Libro mates 2º ESO Avanza

Matemáticas 2 ESO AVANZA

El libro Matemáticas para 2.º de ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Enrique Juan Redal. En su realización ha participado el siguiente equipo: M.ª Dolores Álvarez Joaquín Hernández Pedro Machín Ana Yolanda Miranda M.ª Rosario Moreno Susana Parra Manuela Redondo Raquel Redondo M.ª Teresa Sánchez Teresa Santos Esteban Serrano EDICIÓN

Angélica Escoredo Carlos Pérez DIRECCIÓN DEL PROYECTO

Domingo Sánchez Figueroa

Las actividades de este libro deben ser realizadas por el alumno en un cuaderno. En ningún caso deben realizarse en el mismo libro.

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Índice

1. Números enteros......................................................

6

Antes de empezar la unidad ....................................................... Números enteros .................................................................... Suma y resta de números enteros ............................................ Multiplicación y división de números enteros ......................... Potencias de números enteros ................................................. Operaciones con potencias ..................................................... Jerarquía de las operaciones .................................................... Divisibilidad entre números enteros ........................................ Lo esencial ............................................................................... Actividades ...............................................................................

7 8 10 12 13 14 16 17 20 22

2. Fracciones...................................................................

26

Antes de empezar la unidad ....................................................... Fracciones ............................................................................... Fracciones equivalentes .......................................................... Comparación de fracciones ..................................................... Operaciones con fracciones ..................................................... Potencia de una fracción ......................................................... Jerarquía de las operaciones .................................................... Lo esencial ............................................................................... Actividades ...............................................................................

27 28 29 32 33 34 35 36 38

3. Números decimales................................................

42

Antes de empezar la unidad ....................................................... Números decimales ................................................................. Fracciones y números decimales ............................................. Operaciones con números decimales ...................................... Aproximación ......................................................................... Lo esencial ............................................................................... Actividades ...............................................................................

43 44 45 46 49 50 52

4. Sistema sexagesimal. ...........................................

56

Antes de empezar la unidad ....................................................... Sistema sexagesimal ................................................................ Forma compleja e incompleja ................................................. Operaciones en el sistema sexagesimal .................................... Lo esencial ............................................................................... Actividades ...............................................................................

57 58 60 62 64 66

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5. Expresiones algebraicas......................................

70

Antes de empezar la unidad ....................................................... Lenguaje algebraico ................................................................ Expresiones algebraicas ........................................................... Monomios ............................................................................... Operaciones con monomios .................................................... Polinomios .............................................................................. Operaciones con polinomios ................................................... Factor común ......................................................................... Igualdades notables ................................................................. Lo esencial ............................................................................... Actividades ...............................................................................

71 72 73 74 75 76 78 80 81 82 84

6. Ecuaciones de primer y segundo grado.......

88

Antes de empezar la unidad ....................................................... 89 Elementos de una ecuación ..................................................... 90 Transposición de términos ...................................................... 92 Resolución de ecuaciones de primer grado .............................. 93 Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado ...... 95 Ecuaciones de segundo grado ................................................. 96 Resolución de ecuaciones de segundo grado ........................... 97 Lo esencial ............................................................................... 98 Actividades ............................................................................... 100

7. Sistemas de ecuaciones. ..................................... 104 Antes de empezar la unidad ....................................................... Ecuaciones lineales ................................................................. Sistemas de ecuaciones lineales ............................................... Métodos de resolución de sistemas ......................................... Lo esencial ............................................................................... Actividades ...............................................................................

105 106 108 109 112 114

8. Proporcionalidad numérica. .............................. 118 Antes de empezar la unidad ....................................................... Magnitudes directamente proporcionales ................................ Problemas de proporcionalidad directa ................................... Magnitudes inversamente proporcionales ............................... Problemas de proporcionalidad inversa .................................. Porcentajes ............................................................................. Problemas con porcentajes ...................................................... Lo esencial ............................................................................... Actividades ...............................................................................

119 120 121 122 123 124 125 128 130

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9. Proporcionalidad geométrica. .......................... 134

12. Volumen de cuerpos geométricos................ 184

Antes de empezar la unidad ....................................................... Teorema de Tales .................................................................... Semejanza de triángulos .......................................................... Criterios de semejanza de triángulos ....................................... Polígonos semejantes .............................................................. Figuras semejantes .................................................................. Escalas .................................................................................... Lo esencial ............................................................................... Actividades ...............................................................................

Antes de empezar la unidad ....................................................... Volumen de un cuerpo ........................................................... Relaciones entre las unidades de volumen, capacidad y masa .... Volumen de un ortoedro ......................................................... Volumen de prismas y cilindros .............................................. Volumen de pirámides y conos ............................................... Volumen de la esfera ............................................................... Lo esencial ............................................................................... Actividades ...............................................................................

135 136 137 138 139 140 141 142 144

185 186 188 189 190 191 191 192 194

13. Funciones.................................................................. 198 Antes de empezar la unidad ....................................................... Coordenadas cartesianas ......................................................... Concepto de función .............................................................. Representación gráfica de una función .................................... Estudio de una función ........................................................... Lo esencial ............................................................................... Actividades ...............................................................................

199 200 201 202 204 208 210

14. Estadística ................................................................ 214 Antes de empezar la unidad ....................................................... Estadística ............................................................................... Recuento de datos ................................................................... Tablas de frecuencias .............................................................. Gráficos estadísticos ................................................................ Medidas de centralización ....................................................... Lo esencial ............................................................................... Actividades ...............................................................................

215 216 216 217 218 221 224 226

10. Figuras planas. Áreas.......................................... 148 Antes de empezar la unidad ....................................................... Teorema de Pitágoras .............................................................. Aplicaciones del teorema de Pitágoras ..................................... Área de polígonos ................................................................... Longitud de una circunferencia ............................................... Área de figuras circulares ........................................................ Lo esencial ............................................................................... Actividades ...............................................................................

149 150 151 152 157 157 158 160

11. Cuerpos geométricos. ......................................... 164 Antes de empezar la unidad ....................................................... Rectas y planos en el espacio ................................................... Poliedros ................................................................................. Prismas ................................................................................... Pirámides ................................................................................ Poliedros regulares .................................................................. Cuerpos de revolución ............................................................ Lo esencial ............................................................................... Actividades ...............................................................................

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165 166 167 168 170 172 173 178 180

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Esquema de unidad La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos.

Antes de empezar la unidad...

Aparece el bloque de contenidos previos necesarios para comprender lo que vas a estudiar. Además, mediante la evaluación inicial, podrás afianzar los contenidos repasados.

NÚMEROS NATURALES Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el ser humano de contar lo que le rodea.

Números enteros

El conjunto de números naturales es ilimitado, es decir, no tiene fin, porque dado un número cualquiera, siempre es posible obtener el siguiente sumándole una unidad a ese número. Representación de números naturales

• Fijamos el 1, y a su derecha, el 2. Tomamos la distancia entre estos dos puntos como unidad.

El pequeño monje corría por los pasillos del palacio papal, y su cara denotaba una satisfacción que difícilmente lograba reprimir.

1

4

5

F

F

7 + 5 - 4 - 6 + 2 = 12 - 4 - 6 + 2 = 8 - 6 + 2 = 2 + 2 = 4

El Papa leyó con avidez el documento que Dionisio el Exiguo le había entregado, en el que databa el nacimiento de Cristo en el año 753 de la fundación de Roma. Al mismo tiempo, el monje repetía:

• Suma, resta, multiplicación y división Se calculan primero las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha. F

6 + 5 ? 4 - 6 : 2 = 6 + 20 - 6 : 2 = 6 + 20 - 3 = 26 - 3 = 23

–El año 754 de la fundación de Roma es nuestro primer año: primus anno Domini, el año primero de la Era del Señor.

PLAN DE TRABAJO

EVALUACIÓN INICIAL

Pero lo que estos dos personajes no podían imaginar era que, al contar los años de forma ordinal: año primero, año segundo, año tercero…, eliminaban el año cero. Este hecho provocó una enorme polémica hace algunos años; así, mientras unas personas mantenían que el siglo xxi comenzaba el 1 de enero de 2000, los hechos demostraban que este siglo comenzó el 1 de enero de 2001.

2. Investiga sobre el encargo que el papa Juan I hizo a Dionisio el Exiguo. ¿Fueron correctos los cálculos del monje?

3

• Suma y resta Se resuelven las operaciones de izquierda a derecha.

–Lo encontré, Su Santidad: el Año de la Salvación, cuando Nuestro Señor vino al mundo.

1. Dionisio el Exiguo fue un monje que nació a finales del siglo v. Busca información sobre su vida y sobre sus aportaciones a la creación del calendario cristiano.

2

Operaciones con números naturales

Cuando por fin llegó a la sala donde se encontraba el Papa, se arrodilló, besó su anillo y, con falsa modestia, dijo:

DESCUBRE LA HISTORIA...

Al resolver operaciones combinadas siempre hay que tener en cuenta la jerarquía de las operaciones.

• Desplazamos dicha unidad hacia la derecha del 2 para representar el resto de números.

El año cero

F

1

Antes de empezar la unidad…

F

Lectura inicial: Muestra la importancia de lo que vas a estudiar a través de episodios relacionados con la historia de las Matemáticas. Se proponen actividades que te invitan a investigar sobre el personaje de la lectura y la importancia de sus aportaciones.

1

Representa estos números naturales en la recta numérica. 5

2

3

1

7

Realiza estas operaciones de suma y resta. a) b) c) d)

3. ¿Cuál fue la polémica que se creó en los últimos años de la década de los noventa sobre el inicio del siglo xxi? ¿A qué se debió esa polémica?

3

8+8-4-3+5 12 - 5 + 7 - 2 + 11 - 3 9+3-5-1+2-7 15 - 4 - 2 + 6 + 12

Calcula el resultado de estas operaciones. a) 16 + 3 - 15 : 3 + 5 b) 12 ? 3 + 7 - 8 : 2 - 1 c) 4 + 9 : 3 - 2 - 1 + 7 d) 11 - 3 ? 2 + 6 ? 4

8

4

En esta unidad aprenderás a… • Sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros. • Operar con potencias de números enteros. • Aplicar las relaciones de divisibilidad entre números enteros. • Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números enteros.

7

Páginas de contenidos: En ellas Números enteros

1 CALCULADORA Para escribir números negativos con la calculadora utilizamos la tecla +/- . – 4 " 4 +/-

El valor absoluto de un número entero se escribe entre barras, ; ;, y es igual al número sin su signo:

ANTES, DEBES SABER… Para qué se utilizan los números enteros

;+a; = a

Hay expresiones cotidianas que no se pueden indicar con números naturales. Necesitamos utilizar los números negativos:

+15 = 15

NO OLVIDES ;0; = 0

2 Calcula el valor absoluto de -4 y +3. Valor absoluto de -4 " ;-4; = 4

• Al referirse a las plantas de un edificio. El garaje está en la planta -2.

+6 = 6

;-a; = a

EJEMPLO

• Cuando hablamos de temperaturas bajo cero. Así, 3 grados bajo cero se expresa como -3 °C. • Al considerar deudas económicas. Si debemos 50 €, decimos que nuestro saldo es de -50 €.

Los números enteros positivos se escriben habitualmente sin el signo + que les precede.

encontrarás los contenidos y procedimientos básicos apoyados en gran cantidad de ejemplos resueltos.

1.2 Valor absoluto de un número entero

Valor absoluto de +3 " ;+3; = 3

;5; = ;+5; = ;-5; = 5

En la mayoría de las páginas se incluye la sección ANTES, DEBES SABER… donde se repasan contenidos o procedimientos que debes conocer al enfrentarte a los nuevos contenidos. Esta sección también se refuerza con ejemplos resueltos.

1.3 Opuesto de un número entero

El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z y está formado por: • Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5, +6, … • El número cero: 0. • Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6, …

El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto pero de signo contrario. Op (+a) = -a

Op (-a) = +a

EJEMPLO 3 Calcula el opuesto de -5 y de +5. Represéntalos en la recta numérica.

1.1 Representación de números enteros

Op (-5) = +5

Los números enteros se representan ordenados en la recta numérica. • El cero, 0, divide a la recta en dos partes iguales. • Los números enteros positivos se sitúan a la derecha del cero. • Los números enteros negativos se sitúan a la izquierda del cero. … -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

…

F

F

Números enteros negativos

Números enteros positivos

EJEMPLO

Op (+5) = -5

1.4 Comparación de números enteros Un número entero es mayor que otro cuando está situado más a la derecha en la recta numérica. • Un número entero positivo es mayor que cualquier número negativo. • El 0 es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquiera positivo.

SE ESCRIBE ASÍ > Mayor que

5>2

< Menor que

2<5

EJEMPLOS 1 Representa en la recta numérica los siguientes números enteros: -3 +6 -1 -4 0 +5

4 Compara estos números enteros. b) -2 y -5 -2 > -5

-5 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-5 -4 -3 -2 -1

1

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Expresa con números enteros.

a) El avión vuela a una altura de tres mil metros. b) El termómetro marca tres grados bajo cero. c) Le debo cinco euros a mi hermano. d) El almacén está en el tercer sótano. e) Hay cinco grados bajo cero en la sierra.

8

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3 Escribe situaciones que correspondan

a estos números. a) +57 € b) -100 m

c) -6 °C

+7

-5

-2

+4 0

0 +1

0 +1

+5

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

d) +2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Halla el valor absoluto y el opuesto de:

-8

-3

Ordena, de menor a mayor, estos números enteros. +4 -3 -5 +6 -5 < -3 < +4 < +6

1 Representa en la recta numérica estos números

enteros.

c) +5 y -3 +5 > -3

7

-4 +5 -13 +27 -1 +18

7 Representa y ordena, de menor a mayor:

+8

-2

+3 +11

0

-7

-9

9

Al final de cada página se proponen ejercicios que debes saber resolver a partir de los contenidos aprendidos.

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Lo esencial: Esta doble página

Lo esencial

es de resumen y autoevaluación.

COMPRENDE ESTAS PALABRAS Números enteros

Divisibilidad 8 : 2 es una división exacta

PRIMERO. Dividimos el valor

8 es divisible por 2 F

an = a ? a ? a ? … ? a

F

F

1442443

absoluto del número entre los sucesivos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… tantas veces como sea necesario hasta obtener la unidad.

F

• Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, … Potencia

Descompón 68 en factores primos.

F

• El número 0.

8 es múltiplo de 2 2 es divisor de 8

n veces

COMPRENDE ESTAS PALABRAS.

4. DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS

F

• Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, …

Es el vocabulario matemático trabajado en esa unidad.

SEGUNDO. Expresamos el número como

FACTORES PRIMOS

el producto de todos los factores primos de la columna de la derecha utilizando potencias, siempre que se pueda. 68 = 2 ? 2 ? 17 = 22 ? 17

68 2 68 : 2 " 34 2 34 : 2 " 17 17 17 : 17 " 1

22

HAZLO DE ESTA MANERA. Son los

5. CALCULAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS

HAZLO DE ESTA MANERA

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 12, 24 y 84.

1. MULTIPLICAR Y DIVIDIR NÚMEROS ENTEROS

Calcula. a) (-4) ? (+3)

b) (-25) : (-5)

PRIMERO. Multiplicamos o dividimos

O DIVISIÓN DE POTENCIAS

absoluto de los números enteros en factores primos.

Expresa, si se puede, con una sola potencia. a) 67 ? 63 e) (-6)5 ? 23

SEGUNDO.

sus valores absolutos. a) ;-4; ? ;+3; = 4 ? 3 = 12 b) ;-25; ? ;-5; = 25 : 5 = 5

b) 67 : 63

SEGUNDO. Al resultado le añadimos

potencias es la misma, 6. e) y f) (-6)5 y 23 " No son iguales las bases.

Mismo signo

F

Distinto signo

F

un signo + si ambos tienen el mismo signo, o el signo - si son de signo distinto. a) (-4) ? (+3) = -12 b) (-25) ? (-5) = +5

1. CALCULAR LA POTENCIA

" La base de las dos

SEGUNDO. Si las bases son iguales, sumamos

o restamos los exponentes. Si no lo son, no podemos operar los exponentes. b) 67 : 63 = 67-3 = 64 a) 67 ? 63 = 67+3 = 610 e) y f) No podemos operar.

DE UN NÚMERO ENTERO

de la base y calculamos su potencia. 65 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 7 776 64 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 1 296 SEGUNDO. Si la base es negativa

y el exponente es un número impar, añadimos el signo - al resultado. c) (-6)4 = 1 296 a) 65 = 7 776 b) (-6)5 = -7 776

COMBINADAS

Resuelve. (-3) ? [6 : (-2)] - (-2) = PRIMERO. Resolvemos los paréntesis. = (-3) ? [-3] - (-2) = SEGUNDO. Resolvemos las multiplicaciones y divisiones. = +9 - (-2) = TERCERO. Resolvemos = +9 + 2 = +11 las sumas y restas. F

PRIMERO. Tomamos el valor absoluto

3. RESOLVER OPERACIONES

F

Calcula el valor de las siguientes potencias. a) 65 b) (-6)5 c) (-6)4

24 2 12 2 6 2 24 = 23 ? 3 3 3 1

procedimientos básicos de la unidad. Cada procedimiento se introduce mediante la resolución de una actividad en la que se muestra, paso a paso, un método general de resolución.

84 2 42 2 21 3 84 = 22 ? 3 ? 7 7 7 1

• P ara calcular el máximo común divisor tomamos los factores comunes elevados al menor de los exponentes. • P ara calcular el mínimo común múltiplo tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor de los exponentes. Comunes con menor exponente " 22 y 3 Factores comunes " 2 y 3 Factores no comunes " 7 Comunes con mayor exponente " 23 y 3 m.c.d. (12, 24, 84) = 22 ? 3 = 12 m.c.m. (12, 24, 84) = 23 ? 3 ? 7 = 168

f) (-6)5 : 23

PRIMERO. Estudiamos si las bases son iguales.

a) y b) 67 y 63

12 2 6 2 3 3 12 = 22 ? 3 1

PRIMERO. Descomponemos el valor

2. CALCULAR UN PRODUCTO

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. Escribe, si se puede, estas expresiones en forma de potencia. a) 7 ? 7 ? 7 ? 7 b) 7 ? 6 ? 5 ? 4 c) 7 ? 7

Resolver operaciones combinadas 5. Calcula:

Y AHORA… PRACTICA. Son actividades

(-3)3 + (-5) ? [(-6) : (-3)] + (-7)2 Descomponer un número en factores primos 6. Descompón en factores primos los números.

Multiplicar y dividir números enteros 1. Calcula. a) (-5) ? (-7) b) (+24) : (-3) Calcular la potencia de un número entero 3. Determina el valor de estas potencias. b) (-5)4 c) 53 d) (-5)3 a) 54 Calcular un producto o división de potencias

a) 88

c) 32

e) 91

b) 84

d) 154

f) 252

que te permitirán comprobar si dominas los contenidos esenciales de esa unidad.

Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números 7. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos números. a) 8, 20 y 42

4. Expresa como una potencia. a) 33 ? 35

b) 18, 45 y 96

20

21

Actividades de la unidad: Ejercicios y problemas organizados por contenidos. Todos los enunciados van precedidos por un icono que indica su grado de dificultad. HAZLO ASÍ. Son ejercicios resueltos

que puedes tomar como modelo para afianzar procedimientos trabajados en la unidad.

Actividades NÚMEROS ENTEROS

67. ● ● Realiza estas operaciones.

62. ● Realiza las siguientes sumas. a) (+10) + b) (-29) + c) (-20) + d) (-23) +

46. ● Expresa con un número entero. a) Luis ganó 6 000 € en la lotería. b) El termómetro marcó 7 °C bajo cero. c) Marta vive en el cuarto piso. d) La tienda está en el segundo sótano.

(-5) + (+7) + (-9) (-12) + (-9) + (+17) (+33) + (+21) + (-23) (-41) + (-16) + (+50)

63. ● Calcula estas restas.

68. ● ● Copia y completa los huecos para que las igualdades sean ciertas. a) (-11) + 4 = +4 b) (+13) + 4 = +12 c) 4 + (-20) = -12 d) (+3) - 4 = -7 e) (-15) - 4 = +9 f) 4 - (+8) = +7

47. ● Copia y completa esta recta numérica:

4

-3

4 4 4

1

4

48. ● Representa estos números enteros en una recta numérica: -5, 7, -9, 0, -3 y 2. 49. ● ¿Cuántos números enteros hay entre -4 y 4?

64. ● Realiza estas sumas y restas combinadas. a) (-21) + b) (+17) c) (-32) + d) (-54) -

50. ● Copia y completa con el signo < o >. a) -9 4 -12 b) 3 4 -2 c) -1 4 -4 d) -7 4 -5

(-12) (+23) + (-19) (+22) +

(+9) (+34) (-11) (-10)

a) 8 - 7 + 4 - 3 - 2 b) -7 - 5 + 3 - 9 - 1 + 11 c) -4 - 2 + 5 - 1 - 4 + 1 d) 6 - 3 + 3 - 10 - 4 + 13 e) -9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1

53. ● Escribe dos números enteros. a) Menores que +3 y mayores que -1. b) Menores que -3. c) Mayores que -6. d) Mayores que -2 y menores que +1. 54. ● Ordena, de menor a mayor, los siguientes números: -4, 6, -7, 11, -9, -6, 0, 2 y -1.

PRIMERO. Se resuelven los paréntesis.

e) (+19) - (+5) f) (-21) - (+33) g) (-7) - (-11) h) (+22) - (-15)

61. ● Copia y completa esta tabla:

-3 + (-8 + 9) - (3 - 6) = -3 + (+1) - (-3) = SEGUNDO. Se eliminan los paréntesis.

• Si están precedidos por el signo +, se mantienen los signos de los números. • Si están precedidos por el signo -, se cambian los signos de los números. F

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b +9

-12

-5

+11

-18

+23

+17

a-b

b-a

a+b

b+a

= -3 + (+1) - (-3) = -3 + 1 + 3 = F

22

a -7

c) (+13) ? (-5) ? (-6) d) (-20) ? (-9) ? (-3)

TERCERO. Se realizan las sumas y las restas, de izquierda a derecha. = -3 + 1 + 3 = -2 + 3 = 1

a) (+35) : (-7) : (-5) b) (-21) : (-7) : (-1)

c) (+32) : (-8) : (-2) d) (-4) : (+4) : (-1)

77. ● ● Opera. a) (+21) ? (+2) : (-14) b) (+5) : (-5) ? (-4) c) (+2) ? (+9) : (-3) d) [(-2) ? (+7)] : (-14) ? (+3) e) (+36) : [(-9) : (+3)] ? (+5) f) (+36) : (-9) : (+2) ? (+5) 78. ● ● Copia y completa las siguientes divisiones. a) (-36) : 4 = -4 b) (-54) : 4 = +9 c) 4 : (-6) = -42 d) (+48) : 4 = -6 e) (-63) : 4 = -7 f) 4 : (+8) = +2

a) 45 b) (-2)6

c) 142 d) (-4)4

e) 73 f) (-9)2

g) 54 h) (-6)4

83. ● Calcula las siguientes potencias. a) 50

b) 231

c) (-3)0

d) (-57)1

84. ● Expresa como una sola potencia. a) 53 ? 54 b) 116 ? 114

c) (-3)5 ? (-3)3 d) (-8)4 ? (-8)

85. ● Expresa como una sola potencia. a) 43 ? 43 ? 4 b) 95 ? 92 ? 94 c) (-2)6 ? (-2)4 ? (-2) d) (-7)3 ? (-7) ? (-7)6

76. ● ● Realiza estas divisiones.

66. Calcula: -3 + (-8 + 9) - (3 - 6)

60. ● Calcula las siguientes sumas y restas.

c) (+5) ? (-35) d) (-14) ? (+5)

a) (-5) ? 4 = -30 b) 4 ? (+3) = 45 c) (-9) ? 4 = 27 d) 4 ? (-8) = -48

¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES DE SUMAS Y RESTAS COMBINADAS CON PARÉNTESIS?

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

a) 7 ? 7 ? 7 ? 7 b) (-2) ? (-2) ? (-2) c) (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5)

a) Base 11 y exponente 4. b) Base -2 y exponente 3.

72. ● ● Copia y completa estos productos.

HAZLO ASÍ

79. ● Escribe en forma de potencia, e indica la base y el exponente.

81. ● ● Calcula las siguientes potencias.

71. ● Calcula los siguientes productos. a) (+21) ? (+3) ? (+4) b) (+19) ? (-2) ? (+3)

POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS

80. ● Escribe en forma de potencia y en forma de producto.

69. ● Calcula los siguientes productos. a) (+12) ? (+4) b) (-42) ? (-3)

65. ● Calcula.

a) (+12) + (+25) b) (-9) + (+13) c) (-3) + (-11) d) (+17) + (-8)

a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1) b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2) c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7) d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9)

87. ● Expresa como una sola potencia. a) 75 : 73 b) 128 : 125

c) (-9)6 : (-9)3 d) (-6)7 : (-6)

88. ● ● Expresa como una sola potencia. a) (28 : 23) ? 23 b) 35 : (37 : 34) c) [(-4)6: (-4)] : (-4)2 d) (-5)3 : [(-5)4 : (-5)] 89. ● Expresa como una sola potencia. a) (54)3 b) (75)2

c) [(-3)4]3 d) [(-9)3]3

91. ● ● Expresa como una sola potencia. a) (25)2 ? (22)4 b) (103)3 ? (102)4 c) [(-3)5]3 ? [(-3)4]3 d) [(-10)2]2 ? [(-10)3]3

23

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1

Números enteros El año cero El pequeño monje corría por los pasillos del palacio papal, y su cara denotaba una satisfacción que difícilmente lograba reprimir. Cuando por fin llegó a la sala donde se encontraba el Papa, se arrodilló, besó su anillo y, con falsa modestia, dijo: –Lo encontré, Su Santidad: el Año de la Salvación, cuando Nuestro Señor vino al mundo.

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Dionisio el Exiguo fue un monje que nació a finales del siglo v. Busca información sobre su vida y sobre sus aportaciones a la creación del calendario cristiano. 2. Investiga sobre el encargo que el papa Juan I hizo a Dionisio el Exiguo. ¿Fueron correctos los cálculos del monje?

El Papa leyó con avidez el documento que Dionisio el Exiguo le había entregado, en el que databa el nacimiento de Cristo en el año 753 de la fundación de Roma. Al mismo tiempo, el monje repetía: –El año 754 de la fundación de Roma es nuestro primer año: primus anno Domini, el año primero de la Era del Señor. Pero lo que estos dos personajes no podían imaginar era que, al contar los años de forma ordinal: año primero, año segundo, año tercero…, eliminaban el año cero. Este hecho provocó una enorme polémica hace algunos años; así, mientras unas personas mantenían que el siglo xxi comenzaba el 1 de enero de 2000, los hechos demostraban que este siglo comenzó el 1 de enero de 2001.

3. ¿Cuál fue la polémica que se creó en los últimos años de la década de los noventa sobre el inicio del siglo xxi? ¿A qué se debió esa polémica?

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Antes de empezar la unidad... NÚMEROS NATURALES Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el ser humano de contar lo que le rodea. El conjunto de números naturales es ilimitado, es decir, no tiene fin, porque dado un número cualquiera, siempre es posible obtener el siguiente sumándole una unidad a ese número. Representación de números naturales

• Fijamos el 1, y a su derecha, el 2. Tomamos la distancia entre estos dos puntos como unidad.

Al resolver operaciones combinadas siempre hay que tener en cuenta la jerarquía de las operaciones.

• Desplazamos dicha unidad hacia la derecha del 2 para representar el resto de números. 1

2

3

4

5

Operaciones con números naturales

F

• Suma y resta Se resuelven las operaciones de izquierda a derecha. F

F

7 + 5 - 4 - 6 + 2 = 12 - 4 - 6 + 2 = 8 - 6 + 2 = 2 + 2 = 4 • Suma, resta, multiplicación y división Se calculan primero las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha. F

F

6 + 5 ? 4 - 6 : 2 = 6 + 20 - 6 : 2 = 6 + 20 - 3 = 26 - 3 = 23

EVALUACIÓN INICIAL 1 Representa estos números naturales en la recta numérica.

5 3 1 7 8 4 2 Realiza estas operaciones de suma y resta.

a) 8 + 8 - 4 - 3 + 5 b) 12 - 5 + 7 - 2 + 11 - 3 c) 9 + 3 - 5 - 1 + 2 - 7 d) 15 - 4 - 2 + 6 + 12 3 Calcula el resultado de estas operaciones.

a) 16 + 3 - 15 : 3 + 5 b) 12 ? 3 + 7 - 8 : 2 - 1 c) 4 + 9 : 3 - 2 - 1 + 7 d) 11 - 3 ? 2 + 6 ? 4

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros. • Operar con potencias de números enteros. • Aplicar las relaciones de divisibilidad entre números enteros. • Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números enteros.

7

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Números enteros

1 CALCULADORA Para escribir números negativos con la calculadora utilizamos la tecla +/- . – 4 " 4 +/-

ANTES, DEBES SABER… Para qué se utilizan los números enteros Hay expresiones cotidianas que no se pueden indicar con números naturales. Necesitamos utilizar los números negativos: • Cuando hablamos de temperaturas bajo cero. Así, 3 grados bajo cero se expresa como -3 °C. • Al considerar deudas económicas. Si debemos 50 €, decimos que nuestro saldo es de -50 €. • Al referirse a las plantas de un edificio. El garaje está en la planta -2.

Los números enteros positivos se escriben habitualmente sin el signo + que les precede.

+6 = 6 +15 = 15

El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z y está formado por: • Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5, +6, … • El número cero: 0. • Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6, …

1.1 Representación de números enteros Los números enteros se representan ordenados en la recta numérica. • El cero, 0, divide a la recta en dos partes iguales. • Los números enteros positivos se sitúan a la derecha del cero. • Los números enteros negativos se sitúan a la izquierda del cero. … -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

…

F

F

Números enteros negativos

Números enteros positivos

EJEMPLO 1 Representa en la recta numérica los siguientes números enteros: -3 +6 -1 -4 0 +5 -5 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Expresa con números enteros.

a) El avión vuela a una altura de tres mil metros. b) El termómetro marca tres grados bajo cero. c) Le debo cinco euros a mi hermano. d) El almacén está en el tercer sótano. e) Hay cinco grados bajo cero en la sierra.

3 Escribe situaciones que correspondan

a estos números. a) +57 € b) -100 m

c) -6 °C

d) +2

1 Representa en la recta numérica estos números

enteros. +7 -5 -2 +4 0 -8

8

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1.2 Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero se escribe entre barras, ; ;, y es igual al número sin su signo: ;+a; = a ;-a; = a EJEMPLO

NO OLVIDES

2 Calcula el valor absoluto de -4 y +3.

;0; = 0

Valor absoluto de -4 " ;-4; = 4 Valor absoluto de +3 " ;+3; = 3

;5; = ;+5; = ;-5; = 5

1.3 Opuesto de un número entero El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto pero de signo contrario. Op (+a) = -a Op (-a) = +a EJEMPLO 3 Calcula el opuesto de -5 y de +5. Represéntalos en la recta numérica. Op (-5) = +5 Op (+5) = -5

1.4 Comparación de números enteros Un número entero es mayor que otro cuando está situado más a la derecha en la recta numérica. • Un número entero positivo es mayor que cualquier número negativo. • El 0 es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquiera positivo.

SE ESCRIBE ASÍ > Mayor que

5>2

< Menor que

2<5

EJEMPLOS 4 Compara estos números enteros. b) -2 y -5

-5 -4 -3 -2 -1

1

c) +5 y -3

-2 > -5 0 +1

-3

+5 > -3 0 +1

+5

Ordena, de menor a mayor, estos números enteros. +4 -3 -5 +6 -5 < -3 < +4 < +6

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Halla el valor absoluto y el opuesto de:

-4 +5 -13 +27 -1 +18

7 Representa y ordena, de menor a mayor:

+8 -2 +3 +11 0 -7 -9

9

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2

Suma y resta de números enteros

2.1 Suma de dos números con el mismo signo Para sumar dos números enteros que tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el mismo signo de los sumandos. EJEMPLO 5 Resuelve estas operaciones. a) (+6) + (+7) = +13 Mismo signo " ;+6; + ;+7; = 6 + 7 = 13

b) (-6) + (-7) = -13 Mismo signo " ;-6; + ;-7; = 6 + 7 = 13

2.2 Suma de dos números con distinto signo Para sumar dos números enteros que tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del sumando de mayor valor absoluto. EJEMPLO 5 Resuelve estas operaciones. a) (-6) + (+7) = +1 Distinto signo " ;+7; - ;-6; = 1

El resultado es positivo ya que +7 es el sumando cuyo valor absoluto es mayor, ;+7; = 7. b) (+6) + (-7) = -1 Distinto signo " ;-7; - ;+6; = 1

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Calcula.

a) (+6) + (+2) b) (-6) + (-2)

4 Realiza estas sumas de números enteros.

c) (+3) + (+8) d) (-3) + (-8)

3 Calcula.

a) (+6) + (-2) b) (-6) + (+2)

c) (+3) + (-8) d) (-3) + (+8)

a) (+9) + (+7)

f) (-3) + (+5)

b) (-9) + (-7)

g) (-3) + (-5)

c) (+9) + (-7)

h) (+5) + (-2)

d) (+3) + (+5)

i) (-5) + (-2)

e) (+3) + (-5)

j) (-5) + (+2)

10

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2.3 Resta de dos números enteros Para restar dos números enteros se le suma al primero el opuesto del segundo. EJEMPLO 5 Resuelve estas operaciones. c) (+6) - (+7) = (+6) + Op (+7) = (+6) + (-7) = 6 - 7 = -1 d) (+6) - (-7) = (+6) + Op (-7) = (+6) + (+7) = 6 + 7 = +13

2.4 Operaciones combinadas de suma y resta Para sumar y restar varios números sumamos y restamos los números en el orden en que aparecen. EJEMPLO F

2 Calcula. F

a) 6 + 3 - 8 - 5 = 9 - 8 - 5 = 1 - 5 = -4

F

b) (-5) - (+4) + (-3) - (-6) = -5 - (+4) + (-3) - (-6) =

F

F

= -5 - 4 + (-3) - (-6) = -5 - 4 - 3 - (-6) = = -5 - 4 - 3 + 6 = -9 - 3 + 6 = -12 + 6 = -6

Un paréntesis precedido del signo cambia los signos de los números de su interior. Un paréntesis precedido del signo + mantiene los signos.

ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan operaciones de suma y resta con paréntesis Se resuelven primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha. EJEMPLO 6 Resuelve esta operación. (-3) + (8 - 4) - (-4 + 3) = (-3) + (+4) - (-1) = -3 + (+4) - (-1) = = -3 + 4 - (-1) = -3 + 4 + 1 = 1 + 1 = 2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Realiza estas operaciones.

a) 3 + 5 - 2 - 8 b) -5 + 8 - 2 - 7 c) 9 - 7 + 8 + 3 - 2 d) (+6) - (+7) + (-5) - (-3)

9 Calcula.

a) -11 + 8 - 6 - 7 + 9 b) 3 - 8 + 12 - 15 - 1 + 10 - 4 c) 15 - 14 + 9 - 21 - 13 + 6 d) -(4 - 9 + 3) + (11 - 8 - 7) + (-15)

11

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3

Multiplicación y división de números enteros

3.1 Multiplicación de números enteros Para multiplicar dos números enteros: 1.º Se multiplican sus valores absolutos. 2.º Al resultado se le añade el signo + si ambos números son de igual signo, o el signo - si son de signos diferentes. EJEMPLO 6 Realiza estos productos. +?+=+ 3 ? 5 = 15

-?+=3 ? 5 = 15

Regla de los signos

+·+=+ -·-=+ +·-=-·+=-

+:+=+ -:-=+ +:-=-:+=-

- ? - = + 3 ? 5 = 15

F

F

d) (+3) ? (-5) = -15

F

F

b) (-3) ? (-5) = +15

F

F

c) (-3) ? (+5) = -15

F

F

a) (+3) ? (+5) = +15

+ ? - = - 3 ? 5 = 15

3.2 División de números enteros Para dividir dos números enteros: 1.º Se dividen sus valores absolutos. 2.º Al resultado se le añade el signo + si ambos números son de igual signo, o el signo - si son de signos diferentes. EJEMPLO 7 Realiza estas divisiones. +:-=27 : 3 = 9

-:-=+ 27 : 3 = 9 F

d) (-27) : (+3) = -9

+ : + = + 27 : 3 = 9

F

F

F

b) (+27) : (+3) = +9

F

c) (-27) : (-3) = +9 F

F

F

a) (+27) : (-3) = -9

- ? + = - 27 : 3 = 9

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 12 Resuelve estas multiplicaciones.

a) (-3) ? (+2) b) (-2) ? (-8)

d) (+2) ? (+7) e) (+5) ? (-4)

13 Calcula las divisiones.

a) (-12) : (+6) b) (-6) : (-2)

d) (+21) : (+7) e) (+24) : (-4)

6 Realiza las siguientes multiplicaciones

y divisiones. a) (-5) ? (-6) b) (+3) ? (-3) c) (-2) ? (+2) d) (+12) : (-2) e) (-24) : (-6)

12

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4

Potencias de números enteros

ANTES, DEBES SABER… Cómo se calculan potencias de números naturales Una potencia es la forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales: 45 = 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 34

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales: an = a ? a ? a ? … ? a 1 4 44 2 4 44 3 n veces

a es la base, el factor que se repite. n es el exponente, el número de veces que se repite la base.

CALCULADORA Para hallar potencias con la calculadora utilizamos la tecla x y . 56 " 5 x y 6 = 15625 212 " 2 x y 12 = 4096

EJEMPLO 9 Completa la siguiente tabla. Potencia

Se lee

(+4) ? (+4)

2

(+4)

«4 elevado a 2» o «4 al cuadrado»

(-9) ? (-9) ? (-9)

(-9)3

«-9 elevado a 3» o «-9 al cubo»

3

3?3?3?3?3

5

«3 elevado a 5» o «3 a la quinta potencia»

En una potencia de base un número entero y exponente natural:

base

34

F

Signo de una potencia de base un número entero

F

Producto

exponente

• Si la base es un número positivo, la potencia es positiva. • Si la base es un número negativo, la potencia es positiva cuando el exponente es par y negativa si es impar. EJEMPLO 10 Calcula el valor de estas potencias. a) (+2)4 = (+2) ? (+2) ? (+2) ? (+2) = 24 = 16 b) (+2)5 = (+2) ? (+2) ? (+2) ? (+2) ? (+2) = 25 = 32 c) (-2)4 = (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) = (+4) ? (-2) ? (-2) = (-8) ? (-2) = 16 d) (-2)3 = (-2) ? (-2) ? (-2) = (+4) ? (-2) = -8

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 16 Escribe cómo se leen las potencias y calcula

su valor. 5

a) 3 b) 22

17 Expresa en forma de potencia y halla

su valor. 6

c) (-8) d) (-5)3

3

e) 10 f) 42

2

g) (-4) h) (-2)3

a) 6 ? 6 ? 6 b) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2

c) (-2) ? (-2) ? (-2) d) (-5) ? (-5)

13

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5

Operaciones con potencias

ANTES, DEBES SABER… Cómo se expresa un número como potencias de 0 y de 1 • Un número elevado a 0 es 1. • Un número elevado a 1 es el mismo número. (-4)0 = 1 50 = 1 (-3)1 = -3 71 = 7

5.1 Producto de potencias de la misma base Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se mantiene la misma base y se suman los exponentes. am ? an = am+n

Para que se puedan aplicar las propiedades del producto y el cociente, las potencias han de tener la misma base.

EJEMPLO 3 Resuelve estas operaciones con potencias.

a) 63 ? 62 = 63+2 = 65 b) (-6)3 ? (-6)2 = (-6)3+2 = (-6)5 c) 57 ? 54 = 57+4 = 511 d) (-5)7 ? (-5)4 = (-5)7+4 = (-5)11

5.2 Cociente de potencias de la misma base Para dividir dos potencias de la misma base se mantiene la misma base y se restan los exponentes. am : an = am-n m H n EJEMPLO 4 Resuelve estas operaciones con potencias.

a) 63 : 62 = 63-2 = 61

c) 57 : 54 = 57-4 = 53

b) (-6)3 : (-6)2 = (-6)3-2 = (-6)1

d) (-5)7 : (-5)4 = (-5)7-4 = (-5)3

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 20 Expresa estas operaciones con potencias

con una sola potencia, y utiliza la calculadora para resolverlas. a) 34 ? 35 b) 53 ? 52 c) 412 : 48 d) 74 : 7

e) (-3)6 ? (-3)2 f) (-5)3 ? (-5)2 g) (-4)12 : (-4)8 h) (-7)4 : (-7)

7 Calcula.

a) 43 ? 42 + 37 ? 35

b) 85 : 84 + 78 ? 73

21 Resuelve las operaciones.

a) 52 ? 52 + 36 : 35 + 102 ? 103 b) 52 : 5 + 33 ? 32 + 102 : 102

14

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5.3 Potencia de una potencia Para elevar una potencia a otra potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes. (an)m = an ? m EJEMPLO 5 Escribe como una sola potencia.

a) (63)4 = 63?4 = 612 b) (-63)4 = (-6)3?4 = (-6)12 c) (57)2 = 57?2 = 514 d) (-57)2 = (-5)7?2 = (-5)14

5.4 Potencia de una multiplicación y una división • La potencia de una multiplicación es igual al producto de las potencias de sus factores. (a ? b)n = an ? bn • La potencia de una división es igual al cociente de la potencia del dividendo entre la potencia del divisor. (a : b)n = an : bn DATE CUENTA

EJEMPLO

(-7 ? 2)3 = (-7)3 ? 23 [(-7) ? 2]3 = (-7)3 ? 23

6 Resuelve estas operaciones con potencias.

a) (2 ? 6)4 = 24 ? 64 = 16 ? 1 296 = 20 736

Por tanto: (-7 ? 2)3 = [(-7) ? 2]3

b) (-2 ? 3)4 = (-2)4 ? 34 = 16 ? 81 = 1 296 c) [3 ? (-5)]3 = 33 ? (-5)3 = 27 ? (-125) = -3 375 d) [-2 ? (-4)]2 = (-2)2 ? (-4)2 = 4 ? 16 = 64 e) (15 : 5)2 = 152 : 52 = 225 : 25 = 9 f) [8 : (-2)]2 = 82 : (-2)2 = 64 : 4 = 16 g) [(-8) : (-4)]3 = (-8)3 : (-4)3 = (-512) : (-64) = 8 h) (-8 : 4)3 = (-8)3 : 43 = (-512) : 64 = -8 i) [-16 : (-4)]2 = (-16)2 : (-4)2 = 256 : 16 = 16

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 23 Calcula estas potencias. 4 6

a) (7 ) b) [(-2)3]4 c) (85)3

24 Expresa como un producto o una división 3 2

d) [(-8) ] e) (56)3 f) [(-9)5]3

de potencias. a) (3 ? 2)3 b) (8 : 4)4

c) [(-3) ? 2]3 d) [(-8) : 4]4

e) [(-3) ? (-2)]3 f) [(-8) : (-4)]4

15

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Jerarquía de las operaciones

7

ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan operaciones combinadas con números naturales Al operar con números naturales resolvemos: 1.º Las operaciones que hay entre paréntesis. 2.º Las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha. EJEMPLO 7 Resuelve esta operación.

Multiplicaciones y divisiones

F

25 - 4 ? 3 : 6 - 3 + 12 : 3 =

Sumas y restas

F

= 25 - 12 : 6 - 3 + 4 = = 25 - 2 - 3 + 4 =

= 23 - 3 + 4 = = 20 + 4 = 24

Cuando aparecen operaciones combinadas, el orden establecido para operar es el siguiente: 1.o Eliminamos los paréntesis y corchetes, de dentro hacia afuera. 2.o Resolvemos las potencias y raíces, de izquierda a derecha. 3.o Efectuamos las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 4.o Efectuamos las sumas y restas, de izquierda a derecha. EJEMPLO 17 Calcula. a) (+15) : [(+6) - (+1)] - [(+9) + (-3)] : 2 =

F

= 15 : (6 - 1) - (9 - 3) : 2 = 15 : 5 - 6 : 2 = Divisiones

=3-3= Restas

F

F

Corchetes y paréntesis

=0


a) (+4) ? (-7) + (-3) ? (-2) b) (+16) : (-8) + (-24) : (-6) c) (-4) ? (-5) - (+3) ? (-2) d) (-12) : (-3) - (+4) : (-2)

32 Haz estas operaciones.

a) (+7) - (-12) ? (+5) b) (-5) - [(-6) - (-5) ? (-9)] c) [16 - (-4)] : [2 ? (-2)] d) (9 - 4) ? (-5) - 1

16

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8

Divisibilidad entre números enteros La divisibilidad se suele estudiar solo para números positivos. Para números negativos se cumplen las mismas propiedades.

ANTES, DEBES SABER… Cuándo una división es exacta • Una división es exacta cuando su resto es 0. • Una división no es exacta cuando su resto es distinto de 0. 68 u 4 69 u 4 28 17 29 17 0 !Resto 68 : 4 es exacta. 1 !Resto 69 : 4 no es exacta.

Si la división a : b es exacta (su resto es 0), podemos afirmar que: • a es divisible por b. • a es múltiplo de b. • b es divisor de a. EJEMPLOS 8

¿Es 6 múltiplo de 3? ¿Es 3 divisor de 6? 6 : 3 = 2 " División exacta " 6 es divisible por 3. 6 es múltiplo de 3 y 3 es divisor de 6.

18 Calcula los seis primeros múltiplos de 5. 5?1 5?2 5?3 5?4 5?5 5?6

Múltiplos de 5

"

•

5 = { 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , …} SE ESCRIBE ASÍ

19 Determina los divisores de 6. 6 1 0 6

6 2 0 3

Divisores de 6

6 3 0 2

6 4 2 1

6 5 1 1

• 3 " Todos los múltiplos de 3. • 12 " Todos los múltiplos de 12.

6 6 0 1

" Div (6) = {1, 2, 3, 6}

Div (8) " Todos los divisores de 8. Div (12) " Todos los divisores de 12.

Un número es primo cuando es positivo y sus únicos divisores son él mismo y la unidad. En caso contrario decimos que es compuesto. EJEMPLO 20 Averigua si 11 y 33 son números primos o compuestos. Div (11) = {1, 11} Div (33) = {1, 3, 11, 33} El número 11 es primo porque solo tiene dos divisores, 33 es compuesto porque tiene más de dos divisores.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 35 Calcula diez múltiplos y todos los divisores.

a) 8

b) 7

c) 4

d) 10

36 ¿Cuáles de estos números son primos?

4

5

9

11 14 17 21

17

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8.1 Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten reconocer, sin necesidad de realizar la división, si un número es divisible por otro. Divisible por… 2 3 5 10

Criterio Si la última cifra es 0 o par. Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Si la última cifra es 0 o 5. Si la última cifra es 0.

EJEMPLO 21 Comprueba si 2 541 es divisible por 2, 3, 5 y 10. • No es divisible por 2, porque no termina en 0 ni en cifra par. • Es divisible por 3, porque: 2 + 5 + 4 + 1 = 12, que es múltiplo de 3. • No es divisible por 5, porque no termina en 0 ni en 5. • No es divisible por 10, porque no termina en 0.

8.2 Descomposición en factores primos Para descomponer un número en factores primos tenemos que dividir entre 2, 3, 5…

Un número entero se puede expresar de forma única como producto de distintos números primos elevados a potencias. A esta expresión se le llama descomposición en factores primos del número. ANTES, DEBES SABER… Cómo se expresa un producto de factores iguales mediante una potencia

14243

F

Una potencia es un producto de factores iguales. 2 ? 2 ? 2 = 23 3 veces

EJEMPLO 22 Descompón 12 y 63 en factores primos. COCIENTES PARCIALES

FACTORES PRIMOS

COCIENTES PARCIALES

12 2

FACTORES PRIMOS

63 3

12 : 2 " 6 2 "

63 : 3 " 21 3 "

6:2" 3 3"

21 : 3 " 7 7 "

3:3" 1

7:7" 1 2

63 = 3 ? 3 ? 7 = 32 ? 7

12 = 2 ? 2 ? 3 = 2 ? 3

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 39 Comprueba si son divisibles por 2, 3, 5, 10 y 11.

a) 145

b) 3 467

c) 12 624

d) 212

40 Descompón en factores primos.

a) 210

b) 270

c) 66

d) 92

18

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8.3 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo • El máximo común divisor (m.c.d.) de varios números enteros es el mayor número entero positivo que es divisor de todos. • El m.c.d. de varios números se obtiene descomponiendo los números en factores primos y multiplicando los factores primos comunes elevados al menor de sus exponentes.

SE ESCRIBE ASÍ • Máximo común divisor de dos números: m.c.d. (a, b) m.c.d. (15, 12) • Mínimo común múltiplo de dos números: m.c.m. (a, b) m.c.m. (15, 12)

EJEMPLO 24 Calcula el máximo común divisor de 12 y 28 mediante su descomposición en factores. 12 2 28 2 6 2 14 2 12 = 22 ? 3 7 7 3 3 1 1

28 = 22 ? 7

m.c.d. (12, 28) = 22 = 4

• El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números enteros es el menor número entero positivo que es múltiplo de todos. • El m.c.m. se obtiene descomponiendo los números en factores primos y multiplicando los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor de sus exponentes.

Si m.c.d. (a, b) = 1, a y b no tienen divisores comunes. Decimos que son primos entre sí.

EJEMPLO 24 Calcula el mínimo común múltiplo de 12 y 28 mediante su descomposición en factores. 12 2 28 2 6 2 14 2 12 = 22 ? 3 7 7 3 3 1 1

28 = 22 ? 7

m.c.m. (12, 28) = 22 ? 3 ? 7 = 84

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 8 Calcula el máximo común divisor de estos

43 Descompón estos números en factores primos,

números, descomponiéndolos en factores primos.

y calcula su máximo común divisor y su mínimo común múltiplo.

a) 14 y 21

a) 18 y 20 b) 28 y 42 c) 18 y 4

b) 35 y 70

9 Calcula el mínimo común múltiplo de estos

números, descomponiéndolos en factores primos. a) 25 y 75

b) 36 y 72

d) 18 y 32 e) 48 y 32 f) 21 y 28

44 Halla el m.c.d. y el m.c.m. de estos números.

a) 10, 12 y 35

b) 15, 20 y 27

19

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Números enteros

Divisibilidad 8 : 2 es una división exacta F

• Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, …

F

• El número 0.

8 es divisible por 2

an = a ? a ? a ? … ? a

F

F

Potencia

F

F

• Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, …

1442443

8 es múltiplo de 2 2 es divisor de 8

n veces


1. MULTIPLICAR Y DIVIDIR NÚMEROS

2. CALCULAR UN PRODUCTO

ENTEROS

Calcula. a) (-4) ? (+3)

O DIVISIÓN DE POTENCIAS

b) (-25) : (-5)

Expresa, si se puede, con una sola potencia. a) 67 ? 63 e) (-6)5 ? 23

PRIMERO. Multiplicamos

o dividimos sus valores absolutos. a) ;-4; ? ;+3; = 4 ? 3 = 12 b) ;-25; ? ;-5; = 25 : 5 = 5

b) 67 : 63

PRIMERO. Estudiamos

F

F

resultado le añadimos un signo + si ambos tienen el mismo signo, o el signo - si son de signo distinto. a) (-4) ? (+3) = -12 b) (-25) ? (-5) = +5 Mismo signo

si las bases son iguales. a) y b) 6 y 6 " La base de las dos potencias es la misma, 6. 5 3 e) y f) (-6) y 2 " No son iguales las bases. 7

SEGUNDO. Al

Distinto signo

f) (-6)5 : 23

1. CALCULAR LA POTENCIA

3

SEGUNDO. Si

las bases son iguales, sumamos o restamos los exponentes. Si no lo son, no podemos operar los exponentes. b) 67 : 63 = 67-3 = 64 a) 67 ? 63 = 67+3 = 610 e) y f) No podemos operar.

DE UN NÚMERO ENTERO

Calcula el valor de las siguientes potencias. a) 65 b) (-6)5 c) (-6)4

COMBINADAS

el valor absoluto de la base y calculamos su potencia. 65 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 7 776 64 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 1 296

Resuelve. (-3) ? [6 : (-2)] - (-2) =

SEGUNDO. Si

= (-3) ? [-3] - (-2) =

la base es negativa y el exponente es un número impar, añadimos el signo - al resultado. c) (-6)4 = 1 296 a) 65 = 7 776 5 b) (-6) = -7 776

F

PRIMERO. Resolvemos

F

PRIMERO. Tomamos

3. RESOLVER OPERACIONES

= +9 - (-2) = = +9 + 2 = +11

los paréntesis. SEGUNDO. Resolvemos

las multiplicaciones y divisiones. TERCERO. Resolvemos las sumas y restas.

20

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4. DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS Descompón 68 en factores primos. PRIMERO. Dividimos

el valor absoluto del número entre los sucesivos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… tantas veces como sea necesario hasta obtener la unidad.

SEGUNDO. Expresamos

el número como el producto de todos los factores primos de la columna de la derecha utilizando potencias, siempre que se pueda. 68 = 2 ? 2 ? 17 = 22 ? 17

FACTORES PRIMOS

68 2 68 : 2 " 34 2 34 : 2 " 17 17 17 : 17 " 1

22

5. CALCULAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 12, 24 y 84. 12 2 6 2 3 3 12 = 22 ? 3 1

PRIMERO. Descomponemos

el valor absoluto de los números enteros en factores primos.

SEGUNDO.

24 2 12 2 6 2 24 = 23 ? 3 3 3 1

84 2 42 2 21 3 84 = 22 ? 3 ? 7 7 7 1

• Para calcular el máximo común divisor tomamos los factores comunes elevados al menor de los exponentes. • Para calcular el mínimo común múltiplo tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor de los exponentes. Comunes con menor exponente " 22 y 3 Factores comunes " 2 y 3 Factores no comunes " 7 Comunes con mayor exponente " 23 y 3 m.c.d. (12, 24, 84) = 22 ? 3 = 12 m.c.m. (12, 24, 84) = 23 ? 3 ? 7 = 168

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. Escribe, si se puede, estas expresiones en forma de potencia. a) 7 ? 7 ? 7 ? 7 b) 7 ? 6 ? 5 ? 4 c) 7 ? 7 Multiplicar y dividir números enteros 1. Calcula. a) (-5) ? (-7) b) (+24) : (-3) Calcular la potencia de un número entero 3. Determina el valor de estas potencias. b) (-5)4 c) 53 d) (-5)3 a) 54 Calcular un producto o división de potencias 4. Expresa como una potencia. a) 33 ? 35

Resolver operaciones combinadas 5. Calcula: (-3)3 + (-5) ? [(-6) : (-3)] + (-7)2 Descomponer un número en factores primos 6. Descompón en factores primos los números. a) 88

c) 32

e) 91

b) 84

d) 154

f) 252

Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números 7. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos números. a) 8, 20 y 42

b) 18, 45 y 96

21

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Actividades NÚMEROS ENTEROS

62. ● Realiza las siguientes sumas. a) (+10) + b) (-29) + c) (-20) + d) (-23) +

46. ● Expresa con un número entero. a) Luis ganó 6 000 € en la lotería. b) El termómetro marcó 7 °C bajo cero. c) Marta vive en el cuarto piso. d) La tienda está en el segundo sótano.

(-5) + (+7) + (-9) (-12) + (-9) + (+17) (+33) + (+21) + (-23) (-41) + (-16) + (+50)

63. ● Calcula estas restas.

47. ● Copia y completa esta recta numérica:

4

-3

4 4 4

1

4

48. ● Representa estos números enteros en una recta numérica: -5, 7, -9, 0, -3 y 2. 49. ● ¿Cuántos números enteros hay entre -4 y 4?

64. ● Realiza estas sumas y restas combinadas. a) (-21) + b) (+17) c) (-32) + d) (-54) -

50. ● Copia y completa con el signo < o >. a) -9 4 -12 b) 3 4 -2 c) -1 4 -4 d) -7 4 -5

(-12) (+23) + (-19) (+22) +

(+9) (+34) (-11) (-10)

65. ● Calcula. a) 8 - 7 + 4 - 3 - 2 b) -7 - 5 + 3 - 9 - 1 + 11 c) -4 - 2 + 5 - 1 - 4 + 1 d) 6 - 3 + 3 - 10 - 4 + 13 e) -9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1

53. ● Escribe dos números enteros. a) Menores que +3 y mayores que -1. b) Menores que -3. c) Mayores que -6. d) Mayores que -2 y menores que +1. 54. ● Ordena, de menor a mayor, los siguientes números: -4, 6, -7, 11, -9, -6, 0, 2 y -1.

¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES DE SUMAS Y RESTAS COMBINADAS CON PARÉNTESIS?

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

66. Calcula: -3 + (-8 + 9) - (3 - 6) PRIMERO. Se

60. ● Calcula las siguientes sumas y restas. a) (+12) + (+25) b) (-9) + (+13) c) (-3) + (-11) d) (+17) + (-8)

HAZLO ASÍ

e) (+19) - (+5) f) (-21) - (+33) g) (-7) - (-11) h) (+22) - (-15)

61. ● Copia y completa esta tabla:

resuelven los paréntesis. -3 + (-8 + 9) - (3 - 6) = -3 + (+1) - (-3) =

SEGUNDO. Se

eliminan los paréntesis. • Si están precedidos por el signo +, se mantienen los signos de los números. • Si están precedidos por el signo -, se cambian los signos de los números. F

b

-7

+9

-12

-5

+11

-18

+23

+17

a-b

b-a

a+b

b+a

= -3 + (+1) - (-3) = -3 + 1 + 3 = F

a

TERCERO. Se realizan las sumas y las restas, de izquierda a derecha. = -3 + 1 + 3 = -2 + 3 = 1

22

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67. ●● Realiza estas operaciones. a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1) b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2) c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7) d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9) 68. ●● Copia y completa los huecos para que las igualdades sean ciertas. a) (-11) + 4 = +4 b) (+13) + 4 = +12 c) 4 + (-20) = -12 d) (+3) - 4 = -7 e) (-15) - 4 = +9 f) 4 - (+8) = +7

81. ● ● Calcula las siguientes potencias.

c) (+5) ? (-35) d) (-14) ? (+5) c) (+13) ? (-5) ? (-6) d) (-20) ? (-9) ? (-3)

72. ●● Copia y completa estos productos. a) (-5) ? 4 = -30 b) 4 ? (+3) = 45 c) (-9) ? 4 = 27 d) 4 ? (-8) = -48 c) (+32) : (-8) : (-2) d) (-4) : (+4) : (-1)

77. ●● Opera. a) (+21) ? (+2) : (-14) b) (+5) : (-5) ? (-4) c) (+2) ? (+9) : (-3) d) [(-2) ? (+7)] : (-14) ? (+3) e) (+36) : [(-9) : (+3)] ? (+5) f) (+36) : (-9) : (+2) ? (+5) 78. ●● Copia y completa las siguientes divisiones. a) (-36) : 4 = -4 b) (-54) : 4 = +9 c) 4 : (-6) = -42 d) (+48) : 4 = -6 e) (-63) : 4 = -7 f) 4 : (+8) = +2

a) 45 b) (-2)6

c) 142 d) (-4)4

e) 73 f) (-9)2

g) 54 h) (-6)4

83. ● Calcula las siguientes potencias. a) 50

b) 231

c) (-3)0

d) (-57)1

84. ● Expresa como una sola potencia. a) 53 ? 54 b) 116 ? 114

c) (-3)5 ? (-3)3 d) (-8)4 ? (-8)

85. ● Expresa como una sola potencia. a) 43 ? 43 ? 4 b) 95 ? 92 ? 94 c) (-2)6 ? (-2)4 ? (-2) d) (-7)3 ? (-7) ? (-7)6

76. ●● Realiza estas divisiones. a) (+35) : (-7) : (-5) b) (-21) : (-7) : (-1)

a) 7 ? 7 ? 7 ? 7 b) (-2) ? (-2) ? (-2) c) (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5)

a) Base 11 y exponente 4. b) Base -2 y exponente 3.

71. ● Calcula los siguientes productos. a) (+21) ? (+3) ? (+4) b) (+19) ? (-2) ? (+3)

79. ● Escribe en forma de potencia, e indica la base y el exponente.

80. ● Escribe en forma de potencia y en forma de producto.

69. ● Calcula los siguientes productos. a) (+12) ? (+4) b) (-42) ? (-3)

POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS

87. ● Expresa como una sola potencia. a) 75 : 73 b) 128 : 125

c) (-9)6 : (-9)3 d) (-6)7 : (-6)

88. ● ● Expresa como una sola potencia. a) (28 : 23) ? 23 b) 35 : (37 : 34) c) [(-4)6: (-4)] : (-4)2 d) (-5)3 : [(-5)4 : (-5)] 89. ● Expresa como una sola potencia. a) (54)3 b) (75)2

c) [(-3)4]3 d) [(-9)3]3

91. ● ● Expresa como una sola potencia. a) (25)2 ? (22)4 b) (103)3 ? (102)4 c) [(-3)5]3 ? [(-3)4]3 d) [(-10)2]2 ? [(-10)3]3

23

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JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

DIVISIBILIDAD

106. ●● Resuelve las siguientes operaciones.

