Líneas De Influencia: Cuadernos De La Universidad Nacional Del Comahue

CUADERNOS DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE

LÍNEAS DE INFLUENCIA

Rossana Claudia JACA

CÁTEDRA: ESTABILIDAD III TEORÍA DE LAS ESTRUCTURAS

DEPARTAMENTO DE CONSTRUCCIONES FACULTAD DE INGENIERÍA SERIE Nº

JULIO 2009

Estabilidad III

Líneas de Influencia

ÍNDICE

1 CINEMÁTICA DE CHAPAS ............................................ ................................................................... .............................................. ............................ ..... 2 1.1 Rotación infinitésima de una chapa rígida en el plano .............................. ................................................... ..................... 2 1.2 Descomposición de desplazamientos desplazamient os debidos a una rotación ........................................ 3 1.3 Polos en sistemas de un grado de libertad .............................................. ..................................................................... ......................... 3 2 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES ............................................ ................................................................... ............................ ..... 7 2.1 Desplazamiento virtual ............................................ ................................................................... .............................................. ................................ ......... 7 2.2 Principio de trabajos virtuales ............................................ ................................................................... ............................................ ..................... 8 2.3 Aplicación del Principio del Trabajos Virtuales ........................................... ............................................................ ................. 9 3 LINEAS DE INFLUENCIA INFLUENCIA ........................................... .................................................................. .............................................. .............................. ....... 13 3.1 Concepto y Definición ............................................. .................................................................... .............................................. .............................. ....... 13 4 LINEAS DE INFLUENCIA INFLUENCIA EN ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS ISOSTÁTICAS .................................. 14 4.1 Aplicación de las líneas de influencia ............................................ ................................................................... .............................. ....... 17 4.2 Líneas de influencia de cargas en cualquier dirección o transmitidas indirectamente ............................................ ................................................................... .............................................. .......................................... ................... 18 4.3 Líneas de influencia de Esfuerzo de Corte ............................................. ................................................................... ...................... 19 4.4 Líneas de influencia de Esfuerzo Normal .............................................. .................................................................... ...................... 20 4.5 Líneas de influencia de reacciones de apoyo ............................................ ............................................................... ................... 21 5 LÍNEAS DE INFLUENCIA DE BARRAS DE RETICULADOS RETICULADOS ISOSTÁTICOS ISOSTÁTICOS ........... 21 6 LÍNEAS DE INFLUENCIA INFLUENCIA DE ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS HIPERESTÁTICAS ........................... ........................... 25 6.1 Líneas Líneas de influencia por aplicación del Teorema de Reciprocidad ............................. ............................. 25 6.2 Líneas de influencia de efectos estáticos.................................................... estáticos....................................................................... ................... 26 6.3 Líneas Líneas de influencia de magnitudes cinemáticas ........................................... .......................................................... ............... 29 6.4 Métodos computacionales .............................................. ..................................................................... .............................................. ....................... 31 6.5 Usos de las líneas de influencia.............................................................. influencia..................................................................................... ....................... 32 7 BIBLIOGRAFÍA ............................................. .................................................................... .............................................. .............................................. ....................... 36

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1 CINEMÁTICA DE CHAPAS 1.1 Rotación infinitésima de una chapa rígida en el plano Sea la chapa rígida S mostrada en la Figura 1, ubicada en el plano xy. Si S experimenta una rotación en su plano alrededor de punto O pasando a la posición S´, entonces el segmento OA gira un ángulo θ que caracteriza la intensidad de la rotación de la chapa con una distancia OA fija por ser la chapa rígida. El punto A describe una trayectoria circular con centro en O pasando a la posición A´ y experimentando un desplazamiento AA´. Considerando una rotación θ infinitamente pequeña, se puede establecer la igualdad entre la cuerda AA´, el arco AA´ y la tangente AA´´. Debido a esa igualdad es posible aproximar el desplazamiento AA´ experimentado por el punto A mediante el vector AA´´ medido sobre la tangente en A y que resulta perpendicular a OA con una intensidad:

δA = A A′′ = OA * tgθ = OA * θ

(1) x

O

θ

S

θ << 1

A

δA A´ S´

A´´

y

Figura 1: Rotación de chapa rígida. De esta manera, considerando la teoría de pequeñas deformaciones específicas y pequeños giros, es posible asumir que el desplazamiento de un punto cualquiera de una chapa rígida es perpendicular al radio de giro y con una intensidad proporcional al mismo, como se muestra en la Figura 2(a) donde O es el centro de rotación y A un punto que se puede mover según una perpendicular al segmento OA. O bien, si se conoce la dirección de desplazamiento de dos puntos A y B como en la Figura 2 (b), entonces donde se cortan las perpendiculares a ambas direcciones se encuentra el centro de rotación O ya que éste debe estar sobre una perpendicular a la dirección de desplazamiento de los puntos. El centro de rotación o polo puede estar dentro o fuera de la chapa. A

S

A

A B

B

O

O

O

(a)

(b) Figura 2: Centro de rotación.

Resumiendo, en las rotaciones a realizar en el estudio cinemático de chapas rígidas los desplazamientos de los diferentes puntos de las chapas rígidas son perpendiculares a la recta que une el punto considerado con el centro de rotación o polo con una intensidad proporcional a la

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distancia entre ambos puntos y al ángulo de rotación a través de la expresión (1). Los ángulos se consideran positivos en el sentido de rotación de las agujas del reloj.

1.2 Descomposición de desplazamientos debidos a una rotación Considerando una chapa rígida que experimenta una rotación θ alrededor del punto O, un punto cualquiera A presenta un desplazamiento δA que pude ser descompuesto en sus componentes horizontal ξ y vertical η representados por las rectas 1´´ y 1´, respectivamente. O´ y O´´ son las proyecciones sobre los ejes de representación del centro de rotación con valor de desplazamiento nulo, en esos puntos las rectas 1´ y 1´´ cortan el eje de referencia, como se observa en la Figura 3. Representado ξA y ηA en la proyección del punto A sobre cada eje de referencia y uniéndolos con O´ y O´´ se pueden graficar las rectas 1´ y 1´´. En la representación de las componentes de desplazamiento se considera un signo positivo si coinciden con los semiejes positivos de x e y. Las rectas que representan los desplazamientos horizontales y verticales de todos los puntos de la chapa (1ý 1´´) son perpendiculares entre sí de manera que se puede relacionar las escalas de representación de la siguiente manera: a b = (2) L h x

h

θ

O

O´´

θ

1´´

A

δA y

b +

ξA

ξ 1´

O´

θ

+

ηA

a

1´⊥1´´

L

Figura 3: Representación de componentes de desplazamiento, para un giro arbitrario (θ).

1.3 Polos en sistemas de un grado de libertad La Figura 4 (a) y (b) muestra chapas que presentan un grado de libertad, en el caso de la Figura 4 (a) la chapa presenta un apoyo doble en el punto A que permite imponer rotaciones alrededor de ese punto y por esa razón el punto A es el centro instantáneo de rotación o polo O de la chapa. La Figura 4 (b) tiene dos apoyos móviles en los puntos A y B que permiten desplazamientos en una dirección, sobre una perpendicular a esas direcciones en cada punto se ubica el centro instantáneo de rotación o polo O de la chapa. De manera que trazando las rectas perpendiculares, el polo se encuentra en el punto de intersección de ambas.

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A A=O

O

δA

B

polo

(a)

polo

δB

(b) Figura 4: Determinación de polos.

