Libro Simulacion JCZ Corregido

Simulación Análisis y modelación de sistemas discretos; un enfoque práctico

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Simulación Análisis y modelación de sistemas discretos; un enfoque práctico

José Cárdenas Zavala Instituto Tecnológico de Colima

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Contenido Introducción Capítulo 1: Introducción a la Simulación de Eventos Discretos 1.1 Introducción a la simulación de eventos discretos 1.2 Definiciones y conceptos 1.3 Ventajas y desventajas de la simulación 1.4 Etapas de un proyecto de simulación 1.4.1 Preparación inicial del proyecto 1.4.2 Definición del sistema 1.4.3 Desarrollo del modelo conceptual o esquemático 1.4.4 Recolección y análisis de datos 1.4.5 Desarrollo del modelo en un lenguaje especifico de simulación 1.4.6 Conducción de experimentos y evaluación de alternativas 1.4.7 Análisis de resultados 1.4.8 Recomendaciones finales 1.5 Algunos peligros en la simulación 1.6 Modelos típicos de líneas de espera 1.7 Ejemplos básicos de simulación 1.8 Problemas propuestos Capitulo 2: Números Pseudoaleatorios 2.1 Números pseudoaleatorios 2.2 Características de los números pseudoaleatorios 2.3 Generación de los números pseudoaleatorios 2.3.1 Algoritmo de cuadrados medios 2.3.2 Algoritmo de productos medios 2.3.3 Algoritmo congruencial mixto 2.3.4 Algoritmo congruencial multiplicativo 2.4 Pruebas estadísticas de aleatoriedad 2.4.1 Prueba de los promedios 2.4.2 Prueba de las frecuencias 2.4.3 Prueba del póker 2.4.4 Prueba de Kolmogorov-Smirnov 2.5 Ejercicios propuestos

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3 4 10 11 12 14 16 18 22 24 24 24 25 25 28 38 45 45 47 47 48 49 50 51 53 56 61 64 67

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Capítulo 3: Variables Aleatorias 3.1 Introducción 3.2 Tipos de variables aleatorias 3.2.1 Variables aleatorias discretas 3.2.2 Variables aleatorias continuas 3.3 Identificación del tipo de distribución las variables aleatorias 3.3.1 Ejemplos utilizando la prueba de chi-cuadrada y Kolmogorov-Smirnov 3.3.2 Identificación del tipo de distribución de probabilidad utilizando un lenguaje específico de simulación 3.3.3 Ajuste de curvas a tendencia lineal para distribuciones empíricas continuas 3.4 Generación de variables aleatorias. 3.4.1 Ejemplos de obtención de generador de variables aleatorias a través de métodos manuales 3.5 Ejercicios propuestos

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Capítulo 4: Lenguajes de simulación y simuladores de eventos discretos. 4.1 Lenguajes de simulación y simuladores 4.2 Introducción al uso de ProModel 4.3 Elementos básicos 4.4 Estructura de programación en ProModel 4.5 Construcción de modelos en ProModel 4.5.1 Construcción de un modelo paso a paso 4.5.2 Refinamiento progresivo del modelo 4.5.2.1 Uso de atributos, variables y comandos de decisión 4.5.2.2 Uso del comando ROUTE 4.5.3 Modelado de un proceso que incluye más de un proceso 4.5.3.1 Modelo con bandas de transporte y filas de espera 4.5.3.2 Modelo con estatutos JOIN y LOAD/UNLOAD 4.5.3.3 Modelo con recursos 4.5.3.4 Modelo de manufactura con varios procesos e inspección 4.6 Comentarios adicionales 4.7 Ejercicios propuestos

123 123 124 125 127 128 152 153 169 174 174 186 196 210 218 219

Unidad 5: Proyecto de Aplicación 5.1 Objetivo del capítulo 5.2 Contenido sugerido del proyecto a desarrollar. 5.3 Ejemplo de desarrollo de un proyecto de aplicación

231 231 233

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71 72 72 73 75 76 91 97 101 103

Anexos Tablas de distribuciones de probabilidad Generadores para distribuciones de probabilidad en ProModel

294 298

Bibliografía

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“Largo es el camino de la enseñanza por medio de teorías; breve y eficaz por medio de ejemplos.” Séneca

Introducción Una de las características principales de los t iempos actuales, es la incertidumbre, generada mayormente por la globalización; las empresas buscan constantemente posicionarse y generar utilidades. Sin embargo las políticas del comercio nacional e internacional, la creciente competencia, la búsqueda para ganar nuevos espacios y otras variables, obligan a las organizaciones a dar una respuesta rápida a los retos que surgen día a día para que estas progresen y sean exitosas financieramente. La búsqueda de alternativas y toma de decisiones es de suma importancia sobre todo en los niveles medio o altos de las empresas que es dónde los ingenieros industriales tienen principalmente su ámbito de aplicación.

Existen muchas técnicas emanadas de la estadística y las matemáticas para la toma de decisiones tal como la programación lineal, pronósticos o modelos de inventarios; dichas técnicas generalmente son útiles en un determinado punto del tiempo. Sin embargo, cuando se de se desea tomar una decisión dinámica sin arriesgar la sanidad financiera generada por la experimentación a prueba y error o por actuar basados en la “intuición” sin considerar la solidez o solvencia estadística, se pueden “experimentar” los diversos escenarios para tratar de tomar la mejor decisión utilizando la simulación. La simulación es una técnica de experimentación en que se usan modelos lógico-matemáticos utilizando (principalmente) recursos informáticos como un software de propósito específico diseñado para tal fin, aunque si se tiene la habilidad para programar en software de uso general también es viable hacerlo.

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Este texto académico sobre simulación de sistemas discretos tiene un enfoque eminentemente práctico y está basado principalmente en el programa de la materia de Simulación de la carrera de Ingeniería Industrial del Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos. La obra está compuesta por cinco capítulos ordenados en secuencia lógica para que se asimilen los conceptos y se finaliza con el desarrollo de un proyecto práctico donde se puede ver la utilidad de la simulación como una herramienta muy poderosa del ingeniero industrial para la toma de decisiones.

José Cárdenas Zavala

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Simulación, Análisis y modelación de sistemas discretos; un enfoque práctico

Capitulo 1: Introducción a la simulación de eventos discretos

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Introducción a la simulación de eventos discretos

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1.1 Introducción a la simulación de eventos discretos La simulación es una herramienta de análisis muy importante para los ingenieros industriales ya que se puede aplicar a una gran cantidad de procesos productivos de bienes y/o servicios, pero requiere de ciertos conocimientos previos; esencialmente se apoya en la probabilidad y estadística lo que proporciona un sustento teórico-práctico para la creación de los modelos de los sistemas que se desean simular, también es necesario el manejo de un software específico de simulación como ProModel o el ARENA, aunque si se posee la habilidad de programar en un software de propósito general como el C++, Visual Basic, Delphi, etc. también pueden ser una opción para desarrollar los modelos. El concepto de simulación es muy amplio, se puede hablar de simuladores de vuelo, modelos de aviones o autos a escala para medir la resistencia al aire, o puede considerarse la simulación de reacciones de ciertos metales a diferentes temperaturas, etc. pero como en este texto se está considerando un enfoque a la simulación de sistemas productivos de bienes y/o servicios, entonces la orientación será a lo que se conoce como simulación de eventos discretos. Aunque en este capítulo se abordaran temas, conceptos y definiciones que son básicos para el aprendizaje de lo que será el sustento teórico de la simulación, la intención es que desde el principio quede claro cómo se pueden simular los sistemas básicos de producción y de qué manera ayudan en la toma de decisiones. Resumiendo las características o habilidades de la persona que realiza los modelos podrían considerarse las siguientes: primeramente desarrollar una mente analítica, conocimientos estadísticos, comunicación, organización y habilidad de ingeniería. Dicha persona debe entender el sistema ha modelar, conociendo la relación causa-efecto que determina el sistema que se pretende representar (observe la figura 1.1). Como se podrá inferir la simulación de eventos discretos consiste en relacionar los diferentes eventos que pueden cambiar el estado de un sistema bajo estudio por medio de distribuciones de probabilidad y condiciones lógicas del problema que se esté analizando.

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Figura 1.1

1.2 Definiciones y conceptos En lo referente a este punto es útil iniciar por citar algunas de las definiciones en orden cronológico de diferentes autores sobre la simulación:  Shannon, Robert; Johannes, James D. (1976), precisan que simulación es “el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y conducir experimentos con este modelo con el propósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar. Varias estrategias con las cuales se puede operar el sistema”.  De acuerdo a Schriber (1987), la simulación es “el modelaje de un proceso o sistema de manera semejante que el modelo responda al sistema real tomando su lugar a través del tiempo”.  De acuerdo a Harrel (2003), “Simulación es la representación de un sistema dinámico usando un modelo computacional con la finalidad de evaluar y mejorar el desempeño del sistema.”

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 De acuerdo a García Dunna; et al. (2006), “Simulación de eventos discretos es el conjunto de relaciones lógicas, matemáticas y probabilísticas que integran el comportamiento de un sistema bajo estudio cuando se presenta un evento determinado”. Como se puede observar existen elementos básicos que no han cambiado a lo largo del tiempo, y podrían generarse diversas definiciones de acuerdo a lo que se ha mencionado y a los elementos básicos que deben considerarse dentro del proceso de simulación, se pueden desarrollar de manera individual mas definiciones por ejemplo: “Simulación es la representación de un sistema de producción a través de un modelo, apoyados en algún lenguaje informático que ayude en la toma de decisiones para hacerlo más eficiente y productivo.” Una pregunta que puede considerarse clave durante el estudio de la simulación es: ¿Por qué simular?, algunas razones podrán ser las siguientes: Porque…  La observación detallada del sistema que se está simulando, conduce a un mejor entendimiento del mismo y proporciona sugerencias para mejorarlo.  La simulación proporciona una manera de validar si sé está tomando o no la decisión adecuada al problema que se ha presentado.  La simulación evita el costo y tiempo que implica hacer decisiones basadas en prueba y error, es decir, los costos de experimentación del sistema actual son mayores que los costos de simular el sistema (ver figura 1.2).  Cuando las actividades o eventos son interdependientes y manifiestan variabilidad.

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“Los intentos a prueba y error son costosos, consumen tiempo y pueden ser fallidos” Figura 1. 2 Si se pretende clasificar de alguna manera los usos de la simulación, entonces se pueden considerar tres objetivos esenciales de lo que puede obtenerse de un modelo que ha sido corrido y evaluado, dichos objetivos serian:  Visualización: Observar qué está sucediendo en el sistema.  Cálculo: Cuantificar qué está sucediendo en el sistema.  Comunicación: Mostrar qué está sucediendo en el sistema Otra pregunta frecuente es: ¿Cuándo la simulación es apropiada?, para contestarla, es muy importante la habilidad y capacidad de análisis de la persona que está analizando el sistema y que es lo que se espera obtener con el modelo que se pretende realizar, pueden considerarse algunas razones como las siguientes:  Cuando se desea tomar alguna decisión en una operación o servicio.  Cuando el proceso está definido y es repetitivo.  Cuando las actividades o eventos son interdependientes y manifiestan variabilidad.  Cuando es más barato simular que experimentar con el sistema real. La simulación puede utilizarse en cualquier tipo de sistema productor de bienes y/o servicios, pero específicamente en el área de ingeniería industrial pueden considerarse los siguientes usos:  Análisis de cuellos de botella (para determinar la capacidad y el número de maquinas).  Balanceo de líneas (equilibrar la producción de cada línea considerando maquinaria y mano de obra).

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 Líneas de espera (número de servidores en un proceso de atención al cliente).  Planeación de la capacidad.  Programación de la producción.  Programación de los recursos.  Programación del mantenimiento, etc. Para la realización de un modelo es necesario familiarizarse con los términos más utilizados para construir los modelos:  Sistema: se entiende como el conjunto de elementos que se interrelacionan para lograr un objetivo en común. Para la simulación, se puede decir que un sistema contiene diversos elementos, los cuales definen el qué, quién, dónde, cuándo, por qué y cómo.  Entidades: Representación de los flujos de entrada a un sistema (clientes, piezas, ventas por día, etc.).  Eventos (actividades): Cambio en el estado actual del sistema (entrada o salida de una entidad, finalización de un proceso en un equipo, etc.).  Locaciones: Lugares en los que se realiza una actividad a una entidad o puede esperar para que se le realice (máquinas, bandas transportadoras, estaciones de inspección, etc.).  Recursos: Son aquellos dispositivos (diferentes a las locaciones) necesarios para llevar a cabo una operación. Por ejemplo: montacargas, personas, camiones, etc.  Atributos: Es una característica de una entidad, es una manera de clasificar las entidades. Por ejemplo si los clientes se clasifican en hombres o mujeres, tipo de pieza, tipo de producto o servicio, si el cliente acude directamente a la empresa o llama por teléfono, etc.  Reloj de Simulación: Es el contador de tiempo de la simulación. Siempre hay un inicio y un fin cronológico.

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Las variables que constituyen un sistema son condiciones cuyos valores se crean y modifican por medio de ecuaciones matemáticas y relaciones lógicas. Estas pueden ser continuas como el tiempo de operación de una máquina o el tiempo entre llegadas de los clientes o pedidos, también pueden ser discretas como el número de productos a empacar en un lote, número de unidades producidas en un turno de operación, etc. Para entender como los elementos del sistema se afectan unos a otros e influyen en el desempeño de las metas globales es necesario definir tres tipos de variables:  Variables de decisión (de entrada o independientes). Cuando se conduce un experimento las variables de decisión son referidas como variables independientes en el experimento. Si se cambia un valor de las variables independientes, se afecta a todo el ambiente del sistema, y por lo tanto su desempeño, por ejemplo: tiempo entre llegadas, tiempo de servicio de un servidor, tiempo de proceso de una máquina, etc.  Variables de respuesta. Las variables de respuesta son variables que miden el desempeño del sistema en respuesta al establecimiento de una variable de decisión particular. Una variable de respuesta puede ser el número de piezas o entidades procesadas en un determinado tiempo, o el porcentaje de utilización de un recurso, el tiempo de espera de un cliente en la fila, etc. En un experimento la variable de respuesta es la variable dependiente, la cual depende de un determinado valor de una variable independiente.  Variables de estado (cuando se utiliza un software de uso específico). Las variables de estado son variables que indican el estado del sistema en cualquier punto del tiempo. Por ejemplo el número actual de entidades que esperan ser procesadas o el estado actual de un recurso (ocioso, ocupado, etc.) Por su parte en lo referente a la definición de los modelos, hay muchas clasificaciones o formas de clasificarlos, por ejemplo si son físicos, continuos o discretos, dinámicos o estáticos, determinísticos o probabilísticos, etc. pero de manera práctica se puede decir que si el modelo es meramente didáctico, se pueden considerar modelos tabulares

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o matriciales que incluyen relaciones matemáticas y probabilísticas (ver tabla 1.3). Ejemplo de modelo matricial o tabular: Aleatorio tiempo entre llegadas 0.2569 0.5874 0.9863 0.0047 0.4236

Cliente 1 2 3 4 5

Tiempo entre llegadas (min) 2 3 5 1 4

Tiempo medido de llegadas 2 5 10 11 55

Aleatorio tiempo de servicio 0.7892 0.4565 0.3214 0.9874 0.7543

Tiempo de servicio (min) 4 7 8 1 4

Hora de Inicio de servicio

Hora de fin de servicio

2 6 13 21 22

6 13 21 22 26

Tabla 1.3 Por su parte, si el modelo a realizar se hace utilizando un software específico como el ProModel, ARENA o cualquiera que exista en el mercado, primeramente se desarrolla un modelo conceptual que incluya la información lógica secuencial y las variables que influyen en el proceso, posteriormente se realiza este utilizando generalmente una interfaz gráfica del simulador que lo hacen muy fácil de utilizar (ver figuras 1.4 y 1.5).

Recepción de materia prima

Torno Mover con operador

Fresadora enviar a salida en banda transportadora

Figura 1.4

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Salida y embarque


Ejemplo de un modelo gráfico utilizando ProModel:

Figura 1.5

1.3 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA SIMULACIÓN Como se ha comentado, la simulación es una herramienta muy valiosa para tomar decisiones y mejorar procesos. Sin embargo, como todas las demás herramientas de que dispone el ingeniero industrial, la simulación de eventos discretos presenta ciertas ventajas y desventajas que es necesario considerar para ver si esta es apta para resolver un problema específico. Dentro de las ventajas más comunes que ofrece la simulación, se pueden mencionar las siguientes:  Se pueden simular sistemas complejos.  Permite explorar muchas alternativas o presentar diversos escenarios.  Permite experimentar sin el riesgo consecuente de un fracaso del sistema.  Permite control total sobre el tiempo de ejecución.  Se puede observar como se comportará el sistema al momento de su ejecución.

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 Existen softwares específicos cada vez mas sencillos lo que facilita su aplicación.  Mejora el entendimiento del proceso actual al permitir que el analista vea cómo se comporta el modelo generados bajo diferentes escenarios. Entre las desventajas más comunes de la simulación pueden considerarse las siguientes: La simulación no deja de ser una estimación del sistema real, por lo que el muestreo de las variables de entrada del modelo debe ser justificado estadísticamente.  Se puede requerir mucho tiempo para hacer un buen estudio de simulación.  Se requiere dominar algún software específico de simulación.  La simulación no proporciona una solución óptima como otras herramientas de análisis, solo muestra lo que puede suceder y queda bajo la responsabilidad del analista elegir la mejor alternativa para la mejora de algún proceso. 

1.4 Etapas para realizar un proyecto de simulación Una vez que se ha elegido un proyecto para ser simulado, se debe tener una metodología para conducir el estudio con éxito. Existen muchas metodologías que varían un poco de acuerdo a cada autor de los textos existentes sobre el tema de simulación, pero en general todas tienen la misma esencia, en este caso en la figura 1.6 se pueden observar las siguientes etapas de carácter general:

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PROCEDIMIENTO GENERAL PARA DESARROLLAR UN ESTUDIO

Preparación del proyecto

Experimentación y evaluación de alternativas

Análisis de resultados

Definición del sistema

Desarrollo del modelo en lenguaje específico de simulación

DE

SIMULACIÓN

Desarrollo del modelo conceptual o esquemático

Recolección y análisis de datos

Recomendaciones finales

Figura 1.6 1.4.1 Preparación inicial del proyecto En lo concerniente a este punto, se recomienda seguir los puntos que a continuación se mencionan: a) Identificar las restricciones del sistema. Es importante identificar las restricciones bajo las cuales el estudio debe ser conducido, por ejemplo:     

Presupuesto para realizar el proyecto. El tiempo con el que se dispone para realizarlo. La accesibilidad de la información. Conocimiento y habilidad para realizar el estudio por parte del analista. Limitaciones de hardware o software que pudieran presentarse.

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El hecho de que haya restricciones no quiere decir que no se pueda realizar el proyecto, esto significa que debe considerarse la manera de subsanar o compensar dicha restricción. b) Determinar el objetivo general y específico del modelo. La simulación es necesaria porque se estaría buscando solución a algún problema que podría presentarse en el proceso de producción, en el caso del objetivo general, puede ser: “Desarrollar un modelo de simulación de la empresa… específicamente en el sistema de… para detectar las mejoras posibles a realizar, y plantear acciones que mejoren su desempeño”. En el caso de los objetivos específicos, algunos ejemplos podrían ser:  Si se está considerando un sistema de servicio tal como el de un cajero en un banco, puede ser un problema determinar cuántos cajeros se van a necesitar durante un día pico (como el de pago de quincena) aquí el objetivo específico sería: “Determinar el número de cajeros óptimo para que el cliente no pase más de 10 minutos en fila durante un día pico”.  En el caso de un proceso de manufactura podría ser un objetivo: “Determinar el porcentaje de tiempo ocioso en la operación del torno así como el número de piezas producidas”.  Considerando el caso de una empresa que vende gasolina: “Determinar el número de bombas de gasolina adecuado para que no estén más del 30% del tiempo ociosas durante el turno vespertino”. c) Preparación de las especificaciones de la simulación. Debe analizarse previamente a la realización del modelo lo siguiente:  El alcance del modelo. Es decir que parte del sistema se desea simular, ya que cada sistema está integrado a la vez por subsistemas, puede analizarse de manera modular o integral, claro que entre más amplio sea el sistema mayor será la complejidad del modelo. Por ejemplo en un auto baños puede simularse solamente el área de lavado

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y secado sin considerar a las demás etapas del proceso, o si es necesario desde que llegan los clientes hasta que se les proporciona el servicio y abandonan el sistema, depende del objetivo del modelo.  Nivel de detalle. Este punto es muy importante ya que le proporciona al modelo el “parecido con el sistema real”, entre mas detalles se deseen incorporar, mayor será la cantidad de variables de entrada al modelo que posteriormente tendrán que muestrearse. Generalmente se comete el error de querer incorporar ciertas actividades que no agregan valor al modelo como por ejemplo simular considerando fallos en la energía eléctrica o ciertos vicios metodológicos que desarrollan los operadores o paros imprevistos por falta de materia prima, etc. si no es necesario no deben incorporarse este tipo de variables al modelo. 1.4.2 Definición del sistema Para esta etapa se debe realizar lo que a continuación se menciona: a) Determinar los principales subsistemas y áreas físicas que integran el sistema analizado. En este caso, se pretende determinar las principales áreas productivas que integran el sistema considerado, es una buena opción describir brevemente cual es la razón de ser de cada departamento o área (incluir croquis de distribución de planta). b) Determinar los diferentes tipos de servicios y/o productos que se realizan en el sistema. Enumerar todos los productos y/o servicios que proporciona la empresa. c) Establecer diagramas de análisis de procesos general y particular para cada uno de los bienes/servicios producidos. d) Determinar los horarios y días de trabajo regulares así como los horarios y días de que serán sujetos de estudio. e) Determine los datos requeridos. Este se refiere a que tipo de información se puede necesitar para realizar el estudio. Algunas preguntas que ayudan a determinar estos pueden ser:  ¿Qué tipo de entidades son procesadas en el sistema y que atributos tienen?  ¿Cuál es la secuencia de ruteo para cada tipo de entidad en el sistema?

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 ¿Qué actividad se realiza para cada entidad en cada locación?  ¿Dónde, cuándo y en qué cantidad las entidades entran al sistema (definir el tiempo entre arribos o condiciones del arribo)?  ¿En qué orden las entidades parten de cada locación (primero que entra, primero que sale; último que entra, primero que sale, etc.)? f) Determine la fuente apropiada de los datos. Buenas fuentes de obtención de datos del sistema pueden ser las siguientes:           

Diagramas de flujo. Estudio de tiempos. Observación directa. Tiempos estándar predeterminados. Registros internos. Pronósticos del mercado. Reportes de mantenimiento. Registros de producción. Experiencia del personal de piso. Comparaciones con operaciones similares. Tickets de compra, etc.

g) Haga supuestos donde sea necesario. Es necesario realizar supuestos cuando se está experimentando en el modelo que representa la realidad del sistema, hasta obtener los resultados deseados o alcanzar el objetivo planteado. Es importante recordar que los supuestos hacen más sencillo un modelo, pero debe haber congruencia entre los supuestos y lo que se espera obtener del modelo, por que entre más supuestos se agreguen, más se aleja este de la realidad. Ejemplos más comunes de supuestos pueden ser:  Los clientes que lleguen al sistema se van a ir atendiendo conforme llegan (primeras entradas primeras salidas).  No se interrumpirá el servicio por falta de insumos o materia prima.

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 No se interrumpirá la producción por apagones o falta de energía eléctrica.  El tiempo ocioso por negligencia del operador de la máquina se considerará dentro del muestreo de campo realizado a la variable de entrada “tiempo de operación”, etc. 1.4.3 Desarrollo del modelo conceptual o esquemático Una vez que la información es suficiente, analizada y validada para describir el comportamiento del sistema, se procederá a la construcción del modelo inicial. El objetivo de la construcción de un modelo es, proveer una representación valida que describa el comportamiento del sistema analizado. El modelo debe ser capaz de proveer información necesaria para cumplir con los objetivos de la simulación. Se tomara en cuenta lo siguiente: a) Realizar el Modelo conceptual o esquemático. Como se mencionó anteriormente en el punto 1.2, el modelo conceptual generalmente consta de bloques conceptuales secuenciales que incluyan la información general de las actividades principales del proceso de producción. Se puede desarrollar el modelo con la ayuda del diagrama de flujo de operaciones destacando:  Tipo de entidades que entran al sistema.  Tipo de entidades que se van obteniendo durante el proceso (para el caso de procesos de manufactura).  Tamaño del lote en las llegadas.  tiempo entre llegadas.  Tiempos de operación o de servicio.  Flujo de las operaciones.  Recursos utilizados para realizar las operaciones (operadores, montacargas, vehículos, etc.)  Número de operadores por máquina o estación de trabajo, etc. En la siguiente figura 1.7 se puede apreciar un ejemplo de modelo conceptual considerando un taller de manufactura donde se realiza un proceso que involucra diferentes operaciones a lotes de 20 piezas de

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metal que llegan a un almacén para obtener finalmente un producto terminado.

Modelo por bloques Llegadas (tasa de llegadas)

Lotes de 20 piezas

Materia prima Almacén de Materia Prima

Tiempo de traslado entre operaciones = 1´

Materia prima Cortadora (Tiempo de operación)

Pieza en proceso

Torno (Tiempo de operación)

Pieza en proceso Fresadora (Tiempo de operación)

Producto terminado

Almacén de producto terminado (Tiempo de inspección)

Exit

Figura 1.7

b) Determinar las variables de entrada del modelo. Estas se deben determinar de acuerdo a la información que se espera obtener del sistema que se desea modelar, pueden considerarse como ejemplos para el caso de sistemas de servicios :

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   

Tiempo entre llegadas de los clientes al sistema. Tipo de producto a comprar. Número de productos a comprar. Tiempo de operación o de servicio, etc.

Considerando el ejemplo del modelo por bloques de la figura 1.7 el cual es un proceso de producción o manufactura, las variables de entrada serían las siguientes:     

Tiempo entre llegadas de las piezas al almacén de materia prima. Tiempo de operación en la cortadora. Tiempo de operación en el torno. Tiempo de operación en la fresadora. Tiempo de inspección en el almacén de producto terminado.

1.4.4 Recolección y análisis de datos Para este paso se debe realizar lo siguiente: a) Realizar el muestreo de las variables de entrada del modelo. Se debe realizar el muestreo de cada variable de entrada considerando el turno, el día de trabajo, el operador, máquina utilizada, etc. es también muy importante diseñar formatos u hojas de chequeo que se consideren adecuados para la toma de datos. En la siguiente tabla se puede apreciar el ejemplo de un formato para toma de datos de una gasolinera:

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HOJA DE VERIFICACION PARA EL TIEMPO ENTRE LLEGADAS ENERGETICOS DE COLIMA S.A. DE C.V. AREA A MUESTREAR

FECHA:

HORA DE INICIO:

HORA TERMINO:

VEHICULO

HORA LLEGADA

TIPO DE COMBUSTIBLE GASOLINA

DIESEL

BOMBA 1

2

REALIZO:

TIPO DE VEHICULO CH

MED

GDE

FACTURACION

1 2 3 n

Tabla 1.8 b) Convierta los datos de entrada en una forma conveniente para su uso. Los datos raramente están listos para ser usados tal y como se encuentran. Generalmente se tiene que hacer un análisis estadístico en ellos para determinar sus parámetros y así poder usarlos correctamente, estos deben ser agrupados para simplificar su análisis y de esta manera determinar su comportamiento en el sistema, en este caso se hace uso de la estadística descriptiva específicamente en la construcción de distribuciones de frecuencia e histogramas para poder apreciar la tendencia gráfica de las variables. Para proporcionar un ejemplo de lo mencionado anteriormente, suponga que en la siguiente tabla 1.9 se tomaron los siguientes datos:

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HOJA DE VERIFICACION PARA EL TIEMPO ENTRE LLEGADAS ENERGETICOS DE COLIMA S.A. DE C.V. AREA A MUESTREAR: Bombas

FECHA:

HORA DE INICIO: 08:00

HORA TERMINO: TIPO DE COMBUSTIBLE

VEHICULO

HORA LLEGADA

1

08:03

√

2

08:05

√

3

08:12

√

4

08:17

√

5

08:22

√

6

08:30

7

08:33

√

8

08:40

√

9

08:45

√

10

08:48

GASOLINA

BOMBA

DIESEL

1

REALIZO:

TIPO DE VEHICULO 2

√ √

CH

√

Si

√

Si

√

Si

√

Si

√

√ √

√ √ √

FACTURACION

√ √

√

GDE

Si

√

√

MED

√

Si

√

Si

√

No

√

Si √

No

Tabla 1.9 Los datos muestreados como se muestran en la tabla anterior no se pueden aplicar directamente en la elaboración del modelo, por lo que se deben “convertir” para poder utilizarlos, si se está considerando la variable: “Tiempo entre llegadas” entonces los datos muestreados fueron: 3, 2, 7, 5, 5, 8, 3, 7, 5, y 3 minutos entre la llegada de un auto al otro al sistema. Si la hora de inicio de toma de datos empezó a las 8:00 y el primer auto llegó a las 8:03 pasaron tres minutos, el segundo auto llegó a las 8:05 pasaron dos minutos desde la llegada del auto anterior y así sucesivamente. Es importante señalar que el periodo de muestreo y el tamaño de la muestra debe ser representativo, pueden muestrearse turnos, días, semanas, etc. según se considere en el impacto que debe tener el periodo en el modelo a representar.

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Posteriormente debe realizarse el proceso de construcción de una distribución de frecuencias para observar cual puede ser la distribución teórica a la cual pueden ajustarse los datos (ver tabla 1.10 y gráfico 1.11): Intervalo

Frecuencia Observada

1 ≤X≤ 5 5 < X ≤ 10 10 < X ≤ 15 15 < X ≤ 20 20 < X ≤ 25

5 12 20 10 3

Tabla 1.10

Histograma 20 Frecuencia

20 12

15 10

10

5

3

5 0 1

2

3

4

5

Clases

Gráfico 1.11 Enseguida se procede a realizar un ajuste de los datos a distribuciones de probabilidad teóricas. Los datos recolectados deberán ajustarse a una distribución de probabilidad (teórica o empírica) de tal manera que pueda describir el comportamiento de la variable que se analiza, se utiliza generalmente el proceso de pruebas de hipótesis de estadística inferencial.

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Por lo general todo software de uso específico de simulación como ProModel, traen incluidos una herramienta estadística muy útil para determinar el tipo de distribución de las variables de entrada del modelo. 1.4.5 Desarrollo del modelo en lenguaje específico de simulación Se debe manejar algún lenguaje específico de simulación o si se domina algún lenguaje informático de propósito general para realizar el modelo. En general hoy en día los lenguajes de simulación son amigables y con entornos gráficos como el que se muestra en la figura 1.12:

Figura 1.12

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Una vez que se realiza el modelo se recomienda lo siguiente: a) Refinamiento progresivo. Una forma práctica dentro de la simulación, es que no siempre todos los modelos tienen toda la información al nivel de detalle deseado en su primer construcción, esto permite utilizar una estrategia de refinamiento progresivo la cual nos permitirá ir agregando complejidad en el modelo en cada uno de sus estados. Por lo general el nivel de detalle está relacionado con la cantidad de variables de entrada que se incorporan al modelo, entre más variables tenga más detallado se considera el modelo. Se recomienda comenzar con los elementos básicos del modelo y posteriormente agregar mayor complejidad para un mejor entendimiento del sistema a analizar. b) Expansión incremental. Para agregar complejidad a un modelo en cada uno de sus estados, el modelo debe tener un alcance bien definido el cual permita su construcción en secciones que son agregadas incrementalmente a éste. Este método de permite que una porción del modelo sea construido, depurado y probado antes de ser agregado a nuevas secciones del modelo que lo hagan más largo, mejor manejable y comprensible. A esto se le conoce como “partición de modelo”. c) Verificación del modelo. Una vez que el modelo ha sido construido, éste debe ser sometido a un proceso de verificación para demostrar que “trabaje correctamente”, es decir verificar que el modelo “corra” como se diseñó. Para este inciso se sugiere lo siguiente: • Revise el proceso del modelo con respecto a la realidad. • Vea la animación. • Darle seguimiento al modelo a través de ver lo que está sucediendo paso a paso. d) Validación del modelo. La validación es el proceso de comprobación de que el modelo dentro de este dominio de aplicabilidad es “suficientemente preciso” para la aplicación proyectada. Durante el proceso de construcción del modelo, la persona que lo construye debe

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asegurase que se está elaborando de tal manera que refleje la realidad del sistema a simular. 1.4.6 Conducción de experimentos y evaluación de alternativas Los resultados de una simple corrida de simulación representan solo uno de varios posibles resultados. Esto requiere que múltiples réplicas sean corridas para comprobar la reproducibilidad de los resultados. Siempre es mejor considerar los promedios de todas las corridas como un dato confiable para tomar una decisión. Las simulaciones son frecuentemente desarrolladas para comparar dos o más alternativas diseñadas. Esta comparación puede estar basada en una o más variables de decisión tales como; la capacidad de un contenedor, el programa de trabajo, la disponibilidad de recursos, determinación de tiempo estándar de operación, etc. 1.4.7 Análisis de resultados Considerando que en la experimentación en una simulación, los resultados son aleatorios (de acuerdo a la naturaleza probabilística de las entradas), se debe tener cuidado cuando se interpretan éstos ya que debido a que la simulación no es una representación igual a la realidad, sino que se acerca a ésta; la decisión tomada debe estar bajo una mayor certidumbre del sistema analizado. 1.4.8 Recomendaciones finales El último paso en el procedimiento de la simulación es el hacer recomendaciones para mejorar el actual sistema, basado en los resultados del modelo simulado. Estas recomendaciones pueden ser soportadas y claramente presentadas en un informe de resultados de la simulación.

24


1.5 Algunos peligros en la simulación Si los pasos descritos anteriormente son llevados a cabo, la probabilidad de desarrollar con éxito el proyecto de simulación de un sistema, es muy alta, pero deben considerarse algunos elementos clave para garantizar el éxito del modelo. Algunas de las razones de por qué falla el proyecto de simulación, pueden ser las siguientes:         

Tamaño insuficiente de la corrida. Toma de decisiones en una simple corrida. Falta de clarificación en los objetivos de la simulación. Errores en el muestreo de las variables (tamaño insuficiente de las muestras, mala organización de los datos, errores en cálculos, etc.) Falla en el involucramiento de los individuos directamente relacionados con el sistema a representar. Falta de presupuesto y restricciones de tiempo. Agregar más detalles de los necesarios. Falla en la verificación y validación del modelo. Interpretación errónea del reporte de resultados que generen las corridas del modelo.

1.6 Modelos típicos de líneas de espera Para iniciar gradualmente en el desarrollo de los modelos de simulación, es muy práctico empezar por las aplicaciones básicas de líneas de espera, en las siguientes figuras se muestran los modelos típicos de colas y algunos indicadores básicos:

25


Una línea un servidor Llegadas

Hora de Llegada

Hora de Inicio de servicio

Hora de Salida

Wq

W

Wq = Tiempo en la fila Wq = Hora de inicio de servicio – Hora de Llegada W = Tiempo en el sistema W = Hora de salida – hora de Llegada

Figura 1.13

26


Una línea múltiples servidores en paralelo

Figura 1.14

Múltiples líneas y múltiples servidores en paralelo

Figura 1.15

27


Múltiples Líneas y Múltiples servidores en secuencia

Figura 1.16

Es muy común que dentro de un sistema productivo existan combinaciones de los modelos típicos de líneas de espera dependiendo del tipo de actividad o proceso realizado.

1.7 Ejemplos básicos de simulación 1. Suponga un sistema tal como el de una estación de trabajo en una fábrica donde se realiza un proceso de ensamble para conformar una pieza, las piezas llegan cada 5 minutos y el tiempo que tarda el operador en ensamblar es de 7 minutos, simule 10 llegadas a este sistema y calcule lo siguiente: a) ¿Cuál es el tiempo promedio en el sistema que permanece cada pieza desde que llegan los componentes de esta hasta que sale ensamblada? b) ¿Cuál es el tiempo promedio en la fila que permanecen las piezas antes de ser ensambladas? c) ¿Cuál es el porcentaje de tiempo ocioso del servidor? d) Suponga que se tienen 2 operadores en esa línea, realice el ejercicio anterior y comente.

