LINEAS DE TRANSMISION LARGAS (SOLUCION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES) La solución exacta de cualquier línea de transmisión y la única que proporciona proporciona gran precisión en el cálculo de la línea a 60 Hz, de más de 50 millas de longitud, exige considerar que los parámetros de las líneas no están concentradas, si no distribuidos uniformemente a todo lo largo de ella. La siguiente figura representa una fase a neutro de una línea trifásica: dv Ig
I
IR
dI Vg
C V
VR
A R
dx
x punto de referencia
No se utilizan los parámetros concentrados porque se trata de calcular la línea con la impedancia y la admitancia uniformemente repartidas (por unidad de longitud) Consideremos un elemento muy pequeño de la línea y calculemos las diferencias de tensión y corriente entre los dos extremos de la línea ( antes y después del elemento diferencial ) . Sea X la distanc distancia ia del elemento elemento consider considerado ado ( segmen segmento to ), a partir partir del extremo extremo receptor y dx la longitud del elemento diferencial ( segmento ). La impedancia del elemento diferencial de la línea será Z dx e Y dx su admitancia. Sea V la tensión respecto al neutro, del extremo del elemento diferencial de la línea más próximo al extremo receptor; siendo esta V la expresión compleja de la tensión eficaz, cuya amplitud amplitud y fase varía con la distancia distancia a lo largo de la línea ( VR= 0 V 0 solo en VR ) . La tensió tensión n en el extre extremo mo del del eleme elemento nto de la línea línea más más próxi próximo mo al gener generado ador r ( saliendo del elemento diferencial ) será V + dv.
El aumento de la tensión a lo largo del elemento diferencial de la línea, en sentido de las X crecientes, es dv que es la diferencia de las tensiones en los extremos del elemento. El aumento de la tensión en sentido de las X crecientes ( a lo largo de toda la línea) es también el producto de la corriente que fluye del elemento, en sentido de las X crecientes por la impedancia de aquel. O sea:
( I ) ( Z dx ) así tenemos: ( 5.17 ) dv dx
IZ
Análogamente, la corriente que sale del elemento hacia la carga es I . La amplitud y la fase de la corriente I, varían con la distancia a lo largo de la línea, a causa de la admitancia repartida en toda su longitud. La corriente que entra al elemento procedente del generador es I + d I. Esta se diferencia de la corriente que sale en dirección de la carga en la cantidad d I. Esta diferencia es la corriente d I = ( V ) ( Y dx ) que circu circula la por la la admitan admitancia cia del del elemento. Por tanto:
d I = ( V ) ( Y dx ) de donde ( dividiendo entre dx ambos lados ) nos queda: ( 5.18 ) dI dx
VY
Derivando ahora las ecuaciones 5.17 y 5.18 respecto a X tenemos:
( 5.17 ) ( 5.19 ) dv dx
2
IZ
( 5.18 )
d v dx
2
Z
d(I ) dx
El aumento de la tensión a lo largo del elemento diferencial de la línea, en sentido de las X crecientes, es dv que es la diferencia de las tensiones en los extremos del elemento. El aumento de la tensión en sentido de las X crecientes ( a lo largo de toda la línea) es también el producto de la corriente que fluye del elemento, en sentido de las X crecientes por la impedancia de aquel. O sea:
( I ) ( Z dx ) así tenemos: ( 5.17 ) dv dx
IZ
Análogamente, la corriente que sale del elemento hacia la carga es I . La amplitud y la fase de la corriente I, varían con la distancia a lo largo de la línea, a causa de la admitancia repartida en toda su longitud. La corriente que entra al elemento procedente del generador es I + d I. Esta se diferencia de la corriente que sale en dirección de la carga en la cantidad d I. Esta diferencia es la corriente d I = ( V ) ( Y dx ) que circu circula la por la la admitan admitancia cia del del elemento. Por tanto:
d I = ( V ) ( Y dx ) de donde ( dividiendo entre dx ambos lados ) nos queda: ( 5.18 ) dI dx
VY
Derivando ahora las ecuaciones 5.17 y 5.18 respecto a X tenemos:
( 5.17 ) ( 5.19 ) dv dx
2
IZ
( 5.18 )
d v dx
2
Z
d(I ) dx
( 5.20 ) dI
VY
dx
d2I dx2
Y
d( v ) dx
Si sustituimos ahora los valores de
y
originales en las últimas dos ecuaciones
dI
dv
dx
dx
obtenidas ( 5.19 ) y ( 5.20 ) respectivamente, llegamos a:
( 5.21 ) d2 v dx
2
d2 v dx
2
Z(VY)
YZ(V )
( 5.22 ) d2I dx 2
Y(IZ)
2
d I dx 2
Y(IZ)
De esta manera tenemos dos ecuaciones: La primera ( 5.21 ) en la cual las únicas variables son variables I e X solamente.