Si el sistema estudiado está compuesto por una cadena de dos chapas con un grado de libertad como se muestra en la Figura 5, para poder poder representar los desplazamientos horizontales y verticales de todos los puntos de la chapa es necesario determinar el polo correspondiente a cada una de ellas. La chapa S1 tiene un apoyo doble en C por lo que sólo puede rotar alrededor de ese punto y entonces el polo de la chapa S1 denominado O1 coincide con el punto C. El punto O1 tiene desplazamiento nulo en dirección horizontal y vertical con lo que ya se conoce un punto de las rectas 1´ y 1 ´´ que representan las componentes horizontal y vertical de los desplazamientos de la chapa S1. O1´ y O1´´ son las proyecciones del polo de la chapa S1 en los diagramas correspondientes. Al imponer un giro θ1 a la chapa S1 en sentido horario se producen desplazamientos verticales (η) y horizontales (ξ) positivos que son representados por las recta 1ý 1´´ respectivamente. O

O ´´

2

2

θ2

A

ξ

1-2

δA1-2

A S

ξA

S

1

1´´

A1-2

ξ

B

2

B

2´´

θ1 C=O

O1´´

1

D O´ 1

η

D

ηA1-2

A

η

B

O ´ (proyección de O ) 2

θ2

θ1

1´

δ

θ

2

2´ 1-2

Figura 5: Determinación de componentes de desplazamiento horizontal y vertical en una cadena de dos chapas con un grado de libertad. La articulación A1-2 entre las chapas S1 y S 2 pertenece simultáneamente a ambas chapas, por lo que ya se conocen los desplazamientos horizontal y vertical de un punto de la chapa S2 (ηA1-2 y ξ A12). El desplazamiento δA1-2 es perpendicular a la recta O1A1-2, además el punto D puede tener un desplazamiento δD en dirección del plano de deslizamiento con lo que donde se cortan las rectas perpendiculares a cada uno de estos desplazamientos se encuentra el polo O2 de la chapa S2 como se muestra en la Figura 4(b). Ese punto tiene componentes nulas de desplazamiento horizontal y 4

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vertical y su representación corresponde a los puntos O2ý O2 ´´, de esta manera uniendo esos puntos con las componentes de desplazamientos de A1-2 se encuentran las rectas 2ý 2´´ que representan los desplazamientos vertical y horizontal de la chapa S2. A su vez se verifica que la recta 1és perpendicular a 1´´ y que 2és perpendicular a 2´´. Es posible establecer la siguiente regla: “Los polos absolutos O1 y O 2 de dos chapas adyacentes se encuentran alineados con la articulación intermedia A1-2”. Recordar que la articulación intermedia A1-2 entre dos chapas de una cadena cinemática es el punto alrededor del cual gira una de las chapas cuando la otra está fija. La regla anteriormente mencionada es general para cualquier cadena de un grado de libertad, independientemente de la cantidad de chapas. El caso mostrado en la Figura 6 es un caso particular del presentado anteriormente ya las chapas I, III y IV están articuladas entre sí y se comportan como una chapa rígida y por lo tanto el caso se reduce al analizado en la Figura 5. III I

IV

O 2´

η1-2

1´

O2

II

O1 O 1´

A1-2

2´

Figura 6: Determinación de la componente de desplazamiento vertical en una cadena con un grado de libertad. La Figura 7 muestra la determinación de los polos de una cadena de tres chapas donde conocidos los polos de las chapas S1 y S3 es posible determinar el polo de la chapa S2. Uniendo O1 con A1-2 se obtiene una recta sobre la que también debe estar el polo O2, además también el polo de S2 debe estar alineado con O3 y con la articulación relativa entre las chapas S2 y S3 (A2-3). Por lo tanto, resulta que el polo O2 se encuentra en la intersección de ambas rectas. O2 A1-2 S2 O1

S1

A2-3

S3 O3

Figura 7: Determinación de polos en una cadena de tres chapas. Las figuras 8 y 9 muestran cadenas de cuatro chapas pero que pueden ser analizadas como una de dos chapas con una articulación relativa ficticia entre ambas. En los dos casos se trata de una cadena formada por las chapas S1 y S 2 unidas por las bielas S3 y S 4, el polo O1 de la chapa S1 está ubicado en el apoyo doble y el polo de la chapa S2 sobre una recta perpendicular al apoyo simple. En la Figura 8, la chapa S1 está unida a la S3 en la articulación A1-3 y a la S4 en la articulación A1-4. Si S1 está fija, S3 y S4 pueden girar alrededor de A1-3 y A1-4 respectivamente. Cualquier punto de esas chapas se puede mover en dirección perpendicular del eje, en particular A3-2 y A4-2, por esta 5

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razón donde se cortan los ejes de esas bielas se encuentra la articulación relativa entre S1 y S2 (A1-2). El polo O2 se encuentra en la intersección de la recta perpendicular al apoyo simple y la recta que une O1 con A1-2. Al dar un giro horario en la chapa S1 se pueden representar los desplazamientos verticales de todas las chapas, O1´ es la proyección del polo O1 con desplazamiento nulo y 1´ es la recta que representa los desplazamientos verticales de la chapa S1. De la recta 2´, que representa los desplazamientos verticales de la chapa S2, se conoce el desplazamiento de A1-2 que pertenece simultáneamente a S1 y S2 y además O2´ que es la proyección de O2 que tiene desplazamiento vertical nulo. Uniendo ambos puntos se obtiene 2´ que se extiende entre los tangentes verticales correspondientes a los extremos de S2, uniendo las proyecciones de A1-3 y A 3-2 se encuentra 3´ que representa los desplazamientos verticales de S3 y entre A1-4 y A2-4 se traza 4´ correspondiente a S4. A3-4

A1-3

III A3-2

O2 A1-2

IV

A1-4 I

A4-2

O1

II

O 2´

O1´ 1´ 3´

2´

4´

Figura 8: Determinación de polos y trazado de desplazamientos verticales. III A2-3

A1-3 A1-4

IV

I

II

O1 4´

O1´ 1´

A1-2 → (Las chapas se desplazan)

A2-4 O2

O 2´

1´ 2´

2´

3´

Figura 9: Determinación de polos y trazado de desplazamientos verticales, (Articulación relativa impropia). 6

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La Figura 9 muestra un caso particular del anterior donde las bielas son paralelas entre sí, en este caso la articulación ficticia A1-2 está en el punto impropio y las chapas S1 y S2 tienen una traslación relativa. Las rectas que representan los desplazamientos verticales de ambas chapas son paralelas entre sí. Es decir que la recta 2´ debe pasar por O2´ que tiene desplazamiento vertical nulo y ser paralela a 1´.

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PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES

2.1 Desplazamiento virtual Se entiende por desplazamiento virtual de un sistema a todo desplazamiento infinitésimo compatible con las condiciones de vínculo. El sistema mostrado en la Figura 10 (a) está formado por una chapa S con un apoyo doble en O en el cual el único desplazamiento posible es una rotación alrededor de O. De esta manera toda rotación infinitésima alrededor de O es un desplazamiento virtual. En la Figura 10 (b) se muestra un sistema formado por una chapa S que tiene un apoyo simple en O, con dos grados de libertad: una rotación alrededor de O y además la posibilidad de trasladarse en una dirección paralela al plano de rodamiento del apoyo móvil. De esta manera en el sistema pueden imponerse dos desplazamientos virtuales (una rotación y una traslación infinitésimas). Una chapa en el plano admite tantos desplazamientos virtuales como grados de libertad dispone en función de sus condiciones de vínculo. Los sistemas que se estudian a continuación son sistemas rígidos de un grado de libertad. S

S S´

O

S´

O

S´´

O´

(a) (b) Figura 10: Desplazamientos virtuales: (a) Sistema de un grado de libertad, (b) Sistema con dos grados de libertad. En los sistemas vinculados, las reacciones de vínculo son fuerzas que reemplazan a los vínculos y no coexisten con ellos. De esta manera es posible ponerlas en evidencia quitando el apoyo y reemplazarlo por la fuerza que el mismo ejerce, como se muestra en la Figura 11 (a) donde se elimina el apoyo móvil existente en el punto B y se reemplaza por su reacción RB. Se obtiene un sistema equivalente pero de un grado de libertad en el cual se puede imponer, como un desplazamiento virtual, una rotación infinitésima alrededor del punto A que resulta ser el polo de la chapa considerada. P A

P A

B

RB

(a) S1 M A

P

(1 G:L)

P

S2 M A

B

T

T

(1 G:L) B

(b) Figura 11: Sistemas vinculados equivalentes. 7

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La Figura 11 (b) muestra un sistema de dos chapas S1 y S 2 unidas por la biela MN que resulta indeformable y estáticamente sustentado. Bajo la acción de la carga P se genera un esfuerzo de tracción T en la biela que es la interacción entre las chapas S1 y S 2 a través de la barra MN. Si se considera cortada la biela MN, para restablecer el equilibrio se debe incluir un par de fuerzas iguales y de sentido contrario (T) que representan el esfuerzo interno de tracción existente en la barra MN. Nuevamente se obtiene un sistema equivalente pero con un grado de libertad en el cual se puede imponer un desplazamiento virtual. El sistema resulta similar al mostrado en la Figura 5 donde se puede imponer una rotación virtual infinitésima a la chapa S1 determinando los polos de cada chapa.