28


Solución: En este caso los únicos datos que se tienen son el tiempo entre llegadas y el tiempo de operación, tienen la particularidad de que son constantes pero por tratarse de un modelo inicial es válido para entender el concepto de la simulación. No existe una forma única de realizar los modelos, tiene mucho que ver la experiencia y habilidad del analista, pero como una manera metodológica de desarrollo, el modelo debe contener toda la información para responder a la problemática que se desea resolver. Se pide información sobre algunos indicadores básicos como el tiempo en el sistema (W), el tiempo en la fila (Wq) y porcentaje de tiempo ocioso del servidor, además deben incluirse columnas para las variables de salida: hora de llegada, hora de inicio y la hora de terminación, el modelo quedaría de la siguiente manera (ver tabla 1.17):

Piezas

Operador Grupo de piezas

Tiempo entre Llegadas

Hora de Llegada

Tiempo de Operación

Hora de inicio

Hora de Terminación

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

5 12 19 26 33 40 47 54 61 68

12 19 26 33 40 47 54 61 68 75 ∑

Tabla 1.17

29

Tiempo Ocioso del operador 5 5

Tiempo en el Sistema

Tiempo en Fila

7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 160

2 4 6 8 10 12 14 16 18 90


Recuérdese que:  el tiempo en el sistema (W) = la hora de terminación – la hora de llegada  el tiempo en la fila (Wq) = hora de inicio – hora de terminación. Respuesta a los incisos: =

a) Tiempo promedio en el sistema:

=

b) Tiempo promedio en la fila:

= 16 = 90

c) Porcentaje de tiempo ocioso del servidor: =

= 0.06 = 6.6%

Es lógico que se está generando un cuello de botella, ya que las piezas llegan cada 5 minutos y el tiempo de operación es de 7 minutos, en esta corrida de tamaño diez se puede apreciar cómo se va incrementando tanto el tiempo en el sistema como el tiempo en la fila. Para el inciso d, la matriz quedaría de la siguiente manera (ver tabla 1.18): Operador 2

Operador 1 Grupo de Piezas

Tiempo Entre llegadas

Hora De Llegada

Tiempo De operación

Hora De inicio

Hora De Termino

Tiempo ocioso

1 2

Hora De inicio

5

5

7

5

12

5

-

5

10

7

-

-

-

10

3

5

15

7

15

22

3

-

4

5

20

7

-

-

-

5

5

25

7

25

32

Hora De Termino

Piezas Tiempo ocioso

W

Wq

-

-

7

-

17

10

7

-

-

-

7

-

20

27

3

7

-

3

-

-

-

7

-

6

5

30

7

-

-

-

30

37

3

7

-

7

5

35

7

35

42

3

-

-

-

7

-

8

5

40

7

-

-

-

40

47

3

7

-

9

5

45

7

45

52

3

-

-

-

7

-

10

5

50

7

-

-

5

50

57

∑

22

3

7

-

22

70

-

Tabla 1.18

30


De la tabla anterior se obtiene lo siguiente: a)

Tiempo promedio en el sistema:

=

= 7

b)

Tiempo promedio en la fila:

=

= 0

c)

Porcentaje de tiempo ocioso del operador 1: =

Porcentaje de tiempo ocioso del operador 2: =

= 0.3859 = 38.59%

= 0.3859 = 38.59%

Evaluando las dos alternativas tenemos el resumen que se muestra en la tabla 1.19: % Ocioso promedio

Alternativa 1 operador 2 operadores

16 minutos 7 minutos

9 minutos 0 minutos

6.6% 38.59%

Tabla 1.19 ¿Qué se puede concluir de la tabla anterior?, depende el objetivo que se tenga planteado, si lo que se desea es optimizar el tiempo de operación del operador sin importar los niveles de producción, solo reducir costos de mano de obra, entonces se recomienda un solo servidor. Por otra parte si se tuvieran compromisos de producción y lo que se desea es producir volúmenes más elevados entonces se recomendarían dos operadores. 2. Considere un sistema de formación de colas de un solo canal (línea de espera) tal como el de un servidor de comida rápida (McDonald’s), y se quiere simular la hora pico de llegadas en el área de cajas, suponga por simplicidad que el tiempo entre llegadas de los clientes varía entre 1 a 5 minutos y que el tiempo de servicio del cajero es de 3 a 7 minutos por cada cliente, estos tiempos son distribuidos de manera uniforme.

31


Suponga que el gerente no desea que los clientes duren más de 5 minutos haciendo fila en la caja, ¿Cuántos servidores son necesarios? Con base en una corrida de tamaño 10 clientes primeramente conteste lo siguiente: a) ¿Cuál es el tiempo promedio en el sistema que permanece cada cliente? b) ¿Cuál es el tiempo promedio en la fila que permanece cada cliente? ¿Es suficiente con un servidor? c) ¿Cuál es el porcentaje de tiempo ocioso del servidor? d) Realice el ejercicio anterior con dos servidores y comente.

Solución: La diferencia fundamental entre el ejemplo 1 y el 2 es que en este último las llegadas no son constantes, lo que le proporciona un efecto aleatorio al modelo el cual se entiende como el parecido con la realidad del sistema real con el que se desea representar. Una forma aleatoria de representar las llegadas por ejemplo es utilizando el método del sombrero, el cual consiste en escribir los minutos uno en cada pedazo de papel, doblarlos y sacarlos aleatoriamente de un recipiente con reposición para asignarlos a cada cliente que entra al sistema. Pero como no siempre es factible este método se puede entonces “imitar” utilizando los números aleatorios que sabemos están ubicados en el rango 0 – 1 y utilizando el concepto probabilístico de que la suma de las probabilidades de cada posible resultado para un experimento dado siempre es 1(probabilidad acumulada), se puede entonces emular el experimento de asignar aleatoriamente un tiempo entre llegadas o tiempo de servicio para cada cliente que entra al sistema. Las variables de entrada del modelo se pueden generar utilizando números aleatorios y buscando el correspondiente valor en las tablas 1.20 y 1.21 que se muestran a continuación:

32


Generador para el tiempo entre llegadas Valor 1 2 3 4 5

Probabilidad 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5

Probabilidad acumulada 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

Clases 0.00 ≤ Rnd ≤ 0.20 0.20 < Rnd ≤ 0.40 0.40 < Rnd ≤ 0.60 0.60 < Rnd ≤ 0.80 0.80 < Rnd ≤ 1.00

Tabla 1.20 Generador para el tiempo de servicios Valor 3 4 5 6 7

Probabilidad 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5

Probabilidad acumulada 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

Clases 0.00 ≤ Rnd ≤ 0.20 0.20 < Rnd ≤ 0.40 0.40 < Rnd ≤ 0.60 0.60 < Rnd ≤ 0.80 0.80 < Rnd ≤ 1.00

Tabla 1.21 Corrida tamaño 10 llegadas (ver tabla): Servidor Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Rnd Tiempo entre Llegadas 0.563 0.966 0.232 0.354 0.151 0.495 0.385 0.857 0.717 0.509

Tiempo entre Llegadas

Hora de Llegada

3 5 2 2 1 3 2 5 4 3

3 8 10 12 13 16 18 23 27 30

Rnd Tiempo De Servicio 0.721 0.598 0.755 0.367 0.441 0.154 0.555 0.786 0.097 0.237

Tiempo de Servicio

Hora de inicio

Hora de Salida

Tiempo Ocioso

Tiempo en el Sistema

Tiempo en Fila

6 5 6 4 5 3 5 6 3 4

3 9 14 20 24 29 32 37 43 46

9 14 20 24 29 32 37 43 46 50 ∑

3 3

6 6 10 12 16 16 19 20 19 20 144

1 4 8 11 13 14 14 16 16 97

Tabla 1.22

33

Cliente


a) Tiempo promedio en el sistema:

=


=

= 14.4 = 9.7

por lo tanto no se

cumple el objetivo establecido por el gerente en el cual se especifica que no se desea más de 5 minutos en promedio de espera en la fila. c) Porcentaje de tiempo ocioso del servidor: =

= 0.06 = 6%

d) Realizar el ejercicio con 2 servidores (ver tabla 1.23). Servidor 1 Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Rnd 0.466 0.739 0.019 0.442 0.185 0.256 0.899 0.682 0.693 0.953

Tiempo entre Lleg. 3 4 1 3 1 2 5 4 4 5

Hora De Lleg. 3 7 8 11 12 14 19 23 27 32

Rnd 0.934 0.497 0.438 0.084 0.932 0.449 0.343 0.903 0.773 0.794

Tiempo de Serv. 7 5 5 3 7 5 4 7 6 6

Hora de inicio 3 10 15 23 32

Hora de Salida 10 15 22 30 38 ∑

Servidor 2

Tiempo ocioso 3 1 2 6

Hora de inicio 7 12 15 20 27 -

Hora de Salida 12 15 20 24 33 -

Cliente

Tiempo ocioso

W

Wq

7 3 5 15

7 5 7 4 10 6 5 7 6 6 63

2 1 3 1 1 8

Tabla 1.23 a) Tiempo promedio en el sistema:

=

= 6.3


=

= 0.8 ≈ 1

si se cumple el

objetivo establecido por el gerente, c) Porcentaje de tiempo ocioso del servidor 1: =

= 0.1578 = 15.78%

Porcentaje de tiempo ocioso del servidor 2: =

= 0.3947 = 39.47%

34


El porcentaje promedio de tiempo ocioso es: 27.63%. En la siguiente tabla 1.24 se puede ver una comparativa de las dos alternativas: % Ocioso promedio

Alternativa 1 Servidor 2 Servidores

14.4 minutos 6 minutos

9.7 minutos 0.8 ≈ 1 minuto

6% 27.63%

Tabla 1.24 Lógicamente el tiempo ocioso promedio se incrementó, pero el objetivo principal era que los clientes no permanecieran más de 5 minutos en fila y con dos servidores se cumple ampliamente. 3. Suponga que una empresa está considerando el lanzamiento de un nuevo producto para niños, se sabe que los costos fijos serán de $20,000 durante el primer trimestre del año y que el precio de venta debe ser de $5 pesos por unidad (esto por razones competitivas). La empresa quiere por lo menos alcanzar el punto de equilibrio en el primer trimestre de ventas. Existe incertidumbre en cuanto a los costos variables y a la demanda del producto se refiere, es por eso que se desea evaluar que puede suceder. Las mejores estimaciones son que los costos variables estarán entre $2.0 y $2.9 pesos por unidad con incrementos de 0.10 pesos. Se piensa que la demanda depende de la reacción de los competidores, si reaccionan rápidamente el primer trimestre se espera que las ventas sean de 8,000, 9,000 y 10,000 unidades. Si no hay reacción rápida las ventas pueden llegar hasta 10,000, 11,000 y 12,000 unidades. La empresa percibe que existe un 50% de posibilidades que sus competidores reaccionen rápidamente. La administración desea seguir adelante con el producto. ¿Qué posibilidad existe de llegar por lo menos al punto de equilibrio durante el primer trimestre de ventas del producto? Solución:

35


Este tipo de problema es totalmente diferente a las aplicaciones básicas de líneas de espera, por lo que se tendrán que buscar los indicadores para realizar el modelo tabular. Como la finalidad que persigue cualquier empresa, el objetivo es obtener ganancias o utilidades, por lo que el objetivo principal es verificar si se espera obtener alguna utilidad con los elementos que se conocen (costos variables, precio de venta, costos fijos, etc.) Considerar los siguiente. Utilidad = ingresos – egresos Utilidad= (Volumen de ventas)(Precio de venta) – ((costo variable) (volumen de ventas)+ costo fijo))

Las variables de entrada del modelo son:  El costo variable de producción  La reacción de la competencia  La demanda del producto En las siguientes tablas se pueden ver los generadores de estas variables: Generador de la Reacción de la Competencia Reacción de la Competencia Rápida Lenta

Probabilidad 0.50 0.50

Probabilidad Acumulada 0.50 1.00

Clases 0.00 ≤ Rnd ≤ 0.50 0.50 < Rnd ≤ 1.00

Tabla 1.25 Generador para la Demanda con Reacción Rápida Demanda

Probabilidad

8,000 9,000 10,000

1/3 1/3 1/3

Probabilidad Acumulada 0.3333 0.6666 1.0000

Clases 0.0000 ≤ Rnd ≤ 0.3333 0.3333 < Rnd ≤ 0.6666 0.6666 < Rnd ≤ 1.0000

Tabla 1.26

36


Generador para la Demanda con Reacción Lenta Demanda

Probabilidad

10,000 11,000 12,000

1/3 1/3 1/3

Probabilidad Acumulada 0.3333 0.6666 1.0000

Clases 0.0000 ≤ Rnd ≤ 0.3333 0.3333 < Rnd ≤ 0.6666 0.6666 < Rnd ≤ 1.0000

Tabla 1.27

Generador para el Costo Variable Costo Variable 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90

Probabilidad 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10

Probabilidad Acumulada 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

Tabla 1.28

37

Clases 0.00 ≤ Rnd ≤ 0.10 0.10 < Rnd ≤ 0.20 0.20 < Rnd ≤ 0.30 0.30 ≤ Rnd ≤ 0.40 0.40 < Rnd ≤ 0.50 0.50 < Rnd ≤ 0.60 0.60 ≤ Rnd ≤ 0.70 0.70 < Rnd ≤ 0.80 0.80 < Rnd ≤ 0.90 0.90 < Rnd ≤ 1.00


Si se dan 10 corridas de tamaño 1 semestre el modelo quedaría de la siguiente manera: Egresos Semestre

Rnd Reacción

Reacción

Rnd demanda

Demanda

Rnd Costo variable

Costo variable ($)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.267 0.494 0.379 0.734 0.895 0.586 0.490 0.271 0.982 0.588

Rápida Rápida Rápida Lenta Lenta Lenta Rápida Rápida Lenta Lenta

0.636 0.524 0.072 0.664 0.282 0.486 0.181 0.163 0.757 0.416

9,000 9,000 8,000 11,000 10,000 11,000 8,000 8,000 12,000 11,000

0.499 0.569 0.106 0.454 0.442 0.998 0.867 0.961 0.113 0.620

2.40 2.50 2.10 2.40 2.40 2.90 2.80 2.90 2.10 2.60

Ingresos Por Ventas ($5.0 u) 45,000 45,000 40,000 55,000 50,000 55,000 40,000 40,000 60,000 55,000

Costo Fijo

Costo Variable

Utilidad

20,000 20,000 20,000 20,000 20,000 20,000 20,000 20,000 20,000 20,000

21,600 22,500 16,800 26,400 24,000 31,900 22,400 23,200 25,200 28,600

3,400 2,500 3,200 8,600 6,000 3,100 -2,400 -3,200 14,800 6,400

Tabla 1.29 De acuerdo a la simulación anterior existe un 80% de posibilidades de lograr por lo menos el punto de equilibrio, lo que es alentador para la empresa siempre y cuando los datos de entrada sean confiables. Se puede considerar otro indicador como la utilidad promedio, incluso hacer un análisis de sensibilidad evaluando con diferentes precios de venta para verificar hasta que tanto se puede reducir este y seguir obteniendo utilidades, pero eso depende de la profundidad del análisis y del tiempo con que se disponga para tomar la decisión más adecuada.

1.8 Problemas propuestos 1. Simule un sistema en el cual se realiza un operación de ensamble para conformar una producto, las piezas llegan 4 cada minutos y el tiempo que tarda el operador en ensamblar es de 7 minutos, simule 10 llegadas a este sistema y calcule lo siguiente:

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a) ¿Cuál es el tiempo promedio en el sistema que permanece cada pieza desde que llegan los componentes de esta hasta que sale ensamblada? b) ¿Cuál es el tiempo promedio en la fila que permanecen las piezas antes de ser ensambladas? c) ¿Cuál es el porcentaje de tiempo ocioso del servidor? d) Suponga que se tienen 2 operadores en esa línea, realice el ejercicio anterior y comente. 2. Considere un sistema de líneas de espera tal como el de un cajero automático, suponga por simplicidad que el tiempo entre llegadas de los clientes varía entre 2 a 5 minutos y que el tiempo de servicio del cajero varia de de 3 a 7 minutos por cada cliente, estos tiempos son distribuidos de manera uniforme. Suponga que el gerente del banco no desea que los clientes duren más de 4 minutos haciendo fila en la caja, ¿Cuántos cajeros son necesarios? Con base en una corrida de tamaño 10 clientes primeramente conteste lo siguiente: a) ¿Cuál es el tiempo promedio en el sistema que permanece cada cliente? b) ¿Cuál es el tiempo promedio en la fila que permanece cada cliente? ¿Es suficiente con un cajero automático? c) Realice el ejercicio anterior con dos cajeros y comente. 3. Una compañía desea establecer un negocio de renta de autos, el gerente quiere saber el número de autos óptimo a comprar. El costo promedio anual es de $200,000 por auto, la renta diaria por auto se fijará en $700. El costo de no tener un auto disponible cuando se solicita es de $300 y el de tener un auto ocioso durante el día es de $200. De acuerdo a una investigación realizada, se encontró que el número de autos rentados por día así como el número de días rentados es como se muestra a continuación:

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Introducción a la simulación de eventos discretos No. de Autos Rentados 0 1 2 3 4

Frecuencia Observada 15 25 45 10 5

No. Días Rentados 1 2 3 4

Frecuencia Observada 40 35 15 10

a) ¿Cuáles son las variables de entrada de este modelo? b) ¿Cuál es el principal indicador para determinar el número óptimo de autos a comprar? c) ¿Cuáles son las alternativas que se pueden considerar para este modelo? d) Realice una corrida de tamaño 10 autos para cada una de las alternativas y recomiende cuantos comprar. 4. La panadería la Trinidad satisface la demanda del día con pan recién horneado. El pan se produce en lotes de docenas de panes, cada pan tiene un costo de producción de $2 Suponga que la demanda diaria total de pan también se presenta en múltiplos de 12. Los datos muestran que la demanda varía de 36 a 96 panes diarios. Un pan se vende a $4 y si sobra pan al final del día, este se vende a una cocina de beneficencia a un precio de recuperación $1 cada pan. Si la demanda es mayor que la oferta, suponemos un costo por ganancia pérdida. Los registros de la panadería muestran que la demanda diaria se puede clasificar en tres tipos: alta, media y baja, estas se presentan con probabilidades de 0.30, 0.45 y 0.25 respectivamente. La empresa quisiera saber el número óptimo de panes que se deben producir cada día para maximizar las ganancias.

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Demanda 36 48 60 72 84 96

Distribución de la Demanda Alta Media Baja 0.15 0.10 0.15 0.10 0.20 0.25 0.25 0.30 0.35 0.30 0.25 0.15 0.10 0.10 0.05 0.10 0.05 0.05

a) ¿Cuáles son las variables de entrada de este modelo? b) ¿Cuál es el principal indicador para determinar el número óptimo de panes a producir? c) ¿Cuáles son las alternativas que se pueden considerar para este modelo? d) Realice una corrida de tamaño 10 días para cada una de las alternativas y haga las recomendaciones que considere pertinentes. 5. Lea y desarrolle el siguiente caso: Gerente: Señores, el desarrollo de nuestro nuevo producto ha alcanzado el punto en que debemos tomar una decisión sobre la producción. Por supuesto, la cuestión clave es: ¿se obtendrá una ganancia? Ventas: Pienso que la demanda puede estimarse bastante bien basándonos en nuestros estudios. Esperamos niveles de ventas de 5,300; 6,000 y 6,700 unidades. Estadísticamente estimamos que el primer y tercer nivel de ventas tengan un peso probabilístico de un 35%. Producción: Para producirlo necesitamos alguna maquinaria nueva, una persona más en mantenimiento y relocalización de algunas estaciones de trabajo existentes. He costeado cuidadosamente estas necesidades y ascienden a un total de $200,000 de costos fijos. Diría que hay 50% de posibilidades para los $200,000 y 25% para $198,000 o para $202,000. Gerente: ¿Qué sucede con el costo variable? Contabilidad: Después de consultar a nuestros departamentos de ingeniería y producción, hemos llegado a un costo esperado entre $48 y $52. Digamos que existe el 50% de posibilidades para $50y 25% tanto para $48 como para $52.

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Ventas: Eso parece bien por qué podremos cobrar alrededor de $100 por unidad. Para ser más preciso, un pronóstico de $100 con un 50% de posibilidades y una probabilidad del 25% para $95 o $105. Gerente: Veo que todos ustedes han tomado recientemente cursos de estadística. Si uso sus datos promedio, tendremos una ganancia con el lanzamiento del nuevo producto durante el primer semestre del año. Pero, podríamos perder dinero si quedamos en el lado bajo de sus estimaciones, aunque con lograr el punto de equilibrio estaría bien. Ingeniero industrial Señores, permítanme elaborar una simulación para ustedes. Les ayudará a tomar una decisión.

42


Capitulo 2: Números pseudoaleatorios

43

Números pseudoaleatorios

44


2.1 Números pseudoaleatorios Como pudo observarse en el capítulo anterior, en las aplicaciones básicas de la simulación, los números aleatorios (o pseudoaleatorios como se les denomina ya que provienen de alguna fórmula matemática) juegan un papel muy importante al momento de simular algún sistema ya que con la ayuda de estos se pueden generar las variables de entrada del modelo. También son los que le dan esa característica de “parecido con la realidad” ya que las variables de entrada generalmente son probabilísticas. A los números pseudoaleatorios también se les llama: números rectangulares, uniformes o simplemente aleatorios y como se mencionó anteriormente son de suma importancia por su uso en la generación de variables aleatorias.

2.2 Características de los números pseudoaleatorios Los números pseudoaleatorios, pueden considerarse como aleatorios si cumplen con las siguientes características: a) b) c) d) e)

Que sean uniformemente distribuidos. Estadísticamente independientes. De período largo o completo. Con µ = 0.5 Con 2= 1/12

a) Deben estar uniformemente distribuidos en el intervalo [0,1]. Es decir, que se ajusten a la función de densidad de probabilidad uniforme continua: 1 ( )=

0≤

≤1

0

b) El concepto de estadísticamente independientes se refiere a que la probabilidad de generar un número siempre será la misma, es decir,

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la ocurrencia de un número aleatorio no determina la ocurrencia del siguiente y así sucesivamente. c) Se le llama periodo a la cantidad de números que pueden generarse con una fórmula o algoritmo determinado, son deseables periodos de vida mínimos de n=231 o n=264 aunque en la actualidad se cuenta con generadores y procesadores capaces de construir una secuencia de números con periodo de vida de n=2200. d) Si los números se distribuyen uniformemente (todos con la misma probabilidad de ocurrencia) luego entonces se espera que la media de todos los números posibles que se puedan generar cuando n tiende a infinito es de µ = ½ ya que estos se encuentran en el rango 0 – 1. La explicación matemática de esto es como sigue en la figura 2.1:

= ( )( ℎ) 1 = ( − ) (ℎ) ℎ

1 −

( )=

( ) = μ =

=

Figura 2.1

46

1 −

ℎ =

=

≤

=

≤


e) De la misma manera que se obtuvo la media, partiendo de la misma distribución uniforme continua la varianza se obtiene por medio de:

=

( −

)

=

−

=

1 1 1 1 − + = 3 2 4 12

+

= =

− −

1 2

+

=

2.3 Generación de los números pseudoaleatorios Generar un conjunto de ri números pseudoaleatorios es relativamente sencillo, solo se tiene que aplicar algún algoritmo de generación (sucesiones de dígitos por medio de una relación de recurrencia.) o incluso diseñar un propio algoritmo de generación. Lo que se debe tener en cuenta es que los números generados cumplan las características señaladas en el punto 2.2. A continuación se presentan diferentes algoritmos determinísticos para generar los números pseudoaleatorios. Existen muchos algoritmos pero en general se pueden clasificar en algoritmos no congruenciales y algoritmos congruenciales. 2.3.1 Algoritmo de cuadrados medios Este es un algoritmo no congruencial y se fundamenta en la elevación al cuadrado de una “semilla” de n dígitos tomando los d dígitos centrales para conformar el nuevo número, mismo que servirá como la nueva semilla y así sucesivamente. Los pasos para este algoritmo son: 1. Seleccionar una semilla (X0) con d dígitos (d > 3). 2. Elevar al cuadrado X0 y sea X1 = d dígitos del centro. Sea entonces ri=0.d dígitos del centro.

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3. Sea Yi = resultado de elevar Xi al cuadrado; y sea Xi+1= los d dígitos del centro y ri=0.d del centro para toda i = 1,2,3,…,n. 4. Repetir el paso 3 hasta obtener los n números ri deseados. Nota: Si no es posible obtener los d dígitos del centro del número Yi se pueden tomar los d dígitos cargados un dígito hacia la derecha o hacia la izquierda. Ejemplo 2.1 Generar los primeros 5 números ri de 4 dígitos (d) a partir de la semilla X0=9876, ver tabla 2.2: Y0 = 9876 = 97535376

X1 = 5353

r1 = 0.5353

Y1 = 5353 = 28654609 Y2 = 6546 = 42850116 Y3 = 8501 = 72267001 Y4 = 2670 = 7128900

X2 = 6546 X3 = 8501 X4 = 2670 X5 = 2890

r2 = 0.6546 r3 = 0.8501 r4 = 0.2670 r5 = 0.2890

Tabla 2.2 2.3.2 Algoritmo de productos medios Este es otro algoritmo no congruencial y la mecánica es similar al anterior. La diferencia radica en que el algoritmo de productos medios requiere dos semillas, ambas con d dígitos y en lugar de elevarlas al cuadrado, se multiplican y del producto se seleccionan los d dígitos del centro. Los pasos son como se enumeran a continuación: 1. Seleccionar una semilla (X0) con d dígitos (d > 3). 2. Seleccionar una semilla (X1) con d dígitos (d > 3). 3. Sea Y0=(X0) (X1); Sea X2= los d dígitos del centro, y sea ri=0.d dígitos del centro. 4. Sea Yi=(Xi) (Xi+1); Sea Xi+2= los d dígitos del centro, y sea ri+1=0.d dígitos del centro para toda i = 1,2,3,..,n 5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n números ri deseados.

48


Nota: Si no es posible obtener los d dígitos del centro del número Yi se pueden tomar los d dígitos cargados un dígito hacia la derecha o hacia la izquierda. Ejemplo 2.2 Generar los primeros 7 números ri de 4 dígitos (d) a partir de las semillas X0=9638 y X1=8527, ver tabla 2.3: Y0= (9638)(8527)= 82183226

X2=1832

r1=0.1832

Y1= (8527)(1832)=15621464

X3=6214

r2=0.6214

Y2= (1832)(6214)=11384048

X4=3840

r3=0.3840

Y3= (6214)(3840)=23861760

X5=8617

r4=0.8617

Y4= (3840)(8617)=33089280

X6=0892

r5=0.0892

Y5= (8617)(0892)=7686364

X7=6863

r6=0.6863

Tabla 2.3 2.3.3 Algoritmo congruencial mixto Los métodos congruenciales están basados en el álgebra de congruencias. Este método tiene la siguiente relación de recurrencia: Xn+1 = (aXn + c) mod m Donde: X0 = Semilla a = Factor multiplicador c = Constante aditiva m = magnitud del módulo Los requisitos mínimos que estos parámetros deben satisfacer son: X0, a, c, m ≥ 0; enteros y m >a, m >c, m >X0. Aquí mod representa a la operación aritmética módulo entre enteros a y b tal que el resultado de a mod b es el residuo entero de la división a entre b. Es muy importante aclarar que en la selección de los parámetros de los generadores congruenciales deben seguirse reglas y teoremas muy

49


estrictos pero como todos los lenguajes de uso específico de simulación ya incluyen sus propios generadores de números pseudoaleatorios solo se expondrán ejemplos meramente didácticos para ver cómo funcionan los generadores congruenciales. Ejemplo 2.3 Genere 8 números a partir del generador congruencial mixto: considere X0 = 4, a=5, c=7 y mod=8. Los resultados son como se muestran en la tabla 2.4: Generador X1 = ((5)(4) + 7) mod 8 X2 =( (5)(3) + 7) mod 8 X3 = ((5)(6)+ 7) mod 8 X4 = ((5)(5) + 7) mod 8 X5 =((5)(0) + 7) mod 8 X6 =((5)(7) + 7) mod 8 X7 =((5)(2) + 7) mod 8 X8 =((5)(1) + 7) mod 8

División 27/8 = 3 + 3/8 22/8 = 2 + 6/8 37/8 = 4 + 5/8 32/8 = 4 + 0/8 7/8 = 0 + 7/8 42/8 = 5 + 2/8 17/8 = 2 + 1/8 12/8 = 1 + 4/8

Xi X1= 3 X2= 6 X3= 5 X4= 0 X5= 7 X6= 2 X7= 1 X6= 4

Número Aleatorio r1= 3/8 = 0.375 r2= 6/8 = 0.750 r3= 5/8 = 0.625 r4= 0/8 = 0.000 r5= 7/8 = 0.875 r6= 2/8 = 0.250 r7= 1/8 = 0.125 r8= 4/8 = 0.500

Tabla 2.4 2.3.4 Algoritmo congruencial multiplicativo Este método es muy similar al anterior salvo por la constante aditiva que en este caso no se considera. La relación de recurrencia es: Xn+1 = (aXn) mod m Donde: X0 = Semilla a = Factor multiplicador m = magnitud del módulo Los requisitos mínimos que estos parámetros deben satisfacer son: X0, a, m ≥ 0; enteros y m >a y m >X0.

50


Ejemplo 2.4 Genere 8 números a partir del generador congruencial multiplicativo: considere X0 = 51, a=3 y mod=100. Los resultados son como se muestran en la tabla 2.5

Tabla 2.5

2.4 Pruebas estadísticas de aleatoriedad Como el valor de las variables aleatorias de un modelo dado, dependen de los números aleatorios, es importante verificar que los números aleatorios generados cumplan con la característica de uniformidad [0,1]. Para ello se aplicarán algunas de las muchas pruebas estadísticas que han sido desarrolladas para probar la uniformidad y aleatoriedad o independencia de los números aleatorios. Dichas pruebas están basadas en el proceso estadístico de pruebas de hipótesis variando únicamente los estadísticos de prueba. El proceso general de las pruebas de hipótesis es como sigue: 1. Establecer las hipótesis nula y alternativa: H0 y H1 2. Dependiendo de la prueba utilizar el estadístico de prueba correspondiente: Zc, X2, F, etc. 3. Determinar el nivel de confianza  (error tipo I, rechazar algo cuando es verdadero) y 1-. Usualmente  = 1%,5%,10%.

51


4. Determinar la región de rechazo y no rechazo (ver figura 2.6).

Región de rechazo y no rechazo para una distribución que utiliza el estadístico de prueba de una distribución normal

Área de rechazo

 /2

1- Área de no rechazo

Área de rechazo

 /2

Figura 2.6 5. Tomar una decisión comparando el estadístico de prueba contra el valor de tablas. |

|≤ <

ℎ

 ,

ℎ

6. Finalmente formular una conclusión agregando el tamaño de la muestra y el nivel de significación .

Ejemplo: “Existe suficiente evidencia para decir que los números se distribuyen uniformemente ya que Zc < Z/2 considerando n = 100 y  = 0.05”

52


2.4.1 Prueba de los promedios Esta prueba está basada en la media de los números aleatorios y esencialmente consiste en comparar la media de una muestra de tamaño n contra la media de toda la población de números que puedan generarse (cuando n tiende a ): . Los pasos son los siguientes: 1. H0:  = 0.5 H1:   0.5 2. Calcular la

de los n números generados:

=

∑

3. Estadístico de prueba: =

( − 0.5)

/

1 12

4. Determinar las regiones de rechazo y no rechazo para los valores de  considerados. 5. Tomar la decisión para cada valor de . 6. Concluir. Ejemplo 2.5 Realice la prueba de los promedios a los 40 números aleatorios de la tabla 2.7 de abajo considerando: a)  = 1%, b)  = 5% y c)  = 10% y concluya.

53


0.2186

0.7143

0.0361

0.7344

0.6370

0.1394

0.1374

0.3697

0.5062

0.4826

0.0773

0.3395

0.9720

0.0643

0.9052

0.2530

0.8155

0.2974

0.5155

0.9851

0.2052

0.5657

0.2244

0.5658

0.5824

0.0449

0.7542

0.2415

0.0541

0.1126

0.7263

0.3207

0.9324

0.1528

0.0721

0.7062

0.6208

0.2971

0.4579

0.3276

Tabla 2.7

Solución: 1. H0:  = 0.5 H1:   0.5 2. Calcular la

de los n números generados:

=

∑

/

= − 1.55

= 0.42913

3. Estadístico de prueba:

=

(0.42913 − 0.5) 1 12

(40)

4. Calculo de la región de rechazo y no rechazo:

54


a)  = 0.01

0.99

Área de rechazo

Área de no rechazo

0.005

- 2.575

Área de rechazo 0.005

+ 2.575

ZC = - 1.55

5. Decisión: Como ZC < Zα/2 entonces no rechazar H0 6. Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que los números aleatorios se distribuyen uniformemente considerando n=40 y α=0.01”

b)  = 0.05

0.95

Área de rechazo

Área de no rechazo

0.025

- 1.96


+ 1.96

ZC = - 1.55

55


5. Decisión: Como ZC < Zα/2 entonces no rechazar H0 6. Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que los números aleatorios se distribuyen uniformemente considerando n=40 y α=0.05”

c)  = 0.10

Área de rechazo

0.90 Área de no rechazo

0.05

- 1.96


+ 1.96

ZC = - 1.55

5. Decisión: Como ZC < Zα/2 entonces no rechazar H0 6. Conclusión. “Existe suficiente evidencia para decir que los números aleatorios se distribuyen uniformemente considerando n=40 y α=0.10” Conclusión general: “Como la hipótesis nula no se rechaza con ninguno de los tres valores de , entonces se trata de una prueba altamente significativa para decir que los números se distribuyen uniformemente considerando n=40”. 2.4.2 Prueba de las frecuencias Esta prueba consiste en dividir el espacio [0,1] en k subintervalos y verificar la cantidad de números aleatorios que “caen” en cada partición contra los que deberían ser suponiendo que estos se distribuyen uniformemente. Es en realidad una prueba de bondad y ajuste (utiliza el

56


estadístico de prueba de la ) donde la mide la dispersión que existe entre los valores esperados y los observados. Los pasos son los siguientes: 1. H0: Los números se distribuyen uniformemente. H1: Los números no se distribuyen uniformemente 2. Asignar un número de subintervalos k 3. La frecuencia esperada es: = / 4. El ancho del intervalo es: = 1/ 5. La frecuencia observada (FO) es la cantidad de números aleatorios que se ubican en cada partición del espacio 0 -1. 6. Estadístico de prueba: =

(

−

)

7. Determinar las regiones de rechazo y no rechazo para los valores de  considerados (por omisión =0.05) 8. Tomar la decisión. 9. Concluir.

57


Ejemplo 2.6 Aplicar la prueba de las frecuencias a los 50 números que se muestran en la tabla 2.8 de abajo considerando a) k=5 y b) k=10: 0.5290 0.2233 0.1970 0.2388

0.9508 0.1331 0.7999 0.8879

0.7302 0.7271 0.2793 0.7263

0.4182 0.9921 0.2572 0.9925

0.8247 0.9552 0.1057 0.3879

0.9071

0.4665

0.8564

0.4825

0.9250

0.3778 0.8825 0.3359

0.6973 0.9306 0.2044

0.2126 0.9246 0.5873

0.7262 0.7890 0.3982

0.9357 0.2406 0.1455

0.2851

0.0011

0.9680

0.8493

0.7545

0.8442

0.6809

0.7273

0.1561

0.6818

Tabla 2.8 Solución: a) k = 5 1. H0: Los números se distribuyen uniformemente. H1: Los números no se distribuyen uniformemente 2. K=5 3. FE= 50/5 = 10 4. AC= 1/5 = 0.2 5. Calculo de :

Clases

FO

FE

FO-FE

(FO-FE)2

0 ≤ r ≤ 0.2 0.2 < r ≤ 0.4 0.4 < r ≤ 0.6 0.6 < r ≤ 0.8 0.8 < r ≤ 1 ∑

6 12 5 11 16 50

10 10 10 10 10 50

-4 2 -5 1 6

16 4 25 1 36 =

Tabla 2.9

58

(

− 1.6 0.4 2.5 0.1 3.6 8.2

)


6. Para obtener el valor de tablas, es necesario primero calcular los grados de libertad: V = k-1, y el valor de  = 0.05 V = 5 – 1 = 4 grados de libertad, ,

=

, .

= 9.49

7. La región de rechazo y no rechazo está dada por:

1- 0.95

0

 = 0.05

=8.2

9.49

< 8. Decisión: Como , entonces no rechazar H0. 9. Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que los números se distribuyen uniformemente, considerando n = 50, K=5 y  = 0.05” Solución: b) k = 10 1. H0: Los números se distribuyen uniformemente. H1: Los números no se distribuyen uniformemente 2. K=10 3. FE= 50/10 = 5 4. AC= 1/10 = 0.1 5. Calculo de : ver tabla 2.10

59


Clases

FO

0.0 ≤ r ≤ 0.1 0.1 < r ≤ 0.2 0.2 < r ≤ 0.3 0.3 < r ≤ 0.4 0.4 < r ≤ 0.5 0.5 < r ≤ 0.6 0.6 < r ≤ 0.7 0.7 < r ≤ 0.8 0.8 < r ≤ 0.9 0.9 < r ≤ 1 ∑

1 5 8 4 3 2 3 8 6 10 50

6 12 5 11

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 50

(

−

FO-FE

(FO-FE)2

10

-4

16

1.6

10

2

4

0.4

10

-5

25

2.5

10

1

1

0.1

1 5

1 25

0.2 5.0 9.8

FE

=

)

Tabla 2.10 Nota: una condición de la prueba de bondad y ajuste es que debe existir un número mínimo de observaciones por celda (5) es por esto que se tienen que agrupar los valores de celda que sean menores de 5 con el valor de celda inmediato superior o inferior según sea el caso. También se pueden agrupar varias celdas menores de 5 para sumar entre todas 5 o un valor mayor. Por supuesto que esto modifica también el cálculo de los grados de libertad. 6. Para obtener el valor de tablas, es necesario primero calcular los grados de libertad: V = k-1, y el valor de  = 0.05. En este caso quedan 6 clases una vez que se agruparon los valores de las celdas menores a 5. V = 6 – 1 = 5 grados de libertad, , = = 11.07 , .

60


7. La región de rechazo y no rechazo está dada por:

1- 0.95

0

 = 0.05

=9.8

11.07

< 8. Decisión: Como , entonces no se rechaza H0. 9. Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que los números se distribuyen uniformemente, considerando n = 50, K=10 y  = 0.05” Conclusión general: “Como con los dos valores de k no se rechaza H0 entonces se considera una prueba altamente significativa, para decir que los números siguen una distribución uniforme” 2.4.3 Prueba del póker. Esta prueba considera los dígitos del número aleatorio de manera individual y los clasifica en “jugadas” emulando el juego de cartas de poker. Cada número aleatorio debe tener 5 dígitos y las jugadas están basadas en los valores numéricos de cada dígito sin considerar las jugadas con figuras de la baraja original. También se utiliza la prueba de bondad y ajuste en este caso comparando el número de jugadas observadas en cada celda contra las jugadas esperadas. Pasos: 1. H0: Los números se distribuyen uniformemente. H1: Los números no se distribuyen uniformemente

61


2. Jugadas, ver la tabla 2.11: Jugadas (x) Todos diferentes Un par Dos pares Tercia Full Póker Quintilla

Probabilidad de Ocurrencia f(x) 0.3024 0.5040 0.1080 0.0720 0.0090 0.0045 0.0001

Tabla 2.11 3. La frecuencia esperada es: =( ) ( ) 4. La frecuencia observada (FO) es la cantidad de “jugadas” que se ubican en cada celda. 5. Estadístico de prueba: ( − ) = 6. Determinar las regiones de rechazo y no rechazo para los valores de  considerados (por omisión =0.05) 7. Tomar la decisión. 8. Concluir.

