Libro de Simulacion de Yacimientos

SIMULACION DE YACIMIENTOS: Principios, Conceptos y Construcción de Mallas

Autores:

JAIRO ANTONIO SEPULVEDA GAONA, MSc., y FREDDY HUMBERTO ESCOBAR MACUALO, Ph.D.

Simulación de Yacimientos: Principios, Conceptos y Construcción de Mallas

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DEDICATORIAS

A mi esposa Sandra Elena, a mis hijos Jairo Hernán y María José, y a mis padres Tobías y Gabriela Jairo

A mi esposa Matilde, a mis hijos Jennifer Andrea y Freddy Alonso, y a mis padres Sotero (QEPD) y Delfina (QEPD) Freddy

Jairo Antonio Sepúlveda, MSc. y Freddy Humberto Escobar, Ph.D.


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INTRODUCCION Simulación de Yacimientos es un texto universitario dirigido a estudiantes de pregrado y postgrado en Ingeniería de Petróleos que reune las experiencias y los conocimientos que los autores han adquirido a lo largo de sus carreras docentes y de sus estudios de postgrado. El texto, dirigido a estudiantes de pregrado y posgrado en Ingeniería de Petróleos, consta de quince unidades que tratan de resaltar los aspectos más importantes de la Simulación de Yacimientos, una ciencia que se encuentra en su mayor auge, dada la necesidad de describir lo más exactamente posible el comportamiento de un yacimiento de hidrocarburos. Se presentan los conceptos fundamentales de matemáticas, física e ingeniería de yacimientos requeridos para desarrollar un simulador de un yacimiento al igual que la metodología para llevar a cabo un estudio de simulación de yacimientos numérica y analíticamente. El texto menciona algunos conceptos modernos considerados en la actualidad en el área, relacionados principalmente con los métodos de construcción de mallas. Las primeras cinco unidades dan la clasificación de los simuladores, tipo de modelos, enmallado, errores en la información requerida para un estudio de simulación, ajuste histórico y efectos de orientación de la malla. Las unidades seis, siete y ocho dan los conceptos fundamentales y las bases matemáticas de la ecuación de difusividad, clasificación de las ecuaciones en diferencias y problemas de valores de frontera. De la unidad nueve a la quince, se estudia el tratamiento numérico de las ecuaciones de flujo al igual que los esquemas que se han introducido en la literatura para resolver más eficientemente los problemas de flujo en el medio poroso. Allí se consideran los métodos para resolver las ecuaciones algebraicas resultantes de la aplicación de las diferencias finitas.



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CONTENIDO CONTENIDO......................................................................................................................... 4 UNIDAD 1 ............................................................................................................................. 9 INTRODUCCION.................................................................................................................. 9 1.1. ANTECEDENTES .......................................................................................................... 9 1.2. DEFINICION ................................................................................................................ 10 1.3. BREVE HISTORIA DE LA SIMULACION................................................................ 10 1.4. ASPECTOS GENERALES........................................................................................... 12 1.4.1. Definición y Objetivos ............................................................................................... 12 1.4.2. Utilidad de la Simulación ........................................................................................... 13 1.4.3. Ajuste de Simulador con la Historia del Yacimiento ................................................. 13 1.4.4. Resultados de una Simulación.................................................................................... 14 1.5. ETAPAS PARA DESARROLLAR UN MODELO ..................................................... 14 1.6. COMO TRABAJA UN MODELO ............................................................................... 15 UNIDAD 2 ........................................................................................................................... 18 INFORMACIÓN REQUERIDA PARA UTILIZAR UN SIMULADOR ........................... 18 2.1. INTRODUCCIÓN......................................................................................................... 18 2.2. DESCRIPCIÓN FÍSICA DEL YACIMIENTO ............................................................ 18 2.3. MECANISMOS DE DESPLAZAMIENTO ................................................................. 19 2.4. PROPIEDADES PETROFÍSICAS ............................................................................... 19 2.5. PROPIEDADES PVT DE LOS FLUIDOS................................................................... 20 2.6. INFORMACION ADICIONAL.................................................................................... 20 2.6.1. Datos de Producción y de Relación de Flujo............................................................. 20 2.6.2. Estado Mecánico de los Pozos ................................................................................... 21 2.6.3. Aspecto Económico.................................................................................................... 22 2.6.4. Mapas ......................................................................................................................... 23 2.7. PERMEABILIDADES RELATIVAS........................................................................... 23 2.7.1. Obtención de Permeabilidades Relativas ................................................................... 24 2.8. INTRODUCCION DE LOS DATOS AL SIMULADOR ............................................ 24 2.8.1. Representación Polinomial ......................................................................................... 24 2.8.2. Tablas de Valores ....................................................................................................... 26 UNIDAD 3 ........................................................................................................................... 29 CLASIFICACION DE LOS SIMULADORES ................................................................... 29 3.1. INTRODUCCION......................................................................................................... 29 3.2. TIPO DE YACIMIENTO.............................................................................................. 30 3.3. APROXIMACIONES TRADICIONALES DE MODELAMIENTO .......................... 31 3.3.1. Métodos analógicos .................................................................................................... 31 3.3.2. Métodos experimentales ............................................................................................. 31 3.3.2.1. Modelos análogos .................................................................................................... 31 3.3.2.2. Modelos físicos........................................................................................................ 31 3.3.3. Métodos matemáticos ................................................................................................. 32



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3.4. NIVEL DE SIMULACION........................................................................................... 32 3.5. SIMULADOR ............................................................................................................... 32 3.5.1. Simulador de gas ........................................................................................................ 33 3.5.2. Simulador geotérmico ................................................................................................ 33 3.5.3. Simulador de aceite negro .......................................................................................... 33 3.5.4. Simulador de recuperación química ........................................................................... 34 3.5.5. Simulador de recuperación con miscibles .................................................................. 34 3.5.6. Simulador de recuperación térmica ............................................................................ 34 3.6. TIPO DE FLUIDO DEL YACIMIENTO ..................................................................... 35 3.6.1. Simulador monofásico................................................................................................ 35 3.6.2. Simulador bifásico...................................................................................................... 35 3.6.3. Simulador trifásico ..................................................................................................... 36 3.6.4. Simulador composicional ........................................................................................... 36 3.7. NUMERO DE DIMENSIONES ................................................................................... 36 3.7.1. Simulador de cero dimensiones.................................................................................. 37 3.7.2. Simulador de una dimensión ...................................................................................... 38 3.7.3. Simulador de dos dimensiones ................................................................................... 39 3.7.2.1. Simulador Areal....................................................................................................... 41 3.7.3.2. Simulador de sección transversal ............................................................................ 41 3.7.2.3. Simulador de dos dimensiones en forma radial....................................................... 41 3.7.4. Modelo de tres dimensiones ....................................................................................... 41 3.8. GEOMETRIA................................................................................................................ 42 3.9. ENMALLADO MODERNO......................................................................................... 43 3.10. USO DE LA CLASIFICACION ................................................................................. 43 UNIDAD 4 ........................................................................................................................... 47 EXACTITUD DE LAS SOLUCIONES .............................................................................. 47 4.1. ERROR DE REDONDEO............................................................................................. 48 4.2. ERROR DE BALANCE DE MATERIA (EBM)........................................................... 49 4.3. ERRORES NO LINEALES........................................................................................... 50 4.4. ERROR DE INESTABILIDAD .................................................................................... 50 4.5. ERRORES DE TRUNCAMIENTO .............................................................................. 51 4.6. DISPERSIÓN NUMÉRICA......................................................................................... 52 4.7. PROBLEMAS DE ORIENTACIÓN DE LA MALLA.................................................. 57 UNIDAD 5 ........................................................................................................................... 60 AJUSTE HISTORICO ......................................................................................................... 60 5.1. INTRODUCCIÓN........................................................................................................ 60 5.2. COMPARACIÓN DE LA PRESIÓN DEL SIMULADOR CON LOS DATOS DE PRESIÓN DE RESTAURACIÓN ....................................................................................... 60 5.3. PRESIÓN DE AJUSTE HISTÓRICO ......................................................................... 63 5.4. PRONÓSTICO DEL COMPORTAMIENTO ............................................................... 69 UNIDAD 6 ........................................................................................................................... 70 PRINCIPIOS BÁSICOS ...................................................................................................... 70 6.1. INTRODUCCIÓN......................................................................................................... 70 6.2. TIPOS DE ENERGÍA EN EL FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS ........ 70 6.2.1. Energía gravitacional.................................................................................................. 71



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6.2.2. Energía de Presión ...................................................................................................... 71 6.3. POTENCIAL DE FLUJO, Φ......................................................................................... 73 6.3.1. Potencial de flujo para líquidos y para gases.............................................................. 74 6.3.2. El Potencial para Columnas de Líquidos y Gases ...................................................... 76 6.4. NOTACIÓN VECTORIAL ............................................................................................ 78 6.5. LEY DE DARCY .......................................................................................................... 80 6.5.2. Ley General de Darcy (Anisotropía) ............................................................................ 81 6.5.3. Flujo Multifásico ......................................................................................................... 82 6.6. EFECTOS DE LA PRESION CAPILAR ....................................................................... 83 6.7. FUERZAS DE FLUJO EN EL YACIMIENTO ............................................................. 85 6.8. ECUACION DE CONTINUIDAD ............................................................................... 86 6.9. REGLA DE LA CADENA ........................................................................................... 88 6.10. LINEALIDAD............................................................................................................. 88 6.11. ECUACION DE DIFUSIVIDAD ............................................................................... 89 6.12. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN ............................................................................................................ 92 6.13. COMPARACION DE LA ECUACION DE DARCY CON LA ECUACION DE CALOR................................................................................................................................. 92 6.14. PROBLEMAS CON VALOR EN LAS FRONTERAS.............................................. 94 6.14.1. Sistema Radial Infinito (Rata constante).................................................................. 94 6.14.2. Sistema Radial Cerrado (Rata constante, estado pseudoestable) ............................. 96 6.14.3. Sistema Lineal Infinito (rata constante). .................................................................. 99 6.14.4. Sistema Lineal Cerrado (Rata constante, estado pseudoestable)............................ 100 6.14.5. Sistema Lineal Transitorio. .................................................................................... 102 6.14.6. Sistema Lineal Transitorio (Frontera izquierda cerrada)........................................ 104 UNIDAD 7 ......................................................................................................................... 106 ECUACIONES FUNDAMENTALES............................................................................... 106 7.1. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD ............................................................................. 106 7.2. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD ............................................................................... 107 7.3. CLASIFICACIÓN DE LOS FLUIDOS SEGÚN SU COMPRESIBILIDAD ............ 108 7.4. ECUACIONES DE ESTADO..................................................................................... 108 7.4.1. Ecuación de Estado para Fluido Incompresible ....................................................... 109 7.4.2. Ecuación de Estado para Fluido Ligeramente Compresible..................................... 109 7.4.3. Ecuaciones de Estado para Fluidos Compresibles ................................................... 110 7.5. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD PARA DIFERENTES TIPOS DE FLUIDOS ...... 111 7.5.1. Ecuación de Difusividad para Fluido Incompresible ............................................... 111 7.5.2. Ecuación de Difusividad para Fluidos Ligeramente Compresibles ......................... 112 7.5.3. Ecuación de Difusividad para un Gas Real .............................................................. 114 7.6. CONDICION INICIAL Y CONDICIONES DE FRONTERA .................................. 116 UNIDAD 8 ......................................................................................................................... 119 ECUACIÓN DE FLUJO PARA DOS O MÁS FASES ..................................................... 119 8.1. INTRODUCCION....................................................................................................... 119 8.2. FLUJO DE FLUIDOS SIN CAMBIO DE FASES ..................................................... 120 8.3. ECUACIONES DE FLUJO MULTIFASICO COMPOSICIONAL........................... 121 8.3.1. Ecuación De Continuidad Del Componente I ......................................................... 122



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8.4. MODELO COMPOSICIONAL SIMPLIFICADO ..................................................... 127 8.4.1. Modelo de Aceite Negro o Fluidos tipo β .............................................................. 127 8.4.2. Ecuaciones de Flujo de Fluidos Tipo Beta (β) ......................................................... 127 UNIDAD 9 ......................................................................................................................... 137 MODELO NUMÉRICO UTILIZANDO DIFERENCIAS FINITAS ................................ 137 9.1. INTRODUCCION....................................................................................................... 137 9.2. ECUACIONES DEL SIMULADOR .......................................................................... 137 9.3. PROCESO DE DISCRETIZACION........................................................................... 138 9.4. POLINOMIO DE TAYLOR GENERADO POR UNA FUNCION ........................... 139 9.5. DIFERENCIAS FINITAS........................................................................................... 140 9.5.1. Aproximaciones a la primera derivada..................................................................... 141 9.5.2 Aproximaciones a la segunda derivada ..................................................................... 145 9.5.3 Aproximación de términos no - lineales................................................................... 146 UNIDAD 10 ....................................................................................................................... 149 ESQUEMA DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE FLUJO (LINEALES) .......... 149 10.1 ESQUEMA DE SOLUCION EXPLICITO.............................................................. 149 10.2. ESQUEMA DE SOLUCION IMPLICITO .............................................................. 150 10.3. ESQUEMA DE CRANK - NICHOLSON ................................................................ 154 10.4 EL CONCEPTO DE TRANSMISIBILIDAD EN LOS ESQUEMAS DE SOLUCION ........................................................................................................................ 154 UNIDAD 11 ....................................................................................................................... 161 APROXIMACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS DE LAS ECUACIONES DE FLUJO DE UN SOLO FLUIDO ..................................................................................................... 161 11.1. PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES................................................................... 161 11.2. ACOPLAMIENTO DE LAS CONDICIONES DE FRONTERA EN LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS ................................................................................. 163 UNIDAD 12........................................................................................................................ 166 CONCEPTOS RELACIONADOS CON EL MODELO NUMERICO ............................. 166 12.1. ERRORES ................................................................................................................. 166 12.2. ESTABILIDAD......................................................................................................... 166 12.2.1. Análisis de Von Newmann ................................................................................... 167 12.3. CONVERGENCIA.................................................................................................... 170 12.4. SISTEMA DE CUADRICULA DE LA MALLA..................................................... 170 12.5. FLUJO MONOFASICO............................................................................................ 171 12.5.1. Flujo en Serie (Discontinuidad Vertical)................................................................ 171 12.5.2. Flujo en Paralelo (Sistema Estratificado) ............................................................... 173 12.5.3. Funciones de Presión: f(p) ....................................................................................... 175 UNIDAD 13 ....................................................................................................................... 176 TIPOS DE MALLAS ......................................................................................................... 176 13.1. MALLA DE NODOS DISTRIBUIDOS (CARTESIANAS).................................... 176 13.2. MALLA DE BLOQUES CENTRADOS (CARTESIANAS) ................................... 177 13.3. MALLAS NO- UNIFORMES (COORDENADAS CILINDRICAS, FLUJO RADIAL)............................................................................................................................ 178 13.3.2. Malla de Bloques Centrados: (Radial).................................................................... 183



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UNIDAD 14 ....................................................................................................................... 185 SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS................................ 185 14.1. INTRODUCCION..................................................................................................... 185 14.2. METODOS DIRECTOS EN LA SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS ................................................................................................................ 186 14.2.1. Inversión de Matriz................................................................................................. 186 14.2.2. Regla de Cramer ..................................................................................................... 186 14.2.3. Método de Eliminación de Gauss: ∆Sup. ................................................................. 187 14.2.4. Método de Gauss – Jordan ..................................................................................... 190 14.2.4.1. Errores en el Método de Gauss – Jordan ............................................................. 191 14.2.5. Descomposición Matricial...................................................................................... 191 14.3. METODOS ITERATIVOS EN LA SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS ................................................................................................................ 192 14.3.1. Método de Jacobi.................................................................................................... 193 14.2.1.1. Convergencia del método de Jacobi .................................................................... 197 14.2.2. Método de Gauss - Seidel....................................................................................... 197 14.2.3. Método de Relajación............................................................................................. 199 14.3. ORDENAMIENTO DE LAS ECUACIONES (NUMERACION DE BLOQUES) . 201 14.5. METODOS DE DIRECCIÓN ALTERNANTE Y METODOS AFINES ................ 208 14.5.1. ADIP (Alternating Direction Implicit Procedure) – Método de Peaceman y Rachford ............................................................................................................................. 208 14.6. SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO - LINEALES: ..................... 216 14.5.1. Caso 1: Funciones de una sola Variable................................................................. 216 14.5.2 Caso II: Dos ecuaciones no-lineales con dos Incógnitas......................................... 218 14.6.3. Newton - Raphson para la Solución de Sistemas de Ecuaciones No Lineales....... 219 14.5.3.1 Flujo Unidimensional de un Fluido: 1F - 1D. Ecuación en Diferencias Finitas .. 221 14.6.3.2 Métodos de Linealización..................................................................................... 231 14.7. ALGORITMO DE THOMAS ................................................................................... 233 14.8. ECUACION DE BALANCE DE MATERIA: EBM ................................................ 237 UNIDAD 15 ....................................................................................................................... 239 CAUDALES Y PRESIONES DE POZOS......................................................................... 239 15.1. ECUACIONES PARA POZO.................................................................................. 239 15.2. ECUACIONES DE PEACEMAN.............................................................................. 239 15.2.1. Caida de presión (Drawdown) Implícito .................................................................. 240 15.2.2. Caudal Especificado................................................................................................. 241 15.2.3. Pwf Especificada ...................................................................................................... 241 15.3. COMPARACIÓN DE PRESIONES SIMULADAS CON DATOS DE RESTAURACION DE PRESION ...................................................................................... 241 NOMENCLATURA........................................................................................................... 245 SUBÍNDICES Y SUPERÍNDICES ................................................................................... 246 BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................ 248



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UNIDAD 1 INTRODUCCION 1.1. ANTECEDENTES La explosión electrónica en las últimas dos décadas ha transformado la simulación de yacimientos de algo inaccesible y oculto en una herramienta muy importante que, entre muchas cosas, le permite al ingeniero tener un mejor entendimiento de la dinámica del flujo de fluidos en yacimientos muy complejos y las características de la dinámica del flujo de fluidos en cercanías al pozo, la interacción del pozo (horizontal, vertical o desviado) con el yacimiento, el modelamiento adecuado de las estructuras geológicas, fallas y pinchamientos y la complejidad de la caracterización del yacimiento. Los simuladores numéricos de yacimientos se usan muy ampliamente ya que permiten resolver problemas que no se pueden resolver por otros medios. Aunque recientemente la aplicación de métodos semianalíticos, como el de las líneas de flujo (streamlines) han tomado auge, especialmente para simular yacimientos estratigráficamente complejos. Su versatilidad se debe a que utilizan menor esfuerzo de cómputo, fundamentalmente radica en el desacoplamiento del problema de flujo de fluidos de 3D a 1D. El potencial de la simulación arrancó a finales de los 40’s. El compromiso era aunar esfuerzos en el análisis numérico y el desarrollo de métodos prácticos de cálculo. Inicialmente, los primeros simuladores fueron lo suficientemente grandes para justificar estudios costosos y la necesidad de contar con un comportamiento detallado a mediano o largo plazo. Esto, por supuesto, convirtió la simulación en una herramienta indispensable en el manejo de los yacimientos. Anteriormente para calcular la recuperación de hidrocarburos, por ejemplo, se utilizaban métodos de balance de materia como los de Schilthuis, Tarner, Muskat, Pirson y Tracy en los cuales se considera al yacimiento como un tanque con propiedades promedio, tanto de presión como de propiedades petrofísicas y PVT de los fluidos. Sin embargo, esta suposición de homogeneidad a lo largo de todo el yacimiento, aunque se ha demostrado que puede ser valida, muchas veces no existe, por lo cual se pensó en dividir el yacimiento en una serie de bloques o celdas, asignándole a cada una de ellas propiedades promedio y aplicar la ecuación de balance de materia para cada bloque, acoplado a la ecuación de Darcy que es una ecuación de flujo que permite determinar la interacción entre los bloques. A ésto, es decir, el dividir el yacimiento en una serie de bloques para su estudio se le conoce en forma general como simulación y los aspectos nuevos que presenta es que, como



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puede fácilmente suponerse, se requiere de una gran cantidad de cálculos (hay que utilizar balance de materia en cada bloque) por lo que se hace indispensable el uso de una computadora para llevarlos a cabo. Lógicamente el primer problema que surge es obtener la información necesaria para cada bloque, lo cual se desconoce y una vez estimado continúa tendiendo cierto grado de incertidumbre. Sin embargo, suponiendo que se pueda conseguir dicha información, sin lugar a dudas, esta es la mejor manera de llevar a cabo el estudio de un yacimiento cuando éste no es homogéneo. Con ello no se quiere decir que esto sea lo mejor o deba de aplicarse indistintamente a cualquier problema, pues la experiencia ha demostrado que el método de balance de materia simplificado, bien aplicado, en determinados casos puede proporcionar resultados acertados y económicos. Actualmente, la disponibilidad de computadores y el enorme progreso que ellos han venido teniendo recientemente, hace de la simulación un instrumento práctico en la toma de decisiones y planeación durante la vida de un yacimiento. 1.2. DEFINICION La simulación de yacimientos es una ciencia que combina la física, la matemática, la geología, la ingeniería de yacimientos y la programación de computadores para desarrollar herramientas que pronostiquen el comportamiento de los yacimientos de hidrocarburos bajo diferentes condiciones de operación. Simular quiere decir “dar la apariencia de”. Luego, esta ciencia es indispensable en virtud a que se requiere obtener predicciones exactas del desarrollo de un yacimiento. Dicha necesidad nace del hecho que un proyecto de recuperación de un campo de hidrocarburos involucra una inversión de cientos de millones de dólares y presenta varios riesgos que están asociados con el desarrollo seleccionado y por tanto se precisa la evaluación y minimización de dichos riesgos. Los factores que contribuyen al riego incluyen: • • • •

Complejidad del yacimiento debido a las propiedades de heterogeneidad y anisotropía de las rocas, Variaciones regionales del flujo de fluidos y características de las curvas de permeabilidades relativas, Complejidad del mecanismo de recobro de hidrocarburos, Aplicabilidad de otros métodos predictivos limitados e inapropiados.

El último factor es el único controlable por el ingeniero pero requiere experticia y práctica adecuada. 1.3. BREVE HISTORIA DE LA SIMULACION Prácticamente la simulación de yacimientos se ha venido empleando desde los inicios de la



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ingeniería petrolera, es decir, hacia 1940. Antes de 1960, los cálculos usados para predecir el comportamiento del yacimiento -pronosticar la recuperación o comparar alternativas económicas entre diversos métodos de recuperación- consistían en su mayoría de métodos analíticos tales como: el método de balance de materia o simulador de cero dimensiones y el método de Buckley-Leverett o modelo de una dimensión. El termino “simulación” se hace común a los principios de 1960, refiriéndose con él a métodos de predicción desarrollados en programas de computadoras relativamente sofisticados. Dichos programas representaban un mayor adelanto debido a que permitían la solución de un conjunto de ecuaciones expresadas en diferencias finitas que describían flujo multifásico a través de un medio poroso heterogéneo en dos y tres dimensiones. Este adelanto se hizo posible gracias a la evolución tan rápida que tuvieron las computadoras y sobretodo el desarrollo de métodos numéricos capaces de resolver grandes sistemas de ecuaciones en diferencias finitas. Durante los años 60´s, los esfuerzos de la simulación fueron dedicados en gran medida a los problemas de dos fases (gas y agua) y, en tres fases, así como modelos de aceite negro. La simulación de métodos de recuperación se limitaba esencialmente a los problemas de agotamiento natural y de mantenimiento de presión. Con esto era posible el desarrollo de un modelo de simulación único, capaz de dirigirse a la mayoría de los problemas de yacimientos que se tenían. Este concepto de un modelo general siempre ha sido atractivo debido a que significa reducción en el costo de su preparación y de su uso y, potencialmente, en el costo del desarrollo del modelo y de su mantenimiento. Sin embargo, durante los años 1970´s el panorama cambió radicalmente. El aspecto económico motivó a que se buscara la forma de obtener una mayor recuperación, llevándose a efecto proyectos de pruebas de campo -pruebas piloto- encaminadas al estudio de procesos de recuperación mejorada. Esto condujo a la simulación de nuevos procesos que iban más allá del depresionamiento convencional y del mantenimiento de presión, tales como la inyección de miscibles, la inyección de vapor, la inyección de productos químicos y la combustión in-situ. Con esto, al manejo relativamente cómodo de dos componentes hidrocarburos (gas y aceite) en flujo simple inmiscibles, había que agregarle entonces la influencia de la temperatura, agentes químicos y los efectos del comportamiento complejo del equilibrio entre fases. La proliferación que tuvieron estos métodos de recuperación en los años 1970´s motivo la orientación del concepto de modelo único o general hacia modelos individuales desarrollados para representar cada una de estas nuevas técnicas. Las investigaciones realizadas durante este tiempo, dieron como resultado un avance significativo en la formulación de modelos de simulación y de métodos numéricos para la solución de sistemas de ecuaciones. Estos avances permitieron simular procesos de recuperación de lo más complejo y/o reducir el costo de tiempo del computador. En la actualidad el enfoque de la simulación es el de afinar los avances que se han obtenido y volver a tender hacia un simulador general aplicable a todos o a la mayoría de los



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procesos de recuperación que interesen. El éxito depende en gran parte, de la obtención de ecuaciones de estado que representen el comportamiento PVT de los componentes de un sistema de fluidos en tres fases bajo un rango de presiones y temperaturas bastante amplio. Aunado a ésto, se vienen desarrollando métodos de enmallado más eficaces que permitan capturar con más exactitud los detalles locales del medio poroso y de heterogeneidades normalmente halladas en un yacimiento. Tal es el caso, de refinamiento de mallas convencionales para describir mejor el pozo dentro del yacimiento, o las nuevas mallas PEBI –Bisección Perpendicular- que permiten modelar más realísticamente los procesos intrincados de flujo dentro de una fractura, pozo horizontal, o la caracterización adecuada de fallas, lentes, y discontinuidades. 1.4. ASPECTOS GENERALES 1.4.1. Definición y Objetivos La simulación de yacimientos es un proceso mediante el cual el ingeniero con la ayuda de un modelo matemático, integra un conjunto de factores para describir con cierta precisión el comportamiento de procesos físicos que ocurren en un yacimiento. Básicamente, un modelo matemático de simulación de yacimientos, consiste en un número determinado de ecuaciones que expresan el principio de conservación de masa y/o energía, acopladas con ecuaciones representativas de flujo de fluidos, temperatura y/o la concentración de estos fluidos a través de medios porosos. Dichas ecuaciones son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales no lineales, su solución es posible únicamente en forma numérica y de manera discreta, es decir, en un número de puntos preseleccionados en tiempo y en espacio y no de una manera continua. La no linealidad de las ecuaciones obedece a lo siguiente: • • •

La heterogeneidad en el yacimiento. La relación no lineal entre la saturación con la presión capilar. Las propiedades PVT de los fluidos son funciones no lineales de la presión, composición y temperatura.

Los modelos matemáticos requieren el uso de un programa de computo debido a la cantidad de cálculos tan grande que se realizan al efectuar una simulación. El objetivo primordial al hacer uso de la simulación es predecir el comportamiento de un determinado yacimiento y con base a los resultados obtenidos, optimizar ciertas condiciones para aumentar la recuperación. Para ello se requiere de la experiencia y buen juicio del ingeniero para decidir cuando es preciso utilizar un modelo y que tipo de modelo es el mas conveniente en cada caso; así como evaluar de una manera apropiada tanto los datos que se van a utilizar en la simulación como los resultados que se obtengan de ella. La selección del modelo a utilizar, además del aspecto económico, está en función de lo que se desea simular y de la información con que se cuente para realizar la simulación, pero una



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regla general es utilizar el modelo más simple capaz de resolver el problema planteado.

1.4.2. Utilidad de la Simulación La simulación de yacimientos constituye la herramienta más poderosa con que cuenta el ingeniero siempre y cuando la geología y las propiedades de los fluidos están propiamente caracterizados y el modelo matemático de simulación ha sido probado y calibrado adecuadamente. Mientras que físicamente el yacimiento puede producirse una sola vez y lo más probable es que no sea en la forma más adecuada, dado que un error cometido en el proceso afectará cualquier cambio subsiguiente, el modelo permite “producir” un yacimiento varias veces y en muy diferentes maneras, con lo cual se pueden analizar varias alternativas y seleccionar el mejor escenario. El observar el comportamiento del modelo bajo diferentes condiciones de operación, ayuda a seleccionar un conjunto de condiciones de producción óptimas para el yacimiento. Más específicamente, con la ayuda de la simulación, se puede hacer lo siguiente: • • • • • • • • • • • • • •

Conocer el volumen original de aceite. Tener una buena idea del movimiento de los fluidos dentro del yacimiento. Determinar el comportamiento de un campo de aceite bajo diversos mecanismos de desplazamiento, como puede ser: la inyección de agua, la inyección de gas, el depresionamiento natural o el uso de algún método de recuperación mejorada. Determinar la conveniencia de inyectar agua en un yacimiento de aceite por los flancos en lugar de utilizar un patrón determinado de pozos inyectores o viceversa. Optimizar los sistemas de recolección. Determinar los efectos de la localización de los pozos y su espaciamiento. De esta manera desarrollar un campo con base en una información limitada, pudiéndose determinar donde perforar nuevos pozos. Estimar los efectos que tiene la rata de producción sobre la recuperación. Calcular la cantidad de gas que se obtiene de un número determinado de pozos localizados en puntos específicos. Definir valores de parámetros en el yacimiento, para llevar a cabo estudios económicos. Obtener la sensibilidad de los resultados o variaciones en las propiedades petrofísicas del yacimiento o las propiedades PVT de sus fluidos cuando no son bien conocidas. Realizar estudios individuales de pozos. Conocer la cantidad de gas almacenado. Hacer un programa de producción. Simular un proceso físico específico: resultados de una inyección de agua, una prueba de presión, etc.

1.4.3. Ajuste de Simulador con la Historia del Yacimiento Si la información con que se cuenta para llevar a cabo una simulación es amplia y de



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calidad, el objetivo de la simulación tenderá a satisfacerse y la predicción del comportamiento será mejor. Si por el contrario, la información es incompleta o no muy confiable, los simuladores solo podrán utilizarse para comparar semicuantitativamente los resultados al explotar el yacimiento de diferentes maneras. De cualquier forma, la apropiación que proporciona el simulador puede mejorarse mediante el ajuste de éste a medida de que se vaya obteniendo mayor información del yacimiento. Lo primero que se hace para ajustar el simulador con la historia del yacimiento, es calcular el comportamiento de éste usando la mejor información disponible. De esta manera los resultados obtenidos de la simulación se comparan con aquellos obtenidos del campo, ésto es, con los valores reales. Si los resultados al compararlos no coinciden en una manera satisfactoria, se hacen modificaciones en los datos utilizados y se efectúan otras corridas del simulador hasta que se alcanza la aproximación deseada en los resultados. Cuando ésto ocurre, el modelo ya puede ser utilizado para predecir con cierto grado de precisión, el comportamiento del yacimiento. Es importante notar que dicho comportamiento está influenciado por muchos factores tales como: permeabilidades, distribución de saturaciones, espesores de las capas, porosidades, permeabilidades relativas, etc. que nunca se conocen con exactitud a lo largo de todo el yacimiento. De esta forma, a lo que en realidad llega el ingeniero es a una combinación de estas variables (que da como resultado un ajuste), la cual no es única, por lo que dicha combinación no puede representar de una manera precisa las condiciones del yacimiento. Por esto se debe tener en cuenta que al utilizar un simulador, después de haberlo ajustado a la historia del yacimiento, no se puede asegurar la predicción que proporcione será exactamente el comportamiento real que se tenga en dicho yacimiento. Sin embargo, a medida de que el periodo ajustado sea mayor, la predicción que se haga será mas confiable, lo que implica que el ingeniero deba estar continuamente comparando la predicción hecha por el simulador con el comportamiento presente y actualizar de ser necesario, las combinaciones de datos que maneja el modelo. 1.4.4. Resultados de una Simulación Los resultados típicos que se obtienen de una simulación consisten de la distribución de presiones y de saturaciones en cada una de las celdas en que ha sido dividido el yacimiento, y de los volúmenes producidos y las relaciones agua-aceite y gas-aceite para los pozos productores. Si hay inyección de fluidos se obtiene, el ritmo de inyección de los pozos o las presiones necesarias para inyectar los volúmenes establecidos. 1.5. ETAPAS PARA DESARROLLAR UN MODELO El desarrollar un modelo es un proceso iterativo que consiste de las siguientes etapas: • • • •

Descripción del yacimiento Determinar el tipo de mecanismo de desplazamiento Escribir el modelo matemático Desarrollar el modelo numérico



• • • •

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Desarrollar el programa de cómputo Determinar la validez del modelo Ajustar el modelo con la historia del yacimiento Predecir el comportamiento futuro

El proceso iterativo mencionado se puede observar en la Fig. 1.1, ya que al ir avanzando en las diferentes etapas, es necesario regresar a modificar algo de las anteriores, como pueden ser las suposiciones en las que se basó el modelo. Las razones de considerar varias suposiciones al desarrollar un modelo, son las siguientes: • • •

No obstante de haberse hecho todo lo posible por caracterizar al yacimiento de la mejor manera, nunca podrá hacerse esta sino solo en una forma aproximada. Hacer el problema manejable. Reducir el costo de la simulación.

Obviamente la necesidad de utilizar suposiciones se hace cada vez menor, debido a los adelantos e innovaciones que la ciencia va proporcionando día a día, especialmente en velocidad de procesamiento de datos, la cual fue una limitante significativa antes de 1980. 1.6. COMO TRABAJA UN MODELO El procedimiento de cálculo en forma simplificada que utiliza un modelo, está dado por los siguientes pasos: • •

• • •

Se empieza con las celdas en las que se conoce su presión y su saturación inicial. Se selecciona un incremento de tiempo al cual el modelo va a efectuar los cálculos (los incrementos de tiempo iniciales son generalmente, periodos de tiempo cortos alrededor de uno o varios días, pero en los intervalos sucesivos los incrementos de tiempo pueden ir aumentando hasta llegar a cubrir algunos meses). Calcular o asignar el volumen producido o inyectado, si es el caso, en cada pozo para el intervalo de tiempo seleccionado. Calcular el flujo que hay entre las celdas durante el intervalo de tiempo utilizado y los nuevos valores de saturación para cada celda. Seleccionar un nuevo intervalo de tiempo y repetir el proceso hasta que el modelo halla hecho los cálculos para el tiempo total deseado.

De esta manera el simulador calculará la distribución de presiones y de saturaciones a lo largo del yacimiento en función del tiempo. En la Fig. 1.2 se puede observar un diagrama de flujo que da idea de cómo trabaja un modelo. En los capítulos siguientes se estudiará con mas detalles cada una de las etapas de cálculo, de manera que el lector se vaya familiarizando con lo que realmente es la simulación de yacimientos, para que tenga la capacidad de escribir modelos sencillos y pueda resolver problemas en una y dos fases, así como en una y dos dimensiones.



DESCRIPCIÓN DEL YACIMIENTO

DETERMINACIÓN DEL TIPO DE MECANISMO DE DESPLAZAMIENTO QUE OPERA EN EL YACIMIENTO

ELABORACIÓN DE MODELO MATEMÁTICO QUE REPRESENTE LOS PROCESO FÍSICOS QUE SE PRESENTAN EN EL YACIMIENTO

DESARROLLO DEL MODELO NUMÉRICO QUE SUSTITUYA AL MODELO MATEMÁTICO

REALIZACIÓN DEL PROGRAMA DE CÓMPUTO

DETERMINACIÓN DE LA VALIDEZ DEL MODELO

No

ES VÁLIDO EL MODELO?

Si AJUSTE DEL MODELO CON LA HISTORIA DEL YACIMIENTO

PREDICCIÓN DEL COMPORTAMIENTO FUTURO

Figura 1.1. Etapas para Desarrollar un Modelo Í


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INICIO DE LOS CÁLCULOS EN LAS CELDAS EN QUE ES CONOCIDA LA PRESIÓN Y LA SATURACIÓN

SELECCIÓN DEL INCREMENTO DE TIEMPO AL CUAL EN EL MODELO HARÁ LOS CÁLCULOS

CÁLCULO O ASIGNACIÓN DEL VOLUMEN PRODUCIDO O INYECTADO EN CADA POZO PARA EL INCREMENTO DE TIEMPO SELECCIONADO

CÁLCULO DEL FLUJO QUE EXISTE ENTRE LAS CELDAS DURANTE EL INCREMENTO DE TIEMPO UTILIZADO

DETERMINACIÓN DE LOS NUEVOS VALORES DE PRESIÓN Y SATURACIÓN AL FINALIZAR EL INTERVALO DE TIEMPO PARA CADA CELDA

SE HA ALCANZADO EL TIEMPO TOTAL AL CUAL SE DESEA HACER LA PREDICCIÓN?

LA SIMULACIÓN HA TERMINADO

Figura 1.2. Como trabaja un Modelo


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UNIDAD 2 INFORMACIÓN REQUERIDA PARA UTILIZAR UN SIMULADOR 2.1. INTRODUCCIÓN Para que todo trabajo de ingeniería de yacimientos tenga éxito se debe contar con una buena información que represente las condiciones que prevalecen en el yacimiento. Así pues la simulación sin ser la excepción, requiere de una amplia descripción física del mismo y de los tipos de mecanismo por medio de los cuales va a producir. Los resultados que se obtengan de la simulación serán tan buenos como los datos que se hayan empleado para realizarla y, el tiempo que se pueda perder en preparar esta información es un tiempo bien empleado. Hay que hacer notar que la información que debe tratarse de obtener con mayor precisión es aquella que al variarla -realizando diferentes corridas de simulación- cause un cambio significativo en los resultados obtenidos. Así por ejemplo, se sabe que una propiedad determinada varía en un rango específico y al efectuar dos o tres corridas de simulación se varía dicha propiedad dentro de este rango y se obtienen resultados parecidos, se puede tomar como buena una de las predicciones, o bien, relegar a segundo término esfuerzos adicionales para medir con precisión dicha propiedad. Si por el contrario, variando esa propiedad se alteran los resultados considerablemente, es necesario redoblar esfuerzos para obtener con mayor aproximación dicha propiedad. La información que se requiere para efectuar una simulación es: • • • • •

Descripción física del yacimiento. Mecanismo o mecanismos de desplazamiento que operan en el yacimiento. Propiedades petrofísicas de las capas de interés. Propiedades PVT de los fluidos. Otros datos.

2.2. DESCRIPCIÓN FÍSICA DEL YACIMIENTO Para obtener una descripción física del yacimiento es necesario llevar a cabo un estudio geológico de detalle que proporcione un conocimiento estratigráfico, estructural y petrográfico, que permita de esta manera caracterizar al yacimiento perfectamente. Dicho estudio geológico se completa con métodos geofísicos. La información de este tipo que interesa a la simulación es: •

Límites del yacimiento



• • • •

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Características de la formación productora Características del acuífero Fallas Discontinuidad en las capas

2.3. MECANISMOS DE DESPLAZAMIENTO Los cuatro mecanismos básicos que operan para recuperar los hidrocarburos del yacimiento son: • • • •

Expansión del sistema roca-fluido Desplazamiento Segregación gravitacional Imbibición

La expansión del sistema roca-fluidos se provoca al haber un abatimiento de presión, dando como resultado el movimiento de los fluidos a través del medio poroso del punto de mayor presión al punto de menor presión. El desplazamiento se da con gas o con agua. Con gas puede ser empuje de gas disuelto liberado o empuje de algún casquete de gas, ya sea natural o inyectado. Con agua puede ser agua de inyección o bien entrada natural por la presencia de algún acuífero considerable. La segregación gravitacional se presenta en yacimientos de espesor considerable (o en capas de echado muy pronunciado) que tengan valores de permeabilidad altos en el sentido vertical y consiste en el acomodo que tienen los fluidos de acuerdo con sus densidades. La imbibición capilar se da generalmente en el sentido normal (perpendicular) al flujo y puede ser muy importante al inyectar agua en forma lateral en capas heterogéneas con variaciones considerables en las permeabilidades verticales. 2.4. PROPIEDADES PETROFÍSICAS Las propiedades petrofísicas se determinan en el laboratorio con pequeños núcleos obtenidos del yacimiento y que se procuran sean representativos. Para asegurar una mayor precisión en estos datos se puede obtener información complementaria de estas propiedades. Dicha información la proporcionan los registros eléctricos y los análisis de prueba de presión. Además, existen correlaciones publicadas para la obtención de estas propiedades y pueden ser de utilidad en determinado momento. Los datos petrofísicos que se necesitan para efectuar una simulación son: •

Porosidades, φ



• • • • •

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Permeabilidades, k Saturaciones de agua, aceite y gas, Sw, So, Sg Presión capilar entre diferentes interfases, Pcw-o, Pcg-o, Pcg-w Permeabilidad relativa al agua, aceite y al gas, krw, kro, krg Compresibilidad de la formación, cr

2.5. PROPIEDADES PVT DE LOS FLUIDOS Las propiedades de los fluidos son también obtenidas en el laboratorio por medio de muestras sacadas de los pozos. Para que los valores que se obtengan sean aceptables (lo mismo ocurre con las propiedades petrofísicas), se requiere que las mediciones se hagan lo más cuidadosamente posible y tratando de acercar al máximo las condiciones del laboratorio a las condiciones existentes en el yacimiento. Estas propiedades de los fluidos que se requieren en un trabajo de simulación son: • • • • • •

Factores de volumen del agua, del aceite y del gas, Bw, Bo, Bg Relación de solubilidad en el aceite y en el agua, Rs, Rsw Viscosidades del agua, del aceite y del gas, µw, µo, µg Compresibilidad del agua, del aceite y del gas, cw, co, cg Comportamiento de fases Presión de Saturación

2.6. INFORMACION ADICIONAL Además de la información fundamental que se menciona con anterioridad, existen otros datos irrelevantes cuando se realiza una simulación. Dicha información corresponde casi en su totalidad como se verá a continuación, a características de los pozos. 2.6.1. Datos de Producción y de Relación de Flujo Cuando se trata de hacer un ajuste del modelo con la historia del yacimiento, se requieren conocer los ritmos de producción y la declinación de la presión. Estos datos de producción que se necesitan para cada pozo, se pueden desglosar en los siguientes puntos: • • • •

Flujo de aceite vs. tiempo Flujo de gas vs. tiempo Flujo de agua vs. tiempo Cualquier presión media vs. tiempo

Además es preciso contar con los índices de productividad y si es el caso, con los índices de inyectividad de los pozos que integran el yacimiento. En la práctica generalmente se cuenta con un registro completo de la rata de producción de aceite de cada pozo, pero no pasa lo mismo con las ratas de producción de gas y de agua,



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cuya información la mayoría de las veces es limitada. Por ello se necesita que con los datos disponibles se elabore una gráfica como la que se presenta en la figura 2.1 que permita interpolando, obtener una información mas completa.

Qg

Caudal, Q

Qo

Qw

Tiempo, t Fig. 2.1. Obtención de los caudales de producción de gas y agua con información incompleta

2.6.2. Estado Mecánico de los Pozos Según lo visto hasta el momento, al parecer para llevar a cabo una simulación, cualquier información sobre el estado mecánico de los pozos que integran el yacimiento carecería de interés, pues aunque los pozos forman parte integral del sistema, la influencia que puedan tener en él parece haber sido considerada ya en los datos de producción. Además, si la simulación es un estudio a nivel del yacimiento, ¿para qué sirve entonces la información sobre el estado mecánico de los pozos?. Un avance muy significativo en simulación es acoplar el comportamiento que tiene los fluidos dentro del yacimiento al que presenta a lo largo de las tuberías de producción en su camino hacia la superficie. Para ello se requiere contar con en método de flujo multifásico que entre como subrutina en el simulador. Es de suponer, lógicamente, que un trabajo de esta naturaleza requiere de las características mecánicas de los pozos, Fig. 2.2. Existe una gran cantidad de correlaciones que tratan sobre el comportamiento de los fluidos en las tuberías de producción. El uso de dichas correlaciones, al igual que los estudios de simulación, está sujeto a ciertas consideraciones importantes. El estado mecánico de los pozos lo comprende la información siguiente:



• • • •

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Profundidad máxima del pozo, indicando si es vertical, direccional o desviado, y horizontal Diámetro interior del pozo Características de las tuberías de revestimiento: diámetro, profundidad, peso y grado Características del aparejo de producción. Tipo de terminación: diámetro, grado y peso de las tuberías de producción. Equipo para métodos artificiales de producción

Flujo en la tubería de producción (Flujo multifásico)

Fig. 2.2. Acoplamiento del flujo de fluidos en el yacimiento con el flujo de fluidos en la tubería vertical en un solo simulador.

2.6.3. Aspecto Económico En todo trabajo de ingeniería debe ser considerado como un punto primordial el aspecto económico. En simulación de yacimientos la información de este tipo que se debe tomar en cuenta es la siguiente: • • • • • • •

Precio del barril de aceite Costo del pozo Límite económico Máxima relaciones agua-aceite y gas-aceite con que se piensa trabajar Mínima presión de fondo fluyendo Precio de gas Gastos de operación



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2.6.4. Mapas Al preparar la información que se necesita para realizar una simulación, se elaboran los siguientes mapas: • • • •

Mapa estructural Mapa isópaco Mapa de isoporosidades Mapa de isopermeabilidades

Los mapas estructurales sirven para determinar a través de las curvas de nivel, las profundidades de los pozos, efectos geológicos del subsuelo como fallas, así como la vista de planta del yacimiento, límites del mismo, contactos agua-aceite, gas-aceite y/o gas-agua. Al mapa isópaco lo componen líneas que unen puntos en el yacimiento de igual espesor. Entre otras cosas sirve para cuantificar volumétricamente el volumen original de aceite y/o el volumen original de gas. Se comentó al tratar sobre la información petrofísica requerida la importancia que tenía ésta y la forma de obtenerse. Así pues, las porosidades y las permeabilidades se conocen en localizaciones discretas del yacimiento y el simulador requiere un conocimiento de estas propiedades en todos y cada uno de los puntos del mismo. Con este fin se construyen los mapas de isoporosidades e isopermeabilidades. En ocasiones se elaboran mapas en los cuales se encuentra la distribución de combinaciones o productos de propiedades como por ejemplo: • •

Porosidad-espesor, φh Porosidad-saturación-espesor, φSoh

2.7. PERMEABILIDADES RELATIVAS Se ha comentado a lo largo de este capítulo la gran importancia que tiene el contar con una buena información, haciendo ver que la clave para obtener buenos resultados se basa en buena información de entrada disponible. Pues bien, sin lugar a duda que la información crítica que se emplea dentro de toda la información que se requiere al efectuar una simulación, son las permeabilidades relativas, dado que una relación determinada de ellas define los resultados que entrega el modelo. Si en el transcurso de un estudio de simulación el yacimiento cambia de un mecanismo de desplazamiento a otro, el ingeniero debe determinar si este cambio afecta el desplazamiento de los fluidos o la recuperación dentro de las celdas en que ha sido dividido el yacimiento y, de ser así, lo que es casi seguro los datos de permeabilidades relativas deben ser modificados para reflejar dicho cambio. Sin embargo, cambiar el juego de permeabilidades relativas dependiendo del mecanismo de desplazamiento que opera en el yacimiento por un tiempo determinado no es nada sencillo, si se considera que la información más difícil de obtener son precisamente estas curvas de



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permeabilidades relativas, por la dificultad que existe de llevar a cabo pruebas de desplazamiento en el laboratorio bajo las mismas condiciones en que se encuentra el sistema roca-fluidos en el yacimiento. Esto es cierto incluso para permeabilidades relativas en dos fases. Con lo anterior no se trata de decir que éste sea un problema particular de la simulación, sino se trata de un problema que se presenta en todo trabajo que se realiza sobre ingeniería de yacimientos y por el cual es común tener errores considerables en los resultados obtenidos. 2.7.1. Obtención de Permeabilidades Relativas Las permeabilidades relativas pueden obtenerse por medio de las siguientes maneras: • • • •

Pruebas de desplazamiento en el laboratorio Cálculos por medio de datos de presión capilar Ajuste con los datos del campo Correlaciones

La Ref. 3 da una explicación de estos métodos de obtención de permeabilidades relativas para una y dos fases e incluso, proporciona la correlación de Stone que es un modelo que combina la teoría del flujo en el medio poroso con conceptos de probabilidad para obtener la permeabilidad relativa para tres fluidos. 2.8. INTRODUCCION DE LOS DATOS AL SIMULADOR Una vez que se ha logrado reunir la información que se necesita para llevar a cabo una simulación, el problema que se presenta es la manera de introducir esos valores al modelo. Sin lugar a duda que la información que constituye la mayor parte de los datos que manejará el simulador corresponde a las propiedades PVT de los fluidos y a las propiedades petrofísicas de la roca, puesto que se requieren en todos y cada uno de los bloques en que se ha dividido el yacimiento. Por ello es necesario tratar de compactar esta información de tal manera que sea manejable. 2.8.1. Representación Polinomial Supóngase que en el laboratorio se ha llevado a cabo un análisis de fluidos del yacimiento y se le han determinado las propiedades necesarias para un estudio de simulación. Con los resultados se han construido gráficas como las que se muestran en las Figs. 2.3a, 2.3b y 2.3c. Es posible ajustar una ecuación a cada curva e introducir dichas ecuaciones el simulador para que evalúe las propiedades cuando sea necesario.


PARAMETRO


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Bo

µo Rs

Pb PRESION

PARAMETRO

Fig. 2.3.a. PVT del crudo

Bg µg Pb PRESION

Fig. 2.3.b. PVT del gas



PARAMETRO

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Co

Pb

Bt

PRESION

Fig. 2.3.c. Propiedades PVT del crudo

2.8.2. Tablas de Valores Algunos datos PVT no pueden ser representados tan fácilmente por medio de una expresión polinomial, ya sea porque la función no sea continua o porque el orden del polinomio sea tan alto que no resulte práctico programarlo. En este caso la solución consiste en elaborar una tabla con pares de valores ordenados que son almacenados en computadora, utilizándose cuando se requieran. Cuando los valores que se desean obtener no existen en la tabla, se hace una interpolación, tabla 2.1. Para ello el modelo deberá contar con una subrutina que se encargue de realizarla. Es preciso que para construir este tipo de tablas, lo mismo que para ajustar ecuaciones a las gráficas, se tomen la cantidad de puntos necesarios para que el ajuste o la interpolación proporcione valores confiables. Por ejemplo, considérese la Fig. 2.4. Para representar la región A con cinco puntos es suficiente. En la región B se tienen cambios grandes en los valores de Sw a pesar de tener pequeños cambios P, por lo que es preciso utilizar una mayor cantidad de puntos. La región C puede representarse perfectamente con solo dos puntos, puesto que se trata de una línea recta.



