Libro mates 3º ESO Avanza

Matemáticas 3 ESO AVANZA

El libro Matemáticas AVANZA para 3.º de ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Enrique Juan Redal. En su realización ha participado el siguiente equipo: M.ª Dolores Álvarez Joaquín Hernández Ana Yolanda Miranda M.ª Rosario Moreno Susana Parra Manuela Redondo Raquel Redondo M.ª Teresa Sánchez Teresa Santos Esteban Serrano EDICIÓN

Angélica Escoredo Carlos Pérez DIRECCIÓN DEL PROYECTO

Domingo Sánchez Figueroa

1

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17/01/11 21/07/11 10:47 8:08

Índice

N

Z

Q

1. Números racionales....................................................

6

Antes de empezar la unidad ..........................................................

7

4. Ecuaciones de primer y segundo grado................

58


59

Elementos de una ecuación.....................................................

60

Ecuaciones de primer grado....................................................

62

Ecuaciones de segundo grado..................................................

65

Resolución de problemas con ecuaciones................................

67

Lo esencial................................................................................

68

Actividades...............................................................................

70

5. Sistemas de ecuaciones............................................

74


75

Ecuaciones lineales..................................................................

76

Sistemas de ecuaciones lineales...............................................

77

Métodos de resolución de sistemas..........................................

78

Lo esencial................................................................................

82

Actividades...............................................................................

84

88

Fracciones...............................................................................

8

Operaciones con fracciones.....................................................

12

Números decimales.................................................................

14

Números racionales.................................................................

15

Lo esencial................................................................................

16

Actividades...............................................................................

18

2. Números reales.............................................................

22


23

Potencias de números racionales.............................................

24

6. Proporcionalidad numérica. ....................................

Propiedades de las potencias...................................................

28


89

Notación científica .................................................................

30

Proporcionalidad directa.........................................................

90

Números reales.......................................................................

31

Intervalos................................................................................

32

Proporcionalidad inversa.........................................................

91

Lo esencial................................................................................

34

Regla de tres simple.................................................................

92

Actividades...............................................................................

36

Repartos proporcionales..........................................................

94

Problemas con porcentajes......................................................

96

Lo esencial................................................................................

98

3. Polinomios. ...................................................................

40


41

Actividades............................................................................... 100

Monomios...............................................................................

42

Operaciones con monomios....................................................

43

Polinomios..............................................................................

44

Operaciones con polinomios...................................................

46

Sucesiones............................................................................... 106

Factor común..........................................................................

49

Progresiones aritméticas.......................................................... 108

Igualdades notables.................................................................

51

Progresiones geométricas......................................................... 111

Lo esencial................................................................................

52

Lo esencial................................................................................ 114

Actividades...............................................................................

54

Actividades............................................................................... 116

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7. Progresiones................................................................. 104 Antes de empezar la unidad .......................................................... 105

21/07/11 8:08

8. Figuras planas............................................................... 120 Antes de empezar la unidad .......................................................... 121 Rectas y puntos notables en un triángulo................................. 122 Teorema de Pitágoras.............................................................. 124 Aplicaciones del teorema de Pitágoras..................................... 125 Área de figuras planas.............................................................. 127 Lo esencial................................................................................ 130 Actividades............................................................................... 132

9. Cuerpos geométricos................................................. 136 Antes de empezar la unidad .......................................................... 137 Poliedros................................................................................. 138 Prismas. Área........................................................................... 140 Pirámides. Área....................................................................... 141 Cuerpos de revolución. Área................................................... 142 Volumen de cuerpos geométricos............................................ 144 Lo esencial................................................................................ 146

11. Funciones..................................................................... 166 Antes de empezar la unidad .......................................................... Concepto de función............................................................... Formas de expresar una función.............................................. Características de una función................................................. Lo esencial................................................................................ Actividades...............................................................................

167 168 169 171 176 178

Actividades............................................................................... 148

10. Movimientos y semejanzas.................................... 152 Antes de empezar la unidad .......................................................... 153 Vectores.................................................................................. 154 Traslaciones............................................................................ 155 Giros....................................................................................... 156 Simetrías................................................................................. 157 Homotecias y semejanzas........................................................ 159 Lo esencial................................................................................ 160

12. Funciones lineales y afines..................................... 182 Antes de empezar la unidad .......................................................... Función lineal......................................................................... Función afín............................................................................ Función constante................................................................... Ecuaciones y gráficas............................................................... Aplicaciones............................................................................ Lo esencial................................................................................ Actividades...............................................................................

183 184 185 186 187 189 190 192

Actividades............................................................................... 162

13. Estadística.................................................................... 196 Antes de empezar la unidad .......................................................... Conceptos básicos................................................................... Frecuencias y tablas................................................................. Gráficos estadísticos................................................................ Medidas de centralización ...................................................... Lo esencial................................................................................ Actividades...............................................................................

197 198 200 204 207 208 210

14. Probabilidad................................................................ 214 Antes de empezar la unidad .......................................................... Experimentos aleatorios. Sucesos............................................ Operaciones con sucesos......................................................... Probabilidad de un suceso....................................................... Regla de Laplace...................................................................... Propiedades de la probabilidad............................................... Lo esencial................................................................................ Actividades...............................................................................

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215 216 218 219 220 221 222 224

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Esquema de unidad La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos.

Lectura inicial:

3

Muestra la importancia de lo que vas a estudiar a través de episodios relacionados con la historia de las Matemáticas. Se proponen actividades que te invitan a investigar sobre el personaje de la lectura y la importancia de sus aportaciones.

4

LENGUAJE ALGEBRAICO

Expresión escrita

3?x+y

El doble de un número más tres unidades

2?x+3 1 x - 3x 2

EVALUACIÓN INICIAL 1

Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)

3. Busca información sobre las aportaciones de Al-Khwarizmi al álgebra.

El triple de un número. La cuarta parte de un número. Cinco veces un número. La tercera parte de un número más cinco unidades. El cuadrado de un número más uno. Tres veces un número menos cinco. Cuatro veces un número menos su cuadrado. La suma de dos números consecutivos. Un número par. Un número impar. El número siguiente a un número.

1. Transforma en expresiones algebraicas. a) El doble del cuadrado de un número. b) Un número más la mitad de otro.

Cómo se multiplica un polinomio por un monomio Para multiplicar un polinomio por un monomio, multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio. EJEMPLO 4

Multiplica el polinomio P(x) = -2x4 + 3x2 - x - 1 por el monomio 2x3. La multiplicación de un polinomio por un monomio se puede hacer en horizontal o en vertical.

-(-5 + 6 - 7) = 5 - 6 + 7

-1 + (-2 + 3 - 4) - (-5 + 6 - 7) = -1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 = 2

Para sumar (o restar) polinomios, se agrupan los monomios del mismo grado y se suman (o restan) sus coeficientes. EJEMPLO

Recuerda la regla de los signos para la multiplicación: –?+=– –?–=+

+?+=+ +?–=–

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por todos los monomios del otro, y, después, se suman los polinomios obtenidos.

11 Suma y resta P(x) = 2x3 - 3x2 + 4x + 1 y Q(x) = -x3 + x2. La suma y resta de polinomios se puede realizar en horizontal o en vertical. 2x3 - 3x2 + 4x + 1 -x3 + x2 x3 - 2x2 + 4x + 1

+

3

2

EJEMPLO 12 Resuelve estos productos de polinomios. a) (2x3 + x + 1) ? (2x2 - x)

3

2

P(x) + Q(x) = (2x - 3x + 4x + 1) + (-x + x ) = = 2x3 - 3x2 + 4x + 1 - x3 + x2 = = x3 - 2x2 + 4x + 1 P(x) - Q(x) = (2x3 - 3x2 + 4x + 1) - (-x3 + x2) = = 2x3 - 3x2 + 4x + 1 + x3 - x2 = = 3x3 - 4x2 + 4x + 1 2x3 - 3x2 + 4x + 1 -x3 + x2 3x3 - 4x2 + 4x + 1

2x3 + x + 1 3 2x2 - x - 2x4 + 2x3 - x2 - x 4x5 - 2x4 + 2x3 + 2x2 + 4x5 - 2x4 + 2x3 + x2 - x b) 2x ? (x3 + x + 1) = 2x ? x3 + 2x ? x + 2x ? 1 = 2x4 + 2x2 + 2x

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 6 Realiza las siguientes multiplicaciones.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 16 Halla la suma y la resta de cada par de polinomios.

d) R(x) = x5 - x4 + x3 + 2x + 1; S(x) = x3 + 2x

46

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• Distinguir polinomios, calcular su grado y realizar operaciones con ellos. • Sacar factor común en un polinomio. • Conocer y manejar las igualdades notables.

En la mayoría de las páginas se incluye la sección ANTES DEBES SABER… donde se repasan contenidos o procedimientos que debes conocer al enfrentarte a los nuevos contenidos. Esta sección también se refuerza con ejemplos resueltos.

P(x) ? 2x 3 = (-2x 4 + 3x2 - x - 1) ? 2x 3 = = -2x 4 ? 2x 3 + 3x2 ? 2x 3 - x ? 2x 3 - 1 ? 2x 3 = = -4x7 + 6x5 - 2x 4 - 2x 3

F

+(-2 + 3 - 4) = -2 + 3 - 4

2

-2x + 3x - x - 1 3 2x3 -4x7 + 6x5 - 2x4 - 2x3

Realiza esta operación, eliminando primero los paréntesis.

c) R(x) = 5x7 - x8 + 1; S(x) = x2 + x6 - 1

• Reconocer y operar con monomios.

encontrarás los contenidos y procedimientos básicos apoyados en gran cantidad de ejemplos resueltos.

ANTES, DEBES SABER…

4

a) R(x) = x4 - x + 1; S(x) = x2 + 1

En esta unidad aprenderás a…

Páginas de contenidos: En ellas

4.2 Multiplicación de polinomios

EJEMPLO

b) R(x) = x + 1; S (x) = x2 + x - 1

PLAN DE TRABAJO

Aparece el bloque de contenidos previos necesarios para comprender lo que vas a estudiar. Además, mediante la evaluación inicial, podrás afianzar los contenidos repasados.

41

Operaciones con polinomios

-

Expresión algebraica

El triple de un número más otro número La mitad de un número menos tres veces ese número

En la tablilla podía leerse: «Un cuadrado y diez raíces son igual a treinta y nueve unidades…».

F

–5 + 2 = –|5 – 2| = –3

Las letras más utilizadas en el lenguaje algebraico para representar cualquier número son: x, y, z, a, b, c, d…

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones matemáticas.

–¡Está bien, está bien! –contestó, y entre asombrado y divertido el sabio le propuso unos ejercicios aritméticos mientras él estudiaba el lenguaje algebraico y las ecuaciones.

• Si el paréntesis viene precedido por el signo +, se suprime el paréntesis dejando los signos del interior tal y como aparecen. • Si el paréntesis viene precedido del signo -, al suprimir el paréntesis todos los sumandos del interior se transforman en su opuesto.

2.º Al resultado se le añade el signo del número con mayor valor absoluto.

y+3 x2 3?x c =3 2

Al igual que para expresarnos en el lenguaje usual utilizamos expresiones escritas, para expresarnos en el lenguaje algebraico utilizamos expresiones algebraicas.

–La riqueza de los pobres es la bondad y el conocimiento, y como cualquier hombre, yo deseo ser rico; además, ningún ladrón puede robártela –repuso Mohamed con una sonrisa.

Cómo se suprimen paréntesis

3

Un número aumentado en 3 unidades

Expresiones algebraicas

–Me alegra tu afán de conocimiento. –Al-Khwarizmi se extrañaba de que Mohamed dedicara cada rato libre a aprender.

2. ¿A qué se llamó Casa de la Sabiduría de Bagdad? ¿Qué relación tiene con Al-Khwarizmi?

a+b

La mitad de un número es igual a 3

–Maestro, ¿podemos repasar los cálculos de ayer?

1. Investiga sobre las aportaciones de la cultura árabe al estudio de las matemáticas y sobre la vida y obra de Al-Khwarizmi.

Lenguaje algebraico

La suma de dos números El cuadrado de un número El triple de un número

Mohamed recorría nervioso las salas de la Casa de la Sabiduría buscando al sabio Al-Khwarizmi, el cual le había enseñado un método para contar y operar con cantidades desconocidas que el joven aplicaba en su trabajo como funcionario de abastos del palacio del califa.


1.º Se restan sus valores absolutos (el menor del mayor).

Lenguaje usual

El servidor del califa

4.1 Suma y resta de polinomios

Para sumar dos números enteros de distinto signo:

El lenguaje algebraico expresa la información matemática con números y letras.

Polinomios

Por fin, sentado al lado de una fuente encontró a su maestro.

DESCUBRE LA HISTORIA...

Antes de empezar la unidad…

Antes de empezar la unidad...

5 Dados los polinomios P(x) = -x 3 + 3x - 1

y Q(x) = x4 + x2, calcula: P(x) + Q(x) - 2 x2 17 Calcula B(x) -A(x) con los polinomios:

(x) = 3x4 - 5x3 + x2 - 7 A B(x) = -3x4 + x3 - 2x + 1

a) b) c) d) e) f)

(x 3 - x2 - 5x - 4) ? x2 (4x5 - 3x 4 + 6x - 3) ? 5x2 3x ? (5x5 + 4x 3 + 12) 5x 3 ? (-x 4 - 2x3 + 9x - 1) (2x 4 - 6x2 - 2) ? (-3x2) (-5x2) ? (-2x 4 - 5x 3 + 6x2 + 5)

Al final de cada página se proponen ejercicios que debes saber resolver a partir de los contenidos aprendidos.

16 Halla el producto de cada par de polinomios.

a) b) c) d) e) f)

R(x) = x4 - x + 1; S(x) = x2 + 1 R(x) = x + 1; S(x) = x2 + x - 1 R(x) = 5x7 - x8 + 1; S(x) = x2 + x6 - 1 R(x) = x5 - x4 + x3 + 2x + 1; S(x) = x3 + 2x R(x) = 7x3 - 2x2 + x - 3; S(x) = x4 + x2 - 8 R(x) = x7 + 3; S(x) = x3 + x2 + 4x + 2

47

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Lo esencial: Esta doble página

Lo esencial

es de resumen y autoevaluación.

COMPRENDE ESTAS PALABRAS Monomio

2. MULTIPLICAR POLINOMIOS Factor común a ? b + a ? c = a ? (b + c) a ? b - a ? c = a ? (b - c)

Variable F

-4 x2

G

Grado

Coeficiente Parte literal

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

G

Suma por diferencia

Término independiente

Calcula: (8x6 - 12x5 - 2x2) : (2x2) PRIMERO. Dividimos

cada término del polinomio entre el monomio divisor. (8x6 - 12x5 - 2x2) : (2x2) = = 8x6 : (2x2) - 12x5 : (2x2) - 2x2 : (2x2)

(a + b) ? (a - b) = a2 - b2

Es el vocabulario matemático trabajado en esa unidad.

SEGUNDO. Dividimos

los coeficientes, por un lado, y las partes literales, por el otro. 8x6 : (2x2) - 12x5 : (2x2) - 2x2 : (2x2) = = (8 : 2)x 6-2 - (12 : 2)x 5-2 - (2 : 2)x 2-2 = = 4x4 - 6x3 - 1x0 = 4x4 - 6x3 - 1 0

SEGUNDO. Reducimos los monomios semejantes, si los hay, y ordenamos los monomios según su grado en orden decreciente. x7 - x4 - x3 + x6 - x3 - x2 = x7 - x4 + x6 - 2x3 - x2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Términos

7x2 - 2x - 3

COMPRENDE ESTAS PALABRAS.

ENTRE UN MONOMIO

cada monomio del polinomio que tenga menos términos, por el otro polinomio. (x5 - x2 - x) ? (x2 + x) = = (x5 - x2 - x) ? x2 + (x5 - x2 - x) ? x = = x5 ? x2 - x2 ? x2 - x ? x2 + x5 ? x - x2 ? x - x ? x = = x7 - x4 - x3 + x6 - x3 - x2

Cuadrado de una diferencia

Polinomio

3. DIVIDIR UN POLINOMIO

2

PRIMERO. Multiplicamos

Cuadrado de una suma

-5x3y Misma parte literal

2

Calcula: (x - x - x) ? (x + x)

Igualdades notables

Monomios semejantes 17x3y

5

HAZLO DE ESTA MANERA. Son los

1

2. SACAR FACTOR COMÚN PRIMERO. Comprobamos

si hay letras que se repiten en todos los sumandos. Si las hay, tomamos las que aparecen con menor exponente.

1. SUMAR Y RESTAR POLINOMIOS 3

2

3

Dados los polinomios P(x) = 5x + 7x - 2x y Q(x) = -x + 3x - 1, realiza las siguientes operaciones.

TERCERO. El factor común son las letras

y el número que hemos obtenido. Factor común: 3yx2 CUARTO. Dividimos

el polinomio entre el factor común. Expresamos el polinomio como producto del factor común por el polinomio resultante de la división.

Se repiten en todos los sumandos las letras x e y. x con menor exponente y con menor exponente

a) P(x) + Q(x) b) P(x) - Q(x)

SEGUNDO. Hallamos PRIMERO. Eliminamos

procedimientos básicos de la unidad. Cada procedimiento se introduce mediante la resolución de una actividad en la que se muestra, paso a paso, un método general de resolución.

Extrae factor común en el polinomio 3y2x5 - 12y2x4 - 15yx2.

HAZLO DE ESTA MANERA

" x2 " y

3y2x5 - 12y2x4 - 15yx2

el m.c.d. de los coeficientes

de cada término.

los paréntesis, teniendo en cuenta que:

: 3yx2

F

yx3 - 4yx2 - 5

Por tanto, resulta que: 3y2x5 - 12y2x4 - 15yx2 = 3yx2 ? (yx3 - 4yx2 - 5)

m.c.d. (3, 12, 15) = 3

• Si el paréntesis viene precedido por el signo +, se suprime el paréntesis dejando los signos del interior tal y como aparecen. • Si el paréntesis viene precedido del signo -, al suprimir el paréntesis todos los sumandos del interior se transforman en su opuesto.

Y AHORA… PRACTICA

a) P(x) + Q(x) = (5x3 + 7x2 - 2x) + (-x 3 + 3x - 1) = 5x3 + 7x2 - 2x - x3 + 3x - 1 b) P(x) - Q(x) = (5x 3 + 7x2 - 2x) - (-x 3 + 3x - 1) = 5x 3 + 7x2 - 2x + x 3 - 3x + 1 SEGUNDO. Agrupamos

los monomios semejantes.

a) P(x) + Q(x) = 5x3 + 7x2 - 2x - x 3 + 3x - 1 = 5x3 - x3 + 7x2 - 2x + 3x - 1 = \ \ Semejantes Semejantes = 4x3 + 7x2 + x - 1 b) P(x) - Q(x) = 5x3 + 7x2 - 2x + x3 - 3x + 1 = 5x3 + x3 + 7x2 - 2x - 3x + 1 = \ \ Semejantes Semejantes = 6x3 + 7x2 - 5x + 1 TERCERO.

Sumamos y restamos los monomios semejantes.

a) P(x) + Q(x) = 5x 3 - x 3 + 7x2 - 2x + 3x - 1 = 4x 3 + 7x2 + x - 1 \ \

Comprende estas palabras

Multiplicar polinomios

1. Identifica los términos y el grado de los siguientes polinomios. a) -x 3y + 5y2 - 14xy + 1 b) x5 - x2 - x - 4

2. Multiplica los siguientes polinomios.

a) (x - 1) 2

b) (2x + 3) 2

que te permitirán comprobar si dominas los contenidos esenciales de esa unidad.

Sacar factor común

Sumar y restar polinomios

4. Saca factor común en los polinomios.

1. Suma y resta estos polinomios.

b) P(x) - Q(x) = 5x 3 + x 3 + 7x2 - 2x - 3x + 1 = 6x3 + 7x2 - 5x + 1 \ \

Y AHORA… PRACTICA. Son actividades

P(x) = x 4 + 3x2 - 5x + 1 Q(x) = 3x2 - 5 Dividir un polinomio entre un monomio 3. Realiza esta división: (8x 4 - 6x2 - 10x) : 2x

2. Utiliza las igualdades notables para desarrollar estos cuadrados.

a) 3x5 + 5x 3 - 14x2 b) 18 x5 y - 6 x2 y2 - 12xy2 d) -6xy2 - 12x2 y2 - 24x 3 y2

P(x) = x 4 + 3x2 - 5x + 1 Q(x) =-3x 4 - x 3 + 8x - 5

52

Actividades de la unidad: Ejercicios y problemas organizados por contenidos. Todos los enunciados van precedidos por un icono que indica su grado de dificultad. HAZLO ASÍ. Son ejercicios resueltos

que puedes tomar como modelo para afianzar procedimientos trabajados en la unidad.

53

Actividades 40. ● Haz las siguientes operaciones. a) -xz + 6xz + xyz - 8xz b) 9a 2b - 2a 2b + 8a 2b - a 2b c) 9c 9 - c 9 - c 9 + 10c 9 d) 8xy + 7xy - xy + 3xy - xy

MONOMIOS. OPERACIONES 35. ● Indica si las siguientes expresiones son o no monomios. 3 1 a) 2x2 + yz c) 5x5y2 e) x + y 3 2 2 x2 y-4 b) d) xyz f) 3ab + 2a 2 11

c) -3y2z3 d) 8acb

e) -6a2 f) 9b

14. ● Completa la siguiente tabla: Monomio

Coeficiente

Parte literal

Grado

3a2b4 4

xy

5

-9

abc

4

1

z

6

2/3

bc

3

2

5xy -3x2

a) 2x ? 4x ? 5x b) 7x 3 ? 5x ? 9x 4

c) 4c 9d, c 7d, cd 4 d) 8xy 2, 7xy

2y x2y3

5x 10y 3

-6xy 9x2y3

3

2

8xy -y3

a) Dos monomios de grado 5 que no sean semejantes. b) Dos monomios de grado 5 que sean semejantes. c) Un monomio de grado 4 y otro de grado 5 que sean semejantes. 37. ● Realiza estas sumas de monomios. a) xz + 3xz + 6xz b) a 2b + 9a 2b + 27a 2b c) 9c 9 + c 9 + c 9 d) 8xy + 7xy + 43xy + 23xy 38. ● Efectúa las siguientes restas de monomios.

54

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2

3

c) 8xy ? 2z ? 6xy ? z d) 10xy 3 ? (-2y2) ? (-4x 4)

20. ● Realiza estas operaciones. a) 15x3 : 5x2 c) -8x 3 y2 : 2x2 y d) 10x 4 yz2 : 5xyz b) -9y 4 : 3xy

16. ●● Escribe, si es posible:

a) 3xz - 6xz b) 9a 2b - 2a 2b

6

42. ● Efectúa las siguientes divisiones de monomios. a) 9xy : 3xy c) 15x8 : 5x8 e) 15x9 : 3x9 b) 9ab : ab d) 8xy2 : 2xy2 f) 32x7 : 8x4

15. ● Agrupa aquellos monomios que sean semejantes. 2

18. ● Indica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Razona la respuesta y corrige los errores cometidos. c) 2a - a = 2 a) a + a = 2a d) 2a - 2 = a b) 2a + a = 2a2

19. ● Resuelve las siguientes operaciones.

36. ● Di si los monomios son semejantes.

3

a) -x2 + x + x2 + x 3 + x c) 8xy2 - 5x2 y + x2 y - xy2 d) -3x + 7y - (8y + y - 6x) b) 2x3 - (x3 - 3x3)

41. ● Realiza estas multiplicaciones. a) xy ? 3xy ? (-6xy) c) 8xy2 ? 7xy d) 15x9 ? (-3x9) b) ab ? a 2b ? 7b ? ab

-8xyz2

a) xz, 3xy, -6xy b) ab, a 2b, 7b

a) 2x2 - 5(-x2) + 8x2 - (2x) ? (3x) b) 2x ? (-y) + 7xy - yx + (-4x) ? (-5y) c) 3x2 - (-x)2 + 3(-x2) + (-3) ? (-x)2 d) (2xy - 3xy + 7xy) ? (2ab) e) (x2 - 3x2 + 6x2 - 2x2) ? (-5zx)

17. ● Realiza las siguientes operaciones.

13. ● Indica en cada monomio el coeficiente, la parte literal y el grado, y calcula su monomio opuesto. a) 2xy b) 12x2yz

43. ●● Calcula y simplifica el resultado todo lo que puedas.

c) 18xy - 7xy - 3xy - 3xy d) 5x9 - x9 - x9 - x9

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES COMBINADAS DE MONOMIOS? 2

4

4

2

4

21. Resuelve: 8x - (5x + x ) : 2x + 15x : (3x ? x) PRIMERO. Se resuelven las operaciones que hay entre

paréntesis. 8x2 - (5x4 + x4) : 2x2 + 15x4 : (3x ? x) = = 8x2 - 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2 SEGUNDO. Se resuelven las multiplicaciones

y divisiones, de izquierda a derecha. 8x2 - 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2 = 8x2 - 3x2 + 5x2 TERCERO. Se resuelven las sumas y restas en el mismo orden. 8x2 - 3x2 + 5x2 = 5x2 + 5x2 = 10x2

39. ● Realiza las operaciones, e indica el grado del monomio resultante. a) 2x2 + 3x2 - 7x2 + 8x2 - x2 b) 5xy3 - 2xy3 + 7xy3 - 3xy3 + 12xy3 c) 3abc - 2abc + 6abc + 9abc - 4abc d) 5xz - 3xz + 15xz - 11xz + 8xz - 3xz e) (2xyz) ? (2x2yz 3) f) (-2abc) ? (3a 2b 2c 2) ? (-bc) g) 7x ? (2xy) ? (-3xy5) ? (xy) h) (6ac3) ? (-2a 2c3) ? (-3ac) ? (-4a 3c2) i) (21x2y3) : (7xy2) j) (9abc) : (3bc) k) (16x4y5a 3b 6) : (8x2y3a 2b 5) l) (5m 3n 2g 4) : (2mng)

POLINOMIOS 45. ● Indica el grado, el término independiente y el polinomio opuesto de los polinomios. a) P (x) = -x3 + x2 - 7x - 2 b) Q (x) = -x2 + 2x + 6 c) R (x) = x + 1 d) S (x) = 8 e) T (x) = 12x - x2 + x4 1 1 f) U (x) = x2 - x 6 2 22. ●● Escribe un polinomio de una variable, con grado 5 y cuyo término independiente sea -2, y que tenga: a) 5 términos b) 4 términos c) 2 términos 23. ● Suma y resta los términos semejantes de estos polinomios, y ordena sus términos de mayor a menor grado. a) P(x) = x - x 3 + 8x - x2 + 7x2 - 5x + 6x 3 - 1 b) Q(x) = 5x2 + 6x + 7x + 4x2 - 3 + x - 2 c) R(x) =-x 3 + 2x 3 - 5x2 + 4x - 7 + 7x2 d) S(x) =-2x 4 + x3 - 5x2 + x 4 - 1 - x 3

48. ● Calcula el valor numérico de cada polinomio para los valores de la variable. a) A (x) = x + 1, para x = 1. 1 b) B (x) = x4 + 3, para x = 2. 2 c) C (x) = 4x5 - x2 + 3, para x = -1. d) D (x) = -9x4 + 7x2 + 5, para x = 1. e) E (x) = x3 + x2 + x + 2, para x = -2. f) F(x) = x4 + x4 - x3 + x2 - 7x - 2, para x = 0. g) G (x) = -14, para x = -2. 24. ● Para el polinomio P(x) = 2x5 - x 4 + x 3 - 3x 2 + 5, halla el valor de las siguientes operaciones. 1 d) ? P(1) - 2 ? P(0) a) P(1) + P(-1) 2 1 1 b) P(1) + P(-1) - P(0) e) -P d n + ? P(-1) 2 2 c) 2 ? P(1) - 3 ? P(-1)

f) -P d

1 1 n + P d- n 2 2

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA UN COEFICIENTE DE UN POLINOMIO CONOCIENDO UNO DE SUS VALORES NUMÉRICOS?

50. Calcula el valor de k en el polinomio P(x) = x2 - x + k, si P(2) = 5. PRIMERO. Se sustituye, en el polinomio, la variable por su valor. 2 P(x) x = 2 P (2) = 2 - 2 + k = 2 + k4 " 2 + k = 5 P (2) = 5 F

SEGUNDO. Se despeja k en la ecuación resultante.

2 + k = 5 " k = 5 - 2 = 3 51. ● ● Calcula el valor de k en cada polinomio, sabiendo que P(1) = 6. a) P(x) = kx7 + x3 + 3x + 1 b) P (x) = kx4 + kx3 + 4 c) P(x) = 9x5 + kx2 + kx - k d) P(x)= kx6 - kx3 + kx + k e) P (x) = k 25. ● ● Escribe un polinomio con P (1) = 2 y que: • Tenga grado 3. • Su término independiente sea -2. • Tenga tres términos.

55

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1

Números racionales La senda de los recuerdos La sala del trono papal aparecía enorme y vacía a los ojos de Silvestre II. El otrora poderoso pontífice romano había perdido todo su poder político aunque a los ojos de cualquiera su presencia aún imponía un respeto casi místico. Ya anciano gustaba de pasear por su pasado, el único sitio adonde solo podía llegar él y se sentía libre. Recordaba feliz su estancia en el monasterio catalán de Ripoll, las frecuentes visitas a su imponente biblioteca y la ciencia que venía del sur.