2.2 Principio de trabajos virtuales Se entiende por trabajo virtual de un conjunto de fuerzas que actúan sobre un sistema determinado, al trabajo que dichas fuerzas producen en un desplazamiento virtual. El principio de trabajos virtuales se define de la siguiente manera: “Dado un sistema material constituido por una o más chapas rígidas sujeto a vínculos determinados y sometido a un conjunto de fuerzas, es condición necesaria y suficiente de equilibrio del mismo que la suma del trabajo desarrollado por las fuerzas durante un desplazamiento virtual cualquiera experimentado por el sistema a partir del una posición dada, sea nula”. Este principio como toda ley física no puede ser demostrado, solamente es posible su comprobación experimental. En la Figura 12 se muestra su aplicación para un cilindro bajo la acción de su propio peso P. En el caso (a) los desplazamientos posibles son paralelos a la superficie de apoyo hacia un lado o el otro, como los desplazamientos virtuales son perpendiculares a la fuerza actuante el trabajo virtual total es nulo y el cuerpo está en equilibrio. En el caso mostrado en (b), la proyección de P paralela al plano de deslizamiento produce con δ un trabajo positivo y en este caso el cuerpo no está en equilibrio dado que ese es un desplazamiento posible. G

δ

δ

δ

G δ P

P (a) (b) Figura 12: Aplicación del Principio de trabajos virtuales. El principio de trabajos virtuales también se puede aplicar a un cuerpo rígido libre. El cuerpo mostrado en la Figura 13 está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas mostradas en la figura. Al darle un desplazamiento cualquiera con una componente horizontal de 1 m y una componente vertical de 2 m el trabajo total producido por todas las fuerzas es nulo, como se muestra en la ecuación (3). A

3t

6t

4.8t

2

2

B 8

A´

3t 1.2t B´

1

Figura 13 8

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W = −4.8 * 2 − 1.2 * 2 + 6 * 2 + 3 *1 − 3 *1 = 0

(3)

Una aplicación del principio a un cuerpo con un grado de libertad se muestra en la Figura 14 y mediante la misma se puede determinar si el sistema planteado está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas aplicadas. Dando una rotación virtual al sistema, ésta puede ser tan pequeña como se quiera tomando un valor de G lo suficientemente grande, por ejemplo G= 101000, de esta manera al ser infinitésima el arco se confunde con la cuerda. La rotación puede ser planteada como la relación entre el arco y el radio. La evaluación del trabajo total en ese movimiento virtual resulta nula como se expresa en (4) lo que permite comprobar que el cuerpo está en equilibrio. Este resultado se obtiene para cualquier valor de G, ya que el mismo aparece en ambos términos de la ecuación de trabajo. 1m 1m 1 =0 W = 3t * − 30tm * (4) G G 10m 10m 3t 30tm

θ

1/G

Figura 14

2.3 Aplicación del Principio del Trabajos Virtuales Considerando la chapa mostrada en la Figura 15, la chapa está isostáticamente sustentada y, bajo la acción de las cargas Pi, el sistema se encuentra en equilibrio. Si se elimina el apoyo móvil en el punto B el sistema adquiere un grado de libertad, pero si se agrega la reacción RB que dicho vínculo ejerce sobre la chapa entonces el sistema nuevamente está en equilibrio. Este procedimiento de quitar el vínculo y colocar en su lugar la reacción se denomina “poner de manifiesto una incógnita determinada”, este concepto se puede extender a reacciones de vínculo externo de cualquier tipo o esfuerzos internos como momentos flectores, esfuerzo de corte o esfuerzo normal. Como el sistema equivalente con RB también está en equilibrio, de acuerdo con el principio de trabajos virtuales el trabajo total desarrollado por el conjunto de fuerzas actuantes, Pi y R B, debe ser nulo. Este planteo permite encontrar el valor de RB como se muestra en la ecuación (5), donde ai y b son las componentes de desplazamiento de los puntos de aplicación de las fuerzas Pi y RB respectivamente producidos al dar una rotación virtual a la chapa considerada. Pi

Pi B

B RB

A

A=O

Figura 15: Aplicación de trabajos virtuales, cálculo de RB. 9

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Líneas de Influencia n

W = ∑ Pi * a i + R B * b = 0

(5)

i =1

En el caso particular de la viga sometida a la acción de las cargas P1 y P2, mostrada en la Figura 16, es posible calcular la reacción en el apoyo B mediante la metodología presentada anteriormente. Primero es necesario poner de manifiesto la reacción considerada para lo cual se quita el apoyo y se reemplaza por RB. En estas condiciones el sistema está en equilibrio y posee un grado de libertad, de manera que se puede imponer un giro (θ) alrededor del polo dado por el punto A y representar los desplazamientos verticales (η) obtenidos para los diferentes puntos de la chapa rígida. Como el sistema está en equilibrio el trabajo total en ese movimiento virtual es nulo y se puede hallar RB: P2

P1

A L1

L2

L

P1

B

P2

B

A=O

RB

O´

θ η2

η1

η

Figura 16 W = P1 *

+ P2 * 2 − R B * = 0 (6) P *η + P *η → RB = 1 1 2 2 η La rotación planteada es arbitraria y se introducen los signos en la ecuación de trabajo, considerando un trabajo positivo si la fuerza y la componente de desplazamiento tienen el mismo sentido. Mediante esta metodología también es posible hallar esfuerzos internos, como puede ser momento flector. Como se expresó anteriormente, es necesario poner en evidencia dicho esfuerzo confiriendo al sistema un grado de libertad para que los diferentes puntos puedan desplazarse en un movimiento virtual. En la viga simplemente apoyada mostrada en la Figura 17, para hallar el momento flector en el punto i se debe incluir en dicho punto un mecanismo que no permita la transferencia de momentos a través de dicha sección pero si transmita el esfuerzo normal y el de corte. Este mecanismo se logra incorporando una articulación en la sección i y colocando a ambos lados el momento flector que realmente actúa en esa sección. 1

10t 2

2

M ji

M jd

S2

S1 1/2

2 10t

1

2/3 1/6 1/2

Figura 17

10

2

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Al introducir la articulación el sistema se transforma en una cadena de dos chapas S1 y S2 con tres restricciones de vínculo, por lo que la cadena de chapas posee un grado de libertad. Imponiendo un giro θ1 en la chapa S1 es posible representar los desplazamientos verticales producidos en los diferentes puntos del sistema. Al plantear el trabajo total, se debe incluir el trabajo de la fuerza de 10t y el de los pares que actúan a la izquierda (M ji) y a la derecha (M jd) de la articulación respectivamente, con los giros correspondientes. Ambos pares son iguales, por lo tanto se puede obtener su valor a partir de la expresión dada en (7): W = 10 * 2 / 3 + M ji *1 / 2 + M j d *1 / 6 = 10 * 2 / 3 + M jd * (1 / 2 + 1 / 6) = 0 10 * 2 / 3 = − 10 tm M j = − (1 / 2 + 1 / 6)

→

(7)

El signo indica que el momento flector en el punto j es contrario al planteado. En estos casos se puede expresar siempre el trabajo total de ambos pares como el trabajo del par que actúa a la derecha por el giro relativo entre ambas chapas, como se muestra en la Figura 18. Este planteo se puede pensar de la siguiente manera: si ambas chapas S1 y S2 tienen un giro θ1 entonces los pares Mi y Md producen un trabajo nulo en ese movimiento virtual; y si posteriormente se introduce en S2 un giro relativo θr=θ1+θ2 para que se cumplan las condiciones de vínculo externo, entonces en ese movimiento el trabajo es el producto del momento que actúa en la cara derecha por ese giro relativo. De esta manera el trabajo total es efectivamente el producto de Md por el giro relativo entre ambas chapas θr. Mi

Md

+

Md

θr W=Md*θr

W=0

Mi

Md

θ1

θ2

W=Md*θr

θr

θr=θ1+θ2

Figura 18: Trabajo de los pares en una rotación relativa. Es decir que, como en el caso mostrado en la Figura 19, el trabajo total queda expresado por: M

M P

η θr

a

b

Figura 19: Trabajo virtual total del sistema.