V y X y la otra ( 5.22 ) con las
Las soluciones de estas últimas ecuaciones diferenciales serán expresiones cuyas segundas derivadas respecto a X son iguales a las correspondientes expresiones originales ( 5.21 y 5.22 ) multiplicadas por la constante YZ. Por ejemplo: La solución de V ( variable dependiente ) derivada dos veces, respecto a X, tiene que ser igual a ( YZ ) V .
Esto requiere o sugiere una solución del tipo exponencial. Análogamente la solución de I derivada dos veces respecto a X tiene que ser igual a I ( ZY ).
Supongamos que la solución de la ecuación 5.21 es:
ecuación de solución 5.23 V
A1e
m 1x
A 2e
m2x
Entonces
( 5.21 ) d2 v dx 2
ZYV
igualando a cero: d2 v dx 2
0
ZYV
Utilizando operador: A
( D2 – ZY ) V = 0 Las raíces de esta ecuación son:
; m1
ZY
m2
ZY
Si se sustituye estas raíces en la ecuación A
[(
)2 – ZY ] ZY
ZY – ZY = 0
Ahora derivando dos veces esta solución respecto a X ( para comprobar sí esta solución es la correcta ).
d( A 1e
dv
YZ X
dx
YZ X
A2e dx
dv
A1
dx
dv
d(e
A 1 (e
dx
YZ X
)
A2
dx
YZ X
d(e
)( YZ )
YZ X
)
dx
A 2 (e
YZ X
)(
YZ )
derivando de nuevo: = d2 v
A1
dx 2
YZ
de
YZ ( X )
dx
A2
YZ
de
YZ ( X )
dx
= d2 v dx
2
A1 YZ (e
YZ ( X )
)( YZ )
A2
YZ (e
YZ ( X )
)(
YZ )
= d2 v
A1YZe
dx 2
YZ ( X )
A2 YZe
YZ ( X )
Factorizando a YZ : = YZ d2 v
A1e YZ X
dx 2
A 2e
YZ( X )
V
Por lo tanto:
= YZ V d2 v dx 2
Se comprueba entonces que la ecuación 5.23 es la solución de la 5.21 Ahora sustituyamos en la ecuación 5.17 la solución propuesta por la ecuación 5.23, esto es:
( 5.17 )
dv dx
( 5.23 )
V
IZ
sustituyendo d A1e
YZ ( X )
dx
A 2e
YX ( X )
IZ
A1e
YZ ( X )
A 2e
YZ ( X )
A1 e
YZ ( X )
YZ
A2 e
YZ ( X )
YZ
IZ
despejando a I :
I
A1 e
YZ ( X )
YZ
A2 e
YZ ( X )
YZ
Z
Factorizando a
: YZ
I
YZ ( X )
YZ A1e
A 2e
YZ ( X )
Z
= I
A1e
YZ ( X )
YZ
A 2e 1 / 2
YZ ( X )
A1e
Z1
YZ ( X )
Y
1 / 2
YZ ( X )
A 2e
Z
1 / 2
Z2 / 2
= I
A1e
YZ ( X )
Y
A 2e
1 / 2
Z
YZ ( X )
A1e
YZ ( X )
A 2e
YZ
Z1 / 2
1 / 2
Y1 / 2
Por lo tanto:
( 5.25 )
ó A1e
I
A1e
YZ ( X )
A 2e
YZ ( X )
Z
YZ ( X )
A 2e
YZ ( X )
Z
Z
Y
Y
Y
donde I está en función de X. Las constantes A 1 y A2 pueden hallarse teniendo en cuenta las condiciones en el extremo receptor ( iniciales ) de la línea, en donde X = 0 ( distancia = 0 ):
V = VR e I = IR Por lo tanto sustituimos estos valores en las ecuaciones 5.23 y 5.25 :
( 5.23 ) V
YZ ( X )
A1e
sustituyendo V
V = VR y X = 0 en la ecuación 5.23
YZ ( 0 )
A1e