Tabla 2.1. Datos de Factores de Volumen de Aceite

Bo, bbl/BF 1.25 1.27 1.28 1.30 1.35 1.40 1.36 1.35

Po

Región B

Región C

Región A

P, Psi 2000 2050 2100 2150 2200 2300 2350 2400

Sw Fig. 2.4. Presión capilar vs. Saturación de Agua.

Dos tipos de interpolación que pueden utilizarse son: Interpolación Lineal: ⎡ X * − X1 ⎤ 1 Y * = Y1 + ⎢ ⎥ (Y2 − Y1 ) 2 ⎣ X 2 − X1 ⎦


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Interpolación Lagrangiana: ⎛ X * − X 2 ⎞ ⎛ X * − X1 ⎞ ⎛ X *−X2 ⎞⎛ X *−X3 ⎞ ⎛ X * + X1 ⎞ ⎛ X * − X 3 ⎞ Y* = ⎜ ⎟ Y1 + ⎜ ⎟ Y2 + ⎜ ⎟⎜ ⎟ Y3 ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ X1 − X 2 ⎠ ⎝ X1 − X 3 ⎠ ⎝ X 2 − X1 ⎠ ⎝ X 2 − X 3 ⎠ ⎝ X 3 − X 2 ⎠ ⎝ X 3 − X1 ⎠

Por otro lado, los datos de porosidad, espesores, permeabilidad, etc., así como los datos de producción, también entran en forma de tabla. La lectura de toda esta información lo hará el modelo como si se tratara de matrices.



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UNIDAD 3 CLASIFICACION DE LOS SIMULADORES 3.1. INTRODUCCION A través del tiempo, producto de las crecientes necesidades que ha tenido la industria petrolera, lo que originó -como se comentó en la Unidad 1- el advenimiento de procesos de recuperación más complejos, se han desarrollado una gran cantidad de simuladores, los cuales pueden clasificarse en función de las características que presentan el yacimiento que se piensa estudiar o bien el proceso físico que se quiere reproducir. Luego, cuando se desea reproducir el comportamiento de un yacimiento sujeto a un determinado proceso de recuperación, es preciso seleccionar el modelo que cumpla con ciertas características de diseño que le permitan realizar el trabajo de manera adecuada. En la Fig. 3.1 se presenta una clasificación general de simuladores y fue construida de manera que en ella aparezcan todos los posibles trabajos de simulación que se puedan efectuar. Con el objeto de explicar las características de los diferentes tipos de modelos que existen y los trabajos de simulación que pueden realizarse con ellos, se definen en la Fig. 3.1, los siguientes seis “parámetros de selección”: • • • • • •

Tipo de yacimiento Nivel de simulación Simulador Tipo de flujo en el yacimiento Numero de dimensiones Geometría

Como puede observarse cada uno de estos parámetros tienen diferentes alternativas a utilizar; así por ejemplo, las posibles a emplear para un numero de dimensiones son: cero, una, dos o tres dimensiones; en tipo de yacimiento se tienen dos opciones para seleccionar: no fracturados y fracturados; etc. Hay que hacer notar que el grado de complejidad de las alternativas que aparecen en la Fig. 3.1 para cada parámetro de selección va de izquierda a derecha. Así por ejemplo, para tipo de yacimiento es más difícil realizar un estudio de simulación para uno fracturado que para uno no fracturado, para tipo de flujo en el yacimiento lo más complejo es un modelo composicional, etc. A continuación se explica de manera mas detallada los tipos de simuladores que existen y en que caso se utilizan; al mismo tiempo que se va haciendo referencia a los parámetros de selección de la Fig. 3.1.



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TIPO DE YACIMIENTO

NO FRACTURADOS

FRACTURADOS

NIVEL DE SIMULACIÓN

POZOS INDIVIDUALES

TODO EL YACIMIENTO

SIMULADOR

DE GAS

GEOTÉRMICO

DE ACEITE NEGRO

DE GAS Y CONDENSADO

DE ACEITE VOLÁTIL

DE RECUPERACIÓN QUÍMICA

DE RECUPERACIÓN CON MISCIBLES

DE RECUPERACIÓN TÉRMICA

1.MISCELARES Y MIROEMULSIONES 2. POLÍMEROS 3. SURFACTANTES 4. COMBINACIÓN DE 1, 2 Y 3.

1. GAS RICO 2. CO2 3. NITRÓGENO (NO2)

1. INYECCIÓN DE FLUIDOS CALIENTES 1.1 AGUA CALIENTE 1.2 VAPOR 2. COMBUSTION IN-SITU

TIPO DE FLUJO EN EL YACIMIENTO

MONOFÁSICO

BIFÁSICO

COMPOSICIONAL

TRIFÁSICO

NUMERO DE DIMENSIONES

CERO DIMENSIONES

HORIZONTAL

UNA DIMENSIÓN

VERTICAL

DOS DIMENSIONES

INCLINADO

RADIAL

AREAL

SECCIÓN TRANSVERSAL

TRES DIMENSIONES

RADIAL

CONVENCIONAL

RADIAL

GEOMETRÍA

X

Y

Z

R

X, Y

X, Z

R, Z

X, Y, Z

R, θ, Z

Fig. 3.1. Selección de un Simulador

3.2. TIPO DE YACIMIENTO En forma general, dependiendo de características físicas producto de la mecánica de las rocas de los yacimientos, estos pueden dividirse en dos grandes grupos: yacimientos no



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fracturados y yacimientos fracturados, siendo los estudios de simulación en estos últimos, los que presentan mayor grado de dificultad debido a que las fracturas representan verdaderos canales de flujo que modifican el comportamiento de los fluidos a través del medio poroso. En la actualidad, el estudio de este tipo de formaciones está recibiendo considerable atención. 3.3. APROXIMACIONES TRADICIONALES DE MODELAMIENTO Los métodos tradicionales para predecir el comportamiento de un yacimiento, se pueden dividir en tres grandes categorías; (i) Métodos analógicos, (ii) métodos experimentales, y (iii) Métodos matemáticos. 3.3.1. Métodos analógicos Estos usan las propiedades de yacimientos maduros que tengan la misma ubicación geográfica o posean condiciones petrofísicas similares al yacimiento en estudio. Antes de perforar, cuando la información es limitada o ausente, el único método que disponen los ingenieros para efectuar análisis económicos es la analogía. Para ello se utilizan los yacimientos con características petrofísicas más parecidas dentro de la misma cuenca o provincia para estudiar el comportamiento de otro yacimiento en particular. Este método permite determinar factores de recobro, ratas de producción iniciales, ratas de declinación, espaciamiento de pozos y mecanismos de recuperación. Este método proporciona resultados confiables en yacimientos muy similares con las mismas estrategias de explotación. 3.3.2. Métodos experimentales En estos métodos se miden parámetros físicos (ratas, presiones o saturaciones) en modelos de laboratorio a escala y luego se apropian para todo el yacimiento. Ellos se subdividen en análogos y físicos: 3.3.2.1. Modelos análogos Estos se emplean muy raramente en la actualidad, sin embargo, existen dos puntos de vista de consideración: (1) Históricamente, fueron importantes en los primeros estudios, particularmente la incorporación de eficiencias de barrido en procesos de inyección de agua, y (2) la diferencia entre redes de resistencia-capacitancia y modelos potenciométricos ilustra la diferencia entre modelos continuos y discretos. Para simular el comportamiento de un yacimiento, los modelos análogos usan la similitud entre el fenómeno del flujo de fluidos a través de medios porosos con otros fenómenos físicos (flujo de calor, de electricidad y flujo de fluidos entre dos capas paralelas o celdas Hele-Shaw). 3.3.2.2. Modelos físicos Al contrario de los modelos análogos, los modelos físicos se usan para medir directamente



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el flujo en medios porosos. En la actualidad, existen dos tipos de modelos físicos. El primero no toma en cuenta la geometría de flujo que existe en el yacimiento, como por ejemplo pruebas de desplazamiento en corazones de roca y pruebas en empaquetamientos de arena. La desventaja es que los experimentos se corren a escala y muchas veces no son representativos del yacimiento. El segundo tipo utiliza similitudes de conceptos geométricos, mecánicos y térmicos. Esto es, la geometría, espesor, porosidad y permeabilidad del modelo y las propiedades de los fluidos se escalan de tal forma que la forma y dimensiones del modelo sean las mismas del yacimiento. 3.3.3. Métodos matemáticos Estos son el tipo más comúnmente usados por los ingenieros modernos e incluyen balance de materia, curvas de declinación, estadísticos (correlaciones) y analíticos (pruebas de presión, Buckley-Leverett, etc.). 3.4. NIVEL DE SIMULACION Los estudios de simulación pueden realizarse a los siguientes niveles: • • •

Pozos individuales Sector del yacimiento Todo el yacimiento

Al parecer según se comentó anteriormente con relación a la Fig. 3.1, los estudios de simulación en pozos individuales serían más sencillos que los estudios de simulación en un determinado sector del yacimiento y más aun que los realizados a lo largo de todo el yacimiento; sin embargo, se debe comentar que existen estudios de simulación para un solo pozo con un grado de dificultad muy elevado. Mas adelante se vera la finalidad que se persigue al utilizar cada uno de estos niveles de simulación. 3.5. SIMULADOR A partir de aquí se entra a lo que es propiamente dicho, la selección del modelo. Antes se ha determinado ya el nivel de simulación y el tipo de yacimiento en el cual se efectuará esta. Ahora la pregunta es que es lo que se desea simular. Si se analiza la Fig. 3.1 se observará que los diferentes tipos de simuladores pueden dividirse en dos grupos: (1) Los que se definen según el tipo de hidrocarburos que contiene el yacimiento y (2) Los que se utilizan en procesos de recuperación mejorada. En el primer grupo se tienen: • • • • •

Los simuladores de gas Los simuladores geotérmicos Los simuladores de aceite negro Los simuladores de aceite volátil Los simuladores de gas y condensado



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En el segundo grupo se tienen: • • •

Los simuladores de recuperación química Los simuladores de recuperación con miscibles Los simuladores de recuperación térmica

Una vez que se ha determinado que es lo que se desea simular, es posible hacer la selección del modelo capaz de realizar el trabajo. 3.5.1. Simulador de gas Como su nombre lo indica, este tipo de simuladores se utilizan para llevar a cabo las predicciones del comportamiento de un yacimiento de gas. Sin lugar a duda, los estudios para este tipo de yacimientos son los más sencillos, si se considera la presencia de una sola fase (gas). Los parámetros que pueden definirse con este tipo de simulador son entre otros son: volumen de gas inicial, rata de producción y distribución de presiones. 3.5.2. Simulador geotérmico Existen yacimientos cuya energía calorífica se emplea para la generación de energía eléctrica. Aunque esto no tiene al parecer ninguna conexión con la industria del petróleo, un modelo que se utilice en este tipo de estudios no puede quedar al margen de una clasificación general de simuladores, de ahí la razón por lo que se menciona. 3.5.3. Simulador de aceite negro Este es el modelo más simple que puede utilizarse para estudios de agotamiento primario o recuperación secundaria por medio de inyección de gas o de agua. Cuenta con los cuatro mecanismos de desplazamiento básicos para la recuperación de aceite que se explicaron en la Unidad 2. Los modelos de este tipo se han utilizado durante mas de treinta años y se basan en la suposición de que los fluidos del yacimiento pueden representarse de solo tres pseudocomponentes (aceite, gas agua). Esta posición funciona bien siempre y cuando el sistema durante el proceso de recuperación, quede lejos del punto crítico y de la región de condensación retrograda y además, si los fluidos que se inyectan (si es el caso), consiste de los mismos componentes que los fluidos que se encuentren en el yacimiento. Los modelos de aceite negro frecuentemente se utilizan para estimar los siguientes efectos durante la recuperación de aceite: • • • • •

Espaciamiento y arreglo de pozos Intervalos disparados Conificación del gas y/o el agua como función de la rata de producción Rata de producción Mejorar el mecanismo de entrada de agua mediante inyección de la misma y ver la conveniencia de inyectar por los flancos del yacimiento o inyectar con un arreglo de



•

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pozos determinado Pozos de relleno

3.5.4. Simulador de recuperación química Como se comentó en la Unidad 1, en los últimos años se han desarrollados nuevos procesos para recuperar una mayor cantidad de aceite de los yacimientos, lo cual ha originado la necesidad de contar con simuladores capaces de reproducir el comportamiento de los yacimientos cuando se someten a este tipo de procesos, tal es el caso de los simuladores de recuperación química. Dentro de este tipo de métodos de recuperación mejorada, se pueden citar como los más importantes los siguientes: • • • •

Desplazamiento de aceite con soluciones miscelares y microemulsiones Desplazamiento de aceite con polímeros Desplazamiento de aceite con surfactantes Desplazamiento de aceite por combinación de los tres anteriores.

Como es de suponerse, los modelos que se utilizan en este tipo de estudios, presentan un mayor grado de complejidad pues deben de considerar tanto la interacción que existe entre los propios fluidos químicos, como la que hay entre dichos fluidos y el medio poroso. 3.5.5. Simulador de recuperación con miscibles La miscibilidad es el fenómeno físico que consiste en la mezcla de dos fluidos en todas proporciones, sin que se forme entre ellos una interfase. Existen diferentes fluidos que se inyectan al yacimiento bajo esta condición y al estudio del efecto que produce cada uno de ellos en la recuperación del aceite se hace con la ayuda de un simulador. Entre los fluidos que se utilizan en este tipo de procesos se puede citar: • • •

El gas enriquecido El bióxido de carbono, CO2 El nitrógeno, N2

3.5.6. Simulador de recuperación térmica Este tipo de modelos se utiliza para simular el comportamiento de los yacimientos sujetos a algún proceso de recuperación mejorada, por medio de métodos térmicos cuyo objetivo principal es el de proporcionar energía calorífica al aceite con el fin de disminuir su viscosidad y de esta forma, facilitar su flujo hacia los pozos productores. Este tipo de métodos puede clasificarse en: • • •

Inyección de fluidos calientes, que pueden ser agua caliente o vapor Combustión in-situ Calentamiento electromagnético



35

Los simuladores que se emplean para este tipo de procesos (y para todos los procesos de recuperación mejorada), son como ya se comento muy complejos, pues requieren el uso correlaciones que describan las propiedades PVT de los fluidos para n-componentes como función de la presión, de la temperatura y de la composición (se trata de modelos composicionales cuya explicación se da mas adelante). Los problemas de procesos térmicos a los cuales se dirige este tipo de simuladores, son entre otros: • • • • •

Recuperación esperada de aceite Volumen necesario de vapor Evaluar la posibilidad de incluir otros fluidos en al inyección de vapor Determinar los efectos gravitacionales en el proceso de recuperación de aceite Determinar parámetros críticos

3.6. TIPO DE FLUIDO DEL YACIMIENTO En el yacimiento pueden presentarse varios tipos de flujo como función del número de flujos en movimiento y estos son: • • •

Flujo monofásico (un fluido) Flujo bifásico (dos fluidos) Flujo trifásico (tres fluidos)

Si se observa la Fig. 3.1 en este punto existen otra posible alternativa a la que se le ha llamado “flujo composicional”, que nació de la necesidad de simular procesos donde los fluidos están cercanos al punto crítico y se presentan continuas precipitaciones de líquidos o revaporizaciones en el yacimiento. De esta manera, según el tipo de flujo que se presenta en el yacimiento, puede existir una determinada clasificación de simuladores. 3.6.1. Simulador monofásico El flujo monofásico está dado por el flujo de un solo fluido en particular, por ejemplo: en los acuíferos: el agua, en los yacimientos bajo saturados: aceite y en un yacimiento de gas volumétrico: el gas. Cualquier modelo que tome en cuenta esta consideración, será un simulador monofásico. 3.6.2. Simulador bifásico Un simulador de este tipo es aquel que considera la existencia de flujo bifásico en el yacimiento. Este tipo de flujo se presenta cuando dos fluidos diferentes fluyen al mismo tiempo. Las combinaciones que se pueden tener son: • •

Gas y aceite: En un yacimiento que produce por empuje de gas disuelto liberado o en un yacimiento de aceite con casquete de gas Agua y aceite: En un yacimiento bajo saturado con entrada de agua, cuya presión se



•

36

mantiene arriba de la presión de burbujeo Agua y gas: En un yacimiento de gas con entrada de agua o cuya saturación de agua congénita es mayor que la saturación de agua crítica

3.6.3. Simulador trifásico El flujo trifásico se presenta cuando los tres fluidos que contiene un yacimiento (agua, aceite y gas) fluyen a la vez, por lo que todo aquel modelo que haga esta consideración de flujo sea un simulador trifásico. Este caso se contempla en yacimientos que producen por empuje combinado, en los que la entrada de agua, el empuje de gas disuelto y/o el empuje de casquete original o secundario, tiene influencia en la producción. 3.6.4. Simulador composicional Los modelos composicionales se utilizan para simular los procesos de recuperación para los cuales no sean válidas las suposiciones hechas en modelo de aceite negro. En esta categoría se incluyen los yacimientos de gas y condensado con condensación retrograda y los yacimientos de aceite volátil, cuya composición varía continuamente al existir pequeños cambios de presión y/o temperatura. Este tipo de simuladores supone en cambio, que los fluidos contenidos en el yacimiento son una mezcla formada por n-componentes. Las propiedades de las fases gas - aceite y su equilibrio se calculan por medio correlaciones que están en función de la presión y de la composición y más recientemente por medio de ecuaciones de estado. Algunos ejemplos de procesos en los cuales son utilizados estos modelos son los siguientes: • • •

Agotamiento de un yacimiento de aceite volátil o de gas y condensado donde la composición de fase y sus propiedades varían en una manera significativa, con presiones por debajo de la presión de burbujeo Inyección de gas (seco o enriquecido) a un yacimiento de aceite negro para lograr su miscibilidad, ya sea total o parcial Inyección de CO2 a un yacimiento de aceite

3.7. NUMERO DE DIMENSIONES Llegando al lugar de la Fig. 3.1, seguramente ya se ha determinado el nivel de simulación que se va a emplear, así como el proceso de recuperación que se piensa simular y como consecuencia, el tipo de flujo que se tendrá en el yacimiento. Esta información junto con características físicas del yacimiento, permitirá hacer la selección del modelo a utilizar en cuanto al número de dimensiones. A continuación se da la clasificación de los simuladores en función del número de dimensiones y una explicación de las características que presentan cada uno de ellos.



37

3.7.1. Simulador de cero dimensiones A este modelo se le conoce también como modelo tanque o de balance de materia. Se dice que es cero dimensiones debido a que las propiedades petrofísicas, las propiedades de los fluidos y los valores de presión no varían de punto a punto; a lo largo de todo el yacimiento, Fig. 3.2.

k, φ, µ

Fig. 3.2. Modelo de Cero Dimensiones Se le llama también balance de materia debido a que al realizar los cálculos lo que se hace es precisamente ésto, un balance entre los fluidos que entran y los fluidos que salen del yacimiento. Supóngase un yacimiento al que se le inyecta por un lado una determinada cantidad de agua y se obtiene una cantidad también de agua, gas o aceite (o una combinación de los tres) por el otro lado, como se muestra en la Fig. 3.3.

Agua, gas o aceite

k, φ, µ

Fig. 3.3. Balance de Materia.



38

Al efectuar el balance de materia se tendrá la siguiente expresión: Volumen de fluidos en el yacimiento antes de la inyección

+

Volumen de fluido inyectado

Volumen de fluidos extraídos

=

Volumen de fluidos que permanecen en el yacimiento

Este modelo de cero dimensiones es la base de todos los modelos existentes y tiene la particularidad de que en él no pueden definirse pozos, como sé vera que pueden hacerse en los simuladores de más dimensiones. El uso que generalmente se le da a este modelo es: • • •

Estimar el volumen original de aceite en el yacimiento Calcular la entrada de agua Calcular la presión del yacimiento

Para el cálculo de cualquiera de los tres parámetros se requiere conocer los otros dos. 3.7.2. Simulador de una dimensión Considérese ahora un yacimiento que varía en litología y que de acuerdo a esta variación puede dividirse en dos partes. En este caso el yacimiento como un todo no puede representarse mediante propiedades promedio, sin embargo, cada parte si puede. De esta manera el yacimiento consiste de dos bloques o celdas como también se les llama, Fig. 3.4. En este caso, la ecuación de balance describe al comportamiento del fluido en cada celda como en el modelo de cero dimensiones, sin embargo, la cosa se complica debido al que haber migración de fluidos de una celda a otra, no se sabe exactamente que cantidad de fluido del volumen total que permanece en el yacimiento, corresponde a cada bloque. Esta transferencia de fluido entre ambas celdas (transmisibilidad), se evalúa con la ecuación de Darcy, la cual se trata en la Unidad 4. De esta manera, la ecuación de balance de materia junto con la ecuación de Darcy, describen el comportamiento de cada celda. Este modelo ya no es de cero dimensiones como el anterior, debido a que las propiedades aunque son promedio para cada bloque, varían de aun celda con respecto a la otra, en cambio es un modelo de una dimensión, debido a que consiste de más de una celda en una dirección y de solo una celda en las otras dos direcciones. El modelo en una dimensión puede ser horizontal, vertical, inclinado o radical, como se muestra en la Fig. 3.5. Este tipo de modelo fue generado por Buckley-Leverett para dar una solución analítica al comportamiento de los yacimientos sujetos a recuperación secundaria. En una simulación de yacimientos dicho modelo se puede aplicar si se tiene un yacimiento en el que el flujo en una dirección es predominante, por ejemplo, en los casos de inyección de gas en la cresta de un yacimiento, en la inyección o entrada natural de agua por el flanco de otro yacimiento o en yacimientos que se formaron por depósitos de tipo fluvial (alargados).



Agua

CELDA 1 Propiedades promedio

CELDA 2 Propiedades promedio

39

Agua, gas o aceite

Fig. 3.4. Balance de Materia para dos Bloques. x Flujo

HORIZONTAL

Flujo

Y

VERTICAL

RADIAL

Flujo

α

Y

INCLINADO

Fig. 3.5. Modelos de una Dimensión.

El modelo de una dimensión con geometría radial es útil para pruebas de formación y pruebas de incremento y decremento de presión, ya que los efectos que provoca en el flujo de fluidos la caída de presión en el pozo a lo largo de todo el yacimiento, no pueden simularse directamente con los otros modelos de una dimensión debido a que la unidad más pequeña del yacimiento, una celda, es generalmente muy grande comparada con el volumen del yacimiento que es realmente afectado por las presiones en el pozo. 3.7.3. Simulador de dos dimensiones El mismo análisis que se utilizó para explicar el modelo en una dimensión, puede extenderse para modelos en dos y tres dimensiones, esto es, la ecuación de balance de materia describe el comportamiento en cada celda y la ecuación de Darcy el flujo entre los bloques, con la única diferencia en que la interacción de flujo en las celdas será en dos o tres dimensiones. Así pues, el modelo de dos dimensiones consiste en una celda en dos dimensiones y de solo una celda en la tercera dimensión. Como se puede apreciar, el simulador en dos dimensiones puede ser areal (Fig. 3.6.a), de sección transversal (Fig. 3.6.b) o de forma radial (Fig. 3.6.c).



y

Fl u

jo

x

Flujo

AREAL

Fig. 3.6.a. Modelos de Dos Dimensiones Z

Flujo

X

Flujo

TRANSVERSAL

Fig. 3.6.b. Modelos de Dos Dimensiones z

r

Flujo

RADIAL Fig. 3.6.c. Modelos de Dos Dimensiones


40


41

3.7.3.1. Simulador Areal Sin lugar a dudas, dentro de la clasificación de simuladores en función del número de dimensiones, el modelo areal es el que se utiliza con mayor frecuencia. En él se tienen variaciones de las propiedades en dos direcciones (x, y), pudiéndose considerar además los efectos gravitacionales al asignar diferentes profundidades a las celdas del modelo, el cual puede ser representado por una malla como se puede observar en la Fig. 3.6.a. Este tipo de simulador se aplica en yacimientos donde generalmente los espesores son pequeños con respecto a su área y no existe efecto muy marcado de estratificación o se ha generado un conjunto adecuado de seudo permeabilidades relativas. Algunas de las aplicaciones que se le dan son las siguientes: • • •

Simular los efectos de barrido al inyectar gas o agua. Determinar la localización de pozos en yacimientos donde se tengan variaciones de las propiedades de la roca y de esta manera, lograr la recuperación máxima. Determinar la entrada de agua en problemas de yacimientos que no tengan solución analítica.

3.7.3.2. Simulador de sección transversal Otro tipo de modelo de dos dimensiones se tiene en la representación de secciones transversales en donde las propiedades de las capas varían, Fig. 3.6.b. La utilidad de este simulador estriba en la versatilidad que tiene para describir la distribución vertical de saturaciones en el de un frente (gas y/o agua), además de ser el instrumento para la obtención de las ya mencionadas curvas de pseudo-permeabilidades relativas y cuya utilidad se explica más adelante. Con este tipo de modelo se puede simular la conificación de agua o de gas y los efectos gravitacionales. 3.7.2.3. Simulador de dos dimensiones en forma radial Al igual que el simulador de sección transversal, este modelo es útil para simular la conificación de agua o de gas. Además tiene la ventaja de poder analizar con mayor detalle los cambios bruscos de presión y saturación que ocurren en la cercanía del pozo. En la Fig. 3.6.c se representa esquemáticamente a este tipo de modelo. 3.7.4. Modelo de tres dimensiones Este tipo de simulador, dentro de la clasificación de modelos por el numero de dimensiones, es el más complejo ya que cuenta con la mayoría de las fuerzas que se presentan en el yacimiento, esto es, considera además de los efectos de barrido areal los efectos de barrido vertical. Su uso va para todos aquellos yacimientos que presentan una geología muy compleja, que puede dar como resultado el movimiento de fluidos a través del medio poroso en varias direcciones.



z

42

y x

Flujo

Flujo

Flujo

CONVENCIONAL

Fig. 3.7.a. Modelos de Tres Dimensiones

θ Flujo

Flujo

z

r

RADIAL Fig. 3.7.b. Modelos de Tres Dimensiones

El término “convencional” que aparece en la Fig. 3.1, se utiliza para diferenciar al modelo de tres dimensiones en coordenadas cartesianas (x, y, z) del modelo de tres dimensiones en coordenadas cilíndricas (r, θ, z) o modelo radial de tres dimensiones. En las Figs. 3.7.a y 3.7.b, se muestran estos tipos de simulador. 3.8. GEOMETRIA Con esto se llega al ultimo “parámetro de clasificación” de la Fig. 3.1, a decir verdad, no existe una clasificación de los simuladores en función de la geometría que presentan, como parece indicarse en la figura, ésto es, no puede decirse que no haya un modelo (x) o un modelo (r, θ, z), sino más bien la geometría es una consecuencia del numero de dimensiones que tenga el simulador. De esta manera es claro que un modelo que tenga dos



43

dimensiones, solo podrá tener las siguientes geometrías: • • •

(x, y) si es areal (x, z) si es de sección transversal (r, z) si se trata de un simulador radial

De la misma manera, si al hablar de nivel de simulación se hacen referencia al estudio de pozos individuales, es lógico pensar que las únicas geometrías de las que se ven en la Fig. 3.1 que puede utilizar que pueden utilizar el modelo son: • • •

(r) si es un simulador de una dimensión (r, z) si es un modelo de dos dimensiones (r, θ, z) si se trata de un simulador de tres dimensiones

3.9. ENMALLADO MODERNO La exactitud y eficiencia de un simulador de yacimientos en sistemas complejos depende en gran parte en la selección adecuada de la malla. Las mallas cartesianas son las más fáciles de utilizar aunque presentan varias desventajas entre las cuales se destacan: (a) inflexibilidad para describir fallas, pinchamientos, fracturas hidráulicas, pozos horizontales y discordancias generales que se presentan en los yacimientos (ver Fig. 3.9), (b) inflexibilidad al representar la localización del pozo, y (c) inexactitudes inevitables debido a los efectos de orientación de la malla. Para mejorar las deficiencias de las mallas cartesianas se empleó refinamiento de la malla, y esquemas de diferencias finitas de 9 y 13 puntos. Los efectos de orientación de la malla han sido reducidos en cierto grado con le uso de mallas hexagonales (en forma de colmena) y mallas PEBI. La Fig. 3.9 muestra los nuevos tipos de mallas. Actualmente, tienen gran aplicación las mallas con refinamiento local ya que permiten una mejor descripción del comportamiento de los pozos. Una malla Voronoi se define como la región en el espacio que está más cerca de su nodo que a otros nodos. Las mallas PEBI son localmente ortogonales esto significa que los bloques de las fronteras son normales a las líneas que unen los nodos a los dos lados de cada frontera. (Ver Fig. 3.8). Esto permite una exactitud razonable en el cálculo de las transmisibilidades entre los bloques para distribuciones isotrópicas heterogéneas. Las mallas Voronoi han sido aplicadas a otros campos de la ciencia. Otros nombres son: Celdas Wigner, Dirichlet tesellation, malla PEBI (BIsección PErpendicular), o polígonos de influencia. Este tipo de mallas permite describir mejor el flujo de fluidos cuando existen aspectos estructurales como fallas y discordancias, tal como lo muestra la Fig. 3.10 y 3.11. 3.10. USO DE LA CLASIFICACION Como se comento al inicio de esta unidad, la Fig. 3.1 se hizo con el fin de presentar en ella todos los posibles trabajos de simulación que pueden existir. Como ejemplo, supóngase que requiere simular un proceso de recuperación por inyección de polímeros en dos



44

dimensiones (x, y) en determinado sector de un yacimiento no fracturado. Por lo ya explicado anteriormente, el simulador a emplearse debe ser un modelo composicional. Así pues, el problema anterior queda perfectamente definido en la Fig. 3.1, para ello las alternativas a escoger en cada “parámetro de selección” son las siguientes: • • • • • •

Tipo de yacimiento: no fracturado Nivel de simulación: Sector del yacimiento Simulador: De recuperación química (polímeros) Tipo de flujo en el yacimiento: Composicional Numero de dimensiones: Dos dimensiones (x, y) Geometría: (x, y)

Cabe advertir que se puede dar el caso en que una combinación determinada de “parámetros de selección” de cómo resultado un problema para el cual no exista un simulador en el mercado, e incluso que no se haya reportado nada sobre él en la literatura; un ejemplo podría ser un modelo composicional para simular la inyección de vapor (recuperación térmica) en tres dimensiones (r, θ, z) en un solo pozo de un yacimiento fracturado. En el caso de plantearse un problema con tales características, habría la necesidad de desarrollar el modelo que sea capaz de proporcionar la solución que se busca.

k

c

n

j

s i

k' Nodo Malla triangular o Delaunay (Para conexiones) Bloque Voronoi o PEBI

Fig. 3.8. Bloque Voronoi o PEBI



b) Cartesiana con refinamiento local

a) Cartesiana

c) Cilíndrica

d) Hexagonal

e) Cartesiana híbrida

e) Curvilinea

e) Hexagonal híbrida

Fig. 3.9. Diferentes tipos de mallas Voronoi Falla

D

ire

cc ió n

de

flu

jo

Falla

Dirección de flujo

Fig. 3.10. Aproximación de una falla con una malla cartesiana


45


Fig. 3.11. Malla alrededor de una falla sellante


46


47

UNIDAD 4 EXACTITUD DE LAS SOLUCIONES

En cualquier tipo de trabajo de simulación por computador, es importante determinar la exactitud de la solución generada. En este capítulo, son discutidos varios tipos de errores que pueden causar errores en la solución. 1. Error de Redondeo que puede ocurrir cuando se usa una precisión sencilla de exactitud donde es requerida una precisión doble o una mezcla de variables de precisión sencillas y dobles. 2. Error de Balance de Materia (EBM) es una medida de la consistencia, no de la exactitud. Su causa principal surge de errores no lineales. Con el método IMPES, la EBM es una indicación de la forma en que se soluciona la ecuación Ap = b. Un método para resolver los EBM consiste en usar una iteración de Newton o una iteración cíclica que eventualmente converja en cero los EBM. 3. Error No Lineal ocurre cuando se usa una aproximación lineal (pendiente de la cuerda) para encontrar un valor a un nivel de tiempo n + 1 de una función no lineal tal como son los factores volumétricos de la formación. Ver Fig. 4.1. 4. Error de Inestabilidad es causado por variables dependientes de saturación explicita (krn y pcn) en soluciones IMPES. Una solución por inestabilidad puede tomar pequeños pasos de tiempo o volverse un modelo implícito completamente. 5. Error de Truncamiento es causado por truncamiento en la serie de Taylor. En una solución con error de truncamiento, el tamaño del paso de tiempo, ∆t, y el tamaño de la celda, ∆x, varían por ensayo y error hasta que la solución converja. 6. Dispersión Numérica es causada por discontinuidad en la saturación dentro de una celda. Las soluciones para dispersión numérica son: (1) ∆x pequeños, (2) cálculos para modificar kr, (3) seleccionar apropiadamente ∆t, y (4) usar pseudo kr. Ver Fig. 4.2. 7. Orientación de la Malla puede cambiar la solución final. Estos se presentan por la trayectoria perpendicular o paralela que siguen las partículas durante el proceso. La orientación de la malla es generalmente importante en cálculos de distribución de saturación en un modelo de inyección. Típicamente, un sistema de malla diagonal tendrá mejores resultados de recobro (más óptimos).



48

Pendiente correcta de la cuerda

Bon+1 Pendiente de la cuerda

Bo

Bo n

Bo

∆Bo ∆p

P

n

n+1

P

PRESION

PRESION

Fig. 4.1. Uso de la pendiente de la cuerda para la solución de la ecuación de presión es la mayor causa de error de balance de materia, especialmente cerca del punto de burbuja

Sw

Tiempo Fig. 4.2. Las oscilaciones de saturación de agua como una función del tiempo son un indicativo de inestabilidad con IMPES

4.1. ERROR DE REDONDEO El error de redondeo ocurre debido al número de cifras significativas de cada variable definidas en el simulador. Una precisión simple o doble tiene diferentes significados para



49

diferentes computadores. Es menos ambiguo indicar la precisión con una declaración tal como REAL*4, la cual indica que 4 bytes son asignados para el número. Para una máquina de 8 bit, 32 bits o números binarios serán usados para representar el número. La notación científica es usada. El primer bit es almacenar el signo positivo o negativo, los pocos bits que quedan son usados por la mantisa. El número de bits usados por la mantisa determinan la precisión del número. REAL*4 REAL*8 REAL*16

6-7 cifras significativas 14-15 cifras significativas 30-31 cifras significativas

4.2. ERROR DE BALANCE DE MATERIA (EBM) El error de balance de material es una medida de consistencia, la cual no mide exactitud. La consistencia es un indicativo de la manera que las ecuaciones son programadas y cómo corre el simulador. La exactitud es un indicativo de la precisión de la solución. Dos de las formas para determinar el EBM son: 1. EBM local, solo aplica a pasos de tiempo de producción sencillos que deben igualarse a cero. La ecuación de balance de materia para el aceite es: ⎡ ⎛ V p S o ⎞ n+1 ⎛ V p S o ⎞ n ⎤ EBM Local = ∑ ⎢ ⎜ ⎟ -⎜ ⎟ ⎥ + ∑ q o∆t B o ⎠ ⎥ ⎝ i, j ⎢ ⎝ B o ⎠ ⎣ ⎦ i, j

(4.1)

2. EBM Acumulado, la ecuación de balance de material para el aceite, es definida para que un error positivo indique mucho fluido en el yacimiento:

EBM Acumulado = OIP n +1 − OOIP o + N n

(4.2)

⎡⎛ V p So ⎞ n +1 ⎛ V p S o ⎞o ⎤ n +1 EBM Acumulado = ∑ ⎢⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎥ + ∑∑ qo ∆t B ij ⎢⎝ Bo ⎠ ⎝ o ⎠ ⎥⎦ 1 ij ⎣

(4.3)

Problema: Las ecuaciones de balance de material se conservan tal como están escritas. Sin embargo, las ecuaciones escritas sobre el papel no se solucionan con exactitud en el simulador. Causas de EBM: 1. Ecuaciones no conservativas 2. Residuos en métodos de matriz iterativa 3. Coeficientes no lineales (coeficiente que cambian con la solución, por ejemplo presión) 4. Errores de redondeo 5. Errores de sintaxis



50

4.3. ERRORES NO LINEALES La ecuación que se resuelve es la de presión, la cual causa dos errores críticos. La ecuación de presión con Rs es la siguiente: n +1 o

B ∆ao ∆p

n +1

n +1 w

+ B ∆aw ∆p

n +1

n +1 g

+ B ∆a g ∆ p

n +1

=

V pn ct ∆t

(p

n +1

− pn )

(4.4)

+ Bgn +1∆Rsn ∆ao ∆p n +1 − Bgn +1 Rsn +1∆ao ∆p n +1

donde: ct = c f + co Son + cw S wn + cg S gn

cf =

1 ∆V p n V p ∆p

co = -

1 1 ∆ B o B n+ g ∆Rs + n n B o ∆p B o ∆p

(4.5)

cw = -

1 ∆Bw n B w ∆p

(4.6)

cg = -

1 ∆Bg n B g ∆p

(4.7)

La mayor fuente de error cuando se soluciona la ecuación anterior es el uso de aproximaciones de la pendiente de la cuerda para cálculos de ct, especialmente cerca del punto de burbuja. Otro problema es el cálculo del factor volumétrico de formación a un nivel de tiempo n + 1. Esencialmente, cualquier cálculo a un nivel de tiempo n + 1 introducirá un error. Desde que estos valores no sean realmente conocidos, los valores anteriores generalmente serán usados.

Posibles Soluciones a Errores no Lineales: 1. Tomar pequeños pasos de tiempo. 2. Usar una iteración cíclica (Newton). Iterar las soluciones IMPES para obtener un buen estimativo del factor volumétrico de formación en el paso de tiempo n + 1. Un número infinito de iteraciones deberían resultar en cero EBM. NOTA: Debido a que EBM es igual a cero, no significa que la solución sea correcta. Esto significa que la masa se conserva. El fluido puede no estar en la ubicación correcta. 4.4. ERROR DE INESTABILIDAD El error de inestabilidad es causado por: a. IMPES – Implícito en presión, explícito en saturación, krn y Pcn. Para el límite krn, este es un límite de paso de tiempo tal que si se toma un paso de tiempo



51

mayor, IMPES se desborda. ∆t ≤

∆x φ

(4.8)

⎛ df ⎞ ut ⎜ max ⎟ dS w ⎠ ⎝

Solución: Tomar pasos de tiempo pequeños si es práctico o convertirlo en un modelo completamente implícito. b. Completamente Implícito: Este es estable para cualquier tamaño de ∆t, pero la convergencia no está garantizada.

4.5. ERRORES DE TRUNCAMIENTO La ecuación de diferencias finitas es una aproximación basada en una expansión de la serie de Taylor. La exactitud de la solución depende de la magnitud del término de truncamiento. Las series de Taylor son:

∆x 2 ∆x3 f ( x + ∆x) = f ( x) + ∆x f '( x) + f "( x) + f "'( x) + ... 2! 3! f ′(x) =

∆ x2 f (x + ∆x) - f (x) ∆x ′′ f (x) f ′′′(x) + .... ∆x 2! 3!

(4.9) (4.10)

Esta es una serie infinita teóricamente exacta para un número de términos infinitos. Sin embargo, si se trunca la serie después de n términos, entonces se introduce un error de truncamiento como el siguiente:

f ′(x) =

f (x + ∆x) - f (x) - O ( ∆x ) ∆x

(4.11)

Solución al Error de Truncamiento: Variar independientemente el tamaño de los pasos de tiempo, ∆t, y el tamaño de celda, ∆x, y comparar los resultados gráficamente. Como las soluciones tienden a converger, se debe aproximar el valor “correcto” para ∆t y ∆x. Es un método de ensayo y error que determina el valor “correcto” para ∆t y ∆x. La Fig. 4.3 ilustra el efecto de la variación del tamaño de los pasos de tiempo. Note que cuando ∆t es pequeño, la solución de presión converge. El ∆t apropiado para usar es el que optimice la eficiencia y la exactitud del computador. Por ejemplo, en la Fig. 4.3, un ∆t de 1.25 días es probablemente la selección apropiada para este caso. No hay una pérdida significativa de exactitud pasando de un ∆t de 0.15 días a 1.25 días mientras el número de pasos de tiempo es reducido sustancialmente.



52

Presión (x=100 ft), psi

1000

∆t = 10 días ∆t = 5 días

800

∆t = 1.25 días ∆t = 0.15 días

600

400

200 0

10

20

30

40

50

60

70

80

Tiempo, días

Fig. 4.3. Efecto de variar el tamaño de los pasos de tiempo (∆t) en la presión a 100 ft

4.6. DISPERSIÓN NUMÉRICA

La dispersión numérica es vista durante desplazamiento inmiscible. Por ejemplo, cuando el agua desplaza el aceite en una dimensión. Este desplazamiento es algunas veces llamado “Flujo Buckley-Leverett”. El “Flujo Buckley-Leverett” asume un sistema incompresible e ignora la presión capilar. El “Flujo Buckley-Leverett” es ilustrado en las Fig. 4.4 a 4.6. Una característica del “Flujo Buckley-Leverett” es el “choque” o el frente de saturación claramente definido. Las ecuaciones diferenciales que se solucionan, con ecuaciones de presión IMPES, son de tipo parabólicos lo cual implica una función de ajuste sin discontinuidades. Para minimizar la dispersión numérica, deben ser usados valores corriente arriba de kr, pero esto resultaría en un frente “disperso”. La simulación no genera un “choque” o predice claramente el frente Buckley-Leverett. La Fig. 4.6 ilustra el efecto de dispersión numérica comparando un perfil de saturación de agua calculado en una solución Buckley-Leverett teórica. Si se programa normalmente la permeabilidad relativa, tan pronto como la saturación de agua en una celda es mayor que la saturación irreducible, la permeabilidad relativa del agua no es mayor que cero. En el siguiente paso de tiempo, el flujo de agua estará por todo el bloque circundante el cual tiene un menor Φw. Con este escenario en mente, es aparente que en un número de pasos de tiempo iguales al número de celdas entre el pozo inyector y productor, el frente de ruptura del agua (aunque pequeño) será predicho por el simulador.



53

90

Buckley-Leverett teórico

80 70 60

Resultado de la simulación

Sw 50

numérica

40 30 20 10 0 0

300

600

900

1200

Distancia, ft Fig. 4.4. Dispersión Numérica en un perfil de saturación Soluciones para Minimizar la Dispersión Numérica: 1. Reducir el tamaños de Celdas, ∆x: para celdas grandes, la definición de saturación no aplica. Sin embargo, esta es mejorada con pequeñas (o más) celdas. 2. Modificar los Cálculos de kr: Para la permeabilidad relativa, kr, se usa ponderamiento corriente arriba en lugar de un promedio aritméticos (entre dos celdas). La Fig. 4.7 muestra para kr que los ponderamientos corriente arriba dan mejores resultados. 3. Seleccionar un Mejor Tamaño de Pasos de Tiempo (t): El método Buckley-Leverett solucionado en la Ec. 4.12, el cual no depende del caudal, solo de como el movimiento de la saturación se lleva a cabo a través del sistema. df ∂S ∂S = vt dS ∂x ∂t

(4.12)

Sin embargo, actualmente se usa la Ec. 4.13, la cual es una ecuación diferencial de convección–difusión donde c = concentración. 2 ∂c ∂c ∂c = - vt +d 2 ∂t ∂x ∂x

(4.13)



54

0.9 0.8 0.7

En una celda no se puede localizar con exactitud la localización del frente

0.6

Sw

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

5

10

15

20

Bloques

Fig. 4.5. Dispersión numérica es causada por la inhabilidad para simular la discontinuidad de la saturación en una celda. 0.9

Buckley-Leverett teórico

0.8 0.7 0.6

40 bloques 20 bloques 10 bloques

0.5

Sw

0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

5

10

15

20

Distancia, ft

Fig. 4.6. Efecto del número de bloques en la dispersión

El segundo término en la Ec. 13 es el término difusión (o dispersión numérica). Los modelos IMPES y el completamente implícito solucionan la Ec. 13 accidentalmente, ya que el segundo término es realmente un término de error. Para IMPES: d=

df ⎞ v t df ⎛ ∆t ⎟ ⎜ ∆x - v t 2 dS ⎝ dS ⎠


(4.14)


55

Relación de Movilidad favorable 0.8 50/50 Curva Buckley-Leverett 0.6

Sw 0.4

0.2 0.0

Corriente arriba

0.25

0.5

0.75

1.0

Fracción de la longitud del sistema

Relación de movilidades desfavorable 0.8

Curva de Buckley-Leverett 0.6

Sw

50/50

0.4

0.2 0.0

Corriente arriba

0.25

0.5

0.75

1.0

Fracción de la longitud del sistema

Fig. 4.7. Perfiles de saturación en modelos de inyección computados con diferentes esquemas de ponderamientos movilidad Para implícito: d=

df ⎞ v t df ⎛ ∆t ⎟ ⎜ ∆x + v t dS ⎠ 2 dS ⎝

(4.15)

Para reducir la dispersión, se hace d = 0. d será cero cuando: ∆x − vt ∆t =

df ∆t = 0 , ds

ó,

φ∆x ⎛ df ⎞ ut ⎜ ⎟ ⎝ ds ⎠

4.16)



56

donde: vt =

ut

(4.17)

φ

Sin embargo, a estos pasos de tiempo, IMPES está al borde del desbordamiento (inestabilidad). Además, no se puede satisfacer la Ec. 4.16 para cada celda simultáneamente. De este modo, en la práctica no se puede eliminar la dispersión numérica con la selección del tamaño del paso de tiempo. 4. Uso de Permeabilidades Pseudo Relativas: Las modificaciones de los datos pueden disminuir la dispersión numérica. Una de estas modificaciones puede ser aplicada a permeabilidad relativa. Las Figs. 4.8.a - 4.8.c ilustran este punto. Consideraciones Prácticas. El “Flujo Buckley-Leverett” puede no aplicarse a situaciones reales de campo. La dispersión en un yacimiento puede ser causada por (a) Presión Capilar, la cual actúa fuera del frente, especialmente en yacimientos de baja permeabilidad, y (b) Heterogeneidades.

Pseudofracción - Permeabilidad Relativa

1 0.9

Pseudofunción convencional 0.8

Pseudofunción modificada

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3

0.2 0.1 0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Sw, fracción del PV

Fig. 4.8.a. Ejemplo del uso de funciones de permeabilidad pseudo - relativa modificadas para reducir la dispersión numérica – Pseudo Funciones Modificadas y Convencionales



4800

Producción Producción

5200

Profundidad, ft

57

240 ft

8

9

7 6

240 ft

5

240 ft

5600

Injección

4 3

Injección 6000

2

9 x 1 1D Areal

Corte seccional 27 x 20 20250 ft

750 ft

6400

21,000

20250 ft

6800

1

2250 ft

15,000

9000

3000

0

Distancia, ft

Fig. 4.8.b. Ejemplo del uso de funciones de permeabilidad pseudo – relativa para reducir la dispersión numérica - Usando modelos 1D y sección transversal para evaluar el procedimiento. 0.8 0.7 0.6

S w, PV

0.5 0.4

Recobro a ruptura, % OOIP

0.3

Conventional pseudos 45.2 w/9 areal blocks Modified pseudos w/9 areal block

0.2

34.9

Conventional pseudos 45.6 w/27 areal blocks

0.1

Cross section

0

0

1

9

2

7

3

8

4

6

5

5

6

4

45.2

7

3

8

2

9

1

Numero de bloque areal

Fig. 4.8.c. Uso de funciones de permeabilidad pseudo–relativa modificadas para reducir la dispersión numérica – Comparación con pseudo funciones convencionales y modificadas.

Por lo tanto, para problemas tipo campo, puede no ser necesario eliminar la dispersión numérica del todo.

4.7. PROBLEMAS DE ORIENTACIÓN DE LA MALLA

La Fig. 4.9 ilustra un ejemplo de dos métodos para el esquema normal de cinco puntos. La trayectoria del flujo de un inyector a un productor es paralela a las líneas de la malla -Fig.



58

4.9(a)- y diagonales a las líneas de la malla -Fig. 4.9(b)-. Para presión, no importa cuales direcciones de mallas son orientadas, pero para saturaciones (inyección de agua), existe una diferencia, que puede llegar a ser significativa a punto de obtener resultados irrealísticos. Problemas de Orientación de la Malla: 1. Relaciones de movilidad altas dan como resultado diferentes soluciones dependiendo de la orientación de la malla. Para relaciones de movilidad alta (fluido desplazante/fluido desplazado), la Fig. 4.11(a) y 4.11(b) muestran diferentes soluciones. 2. Una malla diagonal predice mejores recobros. La Fig. 4.10 muestra diferentes soluciones para mallas diferentes. Las mallas diagonales predicen un recobro más eficiente y mayor aceite antes del frente de ruptura del agua.

a) Diagonal

Parallel

Fig. 4.9. Ejemplo de orientaciones de malla

Una de las soluciones para problemas de orientación de malla es un esquema de nueve puntos, ilustrado en la Fig. 4.11(b), donde el flujo en el centro del bloque se da en ocho direcciones. La Fig. 4.11 muestra como se solucionan las ecuaciones.