62


Ejemplo 2.7 Aplicar la prueba del póker a los 100 números que se muestran a continuación en la tabla 2.12: 0.80772

0.17791

0.13522

0.33942

0.51952

0.56367

0.30992

0.53029

0.32886

0.22031

0.99704

0.37347

0.56938

0.72269

0.23036

0.36737

0.64306

0.06359

0.48597

0.93187

0.10688

0.58583

0.32024

0.07030

0.84387

0.56090

0.14836

0.59700

0.76514

0.38088

0.94045

0.52118

0.81727

0.88695

0.39582

0.27950

0.90993

0.04543

0.33388

0.13548

0.21890

0.44946

0.99206

0.10144

0.09683

0.96107

0.78364

0.63935

0.10515

0.21707

0.24923

0.29121

0.31590

0.48642

0.36869

0.40785

0.85366

0.91186

0.38562

0.81903

0.65589

0.70207

0.03764

0.80680

0.33174

0.57563

0.66228

0.60460

0.36740

0.67429

0.66905

0.05462

0.24422

0.74264

0.31128

0.81286

0.26439

0.28189

0.54555

0.98381

0.37665

0.24623

0.46671

0.82446

0.26924

0.75091

0.04372

0.33886

0.81618

0.75224

0.94338

0.31334

0.86353

0.42163

0.30297

0.21871

0.28123

0.01430

0.55963

0.22901

Tabla 2.12 Solución: 1. H0: Los números se distribuyen uniformemente. H1: Los números no se distribuyen uniformemente 2. Tamaño de la muestra: n = 100 3. Calculo de ver la tabla 2.13: Jugadas (x) Todos diferentes Un par Dos pares Tercia Full Póker Quintilla ∑

Probabilidad f(x) 0.3024 0.5040 0.1080 0.0720 0.0090 0.0045 0.0001 1

FO

FE

27 53 12 5 2 1 0 100

30.24 50.40 10.80 7.20 0.90 0.45 0.01 100

8

8.56

FOFE -3.24 2.60 1.20

(FOFE)2 10.50 6.76 1.44

-0.56

0.314

(

− 0.347 0.134 0.133 0.037

=

Tabla 2.13 4. Como se mencionó anteriormente, para obtener el valor de tablas, es necesario primero calcular los grados de libertad: V = k-1, y el valor

63

0.651

)


de =0.05. En este caso quedan 4 clases una vez que se agruparon los valores de las celdas menores a 5. V = 4 – 1 = 3 grados de libertad, , = = 7.81 , . Región de rechazo y no rechazo para el ejercicio:

1- 0.95

0

=0.651

 = 0.05

7.81

< 5. Decisión: Como , entonces no se rechaza H0. 6. Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que los números si se distribuyen uniformemente, considerando n = 100 y  = 0.05” 2.4.4 Prueba de Kolmogorov-Smirnov Esta prueba consta de los siguientes pasos: 1. Generar una muestra de números aleatorios de tamaño n. 2. Establecer: H0: Los números se distribuyen uniformemente. H1: Los números no se distribuyen uniformemente 3. Ordenar dichos números en forma ascendente ri. 4. Calcular la probabilidad relativa de los números generados con la donde i es la posición que ocupa el siguiente expresión: ( ) = número aleatorio Xi. ( )= ∑ ( ) 5. Calcular la distribución acumulada:

64


6. Calcular las diferencias absolutas entre cada valor ordenado ri y la respectiva distribución acumulada Fn (xi) 7. Tomar la diferencia absoluta mayor de acuerdo a: = á | ( )− | 8. Si Dn < d,n entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los números tienen una distribución uniforme.

Ejemplo 2.8 Aplique la prueba de Kolmogorov-Smirnov a los números que se muestran a continuación en la tabla 2.14 considerando =0.05. 0.8715

0.9898

0.7292

0.4683

0.4502

0.0648

0.9240

0.6107

0.1528

0.3454

0.6218

0.1623

0.9579

0.1757

0.3219

0.2110

0.1602

0.2965

0.6632

0.5324

0.2560

0.5009

0.9652

0.9058

0.6807

0.0889

0.5691

0.4732

0.2522

0.5820

0.7512

0.0430

0.0740

0.8760

0.7706

0.9840

0.3337

0.3611

0.3072

0.4595

Tabla 2.14 Solución: 1. H0: Los números se distribuyen uniformemente. H1: Los números no se distribuyen uniformemente 2. Ordenar los números aleatorios y aplicar las correspondientes. Ver tabla 2.15

operaciones

65


i

ri Ordenado

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

0.0430 0.0648 0.0740 0.0889 0.1528 0.1602 0.1623 0.1757 0.2110 0.2522 0.2560 0.2965 0.3072 0.3219 0.3337 0.3454 0.3611 0.4502 0.4595 0.4683 0.4732 0.5009 0.5324 0.5691 0.5820 0.6107 0.6218 0.6632 0.6807 0.7292 0.7512 0.7706 0.8715 0.8760 0.9058 0.9240 0.9579 0.9652 0.9840 0.9898

( )= 0.0250 0.0500 0.0750 0.1000 0.1250 0.1500 0.1750 0.2000 0.2250 0.2500 0.2750 0.3000 0.3250 0.3500 0.3750 0.4000 0.4250 0.4500 0.4750 0.5000 0.5250 0.5500 0.5750 0.6000 0.6250 0.6500 0.6750 0.7000 0.7250 0.7500 0.7750 0.8000 0.8250 0.8500 0.8750 0.9000 0.9250 0.9500 0.9750 1.0000 Tabla 2.15

66

Valor absoluto(ri)-(fi) 0.0180 0.0148 0.0001 0.0111 0.0278 0.0102 0.0127 0.0243 0.0140 0.0022 0.0190 0.0035 0.0178 0.0281 0.0413 0.0546 0.0639 0.0002 0.0155 0.0317 0.0518 0.0491 0.0426 0.0309 0.0430 0.0393 0.0532 0.0368 0.0443 0.0208 0.0238 0.0294 0.0465 0.0260 0.0308 0.0240 0.0329 0.0152 0.0090 0.0102


De la tabla anterior obtenemos que la diferencia mayor absoluta es de Dn =0.0639 y el valor de tablas de la distribución Kolmogorov-Smirnov con n=40 y un nivel de significación =0.05 es: d40,0.05=0.210 y puesto que 0.0639<0.210, entonces no se puede rechazar H0. Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que los números se distribuyen uniformemente considerando n=40 y =0.05”

2.5 Ejercicios propuestos. 1. Genere los primeros 7 números aleatorios ri de 4 dígitos con el algoritmo de cuadrados medios a partir de la semilla X0=9576. 2. Genere los primeros 5 números aleatorios ri de 4 dígitos con el algoritmo de productos medios a partir de las semillas X0=8543 y X1=7433. 3. Desarrolle los siguientes generadores congruenciales para números aleatorios uniformes y determine el periodo de estos: a) b) c) d) e)

a = 71, c =315, mod =313; X0 =37 a = 45, c =377, mod =1321; X0 =931 a = 111, c =281, mod =4294; X0 =123 a = 233, mod =4294; X0 =583 a = 711, mod =65536; X0 =17

4. Genere y anote con su calculadora 50 números aleatorios y aplique la prueba de los promedios con: a) =1% b) =5% c) =10%. Concluir.

67


5. Genere y anote 100 números aleatorios y aplique la prueba de las frecuencias con k=5, k=10 y concluir. 6. Realice la prueba del póker a los 100 números del ejercicio 5 y concluir. 7. Genere y anote 50 números aleatorios con su calculadora y aplique la prueba de Kolmogorov-Smirnov.

68


Capitulo 3: Variables aleatorias

69

Variables aleatorias

70


3.1 Introducción del capítulo Como se mencionó en el capítulo1, además de la clasificación estadística de las variables como continuas y discretas existe otra clasificación de acuerdo a la metodología para realizar un modelo de simulación. Esta otra clasificación es de acuerdo a como se alimenta al modelo que se pretende desarrollar: variables de entrada y variables de respuesta, también se les llama variables independientes y dependientes respectivamente. Es pues de vital importancia para el desarrollo del modelo determinar o identificar las variables de entrada, posteriormente identificar el tipo de distribución teórica al que se ajustan (si es que la tienen) para finalmente introducirlas en el modelo y poder generarlas en el lenguaje informático en el que se esté realizando el modelo. Las variables de salida (o de respuesta) se ven reflejadas en el reporte de salida una vez que se ha corrido adecuadamente el modelo; estas también son muy importantes porque aunque no alimentan al modelo, son las que muestran los indicadores de comportamiento del modelo actual y la base para tomar decisiones que ayuden a mejorar el sistema analizado. En la siguiente tabla 3.1 se muestran algunos ejemplos de variables de entrada y de respuesta más comunes: Variable de Entrada

Variable de Respuesta

Tiempo entre llegadas de las entidades al sistema Tiempo de servicio del servidor

Tiempo en fila de las piezas o clientes

Tiempo de operación de la máquina Tipo de cliente tipo que entra al sistema Tipo de servicio solicitado por los clientes Tipo de producto a desarrollar en el sistema

Tiempo en el sistema Porcentaje de tiempo ocioso del servidor Porcentaje de utilización de las máquinas Porcentaje de tiempo en operación/entidad Porcentaje de tiempo bloqueado de la entidad

Tabla 3.1

71


3.2 Tipos de variables aleatorias En este punto si se hará referencia a la clasificación probabilística de las variables aleatorias. Se pueden diferenciar de acuerdo con el tipo de valores aleatorios que representan. Si por ejemplo se habla del número de clientes que entran a un restaurant de comida rápida en el turno matutino, se pueden encontrar valores tales como: 0,1, 2, 3, 4,…,n, es decir, valores que se pueden contar como el de las distribuciones de probabilidad discretas. Por otra parte, si lo que interesa es el tiempo que tarda el servidor en atender a cada cliente que entra al restaurant, se obtendrían valores como: 3.47 minutos o 0.092 horas, en este caso son valores medibles y obviamente similares a las distribuciones de probabilidad continuas. 3.2.1 Variables aleatorias discretas Este tipo de variables se distinguen por que generalmente involucran experimentos estadísticos donde se pueden “contar” las características de la población a muestrear. Tienen las siguientes condiciones: 1) ( ) ≥ 0 2) ∑∞ =1 +…+ 3) ( ≤ ≤ ) = ∑ Ejemplos de distribuciones teóricas discretas son:     

Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución Uniforme Discreta Distribución de Poisson Distribución Hipergeométrica

En las siguientes figuras 3.2 y 3.3 se pueden ver los gráficos de dos distribuciones discretas comunes.

72


Figura 3.2

Figura 3.3 3.2.2 Variables aleatorias continuas Por otro lado, este tipo de variables involucran experimentos estadísticos donde se pueden “medir” las características de la población a muestrear. Estas variables se representan por ecuaciones conocidas como funciones de densidad de probabilidad y en lugar de

73


sumarse los pesos probabilísticos se integran. Tienen las siguientes condiciones:

3.

( )≥0 ( = )=0 ∞ ( )=1 ∞

4.

( ≤

1. 2.

≤ )= ( <

< ) =

( )

Ejemplos de distribuciones teóricas continuas son:     

Distribución Normal Distribución uniforme continua Distribución de Exponencial Distribución Log Normal Distribución Erlang

En las siguientes figuras 3.4 y 3.5 se pueden ver los gráficos de dos distribuciones continuas:

Distribución Normal P(X)

0.30 0.20 0.10 0.00 1

2

3

4 X

Figura 3.4

74

5

6

7


Distribución Exponencial P(x)

1

0.8 0.6 0.4 0.2 0 1

2

3

4

5

X

Figura 3.5

3.3 Identificación del tipo de distribución probabilidad de las variables aleatorias

de

El objetivo de identificar el tipo de distribución de alguna variable aleatoria es poder generarla cuando se está realizando el modelo en algún lenguaje específico informático, de hecho la mayoría de estos lenguajes traen su propia aplicación para determinar el tipo de distribución de las variables, en el caso del ProModel, tiene una aplicación llamada Stat:Fit la cual es muy útil para este fin. El procedimiento para la identificación de la distribución que sigue una variable de entrada es aplicando el proceso de pruebas de hipótesis utilizando la prueba de bondad y ajuste que utiliza como estadístico de prueba a la chi-cuadrada (x2), también se puede utilizar la prueba de Kolmogorov-Smirnov o la de Anderson-Darling. En este capítulo se revisarán los dos primeros procedimientos mencionados anteriormente. El procedimiento general es como se menciona a continuación:

75


1.

2. 3. 4.

Determinar Variables de entrada del modelo y muestrear en horarios y días de interés. Deben muestrearse por lo menos 30 datos (n ≥ 30). Organizar los datos en una forma conveniente para su uso. Determinar el Rango de los datos muestreados (R = Vmax – Vmin) Determinar el ancho del intervalo aproximado. Se recomienda la fórmula siguiente: ℎ

=

1 + 3.322 (log )

5. 6.

Construir la distribución de frecuencias. Realizar el histograma y trazar polígono de frecuencias para proponer la posible distribución a la que se ajusta. 7. Establecer Hipótesis Nula y Alternativa. 8. Determinar la probabilidad teórica de cada clase con la función de probabilidad de la distribución seleccionada. 9. Aplicar la Prueba de Bondad y Ajuste o Kolmogorov-Smirnov. 10. Concluir.

3.3.1 Ejemplos utilizando la prueba de bondad y ajuste y Kolmogorov-Smirnov La prueba de bondad y ajuste utiliza el estadístico de prueba de la chi-cuadrada (x2) y el fundamento de esta prueba es comparar la frecuencia observada de cada clase (ki) de la distribución de frecuencias contra la frecuencia esperada y medir la dispersión entre ambas, dicha dispersión se mide con el valor y este a su vez se compara contra el valor de tablas < , entonces no se rechaza H0. Las , , si fórmulas son las siguientes: FEi = n Pi

=

76

(

−

)


Para la obtención del valor de tablas de , el valor de V=K – m – 1 donde m es el número de parámetros estimados en la distribución considerada. La prueba de Kolmogorov-Smirnov compara directamente las probabilidades teóricas contra las relativas y utiliza sus propias tablas para diferentes valores de . El procedimiento se verá un poco más adelante. Ejemplo 3.1 Los siguientes datos (ver tabla 3.6) representan el tiempo en horas que se requieren para realizar las reparaciones y/o mantenimientos en un taller automotriz. Se tomó una muestra de los últimos 50 autos que ingresaron al taller: 8.223

0.836

2.634

4.778

0.406

0.517

2.330

2.563

0.511

6.426

2.230

3.810

1.624

1.507

2.343

1.458

0.774

0.023

0.225

3.214

2.920

0.968

0.333

4.025

0.538

0.234

3.323

3.334

2.325

7.514

0.761

4.490

1.514

1.064

5.088

1.401

0.294

3.491

2.921

0.334

1.064

0.186

2.782

3.246

5.587

0.685

1.725

1.267

1.702

1.849

Tabla 3.6 Realice lo siguiente: a) Obtenga el Rango. b) Construya una distribución de frecuencias y realice el histograma correspondiente. c) Mencione que tipo de distribución teórica pueden seguir los datos (establecer H0 y H1). d) Aplicar la prueba de bondad y ajuste con =0.05 y concluya. e) Aplicar la prueba de Kolmogorov-Smirnov con =0.05 y concluya. Solución: a)

= 8.223 − 0.023 = 8.2

77


b) Distribución de frecuencias e histograma ℎ

=

8.2 = 1.072 1 + 3.322 (log 50)

Este valor es solamente una referencia, por lo que puede considerarse un ancho adecuado de clase para 50 datos 1.2. En la siguiente figura 3.7 se puede ver la distribución de frecuencias y el histograma correspondientes:

Figura 3.7 c) De la figura anterior, los datos parece que siguen una distribución exponencial negativa, por lo tanto las hipótesis nula y alternativa son: H0 = Las horas de reparación y/o mantenimiento siguen una distribución Exponencial negativa. H1 = Las horas de reparación y/o mantenimiento no siguen una distribución Exponencial negativa d) Prueba de bondad y ajuste.

78


La distribución a la cual se pretende verificar si los datos se ajustan es la Exponencial negativa, es una distribución continua por lo que la función de densidad se tendrá que integrar para obtener las probabilidades correspondientes. 

( ) = 

1  =

≥ 0



En este caso como se obtuvo una muestra de tamaño n= 50 se utilizará como un estimador de . =

∑

=

113.397 1 = 2.27   = = 0.4405 2.27 50

La integración de la función de densidad para obtener las probabilidades de cada clase es de la siguiente manera: (

<





) =

<

= −



= −



+



Por lo tanto: )( .

)

.

)( .

)

< 3.55) = −

(

.

)( .

)

(3.55 <

< 4.75) = −

(

.

)( .

)

(4.75 <

< 5.95) = −

(

.

)( .

(5.95 <

< 7.15) = −

(

.

)( .

( 0.00 < (1.15 < (2.35 <

< 1.15) = −

(

< 2.35) = −

(

( > 7.15) = 1 −

.

+

(

)( )

+

(

= −0.6026 + 1 = .

.

)( .

)

= −0.3552 + 0.6026 = .

+

(

.

)( .

)

= −0.2093 + 0.3552 = .

+

(

.

)( .

)

= −0.1234 + 0.2093 = .

)

+

(

.

)( .

)

= −0.0727 + 0.1234 = .

)

+

(

.

)( .

)

= −0.0429 + 0.0727 = .

.

= 1 − 0.9571 = .

El resumen del cálculo de

es como se muestra en la siguiente

tabla 3.8:

79

Variables aleatorias (

−

Clases

FO

Pi

FE=nPi

FO-FE

(FO-FE)2

0.0 ≤ X ≤ 1.2 1.2 < X ≤ 2.4 2.4 < X ≤ 3.6 3.6 < X ≤ 4.8 4.8 < X ≤ 6.0 6.0 < X ≤ 7.2 7.2 < X ≤ 8.4 ∑

18 13 10 4 2 1 2 50

0.3974 0.2474 0.1459 0.0859 0.0507 0.0298 0.0429 1

20 12 7 4 3 1 3 50

-2 1 -3

4 1 9

0.2000 0.0833 1.2857

-2

4

0.3636

9

11

=

1.9326

Tabla 3.8 Para determinar el valor de tablas de , considerar los grados de libertad v de acuerdo a: v = k-m-1 donde k es el número de clases resultantes y m es el número de parámetros estimados en la distribución considerada. V=4-1-1=2 grados de libertad

,

=

, .

= 5.99

En la figura 3.9 se puede ver la región de rechazo y no rechazo para la prueba de bondad y ajuste:

1- 0.95

0

=1.9326

Figura 3.9

80

 = 0.05

5.99

)


Decisión: Como

<

,

entonces no rechazar H0.

Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que las horas de reparación y/o mantenimiento siguen una distribución exponencial negativa, considerando n = 50, y  = 0.05” e) Prueba de Kolmogorov-Smirnov con =0.05. En este caso los pasos son los siguientes: 1. Calcular la probabilidad relativa de cada clase

=

,

2. Calcular la probabilidad teórica de cada clase (de la distribución que se eligió en la H0). 3. Acumular la probabilidad relativa y la probabilidad teórica en sus columnas respectivas, 4. Calcular la diferencia absoluta entre ambas 5. Comparar contra el valor de tablas. Recordemos las hipótesis nulas y la alternativa: H0: Las horas de reparación y/o mantenimiento siguen una distribución Exponencial negativa. H1: Las horas de reparación y/o mantenimiento no siguen una distribución Exponencial negativa El resumen del cálculo para la prueba de Kolmogorov-Smirnov es como se ve en la tabla 3.10:

81

Variables aleatorias Clases

FO

0.0 ≤ X ≤ 1.2 1.2 < X ≤ 2.4 2.4 < X ≤ 3.6 3.6 < X ≤ 4.8 4.8 < X ≤ 6.0 6.0 < X ≤ 7.2 7.2 < X ≤ 8.4 ∑

18 13 10 4 2 1 2 50

Pi Teórica 0.3974 0.2474 0.1459 0.0859 0.0507 0.0298 0.0429 1

Pi Relativa 0.36 0.26 0.20 0.08 0.04 0.02 0.04 1

Teórica Acum. 0.3974 0.6448 0.7907 0.8766 0.9273 0.9571 1.0000

Relativa Acum. 0.36 0.62 0.82 0.90 0.94 0.96 1.00

Diferencia absoluta 0.0374 0.0248 0.0293 0.0234 0.0127 0.0029 0

Tabla 3.10 El valor de tablas para =0.05 (tabla de Kolmogorov-Smirnov) es: 0.226. Como |0.0374| < |0.226| entonces no se rechaza H0. Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que las horas de reparación y/o mantenimiento siguen una distribución exponencial negativa, considerando n = 50, y  = 0.05” Ejemplo 3.2 Los siguientes datos de la tabla 3.11 representan el número de pacientes que ingresan a un consultorio médico, se tomó una muestra de 30 días a partir de un martes y terminando el miércoles tal como se muestra a continuación: Lunes 5 4 3 2

Martes 2 4 5 1 7

Miércoles 3 2 3 3 1

Jueves 4 1 5 6

Viernes 6 4 8 2

Tabla 3.11 Realice lo siguiente: a) Obtenga el Rango.

82

Sábado 4 5 2 1

Domingo 3 3 2 3


b) Construya una distribución de frecuencias y realice el histograma correspondiente. c) Mencione que tipo de distribución teórica pueden seguir los datos (establecer H0 y H1). d) Aplicar la prueba de bondad y ajuste con =0.05 y concluya. e) Aplicar la prueba de Kolmogorov-Smirnov con =0.05 y concluya. Solución: a) Calculo del rango: = 8 − 1 = 7 b) Calculo del ancho de clase: ℎ

=

7 = 1.18 1 + 3.322 (log 30)

En este caso los datos son discretos y el rango es pequeño (Rango=7) así que el ancho de clase no es una referencia adecuada ya que quedarían clases de 1–2, 2–3, etc. y como los datos son discretos nunca se darán valores intermedios solo enteros por lo que en este caso en particular es más conveniente tomar los valores puntuales y ajustar a alguna distribución teórica discreta. La distribución de frecuencias e Histograma son como se muestran en la figura 3.12:

Figura 3.12

83


c) Los datos parece que siguen una distribución de Poisson. H0 = El número de pacientes que ingresan al consultorio por día siguen una distribución Poisson H1 = El número de pacientes que ingresan al consultorio por día no siguen una distribución Poisson d) Prueba de bondad y ajuste. En este caso la distribución considerada es discreta por lo que simplemente basta utilizar la ecuación de la distribución de Poisson directamente para obtener las probabilidades correspondientes.   ( ) =  =  = 0,1,2,3,4, … , ! Como se obtuvo una muestra de tamaño n= 30 se utilizará un estimador de .

=

∑

=

104 = 3.4667   = 3.4667 30

(3.4667) ( = 1) = 1!

.

(3.4667) 2!

.

( = 2) =

(3.4667) 3!

.

( = 3) =

(3.4667) 4!

.

( = 4) =

(3.4667) 5!

.

( = 5) =

(3.4667) 6!

.

( = 6) =

84

= 0.1082 = 0.1876 = 0.2168 = 0.1879 = 0.1303 = 0.0753

como


( = 7) =

.

(3.4667) 7!

( = 8) = 1 −

= 0.0373 = 1 − 0.9434 = 0.0566

El resumen de los cálculos de la prueba de bondad y ajusta se muestra en la tabla 3.13: Clases

FO

1 2 3 4 5 6 7 8 ∑

4 6 7 5 4 2 1 1 30

10

8

Pi

FE=nPi

0.1082 0.1876 0.2168 0.1879 0.1303 0.0753 0.0373 0.0566 1

3 6 7 6 4 2 1 1 30

(

−

)

FO-FE

(FO-FE)2

9

1

1

0.1111

0

0 -1

0 1

0.0000 0.1666

8

0

0

0 =

0.2777

Tabla 3.13 Para determinar el valor de tablas de V=4-1-1=2 grados de libertad = 5.99 , = , .

, :

En la siguiente figura 3.14 se muestra la región de rechazo y no rechazo para la prueba de bondad y ajuste de este ejercicio:

85


1- 0.95

0

 = 0.05

5.99

=0.2777

Figura 3.14 Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que el número de pacientes que ingresan al consultorio por día sigue una distribución discreta de Poisson, considerando n=30, y =0.05” e) Prueba de Kolmogorov-Smirnov con = 0.05 H0 = El número de pacientes que ingresan al consultorio por día siguen una distribución Poisson H1 = El número de pacientes que ingresan al consultorio por día no siguen una distribución Poisson El resumen de los cálculos de la prueba de Kolmogorov-Smirnov se muestra en la tabla 3.15: Clases

FO

1 2 3 4 5 6 7 8 ∑

4 6 7 5 4 2 1 1 30

Pi Teórica 0.1082 0.1876 0.2168 0.1879 0.1303 0.0753 0.0373 0.0566 1

Pi Relativa 0.1333 0.2000 0.2333 0.1666 0.1333 0.0666 0.0333 0.0336 1

Teórica Acum. 0.1082 0.2958 0.5126 0.7005 0.8308 0.9061 0.9434 1

Tabla 3.15

86

Relativa Acum. 0.1333 0.3333 0.5666 0.7332 0.8665 0.9331 0.9664 1

Diferencia absoluta 0.0251 0.0375 0.0540 0.0327 0.0357 0.0270 0.0230 0


El valor de tablas para =0.05 (tabla de Kolmogorov-Smirnov) es: 0.29. Como |0.054| < |0.29| entonces no se rechaza H0. Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que el número de pacientes que ingresan al consultorio por día sigue una distribución discreta de Poisson, considerando n=30, y  = 0.05” Ejercicio 3.3 Los siguientes datos de la tabla 3.16 representan el tiempo en segundos que tarda un operador en realizar una operación de ensamble, mencione que tipo de distribución pueden seguir estos mediante la prueba de Kolmogorov-Smirnov. 138

164

150

132

144

125

149

157

146

158

140

147

136

148

152

144

168

126

138

176

163

119

154

165

146

173

142

147

135

153

140

135

161

145

135

142

150

156

145

128

Tabla 3.16 Solución: a) Calculo del rango:

= 176 − 119 = 57

b) Calculo del ancho de clase de referencia: 57 ℎ = = 9.02 ≈ 10 1 + 3.322 (log 40) c) Distribución de frecuencias e histograma. En la siguiente figura 3.17 se muestra la distribución de frecuencias y el histograma correspondientes:

87


Figura 3.17 d) Establecer las hipótesis nula y alternativa. Los datos parece que siguen una distribución Normal por lo tanto las hipótesis son: H0 = El tiempo para realizar la operación de ensamble sigue una distribución Normal H1 = El tiempo para realizar la operación de ensamble no sigue una distribución Normal e) Aplicar la prueba de Kolmogorov-Smirnov. La distribución seleccionada en este caso es Normal, se trata de una distribución continua y tendría que integrarse su función de densidad pero es más sencillo utilizar la transformación de la distribución Normal Estándar N(=0,2=1) para el cálculo de las probabilidades. −  =



88


Para estimar  se utiliza y para estimar  se utiliza S. Utilizando la hoja de cálculo se puede estimar la media y la desviación estándar de la muestra con la cual se obtiene la siguiente información: = 146.8 y = 13.05. Para el cálculo de las probabilidades se consideran los límites reales de clase. La probabilidad de la primera clase es: P1(x<128.5) por lo tanto se tiene que transformar a unidades estándar el valor 128.5 con la fórmula: =

128.5 − 146.8 = −1.40 13.05

El valor negativo indica que 128.5 esta -1.4 desviaciones estándar por debajo de la media (146.8) y haciendo uso de las tablas de la distribución normal estándar (ver el anexo de este texto) finalmente se obtiene la probabilidad de la primera clase: ( < 128.5) = 0.5 − (1.4) = 0.5 − 0.4192 = . La segunda probabilidad es: P2 (128.5
138.5 − 146.8 = −0.64 13.05

De aquí que la probabilidad sea: (128.5 <

< 138.5) = (1.4) − (0.64) = 0.4192 − 0.2389 = .

Es importante recordar que cuando los valores de Z sean del mismo signo, se debe restar la probabilidad del valor menor al valor mayor de Z, por su parte cuando los valores obtenidos de Z sean de signo diferente, las probabilidades del área bajo la curva se suman. Siguiendo con este proceso, en resumen las probabilidades serían:

89


( < 128.5) = 0.5 − (1.4) = 0.5 − 0.4192 = . (128.5 <

< 138.5) = (1.4) − (0.64) = 0.4192 − 0.2389 = .

(138.5 <

< 148.5) = (0.64) + (0.13) = 0.2389 − 0.0517 = .

(148.5 <

< 158.5) = (0.90) − (0.13) = 0.3159 − 0.0517 = .

(158.5 <

< 168.5) = (1.66) − (0.90) = 0.4515 − 0.3159 = .

( > 168.5) = 1 −

= 1 − 0.9515 = .

En la siguiente tabla 3.18 se muestra el resumen del cálculo de la prueba de Kolmogorov-Smirnov: Clases

FO

119 – 128 129 – 138 139 – 148 149 – 158 159 – 168 169 – 178 ∑

4 7 13 9 5 2 40

Pi Teórica 0.0808 0.1803 0.2906 0.2642 0.1356 0.0485 1

Pi Relativa 0.100 0.175 0.325 0.225 0.125 0.050 1

Teórica Acum. 0.0808 0.2611 0.5517 0.8159 0.9515 1

Relativa Acum. 0.1000 0.2750 0.600 0.825 0.950 1

Diferencia absoluta 0.0192 0.0139 0.0483 0.0091 0.0015 0

Tabla 3.18 El valor de tablas para =0.05 (tabla de Kolmogorov-Smirnov) es: 0.252. Como |0.0483| < |0.252| entonces no se rechaza H0. Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que el tiempo para realizar la operación de ensamble sigue una distribución Normal, considerando n=40, y  = 0.05” Otra consideración importante que se debe tener en cuenta es que las variables muestreadas pueden seguir varias distribuciones pero

90


siempre se van a ajustar mejor a una en particular, si se emplea la prueba de bondad y ajuste por ejemplo para verificar si un grupo de datos sigue una o varias distribuciones, se recomienda utilizar la que tenga el valor de mas pequeño ya que este presenta una menor dispersión entre los valores observados y esperados. 3.3.2 Identificación del tipo de distribución de probabilidad utilizando un lenguaje específico de simulación. Como se ha mencionado anteriormente, existen diversos lenguajes informáticos de uso específico para simulación, estos generalmente incluyen alguna aplicación para la identificación del tipo de distribución probabilística de las variables de entrada del modelo que se desea simular. En el caso del software ProModel, este incluye una herramienta llamada Stat:Fit, la cual es de suma utilidad para analizar y determinar el tipo de distribución de las variables consideradas. Incluye las pruebas de bondad y ajuste (chi-cuadrada), Kolmogorov-Smirnov y AndersonDarling. También incluye información de estadística descriptiva de los datos que pueden alimentarse manualmente o incluso pegarlos de otras aplicaciones como hojas de cálculo ya que es totalmente compatible con las aplicaciones de Microsoft para PC. Existen varias versiones del ProModel profesionales, pero en este caso, el texto que se desarrolla es meramente para uso académico, se hará referencia a la versión estudiantil que ya se incluye en el libro: García Dunna et. al. (2006) titulado Simulación y análisis de sistemas con ProModel primera edición, de editorial PEARSON (ver figura 3.19):

91


Figura 3.19 Esta versión tiene ciertas limitantes en cuanto número de locaciones, recursos, atributos, etc. pero funciona perfectamente para su uso académico (ver figura 3.20):

Figura 3.20

92


Para utilizar el Stat:Fit, se puede ejecutar desde la pantalla inicial de ProModel o desde los comandos del menú Tools (ver figura 3.21):

Figura 3.21 Dentro de la ejecución del Stat:Fit se debe iniciar un nuevo documento (hoja en blanco de la barra de herramientas) e introducir los datos de la variable a analizar, el uso de esta herramienta es muy amigable e intuitivo (ver figura 3.22):

93


Figura 3.22 Una vez que se introdujo la información se inicia el proceso mediante el botón Auto::Fit o utilizando la barra de herramientas en el comando Fit. Para el caso de los datos del ejemplo 3 los datos ya introducidos y su correspondiente información de estadística descriptiva serian como se ve en las figura 3.23 y 3.24:

94


Figura 3.23

Figura 3.24

95


Una vez que se dio clic en el botón Auto: FIT se despliegan las distribuciones a las cuales se ajustan los datos, incluso se puede ver el histograma y los polígonos de frecuencia de las distribuciones a las cuales se hizo el ajuste (ver figuras 3.25 y 3.26):

Figura 3.25

96


Figura 3.26

3.3.3 Ajuste de curvas manual a tendencias lineales para distribuciones empíricas continuas Para el caso en que se considere una variable aleatoria continua empírica (que no sigue ninguna distribución teórica conocida), se puede utilizar el enfoque de ajuste a una tendencia lineal con el método de mínimos cuadrados. Como es conocido, existen diversos tipos de tendencias: lineal, parabólica, logarítmica, etc. pero en este caso se verá el ajuste a la tendencia lineal para verificar si esta puede utilizarse en la obtención del generador de la variable (posteriormente) en lugar de la distribución original.

97


Ejemplo 3.4 Se toma una muestra de 100 llamadas a un centro de atención telefónico, la variable considerada es el tiempo de atención en minutos de un servidor. Los datos ordenados en una distribución de frecuencias, el histograma y el diagrama de dispersión son como se muestran a continuación en la figura 3.27:

Figura 3.27 La ecuación de la recta es: = + y las respectivas ecuaciones necesarias para aplicar el método de mínimos cuadrados son: ∑ = + ∑ ∑ = ∑ + ∑

98


Para obtener la ecuación de la recta es necesario conocer los valores de las constantes a y b obteniendo las sumatorias necesarias (ver tabla 3.28):



X

FO (Y)

XY

X2

Y2

3 4 5 6 7 8 33

12 14 17 16 21 20 100

36 56 85 96 147 160 580

9 16 25 36 49 64 199

144 196 289 256 441 400 1726

Tabla 3.28 100 = 6 + 33 580 = 33 + 199 Resolviendo el sistema de ecuaciones por el método que se desee (sustitución, reducción, Gauss-Jordan, etc.) se obtiene: a = 10.667, b = 1.7143 = 10.667 + 1.7143 Sustituyendo los valores de X se obtienen los valores ajustados de Y = 10.667 + 1.7143(3) = 15.81 = 10.667 + 1.7143(4) = 17.52 = 10.667 + 1.7143(5) = 19.24 = 10.667 + 1.7143(6) = 20.95 = 10.667 + 1.7143(7) = 22.67 = 10.667 + 1.7143(8) = 24.38

99


Estos valores se grafican sobre el polígono de frecuencias y originando la recta de ajuste tal como se ve en la siguiente figura 3.29: Poligono de frecuencias 25 y = 1.7143x + 10.667

20 15 10 5 0 3

4

5

6

7

8

Figura 3.29 El valor de R2 es el coeficiente de determinación y este mide la dispersión de los datos originales respecto de la recta de ajuste. Un valor de R2=1 hace un ajuste perfecto por lo que entre más se acerque a 1 mejor será el ajuste que la recta haga de los datos. Un valor mayor de 0.85 es considerado como bueno y podría considerarse la ecuación de la recta como la nueva f(x) de los datos. La manera de obtenerlo es calculando primero el coeficiente de correlación y luego elevarlo al cuadrado. =

=

 

− ( )



− ( )

6(580) − (33)(100) 6(199) − (33)

= 0.9310 

100

−  

6(100) − (1726)

= 0.8668


De aquí el valor de R= 0.9310 y por lo tanto R2=0.8668, con este valor se puede decir que la tendencia lineal hace un buen ajuste de los datos muestreados para posteriormente obtener un generador de esta variable.

3.4 Generación de variables aleatorias. El objetivo real de conocer el tipo de distribución de las variables aleatorias, es poder generarlas en el modelo de simulación que se esté desarrollando para darle el parecido con la realidad que se requiera y obtener información fidedigna que permita tomar la mejor decisión en un momento dado. Existen varios métodos para generar las variables aleatorias, por ejemplo: a) b) c) d) e) f)

Método de la transformada inversa. Método de convolución Método de composición. Método de la transformación directa. Método de aceptación y rechazo. Método de Montecarlo

En los siguientes puntos se describirán el método de la transformada inversa, el método de Montecarlo y el de composición (que es una aplicación especial del de la transformada inversa), el lector puede consultar los demás métodos en la bibliografía de este texto. En la siguiente figura 3.30 se puede observar un cuadro sinóptico con un resumen de este punto adecuado al tipo de variable considerado para un mejor entendimiento del tema:

101


Distribución Discreta Teórica

Distribución Continua Teórica

Si los datos analizados tienen una….

1. Aplicar directamente la fórmula directamente y obtener las probabilidades de cada valor posible de X. 2. Acumular las probabilidades hasta que la suma sea 1. 3. Establecer clases o rangos con la probabilidad acumulada. 4. Generar números aleatorios y verificar que valor corresponde de X para introducir al modelo. Método de la Transformada inversa: 1. 2. 3. 4.

Dado f(x) calcular Hacer F(x) = R Despejar = Generar valores

( )

Método de Montecarlo: 1. Obtener las probabilidades relativas de cada valor de X. 2. Acumular las probabilidades hasta que la suma sea 1. 3. Establecer clases o rangos con la probabilidad acumulada. 4. Generar números aleatorios y verificar que valor corresponde de X para introducir al modelo.

Discreta

Distribución Empírica.

Continua

1.

2 Ajustar a una tendencia lineal para checar si R hace un buen ajuste de los datos.

2.

