türünde düzgün bir matris ise, Ax = b denkleminin çözümü, bilindiği üzere x = A-1 b şeklinde A-1 altında b nin görüntüsüdür. Kn de bir xo vektörüne, e ğer Axo = b ise Ax = b denkleminin bir çözümü denir. Böyle vektörlerin tümüne, denklemin

çözüm cümlesi

denir. Genel olarak A:V U ş eklinde bir lineer dönü şüm y E U elemanı bilinen ve x E V elem am bilinmiyen olmak üzere Ax = y şeklindeki denklemler Operatör denklemleri adını alır. Özel bir operatör denklemini çözme tekni ği, denklemin kapsad ığı operatöre ve temel lineer uzaylara ba ğlıdır. ,

Ayrıca Ax = b denklemine ili şkin Ax = 0 homogen denkleminin çözümü, A:Kn -> Km lineer dönü şümünün çekirde ği olarak düşünülebilir. 250

(6.3.1) nedeniyle dim (KerA) = dimKn — dimR (A) =n, rankA dır. Ax = 0 homogen denklem sisteminin bir çözümü A mn çekirdeğinde bulunduğundan, Ax = 0 denkleminin bütün çözümler cümlesi A nın çekirde ğidir ve dolayısiyle K ıl ın bir alt uzayıdır. Bu uzaya A n ın çözüm uzay ı denir ve boyutu A nın nulitesidir. A nın rankı r ise çözüm uzayının boyutu ıı-r dır. Ax = 0 denkleminde A, nxn türünde düzgün bir matris ise rankA = n olaca ğından denklenain çözüm uzayı, belirgin çözüm uzayıdır ve boyutu sıfırdır. A, nxn türünde aykırı (singüler) bir matris ise görüntü cümlesinin boyutu n den küçüktür ve bu defa Ax = 0 denkleminin çözüm uzay ı ya da A nın çekirde ği ya da A mn çözüm uzayı artık belirgin uzay olmad ığından Ax = O denklemi belirgin olmayan çözümlere de sahiptir. K ıl gerçel Öklid uzay ı ise, çözüm uzayı tamamen A nın satırlarmın ortogonal tümleyenidir. Yani A nın satırlarma ortogonal olan Kn deki vektörler cümlegidir. Ax = b denkleminin belli bir çözümü x p ve bu denkleme ilişkin Ax = 0 homogen denkleminin herhangi bir çözümü xh ise, A (xp xh) -= A (xp) + A (xh) = b O = b olduğundan xp xh da Ax = b denkleminin bir çözümüdür. Ayrıca Ax = b denkleminin her x o çözümü de uygun xh için A (x,,—

Xp)

= A (xo) — A (xp) = b — b = O

olması nedeniyle bu şekildedir. O halde x o — xp = xh Ax = 0 denkleminin bir çözümüdür ve x o = xp xh şeklindedir. xp, Ax = b nin özel çözümü, xh da Ax = 0 nı genel çözümü adını alır. Buradan Ax = b denkleminin çözüm cümlesi, xp xh şeklindeki bütün vektörlerden olu şur. Başka bir anlatım ile Ax = b denkleminin genel çözümü, Ax = 0 denkleminin genel çözümü ile Ax = b denkleminin özel çözümünün toplamıdır. Geometrik olarak bu şu demektir: Homogen olmayan bir denk,

Ş ekil '6.4. I 251

lemin çözüm cümlesi, çözüm uzayı özel bir xp çözümü ile kaydırılarak homogen denkleminin çözüm uzayından elde edilebilir. Bu yüzden çözüm cümlesi S ı , çözüm uzayı S2 = KerA ile gösterilirse S 1 = xp -I- S2 yazılabilir. S İ , e S2 ye paralel düzlem denir. S i cümlesi Kn nın bir alt uzayı ise ancak bu durumda xp E S2 dır, ancak her durumda S i cümlesinin boyutu S2 nin boyutu olarak tanımlanır. ÖRNEKLER 1. Daha önce 6.3. de verilen A: e2 (— co, co) e (—.0,00) lineer D2 dönüşümü — I olsun. Bu durumda bilinmeyen y eleman' y e e2 (— co 00) olmak üzere Ay = 1 operatör denklemi ,

d2y dx2

Y= 1

biçimini ahr. Bu denklemin çözüm cümlesi, tüm gerçel do ğru üzerinde bu denklemi sağlayan e2 (— co, co) daki bütün fonksiyonlar cümlesidir. Bu denklenain özel bir çözümü y = — 1 d ır. Ay = 1 denkleminin tüm çözümlerini bulmak için Ay = 0 homogen denkleminin bütün çözümlerini bulmak gerekecektir. Bilindi ği üzere d2 y Ay = O ya da d x2

y=O

denkleminin çözüm uzayı bir baz olarak ex, e -x fonksiyonlarma sahiptir. Buradan Ay = 1 denkleminin çözüm cümlesi, y == c iex c2e-x - 1 şeklinde e2 (— 00, co) daki tüm fonksiyonlardan olu şur. 2. A, 6R2 den /P e bir lineer dönü şüm ve e l, e2 de R2 de tabii baz olsun. a l , cc2 gerçel sayılar olmak üzere A (e l) = cc ı , A (e2) = a 2 olduğunu varsayahm. Bu durumda x e R2 için x = x 1e1 x2e2 ve A (x)

Ş ekil 6.4.2 252

= x i A (e l) 4- x2 A (e2) = oc ixi cc2x2 clir. Buna göre Ax = 0 operatör denklemi, oc ix i oc2x2 = 0 denldemiain. kısaltilmış bir gösterimidir. Bu denklem,

v

de orijinden geçen ve e ğimi —

ai

olan bir

X2

(

doğrudur. Ax = 0 denkleminin çözüm uzay ı, doğruyu kapsayan R 2 bir gerçel sayı olmak üzere Ax = dekinotalrcüms.Bugöe homogen olmayan denklemin çözüm cümlesi, şekilde görüldü ğü üzere cc ixi oc2x2 = 0 doğrusunun bir kayması olarak yorumlanabilir.

Ç

p

Ax = y denkleminin çözüm cümlesi bir çok durumlarda bo ş olabilir. yani denklemin çözümü olmayabilir. Gerçekte, operatör denklemlerin incelenmesinde temel problemlerden biri, denklemin hangi şartlar altında çözümlere sahip oldu ğunu bulmaktır. Bu türden problemler operatör denklemler için Varhk problemi ve böyle şartları oluşturan teoremler de Varlık teoremleri adını alır. Aynı derecede, hatta daha büyük öneme sahip bir di ğer problem de A:V -> U olmak üzere U da verilen herhangi bir y için, Ax = y denkleminin hangi şartlar altında en fazla bir çözüm kabul etti ğini incelemektir. Bu problem de operatör denklemler için Teklik problemi olarak bilinir ve Ax = 0 homogen denklemini incelemekle probleme cevap bulunabilir. Gerçekten Ax = 0 denkleminin sıfırdan farklı çözümü yoksa, yani KerA = {O} ise Ax = y operatör denklemi bir tek çözüme sahiptir ve bu ifadenin tersi de do ğ rudur. Daha önce verilen n E aijxj = bi, i = 1,2,..., m ı =ı lineer denklem sisteminde A: Wn R" şeklinde bir lineer dönüş üm bm) vektörü A nın görüntü cümleise, ancak ve ancak b = sinde ise Ax = b operatör denklemi çözümlere sahiptir. A n ın kolonları a = an = (a i n,a2n,..., amn ) ile gösterilirse xn) için an e rn ve qt" de her bir x Ax

x2a2

...

xnan

şeklindedir. O halde Ax; a i , a2,..., an nin bir lineer kombinasyonudur ve bu vektörler A nın görüntü cümlesini gerer. Buradan Ax = b Hacer denklem sistemi, ancak ve ancak /Z1n de b b m) vektörü A nın kolonlarmın bir lineer kombinasyonu ise, bir çözüme sahiptir. Teklik problemiııi cevaplamak için Ax = 0 homogen sistemini ele al253

mak gerekir. c = c n), VI de herhangi bir vektör ise Ac = c na n dır. Buradan ancak ve ancak c ia i c2a2 c la l + c2a2 c na n = 0 ise c, Ax = 0 denkleminin bir çözümüdür. Böylece Ax =0 denklemi, Rm deki a l , a2,..., an vektörleri lineer ba ğımh ise belirgin olmayan çözümlere sahiptir. Böylece a şağıdaki sonuca var ıyoruz: Ax = b operatör denklemi, ancak ve ancak VII de bulunan A n ın kolonları lineer ba ğımsız ise bir tek çözüme sahiptir. n > m oldu ğunda a l , a2 ,..., a n daima lineer ba ğımlı olacağından Ax = 0 homogen denklem sistemi belirgin olmayan çözümlere sahiptir. Ba şka bir anlatım ile Ax = 0 homogen denklem sisteminde bilinmiyen say ısı denklem sayısını aşarsa Ax = 0 denklemi belirgin olmayan çözümlere sahiptir. Uyarı : A bir lineer diferensiyel operatör ise yukarda Ax = y operatör denklemi ile ilgili çözümlerin varl ığı ve tekliği için ifade edilen gerçekler, diferensiyel denklemler teorisi için de geçerlidir, yani Ax = y operatör denklemi, ancak ve ancak KerA = {O} ise bir tek çözüme sahiptir. Bu durum ise lineer diferensiyel denklemlerde birinci yamn daima var olan belirgin çözümüne ikinci yanm özel çözümünü eklemeye karşılık gelir ki bu çözüm keyfi sabitlere zaten ba ğh olmayan tek çözümdür ve bu da belirgin olan bir durumdur. Kald ı ki lineer diferensiyel denklemlerde birinci yamn genel çözümü bilinmeden ikinci yan ıp özel çözümünü bulabilme olana ğı son derece özel durumlarda söz konusudur. Bu nedenle diferensiyel denklemler teorisinde büyük a ğırlık taşıyan ve sadece operatör denklemi ele alarak de ğil, denklem ile başlangıç ya da sınır şartları denen yardımcı şartlar birlikte ele al ınarak çözümlerin varlığı ve tekliğine ilişkin Varlık ve Teklik Teoremleri söz konusudur. Bu teoremler, Ax = y denklemirdn belli şartları (ba şlangıç ya da sınır şartları) sa ğlayan çözümlerin varl ığı ve tekli ğini açıklığa kavuşturan ve bu defa verilen şartlara göre Ax = 0 denkleminin çözüm uzaym ı ya da bu denkleme ilişkin A dönüşümünün çekirde ğini belirgin uzay yapan belli şartları kapsamaktadır. Matematiksel modeller olan ba şlangıç değer problemleri, sınır de ğer problemleri ve bu problemlere ili şkin denektaşı olan Varhk ve Teklik Teoremleri, diferensiyel denklemler kurammda köşe taşlarıdır.

6.5. LİNEER DÖNÜ Ş ÜMLER ÜZERINDE I Ş LEMLER Lineer dönüşümlerden belli ko şullar altında yeni dönü şümler elde etmek imkanı vardır. Bunlardan en kolay ı olan iki lineer dönüşümün toplamı , lineer döniişünder aynı uzaydan aynı uzaya tammh olması 254

halinde söz konusudur. Örne ğin A:Vİ --> V2 ve B:V i --> V2 ise bunların toplamı, Vi de her x için (6.5.1)

(A + B) (x) = A (x) + B (x)

ile tammlidır. Bu durumda A+B, yine V i den V2 ye bir lineer dönüşümdür. Gerçekten x i ,x2 E Vi ve a i , a i skalerleri için (A + B) (aixi

a2x2) = A (aixi.

a2x2) + B (ocixi

a2x2)

fx2 A (x2) + oc ı B (xi)

A (x1)

B (x2) = al [A (xi) + B (xi) + a2 [A (X2) + B (x2)] = a l (A B) (x i) a2 (A + B) (x2)

e2

dır. Örneğin D, D2 operatörleri [a, b] uzayında birinci ve ikinci ba[a, b] den samaktan türev i şlemlerini göstersin. Buna göre D 2 + D, [a, b] de her y fonksiyonu için [a, b] ye bir lineer dönüşümdür.

e

e2

e2

(D2 + D) y = D 2 y + Dy olduğundan bu dönüşüm her y e e2 [a, b] fonksiyon= y" + y' sürekli fonksiyonu üzerine götürün. K (t), dönüşümü

e

[a, b] de

e [a, b] de belli bir fonksiyon ve A: e[a, b ] --> e[a, b] lineer A (f) =S K (t) f (t) dt, a x b

e

[a, b] üzerinde özde şlik dönüşümü ile tanımlansın. Bu durumda I, [a, b ] de her f için olmak üzere A + I toplamı ,

e

(A olmak üzere,

e

I) (f) =

K (t) f (t) dt

f

ta, b den kendisi içine bir lineer dönü şümdü.r.

Vi den V2 ye bütün lineer dönü şümlerin toplamı, bir lineer uzayda toplamaya ilişkin özelikleri sa ğlar. Benzer olarak V i den V2 ye lineer dönüşümdür cümlesi üzerinde bir skaler ile çarpma tammlanabilir. Gerçekten bir a gerçel sayısı ile bir A :V1--> V2 lineer dönüşümünün çarpımı, Vi de her x için (a A) (x) = A (a x) = a A (x)

(6.5.2)

ile tanımlanan a A dönüşümü de, xi, x2 e Vi ve oc i , a2 skalerleri için 255

(a A) (a ix i

a2x2) = aA. (a ix i = a (a i A (x i ) = a i (aA) (x i)

a2x2) a2 A (x2)] a2 (a A) (x2)

olduğundan lineerdir. V 1 den V2 ye bütün lineer dönü şümlerin bir skaler ile çarp ımı da bir lineer uzayda skaler ile çarpmaya ili şkin özelikleri Sağlar. V 1 den V2 ye 0 (x) = 0 ile tan ımlanan sıfır dönüs,ümiiniin de bir lineer dönüşüm olması nedeniyle bu gerçekler a ş ağıdaki önemli sonucu ortaya çıkarır: Vi ve V2 aynı skaler sistemli iki lineer uzay olsun. V 1 den V2 ye bütün lineer dönüşümler cümlesi, (6.5.1) ve ((6.5.2) ile belirtilen toplama ve skaler ile çarpma i şlemlerine göre bir lineer uzayd ır. Bu uzay çoğunlukla Hom (V 1 , V2) ve V i = V2 = V olduğu zaman da A (V) ile gösterilir. Hom, homomorfizm (dış benzerlik = homomorphism) den gelen bir simgedir. dim V 1 = m ve dimV2 = n ise dimHom (V 1 , V2) = mn. dır. Uygun şartlar alt ında dönüşümlerin çarpımı da tanımlanabilir. Gerçekten bu durum, lineer uzaylar yan ında lineer dönü şümlerin incelenmesini kapsam ve işlem bakımından daha zengin ve anlaml ı kılar.

