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22

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ÁLGEBRA

5

Secundaria

Primer Bimestre

Í nd i c e Capítulo 1. Leyes de Exponentes y Radicales

Pág

7

2. Polinomios Capítulo 13 Capítulo 3. Productos Notables

19

4. División Algebraica Capítulo 25 Capítulo 5. Factorización I

30

6. Factorización II Capítulo 35

Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

Á lgebra

CAPÍTULO

1

Leyes de Exponentes

Potenciación

DEFINICIÓN 2 an = P

 a : base  n : exponente  P : potencia

Exponente cero : Si a ∈ R ; a ≠ 0. a0 = 1

a∈R n∈Z P∈R

Ejemplos:  30 = 1

Ejemplo: Exponente

42 = 16

Potencia

Base

 (- 2)0 = 1  -50 = -1 (Observa que el cero afecta a 5) 0

 53 = 51 = 5

DEFINICIÓN 1

DEFINICIÓN 3

Exponente natural : Si a ∈ R y n ∈ +.

Exponente negativo : Si a ∈ R; a ≠ 0. an = a . a . a . ... . a “n” factores

a-n = Ejemplos: Ejemplos:

 x . x . x = x3  (-3)2 = (-3)(-3) = 9  -32 = -(3)(3) = -9 (Observa que el exponente afecta a 3)  (-3)3 = (-3)(-3)(-3) = -27 Álgebra - 5to. Secundaria

1 an

1 1 = 32 9 -1 1  -2-3 = 3 = 2 8  3-2 =

(Observa que el exponente (-3) afecta a 2)

7


¿CÓMO CONTAR LOS GRANOS DE

DEFINICIÓN 4 Exponente fraccionario : Si m/n ∈ Q.

ARENA QUE CABEN EN EL UNIVERSO?

am/n = n am Ejemplos:  34/5 = 5 34 Teoremas 1. am . an = am+n am 2. an = am-n; a ≠ 0

Recreación de la Muerte de Arquímedes durante la II Guerra Púnica. “No tangeré circues meos” (No toques mis círculos), exclamó Arquímedes en su mal latín cuando uno de los soldados pisó sus figuras. En respuesta, el soldado traspasó con su espada el cuerpo del anciano Arquímedes (De la vida del general romano Marcelo, según Plutarco).

3. (a . b)n = an . bn n

4.

n

n

5. (am)n = am.n 6.

Arquímedes (287 - 212 a.C.) nació y murió en Siracusa, actual Italia. Fue sin duda el mayor matemático de la antigüedad. En una obra titulada Psammites (El Cálculo de los Granos de Arena, más conocida en español como El Arenario) se jactaba que podía enumerar los granos de arena necesarios para llenar el universo, utilizando para ello números gigantescos expresados mediante exponentes. Arquímedes comienza, basándose en los trabajos del astrónomo Aristarco (310 - 230 a.C.), con ciertas estimaciones relativas a los tamaños de la Tierra, la Luna y el Sol, y a las distancias de la Luna, el Sol y las estrellas fijas; demostrando que el diámetro del universo usual hasta la distancia del Sol es menor que 1010 estadios (un estadio es igual a 147,8 metros). A continuación supuso que 10 000 granos de arena ya superaban a una semilla de adormidera, que el diámetro de una de ellas era menor o igual que 1/40 del ancho de un dedo, y a su vez un estadio es menor que 10 000 dedos. Con estas desigualdades, Arquímedes llegó a la conclusión que se necesitaban 1051 granos de arena para llenar la esfera del universo, generalmente aceptada aquel tiempo.

( ba ( = ba ; a ≠ 0 n

ab = n a .

n

b

n

a a = ;a≠0 b nb

7.

n

8.

cn

9.

m n

acm = n am a = mn a

Ecuaciones Exponenciales Elementos: A. BASES IGUALES am = an

⇒ m=n

Ejemplo:

Resuelve: 23x+1 = 210 3x + 1 = 10 ⇒ x = 3

B. FORMAS ANÁLOGAS x x = aa Exceptuando:

çæ 1 ÷ö

⇒ x=a çæ 1 ÷ö

æ 1 ö÷èçç 2 ø÷÷ æ 1 ÷öççè 4 ÷÷ø ççèç ÷ø÷ = çççè ÷÷ø 2 4

Ejemplo: xx = 27 ⇒ xx = 33 ⇒ x = 3

8

Álgebra - 5to. Secundaria


EJERCICIOS RESUELTOS

Resolución: (32)x + 3x+3 = 28 32x + 3x+3 = 28 3x(3x + 33) = 28 3x(3x + 33) = 28

1. Reduce: 20 veces

3

S=

3

3

3

3x(3x + 27) = 1(1 + 27) \ 3x = 1 x = 0

3

x . x . x . ... . x x2 . 3 x2 . 3 x2 . ... . 3 x2

Rpta.: c

30 veces a) x10 b) x5 -5 d) x

4. Simplifica:

c) 1 e) x-10

n

Resolución: S=

3 20

( x) = (3 x2)30

a) a+b+c b) ab + ac + bc c) abc d) a-1 + b-1 + c-1 e) an + bn + cn

60

3

x x60

extraemos: S=

x30 = x10 x20

Resolución: Factorizando an + bn + cn en el numerador:

Rpta.: a

n

anbncn(b-n + c-n + a-n) a-n + b-n + c-n n

2. Calcula:

E=

-2-1

-3-1

1 + 27

1 + 625

c) 8 e) 32

Resolución: -2-1

-3-1

-4-1

E = 64 +

27 +

Rpta.: c 5. El exponente de “x” que resulta al simplificar: E = 1+1/2

es:

1+1/3 1+1/4 1+1/5

... 1+1/n xn

c) 2/n e) 2n/n+1

Resolución:

E = 641/2 + 271/3 + 6251/4 4

anbncn = abc

a) n2/2 b) n/2 d) 2

(641 ( +(271 ( +(6251 ( 3

-4-1

( ( ( ( ( ( 1 64

a) 2 b) 4 d) 16

E=

ancn + anbn + bncn a-n + b-n + c-n

Operando las fracciones tenemos:

625

E = 3/2

E=8+3+5

4/3 5/4 6/5

... (n+1)/n x

E = 3/2 4/3 5/4 6/5 ... (n+1)/n xn

E = 16 E = (n+1)/2 xn Rpta.: d

E = xn/[(n+1)/2]

3. Si 9x + 3x+3 = 28, calcula “x”. a) 3 b) 1 d) 2

E = x2n/(n+1) c) 0 e) 6


Rpta.: c

9


Resolviendo en clase 1

Si xy = 2, calcula: y xy

3 y2 y-2

Efectúa:

(x ) . (x3)-y . (4 )

a)

b)

Resolución:

2.3 2.6 2 6

9.4 9.3 9 20 9.5 9

Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

4

Simplifica: 104 . 303 . 423 54 . 250 . 602 . 702

Si el exponente final de x es 7/4 en: xn .

x x ; x > 0.

calcula n.

Resolución: Resolución:

Rpta:

10

Rpta: Álgebra - 5to. Secundaria


5

6 Simplifica:

Halla “x” si: 1 62x-4 = x-2 16 144

Resolución:

W=

5 . 2x+2 - 2x+4 + 6 . 2x-1 2x+5 - 15 . 2x - 2 . 2x+3

Resolución:

Rpta:

Rpta:

Ahora en tu cuaderno 7. Sabiendo que:

10. Halla el exponente final de x:

2x-3 = 3, halla 21-x

b veces a bc bc a ac ac (x ) . (x ) . x . x ... xac . x ; x ≠ 0 ((x3a)b)c

8. Después de simplificar: n-2

32n+5 - 9 . 32n+1 24 . 3n+4

se obtiene:

9.

11. Halla “x” en: 8x+3 = 4 323x+1

Si: 12. Calcula el exponente final de “x” en:

3x = 7y, calcula el valor de: x+1 - 7y+1 + 3x P= 3 y 7 - 7 . 3x + 3 . 7y


F(x) = 3 x

3

x

3

x

3

x ... (n radicales)

11


Para reforzar 1. Calcula el valor de x en:

7. Halla “x” si: (0,01)x

2x . 2 = 3 4x a) 2 b) -3/2 d) 1/4

27-3

-1

= 0,0001

a) 1 b) 2 d) 6

c) 1/2 e) 5/3

c) 4 e) 8

8. Luego de resolver la ecuación: 2. Simplifica: -(1/2)-1 1 1 + 2 3

((

x+1

-(1/3)-1

((

+

-(1/4)-1

(( 1 4

a) 287 b) 281 d) 123

c) 235 e) 435

c) 5/2 e) 5

10. Reduce: -1

-2

R = 3 642 + 162 - 83

-1

c) 3 e) 5

11. Después simplificar la expresión: n

E =

5. Reduce: 5

c) b e) a/b

a) 1 b) 2 d) 4

4. Resuelve: x-2 x+2 1632 = 22

P=

M = (ab)a (ba)b ((aa)b)a ((bb)a)a a) 1 b) a d) ab

c) 4 e) 5

a) 2/5 b) 3/2 d) 2

c) 4 e) 0

9. Si ab = 1, calcula el valor de:

A = {(1/2)-3 + (2/5)-2 + (4/7)-1}0,5 B = {8(4/5)-2 - (2/3)-3 - (8/9)-1}(1/3) a) 20 b) 9 d) 6

a) 2 b) 3 d) 1

3. Calcula A + B, siendo:

3

94 = 38 indica el valor de R = x-1 x + 1

2-n

n

n

252 - 402 n n 202 - 322

2 2 4n + 16n 2 2 n n 16 + 64

resulta:

253 . 15 5 . 3 25 3 5 . 5 125

a) 1 b) 5 d) 3 5

c) 25 e) 5 5

a) 5 b) 2,5 d) 1,25

c) 2 e) 0,5

12. Después de simplificar: 6. Efectúa: 10

E=

(x3)-2 . x-2 . (x-4)2 2 (x-5)-1 . x(-3) . (x-1)-2

a) 1 b) x d) x-32

12

c) x32 e) x-1

E=

32x/(x-y) + 6 . 32y/(x-y) x-y x+y 3

se obtiene: a) 3 b) 4 d) 6

c) 5 e) 7



Á lgebra

CAPÍTULO

2

Polinomios

Monomio Término algebraico de exponentes enteros y positivos para todas sus variables (expresion racional entera). Ejemplos: 3 4

 M(x, y) = x y Monomio  M(x, y, z) = x5y3z5 Monomio  M(x, y, z) = x4y3z6 Monomio  x2/y3  x4y1/2  x6y2/3z

No es monomio No es monomio No es monomio

 M(x, y, z) = 32x4y5z7 G.A. = 4 + 5 + 7 = 16 3. GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO (G.R.) Está dado por el mayor exponente de la variable referida.  P(x, y) = 2x4y2 + 6x3y5 + 7x7 GR(x) = 7 ; GR(y) = 5  Q(x, y) = 6x4y5 - 2x5y3 - y6 GR(x) = 5 ; GR(y) = 6 4. GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO Está dado por el monomio de mayor grado.

Polinomio Expresión algebraica entera de uno o más términos.

 P(x, y) = 4x3y2 - 2x2y5 + 6x4y6

Ejemplos:  P(x,y) = 6x4y2 - 5x2 + 3xy3 + y4 Polinomio de 4 términos 3 5

 P(x,y,z) = 3x y z - 5x y + 3y Polinomio de 3 términos 2 3

4

 P(x,y,z) = 2xy - 5xy2z4 Polinomio de 2 términos

Grados

5

7

10

G. A. (P) = 10

Polinomios Especiales Término algebraico de exponentes enteros y positivos para todas sus variables (expresion racional entera). 1. POLINOMIO ORDENADO Es aquél donde los exponentes de la variable van aumentando o disminuyendo. Ejemplos:

1. GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO (G.R.)

2. GRADO ABSOLUTO DE UN MONOMIO (G.A.) Es el mayor grado de uno de los términos.

Está dado por el exponente de la variable indicada.

 M(x, y, z) = 4x2y4z5 GR(x) = 2; GR(y) = 4; GR(z) = 5 Álgebra - 5to. Secundaria

 P(x) = x16 - 2x10 + x2 + 1 Polinomio Ordenado Descendente.  Q(x) = 2 + x4 + 5x7 + x10 Polinomio Ordenado Ascendente.

13



2. POLINOMIO COMPLETO Es aquél donde aparecen todos los exponentes de la variable, desde el mayor hasta el término independiente (exponente cero). Ejemplos:  P(x) = 6x2 + 2x + 3x3 + 5 tiene 4 términos

a) 16/81 b) 81/16 d) 16/9

 Q(x) = 2 + x + 3x2 + 5x3 + 4x4 tiene 5 términos 2.1. Propiedad En todo polinomio completo se cumple: # Términos = Grado + 1 Sea:

1. Halla el coeficiente de M(x, y) = (1/2)n9mx3m+2ny5m-n cuyo grado es 20 y el grado relativo de “x” es 14.

P(x) = 2x2 + 5x + 1 tiene 3 términos 3=2+1

c) 9/16 e) 81/8

Resolución: GA = 3m + 2n + 5m - n = 20 GR(x) = 3m + 2n = 14 8m + n = 20 3m + 2n = 14 \ 16m + 2n = 40 -3m - 2n = -14 13m = 26 m=2 ⇒ n=4

3. POLINOMIO HOMOGÉNEO Es aquél donde todos sus términos tienen el mismo grado absoluto. Ejemplos:

\ coeficiente = (1/2)4 92 = 81/16 Rpta.: b

 P(x,y) = 6x2 + xy - y2 2.º

2.º

2. Si P(x + 2) = x + P(x) y P(3) = 1 calcula el valor de P(5) + P(1).

2.º

 P(x,y) = 6x2 + xy - y2 2.º 2.º 2.º  Q(x,y) = 2x4y2 + 3x3y3 + y6

6.º

6.º

6.º

4. POLINOMIOS IDÉNTICOS Son aquéllos que tienen el mismo valor númerico para un mismo valor de variable. Es decir, tienen los mismos coeficientes en términos homólogos. Ejemplos:  2x + 3 ≡ 3 + 2x  5x3 + 2x - 1 + 4x2 ≡ 4x2 - 1 + 2x + 5x3 5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO Es aquél donde para cualquier valor asignado a su variable, el resultado es siempre cero. Es decir, sus coeficientes son todos ceros. Ejemplo:  P(x) ≡ 0x3 + 0x2 + 0x + 0 P(x) ≡ 0

14

a) -4 b) 0 d) 2

c) 1 e) 4

Resolución: En P(x + 2) = x + P(x) \ x=1 P(3) = 1 + P(1) 1 P(1) = 0 \ x=3 P(5) = 3 + P(3) P(5) = 3 + 1 P(5) = 4 \ P(5) + P(1) = 4 + 0 = 4 Rpta.: e Álgebra - 5to. Secundaria

Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” 3. Si el término independiente del polinomio: P(x) = 2(x-3)2 (x-2)3 (x-m)2 (x+1)3 es -576, halla el valor de m2. a) 1 b) 4 d) 16

c) 9 e) 25

Resolución: Sabemos que P(0) = término independiente P(0) = 2(-3)2 (-2)3 (-m)2 (1)3 = -576 = 2 . 9 . (-8)(m2) = -576 m2 = 4 Rpta.: b 4. En el polinomio homogéneo: P(x, y) = xm + yn+p + xnyp + xpyn + xqyr + xryq la suma de todos sus exponentes es 54. Halla el valor de: E=m+n+p+q+r a) 12 b) 15 d) 27

c) 18 e) 36

Resolución: Por homogeneidad m=n+p=q+r=k \ 6k = 54 k=9

Para elegir los mate-riales adecuados, en cuanto a calidad y cantidad, para construir un puente, los ingenieros analizan las variables que intervienen antes de llevar a la práctica su proyecto, como la geología del terreno, resistencia al viento, cambio de temperatura y fluidez del tráfico automovilístico. Estas variables son expresadas matemáticamente mediante polinomios para así poder hacer los cálculos respectivos y no cometer errores imprevistos.