2 Si R ≥0.85 aplicar Transformada inversa.

Método de Composición: Si el área f(x) se puede dividir en dos o más áreas, se aplica la transformada inversa a cada fi(x), siempre y cuando ∑Ai=1 

Si R2<0.85 entonces ordenar los valores de Xi en forma ascendente y encontrar la frecuencia observada de cada uno.  Aplicar el Método de Montecarlo

Figura 3.30 Figura 3.30

102

( )=


Nota: Es muy importante mencionar que lo expuesto en este punto corresponde a la obtención manual de los generadores, la mayoría de los lenguajes específicos simulación traen su propio generador y solo se tiene que introducir el tipo de distribución deseado y los parámetros que incluya dicha distribución. 3.4.1 Ejemplos de obtención de generador de variables aleatorias a través de métodos manuales. Ejemplo 3.5 Obtenga un generador de forma manual para la variable aleatoria discreta del ejercicio 3.2 Utilizando: a) La fórmula de Poisson (distribución teórica a la cual se ajustaron los datos). b) El método de Montecarlo (considerando los datos como distribución empírica). Solución: a) Se sabe que, la fórmula es:   ( ) =  = 3.4667 = 0,1,2,3,4, … , ! Por lo que se aplicará a cada valor posible de X hasta que la suma de las probabilidades (considerándola en este caso de 4 dígitos) sea 1. El generador es como se muestra en la tabla 3.31:

103


X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

P(X) 0.0312 0.1082 0.1876 0.2168 0.1879 0.1303 0.0753 0.0373 0.0162 0.0062 0.0022 0.0007 0.0002 0.0001

Acumulada 0.0312 0.1394 0.3271 0.5438 0.7317 0.8620 0.9372 0.9745 0.9907 0.9969 0.9991 0.9997 0.9999 1.0000

0 0.0312 0.1394 0.3271 0.5438 0.7317 0.8620 0.9372 0.9745 0.9907 0.9969 0.9991 0.9997 0.9999

Clases ≤R≤
0.0312 0.1394 0.3271 0.5438 0.7317 0.8620 0.9372 0.9745 0.9907 0.9969 0.9991 0.9997 0.9999 1.0000

Tabla 3.31 Nótese que en la obtención de este generador se utilizaron valores de X que incluso no aparecen en el muestreo original (0, 9, 10, 11, 12 y 13) esto es porque ya se tiene la certeza que los datos muestreados siguen una distribución de Poisson, es por esta razón que se buscan las distribuciones teóricas en primera instancia. La manera de generar los valores es como sigue: Si R = 0.1287 entonces el valor que le corresponde es: X1= 1 Si R= 0.6103 entonces el valor que le corresponde es: X2 = 4 y así sucesivamente. b) El método de Montecarlo se basa únicamente en el muestreo y solo aplica para valores puntuales, además nunca va a generar un valor que no se haya muestreado (ver tabla 3.32):

104


X

FO

1 2 3 4 5 6 7 8 ∑

4 6 7 5 4 2 1 1 30

Probabilidad Relativa 0.1333 0.2000 0.2333 0.1667 0.1333 0.0667 0.0333 0.0333 1.0000

Acumulada 0.1333 0.3333 0.5667 0.7333 0.8667 0.9333 0.9667 1.0000

Clases 0.0000 0.1333 0.3333 0.5667 0.7333 0.8667 0.9333 0.9667

≤R≤
0.1333 0.3333 0.5667 0.7333 0.8667 0.9333 0.9667 1.0000

Tabla 3.32 Ejemplo 3.6 Obtenga el generador para la distribución teórica exponencial continua y genere 5 valores con  = 5. Solución, en este caso se aplicará el método de la transformada inversa. La forma de la distribución exponencial negativa y su respectiva f(x) es como se muestra en la figura 3.33:

f(x)

( ) = 

0



>0

X

Figura 3.33

105


Dado f(x) calcular F(X): ( ) =





= −



= −



+ 1

Igualar F(x) = R y despejar X: −



+ 1 =

−



=



ln(

−1

=1− 

) = ln( 1 − )

− = ln( 1 − ) = − ln( ) 

nota: 1-R ≈ R

= −

Los valores generados son: Si R1=0.269 entonces:

= −5 (0.269) = 6.56

Si R2=0.819 entonces:

= −5 (0.819) = 0.99


= −5 (0.360) = 5.11


= −5 (0.454) = 3.95


= −5 (0.606) = 2.50

Ejemplo 3.7 Obtenga el generador de una distribución uniforme continua y genere 5 valores si a=3 y b=7. Solución, recuérdese que la f(x) de la distribución uniforme es como se muestra en la figura 3.34:

106


( )=

1 −

≤

≤

ℎ

Figura 3.34 Puesto que se trata de una distribución uniforme continua teórica, se aplicará el método de la transformada inversa. a) Dado f(x), calcular F(x): ( )=

1 −

b) Igualar F(x) =R y despejar X:

= − −

−

−

−

=

− −

=

−

=( − )

=

+( − )

c) Los 5 valores generados si a=3 y b=7 son: Si R1 = 0.2375 entonces X1= 3 + 4(0.2375) = 3.95 Si R2 = 0.7031 entonces X2= 3 + 4(0.7031) = 5.81 Si R3 = 0.9915 entonces X3= 3 + 4(0.9915) = 6.97 Si R4 = 0.0388 entonces X4= 3 + 4(0.0388) = 3.16

107


Si R5 = 0.4221 entonces X5= 3 + 4(0.4221) = 4.69 Ejemplo 3.8 Los datos que se muestran en la distribución de frecuencias de abajo (tabla 3.35), representan el tiempo en minutos para realizar una operación de ensamble. Obtenga un generador para dicha variable. FO 3 7 11 15 X 1 2 3 4 Tabla 3.35 Solución: Para tener una idea del tipo de distribución primeramente se trazará el histograma correspondiente a los datos muestreados (ver figura 3.36):

Figura 3.36 El polígono de frecuencias, los datos ajustados a la tendencia lineal y el valor del coeficiente de determinación se muestra a continuación en la figura 3.37:

108


R2=1

Figura 3.37 Con el coeficiente de determinación se puede concluir que la tendencia lineal hace un ajuste perfecto de los datos (en realidad no importa la ecuación de la recta para este punto lo que interesa es que tanto se ajustan los datos a la tendencia lineal), por lo tanto para obtener el generador de esta variable continua (suponiendo que interesa generar valores cualquiera entre dos valores enteros) se considera la “forma” lineal de la distribución y se traza nuevamente la distribución pero en terminos de distribución de probabilidad (ver figura 3.38):

109


La forma básica de la distribución es un trapecio

f(x)

d

B 3 1 = 36 12

A=1

b 1

2

3

X

4

h Figura 3.38 Se tiene que recalcular la base mayor del trapecio ( para cerrar el área a 1): ( + )ℎ = 2 1 3 + 12 1= 2



=

Con este valor se puede obtener la nueva f(x) ajustada con la ecuación de la pendiente: − − = − − 1 7 − 12 12 = 4−1

110

1 12  = 1 − 1 6 12 −1

−


Entonces la f(x) de la distribución es: 1 1 ( ) = − 6 12

1 ≤

≤4

Como es una distribución empírica continua se aplicará entonces el método de la transformada inversa: 1 1 − 12 6

( ) =

=

1 12

−

1 1(1 ) 1 1 − − (1) = 12 12 12 12

−

1 12

Como se está calculando la distribución acumulada debe esperarse que al sustituir con el valor de x superior (en este caso 4) se obtenga un valor de 1 que es la probabilidad total acumulada de cualquier tipo de evento:

1 12

42 −

1 12

4 = 1.

El siguiente paso es igualar la ecuación a R y despejar x: 1 12

−

1 12

= 

1 12

−

1 − 12

=0

Como no se trata de una ecuación lineal se utilizará la fórmula general para conocer el valor de x. Se puede multiplicar por 12 toda la ecuación para eliminar las fracciones: 1 1 − − = 0 12 = − − 12 = 0 12 12

=

− ±√ −4 2

=

1 ± 1 − 4(1)(−12 ) 1 ± √48 + 1 = 2(1) 2

Para saber cuál de los dos signos (+ o -) es el adecuado se puede evaluar la fórmula con los extremos de los números R para los que aplica (0≤R≤1) se supone que con R=0 la ecuación debe proporcionar

111


un valor de X=1 y con R=1 debe dar X= 4, esto sucede con el signo + de la ecuación y el generador finalmente queda de la siguiente manera:

=

1 + √48 + 1 2

0 ≤

≤1

Si se generan 10 valores con este generador el resultado sería como se muestra a continuación en la tabla 3.39: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

R 0.000 1.000 0.946 0.759 0.476 0.954 0.809 0.607 0.011 0.255

X 1 4 3.90 3.55 2.94 3.92 3.66 3.24 1.11 1.82

Tabla 3.39 Ejemplo 3.9 La siguiente figura 3.40 representa la distribución de una variable aleatoria continua empírica que ya ha sido ajustada a tendencias lineales mismas que hacen un buen ajuste de los datos originales. Determine un generador para esta variable aleatoria.

112


d

A1

1/5 1

A2 2

3

Figura 3.40 Solución: a) Primeramente hay que encontrar el valor desconocido d para cerrar las áreas a 1. En este caso la distribución puede dividirse en dos áreas A1 y A2, debe recordarse que A1 + A2=1. Son dos trapecios, por lo tanto:

+

=1

+

1 1 5 +

2

+ 2

1 1 5 =1

Despejando B se obtiene: 1 2

+ =

1 1 + 10 2

+

1 1 = 1  = 1 − 10 5

4 5

b) Enseguida se calculan las respectivas f1(x) y f2(x) con la ecuación de la pendiente:

113


Para f1(x): − −

− −

=

4 1 − 5 5= 2−1

1 5  = 3 − 2 5 5 −1 −

≤

: ( ) =

2 3 − 5 5

1

≤ 2

Para f2(x): − −

=

1 4 − 5 5= 3−2

− −

4 5  = − 3 + 2 −2 5 3 2 < =− + 2 5 −

: ( )

≤3

c) El siguiente paso es aplicar la transformada inversa a cada f(x). Cuando se aplica este método a más de un área, se le llama método de Composición. ( ) =

2 3 − 5 5

=

3 10

−

2 3(1 ) 2 3 − − (1) = 5 5 10 10

−

2 1 + 5 10

Como la distribución total de esta variable se puede dividir en dos áreas, se puede evaluar esta primer distribución acumulada con el valor de X superior para el cual aplica f1(x) (1≤X≤2) y debe dar el valor en área de la primer “figura”, en este caso es simétrica y el A1=1/2. Por lo tanto si se evalúa la primer acumulada con X=2 el resultado es:

114


( )=

3 2 1 1 2 − 2+ = 10 5 10 2

Enseguida se calculará la F2(x): 3 + 2 5

( )=

( = 2) +

−

( )=−

3 10

23 10

+2 −

=

1 3 − 2 10

+2 —

3(2 ) + 2(2) 10

Si se evalúa con X=3 ya que la f2(x) aplica para 2
( )=−

23 27 23 10 3 3 + 2(3) − =− +6− = =1 10 10 10 10 10

d) El paso siguiente del método de la transformada inversa es hacer F(x) = R y despejar la X. Para F1(x): 2 1 + = 5 10 2 1 − + − 5 10

3 10 3 ( 10 3

−

= 0)10

− 4 + 1 − 10 = 0 =

− ±√ −4 2

=

4 ± −4 − 4(3)(1 − 10 ) 4 ± √4 + 120 = 2(3) 6

Debe recordarse que este generador aplicará para valores 0≤R≤0.5 por lo tanto con R=0 debe dar X=1 y con R=0.5, X=2 por lo tanto evaluando con los dos valores de R el primer generador queda así:

115


=

4 + √4 + 120 6

≤ 0.5

0 ≤

Para F2(x): 23 3 +2 − = 10 10 23 3 +2 − − = 0 − 10 − 10 10

−−

3

− 20 + 23 + 10 = 0

=

− ±√ −4 2 =

=

20 ± −20 − 4(3)(23 + 10 ) 2(3)

20 ± √124 − 120 6

Este generador aplicará para valores 0.5
=

20 − √124 − 120 6

0.5 <

El generador Terminado queda de la siguiente manera:

4 + √4 + 120 6

0≤

≤ 0.5

X= 20 − √124 − 120 6

116

0.5 <

≤1

≤1


3.5

Ejercicios propuestos

1. El número de toneladas de sulfato de amonio vendidas por una empresa cada mes, se registran en la siguiente tabla, determine qué tipo de distribución siguen aplicando la prueba de KolmogorovSmirnov. 10 12 13 14 11

11 10 14 11 13

12 13 10 13 12

10 11 12 10 13

11 10 13 12 10

14 11 10 14 13

12 12 11 14 12

14 11 13 11 13

14 14 14 14 11

11 12 13 11 13

2. Los siguientes datos representan el tiempo de atención en un departamento de quejas de una importante empresa telefónica. Determine qué tipo de distribución siguen estos aplicando la prueba de bondad y ajuste. 19 20 11 11 28

11 19 22 30 12

18 23 29 20 12

37 59 42 15 12

33 13 15 15 16

28 20 19 38 31

29 14 14 13 12

14 18 12 12 17

17 17 20 21 22

10 11 10 22 27

3. Considere una empresa que vende seguros para autos. Existen 5 opciones diferentes de beneficios, por lo que cada cliente puede elegir si compra o no desde ninguna hasta comprar las 5 opciones que le presentan. Las probabilidades para venta y no venta son iguales. Los datos obtenidos son los siguientes: No. de opciones vendidas 0 1 2 3 4 5

Frecuencia Observada 38 144 342 287 164 25

117


Verifique si estos datos siguen una distribución Binomial aplicando: a) La prueba de bondad y ajuste b) La prueba de Kolmogorov-Smirnov 4. Verifique que tipo de distribución tienen los siguientes datos aplicando: a) La prueba de bondad y ajuste b) La prueba de Kolmogorov-Smirnov 1,170 1,332 1,471 1,826 1,440 1,119 1,352 1,428 1,470 1,249 949 1,752

1,207 1,418 1,399 1,309 1,421 1,020 1,340 1,603 1,783 1,419 1,539 1,648

1,581 1,949 1,041 1,426 1,329 1,400 1,459 1,699 1,618 2,162 1,634 1,978

1,277 1,403 1,379 1,288 1,407 1,442 1,823 1,237 1,431 1,373 1,637 640

1,305 1,744 821 1,394 718 1,593 1,451 1,325 1,557 1,542 1,649 1,736

1,472 1,532 1,558 1,545 1,457 1,962 1,138 1,590 896 1,631 1,607 1,222

1,077 1,219 1,118 1,032 1,449 1,263 1,592 1,142 1,662 1,567 1,640 1,790

1,319 896 1,533 1,289 1,455 1,788 982 1,425 1,591 1,221 1,739 1,188

1,537 1,500 1,510 695 2,051 1,501 1,981 1,550 1,551 1,972 1,540 2,091

1,849 1,671 1,760 803 1,677 1,668 1,091 913 1,612 1,714 2,187 1,829

5. Verifique si los siguientes datos pueden ajustarse a una tendencia lineal para posteriormente obtener un generador considerándolos como variable continua empírica. X FO 1 12 2 16 3 14 4 20 5 18 6. Obtenga un generador manual para una distribución Binomial con n=10 y p=0.5 7. Obtenga un generador manual para una distribución Uniforme Continua entre 1 y 10.

118


8. Obtenga el generador para una distribución de Poisson con =5. 9. Obtenga el generador para una distribución Exponencial Negativa con =3. 10. La siguiente figura representa la distribución de una variable continua empírica, obtenga el generador de dicha variable.

d

1/3 1

2

3

11. La siguiente figura representa la distribución de una variable continua empírica, obtenga el generador de dicha variable.

d

0

1

2

3

119


12. Obtenga un generador para la siguiente distribución:

d

1/5

A1 3

120

A2 4

5


Capitulo 4: Lenguajes de simulación

121

Lenguajes de simulación

122


4.1 Lenguajes de simulación Inicialmente los modelo s de simula ción se de sarrollaban utilizando algún lenguaje de propósito general, como FORT RAN, BASIC o ASSEMBLER. Posteriormente se empezaron a desarrollar lenguajes específicos para simulación que permitieron el desarrollo de modelos de forma más rápida, algunos de esos primeros lenguaje s específicos fueron: GPSS, GASP, SIMSCRIPT y SLAM. Con el advenimiento de las interfaces gráficas se revolucionó el campo de las aplicacio nes en esta área y surgieron lenguajes específicos cada vez más fáciles de utilizar y con una capacidad d e entregar información de salid a que facilita enormemente la toma de decisiones. Algunos de los len guajes de la actualidad son: ProModel, Arena, SIMPROCESS, SLIM. El objetivo de este capítulo es aprender a utilizar algún simulador, por lo que en lo sucesivo se verán las caracterí sticas y ele mentos de modelaje que conforman el lengu aje ProModel 7.0 versión estudian til. Se eligió este por su facilidad de uso y además por la razón de que no se requiere un permiso especial por parte de la empresa que lo comercializa. Claro está que el uso que se le dará al manejo del software es eminentemente académico (razón de ser de este texto). Adicionalmente se puede comentar que ya se incluye en otros textos de simulación como el que se mencionó en el capítulo 3 punto 3.3.2.

4.2 Introducción al uso de ProModel Este software es uno d e los más difundidos comercialmente y por ende de los más usados. Cuenta con poderosas herramientas de análisis y diseño que ju nto con las interfaces de animación que posee, permite realizar modelos con facilidad, analiza rlos y tomar decisione s más confiables para solucionar el problema bajo consid eración. Se contemplan diferentes versiones según el enfoque que se desee utilizar:  ProModel (software de líneas de pr oducción, justificación de capital, entre otras aplicaciones).  ServiceModel (software de simulación y optimización para sistemas de servicio, diseño y planeación de la capa cidad en e mpresas o procesos de servicio).

123


 MedModel (software de simulació n y opti mización de hospitales, clínicas y procedimientos de trabajo en ambiente de hospitales). Es importante aclarar que en términos generales todos tienen el mismo fundamento, varían principalmente los gráficos de la s versiones profesionales, pero con la versión estudiantil del ProModel se pueden simular prácticamente todos los sistemas de producción solo se requiere de creatividad y un análisis a fondo del sistema bajo estudio como se verá más adelante en los ejemplos diseñados para este texto. Para conocer de primera mano las últimas not icias respecto a este producto, visite la página web http: //www.promodel.com, la cual también contiene información sobre productos adicionales relacionados con la simulación de sistemas, artículos recie ntes, empresas que lo utilizan, etc.

4.3 Elementos Básicos El software ProModel consta de diversos módulos que permiten hacer un estudio más completo sobre el model o que se qu iere simular, dichos módulos son:  ProModel: Es aquí donde se realiza todo el modelo, d esde las variables entrada, el proceso de operación, uso de recursos, flujo de las actividades, etc.  Módulo de reporte de resultados: Al finalizar las cor ridas del modelo de simulación creado, esta interfaz e s de suma importancia por la gran cantidad de información estadística que gener a para su análisis, además este módulo permite la interacción con programas de hoja de cálculo como Excel.  Editor gráfico: Este cuenta con una serie de bibliotecas qu e ayudan a mejorar los modelos visualmente. Se pueden importar imágenes de otros paquetes compatible como la galería de imágenes de Word, Corel Draw, etc., modificar las imágenes existentes e in cluso crear las propias de acuerdo a las necesidades del modelo.

124


 Stat::Fit: Esta es una herramienta de análisis estadístico muy útil como ya se comentó en el capítulo3.  Editor de Turnos: Este como su nombre lo dice, permite crear y asignar turnos de traba jo a los e lementos del modelo qu e así lo requieran.  Simrunner: Esta herramienta es muy útil en el análisis p osterior del modelo. Permite conocer el impacto que tie ne en el modelo la variación de los valore s de las va riables aleatorias seleccionadas. Permite también deducir cual es la mejor combinación de factores para obtener el máximo beneficio al mejorar el proceso. El software también cuenta con un sistema de ayuda (en idioma inglés) en t odo momento al presio nar la tecla F1que también resulta muy útil.

4.4 Estructura de programación en ProModel ProModel es un softw are visual y completamente compatible con Windows, la versión estudiantil está limitada a 20 locaciones, 5 tipos de entidades, 5 tipos de recursos y 5 atributos (ver figura 4.1):

Figura 4.1 Como todas las ap licaciones que se manejan en la base de Windows, tiene las op ciones comunes de la barra de herramientas como:

125




  

   

FILE: Nuevo archivo, abrir, gua rdar, guardar como, y algunas opciones específicas como combinar modelos (merge), imprimir texto, imprimir área d e trabajo (layout), cre ar un paqu ete de un modelo, etc. EDIT: Considera aspectos relacion ados con la edición de l modelo como borrar, insertar, mover elementos. VIEW: Considera las diferentes opciones para cambiar el aspecto del área de trabajo. BUILD: Esta opción es una de las más importantes ya qu e a través de esta se construye todo el modelo de simulación , aquí se consideran las locaciones, e ntidades, redes, recursos, el procesamiento, las llegadas, turnos, variables, atributos, etc. SIMULATION: Esta ventana considera aspect os relacionados con las corridas de simulación. OUTPUT: Esta se utiliza para ver datos estadísticos de las corridas y rastreo durante los tiempos de ejecución. TOOLS: Esta considera varias her ramientas como el edit or gráfico, análisis estadístico para ajuste de curvas, etc. HELP: Aquí está el ín dice de co ntenido de la ayuda con la que cuenta el software y que como se mencionó ant eriormente, a la que se puede tener acceso a través de la tecla F1.

En la sigu iente figura 4.2 se puede ver las opcione mencionadas:

Figura 4.2

126

s antes


Para lograr un mejor entendimiento del u so del soft ware, se desarrollarán varios ejemplos que conducirán de lo más simple a lo más complejo, aunque es necesario aclarar que no se verán a bsolutamente todos los elementos que lo componen, el nivel al que se aspira que lo s estudiantes manejen e l software permitirá analizar los sistemas má s comunes tanto de servicios como productivos por ejemplo:  Líneas de espera.  Atributos como: tipo de cliente, tip o de produ cto/servicio, tipo de materia prima, etc.  Procesos de producción con maquinaria en secuencia y en paralelo.  Uso de recursos como operadores, montacargas, vehículos.  Bandas transportadoras de cinta y de rodillos.  Procesos de manufactura en general.

4.5 Construcción de modelos en ProModel En esta se cción se comenzará el análisis de las in strucciones básicas de programación en Pro Model para realizar un modelo, lo s elementos básicos que se utilizan son:    

Locations (locaciones). Entities (entidades). Arrivals (llegadas). Processing (proceso).

Existen otros comandos que se pueden ir agregando posteriormente y que proporcionan cierto grado de sofistica ción al modelo. Generalmente estos co mandos son los que ayudan a proporcionar el parecido del modelo a los sistemas reales. Algunos de estos comandos que se pueden agregar posteriormente o que requiere el modelo son:    

Resources (recursos). Path Networks (redes). Attributes (atributos). Variables.

127


 Backgroun Graphics (gráficos de fondo). 4.5.1 Construcción de un modelo paso a paso Ejemplo 4.1 Suponga que se quiere simular un sistema de líneas de espera básico como el de un cajero en un resta urant de co mida rápida al cual los clientes llegan de acuerdo a una distribución uniforme continua entre 4 y 8 minutos y el servidor tarda en promedio 6 minutos e n atenderlos siguiendo una distribución exponencial. En est e caso se supone que una vez que son atendidos, los clien tes se dirigen a una salida y de ahí abandonan el sistema. Desarrolle el modelo correspondiente en el software ProModel, haga 30 corrid as de tamaño 8 horas y conteste lo siguiente: a) ¿Cuál es el tiempo promedio que permanece un cliente en el sistema? b) ¿Cuál es el tiempo pro medio que permanece un cliente e n la fila antes de ser atendido? c) Suponga que el gerente del establecimient o no quiere que lo s clientes permanezcan más de 7 minutos en pr omedio haciendo fila, ¿Se logra esto con un servidor? d) Realice el modelo con dos servidores y comente. En el ProModel, existe una secue ncia lógica en el desarrollo del modelo, es decir, no se puede por ejemplo, definir las llega das de los clientes al sistema sin antes haber definido a dónde llegarán, por lo anterior, la secuencia sería la siguiente: 1. Definir locaciones Lo primero que se deb e definir son las loca ciones del modelo, esto se hace a través del menú Build, de hecho todo el modelo se construye en los comandos que este ofrece: Locations (locaciones), Entities (entidades), Arrivals (tasa de llegadas) Processing (proceso), y otr os que se comentarán má s adelante. Enseguida haga clic en el comand o

128


Locations, o por medio de los boto nes de acceso directo que ofrece la versión estudiantil 7, vea las figuras 4.3 y 4.4:

Figura 4.3

Figura 4.4 Cada que se utiliza un comando, se verá que además de la ventan a del área de trabajo ( Layout) se despliega otra ventana en la p arte superior donde se registra la infor mación de cada locació n del modelo: el ícono ( Icon), nombre (Name), capacidad de la locación ( Cap.),

129


unidades (Units), tiempos muertos ( DTs), información estadística (Stats), reglas de entrada de las entidades (rules) y algun as notas que quieran agregarse a la locación (no tes). En la parte izquie rda se abre una ventana de herramientas gráficas vertica l (Graphics) que incluye los gráficos, botones con comandos ya definido s y opciones de edición y borrado, véase la figura 4.5.

Área de registro de los campos de cada locación

Área de Trabajo

Gráficos

Figura 4.5 En este caso las locaciones básicas serían:  Una fila de entrada.  Un área de servicio/cajero.  Salida.

130


Supuestos:  La fila tendrá una capacidad para máximo 15 entidades que lleguen.  El cajero atenderá solamente de una en una persona (capacidad de 1).  Los clientes tardan un minuto en trasladarse del área de caja a la salida.  La capacidad de la locación de la salida es infinita. Es muy importante mencionar locaciones:

lo siguiente cuando se eligen las

 Se recomienda dejar activada la casilla “ New” en la ventana Graphics y elegir cada una de las locacione s necesarias, sólo se tiene que dar clic en e l gráfico deseado y posteriormente dar clic en el Layout. Otra forma de elegir la s locaciones es dar clic sobre e l gráfico y arrastrar hacia el Layout y soltar el b otón. Nótese que por cada locación elegida, se crea u n registro e n la ventana superior conteniendo información pre asignada.  Una vez q ue se eligen las locaciones ne cesarias, se puede desactivar la casilla New y modificar los campos de cada una de las locaciones individualmente: nombre, capacidad, nú mero de unidades, etc.  Se pueden modificar también las características de los gráficos en el Layout simplemente dando doble clic sobre estos.  En el caso de los bot ones de la parte izqu ierda de la ventana Graphics, estos tienen funciones específicas, vea la figura 4.6:

131


Contador Indicador gráfico de barras Filas/Bandas Títulos/etiquetas Luz de estado Indicador de posición

Figura 4.6 Para este ejercicio, la pr imera locación elegida es la fila (se traza en el Layout con el ratón como si se tratara de un a flecha con la dirección deseada y para terminarla se da doble clic) , por lo tanto hay qu e modificar las características de est a en el Layout, haciendo doble clic sobre el gráfico se despliega un cuadro de diálogo en el cu al se marca como fila ( Queue) se asigna la longitud de e sta (en este caso 25 ft) y

132


hacer otros cambios físicos como el color de relleno, sólido o en barras, etc. vea la siguiente figura 4.7:

Figura 4.7 Posteriormente con los botones de comando específico se asignan etiquetas a cada locación, a la fila se puede agregar además un gráfico de barras p ara contabilizar en pant alla como se va llenan do la fila. E s necesario hacer notar que una locación puede contener varias funciones gráficas, en e ste caso la fila tiene su nombre (etiqueta, que también se puede editar dando do ble clic sobre esta) y un indicador numérico (que también se puede e ditar) además de la locación misma. Todo lo que contiene una sola lo cación está delimitado por una línea punteada cuando está activa dicha locación, ver la figura 4.8:

133


Figura 4.8

2. Definir entidades Se definen las Entities (entidades) que entraran al sistema, en este caso llegan clientes a la fila de entrada de acuerdo a una distribución uniforme entre 4 y 8 minutos. Para hacer esto primero se da clic sobre el comando Entities en el menú de botones o través del menú Build, ver figura 4.9: Entities

Figura 4.9 También aquí se despliegan dos ventanas además del Layout, una para los gráficos y otra para los registros y sus campos. Se elige en este caso la e ntidad “Clientes” se le asigna un gráf ico (se pue de navegar entre estos con la b arra de desplazamient o ubicada en la parte

134


posterior) que en este caso es un a mujer de lado, también se puede editar: cambiar tamaño, color etc. Ver figura 4.10:

Figura 4.10 Los campos que se pueden modificar son: Name (nombre), Speed (la velocidad de desplazamiento) y Stats (estadísticos) que se desea que aparezcan en el reporte de salida, en este caso no es necesario cambiar los valores pre asignados. 3. Definir las llegadas Asignar las llegadas con el coman do Arrivals que es e l botón que se encuentra a un lado de la flecha diagonal azul, ver figura 4.11:

135


Figura 4.11 La ventana Arrivals tiene varios campos como: la entida d (Entity), locación (Location) a la que llegan las entidades, el tamaño del lote que llega (Qty Each), en que minuto comienzan a llegar las entidades ( First Time), número de entidades que llegarán (Occurrences), la tasa de llegadas (Frequency) y la lógica a seguir du rante la lle gada de la s entidades (Logic). Existen dos maneras de llenar los campos d e las llegadas: una e s dando clic en cada botón superior de la ventana e ir eligiend o cada una de las opciones existentes para ese campo. La otra es simplemente dar clic sobre la locación a la que llegar an las ent idades sobre el Layout y se llenarán los campos con los valores pre asignados y posteriormente cambiar solo lo que se requiera, ver figura 4.12:

Figura 4.12 Un campo que merece una espe cial atención es el de la tasa d e llegadas (Frequency) ya que como en este caso se trata de un a distribución de probabilidad teórica (uniforme e ntre 4 y 8) se debe esta por medio del Constructor de Estatutos o Constructor Lógico (Logic

136


Builder), el cual es una poderosa herramienta para crear código de simulación sin tener que escribir literalmente. Simplemente se abre el constructor de estatutos al presionar el botón derecho del ratón o presionar el icono de construcción ( representado por un martillo) en la v entana de l ógica. Se a bre una ventana esti lo plantilla para escribir comandos en formato apropiado. Funciona en la lógica de movimiento, o en otros muchos campos donde pueden ser válidas múltiples entradas. En este ca so sobre el campo Frequency se da clic d erecho y aparece directamente en las funciones, se elige: dist ribución de probabilidad (Distribution Functions) y se elige la unifor me, aclarando que los par ámetros a llenar son: la media (Mean) = (4+8 )/2 = 6 y el rango medio (half range) = 2 que es la distancia que existe entre el valor mínimo y la medi a y de esta al valor máximo. En l as siguientes figura 4.13 y 4.14se puede ver el Constructor de Estatutos:

Figura 4.13

137


Figura 4.14 Una vez que se introdu cen los valores de la media y el rango medio se da clic en el botón regresar ( Return) y posteriormente en pegar (Paste). Vea la figura 4.15:

Figura 4.15

138


4. Definir el proceso Enseguida se completará el mod elo definiendo la lógica de la simulación; para ello abra el menú Build y elija Processing o por medio del icono de acceso directo correspondiente, ver figura 4.16: Processing

Figura 4.16 En esta ocasión se desplegarán dos venta nas en la s que se programará de manera secuen cial el pro ceso que siguen los clien tes una vez qu e llegan al sistema: Process y Routing. En la primera s e definen las operaciones que se harán sobre la entidad, y en la segund a indicaremos la ruta secuencial en el proceso. Analizando el ejemplo, los pasos son los siguientes: 1. Llegan los clientes a la fila de entrada y esperan para ser atendidos. 2. Los clientes pasan hacia el servidor y son atendidos. 3. Finalmente los cliente s se dirigen h acia la salid a en un tiempo que toma un minuto. 4. Salen las entidades del sistema. Cada uno de estos pasos deberá programarse de manera independiente, es decir, en un registro por sepa rado. Se empezará por definir la llegada de los clientes a la fila. Para ello:  Seleccione la entidad correspondiente en la ventana Processing haciendo clic en el botón Entity.  Para programar la localización donde llega la entidad (en este caso la “fila”), hacer clic e n el botón Location; enseguida se desplegarán todas las localizaciones previamente definidas.

139


Como en esta loca ción los clientes solo esperan para ser atendidos, no se programa nada en la columna Operation. A con tinuación se definirá la ruta de salida en la ventana Routing:  En este caso la entidad de salida sigue siendo el cliente por lo que se hace clic en el botón Output y se selecciona cliente.  El destino del cliente es el servidor, así qu e se se lecciona esa locación en la columna Destination.  La siguiente columna, Rule, indica la regla de movimiento; el valor predeterminado aquí es First 1, lo que significa que la entidad avanzará tan pronto se tenga capacidad disponible en la localización de destino y el 1 significa que entra una entida d y sale una entidad. Esto por la razón de q ue en un momento dado, por ejemplo, si la operación fuera de corte, puede entrar un tronco y salir 5 tab lones, o entrar una entidad de materia prima y salir 3 piezas cortadas, etc.  La última columna, Move Logic, determina el movi miento lógico de salida; en este caso no existe ninguna condició n por lo que se dejará en blanco este campo. Una vez completada la primera línea de programación, deberá quedar como se ilustra en la figura 4.17

Figura 4.17 Continuando con el pro ceso, es necesario definir el pro ceso que se llevará a cabo con la at ención del cliente. Se debe posicionar el cursor con el mouse en el lado del Process sobre la línea existente y oprimir la tecla Enter para que se genere un nuevo registro en blanco y una vez

140


más se rep ite el proceso de selección de la entidad que ahora se encuentra con el servidor y aquí el tiempo de atención es de acuerdo a una distribución exponencial con media de 6 m inutos. Para conocer los comandos necesarios para especificar el tiemp o de servicio, hacer cli c en el botó n Operation de la ventana Process. Enseguida se desplegará la ventana Operation (ver la figu ra 4.18) en dónde se escribirá la lógica del proceso. Es necesario comentar que existe una manera más rápida de realizar toda la secuencia lógica del modelo, sobre el Layout se hace clic sobre la primera locación y se lleva esa línea de secuencia hacia la siguient e locación se da clic otra vez para indicar que se terminó esa primera ruta lógica, posteriormente de ahí mismo se repite el proce so hacia la siguiente locación y así sucesivamente, es importante qu e en la última ruta se haga clic sobre el botón Route to Exit que se encuentra en la parte posterior de la ventana Tools. Solamente resta cambiar los campos pre asignados con las entidades y valores correspondientes.

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Constructor Lógico

Figura 4.18

141


Para programar el tiempo de servicio (o de operación) hacer clic en el ícono del martillo para comenzar la construcci ón lógica. A l hacerlo se abrirá otra ventana la cual contiene todos los comandos de programación que incluye el ProModel (ver figura 4.19):

Figura 4.19 El comando que está pr e asignado es el WAIT el cual se utiliza para simular los tiempos de procesa miento (servicio/operación). Para construir la expresión de la distribu ción de probabilidad, se hace clic sobre el botón Time y enseguida aparece la venta de las funciones del constructor lógico, se selecciona Distributions Functions, luego s e selecciona la exponencial y se llena el campo p ara los parámetros qu e utiliza esta distribución (en este caso solo se tiene que llenar el campo de la media ) se hace clic sobre Return, Paste y Close. Vea la figura 4.20:

142


Figura 4.20 La sintaxis general del comando es: WAIT y en este caso la instrucción queda: WAIT E (6). Para definir la ruta de salida de est e registro, se selecciona el cliente de la colu mna Output y la siguiente locación a la cu al se dirige la entidad es hacia la sa lida (seleccionar de columna Destination) el campo Rule queda igual ( FIRST 1) y en este caso como de la locación del servidor hacia la salida le toma a la entidad un tie mpo de 1 minuto, se debe dar clic en el botón MOVE LOGIC aquí ap arecerán el constructor lógico, se d a clic sobre el martillo y aparecen otra ventana con los comandos de m ovimiento, se elige MOVE FOR que es e l que asigna el tie mpo de traslado a la en tidad y se le llena el campo con 1 minuto, se pega y se cierra para finalmente terminar esta instrucció n (ver figura4.21):

143


Figura 4.21 La programación completa de est e registro debe lucir como se aprecia en la figura 4.22:

Figura 4.22 Observe que al def inir el segundo registro, la ventana de la ruta de salida empieza de cero . Esto significa que la v entana de programación permite ver los procesos de man era secuencial, aunqu e la ventan a correspondiente a la ruta de salida del pro ceso sólo mostrará la programación correspondiente a la línea seleccionada en la ventana de l procesamiento.

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Para finalizar el modelo, el ú ltimo registro es cuando el cliente de la salida abandona el sistema, en este caso no h ay nada en operación y solamente en la ventana Route en el bo tón Destination debe seleccionarse la instrucción Exit que es la que indica que las entidades abandonan el sistema, el modelo completo queda de la siguient e manera (ver figura 4.23):

Figura 4.24 5. Establecer el tiempo de simulación Finalizada la programación, el sigu iente paso es definir el tiempo de simulación y el número de corridas, para ello:  Abra el menú Simulation y haga clic en el comando Options. Enseguida se abrirá la ventana correspondiente, en cuyo campo Run Time se escribirá 8 (por que la corrida está determin ada como solamente tiempo) y en el campo Number of Replications se puede escribir el número de veces que se desea correr el modelo durante 8 horas, en e ste caso se anotará 30 , para espe cificar que se desea realizar 30 corridas de tamaño 8 horas cada una. También se puede

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marcar la c asilla Pause para que p ermita ajustar la velocidad de la animación antes de que inicie la corrida. Ver figura 4.25

Figura 4.25 El modelo está listo p ara ejecutarlo. Una vez que este corriendo puede ajustarse la velocidad con la barra q ue aparece en la parte superior de la ventana, o cancelar la animación mediante el comando Animation Off del menú Options para acelerar el tiempo de ejecución. Al terminar la simulació n de las 30 corridas de tamaño 8 horas, se desplegará un cuadro de mensaje confirmando la finalización del tiempo programado y las opciones para ver los resultados (puede ser individual por cada corrida o e l promedio de todas), p ara ver los resultados se debe hacer clic en el botón Si. Enseguida se abrirá una ventana con varias fichas que muestran los resultados estadísticos de la simulación.