V1, V2, V3 lineer uzaylar ve A:V 1 -› V2, B:V2 = V3 lineer dönüşümler ise onların BA çarpımı , V1 de her x için (6.5.3)

BA (x) = B (A (x))

ile tanımlanan V 1 den V3 e bir dönüşümdür. BA dönüşümü; x i, x2 Vi ve a l, a2 skalerleri için BA (a1x1

a2x2) = B [A (a ixi

E

a2x2)]

= B [ce i A (xi) + oc 2 A (x2)] °c ı B (A (x1)) + Gc2 B (A (x2)) = a2 BA (x1 ) a2 BA (x2) nedeniyle lineer dönü şümdür. BA çarpımının, ancak A nın görüntü cümlesinin B nin tanım bölgesinde kapsandığmda tanımh, olduğuna ilgi çekilmelidir. Buna göre Ti , deki noktaları:V deki noktalar içine ve T2 de /P deki noktalar ı Rm deki noktalar içine götüren lineer dödönüşümler ise, ancak ve ancak r = s ise T 2T1 çarpımı tammlıdır. E ğer Al , A2 matrisleri sırasiyle Tl, T2 yi gösterirse A2A1 = A3 çarpım matrisi verir. Böylece matrislerin çarp ımı bir lineer dönüşümler dizisi olarak düşünülebilir ve iki lineer dönüşümün çarpımı, matris çarp ımmda kuralı tanımlar. 256

Bir lineer dönü şüm, bir lineer uzaydan aynı lineer uzay içine bir dönüş üm ise o uzay üzerinde lineer dönüşüm adını alır. Bu türden bir lineer dönüşüm çoğunlukla lineer operatör olarak adlandırdır. AB ve BA çarp ımlarından birisi tammlı olabilir, diğeri tanunlı olmay abilir, ancak A ve B lineer dönü şümlerinin her ikisi verilen bir lineer uzayı kendi içine dönüş türürse AB ve BA ayn ı uzay üzerinde lineer dönüş ümlerdir. Ancak bununla beraber bunlar ın eşit olmaları gerekmez. Gerçekten A, R 2 de orijin etrafında pozitif yönde 90° lik bir dönme ve B de x i eksenine göre simetri gösteren lineer dönü şümler olsun. Buna göre A (x i , x2) = (— x2 , x i ) ve B (x 1 , x2) = (x 1 — x2) şeklindedir. e l ve e2 doğal baz vektörleri ise AB (e l) = A (B (e 1 )) = A (1, 0) (0,1) = e 2 olduğu halde BA (e l ) = B (A (e i)) = B (0, 1) = (0, —1) = —e2 dır ya da genel olarak AB (x i, x2) = A (B (xi, x2)) = A (x i , —x2) = (x2, x i) BA (xl , x2 ) = B (A (x l , x2)) = B (—x2 , x i ) = (—x2, —xi ) = — (x2 , x i) olduğundan AB BA dır. Buradan şu sonuç ortaya çıkar: Lineer dönüşümlerin çarp ımı değişme özeliğine sahip de ğildir. Öte yandan s ıfır olmayan iki lineer dönü ş ümün çarpımı sıfır olabilir. Gerçekten, s ıfır olmayan T i (x 1 , x2) = (x 1 , 0), T2 (x 1 , x2) = (0, x2) şeklinde iki lineer dönüşüm ele alınırsa T İT2 (x i , x2) = T l (T2 (xi, x2 )) = Ti (0, x 2) = ( 0, 0), T2Tİ (xı , x2) = T2 (T l (XI, x2)) = T2 (XI, 0) = ( 0, 0) olduğu görülür. Bu örnekler, bu türden çarp ımın adi çarp ımdan farkl ı olduğunu gösterir. Bununla beraber çarpmaya ili şkin özeliklerin çoğu lineer dönüşümler kullanddığında da geçerlidir. A' ve B dönü şümleri Vi den V2 ye, C ve D dönüş ümleri V2 den V 3 e ve E dönüşümü de V3 den V4 e lineer dönüş ümler ise aş ağı daki özelikler geçerlidir: (i)

E (CA) = (EC) A

(ii)

C (A + B) CA + CB

(iii)

(C + D) A = CA + DA

(iv)

AO = OA =- O

(v)

AI = IA = A

(vi)

a (A + B) =----- cx A + cd3, Her oc E K

(vii)

a (CA) = (a C) A = C (aA) 257

(viü) A tersine çevrilebilir ise A -1 A = AA-1 = I (ix) A ve C tersine çevrilebilir ise CA da tersine çevrilebilir ve tersi A-1 C-1 dır. Bu özelikler, lineer dönü şümlerin çarp ımmın birle ş me ve dağılma özeliklerini sa ğladığını gösterir. Özde şlik dönüşümü, operatör çarp ımında aynen aritmetikte 1 say ısının yaptığı işi yapar. (v) özeli ğinde iki farklı özdeşlik dönüşümü bulundu ğuna ilgi çekilmelidir. Gerçekten A:V i V2 ise, IV İ , Vi üzerinde özde şlik dönüşümü Iv2 de V2 üzerinde özde ş lik dönüşümü olmak üzere (v) özli ği AIvi = A, Iv2 A = A olarak yaz ılması gerekir, ancak I simgesinin anlamı ilişki nedeniyle daima aç ık olduğundan bu gösterim çok seyrek kullan ılır. Yukardaki özeliklerin her biri kolayl ıkla ispatlanabilir. Örne ğin A:Vi -> V2, C:V2 ---> V 3 ve E:V3 — V4 olduğuna göre E (CA) ve (EC)A çarpımlarmm her biri Vi den V4 e bir lineer dönü şümdür. Gerçekten E (CA) (x) = E (CA (x)) = E (C (A (x))) (EC) A (x) = EC (A (x)) = E (C (A (x))) elde edilir İkinci yanlarm e şitliğinden (i) nın doğruluğu göterilmiş olur.

ÖRNEKLER 1. A belli bir V lineer uzay üzerinde bir lineer dönü şüm yani A: V --> V ise A nın kendisi ile sonlu sayıda çarpımı oluşturulabilir. Böylece A nı n kuvvetleri olarak bilinen V üzerinde bir lineer dönü şümler dizisi elde edilir Operatör çarp ımının birleş me özeliğini sağlaması , bu kuvvetlerin her birinin kendi çarpanlarm ın gruplar olu şturmasmda bağımsız olduğunu gösterir ve buradan ku ş kuya yer vermeksizin, n bir pozitif tamsayı olmak üzere bu kuvvetler An ile gösterilir. Böylece Al = A , A2 = AA, A3 = AA2, dır. Ao, V üzerinde özde şlik dönüşümü gösterir, yani Ao = I dır. Ayrıca sıfır olmayan bütün m ve n tamsay ıları için AmAn = AnAm=Aln+n, dıır. 2. D, 6Pİ, polinomlar uzayında (derecesi n den küçük polinomlar den kendisi içine bir lineer uzayı) türev operatörü olsun. O halde D, dönüşümdür ve bunun kuvetleri kısaca ikinci, üçüncü, v.b. basamaktan türevlerdir. Türev i şlemi, sıfırdan farklı her polinomun derecesini bir 258

A(x) = x1 (cc ııwı +•••+(xmlwm)+•••+xn(cc ı n w ı +•••+ocınnwm) = (ixux ı +•••+a ı nxn)wı +•••+(ocmixi+•••+amnxn)wm dır. Bu ifade de kolon vektörü olarak CWK1+•••+ 2 1nXn

C(21X 1 -1- *** -1- CC2nXn

A(x)

(6.6.4)

e'raixi+ • • • +a ınnxn şeklindedir. Buradan V2 deki baza göre yaz ılan A(x) E V2 vektörü, kolonları A(vj) vektörleri olan C( 11 tX12 • . . « in CC 21 °C22 •

• •

'2 211,

(6.6.5) 0:1111

am2 • • • anı n /

(

matrisi ile V i deki baza göre x in koordinat vektörünün çarp ımıdır. i < m, 1
matrisi baz de ğişimi ile değişir. Bu nedenle terorem de sözü edilen bazlar kesinlikle çıkarilamaz. Bir lineer dönüşümün matris gösteriminden hareketle de lineer dönüşümün tersine çevrilebilir olup olmad ığı sonucu çıkarılabilir. Gerçekten bir A lineer dönü şümün tersine çevrilebilir olmas ı, ancak ve ancak onun matris gösteriminin düzgün (regüler) olmas ı ile mümkündür. Başka bir deyi şle T, bir V lineer uzyı üzerinde keyfi bir lineer operatör ise, det(T) ile gösterilen T nin determinant ı, T nin herhangi bir B baz ına göre matris gösterimi (T:B) olmak üzere det (T) = I(T:B) I ile tammhdır. Bu tanım, seçilen özel bazdan ba ğımsızdır. Buradan T nin tersine çevrilebilir olmas ı det (T) 0 olması ile eşdeğerlidir. T tersine çevrilebilir ise det (T-1 ) = (T) -1 dır ve dolayısiyle T-1 ters lineer dönü şümünün matris gösterimi de T nin matris gösteriminin tersidir. I özde şlik dönüşümü olmak üzere det (I) = 1 d ır. Tersine çevrilebilir bir dönü şümün rank ile olan ilişkisi de yerlebilir: Bir A:V i V2 lineer dönüşümünün tersine çevrilebilir olmas ı, ancak onun rankm ırı hem V i hem de V2 nin boyutuna e şit olması ile mümkündür. Gerçekten dim R(A) = rankA= dimV i = dimV2 olması, KerA = {0} ve (R(A) = V2 ile eş değerlidir, Özel olarak V l = V2 olmak üzre A nın tersine çevrilebilir olmas ı, rank (A) = dim V ı olması ile eşdeğerlidir.

ÖRNEKLER 1. A: R2 ->
e' l ,e'2 bazına göre A dönüşümünün matrisi bu defa kolonlar ı A(e' 1) ve A(e' 2) olan (1,-2) matrisidir. Buradan daha önce ifade edildi ği gibi, lineer dönüşümün matris gösteriminin baz de ğişimi ile değiştiğine ilgi çekilmelidir. 2 lineer dönü şü2. e 1 , e2, R2 de tabii baz vektörleri ve A: R 2 mü e 1 eksenine göre simetri göstersin. Buna göre A(x l ,x2) = (x 1 ,—x2) lineer dönüşümünden (x l , x2) = x 1 (1,0)-I-x2(0,1) ve A(x 1 ,x2)=x 1A(1,0) +x2A(0,1) yazılabilir. Buradan A(e 1 ) =-A(1,0) =(1,0) =1.e 1 0.e2,A(e2) =-A(0,1) =(0,-1) olduğuna göre A dönii şünmün.ün e 1 , e2 bazına göre matris gösterimi

şeklindedir. 3. A: / 2->6R2 dönüşümü, orijin etrafında pozitif yönde 0 aç ısı kadar dönme gösteren bir lineer dönü şüm ve e1,e2 de R2 için tabii baz olsun. Bu durumda x' = xcos0 —ysin0 y' = xsin0 +ycos0 dönme deıddemleri nedeniyle

Ş ekil 6.6.1 A(x,y) = (x',y') = (xcos0—ysin0, xsin0-1-ycos0) yazdabilir. Buradan 267

A(e1) =A(1,0) =(cos0,sin0) =(cos0)e 1 +(sin0)e2 A(e2) =(0,1) =(—sin0,cos0) =—(sin0)e (cos0) e2 dır. Buna göre A nın e 1 ,e2 bazma göre matrisi icos0

—sin0

sin0

cos0

şeklindedir. 4. A:V–>V lineer dönüşümü A(v) = av ile tan ımlansın. a eK ve v EV olmak üzere bu dönü şüm bir skaler dönü ş ümüdür. {vi,•..,vn} vektörler cümlesi V için herhangi b;r baz ise A(v j) =avi dır ve buradn bu baza göre A n ın matris gösterimi, kö şegeni üzerinde elemanları a olan nxn kö şegen matrisidir. Gerçekten x =X1V1+X2V2 +.••+XILVn

ve dolayısiyle (A(x) =x1A(v1)± • —+ xn(v n)

eşitliğinden A(v i) =ocv ı =av ı + 0.v2+•••+ 0.v n A(v2) =ocv2 --.----0.vi+ocv2+ • • • O•vn

A(v.) =av n =0.v1 + 0.v2+•••-1--ccvn nedeniyle A dönü şümünün {v 1 ,v2 ,....,v n } bazma göre matrisi (O ' O.

4. O.

.

.

.

'

•

•

.

O . )

X

şeklindedir. Bu matris aI n gösterimine sahiptir. Bu örnekte bazen keyfi olduğuna ve V için bir baz nas ıl ahnırsa alınsın dönüşümün o baza göre matris gösteriminin yine bu şekilde olaca ğına ilgi çekilmelidir. 5. I(x) = x ile tan ımlanan V üzerinde özde şlik dönüşümünün herhangi bir baza göre matris gösterimi Örnek 4 e benzer olark I. şeklindedir. Gerçekten {v 1 ,v2,....,vn } cümlesi V için herhangi bir baz ise x EV için x =x iv i +x2v2 + ... +xnv, ve I(X) =x1I(V İ)+X2I(V2)+•••+XnI(Vn) E V

dır. Buradan 268

I(Vİ) =Vi

=1 .V i+O.V2+ . ••+ 0 •VI1

•

I((v n) =vn =-- 0.v1+0.v2+•••+Lvn nedeniyle I özde şlik dönüşümünün {v 1 ,v2,...,vn } bazma göre matris gösterimi 1

0

(O

I

O

O.

o)

şeklindedir. I:V-.V özdeşlik dönüşümünde V nin farklı iki bazma göre özde şlik dönüşümünün matris gösterimi birim matris olmayabilir. Gerçekten deki doğal baza B i = {e l , e2 } ={(1,0),(0,1)} ve 6R 2 deki ikinci baza B2 ={e 1 ',e'2 } [(cos0, sin0), (-sin0,cos0)} diyelim. R2 deki özdeşlik dönüşümü, B 1 bazlı R2 uzaymdan B2 bazlı 6R2 uzayma bir dönü şüm olarak dikkate almabilir. B 1 ve B2 farklı olduğundan bu dönüşümün matris gösterimi [1:B 1 ,B2 ] ile gösterilir. Şimdi bunu bulmaya çalışalım. xe R2 için x =(x i,x2) = x 1e 1 +x2e2 olmak üzere özde şlik dönüşümü I(x)=x 1I(e 1)-Fx2I(e2) formülü ile elde edilir. Buradan I(e 1)=e i =cos0(cose,sin0)—sin0(—sine,cos0), I(e2) =e2 =sin0 (cose, sin0) cos0 (—sinO, cos0) olduğuna göre dönüşümün matrisi cos0 [1:13 1 ,B2] =

—sin0

sin0)

12

cos0

dır. [1:B 2,B] matrisi; [I:B İ ,B 2 ] matrisinden farkl ıdır ve bunlardan biri diğerinin tersidir. 6. 0(x) = 0 ile tanımlanan 0: VI V2 sıfır dönüşümünün matrisi, dimVi =n, dimV2 =m ise mxn sıfır matrisidir. Gerçekten {v ı ,v2,•••,vn} ve{w 1,w2,...,wm } sırasıyle V i ve V2 için herhangi bazlar olsun.ffuna göre x eV t için x=x 1v 1 +x2x2 +...+xiivn ve 0(x) =x 1 0(v i)+x20(v2)+ . . . -1-x,10(vn) dır. Buradan 269

O (v i) = 0 =

0.w2

...