Nota El término independiente es un término de grado cero, así: 4 = 4x0 El símbolo ≡ significa que los polinomios son idénticos.

Observación Polinomio Completo y Ordenado

\ m=9,n+p=9,q+r=9

P(x) = x3 - 2x2 + 5x - 4

E = 9 + 9 + 9 = 27

Observa que cumple con las dos condiciones anteriores.

Rpta.: d 5. Si el polinomio: P(x) = a(x - 3)(x + 1) + (b - 2) (x + 1) (x - 2) + (c + 3) (x - 3)(x - 2) es idénticamente nulo. Halla a + b + c. a) 0 b) -1 d) 3

¿cÓMO EVITAR ERRORES?

c) 2 e) -3

UN TREN DE MONOMIOS Un polinomio está conformado por monomios de la misma forma que un tren lo está por vagones. Por ejemplo: si sumas los monomios x3, x2, x, 7, lo que se obtiene es x3 + x2 + x + 7; un polinomio.

Resolución: Evaluamos: P(3) = (b - 2)(4)(1) = 0 ⇒ b = 2 P(2) = a(-1)(3) = 0 ⇒ a = 0 P(-1) = (c+3)(-4)(-3) = 0 ⇒ c = -3 ⇒ a = 0 , b = 2 , c = -3 a + b + c = -1 Rpta.: b Álgebra - 5to. Secundaria

15


Resolviendo en clase 1 Si

3 Calcula m . n si

P(x) = ax2 + 2x - 1 y P(-2) = 7, el valor de

P(x, y) = 2xm+1yn-2 - 5xm+2yn-1 + 7xm+3yn-3

“a” es:

es de GA = 20 y de GR(y) = 8.

Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:

2 Calcula el grado de:

4 Halla el valor de A + B si:

a b c

P(x, y, z) = 8x y z , sabiendo que: GA - GR(x) = 11, GA - GR(y) = 12 GA - GR(z) = 13.

15 - 4x ≡ A(2 - x) + B(1 + x) Resolución:

Resolución:

Rpta:

16



5 Dado el polinomio: c+d-1

P(x) = 2x

6

b-c+1

- 3x

a+b-4

+ 5x

+ 2x

Si:

a-3

P=

(3X+1) (5X-1)

=9X+2

completo y ordenado descendentemente, halla Hallar:

el valor de a + b + c + d.

(

P éê ë

2+ 5

)(

)

2 - 5 ùú û


Rpta:

Rpta:

Ahora en tu cuaderno 7. Dado el polinomio: P(x) = (x + 1)n + (3x + 1)n + (5x - 1)n + b con término independiente 5 y suma de coeficientes 38. Halla P(-1). (n es par)

8.

Siendo: P(x, y, z) = 3axa+2yb+2 + 2bya+1zc+3 + 5cxb+4zc un polinomio homogéneo de grado “m + 2”, calcula:

n+1

P(2x+3) = 7-6x

Hallar: P(x + 1)

11. Calcula A + B + C + D, para que el polinomio P(x) = Ax3 + 2x2 - 3x3 + 2Cx2 + 8 - 3Bx + D + 9x, sea idénticamente nulo.

(a+b+c) n a n +b n +c n

9.

Calcula A + B + C si:

(x + 1)[A(x + 2) + B(x - 2) - 3x] + 15x = (x - 2)[3x + c(x + 2)] se verifica para todo “x”.

10. Si:


12. Si: P^xh= x3 5 x2 x2 es de tercer grado para un valor de "n". Deicho valor es:

17


Para reforzar 1. Halla la suma de los siguientes términos semejantes: A = (a + 3b + c)xa-5yb+c+8 B = (2b + 4c + 3)x3y10 a) 15x3y10 c) 20x3y10 d) 16x3y10 2.

4.

5.

6.

18

cuyo grado es 20 y el grado relativo a “x” es 14.

c) 72 e) 12

c) 7 e) 9

Si P(x + 2) = x + P(x) y P(3) = 1, calcula el valor de P(5) + P(1). c) 1 e) 4

Si la suma de coeficientes del polinomio: P(x) = (4x3 + 3) . (5x7 - 7)n-4 + (8x - 9)10 es 449, entonces el valor de “n” es: b) 6 e) 12

9.

c) 8

c) 9/16 e) 81/8

Dada la expresión algebraica: R(x, y) = 6xm-2yn+5 + 3xm-3yn - 8xm-1yn+6, halla mn si su grado absoluto es 17 y el grado relativo de “x” es 6. a) 30 b) 35 d) 42

c) 117 e) 119

Si P(x, y) = xm+2y5 + 7x10yn + 2xm+3yp es homogéneo, con grado de homogeneidad 11, halla “m + n + p”.

a) 5 d) 10

8.

Halla a . b en: P(x, y) = 5x2aya+b+1 + 12xa-by2b-1 si GR(y) = 9 y GA = 19.

a) -4 b) 0 d) 2

. y5m-n

a) 16/81 b) 81/16 d) 16/9

Si P(x) = 2x2 + 5x + 2 y Q(x) = 6x + 1, halla P(Q(1)).

a) 5 b) 6 d) 8

m 3m+2n

M(x, y) =

e) 21x3y10

a) 15 b) 6 d) 18

n

(12(. 9 x

b) 18x3y10

a) 125 b) 63 d) 135 3.

7. Halla el coeficiente de

c) 36 e) 45

Si el polinomio: P(x) = 3xn+3 - xn+2 + xn+1 + ... + 3 completo, ordenado y tiene 38 términos; el valor de “n” es: a) 33 b) 34 d) 39

c) 37 e) 40

10. Encuentra el valor de a + b en la siguiente igualdad: 13 - 4x ≡ a(x + 2) + b(x - 1) a) -8 b) -6 d) -2

c ) -4 e) 0

11. ¿Cuál es el valor de “a” para que la expresión: (xa+5 + xa+3 + 5)a (xa+1 - xa-2 + 1)a-1 (xa - x2 + 3)2

M=

sea de grado 64? (a > 2) a) 6 b) 3 d) 5

12. Si. P(x) = x2 - 1 Calcular: P éêë P 2 P ( 3)ùúû a) 9 b) 80 d) 8

c) 2 e) N.A.

c) 81 e) 27



Á lgebra

CAPÍTULO

3

Productos Notables

1. CONCEPTO Son los productos que se obtienen en función directa sin necesidad de multiplicar.

Trinomio Cuadrado Perfecto (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Ejemplos:  (x + 3)2 = x2 + 2(3)x + 32  (x - 4)2 = x2 - 2(4)x + 42  (5x + y)2 = (5x)2 + 2(5x)(y) + y2

Identidades de Legendre (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab Ejemplos:  (x + 3)2 + (x - 3)2 = 2(x2 + 32)

Mientras nosotros representamos las magnitudes por letras que se sobrentiende son números (conocidos o desconocidos) con los cuales operamos usando las reglas del Álgebra, hace más de 2000 años los griegos representaban las magnitudes como segmentos de línea recta y las operaban según las reglas de la geometría. Tenían el Libro II de los Elementos de Euclides (matemático griego que vivió en el siglo IV a.C.) que es un Álgebra geométrica que les servía más o menos para los mismos fines que nuestra Álgebra simbólica. La proposición 4 del Libro II, “si una línea recta se corta de una manera arbitraria, entonces el cuadrado construido sobre el total es igual a los cuadrados sobre los segmentos y dos veces el rectángulo contenido por ambos segmentos”, es una manera larga de decir que (a +b)2 = a2 + 2ab + b2, pero su evidencia visual es mucho más impactante que su contrapartida algebraica moderna. He aquí la demostración:

a

b

a

2

a

ab

b

ab

b2

ab

=

a2

+

+

b2

ab

 (x + 2)2 - (x - 2)2 = 4(x)(2)

Nota (x - y)2 = (y - x)2 Desarrollando: x2 - 2xy + y2 = y2 - 2yx + x2 Álgebra - 5to. Secundaria

El área del cuadrado mayor es (a + b)2. Esta área también se puede calcular adicionando las áreas de los cuadrados y rectángulos interiores. Luego: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

19



Reduce: (a + b)2 - (a - b)2 ab

N=

1. Si : x2 + 1 = 3 , x2 calcula: x6 + 1 x6

Solución.Por Legendre: (a+ b)2 - (a - b)2 = 4ab ⇒

a) 0 b) 3 d) 3 3

4(ab) = 4 = 2 ab

Resolución:

Diferencia de Cuadrados 2

(a + b)(a - b) = a - b

c) 2 3 e) 3

( ( ( ( x2+1 x2

2

3

= 3

3

2 x6 + 1 +3x2. 1 x +1 = 3 3 6 2 x2 x x

Ejemplo:

x6 + 1 +3( 3) = 3 3 x6

 Calcula : M = 46 . 44 - 452

x6 + 1 = 0 x6

Solución.Haciendo x = 45

Rpta.: a

La operación se convierte en: M = (x + 1) (x - 1) - x2 Aplicando productos notables: M = x2 - 1 - x2 Reduciendo términos semejantes: M = -1

2. Si : M = 2 + 3 ; N= 2- 3 calcula (M+N)2 a) 3 b) 4 d) 6

c) 5 e) 7

Identidad de Stevin (x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab Ejemplo:  (x + 3)(x + 4) = x2 + 7x + 12

Desarrollo de un Trinomio al Cuadrado (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc Ejemplo: 2

2

2

2

 (x + y + 3) = x + y + 3 + 2(x)(y) + 2(y)(3) + 2(x)(3)

Geométricamente la identidad de Stevin se demuestra así: x

a

x x

2

ax

b bx

ab

=

x2 +

bx

+

ax

+

Según sus áreas: (x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab = x2 + (a + b)x + ab

⇒ (x + y + 3)2 = x2 + y2 + 9 + 2xy + 6y + 6x

20

ab


Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” 4. Si : (x - y)2+(x - z)2+(y - z)2 = 0

Resolución:

( 2+ 3+ 2 - 3) K = 2+ 3 +2( 2+ 3 )( 2- 3 ) 2

K=

calcula:

E= 3 x + 2y + 2x +y

2

+ 2- 3

2

K = 2+ 3+2 ( 2+ 3 )( 2- 3 )+2- 3 K = 4+2 22- 32

K=6

a) -2 b) -1 d) 1

x2+z2 2xz c) 0 e) 2

Resolución:

∴ x=y=z

Rpta.: d

Remplazando en "E" E= 3 x + 2x + 4 x2+x2 2x +x 2x2

( (

x+y 2 calcula:

2

E= 3 1 +

=xy ,

a) 1 b) 2 d) 4

4

1

E= 2 Rpta.: e

E= 6 x - 2 y 4 xy

4

Si (x - y)2+(x - z)2+(y - z)2 = 0 ⇒ x - y= x - z= y - z= 0

K = 4+2 1

3. Si :

c) 3 e) 5

5. Si : x3+y3+z3=0; x2+y2+z2+3=xy+xz+yz

Resolución:

Si :

Calcula: (x+y)2 =xy 4

(x+y)2=4xy x2+2xy+y2=4xy x2 - 2xy+y2= 0 (x - y)2 = 0 ⇒ x=y Remplazando en "E"

E= 6 x - 2 x 4 x2 E= 4 x x

a) 1 b) 4 d) 5

Rpta.: b Álgebra - 5to. Secundaria

c) 2 e) 3

Resolución: x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2- xy-xz-yz) 0 -3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-x2-y2-z2-3) -3xyz = -3(x+y+z) ⇒ xyz = x+y+z Elevando al cubo: x3y3z3=x3+y3+z3+3(x+y)(y+z)(z+x) Reemplazando: x3y3z3=3(x+y)(y+z)(z+x)

E= 2

x3y3z3 (x+y)(x+z)(y+z)

∴

x3y3z3 (x+y)(x+z)(y+z) = 3

Rpta.: e

21



3

Si:

R = ( 2 +1)2+( 2 - 1)2

M = ( 3 +2) +( 3 - 2)

2

Si: x2 - 5x + 1 = 0 Calcular:

2

calcula R+M.

x2 + 12 x

Resolución:

Resolución:

Rpta:

2

Si:

Rpta:

4

Si m+1/m=4 calcula m3+1/m3.

x+x-1=3 calcula x2+x-2. Resolución: Resolución:

Rpta:

22



5 Si:

6 Si x+x-1=3 calcula x4+x-4.

x - y = 4, xy =3; halla x3-y3 Resolución: Resolución:

Rpta:

Rpta:

Ahora en tu cuaderno

10. Si:

7. Reducir: (x

2

a= 5- 3+ 2 b = 3 - 2 -1 c = 1- 5

+ 2 x - 5) - ( x -1)( x - 2)( x + 3)( x + 4) 2

Calcular: 2 2 2 M= a +b +c ac bc ab

8. Efectúa: E=4 1+(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)

11. Si x2+ 1 = 18 calcula E=x -1 x x2

9. Efectúa:

12. Si: x3 = 1; x ≠1 Calcular: x2 + x

R = 24 1+26.(33+1).(36+1).(312+1)


23


Para reforzar 1.

Si: (a+b)2 = 2(a2+b2) Calcula el valor de: E=

8. Reduce a su mínima expresión: [(a+2)4. (a2 - 2a + 4)4 . (a3+8) . (a3-8)5] 0.2 +64

a2+13b2 23a - 17b + ab 2a

a) 13 b) 14 d) 16 2.

c) 15 e) 17

c) 145 e) 194

Sabiendo que:

a) 2 b) 4 d) 32

halla a4.

a) 4 b) 8 d) 32

c) 16 e) 64

Simplifica: a b2 a b E= + + b a b a

[( ( ( (] - 4[(ba(-(ba(] 2

2

2

a) 36 b) 24 d) 16

2

x( x+yz)+y(y+xz)+z(z+xy) R = x(x - yz)+y(y - xz)+z(z - xy)

2

c) 15 e) 72

1 1 4 + + m n m+n calcula: 2 2 4m+n J= + m +n 4m- 2n mn

6.