112. ● Copia y completa con múltiplos de 12.

a) (-13) ? (+3) - (-12) ? (+7) b) (-3) ? (-12) - (-15) ? (-4) c) (-35) : (-7) + (-54) : (+9) d) [(-25) + 5 - (-4)] : (-8) e) [(-16) + (-9) + 5] : (-4) f) [(-4) + (-3) ? (-6)] : 7 107. ●● Resuelve las operaciones. a) (-11) ? [10 + (-7)] + 36 : [(-1) - (-10)] b) (-8) ? [5 - (-2)] - 48 : [6 + (-14)] c) 42 : [(-6) - (-3)] + 28 : [-6 - (-8)] d) 32 : [(-19) + 3] - 24 : [(-11) - (-5)] 10. ●● Realiza estas operaciones. a) (+45) : [(-7) + (+2)] b) (+2) ? [(-63) : (-7)] c) (-25) : [(+3) - (+8)] d) (-8) ? [(+21) : (-3)] e) (-7) - [(-14) : (+2) - (-7)]

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE REALIZAN OPERACIONES COMBINADAS DONDE APARECEN POTENCIAS? 11. Calcula: (-3)2 - 4 ? [(-6) - (-3)] - (-2)2 PRIMERO. Se

resuelven los corchetes y paréntesis. (-3) - 4 ? [(-6) - (-3)] - (-2)2 = = (-3)2 - 4 ? [-6 + 3] - (-2)2 = = (-3)2 - 4 ? (-3) - (-2)2 2

SEGUNDO. Se

resuelven las potencias. (-3)2 - 4 ? (-3) - (-2)2 = = 9 - 4 ? (-3) - 4

TERCERO. Se realizan las multiplicaciones y las divisiones. 9 -4 ? (-3) - 4 = 9 + 12 - 4 CUARTO. Se

F

realizan las sumas y las restas. 9 + 12 - 4 = 21 - 4 = 17

108. ●● Efectúa estas operaciones combinadas. a) (-5)2 ? [3 + 28 : (-4)] b) 22 ? [-5 ? 2 - 32 : (-8)] c) 33 : [-5 + (-7) ? (-2)]

•

12 = {12, 4, 36, 4, 60, 4, …} 113. ● Halla los múltiplos de 7 comprendidos entre 20 y 40. 114. ● Obtén los múltiplos de 4 comprendidos entre 18 y 30. 115. ● Calcula todos los divisores de: a) 28

b) 54

c) 63

d) 90

116. ● Copia y completa los divisores de 42. Div (42) = {1, 2, 4, 4, 4, 14, 4, 4} 117. ● Dados los números 12, 15, 18, 24, 4, 423, 10, 267, 23 y 2, di cuáles son múltiplos de: a) 2

b) 3

c) 6

118. ● Escribe los múltiplos de 5 comprendidos entre 0 y 15. a) ¿Cuáles de ellos son múltiplos de 7? b) ¿Y cuáles son menores que 15? 119. ● Di cuáles de los siguientes números son primos. Razona la respuesta. a) 21

b) 19

c) 43

d) 39

120. ● Averigua si los números son primos o compuestos: 72, 147, 282, 331 y 407. 121. ● Realiza la descomposición factorial de: a) 3 850

b) 432

c) 561

122. ● Calcula el máximo común divisor de cada par de números. a) 45 y 27

b) 28 y 21

c) 18 y 12

123. ● ● Halla el máximo común divisor. a) 6, 8 y 12

b) 16, 20 y 28

c) 40, 10 y 25

124. ● ● Si m.c.d. (x, 12) = 6, halla el valor de x. 125. ● Calcula el mínimo común múltiplo. a) 12 y 18

b) 15 y 45

c) 27 y 18

126. ● ● Obtén el mínimo común múltiplo de los siguientes números. a) 12, 9 y 10

b) 4, 18 y 27

c) 8, 30 y 24

127. ● ● ● Halla dos números cuyo m.c.d. sea 6 y su m.c.m sea 36.

24

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PROBLEMAS CON NÚMEROS ENTEROS 128. ●● A las 7 de la mañana el termómetro marcaba 4 °C bajo cero, y cinco horas después marcaba 3 °C sobre cero. ¿Cuál es la diferencia entre las dos temperaturas?

134. ● ● El pasillo de una vivienda tiene 432 cm de largo y 128 cm de ancho. Se quieren poner baldosas cuadradas del mayor tamaño posible, sin tener que cortar ninguna. Calcula sus dimensiones y el número de baldosas.

129. ●● María vive en el 3.er piso. Baja 5 plantas para ir al trastero y luego sube 7 para visitar a su amigo Alberto. ¿En qué piso vive Alberto? 130. ●● Sara deja el coche en el tercer sótano y sube 4 plantas hasta su casa. ¿En qué piso vive?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS MEDIANTE EL m.c.m.? 135. Los libros de una estantería se pueden colocar en montones de 4, 6 y 9 libros sin que sobre ninguno. ¿Cuál es la menor cantidad de libros que puede haber? PRIMERO. Se

131. ●● Luis tiene 123 €. A fin de mes recibe 900 € de sueldo y paga su hipoteca de 546 €. ¿Cuánto dinero le queda finalmente? 132. ●● ¿Cuál es el mayor cuadrado que se puede formar con 52 sellos? ¿Cuántos sobran?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS MEDIANTE EL m.c.d.? 133. Tres cuerdas de 4, 6 y 9 m, respectivamente, se quieren cortar en trozos iguales. ¿Cuál es la longitud de los mayores trozos que se pueden hacer? PRIMERO. Se

analiza el problema.

analiza el problema. El número total de libros tiene que ser múltiplo de 4, 6 y 9. Tiene que ser el mínimo " Problema de m.c.m.

SEGUNDO. Se

realizan los cálculos. 4 = 2 6 = 2 ? 3 9 = 32 m.c.m. (4, 6, 9) = 22 ? 32 = 36 Como mínimo hay 36 libros. 2

136. ● ● Alejandro tiene unas 150 fotografías. Puede pegarlas en un álbum en grupos de 8, 9 o 12 fotografías y sin que le sobre ninguna. ¿Cuántas fotografías tiene Alejandro? 137. ● ● ● Por una vía ferroviaria pasa un tren con dirección a Zaragoza cada 30 minutos y otro con dirección a Gijón cada 18 minutos. Si se han cruzado los dos trenes a las 10 de la mañana, halla a qué hora volverán a cruzarse.

La longitud de cada trozo tiene que ser un divisor de las longitudes de las cuerdas. Tiene que ser el máximo " Problema de m.c.d. SEGUNDO. Se

realizan los cálculos. 4 = 2 6 = 2 ? 3 9 = 32 m.c.d. (4, 6, 9) = 1 Los trozos de mayor longitud son de 1 m. 2

25

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2

Fracciones Alejandro Magno En una ocasión, Roxana, la esposa de Alejandro Magno, le preguntó a su marido: –¿A qué dios le agradeces la conquista del mundo? A lo que Alejandro le contestó: –Mi primer agradecimiento va dirigido a mí mismo; y el segundo, al legado de mi padre: su invencible ejército, la falange macedonia. –Pero los imperios conquistados tenían un ejército, generalmente, más numeroso que el tuyo –replicó Roxana.

DESCUBRE LA HISTORIA...

–La fuerza de mi ejército –explicó Alejandro– reside en su organización, no en su número: cada fila de 16 hoplitas es la cuarta parte de una tetrarquia, que a su vez es la cuarta parte de un syntagma, y 64 de estas unidades de infantería forman la falange. Su simple presencia infunde respeto a los ejércitos enemigos.

1. Busca información sobre Alejandro Magno y la época en que vivió. 2. Explica la organización de la falange macedonia utilizando las fracciones. 3. Averigua cómo se han utilizado las fracciones a lo largo de la historia.

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Antes de empezar la unidad... LECTURA Y REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES Los términos de una fracción se llaman numerador y denominador. Numerador

F

5 7

F

Denominador

Para leer fracciones se lee primero el número del numerador y, después, se expresa el denominador como se indica en la siguiente tabla: 2

3

4

5

6

medios

tercios

cuartos

quintos

sextos

Denominador Se lee

7

8

9

10

séptimos octavos novenos décimos

Si el denominador es mayor que 10, se lee el número añadiendo la terminación -avos. En una fracción el denominador nunca puede ser cero.

F

F

3 se lee tres onceavos 11 Representación de fracciones

Para representar una fracción, se suelen utilizar figuras geométricas que consideramos como la unidad. • Dividimos la unidad en tantas partes como indica el denominador. • Coloreamos tantas partes como indica el numerador. G

3 10

PLAN DE TRABAJO

EVALUACIÓN INICIAL

En esta unidad aprenderás a…

1 Indica cómo se leen las siguientes fracciones.

a) 2 7 7 b) 12

c) 1 4 2 d) 9

e) 12 80 f) 13 17

2 Escribe cómo se lee.

a) Una fracción con numerador 3 y denominador 7. b) Una fracción con numerador 6 y denominador 15. 2. Representa las siguientes fracciones. b) 2 c) 7 a) 3 5 8 2

d) 9 5

• Hallar fracciones equivalentes y calcular la fracción irreducible de una dada. • Reducir fracciones a común denominador. • Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. • Realizar operaciones combinadas con fracciones.

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1

Fracciones

ANTES, DEBES SABER… Qué son los números enteros Cualquier número entero se puede escribir como una fracción con denominador 1. 3 3= 1

El conjunto de números enteros está formado por: • Números enteros positivos: +1, +2, +3, … • El número cero: 0 • Números enteros negativos: -1, -2, -3, …

a , donde a y b son números enteros b llamados numerador, a, y denominador, b, con b ! 0.

Una fracción es una expresión,

EJEMPLO 1 Decide si estas expresiones son fracciones.

a)

3 Numerador: 3 " Es una fracción 2 Denominador: 4 4

b)

7,3 " No es una fracción porque 7,3 no es un número entero. 5

ANTES, DEBES SABER… Para qué se utilizan las fracciones Para expresar situaciones cotidianas que no se pueden indicar con números naturales, surgen otros números como las fracciones: • Para expresar partes de una cantidad. • Al expresar el cociente entre dos números. EJEMPLO 2 Expresa con fracciones las siguientes situaciones.

a) Dividimos una hoja de papel en 7 partes iguales y coloreamos 3. b) Repartimos 50 caramelos en 5 bolsas. a) Denominador " Partes en que se divide la unidad: 7 3 2" 7 Numerador " Partes que se toman: 3 b) Numerador " Dividendo de la división: 50 50 2" 5 Denominador " Divisor de la división: 5

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Decide si son fracciones y, si lo son, indica

el numerador y el denominador. 1, 6 a) 13

7 b) 5

6 c) 2, 3

9 d) 15

2 Escribe en forma de fracción.

a) Repartimos 8 libros en 3 mochilas. b) Dividimos una tarta en 9 trozos y cogemos 4. c) De 24 metros hemos recorrido 13.

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Fracciones equivalentes

2

a c a c y , son equivalentes, y se escribe = cuando b d b d a c representan la misma cantidad. Si = , se cumple que a ? d = b ? c. b d Dos fracciones,

EJEMPLO

DATE CUENTA

3 ¿Son equivalentes las fracciones 3 6 =F 10 5

3

F

3 " 5

6

" 3 ? 10 = 5 ? 6 " 30 = 30 " 5 y 10 son equivalentes.

F

2 3 =F 7 4

3 6 2 3 y ? ¿Y las fracciones y ? 5 10 7 4

6 " 10

" 7 ? 3 = 212 " 8 ! 21 " 7 y 4 no son equivalentes. 2

2?4 = 8

3

Representan la misma cantidad; por tanto, son equivalentes.

2.1 Amplificación y simplificación de fracciones Para obtener fracciones equivalentes de una fracción podemos utilizar dos métodos: • Amplificar fracciones, que consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero. • Simplificar fracciones, que consiste en dividir el numerador y el denominador de la fracción entre un divisor común. EJEMPLO

Siempre existen fracciones equivalentes por amplificación, pero no siempre por simplificación.

4 4 Obtén dos fracciones equivalentes a , una por amplificación y la otra 6 por simplificación. Amplificación 4 4?2 8 = = 12 6 6?2 Como 4 ? 12 = 6 ? 8 "

4 8 son equivalentes. y 6 12

Simplificación 4 4:2 2 = = 3 6 6:2 Como 4 ? 3 = 6 ? 2 "

4 2 y son equivalentes. 6 3

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 ¿Son equivalentes los siguientes pares

de fracciones? a)

15 105 y 6 36

6 Escribe tres fracciones equivalentes por

simplificación y otras tres por amplificación. b)

17 85 y 13 52

c)

12 5 y 30 2

a)

72 120

b)

140 320

c)

450 650

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2.2 Fracción irreducible Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar.

Una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador no tienen divisores comunes.

ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el máximo común divisor Para calcular el máximo común divisor de varios números: 1.º Descomponemos los números en factores primos. 2.º Elegimos los factores comunes elevados al menor exponente. 3.º El producto de estos factores es el m.c.d. de los números. EJEMPLO 3 Obtén el máximo común divisor de 72 y 48.

Primero, descomponemos 72 y 48 en factores primos. 72 2 48 2 36 2 24 2 18 2 12 2 9 3 6 2 3 3 3 3 1 1 72 = 23 ? 32

48 = 24 ? 3

Factores primos comunes: 2 y 3 Al elevarlos al menor exponente: 23 y 3 Así, resulta que: m.c.d. (72, 48) = 23 ? 3 = 24

Para obtener la fracción irreducible de una fracción dada, dividimos el numerador y el denominador entre el máximo común divisor de ambos. EJEMPLO 5 Calcula la fracción irreducible de

72 . 48

72 = 2 3 ? 32 3 " m.c.d. (72, 48) = 23 ? 3 = 24 48 = 2 4 ? 3 72 72 : 24 3 = = 2 48 48 : 24

72

3

" 2 es la fracción irreducible de . 48

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 9 Calcula la fracción irreducible de:

24 36 60 b) 25 a)

c)

540 320

d)

120 90

11 Señala qué fracciones son irreducibles.

1 3 23 b) 17 a)

10 25 57 d) 21 c)

30

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2.3 Reducción a común denominador ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el mínimo común múltiplo Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números: 1.º Descomponemos los números en factores primos. 2.º Elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. 3.º El producto de estos factores es el m.c.m. de los números. EJEMPLO 4 Obtén el mínimo común múltiplo de 4 y 18.

4 2 18 2 2 2 9 3 4 = 22 3 3 1 1 Factor primo común: 2 Factor no común: 3 Al elevarlos al mayor exponente: 22 y 32 Así, resulta que: m.c.m. (4, 18) = 22 ? 32 = 36

18 = 2 ? 32

Reducir fracciones a común denominador consiste en obtener otras fracciones equivalentes que tengan todas el mismo denominador. EJEMPLO 6 Reduce a común denominador las fracciones

5 7 y . 4 18

Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores: 4 = 22 3 " m.c.m. (4, 18) = 22 ? 32 = 36 18 = 2 ? 32 Este valor se toma como denominador común de las fracciones buscadas. Para calcular el nuevo numerador de cada fracción dividimos el m.c.m. entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador. 45 36

7 18

F F

7 ? 2 = 14

36 : 18 = 2

F

36 : 4 = 9

F

F

14 36 F

5 ? 9 = 45

F

F F

F

5 4

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 Halla el mínimo común múltiplo de

los denominadores de las siguientes fracciones y redúcelas a común denominador. 3 7 y 15 18 9 5 b) y 21 12

4 Reduce a común denominador.

a)

7 8 17 , y 10 25 35

b) 5 , 11 y 7 4 16 32

a)

10 Reduce a común denominador.

1 3

2 5

1 4

7 6

1 10

31

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Comparación de fracciones

3

Para comparar dos fracciones podemos calcular sus valores y compararlos, o seguir estos criterios: • Si tienen igual denominador, es mayor la fracción que tiene mayor numerador. • Si tienen igual numerador, es mayor la fracción que tiene menor denominador. • Si tienen distinto numerador y distinto denominador, se reducen a denominador común. EJEMPLO 7 Compara las siguientes fracciones. a)

3

3 2 322" 2 " 4 2 5 5

3 2 y 5 5

" 5 "5

3

3 3 y 5 4

" 5 "

c)

3 4

4 " 4 1 5 " 34 2 35

3 5 7 Como tienen distintos numerador y denominador, , y " reducimos a común denominador. 4 9 12

4 = 22 9 = 32 4 " m.c.m. (4, 9, 12) = 22 ? 32 = 36 12 = 22 ? 3 3 ? 9 = 27

36 : 4 = 9

F

7 12

5 9

27 36 F

F

7 ? 3 = 21

36 : 12 = 3

F F

5 ? 4 = 20

36 : 9 = 4 F

F

F F

F

3 4

Denominador común

G

F

b)

F

20 36

21 36

20 21 27 Ordenamos las fracciones: 1 1 36 36 36 5 7 3 1 1 12 4 9

F

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Ordena estas fracciones de menor a mayor.

a)

8 12 y 15 15

b)

7 2 y 13 13

6 Ordena estas fracciones de mayor a menor.

a)

9 9 y 5 7

b)

17 17 y 2 5

13 Ordena, de menor a mayor, aplicando

los criterios de comparación de fracciones. a)

3 2 1 1 , , y 5 5 4 7

2 3 6 b) , y 9 5 15

c)

6 5 5 10 , , y 8 4 6 8

d)

9 4 7 , y 5 3 12

32

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Operaciones con fracciones

4

4.1 Suma y resta de fracciones Para sumar (o restar) fracciones con igual denominador se suman (o restan) los numeradores y se mantiene el mismo denominador. EJEMPLO

Calcula. a)

18 19 18 + 19 37 + = = 15 15 15 15

b)

8 7 8-7 1 - = = 3 3 3 3

c)

4 7 1 13 7 4 + 7 - 1 + 13 - 7 16 8 + - + - = = = 6 6 6 6 6 3 6 6 F

8

Para simplificar fracciones podemos hallar el máximo común divisor del numerador y del denominador, y obtener la fracción irreducible.

Simplificamos: m.c.d. (16, 6) = 2

Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador se reducen las fracciones a común denominador y, después, se suman (o restan) los numeradores y se mantiene el nuevo denominador. EJEMPLOS Calcula. 2 7 6 + 35 41 + = = a) 15 9 45 45 F

5

Denominador común: m.c.m. (15, 9) = 45

7 5 14 - 5 9 3 = = = 6 12 12 12 4 F

b)

Denominador común: m.c.m. (6, 12) = 12

Calcula:

1 2 3 7 4 + 12 + 9 - 14 11 + + = = 6 4 8 12 24 24 F

9

Denominador común: m.c.m. (6, 4, 8, 12) = 24

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 7 Realiza estas operaciones.

a)

8 2 + 5 15

b) 7 + 5 3 9

8 Resuelve las siguientes operaciones.

a) 7 - 1 5 2

b) 12 - 8 25 35

16 Calcula y simplifica el resultado, si se puede.

a)

2 4 1 + + 3 3 3

d)

4 2 1 + 7 4 2

b)

3 1 1 + 2 5 10

e)

9 1 1 - 5 7 2

c)

3 7 1 - - 4 2 3

f)

7 8 9 - + 5 3 10

33

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4.3 Multiplicación de fracciones El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador, el producto de los denominadores. a c a?c ? = b d b?d EJEMPLO 11 Calcula.

a)

2 9 2?9 18 ? = = 5 7 5?7 35

a)

3 2 7 3?2?7 42 7 ? ? = = = 5 9 4 5?9?4 180 30

4.4 División de fracciones

F

F

Al dividir dos fracciones obtenemos otra fracción que es el resultado de multiplicar los términos de ambas fracciones de manera cruzada. a c a?d : = b d b?c EJEMPLO

e

a o b

n

12 Calcula.

Exponente

G

a)

G

Base de la potencia

5

8 5 8?9 72 24 : = = = 15 5 3 9 3?5

b)

2?7 14 2 9 = : = 45 5 7 5?9

Potencia de una fracción

Para elevar una fracción a una potencia se elevan el numerador y el denominador a dicha potencia. a n a a a a an c m= ? ? ?f? = n b b b b b b 1 4 4 44n2 veces4 4 44 3 EJEMPLO 13 Calcula: d

2 2 2 2 2?2?2?2 24 16 2 4 = 4 = n= ? ? ? = 3 3 3 3 3 3?3?3?3 81 3

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 23 Escribe en forma de potencia.

9 Realiza estas operaciones.

a)

7 3 ? 8 11

b)

7 4 : 2 5

a)

2 2 2 ? ? 5 5 5

b)

1 1 ? 2 2

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Jerarquía de las operaciones

6

ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan operaciones combinadas con números enteros Al operar con números enteros resolvemos: 1.º Las operaciones que hay entre paréntesis. 2.º Las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha. EJEMPLO 6 Resuelve esta operación. Corchetes y paréntesis

F

(-5) ? [(-3) - (-7)] + (+6) : (-2) =


F

= (-5) ? [-3 + 7] + (+6) : (-2) = = (-5) ? (+4) + (+6) : (-2) =

F

= (-20) + (-3) = Sumas y restas

= -20 - 3 = -23

Para realizar operaciones combinadas con fracciones hay que respetar la jerarquía de las operaciones: 1.o Realizar las operaciones que hay entre paréntesis y corchetes, de dentro hacia afuera. o 2. Resolver las potencias y raíces, de izquierda a derecha. 3.o Efectuar las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 4.o Efectuar las sumas y restas, de izquierda a derecha. EJEMPLO 15 Realiza estas operaciones. a) F

Corchetes y paréntesis

=

F

= F

Sumas y restas

1 3 10 12 1 1 3 23 o= - ? + + = - ?e 2 30 30 30 2 2 30 2 m.c.m. (3, 5, 30) = 30


1 3 1 2 1 o= - ?e + + 2 2 3 5 30

=

1 69 1 23 = = 2 60 2 20 10 23 -13 13 == 20 20 20 20


a)

6 8 2 1 + ? - 5 3 5 4

11 Calcula.

b)

7 4 6 3 + - : 8 5 7 5

a)

12 2 4 1 - ? d - n 5 5 7 3

b)

1 44 5 2 -d n: 24 7 9 3

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS F

Denominador

F

2 4 = 14 7 5

Fracciones equivalentes

Numerador

5

Fracción

3 4

" 2 ? 14 = 7 ? 4

Fracción irreducible

24 : m.c.d. (24, 30) 24 4 = = 30 30 : m.c.d. (24, 30) 5

Potencia de una fracción

e

5

3 35 o = 5 4 4


1. Calcular la fracción

2. Reducir fracciones a común

irreducible

denominador

30 . Halla la fracción irreducible de 25

Reduce a común denominador

Primero. Calculamos

el máximo común divisor del numerador y el denominador. 30 2 25 5 15 3 5 5 5 5 1 1

7 8 y . 30 25

Primero. Hallamos el m.c.m.

de los denominadores. 30 = 2 ? 3 ? 5 3 " m.c.m. (30, 25) = 2 ? 3 ? 52 = 150 25 = 52 Segundo. El m.c.m. de los

denominadores es el nuevo denominador de las fracciones. 7 ? 5 = 35

150 : 30 = 5

F

F

F 8 ? 6 = 48 150 : 25 = 6

Segundo. Dividimos

G

8 25

Fracción irreducible

35 150

F

48 150 F

30 30 : 5 6 = = 25 25 : 5 5

F

el numerador y el denominador entre ese número.

F F

F

7 30

F

30 = 2 ? 3 ? 5 3 " m.c.d. (30, 25) = 5 25 = 52

3. Sumar y restar fracciones Realiza esta operación de fracciones:

7 8 2 + 30 25 15

Primero. Si

las fracciones no tienen 30 = 2 ? 3 ? 5 el mismo denominador, las reducimos 25 = 52 4 " m.c.m. (30, 25, 15) = 2 ? 3 ? 52 = 150 a común denominador. 15 = 3 ? 5 7 30

150 : 30 ? 7

=

F F

m.c.m. (30, 25, 15)

Segundo. Cuando

35 150

las fracciones tienen el mismo denominador se suman o restan los numeradores.

8 25

150 : 25 ? 8

= m.c.m. (30, 25, 15)

F F

48 150

2 15

150 : 15 ? 2

= m.c.m. (30, 25, 15)

F F

20 150

7 8 2 35 48 20 63 21 + = + = = 30 25 15 150 150 150 150 50

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4. Multiplicar fracciones

5. Dividir fracciones

8 5 ? 3 4

Realiza esta operación:

Realiza esta operación:

Primero. El

numerador es el producto de los numeradores, y el denominador, el producto de los denominadores. 8 5 8?5 40 ? = = 3 4 3?4 12

Primero. Multiplicamos

segundo. Simplificamos

segundo. Simplificamos

posible.

6 3 : 5 7

la primera fracción por la fracción inversa de la segunda. 6 3 6 7 6?7 42 : = ? = = 5 3 5?3 15 5 7

el resultado, si es

el resultado, si es

posible.

8 5 40 10 ? = = 3 4 12 3

6 3 42 14 : = = 15 5 5 7

6. Realizar operaciones combinadas con fracciones 1 7 3 1 2 - ? e + o : e : 2o = Resuelve aplicando la jerarquía 3 2 2 4 de las operaciones.

Resolvemos los paréntesis y corchetes, y si hay, las potencias y raíces, de izquierda a derecha.

m.c.m. (2, 3) = 6

Primero.

Segundo. Resolvemos

las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. Tercero. Resolvemos

las sumas y restas, y simplificamos el resultado, si se puede.

= 2-

1 14 9 1 2 1 23 1 o:e o = + o:e : o = 2 - ?e ?e 4 6 6 2 1 4 6 4

1? 23 1 23 1 23 ? 4 92 : = 2: = 2= 2= 4?6 4 24 4 24 ? 1 24 48 92 -44 44 11 = === 24 24 24 24 6

= 2-

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras

Sumar y restar fracciones

1. ¿Es 7 una fracción? ¿Y 3, 4 ? 8 5

6. ¿Cuál es el resultado de

1. ¿Son equivalentes las fracciones 3. ¿Cuál es el resultado de d

3 5 y ? 4 7

5 3 n? 7

Multiplicar fracciones 2 1 7. Halla el resultado de ? . 7 4 Dividir fracciones

Calcular la fracción irreducible 4. Halla la fracción irreducible de

6 8 3 + - ? 5 3 4

45 . 18

Reducir fracciones a común denominador 2 6 . 5. Calcula dos fracciones equivalentes a y 9 24

8. Calcula el resultado de 5 :

10 . 3

Realizar operaciones combinadas con fracciones 9. ¿Cuál es el resultado de 2 :

1 9 5 + ? e - 1o? 2 3 3

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Actividades fraccionEs 30. ●● Expresa estas situaciones mediante fracciones. Encuentra las que sean equivalentes. a) Luis se ha comido 3 bombones de una caja que contenía 12 bombones. b) María ha esperado un cuarto de hora. c) Tres de cada nueve niños tienen una mascota. d) El libro de Juan tiene 15 capítulos, de 10 páginas cada uno, y él ha leído 100 páginas. e) Ricardo duerme seis horas diarias. f) El barco ha realizado dos terceras partes del trayecto.

38. ● ● Halla el número que falta para que las fracciones sean equivalentes. 6 9 8 2 = = c) a) d 3 12 d 4 d d 8 b) = d) = 5 10 9 18 12. ● ● Determina el término que falta en cada caso para que las fracciones sean equivalentes. a)

3 9 = 4 d

b)

15 d = 6 20

39. ● Calcula la fracción irreducible.

fracciones equivalentes

a)

34. ● Indica si son equivalentes los siguientes pares de fracciones. 6 36 a) y 8 48 15 60 b) y 12 48

5 15 c) y 4 8 8 24 d) y 5 10

9 72 e) y 13 104 72 123 f) y 25 115

35. ● Calcula cuatro fracciones equivalentes a cada una de estas. 2 a) 7

1 b) 5

c)

11 6

d)

13 2

36. ● Comprueba si son fracciones equivalentes. 6 a) , 5 1 b) , 5

24 -12 y 10 20 3 2 y 15 10

9 24 c) 3, y 3 8 4 7 28 7 d) , , y 7 4 4 28

75 30

b)

182 48

c)

121 11

13. ● Halla la fracción irreducible de cada una de estas fracciones. 150 14 45 b) 12 a)

1128 16 2 386 f) 72

250 36 178 d) 24

c)

e)

COMPARACIÓN DE FRACCIONES 42. ● Ordena estas fracciones, de mayor a menor. a)

7 4 9 , , 3 3 3

b)

5 4 7 , , 12 12 12

c) 1,

7 11 , 6 6

43. ● Copia en tu cuaderno y completa la tabla.

HAZLO ASÍ ¿Cómo se calcula el término desconocido

Fracciones

para que dos fracciones sean equivalentes?

Reducidas a común denominador

Ordenadas de menor a mayor

37. Calcula el número que falta para que 9 4 las fracciones sean equivalentes. y 12 4 Primero. Se

aplica la propiedad que cumplen dos fracciones equivalentes. 9 d = " 9 ? 4 = 12 ? d 4 12

Segundo. Se

despeja el término desconocido. 9?4 9 ? 4 = 12 ? d " d = =3 12

44. ● Ordena, de menor a mayor. a)

1 4 7 , y 3 6 18

2 1 3 b) , y 5 6 2

c)

7 2 1 7 , , y 6 3 18 2

38

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operaciones con FRACCIONES

54. ● Calcula estas divisiones. a)

46. ● Calcula. 3 1 5 + + 2 4 8 5 1 3 1 b) - + - 3 6 2 8 a)

4 1 7 + + 6 4 3 5 1 7 d) + 2 3 6

2 4 : 3 5

b)

c)

9 4 12 4 : c) : 2 6 7 14

d) 3 :

6 4

HAZLO ASÍ ¿Cómo se realizan las operaciones de Multiplicación y división con fracciones negativas?

HAZLO ASÍ

55. Calcula. a) e-

¿Cómo se opera con números enteros y fracciones?

47. Realiza estas operaciones. 7 5 a) b) 3 ? + 4 12 4

Segundo. Se

realiza la operación. 7 7 4 7 + 48 55 +4 = + = = a) 12 12 1 12 12 5 3 5 3?5 15 b) 3 ? = ? = = 4 1? 4 4 1 4

11 - 2 3 15 c) - 7 2

4 3 4 e) 9 - 7 2 f) 3 - 5

1 3 4 7 + o-e + o 2 6 5 3

b) e

7 4 6 2 - o+e + o 3 5 5 7

c) 2 - >

b)

3 6 3 7 3?7 21 7 : = ? = = = 5 6 5?6 30 10 5 7

Segundo. Se

aplica la regla de los signos.

a) 7 : e- 14 o 4

g) 9 +

49. ●● Haz las operaciones. a) e

2 1 2 ?1 2 1 ? = = = 3 4 3?4 12 6

b) -

3 6 7 : e- o = 7 10 5

56. ● ● Calcula.

1 1 6 3 1 1 h) + 5 4 3 1 5 i) 7 - + 2 4

d) 7 +

a)

2 1 1 a) e- o ? =- 4 6 3

48. ● Realiza estas operaciones.

b)

3 6 : e- o 5 7

realiza la operación prescindiendo del signo y se simplifica el resultado, si se puede.

escribe el número entero como una fracción con denominador 1. 4 3 b) 3 = a) 4 = 1 1

3 4

b) -

Primero. Se

Primero. Se

a) 1 +

2 1 o? 3 4

3

b) -5 : c) -

1 2

3 5 ? e- o 5 9

d) e)

6 3 ? 5 10

5 ? (-2) 2

f) -

3 3 : e- o 4 8

g)

1 2 : e- o 4 2

h) - 1 : (-6) 4 9 21 i) - : e- o 2 4

58. ● Haz las operaciones. a) e

2 7 1 : o? 5 3 4

1 2 3 c) 7 : > 4 ? d- 5 nH

b) e

10 5 : o ? 4 3 6

d) 9 : e

8 4 : o 3 9

60. ● Escribe en forma de potencia estos productos, y calcula el resultado.

4 1 2 1 -e + o- H 3 2 5 3

53. ● Efectúa las siguientes multiplicaciones. a)

1 2 ? 2 3

c) 3 ?

b)

3 10 ? 5 2

d)

9 6

7 7 12 ? ? 2 4 21

39

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operaciones combinadas

problemas con fracciones

66. ●● Realiza las operaciones. a) b)

5 1 ? - 2 6 3

d)

7 4 - 3? 2 5

e)

4 10 3 ? 5 8 2

3 7 ? 2 9

f)

7 12 3 ? e- o 9 5 4

c) 4 -

5 1 - 3? 2 4

a) e

3 1 1 6 - o ? e - o 4 6 4 8

b) e

4 3 1 1 1 2 1 1 o?e o e) e - o ? e + o + 5 4 10 4 5 15 3 10

c) e

4 1 2 1 - o?e + o 7 3 21 6

d) e

f) e

5 1 1 1 - o?e - o 2 7 3 6

1 1 1 1 - o?e - o 8 6 2 4

68. ●● Haz estas operaciones, indicando los pasos realizados.

b)

3 1 2 ? - - 1 8 2 5

5 2 7 1 c) - ? e - o 3 5 2 3 d) e

5 2 7 1 - o? 3 5 2 3

69. ●● Realiza las siguientes operaciones. a)

b)

5 2 7 1 -e ? o- 3 5 2 3

7 4 5 d) >e- o ? - 2H ? 3 5 3

5 2 7 1 - e ? - o 3 5 2 3

e) e

c) e

2 3 7 ?5 - o? 3 4 2

b) >e

3 1 1 3 6 o?5 - ? - + 2 5 10 4 5 3 1 1 3 6 - o?5 - H? 2 5 10 4 5

c) 1 -

3 1 1 1 o ? 4 - ?e 2 5 10 3

d) 1 - >

5 3 4 4 - ? o- ?2 4 8 9 5

f) -3 ?

70. ●● Calcula. a) e

¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DE UNA CANTIDAD?

14. En una excursión a un museo asisten 60 3 alumnos de 2.º de ESO. Si del total son 5 chicas, ¿cuántas chicas van? Primero. Se

67. ●● Calcula.

3 1 2 a) ? e - o - 1 8 2 5

HAZLO ASÍ

3 1 2 1 ? 5 - ? e + oH 2 2 3 9

4 7 - e ? 5 - 9o 15 8

identifican los datos.

• Cantidad total: 60 alumnos 3 • Parte: son chicas 5 Segundo. Se

multiplica la fracción que representa la parte por la cantidad total.

3 3 3 ? 60 de 60 = ? 60 = = 36 5 5 5 Al museo asisten 36 chicas.

15. ● ● Se está construyendo una carretera entre dos ciudades que distan 50 km. Si hasta 2 el momento se han construido , 5 ¿cuántos kilómetros son? 2 10 hasta el primer descanso. ¿Cuántos kilómetros se recorren hasta el descanso?

16. ● ● En un viaje de 750 km se han recorrido

17. ● ● En un proyecto del Ayuntamiento de una ciudad se ha aprobado plantar 270 árboles 4 en un nuevo parque. Si se ha decidido que 9 3 2 sean pinos, sean sauces y sean chopos, 9 9 ¿cuántos árboles de cada tipo se van a plantar en el parque? 18. ● ● Ana está leyendo una novela de aventuras. Si la novela tiene 120 páginas 1 y ha leído : 3 a) ¿Cuántas páginas ha leído del libro? b) ¿Cuántas le faltan por leer?

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4 72. ●● Fran ha regado del césped y Raquel 6 4 los restantes. ¿Cuál de los dos ha regado 12 mayor zona de césped?

3 77. ● ● De los 30 alumnos de una clase, son 5 chicas. ¿Cuántos chicos hay? 78. ● ● De una naranja se aprovechan las para hacer zumo y el resto es piel.

73. ●● Un libro se hace con la colaboración de 1 18 personas. De ellas, corresponde a autores, 3 1 1 2 a secretarias, a maquetistas, a dibujantes 9 6 6 y el resto a personal de imprenta. Calcula el número de colaboradores de cada clase. 74. ●● En un colegio hay 1 095 alumnos que realizan 1 2 actividades extraescolares: hace judo, 3 5 estudia italiano y el resto realiza ballet. ¿Cuántos alumnos hacen cada actividad? 75. ●● Un camión transporta 15 toneladas de fruta; 1 son naranjas, 5 2 son manzanas 3 y el resto son peras. ¿Cuántas toneladas de cada fruta transporta el camión?

4 partes 9

Si utilizamos 27 kg de naranjas, ¿qué cantidad de zumo obtendremos? ¿Y de piel? 3 han tenido 8 la gripe. ¿Qué fracción de alumnos no han enfermado? ¿Cuántos alumnos son?

79. ● ● De una clase de 24 alumnos, los

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE HALLA EL TOTAL CONOCIENDO UNA DE LAS PARTES?

3 80. He recorrido 900 metros, que suponen los 7 del recorrido. ¿Cuál es la longitud total? PRIMERO. Se

calcula cuántos metros representa

una parte.

HAZLO ASÍ

300

m

300

m

300

m

¿CÓMO SE CALCULA unA PARTE DEl TOtal? 76. En una fiesta se colocaron 16 bombillas de colores. Al terminar solo funcionaba un cuarto de ellas. ¿Cuántas bombillas se fundieron? PRIMERO. Se

calcula la fracción de bombillas

fundidas. 1 1 1 4 1 3 1- = - = - = 4 1 4 4 4 4 Los

3 de las bombillas terminaron fundidas. 4

SEGUNDO. Se

determina el número que representa la fracción. 3 3 ? 16 48 de 16 = = = 12 bombillas 4 4 4 Se fundieron 12 bombillas.

900 m

Si

3 1 son 900 m " son 900 : 3 = 300 m 7 7

SEGUNDO. Se

determina el total del recorrido. Si una de las 7 partes es 300 m, las 7 partes serán: 300 ? 7 = 2 100 m

81. ● ● Si tres cuartos de kilo de jamón cuestan 15 €, ¿cuánto vale un kilo y medio? 82. ● ● Según una encuesta, las familias españolas 1 dedican de su renta a la adquisición de 3 una vivienda, es decir, destinan un promedio de 11 000 € anuales a este concepto. ¿Cuál es la renta media mensual de una familia española?

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3

Números decimales A lomos del viento El encargo estaba terminado, y a medida que la nave iba ganando velocidad con ayuda del viento, y devoraba kilómetros de playa en dirección a ninguna parte, la cara de los pasajeros se transformaba: la tez de unos se volvía blanca, mientras se sujetaban aterrados a los asideros del carro; por el contrario, la faz de otros enrojecía, a la vez que gritaban como queriendo animar a los invisibles caballos que movían el carro. Su Excelencia, el conde Maurice de Nassau, mecenas de la obra, se sentía plenamente satisfecho. –Señor Stevin, este carro movido por la fuerza del viento que hincha su vela supera con creces mi encargo. Vamos más de veinticinco personas y dejamos atrás a los hombres, que nos siguen a todo galope montados en sus caballos. Simon Stevin se demoró un momento, el tiempo justo que tardó en anotar unas cantidades:

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Busca información sobre Simon Stevin y su relación con Maurice de Nassau. 2. ¿Cuál fue la aportación de Stevin al estudio de los números decimales? 3. Investiga sobre la evolución de los números decimales a lo largo de la historia.

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–Como podéis ver en los cálculos, la velocidad se puede aumentar si utilizamos ruedas más pequeñas, de un metro y veintiséis centímetros.

0 1 2

1 2 6 cm Stevin escribía así el número decimal 1,26.

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Antes de empezar la unidad... DESCOMPOSICIÓN Y LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES Unidades decimales 1 unidad " 1 U

1 décima " 1 d

1 centésima " 1 c

1 milésima " 1 m

F

F

F

1 U = 10 d 1 d = 0,1 U

Descomposición polinómica de un número decimal Parte entera Decenas Unidades 1 6

1 U = 1 000 m 1 m = 0,001 U

1 U = 100 c 1 c = 0,01 U

Parte decimal Décimas Centésimas Milésimas 0 2 7

El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor de cada cifra depende del lugar o posición.

16,027 = 1 ? 10 + 6 + 0 ? 0,1 + 2 ? 0,01 + 7 ? 0,001 Lectura de un número decimal

Para leer un número decimal, primero se lee la parte entera y, después, la parte decimal seguida del orden de unidades que ocupa la última cifra decimal. El número 16,027 se lee: «16 unidades 27 milésimas».

EVALUACIÓN INICIAL 1. Copia y escribe, en cada caso, la equivalencia. a) 47 décimas = 4 centésimas b) 25 centésimas = 4 unidades c) 8 unidades = 4 milésimas d) 13 milésimas = 4 décimas 2. Descompón en sus órdenes de unidades estos números decimales, y escribe cómo se lee cada uno de ellos. a) 4,56 b) 78,004

c) 13,205 d) 0,075

1 Escribe estos números decimales con cifras.

a) Trece unidades cuatro centésimas. b) Veintitrés unidades quince milésimas.

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Reconocer los diferentes tipos de números decimales. • Determinar el tipo de número decimal que expresa una fracción. • Realizar operaciones con números decimales.

43

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1

Números decimales

Un número decimal es un número que se compone de: • Parte entera: cifras situadas a la izquierda de la coma; esta parte del número es mayor que la unidad: unidades, decenas, centenas… • Parte decimal: cifras situadas a la derecha de la coma; esta parte del número es menor que la unidad: décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas… ANTES, DEBES SABER… Para qué sirven los números decimales Los números decimales se utilizan para expresar cantidades comprendidas entre dos números enteros. EJEMPLO

Al añadir ceros a la derecha de un decimal, el número sigue siendo el mismo.

1 Indica situaciones que se puedan expresar con números decimales. Una entrada de cine cuesta 7,50 €. La distancia de la casa de Miguel a la biblioteca es de 2,75 km.

1,35 1,350 1,3500 1,35000 1,350000

Un euro equivale a 1,26 dólares.

ANTES, DEBES SABER… Cómo se comparan números enteros Un número entero es mayor que otro cuando está situado más a la derecha en la recta numérica.

2<5 +2

+5

Para comparar números decimales primero los escribimos con la misma cantidad de cifras decimales, añadiendo ceros a la derecha si es necesario. EJEMPLO 2 Ordena, de menor a mayor, estos números decimales: 7,32; 7,3211; 2; 7,3. 7,32 " 7,3200 7,3211 " 7,3211 2 " 2,0000 7,3 " 7,3000 Eliminamos la coma decimal y comparamos: 20 000 < 73 000 < 73 200 < 73 211 " 2 < 7,3 < 7,32 < 7,3211

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Indica tres situaciones que se puedan expresar

con números decimales.

1 Ordena, de mayor a menor, los siguientes

números decimales. a) 6,1; 4,22; 4,02; 6,11; 3,99; 3,9

2 Ordena de menor a mayor.

a) 5,67; 4,97; 6; 4,89

b) 0,541; 0,57; 0; 0,55

b) 5,602; 5,611; 5,6005; 5,60102 c) 0,02; -1,05; 0,8; 0,12; -0,025; 0,07

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2

Fracciones y números decimales

• Un número decimal es exacto cuando tiene un número finito de cifras decimales. • Un número decimal es periódico cuando tiene infinitas cifras decimales y, además, una o varias de ellas se repiten indefinidamente. La cifra o grupo de cifras que se repiten se llama período. – Si el período empieza inmediatamente después de la coma, es un decimal periódico puro. – Si el período no empieza justo después de la coma, es un decimal periódico mixto. A las cifras decimales no periódicas se las llama anteperíodo. • Un número decimal es no exacto y no periódico cuando tiene infinitas cifras decimales y ninguna de ellas se repite periódicamente.

SE ESCRIBE ASÍ Para escribir de forma abreviada números decimales periódicos colocamos un arco sobre las cifras que componen el período. ! 1,666… = 1,6 Anteperíodo

! 1,066… = 1,06

Período

EJEMPLO 1 Clasifica estos números decimales.

7,24 " Número finito de cifras decimales " Exacto 7,222… " Se repite indefinidamente 2 " Periódico puro 7,24343… " Después de la coma hay un 2 y a continuación se repite indefinidamente 43 " Periódico mixto

Expresión de una fracción como número decimal Para expresar una fracción como número decimal se divide el numerador entre el denominador.

Si divides 13 : 30 con la calculadora, obtienes 0,4333333333, por tanto, se trata de un número periódico mixto.

EJEMPLO 4 Expresa estas fracciones como números decimales. 8 " 8 : 4 = 2 " Número entero 4 69 " 69 : 30 = 2,3 " Decimal exacto 30 ! 13 " 13 : 30 = 0,433… = 0,43 " Decimal periódico mixto 30

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Clasifica estos números decimales.

a) 61,454545… b) 2,5 c) 7,3333… d) 34,65555…

e) 58,37777… f) 0,55 g) 6,34444… h) 9,763333…

3 Expresa como números decimales e indica el tipo.

17 3 27 b) 20

a)

53 15 15 d) 5

c)

45

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3

Operaciones con números decimales

3.1 Suma y resta de números decimales ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan sumas y restas combinadas con números enteros Primero resolvemos los paréntesis, si los hay, y después las sumas y restas de izquierda a derecha. Sin paréntesis Con paréntesis 23 - 5 - 4 = 18 - 4 = 14 23 - (5 - 4) = 23 - 1 = 22

Para sumar y restar dos números decimales se siguen estos pasos: • Se colocan de forma que las comas coincidan en la misma columna. • Se añaden ceros, si es necesario, para que los dos números tengan la misma cantidad de cifras decimales. • Se suman o restan como si fueran números enteros, y se mantiene la coma del resultado en la columna correspondiente. EJEMPLOS 2

Realiza estas operaciones. a) 56,63 + 12,3

5 6,6 3 + 1 2,3 0 6 8,9 3

c) 36,5 - (22,73 + 7,007) 2 2,7 3 0 + 7,0 0 7 2 9,7 3 7

b) 76,5 - 52,81

5

1.er DÍA

F

En su entrenamiento, un ciclista ha recorrido 32,5 km el primer día;

Segundo día

1,375 km

ÍA 2.º D

3 6,5 0 0 - 2 9,7 3 7 6,7 6 3

el segundo, 1,375 km más que el primero, y el tercero, 2,96 km menos que el segundo. ¿Cuántos kilómetros recorrió el segundo y el tercer día?

km 32,5

+

7 6,5 0 - 5 2,8 1 2 3,6 9

2,96

km

F

3 2,5 0 0 Tercer día + 1,3 7 5 3 3,8 7 5 km

F

3 3,8 7 5 - 2,9 6 0 3 0,9 1 5 km

El segundo día recorrió 33,875 km y el tercero, 30,915 km.


a) 23,07 + 16,9 b) 123,045 + 8,9 c) 80,5 + 12,7

7 Efectúa estas operaciones.

d) 12,07 - 5,3 e) 73,15 - 17,345 f) 89,2 - 27,37

a) 72,82 + 4,003 + 9,0195 b) (5,02 - 3,009) + (7,96 - 2,1) c) 42,78 - (13,25 - 10,9672)

46

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3.2 Multiplicación de números decimales ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan operaciones combinadas de suma, resta y multiplicación con números enteros Primero resolvemos los paréntesis, si los hay; después, las multiplicaciones de izquierda a derecha, y, por último, las sumas y restas de izquierda a derecha. Sin paréntesis Con paréntesis 73 - 5 ? 4 = 73 - 20 = 53 23 ? (15 - 4) = 23 ? 11 = 253

Para multiplicar dos números decimales se siguen estos pasos: • Se multiplican como si fueran números enteros. • Se coloca la coma en el resultado, separando tantas cifras, contando de derecha a izquierda, como decimales sumen entre ambos factores. EJEMPLOS 3

Realiza estas operaciones. a) 6,312 ? 1,3 G

3 decimales

G

1 decimal

G

6,3 1 2 # 1,3 1 8 9 3 6 6 3 1 2 8,2 0 5 6

4 decimales

G

b) 86,1 - (5,234 ? 7,2)

6

5,2 3 4 # 7,2 10468 3 6 6 3 8 3 7,6 8 4 8

F

8 6,1 0 0 0 - 3 7,6 8 4 8 4 8,4 1 5 2

Fernando ha comprado una estatuilla en Perú que le ha costado 9,5 soles. ¿Cuántos euros pagó si 1 sol equivale a 0,24 €?

La estatuilla le costó 2,28 €.

G

2 decimales

G

1 decimal

G

0,2 4 # 9,5 120 216 2,2 8 0

G

3 decimales

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 8 Resuelve.

a) 3,2 ? 0,45 b) 7,25 ? 2,042

9 Haz las siguientes operaciones.

a) (5,03 - 4,95) ? 1,26 b) 9,82 + 6,2 ? 0,02

47

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3.3 División de números decimales ANTES, DEBES SABER… Cuáles son los términos de la división Dividendo Resto

27 2 07 13 1

F

F F

Divisor Cociente

F

Estudiamos los distintos casos que pueden surgir.

El divisor es un número entero: • El dividendo es un número decimal. 7 2,48 F

17, 41 03,4

Si el divisor es un número entero y el dividendo es decimal, se añade la coma en el cociente al bajar la primera cifra decimal.

03,61 03,45 • El dividendo es un número entero. Al multiplicar el dividendo y el divisor de una división por el mismo número, el cociente no varía.

7 2,42 F

17,00 03,0 03,20 03,46

Si el divisor y el dividendo son números enteros, para obtener cifras decimales en el cociente convertimos el dividendo en número decimal añadiendo una coma y, después, tantos ceros como cifras decimales deseemos en el cociente.

El divisor es un número decimal: • El dividendo es un número entero. 17,00

0, 71 G

G

2 decimales

Si el divisor es un número decimal y el dividendo es un número entero, se suprime la coma del divisor y se añaden tantos ceros al dividendo como cifras decimales tenga el divisor.

1700 71 0280 23 0367 • El dividendo es un número decimal. 17,2

0, 71

G

2 decimales

1720 0300 0316

71 24

G

Si el divisor y el dividendo son números decimales, se suprime la coma del divisor y se desplaza la coma en el dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tenga el divisor. Si es necesario, se añaden ceros al dividendo.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Resuelve estas divisiones.

a) 459,3 : 5

b) 37,485 : 14

5 Calcula.

c) 478 : 7,86

a) 47,25 : 3,32 b) 19,34 : 4,2 c) 319 : 33

48

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5

Aproximación

5.1 Aproximar números decimales ANTES, DEBES SABER… Cómo se aproximan números naturales Aproximar un número es sustituirlo por otro número cercano a él. EJEMPLO 4 Expresa de forma aproximada estos precios.

99 786 €

13 138 €

La casa cuesta unos 100 000 €.

El coche cuesta unos 13 000 €.

Existen dos métodos para aproximar un número: el redondeo y el truncamiento.

Redondear un número decimal a un cierto orden consiste en eliminar las cifras de los órdenes inferiores a él y, además:

En general, redondear es más exacto que truncar.

• Si la cifra siguiente a la del orden que redondeamos es mayor o igual que 5, sumamos una unidad a la cifra del orden de redondeo. • Si es menor que 5, no modificamos la cifra del orden de redondeo. Truncar un número decimal a un cierto orden consiste en eliminar las cifras de los órdenes inferiores a él. EJEMPLO 7 Aproxima mediante redondeo y truncamiento el número 35,4929. A las milésimas

A las centésimas

A las décimas

Redondeo

35,493

35,49

35,5

Truncamiento

35,492

35,49

35,4

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 6 Redondea y trunca a las décimas los siguientes

números decimales. a) 7,895 b) 12,13

21 Aproxima por redondeo y por truncamiento

a las centésimas estos números decimales. c) 0,43 d) 3,567

a) 156,2593 b) 1,2064

c) 36,243 d) 9,0503

49

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Número decimal Anteperíodo

G

Parte entera

G

# 17,208

F

Período

F

Parte decimal

Número decimal exacto 0,03 -12,2 ! # Número decimal periódico puro 0,03 -12,2 ! ! Número decimal periódico mixto 0,03 -12,02


1. COMPARAR NÚMEROS DECIMALES 23,63

Ordena, de menor a mayor: 23,63; 23,6; 22,7. PRIMERO. Comparamos

la parte entera de

23,6

22,7 >

=

los distintos números.

El número menor es 22,7.

SEGUNDO. Si

la parte entera es igual, comparamos su parte decimal añadiendo ceros hasta tener las mismas cifras decimales en ambos números.

23,63

23,60 = >

Es mayor el número con mayor parte decimal, comparado cifra a cifra.

22,7 < 23,6 < 23,63

2. DETERMINAR EL TIPO DE NÚMERO DECIMAL QUE EXPRESA UNA FRACCIÓN Determina el tipo de número decimal que expresan estas fracciones. a)

14 7

b)

19 25

c)

11 9

d)

33 45

PRIMERO. Si

al dividir numerador entre denominador el cociente no tiene cifras decimales, es un número entero.

SEGUNDO. Si

al dividir numerador entre denominador el cociente tiene un número finito de cifras decimales, es un decimal exacto.

a) 14 : 7 = 2 " Número entero

b) 19 : 25 = 0,76 " Decimal exacto

TERCERO. Si al dividir numerador entre denominador, en el cociente se repiten cifras de forma indefinida inmediatamente después de la coma, el número es periódico puro. Si se repiten, pero no inmediatamente después de la coma, es periódico mixto.

c) 11 : 9 = 1,222… " Periódico puro d) 33 : 45 = 0,733… " Periódico mixto

2. SUMAR Y RESTAR NÚMEROS DECIMALES Calcula. a) 53,13 + 82,6 b) 25,7 - 9,04 PRIMERO. Colocamos

los números, de forma que las comas decimales estén en la misma columna, y añadimos los ceros necesarios para que todos tengan el mismo número de cifras decimales.

SEGUNDO. Sumamos

5 3,1 3 + 8 2,6 0 1 3 5,7 3

2 5,7 0 - 9,0 4 1 6,6 6

o restamos como si fueran números naturales, manteniendo la coma en su lugar.

50

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3. MULTIPLICAR NÚMEROS DECIMALES Calcula: 43,003 ? 8,06 los números decimales como si fueran

números naturales. SEGUNDO. Colocamos la coma en el resultado, separando tantas

cifras como decimales sumen entre los dos factores, contando de izquierda a derecha.

4 3,0 0 3 # 8,0 6 258018 344024 3 4 6, 6 0 4 1 8

F

3 cifras decimales

F

2 cifras decimales

G


F

5 cifras decimales

4. DIVIDIR NÚMEROS DECIMALES Calcula. a) 26,03 : 3 b) 2 603 : 0,3 c) 26,03 : 0,3 • División de un número decimal entre un número natural PRIMERO. Dividimos

a) 2 6,0 3 3 2 0 8,6 7 23 2

como si fueran números naturales.

SEGUNDO. Al bajar la

primera cifra decimal, ponemos una coma

en el cociente. • División de un número natural entre un número decimal

• División de un número decimal entre un número decimal


el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor.


b) 2 603 : 0,3 " )

c) 26,03 : 0,3 " )

2 603 ? 10 = 26 030 0,3 ? 10 = 3 26030 3 2 0 8676 23 20 2

SEGUNDO. Realizamos

la división como si fueran números naturales.

el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor. 26,03 ? 10 = 260,3 0,3 ? 10 = 3

SEGUNDO. Si

en el dividendo siguen apareciendo decimales, resolvemos la división como en el primer caso.

2 6 0,3 3 2 0 8 6,7 23 2

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. Clasifica estos números decimales. ! # a) 0,445 d) 56,7 b) 7,008 # c) 4,003

e) 7,445556666… f) 2,37

Sumar y restar números decimales 2. Calcula: 12,433 + 7,009 - 0,56 Multiplicar números decimales 3. Realiza estas multiplicaciones. a) 7,003 ? 3,4

b) 70,03 ? 34

Comparar números decimales

Dividir números decimales

1. Ordena de menor a mayor.

4. Efectúa estas divisiones.

2,003

2

2,3

2,03

a) 7,003 : 3,4

b) 70,03 : 34

c) 73 ? 3,01

c) 72 : 2,02

51

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Actividades Números decimales

Comparación de números decimales

28. ● Expresa numéricamente las siguientes cantidades.

7. ● Decide qué número es mayor en cada caso.

a) Cuatro centésimas. b) Seis décimas. c) Trece milésimas. d) Ciento ocho unidades cuatro milésimas. e) Mil una unidades siete diezmilésimas. f) Catorce unidades dos centésimas.

a) 4,34; 5,34 b) 6,71; 6,77; 6,75 c) 11,003; 10,003; 11,1003 d) 13,87; 13,78; 13,877 8. ● Ordena de menor a mayor. a) 12,134; 11,34; 12,14 b) 26,451; 26,177; 26,475 c) 1,103; 1,013; 1,113

29. ● Escribe cómo se leen estos números. a) 3,24 b) 49,3 c) 0,001 d) 1,03

e) 102,04 f) 1 800,556 g) 2,00005 h) 25,5759

33. ● Ordena los siguientes números decimales exactos, de menor a mayor.

30. ● Copia en tu cuaderno y completa la tabla de descomposición de números. Número

C

D

U

d

c

1

2

5

9

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

12,59

m

385,075 0,002

a) 0,75; 0,57; 0,507; 0,705 b) 0,102; 0,05; 0,105; 0,501; 0,251 34. ● Copia y completa con un número decimal exacto. a) 14,065 > 4 > 13,95 b) 14,065 > 4 > 14,06 c) 14,065 > 4 > 14,061 d) 14,065 > 4 > 14,0651

105,426

HAZLO ASÍ

2,359

31. ● Copia y completa. a) Dos unidades son 4 milésimas. b) Una décima es 4 centésimas. c) Tres unidades y dos décimas son 4 milésimas. d) Veinte milésimas son 4 centésimas. 32. ●● Indica si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. a) 1,05 unidades equivalen a ciento cinco centésimas. b) Cuatro unidades y tres décimas son cuatro unidades y treinta centésimas. c) Entre 2,452 y 2,453 no existe ningún número. d) 3,005 es mayor que 3,05. e) Tres unidades con dos décimas equivalen a treinta y dos mil milésimas.

¿CÓMO SE DETERMINA UN NÚMERO DECIMAL COMPRENDIDO ENTRE OTROS DOS? 9. Calcula un número decimal comprendido entre 7,3 y 7,32. PRIMERO. Se

escriben los números con la misma cantidad de cifras decimales, añadiendo ceros a la derecha si es necesario. 7,3 " 7,30 7,32 " 7,32

SEGUNDO. Se

añaden al número menor más cifras decimales distintas de 0. 7,30 < 7,301 < 7,302 < 7,3021 < … < 7,32 Observa que entre dos números decimales cualesquiera siempre hay infinitos números decimales distintos. 35. ● Escribe tres decimales entre cada par. a) 2,3 y 3,6 b) 2,3 y 2,4

c) 2,31 y 2,32 d) 2,31 y 2,311

52

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Clases de números decimales 41. ● Señala el período y el anteperíodo de estos números periódicos. a)

f)

b)

g)

c)

h)

d)

i)

e)

j)

Operaciones con números decimales 53. ● Efectúa estas operaciones. a) 4,5 + 6,7 b) 7,05 + 8,19 c) 9,06 + 1,7 d) 152,3 + 4,938 e) 27,92 - 8,03 f) 359,157 - 148,049 g) 0,03 - 0,003 h) 10,45 - 7,6923

HAZLO ASÍ 43. ● Indica a qué clase de números decimales corresponde la expresión decimal de estas fracciones. a)

39 70

c)

39 8

e)

39 125

g)

39 60

b)

78 39

d)

39 40

f)

39 180

h)

117 39

45. ● Realiza la división y di si el resultado es un número periódico puro o periódico mixto, indicando la parte entera y el período. a)

2 9

c)

26 180

e)

1 198

b)

8 11

d)

29 900

f)

100 36

46. ●● Escribe tres fracciones que den lugar a: a) Números enteros. b) Números decimales exactos. c) Números decimales periódicos. 48. ●● Escribe los números decimales con estas características y di a qué clase corresponden. a) Parte entera 26 y período 5. b) Parte entera 8 y período 96. c) Parte entera 5 y parte decimal 209. d) Parte entera 0, parte decimal no periódica 4 y período 387. e) Parte entera 1, parte decimal no periódica 0 y período 3.

¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDO EN UNA SUMA O UNA RESTA DE NÚMEROS DECIMALES? 10. Halla el término que falta para que el resultado sea correcto. a) 12,99 + 4 = 98,3 b) 7,45 - 4 = 3,99 c) 4 - 7,774 = 987,9 PRIMERO. Se

identifica el término desconocido. a) Es uno de los sumandos de una suma. b) Es el sustraendo de una resta. c) Es el minuendo de una resta.

SEGUNDO. Si

el término es: • Un sumando, se obtiene restando al resultado el otro sumando. • El sustraendo, se obtiene restando al minuendo el resultado. • El minuendo, se obtiene sumando al resultado el sustraendo. a) 4 = 98,3 - 12,99 = 85,31 b) 4 = 7,45 - 3,99 = 3,46 c) 4 = 987,9 + 7,774 = 995,674 11. ● ● Determina el término que falta en cada operación. Explica cómo lo haces. a) 19,75 + 4 = 133,86 b) 87,19 - 4 = 8,464 c) 29,572 - 4 = 16,413 d) 4 - 105,97 = 552,37 e) 4 - 45,16 = 127,07 f) 4 + 23,58 = 79,05

53

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56. ● Realiza estas operaciones.

HAZLO ASÍ

a) (4,2 + 7,98) - 5,32 b) (11,95 - 6,792) - 0,04 c) (263,45 - 193,3) + 10,7629 d) 7,005 - (96,82 + 13,99)

¿CÓMO SE MULTIPLICA Y SE DIVIDE UN NÚMERO DECIMAL POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS? 63. Calcula.

57. ● Calcula. a) (21,5 + 7,96) - (14,3 + 2,857) b) (52,89 - 26,14) - (3,25 - 1,0002) c) (62,36 + 39,485) + (15,942 - 6,7) d) (100,9 - 9,99) - (70,7 + 5,006) d) 57,3 : 7,2 e) 158 : 6,3 f) 9 437,02 : 3,125

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES

COMBINADAS CON NÚMEROS DECIMALES?