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Gerberto de Aurillac, que en el año 999 se convirtió en el papa Silvestre II, hizo aportaciones matemáticas importantes. Busca información sobre Silvestre II y la época en la que vivió. 2. Averigua cómo funcionaba el ábaco que construyó Silvestre II. 3. Investiga qué trabajos relacionados con los números realizó Silvestre II.

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6

A su memoria volvían algunos de sus recuerdos iluminando su rostro, como aquel ábaco que él mismo construyó con los números arábigos escritos en sus fichas y cuyo uso describió con detalle, o el proyecto de aquella máquina que fraccionaría el tiempo, sustituta de la campana de los monjes: maitines, laudes, prima, tercia… Abrió el libro y, por azar, se encontró con el proyecto de la máquina que medía el tiempo cuyas primeras líneas decían: Día y noche son las dos partes en que se divide el día, mas no son iguales, el primero de diciembre durante el día se han consumido 3 velas y 6 durante la noche… De repente, como el humo de las velas tras un golpe de aire, el imaginario camino trazado en el tiempo se desvaneció al oír la voz de su secretario que, a cierta distancia, le informaba de su próxima audiencia.

21/07/11

10:02

Antes de empezar la unidad... NÚMEROS ENTEROS … -5 -4 -3 -2 -1 0

1

Números enteros negativos

Números enteros positivos

144444424444443

2

3

4

5

…

144444424444443

Suma de números enteros

F

F

• Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el signo que tienen los sumandos. (+2) + (+3) = +5 (-1) + (-5) = -6 ;+2; + ;+3; = 5

;-1; + ;-5; = 6

• Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos (el menor del mayor) y se pone el signo que tiene el sumando de mayor valor absoluto. ";+5; = 5 5 > 3 " 5 - 3 = 2 (+5) + (-3) = +2 " ;-3; = 3

Recuerda la regla de los signos. (+) · (+) = + (-) · (-) = + (+) · (-) = (-) · (+) = -

(+) : (+) = + (-) : (-) = + (+) : (-) = (-) : (+) = -

Resta de números enteros

Para restar dos números enteros hay que sumar al primer sumando el opuesto del segundo. (-5) - (+3) = (-5) + Op (+3) = (-5) + (-3) = -8 Multiplicación y división de números enteros

Para multiplicar o dividir dos números enteros, se multiplican o dividen sus valores absolutos y al resultado se le añade el signo + si los dos factores tienen el mismo signo, o el signo - si tienen distinto signo. (-5) ? (+3) = -15 (-15) : (+3) = -5

EVALUACIÓN INICIAL

PLAN DE TRABAJO c) (-20) + (-12)


c) (-15) - (-17)

• Calcular fracciones equivalentes e irreducibles.

1 Calcula.

a) (-11) + (+4)

b) (+13) + (+12)

2 Realiza estas restas.

a) (-5) - (+5)

b) (+3) - (-7)

3 Calcula.

a) (-4) + (+5) - (-18) b) (+30) - (+7) + (-18)

c) (+20) - (-5) - (+5) d) (-12) - (+3) - (-7) b) (-40) ? (+8)

c) (-40) ? (-10)

• Resolver operaciones con fracciones positivas y negativas.

b) (-21) : (+3)

c) (+40) : (-10)

• Identificar números racionales.

4 Calcula.

a) (+4) ? (-5) 5 Haz estas divisiones.

a) (+35) : (-7)

• Clasificar números decimales.

7

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7

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1

Fracciones

a en la que a y b son números enteros b llamados numerador, a, y denominador, b, siendo b ! 0. Una fracción es una expresión

EJEMPLO 1 Determina si las siguientes expresiones son fracciones, y si lo son,

di cuál es el numerador y el denominador. 5 Numerador: 5 " Es una fracción (Denominador: 7 7 6,3 b) " No es una fracción, porque 6,3 no es un número entero. 4 a)

Las fracciones son números que sirven para expresar las partes que cogemos de una totalidad.

"

ANTES, DEBES SABER… Cómo se representa una fracción gráficamente

3 4

Para representar fracciones se suelen utilizar figuras geométricas. Dividimos la figura en tantas partes iguales como indique el denominador, y coloreamos las partes que señala el numerador. EJEMPLO 2 Representa gráficamente las fracciones

5 11 y . 8 8 11 8

5 8

5 8

5 8

La fracción

11 8

11 8

5 11 es menor que la unidad y la fracción es mayor. 8 8

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Escribe en forma de fracción.

a) Siete novenos. b) Dos décimos.

3 ¿Qué fracción representa la parte coloreada?

c) Diez doceavos. d) Trece sextos.

a)

b)

c)

2 Representa las siguientes fracciones.

a)

5 3

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8

b)

7 4

c)

6 5

d)

7 6

Después, representa esa misma fracción de una forma diferente.

8

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10:02

1.1 Fracciones equivalentes a c Dos fracciones, y , son equivalentes, y lo escribimos como b d a c = , si se cumple que: a ? d = b ? c b d Dos fracciones equivalentes representan la misma cantidad.

3 9 y son equivalentes, 4 12 porque representan la misma cantidad.

EJEMPLO 2 8 3 6 3 ¿Son equivalentes las fracciones y ? ¿Y las fracciones y ? 5 20 5 30

3 4

"

9 12

"

2 ? 20 = 5 ? 8 2 8 2 8 si se cumple que: 40 = 40 2 " y son equivalentes. = 5 20 5 20 3 ? 30 ! 5 ? 6 3 6 3 6 si se cumple que: 90 ! 30 2 " y no son equivalentes. = 5 30 5 30

ANTES, DEBES SABER… Cómo se despeja una incógnita en una ecuación En una ecuación, para despejar la incógnita, podemos hacer que cualquier término aparezca en el otro miembro de forma «inversa» a como estaba:

Pasa sumando

F

F

• Si estaba sumando, aparece restando; y si estaba restando, sumando. x - 4 = 7 " x = 7 + 4 x+4=7"x=7-4 Pasa restando

F

F

• Si estaba multiplicando, aparece dividiendo; y si estaba dividiendo, multiplicando. x 9 =9"x=9?3 3x = 9 " x = 3 3 Pasa dividiendo

Pasa multiplicando

EJEMPLO 4 Calcula el valor de x para que las fracciones sean equivalentes. 6 2 15 ? 2 " x = 5 = " 6 ? x = 15 ? 2 " x = 15 x 6

DATE CUENTA En la ecuación: 6 ? x = 15 ? 2 el 6 que está multiplicando en el primer miembro, pasa dividiendo al segundo miembro. 15 ? 2 x= 6

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Calcula.

a)

4 de 450 5

3 Representa como partes de la unidad.

b)

3 de 350 7

2 Comprueba si son equivalentes.

a)

7 21 y 2 6

b)

12 10 y 60 25

a)

4 6 5 7 b) c) d) 5 4 10 3

4 Calcula el valor de x para que sean equivalentes.

a)

3 9 x 12 5 1 c) y y b) y 4 25 x x 6 8

9

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9

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1.2 Amplificación y simplificación de fracciones Existen dos métodos para obtener fracciones equivalentes a una fracción dada: • Amplificar fracciones consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero. • Simplificar fracciones consiste en dividir el numerador y el denominador de la fracción entre un divisor común a ambos.

a a?n = b b?n a a:n = b b:n

EJEMPLO 5 Escribe fracciones equivalentes a Amplificando: Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar.

15 , amplificando y simplificando. 35

15 15 ? 2 30 15 15 : 5 3 Simplificando: = = = = 35 35 ? 2 70 35 35 : 5 7

1.3 Fracción irreducible La fracción irreducible de una fracción dada es una fracción equivalente en la que el numerador y el denominador no tienen divisores comunes. ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el máximo común divisor Para calcular el máximo común divisor de varios números: 1.º Descomponemos los números en factores primos. 2.º Elegimos los factores comunes elevados al menor exponente. 3.º El producto de estos factores es el m.c.d. de los números.

RECUERDA 12 2 6 2 3 3 1

12 = 22 ? 3

30 2 15 3 5 5 1

30 = 2 ? 3 ? 5

Para obtener la fracción irreducible de una fracción dada, dividimos el numerador y el denominador entre su máximo común divisor. a a : m.c.d. (a, b) r r a = = " es la fracción irreducible de . b b : m.c.d. (a, b) s s b EJEMPLO 45 . 60

Fracción irreducible F

m.c.d. (12, 30) = 2 ? 3 = 6

6 Calcula la fracción irreducible de

45 = 32 ? 5 45 45 : 15 3 3 " m.c.d. (45, 60) = 3 ? 5 = 15 " = = 60 = 22 ? 3 ? 5 60 60 : 15 4

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Escribe dos fracciones equivalentes.

a)

120 690 12 b) c) 60 360 28

6 Calcula la fracción irreducible de estas fracciones.

a)

18 40

b)

60 75

c)

42 56

10

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10

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1.4 Reducción a común denominador Reducir fracciones a común denominador consiste en obtener otras fracciones equivalentes a ellas que tengan todas el mismo denominador. ANTES, DEBES SABER…

RECUERDA

Cómo se calcula el mínimo común múltiplo Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números: 1.º Descomponemos los números en factores primos. 2.º Elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. 3.º El producto de estos factores es el m.c.m. de los números.

20 2 10 2 5 5 1

20 = 22 ? 5

18 2 9 3 3 3 1

18 = 2 ? 32

m.c.m. (20, 18) = 22 ? 32 ? 5 = 180

EJEMPLO 7 Reduce a común denominador las fracciones

7 11 y . 15 18

Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. 15 = 3 ? 5 3 " m.c.m. (15, 18) = 2 ? 32 ? 5 = 90 18 = 2 ? 32 El m.c.m. será el denominador común de las fracciones. Para hallar el numerador de cada fracción, dividimos el m.c.m. entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador. F

55 90 F

F

F

F

F 7 ? 6 = 42 F F 11 ? 5 = 55 11 42 7 18 F 90 : 18 = 5 90 15 F 90 : 15 = 6

1.5 Comparación de fracciones Para comparar fracciones las reducimos primero a denominador común. Será mayor la fracción que tenga mayor numerador. EJEMPLO 7 7 11 3 y 8 Ordena, de menor a mayor, estas fracciones: , , 15 9 15 5 Reducimos las fracciones a común denominador. m.c.m. (15, 5, 9) = 45 "

7 21 = 15 45

Ordenando los numeradores:

7 35 = 45 9

21 27 33 35 < < < 45 45 45 45

11 33 = 15 45

"

3 27 = 5 45

DATE CUENTA Cuando dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador. 7 7 < 15 9

7 3 11 7 < < < 15 5 15 9

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 9 Ordena, de menor a mayor: a)

4 1 2 11 , , y 9 3 5 30

5 Ordena, de menor a mayor:

3 3 3 4 , , y 5 4 7 9

11

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26/07/11

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2

Operaciones con fracciones

2.1 Suma y resta de fracciones Para sumar (o restar) fracciones con igual denominador se suman (o restan) los numeradores y se deja el mismo denominador. Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador primero se reducen las fracciones a común denominador y, después, se suman (o restan) los numeradores. EJEMPLO 9 Realiza la siguiente suma de fracciones:

m.c.m. (6, 3, 1) = 6 F

5 7 5 7 4 5 14 24 5 + 14 - 24 5 + -4 = + - = + = =6 3 6 3 1 6 6 6 6 6

Al operar con fracciones es conveniente simplificar al máximo la fracción que obtenemos como resultado.

2.2 Multiplicación de fracciones El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores, y como denominador, el producto de los denominadores. a c e a ? c ?…? e ? ?…? = f b ? d ?…? f b d EJEMPLO 10 Calcula este producto de fracciones: Simplificando F

5 4 5?4 20 10 ? = = = 6 9 54 27 6?9

Fracción irreducible

F


a)

7 3 + 8 8

b) 5 +

7 8

6 Calcula y simplifica el resultado, si se puede.

c)

5 4 3 3

d) 4 -

8 3

a)

12 7 ? 5 3

b) (-4) ?

3 2 3 c) 4 4 d) 7 b)

13 Realiza estos productos.

11 2

4 1 + 3 3 1 1 + 5 10 7 1 - - 2 3 2 1 + - 4 2

a) 2 +

1 2 9 f) 5 7 g) 5 8 h) 3 e)

9 -1 4 1 + -1 7 8 9 ? ? 3 10 4 3 ? ? 9 7 +

12

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12

21/07/11

10:02

ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula una fracción inversa

RECUERDA

La fracción inversa de una fracción es otra fracción que tiene por numerador el denominador de la primera fracción, y por denominador, su numerador.

a La fracción inversa de b b es . a

2.3 División de fracciones

Fracción inversa de

Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda. a c a d a?d : = ? = b c b?c b d

3 5 es . 5 3

EJEMPLO 11 Calcula esta división de fracciones.

Para dividir fracciones podemos multiplicar en cruz. 2 ? 4 2?5 = 3 ? 5 3?4

2 6 2 11 2 ? 11 22 11 : = ? = = = 7 11 7?6 42 21 7 6

F F

2.4 Operaciones combinadas

F F

Para realizar operaciones combinadas con fracciones es necesario seguir el orden de prioridad entre las operaciones: 1.o Se efectúan las operaciones que hay entre paréntesis y corchetes. 2.o Se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden en el que aparecen, de izquierda a derecha. o 3. Se calculan las sumas y restas en el orden en el que aparecen. EJEMPLO 12 Efectúa las siguientes operaciones. a)

9 3 7 5 27 42 27 84 57 ? - : = = =8 5 4 6 20 40 40 40 40

b) e

12 2 8 15 4 2 8 5 o : > + e- oH = d + + n:d n= 21 21 7 21 9 3 9 9 =

14 -7 126 6 :d =n =21 147 7 9

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 16 Realiza las divisiones.

7 Calcula.

a)

9 4 : 5 7

c) 4 :

b)

8 3 : 11 5

d)

7 2

10 : (-5) 9

a)

5 7 4 o +e 9 5 15

c) -

b)

4 8 7 o -e 25 2 20

d) e

7 3 5 7 o ?e + 3 5 6 12

9 5 8 6 - + o : e- o 6 9 5 4

13

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13

21/07/11

10:02

Números decimales

3

Un número decimal tiene una parte entera, situada a la izquierda de la coma, y una parte decimal, situada a la derecha. PARTE ENTERA

PARTE DECIMAL

64444444744444448 6444444444444444447444444444444444448

Decenas

Unidades

décimas

3

7,

0

centésimas milésimas diezmilésimas 9

0

7

37,0907 " Treinta y siete unidades novecientas siete diezmilésimas Para abreviar la escritura de los números decimales periódicos colocamos un arco sobre las cifras del período.

Tipos de números decimales • Un número decimal es exacto cuando tiene un número finito de cifras decimales. • Un número decimal es periódico si tiene infinitas cifras decimales y, además, una o varias de ellas se repiten periódicamente. La cifra o grupo de cifras que se repiten se llama período. – Si el período empieza inmediatamente después de la coma, es un decimal periódico puro. – En caso contrario, es un decimal periódico mixto. La cifra o cifras decimales que no se repiten se llaman anteperíodo. • Un número decimal es no exacto y no periódico si tiene infinitas cifras decimales y ninguna de ellas se repite periódicamente.

1,666… = 1,6 1,0666… = 1,06

ANTES, DEBES SABER… Cómo se expresa una fracción como número decimal Para expresar una fracción como número decimal se divide el numerador entre el denominador. EJEMPLO 13 Clasifica estos números decimales.

! 230,569

F

Período

F

Anteperíodo

a)

5 3

"

b)

7 5

"

5 3 Decimal 20 1,666… " periódico puro 120 1120 7 20 10

5 1,4 "

c)

16 15 16 Decimal " 15 1100 1,066… " periódico mixto 11100 11110 Decimal

Decimal exacto

2 = 1,4142135... " no exacto y

d)

no periódico

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 20 Indica la parte entera, la parte decimal,

8 Clasifica los números decimales que expresan

el período y el anteperíodo.

estas fracciones.

a) 0,333… b) 234,4562525…

a)

c) 3,37888… d) 0,012333…

12 20

b)

27 21

c)

37 15

c)

44 11

14

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14

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10:02

Números racionales

5

Al conjunto de todos los números que se pueden expresar mediante fracciones se le llama conjunto de los números racionales y se representa por Q.

Números enteros

N Z

64748

Números racionales

Números naturales: 1, 2, 3, … El número cero: 0 Enteros negativos: -1, -2, -3, …

6447448

64444744448

Los números enteros y los números decimales exactos y periódicos se pueden expresar mediante fracciones:

Números decimales

Decimales exactos: 0,2; 0,34; … ! $ Decimales periódicos: 0,7 ; 0,894 ; …

Q

Los números decimales no exactos y no periódicos no se pueden expresar en forma de fracción, y por tanto, no son racionales. A estos números se les llama números irracionales. EJEMPLO 18 Completa la siguiente tabla con estos números. Ten en cuenta que cada número puede estar colocado en más de una casilla. ! # 1 -7 14,019 11,223344… 0,125 -0,75 -4,1234567… Número Número natural entero 1

Número decimal exacto

1

0,125

-7

Número decimal periódico ! 14,019 # -0,75

Número decimal no exacto y no periódico 11,223344… -4,1234567…

Número racional

! 1 -7 14,019 # 0,125 -0,75

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 33 Completa esta tabla, teniendo en cuenta que

un número puede estar en más de una casilla. -0,224466881010… -24 -3,0878787… Número natural

Número entero

-1,897897897… -0,67543 -1,5

Decimal Decimal Decimal no exacto Número exacto periódico y no racional periódico

9 Clasifica los siguientes números en enteros,

decimales exactos, decimales periódicos puros, periódicos mixtos e irracionales. 2,3 -78

! -73,3 4 7 2 534 4 - 3 3,02

78 ! 3, 4 % 0,4563 3 6,02 1422 7

-2,3 # 3,45 5 91 ! -3,4 5 10

2,33

! -3, 4 3 4 -7

9 -3

15

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Fracción

Número decimal 3 4

Anteperíodo

Fracciones equivalentes

Parte entera

2 4 " 2 ? 14 = 7 ? 4 = 7 14

0,03 # Periódicos puros: 0,03 ! Periódicos mixtos: 0,03

24 : m.c.d. (24, 30) 24 4 = = 30 30 : m.c.d. (24, 30) 5

F

F

Período

Parte decimal

9,1586 ' 9,15 86 " 9,1586

Exactos:

Fracción irreducible

No exactos y no periódicos: 1,234…

-12,2 ! -12,2

! -12,02

1,112233…

6447448

NÚMEROS DECIMALES

64748

Números naturales: 1, 2, 3, … El número cero: 0 Enteros negativos: -1, -2, -3, …

NÚMEROS ENTEROS

644474448

NÚMEROS RACIONALES

# 17,208

F

Denominador "

F

Numerador -"

Decimales exactos: 0,2; 0,34; … ! ! Decimales periódicos: 0,7 ; 0,894 ; …


1. SUMAR Y RESTAR FRACCIONES Realiza la siguiente operación: 7 8 4 + 30 25 5 Si las fracciones no tienen el mismo denominador, las reducimos a común denominador.

SEGUNDO.

4 5

F

8 ? 6 = 48

F

4 ? 30 = 120

F

150 : 5 = 30

F

48 150

F

F

150 : 25 = 6

F

35 150

F

F

7 ? 5 = 35

150 : 30 = 5

120 150

F

F

8 25

F F

F

144444444 2444444443

30 = 2 ? 3 ? 5 4 " m.c.m. (5, 25, 30) = 2 ? 3 ? 52 = 150 " 25 = 52 5=5

7 30

F

PRIMERO.

Cuando las fracciones tienen el mismo denominador, sumamos los numeradores.

7 8 4 35 48 120 37 - 37 + - = + = =25 5 30 150 150 150 150 150

16

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2. MULTIPLICAR FRACCIONES 7 4 ? d- n 3 12

Realiza la siguiente operación: -

PRIMERO. Realizamos la operación prescindiendo del signo de las fracciones (el numerador es el producto de los numeradores y el denominador, el producto de los denominadores), y simplificamos el resultado, si se puede. 7 4 7?4 28 7 ? = = = 12 3 12 ? 3 9 36

F

F

PRIMERO. Realizamos la operación prescindiendo del signo de las fracciones (para dividir multiplicamos la fracción del dividendo por la fracción inversa del divisor), y simplificamos el resultado, si se puede. 7 4 7 3 21 7 : = ? = = 12 3 12 4 48 16

Simplificando SEGUNDO. Aplicamos

la regla de los signos para la división.

+?-=-

-

7 4 7 : d- n = 12 3 16 F

7 4 7 ? d- n = 12 3 9 F

la regla de los signos para la multiplicación.

Simplificando

F

SEGUNDO. Aplicamos

7 4 : d- n 3 12

F

Realiza la siguiente operación:

3. DIVIDIR FRACCIONES

-:-=+

4. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES 7 3 4 10 1 Resuelve esta operación entre fracciones: 5 - d + n : d n+ 5 9 2 3 3 \ \ m.c.m. (3, 5) = 15 m.c.m. (3, 9) = 9

35 9 12 10 1 44 2 1 : + + n:d n+ = 5 15 15 2 2 15 9 9 9

PRIMERO. Resolvemos las operaciones que aparecen entre paréntesis.

5 -d

Resolvemos las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen.

5-

44 2 1 396 1 : + = 5+ 15 9 2 2 30

5-

396 1 150 396 15 77 - 231 + = + = =2 30 30 30 30 30 10

SEGUNDO.

Resolvemos las sumas y restas, y simplificamos el resultado, siempre que se pueda. TERCERO.

> m.c.m. (2, 30) = 30

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras

Multiplicar fracciones

1. Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de estas fracciones. 13 11 9 b) c) a) 4 8 6

2. Calcula el resultado de estas multiplicaciones. 8 15 15 4 4 21 b) c) ? d- n ? a) ? 4 25 7 2 9 16

2. Halla la fracción irreducible. 42 44 b) a) 72 70

Dividir fracciones c)

46 74

Sumar y restar fracciones 1. Realiza las siguientes operaciones. 12 7 35 12 7 35 b) a) + - 4 24 4 24 9 9

3. Realiza estas divisiones. 5 10 4 2 b) - : a) : 7 21 3 6

c)

14 2 : d- n 15 9

Realizar operaciones combinadas con fracciones 4. Calcula: 2 + d

14 10 3 35 n? 5 7 2 24

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Actividades FRACCIONES

FRACCIONES EQUIVALENTES

36. ● Expresa estos enunciados utilizando una fracción. a) Una pizza se ha partido en 8 partes y Juan se ha comido 2. b) De una clase de 20 alumnos, 15 han ido de excursión. c) De un grupo de 7 amigas, 3 son pelirrojas. d) Una de cada 5 personas tiene problemas de espalda. 37. ● Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada figura. a)

c)

10. ● Determina si los siguientes pares de fracciones son equivalentes. 9 25 9 25 6 18 b) y c) y y 8 4 8 4 5 15

a)

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE COMPRUEBA SI DOS FRACCIONES NEGATIVAS SON EQUIVALENTES? 11. Comprueba si son equivalentes. a)

-2 -6 y 5 15

b)

-3 -9 y 7 4

PRIMERO. Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda.

b)

d)

a) -2 ? 15 = -30 b) -3 ? 4 = -12

5 ? (-6) = -30 7 ? (-9) = -63

Se determina si el resultado de ambos productos es el mismo. Si es el mismo, las fracciones son equivalentes.

SEGUNDO.

38. ● Representa, utilizando figuras geométricas, las siguientes fracciones. 3 7 5 b) 2

7 6 4 d) 9

a)

a) -30 = -30 " Son equivalentes. b) -12 ! -63 " No son equivalentes.

c)

39. ● Colorea los

44. ● Indica si son o no equivalentes estos pares de fracciones.

2 de la figura. 3

a)

3 21 y 7 10

d)

-2 -4 y 5 3

b)

-1 -14 y 30 7

e)

2 8 y 20 5

c)

6 3 y 8 10

f )

20 120 y 450 50

45. ● Calcula el valor de x para que las fracciones sean equivalentes. 40. ● Calcula. a)

1 de 180 2

d)

4 de 540 9

b)

5 de 420 6

e)

5 de 320 8

c)

-2 de 40 5

f ) -

3 de 1 342 11

a)

10 x = 4 6

c)

x 6 = 12 9

b)

9 6 = x 4

d)

14 x = 42 9

46. ● Completa. 2 4 30 4 4 = = = = 3 30 6 4 4

18

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47. ● Agrupa las fracciones que sean equivalentes. 20 40

4 2

-1 2

-10 -5

2 4

-3 6

48. ● Obtén dos fracciones equivalentes a cada una de las dadas por amplificación y otras dos por simplificación. 8 60 30 504 100 36 45 72 50. ● Simplifica hasta obtener la fracción irreducible de estas fracciones. a)

20 40

d)

210 b) 8 c)

15 12

g)

16 e) 18

8 18

f)

55 11

30 h) 21

40 60

i)

6 18

12. ● Calcula la fracción irreducible. a)

72 48 120 39 b) c) d) 70 60 75 33

COMPARACIÓN DE FRACCIONES 13. ● Reduce a común denominador las siguientes fracciones. 4 8 6 , y 3 11 13

a)

16 7 22 , y 9 12 27

c)

b)

5 9 6 8 , , y 32 16 45 24

6 7 8 d) , y 5 25 125

14. ● Ordena, de menor a mayor, las siguientes fracciones. 7 24

1 2

16 9

5 6

14 9

11 18

53. ● Ordena, de mayor a menor. a)

4 -7 , 9 8

d)

-4 -21 -5 , , 6 12 6

b)

-11 -7 , 8 8

e)

-43 10 -8 , , 60 40 10

c)

3 10 20 , , 8 24 48

f )

2 4 8 1 , , , 5 7 35 2

OPERACIONES CON FRACCIONES 56. ● Calcula. 3 5 1 a) + + 4 4 4 b)

7 8 +2+ 2 6

c)

5 3 9 - 2 2 2

d) 9 +

5 6 7 7

57. ● Haz las siguientes restas. 33 10 3 1 2 c) - a) 11 11 2 7 12 b)

5 1 10 15

58. ● Calcula. 25 11 2 + - a) 7 7 7

d)

7 1 1 - 3 2 11

d) 4 -

1 7 + 6 6

b)

5 1 1 + 7 10 3

e) 1 +

1 5 12 13

c)

10 10 12 + - 11 7 11

f) 3 -

1 1 2 - + 7 9 21

59. ● Opera. 3 5 3 - a) + 2 16 8

d)

7 2 1 - 15 3 6 9 5 + -8 12 8

b)

5 5 5 + + 6 3 4

e)

c)

-2 3 + - 1 5 4

f) -

6 7 -37 3

60. ● Efectúa estas operaciones. -5 -2 10 10 d) 5 + + + a) 16 16 7 11 5 -1 7 1 5 b) + e) + + 7 10 11 12 14 1 -1 2 13 1 11 c) + f) + + + 2 9 18 11 13 9 62. ● Realiza estos productos. 2 6 5 7 10 4 ? 8 c) ? d) 21? a) ? b) 2 3 3 5 14 9 63. ● ● Opera. 12 3 ? a) 5 6 2 7 b) ? e- o 9 4 9 3 c) ? 6 7

1 3 o ? e- o 6 4 6 ? ?3 5 3 11 ? ? 11 3

d) e9 7 9 f) 4

e)

19

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64. ● Calcula. 5 3 a) : 8 2

5 7 b) : 12 4

9 6 c) : 5 7

8 -6 o d) :e 15 5

11 c) : 7 3

5 10 o d) : e3 6

65. ● Efectúa las divisiones. 7 21 a) : 5 2

3 b) 8 : 8

16. ● Copia y completa estos huecos. a) b) c)

67. ●● Calcula. 4 1 7 - ? 4 3 5

a)

b) e

e) 9 -

4 1 7 - o? 4 3 5

f) 9 -

1 7 2 ?e + o 3 5 4

g) e 9 -

3 4 3 - : 7 4 5

c) 2 ?

1 7 2 ? + 5 4 3

3 4 3 d) : : - 1 5 7 4

1 7 2 o? + 4 3 5

2 3 1 3 h) : - ? 5 7 3 4

68. ●● Realiza las operaciones. 7 3 8 o a) - e + 6 20 15

2 3 5 e) ? 4 5 4

4 5 4 b) ? e - o 5 24 9

2 3 7 f) : 18 5 10

8 3 11 o :e + 30 5 5

c)

d) e

8 5 6 1 : o : e - o 5 3 3 9

g)

2 21 + 3: 7 35

h)

1 6 7 4 ? + : 5 3 2 5

¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDO DE UNA OPERACIÓN CON FRACCIONES? 15. Copia y completa los huecos. +

2 3 = 5 4

b)

?

2 8 = 15 5

3 9 = 4 5 9 11 = e) + 12 36 16 8 + = f) 21 3

d)

-

17. ● Copia y busca el término que falta. a) b) c)

2 8 = 3 9 7 10 : = 21 5 24 ?3 = 27

:2 =

d)

?

e)

9 ? 14

f) 7 ?

15 16

9 28 21 = 8 =

18. ● ● Copia y completa los huecos. 3 3 + + 7 8 1 1 b) - 4 5

a)

3 9 1 = 6

=

c)

3 3 ? ? 7 8

=

3 9

d)

1 1 : : 4 5

=

1 6

NÚMEROS DECIMALES 69. ● Señala la parte entera y decimal de los siguientes números. a) 0,75 b) 274,369

HAZLO ASÍ

a)

3 20 = 5 15 2 14 - = 3 15 16 +2 = 3 +

c) 1,8989… d) 127,4555…

e) 2,161820… f) -7,0222…

70. ● ● Expresa, mediante una fracción y mediante un número decimal, la parte coloreada de cada una de las figuras. a)

c)

b)

d)

PRIMERO. Se aísla el término desconocido en un miembro pasando el resto de forma «inversa» al otro miembro.