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a (8) b Al aplicarlo en un caso determinado es posible considerar un factor de escala G tan grande como se quiera de manera que resulten desplazamientos virtuales muy pequeños. Ese factor de escala afecta tanto a los desplazamientos como a los giros y como el trabajo virtual total es nulo el resultado es el mismo cualquiera sea ese valor, es decir que se puede llegar a plantear, si fuera necesario, un giro unitario que la respuesta es la misma, esto es mostrado en la Figura 20. W = P * η + M * θr = 0

θr =

3.5t

i 4

5

5 i

con

Mi

2/G

L

1

θr

(10/6)/G

θr

L

θr=L/L =1

5/G

Figura 20 W = P * η + M * θr = 3.5 *

→

10 / 6 0.833 − Mi * =0 G G

con

θr =

5 / G 0.833 = 6 G

(8)

M i = 7tm

Otra posible aplicación es en la evaluación del esfuerzo en una barra de un reticulado. En este caso para poner de manifiesto la incógnita se corta la barra y se coloca en cada extremo el esfuerzo T que realmente actúa en esa sección. De esta manera el sistema se transforma en un mecanismo con un grado de libertad formado por las chapas S1 y S2 articuladas en C. Al dar un desplazamiento virtual al sistema compatible con los vínculos se pueden representar los desplazamientos verticales η que corresponden a los diferentes puntos de las chapas, como se muestra en la Figura 21. La expresión del trabajo virtual total es: con

W = P1 * 1 + P2 * 2 + P3 * 3 + T * ∆ M− N = 0 η1 = θ1 * L / 2 ; η 2 = θ1 * 3 / 2L η3 = θ 2 * L / 2 ; η1−2 = θ1 * 2L = θ 2 * L → θ 2 = 2 θ1 y η3 = θ1L

(9)

donde ∆M-N es el desplazamiento relativo entre las caras del corte que resulta ser un acercamiento para el movimiento virtual impuesto. Este desplazamiento relativo se puede expresar en función del giro relativo y del radio de giro (t), resultando el trabajo virtual y el esfuerzo T:

∆ M − N = θ r t = (θ1 + θ 2 ) t = 3 θ1 t W = P1 * θ1L / 2 + P2 * θ1 3 / 2L + P3 * θ1L + T * 3 θ1 t = 0 (P + 3P2 + 2P3 ) T=− 1 → 6t

(10)

donde el signo negativo indica que el esfuerzo es contrario al supuesto, es decir la barra está sometida a compresión.

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P1

P2

P3

A

B L/2

L

L

P1

P2

L MT

T t

S1

P3

N

S2

A≡O1

B≡O2 C≡A1-2

η1

θ1

η2

η1-2 η3

θ2 θr

Figura 21: Aplicación del Principio de Trabajos Virtuales a una barra de reticulado.

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LINEAS DE INFLUENCIA

Las cargas que actúan sobre las estructuras se pueden clasificar como: permanentes, por ejemplo el peso propio; accidentales, que pueden actuar o no pero con una posición definida como puede ser el agua en el interior de un tanque; o móviles como pueden ser las cargas que actúan sobre los puentes. Si una estructura cualquiera está sometida a cargas fijas, se generan reacciones externas y esfuerzos internos (M, Q y N) que se evalúan por diferentes métodos aprendidos hasta ahora. Sin embargo, algunas estructuras como los puentes suelen estar sometidas a cargas móviles en cuyo caso interesa conocer como varía una determinada incógnita estática (es decir el efecto provocado por las cargas) en un determinado punto de la estructura al ir variando la posición de las cargas o bien, el máximo valor alcanzado por dicho efecto estático y la posición de las cargas que le corresponde. Esta cuestión es estudiada por las Líneas de Influencia. Otro aspecto que puede ser analizado a través de las líneas de influencia es la determinación de los valores máximos que puede alcanzar el efecto estático estudiado (M, Q o N) en cada sección. Esto genera diagramas que son conocidos como diagramas envolventes o diagramas de solicitaciones máximas o mínimas y que representan una solución más completa del problema.

3.1 Concepto y Definición Dada la estructura de la Figura 22, se supone sometida a la acción de una carga P concentrada, unitaria y móvil aplicada en un punto j de coordenada genérica x. Esta carga produce en un punto fijo i de coordenada xi, un cierto efecto que puede ser momento flector, esfuerzo de corte o esfuerzo normal, además de reacciones en los apoyos y desplazamientos en i. Este efecto se denomina en forma genérica ei indicando la magnitud de cualquiera de las indicadas anteriormente. Al ir cambiando la posición del punto j donde se considera aplicada la carga P también varia el efecto en i (ei) resultando valores que varían con x, es decir una función de x. Esos valores pueden ser representados en coincidencia con la coordenada x resultando un diagrama que para cada coordenada x indica el valor del efecto en i cuando en coincidencia con la coordenada variable x 13

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actúa una carga unitaria. El diagrama así obtenido es lo que se denomina Línea de Influencia del efecto considerado en el punto i. P=1 x

Mi

i

xi

Figura 22: Estructura sometida a una carga unitaria P de posición variable. La línea de influencia es un diagrama tal que cada ordenada representa la solicitación o efecto estudiado en un determinado punto cuando en coincidencia con dicha ordenada actúa una causa unitaria. Así por ejemplo, el diagrama mostrado en la Figura 23 es la línea de influencia de momento flector en i, y se interpreta leyendo, en la escala dada, el valor a que es el momento flector en i cuando en el punto A actúa una carga P=1. El signo del diagrama indica que el momento en i es positivo, cuando P actúa en el punto A. De igual manera la ordenada b de la línea de influencia representa el valor del momento flector en el punto i cuando en el punto B actúa una fuerza unitaria y el signo indica que el momento es negativo. P=1 i A

B LI Mi

a

+

b

Figura 23: Línea de Influencia de Momento Flector en el punto i.

4

LINEAS DE INFLUENCIA EN ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS

Para la viga simplemente apoyada mostrada en la Figura 22 es posible plantear en forma genérica las reacciones de vínculo y expresar el momento flector en el punto i para una posición variable de la carga unitaria P. La función que expresa el momento flector en i es: x  L (L − x i ) Mi (x) =  L−x  xi  L

si

x ≤ xi

si

x > xi

(11)

y representando ese valor en correspondencia con cada coordenada x se obtiene el diagrama correspondiente a la línea de influencia de M en i, como se muestra en la Figura 24.

14

Estabilidad III


P=1 (L-x)/L

x

Mi

i

x/L

xi L

LI Mi

+ xi (L-xi)/L

Figura 24: Línea de influencia de Momento flector en i. Ésta es una forma de hallar la línea de influencia, pero también se puede obtener mediante la aplicación del Principio de Trabajos Virtuales. Como fue mencionado en el punto 2.3 es posible hallar el momento flector en el punto i por la aplicación del principio de los trabajos virtuales. Para ello es necesario incluir en el punto i un mecanismo para poner de manifiesto el momento flector e imponer un movimiento virtual, de esta manera tanto la carga P como el momento flector en i producen un trabajo virtual que es nulo por estar el sistema en equilibrio. A partir de esa expresión se puede hallar el momento flector en i: W = P j * δ j + M i * θ r = 0

→

Mi =

P j * δ j θr

(12)

donde δ j es el desplazamiento en la dirección de la carga P j. Si en esa expresión P j es unitaria, como se define para la línea de influencia, y además se impone que θr = 1, entonces se obtiene: M i = δ j

para P j = 1 y θ r = 1

(13)

Resultando que la representación de los desplazamientos δ correspondientes a cada punto j de aplicación de la carga P=1 es la línea de influencia, ya que es el momento flector en i cuando en j actúa una carga unitaria, tal como se muestra en la Figura 25. P=1

i

Mi

LI Mi

δ θr = 1

Figura 25: Línea de influencia de Momento flector en i, obtenida por aplicación del principio de trabajos virtuales. Se puede observar que el diagrama obtenido es similar al hallado en la Figura 24, resta indicar el signo y la escala adecuada. La determinación del signo se hace a partir del siguiente análisis, dado que la dirección de la carga P y el desplazamiento son en el mismo sentido (P*δ) es un trabajo positivo y por lo tanto el trabajo (Mi*θr) debe ser negativo para que sea nulo el trabajo total. Como el sentido de θr está definido por el movimiento impuesto, entonces el momento flector debe ser de sentido contrario según lo indicado en la expresión (14):

P * δ + Mi * θr = 0

→

M i debe ser 15

Mi

(14)

Estabilidad III


resultando un momento flector positivo, ya que es el que actúa a la cara derecha del punto i y produce tracción en la fibra inferior. Es decir la línea de influencia es positiva como en la Figura 24. Como se observa en la Figura 26, para que el giro relativo sea unitario es necesario que el segmento BC sea igual a DB que en este caso es (L-x i). En la representación gráfica resultan dos triángulos semejantes, ABC y ADE, de donde se puede obtener el valor de DE a partir de esa semejanza de los triángulos: L DE = → L − xi xi

DE =

L x L − xi i

(15)

que es la misma expresión hallada en el procedimiento anterior y mostrada en la Figura 24. L xi