59. Calcula: 4,56 : 2 + 3 ? (7,92 - 5,65) PRIMERO. Se

c) 84,26 : 10

b) 5,2 ? 1 000

d) 5,2 : 1 000

PRIMERO. Para

58. ● Calcula. a) 49,5 : 8 b) 148,725 : 3 c) 4 536,65 : 4

a) 84,26 ? 10

realizan las operaciones entre

paréntesis. 4,56 : 2 + 3 ? (7,92 - 5,65) = 4,56 : 2 + 3 ? 2,27 SEGUNDO. Se

resuelven las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, y por último, las sumas y restas en el mismo orden. 4,56 : 2 + 3 ? 2,27 = 2,28 + 6,81 = 9,09

multiplicar se mueve la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. En el caso de que no haya cifras suficientes, se completa con ceros el resultado. a) 84,26 ? 10 = 842,6 b) 5,2 ? 1 000 = 5 200

SEGUNDO. Para

dividir se mueve la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. En el caso de que no haya cifras suficientes, se completa con ceros el resultado. c) 84,26 : 10 = 8,426 d) 5,2 : 1 000 = 0,0052

64. ● Efectúa estas multiplicaciones y divisiones. a) 0,02 ? 10

d) 0,02 : 10

b) 1,05 ? 100

e) 1,05 : 100

c) 0,145 ? 100

f) 0,145 : 100

65. ● ● Resuelve estas operaciones, respetando la jerarquía de las operaciones. a) 54,2 - 7,2 ? 10 b) (513,02 - 79,7) ? 1 000

60. ●● Dados los números decimales:

a = 35,49

calcula. a) b - a b) a + c c) a - c d) b - c

b = 67,50

c = 15,75

e) 2 ? b + 3 ? c f) 4 ? a - 2 ? c g) a + b h) b + c

i) b - 2 ? c j) b : 2 k) c : 3 l) a : 7

61. ●● Haz las operaciones. a) 2,4 ? (3,02 + 0,456) - (9,231 + 0,4) b) 12,84 : 3,21 - (16,001 + 0,225) ? 1,2 c) 102,48 : 4,27 ? 1,2 - 445,98 62. ●● Resuelve, respetando la jerarquía de las operaciones. a) 33,7 ? 4,5 + 7,2 ? 0,05 b) (33,7 ? 4,5 + 7,2) ? 0,05 c) 33,7 ? (4,5 + 7,2 ? 0,05)

c) (148,35 - 9,6 ? 100) - 10,467 66. ● ● Resuelve estas operaciones, respetando la jerarquía de las operaciones. a) 17,94 ? 100 - 8,05 : 0,6 b) 9,8 ? 10 + 41,96 : 1 000 c) 100,15 : 100 - 3,995 ? 0,05 d) (8,72 - 7,85) ? 0,1 - 0,2 e) 18,9654 : (1,35 + 1,05) f) 9,025 - 2,46 : (1,3 + 0,01) 67. ● ● Copia y completa las series. a) 15 b) 50

+ 0,25

+ 0,25

+ 0,25

- 0,75

- 0,75

- 0,75

? 2,1

? 2,1

? 2,1

" 4

c) 1,5

" 4

" …

" …

" 4

d) 76,527504

: 1,8

" 20 " 35

" …

" 4

" 29,17215

: 1,8

" …

: 1,8

" 4,05

54

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Aproximación 76. ● Trunca y redondea 72,289 a las décimas. 77. ● Trunca y redondea 0,397 a las centésimas. 78. ● Trunca y redondea 125,3925 a las milésimas. 79. ● Copia y completa la tabla con las aproximaciones de los siguientes valores: ! ! # 5 1,25667 2,5 22,45 0,547 A las décimas

A las centésimas

A las milésimas

Truncamiento

88. ●● Un padre quiere repartir 15,70 € entre sus cuatro hijos a partes iguales. ¿Cuánto recibirá cada uno?

89. ●● Tengo que pagar 192,75 € en tres plazos: • En el primer plazo pago la mitad. • En el segundo plazo, la tercera parte. • Y en el tercero, el resto.

Calcula cuánto pagaré en cada plazo.

90. ●● Si una pulgada equivale a 2,54 cm:

Redondeo

12. ●● Trunca y redondea a las décimas y a las centésimas estos números decimales. a) 18,504 b) 132,856

c) 0,743 d) 53,557

a) ¿Qué longitud tiene un televisor de 27 pulgadas? ¿Y uno de 24 pulgadas?

b) ¿Cuántas pulgadas son 45,725 cm?

91. ●● Una onza equivale a 28,35 g.

PROBLEMAS CON NÚMEROS DECIMALES

a) ¿Cuántas onzas tiene 1 kg? ¿Y 560 g?

b) ¿Cuántos gramos serían 5,7 onzas?

92. ●● Un barril americano contiene 158,98 ¬ .

86. ●● En la frutería he comprado 2,4 kg de naranjas; 1,56 kg de manzanas; 0,758 kg de uvas; 545 g de fresas y 255 g de cerezas.

a) ¿Cuántos barriles podemos llenar con 317 960 ¬ de petróleo? ¿Y con 1 000 000 ¬?

b) ¿Cuántos litros son 250 barriles?

93. ●● Una tira de papel mide 29 cm de largo. ¿Cuántas tiras necesitamos para obtener una tira de 2,4 m de largo? 94. ●● Sabiendo que una milla terrestre es 1,6093 km, ¿cuántos metros y kilómetros son 2,35 millas? ¿Y 0,6 millas? 95. ●● Un nudo es una milla marina/h y una milla marina es 1,852 km. La velocidad de un barco es de 60 nudos. ¿Cuántos kilómetros recorre en tres horas?

a) ¿Cuánto pesa la compra? b) ¿Cuánto dinero me he gastado? kg

Naranjas: 1,90 €/

Cerezas: 3,05 €/kg

96. ●● Un glaciar retrocede 2,8 cm al año por el deshielo. ¿Cuánto tardará en retroceder 5 m?

Fresas: 2,8

7 €/kg

Manzanas: 1,25 €/kg

Uvas: 2,36 €/kg

87. ●● El alumno más alto de la clase mide 172 cm y el más bajo 148 cm. Calcula la diferencia entre ambos y exprésala en metros.

55

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4

Sistema sexagesimal El amo de la Luna La nave de Colón llevaba tiempo embarrancada en la isla de Jamaica, sus hombres amenazaban con un motín y, para acabar de comprometer la situación, los indígenas, cansados de intercambiar espejitos y cuentas, se negaban a abastecerlos de comida. La situación era desesperada y Colón, para calmar a sus hombres, les prometió comida y citó a los jefes indígenas esa misma noche. –¡Sabed que me habéis enojado y, por vuestra negativa a colaborar, haré que la Luna se torne roja de sangre y luego desaparezca!

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Regiomontanus fue el matemático más influyente del siglo xv. Investiga sobre su vida y sus aportaciones a la ciencia. 2. ¿Cómo pudo influir el trabajo de Regiomontanus en el descubrimiento de América por Cristóbal Colón? 3. Busca información sobre el sistema sexagesimal a lo largo de la historia.

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56

Los jefes indios miraron la Luna y, tras comprobar cómo se cumplían las amenazas de Colón, le pidieron aterrorizados que resucitara la Luna, prometiéndole seguir llevando comida para él y sus tripulantes. Colón movió los brazos, como invocando a alguien, y les aseguró: –La Luna aparecerá de nuevo esta misma noche, pero si faltáis otra vez a vuestra palabra jamás la volveréis a ver. Después de esto se retiró satisfecho a sus aposentos, felicitándose por haber llevado consigo el Ephemerides del famoso matemático Regiomontanus, donde se predecía el eclipse que acababa de ocurrir. Regiomontanus escribió también sobre ángulos, midiéndolos en grados, minutos y segundos.

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11:15

Antes de empezar la unidad... SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Magnitudes y unidades

Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir, y su valor puede ser expresado mediante un número. El peso es una magnitud.

La longitud es una magnitud.

Esta cuerda mide 16 m.

El sistema métrico es decimal porque sus unidades se relacionan entre sí mediante potencias de 10.

El melón pesa 1,5 kg.

El Sistema Métrico Decimal se compone de las unidades de medida de longitud, superficie, volumen, capacidad y masa. Transformación de unidades

Para transformar una unidad en otra en el sistema métrico decimal, se multiplica o se divide sucesivamente por una potencia de 10. • En el caso de las unidades de longitud, de capacidad y de masa, se multiplica o se divide por 10.

: 10

cm

: 10

mm

F

dm

F

F

F

F

: 10

F

: 10

m

? 10 F

dam

? 10 F

hm

? 10 F

F

F

km

? 10

F

? 10

? 10

: 10

: 10

• Para transformar unidades de superficie, se multiplica o se divide por 100 y para unidades de volumen, por 1 000.

EVALUACIÓN INICIAL 1 Decide si las siguientes cualidades son magnitudes.

a) La distancia entre dos ciudades. b) La amistad. c) La estatura de una persona. d) La temperatura de una ciudad. 2 Escribe la unidad que utilizarías para medir las magnitudes de la

actividad anterior. 3 Expresa en la unidad indicada en cada caso.

a) 23 km en m. b) 750 dm en km. c) 245 m2 en dm2. d) 1250 dam2 en km2.

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Medir ángulos y tiempo en el sistema sexagesimal. • Expresar medidas de ángulos y tiempo en forma compleja e incompleja. • Realizar operaciones de sumas y restas, de medidas de ángulos y tiempo.

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1

Sistema sexagesimal

ANTES, DEBES SABER…

B

Qué es un ángulo y cómo se mide

Llamamos ángulo a la abertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto. Para medir ángulos utilizamos el transportador y expresamos su medida en grados. Un grado es el ángulo que resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales.

60o

A

El sistema sexagesimal lo utilizamos para medir amplitudes de ángulos y períodos de tiempo menores que el día.

1.1 Unidades de medida de ángulos La unidad de medida de ángulos en el sistema sexagesimal es el grado, y se expresa mediante el símbolo °. Para medir ángulos con más precisión se utilizan unidades menores que el grado: el minuto (') y el segundo ("). En el sistema decimal cada unidad es 10 veces mayor que la unidad inmediatamente inferior.

Símbolo ° ' "

Equivalencia 1° = 60' 1' = 60" 1° = 3 600"

Cada unidad es 60 veces mayor que la unidad inmediatamente inferior y 60 veces menor que la unidad inmediatamente superior. ? 60

? 60

: 60

F

F

? 3 600

F

F

F

Grado Minuto Segundo

: 60

Grado Minuto Segundo F

En el sistema sexagesimal cada unidad es 60 veces mayor que la unidad inmediatamente inferior.

Unidad Grado Minuto Segundo

: 3 600

EJEMPLOS 1 Expresa en segundos. a) 125' " 125 ? 60 = 7 500" 2 Expresa en la unidad indicada. a) 240' en grados $ 240 : 60 = 4° b) 3 240" en minutos " 3 240 : 60 = 54' c) 162 000" en grados " 162 000 : 60 = 2 700' " 2 700 : 60 = 45°

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Expresa en minutos.

a) 300" b) 1 380"

2 Calcula.

c) 150° d) 480°

a) ¿Cuántos grados son 64 800"? b) ¿Y cuántos segundos son 10°?

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1.2 Unidades de medida de tiempo Las unidades de medida de tiempo son el siglo, el año, el mes, el día… Para medir períodos de tiempo menores que el día utilizamos la hora (h), el minuto (min) y el segundo (s). Al igual que las unidades de medida de ángulos, la hora, el minuto y el segundo forman un sistema sexagesimal, porque 60 unidades de un orden forman 1 unidad del orden superior. Unidad Hora Minuto Segundo

Símbolo h min s

Equivalencia 1 h = 60 min 1 min = 60 s 1 h = 3 600 s

Cada unidad es 60 veces mayor que la unidad inmediatamente inferior y 60 veces menor que la unidad inmediatamente superior. ? 60

Hora

F

Minuto Segundo ? 3 600

: 60 F

F

F

F

Hora

: 60

Minuto Segundo

F

? 60

: 3 600

1 día = 24 horas 1 lustro = 5 años 1 siglo = 100 años 1 milenio = 1 000 años

EJEMPLOS 3 Expresa en segundos. a) 20 min b) 3 h

" 20 ? 60 = 1 200 s " 3 ? 60 = 180 min " 180 ? 60 = 10 800 s

4 Expresa en la unidad indicada. a) 1 080 s en minutos " 1 080 : 60 = 18 min b) 360 min en horas " 360 : 60 = 6 h c) 14 400 s en horas " 14 400 : 60 = 240 min " 240 : 60 = 4 h

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Transforma en segundos las siguientes

medidas de tiempo. a) 100 min b) Media hora

c) 1,5 h d) 60 min

6 Expresa en minutos.

a) 2,5 h b) 2 días

c) 3 600 s d) 14 400 s

7 Calcula la equivalencia en horas.

a) 90 000 s b) 3 120 min c) 1 semana

1 Expresa en la unidad indicada en cada caso.

a) 25 200 s en horas b) 300 s en minutos c) 9 min en segundos d) 5 h en segundos 8 Si la jornada diaria de un estudiante de ESO

es de 6 horas, expresa ese tiempo en minutos y también en segundos. 9 Expresa en segundos la duración de un partido

de baloncesto que tiene cuatro tiempos de 10 minutos cada uno.

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2

Forma compleja e incompleja

2.1 Expresiones complejas e incomplejas Una medida de ángulos o de tiempo puede ser expresada de dos maneras: • De forma compleja, es decir, utilizando varias unidades. 2 h 42 min 13 s 24° 19' 45" • De forma incompleja, es decir, utilizando una sola unidad. 4,5 h 29° 3,25 min 190"

2.2 Paso de forma compleja a incompleja ANTES, DEBES SABER… Cómo se pasa de forma compleja a incompleja en el sistema métrico decimal Multiplicamos por la potencia de 10 correspondiente para expresar todas las unidades en la unidad que se pide y las sumamos.

CALCULADORA

3 km 28 m en m " 3 ? 1000 + 28 = 3 028 m

Para expresar medidas de ángulos o de tiempo en el sistema sexagesimal con la calculadora se utiliza la tecla º ‘ “ .

5 dam 2 m en dm " 5 ? 100 + 2 ? 10 = 520 dm

Así, para introducir 24º 19’ 45” tecleamos: 24 º ‘ “ 19 º ‘ “ 45 º ‘ “

Para transformar una medida de ángulos o tiempo de forma compleja a incompleja hay que considerar las equivalencias entre las unidades: • Para pasar de horas o grados a minutos se multiplica por 60. • Para pasar de horas o grados a segundos se multiplica por 3 600. • Para pasar de minutos a segundos se multiplica por 60. EJEMPLOS 5 Expresa en segundos.

a) 12° 25' 48"

12° " 12 ? 3 600 = 43 200" 25' " 25 ? 60 = 01 500" 48"

12° 25' 48" = 44 748"

6 Expresa 5 h 4 min en forma incompleja.

5 h " 5 ? 60 = 300 min 4 min

5 h 4 min = 304 min

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Expresa en segundos.

a) 28° 17' 39"

c) 2 h 16 min 20 s

b) 56° 38"

d) 60° 31'

12 Expresa 56° 40' en forma incompleja. 13 ¿Cuántos minutos son tres cuartos de hora?

¿Y cuántos segundos?

60

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60

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2.3 Paso de forma incompleja a compleja ANTES, DEBES SABER… Cómo se pasa de forma incompleja a compleja en el sistema métrico decimal Dividimos la medida y los sucesivos cocientes entre la potencia de 10 correspondiente. La expresión en forma compleja está formada por el último cociente y los restos. 326 m " 326 m 26 6m

10 32 dam

32 dam 2 dam

F

10 3 hm " 3 hm 2 dam 6 m

Para transformar una medida de ángulos o tiempo de forma incompleja a compleja hay que considerar que: • Si dividimos segundos entre 60, obtenemos como cociente minutos y, como resto, segundos. Dividendo

F

segundos

60

Resto

F

segundos

minutos

Divisor

G

G

Cociente

• Si dividimos minutos entre 60, obtenemos como cociente grados (u horas) y, como resto, minutos. Dividendo minutos 60 Divisor Resto minutos grados Cociente (u horas) F

G

F

G

4 7 1 4 s 4 5 1 4 4 2 3 4 s

EJEMPLOS 7 Expresa 44 748" en minutos y segundos. 4 4 7 4 8" 2 7 4 3 4 8 4 8"

Si colocas de esta manera los divisores será más fácil hallar el resultado. 60 7 8 min 6 0 1 8 min 1 h

60 7 4 5' 44 748" = 745' 48"

8 Transforma 4 714 s a forma compleja; es decir, exprésalo en horas, minutos y segundos. 4 7 1 4 s 5 1 4 3 4 s

60 7 8 min

F

7 8 min 1 8 min

60 1h

4 714 s = 1 h 18 min 34 s

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 15 Expresa en grados, minutos y segundos

16 Expresa en forma compleja las siguientes

estas medidas de ángulos.

medidas de tiempo.

a) 28 300" b) 28 215" c) 872'

a) 458 min b) 34 567 s c) 8 010 s

d) 65 497" e) 43 208" f) 45 001'

d) 13 590 s e) 5 681 min f) 477 s

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Operaciones en el sistema sexagesimal

ANTES, DEBES SABER… Cómo se dibujan ángulos 1.º Colocamos el transportador sobre una recta, haciendo coincidir el vértice del transportador con un punto marcado en la recta. 2.º Hacemos una marca en la medida del ángulo que vamos a dibujar. 3.º Finalmente, utilizando una regla, unimos el vértice del ángulo con la marca efectuada.

G

Para sumar dos medidas expresadas en forma compleja también se pueden pasar a forma incompleja y sumarlas.

3.1 Suma en el sistema sexagesimal Para sumar medidas de ángulos o de tiempo expresadas en forma compleja se colocan los sumandos agrupados: grados con grados (u horas con horas), minutos con minutos y segundos con segundos. Una vez obtenido el resultado hay que tener en cuenta que: • Si los segundos sobrepasan 60, los transformamos en minutos. • Si los minutos sobrepasan 60, los transformamos en horas o en grados. EJEMPLO 9 Suma estas medidas de ángulos, 26° 25' 48" y 43° 48' 19". 26° 25' 48" + 43° 48' 19" 69° 73' 67"

70° 14' 7"

F

F

+ 1' 17"

67" = 60" + 7" = 1' + 7"

69° 74' 17"

26° 25' 48" 43° 48' 19"

F F

+ 1°14 17

74' = 60' + 14' = 1°+ 14'

70° 14' 17" Si escribimos la suma en forma horizontal: 26° 25' 48" + 43° 48' 19" = 70° 14' 7"

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 19 Efectúa estas operaciones.

a) 12° 15' 58" + 23° 22' 19" b) 35° 45' + 26° 10' + 26° 15' 33"

20 El ganador de una carrera ha llegado a la meta

a las 14 h 26 min 47 s, y el segundo, 17 min 52 s después. ¿A qué hora llegó el segundo?

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3.2 Resta en el sistema sexagesimal Para restar medidas de ángulos o de tiempo expresadas en forma compleja se colocan el minuendo y el sustraendo haciendo coincidir grados con grados (u horas con horas), minutos con minutos y segundos con segundos. Al efectuar la resta hay que tener en cuenta que:

NO OLVIDES

• Cuando el número de segundos del minuendo sea menor que el del sustraendo, se pasa un minuto del minuendo a segundos. • Cuando el número de minutos del minuendo es menor que el del sustraendo, se pasa una hora o un grado del minuendo a minutos. EJEMPLOS

Si al sumar o restar en el resultado se obtienen minutos o segundos mayores que 60, se deben transformar en la unidad inmediatamente superior.

11 Realiza esta resta: 70° 15' 3" - 28° 39' 50" El número de segundos y minutos del minuendo es menor que el del sustraendo. 70° 15' 3" - 28° 39' 50"

1' = 60"

"

70° 14' 63" - 28° 39' 50"

1° = 60'

"

69° 74' 63" - 28° 39' 50"

Efectuamos la resta:

41° 35' 13" 28° 39' 50"

69° 74' 63" - 28° 39' 50"

70° 15' 3"

41° 35' 13" " 70° 15' 3" - 28° 39' 50" = 41° 35' 13" 12 Susana estuvo el lunes conectada a Internet durante 2 h 31 min 15 s, y el martes, durante 1 h 40 min 8 s. ¿Cuánto tiempo estuvo conectada el lunes más que el martes?

Para restar dos medidas expresadas en forma compleja también se pueden pasar a forma incompleja y restarlas.

Como no podemos restar estas cantidades, pues los minutos del sustraendo son mayores que los del minuendo, transformamos una hora en minutos. 2 h 31 min 15 s - 1 h 40 min 8 s

1 h = 60 min

"

1 h 91 min 15 s - 1 h 40 min 8 s 51 min 7 s

El lunes estuvo conectada 51 min 7 s más que el martes.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Ana salió a pasear el lunes durante 1 h 12 min

22 Efectúa estas operaciones.

24 s y el miércoles su paseo duró 27 min 12 s menos. ¿Cuánto tiempo paseó el miércoles?

a) 32° 5' 23" - 17° 22' 33" b) 19° 35' - 11° 34" c) 4 h 14 min 34 s - 2 h 30 min 58 s d) 2 h 6 min - 37 min 52 s 23 Calcula:

24 En una prueba contrarreloj los tiempos de dos

24° 36' - (24° 22" - 6° 14')

ciclistas han sido 1 h 1 min 7 s y 59 min 43 s, respectivamente. Calcula la diferencia de tiempo que hay entre ambos.

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Unidades de medida de ángulos Símbolo

Equivalencia

Grado

°

1° = 60'

Hora

Minuto

'

1' = 60"

Minuto

Segundo

"

1° = 3 600"

? 60

Símbolo

Equivalencia

h

1 h = 60 min

min

1 min = 60 s

s

1 h = 3 600 s

Segundo

: 60

? 60

F

F

Minuto Segundo

: 60

F

F

F

Grado (hora)

Unidad

Grado (hora)

Minuto Segundo

F

Unidad

Unidades de medida de tiempo

? 3 600

: 3 600


Expresa estas medidas en la unidad indicada en cada caso. a) 7º en segundos. b) 12 min en horas. los saltos que hay y su sentido, desde la unidad que nos dan hasta la unidad en la que tenemos que expresar la medida. a) Para pasar de grados a segundos hay 2 saltos hacia la derecha. b) Para pasar de minutos a horas hay 1 salto hacia la izquierda.

PRIMERO. Contamos

SEGUNDO. Analizamos

el sentido del salto. • Si el salto es hacia la derecha, multiplicamos por 60 tantas veces como saltos. • Si el salto es hacia la izquierda, dividimos por 60 tantas veces como saltos. a) Multiplicamos 2 veces por 60. 7 ? 60 ? 60 = 25 200 7° = 25 200 s b) Dividimos 1 vez entre 60. 12 : 60 = 0,2 12 min = 0,2 h

1. TRANSFORMAR MEDIDAS DE

ÁNGULOS Y TIEMPO EXPRESADAS EN FORMA COMPLEJA A INCOMPLEJA Expresa en la unidad indicada en cada caso. a) 3º 45' 54" en minutos. b) 2 h 24 min en segundos. PRIMERO. Transformamos

en la unidad que se pide. a) Pasamos a minutos cada unidad. 3° = 3 ? 60 = 180' 45' = 45' 54" = 54 : 60 = 0,9'

b) Pasamos a segundos cada unidad. 2 h = 2 ? 60 ? 60 = 7 200 s 24 min = 24 ? 60 = 1 440 s SEGUNDO. Sumamos

los resultados. 3° 45' 54" " 180' a) Forma compleja 45' + 0,9' Forma 225,9' incompleja G

b) Forma 2 h 24 min " 7 200 s compleja + 1 440 s G

MEDIDA DE ÁNGULOS Y DE TIEMPO

G

1. TRANSFORMAR UNIDADES DE

8 640 s

G

Forma incompleja

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2. Transformar medidas de ángulos y tiempo expresadas en forma incompleja a compleja

SEGUNDO. Dividimos

Expresa 4 083" de forma compleja. los segundos entre 60: el cociente son minutos, y el resto, segundos.

4 083" 60 483 68' 03"

Forma 4 083" = 1° 8' 3" incompleja G

PRIMERO. Dividimos

68' 60 8' 1°

los minutos entre 60: el cociente son grados, y el resto, minutos.

3. Sumar en el sistema

sexagesimal

Calcula: 6 h 24 min 28 s + 52 min 47 s

Calcula: 6° 24' 28" - 52' 47"

PRIMERO. Colocamos

PRIMERO. Agrupamos las

los sumandos, agrupados por unidades, y realizamos la suma. 6 h 24 min 28 s + 52 min 47 s

SEGUNDO. Si

el número de segundos del sustraendo es menor que el del minuendo, se transforma un minuto en segundos.

el resultado sobrepasan 60:

• Los segundos, los transformamos en minutos. • Los minutos, los transformamos en horas. 6 h 24 min 28 s + 52 min 47 s = 6 h 76 min 75 s F

F

75 s = 1 min + 15 s

6° 24' 28" - 52' 47"

medidas por unidades.

6 h 76 min 75 s

6 h 77 min 15 s F

F

77 min = 1 h + 17 min

Forma compleja

4. Restar en el sistema

sexagesimal

SEGUNDO. Si en

G

6° 24' 28" - 52' 47"

24' = 23' + 60"

"

6° 23' 88" - 52' 47"

TERCERO. Si el número de minutos del sustraendo es menor que el del minuendo, se transforma un grado (u hora) en minutos.

6° 23' 88" - 52' 47"

6° = 5° + 60'

"

5° 83' 88" - 52' 47"

7 h 17 min 15 s

5° 31' 41"

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. Expresa en la unidad indicada. a) 133 200" en grados. b) 17 h en segundos. Transformar unidades de medida de ángulos y de tiempo

Transformar de forma incompleja a compleja 3. ¿Cuál es la expresión compleja de 3 620 s? 2. Expresa en forma compleja 4 862".

1. Expresa 360" en minutos y 24 h en segundos.

Sumar en el sistema sexagesimal 4. Halla la suma de los ángulos 20° 30' 25" y 40° 40' 40".

Transformar de forma compleja a incompleja

Restar en el sistema sexagesimal

2. Expresa en segundos el ángulo 40° 40' 40".

5. ¿Cuál es el resultado de 7° 25' 30" - 4° 27' 40"?

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Actividades sistema sexagesimal

39. ● ● Expresa en minutos los siguientes ángulos.

34. ● Copia y completa esta tabla: Grados

Minutos

Segundos

125°

7 500'

450 000" 93 600"

2 100'

3° 50 400"

35. ● Calcula mentalmente y expresa en minutos y en segundos las medidas de ángulos. c) 8° d) 10°

e) 1° 15' f) 10° 10'

36. ● Expresa en forma incompleja. a) 35° 54' 65"

c) 4 h 27 min 56 s

b) 65° 53' 12"

d) 7 h 33 min 49 s

37. ● Expresa en forma compleja. a) 25 123 s b) 45 125 s c) 16 459"

d) 13,25 h e) 5 432 s f) 452 min

g) 27 762 s h) 90 000 s i) 40 000'

38. ● Expresa en forma incompleja. a) 13° 15' 32" b) 100° 47' c) 82° 3'

d) 7 h 51 min 46 s e) 20 h 32 s f) 19 h 46 min

3. ● Expresa en segundos estas medidas de tiempo. a) 45 h b) 34 min c) 5 h 24 s

d) 47 min 23 s e) 2 h 34 min 4 s f) 12 h 7 min 3 s

4. ● Expresa en minutos estas medidas de tiempo. a) 1 374 h b) 3 856 s c) 238 h 34 min 64 s d) 127 h 84 min 32 s e) 6 h 54 min f) 7 h 17 min 23 s

g) 5° h) 6° 25' i) 13° 35' 60" j) 17° 180" k) 35' 420" l) 5' + 60" + 3°

40. ● ● Expresa en segundos estos ángulos.

540'

a) 3° b) 5°

a) 35° b) 4° 30' c) La mitad de 30° d) 360" e) 2° 45' 120" f) (18° - 15°) + 3°

a) 1° 45' b) (17° - 3°) - (10° - 5°) c) 3' d) (35" - 28") - 4" e) 3° 5' 10"

f) 4° 38" g) 2° 20' 30" h) 35' 10" i) 55' j) 7° 25'

5. ● Expresa en la unidad indicada en cada caso. a) 3 400 s en min b) 12 h 40 min en s c) 7 h 534 s en min d) 127º 84' en segundos e) 16º 34' 44" en minutos f) 13º 157' 83" en grados h) (12º - 7º) + 3º en minutos i) 9' + (23' + 12') en segundos j) (87" + 34") - 23" en minutos

OPERACIONES EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL 41. ● Realiza estas sumas de ángulos. a) 35° 20' 15" + 10° 30' 40" b) 6° 10' 5" + 8° 40' 52" c) 15° 36' 40" + 2° 10' 13" d) 18° 13' 25" + 28° 48' 10" e) 6° 30' + 4° 50' 45" f) 5° 25' 3" + 75' 8" g) 4° 3' 6" + 5° 7' 28" + 25° 39' 40" h) 43° 25" + 5° 48' i) 2° 2" + 75° 43' j) 33' 7" + 4° 45' k) 3 h 660 s en min l) (4' + 2') - 1' en segundos m) (52" - 7") + 75" en minutos

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42. ● Efectúa las siguientes restas.

45. ● ● Calcula el ángulo que falta.

a) 3° 35' - 2° 10' b) 1° 25' - 10' c) 63° 47" - 25' 30" d) 1° 45' 3" - 75' 10" e) 4° 2' - 1° 40' f) 2° 30' 10" - 3' 50" g) 42° 5' 3" - 38' 10" h) 37' 45" - 20' 78" i) 2° 6' 4" - 1° 10' j) 35° 11' 54" - 13° 12' 15"

a) b) c) d) e) f) g) h)

- 2° 36' 45" = 13° 15' 10" - 15' 35" = 6° 25' 46" - 1° 50" = 3° 48' - 47' 58" = 2° 35' 40" - 6° 18' 40" = 15° 27' 38" - 10° 45' = 37° 53' 44" - 17° 25' 46" = 38' 43" - 65" = 1° 48' 35"

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES DE SUMA Y RESTA CON PARÉNTESIS?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA UN SUMANDO EN UNA SUMA DE LA QUE CONOCEMOS SU RESULTADO? V si, al sumarlo 43. ¿Qué medida tiene el ángulo B V con el ángulo A = 17° 26", resulta el ángulo 36° 7' 15"?

expresa el problema mediante una operación, y se despeja la medida desconocida. AV + BV = 36° 7' 15" " 17° 26" + BV = 36° 7' 15" F

PRIMERO. Se

Pasa restando

SEGUNDO. Se

46. Realiza esta operación: (39° + 45° 30') - (6° 38' - 2° 20') PRIMERO. Se

resuelven los paréntesis. 39° 6° 38' + 45° 30' - 2° 20' 84° 30'

4° 18'

SEGUNDO. Se

efectúan las sumas y las restas, de izquierda a derecha.

80° 12'

realizan las operaciones.

36° 7' 15" - 17° 26" No se pueden restar los segundos

1' = 60"

"

36° 6' 75" - 17° 26" 19° 6' 49"

V = 19° 6' 49". Por tanto, el ángulo es B V si, al sumarlo 6. ●● ¿Qué medida tiene el ángulo B V con el ángulo A = 19° 45', resulta un ángulo de 133° 51' 36"? ¿Y si, al restarlo del ángulo V = 87° 11' 24", resulta un ángulo de 78° 43' 34"? A 44. ●● Copia, y completa el ángulo que falta. a) b) c) d) 15° 10' 30" + e) f) g) h)

+ 25° = 50° 20' 47" + 27° 32" = 80° 5' 38" + 1° 40" = 5° 3' 20" = 20° 5' 40" + 25' 35" = 1° 30' 16" + 17° = 20° 12" + 6° 42' = 10° 58' 35" + 9° 18' = 17° 43"

84° 30' - 4° 18'

47. ● ● Realiza las siguientes operaciones. a) (10° 20" + 15° 30') - 13° 14' 35" b) (50° 35' - 37° 45') + 6° 18" c) (5' 38" + 4° 36') + (5° 10' - 3° 2") d) (25° 35' + 2° 10') - (3° + 17° 43') 48. ● ● Calcula. a) (124° 34' 12" - 78° 47' 24") + 43° b) 25° 30' 6" + (7° 6" - 1° 25') c) (4° 3' 5" + 7° 6' 3") - 3° 10' 15" d) (10° 8' 2" - 4° 2') + (6° 4' 23" - 2° 5") 7. ● ● Calcula. a) (53º 12' 33" - 12º 45' 34") - 12º 34' 12" b) 112º 45' 24" + (223º 4' 21" - 13º 45' 34") c) (146º 24' - 57' 22") + (51º 23" - 21º 34') d) 137º 27' - (120º 53' - 45' 42") 8. ● ● Calcula. a) 3 h - (54 min 12 s + 24 min 34 s) b) (2 h 24 min 11 s - 44 min 24 s) - 45 min

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51. ● ● Calcula.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE MULTIPLICA EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL? 9. Calcula: (25º 13' 14") ? 5 Primero. Se multiplica

natural.

cada unidad por el número

25° 13' 14" # 5 125° 65' 70"

Segundo. Si

al operar se obtienen minutos o segundos mayores que 60, se transforman en la unidad inmediatamente superior. 125° 65' 70" F

F

+ 1'

70" = 60" + 10" = 1' + 10"

125° 66' 10" F

66' = 60' + 6' = 1°+ 6' F

+ 1°

126° 6' 10"

" (25° 13' 14") ? 5= 126° 6' 10"

49. ● Efectúa los siguientes productos. a) (4° 35' 46") ? 2 b) (1° 10' 15") ? 7 c) (12° 25' 37") ? 6 d) (35° 4' 20") ? 4

e) (6° 78") ? 3 f) (36' 40") ? 5 g) (2° 17' 3") ? 9 h) (27° 15' 26") ? 8

10. ●● Efectúa estas operaciones y expresa el resultado en segundos.

a) (3° 4' 6" + 5° 7' 10") ? 2 b) (10° 6' 10" - 4° 3' 7") ? 3 c) (5° 30' + 15' 65") ? 6 d) (6° + 15° 10' - 3° 7') ? 7 e) (15° 35' 45" - 40' 58") ? 4 f) (22° 5' 16" + 73° 16' 45") ? 3 g) Cuádruple de AV = 3° 36' 27" h) Doble de (1° 35' 5" + 38' 55") i) (7° + 1° 30" - 5° 56' 10") ? 7 54. ● ● Dada la medida de los ángulos: V = 36° 10' 20" AV = 15° 25' 6" B

V, si: C V = 2 ? (AV + BV) halla la medida de C

PROBLEMAS DE TIEMPOS Y ÁNGULOS 59. ● ● Sergio realiza un trabajo en 1 hora, 35 minutos y 50 segundos. Si pensaba tardar 2 horas, ¿cuánto tiempo le ha sobrado? 60. ● ● El tren de las 10:05 h partió con 16 minutos de retraso. ¿A qué hora salió? 61. ● ● Un abanico abierto forma un ángulo de 180°. Al abrir otro abanico, al que le faltan algunas varillas, he comprobado que solo tiene una abertura de 105° 38' 45". ¿Cuál es el ángulo que formaban las varillas que se han roto?

a) 4 ? (23° 43' 45") b) 7 ? (32° 8' 54") 11. ●● ¿Cuánto mide el ángulo doble del ángulo AV = 7° 21' 34" ? Expresa el resultado en minutos.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN LAS OPERACIONES

COMBINADAS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL?

50. Calcula: (75° 26' 16" - 58° 15' 10") ? 3 PRIMERO. Se resuelve

el paréntesis.

75° 26' 16" - 58° 15' 10" 17° 11' 6"

SEGUNDO. Se

realizan las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.

17° 11' 6" # 3 51° 33' 18"

62. ● ● Un autobús parte de una estación a las 9 h 26 min y llega a la estación de destino a las 13 h 14 min. ¿Cuánto dura el trayecto? 12. ● ● Miguel juega en un equipo de fútbol y entrena dos días a la semana. a) Mañana empieza a las cinco y cuarto de la tarde y entrena una hora y media, ¿a qué hora terminará? b) Ayer el entrenamiento terminó a las siete menos cuarto de la tarde. Si entrenó durante una hora y media, ¿a qué hora empezó a entrenar?

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13. ●● Una obra de teatro dura 109 minutos y tiene dos actos. a) El primer acto empieza a las siete y media y dura 45 minutos. ¿A qué hora es el descanso? b) Si el descanso dura 15 minutos, ¿a qué hora termina la obra?

65. ● ● Desde mi casa hasta el trabajo hay dos estaciones; en llegar a la primera suelo tardar 32 min 54 s, y a la segunda, 44 min 27 s. Hoy el tren se ha retrasado, y en llegar a la primera estación ha tardado 19 min 40 s más de lo habitual, mientras que en la segunda se ha retrasado 26 min 32 s.

14. ●● La duración en segundos de diferentes canciones de un CD es: • 127 segundos • 154 segundos • 103 segundos • 225 segundos • 317 segundos • 158 segundos • 273 segundos Si el CD está formado por dos canciones de cada duración, ¿cuánto dura el CD completo? Expresa el resultado en horas, minutos y segundos.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE ATRASOS HORARIOS? 63. Un reloj se atrasa 1 min 20 s cada día. ¿Cuánto tiempo se atrasa en una semana? PRIMERO. Se determinan

las operaciones.

(1 min 20 s) ? 7 SEGUNDO. Se efectúan

las operaciones. (1 min 20 s) ? 7 = 7 min 140 s = 9 min 20 s

El reloj se atrasa 9 min 20 s en una semana. 64. ●● Lola trabajó el lunes 8 h 40 min 25 s, y de martes a jueves, media hora menos cada día. ¿Cuánto tiempo trabajó en total esta semana?

a) ¿Cuánto tiempo he tardado en llegar? b) Si en la vuelta no he tenido retrasos, ¿cuánto tiempo he invertido en los dos trayectos? 66. ● ● Una máquina trabaja de manera ininterrumpida durante 4 h 50 min 30 s, parando después 1 h 50 min. ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en hacer tres turnos de trabajo y descanso? 67. ● ● Un pintor ha tardado en pintar el salón 3 horas y cuarto por la mañana, y 2 horas y media por la tarde. a) ¿Cuánto tiempo tardó en total? b) ¿Cuánto tiempo trabajó más por la mañana? c) Si cobra la hora a 19,20 €, ¿cuánto dinero ganó? 68. ● ● Damián cobra el sábado 8 € por cada hora de trabajo, y el domingo, 9,50 €. Este mes ha trabajado tres sábados y cuatro domingos. Los sábados trabajó 5 horas y media, y los domingos, 3 horas y tres cuartos. ¿Cuánto cobrará a fin de mes? 69. ● ● Tres amigos se están comiendo un pastel: • Marcos se ha comido un trozo de 35° 10'. • Roberto se ha comido un trozo de 40° 30'. • Ricardo se ha comido un trozo de 50° 40'. a) ¿Cuánto mide el trozo de pastel que se han comido entre los tres? b) ¿Cuánto mide el trozo que queda?

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5

Expresiones algebraicas El templo de Apis Desde un lugar privilegiado, el escriba Ahmes asistía al interrogatorio dirigido por el juez y el sumo sacerdote del templo, quien había denunciado la desaparición de la comida del buey. El sacerdote se volvió hacia el juez y dijo: –¡Al robar toda la comida del dios han cometido un delito imperdonable, y Apis exige que la condena sea máxima!

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Busca información sobre el papiro de Rhind y otros papiros que se conserven en la actualidad relacionados con las matemáticas. 2. ¿Cuál es la simbología utilizada por los egipcios para escribir números? ¿Cuál sería el significado de la expresión que aparece en el texto?

–La ley está escrita y estipula la condena por el acto cometido y la cantidad robada –le replicó el juez sin mirarlo. Y acto seguido volvió a preguntar a los dos detenidos por las cantidades que habían sustraído. El mayor de ellos le contestó: –Cada uno tomó lo que pudo: él cogió tres «montones» y yo sustraje diez «montones». –El registro del templo dice que había 24 heqat destinadas a la reencarnación del dios Apis. Ahmes, anota los datos y calcula la cantidad que sustrajo cada uno –dijo el juez dirigiéndose al escriba, que seguía apuntando en el papiro. El escriba anotó la siguiente expresión para designar lo sustraído por cada uno.

3. Investiga sobre las matemáticas en Egipto y las áreas en las que más se desarrollaron.

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Antes de empezar la unidad... OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Suma y resta

• Si los números tienen el mismo signo, sumamos los valores absolutos y dejamos el mismo signo.

4 + 5 = 9

-3 - 6 = -9

12 + 4 = 16 -11 - 9 = -20

• Si los números tienen distinto signo, restamos sus valores absolutos (el mayor el menor) y dejamos el signo del que tiene mayor valor absoluto. -4 + 5 = 1

3 - 6 = -3

12 - 4 = 8

Los números positivos se suelen escribir sin el signo + que los precede.

-11 + 9 = -2

Multiplicación y división

• Si los números tienen el mismo signo, multiplicamos o dividimos los valores absolutos y dejamos el signo positivo.

4 ? 5 = 20

12 : 4 = 3

-3 ? (-6) = 18

-18 : (-3) = 6

• Si los números tienen distinto signo, multiplicamos o dividimos los valores absolutos y dejamos el signo negativo.

-4 ? 5 = -20

-3 ? (+6) = -18

12 : (-4) = 3 -18 : 3 = -6

EVALUACIÓN INICIAL 1 Realiza estas operaciones con números enteros.

a) 4 + 6 b) 7 + 11 c) -7 - 4

d) -3 - 8 e) 9 - 3 f) -5 + 12

2 Calcula.

a) -4 - 7 + 5 b) 12 - 4 - 21 c) 19 + 32 - 51 d) -14 - 21 - 12 3 Halla el resultado de estas operaciones.

a) 7 ? 3

d) 22 : (-2)

b) 12 ? (-3)

e) (-35) : (-5) -49 f) (-49) : 7 ? 7

c) -4 ? 7

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Reconocer los elementos de una expresión algebraica. • Sumar, restar y multiplicar monomios y polinomios. • Conocer y aplicar las igualdades notables.

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1

Lenguaje algebraico

El lenguaje numérico sirve para expresar operaciones en las que solo aparecen números. El lenguaje que utiliza letras y números unidos mediante los signos de las operaciones aritméticas, se denomina lenguaje algebraico. ANTES, DEBES SABER… Para qué se utiliza el lenguaje algebraico Con el lenguaje numérico expresamos situaciones concretas, mientras que con el lenguaje algebraico podemos generalizar dichas situaciones. Por ejemplo, en el caso del cálculo del área de un rectángulo: A = 6 ? 3 " Lenguaje numérico

A = a ? b " Lenguaje algebraico

b

3

6

Para representar números desconocidos solemos utilizar las letras x, y, z, a, b, c…

a

EJEMPLOS 1 Expresa en lenguaje algebraico.

Lenguaje usual

Lenguaje algebraico

El triple de un número Un número aumentado en dos unidades El triple de un número más otro número

3?x a+2 3?x+y x 2 1,50 ? x b-3

La mitad de un número El precio de x kilos de naranjas a 1,50 €/kg La edad de una persona hace 3 años

2 Expresa mediante el lenguaje algebraico estas relaciones. a) El área de un cuadrado. l

Área = lado ? lado " A = l ? l l

c) El área de un triángulo. Área =

base ? altura 2

b?h

"A= 2

h b

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Expresa en lenguaje algebraico.

a) El doble de un número. c) El doble de un número menos tres unidades, más otro número.

2 Si x es la edad de Inés, expresa en lenguaje

algebraico. a) La edad que tendrá dentro de 10 años. b) La edad que tenía hace 4 años.

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2

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. EJEMPLO 5 Traduce estos enunciados a expresiones algebraicas.

Expresión escrita

Expresión algebraica

2?x+2?y n + (n + 1) 15 ?C 100

El perímetro de un campo rectangular La suma de dos números consecutivos El 15 % de un número C

Valor numérico de una expresión algebraica ANTES, DEBES SABER… Cómo se calculan potencias de números enteros Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. Exponente F

Base

F

an = a ? a ? … ? a

• Si la base es un número positivo, la potencia es positiva. 42 = 4 ? 4 = 16

43 = 4 ? 4 ? 4 = 64

• Si la base es un número negativo, la potencia es positiva cuando el exponente es par y negativa si es impar. (-2)2 = (-2) ? (-2) = 4

(-2)3 = (-2) ? (-2) ? (-2) = -8

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por los números determinados y realizar las operaciones que se indican.

El valor numérico de una expresión algebraica varía según los valores que toman las letras.

EJEMPLOS 6 Calcula el valor numérico de la expresión algebraica x2 + 1 si x = 2 y x = 5. x2 + 1 1

x=2

" 22 + 1 = 4 + 1 = 5

x2 + 1

x=5

" 52 + 1 = 25 + 1 = 26

Calcula el valor numérico de x2 - x si x = -3 y x = -1. x2 - x

x = -3

" (-3)2 - (-3) = 12

x2 - x

x = -1

" (-1)2 - (-1) = 2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 7 Calcula el valor numérico de estas expresiones

algebraicas para x = 3. a) x + 1

2

b) x + 1

8 Halla el valor numérico de 2x2 - y para estos

valores. c) 2x - 3

2

d) 2x - 3x

a) x = 0, y = 1

b) x = -1, y = -2

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3

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o varias letras.

SE ESCRIBE ASÍ • El signo del producto de números y letras no se suele escribir. 5 ? x2 ? y3 = 5x2y3

El número recibe el nombre de coeficiente, y las letras, con sus exponentes, son la parte literal. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman.

• El exponente 1 no se escribe. a1b1 = ab • Si un monomio está formado solo por letras, su coeficiente es 1. 1 ? x3 = x3 " Coeficiente 1

Un monomio de grado 0 es un número. 7x 0 = 7

EJEMPLOS 2

3

Determina los elementos de estos monomios. Monomio

Coeficiente

Parte literal

5x2

5

x2

-8xy

-8

xy

-x2y

-1

x2y

Halla el grado de cada monomio. Monomio

Grado

2

2

-x

2

-3x yz

2+1+1=4

17xy

1+1=2

9 Determina los elementos y el grado de los monomios 4x2 y -36x2y3z. Monomio

Monomio

4 x2 " Grado: 2 Coeficiente Parte literal

-36 x2y3z " Grado: 2 + 3 + 1 = 6 Coeficiente Parte literal

• Monomios semejantes. Llamamos monomios semejantes a los monomios que tienen la misma parte literal. EJEMPLO 10 Determina si los monomios son semejantes. a) -25a2b y a2b b) 3z2 y 7z

" Son semejantes, porque tienen igual parte literal (a 2b). " No son semejantes.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Indica el coeficiente, la parte literal y el grado 2

a) 7x yz e) 3abc

3 2

b) -2xy z f) -4a2bc4

1 Decide si los siguientes monomios son

semejantes.

de estos monomios. 2

c) 15x g) 9m2

2

d) 8xy h) 6

a) 3xy y -6xy b) -5x2 y -5y2

c) 9xyz y 18xyz d) 24xy, -12xy y 8xy

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4

Operaciones con monomios

Las operaciones con monomios siguen las mismas reglas que las operaciones con números.

4.1 Suma y resta de monomios La suma (o resta) de monomios semejantes se realiza sumando (o restando) los coeficientes y manteniendo la misma parte literal. Si los monomios no son semejantes, la suma o la resta se deja indicada. EJEMPLO 12 Haz la suma y la resta de estos monomios. a) 7ab4 y 3ab4 Son semejantes b) 7b4 y 3ab4

" ) 7ab4 - 3ab4 = (7 - 3)ab4 = 4ab4

7ab4 + 3ab4 = (7 + 3)ab4 = 10ab4

No son semejantes " )

7b4 + 3ab4 7b4 - 3ab4

4.2 Multiplicación y división de monomios ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan productos y cocientes de potencias am ? an = am + n 34 ? 36 = 34 + 6 = 310

(-2)3 ? (-2)5 = (-2)3 + 5 = (-2)8

am : an = am - n 38 : 36 = 38 - 6 = 32

(-2)4 : (-2) = (-2)4 - 1 = (-2)3

• Para multiplicar monomios, por un lado, multiplicamos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales. • Para dividir monomios, por un lado, dividimos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales (si se puede). EJEMPLO 13 Realiza estas operaciones con monomios. a) 2x2 ? 3x4 = (2 ? 3) ? (x2 ? x4) = 6x2+4 = 6x6 b) 5xy2 ? y = (5 ? 1) ? (xy2 ? y) = 5xy2+1 = 5xy3 c) 12x5 : 4x3 = (12 : 4) ? (x5 : x3) = 3x5-3 = 3x2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 14 Realiza las siguientes operaciones.

a) 5x + 2x b) -3y2 + 4y2 c) 2ab2 - a2b

2

h) 5x + 7x i) 4x - 5xy j) -3x + 4y2

14 Realiza las siguientes operaciones.

d) -4x3 ? 2x 3 1 e) a 3 ? a2 4 2

f) 9a : 3a g) -10x3y2 : x2y k) 10x3 : 2xy2

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5 Antes de trabajar con un polinomio, se suman o se restan sus monomios semejantes. 3x y - xy + x y = = 4x 2y 2 - xy 2 2

2 2

Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios no semejantes. Cada uno de los monomios se llama término, y si no tiene parte literal, término independiente. El mayor de los grados de todos sus términos se denomina grado del polinomio. EJEMPLO 14 Determina los elementos y el grado de este polinomio:

Polinomio 2

3

3y - 22xy + y2 - 14y + 3x + 5

F

Término independiente

Términos

Término de mayor grado: -22xy3 " Grado del polinomio: 1 + 3 = 4

ANTES, DEBES SABER… Cómo actúa un signo delante de un paréntesis • Si el paréntesis viene precedido por el signo +, se suprime el paréntesis dejando los signos del interior tal y como aparecen. • Si el paréntesis viene precedido por el signo -, al suprimir el paréntesis todos los sumandos del interior se transforman en su opuesto. F

+(6 - 2) = +6 - 2

-(8 - 3 - 5) = -8 + 3 + 5

SE ESCRIBE ASÍ Para designar los polinomios utilizamos una letra mayúscula, indicando entre paréntesis las letras que aparecen en el polinomio. P(x) = 5x5 + 4x4 - 7

F

4 + (6 - 2) + 7 - (8 - 3 - 5) = 4 + 6 - 2 + 7 - 8 + 3 + 5 = 15

El polinomio opuesto de P(x), que designamos como -P(x), se obtiene cambiando de signo los coeficientes de todos los términos de P(x). EJEMPLO 4 Escribe el polinomio opuesto de P(x) = -2x4 + 3x3 + x - 7. -P(x) = -(-2x4) - (+3x3) - (+x) - (-7) = = 2x4 - 3x3 - x + 7

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 17 Reduce los términos semejantes en estos

polinomios, ordena sus términos, de mayor a menor grado, e indica su grado. a) P(x) = 5x3 - x + 7x3 - x2 + 8x - 2 b) Q(x) = 12 + x2 + 7x - x4 - 8 + 3x2 c) R(x) = 9x - 4x2 - 6 - 10x + 1

2 Escribe el polinomio opuesto en cada uno

de estos polinomios. a) P(x) = 6x3 - 2x2 + x b) P(x) = -x2 - 7x + 3 c) P(x) = -11x5 - x2 - 5 d) P(x) = 3x3 + x2 + 7

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Valor numérico de un polinomio ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan operaciones combinadas con números enteros Al operar con números enteros resolvemos: 1.º Las operaciones que hay entre corchetes y paréntesis. 2.º Las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha. EJEMPLO 5 Resuelve esta operación. Corchetes y paréntesis

F

(-5) ? [(-3) - (-7)] + (+6)] : (-2) =


F

= (-5) ? [-3 + 7] + (+6) : (-2) = = (-5) ? (+4) + (+6) : (-2) =

F

= (-20) + (-3) = Sumas y restas

= -20 - 3 = -23

El valor numérico de un polinomio P(x), para un valor x = a, lo expresamos como P(a) y se obtiene sustituyendo la variable x por el valor a en el polinomio y operando. EJEMPLOS 15 Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 5x3 + x - 3, para x = 2. P(x) = 5x3 + x - 3

x=2

" P(2) = 5 ? 23 + 2 - 3 = 39

El valor numérico de P(x) para x = 2, P(2), es 39. 6

Calcula el valor numérico de P(x) = -2x4 + 3x3 - x para x = -1. P(x) = -2x4 + 3x3 - x

x = -1

" P(-1) = -2 ? (-1)4 + 3 ? (-1)3 - (-1) =

= -2 ? 1 + 3 ? (-1) + 1 = = -2 - 3 + 1 = -4 El valor numérico de P(x) para x = -1, P(-1), es -4.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 Halla el valor numérico de estos polinomios

para x = 1 y x = -1. 3

18 Calcula el valor numérico de estos polinomios

para x = -3.

2

a) P(x) = x - 2x + x b) Q(x) = -x2 + 3x + 1

a) Q (x) =

1 3 - x 2 2

b) R (x) =- 5 + 7x +

3x 2

77

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6

Operaciones con polinomios

6.1 Suma y resta de polinomios Para sumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes. Para restarlos, sumamos al primero el polinomio opuesto del segundo. EJEMPLO 16 Realiza estas operaciones, P(x) + Q(x) y P(x) - Q(x), siendo: P(x) = -x5 + 4x3 - 5x + 1 Q(x) = -2x4 - 3x3 + x2 + 5x - 7 Para sumar, disponemos en columna los monomios semejantes:

+

P(x) + Q(x) "

-x5 + 2x 4 + 4x3 - x2 - 5x + 1 -x5 - 2x 4 - 3x3 + x2 + 5x - 7 -x5 - 2x 4 + 7x3 + x2 - 0x - 6

La suma de polinomios se puede realizar también en horizontal. Para ello, suprimimos los paréntesis y sumamos los monomios semejantes. El signo – delante del paréntesis cambia el signo de todos los términos del polinomio. –(–x 2 – x + 8) = x 2 + x – 8

P(x) + Q(x) = (-x5 + 4x3 - 5x + 1) + (-2x4 - 3x3 + x2 + 5x - 7) = = -x5 + 4x3 - 5x + 1 - 2x4 - 3x3 + x2 + 5x - 7 = = -x5 - 2x4 + 4x3 - 3x3 + x2 - 5x + 5x + 1 - 7 = = -x5 -2x4 + x3 + x2 - 6 Para restar, determinamos primero el polinomio opuesto del segundo: Q(x) = -2x4 - 3x3 + x2 + 5x - 7

Opuesto

" -Q(x) = 2x4 + 3x3 - x2 - 5x + 7 +

P(x) - Q(x) = P(x) + (-Q(x)) "

-x5 + 2x 4 + 4x3 - x2 - 15x + 1 -x5 + 2x 4 + 3x3 - x2 - 15x + 7 -x5 + 2x 4 + 7x3 - x2 - 10x + 8

La resta de polinomios se puede realizar también en horizontal. Para ello, suprimimos los paréntesis y sumamos los monomios semejantes. P(x) - Q(x) = (-x5 + 4x3 - 5x + 1) - (- 2x4 - 3x3 + x2 + 5x - 7) = = -x5 + 4x3 - 5x + 1 + 2x4 + 3x3 - x2 - 5x + 7 = = -x5 + 2x4 + 4x3 + 3x3 - x2 - 5x - 5x + 1 + 7 = = -x5 + 2x4 + 7x3 - x2 - 10x + 8

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Suma estos polinomios.

P(x) = 2x3 - 7x2 + x 5 Resta estos polinomios.

P(x) = 5x4 - 3x2 + 4x Q(x) = -x2 + 2x + 1

20 Realiza las siguientes operaciones con estos

Q(x) = -x2 - 2x + 1

polinomios: P(x) = x2 - 3x + 7 Q(x) = 5x3 - 6x2 + x - 3 a) Q(x) + S(x) b) R(x) - P(x)

S(x) = 8x - 2 R(x) = 7x2 + 4 c) P(x) + Q(x) d) Q(x) + R(x)

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6.2 Producto de un número por un polinomio ANTES, DEBES SABER… Cómo se aplica la propiedad distributiva La propiedad distributiva permite transformar un producto en una suma o una resta. 7 ? (4 + 5) = 7 ? 4 + 7 ? 5 (4 + 5) ? 7 = 4 ? 7 + 5 ? 7 7 ? (4 - 5) = 7 ? 4 - 7 ? 5 (4 - 5) ? 7 = 4 ? 7 - 5 ? 7

Para multiplicar un número por un polinomio, multiplicamos el número por cada uno de los términos del polinomio. EJEMPLO 17 Multiplica el polinomio P(x) = 4x5 + 6x3 - 2x2 + 7x - 5 por 5. La multiplicación de un número por un polinomio se puede realizar en horizontal o en vertical. 24x 5 + 26x 3 - 22x 2 + 27x2 - 5 # 5 5 3 2 5 ? P(x) " 20x + 30x - 10x + 35x - 25 5 ? P(x) = 5 ? (4x 5 + 6x 3 - 2x 2 + 7x - 5) = 20x 5 + 30x 3 - 10x 2 + 35x - 25

6.3 Producto de un monomio por un polinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio, multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio. EJEMPLO 18 Multiplica el polinomio P(x) = -x5 + 4x3 - 5x + 1 por el monomio 3x2. La multiplicación de un monomio por un polinomio se puede realizar en horizontal o en vertical.

3x2 ? P(x) "

-x5 + 4x 3 - 5x + 1 # 3x2 7 5 3 -3x + 12x - 15x + 3x2

3x2 ? P(x) = 3x2 ? (-x5 + 4x 3 - 5x + 1) = -3x7 + 12x 5 - 15x3 + 3x2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 20 Realiza las siguientes operaciones.

2

P(x) = x - 3x + 7 Q(x) = 5x3 - 6x2 + x - 3

a) 3 ? S(x)

c) 2 ? Q(x)

S(x) = 8x - 2 R(x) = 7x2 + 4 d) P(x) ? 7

23 Realiza estas operaciones.

a) (18x5 - 10x4 + 6x2) ? (-2x) b) (12x4 - 24x3 + x2) ? 3x2 c) (6x2 - 8x + 3) ? (3x - 1)

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Factor común

7

La propiedad distributiva nos permite transformar un producto en una suma o una resta, y viceversa. 7 ? (3 + 5) = 7 ? 3 + 7 ? 5 " 7 ? 3 + 7 ? 5 = 7 ? (3 + 5) 4 ? (6 - 2) = 4 ? 6 - 4 ? 2 " 4 ? 6 - 4 ? 2 = 4 ? (6 - 2) Este último proceso se denomina sacar factor común. Sacar factor común consiste en transformar una expresión de suma o resta en producto. Factor común

Factor común

" " a ? b + a ? c = a ? (b + c) a ? b - a ? c = a ? (b - c) ! ! Propiedad distributiva Propiedad distributiva Cuando el factor común coincide con cualquiera de los sumandos, en su lugar queda la unidad.

a · b + a = a · (b + 1)

ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el máximo común divisor El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes. 18 2 9 3 3 3 1

30 2 15 3 5 5 1

18 = 2 ? 3 2 2 " m.c.d. (18, 30) = 2 ? 3 = 6 30 = 2 ? 3 ? 5

EJEMPLO 22 Extrae factor común en estos polinomios. b) x2 + 2x = x ? x + 2 ? x " Factor común: x x2 + 2x = x ? (x + 2) c) 6x2 + 2x = 2 ? 3 ? x ? x + 2 ? x " Factor común: 2x 6x2 + 2x = 2x ? (3x + 1) d) 24x3 + 72x2 - 6x Para determinar si un número es factor común hallamos el m.c.d. de los coeficientes de cada término. m.c.d. (6, 24, 72) = 6 Además, en este caso la x se repite en todos los sumandos. 24x3 + 72x2 - 6x = 6x ? (4x2 + 12x - 1)

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 6 Extrae factor común en los siguientes

polinomios. 3

2

a) x - 6x + x b) -4x2 + 2x + 8 c) 12x6 - 6x4 + 10x2 d) -4x10 - 2x5

29 Determina si se puede sacar factor común,

y hazlo en los casos en los que sea posible. a) -5x4 + 2x3 b) 3x2 + 6x 2 - 9x3 c) 3x2 - 3x + 3 d) x6 - x3

e) 7x2 - 4y2 f) 3x2 + 2 g) 12x - 4y h) 5x2 - 10

80

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Igualdades notables

8

8.1 Cuadrado de una suma El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

SE ESCRIBE ASÍ Cuando un polinomio tiene dos términos se denomina binomio. Así, por ejemplo, x3 - 3x es un binomio.

EJEMPLO 23 Calcula el cuadrado de esta suma: F

(x + 3)2 = x2 + 2 ? x ? 3 + 32 = x2 + 6x + 9 a = x b = 3

8.2 Cuadrado de una diferencia El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Al elevar un monomio a una potencia tenemos que elevar a la potencia el coeficiente y la parte literal. (5x 2)2 = 52 · (x 2)2 = 25x 4

EJEMPLO 24 Calcula el cuadrado de esta diferencia: F

(5x2 - 1)2 = (5x2)2 - 2 ? 5x2 ? 1 + 12 = 52 ? (x2)2 - 10x2 + 1 = 25x4 - 10x + 1

a = 5x b = 1

8.3 Suma por diferencia El producto de una suma por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados. (a + b)(a - b) = a2 - b2 EJEMPLO 25 Simplifica estos productos.

F

F

a) (x + 3)(x - 3) = x2 - 32 = x2 - 9 b) (5 + 2x)(5 - 2x) = 52 - (2x)2 = 25 - 4x2 a = x b = 3

a = 5 b = 2x

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 32 Calcula los cuadrados de estas sumas

35 Expresa estos productos como una diferencia

y diferencias. 2

a) (4x + 5)

de cuadrados. 2

e) (3a - 5b)

2

f) (8 - 3x)

a) (x + 4)(x - 4)

b) (x2 - 1)(x2 + 1)

81

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Lenguaje algebraico El doble de un número " 2x + 1 14243 más uno Expresión algebraica

Polinomio Polinomio 2

3y - 22xy3 + y2 + 5

Monomio

F

Término independiente

Términos Monomio

4 x2

F

Igualdades notables

Grado

• Cuadrado de una suma (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Coeficiente Parte literal

Monomios semejantes 3

3

17x y -5x y Misma parte literal

• Cuadrado de una diferencia (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 • Suma por diferencia (a + b)(a - b) = a2 - b2


1. CALCULAR EL VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = x3 + 4x - 7 para x = 2. la variable x por el valor numérico que nos dan. P(x) = x3 + 4x - 7

PRIMERO. Sustituimos

1. SUMAR POLINOMIOS Calcula: (3x5 - 5x2 + x - 7) + (7x2 - 5x) PRIMERO. Agrupamos

los monomios

semejantes. (3x5 - 5x2 + x - 7) + (7x2 - 5x) = = 3x5 - 5x2 + 7x2 + x - 5x - 7

1442443

x=2

F

Semejantes

14243

Semejantes

P(2) = 23 + 4 ? 2 - 7

SEGUNDO. Operamos.

SEGUNDO. Realizamos

3x5 - 5x2 + 7x2 + x - 5x - 7 = 3x5 + 2x2 - 4x - 7

las operaciones. P(2) = 23 + 4 ? 2 - 7 = 8 + 8 - 7 = 9

14243 2x2

14243 -4x

El valor numérico de P(x) para x = 2, P(2), es 9.