0.wm

O (v2) = O = 0.w i

0.w2

...

0.wm

0 (v i') = 0 = 0.w i

0.w2

...

0.wm

olduğuna göre 0 sıfır dönüşümünün matris gösterimi

(O O

o

OO

o

o.

o)

şeklinde mxn sıfır matrisidir. 7. D: Tn Tn lineer dönü şümünü gözönüne alalı m. B = xn-1 } eümlesi Pn uzayında doğal baz olsun. Bu dönü şümün matrisini bulmaya çalışalım. f E Tn için f = a l -I- a2x an xn-1 ve D (f) = a i D(1) -I- a2D (x)

anD (xn-1 )

dır. Buradan

D (1) = 0 = 0.1

0.x

0.xn-2

0. xn-ı

D(x) = 1 = 1.1

0.x

0.xn-2

0. xn-ı

D (x2) = 2x = 0.1 + 2.x

0.xn-2

D(xn-1) = (n-1) xn-2 = 0.1 + 0.x

0. xn- ı (n-1) xn-2 o. xn-ı

olduğuna göre D dönüşümünün B bazına göre matris gösterimi

[D:13

O 1 0 O 0 2

0 0

O 0 0 O 0 O

(ıı-1)

o

/

şeklinde nxn türünde bir matristir. 8. A:T3 --> f's dönüşümü 993 de her p(x) için A (p (x)) = (2x 2 = 3). p(x) ile tanımlansm. B i = {1,x,x2 } ve B2 = {1,x,x2,x3,x4 } sırasiyle 1)3 ve Ps de doğal bazlar olsun. Buna göre p(x) E T 3 için p(x) = a l a2x a 3x2 ve A (p(x)) = a iA(1) a2 A (x) a3A (x2) dır. Buradan 270

3=

0.x3

0, x4

A(x) = 2x3 — 3x = 0.1 — 3.x 0.x2 2.x3

0.x4

A(1) = 2 x2

-I- 0.x + 2x2

A(x2) = 2x4 — 3x2 = 0.1 + 0.x — 3.x2 0.x 3

2.x4

olduğuna göre dönüşümün matrisi (-3 0 0 0 -3 0 [A:B 1 ,B2 1 = 2 0 •-3 0 2 0 0 0 2

\1/4

şeklinde 5x3 türünde bir matristir. Şimdi A:V (K) -›- W (K) ve B: W (K) -› X (K) şeklinde iki lineer dönüşüm gözönüne alalım. {v b v2,..., {w ı , w2,..., wm } ve LXl , X2,..., xr } sırasiyle V,W ve X için bazlar olsun. Verilen (aii), (b ij) ve (ei.j ) sırasiyle A,B ve C =BA nın matris gösterimleri ise bu durumda A (Vj) = E akiwx e j= ,2,..., n k=1

B (wk) = E bikxi k 1=1 dır. Buradan C (vj )

= BA (vj) m

= E a kj B

k

k=1

Cii

= E b ı kakj k=1

dersek, C =BA çarp ım dönüşümünün matris gösterimi, B ve A matrisleriııin çarpımıdır. Benzer olarak iki lineer dönü şümün toplamı, onların matris göşterimlerinin toplamına, bir lineer dönüşümün bir skalerle çarpımı, onun matris gösteriminin bir skaler ile çarp ımıııa karşılık gelir. 271

9 . A : R2 : B : R2_>.6R2 ile tanımlanan lineer dönü şümler sırasiyle A(x 1 , x2) =(y ı , r,)=(x i— 2x2, 2x1 +x2) ve B(y1, y2) = (z i, z2) = (yı + Y2, — Yı + Y2) ş eklinde olsun. Bu iki lineer dönüşüme ilişkin C =BA çarp ım dönüşümünün matris gösteriminin, B ile A nın matris gösterimlerinin çarpımı olduğunu gösterelim. B i = le l , e2 } cümlesi uzaynıda tabii baz olsun. Buna göre A,B ve C =BA dönü şümleriııiıı matris gösterimlerini bulal ım x=(x i, x2) ER2 için (x i, x2) = x i e i + x2e2 ve A (x l , x2) = x /A. (e l ) + x2A (e 2) dır. Buradan A (el) = A (1,0) = (1-2.0,2.1+1.0) = (1,2) A (e2) = A (0,1) = (0-2.1,2.0+1.1)

(-2,1)

olduğuna göre [A:B 1 ] = (21 —21) dır. Benzer şekilde B (e 1 ) = B (1,0) = (1+0,— 1+0) = (1,-1) B (e2) -= B (0,1) = (0+1,0+1.) = (1,1) olduğuna göre [B:B 1 ] =

1 1 \ —1 1,

dır. Buradan C =BA çarp ım dönüşümünün matris gösterimi C =BA = [B:B İ ] [A:B ] = (-1 1) ( 21 —21) şeklindedir. Öte yandan C =BA çarp ım dönüşümü

-

( 31 3)

C (x i , x2) = BA (x i , x2) = B (A (x ı , x2)) = B (x 1 — 2x2, 2xi-1- x2) = ( 3x1— x2, x ı + 3x2) şeklindedir. Bu dönü şümün, aynı B i bazına göre matris gösterimini bulalım. C (e 1) = C (1,0) = (3.1-1.0,1.1+3.0) = (3,1) C (e2) = C (0,1) = ( 3.0-1.1,1.0+3.1) = (-1,3) olduğuna göre 272

1 3 -1\ C =BA = k 1 3 şeklindedir.

ALI Ş TIRMALAR 1. Aşağıdaki F dönüşümlerinin lineer olup olmadıklarını gösteriniz ? (i) F (x,y) = xy (ii) F (x,y) = (x+1, 2y, x+y) (iii) F (x,y,z) = ( lx 1,0) iv) F (x,y) = (r,O) = (,\/ x2+ y2, arctan y) (v) F (p,0,9) = (x,y,z) = (p sin 9 cos 0, p sin cp sin 0, p cos 2. V, K üzerinden nxn karesel matrislerin lineer uzay ı ve N de V de keyfi bir matris olsun. AEV olmak üzere T:V -* V dönü şümü T (A) = AN+NA ile tan ımlanıyor. T nin lineer oldu ğunu gösteriniz? v n }, V nin bir bazı 3. V ve U, K üzerinden lineer uzaylar; ve u 1 ,..., un U da keyfi vektörler olsun. F (v 1) = u 1 , F (v2) = u2, ..., F (vn) = u n olacak şekilde bir tek F : V U lineer dönü şümünün var olduğunu ispatlaymız? 4. T: R2-> R lineer dönüşümü, T (1,1) = 3, T (0,1) = - 2 olacak şekilde tanımlanıyor. T (a,b) yi bulunuz? 5. F: V -> U lineer olsun ve vn eV vektörlerinin F (v ı ),..., F (vn) görüntülerinin lineer ba ğımsız olduklarını varsayalim. v 1 ,..., v n vektörlerinin de lineer ba ğımsız olduklarını ispatlayınız? 6. T: R 3 ->

lineer dönüşümü

T (x,y,z) = (x+2y-z, y+z, x+y-2z) ile tanımlanıyor. (i) T nin U görüntü cümlesinin bir haz ım ve boyutunu bul-M:tuz? (ii) T nin W çekirdeğinin bir hazım ve boyutunu bulunuz?

R3

7. Görüntü cümlesi (1,2,0,-4) ve (2,0,-1,-3) ile gerilen bir F: 24 lineer dönüşümünü bulunuz?

8. F: R3 -> R2 ve G: R2 ->R2 dönüşümleri F (x,y,z) = (2x,y+z) ve G (x,y) = (y,x) ile tan ımlanıyor. GF ve FG dönü şümlerini tammlayan formülleri bulunuz? 273

9. T: R2 -R2 lineer dönüşümü T (x i , x2 )= ‘ IY ı , Y2) = (2x 1 +x2, -x l + 2x2) ile tanımlanıyor. (i) Ters dönü şümün varlığını gösteriniz ve ters dönü şümü bulunuz? (ii) (x i, x2) çifti 1: x2 + 2 =O doğrusu üzerinde olmak üzere bütün T (x i , x2) = (y ı , y2) noktalarından oluşan T (1) görüntüsünün denklemini bulunuz? 10. F lineer dönüşümü F (x,y) =

y2

x2

F altında — 8

16

ile tanımlanıyor.

1 elipsinin görüntüsünü bulunuz?

11. R1 uzaymı kendi içine (ya da üzerine) dönü ştüren bütün lineer dönüşümleri bulunuz? 12. a l , a2 , (3 1 ,

p,

gerçel sayılar olmak üzere

A (x i , x2) = (a ix i + a2x2 , (3 ixi + (3 2x2) ile tanımlanan A: R2---> R2 dönüşümü veriliyor. A nın lineer olduğunu ispatlayınız ve A nın tersine çevrilebilir olmas ı için a l , 0(2, f3 ı ,P2 cinsinden gerek ve yeter ko şulları bulunuz? 13. Aşağıda verilen baz çiftlerinin her birine göre verilen lineer dönüşümün matris gösterimini bulunuz? (i) A: R 3 GR 3 ; A (x ı , x2, x3)

(x ı + x2, x ı + x3 , O)

B ı = Standart baz, B2 = 1 (1,1,0), (1,0,1), (0,0,1) } (ii) A: R 3 -> R2 ; A (x i , x2 , x 3 ) = Bı

2 (1,1, w ), (2,-1,-1), (3 2 9

x2, 2x2- 3x3) 2

)

9

B2 - (3 1) (1 5 ) -

9

2

(iü) A: T3--> R l ; A (p (x) ) = jp(x) dx o (a) B i = 1,x,x2 } , B2 = {1} (b) B 1 = {1,x-1,x (x-1) }, B2 = {2} (iv) A: T3 -> T4 ; A (p (x) ) = (x 2-1) p'(x) B ı = {1,x,x2 } , B2 =

(x-1) 2, (X-1) 3 }

14. A: Vi -} V2 lineer ve [A:B 1 , B2] = (a ıi) olarak verildiğine göre V1 de herhangi bir x için A (x) in de ğerini bulunuz? 274

15. A:V3 (R) --> V2(R) lineer dönüşümü A (cc i , a.2, a 3 ) = (0c2, oc3) ile tammlanayor. (i) V3 ve V2 deki standart bazlar ei ve e'l ile gösterilirse bu • bazlara göre dönü şümün, A i matris gösterimini bulunuz? V3(R) deki (2,3,5) vektörünün görüntüsünü bulunuz? (iii) V3deki bir baz B i = { (1,2,0), (-1,1,3),(0,2,4) } ve V 2deki bir baz B2= (1,1), (0,1) olarak al ınırsa bu defa bu bazlara göre dönüşümün A2 matris gösterimini bulunuz ? (iv) (2,3,5) vektörünün, bu defa (iü) deki durumu gözönünde bulundurarak görüntüsünü bulunuz ? 16. Alıştırma 15 de V3(R) deki standart baza B lve V3 (R) deki ikinci baza B2 diyelim. (i) B2 bazh V 3(R) uzayından B / bazlı V3 (R) uzayına özde şlik dönüşümün ilişkin [I: B2, Bi] matris gösterimini bulunuz ? (1,1), B' i = (1,0), (0,1) } bazl ı V2(R) uzaymdan B' 2 = ] matris (0,1) } bazh V 2(R) uzayına özdeşlik dönüşümünün [I: B' i, B' 2 gösterimini bubinuz. [I: B' i, B'2 ] ile [I: B' 2, B' i ]-1 matris gösterimleri arasındaki ilişkiyi belirtiniz ve [I: B' 2, B' i matrisini bulunuz ? (iü) Â, B i bazlı V3 (R) den B' i bazh V2 (R) ye olan dönüşümün matris gözterimi olmak üzere, B2 bazh V 3 (R) den B'2 bazl ı V2 (R) uzayına olan A dönü şümünün matris gösteriminin A = [ I: B' / , B'2] Â

B29 B11

şeklinde üç dönü şümün çarpımı olduğunu gösteriniz? 6.7. D İ FERENS İ YEL OPERATÖRLER

D türev ya da diferensiyel operatörü, 6.2 de görüldü ğü üzere türevlenebilir bir f fonksiyonunu Df=f' şeklinde onun türevi üzerine dönü ştürür. f, [a,b] üzerinde bir kez sürekli türevlenebilir bir fonksiyon, yani fe e l [a,b] ise re e [a,13] olmak üzere D türev operatörü D: el [a,b -* e[a,b] şeklinde bir lineer dönüşümdür. Genel olarak Dn operatörü, Dn: e [a,b ] şeklinde [a,b ] üzerinde n kez sürekli türev lenebilir fonksiyonlar uzay ın' e [a,b ] uzayı içine dönüştüren bir lineer dönüşümdür. Benzer durum D ye göre polinomlar için de do ğrudur. Örne ğin, a2 (x) D 2 -I- a l (x) D ao (x) operatörü de e 2 [a,b ] uzayın' 275