+

2 3 = 5 4

"

=

3 2 4 5 F

a)

Está sumando, pasa restando.

2 8 = 15 5

?

"

=

8 2 : 15 5 F

b)

Está multiplicando, pasa dividiendo. SEGUNDO.

a)

Se resuelve la operación resultante.

=

3 2 7 - = 4 5 20

b)

=

8 2 40 4 : = = 15 5 30 3

71. ● ● Indica cuáles de los números son periódicos y cuáles no. Señala el período para los que sean periódicos. a) 1,333… b) 2,6565…

c) 3,02333… d) 6,7891011…

e) 0,010101… f) 1,001002003…

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PROBLEMAS CON FRACCIONES 79. ● Se dispone de 30 metros de tela. Calcula cuántos metros son: a)

3 de la tela 5

b)

7 de la tela 30

c)

5 de la tela 6

30 m

80. ● Una empresa ha ingresado esta semana dos quintos de 12 300 €. Calcula el dinero que ha ingresado. 81. ● Un padre le da a su hija mayor 30 €, y a su hijo menor, la tercera parte de lo que ha recibido la hija mayor. ¿Cuánto ha recibido el hijo menor?

86. ● ● Unos amigos recorren 105 km en bicicleta. 1 El primer día hacen del camino y el segundo 3 4 día , dejando el resto para el tercer día. 15 ¿Cuántos kilómetros recorren cada día? 1 de sus ingresos 5 mensuales en el alquiler del piso, 1 1 en el teléfono y en transporte y ropa. 60 8 ¿Cómo se distribuyen los gastos si sus ingresos mensuales son 3 000 €?

87. ● ● Una familia gasta

3 88. ● ● En un campamento, de los jóvenes son 8 1 europeos, asiáticos y el resto africanos. 5 Si hay en total 800 jóvenes: a) ¿Cuántos jóvenes europeos hay?

19. ● En el último partido de la Selección de baloncesto, Fran Seisdedos ha encestado 4 tiros de cada 6 que ha realizado. Si en total ha tirado 32 tiros a canasta, ¿cuántos ha encestado?

b) Si la mitad de los asiáticos son chicas, ¿cuántas chicas asiáticas habrá? c) ¿Cuántos de estos jóvenes son africanos?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DEL TOTAL? 2 82. En una clase, las partes son chicos. 5 ¿Cuántas chicas hay si son 25 alumnos en total? 2 PRIMERO. Se resta la parte conocida, , del total, 1, 5 para calcular la parte desconocida. 2 5 2 3 1 - = - = son chicas . 5 5 5 5 SEGUNDO. Se

calcula lo que representa esa parte en el total de alumnos, 25. 3 3 3 ? 25 75 de 25 = ? 25 = = = 15 chicas 5 5 5 5

83. ●● Para el cumpleaños de mi madre le hemos regalado una caja de bombones. Hemos comido 3 ya las partes de la caja. Si la caja contenía 4 40 bombones, ¿cuántos bombones quedan?

20. ● ● De todos los coches que se han vendido en un concesionario, la tercera parte han sido de color blanco y la quinta parte, negros. Si se han vendido 45 coches: a) ¿Cuántos coches blancos se han vendido? b) ¿Y coches negros? c) ¿Cuántos se han vendido de otros colores? 21. ● ● De las 414 cajas de fruta que transporta un camión, la tercera parte es de naranjas, la quinta parte de melocotones y el resto de peras. a) ¿De qué fruta lleva más cajas? ¿Cuántas cajas lleva de esa fruta? b) ¿De qué fruta lleva menos cajas? ¿Cuántas cajas lleva de esa fruta? 22. ● ● De las 120 farolas que hay en una localidad, la octava parte están rotas. De las que no están rotas, un tercio tienen las bombillas fundidas. ¿Cuántas farolas se encienden por la noche?

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2 DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Pitágoras fue un matemático griego del siglo vi a.C. Busca información sobre su vida y sus descubrimientos matemáticos. 2. ¿A qué se refiere Pitágoras cuando habla de los otros números? ¿Qué es la razón de la Pentalfa? 3. Investiga quién fue Hipaso de Metaponto y sus aportaciones al estudio de los números reales.

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Números reales La razón irracional El gran Pitágoras, que estudió el mundo y su relación con los números, el descubridor de la belleza racional de todas las cosas creadas, al final de su vida, en los albores del siglo V a.C., se confesaba a uno de sus discípulos amargamente: –Escucha –le decía a Hipaso de Metaponto–: Toda mi vida he buscado la verdad en los números; la explicación de lo divino y lo humano estaba en ellos o en sus razones, todo era perfecto y explicable, todo era razonable… Hipaso miraba a su maestro con admiración, mientras asentía con la cabeza. Mientras tanto, Pitágoras continuaba: –Ahora que ha llegado el final de mi vida he de confesarte una horrible verdad: hace tiempo que los descubrí, hay otros. –¿Otros? –preguntó Hipaso. –Sí, están ahí pero son inconmensurables: cualquiera puede construir un cuadrado cuyo lado mida 1; sin embargo, será incapaz de medir su diagonal. Incluso la razón de la Pentalfa no es tal, sino uno de estos camuflado.

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Antes de empezar la unidad... TIPOS DE NÚMEROS Números naturales

El conjunto de los números naturales se designa por N y está formado por los números: 1, 2, 3, 4, … Números enteros

En el conjunto de los números enteros, que designamos por Z, podemos diferenciar: • Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, …, que son los números naturales. • El número 0. • Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, … Números decimales

Un número decimal tiene una parte entera, situada a la izquierda de la coma, y una parte decimal, situada a la derecha. Se pueden clasificar en: • Decimales exactos: tienen un número limitado de decimales. 12,45 8,347 18,4 0,00234 12,102 • Decimales periódicos: tienen infinitas cifras decimales, y además, una o varias se repiten periódicamente. – Decimales periódicos puros: las cifras ! comienzan # a repetirse a partir de la coma. 18, 4 12,45 – Decimales periódicos mixtos: las cifras ! no comienzan # a repetirse a partir de la coma. 18,1 4 12,453

Los números decimales no exactos y no periódicos no son números racionales.

• Decimales no exactos y no periódicos: tienen un número ilimitado de cifras decimales que no se repiten periódicamente. 2 = 1,41421356237309...

r = 3,14159265358979...

Números racionales

El conjunto de los números racionales que se designa por Q está formado por todos los números que se pueden expresar como una fracción, es decir, por los números naturales, enteros, decimales exactos y periódicos.

PLAN DE TRABAJO

EVALUACIÓN INICIAL 1 Escribe de forma abreviada, si se puede, y clasifica estos números.

a) 12,222222… b) 5,234

c) 37,2626262626… d) 18,25478478478…

e) 56,255555… f) 1,234567891011…

2 Determina cuáles de estos números no son racionales.

% ! ! 35 3 8,43 -3,102 4 3,02 7 -2 0, 8 11 56 9 2 3 Pon tres ejemplos de números: a) Naturales b) Enteros c) Racionales d) No racionales

En esta unidad aprenderás a… • Resolver operaciones con potencias. • Escribir números en notación científica. • Identificar números reales. • Interpretar intervalos.

23

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1

Potencias de números racionales

ANTES, DEBES SABER… Qué es el valor absoluto de un número El valor absoluto de un número entero a es el número que resulta de prescindir de su signo. Se escribe ;a;. EJEMPLO 1 Calcula.

" ;+4; = 4 b) Valor absoluto de -4 " ;-4; = 4 c) Valor absoluto de +17 " ;+17; = 17 d) Valor absoluto de 0 " ;0; = 0 a) Valor absoluto de +4

Cómo se multiplican dos números enteros Para multiplicar dos números enteros: 1.º Multiplicamos sus valores absolutos. 2.º Al resultado le añadimos el signo + si ambos números son de igual signo, o el signo - si son de signos diferentes. EJEMPLOS 2 Resuelve los productos.

c) (+8) ? (-3) = -24 F

F

a) (-8) ? (-3) = +24 Mismo signo

Distinto signo

NO OLVIDES Regla de los signos +?+=+ -?-=+ +?-=-?+=-

d) (-8) ? (+3) = -24 F

F

b) (+8) ? (+3) = +24 Mismo signo

Distinto signo

3 Resuelve esta operación:

(-4) ? (-3) ? (-2) ? (-1) = +12 ? (-2) ? (-1) = -24 ? (-1) = +24 Mismo signo

Distinto signo

Mismo signo

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Halla el valor absoluto de los siguientes

números:

a) (-3) ? (+2) ? (+2) ? (-6)

-16 +5 +7 0 -9 -102 +46 2 Realiza estas multiplicaciones con números

enteros. a) (-7) ? (+4) b) (+7) ? (+4)

3 Realiza las operaciones.

b) (+5) ? (-10) ? (+3) ? (-2) c) (-4) ? (-3) ? (-2) ? (-3) d) (+5) ? (+4) ? (+3) ? (+2)

c) (-7) ? (-4) d) (+7) ? (-4)

e) (-5) ? (-4) ? (-2) ? (+2) f) (-3) ? (-3) ? (-3) ? (-3) ? (-3)

24

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Qué es una potencia de números enteros Si a es un número entero y n es un número natural, la potencia an es: an = a ? a ? a ? ... ? a \ n veces F

• La base a es el factor que se repite. • El exponente n es el número de veces que se repite.

base

EJEMPLOS

F

34

Producto

Potencia (+4)

«4 elevado a 2» o «4 al cuadrado»

(-9) ? (-9) ? (-9)

(-9)

3

«-9 elevado a 3» o «-9 al cubo»

(-7) ? (-7) ? (-7) ? (-7)

(-7)4 5

3

3?3?3?3?3

exponente

Se lee

2

(+4) ? (+4)

F

4 Escribe en forma de potencia y cómo se leen.

«-7 elevado a 4» o «-7 a la cuarta potencia» «3 elevado a 5» o «3 a la quinta potencia»

5 Calcula estas potencias.

a) (+3)4 = 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 81 1442443 F

4 veces

4

b) (-3) = (-3) ? (-3) ? (-3) ? (-3) = 9 ? (-3) ? (-3) =-27 ? (-3) = 81 14444444244444443 F

4 veces

Cuál es el signo de una potencia de base un número entero En una potencia de base un número entero y exponente natural: • Si la base es un número positivo, la potencia es positiva. • Si la base es un número negativo, la potencia es positiva cuando el exponente es par y negativa cuando es impar. EJEMPLO 6 Calcula el valor de estas potencias. RECUERDA

a) (+2)4 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 16 5

b) (+2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 32

Los números positivos se escriben habitualmente sin el signo + que los procede:

c) (-2)4 = (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) = (+4) ? (-2) ? (-2) = = (-8) ? (-2) = 16 d) (-2)3 = (-2) ? (-2) ? (-2) = (+4) ? (-2) = -8

+2 = 2 +3 = 3

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Escribe cómo se leen y calcula su valor.

a) 65

b) 53

c) (-6)5

6 Escribe en forma de potencia y como producto.

d) (-5)3

5 Expresa con una sola potencia, si se puede,

estos productos de números enteros. a) (-7) ? (-7) ? (-7)

c) 5 ? 7 ? 5 ? 7

b) 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5

d) (-3) ? (-3) ? 2

a) Base 11 y exponente 4. b) Base -2 y exponente 3. 7 Calcula las siguientes potencias.

a) 45 b) (-2)6

c) 142 d) (-4)4

e) 73 f) (-9)2

g) 54 h) (-6)4

25

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25

26/07/11

10:10

1.1 Potencias de exponente entero positivo Una potencia de exponente un número positivo es una forma abreviada de expresar una multiplicación en la que todos los factores son iguales.

CALCULADORA Para hallar potencias con la calculadora utilizamos la tecla x y .

an = a ? a ? a ? … ? a si n > 0 1444442444443 n veces

Por ejemplo, para calcular (1,4)3 tecleamos: 1

·

4 xy

3 =

2.744

EJEMPLO 1

Calcula estas potencias. a) 34 = 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 81 144424443

b) e

c) (0,4)2 = 0,4 ? 0,4 = 0,16 1 424 3

4 veces

2 veces

3

2 2 2 2 8 o = ? ? = 5 5 5 125 5 4424 443 14

d) e

3 veces

4

1 1 1 1 1 1 o = ? ? ? = 2 2 2 2 2 16 14 44424 4443 4 veces

En una potencia de base un número racional y exponente positivo: • Si la base es un número positivo, la potencia es siempre positiva. • Si la base es un número negativo, la potencia es positiva cuando el exponente es par, y negativa cuando es impar. EJEMPLO 2

Calcula las siguientes potencias. F

a) (-2) 5 = (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) = -32 Impar 4

F

b) (-1,2) = (-1,2) ? (-1,2) ? (-1,2) ? (-1,2) = 2,0736 Par

(-5) ? (-5) ? (-5) 5 -125 5 5 5 125 o = e- o ? e- o ? e- o = = =6 6 6 6?6?6 216 216 6 F

c) e-

3

Impar

d) 43 = 4 ? 4 ? 4 = 64 e) e

3

5 5 5 5 5?5?5 53 125 o = ? ? = = 3 = 6 6 6 6 6?6?6 216 6

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Calcula las siguientes potencias.

a) 32

d) (-5)3

8 Expresa estas potencias como producto,

y calcula su valor.

g) (4,25)4

b) 74

e) (-2,02)4

c) (-9)2

5 f) e- o 8

h) e-

3

1 o 3

5

i) (-14,32)8

a) 33

c) (-3)3

e) d

3 3 n 4

g) d-

3 3 n 4

b) 34

d) (-3)4

f) d

3 4 n 4

h) d-

3 4 n 4

26

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1.2 Potencias de exponente entero negativo Una potencia de exponente un número entero negativo es igual al cociente entre la unidad y dicha potencia con el exponente positivo. 1 a-n = n si a ! 0 a

CALCULADORA


Para hallar (3,4)-2 tecleamos:

Cómo se divide un número entre una fracción

3

1 7 1 7 3 = 1: = : = 7 1 3 7 3 3

Para dividir un número entero entre una fracción, se expresa el número en forma de fracción poniendo como denominador 1.

·

4 xy

2 !

=

y en la pantalla aparece:

0.08650519

EJEMPLO 3

Calcula estas potencias de exponente negativo. a) 3-2 =

1 1 = 9 32

1 1 1 = =8 -8 (-2) 3

c) (-2)-3 = d) e

1 1 b) (-3) = = 9 (-3) 2 -2

-3

2 o 3

1 1 8 27 = = 1: = 27 8 8 2 3 d n 27 3

=

1.3 Potencias de exponente 0, 1 y -1

NO OLVIDES Al dividir la unidad entre una fracción obtenemos otra fracción en la que intercambiamos el numerador y el denominador. 1 5 = 4 4 5

a0 = 1 1 Para cualquier valor de a (a ! 0) siempre se cumple que: a = a 1 a-1 = a

*

EJEMPLO 4

Calcula las siguientes potencias. a) 30 = 1

d) 31 = 3

b) (-3)0 = 1

e) (-3)1 = -3

c) e

0

4 o = 1 3

f) e

1 1 = 1 3 3 1 1 1 h) (-3)-1 = = =1 3 -3 (-3)

g) 3-1 =

1

4 4 o= 3 3

i) e

-1

4 o = 3

1 1 4 3 = = 1: = 4 4 3 4 1 d n 3 3

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 9 Calcula el valor de estas potencias.

a) 3 5 -3 b) d n 2 -5

c) (-3) 5 -2 d) d n 2 -5

10 Determina el valor de estas potencias.

e) 10 1 -2 f) d n 2 -3

a) 70 5 1 b) d n 2

c) 2-1 2 1 d) d- n 5

e) (-2)-1 1 -1 f) d n 2

27

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2

Propiedades de las potencias

2.1 Potencia de un producto Para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha potencia.

SE ESCRIBE ASÍ • Las fracciones del tipo -a a y se pueden b -b a escribir como - . b -2 2 2 = =-7 7 7

(a ? b)n = an ? bn

EJEMPLO 5

Expresa como un producto de potencias. a) (5 ? 7)3 = (5 ? 7) ? (5 ? 7) ? (5 ? 7) = 5 ? 5 ? 5 ? 7 ? 7 ? 7 = 53 ? 73

Son fracciones negativas. -a • Las fracciones del tipo -b a se pueden escribir como . b -2 2 = -7 7

b) [(-3) ? 5]-3 = (-3)-3 ? 5-3 =

1 1 ? (-3) 3 53

2.2 Potencia de un cociente Para elevar un cociente a una potencia: • Si el exponente es positivo, se eleva cada uno de los términos a dicha potencia.

Son fracciones positivas.

n

a an (a : b) = e o = n b b n

• Si el exponente es negativo, se invierten los términos y se elevan a dicha potencia.

-n

(a : b)

-n

a =e o b

bn an

=

EJEMPLOS 6

7

Expresa como un cociente de potencias. 3

-3

=e

a) e

7 7 7 7 73 o = ? ? = 3 10 10 10 10 10

b) d

1 3 3 1 3 3 3 1 33 53 53 : n = d n :d n = 3 : 3 = 3 3 = 6 3 5 5 3 3 5 3 ?3 3

c) e

4 o 5

3

5 53 o = 4 43

Calcula estos cocientes de potencias. a) e

4 (-1) 4 -1 1 o = = 4 3 81 3

b) e

-4

-1 o 3

=

34 81 = = 81 4 1 (-1)


a) (8 ? 4)3 b) [(-1) ? (-4)]3 c) e

3

4 o 5

d) (6 ? 5)-2 e) [(-3) ? 5]-2 f) e-

-2

5 o 3

8 Resuelve. a) e 2 ?

5

7 o 3

b) =

-2

3 ? (-10)G 5

11 Determina el valor de estas potencias.

a) 3 4 ? d

1 4 n 3

b) 3-4 ? d

1 -4 n 3

28

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2.3 Producto de potencias de la misma base Para multiplicar potencias de la misma base se man- n m a ? a = an+m tiene la misma base y se suman los exponentes. EJEMPLO 8

Expresa como una sola potencia. a) (-5)2 ? (-5)3 = (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) = (-5)2+3 = (-5)5 b) e

2

2+3

3

8 8 8 8 8 8 8 8 o ?e o = e o?e o?e o?e o?e o = e o 5 5 5 5 5 5 5 5

=e

5

8 o 5

Las propiedades a n · a m = a n + m a n : a m = a n – m solo se pueden aplicar cuando las potencias tienen la misma base.

2.4 Cociente de potencias de la misma base Para dividir potencias de la misma base se mantiene an : am = an-m la misma base y se restan los exponentes. EJEMPLO 9

Expresa como una sola potencia. (-2) 5

(-2) 5 : (-2) 3 =

(-2)

3

=

(-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) (-2) ? (-2) ? (-2)

= (-2) 5-3 = (-2) 2

2.5 Potencia de una potencia Para elevar una potencia a otra potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes.

(an)m = an ? m

EJEMPLO 10 Expresa como una sola potencia.

>d

4

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3+3+3+ 3 2 3?4 2 12 =d n =d n nH = d n ?d n ?d n ?d n = d n 3 3 3 3 3 3 3 3

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 10 Expresa como una sola potencia. 4

6

a) 5 ? 5 b) (-9)6 : (-9)2 c) e

10

6

5 5 o :e o 6 6

d) >e

4 2

3 oH 5

12 Expresa como una sola potencia estas

operaciones, y calcula el resultado.

2 3

e) (2 ) f) [(-2)2]3 3

3

g) e-

4 4 o ? e- o 3 3

h) e-

4 4 o : e- o 3 3

3

3

a) 24 ? (22)5

e) 42 ? 43 ? 44

b) (24)3 : (22)5

f) (-4)4 ? (-4)3 ? (-4)

c) (22)5 : (24)3

g) (-4)4 : (-4)3 : (-4)

d) d

3 4 3 2 3 n : d n ? d n 4 4 4

h) >d

3 4 3 2 n :d nH 4 4

3

29

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3 Una potencia de base 10 con exponente negativo es igual a un número decimal.

3.1 Potencias de base 10 • Una potencia de base 10 y exponente entero positivo es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique su exponente. • Una potencia de base 10 y exponente entero negativo es igual a la unidad dividida entre dicha potencia con exponente positivo.

10–2 = 0,01 0 2 decimales

10

–5

Notación científica

= 0,00001 14243

EJEMPLO

5 decimales

11 Calcula el valor de estas potencias de 10. a) 101 = 10 b) 10-1 =

c) 102 = 100

1 = 0,1 10

d) 10-2 =

1 = 0,01 100

e) 103 = 1 000 f) 10-3 =

1 = 0,001 1 000

3.2 Expresión de números muy grandes y muy pequeños Para expresar de forma sencilla números muy grandes y muy pequeños se utilizan las potencias de 10. La notación científica es una forma de expresar números mediante el producto de un número mayor o igual que 1 y menor que 10, multiplicado por una potencia de 10. Al exponente de la potencia de 10 se le llama orden de magnitud. EJEMPLO 12 Escribe estos números en notación científica. a) La población mundial es, aproximadamente, de 6 900 000 000 personas.

6 900 000 000 = 6,9 ? 1 000 000 000 = 6,9 ? 109

b) El radio de un átomo mide alrededor de 0,00000000031 m. 3,1 1 0,00000000031 = = 3,1? = 3,1? 10-10 10 000 000 000 10 000 000 000

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 13 Escribe en notación científica.

13 Identifica los números que no están

a) 493 000 000

d) 12,00056

correctamente expresados en notación científica.

b) 315 000 000 000

e) 253

a) 6,02 ? 107 b) 60,2 ? 108 c) 0,602 ? 108

c) 0,0004464

f) 256,256

14 Escribe en notación científica.

a) 250 millones de partículas.

14 Escribe, con todas sus cifras, los siguientes

números dados en notación científica. 6

a) 2,51 ? 10

b) 9,32 ? 10 -8

c) 3,76 ? 10

b) 4 000 millones de habitantes. 12

c) 852,7 millones de kilómetros.

30

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4

Números reales

4.1 Números irracionales Los números irracionales son los números que no se pueden expresar en forma de fracción. Su expresión decimal tiene un número ilimitado de cifras decimales no periódicas. EJEMPLO 15 Calcula la expresión decimal de 2 . 2 = 1,414213562373... Podemos calcular más decimales pero nunca terminaríamos, y no hay cifras que se repitan periódicamente: 2 es un número irracional.

Existen infinitos números irracionales, por ejemplo: • Cualquier raíz no exacta: 3 , - 7 , 1 462 ... • Algunos números especiales: p, e, F... • Determinados números obtenidos combinando sus cifras decimales, por ejemplo: 0,010010001…; 0,020020002…

4.2 Números reales Los números reales se representan como R, y son el conjunto formado por los números racionales y los números irracionales.

Los números decimales pueden ser racionales o irracionales. Todos los números decimales son reales.

Números reales R NÚMEROS RACIONALES Q

NÚMEROS IRRACIONALES I

1 407 5

- 103

12

4567…

p 1,12012

001200

23 -0,1 0…

-3,4!

-

4 9

3

7,42

Números enteros Z 7 3

3

-1

-3

Números naturales N

2

1 304

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 20 Clasifica los siguientes números decimales

en racionales o irracionales. a) 4,325325325… b) 4,330300300030000300000… c) 1,23233233323333233333... d) 3,12359474747...

15 Escribe:

a) Cinco números racionales. b) Cinco números irracionales. c) Cinco números reales. d) Cinco números enteros que no sean números naturales.

31

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7

Intervalos

ANTES, DEBES SABER… Cómo se representan los números enteros en una recta Los números enteros se representan ordenados en la recta numérica. • Los números enteros positivos se sitúan a la derecha del cero. • Los números enteros negativos se sitúan a la izquierda del cero. … -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

G

1

Números enteros negativos

2

3

4

5

6

7

8

…

F

Números enteros positivos

EJEMPLO 7 Representa en la recta numérica los números: -5, +4, 0, -2 y +1. … -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

…

Cómo se representan los números decimales exactos NO OLVIDES 1 unidad = 10 décimas 1 décima = 10 centésimas 1 centésima = 10 milésimas

Si dividimos una unidad decimal en 10 partes iguales, cada una de esas partes es una unidad de orden inmediatamente inferior. EJEMPLO 8 Representa en la recta numérica los números 2,6; 2,16;

14 y 2,12. 5

14 = 2,8 y 2,12 están comprendidos entre 2 y 3. 5 Para representar 2,6 y 2,8 dividimos la unidad correspondiente en diez partes iguales, que son las décimas. Así, 2,6 está situado en la sexta división, y 2,8 en la octava.

Los números 2,6; 2,16;

2,6

2,8

2

3

Para representar 2,12 y 2,16 dividimos la décima correspondiente en 10 partes iguales, que son las centésimas. En este caso, ambos están comprendidos entre 2,1 y 2,2. Así, 2,12 está situado en la segunda división y 2,16 en la sexta. 2,12

2,16

2,1

2,2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 16 Representa en una recta numérica

los siguientes números enteros: -1 +5 +7 0 -9 -4 +4 17 Representa, en una recta numérica, estos

números: 2,3; 2,34; 2,37 y 2,32.

18 Ordena, de mayor a menor, los siguientes

números decimales: 8,5 8,67 8,07 8,45 19 Ordena, de mayor a menor.

0 -3,05 4 -3 -2 2,45 2 -2,85

32

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Un intervalo de extremos a y b está formado por todos los números comprendidos entre a y b. EJEMPLO 20 Dibuja el intervalo de extremos -1 y 0. Pon algunos ejemplos de puntos que pertenecen a él.

0

-1

! Los números -0,5; -0,7 ; -0,12345… pertenecen al intervalo. Es decir, pertenecen a este intervalo todos los números reales entre -1 y 0.

Tipos de intervalo Un intervalo puede contener a los dos extremos, uno o ninguno. • Si los dos extremos pertenecen al intervalo, se dice que es cerrado.

0

1

2

El intervalo cerrado [0, 2] contiene a todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluidos los extremos 0 y 2. SE ESCRIBE ASÍ

0

1

2

2

Cerrado

El extremo pertenece al intervalo.

El intervalo [0, 2) contiene a todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluido el 0 y excluido el 2. • Si el extremo menor no pertenece al intervalo y el mayor sí, se dice que es abierto por la izquierda y cerrado por la derecha.

0

1

G

1

ABIERTO

El extremo no pertenece al intervalo. G

0

G

El intervalo abierto (0, 2) contiene a todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, excluidos los extremos 0 y 2. • Si el extremo menor pertenece al intervalo y el mayor no, se dice que es cerrado por la izquierda y abierto por la derecha.

(a, b]

G

• Si los extremos del intervalo no pertenecen a él, se dice que es abierto.

a

b

2

El intervalo (0, 2] contiene a todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluido el 2 y excluido el 0.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 30 Representa los siguientes intervalos.

3 a) [1, 4] b) (2, 5) c) (3, 6] d) < , 7 n 4 31 ¿Qué intervalo se representa? -7

-1

32 ¿Qué números pertenecen al intervalo (-1, 4]?

a) 0 b) 3,98 c)

! 2 d) -0,3

20 Escribe dos puntos que pertenezcan al intervalo

(-2, 3), otros dos que pertenezcan a (-1, 5], y otros dos que pertenezcan a ambos.

33

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Potencia

Potencias de exponente 0, 1 y -1

Base

F

a

Exponente

nG

a0 = 1 a1 = a 1 a-1 = a

Potencia de exponente positivo a ? a ? a ? … ? a a n = 14444244443 n veces

e

n

a an o = n b b

Números reales R NÚMEROS RACIONALES Q

NÚMEROS IRRACIONALES I

Signo de una potencia F

(-a)n

F

Positivo, si n es par

- 103

Negativo, si n es impar

Potencia de exponente negativo 1 a-n = n a -n

a e o b

7… 456

p

1,12

3 0,12

-

-

0120

0120

00…

4 9 7 3

3

Números enteros Z -1 -3

Números naturales N 2

7,423

1 304 ! -3,4

(a, b]

Intervalos

n

b =e o a

1 407 5

12

a

b


1. CALCULAR PRODUCTOS DE POTENCIAS

2. CALCULAR COCIENTES DE POTENCIAS

Expresa, si se puede, estos productos de potencias con una sola potencia.

Expresa, si se puede, estos cocientes de potencias con una sola potencia.

a) 37 ? 3-9

a) 37 : 3-9

b) 62 ? 22

b) 62 : 22

PRIMERO. Estudiamos

si son iguales las bases o los exponentes de las potencias.

PRIMERO. Estudiamos

a) La base de las dos potencias es la misma, 3.

a) La base de las dos potencias es la misma, 3.

b) Los exponentes son iguales, 2.

b) Los exponentes son iguales, 2.

SEGUNDO.

SEGUNDO.

• Si las bases son iguales, sumamos los exponentes.

• Si las bases son iguales, restamos los exponentes.

a) 37 ? 3-9 = 37+(-9) = 3-2 • Si los exponentes son iguales, multiplicamos las bases. b) 62 ? 22 = (6 ? 2)2 = 122

si son iguales las bases o los exponentes de las potencias.

a) 37 : 3-9 = 37-(-9) = 316 • Si los exponentes son iguales, dividimos las bases. b) 62 : 22 = (6 : 2)2 = 32

34

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3. RESOLVER OPERACIONES CON POTENCIAS Resuelve: [(42)3 ? 4-4 : 4]2 PRIMERO. Resolvemos

las operaciones que están

entre paréntesis. SEGUNDO. Resolvemos

las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.