YZ ( X )
A 2e
A 2e
YZ ( 0 )
entonces la nueva ecuación será:
VR = A1 + A2
1
Haciendo lo mismo con la ecuación 5.25 tenemos: ( 5.25 )
I
A1e
YZ ( X )
A 2e
YZ ( X )
Z Y
I R
A1e
YZ ( 0 )
A 2e
YZ ( 0 )
Z Y
5.25 B
= I R
A1
A1
A2
Z
Z
Z
Y
Y
Y
A2
Haciendo
= ZC entonces la ecuación 5.25 quedará: Z Y
A1
I R
A2
ZC
Despejando a A 1 de la ecuación
1 :
VR = A1 + A2 por lo tanto A1 = VR – A2
2
Por otro lado, de la ecuación 5.25 B despejamos a A 2
I R
A1
A2
ZC
ZC IR = A1 - A2
por lo tanto
A2 = A1 - IRZC
Sustituyendo este valor en la ecuación 2 tenemos: A1 = VR – A2 A1 = VR – (A1 - IRZC ) A1 = VR –A1 + IRZC A1 + A1 = VR + IRZC 2 A1 = VR + IRZC A1 = VR
A
I R Z C
2
Sustituyendo este valor de A1 en la ecuación 1 análoga, para encontrar el valor de A2 . Es decir: Despejando a
A2 de la ecuación 1. ( VR = A1 + A2 )
A2 = VR – A1 Despejando ahora a A 1 de la ecuación 5.25 B ( 5.25 B )
se procede a encontrar en forma
2B
I R
A1
A2
ZC
A1 – A2 = IRZC A1 = IRZC + A2 Sustituyendo ahora este último valor de
A1 en la ecuación 2B
A2 = VR – A1 A2 = VR – ( IRZC + A2 ) A2 = VR – IRZC - A2 A2 + A2 = VR – IRZC 2 A2 = VR – IRZC A2 =
B VR
I R ZC
2
Finalmente se deberán sustituir estos valores de A 1 y A2 en las ecuaciones 5.23 y 5.25. Esto es: V
V
A1e
YZ ( X )
VR
Haciendo
A 2e
I R ZC
2
e
YZ ( X )
YZ ( X )
=
VR
I R ZC
2
tenemos: YZ
e
YZ ( X )
VOLTAJE EN CUALQUIER PUNTO DE LA LÍNEA
( 5.26 ) V
VR
I R ZC
2
VR
( X)
e
I R ZC
(X)
e
2
También para la ecuación de la corriente:
( 5.25 ) I
A1e
YZ ( X )
A 2e
ZC
YZ ( X )
ZC
A1
VR
I R ZC
2
I
I
VR
YZ ( X )
e
I R ZC
2
ZC
VR
I R ZC
YZ ( X )
ZC
e
2Z C
e
X
VR
I R Z C
2ZC
e
X
Separando y multiplicando:
I
VR e
X
2Z C
VR e X ( I
I R ZCe
X
VR e
2 ZC
1 ZC
2
)
I R e
X
2 ZC
2 ZC
X
VR e
2
X
e
I R ZCe
X
X
( 5.27 ) VR ZC
I
VR
I R e
2
X
I R
ZC
2
e
X
ZC es la impedancia característica de la línea = Y es la constante de propagación. YZ
Las ecuaciones 5.26 y 5.27 dan los valores de V e I, así como sus ángulos de fase en cualquier punto de la línea en función de la distancia X desde el extremo receptor, conocidos. VR , IR y los parámetros de la línea.
ANALISIS DE LAS ECUACIONES OBTENIDAS Tanto
como
ZC son expresiones complejas. La parte real de la constante se llama
constante de amortiguación
y se mide
El coeficiente de la parte imaginaria de
en neper por unidad de longitud .
es la llamada constante de fase
Midiéndose en radianes por unidad de longitud ( millas ). O sea.