[a,b] uzayı içine dönüştüren bir lineer dönüşümdür. D ve onun kuvvetlerini kapsayan bu türden lineer dönü şümler, lineer diferensiyel operatörler adını alır. Bizleri tabii olarak lineer diferensiyel denklemler kuramma götüren bu çe şit operatörler a şağıda genel olarak tammlanacaktır. f, x in herhangi bir fonksiyonu olmak üzere, örne ğin (a2 D 2 Ha i D a o ) f (x) lineer diferensiyel ifadesinde D 2, D operatörleri, f e 62 [a,b ] fonksiyonu ile çarp ılacak nitelikleri de ğil, bu fonksiyona uygulanacak iş lemleri (türevleri) gösterir. f, x in bir df —d2f, Df = dx , D2f , Dkf dx2 '•.•

dkf • , Dof = lf = f dxk

dır. I, gerçel do ğru üzerinde keyfi bir aral ık olsun. Negatif olmayan her bir n tamsayısı için en(I), I aralığı üzerinde n yinci basamaktan türeve sahip bütün gerçel de ğerli fonksiyonlar uzaynu göstersin. Daha önceden bilindiği üzere bu uzayda vektör toplam ı ve skaler ile çarp ım, I de her x için (f+g) (x) = f (x) + g (x) , (af) (x) = af (x) eşitlilderi ile tanımhdır. ec°(I) c ... e2(i) 61(I) edelim. Kabul nedeniyle 6 0(i) = e dır.

e(i) olduğuna dikkat

(I) TANIM 6.7.1 Bir L: en(I) --> e )(I) lineer dönü şümüne; ao(x),...,

an(x) katsayıları I üzerinde sürekli ve I üzerinde a n(x) 0 olmak üzere (6.7.1) L =an(x) Dn+ a n _ 1 (x) Dn-1 +...+ a l (x) D+ a, o(x) şeklinde ifade edilmesi halinde, I üzerinde n yinci basamaktan lineer diferensiyel operatör denir. Yukarda tanımlanan lineer diferensiyel operatör alt ında 6'1(4 de f fonksiyonunun görüntüsü, dn Lf (x) = a n(x) — f (x) dxn

ao(x) f (x) f (x) a ı (x) d (6.7.2)

ya da kısaca, y =f (x) fonksiyonunun ilk ıı türevi y',...,y(n) olmak üzere Ly = an(x) y (n) +—+ al(x)

e

ao(x) y

(6.7.3)

özdeşliği ile tanındı (I) deki fonksiyondur. (6.7.2) nin birinci yan ı belli bir x noktas ında Lf in de ğ eridir. Lf hazan L (f) ile gösterildi ğinden 276

belli bir x noktas ındaki değeri de (L (f) ) (x) ile gösterilir. Lf (x), ço ğunlukla belli bir f (x) fonksiyonuna uygulanan L lineer dönü şümü olarak adlandırıhr. (6.7.1) lineer dönüşümünde katsayılar x in fonksiyonları olduğundan L dönüşümü, I üzerinde n yinci basamaktan değişken katsay ılı lineer diferensiyel operatör'dür. Katsayılar sabit olmas ı halinde lineer dönüşüm, n y ıncı basamaktan sabit katsayık lineer diferensiyel operatör adını alır. Bu durumda Tanım 6.7.1 de sözü edilen I aralığı , gerçel doğrunun tümüdür. I aralığı üzerinde n yinci basamaktan lineer diferensiyel denklem Ly =b (x) (6.7.4) biçiminde bir operatör denklemdir. (6.7.4) de b, I üzerinde sürekli ve L de I üzerinde n yinci basamaktan bir lineer diferensiyel operatörtördür. (6.7.4) denklemi açık olarak an(x) dx + a n _ 1 (x) d x n .13; + ± ai(x) dx + ao(x) y =b (x) (6.7.5) biçimindedir, b, I üzerinde özde ş olarak sıfır ise (6.7.4) denklemi homogen lineer, aksi halde homogen olmayan lineer diferensiyel denklem adını alır. a n(x) katsayısına L operatörünün temel katsay ısı denir. a n(x), I üzerinde s ıfırdan farklı ise denklem, normal lineer denklem ad ını alır. Sonuç olarak bir y(x) fonksiyonunun (6.7.4) denkleminin bir çözümü olması, y (x) een(I) fonksiyonun I üzerinde denklemi özde ş olarak sağlaması ile eşdeğerlidir. Lineer operatör için basamak tan ımı olduğu gibi, bu operatöre ilişkin diferensiyel denklem için de basamak tan ımı verilebilir: Bir diferensiyel denklemde kapsanan en yüksek basamaktan türeve, o diferensiyel denkkmin basamağı denir. Örneğin, y"+ 5y' + 3y -= 0 , y (4) 4- x2y (3) x 3y =5xex denklemleri sırasiyle ikinci ve dördüncü basamaktand ır. Her ne kadar genel olarak t iirev ya da diferensiyel kapsayan bağıntılara diferensiyel denklem deniyorsa da, örne ğin d ( ain x) d , dv du = cosxesinx — (u v) = u +v dx e dx dx dx 277

gibi türev özdeşlikleri diferensiyel denklemler s ınıfına dahil de ğildir. Esasen bu türden ba ğmtıların da çözümlere ihtiyac ı yoktur. Bu türden ifadele ı de parantez içine herhangi bir fE C'(I) fonksiyonunu yazar ve türevini aldıktan bir tarafa çekersek, elde edilecek dönü şüm eı(i) de her fonksiyonu sıfır fonksiyonu üzerine götürür. ÖRNEKLER 1. n yinci basamaktan D" türev operatörü, keyfi bir I aral ığı üzerinde n yinci basamaktan en basit bir lineer diferensiyel operatör örne ğidir. n =O oldu ğunda D° özdeşlik dönü şümü olur. Genel olarak D", D lineer dönüşümünün n yinci kuvveti olarak düş ünülebilir. 2. Gerçel katsay ıh n yinci dereceden D ye göre herhangi bir polinom, gerçel do ğru üzerinde her aral ıkta n yinci basamaktan lineer bir diferensiyel operatördür. 3. ao(x), I üzerinde sürekli ve özde ş olarak sıfır olmamak üzere I üzerinde s ıfırıncı basamaktan bir lineer diferensiyel operatör L =a0(x) biçimindedir. f,

e (I) de herhangi bir fonksiyon ise Lf (x) = a o(x) f (x)

dönüşümü, tamamen a ove f fonksiyonlarının çarpımıdır. L = ao(x)D° (I) de bir fonksiyon de ğil, bir operatördür. şeklinde yaz ıhrsa a o (x), Belirtelim ki a o(x) f (x) gerçekte üç farkl ı yorum kabul eder: a o(x) ve f (x) fonksiyonlarının çarpımı ya da f (x) fonksiyonuna uygulanan a o(x) operatörünün de ğeri ya da a o(x) ve f (x) operatörlerinin çarp ımı olarak düşünülebilir. Bununla beraber seçilen özel yorumun burada bir önemi yoktur.

e

4. xD 2 + 3 Vx D-1 lineer diferensiyel operatörü, [O, co) ya da bunun herhangi bir alt arah ğı üzerinde ikinci basamaktand ır. Öte yandan (x lx I) D 2— Vx+1 D+ ln (x+1) operatörü (-1,1) üzerinde ikinci ğı üzerinde x+ lx1 in özde ş olarak basmktn,c(—10]alrh sıfıra gitmesi nedeniyle birinci basamaktand ır. Ohalde bir lineer diferensiyel operatörün basama ğı, operatörün cebirsel gösterimine ba ğlı olmakla beraber seçilen aral ığa da bağlıdır. Tamm nedeniyle bir lineer diferensiyel operatör bir lineer dönüşümdür ve uygun ko şullar altında böyle iki operatörün çarp ımı hakkında konuşulabilir. Her ne kadar onların tanım bölgesi ve basama ğı hakkında 278

çok şey söylemek mümkün de ğil ise de böyle çarpı mlar yine lineer diferensiyel operatörlerdir. Genel olarak bu türden operatörlerin çarp ımı değişme özeli ğini sağlamadığmdan üzerlerinde rahat bir şekilde oynamaz. Örne ğin (xD+2) (2xD+1) gibi bir çarp ım, xD+2 ve 2xD+1 ifadelerini cebrin do ğal kurallarına göre çarpmakla bulunamaz. cebrin kurallarına göre işlem yaparsak (xD+2) (2xD+1) = 2x2D2 + 5xD+2 şeklinde elde edilen sonuç do ğru de ğildir. Doğru cevap, a şağıdaki işlemlerden görülece ği üzere 2x 2D 2 + 7xD+2 dar: (xD+2) (2xt+1)y= (xD+2) (2xy'+y) xD (2xy'+y) -I- 2 (2xy'+y) x (2xy"+3y') 4xy'+2y 2x2y"-F 7xy' 2y Bununla beraber sabit katsayık operatörlerin çarp ımı, operatörler D türev i şlemine göre polinomlar olsa da cebrin tabii kurallar ına uyar. Bu durum gerçel sabit katsay ıh bütün lineer diferensiyel denklemleri rahatlıkla çözebilmemizi mümkün kılar. (6.7.5) lineer diferensiyel denkleminde, ba ğımlı değişken y ve onun çeşitli türevlerinin sadece birinci dereceden ve katsay ılarm sadece x in fonksiyonu olduklarına ilgi çekilmelidir. Bu şartlar sa ğlanmadığı takdirde operatör lineer olmayan operatör ve bu operatöre ili şkin denklem de lineer olmayan diferensiyel denklem adını ahr. Lu bir lineer olmayan operatör ise Lu =h (x) bir lineer olmayan denklemdir. Lu bir lineer operatör olmas ı halinde sıırasiyle homogen ve homogen olmayan Lu=0 ve Lu,=h (x) denklemlerini incelemek kural gere ğidir. Lineer olmayan denklemler için homogen terimi kullanılmaz. Bu zaman Lu =0 denklemi sıfır denklem (null equation), Lu =h (x) denklemi de tam denklem (complete equation) ad ım alır. L=

d2

dx2

2

operatörü lineer oldu ğu halde L =(

d ) operatörü linedx 2

er olmayan bir operatördür. Gerçekten Lu = (dx d ır. Buradan dx

2 L (au+bv) = E (au+bv) dxd

1

adu dx

bdv 1 dx

2

279

a2

2

/du

2ab

du dv

dx dx

/dv b2crx–

aLu + bLv oldu ğundan lineer Bir operatörde A (u,v) = L (u+v) – [ L (u) + L (v) ]

(6.7.6)

farkına L operatörünün lineer sapman denir. Buna göre yukardaki 2

d dx

L=

operatörünün lineer sapması

u,v = 2

du dv dx dx

dır. Çok karşılaşılan bir ya da daha fazla de ğişkenli lineer olmayan operatör örnekleri verelim: du dx -4- Q (x) u+R (x) u2, = —

Lu

d2u 1u ıd dx2 dx

■2

du f (x) dx

g (x) u '

b

Lu = K(x,$) u (s) u (s+x) ds,

Lu

1 du u dx + A (x) B (x) u + f K (x,$) u (s) ds, — a

i ou

L==

2

b b

K (x,y;s,t) u 2(s,t) dsdt,

Lu = u (x,y) + a

Lu =

280

azu 82u 82u ay2 + ax2 + —

Keu

Lu =h (x) lineer olmayan denklemini sa ğlayan bir u (x) fonksiyonu varsa denldem bir özel çözüme sahiptir denir. Daha fazla fonksiyon denklemi sağlarsa denklem çe şitli çözümlere sahiptir. dy Örneğin (x2+ v2) = xy lineer olmayan bir denklemdir. Bu denk.' dx km çözüm olarak, 2y2lncy—x2 =--0 kapal ı fonksiyonu ile tanımlanan y fonksiyonuna sahiptir. 2 3 [(d d -7: ) 4- İ = r2

(ddx'r 22

)

lineer olmayan denklemi bir özel çözüm olarak (x—a) 2 -F- (y—b)2 = r2 şeklinde iki parametreli çember ailesine sahiptir. Denklem ayr ıca y = ix aykırı çözümlere sahiptir. Bu fonksiyonlar diferensiyel denklemin tüm çözümleriııi oluşturur. Bu yüzden bir diferensiyel denklemin tüm çözümleri daima bir tek formül ile elde edilemez. Ancak lineer diferensiyel denklemler, kapsad ığı operatörün lineer olmas ı nedeniyle, bu aç ıklamanın dışında özel durumlara sahiptir. Operatörler üzerine dururken derece kavrammdan da söz etmek gerekiyor. Operatörlerin derece ile ili şkisi olduğu gibi diferensiyel denklemlerin de derece ile ili şkisi vardır. Bir diferensiyel denkkmin derecesi diye, bilinmiyen fonksiyon ve onun türevlerine göre bir polinom olarak yaz ılabilen diferensiyel denklemin kapsadığı en yüksek basamaktan türevini kuvvetine denir. Örneğin (y")3+ 3y (y')7 -F y3612 =

3x '3Ni(dx 2Y2) 2 =

(cIfc ) 2

denklemleri sırasıyle üçüncü ve dördüncü derecedendir. İkinci denklemin 3

İ d2y 4

kdX2i

[1+

(d d ı x- )2]

şeklinde yazılabileceğine ilgi çekilmelidir.