2. MULTIPLICAR UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

2. RESTAR POLINOMIOS 5

Calcula: (-x3 - 2x - 7) ? 2x2

2

2

Calcula: (3x - 5x + x - 7) - (7x - 5x) PRIMERO. Hallamos

el polinomio opuesto del segundo polinomio. 2

7x - 5x

Opuesto

SEGUNDO. Sumamos

2

" -7x + 5x

los polinomios. (3x5 - 5x2 + x - 7) - (7x2 - 5x) = = (3x5 - 5x2 + x - 7) + (-7x2 + 5x) = = 3x5 - 5x2 - 7x2 + x + 5x - 7 = = 3x5 - 12x2 + 6x - 7


el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

(-x3 + 2x - 7) ? 2x2 = = -x3 ? 2x2 + 2x ? 2x2 -7 ? 2x2 SEGUNDO. Realizamos las operaciones. -x3 ? 2x2 + 2x ? 2x2 -7 ? 2x2 = = -2x5 + 4x3 -14x2 Por tanto: (-x3 + 2x - 7) ? 2x2 = -2x5 + 4x3 -14x2

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5. SACAR FACTOR COMÚN

3. EXPRESAR IGUALDADES NOTABLES

Extrae factor común en este polinomio: 6yx5 - 8y2x4 - 12x2 PRIMERO. Comprobamos

si hay letras que se repiten en todos los sumandos. Si las hay, tomamos las que se repiten con menor exponente. x se repite en todos los sumandos. x con menor exponente " x2

SEGUNDO. Hallamos

el m.c.d. de los coeficientes de cada término. m.c.d. (6, 8, 12) = 2

TERCERO. El

factor común del polinomio serán las letras y el número que hemos obtenido. Factor común = 2x2

COMO POLINOMIOS Calcula. a) (x + 4)2 b) (x2 - 5)2 c) (3x + 2)(3x - 2) PRIMERO. Determinamos

los monomios que

forman el polinomio. a=x a) (x + 4)2 " (b = 4 b) (x2 - 5)2 " )

a = x2 b=5

c) (3x + 2)(3x - 2) " ( SEGUNDO. Aplicamos

a = 3x b=2

la igualdad notable

correspondiente.

CUARTO. Dividimos

el polinomio entre el factor común, y expresamos el polinomio como producto del factor común por el polinomio resultante de la división. : 2x2

6yx5 - 8y2x4- 12x2 " 3yx3 - 4y2x2 - 6 6yx5 - 8y2x4- 12x2 = 2x2 ? (3yx3 - 4y2x2 - 6)

a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (x + 4)2 = x2 + 2 ? x ? 4 + 42 = x2 + 8x + 16 b) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (x2 - 5)2 = (x2)2 - 2 ? x2 ? 5 + 52 = x4 - 10x2 + 25 c) (a + b) (a - b) = a2 - b2 (3x + 2)(3x - 2) = (3x)2 - 22 = 9x2 - 4


Restar polinomios

1. Escribe dos monomios y dos polinomios de grado 2.

4. Indica el resultado de las restas. a) (7x4 - x3 + 5x2 - 2x + 1) - (x3 - 5x - 7) b) (3x5 - 6x2 + 7x - 1) - (x3 - 5x - 7) c) (6x4 + 8x - 9) - (x4 - 6x + 2)

2. Calcula. a) (x3 + 7x)2 b) (x2 - 4x3)2 c) (2x2 + x)(2x2 - x) Calcular el valor numérico de un polinomio 1. Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 2x2 - 3x - 5 para x = -1. Sumar polinomios 3. Halla el resultado de estas sumas. a) (7x4 - x3 + 5x2 + 2x + 1) + (x3 - 5x - 7) b) (3x5 - 6x2 + 7x - 1) + (x4 - 2x2 + 3x) c) (2x3 - x2 + 1) + (3x5 - x4 + x3)

Multiplicar un polinomio por un monomio 2. Calcula: (3x4 - 7x3 + 2x - 5) ? (-3x2). Sacar factor común 7. Saca factor común en: a) 9x3y - 12x2y2 - 18xy3 b) -3xy2 + 18x2y2 + 27x4y3 Expresar igualdades notables como polinomios 3. Calcula. a) (2x - 7)2

b) (7x + 4)(7x - 4)

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Actividades LENGUAJE ALGEBRAICO

MONOMIOS

38. ● Expresa en lenguaje algebraico.

49. ● Copia y completa la siguiente tabla:

a) El doble de un número más 5. b) El triple de un número menos 6. c) El doble de la suma de un número más 4. d) La mitad de la diferencia de un número menos 8. e) El cuadrado de la suma de un número más 7. f) El cubo de la mitad de un número. 45. ● Calcula el valor numérico de la expresión 2x - 3 para estos valores de x. a) x = 1

c) x = -2 1 d) x = 2

b) x = 0

46. ● Determina el valor numérico de la expresión 3x2 - 2y + 4 para los valores de x e y: a) x = 1, y = -2 b) x = -1, y = -3 c) x = 0, y = -1 d) x = -2, y = 0

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE HALLA UN COEFICIENTE DESCONOCIDO EN UN POLINOMIO SI SE CONOCE UNO DE SUS VALORES NUMÉRICOS? 7. Calcula el valor de a en el polinomio x2 + ax - 9 si su valor numérico para x = 3 es 36. sustituye x por su valor en el polinomio y se iguala al resultado.

PRIMERO. Se

x2 + ax - 9

x=3

" 32 + a ? 3 - 9 = 36

despeja a en la expresión que resulta. 3 + a ? 3 - 9 = 36 " 9 + a ? 3 - 9 = 36 36 " a ? 3 = 36 " a = 3 = 12

SEGUNDO. Se 2

Monomio -8xyz

Coeficiente

Parte literal

Grado

4

x 3y 2

5

2

3a 2b 4 -9 1

2

a bc z

6

4 6

-3xy 3 8x2y

50. ● Indica si las afirmaciones son verdaderas o falsas. Razona tu respuesta. a) 12ab y -2ab son semejantes. b) 7xyz y -7xy son opuestos. c) 7xy2z y -7x2yz son semejantes y opuestos. d) 3xy2 y -3xy2 son semejantes y opuestos. 51. ● ● Escribe, si es posible. a) Dos monomios de grado 5 que sean semejantes y no opuestos. b) Dos monomios de grado 5 que sean opuestos y no semejantes. c) Dos monomios de grado 5 que sean semejantes y opuestos.

OPERACIONES CON MONOMIOS 52. ● Haz estas operaciones de monomios. a) -x2 + x + x2 + x3 + x b) 2x3 - (x3 - 3x3) c) 8x2 - x + 9x + x2 d) 8xy2 - 5x2y + x2y - xy2 e) -3x + 7y - (8y + y - 6x) 4 5 7 f) xy - xy + xy - xy 3 2 4 g) 2x2 ? 4x3 ? 5x6

47. ●● Halla el valor de a en la expresión 4x3 + 3x2 - ax - 5, sabiendo que su valor numérico para x = -1 es 0. 48. ●● Calcula el valor de a en la expresión -2x2 - 3x - a, si su valor numérico para x = 3 es -5.

h) -3x ? (-2x) ?

7 x 4

i) 7x3 ? 5x ? 9x4 j) 15x3 : 5x2 k) -8x3y2 : 2x2y l) 10x4yz2 : 5xyz

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8. ● Realiza estas operaciones con monomios. a) -x3 - 12x3 + x 3 + 3x 3 b) 2x 2y - 7x 2y + 9x 2y + 3x 2y c) 11xy ? (-2xy) d) 121x 2yz : 11x 2yz 53. ●● Razona si las igualdades son verdaderas o falsas, y corrige los errores cometidos. a) a + a = 2a b) 2a + a = 2a2 c) 2a - a = 2 d) 2a - 2 = a e) 2a - b = 2 ? (a - b) f) 2a + 3a = 5a g) 2a + 3b = 5ab h) 2a2 = 4a 54. ●● Escribe 12x2y como: a) Suma y/o resta de tres monomios. b) Producto de tres monomios. c) Cociente de dos monomios.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES COMBINADAS DE MONOMIOS? 55. Resuelve: 8x2 - (5x4 + x4) : 2x2 + 15x4 : (3x ? x) PRIMERO. Se

resuelven las operaciones que hay entre paréntesis. 8x2 - (5x4 + x4) : 2x2 + 15x4 : (3x ? x) = = 8x2 - 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2

SEGUNDO. Se

resuelven las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 8x2 - 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2 = 8x2 - 3x2 + 5x2

TERCERO. Se resuelven las sumas y restas en el mismo orden. 8x2 - 3x2 + 5x2 = 5x2 + 5x2 = 10x2

56. ●● Opera y reduce. a) 12x ? 3x2 : x + 14x ? x3 : 7x2 b) 16x ? x3 : (-4) + 9x5 : x4 ? (-3x3) c) 3x2 ? (10 ? 5x3) - 10x4 ? 6x2 : 2x d) (5x2 - 2x2 + 7x2) ? (4x3 - x3 + 6x3) e) (-4xy2 + 9xy2) : (3xy + 2xy) f) (x3 - 8x3 + 4x3) ? (y - 3y + 5y)

POLINOMIOS 57. ● Indica si son verdaderas o falsas estas afirmaciones referidas a 2x + 3. a) 3 es el coeficiente de x. b) 3 es el término independiente. c) Hay tres términos. d) La x es la incógnita. 58. ● Señala los términos, coeficientes, variables y grados de estos polinomios. a) 2x + 3y - 2 b) 5 - 2x + 8y - 3x 2

c) 2a + 2b + 3c d) 7 + 5t - 2z 2 - 3y

59. ● Identifica estos elementos de los polinomios. a) Número de términos de x3 - x2 + 4x + 5x4 - 6. b) Término independiente de y + 3y4 - 3y3. c) Grado de R(x, y) = 5x3y2 + 6y4 - 3x4y3 + 8x2. 7 - 2x + 10x 3 . d) Coeficientes de 3 60. ● Escribe un polinomio de una variable, con grado 7, que tenga 6 términos y cuyo término independiente sea -2. 61. ● Indica el grado de los polinomios. a) 5x 2 - 2xy 2 b) 8a 3b 2 + 5a 2b 3c

c) 4x 2 + 5x 2y 2 - 10xy d) a 2bc - 2abc + 6a 2b3

9. ● Escribe el polinomio opuesto en cada caso. a) P(x) = -x3 - 12x2 + x + 3 b) P(x) = 5x2 - x + 11 10. ● Halla el valor numérico de los siguientes polinomios en x = -1. a) P(x) = 2x3 - 7x2 + 5x - 1 b) P(x) = -3x2 + 2x - 9 c) P(x) = -x3 - x + 2 62. ● Calcula el valor numérico de estas expresiones para los valores n = 1 y n = -2. a) 3n 2 + 4n b) n(n + 3)

c) n 2 - 1 d) n 2(n + 2)

63. ● Si P(x) = 3x4 - 2x3 + x2 - 5, calcula. a) P(1) + P(0) - P(-2) b) 2 ? P(2) + 3 ? (-P(-1))

c) P e

1 o 2

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OPERACIONES CON POLINOMIOS 67. ● Con estos polinomios, calcula. A(x) = 2x 3 - 3x 2 + x - 7 B(x) = x 3 + 7x 2 - 4x C(x) = -2x 2 + x - 5 a) A(x) + B(x) + C(x) b) B(x) + C(x)

c) A(x) - B(x) d) A(x) - B(x) - C(x)

11. ● Con los polinomios indicados, realiza estas operaciones. P(x) = -2x 4 - 5x 2 - 1 Q(x) = -x 5 + 3x 3 - 7x 2+ 4 R(x) = -x 2 + 2x - 3 S(x) = -7x 5 + 3x 3 -2x - 8 a) P(x) + Q(x) + R(x) b) Q(x) + R(x) c) S(x) - P(x) d) Q(x) + S(x) - P(x) 68. ●● Halla dos polinomios cuya suma sea 4x3 - 6x2 + 7x - 2.

77. ● Extrae factor común en cada caso. a) 3x + 6x - 9x b) 4x - 12y c) 10a - 10b + 10c d) 3ab + 5ab

e) 10xy - 5xy + 15xy f) 14x 4 - 35x 3 - 7x 2 + 42 g) 25m 2n + 20m 3n 2 - 30m 4 h) x 2y - xy 3 + xy

78. ● ● Extrae factor común. a) 4x5 + 3x4 - 5x2 b) -6y4 + 8y3 + 4y

c) 10x2y - 15xy + 20xy2 d) 3z4 + 9z2 - 6z3

13. ● ● Extrae factor común en los siguientes polinomios. a) 24x 4 - 18x 2 - 9 b) -3x 6 - 6x 2 - 9 c) 36x 12 + 12x 4 d) -8x 9 + 4x 3 - 32x 14. ● ● Extrae factor común. a) -25x 4 - 100x 2 - 50 b) -30x 3 - 15x 2 - 5x c) 49x 12 + 28x 24 + 21x 6 d) -18x 8 - 27x 4 - 30x2

69. ●● Copia y completa. a) 6x2 - 4x + 7 + d = 3x + 2 b) 5x3 + 3x2 - 10 - d = x - x2 + 7 c) 9x3 + x2 - 6x + 4 + d = 2x2 - x3 + x 70. ● Efectúa las siguientes operaciones. a) (3x + 4) ? 2 b) (x - 2) ? 4x

c) (4x2 + x - 2) ? (-5) d) (x2 + 3x - 6) ? (-3x3)

12. ●● Con los polinomios indicados, realiza estas operaciones. P(x) = -x 4 + 7x 2 - x Q(x) = -3x 5 + 2x 3 - x 2+ 4 R(x) = 5x 2 + 7x - 8 a) P(x) ? 5 b) -4 ? Q(x) c) (P(x) - R(x)) ? 3x d) Q(x) + 4 ? R(x) 72. ● Opera y reduce términos semejantes.

igualdades notables 79. ● Desarrolla las igualdades notables. a) (x - 5)2 b) (2x + 3y)2

c) (4 + a)2 d) (3a - 6b)2

80. ● ● Calcula. a) (x 2 + y 2)2 b) (3x 2 - 5y 3)2

c) (x 2 - y 2)2 d) (1 + a 4)2

81. ● Expresa como una diferencia de cuadrados. a) (x + 1)(x - 1) b) (5 + ab)(5 - ab) c) (3a - 2b)(3a + 2b) d) (2 + 7x 2y)(2 - 7x 2y) 82. ● ● Corrige los errores cometidos. a) (x + 2)2 = x2 + 4 b) (x - 3)2 = x2 + 6x - 9 c) 5 + 2 ? (x + 1)2 = 10 ? (x + 1)2 = (10x + 10)2 15. ● ● Copia y completa estas igualdades. a) (x + 7)2 = x 2 + d + 49 b) (2x - 2)2 = 4x 2 - 8x + d c) (x + d)(x - d) = x 2 - 64

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83. ●● Copia y completa los términos que faltan. a) (2x + 4)2 = d + 16x + d b) (3x2 - 2)2 = 9d + d - 12x2 c) (d + 5)2 = x4 + 10d + d d) (3 - d)2 = d + 16x2 - 24x

HAZLO ASÍ ¿Cómo se expresan polinomios de la forma a2 + 2ab + b2 o a2 - 2ab + b2 como el cuadrado de una suma o una diferencia? 16. Expresa estos polinomios como el cuadrado de una suma o una diferencia. a) 4x2 + 12x + 9 b) 16x4 - 40x2 + 25 PRIMERO. Se

identifican los términos que corresponden a a2 y b2. • El término independiente del polinomio debe corresponder a b2. • El término con x de mayor grado del polinomio debe corresponder a a2. a) Término independiente: b2 = 9 " b = 3 Término de mayor grado: a2 = 4x2 " a = 2x b) Término independiente: b2 = 25 " b = 5 Término de mayor grado: a2 = 16x4 " a = 4x2 SEGUNDO. Se

comprueba que el término restante corresponde a 2ab. a) 12x b) 40x2

a = 2x b = 3 2

a = 4x

" 2ab = 2 ? 2x ? 3 = 12x b=5 " 2ab = 2 ? 4x2 ? 5 = 40x2

TERCERO. Si el signo de este último es positivo, la expresión buscada es del tipo (a + b)2, y si es negativo, (a - b)2. a) En este caso es positivo: 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2 b) En este caso es negativo: 16x4 - 40x2 + 25 = (4x2 - 5)2

85. ●● Expresa estos polinomios como el cuadrado de una suma o una diferencia. a) x2 + 4x + 4 b) 4x2 - 12x + 9 1 c) x2 - x + 1 4 d) x4 + 2x2 + 1 e) 9x4 + 6x3 + x2 f) 9x4 + 6x2y + y2

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE EXPRESA UN POLINOMIO DE LA FORMA a2 - b2 COMO UNA SUMA POR DIFERENCIA? 86. Expresa P(x) = 16 - x2 como una suma por diferencia. identifican a y b. a2 = 16 " a = 4 b2 = x2 " b = x

PRIMERO. Se

SEGUNDO. Se

aplica la igualdad. a2 - b2 = (a + b)(a - b) 16 - x2 = 42 - x2 = (4 + x)(4 - x)

87. ● ● Expresa los polinomios como producto de una suma por diferencia. a) 100 - 64x2 b) 49x4 - 36x2 c) 1 - x2

d) 9x6 - x8 e) 16x2 - 25 f) x4 - 4

PROBLEMAS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS 88. ● ● El precio del kilo de naranjas es x y el de uvas es y. Expresa en lenguaje algebraico. a) El precio de 2 kg de naranjas y 3 kg de uvas. b) Las uvas cuestan el doble que las naranjas. c) El precio de 1,5 kg de naranjas y 2,5 kg de uvas. 89. ● ● Si x es la edad actual de Jorge y Pedro tiene 8 años más que él, contesta a estas preguntas utilizando expresiones algebraicas. a) ¿Cuál será la edad de Jorge dentro de 20 años? b) ¿Qué edad tenía Jorge hace 7 años? c) ¿Cuándo tendrá Jorge el doble de la edad que tiene ahora? d) ¿Cuál es la edad actual de Pedro? e) ¿Cuál será la edad de Pedro dentro de 15 años? f) ¿Hace cuántos años Pedro tenía la mitad de la edad actual de Jorge? g) ¿Dentro de cuántos años tendrá Jorge el doble de la edad actual de Pedro?

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Ecuaciones de primer y segundo grado París bien vale una misa Cuando su primo Enrique III, el último de la dinastía Valois, lo nombró su sucesor, Enrique IV ya sabía que el camino al trono se hallaba sembrado de espinas. Las guerras de religión habían dividido no solo a Francia, sino a toda Europa, y aunque él había sido bautizado católicamente, fue educado en la doctrina de Calvino, y las sufrió en sus propias carnes. Todavía recordaba cómo, después de llevar cuatro años reinando en Francia, tuvo que abjurar de su fe y abrazar nuevamente la doctrina católica para que la Santa Liga de París lo aceptara como rey.

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Busca información sobre la vida de François Viète y su relación con la corte de Enrique III y Enrique IV. 2. Averigua cómo escribiría Viète una ecuación de segundo grado.

Las disputas de poder contra el católico Felipe II continuaban años después y, mientras leía la misiva que su secretario le había traído, Enrique IV se asombraba por el talento de François Viète para interpretar los mensajes cifrados que los españoles utilizaban para comunicarse entre ellos. Cerró los ojos e intentó recordar alguna de las nociones de álgebra que Viète logró hacerle comprender. Recordó así que usaba las consonantes, B, C, D…, para suplir las cantidades conocidas, y las vocales, A, E, I…, para las desconocidas.

3. Investiga sobre la evolución del álgebra a lo largo de la historia.

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Antes de empezar la unidad... MONOMIOS. OPERACIONES CON MONOMIOS Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o varias letras. 8x3y Coeficiente

Parte literal

Grado de un monomio

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman. 6x3 " Grado: 3 2x3y2z " Grado: 3 + 2 + 1 = 6

Si los monomios no son semejantes, la suma o la resta se deja indicada.

Suma y resta de monomios semejantes

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. • La suma de dos monomios semejantes se realiza sumando los coeficientes y manteniendo la parte literal. • La resta de dos monomios semejantes se realiza restando los coeficientes y manteniendo la parte literal. Por ejemplo, los monomios 6x3y y 4x3y son semejantes, ya que tienen la misma parte literal, x3y. Por tanto, podemos sumarlos o restarlos. • Suma: 6x3y + 4x3y = 10x3y • Resta: 6x3y - 4x3y = 2x3y

EVALUACIÓN INICIAL 1. Determina el grado de estos monomios. e) 6xy4 a) 5x2y6 b) -9x5 f) 4x2y7 5 c) 7x y g) -7x3 d) -2x2 h) 5z2y 1 Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de estos monomios.

a) 4xyz a) 7y2 b) -4xy

d) -3xy4 d) 9xy5z e) -5x

3. Comprueba si estos monomios son semejantes, y en caso afirmativo, halla su suma y su resta. c) 9xy2 y 7x2y e) -5xy y 4xy a) 12x2 y 4x2 f) -7x2yz y 3x2y b) 73xy y 18xy d) -18x3y2 y 7x2y3

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Reconocer los distintos elementos de una ecuación. • Resolver ecuaciones de primer grado. • Resolver problemas mediante ecuaciones de primer grado. • Resolver ecuaciones de segundo grado. • Comprobar la solución de una ecuación.

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Elementos de una ecuación

ANTES, DEBES SABER… Cuáles son los elementos de un polinomio Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios no semejantes. Cada uno de los monomios se llama término, y si no tiene parte literal, término independiente. El mayor de los grados de todos sus términos se denomina grado del polinomio. Polinomio

3y2 - 22xy3 + y2 - 14y + 3x + 5 $ Término independiente Términos

Término de mayor grado: -22xy3 " Grado: 1 + 3 = 4 Antes de calcular el grado de una ecuación tenemos que reducir los términos semejantes:

x 2 - 3x + 1 - x 2 = 0 F

-3x + 1 = 0 F

Grado 1

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que no es cierta para todos los valores de las letras.

• Miembro. En una ecuación hay dos expresiones separadas por el signo igual. La expresión situada a la izquierda se denomina primer miembro, y la situada a la derecha, segundo miembro. • Término. Es cada uno de los sumandos de los miembros. Si está formado por un solo número se denomina término independiente. • Incógnitas. Son las letras cuyos valores son desconocidos. • Grado. Es el mayor grado de sus términos, después de realizar las operaciones que se indican en la ecuación. EJEMPLOS 3 Indica cuáles son los miembros y los términos de estas ecuaciones. 1.er miembro 2.º miembro

1.er miembro 2.º miembro

14x2 - 3x = 4 + x " Incógnitas: x, y

Términos

3x - 1 = 0 " Incógnita: x Términos

4 Determina el grado de las siguientes ecuaciones. a) 7x - 3 = 4 " Ecuación de grado 1 o de primer grado b) x2 - 2x - x + 2 = 0 " x2 - 3x + 2 = 0 " Ecuación de grado 2 o de segundo grado

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Determina los miembros, los términos

4 Determina los miembros, los términos

y el grado de estas ecuaciones.

y el grado de estas ecuaciones.

a) x + 3 = 10 b) 4x - x = x + 8 c) x + 3x2 = 7 + 3x2

c) x(x - 2) = 3 - 4(x + 2) d) x - x2 + 3 = 8 + x(5 - x) e) x2(x - 3) + 5x2 = x(1 + x2)

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Solución ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula la potencia de un número Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. Exponente F

Base

F

an = a ? a ? … ? a

• Si la base es un número positivo, la potencia es positiva. • Si la base es un número negativo, la potencia es positiva cuando el exponente es par y negativa si es impar. 3 3 33 27 32 = 3 ? 3 = 9 d n= 3 = 5 125 5 (-2)3 = (-2) ? (-2) ? (-2) = -8

Cómo se calcula el valor numérico de un polinomio Para calcular el valor numérico de un polinomio P(x) si x = a, sustituimos la variable x por el valor de a en el polinomio y operamos. P(x) = 2x2 - x + 3 P(x) = 2x2 - x + 3

x=2

" P(2) = 2 ? 22 - 2 + 3 = 9 " P(-3) = 2 ? (-3)2 - (-3) + 3 = 24

x = -3

• Soluciones. Son los valores numéricos de la incógnita que hacen que la igualdad sea cierta. • Resolver una ecuación es encontrar su solución. EJEMPLOS 5 Determina si los valores 2 y 4 son solución de la ecuación x + 3 = 5. x=2

x + 3 = 5 " 2 + 3 = 5 " 5 = 5. El valor x = 2 es solución. x=4

x + 3 = 5 " 4 + 3 ! 5 " 7 ! 5. El valor x = 4 no es solución. 1

Decide si x = 3 y x = -1 son solución de x2 - x + 2 = 8. x2 - x + 2 = 8

x=3

" 32 - 3 + 2 = 8 " x = 3 es solución. x = -1 x2 - x + 2 = 8 " (-1)2 -(-1) + 2 ! 8 " x = -1 no es solución. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Decide si x = 2 y x = 1 son solución de estas

2 Decide si x = -1 y x = 1 son solución de estas

ecuaciones.

ecuaciones.

a) 3x + x = 8 b) -5x + 8 = 3 c) 12x + 4 = 14x d) 6x - 3x = 2x + 1 e) -x + 8 = -2x + 5

a) 3x2 + 8x = -5

b) 6x2 - x = 5

5 ¿Cuáles de estos valores son solución

de la ecuación x(x + 1) = 6? a) x = 2 b) x = -2 c) x = 3 d) x = -3

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Transposición de términos

Para resolver una ecuación podemos hacer que cualquier término pase al otro miembro de forma «inversa» a como estaba: • Si estaba sumando, pasa restando; y si estaba restando, sumando. EJEMPLO 2 Agrupa los términos con x en el mismo miembro en estas ecuaciones. a) x + 13 = 8 - 2x

x + 13 = 8 - 2x " x = 8 - 2x - 13 " x + 2x = 8 - 13

Está sumando, pasa restando Está restando, pasa sumando

F

Agrupamos los términos con x en el primer miembro y los números en el segundo. F

b) x + 5 = 7 - 2x2 Agrupamos todos los términos en el primer miembro.

x + 5 = 7 - 2x2 " x + 5 - 7 = -2x2 " x + 5 - 7 + 2x2 = 0

Está sumando, pasa restando Está restando, pasa sumando

F

F

• Si estaba multiplicando, pasa dividiendo; y si estaba dividiendo, multiplicando. EJEMPLO 3 Halla el valor de la incógnita en estas ecuaciones. a) 5x = 10

F

Para hallar el valor de x, el 5 que está multiplicando en un miembro pasa al otro miembro dividiendo. 10 5x = 10 " x = 5

Está multiplicando, pasa dividiendo

b)

x =3 6

Para hallar el valor de x, el 6 que está dividiendo en un miembro pasa al otro miembro multiplicando. x =3"x=3?6 6 F

Está dividiendo, pasa multiplicando

Esta técnica se denomina transposición de términos. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 Agrupa términos en estas ecuaciones.

a) 3x - 6 = 27 + 9x

b) -5x = 45

4 Agrupa en el primer miembro.

a) 3x2 = -6x + 9

b) 7x = -12x2 - 25

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Resolución de ecuaciones de primer grado

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4.1 Resolución de ecuaciones sencillas Para resolver una ecuación de primer grado debemos agrupar los términos con la incógnita en uno de los miembros, y los términos numéricos, en el otro. Esto lo conseguimos aplicando la transposición de términos. Cuando la x queda sola en un miembro, y en el otro miembro solo hay números, decimos que hemos despejado la incógnita.

SE ESCRIBE ASÍ Aunque para representar las incógnitas podemos utilizar cualquier letra, habitualmente utilizaremos la x.

EJEMPLOS 4

Resuelve esta ecuación: 5x + 6 = 18 - x

F

1.º Agrupamos los términos con x en el primer miembro y los números en el segundo. Está restando, pasa sumando 5x + 6 = 18 - x " 5x = 18 - x - 6 " 5x + x = 18 - 6 F

Está sumando, pasa restando

2.º Reducimos términos semejantes realizando las operaciones. 5x + x = 18 - 6 " 6x = 12 3.º Aplicamos de nuevo la transposición de términos para dejar la incógnita sola en un miembro, y hallamos la solución. 12 6x = 12 " x = "x=2 6 F

Reducir términos semejantes significa sumar o restar los términos.

Está multiplicando, pasa dividiendo

9 Resuelve la ecuación 3x - 2 = 4 + x.

F

1.º Agrupamos términos: • Agrupamos los términos numéricos 3x - 2 = 4 + x en el segundo miembro. Pasa como +2

2.º Reducimos términos semejantes. 3.º Despejamos x y hallamos la solución.

3x = 4 + x + 2 Pasa como -x F

• Agrupamos los términos con x en el primer miembro.

3x - x = 4 + 2 2x = 6 6 x= =3 2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 7 Resuelve estas ecuaciones utilizando

la transposición de términos. a) x + 4 = 12 b) 1 - x = 12 c) x - 3 = 8 d) -5 + x = -3

e) 2x = f) 7x = g) 5x = h) 2x =

16 49 25 5

10 Resuelve estas ecuaciones.

a) 2x + 4 = 16 b) 7x + 8 = 57 c) x + 2 = 16 - 6x d) x - 1 = 9 - x e) 5x - 5 = 25

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4.2 Resolución de ecuaciones con paréntesis ANTES, DEBES SABER… Cómo actúa un signo delante de un paréntesis • Si el paréntesis viene precedido por el signo +, se suprime el paréntesis dejando los signos del interior tal y como aparecen. • Si el paréntesis viene precedido por el signo -, al suprimir el paréntesis todos los sumandos del interior se transforman en su opuesto. F

F

-(3 - 5) + 7 + (5 - 4) = -3 + 5 + 7 + 5 - 4 = 10

Cómo se aplica la propiedad distributiva Esta propiedad permite transformar un producto en una suma o una resta. 3 ? (2 + 5) = 3 ? 2 + 3 ? 5 (2 - 5) ? 3 = 2 ? 3 - 5 ? 3

Para resolver ecuaciones con paréntesis seguimos estos pasos: 1.º Eliminamos paréntesis. 2.º Agrupamos las x en un miembro, y los números, en el otro. 3.º Reducimos términos semejantes, si los hubiera. 4.º Despejamos x y hallamos la solución. EJEMPLOS 5

Resuelve esta ecuación: 2(x - 6) + 1 = -x + 4 1.º Eliminamos paréntesis. 2x - 12 + 1 = -x + 4 2.º Agrupamos términos: • Los términos con x en el primer 2x - 12 + 1 + x = 4 miembro. • Los términos numéricos en el segundo. 2x + x = 4 + 12 - 1 3.º Reducimos términos semejantes. 3x = 15 15 4.º Despejamos x y hallamos la solución. x= "x=5 3

10 Resuelve la ecuación 2(x - 4) - (6 + x) = 3x - 4. 1.º Eliminamos paréntesis. 2x - 8 - 6 - x = 3x - 4 2.º Agrupamos términos: • Agrupamos los términos con x -8 - 6 = 3x- 4 - 2x + x en el segundo miembro. • Agrupamos los términos numéricos -8 - 6 + 4 = 3x- 2x + x en el primer miembro. 3.º Reducimos términos semejantes. -10 = 2x 10 4.º Despejamos x y hallamos la solución. x =" x = -5 2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 10 Resuelve estas ecuaciones.

f) 3x + 4 = 2(x + 4)

g) 5(x - 1) - 6x = 3x - 9

10 Resuelve esta ecuación.

h) 4(x - 2) + 1 + 3x = 5(x + 1)

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Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado

ANTES, DEBES SABER… Cómo se traducen enunciados en expresiones algebraicas Cualquier enunciado se puede traducir al lenguaje algebraico utilizando expresiones algebraicas. Expresión escrita


El doble de un número, más 3 El perímetro de un rectángulo

2x + 3 2x + 2y

Para resolver problemas mediante ecuaciones seguimos estos pasos: 1.º Leemos atentamente el enunciado e identificamos la incógnita. 2.º Planteamos la ecuación. 3.º Resolvemos la ecuación. 4.º Comprobamos que la solución es válida y la interpretamos. EJEMPLO 12 Si al dinero que tengo ahora le añadiera el doble y, además, otros 5 €, tendría 59 €. ¿Cuánto dinero tengo? 1.º Identificamos la incógnita. Para ello debemos saber cuáles son los datos que conocemos y los que no. Lo que sabemos… El dinero que tengo más el doble, más 5 €, es 59 €

Lo que no sabemos… Dinero que tengo

Incógnita (x) " Dinero que tengo 2.º Planteamos la ecuación. El dinero que tengo El doble del dinero que tengo El dinero que tengo más el doble, más 5 € El dinero que tengo más el doble, más 5 €, es 59 €

" x " 2x " x + 2x + 5 " x + 2x + 5 = 59

3.º Resolvemos la ecuación. x + 2x + 5 = 59 " 3x = 59 - 5 " 3x = 54 " x =

54 = 18 3

4.º Comprobamos e interpretamos la solución. x + 2x + 5 = 59

x = 18

" 18 + 2 ? 18 + 5 = 59 " 18 + 36 + 5 = 59 " 59 = 59

La solución de la ecuación es válida. INTERPRETACIÓN:

Tengo 18 €.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 16 La suma de un número y el doble de ese número

es 120. ¿De qué números se trata?

18 El perímetro de un cuadrado es de 60 cm.

Calcula la longitud de cada lado.

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Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad entre dos expresiones algebraicas con las siguientes características: • Tiene una única incógnita. • Alguno de sus términos es de grado 2 y no contiene términos de grado mayor que 2. EJEMPLO

Si en una ecuación de segundo grado a es 0:

ax + bx + c = 0 " bx + c = 0 2

a=0

En realidad es una ecuación de primer grado.

14 Determina cuáles de estas ecuaciones son de segundo grado con una incógnita. -x2 + 2x = 4 Son ecuaciones 7x2 - x = 0 4 de segundo grado x2 = 0 con una incógnita.

x2 + 2y = 34 No son ecuaciones 7x - x = 30 4 de segundo grado x2 = x3 con una incógnita.

Expresión general Una ecuación de segundo grado con una incógnita se puede expresar utilizando su forma general: ax 2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números conocidos y a ! 0. EJEMPLO 15 Expresa estas ecuaciones en su forma general, y determina el valor de sus coeficientes. ECUACIÓN x2 + 2x - 1 = 0 3x2 - 2x - 5 x2 = 25 7x2 = 0 -3x(x + 2) = 0

FORMA GENERAL x2 + 2x - 1 = 0 3x2 - 2x - 5 = 0 x2 - 25 = 0 7x2 = 0 -3x2 - 6x = 0

COEFICIENTES

a = 1- b = 2- c = -1 a = 3- b = -2 c = -5 a = 1- b = 0- c = -25 a = 7- b = 0- c = 0 a = -3 b = -6 c = 0

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 26 Escribe la expresión general de estas

ecuaciones de segundo grado, y determina sus coeficientes. a) (x - 1)(x + 4) = 1 b) x2 - 5x + 2 = -x2 c) 3x2 - 5 = -2x2 + x - 4 d) x(4x + 2) = 0 e) 3x2 - 5x = 0 2

f) -x - x - 1 = 0 g) (x - 2)3x = 4

27 Escribe una ecuación de segundo grado cuyos

coeficientes sean: a) a = 4, b = -3, c = -2 b) a = 6, b = 0, c = -3 c) a = -1, b = 2, c = 0 d) a = -1, b = 0, c = 0 28 Determina si estas ecuaciones son de segundo

grado. a) 3x2 - 5x + 2 = 3x2 + 2x c) (x - 2)(x + 1) = 0 d) x(x + 1) = x2 + 2x b) 3x2 - 2x2 = 2x2 + x

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Resolución de ecuaciones de segundo grado

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ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula la raíz cuadrada de un número

SE ESCRIBE ASÍ

La raíz cuadrada de un número es otro número que, elevado al cuadrado, es igual al primero. 4 = 2 porque 22 = 4 4 Lo escribimos como 4 =-2 porque (-2)2 = 4

4 = !2

Para representar que una ecuación tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa, se utiliza el signo !.

Las soluciones de una ecuación del tipo ax2 + bx + c = 0 se obtienen aplicando la fórmula:

x=

-b ! b2 - 4ac = 2a

*

-b + b 2 - 4ac 2a

x1 =

-b - b 2 - 4ac x2 = 2a

La ecuación puede tener dos soluciones, una o ninguna. EJEMPLO 18 Resuelve estas ecuaciones. a) x2 - 2x = 0 " a = 1, b = -2, c = 0 -(-2) ! (-2) 2 - 4 ? 1? 0 -b ! b2 - 4ac x= = = 2a 2 ?1

*

2+ 4 =2 2 2- 4 x2 = =0 2 x1 =

Esta ecuación tiene dos soluciones: x1 = 2 y x2 = 0 b) 4x2 + 4x + 1 = 0 " a = 4, b = 4, c = 1 x=

2

2

-b ! b - 4ac -4 ! 4 - 4 ? 4 ? 1 = = 2a 2?4

Esta ecuación tiene una única solución: x = -

1 2

*

x1 =

-4 + 0 1 =2 8

x2 =

1 -4 - 0 =2 8

La raíz cuadrada de un número negativo no existe. Así, -13 no existe porque no hay ningún número tal que al elevarlo al cuadrado dé -13.

c) 2x2 + 3x + 3 = 0 " a = 2, b = 3, c = 3 -3 ! 32 - 4 ? 2 ? 3 = x= 2?2

*

-3 + -13 4 -3 - -13 x2 = 4 x1 =

" No existe solución " No existe solución

Esta ecuación no tiene solución.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 32 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x - 6x + 8 = 0 2

b) 2x - x - 1 = 0 2

32 Resuelve las siguientes ecuaciones.

c) 3x2 - 4x + 1 = 0

d) -x2 + 4x - 3 = 0

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Ecuación

Ecuación de segundo grado con una incógnita

Primer miembro Segundo miembro Incógnitas: x, y 3xy + 4 = 12 " ( Grado: 1 + 1 = 2

ax2 + bx + c = 0

Solución

" x =

Términos

Ecuación de primer grado con una incógnita ax + b = 0

b " x =- a

Solución

=

-b ! b2 - 4ac = 2a

*

x1 =

-b + b2 - 4ac 2a

x2 =

-b - b2 - 4ac 2a


1. RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO Resuelve la ecuación x - (4x - 7) = 8 - 2(x + 2). PRIMERO. Eliminamos

x - 4x + 7 = 8 - 2x - 4

los paréntesis, si los hay.

SEGUNDO. Agrupamos

términos: x - 4x + 7 + 2x = 8 - 4

• Agrupamos los términos con x en el primer miembro. • Agrupamos los términos numéricos en el segundo miembro. TERCERO. Reducimos

x - 4x + 2x = 8 - 4 - 7

términos semejantes.

CUARTO. Despejamos

-x = -3 -3 x= -1

x y hallamos la solución.

"x=3

2. RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Resuelve estas ecuaciones. a) 2x2 - 2x + 3 = 0 b) 2x2 - 50 = 0 c) 2x2 - 5x = 0 PRIMERO. Identificamos los coeficientes de la ecuación.

a) a = 2 b = -2 c = 3 b) a = 2 b = 0 c = -50 c) a = 2 b = -5 c = 0 SEGUNDO. Aplicamos la fórmula: x

=

-b ! b2 - 4ac 2a

a) x =

-(-2) ! (-2) 2 - 4 ? 2 ? 3 2 ! -20 = 2?2 4

b) x =

x1 = 5 0 ! 02 - 4 ? 2 ? (-50) 0 ! 400 = = ) x =-5 2 2?2 4

" No tiene solución.

5 x1 = -(-5) ! (-5) 2 - 4 ? 2 ? 0 5 ! 25 2 = =* c) x = 2?2 4 x2 = 0

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3. COMPROBAR LA SOLUCIÓN

4. RESOLVER UN PROBLEMA MEDIANTE

DE UNA ECUACIÓN

UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Comprueba si los valores de la incógnita que se dan son o no soluciones de las ecuaciones.

Una madre tiene 40 años y su hijo 10 años. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la madre triplique la del hijo?

a) x - (x - 3) = 2x + 7. Solución: x = -2

PRIMERO. Identificamos

2

b) 2x - 7x + 3 = 0. Solución: x = 1

Lo que sabemos…


Madre: 40 años Hijo: 10 años

la incógnita por su valor

y operamos.

la incógnita. Lo que no sabemos… Años que han de transcurrir

Incógnita (x) " Años que han de transcurrir

a) x - (x - 3) = 2x + 7 x = -2

" (-2) - ((-2) - 3) = 2 ? (-2) + 7

" -2 + 2 + 3 = -4 + 7 "3=3 b) 2x2 - 7x + 3 = 0 x=1

" 2 ? 12 - 7 ? 1 + 3 = 0 " 2 - 7 + 3 = 0 " -2 ! 0 SEGUNDO. El

valor es solución si se obtiene el mismo resultado en ambos miembros.

a) Se obtiene una igualdad (3 = 3); luego -2 es solución de la ecuación. b) Se obtiene una desigualdad (-2 ! 0); por tanto, 1 no es solución de la ecuación.

SEGUNDO. Planteamos la

ecuación.

Años transcurridos " x Edad madre transcurridos los años " 40 + x Edad hijo transcurridos los años " 10 + x Edad madre es triple que hijo " 40 + x = 3(10 + x) TERCERO. Resolvemos la ecuación. 40 + x = 3(10 + x) " 40 + x = 30 + 3x " 10 = 2x " x = 5 CUARTO. Comprobamos

la solución y la interpretamos. Dentro de 5 años: MADRE: 40 + 5 = 45 años 45 = 3 ? 15 HIJO: 10 + 5 = 15 años La solución es válida.


Resolver ecuaciones de segundo grado

1. Indica cuáles son los miembros y los términos de la ecuación -2x2y + 5xy = 10.

4. Resuelve la ecuación x2 - 100 = 0.

2. Escribe una ecuación de primer grado con una incógnita y tres ecuaciones de segundo grado, una de cada tipo. Resolver ecuaciones de primer grado 1. Halla la solución de las siguientes ecuaciones. a) 2x + 1 = 11 b) -x + 10 = 4 + 5x x c) =-8 2 d) (x - 3) + 5 = 2(x + 1)

5. ¿Cuál es la solución de x2 - 4x - 12 = 0? 6. Halla la solución de 6x2 - 3x = 0. Comprobar la solución de una ecuación 7. Decide si los valores x1 = -2 y x2 = 5 son soluciones de: a) x2 - 3x - 10 = 0 b) 3x2 - 12 = 0 Resolver un problema mediante una ecuación de primer grado 8. La suma de tres números consecutivos es 18. ¿Cuáles son esos números?

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Actividades ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN 42. ● Identifica los elementos de las ecuaciones. Ecuación

er

1. 2.º Incógnitas Grado miembro miembro

4x - 3 = 5 4(x - 3) = 5x y+2 3 a 3a - b = 5 8y - y =

5. ● Comprueba si los valores indicados son solución de cada ecuación. a) -2x + 7 = 11, para x = 2 b) -(x + 3) = x - 1, para x = -1 c) 5(x - 2) = 15, para x = 5 d) -3(2 - 5x) = 8 + x, para x = 1 x e) = 2, para x = 7 7 f) x2 - x - 56 = 0, para x = 8

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

z2 - 4z + 3 = 0 x(x + 1) = x2 + 9

46. ● Simplifica estas ecuaciones reduciendo términos semejantes, tal como se indica en el ejemplo.

x(3 - x) = x - 1

43. ●● Escribe una ecuación para estos enunciados. a) El doble de un número es 8. b) El triple de un número es 12. c) La mitad de un número es 10. d) La tercera parte de un número es 2. e) El doble de un número más 3 es 8. f) La mitad de un número menos 5 es 120. g) La cuarta parte de un número menos 6 es 7. h) El doble de un número más 7 es 18. i) La diferencia entre el cuádruple de un número menos 10 es 24. 44. ●● Asigna una ecuación a cada enunciado. a) El cuadrado de un número es 100. b) El cubo de un número es 125. c) La suma del cuadrado de un número más 2 es 82. d) La diferencia del cubo de un número menos 3 es 124. e) La mitad del cuadrado de un número es 8. f) La quinta parte del cubo de un número es 310. 45. ●● Escribe los enunciados correspondientes a estas ecuaciones. a) 2x + 5 = 3 b) 7 - x = 2 c) 2(x + 1) = 10 d)

x2 = 3 2

2

e) x - 1 = 8 f) 3(x - 2) = 9 x-4 g) =1 2 h)

x+6 =2 3

a) 5(x - 6) + 2(-3x -7) = 2(3x + 5) b) 4x + 5 - x = 10x + 7 - x c) 7 - 10x + 3(x2 - 9x) = x - 8 7 5 d) 8 + (x - 3) - x2 + x = 3 4 e) -2(2x + 4) - x(x + 3) = 5 - 3x 47. ● ● Corrige los errores cometidos al reducir términos semejantes de estas ecuaciones. a) 7x - (2 - x) = 3x + 1 7x - 2 - x = 3x + 1 7x - x - 3x - 2 + 1 = 0 3x - 1 = 0 b) 8(2 - x) - x = x 16 - 8x - x = x 8x - x - x + 16 = 0 6x + 16 = 0 c) 5 - (x - 3) = x - (-7) 5+7-x-3-x=0 -2x + 9 = 0 48. ● Averigua cuáles de las ecuaciones son equivalentes a la ecuación x = 4. a) 2x = 8 b) 3x = 9

c) 4x = 12 d) -x = -4

e) -2x = 8 f) -3x = -12

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49. ● Resuelve estas ecuaciones. a) x + 2 = 7 b) x - 3 = 15 c) x + 13 = 21 d) x - 7 = 2 e) x + 11 = 3 f) x - 17 = 17 6 g) x + = 11 2 h) x - 9 = -16

i) 4x = 20 j) 13x = 91 x k) =5 4 l) -x = 3 m) -7x = 21 n) -12x = 60 ñ) 6x = 18 o) -3x = 21

50. ● Resuelve estas ecuaciones. a)

2x = 5 20

c)

4x = 82 2

b)

9x = 27 6

d)

3x =9 6

51. ● Halla la solución de las ecuaciones. x h) =1 a) -5x = 45 15 b) 6x = -36 x 1 i) = c) 3x = 2 4 2 d) 8x = 48 j) x + 4 + x = 18 + 3 e) -12x = -72 k) x + 3x + 4x = 8 x l) 5x - 2 + 2x = 6x + 8 =8 f) -3 m) 4x + 3x - 2x = 45 x 1 g) = n) -x + 4x - 3 = 5 - 2x 4 4 52. ● Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado. a) 2x - 10 = 0 b) 5x + 4 = x - 8 c) x + 2(x - 1) = 4 d) 2(3x - 5) - x - (2x - 3) = 1 - (2x - 5) e) 7(x + 2) + 4(x + 3) = 3x + 1 f) 3(x - 3) - 4(2 - 3x) = 2(1 - 2x)

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN ALGUNOS TIPOS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES? 6. Resuelve estas ecuaciones. 5x 3x - 12 8x = a) b) = 2x - 9 3 7 5 PRIMERO. Se

multiplican los dos miembros en cruz para eliminar los denominadores. 3x - 12 8x = a) " 5(3x - 12) = 7 ? 8x 7 5 5x = 2x - 9 " 5x = 3(2x - 9) b) 3 SEGUNDO. Se

eliminan paréntesis.

a) 5(3x - 12) = 7 ? 8x " 15x - 60 = 56x b) 5x = 3(2x - 9) " 5x = 6x - 27 TERCERO. Se

agrupan términos.

a) 15x - 60 = 56x " 15x - 56x = 60 b) 5x = 6x - 27 " 5x - 6x = -27 CUARTO. Se

reducen términos.

a) 15x - 56x = 60 " -41x = 60 b) 5x - 6x = -27 " -x =-27 QUINTO. Se

despeja x y se halla la solución.

a) -41x = 60 " x =

60 60 =-41 41

b) -x =-27 " x =

-27 = 27 -1

7. ● ● Resuelve estas ecuaciones de primer grado con denominadores. a)

2x = x + 3 5

b)

3x - 23 9x = 8 2

54. ● ● Resuelve estas ecuaciones de primer grado. 53. ●● Obtén la solución de estas ecuaciones de primer grado. a) 4x + 1 + 3x - 5 = 2(x - 2) + 30 b) 3(x + 8) = 6(x - 2) + 24 c) 3(x + 8) - (x - 4) = 12 d) 2(4 - x) + 3(4x + 16) = 3 e) 6(x + 8) - 2(x - 4) = 24 f) 6(x - 2) = 3(x + 8) - 24

a)

5-x =1 7

e)

b)

x-8 =3 6

f)

c)

x+5 =4 6

d)

4x - 8 =2 -2

3x + 8 =x 4

3x - 25 = x - 20 2 2x - 7 g) - 25 = 7x 5 h)

4x - 4 - 18 = 74 3

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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 60. ● Identifica cuáles de estas ecuaciones son de segundo grado. a) x(x + 2) = 0 b) x2 - 3(x - 5) = 3x - 4 c) 5 + x + x2 = -30 + x2 x2 + 8 x d) = (2 + x) 3 4 e) (x + 1)2 + x2 = 5x f) (x + 2)2 - (x - 3)2 = 8 61. ● Expresa estas ecuaciones de segundo grado de la forma ax2 + bx + c = 0, e identifica los términos a, b y c. a)

x2 1 - 3x + = 0 2 3

b) 5(x - 3)2 = 2 c) x2 - x(2x + 4) + 7 = 6 d) 3x(2x - 6) - x(x - 5) = 9 62. ● Expresa la forma general de las siguientes ecuaciones de segundo grado. a) b) c) d)

(x + 3)(x - 5) = 3 2x2 - 5x = -4x2 - x + 8 -5x2 - 3x + 9 = -x2 - 7x + 11 -4x(7 - 3x) = 0

63. ● Escribe las ecuaciones de segundo grado cuyos coeficientes son: a) a = -1 b) a = 3 c) a = 4 1 d) a = 2 e) a =

3 4

b=2 b=0 b=2 2 b= 3 b=

-1 2

c = -3 c=9 c=0 -1 c= 5

a) b) c) d)

4x - 16 = 0 5x2 = 45 3x2 - 75 = 0 4x2 = 64

e) 8x2 - 8 = 0 f) 9x2 = 900 g) 16x2 = 9 25 h) x2 = 4

a) b) c) d) e) f) g) h)

x2 - x = 0 5x2 + 10x = 0 7x - 21x2 = 0 2x2 = 16x 9x = 18x2 6x - 10x2 = 0 4x2 = 9x 5x2 + 3x = 0

66. ● Resuelve estas ecuaciones de segundo grado completas, aplicando la fórmula general. a) b) c) d)

7x2 + 21x - 28 = 0 2x2 - 3x - 5 = 0 x2 + 4x + 3 = 0 x2 + x - 20 = 0

67. ● ● Obtén la solución de las ecuaciones. a) b) c) d) e) f) g) h)

x2 - 3x = x - 2 x2 - 2x = -1 x2 + 5 = 6x x - 12 = -x2 2x2 - 7x + 3 = 0 6x2 = 5x - 1 3x2 - 1 = -2x 5x = 3 - 2x2

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN LAS ECUACIONES EN LAS QUE UN PRODUCTO ES IGUAL A CERO? 68. Resuelve la siguiente ecuación. (3x - 1)(4x + 2) = 0 Cuando el producto es igual a 0. PRIMERO. Se

c=0

64. ● Halla la solución de las ecuaciones. 2

65. ● Resuelve las siguientes ecuaciones.

iguala a cero cada uno de los factores.

33xx - 11 = = 00 ((33xx - 11))((44xx + + 22)) = = 00 " " ((44xx + + 22 = = 00 SEGUNDO. Se

resuelve cada una de las ecuaciones de primer grado. Estas serán las soluciones de la ecuación de segundo grado. 3x - 1 = 0

1

"x= 3

4x + 2 = 0 " x =

-2 1 =4 2

Las soluciones de la ecuación son: 1 1 x = , x =2 3

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69. ●● Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x(x - 3) = 0 b) (x - 5)(3x + 9) = 0 c) (7x + 1)(4x - 3) = 0 d) (x + 4)(x - 5) = 0 1 e) (5x + 3) d x - n = 0 5 f) (x + 3)(x + 3) = 0 1 1 g) d x - nd x + n = 0 2 2

PROBLEMAS CON ECUACIONES 74. ● Calcula el número tal que si le sumamos 2 nos da 10. 75. ● Obtén el número cuyo doble más su triple suma 35. 76. ● Determina un número, de forma que la suma de su triple y cuatro veces el número sea 21. 77. ●● Escribe en lenguaje algebraico los enunciados y resuélvelos. a) La suma de dos números consecutivos es 63. b) La suma de dos números pares consecutivos es 126. c) El doble de un número y su mitad suman 10. d) El doble de la suma de un número más 7 es 18. e) El triple de un número menos 8 es 40. f) Un número menos su quinta parte es 80. 78. ●● La suma de dos números es 55 y uno de ellos es la cuarta parte del otro. Halla los números. 79. ●● Encuentra dos números sabiendo que su suma es 20 y se diferencian en 6 unidades. 80. ●● La suma de tres números es 330. El primero es el doble del segundo y el segundo es el triple del tercero. Calcula dichos números. 81. ●● Un trayecto en taxi cuesta 2,50 € de bajada de bandera y 1,50 € por cada kilómetro. Si pagamos 13 €, ¿qué distancia hemos recorrido?

82. ● ● En el zoológico hay el doble de tigres que de panteras, y sabemos que en total son 171 animales. Determina cuántos hay de cada especie.

3 partes de chicos y las 7 chicas son 16. ¿Cuántos chicos hay en la clase?

84. ● ● En una clase hay

85. ● ● Juan realiza la cuarta parte de un viaje en autobús, la sexta parte en moto, tres octavas partes en bicicleta, y los últimos 40 km andando. a) ¿Qué distancia recorrió en total? b) ¿Qué distancia ha recorrido en cada medio de transporte?

86. ● ● Luis tiene 92 monedas de 1, 2 y 5 céntimos. Calcula cuántas monedas tiene de cada tipo si las monedas de 1 céntimo son la tercera parte de las de 5 céntimos, y estas son el quíntuplo de las monedas de 2 céntimos. 87. ● ● María se entrena aumentando el recorrido del día anterior en 1 km. Al cabo de siete días, el recorrido total que ha hecho es de 42 km. ¿Cuánto ha entrenado el último día? 88. ● ● Un bebé gana durante su primer mes de vida la quinta parte de su peso, y en el segundo mes aumenta las cuatro quintas partes del peso que aumentó en el mes anterior. Si al acabar el segundo mes pesa 5 450 g, ¿cuánto pesó al nacer?

83. ●● Carlos, David y Sergio han ganado 3 200 € y deciden repartirlos así: Carlos tendrá 200 € menos que Sergio, y David 200 € menos que Carlos. Calcula el dinero de cada uno.

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Sistemas de ecuaciones Gabriel & Giovanni No hacía mucho tiempo que los dos jóvenes, Gabriel Cramer y Giovanni Calandrini, habían sido rivales al competir por la misma cátedra de Filosofía, que los dos perdieron y, al mismo tiempo, los dos ganaron: la cátedra de Filosofía fue asignada a otra persona, pero ambos impresionaron tanto al tribunal que crearon una nueva cátedra de Matemáticas que fue adjudicada a los dos. Y es que sus personalidades tan diferentes hicieron que se complementaran y, a la postre, se convirtieran en inseparables amigos. Aquel día, un pensativo Calandrini le dijo a Cramer:

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Uno de los científicos más destacables de Suiza del siglo xviii fue Gabriel Cramer. Busca información sobre su vida y sus aportaciones a las matemáticas. 2. Investiga sobre la rivalidad que existió entre Gabriel Cramer y Giovanni Calandrini. 3. Analiza la evolución a lo largo de la historia en el estudio sobre sistemas de ecuaciones lineales.

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–Gabriel, ¿te has dado cuenta de que pasamos una parte importante de nuestra vida averiguando lo que queremos ser, y cuando lo sabemos, gastamos el resto del tiempo intentando cambiar en lo que nos hemos convertido? –La solución es sencilla –contestó Cramer–; ponemos a un lado lo que sabemos y al otro lo que no sabemos, y planteando las relaciones de manera correcta, la solución surge ante nosotros de forma natural. Calandrini dio un manotazo al aire y respondió: –A veces me sacas de quicio, no sé por qué tienes que aplicar las matemáticas a todo. –Porque pienso que cualquier problema tiene su solución, aunque lamentablemente no somos capaces de plantear las ecuaciones adecuadas.

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Antes de empezar la unidad... ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que no es cierta para todos los valores de las letras. Elementos de una ecuación

• Miembro: es cada una de las expresiones algebraicas que forman la ecuación. La expresión situada a la izquierda del signo = se denomina primer miembro, y la situada a la derecha, segundo miembro. • Término: es cada uno de los sumandos de los miembros. • Incógnitas: son las letras cuyos valores desconocemos. 1.er miembro

2.° miembro

14y2 - 3x = 4 + x

Si un término está formado por un solo número se llama término independiente.

" Incógnitas: x, y

Términos

Grado de una ecuación

Es el mayor grado de los términos de la ecuación, una vez realizadas las operaciones que se indican en ella. -3x + y = 8 " Ecuación de grado 1 o de primer grado con dos incógnitas -x2 + x + 7 = 0 " Ecuación de grado 2 o de segundo grado con una incógnita

EVALUACIÓN INICIAL 1 Indica cuáles son los miembros de las siguientes ecuaciones.

a) -x + x2 = 16 - x b) -3x + yz = 8 + z c) 4x + 8 = (3 + 2x) + 2x d) -x + 2y = 20 e) 6x - x = 12 + x 2 Indica cuáles son los términos y las incógnitas de estas ecuaciones.

a) -2x + x2 = 16 b) -3x + y = 8 c) 3x + 2y = 8(x + 7) d) 6x2 - 2x = 6x2 + 18 e) -x + 3x2 = 2x2 + x - 6 3 Determina el grado de las ecuaciones del ejercicio anterior.

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Distinguir los elementos que forman un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. • Resolver sistemas de ecuaciones lineales, utilizando distintos métodos: sustitución e igualación.

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Ecuaciones lineales

1

Una ecuación de primer grado con una o varias incógnitas se denomina ecuación lineal. EJEMPLO 1 Decide si estas ecuaciones son lineales, y determina el número de incógnitas que tiene cada una de ellas. 2x - 3 = 0 " Ecuación lineal con una incógnita. x2 - x + 2 = 0 " No es una ecuación lineal por ser de segundo grado. 2x - y = 10 " Ecuación lineal con dos incógnitas.

ANTES, DEBES SABER… Cómo se comprueba si un valor es solución de una ecuación Una solución de una ecuación es cualquier valor numérico de la incógnita que hace que la igualdad sea cierta. x + 2 = 7 Antes de decidir si una ecuación es lineal con una o varias incógnitas, tenemos que reducir los términos semejantes. 2x + 2y - y = y + 7 2x + 2y - y - y = 7 2x = 7 Tiene una incógnita.

x + 2 = 7

x=5

" 5 + 2 = 7 " x = 5 es solución.

x = -1

" (-1) + 2 ! 7 " 1 ! 7 " x = -1 no es solución.

• Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación que se puede expresar de la forma ax + by = c, donde x e y son las incógnitas, y a, b y c, números conocidos. • Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es cada par de valores de las incógnitas que hacen cierta la igualdad. EJEMPLOS 2 Encuentra dos soluciones para la ecuación x + y = 7. x + y = 7 x + y = 7

Si x = 1

" 1 + y = 7 " y = 6 " x = 1, y = 6 es solución. " 2 + y = 7 " y = 5 " x = 2, y = 5 es solución.

Si x = 2

3 Determina si los siguientes valores son solución de la ecuación x + 2y = 9.

a) x = 1, y = 4 x + 2y = 9

x = 1, y = 4

b) x = 2, y = 5 x + 2y = 9

x = 2, y = 5

" 1 + 2 ? 4 = 9 " 9 = 9 " Es solución.

" 2 + 2 ? 5 ! 9 " 12 ! 9 " No es solución.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Decide si estas ecuaciones son lineales,

y determina su número de incógnitas. a) x + y = 0

2

b) x - 2 = 0

2 Comprueba si x = -1, y = 8 es solución

de estas ecuaciones. a) 2x + y = 6

b) 7x - y = 11

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Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. ANTES, DEBES SABER… Cómo se traducen enunciados en expresiones algebraicas Un enunciado se puede traducir al lenguaje algebraico utilizando expresiones algebraicas.

Expresión escrita


El triple de un número, menos 2 El producto de dos números

3x - 2 x?y

EJEMPLO 4 Subida en una silla, Ana alcanza una altura de 2 metros. ¿Cuánto mide Ana y cuál es la altura de la silla? Estatura de Ana " x Altura de la silla " y Altura de Ana sobre la silla = 2 metros " x + y = 2 Obtenemos una ecuación lineal con dos incógnitas. El par de valores x = 1, y = 1 hace cierta la igualdad: x = 1, y = 1

x + y = 2 " 1 + 1 = 2 " 2 = 2 Este par de valores es solución de la ecuación. Pero existen otros pares de valores que también son soluciones: x = 1,40; y = 0,60

x + y = 2 " 1,40 + 0,60 = 2 " 2 = 2 El par x = 1,40; y = 0,60 es solución de la ecuación. x = 1,30; y = 0,70

x + y = 2 " 1,30 + 0,70 = 2 " 2 = 2 El par x = 1,30; y = 0,70 es solución de la ecuación. En general, una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.

Aunque una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones, existen valores que no son solución. EJEMPLO 5 Si subida en una silla, Ana alcanza una altura de 2 metros, ¿podría ser la estatura de Ana de 2,10 m? Si x es la estatura de Ana e y es la altura de la silla, obtenemos la ecuación: x + y = 2

x = 2,10

" 2,10 + y = 2 " y = -0,1

Ana no puede medir 2,10 m, porque si fuera así la altura de la silla sería un número negativo.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 En una piscina, el ancho y el borde a ambos

lados suman 16 metros. Plantea y resuelve la ecuación lineal con dos incógnitas para determinar la medida del ancho y del borde.

6 Encuentra tres valores que sean soluciones

y tres valores que no lo sean de estas ecuaciones. a) x - 2y = 10 b) 2x + 3y = 5

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2

Sistemas de ecuaciones lineales

Dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común: ax + by = c 3 a9x + b9y = c9 forman un sistema de ecuaciones lineales. EJEMPLO 6 Decide cuáles de los siguientes son sistemas de ecuaciones lineales. 3x + y = 10 3 Sistema de ecuaciones lineales. x-y = 2 " x2 - y = 4 4 " No es un sistema de ecuaciones lineales, ya que 2 x + y = 10 la primera ecuación es de segundo grado.