=
+ ĵ cte. de fase cte. de amortiguación cte. de propagación
donde: [ neper/mts] [ rad / mts ]
entonces:
j
e
X
e
X
.e j
X
j
X
y e
e
e .e
j X
Por lo que las ecuaciones 5.26 y 5.27 se convierten en:
( 5.29 ) V
VR
I R ZC
2
e
X
.e j
X
VR
y para la corriente tenemos:
I R ZC
2
e
X
.e
j X
( 5.30 ) VR ZC
I
VR
I R X
e
2
.e j
I R
ZC
X
e
2
Las propiedades de
y e
X
X
.e
j X
ayudan a explicar las variaciones de tensión y e j
X
corriente, en cualquier instante, en función del punto considerado a lo largo de la línea. El término cambia de valor cuando lo hace X ( si X crece también crece), e
X
e
mientras que
X
es igual a: e j
X
= cos
+ ĵ sen X
j X
e
Siempre vale 1, produciendo una fase de
X
radianes por unidad de longitud de la
línea. El primer término de la ecuación 5.29
aumenta su valor y adelanta VR
I R Z C
2 en fase, a medida que aumenta la distancia
X
incremento de distancia
receptor )
e
X
.e j
X
X ( desde el extremo receptor
Por el contrario cuando se avanza a lo largo de la línea desde el extremo transmisor, el término considerado disminuye en valor absoluto y, a la vez vá retrasándose en fase. Esta es la característica de una onda progresiva y es análoga al comportamiento de una onda en el agua respecto a su amplitud con el tiempo, a la vez que se retrasa en fase y su valor máximo disminuye con la distancia al origen. La variación del valor instantáneo no está expresada en el tiempo, pero se comprende, puesto que VR e IR son vectores.
El primer término de la ecuación 5.29 se denomina
TENSION INCIDENTE.
El segundo término de la misma ecuación
disminuye en magnitud VR
I R Z C
2
X
e
.e j
X
y se retrasa en fase desde el extremo receptor al extremo generador y se le llama
TENSION REFLEJADA.
En cualquier punto de la línea, la tensión es la suma de los componentes incidentes, y reflejada de la tensión en aquel punto. Como la fórmula de la corriente es análoga a la tensión, también podemos considerarla compuesta por las corrientes incidentes y reflejadas. Si se termina la línea en su impedancia característica ZC, la tensión en el extremo receptor V R es igual a IRZC y no existe onda reflejada de tensión, ni de corriente, como puede verse, sustituyendo IRZC por VR en las ecuaciones 5.29 y 5.30.
( 5.29 ) VR
I R ZC
2
e
X
.e
I R Z C
j X
I R Z C
2
( 5.30 ) VR
I R Z C
I R
ZC
2
e
X
.e
j X
ZC
I R e
X
.e
j X
0
EJEMPLO: Una línea terminada en su impedancia característica, se llama LÍNEA PLANA O LINEA INFINITA. Este último nombre deriva del hecho que una línea de longitud infinita no puede tener onda reflejada. Normalmente las líneas de distribución de fuerza no se terminan en su impedancia característica pero, en cambio las líneas de comunicaciones se terminan en esa forma para eliminar la onda reflejada. Un valor típico de ZC es 400 para una línea de un solo circuito y 200 para una de dos circuitos en paralelo. El ángulo de fase de ZC normalmente está comprendido entre 0 – 15 0. Las líneas de conductores agrupados tienen valores inferiores a ZC puesto que dichas líneas tienen una L inferior y una C superior a la de las líneas de un solo conductor por fase. Una longitud de onda es la distancia a lo largo de la línea entre dos puntos de una onda que difieren en fase 360 0 ó 2π radianes. Si es el desfase en radianes por milla, la longitud de onda en millas es:
= 2
A la frecuencia de 60 Hz, una longitud de onda es, aproximadamente 3000 millas. La velocidad de propagación, en millas por segundo, es el producto de la longitud de onda en millas, por la frecuencia en Hz. Esto es:
Velocidad = ( F ) ( )
Si no existe carga en la línea, IR es cero y, como indican las ecuaciones 5.29 y 5.30, las tensiones incidentes y reflejadas son iguales en amplitud y fase, en el extremo receptor. Por el contrario, en el mismo punto, las corrientes incidentes y reflejadas son iguales, pero desfasadas una de otra 180 0. De esta forma, en el extremo receptor de una línea abierta, se anulan entre sí las corrientes incidentes y reflejadas. No ocurriendo esto en ningún otro punto de la línea, a menos que esta carezca completamente de pérdidas, de tal forma que la constante de amortiguación sea cero.
EJEMPLO: Una línea de transporte a
longitud.