[(42)3 ? 4-4 : 4]2 = [42?3 ? 4-4 : 4]2 = = [46 ? 4-4 : 4]2 = = [46+(-4) : 4]2 = [46-4 : 4]2 = = [42 : 4]2 = [42-1]2 = = [4]2 = 42 = 16

4. EXPRESAR NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA Expresa en notación científica los siguientes números. a) 20 300

b) -430,02

c) 0,000348

d) -0,000002

PRIMERO. Si

el número tiene parte entera distinta de 0, su orden de magnitud es el número de dígitos de su parte entera menos 1. b) -430,02 = -4,3002 ? 103-1 = -4,3002 ? 102 123 F

F

a) 20 300 = 2,0300 ? 105-1 = 2,03 ? 104 123 5 dígitos

3 dígitos

SEGUNDO. Si el número tiene nula la parte entera, su

orden de magnitud es el número de dígitos que hay desde la coma hasta el primer número no nulo. d) -0,000002 = -2 ? 10-6 14243

F

F

c) 0,000348 = 3,48 ? 10-4 123 4 dígitos

6 dígitos


Calcular cocientes de potencias

1. Calcula las siguientes potencias. 3

a) 4

d) 4 3

4. Expresa como una sola potencia.

0

g) 4

-3

j) 4

-1

0

b) -4

e) -4

h) -4

k) -4-1

c) (-4)3

f) (-4)-3

i) (-4)0

l) (-4)-1

-3

2. Determina si estos números pertenecen al intervalo (-2, 3].

-2,3

4

0

-2

3,22

-24

Calcular productos de potencias 3. Expresa como una sola potencia. 7

2

7

-2

a) 3 ? 3 b) 3 ? 3

3

b) 37 : 3-2

c) 33 : 35

d) 63 : 23

Resolver operaciones con potencias 5. Realiza las siguientes operaciones con potencias.

1

a) [56 ? (52)3 : 5]2

c) [56 : (5-2)3 ? 5]-2

b) [5-6 ? (52)3 : 5]-2

d) [5-6 ? (52)-3 : 5-1]-2

Expresar números en notación científica 6. Expresa estos números en notación científica.

3

c) 3 ? 2 3

a) 37 : 32

3

d) 3 ? (-2)

a) 2 103 000

b) -0,00004503

35

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Actividades 34. ● Escribe en forma de potencia los siguientes productos, y calcula el resultado.

POTENCIAS 21. ● Escribe en forma de potencia estas expresiones.

a) 2 ? 2 ? 2 ? 2

a) 7 ? 7 ? 7 ? 7

b) (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5)

b) (-7) ? (-7) ? (-7) ? (-7) 1 1 1 1 c) ? ? ? 7 7 7 7 1 1 1 1 d) d- n ? d- n ? d- n ? d- n 7 7 7 7

c) e

35. ● Expresa en forma de producto, y calcula el resultado. a) (-3)4

e) 0,7 ? 0,7 ? 0,7 ? 0,7 22. ● Expresa en forma de potencia y como producto. a) Base 12 y exponente 3.

b) e-

c) 56 7

d) e

1 o 2

e) (2,5)3 2

10 o 3

f) (-2,3)4

37. ● Halla el resultado de las siguientes potencias utilizando la calculadora.

b) Base -12 y exponente 3. 36. ●● Escribe en forma de potencia, si es posible, estas expresiones. a) 9 ? 9 ? 9 ? 9 ? 9 b) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 c) 4 ? 4 ? 4 + 4 d) 2 ? 5 + 2 ? 5 + 2 ? 5 e) (-2) ? (-3) ? (-2) ? (-3) ? (-2) ? (-3) f) (6 + 6 + 6 + 6) ? 6 g) 23 + 23 + 23 + 23 h) 5 + 5 ? 5 + 5 ? 5 ? 5 + 5 ? 5 ? 5 ? 5

1 o 4

b) 6

e) e

3 o 2

c) 123

f) e

3 o 10

g) (0,7)2

j) (-2)5

h) (0,04)6

k) (-6)4

i) (1,32)8

l) (-12)3

4

3

38. ● ● Expresa cada número como potencia de un número positivo.

¿CÓMO SE CALCULAN POTENCIAS DE UN NÚMERO NEGATIVO? 23. Calcula estas potencias. 2 2 n d) d- n 3 3

5

2

toma el valor absoluto de su base y se calcula su potencia. 2 2 22 a) 23 = 8 c) d n = 2 = 3 3 5 2 25 b) 24 = 16 d) d n = 5 = 3 3

6

d) e

a) 25 4

HAZLO ASÍ

a) (-2)3 b) (-2)4 c) d-

-2 -2 -2 o?e o?e o 5 5 5

PRIMERO. Se

a) 8

c) 16

e) 64

g) 49

b) 27

d) 81

f) 125

h) 121

39. ● ● Escribe estos números como potencia de un número negativo. a) 16

d) -128

g) -27

b) -125

e) 121

h) -216

c) 49

f) 144

i) 64

44. ● Calcula estas potencias. 4 9 32 243

el exponente es un número impar se añade el signo menos al resultado. 2 2 4 c) d- n = a) (-2)3 = -8 3 9 5 2 32 b) (-2)4 = 16 d) d- n =3 243

a) 2-3

d) 4-2

g) (-5,02)-3

b) (1,3)-2

e) (-3)-2

h) (-2)-4

c) e

-2

1 o 2

f) e

-3

-3 o 5

i) e-

-2

1 o 6

SEGUNDO. Si

45. ● Halla el resultado de las potencias utilizando la calculadora. a) 7-4

c) (-0,07)-4

b) (-4)-7

d) e

-4

3 o 2

e) (0,12)-7 f) e-

-3

5 o 2

36

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OPERACIONES CON POTENCIAS 47. ● Halla el valor de estas potencias. 5

3

9

a) 2 ? 2 b) 25 : 23 c) 37 ? 32 ? 34

5

d) (-4) ? (-4) ? (-4) e) (-4)9 : (-4)5 : (-4) f) (7 ? 4)0

48. ● Obtén el resultado de las siguientes operaciones con potencias utilizando la calculadora. a) (0,03)2 ? (0,03)4 b) (4,1)6 ? (4,1)4 c) (1,2)2 ? (1,2)5 ? (1,2)8 d) (0,6)2 ? (0,6)4 ? (0,6)12 e) (0,7)6 ? (0,7)13 ? (0,7)11

f) (-3)6 : (-3)-2

b) 54 ? 5-3 7 -4 7 3 c) d n ? d n 3 3 7 4 4 d) d- n ? d- n 9 9

g) 54 : 5-3 7 -4 7 3 h) d n : d n 3 3 7 4 4 i) d- n : d- n 9 9

e) (-1,2) ? (-1,2)-4

j) (-1,2) ? (-1,2)-4

49. ●● Expresa el resultado como una sola potencia. a) (33 ? 34 ? 38) : 39 b) (-2)4 ? (-2)6 ? (-2)5 c) (-7)8 : (-7)4 ? (-7)2 3

sustituye el término desconocido por una potencia de la misma base y exponente x. b) 57 : 5x = 54 c) 6x : 64 = 67 a) 84 ? 8x = 87 b) 57 : 5x = 54 = 57-x = 54

c) 6x : 64 = 67 = 6x-4 = 67

TERCERO. Se igualan los exponentes y se resuelve la ecuación resultante.

a) 4 + x = 7 " x = 7 - 4 = 3 La potencia buscada es 83. b) 7 - x = 4 " x = 7 - 4 = 3 La potencia buscada es 53. c) x - 4 = 7 " x = 7 + 4 = 11 La potencia buscada es 611. 27. ● ● Copia y completa. a) 39 ? X = 313

d) X : 113 = 118

b) 912 : X = 92

e) X ? 2 = 25

c) 32 : X = 32

f)

X : 21 = 216

28. ● ● Busca la potencia adecuada.

6

1 1 -1 -1 o :e oH e) >e- o ? e- o H : >e 9 9 9 9 3

PRIMERO. Se

2

5 5 5 o ?e o :e o 2 2 2 2

26. Copia y completa. a) 84 ? X = 87 b) 57 : X = 54 c) X : 64 = 67

a) 84 ? 8x = 87 = 84+x = 87

a) (-3)6 ? (-3)-2

4

¿CÓMO SE CALCULA UN TÉRMINO DESCONOCIDO EN UNA OPERACIÓN CON POTENCIAS DE LA MISMA BASE?

SEGUNDO. Se aplican las propiedades de las potencias.

24. ● Calcula el valor de estas operaciones.

d) e

HAZLO ASÍ

4

f) (-5)8 : [(-5)3 : (-5)3] g) [69 ? 65] : [64 ? 62] 25. ●● Resuelve estas operaciones. a) (114 ? 11 : 112) ? 11-2 b) [(-2)4 ? (-2)7 : (-2)9] ? (-2)-3 c) (8,02)-5 ? (8,02)3 : (8,02)-1 5 7 5 4 5 5 5 -4 d) d- n : d- n : d- n : d- n 2 2 2 2 -3 3 -1 5 5 5 5 e) d n ? d n : >d n ? d n H 8 8 8 8

a) 54 ? 53 ? X = 511

d) 89 : 84 : X = 82

b) 63 ? X ? 64 = 69

e) 96 : X : 93 = 9

c) X ? 78 ? 7 = 712

f)

X : 11 : 114 = 11

29. ● ● Copia y completa. a) 464 ? 463 : X = 462 b) (-4)3 : X ? (-4) = (-4)2 5 3 5 5 3 c) : d n ? d n = d n 7 7 7 53. ● ● Completa. a) 23 ? X = 25 b) (-4)5 ? X = (-4)10 c) e

6

7 o ? 2

=e

d) (-3)12 : X = (-3)6 e) X : 56 = 5

7

7 o 2

f)

: e-

0

3

1 1 o = e- o 3 3

37

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58. ● Expresa como potencia única. 3 4

4 3

a) (2 )

c) [-6 ] d) >e

b) [(-3)3]2

2 4

1 oH 3

3 5

3 e) >e- o H 5 f) [-52]4

30. ● Expresa como una potencia única y calcula. a) (32)-2

c) (0,52)-3 d) >d

b) [(-5)-1] 4

-1 3

1 n H 5

59. ●● Calcula el valor de estas potencias. a) [(-3)2]2 ? [(-3)3]3

b) [(5)8]2 : [(-5)4]3

31. ● Expresa como una potencia única y calcula. a) (82)-3 ? (8-3)2

b) [(-1)4] -1 : [(-1)-3] -2

60. ● Resuelve.

33. ● Copia y completa. a) (32)X = 38

c) (-32)X = (-3)8

b) (5X)3 = 56

d) >d

61. ● ● Completa las siguientes igualdades. a) [(-5)3]X : (-5)7 = (-5)5 b) (X 2) 5 ? X4 = (-3)14

e) -2-3 ? (-2-4) f) (-26) ? (-2-6) g) (-3)4 ? (-34) h) 4-3 ? 2-2

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA UN EXPONENTE DESCONOCIDO DE UNA POTENCIA DE UNA POTENCIA? 32. Copia y completa. a) (34)X = 38 b) (7X)5 = 715 c) [(-5)6]X = (-5)12 PRIMERO. Se sustituye el

exponente desconocido

por x. a) (34)x = 38 b) (7x)5 = 715 c) [(-5)6] x = (-5)12 SEGUNDO. Se aplican las propiedades de las potencias.

a) (34)x = 38 " 34?x = 38 b) (7x)5 = 715 " 75?x = 715 c) [(-5)6]x = (-5)12 " (-5)6?x = (-5)12 TERCERO. Se igualan los exponentes y se resuelve la ecuación resultante. 8 a) 4x = 8 " x = = 4. El exponente es 4. 2 15 = 3. El exponente es 3. b) 5x = 15 " x = 5 12 = 2. El exponente es 2. c) 6x = 12 " x = 6

c) (73) 5 : 7X = 1 d) 119 ? (112)3 = 11X

55. ● ● Resuelve las operaciones. a) 24 ? 2-2 ? 23 b) (2-2)3 ? 2-4 c) (-3)-5 : (-3)2 ? (-3)4 d) [(-3)-2]-4 : (-3)5 e) e

-2

5

-6

1 1 1 o ?e o :e o 3 3 3

2 -3

-1 -1 o : >e oH f) e 4 4 -6

a) (-2)-4 ? [(-2)2]3 b) 34 ? [(-3)2]-2 c) (-8)3 ? 2-4 d) (-2)-3 ? 2-3

3

1 X 1 6 n H =d n 5 5

g) 3-6 : 3-7 ? 32 h) (-5)8 : (-5)-2 : (-5)-1 i) [(-6)3]-5 ? [(-6)-5]4 34. ● Aplica las propiedades de las fracciones para resolver estas operaciones, y utiliza la calculadora para obtener el resultado. a) (234 ? 23 : 232)-4 b) [(-4)4 ? (-4)7 : (-4)9]2 ? (-4)-3 c) [(-1,02)-5 ? (-1,02)3 : (-1,02)-1]-1 2

-2

8 7 8 4 8 5 8 -4 d) >d- n : d- n H : >d- n : d- n H 11 11 11 11 e) >d

-1

4 -3 4 3 4 4 -1 n ? d n H : >d n ? d n H 5 5 5 5

2

56. ● ● Indica y corrige los errores de estas igualdades. a) 32 + 33 + 35 = 32+3+5 = 310 b) 32 ? 33 - 35 = 32+3 - 35 = 35 - 35 = 30 = 1 c) 49 : 42 ? 44 = 49 : 42+4 = 49 : 46 = 49-6 = 43 d) (-2)6 ? (-2)3 = [(-2) ? (-2)]6+3 = 49 e) -32 ? 32 = (-3)2+2 = (-3)4 = 34 f) 2 ? (-3)2 = [2 ? (-3)]2 = (-6)2 = 62 g) 85 ? 87 = (8 + 8)5+7 = 1612 h) 31 ? 30 = 31 ? 0 = 30 = 1 57. ● ● Justifica si son ciertas o no las igualdades. a) 9-1 = -9 b) (-2)-4 = 24 c) (-3)-6 = 3-6

d) (-3)-3 = (-3)-2 ? 3-1 e) 4-3 = (-4)-1 ? (-4)4 f) (2-5)-1 = 2-6

38

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NOTACIÓN CIENTÍFICA 66. ● Expresa como potencia de base 10 el resultado de las siguientes operaciones. a) 0,000000001 ? 1 000 000 b) 0,0000000010 ? 10 000 000 c) 0,00000000001 : 1 000 000 000 d) 0,000001 : 1 000

68. ● Escribe, con todas sus cifras, los siguientes números escritos en notación científica. c) 3,124 ? 10-7 d) 5,3732 ? 107

b) (4, 6]

d) [0, 6)

a) (-3, 5)

c) (-3, 5]

b) [-3, 5)

d) [-3, 5]

PROBLEMAS CON POTENCIAS Y NÚMEROS REALES 93. ● ● Expresa en forma de potencia cuántos abuelos, bisabuelos y tatarabuelos tienes.

NÚMEROS REALES 72. ● Indica el conjunto numérico mínimo al que pertenece cada número o expresión. e) p - e f) 1,010222… g) 300,301302… h) 169

i) 99 e j) 6,585959… k) 1,00111…

73. ● Ordena, de mayor a menor, estos números. 7 a) - 3 ; - ; -1,7333...; -1,73206 5 10 b) 1; 1,00111...; ; 1,111...; 1,08999... 9 74. ● Averigua cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales. a) 0,444444… b) 0,323232…

c) (3,5; 9)

92. ● ¿Cuál de estos intervalos utilizarías para expresar el conjunto de los números reales mayores que -3 y menores o iguales que 5?

a) Tres billones y medio. b) Doscientas milésimas. c) Diez millonésimas. d) Cien mil millones y medio.

a) 7,65444… b) -11,2 c) 999 d) 9,88777…

a) [1, 5]

91. ● Escribe dos intervalos que contengan ! al número -0,8 .

67. ● Escribe en notación científica.

a) 3,432 ? 104 b) 1,3232 ? 10-3

89. ● Representa sobre la recta real estos intervalos, e indica dos números que pertenezcan a los cuatro intervalos a la vez.

c) 0,151155111555… d) 0,234432234432…

INTERVALOS 87. ● Representa los siguientes intervalos. a) [-2, 3] b) (-1, 0) c) (-5, 1] d) [6, 9) 88. ● ¿Qué intervalos son los representados? -5

1

-2

4

94. ● ● Se ha organizado un concurso de tiro con arco. Después de seleccionar a los concursantes se han formado cinco equipos de cinco miembros cada uno. Cada miembro del equipo dispone de cinco flechas para lanzar a la diana. ¿Cuántas flechas se necesitan? 95. ● ● La biblioteca del aula tiene tres estanterías. Cada estantería consta de tres baldas y cada balda tiene tres apartados que contienen tres libros. ¿Cuántos libros tiene la biblioteca? Expresa el resultado en forma de potencia. 96. ● ● ● La paga semanal de Mario es de 32 €. Sus padres le han castigado reduciéndosela a la mitad cada semana. a) Expresa este proceso en forma de potencias. b) ¿Cuántas semanas tienen que pasar para que la paga quede reducida a 25 céntimos?

39

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3

Polinomios El servidor del califa Mohamed recorría nervioso las salas de la Casa de la Sabiduría buscando al sabio Al-Khwarizmi, el cual le había enseñado un método para contar y operar con cantidades desconocidas que el joven aplicaba en su trabajo como funcionario de abastos del palacio del califa. Por fin, sentado al lado de una fuente encontró a su maestro. –Maestro, ¿podemos repasar los cálculos de ayer? –Me alegra tu afán de conocimiento. –Al-Khwarizmi se extrañaba de que Mohamed dedicara cada rato libre a aprender.

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Investiga sobre las aportaciones de la cultura árabe al estudio de las matemáticas y sobre la vida y obra de Al-Khwarizmi. 2. ¿A qué se llamó Casa de la Sabiduría de Bagdad? ¿Qué relación tiene con Al-Khwarizmi?

–La riqueza de los pobres es la bondad y el conocimiento, y como cualquier hombre, yo deseo ser rico; además, ningún ladrón puede robártela –repuso Mohamed con una sonrisa. –¡Está bien, está bien! –contestó, y entre asombrado y divertido el sabio le propuso unos ejercicios aritméticos mientras él estudiaba el lenguaje algebraico y las ecuaciones. En la tablilla podía leerse: «Un cuadrado y diez raíces son igual a treinta y nueve unidades…».

3. Busca información sobre las aportaciones de Al-Khwarizmi al álgebra.

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Antes de empezar la unidad... LENGUAJE ALGEBRAICO El lenguaje algebraico expresa la información matemática con números y letras. Lenguaje usual

Lenguaje algebraico

La suma de dos números

a+b

Un número aumentado en 3 unidades

y+3 x2 3?x c =3 2

El cuadrado de un número El triple de un número La mitad de un número es igual a 3

Las letras más utilizadas en el lenguaje algebraico para representar cualquier número son: x, y, z, a, b, c, d…


Al igual que para expresarnos en el lenguaje usual utilizamos expresiones escritas, para expresarnos en el lenguaje algebraico utilizamos expresiones algebraicas. Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones matemáticas. Expresión escrita


El triple de un número más otro número

3?x+y

El doble de un número más tres unidades

2?x+3 1 x - 3x 2

La mitad de un número menos tres veces ese número

EVALUACIÓN INICIAL 1 Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados.

a) El triple de un número. b) La cuarta parte de un número. c) Cinco veces un número. d) La tercera parte de un número más cinco unidades. e) El cuadrado de un número más uno. f) Tres veces un número menos cinco. g) Cuatro veces un número menos su cuadrado. h) La suma de dos números consecutivos. i) Un número par. j) Un número impar. k) El número siguiente a un número. 1. Transforma en expresiones algebraicas. a) El doble del cuadrado de un número. b) Un número más la mitad de otro.

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Reconocer y operar con monomios. • Distinguir polinomios, calcular su grado y realizar operaciones con ellos. • Sacar factor común en un polinomio. • Conocer y manejar las igualdades notables.

41

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1

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número, llamado coeficiente, y una o varias letras elevadas a un número natural, que forman la parte literal del monomio. Las letras de la parte literal se llaman variables. El grado de un monomio es el exponente de la letra que forma la parte literal, si solo hay una, o la suma de los exponentes, si hay más de una.

SE ESCRIBE ASÍ • El signo del producto de números y letras no se suele escribir. 5 ? x2 ? y3 = 5x2y3 • El exponente 1 no se escribe. a1b1 = ab

EJEMPLO

• Cuando un monomio está formado solo por letras, su coeficiente es 1. x3 = 1 ? x3 " coeficiente 1

1

Completa esta tabla: Monomio

Coeficiente

Parte literal 7

Variables

Grado

-6x

-6

x

x

7

3x3y2

3

x3y2

x, y

3+2=5

3 3 a b 5

3 5

3

ab

a, b

3+1=4

x5

1

x5

x

5

14y

14

y

y

1

-x

-1

x

x

1

7

Monomios semejantes Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. EJEMPLO 2

Determina si son o no semejantes estos monomios. a) -3x2 y 5x2 " Son semejantes, porque tienen la misma parte literal, x2. b) 6ab2 y 2a2b " No son semejantes. c) 6ab2 y 2ab2 " Son semejantes, porque tienen la misma parte literal, ab2.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Determina el coeficiente, la parte literal,

1 Indica el coeficiente, la parte literal y el grado

las variables y el grado de estos monomios. 3

3 2

4

c) 4x y

a) 7x 2

b) -5y

e) x y 4

d) -2xy

de estos monomios. a) -3x3y2z4

c) x15y

b) -5b2c3

d) -

5

f) -xy

2 Escribe monomios que cumplan las condiciones

en cada caso. a) Coeficiente -3 y parte literal x2y. b) Coeficiente 1 y grado 3. c) Coeficiente -1 y variable x.

2 5 xy 3

2 Determina si los monomios son semejantes.

1 2 3 5 x y z y -5z5x2y3 2 b) 6x3y4 y 6x4y3 a)

c) xy3 y -xy3 d) 7x y -x

42

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2

Operaciones con monomios

2.1 Suma y resta de monomios La suma (o resta) de dos o más monomios solo se puede realizar si son semejantes; en caso contrario, la operación se deja indicada. El resultado de la suma (o resta) de dos o más monomios semejantes es otro monomio semejante que tiene por coeficiente la suma (o resta) de los coeficientes. EJEMPLO 3

Efectúa las siguientes operaciones. a) 6x4 + 5x4 - 3x4 = (6 + 5 - 3)x4 = 8x4 b) 2x2y - 4x2y + 6x2y = (2 - 4 + 6)x2y = 4x2y c) 7x4 - 4x2 + 9x4 + 6x2 = (7 + 9)x4 + (-4 + 6)x2 = 16x4 + 2x2

2.2 Multiplicación y división de monomios ANTES, DEBES SABER… Cómo se multiplican y dividen potencias de la misma base • Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se mantiene la misma base y se suman los exponentes. 5

4

3 ?3 =3

5+4

9

5

4

x ?x =x

=3

5+4

=x

9

• Para dividir dos o más potencias de la misma base, se mantiene la misma base y se restan los exponentes. x 6 ? x5 = x 6-5 = x1 = x 3 6 : 3 4 = 3 6-4 = 3 2

• Un número elevado a 1 es el mismo número. 31 = 3 x 1 = x • Un número elevado a 0 es siempre 1. 30 = 1 x 0 = 1

• Para multiplicar monomios, por un lado, multiplicamos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales. • Para dividir monomios, por un lado, dividimos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales (si se puede). EJEMPLO 4

Realiza estas operaciones con monomios. a) -4x2 ? 3x = (-4 ? 3) ? (x2 ? x) = -12x2+1 = -12x3 b) -x2y4 ? 3y3 = (-1 ? 3) ? (x2y4 ? y3) = -3x2y4+3 = -3x2y7 c) 12x5 : 4x3 = (12 : 4) ? (x5 : x3) = 3x5-3 = 3x2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER las operaciones. 5 Realiza 2

2

2

2

2

a) 6x + 2x - x + 3x - x b) 3x2y2 - 2x2y2 + 6x2y2 - x2y2

las operaciones. 5 Realiza c) (-5ab) ? (6abc) d) (-8x2y) ? (-4xy2)

e) (15xy) : (-3x) f) (2xyz) : (-2xy)

43

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3

Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios no semejantes. EJEMPLOS 5

Pon ejemplos de polinomios.

1

3x + 2y x4 - 2xy + 4 5ab2 + 6a2b - 7 Determina si las siguientes expresiones son polinomios. a) x 2 + 2 x - 3 = 1 " No es un polinomio, es una igualdad. b) 3x 3 - 2 x 3 + x - 2 Si hay monomios semejantes, primero hay que operar: 3x3 - 2x3 + x - 2 = x3 + x - 2 " Es un polinomio. 1 el denominador es un polinomio, una fracción Aunque c) x-2 no es un polinomio.

Los polinomios se designan con letras mayúsculas, indicando entre paréntesis las variables que intervienen.

P(x ) = 6x 5 – 3x 4 – 9x + 7 Polinomio de una variable, x . P(x, y) = 2x 2y – 7x – 2 Polinomio de dos variables, x e y.

• Cada uno de los monomios que forman un polinomio se denomina término, y el que no tiene parte literal, término independiente. • Al mayor de los grados de los términos de un polinomio que no tiene monomios semejantes se le llama grado del polinomio. EJEMPLOS 2

Determina los términos y el grado de estos polinomios. a) 7x2 - 2x - 3 Término de mayor grado = 7x2 Grado del polinomio = 2

Términos

7x2 - 2x - 3

F Término

independiente b) -6x 5 - 3x 4 + 16x + 6x 5 - 2x 4 Como tiene monomios semejantes, operamos: Términos -6x5 - 3x 4 + 16x + 6x5 - 2x 4 =-5x 4 + 16x Término de mayor grado = -5x4 -5x4 + 16x Grado del polinomio = 4 Término independiente = 0

7 Determina los términos y el grado de este polinomio: Términos P(x, y) = 5x2y + 7xy -4 F


2

Término de mayor grado = 5x y " Grado del polinomio = 2 + 1 = 3

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 Determina los términos y el grado de estos

8 Determina el grado, las variables y el término

polinomios.

independiente de estos polinomios.

a) x 3 - 2x 2 + x - 16 b) -4x5 - x 3 + 2x2 - 7x + 9

a) P(x, y) = -2x5 - x2y2 + 5x3 - 1 + 3x3 + 3 b) Q(x, y) = x2 + 4x3 - x - 9 + 4x4y3

44

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Valor numérico de un polinomio ANTES, DEBES SABER… Cuál es el signo de una potencia que tiene como base un número entero • Si la base es un número positivo, la potencia es positiva. 25 = 32 34 = 81 53 = 125 42 = 16 • Si la base es negativa, la potencia es positiva si el exponente es un número par, y negativa si es impar. (-2)5 = -32 (-3)4 = 81 (-5)3 = -125 (-4)2 = 16

El valor numérico de un polinomio es el resultado que se obtiene al sustituir las variables por números determinados y operar d espués. EJEMPLO 9

Halla el valor numérico de los polinomios para los valores que se indican. a) P(x) = 2x3 - 3x2 - 2, para x = 1.

SE ESCRIBE ASÍ El valor numérico de un polinomio P(x), para un valor x = a, lo expresamos como P(a). Dado P(x) = 4x2 - 7, su valor numérico para x = 1 es: P(1) = 4 ? 12 -7 = -3

b) Q(x) = -3x3 + x2 - x, para x = -1. b) P(x, y) = 2x2y - 8xy - 9, para x = -1 e y = 2. a) Sustituimos la variable x por 1 y operamos: x=1

P(x) = 2x3 - 3x2 - 2

3 2 " P(1) = 2 ? 1 - 3 ? 1 - 2 =

= 2 ? 1 - 3 ? 1 - 2 = -3 El valor numérico de P(x) para x = 1, P(1), es -3.

b) Sustituimos la variable x por -1 y operamos: x = -1

Q(x) =-3x 3 + x2 - x " Q(-1) =-3 ? (-1) 3 + (-1) 2 - (-1) = =-3 ? (-1) + 1 + 1 = 3 + 1 + 1 = 5 =-3 ? (-1) + 4 ? 1 - 7 ? (-1) = 3 + 1 + 1 = 5 El valor numérico de Q(x) para x = -1, Q(-1), es 5. b) Sustituimos las variables x e y por -1 y 2, respectivamente. x = -1, y = 2

P(x, y) = 2x2y - 8xy - 9

" P(-1, 2) = 2 ? (-1)2 ? 2 - 8 ? (-1) ? 2 - 9 =

= 2 ? 1 ? 2 + 8 ? 1 ? 2 - 9 = 11 El valor numérico de P(x, y), para x = -1 e y = 2, P(-1, 2), es 11.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Halla el valor numérico de los siguientes

11 Calcula el valor numérico del polinomio

polinomios para x = 0 y x = -2.

en cada caso.

a) P (x) = 2x 3 - 8x2 + 19 b) Q(x) = 8x5 + 4x - 6 c) R(x) =-10x 4 - 5x 3 + 5x d) S(x) =-x 6 - x5 + x2 - x + 1 e) T (x) =- 3x 4 + 6x 3 - x2

a) P (x) = 3x6 + 2x5 - 3x4 - x2 + 7x - 2, para x = 0. b) Q(x) = -x5 + 2x3 - x2, para x = -1. b) P (x, y) = -x4y - x2y + 7xy - 2, para x = 1, y = 2.