Una solución del sistema es cualquier par de números que cumplen las dos ecuaciones a la vez. EJEMPLO 7 Determina si los siguientes valores son solución del sistema: 3x + y = 10 3 x- y=2

a) x = 3, y = 1 3x + y = 10 3 x-y = 2

x = 3, y = 1

"

3 ? 3 + 1 = 10 2 " Es solución. 3-1 = 2

b) x = 4, y = -2 3x + y = 10 x = 4, y = -2 3 ? 4 + (-2) = 10 3 " 4 - (-2) ! 2 3 " No es solución, ya x-y = 2 que solo cumple la primera ecuación. c) x = 6, y = 4 x = 6, y = 4 3 ? 6 + 4 ! 10 3x + y = 10 2 " No es solución, porque 3 " 6-4=2 x-y = 2 solo cumple la segunda ecuación.

ax + by = c Resolver el sistema de ecuaciones lineales 3 es encontrar a9x + b9y = c9 su solución.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 8 Decide cuáles de los siguientes sistemas

son lineales. a) x - 2y = 5 4 x + y2 = 15

9 Comprueba si x = 1 e y = -1 es solución

de este sistema: b) 3x - 2y = 9 x + y = 83

2x - 3y = 5 3 x+ y = 0

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3

Métodos de resolución de sistemas

Para encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones se utilizan diferentes técnicas que denominamos métodos de resolución. ANTES, DEBES SABER… Cómo se despeja una incógnita en una ecuación Despejar la incógnita en una ecuación consiste en dejarla sola en uno de sus miembros. Para despejar una incógnita utilizamos estas reglas:

• Si un término está sumando, pasa al otro miembro restando. Y si está restando, pasa sumando.

• Si un término está multiplicando, pasa al otro miembro dividiendo. Y si está dividiendo, pasa multiplicando.

EJEMPLO 1 Despeja la incógnita en esta ecuación:

x + 12 = 8 - 4x

Agrupamos las x en el primer miembro: x + 12 = 8 - 4x " x = 8 - 4x - 12 " x + 4x = 8 - 12

4

" 5x = -4 " x = - 5 Cómo se resuelven ecuaciones de primer grado Para resolver ecuaciones de primer grado: 1.º Eliminamos paréntesis. 2.º Agrupamos los términos con la incógnita en un miembro, y los términos numéricos en el otro. 3.º Reducimos términos semejantes. 4.º Despejamos la incógnita y hallamos la solución. EJEMPLO 2 Resuelve esta ecuación: 3(x - 1) + 2 = -x + 11

1.º Eliminamos paréntesis. 3x - 3 + 2 = -x + 11 2.º Agrupamos términos: • Agrupamos los términos 3x - 3 + 2 + x = 11 con x en el primer miembro. • Agrupamos los términos 3x + x = 11 + 3 - 2 numéricos en el segundo miembro. 3.º Reducimos términos semejantes. 4x = 12 12 4.º Despejamos x y hallamos la solución. x= "x=3 4

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Despeja la incógnita en estas ecuaciones.

a) -4x = 20 + 2x

b) 7x + 17 = 38 - 4x

2 Resuelve estas ecuaciones de primer grado.

a) 2x + 10 = 8

b) -4x - 8 = 20 + 2x

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3.1 Método de sustitución Para resolver un sistema por el método de sustitución, despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y sustituimos su valor en la otra. ANTES, DEBES SABER… El método de sustitución es útil si alguna de las incógnitas tiene como coeficientes 1 o -1.

Cómo se multiplican números enteros Para multiplicar dos números enteros: 1.º Multiplicamos sus valores absolutos. 2.º Al resultado le añadimos el signo + si ambos números son de igual signo, o el signo - si son de signos diferentes.

(+5) ? (+3) = +15

(+5) ? (-3) = -15

(-5) ? (-3) = +15

(-5) ? (+3) = -15

EJEMPLO x + 2y = -1 9 Resuelve este sistema aplicando el método de sustitución: 2x - y = 3 3 1.º Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones. Conviene despejar una incógnita cuyo coeficiente sea 1 o -1, para evitar trabajar con denominadores. Así, despejamos la x de la primera ecuación. x =-1 - 2y 2x + 2y =-1 " 3 3 2x - 2y = 3 2x - y = 3 2.º Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación. En la segunda ecuación, sustituimos x por su valor, -1 - 2y. 2x - y = 3

x = -1 - 2y

" 2(-1 - 2y) - y = 3

3.º Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta. 2(-1 - 2y) - y = 3 " -2 - 4y - y = 3 " -5y = 3 + 2 5 " -5y = 5 " y = -5 =-1 4.º Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones. Hallamos el valor de x sustituyendo y por su valor, -1, en la primera ecuación, x + 2y = -1. y = -1

x + 2y = -1

El sistema tiene como solución x = 1, y = -1.

" x + 2 ? (-1) = -1 " x - 2 = -1 " x = 1

5.º Comprobamos que la solución obtenida es solución del sistema. x + 2y =-1 3 2x - y = 3

1 + 2 ? (-1) =-1 -1 = -1 " 2 ? 1 - (-1) = 3 3 " 3 = 3 2

x = 1, y = -1

Son igualdades y, por tanto, x = 1, y = -1 es solución del sistema.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 16 Resuelve por el método de sustitución.

a) x + y = 12 3 x-y = 2

b) x + y = 5 3 -x + 2y =-2

20 Resuelve por el método de sustitución.

a) 2x - 3y = 7 3 3x + 9y =-3

b) -4x + 3y =-7 3 2x + 5y = 7

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3.2 Método de igualación Para resolver un sistema por el método de igualación despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualamos sus valores. EJEMPLO x + 2y =-1 10 Resuelve este sistema aplicando el método de igualación: 2x - y = 3 3 1.º Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Como en el método de sustitución, es conveniente despejar la incógnita que resulte más sencilla. 2x + 2y = -1 2x - 2y = 3

4

" x = -1 - 2y "x=

3+y 2

4

2.º Igualamos las expresiones obtenidas. x =-1 - 2y 3+y 3 + y 4 " -1 - 2y = x= 2 2 3.º Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta. Como aparece un denominador en el segundo miembro, para eliminarlo lo pasamos al otro miembro multiplicando cada uno de sus términos por él. -1 - 2y =

3+y 2

El método de igualación es más apropiado utilizarlo si los coeficientes de las incógnitas son distintos de 1 o de –1.

" 2 (-1 - 2y) = 3 + y " -2 - 4y = 3 + y

5 y = 3 + 2todos 5y = 5 " y que = tienen =-1 " -4y " -los Para despejar la incógnita, agrupamos términos -5 3+ y incógnita en el primer miembro y hallamos su valor. -1 - 2y = " 2 (-1 - 2y) = 3 + y " -2 - 4y = 3 + y 2 5 " -4y - y = 3 + 2 " -5y = 5 " y = -5 =-1 4.º Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones. x + 2y = -1

y = -1

" x + 2 ? (-1) = -1 " x = -1 + 2 = 1

El sistema tiene como solución x = 1, y = -1.

5.º Comprobamos que la solución obtenida es solución del sistema. x + 2y = -1 3 2x - y = 3

1 + 2 ? (-1) =-1 -1 =-1 " 2 ? 1 - (-1) = 3 3 " 3 = 3 2

x = 1, y = -1

Obtenemos dos igualdades; por tanto, x = 1, y = -1 es solución del sistema.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 19 Resuelve por el método de igualación.

a) x + y = 12 3 x-y = 2

b) x + y = 5 3 -x + 2y =-2

20 Resuelve por el método de igualación.

a) 2x - 3y = 7 3 3x + 9y =-3

b) -4x + 3y =-7 3 2x + 5y = 7

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas x, y " Incógnitas ax + by = c a, al" Coeficientes de x 3 alx + bly = cl " b, bl" Coeficientes de y c, cl" Términos independientes

Ecuación lineal con dos incógnitas

ax + by = c "

*

x, y " Incógnitas a $ Coeficiente de x b $ Coeficiente de y c $ Términos independientes

*


1. COMPROBAR SI UN PAR DE VALORES ES SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES x + 4y = 3 3 x + 2y = 2

Comprueba si los siguientes pares de valores son solución de: a) x = 1, y = 0,5 PRIMERO. Sustituimos

b) x = -1, y = 1

c) x = -2, y = 2

x e y en las dos ecuaciones.

a) x + 4y = 3 ) x + 2y = 2

" 1 + 2 ? 0,5 = 2 ) y = 0,5

b) x + 4y = 3 ) x + 2y = 2

x = -1

1 + 4 ? 0,5 = 3

x=1

y=1

c) x + 4y = 3 ) x + 2y = 2

" -2 + 2 ? 2 = 2 )

x = -2 y=2

-2 + 4 ? 2 = 6

" -1 + 2 ? 1 = 1) -1 + 4 ? 1 = 3

SEGUNDO. Comprobamos

si los resultados obtenidos coinciden con los términos independientes en las dos ecuaciones. Si es así, el par de valores es solución del sistema. a) 3 = 3 b) 3 = 3 c) 6 ! 3 ) " Es solución. ) " No es solución. ) " No es solución. 2=2 2=2 1!2

1. RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 2x + y = 5 Resuelve este sistema utilizando el método de sustitución: 3x - 2y = 113 PRIMERO. Despejamos

una de las incógnitas. Elegimos la incógnita más fácil de despejar, en este caso la y de la primera ecuación.

2x + y = 5 " y = 5 - 2x 3 3 3x - 2y = 11 3x - 2y = 11

SEGUNDO. Sustituimos

la expresión obtenida en la otra ecuación, y resolvemos la ecuación que resulta.

3x - 2y = 11 " 3x - 2(5 - 2x) = 11 " 3x - 10 + 4x = 11 " 3x + 4x = 11 + 10 21 " 7x = 21 " x = 7 = 3

TERCERO. Calculamos

2x + y = 5

el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones.

y = 5 - 2x

x=3

"2?3+y=5"6+y=5 " y = 5 - 6 = -1

La solución del sistema es: x = 3, y = -1.

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2. RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN Resuelve este sistema utilizando el método de igualación: 2x + y = 5 3 3x - 2y = 11

PRIMERO. Despejamos

la misma incógnita en las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita más fácil de despejar, en este caso la y. 2x + y = 5

4

3x - 2y = 11 SEGUNDO. Igualamos

" y = 5 - 2x "y=

3x - 11 4 2

las expresiones obtenidas, y resolvemos la ecuación que resulta. 5 - 2x =

3x - 11 " 2 ? (5 - 2x) = 3x - 11 2 " 10 - 4x = 3x - 11 " 10 + 11 = 3x + 4x " 21 = 7x 21 "x= 7 =3

TERCERO. Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones.

2x + y = 5

x=3

"2?3+y=5 "6+y=5 " y = 5 - 6 = -1

La solución del sistema es: x = 3, y = -1.

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. En el sistema de ecuaciones lineales 2x + y = 10 -x + 2y = 5 3, indica:

a) Las incógnitas. b) Los coeficientes de x e y y los términos independientes.

1. En el sistema de ecuaciones lineales x+y = 7 3 x - y = 1 , indica: a) Las incógnitas. b) Los coeficientes de x e y. c) Los términos independientes.

2. Escribe un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolver un sistema por sustitución x+y = 7 3. Resuelve el sistema: x - y = 13, por el método de sustitución. Resolver un sistema por igualación 4. Si igualamos los valores de y en este sistema: x + y = 12 2x - y = 0 3, ¿qué ecuación obtenemos? x+y = 7 2. Resuelve el sistema: x - y = 13, por el método de igualación.

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Actividades ecuaciones lineales. sistemas 36. ● Identifica cuáles de las siguientes ecuaciones son ecuaciones lineales con dos incógnitas. a) x + 2y = 4 b) x + y = 0 c) x + y = x d) 2(x - y) = 3x x-y e) = 3 5

f) x2 = y g) x + y = y h) -x = 2y i) x ? y = 8 x2 j) =8 y

37. ● Dada la ecuación 2x - 3y = 7, di cuál es su solución. a) x = 1, y = 5

b) x = 5, y = 1

38. ● ¿Cuáles de estas ecuaciones tienen como solución x = -1, y = 3? y a) 3x + y = 3 c) 3x - = 0 3 y x b) 3x - y = 0 d) - = 1 3 9 39. ●● Escribe tres ecuaciones lineales con dos incógnitas que tengan como solución x = 2, y = -1. 40. ●● Comprueba que si x = 2, y = -3 es solución de una ecuación, también lo será de la ecuación que resulta al: a) Sumar 8 en los dos miembros. b) Restar 10 en los dos miembros. c) Multiplicar los dos miembros por 3. d) Dividir los dos miembros entre 5. 41. ●● Comprueba que x = 2, y = 1 es solución de las ecuaciones. a) 3x + 2y = 8 3 b) x + y = 4 2 c) 9x + 6y = 24 d) 12x + 8y = 32 e) 15x + 10y = 40 3 1 f) x + y = 2 4 2 g) 6x + 4y = 16 2 8 h) x + y = 3 3 ¿Encuentras alguna relación entre ellas?

42. ● ¿Son los valores x = -2, y = -1 soluciones de estos sistemas de ecuaciones? a) x + y = 3 3 2x - y =-1 b) 3x - 2y =-5 3 x - 2y = 0 c) x + 2y =-3 3 x - 2y =-4 d) x + 2y =-3 3 -x - 2y = 4 3. ● Decide si los siguientes valores son solución de este sistema de ecuaciones: 2x - 4y =-10 3 -x + 2y = 5 a) x = 2, y = -1 b) x = 3, y = 4 c) x = -2, y = 2

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES 44. ● Resuelve por el método de sustitución los sistemas de ecuaciones. a) x + 3y = 4 3 2x - 3y =-1 b) x - 2y = 1 3 2x + 2y = 8 c) 2x + 3y = 7 3 x - 3y = 0 d) 5x + 3y = 16 3 3x - 3y = 0 e) x - y = 5 3 2x + y = 1 f) x + 4y = 9 3 3x - 6y = 9 g) 5x - 3y = 1 3 4x + 3y = 11 h) 3x - 2y = 5 3 4x + 2y = 14 i) x + 2y = 5 3 x + 2y = 6 j) x + 3y = 5 3 x - 3y = 1

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45. ● Resuelve estos sistemas por sustitución.

49. ● Resuelve por el método más adecuado.

a)

x = 3y + 2 3 2x - 5y = 5

a) x + y = 0 3 x - y =-10

b)

x = 1-y 3 3x + 2y =-1

b) 2x - 5y = 1 3 -x + 4y = 4

c) 2x + 5y = 11 3 5x - 3y =-19

c) 3x + 4y =-2 3 2x + 3y = 0

d) 4x + y = 6 3 -x - y = 0

d) 4x - 2y =-2 3 5x + 3y = 6

e) -2x - 3y =-7 3 5x + 3y =-2

e) -3x + 7y =-44 3 2x - 9y = 38

f) 4x + 2y = 18 3 2x + 3y = 11

f) x - 5y = 6 3 x + 4y = 15

46. ● Resuelve por el método de igualación los sistemas de ecuaciones.

50. ● ● Resuelve por el método más adecuado. a) x + y = 2 3 x-y = 6 b) 2x + 3y = 4 3 2x - 3y = 4 c) x + 2y = 5 3 2x + 5y = 11 d) 2x + 3y = 8 3 x + 2y = 3 e)

47. ● Resuelve estos sistemas por igualación. a) 3x + 2y = 7 3 4x - 3y = 15 b) 2x - 3y = 13 3 3x - 6y = 12 c) 2x + 4y = 6 3 3x + 7y = 5

x + 3y = 9 3 20x - 3y =-4

f) 2x - 3y =-25 3 12x - 3y = 75 g) x + 2y = 5 3 2x + 2y = 7 h) 5x - 5y = 23 3 -9x + 5y = 13 51. ● ● Resuelve por el método más adecuado.

d) x + 5y = 13 3 2x - 5y =-23

a) x - 3y = 4 3 2x - 5y = 8

e) 2y - 7x = 3 3 3x + 7y = 43

b) 3x + y = 3 3 6x - y = 0

f) 3x + 5y = 11 3 2x + 5y = 29

c) 4x - 5y = 10 3 2x + 7y =-4

4. ● Resuelve por el método de sustitución los sistemas planteados en el ejercicio anterior y comprueba que obtienes el mismo resultado.

d) x - 3y = 13 3 5x - 2y = 26 e) 8x + 14y =-6 3 x + 14y = 0

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5. ●● Resuelve estos sistemas. a) 15x - 4y = 65 2 8x - 3y = -12

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN SISTEMAS DE ECUACIONES CON PARÉNTESIS?

b) 5x - 2y = 22 2 4x - 5y = 4

8. Resuelve este sistema de ecuaciones: 2x + 3y = 15 2 3(x - y) = 5

c) 8x + 17y = 10 2 -x + 5y = 13 PRIMERO. Se

HAZLO ASÍ

eliminan los paréntesis.

2x + 3y = 15 2 3(x - y) = 5

2x + 3y = 15

" 3x - 3y = 5

2

¿Cómo se expresan las ecuaciones de un sistema en su forma general ax + by = c?

SEGUNDO. Se

6. Expresa las ecuaciones de este sistema en su forma general:

En este caso, utilizamos el método de sustitución.

x + 1 = 5 - 2y 2 2(x + y) = 15 - 2y PRIMERO. Se

resuelve el sistema que resulta por cualquiera de los métodos de resolución. 15 - 3y 2x + 3y = 15 2"x= 2 2 3x - 3y = 5 3x - 3y = 5

eliminan los paréntesis.

x + 1 = 5 - 2y x + 1 = 5 - 2y 2 2" 2x + 2y = 15 - 2y 2(x + y) = 15 - 2y la primera ecuación, se agrupan las incógnitas en un miembro, y los números en el otro.

3x - 3y = 5

x=

15 - 3y 2

" 3 e

SEGUNDO. En

x + 1 = 5 - 2y 2 2x + 2y = 15 - 2y

x + 1 + 2y = 5 " 2x + 2y = 15 - 2y 2

" 2x + 2y = 15 - 2y2 x + 2y = 5 - 1

x + 2y = 4 " 2x + 2y = 15 - 2y2 TERCERO. En

la segunda ecuación, se agrupan las incógnitas en un miembro, y los números en el otro. x + 2y = 4 x + 2y = 4 2 2 2x + 2y = 15 - 2y " 2x + 2y + 2y = 15

" 2x + 4y = 152 x + 2y = 4

7. ●● Expresa las ecuaciones de estos sistemas en su forma general. a) 5(x - 4) -y = 140 2 2x - y = -12 b) 5x - 4(y + 6) = -75 2 x - 3(y + 5) = 250 1 c) (4x - 6) + 2 = 5y - 3 2 4 4x - 2y + 1 = 1 - 3y + 7x

"

15 - 3y o - 3y = 5 2

45 - 9y - 3y = 5 2

45 - 9y = 5 + 3y 2 Como se obtiene una ecuación con denominadores, multiplicamos el segundo miembro por 2.

"

45 - 9y = 5 + 3y " 45 - 9y = 2(5 + 3y) 2

" 45 - 9y = 10 + 6y " 45 - 10 = 6y + 9y 35

7

" 35 = 15y " y = 15 = 3 2x + 3y = 15

y=

7 3

" 2x + 3 d n = 15 7 3

" 2x + 7 = 15 " 2x = 15 - 7 " 2x = 8 " x = 4 La solución del sistema: x = 4, y =

7 3

9. ● ● Resuelve estos sistemas de ecuaciones con paréntesis. x-y=5 a) 2 2(7x - 4y) = 58 b) 3(x - 2) + y = 8 2 2x - 3y = 13 c) 4x - 3(y + 2) = -16 2 2x + 3y = 4

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53. ●●● Resuelve estos sistemas. a)

2x + 3y = 5 + x + 2y 3 x - 2y - 3 = 3 - 4y

b) 2y - x - 1 = 4 - y - 2x 3 2x - y = 1 + x c)

3y - 2 = x - 2 ? (x + y) 3 (x + 4) + 2 ? (y - 2) = 18 - x - y

d) 3x - 2 (y - 1) = y - x + 1 3 2x - y = x + y - 9

PROBLEMAS CON SISTEMAS HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE EXPRESAN CIERTOS ENUNCIADOS MEDIANTE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS? 54. Expresa mediante ecuaciones con dos incógnitas estos enunciados. a) La suma de dos números es 33. b) Cuatro sillas y una mesa cuestan 260 €. c) Jaime pesa 22 kg más que su perro. d) El ancho de un rectángulo es el doble que su altura. PRIMERO. Se

asigna una incógnita a cada dato desconocido. Datos desconocidos

Incógnitas

Dos números

x, un número y, el otro número

Precio de una silla y una mesa

x, precio de una silla y, precio de una mesa

Peso de Jaime y su perro

x, peso de Jaime y, peso del perro

Ancho y altura de un rectángulo

x, ancho y, altura

SEGUNDO. Se

relacionan los datos conocidos y desconocidos mediante una igualdad. a) La suma de dos números es 33 " x + y = 33 b) 4 sillas y 1 mesa cuestan 260 € " 4x + y = 260 c) Jaime pesa 22 kg más que su perro " x + 22 = y d) El ancho es el doble que la altura " x = 2y

55. ● ● Expresa mediante una ecuación lineal con dos incógnitas estos enunciados, e indica qué representan las incógnitas. a) La suma de dos números es 15. b) La mitad de un número más el doble de otro es igual a 52. c) La diferencia entre las edades de un padre y un hijo es 28 años. d) He recorrido 20 km más que tú. e) Tengo 16,50 € en monedas de 1 € y 50 céntimos. f) El precio de 2 kg de naranjas y 3 kg de manzanas es 5,80 €. g) Dos bocadillos y tres refrescos cuestan 14 €. h) El perímetro de un rectángulo es 32 m. i) El triple de un número más el doble de otro es 28. j) Me he gastado 3,50 € en tu cuaderno y 1,25 € en un bolígrafo. k) Dos lápices y tres cuadernos cuestan 13,50 €. 56. ● ● Asocia a cada ecuación de la actividad anterior otra ecuación que resulte del mismo apartado en esta actividad. Calcula la solución del sistema de ecuaciones lineales que forman. a) Su diferencia es 1. b) La cuarta parte del primer número más la tercera parte del segundo es 16. c) La edad del padre es cinco veces la del hijo. d) He recorrido el doble de distancia que tú. e) El número de monedas es 23. f) El kilo de naranjas vale 40 céntimos más que el de manzanas. g) Los bocadillos cuestan el doble que los refrescos. h) La altura es tres quintas partes de la base. 57. ● ● Ana tiene 5 cromos más que Juan y entre los dos suman 59 cromos. ¿Cuántos cromos tiene cada uno?

10. ●● Expresa estos enunciados mediante ecuaciones con dos incógnitas. a) El producto de dos números es 45. b) La suma de un número y el doble de otro número es 20.

58. ● ● En la clase de Alicia hay 21 alumnos, siendo 7 chicos más que chicas. ¿Cuántos alumnos y alumnas hay en la clase?

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Proporcionalidad numérica Cuando el verde es rojo El joven de 26 años, John Dalton, era consolado por su hermano mayor, Jonathan, mientras paseaban por la ciudad inglesa de Kendal. –John, no te lo tomes tan a pecho. Seguro que mamá no quiso ofenderte. John no parecía muy convencido y miraba incrédulo la prenda que había regalado a su madre, y que esta le había devuelto visiblemente enfadada. –No entiendo por qué no le gusta, el dependiente me aseguró que el paño era de primera calidad.

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. John Dalton y su hermano padecían una enfermedad en la vista que después fue conocida como daltonismo. Busca información sobre la vida de este químico inglés nacido en el siglo XVIII. 2. Averigua cómo utilizó la proporcionalidad John Dalton en sus trabajos sobre teoría atómica. 3. Investiga sobre otras aportaciones a la ciencia realizadas por John Dalton.

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–Ya sabes que mamá es muy religiosa y el color rojo... –le contestó su hermano Jonathan. –Tú tampoco te habías dado cuenta –protestó John y, mientras arrojaba la prenda escarlata al río, comenzó a pensar: ¿Por qué su hermano y él mismo no podían distinguir los colores? Dos años después, en 1793, John Dalton publicaba un trabajo donde se describía el tipo de enfermedad que él mismo sufría, conocida a partir de entonces como daltonismo. Dalton adquirió fama y pasó a la historia de la ciencia por su teoría atómica, donde juega un papel fundamental la proporcionalidad numérica. Por ejemplo, una molécula de agua tiene dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno. Su teoría afirma que, independientemente de la cantidad de agua, la cantidad de átomos de hidrógeno y oxígeno estará siempre en la misma proporción.

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Antes de empezar la unidad... FRACCIONES

a Una fracción es una expresión, , donde a y b son números enteros llamados numerador, a, b y denominador, b, con b ! 0. a Una fracción expresa el cociente entre dos números, a y b. Para calcular su valor se divide b el numerador entre el denominador. Fracciones equivalentes

a c a c y , son equivalentes, y se escribe = b d b d cuando representan la misma cantidad. c a Si = , se cumple que a ? d = b ? c. d b 4 4 2 2 = , ya que 4 ? 3 = 6 ? 2 " y son equivalentes. 6 6 3 3 7 4 7 4 ! , ya que 7 ? 3 ! 5 ? 4 " y no son equivalentes. 5 3 5 3 Dos fracciones,

2 es una fracción, mientras 3 1,2 no lo es, tan solo que 3 representa la división entre dos números.

Fracción de una cantidad

Para calcular la parte de una cantidad que representa una fracción, multiplicamos la cantidad por el numerador de la fracción y dividimos entre el denominador. 3 3 ? 150 de 150 = = 90 5 5 EVALUACIÓN INICIAL 1 Expresa estas fracciones como cociente y halla el resultado.

15 5

c)

5 10

1 b) 8

d)

77 11

a)

1. Decide si estas fracciones son equivalentes. 2 8 y 3 12 7 3 b) y 5 2

a)

8 2 y 20 5 7 11 d) y 3 9 c)

3. Calcula. 2 de 60 5 4 b) de 120 3 a)

6 de 80 4 7 d) de 140 4 c)

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Calcular el término desconocido en una proporción. • Reconocer magnitudes directa e inversamente proporcionales. • Aplicar las reglas de tres simples directas e inversas. • Resolver problemas de porcentajes.

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3

Magnitudes directamente proporcionales

ANTES, DEBES SABER… Cómo se construye una tabla numérica A partir de unos datos obtenemos otros que cumplen una condición.

Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir, y su valor, expresarlo con un número.

Número

1

2

3

4

Su doble

1?2=2

2?2=4

3?2=6

4?2=8

Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número. Consideramos A y B dos magnitudes con estos valores:

La distancia o el tiempo son magnitudes.

a2 b2

a1 b1

Magnitud A Magnitud B

a3 b3

… …

m n

Si al dividir los valores correspondientes de ambas magnitudes, el resultado es el mismo: a1 a2 a3 m = = =…= =k b1 b2 b3 n decimos que las magnitudes A y B son directamente proporcionales. EJEMPLO 5 En una pastelería se venden rosquillas a 8 €/kg. Forma una tabla en la que se relacione el precio de las rosquillas con el peso, y estudia si las magnitudes son directamente proporcionales. ?3 F

F F

Peso (kg)

1

2

3

…

6

…

Precio (€)

8

16

24

…

48

…

F F

:2

F

?2

?2

?3

:2

Al multiplicar (o dividir) el peso de las rosquillas por un número, el precio queda multiplicado (o dividido) por ese número. Además, se cumple que: 1 2 3 6 = = = = 0,125 8 16 24 48 Por tanto, las magnitudes Peso y Precio son directamente proporcionales.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 7 Una revista cuesta 4,20 €. ¿Son directamente

proporcionales las magnitudes N.º de revistas y Precio?

8 «Un sobre de cromos cuesta 1,50 €.»

Indica las magnitudes que intervienen, y decide si son directamente proporcionales.

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Problemas de proporcionalidad directa

4

4.1 Regla de tres simple directa La regla de tres simple directa es un procedimiento para hallar una cantidad desconocida a partir de otras cantidades conocidas, correspondientes a dos magnitudes directamente proporcionales. ANTES, DEBES SABER… Cómo se despeja una incógnita en una igualdad de fracciones • Si la incógnita está en el numerador. Se multiplica por el denominador de la otra fracción.

x 2 18 ? 2 = " x ? 3 = 18 ? 2 " x = = 12 3 18 3 F

F

Pasa dividiendo

• Si la incógnita está en el denominador. Se multiplica por el numerador de la otra fracción.

18 45 24 ? 45 = " 18 ? x = 24 ? 45 " x = = 60 24 x 18 F

F

Pasa dividiendo

EJEMPLO 6 Para hacer 3 marcos iguales, Luisa ha utilizado 2,79 m de listón. ¿Cuántos metros de listón necesitará para hacer 4 marcos? N.º de marcos Listón (m)

3

6

9

…

2,79

5,58

8,37

…

"

2,79 5,58 8,37 = = = 0,93 3 6 9

En general, para resolver una regla de tres simple directa, aplicamos el siguiente cálculo:

a b c?b a " b = " "x= c " x c x a

Las magnitudes son directamente proporcionales.

N.º de marcos

Si para 3 marcos Si para 4 marcos

Metros de listón necesitamos

" 2,79 m de listón " x m

necesitaremos

Calculamos el valor desconocido: 3 2,79 = 4 x

" 3 ? x = 4 ? 2,79 " x =

4 ? 2,79 = 3,72 m 3

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 10 Una máquina produce 800 tornillos en 5 horas.

¿Cuánto tiempo tardará la máquina en fabricar 1 000 tornillos? 11 Al traducir un libro cobro 6 € por página.

Si me han pagado 2 532 €, ¿cuántas páginas he traducido?

1 Para pintar 4 m2 de pared necesitamos 5 kg

de pintura. ¿Cuántos kilos necesitaremos para pintar 6 m2? 12 Una familia bebe 2,5 litros de leche diarios.

¿Cuántos litros consume a la semana?

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Magnitudes inversamente proporcionales

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Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por ese mismo número. Consideramos A y B dos magnitudes con estos valores: Magnitud A Magnitud B

a1

a2

a3

…

m

Magnitud B

b1

b2

b3

…

n

a3 b3

m n

… …

Si los valores de ambas magnitudes cumplen que: a1 ? b1 = a2 ? b2 = a3 ? b3 = … = m ? n = k decimos que las magnitudes A y B son inversamente proporcionales.

Las magnitudes A y B son inversamente proporcionales si se cumplen estas igualdades: Magnitud A

a2 b2

a1 b1

EJEMPLO 8 Un pintor tarda 48 días en pintar una casa. Forma una tabla que relacione el número de pintores con los días, y estudia si las magnitudes son inversamente proporcionales.

a1 b2 a3 b4 = = ... a2 b1 a4 b3

?3 F

F F

N.º de pintores

1

2

3

…

6

…

N.º de días

48

24

16

…

8

…

F F

:2

F

?2

:2

:3

?2

En este caso, al multiplicar (o dividir) el número de pintores por un número, el número de días queda dividido (o multiplicado) por ese mismo número. Además, se cumple que: 1 ? 48 = 2 ? 24 = 3 ? 16 = 6 ? 8 = 48 Las magnitudes N.º de pintores y N.º de días son inversamente proporcionales.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Comprueba si estas dos magnitudes son

15 Copia y completa la siguiente tabla de valores

inversamente proporcionales.

inversamente proporcionales.

Magnitud A

2

4

6

8

Magnitud A

1

Magnitud B

6

3

2

1,5

Magnitud B

24

en 30 días. Copia y completa la tabla. N.º de días

3

9

18 30

36

4 8

6 6

16 ¿Son inversamente proporcionales?

14 Dieciocho obreros realizan un trabajo N.º de obreros

2

72

a) Velocidad y tiempo empleado. b) Edad y estatura de una persona. c) Consumo de electricidad y horas de luz solar. d) Espacio recorrido y tiempo empleado.

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Problemas de proporcionalidad inversa

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6.1 Regla de tres simple inversa La regla de tres simple inversa es un procedimiento para hallar una cantidad desconocida a partir de otras cantidades conocidas, correspondientes a dos magnitudes inversamente proporcionales. ANTES, DEBES SABER… Cómo se despeja una incógnita en una igualdad de productos Si un término está multiplicando en un miembro, pasa al otro miembro dividiendo. EJEMPLO 1 Despeja la incógnita. a) 14 ? x = 28 ? 6 " x = b) 25 ? 3 = 15 ? x "

28 ? 6 14

168

" x = 14 = 12

25 ? 3 75 =x"x= =5 15 15 En general, para resolver una regla de tres simple inversa, aplicamos el siguiente cálculo:

EJEMPLO 9 Un tren, a una velocidad de 90 km/h, tarda 2 h en realizar un trayecto. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer este trayecto si va a 75 km/h? Velocidad (km/h)

90

180

45

…

Tiempo (h)

2

1

4

…

a x a?b a " b = " "x= c " x c b c

" 90 ? 2 = 180 ? 1 = 45 ? 4 = 180

Las magnitudes Velocidad y Tiempo son inversamente proporcionales.

Velocidad

Si a 90 km/h Si a 75 km/h

Tiempo tarda tardará

" 2 h " x h

En este caso, por ser las magnitudes inversamente proporcionales, tomamos la inversa de la segunda fracción: 90 x 90 ? 2 = " 90 ? 2 = 75 ? x " x = = 2,4 h 75 2 75

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 18 Un grifo que vierte 18 ℓ/min tarda 28 horas

para llenar un depósito. Si su caudal fuera de 42 ℓ/min, averigua el tiempo que tardaría en llenarlo. Resuélvelo: a) Mediante una regla de tres. b) Por el método de reducción a la unidad.

19 Un coche recorre un trayecto a 90 km/h

en 8 horas. ¿A qué velocidad iría si tardase 9 horas? 3 Si 9 pintores tardan 26 horas en pintar

la fachada de un edificio, ¿cuánto tardarán 6 pintores?

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Porcentajes

El tanto por ciento de una cantidad, cuyo símbolo es %, significa que de cada 100 partes de esa cantidad tomamos el tanto indicado.

a 100 65 = 0,65 65 % " 100 23,5 23,5 % " = 0,235 100 a % =

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento y lo dividimos entre 100. t ?C t % de C = 100 ANTES, DEBES SABER… Cómo se divide por la unidad seguida de ceros Para dividir un número por la unidad seguida de ceros, desplazamos la coma tantos lugares hacia la izquierda como ceros tenga la unidad. 345 : 100 = 3,45 56,7 : 100 = 0,567 EJEMPLOS 11 Completa la tabla. Porcentaje

Se lee

Significa

El 25 % de los españoles son niños

25 %

Veinticinco por ciento

De cada 100 españoles, 25 son niños

Gasto el 36 % de mi sueldo en comida

36 %

Treinta y seis por ciento

De cada 100 € que gasto, 36 € son en comida

12 Calcula el 30 % de 200. 30 % de 200 =

30 ? 200 = 60 " El 30 % de 200 es 60. 100

En los problemas de porcentajes intervienen magnitudes directamente proporcionales; por tanto, se pueden resolver mediante una regla de tres directa. EJEMPLO 13 El 40 % de los 355 alumnos de un instituto son chicos. ¿Cuántos chicos hay?

Alumnos

Si de 100 alumnos Si de 355 alumnos

Chicos hay habrá

" 40 chicos 355 ? 40 3" x = = 142 100 " x chicos

En el instituto hay 142 chicos.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 22 Halla el valor de x, sabiendo que:

21 Calcula.

a) 7 % de 420

b) 15 % de 4 000

a) 30 % de x es 20

b) 4,5 % de x es 152

124

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Problemas con porcentajes

8

En los porcentajes aparecen siempre tres cantidades relacionadas: el tanto por ciento, que llamaremos t, la cantidad total, C, y la parte, A. t % de C = A

8.1 Cálculo de la parte, conocidos el porcentaje y el total

CALCULADORA Para calcular el tanto por ciento de una cantidad utilizamos la tecla % . 16 000 # 12 %

1920

Para calcular la parte, conociendo el tanto por ciento, t, y la cantidad total, C, resolvemos esta regla de tres simple directa: Si de 100 de C

tomo

" t 100 t C ?t 2" = x= " C x 100 " x

tomaré

EJEMPLOS 14 Luisa compra un coche por 16 000 € y le hacen un descuento del 12 %. ¿A qué cantidad equivale el descuento? Conocemos la cantidad total, C = 16 000, y el tanto por ciento, t = 12. Tenemos que calcular el tanto por ciento de esa cantidad. Si de 100 € Si de 16 000 €

le descuentan le descontarán

" 12 € 16 000 ? 12 3" x = = 1 920 100 " x €

El descuento es de 1 920 €. 15 De las 4 075 personas que asistieron a una exposición, el 52 % eran jóvenes menores de 35 años. ¿Cuántas personas menores de 35 años asistieron? Conocemos la cantidad total, C = 4 075, y el tanto por ciento, t = 52. Si de 100 personas

hay

" 52 jóvenes 4 075 ? 52 = 2 119 3" x = habrá 100 Si de 4 075 personas " x jóvenes A la exposición asistieron 2 119 personas menores de 35 años.

NO OLVIDES

A

Para calcular la parte: Si de 100 de C

tomo

"t

tomaré

de donde: A =

" A

C?t 100

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 25 Carlos paga de impuestos un 22 % de su salario.

Si este año sus ingresos ascienden a 25 500 €, ¿cuánto tendrá que pagar de impuestos? ¿Qué cantidad neta ha cobrado? 26 En la carta de un restaurante los precios

no incluyen el 8 % de IVA. Un cliente ha comido una ensalada que cuesta 3,16 €, un lenguado cuyo precio es 6,25 € y un postre de 4,78 €. ¿Cuánto pagará en total el cliente?

27 Carmen gasta el 26 % de su sueldo en comida

y el 35 % en pagar el alquiler. Si gana 1 500 € al mes, ¿cuánto se gasta en cada concepto? 4 Una ciudad tenía hace dos años 135 000

habitantes. Si en estos dos últimos años la ciudad ha perdido el 8 % de su población, ¿cuántos habitantes tiene en la actualidad?

125

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8.2 Cálculo del porcentaje, conocidos el total y la parte NO OLVIDES

t

Para calcular el porcentaje, conociendo la cantidad total, C, y la parte, A, resolvemos esta regla de tres simple directa:

Para calcular el porcentaje: Si de C de 100

tomo

" A

tomaré

" t

de donde: t =

100 ? A C

tomo

" A 3" " x

Si de C de 100

tomaré

C A 100 ? A = x= " 100 x C

EJEMPLO 16 Luisa compra un coche por 16 000 € y le hacen un descuento de 1 920 €. ¿Qué porcentaje le descuentan? Conocemos la cantidad total, C = 16 000, y la parte, A = 1 920. Tenemos que calcular el porcentaje. Si de 16 000 € Si de 100 €

le descuentan le descontarán

" 1 920 € 100 ? 1920 3" x = = 12 16 000 " x €

El porcentaje de descuento ha sido del 12 %.

8.3 Cálculo del total, conocidos el porcentaje y la parte NO OLVIDES

C

Para calcular el total, conociendo el porcentaje, t, y la parte, A, resolvemos esta regla de tres simple directa:

Para calcular el total: Si de 100 de C

tomo

Si de 100

" t

de x

tomaré

de donde: C =

" A

100 ? A t

tomo

" t 100 t 100 ? A 3" = x= " x A t " A

tomaré

EJEMPLO 17 Luisa compra un coche. Si le hacen un descuento del 12 %, que equivale a 1 920 €, ¿cuál es el precio del coche? Conocemos el porcentaje, t = 12, y la parte, A = 1 920. Tenemos que calcular la cantidad total. Si de 100 € Si de x €

le descuentan

" 12 € 100 ? 1920 3" x = = 16 000 12 1 920 € "

le descontarán

El precio del coche es de 16 000 €.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Ana trabaja desde hace 10 años en una empresa

dedicada a la investigación. Este mes, la empresa ha decidido dar una paga complementaria a sus empleados según su antigüedad en la empresa. Ana ha cobrado 235 €, lo que supone el 15 % de su salario. ¿Cuál es el salario de Ana?

29 ¿Cuál era el precio de un ordenador que está

rebajado un 18 % si me ha costado 900 €? 6 Me han hecho un 22 % de descuento en

una cámara de fotos y me he ahorrado 44 €. ¿Cuál es el precio de la cámara?

126

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8.4 Aumentos y disminuciones porcentuales • Aumentar una cantidad un t % equivale a calcular el (100 + t) % de dicha cantidad. • Disminuir una cantidad un t % equivale a calcular el (100 - t) % de dicha cantidad. EJEMPLOS 18 El precio del gasoil ha subido un 9 %. Si costaba 0,99 €/¬, ¿cuánto costará ahora?

NO OLVIDES

Al aumentar un 9 %, lo que antes valía 100 céntimos de euro, ahora cuesta 100 + 9 = 109 céntimos. Aplicando una regla de tres simple directa:

Antes

100 céntimos 199 céntimos

Ahora

Si de 100 " (100 + aumento) de precio " Precio aumentado Precio ? (100 + aumento) Precio = aumentado 100

" 109 céntimos 3 x = 99 ? 109 = 107,91 " 100 " x céntimos

El litro de gasoil cuesta ahora 107,91 céntimos de euro, es decir, 1,079 €/¬. 19 Una cámara de vídeo cuesta 650 €, pero el vendedor me hace una rebaja del 20 %. ¿Cuánto tengo que pagar? Al disminuir un 20 %, lo que antes valía 100 €, ahora cuesta 100 - 20 = 80 €. Aplicando una regla de tres simple directa:

Antes

100 € 650 €

Ahora

NO OLVIDES Si de 100 " (100 - disminución) de precio " Precio disminuido Precio ? (100 - disminución) Precio = disminuido 100

" 80 € 3 " x = 650 ? 80 = 520 100 " x €

Tengo que pagar 520 €.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 32 La paga mensual de Sara es de 50 €.

7 El precio de un videojuego ha bajado un 14 %

Si sus padres le han subido la paga un 10 %, ¿cuánto percibe ahora?

respecto al año pasado. Si costaba 67,26 €, ¿cuánto cuesta este año?

33 A Juan le han puesto una multa de 90 € por

8 Un ramo de flores cuesta 60 € y en Navidad

exceso de velocidad. Transcurrido el período voluntario de pago, ahora se le añade un 20 % de recargo. ¿Cuánto tendrá que pagar?

sube un 8 %. ¿Cuánto cuesta el ramo en Navidad? 34 Un fabricante de calzado

vende sus zapatos al 120 % del precio que le cuesta fabricarlos. Si el coste de fabricación de unos zapatos es de 14 €, ¿por cuánto los venderá?

127

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Magnitudes directamente proporcionales ?3

?3

4

6

Magnitud A

1

2

4

6

Magnitud B

5

10

20

30

Magnitud B

24

12

6

4

?2

F

F

:2

?2

:2

?3

1 2 4 6 = = = = 0,2 " 5 10 20 30

F

F

2

F

F

1

F

Magnitud A

F

F

?2

F

:2

F

?2

F

:2

Magnitudes inversamente proporcionales

:3

1 ? 24 = 2 ? 12 = 4 ? 6 = 6 ? 4 = 24


1. AVERIGUAR SI DOS MAGNITUDES

2. AVERIGUAR SI DOS MAGNITUDES

SON DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

SON INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Un bolígrafo cuesta 1,25 €. ¿Existe relación de proporcionalidad directa entre el número de bolígrafos comprados y el precio total? PRIMERO. Construimos

una tabla con los valores de las dos magnitudes. 1

N.º de bolígrafos Precio (€)

2

3

1,25 2,50 3,75

Una imprenta tarda en imprimir un libro 12 minutos. Si fueran 2 imprentas se tardaría 6 minutos… ¿Existe relación de proporcionalidad inversa? PRIMERO. Construimos

4

…

5

…

magnitudes son directamente proporcionales si el cociente de los datos correspondientes es constante. 1 2 3 4 = = = = 0,8 1,25 2,50 3,75 5

una tabla con los valores de las dos magnitudes. N.º de imprentas

1

2

3

4

…

Tiempo (min)

12

6

4

3

…

SEGUNDO. Las

SEGUNDO. Las

magnitudes son inversamente proporcionales si el producto de los datos correspondientes es constante. 1 ? 12 = 2 ? 6 = 3 ? 4 = 4 ? 3 = 12

3. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE REGLAS DE TRES SIMPLES DIRECTAS Manuel ha tardado 2 horas en escribir 6 páginas. ¿Cuántas páginas escribirá en 6 horas? PRIMERO. Identificamos

las magnitudes y averiguamos si existe relación de proporcionalidad directa entre ellas.

SEGUNDO. Planteamos

la regla de tres.

TERCERO. Resolvemos

la regla de tres.

Las magnitudes N.° de páginas y Tiempo son directamente proporcionales. Si en 2 horas en 6 horas 2 6 = x 6

ha escrito escribirá

" 6 páginas 3 " x páginas

6?6

" x = 2 = 18 páginas

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4. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE REGLAS DE TRES SIMPLES INVERSAS Si 30 gallinas tardan 10 minutos en consumir un saco de pienso, ¿cuánto tardarán 50 gallinas? PRIMERO. Identificamos

las magnitudes y averiguamos si existe relación de proporcionalidad inversa entre ellas.

SEGUNDO. Planteamos

la regla de tres.

TERCERO. Resolvemos

la regla de tres.

5. HALLAR EL TÉRMINO DESCONOCIDO EN UN PROBLEMA DE PORCENTAJE

Las magnitudes N.° de gallinas y Tiempo son inversamente proporcionales. tardan

Si 30 gallinas " 10 min 3 tardarán 50 gallinas " x min 30 x 30 ? 10 = " x = 50 = 6 min 50 10

6. CALCULAR AUMENTOS

Y DISMINUCIONES PORCENTUALES

Un jugador ha encestado 15 de 25 tiros libres. ¿Cuál es su porcentaje de acierto?

Un anillo que cuesta 80 € se ha rebajado un 12 %. ¿Cuánto vale ahora?

PRIMERO. Planteamos

PRIMERO. Determinamos

Si de 25 tiros de 100 tiros

una regla de tres.

25 15 " 15 aciertos 3" = 100 x " x aciertos

SEGUNDO. Calculamos el término desconocido.

25 15 = x 100

100 ? 15 " x = 25 = 60%

el tanto por ciento. • Aumentar un t % es calcular el (100 + t) %. • Disminuir un t % es calcular el (100 - t) %. Rebajar un 12 % " Calcular el (100 - 12) %

SEGUNDO. Calculamos

el tanto por ciento. 88 (100 - 12) % de 80 = ? 80 = 7,40 € 100

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. Copia y completa, decidiendo si son magnitudes directa o inversamente proporcionales. a)

b)

A

1

3

B

5

15

A

1

4

B

160

40

Averiguar si dos magnitudes son directa o inversamente proporcionales 2. Si con 150 g de almendras se hace un turrón de 200 g, ¿qué cantidad de almendras se necesita para preparar 75 g de turrón? 3. Si 3 bombas de agua tardan 12 días en vaciar un depósito, ¿cuánto tardarán 4 bombas?

Resolver problemas mediante reglas de tres simples directas o inversas 4. Con 40 vacas, Adela vende 750 ¬ de leche diariamente. Para vender 1 200 ¬, ¿cuántas vacas necesita? 5. Para pintar un edificio en 30 días se ha previsto que se necesitarán 10 pintores. Si hubiera 15 pintores, ¿cuánto tardarían? Hallar el término desconocido en un problema de porcentaje 6. De 1 500 alumnos, 1 200 practican deporte. ¿Qué porcentaje de alumnos practica deporte? Calcular aumentos y disminuciones porcentuales 7. Me han aumentado la paga un 5 %. Si antes me daban 15 €, ¿cuánto me darán ahora?

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Actividades MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES 53. ●● Señala si son o no directamente proporcionales los siguientes pares de magnitudes. a) Tiempo de llenado de una botella y cantidad de agua en su interior. b) Número de personas que participan en una excursión y dinero que pagan. c) Número de horas trabajadas y dinero cobrado. d) Edad y peso de una persona. e) Lado de un cuadrado y área. f) Lado de un cuadrado y perímetro. g) Número de obreros y duración de una obra. h) Velocidad y tiempo en un movimiento con velocidad constante. 54. ● Comprueba si estas tablas corresponden a magnitudes directamente proporcionales.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL VALOR DESCONOCIDO EN DOS MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES? 11. Calcula los valores desconocidos de la siguiente tabla, sabiendo que los datos que aparecen corresponden a dos magnitudes directamente proporcionales.

15

10

c)

d)

e)

6

9

2

5

3

10

4

10

6

20

3

9

15

6

4

16

20

8

2

4

6

8

10

30

20

10

9. ●● Un coche consume 8 litros de combustible cada 100 kilómetros que recorre. Si las magnitudes son directamente proporcionales, construye una tabla que relacione la cantidad de combustible que gasta y la distancia que recorre. 10. ●● Miguel lee 12 páginas de un libro al día. Si el número de páginas leídas y el tiempo son magnitudes directamente proporcionales, construye una tabla que relacione ambas magnitudes.

b

Magnitud B

3

a

12

8 12 = 3 a

8 b = 3 12

SEGUNDO. Se

calculan los valores desconocidos despejando en la igualdad de fracciones.

b) 1 2 4 5 3

12

establecen los cocientes entre cantidades correspondientes de ambas magnitudes, incluyendo los valores desconocidos.

50

3

8

PRIMERO. Se

a) 3 9 6 30 5

Magnitud A

8 ? a = 3 ? 12 " a =

3 ? 12 = 4,5 8

8 ? 12 = 3 ? b " b =

8 ? 12 = 32 3

55. ● Copia y completa la tabla, sabiendo que son magnitudes directamente proporcionales. a) Tiempo de lectura 5 min 10 min 15 min 20 min Páginas leídas

2

b) Tiempo

18 min 36 min 54 min 72 min

de fabricación N.º de objetos fabricados

4

56. ● ● Copia y completa las siguientes tablas, sabiendo que A y B representan magnitudes directamente proporcionales. a) c) A A 2 5 9 17 B

3

6

4

B

11 5

B

7

b) d) A A 5 7 9 16 B

2

3

4

10

13

9

130

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MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES 57. ●● Estudia si la relación que existe entre estos pares de magnitudes es de proporcionalidad, y en caso de que lo sea, si es directa o inversa. a) Velocidad y tiempo en un movimiento con velocidad constante. b) Espacio y tiempo en un movimiento con velocidad constante. c) Número de personas que se reparten una tarta y porción que le toca a cada uno. d) Número de horas que un alumno ve la televisión y número de horas de estudio. e) Cantidad de dinero que ahorra una familia y cantidad de dinero que dedica a gastos en comida. f) Cantidad de aprobados y cantidad de suspensos en una asignatura. g) Número de albañiles y tiempo que tardan en construir una pared. h) Número de personas que comen y cantidad de alimento. i) Número de personas que participan en la compra de un regalo y dinero que aporta cada uno. j) Número de jornaleros y tiempo que tardan en la recogida de aceituna. 12. ● Comprueba si las siguientes tablas corresponden a valores de magnitudes inversamente proporcionales. a) 1 2 10

5

4

8

2,5

1,25

b) 1 2 3 2

4

4

6

8

c) 20 16

8

4

25

50

d) 5 10 15

20

10

8

12,5

24

32

e) 14 10 8

4

5

16

7

8,75

17,5

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL VALOR DESCONOCIDO EN DOS MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES? 13. Calcula los valores desconocidos de esta tabla, sabiendo que los datos corresponden a dos magnitudes inversamente proporcionales. Magnitud A

36

48

b

Magnitud B

9

a

12

PRIMERO. Se

establecen los productos entre cantidades correspondientes de ambas magnitudes, incluyendo los valores desconocidos. 36 ? 9 = 48 ? a 36 ? 9 = b ? 12

SEGUNDO. Se

calculan los valores desconocidos despejando en la igualdad de productos. 36 ? 9 a= = 6,75 48 36 ? 9 = 27 b= 12

58. ● Copia y completa las siguientes tablas, sabiendo que A y B representan magnitudes inversamente proporcionales. a) b) A A 6 5 30 B

90

54

2

6

15

B

4 75

60. ● ● Copia y corrige estas tablas, si A y B son magnitudes inversamente proporcionales. a) A 2 4 8

16

1,5

6,4

8

0

10

2,5

B

4

2

b) A

10

15

20

25

30

35

B

5

3

2,5

2

1,5

1,3

PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD 61. ● En una fábrica de coches se hacen 380 unidades cada 5 horas. ¿Cuántos coches se fabricarán en 12 horas, manteniendo el mismo ritmo?

131

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64. ● Ocho personas recogen las naranjas de un huerto en 9 horas. ¿Cuánto tardarían en hacerlo 6 personas?

72. ● ● Alicia y Antonio reparten propaganda. Los 5 paquetes de Alicia pesan 6 kilos. ¿Cuánto pesarán los 7 paquetes de Antonio? 73. ● ● La dueña de una pensión dispone de comida para alimentar a sus 18 huéspedes durante 12 días. Si vienen 6 huéspedes nuevos, ¿para cuántos días tendrán comida? 74. ● ● María escribe dos páginas en media hora. ¿Cuántas páginas escribirá en 3 horas? ¿Y cuánto tiempo tardará en escribir 84 páginas?

65. ● De un manantial hemos recogido 200 litros de agua en 4 minutos. ¿Cuántos litros obtendremos en 7 minutos? 66. ● Tres caballos consumen una carga de heno en 10 días. ¿Cuánto les durará la misma cantidad de heno a 5 caballos? 67. ● Cuatro excavadoras han levantado las aceras de una calle en 14 días. Para hacerlo en 7 días, ¿cuántas excavadoras se necesitarían? 68. ●● Para hacer dos camisas se utilizan 4,5 m de tela. a) ¿Cuánta tela se necesita para hacer 3 camisas? b) ¿Y para hacer 7 camisas? c) ¿Cuántas camisas se pueden hacer con 15 m de tela? 69. ●● Con una velocidad de 20 nudos, un barco realiza una travesía en 8 horas. Halla la velocidad de otro barco que hace la misma travesía en 6 horas y media. 70. ●● Para hacer una paella se necesitan 2 vasos de agua por cada vaso de arroz. Si echamos 4 vasos y medio de agua, ¿cuántos vasos de arroz debemos añadir?

78. ● ● He pagado 60 € por el abono de piscina de este verano, pero solo puedo asistir 45 días. Si la entrada normal cuesta 1,25 € al día, ¿me ahorraré dinero comprando el abono? 79. ● ● En la tabla se muestra la oferta de unos grandes almacenes al adquirir un determinado número de litros de leche. ¿Son directamente proporcionales el obsequio y la compra? Litros comprados

40

55

75

100

Litros obsequiados

1

2

3

5

Kilos comprados

20

40

60

80

Kilos obsequiados

1,5

3

4,5

6

80. ● ● En la siguiente tabla se muestra la oferta de una frutería al comprar un determinado número de kilos de patatas. ¿Son directamente proporcionales el obsequio y la compra?

¿Qué cantidad de patatas hay que comprar para que nos regalen 10,5 kg? 81. ● ● Un coche de carreras ha dado 5 vueltas a un circuito en 8 minutos y 30 segundos. Si mantiene la misma velocidad, ¿cuánto tiempo tardará en dar las 3 próximas vueltas?

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PROBLEMAS CON PORCENTAJES 91. ● En un poblado africano hay 2 350 habitantes. Si el 68 % son niños, averigua el número de niños del poblado. 92. ● En una clase de 30 alumnos han faltado 6. ¿Cuál ha sido el porcentaje de ausencias? 93. ● De 475 personas, a 76 les gusta el fútbol. ¿A qué porcentaje de personas no le gusta el fútbol?

15. ● ● En rebajas me han aplicado un 12 % de descuento al comprar un vestido. Si me ha costado 44 €, ¿cuánto costaba antes? 16. ● ● A un espectáculo han asistido 1 190 personas. Si este número es un 15 % del previsto inicialmente, ¿cuántas personas iban a asistir?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA LA CANTIDAD INICIAL SI SE CONOCE LA CANTIDAD DESPUÉS DE UN AUMENTO? 17. Un viaje me ha costado un 15 % más que el año pasado. Si he pagado 517,50 €, ¿cuánto me costó el año pasado? PRIMERO. Se determina el tanto por ciento de aumento.

Aumentar un 15 % " (100 + 15)% =

115 100

SEGUNDO. Se

94. ● El 18 % de una cosecha de lechugas son 10 800 kg. ¿Cuántos kilos tiene la cosecha? 95. ● Un traje cuesta 280 €. Si se aumenta su precio un 12 %, ¿cuánto costará? 97. ●● De los 1 200 alumnos de un instituto, el 25 % practica atletismo; el 15 %, baloncesto, y el 40 %, fútbol. Calcula el número de alumnos que practican cada deporte y el porcentaje de los que no lo practican.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA LA CANTIDAD INICIAL SI SE CONOCE LA CANTIDAD DESPUÉS DE UNA DISMINUCIÓN? 14. Un libro me ha costado 23,75 € tras aplicarle una rebaja del 5 %. ¿Cuánto costaba antes del descuento? determina el tanto por ciento de disminución. 95 Rebajar un 5 %" (100 - 5) % = 100 SEGUNDO. Se plantea la relación entre los datos.

plantea la relación entre los datos. 115 (100 + 15)% de x = ? x = 517,50 100

TERCERO. Se

calcula la cantidad inicial.

115 517, 50 ? 100 ? x = 517,50 " x = = 450 € 115 100 98. ● ● Tres montañeros se llevan alimento para su estancia en la montaña. Al llegar al refugio descubren que tienen un 15 % más de provisiones. Si disponen de 402,5 kg de comida, averigua cuánta tenían al principio.

PRIMERO. Se

(100 - 5) % de x = TERCERO. Se

95 ? x = 23,75 100

100. ● ● Queremos hacer la fotocopia de una lámina, reduciendo 12,5 cm de altura a 6 cm. ¿Qué porcentaje de reducción aplicaremos? 12,5 cm

calcula la cantidad inicial.

95 23, 75 ? 100 = 25 € ? x = 23,75 " x = 95 100

133

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9

Proporcionalidad geométrica La llave de la Ciudad Prohibida El misionero jesuita Matteo Ricci atravesó la puerta de la Ciudad Prohibida al encuentro del emperador chino Wan-Li. Los presentes enviados habían surtido efecto y el emperador quería conocerlo. El emperador, que esperaba curioseando el mapa del mundo incluido en los regalos, levantó la vista y le ordenó realizar una copia para él. Tras la entrevista el padre Ricci regresó a su casa, y allí otro misionero, un tanto sorprendido, dijo:

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. En mayo de 2010 se han cumplido 400 años del fallecimiento del misionero Matteo Ricci, que llegó a China en 1582. Busca información sobre su vida. 2. Investiga sobre el mapa que presentó Matteo Ricci al emperador de China. 3. ¿Qué otras aportaciones a la ciencia realizó Matteo Ricci a lo largo de su vida?

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–Todavía no entiendo por qué les llama tanto la atención el mapa. –Es lógico –argumentó Ricci–. Llevan miles de años creyendo que el mundo es solo China, que fuera viven bárbaros incapaces de aportar nada a su cultura y, de repente, les demostramos que no somos bárbaros, sino que estamos más avanzados que ellos en ciencias como matemáticas, astronomía, geografía… –Esa es la llave que me condujo al emperador de China –continuó el padre Ricci–. El mapa llamó su atención y cuando les expliqué la forma de tomar las medidas y la utilización de escalas para representarlas sobre el papel, entonces vieron que podíamos enseñarles muchas cosas.

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Antes de empezar la unidad... RECTAS Y ÁNGULOS • Una recta es una línea continua, formada por infinitos puntos, que no tiene principio ni final. • Una semirrecta es una recta que tiene principio, pero no tiene final. • Un segmento es una parte de una recta delimitada por dos puntos, llamados extremos.

Recta

Semirrecta

Segmento

Clasificación de ángulos

Un ángulo es la abertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto. Agudo Recto

Obtuso

Un ángulo recto mide 90º.

Menor que 90º Mayor que 90º Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Rectas secantes

Rectas paralelas

Se cortan en un punto.

No se cortan.

EVALUACIÓN INICIAL 1 Marca en tu cuaderno cinco puntos situados de esta manera y dibuja: A

D

C

E

B

a) Una recta que pase por A, una semirrecta con origen en B y un segmento cuyos extremos sean C y D. b) Dos rectas que pasen por E. ¿Cómo son estas rectas? c) Un ángulo agudo de vértice A y un ángulo obtuso de vértice D.

r

b)

En esta unidad aprenderás a… • Conocer el teorema de Tales. • Aplicar los criterios de semejanza de triángulos. • Reconocer polígonos semejantes.

4. Dibuja una recta secante a r y otra paralela a s. a)

PLAN DE TRABAJO

s

• Interpretar las escalas en mapas y planos.

135

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Teorema de Tales

2

Si tres rectas paralelas, a, b y c, cortan a otras dos rectas, r y s, los segmentos que determinan son proporcionales. r

s

A

Al

B

a

Bl

C

Esta igualdad constituye el teorema de Tales. ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula un término desconocido en una igualdad a c del tipo = b d

s Al

B

c

4

AB AAl = AlBl BBl A

Cl

AB BC = AlBl BlCl AB BC AC = = " AB AC AlBl BlCl AlCl = AlBl AlCl

Si dos rectas paralelas, a y b, cortan a otras dos rectas, r y s, también se cumple que:

r

b

Bl

a

En una igualdad del tipo

b

3 9 = x 5

a c = se cumple que a ? d = b ? c. b d 5?9

" 3 ? x = 5 ? 9 " x = 3 = 15

EJEMPLO 3 A partir del teorema de Tales, calcula la longitud del segmento AlBl. Por el teorema de Tales: OA AB 1,5 3 = " 2 = OAl AlBl AlBl " 1,5 ? AlBl = 2 ? 3 2?3 " AlBl = 1,5 = 4 cm

B m

3c

1,5

El segmento AlBl mide 4 cm.