D

A

+

B

θr L-xi E C L-xi

LI Mi

Figura 26: Determinación de escala adecuada. Este último procedimiento es el que usará para la determinación de las líneas de influencia, como se muestra en el ejemplo de la Figura 27, para hallar la línea de influencia de Momento flector en el punto i (LI Mi). A continuación se indica la metodología paso a paso: 1) Poner de manifiesto Mi colocando una articulación en i. 2) Imponer un giro relativo unitario en i y graficar los desplazamientos (δ). Dada la geometría de la estructura debe ser ∆=6 para que θr=1. 3) Evaluar la escala adecuada y el signo de la línea de influencia, donde por semejanza de 6 x1 6 3 triángulos resulta: = → x 1 = 2.4 y = → x 2 = 1.2 . El análisis del signo es 10 4 2.4 x 2 similar a lo planteado anteriormente cuando P actúa entre O´1 y O´2 y en el resto negativo. i 6

4 i

1) 2)

3 P

Mi

O2`

O1`

θr=1

x1

x2

∆=6

6

3)

2.4

1.2

+

Figura 27 16

LI Mi

Estabilidad III


4.1 Aplicación de las líneas de influencia Como se expresó anteriormente, la línea de influencia indica el valor de la magnitud estudiada (el momento flector en el caso analizado anteriormente) para una posición variable de la carga P unitaria. Por aplicación del principio de superposición resulta que, si en lugar de una carga unitaria actúa una carga P de intensidad cualquiera entonces el valor del efecto estático (ei) en i será P veces la ordenada que corresponde a la línea de influencia, con el signo que le corresponde al diagrama de LI. De esta manera un uso inmediato de la línea de influencia es para hallar el valor del efecto (ei) estudiado en el punto analizado para un sistema fijo de cargas concentradas ubicadas a lo largo de la estructura analizada: n

e i = ∑ P j * δ j

(16)

j=1

Por ejemplo, la línea de influencia de Mi de la Figura 27 permite hallar el momento flector en el punto i para el sistema fijo de cargas como las que actúan sobre la estructura mostrada en la Figura 28: (17) M i =2t *1.2m + 3t * 2.4m − 1.5t * 0.6 =8.7 tm 2t 2

3t 2

1.5t

Mi =?

i

1.5

6

1.5

1.2 +

0.6 2.4

Figura 28: Aplicación de Línea de Influencia para un sistema de cargas fijo. Si en lugar de una carga concentrada actúa una carga distribuida, es posible hallar el efecto integrando de un extremo a otro de la aplicación de la carga resultando: x2

x2

x1

x1

e i = ∫ δ( x ) * q ( x ) * dx = ∫ q ( x ) * dA

(18)

donde dA es el área correspondiente del diagrama de la línea de influencia. Si la carga es la mostrada en la Figura 29(a), para la misma estructura el momento flector en i será: 10 10 * 2.4 M i = ∫ q * δ( x )dx = q * (19) =12 tm para q =1 t / m 2 0 Si la carga distribuida actúa sobre toda la viga como en la Figura 29 (b) entonces resulta: 13

M i = ∫ q * δ( x )dx = q * 0

10 * 2.4 3 *1.2 −q* =10.2 tm para q =1 t / m 2 2

q

q

(a)

(b) Figura 29

17

(20)

Estabilidad III


Se puede observar que en este caso como la zona correspondiente al voladizo presenta una línea de influencia de Mi de signo negativo, la aplicación de una carga distribuida en toda la viga produce un momento flector en i menor que si solamente estuviera aplicada la carga en el tramo entre los apoyos. Éste es otro uso importante de las líneas de influencia, que permite evaluar el máximo momento flector positivo o negativo en el punto estudiado para cargas accidentales, es decir que pueden estar actuando en el tramo o no como las sobrecargas producidas por el uso del espacio. De esta manera, si las cargas actúan solamente en el sector donde la línea de influencia tiene signo positivo se obtiene el esfuerzo máximo positivo en i (Mi=12 tm en este caso); o bien si actúan solamente donde la línea de influencia es negativa se obtiene el esfuerzo máximo negativo en i (Mi= -1t/m*3*1.2/2 m2= - 1.8 tm). Otro uso importante es para cargas móviles que nos permite determinar cuál es el valor del momento máximo positivo o negativo que se produce en el punto i cuando la carga P se desplaza a lo largo de la estructura: M max . + = P * 2.4 tm o M max . − = − P *1.2 tm (20) que corresponde a la carga actuando en la máxima ordenada positiva o negativa de la línea de influencia, como se muestra en la Figura 30. P 2

2

P

i 6

1.5

1.5 1.2

+ 2.4

Figura 30

4.2 Líneas de influencia de cargas en cualquier dirección o transmitidas indirectamente Los casos analizados anteriormente corresponden a cargas gravitatorias y en ellos solamente se analiza la línea de influencia para cargas verticales, donde se consideran los desplazamientos verticales asociados al desplazamiento virtual impuesto al sistema. Pero en general, al dar al sistema un desplazamiento generalizado virtual se generan componentes de desplazamientos verticales y horizontales en cuyo caso se deben considerar las líneas de influencia horizontal y vertical para una fuerza cualquiera actuando sobre la estructura. Sea la viga simplemente apoyada mostrada en la Figura 31 y las líneas de influencia vertical y horizontal correspondiente a un cierto efecto estático ei (LIH y LIV de e i). Las cargas actuantes Pi tienen componentes horizontal y vertical (Hi y Vi) y asociados a sus puntos de aplicación las líneas de influencia horizontal y vertical tienen ordenadas ξi y δi respectivamente. El efecto estático en i producido por las cargas Pi se obtiene afectando cada componente de fuerza por las correspondientes ordenadas sobre la línea de influencia horizontal y vertical respectivamente según la siguiente expresión: n

ei = ∑ Hi * ξi + Vi * δi = H1 * ξ1 − H 2 * ξ 2 + V1 * δ1 − V2 * δ 2 i =1

18

(21)

Estabilidad III

Líneas de Influencia H2 V2

P2

ξ2 H1 P1

V1

-

LIH de ei

i +

ξ1

δ2

δ1 +

LIV de ei

Figura 31: Aplicación de Línea de Influencia horizontal y vertical. En algunas estructuras, como puentes o techos, las cargas sobre la estructura resistente principal se transmiten de manera indirecta mediante viguetas transversales como se indica en la Figura 32. La carga P se expresa por sus componentes P1 y P2 y en este caso, dada la línea de influencia de ei como puede ser el momento flector, el efecto en i para una carga P cualquiera se expresa:

ei = P1 * δ1 + P2 * δ2

(22)

P

L

P1

i

L

P2

L

η2 η1

+

LI Mi

Figura 32: Línea de influencia de cargas aplicadas indirectamente.

4.3 Líneas de influencia de Esfuerzo de Corte Nuevamente es necesario incluir en el punto en estudio un mecanismo que permita imponer en el sistema un desplazamiento virtual en el sentido del esfuerzo considerado. En este caso el mecanismo consiste en incorporar en la sección analizada un par de bielas que permitan realizar un desplazamiento relativo en el sentido del corte, como se muestra en la Figura 33.

Q+

Figura 33: Mecanismo para desplazamiento virtual en sentido del esfuerzo de corte. Para la estructura estudiada anteriormente en la Figura 27, si se desea obtener la línea de influencia de Esfuerzo de Corte en el punto i como primer paso se debe incluir en ese punto el mecanismo mostrado y dar al sistema un desplazamiento relativo ∆r. Representando los desplazamientos verticales del sistema formado por las chapas S1 y S 2, el diagrama así obtenido es la línea de influencia cuando ∆r es unitario. En este caso las rectas que representan los 19

Estabilidad III


desplazamientos verticales de cada chapa son paralelas y eso permite por semejanza de triángulos hallar la escala del diagrama. Para la determinación del signo se procede de manera similar que para el momento flector como se expresó en ecuación (14), en la zona 1 (P*δ) es positivo porque tiene el mismo sentido entonces (Qi*∆r) debe ser negativo, el esfuerzo de corte debe ser contrario al desplazamiento relativo impuesto y ése es un corte positivo:

P * δ + Qi * ∆ r = 0

→

Qi debe ser

i 4

1)

2)

∆r=1

(14)

3

6

S1

Qi

S2 O 2´

O1´ 1´

1´ 2´ 2´

P 1

3)

0.6 +

 1 x   = → x = 0 .4   10 4 

∆r=1

0.4

LI de Qi

+ 0.3

Figura 34: Línea de Influencia de Esfuerzo de Corte en i.

4.4 Líneas de influencia de Esfuerzo Normal Para poner en evidencia el esfuerzo normal y poder dar un desplazamiento virtual compatible con ese esfuerzo se incluye en el punto estudiado el mecanismo mostrado en la Figura 35. El procedimiento para hallar la línea de influencia es el mismo que en los casos anteriores. N+

Figura 35: Mecanismo para desplazamiento virtual en sentido del esfuerzo normal. ∆r=1

i

i

i +

∆r=1

→) LI de Ni (→

Figura 36: Línea de Influencia de Esfuerzo Normal en i.