La carga es de
60 Hz, de un solo circuito tiene 225 millas de
125,000 Kw a 200 Kv con un F.P = 100%
Calcular: a) Las tensiones incidentes y reflejadas en los extremos receptor y transmisor de la línea b) Determinar la tensión de la línea en el extremo distribuidor (generador) a partir de las tensiones incidentes y reflejadas. c) Calcular la longitud de onda y la velocidad de propagación. Los parámetros de la línea son:
R = 0.172 / mi C = 0.0136
F/ mi
L = 2.18 mH/mi G=0 SOLUCION: Aquí la impedancia estará dada por:
Z = R + ĵ ( 2 π )( F )( L ) XL
Z = R + ĵ XL XL = 2 π F L = ( 2 )( 3.1416 )( 60 )( 2.18X10-3 H/mi) = 0.821 ohms Z = 0.172 + ĵ 0.821 = 0.8388
78.160
REACTANCIA CAPACITIVA XC = 1 2 FC
XC =
= 195,042.822 /mi. 1 (2)(3.1416 )(60)(0.0136 x10
6
SUSCEPTANCIA CAPACITIVA ( INVERSO DE LA REACTANCIA CAPACITIVA) YC = ĵ 2πFC /mi YC=(2)(3.1416)(60)(0.0136x10-6)=5.127x10-6 -6 = 0 + ĵ 5.127x10 900 = 5.127x10-6
Sabemos que:
/ mi
L
= YZ
=
( 225 mi )
= 5.127x10
6
78.20
0.8388
900
2
= (2.0737x10-3 )( 225 mi )
= 0.466
84.10
84.10
= 0.047 + ĵ 0.463 l
+
l
Entonces: = ZC
Z
0.8388
Y
5.127 x10
404.480
78.20 6
900
2
-5.90
ZC
VF-N =
=
[V] 200,000V
VL
3
3
IR =
115,470.05 00
=
00 [ A ]
125,000,000 W
W3 VL
= 360.843
3
200,000 V
3
F.P = 100 %
O tambien: IR =
=
00 [ A ]
41,666,666.67
W1 VF
= 360.843 115,470.05
N
Representando la tensión incidente por V+ receptor donde X=0, tenemos:
VR+ =
y la reflejada por V- en el extremo
= VR
I R Z C
2
(115,470.05 00 ) (360.843 00 )( 404.480 2
5.90 )
VR+ = (115,470.05 00 ) (145,953.7766
5 .9 0 )
2
VR+ = (115,470.05 j00 ) (145,180.6328 j15,002.9589 ) 2
VR+ = (260,650.6828
j15,002.9589 )
2
VR+ = (261,082.1082 2 VR+ = 130,325.3414
3.290 ) -3.290
VR+ = 130,110.5455-ĵ 7,479
VR - =
= VR
I R ZC
(115,470.05 00 ) (360.843 00 )(404.480
2
5.90 )
2
VR - = (115,470.05 00 ) (145,953.7766
5.90 )
2
VR - = (115,470.05 j00 ) (145,180.6328 j15,002.9589 ) 2
VR - = ( 29,710.5828
j15,002.9589 )
2
VR - =
153.200 (33,283.7423 ) 2
VR - = 16,641.87
153.200
VR - = -14,854.297 + ĵ 7,503.445 Ahora calculando para el extremo generador en el cual
L
= YZ
X=L= 225 millas
= 0.466
=
84.10
0.047 + ĵ 0.463
VR = VR(+) + VR(-) =
( 130,110.5455- ĵ 7,479 ) + ( - 14,854.297 + ĵ 7,503.445 ) =
115,256.2,685 + ĵ 24.445
= 115,256.2711
0.0120
Vg estará dado por: Vg ( + ) =
= VR
I R ZC
2
e l .e j
l
(115,470.05 00 ) (360.843 00 )(404.480 2
VR+ = (115,470.05 00 ) (145,953.7766
5 .9 0 )
2
VR+ = (115,470.05 j00 ) (145,180.6328 j15,002.9589 ) 2
VR+ = (260,650.6828
j15,002.9589 )
2
VR+ = (261,082.1082 2
3.290 )
5.90 )
VR+ = 130,325.3414
0.047 + ĵ 0.463
=
= 130,325.3414
-3.290
Valor en radianes, pasarlo a grados
-3.29 e
0.047
.e j0.463
=( 130,325.3414
-3.29 ) ( 1.048 ) ( e ĵ0.463 )
=( 130,325.3414
-3.29 ) ( 1.048
= 136,580.9578
23.230
Vg ( - ) =
26.520 )
= VR
I R ZC
2
e
l
.e
(115,470.05 00 ) (360.843 00 )(404.480 2
j l