O

cm

A

2 cm

Al

Bl

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Calcula la longitud del segmento OA'.

m

O

A

5 cm

5 Calcula la longitud de OA' y BC. C

B

4,7 c

A Al

3,12 cm

B

O Bl

Al

Bl

Cl

OA = 3 cm AB = 2,25 cm AlBl = 1,5 cm BlCl = 5 cm

136

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4

Semejanza de triángulos

4.1 Triángulos semejantes ANTES, DEBES SABER… Qué relación cumplen los ángulos de un triángulo La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180º. V + BV + CV = 180° A

AV

BV

V C

A

Dos triángulos ABC y AlBlCl son semejantes si: V=A Vl BV = BVl CV = CVl • Tienen sus ángulos iguales. A

Al Bl

AB BC AC = = • Tienen sus lados proporcionales. AlBl BlCl AlCl

B Cl

4.2 Triángulos en posición de Tales C

Decimos que dos triángulos, ABC y AFD, están en posición de Tales cuando tieV, y los lados nen un ángulo en común, A opuestos a este ángulo, FD y BC, son paralelos.

D

A

F

C

B

Dos triángulos en posición de Tales son siempre semejantes. EJEMPLO 6 Demuestra que los triángulos ABC y AFD son semejantes. Vamos a comprobar que dos triángulos en posición de Tales son semejantes. • Tienen los ángulos iguales. AV " Es común a los dos triángulos. V = CV " Por ser ángulos agudos D de lados paralelos. V V F = B " Por ser ángulos agudos de lados paralelos.

C

D

A

F

B

• Tienen los lados proporcionales. Aplicando el teorema de Tales:

AD DC AC = = AF FB AB

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Dibuja tres pares de triángulos en posición

de Tales. Indica cómo lo haces.

12 Dibuja tres pares de triángulos semejantes

que no estén en posición de Tales.

137

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5 DATE CUENTA Dos triángulos que cumplan cualquier criterio de semejanza se pueden poner en posición de Tales, y por tanto, son semejantes.

Criterios de semejanza de triángulos

ANTES, DEBES SABER… Cómo se clasifican los triángulos según sus ángulos Acutángulo Tres ángulos agudos

Rectángulo Un ángulo recto

Obtusángulo Un ángulo obtuso

Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes. PRIMER CRITERIO.

Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados pro-

porcionales. C Dos triángulos rectángulos son semejantes si: • Tienen un ángulo agudo igual. • O dos de sus lados son proporcionales.

A

Cl

AB BC AC = = AlBl BlCl AlCl

Al

B

Bl

SEGUNDO CRITERIO. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos son iguales. C Cl

A

B

Al

V=A Vl A BV = BVl

Bl

TERCER CRITERIO. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual

y los lados que lo forman son proporcionales. C

A

Cl

B

Al

V=A Vl A

AC AB = AlCl AlBl

Bl

EJEMPLO 7 Determina si son semejantes estos triángulos. • Tienen un ángulo igual. AV = AVl • Los lados que forman el ángulo igual son proporcionales.

C

Cl

4 cm A

5 cm 8 cm

B Al

8 AB = = 0,8 10 AlBl AC 4 = = 0,8 5 AlCl

10 cm

Bl

4 " AABlBl = AAC lCl

Los triángulos son semejantes por el tercer criterio de semejanza.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 14 Los lados de un triángulo miden 5, 4 y 8 cm,

y los lados de otro, 5, 6 y 8 cm, respectivamente. Decide si son semejantes.

15 Comprueba que un triángulo rectángulo

de catetos de 8 cm y 6 cm es semejante a otro de catetos de 4 cm y 3 cm.

138

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Polígonos semejantes Lado


Vértice

Qué es un polígono

F

7

Ángulo

Un polígono es una figura plana y cerrada limitada por segmentos.

Polígono

Dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. Se llama razón de semejanza al cociente de la longitud de un lado de un polígono entre la longitud correspondiente del otro polígono. EJEMPLOS 10 Calcula DlEl sabiendo que los dos polígonos son semejantes. Dl E

6 cm

D

m

4 cm A

10 cm

14

El

7c

B

C 2 cm

cm Cl

8 cm

4 cm Al

20 cm

Bl

Como los polígonos son semejantes, sus lados serán proporcionales. AB BC CD DE EA = = = = AlBl BlCl ClDl DlEl ElAl 10 2 7 6 4 6 4 = = = = " = 20 4 14 8 8 DlEl DlEl

6?8

" DlEl = 4 = 12 cm

11 Determina si estos rectángulos son semejantes. D

Dl

C

1 cm

Cl

2 cm A

2,5 cm

B

Al

5 cm

Bl

• Sus ángulos son iguales. V=C Vl = 90° D V=D Vl = 90° AV = AVl = 90° BV = BVl = 90° C • Sus lados son proporcionales.

AB BC CD DA 2,5 1 2,5 1 = = = " 5 = 2 = 5 = 2 = 0,5 l l l l l l l l AB BC CD DA Los dos rectángulos son semejantes, con razón de semejanza 0,5.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 20 Dados estos rectángulos, resuelve. 16 cm

20 cm 30 cm

24 cm

¿Son semejantes? ¿Cuál es su razón?

2 Decide si estos dos polígonos son semejantes. 8 cm F 6 cm

A

B

6 cm C 9 cm

E 13 cm D

¿Cuánto mide el lado AB?

6 cm 4 cm Al Bl 3 cm Cl Fl 3 cm El Dl 4,5 cm 6,5 cm

139

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8

Figuras semejantes

ANTES, DEBES SABER… Qué son magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por el mismo número.

Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales. La razón de semejanza es el cociente que resulta al dividir una longitud de la figura transformada entre la longitud correspondiente de la figura original. EJEMPLO 12 Comprueba si estas figuras son semejantes a la figura de la derecha. Una figura es semejante a sí misma con razón de semejanza 1.

a)

b)

c)

a) Esta figura es semejante porque: • Los ángulos de las dos figuras son iguales, es decir, conserva la forma. • Sus dimensiones son el doble que las de la figura original; por tanto, son proporcionales. b) Esta figura no es semejante porque: • Los ángulos de las dos figuras no son iguales, es decir, no se conserva la forma. c) Esta figura es semejante porque: • Los ángulos de las dos figuras son iguales, es decir, conserva la forma. • Sus dimensiones son las mismas que las de la figura original; por tanto, son proporcionales.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 23 Observa las figuras y razona si son

semejantes.

24 Dibuja dos círculos de radio 2 y 4 cm,

respectivamente. ¿Son semejantes? 25 Dibuja un cuadrado de lado 3 cm.

a) Dibuja otro cuadrado semejante a él con razón de semejanza 2.

140

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9

Escalas

Una de las aplicaciones más frecuentes de la semejanza es la elaboración de planos, mapas, maquetas... En ellos reducimos, de manera proporcional, las dimensiones que tienen los objetos en la realidad, obteniendo una representación igual en la forma, pero no en el tamaño.

A-7

Llíria m

A-3

Rafelbunyol

Bétera

Manises

m

m m

Quart de Poblet

m

VALENCIA

m

CV-50

Silla

m m

A-7

N-340

m

Alzira

Cullera

Villanueva de Castellón

Se llama escala a la razón de semejanza entre la figura representada y la figura original. Distancia en la representación Escala = Distancia en la realidad

Xàtiva

A-35

A-7

AP-7

Alcoy Calpe

CV-80

Altea

N-340 Villajoyosa 0 El Altet

La escala se representa de la forma 1 : a, siendo a el número resultante de la división anterior.

N-332 Dénia

Ontinyent

A-31

Gandia

CV-60

Moixent

N-340

Benidorm

28

ALICANTE

56

84

Kilómetros

Elche

EJEMPLOS 15 El ancho del jardín de una casa mide 37,5 m. ¿A qué escala está dibujado el plano? Medimos sobre el plano la longitud que conocemos en la realidad. El ancho del jardín en el plano es 2,5 cm.

F

E

Expresamos ambas longitudes en la misma unidad y dividimos:

En ocasiones, la escala se indica de forma gráfica.

N UE T

0 G

37,5 m

F

3 750 37,5 m = 3 750 cm 3" = 1 500 2,5 cm 2,5 Escala " 1 : 1 500. Esto significa que 1 cm en el plano equivale a 1 500 cm en la realidad.

5

10

15

20

kilómetros

Según esta escala, 1 cm (la distancia que hay entre 0 y 5) equivale a 5 km. Es decir, de forma numérica sería: 1 : 500 000

16 Según el plano anterior, ¿cuánto mide en la realidad el diámetro AB de la fuente? El diámetro AB de la fuente en el plano es de 0,5 cm. Como el objeto real y su representación son figuras semejantes, aplicamos la proporción: 0,5 1 = Escala " 1 : 1 500 " " AB = 1 500 ? 0,5 = 750 cm 1 500 AB El diámetro AB de la fuente es de 750 cm = 7,5 m.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 30 Explica qué significa cada escala.

a) 1 : 300 b) 1 : 60 000 c) 1 : 12 31 ¿Qué escala se ha utilizado al dibujar un objeto

si 3 cm del dibujo equivalen a 3 dm reales?

32 Realizamos el plano de una casa

a escala 1 : 75. a) ¿Qué razón de semejanza se aplica? b) ¿Qué medida real tiene una línea del plano de 5 cm de longitud? c) ¿Cuánto mide en el plano una longitud de 4,5 cm?

141

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Teorema de Tales r

D

A'

B

b

c

s

A

a

Polígonos semejantes

AB BC AC = = AlBl BlCl AlCl

B'

V=C Vl AV = AVl C V=D Vl BV = BVl D

C

A

B Dl

Cl

Cl

C

Al

AB BC CD DA = = = AlBl BlCl ClDl DlAl

Bl


1. CALCULAR LA LONGITUD DE UN SEGMENTO UTILIZANDO EL TEOREMA DE TALES Cl

Calcula la longitud del segmento ACl.

Bl

PRIMERO. Comprobamos

que se cumplen las condiciones del teorema de Tales.

4 cm

BBl y CCl son paralelos y cortan a AC y ACl. SEGUNDO. Aplicamos

AB ABl

=

AC

3

5

4?5

" 4 = " 3 ? ACl = 4 ? 5 " ACl = 3 = 6,67 cm ACl ACl

3. DETERMINAR SI DOS POLÍGONOS

SON SEMEJANTES

SON SEMEJANTES

Determina si estos triángulos son semejantes V = 37°, B V = 53° y cuyos a otro triángulo con A lados miden 1,5 cm, 2 cm y 2,5 cm. Cl

50° Al

b)

c)

Cl

37°

m

Bl

Al

5 cm

Bl

PRIMERO. Vemos

si sus ángulos son iguales. V V V Vl " No son semejantes. a) A ! Al y B ! B V = AVl y B V=B Vl " Son semejantes b) A por el segundo criterio. SEGUNDO. Comprobamos

Dl

D

8 cm

Cl

C

3 cm

53°

Al

Determina si estos polígonos son semejantes. 8 cm

Cl

4c

80° Bl

C

la proporcionalidad entre segmentos del teorema de Tales.

2. DETERMINAR SI DOS TRIÁNGULOS

a)

B 3 cm 5 cm

A

la proporcionalidad

entre sus lados. 3 4 5 c) = = = 2 " Son semejantes 1,5 2 2,5 por el primer criterio.

A

10 cm

B

Al

14 cm

Bl

PRIMERO. Estudiamos

la igualdad de sus ángulos. V=C Vl D V=D Vl AV = AVl BV = BVl C

Los ángulos de los dos polígonos son iguales.

SEGUNDO. Comprobamos

la proporcionalidad entre sus lados. 10 8 ! . Los lados no son proporcionales. 14 8 Los polígonos no son semejantes.

142

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4. CALCULAR LA LONGITUD DE UN LADO EN DOS POLÍGONOS SEMEJANTES Calcula la longitud del lado desconocido, sabiendo que los dos polígonos son semejantes. PRIMERO. Elegimos

dos lados correspondientes cuya longitud sea conocida.

30 cm

30 x = 50 10

SEGUNDO. Formamos

una proporción con esos dos lados, el lado desconocido y su correspondiente.

5. DETERMINAR LA ESCALA A LA

10 cm

x

50 cm

"x=

30 ? 10 = 6 cm 50

6. DETERMINAR UNA LONGITUD EN

QUE ESTÁ DIBUJADO UN PLANO

UN MAPA CONOCIENDO LA ESCALA

¿A qué escala está dibujado un plano que representa una distancia de 30 m con una longitud de 2,5 cm?

¿Qué distancia real representa una longitud de 2,5 cm en un mapa que está dibujado a una escala de 1 : 1 200?

PRIMERO. Medimos

sobre el plano la longitud que conocemos en la realidad. En este caso, la longitud es de 2,5 cm.

PRIMERO. Medimos,

SEGUNDO. Expresamos

SEGUNDO. Como

TERCERO. Escribimos la escala como 1 : a, siendo a el número resultante de la división. Escala " 1 : 1 200

La distancia que representa es 30 m.

ambas longitudes en la misma unidad y dividimos. 3 000 30 m = 3 000 cm 3" = 1 200 2,5 cm 2,5

sobre el plano, la longitud que queremos calcular. En este caso, la longitud es de 2,5 cm.

el objeto real y su representación son figuras semejantes, aplicamos la proporción. 2,5 1 = Escala " 1 : 1 200 " 1 200 AB " AB = 1 200 ? 2,5 = 3 000 cm = 30 m


Determinar si dos polígonos son semejantes

1. Calcula la longitud de BC y OAl.

4. Dos cuadrados de lados 7 cm y 5 cm, ¿son semejantes?

C

O

B

A Al

Bl

Cl

Calcular la longitud de un segmento

OA = 1 cm AB = 0,75 cm AlBl = 0,5 cm BlCl = 3 cm

4 cm 6 cm

2. ¿Cuál es la longitud de x?

2 cm

x

Determinar si dos triángulos son semejantes 3. ¿Cuánto mide x? 2,5 cm

x

3,75 cm

4 cm

8 cm

6 cm

Calcular la longitud de un lado en dos polígonos semejantes 5. Para que un rectángulo de 12 cm de alto sea semejante a otro de 8 cm de alto y 3 cm de ancho, ¿cuánto tiene que medir su anchura? Determinar la escala de un plano 6. Si representamos una distancia de 30 km como 2,5 cm, ¿cuál es la escala? Determinar una longitud en un mapa 7. ¿Cuál es la distancia real entre dos puntos si distan 7 cm en un mapa a escala 1 : 5 000 000?

143

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Actividades TEOREMA DE TALES

OB = 0,8. 43. ● ● En la siguiente figura, la razón OBl Calcula OAl, AB y BC.

41. ●● Calcula las longitudes desconocidas. a)

e) 2,5 cm

2 cm

x

3 cm

b)

x

10 cm

m

8c

m O

f)

2,3 cm

A

F

2 cm

m

2c

x

c)

z

3 cm

3 cm

x

5 cm

y

g) 7

8c

m m

x

d)

F

a) 1,5 cm x

5 cm y

8,1

5 cm

3 cm

cm

4 cm

2 cm

z

12 cm

b)

F

F

50. ● Calcula la longitud de los lados desconocidos en los siguientes pares de triángulos semejantes.

5 cm

F

x

3 cm

h)

z

y

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

m

x

6 cm

0,8 cm

4 cm

2c

8 cm

cm

y

4c

C

t

4 cm

F

x

B

44. ● ● Determina las longitudes desconocidas.

m

c 4,8

cm

3 cm

Bl

Al 2,8 cm

5c

2 cm

4

Cl

m 4,5 c

1 cm 5,2 cm 8 cm

m

6c

42. ● Considera esta figura:

8 cm

10 cm

Cl

Bl

6 cm

7 cm

c)

Al 6 cm

O A

a) Si OA = 2 cm

B

calcula: AlBl, BlCl, OBl y BC.

d) 5 cm

OB = 9 cm

OBl = 12 cm OCl = 18 cm

OC = 22,5 cm

OCl = 36 cm OBl = 24 cm

calcula: OAl, OB, AB, BC, AlBl y BlCl.

5 cm

2 cm

3,2 cm

calcula: OA, AB, AlBl, BlCl, OC y BC. c) Si OA = 5 cm

5 cm 4 cm

OB = 5 cm

OAl = 2,6 cm OCl = 11,7 cm

b) Si OAl = 4 cm

3 cm

C

e) 2,3

cm

3 cm

1,5 cm 1,5 cm

144

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56. ● ● Determina si estos pares de triángulos son semejantes, y explica qué criterio aplicas en cada caso.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RECONOCEN LOS TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE TALES?

4 cm

a)

80°

5 cm

53. Indica qué triángulos de la siguiente figura están en posición de Tales.

5 cm 80° 6 cm

B

b)

11 cm

F

D

9 cm

65°

E

65° 7 cm

9,1 cm A PRIMERO. Se

G

C

c)

identifican todos los triángulos

ABC

ABE

ABG

ADE AEG

EBF

GBC

DBE

DBF

7 cm

5 cm

posibles.

8 cm

12,8 cm

7 cm 11,2 cm

SEGUNDO. Se toman los que tienen un ángulo común.

ABC y DBF tienen el ángulo BV en común.

e) 50°

ABE, ABG y DBE tienen el ángulo BV en común. EBF y GBC tienen el ángulo BV en común.

40°

f) 50°

TERCERO. De

cada grupo de triángulos con un ángulo en común se consideran los que tienen paralelos los lados opuestos a ese ángulo.

50° 60°

70°

ABC y DBF tienen AC y DF paralelos. ABG y DBE tienen AG y DE paralelos.

HAZLO ASÍ

EBF y GBC tienen EF y GC paralelos.

¿CÓMO SE CALCULA UN LADO DESCONOCIDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO?

Estos pares de triángulos están en posición de Tales.

3. Calcula el lado desconocido en estos triángulos rectángulos.

54. ●● Identifica en las siguientes figuras todos los triángulos que estén en posición de Tales. a)

E

F

H

G

A

B

C

A

H

b)

G J A

BI

K

B

C

D

F G

E

A

B

24 cm 25 cm

Se identifica si el lado desconocido es la hipotenusa o un cateto para decidir cómo aplicamos el teorema de Pitágoras.

C

a) Hipotenusa " a2 = b2 + c2 b) Cateto " b2 = a2 - c2 SEGUNDO. 2

Se aplica el teorema de Pitágoras.

a) a = 8 + 152

H

E D

E

F

C

b

PRIMERO.

J

d)

b)

15 cm

F

L

I

a

8 cm

G

c)

D

a)

D

2

" a2 = 289 " a = 289 = 17 cm b) b2 = 252 - 242 " b2 = 49 " b = 49 = 7 cm

145

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4. ●● Determina si estos pares de triángulos son semejantes, y explica qué criterio aplicas en cada caso. 10 cm

3 cm

68. ● Expresa, mediante una escala numérica y una escala gráfica.

4 cm

a) 1 cm en el plano equivale a 2 km en la realidad. b) 1 cm en el plano equivale a 50 km en la realidad.

b) 20 cm

60 cm

69. ● Calcula la altura real de los objetos.

21 cm

c)

67. ● Expresa, mediante una escala numérica. a) 25 cm de un plano representan 25 km reales. b) 0,8 dm de un plano representan 160 km reales.

a) 6 cm

ESCALAS

63 cm

41 cm

Objeto

Escala

10,25 cm

2,25 cm

40 cm

d) 40°

1 : 20

4 cm

8 cm 30°

1 : 10

POLÍGONOS SEMEJANTES 58. ● Dibuja dos cuadrados semejantes que tengan las siguientes razones de semejanza. a) r = 2 b) r =

1 2

d) r =

1 3

59. ● Dibuja triángulos semejantes que tengan estas razones de semejanza respecto de la figura.

6 cm

8 cm 12 cm

1 2

c) r = 3

1 b) r = 4

5 d) r = 4

a) r =

60. ● Dibuja figuras semejantes a la siguiente que tengan como razón de semejanza r = 2 y r = 0,5. a)

1 : 25

c) r = 2,5

b)

61. ●● Dos triángulos ABC y AlBlCl son semejantes 1 y su razón de semejanza es . Las medidas 4 de los lados del triángulo ABC son AB = 8 cm, BC = 10 cm y AC = 14 cm. Halla las longitudes de los lados del otro triángulo.

70. ● Halla la distancia real entre dos pueblos separados por 4 cm en un mapa con esta escala: 0

40

80

120

kilómetros

71. ● La distancia real entre dos ciudades es de 450 km. Halla la distancia que las separa en un mapa realizado a escala 1 : 1 500 000. 72. ● ● Al representar la carretera que une dos pueblos en un mapa de escala 1 : 500 000, su longitud mide 6 cm. ¿Cuál sería la longitud de la carretera si la representamos en un plano de escala 1 : 60 000? 73. ● ● El plano de una vivienda está realizado a escala 1 : 60. a) ¿Qué dimensiones reales tiene la cocina si en el plano mide 4 cm de ancho y 7 cm de largo? b) El pasillo mide 7,5 m en la realidad. ¿Cuánto mide de largo en el plano?

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PROBLEMAS DE SEMEJANZA

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA DE UN OBJETO MEDIANTE SU SOMBRA?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA DE UN OBJETO MEDIANTE OBJETOS INTERMEDIOS?

6. ¿Cuál es la altura del árbol? C

5. ¿Cuál es la altura de la torre? C

1,5 m

Cl Cl A

3m A PRIMERO. Se

12 m

Al 100 m

B

decide si los triángulos son semejantes.

Los triángulos ABC y AlBCl son semejantes por ser triángulos rectángulos con un ángulo agudo común. SEGUNDO. Se

establece la relación de semejanza entre los lados de los triángulos que se forman. AC AlCl

TERCERO. Se

=

AB AlB

AC

decide si los triángulos son semejantes.

establece la relación de semejanza entre los lados de los triángulos que se forman. AC AlCl

TERCERO. Se

=

AB

6,3

AC

" 1,5 = 2,1 AlBl

calcula el lado desconocido.

6,3 AC = 1,5 2,1

" AC =

1,5 ? 6,3 = 4,5 m 2,1

7. ● ● La sombra de un autobús a cierta hora mide 8 m. A la misma hora, la sombra de un coche, que mide 1,4 m, es de 3,5 m. ¿Qué altura tiene el autobús?

5m

1,4 m 6m 10 m

75. ●● Si un palo mide 1 m, y la sombra que proyecta a una determinada hora del día es de 1,5 m, ¿cuánto mide un edificio que proyecta una sombra de 6 m a la misma hora?

1m G

Bl

G F

74. ●● Un árbol mide 5 m de altura y, a una determinada hora del día, proyecta una sombra de 6 m. ¿Qué altura tendrá el edificio de la figura si a la misma hora proyecta una sombra de 10 m?

2,1 m

SEGUNDO. Se

100

3 ? 100 " AC = 12 = 25 m

Al

Los triángulos ABC y AlBlCl son semejantes porque: V=A Vl por ser rectos. • A • BV = BVl ya que los rayos del Sol inciden sobre los dos objetos con la misma inclinación.

" 3 = 12

calcula el lado desconocido.

AC 100 = 3 12

PRIMERO. Se

B

6,3 m

6m

1,5 m F

8m

3,5 m

77. ● ● La sombra que proyecta un padre que mide 1,8 m de estatura, a las 3 de la tarde, es de 2,1 m. ¿Qué estatura tendrá su hijo si la sombra que proyecta es de 1,5 m? 78. ● ● La sombra que proyecta Julia, que mide 1,34 m, a la 1 de la tarde, es de 1,2 m. ¿Cuánto mide su madre si en ese momento proyecta una sombra de 1,4 m? 79. ● ● Al lado de un semáforo, la sombra de Juan mide 1,5 m y la sombra del semáforo mide 60 cm más que la de Juan. ¿Cuál es la longitud del semáforo si Juan mide 1,75 m?

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10 DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Sabemos muy poco de la vida de Apolonio de Perga. Busca información sobre este matemático y la época en que vivió. 2. Investiga sobre el acertijo que plantea Apolonio a Eudemo en el texto. 3. ¿Qué otras aportaciones a las matemáticas realizó Apolonio y cuál es su influencia histórica?

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Figuras planas. Áreas El regalo Mientras se sacudía el polvo que el empinado camino había depositado en sus ropas y sus sandalias, Apolonio de Perga miraba con admiración el templo de Artemisa, una de las Siete Maravillas construidas en el mundo. Tras el parco aseo, volvió su vista hacia los árboles y bajo una higuera encontró descansando a Eudemo, el amigo con quien había quedado. –La subida es cansada pero merece la pena, el templo es lo más parecido al Olimpo de los dioses que se puede ver en la Tierra –dijo Apolonio sentándose a su lado. –No lo discuto, Apolonio –contestó Eudemo–. Sin embargo, deberías hacer ofrendas en honor a Atenea, que es la diosa de la sabiduría, y no a Artemisa, diosa de la caza. –Cuando visito a un amigo siempre llevo algún regalo, y si voy a la casa de una diosa por qué no he de hacerlo –razonó Apolonio. Eudemo le preguntó: –Entonces a mí, ¿qué regalo me has traído? Apolonio, encogiéndose de hombros, respondió: –¡No te basta con el abrazo de un amigo! Además, como sé que te gustan, te traigo un acertijo geométrico: ¿Cómo se puede encontrar una circunferencia tangente a otras tres circunferencias dadas?

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Antes de empezar la unidad... POLÍGONOS Un polígono es una figura plana y cerrada limitada por segmentos. Los elementos de un polígono son:

Lado

Vértice

• Lados: segmentos que delimitan el polígono. • Vértices: puntos donde se unen dos lados. • Diagonales: segmentos que unen dos vértices no consecutivos. • Ángulo interior: ángulo formado por los lados del polígono.

Ángulo interior

al

on

ag Di

Clasificación de polígonos N.o de lados

Nombre

3

Triángulo

4

Cuadrilátero

5

Pentágono

6

Hexágono

7

Heptágono

8

Octógono

9

Eneágono

10

Decágono

Regular

Irregular

EVALUACIÓN INICIAL 1 Dibuja este polígono en tu cuaderno.

Señala en él sus lados, vértices, ángulos interiores y diagonales. ¿Cuántas diagonales tiene? 2 Cuenta el número de lados de estos polígonos e indica su nombre.

¿Son regulares o irregulares?

Un polígono es regular cuando tiene todos sus lados y ángulos iguales.

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Conocer y aplicar el teorema de Pitágoras. • Calcular el área de triángulos, paralelogramos, trapecios y polígonos regulares. • Hallar la longitud de una circunferencia y el área de un círculo.

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1

Teorema de Pitágoras

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90°). Los lados que forman el ángulo recto se denominan catetos, b y c, y el lado mayor se llama hipotenusa, a.

C a

b A

c

B

Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2 ANTES, DEBES SABER… Qué es la raíz cuadrada de un número La raíz cuadrada de un número es otro número que, elevado al cuadrado, es igual al primero. 16 = 4, porque 42 = 16

Para aplicar el teorema de Pitágoras tenemos que asegurarnos de que el triángulo es rectángulo.

22 = 4, entonces

4 =2

Si conocemos la medida de un cateto y la hipotenusa, podemos hallar el otro cateto: a • b2 = a2 - c2 " b = a 2 - c 2 • c2 = a2 - b2 " c =

a2 - b2

b c

EJEMPLOS 1 Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 6 cm y 8 cm. Aplicamos el teorema de Pitágoras y sustituimos: a2 = b2 + c2 " a2 = 62 + 82 " a2 = 36 + 64 = 100 " a = 100 = 10 cm " La hipotenusa a mide 10 cm. 1

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y uno de los catetos, 12 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto? a2 = b2 + c2 " 132 = b2 + 122 b2 = 132 - 122 = 25 " b = 25 = 5 cm El cateto b mide 5 cm.

b

13 cm

12 cm

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo

cuyos catetos son: a) 15 cm y 8 cm

b) 12 cm y 35 cm

2 En un triángulo rectángulo, los catetos miden

5 cm y 12 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

1 Calcula el cateto que falta en estos triángulos

rectángulos. a) La hipotenusa mide 10 cm y uno de los catetos, 6 cm. b) La hipotenusa mide 13 cm y uno de los catetos, 5 cm.

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Aplicaciones del teorema de Pitágoras

2

2.1 Determinar si un triángulo es rectángulo ANTES, DEBES SABER… Cómo se clasifican los triángulos según sus ángulos Acutángulo

Rectángulo

Tres ángulos agudos

Un ángulo recto

Un ángulo obtuso

En cualquier triángulo, siendo a el lado mayor:

A c

• Si a2 = b2 + c2 " El triángulo es rectángulo. • Si a2 < b2 + c2 " El triángulo es acutángulo. • Si a2 > b2 + c2 " El triángulo es obtusángulo.

b

B

Obtusángulo

a

C

Solo cumplen el teorema de Pitágoras los triángulos rectángulos. EJEMPLO

La diagonal de un rectángulo o de un cuadrado los divide en dos triángulos rectángulos iguales.

2 Determina de qué tipo son los triángulos cuyos lados miden: a) 3, 4 y 5 cm b) 7, 4 y 6 cm c) 5, 8 y 10 cm Comprobamos si el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. a) 52 = 32 + 42 " 25 = 9 + 16 " El triángulo es rectángulo. b) 72 < 42 + 62 " 49 < 16 + 36 " El triángulo es acutángulo. c) 102 > 52 + 82 " 100 > 25 + 64 " El triángulo es obtusángulo.

d

l l

2.2 Calcular la diagonal de un rectángulo D

C d

a b

A

El triángulo ABC es rectángulo, con hipotenusa la diagonal, d, y catetos, los lados del rectángulo. d2 = a2 + b2 " d =

B

a2 + b2

EJEMPLO 3 Calcula la diagonal de este rectángulo: 2

2

2

2

d

8 cm

2

d = 16 + 8 " d = 16 + 8 = 17,89 cm La diagonal del rectángulo mide 17,89 cm.

16 cm

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Indica si los triángulos con estas medidas son

6 Sobre un campo rectangular, cuya longitud es

rectángulos, acutángulos u obtusángulos.

de 16 m y su ancho es de 12 m, se traza una diagonal. Calcula su longitud.

a) 10 cm, 11 cm y 20 cm b) 4 cm, 5 cm y 6 cm c) 48 cm, 55 cm y 73 cm

7 Determina el largo de un rectángulo de 3 cm

de ancho y 22 cm de diagonal.

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Área de polígonos

3

3.1 Área de los paralelogramos ANTES, DEBES SABER… Cómo se clasifican los paralelogramos Los paralelogramos se clasifican en: Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

• Cuadrado: tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos. • Rectángulo: tiene los cuatro ángulos rectos. • Rombo: tiene los cuatro lados iguales. • Romboide: tiene los lados y los ángulos iguales, dos a dos, y no tiene ángulos rectos.

Área del rectángulo

El área de un rectángulo de base b y altura a es: A=b?a

a b

Área del cuadrado

Un cuadrado tiene todos sus lados iguales. El área de un cuadrado de lado l es: A = l ? l = l2

l

EJEMPLOS 6 Halla el área de un rectángulo cuya base mide 6 cm y su altura; 3,5 cm. b = 6 cm; a = 3,5 cm

A = 6 ? 3,5 = 21 cm2 A = b ? a El área del rectángulo mide 21 cm2. F

3,5 cm 6 cm

2

Halla el área de un cuadrado de lado 4 cm. A = l 2

l = 4 cm

A = 42 = 16 cm2

F

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 15 Determina el área de los siguientes

polígonos. a) Rectángulo cuya altura mide 5,4 cm y su base, 9 cm. b) Cuadrado de lado 6 dm.

16 Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal

mide 0,06 m. 2 Halla la altura de un rectángulo cuya base mide

3 cm y su área, 45 cm2.

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Área del romboide

ANTES, DEBES SABER… Qué son la base y la altura de un romboide Altura

• La base de un romboide es cualquiera de sus lados. • La altura es un segmento perpendicular a una base, trazado desde el vértice opuesto.

El área de un romboide de base b y altura h es igual al área de un rectángulo con base b y altura h.

h

F

h b

Base

b

El área de un romboide de base b y altura h es: A=b?h EJEMPLO 7 Calcula el área de este romboide: A = b ? h 2,5 cm

b = 5 cm; h = 2,5 cm

A = 5 ? 2,5 = 12,5 cm

F

2

El área del romboide mide 12,5 cm2.

Las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en su punto medio. D

5 cm

A

Área del rombo D

F

d

El área de un rombo con diagonal menor d y diagonal mayor D es la mitad del área de un rectángulo cuya base es d y su altura es D.

D

C B

Dividen al rombo en cuatro triángulos rectángulos iguales.

d

El área de un rombo de diagonal menor d y diagonal mayor D es: D?d A= 2 EJEMPLO 8 Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden 4 cm y 6 cm. 6 cm

6?4 A= = 12 cm2 2

F

G G

D ? d D = 6 cm, d = 4 cm A= 2 El área del rombo es 12 cm2.

4 cm

LO QUE DEBES SABER RESOLVER a)

3 cm

c)

5

a) Romboide cuya base mide 10,5 cm y su altura, 4,5 cm. c) Romboide cuya base mide 150 mm y su altura, 65 mm.

18 Calcula el área de los polígonos. 2,75 cm

6

15 Determina el área de estos polígonos.

7 cm 6

5

4,25 cm

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3.2 Área del triángulo ANTES, DEBES SABER… Qué son la base y la altura de un triángulo • La base de un triángulo es cualquiera de sus lados. • La altura es un segmento perpendicular a una base o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto.

Altura G G

Base

Base

El área de un triángulo de base b y altura h es la mitad del área de un romboide de base b y altura h.

h b

El área de un triángulo de base b y altura h es: Base ? Altura b?h A= = 2 2 EJEMPLO 9 Calcula el área de este triángulo: A=

b?h 2

b = 8 cm, h = 6 cm

A=

F

8?6 = 24 cm2 2

6 cm

El área del triángulo es 24 cm2. 8 cm

3.3 Área del trapecio ANTES, DEBES SABER… Cuáles son los elementos de un trapecio • La base mayor y la base menor de un trapecio son sus dos lados paralelos. • La altura es un segmento perpendicular a la base mayor, trazado desde el vértice opuesto.

Base menor

Altura Base mayor

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 Halla la altura de un triángulo cuya base mide

18 Calcula el área de los polígonos.

a)

3 cm

4 cm

12 cm

d)

21 cm

4 Halla la base de un triángulo cuya base mide 7 cm

5 cm

b)

8 cm y su área, 20 cm2.

c)

12 cm 7 cm

3 cm y su área, 21 cm2. 19 Determina el área de un triángulo isósceles

cuyos lados iguales miden 14 cm y su base, 22 cm.

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Si unimos dos trapecios iguales de base mayor B, base menor b y altura h, obtenemos un romboide de base (B + b) y altura h. b

b

h

b F

h B

B

h B+b

B

El área de un trapecio de base mayor B, base menor b y altura h, es: (B + b) ? h A= 2 EJEMPLO 5 cm

10 Determina el área del trapecio del margen. (B + b) ? h B = 8 cm, b = 5 cm, h = 6 cm (8 + 5) ? 6 = 39 cm2 A= 2 2 El área del trapecio es 39 cm2. A=

6 cm

F

8 cm

3.4 Área de un polígono regular ANTES, DEBES SABER… Qué es un polígono regular Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y sus ángulos iguales. • Apotema, a: segmento perpendicular al lado trazado desde su punto medio hasta el centro del polígono regular. • Radio, r: segmento que une el centro del polígono regular con uno de los vértices.

r

a r

r a

El área de un polígono regular de apotema a es: Perímetro ? Apotema P?a A= = 2 2

l

En los triángulos rectángulos y en los trapecios rectángulos, la altura coincide con uno de sus lados. h

h

EJEMPLO 11 Halla el área de un hexágono regular cuyo lado mide 8 cm, sabiendo que la apotema es a = 6,92 cm. • Perímetro = 6 ? lado = 6 ? 8 = 48 cm Así, el área del hexágono es: A=

P?a 2

P = 48 cm; a = 6,92 cm

8 cm

A=

F

48 ? 6,92 = 166,08 cm2 2

21 Calcula el área. 10 cm

16 cm

21 Calcula el área.

4,1 cm

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 6 cm

22 cm

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3.5 Área de una figura plana El área de una figura se puede calcular descomponiéndola en otras figuras cuyas áreas sabemos calcular. EJEMPLO 12 Calcula el área de esta sala de conferencias: Para hallar el área de la sala la descomponemos en un pentágono regular y un trapecio isósceles.

FIGURA 1

Figura 1 Es un pentágono regular de lado 9 m y apotema 6,2 m.

6,2 m

En un trapecio isósceles, la longitud de AM coincide con la de NB. D

9m

A1 =

C

14 m

Figura 2 Es un trapecio isósceles con base mayor de 19 m y base menor de 9 m.

FIGURA 2

A

M

N

(5 ? 9) ? 6,2 P?a = = 139,5 m2 2 2

B

19 m

G

F

Calculamos la altura del trapecio: 9m

h 19 m

14 m

19 - 9 = 5m 2

142 = h2 + 52 " h = 142 - 52 = 13,08 m (B + b) ? h (19 + 9) ? 13,08 = = 183,12 m2 2 2 El área total de la sala es la suma del área de las dos figuras: A2 =

ATotal = A1 + A2 = 139,5 + 183,12 = 322,62 m2 El área de la sala de conferencias mide 322,62 m2.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Halla el área de esta figura.

24 Halla el área

de esta figura: 3 cm 2 cm

6 cm

5m 10 m

5m

15 m

20 m

30 m

25 Calcula el área 2

6 El área de un cuadrado mide 16 cm . Si se le

añade un triángulo de base el lado del cuadrado y altura 3, ¿cuánto mide el área de la nueva figura?

de la figura.

15 m

9m

18 m

7 cm

14 m 7m

18 m

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Longitud de una circunferencia

4

ANTES, DEBES SABER… Elementos de la circunferencia La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están situados a la misma distancia de otro punto llamado centro. dio Ra t ro me

Centro á Di

• Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. • Diámetro: mide el doble que el radio. • Arco: parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

Como el número π tiene infinitas cifras decimales, para resolver problemas tomamos un valor aproximado, π = 3,14.

La longitud de una circunferencia de radio r es: L = 2rr

Longitud de un arco B

En una circunferencia de radio r, la longitud de un arco de a grados es: 2r ? r ? a L ARCO = 360°

a A

Área de figuras circulares

5

5.1 Área del círculo Diám et r o

ANTES, DEBES SABER… Qué es un círculo

dio

Ra

Arco

Un círculo es la parte del plano limitada por una circunferencia.

El área de un círculo de radio r es: A = rr 2

5.2 Área del sector circular a

Un sector circular es la parte del círculo comprendida entre dos radios y el arco que definen. r

El área de un sector circular cuyo radio es r y su rr 2 ? a amplitud a, es: A = 360°

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 27 Halla la longitud de una circunferencia con:

a) Radio de 2,3 cm.

b) Diámetro de 16 cm.

31 Determina el área de un círculo de radio 18 cm. 32 Halla el área de un círculo de diámetro 25 cm.

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Teorema de Pitágoras

Áreas

En un triángulo rectángulo:

b

c

a2 = b2 + c2 b2 = a2 - c2 c2 = a2 - b2

D

a

a

b

l

A=b?a

A = l2

b

A=

D?d 2

A=b?h

b

r

Longitud de la circunferencia

h

d

h

L = 2rr

r

h

a

b

B

b?h A= 2

(B + b) ? h A= 2

l

A=

P?a 2

A = rr 2


1. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR EL LADO DE UN POLÍGONO PRIMERO. Identificamos

el triángulo rectángulo y sus medidas.

a)

b) 8 cm

6 cm

Calcula el lado de estos polígonos.

m

8c

6 cm

a

c

SEGUNDO. Aplicamos

el teorema de Pitágoras. b) 82 = 62 + a2 a) 8 = 6 + c 2 2 2 c = 8 - 6 a2 = 82 - 62 c = 28 = 5,29 cm a = 28 = 5,29 cm 2

2

2

2. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR LA ALTURA DE UN POLÍGONO

el triángulo rectángulo y sus medidas.

m 6c

c) h

h

m

PRIMERO. Identificamos

b)

6c

Determina la altura de estos polígonos.

3 cm 3 cm

SEGUNDO. Aplicamos

el teorema de Pitágoras. c) 62 = h2 + 32 b) 6 = h + 3 h2 = 62 - 32 h2 = 62 - 32 h = 27 = 5,2 cm h = 27 = 5,2 cm 2

2

2

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3. CALCULAR EL ÁREA DE UNA FIGURA PLANA Halla el área de la planta de este templo: PRIMERO. Descomponemos

60 m

26 m

FIGURA 1

6m

FI G

FI G

UR

UR

A

A

2

3

FIGURA 4

la figura en otras figuras cuyas áreas sabemos calcular. Figura 1 " Rectángulo de 55 m de largo y 30 m de ancho. Figuras 2 y 3 " Trapecio rectángulo de base mayor 26 m, base 60 - 30 menor: 26 - 6 = 20 m y altura: = 15 m 2 30 Figura 4 " La mitad de un círculo de radio: 2 = 15 m ATotal = AFigura 1 + 2 AFigura 2 + AFigura 4 SEGUNDO. Calculamos

cada una de las áreas. AFigura 1 = 30 ? 55 = 1 650 m2 (B + b) ? h (26 + 20) ? 15 AFigura 2 = = = 345 m2 2 2

55 m

AFigura 4 =

30 m

rr 2 r ? 152 = = 353,25 m2 2 2

TERCERO. Operamos

para obtener el área total. ATotal = AFigura 1 + 2AFigura 2 + AFigura 4 = 1 650 + 2 ? 345 + 353,25 = 2 693,25 m2

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 10 y 24 cm. 1. Si la base de un triángulo mide 5 cm y su altura, 3 cm, ¿cuánto mide su área? 2. Calcula el área de un círculo de radio 4 cm. Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el lado de un polígono 3. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm y uno de sus catetos, 15 cm. ¿Cuál es la longitud del otro cateto? 4. ¿Cuál es la longitud del lado de un cuadrado cuya diagonal mide 6 cm? Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la altura de un polígono 2. Calcula la altura de esta figura:

Calcular el área de una figura plana 7. Halla el área de la siguiente figura:

2 cm 1 cm

5 cm

3 cm

5 cm

3. Calcula el área de esta figura: 3,46 cm

4 cm

6 cm

9. Calcula el área de la zona coloreada.

8 cm 4 cm

5 cm 14 cm

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Actividades TEOREMA DE PITÁGORAS

57. ● Calcula la longitud de x en estas figuras. a)

c)

x

49. ● Calcula la hipotenusa de los triángulos

x

4 cm

rectángulos con estos catetos. a) 10 cm y 8 cm b) 7,2 cm y 11,6 cm c) 4 cm y 9 cm d) 5 cm y 8 cm

d) cm

b) 10 E

HAZLO ASÍ

5 cm

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS 55. ● Determina si los triángulos son rectángulos. En caso afirmativo, indica la medida de su hipotenusa y de sus catetos. a) Triángulo de lados 5 cm, 12 cm y 13 cm. b) Triángulo de lados 6 cm, 8 cm y 12 cm. c) Triángulo de lados 5 cm, 6 cm y 61 cm. d) Triángulo de lados 7 cm, 24 cm y 25 cm.

SEGUNDO. Como

los triángulos que se forman son rectángulos, se aplica el teorema de Pitágoras. c 2 52 = h2 + c m " 52 = h2 + 32 2

TERCERO. Se

despeja la altura. 5 = h2 + 32 " h2 = 52 - 32 = 16 " h = 16 = 4 cm 2

58. ● ● Determina la longitud de x en estos triángulos. a)

c)

AB

BC

CA

4

8

6

b)

3

8

7

x

5

10

8

5

10

9

cm

x

x

10 cm

m 12 c

10

56. ● Clasifica en acutángulos u obtusángulos los triángulos de lados:

en un triángulo isósceles o equilátero la altura corta en el punto C medio de la base, dividimos la longitud de esta por 2. 5 cm 5 cm En este caso consideramos h el lado desigual como la base. c 6 A B 3 cm 3 cm = = 3 cm 2 2

cm

a) El ángulo recto está en el vértice A. b) El ángulo recto está en el vértice B. c) El ángulo recto está en el vértice C.

B

6 cm

PRIMERO. Como

7 cm

d) 48 cm

54. ●● Los lados del triángulo rectángulo ABC son AB = 8 cm y AC = 13 cm. Calcula BC si:

A

10

a) ¿Puede existir un triángulo rectángulo equilátero? b) ¿Y un triángulo rectángulo isósceles?

5 cm

m

B

51. ●● Contesta a estas cuestiones y, en el caso de que sean ciertas, pon un ejemplo.

C

7. Halla la altura de este triángulo.

12 c

C

1 cm

x

x

x

72 cm

1 cm

2 cm

x

¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA DE UN TRIÁNGULO ISÓSCELES O EQUILÁTERO UTILIZANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS?

D

A

cm 1 17 9 cm

x

50. ● Halla la longitud de BC, BD y BE. 1 cm

5 cm

8 cm

x

6 cm

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59. ●● Halla la altura de un triángulo equilátero de perímetro 48 cm. 60. ●● Calcula el perímetro de las siguientes figuras. a)

25 cm

b)

12 cm

18 cm

28 cm 7 cm 16 cm

65. ● Calcula el área de un rectángulo cuya base mide 10 cm y la diagonal 116 cm. 66. ● Determina el área de un rectángulo de base 7 cm y perímetro 24 cm.

14 cm 28 cm

ÁREA DE POLÍGONOS

5 cm

HAZLO ASÍ

67. ● Halla el área de un cuadrado cuyo perímetro mide 22,4 cm. 68. ● ● Calcula el área de la zona coloreada. 4 cm

¿CÓMO SE CALCULA LA APOTEMA DE UN POLÍGONO REGULAR UTILIZANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS? 8. Halla la apotema de un hexágono regular cuyo lado mide 6 cm.

6 cm PRIMERO. Se

identifica un triángulo rectángulo en el que uno de sus lados es la apotema. El hexágono regular es el único polígono regular que tiene la propiedad de 6 cm que la longitud de su lado a coincide con su radio.

4 cm 9 cm

70. ● ● Determina el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 3 cm.

3 cm

6 cm

SEGUNDO. Se

aplica el teorema de Pitágoras. 6 2 2 2 6 = a + d n " 62 = a2 + 32 2

TERCERO. Se

despeja la altura. 62 = a2 + 32 " a2 = 62 - 32 = 27 " a = 27 = 5,2 cm La apotema del hexágono mide 5,2 cm. 9. ● Halla la apotema de estos polígonos. b) 17,5 cm

4 cm

b) 16 cm

71. ● ● Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, siendo a el lado de un cuadrado. Razona la respuesta. a) La diagonal mide 2 a2. b) El perímetro es 4a2. c) El área es a4. d) El cuadrado de su diagonal es 2a2. 72. ● ● Halla la medida de la diagonal de un cuadrado cuya área es de 12,25 cm2. 74. ● Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden: a) 4 cm y 12 cm b) 3 cm y 9 cm

12 cm

61. ● Halla la apotema de un hexágono regular cuyo lado mide: a) 10 cm

6 cm

8 cm

69. ● ● Obtén el lado de un cuadrado sabiendo que su área es de 84,64 cm2.

a

a)

11 cm

c) 7 cm

75. ● ● Calcula la medida de una de las diagonales de un rombo de área 30,1 cm2, sabiendo que la otra diagonal mide 7 cm.

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76. ●● Halla el perímetro y el área de estos rombos. a)

82. ● ● Calcula la altura y la base de un triángulo rectángulo isósceles, si su área mide: a) 200 cm2 b) 120,125 m2

8 cm 6 cm

83. ● ● ● Halla el área de los siguientes trapecios. a)

G

14 m 202 m

8m 20 m

m

5 cm

d)

12 m

c 5,6

b)

c) 450 dm2 d) 317,52 mm2

b)

25 m

e)

20 m

12

,93

7m

6 cm

a)

7m

10 m

77. ●● Calcula el área y el perímetro de estas figuras.

17 m

c)

f)

5m

12 m

m

12 m

9m

15

4m

m

4m

7 cm

6m

HAZLO ASÍ 4 cm

¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UN TRAPECIO ISÓSCELES SI SE DESCONOCE LA ALTURA?

m

b)

5c

84. Calcula el área de este trapecio isósceles:

3 cm

5 cm

2,5

cm

12 cm

2,5

cm

78. ● Halla el área de los siguientes triángulos. a)

8 cm PRIMERO. Se calcula la base del triángulo rectángulo

4 cm 6 cm

b)

que determina la altura. Por ser el trapecio isósceles, las alturas determinan dos triángulos rectángulos iguales cuyas bases miden la mitad de la diferencia de las bases del trapecio. cm 2,5

4,2 cm

A

79. ● Determina el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro mide:

81. ●● Obtén el área de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 10 cm, y su lado desigual mide cuatro unidades más que los lados iguales.

1,5

E

F

B

AB - CD 8-5 = = 1,5 cm 2 2

aplica el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que determina la altura. 1,52 + h2 = 2,52 h2 = 2,52 - 1,52 = 6,25 - 2,25 = 4

D 2,5 c

80. ● Halla el área de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 7 cm y su lado desigual 9 cm.

h

1,5

SEGUNDO. Se

m

a) 36 cm b) 6 dm c) 0,153 m

AE = FB =

h

C cm

3,6 cm

5 cm

2,5

6c

m

D

h

A

E

1,5

h=

TERCERO. Se

A=

4 = 2 cm

calcula el área del trapecio.

(B + b) ? h (8 + 5) ? 2 = = 13 cm2 2 2

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85. ●● Halla el área de estos trapecios isósceles. a)

b)

6m

3m

3m

5m

5m

4m

10 m

14 m

86. ●● Calcula el área de las siguientes figuras. a)

c) 10 m

7m

8m

13 ,61 m

5m 7m 6m

12 m 18 m

PROBLEMAS DE ÁREAS 107. ● ● La sombra que produce una varilla vertical en un instante es igual a su longitud. ¿Qué triángulo determinan la varilla y su sombra? ¿Cuál es la inclinación de los rayos solares?

x

x

108. ● ● Calcula la longitud del cable de la cometa.

16 m

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 7m

87. ● Copia y completa la siguiente tabla con los datos que faltan.

7 cm 29,516 cm

88. ● Calcula la longitud del arco marcado en rojo. a) B

A

b)

100°

225° 3 cm

4,5 m

A

B

10. ●● Si la longitud de una circunferencia mide 18,84 cm, ¿cuánto mide su radio? 89. ●● ¿Cuál es el diámetro de una circunferencia de longitud 50,24 cm?

ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES 94. ● Calcula el área de un círculo con: a) Radio de 6 cm.

b) Diámetro de 6 cm.

109. ● ● ¿Cuál es la longitud máxima que Juan puede nadar en una piscina que mide 17 m de largo y 10 m de ancho, si solo puede hacerlo en línea recta? 110. ● ● Sobre una pared vertical de 16 m de altura se coloca inclinada una escalera de 20 m de longitud. ¿A qué distancia de la pared se encuentra la base de la escalera?

16 m

2 cm

m

Diámetro

20

Radio

24 m

Longitud de la circunferencia

111. ● ● Una escalera mide 2,5 m de longitud y, al apoyarse en la pared, su base dista de ella 0,7 m. ¿A qué altura de la pared llega la escalera? 112. ● ● Una antena está sujeta al suelo por dos cables que forman un ángulo recto de longitudes 2,7 m y 3,6 m. ¿Cuál es la distancia que separa los dos puntos de unión de los cables con el suelo?

95. ● Halla el área de un círculo delimitado por una circunferencia de 321,4 cm. 97. ● Halla el área de estos sectores circulares. a) 85° 13 cm

7m

2,

b)

3,6

m

120° 6,8

m

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11

Cuerpos geométricos El centro del universo Como a otros les ocurrió antes y a otros muchos después, Aristarco de Samos se vio irremediablemente atraído por Alejandría: una ciudad tranquila, patria adoptiva de sabios y protectora del conocimiento. La magnífica biblioteca de la ciudad le abrió sus puertas y Aristarco se empapó de los conocimientos de los sabios de otros tiempos. Después, tras años de silencioso estudio se decidió por fin a hacer públicas sus teorías y, ante un concurrido auditorio de sabios, comenzó:

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Busca información sobre la vida de Aristarco de Samos, importante matemático y astrónomo griego que vivió en el siglo iii a.C. 2. Investiga sobre el modelo heliocéntrico del universo que defendió Aristarco de Samos. 3. ¿Cuáles fueron los trabajos más relevantes que realizó Aristarco relacionados con las matemáticas y con la astronomía?

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–Amigos, tras exhaustivos estudios puedo afirmar que la Tierra no está inmóvil: se mueve en círculo alrededor del Sol, completando un círculo cada año y, además, gira sobre sí misma, una vuelta cada día. Un murmullo de protestas se alzó en la sala, entre insultos y burlas que le decían: –Partiendo del hecho de que la Tierra es redonda, lo que ha sido probado por Aristóteles, si girara una vuelta cada día, la velocidad en la superficie sería tan elevada que nunca podríamos avanzar hacia el Este, pues la Tierra nos adelantaría. Aristarco, en vano, intentaba explicar que ellos también giraban a la misma velocidad. Incapaz de convencer al auditorio, recogió los escritos donde explicaba su teoría y abandonó la sala, diciendo: –A veces lo más necio es un hombre sabio.

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Antes de empezar la unidad... FIGURAS PLANAS Un polígono es una figura plana y cerrada limitada por segmentos. Clasificación de polígonos

Triángulo

Cuadrilátero

3 lados

Pentágono

Hexágono 6 lados

5 lados

4 lados

Clasificación de cuadriláteros Paralelogramos: Tienen los lados paralelos, dos a dos. Cuadrado Rectángulo 4 lados iguales 4 ángulos rectos

Rombo

El cuadrado es el único cuadrilátero que tiene todos sus ángulos y todos sus lados iguales.

4 ángulos rectos

Romboide L ados y ángulos iguales dos a dos No tiene ángulos rectos

4 lados iguales

Trapecios: Tienen solo dos lados paralelos. Rectángulo Isósceles 2 ángulos rectos

2 lados iguales

Escaleno No tiene lados ni ángulos iguales.

Trapezoides No tienen lados paralelos.

EVALUACIÓN INICIAL 1 Clasifica estos polígonos según su número de lados.

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Reconocer posiciones de rectas y planos.

2 Clasifica estos cuadriláteros.

• Distinguir los elementos de un poliedro. • Nombrar y clasificar los tipos de poliedros y cuerpos redondos, y hallar el área lateral y total.

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1

Rectas y planos en el espacio

Los planos son superficies sin aristas ni ondulaciones. No tienen grosor y son ilimitados, es decir, no tienen principio ni final.

1.1 Posiciones relativas de dos planos Dos planos son paralelos si no tienen ningún punto en común. Por ejemplo, los planos que pasan por dos caras opuestas en un cubo son planos paralelos. Decimos que dos planos son secantes si se cortan en una recta. Los planos que pasan por dos caras contiguas de un cubo son secantes.

1.2 Posiciones de dos rectas SE ESCRIBE ASÍ


Los planos, por ser ilimitados, no se pueden dibujar en su totalidad, por lo que dibujamos una parte que se suele representar mediante un paralelogramo.

Cuáles son las posiciones de dos rectas en el plano Secantes

Paralelas

Coincidentes

Dos rectas son paralelas si están en el mismo plano y no tienen ningún punto en común. Si están en el mismo plano y tienen un único punto en común, se denominan secantes. Y si las rectas están en planos distintos y no tienen puntos comunes, se cruzan.

Paralelas

Secantes

Se cruzan

1.3 Posiciones de una recta y un plano Una recta es paralela a un plano si no tienen ningún punto en común, es secante si tienen un punto en común, y está contenida en el plano si todos los puntos de la recta pertenecen al plano.

Paralela

Secante

Contenida

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Observa la habitación donde te encuentres

e indica elementos que sugieren planos paralelos.

1 Pon ejemplos de elementos que sugieren rectas

secantes.

166

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2

Poliedros


Los poliedros se nombran según su número de caras:

Cuáles son los elementos de un polígono Los elementos de un polígono son: • Lados: segmentos que delimitan el polígono. • Vértices: puntos donde se unen dos lados. • Diagonales: segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

Lado Ángulo interior

Vértice

al on iag

D

• Ángulo interior: ángulo formado por los lados del polígono.

4 caras 5 caras 6 caras 7 caras

Tetraedro Pentaedro Hexaedro Heptaedro ...

F F F F

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por caras en forma de polígonos.

2.1 Elementos de un poliedro Los elementos de un poliedro son: Vértices

• Caras: son los polígonos que limitan el poliedro.

F

F

onal Diag

Arista

Di

ago

na

• Aristas: son las líneas donde concurren dos caras. Coinciden con los lados de las caras. l

• Vértices: son los puntos donde se cortan tres o más aristas. • Diagonal: es el segmento que une dos vértices que no están en la misma arista.

• Ángulo diedro: es el ángulo formado por dos caras. • Ángulo poliedro: es el ángulo formado por tres o más caras, con un punto en común, el vértice.

2.2 Desarrollo plano de un poliedro El desarrollo plano de un poliedro es la superficie que resulta al extenderlo sobre un plano.

F

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Determina el nombre

de este poliedro. ¿Cuántas caras tiene? ¿Y cuántas aristas?

a)

4 Determina el nombre

b)

de este poliedro. ¿Cuántas caras tiene? ¿Y cuántas aristas?

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3

Prismas

Un prisma es un poliedro que tiene dos caras iguales y paralelas entre sí, llamadas bases, y cuyas caras restantes son paralelogramos.

3.1 Elementos de un prisma Los elementos de un prisma son: • Bases o caras básicas: son dos polígonos iguales situados en planos paralelos. • Caras laterales: son paralelogramos. • Aristas básicas: son los lados de los polígonos de las bases. • Aristas laterales: son los lados de las caras laterales que unen las bases. • Vértices: son los puntos donde se cortan las aristas. • Altura: es la distancia entre las bases.

Vértice

Cara lateral

Altura

Base Arista lateral

Arista básica

3.2 Clases de prismas Para nombrar un prisma hacemos referencia a los polígonos de las bases.

Prisma triangular

Prisma cuadrangular

Prisma pentagonal

Cuando las aristas laterales son perpendiculares a las aristas básicas se dice que el prisma es recto; en caso contrario, se llama prisma oblicuo.

Prisma recto

ANTES, DEBES SABER… Qué es un polígono regular Prisma oblicuo

Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales. • El segmento trazado desde el centro de la circunferencia al punto medio de un lado, a, es la apotema del polígono regular.

a

Si, en los prismas rectos, los polígonos de las bases son polígonos regulares, se llaman prismas regulares; si no, son prismas irregulares.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 7 Dibuja un prisma recto de base triangular

y otro de base pentagonal.

8 Dibuja el desarrollo plano de un prisma oblicuo

de base cuadrangular.

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3.3 Desarrollo del prisma El desarrollo plano de un prisma recto está formado por: • Un rectángulo compuesto por sus caras laterales, de altura, la altura del prisma, y ancho, el perímetro de la base. • Los dos polígonos de las bases. PB

F

h

F

SE ESCRIBE ASÍ El perímetro de la base de cualquier poliedro se indica como PB.

h

3.4 Área del prisma ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el área de los principales polígonos Rectángulo

Triángulo h b

A=

b?h 2

h b

A=b?h

Polígono regular a

A=

perímetro ? a 2

A partir del desarrollo del prisma recto podemos calcular su área. • Área lateral, AL Es la suma de las áreas de sus caras laterales. Como el desarrollo es un rectángulo, el área es: AL = PB ? h • Área de cada base, AB Hay que tener en cuenta que tenemos que sumar las áreas de las dos bases. El área total de un prisma recto es: AT = AL + 2 ? AB = PB ? h + 2AB

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. Si los lados de un triángulo miden 3, 4 y 5 cm, su perímetro mide 3 + 4 + 5 = 12 cm.

EJEMPLO 1 Calcula el área total de este prisma regular: AL = PB ? h = (3 ? 5) ? 7 = 105 dm2 Como las bases son pentágonos regulares:

AT = AL + 2AB = 105 + 2 ? 15,45 = 135,9 dm2

dm

7 dm

2,0 6

(3 ? 5) ? 2,06 PB ? a AB = = = 15,45 dm2 2 2

3 dm

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Determina el área de un prisma:

a) Pentagonal regular, de altura 10 cm, lado de la base 4 cm y apotema 2,75 cm.

11 Determina el área de un prisma:

b) Triangular regular, de altura 8 cm, lado de la base 4 cm y altura de la base 3,46 cm.

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4

Pirámides

ANTES, DEBES SABER… Cómo se clasifican los triángulos Equilátero Lados y ángulos iguales

Isósceles Dos lados y dos ángulos iguales

Escaleno Lados y ángulos desiguales

Una pirámide es un poliedro en el que una de sus caras es un polígono cualquiera y el resto son triángulos que concurren en un punto.

4.1 Elementos de una pirámide Los elementos de una pirámide son: Vértice

G

G

G

G

Cara lateral Altura Base

• Base: es un polígono cualquiera. • Caras laterales: son triángulos que concurren en un punto llamado vértice de la pirámide. • Aristas básicas y aristas laterales: son las aristas de la base y de las caras laterales, respectivamente. • Altura: es el segmento perpendicular trazado desde el vértice a la base.

4.2 Clases de pirámides Para nombrar las pirámides se hace referencia al polígono de la base. Una pirámide es recta si todas sus caras laterales son triángulos isósceles. Si no es así, decimos que es oblicua. Pirámide hexagonal recta

Pirámide pentagonal recta

Una pirámide es regular si es recta y tiene como base un polígono regular. Todas sus caras laterales son iguales y se llama apotema, a, de una pirámide regular a la altura de cualquiera de sus caras laterales.

Apotema F

Pirámide triangular oblicua

Si no cumple estas condiciones, es irregular. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 14 Dibuja una pirámide recta de base triangular

y otra de base pentagonal.

15 Dibuja el desarrollo plano de una pirámide

oblicua de base cuadrangular.

170

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4.3 Desarrollo de la pirámide El desarrollo plano de una pirámide regular está formado por: • Tantos triángulos isósceles iguales como lados tenga la base. • El polígono de la base.

a

F

F

a al

l l

4.4 Área de la pirámide A partir del desarrollo de una pirámide regular podemos calcular su área. • Área lateral, AL Si n es el número de lados de la base, la suma de las áreas de los PB ? a l?a n triángulos de sus caras laterales es: A L = n ? = 2 2 • Área de la base, AB PB ? al Como la base es un polígono regular: A B = 2

No debes confundir apotema de la pirámide con apotema de la base.