45

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4

Operaciones con polinomios

4.1 Suma y resta de polinomios ANTES, DEBES SABER… Cómo se suprimen paréntesis • Si el paréntesis viene precedido por el signo +, se suprime el paréntesis dejando los signos del interior tal y como aparecen. • Si el paréntesis viene precedido del signo -, al suprimir el paréntesis todos los sumandos del interior se transforman en su opuesto. EJEMPLO 3

2.º Al resultado se le añade el signo del número con mayor valor absoluto. –5 + 2 = –|5 – 2| = –3

-(-5 + 6 - 7) = 5 - 6 + 7

F

1.º Se restan sus valores absolutos (el menor del mayor).

Realiza esta operación, eliminando primero los paréntesis. -1 + (-2 + 3 - 4) - (-5 + 6 - 7) = -1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 = 2 F

Para sumar dos números enteros de distinto signo:

+(-2 + 3 - 4) = -2 + 3 - 4

Para sumar (o restar) polinomios, se agrupan los monomios del mismo grado y se suman (o restan) sus coeficientes. EJEMPLO 11 Suma y resta P(x) = 2x3 - 3x2 + 4x + 1 y Q(x) = -x3 + x2. La suma y resta de polinomios se puede realizar en horizontal o en vertical. 2x3 - 3x2 + 4x + 1 -x3 + x2 x3 - 2x2 + 4x + 1

+

P(x) + Q(x) = (2x3 - 3x2 + 4x + 1) + (-x3 + x2) = = 2x3 - 3x2 + 4x + 1 - x3 + x2 = = x3 - 2x2 + 4x + 1 P(x) - Q(x) = (2x3 - 3x2 + 4x + 1) - (-x3 + x2) = = 2x3 - 3x2 + 4x + 1 + x3 - x2 = = 3x3 - 4x2 + 4x + 1 -

2x3 - 3x2 + 4x + 1 -x3 + x2 3x3 - 4x2 + 4x + 1

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 16 Halla la suma y la resta de cada par de polinomios.

y Q(x) = x4 + x2, calcula: P(x) + Q(x) - 2 x2

a) R (x) = x4 - x + 1; S(x) = x2 + 1 b) R(x) = x + 1; S(x) = x2 + x - 1 c) R(x) = 5x7 - x8 + 1; S(x) = x2 + x6 - 1 5

4

3

5 Dados los polinomios P(x) =-x 3 + 3x - 1

3

d) R(x) = x - x + x + 2x + 1; S(x) = x + 2x

17 Calcula B(x) -A(x) con los polinomios:

(x) = 3x4 - 5x3 + x2 - 7 A B(x) = -3x4 + x3 - 2x + 1

46

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4.2 Multiplicación de polinomios ANTES, DEBES SABER… Cómo se multiplica un polinomio por un monomio Para multiplicar un polinomio por un monomio, multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio. EJEMPLO 4

Multiplica el polinomio P(x) =-2x4 + 3x2 - x - 1 por el monomio 2x3. La multiplicación de un polinomio por un monomio se puede hacer en horizontal o en vertical. -2x4 + 3x2 - x - 1 3 2x3 -4x7 + 6x5 - 2x4 - 2x3

Recuerda la regla de los signos para la multiplicación: + ? + = + – ? + = – + ? – = – – ? – = +

P(x) ? 2x 3 = (-2x 4 + 3x2 - x - 1) ? 2x 3 = =-2x 4 ? 2x 3 + 3x2 ? 2x 3 - x ? 2x 3 - 1 ? 2x 3 = =-4x7 + 6x5 - 2x 4 - 2x 3

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por todos los monomios del otro, y, después, se suman los polinomios obtenidos. EJEMPLO 12 Resuelve estos productos de polinomios. a) (2x3 + x + 1) ? (2x2 - x) 2x3 + x + 1 3 2x2 - x - 2x4 + 2x3 - x2 - x 5 4x - 2x4 + 2x3 + 2x2 + 4x5 - 2x4 + 2x3 + x2 - x b) 2x ? (x3 + x + 1) = 2x ? x3 + 2x ? x + 2x ? 1 = 2x4 + 2x2 + 2x

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 6 Realiza las siguientes multiplicaciones. 3

2

2

a) (x - x - 5x - 4) ? x b) (4x5 - 3x 4 + 6x - 3) ? 5x2 c) 3x ? (5x5 + 4x 3 + 12) d) 5x 3 ? (-x 4 - 2x 3 + 9x - 1) e) (2x 4 - 6x2 - 2) ? (-3x2) f) (-5x2) ? (-2x 4 - 5x 3 + 6x2 + 5)

16 Halla el producto de cada par de polinomios.

a) R(x) = x4 - x + 1; S(x) = x2 + 1 b) R(x) = x + 1; S(x) = x2 + x - 1 c) R(x) = 5x7 - x8 + 1; S(x) = x2 + x6 - 1 d) R(x) = x5 - x4 + x3 + 2x + 1; S(x) = x3 + 2x e) R(x) = 7x3 - 2x2 + x - 3; S(x) = x4 + x2 - 8 f) R(x) = x7 + 3; S(x) = x3 + x2 + 4x + 2

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TAMBIÉN, DEBES SABER… Cómo se divide un polinomio entre un número Para dividir un polinomio entre un número, dividimos cada término del polinomio entre el número. Recuerda la regla de los signos para la división: + : + = + – : + = – + : – = – – : – = +

EJEMPLO 5

Divide el polinomio P(x) = 24x6 - 6x4 + 8x2 - 12 entre 2. 6 4 2 24x - 6x + 8x - 12 2 -24x6 12x6 - 3x4 + 4x2 - 6 4 - 6x 6x4 + 8x2 - 8x2 - 12 12 0

P(x) : 2 = (24x6 - 6x4 + 8x2 - 12) : 2 = = (24x6 : 2) - (6x4 : 2) + (8x2 : 2) - (12 : 2) = = 12x6 - 3x4 + 4x2 - 6

Cómo se divide un polinomio entre un monomio Para dividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada término del polinomio entre el monomio. EJEMPLO 6

Divide el polinomio P(x) = 6x5 + 3x4 - 9x entre el monomio 3x. 5 4 6x + 3x - 9x 3x -6x5 2x4 + x3 - 3 + 3x4 - 3x4 - 9x 9x 0

P(x) : 3x = (6x5 + 3x4 - 9x) : 3x = (6x5 : 3x) + (3x4 : 3x) - (9x : 3x) = = 2x4 + x3 - 3

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 7 Resuelve las siguientes divisiones.

8 Haz estas divisiones.

a) (3x - 6x - 9x + 12) : 3

a) (x 3 - x2 - 5x) : x

b) (-18x5 - 6x 4 - 36x 3 + 48x + 12) : 6 c) (8x5 - 4x 4 + 6x + 14) : (-2)

b) (8x5 - 6x 4 + 12x) : 2x

3

2

d) (-16x3 - 24x 4 + 8x + 32) : (-4) e) (4x 3 - 2) : (-2) f) (-6x5 + 12x2) : (-3)

c) (10x7 + 15x5 - 25x 4 - 20x3 + 5x2) : (-5x2) d) (-6x5 - 9x 4 + 6x 3) : (-3x 3) e) (-5x 4 + 10x2) : (-5x) f) (-8x5 + 2x 3 - 6x2) : (-2x)

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5

Factor común

ANTES, DEBES SABER… Cómo se aplica la propiedad distributiva La propiedad distributiva nos permite transformar un producto en una suma o una resta. EJEMPLO 7

Aplica la propiedad distributiva a estas operaciones. a) 5 ? (8 + 4) = 5 ? 8 + 5 ? 4

c) -5 ? (-8 + 4) = -5 ? (-8) + (-5) ? 4

b) 5 ? (8 - 4) = 5 ? 8 - 5 ? 4

d) -5 ? (-8 - 4) = -5 ? (-8) - (-5) ? 4

Sacar factor común consiste en transformar una expresión de suma o resta en producto.

Factor común

"

a ? b + a ? c = a ? (b + c)

! Propiedad distributiva

Factor común

"

a ? b - a ? c = a ? (b - c)

! Propiedad distributiva

Cuando el factor común coincide con cualquiera de los sumandos, en su lugar queda la unidad. 3 + 6x = 3 ? (1 + 2x)

EJEMPLO 14 Extrae factor común en estos polinomios. a) 3x + 3y Tenemos que encontrar los factores que se repiten en todos los términos del polinomio. En este caso, 3 está en ambos términos. 3x + 3y = 3 ? (x + y) b) 3x - 3y 3x - 3y = 3 ? (x - y) c) 5 + 5x - 5x2 En este caso, el factor que se repite es 5. 5 + 5x - 5x2 = 5 ? (1 + x - x2) c) x3 - x2 + 2x Descomponemos los sumandos de este polinomio como producto: x3 - x2 + 2x = x ? x2 - x ? x + 2 ? x " Factor común = x x3 - x2 + 2x = x ? (x2 - x + 2)

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 9 Saca factor común en las expresiones. 3

10 Extrae factor común.

a) 3x - 3

a) 7x3 - 7x2 + 7x

b) 4x2 - 4 + 4

b) 6x5 - 12x4 + 6x3

c) -5x4 + 10

c) -2x4 + 8x2

d) x3 - x2 - 5x

d) -3x3 - 6x2 + 6x

49

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ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el máximo común divisor Para calcular el máximo común divisor de varios números: 1.º Descomponemos los números en factores primos. 2.º Elegimos los factores comunes elevados al menor exponente. 3.º El producto de estos factores es el m.c.d. de los números. EJEMPLO 8

Obtén el máximo común divisor de 27 y 45. Primero, descomponemos 27 y 45 en factores primos: 27 3 45 3 9 3 15 3 3 3 5 5 1 45 = 3 ? 3 ? 5 = 32 ? 5 1 27 = 3 ? 3 ? 3 = 33 El único factor primo común es 3. Al elevarlo al menor exponente: 32 Así, resulta que: m.c.d. (27, 45) = 32 = 9

EJEMPLO 14 Extrae factor común en estos polinomios. d) 6x3 + 2x2 = 2 ? 3 ? x ? x2 + 2 ? x2 " Factor común = 2x2 6x3 + 2x2 = 2x2 ? (3x + 1) e) 24x3 + 72x2 - 6x Para determinar si un número es factor común se halla el m.c.d. de los coeficientes de cada término. m.c.d. (6, 24, 72) = 6 Además, en este caso, la x se repite en todos los sumandos. 24x3 + 72x2 - 6x = 6x ? (4x2 + 12x - 1) f) -60x2 + 15x - 45 Calculamos el m.c.d. de los coeficientes. m.c.d. (15, 45, 60) = 15 En este caso, la x no se repite en todos los sumandos. -60x2 + 15x - 45 = 15 ? (-4x2 + x - 3) f) -18y2x3 - 12yx2 + 24yx m.c.d. (12, 18, 24) = 6 " Factor común = 6yx -18y2x3 - 12yx2 + 24yx = 6yx ? (-3yx2 - 2x + 4)

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Extrae factor común en las expresiones. 3

2

a) 16x - 64x + 48 b) 7x4 - 28x3 + 63x c) -21x4 - 15x3 + 3 d) -16x6 - 8x4 - 4x2

factor común en los siguientes polinomios. 22 Saca a) 8x2 - 4x b) 18x3y2 - 12x2y3 c) 30a2b - 15ab2 + 5a2b2 d) -12ab3 + 4b2 - 6b4

50

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6

Igualdades notables

Se llaman igualdades notables a ciertos productos de binomios que sirven para facilitar algunos cálculos con expresiones algebraicas.

6.1 Cuadrado de una suma El cuadrado de una suma de monomios es igual al cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

6.2 Cuadrado de una diferencia El cuadrado de una diferencia de monomios es igual al cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

La

Los polinomios formados por dos términos se denominan binomios.

6.3 Suma por diferencia

2x + 1 3a 2 + 5b x–3 –1 + 2x

El producto de una suma de monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados. EJEMPLO 15 Aplica las igualdades notables y desarrolla los siguientes cuadrados. F

a) (5x + 3)2 = (5x)2 + 2 ? 5x ? 3 + 32 = 25x2 + 30x + 9 a = 5x b = 3 F

b) (2x - 3y)2 = (2x)2 - 2 ? 2x ? 3y + (3y)2 = 4x2 - 12xy + 9y2 a = 2x b = 3y

16 Realiza estos productos. F

a) (2x + y) ? (2x - y) = (2x)2 - y2 = 4x2 - y2 a = 2x b = y F

b) (3x3 - 5x) ? (3x3 + 5x) = (3x3)2 - (5x)2 = 9x6 - 25x2 a = 3x3 b = 5x

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 25 Desarrolla los siguientes cuadrados. 2

a) (x + 7) b) (2x + 1)2 c) (6 + x)2 e) (x - 4)2 f) (3a - b)2 g) (5 - a)2

28 Calcula los productos.

a) (x + 7) ? (x - 7)

b) (7x + 4y) ? (7x - 4y)

12 Desarrolla estas expresiones utilizando las

igualdades notables. a) (2x 2 - 1)2 b) (-2x 2 + x)2

c) x 2 - 4 d) x 2 - 1

51

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Monomio

Variable F

-4 x2

G

Grado

Coeficiente Parte literal

Monomios semejantes 17x3y -5x3y Misma parte literal

Polinomio

Factor común a ? b + a ? c = a ? (b + c) a ? b - a ? c = a ? (b - c) Igualdades notables Cuadrado de una suma (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Cuadrado de una diferencia (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Términos

7x2 - 2x - 3

Término G independiente

Suma por diferencia (a + b) ? (a - b) = a2 - b2


1. SUMAR Y RESTAR POLINOMIOS Dados los polinomios P(x) = 5x 3 + 7x 2 - 2x y Q(x) =-x 3 + 3x - 1, realiza las siguientes operaciones. a) P(x) + Q(x) b) P(x) - Q(x) PRIMERO.

Eliminamos los paréntesis, teniendo en cuenta que:

• Si el paréntesis viene precedido por el signo +, se suprime el paréntesis dejando los signos del interior tal y como aparecen. • Si el paréntesis viene precedido del signo -, al suprimir el paréntesis todos los sumandos del interior se transforman en su opuesto. a) P(x) + Q(x) = (5x3 + 7x2 - 2x) + (-x 3 + 3x - 1) = 5x3 + 7x2 - 2x - x3 + 3x - 1 b) P(x) - Q(x) = (5x 3 + 7x2 - 2x) - (-x 3 + 3x - 1) = 5x 3 + 7x2 - 2x + x 3 - 3x + 1 SEGUNDO. Agrupamos los

monomios semejantes.

a) P(x) + Q(x) = 5x3 + 7x2 - 2x - x 3 + 3x - 1 = 5x3 - x3 + 7x2 - 2x + 3x - 1 = \ \ Semejantes Semejantes 3 2 = 4x + 7x + x - 1 b) P(x) - Q(x) = 5x3 + 7x2 - 2x + x 3 - 3x + 1 = 5x3 + x3 + 7x2 - 2x - 3x + 1 = \ \ Semejantes Semejantes 3 2 = 6x + 7x - 5x + 1 TERCERO.

Sumamos y restamos los monomios semejantes.

a) P(x) + Q(x) = 5x 3 - x 3 + 7x2 - 2x + 3x - 1 = 4x 3 + 7x2 + x - 1 \ \

b) P(x) - Q(x) = 5x 3 + x 3 + 7x2 - 2x - 3x + 1 = 6x3 + 7x2 - 5x + 1 \ \

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2. MULTIPLICAR POLINOMIOS

3. DIVIDIR UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO

Calcula: (x5- x2 - x) ? (x2 + x) Primero. Multiplicamos

cada monomio del polinomio que tenga menos términos, por el otro polinomio. (x5 - x2 - x) ? (x2 + x) = = (x5 - x2 - x) ? x2 + (x5 - x2 - x) ? x = = x5 ? x2 - x2 ? x2 - x ? x2 + x5 ? x - x2 ? x - x ? x = = x7 - x4 - x3 + x6 - x3 - x2

Segundo. Reducimos los monomios semejantes, si los hay, y ordenamos los monomios según su grado en orden decreciente. x7 - x4 - x3 + x6 - x3 - x2 = x7 - x4 + x6 - 2x3 - x2

Calcula: (8x6 - 12x5 - 2x2) : (2x2) Primero. Dividimos

cada término del polinomio entre el monomio divisor. (8x6 - 12x5 - 2x2) : (2x2) = = 8x6 : (2x2) - 12x5 : (2x2) - 2x2 : (2x2)

Segundo. Dividimos

los coeficientes, por un lado, y las partes literales, por el otro. 8x6 : (2x2) - 12x5 : (2x2) - 2x2 : (2x2) = = (8 : 2)x 6-2 - (12 : 2)x 5-2 - (2 : 2)x 2-2 = = 4x4 - 6x3 - 1x0 = 4x4 - 6x3 - 1 0 1

2. SACAR FACTOR COMÚN Extrae factor común en el polinomio 3y2x5 - 12y2x4 - 15yx2. PRIMERO. Comprobamos

si hay letras que se repiten en todos los sumandos. Si las hay, tomamos las que aparecen con menor exponente. Se repiten en todos los sumandos las letras x e y. x con menor exponente " x2 y con menor exponente " y

SEGUNDO. Hallamos

el m.c.d. de los coeficientes

de cada término.

TERCERO. El factor común son las letras y el número que hemos obtenido. Factor común: 3yx2 CUARTO. Dividimos

el polinomio entre el factor común. Expresamos el polinomio como producto del factor común por el polinomio resultante de la división. 3y2x5 - 12y2x4 - 15yx2

: 3yx2

yx3 - 4yx2 - 5

F

Por tanto, resulta que: 3y2x5 - 12y2x4 - 15yx2 = 3yx2 ? (yx3 - 4yx2 - 5)

m.c.d. (3, 12, 15) = 3


Multiplicar polinomios

1. Identifica los términos y el grado de los siguientes polinomios. a) -x 3y + 5y2 - 14xy + 1 b) x5 - x2 - x - 4

2. Multiplica los siguientes polinomios.

2. Utiliza las igualdades notables para desarrollar estos cuadrados. a) (x - 1) 2

b) (2x + 3) 2

Sumar y restar polinomios 1. Suma y resta estos polinomios. P(x) = x 4 + 3x2 - 5x + 1 Q(x) =-3x 4 - x 3 + 8x - 5

P(x) = x 4 + 3x2 - 5x + 1 Q(x) = 3x2 - 5 Dividir un polinomio entre un monomio 3. Realiza esta división: (8x 4 - 6x2 - 10x) : 2x Sacar factor común 4. Saca factor común en los polinomios. a) 3x5 + 5x 3 - 14x2 b) 18 x5 y - 6 x2 y2 - 12xy2 d) -6xy2 - 12x2 y2 - 24x 3 y2

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Actividades 40. ● Haz las siguientes operaciones. a) -xz + 6xz + xyz - 8xz b) 9a 2b - 2a 2b + 8a 2b - a 2b c) 9c 9 - c 9 - c 9 + 10c 9 d) 8xy + 7xy - xy + 3xy - xy

MONOMIOS. OPERACIONES 35. ● Indica si las siguientes expresiones son o no monomios. 3 1 a) 2x2 + yz c) 5x5y2 e) x + y 3 2 2 x2 y-4 b) d) xyz f) 3ab + 2a 2 11

17. ● Realiza las siguientes operaciones.

13. ● Indica en cada monomio el coeficiente, la parte literal y el grado, y calcula su monomio opuesto. 2 3

c) -3y z d) 8acb

a) 2xy b) 12x2yz

e) -6a f) 9b

2

14. ● Completa la siguiente tabla: Monomio

Coeficiente

Parte literal

Grado

4

xy

5

-9

abc

4

1

z

6

2/3

bc

3

-8xyz2 3a2b4

c) 4c 9d, c 7d, cd 4 d) 8xy 2, 7xy

15. ● Agrupa aquellos monomios que sean semejantes. 5xy -3x2

2y 3 x2y3

5x2 10y 3

-6xy 9x2y3

18. ● Indica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Razona la respuesta y corrige los errores cometidos. c) 2a - a = 2 a) a + a = 2a d) 2a - 2 = a b) 2a + a = 2a2 41. ● Realiza estas multiplicaciones. a) xy ? 3xy ? (-6xy) c) 8xy2 ? 7xy d) 15x9 ? (-3x9) b) ab ? a 2b ? 7b ? ab 19. ● Resuelve las siguientes operaciones. a) 2x2 ? 4x 3 ? 5x 6 b) 7x 3 ? 5x ? 9x 4

8xy 2 -y3

20. ● Realiza estas operaciones. a) 15x3 : 5x2 c) -8x 3 y2 : 2x2 y 4 b) -9y : 3xy d) 10x 4 yz2 : 5xyz

16. ●● Escribe, si es posible: a) Dos monomios de grado 5 que no sean semejantes. b) Dos monomios de grado 5 que sean semejantes. c) Un monomio de grado 4 y otro de grado 5 que sean semejantes. 37. ● Realiza estas sumas de monomios. a) xz + 3xz + 6xz b) a 2b + 9a 2b + 27a 2b c) 9c 9 + c 9 + c 9 d) 8xy + 7xy + 43xy + 23xy 38. ● Efectúa las siguientes restas de monomios. a) 3xz - 6xz b) 9a 2b - 2a 2b

c) 8xy ? 2z ? 6xy2 ? z 3 d) 10xy 3 ? (-2y2) ? (-4x 4)

42. ● Efectúa las siguientes divisiones de monomios. a) 9xy : 3xy c) 15x8 : 5x8 e) 15x9 : 3x9 2 2 b) 9ab : ab d) 8xy : 2xy f) 32x7 : 8x4

36. ● Di si los monomios son semejantes. a) xz, 3xy, -6xy b) ab, a 2b, 7b

a) -x2 + x + x2 + x 3 + x c) 8xy2 - 5x2 y + x2 y - xy2 d) -3x + 7y - (8y + y - 6x) b) 2x3 - (x3 - 3x3)

c) 18xy - 7xy - 3xy - 3xy d) 5x9 - x9 - x9 - x9

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES COMBINADAS DE MONOMIOS? 21. Resuelve: 8x2 - (5x4 + x4) : 2x2 + 15x4 : (3x ? x) PRIMERO. Se

resuelven las operaciones que hay entre

paréntesis. 8x2 - (5x4 + x4) : 2x2 + 15x4 : (3x ? x) = = 8x2 - 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2 SEGUNDO. Se

resuelven las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 8x2 - 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2 = 8x2 - 3x2 + 5x2

TERCERO. Se resuelven las sumas y restas en el mismo orden. 8x2 - 3x2 + 5x2 = 5x2 + 5x2 = 10x2

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43. ●● Calcula y simplifica el resultado todo lo que puedas. a) 2x2 - 5(-x2) + 8x2 - (2x) ? (3x) b) 2x ? (-y) + 7xy - yx + (-4x) ? (-5y) c) 3x2 - (-x)2 + 3(-x2) + (-3) ? (-x)2 d) (2xy - 3xy + 7xy) ? (2ab) e) (x2 - 3x2 + 6x2 - 2x2) ? (-5zx) 39. ● Realiza las operaciones, e indica el grado del monomio resultante. a) 2x2 + 3x2 - 7x2 + 8x2 - x2 b) 5xy3 - 2xy3 + 7xy3 - 3xy3 + 12xy3 c) 3abc - 2abc + 6abc + 9abc - 4abc d) 5xz - 3xz + 15xz - 11xz + 8xz - 3xz e) (2xyz) ? (2x2yz 3) f) (-2abc) ? (3a 2b 2c 2) ? (-bc) g) 7x ? (2xy) ? (-3xy5) ? (xy) h) (6ac3) ? (-2a 2c3) ? (-3ac) ? (-4a 3c2) i) (21x2y3) : (7xy2) j) (9abc) : (3bc) k) (16x4y5a 3b 6) : (8x2y3a 2b 5) l) (5m 3n 2g 4) : (2mng)

POLINOMIOS 45. ● Indica el grado, el término independiente y el polinomio opuesto de los polinomios. a) P (x) = -x3 + x2 - 7x - 2 b) Q (x) = -x2 + 2x + 6 c) R(x) = x + 1 d) S(x) = 8 e) T(x) = 12x - x2 + x4 1 1 f) U (x) = x2 - x 6 2 22. ●● Escribe un polinomio de una variable, con grado 5 y cuyo término independiente sea -2, y que tenga: a) 5 términos b) 4 términos c) 2 términos 23. ● Suma y resta los términos semejantes de estos polinomios, y ordena sus términos de mayor a menor grado. a) P(x) = x - x 3 + 8x - x2 + 7x2 - 5x + 6x 3 - 1 b) Q(x) = 5x2 + 6x + 7x + 4x2 - 3 + x - 2 c) R(x) =-x 3 + 2x 3 - 5x2 + 4x - 7 + 7x2 d) S(x) =-2x 4 + x3 - 5x2 + x 4 - 1 - x 3

48. ● Calcula el valor numérico de cada polinomio para los valores de la variable. a) A (x) = x + 1, para x = 1. 1 b) B (x) = x4 + 3, para x = 2. 2 c) C(x) = 4x5 - x2 + 3, para x = -1. d) D(x) = -9x4 + 7x2 + 5, para x = 1. e) E(x) = x3 + x2 + x + 2, para x = -2. f) F(x) = x4 + x4 - x3 + x2 - 7x - 2, para x = 0. g) G(x) = -14, para x = -2. 24. ● Para el polinomio P(x) = 2x5 - x 4 + x 3 - 3x 2 + 5, halla el valor de las siguientes operaciones. 1 d) ? P(1) - 2 ? P(0) a) P(1) + P(-1) 2 1 1 b) P(1) + P(-1) - P(0) e) -P d n + ? P(-1) 2 2 1 1 c) 2 ? P(1) - 3 ? P(-1) f) -P d n + P d- n 2 2

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA UN COEFICIENTE DE UN POLINOMIO CONOCIENDO UNO DE SUS VALORES NUMÉRICOS? 50. Calcula el valor de k en el polinomio P(x) = x2 - x + k, si P(2) = 5. PRIMERO. Se sustituye, en el polinomio, la variable por su valor. 2 P(x) x = 2 P (2) = 2 - 2 + k = 2 + k4 " 2 + k = 5 P (2) = 5 F

SEGUNDO.

Se despeja k en la ecuación resultante. 2 + k = 5 " k = 5 - 2 = 3

51. ● ● Calcula el valor de k en cada polinomio, sabiendo que P (1) = 6. a) P(x) = kx7 + x3 + 3x + 1 b) P(x) = kx4 + kx3 + 4 c) P(x) = 9x5 + kx2 + kx - k d) P(x)= kx6 - kx3 + kx + k e) P(x) = k 25. ● ● Escribe un polinomio con P (1) = 2 y que: • Tenga grado 3. • Su término independiente sea -2. • Tenga tres términos.

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OPERACIONES CON POLINOMIOS 52. ● Dados los polinomios: P (x) = 2x5 - 3x4 + 7x3 - 2x2 + 3x - 6 Q(x) = 3x4 - 2x3 + 5x2 - 7x - 1 R (x) = 3x2 - x + 1 S(x) = 2x + 3 calcula. a) P(x) + Q (x) b) Q(x) + P (x) c) P(x) - S(x) d) Q(x) - P (x)

e) P(x) + R (x) f) R(x) + S(x) g) Q(x) - R(x) h) R(x) - P(x)

26. ● Halla la resta de los siguientes polinomios. a) P(x) = x + 4; Q(x) =-9x + 5 b) P(x) =-x2 + 1; Q(x) =-x2 + 2 c) P(x) =-x2 + x + 1; Q(x) = -x2 + 2x + 6 7 d) P(x) = x2 - 2xy - y2; Q(x) = x2 - 5xy - y2 2 1 1 1 e) P(x) = x2 - x - ; Q(x) =- x2 + x - 1 6 2 2 53. ● Suma y resta los polinomios. a) P (x) = -7x + 4 Q(x) = 2x + 5 2 Q (x) = -x2 + 2x b) P(x) = -3x + 1 2 Q (x) = -x2 + 2x + 6 c) P(x) = -3x + 1 d) P (x) = -5x3 + x2 - 7x - 2 Q(x) = 5x3 + x2 + 4x - 2 1 3 e) P(x) = x2 - 2xy - y2 Q(x) = x2 - xy - y2 2 2 1 3 1 2 f) P(x) = x2 - 2xy - y2 Q(x) = x2 - 2xy - y2 2 2 3 3 x 1 1 Q (x) = - x2 + x - 1 g) P(x) = x2 - - 3 2 2 3 1 1 Q(x) = - x2 + h) P(x) = x2 - 5x - 3 2 3 54. ● Dados los polinomios: P (x) = 2x5 - 3x4 + 7x3 - 2x2 + 3x - 6 Q(x) = 3x4 - 2x3 + 5x2 - 7x - 1 R (x) = 3x2 - x + 1 S(x) = 2x + 3 calcula. a) P(x) + Q(x) + R (x) + S(x) b) P(x) - R (x) + S (x) - Q(x) c) [P(x) + Q (x)] - [R (x) + Q(x)] d) [P(x) - Q (x)] - [R (x) - Q(x)]

27. ● Realiza las operaciones con estos polinomios. P(x) = x 4 - x2 + 3x Q(x) = x 3 + 4x2 - x - 2 R(x) = 2x 4 - 3x2 + x + 6 a) P(x) + Q(x) b) Q(x) + R(x) c) P(x) - R(x) d) R(x) - Q(x)

e) P(x) + Q(x) + R(x) f) P(x) - [Q(x) - R(x)] g) Q(x) + [R(x) - P(x)] h) -P(x) - R(x) - Q(x)

56. ● Dados los polinomios: P(x) = 2x6 - 7x4 + 2x3 - 2x2 + x - 1 Q(x) = 3x5 - 2x3 + x2 - x - 1 R(x) = x2 - x + 1 calcula. a) P(x) ? Q(x) c) P(x) ? R(x) b) Q(x) ? R(x) d) R(x) ? R(x) 57. ● ● Dados los polinomios: P(x) = 2x5 - 3x4 + 7x3 - 2x2 + 3x - 6 Q(x) = 3x4 - 2x3 + 5x2 - 7x - 1 R(x) = 3x2 - x + 1 S(x) = 2x + 3 calcula. a) [P(x) - Q(x)] ? S(x) b) [R(x) - Q(x)] ? S(x) c) [P(x) + Q(x) + R(x)] ? S(x) d) [P(x) + Q(x) - R(x)] ? S(x) 28. ● Realiza las siguientes divisiones. a) (2x 3 - 6x2 - 10x - 4) : 2 b) (25x5 - 10x2 - 10x - 5) : (-5) c) (x 4 + x 3 - x2 - x + 1) : x d) (x 4 - 2x2) : x2 e) (6x5 - 9x 4 + 3x 3 - 6x) : 3x f) (-x 8 + 2x7 - x 3 + 2x2 + x) : (-x)

FACTOR COMÚN 29. ● Extrae factor común en los polinomios. a) 2x5 - 6x 3 + 4x2 - 10x + 8 b) 2x5 - 6x 3 + 4x2 - 10x c) 2x5 - 6x 3 + 4x2 d) 24x5 - 48x 3 - 96x e) -8x 3 + 36x2 - 15x + 9 f) -9x7 - 6x 3 + 12x2 - 3x g) 75x 6 - 50x5 + 25x 4 h) -4x2 y - 8x 3 y2 - 6xy

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IGUALDADES NOTABLES

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA UNA SUMA DE MONOMIOS POR SU DIFERENCIA?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL CUADRADO DE UNA SUMA O UNA RESTA DE MONOMIOS? 30. Calcula. a) (3x + 5)2 b) (5x 3 - 1)2 PRIMERO. Se determinan los monomios que forman la suma o la resta. a = 3x a) (3x + 5)2 " (b = 5

b) (5x 3 - 1)2

" (b = 1

a = 5x 3

Se aplica la igualdad notable correspondiente.