7.

24

c) 5/2 e) 9/2

c) 0 e) 2

Efectúa: R = ( x + 3 ) ( x2- 3x + 9) ( x - 3 )(x2+ 3x + 9 ) + 729 a) x3 b) x6 d) x10

11. Si se sabe que:

Si (a+b)3=a3+b3, además a, b≠ 0; señala el a valor de . b a) -2 b) -1 d) 1

a) 9 b) 7 c) 5 d) 8 e) 6

5. Si

a) 3/2 b) 1/2 d) 7/2

x y z 4 = yz + xz + xy ,

calcula el valor mumérico de:

4.

c) 8 e) 64

10. Dada la siguiente igualdad:

[6+ 36 - a2].[6- 36 - a2]=8

9. Calcula el valor de: a+b+c, si: a2+b2+c2=2 (a+b+c)(1+ab+bc+ac)=32

Si: a2+b2+c2=50 y a+b+c= 12 Halla P =(a+b)2+(b+c)2+ (a+c)2. a) 132 b) 146 d) 164

3.

a) a b) a2 c) a3 4 d) a e) a6

c) x8 e) x12

2x = y

1 +xy 1 - xy

calcula el valor de:

2x - y + ) 2x+y 2x - y 2x+y (

E=

a) 18 b) 17 d) 15

c) 16 e) 14

12. Si a 3+b3+c3=0 y (a - b)2+(a - c)2 +(b c)2=12, a; b; c ≠ 0. calcula:

A=

1 1 1 + + bc ac ab

a) 1/2 b) -2 d) 2/3

c) 3/2 e) -1/2



Á lgebra

CAPÍTULO

4

División Algebraica

Monomio Entre Monomio

Identidad fundamental de una división polinomial.

Nos remitimos a la Ley de Exponentes.

D(x) = d(x) q(x) + r(x)

Ejemplos:

Residuo Cociente Divisor Dividendo

( )

15 7-2 4-1 5-3 15x7y4z5  = x y z 2 3 3 3x yz = 5x5y3z2 2. MÉTODO DE RUFFINI

( )

1001 9-3 15-12 1001x9w15 = x w 3 12 91 91x w = 11x6w3



Se utiliza para casos en que el divisor es de primer grado. DIVIDENDO (RAÍZ DEL DIVISOR)

Polinomio Entre Monomio Nos remitimos a separar el polinomio término por término y utilizar lo visto anteriormente. Ejemplos: 15x7w8 + 21x6w3 - 3x5w2 3x3w 3x3w 3x3w

El resto que resulta de dividir un polinomio determinado, por el binomio “x - a”, es igual al valor numérico del polinomio dividendo, en el cual se ha efectuado la sustitución de x por a. Veamos: D(x) = (x - a)q(x) + R

Polinomio Entre Polinomio 1. MÉTODO DE HORNER

Coeficientes restantes del divisor con signo cambiado

Evaluemos en x = a D(a) = (a - a)q(a) + R

Coeficientes del Dividendo

i v i s o r

Línea Divisoria

Cociente

 Sólo coeficientes.  Polinomio completo y ordenado.  q(x) = 3x2 + x - 5  r(x) = 4x + 12 Álgebra - 5to. Secundaria

 q(x) = x3 + 2x2 - x - 2

Teorema del Resto

5x4w7 + 7x3w2 - x2w

d

RESIDUO

 r(x) = 0

 15x7w8 + 21x6w3 - 3x5w2 entre 3x3w

Coeficiente principal del divisor

COCIENTE

Residuo

cero D(a) = V.N. del dividendo cuando x = a

D(a) = R

Ejemplos:  Halla el resto de dividir: 4x4 - 3x3 + 5x2 - 6x + 4 entre x - 2 x - 2 = 0 x=2 R = 4(2)4 - 3(2)3 + 5(2)2 - 6(2) + 4 R = 52

25

Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” 1. Determina “A + B”, en la siguiente división exacta. 6x4 + 5x3 - x2 + Ax + B 2x2 + 3x + 1 Resolución: Por las características del divisor, el método a utilizar es el de W. Horner. Haciendo el esquema : 2

5

-1

-9

-3

6

-3 -1

6 -2

3

B

A

1

Por las características del divisor, el método a utilizar es el de P. Ruffini. Haciendo el esquema : Cociente: Q(x) = x3 - 2x2 + x - 3 ∑ de coeficientes = Q(1) = -3

Divisor 2x - 1

2 -3

-1

0

0

diferente de la unidad

división exacta del esquema :

Resolución:

1/2 ÷2

2

-5

4

-7

9

2

1 -4

-2 2

1 -6

-3 6

1

-2

1

-3

4. Halla el residuo de la siguiente división : (x - 3) (x + 7)60 + 7 x+6

A-1=0 ⇒ A=1 B-1=0 ⇒ B=1 ∴ A+B=2

Resolución: Como el grado del dividendo es muy elevado y sólo nos piden el residuo, entonces utilizaremos el “Teorema del resto”.

2. En la siguiente división : 4x4 + 23x3 + 24x2 + Ax + B x2 + 5x + 2 Determina el valor de “AB” si tiene como residuo: 3x + 10.

Regla práctica : x+6=0 x = -6 Reemplazando en el dividendo : R = (-6 - 3) (-6 + 7)60 + 7 R = -2

Resolución: Por las características del divisor, el método a utilizar es el de W. Horner.

4

23

24

-5

-20 -8

-2

-15 4

3

1

A

B

-6 -5

-2

3

10

residuo del esquema : A - 11 = 3 ⇒ A = 14 B - 2 = 10 ⇒ B = 12 ∴ AB = 168 3. Divide: 2x4 - 5x3 + 4x2 - 7x + 9 2x - 1 e indica la suma de coeficientes del cociente.

26

x90 + x80 + x60 + x20 + 4 x10 + 1 Resolución:

Haciendo el esquema : 1

5. Halla el residuo de la división :

Como en el dividendo los términos son potencia del término del divisor (x10), haremos un cambio de variable. 9 8 6 2 Sea : x10 = y y + y + y + y + 4 y+1

Como sólo nos interesa el residuo, entonces aplicamos el “Teorema del resto”. Regla práctica : y + 1 = 0 y = -1 Reemplazando en el dividendo : R = (-1)9 + (-1)8 + (-1)6 + (-1)2 + 4 R=6 Álgebra - 5to. Secundaria



Halla el cociente de la siguiente división: 3

3

Luego de dividir x5 - 3x2 + x + 1 x2 + x - 1

2

x + 5x - 7x + 5 x2 + 2x - 3 Resolución:

halla el residuo de la división. Resolución:

Rpta:

Rpta:

2 Al efectuar la siguiente división: 4

3

4

Divide e indica el cociente de:

2

4x + 13x + 28x + 25x + 12 4x2 + 5x + 6 indica su cociente.

3x3 + 2x2 + x + 1 x+1 Resolución:

Resolución:

Rpta:


27


5 Calcular la suma de los coeficientes del

6

La división:

cociente de:

ax5 - bx4 9 + cx3 - c + 3 3x 3 - 2x 2 + 1

3x202 + 2x201 + 8x + 7 x-1

exacta: Calcular el valor de: a + b - c

Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:

Ahora en tu cuaderno 7. Si: P(x) = x3 - 0,111x2 - 0,999x + 2012 Evaluar: P(0, 999)

8. Si: P(x) = 12x4 - ax3 + bx2 - 31x - 15 es dividendo por Q(x) = 4x2 - 5x - 3 Calcular: a - b

10. Halla el resto al dividir: 2x3 + 3x2 - 5x + 6 x+2

11. Halla el cociente al dividir: 2x3 + x2 - 6x + 4 2x - 3

9.

Halla el divisor del esquema de Horner en función de “x”. a b c

a

b

28

b b

b

a c b c

b c c d

a

c2 e

12. Hallar el resto de: (x + 1) 2013 + x + 6 x2 + 2x + 2



Para reforzar 1. Luego de efectuar: 3x6 + 2x5 + x4 + 2x + 3 x3 - x + 1 indica el cociente. a) 3x3 + 2x2 + 4x - 1 b) 3x2 + 2x - 1 c) 3x2 + 4x - 1 d) x3 + 2x2 + 1 e) x3 - 3x - 1

7. Halla el resto al dividir: (x3+x2+4)2m+(x3+x2+3)n + x3 + x2 + 6 x3 + x 2 + 3 a) 1 b) 2 d) 4 8.

4 b

2

2

5 c -4 -2 -4 1 d 3

7

es 8x - 2; además a ∧ b ∈ R+.

2 9

halla la suma de “a + b + c + d”

a) 13 b) 18 d) 10 9.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 12

c) 22 e) 48

a) -1 b) -3 d) 8

6.

c) 70 e) 90

Halla el resto al dividir: x4 - 2x3 + 3x2 - x + 1 x-2 a) 11 b) 12 d) 14

mx4 + nx3 + px2 + 6x + 6 2x2 - 5x + 2 es -5x + 8 y la suma de los coeficientes del cociente es 4.


a) 34 b) 35 d) 37

c) 36 e) 38

11. Si: P (x) = x4 + 2 2 x3 - 2 3 x + 3 Calcular: P^ 3 - 2 h a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3 12. Si la división:

c) 13 e) 15

c) 2 e) 4

10. Calcula (m + p)n si el resto de la división

3x4 - 2x3 + 9x2 +3x + 6 3x - 2 a) 3 b) 4 c) 5 d) 21 e) 7

a) 50 b) 60 d) 80

La división:

da como resto un polinomio de grado cero. ¿Cuál es?

4. Divide y calcula la suma de coeficientes del cociente:

5. Halla el resto al dividir: 2x8 - 3x6 + 3x4 + 2 x2 + 2

c) 5 e) 16

2x4 + 5x3 + ax + a x2 - x + 1

3. Divide y calcula la suma de coeficientes del cociente: 3x4 + 2x2 - 3x - 3 x-2 a) 20 b) 21 d) 23

Calcula a - b si el resto de 3x4 - 4x3 + 3x2 + ax2 + 2x - 2 x2 - x + b

2. En la siguiente división por Horner 1 2 -1 a

c) 3 e) 5

ax4 + bx3 - 2x2 - 3x - 2 4x 2 + x - 1 es exacta el valor de: a - b es a) 20 b) 25 d) 5

c) 10 e) 1

29


Á lgebra

CAPÍTULO

5

Factorización I

Conceptos Previos

Factor o Divisor

Todo polinomio que divide en forma exacta a otro polinomio.

Factor Algebraico

Todo polinomio de grado no nulo que divide en forma exacta a otro polinomio.

Factor Primo

Admite por divisores a 1 y a sí mismo.

Ejemplo: P(x; y) = xy2 Sus divisores son: No es un factor algebraico * P1(x; y) = 1 * P2(x; y) = x Únicos factores * P3(x; y) = y primos * P4(x; y) = xy * P5(x; y) = y2 * P6(x; y) = xy2

FACTORIZACIÓN

Criterios de Factorización

Consiste en transformar un polinomio en otro equivalente, expresado como una multiplicación de factores primos sobre un determinado campo numérico.

• Factor Común • Agrupación de Términos • Identidades • Método del Aspa Simple

Criterios

de

Factorización

Factor Común

Agrupación

Identidades

Se eligen las bases comunes afectadas por el menor exponente.

Se seleccionan convenientemente los términos, de tal manera que generen un factor común.

Es la aplicación inmediata de algunos Productos Notables.

P(x; y) = 3x4y6 + 2x3y4 Factor Común: x3y4 P(x; y) = x3y4(3xy2 + 2)

P(a;b;c;d)= ab+cd+ad+cb Agrupando 1.º con 3.º y 2.º con 4.º a(b + d) + c(b + d) (a + c)(b + d)

* a2 - b2 = (a + b)(a - b) * a3+b3=(a+b)(a2 - ab+b2) * a3-b3 = (a - b)(a2+ab+b2) * a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 * a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

30



EJERCICIOS RESUELTOS 1. Factoriza : P(x, y) = x3y2 + x2y + x2y3 + xy2 Resolución: Extraemos las letras comunes con menor exponente de cada término. P(x,y) = xy (x2y + x + xy2 + y) Agrupamos convenientemente los términos del paréntesis. P(x,y) = xy [(x+y) + xy (x + y)] Extraemos el factor común: P(x,y) = xy (x + y) (1 + xy) 2. Factoriza : P(x, y) = (x2 - y)2 - (x - y2)2 Resolución:

P(x,y) = x2y (x2 - 2xy + y2) Reconocemos en el paréntesis un "Trinomio cuadrado perfecto". P(x,y) = x2y (x - y)2 de donde, los factores primos son: x ; y ; (x - y) 4. Factoriza : P(x) = xm+3 + xm + x5 + x2 - x3 - 1 Resolución: Agrupamos convenientemente por parejas, ya que la división en los tres grupos da x3. P(x) = (xm+3+xm)+(x5+x2)-(x3+1) Extraemos el factor común en cada paréntesis. P(x) = xm (x3+1)+x2 (x3+1)-(x3+1) al extraer el factor común se obtiene:

Reconocemos que se trata de una "Diferencia de cuadrados".

P(x) = (x3 + 1) (xm + x2 - 1)

P(x,y) = (x2-y+x-y2)(x2-y-x+y2)

Por suma de cubos, tenemos:

Agrupamos convenientemente el primer paréntesis. P(x,y)=[(x+y)(x-y)+(x-y)](x2-x-y +y2)

P(x) = (x+1) (x2-x+1) (xm+x2-1) 5. Factoriza : P(x,y) = x2 - y2 - 8x + 16

Extraemos el factor común:

Resolución:

P(x,y)=(x-y)(x+y+1)(x2-x-y+ y2)

Se agrupa el trinomio cuadrado perfecto:

3. Factoriza :

P(x,y) = (x2 - 8x + 16) - y2 Obteniéndose una expresión de la forma:

P(x) = x4 y - 2x3 y2 + x2 y3 Resolución: Extraemos el factor común de cada término.


P(x,y) = (x - 4)2 - y2 Aplicando la diferencia de cuadrados. P(x,y) = (x - 4 + y)(x - 4 - y)

31


Resolviendo en clase 1 Factoriza:

3 3

2

2

F(a, b) = a + a b + ab + b

Luego de factoriza: F(a) = a2 + 2a + ab + b + 1

3

indica un factor. Resolución: Resolución:

Rpta:

Rpta:

2 Factoriza:

4 2

P(x, y) = (x + 1) - (y - 2)

S(n)=(n+3)(n+2)(n+1)+(n+2)(n+1)+(n+1)

y halla un factor primo.

e indica el factor que más se repite.