Bir diferensiyel denklem basama ğına göre sımflandırdabildiği halde derecesi ile s ınıflandırılamaz. Örne ğin

ey

d2v

dv + 2 .1 = 1 dx2 dx

denkleminin derecesi yoktur. Çünkü bu denklem eY teriminden dolay ı bilinmiyen y fonksiyonu ve onun türevlerine göre bir polinom olarak yazılamaz. Bunun gibi 281

xy"+ x2y'-- (sinx) = x2- x+1, y (4) 4_ xy" '+ x2y"-xy' + siny =O, sin İ dy \ = dy + x + 5 kx dx f d denklemleri sırasiyle

V37,

siny ve sin

) den dolayı derecesiz

denklemlerdir. Sonuç olarak iki operatörün e şitliğ inden söz edelim: x in herhangi bir u (x) fonksiyonuna uygulandığı zaman aynı sonucu veren iki operatöre eşit operatörler denir, Örne ğin, D2- (a+b) D+ab = (D-a) (D-b) = (D-b) (D-a) 2x2D2+ 7xD + 2 = (xD + 2) (2xD + 1) = (2xD + 1) (xD + 2) D2- (x2+ x) D- (2x-x 3) = (D-x) (D-x 2) (D-x2) (D-x) x2D2+ (5x-x2) D + (3-2x) = (xD+1) (xD+3-x) (xD+3-x). (xD+1) gibi. M,N x in fonksiyonları olmak üzere x2D2+ x (M+N+1) D+ (MN+xN') (xD+M) (xD+N) # (xD+N). (xD+M) dır. Örneğin, x2D2+ x2D- (x+2) = (xD-2) (xD+x+1) M, N x in fonksiyonları ve c bir sabit ise MD2 + (Mc+N) D+cN = (MD+N) (D+c) # (D+c) (MD+N) dır. Örneğin, x3D2+ (x3- x2) D-x2 = (x3D-x2) (D+1) M, N x in fonksiyonları olmak üzere M2D 2+ (MM' + 2MN) D+ (MN'±N 2) = (MD+N) (MD+N) dır. Örneğin, D2- 6x2D+ (9x4- 6x) = (D-3x 2) (D_3 x2) M, N, R x in fonksiyonları olmak üzere RD2+ (R'+N+MR) D+ (N'+MN) = (D+M) (RD+N) (RD+N) (D+M) dır. Örne ğin, 282

xD2 + (3x3 + 4) D-F9x2 = (D+3x2) (xD+3). Bu örnekler, verilen lineer diferensiyel operatöriin çarpanlar ına ayrılmasma ilişkin özel durumlard ır. Gerçekten i 1, i2,..., in; 1,2,...,n sayılarmm bir permütasyona ve j i j 2,..., j n de aynı sayıları diğer bir permütasyonu olmak üzere L 1 , L2,..., Ln sabit katsayılı lineer diferensiyel operatörler ise Li ı Li2..• Lin = Lj ı Lj2... Lin

(6.7.7)

dır. Ancak operatörlerden bir tanesi değişken katsay ıh olması halinde (6.7.7) eşitliği daima doğru değildir. Çünkü de ğişken katsayılı bir lineer diferensiyel operatörü, verilen operatörü verecek biçimde her zaman çarpanlarma ay ırmak mümkün değildir. Çarpanlarma ayırmak mümkün olsa bile değişken katsayılı lineer diferensiyel operatörlerin çarp ımı genel olarak de ğişme özeliğine sahip değildir. a ıxD-Fao şeklinan sabitler olmak üzere a nxnDn+... de yazdabilen bir lineer diferensiyel operatöre eş boyutlu (equidimensional) ya da Euler operatörü denir. Euler operatörü daima çarpanlarma ayrılabilir ve çarp ım değişme özeliğini sağlar. İki lineer diferensiyel operatörün eşitliği başka bir anlat ım ile aşağıdaki şekilde verilebilir: m L i = E a k(x) Dk ve L2 = E bk(x) Dk k=1

k=1

operatörleri, I arah ğı üzerinde lineer diferensiyel operatörler olsun. L ı = L2 olması, m =n ve her k için ak(x) = b k(x) olması ile eşdeğerlidir. Diferensiyel denklem kurammdan bilindi ği üzere, önemli uygulamalara sahip olan Euler operatörüne ili şkin (xnpn+ an_ixn- ı D n-1-1-

a ixD

ao) y =b (x)

(6.7.8)

Euler denkleminin çözümü, zincir kural ın kapsayan basit i şlemler sonucunda bulunabilir ise de, ilginç bir yol olarak dönü şüm kapsayan farklı bir görü ş yardımiyle de bulunabilir. TANIM 6.7.2. en(-- °o, oo) lineer uzay ından en(0, co) lineer uzay ına olan N dönüşümü N : e n(_ 00 , co) en(0, 00) g ---> Ng (Ng) (x) = g (lnx) ile tanımlanan bir dönüşüm olsun. 283

örne ğin, N (2x) = 21nx =1nx 2 N (e- 3x) = e-31nx = e ın(x-3) = N (sin3x) = sin (31nx) = sin (lnx 3) N dönüşümü arzulanan baz ı özeliklere sahiptir. TEOREM 6.7.1. N dönüşümü lineerdir ve tersine çevrilebilir. Ispat. 0 E (f) (Ef) (x) = f (ex) Şimdi en(O, Go) da herhangi bir f ve - co
Şimdi N operatörünün Euler denklemi ile ilgisini gösteren bir lemma kurahm. LEMMA 6.7.1. xkDkN=ND (D-1) (D-2) ... (D-k+1) d ır. ispat. k =1 ve g, en(o, co) in herhangi bir eleman' ise, bu durumda zincir kuralı nedeniyle 1 = — N (Dg) (x)

( (DN) g) (x) =— d g (lnx) = g'(1nx). 1 dx dır. Bu eşitlik, Lemma 6.7.1 in k =1 durumu için xDN = ND ye eşdeğerdir. k =2 ise k =1 için sonuç kullan ılarak

NDg H- —D (NDg) 1 NDg) = D2Ng = D (DNg) = D (x2 X X

=

x2

NDg

ı

ı

X X

ND 2g) = — N(D2-D)g x2

nedeniyle bu eşitlik, Lemmanm k =2 durumu için x2D2N=ND (D-1) eşitliğine eşdeğerdir. k =3 için D 3Ng = D (D2Ng) = D (— ND (D-1) g) x2 = -

1 2 DND (D-1) g ND (D-1) g — x2 x3

= - - 2T ND (D-1) g

x

. ND2(D-4g x

1 (ND (D-1) (D-2) ) g

x3

olduğundan bu eşitlik de Lemmanın k =3 durumu için x3D 3 N = ND (D-1) (D-2) eşitliğine eşdeğerdir. 285

Aynı şekilde devam edilerek ya da tüme var ım yöntemi ile, herhangi pozitif k tamsayısı için Lemma 6.7.1 in ispatı tamamlanır. TEOREM 6.7.2. Euler türünde n yinci basamaktan bir lineer diferensiyel operatör a2x2D2+ a 1x L __,xnDn+ an _ixn- ı Dn-ı + ve N de Tanım 6.7.2 deki lineer operatör ise, bu durumda L, = D (D-1) ... (D-n+1) an_ ip (D-1) ... (D-n+2) a2 D (D-1) 4- aiD-Fao sabit katsayılı bir operatör olmak üzere LN = NL, dır. Ispat. Dönüşümlerin dağılma yasası kullanılarak a2x2D2 + a ixD+ae) N LN = (xnDn+ an _ 1xn- IDn-1 + a2x2D 2N-Fa 1xDNI-a eN = xnDnNI-a n _ıxn-ı Dn- ı N yazılabilir ve aranan sonuç, Lemma 6.7.1 den do ğrudan elde edilebilir. Teorem 6.7.2, n yinci basamaktan (6.7.8) Euler denkleminin çözümüne uygulanabilir. (6.7.8) denklemi, Teorem 6.7.2 nin gösterimi ile Ly = b (x) biçimindedir. Buradan (LN) (N-1y) = b (x) yazılabilir. Teorem 6.7.2 nedeniyle bu denklem (NLe) (N-1y) = b (x) denklemine ve dolayısiyle Le(N-ly) = N-lb (x) = b ( ex)

(6.7.9)

denklemine indirgenir. (6.7.9) denklemi, bilinmiyen fonksiyonu N -ly olan n yinci basamaktan sabit katsayıh bir lineer denklemdir. Bu denklem kolaylıkla çözülebilir. Bu durumda (6.7.8) denkleminin çözümü y = N (N- Iy) dır. ÖRNEK: x2y" 4xy' 2y =21nx denkleminin çözümünü, yukardaki teknik yard ımiyle bulalim. Bu denklem, L =x 2D2 + 4xD+2 olmak üzere 286

Ly = 21nx biçimindedir. Le .D (D-1) + 4 D+2 = D 2 + 3 D+2 = (D+2) (D+1) olmak üzere, Teorem 6.7.2 nedeniyle LN=NL, dir. Buna göre verilen denklem yeniden Ly = (LN) (N-ly) = 21nx biçiminde yazıhrsa, Teorem 6.7.2 nedeniyle NL,(N-ly) = 21nx dır. Buradan Le(N-ly)

N-1(21nx) = 21nex = 2x

ya da (D+2) (D+1) (N-ly) = 2x elde edilir. Bu denklemin genel çözümü kolaylıkla N-ly = C ie-2x + C2e-x + x olarak bulunur. Buradan aranan çözüm y = N (N-3y) = N (C ie-2x + C2e-x + x= C le-21nx C 2e Inx

hıx -

= C ix-2 + C2x-1 lnx biçiminde bulunur. ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki operatörlerin her birini, D nin polinomu biçiminde yazınız? (a) (D-2x) ((x 2D+2x) , (b) (xD+1) 2, (c) (xD+1) 3 2. A: T.

d ile tanımlineer dönüşümü A (p) = d2P2 2 -df

lanıyor. Bu dönüşümün çekirdeğini bulunuz ve tersinin olup olmadığım behrtiniz? 3. a+b+c =1 ve [ (1-x2) D2-2xD+6] (ax2+ bx+e) = 0 olacak şekilde a, b, c sabitlerini bulunuz? 4. (a) n yinci basamaktan bir lineer diferensiyel operatörün en(I) den (I) ye bir lineer dönü şüm olduğunu gösteriniz?

e

287

(b) n > 0 oldu ğunda bu lineer dönüşüm bire bir midir, Niçin? 5. (a) x2 , X

, b ı(x)

, x>0 olduğunda a 1 (x) D+1 ve b, (x) D -I- 1 lineer diferensiyel operatörlerinin çarpımmı bulunuz ve böyle iki operatörün çarp ımının basama ğınm, çarpanlarm basamaklar ı toplamı olup olmadığı hakkında ne söyleyebilirsiniz? (b) Bir I aralığı üzerinde tanımlı iki lineer diferensiyel operatörün çarpımmın aynı aralık üzerinde tammh olmas ı gerekmeoli ğine ilişkin bir örnek veriniz? 6. (a) a ve b sabitler olmak üzere (aDm) (bDn) = (bD") (aDm) = abDm+n olduğunu gösteriniz? (b) a (x) in gerekli bütün türevlerinin var ve sürekli oldu ğunu varsayarak Dm (a(x) D") çarp ımırıı, D ye göre bir polinom (standart form) olarak yazmak suretiyle m+n yinci basamaktan bir lineer dirensiyel operatör oldu ğunu gösteriniz?

7. Aşağıdaki lineer diferensiyel operatör çiftlerinin L1+ L2 toplamı:tl bulunuz? (a) L 1 = 2xD+3 , L2 = xD-1 (b) Li =exp2+ D , L2 =e—xD2_D (c) L1 =xD+1

, L2 =Dx

8. Aşa ğıdaki sabir 'katsayıh lineer diferensiyel operatörlerin her birini, daha alt basamaktan indirgenemeyen çarpanlarm çarp ımına ayınnız? (a) D 3-3D 2+4

(d) D 4-1

(b) 4D4+4D 3-7D 2 +D-2 (e) D 4-4D 3 +14D2-20D+25 (c) D 4+1

(f) D 5-1

9. Aşağıdaki değişken katsayıh lineer diferensiyel operatörlerin her birinin, çarp ım verilen operatörü verecek biçimde daha alt basamaktan çarpanlar ına ayırmız 288

(a) x2D 2—xD+1 (b) x2D2 +(4x+x2)D+2±2x (e) x2D2 + (4x3 + x)D+ (4x4 + 4,2) (d) x2D2 + (5x+ 2x3)D + (6 x2+ 3) (e) xD2 +(3-2x2)D-4x (f) x3D 2 +(5x3—x2)D+(6x 3_2x 2) 10. Aşağıdaki eşitliklerin varlığını gösteriniz ? (a) D2 f(x)g(x) = f" (x)g(x)+21"(x)g'(x)+f(x)g"(x) (b) D 3 f(x)g(x) = f" '(x)g(x)+3f"(x)g'(x)+3f'(x)g"(x)+f(x)g"'(x) Da f(x)g(x) hakk ında ne söyleyebilirsiniz ? 11. Alıştırma 10 u kullanarak a şağı daki lineer diferensiyel operatörlerin her birini a n(x) Da+ ... a 1 (x) D+ao (x) standart formunda yazınız ? (a) D 3(xD)

(e) D5(xD2+ex)

(b) Dm(xD)

12. D ve L,

e- [a,b] de her y için x

D (y) = dx y , L (y) =

y (t) dt

şeklinde eccla,b I üzerinde s ırasiyle türev ve integral alma i şlemlerini göstersin. n negatif olmayan tamsay ı olmak üzere LaDa ve DnLn nin değerlerini bulımuz ? 13. Herhangi negatif olmayan k ve m tamsay ıları için k m!

xk-m


Dm xk = 0

,m>k

olduğunu ispatlaynuz ? 14. (a) Herhangi k gerçel say ısı için (xmDm) xk = k (k-1) ... (k— +1) olduğunu ispatlay ınız

,(k

(b) an, al, a2 sabitler ve k herhangi bir gerçel sayı olmak üzere (a2x2D2+ a1 xD+ao) xk = fa ,,k (k--1) + a 1k+ao ] xk olduğunu ispatlaynuz ? 289

(e) (xD) (x 3D 3)

(x3D 3) (xD) olduğunu ispatlayınız)

(d) k keyfi bir gerçel say ı ve L Euler operatörü olmak üzere Lxk n ın de ğerini bulunuz ? 15. *, Sr, t ye göre türevler ve x (t) = (x (t), y (t) ) olmak üzere = y, y = — x lineer sistemini; (a) A (t) katsay ılar matrisi olmak üzere i =A (t) x şeklinde yazınız ? (b) D türev operatörü ve J (D) matris operatörü olmak üzere (D) x =0 şeklinde yazımz? (e) j (D) matris operatörünün lineer dönü şüm olduğunu gösteriniz ? 16. x (t) = (x 1 (t), x2(t) olMak üzere

x n(t) ) n boyutlu vektör fonksiyonu

a nx i + a 12 x2+ ••• ainXn a21x i + a22x2 + + a2nx,

xn = an ixı + a n2x2+

annx n

lineer sistemini; (a) x = A (t) x şeklinde yazınız?. (b)

j (D) x =0 şeklinde yazınız ?

(e)

k

(D) nın lineer dönü şüm olduğunu gösteriniz ?