El área total de una pirámide regular es: AT = A L + A B =

PB ? a PB ? al + 2 2

EJEMPLO 1 Calcula el área total de esta pirámide cuadrangular:

AL =

(4 ? 3) ? 8 PB ? a = = 48 cm2 2 2

Como la base es un cuadrado: AB = 32 = 9 cm2 AT = AL + AB = 48 + 9 = 57 cm2

8 cm

m

3 cm

3c

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 17 Calcula el área de una pirámide regular de base

cuadrangular, si su arista básica mide 7 cm y la altura de sus caras laterales es 4 cm. 2 Halla el área total de una pirámide cuadrangular

de arista de la base 4 cm, sabiendo que la apotema de la pirámide mide 4,47 cm.

19 Determina el área total

de esta pirámide regular, si la apotema de la pirámide mide 4,47 cm y la de la base, 2,6 cm. 3 cm

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5

Poliedros regulares

Un poliedro es regular cuando todas sus caras son polígonos regulares iguales y, además, en cada vértice concurre el mismo número de caras.

T ipos de poliedros regulares Solo existen cinco poliedros regulares. Tetraedro. Tiene 4 caras, que son triángulos equiláteros. F

Cubo. Tiene 6 caras, que son cuadrados.

F

Octaedro. Tiene 8 caras, que son triángulos equiláteros. Solamente existen cinco poliedros regulares. F

Dodecaedro. Tiene 12 caras, que son pentágonos regulares.

F

Icosaedro. Tiene 20 caras, que son triángulos equiláteros.

F

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 Dibuja el desarrollo plano de un cubo de lado 2 cm.

4 Dibuja el desarrollo plano de un octaedro.

172

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6

Cuerpos de revolución

Un cuerpo de revolución es un cuerpo geométrico obtenido a partir de una figura plana que gira alrededor de un eje.

6.1 Cilindro Un cilindro es un cuerpo de revolución engendrado a partir de un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados. Elementos del cilindro F

Diám et r o

ANTES, DEBES SABER… Qué es un círculo

Radio

dio

• Eje: es el lado sobre el que gira el rectángulo que genera el cilindro. • Altura: es la longitud del eje. • Generatriz: es la longitud del lado opuesto al eje, o el lado que genera la superficie lateral del cilindro. • Bases: son dos círculos iguales y paralelos que se generan al girar los lados perpendiculares al eje. • Radio: es el radio de la base, o la longitud de los lados perpendiculares al eje.

Generatriz

Ra

Un círculo es la parte del plano limitada por una circunferencia.

Eje de giro

F

Base Altura F F

Superficie lateral

Base

Desarrollo plano del cilindro

ANTES, DEBES SABER… r

Cómo se calcula la longitud de una circunferencia La longitud de una circunferencia es: L = 2rr

El desarrollo de un cilindro está formado por: • Un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de la base, y su altura es la altura del cilindro. • Dos círculos iguales que constituyen las bases.

F

h G

2rr

F

G

F

G

h

F

F

r r

r

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 24 Dibuja el desarrollo plano de un cilindro

de 3 cm de radio y 7 cm de altura.

5 Dibuja el desarrollo plano de un cilindro

de 8 cm de diámetro y 6 cm de altura.

173

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13/06/12 11:28

Área del cilindro

ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el área de un círculo El área de un círculo de radio r es: A = rr2

r

A partir del desarrollo del cilindro podemos calcular su área.

En el caso del cilindro, la altura y la generatriz coinciden.

• Área lateral, AL Es el área de un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de la base, 2rr, y la altura, h, es la altura del cilindro. AL = 2rr ? h • Área de cada base, AB Como las bases son círculos, el área de cada base será: AB = rr 2 El área total de un cilindro es: AT = AL + 2 ? AB = 2rrh + 2rr 2 EJEMPLOS 4 Calcula el área total de este cilindro:

G

AL = 2rrh = 2r ? 3 ? 5 = 94,2 dm2 AB = rr2 = r ? 32 = 28,26 dm2

3 dm 5 dm

AT = AL + 2AB = 94,2 + 2 ? 28,26 = 150,72 dm2 5 Determina la superficie de metal necesaria para fabricar una lata de conservas de forma cilíndrica, de 10 cm de altura y 4 cm de radio de la base. 4 cm

AL = 2rrh = 2r ? 4 ? 10 = 251,2 cm2 AB = rr2 = r ? 42 = 50,24 cm2 10 cm

AT = AL + 2AB = 251,2 + 2 ? 50,24 = 351,68 cm2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 6 Halla el área lateral de un cilindro de altura 8 cm

y radio de la base 3 cm. 27 Calcula el área total de un cilindro de altura

10 cm y radio de la base 7 cm.

28 Luis y Ana tienen que forrar un tubo cilíndrico

de 12 m de altura y 2 m de diámetro. Si el papel les cuesta 12 €/m2, ¿cuánto les costará forrar la superficie lateral del tubo cilíndrico?

174

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6.2 Cono ANTES, DEBES SABER… Qué es un triángulo rectángulo Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto. Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado mayor, hipotenusa.

Hipotenusa

Cateto

Cateto

Cómo se aplica el teorema de Pitágoras

a

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a2 = b2 + c2

b

c

EJEMPLO 2 Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4 cm, ¿cuánto mide

la hipotenusa? 32 + 42 =

a2 = 32 + 42 " a =

9 + 16 =

25 = 5 cm

Un cono es un cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de sus catetos.

Eje de giro

F

Superficie lateral

G

Altura

• Eje del cono: es el cateto sobre el que gira el triángulo. • Altura: es la longitud del eje. • Generatriz: es la longitud de la hipotenusa del triángulo. • Base: es el círculo generado al girar el cateto perpendicular al eje. • Radio: es el radio de la base, o la longitud del cateto perpendicular al eje.

Gen

Elementos del cono

eratr

iz

G

F

Base

Radio

EJEMPLO 6 Calcula la generatriz de este cono:

F

4 cm A

El radio de la base, la altura y la generatriz de un cono forman un triángulo rectángulo.

C

4 cm

C

g

Aplicamos el teorema de Pitágoras: g2 = 42 + 32 " g =

3 cm

B

A

3 cm

B

42 + 32 = 5 cm

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 32 Calcula la generatriz

33 Determina la altura

de este cono:

4 cm

del cono.

5 cm

h

13 cm 9 cm

175

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Desarrollo plano del cono

ANTES, DEBES SABER… Qué es un sector circular Un sector circular es la parte de un círculo limitada por dos radios y un arco.

a

En una circunferencia de radio r, la longitud del arco que abarca un sector circular de a grados es: 2r ? r ? a Larco = 360°

r

El desarrollo de un cono está formado por: • Un sector circular con longitud 2rr (siendo r el radio de la base), y radio, la generatriz del cono. • Un círculo.

g h

F

F

g

2r r

r r

Área del cono

ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el área de un sector circular El área de un sector circular de radio r y amplitud a es: r ? r2 ? a Asector = 360°

a r

A partir del desarrollo de un cono podemos calcular su área. • Área lateral, AL Es el área de un sector circular con longitud 2rr y radio g. 2rr ? g L Arco ? radio del sector A L = ASector circular = = = rrg 2 2 • Área de la base, AB Es el área del círculo de radio r: AB = rr 2 El área total de un cono es: AT = AL + AB = rrg + rr 2 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 31 Dibuja el desarrollo plano de un cono con radio

de la base 4 cm y generatriz 8 cm.

35 Un cono tiene 12 cm de generatriz y 8 cm

de diámetro de la base. Calcula su área total.

176

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EJEMPLOS 7 Calcula el área total de este cono: 20 cm

Para calcular el área total, primero hallamos el área lateral y el área de la base. AL = rrg = r ? 5 ? 20 = 314 cm2 AB = rr 2 = r ? 52 = 78,5 cm2

5 cm

G

Así, el área total es: AT = AL + AB = 314 + 78,5 = 392,5 cm2 8 Determina el área lateral y el área total del cono cuya altura mide 12 cm y su generatriz, 13 cm. Primero tenemos que calcular el radio de la base. Para ello aplicamos el teorema de Pitágoras: r 2 = 132 - 122 " r = 132 - 122 = 5 cm 12 cm

13 cm

G

r

Por tanto, el área lateral y el área de la base serán: AL = rrg = r ? 5 ? 13 = 204,1 cm2 AB = rr 2 = r ? 52 = 78,5 cm2

Así, el área total del cono es: AT = AL + AB = 204,1 + 78,5 = 282,6 cm2

6.3 Esfera ANTES, DEBES SABER… Qué es un semicírculo Un semicírculo es la mitad de un círculo. Está limitado por un diámetro.

Una esfera es un cuerpo de revolución engendrado por un semicírculo que gira sobre su diámetro. G

• Eje de la esfera: es el diámetro sobre el que gira el semicírculo.

F

F

Radio

G

• Centro: es el centro del semicírculo.

Eje de giro

G

Elementos de la esfera

• Radio: es el radio del semicírculo. La esfera no tiene desarrollo plano.

Centro

El área de una esfera de radio r es: AT = 4rr 2 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 39 ¿Cuál es el área

36 Halla el área total de

este cono:

12 cm

de esta esfera?

F

G

5 cm

35 c

m

177

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Poliedros regulares

Prisma

h

F

h Tetraedro

Cubo

Octaedro

Cilindro AT = PB ? h + 2AB

Icosaedro

r

PB F

h

Pirámide

G

F

a

Dodecaedro

r

AT = 2rrh + 2rr2

h

2rr r

Cono

a al

l

h

l

Esfera g G

PB ? a PB ? al + AT = 2 2

2r r

F r

g G

r

r

AT = rrg + rr2

AT = 4rr2


1. OBTENER EL DESARROLLO PLANO

2. OBTENER EL DESARROLLO PLANO

DE POLIEDROS

Dibuja el desarrollo plano de estos poliedros. PRIMERO. Dibujamos

la base.

a)

DE CUERPOS DE REVOLUCIÓN Dibuja el desarrollo plano de estas figuras.

b) a

h

a l

h

l

G

TERCERO. En el cilindro dibujamos la segunda base sobre el rectángulo.

r h

r

a) g

r

una de las caras laterales pegada a la base y el resto de caras unidas a ella. b) • Si es una pirámide, las bases de las caras laterales no pueden formar una línea recta. • Si es un prisma, dibujamos la segunda base sobre una de las caras laterales.

la superficie lateral unida a la base. • Si es un cilindro, será un rectángulo cuyo lado pegado a la base tiene una longitud de 2rr. • Si es un cono, será un sector circular de longitud 2rr.

G

2r

SEGUNDO. Dibujamos

PRIMERO. Dibujamos SEGUNDO. Dibujamos

a)

b) g

el círculo de la base.

l

l

a)

r

b)

r

h

2rr r

178

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3. APLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS EN CUERPOS GEOMÉTRICOS a)

b)

2

2

g=

g2 = 82 + 62

102 = 82 + (al)2

G

12 cm

al

a2 = 82 + 62

la ecuación resultante.

2

a) g = 8 + 6

6 cm

a

82 + 62 = 10 cm

b) 102 = 82 + (al)2 " (al)2 = 102 - 82 al = 102 - 82 = 6 cm

4. CALCULAR EL ÁREA

8 cm

DE UN POLIEDRO Halla el área de este poliedro:

c) a2 = 82 + 62

G

a=

82 + 62 = 10 cm

5. CALCULAR EL ÁREA DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN Obtén el área de este cuerpo de revolución:

4,13 c

m

6 cm

el tipo de poliedro y los datos necesarios para calcular su área. Prisma pentagonal regular: n = 5 " PB = 5 ? 6 = 30 cm AB " Área de un pentágono regular PB ? a 30 ? 4,13 AB = = = 61,95 cm2 2 2

8 cm

SEGUNDO. Resolvemos

g 8 cm

el triángulo rectángulo que relaciona los datos conocidos y el dato desconocido, y aplicamos el teorema de Pitágoras.

12 = 6 cm 2

G


c)

10 cm 8 cm

8 cm

Calcula el dato desconocido en estos cuerpos geométricos.

6 cm


SEGUNDO. Aplicamos la

fórmula. AT = PB ? h + 2AB = 30 ? 8 + 2 ? 61,95 = 363,9 cm2


el tipo de cuerpo de revolución y los datos para calcular su área. Cono: r = 6 cm Calculamos su generatriz: g2 = 82 + 62 " g =

82 + 62 = 10 cm

SEGUNDO. Aplicamos

la fórmula. AT = rrg + rr = r ? 6 ? 10 + r ? 62 = 301,44 cm2 2


Aplicar el teorema de Pitágoras

1. Comprueba si se cumple la fórmula de Euler para un tetraedro y para un cubo.

4. ¿Cuánto mide la apotema de una pirámide cuadrangular, de arista básica 1 cm y arista lateral 1 cm?

Obtener desarrollos planos 2. La superficie lateral de este prisma regular es un rectángulo. ¿Cuánto mide de base?

6 cm

4 cm

3. Dibuja el desarrollo plano de este cono:

Calcular el área de un poliedro 5. Halla el área lateral de una pirámide hexagonal recta, cuya arista básica mide 4 cm y su altura, 4 cm. ¿Cuál es su área total? Calcular el área de un cuerpo de revolución

4 cm

6. ¿Cuánto mide el área lateral de un cono, cuyo radio mide 2 cm y su generatriz, 4 cm? ¿Y su área total?

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Actividades 43. ● Indica las posiciones de las rectas y planos que veas en este cuerpo geométrico:

61. ● ● Calcula el área total de estos prismas. a)

f)

4 cm

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

7 cm

2 cm

7 cm

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA TOTAL DE UN PRISMA TRIANGULAR?

a) Dos planos paralelos. b) Dos planos perpendiculares. c) Dos planos secantes no perpendiculares.

8 cm

46. ● Considera las aristas de un cubo como rectas ilimitadas. Dibuja en él:

57. ● Dibuja un prisma regular y otro prisma irregular. 58. ● Dibuja un prisma recto y otro oblicuo que tengan la misma base. 59. ● Dibuja un prisma pentagonal regular y su desarrollo. Colorea en azul el área lateral, y en rojo, el área de las bases. ¿Cómo se calcula el área total? 60. ●● Señala qué afirmaciones son verdaderas y corrige las falsas. Justifica tu decisión. a) Un cubo es un ortoedro. b) La altura de un prisma oblicuo es la arista lateral. c) Los prismas oblicuos se clasifican en regulares e irregulares.

SEGUNDO. Se

calcula el área de las bases. 4 ? 3,46 AB = = 6,92 cm2 2

TERCERO. Se

calcula el área lateral del prisma. A L = 4 ? 8 ? 3 = 96 cm2

CUARTO. Se

calcula el área total del prisma. AT = A L + 2A B = 96 + 2 ? 6,92 = 109,84 cm2

61. ● ● Calcula el área total de estos prismas. a)

4 cm

b) 5 cm 5c m

7 cm

b)

6 cm 10 cm

e)

9 cm

a) Prisma triangular. b) Prisma cuadrangular. c) Prisma pentagonal. d) Prisma hexagonal.

42 - 22 = 3,46 cm

h=

m

56. ● Dibuja estos prismas y dibuja también sus desarrollos planos.

Se calcula la longitud de la altura de la base aplicando el teorema de Pitágoras. La altura es uno de los catetos del triángulo rectángulo que se forma 4 cm junto con un lado de la base h y la mitad del otro. 2 cm

PRIMERO.

5c

PRISMAS

4 cm

8 cm

a) Dos rectas paralelas. b) Dos rectas secantes. c) Dos rectas que se cruzan.

6 cm 5c

m

45. ● Dibuja en tu cuaderno:

7. Halla el área total de un prisma triangular recto, cuya altura mide 8 cm y su base es un triángulo equilátero de lado 4 cm.

m

5c

44. ● Encuentra ejemplos de ángulos diedros en tu aula y en tu habitación.

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62. ●● Halla el área lateral y el área total de un prisma triangular recto, cuya altura mide 3 cm y su base es un triángulo equilátero de lado 2 cm.

68. ● ● El área total de un cubo mide 24 cm2. Calcula la arista del cubo, la diagonal de la cara y la diagonal del cubo.

63. ●● Calcula el área lateral y el área total de un prisma triangular regular, cuyo lado de la base mide 4 cm y su arista lateral, 8 cm.

69. ● ● Halla la diagonal de un cubo de área total 150 m2.

HAZLO ASÍ

61. ●● Calcula el área total de estos prismas. h)

¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA DE UN PRISMA DEL QUE CONOCEMOS SU ÁREA TOTAL?

11 cm

8 cm

c) 5,2 cm

4,25 cm

G

G

6 cm

i)

5 cm

12 cm

15 cm

d)

3,44 cm

7,24 cm

G

G

5 cm

6 cm

64. ●● Determina el área total de un prisma hexagonal, sabiendo que la arista de su base mide 8 cm, y su altura es de 10 cm. 65. ●● Calcula el área total de un prisma recto, cuyas bases son hexágonos regulares de lado 6 cm, si su altura es de 10 cm.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA LA ARISTA DE UN CUBO CONOCIENDO SU ÁREA? 66. Calcula la arista de un cubo sabiendo que su área es de 54 cm2. PRIMERO. Se aplica

l l

la fórmula del área total. AT = 6 ? ACuadrado = 6 ? l ? l = 6l2

8. El área total de un prisma hexagonal mide 742,32 cm2. Si el lado de la base mide 8 cm y su apotema, 6,93 cm, calcula la altura del prisma. PRIMERO. Se

sustituyen los datos conocidos en la fórmula del área del prisma. PBase = 6 ? 8 = 48 cm 6 ? 8 ? 6,93 ABase = = 166,32 cm2 2

Como ATotal = PBase ? h + 2 ? ABase tenemos: 742,32 = 48 ? h + 2 ? 166,32 SEGUNDO. Se

despeja la altura en esta ecuación.

742,32 - 166,32 = 48 ? h 576 h= = 12 cm 48 La altura del prisma mide 12 cm. 9. ● ● El área total de un prisma hexagonal mide 575 cm2. Calcula la altura del prisma sabiendo que el lado de la base mide 6 cm y su apotema 5,2 cm. 10. ● ● Halla la altura del prisma de base cuadrada si su lado de la base mide 8 cm y su área total es 345 cm2.

PIRÁMIDES SEGUNDO. Se iguala con

el área conocida.

54 6l = 54 " l = =9"l= 6 2

2

9 = 3 cm

67. ●● Calcula la altura de una habitación cuadrada sabiendo que el área de sus paredes, el techo y el suelo es de 726 m2.

72. ● Dibuja estas pirámides y su desarrollo plano. a) Pirámide triangular. b) Pirámide cuadrangular. c) Pirámide pentagonal. d) Pirámide hexagonal. 73. ● Dibuja una pirámide regular y otra irregular.

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74. ● Dibuja una pirámide recta y otra oblicua que tengan la misma base. 75. ● Dibuja el desarrollo plano de una pirámide triangular regular, con aristas laterales de 6 cm, y base, un triángulo equilátero de 4 cm de lado. 76. ●● Identifica similitudes y diferencias entre una pirámide triangular regular y un tetraedro.

12. ● ● El área total de una pirámide cuadrangular mide 236,32 cm2. Calcula la apotema de la pirámide si el lado de la base mide 8 cm. 13. ● ● Sabiendo que el área total de una pirámide hexagonal mide 265,32 cm2, halla la apotema de la pirámide cuyo lado de la base mide 6 cm y su apotema 5,2 cm.

77. ●● Señala qué afirmaciones son verdaderas y corrige las falsas. Justifica tu decisión. a) En una pirámide regular, las caras laterales son triángulos equiláteros. b) Una pirámide es un prisma triangular. c) La altura de una pirámide es cualquiera de sus aristas laterales. d) Una pirámide regular es un tetraedro.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UNA PIRÁMIDE CONOCIENDO SUS ARISTAS? 80. Calcula el área total de esta pirámide:

25 cm

78. ●● Determina el área total de esta pirámide:

a 10 cm

14,42 cm

F

PRIMERO. Se

12 cm a

12 cm

79. ●● En una pirámide de base pentagonal, su apotema mide 11,83 m, la altura mide 12 cm, el lado de la base 4 cm y la apotema de la base 2,75 cm. Halla su área lateral y su área total.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA DE UNA PIRÁMIDE DE LA QUE CONOCEMOS SU ÁREA TOTAL?

calcula la apotema de la pirámide. Se aplica el teorema de Pitágoras al triángulo 25 cm rectángulo formado por: la apotema de la pirámide, la mitad del lado de la base 5 cm y la arista lateral.

252 = a2 + 52 " a = SEGUNDO. Se

calcula la apotema de la base. Se aplica el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por: la apotema de la base, la mitad del lado de la base y el radio de la base.

11. El área total de una pirámide cuadrangular regular mide 132 cm2. Si el lado de la base mide 6 cm, calcula la apotema de la pirámide. los datos conocidos en la fórmula del área de la pirámide. PBase = 6 ? 4 = 24 cm

252 - 52 = 24,49 cm

r r

F m

F

r = 10 cm al 5 cm

10 c

8 cm

PRIMERO. Se sustituyen

ABase = 62 = 36 cm2 PBase ? a Como ATotal = ABase + tenemos: 2 24 ? a 132 = 36 + 2 SEGUNDO. Se despeja

132 - 36 =

la altura desconocida.

24 ? a 2

102 = (al) 2 + 52 " al = 102 - 52 = 8,66 cm TERCERO. Se

determina el área. (6 ? 10) ? 24,49 (6 ? 10) ? 8,66 + = 994,5 cm2 AT = 2 2

81. ● ● Calcula el área total de estas pirámides. a)

b) 34 m

96 ? 2

" a = 24 = 8 cm

La apotema de la pirámide mide 8 cm.

9m 5,1

25 m

m

6m

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93. ●● ¿Qué poliedro o poliedros regulares se pueden obtener utilizando como caras triángulos equiláteros? ¿Y con pentágonos regulares? ¿Y con hexágonos regulares?

PROBLEMAS CON CUERPOS GEOMÉTRICOS 108. ● ● Las paredes y el techo de una habitación tienen un área de 94 m2. Si el suelo es un rectángulo de 7 m de largo y 4 m de ancho, ¿qué altura tiene dicha habitación?

CUERPOS DE REVOLUCIÓN 94. ● La altura de un cilindro es 9 cm y el diámetro de la base mide 6 cm. Dibuja su desarrollo plano.

109. ● ● Un edificio tiene forma de prisma recto de 30 m de altura, y la base es un triángulo equilátero de 5 m de lado. ¿Qué área lateral y total tiene el edificio?

95. ● Calcula el área total de estos cilindros. b) 5m 12 m

G F

96. ●● Halla la altura de un cilindro de área lateral 756,6 cm2 y radio de la base 10 cm.

5m

98. ● Dibuja el desarrollo de un cono, y calcula el valor de la longitud del arco del sector correspondiente, si el radio de la base del cono es 4 cm y su generatriz 15 cm. 99. ● Un cono tiene 12 cm de generatriz y 8 cm de diámetro de la base. Calcula su área total. 100. ●● Halla la altura de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base 5 cm. 101. ●● Obtén el radio de una esfera, sabiendo que el área de su superficie es de 803,84 cm2. 102. ●● Halla el área total de estas figuras.

10 cm

F

30 m

15 m 30 m

112. ● ● Una tienda de campaña de forma cónica tiene una altura de 2 m y un diámetro de 1 m. ¿Cuántos metros cuadrados se necesitan para forrarla, incluyendo la base? 113. ● ● Una bobina de papel de forma cilíndrica tiene una altura de 1,75 m y un diámetro de la base circular de 80 cm. Calcula el área total.

10 cm

5 cm

3c

m

10 cm

a) La misma área lateral.

10 cm

b) La misma área total.

7

cm

103. ●●● Averigua cuál debe ser la generatriz del cono para que ambos tengan:

10 cm

15 m 10 m

115. ● ● Obtén el área total de estas figuras:

5 cm

10 cm G

G

114. ● Determina la superficie esférica de un balón que tiene 30 cm de diámetro.

b)

10 cm

10 m F

97. ●● El área total de un cilindro es 471 cm2 y su altura es el doble que su radio. Obtén la altura y el radio.

a)

111. ● ● Determina el coste de construir este edificio, sabiendo que el metro cuadrado de ladrillos cuesta 4,35 €, y el de tejas, 9,65 €.

2m

5m

7m

110. ● ● Calcula el área lateral y total de un monolito en forma de pirámide hexagonal, cuyo lado del hexágono mide 10 cm y el lado de los triángulos laterales es de 25 cm.

G

10 m

a)

3,5 m

10 m 2,5 m 3m

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12

Volumen de cuerpos geométricos El saqueo de Siracusa El cónsul Marcelo veía desde la distancia el inexorable avance de su ejército sobre la ciudad de Siracusa. El grueso de sus tropas entraba por un boquete de la muralla, mientras que otros legionarios la escalaban por distintos puntos. La batalla estaba decidida y, de regreso a su tienda, le dijo a su lugarteniente: –¡Lo quiero capturar vivo! No permitas que nadie toque ni un pelo de su cabeza. El subordinado saludó con la mano a la altura del pecho y corrió hacia la ciudad para transmitir las órdenes.

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Arquímedes está reconocido como uno de los mayores matemáticos de la Antigüedad. Busca información sobre su vida y su obra. 2. El texto narra un episodio de su vida. Averigua cómo murió Arquímedes.

Después de largas horas, la agonía de la ciudad había llegado a su fin, los combates y el posterior saqueo habían terminado; sin embargo, el genio seguía sin aparecer y el cónsul, nervioso, ordenó a un escuadrón de legionarios que registrara toda la ciudad hasta dar con él. Al cabo de un par de horas, el centurión encargado de la patrulla de búsqueda regresó con malas noticias: –Hemos encontrado al sabio Arquímedes, atravesado por una espada.

3. Investiga sobre las publicaciones que Arquímedes realizó sobre el cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos.

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Antes de empezar la unidad... CLASIFICACIÓN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS Poliedros

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por caras en forma de polígonos. • Prismas: Son poliedros que tienen dos caras iguales y paralelas entre sí, llamadas bases, y cuyas caras restantes son paralelogramos.

Prisma triangular

Prisma pentagonal

Prisma cuadrangular

• Pirámides: Son poliedros en los que una de sus caras es un polígono cualquiera y el resto son triángulos que concurren en un punto. Pirámide triangular

Pirámide pentagonal

Pirámide hexagonal

Un polígono es una figura plana y cerrada limitada por segmentos.

Cuerpos de revolución

Un cuerpo de revolución es un cuerpo geométrico obtenido a partir de una figura plana que gira alrededor de un eje. Cilindro

Cono

Esfera

EVALUACIÓN INICIAL PLAN DE TRABAJO

1 Clasifica estos poliedros.

a)

b)

c)

En esta unidad aprenderás a… • Reconocer y utilizar las unidades de volumen.

2 Clasifica estos cuerpos de revolución.

a)

b)

c)

• Conocer la relación de las unidades de volumen, capacidad y masa. • Hallar el volumen de poliedros y cuerpos de revolución.

185

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Volumen de un cuerpo

1

1.1 Volumen de un cuerpo ANTES, DEBES SABER… Qué es un cubo Un cubo es un poliedro regular que tiene 6 caras, y todas ellas son cuadrados.

El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. 1m

1 m 3 es el volumen de un cubo 1 m de 1 m de arista.

1 cm

1 cm3 es el volumen de un cubo 1 cm de 1 cm de arista.

1m

1 cm

1 Calcula el volumen de un cubo cuya arista mide 2 cm. Dividimos el cubo en cubitos más pequeños de 1 cm de lado. Este cubo contiene 8 cubitos de 1 cm de lado, es decir, su volumen es 8 cm3.

1 cm 1 cm

EJEMPLO

1 cm 1 cm

1.2 Unidades de volumen El metro cúbico es la unidad principal de medida de volumen. Se escribe m3. Los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico son: Múltiplos del metro cúbico kilómetro cúbico

Submúltiplos del metro cúbico

hectómetro decámetro metro decímetro centímetro cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico

km3

hm3 3

1 000 000 000 m

dam3 3

1 000 000 m

m3 3

1 000 m

dm3

cm3 3

0,001 m

milímetro cúbico mm3

3

0,000001 m 0,000000001 m3

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Determina el volumen de estos cuerpos.

a)

b)

2 Calcula el volumen de un cubo que tiene 5 cm

de arista. Expresa el resultado en m3. 1 ¿Qué múltiplo del metro son 1 000 m3?

¿Y qué submúltiplo son 0,000001 m3?

186

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1.3 Transformación de unidades ANTES, DEBES SABER… Cómo se multiplica por la unidad seguida de ceros • Si el número es natural, le añadimos tantos ceros como tenga la unidad.

F

F

• Si el número es decimal, desplazamos la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad. Si no hay suficientes decimales, añadimos ceros. 34 ? 1 000 = 34 000 57,6 ? 100 = 5 760

Cómo se divide por la unidad seguida de ceros • Si el número es natural, colocamos la coma contando desde las unidades hacia la izquierda, tantas cifras como ceros tenga la unidad. Si no hay suficientes cifras, añadimos ceros. • Si el número es decimal, desplazamos la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad. Si no hay suficientes decimales, añadimos ceros. 34 : 1 000 = 0,034 5,7 : 10 = 0,57 EJEMPLO 1 Calcula.

a) 5,6 ? 100 = 560

c) 5,6 : 100 = 0,056

b) 87 ? 1 000 = 87 000

d) 2,03 : 1 000 = 0,00203

En las unidades de volumen, cada unidad es 1 000 veces mayor que la inmediata inferior y 1 000 veces menor que la inmediata superior.

3

dm

F

F

F

F

: 1 000

: 1 000

F

: 1 000

3

m

? 1 000 F

: 1 000

3

dam

? 1 000 F

hm

? 1 000 F

F

F

km

? 1 000 3

mm3

cm

F

? 1 000 3

F

? 1 000 3

: 1 000

: 1 000

Para transformar una unidad de volumen en otra, se multiplica o se divide sucesivamente por 1 000. EJEMPLO 3 Expresa en metros cúbicos. a) 46 dam3 " 46 ? 1 000 = 46 000 m3 b) 82 dm3 " 82 : 1 000 = 0,082 m3 d) 4,3 cm3 " 4,3 : 1 000 000 = 0,0000043 m3

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Expresa en decímetros cúbicos. 3

a) 525 cm b) 0,5 dam3

3

c) 3 m d) 67 mm3

6 Una planta que potabiliza agua del mar

desala 25 000 m3 de agua al día. ¿Cuántos hm3, dam3 y m3 desalará en un año?

187

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Relaciones entre las unidades de volumen, capacidad y masa

o 1 litr

2

2.1 Volumen y capacidad Un litro es la capacidad de un cubo de 1 dm de arista: 1 dm3 = 1 ¬

G

Así, las equivalencias entre las unidades de volumen y capacidad son:

1 dm

m3

F

Volumen

1 ¬ = 1 dm3

kl kilolitro 1000

Capacidad

cm3

dm3

¬

hl 100

¬

dal 10

¬

¬

litro

dl 0,1

¬

cl 0,01

¬

ml mililitro 0,001

¬

2.2 Volumen y masa Un kilo es la masa que tiene 1 dm3 de agua destilada: 1 dm3 = 1 kg Las equivalencias entre las unidades de volumen y masa son: m3

Volumen

t q tonelada 1 000 kg 100 kg

Masa

Para cualquier sustancia: 1 dm3 = 1 ¬ Solo en el agua destilada: 1 dm3 = 1 ¬ = 1 kg

cm3

dm3 mag kg kilogramo 10 kg 1 000 g

hg 100 g

dag 10 g

g gramo

ANTES, DEBES SABER… Cómo se transforman unidades de capacidad o de masa Para transformar una unidad de capacidad o de masa en otra, se multiplica o se divide sucesivamente por 10. 3,2 cl " 3,2 : 100 = 0,032 ¬ 0,23 dag " 0,23 ? 10 = 2,3 g EJEMPLO 6 Expresa estas medidas de volumen de agua destilada en litros y kilos. a) 32 dm3 = 32 ¬ = 32 kg b) 3,2 m3 = 3,2 kl = 3,2 t " 3,2 m3 = 3 200 ¬ = 3 200 kg 3,2 kl " 3,2 ? 1 000 = 3 200 ¬ 3,2 t " 3,2 ? 1 000 = 3 200 kg c) 320 cm3 = 320 ml = 320 g " 320 cm3 = 0,32 ¬ = 0,32 kg 320 ml " 320 : 1 000 = 0,32 ¬ 320 g " 320 : 1 000 = 0,32 kg

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 8 Expresa en decímetros cúbicos.

a) 3,42 ¬ b) 4 090 cl c) 0,98 dal

9 Transforma en kilogramos.

a) 240 cm3 b) 8,6 cl c) 7 dal

188

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Volumen de un ortoedro

4

4.1 Volumen de un ortoedro ANTES, DEBES SABER… Qué es un ortoedro Un ortoedro es un prisma recto cuyas bases son un rectángulo o un cuadrado.

c a

b

El volumen de un ortoedro cuyas aristas miden a, b y c, es: Vortoedro = a ? b ? c

EJEMPLOS 2

Determina el volumen de este ortoedro.

4 ? 3 ? 2 = 24 cubos de 1 m de lado

G F

El ortoedro está dividido en cubos más pequeños de 1 m de lado. El ortoedro contiene:

1m

G F

1m

El volumen de este ortoedro es 24 m3.

10 Calcula el volumen de un ortoedro de aristas 6 cm, 4 cm y 3 cm.

3 cm 3 cm 4 cm 6 cm

4 cm 6 cm

Dividimos el ortoedro en cubos de 1 cm3. Si consideramos su volumen como el número de cubos que contiene, tenemos que: VOrtoedro = 6 ? 4 ? 3 = 72 cm3

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 17 Si cada cubito mide 1 cm3, halla el volumen

de estas figuras. a)

b)

c)

2 Calcula el volumen de un ortoedro cuyas aristas

miden: a) 7 cm, 5 cm y 4 cm b) 12 cm, 7 cm y 5 cm 18 Obtén el volumen de una piscina que tiene 12 m

de largo, 9 m de ancho y 2 m de profundidad. Expresa el resultado en m3 y ¬.

189

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5

Volumen de prismas y cilindros

5.1 Volumen del prisma ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el área de los principales polígonos Triángulo h

b?h 2

A=

b

h

Rectángulo A=b?h

Polígono regular a

b

A=

perímetro ? a 2

El volumen de un prisma con altura h y área de la base AB, es: Vprisma = AB ? h

h AB

5.2 Volumen del cilindro ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el área de un círculo

r

El área de un círculo de radio r es: A = rr 2

El volumen de un cilindro de radio r y altura h, es: Vcilindro = AB ? h = rr2h

h AB

r

EJEMPLO

(5 ? 6) ? 4,13 ? 8 = 495,6 cm 3 2 2

2

F

VPrisma =

P?a ?h 2

12 cm

a) VPrisma = ABase ? h =

b)

a) 8 cm

11 Calcula el volumen del prisma y el cilindro.

6 cm 3

b) VCilindro = rr h = r ? 5 ? 12 = 942 cm

4,13 cm 5 cm

F

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 20 Determina el volumen

de este prisma:

5,2 cm

21 Halla el volumen de un cilindro cuya área

F

de la base mide 45 cm2 y su altura 7 cm. 9 cm

22 Una urna de cristal tiene unas aristas de 40 cm, 6 cm

40 cm y 60 cm. ¿Cuánta agua cabe en ella?

190

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Volumen de pirámides y conos

6

6.1 Volumen de la pirámide

h AB

El volumen de una pirámide con altura h y área de la base AB, es: 1 VPIRÁMIDE = A B ? h 3

6.2 Volumen del cono

h AB r

El volumen de un cono de radio r y altura h, es: 1 VCONO = rr 2 h 3

EJEMPLO a)

b)

y el cono.

8 cm F

1 1 = A B ? h = ? 42 ? 8 = l a) VPiramide 3 3 = 42,67 cm 3

11 cm

3 Calcula el volumen de la pirámide

4 cm

4 cm

r ? 42 ? 11 1 b) VCono = rr2 h = = 184,21 cm 3 3 3

Volumen de la esfera

7

El volumen de una esfera de radio r es: Vesfera =

4 3 rr 3

r

EJEMPLO 4 Calcula el volumen de un balón de 15 cm de radio.

VEsfera =

4 3 4 rr = ? r ? 15 3 = 14 130 cm 3 3 3

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 24 Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular

de arista de la base 7 cm y altura 13 cm. 3 Halla el volumen de un cono cuya altura mide

7 cm y el radio de su base, 3 cm.

27 Halla el volumen

de esta esfera: 18 cm

F

191

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Unidades de volumen Múltiplos del metro cúbico kilómetro cúbico km3 1 000 000 000 m3

hectómetro cúbico hm3 1 000 000 m3

Submúltiplos del metro cúbico decámetro cúbico dam3 1 000 m3

metro cúbico m3

Prisma

centímetro cúbico cm3 0,000001 m3

milímetro cúbico mm3 0,000000001 m3

Pirámide VPRISMA = ABase ? h

h

VPIRÁMIDE =

h

AB

1 A ?h 3 Base

AB

Cono

Cilindro

h

decímetro cúbico dm3 0,001 m3

VCILINDRO = rr 2h

Esfera VCONO =

h

1 2 rr h 3

r

VESFERA =

4 3 rr 3

r

r


1. TRANSFORMAR UNIDADES DE MEDIDA DE VOLUMEN Expresa estas medidas en m3.

a) 0,42 hm3

b) 21,6 dm3

los saltos, y su dirección, que hay desde la unidad que nos dan hasta la unidad en la que tenemos que expresar la medida. a) 2 saltos hacia la derecha. b) 1 salto hacia la izquierda.

PRIMERO. Contamos

SEGUNDO.

• Si el salto es hacia la derecha, multiplicamos por la unidad seguida del triple de ceros que de saltos. • Si el salto es hacia la izquierda, dividimos de la misma manera. b) 21,6 : 1 000 = 0,0216 m3 a) 0,42 ? 1 000 000 = 420 000 m3

2. TRANSFORMAR UNIDADES DE CAPACIDAD EN UNIDADES DE MASA Y VOLUMEN Expresa 0,45 hl de agua destilada en cm3 y hg. PRIMERO. Expresamos

la medida en litros.

1 ¬ = 1 kg = 1 dm3, y transformamos el resultado en las unidades indicadas. SEGUNDO. Aplicamos la igualdad:

0,45 hl

" 0,45 ? 100 = 45 ¬

45 ¬ = 45 dm3 " 45 ? 1 000 = 45 000 cm3 45 ¬ = 45 kg " 45 ? 10 = 450 hg

192

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13/06/12 11:53

1. CALCULAR EL VOLUMEN DE UN POLIEDRO Halla el volumen de estos poliedros.

a)

el área de la base y la altura para calcular el volumen. a) Pirámide de base triangular: b?h 6?5 h = 8 cm ABase = = = 15 cm2 2 2

b)


7 cm 8 cm

5 cm

4c

6c

m

b) Prisma de base cuadrada:

m

ABase = l 2 = 42 = 16 cm2

h = 7 cm

SEGUNDO. Aplicamos

la fórmula correspondiente. 1 1 a) VPirámide = ABase ? h = ? 15 ? 8 = 40 cm 3 b) VPrisma = ABase ? h = 16 ? 7 = 112 cm3 3 3

2. CALCULAR EL VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN Halla el volumen de estos cuerpos de revolución.

b)

c) 4 cm


2 cm

8 cm F

F

b) Cilindro: r = 3 cm

5 cm

F

el radio y la altura en el caso del cilindro y del cono, y el radio en el caso de la esfera. a) Cono: r = 2 cm h = 5 cm

a)

3 cm

h = 8 cm

c) Esfera: r = 4 cm SEGUNDO. Aplicamos

la fórmula correspondiente. 1 1 a) VCono = rr2 h = r ? 22 ? 5 = 20,94 cm 3 3 3

c) VEsfera =

4 3 4 rr = r ? 4 3 = 267,95 cm 3 3 3

b) VCilindro = rr2 h = r ? 32 ? 8 = 226,08 cm 3

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. Si el volumen de un cuerpo geométrico es de 74 cm3: a) ¿Cuántos metros cúbicos son? b) ¿Y cuántos milímetros cúbicos?

Calcular el volumen de un poliedro 4. Calcula el volumen de una pirámide cuya base mide 16 cm2 de área y su altura 3 cm. ¿Y si fuese un prisma con las mismas medidas? Calcular el volumen de un cuerpo de revolución

Transformar unidades de volumen, capacidad y masa 2. Transforma 2 dam3 y 420 m3 en dm3.

2. Halla el volumen de un cono cuyo radio de la base mide 3 cm y su altura, 9 cm. ¿Y si fuese un cilindro con las mismas medidas?

3. ¿Cuántas jeringuillas de 10 cm3 caben en un frasco de 250 ml?

3. Calcula el volumen de una esfera con 7 cm de radio.

193

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Actividades UNIDADES DE VOLUMEN

VOLUMEN DE PRISMAS Y CILINDROS

30. ● Transforma en decímetros cúbicos. a) 8,56 m3 b) 124 090 cm3

10. ● Calcula el volumen de estos ortoedros.

c) 0,085 m3 d) 0,006 dam3

a)

31. ● Expresa en decámetros cúbicos. a) 93,42 m3 b) 64 090 cm3

c) 0,86 hm3 d) 0,0059 dm3

b)

4. ● Expresa en metros cúbicos. a) 1,4 km3 b) 23 hm3 c) 0,625 dm3

d) 850 cm3 e) 18 dam3 f) 589 mm3

c)

5. ● Transforma en hectómetros cúbicos. d) 500 cm3 e) 4 800 dm3 f) 98 mm3

d)

11. ● Calcula el volumen de estos ortoedros.

6. ● Expresa en centímetros cúbicos.

a)

d) 87 mm3 e) 1,78 m3 f) 65,98 hm3

d) 23,5 t e) 7,618 dag f) 0,0589 mag

12. ● Calcula el volumen de estos prismas y cilindros.

m

3c

6 cm

b) 7 cm

c) 0,1287 cm3 d) 8,98 dm3

37. ● Calcula el peso del agua destilada.

F

c) 65 cm

c) 4 cm

9. ● Expresa en gramos y en litros.

3

a)

c) 45,93 cm3 d) 78,335 m3

b) 12 dl

m

2c

45. ● Si el volumen de un cubo es 98 cm3, calcula la longitud de su arista.

8. ● Expresa estas medidas de volumen en kilogramos y en litros.

a) 3 dal

8 cm

44. ● El perímetro de la base de un cubo es 84 cm. Halla su volumen.

7. ● Transforma en gramos.

a) 6,007 m3 b) 3,27 dm3

4c

43. ● Calcula el volumen de un cubo que tiene 8 cm de arista. Expresa el resultado en m3.

c) 9,08 dal d) 0,0019 hl

a) 34,5 cm3 b) 5,041 m3

4 cm

m

4 cm

35. ● Expresa en mililitros.

a) 5 689 kg b) 453 dag c) 0,345 hg

b)

4 cm

VOLUMEN, CAPACIDAD Y MASA a) 53,41 ¬ b) 5 246 cl

3

d) 423 m

6 cm

d) 5 cm

2 cm

F

a) 35 m3 b) 2,43 dam3 c) 0,34 dm3

F

a) 30 dam3 b) 41 m3 c) 4 450 dm3

2 cm

4,13 cm

194

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48. ● Obtén el volumen de un prisma cuya base es un cuadrado de 8 cm de lado y su altura mide 15 cm. 49. ● Calcula el volumen de este prisma de base hexagonal regular.

14. ● El volumen de un prisma cuadrangular mide 175 cm2. Calcula su altura sabiendo que el lado de la base mide 5 cm.

5,2 cm

4 cm

15. ● Sabiendo que el volumen de un cilindro mide 452,16 cm2, calcula su altura si el radio mide 4 cm. 51. ● ● Un prisma de base cuadrada de 12 cm de altura tiene un volumen de 146 cm3. Calcula la longitud del lado de la base.

6 cm

50. ●● Determina el volumen de un prisma hexagonal que tiene 10 cm de arista básica y 16 cm de altura. Recuerda que en un hexágono regular la longitud del radio coincide con la del lado.

53. ● Calcula el radio de un cilindro que tiene 8 cm de altura y un volumen de 122 cm3. 55. ● ● Calcula el volumen de esta sala: 0,5 m

52. ● Obtén el volumen de un cilindro de altura 15 cm y diámetro de la base 16 cm. 54. ●● Halla el volumen de un cilindro de 12 cm de radio de la base, y de altura, el triple del radio.

8m

3m G

4m

2m 0,5 m

56. ● ● Obtén el volumen de la figura.

¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA DE UN CUERPO GEOMÉTRICO CONOCIDO SU VOLUMEN?

h

5 cm

6c

0,5 m

5m

HAZLO ASÍ

13. Halla la altura de este cuerpo geométrico, si su volumen mide 180 cm3.

G

F

m

el tipo de cuerpo geométrico y los datos necesarios para aplicar la fórmula del volumen. Se trata de un prisma de base triangular, por tanto, tenemos: VPrisma = 180 cm3 b?h 6?5 ABase = = = 15 cm2 2 2

6 cm

57. ● ● Calcula el volumen comprendido entre un cubo de 8 cm de arista y el cilindro inscrito en él.

8 cm

PRIMERO. Se determina

SEGUNDO. Se aplica la fórmula

VOLUMEN DE PIRÁMIDES Y CONOS 16. ● Calcula el volumen de estas pirámides. a)

c) 17 cm F

10,5 cm

del volumen

correspondiente. VPrisma = ABase ? h " 180 = 15 ? h

5 cm

15,3 cm

b)

d)

TERCERO. Se despeja

12 cm

la altura. 180 h= = 12 cm 15 La altura del prisma mide 12 cm.

F

8,5 cm 5 cm

m 5c

F

1,8 cm

195

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13/06/12 11:53

65. ● ● Un cilindro tiene como diámetro de la base 6 cm y una altura de 10 cm. Determina el volumen de un cono de igual altura y base circular equivalente.

17. ● Calcula el volumen de estos conos. c) 5 cm

a)

7 cm

F

F

b)

18. ● El volumen de una pirámide cuadrangular mide 245 cm2. Calcula su altura sabiendo que el lado de la base mide 7 cm.

3 cm

2 cm

d) 8

3 cm

F

cm

m

5c F

19. ● Sabiendo que el volumen de un cono mide 615,44 cm2, calcula su altura si el radio de la base mide 7 cm.

2 cm

HAZLO ASÍ

60. ●● Halla el volumen de estas figuras.

¿CÓMO SE CALCULA EL RADIO DE LA BASE DE UN CONO CONOCIDO SU VOLUMEN?

b) G

11 cm

a) 15 cm

3 cm G

20. Halla el radio de la base de este cono, si su volumen mide 180 cm3.

8 cm 19,11 cm

61. ●● Uniendo el centro de un cubo de 16 cm de arista con sus 8 vértices se forman 6 pirámides. ¿Cuál es el volumen de cada pirámide?

r PRIMERO. Se

determinan los datos necesarios para aplicar la fórmula del volumen. VCono = 180 cm3 h = 19,11 cm

16 cm

62. ●● Halla el volumen de esta figura, formada por un prisma y la mitad de un cono, si el triángulo de la base del prisma es equilátero. 3 cm 8 cm

F

6 cm

6 cm

despeja el radio.

180 ? 3 = r2 3,14 ? 19,11

63. ●● En una acería se fabrican diariamente 3 000 piezas de acero (d = 8 g/cm3) con esta forma:

r2 =

540 = 9 " r = 3 cm 60

El radio de la base mide 3 cm.

6 cm F

4 cm

aplica la fórmula del volumen correspondiente. 1 VPrisma = rr2 h 3 1 2 180 = rr ? 19,11 3

TERCERO. Se

6 cm

10 cm

SEGUNDO. Se

Halla la masa y el volumen de acero utilizado. 64. ●● Calcula el volumen de un cono de altura 36 cm 2 y diámetro de la base de la altura. 3

21. ● Sabiendo que el volumen de un cono mide 100,48 cm2 y que la altura mide 6 cm, calcula el radio de la base. 22. ● El volumen de un cono mide 314 cm2 y su altura, 12 cm. Calcula el radio de la base.

196

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13/06/12 11:53

VOLUMEN DE LA ESFERA

80. ● ● Un pantano contiene 3 542 millones de m3 de agua. En verano pierde 875 000 ¬ por día.

23. ● Calcula el volumen de estas esferas. a)

c) F

3 cm

b)

F

4 cm

d) F

6 cm

F

7 cm

a) ¿Cuántos m3 perderá en 60 días? b) ¿Cuántos m3 le quedarán después de 20 días?

67. ● Halla el volumen de una esfera de 15 cm de radio.

81. ● ● En un depósito caben 2 700 ¬ de agua. Si un grifo tarda en llenarlo 45 minutos, ¿cuántos metros cúbicos mana por minuto? 82. ● ● Una piscina tiene 25 m de largo, 12 m de ancho y 1,6 m de profundidad. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarla un grifo que vierte 100 ¬/min?

24. ● Calcula el volumen de una esfera cuyo diámetro mide 12 cm. 68. ●● El diámetro de la base y la altura de un cilindro miden 16 cm. Obtén el volumen comprendido entre el cilindro y la esfera inscrita en él. 69. ●● Calcula y contesta. a) ¿Cuál es el volumen de una esfera cuyo diámetro mide 14 cm? b) ¿Cuántos centilitros de agua caben en esta esfera? c) ¿Cuántos centigramos pesa el agua que cabe en la esfera?

83. ● ● ¿Cuántas cajas de 1 m de largo, 8 dm de ancho y 6 dm de altura se pueden apilar en una sala de 4 # 3,2 m de planta y 2,4 m de altura? 84. ● ● En un día las precipitaciones de lluvia fueron de 60 ¬/m2. ¿Qué altura alcanzó el agua en un recipiente cúbico de 2 dm de arista? 85. ● ● Halla el volumen del capirote de un cofrade de Semana Santa, sabiendo que tiene 9 cm de radio y 60 cm de altura.

PROBLEMAS DE VOLUMEN 73. ●● El consumo anual de agua en una vivienda ha sido de 140 256 dm3. ¿Cuánto tienen que pagar si el metro cúbico cuesta 0,90 €? 74. ●● Un bote lleno de agua destilada pesa 380 g y vacío pesa 20 g. ¿Cuál es su capacidad en decilitros y en centilitros?

86. ● ● Para inflar 200 balones de radio 12 cm, ¿qué volumen de aire se necesita?

75. ●● Un grifo vierte 80 litros por hora y tarda 1 hora y 36 minutos en llenar una barrica. ¿Qué volumen tiene la barrica? 3

76. ●● Una bomba de agua que achica 30 dm /min, tarda 2 horas y media en vaciar un depósito. ¿Cuántos litros caben en el depósito?

25. ● ● Calcula el volumen de material que se necesita para fabricar una bola de billar de 5 cm de diámetro. 88. ● ● ● El radio de la Tierra mide 6 370 km y el de Marte mide 3 400 km. ¿Cuántas veces es mayor el radio de la Tierra que el de Marte? ¿Y su volumen?

197

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13 DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Busca información sobre la vida de René Descartes, famoso matemático del siglo xvii. 2. Investiga sobre el episodio que narra el texto y los trabajos que hicieron juntos Descartes y Beeckman. 3. ¿Cuáles fueron los trabajos más importantes que realizó Descartes relacionados con las matemáticas?

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198

Funciones El ingenio y la espada René, un joven soldado, que en 1618 contaba 22 años, paseaba por la ciudad de Breda sin rumbo fijo. Había decidido viajar para conocer el mundo y no se arrepentía lo más mínimo de haberlo hecho como soldado de fortuna. Podía alquilar su espada o su ingenio; nadie preguntaba por la espada y, sin embargo, se exigía prueba del ingenio. Al llegar a una plaza le llamó la atención un grupo de gente que se agolpaba frente a una fachada, queriendo leer un cartel que había pegado en ella. La curiosidad pudo con él y, desconociendo el idioma, pidió que lo tradujeran al francés o al latín. Se encontró con un problema matemático por cuya resolución ofrecía una recompensa un tal Beeckman, científico de renombre en el país. Al día siguiente se presentó en su casa con la solución al problema. Beeckman se sorprendió al ver al soldado; sin embargo, al leer la solución volvió a mirar al joven y ya no vio la espada, sino su enorme talento. El joven era René Descartes y su ingenio le hizo inmortal. A él deben su nombre los diagramas cartesianos, donde sustituye cada punto del plano por un par de números que lo identifican.

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Antes de empezar la unidad... RECTAS NUMÉRICAS Para representar un número en una recta numérica se marca un punto de referencia, al que llamamos origen y al cual le hacemos corresponder el número 0. A continuación, se elige una unidad y se desplaza.

-3

-2

0

-1

1444442444443

números enteros negativos

1

2

3

4

14444444244444443 números enteros positivos

Representación de números enteros

Los números positivos se colocan ordenados a la derecha del cero y los negativos a la izquierda. -4

-3

-1

-2

0

1

2

3

4

Representación de números decimales

Dividimos la unidad correspondiente en 10 partes iguales, que son las décimas. A continuación, dividimos cada décima en 10 partes iguales, que son las centésimas. Para representar el número 5,66 dividimos la unidad entre 5 y 6 en 10 partes iguales, y marcamos 5,6 y 5,7. A continuación, dividimos esta décima en 10 partes y marcamos 5,66.

Si dibujamos la recta de forma vertical, los números positivos se colocan por encima del cero y los negativos por debajo.

5,6 5,7 5

6

5,6

5,66

5,7

Representación de fracciones

Expresamos las fracciones como números decimales y las representamos en la recta numérica.

EVALUACIÓN INICIAL

PLAN DE TRABAJO

1 Decide qué números están representados en estas rectas numéricas.

a) b)

0 0

2 Representa estos números enteros.

4 -6 -3 2 -1 5 3 Representa estos números decimales y fracciones.

a) 6,75 b) 4,5 c)

17 3 d) 5 4

En esta unidad aprenderás a… • Describir una función mediante una tabla de valores, una gráfica o una expresión algebraica. • Estudiar las principales características de una función.

199

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Coordenadas cartesianas

1

ANTES, DEBES SABER… Qué es un sistema de coordenadas cartesianas Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por: • Eje de abscisas, X, que es la recta horizontal. • Eje de ordenadas, Y, que es la recta vertical. • Origen de coordenadas, O, que es el punto de corte de los ejes.

SE ESCRIBE ASÍ

Y

C(-3, 3)

4 3 B(0, 3) A(2, 2) 2 1 H(1, 0)

D(-2, 0) O E(-1, -2)

1 2

3 4

X

G(4, -2) F(0, -3)

Las coordenadas de un punto P en el plano vienen determinadas por un par ordenado de números, x e y, llamados coordenadas cartesianas del punto.

P(x, y) indica las coordenadas del punto P en el plano.

• La primera coordenada, x, se mide sobre el eje de abscisas, X. Se denoP(x, y) mina abscisa del punto P. Eje de ordenadas • La segunda coordenada, y, se mide sobre el eje de ordenadas, Y. Se deO X nomina ordenada del punto P. Eje de • El punto de corte de los ejes se deabscisas nomina origen de coordenadas, O. Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro partes que se llaman cuadrantes. Y

F

F

2.o cuadrante Y

EJEMPLO

1.er cuadrante

1 Decide en qué cuadrante están los siguientes puntos:

E(0, 4)

A(2, 3) B(-2, 3) C(-2, -3) D(2, -3) E(0, 4) F(-4, 0) G(0, -4) H(4, 0)

A(2, 3)

B(-2, 3) 1

H(4, 0) 1

F(-4, 0)

X D(2, -3)

C(-2, -3) 3.er cuadrante

G(0, -4) 4.o cuadrante

A " Abscisa: 2 B " Abscisa: -2 C " Abscisa: -2 D " Abscisa: 2 E " Abscisa: 0 F " Abscisa: -4 G " Abscisa: 0 H " Abscisa: 4

Ordenada: 3 Ordenada: 3 Ordenada: -3 Ordenada: -3 Ordenada: 4 Ordenada: 0 Ordenada: -4 Ordenada: 0

(+, +) " Primer cuadrante (-, +) " Segundo cuadrante (-, -) " Tercer cuadrante (+, -) " Cuarto cuadrante (0, +) " Sobre el eje Y (-, 0) " Sobre el eje X (0, -) " Sobre el eje Y (+, 0) " Sobre el eje X

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Representa los siguientes puntos:

A(-6, 0) B(-3, -3) C (0, -2) E(-5, 3)

1 ¿En qué cuadrante se encuentran los puntos

del ejercicio anterior? ¿Hay alguno en los ejes?

200

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Concepto de función

2

Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. La variable x es la variable independiente, y es un valor prefijado; y la variable y es la variable dependiente, y su valor depende del valor de x. EJEMPLOS 2 Comprueba si la variación de la temperatura máxima, en °C, desde el día 15 al 25 de diciembre, anotada en la siguiente tabla, es una función. Días (x)

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Temperatura (y)

16

10

12

24

20

16

14

18

20

18

20

A cada valor de la variable x (días) le corresponde un único valor de la variable y (temperatura). En cada día, la temperatura máxima es única.

Decimos que x, y, … son variables cuando pueden tomar cualquier valor.

La relación entre las variables x (días) e y (temperatura) es una función. 1

Una entrada de cine cuesta 8 €. La relación entre el número de entradas de cine y su precio, ¿es una función? Comprobamos si a cada número de entradas le corresponde un único precio.

"8€ 2 entradas " 2 ? 8 = 16 € 3 entradas " 3 ? 8 = 24 € 4 entradas " 4 ? 8 = 32 € 1 entrada

Como a cada valor de la variable x (número de entradas) le corresponde un único valor de la variable y (precio), la relación entre las variables x (número de entradas) e y (precio) es una función. 2

En un supermercado podemos encontrar botes de tomate de medio kilo y de un kilo. La relación entre el número de botes comprados y la cantidad de tomate, ¿es una función? No es una función ya que, por ejemplo, al comprar 3 kg de tomates podemos comprar 6 botes de medio kilo o 3 de 1 kilo.

Representando los pares de valores relacionados, (x, y), en un sistema de coordenadas, como si fueran puntos, obtenemos la gráfica de la función. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Estudia si estos valores son de una función. Tiempo (h)

12

13

14

15

16

17

Altura (m)

3

6

6

9

8

7

6 Cada kilo de fruta cuesta 2,50 €. En la función

que relaciona cada peso con su precio, halla el valor de y (precio) si compramos 2, 4, 6, 8 o 10 kilos de fruta.

201

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201

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Representación gráfica de una función

3

3.1 Representación gráfica a partir de una tabla de valores ANTES, DEBES SABER… Cómo se construye una tabla numérica Para construir una tabla, partimos de unos datos y obtenemos otros que cumplen una condición. Número

1

2

3

4

Su triple

1?3=3

2?3=6

3?3=9

4 ? 3 = 12

Para representar gráficamente una función expresada mediante una tabla de valores, identificamos la variable independiente y la variable dependiente. Con los valores prefijados de la variable independiente, x, obtenemos los correspondientes valores de la variable dependiente, y.

Para determinar si los puntos de una gráfica se pueden unir, se estudia el carácter de las variables que están representadas.

EJEMPLO 4 Una tienda ofrece un modelo de teléfono móvil por 45 € la unidad. La tabla muestra el precio de los móviles según la cantidad de ellos que se compre. N.o de móviles

1

2

3

4

5

6

Precio (€)

45

90

135

180

225

270

Representa la gráfica de la función. ¿Se pueden unir los puntos? A partir de la tabla tenemos que: 1 móvil cuesta 45 €, 2 costarán 90 €, 3 costarán 135 €…

La variable independiente, número de móviles, se representa en el eje de abscisas, eje X, y la variable dependiente, precio, en el eje de ordenadas, eje Y.

270 225 180 135 90 45

Precio (€)

Representamos estos pares de valores en un sistema de coordenadas, y obtenemos la gráfica de la función.

Y

1

No unimos los puntos, porque no podemos comprar 1,5 móviles o 2,3 móviles.

2 3 4 5 N.o de móviles

6 X

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 8 En esta tabla de valores se relaciona la base

2 Copia y completa la tabla, y representa la función

con el área de un rectángulo de altura 2 cm. Base (cm)

1

2

3

4

5

6

N.º de camisas

1

2

2

4

6

8

10

12

Precio (€)

30

Área (cm )

que relaciona las magnitudes.

Representa los valores gráficamente.

3

5

8

¿Se pueden unir los puntos?

202

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3.2 Representación gráfica a partir de una expresión algebraica La expresión algebraica de una función se escribe como y = f(x) y se llama ecuación de la función. A partir de la ecuación obtenemos la tabla de valores. Para obtener el valor de y, damos valores a x y operamos. Así, si a es un valor de la variable independiente, el valor correspondiente de la variable dependiente es f(a). ANTES, DEBES SABER… Qué es el valor numérico de un polinomio El valor numérico de un polinomio P(x), para x = a, lo expresamos como P(a) y se obtiene sustituyendo x por el valor a en el polinomio y operando. P(x) = 5x3 + 2x - 4

x=2

" P(2) = 5 ? 23 + 2 ? 2 - 4 = 40

EJEMPLO 5

La expresión de la función que a cada número le asocia su doble se puede escribir de cualquiera de estas maneras:

Escribe la expresión algebraica de la función que a cada número le hace corresponder su doble menos una unidad, y representa su gráfica. 1"2?1-1=1 2 " 2 ? 2 - 1 = 3 4 " En general, x " 2 ? x - 1 …

y = 2x f (x) = 2x y = f (x) = 2x

Por tanto, la expresión algebraica es y = 2x - 1, es decir, f(x) = 2x - 1. Elaboramos la tabla de valores y la gráfica correspondiente: Valor de x -1

Y su valor para x = 3:

y = f(x)

x

y

f(-1) = 2 ? (-1) - 1 = -2 - 1 = -3

-1

-3

0

-1

F

0

f(0) = 2 ? 0 - 1 = 0 - 1 = -1

1

f(1) = 2 ? 1 - 1 = 2 - 1 = 1

1

1

2

f(2) = 2 ? 2 - 1 = 4 - 1 = 3

2

3

Representando estos puntos obtenemos la gráfica de la función. En este caso, es posible unir los puntos porque se puede calcular el doble menos una unidad de cualquier número, aunque no sea entero.

f (3) = 2 • 3 y = f (3) = 2 • 3

Y

y = 2x - 1

1 1

X

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 12 Dada la función que asocia a cada número

13 Dada la función que asocia a cada número

entero su cuarta parte más 5:

su triple menos 7 unidades:

a) Halla su expresión algebraica. b) Calcula f (2) y f(0).

a) Halla su expresión algebraica. b) Calcula f(3) y f(5).