Resolución:

Resolución:

Rpta:

32

Factoriza:

2



5

6

Factoriza: 3

Factoriza:

3

P(x;y)=xm+n+ym+n+(xy)m+ (xy)n

P(a) = (8a - 27) (8a + 27) e indica el número de factores primos.

e indica un factor primo.

Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:

Ahora en tu cuaderno 7. Halla uno de los factores primos de: ac(a+c)+ab(a - b) - bc(b+c)

10. Factoriza: R(a, b, c) = a3b2 + b3c2 - a3c2 - b5 e indica un factor primo.

8. Factoriza: P(x)= (x-1)(x+1)(x-2)(x-4)-112 e indica un término de un factor primo.

11. Indica un factor primo de: P(a, b, c, d) = a2 + b2 + 2ab - c2 - d2 - 2cd

9.

12. Factoriza: P(x) = 1 + x (x+1) (x+2) (x+3); e indica un factor primo.

Factoriza e indica como respuesta el número de factores primos de: P(x) = x32 - 1


33


Para reforzar 1. Factoriza 8x3 + 27; e indica el factor primo de mayor suma de coeficientes. a) 2x - 3 c) 2x + 3 d) 9x2 - 6x + 4

b) 3x + 2 2

e) 4x - 6x + 9

2. Factoriza: F(x, y) = x5y5 - 2x6y4 + x7y3; e indica un factor primo. a) x + y b) x - y c) x - 2y d) x + 2y e) x5

3. Factoriza: P(x) = x6-x2+2x(x4 - 1) + (x4 - 1) e indica el factor primo que más se repite. a) x2 + 1 b) x - 1 d) x + 2

c) x + 1 e) x+7

4. Factoriza: P(x; y) = x7 + x4y3 + x3y4 + y7 e indica el número de factores primos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8

5. Factoriza: P(x) = 9x4 - 9x2 + 6x - 1 e indica un término de un factor primo. a) 2x b) 3x c) -2x d) -6x e) 10x

6. Factoriza: ab(x2 - y2) + xy(a2 - b2) e indica el número de factores primos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

34

7.

Halla la suma de los términos independientes de los factores primos de: x2 - 2x - xy + y + 1 a) -1 b) -2 d) -4

c) -3 e) -5

8. Factoriza: 2ab + b2 + c2 + 2ac + 2bc e indica la suma de los factores primos. a) a + b + c c) a + b - c d) 2b+2c+2a

b) 2a+2b+c e) 3a+3b+3c

9. Factoriza: P(x; y; z) = (x3+y3+z3)3-x9-y9-z9 e indica el número de factores primos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 8 10. Factoriza: 4x2 - 1 + 12xy + 9y2 e indica un factor primo. a) 2x + 3y c) 2x + 3y + 5 d) 2x + 3y + 2

b) 2x + 3y - 1 e) 2x + 3y + 4

11. Factoriza: (m + n)(m - n) + 4(m + 1) e indica un factor. a) m + n + 2 b) m + 2 d) n + 2

c) m - 2 e) n - 1

12. Factoriza: P(a, b, c) = (a+b+c) (a-b+c) - (a + b) (a - b) e indica un factor primo. a) a b) c c) 2a - c d) 2a + b e) a+c



CAPÍTULO

6

Á lgebra Factorización II

Aspa simple

Divisores Binómicos

Aplicable a polinomios de la forma:

Se utiliza para factorizar polinomios de grado mayor o igual a 3.

P(x;y)= ax2m+bxmyn+cy2n (m;n ∈ Z+) Caso particular: Para trinomios de una sola variable. P(x)= ax2n+bxn+c

Ejemplo: Factoriza: P(x) = x3 + 2x2 - x - 2 1) Determina los posibles valores que anulan al polinomio.

Ejemplos: 1. Factoriza: P(x,y)= 10x2 - 7xy - 12y2  Se descomponen los términos extremos, tal que la suma de los productos cruzados dé el término central: P(x,y)= 10x2 - 7xy - 12y2 5x +4y +8xy 2x - 3y -15xy - 7xy  Los factores se generan en forma horizontal: P(x,y)= (5x+4y)(2x - 3y)

2. Factoriza: P(x)= 2x4 - 5x2+3  Se descomponen los términos extremos: P(x)= 2x4 - 5x2 + 3 2x2 - 3 -3x2 2 x -1 -2x2 -5x2  Generamos los factores así: P(x;y)= (2x2 - 3)(x2 - 1)

 El 2do factor aún es factorizable: P(x)= (2x2 - 3)(x+1)(x - 1) Álgebra - 5to. Secundaria

a) Si el polinomio es mónico se trabaja con: ± (divisores del término independiente) b) Si el polinomio no es mónico se trabaja con: ± Divisores del Término Independiente

(

Ejemplo:

Divisores Coeficiente Principal

)

+1; -1; +2; -2

2) En base a estos valores se realiza evaluaciones en el polinomio, hasta conseguir el valor que logre anularlo; este valor genera un factor de 1.er grado. Ejemplo: P(1) = 13 + 2(1)2 - 1 - 2 = 0 como x=1 ⇒ factor: (x - 1) 3) Para conseguir otro factor se repite el proceso las veces que sea necesario. Ejemplo: P(-1) =(-1)3+2(-1)2- (-1) - 2 = 0 P(-2) =(-2)3+2(-2)2- (-2) - 2 = 0 ⇒ P(x) =(x + 1) (x - 1) (x + 2)

35



3. Factoriza: P(x)= (x+3)4 - 7(x+3)2+6

1. Factoriza: Resolución:

P(x) = (x2+3x)2+6x(x+3)+8

Aplicando "aspa simple", tenemos: Resolución: Introduciendo el factor "x" en el segundo paréntesis se tiene: P(x) = (x2+3x)2+6(x2+3x)+8

Aplicando "aspa simple":

P(x) = (x2+3x)2+6(x2+3x)+8

(x2+3x)

4

(x2+3x)

2

P(x) = (x2+3x+4)(x2+3x+2)

Aplicando "aspa simple" en el segundo paréntesis:

P(x) = (x2+3x+4) (x2+3x+2)

x

2

x

1

P(x)= (x+3)4 - 7(x+3)2+6

(x+3)2

-6

(x+3)2

-1

P(x;y)=[(x+3)2- 6][(x+3)2- 1] Aplicando "diferencia de cuadrados" en el segundo corchete: P(x)=(x2+6x+9-6)(x+3+1)(x+3-1)P(x)=(x2+6x+3)(x+4)(x+2)

4. Factoriza: P(x,y)= x3 + 2x2 - 5x - 6

P(x) = (x2+3x+4)(x+2)(x+1)

2. Factoriza: P(x;y)=x2(x+y)2 - 8xy2(x+y)+12y4

Resolución: Determinemos los posibles ceros del polinomio:

Resolución:

x = ± 1, 2, 3, 6

Aplicando convenientemente leyes de exponentes y la ley distributiva: P(x;y)=(x2+xy)2- 8(x2+xy)y2+12y4 Por "aspa simple", obtenemos:

Si x = -1 ⇒ P(-1) = 0 De donde, (x + 1) es divisor de P(x). Dividendo por el método de Ruffini

P(x;y)=(x2+xy)2- 8(x2+xy)y2+12y4 (x2+xy) - 2y2 (x2+xy) - 6y2

x3 + 2x2 - 5x - 6 x+1 R=0

P(x;y)=(x2+xy- 2y2)(x2+xy- 6y2) Aplicando "aspa simple" en cada paréntesis: P(x;y)=(x +xy- 2y )(x +xy- 6y ) x +2y x +3y x -y x -2y 2

2

2

2

P(x;y)=(x+2y)(x- y)(x+3y)(x- 2y)

36

Esquema: 1 2 - 5 - 6 - 1 - 1 - 1 6 1 1 - 6 0 P(x) = (x + 1) (x2 + x - 6) P(x) = (x + 1) (x + 3) (x - 2) Álgebra - 5to. Secundaria

Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” 5. Factoriza:

OJO POR OJO

DIENTE POR DIENTE

P(x,y)= 12x3 + 16x2 + 7x + 1

Las leyes son un conjunto de normas establecidas que se deben obedecer obligatoriamente.

Resolución:

Determinemos los posibles ceros del polinomio:

x=± 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 2 3 4 6 12

1 Si x = - 2

Actualmente en todos los países existen leyes que reglamentan a la sociedad para así evitar el caos. En las matemáticas, particularmente en el álgebra, existen muchas leyes que nos indican cómo debemos proceder ante algún problema; por ejemplo las leyes de exponentes nos indican cómo debemos operar los exponentes, para ello se utilizan dos operaciones: LA POTENCIACIÓN y LA RADICACIÓN.

1 ⇒ P(- 2 ) = 0

1 de donde (x + 2 ) es divisor de P(x). Dividimos:

Por Ruffini: 12x3 + 16x2 + 7x + 1 . x+ 1 2

12 16 7 1 - - 6 - 5 2

P(x)=(x +

1 -1

12 10 2

0

1 ) (12x2+10x + 2) 2

P(x)=(2x + 1)2 (6x2 + 5x + 1)

2

P(x)=(2x +1) (2x + 1) (3x + 1) P(x) = (2x + 1)2 (3x + 1) Álgebra - 5to. Secundaria

Estela donde se hallan grabadas las 282 leyes del Código de Hammurabi. En la parte superior, el rey Hammurabi (en pie) recibe las leyes de manos del dios Shamash. La estela fue encontrada en Susa, de donde fue llevada como botín de guerra en el año 1200 a. C. por el rey de Elam Shutruk–Nakhunte. Actualmente se conserva en el Museo del Louvre (París).

Durante el gobierno del Rey Hammurabi de Babilonia se elaboró el primer código de leyes escritas que se conoce en la historia de la humanidad. El código de Hammurabi, conocido por la célebre sentencia ‘‘Ojo por ojo, diente por diente’’, está conformado por 282 leyes y decretos. Algunas de las sentencias de este código son:

* Si un ciudadano acusa a otro de homicidio, pero no puede demostrarlo, entonces el que lo acusó será muerto. * Si un niño ha pegado a su padre, a ese niño se le cortarán las manos. * Si un hombre ha destruido el ojo a un hombre libre, a él también se le destruirá un ojo. * Si ha roto un hueso al otro, a él se le romperá un hueso.

37


Resolviendo en clase 1 Luego de factorizar, señala el factor primo de

3

Factoriza: M(x) = (x - 1)4+(x - 1)2- 6

mayor suma de coeficientes.

e indica la suma de coeficientes de un factor

P(x)=12x2 - 29x+15

primo.


Rpta:

Rpta:

2 Halla la suma de los factores primos de:

4

Halla un factor lineal de: x6 + 28x3 + 27

x - 26x +25 4

2

Resolución:

Rpta:

38

Resolución:



5

Calcular el número de las facturas primas

6 Factoriza: a2x2 + (a3 + a2 b + 1)x + a +b

lineales de: P(x) = x4 - 6x3 + 19x2 - 38x + 24 Resolución:

Rpta:

e indica un factor primo. Resolución:

Rpta:

Ahora en tu cuaderno 7. Factoriza: x3 - 2x2 - 5x + 6 e indica la suma de factores primos.

10. ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar P(x)? P(x) = x8 + x4 - 2

8. Dado el siguiente polinomio: x2 + (2a + 7)x + a2 + 7a + 10 señala uno de los factores.

11. Factoriza: P(x) = 6x2n+1+5xn+1 - 6x e indica un factor primo.

9. Factoriza: x8 + x4 + 1 e indica un factor primo.

12. Factoriza: M(x)= x(x +2)(x-1)+ 4(x2-6) e indica un factor primo.


39


Para reforzar 1. Factoriza: 3

7. Factoriza: P(x,y)=25x4 - 109x2y2 +36y4, indicando la suma de sus factores primos.

2

x - 8x + 13x - 6 e indica un factor primo a) x + 6 b) x - 6 d) x + 5

c) x - 3 e) x - 10

2. Factoriza: P(x;y)=(x - y)3-(x - y)2-2(x - y) e indica un factor primo. a) x-y+3 b) x-y+2 d) x-y-8

c) x-y+1 e) x

3. Factoriza: P(x) = (x+1)4 - 5(x +1)2+4 e indica un factor primo. a) x b) x + 7 d) x + 9

c) x + 8 e) x + 12

4. Factoriza: x3+6x + 14x+15 e indica un factor primo. a) x + 2 b) x - 21 d) x + 3

c) 3 - x e) x - 3

5. Factoriza y señala un factor primo de: F(x) =x3- 4x2 - 13x - 8 a) x + 1 b) x + 2 c) x + 3 d) x + 4 e) x + 5 6. Factoriza: 2x3+ x2+x -1 e indica el factor lineal. a) x-1/2 b) 2x+1 d) 2x - 1

40

a) 10x b) 12x+10y d) 10y

c) 12x e) 5x-3y

8. Factoriza: mnx2 + (m2 + n2)x + mn y halla un factor primo. a) mx + m

b) x + 1

d) mx+n

c) nx + n e) x+2

9. Factoriza: 3(x2 + 2xy + y2) - 4x - 4y + 1 e indica un factor primo. a) 3x+3y+1 b) x + y + 1 c) x + y - 1 d) 3x + 3y e) x + y

10. Factoriza: P(x)= x4+2x3 - 2x2 + x + 6 y señala la suma de los factores primos lineales. a) 2x - 1 b) 2x+1 c) 3x - 2 d) 3x + 2 e) 4x+3 11. Señala la suma de los factores primos de: M(a;b;c)= a4- 2(b2+c2)a2+(b2 - c2)2 a) 2a b) 4a c) 2b d) 3c e) 5b 12. Hallar un factor primo de: x4 + 7x3 + 9x2 - 7x - 10

c) x+1/2 e) x+2

a) x - 1 b) x- 5 d) x - 2

c) x + 5 e) x2+x+5


ÁLGEBRA

5

Secundaria

Segundo Bimestre

Í nd i c e

Pág

Capítulo 7. Matrices I

43

8. Matrices II Capítulo 51 Capítulo 9. Determinantes

57

10. Sistema de Ecuaciones Lineales Capítulo 63 Capítulo 11. Sistemas No Lineales

69

12. Inecuaciones Fraccionarias y de Grado Superior Capítulo 74


Á lgebra

CAPÍTULO

7

Matrices I

DEFINICIÓN

Ejemplo:

Se define una matriz como un arreglo rectangular de elementos ordenados en filas y columnas. Así una matriz tiene la siguiente forma general: Donde: a11, a12, ..., a21, ..., am1, am2, ..., amn se llaman elementos de la matriz “A”. Además “aij” es el elemento

…

…

…

ai2 ... aij ... ain …

am1

…

A= a i1

…

…

a12 ... a1j ... a1n a22 ... a2j ... a2n

…

a11 a21

F i l a s

A=

ORDEN DE LA MATRIZ Si una matriz tiene “m” filas y “n” columnas, entonces se dice que esta matriz es de dimensión u orden “m x n” (no se efectúa).