59

1

Recuperación de aceite, PV

0.9

0.8

0.7

0.6

∆x=0.1 ∆x=0.05

0.5

∆x=0.2 Yanosik-McCraken 9 points

0.4 0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

PV Inyectados Fig. 4.10. Influencia del espaciamiento de las mallas y la formulación de ecuaciones en el comportamiento calculado de desplazamientos con relación de movilidad desfavorable a) Cinco Puntos

b) Nueve puntos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Fig. 4.11. Ilustración simbólica de ecuaciones de flujo de formulación de cinco y nueve puntos



60

UNIDAD 5 AJUSTE HISTORICO 5.1. INTRODUCCIÓN

Uno de los usos más comunes de la simulación de yacimientos para problemas de campo es el ajuste histórico. Este es un proceso de estimación de datos de yacimiento mediante datos arrojados por un simulador, los cuales generan un comportamiento del yacimiento similar a los datos reales en el campo. Esto, algunas veces es llamado problema inverso. En otras palabras, se inicia con la solución (datos reales de campo) y se prueba para definir el problema (descripción del yacimiento). Los datos reales de campo son usualmente son caudales de producción/inyección y presiones de restauración de pozo. Los datos reales de campo pueden tener un error. Algunas veces se convierten en un problema mayor el obtener un ajuste histórico aceptable. Para esta discusión, sin embargo, se asumirá que los datos reales de campo son exactos. Un principio del ajuste histórico es que un ajuste no es único. Esto es, que más de un grupo de datos de yacimiento pueden ajustarse a los medidos en campo con igual exactitud. Esta es una conclusión matemática complicada por las escasas y erróneas medidas de campo. Esto implica la responsabilidad del ingeniero para realizar un juicio entre los grupos diferentes de datos. Realizando ese juicio, otras fuentes de datos pueden ser analizadas, tales como registros de pozos, pruebas de producción, análisis de núcleos, interpretaciones geológicas, etc. Muchos trabajos han desarrollado técnicas para ajustar automáticamente la presión, pero la mayoría de ajustes históricos están hechos por el ingeniero usando una aproximación de ensayo y error por medio de análisis y juicios para modificar los datos de yacimiento y entonces volver a correr el simulador. Durante este proceso, el ingeniero está probando para ajustar las presiones medidas en campo con las presiones del simulador. Para yacimientos de gas de una sola fase, no existe el problema adicional de ajustar relaciones agua – aceite y relaciones gas – petróleo. 5.2. COMPARACIÓN DE LA PRESIÓN DEL SIMULADOR CON LOS DATOS DE PRESIÓN DE RESTAURACIÓN

Es posible ajustar la presión de fondo fluyendo, Pwf. No obstante, que el dato no está usualmente disponible y no es muy confiable a causa de posibles inexactitudes en el dato de caudal. Es más común y mucho más confiable ajustar el dato de presión de restauración cuando está disponible. El problema es como ajustar el dato de presión de restauración. La escala de tiempo de la prueba de presión de restauración es usualmente muy corta para modelar exactamente con una malla a escala de campo debido a que las celdas son muy



61

grandes. Peaceman propuso un método para comparar presiones de celda del simulador con presiones de restauración. La Fig. 5.1 muestra un perfil de presión en una celda que contiene un pozo productor. El perfil de presión asume un estado pseudoestable. Se observa que la presión de celda (la presión promedio del balance de materia incide la celda) está en alguna parte entre Pwf y la presión promedio de yacimiento. La Fig. 5.2 muestra la curva de presión de restauración correspondiente a los datos de campo. La presión de celda corresponde a la presión de restauración de campo apropiada encontrada en la línea recta de la gráfica semilog a un tiempo ∆to el cual es calculado por la siguiente ecuación: ∆t o (hrs ) =

67.5φµ c t∆ x 2 k

(5.1)

Pozo P

Nodo en el pozo Po P-Pwf

p

Po -Pwf Pwf

∆x

Fig. 5.1. Perfil de presión en una celda que contiene un pozo productor Ps (psi) 2940

2900 p= 2872 psi

2860

∆to = 0.8746 hr

0.1

1

10

100

1000

∆t, hr

Fig. 5.2. Curva de presión de restauración para el ejemplo problema 4



62

La “presión de ajuste”, Po, corresponde a la presión de estado estable a 0.2∆x la cual se usa en la expresión de “transmisibilidad”. Si Po es la misma presión de la celda, Pi,j, entonces el simulador ajusta apropiadamente el comportamiento de campo. Ejemplo 1. Cálculo de la “Presión de Ajuste” de una prueba de restauración presión

Tabla 5.1. Datos de prueba de restauración de presión para ejemplo Tiempo de cierre, ∆t, hrs 0.10 0.23 0.39 0.84 1.56 3.50 7.38 15.11 30.53 61.31 122.72 245.24 489.71 840.00

Presión de restauración, Ps, psia 2854.5 2861.5 2865.5 2871.5 2875.6 2881.0 2886.2 2891.0 2895.5 2900.0 2904.1 2907.1 2909.3 2910.4

Problema. Encontrar la “Presión de Ajuste” de la siguiente prueba de campo de presión de restauración.

q = 23,000 scf/D k = 0.15 md φ = 0.18 ct = 5 x 10-6 psi-1 Datos del modelo: ∆x = 100 ft Solución. La solución sigue estos simples pasos: (1) graficar los datos de restauración en escala log ∆t, (2) dibujar una “línea recta en semilog”, (3) calcular ∆to, y (4) encontrar Po a ∆to en la “línea recta en semilog”. Esta es la “presión de ajuste” la cual será comparada con la presión de celda del simulador al tiempo de la prueba de presión de restauración. La Fig. 5.2 muestra el dato de restauración de campo graficado a escala semilog. La presión de ajuste es encontrada mediante el cálculo de ∆to como sigue:



∆t o =

(67.5)(0.18)(0.0216)(5x10-6)(100 2) = 0.8746 hrs (0.15)

63

(5.2)

y encontrando la presión correspondiente en la línea recta en semilog: Po = 2872 psig Esta presión es entonces comparada con la presión de celda del simulador cuando se evalúa la corrida de ajuste histórico. 5.3. PRESIÓN DE AJUSTE HISTÓRICO

Ahora que la presión apropiada ha sido encontrada por ajuste, se discutirá como el dato del simulador es modificado para ajustar las presiones de campo. La mayoría de ajustes históricos realizados por ingenieros usan un modelo de ensayo y error. Un ingeniero experimentado usa su conocimiento sobre los fundamentos del comportamiento de la presión para guiar las modificaciones de los datos. La primera consideración es ajustar el tamaño del yacimiento, o el gas original in-situ. (No se considera influjo de agua en esta discusión.) Esto es frecuentemente determinado con un simulador, pero usa los principios del balance de materia. Durante el estado pseudoestable, se conoce que todos los puntos en el yacimiento depletan en un caudal dado por:

q Bg dp =− g dt V p ct

(5.3)

El volumen poroso, Vp, puede representarse como una integración de un mapa de contornos ∆h y los efectos de φ y h no pueden ser separados. La compresibilidad total, ct, es igual a cf + cgSg + cwSw. El valor de cg, puede no ser verdadero a presiones mayores a 6,000 psig, por encima de la cual cg comienza a ser relativamente pequeño. En este caso de presión mayor, la atención debería estar enfocada a obtener estimativos aceptables de cf. El término cwSw usualmente es menos importante (menor) que cf. Una vez que el gas in-situ ha sido ajustado por el comportamiento de estado pseudoestable, el comportamiento transitorio deberá ser ajustado. La magnitud de la caída de presión es inversamente proporcional a la “transmisibilidad”, kh, y el momento de la caída de presión es inversamente proporcional a la difusividad, k/φµct. Esta relación puede ser vista en las relaciones de caída de presión adimensional y tiempo adimensional usado en análisis de pruebas de presión. Otro método de ajustar kh es por medio de un análisis de los perfiles de gradiente de presión (gráfica de presión vs. distancia) a un tiempo particular. Si ésto se refiere a migración de fluido de un lado del yacimiento al otro, la magnitud del gradiente de presión es inversamente proporcional a kh. En casos reales de campo el análisis del ajuste histórico pude ser mucho más complicado. Siempre se considera que el yacimiento es más homogéneo de lo que es. La



64

falta de homogeneidad es frecuentemente demostrada cuando se perforan nuevos pozos y sus propiedades son sorprendentes. La falta de homogeneidad es también demostrada cuando se inyectan fluidos en el yacimiento y se encuentra falta de continuidad. Muchos yacimientos son complicados debido a los sistemas de sello y fallas parcialmente selladas, las cuales son difíciles de detectar. El ajuste histórico para estos casos frecuentemente involucra análisis pozo a pozo y ensaya y error. Los principios mencionados son muchas veces encontrados para usarse aún si estos no comprenden análisis completos. Un ejemplo se mostrará para ilustrar estos principios. Ejemplo 2. Ajuste Histórico de Presiones de Yacimiento Problema. Desarrolle el ajuste histórico sintético para tres años, y grafique la presión de la cara del pozo vs. tiempo para el pozo No. 1 y los perfiles de presión al final de cada año (ver Fig. 5.3).

k = 1.0 md µg = 0.70 cf = 3.0x10-6 psi-1 IMAX = 20

φ = 0.10 Pinicial = 6000 psia ∆y = 100 ft

h = 30 ft T = 150 0F ∆x = 100 ft JMAX = 5

Datos de historia real:

La “historia real” para este problema se generó por una corrida de simulación. Esto es llamado “ajuste histórico sintético”. Este proceso de ajuste sintético histórico es el mismo ajuste real de datos de campo probando para deducir que dato resultó en el comportamiento observado. Para el ejemplo 2, el dato de presión observada es bajo. Las presiones son reportadas como Po las cuales podrían ajustar la presión de la celda. Estas presiones se tomaron de pruebas de restauración de presión como se discutió anteriormente. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

1 2 3 4 5 Pozo # 1 en (4,3), pozo # 2, en (10,3) y pozo # 4 en (17,3)

Fig. 5.3. Celdas del Ejemplo 2 (ajuste histórico sintético)


18

19

20


65

Tabla 5.2. Programa de Producción (scf/D) Año

1 2 3

Pozo 1 I = 4, J = 3 40000 60000 100000

Pozo 2 I = 10, J = 3 0 40000 60000

Pozo 3 I = 17, J = 3 0 0 60000

Tabla 5.3. Datos de presión de restauración Tiempo, años 0.000 0.202 0.466 1.000 1.466 2.000 2.308 3.000

Pozo 1 6000 5907 5856 5779 5605 5446 5233 4857

Pozo 2

Pozo 3

4972

5036

Solución. Se tiene la historia completa de presión del pozo 1 durante ocho pruebas de restauración de presión. Sobre los pozos 2 y 3 solo se tiene una presión final de restauración al final de tres años. Las Figs. 5.4, 5.6 y 5.8 muestran el gráfico Po vs. tiempo para el pozo 1 con corridas de simulación 1, 2 y 3, respectivamente. Las Figs. 5.5, 5.7 y 5.9 muestran el perfil de presión a través de todo el yacimiento con corridas de simulación 1, 2 y 3 respectivamente. La historia real es mostrada en cada gráfica. Imagine que se comparan la corrida de la simulación 1 con la historia actual en las Figs. 5.4 y 5.5. Note que el rango de declinación de la presión es muy rápido en la corrida 1. Es aparente que el estado pseudo estable ha sido alcanzado a partir de la forma de la curva de la corrida 1 en la Fig. 5.4. Ya que se tienen datos completos para la corrida 1, se podría hacer algo para estimar el tiempo requerido para alcanzar el estado pseudoestable, a partir de la teoría del análisis de la prueba de pozo (radio de investigación). Note que siempre que se tiene una información completa para analizar el comportamiento de las corridas del computador mientras los datos reales del yacimiento son desconocidos. A partir de la discrepancia del rango de depletamiento, se decide incrementar Vp por incremento de la porosidad desde 0.10 a 0.15. Se usa la ecuación 2 para realizar el análisis en el rango de depletamiento. Ahora la corrida 2, con φ = 0.15, muestra que el rango de depletamiento está cerca de la derecha en la Fig. 6, pero el comportamiento transiente no produce bastante caída de presión luego del inicio del estado pseudoestable. El nivel de presión está cerca a la parte derecha de la Fig. 5.7 pero el gradiente de presión es muy plano. Ambas gráficas indican que kh/µ es muy alto. No se desea cambiar h (junto con algunas razones convincentes) debido a que se cambiaría Vp. Se asumirá que φ es correcta. También se cambia la permeabilidad desde 1.0 md hasta 0.2 md. Se halló que la



66

corrida 3 es un ajuste perfecto de la historia real.

6500

Corrida # 1, φ = 0.1, k = 1 md

P wf, psi

6000

5500

History real 5000

4500

4000 0

200

400

600

800

1000

1200

Tiempo, días Fig. 5.4. Presión de la cara del pozo Nº 1 vs. tiempo para la corrida No.1 (ajuste histórico sintético) 5200

History real 5000

Corrida # 1, φ = 0.1, k = 1 md

P wf, psi

4800

4600

4400

4200

4000 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Nodo

Fig. 5.5. Perfil de presión a los 3 años para la corrida Nº 1 (ajuste histórico sintético)



67

6500

Corrida # 2, φ = 0.15, k = 1 md

P wf, psi

6000

5500

Historia real

5000

4500

4000 0

200

400

600

800

1000

1200

Tiempo, días

Fig. 5.6. Presión de la cara del pozo Nº 1 vs. tiempo para la corrida Nº 2 (ajuste histórico sintético) 5200

Corrida # 2, φ = 0.15, k = 1 md

5100

P wf, psi

5000 4900 4800

History real 4700 4600 4500 4400 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Nodo Fig. 5.7. Perfil de presión a los 3 años para la corrida Nº 2 (ajuste histórico sintético)



68

6500

6000

P wf, psi

Corrida # 3, φ = 0.15, k = 0.2 md 5500

History real 5000

4500

4000 0

200

400

600

800

1000

1200

Tiempo, días Fig. 5.8. Presión de la cara del pozo No. 1 vs. tiempo para la corrida Nº 3 (ajuste histórico sintético) 5200

Corrida # 3, φ = 0.15, k = 1 md

5100

P wf, psi

5000 4900 4800

Historia real

4700 4600 4500 4400 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Nodo

Fig. 5.9. Perfil de presión a los 3 años para la corrida Nº 3 (ajuste histórico sintético) El dato de historia real fue generado para este problema con el dato de la corrida 3.



69

Observando la historia real y decidiendo los cambios de datos a realizar, se ha trabajado en una manera similar a un estudio de yacimiento real. El caso de estudio es mucho más simple, y el yacimiento pasó a ser homogéneo. El ajuste histórico en la práctica es mucho más complicado debido a los errores de los datos, heterogeneidades, más pozos, y descripciones geológicas más complicadas (frecuentemente 3-D). El ingeniero nunca está completamente seguro de la exactitud de la descripción del yacimiento. 5.4. PRONÓSTICO DEL COMPORTAMIENTO

El principal objetivo de un proyecto de simulación es pronosticar el comportamiento. Durante el ajuste histórico, los caudales son especificados para cada pozo durante todo el periodo histórico. Los caudales usualmente son desconocidos para el periodo de pronóstico, también otras condiciones usualmente son especificadas. La condición más común es especificar la presión de fondo fluyendo, Pwf, y permitir al simulador calcular los caudales para cada paso de tiempo. El objetivo de los proyectos de simulación de campo es usualmente comparar alternativas con el propósito de ayudar a tomar decisiones. Un caso base es corrido usualmente, el cual representa operaciones actuales continuas. Entonces otros casos son corridos, los cuales representan operaciones alternativas, tales como perforación de nuevos pozos, aumentar los compresores del campo, estimulación de pozos, inyección de fluidos (no es común esta discusión para yacimientos de gas seco, excepto para yacimientos almacenadores de gas), etc. Decisiones de operación se efectuan con base en los pronósticos de comportamiento y económicos.



70

UNIDAD 6 PRINCIPIOS BÁSICOS 6.1. INTRODUCCIÓN

Se ha dicho que la simulación ayuda a describir, con cierta precisión, el comportamiento de procesos físicos que ocurren en los yacimientos. Para ello el ingeniero debe identificar dichos procesos y formular las ecuaciones matemáticas que las gobiernan. Sin embargo, esta tarea no es nada fácil ya que el flujo de fluidos en medios porosos es un fenómeno muy complejo y para representarlo se deben considerar ecuaciones que describan el flujo de los fluidos en 1, 2, ó 3 fases, a través de “canales de flujo” que presentan variaciones de uno o varios órdenes de magnitud en donde los fluidos pueden ser tratados como incompresibles, ligeramente compresibles o compresibles. Además para representar el sistema de flujo pueden considerarse 1, 2 e incluso 3 dimensiones, incluyendo si se desea, heterogeneidad en las propiedades petrofísicas, efectos gravitacionales, efectos capilares y transferencia de masa entre las fases. Con lo anterior es fácil suponer que la habilidad para predecir el comportamiento de un yacimiento estará en función, primero, de la habilidad que tenga el ingeniero para identificar el proceso físico que se presenta en el yacimiento y después, para representar dicho proceso en forma matemática. Las ecuaciones que se emplean en la simulación de yacimientos se obtienen de la combinación de varios principios físicos como son: a) b) c) d) e)

Ley de la conservación de masa Ley de la conservación de momento Ley de la conservación de energía (1ª Ley de la termodinámica) Ecuación de flujo (Ley de Darcy) Ecuaciones de Estado

Este módulo está dedicado al estudio de las ecuaciones básicas que se utilizan para desarrollar un modelo de simulación. 6.2. TIPOS DE ENERGÍA EN EL FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

El flujo a través de medios porosos está relacionado con tres tipos de potencial de energía o fuerzas que son: a) Energía gravitacional, b) Energía de presión, y c) Energía cinética (la cual se desprecia debido a la velocidad del fluido en el medio poroso).



71

6.2.1. Energía gravitacional

La fuerza gravitacional que actúa en un cuerpo de masa “m” es:

Fg = mg

(6.1)

La dirección de esta fuerza es vertical (coordenada Z). Si la masa “m” se mueve bajo la acción de la fuerza, Fg, el cambio de energía gravitacional (trabajo) está dado por:

dEg = Fg dZ = mgdZ

(6.2)

Integrando la ecuación (6.2) para tener el cambio total en energía gravitacional: Eg

∫ dE

Eo

Z

g

= mg ∫ dZ Zo

Eg - Eo = mg ( Z − Z o )

(6.3)

Zo (Nivel de Referencia)

Fig. 6.1. Esquema del nivel de referencia En el nivel de referencia, Zo, la energía gravitacional (Eo) toma el valor de cero. Entonces la ecuación (6.3), se escribe de la siguiente manera: Eg = mgZ

(6.4)

Hay que hacer notar que mg es el “peso” o fuerza necesaria para levantar un cuerpo, una distancia Z arriba del nivel de referencia; el trabajo hecho proporciona un almacenamiento de energía. 6.2.2. Energía de Presión

En general, para procesos de desplazamiento de fluidos la expresión para el trabajo es:



δ W = ( fuerza )(distancia ) = (área)( presión)(distancia)

72

(6.5)

pero,

(distancia)(área ) = (volumen) Por lo que la expresión (6.5) se puede escribir como:

δ W = dP V ó,

δ W = V dP

(6.6)

Como la energía disponible en un fluido a presión es equivalente al trabajo realizado para comprimir dicho fluido, la Ec. (6.6) toma la forma:

dE p = V dP Integrando: Ep

∫ dE

P

p

Eo

= ∫ VdP Po

(6.7)

P

E p − Eo = ∫ VdP Po

El lado derecho de la ecuación anterior se evalúa de la relación P vs. V que es medida en el laboratorio como se ilustra en la Fig. 6.2. Esta figura muestra la relación existente entre la presión y el volumen obtenido en el laboratorio. Alternativamente estos cambios de energía pueden expresarse en términos de la densidad del fluido ρ como se muestra a continuación:

ρ=

m V

(6.8)

Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (6.7), P

E p − Eo = m ∫

Po

dP

(6.9)

ρ

Tomando como referencia la presión atmosférica, a la cual Eo = 0, la ecuación (6.9) se transforma a:



73

V

Volumen

1

V0 P1

P0

Presión Fig. 6.2. Trabajo aplicado sobre un elemento de volumen P

Ep = m

∫

dP

(6.10)

ρ

Patm

6.3. POTENCIAL DE FLUJO, Φ

Un principio fundamental de la mecánica de fluidos a través del medio poroso es que los vectores de la velocidad del fluido son siempre normales a las superficies equipotenciales y que la magnitud de dichos vectores son proporcionales al gradiente de estos potenciales; ésto es, la distribución de potencial dentro de un fluido determina su movimiento y la velocidad de dicho movimiento, Fig. 6.3. Hubbert define al potencial Φ como “Energía mecánica por unidad de masa de fluido en cualquier localización”. Según ésto, el potencial gravitacional y el potencial de presión se pueden obtener de las ecuaciones (6.4) y (6.10) respectivamente: Φg =

Φp =

Eg m Ep m

= gZ P

=

∫

Patm

(6.11) dP

(6.12)

ρ

Para llevar un fluido a una localización determinada deben realizarse algunas clases de trabajo en dicho fluido, la suma total del trabajo hecho en el fluido refleja la energía mecánica dentro del mismo. De esta manera, si se considera una partícula de fluido en un punto en el que se sabe que el potencial es cero (Φo = 0), entonces el potencial asociado con



74

éste fluido en movimiento hacia una nueva localización es Φ; Φ se calcula tomando en cuenta todo el trabajo realizado sobre el fluido, o sea: Líneas Isopotenciales

φ1

φ2

Líneas de flujo

φ3

φ4

Fig. 6.3. Isopotenciales y líneas de flujo Φ = Φ p + Φg

(6.13)

ó bien utilizando las ecuaciones (6.11) y (6.12), P

Φ=

∫

Po

dP

ρ

+ gZ

(6.14)

La ecuación (6.14) es la expresión general de potencial de flujo en donde Po es la presión en el punto inicial que en la ecuación (6.12) era considerada como la Patm. 6.3.1. Potencial de flujo para líquidos y para gases

Si se trata de un líquido (como se verá más adelante), la variación de la densidad con respecto a la presión se considera constante (fluido ligeramente compresible). Así pues, la compresibilidad del fluido está dada por: cf =

1 dρ = constante ρ dP


(6.15)


75

Despejando “dP” de la ecuación (6.15) se tiene: 1

dP =

cf ρ

dρ

(6.16)

Sustituyendo (6.16) en (6.12), ΦP =

1 cf

ρ

∫ ρ

dρ

o

ρ

2

=

1 ⎛ 1 1⎞ ⎜ − ⎟ c f ⎝ ρo ρ ⎠

En términos de presión la ecuación anterior se expresa como: ΦP =

1 ⎡ −c ( P−P ) 1− e f o ⎤ ⎣ ⎦ c f ρo

Si la diferencia de presión (P - Po) es pequeña, el exponente puede aproximarse como: [1 - cf (P - Po) ] luego: ΦP =

P − Po

ρo

Sustituyendo esta última ecuación en la ecuación (6.14) se obtiene la expresión del potencial del flujo para líquidos, ecuación (6.17). ΦL =

P - Po

ρo

+ gz

(6.17)

Donde los términos Po y ρo se refieren a la presión y a la densidad del fluido en el punto inicial. Para obtener la expresión que proporcione el potencial de flujo para gases, se procede de la siguiente manera: a) Partiendo de la ecuación de los gases ideales se llega a la siguiente expresión: P

ρ

=

RT PAtm = m ρ Atm

(6.18)

donde: ρ = densidad a la presión P.



76

ρatm = densidad a la presión Patm. b) Sustituyendo la Ec. (6.18) en la Ec. (6.12) Φ Pg =

PAtm

ρ Atm

P

dP P PAtm

∫

Finalmente, Φ Pg =

PAtm

ρ Atm

ln

P PAtm

(6.19)

c) Sustituyendo la Ec. (6.19) en la Ec. (6.14): Φg =

PAtm

ρ Atm

ln

P + gZ PAtm

(6.20)

Que es la ecuación que expresa el potencial de flujo para gases. 6.3.2. El Potencial para Columnas de Líquidos y Gases

El potencial para columnas de fluidos estáticos es constante. De esta manera, de la Ec. (6.17) se tiene: Φ=

P − Po

ρo

+ gz = cons tan te

Considérese como la presión de referencia Po a la presión atmosférica (Patm) en la parte superior de la columna de líquido. En la superficie el Φ = 0, ver Figs. (6.4) y (6.5). Para cualquier otro punto de la columna, considerando que Φ = 0 = constante y utilizando la Ec. (6.17), P − Po

ρo

+ gz = 0

Despejando “P” en la ecuación anterior: P = Patm - ρo g Z

(6.21)

La coordenada Z es negativa por lo que P > Patm. Generalmente, esta relación presión distancia se escribe en función de la profundidad “D” con respecto al nivel de referencia. (D = -z). Así la Ec. (6.21) se escribe como:



77

φ=0

Z=0

Profundidad

Z=0

Contacto g-o Contacto w/o

Presión

Fig. 6.4. Columna de líquido

Fig. 6.5. Relación presión - profundidad para los fluidos de un yacimiento

P = Patm + ρo g D

(6.22)

Lo que indica que la presión es una función lineal de la profundidad. Hasta ahora las ecuaciones que se han desarrollado, se han manejado indistintamente las dimensiones masa y las dimensiones fuerza, prueba de ello es la Ec. (6.22). Para no crear posibles confusiones se explica a continuación la necesidad de introducir la constante gravitacional gc en estas ecuaciones. Si se analizan unas posibles unidades de los términos de la Ec. (6.22) se tiene: ⎡ lbf ⎤ ⎡ lbf ⎤ ⎡ pie ⎤ ⎡ lbm ⎤ P⎢ = PAtm ⎢ +g⎢ ∗ ρ ⎢ 3 ⎥ ∗ D [ pie] 2⎥ 2⎥ 2⎥ ⎣ pie ⎦ ⎣ pie ⎦ ⎣ seg ⎦ ⎣ pie ⎦

(6.23) ⎡ lbf ⎤ ⎡ lbf ⎤ ⎡ lbm ⎤ P⎢ = PAtm ⎢ + gρD ⎢ ⎥ 2⎥ 2⎥ 2 ⎣ pie ⎦ ⎣ pie ⎦ ⎣ seg pie ⎦

Las unidades del segundo miembro del lado derecho de la igualdad en la ecuación (6.23) no son consistentes, esto es: ⎡ lbf ⎤ ⎡ lbm ⎤ ⎢ pie 2 ⎥ ≠ ⎢ seg 2 pie ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(6.24)

Multiplicando la ecuación (6.23) por 1/gc,



P = PAtm +

g ρD gc

78

(6.25)

Donde: g = aceleración de la gravedad, 32.174 pie/seg2 gc = constante gravitacional, 32.174 lbm-pie/(lbf- seg2)

Lo anterior debe ser considerado para las ecuaciones que se han desarrollado anteriormente. Supóngase ahora una columna de gas. Igualando la ecuación (6.20) con cero se tiene: PAtm

ρ Atm

ln

P + gz = 0 PAtm

(6.26)

Si se toma como presión de referencia a la presión en la cabeza del pozo (Pt) en vez de la Patm, se tiene: Pt

ρt

ln

P + gz = 0 Pt

(6.27)

Si la ecuación anterior se hace -z = D y se considera una gas ideal donde, PAtm

ρ Atm

=

Pt

(6.28)

ρt

Pudiéndose escribir finalmente: ln P = ln Pt +

g ρt D g c Pt

(6.29)

g ρ Atm D g c PAtm

(6.30)

ó ln P = ln Pt +

que representan las ecuaciones para columnas de gas. 6.4. NOTACIÓN VECTORIAL

Un escalar es un número, el cual tiene un valor singular. Por ejemplo, 5 es escalar, µ es escalar, -3.6 es escalar. Por otro lado, un vector, es un número el cual incluye varios valores. El más común es el espacio tridimensional. Por ejemplo, un vector u tiene la siguiente forma en tres dimensiones:



⎛ u1 ⎞ ⎜ ⎟ vector u = u = u = ⎜ u2 ⎟ ⎜u ⎟ ⎝ 3⎠

79

(6.31)

Algunas veces, se dice que un vector tiene dirección y magnitud, pero una forma más general es pensar que un vector es una columna de números. La columna longitud tiene tres números en el espacio tridimensional y dos números en el espacio bidimensional. Ahora, se presenta un operador llamado delta (u operador nabla), que se escribe ∇. En notación vectorial esto es equivalente a la derivada. Por ejemplo, si se tiene un espacio tridimensional x, y, z. El operador delta se usa junto con un escalar, por ejemplo a, para definir el gradiente de a. ⎛∂a⎞ ⎜ ⎟ ⎜∂ x⎟ ⎜∂a⎟ Gradiente del escalar a = ∇a = ⎜ ⎟ ⎜∂ y⎟ ⎜∂a⎟ ⎜ ⎟ ⎝∂z⎠

(6.32)

Aunque a es escalar, ∇a es vector. Una operación algebraica común es el producto interno que se denota con u . v o (u, v), por ejemplo, donde u y v son vectores. Algunas veces, el productor interno se le llama producto punto y se define como: Producto interno (punto) de los vectores u y v = u ⋅ v = ( u,v ) = u 1v 1 + u 2 v 2 + ... + u nv n n

= ∑u i v i i=1

El operador delta también se usa para especificar la divergencia de un vector. Divergencia de u = ∇ ⋅ u =

∂u1 ∂u 2 ∂u 3 + + ∂x ∂y ∂z

(6.33)

La divergencia de un vector es un escalar. Estas reglas básicas se usan repetidamente cuando se

escriben y se derivan ecuaciones en Ingeniería de Yacimientos.



80

6.5. LEY DE DARCY

En 1856, Darcy descubrió que el flujo que pasaba a través de un filtro de arena era proporcional al gradiente de presión aplicado al área transversal al flujo e inversamente proporcional a la longitud del empacamiento. Matemáticamente, ⎡h − h ⎤ q = CA ⎢ 1 2 ⎥ ⎣ L ⎦

(6.34)

Al aplicarse la ley a otros fluidos se encontró que la constante C podría ser considerada como k/µ, donde µ es la viscosidad del fluido y k una propiedad (permeabilidad) exclusiva de la roca. La forma general de la ley de Darcy para el flujo de fluidos a través de un medio poroso es: VS = −

k ⎡ dP dZ ⎤ − ρg ⎢ µ ⎣ dS dS ⎥⎦

(6.35)

La ley de Darcy gobierna el flujo de fluidos en el yacimiento y en el simulador. Darcy publicó resultados experimentales de agua que fluía a través de filtros de arena. El observó que:

q = c(h w2 - h w1)

(6.36)

Esto manifiesta que el caudal es proporcional a la diferencia de altura de agua del manómetro en los dos extremos del tubo. Darcy notó que esta proporcionalidad de la rata de flujo con la diferencia en el manómetro se aplicaba sin importar el ángulo de inclinación del tubo. Ahora, se generaliza este resultado reconociendo que el empaquetamiento tiene una permeabilidad, k, área, A, longitud, L, y que el fluido tiene una viscosidad particular, µ. La ecuación se rescribe como: q=

kA (Φ 2 - Φ1) µ L

(6.37)

Las lecturas del manómetro expresan el potencial de flujo, Φ. 6.5.1. Ley General de Darcy (Isotropía)

Una expresión más general de la ley de Darcy muestra que el vector velocidad “Darcy”, u, es igual a la movilidad multiplicada por el gradiente del potencial para cualquier fase. Esta expresión general es para permeabilidad isotrópica, y no direccional. k u = - 0.00633 ∇Φ

(6.38)

µ



81

donde, u k

µ

∇Φ

ρ z

= velocidad Darcy, ft/D = permeabilidad, md = viscosidad, cp = gradiente del potencial de flujo = ∇P + (ρ/144) ∇z = densidad del fluido, lbm/ft3 = elevación (positiva hacia arriba), ft

en una dimensión,

u x = − 0.00633

k ⎛ dP ρ dz ⎞ + ⎜ µ ⎝ dx 144 dx ⎟⎠

(6.39)

ó, para simplificar la notación, se puede usar el ángulo α para designar el ángulo de inclinación de la dirección x con la horizontal. Entonces, dz/dx = sen α, y:

u x = - 0.00633

k ⎛ dP ρ ⎞ + sen α ⎟ ⎜ µ ⎝ dx 144 ⎠

(6.40)

Note que se define el potencial como Φ = P + (ρ/144) Z, luego esto es estrictamente válido para fluidos incompresibles. Realmente, el gradiente del potencial debería definirse para fluidos compresibles ∇Φ = ∇P + (ρ/144) ∇Z. Luego, las diferencias de potencial deben encontrarse mediante integración de los gradientes a lo largo del camino de flujo. La velocidad Darcy no es una velocidad real. Es una velocidad macroscópica, la cual da la rata de flujo cuando se multiplica por el área seccional normal al flujo. Sus unidades son ft3/D/ft2. Esto no considera el espacio ocupado por las partículas de la roca. La velocidad promedia, v, puede calcularse en la dirección de flujo, mediante v = u/φ, donde u es la velocidad (Darcy) microscópica definida por q = Au. 6.5.2. Ley General de Darcy (Anisotropía)

Si se tiene permeabilidad direccional (anisotropía), la expresión general es más complicada. u = - 0.00633 ⎡ k11 k = ⎢⎢ k21 ⎢⎣ k31

k12 k22 k32

k

µ

∇Φ

(6.41)

k13 ⎤ k23 ⎥⎥ k33 ⎥⎦

(6.42)



82

La permeabilidad se convierte en tensor, k , el cual posee forma matrical. Este tensor tiene nueve valores pero la matriz es simétrica (i.e., k31 = k13), de modo que la matriz tiene solo seis valores distintos. Para flujo en la dirección x, ux= -

k 11 ∂Φ k 12 ∂Φ k 13 ∂Φ µ ∂x µ ∂y µ ∂z

(6.43)

Esta expresión complicada puede simplificarse orientando las coordenadas del sistema de flujo (coordenadas del simulador) a lo largo de los ejes de permeabilidad. Estos ejes son ortogonales entre sí y se alinean con las permeabilidades máximas y mínimas. Cuando las coordenadas se orientan de esta manera, entonces cada dirección tiene su propia permeabilidad y el tensor solo tiene tres elementos diferentes de cero. ⎡k x ⎢ k =⎢0 ⎢⎣ 0

0⎤ ⎥ 0⎥ k z ⎥⎦

0 ky 0

(6.44)

Luego, el flujo en la dirección x se simplifica a: ux = -

k x ∂Φ µ ∂x

(6.45)

Todos los simuladores se diseñan para tener las coordenadas orientadas correctamente. De modo que la ley de Darcy para una dirección particular se expresa en términos de permeabilidad en esa dirección: u x = - 0.00633

k x ∂Φ µ ∂x

(6.46)

6.5.3. Flujo Multifásico

La ley de Darcy se extiende a flujo multifásico. La presión, gravedad y efectos capilares se incluyen en estas ecuaciones. El primer paso es definir los potenciales de las tres fases. Arbitrariamente, se usa la presión del petróleo como la presión de referencia. Esto conduce a la inclusión de los términos capilares en las ecuaciones de potencial de gas y agua. Φo = Po +

Φg = P g +

ρo 144

ρg 144

z = P+

ρo 144

z = P+

z

ρg 144

z + P cog


(6.47)

(6.48)


Φw = Pw +

ρw

z = P+

144

ρw 144

z - P cow

83

(6.49)

donde, Po,g,w P Pcog Pcow Z

= presión de la fase, psi = Po, psi = presión capilar aceite-gas, Pg - Po, psi = presión capilar aceite-agua, Po - Pw, psi = elevación (positiva hacia arriba), ft ρ = densidad del fluido, lbm/ft3 ρ/144 = gradiente hidrostático, psi/ft El uso de la presión de aceite en las tres ecuaciones anteriores, en vez de usar Pg y Pw, origina los términos de presión capilar. Las tres ecuaciones de flujo son:

u o = - 0.00633

u g = - 0.00633

ρo ⎞ ko ⎛ ∇z ⎟ ⎜ ∇P + 144 ⎠ µo ⎝

ρg ⎞ kg ⎛ ∇z + ∇ P cog ⎟ ⎜⎜ ∇P + ⎟ 144 µg ⎝ ⎠

u w = - 0.00633

ρw ⎞ kw ⎛ ∇z - ∇Pcow ⎟ ⎜ ∇P + 144 µw ⎝ ⎠

(6.50)

(6.51)

(6.52)

donde, ko kg kw kro krg krw

= permeabilidad efectiva al aceite = k kro, md = permeabilidad efectiva al gas = k krg, md = permeabilidad efectiva al agua = k krw, md = permeabilidad relativa al oil = permeabilidad relativa al gas = permeabilidad relativa al agua

6.6. EFECTOS DE LA PRESION CAPILAR

En general, tenemos familiaridad con los efectos gravitacionales sobre un fluido, pero el efecto capilar es menos directo. Es importante saber cuando existen efectos capilares en un simulador. El uso más común de los datos de presión capilar está en la determinación de las saturaciones originales a condiciones iniciales. El equilibro capilar/gravedad se representan por la traducción de la curva de presión capilar bajo condiciones de drenaje contra la saturación de agua. La relación entre elevación y presión capilar está dada por:



P cow =

ρ w − ρo 144

( Z - Z FWL )

84

(6.53)

Z-Z

P cow

FWL

donde, ZFWL es la elevación del contacto de agua libre al cual Pcow = 0. Ver Fig. 6.6. Una expresión similar existe para gas y aceite. Esto puede modelarse en el simulador con una malla muy fina.

Sw

1-S or

1-S or

Sw

Fig. 6.6. Curvas de presión capilar El efecto de la presión capilar en el desplazamiento es menos obvio porque no se está acostumbrado a hacer cálculos manuales de flujo de fluidos incluyendo efectos capilares. Considérese un desplazamiento horizontal de aceite por agua en un espacio unidimensional. La solución a este problema es directo si no se tienen efectos capilares. Construimos una curva de presión capilar y luego se traza una tangente desde la saturación inicial a la curva de flujo fraccional. El punto tangencial representa el flujo fraccional en el frente. Este se llama el método de Welge. Ver Fig. 6.7(a) donde se observa un frente abrupto. Cuando existen efectos capilares, el resultado es una dispersión del frente, ver Fig. 6.7.(b). La solución de Welge no se aplica al frente. La forma del frente está controlada por fuerzas capilares.

(a)

Sw

(b)

Sw

x

x

Fig. 6.7. Desplazamiento del frente de inundación



85

A menudo se nota que es importante simular los efectos capilares en el desplazamiento en un modelo a escala de campo. Si se ignoran los efectos capilares, se encuentra que el simulador no proporciona el frente brusco que da la solución de Welge. En vez de ésto, un error de Modelamiento llamado dispersión numérica resulta en un frente disperso similar al causado por la inclusión del efecto de la presión capilar. Note que la dispersión física en el yacimiento es más importante por rocas de baja permeabilidad pero estarán causando efectos de dispersión de las heterogeneidades. Luego, los resultados del simulador, incluyendo dispersión numérica, podrían ser más representativos del comportamiento del yacimiento que la solución de Welge, incluso para rocas con alta permeabilidad. Otra aplicación de los efectos de presión capilar es su efecto en la imbibición de la fase mojante. Un ejemplo es el flujo contracorriente que ocurre cuando el agua imbibe en una roca de baja permeabilidad para desplazar el aceite. Aunque ésto podría ser un importante mecanismo de recobro en algunos casos raros, toma lugar muy lentamente. 6.7. FUERZAS DE FLUJO EN EL YACIMIENTO

A menudo, analizamos el comportamiento del flujo en términos de fuerzas implicadas por la ley de Darcy. Nos referimos entonces a las fuerzas viscosas, gravitacionales y capilares. Estas se expresan usualmente en términos del gradiente de presión:

Fuerza viscosa =

µ 0.00633k

Fuerza Gravitacional =

Fuerzas Capilares = ∇Pc =

u, psi/ft

∆ρ , psi/ft 144 dP c ∇S, psi/ft dS

(6.54)

(6.56)

(6.57)

Donde, S es la saturación de interés. La inspección de estas ecuaciones proporciona un entendimiento de las fuerzas: 1. Si no hay flujo, la fuerza viscosas = 0. 2. Si no existe diferencia de densidad (fase única, por ejemplo) entonces la fuerza gravitacional = 0. 3. Si no hay gradiente de saturación (por ejemplo, única fase) luego, las fuerzas capilares=0. Es común analizar los términos de flujo en el yacimiento en términos de relaciones. Recordemos el número de Reynolds, para flujo en tuberías como una relación las fuerzas inerciales con las fuerzas viscosas. Un ejemplo de una relación de fuerzas para flujo en yacimientos es el número gravitacional: la relación entre fuerzas gravitacionales con las



86

fuerzas viscosas: N gravity =

∆ρ 0.00633 k 1 µ 144 u

(6.58)

6.8. ECUACION DE CONTINUIDAD

Este tema se tratará con más detalle en la siguiente unidad. La ecuación de continuidad para un medio poroso es:

∇ ⋅ (ρu ) = -

∂(φρ ) ∂t

(6.59)

La derivación arranca con un elemento del espacio del medio poroso. Tome un elemento de superficie, ds, Fig. 6.8, y observe que la rata de flujo másico que sale del elemento se representa en la Fig. 6.9 que corresponde a una ampliación del esquema presentado en la Fig. 6.8. Cuando u no está normal (perpendicular) a la superficie, se toma el componente normal u ⋅ n de modo que:

Fig. 6.8. Elemento del espacio poroso

ρ u in

ds

ρu

Fig. 6.9. Elemento de superficie



ρ ( u ⋅ n ) ds =

Rata de flujo másico de ds =

( ρ u ⋅ n ) ds

87

(6.60)

Las unidades pueden expresarse en: (lb/ft3) (ft/sec) (ft2)=lbm/sec

(6.61)

Para obtener la masa total de flujo fuera del elemento, se integra sobre toda la superficie:

flujo total de masa que sale = ∫∫ ( ρ u ⋅ n )dS

(6.63)

S

Tomando un pequeño volumen, dV, de cualquier parte del elemento: flujo total de masa perdida de dV = -

∂ (φρ ) dV ∂t

(6.64)

Luego, se obtiene la rata de nasa total perdida mediante integración sobre todo el elemento: total de masa perdida = - ∫∫∫ V

∂ (φρ ) dV ∂t

(6.65)

igualando: masa total que sale = masa total perdida, i.e.,

∫∫ ( ρ u ⋅ n )ds = - ∫∫∫ S

V

∂ (φρ ) dV ∂t

(6.66)

Aplicando el teorema de la divergencia (de Gauss) que dice;

∫∫ ( ρu ⋅ n )ds = ∫∫∫∇ ⋅ ( ρu )dV S

(6.67)

V

Substituyendo lo anterior en el lado izquierdo se tiene:

∫∫∫ ∇ ⋅ ( ρ u )dV = - ∫∫∫ V

V

∂ (φρ ) dV ∂t

(6.68)

A medida que dV tiende a cero, los integrandos se igualan, dando la forma final de la ecuación de continuidad:



∇⋅ (ρ u)=-

∂ (φρ ) ∂t

88

(6.69)

Esta es la ecuación de continuidad para el flujo de fluidos en medios porosos. 6.9. REGLA DE LA CADENA

Si w = f ( u1, u2, ..., um ) y uj = f ( x1, x2, ..., xn ) entonces se cumple que, ∂w ∂w ∂u1 ∂w ∂u2 ∂w ∂u m = + + ...+ ∂ x i ∂u1 ∂ x i ∂u2 ∂ x i ∂u m ∂ x i

(6.70)

Ejemplos: Si ρ = f(P,T) y P, T = f(x, y, z, t) entonces, ∂ρ ∂ρ ∂P ∂ρ ∂T = + ∂x ∂P ∂x ∂T ∂x

Pero si ρ = f (P) solamente y P = f(x, y, z, t) se tiene, ∂ρ d ρ ∂P = ∂x dP ∂x

donde dρ/dP expresa la derivada total, no la derivada parcial 6.10. LINEALIDAD

L (0) = 0

(6.71)

L (c1u) = c1L(u)

(6.72)

L(u1 + u2) = L(u1) + L(u2)

(6.73)

L(c1u1 + c2u2) = c1L(u1) + c2L(u2)

(6.74)

Homogéneos:

L(u) = 0

(6.74)

No-homogéneos:

L(u) = f(x,y)

(6.75)



89

i.g. un operador (con x, y) de segundo orden será: L = A

2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + B + C + D + E + F 2 2 ∂x ∂x∂y ∂x ∂y ∂y

(6.76)

donde A, B, C, D, E, F = f (x,y), y no de f(u).