VR - = (115,470.05 00 ) (145,953.7766
5.90 )
2
VR - = (115,470.05 j00 ) (145,180.6328 j15,002.9589 ) 2
VR - = ( 29,710.5828
j15,002.9589 )
2
5 .9 0 )
VR - =
153.200 (33,283.7423 ) 2
VR - = 16,641.87
153.200
= 16,641.87
153.200 e-0.047. e-ĵ 0.463
= (16,641.87
153.200 ) ( 0.9540 ) (e-ĵ 0.463 )
= (16,641.87
153.200 ) (0.9540
= 15,879.3439
- 26.520 )
126.680
Por lo tanto la tensión entre línea y neutro en el extremo generador es:
Vg = Vg( + ) + Vg( - ) = (136,580.9578
23.230 ) + (15,879.3439
126.680 )
= ( 125,508.1956 + ĵ 53,870.6866 ) + ( - 9,483.6584 + ĵ 12,732.5770 ) = 116,024.5372 + ĵ 66,603.2636 = 133,782.2408
29.850
El voltaje entre líneas en el extremo generador es:
VL =
VF-N ; VL = 3
=
VgF-N 3
( 133,782.2408 V ) = 231,717.6382 Volts 3
= 231.71 Kv
La longitud de onda y la velocidad de propagación, se calcula de la siguiente manera:
CTE, DE FASE l
= 0.466
84.10 no se ocupa el ángulo
=
= 2.071x10-3 rad/milla 0.466
l
225millas
LONGITUD DE ONDA 2
= 2
= 3,033.88 millas 2 3.1416 rad 2.071x10 3 rad / milla
VELOCIDAD DE PROPAGACION :
(F)(
(F)(
)
) = ( 60 ) ( 3,033.88 millas ) = 182,033.3744 millas/seg
FORMAS HIPERBOLICAS DE LAS ECUACIONES Las ondas de tensión, incidente y reflejadas, se determinan muy rara vez cuando se calcula la tensión de una línea de transporte. La razón de haberlas visto es que este análisis es muy útil para comprender algunos fenómenos que se presentan en las líneas de transmisión. Una forma mas conveniente de estas ecuaciones, para calcular la corriente y la tensión de una línea eléctrica es la determinada. Empleando las funciones Hiperbólicas. Estas vienen definidas en forma exponencial por las siguientes relaciones:
senh(θ) =
cosh= e
e
2
e
e
2
Para pasar la expresión del voltaje de la línea en cualquier punto, partiremos de la ecuación 5.26 esto es:
V
VR
I R ZC
2
e
VR
( X)
I R ZC
2
( X)
e
Multiplicando el exponencial en ambos miembros:
V
=
(
V R e
γ ( X )
)
+ I R Z C
(e
γ ( X )
2
)
+
(
V R e
( X )
− γ
)
− I R Z C
2
Separando por denominadores:
V
VR e
( X)
2
I R Z Ce
2
X
VR e
X
2
I R ZCe
X
2
Agrupando términos semejantes:
V
VR e
2
( X)
VR e
2
X
I R ZCe
2
X
I R ZCe
X
2
Sumando ahora los términos semejantes:
(e
( X )
− γ
)
V
VR e
( X)
VR e
X
I R Z Ce
X
I R Z Ce
2
X
2
Factorizando a V R y a IRZC en la expresión:
V
VR (
e
( X)
X
e
)
2
Haciendo θ =
=
I R ZC (
l
e
X
e
2
X
)
entonces:
x
V
VR (
e
e
2
)
I R ZC (
e
e
2
)
Aplicando la identidad de senos y cosenos hiperbólicos: V = VR coshθ + IRZC senhθ
Finalmente valiendo θ = x
V = VR cosh
+ I RZC senh x
( 5.36 ) x
Para cualquier punto de la línea Procederemos análogamente para encontrar el valor de la 5.27:
I
partiendo de la ecuación
VR I
VR
I R
ZC
e
2
I R
ZC
X
X
e
2
Multiplicando el exponencial:
VR I
ZC
e
X
I R e
VR
X
ZC
e
X
2
I R e
X
2
Separando al denominador para sumar posteriormente términos semejantes: VR I
ZC
e
VR
X
I R e
2
X
ZC
2
X