17. N dönüşümünü kullanarak aşağıdaki Euler denklemlerinin genel çözümierini bulunuz ? (a) (x2D 2+ a txD+ao) y =O

(genel olarak)

(b) (x2D 2— 3xD+7) y =O (e) (x3D 3— 2x2D2— 17xD-7) y =0 (d) (x 3D 3 + 4x2D2+xD+ 1) y =x 6.8. Lİ NEER FONKS İYONELLER V, K skaler sistemli bir lineer uzay olsun. Bir cp : V --> K lineer dönüşümii, V üzerinde bir lineer fonksiyonel ( ya da lineer form) adını 290

alir. K kendisi üzerinden bir boyutlu lineer uzayd ır. Her cp: V —> K dönüşümünün bir lineer fonksiyonel olmayaca ğı açıktır. Ancak cp dönüşümü bir lineer dönü şüm ise cp bir lineer fonksiyoneldir. V üzerinde keyfi lineer dönüşümler için bütün teorem ve sonuçlar bu özel durum için geçerlidir. Bununla beraber bu özel dönü şümler, genel duruma uygulanmayan yeni kavram ve sonuçlara neden oldu ğundan bu önemi nedeniyle ayrıca inceleniyor. "Fonksiyonel" sözcü ğünün kökeni integral denklemler kuramma dayan ır. Bu yüzden fonksiyonel sözcü ğü, eleman ter anlamda sayılar cümlesi üzerinde tan ımlanan bir fonksiyon ile fonksiyonlar cümlesi üzerinde tan ımlanan fonksiyonel kavramlar ı arasındaki ayrıcahğı vurgulamak için kullan ılmıştır. Buradan her skaler değerli (sürekli) fonksiyon bir fonksiyoneldir. Ancak her fonksiyonelin de bir lineer fonksiyonel olmas ı gerekmediğine ilgi çekilmelidir. Lineer fonksiyonel kavram ı, sadece integral kurammm incelenmesinde değil aynı zamanda sonlu boyutlu uzaylar ın irdelenmesinde, çeşitli matematiksel yap ıların gösterim kurammda kullanışlı temel araçlardan biridir. Ayr ıca çe şitli sonsuz boyutlu uzaylarda da lineer fonksiyonel kavram ı söz konusu olmakla birlikte baz ı temel kavramları da beraberinde getirir. V den K içine bütün lineer dönüşümlerin cümlesi (qo i + cp2) ( (v) = cp i(v)

cp2(v) ve (kcp) (v) = k cp (v)

ile tanımlanan toplama ve skaler ile çarpmaya göre K üzerinden yine bir lineer uzayd ır. Bu uzaya V nin eşlenik uzayı (V nin dual uzaya ya da V nin cebirsel eşleniği) denir ve V* ile gösterilir. V* m elemanlar ına V üzerinde lineer fonksiyonel denir. c,o, V * ın ve v de V nin bir eleman olsun. cp (v) yi simgeleri ile göstermenin büyük yararları vardır. cp i, c,o2 e V*ise (cp i + cp2) (v) = cp i(v) 92(v) ve kEK ise (kcp) (v) = kcp (v) d ır. Başka bir deyimle = <91, v> = k yazılabilir. Ayrıca v i, v2 EV ise

(6.8.1)

= +- <9, v 2 > kv> = k

(6.8.2)

dır. (6.8.1) özelikleri V*m bir lineer uzay ve (6.8.2) de cp nin bir lineer fonksiyonel oldu ğunu gösterir. Böylece simgesinde iki bile şenin 291

farklı uzaylarda bulunmas ı ayrıcalığı ile iç çarp ımda olduğu gibi aynı gösterimi kullanmış oluyoruz.

ÖRNEKLER 1. cp: K dönüşümü q> (x l ,..., x„) = x 1 ile tanımlanan izdü şüm dönüşümü olsun. u, veKn içiıı cp (au+bv) = au j +bvi = a cp(u)+bcp(v) nedeniyle cp, Kn üzerinde bir lineer fonksiyoneldir. Benzer biçimde her bir i = n için cp, (x 1 ,..., xn) = x, ile tanımlanan i yinci cpi izdüşüm dönüşümü de Kn üzerinde bir lineer fonksiyoneldir. 2. V, K üzerinden iç çarp ımlı bir lineer uzay ve v o eV olsun. Bu durumda v ---> dönüşümü bir lineer fonksiyoneldir. Gerçekten u, veV ve a,bEK için cp (au+bv) = -=

a b = a (u) bqı (v)

dır. 3. V, n > 1 olmak üzere Wn ya da Cn olsun. V üzerinde bir lineer fonksiyonel bir lin.eer dönüşüm olduğundan onun görüntü cümlesi, V nin Wn ya da Cn olmasına göre bir boyutlu /? ya da C -uzayıdır. Her cpcV* lineer fonksiyoneli, a n skalerler ve v = (x 1 ,..., xn) olmak üzere

cp

(v)

= a lx,+...+ anxn

gösterimine sahiptir. Bu lineer fonksiyonel, K ıl (Rn ya da Cn) de s ıralı standart baz ve K (y? ya da C) 11} bazma göre (a 1 ,..., a n) matrisi ile gösterilen lineer fonksiyoneldir. Gerçekten v=(x i,..., xn) ve v=x j.e i x2e2 x ne n dır. Buradan cp (v) =x i cge,) xn9 (en), j =1,..., n. için cp (ei) = aj= aj. 1 d ır. Herhangi a l ,..., a n skalerleri için Kıl de her lineer fonksiyonel bu biçimdedir. Yani cp (ei) = aj olarak tanımlar ve lineerlik kullarahrsa cP (v) = cp (x j ,..., x n ) = cP (

xjej) = E xicp (ei) = E ajx j

şeklinde aynı lineer fonksiyonel elde edilir 4. V, [0,1] arah ğı üzerinde sürekli gerçel de ğerli fonksiyonları lineer uzayı olsun. Yani V= e ( [0,1], R) dır. feV için (f) = 292

o

f 1 f(t) dt

formülü ile tanımlanan dönüşüm V üzerinde bir lineer fonksiyoneldir. Eğer fo, V nin belli bir elemanı ise L (f) =

oJ

fo(t) f (t) dt

ile tanımlanan dönüşüm de V üzerimde bir lineer fonksiyoneldir. V= e [a,lı ], R) olmak üzere feV için (

L (f) =

aJ

f (t) dt

ile tanımlanan dönüşüm, e [a,13 ] üzerinde bir lineer fonksiyoneldir ve matematikte son derece önemli lineer fonksiyoneldir. 5. V= e ( [0,1], R ) olsun. s: V dönüşümü 8 (f) = f (0) ile tanımlansın. 8 dönüşümü fı, f2eV ve a,beR için b 8 (f2) (afi bf2) = (afı bf2) (0) = afı (0) bf2 (0) = a 8 (fı) olduğundan lineer fonksiyoneldir. Bu lineer fonksiyonel Dirac fonksiyoneli olarak bilinir 6. V, karmaşık sayılar üzerinden bir lineer uzay olsun ve V nin bir hermitiyen çarp ıma sahip olduğunu varsayalı m. Buna göre v .-> ya da qi (v) = dönüşümü bir lineer fonksiyoneldir. Bununla beraber v dönüşümü, u, veV ve a,beC için cp (au+bv) = = b = (u) 13 cp (v) olduğundan bir lineer fonksiyonel de ğildir. Bu fonksiyonele ters lineer ya da yara lineer fonksiyonel denir. 7. V, K üzerinden nxn karesel matrislerin lineer uzay ı olsun. A= (ajj) ve AeV olmak üzere T: V --> K iz dönüşümü n

T (A) = trA = a ı i + a22+ ••• a nn = E aıı i=1 şeklinde bir A matrisine, onun kö şegen üzerindeki elemanlar ının toplamını karşılık getiren bir dönü şümdür. Bu dönü şüm tr

(OLA

± 13B) =

i=i

phii) 293

= a Z ai i 4-

pE

b il = atrA

PtrB

olduğundan lineerdir. 0 halde iz fonksiyonu, Knxn ile gösterilen nxn karesel matrislerin lineer uzay ı üzerinde bir lineer fonksiyoneldir. TEOREM 6.8.1. V, K üzerinden sonlu boyutlu bir lineer uzay olsun. Bu durumda V* e şlenik uzayı da sonlu boyutludur ve dimV = dimV* dır. Ispat. v n }, V nin bir baz ı olsun. Buna göre V* in bir babulaca ğız. zmı Kesim 6.2 ve Kesim 6.6 da Al ıştırma 3 nedeniyle her bir i = 1, n için

1, i =j -< = .31j =

0, i / j olacak şekilde 91 ile gösterilen bir lineer fonksiyonel vard ır. Kesim 6.2 de sözü edilen teorem, baz elemanlar ı üzerinde belirtilen de ğerlere sahip bir lineer dönü şümün bulunabilece ğine ilişkin bir teoremdir. ın V* ın bir bazı olduğunu ispatlayaca ğız. (p E V* ve ci = <9, vi> olsun. Bu durumda (p olduğunu göstermek zorundayız. Her bir i için

= C1(p1

•••

en9n

... vi> = ci cdpn, Vi> = ci
0 =
x ny n, vi> = xi = xi

buluruz. Buradan her x i = 0 dır. Böylece istenen ispatlanm ış olur.

cp n } bazına, Bu teoremin ispat ında tanımlanan V* ın v n } nın eşlenik baz ı (dual bazı) denir. Bu teorem bizlere V nin bazmdan, V üzerinde n tane farklı cp i ,..., ep n lin.eer fonksiyonel elde etme imkânım verir. Lineer bağımsı z olan bu fonksiyoneller tek bir biçimde elde edilir. K üzerinden V lineer uzaym ın boyutu n ise, V den K ya bü294

tün lineer fonksiyonellerin cümlesi olan V* in boyutu da (K n ın, kendisi üzerinden 1 boyutlu olmas ı nedeniyle) n dı r. Yukardaki teoremde Sl ı Kronecker deltas ını kullanan formül, a şağıdaki yazışın kısaca gösterimidir: 91( v ı ) = 1, 9 1 (v2) = 0, . • • , (P ı (vu) -= O 92(v ı ) = 0, 92(v2) = 1, .. • , 92(vn) --= 0 cPn(v ı ) = 0, Son(v2

)

=O . ,

, cp n (vii ) = 1

ÖRNEK R3 ün {v i = (1, — 1,3), v2 = (0,1 — 1), v 3 = (0, 3, — 2)} şeklinde bir bazını gözönüne alal ım. Buna göre {cp 1 , 92, cp 3 } e şlenik hazım bulalım. 91(v ı ) = 1, (P ı (v2) = 0, 91(v3) = O
x b2y b 3z

lineer fonksiyonelleriıai bulacağız. 3a3 — 1 91(v ı ) = 91( 1 , - 1,3) = a l - a2 cp i(v2) = cp ı (0, 1, - 1) = a2 - a 3 O y 1 (v3) = y i (0,3, - 2) = 3a 3 — 2a 3 =-- 0

a

, a2 = O, a3 O

3b 3 = 0 92(v ı) =
b ı =7 , b2 2,b3 ==-3

cp3(v 1 ) = 9 3 (1,-1,3) = c i — c2 + 3c 3 = 0 cp3(v2 ) = 9 3 (0,1, — 1) 0 =c2 — c3 = cp 3 (v3 ) = y 3 (0,3,-2) = 3c 2 — 2c 3 = 1

el — -2 ,c2= 1 ,

C3 =1

O halde eşlenik baz 191(x,y,z) = x, 9 2 (x,y,z) = 7x - 2y — 3z, cp 3 (x,y,z) = — 2

y +z}

şeklindedir. Şimdi bazlarla onlar ın eş lenikleri (dualleri) aras ında ilişkileri veren iki önemli teorem ifade edelim: 295

TEOREM 6.8.2. v n }, V nin bir bazı ve 191,—, cpn} de V* ın eşlenik bazı olsun. Bu durumda herhangi bir u E V vektörü için u = cpi(u)v

cp2(u)v2

...

9n(u)vn =

(1)

E c,oi(u)vi i= ı

ve herhangi bir cp E V* lineer fonksiyoneli için

(P = cp (v ı) ?

9(v2) 92

...

(2)

9 (vn) 9n = E 9(vi) cp ı ı=1

dır. Ispat. u = a 1v 1 ±, a2v2 durumda 91(u) =

9l(v ı )

a2 9 ı (v2)

... + a nv n olduğunu varsayahm Bu + an 91(vn) = a 1 . 1 ...

a2 . O + a n . O. = a l

dar. Benzer olarak i = 2, 3,...., n için 9i(u) = al 9i(v 1 ) + ... ai cpi(vi) + an 9i(vn) = al dır. Yani cp l (u) = al, 92 (u) = a2,..., 9n (u) = a n dır. Bu değerler u nun gösteriminde yerlerine konulursa (1) elde edilir. (2) yi ispatlamak için (1) in her iki yan ına cp lineer fonksiyoneli uyguland.ığında (P(u) = 9 ı (u) cp(v ı ) + 92(u) 9(v2) + • • • + 9n(u) 9(vn) = 9(v1)

+ cp(v2) 92(u)

• • • + 9(vn) 9n(a)

• • • + 9(vn) 9n] (u) 9(v2) 92 [9(v ı ) 91 elde edilir. Her u E V için bu geçerli oldu ğundan

9 = 9(v1) 91

9(v2) 92

9(vn) 9n =E cp(vi) cPi i=1

dır. TEOREM 6.8.3. {v i,..., vn} ve wn } V nin bazları ve sırasıyle cp n } ve W n } de {vi} ve {w1} ye e şlenik olan V* an bazları olsun. P nin de {vi} den {wi } ye geçiş matrisi olduğunu varsayalım. Bu durumda (P -1)T, {c,oi } den {irı } ye geçi ş matrisidir. 296

Ispat. w ı =a ny '

a i 2v2`

w2=a2 ıv ı

a22v2 -+ •••

wn=aniv ı

an2v2

ainvn, 'F ı =b ı l 91

...

bi2 92 --F ••• + b1n9n b2n9n ••• a2nvn, iF2 —b21 91 + b22 92 annvn, 'Ir n=bni (Pi

bn2 92

•••

bnn9n

olduğunu varsayalım. Burada P = (aii) ve Q = (bii) d ır. Buna göre Q = (P-1 )T olduğunu göstermek zorunday ız. R1, Q nun i yinci sat ırını ve Ci de PT nin j yinci kolonunu göstersin. Bu durumda Ri = (bil, b12,..., bin) ve Cj = (ai,

ain)T

dır. E şlenik bazın tanımı nedeniyle 91(.1'9) = (bu?' = bi lai l

bı292 + b12ai2

4- bı n(Pn) (al 'vi

aj2v2

ainvn)