Es aquella matriz que tiene una sola fila, es decir, es de orden “1 x n”. Ejemplo: B = (2 -4 6)1x3 3. MATRIZ NULA Es aquella matriz cuyos elementos son iguales a cero y se denota por ∅. Ejemplo:

Así la matriz “A”, se puede denotar: A = (aij)mxn

donde: m, n ∈ Z+ i = {1; 2; 3; ... ; m} j = {1; 2; 3; ... ; n} Ejemplo: Escribe explícitamente la matriz: A = (aij)2x3 / aij = 2i - j

3x1

2. MATRIZ FILA

am2 ... amj ... amn

Columnas ubicado en la fila “i”, columna “j”.

5 3 -1

∅=

0 0

0 0

4. MATRIZ CUADRADA Es aquella matriz cuyo número de filas es igual al número de columnas. Se denota: A = (aij)nxn o A = (aij)n. Ejemplo:

TIPOS DE MATRICES 1. MATRIZ COLUMNA Es aquella matriz que tiene una sola columna, es decir, es de orden “m x 1”. Álgebra - 5to. Secundaria

0 0

3 A= 5 7

4 2 3

-1 -6 1

Diagonal secundaria

Diagonal principal

43

Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” Traza de una matriz cuadrada

d. Matriz escalar

Es la suma de los elementos de su diagonal principal.

Sea la matriz: n A = (aij) → Traz(A) = ∑ aii i=1

Así, en el ejemplo anterior: Traz(A) = 3 + 2 + 1 = 6

Es aquella matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son iguales, es decir:

A = (aij)n es una matriz escalar si aij = Ejemplos:

Casos particulares de una matriz cuadrada A=

a. Matriz triangular superior Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal son iguales a cero, es decir, A = (aij)n es una matriz triangular superior si aij = 0; ∀ i > j. Ejemplos: 3 0

A=

-4 7 ; B= 0 5 0

0 6 0

3 2 1

Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran encima de la diagonal principal son iguales a cero, es decir, A = (aij)n es una matriz triangular inferior si aij = 0; ∀ i < j.

1 2

5 0 ; B= 0 4 7

0 2 1

0 0 6

c. Matriz diagonal Es aquella matriz que simultáneamente es triangular superior e inferior, es decir, todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros. A = (aij)n es una matriz diagonal si aij = 0; ∀ i ≠ j. Ejemplos:

A=

44

0 3 0

0 0 3

Es aquella matriz escalar, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad y se denota por “In”. In = (aij) / aij =

1; i = j 0; i ≠ j

Ejemplos:

I2 =

1 0

1 0 ; I3 = 0 1 0

0 1 0

0 0 1

RELACIONES ENTRE MATRICES 1. IGUALDAD DE MATRICES

Ejemplos:

3 0 ; B= 0 6 0

6 0

e. Matriz identidad

b. Matriz triangular inferior

A=

k; i = j 0; i ≠ j

Dos matrices son iguales sí y sólo sí son del mismo orden y todos sus respectivos elementos son iguales. Así, dadas las matrices:

A = (aij)mxn ; B = (bij)mxn A = B ↔ aij = bij : ∀ i; ∀ j Ejemplo:

Calcula “x - y” si las matrices son iguales. A=

x - 3y 1

x 2 ; B= y 1

6-y 6-x

2. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ 7 0

2 0 ; B= 0 5 0

0 6 0

0 0 8

La transpuesta de una matriz A (de orden m x n) es una matriz denotada por At ( de orden n x m) que se obtiene cambiando las filas por las columnas de la matriz A. Álgebra - 5to. Secundaria


OPERACIONES CON MATRICES

Ejemplo: 2 3 2 A = 5 4 → At = 3 -1 6

1. ADICIÓN DE MATRICES 5 4

-1 6

3. MATRICES OPUESTAS

Sean las matrices: A = (aij)mxn ; B = (bij)mxn luego la matriz suma de “A” y “B” es:

Dos matrices son opuestas si son del mismo orden y además sus respectivos elementos son opuestos. Ejemplo:

A + B = (aij + bij)mxn

Ejemplo: 2 A= 0 1

-1 3 6 -1 → su opuesta es: 4 1 -2 1 -3 -A = 0 -6 1 -1 -4 -1

4 A= 1 3

-1 -5 6 5 ; B= 3 2 2 2 -4

4-5 -1+6 -1 5 → A + B = 1+3 5+2 = 4 7 3+2 2-4 5 -2

4. MATRIZ SIMÉTRICA Si una matriz es igual a su transpuesta, se llama matriz simétrica.

Observación * A - B = A + (-B) * A + ∅ = ∅ + A = A

Ejemplo:

* A + B = B + A 7 3 2 7 A = 3 -1 4 → At = 3 2 4 -5 2

3 2 -1 4 4 -5

* (A + B) + C = A + (B + C)

como: A = At → “A” es simétrica. 5. MATRIZ ANTISIMÉTRICA Si una matriz es igual al negativo de su transpuesta, se llama antisimétrica. Ejemplo:

0 -2 3 0 2 -3 A = 2 0 -4 → AT = -2 0 4 -3 4 0 3 -4 0 0 -2 3 → -AT = 2 0 -4 -3 4 0 como: A = -At → “A” es antisimétrica. Álgebra - 5to. Secundaria

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, etc. La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, y que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas; hojas de cálculo, bases de datos, entre otros.

45



Resolución:

1. Dadas las matrices:

A=

1 0

4 -1 0 ; B= ; 3 1 2

2 1 -1 0

C=

calcula 3A - 2B + C. Resolución:

a11 a12 a13 a21 a22 a23

A=

1+1 1x2 1x3 2+1 2+2 2x3

A=

2 2 3 3 4 6

4. Sea la matriz:

Reemplazando las matrices: 4 -1 0 2 1 -2 + 3 1 2 -1 0

1 3 0

A=

efectuando:

-1 2 1 A = 3 2 1 , calcula 3A - 2I. 1 -2 0 Resolución:

3 12 + 2 0 + 2 1 0 9 -2 -4 -1 0

-3 6 3 3A = 9 6 3

5 12 2 1 + -2 5 -1 0

3 -6 0 2 0 0 2I = 0 2 0 0 0 2

7 13 -3 5 2. Dado el polinomio: f(x) = 3x2 - 5x - 2 y además

A=

1 3

-5 6 3 ⇒ 3A - 2I = 9 4 3 3 -6 -2

2 . Halla f(A). 1

Resolución:

5. Si:

Reemplazando el valor x = A, en el polinomio y la identidad 1 del polinomio por I (matriz identidad), obtenemos: f(A) = 3A2 - 5A - 2I

A2 = A . A = 1 3

2 1

= 7 6

4 7

1 3

2 1

1 3 x+y= 2 1 4 -1

Luego:

f(A) =

7 6

4 1 -5 7 3

2 1 -2 1 0

0 1

21 12 -5 -10 -2 0 + + 18 21 -15 -5 0 -2

sumando las matrices obtenemos: f(A) = 14 2 3 14 3. Construye la matriz: a =i+j;i≥j A = (aij)2x3 / a ij = i . j ; i < j ij

46

calcula xT. Resolución:

Calculamos:

f(A) = 3

1 3 3 -1 x + y = 2 1 ∧ x - y = -4 -1 4 -1 2 3

3 -1 x - y = -4 -1 2 3 4 1 (2x) = -2 2 6 2 x = -1 3 ⇒ xT =

2 1 0 . 2 2 1 0 1

2 -1 3 1 0 1




Construir la matriz:

A = [aij]2 × 3

a = i + j; si : i ≥ j / aij = ij; si : i < j ij

3

Si:

1

3

 X + Y = 2 1 4 - 1

3

- 1

 2

3 

X – Y = - 4 - 1

Hallar: Xt

Resolución:

Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

4

Dada: - 1

 A= 3  1

2 2

1  1 - 2 0 

Si:

− 1 − 2 − 2   A = 1 2 1  − 1 − 1 0 

Hallar la traza de (A2).

Calcular: 3A – 2I Resolución: Resolución:

Rpta:


47


5

Dada la matriz:

 2 1  A =   0 1

6

Hallar la inversa de la matriz: 1 2 A =   3 9

Además: P(x) = x2 – 5x +2

Resolución:

Dar la suma de elementos de P(A). Resolución:

Rpta:

Rpta:

Ahora en tu cuaderno 7. Hallar la suma de los elementos de “X”, tal que:

- 2 1 - 2 5  =   1 - 4 0 

X.  2

8. Sean las matrices: 2 x − 1 y  5 − y 2 − x  A =   ; B =   y 3 − y 2 2    x + 1

48

− 2 5  C =  .  4 − 1

9. Si la matriz:

 1 - y 3   2 -1 z  x 5 6  

es simétrica. Hallar “x - y + z”

10. Dada la matriz:

2 0  1 1 

A = 

Hallar la suma de los elementos de la matriz conmutable con “A”, cuya determinante sea 35 y cuya traza sea 12.

Hallar “A + C”, si: A = B



11. Dada la matriz:

12. Dada la matriz: 3 0  A =  1 2 

0 1 0   A = 0 0 2 3 0 0  

Calcular la suma de elementos de "An".

Calcular la suma de los elementos de: A40.

Para reforzar 1. Hallar:

3. Dados: (x – y)(z – w)

si:

2x - z w - y  1 2  =   z - x w + y  2 6 

a) 1 b) 2 d) 6

Determinar “AB”

c) 4 e) 3

0 1 

a)   2 4 

- 1 2   2 5

1

2

A =   - 1 0 

1

1 - 1  3 6 

b) 

c) 

d)  

e)  1

1 - 1 3 5 

2. Dados:

1 1    B = 2 3 1 2

2 1 - 3 A =   3 - 2 4 

2 - 2  5 

0

B=   - 1 2

Si: P(x, y) = 2x – y + 3

4. Hallar la matriz inversa de:

Determinar: P(A, B) 4 4  - 3 - 1

 3 3  4 1 

4 4  - 1 1 

b) 

c) 

d)  

e) 

a) 

 2 - 2 4 4 


- 1 - 1  3 3

8 2 

A=   7 2

señalar la traza de dicha matriz inversa. a) 1 b) 2 d) 5

c) 7 e) 10

49


5. Hallar la matriz "X" que resuelve: 1 3 11 4   .X =  2 1  7

9. Hallar los valores de "a", "b", "c" y "d", tal que: b+4   a−2   t 2

 3

A − A =  2c − 4 

Dar como respuesta la suma de sus elementos. a) 2 b) 1 d) 7

 2 − 1  A =  1 3 

c) 3 e) N. A.

2  2  y F(x) = x – 3x + 2 1 − 2  

Hallar la suma de elementos de la diagonal principal de F(A). a) 2 b) 14 d) 18

c) 16 e) N. A.

 x − 3y A=  1

x 2 6 − y   ; B=  y y 1 6 − x 

− 4 − 8 C =   3   2

Si: A = B, hallar “3A + 2C” − 1 − 1  9 7

− 2 9   6 9

a) 

0 1 2  x  8       2 0 1   y  = 5  1 1 0   z  3

c) 

d)  

e) 

− 2 − 1 9 8

c) 3 e) N. A.

aij = 0 ↔ i = j A = (aij ) 2 x 3 aij = 1 ↔ i < j aij = 2 ↔ i > j

0 2  

6 1   1 4 

 2 0 − 3 0 

 0 2  − 3 6 

b) 

d)  

50

2 1  

b ij = 1 ↔ i ≠ j

 0 3  

b) 2 0  2 2  

 2 3   0 1 d)  2 2  

Hallar "x". a) 

b ij = 0 ↔ i = j

Calcular: At + B a) 3 0

Donde: x, y ∈ K2x2 Además: 6 − 3  12 8 A =   ∧B =   7 4  − 7 8

1 4   6 1 

c) 

e) N. A.

− 2 − 1  9 7

11. Sean las matrices:

B = (b ij ) 3 x 2

8. Resolver el sistema: x – 2y = A 2x + 3y = B

− 2 − 1  6 7

b) 

Hallar “x + y + z” a) 1 b) 2 d) 6

c) 2 e) 3

10. Sean las matrices:

7. Si:

Dar como respuesta "a + b + c + d". a) 0 b) –1 d) –2

6. Si: A = 1

 3d − 1   2 

 0 3  

c)  2 0  1 1   

0 1   e)  2 0   3 3  

12. Dada la matriz “A”, calcular: A3 – 6A.

2 2

A=   1 0 

a) A b) 2 A d) 3 I

c) 2 I e) 4 I



Á lgebra

CAPÍTULO

8

Matrices II

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

POTENCIACIÓN DE MATRICES

1. MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

DEFINICIONES * Dado una matriz cuadrada A y n ∈ N / n ≥ 2; definimos:

Definamos el producto de multiplicar un escalar (cualquiera) por una matriz de un cierto orden, como aquella matriz del mismo orden cuyos elementos se encuentran multiplicando por ese escalar. Sea: A = (aij)mxn ⇒ kA = (kAij)mxn / k ∈ R Ejemplo:

An = A A ... A “n veces”

* A1 = A

Sean A y B matrices del mismo orden. * Si AB = BA se dice que A y B son conmutativas.

1 3 Sea A = 0 -2 4 2

* Si AB = -BA entonces A y B son anticonmutativas. c11 = 2(-1) + (-3)(5) = -17 c12 = 2(0) + (-3)(-2) = 6 c13 = 2(1) + (-3)(3) = -7 c21 = 6(-1) + 4(5) = 14 c22 = 6(0) + 4(-2) = -8 c23 = 6(1) + 4(3) = 18

-6(1) -6(3) ⇒ (-6)A = -6(0) -6(-2) -6(4) -6(2) -6 -18 = 0 12 -24 -12 2. MULTIPLICACIÓN DE DOS MATRICES Definimos el producto de multiplicar la matriz A = (aij)mxr por la matriz B = (bjk)rxn (en ese orden), a la matriz denotada por AB = C = (cik)mxn. Donde el elemento cik se calcula multiplicando la i-ésima fila de A por la k-ésima columna de B. Es decir:

n

AB = C = (cik)mxn / cik = ∑ aij . bjk j=1

Ejemplo: 2 -3 Sean A = 6 4

B=

2x2

-1 0 1 5 -2 3

;

2x3

c c c ⇒ C = AB = c11 c12 c13 21 22 23 Álgebra - 5to. Secundaria

∀ matriz A

\ C=

-17 6 -7 14 -8 18

PROPIEDADES Sean A, B y C matrices del mismo orden y {λ; δ} escalares para los cuales están definidas las operaciones de multiplicación con una matriz. Entonces se verifican: I.