e
I R e
2
X
2
Agrupando términos semejantes:
I
VR e
X
e
X
I R
2
ZC
e
X
e
X
2
Haciendo θ = x
I
VR e ZC
e
2
I R
e
e
2
Aplicando identidad de senos hiperbólicos I=
senhθ + IR coshθ
VR ZC
Finalmente volviendo a θ = x I=
senh
( 5.37 )
+ IR cosh x
VR
x
ZC
Para encontrar la tensión y la corriente en el extremo generador ponemos X = l con las ecuaciones 5.36 y 5.37 quedan de la siguiente manera:
VS = VRcosh
+ I RZC sen lT
IS = IR cosh
lT
+
senh VR
l
( 5.38 )
( 5.39 )
l
ZC
Ahora bien por analogía podemos encontrar V R o IR en función de V g e Ig apartir de las ecuaciones 5.38 y 5.39, quedando de la siguiente forma:
VR = VScosh
- ISZCsenh
l IR
= IScosh
l
l
( 5.41 )
senh VS
( 5.42 ) l
ZC
En líneas trifásicas equilibradas, la corriente es la línea y la tensión. Es la existente entre línea y neutro, esto es la tensión de línea dividida por
. 3
Para resolver las ecuaciones 5.41 y 5.42, es preciso, previamente, determinar los valores de las funciones hiperbólicas.
Como normalmente,
es un valor complejo( número complejo ), las funciones l
hiperbólicas son también complejas y no se pueden encontrar directamente con las tablas correspondientes ni con calculadoras científicas. Entonces si no se dispone de gráficos especiales o computadoras, se pueden calcular las funciones hiperbólicas de variables complejas por varios métodos.
PRIMER METODO: Este consiste en desarrollar los senos y cosenos hiperbólicos de variable compleja en función de los senos y cosenos circulares e hiperbólicos de variable real.
cosh(
+ĵ
) = cosh l
l
senh((
)= senh l
+ ĵ senh l
l
+ĵ l
cos
sen l
l
cos
+ ĵ cosh l
l
( 5.43 )
sen l
( 5.44 ) l
Estas ecuaciones permiten el cálculo de las funciones hiperbólicas con argumentos complejos. al La correcta unidad de es el radián, que es la unidad encontrada para l
l
calcular la parte compleja de
. l
Ejemplo de aplicación: Encontrar la tensión V R, la corriente y la potencia en el extremo distribuidor ( generador ) de la línea del ejemplo anterior .
DATOS: ZC = 404.480
- 5.90 [
]
VR1 = 115,470.05
00 [ V ]
= 0.047 + ĵ 0.463 l IR=
360.843
00
Utilizando las ecuaciones 5.43 y 5.44 tenemos:
cosh(
+ĵ
) = cosh l
l
cos
+ ĵ senh l
l
sen l
l
= cosh(0.047) cos(0.463) + ĵ senh(0.047) sen(0.463) = cosh(0.047) cos26.520 + ĵ senh(0.047) sen26.520 = (1.001)( 0.8947 ) + ĵ ( 0.0470 )( 0.4465 ) = 0.8955 + ĵ 0.0209 = 0.8955 1.330
senh((
+ĵ l
)= senh l
cos
+ ĵ cosh l
l
sen l
l
= senh0.047cos0.463+ ĵ cosh0.047sen0.463 = ( 0.047 )(0.8947) + ĵ (1.001)(0.4466) = 0.0420 + ĵ 0.4470 = 0.448 84.6320 Entonces de la ecuación 5.38 encontramos a V S:
VS = VRcosh
+ I RZC sen lT
lT
VS = ( 115,470.05
00 )( 0.895
1.330 ) + ( 145,953.7766
VS = ( 103,345.69
1.330 ) + ( 65,387.291
-5.9 )( 0.448 84.630)
78.730 )
VS = ( 103,317.848 + ĵ 2,398.735 ) + ( 12,778.812 + ĵ 64,126.4358 ) VS = ( 116,096.66 + ĵ 66,525.1708 ) VS = 133,805.95 29.810