203

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Estudio de una función

4

4.1 Función continua y discontinua Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo.

Si una función es continua se puede dibujar «sin levantar el lápiz del papel».

EJEMPLO 6 Si el kilo de tomates cuesta 1,50 €, ¿es continua la función que expresa la relación entre el peso de los tomates y su precio? Para representar gráficamente la relación entre estas dos variables construimos una tabla de valores. La x no puede tomar valores negativos, porque no existen medidas de peso negativas. Y Precio (€)

1

2

3

4

1,50

3

4,50

6

5 4

Precio (€)

Cantidad (kg)

Puede existir cualquier peso de tomates, y para calcular su precio bastará con multiplicar por 1,50, es decir, podemos unir los puntos de la gráfica. La función es continua.

3 2 1 1

2 3 4 Peso (kg)

X

Si al dibujar la gráfica de una función existe un punto en el que la gráfica se interrumpe, decimos que es un punto de discontinuidad de la función. EJEMPLO

Duración (min) Precio (cént.)

0,5

1

1,5

2

5

10

10

15

En x = 1, x = 2, x = 3, …, la función tiene puntos de discontinuidad.

Precio (cént.)

7 En la promoción de una nueva compañía de telefonía móvil se ofertan las llamadas a 5 céntimos de euro el minuto, sin establecimiento de llamada. Representa la función Y que relaciona la duración de las llamadas y el precio, y determina los puntos 20 de discontinuidad. 15 10 5 1

2 3 4 Duración (min)

X

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 16 Determina si es continua la función que

3 Si una entrada de cine cuesta 8 €, ¿es continua

relaciona la edad con el peso de una persona. Algunos pares de valores vienen recogidos en la siguiente tabla: Edad (años) Peso (kg)

0,5

1

2

5

8

11

5

6

9

15

21

34

la función que relaciona el número de entradas y su precio? 17 En un almacén se vende el litro de vino a 2,70 €.

Expresa esta situación con una función, dibuja la gráfica y determina si es continua.

204

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4.2 Puntos de corte con los ejes Los puntos de corte con los ejes de una función son los puntos de intersección de su gráfica con los ejes de coordenadas. • Los puntos de corte con el eje X son de la forma (a, 0). Se hallan calculando los valores de la variable x cuando la variable y toma el valor 0. • El punto de corte con el eje Y es de la forma (0, b). Se halla calculando el valor de la variable y cuando la variable x toma el valor 0. ANTES, DEBES SABER… Cómo se resuelve una ecuación En una ecuación, para despejar la incógnita, podemos hacer que cualquier término aparezca en el otro miembro de forma inversa a como estaba: • Si estaba sumando, aparece restando; y si estaba restando, sumando. x - 4 = 7 " x = 7 + 4 x + 4 = 7 " x = 7 - 4 • Si estaba multiplicando, aparece dividiendo; y si estaba dividiendo, multiplicando. x 9 = 9"x=9?3 3x = 9 " x = 3 3 La gráfica de una función puede cortar más de una vez al eje X, pero solo una vez al eje Y. Si una gráfica tiene más de un punto de corte con el eje Y, no corresponde a una función.

EJEMPLO 8

Determina los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones.

a) y = 3x - 3

• Con el eje X " y = 0

y = 3x - 3 " 0 = 3x - 3 " x = 1 Punto de corte con el eje X: (1, 0)

• Con el eje Y " x = 0

y = 3x - 3 " y = 3 ? 0 - 3 " y = -3 Punto de corte con el eje Y: (0, -3)

Y

y=0

Y

1 1

X

x=0

b) y = 3 - x

• Con el eje X " y = 0

y = 3 - x " 0 = 3 - x " x = 3 Punto de corte con el eje X: (3, 0)

• Con el eje Y " x = 0

y = 3 - x " y = 3 - 0 " y = 3 Punto de corte con el eje Y: (0, 3)

X

Y

y=0

x=0

1 1

X

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 20 Representa la función y = -2x + 2, y halla

sus puntos de corte con los ejes.

21 Representa la función y = -x.

Obtén los puntos de corte con los ejes.

205

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4.3 Crecimiento y decrecimiento Y

F

Cr

ec e

Aumenta y

• Una función es creciente en un tramo si al aumentar el valor de x también aumenta el valor de y.

Aumenta x X Y Disminuye y

• Una función es decreciente en un tramo si al aumentar el valor de x disminuye el valor de y.

De

cre F

ce

Aumenta x X

EJEMPLO 9

La gráfica muestra la temperatura en una ciudad un día de primavera. Determina en qué tramos crece o decrece la función. Y

Temperatura (°C)

30 25 20 15 10 5 1

3

5

7 9 11 Tiempo (horas)

13

15

X

• La gráfica es creciente desde las 3 hasta las 13 horas. Al aumentar los valores del tiempo (horas), aumentan los valores de la temperatura; siguiendo la trayectoria de la función (de izquierda a derecha), esta crece. • Dos tramos de la gráfica son decrecientes desde las 0 hasta las 2 horas, y desde las 13 hasta las 16 horas. Al aumentar los valores del tiempo (horas), disminuyen los valores de la temperatura; siguiendo la trayectoria de la función (de izquierda a derecha), esta decrece.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 25 Representa la evolución de la temperatura

26 Un globo aerostático registra la temperatura

de una taza de café a lo largo del tiempo.

Tiempo (min)

0

3

6

9

Temperatura (°C)

40 33 26 22 15

del aire en función de la altitud.

12

Indica cuándo crece y decrece la función.

Altitud (km)

0

1

2

Temperatura (°C)

16

6

2

3

4

5

-1 -4 -6

Estudia si es creciente o decreciente.

206

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4.4 Máximos y mínimos Y

Máximo

• En los puntos donde la gráfica pasa de ser decreciente a ser creciente, se dice que la función alcanza un mínimo.

R EC E

C RE C

E

DEC

• En los puntos donde la gráfica pasa de ser creciente a ser decreciente, se dice que la función alcanza un máximo.

Los máximos y mínimos reciben el nombre de extremos de una función. X

EJEMPLO 10 L a siguiente gráfica muestra el perfil de la etapa de una prueba ciclista,

Y

C RE C

RECE

Y

Altura (m)

E

DEC

donde la coordenada x representa los kilómetros recorridos y la coordenada y representa la altura respecto al nivel del mar. Halla los puntos máximos y mínimos. 1 200 1 000 800 600 400 200

Mínimo X

10

50

100 Distancia (km)

200 X

150

Los puntos (70, 1 200), (110, 800) y (170, 1 000) son máximos. En ellos, la gráfica pasa de ser creciente a decreciente. Los puntos (90, 600), (150, 200) y (190, 600) son mínimos. En ellos, la gráfica pasa de ser decreciente a creciente. Decimos que (70, 1 200) es un máximo absoluto, porque la función en el kilómetro 70 alcanza la mayor altura sobre el nivel del mar, 1 200 m. El resto se denominan máximos relativos. Decimos que (150, 200) es un mínimo absoluto, porque la función en el kilómetro 150 alcanza la menor altura, 200 m. El resto se denominan mínimos relativos.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 29 Indica los máximos

31 Representa gráficamente los datos de esta

Y

y los mínimos de la siguiente función:

tabla. Altitud (km) 1

1

X

30 Los datos de la tabla muestran la velocidad de

un motorista en función del tiempo transcurrido.

Tiempo (min)

0

5

10 15 20 25

Velocidad (km/h)

0

45 90 45 60 30

Encuentra sus máximos y mínimos.

0

10

20

30

40

Temperatura (°C) -20 -40 -30 -10 -18

50 5

Encuentra sus máximos y mínimos, tanto absolutos como relativos. 32 Dibuja la gráfica de una función que tenga:

a) Un máximo y dos mínimos. b) Un máximo y ningún mínimo. c) Ningún máximo ni mínimo. d) Un mínimo y ningún máximo.

207

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Estudio de una función

Funciones Ecuación de la función

Máximo Y P(x, y)

y

Variable independiente

N.o de móviles

1

2

3

4

5

Precio (€)

45

90

135

180

225

F

x Origen

Corte con eje Y

O

F

Eje de abscisas

Tabla de valores

F

F

Variable dependiente

Eje de ordenadas

F

y = f(x)

Mínimo

X Corte con eje X

Esta función es continua porque se puede dibujar de un solo trazo.


1. DETERMINAR LAS COORDENADAS

2. DETERMINAR SI UN PUNTO

DE UN PUNTO QUE PERTENECE A UNA FUNCIÓN

PERTENECE A UNA FUNCIÓN Dada la función y = 2x - 7, determina si el punto A(-2, 0) pertenece a la función.

Dada la función y = 2x - 7, calcula el valor de y para x = 3.

PRIMERO. En

la ecuación de la función, sustituimos x por la primera coordenada del punto, e y por la segunda.

x por su valor en la ecuación de la función. Para x = 3:


y = 2x - 7

y = 2x - 7

x=3

" y = 2 ? 3 - 7 = -1

x = -2, y = 0

" 0 ! 2 ? (-2) - 7 " 0 ! -11

SEGUNDO. La

primera coordenada es el valor de x y la segunda es el valor de y. El punto buscado es (3, -1).

SEGUNDO. Si

la igualdad se cumple, el punto pertenece a la función; en caso contrario, no. El punto A(-2, 0) no pertenece a la función.

3. REPRESENTAR GRÁFICAMENTE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE UNA TABLA Representa la función que relaciona la longitud del lado de un cuadrado con su perímetro. PRIMERO. Construimos

la tabla de valores. SEGUNDO. Representamos TERCERO. Analizamos

Lado (x)

1

2

3

4

5

Perímetro (y)

4

8

12

16

20

los puntos en un sistema de coordenadas.

si esos puntos se pueden unir. En este caso, x puede tomar cualquier valor positivo, porque el lado de un cuadrado puede tener cualquier longitud. Además, dada una longitud, al multiplicarla por 4 obtenemos su perímetro. Por tanto, sí podemos unir los puntos mediante una recta.

Y 24 20 16 12 8 4 1 2 3 4 5 6

X

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1. REPRESENTAR GRÁFICAMENTE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Un metro de alambre pesa 3 kg. Representa gráficamente esta relación. PRIMERO. Hallamos la

expresión algebraica.

TERCERO. Representamos los puntos obtenidos en un sistema de coordenadas y decidimos si los podemos unir. Representamos los puntos (1, 3); (2, 6); (3, 9); …

1 metro " 3 kg 2 metros " 3 ? 2 = 6 kg 3 metros " 3 ? 3 = 9 kg

Y

El valor de y resulta de multiplicar cada valor de x por 3. Por tanto:

12 9 6 3

x " Metros de alambre 3 " y = 3x y " Peso SEGUNDO. Construimos

la tabla de valores.

1

Alambre (m)

1

2

3

4

5

6

Peso (kg)

3

6

9

12

15

18

2

3

4

5

X

En este caso, como para cada longitud de alambre tenemos un peso, podemos unir los puntos.

2. CALCULAR LOS PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Halla los puntos de corte con los ejes de la función y = 2x + 1. • Con el eje Y

• Con el eje X PRIMERO. Resolvemos

la ecuación f(x) = 0.

1 f(x) = 2x + 1 " 2x + 1 = 0 " x =- 2 SEGUNDO. Escribimos el punto cuya ordenada es 0 y cuya abscisa es la x que hemos calculado. 1 Punto de corte con el eje X " d- , 0n 2 f (x) = 0

PRIMERO. Hallamos

f(x) = 2x + 1

f(0).

x=0

" f(0) = 2 ? 0 + 1 = 1

SEGUNDO. Escribimos el

punto cuya abscisa es 0 y cuya ordenada es el valor de la función en ese punto, que es el resultado anterior. Punto de corte con el eje Y " (0, 1)

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. ¿A qué cuadrante pertenece el punto (-4, 5)? ¿Y (-5, -8)? Determinar las coordenadas de un punto 2. En la función y = 3x - 2, ¿cuánto vale f(-2)? Determinar si un punto pertenece a una función 3. ¿Pertenece (2, 0) a la función y = x - 6?

Representar gráficamente una función a partir de una tabla y de una expresión algebraica 1. En una frutería un kilo de manzanas cuesta 2,50 €. Representa la función que relaciona el número de kilos de manzanas con su precio. Calcular los puntos de corte con los ejes 2. Halla los puntos de corte de la función y = 2x - 4 con los ejes.

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Actividades COORDENADAS CARTESIANAS

FUNCIONES

39. ● Dibuja unos ejes cartesianos en un papel cuadriculado y representa estos puntos:

44. ● Decide si estas relaciones son funciones.

C(2, 5)

E(0, -5)

5 B e- , -4 o 2

D(4, -7)

F e-3,

a) A cada número natural le asociamos sus divisores. b) A cada número natural le hacemos corresponder su doble más 3.

3 o 2

40. ● Representa en un sistema de coordenadas cartesianas los siguientes puntos: A(2, 2)

C(1, 2)

E(-3, 6)

G(8, -6)

B(-5, -2)

3 D e , 5 o 2

Fe

2 H e , 0o 5

3 5 , o 4 2

41. ● La gráfica relaciona el tiempo de una llamada telefónica con su precio. Indica el precio y el tiempo de las llamadas A, B y C.

45. ● El precio del kilogramo de cerezas es de 2,75 €. a) Haz una tabla de valores donde figuren el peso y el precio. b) Define las variables independiente y dependiente. c) Obtén su expresión algebraica. d) Evalúa si es o no una función.

Precio (€)

Y C

1 0,80 B

0,60 0,40

A

0,20 1

2

3

4 5 6 7 Tiempo (min)

8

9

X

a) ¿Qué unidad tomamos en cada eje? b) Halla la tabla de valores que relaciona ambas magnitudes. 42. ● A partir de la gráfica, indica si las siguientes afirmaciones son ciertas.

Peso (kg)

Y 40 30 20

4. ● Decide si se trata de una función la relación entre una cantidad de dinero y el número total de monedas que se utilizan para juntarlo. Por ejemplo, para tener 1 € podemos utilizar dos monedas de 50 cént. o 5 monedas de 20 cént. Razona la respuesta.

46. ● ● La gráfica representa la cantidad de gasolina que hay en el depósito de un coche durante un viaje. Y Cantidad de gasolina (¬)

A(5, 2)

40 30 20 10

C 100

A B

10 20

40

60

X

Altura (cm)

a) B pesa más que C. b) C es el más alto y el que pesa más. c) B es el más bajo y el menos pesado. 43. ● Representa en un sistema de coordenadas cartesianas los puntos A(2, 3), B(0, 1) y C(2, -1). Halla las coordenadas de otro punto que, junto con ellos, forme los vértices de un cuadrado.

200 300 Distancia (km)

400

X

a) ¿Cuántos litros hay en el depósito en el momento de la salida? ¿Y en la llegada? b) ¿En qué kilómetros se repostó gasolina? c) ¿Cuántos litros se repostaron durante el viaje? d) Identifica las variables dependiente e independiente. 48. ● ● Si en una cafetería hemos pagado 15 € por 6 cafés: a) Haz una tabla de valores donde figuren el número de cafés y el precio. b) Señala cuál es cada variable.

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49. ● Expresa estas relaciones mediante una tabla de cinco valores como mínimo. a) Un número y su mitad. b) El lado de un cuadrado y su área. c) Un número y su inverso. d) Un número y su triple.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE EXPRESA UNA FUNCIÓN MEDIANTE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA? 5. Un kilo de patatas cuesta 0,90 €. Escribe esta relación mediante una expresión algebraica. PRIMERO. Se

determinan las dos variables. Variable independiente: cantidad de patatas Variable dependiente: precio por kilo

SEGUNDO. Se

establece la relación. Como a cada cantidad le corresponde un único precio, la relación es una función. 1 kg " 0,90 € 2 kg " 2 ? 0,90 = 1,80 € El valor de cada y resulta al multiplicar cada valor de x por 0,90. La expresión algebraica es: y = 0,90x

51. ●● Dada la función que asocia a cada número su mitad más 2 unidades: a) Construye una tabla de valores. b) Encuentra su expresión algebraica. c) Halla f(-5) y f (4).

54. ● ● En cada apartado se describe la relación entre dos magnitudes. Escribe esta relación mediante una expresión algebraica definiendo, previamente, las variables independiente y dependiente. a) El precio del kilo de café es de 12,40 €. b) El precio de los artículos de una tienda está rebajado en un 30 %. c) El valor de un coche se deprecia un 10 % cada año. d) La distancia recorrida por un ciclista que circula a 20 km/h. e) El tiempo que tarda un autobús en realizar su recorrido completo es de 20 minutos.

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN 55. ● ● La siguiente gráfica expresa la relación entre el tiempo, en minutos, y el espacio, en kilómetros, recorrido por una persona durante una hora. Distancia (km)

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Y 9 6 3 10

20

30 40 Tiempo (min)

53. ●● Escribe la expresión algebraica. a) A cada número le asignamos su quinta parte. b) A cada número le hacemos corresponder el cubo de su doble. c) A cada número se le asocia el cuadrado de su tercera parte.

60 X

a) Exprésalo en una tabla de valores. b) ¿Cuánto tiempo ha estado parada? c) ¿Y cuánto tiempo ha caminado? 56. ● ● Estudia el crecimiento y el decrecimiento de las gráficas de las siguientes funciones. a) Y

c)

Y

52. ●● Dada la función que asocia a cada número su opuesto más 5: a) Halla su expresión algebraica. b) Calcula f(2) y f (-2). c) Representa la función.

50

1 1

1 1

b)

X

X Y

d) Y

2

39 1

X

38 37 10

12

14

16

X

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57. ● Indica los máximos y mínimos.

60. ● ● La gráfica muestra la temperatura de una ciudad durante 24 horas seguidas.

Y

Y

2 1 1

2

3

4

5

6

7

X

58. ●● La gráfica muestra el precio de una llamada telefónica con un determinado contrato. Y

20 15 10 5 3

9

12

15

18

21

24

X

Tiempo (horas)

Analiza su crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos.

0,60

Hora

°C

a) Identifica las variables.

0,40

2

-9

b) Representa la gráfica.

6

-6

c) Halla los máximos relativos.

8

-3

d) Obtén los mínimos relativos.

10

3

e) ¿Es una función continua?

12

8

14

9

16

7

f) ¿Durante cuántas horas la temperatura ha superado los 0 °C?

18

4

20

-3

22

-3

24

-5

0,20 3

6

9

12

X

Tiempo (min)

a) Identifica las variables. ¿Es una función? b) Averigua si es una función creciente o decreciente. c) ¿Tiene máximos y mínimos? d) ¿Cuánto costará una llamada de 8 minutos? ¿Y una de 7 minutos? ¿Y otra de 2 minutos? e) Si solo quiero gastar 1 €, ¿cuánto tiempo podré hablar? f) ¿Es una función continua? 59. ●● La velocidad de un motorista varía según se indica en la gráfica.

60 30

400 300 200 100 1

5

10 15 Tiempo (min)

20

X

a) Indica los tramos donde la función crece. b) Indica los tramos donde la función decrece. c) Halla los máximos absolutos y relativos. d) ¿Cuáles son los mínimos absolutos o relativos? e) ¿Es una función continua?

h) ¿A qué horas la temperatura fue de 0 °C?

Y N.º de visitantes

90

g) ¿A qué hora se midió la temperatura mínima? ¿Y la máxima?

62. ● ● La gráfica registra el número de visitantes a un museo durante 9 días. Señala cuáles de las afirmaciones son verdaderas.

Y Velocidad (km/h)

6

61. ● ● Esta tabla muestra las temperaturas de una localidad a lo largo de un día.

0,80 Precio (€)

25

Temperatura (°C)

3

2

3

4

5 Día

6

7

8

9

X

a) Hay un máximo en x = 4, porque el cuarto día se registró el mayor número de visitantes. b) El número de visitantes fue distinto cada día. c) Acudieron 250 visitantes en dos días. d) Los últimos cinco días hubo en total más visitantes que en los cuatro primeros días.

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PROBLEMAS CON FUNCIONES

78. ● ● Hacemos una excursión en bicicleta a un parque situado a 60 km. Para llegar hay que recorrer un camino con subidas y bajadas. Después, descansamos y regresamos.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE INTERPRETA UNA GRÁFICA?

Y 60 Distancia (km)

6. Interpreta esta gráfica que muestra el gasto de agua por trimestres de una familia.

Gasto ( ¬ )

Y

Parque

50 40 30 20 10 8

10 000 1

2 3 Trimestre

4

10

12

14

16

18 X

Tiempo (h)

X

a) ¿Qué significado tienen los números situados en el eje de abscisas? ¿Y en el eje de ordenadas?

PRIMERO. Mirando la gráfica, de izquierda a derecha, se determina el crecimiento y el decrecimiento de la función.

b) ¿A qué hora salimos?

Durante el primer trimestre del año la familia llega a consumir 30 000 litros de agua. Y sigue aumentando su consumo hasta el tercer trimestre. Durante el último trimestre el consumo disminuye.

c) ¿Cuántos kilómetros hay desde el comienzo de la primera cuesta hasta la cima?

SEGUNDO. Se determinan los máximos y los mínimos

e) ¿Cuánto tiempo estamos en el parque?

de la función analizando dónde se producen los mayores o menores resultados.

f) ¿Cómo es el camino de regreso?

d) ¿Cuánto tiempo tardamos en subirla? ¿Y en bajarla?

g) ¿En qué tramo crece la función? ¿Dónde decrece?

En el tercer trimestre se produce el punto de máximo consumo de agua, 50 000 litros. El consumo ha ido aumentando hasta que en ese punto comienza a disminuir.

h) ¿Es una función continua? 80. ● ● La siguiente gráfica muestra la variación de la velocidad de un atleta en una carrera de 1 500 m.

02

Año

03

04

05

06

07

08

09

Velocidad (m/s)

77. ●● La siguiente tabla, publicada por una ONG dedicada a la conservación de las especies, representa la población de tigres de Bengala en la India desde 2002 hasta 2010. 10

Tigres 900 870 800 810 805 750 700 720 750

Y 8 7 6 5 4 3 2 1

X 100

a) Representa los pares de valores gráficamente. b) Interpreta los resultados obtenidos.

500

1 000 Distancia (m)

1 500

a) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Por qué? b) ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Por qué? c) ¿En qué momentos de la carrera su velocidad es de 6 m/s? d) ¿Cuándo crece la velocidad? e) ¿Y cuándo decrece? f) ¿En qué momentos se mantiene constante la velocidad?

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14

Estadística La Pax Augusta El día se mostraba luminoso, como queriendo sumarse a la celebración de la victoria en la última batalla. Hacía diez años que las guerras civiles habían terminado, olvidadas ya ante una prosperidad que parecía no tener fin. El mismo César Augusto hablaría ante el Senado. Corrillos de senadores esperaban su llegada elucubrando sobre el carácter de su discurso. Por fin llegó Augusto y, después de saludar a los senadores, comenzó su discurso:

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. César Augusto es considerado el más importante emperador romano. Busca información sobre su vida y la época en la que vivió. 2. Investiga sobre el primer censo que César Augusto mandó realizar. 3. ¿Qué aportaciones a las matemáticas se pueden atribuir a la civilización romana?

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–Senadores del pueblo de Roma, hace ya diez años que vivimos en paz... Todos deseamos que la situación se mantenga y para ello es preciso obrar con justicia. Tras una breve pausa, Augusto continuó: –Necesitamos un nuevo censo de la población y de los bienes de todos los habitantes del imperio, porque conociendo esto podremos imponer los impuestos y tributos de manera justa, evitando los engaños y abusos que podrían llevarnos otra vez a una situación de guerra. El emperador, recogiendo el manto sobre su brazo, se mostró complacido al ver el entusiasmo que su idea produjo en los senadores.

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Antes de empezar la unidad... SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS Y P(x, y) Eje de ordenadas F

Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por: • Eje de abscisas, X, que es la recta horizontal. • Eje de ordenadas, Y, que es la recta vertical. • Origen de coordenadas, O, que es el punto de corte con los ejes.

F

O

X

Eje de abscisas

Representación de puntos Y

Las coordenadas de un punto P en el plano vienen determinadas por un par de números, x e y, llamados coordenadas cartesianas del punto.

E(0, 4) B(-2, 3)

A(2, 3)

1 F(-4, 0)

O

H(4, 0) 1

X

D(2, -3)

P (x, y) indica las coordenadas del punto P en el plano.

C (-2, -3) G(0, -4)

EVALUACIÓN INICIAL 1 Determina las coordenadas de estos puntos.

PLAN DE TRABAJO

Y

En esta unidad aprenderás a…

1 O

1

X

• Diferenciar los tipos de variables estadísticas. • Realizar tablas de frecuencias.

2 Representa los siguientes puntos en un sistema de coordenadas

cartesianas. a) (3, -4) b) (-4, 2) c) (0, -3)

d) (-1, -2) e) (2, 4) f) (-4, 0)

• Interpretar y representar datos mediante gráficos. • Calcular la media, la mediana y la moda de un conjunto de datos.

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1 En un estudio estadístico, tras la recogida y ordenación de datos, estos se representan, analizan e interpretan para obtener conclusiones.

Estadística

Variables estadísticas Al realizar un estudio estadístico, una variable estadística es cualquier cualidad que estudiamos. Según sus valores, las variables estadísticas pueden ser: • Cualitativas: si los valores no son números, sino cualidades. • Cuantitativas: si los valores son números. Se clasifican en: Discretas: si en cada tramo la variable solo puede tomar un número determinado de valores, o continuas: si en cada tramo la variable puede tomar infinitos valores. EJEMPLO 2 Clasifica estas variables estadísticas. a) Género literario " Cualitativa b) Estatura " Cuantitativa continua c) Páginas de un libro " Cuantitativa discreta

2

Recuento de datos

En un estudio estadístico, después de recoger los datos, se ordenan en orden creciente y se anota el número de veces que aparece cada uno. EJEMPLO 3 Realiza el recuento de la edad que tienen los 30 chicos que asisten a un campamento. Edad de los chicos

Recuento

15 14 17 17 16 15 16 15 14 16 16 17 14 15 14 16 14 16 17 15 16 16 14 17 16 15 16 15 16 16

F

14

//// /

6

15

//// //

7

16

//// //// //

12

17

////

5

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Decide si estas variables son cualitativas

o cuantitativas. En el caso de las cuantitativas, si son discretas o continuas: a) Peso de una persona. b) Color favorito. c) Ciudad donde vive.

2 Escribe tres variables cualitativas,

tres cuantitativas continuas y otras tres cuantitativas discretas. 4 Realiza un recuento de estas edades:

13 12 17 11 19 15 13 14 15 16 17 18 14 17 14 15 17 13 16 18 19 17 15 15 16

216

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Tablas de frecuencias

3

3.1 Frecuencia absoluta y frecuencia relativa • La frecuencia absoluta de un dato estadístico es el número de veces que se repite. Se representa por fi. • La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. Se representa por hi. Los datos y las frecuencias se pueden organizar en una tabla de frecuencias, colocando los datos en la primera columna y las frecuencias en las siguientes.

SE ESCRIBE ASÍ • fi es la frecuencia absoluta del valor xi. • hi es la frecuencia relativa del valor xi.

• La suma de las frecuencias absolutas de un conjunto de datos estadísticos es el número total de datos. • La suma de las frecuencias relativas de un conjunto de datos estadísticos es igual a la unidad. ANTES, DEBES SABER… Cómo se interpreta una tabla numérica A partir de unos datos obtenemos otros que cumplen una condición. Factor

Factor

Producto

1

5

1?5=5

2

5

2 ? 5 = 10

3

5

3 ? 5 = 15

Para expresar una fracción como número decimal se divide el numerador entre el denominador. 6 —> 6 : 30 = 0,2 30

EJEMPLO 5 Calcula las frecuencias obtenidas a partir del recuento. Recuento

xi

Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

14

//// /

6

14

6

6 = 0,2 30

15

//// //

7

15

7

7 = 0,23 30

16

//// //// //

12

16

12

17

////

5

17

5

F

30

12 = 0,4 30 5 = 0,17 30 1

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Forma una tabla de frecuencias con:

1 6 2 3 3 4 5 2 1 3 3 4 6 2 1

9 Anota el color de los ojos de tus compañeros,

y realiza una tabla de frecuencias.

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4 El diagrama de barras se utiliza para variables cualitativas y cuantitativas discretas.

Gráficos estadísticos

Además de las tablas de frecuencias, otra forma de organizar los datos son las representaciones gráficas. Los gráficos estadísticos nos permiten captar de inmediato las características más relevantes de un estudio estadístico.

4.1 Diagrama de barras Se utiliza cuando queremos representar frecuencias de variables que tomen pocos valores. • En el eje horizontal representamos cada uno de los valores de la variable estadística. • En el eje vertical, las frecuencias. La frecuencia que corresponde a cada dato se representa por una barra, teniendo en cuenta que las alturas de las barras son proporcionales a las correspondientes frecuencias. EJEMPLO 7 La tabla muestra los valores recogidos al preguntar a 40 alumnos sobre el tipo de novela favorita. Representa la información obtenida mediante un diagrama de barras. fi 14

Novela favorita

12

Frecuencia fi

10

Aventuras

12

Histórica

8

Ciencia ficción

14

4

Romántica

6

2

8 6

Aventuras Histórica Ciencia Romántica ficción

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 14 Realiza un diagrama de barras con el número

de hermanos que hay en 100 familias de una ciudad.

16 Este gráfico representa el número de veces

que utiliza el transporte público en una semana un grupo de personas.

N.º de hermanos

0

1

2

3

4

fi 9

N.º de familias

10

25

33

14

18

7 5

15 El color de pelo de 30 personas es:

M = moreno R = rubio P = pelirrojo M R P M M M M P R R

M M R R P R P M M M

P M M M M M R M M M

Construye la tabla de frecuencias y organiza los datos en un diagrama de barras.

3 1 1

2

3 4 N.º de personas

5

a) ¿Qué tipo de variable estamos estudiando? b) Realiza el recuento correspondiente.

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4.2 Polígono de frecuencias Cuando la variable estadística es cuantitativa, los extremos superiores de las barras se pueden unir mediante líneas, obteniendo una línea poligonal que se llama polígono de frecuencias. EJEMPLO 8 Representa estos datos en un diagrama de barras y el polígono de frecuencias correspondiente. f i

Edad

Frecuencia fi

14

6

15

7

16

12

17

5

12

6

14

15

16

17

Edad

4.3 Pictograma A veces, en lugar de barras se suelen utilizar dibujos representativos de la variable que se va a estudiar, y cuyo tamaño es proporcional a la frecuencia. Estos gráficos se llaman pictogramas.

El polígono de frecuencias se utiliza para variables cuantitativas.

EJEMPLO 9 Este pictograma muestra la cantidad de hectáreas dedicadas al cultivo de trigo en un país durante los últimos años. Construye la tabla de frecuencias correspondiente. fi 12 000

12 000 9 000 6 000

6 000

2007

2008

8 000

2009

2010

Año

Cantidad de trigo (ha)

2007

6 000

2008

9 000

2009

8 000

2010

12 000

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 17 La tabla muestra el número de árboles

19 Este pictograma muestra

plantados en los últimos años en el parque de una ciudad. Año N.º de árboles

2007

2008

2009

2010

25

15

20

30

Representa los datos mediante un diagrama de barras y el polígono de frecuencias correspondiente. 18 Recoge datos sobre el número de veces que

utilizan el móvil tus compañeros en un día, y represéntalo mediante un pictograma.

los libros que toma prestados de una biblioteca Miguel durante cuatro meses. fi 5 3

Enero

4 2

Febrero

Marzo

Abril

a) Construye la tabla de frecuencias. b) ¿Qué mes tomó prestados más libros?

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4.4 Diagrama de sectores ANTES, DEBES SABER… Qué es un sector circular Un sector circular es la parte del círculo limitada por dos radios y su arco correspondiente.

El diagrama de sectores se puede utilizar para cualquier tipo de variable.

En los diagramas de sectores, además del valor de la variable, se suele escribir el tanto por ciento que representa.

• Los datos se representan en un círculo, dividido en sectores. Cada sector representa un valor de la variable. • La amplitud de un sector, su ángulo, es proporcional a la frecuencia: fi ? 360° = h i ? 360° Ángulo del sector circular = N ANTES, DEBES SABER… Cómo se calculan porcentajes Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento y lo dividimos entre 100. 20 ? 300 t ?C 20 ? 300 = = 60 20 % de 300 = t % de C = " 100 100 100 EJEMPLO 10 Completa la tabla y realiza un diagrama de sectores. Novela favorita

Aventuras

Histórica

C. ficción

Romántica

12

8

14

6

Frecuencia fi

Completamos la tabla con hi, el porcentaje y la amplitud de cada sector. Novela favorita

fi

hi

%

Ángulo (°)

Aventuras

12

0,3

30 %

0,3 ? 360° = 108°

Histórica

8

0,2

20 %

0,2 ? 360° = 72°

Ciencia ficción

14

0,35

35 %

0,35 ? 360° = 126°

Romántica

6

0,15

15 %

0,15 ? 360° = 54°

N = 40 Ciencia ficción

126° 54°

72°

Histórica 35 %

108°

15 %

Aventuras

20 % 30 %

Romántica

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 20 Haz un diagrama de sectores con estos datos: Tipo de residuo Cantidad (t)

21 Dibuja un diagrama de sectores.

Papel

Envase

Orgánico

Deporte favorito

Fútbol

Baloncesto

Tenis

100

150

250

N.º de personas

120

80

50

220

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220

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Medidas de centralización

5

Una vez organizados los datos de un estudio estadístico, vamos a calcular una serie de valores que nos ayudarán a interpretarlos: las medidas de centralización.

5.1 Media aritmética La media aritmética de un conjunto de datos, x, es el cociente que resulta al dividir la suma de los datos entre el número total de ellos.

x1, x2, x3… son los datos del estudio, y f 1, f 2, f 3… son sus respectivas frecuencias absolutas.

Esta medida solo se puede calcular en variables cuantitativas, es única y puede no coincidir con ninguno de los datos. Cálculo de la media aritmética

Podemos usar dos métodos para calcular la media aritmética: • Se divide la suma de todos los datos entre el número total de ellos. • Si los datos vienen en una tabla con sus frecuencias absolutas, se multiplica cada dato por su frecuencia, se suman todos los productos y se divide entre el número total de ellos. f1 ? x1 + f2 ? x 2 + f3 ? x3 + … + fn ? x n x= N EJEMPLOS 11 Un grupo de 6 amigos recibe estas cantidades de asignación semanal para sus gastos: 12, 14, 18, 13, 17 y 16 €, respectivamente. Calcula la media.

Datos

Frecuencias

x1

f1

x2

f2

x3

f3

…

…

xn

fn

12 + 14 + 18 + 13 + 17 + 16 x= = 15 6 Con este dato podemos deducir que la paga «normal» para un adolescente perteneciente a ese grupo de amigos es de 15 €. 1

Calcula la media de estos datos teniendo en cuenta su frecuencia: 2 3 4 3 2 6 5 2 5 4 Multiplicamos cada dato por su frecuencia y dividimos por el número total de datos: 3?2+2?3+2?4+2?5+6 x= = 3,6 10

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 23 La nota de la evaluación es la media de

los cinco exámenes realizados en el trimestre: 4 5 8 7 7 Construye la tabla de frecuencias. ¿Cuál es la nota media de la evaluación?

24 En la tabla aparece el número

de ordenadores que tienen los trabajadores de una empresa. Copia y completa la tabla, y halla la media.

xi

fi

0

2

1

25

2

65

3

8

221

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5.2 Mediana La mediana de un conjunto de datos, Me, es el valor central de ellos, es decir, hay tantos datos mayores que él como menores. Para calcular la mediana, lo primero que hacemos es ordenar los datos de menor a mayor.

Esta medida solo se puede calcular en variables cuantitativas, es única y puede no coincidir con ninguno de los datos. Cálculo de la mediana

Para calcular la mediana ordenamos los datos de menor a mayor. • Si el número de datos es impar, la mediana es el dato que ocupa el lugar central. • Si el número de datos es par, la mediana es la media aritmética de los dos datos centrales. EJEMPLO 12 Calcula la mediana de estos conjuntos de datos. a) 3, 6, 7, 2, 0, 3, 4 b) 3, 6, 7, 2, 0, 2, 4, 5 Lo primero que hacemos es ordenar los datos, comprobar si su número es par o impar y, después, calcular la mediana. a) 0, 2, 3, 3, 4, 6, 7 " N = 7, el número de datos es impar. 0 2 3 3 4 6 7 3 datos 3 datos Me = 3, porque tiene tantos datos menores como mayores que él. b) 0, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7 " N = 8, el número de datos es par. 0 2 2 3 4 5 6 7 3 datos 3 datos Me es la media de 3 y 4, que son los datos centrales: 3+4 Me = = 3,5 2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 26 Las edades, en años, de un grupo de 8 amigas

son: 16 15 17 15 17 14 15 16 Calcula la media de edad y la mediana. 27 Las temperaturas diarias, en °C, obtenidas

en una ciudad, durante un mes son: 18 19 22 16 21 20 19 18 17 22 21 23 25 19 20 19 22 21 20 24 23 21 19 14 23 19 18 19 20 21 Compara la temperatura media y la mediana del mes.

28 Los datos sobre los libros leídos por un grupo

de personas en el último año se representan en este diagrama de barras: fi 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

¿Cuál es la mediana? ¿Y la media?

222

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5.3 Moda La moda de un conjunto de datos, Mo, es el dato o modalidad que más se repite, o el que tiene mayor frecuencia. Esta medida se puede calcular en cualquier tipo de variable y, además, coincide siempre con alguno de los datos del estudio y puede no ser única. Cálculo de la moda

• En un conjunto de datos estadísticos, es el valor que tiene mayor frecuencia. Si en el conjunto de datos aparecen dos o más valores con frecuencia máxima, decimos que la serie es bimodal (dos modas) o multimodal (varias modas). • En un diagrama de barras, es el dato correspondiente a la barra de mayor altura. • En un diagrama de sectores, es el dato correspondiente al sector de mayor amplitud.

La moda es la única medida de centralización que se puede calcular para variables cualitativas.

EJEMPLO 13 Estos son los datos relativos al estudio de la estatura, en cm, de 24 estudiantes. ¿Cuál es la moda?

El dato que más se repite (fi = 7) es 160. Mo = 160 cm

Dato xi

Frecuencia absoluta fi

160

7

162

4

164

4

166

1

168

4

170

3

172

1 N = 24

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 29 Halla la moda de los datos que se presentan

en esta tabla de frecuencias: xi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

fi

2

1

5

4

2

1

2

2

1

1

31 El siguiente diagrama de sectores muestra

el número de televisores que hay en cada una de las 100 viviendas de una urbanización. 2% 8%

30 Se ha lanzado 18 veces un dado de parchís,

25 %

obteniéndose estos resultados: 1 4 5 5 6 2 3 4 4 5 6 3 3 5 2 1 5 4 Representa gráficamente los datos y calcula la moda.

0 televisores 1 televisor 2 televisores

65 %

3 televisores

Calcula las medidas de centralización.

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Estadística

Medidas estadísticas

• Variables cualitativas: Sexo, color de ojos…

Media aritmética 44 x= = 5,5 8

• Variables cuantitativas discretas: N.º de hermanos, n.º de partidos que ganan…

Datos

fi

3

1

4

2

5

1

6

1

7

2

8

1

Mediana 5+6 Me = = 5,5 2

• Variables cuantitativas continuas: Estatura, peso…

Moda Mo = 4 y 7


1. CONSTRUIR TABLAS DE FRECUENCIAS Realiza una tabla de frecuencias para organizar el número de mensajes enviados por móvil en un día: 6 10 3 2 8 2 6 10 6 8 3 10 8 2 6 8 PRIMERO. Colocamos,

en la primera columna, los posibles valores de la variable: 2, 3, 6, 8 y 10.

N.º de mensajes

fi

Fi

hi

2

3

3

0,1875

3

2

5

0,125

6

4

9

0,25

8

4

13

0,25

10

3

16

0,1875

Total

16

SEGUNDO. Contamos

el número de veces que aparece cada dato para calcular las frecuencias absolutas, y completamos la segunda columna de la tabla. 2 " /// 3 " // 6 " //// 8 " //// 10 " ///

TERCERO. Dividimos las

frecuencias absolutas entre el número total de datos, para hallar las frecuencias relativas, y lo anotamos en otra columna.

1

2. CONSTRUIR UN DIAGRAMA DE BARRAS La tabla muestra la edad de los asistentes a una exposición el día de su inauguración. Representa estos datos en un diagrama de barras. fi Edad xi

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Frecuencia fi

20

40

30

60

10

50

50

40

30

PRIMERO. Dibujamos

unos ejes de coordenadas, poniendo en el eje de abscisas los valores o modalidades de la variable, y en el eje de ordenadas, las frecuencias.

SEGUNDO. Sobre

cada valor levantamos una columna con altura igual a la frecuencia. Si la variable es cuantitativa, podemos unir los extremos superiores de las barras, y obtenemos el polígono de frecuencias.

60 50 40 30 20 10 10

15

20

25

30 35 Edad

40

45

50

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3. CONSTRUIR UN DIAGRAMA DE SECTORES Representa, en un diagrama de sectores, los datos relativos a las opiniones sobre las instalaciones deportivas de un centro de enseñanza. Valoración

hi

Grados (°)

Muy buenas

0,26

0,26 ? 360° = 93,6°

Buenas

0,24

0,24 ? 360° = 86,4°

Regulares

0,28

0,28 ? 360° = 100,8°

Malas

0,18

0,18 ? 360° = 64,8°

Muy malas

0,04

0,04 ? 360° = 14,4°

PRIMERO. Calculamos Muy buenas Buenas

Muy malas

Malas

Regulares

la amplitud del sector de cada valor de la variable multiplicando su frecuencia relativa por 360°.

SEGUNDO. Dibujamos

en un círculo esos sectores, y ponemos cada valor de la variable en su lugar correspondiente.

4. CALCULAR LAS MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Halla las medidas de centralización de estos datos estadísticos: xi

fi

1

27

2

65

3

8

PRIMERO. Completamos la

tabla con una nueva columna: el producto de cada valor por su frecuencia. Además, añadimos una fila con las sumas de los datos de las columnas para facilitar el cálculo de la media.

SEGUNDO. Hallamos

las medidas. 181 = 1,81 • La media es: x = 100

xi

fi

fi ? xi

1

27

27

2

65

130

3

8

24

Total

100

181

• El dato con mayor frecuencia es 2 " Mo = 2

• Hay 100 datos (par), luego la mediana será la media de los datos 50 y 51, después de ordenarlos.

27 veces

65 veces

8 veces

644474448 644474448 644474448 2+2 1, 1, …, 1, 2, 2, …, 2, 3, 3, …, 3 " Me = =2 2


Construir diagramas de barras y de sectores

1. Se ha realizado un estudio sobre el consumo de energía eléctrica en las viviendas de una ciudad. Indica cuál es la variable estadística en dicho estudio.

4. El diagrama de barras de los datos anteriores es: a)

b) 1

1

2. Pon ejemplos de dos variables cualitativas, dos cuantitativas discretas y otras dos cuantitativas continuas.

5. Representa mediante un diagrama de sectores los datos del ejercicio 1.

Construir tablas de frecuencias

Calcular las medidas de centralización

3. ¿Cuál es la frecuencia relativa de 2?

6. Con los datos del ejercicio 1, elige la respuesta falsa.

2 3 1 0 2 4 2 2 3 1 3 3 2 1 1 1 2 3 2 4

a) x = 2,1

b) Me = 1

c) Mo = 2

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Actividades VARIABLES ESTADÍSTICAS

HAZLO ASÍ

34. ● Clasifica en variables cualitativas y cuantitativas cada una de estas características referidas a la población. a) Medida del pie. b) Lugar de nacimiento. c) Profesión. d) Deporte que se practica. e) Número de días de vacaciones al año. f) Comida preferida. g) Tiempo dedicado al sueño diario.

¿CÓMO SE CONSTRUYE UNA TABLA DE FRECUENCIAS SI LA VARIABLE ES CUALITATIVA? 3. Se pregunta a 30 alumnos sobre su deporte favorito, fútbol (F), baloncesto (B) o atletismo (A), y se obtienen estos resultados: F F F B B B A B B A F F B B A B B F F A A A A A A B B A F B Realiza el recuento y construye la tabla de frecuencias. PRIMERO. Se

escribe cada modalidad y se anota el número de veces que aparece cada una de ellas para realizar el recuento.

Decide si las variables cuantitativas son discretas o continuas.

TABLAS DE FRECUENCIAS

Fútbol

//// ///

Baloncesto

//// //// //

35. ● Una variable estadística toma los siguientes valores:

Atletismo

//// ////

SEGUNDO. Se

2 3 1 2 2 2 4 3 4 5 2 1 a) Realiza un recuento. b) Calcula las frecuencias absolutas. c) Halla las frecuencias relativas. d) Organiza los datos en una tabla de frecuencias. 36. ● Construye una tabla de frecuencias, incluyendo frecuencias absolutas, relativas y acumuladas a partir de estos datos. a) Dato Frecuencia absoluta

b) Dato Frecuencia absoluta

c) Dato Frecuencia absoluta

1

3

4

6

10

2

4

3

1

5

0

3

6

9

12

3

2

13

2

5

1

2

3

4

4

3

6

7

38. ● La estatura, en cm, de los 24 alumnos de una clase es: 147 148 149 149 150 150 151 151 152 153 153 154 156 157 157 158 158 158 159 159 160 160 160 161 a) Realiza el recuento de datos. b) Construye una tabla de frecuencias incluyendo el porcentaje de cada dato.

construye la tabla de frecuencias indicando en la primera columna los datos y en la siguiente las frecuencias absolutas. fi

Dato Fútbol

8

Baloncesto

12

Atletismo

10

Las frecuencias absolutas coinciden con los datos obtenidos en el recuento.

TERCERO. Se completa la tabla añadiendo las frecuencias relativas, dividiendo las frecuencias absolutas por el número total de datos.

Dato

fi

Fútbol

8

Baloncesto

12

Atletismo

10 30

hi

8 = 0,27 30 12 = 0,4 30

10 = 0,33 30 1

4. ● Después de lanzar 20 veces una moneda, los resultados (C = cara, + = cruz) han sido: C C C + C + + + C C + + + + C C + C C C Construye la tabla de frecuencias.

226

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5. ● Lanza una moneda 24 veces y anota los resultados. Después, haz un recuento y construye la tabla de frecuencias. ¿Cuál es la variable que estás estudiando?

42. ● ● Observa este polígono de frecuencias: fi 6 5 4 3 2 1

37. ●● Las notas obtenidas en un examen por los alumnos de una clase han sido: 5 4 3 6 8 5 4 9 6 7 8 10 4 3 2 5 5 6 7 9 6 8 6 5 a) Realiza una tabla de frecuencias con las notas. b) Construye otra tabla de frecuencias agrupando los datos en insuficiente (1, 2, 3, 4), suficiente (5), bien (6), notable (7, 8) y sobresaliente (9, 10). 39. ●● Copia y completa esta tabla de frecuencias: Dato

Frecuencia absoluta

2 3

0,25 7

7 20

Frecuencia relativa

0,125 13 32

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS 40. ● La estatura, en cm, de un grupo de jóvenes es: 158 158 158 158 159 159 160 162 158 158 158 158 159 159 160 162 158 158 158 158 159 159 160 162 158 158 158 158 159 159 160 162 158 158 158 158 159 159 160 162 158 158 158 158 159 159 160 162 a) Construye una tabla de frecuencias, incluyendo las frecuencias acumuladas. b) Dibuja el diagrama de barras y el polígono de frecuencias correspondiente. 41. ● Los resultados de lanzar 50 veces un dado son: 1 3 2 5 3 2 1 6 4 3 3 2 2 5 6 6 1 3 2 1 2 4 3 1 2 4 3 1 5 5 6 2 1 2 6 5 4 4 4 2 3 6 6 2 1 5 3 4 1 5 a) Construye la tabla de frecuencias. b) Representa el diagrama de barras y el polígono de frecuencias absolutas. c) Representa el diagrama de sectores con los porcentajes de cada dato.

1

2

3

4

5

Indica, razonadamente, cuáles de las afirmaciones son ciertas. a) La frecuencia absoluta de 5 es 0,3. b) La frecuencia absoluta acumulada de 4 es 4. c) La frecuencia relativa de 5 es 2. d) El porcentaje de 4 es 20 %. 43. ● ● Construye la tabla de frecuencias a partir del siguiente polígono de frecuencias: fi 7 6 5 4 3 2 1 5

10

15

20

25

30

44. ● Dibuja el diagrama de sectores correspondiente a cada tabla. a) X = N.º de hermanos xi

2

3

4

5

6

8

fi

8

5

3

2

1

2

b) X = Color del pelo xi

Moreno

Castaño

Rubio

Pelirrojo

fi

6

18

10

1

45. ● ● En una población de 100 000 habitantes se realiza una encuesta sobre la opinión que se tiene de la construcción de un aparcamiento: Valoración

N.º de personas

Muy buena

650

Buena

740

Regular

100

Mala

250

Muy mala

260

Realiza el gráfico estadístico que creas más adecuado para esta información e interprétalo.

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46. ●● En el diagrama de barras aparece representada la estatura de un grupo de personas. fi

48. ● ● Este es el diagrama de sectores correspondiente a las notas de 40 alumnos.

15 Bien Suficiente

10

8

22°

7

3 140

150

160 170 Estatura (cm)

180

144°

Razona qué afirmación es cierta: • 30 personas miden más de 160 cm. • 26 personas miden entre 140 y 160 cm. • 35 personas miden menos de 180 cm. • 3 personas miden más de 130 cm.

FRECUENCIAS A PARTIR DE UN GRÁFICO?

6. El gráfico muestra el número de veces que utiliza el transporte público un grupo de personas en una semana.

3 1

Mala

8

5

5

4

1

Muy buena

2

1 2

3 4 N.º de personas

5

PRIMERO. Se

determinan los valores de la variable sabiendo que está representada en el eje horizontal. 1

2

3

4

5

SEGUNDO. Se

completa la tabla teniendo en cuenta que en el eje vertical se han representado las frecuencias. N.º de personas

1

2

3

4

5

Frecuencias

1

4

5

8

2

47. ●● Construye la tabla de frecuencias a partir del siguiente diagrama de barras: 10

fi

5

3 1 1

2

3

4

30 %

19 % 10 % 5 %

Regular

Buena

a) Construye una tabla con las frecuencias absolutas y relativas de cada opinión. Incluye también las frecuencias acumuladas. b) ¿Cuántas personas consideran que el agua es muy mala? c) ¿Cuántas personas creen que el agua es mala o regular? d) ¿Y cuántas creen que es buena o muy buena? MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN 50. ● Calcula la media de los siguientes conjuntos de datos. a) 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2 b) 2, 3, 2, 4, 5, 6, 5, 6, 6, 5 51. ● Determina la media, la mediana y la moda de estos datos.

7 5

36 %

Muy mala

Construye la tabla de frecuencias.

N.º de personas

Notable

49. ● ● Observa el siguiente diagrama de sectores, en el que se representan los resultados de una encuesta realizada a 5 000 personas sobre la calidad del agua de su localidad:

¿CÓMO SE CONSTRUYE UNA TABLA DE

7

Suspenso

a) Construye la tabla de frecuencias correspondiente. b) Calcula los porcentajes de cada calificación. c) ¿Cuántos alumnos han aprobado la asignatura?

HAZLO ASÍ

fi

36°

108°

Sobresaliente

1

50°

5

a) 11, 11, 12, 11, 13, 12, 11, 12, 12, 11, 11 b) 20, 23, 27, 24, 25, 26, 25, 26, 26, 25 c) 5, 10, 5, 10, 15, 10, 5, 10, 15, 20, 10 d) 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2

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52. ●● El año pasado las entradas a un país de turistas procedentes del extranjero, expresadas en miles, fueron:

Enero

3 002

Julio

9 060

Febrero

2 920

Agosto

10 401

Marzo

3 523

Septiembre

6 506

Abril

4 223

Octubre

4 778

Mayo

5 041

Noviembre

3 126

Junio

5 064

Diciembre

3 782

¿Cuál fue la media de visitantes? ¿Y la mediana?

53. ●● En el siguiente diagrama de barras se muestran los metros cuadrados de la vivienda habitual de un grupo de familias.

PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA 56. ● ● Un frutero tiene sacos de cebollas de 2 kg, 5 kg y 10 kg. Durante un día ha vendido 10 sacos de 2 kg, 5 sacos de 5 kg y 2 sacos de 10 kg. a) ¿Cuál es el número medio de kilogramos de cebollas que ha vendido? b) ¿Qué saco de cebollas ha sido el más vendido? 57. ● ● Las edades, en años, de los 10 primeros visitantes a una exposición son las siguientes: 22 30 34 22 18 10 41 22 21 20 a) Calcula la media de las edades de los 10 primeros visitantes. b) ¿Qué edad se repite con mayor frecuencia?

15

fi 8

10

HAZLO ASÍ

12

¿CÓMO SE CALCULA E INTERPRETA LA MODA? 5

1 70

75

80 85 Superficie (m2)

90

a) ¿A cuántas familias se ha encuestado? b) ¿Cuántas viven en una casa de más de 80 m2? c) ¿Cuál es la superficie media de las viviendas? d) ¿Cuál es la mediana de los datos representados? ¿Y la moda? 54. ●● El número de restaurantes en 20 ciudades es: 60 50 50 61 51 64 62 65 53 68 70 70 71 56 60 58 60 59 69 54

58. Calcula la moda de las notas obtenidas en un examen por nueve estudiantes: 7 8 4 3 4 5 7 9 6 Nota

fi

3

1

4

2

5

1

6

1

7

2

8

1

9

1

PRIMERO. Se

organizan los datos en una tabla de frecuencias.

SEGUNDO. Se

estudia la columna de las frecuencias obtenidas y se elige el número o los números mayores. En este caso, es el 2. Hay dos modas, que son las notas 4 y 7.

TERCERO. Se interpretan los resultados. Lo más frecuente en este grupo es encontrar alumnos que han obtenido un 4 o un 7.

59. ● ● En el servicio de urgencias de un hospital han ingresado a 26 pacientes de estas edades: 87 14 52 65 74 43 28 9 12 17 25 93 42 31 18 10 21 28 49 53 64 75 34 41 18 3 a) ¿Qué porcentaje de ciudades tienen más de 60 restaurantes? b) Calcula la media, la mediana y la moda de los restaurantes.

SAICNEGRU

55. ●● Las edades de los padres de 20 alumnos de 2.º ESO de un instituto son: 43 40 44 46 50 51 52 46 47 45 40 43 44 46 44 46 48 49 48 46 a) Construye una tabla de frecuencias.

a) ¿Cuál es la edad media de los pacientes? b) ¿Cuál es la mediana? ¿Y la moda?

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11:41

Y ahora... practica (Soluciones) UNIDAD 1

UNIDAD 5

1. a) 74

b) No se puede.

1. a) 35

b) -8

3. a) 625

c) 125

2. a) x6 + 14x4 + 49x2

d) -125

b) x4 - 8x5 + 16x6

c) 4x4 - x2

b) 625

4. a) 3

c) 72

1. Respuesta abierta. Por ejemplo:

8

5. 12 6. a) 23 ? 11

b) 22 ? 3 ? 7 5

c) 2

3. a) 7x4 + 5x2 - 3x - 6

e) 7 ? 13 2

f) 2 ? 3 ? 7

7. a) m.c.d. (8, 20, 42) = 2

b) m.c.d. (18, 20, 42) = 3

b) 3x5 + x4 - 8x2 + 10x - 1

c) 3x5 - x4 + 3x3 - x2 + 1

4. a) 7x4 - 2x3 + 5x2 + 3x + 8

m.c.m. (8, 20, 42) = 23 ? 3 ? 7 ? 5 = 840

Monomios: 2x2; 3ab Polinomios: 3x2 - 1; 2ab - b

1. P(-1) = 0

d) 2 ? 7 ? 11 2

m.c.m. (18, 20, 42) = 25 ? 32 ? 5 = 1 440

b) 3x5 - x3 - 6x2 + 12x + 6

c) 5x4 + 14x - 11

2. -9x6 + 21x5 - 6x3 + 15x2

UNIDAD 2

7. a) 3xy ? (3x2 - 4xy - 6y2) b) 3xy2 ? (- 1 + 6x + 9x3y)

3,4 7 1. es una fracción y no lo es. 5 8

3. a) 4x2 - 28x + 49 b) 49x - 16

1. 3 ? 7 ! 5 ? 4. No son equivalentes. 125 7 7 y3. 343 9 9 5 4. 2

UNIDAD 6 1. Primer miembro: -2x2y + 5xy Segundo miembro: 10 Términos: -2x2y, 5xy, 10

5. Respuesta abierta. Por ejemplo: 10 6 60 2 4 12 = = = = 9 45 24 48 240 18 187 6. 60 2 1 = 7. 28 14 15 3 = 8. 2 10 9. 9

2.

Respuesta abierta. Por ejemplo: • De primer grado: 3x + 5 = 2x • De 2.º grado completa: 2x2 - 3x + 7 = 0 • De 2.º grado incompleta (b = 0): 5x2 - 7 = 0 • De 2.º grado incompleta (c = 0): 2x2 - 3x = 0

1. a) x = 5

1. Decimal exacto: b) y f)

Periódico puro: d)

Periódico mixto: a) y c)

Decimal no exacto y no periódico: e)

UNIDAD 7

1. 2. 3. 4.

2 < 2,003 < 2,03 < 2,3 18,882 a) 23,8102 a) 2,059

1.

1. a) 37°

b) 61 200 s

1. 360" = 6'

24 h = 86 400 s

2. 1° 21' 2" 4. 61° 11' 5" 5. 2° 57' 50"

d) x = 0

c) 219,73 c) 35,643

a) x e y b) Coeficientes de x: 2, -1 Coeficientes de y: 1, 2 Términos independientes: 10, 5

1. a) x e y

UNIDAD 4

2. 146 440" 3. 1 h 0 min 20 s

c) x = -16

4. x = 10, x = -10 5. x = 6, x = - 2 1 6. x = 0, x = 2 7. a) x1 y x2 son solución. b) x1 es solución y x2 no es solución. 8. Los números son 5, 6 y 7.

UNIDAD 3

b) 2 381,02 b) 2,059

b) x = 1

b) Coeficientes de x: 1, 1 Coeficientes de y: 1, -1 Términos independientes: 7, 1

2. Respuesta abierta, por ejemplo:

3. x = 4, y = 3 4. 12 - x = 2x

3x - y = 5 3 2x + 3y = 8

2. x = 4, y = 3

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UNIDAD 8 1. a)

UNIDAD 12

A

1

3

2

-5

10

-3

15

1. 0,000074 m3

B

5

15

10

-25

50

-15

75

2. 2 dam3 = 2 000 000 dm3 420 m3 = 420 000 dm3

Son magnitudes directamente proporcionales.

b)

3. Caben 25 jeringuillas.

A

1

4

40

160

2

10

5

B

160

40

4

1

80

16

32

Son magnitudes inversamente proporcionales. 2. 56,25 kilogramos de almendras

74 000 mm3

4. Volumen de la pirámide: 16 cm3 Volumen del prisma: 48 cm3 2. Volumen de un cono: 84,78 cm3 Volumen de un cilindro: 254,34 cm3 3. 1 436,03 cm3

3. 9 horas 4. 64 vacas

UNIDAD 13

5. 20 días

1. (-4, 5) está en el segundo cuadrante y (-5, -8), en el tercero.

6. 80 %

2. f(-2) = -8

7. 15,75 €

3. No pertenece.

UNIDAD 9

1.

BC = 4,5 cm OA' = 0,67 cm x = 3 cm x = 5 cm Sí, dos cuadrados son siempre semejantes. 4,5 cm 1 : 1 200 000 350 km

Precio (€)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Y

2,50 1 2 3 4 N.º de kilos

2. Eje X: (1, 0)

X

Eje Y: (0, -4)

UNIDAD 10

UNIDAD 14

1. 26 cm

1. La variable estadística es el consumo de energía eléctrica.

2. 4 cm

2. Respuesta abierta. Por ejemplo: • Cualitativa: color del pelo, comida para desayunar. • Cuantitativa discreta: número de libros en la mochila, número de veces que se va al cine en un mes. • Cuantitativa continua: altura de los alumnos, litros de agua que se beben en un día.

7. 24 cm2

3.

1. 2. 3. 4.

2

7,5 cm 50,24 cm2 20 cm 4,24 cm

3. 30,92 cm2

7 = 0,35 20

4. Es el gráfico del apartado a).

9. 3,44 cm2

5.

18° 36°

UNIDAD 11 1. Tetraedro: 4 + 4 = 6 + 2 Cubo: 6 + 8 = 12 + 2 Se cumple para los dos. 2. 24 cm

0

3

1

4

90°

90° 126°

2

6. La respuesta falsa es la b), la mediana es 2.

3. r

4. 0,87 cm 5. AL = 63,50 cm2 6. AL = 25,12 cm2

AT = 105,07 cm2 AT = 37,68 cm2

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Dirección de arte: José Crespo Proyecto gráfico: Portada: Pep Carrió Interiores: Manuel García Ilustración: Lincel, Enrique Cordero, Ignacio Galilea, José María Valera Fotografía de cubierta: Antonio Fernández Jefa de proyecto: Rosa Marín Coordinación de ilustración: Carlos Aguilera Jefe de desarrollo de proyecto: Javier Tejeda Desarrollo gráfico: Rosa María Barriga, Raúl de Andrés Dirección técnica: Ángel García Encinar Coordinación técnica: Alejandro Retana Confección y montaje: MonoComp, Luis González, Javier Pulido, Marisa Valbuena Corrección: Marta López, Nuria del Peso Documentación y selección fotográfica: Nieves Marinas Fotografías: GOYENECHEA; J. Jaime; M. Blanco; M.ª A. Ferrándiz; S. Enríquez; A. G. E. FOTOSTOCK; COMSTOCK; HIGHRES PRESS STOCK/AbleStock.com; I. Preysler; PHOTODISC; MATTON-BILD; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; ARCHIVO SANTILLANA

© 2012 by Santillana Educación, S. L. Avda. de los Artesanos, 6 28760 Tres Cantos, Madrid Printed in Spain

ISBN: 978-84-680-0171-5 CP: 294758 Depósito legal:

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra.

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Libro mates 2º ESO Avanza

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