P *δ + N * ∆r = 0

→

N

N+ 20

(15)

Estabilidad III


En esa estructura solamente aparecen esfuerzos normales para cargas horizontales actuando entre el punto estudiado y el apoyo móvil, el análisis del signo de la línea de influencia se muestra en la ecuación (15).

4.5 Líneas de influencia de reacciones de apoyo Otro de los efectos estáticos cuya línea de influencia puede ser de interés son las reacciones de apoyo. En estos casos la estrategia es quitar la restricción de vínculo estudiada y poner en su lugar la reacción correspondiente, de manera que se pueda imponer en la estructura un movimiento virtual compatible con el vínculo. Para la estructura estudiada en la Figura 27, se plantea hallar la línea de influencia de la reacción vertical en el apoyo doble A, considerando como positivas las reacciones verticales hacia arriba (RAV ↑+). Para ello se reemplaza este apoyo por un apoyo simple que permita desplazamientos verticales y se realiza un desplazamiento vertical virtual unitario. La representación gráfica de los desplazamientos verticales es la línea de influencia de RAv para cargas verticales, dado que δAv=1. El análisis del signo se muestra en la ecuación (16). A 10

3

P

A RAv

0.3

δAv=1

+

LI de RAv

Figura 37: Línea de Influencia de reacción vertical en A. P * δ + R A v * δA v = 0 →

RAv

RAv es positiva

(16)

5 LÍNEAS DE INFLUENCIA DE BARRAS DE RETICULADOS ISOSTÁTICOS En el caso de analizar barras de un reticulado ideal, dado que el único esfuerzo actuante es normal, este esfuerzo se pone de manifiesto cortando la barra y agregando a cada lado del corte el esfuerzo N que sobre ella actúa. La metodología para encontrar la línea de influencia nuevamente es por la aplicación del principio de trabajos virtuales, dando al sistema un movimiento virtual unitario para que el esfuerzo en la barra cortada produzca un trabajo y representando los desplazamientos verticales y horizontales en la escala adecuada correspondiendo a la línea de influencia para cargas verticales u horizontales respectivamente. En las figuras 38 y 39 se muestra la línea de influencia de una barra de cordón superior y en la Figura 40 la correspondiente a una barra de cordón inferior. En ambos casos al cortar la barra analizada el sistema se transforma en una cadena de dos chapas (I y II) articuladas entre sí en A1-2, al dar un movimiento virtual se determinan los polos de cada chapa (O1 y O2) y se representan los desplazamientos verticales correspondientes a cada chapa según lo expresado en el punto 1.3 desarrollado anteriormente. Para que esa representación sea una línea de influencia es necesario que el desplazamiento entre las caras del corte sea unitario. Ese desplazamiento relativo ∆ se puede expresar en función del giro relativo entre ambas chapas y del radio de giro que es la distancia medida en forma perpendicular desde la barra cortada hasta la articulación relativa entre ambas chapas (A1-2): 21

Estabilidad III


∆ = θr * h

(17)

El giro relativo también se puede evaluar en la representación de los desplazamientos verticales como el ángulo entre las rectas que representan el desplazamiento vertical de ambas chapas, de manera que midiendo la distancia correspondiente al radio de giro (h) a partir de la proyección de A1-2 queda determinado el desplazamiento relativo ∆ entre las caras del corte. Posteriormente se establece la escala del gráfico obtenido, tomando como referencia ese ∆ unitario y las distancias en horizontal medidas de la geometría del reticulado.

Figura 38: Línea de Influencia de una barra de cordón superior. ∆=θr*h

∆=1

Figura 39: Aplicación a un reticulado particular.

22

Estabilidad III


Comparando triángulos semejantes en la Figura 39 resulta: 1 x = 2.5 4

→

x = 1.6

1.6 x1 = 10 6

y

→

x1 = 0.96

(18)

Para determinar el signo de la línea de influencia se realiza el siguiente análisis, de manera similar a los casos anteriores, es decir el trabajo (P*δ) es negativo porque la fuerza y el desplazamiento tiene sentidos contrarios entonces el trabajo (N*∆) tiene que ser positivo con lo que resulta que N debe tener igual sentido que ∆ y eso representa un esfuerzo negativo, de compresión:: P*δ + N*∆ = 0

→

N

N es compresión

(19)

es decir, que la barra analizada siempre estará comprimida para cualquier sistema de fuerzas verticales a las que esté sometida la estructura. La Figura 40 muestra la línea de influencia de una barra de cordón inferior y que se obtiene de manera similar a la hallada anteriormente, en este caso la línea de influencia tiene zonas de signo positivo y otras con signo negativo. De esta manera si la carga accidental actúa solamente en la zona en la que la línea es positiva se obtiene la máxima tracción en la barra y si solamente actúa en la zona donde es negativa se produce la máxima compresión, como está indicado en la parte inferior.

Figura 40: Línea de Influencia de una barra de cordón inferior. Al analizar una barra diagonal y plantear el corte de dicha barra, el reticulado se convierte en una cadena cerrada de cuatro chapas donde para imponer un desplazamiento relativo entre las caras del corte en la barra analizada se debe realizar un giro en la chapa I y analizar la ubicación de los polos de las chapas de manera similar a lo realizado en el punto 1.3 (Figura 8). Las chapas III y IV actúan 23

Estabilidad III


como bielas vinculando las chapas I y II, así donde se cortan las rectas que representan ambas chapas se encuentra la articulación relativa ficticia entre las chapas I y II (A1-2). Para establecer la escala es necesario que el desplazamiento relativo (∆) sea unitario y se puede definir en función del giro relativo entre la chapa II y IV como de indica en la Figura 41 con t como radio de giro. También se podría definir en función del giro relativo entre las chapas I y III tomado la distancia medida perpendicularmente a la barra hasta A1-3. III II

IV

Figura 41: Línea de Influencia de una barra de alma.

1´  2´ Figura 42: Línea de Influencia de una barra de alma. 24

Estabilidad III


La Figura 42 muestra un caso particular de línea de influencia que se presenta cuando las chapas III y IV son paralelas entre sí. En este caso la articulación relativa ficticia entre las chapas I y II se encuentra en el punto impropio y se produce una traslación relativa entre las chapas I y II, resultando por lo tanto que las rectas que representan los desplazamientos de estas chapas son paralelas entre sí. Si las cargas actúan en la parte superior la línea de influencia está dada por las rectas 1´, 3´ y 2´ mientras que si las cargas actúan en el cordón inferior la línea de influencia está representada por 1´, 4´ y 2´. La primera alternativa sería propia de una estructura que funciona como soporte de un techo mientras que el segundo caso correspondería a una estructura usada como puente.

6 LÍNEAS DE INFLUENCIA DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS En el caso de estructuras isostáticas se estudiaron las líneas de influencia de esfuerzos internos y reacciones de vínculo mediante el Principio de Trabajos Virtuales, por cuya aplicación se demuestra que el diagrama de desplazamientos verticales u horizontales es igual a la línea de influencia en una cierta escala. En este punto se extiende el concepto de líneas de influencia al caso de estructuras deformables y en general hiperestáticas, tanto para magnitudes estáticas (esfuerzos internos y reacciones) como para magnitudes cinemáticas (giros y desplazamientos). En estos casos también es necesario obtener las deformadas de las estructuras, que en una escala adecuada corresponde a la línea de influencia. Mientras que en estructuras isostáticas las deformadas están compuestas por una serie de tramos de líneas rectas, para estructuras hiperestáticas las deformadas resultan curvas.

6.1 Líneas de influencia por aplicación del Teorema de Reciprocidad Como una aplicación del Principio de Trabajos Virtuales a cuerpos deformables se presenta el Teorema de Reciprocidad o Ley de Betty que se aplica a la obtención de las líneas de influencia de efectos estáticos en estructura hiperestáticas. La ley de Betty expresa: “El trabajo producido por una causa Ci con los efectos generados por otra causa C j, es igual al trabajo que realiza ésta última con los efectos generados por la primera”, y plantea: Ci * e i (C j ) = ± C j * e j (C i )

(20)

donde Ci es la causa actuante en el punto i, ei(C j) es el efecto en el punto i producido por la causa C j o eij, C j es la causa actuante en el punto j y e j(Ci) es el efecto en el punto j producido por la causa Ci o e ji. Las causas y las efectos son compatibles entre sí, y pueden ser estáticos o cinemáticas. Asi por ejemplo, la Figura 43 muestra que si la causa Ci es un par aplicado entonces el efecto en i producido por la causa en j a tener en cuenta es un giro y si la causa en j es una fuerza entonces el efecto en j producido por Ci es un desplazamiento.