SEGUNDO. 2

2

32. Expresa como una diferencia de cuadrados, si se puede. a) (3x + 5) ? (3x - 5) b) (5x 3 - 1) ? (5x 3 + 1) c) (5x 3 - 1) ? (3x + 1) PRIMERO. Se evalúa si es un producto de la suma por la diferencia de los mismos monomios. a) Es el producto de una suma por una diferencia de los mismos monomios. a = 3x b = 5

b) Es el producto de una suma por una diferencia de los mismos monomios. a = 5x3 b = 1

2

• (a + b) = a + 2ab + b a = 3x b = 5 F

c) No es el producto de una suma por una diferencia de los mismos monomios.

a) (3x + 5)2 = (3x)2 + 2 ? 3x ? 5 + 52 = = 9x2 + 30x + 25

SEGUNDO.

• (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Se aplica la igualdad notable: (a + b) ? (a - b) = a2 - b2

a = 5x3 b = 5

a = 3x b = 5 F

F

b) (5x 3 - 1)2 = (5x3)2 - 2 ? 5x3 ? 1 + 12 = = 25x 6 - 10x3 + 1

a) (3x + 5) ? (3x - 5) = (3x)2 - 52 = 9x2 - 25 F

a = 5x3 b = 1

60. ● Desarrolla. a) (3x + 2)2 b) (3x - 2)2 c) (3x2 - 2x)2

e) (2x + 7) ? (2x - 7) f) (2x2 + 3x) ? (2x2 - 3x) g) (x4 + 3x5) ? (x4 - 3x5)

d) (7x3 + 4x2)2

h) e 2x -

2

1 o 2

c) (-y - 8)2 d) (xy - 6x)2

e) (-x - y)2 f) (x + 2xy)2

62. ●● Completa las siguientes igualdades. a) (2x + 3) = 4 + 12x + 4 b) (5 - 3x)2 = 25 - 4 + 4x2 c) (9 + 7x) ? (9 - 7x) = 4 - 4 d) (4 + 4)2 = x4 + 2x3 + x2 2

31. ●● Copia y completa los términos que faltan para que los polinomios sean el cuadrado de una suma o una diferencia. a) x + 4x + 9 b) x2 + 4x + 4 2

c) x - 10x + 4 d) 4x2 - 16x + 16 2

33. ● ● Expresa estos productos como una diferencia de cuadrados. a) (x + 2) ? (x - 2)

61. ●● Desarrolla estos cuadrados. a) (x + 5)2 b) (2y - 7)2

b) (5x 3 - 1) ? (5x3 + 1) = (5x 3)2 - 12 = 25x 6 - 1 c) No se puede expresar como una diferencia de cuadrados.

b) (3x + 1) ? (3x - 1) c) d x +

1 1 n ? dx - n 3 3

d) (x2 + 1) ? (x2 - 1) e) (2x 3 + 3) ? (2x3 - 3) f) d x2 +

1 1 n ? d x2 - n 5 5

g) (2x - 1) ? (2x + 1) 67. ● ● Escribe los polinomios como producto de dos factores. a) x2 - 16

d) x2 - 4x + 4

b) x4 - 36

e) 16x2 - 24xy + 9y2

c) 4x2 - 25

f) 16x4 + 24x2 + 9

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Ecuaciones de primer y segundo grado El fin del mundo En octubre de 1533 la cárcel de Wittenberg acogió una curiosa reunión: allí estaba Lutero visitando a su íntimo amigo Michael Stifel. Este, aplicando a la Biblia cálculos numéricos, había profetizado que el fin del mundo tendría lugar el 18 de octubre de ese año. Lutero conteniendo la risa le decía: –Michael, ¿cuántas veces te dije que no mezclaras la Fe con la Razón? –¡Jamás me volverá a pasar! Cuando salga de aquí me dedicaré a ordenar mis escritos y publicaré mis trabajos científicos. Pero nunca más mezclaré cosas que son agua y aceite.

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Busca información sobre Stifel y su relación con Lutero. 2. Investiga cómo Stifel aplicó cálculos numéricos a la Biblia y sus consecuencias.

Como prometió, en 1544 publicó su obra Arithmetica integra, en la que generaliza el uso de los signos + y - para la suma y la resta. En ella también admite, por primera vez, los coeficientes negativos en las ecuaciones, aunque no las soluciones negativas.

3. Explica la contribución de Stifel al avance de las matemáticas en el estudio de las ecuaciones.

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Antes de empezar la unidad... EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos por los signos de las operaciones matemáticas.

Expresión escrita


Un número más dos El doble de un número más tres unidades

x+2 2?x+3 x -5 2

La mitad de un número menos 5

Valor numérico de una expresión algebraica

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por sus valores correspondientes y operar. 3x 2 - 5x - 2 " Expresión algebraica Para x = 2 " 3 ? 2 2 - 5 ? 2 - 2 = 12 - 10 - 2 = 0 Para x = -1 " 3 ? (-1) 2 - 5 ? (-1) - 2 = 3 + 5 - 2 = 6 Igualdades

El símbolo ! se lee «distinto de». 6!9 «6 es distinto de 9».

Una igualdad está formada por dos expresiones separadas por el signo =. Según sean estas expresiones, la igualdad puede ser: • Igualdad numérica: cuando solo intervienen números. 5 + 4 = 9 " Es una igualdad numérica cierta. 8 - 3 ! 1 " Es una igualdad numérica falsa. • Igualdad algebraica: si intervienen números y letras. x+5 =\ 7 - x " Igualdad \ Expresión Expresión algebraica algebraica algebraica

x 2 + 3 =-2 " Igualdad \ Expresión algebraica algebraica

EVALUACIÓN INICIAL

PLAN DE TRABAJO

3. Expresa en lenguaje algebraico.


a) El triple de un número. b) El doble de un número menos su cuadrado. c) La suma de un número y su mitad. 1 Determina el valor numérico de la expresión algebraica -2x 2 + 4x - 1

para estos valores. a) x = 0

c) x = -1

e) x = -2

b) x = 1

d) x = 2

f) x = -7

2 Identifica cuáles de las siguientes igualdades son igualdades

algebraicas. a) x2 + 4x = 1 + x

c) 3 - 5 =-2

b) x = 1 + 2x

d) 3x2 + x - 1 = 0

• Reconocer los elementos de una ecuación. • Resolver ecuaciones de primer grado. • Resolver ecuaciones de segundo grado. • Utilizar el lenguaje algebraico y las ecuaciones para resolver problemas de la vida cotidiana.

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Elementos de una ecuación

ANTES, DEBES SABER… Qué es una ecuación Una ecuación es una igualdad algebraica que, al sustituir las letras por distintos valores, se convierte en una igualdad numérica que es cierta o falsa. x+3=5 Para x = 2 " 2 + 3 = 5 " Igualdad numérica cierta Para x = 4 " 4 + 3 ! 5 " Igualdad numérica falsa Para x = 0 " 0 + 3 ! 5 " Igualdad numérica falsa En una ecuación, solo algunos valores de las letras la convierten en una igualdad numérica cierta. x + 3 = 5 es una ecuación.

Los principales elementos de una ecuación son: • Miembros: son cada una de las dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual; la expresión situada a la izquierda se denomina primer miembro, y la situada a la derecha, segundo miembro. • Términos: son los sumandos de los miembros. Si están formados por un solo número, se denominan término independiente. • Incógnitas: son las letras cuyos valores son desconocidos. EJEMPLO 2

Identifica los elementos de estas ecuaciones. 1.er miembro

2.o miembro

4x5 - 3x3 = 4 + x " Incógnita: x Términos 1.er miembro 2.o miembro

3x3 - x2 = -7 " Incógnita: x Términos


LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Determina los elementos de estas ecuaciones. 2

2

a) x + x - 1 = x - 2x b) 2x - 5 = 4(x + 9) 1 Escribe una ecuación cuyo primer miembro sea

4x - 3, y cuyo segundo miembro sea 5x2 - 3.

2 Escribe una ecuación con una incógnita cuyo

segundo miembro sea un número. 3 Escribe una ecuación con una incógnita que no

tenga término independiente y cuyo segundo miembro sea 2x.

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Solución de una ecuación Los valores de la incógnita que hacen cierta la igualdad se llaman soluciones. Resolver una ecuación es encontrar su solución o sus soluciones. ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula la potencia de un número Una potencia de exponente un número positivo es una forma abreviada de expresar una multiplicación en la que todos los factores son iguales. an = a ? a ? … ? a 1442443 n veces

n>0

En una potencia de base un número racional y exponente positivo: • Si la base es un número positivo, la potencia es siempre positiva. • Si la base es un número negativo, la potencia es positiva si el exponente es par, y negativa si es impar. EJEMPLO 1

Calcula las siguientes potencias.

5 2 52 25 n = 2 = 4 16 4

a) 2 3 = 8

c) 3 2 = 9

e) d

b) (-2) 3 = -8

d) (-3)2 = 9

f) d-

5 2 25 n = 4 16

EJEMPLO 3

Comprueba que estas ecuaciones tienen las soluciones que se indican. a) x + 1 = 0 tiene una única solución, x = -1. x + 1 = 0 x =-1" -1 + 1 = 0 " 0 = 0

Una ecuación puede tener una, varias o ninguna solución.

b) x2 = 4 tiene dos soluciones, x = 2 y x = -2. 22 = 4 " 4 = 4 x =2 " x2 = 4 x =-2" (-2)2 = 4 " 4 = 4 c) x2 = -1 no tiene solución. No existe ningún número real que, elevado al cuadrado, dé un número negativo; por tanto, no tiene solución.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER de los siguientes números es solución 5 ¿Cuál

5 Determina cuáles de los números son solución

de la ecuación 5x - 9 = 4(x - 5)?

de la ecuación 4x 2 + 2x - 2 = 0.

a) 4 b) -3 c) 14 d) -11

a) 0 b) -1 c) 3 d)

4 Determina si -1 es solución de estas ecuaciones.

a) x2 - x + 2 = 0 b) 2x2 + x - 1 = 0

1 2

6 Escribe dos ecuaciones que tengan como

solución x = 1.

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Ecuaciones de primer grado

ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el grado de un polinomio • El grado de un monomio es la suma de los exponentes de su parte literal. 5x3 " grado 3 -12ab7c " grado 9 9xy " grado 2 • El grado de un polinomio que no tiene monomios semejantes coincide con el de su monomio de mayor grado. grado (x 2 + x - 2) = grado (x2) = 2 grado (3x2 - x - 2 - 3x2) = grado (-x - 2) = grado (-x) = 1

Una ecuación de primer grado es una igualdad algebraica que se puede expresar de la forma ax + b = 0, con a y b números reales y a ! 0. b Esta ecuación tiene solución única: x =a ANTES, DEBES SABER… Cómo se resuelven ecuaciones de primer grado sencillas Para resolver una ecuación agrupamos en un miembro todos los términos con la incógnita. Para ello utilizamos las siguientes reglas: • Si un término está sumando en un miembro, pasa restando al otro. Y si está restando, pasa sumando. • Si un término está multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al otro. Y si está dividiendo, pasa multiplicando. Cuando la x queda sola en un miembro, y en el otro miembro solo hay números, diremos que hemos despejado la x. Su valor numérico es la solución de la ecuación. EJEMPLO

Resuelve la ecuación de primer grado: 4x - 8 = 6 + 2x F

4x - 8 = 6 + 2x "

Pasamos -8 al 2.o miembro

Pasamos +2x er miembro

" 4x = 6 + 2x + 8 " al 1.

Pasa como +8

F

4

Pasa como -2x F

" 4x - 2x = 6 + 8 " Operamos " 2 x = 14

Pasamos 2 " al 2.o miembro

" x =

14 =7 2

Pasa dividiendo

LO QUE DEBES SABER RESOLVER estas ecuaciones. 8 Resuelve a) 2x + 5 = 2 + 4x + 3 b) 3x - 5 = 2x + 4 + x - 9 c) 3x + 8 = 5x + 2 d) 4x - 5 = 3x - 2 + x - 5

6 Determina el valor de x para que: 2x - 6 =-x 9 Indica si el paso es correcto o no.

a) 2x + 5x = 2x + 4 " 5x = 4 b) 3x - 5 = x - 9 " 4x = -4

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ANTES, DEBES SABER… Cómo se aplica la propiedad distributiva • Propiedad distributiva respecto de la suma: a ? (b + c) = a ? b + a ? c 3 ? (5 + 8) = 3 ? 5 + 3 ? 8 = 15 + 24 = 39 -2 ? (x + 5) =-2 ? x + (-2) ? 5 =-2x - 10 • Propiedad distributiva respecto de la resta: a ? (b - c) = a ? b - a ? c 3 ? (5 - 8) = 3 ? 5 - 3 ? 8 = 15 - 24 =-9 -2 ? (x - 5) =-2 ? x - (-2) ? 5 =-2x + 10

Cómo se resuelven ecuaciones con paréntesis Para resolver ecuaciones con paréntesis debemos seguir estos pasos: 1.º Eliminamos los paréntesis. 2.º Agrupamos los términos con la incógnita en un miembro y los términos numéricos en el otro. 3.º Reducimos términos semejantes, si los hubiera. 4.º Despejamos la incógnita y hallamos su valor numérico. EJEMPLO 2 Resuelve esta ecuación:

4(x - 3) + 40 = 64 - 3(x - 2) • Eliminamos los paréntesis. 4(x - 3) + 40 = 64 - 3(x - 2) 4x - 12 + 40 = 64 - 3x + 6 • Agrupamos términos: – Agrupamos los términos con la incógnita en el primer miembro. 4x + 3x = 64 + 6 + 12 - 40 – Agrupamos los términos numéricos en el segundo miembro. • Reducimos los términos semejantes. 7x = 42 42 x= • Despejamos la incógnita. "x=6 7

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 7 Resuelve estas ecuaciones con paréntesis.

8 Resuelve estas ecuaciones.

a) 2 (x - 5) + 6 = 2x - 4

a) -2 (3x - 5) = 3x + 1

b) x + 3 (x - 2) = 2x - 4

b) -5 (x - 2) - 2x = 3x

c) -2x + 3 (x - 2) = 2x - 7 d) -5x + 3 (x - 2) = 2 (x - 5) e) 2 (x - 1) - 3 (2x - 2) = 0

11 Resuelve.

a) x - 5(x - 2) = 6x b) 120 = 2x - (15 - 7x)

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ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el mínimo común múltiplo Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números: 1.º Descomponemos los números en factores primos. 2.º Elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. 3.º El producto de estos factores es el m.c.m. de los números.

3.2 Método de resolución de ecuaciones de primer grado

Si al quitar un paréntesis, el signo que le precede es negativo, se cambia el signo en todos los términos de su interior. 2 – (x – 5) = 2 – x

+5

Una forma general para resolver ecuaciones de primer grado es seguir estos pasos: 1.o Eliminamos los denominadores: calculamos el m.c.m. de los denominadores y multiplicamos los dos miembros por él. o 2. Quitamos los paréntesis: aplicando la propiedad distributiva. 3.o Agrupamos los términos con x en uno de los miembros, y los números, en el otro: utilizamos la transposición de términos. o 4. Reducimos términos semejantes. 5.o Despejamos la incógnita. 6.o Comprobamos la solución: sustituimos la x por la solución en ambos miembros y operamos. El resultado debe ser idéntico. EJEMPLO 5

Resuelve la ecuación

3x - (x - 2) 2x + = 4. 4 3

• Quitamos denominadores. m.c.m. (4, 3) = 12

12 ?

3x - (x - 2) 2x + 12 ? = 12 ? 4 4 3 3(3x - (x - 2)) + 4 ? 2x = 48 3(3x - x + 2) + 8x = 48 9x - 3x + 6 + 8x = 48

• Eliminamos paréntesis.

• Agrupamos términos.

• Reducimos términos.

14x = 42

• Despejamos la incógnita.

x=

9x - 3x + 8x = 48 - 6 42 =3 14

• Comprobamos la solución. 3 ? 3 - (3 - 2) 2?3 Para x = 3 " + =4"4=4 4 3 La solución de la ecuación es x = 3.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER el valor de x. 12 Calcula x+2 x+3 a) = 2 3 x 2x + 7 =5 b) 2 5


4 (x - 1) 2 (x - 3) =5 3 6 (x + 5) 3 (x + 4) = 7 - 3x b) 2x + 8 6 a)

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Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar de la forma ax 2 + bx + c = 0, siendo a, b y c números reales y a ! 0. ANTES, DEBES SABER… Cuál es la raíz cuadrada de un número La raíz cuadrada de un número es otro número tal que, elevado al cuadrado, es igual al primero: a = b, si b 2 = a • La raíz cuadrada de un número negativo no existe. No existe ningún número que, al elevarlo al cuadrado, sea un número negativo. (-3) 2 = 9 3 2 = 9 • La raíz cuadrada de un número positivo siempre tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa. 16 =+4 y -4, porque 4 2 = 16 y (-4) 2 = 16

Para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado utilizamos la fórmula: -b ! b 2 - 4ac x= 2a El doble signo ! indica que pueden existir dos soluciones: -b + b 2 - 4ac -b - b 2 - 4ac x 2 = 2a 2a Cuando una ecuación tiene dos soluciones, las designamos como x1 y x2 para distinguirlas.

SE ESCRIBE ASÍ Para representar que una ecuación tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa, se utiliza el signo !.

x1 =

El coeficiente de cada término es el número, incluido su signo.

EJEMPLO 6

Resuelve la ecuación x2 - 5x + 6 = 0. x2 - 5x + 6 = 0 " a = 1, b = -5, c = 6. Aplicamos la fórmula: x=

-(-5) ! (-5) 2 - 4 ? 1 ? 6 -b ! b2 - 4ac = = 2a 2 ?1

5 ! 25 - 24 5!1 = = = 2 2

*

x1 =

5+1 6 = =3 2 2

x2 =

5-1 4 = =2 2 2

Esta ecuación tiene dos soluciones: x1 = 3 y x2 = 2.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 15 Resuelve. 2

2

a) x - 7x + 12 = 0 b) x - 9x + 18 = 0

15 Resuelve.

c) 2x2 - 8x + 8 = 0 d) x2 - 9x + 14 = 0

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EJEMPLO 3 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) 3x 2 - 27 = 0 " a = 3, b = 0, c =-27. Aplicamos la fórmula: 0 ! 02 - 4 ? 3 ? (-27) -b ! b2 - 4ac = = 2a 2?3 18 =3 x1 = 6 ! 324 !18 = = = -18 6 6 =-3 x2 = 6

x=

*

Cualquier fracción con numerador 0 es siempre 0. 0 0 = 0 – =0 5 14

Esta ecuación tiene como soluciones: x1 = 3 y x2 =-3. b) 3 x 2 - 2x = 0 " a = 3, b =-2, c = 0. Aplicamos la fórmula: -(-2) ! (-2) 2 - 4 ? 3 ? 0 -b ! b2 - 4ac = = 2a 2?3 2+2 4 2 x1 = = = 2! 4 2!2 3 6 6 = = = 6 6 2-2 x2 = =0 6 2 Esta ecuación tiene como soluciones: x1 = y x2 = 0. 3 c) 7x 2 = 0 " a = 7, b = 0, c = 0. Aplicamos la fórmula: x=

*

-b ! b2 - 4ac 0 ! 02 - 4 ? 7 ? 0 0 = = =0 2a 2?7 14 Esta ecuación tiene una única solución: x = 0 x=

4.3 Número de soluciones de una ecuación de segundo grado SE ESCRIBE ASÍ Cuando la ecuación de segundo grado tiene una solución decimos que es una solución doble.

Al número b2 - 4ac se le denomina discriminante, y se representa por D. • Si D = b2 - 4ac > 0. La ecuación tiene dos soluciones distintas. • Si D = b2 - 4ac = 0. La ecuación solo tiene una solución. • Si D = b2 - 4ac < 0. No existe la raíz cuadrada b2 - 4ac y, por tanto, la ecuación no tiene solución. EJEMPLO 11 Estudia el número de soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) 2x2 + 5x + 6 = 0 " a = 2, b = 5, c = 6 D = b2 - 4ac = 52 - 4 ? 2 ? 6 = 25 - 48 = -23 < 0 Como D < 0, la ecuación no tiene solución. b) 2x2 + 5x + 1 = 0 " a = 2, b = 5, c = 1 D = b2 - 4ac = 52 - 4 ? 2 ? 1 = 25 - 8 = 17 > 0 Como D > 0, la ecuación tiene dos soluciones.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 9 Resuelve. a) x2 - 9 = 0 b) x2 + 7x = 0

10 ¿Cuántas soluciones tiene x2 - 7x - 12 = 0?

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Resolución de problemas con ecuaciones

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Resolver un problema mediante una ecuación es traducirlo al lenguaje algebraico y encontrar su solución. En general, hay que seguir estos pasos: 1.o Identificamos la incógnita. 2.o Planteamos la ecuación. 3.o Resolvemos la ecuación. 4.o Comprobamos que la solución obtenida es válida, e interpretamos la solución en el contexto del problema. EJEMPLO 12 Tenemos 24 flores y vamos a hacer dos ramilletes. Queremos que uno

tenga el triple de flores que el otro. ¿Cuántas flores tendrá cada ramillete? • Identificamos la incógnita. Para ello hay que distinguir entre los datos que conocemos y los que no. Lo que sabemos…

Lo que no sabemos…

24 flores en dos ramilletes Un ramillete con el triple de flores que el otro

Flores del ramillete menor Flores del ramillete mayor

Incógnita (x) " Número de flores del ramillete menor • Planteamos la ecuación. Flores del ramillete menor El ramillete mayor tiene el triple de flores que el menor Entre los dos tienen 24 flores • Resolvemos la ecuación. x + 3x = 24 " 4x = 24 " x =

" x " 3x " x + 3x = 24

24 =6 4

• Comprobamos e interpretamos la solución. COMPROBACIÓN:

x=6

x + 3x = 24 " 6 + 3 ? 6 = 24 " 6 + 18 = 24 " 24 = 24 La solución de la ecuación es válida. INTERPRETACIÓN: El ramillete menor tendrá 6 flores, y el mayor, 3 ? 6 = 18.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Si a un número le sumamos 3, obtenemos como

resultado 24. ¿De qué número se trata? 12 Un número más su mitad es igual a 12.

¿Qué número es? 13 El doble de un número más ese mismo número es

igual a 9. ¿Cuál es ese número? 28 La suma de dos números es 48. Si uno es

la mitad del otro, ¿qué números son?

14 En la reunión había 22 personas, entre hombres

y mujeres. Si eran 5 mujeres más que hombres, ¿cuántos hombres había? 15 Cuando voy al colegio paso primero por casa de

mi amiga Natalia. Desde su casa nos marchamos las dos juntas al colegio y tardamos 12 minutos. Si desde mi casa hasta la casa de Natalia tardo 5 minutos menos que en ir desde la casa de Natalia al colegio, ¿cuánto tiempo tardo en total?

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Ecuación 1.er miembro

2.o miembro

3x 2 + 4x = 12 Términos

Ecuación de segundo grado con una incógnita

" Incógnita: x

ax2 + bx + c = 0, con a, b y c números reales y a ! 0.


Solución: x=

Ecuación de primer grado con una incógnita ax + b = 0, con a y b números reales y a ! 0. Solución: b x =a

-b ! b2 - 4ac 2a

• Si b2 - 4ac > 0 " Dos soluciones. • Si b2 - 4ac = 0 " Una solución. • Si b2 - 4ac < 0 " No tiene solución.


1. RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Resuelve la siguiente ecuación: 2x + 4 2-x - x =9 3 PRIMERO. Quitamos los denominadores

reduciendo a común denominador. m.c.m. (3, 9) = 9 9e

2x + 4 2-x o - x o = 9 e9 3

SEGUNDO. Eliminamos los paréntesis.

2x + 4 - 9x = -3(2 - x) 2x + 4 - 9x = -6 + 3x TERCERO. Agrupamos los términos, las x

en un miembro y los números en el otro.

2. RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Resuelve estas ecuaciones. c) 3x2 + 12x = 0 a) -x2 - 3x + 4 = 0 b) 3x2 - 12 = 0 PRIMERO. Identificamos los coeficientes.

a) a = -1, b = -3, c = 4 b) a = 3, b = 0, c = -12 c) a = 3, b = 12, c = 0 SEGUNDO. Aplicamos la fórmula que resuelve

una ecuación de segundo grado. a) x =

-(-3) ! (-3) 2 - 4 ? (-1) ? 4 = 2 ? (-1)

=

x1 =-4 3 ! 25 = )x = 1 2 -2

b) x =

0 ! 0 - 4 ? 3 ? (-12) = 2?3

=

x1 = 2 ! 144 = ) x =-2 2 6

c) x =

-12 ! 144 - 4 ? 3 ? 0 = 2?3

=

x1 = 0 -12 ! 144 = ) x =-4 2 6

4 + 6 = 3x - 2x + 9x CUARTO. Reducimos los términos

semejantes. 10 = 10x QUINTO. Despejamos la x.

10 = 10x 10 =1 x = 10

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3. ESTUDIAR EL NÚMERO DE

SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Estudia el número de soluciones que tienen estas ecuaciones. a) 2x2 - 7x + 3 = 0 b) 2x2 + 3 = 0

c) x2 - 2x + 1 = 0

PRIMERO. Identificamos sus coeficientes.

a) a = 2, b = -7, c = 3 b) a = 2, b = 0, c = 3 c) a = 1, b = -2, c = 1

4. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES

En una granja se estima que el año que viene habrá el doble de conejos que este año. Sumando los conejos que tenemos este año más los que habrá el año que viene tendría 132 conejos. ¿Cuántos conejos tengo? PRIMERO. Identificamos la incógnita.

Lo que sabemos…

SEGUNDO. Calculamos el discriminante.

a) D = b2 - 4ac = (-7)2 - 4 ? 2 ? 3 = 25 b) D = b2 - 4ac = 02 - 4 ? 2 ? 3 = -24 c) D = b2 - 4ac = (-2)2 - 4 ? 1 ? 1 = 0 TERCERO. Estudiamos el valor

del discriminante. • Si D < 0 " La ecuación no tiene solución. • Si D = 0 " La ecuación tiene una solución. • Si D > 0 " La ecuación tiene dos soluciones. a) D = 25 > 0 " Dos soluciones. b) D = -24 < 0 " No tiene solución. c) D = 0 " Una solución.

El doble de conejos, el año que viene. Los conejos de este año más los del año que viene son 132

Lo que no sabemos… Conejos de este año

Incógnita (x) " Conejos de este año SEGUNDO. Planteamos la ecuación.

Conejos de este año " x Conejos del año que viene " 2x Los de este año más los del que viene " x + 2x Los de este año más los del que viene son 132: x + 2x = 132 TERCERO. Resolvemos la ecuación.

x + 2x = 132 " 3x = 132 " x = 44 CUARTO. Comprobamos la solución.

44 + 2 ? 44 = 132 " La solución es válida.