6.11. ECUACION DE DIFUSIVIDAD

La ecuación de difusividad para un sistema líquido en un medio poroso homogéneo es:

∇2P=

φµct ∂P

(6.77)

k ∂t

La derivación, que se detallará en la próxima unidad está basada en las siguientes tres relaciones: 1. Ecuación de Continuidad ∇⋅ρ u =-

∂ (φρ ) ∂t

(6.78)

2. Ley de Darcy

u=-

k

µ

∇P

(6.79)

3. Ecuación de estado (proceso isotérmico)

ρ = f(P)

(6.80)

La compresibilidad isotérmica del fluido es:

c= -

1 dV 1 d ρ = V dP ρ dP

(6.81)

y la de la roca es:

cf =

1 dφ φ dP

(6.82)



90

Sustituyendo la Ley de Darcy en la ecuación de continuidad, ⎛ k ⎞ ∂ (φρ ) ∇ ⋅ ρ ⎜ - ∇P ⎟ = ∂t ⎝ µ ⎠

(6.83)

Asumiendo constantes k y µ ∇ ⋅ ρ∇P =

µ ∂ (φρ ) k

(6.84)

∂t

Derivando el lado izquierdo con el operador ∇, se tiene:

ρ∇ ⋅∇P + (∇ρ ) ⋅ (∇P) =

µ ∂ (φρ ) ∂t

k

(6.85)

o;

ρ ∇ 2P + (∇ρ ) ⋅ (∇P) =

µ ∂ (φρ ) ∂t

k

(6.86)

El gradiente de densidad se puede expresar como: ∇ρ =

dρ ∇P = c ρ∇P dP

(6.87)

De modo que el lado izquierdo se convierte en:

ρ ∇ 2P + c ρ (∇P) ⋅ (∇P) =

µ ∂ (φρ ) k

∂t

(6.88)

El Segundo término, cρ(∇P)⋅(∇P) no es lineal. Luego, se ignora para hacer la ecuación de difusividad lineal, con base en que c es pequeña (para líquidos) y que el gradiente de presión al cuadrado también es pequeño. Finalmente: 2 ∇ P=

µ 1 ∂ (φρ ) k ρ ∂t

(6.89)

Expandiendo el lado derecho: 2 ∇ P=

µ 1 ⎛ ∂ρ ∂φ ⎞ +ρ ⎜φ ⎟ k ρ ⎝ ∂t ∂t ⎠



∇ 2P =

µ 1 k ρ

∇ 2P =

µ 1 k ρ

∇ 2P =

91

dφ ∂P ⎞ ⎛ d ρ ∂P ⎜ φ dP ∂t + ρ dP ∂t ⎟ ⎝ ⎠

∂P ∂P ⎤ ⎡ ⎢φ (c ρ ) ∂t + ρ (c f φ ) ∂t ⎥ ⎣ ⎦

φµ

∂P ⎡⎣c + c f ⎤⎦ k ∂t

Definiendo ct como la compresibilidad total (fluido y roca), ct = c + cf, se obtiene la forma final del la ecuación de difusividad:

∇2P=

φµct ∂ P

(6.77)

k ∂t

Esta puede expresarse en términos de diferentes geometrías, afectando solo el lado izquierdo de la ecuación. El término ∇2P se llama El Laplaciano de P. Esta ecuación es diferencial parcial si φµct/k no dependen de P. Usualmente se asume que cada parámetro es constante de modo que resulta una ecuación diferencia1 parcial que es posible hallarle solución analítica: Flujo lineal 1D: 2 ∂ P φµ c t ∂P = k ∂t ∂ x2

(6.90)

Flujo cartesiano 2D 2 2 ∂ P ∂ P φµ c t ∂P + = ∂ x2 ∂ y2 k ∂t

(6.91)

En análisis de presiones de fondo se usa geometría radial: 1 ∂ ⎛ ∂P ⎞ φµ c t ∂P ⎜r ⎟= r ∂r ⎝ ∂r ⎠ k ∂t

(6.92)

o; 2 ∂ P 1 ∂P φµ c t ∂P + = k ∂t ∂ r 2 r ∂r


(6.93)


92

6.12. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN

La ecuación general en forma canónica es: a u xx + b u xy + c u yy = H(x, y,u, u x , u y )

(6.94)

b2 - 4ac

Discriminante:

Tipo

Ejemplo

<0

Elíptica

uxx + uyy = 0 uxx + uyy = c

(Ecuación de Laplace) (Ecuación de Poisson) (Ecuación en pseudoestable)

=0

Parabólica

uxx = ut

(Ecuación de Fourier) (Ecuación de transiente de presión)

>0

Hiperbólica

uxx - uyy = 0

(Ecuación de onda)

Discriminante

6.13. COMPARACION DE LA ECUACION DE DARCY CON LA ECUACION DE CALOR Conducción de calor

La ecuación de difusividad en flujo lineal es: 2 ∂ T = 1 ∂T ∂ x2 α ∂t

(6.95)

La difusividad térmica es:

α =

λ ρ cp

(6.96)

La ecuación de flujo (ecuación de Fourier) es: ∂T ⎛ btu ⎞ q⎜ ⎟ = λA ⎝ hr ⎠ ∂x

(6.97)



i-1

i

93

i+1 ∆y

h ∆x

Fig. 6.10. Sistema lineal La ecuación de acumulación es: d(btu) = c p ρVdT

cp = calor específico

(6.98)

Ecuación de Conservación: Flujo que entra – Flujo que sale = Rata de acumulación (Energía)

(Btu/D)

Ecuación en diferencias finitas, para un dominio espacial como el de la Fig. 6.10, es: -

-

n+1

-

n

λ A T i+1 T i + λ A T i-1 T i = c p ( A∆x) ρ T i T i ∆x ∆x ∆t

(6.99)

n+1 n Ti+1 - 2Ti +Ti-1 ⎛ ρcp ⎞ Ti -Ti =⎜ ⎟ (∆x)2 ⎝ λ ⎠ ∆t

(6.100)

Flujo de Fluidos

La ecuación de difusividad en flujo lineal es: 2 ∂ P 1 ∂P = ∂ x 2 η ∂t

(6.101)

La difusividad hidráulica es:

η=

0.00633k φµ c

(6.102)

La ecuación de flujo (ecuación de Darcy) es:



⎛ scf q⎜ ⎝ D

⎞ 0.00633kA ∂P ⎟= Bµ ∂x ⎠

94

(6.102)

estando k en md, la ecuación de acumulación es: d ( scf ) =

cV p dP B

(6.103)

1 dV ⎞ ⎛ ⎜ basada en c = ⎟ V dP ⎠ ⎝ Ecuación de Conservación: Flujo que entra – Flujo que sale = Rata de acumulación (Masa) (scf/D) Ecuación en diferencias finitas para un dominio espacial como el de la Fig. 6.10 es: 0.00633kA ⎛ P i+1 - P i ⎞ 0.00633kA ⎛ P i-1 - P i ⎞ c( φ A∆x) ⎛ P in+1 - P in ⎞ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ Bµ Bµ B ⎝ ∆x ⎠ ⎝ ∆x ⎠ ⎝ ∆t ⎠

(6.104)

n+1 n P i+1 - 2 P i + P i-1 = φµ c P i - P i 2 0.00633k ∆t ( ∆x )

(6.105)

6.14. PROBLEMAS CON VALOR EN LAS FRONTERAS 6.14.1. Sistema Radial Infinito (Rata constante). La ecuación de difusividad para un sistema radial infinito, ver Fig. 6.11, es una ecuación de Fourier. La ecuación diferencial parcial (EDP) es:

1 ∂ ⎛ ∂P ⎞ φ µ c ∂P ⎜r ⎟= r ∂r ⎝ ∂r ⎠ 0.00633 k ∂t

(6.106)

Condición Inicial:

P(r,0) = P i

(6.107)

Condición de Frontera Externa: P (r, t )|r → ∞ = P i

(6.108)



95

pi

q

h rw

r

Fig. 6.11. Sistema radial infinito Condición de Frontera Interna:

q=

2π (0.00633)khr ∂P |r → r w ∂r Bµ

(6.109)

Defina las siguientes variables adimensionales: tD=

0.00633kt φµ ct r 2w

PD = rD =

(6.110)

2π (0.00633)kh( P i - P) qB µ r

rw

(6.111) (6.112)

La EDP y sus condiciones iniciales y de frontera en forma adimensional son: ∂ ⎛ ∂PD ⎞ ∂PD ⎜rD ⎟= r D ∂ r D ⎝ ∂ r D ⎠ ∂t D

1

(6.113)

Condición Inicial:

P D (r D ,0) = 0

(6.114)

Condición de Frontera Externa:

P D (r D ,t D )|r D → ∞ = 0

(6.115)



96

Condición de Frontera Interna: ∂ rD P D |r D →1 = - 1 ∂r D

(6.116)

La solución para rD > 1 es: 1 ⎛ r 2D ⎞ P D (r D ,t D ) = Ei ⎜ 2 ⎝ 4t D ⎟⎠ La cual, en la cara del pozo, puede aproximarse tD > con la ecuación semilog de la línea recta:

1 P D(1,t D) = ln t D + 0.4045 2

(6.117)

6.14.2. Sistema Radial Cerrado (Rata constante, estado pseudoestable). La ecuación de difusividad para un sistema radial cerrado es una ecuación de Poisson. Fig. 6.12. Para que el estado exista, ∂P/∂t -q B/(Vp ct). Haciendo esta sustitución en la EDP da:

1 d ⎛ dP ⎞ − φµ c ⎛ qB ⎞ ⎜r ⎟= ⎜ ⎟ r dr ⎝ dr ⎠ 0.00633k ⎝ π r e2hφ c ⎠

(6.118)

Condición Inicial:

P(r,0) = Pi

(6.119)

Condición de Frontera Externa: ∂P =0 ∂r r e

(6.120)

Condición de Frontera Interna:

q=

2π (0.00633)khr ∂P |r → r w ∂r Bµ

(6.121)

Defina los siguientes parámetros adimensionales:

tD =

0.00633kt φµc r 2w

(6.122)



97

q

h rw

r

Fig. 6.12. Sistema radial cerrado 10

Pseudosteady state 9

p D ( r D ,t D ) ≅

1 r 2D 2t D 3 r + 2 - ln D 2 2 r De r De r De 4

8

7

6

pD 5

Infinite acting

1 p D (1,t D ) = ln t D + 0.4045 2

4

3

2

1

0 0.E+00

2.E+05

4.E+05

6.E+05

8.E+05

1.E+06

tD Fig. 6.13. Solución para estado pseudoestable


1.E+06


rD =

PD =

r rw

, r De =

re rw

98

(6.123)

2π (0.00633)kh( P i - P) qB µ

(6.124)

La EDP y sus condiciones iniciales y de frontera en forma adimensional son: ∂ ⎛ ∂PD ⎞ 2 ⎜rD ⎟= 2 r D ∂ r D ⎝ ∂ r D ⎠ r De 1

(6.125)

Condición Inicial:

P D (r D ,0) = 0

(6.126)


∂ PD | = =0 ∂r D r D r De

(6.127)

Condición de Frontera Interna: ∂PD | =1 = - 1 ∂r D r D

(6.128)

La solución de estado pseudoestable en cualquier punto es:

P D ( r D ,t D ) ≅

rD 3 1 r 2D 2t D ln + 2 r 2De r 2De r De 4

(6.129)

La solución de estado pseudoestable en la frontera interna es:

P D (1,t D ) ≅

2t D 3 + ln r De - , 2 4 r De

(6.130)

que se puede rescribir como:

P D (1,t D ) ≅ 2 π t DA + ln r De -

3 4


(6.131)


99

El primer término en el lado derecho de la ecuación es el término de depleción el cual expresa una caída en la presión promedia del yacimiento. La Fig. 6.13 muestra como la solución completa puede aproximarse a la solución de comportamiento infinito a tiempos tempranos y estado pseudoestable a tiempos tardíos (re/rw = 1000). 6.14.3. Sistema Lineal Infinito (rata constante). La ecuación de difusividad para este sistema es: 2 φµ c ∂P ∂P = 2 0.00633k ∂t ∂x

(6.132)

Condición Inicial:

P (x,0) = P i

(6.133)

Condición de Frontera Externa: P ( x,t )|x → ∞ = P i

(6.134)

Condición de Frontera Interna:

q=

0.00633kA ∂P Bµ ∂x

(6.135)

Defina los siguientes parámetros adimensionales: xD=

tD =

x

(6.136)

A

0.00633kt φµcA

PD =

(6.137)

0.00633( P i - P)k qµ B

A

(6.138)

La EDP y sus condiciones iniciales y de frontera en forma adimensional son:



100

pi q

x

Fig. 6.14. Sistema lineal infinito ∂ PD ∂PD = ∂ x 2D ∂t D 2

(6.139)

Condición Inicial:

P D ( x D ,0) = 0

(6.140)


P D ( x D ,t D )|x D → ∞ = 0

(6.141)

Condición de Frontera Interna: ∂PD = -1 ∂ xD

(6.142)

La solución para cualquier xD es:

P D ( x D ,t D ) = 2

tD

π

-

2 / 4t

e xD

D

⎛ x ⎞ - x D erfc ⎜⎜ D ⎟⎟ ⎝ 2 tD ⎠

(6.143)

La solución en la frontera interna es: P D (0 ,t D ) = 2

tD

(6.144)

π

6.14.4. Sistema Lineal Cerrado (Rata constante, estado pseudoestable). De nuevo, la ecuación de difusividad para un sistema cerrado es una ecuación de Poisson. Para que exista estado pseudoestable, ∂p/∂t está en toda parte. Realizando un balance de masa se halla que ∂p/∂t= -qB/(Vp ct). Haciendo esta sustitución en la EDP da: 2 − φµ c ⎛ qB ⎞ d P = ⎜ ⎟ 2 0.00633k ⎝ LAφ c ⎠ dx


(6.145)


∂p

D

∂x D L

101

= 0

q

x

Fig. 6.15. Sistema lineal cerrado Condición Inicial: P( x,0) = P i

(6.146)

Condición de Frontera Externa: ∂P =0 ∂ x x= L

(6.147)

Condición de Frontera Interna: q=

0.00633kA ∂P Bµ ∂x x = 0

(6.148)

Defina los siguientes parámetros adimensionales: tD =

0.00633kt φµc L2

xD =

PD =

(6.149)

x L

(6.150)

0.00633( P i - P)kA qµ BL

(6.151)

La EDP, su condición inicial, su condición de frontera externa e interna son, respectivamente: ∂ PD =1 2 ∂x D 2

(6.152)



102

P D ( x D ,0) = 0

(6.153)

∂P D =0 ∂x D x = L

(6.154)

∂P D = -1 ∂x D x = 0

(6.155)

La solución para cualquier xD y tD es: 2 1 xD - xD + P D ( x D ,t D ) = t D + 2 3

(6.156)

El primer término en el lado derecho de la ecuación es el término de depleción el cual expresa una caída en la presión promedia del yacimiento. En la frontera interna: 1 3

P D (0,t D ) = t D +

(6.157)

En la frontera externa: P D (1,t D ) = t D -

1 6

(6.158)

La Fig. 6.16 muestra como la solución completa puede aproximarse a la solución de comportamiento infinito a tiempo tempranos y como alcanza la solución de estado pseudoestable a tiempos tardíos. 6.14.5. Sistema Lineal Transitorio. La ecuación de difusividad para este caso es: 2 ∂u ∂ u = 2 ∂x ∂t

(6.159)

Condición Inicial: u(x,0) = 0

(6.160)

Condición de Frontera Externa: u(0,t) = 0 t > 0

(6.161)

Condición de Frontera Interna: u(1,t) = 1 t > 1

(6.162)



103

2.5

2

Tarde

1.5

tD

p D(0,t D ) = t D +

1 3

1

Temprano t p D(0,t D ) = 2 D π 0.5

0 0

0.5

1

1.5

2

PD Fig. 6.16. Solución para sistema lineal cerrado La solución puede disponerse en la forma: u = v(x) + w(x,t), donde v(x) es el término de estado estable y w(x,t) es el término transitorio.

Término de estado estable

Término transitorio

v = x, 0 ≤ x ≤ 1 v xx = v t = 0

w( x, 0) = - x w xx = x t

Condiciones iniciales:

w(0 ,t ) = 0

v(0) = 0

w(1,t ) = 0

v(1) = 1

Con estas condiciones se tiene: v( x) = x

∞

w= 2

(-1 )n

∑ nπ n=1

⎛ nπ x ⎞ - n 2π 2t sin ⎜ ⎟e ⎝ 2 ⎠



104

SISTEMA LINEAL TRANSITORIO

1

v=x

do ta s E

x t4

e bl ta s e

t3 t2

0

t1

t1

t2

t3

1

x

w(x,t)

Fig. 6.17. Solución para sistema lineal transitorio SISTEMA LINEAL TRANSITORIO (Frontera izquierda cerrada)

Estado estable

1

v=1

x t4

t2

t3 w(x,t) t4

0

t3 t2

t1

x

t1

Fig. 6.18. Solución para sistema lineal transitorio (frontera izquierda cerrada) Solución: (-1) n ⎛ nπ x ⎞ - n 2π 2t sin ⎜ ⎟e ⎝ 2 ⎠ n=1 nπ ∞

u ( x,t ) = x + 2∑

(6.163)

6.14.6. Sistema Lineal Transitorio (Frontera izquierda cerrada). Para este caso, la ecuación de difusividad es:



2 ∂ u = ∂u ∂ x2 ∂t

105

(6.164)

Condición Inicial: u(x,0) = 0

(6.165)

Condiciones de Frontera: ux(0,t) = 0

(6.166)

u(1,t) = 1

(6.167)

Al igual que el caso anterior, la solución puede disponerse en la forma: u = v(x) + w(x,t), donde v(x) es el término de estado estable y w(x,t) es el término transitorio.

Término de estado estable

Término transitorio

v = x, 0 ≤ x ≤ 1

w( x, 0) = - 1

v xx = v t = 0

w xx = wt

Condiciones de frontera:

wx (0 ,t ) = 0

vx (0) = 0

w(1,t ) = 0

v(1) = 1

Con estas condiciones de frontera se tiene: v( x) = 1

∞

w( x, t ) = 2

⎡⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎛ 1 ⎞ 2 (-1 )n cos ⎢⎜ n - ⎟ π x ⎥ e -⎜⎝ n- 2 ⎟⎠ π t ⎛ 1⎞ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦ n=1 n ⎜ 2 ⎟π ⎝ ⎠

∑

2

Solución: ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎛ 1 ⎞2 2 (- 1) n cos ⎜ ⎜ n - ⎟ π x ⎟ e - ⎜⎝ n- 2 ⎟⎠ π t 1⎞ ⎝⎝ 2 ⎠ ⎠ n=1 ⎛ ⎜ n - ⎟π ⎝ 2⎠ ∞

u ( x,t ) = 1 + 2∑


(6.168)


106

UNIDAD 7 ECUACIONES FUNDAMENTALES 7.1. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Considérese un pequeño paralelepípedo de un medio poroso cuyas dimensiones son ∆X, ∆Y, ∆Z; a través del cual existe flujo en todas las caras como lo muestra la Fig. 7.1. z+∆z (ρ V) y

(ρV)

z x

(ρV) x+∆x

(ρV) x

(ρ V) y+ ∆y

y

(ρV) z

Fig. 7.1. Balance de masa Efectuando un balance de materia durante un intervalo de tiempo pequeño ∆t, se pude considerar que el flujo de masa por unidad de superficie es igual a la velocidad multiplicada por la densidad (ρV). Ahora bien, si el flujo volumétrico se multiplica por el área transversal al flujo se obtiene como resultado el flujo másico:

ρVA = ρ Q

[mT ]

Por otra parte se puede considerar que la entrada de masa al elemento considerado es positiva (inyección), mientras que la salida de masa en dicho elemento se considera negativa (producción). El término fuente o sumidero se representa por W(X,Y,Z), el cual tiene unidades de masa por unidad de volumen de roca. Del principio de conservación de masa: Masa que entra

-

Masa que sale

±

Término fuente o sumidero

=

Acumulación de masa

(7.1)



107

⎡⎣( ρV ) X − ( ρV ) X +∆X ⎤⎦ ∆Y ∆Z ∆t + ⎡⎣( ρV )Y − ( ρV )Y +∆Y ⎤⎦ ∆X ∆Z ∆t + •

⎡⎣( ρV ) Z − ( ρV ) Z +∆Z ⎤⎦ ∆Y ∆X ∆t ± W ( X , Y , Z ) = ∆X ∆Y ∆Z ⎡⎣( ρφ )t +∆t − ( ρφ )t ⎤⎦

(7.2) Dividiendo entre ∆X∆Y∆Z∆t y tomando límites cuando ∆X, ∆Y, ∆Z y ∆t tienden a cero, y recordando la definición de derivada de una función que dice: Y ( X + ∆X ) − Y ( X ) dY ≅ LimX →0 dX ∆X Se tiene que, −

∂ ∂ ∂ ∂ ( ρVX ) − ( ρVY ) − ( ρVZ ) ± W ( X , Y , Z ) = ( ρΦ ) ∂X ∂Y ∂Z ∂t

W=

fllujo masico unidad vol. roca

W=

(7.3)

M M [ =] 3 TVr tL

La expresión (7.3) es la forma general de la ecuación de continuidad en un medio poroso.

7.2. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD

Sustituyendo los componentes de la velocidad de la Ley de Darcy en la ecuación de continuidad se tiene: →

V =−

k

µ

ρ∇Φ

(7.4)

∂ ⎛ 2 k x ∂Φ ⎞ ∂ ⎛ 2 k y ∂Φ ⎞ ∂ ⎛ 2 k z ∂Φ ⎞ ∂ ⎟+ ⎜ρ ⎜ρ ⎟+ ⎜ρ ⎟ ± W ( x, y, z ) = ( ρφ ) µ ∂x ⎠ ∂y ⎝ µ ∂y ⎠ ∂z ⎝ µ ∂z ⎠ ∂x ⎝ ∂t

(7.5)

La expresión anterior es la ecuación general de difusividad que representa el flujo de un solo fluido a través de un medio poroso. Para el flujo de varios fluidos es necesario considerar que el medio poroso estará sujeto a variaciones en la saturación por lo que después de proceder en forma similar a la anterior, la ecuación de difusividad para flujo multifásico en donde kf representa la permeabilidad efectiva al fluido en cuestión, está dada por la siguiente expresión:



ρ = f(P)

Compresible

Densidad

Ligeramente Compresible

ρο

108

Incompresible

ρ = ρo (1+ C f [P − Po ])

ρ = cte

Presión

Fig. 7.2. Compresibilidad en función del tipo de fluido ∂ ⎛ 2 k fx ∂Φ f ⎞ ∂ ⎛ 2 k fy ∂Φ f ⎞ ∂ ⎛ 2 k fz ∂Φ f ⎞ ∂ ⎜⎜ ρ f ⎟⎟ + ⎜⎜ ρ f ⎟⎟ + ⎜⎜ ρ f ⎟⎟ ± W f ( x, y, z ) = ( ρ f φ S f ) ∂x ⎝ µ f ∂x ⎠ ∂y ⎝ µ f ∂y ⎠ ∂Z ⎝ µ f ∂z ⎠ ∂t (7.6) Para la solución de esta ecuación es necesario utilizar una ecuación de estado que relaciona la densidad con la presión. Dichas ecuaciones se tratan un poco más adelante en este mismo capítulo.

7.3. CLASIFICACIÓN DE LOS FLUIDOS SEGÚN SU COMPRESIBILIDAD

Dependiendo de su compresibilidad los fluidos de un yacimiento se clasifican en tres grupos que son: a) Fluidos incompresibles b) Fluidos ligeramente compresibles c) Fluidos compresibles En un fluido incompresible, la densidad del fluido se considera constante, ρ = cte. Un fluido se denomina ligeramente compresible si su densidad se puede considerar como una función lineal de presión, esto es, la compresibilidad del fluido es constante. Finalmente, un fluido compresible es aquel que presenta un cambio significativo en su densidad con la presión. La Fig. (7.2), muestra gráficamente esta clasificación de los fluidos. 7.4. ECUACIONES DE ESTADO

Cualquier ecuación de estado puede representarse analíticamente por una función.



109

F (Presión, densidad, temperatura) = 0 Existen varias ecuaciones de estado dependiendo del tipo de fluido que se esté manejando. A continuación se desarrollan cada una de estas ecuaciones: 7.4.1. Ecuación de Estado para Fluido Incompresible

ρ = constante ∂ρ =0 ∂P

(7.7)

7.4.2. Ecuación de Estado para Fluido Ligeramente Compresible

Por definición de compresibilidad: 1 ⎛ ∂V ⎞ ⎜ ⎟ V ⎝ ∂ P ⎠T

(7.8)

m m ; V= ρ V

(7.9)

cf = −

Como:

ρ=

Sustituyendo (7.9) en (7.8): cf =

1 ⎛ ∂ρ ⎞ 1 dρ ⎜ ⎟ = ρ ⎝ ∂P ⎠T ρ dP

(7.10)

Despejando “c dP”:

cdP =

1

ρ

dρ

Integrando y despejando “ρ“:

ρ = ρoe

c f ( P − Po )

(7.11)

Donde: ρo = Densidad inicial del fluido evaluada a la presión inicial Po. P = Presión medida a cualquier tiempo.



110

Recordando la fórmula de expansión de una función “f(Z)”, en las cercanías del valor conocido de la función por medio de la serie de Taylor, siendo “a” el punto conocido:

f i ( a )( Z − a ) f ii ( a )( Z − a ) f n ( a )( Z − a ) f (Z ) = f (a) + + + ....... + 1! 2! n! 2

n

Por lo que la función f(x) = ex, se puede expandir alrededor del punto x = 0, entonces:

x x 2 x3 xn e = 1 + + + + ...... + 1! 2! 3! n! X

Por lo tanto:

e

c ( P − Po )

c ( P − Po ) c 2 ( P − Po ) c n ( P − Po ) = 1+ + + ...... + 1! 2! n! 2

n

(7.12)

En la mayoría de los casos para líquidos, se cumple que c(P-Po) < 0.01, c2(P-Po)2 <0.0001. Por lo que la expresión (7.12) se puede simplificar a:

e(

c P − Po )

= 1 + c ( P − Po )

Sustituyendo esta última expresión en la Ec. (7.11):

ρ = ρo ⎡⎣1 + c ( P − Po ) ⎤⎦ (7.13) La expresión es la ecuación de estado para un fluido ligeramente compresible. 7.4.3. Ecuaciones de Estado para Fluidos Compresibles

a) Para un gas ideal PV = nRT

^

n = m/M

PV =m RT/M ^

ρ = m/V

ρ=

PM , luego, RT

cf =

1 P

(7.14)



111

La cual es la ecuación de estado para un gas ideal. b) Para un gas real

ρ=

PM ZRT

entonces, cf =

1 1 dZ − P Z dP

(7.15)

Es la ecuación de estado para un gas real. 7.5. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD PARA DIFERENTES TIPOS DE FLUIDOS 7.5.1. Ecuación de Difusividad para Fluido Incompresible

∂ ( ρφ ) = 0 ∂t además, considere que φ = constante. Recordando la ecuación general de difusividad dada por la expresión (7.5) ∂ ⎛ 2 k x ∂Φ ⎞ ∂ ⎛ 2 k y ∂Φ ⎞ ∂ ⎛ 2 k z ∂Φ ⎞ ∂ ⎟+ ⎜ρ ⎜ρ ⎟+ ⎜ρ ⎟ ± W ( x, y, z ) = ( ρφ ) µ ∂x ⎠ ∂y ⎝ µ ∂y ⎠ ∂z ⎝ µ ∂z ⎠ ∂x ⎝ ∂t

Definiendo, q = ritmo de inyección [/STB/día)/Vol. Roca] W = qBρ

(7.16)

Sustituyendo en la ecuación de difusividad: ∂ ⎛ 2 k X ∂φ ⎞ ∂ ⎛ 2 kY ∂φ ⎞ ∂ ⎛ 2 k Z ∂φ ⎞ ρ ρ + + ± qB ρ = 0 ⎜ρ µ ∂x ⎟⎠ ∂y ⎜⎝ µ ∂y ⎟⎠ ∂z ⎜⎝ µ ∂z ⎟⎠ ∂x ⎝

(7.17)

Multiplicando por µ /ρ2 = constante, y si el medio es isotrópico y homogéneo kx = ky = kz = k, y dividiendo entre k:



112

∂ ⎛ ∂Φ ⎞ ∂ ⎛ ∂Φ ⎞ ∂ ⎛ ∂Φ ⎞ qBµ =0 ⎟+ ⎜ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ k ρ (7.18) ⎛ ∂ Φ ⎞ ⎛ ∂ Φ ⎞ ⎛ ∂ Φ ⎞ qBµ =0 ⎜ 2 ⎟+⎜ 2 ⎟+⎜ 2 ⎟+ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠ k ρ 2

2

2

La expresión (7.18) es la ecuación de difusividad para un fluido incompresible, la cual puede escribirse de la siguiente manera: ∇ 2Φ ±

qBµ =0 Kρ

(7.19)

A la ecuación (7.19) se le conoce como la Ecuación Poisson. Si no existe inyección, la ecuación (7.19) se simplifica a:

∇2Φ = 0 La cual se conoce como la Ecuación Laplace. 7.5.2. Ecuación de Difusividad para Fluidos Ligeramente Compresibles

cf =

1 ∂ρ ρ ∂P

dP 1 dρ = dx c f ρ dx

dP =

1 cf ρ

∂ρ

dP 1 dρ = dy c f ρ dy

dP 1 dρ = dz c f ρ dz

Recordando la ecuación diferencial y si no existe ningún pozo, W = 0: ∂ ⎛ 2 k x ∂Φ ⎞ ∂ ⎛ 2 k y ∂Φ ⎞ ∂ ⎛ 2 k z ∂Φ ⎞ ∂ ρ + = ( ρφ ) ⎜ρ ⎟+ ⎜ρ µ ∂x ⎟⎠ ∂Y ⎝ µ ∂y ⎠ ∂z ⎜⎝ µ ∂z ⎟⎠ ∂t ∂x ⎝ P

Φ=

∫

Po

dP

ρ

+ gz

∂Φ 1 ∂P = ∂x ρ ∂x



113

∂Φ 1 ∂ρ = ∂x c f ρ 2 ∂x ∂Φ 1 ∂ρ = ∂y c f ρ 2 ∂Y ∂Φ 1 ∂ρ = ∂z c f ρ 2 ∂Z

Reemplazando: ∂ ⎛ k x 1 ∂ρ ⎞ ∂ ⎜ ⎟+ ∂x ⎜⎝ µ c f ∂x ⎟⎠ ∂Y

⎛ k y 1 ∂ρ ⎞ ∂ ⎛ k z 1 ∂ρ ⎞ ∂ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ( ρφ ) ⎝ µ c f ∂y ⎠ ∂z ⎝ µ c f ∂z ⎠ ∂t

(7.20)

Si consideramos un medio isotrópico (kx = ky = kz = k), µ = constante, y multiplicando por ( µ cf / k ), se tiene lo siguiente: ∂ 2 ρ ∂ 2 ρ ∂ 2 ρ φµ c f ∂ρ + + = k ∂t ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

(7.21)

Debido a que la Ec. (7.21) no es muy práctica para su aplicación en la forma obtenida por la dificultad que presenta la evaluación de las densidades, conviene expresarla en función de la presión. Para ello se procede de la siguiente forma: Recordando la ecuación de estado para un fluido ligeramente compresible dada por la expresión (7.13):

ρ = ρo ⎡⎣1 + c ( P − Po ) ⎤⎦ Entonces: ∂ρ ∂x ∂ρ ∂y ∂ρ ∂z ∂ρ ∂t

∂ ∂x ∂ = ∂y ∂ = ∂z ∂ = ∂t =

∂P ⎡⎣1 + c ( P − Po ) ⎤⎦ = c ρ o ∂x ∂P ρo ⎡⎣1 + c ( P − Po ) ⎤⎦ = c ρ o ∂y ∂P ρo ⎡⎣1 + c ( P − Po ) ⎤⎦ = c ρo ∂z ∂P ρo ⎡⎣1 + c ( P − Po ) ⎤⎦ = c ρ o ∂t

{ρ {

o

}

}

{

}

{

}

Sustituyendo en la ecuación (7.21) se tiene:


(7.22)


⎡ ∂ 2 P ∂ 2 P ∂ 2 P ⎤ φµ c 2 ∂P cρo ⎢ 2 + 2 + 2 ⎥ = ρo k ∂y ∂z ⎦ ∂t ⎣ ∂x

114

(7.23)

Dividiendo por “cρo” y haciendo α=k/(φµc) se tiene finalmente: ∂ 2 P ∂ 2 P ∂ 2 P φµ c ∂P + + = ∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2 k ∂t ∇2 P =

1 ∂P α ∂t

(7.24)

(7.25)

La expresión (7.25) es la ecuación de difusividad para un fluido ligeramente compresible habiendo hecho las siguientes consideraciones: a) b) c) d)

Medio isotrópico y homogéneo Viscosidad constante Compresibilidad constante No existe el término fuente, ésto es, no hay pozos inyectores o productores

La importancia que tiene esta ecuación es trascendente, debido a su múltiple utilidad. Entre otras aplicaciones se tienen las siguientes: a) Pruebas de presión (incremento, decremento, interferencia, etc.) b) Prueba de límite de yacimiento c) Simulación de yacimientos 7.5.3. Ecuación de Difusividad para un Gas Real

Recordando la ecuación de estado dada para un gas real,

ρ=

PM ZRT

y la ecuación general de difusividad, ∂ ⎛ 2 k x ∂Φ ⎞ ∂ ⎛ 2 k y ∂Φ ⎞ ∂ ⎛ 2 k z ∂Φ ⎞ ∂ ⎜ρ ⎟+ ⎜ρ ⎜ρ ⎟+ ⎟ ± W = ( ρφ ) µ ∂x ⎠ ∂Y ⎝ µ ∂y ⎠ ∂z ⎝ µ ∂z ⎠ ∂x ⎝ ∂t

Suponiendo que no existe inyección, W = 0 y que la porosidad es constante y definiendo la función de pseudopresión de un gas real como:



2λ

P

∫ µ λ Z λ dλ

m( P ) =

115

(7.26)

( ) ( )

Po

Derivando m(P): ∂m( P ) ∂P ∂m( P ) ∂x ∂m( P ) ∂y ∂m( P ) ∂t ∂m( P ) ∂Z

=

2P µ( P ) Z ( P )

=

2P ∂ P µ( P ) Z ( P ) ∂ x

=

2P ∂ P µ( P ) Z ( P ) ∂ y

=

2 P ∂P µ( P ) Z ( P ) ∂t

=

2 P ∂P µ( P ) Z ( P ) ∂Z

Multiplicando por 2RT/M obtenemos, ∂ ∂X

⎛ ∂m( P ) ⎞ ∂ ⎛ ∂m( P ) ⎞ ∂ ⎛ ∂m( P ) ⎞ ∂ ⎛P⎞ k k k + + = 2φ ⎜ ⎟ ⎜⎜ X ∂X ⎟⎟ ∂Y ⎜⎜ Y ∂Y ⎟⎟ ∂Z ⎜⎜ Z ∂Z ⎟⎟ ∂t ⎝ Z ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ahora, ∂ ⎛ P ⎞ P ⎛ 1 1 ∂Z ⎞ ∂P ⎜ ⎟= ⎜ − ⎟ ∂t ⎝ Z ⎠ Z ⎝ P Z ∂P ⎠ ∂t Como, cg =

1 1 ∂Z − P Z ∂P

Entonces,


(7.27)


116

∂ ⎛ P ⎞ P ∂P ⎜ ⎟ = cg ∂t ⎝ Z ⎠ Z ∂t Multiplicando por 2µ/2µ el lado derecho y sabiendo que: ∂m( P ) ∂t

=

2 P ∂P , entonces: µ( P ) Z ( P ) ∂t

∂ ⎛ P ⎞ µ cg ∂P ⎜ ⎟= ∂t ⎝ Z ⎠ 2 ∂t

Si tenemos medio isotrópico, homogéneo (kx = ky = kz = k), entonces, ∂ 2 m( P ) ∂x

2

+

∂ 2 m( P ) ∂y

2

+

∂ 2 m( P ) ∂z

2

=

φµ cg ∂m( P ) k

(7.29)

∂t

Que se puede escribir como: ∇ 2 m( P ) =

1 ∂m( P ) α ∂t

(7.30)

Esta expresión es la ecuación de difusividad para un gas real en la cual no existe término fuente. 7.6. CONDICION INICIAL Y CONDICIONES DE FRONTERA

Una vez que han sido definidas las ecuaciones que servirán para describir el proceso físico que ocurre en el yacimiento, es necesario establecer ciertas condiciones en el sistema que permitan la solución de dichas ecuaciones.

Flujo

Proceso Físico

Frontera

Fig. 7.3. Sistema



117

En simulación la variable dependiente es con frecuencia la presión y para calcular su distribución en un yacimiento a cualquier tiempo se debe tener la condición inicial: P(x, y, z) = λ,

t=0

Donde λ es alguna constante o función que describe la distribución de un parámetro dentro del sistema al tiempo cero. Así pues, el modelo matemático completo es una combinación de: a) Ecuaciones que gobiernan el comportamiento de flujo en el yacimiento. b) Condiciones iniciales que proporcionan los valores de la variable dependiente a un tiempo inicial (to). c) Condiciones de frontera que proporcionan los valores de la variable dependiente en determinadas regiones del yacimiento (fronteras) para cualquier tiempo. Ver Fig. 7.3 y 7.4.

No hay flujo

Frontera

Frontera

=0

Valores fijos de presión P = prescrito

Flujo

∂P ∂n

∂P ∂n

= cte

Fig. 7.4. Condiciones de frontera. Las posibles condiciones de frontera son: a) En la frontera interna: •

Presión del pozo constante:

P(rw, t) = constante, • r

P(rw, t) = Pwf = constante.

Caudal constante: ∂P ( r , t ) = cte ∂r r = rw

qµ ⎛ ∂P ⎞ =− = cte ⎜ ⎟ kAfront ⎝ ∂r ⎠ front



•

Presión del pozo variable:

P(rw, t) = fr (t) •

Caudal variable:

r

∂P ( r, t ) = g (t ) ∂r rw

•

Pozo Cerrado:

r

∂P ( r, t ) = 0 , ∂r rw

q=0

b) En la frontera externa: •

Presión Constante:

P(re, t) = constante, • r

• r • r

•

Flujo constante a través de la frontera: ∂P ( re , t ) = cte ∂r r = re

q r = cte

,

e

Flujo variable a través de la frontera:

∂P ( re , t ) = f 2 ( t ) ∂r re No existe flujo a través de la frontera (frontera cerrada): ∂P ( re , t ) ∂r

q r = cte

= 0,

e

re

Yacimiento Infinito:

Limr →∞ P ( r , t ) = Pi


118


119

UNIDAD 8 ECUACIÓN DE FLUJO PARA DOS O MÁS FASES 8.1. INTRODUCCION

Las ecuaciones de flujo son básicamente una generalización de las ecuaciones derivadas anteriormente para una fase fluyendo. Antes de entrar en materia, es preciso mencionar tres conceptos fundamentales en el desarrollo de dichas ecuaciones: a) Saturación: La saturación de una fase está definida como la fracción del espacio poroso ocupado por dicha fase. En presencia de tres fases, la suma de las saturaciones debe ser igual a la unidad:

So + S g + S w = 1.0

(8.1)

b) Presión Capilar: La presión capilar nos indica la diferencia de presión existente entre la fases no mojante y la mojante cuando éstas están presentes (aceite, agua y gas), las presiones capilares se definen como:

Pcow = Po − Pw Pcgo = Pg − Po

(8.2)

Pcgw = Pg − Pw = Pcow + Pcgo Aunque el fenómeno de capilaridad es bastante más complejo que una simple relación de saturación de la fase humectante, para efectos prácticos asumiremos esta relación como única y suficiente. Es decir,

Po − Pw = Pc ( sw )

(8.3)

c) Permeabilidad Relativa: Hasta el momento hemos definido el flujo para una sola fase, y por lo tanto la permeabilidad utilizada ha sido la llamada “Permeabilidad Absoluta”. La presencia de fases adicionales, cuando estas fluyen simultáneamente, hace que haya interferencia entre las fases, reduciendo de esta manera la permeabilidad al flujo. Esta “reducción” es cuantificada por medio de las permeabilidades relativas, las cuales aceptamos como funciones únicas de la saturación, que se definen como:

kro =

ko ; k

krg =

kg k

;

krw =

kw k


(8.4)


120

Es decir, nos indican que fracción de la permeabilidad absoluta es la permeabilidad efectiva. Dependiendo del grado de solubilidad de las fases, dos modelos matemáticos pueden plantearse. Enseguida se procederá a desarrollar las ecuaciones para dos fases fluyendo sin ninguna solubilidad entre ellas, cuando la fase gaseosa está presente, es necesario considerar solubilidad del gas por lo menos en la fase de aceite. Este último, es una simplificación del modelo que se derivará más adelante, y es tal vez el modelo más ampliamente utilizado en simulación de yacimientos. 8.2. FLUJO DE FLUIDOS SIN CAMBIO DE FASES

En presencia de agua y petróleo, las ecuaciones que nos definen el modelo matemático pueden presentarse de la siguiente forma, donde los subscriptos “W” y “O” denotan las fases de agua y petróleo respectivamente. La ecuación de continuidad para una sola fase fluyendo, es:

−

∂ ∂ ∂ ∂ ( ρVx ) − ( ρVy ) − ( ρVz ) ± W ( x, y, z ) = ( ρφ ) ∂x ∂y ∂z ∂t

(8.5)

∂ ⎛ →⎞ −∇ ⎜ ρ V ⎟ ± W ( x, y, z ) = ( ρφ ) ∂t ⎝ ⎠ (8.6) La ecuación de continuidad cuando existen dos fases fluyendo (agua - aceite):

∂ ⎛ → ⎞ −∇ ⎜ ρo V o ⎟ ± Wo ( x, y, z ) = ( ρ o Soφ ) ∂t ⎝ ⎠ ∂ ⎛ → ⎞ −∇ ⎜ ρ w V w ⎟ ± Ww ( x, y, z ) = ( ρ w S wφ ) ∂t ⎝ ⎠

(8.7) (8.8)

Las ecuaciones de estado para cada fase son:

ρo = f ( Po )

(8.9)

ρ w = f ( Pw )

(8.10)

Y el potencial de flujo está definido por:

φo = φw =

Po

+ gz

(8.11)

Pw

+ gz

(8.12)

ρo ρw

La ley de Darcy para cada fase se define como:



→

Vo = − →

Vw = −

121

⎞ kkro ⎛ g ⎜ ∇Po − ρo ∇D ⎟ Aceite gc µo ⎝ ⎠

(8.13)

⎞ kkrw ⎛ g ⎜ ∇Pw − ρ w ∇D ⎟ Agua gc µw ⎝ ⎠

(8.14)

Reemplazando la ley de Darcy en la ecuación de continuidad para cada fase, obtendremos las ecuaciones que gobiernan el flujo de agua y petróleo en un medio poroso sin intercambio de masa entre las fases. Estas son: ⎡ kk ⎤ ∂ ∇ ⋅ ⎢ ρo ro ( ∇Po − γ o∇D ) ⎥ ± Wo = (φρ o So ) ∂t µo ⎣ ⎦

(8.15)

⎡ kk ⎤ ∂ ∇ ⋅ ⎢ ρ w rw ( ∇Pw − γ w∇D ) ⎥ ± Ww = (φρ w S w ) ∂t µw ⎣ ⎦

(8.16)

Donde,

γ=

g ρ gc

(8.17)

Entonces:

γo =

g ρo gc

γw =

g ρw gc

(8.18)

8.3. ECUACIONES DE FLUJO MULTIFASICO COMPOSICIONAL

Hasta el momento se ha considerado fases estables sin ningún intercambio de masa entre ellas. Con el objeto de permitir este fenómeno es necesario reducir los fluidos en el yacimiento, ya sean agua, petróleo, gas natural, gases asociados, etc., a sus componentes estables más elementales como por ejemplo: metanos, butanos, gas carbónico o agua. Estos componentes podrán existir en cualquiera de las tres fases y por lo tanto no plantearemos las ecuaciones con base en la conservación de masa para cada fase como lo hemos hecho anteriormente sino la conservación de masa para cada componente. Las ecuaciones se originan en principios naturales de conservación, que dan lugar a ecuaciones de continuidad. a) Ecuación de Continuidad (Principio de Conservación de masa ) b) Ecuación de movimiento: Ecuación de Darcy o ecuación de Forcheimmer



122

c) Ecuación de Estado (Describen el comportamiento P.V.T de los fluidos) d) Ecuación de Energía (En el caso de temperatura variable) Considere: a) 3 fases: aceite, gas y agua. f = o, g, w. b) N componentes distribuidos en estas fases: i =1, 2, 3, ... , N. c) Cif, fracción másica de i en f.,

Cif =

masa i en la fase f masa total de la fase f

8.3.1. Ecuación De Continuidad Del Componente I

Se basa en el principio de conservación de masa, el cual expresa: ⎧ Ritmo de entrada ⎫ ⎧ Ritmo de salida ⎫ ⎧ Ritmo de su min istro o de ⎫ ⎨ ⎬−⎨ ⎬+⎨ ⎬ ⎩ de masa i ⎭ ⎩ de masa i ⎭ ⎩extraccion de masa i ⎭

(8.19)

⎧ Ritmo de acumulacion ⎫ = ⎨ ⎬ ⎩ de masa i ⎭

Ritmo de entrada de masa del componente i = A∑ ( ρ f v fxCif )

x

(8.20)

f

Ritmo de salida de masa del componente i = A∑ ( ρ f v fxCif )

x +∆x

(8.21)

f

Ritmo de suministro o extracción de masa I: Si q **f = Ritmo de salida / entrada de masa de f Unidad de volumen de roca

** ** A∆xqo**Ci o + A∆xq** g Ci g + A∆xqw Ci w = A∆x ∑ q f Ci f f

Ritmo de salida/entrada de masa de i = A∆X ∑ q**f Ci f f

A ∆x φ ρ o So Cio masa de i en o⎫ ⎪ + ⎪⎪ A ∆x φ ρ g Sg Cig masa de i en g ⎬ ∑ masa de i en el elemento ⎪ f + ⎪ A ∆x φ ρ w Sw Ciw masa de i en w⎪⎭

∑ A ∆x φ f

Sf

ρ

f

Cif = A ∆x φ ∑ Sf ρ f Cif

masa de i en el elemento

f


(8.22)


A ρ f ν f x Ci f

A ρ f ν f x Ci f

x

123

x +∆x

x+∆x

x

∆x

Fig. 8.1. Flujo del elemento i sobre un volumen de control ∂ ⎛ ⎜φ ∂ t⎜

A∆x

⎝

∑ f

⎞

ρ f S f C if ⎟ = Cambio de masa de i en el elemento con el tiempo. ⎟ ⎠

Ritmo de acumulación de masa de

i = A∆x

∂ ⎛ ⎜φ ∂ t ⎜ ⎝

∑

ρ

f

f

⎞ S f C if ⎟ ⎟ ⎠

(8.23)

Sustituyendo (8.20) a (8.23) en (8.19), y dividiendo por (A∆x) y en el lim ∆x → 0

∑(ρ V f

− lim ∆x→0

f

fX

Cif

)

x +∆x

− ∑ ( ρ f V fX Cif ) f

∆x

x

± ∑ ( Cif q∗∗f ) = f

⎞ ∂ ⎛ ⎜ φ ∑ ρ f S f Cif ⎟ ∂t ⎝ f ⎠

o bien, −

⎫ ⎞ ∂ ⎧ ∂ ⎛ ∗∗ ⎨∑ ( ρ f V fxCif ) ⎬ ± ∑ Cif q f = ⎜ φ ∑ ( ρ f S f Cif ) ⎟ ∂x⎩ f ∂ t ⎭ f ⎝ f ⎠

(8.24)

Para flujo en x, y, z: −

⎫ ∂ ⎧ ⎫ ∂ ⎧ ⎫ ∂ ⎧ ⎨∑ ( ρ f V fx Cif ) ⎬ − ⎨∑ ( ρ f V fy Cif ) ⎬ − ⎨∑ ( ρ f V fz Cif ) ⎬ ± ∂x⎩ f ⎭ ∂y⎩ f ⎭ ∂z⎩ f ⎭

∑ (C

if

f

q∗∗f ) =

(8.25)

⎞ ∂ ⎛ ⎜ φ ∑ ( ρ f S f Cif ) ⎟ ∂t ⎝ f ⎠

La Ec. (8.25) es la ecuación de continuidad para el componente i en el sistema.

f = o, g, w. i = 1, 2, 3,........., N. En términos del operador ∇, para x, y, z:



124

iˆ, ˆj , kˆ : Vectores unitarios, ortogonales. ∇=

∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

→

∧

∧

(8.26)

∧

V f = V f X i + V fY j + V f Z k

(8.27)

Producto punto ( iˆ ⋅ î ) : Proyección de un vector sobre otro vector. ( iˆ ⋅ ˆj ) = ( ˆj ⋅ î ) = 0 ( iˆ ⋅ î ) = 1 ( iˆ ⋅ kˆ ) = ( kˆ ⋅ î ) =0 ( ˆj ⋅ ˆj ) = 1 ( kˆ ⋅ kˆ ) = 1 ⎧ ∇. ⎨∑ Cif ρ f ⎩ f

( ˆj ⋅ kˆ ) = ( kˆ ⋅ ˆj ) =0

∧ ∧ ⎫ ⎛ ∂ ∧ ∂ ∧ ∂ ∧ ⎞ ⎧ ⎛ ∧ ⎞ i+ j+ k + ⋅ ⎨∑ C ρ ⎜ V fx i + V fy j + V fz k ⎟ ⎬ = ⎜ ∂ z ⎟⎠ ⎩ f if f ⎝ ⎠⎭ ⎝ ∂ x ∂ y

∧ ∧ ⎫ ⎛ ∧ ⎞ ⎜ V fx i + V fy j + V fz k ⎟ ⎬ ⎝ ⎠⎭

→ ⎞ ⎛ ⎧∂ ⎫ ∂ ∂ Cif ρ f V fy + Cif ρ f V fz ⎬ = ∇. ⎜ ∑ Cif ρ f V f ⎟ ⎨ Cif ρ f V fx + ∂y ∂z ⎩∂ x ⎭ ⎝ f ⎠

(8.28) →⎞ ⎛ ⎞ ∂ ⎛ −∇ ⋅ ⎜ ∑ Cif ρ f V f ⎟ ± ∑ Cif q ∗∗f = ⎜ φ ∑ ρ f S f Cif ⎟ ∂t ⎝ f ⎝ f ⎠ f ⎠

(8.29)

f = o, g, w i=1, 2, 3, ...... , N La ley de Darcy se define como:

vf = −

kkrf

⎡∇P − γ f ∇D ⎤⎦ µf ⎣ f

(8.30)

Si aplicamos la ley de Darcy y el Potencial de Flujo a cada fase, obtendremos la ecuación diferencial que nos describe el flujo para el componente i de los N existentes: ⎤ ⎪⎫ Kkrf ⎞ ∂ ⎛ ⎪⎧ ⎡ ∇ ⋅ ⎨∑ ⎢Cif ρ f ∇Pf − γ f ∇D ) ⎥ ⎬ ± ∑ Cif q ∗∗f = ⎜ φ ∑ ρ f S f Cif ⎟ ( µf ∂t ⎝ f ⎠ ⎦⎥ ⎭⎪ f ⎩⎪ f ⎢⎣

(8.31)

Para cada uno de los componentes, se puede plantear una ecuación diferencial; sin embargo, existen las siguientes incógnitas:



VARIABLE (INCÓGNITA)

SÍMBOLO

Concentración del componente i en cada una de las fases Presión en cada una de las fases Saturación en cada una de las fases Densidad en cada una de las fases Viscosidad en cada una de las fases Permeabilidad a cada una de las fases Porosidad

Cif Pf Sf

ρf µf

krf

φ

Número total de incógnitas

125

NÚMERO

3N 3 3 3 3 3 1 3N + 16

Por lo tanto necesitaremos este mismo número (3N + 16 ) de relaciones independientes (ecuaciones diferenciales, funciones directas, propiedades, . . . . , etc), para obtener un sistema de ecuaciones determinado. Estas relaciones son las siguientes: a) Ecuaciones Diferenciales Parciales. Una ecuación por cada componente, por lo tanto, habrá N de estas. b) Saturaciones. El volumen poroso está siempre ocupado por fluidos.

Sg + So + Sw = 1.0

(8.32)

c) Concentración de masa La suma total de las concentraciones de los componentes que constituyen cada fase, debe ser igual a la unidad. N

∑C i +1

if

= 0;

f = o, g , w

(8.33)

d) Propiedades Termodinámicas Los análisis PVT, proporcionan las siguientes relaciones para cada fase: ρ f = f1 ( ρ f , Cif )

µ f = f 2 ( ρ f , Cif )

(8.34)

e) Propiedad de la roca. Toda roca que almacena fluido está caracterizada por su porosidad.

φ = φ o ⎡⎢⎣1 + c r ( P − Po )⎤⎥⎦ f) Propiedades de la formación y los fluidos.


(8.35)


Análisis especiales de desplazamientos, permeabilidad relativa y capilaridad.

permiten

desarrollar

126

funciones

krg = f 1( Sg, So, Sw)

(8.36a)

kro = f 2 ( Sg , So , Sw )

(8.36b)

k rw = f 3 ( S g , S o , S w )

(8.36c)

Pg − Po = Pcgo ( Sg, So, Sw)

Pcgo = f (Sg)

(8.36d)

Po − Pw = Pcow( Sg, So, Sw)

Pcow = f (Sw)

(8.36e)

de

g) Equilibrio Termodinámico. La distribución de un componente entre los estados líquido y gaseoso, es determinada por el equilibrio termodinámico, el cual expresa que por cada par de fases, hay una distribución constante para cada componente. Esta distribución es una función de presión, temperatura y composición. C ig = k igo (T , P g , P o , C ig , C io ) C io

(8.37a)

Cig = kigw (T , Pg , Pw, Cig , Ciw ) Ciw

(8.37b)

C io k igw = k iow (T , P o , P w , C io , C iw ) = C iw k iog

(8.37c)

Como se observa, la última relación no es independiente; por lo tanto, sólo 2N de éstas, serán válidas para nuestro objetivo. En resumen, las siguientes relaciones son independientes: RELACIÓN Ecuaciones Diferenciales Parciales Saturación Concentración de masa Propiedades termodinámicas Propiedad de la roca Propiedades formación y fluidos Equilibrio Termodinámico Número total de relaciones

NÚMERO N 1 3 6 1 5 2N 3N + 16



127

8.4. MODELO COMPOSICIONAL SIMPLIFICADO 8.4.1. Modelo de Aceite Negro o Fluidos tipo β

El modelo general de composición es extremadamente difícil de resolver. Afortunadamente, la gran mayoría de los yacimientos no requieren de un modelo tan complejo y es posible afirmar, sin introducir ningún error, que las siguientes suposiciones son válidas: a) Sólo existen tres (3) componentes en las fases de agua, petróleo y gas. Las fases de petróleo y gas están compuestas por dos clases de hidrocarburos: Petróleo residual (líquido a condiciones atmosféricas después de vaporización diferencial) y componentes livianos o gas. Esto implica N=3. b) La fase de agua está compuesta sólo de agua, y este componente no está presente en ninguna de las otras fases. c) Entre las fases de gas y petróleo, sólo el componente gas puede disolverse en la fase de petróleo y salir de ésta. Con las suposiciones hechas, hemos eliminado la posibilidad de aplicar este modelo a yacimientos con hidrocarburos altamente volátiles o condensados de gas. 8.4.2. Ecuaciones de Flujo de Fluidos Tipo Beta (β)

Fluido tipo beta (β): Su composición no cambia con el tiempo. La manera como estos fluidos se mezclan puede esquematizarse en la Fig. 8.2. 3 FASES

3 COMPONENTES

ACEITE

ACEITE

GAS

GAS

AGUA

AGUA

Fig. 8.2. Presencia de componentes en fluidos tipo β

Coo = Componente aceite en la fase aceite. Coo =

masa del componente aceite masa total de la fase aceite



128

masa del componente aceite masa aceite + gas disuelto

Coo =

dividiendo por el volumen de aceite a condiciones estándar

masa de aceite volumen de aceite a C .S . Coo = masa de aceite + gas disuelto vol. aceite + gas disuelto a C .Y × volumen de aceite a C .S . vol. aceite + gas disuelto a C .Y . Coo =

ρ o c. s . ρo β o

Cgo =

masa del componente gas masa total de la fase aceite

(8.38)

masa de gas vol. gas a C .S . × volumen de aceite a C .S . vol. gas a C .S . Cgo = masa de aceite + gas disuelto vol. aceite + gas disuelto a C .Y . × volumen de aceite a C .S . vol. aceite + gas disuelto a C .Y . Cgo =

ρg c.s. × Rs ρoβo

(8.39)

Cwo = 0

(8.40)

De la ecuación (8.33) N

∑C

io

= C oo + C go + C wo = 1.0

i =1

ρ g C .S Rs + ρo C .S = 1.0 ρo β o

ρo =

ρ g c.s. RS + ρo C .S βo

(8.41)

Cog = 0

(8.42)



Cgg =

129

masa del componente gas masa total de la fase gas

masa de gas volumen de gas a C .S . Cgg = masa total de gas vol. de gas a C .Y × volumen de gas a C .S . vol. de gas a C .Y .