Figura 43: Aplicación del teorema de Reciprocidad. Si las causas son unitarias resulta la expresión de la Ley de Maxwell expresada en la ecuación (21), donde se indica las causas y efectos que deben ser compatibles:

25

Estabilidad III


e i (C j ) = e j (C i )

(21)

Si se asume que i es la posición fija del punto en el cual se busca la línea de influencia de un efecto estático dado y que el subíndice j indica la posición variable de la causa unitaria asociada a la línea de influencia entonces: e ji es el efecto en las diferentes posiciones de j, es decir la elástica o desplazamientos verticales u horizontales, cuando en i actúa una causa Ci y se verifica que si Ci también unitaria entonces e ji es la línea de influencia, ya que concuerda con la definición dada para la línea de influencia. Esta expresión permite efectuar la transformación de un estado de causas de posición variable en un estado de causas de posición fija para la determinación de la línea de influencia. Es decir el problema se reduce a determinar el estado de causa deformante de posición fija y el efecto debido a ésta que puede ser interpretado como la línea de influencia buscada. Una ventaja que presenta esta metodología es que permite hallar el diagrama para una causa de posición variable resolviendo la estructura una única vez, esto conduce a una simplificación práctica tanto para la resolución manual como computacional. Otra ventaja es que la obtención del diagrama de un efecto debido a una causa fija resulta más sencillo e intuitivo, permitiendo el trazado a mano alzada de las líneas de influencia que resulta un aspecto muy interesante para un análisis cualitativo.

6.2 Líneas de influencia de efectos estáticos Como se planteó para las estructuras isostáticas, también en estos casos es necesario incluir en el punto en estudio un mecanismo que ponga de manifiesto el efecto estático estudiado. Posteriormente se debe imponer en la estructura (que tiene un grado de libertad adicional) un movimiento virtual asociado al efecto estático estudiado. A través de la expresión (21) se establece el tipo de movimiento impuesto y los efectos a evaluar. Así por ejemplo, si se busca la línea de influencia de momento flector en i para cargas verticales entonces: C i * e i (C j ) = ± C j * e j (C i ) (22) Ci

θr=1

1 * M i (↓ j) = 1 * δ j (θ r = 1)

C j

i

P j=1

La causa de posición fija (Ci) es el giro relativo unitario impuesto en el punto i que está asociado al efecto en i que es el Mi estudiado, la causa de posición variable es la carga vertical P unitaria actuando en j y el efecto en j es el desplazamiento vertical en el punto j variable. En definitiva, se impone en i un giro relativo unitario y se evalúa en cada punto el desplazamiento vertical, como se muestra en la Figura 44. P j=1

Mi a

+

δ j

↓ j) LI Mi(↓

θr=1

Figura 44: Línea de influencia de Momento flector en i para cargas verticales en j.

26

Estabilidad III


Si se buscara la línea de influencia de momento flector en i para cargas horizontales, se debe imponer en i un giro relativo unitario y evaluar los desplazamientos horizontales en todos los puntos de la estructura: LI de M i (→

j)

i

(→ j) = ξM j ( θri =1)

(23)

El análisis del signo de la línea de influencia es similar a lo planteado para estructuras isostáticas, en la zona donde está representado el punto j en la Figura 44:

P * δ + Mi * θr = 0

→

M i debe ser

Mi

(24)

que es un momento negativo de acuerdo a la convención adoptada. A continuación se muestran ejemplos de aplicación de los conceptos mencionados:

(a)

(b) Figura 45: Línea de influencia de momento flector en i: (a) para cargas verticales, (b) para cargas horizontales.

(a) (b) Figura 46: Línea de influencia de momento flector en i: (a) para cargas verticales, (b) para cargas horizontales. Para la obtención de líneas de influencia de esfuerzo de corte se debe incluir en el punto estudiado el mecanismo mostrado en la Figura 33 e imponer un desplazamiento relativo unitario en 27

Estabilidad III


el sentido del esfuerzo de corte (∆r=1), ésta es la causa fija en i (Ci) y Qi su efecto asociado, y se debe evaluar como efecto en j las componentes de desplazamiento vertical (δ j) si se busca la línea de influencia para cargas verticales y las componentes de desplazamiento horizontal (ξ j) si se desea la línea de influencia para cargas horizontales: LI de Q i (↓ LI de Q i (→

j) j)

i

(↓ j) = δ jQ(∆ri =1) i

(25)

(→ j) = ξQ j (∆ri =1)

Las figuras 47 y 48 muestran ejemplos de aplicación donde también se incluye el análisis del signo asociado a la línea de influencia y la distribución de cargas que producen el esfuerzo de corte máximo en el punto estudiado.

P*δ+Qi*∆ri=0 Qi Qi + (a) P*δ+Qi*∆ri=0 +

-

Qi Qi -

(b) Figura 47. Línea de influencia de esfuerzo de corte en i: (a) para cargas verticales, (b) para cargas horizontales.

Figura 48. Línea de influencia de esfuerzo de corte en i: (a) para cargas verticales, (b) para cargas horizontales.

28

Estabilidad III


En el caso de necesitarse una línea de influencia de esfuerzo normal en i, se debe intercalar en el punto i el mecanismo mostrado en la Figura 35 y aplicar en ese punto un desplazamiento relativo unitario en el sentido del esfuerzo normal (∆r=1). Bajo esa causa actuando en i (desplazamiento relativo impuesto), los desplazamientos verticales representan la línea de influencia para cargas verticales y las componentes horizontales de desplazamiento, la línea de influencia para cargas horizontales: LI de N i (↓ LI de N i (→

j)

i

j)

(↓ j) = δ jN(∆ri =1) i

(26)

(→ j) = ξN j (∆ri =1)

LI Ni(↓)

Figura 49. Línea de influencia de esfuerzo normal en i para cargas verticales. La Figura 49 muestra una aplicación para evaluar la línea de influencia de normal en el punto i perteneciente a la columna. Se observa que para cargas gravitatorias el esfuerzo normal es siempre negativo. Si se deseara hallar una línea de influencia de reacción de apoyo se deberá eliminar la restricción de vínculo impuesta por ese apoyo y dar un desplazamiento compatible con el mismo. El resto del procedimiento es similar.

6.3 Líneas de influencia de magnitudes cinemáticas En algunos casos puede ser de interés analizar cómo varía una magnitud cinemática (giro, desplazamiento vertical o desplazamiento horizontal) cuando sobre la estructura actúa una causa de posición variable, es decir construir la línea de influencia de una magnitud cinemática. En estos casos se analiza un efecto cinemático que son desplazamientos generalizados producidos por una causa estática (momento, carga vertical o carga horizontal, respectivamente). Es decir, la causa de posición variable en j puede ser una carga horizontal o vertical según que la línea de influencia sea para cargas verticales u horizontales, como en los casos analizados anteriormente, y el efecto en el punto j variable también serán los desplazamientos verticales u horizontales asociados, que constituyen el diagrama de la línea de influencia. La diferencia es que, en estos casos, el efecto en i analizado ahora es un desplazamiento generalizado asociado a una 29

Estabilidad III


causa en i fija. Esta causa fija en i puede ser un momento (Mi), una carga vertical (Pvi) o una carga horizontal (Phi) compatible con el efecto en i analizado que puede ser un giro (θi), un desplazamiento vertical (δi) o un desplazamiento horizontal (ξi). Por lo tanto, para hallar la línea de influencia de desplazamiento vertical en i para cargas verticales resulta: C i * e i (C j ) = ± C j * e j (C i ) (27) Pvi=1

Ci

1 * δ i (↓ j) = 1 * δ j (P v i = 1)

i

C j

P j=1

En este caso se coloca en el punto i en estudio una fuerza unitaria y se calculan los desplazamientos verticales en toda la estructura, este diagrama (componentes verticales de la elástica) es la línea de influencia de desplazamiento vertical en i para cargas verticales sobre la estructura, como se muestra en la Figura 50 (a). Si se necesita la línea de influencia de desplazamiento vertical en i para carga horizontales se debe aplicar una carga vertical en i, igual que en el caso anterior, pero representar las componentes horizontales de los desplazamientos como se muestra en la Figura 50 (b).