A+B=B+A (A + B) + C = A + (B + C) λ(A + B) = λA + λB (λ + δ)A = λA + δA -A = (-1)A

II. A(BC) = (AB)C (A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC AB = 0 no implica que A = 0 ∨ AB = AC no implica que B = C

B=0

51


EJERCICIOS RESUELTOS 2 -1 4 8 1 1. Si A = -1 2 y B = halla traza(AB). 2 -1 3 0 1 Resolución: Como A y B son conformes a la multiplicación, sea: C = AB = [aibj]3x3 donde ai es la i-ésima fila de A y bj es la j-ésima columna de B. Entonces: traza(AB) = a1b1 + a2b2 + a3b3 traza(AB) = (8 - 2) + (-8 - 2) + (0 + 3) = -1 \ traza(AB) = -1

Luego PQ = QP → P y Q son conmutables o permutables, a b c d b a y d c son conmutables o permutables. 4. Dadas las matrices 2 -3 -5 -1 3 5 A = -1 4 5 ; B = 1 -3 -5 1 -3 -4 -1 3 5 2 2 2 calcula (A + B) y A + B . Resolución:

1 -1 1 1 2 3 2. Siendo A = -3 2 -1 y B = 2 4 6 , calcula -2 1 0 1 2 3 AB y BA. Resolución:

Calculemos previamente A2 y B2. 2 -3 -5 2 -3 -5 A2 = -1 4 5 -1 4 5 1 -3 -4 1 -3 -4 2 -3 -5 = -1 4 5 1 -3 -4 = A → A2 = A

1 -1 1 1 2 3 * AB = -3 2 -1 2 4 6 -2 1 0 1 2 3 0 0 0 = = 0 (Matriz nula) 0 0 0 0 0 0 Nótese que AB = 0 no implica que necesariamente A = 0 ó B = 0. 1 2 3 * BA = 2 4 6 1 2 3

1 -1 1 -3 2 -1 -2 1 0

-1 3 5 B2 = 1 -3 -5 -1 3 5

-1 3 5 1 -3 -5 -1 3 5

-1 3 5 = 1 -3 -5 -1 3 5 = B → B2 = B Además, observa que A + B = I.

11 6 -1 = -22 12 -2 -11 6 -1

Luego (A + B)2 = I2 = I A 2 + B2 = A + B = I

De donde AB ≠ BA, en forma general. 3. Demuestra que las matrices

a b b a

c d d c

son

permutables; ∀ a; b; c y d. Resolución: Siendo P =

a b c d yQ= b a d c

deseamos demostrar que PQ = QP PQ = = QP = =

52

a b b a

c d d c

ac+bd ad+bc bc+ad bd+ac c d d c

a b b a

ac+bd bc+ad ad+bc bd+ac

Los ordenadores analógicos comenzaron a construirse a principios del siglo XX. Los primeros modelos realizaban los cálculos mediante ejes y engranajes giratorios. Con estas máquinas se evaluaban las aproximaciones numéricas de ecuaciones demasiado difíciles como para poder ser resueltas mediante otros métodos. Durante las dos guerras mundiales se utilizaron sistemas informáticos analógicos, primero mecánicos y más tarde eléctricos, para predecir la trayectoria de los torpedos en los submarinos y para el manejo a distancia de las bombas en la aviación.




Si A = 1 3

2 4

C= 2 4

3 5

;B= 4 2

3 ; 1

3

Si: A = (aij)4x3 / aij =

2;i=j -1 ; i ≠ j

Calcula la suma de los elementos de “A”.

Halla “X”, si: 2(X - 3A) = (B - C) + 4(X - A - B)

Resolución:

Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

Sea la matriz A = (aij) 2x2 definida de la

4

Escribe explícitamente la matriz:

siguiente forma:

aij

i-j ; ij

i A = (aij)2x3 / aij = 3 - j ; i ≥ j i-j;i
Resolución:

Halla la traza de “A”. Resolución:

Rpta:


53


5

Sea: A = 1 0 , B = 2 0 1 1 1 1 y

6

C= 2 1 ; 3 1

Sea P(x) = x2 + 2x + 1 Halla P(A) si: A = 1 2 0 0 Resolución:

Halla (ABC) Resolución:

Rpta:

Rpta:

Ahora en tu cuaderno 7. Sea P(x) = x2 + 3, halla P(A) Si: A = 1 1 3 1

8. Dado A = 3 0 2 1

54

y P(x) = x2 + 2x + 1, halla: P(A) + A2

1 0 a C= c

9. Sea A =

1 1 0 , B = 0 0 0 b ; d

y

donde A3 + B3 = C, halla a + b + c + d

10. Dado P(x) = x2 - 6x + 7, halla “n” sabiendo que P(A) = nI, donde: 5 m A= 0 1



11. Calcula la traza de (A . B) si:

12. Halla la matriz “X” que resuelve:

senq cosq -cosq senq

A=

B = senq -cosq cosq senq

1 3 11 4 .X= 2 1 7 3 Da como respuesta la suma de sus elementos.

Para reforzar

3. Sea: 1 1 1 0 A= , B= 2 3 0 2

1. Si:

A = 5 -7 3 -4

C=

y

Halla ABC.

Halla f(A) sabiendo que f(x) = x3 - x2 + x + 3.

a) 11 -14 6 -7

b) 10 -14 6 8

c) 5 -7 3 -4

2. Dada la matriz “A”, calcula A - 6A. 3

A=

2 2 1 0

a) A

b) 2A

d) 3I


c) 2I e) 4I

a) 3 0 0 6

b) 7 2 0 8

7 2 d) 18 6

3 0 e) 0 3

-11 -14 d) -6 -7

3 0 ; 2 1

4. Sea: 1 0 A = 0 1

,

B=

c) 7 2 8 6 e) 6 2 7 9

2 0 1 0

x y ; z w

y C =

Halla xy + zw si A3 + B3 = C. a) 0 b) 1 d) 3

c) 2 e) 4

55


5. Dadas las matrices: 1 0 C= y 1 1

9. Calcula a + b + c + d si: D=

1 1 0 1

entonces puedes afirmar que (C8 . D9) es:

1 9 a) 8 73

71 8 b) 9 1

73 9 e) 8 1

71 9 e) 8 1

A=

, B =

C=

1 0 0 1

, AB = C

b) -1 -1 0 1

-1 0 d) 1 -1

1 0 1 1 ; B= 1 0 0 0 d) 0 -1 1 1

0 -1 e) 1 1

c) 915 - 815 e) 0

1 2 4 a) 3 1 -1

0 -a ; a 0

entonces el valor de M1003 es:

A=

y la función f(x) = x2 - x - 1, halla traz(f(A)).

0 -1 c) a1003 1 0

a) 5 b) 7 d) 14

1 -1 d) a1003 0 1

56

-1 -1 3 3 0 2

2 -1 3 1 1 2 d) e) 1 0 1 2 -1 0 12. Se tiene la matriz M =

c) 10 e) 17

b)

c) -1 3 1 2 1 -2

e) -1 1 1 0

4 3 1 2

c) 1 1 1 0

3 -1 X - Y = -4 -1 , halla XT. 2 3

c) -1 -1 1 0

8. Dada la matriz:

b) 0 1 0 1

1 3 11. Si X + Y = 2 1 , 4 -1

Calcula (A - B)2. a) -1 -1 1 0

A=

a) 0 1 -1 1

Halla la suma de los elementos de la matriz A .

0 1 1 0 y BA = ; 1 0 1 -1

c) 15 e) 25

10. Calcula la matriz “X”, tal que A31+XB32=XA33; donde:

15

AB =

a b c d

a) 5 b) 10 d) 20

9 1 0 8

3 -2 -3 2 7. Si: A2 = , B2 = , 1 3 1 -3

2 5 5 13

a) 915 + 815 b) 2 . 915 d) 2 . 815

A=

72 8 c) 9 1

6. Si:

-1 0 1 0 a) a1003 b) a1003 0 1 0 -1

0 1 e) a1003 -1 0



CAPÍTULO

9

Á lgebra Determinantes

DEFINICIÓN El determinante viene a ser una función que aplicada a una matriz cuadrada lo transforma en un escalar. Usualmente el determinante de una matriz cuadrada A lo denotamos por |A| o det(A).

DEFINICIÓN DEL DETERMINANTE PARA UNA: 1. MATRIZ DE ORDEN UNO Se llama determinante de una matriz de primer orden, formada por el elemento a, al propio elemento a. Ejemplo: Sea A = (-4) ⇒ |A| = -4 2. MATRIZ DE ORDEN DOS Sea A = (aij)2 ⇒ |A| =

a11 a12 = a11a22 - a21a12 a21 a22

Ejemplo: Sea M =

3 -4 3 -4 ⇒ |M| = 5 7 5 7

= 3(7) - (5)(-4) = 41

3. MATRIZ DE ORDEN TRES

Sea B = (bij)3

b11 b12 b13 B = b21 b22 b23 b31 b32 b33

b22 b23 b12 b13 b12 b13 =b11 b b -b21 b b +b31 b b 32 33 32 33 22 23 Álgebra - 5to. Secundaria

PROPIEDADES Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden: 1. det(A + B) ≠ det(A) + det(B) 2. det(AB) = det(A) det(B) 3. det(A) = det(At) 4. Un determinante en el que los elementos de dos columnas (o filas) son respectivamente proporcionales, es igual a cero. 5. Cuando se permutan dos columnas (o filas) el determinante cambia de signo. 6. Un determinante en el cual todos los elementos de una fila o columna son ceros; es igual a cero. 7. Si se multiplican todos los elementos de una fila (o columna) del determinante por un escalar, el mismo determinante queda multiplicado por dicho escalar. 8. El determinante no varía si a todos los elementos de una fila (o columna) se le añade el múltiplo de otra fila (o columna). 9. Si a todos los elementos del determinante se le multiplica por un escalar a, el determinante de la matriz queda multiplicado por an donde n es el orden de la matriz.

57


EJERCICIOS RESUELTOS 5 8 1. Calcula |A| = 9 8 5

4 8 9 8 5

3 6 9 8 5

2 4 6 8 5

1 2 3 4 5

Resolución: Efectuando las siguientes transformaciones: c1 - c2 ; c2 - c3 ; c3 - c4 y c4 - c5, se obtiene: 1 0 |A| = 0 0 0

1 2 0 0 0

1 2 3 0 0

1 2 3 4 0

3 4 1 2

4 1 2 3

Luego: |A| = (a+b+c)(-a-b-c)(-a-b-c) |A| = (a + b + c)3

Sumando todas las columnas en la primera y luego, sacando factor común, se tiene: 2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

1 = 10 . 1 1 1

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

Restando la primera fila de las demás y luego f3 - 2f2 y f4 + f2, resulta: 1 0 |A| = 10 . 0 0

2 1 2 -1

3 1 -2 -1

4 -3 -2 -1

1 0 = 10 . 0 0

2 1 0 0

3 1 -4 0

4 -3 4 -4

4. Halla “x”. 1 1 x a x 0 x 0

1 0 b 0

|A| = 10 . 1 . 1 . (-4)(-4) \ |A| = 160

1 0 =0 0 c

Resolución: Efectuando f4 - cf1, se tiene: 1 1 1 x a 0 x 0 b x-c -c -c

1 0 =0 0 0

x a 0 - x 0 b =0 x-c -c -c

Desarrollando por la regla de Sarrus: ab(x - c) + bcx + acx = 0 Luego:

Luego:

58

a+b+c a+b+c a+b+c b-c-a 2b |A| = 2b 2c 2c c-a-b

1 0 0 2b -a-b-c 0 |A| = (a+b+c) 2c 0 -a-b-c

Resolución:

10 10 |A| = 10 10

Sumando todas las filas a la primera y luego sacando factor común de ésta, se tiene:

Restando la primera columna de las otras:

|A| = 5! = 120 2 3 4 1

Resolución:

1 1 1 2b b-c-a 2b = (a+b+c) 2c 2c c-a-b

1 2 3 4 5

=1.2.3.4.5

1 2 2. Calcula |A| = 3 4

a-b-c 2a 2a 3. Halla |A| = 2b b-c-a 2b 2c 2c c-a-b

x=

abc ab + bc + ac Álgebra - 5to. Secundaria



Hallar el determinante de la matriz:

3

Si “A” es de orden 4 y |A| = 2. Calcular el valor de |2A|.

1 2 3   A = 4 5 6  7 8 9

Resolución:

Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

Si:

a b =0 c d

4

Calcular el determinante: 1 1 1 5 7 10 25 49 100

Calcular: a+b b a a+b + c+d d c c+d

Resolución:

Resolución:

Rpta:


59


5

6

Si: 8

2

−1

− 3 x − 6 = 425 1

7

2

Si:

3 2   - 2 5  .X =   1 1   - 4 0

Calcular: |X|

Obtener "x + 1". Resolución: Resolución:

Rpta:

Rpta:

Ahora en tu cuaderno 7. Resolver:

9. Hallar la solución de la ecuación: 3 2 x + 10

x −x −1 3 = 6 1

1

8. Calcular “x” si se cumple lo siguiente: sen x cos x 1 π = ; x+y= sen y cos y 2 3

60

x –1 x x x x+2 x =0 x x x+3

10. Resolver: 3 –2 1 1 x –2 = 2 –1 2 –1



11. Hallar:

12. Hallar los valores de "k" para los cuales: 5 4 5 −1 8 −2 8 2

1

6

3

6

5

4

3

1

3

7

−2

7

k k +2 k −2 = 0 k

8

Para reforzar

3. Calcular:

1. Calcular:

a b c c a b b c a

1 1 1 35 37 34 23 26 25

a) a3 + b3 + c3 b) a3bc + b3ca + c3ab

a) 8

c) a + b + c

d) – 14

2

2

2

b) 6

c) 7 e) – 16

d) a + b + c - 3abc 3

3

3

e) a3 + b3 + c3 + 3abc

4. Calcular el valor de: 2. Hallar el valor de “x”:

1 2 3 3 1 1 2 1 2 4 3 0

x 2 1

a) 1

0 1 1 =0 1 3 2

b) 2

d) – 1


1 2 3 8

c) 3

a) - 2

b) 6

c) 15

e) – 2

d) 12

e) 30

61


5. A que es igual:

9. Calcular:

1 a a2 2

1 b b 1 c c2

1 1 1+ m 1 1 1+ m

a) m b) n d) m–n

a) (b – c) (c – a) (a – b) b) abc (a + b + c) c) a2 + b2 + c2 d) ab + ac + bc e) abc (ab + ac + bc)

6. Calcular:

1 1 1

c) m+n e) m·n

10. Calcular:

1 z −y −z 1 x y −x 1

Q=

m+n 2n – 2m m + n

m – n –2n 2m m – n

a) m b) n d) m – n

a) x + y + z b) –(x + y + z) c) x2 + y2 + z2 + 1 d) x2 + y2 + z2 e) x2 + y2 + z2 – 1

c) m+n e) 2m

11. Si “x” cumple la igualdad:

2 3 1 2 x –1 1 = ( x – 2 ) 1 x 2

halle “y” de la siguiente igualdad: 7. Resolver:

x 1 1 2 1 x =x y x 2

15 − 2 x 11 10 11 − 3x 17 16 = 0 7 − x 14 13

a) 5 b) 3 d) 6

c) 4 e) 2

8. Calcular el valor de la determinante: 3 |A| = 8

4 7

2 −1

a) 0 b) 1 d) 3

62

−5 −2

a) 1 b) 0 d) –2

12. Calcular:

1 x

c) –1 e) –3

x

x

x

0 2 x

x

x

|B | = 0 0 3 x x 0 0 0 4 x 0 0 0 0 5

8

c) 2 e) 4

a) 120 b) 110 d) 90

c) 100 e) 80



Á lgebra

CAPÍTULO

10

Sistema de Ecuaciones Lineales

SISTEMAS Es el conjunto de ecuaciones que verifican simultáneamente para los mismo valores de sus incógnitas.