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Los datos pueden leerse y graficarse de inmediato con las herramientas que ofrece ProModel, o guardarse en archivos con formato de Exc el para personalizarlos posteriormente. Las diferentes fich as que se despliegan en el reporte de salida son:  Ficha General: Algunos de los datos que despliega muestran la fecha y hora de la cor rida, la ruta donde se encuentra ubicado el archivo y el titulo del modelo. Ver la figura 4.26

Figura 4.26  Ficha Locations: Aquí se present a la información de cad a una d e las locaciones, las horas simuladas, la capacid ad (cuando es infinita se representa con 999999), el número total de entidades que entraron durante la simulación, el t iempo promedio por entrada, el promedio de contenid o por locación, el co ntenido máximo po r locación, el número actual de entidades al momento de finalizar la simulación y el porcentaje de utilización de cada locación (vea figura 4.27).

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Figura 4.27  Fichas Location States Multi/Locaction States Single: En la primera de estas fichas se presenta la información de las locaciones que tienen capacidad mayor a 1 a la vez durante la simulación. Esta información es la correspondie nte al tie mpo programado, el porcentaje vacio de la loca ción, el po rcentaje que estuvo parcialmente ocupada la locación, el porcentaje qu e estuvo totalmente llena y el p orcentaje que estuvo e n paro o d etenida la locación (ver figura 4.28). En la segunda las que tienen capacidad de una entidad a la vez durante la simu lación. Aquí se presenta además del tiempo programado los porcentajes que estuvo op erando la locación, del tiempo en preparación, del tiempo en espera, el tiempo ocioso, del tiempo que estuvo bloqueada y en paro (ver figura 4.29).

Figura 4.28

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Figura 4.29  Ficha Failed Arrivals. Esta ficha lista las entid ades del modelo que no pudieron entrar al sistema. Esto puede ocurrir cuando existe alguna locación con capacidad limitada y esta está completa, alguna entidad que llegue a l no poder ent rar es destr uida y eliminada del sistema (ver figura 4.30).

Figura 4.30  Ficha Entity Activity: Esta refleja las estadísticas de cada entidad definida en el modelo, tales como el total de e ntidades que salieron del sistema, cantidad actual en el sistema al mo mento de finalizar la simulación, tiempo promedio en el sistema (W), tiempo promedio de espera (Wq), tiempo promedio en operación, t iempo promedio e n

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movimiento y el tiempo promedio que permaneció bloqueada la entidad (ver figura 4.31)

Figura 4.31  Ficha Entity States: En esta ficha se puede encontrar un resumen de los datos de la ficha Entity Activity pero en términos porcentuales (ver figura 4.32).

Figura 4.32 Finalmente para dar respuesta a los incisos d e ejercicio 1 se tiene que: a) ¿Cuál es el tiempo promedio que permanece un sistema?

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cliente en el


Respuesta: de la ficha Entity Activity se pue de ver que el tiemp o promedio en el sistem a que permanecen los clientes es de 32.30 minutos. b) ¿Cuál es el tiempo pro medio que permanece un cliente e n la fila antes de ser atendido? Respuesta: de la ficha Entity Activity se pue de ver que el tiemp o promedio en espera (fila) que per manecen los clientes e s de 20.19 minutos. c) Suponga que el gerente del establecimient o no quiere que lo s clientes permanezcan más de 7 minutos en pr omedio haciendo fila, ¿Se logra esto con un servidor? Respuesta: No, ya que el tiempo promedio de espera es muy largo como se mencionó en el inciso anterior. d) Realice el modelo con dos servidores y comente. Para realizar este cambio lo único que debe hacerse es regresar a la programación del modelo y en el co mando Locations en la columna Units de la ventana Locations se cambia el valor de 1 por 2, automáticamente aparecerá otra locación (se rvidor) en lo s registros de la mis ma ventana y en e l Layout, se puede distribuir manualmente con el mouse y se vuel ve a correr el modelo (ver figura 4.33). En el reporte de salida de la ficha Entity Activity se puede apreciar que el tiempo en siste ma bajó a W= 7.50 minutos en promedio y el tiempo promedio de espera en la fila bajó a W q= 0.09 minutos, es decir prácticamente los clientes tienen que esperar solo 5.4 segundos para ser atendidos (ve figura 4.34).

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Figura 4.33

Figura 4.34 4.5.2 Refinamiento progresivo del modelo Como se mencionó en el capítulo 1, en los pasos para desarrollar un modelo de simulación, el modelo creado pue de refinarse progresivamente para a gregar detalles que lo harán describir de una manera más “real” el sistema que se quie re representar. En los

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siguientes puntos se verá como se puede mejorar el model o básico de servicio que se presentó en el punto 4.5.1. 4.5.2.1 Uso de atributos, variables y comandos de decisión Ejemplo 4.2 Suponga que al modelo inicial se le agregarán las siguientes variables: a) El 40% de los clie ntes ordenan para llevar y el resto para consumir ahí mismo. b) Existen 5 tipos de menú diferentes a ordenar con una distribución de probabilidad empírica tal como muestra en la tabla 4.36 Menú 1 2 3 4 5

Probabilidad 0.20 0.35 0.25 0.10 0.10

Tabla 4.36 c) Poner variables visib les en el Layout para che car cuantos clientes entran de cada tipo y etiquetarlas. d) Poner variables visibles en el Layout para l os tipos de alimentos seleccionados y etiquetarlas. Para agregar lo anterior al modelo se realizarán lo siguiente: 1. Definir Variables Para realizar esto, se p ueden definir dichas variables por medio del menú Build y dar clic e n el comando Variables Global o dando clic en el botón de acceso directo que se encuentra debajo de los menús (ver figura 4.37).

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Figura 4.37 Enseguida se desplegará en pant alla la ventana de definición de variables, se anota el nombre de cada vari able en el campo ID y posteriormente se da clic en el Layout para verlas gráficamente (son de tipo enteras pre asignadas) mismas que se ilustran en la figura 4.38.

Figura 4.38

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Para editar las variable s se abre e l menú Build y se da clic en el comando Background Graphics en el submenú Front of Grid, aparecerán 2 ventanas, una de he rramientas gráficas y o tra superior con los gráf icos que contiene la b iblioteca del editor gráf ico (Graphic Editor) que incluye el ProModel. Observe la figura 4.39.

Figura 4.39 Enseguida se da clic so bre el botón para texto (el que tiene la “A”) y posteriormente dar clic en el Layout, aparece un cuadro en el cual se puede anotar el nombr e, modificar el color de relleno, la forma de la etiqueta, etc. tal como se ve en la figura 4.40.

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Figura 4.40 Finalmente las etiquetas para la variable que dan de la siguiente manera (ver figura 4.41):

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Figura 4.41 2. Definir distribuciones empíricas El siguiente paso es d efinir las distribucione s empíricas para las variables que se han de finido. Para esto dar clic en el botón U que se encuentra debajo del menú de opciones, vea la figura 4.42.

Figura 4.42 Se despliega una ventana con opciones para modificar el nombre de las distribuciones, el tipo (en este caso discretas), si son acumulativas o no y para definir las tablas con los valores probabilísticos ( dar clic en el botón Table) tal como se ilustra en la figuras 4.43 y 4.44.

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Figura 4.43

Figura 4.44 3. Modificar gráficos de la entidad Para esto se da clic en e l botón en tidades mencionados anteriormente y se desactiva la casilla New de la ventana Entity Graphics. Enseguida aparecerán nuevos lugares para definir más íconos (gráficos) que id entifican la misma entidad; Se podrá observar que uno de los e spacios es o cupado por la e ntidad que se seleccionó anteriormente, ese será el icono para los clientes tipo 1(que son los que piden para llevar), ahora se da clic en el lugar inmediato a la derecha para indicar que se seleccionará otro icono d e la misma entidad. D e preferencia se recomienda seleccionar el mismo icono par a los clientes tipo 2 solo cambiando el color de este a través del botó n Edit de la misma ventana (vea la figura 4.45)

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Figura 4.45 4. Definición de atributos Los atributos en este caso son: tipo de cliente y tipo de menú que un cliente puede ser o seleccionar, el atribu to nos ayu da a que las entidades se puedan clasificar o a resaltar alguna característica que se considere importante para el modelo, en este caso se co nsideran los dos tipos de atributos mencionados anteriormente. Para hacer esto, dar clic en el botón A que se encuentra debajo del menú o ir a Build y luego Attributes, vea la figura 4.46.

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Figura 4.46 Enseguida se despliega la ventana Attributes y se definan los nombres de cada atributo en el campo ID, ver figura 4.47.

Figura 4.47 5. Modificar las llegadas Enseguida se modificará el campo Logic en la s llegadas (Arrivals) para indicar que cuand o se gener en las lle gadas de los clientes se clasifiquen como tipo 1 y 2 (atributos previamente establecidos) y de acuerdo a la distribució n de usuario que se e stableció anteriormente. Para esto se da clic en el comand o Arrivals del menú Build (o en e l botón destinado para e stas abajo del menú). Se hace clic en e l botón Logic y en seguida se despliega una ventana de dialogo que permite programar ciertas condiciones lógicas en el ProModel, dar clic en el martillo para que aparezca el constr uctor de estatutos. Como lo que s e va a crear no es un estatuto propiamente sino que es una expresión que utilizará atributos y tab las de u suario, se da clic en el botón Build Expression, ver figura 4.48.

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Figura 4.48 Enseguida se selecciona Attributes y se selecciona “Tipo de cliente” de los atrib utos que aparecen en el campo central, Se ve rá que en el campo superior se empieza a definir la expresión de tipo d e cliente, se debe escribir el signo igual después de esta para igualar a la distribución de usuario previamente establecida, ver figura 4.49.

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Figura 4.49 Enseguida en el camp o Logic Elements se desliza la barra de desplazamiento hasta que aparezca la opció n User Distributions, se selecciona esta aparecen en el ca mpo central dos opciones que no son otra cosa que las distribucio nes previamente establecidas, se selecciona: “Distribución de tipo de cliente” y enseguida se verá que la expresión completa se ha formado en el campo superior. Se da clic e n Paste y se repite todo el proceso para el atributo de tipo de menú a seleccionar, ver figuras 4.50 y 4.51.

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Figura 4.50

Figura 4.51

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Una vez cerrado el co nstructor de estatutos las expresiones en el campo Logic quedan de la siguiente manera (ver figura 4.52):

Figura 4.52 6. Modificar el proceso Finalmente solo queda modificar el proceso de l modelo. Para esto primero dar clic en e l comando Processing del menú Build o en el botón destinado para ello debajo de l menú. Como los clien tes cuando entran al sistema se supone que ya saben si su pedido es para llevar o comer ahí mismo, en la Fila de entrada se indicará lo siguiente:  Si el tipo de cliente es para llevar (1) entonces incrementar la variable “Clientes para llevar” y utilizar el gráfico1 para esta entidad.  Si el tipo de cliente es para consumo ahí mismo (2) entonces incrementar la variable “Clientes p ara consumo local” y utilizar el gráfico 2 para esta entidad. Para esto, hacer clic e n el botón Operation de la ventana Process en el registro de la fila de entrada, aparece la ventana Operation y haga clic en el martillo para comenzar las instruccion es lógicas. Al hacerlo se abrirá el constructor de estatutos, que contiene todos los comandos de programación existentes. Como son varias instrucciones, se enlistan a continuación la secuencia de las instrucciones: a) Seleccionar el comando IF-THEN-ELSE y da r clic en Condition, aparece la ventana de elementos lógicos y seleccionar Attributes, seleccionar el atributo Tipo de Cliente y hacerlo igual a “1”.

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b) Enseguida dar clic en el b otón Statement, como son do s instrucciones en esta parte se hace clic en el estatuto BEGIN (inicia un ciclo de instrucciones) Return y Paste. Se pueden quitar las “llaves” que aparecen sin n ingún problema si a sí se desea. Enseguida seleccionar el estatuto INC, dar clic en Identifier (manda directo a la s variables) y seleccion ar “Clientes para consu mo local”, enseguida dar clic en el botón Return y posteriormente Paste, el siguiente paso es sele ccionar el e statuto GRAPHIC y se anota el número 1 e n el campo Graphic Number, se hace clic e n Paste y finalmente se cierra el ciclo seleccionando el comando END. c) Se repite todo el ciclo para los clientes que comen en el local (tipo 2). Ver figuras el siguiente grupo de figuras 4.53.

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Figura 4.54 A continuación, deberá situarse en el segundo registro de la ventana Process que es cuando el “cliente” está en la locación: “servidor”, aquí es cuando este hace su pedido y es atendido por el servidor, así que aquí también se realizarán las siguientes actividades:  Si el tipo d e menú qu e pide el cliente es ig incrementa la variable: Menú tipo 1.  Si el tipo d e menú qu e pide el cliente es ig incrementa la variable: Menú tipo 2.  Si el tipo d e menú qu e pide el cliente es ig incrementa la variable: Menú tipo 3.  Si el tipo d e menú qu e pide el cliente es ig incrementa la variable: Menú tipo 4.  Si el tipo d e menú qu e pide el cliente es ig incrementa la variable: Menú tipo 5.

ual a 1 ent onces se ual a 2 ent onces se ual a 3 ent onces se ual a 4 ent onces se ual a 5 ent onces se

Para modificar este campo se hará lo siguiente: a) Dar clic en el botón Operation de la ventana Process para que se despliegue la ventana Operation.

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b) En el campo Operation se tiene la instrucción del tiempo de servicio la cual es una distribución exponencial con media de 6 minutos: WAIT E(6). Debajo de esta instrucción se sit úa el cursor dando Enter. Enseguida hacer clic en el martillo para que aparezca el Constructor de Estatutos o Constructor Lógico (Logic Builder). c) Seleccionar el comando IF-THEN-ELSE y da r clic en Condition, aparece la ventana de elementos lógicos y seleccionar Attributes, seleccionar el atributo Tipo de Menú y hacerlo igual a “1”. d) Enseguida dar clic en el botón Statement,. Enseguida seleccionar el estatuto INC, dar clic en Identifier (manda directo a las variables) y seleccionar “Menú tipo 1” (quitar la s llaves si se desea), e nseguida dar clic en el botón Return y posteriormente Paste. e) Repetir todo el proceso para las demás variables. En la siguiente figura 4.55 se pueden ver el listado de instrucciones:

Figura 4.55 El modelo está listo para correrlo nuevamente. En la siguiente figura 4.56 se ilustra el Layout con las variables agregadas durante la corrida. Corresponde al estudiante analizar la información obtenida en el reporte

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de salida para hacer las recomendaciones pe rtinentes acerca de est e modelo.

Figura 4.56 4.5.2.2 Uso de comando ROUTE Ejemplo 4.3 Tomando como base el ejercicio an terior (guardar como ejercicio 3), se le agregará que los clientes que permanezcan en el local para su consumo pasan a un área de comedores (se tienen 5 mesas con capacidad para 2 personas cada una) y permanecen un tiempo q ue sigue una distribución normal con media de 25 minutos y una desviación estándar de 5. Posteriormente se dirigen a la salida (suponga que duran un minuto en trasladarse del área de comedores a la salida). Se tendrá que agregar al modelo lo siguiente: 1. Modificar las locaciones En el comando Locations, en la ventana Graphics (con la casi lla New activada), seleccionar un icono apropiado para simular las mesas, se debe seleccionar solo uno y en la venta na superior Locations modificar el nombre, la capacidad y el nú mero de unidades. Edite las

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unidades agregando un gráfico de barras para ver como se ocupan las mesas y una etiqueta con el nombre de la locación, vea la figura 4.57:

Figura 4.57 2. Modificar el Proceso En el segundo registro cuando lo s clientes están con el servidor, hacer clic en el botón Operation y debaj o de las instruccion es existentes agregar otra decisión lógica que haga lo siguiente:  Si el tipo de cliente es igual a 1 entonces dirigirse a la salida.  Si el tipo de cliente es igual a 2 entonces dirigirse a los comedores  Si los clientes terminan su tiempo de consumo dirigirse a la salida. Para hacer esto en el campo Operation dar clic en el martillo y utilizar el e statuto IF-THEN-ELSE con el atributo correspondiente, en este caso T ipo de client e como se ha mencionado anterior mente, solo que en la condición Statement se utiliza el estatuto ROUTE y anotar el

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número de bloque para el Routing for correspondiente , ver la figura 4.58.

Figura 4.58 En el Routing for correspondiente en la primer salida se tiene marcado el bloque por defecto como 1 y la locación es “Salida” con un MOVE FOR 1, aquí es a donde se dirigirán los clientes tipo 1. Vea figura 4.59

Figura 4.59 Para crear la locación a donde se dirigirán los clientes tipo 2, se debe dar Enter para crear otro registro en blanco y posteriormente seleccionar la entidad de salida, en el destino será a la locació n “comedores”, en lo referente a el botón Rule, hacer clic para que se despliegue la ventana de opcione s y en la casilla Start New Block marcarla para indicar que será el nuevo bloque, ver la figura 4.60.

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Figura 4.60 Finalmente los dos reg istros quedan como se muestra en la figura 4.61.

Figura 4.61 Falta agregar en el p roceso cuando los clientes están en lo s comedores y luego se dirigen a la salida. Para esto se puede insertar un registro en blanco entre la locación “Servidor” y “Salida”, simplemente situar el cur so en la locación “Salid a” y en el menú Edit hacer clic e n Insert. En el registro en blanco seleccionar la entidad (dando clic en los botones correspondientes superiores), la locación que en este caso es “Comedores” y en el campo Operation dar clic para que se despliegue

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la ventana Operation, posteriormente dar clic en el marti llo para que aparezca el constructor de estatutos y con e l estatuto WAIT y el botó n Time indicar el tiempo que tarda en dicha loca ción (es una distribució n normal con media de 25 y des viación estándar de 5), lo anterior se describió a detalle en paso 4 del p unto 4.5.1. Por su parte en Routing For, también se elige la entidad de salida, la locación que será la “Salida” y e n el campo Move Logic también se agrega u n tiempo de traslado de un minuto (Move For 1) como se describió e n el mismo punto y paso antes mencionado. E n la figura 4.62 se pue de apreciar completa la inserción de este registro.

Figura 4.62 El modelo quedó terminado y se pu ede correr para su análisis. En la siguiente figura 4.63 se puede ver el Layout durante la corrida de l modelo.

Figura 4.63

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4.5.3 Modelos que incluyen más de un proceso En esta sección se realizarán los modelos de un sistema de manufactura que in corpora más d e un proce so, se iniciará con un modelo básico y po steriormente se in crementará el grado de sofisticación para agregarle más elementos de programación que harán finalmente un modelo muy parecido a algún sistema de producción real. 4.5.3.1 Modelo con bandas de transporte (CONVEYORS) y filas de espera (QUEUE) Ejemplo 4.4 En este mo delo se cre ará una red de filas y bandas sobre las cuale s viajará una caja. Existen tres filas ( de cajas, monitores y empaque) de longitud 20 metros, una banda de tarimas con una longitud de 20 metros con una velocidad de 20 metros por minuto y otra banda d e embarque con una longitud de 60 metros y una velocidad de 20 metros por minuto. La capacidad para cada fila se considerará de cinco piezas y la de bandas infinita. Todas las demás loca ciones se conside ran con un a capacidad de solo una pieza. El producto que se manejará en todo e l sistema será una caja que tiene una dimensión de un metro por un metro (para el caso de bandas transportadoras). Proceso: Llega al sist ema tanto a la fila de cajas como a la fila de monitores una caja. La caja que sale de ambas filas pa sa a una estación de trabajo en donde se realiza una op eración que consume un tiempo de un minuto con distribu ción exponencial. De est a estación, pasan a una fila de empaque que conducirá a la caja hasta una zona de carga en donde el tiempo de c arga será de0.5 a 1.5 minutos con distribució n uniforme. A la zona de carga, también llega una caja procedente de una banda de tarimas. Una vez que se realiza la operación en zona de carga, la caja se dirige a una banda de embarque que a su vez ésta la llevará a una zona de embarque. Para realizar la o peración de embarque se lleva un tiempo de 2 minutos con distribución de poison. Ya que se ha realiza do la operación anterior, la caja abandona el sistema.

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Llegadas: Al sistema llega una caja a la fila de monitor, a la fila de caja y a la banda de tarimas; con una ocurrencia infinita en todas. A la fila monitor llega la caja en un tiempo cero y después llegará cada tres minutos. A la fila cajas llega una caja y esta llega rá al sistema un minuto después de haber iniciado la corrida de produ cción y después llegar á cada tres minutos. A la banda de tarimas llegará una caja cuando haya corrido la producción cinco minutos y después llegará cada cinco. Utilizar el estatuto GRAPHIC en fila de cajas y en banda de tarimas para cambiar la apariencia de la enti dad en estas dos locaciones. Utilizar también el estatuto INC para contabilizar lo s productos embarcados. Ejecutar el modelo por 8 horas. Realización del modelo conceptual o esquemático del sistema Antes de realizar el modelo en ProModel, es muy út il hacer u n análisis del sistema utilizando un modelo conceptual o un esquema con la toda la información existente del sistema qu e se de sea modelar. El modelo conceptual o esquemático es como se muestra en la figura 4.64.

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Arrivals: 1 caja a fila Monitores 1 caja a fila cajas 1 caja banda tarimas Ocurrencia: Infinita Banda Tarimas Fila Monitores

Estación de Trabajo Wait = 1

Fila Empaque

Zona de empaque Wait = 0.5

Fila Cajas

Banda de Embarque

Exit

Zona de Embarque Wait = 2

Figura 4.64 1. Definir locaciones Recuérdese que el primer paso en ProModel es definir las locaciones físicas del modelo, en este caso: 1. 2. 3. 4. 5.

Fila de cajas (longitud 20 metros, capacidad de 5). Fila de monitores (longitud 20 metros, capacidad de 5). Estación de trabajo (capacidad 1). Fila de empaque (longitud 20 metros, capacidad de 5) Zona de empaque (capacidad 1).

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6. Banda tarimas (longit ud 20 metros, velocid ad de 20 metros por minuto y capacidad infinita). 7. Banda de embarque (Longitud 60 metros, velocidad de 20 metros por minuto y capacidad infinita). 8. Zona de embarque (capacidad 1). Para definir las loca ciones abrir el menú Build y elegir Locations o directamente en el botón destinado para ello mencionado anteriormente (el cubo a zul que se encuentra ubicado d ebajo del menú). Debe recordarse que se tiene que dar clic en ca da gráfico de la venta na Graphics y luego clic en el Layout para crear cada registro. Es importante para evitar errores de duplicidad elegir todas las locaciones primeramente con la ca silla New activada (de la ventana Graphics) y luego editar adecuadamente cada una de las locaciones elegidas. En el caso particular de las filas y bandas: Seleccionar el icono que parece una escalera horizon tal en la ventana Graphics, y h acer clic e n la po sición de la ventana Layout donde se desea que aparezca la fila. Si se mu eve el cursor del ratón a l realizar este procedimiento, una flecha indicará que se e stá definiendo una fila, deslizar el ra tón en la dirección que se de sea (incluso se pueden realizar cambio s de dirección dando clic en el bot ón izquierdo del ratón) y terminar la f ila dando doble clic. Como se mencionó anteriormente, las filas se determinarán con un color sólido al editarlas y las bandas transportadoras con barras, en la siguiente figura 4.65 está definida una fila con la ventana de edición abierta para cambiar s us características:

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Figura 4.65 De la misma manera , en la figura 4.66 e stá la edición de la s características de una banda transportadora (con la casilla Conveyor activada). Cuando se e dita una ba nda, se tien e además otro botón de opciones especiales para las bandas ( Conveyor options) donde se puede especificar si la banda e s de rodillos (marcando la casilla Accumulating) o de cinta (si no se marca la casilla Accumulating) y la velocidad de desplazamiento. En este caso se considerará a las bandas como de rodillos (marcar casilla Accumulating).

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Figura 4.66 En las siguientes figura s 4.67 y 4.68 se ilustr an los registros de las locaciones del modelo y el Layout con los gráficos respectivamente.

Figura 4.67

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Figura 4.68 2. Definición de entidades El siguiente paso en la construcció n del modelo será la definición de las entidades. Para ello es necesar io desplegar la ventana apropiada mediante el comando Entities del menú Build. En este caso la entidad es una caja que se moverá en tod o el sistema con dime nsiones de 1 metro por 1metro. Se definirán además tres gráficos para la mis ma entidad como se mencio nó anteriormente en el paso 3 de l ejercicio 4.2. Recuerde que en el botón Edit se puede cambiar el color del gráfico seleccionado. La definición de la entida d y los tres gráfico s seleccionados se muestran en la figura 4.69.

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Figura 4.69 3. Definición de las llegadas El siguiente paso en la construcció n del modelo es la definición de las llegadas de la e ntidad al siste ma; abrir el menú Build y comando Arrivals (o el botón de acceso directo ya mencionado a nteriormente). Debe recordarse que en las ventanas que se despliegan en cada comando aparecen botones de acceso para elegir las opciones de cada campo, siempre y cua ndo dicho botón esté resaltado, si no aparece el botón resaltado entonces en el campo hay que escribir directamente la opción deseada. En el caso de las llegadas d e este modelo, llega u na caja vacía a la fila de m onitores en el momento que iniciará la corrida, otra caja a la fila de cajas un min uto después y otra a la banda de tarimas 5 minutos después con frecuencias de 3, 3 y 5 minutos respectivamente. Para generar más de un regist ro solo se tiene que dar Enter sobre este para generar los demás. En la siguiente figura 4.70 se ilustran las llegadas del modelo.

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Figura 4.70 4. Definir Variable Dar clic en el botón de acceso directo o por m edio del menú Build y Variables (global). En el campo name se nombrará a la variable co mo “Embarcados”, si se desea que la variable aparezca físicamente solo se tiene que dar clic en el lugar deseado en el Layout (ver figura 4.71).

Figura 4.71

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5. Definir el proceso Este es el paso más importante p orque es donde se establece la lógica de pr ocesamiento del modelo. Ejecutar el comando Processing del menú Build. Para programar las opera ciones y r utas que se aplicarán a las entid ades, se procederá como en los ejemplos anteriores, seleccionando del botón superior de la ventana Process, las entidades, a que locación llegan, que operación se realiza en estas y en la ventana de Routing for cual es la ent idad de salida, la locación de destino, bajo que regla de salida se ajustará y en este caso no hay nada que cambiar en Move Logic ya q ue es sola mente una caja que se desplaza por todo el sistema. Cuan do llega la entidad a cada locació n asignada se utilizará e l estatuto GRAPHIC para asignar el número de gráfico correspondiente, en el campo Operation. Recuérdese que para programar los tiempos de procesamiento se realiza en el campo OPeration, dar clic e n el martillo y aparec e el constructor de estatutos, la instrucción para el tiempo de proceso es WAIT y el tiempo es de acuerdo a alguna distribución de p robabilidad por lo que en el botón Time del mencionado constructor de estatutos manda directamente a los elementos lógicos d ónde se encuentran las distribuciones de prob abilidad (Distribution Functions). En el último registro del campo Operation además del tie mpo de proceso (Poisson con media de 2) se utilizará el estatuto INC para incrementar la variable “Embarcados” que se pide. En la sigu iente figura 4. 72 se pued e ver el pro cesamiento completo del modelo y en la figur a 4.73 se v e la última instrucción que incluye el incremento de la variable.

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Figura 4.72

Figura 4.73 Finalmente el modelo está listo para correrlo. Es importante señalar que en el menú File en el comando View Text, se pue de ver toda la programación en texto, o enviarla como un archivo de texto (con el comando Print Text) a algún directorio y posteriormente abrirlo con la aplicación Word. En el siguiente cuadro 4.74 se puede ver la s instrucciones de procesamiento del modelo.

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Name Fila_de_Monitores Fila_de_Cajas Estacion_de_Trabajo Fila_de_Empaque Zona_de_Empaque Banda_de_tarimas Banda_de_Embarque Zona_Embarque

Cap 5 5 1 5 1 INFINITE INFINITE 1

Name Speed (mpm) Caja_Vacia 20

Entity Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia

Units 1 1 1 1 1 1 1 1

Locations Stats Time Series Time Series Time Series Time Series Time Series Time Series Time Series Time Series

Location Fila_de_Monitores Fila_de_Cajas Banda_de_tarimas

ID Type Embarcados Integer

. .

Cost FIFO, FIFO, , FIFO, , FIFO, FIFO, ,

Entities Stats Cost Time Series

Processing Process Location Operation Blk Fila_de_Monitores GRAPHIC 1 1 Fila_de_Cajas GRAPHIC 2 1 Estacion_de_Trabajo WAIT E(1) 1 Fila_de_Empaque 1 Banda_de_tarimas GRAPHIC 3 1 Zona_de_Empaque WAIT U(1,0.5) 1 Banda_de_Embarque 1 Zona_Embarque WAIT P(2) 1 INC Embarcados

Entity Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia

Rules Oldest, Oldest, Oldest, Oldest, Oldest, Oldest, Oldest, Oldest,

. .

. Output Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia

Routing Destination Estacion_de_Trabajo Estacion_de_Trabajo Fila_de_Empaque Zona_de_Empaque Zona_de_Empaque Banda_de_Embarque Zona_Embarque EXIT

Arrivals Qty Each First Time Occurrences 1 0 INF 1 1 INF 1 5 INF

Variables (global) Initial value Stats 0 Time Series

Frequency 3 3 5

Logic

Rule FIRST FIRST FIRST FIRST FIRST FIRST FIRST FIRST

. 1 1 1 1 1 1 1 1

. .

. .

Cuadro 4.74

En la siguiente figura 4.75 se puede ver el modelo durante la corrida

185


Figura 4.75 4.5.3.2 Modelo con estatutos JOIN, LOAD/UNLOAD y cambio de entidades Como se habrá observado, en el eje rcicio 4.4 lo único que se mueve por el sistema de filas y bandas es una caja vacía, pero lógicamente la intención es complementar gradualmente un modelo en el que u n monitor se meta a una caja vacía en la estación de trabajo y de ah í salga una caja llena qu e posteriormente se cargará en una tarima, e sa tarima se transporta ha sta una zona de embarque y posteriormente se descargará la caja para finalmente embarcarse.

186


Ejemplo 4.5 Se modificará el sistema de filas y bandas del ejercicio a nterior para desarrollar operaciones de ensamble y carga de piezas en otra pieza. Guarde el ejercicio 4.4 como ejercicio 4.5 para iniciar la modificación. 1. Agregar Entidades. Las entidades que se incorporarán al modelo, además de la caja vacía que ya se tenía son. Monitor, Ca ja Llena, T arima y Tarima Llena, la dimensión que se considerará para las entid ades que entran a la s bandas es de 1 por 1 metros. Para realizar esto, se h abrá observado que en el menú de gráficos no existe el monitor ni la caja ce rrada. Existen dos opciones para incorporar estos gráficos: a) Crear el gráfico en el e ditor gráfico (Graphic Editor) que incluye el ProModel. b) Importar el gráfico de otra aplicación como la galería de imágenes de Word, Corell Draw, Paintbrush, etc. 1. En el primer caso, para crear el gráfico, dar clic en el menú Tools en la opción Graphic Editor, se a bre una ve ntana como la que se muestra en la figura 4.76.

187


Figura 4.76 Enseguida, se modificará la caja va cía para insertar el gráf ico caja llena. Primero se hace doble clic e n la caja vacía para ap arezca en e l área de trabajo y en el menú Options se incrementa el zoom al 400% para verlo más grande y se modifica este marcando las h ojas de la caja con el mou se y dando en la tecla suprimir, h asta que la caja parezca que está cerrada, ver figura 4.78.

Figura 4.78 Para incorporar esta nueva figura a la biblioteca de gráficos, se hace clic en el último cuadro que está a la derecha del último gráfico en la parte superior, posterior mente en la parte inferior en el re cuadro de la izquierda se pone el no mbre de la figura, finalmente se d a clic en el

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botón Save de los bot ones que se encuentra n la parte superior a l a derecha. Para salir del editor gráfico se cierra la ventana principal y se guarda la biblioteca, ver figura

Figura 4.79 En el segundo caso, si se crea completamente la figura, se pueden elegir las f iguras que se encuentra n a la izquierda, se pu ede insertar una figura en otra, cambiar colores de relleno, pegar una figura a otra , etc. Ver figura 4.80

Figura 4.80 2. Para importar un grafico de otra ap licación como Word, sólo se tie ne copiar la imagen y en e l editor gráfico de ProModel en el menú Edit, se elige la opción Paste BMP y aparece el g rafico en el área de trabajo, para incorporarlo a la biblioteca se hace como se mencionó anteriormente en el inciso anterior. Continuando con el ejercicio, se seleccionarán las nuevas entidades. En la figura 4.81 se muestran las entidades pedidas, el p rocedimiento para esto ya se ha mencionado anteriormente por lo q ue se hará

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referencia solo a las entidades se leccionadas. Recuérdese que las entidades que se moverán por las bandas deben tener dimensiones de 1x1 metro.

Figura 4.82 2. Arribos. Al sistema llega un mon itor, una caja vacía y un a tarima vacía; con una ocurrencia infinita en todos. Llega un monitor a la fila de monitor en un tiempo de cero, y después llegará cada tres minutos. A la fila cajas llega una caja vacía un minuto despu és de habe r iniciado la corrida d e producción y después llegará cada tres minutos. A la banda de tarimas llegará una tarima cu ando haya corrido la producción 5 minutos y después llegará cada 5 minutos. Como ya se tienen la s llegadas del ejercicio anterior, solo hay que cambiar la entidad en la “Fila de Monitores” y en la “Ba nda de tarimas” por el monitor y la tarima vacía respectivamente. Las llegadas modificadas ( Arrivals) quedan de la siguiente manera (ver figura 4.83):

190


Figura 4.83 3. Proceso. Llega a la fila de cajas una caja vacía y a la fila de monitores, un monitor que será ensamblado en la caja vacía. Ambas piezas ( caja vacía y monitor) se dirigen a la siguiente estación de trabajo en donde se realiza una operación que consume un tiempo de cuatro minutos para empacar el monitor en la caja; de esta estación sale una caja llena. De aquí, pasa la caja llena a una fila de empaque que conducirá a esta hasta una zona de carga e n donde se cargará so bre una tarima vacía, e l tiempo de carga será de 1 minuto. Posteriormente, sale la tarima llena con destino a la banda de embarqu e y de aquí a zona de embarque, en donde se descargará la caja llena de la tarima en un tiempo de 1.5 minutos. La tarima vacía regresará para ser reciclada a la banda de tarimas en un tiempo de 3 minutos, y la caja llena sale del sistema. Para modificar el Processing, se revisará registro por registro para i r haciendo los cambios gradualmente. 1. En el primer registro d ebe entrar u na caja vacía a la fila de cajas y salir una caja vacía con destino a la estación de trabajo, solo se debe eliminar el estatuto GRAPHIC que se tenía a nteriormente, ya que ahora se tiene un gráfico para cada entidad. 2. En el segundo registro entra un monitor a la fila de monito res y sale un monitor con destino a la estación de trabajo. Es importante señalar que en el campo Rule debe marcarse la opción If Join Request para indicar que esta entidad se unirá a otra. Ver figura 4.83

191


Figura 4.83 3. En el tercer registro entra una caja vacía a la e stación del trabajo y en el campo Operation se da clic sobre el martillo para que aparezca el constructor de est atutos, antes del estatuto WAIT, debe seleccionarse el estatuto JOIN, en el campo Quantity se asigna 1 y enseguida aparece otra ventana do nde aparecen tres botones en la parte superior, en la que dice Entity se selecciona el monitor y lueg o se pega con el botó n Paste. El tiempo de operación puede modificarse ahí directamente, por simplicidad los tiempos ahora son constantes, la entidad de salida es la “Caja Llena”, así es, cuando se utiliza el estatuto JOIN entra una entidad y debe salir otra. 4. En el cuarto registro, entra una caja llena a la fila de empaque y sale una caja lle na con dest ino a la zon a de empaq ue, también aquí se debe modificar el campo Rule, como esta caja llena se cargará sobre la tarima vacía, debe indicarse marcando la opción If Load Request. Ver figura 4.84.

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Figura 4.84 5. En el quinto registro entra una tarima vacía a la banda de t arimas y sale una tarima vacía con destino a la zona de empaque. 6. En el sexto registro entra una tarima vacía a la zona de empaque, se carga esta con una caja llena y s ale una tarima llena. Para hacer esto, en el campo Operation se da clic sobre el martillo para que aparezca el constructor de estatutos, antes del estatuto WAIT, debe seleccionarse el estatuto LOAD, en el campo Quantity se asigna 1 y luego se pega con el b otón Paste aquí no es necesario especificar de cual e ntidad se trata, con el If Load Request asignado previamente es suficiente para indicar que esa entidad es la que se cargará en la entidad que se encuentra a la locación actual. Es importante comentar que también existe un estatuto UNLOAD que se aplica para descargar, a diferencia del JOIN que lo que se unió como otra entidad no se puede desunir después. El tiempo de operación se

193


modifica ahí directamente en este caso el tiempo carga será de u n minuto (WAIT 1). 7. Enseguida entra una tarima llena a la banda de embarque y sale una tarima llena a la zona de embarque. 8. En el siguiente registro, entra una tarima llena a la zona de embarque y en el campo Operation se descarga la caja con el estatuto UNLOAD (dar clic en el martillo, seleccionar el estatuto y en cantidad poner 1), el tiempo de operación (WAIT) es de 1.5 minutos y sale una tarima vacía con destin o a la banda de tarima s (en un tiempo de 3 minutos), esta operación es con el estatuto MOVE FOR en el campo Move Logic. El incremento de la variable que se tiene ahí se borra por que va en otro registro. 9. En el siguiente registro, del lado izquierdo en el Process se oprime la tecla Enter para crear un registro en blanco. Se elige la caja llena que también está en la zon a de embarque, aquí en el campo Operation se incrementará la variable embarcados co n el estatu to INC y finalmente la caja llena abandona el sistema ( EXIT) para así dar por terminado el modelo. En el siguie nte cuadro 4.85 se muestra el Processing del modelo como debe quedar finalmente, recuérdese que esta opción es po sible en el menú File en la opción View Text o Print Text.

194


Process

Processing

.