... + binain = RiCj = 81i

dır. Ohalde

QpT

„ItiC1 R1C2 ii.2‘.1 R2C2

R ica R 2C n

R nC 1 R ıtC2

111:CU

= I

U

(

dır. Buradan Q = (pT)-1 = (P -i)r dır. Bu teoremde sözü edilen P geçi ş matrisi, eski {vi} baz ından yeni bazına geçişi veren sistemin katsayılar matrisinin transpozesidir. wn} cümlesi lineer ba ğımsız olduğundan P matrisi tersine çevrilebilir (Alıştırma 6). P -1 tersi de wi}. den geri {vi} baz ına geçiş matrisidir. Bu matris de Q ile gösterilirse P ve Q ters matrislerdir, yani PQ = I dır (Alıştırma 7). Her V lineer uzaymm, V üzerinde bütün lineer fonksiyonellerden oluşan V* eşlenik uzayına sahip oldu ğunu biliyoruz. Buna göre V* ın kendisi de V** e şlenik uzayına sahiptir. Bu uzaya, V* üzerinde bütün lineer fonksiyonellerden olu ş an V nin ikinci eşlenik uzay ı (second dual space) denir. Her bir v E V elemanı, herhangi bir 9 e V* lineer fonksiyoneli için

V * üzerinde v (y) = cp (v) ile tanımlanan belli bir eı : V* -> K dönüşümü belirtir. Bu dönü şüm lineerdir. Gerçekten herhangi a, b e K skalerleri ve herhangi cp i , cp2 E V* lineer fonksiyonelleri için 297

V(a cp i + b92) = (a 9 1 + b92) (v) = acp i(v) + b92(v) = aV(9 1 )+b 'V(cp2) olduğundan v lineer fonksiyoneldir ve v e V** d ır. 0 olacak şekilde bir V sonlu boyutlu ve v E V, v # 0 ise cp (v) 9 E V* lineer fonksiyoneli vardır. Ba şka bir anlatım ile V sonlu boyutlu ve v 0 ise 'V # 0 dır. jv} cümlesini V nin sıralı bir {v i , v2,..., vn } bazıııa genişletelim. Buna göre Teorem 6.8.1 nedeniyle cp (v) = 1 ve i =1, 2,3,..., ıı için cp (vi) = 0 olacak şekilde bir tek 9 :,V -> K lineer dönü şümü vardır. Buradan 9, istenen özeli ğe sahiptir. TEOREM 6.8.4. V sonlu boyutlu ise, bu durumda v -> v dönüşümü V nin V** üzerine bir biçimsel benzerli ğidir. Ispat. Burada V:V* -> K dönü şümü v (cp) = cp (v) ile tammland ığma göre öncelikle v dönü şümünün lineer oldu ğunu gösterece ğiz. a, b e K, u, v e V ve herhangi bir cp e V* iineer fonksiyoneli için av+bw (9) = 9 (av H- bw) = a cp (v) + b 9 (w) = av (9) + bw (9) = (av + bw) (9) İ\ dır. Her cp e V* için av+bw (9) = (av bw) (cp) oldu ğundan aVI-bw = av bw dır. O halde v-v dönüşümü, V den V** içine bir lineer dönüşümdür. v 0 olmak üzere v e V oldu ğunu varsayalım. Bu durumda cp (v) 0 olacak şekilde bir cp E V* lineer fonksiyoneli vard ır. Buradan 'V (9) = 9 (v) / 0 ve böylece V' # 0 dır. v 0 olması 'v 0 olmasını gerektirdiğinden v "v dönü şümü düzenlidir. Öte yandan V sonlu boyutlu olduğundan dimV = dimV* = dimV** dır. Buradan bu dönüşüm tersine çevrilebilir. Ohalde v -> v dönü şümü V nin V** üzerine bir şekil benzerliğidir. v -* v dönüşümüne V nin V** içine tabii dönü şümü denir. V sonlu boyutlu de ğilse bu dönüşüm kesinlikle V** üzerine de ğildir, ancak daima lineerdir ve bire birdir. Şimdi lineer fonksiyoneller ile alt uzaylar ı arasındaki ilişkileri irdeleyelim. 9 sıfırdan farklı bir lineer fonksiyonel ise, cp nin görüntü cümlesi skaler alanın sıfırdan farklı alt uzayı olduğundan cp nin rankı 1 dır. V sonlu boyutlu ise dimKer 9 = dimV — 1 d ır. n boyutlu bir lineer uzayda ii-1 boyutlu bir alt uzaya bir hiper uzay denir. Böyle uzaylar çoğunlukla hiper düzlemler olarak adland ırılır. Yani V sonlu boyutlu 298

olmak üzere V nin bir hiper düzlemi, V üzerinde s ıfırdan farklı bir lineer fonksiyonelin çekirde ği ya da sıfır uzayı olarak tanımlanır. Buradan her hiper uzay, bir lineer fonksiyonelin s ıfır uzayıdır. Aşağıda görece ğiz ki n boyutlu bir uzayın her bir r boyutlu alt uzay ı, (n—r) lineer fonksiyonelin s ıfır uzaylarının kesişimidir. TANIM 6.8.1. S, V nin bir alt cümlesi (bir alt uzay olmas ı gerekmez) olmak üzere her v e S için 9(v) = = 0 yani c,o(S) -= {O} oluyorsa cp lineer fonksiyonelinc S ye ortogonaldir ya da cp, S in bir sıfırlayant (annihilator) dır. S ye ortogonal cp E V* elemanlar ının ciimlesine S in ortogonal tümleyeni ya da S in sıftrhyan ı denir. S-L ya da S° ile gösterilen bu cümle S-L = S° = {cp E V* : Her v e S için cp(v) = 0} ş eklindedir. S in her eleman ı, S ile gerilen. V nin alt uzayına ortogonaldir ve S cümlesi V* ın bir alt uzay ıdır. Gerçekten 0 E S-L d ır. Öte yandan y ı , qı2 E S-L olmak üzere herhangi a, b E K ve herhangi v e S için (a cp ı

cp2) (v) = a (v)

b cp2(v) = a .0 -F b 0 = O

olduğundan acp ı b cp 2 e S-L dır ve bu yüzden S-L , V* in bir alt uzayıdır. S sadece sıfır vektöründen olu şuyorsa Sl = V* dır. S = V ise bu durumda S-L , V* in s ıfır alt uzayıdır. V sonlu boyutlu ise bunun böyle olduğunu anlamak son derece kolayd ır. Tanım 6.8.1 de belirtildi ği üzere S, V nin bir alt uzayı olması gerekmez, ancak S, V nin bir alt uzay ı ise S ile Sl aras ında önemli bir ilişki vardır. TEOREM 6.8.5. V, K üzerinden sonlu boyutlu bir lineer uzay ve W de V nin bir alt uzayı olsun. Bu durumda (i) dimW

dimW-L = dimV

(ii) W-L-L = W dır. Burada WLL = tv e V: Her cp e W-L için sc.(v) = 0} ya da WI nin bir alt uzayı olarak dü şünülmek üzere = (W-L d ır.

'L ,

V

Ispat. (i). dimV = n ve dimW = r < n oldu ğunu varsayan'''. Buna göre wr } badimWi = n — r olduğunu göstermek gerekir. W nin bir zını seçelim ve bu bazı V nin bir v ı ,..., v n_r } bazma geni ş299

letelim. İ ,•••, cPr, (1) 1,•••, On__r} e şlenik hazım gözönüne alalım. Eşlenik bazın tanımı nedeniyle (I) lerin her biri, her bir wi yi s ıfırlar. Buradan (I:o n...s E W-1- dır. Şimdi j(I)j} nin W' nin bir baz ı olduğunu göstermemiz gerekiyor. V* in bir bazının parçası olduğundan lineer ba ğımsızdır. Şimdi de j(1)i} nin Wl yi gerdi ğini gösterirsek (i) nin ispatı tamamlanmış olacak. Ğ E W-L. olsun. Teorem 6.8.2 nedeniyle (1)(w i ) 9 1 + • • • + D(w r ) (Pr P(v ı ) D 1 + • • • + 0(vn_r) ('n-r = O. cp i 4- ... 421)(v n_r ) On_r 0.cpr eto(v i ) (D i (I)(v ı )

41)(v ii_r)

dır. Ohalde cümlesi W-Lyi gerer ve dolay ısiyle bu cümle W-L nin bir baz ıdır. Buradan dimW-1- = n — r = dimV dimW dır. (ii). dimV = n ve dimW = r olsun. Bu durumda dimV* = n ve (i) nedeniyle dimW = n — r dır. Wl, V* ın bir alt uzay ı olduğundan yine (i) nedeniyle dimW- L dimV* dır. Buradan dimW.u. = n — (n. — r) = r olmas ı nedeniyle dimW = dimW'-' d ır. W, in bir alt uzayı olduğundan (Ahştırma 10) W = Wı-L. dır. SONUÇ 1. W, n boyutlu bir V lineer uzay= r boyutlu bir alt uzayı ise bu durumda W, V de (n—r) hiper uzay ın kesişimidir. Ispat. Bu sonuç, kendi anlatımmın dışında Teorem 6.8.5 in ispatınm bir sonucudur. Teoremin. ispatmda W, j = 1,2,..., n—r için (10,i (w) = 0 olacak şekilde w vektörlerinin cümlesidir. Buradan r = n —1 ise W, 413. 1 ın sıfır uzayı, r = n — 2 ise W, (Il i ve 11) 2 nin sıfır uzaylarının kesişimidir. SONUÇ 2. W 1 ve W2, sonlu boyutlu bir lineer uzayın alt uzayları ise W 1 = W2 olması W i = W2 olması ile eş değerlidir. Ispat. W2 = W2 ise W ij" = W2i olacağı açıktır. W 1 W2 ise bu durumda iki alt uzayın biri diğerinde olmayan bir vektör kapsar. Bir a vektörünün W2 de bulunduğunu ancak W 1 de bulunmadığını varsayalım. Bu durumda Teorem 6.8.5 ve dolayısiyle Sonuç 1 nedeniyle W 1 şekilde bir y lineer fonk-dehr[3içny(P)=0ackpol siyoneli vardır. Buradan cp, W2-1- de olmayıp VI; dedir ve dolayısiyle W'L

W.L dır. 2

Bir sıfırlıyan kavramı, bir homogen lineer denklem sisteminin bir diğer yorumunu vermemize imkan verir: 300

a ux ' + a 12x2 + a ı nx, = O a21x 1 + a22x2 + • • . a2nxn = O. am1x1

am2x2 + • • • + amnx n = O

A = (aii) katsayılar matrisinin her bir (a it , ai2,•••, ai n) satırı Kn in bir eleman ve her bir cp = (x 1 ,..., x,i) çözüm vektörü de e şlenik uzayın bir eleman olarak dü şünülebilir. Bu nedenle (*) in S çözüm uzay ı, A nin satırlarmın sıfırlıyamdır ve buradan A n ın satır uzayının sıfırlı yamdır. Sonuç olarak Teorem 6.8.5 nedeniyle bir homogen lineer denklem sisteminin çözüm uzayının boyutuna ilişkin dimS = dimKn — dim (A nın satır uzayı) = n — rankA sonucu yeniden elde edilir. ainxn Öte yandan i=1,2,..., m için cp i(x ı,..., xn) = a i ıx ı + ile tanımlanan cpi fonksiyonelleri Kil üzerinde fonksiyonellerdir. i =1.2 m ve her acKn için cpi(a) = 0 olacak biçimde K" ın alt uzayı, çözüm uzayıdır. cp ı ,..., ıpm ile sıfırlanan bu alt uzay S=

oceKn: oceKn için cpi(oc) = 0}

şeklindedir. cp lineer fonksiyonelinin a vektörü ile gösterildi ğine ilgi çekilmelidir. Kaysayılar matrisinin satır kanonik formuna indirgenmesi bizlere bu alt uzay ı bulmada bir yöntem verir. Çözüm uzaym ın; cp 1 ,..., cpm tarafından s ıfırlanan K" nin bir alt uzayı olduğu açıktır.

ÖRNEK 1 (x ı ,x2,x3,x4 )= x ı + 2x2 + 2x3 + x4

2(x 1 ,x2,x3,x4)=--- 2x 2 ±x4

cp

cp 3 (x 1 ,x2,x3,x4) — –2 x ı-4x3 + 3x4 şeklinde R 4 üzerinde üç lineer fonksiyonel veriliyor. y ı , cp2, cp 3 tarafından sıfırlanan alt uzayı (çözüm uzayı) bulalım. Alt uzay, katsayılar matrisini satır indirgemeli eşelon matrisine indirgemekle bulunabilir: A

1 2 2 1 (O O 2 0 -4 3

1 0 2 O O)

(olo

-O 0 0 1

olduğuna göre g ı (x ı ,x2,x3,x4) = x ı +2x3 g2(x 1 ,x2,x3 ,x4) = x2 3(x ı ,x2,x3,x4) = x4 g

301

lineer fonksiyonelleri (V)* ın aynı alt uzayını gerer ve 9 ı , 92, cp 3 tarafından sıfırlanan 6R 4 ün aynı alt uzayını sıfırlar. Buradan s ıfırlanan alt uzay S=

x 3 ER }

ş eklindedir. dimS =dim V–rank A 1=4-3 =1 dır.

6.9. B İ R Lİ NEER DONÜStIM İ.S TRANSPOZES İ VE ADJOİNTİ V ve U, K üzerinden lineer uzaylar ve T de T:V -* U şeklinde keyfi bir lineer dönü şüm olsun. Bu durumda T, a şağıda olduğu gibi U*dan V*içine bir lineer dönü şüm ortaya çıkarır. 9, U üzerinde bir lineer fonksiyonel yani cpeU*olsun. Bu durumda cpoT bile şimi ya da cpT çarpımı, V den K içine bir lineer dönü ş ümdür. Ba şka bir anlatım ile cpT, V üzerinde bir lineer fonksiyoneldir, yani 9TEV*d ır: V

T

U cpT

--> K

Böylece cp --> cpT kar şılık olma durumu U*dan V*içine bir dönüşümdür, yani cpTeV*dır. TT ile gösterilen bu dönüşüme T nin transpozesi denir. Ba şka bir deyimle TT: U* --> V*dönü şümü TT(9) = cpT ile tan ımlıdır. Böylece her 9 EU*ve her veV için (TT(9) ) (v) = cp (T (v) ) d ır. TT ile tanımlanan transpoze dönü şümü lineerdir. Gerçekten herhangi a,beK skalerleri ve herhangi 9 1 , c,92 elf*lineer fonksiyonelleri için (TT(a9 1 + bcp2) ) (v) = (acp ı + bcp2) T (v) a91(T (v) ) 4- 1392(T (v) ) aTT(9 1 ) (v) + bTT(92) (v) olduğundan TT(a9 1 + bcp2) = aTT(9 1 ) +- bTT(cp 2) dır, yani TT bir lineer dönü şümdür. Açıklanan bu durumlar a şağıda oldu ğu gibi özetlenebilir: V ve U, K üzerinden lineer uzaylar olsun. V den U ya her bir T lineer dönüşümü için, her veV ve her cpeU* için (TT (9) ) (v) = 9 (T (v) ) olacak şekilde U*dan V*içine bir tek TT lineer dönü şümü vardır. TEOREM 6.9.1. T:V - U lineer ve A da V ve U nun s ırasıyla yin } ve un } bazlarma göre T nin matris gösterimi olsun. Bu 302

durumda ATnin matris gösterimi, ılıi} ve -crj} ye e şlenik olan bazlara göre TT: V*lineer dönü şümünün matris gösterimidir.