LI de δi ↓

δi (↓ j)= δ (↓Pi=1)

(a)

LI de δi (→ j)

δi (→ j)= ξ j (↓P i =1)

(b) Figura 50: Línea de influencia de desplazamiento vertical en i, (a) para cargas verticales, (b) para cargas horizontales. La Figura 51 muestra la línea de influencia de desplazamiento horizontal en i para cargas verticales, es decir que se debe aplicar en el punto i en estudio una carga horizontal y representar las componentes de desplazamiento vertical en todos los puntos de la estructura:

30

Estabilidad III


LI de ξi (↓ j)

ξi (↓ j)= δ j (→ Pi=1)

Figura 51: Línea de influencia de desplazamiento horizontal en i para cargas verticales. Resumiendo:

• Para hallar una línea de influencia de una magnitud estática (M, Q, N o R) se debe incluir un mecanismo en el punto estudiado compatible con el efecto estudiado y dar un movimiento virtual unitario en ese punto i asociado al efecto analizado. • Para hallar una línea de influencia de una magnitud cinemática en el punto i (giro, desplazamiento vertical u horizontal) se debe colocar en ese punto una fuerza generalizada compatible con el magnitud cinemática estudiada. En ambos casos se representan las componentes de desplazamiento horizontal o vertical según que se analice la línea de influencia para cargas horizontales o verticales, respectivamente.

6.4 Métodos computacionales El uso de programas computacionales permite obtener de manera más sencilla las líneas de influencia ya que el método indirecto, mediante el uso del teorema de reciprocidad, consiste en hallar la deformada de la estructura bajo un estado particular de carga fija. En el caso de estructuras isostáticas, al darle un grado de libertad mediante la incorporación del mecanismo adecuado, el sistema queda hipostático y no se puede resolver con códigos computacionales que resuelven indistintamente estructuras isostáticas o hiperestáticas. Para esos casos es necesario usar la metodología explicada determinando los polos de las chapas y en base a ello construir diagramas que representan los desplazamientos horizontales y verticales, que en una cierta escala son la línea de influencia. Tratándose de estructuras hiperestáticas al quitar un grado de hiperestaticidad incorporando el mecanismo adecuado, la estructura continua siendo hiperestática o al menos isostática con lo que el uso de programas permite hallar en forma directa las deformadas que, en una cierta escala, son las líneas de influencia requeridas. En este caso se deben incluir nodos en los puntos estudiados con el objeto de poder intercalar allí el mecanismo adecuado e imponer un movimiento virtual, cuando se trata de líneas de influencia de efectos estáticos. Esto puede resultar un impedimento ya que en general la mayoría de los programas no admiten como estado de carga movimientos impuestos (giros o desplazamientos relativos). Sin embargo, ese movimiento relativo se puede lograr colocando un sistema autoequilibrado de fuerzas generalizadas en el mecanismo, ya sea un par de pares o un par de fuerzas, correspondientes a dicho movimiento relativo. Este sistema puede ser unitario o de un valor cualquiera produciendo un desplazamiento relativo que, en general, no es unitario. Pero ese movimiento relativo se hace posteriormente unitario afectando al sistema autoequilibrado de fuerzas por un factor de escala para que el mismo sea unitario. Esto es válido ya que se considera material lineal elástico con la proporcionalidad correspondiente entre cargas y desplazamientos generalizados. De esta manera la deformada de la estructura representa la línea de 31

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influencia para cargas verticales u horizontales. En el caso de líneas de influencia de magnitudes cinemáticas no es necesario hacer esa modificación de escala porque en ese caso directamente se debe aplicar una causa estática unitaria en el punto estudiado, que no representa ningún problema para cualquier código computacional. También es posible mediante programas computacionales obtener la línea de influencia por el método directo, es decir resolviendo la estructura repetidas veces para diferentes posiciones de la carga P j unitaria y evaluando en cada caso en el punto en estudio el efecto considerado. Este procedimiento no resulta apto para un trazado a mano alzada de la línea de influencia como sí puede hacerse en la metodología anteriormente usada, pero la aplicación intensiva de métodos computacionales permite la obtención de la línea de influencia por este procedimiento, aún en el caso de estructuras isostáticas. La conveniencia del uso de cada uno de estos métodos depende de cada problema en particular y de razones de comodidad, de acuerdo a las características de los programas disponibles.

6.5 Usos de las líneas de influencia Las líneas de influencia son diagramas que permiten determinar efectos para causas unitarias, por lo tanto multiplicando la ordenada del diagrama por al valor de la carga se obtiene el efecto correspondiente, ya que es válida la superposición de efectos. Por medio de la línea de influencia se puede calcular el efecto provocado para un sistema de cargas fijas, para cargas móviles de cualquier tipo que puede ser una carga P, un grupo de cargas o un tren de cargas, o una carga repartida total o parcial de intensidad uniforme o variable. También es posible aplicar la carga en el lugar que produzca un efecto máximo (o mínimo) lo que permite el estudio de las condiciones más desfavorables obteniendo las solicitaciones para dimensionar o verificar secciones. a) Para cargas móviles: si δ es la ordenada de la línea de influencia y P es la intensidad de la carga variable aplicada entonces el efecto en el punto estudiado es: Efecto= P*δ

Figura 52: Aplicación para cargas móviles. b) Para un sistemas de cargas fijas : Mi= P1* δ1 - P2* δ2 + q*A

Figura 53: Aplicación para cargas fijas. 32

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c) Para obtener distribución de cargas accidentales que producen el efecto máximo o mínimo : Cuando una línea de influencia tiene tramos con ordenadas positivas y tramos con ordenadas negativas, para obtener el máximo efecto positivo se debe considerar las cargas actuando solamente donde la línea de influencia es positiva y descargar las zonas con ordenadas negativas. En la Figura 54 se muestra la distribución de cargas a considerar para obtener el máximo momento flector positivo en i y en máximo momento flector negativo en i. Si sobre la estructura actuara un tren de cargas móviles estas debería ubicarse en la zona con mayores ordenadas de la línea de influencia para producir el mayor efecto.

Figura 54: Aplicación para obtener efectos máximos positivos o negativos. d) Para obtener diagramas envolventes : hallando las solicitaciones máximas y mínimas en distintas secciones críticas de las estructuras se puede obtener los diagramas envolventes que indican los valores máximos y mínimos de un determinado efecto a lo largo de toda la estructura.

Figura 55: Aplicación para obtener diagramas envolventes. Como ejemplo de aplicación se muestra en la Figura 56 una viga continua sobre la que puede actuar una sobrecarga uniforme que puede estar aplicada o no por tramos entre apoyos. Se plantea evaluar el momento máximo que se produce en el punto i a los efectos de diseño de la sección analizada. En la figura se presenta cuál es la distribución de cargas actuantes con las que se obtiene el valor máximo positivo y el valor máximo negativo para el momento flector en i, correspondientes a cargar la línea de influencia en la zona donde las ordenadas con positivas o negativas respectivamente.

Figura 56: Distribución de cargas uniforme que producen momento flector máximo positivo o negativo. 33

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La Figura 57 muestra una estructura sobre la que puede actuar una sobrecarga uniforme en las vigas y la acción del viento sobre la columna. En este caso se plantea determinar cuál es la combinación de cargas que produce la máxima reacción positiva (en decir hacia arriba) en el punto A para el diseño de la fundación en ese apoyo. Para ello se construye la línea de influencia de la reacción vertical en A debiéndose establecer el signo asociado tanto para los tramos horizontales como para la columna vertical, se analiza sobre las vigas el desplazamiento vertical y sobre la columna el desplazamiento vertical. El análisis del signo en el tramo de las vigas donde está el apoyo es el siguiente: P * δ + R A v * δA = 0 → R A v debe ser mientras que si se analiza en la columna, resulta: P * δ + R A v * δA = 0

R A v debe ser

→

RAv es positiva

(28)

RAv es negativa

(29)

Así resulta que se debe cargas las vigas donde la línea es positiva solamente, sin considerar la acción del viento sobre la columna.

Figura 57: Distribución de cargas que producen reacción máxima positiva en A. También se puede plantear una extensión de la aplicación para una planta de losas, donde si se pretende evaluar el máximo momento flector positivo en el punto i mostrado en la Figura 58, es necesario considerar las cargas actuando en la zona sombreada. Para su determinación se utilizan las líneas de influencia construidas en las dos direcciones ortogonales por el punto i. De esta manera se observa que para el momento máximo positivo en el centro de la losa se debe considerar cargas distribuidas en damero a partir del tramo considerado. Si se desea analizar el momento máximo negativo de un punto sobre un apoyo la distribución debe ser como la planteada en la Figura 59.

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Figura 58: Distribución de cargas que producen momento máximo positivo en i.

Figura 59: Distribución de cargas que producen momento máximo negativo en j.

Agradecimientos: El autor agradece al Ing. DanielCalabró la colaboración en la confección de los gráficos.

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Líneas De Influencia: Cuadernos De La Universidad Nacional Del Comahue

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