Routing

Entity Caja_vacia Monitor Caja_vacia

Location Operation Blk Output Destination Rule Move Logic Fila_de_cajas 1 Caja_vacia Estacion_de_trabajo FIRST 1 Fila_de_Monitores 1 Monitor Estacion_de_trabajo JOIN 1 Estacion_de_trabajo JOIN 1 Monitor wait 4 1 Caja_Llena Fila_de_empaque FIRST 1 Caja_Llena Fila_de_empaque 1 Caja_Llena Zona_de_empaque LOAD 1 Tarima_Vacia Banda_tarimas 1 Tarima_Vacia Zona_de_empaque FIRST 1 Tarima_Vacia Zona_de_empaque LOAD 1 wait 1 1 Tarima_Llena Banda_de_embarque FIRST 1 Tarima_Llena Banda_de_embarque 1 Tarima_Llena Zona_de_embarque FIRST 1 Tarima_Llena Zona_de_embarque UNLOAD 1 wait 1.5 1 Tarima_vacia Banda_tarimas FIRST 1 MOVE FOR 3 Caja_Llena Zona_de_embarque INC Embarcados 1 Caja_Llena EXIT FIRST 1

Cuadro 4.85 En la figura 4.86 se muestra el Layout ejecutando la corrida del modelo:

Figura 4.86

195


4.5.3.3 Modelo con Recursos y Redes Físicas Ejemplo 4.6 En este modelo se aña dirán recursos al ejer cicio anterior. En ProModel cuando se desea u tilizar recursos, primeramente se tiene qu e desarrollar la ruta por donde se moverá est e (Path network) y con cuales locaciones va a interactuar (Interfaces). Posteriormente se crea el recurso y se especifica por donde se va a mover (Path network). Se harán los siguientes cambios al modelo:  Crear dos redes físicas de caminos las cuales se llamarán Red 1 que será para el Operario1 y Red 2 que será para el operario 2. La Red 1 p ermite que un operario viaje de la estación de trabajo a zona de carga. Distancia 15 metros. La Red 2 permite que un operario viaje de zona de embarque a zona de carga, y hasta la parte superio r de la banda tarimas. La distancia entre zona de carga y embarque: 30 metros; la distancia de la banda de tarimas a la zona de carga es de 20 metros. Crear las siguientes interfaces:  Red 1: Estación de trabajo y zona de carga.  Red 2: Zona de embarque, zona de carga y banda tarimas. Se deben crear dos operarios: operario 1 y operario 2. En las e specificaciones, poner oper ario 1 en Red 1 y oper ario 2 en red 2. Ambos operario s con las siguientes características: velocidades 50 metros/min sin carg a y 45 metros/min carg ando material. Tiempo de recolección: 3 segundos y tiempo para depositar: 6 segundos.  Poner los e statutos GET, FREE y MOVE WITH/THEN FREE en las locaciones apropiadas, de manera que se lleven a cabo las siguientes actividades:  El operario 1 realiza el JOIN y el WAIT en la estación de trabajo.

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 El operario 1 y el operario 2 realizan el LOAD y el WAIT en la zona de carga.  El operario 2 consigue las tarimas de embarque y las regresa a la banda de tarimas. Recuerde primeramente guardar este archivo como ejercicio 4.6. 1. Definición de Redes Para definir las redes, se puede tener acceso por el menú Build en el comando Path Networks o utilizando el botón de acceso d irecto que se encuentra a un lado del de las entidades. Ver Figura 4.87.

Figura 4.87 Igual que en los com andos utilizados anteriormente, existe una ventana para los registr os de las r edes en la parte superior donde se especifica el nombre de la red, el tipo de red, la ruta ( Path), las interfaces, etc., y otra ventana e n la parte izquierda donde se va estableciendo de dond e a dónde va la red, si es bid ireccional y la distancia de esta. Para trazar la red se tiene que utilizar el mouse, se hace clic cerca de la locación inicial dond e hará interf ace y aparecerá un pun to pequeño (llamado nodo) y se arrastra el mouse hasta la otra locación dond e también interactuará el r ecurso, para finalizar se hace doble clic, en la parte izquierda se puede ver de donde a dónde va la red (del nodo1 al nodo 2), se rá bidireccional (BI) y la distan cia se puede corregir ah í mismo, en este caso es de 15 metros. Si es necesario que la red presente cambios de d irección, esto se h ace dando otr a vez clic y moviendo el mouse en la dire cción deseada. Ver figura 4.88 para

197


observar como que da la primera red. La red 1 está situada de la estación de trabajo a la zona de empaque y como se mencionó anteriormente, no es necesario qu e toque las locacione s con las qu e hará interface, eso se mostrará enseguida (ver figura 4.88):

Figura 4.88 En el botón Interfaces de la ventana superior inicialmente aparece el valor 0, para especifica r las interfa ces se hace clic sobre este y la ventana de la izquierd a cambia p or otra que solo tiene dos campos: nodo y locación. Enseguida se sitúa el puntero del mouse en el primer nodo (cambia la punta del mouse por una pequeña cruz) y se da clic, s e verá que sa le una línea punteada del nodo y s e debe dirigir esta a la locación con la que hará interface finalmente hacer clic sobre la locación y listo, en la ventana de la izquierda ap arecen los nodos y las locaciones, vea figura 4.89. Observe que en el campo Paths de la ventana superior aparece el valor 1 y en el campo Interfaces aparece el valor 2.

198


Figura 4.89 Para definir la segunda red se procede de manera similar, se pone el cursor en el registro que dice Red 1 y se da Enter para generar otro registro en blanco. E nseguida como se va a interact uar con tre s locaciones se harán dos segmentos ( Paths) para construir la red 2, uno va de la zona de emb arque a la zona de car ga dejando nodos 1 y 2 respectivamente, luego del mismo nodo 2 (se sitúa el puntero del mouse en ese nodo) se traza otra ruta ha cia la banda de embarq ue para hacer el nodo tres cerca de la locación mencionada, posteriormente se definen las interfaces como se hizo en la red anterior y listo. Ver las siguientes figuras 4.90 y 4.91.

199


Figura 4.90

200


Figura 4.91 3. Definición de Recursos En el menú Build en el comando Resources se puede acceder a la definición de los recursos o través del botón de acceso dir ecto que está a un lado del de las redes, vea la figura 4.92.

Figura 4.92 Una vez qu e se entra al comando Resources, también tiene una ventana superior donde se especifica el gráfico del recurso, el nombre, el número de unidades, si tiene tie mpos muertos, etc. en la ventana d e

201


la izquierda se elige a un operador que es uno de los gráficos que se incluyen en la bibliote ca de gráfico s, se puede cambiar el tamaño, el color de este, la orientación, etc. Vea figura 4.93

Figura 4.93 Enseguida se le asignará la ruta por la que se moverá el recurso, eso es a través del campo Specs, aparecerá un cuadro de dialogo en el cual primero se elige la Red 1 del recuadro d onde dice Path Network, ahí vienen varias opciones para cambiar como en la parte de los nodos se marca el nodo base (Home) y si se desea que regrese a este si el recurso está ocioso, en la parte del movimiento (Motion) se asignan la velocidad del recurso cargando, vacio, el t iempo para depositar y recoger, etc., vea la figura 4.94.

202


Figura 4.94 Al dar OK, aparecerá en el Layout el recurso que se a caba de asignar con su respectiva ruta. Ver figura 4.95.

Figura 4.95 Para definir el siguiente recurso se sitúa el curso r en el registro de la ventana superior dond e dice Operador 1 y se da Enter para generar otro registro en blanco, y se repite todo el proceso anterior para elegir

203


otro recurso y asignarle la red 2 por donde se moverá. Ver figuras 4.96 y 4.97.

Figura 4.96

204


Figura 4.97 4. Modificación del proceso La primera modificación se hará cuando entra la caja vacía en la estación de trabajo, en el campo Operation se da clic en el martillo para que aparezca el const ructor de estatutos y antes del estatuto JOIN (basta con dar en la tecla Enter para que se recorran las instrucciones hacia abajo) se insertará el estatuto GET, al dar clic sobre este aparece un cuadro de diálogo, en el botó n central d onde dice Resource, se elige al Operador 1, y se pega co n el botón Paste. Se supone que el recurso ejecutará los estatutos que ya esta ban (JOIN y WAIT). El estatuto GET sirve para capturar uno o más recursos qu e se tenga n disponibles y luego eje cuta las instrucciones posteriores a este; par a liberar al recurso, se utiliza el estat uto FREE, de igual ma nera se elige este y posteriormente aparece un cuadro de dialogo con dos botones en la parte superior, sele ccione el q ue dice Resource y se selecciona

205


Operador 1. El grupo de instruccio nes en la e stación de trabajo queda de la siguiente manera: GET Operador_1 JOIN 1 Monitor WAIT 4 FREE Operador_1 El grupo d e instrucciones que se acaban de establecer significan “captura el operador 1 y este realiza la operación de unir el monitor en la caja vacía en un tiempo de 4 minutos y luego soltarlo”. De la estación de trabajo sale una caja llena con destino a la fila de empaque. El siguiente registro a modificar es en la zona de empaque, se supone que entre los d os operadores subirán la caja a la tarima vacía, así que de igual man era en este registro se da clic en el camp o Operation y se da Enter para re correr hacia abajo las instruccion es existentes, enseguida se hace cli c en el martillo de la ventana para definir estatutos y se selecciona nuevamente GET, en el botón Resource se hace clic y aparecen los re cursos disponibles, se selecciona el operador 1 y en los b otones pequeños centrales aparece la palabra AND, se selecciona esta y luego se elige al operador 2, se da clic en Paste y esta in strucción aparece en el área de estatutos encima de las otras instruccion es, para terminar esta parte, en la parte inferio r después de la instrucción WAIT, se selecc iona el estatut o FREE ALL para liberar todos los recursos que se tenían seleccionados, el grupo de instrucciones queda así: GET Operador_1 AND Operador_2 LOAD 1 WAIT 1 FREE ALL Finalmente, solo falta modificar cuando se d escarga la caja de la tarima llena y el operad or 2 se lleva las tarima s vacías hasta la banda de tarimas. Para hacer esto, ir al registro donde llegan las tarimas llenas a la zona de embarque y en el campo Operación hacer clic para que se despliegue el cuadro d e dialogo d onde se est ablecen los estatutos a

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utilizar. Se supone que el operador 2 descargará la tarima llena y el mismo se llevará las tarimas vacía s hacia la b anda de tarimas, así que se recorren hacia abajo un espacio los estatutos existentes y se utiliza nuevamente el estatuto GET como se mencionado para capturar el operador 2, pero no se utilizará el estatuto FREE al final de este grupo de instrucciones sino que cuando sale la tarima vacía hacia la banda de tarimas, en el campo Move Logic, se hace clic para que aparezca e l constructor de estatutos que manda directa mente a los tipos de movimientos. Se utiliza el MOVE WITH y se selec ciona el mismo operador 2 y luego se da clic en e l botón THEN FREE y es hasta ese momento que se liber a el recurso, el grupo de instrucciones en el campo Operation queda de la siguiente manera: GET Operador 2 UNLOAD 1 WAIT 1.5 En el cam po Move Logic la instrucción queda de la manera: MOVE WITH Operador 2 THEN FREE

siguiente

En la sigu iente figura 4 .98 se pued e ver el grupo de instru cciones para el campo Operation y para el campo Move Logic.

Figura 4.98 Finalmente el modelo queda listo para correrlo y evalu arlo. En la siguiente figura 4.99 se puede ver el modelo durante la corrida.

207


Figura 4.99 En el siguiente cuadr o 4.100, se pueden ver las instrucciones agregadas para el modelo en texto.

208


Locations Name Cap Units Fila_de_cajas 5 1 Fila_de_Monitores 5 1 Estacion_de_trabajo 1 1 Fila_de_empaque 5 1 Zona_de_empaque 1 1 Banda_tarimas INF 1 Banda_de_embarque INF 1 Zona_de_embarque 1 1

. Stats Rules Time Series Oldest, FIFO, Time Series Oldest, FIFO, Time Series Oldest, , Time Series Oldest, , Time Series Oldest, , Time Series Oldest, FIFO, Time Series Oldest, FIFO, Time Series Oldest, ,

Entities Name Speed (mpm) Stats Caja_vacia 20 Time Series Monitor 20 Time Series Caja_Llena 20 Time Series Tarima_vacia 20 Time Series Tarima_Llena 20 Time Series

Name Red_1 Red_2

Type Passing Passing

Net

Node

Red_1 Red_2

Path Networks T/S From Speed & Distance N1 Speed & Distance N1 N2

. .

To N2 N2 N3

. BI Dist/Time Speed Factor Bi 30 1 Bi 60 1 Bi 30 1

Interfaces Location

N1 N2 N1 N2 N3

.

Estacion_de_trabajo Zona_de_empaque Zona_de_embarque Zona_de_empaque Banda_tarimas Resources

Name Operario_1

Operator_2

Units Stats 1

By Unit

1

.

Search Search

By Unit

Closest Oldest

Closest Oldest

Path

Motion

.

Red_1 Home: N1

Empty: 50 mpm Full: 45 mpm Pickup: 3 Seconds Deposit: 6 Seconds Red_2 Empty: 50 mpm Home: N1 Full: 45 mpm Pickup: 3 Seconds Deposit: 6 Seconds Processing

Process

. Routing

Entity Caja_vacia Monitor Caja_vacia

Location Operation Blk Output Destination Rule Move Logic . Fila_de_cajas 1 Caja_vacia Estacion_de_trabajo FIRST 1 Fila_de_Monitores 1 Monitor Estacion_de_trabajo JOIN 1 Estacion_de_trabajo GET Operario_1 JOIN 1 Monitor WAIT 4 FREE Operario_1 1 Caja_Llena Fila_de_empaque FIRST 1 Caja_Llena Fila_de_empaque 1 Caja_Llena Zona_de_empaque LOAD 1 Tarima_vacia Banda_tarimas 1 Tarima Zona_de_empaque FIRST 1 Tarima_vacia Zona_de_empaque GET Operario_1 AND Operator_2 LOAD 1 WAIT 1 FREE ALL 1 Tarima_Llena Banda_de_embarque FIRST 1 Tarima_Llena Banda_de_embarque 1 Tarima_Llena Zona_de_embarque FIRST 1 Tarima_Llena Zona_de_embarque UNLOAD 1 WAIT 1.5 1 Tarima_vacia Banda_tarimas FIRST 1 MOVE WITH Operator_2 THEN FREE Caja_Llena Zona_de_embarque INC Embarcados 1 Caja_Llena EXIT FIRST 1

Cuadro 4.100

209


4.5.3.4 Modelo de manufactura con varios procesos e inspección Suponga un sistema de producción el cual consta de las siguiente s etapas: 1. Llega la materia prima a un almacén inicial de acuer do a una distribución normal co n media d e 10 minut os y una desviación estándar de 2. La capacidad del almacén es para 50 piezas. 2. Enseguida la materia prima pasa a una cortadora de dónde salen 5 piezas en proceso por cada unid ad de materia prima que entra, e l tiempo de o peración es de 4 minut os con distribución exponencial. Crear una variable “piezas en pr oceso” par a contabilizar estas e incrementarla cuando son enviadas a la siguiente locación. 3. La siguiente locación es un torno donde son trabajadas las piezas en un tiempo que consume 3 minutos con distribu ción Poisson. Cambiar también el gráfico de la entidad pieza en proceso cuando sale de esta locación. 4. Posteriormente las piezas en proceso pasan a un molino dónde se trabajan en un tiempo que sigue una distribución uniforme entre 1 y 3 minutos. Cambiar el gráfico también cuando salen de esta locación. 5. Después las piezas p asan por u n proceso de inspección que consume un tiempo constante de u n minuto. De aquí el 75 % pasa a la siguiente locación y el resto sale fuera del sist ema como producto rechazado. Crear una variable para contabilizar las piezas que son rechazadas fuera del sistema. 6. Enseguida las pieza s en proceso acepta das después de la inspección, pasan a un horno dónde se combinan 10 de estas piezas y salen como un lote. El tie mpo de operación es de acuerdo a una distribución log no rmal con media de 7 minutos y d esviación estándar de 2. 7. Finalmente los lote s pasan a un almacén de producto terminado dónde se combinan 5 de estos para conformar un producto terminado. Decrementar la variable piezas e n proceso y crear e incrementar la variable “piezas terminadas”.

210


Existe un tiempo de traslado entre cada operación de 0.5 mi nutos. Edite y agregue indicadores numéricos en las locaciones co n capacidad múltiple. Corra el mod elo durante 40 horas y analice el reporte de salida. Solución: 1. Definir locaciones En el men ú Build comando Locations o a través del botón de acceso directo, seleccionar las locaciones pedidas. Recuerde que e s recomendable seleccionar todos los gráficos de las locaciones pedidas con la casill a New activada de la ventana Graphics y po steriormente desmarcar la casilla pa ra editarlas (agregue etiquetas y gráficos de barras para las locaciones de capacidad múltiple). Cambie l a capacidad de las locaciones que tienen capacidad múltiple. Las locaciones quedan como se muestra en las siguientes figuras 4.101 y 4.102:

Figura 4.101

211


Figura 4.102

2. Selección de las entidades En el menú Build comando Entities o por medio del botón de acceso directo seleccionar las entidades correspondientes a e ste sistema de producción:     

Materia prima Pieza en proceso (con tres gráficos) Pieza rechazada Producto terminado Lote

En las siguientes figuras 4.103 y 4 .104 se pueden ver la s entidades seleccionadas para est e modelo y los gráficos diferentes de la entidad “Pieza en Proceso” respectivamente.

212


Figura 4.103

Figura 4.104 3. Definición de las llegadas En el menú Build comando Arrivals o a través del botón de acceso directo que ya se ha m encionado, se selecciona la materia prima, llega a un almacén de materia prima de una en una desde el minuto cero y con un nú mero de ocurrencias infinito. La tasa de lleg adas es de acuerdo a una distribución normal con media de 10 min utos y una desviación estándar de 2. En el campo Frequency se hace clic derecho para que aparezca el co nstructor de estatutos y se procede como ya s e

213


ha mencionado anteriormente, en Distribution Functions se elige la distribución pedida. Además de elegir las opciones de cada campo (haciendo clic en el botón superior) la ent idad, locación, etc. existe otra for ma, la cual consiste en elegir primeramente la entidad que llega (de la ventana Tools) y h aciendo clic en el Layout, automáticamente se llenan lo s campos por defecto y s olo se procede a camb iar la información que no corresponda con la infor mación del sistema a modelar. En la siguie nte figura 4.105 se ilustra este comando:

Figura 4.105 4. Definición de variables Para definir las variables, ir al m enú Build comando Variables (global) o por medio del botón de acceso dire cto, definir las variables: inventario en proceso, piezas rechazadas y producto terminado. Recuerde que además de definir las variables y asignarles un nombre en el campo ID, para que se vean gráfi camente en el Layout, solo se tien e que dar clic en e l espacio de e ste que se desea q ue aparezca el icono. En la siguient e figura 4. 106 se pre senta como quedaron definidas las variables:

214


Figura 4.106 5. Definir el Proceso Para este p aso ir al m enú Build comando Processing, o por el botón de acceso directo. Es recomendable ir paso a paso en el proceso de entrada-operación-salida de cada registro, en este caso: 1. Entra la materia prima al almacén de materia prima, no exist e operación alguna y sale la materia prima (una unidad) con destino a la cortadora, existe u n tiempo d e traslado (MOVE FOR) de 0.5 minutos. 2. Entra la materia prima a la cortadora, el tiempo de operación es de 4 minutos con distribución exponencial (en el campo Operation), aquí mismo utilizar el gráf ico 1 y sale n 5 pie zas en proce so cortadas (campo Rule en Quantity) con destino al torno, existe el movimiento de traslado entre cada locación d e 0.5 minutos (utilizar el campo

215


3.

4.

5.

6.

7.

Move Logic) también en este campo incrementar la variable “Inventario en proceso”. Entra la pieza en proceso al torno, el tiempo de operación es de acuerdo a una distribución de Poison con media de 3, utilizar el gráfico 2 y sale la pieza en proceso con destino al molino de uno en uno y el tiempo de traslado de 0.5 minutos. Entra la pieza en proceso al molino, el tiempo de operación es entre 1 y 3 minutos con d istribución uniforme, utilizar gráfico 3 y sale la pieza en proceso con destino a la inspección. Entra la pieza en proceso a la inspección, el tiempo de op eración es de 1 minuto constante y de aquí hay dos posibles salidas: a. Pieza en pr oceso con destino al horno con un a probabilidad del 0.75. Utilizar en el campo Rule la opción Probability y asignar el porcentaje mencionado, en el campo Move Logic asignar el tiempo de traslado de 0.5 minutos. b. Ahí mismo del lado derecho ( Routing for) se da Enter para generar un nuevo regi stro y se elige la pieza rechazada del campo Output con destino a Exit y en el campo Rule asignar el 0.25 restante en la opción Probability, en el campo Move Logic incrementar la variable “Piezas rechazadas” y decreme ntar la variable “Inventario en proceso”. Al horno entran las piezas en proceso y se hornean en un tiempo que sigue una distribución LogNormal con media de 7 minutos y desviación estándar de 2 minutos, utilizar el estatuto COMBINE para consolidar 10 piezas en proceso y conformar un Lote que sale con destino al almacén de producto terminado. Al almacén de producto terminado entran lotes y ahí se realiza una última operación que consume un tiempo de 3 minutos co nstantes para combinar 5 de estos como un producto terminado (estatuto COMBINE). Decrementar la variable “Inventario en proceso” en 50 unidades e incrementar la variable “Producto terminado” de uno en uno al salir esta entidad hacia Exit.

Todas las instrucciones quedan como se muestra en cuadro 4.107 que se muestra a continuación:

216

el siguiente


Locations Name Cap Units Stats Almacen_de_Materia_Prima 1 1 Time Series Cortadora 1 1 Time Series Torno 1 1 Time Series Molino 1 1 Time Series Inspeccion 1 1 Time Series Horno 10 1 Time Series Almacen_de_Producto_Terminado 5 1 Time Series Entities . Name Speed (fpm) Stats . Materia_Prima 150 Time Series Pieza_en_Proceso 150 Time Series Producto_Terminado 150 Time Series Lote 150 Time Series Pieza_rechazada 150 Time Series

Entity Materia_Prima Materia_Prima

Process

Location Almacen_de_Materia_Prima Cortadora

Pieza_en_Proceso Torno Pieza_en_Proceso Molino Pieza_en_Proceso

Inspeccion

. Rules Oldest, , Oldest, , Oldest, , Oldest, , Oldest, , Oldest, , First Oldest, ,

Operation WAIT E(4) GRAPHIC 1 WAIT P(3) GRAPHIC 2 WAIT U(2, 1) GRAPHIC 3 WAIT 1

Pieza_en_Proceso Horno

Processing Blk Output 1 Materia_Prima

Routing Destination Cortadora

. Rule FIRST 1

Move Logic MOVE FOR 0.5

.

1 Pieza_en_Proceso Torno

FIRST 5

MOVE FOR 0.5 INC Inventario_en_Proceso

1 Pieza_en_Proceso

Molino

FIRST 1

MOVE FOR 0.5

1 Pieza_en_Proceso 1 Pieza_en_Proceso Pieza_rechazada

Inspeccion Horno EXIT

FIRST 1 0.75 0.25

MOVE FOR 0.5 MOVE FOR 0.5 INC Piezas_Rechazadas DEC Inventario_en_Proceso

WAIT L(7, 2) COMBINE 10 1 Lote Almacen_de_Producto_Terminado FIRST 1 Lote Almacen_de_Producto_Terminado WAIT 3 COMBINE 5 DEC Inventario_en_Proceso,50 INC Piezas_Terminadas 1 Producto_Terminado EXIT FIRST 1 Arrivals . Entity Location Qty Each First Time Occurrences Frequency Logic Materia_Prima Almacen_de_Materia_Prima 1 0 INF N(10, 2)

MOVE FOR 0.5

Variables (global) . ID Type Initial value Stats . Inventario_en_Proceso Integer 0 Time Series Piezas_Rechazadas Integer 0 Time Series Piezas_Terminadas Integer 0 Time Series

Cuadro 4.107 En la siguiente figura 4.108 se ve este modelo durante la corrida.

217


Figura 4.108

4.6 Comentarios adicionales Con la realización de los 7 ejercicios anteriores, se pueden simular una gran cantidad de sistemas productivos reales tanto de servicios como de manufactura, algunos ejemplos de sistemas que se pueden simular son:       

Bancos Cajeros automáticos Restaurantes de comida rápida Servicios administrativos Cajeros de tienda de autoservicio Auto lavados Talleres de manufactura

218


 Centros de servicios para autos  Consultorios médicos/urgencias  Etc. En general todos los sistemas tien en el proce so básico d e entrada, proceso y salida, solo se tiene qu e analizar y adaptar el modelo del sistema que se desea simular, claro que esa habilidad se va adquiriendo con la experiencia y el uso del so ftware. ProModel cuenta con muchos más estatutos pero corresponde al estudiante e xperimentar y manejar otros estatutos que pueden enriquecer los modelos a realizar. Es importante puntualizar que el ProModel incluye siempre ayuda en línea oprimiendo solamente la tecla F1 (la cual viene en idioma inglés), dicha ayuda se desplieg a con la información d el comando que se esté usando en ese moment o además incluye un índex para buscar algo de manera específica.

4.7 Ejercicios propuestos 1. A un cajero automático llegan clientes cada 10 minutos de acuerdo a una distribución exponencial. El tiempo que t arda cada cliente en hacer sus movimientos bancarios se distribu ye exponencialmente con una media de 4 minutos. Si se d esea que el cajero no tenga más de 5 client es esperando en la fila, ¿qué recomendación haría al banco, basándose en una simulación de 40 horas de trabajo? 2. A un taller de manufactura llegan piezas con media de 8 minutos y distribución exponencial. Las pie zas entran a un almacén con capacidad para 50 unidades, donde esperan a ser procesadas en un torno. Ahí son torneada s por 3 minutos con distribución exponencial. El tiempo de transportación del almacén al torno tiene una distribución normal con media de 4 minutos y desviación estándar de 1 minuto. Posteriormente, las piezas son transportada s a una estación de inspección donde se e ncuentran 2 operarios, cada uno trabajando de manera independiente. La inspe cción de ca da pieza tarda de 4 a 8 minut os con d istribución uniforme. El tiempo de

219


transporte entre el torno y los ope rarios es de 3 a 5 distribución uniforme.

minutos con

a) Simule el sistema por 30 días de 8 horas de tr abajo cada uno y analice el reporte de salida. b) Incluya un contador y u na gráfica d e barra para las piezas en el almacén. c) Observe el porcentaje de utilización de cad a operador en la inspección ¿Cuál trabaja más? 3. Suponga un sistema de líneas de espera tal como el de un cibercafé, la tasa de llegadas de los clien tes es de acuerdo a una distribución normal con media de 7 minutos y desviación estándar de 2 minutos. Existen 3 tipos de servicios : a) Renta de PC b) Venta de consumibles c) Impresiones Las probabilidades respectivas de que un cliente seleccione cualquiera de los tres servicios anteriores so n 60%, 10% y 30 % respectivamente. El tiempo de permanencia en PC es de 50 minutos con distribución exponencial, el tiempo que tarda el servidor en atender a un cliente par a cualquiera de los otros dos servicios es de acuerdo a una distribución uniforme entre 2 y 8 minutos (incluyendo el pago). El local cu enta con 10 computadoras y des pués de usarlas los clientes pasan con el servidor a pagar y posteriormente se dirigen hacia la salida, el tiempo de esta tr ansacción es de acuerd o a una distribución uniforme entre 1 y 3 minutos, el tiempo que duran los clientes en trasladarse del área de pago a la salida es de 1 minuto. Los clientes que compran consumibles o imprimen después se dirigen hacia la salida en un tiempo de 1 minuto. Desarrolle un modelo para este sistema, que incluya atributos, distribuciones de usuario, variables para cada servicio, etiquete las

220


locaciones adecuadamente y cambie el gráfico de la e acuerdo al servicio que solicitan. Corra el modelo durante 40 horas y determine:

ntidad de

a) La utilización de las PC´s. b) Número total de clientes para cada servicio. c) ¿Son suficientes las 1 0 computadoras con la s que se cuenta? Comente. 4. A una operación de empacado de bolsas de detergente entran bolsas a una velocidad de 20 por minuto. Cuando las bolsas entran al sistema son colocadas en una banda (capacid ad infinita longitud 20 metros) que las transporta hasta la mesa de un operario de empaque. El tiempo de transporte en la banda es de 20 mpm. Una vez que la bolsa llega al final de la banda, ca e por gravedad hacia una mesa donde se va acumulando con otras. Existe otra banda (capacidad infinita longitud 20 metros) en la que llegan cajas vacías a razón de 1 0 cajas por minuto, la llegada de estas inicia 6 segundos después de iniciar la simulación y la velocidad de transporte es de 20 mpm. Un operario toma 30 bolsas d e la mesa y las introdu ce en una caja vacía, el t iempo que le lleva al operar io tomar un a bolsa y colocarla dentro de la caja es de 1 segundo/bolsa. Una vez que la caja se llena, el operario la lleva al almacén de cajas; la velocidad de transporte cargando es de 45 mpm, vacio 50 mpm, el tiempo d e recoger una caja es de 3 segundos y de depositarla es de 6 segundos, la distancia de la mes a al almacén es de 30 metros. Colocar una variable que cuente de manera cíclica las bolsas que se van a empacar cuando pasan de la banda a la mesa de empaque y colocar otra variable que cuente la cantidad de cajas lle nas que llegan al almacén. Realiza lo siguiente: a) ¿Cuál es el porcentaje de utilización del operador? b) ¿Cuál es el porcentaje de tiempo ocioso del operador? c) ¿Cuántas bolsas llenas pasaron al almacén?

221


d) ¿Existe cuello de botella? Justifiqu e su respuesta con base en el reporte de salida. 5. En un taller se están p roduciendo piezas de madera para proveer una fábrica. Llegan troncos de madera (a una tasa de llegadas normal con media de 20 minutos y desviación estándar de 2 minutos) a una fila d e materia prima la cual tiene una lon gitud de 15 metros y una capacidad de 10, de ahí se llevan por medio de un montacargas a una sierra donde de c ada tronco se obtienen 5 piezas en proceso las cuales pasan a una banda transportadora (que tiene una longitud de 20 metros y una velocidad de 20 mpm), de e sta banda las piezas en proceso van a un tor no que tiene una capacidad de pro cesar una sola pieza a la vez (cambiar la gráfica de la pieza en proceso cuando sale de est a máquina), de ahí pasan las pieza s a una pulidora que tiene también una cap acidad de proceso de una pieza, cambiar nuevamente la gráfica de la pieza cuando sale de la pulidora. De las máquinas mencionadas, pasan las piezas en proceso por una inspección donde se tiene un 90% de posibilidades de que las piezas estén correctas, las piezas q ue no est én bien se mandan nuevamente a la banda transportadora para retrabajarlas. Las piezas buenas se van a una área de empacado donde se comb inan 4 de estas para que salga un lote con destino a una banda de salida (longitud de 15 metros y una velocidad de 20 mpm). De la banda de salida se cargan los lotes con un segundo montacargas a un camión y de ahí salen fuera del sistema. Los tiempos de procesamiento son:  Sierra 10 minutos.  Torno 2 minutos.  Pulidora 2 minutos.  Inspección Normal con media de 3 min. y desviación estándar de 0.5 minutos.  Área de empacado 2 minutos. Agregar las siguientes variables:  Piezas en proceso

222


 Piezas a re trabajar  Embarcados Incrementar las piezas en proceso cuando salgan de la sierra y decrementarla cuando salga un lote hacia el camión. Crear dos redes para los montacargas 1 y 2. La red 1 será de la fila de materia prima a la sierra la cual tendrá una longitud de 20 met ros con interfaces en estas dos locaciones. La red 2 será de la band a de salida al camión con una lon gitud de 20 metros igualmente con interfaces en esta s dos locaciones. Las dimension es de las piezas e n bandas transportadoras son de 2 x 2 metros. Incrementar las pie zas a ser re trabajadas cuando de la inspección se dirijan nuevamente a la banda transportadora, incrementar la variable embarcados cuando se suban los lotes al camión. La velocidad de ambos montacargas cuando están vacíos es de 20 mpm y cuando están llenos es de 15 mpm, Los tiempos para recoger las entidades son de 10 segundos y para d epositarlas es de 20 segundos. Editar las locaciones adecuadamente, agregar indicador numérico en el área de empacado y las variables debe n estar visibles en el Layout. La capacidad de las bandas transportadoras es infinita. Corra el modelo por 40 horas y realice lo siguiente: a) ¿Cuál es el porcen taje de utilización de la locación que mas trabaja y cual es esta? b) ¿Cual es el porcentaje de operación de la operación de inspección? c) ¿Existe cuello de botella? Justif ique la respuesta con b ase en el reporte de salida. d) ¿Cuál e s el tiempo promedio en el siste ma de las piezas en proceso? e) ¿Cuál es el tiempo promedio en espera de las piezas en proceso? f) ¿Cuántas piezas tuvieron que ser re trabajadas?

223


6. Una compañía que manufactura pequeños componentes electrónicos tiene varias estaciones de trabajo a través de las cuales las partes son procesadas: ensa mble, soldadura, pintura e inspección son las operaciones principales. La materia prima llega a un área de recepción de materia prima de acuerdo a una d istribución exponencial con media de 20 minutos. Las distr ibuciones del tiempo de proceso son como se muestran a continuación: Actividad

Distribución

Ensamble Soldadura Pintura Inspección

Poison (12) minutos Normal (36,10) minutos Log normal (40,10) minutos Exponencial (8) minutos

La operación de soldadura puede realizarse en tres trabajos a la vez, la pintura puede realizarse en 4 a la vez. El ensamble y la in spección se realizan de uno a la vez. De la in spección se acepta aproximadamente el 80% y pasa a una área de empaque donde se combinan 5 piezas par a hacer un producto terminado en un tiempo que sigue una distribución Normal con media de 10 minutos y desviación estándar de 2 minutos, finalmente del área de empaque el producto es trasladado a un almacén final por medio de un operador, la velocidad vacío de este es de 15 mpm y cargado es de 12 mpm, el tiempo de recoger el producto es de 3 segundos y el de depositarlo es de 5 segundos, la distancia del empaque al almacén final es de 20 metros. El resto sa le como producto recha zado fuera del sistema Agregar variables para controlar el número de piezas que se van trabajando en cada una de las operaciones, otra variable para los productos re chazados así como el total de producto terminado. Finalmente cambiar los gráficos de las entidades cuando sale de cada proceso de ensamble, soldadura y pintura. Existe un tiempo de 1 minuto de traslado entre cada operación. Corra el modelo 40 horas y conteste lo siguiente:

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a) ¿Cuál es el porcentaje de utilizaci ón de la locación que más trabaja y cual es esta? b) ¿Existe cuello de botella? Justifiqu e su respuesta con base en el reporte de salida. c) ¿Cuántos productos terminados se produjeron? d) ¿Cuál es la locación que tiene el porcentaje de utilización más bajo? 7. Durante las horas pico, los clientes llegan a la fila de entrad a de una cafetería escolar de a cuerdo a un a tasa que sigue una d istribución normal con media de 3 minutos y d esviación estándar de ½ minuto. Posteriormente son ate ndidos por un cajero y el tiempo en que se realiza esta operación es de acuerdo a una d istribución Normal con media de 4 minutos y d esviación estándar de 1 minuto. En el párrafo siguiente se enlistan los diversos tipos de productos que pueden elegir y la secuencia que siguen para la obtención de estos:  Dulces y golosinas. Estas se entregan ahí mismo en la caja, el tiempo de proceso va inclu ido en el tiemp o de atención y posteriormente se van al área de comedores en un tiempo de un minuto.  Refrescos. Estos se entregan ahí mismo en la caja, el tiempo de proceso va incluido en el tiempo de atención y posteriormente se van al área de de comedores en un tiempo de un minuto.  Golosinas y refresco. Estos se entregan ahí mismo en la caja, van incluidos en el tiempo de atención y posteriormente se van al área de de comedores en un tiempo de un minuto.  Jugos o café. De la caja se van a la fila de entrega de bebidas, luego son atendidos po r un servid or en el área de entrega de bebidas y el tiempo de operación en esta parte del proceso es de acuerdo a u na distribución uniforme entre 4 y 6 minutos; y luego los clientes van al área de comedores en un tiempo de un minuto.  Alimentos preparados . De la caja se van a la fila de preparación de alimentos para ser atendidos por otro servidor que se encarga de preparar los alimentos en un tiempo que

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sigue una distribución exponencial con media de 10 minu tos, y luego los clientes se t rasladan al área de comedores en un tiempo de un minuto.  Jugos o café y alimentos preparados. De la caja pasan a la fila de entrega de bebidas, son atendidos y luego van a la fila de alimentos preparados, son atendidos y lueg o van al área de comedores en un tiempo de 1 minuto  Refresco y alimentos preparados. De la caja se van a la fila de alimentos preparados, pasan al área de alimentos preparados y luego al área de comedores en un tiempo de 1 minuto. Del área de comedores, los clientes salen del sistema. La fila de entrada tiene una longitud de 5 metros y una capacidad de 10, las demás filas tienen una longitud de 1 metro y una capacidad de 3. Las probabilidades de elección de cualquiera de los productos son como se muestra en la siguiente tabla:

Producto Dulces y golosinas Refrescos Golosinas y refresco Jugos o café Alimentos preparados Jugos o café y alimentos preparados Refrescos y alimentos preparados

Probabilidad 10% 10% 20% 5% 25% 10% 20%

Establecer variables para contabilizar cada tipo de prod ucto y mostrarlas en pantalla. Considerar que de cad a 100 client es que entr an a la ca fetería, solamente el 70 % co mpran algún producto y el resto sólo va como acompañante y se van directo al área de comedores en un tiempo de un minuto (mostrar variables en pantalla de los clientes que consumen y de los que no consumen), cambiar ta mbién el gráfico de los clientes que no consumen.

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La capacidad del área de comed ores es de 50 personas y el tiempo que permanecen en esta es de acuerdo a una distrib ución Normal con media de 15 minutos y desviación estándar de 3. Correr el modelo durante 40 horas y conteste lo siguiente: a) ¿Cuántos clientes consumieron Refrescos y alimentos preparados? b) ¿Cuántos clientes consumieron sólo refrescos? c) ¿Cuál es el tiempo pro medio que permanece un cliente en el sistema? d) ¿Cuál es el porcentaje de la operación que más se utiliza?