ρ g c.s . ρg βg

Cgg =

(8.43)

Cwg = 0

(8.44)

De la ecuación (8.33): N

∑C

ig

= Cog + Cgg + Cwg = 1.0

i =1

ρg =

ρg c.s. βg

(8.45)

Cow = 0

(8.46)

Cgw =0 No existe gas disuelto en el agua.

(8.47)

Cww =

masa del componente agua masa total de la fase agua

masa de agua volumen de agua a C .S . Cww = masa de agua vol. agua a C .Y × volumen de agua a C .S . vol. agua a C .Y . Cww =

ρ w c.s . ρwβw

(8.48)

De la ecuación (8.33):



N

∑C

iw

130

= Cow + Cgw + Cww = 1.0

i =1

ρ w c.s . = 1.0 ρw βw

ρ w c.s . βw

ρw =

(8.49)

Cuando existe gas disuelto en el agua,

ρ g c.s. Rsw + ρ w c.s. βw

ρw =

(8.50)

La ecuación (8.29) escrita para el componente aceite queda: −∇⋅ (∑ C i f ρ f ν f ) ± ∑ Cif q ** f = f

f

⎞ ∂ ⎛ ⎜ φ ∑ ρ f Sf Cif ⎟ ⎟ ∂ t⎜ f ⎝

⎠

−∇ ⋅ (Coo ρ o ν o + Cog ρ g ν g + Cow ρ w ν w) + Coo qo** + Cog qg** + Cow qw** = ∂ φ ( Coo ρo So + Cog ρ g S g + Cow ρ w Sw ) ∂t

{

}

(8.51)

Reemplazando las ecuaciones (8.38), (8.42) y (8.46) en la ecuación (8.51), ⎛ ρ o C .S → ⎞ ρo C .S ∗∗ ∂ ⎧⎪ ⎛ ρo C .S ⎞ ⎫⎪ −∇ ⋅ ⎜ Vo ⎟+ qo = ⎨φ ⎜ So ⎟ ⎬ ∂ β ρ β β t ⎪ o o ⎝ o ⎠ ⎠ ⎪⎭ ⎩ ⎝ o

(8.52)

pero, masa de aceite + gas disuelto ⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ q unidad de tiempo x unidad de volumen roca ⎪ =⎨ masa de aceite + gas disuelto vol. aceite + gas disuelto a C .Y . ⎬⎪ ρo β o ⎪ × vol. aceite a C .S . ⎩⎪ volumen de aceite + gas disuelto a C .Y . ⎭⎪ ** o

qo**

ρo βo

⎞ volumen de aceite a C .S ⎟ ⎟ ⎝ unidad de t x unidad de volumen de roca ⎠

⎛ = qo* ⎜⎜

(8.53)

Si la ecuación (8.52) la dividimos por ρo C.S y aplicando la ecuación (8.53)



⎛→ ⎞ ∂ ⎛ φS ⎞ Vo −∇ ⋅ ⎜ ⎟ + qo∗ = ⎜ o ⎟ ⎜ βo ⎟ ∂ t ⎝ βo ⎠ ⎝ ⎠

131

(8.54)

de la ley de Darcy,

vo = −

kkro

µo

[∇Po − γ o∇D ]

(8.55)

donde,

γo =

g ρo gc

D = Profundidad a partir de un plano de referencia k = Tensor de permeabilidades

⎡kxx kxy kxz ⎤ ⎡kx 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ k = ⎢kyx kyy kyz ⎥ ≅ ⎢⎢ 0 ky 0 ⎥⎥ ⎢kzx kzy kzz ⎥ ⎢⎣ 0 0 kz ⎥⎦ ⎣ ⎦ kx = ky = kz, indica medio Isotrópico Reemplazando la ecuación (8.55) en la ecuación (8.54) se obtiene la ecuación general para el flujo del componente aceite

⎧ k kro ⎫ ∂ ⎛φ S ⎞ ∇⋅ ⎨ [∇Po − γ o ∇D]⎬ ± qo* = ⎜ o ⎟ ∂ t ⎝ βo ⎠ ⎩ µo βO ⎭

(8.56)

Procediendo en forma similar, la ecuación general para el flujo del componente gas: ⎧⎪ k krg ⎫ ⎧kk ⎫ ∇⋅⎨ [∇Pg − γ g ∇D ]⎪⎬ + ∇ ⋅ ⎪⎨ ro Rs [∇Po − γ o ∇D]⎪⎬ ± ⎪⎩ µ o β O ⎪⎭ ⎩⎪ µ g β g ⎭⎪ ∂ ⎛ φ S g φ So Rs + qo* Rs ± q*g = ⎜ βo ∂ t ⎜⎝ β g

⎞ ⎟⎟ ⎠

y la ecuación general para el flujo del componente agua:


(8.57)


⎡kk ⎤ ∂ ⎛ φS ⎞ ∇ ⋅ ⎢ rw [∇Pw − γ w∇D ]⎥ ± qw* = ⎜ w ⎟ ∂t ⎝ β w ⎠ ⎣ µw β w ⎦

132

(8.58)

Las ecuaciones (8.56), (8.57), y (8.58) más las ecuaciones (8.32), (8.36d) y (8.36e) constituyen 6 ecuaciones con 6 incógnitas: Po, Pg, Pw, So, Sw, Sg. Las ecuaciones (8.56) a (8.58) son E.D.P. no lineales de 2o orden. Para definir completamente el problema de flujo se requieren además:

• •

Condiciones iniciales Condiciones de Frontera

a. Condiciones Iniciales: Con base al equilibrio gravitacional y capilar de los fluidos al tiempo t = 0

Distribución inicial de presiones y de Saturaciones

Fig. 8.3. Esquema ilustrativo de las condiciones iniciales Dados:

Pref t=0 @ Zref Zcwo Zcgo

Zref Pref Zc

: Plano de referencia : Presión de referencia : Plano de contacto

“Equilibrio Gravitacional”, no hay flujo de Darcy: k k rf

µ f Bf

(∇ P

f

−γ

f

∇ D )= 0

(8.59)

Para: k k rf

µ f Bf

≠ 0 entonces,

(∇ P

f

−γ

f

∇ D )= 0

Moviéndonos a lo largo de un plano horizontal:


(8.60)


133

∂P

f =0 ∂X

∂P

Pf = cte a lo largo de un plano horizontal

f =0 ∂Y ∂P f −γ = 0 f ∂Z

Pf (x, y, z, t=o) = Pfo (z)

Fig. 8.4. Esquematización de las condiciones de frontera

y(x) Y b

∫Y

(x)

dX = Y (b − a )

a

a

b

x

Fig. 8.5. Teorema del valor medio

∂ Pf − γ f = 0 , entonces; ∂Z

∂ Pf =γ ∂ Z

f

∂ Pf g = ρ ∂ Z gc f gc g

Pf

∫

Pf

ref

dPf

ρf

Z

=

∫ dZ

Z ref

Aplicando el “Teorema del Valor Medio”, entonces,

gc g

⎡ 1 ⎢ ( Pf − Pf ⎢⎣ ρ f

⎤

ref

)⎥ = Z − Z ⎥⎦

ref



g ρ f ( Z − Z ref ) = Pf − Pf gc Pf = Pf

ref

+

134

ref

g ρ f ( Z − Z ref ) gc

(8.61)

P

Po ref Pg Zcgo

Pw

Z ref

Po

Zcwo

Z Fig. 8.6. Localización de la presión de referencia

ρ = ρf

( Pf )

= ρ( P , P f

⎛ Pf + Pf Pf = ⎜ 2 ⎝

ref

f ref

)

⎞ ⎟ ⎠

(8.62)

La distancia inicial de Po se calcula de:

Po = Po ref + _

⎛ ⎝

_

g _ ρ o ( Z − Z ref gc

)

⎞ ⎠

Po =

ρ o = ρo ⎜ Po ⎟

_

(8.63)

Po + Po ref 2

(8.64)

Conocida Po zcwo , calculamos Pw zcwo:

Pcwo (Sw =1.0) = 0 Pw zco = Po zcwo

Po zcwo - Pw zcwo = 0

Pc = 0

Sw = 1.0

También,


(8.65)


⇒

Pcgo (Sg =0) Pgzcgo = Po zcgo

Pg zcgo - Po zcgo = 0

135

Pc =0

Sg = 0

(8.66)

Pw = Pw

+ zcgo

g _ ρ w ( Z − Z cwo ) gc

(8.67)

Pg = Pg

+

g _ ρ g ( Z − Z cwo ) gc

(8.68)

zcgo

Equilibrio Capilar Pg

Z

− Po

Z

(

= Pcgo S g

Z

)→S

(8.69)

g Z

Po Z − Pw Z = Pcwo ( S w Z ) → S w Z

(8.70)

b. Condiciones de Frontera

• qf

Caudal Especificado de Darcy:

front

=−

⎛ ∂Pf ∂D ⎞ −γ f ⎜ ⎟ ∂η ⎠ front µ f B f front ⎝ ∂η kAkrf

(8.71)

Roca mojada por agua La curva de drene debe usarse para calcular la distribución inicial de saturaciones (Debido al proceso de migración de los fluidos)

Pc

Agua imbibe

Threshold pressure

0

Sor

Swc

1.0

Sw Fig. 8.7. Curva de Presión Capilar agua - aceite Vs. Saturación de Agua, para procesos de drenaje o imbibición



GAS

Pc = Pg - Po Pc =0, Po = Pg

OIL

Sw = Swi So =1 - Sori Sg = 1 - Swc - Sor (+) Sw = Swi So =1 - Swii Sg = 0 Sw = Swi So =1 - Swi Sg = 0

Pc = Po - Pw Pc =0, Po = Pw

AGUA

136

Sw = 1 So = 0 Sg = 0

(-)

(+) (-)

Fig. 8.8. Distribución de saturaciones considerando efectos capilares en una interfase Gas Aceite y Aceite – Agua

Donde,

η es la dirección perpendicular a la frontera q µ B ⎛ ∂Pf ∂D ⎞ −γ f =− f f f ⎜ ⎟ ∂η ⎠ front kAkrf ⎝ ∂η •

(8.72) front

Presión Especificada :

Pf ( front , t ) = Pf (t )

front


(8.73)


137

UNIDAD 9 MODELO NUMERICO UTILIZANDO DIFERENCIAS FINITAS 9.1. INTRODUCCION

Una vez que ha sido establecido el modelo matemático capaz de describir el proceso físico que se presenta en el yacimiento, se hace necesario obtener su solución. Sin embargo, las ecuaciones que representan el flujo de los fluidos en medios porosos son en general, como ya se ha visto, ecuaciones diferenciales en derivadas parciales no lineales que relacionan los cambios de presión y de saturación a través del medio con respecto al tiempo y para las cuales es casi imposible obtener una solución analítica. De ahí que surja la necesidad de transformar el modelo matemático a un modelo numérico, siendo éste el único camino por medio del cual se puede llegar a una solución que sea aplicable. La solución analítica, si este es el caso, una vez hallada la expresión final, permite obtener soluciones en cualquier lugar dentro del dominio espacial de la función y a cualquier momento en el dominio de tiempo de dicha función. Las soluciones aproximadas por medio de diferencias finitas en cambio, son discretas en el tiempo y en el espacio, es decir, una vez planteado el sistema de ecuaciones, éste da soluciones al modelo en lugares específicos (previamente seleccionados) y con una frecuencia predeterminada. El método de diferencias finitas es quiza el más ampliamente utilizado en ingeniería de yacimientos para hallar soluciones para las ecuaciones de flujo. 9.2. ECUACIONES DEL SIMULADOR

Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de flujo se transforman en la solución numérica. A su vez, se cambia el carácter continuo en espacio y tiempo por un carácter discreto. Ecuaciones Diferenciales

→

Método de Diferencias Finitas

Ecuaciones Diferenciales Se aplican a toda ( x, y, z, t ) en el dominio del problema.

→

Ecuaciones en Diferencias

Ecuaciones en Diferencias Se aplican a valores discretos (xi, yj, zk, tn). i = 1,2,...I , j = 1,2,...J k = 1,2,...K , n = 1,2,.... en el dominio



138

t

t z z

x x

y y

Fig. 9.1 Dominio Continuo

Fig. 9.2 Dominio Discreto

P(t)

t

Fig. 9.3. Discretización en tiempo

9.3. PROCESO DE DISCRETIZACION

Cuando alguien habla de dar una solución numérica a una ecuación, se está refiriendo a proporcionar resultados en puntos discretos dentro del sistema. El decir que las ecuaciones que se emplean en la simulación serán resueltas en forma numérica implica que se determinarán los parámetros dependientes (presiones y saturaciones) en puntos discretos en espacio y en tiempo. La discretización del espacio se hace al dividir el yacimiento en un número determinado de celdas, las cuales son generalmente rectangulares como puede apreciarse en la Fig. 9.2. La discretización del tiempo se realiza al tomar intervalos del mismo para cada uno de los cuales el problema es resuelto. La medida de estos intervalos de tiempo depende del problema en particular que se esté manejando, aunque hay que hacer notar que mientras menor sea el intervalo de tiempo utilizado, la solución que se obtenga será más aproximada, Fig. 9.3. Así entonces, los valores de la variable dependiente al resolver las ecuaciones numéricas se obtienen para cada uno de los bloques que componen la malla y para valores específicos de tiempo. La transformación de una ecuación diferencial continua a una forma discreta se hace



139

generalmente utilizando el método de diferencias finitas, que consiste en sustituir las derivadas de la ecuación diferencial por fórmulas de derivación. Así pues, las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales son reemplazadas por su equivalente en diferencias finitas las cuales pueden obtenerse al expandir el Polinomio de Taylor generado por una función en un punto dado y después resolver para la derivada que se requiere.

9.4. POLINOMIO DE TAYLOR GENERADO POR UNA FUNCION

Si una función f(x) posee derivadas continuas hasta de orden n en el punto x = 0, siendo n ≥ 1.0, se tratará de obtener un polinomio P(x) que coincida con f(x) y con sus n primeras derivadas en x = 0, esto es:

P(0) = f (0) P'(0) = f'(0) P"(0) = f"(0) . . . . . . Pn (0) = fn (0) El polinomio buscado deberá ser de n-ésimo grado para que pueda contar con n derivadas. Dicho polinomio se expresa de la siguiente manera:

P(X) = A0 + A1x + A2x²+ A3x3 + .......... + Anxn

(9.1)

El problema ahora es determinar los n + 1 coeficientes A0, A1, A2, A3, ...., An. Para obtenerlos se procede sustituyendo x = 0 en el polinomio dado por la expresión (9.1) y se tiene:

Po = Ao

∴

Ao = f (0)

Derivando el polinomio (9.1) y la derivada se evalúa en x = 0, tenemos, que:

P'(0) = A1 P"(0) = 2A2 P"'(0) = 6A3

A1 = f'(0) A2 = f"(0) /2 A3 = f"'(0) /6

En general,

Pk(0) = K! AK Despejando “Ak” de la última expresión,



140

Ak = fk ( 0 ) / k! donde,

K = 1,2,3,.....,n. Sustituyendo los valores que se obtengan para cada una de las derivadas se tiene:

P(X)= f(0)+ f'(0) x + f"(0) x²/2! + f"'(0) x3/3! +... + fn(0) xn/n!

(9.2)

Si se desea que el polinomio P(x), (9.2), satisfaga a la función f(x) y a sus n primeras derivadas pero ahora en el punto x = A, ésto es:

P (A) = f(A) P'(A) = f'(A) P"(A) = f"(A) . . . . . . Pn(A) = fn(A) Para lograrlo se trasladará el origen “A” unidades en el sentido positivo del eje de las abcisas, el argumento del polinomio p(x), (9.1), será (x - A) y la expresión será:

P( x ) = f( A) + f

i

( A)

( x − A) +

f ii ( A) ( x − A )

2

2!

+ ... +

f n ( A) ( x − A )

n

(9.3)

n!

Se le conoce con el nombre de Polinomio de Taylor de grado n generado por f(x) en el punto A, el cual como ya se comentó, es el principio básico utilizado en la derivación de las fórmulas de aproximación en diferencias finitas. 9.5. DIFERENCIAS FINITAS

La solución numérica aproximada de una ecuación diferencial parcial por medio de las diferencias finitas se refiere al proceso por el cual las derivadas parciales son reemplazadas por expresiones aproximadas, obtenidas a partir de las series de Taylor. Suponga que para cada x en (a,b), existen f(x), f'(x), f"(x),..., fk(x), entonces se obtiene:

f( x ) = f( xi )

( x − xi ) ∂f + 1!

∂x

( x − xi ) + xi

2!

2

∂2 f ∂x 2

( x − xi ) + xi

donde xi está en (a,b) y ξ = xi + θ (x - xi);

3!

3

∂3 f ∂x3

( x − xi ) + ... + xi

k!

0 < θ < 1.0


k

∂k f ∂x k ξ (9.4) (9.5)


141

9.5.1. Aproximaciones a la primera derivada

a. Diferencias Progresivas: Si ∆x = x - xi entonces x = xi + ∆x. (ver Fig. 9.4.a). Reemplazando en la ecuación (9.4) f( xi +∆x )

∂f = f ( xi ) + ∆x ∂x

xi

∆x 2 ∂ 2 f + 2! ∂x 2

xi

∆x 3 ∂ 3 f + 3! ∂x3

xi

∆x k ∂ k f (9.6) + ... + k ! ∂x k ξ P

Si K = 2 en la Ec. (9.6); f( xi +∆x ) = f( xi ) + ∆x ∂f ∂x

= xi

∂f ∂x

f( xi +∆x ) − f ( xi ) ∆x

+ xi

−

∆x 2 ∂ 2 f luego: 2! ∂x 2 ξ p

∆x ∂ 2 f 2 ∂x 2 ξ p

Despreciando términos de 2ndo orden ∂f ∂x

≈ xi

f ( xi +∆x ) − f( xi ) ∆x

− O ( ∆x )

(9.7)

a) Diferencia progresiva

X

Xi ∆X

b) Diferencia regresiva

X

Xi ∆X

c) Diferencia central

Xi

Xi -∆X ∆X

Xi +∆X ∆X

Fig. 9.4. Aproximaciones de la primera derivada b. Diferencias regresivas: Si ∆x = xi – x, entonces x = xi - ∆x, (Ver Fig. 9.4.b).



142

Reemplazando en la Ec. (9.4) f( xi −∆x ) = f( xi ) − ∆x

∂f ∂x

+ xi

∆x 2 ∂ 2 f 2! ∂ x 2

∆x 3 ∂ 3 f 3! ∂ x3

− xi

+ ..... + ( −1) xi

k

∆x k ∂ k f k ! ∂ xk ξ r (9.8)

Si K = 2 en la Ec. (9.8) f( xi −∆x ) = f( xi ) − ∆x ∂f ∂x

≈ Xi

∂f ∂x

+ Xi

f( xi ) − f( xi −∆x )

∆x 2 ∂ 2 f de donde, 2! ∂x 2 ξ r

∆x ∂ 2 f + 2 ∂x 2

∆x

ξr

Despreciando términos de 2ndo orden, ∂f ∂x

≈ xi

f ( xi ) − f ( xi −∆x ) ∆x

− O ( ∆x )

(9.9)

c. Diferencias centrales: Si K = 3 en las Ecs. (9.6) y (9.8) f( xi +∆x ) = f( xi ) + ∆x

f( xi −∆x )

∂f ∂x

∂f = f( xi ) − ∆x ∂x

+ Xi

xi

∆x 2 ∂ 2 f 2! ∂x 2

∆x 2 ∂ 2 f + 2! ∂x 2

+ Xi

xi

∆x 3 ∂ 3 f 3! ∂x3 ξ p

∆x 3 ∂ 3 f − 3! ∂x 3 ξ r

(9.10)

(9.11)

Restando la Ec. (9.11) de (9.10):

f( xi +∆x ) − f ( xi −∆x ) = 2∆x

∂f ∂x

+ xi

∆x3 ⎧⎪ ∂ 3 f ⎨ 6 ⎪ ∂x3 ⎩

+ ξp

∂3 f ∂x3

⎫⎪ ⎬ ξr ⎪ ⎭

Despreciando términos de tercer orden, ∂f ∂x

= xi

f ( xi +∆x ) − f( xi −∆x ) 2∆x

+ O ( ∆x 2 )

Se tiene que, O(∆x2) < O(∆x)


(9.12)


143

ξ = Error de truncamiento, por la eliminación de los términos mayores que k límite utilizado. Se puede simplificar la escritura de las Ecs. (9.7), (9.9) y (9.12). De acuerdo con la Fig. 9.4.c, si, ∆X = cte, xi + 1 = xi + ∆x y xi - 1 = xi - ∆x. La distancia entre dos puntos consecutivos es la diferencia finita x. En el método de diferencias finitas la evaluación de las funciones y sus derivadas se efectúa solamente en los puntos xi. xi+1 = xi + ∆x xi-1 = xi - ∆x Notación: fi = f(Xi) ; fi+1 = f (Xi+1) , .... etc. Diferencias progresivas: f −f ∂f = i +1 i ∂x i ∆x

(9.13)

Diferencias Regresivas: f − fi −1 ∂f = i ∂x i ∆x

(9.14)

Diferencias Centrales: f −f ∂f = i +1 i −1 ∂x i 2 ∆x

(9.15)

d. Aproximación de términos de la forma: ∂f/∂t Si f = f (x,t) y haciendo un desarrollo análogo al método de diferencias finitas en espacio, tenemos: • Diferencias progresivas en tiempo n

fi

n +1

∂f ∆t 2 ∂ 2 f = fi + ∆t + ∂t i 2 ∂t 2

n

n

i

∆t 3 ∂ 3 f + 3 ∂t 3

ξp

i

Despreciando términos de 2ndo orden,



∂f ∂t

n

i

f i n +1 − f i n ≈ + O ( ∆t ) ∆t

144

(9.16)

• Diferencias Regresivas: en tiempo:

t

Central

f −f ∂f = i +1 i −1 ∂X i 2 ∆X Regresiva

f − f i −1 ∂f = i ∂X i ∆X

i -1

Progresivas

f −f ∂f = i +1 i ∂X i ∆X

i -1/2

i

i + 1/ 2 i + 1

x

Fig. 9.5. Representación esquemática de las diferencias finitas para la primera derivada fi = fi n

n +1

∂f − ∆t ∂t

n +1

i

∆t 2 ∂ 2 f + 2 ∂t 2

n +1

i

∆t 3 ∂ 3 f − 3 ∂t 3

ξr

i

n

fi

n +1

∂f 2 = fi + ∆t + O ( ∆t ) , entonces: ∂t i n

Despreciando términos de 2o orden, fi = fi n

∂f ∂t

n +1

i

n +1

∂f − ∆t ∂t

n +1

+ O ( ∆t )

2

i

fi n +1 − fi n ≈ + O ( ∆t ) ∆t


(9.17)


145

En simulación de yacimientos se emplean la aproximación (9.17). La notación del operador en diferencias progresivas en tiempo: ∆tU = Un+1 - Un ∂f ∂t

n +1

≈ i

(9.18)

∆t fi ∆t

(9.19)

9.5.2 Aproximaciones a la segunda derivada

Una expresión para la 2a derivada se obtiene sumando las Ecs. (9.6) y (9.8). Esto es: f( xi +∆x ) = f ( xi ) + ∆x

∂f ∂x

f( X i −∆X ) = f( X i ) − ∆X

f( xi +∆x ) + f( xi −∆x )

+ xi

∂f ∂X

∆x 2 ∂ 2 f 2! ∂x 2

+ Xi

+ xi

∆X 2 ∂ 2 f 2! ∂X 2

∂2 f = 2 f( xi ) + ∆x ∂x 2 2

∆x 3 ∂ 3 f 3! ∂x3

− Xi

+ ... + xi

∆X 3 ∂ 3 f 3! ∂X 3

∆x k ∂ k f k ! ∂x k ξ P

+ ..... + ( −1) Xi

(9.6)

k

∆X k ∂ k f k ! ∂X k ξ r (9.8)

⎡ 4 ⎤ ∂ f ∂4 f ⎥ ⎢ + ∆x + 4 ⎢ ∂x 4 ξ ∂x ξ ⎥ r⎦ ⎣ P 4

xi

(9.20)

Despejando de la expresión anterior la 2nda derivada, ∂2 f ∂x 2

= Xi

f( xi +∆x ) − 2 f( xi ) + f( xi −∆x ) ∆x 2

−

∆x 2 12

⎡ ∂4 f ∂4 f ⎤ ⎢ 4 + 4 ⎥ ∂x ξ ⎥ ⎢ ∂x ξ ⎣ P r ⎦

Despreciando términos de 4o orden, ∂2 f ∂x 2

= xi

f ( xi +∆x ) − 2 f ( xi ) + f( xi −∆x ) ∆x 2

+ O ( ∆x 2 )

(9.21)

Simplificando la escritura de la ecuación (9.21), utilizando la notación convencional, tenemos: f ( i +1) − 2 f ( i ) + f( i −1) ∂2 f = + O ( ∆x 2 ) 2 2 ∂x i ∆x


(9.22)


146

Que es la expresión para obtener la segunda derivada de una función. 9.5.3 Aproximación de términos no - lineales

∂ ⎛ ∂P ⎞ ⎜ λS ⎟, ∂S ⎝ ∂S ⎠

λS =

k µB

Si P = P(x,y,t) y consideramos la dirección x,

∂ ⎛ ∂P ⎞ ∂U x ⎜λ ⎟= ∂x ⎝ x ∂x ⎠ ∂x

(9.23)

donde, U x = λx

∂P , velocidad ∂x

(9.24)

∂Ux/∂x = Velocidad de flujo entre las fronteras, cambio de velocidad entre las fronteras. Ritmo neto de flujo, cambio de ritmo en x. Aplicando diferencias centrales, U − U i −1/ 2 ∂U = i +1/ 2 ∂x i ∆xi U i +1/ 2 = λxi+1/ 2

(9.25)

∂P ⎛λ ⎞ =⎜ x ⎟ ( Pi +1 − Pi ) ∂x i +1/ 2 ⎝ ∆x ⎠i +1/ 2

Similarmente, U i −1/ 2 = λxi−1/ 2

∂P ⎛λ ⎞ =⎜ x ⎟ ( Pj − Pi−1 ) ∂x i −1/ 2 ⎝ ∆x ⎠i −1/ 2

Reemplazando en la Ec. (9.23) ⎫ λ ∂ ⎛ ∂P ⎞ 1 ⎧⎛ λx ⎞ ( Pi +1 − Pi ) − ⎜⎛ x ⎟⎞ ( Pi − Pi − j )⎬ ⎨⎜ ⎟ ⎜ λx ⎟= ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∆xi ⎩⎝ ∆x ⎠i +1/ 2 ⎝ ∆x ⎠i −1/ 2 ⎭

Que es la velocidad de flujo de fluido en la frontera a través de i + ½.


(9.26)


∆xi −

1 2

∆xi +

147

1 2

1 i+ , j 2

1 i− , j 2

i, j + 1 1 i, j + 2

∆yi i − 1, j

i, j

i + 1, j

1 i, j − 2

i, j − 1

∆xi

Fig. 9.6. Molécula bidimensional de la diferencia finita de cinco puntos Notación del operador en diferencias centrales, en general: ∆Ui,j,k = ∆X Ui,j,k + ∆YUi,j,k + ∆ZUi,j,k

(9.27)

donde, ∆XU i, j,k = Ui+½ , j, k - Ui-½, j,k

(9.28a)

∆YU i, j, k = Ui, j+½, k - Ui, j-½, k

(9.28b)

∆ZU i, j, k = Ui, j, k+½ - Ui, j, k-½

(9.28c)

La Ec. (9.26) puede entonces escribirse, ∂ ⎛ ∂P ⎞ 1 ⎛λ ⎞ ∆x ⎜ x ∆xP ⎟ ⎜ λx ⎟ = ∂x ⎝ ∂x ⎠i ∆xi ⎝ ∆x ⎠i

(9.29)

Los efectos de orientación de la malla fueron reducidos grandemente con la introducción de la malla de nueve puntos, ver Fig. 9.7, por Yanosik y McCraken en 1979. Esta dio buenos resultados para inyección de agua con bajas relaciones de movilidad. Para relaciones de movilidad mayores se recomienda la diferenmcia finita de trece puntos, Fig. 9.8 presentada por Ding and Lemonier (1992) y Escobar y Civan (1998).



i,j+1

i-1,j

i,j

i+1,j

i,j-1

Fig. 9.7. Molécula de la diferencia finita de nueve puntos propuesta por Yanosik y McCraken

i-1,j+1

i,j+1

i+1,j+1

i-1,j

i,j

i+1,j

i-1,j-1

i,j-1

i+1,j-1

Fig. 9.8. Molécula de la diferencia finita de trece puntos


148


149

UNIDAD 10 ESQUEMA DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE FLUJO (LINEALES) Básicamente existen dos maneras para ir de los valores del nivel de tiempo anterior a los valores en el nivel de tiempo nuevo, lo cual se discute a continuación. 10.1 ESQUEMA DE SOLUCION EXPLICITO

Este esquema es el más simple ya que resuelve el problema para una sola incógnita en el tiempo nuevo, valiéndose para ello de los valores conocidos de la incógnita en el tiempo anterior. Para propósitos de clarificación, considere la siguiente ecuación en dos dimensiones: ∂ 2 P ∂ 2 P φµ ct ∂P + = ∂x 2 ∂y 2 k ∂t

η=

(10.1)

k φµ Ct

La Ec. (10.1) expresada en diferencias finitas queda como sigue: Pi ,nj +1 − 2 Pi ,nj + Pi ,nj −1

( ∆y )

2

+

Pi +n1, j − 2 Pi ,nj + Pi −n1, j

( ∆x )

2

=

n +1 n 1 Pi , j + Pi , j η ∆t

(10.2)

En donde, i, j: localización de la celda dentro de la malla. n: nivel de tiempo anterior n + 1: nivel de tiempo nuevo Como puede observarse, se tiene una sola incógnita, el valor de la presión al tiempo nuevo n + 1, el cual se encuentra involucrado en el lado derecho de dicha ecuación (10.2). Despejando la Ec. (10.2) se puede obtener explícitamente el valor de la presión para el tiempo nuevo n + 1, (Pi,j)n+1 en función de los valores de presión en el tiempo anterior, los cuales son conocidos. Así entonces,



n +1 i, j

P

⎧⎪ Pi ,nj +1 − 2 Pi ,nj + Pi ,nj −1 Pi +n1, j − 2 Pi ,nj + Pi −n1, j ⎫⎪ = P + η ∆t ⎨ + ⎬ 2 2 ( ∆y ) ( ∆x ) ⎪⎩ ⎪⎭ n i, j

150

(10.3)

Como se conocen todos los valores del lado derecho de ésta última ecuación, se trata de resolver simplemente una ecuación con una incógnita. Ahora bien, para avanzar la solución de “n” a “n + 1” se requiere aplicar la misma ecuación para todos y cada uno de los puntos que constituyen la malla. Es común escribir la ecuación anterior de la siguiente manera: Pi ,nj+1 = Pi ,nj + α ( Pi ,nj +1 − 2 Pi ,nj + Pi ,nj −1 ) + β ( Pi +n1, j − 2 Pi ,nj + Pi −n1, j )

(10.4)

donde,

α=

η∆t

( ∆y )

2

β=

,

η∆t

( ∆x )

2

Por su sencillez este esquema presenta limitaciones fuertes de estabilidad (más adelante se da la explicación de este concepto), lo que ocasiona tener que utilizar intervalos de tiempo pequeños al avanzar la solución, lo cual tampoco es muy conveniente debido al tiempo de computadora que se requiere para efectuar una corrida. Esta limitación hace que su aplicación sea impráctica en la mayoría de los problemas de simulación, no obstante que el esfuerzo que se requiere para desarrollar un simulador que esté basado en este esquema es mucho menor que con ningún otro.

10.2. ESQUEMA DE SOLUCION IMPLICITO

Este esquema consiste en resolver el problema para todos los valores de las incógnitas en forma simultánea. Considérese la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales en una dimensión, ∂ 2 P φµ ct ∂P = k ∂t ∂x 2

(10.5)

La cual puede expresarse en diferencias finitas de la siguiente manera: Pi −n1 − 2 Pi n + Pi +n1

( ∆x )

2

=

Pi n +1 − Pi n η∆t

(10.6)

Esta ecuación tiene solo una incógnita, Pin+1, sin embargo, se puede establecer de tal manera que se resuelva para los tres valores de Pi como sigue:



Pi −n1+1 − 2 Pi n +1 + Pi +n1+1

( ∆x )

2

=

Pi n +1 − Pi n η∆t

151

(10.7)

Como puede apreciarse, la Ec. (10.7) tiene como incógnitas a todos los valores de presión al nuevo nivel de tiempo n + 1. Dicha ecuación puede escribirse: n +1 i −1

P

− 2 Pi

n +1

n +1 i +1

+P

( ∆X ) = η ∆t

2

(P i

n +1

− Pi n )

Factorizando, n +1 i −1

P

2 2 ⎛ ∆x ) ⎞ n +1 ( n +1 n ( ∆x ) −⎜2+ ⎟ Pi + Pi +1 = − Pi ⎜ ⎟ ∆ η η∆t t ⎝ ⎠

(10.8)

Nótese que en esta última expresión; la cual tiene tres incógnitas, el punto i está ligado a los puntos (i + 1) e (i - 1). La forma general de la ecuación es: ai Pi −n1+1 + bi Pi n +1 + ci Pi +n1+1 = di

(10.9)

Donde los coeficientes ai, bi, ci, se refieren, como se verá posteriormente cuando se defina el término transmisibilidad, a la geometría del sistema y a sus propiedades físicas y di contiene a los términos conocidos. Nuevamente, para avanzar la solución al nuevo tiempo es preciso escribir la Ec. (10.9) para las N celdas que componen la malla. El resultado final son N ecuaciones con N incógnitas. Esto es: Celda a1 Pon +1 1 2 3 N

+b1 P1n +1 a2 P1n +1

+ c1 P2n +1 +b2 P2n +1 a3 P2n +1

n +1 2 3 n +1 3 3

+c P +b P

+c3 P4n +1

aN PNn−+11

+bN PNn +1

= d1 = d2 = d3 +cn PNn++11

= dN

Las celdas con “0” y “n + 1” que se escriben son generalmente celdas ficticias que no forman parte del modelo y que se definen como se verá más adelante, producto de las condiciones de frontera que se estén utilizando.



0

1

2

3

4 ........ N - 2

N-1

152

N

N+1

i Fig. 10.1. Sistema cerrado lineal

Nótese que la matriz que se generó tiene una forma característica, hay tres elementos diagonales y todos los demás elementos fuera de dichas diagonales son cero. A toda matriz que presente esta característica se le conoce con el nombre de “Matriz Tridiagonal”. El conjunto de ecuaciones simultáneas puede ser escrito utilizando notación matricial como sigue: → → AP = d

(10.10) donde, ⎡ b1 ⎢a ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

c1 b2

c2

a3

b3

c3

a4

b4

c4

.

.

.

.

. an

0

0

⎤ ⎡ P1n +1 ⎤ ⎡ d1 − a1 P0n ⎤ ⎥ ⎥ ⎢ n +1 ⎥ ⎢ d2 ⎥ ⎥ ⎢ P2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ P3n +1 ⎥ ⎢ d3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎥×⎢ . ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ .⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ n +1 ⎥ n ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ bn ⎦ ⎣ Pn ⎦ ⎣ d n − cn Pn +1 ⎦

El sistema se resuelve para la presión desconocida “P” utilizando el algoritmo de “Thomas”, el cual es discutido en el capítulo siguiente. Para un sistema en dos dimensiones el desarrollo es idéntico al utilizado con anterioridad para el de una sola dimensión, solo que los resultados son un poco diferentes. Considérese la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales en dos dimensiones: ∂ 2 P ∂ 2 P ∂P + = ∂x 2 ∂y 2 η∂t

(10.11)

En diferencias finitas será:



Pi −n1,+1j − 2 Pi ,nj+1 + Pi +n1,+1j

( ∆X )

+

2

Pi ,nj+−11 − 2 Pi ,nj+1 + Pi ,nj++11

( ∆Y )

2

=

Pi ,nj+1 − Pi ,nj

η∆t

153

(10.12)

Nótese que todas las presiones están en el nuevo nivel de tiempo y en consecuencia son incógnitas. Así pues, existen 5 incógnitas en la ecuación (10.12). Para simplificar el problema supóngase que ∆X = ∆Y. Desarrollando y factorizando, se puede escribir de la siguiente manera: n +1 i −1, j

P

n +1 i +1, j

+P

n +1 i, j

− 4P

n +1 i , j −1

+P

n +1 i , j +1

+P

( ∆x ) = η ∆t

2

(P

n +1 i, j

− Pi ,nj )

(10.13)

La cual se reduce a: n +1 i , j −1

P

n +1 i +1, j

+P

2 2 ⎛ ∆x ) ⎞ n +1 ∆x ) n ( ( n +1 n +1 −⎜4+ P ⎟ P + Pi −1, j + Pi , j +1 = − ⎜ η∆t ⎟⎠ i , j η∆t i , j ⎝

(10.14)

En forma general esta última expresión es: ei Pi ,nj+−11 + ai Pi +n1,+1j + bi Pi ,nj+1 + ci Pi −n1,+1j + fi Pi ,nj++11 = d i

(10.15)

Donde los coeficientes ei, ai, bi, ci, fi, y di, son similares a los que se definieron para el sistema en una dimensión. Nuevamente, para avanzar la solución al nuevo nivel de tiempo se requiere escribir la Ec. (10.15) para todas y cada una de las N celdas que constituyen la malla. De esta manera se tendrán N ecuaciones con N incógnitas. En esta ocasión se trata de un sistema pentadiagonal, el cual puede escribirse en notación matricial como se muestra a continuación: → → AP = d

⎡b ⎢ ⎢ ⎢a ⎢ ⎢ ⎢⎣ e

(10.16) n

c b

c b

a

b a

f ⎤ ⎡ P1 ⎤ ⎥ ⎢P ⎥ ⎥ ⎢ 2⎥ c ⎥ * ⎢ P3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ P4 ⎥ b ⎥⎦ ⎢⎣ P5 ⎥⎦

n +1

⎡ d1 ⎤ ⎢d ⎥ ⎢ 2⎥ = ⎢ d3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢d4 ⎥ ⎢⎣ d5 ⎥⎦

n

Los algoritmos que se utilizan para resolver este tipo de problemas de dos dimensiones se discuten más adelante. El esquema implícito es el que involucra mayor esfuerzo de cómputo para avanzar la solución de un nivel a otro ya que para resolverlo se recurre a procesos iterativos, sin embargo, permite utilizar incrementos de tiempo mucho mayores



154

que el esquema explícito y aún así permanece estable. 10.3. ESQUEMA DE CRANK - NICHOLSON

Este esquema involucra una combinación de los valores anteriores y de los valores nuevos de la variable dependiente en el intervalo de tiempo considerado. Sea la ecuación diferencial en derivadas parciales: ∂ 2U φµ ct ∂U = ∂x 2 k ∂t

η=

(10.17)

k φµ Ct

La cual puede escribirse en diferencias finitas, considerando tanto el nivel de tiempo anterior como el nivel de tiempo nuevo, de la manera siguiente: ⎧⎪U n +1 − 2U n +1 + U n +1 ⎫⎪ ⎧⎪U n − 2U n + U n ⎫⎪ U n +1 − U n i +1 i i −1 i i −1 i i + − θ 1 ) ⎨ i +1 ⎬ ( ⎬= 2 2 η∆t ( ∆x ) ( ∆x ) ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪

θ⎨

(10.18)

Donde 0 < θ < 1. Si se analiza la ecuación se notará que si θ = 0 se trata de un esquema explícito, si θ = ½ se trata de un esquema de Crank – Nicholson y si θ = 1, se considera un esquema implícito.

10.4 EL CONCEPTO DE TRANSMISIBILIDAD EN LOS ESQUEMAS DE SOLUCION

Ya con anterioridad, en los capítulos iniciales, se comentó que al utilizar una malla que divida al yacimiento en una serie de bloques, se debe determinar de alguna manera la interacción de flujo que existe entre los mismos. Por ellos a continuación, se define el concepto de transmisibilidad, T, como la la capacidad de transmitir el flujo y está dada por la siguiente expresión: q = T ∆P

(10.19)

Donde, T: Transmisibilidad q: Gasto o rata de flujo ∆P: Caída de presión.



Nivel de tiempo s

155

Calcule So, y Sw de los terminos de flujo

1

Sg = 1 - So - Sw

Datos:

Ps, Sos, Sgs, Sws

s=s+1

No

Formule la ecuacion de difusividad en diferencias finitas

Se ha llegado al limite de tiempo ? Si

Fin Resuelva la matriz: s

Itere

c ⎤ ⎡ p1 ⎤ ⎡ ⎢ b ⎥ ⎢p ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x⎥ ⎢⎣ a ⎥⎦ ⎢⎣ pN ⎥⎦

s +1

⎡ = ⎢⎢ ⎢⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

s

Halle φo o Po

1

Fig. 10.2. Diagrama de flujo método IMPES

Recordando la ecuación de Darcy, q=−

kA dP µ dS

(10.20)

Sustituyendo esta expresión en la ecuación (10.19) y haciendo dS = -L y despejando: T=

kA µL

(10.21)

Es claro, según la Ec. (10.21), que la capacidad de transmitir no será igual para todos los bloques que constituyen la malla, sino que ésta dependerá tanto de la geometría del bloque (L, A) como de las propiedades físicas que se le asignen a cada uno de ellos (k,µ). Así pues para determinar el flujo (y con ello implícitamente la variación de presión) que cruza de un bloque A hacia un bloque B, los cuales son adyacentes, es preciso considerar las transmisibilidades de ambos bloques. De esta manera los esquemas de solución de las ecuaciones de flujo en una dimensión afectados por el término de transmisibilidad quedan como sigue:



Nivel de tiempo s

1

156

Determine Pc

Datos:

ko, kw, Pc, Sw

s=s+1

Pc

Sw

Formule la ecuacion de difusividad en diferencias finitas

Determine Sw

Resuelva la matriz:

⎡| ⎢| ⎢ ⎢⎣|

|⎤ |⎥⎥ |⎥⎦

s

⎡ φ1 ⎤ ⎢φ ⎥ ⎢ x⎥ ⎣⎢φ N ⎦⎥

s +1

⎡ d1 ⎤ = ⎢⎢ d x ⎥⎥ ⎣⎢ d N ⎦⎥

No s

Se ha llegado al limite de tiempo ?