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. Determina los miembros, los términos y las incógnitas de estas ecuaciones. a) 3x - 4 = 4 (x - 1) b) -x2 + 7x - 1 =-2 (x2 - 1) Resolver ecuaciones de primer grado 2. Halla la solución de esta ecuación: x-2 x-3 x-1+ =0 3 2 Resolver ecuaciones de segundo grado 3. Resuelve estas ecuaciones. a) 3x 2 + 3x - 6 = 0 c) 28x2 - 4x = 0 2 b) 5x + 20 = 0 d) -3x 2 = 0

Estudiar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado 4. Halla el número de soluciones de las siguientes ecuaciones. a) x 2 - x + 1 = 0 b) -x2 + 2x = 0 c) 5x 2 - 30 = 0 d) 7x 2 = 0 Resolver problemas mediante ecuaciones 2. Obtén un número tal que la suma de ese número y su número siguiente sea 13. 5. Halla tres números naturales consecutivos cuya suma sea 60.

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Actividades ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

16. ● Identifica los elementos de las siguientes ecuaciones.

45. ● Averigua cuáles de las siguientes ecuaciones tienen como solución x = 6.

Ecuación

Primer miembro

Segundo miembro

Incógnitas

x-3 = 8 3-x = 8 x+1 = x-2 3 x2 - 5x + 7 = 8 8x - 5y = 8

17. ● Escribe ecuaciones de primer grado con una incógnita que cumplan cada una de estas características. a) Con el primer miembro igual a 4 + x. b) Con el segundo miembro igual a -5x + 3. c) Con el término independiente igual a -6. d) Con el primer miembro igual a -3x - 2, y el segundo miembro igual a 7. 18. ● Escribe ecuaciones de segundo grado con una incógnita que cumplan cada una de estas características. a) Con el primer miembro igual a 4 + x. b) Con el segundo miembro igual a -5x + 3. c) Con el término independiente igual a -6. 19. ●● Escribe ecuaciones que cumplan las siguientes características. a) Con una incógnita, un término en el primer miembro y cuyo segundo miembro sea 24. b) Con una incógnita, dos términos en el primer miembro y un número en el segundo. c) Con una incógnita al cuadrado en el segundo miembro y dos términos en el primero. 20. ●● Decide cuáles de estas ecuaciones tienen como solución x = 12. x a) x - 1 = 6 e) = 8 2 x b) 2x = 26 f) +4 = 2 2 x c) 2x - 7 = 35 g) + 3 = 9 2 x d) 3x - 2x = 12 h) - 2 = 11 4

a) 4x = 24 b) 8x = 12 4 c) -x = 3

d) 3x = 32 e) -x = -6 8 f) 4x = 3

46. ● Escribe dos ecuaciones en cada caso. a) Que tengan como solución x = 3. b) Que tengan como solución x = -2. c) Cuya solución sea x = 5. d) Cuya solución sea x = -1. 47. ● Resuelve. a) 10 - x = 3 b) 9 + x = 2 c) -12 - x = 3 d) 16 + 3x = -12 e) 4x + 5 = 11 f) 3x + 7 = 14 g) -5 + 20x = 95 h) -9 - 11x = 2 48. ● Halla la solución de estas ecuaciones. a) 4x + 5 = -3x + 12 b) 3x + 7 = 2x + 16 c) 5 + 20x = 7 + 12x d) 6x + 40 = 2x + 50 e) -3x - 42 = -2x - 7 f) 3x - 50 = 10 - 2x g) 9x + 8 = -7x + 16 h) -5x - 13 = -2x - 4 i) 9x - 8 = 8x - 9 49. ● ● Corrige los errores en la resolución de la ecuación. 5x - 3 = 7 1. Transponemos términos. 5x = 7 + 3 2.o Reducimos términos. 5x = 10 10 = –2 3.o Despejamos la x. x = –5 o

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21. ● Reduce los términos semejantes de estas ecuaciones, tal y como se indica en el ejemplo. 3 (8x - 3) + 4x = 5x - 5 24x - 9 + 4x = 5x - 5 28x - 9 = 5x - 5 28x - 9 - 5x + 5 = 0 23x - 4 = 0 a) 5 (x - 1) + 2x = 6 - x b) 5x + 3 (2x - 4) = 4 - 2x c) -3x + 4 (7 - x) = 4 d) 5 x = 5 (5 - 2x) - 9 e) 3 - 2 (4x - 1) = 7x - 2

a) 6 (x + 11) = 40 + 6 (x + 2) b) 2 (x - 17) = x - 3 (12 - 2x) c) x - 5 (x - 2) = 6 d) 120 = 2x - (15 - 7x) e) 5 (x + 4) = 7 (x - 2) f) 3 (x + 7) - 6 = 2 (x + 8)

52. ● Resuelve. x-2 = 1 a) 5 3x + 15 b) =-7 6

3 (x - 12) 2x - 10 =-1 3 4 -3x - 3 b) = 3 - 4 (x + 2) 5 2x - 5 x+1 c) + = 20 - x 4 5 3 + 2 (x - 1) 3-x d) -x = 7 14 3 (x + 1) 4x - 6 + 2x = 21 e) 10 12 a)

56. ● ● ¿Está bien resuelta esta ecuación? Corrige los errores que se han cometido. 4x - 2 x-1 = 2x 7 4

50. ● Resuelve.

51. ● Resuelve estas ecuaciones. 4x -2x c) = 3 = 4 a) 20 3 3x 7x b) d) =-21 = 28 6 4

54. ● Obtén la solución de estas ecuaciones.

9x =-5 3 -3x f) =-25 2 e)

3x + 20 = x + 25 2 3x d) - 1 = 12 - 3x 4

c)

53. ● Calcula el valor de x. 3x 2x +7 = +9 a) 5 6 x+2 b) = 5x - 46 3 x+4 x c) x = 1+ 5 2 x+8 x-4 d) =2 2 6 x-5 8-x 2x - 10 e) + + =3 5 2 2 x - 10 x - 20 x - 30 f) =5 2 4 3

1.o Se calcula el m.c.m. m.c.m. (7, 4) = 28 4 (4x - 2) = 2x - 7 (x - 1) 2.o Se multiplica por 28. 3.o Se eliminan paréntesis. 16x - 2 = 2x - 7x - 7 4.o Se transponen términos. 16x - 2x + 7x = -7 + 2 5.o Se reducen términos. 15x = -5 15 x= = -3 6.o Se despeja x. -5

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 59. ● Resuelve las ecuaciones de segundo grado aplicando la fórmula general. a) x2 - 5x + 6 = 0 b) 2x2 - 4x + 13 = 0 c) x2 + 8x + 16 = 0 d) 3x2 + 2x - 16 = 0

e) x2 - 2x + 1 = 0 f) 7x2 - 3x + 1 = 0 g) -x2 - 4x + 5 = 0

60. ● Sin resolverlas, averigua el número de soluciones de estas ecuaciones. a) x2 + 5x + 6 = 0 b) -2x2 - 6x + 8 = 0 c) x2 - 8x + 16 = 0 d) -x2 + x + 1 = 0

e) x2 + 8x + 16 = 0 f) 2x2 - 4x + 13 = 0 g) 7x2 - 3x + 1 = 0

22. ● Reduce los términos semejantes de estas ecuaciones de segundo grado. a) x2 + 2x = 3x2 - 5 b) 5x + 3x2 - 5 = 2x - 3 c) -3x2 + 4x + 6 = 2x2 - 7x + 2

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HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE PUEDE RESOLVER UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON b = 0? 23. Resuelve la ecuación 2 x 2 - 18 = 0. PRIMERO. Se deja la x2 en un miembro y los números

en el otro, y se despeja. 2x2 - 18 = 0 " 2x2 = 18 " x2 =

18 =9 2

64. ● Resuelve.

SEGUNDO. Las soluciones son la raíz cuadrada

del número con signo positivo y con signo negativo. x2 = 9 " x =

9 = !3

Las soluciones son: x1 = 3 y x2 = -3. 24. ● Resuelve estas ecuaciones de segundo grado. a) x2 - 25 = 0 b) 2x2 - 128 = 0

63. ● Resuelve las siguientes ecuaciones. 5 a) 7x2 = 63 g) x2 + 1 = 4 b) x2 - 24 = 120 h) x2 - 36 = 100 i) 2x2 - 72 = 0 c) x2 - 25 = 0 j) 5x2 - 3 = 42 d) x2 = 10 000 2 k) 9x2 - 36 = 5x2 e) x - 3 = 22 f) 5x2 - 720 = 0 l) 2x2 + 7x - 15 = 0

a) x2 - 7x = 0 b) x2 + 3x = 0 c) x2 - 25x = 0 d) x2 - 10x = 0 e) 16x(x - 5) = 0

c) 36x2 - 36 = 0 d) -x2 + 49 = 0

f) 3x2 - 12x = 0 g) 3x = 4x2 - 2x h) 4x2 = 5x i) 25x2 - 100x = 0 j) 6x2 - 6x = 12x

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN LAS ECUACIONES

EN LAS QUE UN PRODUCTO ES IGUAL A CERO?

HAZLO ASÍ

14. Resuelve la ecuación (x - 1)(x + 2) = 0.

¿CÓMO SE PUEDE RESOLVER UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON c = 0?

Para que un producto de varios factores valga cero, al menos uno de los factores ha de ser cero. PRIMERO. Se iguala a cero cada uno de los factores. x-1 = 0 (x - 1)(x + 2) = 0 " ( x + 2 = 0

25. Resuelve la ecuación 3x 2 - 12x = 0. PRIMERO. Se saca factor común a x.

3x2 - 12x = 0 " x (3x - 12) = 0

SEGUNDO. Se resuelven las ecuaciones resultantes.

SEGUNDO. Se iguala a 0 cada uno de los factores.

x (3x - 12) = 0 " *

x=0 3x - 12 = 0 " x =

12 =4 3

x-1 = 0"x = 1 (x - 1)(x + 2) = 0 " ( x + 2 = 0 x =-2

"

La ecuación tiene dos soluciones: x 1 = 1 y x 2 = -2.

Las soluciones son: x1 = 0 y x2 = 4. 66. ● ● Calcula sin aplicar la fórmula general. 26. ● Resuelve estas ecuaciones de segundo grado. a) 4x2 - 20x = 0 b) 5x2 + 30x = 0

c) x2 - 6x = 0 d) -x2 + 8x = 0

61. ● Determina el número de soluciones de las siguientes ecuaciones. a) x2 - 1 = 0 b) x2 + 2x = 0 c) x2 - 4x + 4 = 0

d) x2 + 8x + 16 = 0 e) x2 - x - 2 = 0 f) x2 = 7x - 12

62. ● Resuelve estas ecuaciones de segundo grado. 2

a) x - 8 = 0 b) 2x2 + 50 = 0 c) 3x2 + 75x = 0 d) x2 - 16 = 0

2

e) -8x - 24x = 0 f) -x2 - x = 0 g) x2 - 1 = 0 h) 4x2 - 2x = 0

a) (x + 2)(x - 2) = 0 b) (x - 3)(x + 3) = 0 c) (x + 3)(2x - 5) e 5 -

x o=0 2

d) (x - 5)2 = 0 e) (x - 2)2 + x = x f) x e

2

3x 4 - o =0 4 5

67. ● ● Resuelve las siguientes ecuaciones. a) (x + 1)(x - 3) + 3 = 0 b) (x + 9)(x - 9) = 3 (x - 27) c) x (3x - 2) = 65 d) 4x - (x2 - 4) = 2x - 4 e) (2x + 3)(2x - 3) = 135

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PROBLEMAS CON ECUACIONES 71. ●● Encuentra dos números consecutivos que sumen 51. 72. ●● Calcula un número tal que su doble y su triple sumen 10. 73. ●● Encuentra un número tal que, al sumarle 4, resulte el doble del número menos una unidad. 27. ●● Un número es el doble que otro número. Si sumamos ambos números y obtenemos 33, ¿de qué números estamos hablando? 28. ●● Un número más la mitad de ese número suman 24. ¿Cuál es ese número? 29. ●● Si al doble de un número le restamos 5 unidades, el resultado coincide con ese número menos 2 unidades. ¿De qué número se trata? 30. ●● Arturo tiene 25 cromos más que Pablo, y entre los dos tienen 72 cromos. ¿Cuántos cromos tiene Arturo? 31. ●● Lucía tiene el doble de dinero que su hermana, y entre las dos tienen 32 €. ¿Cuánto dinero tiene Lucía? ¿Y su hermana? 32. ●● En una granja hay cuatro veces más vacas que caballos. Si en la granja hay un total de 50 animales, ¿cuántas vacas son?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE EDADES MEDIANTE ECUACIONES?

77. El perro de Álex tiene 12 años menos que él. Dentro de 4 años, Álex tendrá el triple de la edad de su perro. ¿Cuáles son sus edades? PRIMERO. Se plantea el problema.

Actualmente Dentro de 4 años

Edad de Álex

Edad del perro

x

x - 12

x+4

x - 12 + 4 = x - 8

Dentro de 4 años, la edad de Álex será el triple que la del perro: x + 4 = 3 (x - 8) SEGUNDO. Se resuelve la ecuación.

x + 4 = 3 (x - 8) " x + 4 = 3x - 24 " 28 = 2x " x = 14 TERCERO. Se comprueba la solución.

Álex tiene 14 años, y su perro, 14 - 12 = 2 años. En 4 años, Álex tendrá 18 y su perro, 6 años, 18 = 6 ? 3.

33. ● Si la edad de Tomás es x años, expresa: a) La edad que tendrá dentro de 5 años. b) La edad que tenía hace 3 años. c) La edad que tendrá el año que viene. d) La edad que tenía el año pasado. 34. ● Si la edad de Tomás es x años, ¿qué representan las siguientes expresiones? a) x + 8 = 19 b) x - 8 = 3 c) 2 (x + 8) = 38 78. ● ● Miguel tiene 4 años más que su primo Ignacio y, dentro de 3 años, entre los dos sumarán 20 años. ¿Cuántos años tiene cada uno? 79. ● ● ¿Qué edad tengo ahora si dentro de 12 años tendré el triple de la edad que tenía hace 6 años?

76. ●● Una bodega exportó en enero la mitad de sus barriles, y a los dos meses, un tercio de los que le quedaban. ¿Cuántos barriles tenía al comienzo si ahora hay 40 000 barriles?

80. ● ● ● Lucía tiene tres hijos. El pequeño tiene la mitad de años que el mediano, y este tiene 6 años menos que el mayor. Calcula las edades de los tres, sabiendo que la suma de sus edades actuales es igual a la edad de su prima Ana, que es 12 años mayor que el hermano pequeño.

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Sistemas de ecuaciones Una clase improvisada Estar invitado a la «fiesta de la Primavera», que cada año se celebraba en el palacio del maharajá, era un honor reservado tan solo a los personajes más influyentes. Al subirse al elefante, el sabio Brahmagupta y su joven ayudante, Serhane, coincidieron en reconocer que el maharajá era muy generoso al enviar a su séquito para llevarlos a palacio. El joven ayudante pasó la mitad del camino quejándose de las disciplinas que tenía que estudiar:

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Brahmagupta es uno de los más importantes matemáticos indios. Investiga sobre su vida y sus aportaciones a las matemáticas. 2. ¿Qué representa la estrella en la frente del elefante? ¿Y la cruz coronada de cuatro círculos? Busca otros símbolos de la cultura hindú. 3. Busca información sobre las aportaciones de Brahmagupta al álgebra.

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–Maestro, ¿por qué tengo que estudiar álgebra? No tiene ninguna utilidad, pues si tengo cinco monedas son cinco monedas y no cinco incógnitas… Y que la incógnita pueda ser cualquier cosa es antinatural. Brahmagupta tomó la palabra, y durante la mitad del camino que les quedaba, le explicó a su discípulo la utilidad del álgebra: –Todo en este mundo tiene su significado: la estrella en la frente del elefante no solo es una estrella, significa que pertenece al maharajá, y la cruz coronada de cuatro círculos no es solo un dibujo, es el símbolo de la ciudad. En matemáticas lo más sencillo es quitarle el significado a las cosas, operar con números y, después, interpretar el resultado. Tras estas palabras, maestro y discípulo permanecieron en silencio durante el kilómetro que faltaba para llegar a palacio.

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Antes de empezar la unidad... ECUACIONES Elementos de una ecuación

Los miembros de una ecuación son las expresiones algebraicas que hay a cada lado de la igualdad y cada sumando se llama término.

1.er miembro

2.° miembro

5x - 7 = 2x + 3x Término Término Término independiente

Término

Las letras que aparecen en cada término son las incógnitas, y los números por los que están multiplicadas se denominan coeficientes. Los términos sin letras son los términos independientes. Soluciones de una ecuación

Los valores de las incógnitas que hacen cierta la igualdad se llaman soluciones. Para comprobar si un valor es solución de una ecuación sustituimos las incógnitas por esos valores y operamos. El valor es solución si se obtiene el mismo resultado en ambos miembros. El valor x = 2 es solución de la ecuación x - 5 = -3 porque: x - 5 =-3

x=2

" 2 - 5 =-3

En una ecuación, solo algunos valores de las incógnitas son solución.

-3 =-3 Se obtiene una igualdad (-3 = -3), luego 2 es solución de la ecuación. Sin embargo, x = 3 no es solución de la ecuación x - 5 = -3 porque: x - 5 =-3

x=3

" 3 - 5 ! -3

-2 ! -3 Se obtiene una desigualdad (-2 ! -3); por tanto, 3 no es solución de la ecuación.

EVALUACIÓN INICIAL 1 Determina los miembros, los términos, las incógnitas, sus coeficientes

y los términos independientes de estas ecuaciones. a) 4x + 5 = -3x b) 4x + 5 = -3 c) 4x + 5 = -3x + 2

d) 4x + 5y = -3x e) 4x + 5 = -3y f) 4x + 5y = -3x + 2y

2 Halla para qué ecuaciones es solución x = -1.

a) x + 5 = -1 b) x + 5 = -4x

c) x + 5 = -2x + 2 d) x + 5 = x + 3

3 Evalúa cuáles de los siguientes valores son solución de la ecuación

-2x - 5 = 3x + 15. a) x = -1 b) x = -4

c) x = 0 d) x = -10

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Identificar sistemas de ecuaciones lineales. • Resolver un sistema de ecuaciones. • Plantear y resolver un problema mediante un sistema de ecuaciones.

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Ecuaciones lineales

1

ANTES, DEBES SABER… Cuáles son el número de incógnitas y el grado de una ecuación • El número de incógnitas de una ecuación es el número de letras distintas que aparece en la ecuación. 2x 2 - 3x + 2 = 0 " Ecuación con 1 incógnita 2x 2 - 3y + 2 = 0 " Ecuación con 2 incógnitas • El grado de un término de una ecuación es la suma de los exponentes de las letras que lo forman. El grado de una ecuación es el mayor grado de sus términos. x + 3y = 5 " " Ecuación de primer grado con 2 incógnitas U S S Grado 1

Grado 1

Grado 0

2x - 3x + 2 = 0 U 1 Grado W Grado S 0 Grado S 2

Grado 2

Para que una ecuación sea lineal tiene que tener grado 1.

x + 3 = 0 " Ecuación lineal con 1 incógnita x + y = 0 " Ecuación lineal con 2 incógnitas xy + 3 = 0 " Ecuación de grado 2, no es lineal

"Ecuación de segundo grado con 1 incógnita 0

Una ecuación de primer grado se denomina ecuación lineal. • Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación que se puede expresar de la forma ax + by = c, donde x e y son las incógnitas, y a, b y c son números reales. Decimos que a y b son los coeficientes de x e y, respectivamente, y c es el término independiente. • Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es un par de valores, uno para cada incógnita, que hacen cierta la igualdad. • Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. EJEMPLO 1

Evalúa si 2x - y = 1 es una ecuación lineal, y determina si x = 0 e y = -1 es solución de la ecuación. 2x - y = 1 " Ecuación lineal con dos incógnitas, x e y. Coeficiente de x " a = 2 Coeficiente de y " b = -1 Término independiente " c = 1 El par de valores x = 0, y = -1 hace cierta la igualdad: 2x - y = 1

x = 0, y = -1

" 2 ? 0 - (-1) = 1 " 1 = 1

Por tanto, el punto (0, -1) es solución de la ecuación.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Identifica cuáles de estas ecuaciones

son lineales. a) 5x - 7 = 4 b) 4 - 2y = 6 c) -2x + y = 5

d) 3x = 7 + 4y e) 2x2 - 7y = 12 f) 4x + 2y = 5xy

2 Determina si los siguientes pares de valores son

solución de la ecuación 3x - 2y = -1. a) x = 1, y = -1 b) x = -1, y = -1 3 Calcula tres soluciones para estas ecuaciones.

a) x - 4y = 2

b) 4x - 4y = 8

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Sistemas de ecuaciones lineales

2

Dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común: ax + by = c 4 forman un sistema de ecuaciones lineales. alx + bly = cl Una solución del sistema es cualquier par de números que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar su solución. EJEMPLOS 1

Determina cuáles de los siguientes sistemas de ecuaciones son sistemas de ecuaciones lineales.

No es un sistema de ecuaciones lineales. a) x 2 + y = 8 3 3x - y = 2 " La primera ecuación es de segundo grado. b) xy + 7 = 0 No es un sistema de ecuaciones lineales. 3x - y = 23 " La primera ecuación es de segundo grado. c) x + 7y = 0 3x - y = 23 " Es un sistema de ecuaciones lineales. 2

Evalúa cuáles de los pares de valores

x+y = 0 3 son solución del sistema de ecuaciones lineales: 4x - 3y = 7 a) x = 1, y = -1 b) x = 1, y = 3 c) x = 2, y = -2 a)

x+y = 0 3 4x - 3y = 7

" 4 ? 1 - 3 ? (-1) = 73 " 7 = 72

x = 1, y = -1

1 + (-1) = 0

0=0

Como obtenemos dos igualdades, x = 1, y = -1 es solución del sistema. b)

x+y = 0 3 4x - 3y = 7

" 4 ? 1 - 3 ? 3 ! 72 " -5 ! 72

x = 1, y = 3

1+3 ! 0

4!0

Como obtenemos dos desigualdades, x = 1, y = 3 no es solución. c)

x+y = 0 3 4x - 3y = 7

" 4 ? 2 - 3 ? (-2) ! 73 " 14 ! 72

x = 2, y = -2

2 + (-2) = 0

0=0

Como obtenemos una desigualdad, x = 2, y = -2 no es solución.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Observa los siguientes sistemas de ecuaciones

5 Determina si los valores x = -1, y = 3 son

y determina cuáles de ellos son lineales.

solución de estos sistemas de ecuaciones.

a) 2x - y = 3 3 2x - 3y = 3

d) x + 8xy = 0 3 -2x + y = 0

a) x - 2y =-5 3 2x - 3y =-11

b) x2 + y = 0 3 5x - y = 7

e) 4x = 2y + 1 3 3x - y = 5

c) 5x - 7y = 4 4 4x2 + 8y =-1

1 f) x + 4y + 2 = 0 2 4 x- y = 9

2

b) -x + 4y = 13 3 -2x + y = 8

6 ¿De cuál de los siguientes sistemas

es solución (8, 4)? ¿Y (10, 2)? ¿Y (3, 1)? a) x + y = 12 3 x-y = 4

b) 2x + 4y = 10 3 3x - y = 8

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3 Monomio Coeficiente F

2x 2

F

Parte literal

Métodos de resolución de sistemas

ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan algunas operaciones con monomios y polinomios • Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. 5y y -2y son semejantes. 2x y 2y no son semejantes. • La suma (o resta) de monomios semejantes se realiza sumando (o restando) los coeficientes y manteniendo la misma parte literal. y + 4y = (1 + 4)y = 5y 2x - 7x = (2 - 7)x = -5x Si los monomios no son semejantes, la suma o la resta se deja indicada. 2y - 7x " Los monomios no son semejantes, no se pueden restar. x + 2y " Los monomios no son semejantes, no se pueden sumar. • Para multiplicar un número por un polinomio, multiplicamos el número por cada uno de los términos del polinomio. 3(4x - 5y + 7) = 3 ? 4x - 3 ? 5y + 3 ? 7 = 12x - 15y + 21

Cómo se resuelven ecuaciones de primer grado sencillas Para resolver una ecuación agrupamos en un miembro todos los términos con la incógnita. Para ello utilizamos las siguientes reglas: • Si un término está sumando en un miembro, pasa restando al otro. Y si está restando, pasa sumando. • Si un término está multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al otro. Y si está dividiendo, pasa multiplicando. Cuando la x queda sola en un miembro, y en el otro miembro solo hay números, diremos que hemos despejado la x. Su valor numérico es la solución de la ecuación. EJEMPLO 3

Resuelve la ecuación de primer grado: 9x + 1 = 3x - 5

Pasa como -3x

F

F

9x + 1 = 3x - 5 " 9x + 1 - 3x =- 5 " 9x - 3x =- 5 - 1 Pasa como -1

F

6 x =-6 " x =

-6 =-1 6

Pasa dividiendo

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 6 Resuelve, si se puede, las sumas y restas

7 Realiza la siguiente multiplicación:

de monomios. a) 3x + 2y b) 3y + 2y c) 3x + 2x - 3

(-4) ? (3x - 2y + 4) d) -3x - 2y e) 3y - 2y f) 3x - 2x - 3


a) 3x + 2 = 8

b) 3x + 2 = 8 + 2x

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3.1 Método de sustitución ANTES, DEBES SABER… Cómo se despeja una incógnita en una ecuación de dos incógnitas Despejar una incógnita en una ecuación con varias incógnitas consiste en aislar una de las letras en un miembro, y el resto, letras y números, en el otro miembro. EJEMPLO 4

Despeja x en las siguientes ecuaciones. a) x + 2y = 5 "" x = 5 - 2y b) -x - 2y = 5 " -2y - 5 = x " x =-2y - 5 5 - 2y c) 3x + 2y = 5 " " 3x = 5 - 2y " x = 3

Resolver un sistema por el método de sustitución consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación. EJEMPLO 4

Resuelve el sistema aplicando el método de sustitución: 2x - 3y = 42 x - 3y = 3

Si hubiéramos despejado la x de la segunda ecuación: x– y=3 2x – 3y = 42

• Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones. Es mejor despejar una incógnita con coeficiente 1 o -1, para evitar trabajar con denominadores. En este caso despejamos x en la primera ecuación. x=3+y x - 3y = 3 2 2 " 2x - 3y = 4 2x - 3y = 4

x–y=3 " x = 4x + 3y 4 2

• Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación. Sustituimos, en la segunda ecuación, x por el valor 3 + y. 2x - 3y = 4

x=3+y

" 2 (3 + y) - 3y = 4

• Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta. 2 (3 + y) - 3y = 4 " 6 + 2y - 3y = 4 " -y = 4 - 6 " -y = -2 " y = 2

tendríamos que trabajar con denominadores.

• Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones. x - y = 3

y=2

" x - 2 = 3 " x = 3 + 2 " x = 5

El sistema tiene como solución x = 5, y = 2. • Comprobamos que la solución obtenida es solución del sistema. 5-2=3 3=3 x - 3y = 3 x = 5, y = 2 2 " 2 2 " 2?5-3?2=4 4=4 2x - 3y = 4 Obtenemos dos igualdades; así, x = 5, y = 2 es solución del sistema.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER por el método 11 Resuelve de sustitución.

x + y = 5 2 x-y=3

9 Resuelve por el método

de sustitución.

3x - y = -8 2 2x - 3y = -10

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3.2 Método de igualación ANTES, DEBES SABER… Cómo se eliminan los denominadores de una ecuación Para eliminar los denominadores de una ecuación multiplicamos toda la ecuación por el m.c.m. de dichos denominadores. 1 2 x - y =- 4 3

1

2

" 12 ? d 4 x - yn = 12 ? d- 3 n

m.c.m. (3, 4) = 3 ? 4 = 12

12

24

" 4 x - 12y =- 3 " 3x - 12y =-8

Resolver un sistema por el método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar sus valores. EJEMPLO 5

Resuelve el sistema aplicando el método de igualación: 2x - 3y = 42 x - 3y = 3

• Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Igual que ocurre en el método de sustitución, es conveniente despejar la incógnita que resulte más sencilla. x- y = 3 2x - 3y = 4

4

" x = 3+y "x=

4 + 3y 4 2

• Igualamos las expresiones obtenidas. x = 3+y 4 + 3y 4 + 3y 4 " 3 + y = x= 2 2 • Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta. 4 + 3y 3+y= " 2 (3 + y) = 4 + 3y " 6 + 2y = 4 + 3y 2 " 6 - 4 = 3y - 2y " 2 = y " y = 2 • Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones. y=2

x - y = 3 " x - 2 = 3 " x = 3 + 2 " x = 5 El sistema tiene como solución x = 5, y = 2. • Comprobamos que la solución obtenida es solución del sistema. x - y = 3 x = 5, y = 2 5-2=3 3=3 2 " 2 ? 5 - 3 ? 2 = 42 " 4 = 42 2x - 3y = 4 Obtenemos dos igualdades; por tanto, x = 5, y = 2 es solución del sistema.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER por el método de igualación estos 14 Resuelve

10 Resuelve por el método de igualación

sistemas de ecuaciones.

los siguientes sistemas de ecuaciones.

a) x + y = 5 2 x-y=3

a) 3x - y = -8 2 2x - 3y = -10

b) 2x + y = 13 2 x-y=2

b) -2x + 5y = 14 2 -3x + y = 8

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3.3 Método de reducción ANTES, DEBES SABER… Cómo se suman y restan polinomios • Para sumar polinomios, se agrupan los monomios del mismo grado y se suman sus coeficientes.