227


228


Capitulo 5: Desarrollo de un proyecto de simulación

229

Desarrollo de un proyecto de simulación

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5.1 Objetivo del capítulo Una vez que se ha visto el marco teórico que concierne a la simulación, las etapas para desarrollar un proyecto así como el uso de un lenguaje específico, lógicamente se espera poner en práctica todo lo anterior desarrollando un proyecto final, el cual consiste en el análisis, modelado y simulación de sistemas de servicios o productivos de una empresa, para detectar las mejoras posibles a realizar, y plantear acciones que mejoren el desempeño de sistemas y que en caso de poder implementarse se lleve hasta ese nivel.

5.2 Contenido sugerido del proyecto Como este texto está orientado principalmente a estudiantes de ingeniería industrial del sistema tecnológico, se sugiere desarrollar el proyecto en equipos de trabajo para aplicar las etapas descritas en el capítulo 1 además de otra información complementaria y relevante para conformar el documento final. Es importante aclarar que los capítulos que se mencionarán a continuación no necesariamente corresponden exactamente en número con las etapas para realizar un proyecto de simulación, esto significa que algún capitulo puede contener dos o más etapas según se considere necesario para el desarrollo del proyecto. En el siguiente cuadro 5.1 se mostrará el contenido sugerido y la numeración general del proyecto:

 Portada con datos generales e integrantes del equipo.  Índice de contenido de cada capítulo.  Introducción sobre el proyecto (hablar en términos generales sobre lo que se pretende realizar con el proyecto y cuál es la intención de llevarlo a cabo). Capítulo 1: Antecedentes del Proyecto 1.1 Antecedentes generales (recabar datos estadísticos sobre el giro de la empresa a nivel, estatal, local y cuál es su clasificación de acuerdo al tamaño de esta). 1.2 Marco de referencia (nombre, ubicación de la empresa,

231


1.3 1.4 1.4.1 1.4.1.1 1.4.1.2 1.4.1.2.1 1.4.1.2.2 1.4.1.3 1.4.1.3.1 1.4.1.3.2 1.5

organigrama). Metodología propuesta de trabajo (mencionar brevemente cada una de las etapas en el desarrollo de un proyecto de simulación). Desarrollo de la metodología Etapa 1: Preparación del proyecto Identificar las restricciones del sistema. Determinar el objetivo general y específico del modelo. Objetivo general. Objetivos específicos. Preparación de las especificaciones de la simulación. Alcance del modelo. Nivel de detalle. Hipótesis de partida.

Capítulo 2: Definición del Sistema 2.1 2.1.1 2.1.2

Etapa 2: definición del sistema. Descripción detallada del sistema a analizar. Determinar los principales subsistemas y áreas físicas que integran el sistema analizado (incluir croquis de distribución de planta). 2.1.3 Determinar los diferentes tipos de servicios y/o productos que se realizan en el sistema. 2.1.3.1 Desarrollar diagramas de análisis de procesos general y particular (si es necesario) para cada uno de los bienes/servicios producidos. 2.1.4 Determinar los horarios y días de trabajo regulares así como los horarios y días que serán sujetos de estudio. 2.1.5 Determine los datos requeridos. 2.1.6 Determine la fuente apropiada de los datos. 2.1.7 Haga supuestos donde sea necesario. Capítulo 3: Desarrollo del modelo y análisis de datos 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 3.2.1 3.2.2

Etapa 3: Construcción del modelo conceptual o esquemático. Diseño del Modelo conceptual o esquemático del sistema. Determinar las variables de entrada del modelo. Etapa 4: Recolección y análisis de datos. Diseño de la hoja de verificación para toma de datos. Realizar el muestreo de las variables de entrada del modelo en los horarios y días considerados para su estudio. 3.2.3 Organización y análisis de los datos muestreados (convierta los datos de entrada en una forma conveniente para su uso). 3.2.4 Determinación de las distribuciones de probabilidad teóricas de las

232


variables de entrada (si es que la tienen) con el Stat::Fit del ProModel. 3.3 Resumen final de cada variable y la distribución a la cual se ajustaron. 3.4 Generadores de Variables Aleatorias. 3.4.1 Determinación de los generadores para cada variable de entrada (empíricas con el método de Montecarlo, teóricas con el método que corresponda). Capítulo 4: Simulación y análisis del Sistema. 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.4 4.4.1 4.5 4.5.1 4.5.2

Redacción de las características del sistema a simular. Etapa 5: Desarrollar el modelo en lenguaje específico de simulación (ProModel). Impresión del Lay-out del modelo. Impresión del código fuente del modelo. Impresión del reporte de salida de las corridas Etapa 6: Conducción de experimentos y evaluación de alternativas. Especificar las alternativas a considerar. Impresión del Lay-out de las alternativas. Impresión del código fuente de las alternativas. Etapa 7: Análisis de resultados. Realizar un resumen de las alternativas evaluadas basadas en los reportes de salida. Etapa 8: Recomendaciones finales. Realizar las recomendaciones pertinentes Conclusión de los objetivos planteados.

Cuadro 5.1

5.3 Ejemplo de desarrollo de un proyecto de simulación A continuación se ilustrará todo el contenido para desarrollar el proyecto de simulación mencionado en el punto anterior a través de un ejemplo práctico.

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 Ejemplo de portada del proyecto:

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COLIMA Carrera: INGENIERÍA INDUSTRIAL

Materia: SIMULACIÓN

Proyecto: SIMULACION DE UN SISTEMA MEDICO GUBERNAMENTAL

Presentan: Adriana Alejandra Insunza Morado Samuel Jatzaquiel Grajeda Mendoza Linda Rebeca Guerrero Cárdenas

Grupo: K2

Profesor: MC José Cárdenas Zavala

Villa de Álvarez, Col., junio del 2010.

En lo sucesivo se mostrará el proyecto redactado como ejemplo para su entrega omitiendo el índice y la separación de hojas nuevas entre capítulos. Se respetará la numeración original del contenido sugerido.

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Introducción Con este proyecto se pretende realizar un modelo de simulación para analizar el funcionamiento de un sistema médico gubernamental conocido como Centro de Salud. Se aplicará la metodología vista en clase y se desarrollarán cada una de las etapas para desarrollar un proyecto de simulación de un sistema real de la comunidad. El objetivo es analizar dicho sistema a través de un modelo desarrollado en un lenguaje específico de simulación (ProModel) para poder hacer las recomendaciones pertinentes para que se incremente la calidad en la entrega de los servicios de salud, es decir, que los servicios sean oportunos, eficaces, eficientes, con respeto y con amabilidad. Por esta razón es importante saber si el personal con que se cuenta actualmente es el suficiente para brindar los servicios adecuadamente. El proyecto se compone de 4 capítulos que gradualmente conllevarán al conocimiento, análisis y representación del sistema sujeto de estudio finalizando con las sugerencias adecuadas para hacerlo más eficiente. Capítulo 1: Antecedentes del Proyecto 1.1 Antecedentes 1.1.1 Antecedentes generales La siguiente figura 1.1 muestra el mapa de la Republica Mexicana, con la cual se quiere referir que la Secretaria de Salud es una identidad federal a nivel nacional, y por lo cual se encuentra en cualquier Estado de la misma.

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Figura 1.1 Mapa de la Republica Mexicana. En la siguiente figura 1.2 se presenta el mapa del Estado de Colima, para acercarse un poco más al objetivo de estudio, ya que existen Tres Jurisdicciones, la primera se encuentra en Colima, la segunda en Tecomán y la tercera en Manzanillo.

236


Figura 1.2 Mapa del Estado de Colima. En la siguiente figura 1.3 se encuentra el municipio dónde se ubica el sistema objeto de estudio: Centro de Salud Rural Cuauhtémoc Colima.

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Figura 1.3 Mapa del municipio de Cuauhtémoc.

1.1.2 Antecedentes de la institución médica La Secretaría de Salud ha pasado por diversas etapas evolucionando históricamente hasta que en 1943 se constituye como tal con la facultad para organizar, administrar, dirigir y controlar la prestación de servicios de salud. El 30 de agosto de 1983, se expidió el Decreto mediante el cual el Ejecutivo Federal estableció las bases a las que se sujetó el programa de descentralización de los servicios de salud de la Secretaría de Salubridad y Asistencia, con el cual se dio inicio la descentralización. Con base en este Decreto, en febrero de 1984 los gobiernos federal y estatal, en el marco del Convenio Único de Desarrollo, acordaron promover la descentralización de la vida nacional y fortalecer las bases del régimen federal, así como realizar conjuntamente las acciones necesarias para llevar a cabo la integración programática de los servicios de salud en los estados y, posteriormente, la integración orgánica de los servicios de salud a población abierta a cargo de la SSA, del IMSS-COPLAMAR y de la propia entidad. El Ejecutivo Federal expidió el 8 de marzo de 1984, el Decreto por el que se descentralizan a las

238


entidades federativas los servicios que prestaban la Secretaría en los estados y los que, dentro del Programa de Solidaridad Social por Cooperación Comunitaria, denominado IMSS-COPLAMAR, proporcionaba el IMSS. El 21 de enero de 1985, se reformó la Ley Orgánica de la Administración Pública Federal, con lo cual la Secretaría de Salubridad y Asistencia cambió su nombre por Secretaría de Salud. El 25 de septiembre de 1996 se publicó en el Diario Oficial de la Federación el Acuerdo Nacional para la descentralización de los servicios de salud en las 31 entidades federativas, concretándose en 1997 con la firma de los convenios correspondientes para su creación como organismos públicos descentralizados y derivar entre muchos otros los Centros Rurales de Salud. De acuerdo al Plan maestro de Infraestructura Física en Salud (PMI) de la Dirección General de Planeación y Desarrollo en Salud del Estado de Colima actualizado a diciembre de 2010, existen 22 nuevos centros de salud en el Estado de Colima, 4 en sustitución, 42 en fortalecimiento y una ampliación, pero de las 69 obras, 56 son obras proyectadas y el resto están terminadas.

1.2. Marco de referencia Los datos generales de esta institución médica son: Nombre de la Institución: Ubicación de la Institución: Domicilio: Delegación o municipio: Jurisdicción: Entidad Federativa: Teléfonos:

Centro de Salud Rural Cuauhtémoc. Cuauhtémoc, Colima. Kilómetro 15 carretera Colima – Tonila Cuauhtémoc. Sanitaria Número 1 Colima (312 )-328-00-48, (312)-328-04-99

A continuación se presenta en la siguiente figura 1.4 la estructura organizacional del Centro de Salud Rural Cuauhtémoc Colima:

239


Figura 1.4

1.3 Metodología propuesta de trabajo Enseguida se enumeran los pasos o etapas de la metodología que se aplicará a lo largo de este proyecto: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Preparación del proyecto. Definición del sistema. Desarrollo del modelo conceptual o esquemático. Recolección y análisis de datos. Desarrollo del modelo en lenguaje específico de simulación. Experimentación y evaluación de alternativas. Análisis de resultados. Recomendaciones finales.

El objetivo de la preparación del proyecto es hacer un ejercicio de planeación del proyecto identificando las restricciones del sistema, determinando el objetivo general y específico así como el alcance y el nivel de detalle que se espera incluir en el modelo a desarrollar. La intención de la definición del sistema es estudiarlo dividiéndolo en los diversos sistemas y subsistemas que lo conforman utilizando diversas herramientas emanadas de la ingeniería industrial como diagramas de flujo de procesos, croquis de distribución de planta, para conocer este a fondo. También se determina el proceso productivo para cada tipo de producto o

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servicio ofrecido, determinar las fuentes posibles de obtención de la información, establecer supuestos que no afecten el modelo y que lo hagan más fácil de desarrollar sin perder efectividad para lograr los objetivos planteados. El objetivo de la construcción del modelo es, proveer una representación valida que describa el comportamiento del sistema analizado, se deben obtener las variables de entrada que proveen la información necesaria para cumplir con los objetivos de la simulación. La recolección y análisis de los datos es sumamente importante ya que estos constituyen el soporte estadístico que le proporciona el “parecido con la realidad” al modelo a través de las variables de entrada. Aquí convergen tanto la estadística descriptiva como la inferencial, ya que se toman muestra. Las variables, se organizan en distribuciones de frecuencia, se hacen histogramas y polígonos para “observar” la forma básica de la distribución y posteriormente con la teoría de prueba de hipótesis se verifican si siguen alguna distribución de probabilidad teórica o no. El siguiente paso es desarrollar el modelo en algún lenguaje específico de simulación, correrlo y validarlo adecuadamente para verificar que la información con que se alimentó este sea congruente con el sistema real. Como con la ayuda del modelo se busca resolver alguna problemática detectada en el sistema, se deben establecer diferentes alternativas, experimentar con estas y analizarlas a fondo. El último paso en el procedimiento de la simulación es el hacer recomendaciones para mejorar el actual sistema, basado en los resultados del modelo simulado. Estas recomendaciones deben ser estadísticamente soportadas y claramente presentadas en un informe de resultados de la simulación. 1.4 Desarrollo de la metodología. 1.4.1 Etapa 1: Preparación del proyecto. 1.4.1.1 Identificar las restricciones del sistema En este rubro las principales restricciones que pueden considerarse después de haber hecho un análisis inicial del sistema son:  El tiempo para realizar el proyecto.  Conocimiento y habilidad para realizar el estudio.  La posible resistencia de las personas que integran el sistema para proporcionar la información.

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1.4.1.2 Determinar el objetivo general y específico del modelo. 1.4.1.2.1 Objetivo general Desarrollar un modelo de simulación para el Centro de Salud Rural de Cuauhtémoc, Colima, específicamente en las áreas de enfermería, medicina y farmacia, para que con el análisis del mismo apoye en la toma de decisiones que optimicen los distintos recursos que lo integran. 1.4.1.2.2 Objetivos específicos  Determinar el tiempo promedio de espera en la fila de los pacientes.  Determinar el tiempo promedio que permanecen los pacientes en el sistema de atención.  Determinar el porcentaje del tiempo ocioso de los servidores.  Determinar la cantidad de personal adecuado en las distintas áreas para hacer más eficiente la consulta para brindar atención médica oportuna y de calidad. 1.4.1.3 Preparación de las especificaciones de la simulación 1.4.1.3.1 Alcance del modelo Se pretende realizar un modelo que incluya desde la llegada de las personas a la recepción, pasando por las áreas de enfermería, medicina y farmacia según sean los requerimientos de los pacientes hasta la salida de estos del sistema.

1.4.1.3.2 Nivel de detalle En este punto se puede mencionar que las variables de entrada que se elegirán son las adecuadas para dar respuesta a los objetivos planteados sin considerar detalles del sistema que no le agreguen valor al modelo. 1.5 Hipótesis de partida Partiendo de hecho de que la simulación ha sido aplicada con éxito en diversos sistemas productores de bienes y /ó servicios, luego entonces es factible aplicarla en una unidad médica para optimizar sobre todo los tiempos de espera de los pacientes, mejorando los servicios brindados.

242


Capítulo 2: Definición del Sistema 2.1 Etapa 2: definición del sistema 2.1.1 Descripción detallada del sistema a analizar Con base a los procedimientos de operatividad de los servicios de consulta externa a continuación se mencionan de manera general las actividades de los responsables de la unidad de primer nivel, con la finalidad de basarse en ello para hacer el análisis correspondiente. El médico del centro de salud rural responsable diagnostica y decide la conveniencia de referir al paciente a una unidad médica del paciente, llena la hoja de referencia e integra el expediente clínico, registra en el expediente la justificación del envío, supervisa el registro en bitácoras de referencia, entrega a trabajo social el trabajo de referencia en la jurisdicción para gestionar la cita a segundo nivel, mientras tanto la jefa de enfermería recibe el expediente clínico y lo archiva registra los datos de referencia en la bitácora entre otras funciones; sin embargo en lo concerniente a la atención del paciente no se cuenta con la cantidad necesaria de médicos y enfermeras para brindarles los servicios de atención oportunos a todos los pacientes, puesto que en los tres turnos de servicios existentes se otorga únicamente un total de 60 fichas por día, desglosadas en: 20 a las 15 horas, 20 a las 13 horas, y 20 más a las 20 horas; las cuales sugieren un tiempo de atención de 20 minutos por paciente. Sin embargo cuando llegan a urgencias evidentemente ese tiempo se alarga desde 10 a 40 min. adicionales a los que normalmente espera cada uno de los pacientes, por lo cual aun cuando hay una buena organización entre los responsables y demás trabajadores la cantidad de personal es insuficiente no solo por el tiempo que espera el paciente sino también porque llegan más de 20 pacientes por turno. 2.1.2 Determinar los principales subsistemas que integran el sistema analizado En lo correspondiente a los subsistemas que integran el sistema principal, este se dividirá en tres aspectos principales: a) Proceso administrativo interno El Centro de Salud de Cuauhtémoc se rige de acuerdo a la normativa vigente emanada de la Secretaría de Salud y cuenta con las siguientes áreas de organización:

243


       

Dirección Asesor y promotor del seguro medico popular Médicos generales Personal de farmacia Jefa de enfermería Enfermeras de base Enfermeras pasantes MPSS.

b) Proceso de otorgación del servicio Existe un proceso estandarizado para todos los centros de salud rurales de las entidades del país. En términos generales los pasos para la otorgación de los servicios son:     

Llegada de las personas Tomar turno en recepción Pasar a uno de los servidores Pasar por medicamentos Salida

c) Producto o servicio final En el Centro de Salud se atiende a los usuarios de manera gratuita, donde se otorgan los distintos servicios médicos además de proveer de los medicamentos necesarios. En la figura 2.1 se muestra la distribución de planta del Centro de Salud. En la entrada está la oficina de la jefa de médicos y a la izquierda está la oficina de promotoría, en seguida esta la sala de espera; al lado de la promotoria está a oficina de la jefa de enfermeras, a un lado se encuentra los baños. A un lado de la sala de espera se encuentra el área dental, seguido esta las farmacias, después el área de curaciones, seguida de servicios, en seguida el área de camas y por último los dos consultorios. Frente al último consultorio se encuentra la cocina, y a un lado el cuarto de lavado.

244


Figura. 2.1 Croquis de distribución de planta 2.1. 3 Tipos de bienes o servicios que se ofrecen En el Centro de Salud Rural tratado, las áreas de medicina, enfermería, dental, promotoría y farmacia, brindan principalmente los servicios siguientes: 1. Se da atención a la consulta general y/ó consulta externa, 2. Urgencias. 3. Se manejan diferentes programas con los pacientes y con la población, como son: a) Salud reproductiva: Planificación familiar, control prenatal, atención de parto (si llegara a necesitarse de urgencia) y puerperio. b) Salud del niño y del adolescente: Enfermedades diarreicas, Infección respiratoria aguda y estado de nutrición. c) Aplicación de biológicos. d) Detecciones: Diabetes Mellitus, Hipertensión Arterial, Sífilis, Obesidad, Osteoporosis, Hiperplasia Prostática. e) Salud del adulto y el anciano: Control de pacientes con diabetes mellitus, hipertensión arterial y obesidad. f) Microbacteriosis: Detecciones y tratamiento de Tuberculosis y Lepra.

245


g) h) i) j) k)

Infecciones de Transmisión Sexual. Enfermedades Transmitidas por Vector: Dengue, Paludismo. Picaduras de alacrán. Zoonosis: Rabia, Brucelosis, Teniosis y Cisticercosis. Salud Bucal.

2.1.3.1 Desarrollar diagramas de análisis de procesos para los servicios producidos. Como ya se mencionó, en conjunto, los cinco servicios mencionados, colaboran para la realización de las siguientes actividades: Se da consulta, asesoría, promoción de todos los servicios y programas de salud (vacunación, control prenatal, estimulación temprana, control del niño sano, control de enfermedades crónico degenerativas, como son: diabetes, hipertensión, obesidad, etcétera; entre otros). En la siguiente figura 2.2 se puede ver el flujo de las entradas de los pacientes a los diversos servicios ofertados.

246


Figura 2.2 En la figura 2.2 se muestra la ruta que debe de hacer un paciente al visitar el centro de salud. Primeramente debe de llegar con la jefa de médicos por su ficha, posteriormente esperar que llegue su turno en la sala de espera, en cuanto este llega pasa al consultorio correspondiente. Dependiendo del diagnostico del médico, el paciente pasará al área dental, farmacia, curaciones o servicios donde será atendido por el personal respectivo. Dependiendo de la enfermedad o del tipo de atención del paciente, es trasladado al área de camas, si no se le da salida. Cabe aclarar que en casos de enfermedad que la atención esta fuera del alcance del centro de salud, se les recomienda trasladar al paciente a un hospital de segundo nivel, como son el Hospital Regional o el Hospital del IMSS, ambos ubicados en la ciudad de Colima.

247


En la siguiente figura 2.3 se muestra un diagrama de flujo del proceso que hace el paciente al visitar el Centro de Salud. Inicio Llegada del paciente Si

Urgencias? No Entrega de Ficha

Recibe Enfermera

Espera turno en sala de espera Pasa el paciente a consulta

Servicio Dental

Servicio General

Paciente pasa a farmacia

Salida

Fin Figura 2.3

248

Atiende Medico


2.1.4 Determinar los horarios y días de trabajo regulares así como los horarios y días de que serán sujetos de estudio. Se espera tomar muestras del turno vespertino durante una semana completa de labores con la ayuda del personal que labora en el centro y con hojas de verificación diseñadas para tal efecto. 2.1.5 Determine los datos requeridos: La información que puede ser útil conocer es la siguiente:  Determinar el tiempo entre llegadas de los pacientes que asisten por día a la unidad médica.  Determinar los servicios de consulta, urgencias y curaciones.  Determinar el número de trabajadores: Médicos, enfermeras, dentistas, promotoras y encargados de farmacia.  Determinar el tiempo de duración de cada servicio.  Otros servicios (toma de signos vitales, síntomas, aplicación de inyecciones, entre otros). 2.1.6 Determine la fuente apropiada de los datos. Se aplicará la observación directa y el estudio de tiempos con cronómetro a los servicios de salud otorgados a los pacientes, así como al acceso permitido a registros internos y bitácoras con los que cuentan en los departamentos de medicina y enfermería, se sugieren éstas alternativas como las adecuadas, por lo cual fueron las tomadas para la realización del presente proyecto. 2.1.7 Haga supuestos donde sea necesario. Los siguientes supuestos ayudarán a realizar un modelo más fácil de manejar y que de respuesta a los objetivos planteados:  Atender a los pacientes conforme van llegando a las instalaciones, excepto urgencias.

249


 No interrumpir la atención a cada paciente por causas ajenas al sistema como fallas en el suministro de energía eléctrica, falta de personal, negligencia etc. excepto si se trata de una urgencia. Evidentemente, no se deja de atender a un paciente por negligencia, sino únicamente si se presenta un paciente en una condición urgente. Capítulo 3: Desarrollo del modelo y análisis de datos En ésta capítulo se pretende construir el modelo de simulación gracias a que se da por entendido que la información obtenida es suficiente, ya ha sido previamente analizada y validada para describir claramente el comportamiento del sistema. 3.1 Etapa 3: Construcción del modelo conceptual o esquemático. 3.1.1 Diseño del Modelo conceptual o esquemático del sistema. La siguiente figura 3.1, muestra el modelo conceptual del sistema en estudio, en el se representan cada uno de los servidores disponibles: una enfermera en recepción, 2 enfermeras para consulta general y/o urgencias, 2 médicos ya sea para consulta general o para urgencias, 1 dentista, una trabajadora social en farmacia), así como las variables de entrada requeridas, por ejemplo, en la llegada de pacientes en el área de recepción se toman en cuenta dos variables: el tiempo entre llegadas de los pacientes y el tipo de paciente (si éste va a consulta o debe ser atendido en urgencias); en el área de urgencias, en lo referente a la enfermera responsable se registra el tiempo de servicio de la misma, mientras que los médicos que normalmente están en consulta también atienden urgencias cuando éstas se presentan y en ése caso, se muestrea el tiempo de atención al paciente; ahora bien, en lo que respecta a la enfermera encargada de consultas, se registra el tiempo de servicio de la misma y, mientras ella toma signos vitales al paciente, una vez atendido pasa a consulta, ya sea con uno de los dos médicos generales o con el dentista, la variable en común con los 3 profesionales mencionados es el tiempo de atención; ahora bien, una vez que los pacientes fueron atendidos, ya sea en urgencias o en consultas, el paciente es pasado a farmacia a que le surtan su receta.

250


Médico 1 Enfermeras Fila de Entrada

Recepción

Fila de Atención a Pacientes

Fila de Farmacia

Farmacia

Médico 2

Fin  Tiempo entre llegadas  Tipo de paciente

 Tiempo de servicio

 Tiempo de servicio

 Tiempo de Atención

Dentista  Tiempo de Atención

Figura 3.1 Modelo Conceptual del Sistema

3.1.2 Determinar las variables de entrada del modelo. Las variables a muestrear son las siguientes en las diferentes áreas y turnos:  Tiempo entre llegadas de los pacientes  Tiempo de servicio en recepción  Tipo de Servicio o Urgencia o Consulta general (existen 2 médicos generales) o Dentista (1 médico cirujano dentista)  Tiempo de servicio (Enfermería)  Tiempo de atención (Médico urgencias)  Tiempo de atención (Dentista)

251


 Tiempo de atención (Médicos Generales)  Tiempo de Servicio (Área de farmacia). 3.2 Etapa 4: Recolección y análisis de datos. 3.2.1 Diseño de las hojas de verificación para toma de datos. En éste punto solo se muestran las hojas de verificación diseñadas para el registro de cada variable en las distintas áreas, sin embargo, más adelante se muestran dichas hojas de verificación pero ya con los datos registrados del muestreo. Para las variables de tiempo entre llegadas de los pacientes, tiempo de servicio en recepción y el tipo de servicio solicitado se utilizará la siguiente hoja de verificación:

Hoja de Toma de Datos para el área de Recepción Hora de inicio: Recepción Llegadas Tiempo de Hora de Hora de Hora de Paciente servicio llegada inicio salida

Tipo de Servicio

Tabla 3.2 Hoja de toma de datos en recepción

Para la variable del tiempo de servicio en enfermería ya sea para consulta general o urgencias, se utilizará la siguiente hoja de verificación: Hoja de Toma de Datos para el área de Enfermería Hora de inicio: ENFERMERIA Llegadas Hora de Hora de Hora de Tiempo de Paciente Llegada inicio salida Servicio

Tabla 3.3 Para la variable tiempo de atención de médicos en consulta general se diseñó la siguiente hoja de verificación.

252


Hoja de Toma de datos en el área de Consultas Hora de inicio: Paciente

Médico 1 Hora de Horas de Inicio Salida

Tiempo de Servicio

Médico 2 Hora de Horas de Inicio Salida

Tiempo de Servicio

Tabla 3.4 Para la variable tiempo de atención en el área Dental se diseñó la siguiente hoja de verificación: Hoja de Toma de datos en el área Dental Hora de inicio Dentista Paciente Hora de Hora de Tiempo de inicio salida Servicio

Tabla 3.5 Para la variable tiempo de servicio en el área de farmacia se diseño la siguiente hoja de verificación: Hoja de Verificación en el área de Farmacia Hora de inicio: Trabajadora Social Tiempo de Paciente Hora de Hora de Servicio Inicio Salida

Tabla 3.6 Para la variable tiempo de atención en el área de urgencias se diseño la siguiente hoja de verificación:

253


Hoja de Verificación en el Área de Urgencias Hora de Inicio: Médico Tiempo Paciente Hora de Hora de de Servicio inicio Inicio

Tabla 3.7 3.2.2 Realizar el muestreo de las variables de entrada del modelo en los horarios y días considerados para su estudio. Se realizó un muestreo aleatorio de las diversas variables consideradas en cada una de las áreas en estudio, como se mencionó anteriormente se consideró el turno vespertino y tuvo que asistirse varios días: 26, 28, 29, 30 de abril y 2, 3, 4 de mayo) a registrar las variables área por área. A continuación, se muestran las hojas de verificación realizadas a las distintas áreas del Centro de Salud en estudio, en la primera tabla 3.8 se ilustra el muestreo hecho en el área de recepción.

254


Área a muestrear: Recepción Hora de inicio: Llegadas Paciente Hora de llegada

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

1:05 pm 1:07 pm 1:10 pm 1:18 pm 1:23 pm 1:25 pm 1:30 pm 1:32 pm 1:33 pm 1:37 pm 1:41 pm 1:46 pm 1:48 pm 1:53 pm 1:55 pm 2:05 pm 2:12 pm 2:16 pm 2:20 pm 2:25 pm 2:29 pm 2:35 pm 2:39 pm 2:45 pm 2:50 pm 2:55 pm 3:00 pm 3:12 pm 3:15 pm 3:22 pm 3:30 pm 3:43 pm 3:50 pm 3:57 pm

13:05 Horas Recepción Hora de inicio


Hora de salida

Tiempo de Servicio (min)


8 1 4 5 3 2 2 2 2 3 2 3 2 4 6 4 5 3 5 5 8 6 4 4 4 5 5 3 6 6 4 4 5 5

Tipo de servicio

Consulta Dental Consulta Urgencias Consulta Consulta Dental Urgencias Consulta Dental Consulta Urgencias Consulta Consulta Dental Urgencias Dental Consulta Consulta Consulta Dental Consulta Consulta Consulta Consulta Consulta Consulta Consulta Consulta Consulta Consulta Urgencias Consulta Consulta

Tabla 3.8

255


La siguiente tabla 3.9 muestra el tiempo de servicio en enfermería, recuérdese que este tiempo corresponde a la enfermera que atendió a los pacientes tanto de consulta general como de urgencias. Llegadas

Enfermería

Paciente

Hora de Inicio

Hora de salida

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

1:07 PM 1:30 PM 1:58 PM 2:05 PM 2:12 PM 2:19 PM 2:27 PM 2:43 PM 2:55 PM 3:04 PM 3:13 PM 3:25 PM 3:34 PM 3:48 PM 3:56 PM 4:04 PM 4:13 PM 4:22 PM 4:34 PM 4:59 PM 5:10 PM 5:27 PM 5:45 PM 6:13 PM 6:31 PM 6:59 PM 7:07 PM 7:20 PM 7:30 PM 7:41 PM 7:52 PM 8:01 PM 8:07 PM 8:15 PM

1:13 PM 1:34 PM 2:03 PM 2:10 PM 2:16 PM 2:22 PM 2:34 PM 2:48 PM 2:59 PM 3:09 PM 3:18 PM 3:32 PM 3:41 PM 3:53 PM 3:59 PM 4:07 PM 4:18 PM 4:27 PM 4:50 PM 5:03 PM 5:20 PM 5:34 PM 5:54 PM 6:22 PM 6:38 PM 7:01 PM 7:13 PM 7:27 PM 7:34 PM 7:48 PM 7:56 PM 8:04 PM 8:13 PM 8:29 PM

Tabla 3.9

256

Tiempo de servicio (min) 6 4 5 5 4 3 7 5 4 5 5 7 7 5 3 3 5 5 16 4 10 7 9 9 7 2 6 7 4 7 4 3 6 14


En la siguiente tabla 3.10 se consideró el tiempo de servicio o atención de los 2 médicos generales con que cuenta el Centro de Salud. Hora de inicio Paciente Inicio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

1:13PM 1:28PM 1:45PM 2:00PM 2:17PM 2:22PM 2:37PM 2:52PM 3:07PM 3:24PM 3:34PM 3:49PM 3:59PM 4:10PM 4:20PM 4:37PM 4:53PM 5:00PM 5:14PM 5:25PM 5:38PM 5:51PM 6:02PM 6:18PM 6:33PM 6:51PM 7:04PM 7:22PM 7:39PM 7:59PM 8:14PM 8:25PM 8:31PM 8:38PM

Hoja de Verificación para el Área de Consultas 13:13 Horas Médico 1 Médico 2 Tiempo de Salida Inicio Salida Servicio 1:28PM 15 1:00PM 1:14PM 1:45PM 17 1:14PM 1:28PM 2:00PM 15 1:28PM 1:35pm 2:17PM 17 1:35pm 1:45pm 2:22PM 5 1:45pm 1:55pm 2:37PM 15 1:55pm 2:12PM 2:52PM 15 2:12PM 2:27PM 3:07PM 15 2:27PM 2:42PM 3:24PM 17 2:42PM 3:00PM 3:34PM 10 3:00PM 3:13PM 3:49PM 15 3:13PM 3:22PM 3:59PM 10 3:22PM 3:37PM 4:10PM 11 3:37PM 3:45PM 4:20PM 10 3:45PM 3:59PM 4:37PM 17 3:59PM 4:10PM 4:53PM 16 4:10PM 4:29PM 5:00PM 7 4:29PM 4:39PM 5:14PM 14 4:39PM 4:55PM 5:25PM 11 4:55PM 5:10PM 5:38PM 13 5:10PM 5:25PM 5:51PM 13 5:25PM 5:42PM 6:02PM 11 5:42PM 5:55PM 6:18PM 16 5:55PM 6:19PM 6:33PM 15 6:19PM 6:35PM 6:51PM 18 6:35PM 6:49PM 7:04PM 13 6:49PM 6:59PM 7:22PM 18 6:59PM 7:15PM 7:39PM 17 7:15PM 7:29PM 7:59PM 20 7:29PM 7:45PM 8:14PM 15 7:45PM 7:58PM 8:25PM 11 7:58PM 8:10PM 8:31PM 6 8:10PM 8:20PM 8:38PM 7 8:20PM 8:27PM 8:45PM 7 8:27PM 8:39PM

Tiempo de Servicio 14 14 7 10 10 17 15 15 18 13 9 15 8 14 11 19 10 16 15 15 17 13 14 16 14 10 16 14 16 13 12 10 7 12

Tabla 3.10

257


En la siguiente tabla 3.11 se puede ver el tiempo de atención del dentista que labora en el Centro de salud. Hoja de Verificación en el Área Dental Hora de Inicio 13:00 Paciente Dentista Tiempo de Inicio Salida Servicio 1 1.05 PM 1:32 PM 27 2 1:33 PM 2:07 PM 34 3 2:10 PM 2:41 PM 31 4 3:05 PM 3:39 PM 34 5 3:40 PM 4:16 PM 36 6 4:18 PM 4:52 PM 34 7 4:53 PM 5:28 PM 35 8 5:31 PM 6:03 PM 32 9 6:04 PM 6:34 PM 30 10 6:34 PM 7:12 PM 38 11 1:07 PM 1:41 PM 34 12 1:41 PM 2:22 PM 41 13 2:25 PM 2:49 PM 24 14 3:16 PM 3:44 PM 28 15 3:46 PM 4:12 PM 26 16 4:13 PM 4:49 PM 36 17 4:52 PM 5:18 PM 26 18 5:19 PM 5:47 PM 28 19 5:48 PM 6:13 PM 25 20 6:15 PM 7:00 PM 15 21 1:07 PM 1:46 PM 39 22 1:48 PM 2:24 PM 36 23 2:25 PM 3:01 PM 36 24 3:05 PM 3:47 PM 42 25 3:47 PM 4:05 PM 18 26 4:07 PM 4:32 PM 25 27 4:34 PM 5:02 PM 28 28 5:05 PM 5:39 PM 34 29 5:40 PM 6:12 PM 32 30 6:13 PM 7:05 PM 52 Tabla 3.11

258


La siguiente tabla 3.12 muestra los datos tomados en el área de farmacia. Hoja de verificación del Área de Farmacia Hora de Inicio 13:18 Hrs. Paciente Trabajadora Social Tiempo de Servicio Hora de Hora de (min) Inicio Salida 1 1:18 PM 1:21 PM 3 2 1:30 PM 1:31 PM 1 3 1:34 PM 1:36 PM 2 4 1:39 PM 1:40 PM 1 5 1:45 PM 1:47 PM 2 6 2:07 PM 2:08 PM 1 7 2:13 PM 2:16 PM 3 8 2:34 PM 2:35 PM 1 9 2:47 PM 2:49 PM 2 10 2:59 PM 3:00 PM 1 11 3:10 PM 3:12 PM 2 12 3:18 PM 3:19 PM 1 13 3:25 PM 3:27 PM 2 14 3:30 PM 3:31 PM 1 15 3:35 PM 3:37 PM 2 16 3:42 PM 3:43 PM 1 17 3:47 PM 3:48 PM 1 18 3:52 PM 3:54 PM 2 19 4:00 PM 4:01 PM 1 20 4:22 PM 4:24 PM 2 21 4:39 PM 4:40 PM 1 22 5:02 PM 5:05 PM 3 23 5:13 PM 5:15 PM 2 24 5:19 PM 5:21 PM 2 25 5:27 PM 5:28 PM 1 26 5:44 PM 5:45 PM 1 27 6:02 PM 6:04 PM 2 28 6:09 PM 6:11 PM 2 29 6:19 PM 6:20 PM 1 30 6:35 PM 6:37 PM 2 31 6:49 PM 6:51 PM 2 32 7:07 PM 7:09 PM 2 33 7:25 PM 7:27 PM 2 34 7:34 PM 7:35 PM 1 Tabla 3.12

259


La tabla 3.13 contiene los tiempos muestreados en el área de urgencias durante el periodo considerado. Hoja de Verificación para el Área de Urgencias Hora de inicio: 13:30 Médico Tiempo Paciente de Atención Hora de Hora de (min) Inicio Salida 1 1:35PM 1:45PM 10 2 1:42PM 2:20PM 38 3 1:58PM 2:30PM 32 4 2:20PM 2:59PM 39 5 7:53PM 8:25PM 32 6 8:38AM 8:59AM 21 7 8:42AM 9:10AM 28 8 9:55AM 10:15AM 20 9 11:10AM 11:29AM 19 10 1:16PM 1:58PM 42 11 3:29PM 3:59PM 30 12 5:10PM 5:29PM 19 13 6:55PM 7:20PM 25 14 8:15PM 8:40PM 25 15 9:05AM 9:55AM 50 16 10:19AM 10:58AM 39 17 11:02AM 11:45AM 43 18 2:59PM 3:20PM 21 19 4:22PM 4:55PM 33 20 5:15PM 5:59pm 44 21 6:09PM 6:45PM 36 22 7:18PM 7:45PM 27 23 7:59PM 8:30PM 31 24 11:35AM 11:59AM 24 25 1:22PM 2:12PM 50 26 2:18PM 2:39PM 21 27 3:15PM 3:28PM 13 28 4:25PM 4:59PM 24 29 5:09PM 5:55PM 46 30 6:15PM 6:57PM 42 Tabla 3.13

260


3.2.3 Organización y análisis de los datos muestreados (convierta los datos de entrada en una forma conveniente para su uso). Para un mejor manejo de los datos muestreados, se elaboraron las siguientes tablas conteniendo los valores de cada variable en las distintas áreas del Centro de Salud, asimismo se calcularon tanto el rango de los datos como el ancho de clase para cada caso y se elaboraron las tablas de distribución de frecuencias y los histogramas correspondientes.  Variable: Tiempo entre llegadas de los pacientes (minutos). En la siguiente tabla 3.14 se muestran los datos recopilados de esta variable:

2 3 8 5 2

5 2 1 5 4

5 2 6 2 4 4 5 4 6 2 5 5 10 4 5 Tabla 3.14

5 12 3 7 8

13 7 7

Rango de los datos: R= Valor máximo – Valor mínimo = 13 – 1 = 12 Ancho de clase = R/1+3.322 log n = 12 / 1+3.322 log 33 = 1.98 Como el tamaño de la muestra es pequeño, se considera el ancho de clase de 3, para que resulten 5 clases que es lo que se considera adecuado para 33 datos.