Si

Fin

Halle φo y φW

1

Fig. 10.3. Diagrama de flujo método IMPIS

a) Esquema de Solución Explícito: En este esquema las transmisibilidades de los términos de flujo, lo mismo que ocurrió con las presiones anteriormente, se evalúan al nivel de tiempo conocido “n”. La expresión en diferencias finitas es: Txni+1/ 2 ( Pi +n1 − Pi n ) − Txni−1/ 2 ( Pi n − Pi −n1 ) =

Vbi n +1 Pi − Pi n ) ( ∆t

(10.22)

El subíndice “i+½” ó “i-½” se utiliza por lo que ya se explicó, que el flujo que cruza por el punto “i” al pasar de “i+1” a “i-1” o viceversa, se ve afectado por la transmisibilidad de ambos bloques. El subíndice X indica la dirección y el término Vbi es el volumen total del bloque i. b) Esquema de solución mixto (IMPES = Implícito en presiones, explícito en saturaciones). Este esquema surge al considerar el concepto de transmisibilidad. En él las presiones se evalúan al nivel de tiempo nuevo “n+1”, mientras las transmisibilidades se evalúan al nivel de tiempo anterior o conocido “n”. Fig. 10.2. La expresión en diferencias finitas es la siguiente:



Txni+1/ 2 ( Pi +n1+1 − Pi n +1 ) − Txni−1/ 2 ( Pi n +1 − Pi −n1+1 ) =

Vbi n +1 Pi − Pi n ) ( ∆t

157

(10.23)

Este tipo de esquema se utiliza con éxito en simuladores areales y tridimensionales en los cuales, en general, no se dan cambios bruscos en presiones y/o saturaciones de un intervalo de tiempo a otro. Sin embargo, pueden presentar serias limitaciones de estabilidad y consecuentemente, requerir intervalos de tiempo muy pequeños en simuladores de flujo convergente, tales como simuladores de conificación y algunos simuladores de secciones transversales. c) Esquema de Solución Implícito (IMPIS = Implícito en presiones, implícito en saturaciones) o Método de Solución Simultánea. Este esquema consiste en evaluar además de las presiones, como ya se vió, las transmisibilidades al nuevo nivel de tiempo “n+1”, ver Fig. 10.3, quedando la ecuación en diferencias finitas como sigue: Txni++1/12 ( Pi +n1+1 − Pi n +1 ) − Txni−+1/12 ( Pi n +1 − Pi −n1+1 ) =

Vbi n +1 ( Pi − Pi n ) ∆t

(10.24)

Para clarificar éste método considere el siguiente sistema de ecuaciones para flujo incompresible: ∂So ∂ ⎡ ko ∂ Φ o ⎤ ⎢ ⎥ =φ ∂x ⎣ µo ∂x ⎦ ∂t

(10.25)

∂S w ∂ ⎡ kw ∂ Φ w ⎤ ⎢ ⎥ =φ ∂x ⎣ µ w ∂x ⎦ ∂t

(10.26)

Se sabe que: So + S w = 1

(10.27)

Luego: So = 1 − S w

(10.28)

Derivando con respecto a t: ∂So ∂ (1 − S w ) ∂S = =− w ∂t ∂t ∂t Como se definió en capítulos anteriores:


(10.29)


Pc = Po − Pw = Φ o − Φ w + ∆ρ gh

158

(10.30)

Se desea expresar el cambio en saturación en términos de la presión capilar y finalmente en términos de potencial. Para hacer ésto se usa la regla de la cadena: ∂S ∂S ∂Pc = ∂t ∂Pc ∂t

(10.31)

que puede escribirse de la siguiente manera: ∂P ∂S =S' c ∂t ∂t

(10.32)

siendo S’ la pendiente de la curva de presión capilar contra saturación como se expresa en la Fig. 10.4. Utilizando la definición de presión capilar introducida por la Ec. 10.30, se tiene: ∂P ∂S ⎛ ∂Φ ∂Φ w ⎞ = S ' c = S '⎜ o − ⎟ ∂t ∂t ∂t ⎠ ⎝ ∂t

(10.33)

Luego las Ecs. 10.25 y 10.26 se pueden rescribir como: ∂ ⎡ ko ∂ Φ o ⎤ ⎛ ∂ Φo ∂ Φ w ⎞ − ⎢ ⎥ = −φ S ' ⎜ ⎟ ∂x ⎣ µo ∂x ⎦ ∂t ⎠ ⎝ ∂t

(10.34)

∂ ⎡ kw ∂ Φ w ⎤ ⎛ ∂ Φo ∂ Φw ⎞ − ⎢ ⎥ = φS '⎜ ⎟ ∂x ⎣ µ w ∂x ⎦ ∂t ⎠ ⎝ ∂t

(10.35)

La derivada S’ puede escribirse en términos de potencial: S'=

∂S S n +1 − S n = n +1 ∂Pc Φ o − Φ nw

(10.35)

Note que realmente ésto toma la derivada al nivel de tiempo n pero que puede también desarrollarse para n+1/2. La Ec. 10.34 expresada en diferencias finitas usando formulación implícita es: ⎛ Φ oni++11 − Φ oni+1 ⎞ ⎛ ko ⎞ ⎛ Φ oni+1 − Φ oni+−11 ⎞ ⎤ 1 ⎡⎛ k o ⎞ φ S ' ⎡ n +1 Φ oi − Φ oni − Φ nw+i 1 − Φ nwi ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ = − ⎣ ⎦ ∆x ⎢⎣⎝ µo ⎠i +1/ 2 ⎝ ∆x ∆x ∆t ⎠ ⎝ µo ⎠i −1/ 2 ⎝ ⎠ ⎥⎦

(

) (

(10.36)


)


159

Pc S'

Sw

Fig. 10.4. Relación presión capilar - saturación

1

⎧Φ Incognitas ⎨ o1 ⎩Φw

1

2

3

Φ o2

Φ o3

Φ w2

Φ w3

Fig. 10.5. Sistema unidimensional de tres celdas

Similarmente para la fase de agua: ⎛ Φ nw+i+11 − Φ nw+i 1 ⎞ ⎛ kw ⎞ ⎛ Φ nw+i 1 − Φ nw+i−11 1 ⎡⎛ k w ⎞ ⎢⎜ ⎜ ⎟⎟ − ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ∆x ⎣⎢⎝ µ w ⎠i +1/ 2 ⎝⎜ ∆x ∆x ⎠ ⎝ µ w ⎠i −1/ 2 ⎝

⎞⎤ φ S ' ⎡ n +1 Φ oi − Φ oni − Φ nw+i 1 − Φ nwi ⎤⎦ ⎟⎟ ⎥ = − ⎣ ∆t ⎠ ⎦⎥ (10.37)

(

) (

)

Por lo tanto, en una celda dada hay dos incógnitas Φ nw+1 y Φ on +1 en el nuevo nivel de tiempo. Si las Ecs. 10.36 y 10.37, se expresan en forma típica, se tiene: eΦ oni+−11 + f Φ on +1 + g Φ oni++11 + hΦ nw+i 1 = Doi i

(10.38)

Similarmente, para la fase agua: aΦ nw+i−11 + b Φ nw+1 + cΦ nw+i+11 + d Φ oni+1 = Dwi i

(10.39)

Considere el sistema de tres celdas que se muestra en la Fig. 10.4. Escribiendo las Ecs. 10.38 y 10.39 para cada celda dan seis ecuaciones con seis incógnitas. Puesto que las celda 0 y 4 son ficticias, se tiene:



Celda 1: a1 Φ nw+0 1 + b1Φ nw1+1 + c1Φ nw+2 1 + d1Φ on1+1 = Dw1 e1Φ on0+1 + f1Φ on1+1 + g1Φ on2+1 + h1Φ nw1+1 = Do1

Celda 2: a2 Φ nw1+1 + b2 Φ nw+2 1 + c2 Φ nw+3 1 + d 2 Φ on2+1 = Dw2 e2 Φ on1+1 + f 2 Φ on2+1 + g 2 Φ on3+1 + h2Φ nw+2 1 = Do2

Celda 3: a3 Φ nw+2 1 + b3Φ nw+3 1 + c3Φ nw+4 1 + d3Φ on3+1 = Dw3 e3Φ on2+1 + f3Φ on3+1 + g3Φ on4+1 + h3Φ nw+3 1 = Do3

Que en términos matriciales resulta en: ⎛ b1 ⎜ ⎜ h1 ⎜− ⎜ ⎜ a2 ⎜0 ⎜ ⎜− ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

d1 | c1 f1 | 0

0 | g1 |

−

|

−

0

| b2

d 2 | c2

e2

| h2

f2

|

0

−

|

−

−

|

−

| a3 | 0

0 e3

| b3 | h3

−

|

−

⎛Φ ⎞ ⎛D ⎞ ⎞ ⎜ w1 ⎟ ⎜ w1 ⎟ ⎟ ⎜ Φ o ⎟ ⎜ Do ⎟ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ −⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎜ Φ w2 ⎟ ⎜ Dw2 ⎟ *⎜ ⎟=⎜ ⎟ g 2 ⎟ ⎜ Φ o2 ⎟ ⎜ Do2 ⎟ ⎟ −⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ d3 ⎟ ⎜ Φ w ⎟ ⎜ Dw ⎟ 3 3 ⎟ f 3 ⎟⎠ ⎜⎜ Φ ⎟⎟ ⎜⎜ D ⎟⎟ ⎝ o3 ⎠ ⎝ o3 ⎠


160


161

UNIDAD 11 APROXIMACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS DE LAS ECUACIONES DE FLUJO DE UN SOLO FLUIDO 11.1. PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES

Considerando la ecuación de difusividad para un único fluido ligeramente compresible en una dimensión: ∂ ⎡ ⎛ ∂P ∂D ⎞ ⎤ ∂ ⎛φ ⎞ λ ⎜ −γ ⎟⎥ + q = ⎜ ⎟ ⎢ ∂x ⎣ ⎝ ∂x ∂x ⎠ ⎦ ∂t ⎝ B ⎠

(11.1)

donde,

λ=

k , µB

0 < x < 1, t > 0

Sujeto a las siguientes condiciones iniciales y de frontera. Condición inicial: P(x,t =0) = Pinicial (x)

(11.2)

Condiciones de frontera: qw µ B ⎛ ∂P ∂D ⎞ -γ ⎜ ⎟ =− kA ∂x ⎠ x =0 ⎝ ∂x

(11.3) x =0

⎛ ∂P ∂D ⎞ -γ ⎜ ⎟ =0 ∂x ⎠ x = L ⎝ ∂x

(11.4)

La discretización de la Ec. (11.1) en el nodo i al nivel de tiempo n+1 es: n +1

n +1

⎧ ∂ ⎡ ⎛ ∂P ∂D ⎞ ⎤ ⎫ ⎧ ∂ ⎛ φ ⎞⎫ ∗n+1 −γ ⎨ ⎢λ ⎜ ⎟ ⎥ ⎬ + qi = ⎨ ⎜ ⎟ ⎬ ∂x ⎠ ⎦ ⎭i ⎩ ∂t ⎝ B ⎠ ⎭i ⎩ ∂x ⎣ ⎝ ∂x


(11.5)


162

⎛ ∂P ∂D ⎞ -γ Si U = λ ⎜ ⎟ y aplicando diferencias centrales a la variable U se tiene: ∂x ⎠ ⎝ ∂x n +1

⎧ ∂U ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ∂x ⎭i

≈

U in++1/1 2 − U in−+1/1 2 ∆xi

Por la definición de U, la anterior ecuación puede expresarse como: n +1

⎧ ∂U ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ∂X ⎭i

=

1 ∆X i

n +1 n +1 ⎧⎪ n +1 ⎛ ∂P ⎫⎪ ∂D ⎞ ∂D ⎞ n +1 ⎛ ∂P λ γ λ γ − − − ⎨ i +1/ 2 ⎜ ⎬ i −1/ 2 ⎜ ⎟ ⎟ ∂X ⎠i +1/ 2 ∂X ⎠i −1/ 2 ⎪⎭ ⎝ ∂X ⎝ ∂X ⎪⎩

⎛ ∂P ∂D ⎞ -γ Aplicando nuevamente diferencias centrales a ⎜ ⎟, ∂x ⎠ ⎝ ∂x n +1

⎧ ∂ ⎡ ⎛ ∂P ∂D ⎞ ⎤ ⎫ −γ ⎨ ⎢λ ⎜ ⎟ ⎬ ∂x ⎠ ⎥⎦ ⎭i ⎩ ∂x ⎣ ⎝ ∂x

1 = ∆xi

n +1

⎛ λ ⎞ ( Pi − Pi−1 − (γ∆D )i−1/ 2 ) ⎜ ⎟ ⎝ ∆x ⎠i −1/ 2

n +1 n +1 ⎪⎧⎛ λ ⎞ Pi +1 − Pi − ( γ∆D )i +1/ 2 ) − ( ⎨⎜ ⎟ ⎪⎩⎝ ∆x ⎠i +1/ 2 n +1

(11.6)

⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

El término de acumulación conforme a diferencias regresivas en tiempo es: n +1

⎧ ∂ ⎛ φ ⎞⎫ ⎨ ⎜ ⎟⎬ ⎩ ∂t ⎝ B ⎠ ⎭i

1 ⎡⎛ φ ⎞ = ⎢⎜ ⎟ ∆t ⎢⎣⎝ B ⎠

n +1

⎛φ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝B⎠

n

⎤ ⎥ ⎥⎦ i

(11.7)

Reemplazando las Ecs. (11.6) y (11.7) en la Ec. (11.5) y multiplicando por Vri = At (∆X)i, se llega a: Ti +n1/+12 ⎡⎣ Pi +1 − Pi − ( γ∆D )i +1/ 2 ⎤⎦

n +1

− Ti −n1/+12 ⎡⎣ Pi − Pi −1 − ( γ∆D )i −1/ 2 ⎤⎦

n +1

± qin +1 =

Vri ⎡⎛ φ ⎞ n +1 ⎛ φ ⎞ n ⎤ ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ∆t ⎢⎣⎝ B ⎠ ⎝ B ⎠ ⎥⎦ i

(11.8) i = 1,2,3,.....,I n = 0,1,2,3,.... donde,



163

∆x ∆x / 2

i = 0 1/2 1

2

3

4

5

6

7

Fig. 11.1. Acoplamiento de la condición de frontera a la izquierda ⎛A ⎞ Ti ±1/ 2 = T ( Pi , Pi ±1 ) = ⎜ T ⎟ λi ±1/ 2 = Ti ±1/ 2 ⎝ ∆x ⎠i ±1/ 2

(11.9)

En notación de operadores: n +1

n+1

Ti +n1/+12 ( ∆P − γ∆D )i +1/ 2 − Ti −n1/+12 ( ∆P − γ∆D )i −1/ 2 + qin +1 =

⎛φ ⎞ ∆t ⎜ ⎟ ∆t ⎝ B ⎠i

Vri

(11.10)

o bien, n+1

∆ ⎡⎣T ( ∆P − γ∆D ) ⎤⎦ i + qin +1 =

⎛φ ⎞ ∆t ⎜ ⎟ ∆t ⎝ B ⎠i

Vri

(11.10a)

11.2. ACOPLAMIENTO DE LAS CONDICIONES DE FRONTERA EN LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS

Haciendo referencia a la Fig. 11.1 y considerando la ec. (11.3): qw B µ ⎛ ∂P ∂D ⎞ -γ ⎜ ⎟ =kA ∂x ⎠ x=0 ⎝ ∂x

x=0

Como se aprecia en la Fig. 11.1, se usa una celda imagen ficticia en la frontera izquierda. Aplicando diferencias centrales a la ecuación (11.3) para x = 0 , i = ½: n +1

n +1

⎛ n +1 1 Bµ ⎞⎟ ⎛ ∂P ∂D ⎞ ⎡⎣ P1 − P0 − ( γ∆D )1/ 2 ⎤⎦ = − qw ⎜⎜ -γ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ kA ⎟ ∂x ⎠i / 2 ∆x1/ 2 ⎝ ∂x ⎝ ⎠ 1/ 2

Donde,



I=

I-1

I

164

I+1

∆xi +1/ 2

Fig. 11.2. Condición de frontera a la derecha

q = −T1/n2+1 ⎡ P1 − P0 − ( γ∆D ) ⎤ w 1/ 2 ⎦ ⎣

n +1

(11.11)

La Ec. (11.8) en el nodo i = 1 es: T1.5n +1 ⎣⎡ P2 − P1 − ( γ∆D )1.5 ⎦⎤

n +1

− T1/n2+1 ⎣⎡ P1 − P0 − ( γ∆D )1/ 2 ⎦⎤

n +1

± q1n +1 =

⎛φ ⎞ ∆ t ⎜ ⎟ (11.12) ∆t ⎝ B ⎠1

Vr1

Reemplazando la Ec. (11.11) en la Ec. (11.12): T1.5n +1 ⎣⎡ P2 − P1 − ( γ∆D )1.5 ⎦⎤

n +1

+ qw + q1n +1 =

⎛φ ⎞ ∆t ⎜ ⎟ ∆t ⎝ B ⎠1

Vr1

(11.13)

Haciendo referencia a la Fig. 11.2, la ecuación en diferencias para el último nodo i = N usa como condición de frontera en dicho punto (x = L) la Ec. (11.4): ⎛ ∂P ∂D ⎞ -γ ⎜ ⎟ =0 ∂x ⎠ x = L ⎝ ∂x

aplicada en x = L, luego, en ese punto i = I + ½. La Ec. (11.8) en i = I es: TIn++1/1 2 ⎡⎣ PI +1 − PI − ( γ∆D ) I +1/ 2 ⎤⎦

n +1

− TIn−+1/12 ⎡⎣ PI − PI −1 − ( γ∆D ) I −1/ 2 ⎤⎦

n +1

± qIn +1 =

⎛φ ⎞ ∆t ⎜ ⎟ ∆t ⎝ B ⎠ I (11.14)

Vr1

La ecuación para i = I: −TIn−+1/1 2 ⎡⎣ PI − PI −1 − ( γ∆D ) I −1/ 2 ⎤⎦

n +1

+ qIn +1 =

⎛φ ⎞ ∆t ⎜ ⎟ ∆t ⎝ B ⎠ I

VrI


(11.15)


6

i+ i-1

5

1/2

/2

4

i

∆x

3

Di+1 Di+1/2 = Di+1 - Di Di

2 i=

1

∆xi+1/2 X=

0

Di

Nivel de referencia

Di+1

Fig. 11.3. Yacimiento inclinado recto

i+ i+

2

1

i

Di+1/2

i -1 i-

2

i=

∆xi+1/2 Di

Di+1

Nivel de referencia

Fig. 11.4. Yacimiento inclinado curvo


165


166

UNIDAD 12 CONCEPTOS RELACIONADOS CON EL MODELO NUMERICO 12.1. ERRORES

Dependiendo de la fuente que los produzca, los errores en los que se incurre al utilizar computadores para resolver problemas, pueden clasificarse en alguno de los siguientes tipos: • Errores inherentes • Errores por truncamiento • Errores por redondeo Los errores inherentes o errores propios de los datos son aquellos que se producen al leer de algún dispositivo de medición un dato para representar alguna magnitud física y son debidos a la imprecisión del dispositivo. Los errores por truncamiento son aquellos que se presentan al utilizar series en los cálculos como por ejemplo el polinomio de Taylor visto con anterioridad. Estas series tienen un número infinito de términos y al hacer algún cálculo con ellas, se utiliza solo un número determinado de términos, truncando los demás. Por último, los errores por redondeo se deben a la imposibilidad de manejar en operaciones como multiplicación o división, todos los dígitos resultantes que involucran estas operaciones. En este caso, el resultado se redondea o aproxima al número máximo de dígitos con los que se dispone para trabajar. 12.2. ESTABILIDAD

Los errores provenientes de cualquier fuente se propagan de diferentes formas, algunos de estos errores crecerán poco y por lo tanto, no afectarán en forma significativa la exactitud de un resultado. Otros, pueden crecer tanto que invaliden completamente los resultados de un cálculo. Si con la función f(n) se puede representar el crecimiento de un error “∈” y si el resultado al cabo de n operaciones hace que f(n) se comporte como f(n) = Kn∈, para alguna constante k que no dependa de n, se dice que el crecimiento es lineal. Si el crecimiento del error se comporta como f(n)= Kn∈, para alguna constante K mayor que la unidad, se dice que la rapidez de crecimiento del error es exponencial. El crecimiento lineal de un error es generalmente inevitable, cuando K y ∈ son pequeños los resultados que se obtienen en la solución de un problema, son por lo general aceptables. En cambio, el crecimiento exponencial de un error se debe evitar, ya que el término Kn crece rápidamente aún para valores relativamente pequeños de n, por lo cual los resultados que se obtienen en la solución de un problema resultan inaceptables.



167

f( n) = K n E

f(n) f(n) = Kn E

n Fig. 12.1. Error Lineal y Exponencial

Si un procedimiento presenta un crecimiento exponencial del error, se considerará como inestable. Entonces, se dirá que un esquema de solución es estable cuando la propagación del error, al desarrollar dicho esquema, siga un crecimiento lineal, esto es, que el incremento del error de una aproximación a otra sea pequeño, determinando una tolerancia. Es muy importante tener en consideración este concepto al desarrollar un esquema, ya que los resultados que puede proporcionar el mismo al ser inestable estarán muy alejados de la realidad. Existen dos procedimientos para determinar la estabilidad de un esquema de solución: • Análisis de Von Neumann (Análisis de Fourier) • Método matricial

12.2.1. Análisis de Von Newmann

Este consiste en reemplazar el error inicial por una expresión en series de Fourier y analizar las variaciones de este error a medida que el cálculo avanza. Considere la siguiente ecuación: ∂ 2 P ∂P = ∂x 2 ∂t

(12.1)

La función P puede ser expresada al tiempo n en xi como: P n ( xi ) = Pi n + ∈in

(12.2)



168

∆pK

n K Fig. 12.2 Soluciones estable e inestable. Siendo Pin la solución obtenida por medio de diferencias finitas y ∈ representa el error que se introduce con esta aproximación. La expresión implícita en diferencias finitas de la ecuación de difusividad, Ec. 12.1, es: Pi +n1+1 − 2 Pi n +1 + Pi −n1+1 Pi n +1 − Pi n = ∆x 2 ∆t

(12.3)

La Ec. 12.2 debe satisfacer la ecuación diferencial, luego:

(P

n +1 i +1

+ ∈in++11 ) − 2 ( Pi n +1 + ∈in +1 ) + ( Pi −n1+1 + ∈in−+11 ) ∆x 2

(P = i

n +1

+ ∈in +1 ) − ( Pi n + ∈in ) ∆t

(12.4)

Restando la Ec. 12.3 de la Ec. 12.4, resulta: ∈in++11 −2 ∈in +1 + ∈in−+11 ∈in +1 − ∈in = ∆x 2 ∆t

(12.5)

La expansión de una función, f(x), en series de Fourier es: −∞

f ( x) = ∑ An e Inπ x / L

(12.6)

n =∞

Esta expresión puede simplificarse a: ∈in = γ n e JPi∆x

(12.7)



169

Siendo n el nivel de tiempo, i la posición en la malla, J la raíz cuadrada de -1, P el índice de expansión y ∆x el tamaño de la celda. El error no se amplificará siempre que: n +1 i

∈ ≤∈

n i

γ n +1 ó, γ = n ≤ 1 γ

Donde γ es el factor de amplificación del error, el cual debe ser menor o igual que la unidad para obtener estabilidad. Reemplazando la Ec. 12.7 en la Ec. 12.5, se tiene:

γ n +1e JP ( i +1) ∆x − 2γ n +1e JPi∆x + γ n +1e JP (i −1) ∆x ∆x 2

=

γ n+1e JPi∆x − γ n e JPi∆x ∆t

Multiplicando ambos lados de la ecuación anterior por 1/(γ n e JPi∆x ) :

γ e JP∆x − 2γ + γ e− JP∆x ∆x

2

=

γ −1 ∆t

(12.8)

De acuerdo con la siguiente identidad: ⎛ P∆x ⎞ e JP∆x + e JP∆x − 2 = −4 sen 2 ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ Permite reducir la Ec. 12.8 a: ⎛ P∆x ⎞ −4γ sen 2 ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ = γ −1 ∆x 2 ∆t De donde resulta:

γ=

1 4∆t ⎛ P∆x ⎞ 1 + 2 sen 2 ⎜ ⎟ ∆x ⎝ 2 ⎠

≤1

El sistema es incondicionalmente estable, es decir, cualquier valor de ∆x, ∆t y P que se tome, permitirá que el esquema sea estable. Para el esquema explícito, el análisis de estabilidad resulta en:

γ = 1−

4∆t ⎛ P∆x ⎞ sen 2 ⎜ ⎟ 2 ∆x ⎝ 2 ⎠



170

Que condiciona la estabilidad del sistema a la siguiente restricción: ∆t 1 < ∆x 2 2

12.3. CONVERGENCIA

Cuando se estudian métodos numéricos, generalmente se utiliza el término convergencia. Se dice que una ecuación en diferencias finitas es convergente si la solución exacta a las ecuaciones en diferencias finitas tiende a la solución exacta de las ecuaciones diferenciales para todo valor de X a medida que ∆X → 0 y ∆t → 0. 12.4. SISTEMA DE CUADRICULA DE LA MALLA

Se comentó que en la simulación es sobrepuesto al plano estructural del yacimiento un sistema de cuadrícula o sistema de celdas, siendo cada celda una unidad básica usada en el simulador. Así pues, algunos puntos básicos al considerar en la selección del sistema de celdas son: a. El sistema de la malla en toda su forma más simple es rectangular. Existen sistemas de enmallado mucho más complejos (mallas PEBI). b. La malla tendrá la menor cantidad de bloques como sea posible, dependiendo de la heterogeneidad del yacimiento. c. La malla será correctamente orientada, clasificada según su tamaño y su forma para permitir una buena aproximación de los límites del yacimiento. d. Si existe permeabilidad direccional u orientada, un eje de la malla estará en la dirección de máxima permeabilidad, dicha permeabilidad podrá ser determinada por medio de pruebas de presión. e. Tratar de colocar un pozo por bloque y en el centro del mismo. f. Si se sabe de la existencia de un acuífero o si se sospecha flujo de agua, el sistema de malla incluirá hileras extras de celdas a cubrir el acuífero para simular el flujo de agua. g. La malla debe capturar las características locales y/o heterogeneidad del yacimiento, de modo que fallas, pozos horizontales, acuñamientos, pozos horizontales y verticales tengan una buena representación matemática. Ahora bien, para cerrar las fronteras cuando se utiliza una malla de bloques, existen básicamente dos maneras de lograrlo, que son: 1. Evitar el flujo a través de toda la periferia, haciendo las transmisibilidades de dicha periferia igual a cero. 2. Extender la malla agregando bloques virtuales externos a dicha frontera y haciendo las propiedades (presiones, saturaciones, permeabilidades, etc.) de cada bloque agregado iguales a los del bloque interior inmediato adyacente, de tal manera que no haya cambio



171

de bloque a bloque adyacente y el flujo sea cero. La deficiencia de esta segunda forma es que se genera una nueva red, lo que implica un aumento considerable de ecuaciones. 12.5. FLUJO MONOFASICO Ti +1/ 2 = T ( Pi +1 , Pi ) = θ i +1/ 2λi +1/ 2

θ = Factor de forma =

(12.9)

Area perpendicular al flujo en la frontera entre las celdas i + 1 e i Longitud que separa a los nodos i + 1 e i

⎛b⎞ 1 ,b= ⎟ B ⎝ µ ⎠i +1/ 2

λi +1/ 2 = ki +1/ 2 ⎜

Ejemplo: si existe una falla entre las celdas, es mejor leer las propiedades en la frontera (caso particular), sobre la falla o emplear algún algoritmo que me desconecte las dos celdas. La mejor manera de manejar la transmisibilidad entre las celdas, es aquella que sea la más representativa (movimiento entre nodos). Falla

Fig. 12.3. Transmisibilidad en barreras de no flujo

12.5.1. Flujo en Serie (Discontinuidad Vertical)

No existe una forma única de escoger los valores de transmisibilidad (movilidad), λi+½. En general debería escogerse de modo que proporcione los resultados más exactamente posibles para la rata de flujo (acumulación e influjo en el bloque). Sin embargo, algunas veces su escogencia está determinada por la técnica numérica usada. Suponga que la transmisibilidad es constante en la interfase entre los nodos i e i+1 (no necesariamente en la frontera del bloque). La rata de flujo entre estos dos nodos está dictada por:



qi +1/ 2 = − A

172

λi (P − P ) δ i i +1/ 2 i

de donde: A ( Pi +1/ 2 − Pi ) = −

δi q λi i +1/ 2

(12.10)

Se desea hallar la transmisibilidad media λi+½ la cual proporcione el mismo valor de flujo, qi+½ entre el bloque i e i + 1, se tiene: qi +1/ 2 = − A

λi +1 (P − P ) δ i +1 i +1 i +1/ 2

luego: A ( Pi +1 − Pi +1/ 2 ) = −

δ i +1 q λi +1 i +1/ 2

(12.11)

Por inspección de las ecuaciones anteriores, se tiene: qi +1/ 2 = − Aλi +1/ 2

( Pi +1 − Pi ) = − A ⎛ λ ∆xi +1/ 2

⎞ ( Pi +1 − Pi +1/ 2 + Pi +1/ 2 − Pi ) ⎜ ⎟ ⎝ ∆x ⎠i +1/ 2

(12.12)

Reemplazando las Ecs. (12.10) y (12.11) en la Ec. (12.12) resulta, ⎛ δ i +1 ⎞ δ ⎛ λ ⎞ qi +1/ 2 = ⎜ ⎟ qi +1/ 2 + i qi +1/ 2 ⎟ ⎜ λi ⎝ ∆x ⎠i +1/ 2 ⎝ λi +1 ⎠ 1 ⎛ λ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ∆x ⎠i +1/ 2 δ i +1 + δ i

λi +1

λi

De acuerdo con el gráfico: ∆xi +1/ 2 = δ i +1 + δ i Luego:


(12.13)


173

q

i

i+1

q

λi δi

λi+1

q

δi+1 ∆xi+1/2

12.4. Flujo en serie (discontinuidad vertical) – Promedio de transmisibilidades ⎛ λi +1/ 2 ⎞ 1 ⎜ ⎟= δ δ i +1 ⎝ δ i +1 + δ i ⎠ + i

λi +1

λi

Despejando λi+1:

( λ )i +1/ 2 =

δ i +1 + δ i ⎛ δ i +1 ⎞ ⎛ δ i ⎞ ⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝ λi +1 ⎠ ⎝ λi ⎠

(12.14)

El anterior es el promedio armónico de λi+1 + λi. Ahora, si δi = δi+1 = δ, entonces:

λi +1/ 2 =

2 1

λi +1

+

1

λi

luego:

λi +1/ 2 =

2λi +1λi λi +1 + λi

(12.15)

Si tenemos flujo en serie, lo mejor es evaluar λ en λi+½, suponemos un régimen permanente. 12.5.2. Flujo en Paralelo (Sistema Estratificado)

Ahora, considere el caso cuando el yacimiento está compuesto de dos capas de diferente permeabilidad como se esquematiza en la Fig. 12.5. El flujo total entre xi y xi+1 es:



174

q

λ1

i

q1

i+1

λ2

q2

δ1

δ

δ2

∆xi + 1/2 Fig. 12.5. Flujo en paralelo (Sistema de estratos) – Promedio de transmisibilidades

q = q1 + q2 qi +1/ 2 = − A

(12.16)

δ1 λ δ λ ( Pi +1 − Pi ) 1 − A 2 ( Pi +1 − Pi ) 2 ∆xi +1/ 2 ∆xi +1/ 2 δ δ

qi +1/ 2 = − Aλi +1/ 2

( Pi +1 − Pi )

(12.17)

(12.18)

∆xi +1/ 2

Puesto que δ = δ1 + δ2, La Ec. 12.17 puede rescribirse como: qi +1/ 2 = − A

( Pi +1 − Pi ) ⎛ δ1λ1 + δ 2λ2 ⎞ ⎜ ∆xi +1/ 2 ⎝ δ1 + δ 2

⎟ ⎠

(12.19)

Igualando la Ec. (12.18) y la Ec. (12.19) se tiene, − Aλi +1/ 2

( Pi +1 − Pi ) = − A ( Pi +1 − Pi ) ⎛ δ1λ1 + δ 2λ2 ⎞ ⎜ ∆X i +1/ 2 ⎝ δ1 + δ 2

∆X i +1/ 2

⎟ ⎠

⎛ δ1λ1 + δ 2 λ2 ⎞ ⎟ ⎝ δ1 + δ 2 ⎠

λi +1/ 2 = ⎜

(12.20)

La Ec. 12.20 es el promedio aritmético de λ1 y λ2 ponderado por δ1 y δ2. En la práctica, el valor absoluto de la permeabilidad, k, usualmente se asigna al centro del bloque y las propiedades dependientes de presión, incluyendo la permeabilidad y porosidad en algunos casos, se evalúan a partir de la presión del boque i, Pi. Se asume que las transmisibilidades sean constantes dentro de cada bloque y estas se usan para calcular λi!½. Tal aproximación es satisfactoria siempre y cuando las propiedades entre los bloques adyacentes no fluctuen



175

demasiado. Se obtendrán errores significativos, cuando existe mucho contraste en permeabilidad entre bloques consecutivos. 12.5.3. Funciones de Presión: f(p)

En algunas ocasiones, se realizan simulaciones en donde las propiedades del yacimiento se pueden considerar homogéneas e isotrópicas, como por ejemplo el caso de la permeabilidad; esta propiedad al considerarla constante y que no cambia con la presión, simplificando el cálculo de la transmisibilidad ( T ) necesitando solo evalular el término ( b / µ ) . Este término solo es función de presión y se puede tratar de la siguiente manera:

f( Pi+1/ 2 ) = f( Pi+1 , Pi )

(12.21)

Pi +1 + Pi 2

(12.22)

Pi +1/ 2 =

⎛b⎞ f( Pi+1/ 2 ) = ⎜ ⎟ , para cualquier tipo de flujo. ⎝ µ ⎠i +1/ 2

⎛b⎞ ⎜ ⎟ ⎝ µ ⎠i +1/ 2

(12.23)

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1. b ( Pi +1/ 2 ) ⎪ µ ( Pi +1/ 2 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪2. ( bi +1 + bi ) / 2 = ( bi +1 + bi ) =⎨ ( µi +1 + µi ) / 2 ( µi +1 + µi ) ⎪ ⎪ ⎪3. Calcularla en el nodo de mayor potencial ⎪ ⎪ W ⎛ b ⎞ + 1 − W ⎛ b ⎞ , donde )⎜ ⎟ ⎪ ⎜⎝ µ ⎟⎠ ( ⎝ µ ⎠i +1 i ⎪ ⎪W = 0 si ( ∆P − γ∆D )i +1/ 2 > 0 ⎪ ( ∆P − γ∆D )i +1/ 2 < 0 ⎪⎩W = 1 si

El método recomendado para evaluar este término, función de presión, es calcularlo en el nodo de mayor potencial.



176

UNIDAD 13 TIPOS DE MALLAS Las mallas son líneas abstractas que se trazan sobre el dominio de la función a resolver (yacimiento) para subdividir el espacio en puntos discretos sobre los cuales se va a obtener la solución. El sistema de enmallado determina la forma de las condiciones de frontera. En esta sección se discutirán primero los dos métodos tradicionales de construcción de mallas (nodos centrados y nodos distribuidos) y las condiciones de fronteras asociadas a éstas para espaciamiento uniforme y no-uniforme en cordenadas cartesianas y radiales. Es necesario introducir cierta notación. Sin importar el método de discretización o tipo de condición de frontera, sea N el número de ecuaciones en diferencias finitas a resolver, M el número de nodos e i es el índice de rango el cual dependerá del tipo de condición de frontera y el método de aproximación variando de 0 a N+1. 13.1. MALLA DE NODOS DISTRIBUIDOS (CARTESIANAS)

Dado un yacimiento de longitud, L, y area seccional A uniforme, se puede construir una malla uniforme de M puntos colocando el primer punto en x = 0 y el último punto en x = L respectivamente, y distribuyendo el resto de puntos uniformemente entre ellos. Ver Fig. 13.1. Para determinar el volumen de los bloques asociados con la malla, se colocan las fronteras del bloque en la mitad de los dos nodos. De modo que: ∆x =

L ( M − 1)

de donde:

L = ∆x (M-1) Vri = A∆x Vri = A

∆x , 2

(13.1)

i = 2, 3, ....., M-1 i=1yM


(13.2) (13.3)


i= 1

2

. . . . . . . .

177

M-1

M

∆x L Fig. 13.1. Malla de nodos distribuidos i= 1

2

. . . . . . . .

M-1

M

∆x L Fig. 13.2. Malla de bloques centrados

13.2. MALLA DE BLOQUES CENTRADOS (CARTESIANAS)

También se puede dividir la longitud del yacimiento, L, en M bloques iguales (uniformes) como se muestra en la Fig. 13.2. Los bloques son más pequeños para este caso que para el caso de nodos distribuidos porque: ∆x =

L M

(13.4)

Por lo tanto no hay puntos en las fronteras. Este método ha sido usado extensivamente en la industria petrolera. El volumen de los nodos se determina de:

Vri = A∆x ,

i = 1, 2, 3, ..... , M

La ecuación de flujo,


(13.5)


Ti +n1/+12 ( Pi +1 − Pi − ( γ∆D )i +1/ 2 )

n +1

− Ti −n1/+12 ( Pi − Pi −1 − ( γ∆D )i −1/ 2 )

n +1

+ qin +1 =

178

⎛φ ⎞ ∆t ⎜ ⎟ ∆t ⎝ B ⎠i (13.6)

Vri

Si en la condición de frontera el gasto es especificado, podemos usar la distribución de malla de bloques centrados, que nos permite manejar mejor las condiciones de frontera. Si en la condición de frontera la presión es especificada, usamos mejor la distribución de mallas de nodos distribuidos. Para mallas uniformes, la única diferencia hasta el momento es el tratamiento de las condiciones de frontera. Sin embargo, cuando se considera espaciamiento arbitrario, el análisis muestra que la malla de nodos distribuidos es una aproximación correcta en comparación con la otra. Esto porque las fronteras de los bloques deben colocarse entre los nodos y no viceversa, puesto que las ecuaciones diferenciales se aproximan a los nodos y no a las fronteras.

13.3. MALLAS NO- UNIFORMES (COORDENADAS CILINDRICAS, FLUJO RADIAL)

Cuando nos acercamos a rw necesitamos cada vez más una malla más fina. A medida que r → rw se necesita mayor definición de la malla para mantener una exactitud uniforme de la solución y para ello se requiere una malla altamente irregular. La relación del ∆r más grande al más pequeño es del orden de 103, ∆r/∆rw=1000. Para flujo radial se tiene, 1 ∂ ⎛ k ∂P ⎞ ∂P ⎜r ⎟ = φ ct r ∂r ⎝ µ ∂r ⎠ ∂t

(13.7)

Multiplicando por r2,

r

∂ ⎛ k ∂P ⎞ 2 ∂P ⎜r ⎟ = r φ ct ∂r ⎝ µ ∂r ⎠ ∂t

Si δ =ln r, y sabiendo que d ( ln r ) =

(13.8)

dr r

∂ ⎛ k ∂P ⎞ 2 ∂P ⎜ ⎟ = r φ ct ∂ ln r ⎝ µ ∂ ln r ⎠ ∂t



∂ ∂δ

⎛ k ∂P ⎞ 2δ ∂P ⎜ ⎟ = e φ ct ∂t ⎝ µ ∂δ ⎠

179

(13.9)

Si se tiene espaciamiento uniforme en la variable δ, de acuerdo con Darcy, flujo radial estacionario:

P − Pw ≈ ln

r = δ −δw rw

(13.10)

Igual espaciamiento en δ, entonces igual caída de presión entre nodos. Alternativamente, considere la Ec. 13.7 en forma expandida: ∂ 2 P 1 ∂P φ ct µ ∂P + = k ∂t ∂r 2 r ∂r

(13.7.a)

Si δ =ln r, entonces,

e δ = r,

(13.7.b)

de modo que:

dr = eδ dδ

(13.7.c)

Reemplazando la Ec. 13.7.b y 13.7.c en la Ec. 13.7.a, se tiene:

φ c µ ∂P ∂2 P 1 ∂P + δ 2 = t 2δ 2 e ∂δ e e ∂δ k ∂t De donde:

∂ 2 P ∂ P e2δ φ ct µ ∂ P + = k ∂δ 2 ∂δ ∂t



1096.64

403.43

148.42

54.6

2.7183

0

r=

20.086

7.389

180

Fig. 13.3. Malla logarítmica

La Fig. 13.3 representa un yacimiento radial, en donde las mallas se han distribuido de manera no uniforme para considerar las caídas de presión en las zonas más cercanas del pozo. Sin embargo, esta malla puede transformarse en una malla uniforme usando la transformación dada por la Ec. 13.7.b, de modo que:

δ =ln r Con esta transformación se obtiene la siguiente malla uniforme:

δ=

0

1

2

3

4

5

6

7

∆δ Fig. 13.4. Malla de nodos centrados

13.3.1. Malla de Nodos Distribuidos: (Radial)

De la misma manera como se diseñaron las mallas cartesianas, nodos distribuidos y bloques centrados, se diseñan las mallas para la geometría de flujo radial o cilíndrico. Este diseño se hace con base en el concepto de una distribución uniforme en el espacio logarítmico. La Fig. 13.5 muestra el perfil de una malla radial de nodos distribuidos.



δ

δe - δw

1

i-1

181

N

i

i+1

h

∆δ Fig. 13.5. Malla radial de nodos distribuidos

Si: r1 = rw , ∆δ =

δe − δw N −1

rN = re ,

∆δ = ln

re / rw , N −1

entonces:

= cte

(13.11)

∆δ = δi+1 - δi

(13.12)

∆δ = ln ri+1 - ln ri ∆δ = ln

δe − δw N −1

ri +1 ri =

(13.13)

ln re − ln rw ln(re / rw ) = N −1 N −1

ln(re / rw ) r = ln i +1 N −1 ri Puesto que: log x =

ln x log 10

ln(re / rw ) r 1 = ln i +1 ( N − 1) log10 log10 ri log(re / rw ) r = log i +1 ri ( N − 1)



182

de donde; ⎛r ⎞ log(re / rw ) = log ⎜ i +1 ⎟ ⎝ ri ⎠

N −1

Por lo tanto; 1 ri +1 = ( re / rw ) N −1 , ri

sea

α=

ri +1 ri

ri+1 = α ri, i = 1, 2, ... , N-1

(13.14)

ri = rw, i = 1 (13.15) Ahora, 1 ⎧ 1 ∂ ⎛ ∂P ⎞ ⎫ ⎨ ⎜ rλ ⎟⎬ = ⎩ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ ⎭i ri ∆ri

⎧⎛ λ r ⎞ ⎫ λr ( Pi +1 − Pi ) − ⎛⎜ ⎞⎟ ( Pi − Pi −1 ) ⎬ ⎨⎜ ⎟ ⎝ ∆r ⎠i −1/ 2 ⎩⎝ ∆r ⎠i +1/ 2 ⎭

(13.16)

Cómo se podría definir ri+1/2 ?. En coordenadas cilíndricas, flujo radial, régimen permanente:

q = −2π rhλ

∂P ∂r

(13.17)

La caída de presión entre i+1 e i, se obtiene integrando la ecuación anterior:

qi +1/ 2 = −2π hλi +1/ 2

( Pi +1 − Pi ) ln(ri +1 / ri )

(13.18)

Discretizando, ∂P ⎫ ⎧ ⎛ r ⎞ ; entonces, qi +1/ 2 = −2π hλi +1/ 2 ⎜ ⎟ ( Pi +1 − Pi ) ⎨q = −2π rhλ ⎬ ∂r ⎭i +1/ 2 ⎩ ⎝ ∆r ⎠i +1/ 2

Comparando las Ecs. (13.18) y (13.19):


(13.19)


−2π hλi +1/ 2

( Pi +1 − Pi ) = −2π hλ ln

i +1/ 2

ri +1 ri

183

⎛ r ⎞ ⎜ ⎟ ( Pi +1 − Pi ) ⎝ ∆r ⎠i +1

r 1 = i +1/ 2 r ln i +1 ∆ri +1/ 2 ri ri +1/ 2 =

ri +1/ 2 =

∆ri +1/ 2 , ri +1 ln ri

si ∆ri +1/ 2 = ri +1 − ri

ri +1 − ri r ln i +1 ri

(13.20)

Promedio logarítmico de los radios de los nodos i+1 e i.

α=

ri +1 ri

ri +1/ 2 =

ri +1/ 2 =

de donde

ri +1 − ri α ri − ri = ln α ln α

(α − 1) ri

(13.21)

ln α

13.3.2. Malla de Bloques Centrados: (Radial)

Una representación esquemática de una malla radial de bloques centrados está dada en la Fig. 13.6.

δe - δw

rw i-1

i

re i+1

h

δi + 1/2 Fig. 13.6. Malla radial de bloques centrados



ri +1 = α ri

α = ( re / rw )

(13.22) 1

(13.23)

N

r1/ 2 = rw ri +1/ 2 =

ri +1 − ri ln α

(13.24) ⇒ ri +1/ 2 =

(α − 1) ri

(13.25)

ln α

De la Ec. (13.22),

α = ri +1 / ri Cuando i = ½, r1+1/ 2 = r1/ 2α = rwα De la Ec. 13.25, despejando ri, ri =

184

ri +1/ 2 ln α (α − 1)

Cuando i = 1, r1 =

r1+1/ 2 ln α (α − 1)

r1 =

α rw ln α (α − 1)

(13.26)



185

UNIDAD 14 SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS 14.1. INTRODUCCION

En el capítulo anterior se vió que al aplicar las ecuaciones resultantes del esquema de solución implícito a cada uno de los bloques que componen la malla, se establece un determinado número de ecuaciones algebraicas con su correspondiente número de incógnitas. Este sistema lineal de ecuaciones simultáneas que resulta puede ser escrito en forma general empleando la notación matricial siguiente: →

→

AP = d

(14.1)

Donde “A” es la matriz de coeficientes, “d” es un vector conocido y “P” es el vector de incógnitas de presión en todos los puntos del sistema considerado ó vector “ P ”. De esta manera, ahora el problema consiste en resolver el sistema para obtener el vector de incógnitas de presión, el cual puede ser muy simple o muy complejo, dependiendo del fenómeno físico que se intente resolver. Cuando la solución es relativamente fácil, como en el caso de problemas de una dimensión y muchos problemas de dos dimensiones, la solución al vector de presión constituye solo una fracción del tiempo total de cómputo y del costo de la simulación del yacimiento. Sin embargo, en problemas más complejos como en el caso de algunos modelos de dos y la gran mayoría de los de tres dimensiones, el esfuerzo que se requiere para resolver el “ vector P ” tiene un mayor significado con relación al resto del problema en la simulación del yacimiento. Por lo anterior, es fácil comprender que la eficiencia que tenga un simulador tanto para resolver el problema planteado como en el aspecto económico depende en gran medida del algoritmo que se utilice para resolver eficientemente el vector de presión establecido. Los métodos que se emplean para obtener la solución de la ecuación (14.1) pueden dividirse en dos grandes grupos: métodos directos y métodos iterativos. Algunas de las características de estos métodos de solución se presentan a continuación: Métodos Directos Métodos Iterativos 1. Solución exacta 1. Solución convergente 2. Tiempo de computador predecible 2. Tiempo de computador impredecible 3. Altos requerimientos de memoria 3. Bajos requerimientos de memoria 4. En problemas 2D, trabaja mejor en 4. En problemas 2D, trabaja mejor en 3 sistemas con menos de 1000 celdas sistemas con más de 3000 celdas 5. No es práctico para problemas 3D 5. Requerido para problemas 3D



186

14.2. METODOS DIRECTOS EN LA SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS

Los métodos directos son aquellos en los cuales la solución del sistema de ecuaciones se obtiene cuando se ha resuelto la matriz que representa el problema. Algunos ejemplos de métodos directos son los siguientes: • • • • •

Inversión de matriz. Regla de Cramer Eliminación de Gauss. Descomposición matricial Método de Gauss - Jordan

14.2.1. Inversión de Matriz

Se trata de un método bastante sencillo para el cual se requiere determinar la matriz inversa de la matriz de coeficientes y mediante una premultiplicación obtener la solución. El procedimiento es como sigue. Dado el sistema: →

→

AP = d

(14.2)

Determinando A-1 y multiplicando por la ecuación (14.2): →

→

A−1 A P = A−1 d

(14.3)

sabemos que: A-1 A = I, I = Matriz identidad o idéntica. →

→

I P = A−1 d →

→ 1

P=d ,

(14.4) → 1

→

d = A−1 d

La solución se obtiene con los resultados que proporcione el producto del lado derecho de la Ec. (14.4). Como puede suponerse, el uso de este método es un tanto elaborado y lento debido a la necesidad de obtener la matriz inversa de la matriz de coeficientes, por lo que su empleo en trabajos de simulación es prácticamente nulo. 14.2.2. Regla de Cramer

Este es un método extremadamente sencillo pero no muy práctico para ser desarrollado en una computadora tal como lo requiere el tratar de obtener la solución del “vector P”. Ejemplo:



187

2P1 - 3P2 = 7 3P1 + 5P2 = 1 cuya ecuación matricial es: ⎡ 2 −3⎤ ⎡ P1 ⎤ ⎡ 7 ⎤ ⎢ 3 5 ⎥ ⎢ P ⎥ = ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦

Se aplicará la regla de Cramer para obtener su solución. Primero se calcula el determinante “∆” de la matriz de coeficientes: ⎡2 − 3⎤ ∆⎢ ⎥ = 10 + 9 = 19 ⎣3 5 ⎦ Se obtienen ahora los otros determinantes al hacer el intercambio de columnas tal como lo enuncia la regla: ⎡7 − 3⎤ ∆P1 = ⎢ ⎥ = 35 + 3 = 38 ⎣1 5 ⎦ ⎡2 7⎤ ∆P2 = ⎢ ⎥ = 2 − 21 = −19 ⎣3 1⎦ En consecuencia la solución del sistema es: P1 =

∆P1 38 = =2 ∆ 19

P2 =

∆P2 −19 = = −1 19 ∆

La aplicación de este método en la simulación de yacimientos prácticamente no se presenta, ya que sólo es útil para resolver sistemas de ecuaciones pequeños y el tratar de resolver problemas mayores con él provoca la utilización de un tiempo de cómputo grande aún para casos relativamente sencillos. 14.2.3. Método de Eliminación de Gauss: ∆Sup.

Este método consiste básicamente en sistematizar el teorema fundamental de equivalencia. Para ello se requiere aplicar a una matriz ampliada (que se forma con la matriz de coeficientes y el vector de valores conocidos) un número determinado de operaciones, las



188

cuales son llamadas operaciones elementales sobre los renglones de una matriz, con el fin de obtener un sistema equivalente al anterior que proporcione las incógnitas de una forma sencilla y directa. Así pues, tomando el sistema original, el objetivo es transformar la matriz de coeficientes “A” a una matriz triangular superior como se indica a continuación. Dado el sistema: →

→

AP = d

(14.5) →

El vector constante d es añadido a la matriz de coeficientes formando así, la matriz ampliada como sigue: ⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ . ⎢ ⎣ an1

a12 a22 . an 2

... a1n | d1 ⎤ ... a2 n | d 2 ⎥⎥ . . | .⎥ ⎥ ... ann | d n ⎦

(14.5)

La cual después de efectuar un número determinado de operaciones elementales a los renglones de la matriz ampliada, la expresión (14.5) se reduce a la forma siguiente: ∆Superior ⎡C11 C12 ⎢ C22 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣

.

.

.

.

. .

C1n | d *1 ⎤ ⎥ C2 n | d * 2 ⎥ . | . ⎥ ⎥ . | . ⎥ Cnn | d *n ⎥⎦

(14.6)

La expresión anterior puede escribirse como: ⎡C11 C12 ⎢ C22 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣

. .

. .

. .

C1n ⎤ ⎡ P1 ⎤ ⎡ d *1 ⎤ ⎢ ⎥ C2 n ⎥⎥ ⎢⎢ P2 ⎥⎥ ⎢ d *2 ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ = ⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ Cnn ⎥⎦ ⎢⎣ Pn ⎥⎦ ⎢⎣ d *n ⎥⎦

De esta manera el valor de “Pn” puede obtenerse directamente de: d *n Pn = Cnn


(14.7)


189

Los n - 1, n - 2, ...., 2, 1 valores se calculan mediante la simple sustitución de los mismos que ya han sido obtenidos con anterioridad. A manera de ejemplo, considérese el siguiente sistema de ecuaciones: 3P1 + 4P2 - 2P3 + P4 + P5 = 16 2P1 + P2 + 4P3 - 8P4 + 2P5 = 13 8P1 - P2 - P3 + 3P4 + 2P5 = 14 P1 + P2 - 3P3 + 2P4 - P5 = -4 4P1 + 2P2 + 3P3 - P4 - 3P5 = 3 Cuya forma matricial y matriz ampliada del sistema anterior quedan como sigue: ⎡ 3 4 −2 1 1 ⎤ ⎡ P1 ⎤ ⎡16 ⎤ ⎢ 2 1 4 −8 2 ⎥ ⎢ P ⎥ ⎢13 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 8 −1 −1 3 2 ⎥ ⎢ P3 ⎥ = ⎢14 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 1 −3 2 −1⎥ ⎢ P4 ⎥ ⎢ −4 ⎥ ⎢⎣ 4 2 3 −1 −3⎥⎦ ⎢⎣ P5 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 ⎥⎦

1 | 16 ⎤ ⎡3 4 − 2 1 ⎢2 1 4 − 8 2 | 13 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢8 − 1 − 1 3 2 | 14 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 1 − 3 2 − 1 | − 4⎥ ⎢⎣4 2 3 − 1 − 3| 3 ⎥⎦ Se efectuarán a continuación algunas operaciones fundamentales a los renglones de esta última matriz, con el objeto de reducirla a una matriz diagonal superior. Matriz ∆ superior es: ⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣0

1 −3 2 − 1| − 4 ⎤ 1 7 −5 4 | 28⎥ ⎥ 0 17 − 17 8 | 49⎥ ⎥ 0 0 170 − 79 | − 146⎥ 0 0 0 3152 |12608⎥⎦

P1 + P2 - 3P3 + 2P4 - 5P5 = -4 P2 + 7P3 - 5P4 + 4P5 = 28 17P3 - 17P4 + 8P5 = 49 170P4 - 79P5 = -146 3152P5 = 12608



190

De esta manera los resultados se obtienen como se muestra a continuación: 12608 =4 3152

P5 = 4

170 P4 - 79(4) = -146

P4 = 1

17 P3 - 17(1) + 8(4) = 49

P3 = 2

P2 + 7 (2) - 5(1) + 4(4) = 28

P2 = 3

P1 + (3) - 3(2) + 2(1) - (4) = -4

P1 = 1

P5 =

14.2.4. Método de Gauss – Jordan

Se trata de un método útil y sencillo para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Es muy parecido al método de eliminación de Gauss visto con anterioridad, solo que aquí el aplicar las operaciones fundamentales en los renglones de la matriz ampliada es con el objeto de convertirla en la matriz identidad [ I ], a partir de la cual se puede obtener la solución directamente. Este método no requiere iteraciones, pero la cantidad de trabajo requerido puede ser considerablemente mayor que los métodos iterativos y es prohibido en muchos casos prácticos. Para una mejor comprensión del método se resolverá un ejemplo. Considérese el siguiente sistema de ecuaciones: 3P1 - 6P2 + 7P3 = 4 - 5P3 = 19 8P1 P1 - 2P2 + 6P3 = 5 La matriz ampliada del sistema es: ⎡3 − 6 7| 4 ⎤ ⎢ ⎥ 0 − 5|19⎥ ⎢8 ⎢⎣ 1 − 2 6 | 5 ⎥⎦ Aplicando las operaciones elementales del caso, se obtiene al final: ⎡ 1000 . 0.000 0.000 | 3.001⎤ ⎢ ⎥ . 0.000 | 2.000⎥ ⎢0.000 1000 ⎢⎣0.000 0.000 1000 ⎥⎦ . | 1000 .