Incógnitas: x1 , x2 , x3 Coeficientes: a1, a2, a3, ..., d1, d2, d3 Para resolver estos sistemas se utilizan generalmente los siguientes métodos:

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA Conjunto de valores de todas sus incógnitas que al ser sustituido en las ecuaciones las convierten en identidades.

1. Reducción (Gauss) 2. Sustitución 3. Igualación 4. Determinantes (regla de Cramer) 5. Matricial 6. Por gráfico

Conjunto Solución (C.S.) Es la unión de todas las soluciones de un sistema. Ejemplo: * *

x+y=9 x-y=3 Solución: (6; 3) C.S. = {(6; 3)} 2

2

x + y = 13 x . y = -6 Solución: (3; -2)(-3; 2)(2; -3) (-2; 3) C.S. = {(3; -2)(-3; 2)(2; -3) (-2; 3)}

Sistema de Ecuaciones Lineales Es el sistema en el cual cada una de sus ecuaciones es de primer grado. Ejemplo: *

a1x1 + b1x2 + c1x3 = d1 a2x1 + b2x2 + c2x3 = d2 a3x1 + b3x2 + c3x3 = d3 Solución: (r, s, t) Álgebra - 5to. Secundaria

Sistema de dos Ecuaciones con dos incógnitas

Regla de Cramer:

a x+b y=c Sea el sistema : a 1x + b 1y = c 1 2 2 2

El conjunto solución es: x=

Dx D sistema

;

y=

Dy D sistema

donde: D sistema = Determinante del sistema D x = Determinante de x D y = Determinante de y D sistema =

a 1 b1 a 2 b2

= a1b2 - a2b1

Dx=

c1 b1 c2 b2

= c1b2 - c2b1

Dy=

a 1 c1 a 2 c2

= a1c2 - a2c1

63

Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” ANÁLISIS GRÁFICO DEL SISTEMA

Ejemplo:

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

Resuelve: 5x + 3y = 5 4x + 7y = 27 5 3 27 7 5 x 7 - 27 x 3 x= = 5x7-4x3 5 3 4 7 35 - 81 = = -2 35 - 12 5 5 4 27 5 x 27 - 5 x 4 y= = 5x7-4x3 5 3 4 7 135 - 20 = =5 35 - 12 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS 1. Sistema Compatible

1. Determinado Si:

[2]

[1] x

2. Incompatible Si:

[2]

x 3.Indeterminado Si:

b. Sistema Compatible Indeterminado

[2]

Las rectas están superpuestas [1]

x


Ejemplo: x + y + z = 10 2x + 3y + 5z = 20

2. Sistema Incompatible Es aquel sistema que no admite solución. Ejemplo:

64

a1 b1 c1 a2 = b2 = c2

y

Es cuando el número de soluciones es ilimitado; generalmente un sistema es de este tipo cuando el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas.

Las rectas son paralelas [1]

2x + 10y = 12 8x - 7y = 5

a1 b1 c1 a2 = b2 ≠ c2

y

a. Sistema Compatible Determinado

Ejemplo:

Solución única

(x0, y0)

Es aquel sistema que admite por lo menos una solución. Estos sistemas pueden ser:

Se conoce así cuando el número de soluciones es limitado, generalmente un sistema es de este tipo cuando el número de ecuaciones es mayor o igual al número de incógnitas.

a1 b1 a2 ≠ b2

y

x+y+z=9 y - z + 2x = 9 2x - y = 1

1. Resuelve: 2x + 5y = -24 ... (I) 8x - 3y = 19 ... (II) Resolución: Si multiplicamos la ecuación (I) x 3 y (II) x 5; se obtiene: 6x + 15y = -72 40x - 15y = 95 46x = 23 x = 23/46 x = 1/2 Álgebra - 5to. Secundaria

Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” Reemplazando en (I): y=

(-24 - 2(1/2)) 5

4. Si el sistema: mx + ny = 3 3x + 2y = 1 tiene infinitas soluciones, indica el valor de:

y = -5

m-n 3

E= Resolución:

2. Resuelve: 5x + 2y = 4 ... (I) 7x - 3y = -6 ... (II)

Si el sistema es compatible indeterminado, entonces se cumple: m/3 = n/2 = 3/1

Resolución: De donde m/3 = 3 ⇒ m = 9 n/2 = 3 ⇒ n = 6

Despejamos “x” de la ecuación (I) x=

4 - 2y ... (III) 5

Finalmente:

m-n 9-6 = = 1 3 3

5. Calcula “m” si el sistema es incompatible: En la ecuación (II) reemplazamos (III) obteniendo: 7

( 4 -52y )- 3y = -6

(m - 17)x - 20y = m - 13

3x + my = 2

Resolviendo esta ecuación obtenemos: y = 2.

Resolución:

Para halla “x” en la ecuación (III) reemplazamos “y” por 2 obteniendo:

Si el sistema es incompatible, entonces se cumple:

x = 4 - 2(2) → x = 0 5 3. Luego de resolver: 4/m + 2/n = 6 3/m + 2/n = 5 indica (m + n). Resolución: Sea x = 1/m ∧ y = 1/n se tiene: 4x + 2y = 6 ... (I) 3x + 2y = 5 ... (II)

m - 17 = -20 ≠ m - 13 3 m 2 De la igualdad: m(m - 17) = -60 m2 - 17m + 60 = 0 (m - 12)(m - 5) = 0 \ m = 12 ∨ m = 5

Pero m - 13 ≠ -20 3 m ⇒ m2 - 13m ≠ -40

Restando (II) de (I) se obtiene: x = 1 ⇒ 1/m = 1 ⇒ m=1 Reemplazando en II: 4(1) + 2y = 6 y=1 1/n = 1 n=1 \ m+n=1+1= 2 Álgebra - 5to. Secundaria

m2 - 13m + 40 ≠ 0 (m - 5)(m - 8) ≠ 0 De ahí: m ≠ 5 ∧ m ≠ 8 Finalmente: m = 12

65



Resuelve:

3

Resuelve:

7x + 8y = 29

3x - 25 = 2y

5x + 11y = 26

3y + 5 = -2x

e indica “x + y”. Resolución: Resolución:

Rpta:

2

Del sistema:

4

El par (2; 1), verifica el sistema:

3(x + 2) - 3(y - 4) = 12

ax + by + 10 = 0

2(x - 3) + 4(y - 3) = 8

ax - by + 2 = 0

halla “5x + y”.

halla “a - b”.

Resolución:

Resolución:

Rpta:

66

Rpta:



5

6

Dado:

nx + 3y = 2n + 3

2x + (n - 1)y = 4n - 6

Resuelve:

x+1 -3=0 y

sea compatible indeterminado.

3 1 x + = 2 2 y+1

Resolución:

indicando el valor de “x - y”.

determina el valor de “n” para que el sistema

Resolución:

Rpta:

Rpta:

Ahora en tu cuaderno 7. En el siguiente sistema: ax + 2y = 12 6x - 5ay = -12 determina el valor de “a” de modo que “x” e “y” tengan el mismo valor.

10. Calcula el valor de “λ” en el sistema si el conjunto solución es: {(n+12; n)}

8. ¿Para qué valores reales del parámetro “k” el sistema tiene solución única? 3x + (k - 2)y = k + 3 3x + 5y = 8

11. Halla “y” en:

9. Dado el sistema: 3x + 2y = a + 2 2x - 3y = 2a - 1 determina el valor de “a” para que “x” valga el doble de “y”.

12. Halla “y” en:


3x - 2y = λ 2x + 3y = λ

2x + 5y = -24 8x - 3y = 19

6 x+2 9 + x+2

8 = -2 y-3 2 =4 y-3

67


Para reforzar 1. Halla 3x + 3y si: 2x + 3y = 20002 x + 2y = 19992 a) 3 999 b) 1 333 d) 6 000

7. ¿Qué valor debe tener “a” para que “x” sea igual a “y” en el siguiente sistema? ax + 4y = 119 5x - ay = 34 c) 1 1997 e) 1 999

2. Resuelve:

c) 1/6 e) 1

3. Resuelve: x(3 + y) = y(5 + x) - 25 4(3 - y) = 2(x - 2) + 18 - 2y a) (-3; 2) b) (5; -2) d) (-15/4; 11/4)

c) 12 e) 20

5. Halla el valor de “m” para que el sistema no tenga solución. (5m + 1)x + (5m + 2)y = 7 (3m - 2)x + (3m - 1)y = 4 a) 0 b) -1/2 c) -3/2 d) 3/2 e) 1/2 6. Halla (m + n) para que el sistema sea compatible indeterminado. 5x + 3y = 1 mx - ny = 4 a) 5 b) 6 d) 8

68

a) 9 b) 7 d) 13

c) 7 e) 10

c) 10 e) 5

9. Si el par ordenado que verifica: nx + y = 4 y + mx = 2 es (1; 2), halla “nm”.

c) (-5; 2) e) (-3; 0)

4. Resuelve: 20/x - 12/y = 3 8/x + 30/y = 7 indica “x + 2y”. a) 10 b) 16 d) -4

c) 3 e) 5

8. Si el sistema es compatible indeterminado, calcula a + b. (a - 3)x + (b - 2)y = 8 (a + 1)x + (b + 4)y = 24

10x + 9y = 8 8x - 15y = -1 y da como respuesta “x + y”. a) -5/6 b) -1/6 d) 5/6

a) 1 b) 2 d) 4

a) 1 b) 2 d) -1

c) 0 e) -2

10. Resuelve: 3x - 2y + 1 = 0 7y + z - 4 = 0 2x + 4z + 3 = 0 si (x, y, z) es solución del sistema. Calcula el valor de: a) -1 b) 3 d) 0

c) 5 e) 1

11. La suma de dos números es 191. Si el mayor se divide por el menor, el cociente es 4 y el residuo es 16. Entonces la diferencia positiva de dichos números es: a) 100 b) 102 c) 121 d) 132 e) 156 12. Resuelve:

y 2(x + a) - b = 2a

bx + y - 2b = -b indicando el valor de “y”. a) 1 b) 2 d) b/3

c) 2b/3 e) b/4



CAPÍTULO

11

Á lgebra Sistemas No Lineales

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Es el conjunto de dos o más ecuaciones en el cual las expresiones matemáticas que intervienen en el sistema pueden ser algebraicas o no algebraicas. Ejemplos:

y = x2 2x + 5y = 20 Sistema algebraico

log(2x) + y = 5 1/2 yx + 5y = 20 Sistema no algebraico Para poder resolver el Sistema de Ecuaciones No Lineales no existe un método general; sin embargo, de acuerdo a la forma que presenta el sistema, se resolverá utilizando: productos notables, factorización, diversos artificios, inclusive gráficamente.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Al resolver:

x2 + xy + y2 = 4 ... (1) x + xy + y = 2 ... (2) (x0, y0) es una solución con x0 < y0. Halla x0y0.

Resolución: x2 + xy + y2 = 4 (+) x + xy + y = 2 x2 + 2xy + y2 + x + y = 6 Álgebra - 5to. Secundaria

(x + y)2 + (x + y) - 6 = 0 ⇒ (x + y + 3)(x + y - 2) = 0 I) Si x + y = -3 en (2) xy = 5 ⇒ y = -x - 3 ⇒ x(-x - 3) = 5 x2 + 3x + 5 = 0 Cuya ecuación no deja soluciones reales. II) Si x + y = 2 en (2) xy = 0 ⇒ y = 2 - x ⇒ x(2 - x) = 0 Donde: x = 0 ∨ x = 2 y=2 ∨ y=0 Como x < y ⇒ x = 0 ∧ y = 2 \ xy = 0 2. Indica el número de soluciones del sistema: xy - 6 = y3/x ... (1) xy + 24 = x3/y ... (2) Resolución: Sumando a la ecuación (2), 4 veces la ecuación (1) se obtiene: 5xy = 4y3/x + x3/y ⇒ 4y4 - 5x2y2 + x4 = 0 Factorizando: (4y2 - x2)(y2 - x2) = 0 De donde: x = ±2y ; x = ±y I) x = y en (1): x2 - 6 = x 2 ⇒ ∃ x II) x = -y en (1): -x2 - 6 = -x2 ⇒ ∃ x

69

Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” III) x = 2y en (2): 2y2 + 24 = 8y2 ⇒ y = ±2 ⇒ x = 4 ; y = 2 ⇒ (4; 2) es solución x = -4 ; y = -2 ⇒ (-4; -2) es solución IV) x = -2y en (2): -2y2 + 24 = -8y2 ⇒ y = ±2i x = -4i; y = 2i ⇒ (-4i; 2i) es solución x = 4i; y = -2i ⇒ (4i; -2i) es solución \ existen 4 soluciones. 3. ¿Cómo debe ser la dependencia entre “a” y “b” para que el sistema tenga solución única? x + y = 3 ... (1) ax + by = 5b ... (2) 5x - 3y = 7 ... (3)

De (1) y (3) x + y = 3 ... (1) ⇒ y=3-x 5x - 3y = 7 ... (3) 5x - 3(3 - x) = 7 ⇒ x = 2

En (1):

x2 + xy + xz = 24 xy + y2 + yz = 32 xz + yz + z2 = 8

Resolución: (1) + (2) + (3): x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz = 64 ⇒ (x + y + z)2 = 64 x + y + z = 8 ∨ x + y + z = -8 En (3): z(x + y + z) = 8 I) Si x + y + z = 8 ⇒ z = 1 x+y-z=6 II) Si x + y + z = -8 ⇒ z = -1 x + y - z = -6 \ (x + y - z)2 = 36

Observación

Resolución:

En (3):

5. Luego de resolver, indica el valor de (x + y - z)2.

y=3-2 ⇒ y=1

En (2):

Sistemas equivalentes son aquellos que poseen una misma solución. * Si D sistema ≠ 0 ⇒ compatible determinada * Si D sistema = D x = Dy = 0 ⇒ compatible indeterminada * Si D sistema = 0 y (D x ≠ 0, D y ≠ 0) ⇒ inconsistente o indeterminada

a(2) + b(1) = 5b 2a = 4b \ a = 2b 4. ¿Qué valor debe darse a “m” para que el sistema admita solución única? y + mx = 2 ... (1) x + y = 10 ... (2) x + my = 3 ... (3) Resolución: (1) + (3): y + mx + x + my = 5 ⇒ y(m + 1) + x(m + 1) = 5 (m + 1)(x + y) = 5 pero (x + y) = 10 , ⇒ (m + 1) . 10 = 5

En electrónica de consumo, los circuitos integrados han hecho posible el desarrollo de muchos nuevos productos, como computadoras y calculadoras personales, relojes digitales y videojuegos. Se han utilizado también para mejorar y rebajar el costo de muchos productos existentes, como los televisores, los receptores de radio y los equipos de alta fidelidad. Su uso está muy extendido en la industria, la medicina, el control de tráfico (tanto aéreo como terrestre), control medioambiental y comunicaciones.