Frecuencia Observada 1- 3 6 4–6 8 7–9 10 10 – 12 6 13– 15 1 Tabla 3.15 Clases

261


Figura 3.16  Variable: Tiempo de servicio en recepción (minutos). En la siguiente tabla 3.17 se muestran los datos recopilados de esta variable: 8 1 4 5 3

2 2 2 2 3

2 4 8 3 5 6 2 3 4 4 5 4 6 5 4 Tabla 3.17

5 5 3 6 6

4 4 5 5

Rango de los datos: R= Valor máximo – Valor mínimo = 8 – 1 = 7 Ancho de clase = R/1+3.322 log n = 7 / 1+3.322 log 34 = 1.15 Como el rango de la muestra es pequeño, se recomienda tomar los datos puntuales para poder apreciar mejor la distribución de los datos.

262


Tabla de Distribución de frecuencias Frecuencia Observada 1 6 5 8 8 3 0 2 Tabla 3.18

Clases 1 2 3 4 5 6 7 8

Figura 3.19

 Variable: Tipo de servicio. Esta variable se puede considerar como empírica, no tiene sentido buscar si se ajusta a una distribución teórica ya que nunca se va a considerar un valor que no sea cualquiera de los tres tipos de servicios que se otorgan, por lo tanto solamente se establecerá la distribución de frecuencias y el generador se obtendrá con el método de Montecarlo posteriormente. En el siguiente cuadro 3.19 se puede ver como se distribuye la demanda de servicios en el centro de salud.

263


Tipo de Frecuencia Servicio Observada Consulta General 23 Dental 6 Urgencias 5 Tabla 3.20

 Variable: Tiempo de servicio en enfermería (minutos). En la siguiente tabla 3.21 se muestran los datos recopilados de esta variable: 6 4 5 5 4

3 7 5 4 5

5 7 7 5 3

3 10 5 7 5 9 16 9 4 7 Tabla 3.21

2 6 7 4 7

4 3 6 14

Rango de los datos: R= Valor máximo – Valor mínimo = 16 – 2 = 14 Ancho de clase = R/1+3.322 log n = 14 / 1+3.322 log 34 = 2.29 Se considerará el ancho de clase de tamaño 3 para obtener 5 clases en la realización de la distribución de frecuencias.

Frecuencia Observada 2–4 11 5–7 18 8 – 10 3 11 – 13 0 14 – 16 2 Tabla 3.22 Clases

264


Figura 3.23

 Variable: Tiempo de atención de los médicos generales (minutos). En este caso se va a considerar el tiempo de los dos médicos generales, suponiendo que trabajan al mismo ritmo y no hay necesidad de hacer distinción entre ellos, por lo que se sumaran los tiempos muestreados, ver tabla 3.24. 15 17 15 17 5

15 15 15 17 10

15 10 11 10 17

16 7 14 11 13

13 11 16 15 18

13 18 17 20 15

11 12 6 7 7 12 7 10 10 10 Tabla 3.24

10 16 14 16 13

17 13 14 16 14

19 10 16 15 15

9 15 8 14 11

17 15 15 18 13

14 14 7

Rango de los datos: R= Valor máximo – Valor mínimo = 20 – 5 = 15 Ancho de clase = R/1+3.322 log n = 15 / 1+3.322 log 68 = 2.11 Se considerará el ancho de clase de tamaño 3 para obtener 6 clases en la realización de la distribución de frecuencias.

265


Frecuencia Observada 5–7 7 8 – 10 10 11– 13 13 14 – 16 26 17 – 19 11 20 – 22 1 Tabla 3.25 Clases

Histograma del tiempo de atención de los médicos generales 30 20 10 0 5

8

11

14

17

20

Figura 3.26  Variable: Tiempo de atención del dentista (minutos). Enseguida se muestran los datos del tiempo de atención del dentista (ver tabla 3.27): 27 34 31 34 36

34 35 32 30 38

34 36 41 26 24 28 28 25 26 15 Tabla 3.27

39 36 36 42 18

25 28 34 32 52

Rango de los datos: R= Valor máximo – Valor mínimo = 52 – 15 = 37 Ancho de clase = R/1+3.322 log n = 37 / 1+3.322 log 30 = 6.27

266


Como el rango es amplio y son pocos datos, se considerará el ancho de clase de tamaño 8 para obtener 5 clases en la realización de la distribución de frecuencias. Frecuencia Observada 15 – 22 2 23 – 30 10 31 – 38 14 39 – 46 3 47 - 54 1 Tabla 3.28 Clases

Figura 3.29  Variable: Tiempo de atención en farmacia (minutos). Enseguida se muestran los datos del tiempo de atención en farmacia (ver tabla 3.30): 3 1 2 1 2

1 3 1 2 1

2 1 1 1 1 3 2 2 2 1 1 2 2 2 1 Tabla 3.30

1 2 2 1 2

2 2 2 1

267


Rango de los datos:

R= Valor máximo – Valor mínimo = 3 – 1 = 2

En este caso como se tienen solamente 3 valores distintos se procederá a tomar los valores puntuales y contar cuantos hay de cada uno para ver si se ajustan a una distribución teórica. Frecuencia Observada 1 15 2 16 3 3 Tabla 3.31

Clases

 Variable: Tiempo de atención en urgencias (minutos). Enseguida se muestran los datos del tiempo de atención del médico de urgencias (ver tabla 3.32): 10 21 30 39 36 21 38 28 19 43 27 13 32 20 25 21 31 24 39 19 25 33 24 46 32 42 50 44 50 42 Tabla 3.32 Rango de los datos: R= Valor máximo – Valor mínimo = 50 – 10 = 40 Ancho de clase = R/1+3.322 log n = 40 / 1+3.322 log 30 = 6.78 Como el rango es amplio y son pocos datos, se considerará el ancho de clase de tamaño 9 para obtener 5 clases en la realización de la distribución de frecuencias (ver tabla 3.33): Frecuencia Observada 10 – 18 2 19 – 27 11 28 – 36 7 37 – 45 7 46 - 54 3 Tabla 3.33 Clases

268


Figura 3.34

3.2.4

Determinación de las distribuciones de probabilidad teóricas de las variables de entrada (si es que la tienen) con el Stat::Fit del ProModel.

 Variable Tiempo entre Llegadas: Con la ayuda del Stat::Fit de ProModel obtenemos que esta variable se ajusta perfectamente a la distribución Lognormal y a la distribución Normal en menor medida, esto es muy frecuente, que una variable se ajuste a mas de una distribución teórica, pero se recomienda la que haga un mejor ajuste de los datos, en este caso el ProModel asigna una clasificación de mayor a menor ajuste tal como se puede apreciar en la figura 3.17. Los parámetros estimados de los datos son: media 5.09 y desviación estándar 2.77 (ver figura 3.35).

269


Figura 3.35  Variable: Tiempo de servicio en recepción: Con la ayuda del Stat::Fit se obtiene que esta variable se ajusta tanto a distribuciones continuas como discretas, tal como se puede apreciar en las siguientes figuras 3.36 y 3.37.

Figura 3.36

Figura 3.37

270


De las figuras anteriores se puede ver que esta variable se ajusta perfectamente a una distribución continua Normal con media de 4.12 y desviación estándar de 1.66. También se ajusta a una distribución discreta teórica Binomial, pero en este caso se tomará como la distribución para crear el modelo a la Normal.



Variable: Tipo de servicio

Esta variable sigue una distribución empírica discreta. 

Variable: Tiempo de servicio en enfermería

Esta variable se ajusta a una distribución de Poisson, con media de 5.97, tal como se puede ver en la siguiente figura 3.38.

Figura 3.38  Variable: Tiempo de atención de los médicos generales De acuerdo al Stat::Fit de ProModel ,esta variable se ajusta a la distribución Normal, con media 13.12 y desviación estándar 3.5 (ver figura 3.39).

271


Figura 3.39  Variable: Tiempo de atención del dentista Esta variable se ajusta también a una distribución Normal con media 31.9 y desviación estándar 7.2 tal como se puede apreciar en la siguiente figura 3.40:

Figura 3.40  Variable: Tiempo de atención en farmacia Esta variable se ajusta una distribución Binomial, con n= 3 y p =0.549 tal como se puede apreciar en la siguiente figura 3.41.

272


Figura 3.41  Variable: Tiempo de atención en urgencias Esta variable se ajusta a una distribución de Poisson con una media de 30.8, ver figura 3.42.

Figura 3.42 3.3

Resumen final de cada variable y la distribución a la cual se ajustaron.

En el siguiente cuadro 3.43 se muestra el resumen de las variables de entrada del modelo y la distribución a la cual se ajustaron considerando los estimadores de los parámetros para cada distribución.

273


Variable

Distribución

Estimadores

Tiempo entre llegadas de los pacientes

Lognormal

= 5.09, S = 2.77

Tiempo de atención en recepción

Normal

= 4.12, S = 1.66

Tipo de servicio solicitado

Empírica

Tiempo de servicio en enfermería

Poisson

Tiempo de atención de médicos generales

Normal

Tiempo de atención de dentista

Normal

Tiempo de atención en farmacia

Binomial

 = 5.97 = 13.12, S = 3.5 = 31.90, S = 7.2 = 3, = 0.549  = 30.80

Tiempo de atención en urgencias Poisson Cuadro 4.43

3.4

Generadores de Variables Aleatorias.

En lo referente a este punto, ya se hizo una explicación detallada en el capítulo 3 específicamente en el punto 3.4 de cómo se obtienen los generadores de las variables de entrada de acuerdo al tipo de distribución que sigan estas. Por lo tanto en este punto la intención es mostrar el generador ya determinado previamente para cada variable de acuerdo al método que corresponda 3.4.1 Determinación de los generadores para cada variable de entrada. Enseguida se mostrarán las fórmulas de los generadores de las variables de entrada:  Tiempo entre llegadas: Distribución continua Log Normal El generador de la distribución Lognormal es como se muestra a continuación:

=

−6 ∗

1+

+

+

Por lo tanto el generador específico para la variable tiempo entre llegadas sería:

274


=

−6 ∗

1+

2.77 5.09

+

5.09 5.09

+ 2.77

 Tiempo de atención en recepción: Distribución continua Normal La fórmula original de la distribución Normal es:

=

1 √2

Como es una distribución continua, se puede aplicar el método de la transformada inversa y el generador general sería:

= +

−6

Por lo tanto el generador específico para esta variable es:

= 4.12 +

− 6 1.66

 Tipo de servicio solicitado: Distribución empírica El generador para esta variable se obtiene con el método de Montecarlo y se muestra en la tabla 3.44: Tipo de Servicio Consulta General

Frecuencia Observada

Probabilidad Relativa

Acumulada

23

0.6765

0.6765

Dental

6

0.1765

0.8530

Urgencias

5

0.1470

1.0000

Total

34

1.0000 Tabla 4.44

Clases 0.0000 ≤ Ri ≤ 0.6765 0.6765 < Ri ≤ 0.8530 0.8530 < Ri ≤ 1.0000

275


 Tiempo de servicio en enfermería: Distribución discreta de Poisson,  = 5.97 En la siguiente tabla 4.45 se muestra el generador de la distribución de Poisson para el tiempo de servicio en enfermería:

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Probabilidad de Poisson (=5.97) 0.0026 0.0152 0.0455 0.0906 0.1352 0.1614 0.1606 0.1370 0.1022 0.0678 0.0405 0.0220 0.0109 0.0050 0.0021 0.0009 0.0003 0.0001 0.0000

Acumulada 0.0026 0.0178 0.0633 0.1539 0.2891 0.4505 0.6111 0.7481 0.8503 0.9181 0.9586 0.9806 0.9915 0.9965 0.9987 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 Tabla 4.45

Clases 0.0000 0.0026 0.0178 0.0633 0.1539 0.2891 0.4505 0.6111 0.7481 0.8503 0.9181 0.9586 0.9806 0.9915 0.9965 0.9987 0.9995 0.9998 0.9999

≤R≤
0.0026 0.0178 0.0633 0.1539 0.2891 0.4505 0.6111 0.7481 0.8503 0.9181 0.9586 0.9806 0.9915 0.9965 0.9987 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000

Nota: Recuérdese que en este generador se consideran valores incluso que no se hayan muestreado, esto por la razón de que ya que se tiene la certeza estadística que los datos siguen una distribución teórica.  Tiempo de atención de médicos generales: Distribución continua Normal

276


El generador específico para esta variable es:

= 13.12 +

− 6 3.5

 Tiempo de atención de dentista: Distribución continua normal El generador específico para esta variable es:

= 31.90 +

− 6 7.2

 Tiempo de atención en farmacia: Distribución discreta Binomial, = , = . En la siguiente tabla 4.46 se muestra el generador de esta distribución discreta teórica Binomial para el tiempo de atención en farmacia:

X 0 1 2 3

Probabilidad Binomial Acumulada (p = 0.549) 0.0917 0.0917 0.3350 0.4267 0.34078 0.8345 0.1655 1.0000 Tabla 4.46

Clases 0 0.0917 0.4267 0.8345

≤R≤
Nota: Este generador se realizó considerando 3 ensayos, el valor cero que se puede ver en la tabla es parte del tipo de experimento, ya que una distribución Binomial es una serie de experimentos de Bernoulli. De cualquier manera, el cero significa que dos personas llegaron al mismo tiempo. Esa puede ser la interpretación del tiempo entre llegadas cero. 

Tiempo de atención en urgencias: Distribución discreta Poisson,  = 30.80

En la siguiente tabla 4.47 se muestra el generador para esta variable discreta teórica de Poisson para el tiempo de atención en urgencias:

277

0.0917 0.4267 0.8345 1.0000


X

Probabilidad Poisson (=30.80)

Acumulada

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53

0.0001 0.0001 0.0003 0.0007 0.0013 0.0024 0.0041 0.0066 0.0102 0.0150 0.0209 0.0280 0.0360 0.0443 0.0525 0.0599 0.0659 0.0700 0.0719 0.0714 0.0687 0.0642 0.0581 0.0511 0.0438 0.0364 0.0295 0.0233 0.0180 0.0135 0.0099 0.0071 0.0050 0.0034 0.0023 0.0015 0.0010 0.0006 0.0004 0.0002 0.0001 0.0001

0.0001 0.0002 0.0005 0.0012 0.0026 0.0049 0.0090 0.0156 0.0258 0.0408 0.0618 0.0898 0.1258 0.1701 0.2227 0.2826 0.3485 0.4185 0.4904 0.5618 0.6306 0.6947 0.7528 0.8040 0.8477 0.8841 0.9137 0.9370 0.9549 0.9684 0.9783 0.9854 0.9904 0.9937 0.9960 0.9975 0.9985 0.9991 0.9994 0.9997 0.9999 1.0000

Clases 0.0000 0.0001 0.0002 0.0005 0.0012 0.0026 0.0049 0.0090 0.0156 0.0258 0.0408 0.0618 0.0898 0.1258 0.1701 0.2227 0.2826 0.3485 0.4185 0.4904 0.5618 0.6306 0.6947 0.7528 0.8040 0.8477 0.8841 0.9137 0.9370 0.9549 0.9684 0.9783 0.9854 0.9904 0.9937 0.9960 0.9975 0.9985 0.9991 0.9994 0.9997 0.9999

0.0001 0.0002 0.0005 0.0012 0.0026 0.0049 0.0090 0.0156 0.0258 0.0408 0.0618 0.0898 0.1258 0.1701 0.2227 0.2826 0.3485 0.4185 0.4904 0.5618 0.6306 0.6947 0.7528 0.8040 0.8477 0.8841 0.9137 0.9370 0.9549 0.9684 0.9783 0.9854 0.9904 0.9937 0.9960 0.9975 0.9985 0.9991 0.9994 0.9997 0.9999 1.0000

Tabla 4.47 Nota: Los valores generados dependen del número de dígitos considerados en el cálculo de la probabilidad, en este caso se consideran 4 dígitos de manera ilustrativa, pero en el software puede existir incluso mayor precisión al generar las variables.

278


Capítulo 4: Simulación y análisis del Sistema. 4.1 Redacción de las características del sistema a simular. Como se pudo observar en el punto 3.1 del capítulo 3, en el modelo conceptual existe una fila de entrada de los pacientes que llegan a una locación definida como recepción. El tiempo entre llegadas de los pacientes del turno vespertino es de acuerdo a una distribución Lognormal con = 5.09 y una S = 2.77 (tiempo en minutos), el tiempo de atención en esta etapa es de acuerdo una distribución Normal con = 4.12 y S = 1.66. Posteriormente se determina si el paciente acude a cualquiera de 3 servicios médicos generales que se han clasificado como: consulta general, dental y urgencias, estas se presentan con probabilidades de 67.65%, 17.65% 14.70 % respectivamente. Cuando se atiende a un paciente en cualquiera de los tres servicios médicos mencionados anteriormente, primeramente lo hace una enfermera en un tiempo que sigue una distribución discreta de Poisson con =5.97. Existen 2 enfermeras una para el área de consultas y otra para urgencias. Si el paciente acude con cualquiera de los dos médicos generales con que cuenta el Centro de Salud, el tiempo de atención sigue una distribución continua Normal con = 13.12 y una S = 3.5. De la misma manera el tiempo de atención del dentista es de acuerdo a una distribución Normal con = 31.90 y una S = 7.2. Si el paciente requiere una atención considerada de urgencia, esta la realiza cualquiera de los médicos generales en un tiempo que sigue una distribución discreta de Poisson con  = 30.80. Posteriormente el paciente acude a la farmacia para que le otorguen el medicamento que necesite, y esta operación consume un tiempo que sigue una distribución discreta Binomial con = 3 = 0.549 4.2 Etapa 5: Desarrollar el modelo en lenguaje específico de simulación (ProModel). Obviamente el objetivo de este punto es desarrollar el modelo en el software incluyendo la edición de las locaciones, atributos, estatutos necesarios, variables para cada tipo de servicio solicitado, así como realizar la lógica adecuada para que el modelo represente fielmente al sistema real. Se agregará el supuesto de que cada fila tiene una capacidad máxima de 10 personas para ayudar a tomar una decisión que optimice el sistema de acuerdo a la demanda de los servicios y la capacidad instalada. Se realizarán

279


30 corridas de tamaño 8 horas para el turno considerado (vespertino) del modelo.

4.2.1 Impresión del Lay-Out del modelo. En la siguiente figura 4.48, se muestra la distribución física de las locaciones que componen el modelo en ProModel.

Figura 4.48

280


4.2.2 Impresión del código fuente del modelo. En la siguiente tabla 4.49 se muestra el código fuente del modelo realizado. ************************************************************************ ******** * Formatted Listing of Model: * ************************************************************************ ******** Time Units: Minutes Distance Units: Meters ************************************************************************ ******** * Locations * ************************************************************************ ******** Name -----------------------------Fila_de_Entrada Recepción Fila_Atencion_a_Pacientes Enfermeras Enfermeras.1 Enfermeras.2 Medico_General Medico_General.1 Medico_General.2 Dentista Fila_Farmacia Farmacia Salida

Cap Units Stats Rules Cost --- ----- ----------- --------------- -----10 1 10 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1

1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1

Time Time Time Time Time Time Time Time Time Time Time Time Time

Series Series Series Series Series Series Series Series Series Series Series Series Series

Oldest, Oldest, Oldest, Oldest, Oldest, Oldest, Oldest, Oldest, Oldest, Oldest, Oldest, Oldest, Oldest,

FIFO, , FIFO, , First , , , First , , , FIFO, , ,

************************************************************************ ******** * Entities * ************************************************************************ ******** Name Speed (mpm) Stats Cost ---------- ------------ ----------- -----------Paciente 50 Time Series

281


282


******************************************************************************** * Attributes * ******************************************************************************** ID Type Classification ---------------- ------------ -------------Tipo_de_paciente Integer Entity ******************************************************************************** * Variables (global) * ******************************************************************************** ID Type Initial value Stats ----------------- ------------ ------------- ----------Consulta_General Integer 0 Time Series Dental Integer 0 Time Series Urgencia Integer 0 Time Series Pacientes_totales Integer 0 Time Series ******************************************************************************** * User Distributions * ******************************************************************************** ID Type Cumulative Percentage ------------------------- ------------ ------------ -----------Distribucion_Tipo_Usuario Discrete No 67.65 17.65 14.70

Value -----------1 2 3

Cuadro 4.49 4.2.3 Impresión del reporte de resultados de las corridas Enseguida se muestran las tablas con el reporte de salida de las 30 corridas ya promediadas: Locaciones: Reporte general

Tabla 4.50

283


De la tabla anterior se puede observar que el porcentaje de utilización en recepción es del 91%, las enfermeras en promedio es del 95.37%, los médicos generales es del 82.58%, el dentista es de 64.38% y solamente la persona que atiende en farmacia presenta el porcentaje más bajo con un 20.14%, lo que significa que tanto las enfermeras como los médicos generales están trabajando a un ritmo muy alto. Esto puede entenderse ya que estos atienden tanto consulta general como urgencias.

Locaciones: Reporte general de locaciones con múltiple capacidad

Tabla 4.51 Aquí se puede observar que tanto la fila de entrada como la fila de atención a pacientes están totalmente llenas el 18.37% y el 55.07%, esto significa que el personal con que se cuenta no es suficiente y en un momento dado más de diez personas hacen fila. Locaciones: Reporte general de locaciones con capacidad individual

Tabla 4.52

284


Esta tabla es muy importante ya que muestra que existe un cuello de botella debido a los porcentajes de bloqueo de la recepción (28.50%) y enfermeras (56.81%), esto significa que los médicos generales no trabajan a un ritmo equilibrado entre las llegadas de los pacientes y el tiempo que requieren atención, por esa razón tanto la recepción como las enfermeras no pueden continuar su trabajo hasta que los médicos terminen. Llegadas fallidas

Tabla 4.53 Aquí se observa que en promedio 11.6 pacientes no pueden entrar al sistema por la razón mencionada anteriormente. Actividad de la entidad en minutos

Tabla 4.54 Salieron en total 58 (promedio redondeado) pacientes del sistema, se quedaron actualmente en el sistema 25 al momento de terminar la simulación, el tiempo promedio en el sistema es de 108.02 minutos, en espera para ser atendidos esperan en promedio 55 minutos y el tiempo que son atendidos es en promedio 31.17 minutos. Si se agrega el tiempo que el paciente permanece bloqueado más el tiempo de espera: 55 + 21.04 = 76.04 minutos de demora total. Actividad de la entidad en minutos (continuación)

Tabla 4.55

285


Actividad de la entidad en porcentaje

Tabla 4.56 En total el paciente está en espera el 49.71% del tiempo, bloqueado el 19.54% y en atención solamente el 29.98% del tiempo. Variables

Tabla 4.57 Aquí se puede observar que a consulta general en promedio llegan aproximadamente 50 pacientes, a dental 13 y a urgencias 10 en el turno vespertino del Centro de Salud. 4.3

Etapa 6: Conducción de experimentos alternativas. 4.3.1 Especificar las alternativas a considerar.

y

evaluación

de

En este caso se puede considerar como una alternativa la contratación de 1 médico general más y ver que tanto mejora la atención a los pacientes. No se considera la contratación de otra enfermera ya que estas están bloqueadas por los médicos generales. 4.3.2 Impresión del Lay-Out de las alternativas. Se considera un médico general adicional.

286


Figura 4.58 4.3.3 Impresión del código fuente de las alternativas. En este caso lo único que cambia del modelo es la cantidad de médicos generales que se encuentran en las locaciones por lo que se mostrará solamente esa parte del código fuente. ************************************************************************ ******** * Locations * ************************************************************************ ******** Name Cap Units Stats Rules Cost ------------------------- --- ----- ----------- --------------- ----------Fila_de_Entrada 10 1 Time Series Oldest, FIFO, Recepción 1 1 Time Series Oldest, , Fila_Atencion_a_Pacientes 10 1 Time Series Oldest, FIFO, Enfermeras 1 2 Time Series Oldest, , First Enfermeras.1 1 1 Time Series Oldest, , Enfermeras.2 1 1 Time Series Oldest, , Medico_General 1 3 Time Series Oldest, , First Medico_General.1 1 1 Time Series Oldest, , Medico_General.2 1 1 Time Series Oldest, , Medico_General.3 1 1 Time Series Oldest, , Dentista 1 1 Time Series Oldest, , Fila_Farmacia 10 1 Time Series Oldest, FIFO, Farmacia 1 1 Time Series Oldest, , Salida 1 1 Time Series Oldest, ,

Cuadro 4.59

287


4.4 Etapa 7: Análisis de resultados. 4.4.1 Realizar un resumen de las alternativas evaluadas basadas en los reportes de salida. En las siguientes tablas se muestra el reporte de salida de la alternativa considerada: Contratar un médico general adicional: Locaciones: Reporte general

Tabla 4.60 De la tabla anterior se puede observar que el porcentaje de utilización en recepción bajó del 91% al 84.95%, las enfermeras bajaron su porcentaje de utilización de 95.37% al 90.56%, para los médicos generales bajó del 82.58% al 72.93%, tanto el dentista como la persona de farmacia incrementaron su porcentaje de utilización de 64.38% a 73.35% y del 20.14% al 26.15%, respectivamente, lo que significa que tanto las enfermeras como los médicos generales están trabajando a un ritmo más equilibrado (bajó ligeramente su porcentaje de utilización) con la incursión del médico adicional. El porcentaje tanto del dentista como la persona de farmacia aumentaron ya que el sistema incrementó su productividad.

288


Locaciones: Reporte general de locaciones con múltiple capacidad

Tabla 4.61 Aquí se puede observar que tanto la fila de entrada como la fila de atención a pacientes están totalmente llenas el 2.42% y el 20.45%, esto es significativamente menor que el sistema actual que es del 18.37% y el 55.07%, respectivamente. Locaciones: Reporte general de locaciones con capacidad individual

Tabla 4.62 Esta tabla muestra que todavía existe un cuello de botella, pero los porcentajes bajaron: en recepción es de 8.81% (anteriormente era 28.50%) y enfermeras 41.39% (anteriormente era de 56.81%), esto significa que los médicos generales trabajan a un ritmo más equilibrado entre las llegadas de los pacientes y el tiempo que requieren atención.

289


Llegadas fallidas

Tabla 4.63 Las llegadas fallidas bajaron de 11.60 a 1.60 con la alternativa considerada.

Actividad de la entidad en minutos

Tabla 4.64 En esta tabla se puede apreciar de mejor manera el impacto positivo de la contratación de un médico más para el Centro de salud, el tiempo en el sistema bajo de 108.02 a 69.46 minutos, el tiempo de espera cayó de 55 a 25.22 minutos y el tiempo de operación prácticamente no sufrió cambio de 31.17 a 30.98 minutos. Actividad de la entidad en porcentaje

Tabla 4.65 Esta tabla solo refuerza la anterior en términos porcentuales.

290


Variables

Tabla 4.66 Aquí se puede ver que se incrementó la atención a los pacientes que van a consulta general de 50 a 61 (que es dónde se tiene el impacto más fuerte) los pacientes que van a consulta con el dentista se incrementó de 13 a 14 y urgencias se incrementó de 10 a 13 en el turno vespertino del Centro de Salud.

4.5 Etapa 8: Recomendaciones finales. 4.5.1 Realizar las recomendaciones pertinentes Se recomienda gestionar la contratación de un médico general adicional para que el Centro de Salud ofrezca un servicio más eficiente con más calidad y a su vez se incremente la productividad del sistema considerado. 4.5.2 Conclusión de los objetivos planteados. Con base en los objetivos específicos, se puede decir que se cumplieron ampliamente ya que en los reportes de salida se consideraron todos estos y otras medidas estadísticas adicionales que apoyaron fuertemente en la recomendación hecha anteriormente. Por su parte en el objetivo general, en el cual se planteó desarrollar un modelo de simulación para el Centro de Salud Rural de Cuauhtémoc, Colima, específicamente en las áreas de enfermería, medicina y farmacia, se concluye que efectivamente se realizó este con éxito el cual se pudo correr y analizar adecuadamente para proponer alguna alternativa de mejora que lo hiciera más eficiente y productivo.

291


292

Anexos

Tablas de distribuciones de probabilidad

Generadores para distribuciones de probabilidad en ProModel

Probabilidades de la Distribución Normal Estándar

Zα

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90

0.0000 0.0398 0.0793 0.1179 0.1554 0.1915 0.2258 0.2580 0.2881 0.3159 0.3413 0.3643 0.3849 0.4032 0.4192 0.4332 0.4452 0.4554 0.4641 0.4713 0.4773 0.4821 0.4861 0.4893 0.4918 0.4938 0.4953 0.4965 0.4974 0.4981 0.4987 0.4990 0.4993 0.4995 0.4997 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.5000

0.0040 0.0438 0.0832 0.1217 0.1591 0.1950 0.2291 0.2612 0.2910 0.3186 0.3438 0.3665 0.3869 0.4049 0.4207 0.4345 0.4463 0.4564 0.4649 0.4719 0.4778 0.4826 0.4865 0.4896 0.4920 0.4940 0.4955 0.4966 0.4975 0.4982 0.4987 0.4991 0.4993 0.4995 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000

0.0080 0.0478 0.0871 0.1255 0.1628 0.1985 0.2324 0.2642 0.2939 0.3212 0.3461 0.3686 0.3888 0.4066 0.4222 0.4357 0.4474 0.4573 0.4656 0.4726 0.4783 0.4830 0.4868 0.4898 0.4922 0.4941 0.4956 0.4967 0.4976 0.4983 0.4987 0.4991 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000

0.0120 0.0517 0.0910 0.1293 0.1664 0.2019 0.2357 0.2673 0.2967 0.3238 0.3485 0.3708 0.3907 0.4082 0.4236 0.4370 0.4485 0.4582 0.4664 0.4732 0.4788 0.4834 0.4871 0.4901 0.4925 0.4943 0.4957 0.4968 0.4977 0.4983 0.4988 0.4991 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000

0.0160 0.0557 0.0948 0.1331 0.1700 0.2054 0.2389 0.2704 0.2996 0.3264 0.3508 0.3729 0.3925 0.4099 0.4251 0.4382 0.4495 0.4591 0.4671 0.4738 0.4793 0.4838 0.4875 0.4904 0.4927 0.4945 0.4959 0.4969 0.4977 0.4984 0.4988 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000

0.0199 0.0596 0.0987 0.1368 0.1736 0.2088 0.2422 0.2734 0.3023 0.3289 0.3531 0.3749 0.3944 0.4115 0.4265 0.4394 0.4505 0.4599 0.4678 0.4744 0.4798 0.4842 0.4878 0.4906 0.4929 0.4946 0.4960 0.4970 0.4978 0.4984 0.4989 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000

0.0239 0.0636 0.1026 0.1406 0.1772 0.2123 0.2454 0.2764 0.3051 0.3315 0.3554 0.3770 0.3962 0.4131 0.4279 0.4406 0.4515 0.4608 0.4686 0.4750 0.4803 0.4846 0.4881 0.4909 0.4931 0.4948 0.4961 0.4971 0.4979 0.4985 0.4989 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000

0.0279 0.0675 0.1064 0.1443 0.1808 0.2157 0.2486 0.2794 0.3079 0.3340 0.3577 0.3790 0.3980 0.4147 0.4292 0.4418 0.4525 0.4616 0.4693 0.4756 0.4808 0.4850 0.4884 0.4911 0.4932 0.4949 0.4962 0.4972 0.4980 0.4985 0.4989 0.4992 0.4995 0.4996 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.5000 0.5000

0.0319 0.0714 0.1103 0.1480 0.1844 0.2190 0.2518 0.2823 0.3106 0.3365 0.3599 0.3810 0.3997 0.4162 0.4306 0.4430 0.4535 0.4625 0.4700 0.4762 0.4812 0.4854 0.4887 0.4913 0.4934 0.4951 0.4963 0.4973 0.4980 0.4986 0.4990 0.4993 0.4995 0.4996 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.5000 0.5000

0.0359 0.0754 0.1141 0.1517 0.1879 0.2224 0.2549 0.2852 0.3133 0.3389 0.3621 0.3830 0.4015 0.4177 0.4319 0.4441 0.4545 0.4633 0.4706 0.4767 0.4817 0.4857 0.4890 0.4916 0.4936 0.4952 0.4964 0.4974 0.4981 0.4986 0.4990 0.4993 0.4995 0.4997 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.5000 0.5000

Fuente: Valores calculados con Excel.

295

Valores críticos para la Distribución X2

ν grados de . . . libertad 2.706 3.841 5.024 1 4.605 5.991 7.378 2 6.251 7.815 9.348 3 7.779 9.488 11.143 4 9.236 11.070 12.833 5 10.645 12.592 14.449 6 12.017 14.067 16.013 7 13.362 15.507 17.535 8 14.684 16.919 19.023 9 15.987 18.307 20.483 10 17.275 19.675 21.920 11 18.549 21.026 23.337 12 19.812 22.362 24.736 13 21.064 23.685 26.119 14 22.307 24.996 27.488 15 23.542 26.296 28.845 16 24.769 27.587 30.191 17 25.989 28.869 31.526 18 27.204 30.144 32.852 19 28.412 31.410 34.170 20 29.615 32.671 35.479 21 30.813 33.924 36.781 22 32.007 35.172 38.076 23 33.196 36.415 39.364 24 34.382 37.652 40.646 25 35.563 38.885 41.923 26 36.741 40.113 43.195 27 37.916 41.337 44.461 28 39.087 42.557 45.722 29 40.256 43.773 46.979 30 Fuente: Valores calculados con Excel.

296

.

.

.

6.635 9.210 11.345 13.277 15.086 16.812 18.475 20.090 21.666 23.209 24.725 26.217 27.688 29.141 30.578 32.000 33.409 34.805 36.191 37.566 38.932 40.289 41.638 42.980 44.314 45.642 46.963 48.278 49.588 50.892

7.879 10.597 12.838 14.860 16.750 18.548 20.278 21.955 23.589 25.188 26.757 28.300 29.819 31.319 32.801 34.267 35.718 37.156 38.582 39.997 41.401 42.796 44.181 45.559 46.928 48.290 49.645 50.993 52.336 53.672

10.828 13.816 16.266 18.467 20.515 22.458 24.322 26.124 27.877 29.588 31.264 32.909 34.528 36.123 37.697 39.252 40.790 42.312 43.820 45.315 46.797 48.268 49.728 51.179 52.620 54.052 55.476 56.892 58.301 59.703

Valores críticos de la prueba de Kolmogorov-Smirnov

ν grados de libertad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 Para valores mayores a 35

D α=0.10

D α=0.05

D α=0.01

0.950 0.776 0.642 0.564 0.510 0.470 0.438 0.411 0.388 0.368 0.352 0.338 0.325 0.314 0.304 0.295 0.286 0.278 0.272 0.264 0.250 0.220 0.210

0.975 0.842 0.708 0.624 0.565 0.521 0.486 0.457 0.432 0.410 0.391 0.375 0.361 0.349 0.338 0.328 0.318 0.309 0.301 0.294 0.270 0.240 0.230

0.995 0.929 0.828 0.733 0.669 0.618 0.577 0.543 0.514 0.490 0.468 0.450 0.433 0.418 0.404 0.392 0.381 0.371 0.363 0.356 0.320 0.290 0.270

.

.

.

√

√

√

Fuente: Massey, F.J. The Kolmogorov-Smirnov Test for Goodness of Fit, The Journal of the American Statistical Association, vol. 46, pp.70 (1951).

297

Generadores para distribuciones de probabilidad en ProModel Las siguientes expresiones se muestran como se codifican distribuciones teóricas de probabilidad en el software ProModel.

las

Distribución

Sintaxis

Componentes Individuales

Beta

B(a,b,c,d)

a=Valor real de forma 1, b=Valor real de forma 2, c= Límite inferior, d= Límite superior

Binomial

BI(a,b)

a=Tamaño del lote, b=probabilidad de éxito

Erlang

ER(a,b)

a=Media, b= Parámetro

Exponencial

E(a)

a=Media

Gamma

G(a,b)

a=Valor real de forma, b=Valor de escala

Geométrica

GEO(a)

a=Probabilidad de éxito

Inversa Gaussiana

IG(a,b)

a=Valor de la forma, b=Valor de escala

Lognormal

L(a,b)

a=Media, b=Desviación estándar

Normal

N(a,b)

a=Media, b=Desviación estándar

Pearson5

P5(a,b)

a=Valor de la forma, b=Valor de escala

Pearson6

P6(a,b,c)

a=Valor de la forma 1, b=Valor de la forma 2, c=Valor de escala

Poisson

P(a)

a= Media

Triangular

T(a,b,c)

a=Mínimo, b=Moda, c=Máximo

Uniforme

U(a,b)

a=Media, b=Rango medio,

Weibull

W(a,b)

a=Valor de forma, b=Valor de escala

Fuente: ProModel 7.0 versión estudiantil

298

Bibliografía

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299

Libro Simulacion JCZ Corregido

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