191

Por lo que la solución es:

P1 = 3.001 P2 = 2.000 P3 = 1.000

14.2.4.1. Errores en el Método de Gauss – Jordan

El método de Gauss - Jordan no es un método de aproximaciones sucesivas, por lo tanto su solución debería ser exacta, pero no lo es debido a los errores que se presentan en el desarrollo del mismo. La solución del ejemplo resuelto con anterioridad es en realidad P1 = 3, P2 = 2 y P3 = 1, que difiere de los resultados obtenidos, debido a que al efectuar las operaciones se trabajó redondeando a tres (3) cifras decimales, incurriéndose en un error de 0.001 en el valor de P1. Este problema se presenta al resolver sistemas de ecuaciones lineales en computadoras, ya que éstas tienen siempre un límite con respecto al número de dígitos en las constantes con las que se trabajan. Se puede demostrar que si selecciona como “pivote” el mayor elemento en valor absoluto en la matriz de coeficientes, se minimiza el error por redondeo. 14.2.5. Descomposición Matricial

Este método implica la transformación de la matriz de coeficientes en otras matrices, las cuales son por regla general, más fáciles de operar; después utilizando estas matrices se obtiene la solución. La descomposición de la matriz de coeficientes, según el método atribuido a Croutt, puede hacerse en dos matrices triangulares superior e inferior como lo muestran las expresiones (14.11) y (14.12). La descomposición es seguida por una sustitución hacia atrás la cual calcula la incógnita en dos pasos sucesivos de sustitución. El proceso de descomposición es como sigue. Dado: →

→

AP = b

(14.9)

entonces,

A=LU

(14.10)

donde,



⎡ L11 ⎢L ⎢ 21 ⎢ L31 ⎢ ⎢. ⎢⎣ Ln1

⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥=L ⎥ . ⎥ . Lnn ⎥⎦

L22 L32

L33

Ln 2

Ln 3

⎡1 U12 U13 ⎢ 1 U 23 ⎢ ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎢⎣

(14.11)

. . . .

192

U1n ⎤ . ⎥⎥ . ⎥ =U ⎥ . ⎥ 1 ⎥⎦

(14.12)

A partir de estas dos matrices triangulares se puede determinar el vector de solución P ya que,

A=LU La cual después de la descomposición puede escribirse como: →

→

LU P = b

(14.13) →

Llamando el producto U P como “vector y”, →

→

→

→

LY = b y U P = Y

(14.14)

Las matrices de coeficientes que resultan en problemas de simulación de yacimientos son matrices en forma de banda. Para matrices pequeñas en forma de banda, la solución directa por medio de descomposición matricial, conocida también como descomposición LU o factorización es un método eficiente. Por ejemplo, el caso de modelos areales de 2D con menos de 15 bloques.

14.3. METODOS ITERATIVOS EN LA SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS

Este tipo de métodos son de naturaleza repetitiva y el proceso de solución implica un cálculo sistemático de una aproximación a dicha solución, la cual es mejor en cada iteración. Para ello se requiere la selección de un conjunto de valores iniciales de las incógnitas, conocido con el nombre de vector inicial, sobre el cual se opera para producir un mejor resultado. El error en cada paso se reduce y el nuevo valor de la incógnita Pn que se obtiene se aproxima a la solución correcta P* a medida que se sigue iterando, ver Fig. 14.1. Dentro de los métodos iterativos más importantes se tienen los siguientes: •

Método de Jacobi



• •

193

Método de Gauss - Seidel Métodos de relajación

Pn

P*

n

∞

Fig. 14.1. Convergencia de un método iterativo

14.3.1. Método de Jacobi

Supóngase que en el sistema: →

→

AP = b

(14.15)

La matriz “A” se sustituye por:

A=D+R

(14.16)

Donde D es una matriz diagonal, es decir, una matriz cuadrada cuyos elementos sobre la diagonal principal son los únicos diferentes de cero. R es otra matriz que contiene ceros en su diagonal principal y tiene los restantes elementos de “A”, en sus demás elementos. Sustituyendo en la expresión (14.15): →

→

( D + R) P = b →

→

(14.17)

→

D P+ R P = b →

→

→

D P = b− R P Premultiplicando por D-1:



→

→

194

→

P = D −1 b − D −1 R P

(14.18)

Al hacer la anterior ecuación en forma recursiva queda como sigue: → ( K +1)

P

−1

→

−1

→(K )

= D b− D R P

(14.19)

Donde:

K = 0, 1, 2, .......... El método de Jacobi, definido por la ecuación matricial de recurrencia dada por la expresión (14.19) significa que una vez planteado el sistema (14.15) se despeje P1 de la primera ecuación, P2 de la segunda, P3 de la tercera, etc., quedando:

(

)

P1( K +1) =

1 b1 − a12 P2( K ) − a13 P3( K ) ..... − a1n Pn( K ) a11

P2( K +1) =

1 b2 − a21 P1( K ) − a23 P3( K ) ..... − a2 n Pn( K ) a22

P3( K +1) =

1 b3 − a31 P1( K ) − a32 P2( K ) ..... − a3n Pn( K ) a33

(

)

(

)

...

Pn( K +1) =

(

1 bn − an1 P1( K ) − an 2 P2( K ) ..... − an( n −1) Pn(−K1) ann

)

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

(14.20)

Donde,

K = 0, 1, 2, ..... Partiendo de una primera aproximación: → (0)

P

0 0 0 0 = ⎡⎣ P1( ) , P2( ) , P3( ) ,...., Pn( ) ⎤⎦

(14.21)

Se sustituirá en los segundos miembros de las ecuaciones de la expresión (14.20) para obtener la nueva aproximación: → (1)

P

= ⎡⎣ P1(1) , P2(1) , P3(1) ,...., Pn(1) ⎤⎦ (14.22)



195

A su vez, sustituyendo P(1), se obtendrá: → ( 2)

P

2 2 2 2 = ⎡⎣ P1( ) , P2( ) , P3( ) ,...., Pn( ) ⎤⎦

(14.23)

y así sucesivamente. Se considerará solución del sistema aquella que cumpla con: → ( n +1)

P

→ ( n)

−P

→

≤∈

(14.24)

donde ∈ es un vector de tolerancia preestablecido. Sustituyendo el vector inicial P (0) = {0, 0, 0, 0, ..... ,0} en los segundos miembros de las ecuaciones de la expresión (14.20) se obtendrá una nueva aproximación que estará dada por: → ⎧b b b b ⎫ P = ⎨ 1 , 2 , 3 ,..., n ⎬ ann ⎭ ⎩ a11 a22 a33

(14.25)

Este último vector P , se utilizará como vector inicial P (0) en la solución de sistemas por el método de Jacobi. Para una mejor comprensión del método, se resolverá el siguiente sistema de ecuaciones: 6P1 + 2P2 + P3 = 22 - P1 + 8P2 + 2P3 = 30 P1 - P2 + 6P3 = 23 Despejando P1 de la primera ecuación, P2 de la segunda y P3 de la tercera: 1 ( 22 − 2 P2 − P3 ) 6 1 P2 = ( 30 + P1 − 2 P3 ) 8 1 P3 = ( 23 − P1 + P2 ) 6

P1 =

Haciendo recursivo este sistema, según la expresión (14.20):

P2( K +1)

( (

1 22 − 2 P2( K ) − P3( K ) 6 1 = 30 + P1( K ) − 2 P3( K ) 8

P1( K +1) =

) )


(14.a) (14.b)


P3(

K +1)

=

(

1 K K 23 − P1( ) + P2( ) 6

)

196

(14.c)

Donde K = 0, 1, 2, 3, .... Tomando el vector inicial P (0) =(22/6, 30/8, 23/6) y sustituyendo K = 0 en las tres ecuaciones de recurrencia (14.a), (14.b), (14.c), se obtiene:

( ( (

1 22 − 2 P2( 0) − P3( 0) 6 1 1 0 0 P2( ) = 30 + P1( ) − 2 P3( ) 8 1 P3(1) = 23 − P1( 0) + P2( 0) 6

P1(1) =

) )

)

Sustituyendo valores: 1 = 1.778 ( 22 − 2 ( 30 / 8) − 23 / 6 ) 6 1 P2(1) = ( 30 + 22 / 6 − 2 ( 23 / 6 ) ) = 3.250 8 1 1 P3( ) = ( 23 − 22 / 6 + 30 / 8 ) = 3.847, 6

P1(1) =

obteniéndose:

P (1) = [1.778, 3.250, 3.847] Sustituyendo K = 1 en las Ecs. (14.a), (14.b) y (14.c): 1 ( 22 − 2 ( 3.25) − 3.847 ) = 1.942 6 1 2 P2( ) = ( 30 + 1.778 − 23.847 ) = 3.011 8 1 2 P3( ) = ( 23 − 1.778 + 3.250 ) = 4.079 6

P1( 2) =

Por lo tanto:

P (2) = [1.942,3.011, 4.079]



197

Procediendo reiteradamente en forma similar se obtiene: →

K = 2 ; P (3) = [1.983, 2.973, 4.012] →

K = 3 ; P (4) = [2.007, 2.995, 3.998] →

K = 4 ; P (5) = [2.002, 3.001, 3.998] →

K = 5 ; P (6) = [2.000, 3.001, 4.000] →

K = 6 ; P (7) = [2.000, 3.000, 4.000] Finalmente la solución del sistema es:

P1 = 2.000, P2 = 3.000, y P3 = 4.000, con tres cifras decimales exactas. 14.3.1.1. Convergencia del método de Jacobi

El método de Jacobi tiene la desventaja de que no siempre converge a la solución del sistema y algunas veces lo hace pero lentamente. Sin embargo, este método convergirá siempre a la solución, cuando la magnitud del coeficiente de una incógnita diferente en cada ecuación del conjunto sea suficientemente dominante con respecto a las magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuación. Cuando el valor absoluto del coeficiente dominante para una incógnita diferente en cada ecuación sea mayor que la suma de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa ecuación, se considerará que éste coeficiente es suficientemente dominante y, por lo tanto la convergencia estará asegurada. En el sistema de ecuaciones que se utilizó en el ejemplo anterior puede verse que el coeficiente de P1 es dominante en la primera ecuación y los coeficientes de P2 y P3 son dominantes en la segunda y tercera ecuación respectivamente. 14.3.2. Método de Gauss - Seidel

Este método es prácticamente idéntico al de Jacobi, la única diferencia consiste en que el método de Gauss - Seidel se acelera cuando existe la convergencia a la solución, debido a que una vez que calcula la componente Pi(K+1), la utiliza inmediatamente en la misma iteración. El criterio de convergencia de este método es el mismo que el de Jacobi.



(

)

P1( K +1) =

1 b1 − a12 P2( K ) − a13 P3( K ) ..... − a1n Pn( K ) a11

P2( K +1) =

1 b2 − a21 P1( K +1) − a23 P3( K ) ..... − a2 n Pn( K ) a22

P3( K +1) =

1 b3 − a31 P1( K +1) − a32 P2( K +1) ..... − a3n Pn( K ) a33

(

(

) )

...

Pn( K +1) =

(

1 bn − an1 P1( K +1) − an 2 P2( K +1) ..... − an( n −1) Pn(−K1+1) ann

)

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

198

(14.26)

Como ejemplo del procedimiento de cálculo que sigue éste método se resolverá el mismo sistema de ecuaciones que se empleó para ejemplificar el método de Jacobi. 6P1 + 2P2 + P3 = 22 -P1 + 8P2 + 2P3 = 30 P1 - P2 + 6P3 = 23 Las ecuaciones según la expresión (14.26) se reducen a:

P1(

K +1)

=

(

1 K K 22 − 2 P2( ) − P3( ) 6

( (

1 30 + P1( K +1) − 2 P3( K ) 8 1 = 23 − P1( K +1) + P2( K +1) 6

P2( K +1) = P3( K +1)

)

(14.d)

) )

Donde K = 0, 1, 2, ..... Tomándose el mismo vector inicial que en aquel ejemplo, esto es:

⎧ 22 30 23 ⎫ P (0) = ⎨ , , ⎬ ⎩6 8 6⎭ y sustituyendo K = 0 en las ecuaciones (14.d), (14.e) y (14.f): P1( ) = 1

(

1 0 0 22 − 2 P2( ) − P3( ) 6

)


(14.e) (14.f)


1

P3(1)

( (

1 1 0 30 + P1( ) − 2 P3( ) 8 1 = 23 − P1(1) + P2(1) 6

P2( ) =

199

)

)

Sustituyendo valores: 1⎛ ⎛ 30 ⎞ ⎛ 23 ⎞ ⎞ P1(1) = ⎜ 22 − 2 ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎟ = 1.778 6⎝ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 6 ⎠⎠ 1⎛ ⎛ 23 ⎞ ⎞ P2(1) = ⎜ 30 + 1.778 − 2 ⎜ ⎟ ⎟ = 4.0369 8⎝ ⎝ 6 ⎠⎠ 1 P3(1) = ( 23 − 1.778 + 4.039 ) 6 Se obtiene:

P (1) = [1.778, 3.014, 4.039] Procediendo reiteradamente en forma similar, resultan las siguientes iteraciones:

K=1;

P (2) = [1.998, 2.989, 4.000]

K=2;

P (3) = [ 2.004, 3.001, 4.000]

K=3;

P (4) = [ 2.000, 3.000, 4.000]

Por lo tanto la solución es P1 = 2000, P2 = 3000, y P3 = 4000. Como puede apreciarse, es la misma solución que proporciona el método de Jacobi, con la ventaja que éste la obtienen en tres iteraciones menos. 14.3.3. Método de Relajación

Se trata de un método que acelera la obtención de la solución con respecto a los métodos iterativos vistos anteriormente. En éste, el nuevo valor de Pi(k+1) se obtiene con parte de la nueva iteración y con parte de la anterior. Para ello se introduce el término “parámetro de relajación, ω”, cuya presencia acelera el proceso de convergencia. Así pues, notacionalmente se tiene el siguiente sistema:



P1( K +1) P2( K +1) P3( K +1) ..

Pn( K +1)

(

200

)

⎫ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ( K +1) (K ) (K ) (K ) = − a23 P3 ... − a2 n Pn + (1 − ω ) P2 ω b2 − a21 P1 ⎪ a22 ⎪⎪ 1 ( K +1) ( K +1) (K ) ( K ) ⎬ (14.27) = − a32 P2 ... − a3n Pn + (1 − ω ) P3 ω b3 − a31 P1 ⎪ a33 ⎪ ...... ⎪ ⎪ 1 = ω bn − an1 P1( K +1) − an 2 P2( K +1) ... − an( n −1) Pn(−K1+1) + (1 − ω ) Pn( K ) ⎪ ann ⎪⎭

ω

=

1 b1 − a12 P2( K ) − a13 P3( K ) ... − a1n Pn( K ) + (1 − ω ) P1( K ) a11

(

)

(

)

(

)

Donde K = 0, 1, 2, ... Para cualquier valor que se fije a ω entre cero y dos, el proceso converge para los tipos de sistemas de ecuaciones que puedan encontrarse en la simulación de yacimientos. Cuando el valor de ω es mayor de 1.0, ω > 1.0, se dice que el proceso es de sobre-relajación. Si el valor de ω estuviese comprendido entre 0 y 1 (0 < ω < 1), se tendría bajo-relajación (sub-relajado), aunque hay que hacer notar que dicho procedimiento no es efectivo para el tipo de problemas de yacimientos. Si ω = 1, el proceso se reduce, como se podrá observar viendo la Ec. 14.27 y comparándola con la Ec. 14.26, al método de Gauss – Seidel. Una forma más general de representar matemáticamente el método de relajación, y de paso el método de Gauss-Seidel, se presenta a continuación: K +1 K+1 P i = (1 - ω ) Pi +

ω a i,i

⎡⎣b i - ∑ i=N 1,i ≠ j ai , j Pjξ ⎤⎦ , Si i > j , ξ = K +1, y si j < i, ξ = K

Es muy importante seleccionar el valor adecuado de un ω para acelerar el proceso, pues un valor óptimo de dicho parámetro produce una convergencia extraordinariamente rápida. La estimación de este parámetro está en función del tamaño de la malla y de la heterogeneidad del medio poroso. Una manera de estimar un juego de parámetros de sobre-relajación óptima para sistemas heterogéneos y anisotrópicos se presenta a continuación:

k x N x2 ∆y 2 θ= k y N y2 ∆x 2 Donde Nx y Ny representan el número de nodos en la dirección x e y, respectivamente.

λ=

θ 1 + θ − cos(π / N x )

ωopt =

2 1+ 1− λ



201

14.4. ORDENAMIENTO DE LAS ECUACIONES (NUMERACION DE BLOQUES)

El orden de las ecuaciones es arbitrario sin embargo deben seguir ciertos esquemas para minimizar cálculos y buscar algoritmos apropiados. Dependiendo de la manera como se enumeren los nodos dentro del yacimiento, resultará la forma de la matriz y el consecuente método apropiado para su solución. Se usan notaciones simplificadas para identificar bloques con el propósito de indicar la manera en que los términos en la matriz de presiones para cada bloque aparecen en la matriz de coeficientes. Un bloque debe ser identificado con un solo número y los términos en la ecuación serán referidos con el número del bloque respectivo. El ordenamiento estándar considera la enumeración consecutiva de los bloques iniciando desde la parte inferior izquierda del yacimiento, tal como se muestra en la Fig. 14.2. Por ejemplo, los modelos de 4 x 2 y 2 x 4 se enumeran tal como se muestra en la Fig. 14.2 con la notación simplificada que se presenta en la Fig. 14.3. La ecuación de presiones para el bloque 2 del modelo 4 x 2 será:

7 5 3 1

5 6 7 8 1 2 3 4 a) 4 x 2

8 6 4 2

b) 2 x 4 Fig. 14.2. Ordenamiento estándar de bloques

⎛x ⎜ ⎜x ⎜ ⎜ ⎜ ⎜x ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝

x x x

x x x x

x x x

x x x

x x x

a) 4 × 2

x x x

x x x

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x⎟ ⎟ x ⎟⎠

⎛x ⎜ ⎜x ⎜x ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝

x x x

x x x x

x x x

x

x

x x x

x x x x

x x x

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x⎟ x⎟ ⎟ x ⎟⎠

b) 2 × 4

Fig. 14.3. Notación resultante para coeficientes matriciales con ordenamiento estándar



202

ai Pi −n1,+1j + bi Pi ,nj+1 + ci Pi +n1,+1j + di Pi ,nj++11 + ei Pi , j −1 = f i

a2 P1n +1 + b2 P2n +1 + c2 P3n +1 + d 2 P6n +1 + e2 P0 = f 2 Por supuesto, el número de ecuaciones es 8 para ambos modelos pero la distribución de los términos dentro de la matriz de coeficientes difiere. Para el modelo 4 x 2, la matriz de coeficientes es una matriz de banda con un ancho de banda de 9 mientras que para el otro caso el ancho de banda es de 5. El esfuerzo requerido para resolver una matriz bandeada depende tanto del número de ecuaciones como del ancho de banda. Si se usara el método de descomposición matricial para resolver el modelo de 4 x 2 toma más de dos veces que para resolver el modelo de 2 x 4. Esto es, si se usa el método de ordenamiento estándar, la numeración debería ser en la secuencia de la dirección más corta. De las muchas formas de ordenamiento posibles, las que más se usan en simulación son el ordenamiento estándar, A3, D4 y disección anidada.

13 28 14 29 15 30

5 22 10 27 14 30

25 10 26 11 27 12

18 6

7 19

22 8 23 9 4 20

1 16

5 21 6

2 17 a) A3

24

3 18

23 11 28 15

2 19 7

24 12 29

16 3 20

8 25 13

1 17

4 21

9 26

b) D4

Fig. 14.4. Ordenamiento de bloques: a) A3 y b) D4



⎛x ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜x ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜x ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

x x x

x x x x

x x x x

x

x x x

x x

x x x

x

x

x x x

x x x

x

x

x x x x

x x

x x x

x

x

x x

x x

x x x

x

x

x x x

x

x x x

x x

x x x

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x⎟ ⎟ ⎟ x⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x ⎟⎠

x x x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x

x x

x

x

x

x x x

x x x

x x x x

x

x x x x

x

x x

x

x x

x x

x x

x

x

x x

x x x x

x

x x x x

203

x x

Fig. 14.5. Localización de la matriz de elementos en el ordenamiento A3 ⎛x ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜x ⎜ ⎜x ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

x x

x x

x x

x x x x

x

x x

x x

x

x x

x x

x x x

x

x x x

x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x

x x

x

x x x

x

x x x

x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x x

x x x

x x

x x

x x x

x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x x

x x

x x x

x x x x

x x

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x⎟ ⎟ x⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x ⎟⎠

Fig. 14.6. Localización de la matriz de elementos en el método D4



13 14 22 11 9 15 16 23 12 10 17 18 19 20 21 2

4

24 8

7

1

3

25 6

5

Fig. 14.7. Ordenamiento de disección anidada de un modelo de bloques de 5 x 5

A' =

1

1

0

1

0

0

0

0

x1

b1

1

1

1

0

1

0

0

0

x2

b2

0

1

1

1

0

1

0

0

x3

b3

1

0

1

1

1

0

1

0

x4

b4

= 0

1

0

1

1

1

0

1

x5

b5

0

0

1

0

1

1

1

0

x6

b6

0

0

0

1

0

1

1

1

x7

b7

0

0

0

0

1

0

1

1

x8

b8

Valores inexistentes

Tome SOLO las diagonales con valores diferentes de cero y rótelos 45° en sentido horario

Cuando la matriz A se programa, la nueva matriz de coeficientes tendrá la apariencia de....

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

Valores inexistentes

Fig. 14.8. Reducción de una matriz de Nx x Ny a Nx x 5 elementos


204


205

El esquema A3 se conoce como esquema rojo/negro o esquema ajedrez cuyo ordenamiento es aparente en la Fig. 14.4.a. En el ordenamiento D4, la numeración va con las diagonales en forma alterna como se muestra en la Fig. 14.4.b. Las matrices resultantes para estos esquemas se presentan, respectivamente, en la Fig. 14.5 y 14.6. El grado de dispersamiento del cuadrante superior izquierdo de ambos esquemas facilita el uso de eliminación Gaussiana para remover los términos del cuadrante inferior izquierdo y particionar la matriz en 4 bloques. Este método fue publicado por Price and Coats y actualmente se usa extensivamente en simulación de yacimientos. En simulación de yacimientos, el ordenamiento de Disección Anidada es el método directo más eficiente para resolver sistemas de ecuaciones con un muy amplio número de bloques. Este esquema ordena las ecuaciones en grupos pequeños que están dentro de grupos grandes. Estos grupos están dentro de grupos más grandes que a su vez están dentro de grupos más grandes y así sucesivamente. El resultado es un incremento en la densidad de términos cerca de la diagonal principal de la matriz de coeficientes y a una consecuente reducción del número de elementos vacíos (ceros) que deben ser llenados durante el proceso de eliminación. La Fig. 14.7 ilustra este principio. En el se forman cuatro “submatrices” pentadiagonales alrededor de una diagonal principal. Allí, la malla de 5 x 5 se separa en 4 nidos esquineros y una cruz. Virtualmente, el ordenamiento es sistemático, sin embargo, en esa etapa del proceso, los términos a ser seguidamente eliminados son aquellos asociados con grupos de bloques que tienen los más pocas incógnitas remanentes. Este esquema es superior en rendimiento a los otros tres esquemas anteriormente mencionados. Un ordenamiento estándar de una matriz cuadrada producirá una matriz pentadiagonal cuyos términos vacíos aumenta fuertemente al aumentar el tamaño de la matriz. La aplicación del método de Gauss-Seidel o de relajación a estos sistemas resulta cada vez más pesado, computacionalmente hablando, debido al almacenamiento, manipulación y operación de los ceros en la matriz, por lo que deben eliminarse tal como se muestra en la Ref. 14, donde un gran número de ceros en la matriz fueron eliminados durante el proceso de cómputo aumentando la velocidad de los cálculos más de 960 % para una matriz de 400 elementos. El proceso se ilustra en la Fig. 14.8 y el respectivo diagrama de flujo se presenta en la Fig. 14.9. Note que las matrices tridiagonales son más fáciles de resolver porque no existen ceros entre las diagonales, en otras palabras, las tres diagonales en las matrices tridiagonales están siempre adyacentes. Esto no siempre es cierto en matrices pentadiagonales que resultan de problemas bidimensionales. Existe una “banda” formada por cinco diagonales, pero esta puede ser muy ancha, lo que indica que hay un considerable número de ceros dentro de la banda. Por esta razón, la eliminación Gaussiana usualmente resulta poco efectiva y deben usarse métodos iterativos. La principal diferencia entre los diversos métodos para resolver problemas bidimensionales son velocidad y requerimientos de memoria. Todos los métodos podrían arrojar esencialmente los mismos resultados y exactitud dentro de una tolerancia especificada.



206

Penta-Gauss-Seidel

yes

sum=a1,4*X2+a1,5*X1+NN

i=1

yes 1< i <=NN

sum=ai,2*Yi-1+ai,4*Xi+1+ ai,5*Xi+NN

yes

sum=ai,1*Yi-NN+ai,2*Yi-1+ ai,4*Xi+1+ai,5*Xi+NN

NN< i <=N-NN

yes i > N-NN

sum=ai,1*Yi-NN+ai,2*Yi-1+ ai,4*Xi+1

Yi = (bi - sum)/ai,3

Itere aij = Matriz de coeficientes X = Nivel de tiempo anterior Y = Nivel de tiempo nuevo N = Número de incógnitas NN = N^0.5

Fig. 14.9. Diagrama de flujo para el método de Gauss-Seidel o relajación en matrices pentadiagonales (Ref. 14)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Fig. 14.10. Ordenamiento normal o estándar para un sistema bidimensional



207

CE S WC E S WC E S WC S N CE S N WC E S N WC E S N WC S N CE N WC E N WC E N WC

Fig. 14.11. Matriz resultante del ordenamiento de la Fig. 14.10

1

4

7

10

2

5

8

11

3

6

9

12

Fig. 14.14. Reordenamiento de los bloques para reducir el ancho de banda CS E NC S E NC E W C S E W NC S E W NC E W C S E W NC S W NC W C W N W

E E S C S NC

Fig. 14.13. Matriz resultante del ordenamiento de la Fig. 14.12 con ancho de banda de 2J+1 = 7 Se ha enumerado los nodos para demostrar el orden que se debería tener el enmallado o el orden en el cual se escriben las ecuaciones lineales. Para el problema bidimensional que se muestra en la Fig. 14.10, la matriz A tendría la forma que se muestra en la Fig. 14.11. Ahora



208

bien, si se cambia la enumeración como lo indica la Fig. 14.12, la matriz tendrá ahora la forma que muestra la Fig. 14.13, por supuesto, la solución será exactamente la misma pero requiere menos aritmética debido a que se reduce el ancho de banda. 14.5. METODOS DE DIRECCIÓN ALTERNANTE Y METODOS AFINES

Peaceman y Rachford propusieron el primer método para resolver las ecuaciones que describen problemas de flujo multidimensional en yacimientos de petróleo. Desde el punto de vista de cómputo, su método es similar a relajación lineal con la dirección implícita alternando sucesivamente entre columnas y filas. El método trabajó bien en sistemas que tenían permeabilidades cercanas a la uniformidad y en problemas en los cuales la dirección del movimiento de fluidos no cambia drásticamente. Para cambios bruscos en dirección de flujo, tal como conificación, existen métodos superiores. Este método es básicamente una perturbación del método de Crack-Nicholson. Otros métodos de dirección alternante son: Método de Douglas, el cual presenta ventajas para problemas tridimensionales comparado con el de Peaceman y Rachford, y el método de Douglas y Rachford. Otros métodos que perturban el método de Crack-Nicholson son: el método de separación y el método predictor-corrector. 14.5.1. ADIP (Alternating Direction Implicit Procedure) – Método de Peaceman y Rachford

Este método fue diseñado para usar el algoritmo de Thomas en problemas multidimensionales (Thomas se aplica a monodimensionales) para computadores de baja capacidad. Básicamente, si se tiene un problema en dos dimensiones, realice barrido en la dirección desde un nivel de tiempo n a n + ½ y luego en la otra dirección desde un nivel n+½ a n+1, tal como se ilustra en la Fig. 14.14. El método ADI (o para este caso ADIP) fue propuesto en 1955 para problemas bidimensionales. El modelo ADI considera primero la implicicidad en la dirección x hasta la mitad del intervalo de tiempo, y luego, la implicicidad en la dirección y para la segunda mitad del intervalo de tiempo. En otras palabras, cada iteración consiste de dos medias iteraciones, primero todas las filas se modifican y segundo se modifican todos los valores de las columnas. Considere el modelo matemático dado por la ecuación 14.27.a, el cual, es la ecuación de Poisson en coordenadas cartesianas con un término fuente/sumidero que representa la inyección o producción a lo largo de puntos específicos en el dominio de la solución. Este dominio prácticamente representa un medio poroso permeable (yacimiento) donde un fluido residente (aceite) es desplazado por un fluido de inyección (agua) a través de un pozo inyector (fuente). El petróleo desplazado se produce a través de pozos productores (sumideros), que para propósitos de ejemplificación, considere un patrón normal de cinco puntos. El modelo matemático considera la ecuación de transporte (ecuación de Darcy) acoplado con la ecuación de conservación de la masa para un fluido único a través de un medio anisotrópico y heterogéneo.



209

Nivel de tiempo

Primero

n

Barrido en x

De n a n+1/2

n+1/2

Barrido en y

Segundo

n+1

De n+1/2 a n

Fig. 14.14. Representación esquemática del método ADI ∂ ⎛ k x h ∂P ⎞ ∂ ⎛ k y h ∂P ⎞ ∂P Q = −φ ct h ⎟± ⎜ ⎟+ ⎜ ∂x ⎝ µ ∂x ⎠ ∂y ⎝ µ ∂y ⎠ ∆x∆y ∂t

(14.27.a)

Si kx = ky = constante, h = constante, µ = constante entonces la anterior ecuación puede escribirse:

φ ct h ∂P ∂2 P ∂2 P Q + 2 ± =− 2 ∂x ∂y ∆x∆y ( kh / µ ) ( kh / µ ) ∂t

(14.27.b)

Condición inicial: Asuma que la distribución de presión a lo largo de todo el yacimiento es constante e igual a la presión inicial en el instante en que el desplazamiento con agua inicia.

P(x,y,0) = Pinicial Condiciones de frontera: El modelo usa barreras de no flujo a lo largo del dominio, de modo que:

∂P ∂P = = 0 @ i = N , j = 1,..., N ; j = M , i = 1,..., N ∂x ∂y



210

∂P (i,1) = 0 ∂Y 1

∂P (0, j ) = 0 ∂X

∂P (1, j ) = 0 ∂X

0

∂P (i, 0) = 0 ∂Y

0

1

Fig. 14.15. Condiciones de frontera para ejemplo método ADIP Normalización del modelo matemático

Por conveniencia, el modelo matemático expresado por medio de la Ec. 14.27.b, junto con sus condiciones de frontera puede normalizarse o escribirse en forma adimensional. Asuma, además, que ∆x = ∆y y que la longitud del domino es las direcciones x e y es igual a Lx.

P=

P Pi

X=

x Lx

Y=

y Lx

tD =

kt φµ ct L2x

Con las anteriores definiciones el modelo se convierte en:

∂2 P ∂2 P Q ∂P + 2± 2 =− 2 ∂X ∂Y ∆x pi ( kh / µ ) ∂t D

(14.27.c)

P(x,y,0) = 1

∂P ∂P = = 0 @ i = N , j = 1,..., N ; j = M , i = 1,..., N ∂X ∂Y ADIP (Alternating Direction Implicit Procedure)

La ecuación diferencial formulada de acuerdo con el método ADIP se da a continuación:

∂ 2 Pi ,nj+1/ 2 ∂X 2

2 n +1 ∂ 2 Pi ,nj ⎫⎪ ∂Pi ,nj+1 Qi , j 1 ⎧⎪ ∂ P + ⎨ i ,2j + ± = − ⎬ ∂Y 2 ⎪⎭ ∆X 2 pi ( kh / µ ) ∂t D 2 ⎪⎩ ∂Y



211

Multiplicando por 2 y expandiendo la derivada en tiempo: 2

∂ 2 Pi ,nj+1/ 2 ∂X 2

+

∂ 2 Pi ,nj+1

+

∂Y 2

∂ 2 Pi ,nj ∂Y 2

±

2Qi , j

∆X 2 pi ( kh / µ )

= −2

Pi ,nj+1 − Pi ,nj ∆t D

Sumando y restando 2 Pi ,nj+1/ 2 / ∆t D a ambos lados de la ecuación anterior, esta puede descomponerse en dos ecuaciones: ∂ 2 Pi ,nj+1/ 2 ∂X 2 ∂ 2 Pi ,nj+1/ 2 ∂X 2

+

+

∂ 2 Pi ,nj ∂Y 2

±

∂ 2 Pi ,nj+1 ∂Y 2

Qi , j

∆X 2 pi ( kh / µ )

±

Qi , j

= −2

∆X 2 pi ( kh / µ )

Pi ,nj+1/ 2 − Pi ,nj

= −2

(14.27.d)

∆t D Pi ,nj+1 − Pi ,nj+1/ 2

(14.27.e)

∆t D

Expresando la Ec. 14.27.d en diferencias finitas: ∆t D ∆t D P n +1/ 2 − 2 Pi ,nj+1/ 2 + Pi −n1,+1/j 2 ) + ( Pi,nj +1 − 2Pi,nj + Pi,nj −1 ) ± 2 ( i +1, j 2 ∆X 2 ∆X 2 ∆t D Qi , j = − ( Pi ,nj+1/ 2 − Pi ,nj ) 2 2∆X pi ( kh / µ )

Defina:

α=

∆t D / 2 kt / 2 = 2 ∆X φµ ct x 2

Luego:

(P

n +1/ 2 i +1, j

− 2 Pi ,nj+1/ 2 + Pi −n1,+1/j 2 ) + ( Pi ,nj +1 − 2 Pi ,nj + Pi ,nj −1 ) ±

Qi , j

pi ( kh / µ )

=−

(P α 1

n +1/ 2 i, j

− Pi ,nj )

Simplificando incluso más:

Qi , j 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ Pi −n1,+1/j 2 − ⎜ 2 − ⎟ Pi ,nj+1/ 2 + Pi +n1,+1/j 2 = − Pi ,nj −1 + ⎜ 2 − ⎟ Pi ,nj − Pi ,nj +1 ± α⎠ α⎠ pi ( kh / µ ) ⎝ ⎝ Ahora, la Ec. 14.27.e se expresa en diferencias finitas:


(14.27.f)


212

∆t D ∆t D P n +1/ 2 − 2 Pi ,nj+1/ 2 + Pi −n1,+1/j 2 ) + P n +1 − 2 Pi ,nj+1 + Pi ,nj+−11 ) ± 2 ( i +1, j 2 ( i , j +1 2∆X 2 ∆X ∆t D Qi , j = − ( Pi ,nj+1 − Pi ,nj+1/ 2 ) 2∆X 2 pi ( kh / µ )

Que de manera similar resulta finalmente simplificada en:

Qi , j 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ Pi −n1,+1j − ⎜ 2 − ⎟ Pi ,nj+1 + Pi +n1,+1j = − Pi ,nj+−1/1 2 + ⎜ 2 − ⎟ Pi ,nj+1/ 2 − Pi ,nj++1/1 2 ± α⎠ α⎠ pi ( kh / µ ) ⎝ ⎝

(14.27.g)

Simplificando a notación corta: ai Pi −n1,+1/j 2 + bi Pi ,nj+1/ 2 + ci Pi +n1,+1j = − di

(14.27.h)

aî Pi ,nj+−11 + bî Pi ,nj+1 + cî Pi ,nj++11 = −dî

(14.27.i)

Donde;

ai = aî = 1 1⎞ ⎛ bi = bî = − ⎜ 2 − ⎟ α⎠ ⎝

ci = cî = 1 Qi , j 1⎞ ⎛ di = Pi ,nj −1 − ⎜ 2 − ⎟ Pi ,nj + Pi ,nj +1 ± α⎠ pi ( kh / µ ) ⎝ Qi , j 1⎞ ⎛ dî = Pi ,nj+−1/1 2 − ⎜ 2 − ⎟ Pi ,nj+1/ 2 + Pi ,nj++1/1 2 ± pi ( kh / µ ) α⎠ ⎝ Cuando la compresibilidad del sistema es cero, o cuando analizamos el caso de estado estable, el término α tiende a infinito y por lo tanto se debe usar un manejo especial. Note que el parámetro α puede considerarse como un parámetro de iteración en este problema y el mismo valor del parámetro de iteración debe usarse en cada par de iteraciones sucesivas. Un método eficiente para escoger el parámetro de iteración se presenta en la Ref. 15: 1

z = σ m −1



σ=

213

a b

a = 4sen 2

b = 4 cos 2

αk =

π 2m

π 2m

1 , k = 1, 2,...., m bz k −1

El factor de reducción del error después de m dobles barridos es:

⎛ 1− z ⎧ z1.5 ⎫ ⎞ exp ⎨− Pm = ⎜⎜ ⎬ ⎟⎟ ⎩ 1− z ⎭⎠ ⎝ 1+ z

4

Sm = m Pm El valor óptimo de m se escoge para el valor mínimo de Sm. Por ejemplo, para un enmallado de 17 x 17, los valores más eficientes de α fueron:

α1 = 0.252147 α2 = 0.497533 α3 = 0.981727 α4 = 1.937133 α5 = 3.822330 α6 = 7.542180 α7 = 14.88249 α8 = 29.365296 las matrices resultantes de la aplicación de las Ecs. 14.27.h y 14.27.i son tridiagonales y pueden resolverse por el Algoritmo de Thomas. La Ec. 14.27.h permite obtener la distribución de presión a lo largo de la dirección x a medio intervalo de tiempo, lo cual



214

normalmente se llama “barrido en la dirección x”: ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

b1

2c1

0

0

0

0

a2

b2

c2

0

0

0

0

a3

b3

c3

0

0

0 0

0 0

a4 0

b4 .

c4 .

0 .

0

0

0

0

.

.

0

0

0

0

0

2 an

n

0 ⎞ ⎛ P1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ ⎜ P2 ⎟ 0 ⎟ ⎜ P3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ ×⎜ . ⎟ 0 ⎟ ⎜ . ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ . ⎟ ⎜ . ⎟ bn ⎟⎠ ⎜⎝ Pn ⎟⎠

n +1/ 2

⎛ d1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ d2 ⎟ ⎜ d3 ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜d ⎟ ⎝ n⎠

n

Similarmente, la distribución de presión en la dirección y al siguiente medio intervalo de tiempo se obtiene con base en los vectores de presión recientemente calculados: ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

bˆ1 aˆ2

2cˆ1 bˆ

0

aˆ3

cˆ2 bˆ

0

0

aˆ4

cˆ3 bˆ

4

cˆ4

0

0

0

0

.

.

.

0

0

0

0

.

.

0

0

0

0

0

2aˆn

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ . ⎟ ⎟ bˆn ⎟⎠

n +1/ 2

⎛ P1 ⎜ ⎜ P2 ⎜ P3 ⎜ ×⎜ . ⎜ . ⎜ ⎜ . ⎜P ⎝ n

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

n +1

⎛ dˆ1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ dˆ2 ⎟ ⎜ˆ ⎟ ⎜ d3 ⎟ =⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ dˆ ⎟ ⎝ n⎠

n +1/ 2

Note además que cuando t →∞ o cuando la compresibilidad del sistema se hace cero, el modelo se convierte en estado estable. Bajo esta consideración ( cero compresibilidad ) el sistema esta sujeto a manejar el mismo volumen de inyección de agua y de aceite producido. El problema se resolvió usando unidades de campo con permeabilidad en Darcies y tiempo en días. Los factores de conversión C1 = 0.88746475 (va con el término de caudal) y C2 = 0.1580642 (va en el término de tD). Los siguientes fueron los datos de entrada:

µo = 1.5 cp µw = 1 cp

K = 0.1 D h = 38.799999 ft φ = 35 % So movible = 0.45 ct = 0 ∆x =∆y = 40 ft



Programa de producción e Inyección Pozo Q I 1 890 9 2 -80 4 3 -320 14 4 -115 4 5 -375 14

215

J 9 4 4 14 14

Este problema se realizó inicialmente para rastrear el recorrido de la inyección y para ello se consideraron ambas viscosidades. Resultados: CONFIGURACION DE PRESION DEL YACIMIENTO (PSIA)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 912.8 912.9 914.3 921.2 929.1 935.8 940.8 943.4 944.0 .0 912.5 911.9 911.4 920.4 929.3 936.5 941.6 944.2 944.7 .0 912.8 910.2 898.3 919.0 930.8 938.7 944.2 946.9 947.1 .0 917.7 917.2 917.1 926.2 935.3 943.0 948.8 951.6 951.3 .0 922.8 923.5 926.1 932.6 940.7 948.7 955.6 959.1 957.6 .0 926.0 927.1 930.6 936.9 945.4 955.1 965.0 971.1 966.5 .0 926.6 927.9 931.8 938.6 948.2 961.1 977.6 993.6 978.5 .0 923.9 925.3 929.3 936.5 947.1 962.9 989.4 1046.8 989.8 .0 918.2 919.5 923.5 930.6 940.5 953.6 969.9 985.6 969.8 .0 909.2 910.3 913.9 920.9 930.1 940.3 950.0 955.4 949.4 .0 897.5 898.0 900.5 908.5 918.1 927.0 933.9 936.3 932.8 .0 884.2 883.0 881.2 893.9 906.1 915.4 921.3 922.8 919.8 .0 872.8 868.0 846.6 879.4 896.3 906.6 912.3 913.5 910.6 .0 870.5 869.0 866.9 880.2 892.7 901.8 907.1 908.1 905.2 .0 870.4 870.1 871.4 881.0 891.8 900.3 905.4 906.4 903.4 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 11 12 13 14 15 16 17 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 942.2 938.8 934.4 930.4 929.5 929.5 942.8 939.1 933.9 928.5 928.8 929.2 944.6 940.2 933.1 920.4 927.5 929.0 948.1 943.2 937.3 931.3 931.1 931.2 952.8 946.8 940.8 936.0 933.8 933.2 958.1 949.7 942.6 937.3 934.3 933.4 963.0 951.0 942.1 935.9 932.3 931.2 963.7 948.3 937.9 931.1 927.1 925.8 953.4 940.2 930.1 923.0 918.9 917.6 939.1 928.2 918.4 911.0 907.2 906.0

.0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0



12 13 14 15 16 17

924.9 912.3 902.9 897.8 896.2 .0

914.7 904.0 901.3 887.1 890.3 870.2 886.4 871.3 885.5 872.4 .0 .0 .0

895.0 892.2 891.7 872.2 874.4 875.9 831.6 856.7 862.4 855.5 857.9 859.6 860.8 859.2 859.5 .0 .0 .0

216

.0 .0 .0 .0 .0

14.16. Líneas isobáricas (estado estable)

14.6. SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO - LINEALES: METODO DE NEWTON - RAPHSON (ITERACION NEWTONIANA) 14.6.1. Caso 1: Funciones de una sola Variable

Ejemplo: Resolver f(x) = x2 - cos x = 0. Encontrar X tal que f(x) = 0 Suponer que se conocen tanto

f(x(u)) y

f

(u)

df dx df dx

X (u ) (u )

Es posible obtener una estimación de f(u+1), expandiendo ésta alrededor del punto X(u) en series de Taylor, y reteniendo los términos de orden más bajo. Esto es:



f

( u +1)

(u )

= f

df + dx

(u )

δx

( u +1)

= 0 , luego:

( u +1)

δx

=−

f (u ) df dx

(u )

217

donde,

δ x(u +1) = x(u +1) − x(u ) Se parte de la estimación x(0) y se calcula δx(1), se continúa iterando hasta que δ x(u +1) ≤ ε y/o f (u +1) ≤ ε . La interpretación geométrica, como se presenta en la Fig. 14.17, se basa en lo siguiente. Sea:

f ( 0)

(1)

δx =−

df dx

∂f ∂x

(0)

=−

( 0)

f( ) f( ) f( ) (1) = ; entonces, δ = − x ( 0) x (1) − x (0) δ x (1) df dx 0

0

0

en x(3) indica que se está cerca al valor verdadero. La estimación x(0) debe estar dentro de convergencia para que la solución converja. Del ejercicio anterior:

f(x) = x2 - Cos x f’(x) = 2x + Sen x Solución: Cuando x = 0.82413231, entonces, f(x) = 0. Se puede usar un valor de derivada constante, con lo cual se gana tiempo de cómputo.

u 0 1 2 3 4 5 6

x

(u)

0.500 0.92420693 0.82910576 0.82414613 0.82413231 0.82413231

f

(u)

-0.62758256 0.25169068 0.01188097 3.292x10-5 2.53x10-10 0

f

’(u)

1.47942554 2.64655707 2.39553909 2.38226038 2.38222336 2.38222336

δ x(u +1) = − f (u ) / f '(u ) 0.42420693 -0.0950117 -0.00495962 -1.382x10-5 -1.032x10-10 0



∂f ∂x

f(1)

∂f ∂x

218

(1)

(2)

f(2) f(x)=0

f(x)

x0)

x(2)

x(1)

x

f(0) ∂f ∂x

(0)

14.17. Esquema ilustrativo de la convergencia del método de Newton-Raphson

14.6.2 Caso II: Dos ecuaciones no-lineales con dos Incógnitas

y = Cos x x = Sen y

Ejemplo:

F1(x,y) = y - Cos x = 0 F2(x,y) = x - Sen y = 0

Encontrar X e Y tal que:

- F1(x,y) = 0 - F2(x,y) = 0

Si se conocen:

∂ Fi Fi (x , y ), ∂x (u)

(u)

(u )

∂ Fi ∂y

,

(u )

i = 1, 2....

,

Podemos estimar Fi (x(u+1), y(u+1)) mediante una expansión de series de Taylor alrededor de x(u), y(u).

(

Fi x ∂Fi ∂x

( u +1)

,y

(u )

∂x

( u +1)

( u +1)

) = F (x i

∂F + i ∂y

(u )

(u )

,y

(u )

)

∂F + i ∂x

∂y ( u +1) = − Fi (u )

(u )

∂x

( u +1)

∂F + i ∂y

(u )

∂y ( u +1) = 0

i = 1, 2

Aplicando al sistema de ecuaciones:



∂F1 ∂x

(u )

∂F2 ∂x

(u )

∂x

( u +1)

∂x

( u +1)

∂F + 1 ∂y

(u )

∂y ( u +1) = − F1( u )

(u )

∂F + 2 ∂y

219

∂y ( u +1) = − F2(u )

o bien,

⎡ ∂ F1 ⎢∂x ⎢ ⎢ ∂ F2 ⎢∂x ⎣

∂ F1 ⎤ ∂y⎥ ⎥ ∂ F2 ⎥ ∂ y ⎥⎦

(u )

⎡∂ x ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣∂ y ⎦

( u +1)

⎡ − F1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ − F2 ⎦

(u )

El proceso iterativo inicia con X(o), Y(o) y termina cuando:

|δx(u+1)| y |δy(u+1)| ≤ ε y/o |F1(u+1)| y | F2(u+1)| ≤ ε

14.6.3. Newton - Raphson para la Solución de Sistemas de Ecuaciones No Lineales

Se tiene el siguiente sistema: Fi (x1, x2, x3, ......., xn) = 0

i = 1, 2, 3,......, n.

No. de Ecuaciones = No. de Incógnitas Suponga que se conocen: Fi

(u )

∂Fi y ∂x j

(u )

i = 1, 2,3,..., n j = 1, 2,3,..., n

entonces, se puede expandir Fi(γ+1) alrededor del nivel iterativo (γ), empleando serie de Taylor, truncados a los términos de orden más bajos, esto es:

Fi

(γ +1)

= Fi

(γ )

∂Fi ( ) (γ +1) ∂Fi ( ) (γ +1) ∂Fi ( ) (γ +1) + ∂x1 + ∂x2 + ... + ∂xn = 0; i = 1, 2,3,...., n ∂x1 ∂x2 ∂xn γ

γ

γ



220

Puesto que Fiγ más la sumatoria del producto de las derivadas por el valor del incremento de la función debe ser igual a Fiγ+1, significa que dicha sumatoria debe ser igual a menos Fiγ, matemáticamente:

∂Fi ∑ j =1 ∂x j n

(γ )

∂x (jγ +1) = − Fi γ ; i = 1, 2, 3, ..., n

Donde,

∂ x(jγ +1) = x(jγ +1) − x(jγ ) Es decir,

∂F1 ( ) (γ +1) ∂F1 ( ) (γ +1) ∂F ( ) ∂x1 + ∂x2 + ... + 1 ∂xn(γ +1) = − F1(γ ) ∂X 1 ∂x2 ∂xn γ

γ

γ

∂F2 ( ) (γ +1) ∂F2 ( ) (γ +1) ∂F ( ) ∂x1 + ∂x2 + ... + 2 ∂xn(γ +1) = − F2(γ ) ∂x1 ∂x2 ∂xn . . . γ γ γ ∂Fn ( ) (γ +1) ∂Fn ( ) (γ +1) ∂Fn ( ) (γ +1) ∂x1 + ∂x2 + ... + ∂xn = − Fn(γ ) ∂x1 ∂x2 ∂xn γ

γ

γ

En forma matricial: ⎡ ∂ F1 ⎢∂ x ⎢ 1 ⎢ ∂ F2 ⎢∂ x ⎢ 1 ⎢ ∂ F3 ⎢ ⎢ ∂ x1 ⎢ . ⎢ ⎢ ∂ Fn ⎢⎣ ∂ x1

∂ F1 ∂ x2 ∂ F2 ∂ x2 ∂ F3 ∂ x2

∂ F1 ∂ x3 ∂ F2 ∂ x3 ∂ F3 ∂ x3

.

.

∂ Fn ∂ x2

∂ Fn ∂ x3

∂ F1 ⎤ ..... ∂ xn ⎥ ⎥ ∂ F2 ⎥ ..... ∂ xn ⎥⎥ ∂ F3 ⎥ ..... ∂ xn ⎥⎥ . ⎥ ⎥ ∂ Fn ⎥ ..... ∂ xn ⎥⎦ .