\ m = -1/2

70




Dado el siguiente sistema:

3 x+3-

4 x + 3 + 2 y + 2 = 12

3

y+2=4

Resuelve e indica el valor de x - y.

Dado el sistema: 17 x+y 34 x+y

5 =5 x-y 1 =5 x-y

Halla “x - y”

Resolución:

Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

Resuelve e indica el valor de “x”

4

2 5 1 + = y-1 x+3 2 2 1 + = 1 y-1 z-4 3 5 1 1 + = x-3 z-4 4

Si {x, y, z} ⊂ R+, calcula (x + z) al resolver:

(x + y)(x + z) = 56

(x + y)(y + z) = 63

(x + z)(y + z) = 72

Resolución:

Resolución:

Rpta:


71


5

Dado el sistema:

6

Al resolver, calcula el mayor valor de “y”.

x + y = 35

x2 + x + y = 12

3

3

xy(x + y) = 30

xy(x + 1) = 11

Determina la suma de las soluciones reales

para “x” e “y”.

Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:

Ahora en tu cuaderno 7. Resuelve: ay + bx = c cx + az = b bz + cy = a e indica el valor de “y”

8. Si (x0, y0) es una solución del sistema: x2 + xy + y2 = 5 x + xy + y = 7 calcula el mayor valor (x0 + y0)

9. Si el sistema: y - b = x2 x - b = y2 debe tener 2 soluciones reales, entonces el máximo valor entero de “b” es:

72

10. Resolviendo el sistema: x2 + y2 - 6x + 4y + 5 = 0 x + 2y + 2 = 0 se puede decir que: a) Sus soluciones son iguales. b) Tiene soluciones reales. c) Las soluciones son irracionales. d) Tiene 4 soluciones. e) No tiene solución.

11. Resuelve: x(y + z) + z2 = 14 y(z + x) + x2 = 9 z(x + y) + y2 = 13 indicando el valor máximo de (x + y + z).

12. Si: x/y (x + y) = 12 y/x (x + y) = 3 halla “xy”



Resolviendo en clase 1. Al resolver: x2 + x + y = 22 xy(x + 1) = 40 da como respuesta un valor de “xy” a) 9 b) -40 d) 75

c) 15 e) -35

2. Si (x0, y0) es una solución del sistema: x2 + y2 = 2xy + 4 x+y=6 calcula el mayor valor de 2x0 + 5y0 a) 20 b) 18 d) 24 3.

c) 26 e) 35

Resuelve el sistema en R+ y calcula (x + y + z). xy + xz = ( 13 + x)( 13 - x) yx + yz = (4 + y)(4 - y) zx + yz = ( 71 - z)( 71 + z) a) 9 b) 8 d) 11

c) 10 e) 13

4. Al resolver el sistema: x + y = 4 x2y2 + 12 = 7xy {x; y} ⊂ R+; x ≠ y, halla (x - y)4 a) 16 ∨ 0 b) 4 y 8 d) 24

c) 16 e) 4 ∨ 6

5. Resuelve: a(a + 2b + 3c) = 50 b(a + 2b + 3c) = 10 c(a + 2b + 3c) = 10 da como respuesta la suma de las componentes de una de las soluciones (a0, b0, c0). a) 6 b) 8 d) -7 6. Encuentra el valor de “y” en: x(x + y + z) = 48 y(x + y + z) = 12 z(x + y + z) = 84 a) -3 b) 2 d) 1 Álgebra - 5to. Secundaria

c) 9 e) -8

7. Resuelve el siguiente sistema: x + y = m 3 xy ... (1) x3 - y3 = nxy ... (2) y da como respuesta 3 xy en función de “m” y “n”. m3 - n a) 3m

m3 b) n

n - m3 d) 3

c) 1 e) 0

8. Resuelve el sistema: m . n(m + n) = 4 m2 + n2 = 14 m > n, indica (m - n) a) 4 b) 2 6 d) 2 3

c) 3 2 e) 3

9. Calcula el menor valor de “y” luego de resolver: x2 - y = 47 x2y = 98 a) - 49 b) 48 d) 79

c) - 60 e) - 63

10. Resuelve: (x + 3y)(x - y) = 48 x+y=8 e indica los valores de “y”. a) 3; -3 b) 2; -2 d) 1; 1/2

c) 1/2; -1/2 e) 1; -1

11. Resuelve el sistema y da el valor de “z”: xy + x + y = 23 xz + x + z = 41 yz + y + z = 27 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 12. Resuelve: x2 + xy + xz = 24 ... (1) yx + y2 + yz = 32 ... (2) xz + yz + z2 = 8 ... (3) y halla el valor de (x + y + z)2

c) 0 e) -2

a) 25 b) 64 d) 81

c) 60 e) 90

73


Á lgebra

CAPÍTULO

12

Inecuaciones Fraccionarias y de Grado Superior

INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Hallando los puntos críticos: P.C. = {1; 2; 3}

Son aquellas que presentan la siguiente forma general: Ubicando en la recta numérica: a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an > 0; (<; ≥; ≤) / n ∈ Z+ ∧ n ≥ 3 Donde : a0; a1; a2; ...; an → constantes o coeficientes RESOLUCIÓN A. Se factoriza el polinomio teniendo en cuenta que todos los factores primos tengan coeficiente principal positivo. B. Se hallan a continuación los puntos críticos, igualando cada factor a cero y éstos se ubican en la recta numérica, guardando su relación de orden. C. Se forma así intervalos, los cuales de derecha a izquierda, poseen un signo comenzando con el signo más y alternando con el signo menos. D. Si el P(x) ≥ 0, se toman los intervalos positivos; si el P(x) ≤ 0, se toman los intervalos negativos, obteniendo así el intervalo solución. Ejemplo: Resuelve: x3 - 6x2 + 11x - 6 ≤ 0 P(x) Resolución:

comenzamos -

-

+ 1

-∞

2

+ 3

+∞

Luego como P(x) ≤ 0, tomamos los negativos: x ∈ <-∞; 1] U [2; 3]

Nota 1. A veces se encuentran trinomios y = ax2 + bx + c, que no son factorizables, entonces se calcula su discriminante. Si D < 0 ∧ a > 0, entonces el trinomio es (+) ∀ x ∈ R, por ello se descarta de la inecuación o simplemente pasa a dividir, ésto no altera el sentido de la desigualdad. 2. Si encontramos factores de la forma: (ax + b)2n; n ∈ Z+ estos pasan a dividir o se descartan, pero su punto crítico queda pendiente de si es solución o no. 3. Si encontramos factores de la forma: (ax + b)2n+1; n ∈ Z+ quedará en la inecuación sólo (ax + b).

Factorizando (x - 1)(x - 2)(x - 3) ≤ 0

74


Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” Ejemplo:

2. Señala el valor de “a” para el cual el sistema: x2 - 4x + 3 < 0 ... (1) x2 - 2x + 4 ≤ 6 - x ... (2) x ≥ a ... (3) se verifica para un único valor entero de “x”.

Resuelve: (x2-2x+4)(x+3)2(x-7)3(x+1)(x-2) ≥ 0 Resolución: - El trinomio (x2 - 2x + 4) tiene D = -12, negativo, coeficiente principal positivo, por lo tanto es (+) ∀ x ∈ R. Se descarta o pasa a dividir sin alterar el sentido. - El factor (x + 3)2 se descarta, pero su punto crítico x = -3 cumple con la desigualdad, al final debe estar contenido en la solución. - El factor (x - 7)3 es reemplazado por (x - 7). Luego tenemos: (x - 7)(x + 1)(x - 2) ≥ 0. P.C. = {-1; 7; 2} -∞

-

+ 2

-1

Resolución: Resolviendo (1): x2-4x+3 < 0 ⇒ (x-1)(x-3) < 0 Luego: 1 < x < 3 Resolviendo (2): x2 - x - 2 ≤ 0 ⇒ (x-2)(x+1) ≤ 0 Luego: -1 ≤ x ≤ 2 Graficando los resultados:

+ 7

+∞

Ubicando en la recta: Luego como P(x) ≥ 0 se toman los puntos (+) más el punto crítico x = -3 x ∈ [-1; 2] U [7; +∞> U {-3}

-1

1

2

3

Luego, el único valor entero es 2. 3. ¿Entre qué límites debe variar “m” para que la inecuación: x2 + 2mx + m > 3/16 se verifique para todo valor real de “x”? Resolución: De la inecuación tenemos: x2 + 2mx + m - 3/16 > 0

1. Resuelve: 6 x2 - 2 2 x - 3 x + 2 ≤ 0

si se verifica ∀ x ∈ R, debe cumplirse:

Resolución: Dándole una forma adecuada al primer miembro y factorizando: 6 x2 - (2 2 + 3) x + 2 ≤ 0 2 x -1 3 x -2

aplicando aspa simple

⇒ x=

2 2 3 1 2 = ;x= = 3 3 2 2

Estos son los “puntos críticos” -

+ -∞

2 2

+ 2 3 3

\ C.S. = [ 2 /2; 2 3 /3] Álgebra - 5to. Secundaria

+∞

1 > 0 ; (2m)2 - 4(1)(m - 3/16) < 0 coef. discriminante de “x2” De lo último se tiene: 16 m2 - 16 m + 3 < 0 → (4m - 1)(4m - 3) < 0 Luego los puntos críticos son: m = 1/4 ; m = 3/4 Así tenemos:

1/4

3/4

Por lo tanto: 1/4 < m < 3/4

75



3

Resuelve:

Resuelve:

(x + 5)(x + 3)(x - 7) ≤ 0

x3 - 5x + 6x ≥ 0

Resolución:

Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

4

Resuelve:

Resuelve: (x + 4)(x + 6)(x + 8) ≥ 0

x < 9x 3

Resolución:

Resolución:

Rpta:

76



5

6

Resuelve:

Resuelve: x3 ≤ 16x

x - 6x + 11x - 6 > 0 3

2

Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:

Ahora en tu cuaderno 7. Resuelve: x3 > x

10. Resuelve: (x2 + 1)(x2 + 2)(x - 3) > 0

8. Resuelve: x4 + 2x3 - 9x2 - 2x + 8 > 0 halla un intervalo de su solución.

11. Resuelve:

9. Resuelve: x5 - 5x4 + 2x3 + 14x2 - 3x - 9 < 0

12. Resuelve:

(x2 - x - 2)(x - 4) ≥ 0

x(x - 1)2 > 0


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2º Secundaria # Páginas Costo 129 5.16 147 5.88 151 6.04 124 4.96 94 3.76 154 6.16 118 4.72 272 10.88 175 7 163 6.52 97 3.88 277 11.08 91 3.64 157 6.28 85.96

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Para reforzar 1. Resuelve: (x + 1)(x + 3)2(x - 7)5(x - 2) ≥ 0 a) [-1, 2] U [7, ∞> U {-3} b) [1, 2] U [7, ∞> - {-3} c) R d) φ e) N. A. 2. Resuelve: (x2 + 1)(x - 3)5(x - 7)(2 - x) ≤ 0 a) b) c) d) e)

x ∈ [2, 3] U [7, ∞> x ∈ <-∞, 2] U [3, 7] x ∈ [3, 7] x∈R x∈φ

3. Resuelve:

si: a > b > 0

4. Resuelve:

5. Resuelve: (x + 4)(x - 2) ≤ 0 (x + 1)(x - 3) b) R e) φ

6. Resuelve: (x2 - 1)(x2 - 4) ≥ 0 x2 + 3x indica un intervalo solución.

78

8. Resuelve:

4 x2 -2 > x+2 x+2

b) <-∞, -3] e) N. A.

b) x ∈ <0, 2> e) x ∈ <0, ∞>

9. Si la expresión: x - 2 - 2 x - 1 x + 1 x2 - 1 es una cantidad no negativa, calcula el intervalo al cual pertenece “x”. a) <-∞, -2> U <-1, 1> U <3, ∞> b) <-∞, -2] U <-1, 1> U [3, ∞> c) <-∞, -1> U <1, ∞> d) <-∞, -2] U <-1, 3> - {1} e) [-2, -1> U <1, 3>

e) b < x < a

a) x ∈ [2, 4] b) x ∈ <2, 4> d) x ∈ <-∞, 2> U <4, ∞> c) x ∈ <1, 3> e) N. A.

a) <1, 2> c) [-1, 0] d) <-3, -2]

a) -1 b) -5 c) -6 d) -7 e) -8

b) a < x < -b

x+4 x+2 ≥ x+2 x-4

a) [-4, 1> U [2, 3> c) <-∞, -4> U [-1, 2> d) [-4, 4]

x+1 x ≤ 2-x x+3 si su C.S. = <-∞, a> U , halla ab + a + b

a) x ∈ <-2, 0> c) x ∈ <0, ∞> d) x ∈ φ

x-a x+b > x-b x+a

a) -a < x < -b c) a < x < b d) -a < x < b

7. Resuelve:

10. Resuelve:

3x - 2 4 < x+1 x-2 halla un intervalo de la solución.

a) <1, 2> b) <-2, 1> d) <-1, 2>

c) <2, 4> e) N. A.

11. Halla una inecuación entera de coeficientes racionales de grado mínimo, cuya solución es: <-∞, -2> U <-2, 2> U <3, ∞> a) (x - 3)(x - 2)(x + 2)2 > 0 b) (x + 3)(x + 2)3 > 0 c) (x - 3)(x - 2)2(x + 2) < 0 d) (x - 3)2(x - 2)(x + 2) > 0 e) (x + 3)(x + 2)2(x - 2) ≤ 0 12. Resuelve: (x2 - 9)(x + 5)4(x + 8)(x - 2)3 ≤ 0 (x - 5)(x + 1) e indica el mínimo valor entero que puede tomar “x”. a) -3 b) -7 c) -8 d) 5 e) 1 Álgebra - 5to. Secundaria

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