İspat. T (v i) = a nu i + a 1 2u2+...+ a ı nun T (v2) = a 21 n2 + a22u2 +...± a2nui,

(1)

T (vm) amiu2 + am2u2+...+ amnun olduğunu varsayahm. Buna göre jcpi} ve {:»j} sırasıyle Iııı } ve tvj} ye eşlenik olah bazlar olmak üzere TT(91) = a ıı (D ı + a21 021- •••+ am1Im TT(92) a22 (1) 2+•••+ am2Onı

(2)

TT(yn ) = a ı n 0 1+ a2n02+•••+ amnOm olduğunun gösterilmesi gerekiyor. v e V olsun ve v =k ıy ı + k2v2+...-F kmvm olduğunu varsayalım. Bu durumda (1) nedeniyle T (v) = k ıT (v ı ) + k2T (v2) +...+ kmT (vm) = ki(a ilu i + a i2u2+•••+ a ı nun) + k2(a2111 14- a22u24- •••+ a2nun) +...+ km(amilli+ am2u2+,- -Famalln)

= (k ia ii + k2a2i +...+ kmami) u i + . ..+

( ki a i n + k2a2 n +.kman)u

= E (k ia i ı + k2a21+...+ kmamı dır. Buradan j =1,2,..., n için

(TT(cpi) ) (v) = 9s(T (v) ) = (R1(

(k la ii+ k2a2ı -F • ..+ kmamı)

= kia ıı + k2a2j+...+ kınami

(3)

Öte yandan j =1,2,..., ıı için (a i i(1) 1 + a2ı 02+•••+ amjPm) (v) = (a iı (D ı + a2i 0 2+•••+ a mjPm).

(k iv i + k2v2+••• -i- kmvm) = k ı a ii + k2a2j +...+ kmamj

(4)

dır. veV keyfi oldu ğundan (3) ve (4) den 303

TT(cpi) = a ii(1) 1 + a2i 02 +...+ anij eD ni , j =1,2,..., n sonucuna varılır ki bu da (2) den ba şka bir şey de ğildir. V bir iç çarpım uzayı olsun. Her bir ueV, û (v) = ile tanımlanan bir V -* K dönü şümü belirtir. Herhangi a,beK ve herhangi v i, v2 EV için û (av ı + bv2) = a b = = aû. (v i ) bû (v2) olduğundan û, V üzerinde bir lineer fonksiyoneldir. Bunun tersi de sonlu boyutlu uzaylar için do ğrudur ve bu önemli bir teoremdir. TEOREM 6.9.2. Sonlu boyutlu bir V iç çarp ım uzayı üzerinde bir bir lineer fonksiyonel 9 olsun. Bu durumda her veV için cp (v) = olacak ş ekilde bir tek ueV vektörü vard ır. ispat.

e n } , V nin bir ortonormal baz ı olsun. u = (P (e1) e1+ (P (e2) e2+...+ (P (en) en

olsun. û dönüşümü, her veV için V üzerinde û (v) = ile tammlanan lineer fonksiyonel olsun. Bu durumda i =1,2,..., n için il (ei) = = = 9 (ei) dır. Buradan her bir baz vektörü üzerinde ıl ve 9 aym oldu ğundan û= 9 dır.

Şimdi varsayalım ki her veV için u', 9(v) = olacak şekilde V de bir di ğer vektör olsun. Bu durumda = ya da = 0 dır. Özelikle bu v =u—u' için do ğrudur ve böylece = 0 dır. Buradan u—u' = 0 ve u =u'sonucuna var ıhr. Ohalde böyle bir u vektörü tektir (Bak Al ıştırma 17). Her ne kadar bu durumda baz ı genel sonuçlar biliniyorsa da (Ünlü böyle bir sonuç Riesz gösterim teorimidir.) bu teorem sonsuz boyutlu uzaylar için geçerli de ğildir. Gerçekten iç çarp ımı = r f (t) g (t) dt o ile tanımlı R üzerinden polinomların lineer uzayı V olsun. Bu durumda yukardaki teorem geçerli olmayacak şekilde V üzerinde bir lineer fonksiyonel örne ği vardır, yani her feNT için cp (f) = olacak şekilde bir h (t) polinomu yoktur. cp: V --> K lineer fonksiyoneli cp (f) = f (0) 304

ile tammlansm, yani 9, f (t) yi sabit terime dönü ştürsün. Her f (t) polinomu için 9 (f) = f (0) =

f (t) h (t) dt (1) o olacak şekilde bir h (t) polinomunun var oldu ğunu varsayalım 9 nin tf (t) polionmunu s ıfıra dönii ştürece ği açıktır. Buradan (1) nedeniyle her f (t) polinomu için

0

f

tf (t) h (t) dt = 0

(2)

dır. Özel olarak (2), f (t) = th (t) için geçerli olmak zorundad ır, yani

t2h2(t) dt = 0 o d ır. Bu integral, h (t) yi s ıfır polinomun.a götürür, buradan her f (t) polinomu için cp (f) = = 0 d ır. Bu durum 9 nin sıfır lineer fonksiyoneli olmadığı gerçe ği ile çelişir. Buradan her fEV için cp (f) = olacak şekilde bir h (t) polinomu yoktur. TEOREM 6.9.3. Sonlu boyutlu bir V iç çarpım uzayı üzerinde bir lineer operatör T olsun. Bu durumda her u,vEV için olacak ş ekilde V üzerinde bir tek T* lineer operatörü vard ır. Ayrıca A, V nin {ei } ortonormal bazına göre T nin matris gösterimi ise, bu durumda A nın A*eşlenik transpozesi {ei} baz ına göre T*In matrisidir. Ispat. İlk olarak T*dönü şümünü tanımlayalım. v, V nin keyfi ancak belli bir eleman ı olsun. u -› dönü şümü V üzerinde bir lineer fonksiyoneldir. Buradan Teorem 6.9.2 nedeniyle, her u EV için = olacak şekilde bir tek v'EV elemanı vardır. T*: V ---> V dönü şümü T*(v) = v' ile tammla ıasm. Bu durumda her u,veV için =- d ır. Şimdi T*m lineer olduğunu gösterelim Herhangi u, vieV ve herhangi a,bEK için = = â

+b<

T (u), v2 > 305

= <11,T * (V İ ) >



dır. Bu eşitlik her ucV için do ğru oldu ğundan T*(av i + bv2 )

aT * (v ı ) bT * (v2) dır ve dolayısiyle T*lineerdir. Al ıştırma 15 nedeniyle {ei } bazına göre T ve T* ı gösteren A =(ati) ve B =(bjj) matrisleri alj=- ve bli = ile veriliyor. Buradan bjj = = = dır. Böylece B =A*dır. Eğer baz ortonormal de ğilse T ve T*ı gösteren matrisler aras ında hiç bir yahu ilişki yoktur. Bu durum ortonormal bazların önemli bir özeliğidir. Bir V iç çarpım uzaymda her u,vEV için oluyorsa V üzerinde bir T lineer operatörüne bir T*adjoint operatörüne sahiptir denir. V sonlu boyutlu ise her T operatörü bir adjointe sahiptir. V sonlu boyutlu değilse 6.9.3 teoremi geçerli de ğildir.

ÖRNEK. T, C 3 üzerinde T (x,y,z) (2x+iy,y–Siz, x+ (1–iy)+3z) ile tanımlanan lineer operatör olsun. T nin T* adjoint operatöriinü bulalım C 3 ün B = { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) } do ğal bazma göre T operatörünün matris gösterimi 2

i

0 1 —5i) 1–i 3

[T : B] = (O 1

şeklindedir. Tabii baz ın ortonormal oldu ğuna ilgi çekilmelidir. Teorem 6.9.3 nedeniyle B baz ına göre T* ın matris gösterimi [T:B ] matrisinin eşlenik transpozesidir:

2

0

[T*: B ] O

5i

1 1-bi

3)

Buradan T*(x,y,z) = (2x+z, –ix+y+ (1±i) z, 5iy+3z) şeklindedir. V üzerinde T ve T*operatörleri = ili ş kisini sağlar. Gerçekten u=(u j,u2,u3) E C 3, v-=(v j , v2, v3) e C 3 oymak üzere 306

2 i T (u) = (O 1 1 1—i

O ( u i) —5i) u2 = 3 u,

2u 1 + iu2 u2- 5iu 3

u2+ 3u 3

1+

ve < T (u), v> = (2u 1 + iu2 ) v i + (u2-5iu 3) v2 + [ui + (1—i) u 2 +3u3 ]v 3 ır. Öte yandan d 2 0 T*(v) --= ( (—i 1 O 5i

1 1+i) 3

( 2v 1 + v 3

(v i)

v2 v3

= -iVı + v2+ (1+i) v3) 5iv2+ 3v3

ve = u i (2v i + v3 ) + u2 [—iv 1 + v2 + (1+i) v3 ]

u3(5iv2+ 3v3)

u i(2v i + v3 ) + u2 [ivi + v-2 + (1—i) v3 ] + u3 (-5iv2 + 3; 3 ) = (211 1 + iu2) v i + (u2-5iu 3)

• [u i +(1—i)u2 +3u3 ]v 3

olduğ undan = oldu ğu gerçeklenir. Adjoint operatörü önemli özeliklere sahiptir. S ve T, V üzerinde lineer operatörler ve keK. olsun. Bu durumda ( i) (S+T)* = S" T*

(iii) (ST)* = T*S*

(ii) (kT)* -= kT*

(iv) (T*)*--- T

geçerlidir. V üzerinde bir T lineer operatörü kendi T*adjointine e şit ise yani T* = T ise, T operatörüne self-adjoint operatör denir. Bu durumda her u, veV için = d ır. Bir self-adjoint T operatörü, K cismi gerçel ise simetrik, K cismi karmaşık ise Hermitiyen operatörü adını ahr. T* -= — T ise T lineer operatörü, ters adjoint operatör ve temel cismin gerçel ya da karma şık olmasına göre de ters simetrik ya da ters Hermitiyen operatör ad ını alır. T, sonlu boyutlu bir V iç çarp ım uzayı üzerinde bir lineer operatör olmak üzere T* = T -1 ya da eşdeğer olarak TT* = T*T=-I ise T, temel cismin gerçel ya da karma şık olmasına göre ortogonal ya da birimli operatör adını alır. Bu operatörler, a şağıdaki gibi bir diğer biçimde ayırdedilebilirler. Gerçekten T üzerindeki a şağıdaki ş artlar e şde ğerdir: ,

( i) T* = T-1 yani TT*=--- T*T =I dır. 307

(ii) T, iç çarp ımları aynen korur, yani her v, wEV için = dır. (üi) T, uzunluklar ı aynen korur, yani her v EV için T (v) d ı r.

ÖRNEKLER 1. T: R3 -> R3 operatörü, z ekseni etraf ı nda her vektörü belli bir 0 açısı kadar döndüren lineer operatör olsun:

Ş ekil 6.9.1 T (x,y,z)

(xcos0 - ysin0, xsin0

ycos, z)

Bu operatör, T altmda uzunluklar ı (orijinden olan uzaklıkları) aynen korur. Diğer şartlar da sa ğlanır. Böylece T bir ortogonal operatördür. 2. V, 1 2 uzayı (Hilbert uzayı) olsun. T:V -› V operatörü, T (a i ,a2,...) =-- (0,a i ,a2,...) ile tanımlanan lineer operatör olsun. T operatörü iç çarpımları ve uzunlukları aynen korur. Ancak örne ğin (1,0,0,...), T nin görüntü cümlesinde bulunmad ığından T, üzerine de ğildir ve dolayısiyle tersine çevrilemez. Ohalde yukardaki özeliklerin e ş değerliği, sonsuz boyutlu uzaylerda geçerli de ğildir. Bir iç çarpım uzayından bir di ğer iç çarp ım uzayına bir şekil benzerliği, bir iç çarp ım uzayının üç temel özeli ği olan vektör toplam ı, skaler ile çarp ım ve iç çarp ımları koruyan bire bir ve üzerine dönü şümdür. Böylece yukardaki dönü şümler (ortogonal ve birimli) keza V nin 308

kendi içine şekil benzerlikleri olarak ay ırdedilebilirler. Böyle bir T dönüşümü, !IT (v) - T (w) II = IIT (v-w) II = ilv-w II nedeniyle de uzunluklar ı korur. Bu yüzden T ye bir izometri (isometry) denir. Karmaşık elemanh bir A matrisinin. (bir ortonormal baza göre) bir birimli operatör göstermesi, A* = A -1 olması ile eş değerlidir. Öte yandan K cismi gerçel ise A* = AT d ır. Buradan gerçel elemanh bir A matrisinin (bir ortonormal baza göre) bir ortogonal T operatörü göstermesi, AT = A-1 ile eş değerlidir. A* = A-1 ya da eş değer olarak AA* = A*A -=I özeli ğini sağlayan karmaşık elemanlı bir A matrisi birimli matris ve AT = A -1 ya da eşdeğer olarak AAT = ATA =I özeli ğini sağlayan gerçel elemanh bir A matrisi de ortogonal matris adını alır. Bir A matrisi için a ş ağıdaki şartlar eşdeğerdir: (i) A birimli (ya da ortogonal) d ır. ii) A nın satırları bir ortonormal cümle olu şturur. (iü) A nin kolonları bir ortonormal cümle olu şturur.

ALI ŞTIRMALAR 1. y ı : R2--

ve 92 : R2-->