(γ )

⎡ ∂ x1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢∂ x2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢∂ x3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢∂ x ⎥ ⎣ n⎦

(γ +1)

⎡ − F1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − F2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ = − F3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− F ⎥ ⎣ n⎦

(γ )

La anterior ecuación matricial constituye la matriz de coeficiente plena, porque en todas las ecuaciones están presentes todas las variables. Se dice que la matriz está dispersa, cuando



221

muchos elementos de la matriz son cero (0). La expresión matricial arriba presentada puede expresarse como: →

→

J∂ x = −F

donde J representa el Jacobiano o matriz jacobiana. El proceso iterativo se inicia con la estimación y/o suposición de los valores iniciales de las funciones: (x1(0), x2(0), x3(0), ............., xn(0)) Y termina cuando existe cierto grado de convergencia o cuando el valor de la función es menor o igual a tolerancia predeterminada: |δxi (γ+1)| ≤ ε

|Fi(γ+1)| ≤ ε

y/o

i = 1, 2, 3, .... , n. 14.6.3.1 Flujo Unidimensional de un Fluido: 1F - 1D. Ecuación en Diferencias Finitas

La expresión en diferencias finitas que define el flujo de un único fluido a través de un medio poroso está dada por: n +1

∆ ⎡⎣T ( ∆P − γ∆D ) ⎤⎦ i + qin +1 =

Vγ i ∆t

( B)

∆t φ

(14.28) i

i = 1, 2, 3, ....., I, y n = 0, 1, 2, 3, .... la cual está sujeta a las siguientes condiciones iniciales y de frontera. Condiciones iniciales: Definir la distribución de presión al tiempo t = 0. Está definida conforme al equilibrio gravitacional a partir de un punto o posición de referencia.

Pi0, i = 1, 2, 3, ..., I

(14.29)

Condiciones de Frontera: cero flujo, cerradas.

⎧⎪ ( ∆P − γ∆D )n +1 = 0 1/ 2 ⎨ n +1 ⎪⎩( ∆P − γ∆D ) I +1/ 2 = 0

(12.30) ⎫⎪ ⎬ Malla de bloques centrados (12.31) ⎪⎭

n = 0, 1, 2, 3,..... Desarrollando (14.28):



Ti +n1/+12 ⎡⎣ Pi +1 − Pi − ( γ∆D )i +1/ 2 ⎤⎦

n +1

− Ti −n1/+12 ⎡⎣ Pi − Pi −1 − ( γ∆D )i −1/ 2 ⎤⎦

n +1

+ qin +1 =

222

Vγ i

⎡(φ B )n +1 − (φ B )n ⎤ ⎦i ∆t ⎣ (14.32)

⎛ kb ⎞ Ti +1/ 2 = T ( Pi +1 , Pi ) = θ i +1/ 2λi +1/ 2 = θi +1/ 2 ⎜ ⎟ ⎝ µ ⎠i +1/ 2 ⎛ kb ⎞ Ti −1/ 2 = T ( Pi , Pi −1 ) = θi −1/ 2 λi −1/ 2 = θi −1/ 2 ⎜ ⎟ ⎝ µ ⎠i −1/ 2 Y la gravedad específica evaluada en la posición i+½ está dada por:

g ρi +1/ 2 gc g = γ ( Pi , Pi −1 ) = ρi −1/ 2 gc

γ i +1/ 2 = γ ( Pi +1 , Pi ) = γ i −1/ 2

Los cambios del volumen poroso pueden representarse por la siguiente expresión resultante de la expansión y posterior truncamiento de la series de Taylor. Puesto que φ = φ(p) entonces;

φn+1 = φn [1 + cr (Pn+1 - Pn)] Se tiene un sistema de ecuaciones no lineales. Las linealidades son el resultado de (1) Los términos de flujo y (2) Los términos de acumulación. Esto amerita la linealización del sistema. “No se puede permitir una mala linealización del término de acumulación”. Aplicando el método de Newton - Raphson a la solución del sistema de ecuaciones (14.32) se tienen I ecuaciones con I incógnitas. Si se define Fi (Pi-1, Pi, Pi+1), entonces:

Fi ( Pi −1 , Pi , Pi +1 ) = Ti +1/ 2 [ Pi +1 − Pi − (γ∆D)i +1/ 2 ] − Ti −1/ 2 [ Pi − Pi −1 − (γ∆D)i −1/ 2 ] + qi − Vri

⎡(φ b )n +1 − (φ b )n ⎤ = 0; i = 1, 2, 3, ....., I ⎦i ∆t ⎣

(14.33) La implicicidad o explicicidad de la Ec. 14.33 se obvia para facilitar las manipulaciones. ∂F ( ) ∂F ( ) ∂F ( ) , , entonces se puede expandir la función en series de ∂Pi −1 ∂Pi ∂Pi +1 Taylor F(γ+1) alrededor de (γ). γ

γ Si se conoce F ( ) ,

Fi

(γ +1)

= Fi

(γ )

γ

γ

∂Fi ( ) (γ +1) ∂Fi ( ) (γ +1) ∂Fi ( ) (γ +1) + ∂Pi −1 + ∂Pi + ∂Pi +1 = 0 ∂Pi −1 ∂Pi ∂Pi +1 γ

γ

γ



223

∂Fi ( ) (γ +1) ∂Fi ( ) (γ +1) ∂Fi ( ) (γ +1) ∂Pi −1 + ∂Pi + ∂Pi +1 = − Fi (γ ) ; i = 1, 2, 3, ....., I ;(γ ) = 0, 1, 2, 3,...... ∂Pi −1 ∂Pi ∂Pi +1 (14.34) γ

γ

∂Fi ∑ j = i −1 ∂Pj

j = i +1

(γ )

γ

∂Pj(γ +1) = − Fi (γ ) ; i = 1, 2, 3, ......., I ; (γ ) = 0,1, 2, 3, ......

(14.35)

Las condiciones de frontera y la forma particular de las funciones F1 y FI pueden acoplarse utilizando el siguiente procedimiento. En el Nodo 1 existe cero flujo a través de la frontera, luego (∆P - γ∆D)½ = 0. Reemplazando en la Ec. (14.33) F1 ( P1 , P2 ) = T1.5 [ P2 - P1 - (γ D)1.5 ] + q1 ∂F1 ( ) (γ +1) ∂F1 ( ) (γ +1) ∂P1 + ∂P2 = − F1(γ ) ∂P1 ∂P2 γ

Vr1

⎡ (φ b ) - (φ b ) n ⎤ = 0 ⎦1 ∆t ⎣

γ

Para el nodo I también se estableció una frontera cerrada lo que indica que no hay flujo a través de ella, luego (∆P - γ∆D)I+½ = 0. Reemplazando en la Ec. (14.33): FI ( PI -1 , PI ) = - TI -½ [ PI - PI -1 - (γ D) I -½ ] + qI ∂FI ( ) (γ +1) ∂FI ( ) (γ +1) ∂PI −1 + ∂PI = − FI(γ ) ∂PI −1 ∂PI γ

VrI

⎡ (φ b ) - ( φ b ) n ⎤ = 0 ⎦I ∆t ⎣

γ

El sistema de ecuaciones resultante para la malla de I nodos está dado por:

∂ F1 (γ ) (γ +1) ∂ F1 (γ ) (γ +1) ∂ P1 + ∂ P2 ∂ P1 ∂ P2

= − F1(γ )

∂ F2 (γ ) (γ +1) ∂ F2 (γ ) (γ +1) ∂ F2 (γ ) (γ +1) ∂ P1 + ∂ P2 + ∂ P3 ∂ P1 ∂ P2 ∂ P3

= − F2(γ )

∂ F3 (γ ) (γ +1) ∂ F3 (γ ) (γ +1) ∂ F3 (γ ) (γ +1) ∂ P2 + ∂ P3 + ∂ P4 ∂ P2 ∂ P3 ∂ P4

= − F3(γ )

......

.. ....

∂ FI −1 (γ ) (γ +1) ∂ FI −1 (γ ) (γ +1) ∂ FI −1 (γ ) (γ +1) ∂ PI − 2 + ∂ PI −1 + ∂ PI = − FI(−γ1) ∂ PI − 2 ∂ PI −1 ∂ PI ( ) ∂FI ( ) (γ +1) ∂ FI ∂ PI −1 + ∂ PI(γ +1) ∂ PI −1 ∂ PI γ

γ

= − FI(γ )



224

Que en forma matricial se representa como: ⎡ ∂ F1 ⎢∂ P ⎢ 1 ⎢ ∂ F2 ⎢ ⎢ ∂ P1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

∂ F1 ∂ P2 ∂ F2 ∂ P2 ∂ F3 ∂ P2

∂ F2 ∂ P3 ∂ F3 ∂ P3

0

∂ F3 ∂ P4 ..

∂ FI −1 ∂ PI − 2

0

∂ FI −1 ∂ PI −1 ∂ FI ∂ PI −1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ∂ FI −1 ⎥ ∂ PI ⎥ ⎥ ∂ FI ⎥ ∂ PI ⎥⎦

(γ )

⎡ ∂ P1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂ P2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂ P3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢∂ PI −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ∂ PI ⎦

(γ +1)

⎡ − F1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − F2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − F3 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ .... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − FI −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ − FI ⎦

(γ )

Si se tiene un sistema compuesto únicamente por 8 bloques o nodos, la anterior ecuación matricial se convertiría en: ⎡ ∂ F1 ⎢∂P ⎢ 1 ⎢ ∂ F2 ⎢∂P ⎢ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣

∂ F1 ∂ P2 ∂ F2 ∂ P2 ∂ F3 ∂ P2 0

0

∂ F2 ∂ P3 ∂ F3 ∂ P3 ∂ F4 ∂ P3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

∂ F3 ∂ P4 ∂ F4 ∂ P4 ∂ F5 ∂ P4

∂ F4 ∂ P5 ∂ F5 ∂ P5 ∂ F6 ∂ P5

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

∂ F5 ∂ P6 ∂ F6 ∂ P6 ∂ F7 ∂ P6 0

0

∂ F6 ∂ P7 ∂ F7 ∂ P7 ∂ F8 ∂ P7

⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ∂ F7 ⎥ ⎥ ∂ P8 ⎥ ∂ F8 ⎥⎥ ∂ P8 ⎥⎦

(γ )

⎡ δ P1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢δ P2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢δ P3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢δ P ⎥ ⎢ 4⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢δ P5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢δ P6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢δ P7 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣δ P8 ⎥⎦

(γ +1)

⎡ − F1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − F2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − F3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− F ⎥ ⎢ 4⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − F5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − F6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − F7 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ − F8 ⎥⎦

Para dar solución al sistema de ecuaciones, el proceso iterativo inicia con:


(γ )


Pi(0) = Pi(n)

,

225

i = 1, 2, 3, ....., I.

y termina una vez que: |δPi(γ+1)| ≤ ξ y/o

|Fi(γ+1)| ≤ ξ

Para todo i,

i = 1, 2, 3, 4,......, I.

δPi (γ+1) = Pi (γ+1) - Pi (γ) de donde Pi (γ+1) = Pi (γ) + δPi (γ+1)


⎡(φ b )n +1 − (φ b )n ⎤ = 0 ⎦i ∆t ⎣

Las transmisibilidades en la cara o en la mitad del bloque se obtienen del promedio entre dos nodos contiguos:

Ti+½ = T (Pi, Pi+1)

γi+½ = γ (Pi+1, Pi)

φi = φ (Pi)

Ti-½ = T (Pi, Pi-1)

γi-½ = γ (Pi, Pi-1)

bi = b (Pi)

Las derivadas de las funciones con respecto a la presión en cada nodo están dadas por: ∂Fi , ∂Pi −1

∂Fi , ∂Pi

∂Fi ∂Pi +1

y dichas derivadas se evalúan de: ⎛ ⎞ ∂Fi ∂γ ∂T = Ti −1/ 2 ⎜1 + ∆Di −1/ 2 i −1/ 2 ⎟ − ⎡⎣ Pi − Pi −1 − ( γ∆D )i −1/ 2 ⎤⎦ i −1/ 2 ∂Pi −1 ∂Pi −1 ⎠ ∂Pi −1 ⎝

(14.36)

Las propiedades del fluido en la posición i-½, se evaluan con base en la presión en dicho nodo, Pi-½:

bi-½ = b (Pi-½),

µi-½ = µ (Pi-½),

ρi-½ = ρ (Pi-½)

Donde:



Pi −1/ 2 =

226

Pi + Pi −1 2

y; ⎛b⎞ Ti −1/ 2 = (θ k )i −1/ 2 ⎜ ⎟ ⎝ µ ⎠i −1/ 2 Las derivadas de las diferentes funciones de presión se evalúan mediante la siguiente expresión:

∂γ i −1/ 2 ∂γ i −1/ 2 ∂ Pi −1/ 2 = ∂ Pi −1 ∂ Pi −1/ 2 ∂ Pi −1 Puesto que:

Pi −1/ 2 =

Pi + Pi −1 2

Su derivada con respecto a Pi-1 es: ∂Pi −1/ 2 ∂Pi + ∂Pi −1 0 + 1 1 = = = ∂Pi −1 2 2 2 Entonces:

∂γ i −1/ 2 ∂γ i −1/ 2 ∂ Pi −1/ 2 1 ∂γ i −1/ 2 = = ∂ Pi −1 ∂ Pi −1/ 2 ∂ Pi −1 2 ∂ Pi −1/ 2 De la misma manera:

∂γ i −1/ 2 1 g ∂ρi −1/ 2 = ∂ Pi −1 2 g c ∂ Pi −1/ 2

( )

∂ Ti −1/ 2 ∂ Ti −1/ 2 ∂ Pi −1/ 2 1 ∂ Ti −1/ 2 1 ∂ b = = = (θ k )i −1/ 2 ∂ Pi −1 ∂ Pi −1/ 2 ∂ Pi −1 2 ∂ Pi −1/ 2 2 ∂ Pi −1/ 2 µ

( )

∂ b µ ∂Pi −1/ 2

µi −1/ 2 = i −1/ 2

i −1/ 2

∂bi −1/ 2 ∂µ − bi −1/ 2 i −1/ 2 ∂Pi −1/ 2 ∂Pi −1/ 2

( µi −1/ 2 )

2



( )

∂ b µ ∂Pi −1/ 2

( )

∂ b µ ∂Pi −1/ 2

i −1/ 2

∂µ ⎫ ⎧ ∂b ⎪ µ ∂P − b ∂P ⎪ =⎨ ⎬ µ2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ P = Pi−1/ 2

( µ)

= b i −1/ 2

227

⎧ 1 ∂b 1 ∂µ ⎫ − ⎨ ⎬ µ ∂P ⎭P = Pi−1/ 2 i −1/ 2 ⎩ b ∂P

( )

∂Ti −1/ 2 1 = (θ k )i −1/ 2 b µ ∂Pi −1/ 2 2

⎧ 1 ∂b 1 ∂µ ⎫ − ⎨ ⎬ µ ∂P ⎭P = Pi−1/ 2 i −1/ 2 ⎩ b ∂P

∂ Ti −1/ 2 1 ⎧ 1 ∂ b 1 ∂µ ⎫ = Ti −1/ 2 ⎨ − ⎬ ∂ Pi −1 2 ⎩ b ∂ P µ ∂ P ⎭P = P

i −1/ 2

Otra forma de calcular los valores:

( µ) ( bµ)

Ti +1/ 2 = (θ k )i +1/ 2 b Ti −1/ 2 = (θ k )i −1/ 2

γ i +1/ 2 = γ i −1/ 2 =

γ i +1 + γ i 2

γ i −1 + γ i 2

i +1/ 2

i −1/ 2

( ) ( ) ( ) ( )

1 (θ k )i +1/ 2 ⎡⎢ b µ + b µ ⎤⎥ = T ( Pi +1 , Pi ) 2 i +1 i⎦ ⎣ 1 ⎤ =T P ,P = (θ k )i −1/ 2 ⎡⎢ b + b ( i −1 i ) ⎥ µ µ 2 i i −1 ⎦ ⎣ =

= γ ( Pi +1 , Pi ) = γ ( Pi , Pi −1 )

⎛ ⎞ ∂ Fi ∂γ ∂T = Ti −1/ 2 ⎜ 1 + ∆Di −1/ 2 i −1/ 2 ⎟ − ⎡⎣ Pi − Pi −1 − ( γ∆D )i −1/ 2 ⎤⎦ i −1/ 2 ∂ Pi −1 ∂ Pi −1 ⎠ ∂ Pi −1 ⎝

(14.36)

Puesto que la gravedad específica está relacionada con densidad, es factible obtener la siguiente expresión:

∂γ i −1/ 2 1 ∂γ i −1 1 ∂γ 1 g ∂ρi −1 = = = ∂ Pi −1 2 ∂ Pi −1 2 ∂ P i −1 2 g c ∂ Pi −1



( )

⎡ ∂ ∂ Ti −1/ 2 1 b = (θ k )i −1/ 2 ⎢ µ ∂ Pi −1 2 ⎣ ∂ Pi −1

( )

⎤ 1 b ⎥ = (θ k )i −1/ 2 µ 2 i −1 ⎦

228

⎡ 1 ∂ b 1 ∂µ ⎤ − ⎢ µ ∂ P ⎥⎦ P = Pi−1 i −1 ⎣ b ∂ P

⎛ ⎞ ∂ Fi ∂γ ∂T = −Ti +1/ 2 ⎜1 + ∆Di +1/ 2 i +1/ 2 ⎟ + ⎣⎡ Pi +1 − Pi − ( γ∆D )i +1/ 2 ⎦⎤ i +1/ 2 ∂ Pi ∂ Pi ⎠ ∂ Pi ⎝ Vr d ⎛ ⎞ ∂γ ∂T −Ti −1/ 2 ⎜1 − ∆Di −1/ 2 i −1/ 2 ⎟ − ⎣⎡ Pi − Pi −1 − ( γ∆D )i −1/ 2 ⎦⎤ i −1/ 2 − i (φ b )i ∆t dPi ∂ Pi ⎠ ∂ Pi ⎝

(14.37)

∂γ i +1/ 2 1 ∂γ i 1 g ∂ρi = = 2 ∂ Pi 2 g c ∂ Pi ∂ Pi ∂γ i −1/ 2 1 ∂γ i 1 g ∂ρ = = 2 ∂ Pi 2 g c ∂ P i ∂ Pi

( )

∂ Ti +1/ 2 1 ⎡ 1 ∂ b 1 ∂µ ⎤ = (θ k )i +1/ 2 b µ i ⎢⎣ b ∂ P − µ ∂ P ⎥⎦ ∂ Pi 2 i

( )

∂ Ti −1/ 2 1 ⎡ 1 ∂ b 1 ∂µ ⎤ = (θ k )i −1/ 2 b − ⎢ µ ∂ Pi 2 µ ∂ P ⎥⎦ i i ⎣b ∂ P ⎡ 1 db 1 dφ ⎤ d db dφ + (φ b ) = ⎡⎢φ + b ⎤⎥ = (φ b )i ⎢ dP dP dP b dP φ dP ⎥⎦ i ⎣ ⎦ ⎣ i i ⎛ ⎞ ∂ Fi ∂γ ∂T = Ti +1/ 2 ⎜ 1 − ∆Di +1/ 2 i +1/ 2 ⎟ + ⎡⎣ Pi +1 − Pi − ( γ∆D )i +1/ 2 ⎤⎦ i +1/ 2 ∂ Pi +1 ∂ Pi +1 ⎠ ∂ Pi +1 ⎝

∂γ i +1/ 2 1 ∂γ 1 g ∂ρ = = ∂ Pi +1 2 ∂ P i +1/ 2 2 g c ∂ P 1+1/ 2

( )

∂ Ti +1/ 2 1 ∂ b = (θ k )i +1/ 2 ∂ Pi +1 2 ∂P µ

= i +1

( )

1 (θ k )i +1/ 2 b µ 2

⎡ 1 ∂ b 1 ∂µ ⎤ − ⎢ µ ∂ P ⎥⎦ i +1 i +1 ⎣ b ∂ P

Si:


(14.38)


229


⎡ (φ b ) − (φ b ) n ⎤ = 0 ⎦i ∆t ⎣

Las no lineales son de los siguientes tipos: {T [∆P - (γ∆D)], φb} Por lo tanto, la matriz Jacobiana se puede descomponer en la suma de matrices formadas como sigue: [J ] = [T ] + [G’] + [T’] + [(φ b)’] donde: [J ]: Matriz Jacobiana [T ]: Matriz de transmisibilidades [G’]: Matriz de derivadas de términos gravitacionales. [T’]: Matriz de derivadas de transmisibilidades. [(φ b)’]: Matriz de derivadas de acumulación. ⎡ ∂ F1 ⎢∂ P 1 ⎢ ⎢ ∂ F2 ⎢∂ P 1 ⎢ ⎢ [ J ] = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

∂ F2 ∂ P3

.

.

.

.

. .

. . ci

. .

∂ FI −1 ∂ PI − 2

a=

donde: ⎡. ⎢. ⎢ [T ] = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

∂ F1 ∂ P2 ∂ F2 ∂ P2

. ai .

∂ Fi , ∂ Pi

bi . .

.

∂ FI −1 ∂ PI −1 ∂ FI ∂ PI −1

b=

∂ Fi , ∂ Pi +1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⇒ [J ] = ⎥ ⎥ ∂ F I −1 ⎥ ∂ PI ⎥ ⎥ ∂ FI ⎥ ∂ PI ⎥⎦

c=

⎡. ⎢. ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

. . c

. a .

∂ Fi ∂ Pi −1

⎤ ⎥ c =T i −1/ 2 ⎥ i ⎥ ai = −Ti +1/ 2 − Ti −1/ 2 ⎥ . ⎥ bi = Ti +1/ 2 . ⎥⎦


b . .

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ .⎥ . ⎥⎦


⎡. ⎢. ⎢ [T '] = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

. . ci

⎡. ⎢. ⎢ [G '] = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

. .

.

ci

ai

bi

.

. .

. ai .

bi . .

∂T ⎤ ci = − ⎡⎣ Pi − Pi −1 − ( γ∆D )1−1/ 2 ⎤⎦ i −1/ 2 ∂ Pi −1 ⎥ ⎥ ∂T ∂T ⎥ ai = [ ∆P − γ∆D ]1+1/ 2 i +1/ 2 − [ ∆P − γ∆D ]1−1/ 2 i −1/ 2 ∂ Pi ∂ Pi ⎥ .⎥ ∂T . ⎥⎦ bi = ⎡⎣ Pi +1 − Pi − ( γ∆D )1+1/ 2 ⎤⎦ i +1/ 2 ∂P i +1

∂γ

⎤ ci = (T ∆D )1−1/ 2 i −1/ 2 ∂ Pi −1 ⎥ ⎥ ∂γ ∂γ ⎥ ai = − (T ∆D )1+1/ 2 i +1/ 2 + (T ∆D )1−1/ 2 i −1/ 2 ∂ Pi ∂ Pi ⎥ .⎥ ∂γ . ⎥⎦ bi = − (T ∆D )1+1/ 2 i +1/ 2 ∂P i

⎡. ⎢ ⎢ ⎡⎣(φ b ) '⎤⎦ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

. ai .

⎤ ⎥ ⎥ Vr d (φ b )i ⎥ ai = − i ∆t dPi ⎥ ⎥ . ⎥⎦

Cuando la permeabilidad, k, varía en cada celda: 1 ⎪⎧⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ ⎪⎫ Ti +1/ 2 = θi +1/ 2 ( ki + ki +1 ) ⎨⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎬ 4 ⎩⎪⎝ µ ⎠i ⎝ µ ⎠i +1 ⎭⎪ ⎧⎪⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ ⎫⎪ 1 Ti −1/ 2 = θi −1/ 2 ( ki + ki −1 ) ⎨⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎬ 4 ⎪⎩⎝ µ ⎠i ⎝ µ ⎠i −1 ⎪⎭ Ahora, el término acumulativo se trata de la siguiente manera:

{(φb ) ∆t

Vri

n +1

− (φ b )

n

}

i

Puesto que:

{

}

φ n +1 = φ n 1 + cr ( P n +1 − P n ) entonces, se tiene:


230


{φ {1 + c ( P ∆t

Vri

n

r

n +1

}

− P n ) − (φ b )

n

} = ∆t {{1 + c ( P VPi

n +1

r

i

}

− P n ) b − bn

231

}

i

14.6.3.2 Métodos de Linealización a. Linealización Directa

Esta es una particularidad del método de Newton – Raphson y también se le llama método de extrapolación. Extrapolaciones de alto orden son posibles pero requieren mayor capacidad de memoria. Las aproximaciones a los métodos de segundo orden preserva su orden cuando las matrices son evaluadas a niveles de tiempo extrapolados. Esta aproximación trabaja bien siempre y cuando las linealidades no sean muy fuertes y pueden usarse satisfactoriamente en problemas monofásicos y flujo miscible. En flujo multifásico la naturaleza explícita de la extrapolación causa limitaciones de estabilidad similar a las del método simple o explítico. n +1

∆ ⎡⎣T ( ∆P − γ∆D ) ⎤⎦ i + qin +1 =

Vri ∆t

∆ t ( φ b )i

Linealizando parcialmente la anterior ecuación, es decir, Tn+1 ≅ Tn, y además γn+1 ≅ γn, lo cual es muy similar al método IMPES, se tiene: ∆ ⎡⎣T n ( ∆P n +1 − γ n ∆D ) ⎤⎦ + qin +1 = i

Vri ∆t

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

(φ b )n + 1 − (φ b )n ⎥⎥ ⎤

⎦i

Sigue siendo no lineal, ya que aparece (φ b)n+1. La linealización por el método de Newton Raphson: Fi ( Pi −1 , Pi , Pi +1 , ) = Ti +n1/ 2 ⎡ Pi +n1+1 − Pi n +1 − ( γ n ∆D ) ⎤ − Ti −n1/ 2 ⎡ Pi n +1 − Pi −n1+1 − ( γ n ∆D ) ⎤ + i +1/ 2 ⎦ i −1/ 2 ⎦ ⎣ ⎣ Vr n +1 n qin +1 − i ⎡(φ b ) − (φ b ) ⎤ = 0 ⎣ ⎦i ∆t

∂ Fi (u ) (u +1) ∂ Fi (u ) (u +1) ∂ Fi ( u ) (u +1) δ Pi −1 + δ Pi δ Pi +1 = − Fi (u ) + ∂ Pi −1 ∂P ∂ Pi +1 ∂ Fi =Tn ∂ Pi −1 i −1/ 2



232

Vr d ∂ Fi = −Ti +n1/ 2 − Ti −n1/ 2 − (φ b ) ∂ Pi ∆t dP i i

∂ Fi =Tn ∂ Pi +1 i +1/ 2 [J ] = [T ]n + [(φ b)’] Si no se tiene en cuenta la suposición γn+1 ~ γn:

∂ Fi ∂γ i −1/ 2 = Ti −n1/ 2 + (T n ∆D ) i −1/ 2 ∂ P ∂ Pi −1 i −1 Vr d ∂ Fi ∂γ ∂γ = −Ti +n1/ 2 − Ti −n1/ 2 − (φ b ) − (T n ∆D )i +1/ 2 i +1/ 2 + (T n ∆D )i −1/ 2 i −1/ 2 ∂ Pi ∂ Pi ∂ Pi ∆t dP i i

∂ Fi ∂γ i +1/ 2 = Ti +n1/ 2 − (T n ∆D ) i 1/ 2 + ∂ Pi +1 ∂ Pi [J ] = [T ]n + [(φ b)’] + [G’] Hay que tener presente que cuando se escribe un programa de computador (simulador) este debería calcular las matrices por separado. Una mala linealización de los términos de acumulación, tiene un reflejo de error en balance de materia, EBM. Un EBM es una condición necesaria pero no suficiente para que el problema esté bien. La forma general para linealizar es el método de Newton - Raphson, las otras son particularidades. b. Iteración Simple o Explícita

El método de linealización más simple y frecuentemente usado de linealización se obtiene permitiendo que las no linealidades se retracen un nivel de tiempo atrás. Linealizando: Tn+1 ~ Tn,

γn+1 ~ γn,

(φ b)’n+1 ~ (φ b)’n

[J ] = [T ]n + [(φ b)’]n Es importante tener en conocimiento que esta linealización decrece el orden de la aproximación a 0(∆t) para métodos de mayor orden y por lo tanto no se justificará su uso. c. Semi - implícito (linealizado)

El método semi - implícito linealizado fue originalmente desarrollado para preservar la



233

estabilidad del flujo multifásico. Se ajusta bien para cualquier problema no lineal. Este se obtiene iterando solo una vez el método de Newton-Raphson, o sea, en la primera iteración. γ=0 →

n = γc

[J ]n = [T ]n + [T’]n + [(φ b)’]n + [G’]n Para el método Semi-implícito linealizado, la primera iteración del método de NewtonRaphson es dada si γn+1 ~ γn: [J ]n = [T ]n + [T’]n + [(φ b)’]n El método semi - implícito puede verse como aquella solución que se obtendría en la primera iteración del método de Newton - Raphson, esto es: → (γ +1)

[J ]( ) δ P γ

→ (γ )

= −F

Si γ = 0 y Pi(0) = Pi(n); i = 1, 2, 3,..., I., y solo se itera una vez:

[J ]

(n)

→

δP

( n +1)

→ (n)

= −F

donde, [J ]n = [T ]n + [T’]n + [(φ b)’]n 14.7. ALGORITMO DE THOMAS

Todos los sistemas de flujo unidimensionales discutidos anteriormente (excepto para el caso de condiciones de fronteras periódicas) resultará en un sistema de N ecuaciones simultáneas algebraicas con tres diagonales. Si [A] = [W] [Q] donde, [W] = Matriz triangular inferior [Q] = Matriz triangular superior



⎡a1 b1 ⎤ ⎡w1 ⎤ ⎡1 q1 ⎤ ⎢c a b ⎥ ⎢c w ⎥ ⎢ 1 q ⎥ 2 ⎢2 2 2 ⎥ ⎢2 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ c3 a3 b3 ⎥ ⎢ c3 w3 ⎥ ⎢ ⎥ 1 q3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . . . . . . . . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥∗⎢ ⎥ . . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ci ai bi ci wi 1 qi ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . . . . . . . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . . .⎥ ⎢ . . 1 qI−1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ CI aI ⎥⎦ ⎢⎣ cI wI ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎣

[A]

[W]

w1q1 ⎡ w1 ⎢c c q + w 2 1 2 ⎢ 2 ⎢ c3 [W ][Q ] = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

w2 q2 c3 q2 + w3 c4

w3 q3 c4 q3 + w4 .

[Q]

w4 q4 . .

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ .⎥ ⎥ .⎦

Se encuentra que: a1 = w1 a2 = c2q2+w1 : ai = ciqi-1+wi

b1 = w1q1 b2 = w2q2 : bi-1 = wi-1qi-1

c2 = c2 c3 = c3 : ci = ci

i = 2, 3, 4, ......., I qi −1 =

bi −1 wi −1

wi = ai - ciqi-1

i = 2, 3, 4,......, I i = 2, 3, 4,...., I

Ahora: → → [W ][Q]δ P = d Definiendo:


234


235

→ [Q]δ P = g y; [W ]g = d Puesto que [W] es una matriz ∆ inferior implica que g puede resolverse en un barrido hacia adelante. ⎡ w1 ⎢c ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

w2 c3

w3

.

.

. ci

wi .

. .

. cI

g1 =

d1 w1

gi =

di − ci gi −1 , w1

⎤ ⎡ g1 ⎤ ⎡ d1 ⎤ ⎥ ⎢ g ⎥ ⎢d ⎥ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎥ ⎢ g3 ⎥ ⎢ d3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢: ⎥ ⎢:⎥ ⎥∗⎢ : ⎥ = ⎢ : ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ gi ⎥ ⎢ di ⎥ ⎥ ⎢: ⎥ ⎢:⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢: ⎥ ⎢:⎥ wI ⎥⎦ ⎢⎣ g I ⎥⎦ ⎢⎣ d I ⎥⎦

i = 2, 3, 4,...., I

→ → Resuelto g , se puede hallar δ P en un barrido hacia atrás. ⎡1 q1 ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

q2 1

q3

.

. .

. 1 qi .

⎤ ⎡ δ P1 ⎤ ⎡ g1 ⎤ ⎥⎢ δP ⎥ ⎢ g ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ δ P3 ⎥ ⎢ g 3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ : ⎥ ⎢ : ⎥ ⎥⎢ : ⎥ = ⎢ : ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ δ Pi ⎥ ⎢ g i ⎥ ⎥⎢ : ⎥ ⎢ : ⎥ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ 1 qI −1 ⎥ ⎢δ PI −1 ⎥ ⎢ g I −1 ⎥ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ δ PI ⎥⎦ ⎢⎣ g I ⎥⎦



236

δ PI = g I δ Pi = gi − qiδ Pi +1 ,

i = I-1, I-2, ......., 1

Para fines computacionales no se requiere almacenar wi. Se procede como sigue: 1. q1 =

b1 , a1

g1 =

d1 a1

2. Para i = 2, 3, 4, ....., I αi = ai - ciqi qi =

gi =

b1

α1 di − ci gi −1

α1

3. δPI = gI Para i = I-1, I-2, I-3,......, 1

δPi = gi - qiδPi+1 Hay situaciones especiales que presentan estructuras diferentes. Si hay flujo en la dirección tangencial, coordenadas cilíndricas, existe continuidad entre las celdas I y 1. Esta resulta de problemas cíclicos periódicos conocidos como condiciones de frontera del cuarto tipo, ver Fig. 14.18. El sistema de ecuaciones tendrá una forma ligeramente diferente de modo que: ciδPi-1 + aiδPi + biδPi+1 = di ⎡ a1 ⎢c ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣bI

b1 a2

b2

.

.

.

.

. cI

c1 ⎤ ⎡ δ P1 ⎤ ⎡ d1 ⎤ ⎥ ⎢δ P ⎥ ⎢ d ⎥ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎥∗⎢ : ⎥ = ⎢ : ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ .⎥ ⎢ : ⎥ ⎢:⎥ aI ⎥⎦ ⎢⎣δ PI ⎥⎦ ⎢⎣ d I ⎥⎦



.

237

3

. I

2

14.18. Influencia del término del último bloque sobre el primero en la aplicación del algoritmo de Thomas

14.8. ECUACION DE BALANCE DE MATERIA: EBM

Una de las propiedades de la mayoría de las ecuaciones expresadas en diferencias finitas es que son conservativas, es decir, que cumplen con la ley de conservación de la masa y por ende de la energía. Esta condición es una expresión de ingeniería para la indicar la conservación de la masa en todo el sistema. Para el problema que se presenta en la figura 14.19, se puede plantear el siguiente sistema de ecuaciones: Fi = qi +1/ 2 − qi −1/ 2 ± q fi −

Vri ∆t

∆ t (φ b ) i = 0

qI

qo i=

1

2

3

4 ........ I - 2

I-1

Fig. 14.19. Balance de material a lo largo de un sistema lineal

F1 = q1.5 − q0 ± q f 1 −

Vr1 ∆t

F2 = q2.5 − q1.5 ± q f 2 −

∆ t (φ b )1 = 0

Vr2 ∆t

∆ t (φ b ) 2 = 0


N


F3 = q3.5 − q2.5 ± q f 3 −

Vr3 ∆t

238

∆ t (φ b )3 = 0

: = : - :

±: -

:

=0

: = : - :

±: -

:

=0

3

3

i =1

i =1

Entonces, F1 + F2 + F3 = − qo + q3.5 + ∑ q fi − ∑

Vri ∆t

∆ t (φ b )i = 0

. . I I V ri = − + + − ∆ t (φ b )i = 0 F q q q ∑ i o I ∑ ∑ fi ∆ t i i = 1 = 1 i =1 I

I

I

i =1

i =1

− qo + qI + ∑ q fi = ∑ I

∆t

∆ t ( φ b )i

Vri

∑ ∆t ∆ (φb ) i =1

Vri

t

I

i

−qo + qI + ∑ q fi

=1

i =1

Si la anterior condición se cumple, es una indicación que la formulación en diferencias finitas cumple con la condición de conservación de la masa o balance de materia.



239

UNIDAD 15 CAUDALES Y PRESIONES DE POZOS 15.1. ECUACIONES PARA POZO

En simulación de yacimientos, las ecuaciones usan presiones en el centro de los nodos o bloques. Estas presiones representan presiones promedias de balance de material en cada bloque. Sin embargo, si un pozo está localizado en el centro del bloque, la presión del bloque, Pi,j, no es la presión de fondo fluyente del pozo, Pwf. Estas ecuaciones calculan el flujo de bloque a bloque pero no modelan los altos gradientes de presión en las cercanías al pozo. De modo que si un pozo está localizado en una celda, se necesitan ecuaciones adicionales para relacionar el comportamiento del pozo con las variables de la celda. Se puede asumir que existe estado estable dentro de la celda de modo que las siguientes expresiones se pueden usar: n

⎛ kr ⎞ qo = J model ⎜ ⎟ pi,n j+ 1 - pwf ⎝ B µ⎠ o

(

n

q w = J model

(15.1)

⎛ kr ⎞ n+ 1 - p wf ⎜ ⎟ p ⎝ B µ ⎠ w i, j n

q g = J mod el

)

⎛ kr ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ Bµ ⎠ g

(

(p

n +1 i, j

- p wf

)

)

(15.2) + R ns +1 q o

(15.3)

Las propiedades de las rocas y los fluidos son las mismas de la celda. Ahora se tienen tres ecuaciones con cuatro incógnitas: qo, qw, qg y Pwf. Esto significa que el usuario debe especificar una de estas incógnitas. Esta es la condición bajo la cual producirá el pozo. Por ejemplo, si el usuario especifica qo, entonces qw, qg y Pwf se calculan de las Ecs. 15.1 a 15.3. Similarmente, si se especifica Pwf, se puede calcular qo, qw y qg de las ecuaciones arriba presentadas. 15.2. ECUACIONES DE PEACEMAN

La variable Jmodel es el “índice de productividad” o el “índice del pozo” el cual tiene una connotación especial discutida más adelante. Esto no es lo mismo que el índice de productividad real del pozo, J. Jmodel se calcula así:



J mod el =

2π (0.00633) kh ln ( r o / r w ) + s

240

(15.4)

donde “ro” se calcula por medio de las siguientes expresiones: 1) Cuando ∆x = ∆y, kx = ky ro = 0.2∆x

(15.5)

(2) De lo contrario: 2 2 0.28 ⎡ k y / k x ( ∆x ) + k x / k y ( ∆y ) ⎤ ⎣ ⎦ ro = 1/ 4 1/ 4 (k y / k x) + (k x / k y )

1/ 2

(15.6)

(3) Para sistemas radiales ro =

r w r r1

(15.7)

Algunas veces, el usuario desea especificar la rata total del yacimiento, qt. Las ecs. 15.1-15.3 pueden sustituirse en la ecuación de qt:

(

)

qt = qo Bon+1 + q w Bwn+1 + q g - Rs n+1 qo B g

n+1

(15.8)

para dar: ⎡⎛ k ⎞ ⎛k ⎞ ⎛k ⎞ ⎤ qt = J mod el ⎢⎜ r ⎟ + ⎜ r ⎟ + ⎜ r ⎟ ⎥ ( Pin, j+ 1 - Pwf ) ⎝ µ ⎠w ⎝ µ ⎠g ⎥⎦ ⎢⎣⎝ µ ⎠o

(15.9)

Es posible establecer un número de otras variaciones para simular las condiciones reales de un campo. Note que un factor Bn+1/Bn se omitió de cada término en la Ec. 15.9. Estas pueden adicionarse, cuando el estimativo del valor nuevo de Bn+1 está disponible. 15.2.1. Caída de Presión (Drawdown) Implícito

Note que la caída de presión en las Ecs. 15.1-15.3, (Pi,jn+1 - Pwf), usa el valor n+1 de la presión en la celda. Esto es importante cuando se especifica Pwf como una condición de producción. De lo contrario, los caudales oscilarán y podrían dispararse para intervalos de



241

tiempo subsecuentes. 15.2.2. Caudal Especificado

Si se especifican qo, qw, qg, o qt, entonces qo, qw, y qg se calculan antes del intervalo de tiempo y se colocan en la parte derecha de ecuación de presión para el método IMPES. Al final del intervalo de tiempo se puede calcular Pwf. Esto es sencillo y estable a menos que krn no cause problemas de estabilidad. 15.2.3. Pwf Especificada

Si el ingeniero especifica Pwf, entonces ningún caudal se conoce y se estimarán después del intervalo de tiempo. Luego, es necesario solucionar el caudal trifásico en la ecuación de presión IMPES. La ecuación de presión IMPES está en unidades de rata de flujo de yacimiento. El término del caudal es qt. Luego, la relación en la Ec. 15.9 puede usarse y rescribirse como:

(

qt = J model λ r t pi,n j+ 1 - p wf

)

(15.10)

Donde λrt es la movilidad relativa total. ⎛ kr ⎞ ⎛ kr ⎞ ⎛k ⎞ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ r⎟ ⎝ µ ⎠o ⎝ µ ⎠w ⎝ µ ⎠g

λ rt = ⎜

(15.11)

El término Jmodel λrt se adiciona al término de la diagonal principal. El otro término Jmodel λrt pwf permanence al lado derecho de la ecuación. Al final del intervalo de tiempo, se calculan qo, qw y qg. 15.3. COMPARACIÓN DE PRESIONES RESTAURACION DE PRESION

SIMULADAS

CON

DATOS

DE

Es posible ajustar presiones de fondo fluyente, Pwf. Sin embargo, usualmente los datos no son disponibles, además, no son muy confiables debido a inexactitudes en el caudal. Es más común y más confiable ajustar datos de restauración de presión cuando se dispone de ellos. El problema es como ajustar los datos de la prueba de presión. La escala de tiempo de la prueba de restauración de presión usualmente es muy corta para modelarse exactamente con la escala de campo de la malla porque el tamaño de los bloques es muy grande. Peaceman presentó un método para comparar presiones de bloque procedente de simulación con presiones procedente de una prueba de restauración de presión. La Fig. 15.1 muestra un perfil de presión en la celda que contiene el pozo. Se asume que este perfil de presiones está dado bajo condiciones de estado estable. Se observa que la presión del bloque (la presión promedio de balance de materia dentro del bloque) tiene cierto valor comprendido entre Pwf y la presión promedia del yacimiento. La Fig. 15.2 muestra el la curva de restauración de presión de datos de campo. La presión de bloque correspondiente a la restauración de presión adecuada para el



242

campo yace sobre la recta semilogarítmica a un tiempo ∆to el cual se calcula mediante la siguiente expresión: ∆t o (hrs) =

67.5φµ c t∆ x 2 k

(15.12)

La presión de ajuste, Po, corresponde a la presión de estado estable en 0.2∆x. Si Po es la misma presión de bloque, Pi,j, entonces el simulador está ajustando adecuadamente el comportamiento del campo. Ejemplo. Halle el ajuste histórico para los siguientes datos obtenidos de una prueba de restauración de presión.

q = 23,000 scf/D k = 0.15 md φ = 0.18 ct = 5 x 10-6 psi-1 µ = 0.216 cp Tabla 15.1. Datos de presión para ejemplo ∆t, hrs 0.10 0.23 0.39 0.84 1.56 3.50 7.38 15.11 30.53 61.31 122.72 245.24 489.71 840.00

Pws, psia 2854.5 2861.5 2865.5 2871.5 2875.6 2881.0 2886.2 2891.0 2895.5 2900.0 2904.1 2907.1 2909.3 2910.4

Datos del modelo: ∆x= 100 ft Solución. La solución sigue los siguientes pasos simples: (1) Grafique los datos de la prueba en gráfico semilog. (2) Trace la recta semilog



243

(3) Calcule ∆to, (4) Halle Po a ∆to sobre la recta semilog, extrapole si es necesario.

Wellbore P

Wellbore gridblock Po

p

P-Pwf

Po -Pwf Pwf

∆x Fig. 15.1. Perfil de presión en el bloque que contiene el bloque El valor de Po “presión de ajuste” que será comparada con la presión del simulador en el bloque donde está el pozo al mismo tiempo de la prueba de presión. La Fig. 15.2 muestra los datos de campo de la prueba de presión graficados en papel semilogarítmico. La presión de ajuste se halla estimando ∆to como sigue: ∆t o =

(67.5)(0.18)(0.216)(5x10-6)(100 2) = 0.8746 hrs (0.15)

Luego, se halla la presión correspondiente sobre la línea recta semilogarítmica: Po = 2872 psig. Luego, esta presión, se compara con la dato de la presión del bloque obtenido mediante el simulador.



244

Ps (psi) 2940

2900 p= 2782 psi

2860

∆to = 0.8746 hr

0.1

1

10

100

1000

∆t, hr Fig. 15.2. Curva semilogarítmica de los datos de restauración de presión para el ejemplo dado



NOMENCLATURA A B Bg C D cf cg cw cr d E Eg Ep F Fg g h i j JMAX z IMAX k k kg ko kr krg kro krw kw L n m m(P) P Pc Pcog

= área del yacimiento o área de un bloque = factor volumétrico, bbl/STB = factor volumétrico formación del gas, ft3/scf = concentración = altura = compresibilidad de la formación, psi-1 = compresibilidad del gas, psi-1 = compresibilidad del agua, psi-1 = compresibilidad de los granos, psi-1 = diferencial, derivada = energía = energía atribuida a la gravedad = energía potencial = fuerza = fuerza atribuida a la gravedad = aceleración de la gravedad = espesor de la formación, ft = subíndice indicando la dirección x = subíndice indicando la dirección y = numero de celdas en la dirección y = subíndice indicando la dirección z = numero de celdas en la dirección x = permeabilidad, md = tensor de permeabilidad, md = permeabilidad efectiva al gas, md = permeabilidad efectiva al petróleo, md = permeabilidad relativa = permeabilidad relativa al gas = permeabilidad relativa al petróleo = permeabilidad relativa al agua = permeabilidad efectiva al agua, md = longitud = nivel de tiempo = masa = pseudopresión = presión promedia = presión capilar = presión capilar en sistemas gas-petróleo


245


Pcow Ps P Pinitial Pwf q q** r S t T u Vp V V W Z α ∆x ∆y ∆t ∆to ∆z ∈ λ η ρ γ

φ

µ θ Φ

= presión capilar en sistemas petróleo-agua = presión de restauración, psia = presión, psia = presión inicial, psia = presión de fondo fluyendo, psia = caudal de producción = ritmo de salida/entrada de masa de un elemento por unidad de volumen de roca = radio = saturación de gas, fracción = tiempo, Días = temperatura, °R =velocidad = volumen poroso de la celda, ft3 = volumen = vector velocidad = trabajo = altura = constante de difusividad = espaciamiento de la celda en la dirección x, ft = espaciamiento de la celda en la dirección y, ft = tiempo de cierre, horas = tiempo de cierre correspondiente a la presión de celda, horas = espaciamiento de la celda en la dirección z, ft = error = mobilidad, md/cp = dirección perpendicular = densidad = gravedad específica = porosidad, fracción = viscosidad, cp = factor de forma = potencial

SUBÍNDICES Y SUPERÍNDICES

c D e front g i j

246

= capilar = adimensional = externo = frente = gas, gravedad = índice de la celda en la dirección x, inicial = índice de la celda en la dirección y



n o r s t w wf

= nivel de tiempo = petróleo = relativa = estática = total = pozo = fondo fluyente


247


248

BIBLIOGRAFIA 1. Aziz, K. and Settari, A.: “Petroleum Reservoir Simulation”, Applied Science Publishers Ltda, London, 1979. 2. Craft, B. G. and Hawkins, M.F., Jr.,: “Applied Petroleum Reservoir Engineering”, Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1959. 3. Crichlow, H.: “Modern Reservoir Engineering: A Simulation Approach”, Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1977. 4. Peaceman, D. W.: “Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation”, Elsevier Scientific Publishing Company, New York, 1977. 5. Rivera, V. G.: “Simulación de Yacimientos”, Seminario de Ingeniería de Petróleos, Universidad de América, Santafé de Bogotá, 1981. 6. SPE Reprint Series # 11: “Numerical Simulation”, SPE of AIME, Dallas, Texas, 1973. 7. SPE Reprint Series # 20: “Numerical Simulation II”, SPE of AIME, Richardson, Texas, 1986. 8. Van Poollen, H. K., Bixel, M. C. and JARGON, J.R.: “Reservoir Modeling”, The Petroleum Publishing Co., Oklahoma, 1971. 9. Mattax, C., and Dalton, R. L.: “Reservoir Simulation”, SPE of AIME, Richardson, Texas, 1990. 10. Thomas, G.W.: “Principles of Hydrocarbon Reservoir Simulation”, International Human Resources Development Corporation, Boston, 1982. 11. Ertekin, T., Abou-Kasem, J. H., and King, G. R. “Basic Applied Reservoir Simulation” SPE Textbook Series Vol. 7. Richardson, TX., 2001. 12. Aziz, K. “Fourth International Forum on Reservoir Simulation” Salzburg, Austria, Aug. 31-Sept. 4, 1992. 13. Fanchi, J.R. “Principles of Applied Reservoir Simulation” Gulf Publishing Company. Houston, Texas, EE.UU., 1997. 14. Escobar, F.H. “Thirteen-Point Finite Difference Solution for Prediction of Waterflood Performance”. MS Thesis. The University of Oklahoma. 1995.



249

15. Press, W.H., Teukolosky, S.A., Vetterling, W.T., and Flannery, B.P. “Numerical Recipes in C” Second edition. Cambridge University Press. 1992. 16. Darcy, H. “Distrinition D’EAU”, Libraire des Coros Des Fonts et Craussées et Des Mines, Victor Dalmont, Editeur, Paris, France, 1856. 17. Yanosik, J.L. and McCraken, T.A. “A Nine-Point Finite Difference Reservoir Simulator for Realistic Prediction of Adverse Mobility Ratio Displacement”. Paper SPE 5734. p. 253-262. 1979. 18. Ding, Y., and Lemmonier, P. “A Thirteen-Point Finite Difference Operator to Reduce the Effect of Grid Orientation”. 3rd Europen Conference on the Mathematics of Oil Recovery. 17-19. Delft University of Technology, Delft, Netherlands June 1992. p. 85-94. 19. Escobar, F.H. and Civan, F. “Diferencia Finita de Trece Puntos para Predecir el Comportamiento de Inyección de Agua”. Boletín Estadístico Mensual del ACIPET. Vol. 339. No. 7, p. 10-15. ISSN 0122-5758. Agosto de 1998.


Libro de Simulacion de Yacimientos

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