E S P E
ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO
DEPARTAMENTO DE ENERGIA Y MECÁNICA MECATRÓNICA MECÁNICA DE MATERIALES II Tema: COLUMNAS LA RGAS
Responsables:
Iza Alexis Naula Iván
Horario: Viernes 10:30-11:30
Sangolquí, 18 de Octubre del 2013
OBJETIVO
Analizar la carga crítica en columnas
MARCO TEÓRICO Columna Elemento estructural o de máquina sometido a carga de compresión
Esbeltez
Coeficiente de sujeción de la columna K Relación entre la longitud efectiva a la longitud entre apoyos
Longitud efectiva Distancia entre punto de inflexión a la articulación o entre puntos de inflexión, de la elástica de la columna
Carga crítica (fórmula de Euler)
√
Esfuerzo crítico (fórmula de Euler)
⁄ Diagrama Esfuerzo crítico vs esbeltez para el acero estructural ASTM A36
MATERIALES
Comparador de reloj. Equipo para ensayo de columnas. Flexómetro. Columnas de acero de diferentes longitudes y secciones transversales. Pie de rey.
PROCEDIMIENTO 1. Tomar las dimensiones de las columnas. 2. Colocar la primera columna con un extremo empotrado y el otro articulado. 3. Aplicar carga hasta que la columna falle por pandeo y reducir la carga hasta un poco antes de que falle. 4. En ese punto tomar las medidas de deflexión lateral con un comparador de reloj cada 1 cm en la longitud de la columna hasta donde se observa que la columna empieza a pandear y desde ahí tomar medidas de 2cm lo largo de la columna. 5. Luego determinar cuál es la carga crítica para esa y el resto de columnas cuando tienen dos apoyos articulados.
Datos obtenidos Viga Empotrada-Articulada
Longitud
Deflexión inicial
Deflexiòn final
Deflexión neta
[mm] 25 35 45 55 65
[mm]
[mm]
[mm]
0
0,08
0,08
0
0,1
0,1
0,01
0,12
0,11
0,02
0,125
0,105
0,025
0,19
0,165
75 85 95 105 115 125 135 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 245 255 265 275 285 295 305 335 365 395 425 455 485 515 545 575 605 635 665 695 725 Columna 1 2
0,03
0,23
0,2
0,035
0,27
0,235
0,04
0,31
0,27
0,05
0,36
0,31
0,06
0,405
0,345
0,06
0,45
0,39
0,065
0,5
0,435
0,07
0,55
0,48
0,075
0,6
0,525
0,08
0,65
0,57
0,085
0,715
0,63
0,09
0,77
0,68
0,095
0,83
0,735
0,1
0,88
0,78
0,1
0,93
0,83
0,11
0,99
0,88
0,115
1,04
0,925
0,12
1,09
0,97
0,12
1,15
1,03
0,125
1,19
1,065
0,125
1,24
1,115
0,13
1,28
1,15
0,13
1,32
1,19
0,13
1,36
1,23
0,13
1,45
1,32
0,12
1,52
1,4
0,11
1,55
1,44
0,11
1,55
1,44
0,1
1,52
1,42
0,09
1,46
1,37
0,07
1,35
1,28
0,05
1,21
1,16
0,025
1,05
1,025
0,005
0,84
0,835
-0,01
0,64
0,65
-0,03
0,41
0,44
-0,025
0,22
0,245
0
0
0
Espesor
Ancho
Largo
P crìt.
[mm]
[mm]
[mm]
[N]
3,12
20,1
545
250
3,15
20,15
596
210
3 4 5 6 7 8 esférica
3,1
20,04
619
190
3,13
20,04
646
180
3,04
20,04
693
160
3,11
20,07
740
150
3,95
14,91
740
230
4,75
9,4
745
270
6,31
650
360
Diámetro
DESARROLLO Resultados Columna
M. de Inercia mm^4
Área mm^2
R. de giro
K
KL/r
1
2,14 x 10^3
62,71
5,841689727
1
93,2949242
2
2,12 x 10^3
63,15
5,79403685
1
102,864379
3
2,06 x 10^3
62
5,764183069
1
107,38729
4
2,13 x 10^3
63,93
5,772147887
1
111,916744
5
2,03 x 10^3
60,92
5,772554895
1
120,050829
6
2,09 x 10^3
62,41
5,786900988
1
127,875006
7
1,09 x 10^3
58,89
4,302218583
1
272,709517
8
308
41,83
2,713509997
1
274,552149
circular
77,81
31,27
1,577443334
1
412,059176
Ejemplo de cálculos Para la columna 4 Datos: k
L=646
1
b = 3,19
m
m
h = 20,04
m
E=2000000 Pa
P = 180 [N]
Cálc u lo s: I
1
b h
3
2,14 x 10^3
12
A
r
I
r = 5,8
A
Esbeltez
2
A= 62,71
b h
k L r
4
mm
mm
m
Esbeltez = 110.58
2
crit
E
k L r Pcrit
2
crit A
σcrit = 513,5 x 10^3 [Pa]
Pcrit =101,22 10^3[N]
PREGUNTAS 1. Dibujar en forma aproximada las elásticas de las columnas: Articulada-Articulada, empotrada-articulada y empotrada-empotrada. empotrada-empotrada
empotrada-articulada
articulada-articulada
2. Escriba las cargas criticas medidas de las columnas: Articulada-Articulada, empotradaarticulada y empotrada-empotrada, ordenando de mayor a menor
P Crít. [N] empotrada-empotrada
620
empotrada-articulada
310
articulada-articulada
150
3. Dibujar el perfil de la elástica de la columna empotrada-articulada y determinar en forma práctica la constante K de sujeción 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8
Deflexión inicial
0.6
Deflexiòn final
0.4 0.2 0 -0.2
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 6 2 8 4 0 6 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 4 4 5 6 6 7
Para poder determinar la constante de sujeción (k) tenemos que tomar en cuenta la longitud entre los apoyos (articulado y empotrado) de la columna y la longitud entre los puntos de inflexión de la elástica, relacionándolas en la siguiente fòrmula: k
Le L1
El punto de inflexión se encuentra aproximadamente a los 205 milímetros del empotramiento, entonces: Le=725-205= 520 mm
y
4. Comparar la carga crítica medida en forma práctica con las obtenidas en forma teórica utilizando la fórmula de Euler.
P Crítico teórico [N]
P Crítico Práctico [N]
%E
210,112
250
18,9841608
186,56
210
12,5643225
178,34
190
6,53807334
171,23
180
5,12176605
156,56
160
2,19724067
134,75
150
11,3172542
220,88
230
4,12893879
256,94
270
5,08289873
318,43
360
13,0546745
5. Para las columnas de acero dibujar en un mismo sistema de coordenadas un diagrama crit vs. esbeltez utilizando datos teóricos y prácticos.
KL/r
Esfuerzo Crítico teórico [MPa]
Esfuerzo Crítico práctico [MPa]
93,2949
3,3505
3,9866
102,8644
2,9542
3,3254
107,3873
2,8765
3,0645
111,9167
2,6784
2,8156
120,0508
2,5699
2,6264
127,8750
2,1591
2,4035
272,7095
3,7507
3,9056
274,5521
6,1425
6,4547
412,0592
10,1832
11,5126
25.0000
20.0000
15.0000
10.0000
5.0000
Esfuerzo Crítico práctico [MPa] Esfuerzo Crítico teórico [MPa]
0.0000
CONCLUSIONES
El tipo de apoyo en los extremos de la columna determina la forma general de la elástica, así como la longitud efectiva (le) de la viga por lo que también la constante K se ve afectada. Demostramos que el trabajo fue realizado en columnas largas ya que al calcular su esbeltez, ésta tiene un valor superior a 100 El esfuerzo critico es inversamente proporcional a la esbeltez, mientras menos esfuerzo sea capaz de soportar una columna esta será más esbelta. Mediante la medición de las cargas con los diferentes tipos de apoyos se concluyó que el tipo de apoyo más resistente a una carga es el caso empotrado-empotrado, ya que su coeficiente K es el menor, además la forma de la elástica nos demuestra que existe reducción en la deformación al aplicarse una carga, principalmente cerca de sus apoyos. Una de las causas de los errores presentes en la práctica se debe a que las columnas están deformadas debido a su uso a través del tiempo.