+

3x - 4y + 3 -2x + 6y - 7 x + 2y - 4

• Para restar polinomios, se cambia el signo de todos los coeficientes del polinomio que se resta, y se suman los polinomios. 3x - 4y + 3 3x - 4y + 3 " + 2x - 6y + 7 -2x + 6y - 7 5x - 10y + 10

Resolver un sistema por el método de reducción consiste en buscar otro sistema, con las mismas soluciones, en el que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales o de signo opuesto. EJEMPLO 6

Resuelve el sistema aplicando el método de igualación: 2x - 3y = 42 x - 3y = 3

• Hacemos que los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos mediante las multiplicaciones apropiadas. Si multiplicamos la primera ecuación por -2, los coeficientes de x en las dos ecuaciones serán iguales pero con signo contrario. x - y = 3 2 2x - 3y = 4

? (-2)

" -2x + 2y = -6 2 2x - 3y = 4

• Sumamos las ecuaciones resultantes.

+

-2x + 2y = -6 2 2x - 3y = 4 -y = -2

Dos números son opuestos cuando son iguales pero con signo contrario. 3 y -3 son opuestos.

• Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta. -y = -2 " y = 2 • Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones. y=2

x - y = 3 " x - 2 = 3 " x = 3 + 2 " x = 5 El sistema tiene como solución x = 5, y = 2. • Comprobamos que la solución obtenida es solución del sistema. 5-2=3 3=3 x - y = 3 x = 5, y = 2 2 " 2 ? 5 - 3 ? 2 = 42 " 4 = 42 2x - 3y = 4 Obtenemos dos igualdades; por tanto, x = 5, y = 2 es solución del sistema.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER por el método de reducción. 17 Resuelve a) x + y = 5 2 x-y=3

b) x - 5y = 6 2 4x - 3y = 1

11 Resuelve por el método de reducción.

a) 3x - y = -8 2 2x - 3y = -10

b) -2x + 5y = 14 2 -3x + y = 8

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Ecuación lineal con dos incógnitas

ax + by = c "

*

x, y " Incógnitas a $ Coeficientes de x b $ Coeficientes de y c $ Términos independientes

Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas x, y " Incógnitas ax + by = c a, al" Coeficientes de x 3 alx + bly = cl " b, bl" Coeficientes de y c, cl" Términos independientes

*


1. EXPRESAR LAS ECUACIONES DE UN SISTEMA EN SU FORMA GENERAL ax + by = c Expresa las ecuaciones del sistema

x + 2y =5 5 4 en su forma general. 2 (x + y) = 40 - 4y

PRIMERO. Si hay denominadores, los eliminamos multiplicando toda la ecuación por el m.c.m. de dichos

denominadores. x + 2y =5 5 4 2 (x + y) = 40 - 4y

m.c.m. (1, 5) = 5

SEGUNDO. Eliminamos los paréntesis.

x + 2y x + 2y = 25 n=5 ? 5 5 4 " 2 (x + y) = 40 - 4y3 2 (x + y) = 40 - 4y

" 5d

x + 2y = 25 3 2 (x + y) = 40 - 4y

" 2x + 2y = 40 - 4y 3 x + 2y = 25

TERCERO. Agrupamos todas las incógnitas en un miembro, y los números en el otro.

x + 2y = 25 x + 2y = 25 x + 2y = 25 3 3 3 2x + 2y = 40 - 4y " 2x + 2y + 4y = 40 " 2x + 6y = 40

2. RESOLVER UN SISTEMA MEDIANTE EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN x + 2y =5 5 Resuelve el sistema 4 por el método de sustitución. 2 (x + y) = 40 - 4y PRIMERO. Expresamos las ecuaciones

en su forma general. x + 2y x + 2y = 25 =5 5 4 " 2x + 6y = 403 2 (x + y) = 40 - 4y SEGUNDO. Despejamos una incógnita

en una de las ecuaciones. x + 2y = 25 x = 25 - 2y 3" 3 2x + 6y = 40 2x + 6y = 40

TERCERO. Sustituimos el valor en la otra ecuación.

2x + 6y = 40

x = 25 - 2y

" 2 (25 - 2y) + 6y = 40

CUARTO. Resolvemos la ecuación que resulta.

2 (25 - 2y) + 6y = 40 " 50 - 4y + 6y = 40 2y =-10 " y =-5 QUINTO. Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquier ecuación.

2x + 6y = 40

y = -5

" 2x + 6 ? (-5) = 40 " x = 35

El sistema tiene como solución x = 35, y = -5.

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3. RESOLVER UN SISTEMA MEDIANTE EL MÉTODO DE IGUALACIÓN

x + 2y =5 5 Resuelve el sistema 4 2 (x + y) = 40 - 4y por el método de igualación. PRIMERO. Expresamos las ecuaciones

en su forma general. x + 2y x + 2y = 25 =5 5 4 " 2x + 6y = 403 2 (x + y) = 40 - 4y SEGUNDO. Despejamos una de las incógnitas

en las dos ecuaciones. x = 25 - 2y x + 2y = 25 3" 40 - 6y 4 x= 2x + 6y = 40 2 TERCERO. Igualamos la expresión obtenida.

25 - 2y =

40 - 6y 2

4. RESOLVER UN SISTEMA MEDIANTE EL MÉTODO DE REDUCCIÓN

x + 2y =5 5 4 2 (x + y) = 40 - 4y por el método de reducción.

Resuelve el sistema

PRIMERO. Expresamos las ecuaciones

en su forma general. x + 2y x + 2y = 25 =5 5 4 " 2x + 6y = 403 2 (x + y) = 40 - 4y SEGUNDO. Hacemos que los coeficientes

de una de las incógnitas sean opuestos mediante las multiplicaciones apropiadas. x + 2y = 25 3 2x + 6y = 40

? (-2)

" -2x - 4y =-503 2x + 6y = 40

TERCERO. Sumamos las ecuaciones.

-2x - 4y = -50 2 2x + 6y = 40 2y = -10

+

CUARTO. Resolvemos la ecuación que resulta.

40 - 6y " 50 - 4y = 40 - 6y 2 50 - 40 =-6y + 4y " 10 =-2y " y =-5

25 - 2y =

QUINTO. Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones. y = -5

2x + 6y = 40 " 2x + 6 ? (-5) = 40 " x = 35 El sistema tiene como solución x = 35, y = -5.

CUARTO. Resolvemos la ecuación de una

incógnita que resulta. 2y = -10 " y = -5 QUINTO. Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones. y = -5

2x + 6y = 40 " 2x + 6 ? (-5) = 40 " x = 35 El sistema tiene como solución x = 35, y = -5.


Resolver un sistema por el método de sustitución

1. Identifica las incógnitas, los coeficientes de cada una de las incógnitas y los términos independientes de estos sistemas.

2. Resuelve por el método de sustitución. b) x + 3y = 5 a) 2x - 5y =-1 3 3 x + 6y = 9 x + 2y = 4

a) 2x - 5y = 3 3 x + 2y =-4

b) -x + y = 0 2 4x =-2

Expresar las ecuaciones de un sistema en su forma general ax + by = c 1. Expresa las ecuaciones del sistema x-y +y = 1 3 4 en su forma general. 4 (y - x) - 6 = 3y

Resolver un sistema por el método de igualación 3. Resuelve por el método de igualación. b) x + y = 5 a) 2x - y =-1 3 3 2 2x + 6y = 22 x + 2y = Resolver un sistema por el método de reducción 4. Resuelve por el método de reducción. b) x + 3y = 2 a) x - 5y =-4 3 3 4x + 6y = 4 x + 2y = 3

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Actividades 37. ● Dado el sistema:

ECUACIONES LINEALES 12. ● Determina cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales, e indica su número de incógnitas. a) 7x - y = 24 b) 7x - 6 = 24

c) 7 - y = 24 e) 7x2 - y = 24 d) 7xy = 24 f) 7x2 - y2 = 24

13. ● Indica los coeficientes de cada incógnita y el término independiente de las ecuaciones lineales. a) 4x - 3y = 2 b) x - 9y = 4

c) x - y = 0 d) -3x + y = 2

e) 7x - 2 = 0 f) 7x = 3 + y

27. ● ¿Es x = 1 e y = 2 solución de estas ecuaciones? a) 3x + 2y = 7 b) x + 3 = y

c) 2x - y = 0 d) x + 1 = 7

14. ● ¿Cuáles de los siguientes pares de valores son solución de la ecuación x - 2y = 0? a) x = 0, y = -1 d) x = 4, y = 2 b) x = 1, y = 2 e) x = -4, y = -2 c) x = 2, y = 1 f) x = -2, y = -1 ¿Puedes calcular otras dos soluciones de esta ecuación?

SISTEMAS DE ECUACIONES 15. ● Estudia estos sistemas de ecuaciones y di cuáles de ellos son lineales. a) x - y = 2 3 3x - 2y = 35

d) 14y - x = 9 3 3x - 7xy = 4

b) x - 6 = 0 3 3y - x = 32

e) 9x - 3y2 = 8 4 7x2 - y = 24

c) 2x + 4y = 28 3 9-y = 4

f) 3y = 12 - x 3 9x = y2 + 24

35. ● Indica los coeficientes y términos independientes de los sistemas. a) x + 2y = 5 2 x + 2y = 6

c) x - 2y = 1 2 2x + 2y = 7

b) x + 3y = 5 2 x - 3y = 1

d) 5x - 3y = 1 2 4x + 3y = 11

36. ● ¿Cuál de los siguientes pares de valores es solución del sistema? 2x + 3y = 13 2 3x - 4y = 11 a) (1, 5) b) (5, 1) c) (2, 3) d) (0, 0)

3x - 2y = 2 2 2x + 3y = 5 averigua si alguno de estos pares de valores es solución. a) x = 2, y = 4

c) x = 1, y = 1

b) x = 4, y = -1

d) x = 0, y =-

1 2

16. ● Determina si el par de valores x = 4, y = 2 es solución de alguno de estos sistemas de ecuaciones. a) x - y = 1 2 2x - y = 4

e) 2x + y = 13 2 x-y=2

b) x + y = 2 2 2x - 3y = 9

f) -x + 2y = 2 2 3x - 4y = -2

c) x - 2y = 1 2 2x + y = 7

g) 5x - 3y = 1 2 4x + y = 11

d) 2x + y = 7 2 x - 3y = 0

h) 5x + 3y = 16 2 3x - 3y = 0

17. ● ● Copia y completa estos sistemas para que tengan como solución x = 0, y = -1. x-y = 1 3 3x - 4y = 2

c)

x - 6 =-6 3 4y - x =-1

d) 4x - 4y =-3 4 7x - 4y = 2

a) b)

y - x =-1 3 3x - 4y = 4

38. ● ● Un sistema tiene por solución x = 2, y = -1 y una de sus ecuaciones es 2x - y = 5. ¿Cuál es la otra? a) 4x - 2y = 6 b) 4x - 2y = 5

c) -x + 2y = 5 d) -x + 2y = -4

39. ● ● Escribe una ecuación lineal con dos incógnitas, de forma que una de sus soluciones sea x = 1, y = -2. Utiliza la ecuación para determinar un sistema de ecuaciones con esa solución. 49. ● ● Escribe un sistema de ecuaciones cuya solución sea: a) x = 2, y = 1

b) x = 4, y = -3

54. ● ● ● Completa los sistemas para que el primero tenga solución x = 2, y = -3, y el segundo, x = -3, y = 2. a) 3x - 5y = 4 2 4x + 4y = 2

b) -2x + 4y = 8 2 4x - 2y = -7

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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS 58. ● Resuelve por el método de sustitución. a) 3x + 5y = 1 2 x + 5y = 1

e) 4x - 3y = -3 2 x + 3y = -4

b) 7x + 8y = 23 2 3x + 2y = 70

f) 2x + y = 12 2 -x - y = -7

c) 2x - 3y = 5 2 5x + 0y = 4

g) 3x + y = 10 2 2x - y = 10

d) 5x - 3y = 1 2 4x + 0y = 11

h) 3x + 5y = 20 2 7x + 4y = 39

59. ● Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación. a) 3x + 5y = 1 2 x + 5y = 1

e) 3x + y = 10 2 2x - y = 10

b) 7x + 8y = 23 2 3x + 2y = 7

f) 5x - 3y = 1 2 4x + 3y = 11

c) 2x - 3y = 5 2 5x + 0y = 4

g) 5x + 3y = 16 2 3x - 3y = 0

d) 4x - 0y = -3 2 0x + 3y = -4

h) 3x + 5y = 20 2 7x + 4y = 39

18. ● Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción. a) 3x + 5y = 1 2 x+ y=1

d) 3x + y = 10 2 2x - y = 10

b) 2x - 3y = 5 2 5x + y = 4

e) 5x - 3y = 1 2 4x + y = 11

c) 4x - y = -3 2 x + 3y = -4

f) 5x + 3y = 16 2 3x - 3y = 0

19. ● Resuelve los sistemas de ecuaciones por el método que consideres más adecuado. a) x - y = 4 3 -x + 4y = 14

g) 2x + 3y = 5 3 3x - 2y = 1

b) 1 - x = 3y 3 3 - 3x = 40 - y

h) 2x - 3y =-3 3 4x + 5y = 49

c)

4y = 10 - x 3 y-x = 5

i) 5x + 3y =-9 3 2x - 5y =-16

d) 3x + 2y - 14 = 0 3 5x - 4y - 5 = 0

j) x + 3y = 36 3 x - 2y =-4

e) y - x = 2 3 2y + x = 5

k) x - 1 = 2y + 12 3 x + 6 = 3 - 6y

f) 4x - 3y =-1 3 3x + y = 9

l) 2x + y = 80 3 3x - 2y = 64

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE ELIMINAN LOS PARÉNTESIS Y LOS DENOMINADORES EN UN SISTEMA? 60. Elimina los paréntesis y los denominadores. 3y x 1 + = 2 2 4 3 (2x - 2) 3 (y + 1) =-10 2 9

4

Se eliminan los denominadores. Se calcula el m.c.m. de los denominadores en cada ecuación, y se multiplican los dos miembros de la ecuación por él. Primera ecuación: m.c.m. (2, 4, 2) = 4 3y 1 x o = 4 ? " 2x + 3y = 2 4e + 2 4 2 PRIMERO.

Segunda ecuación: m.c.m. (2, 9) = 18 3 (y + 1) 3 (2x - 2) o = 18 ? (-10) 18 e 2 9 9 ? 3 (2x - 2) - 2 ? 3 (y + 1) = -180 Se eliminan los paréntesis. 9 ? 3 (2x - 2) - 2 ? 3 (y + 1) = -180 54x - 54 - 6y - 6 = -180

SEGUNDO.

Se pasan las incógnitas a un miembro, y los términos sin incógnita, al otro. 54x - 54 - 6y - 6 = -180 54x - 6y = -180 + 54 + 6 = -120 Sin paréntesis ni denominadores, el sistema es: 2x + 3y = 2 Simplificando 2x + 3y = 2 2 2 9x - 0y = -20 54x - 6y = -120

TERCERO.

F

61. ● ● Resuelve por el método que consideres más adecuado. a) -2 (x - 2) = y - 4 c) 3 (x + y) - x + 2y = 152 2 3y - 2x = 0 2x - (y + 8) = -11 b) -5 (y - 2) = x - 2 d) 3 (x + 2) - 7 (x + y) = 15 2 2 x - 3y = -4 5 (x + 1) - y = 14 20. ● ● Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que consideres más adecuado. x-y x a) c) =1 = 1-y 2 2 4 4 -2 (x + y) =-2 3 (x + 4y) = -24 b)

x+6 =y 3 4 2 (x - y) =-4

d)

x+2 = 1 + 3y 4 4 5 (x - 7y) = 10

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62. ●● Resuelve por el método que consideres más adecuado. a)

b)

3x 2x =2 3 4 4 3y + 5x =-1

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE EXPRESAN CIERTOS ENUNCIADOS MEDIANTE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS?

y x - =-1 3 2 y 2x - =7 3 4

4

63. ●●● Elimina los paréntesis y los denominadores en los siguientes sistemas. a)

b)

y x + =0 2 2 2 (y + 2) 5 (x + 1) =-2 7 3

4

(y - 1) 3 (1 - x) 1 3 - = 3 5 2 2 5 (x + 1) + 7 (2y - 1) =2 6

c)

Datos desconocidos

4

y+2 x 1 = 2 2 2 2 (x - 1) y+2 =-1 3 6

4

x + y=2 5 4 2x - 3y = 7

b)

c)

Incógnitas

Dos números

x, un número y, el otro número

Edades de dos hermanos

x, edad del primero y, edad del segundo

Edades del padre y el hijo

x, edad del padre y, edad del hijo

Dos números

x, un número y, el otro número

Se relacionan los datos conocidos y desconocidos mediante una ecuación. a) La suma es 50 " x + y = 50 b) La diferencia es 5 años " x - y = 5 c) El padre dobla en edad al hijo " x = 2y d) Uno supera al otro en 10 " x = y + 10 SEGUNDO.

68. ● ● Expresa mediante ecuaciones con dos incógnitas.

65. ●●● Resuelve por el método de reducción los siguientes sistemas. a)

67. Expresa como ecuaciones con dos incógnitas. a) La suma de dos números es 50. b) La diferencia de edad de dos hermanos es 5 años. c) Un padre tiene el doble de edad que su hijo. d) Un número supera a otro en 10 unidades. PRIMERO. Se asigna una incógnita a cada dato desconocido.

64. ●●● Resuelve por el método de igualación estos sistemas. y x a) + = 6 2 3 4 x - 2y = - 4 b)

PROBLEMAS CON SISTEMAS

+

=5€

y x + =6 2 3 4 x - 2y = - 4 y+2 x 1 = 2 2 2 2 (x - 1) y+2 =-1 3 6

4

x + y=2 5 4 2x - 3y = 7

a) Un bocadillo y un refresco valen 5 €. b) Dos bocadillos y tres refrescos cuestan 15 €. c) Un bocadillo vale 1 € más que un refresco. d) He pagado un bocadillo y dos refrescos con 10 € y me han devuelto 3 €.

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69. ● Elige la respuesta adecuada. a) Hace tres años, la edad de un tío era el triple de la edad de su sobrino, pero dentro de 5 años será solo el doble. Las edades del tío y del sobrino son: 1. Tío: 15, sobrino: 5. 2. Tío: 35, sobrino: 15. 3. Tío: 27, sobrino: 11. b) En un teatro se han vendido 250 entradas entre butacas de patio y de palco. Las primeras cuestan 15 € cada una, y las segundas, 30 €. Si la recaudación total fue de 4 500 €, las entradas vendidas de cada tipo fueron: 1. Patio: 50, palco: 250. 2. Patio: 100, palco: 10. 3. Patio: 200, palco: 50. 4. Patio: 125, palco: 125.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVE UN PROBLEMA MEDIANTE UN SISTEMA? 21. Un coche y un autobús, situados uno detrás del otro, miden juntos 14 m. El doble de la longitud del coche supera en 1 m a la longitud del autobús. ¿Cuánto mide cada uno? PRIMERO. Identificamos

la incógnita.

Lo que sabemos…

Lo que no sabemos…

Longitud del autobús + = 14 + = + 1 Longitud del coche

Llamamos x " Longitud del autobús y " Longitud del coche SEGUNDO. Planteamos

la ecuación. Los dos juntos miden 14 m " x + y = 14 Coche doble es autobús más 1 " 2y = x + 1

TERCERO. Resolvemos

el sistema.

x + y = 14 x + y = 14 2 2 + 2y = x + 1 " -x + 2y = 1 15 =5 3y = 15 " y = 3 y=5 x + y = 14 " x + 5 = 14 " x = 14 - 5 = 9 CUARTO. Comprobamos

e interpretamos

la solución. x + y = 14 2 2y = x + 1

14 = 14 " 10 = 102

x = 9, y = 5

El autobús mide 9 m, y el coche, 5 m.

70. ● Calcula dos números cuya suma es 10 y su diferencia es 6. 72. ● ● Dos kilos de albaricoques y tres kilos de brevas cuestan 13 €. Tres kilos de albaricoques y dos kilos de brevas cuestan 12 €. ¿Cuál es el precio del kilo de albaricoques?

2 kg

+ 3 kg

= 13 €

73. ● ● En una compra se han utilizado monedas de 2 € y billetes de 5 €. En total, entre monedas y billetes son 13 y se han pagado 33 €. ¿Cuántas monedas de 2 € se utilizan? ¿Y billetes de 5 €? 74. ● ● En una droguería se venden 3 jabones y 2 frascos de colonia por 12 €, y también 4 jabones y 3 frascos de colonia por 17 €. Calcula el precio de cada producto. 75. ● ● Hemos adquirido sellos de 0,26 € y de 0,84 €. En total hemos pagado 5,18 € por 11 sellos. ¿Cuántos sellos son de 0,26 €? ¿Y de 0,84 €? 76. ● ● Para una merienda se han comprado bocadillos de jamón a 2,80 € la unidad y de queso a 2,50 €. En total se pagan 48 € por 18 bocadillos. ¿Cuántos bocadillos de jamón se compran? 77. ● ● En un taller hay 50 vehículos entre motos y coches. Si el número total de ruedas es 140, ¿cuántos vehículos hay de cada tipo? 78. ● ● El perímetro de una parcela rectangular es 350 m y el triple de su largo es igual al cuádruple de su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela? 79. ● ● José le dice a Inés: «Si te doy 10 discos tendrías la misma cantidad que yo». Inés le responde: «Tienes razón. Solo te faltan 10 discos para doblarme en número». ¿Cuántos discos tiene cada uno?

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Proporcionalidad numérica Un pedazo de la Historia Por fin, Alí había conseguido sacar a Schoene del hotel, donde llevaba recluido cuatro días sin apartar la vista de aquel libro, que a intervalos hacía exclamar a Schoene: –¡Es maravilloso! ¡Fantástico! ¡Estuvo perdido durante siglos y lo he encontrado yo! Aquella tarde, paseando por el zoco, Schoene no dejaba de hablar de su nueva adquisición, de la que decía ser una pequeña pieza del puzle de la Historia.

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. El texto hace referencia a dos personajes, Schoene y Herón de Alejandría. ¿Cuál de ellos es un ilustre matemático? ¿Cuáles fueron sus descubrimientos más importantes? 2. De los libros que se atribuyen a Herón de Alejandría, ¿a cuál de ellos se refiere el texto? 3. Busca información sobre las aportaciones de Herón a la proporcionalidad numérica.

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–Alí, el libro es la prueba. –Schoene lo miraba emocionado–. Es una traducción de un libro de matemáticas de Herón de Alejandría perdido hace mucho tiempo, cuyo original se escribió en el siglo I. –Yo prefiero lo real a las teorías matemáticas –contestó Alí sin compartir el entusiasmo de su compañero. –Te equivocas, Alí, este libro está lleno de aplicaciones prácticas: enseña maneras de aproximar raíces cuadradas no exactas, métodos para calcular áreas de polígonos, volúmenes de cuerpos e, incluso, división de superficies en partes proporcionales… Estos conocimientos eran muy útiles en el Egipto del siglo I, por ejemplo, para calcular las medidas de los terrenos que cultivaban o repartir herencias.

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Antes de empezar la unidad... RAZÓN Y PROPORCIÓN Magnitudes

Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir, y su valor, expresarlo mediante un número. La longitud es una magnitud.

Esta cuerda mide 16 m.

El peso es una magnitud.

El melón pesa 1,5 kg.

No son magnitudes los meses del año, el nombre de las personas... Razón

a Una razón entre dos números, a y b, es el cociente . b En mi clase somos 14 chicas y 9 chicos, ¿qué relación existe entre chicas y chicos? La relación entre chicas y chicos en mi clase es de 14 a 9. 14 . Esto se puede expresar mediante la razón 9

En una fracción, el numerador y el denominador son números enteros. En una razón no es necesario. 13 " Es una razón y una fracción. 2 3,5 " Es una razón pero 2 no es una fracción.

Proporción

Una proporción es la igualdad entre dos razones. Para pintar 4 m2 de pared necesito 5 kg de pintura. Y para pintar 6 m2 necesito 7,5 kg. 4 6 4 6 Razón: Razón: = = 0,8 " Forman una proporción. 5 7,5 5 7,5 EVALUACIÓN INICIAL 1. ¿Es una magnitud el color de un automóvil? ¿Y la altura de un edificio? 1 Expresa mediante una razón.

a) De las 55 preguntas del test he acertado 36. b) Teníamos 68 huevos y se han roto 12. c) En el primer turno de comida comen 94 alumnos, y en el segundo, 65. d) Una frutería tiene 7 cajas de tomates y 3 de pimientos. 2. Identifica las razones que forman una proporción. 2 8 6 9 10 50 30 20 b) , a) , , , , , 2 10 8 1 2 3 5 5 2 En el comedor del colegio ponen 3 barras de pan por cada 8 alumnos.

Si hoy hemos comido 124 alumnos y han puesto 50 barras, ¿se ha mantenido la proporción?

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Reconocer las relaciones de proporcionalidad directa e inversa. • Resolver problemas mediante la regla de tres simple, directa o inversa. • Aplicar los repartos proporcionales. • Trabajar con porcentajes y resolver problemas de la vida real con ellos.

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Proporcionalidad directa

1 NO OLVIDES


Magnitudes directamente proporcionales

Cuándo dos razones forman proporción

Magnitud M

a

b

c

Magnitud M'

a'

b'

c'

a c a c y , forman una proporción, = , cuando se cumple b d b d esta propiedad: a ? d = b ? c 3 6 = , porque: 3 ? 8 = 4 ? 6 4 8

Dos razones,

a b c = = =k a' b' c' k " Constante de proporcionalidad directa

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente entre dos cantidades correspondientes de ambas, a y b, es constante: a =k b El número k es la constante o razón de proporcionalidad directa. EJEMPLO 1

Marta realiza un trabajo por horas y cobra 12 € cada hora. a) ¿Cuánto recibirá si trabaja 2 horas? ¿Y si trabaja 3 horas?

La tabla de valores, cuando las magnitudes son directamente proporcionales, se llama tabla de proporcionalidad directa.

a) Marta cobra 12 € por 1 hora de trabajo. En 2 horas ganará el doble, en 3 horas el triple… Podemos reflejar esta situación mediante una tabla de valores. ?3 F

F

F

?2

:3

36

48

60

72

…

Tiempo (h)

1

2

3

4

5

6

…

?2

F

24 F

12

F

Ganancia (€)

:3

?3

Las magnitudes Ganancia – Tiempo son magnitudes directamente proporcionales. Al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número. GANANCIA

F

TIEMPO

F

12 24 36 = = = … = 12 1 2 3

G

RAZÓN

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Determina si estas tablas representan

2 Halla si los siguientes pares de magnitudes son

magnitudes directamente proporcionales. Magnitud A

2

4

6

Magnitud B

8

16

24

Magnitud A

6

12

18

Magnitud B

5

10

20

directamente proporcionales. a) El precio de una barra de pan y el importe que tengo que pagar por el número de barras que compro. b) El día del mes y la temperatura que hay. c) El tiempo que se tarda en llegar a un sitio y la velocidad con la que me aproximo.

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Proporcionalidad inversa

2

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de dos cantidades correspondientes de ambas, a y b, es constante: a ? b = k El número k es la constante o razón de proporcionalidad inversa. EJEMPLO 2

NO OLVIDES Magnitudes inversamente proporcionales Magnitud M

a

b

c

Magnitud M'

a'

b'

c'

a ? a' = b ? b' = c ? c' = k

Un tren que circula a una velocidad constante de 60 km/h, emplea 5 horas en recorrer un trayecto.

k " Constante de proporcionalidad inversa

a) ¿Cuántas horas empleará en recorrer dicho trayecto si su velocidad es de 30 km/h? ¿Y si la velocidad es de 10 km/h? a) Si el tren circula a 30 km/h, que es la mitad de la velocidad, tardará el doble del tiempo, 10 horas. Si reduce la velocidad a la sexta parte: 10 km/h, tardará seis veces más, 30 horas… Podemos reflejar esta situación mediante una tabla de valores. :6 ?4

F

F

F

:2

10

40

…

Tiempo (h)

5

10

30

7,5

…

?2

:4

F

30

F

60

F

Velocidad (km/h)

La tabla de valores, cuando las magnitudes son inversamente proporcionales, se llama tabla de proporcionalidad inversa.

?6

Las magnitudes Velocidad – Tiempo son magnitudes inversamente proporcionales. Al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo número. F

60 ? 5 = 30 ? 10 = 10 ? 30 = … = 300

G

RAZÓN

F

VELOCIDAD TIEMPO

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 Determina si estas tablas tienen valores

correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales. Magnitud A

12

6

3

Magnitud B

4

8

16

Magnitud C

24

8

4

Magnitud D

18

6

2

Magnitud E

6

3

2

Magnitud F

24

48

72

Si son inversamente proporcionales, calcula su razón.

7 Clasifica en proporcionalidad directa o inversa.

a) El lado de un cuadrado y su perímetro. b) Obreros y tiempo en acabar un trabajo. 4 Elabora una tabla de proporcionalidad con los

datos de cada apartado y calcula los valores necesarios para contestar a las preguntas que se plantean. a) Para realizar una obra, 2 albañiles tardan 4 días. Si la obra la realizasen 4 albañiles, ¿cuántos días tardarían? b) En una granja de 200 pollos les queda comida para 12 días. Si el número de pollos fuese de 600, ¿para cuántos días tendrían comida?

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3

Regla de tres simple

ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula un término desconocido en una proporción Para calcular el término desconocido de una proporción, primero se aplica la propiedad de las proporciones y, después, se despeja x. Por ser proporción

" 3 ? x = 6 ? 4 " x = F

3 6 = 4 x

6?4 =8 3

Pasa dividiendo

Cuando dos magnitudes son proporcionales, y no conocemos una de las cuatro cantidades relacionadas, podemos hallarla mediante una regla de tres simple.

3.1 Regla de tres simple directa La regla de tres simple directa es una técnica que nos permite calcular el valor de una cantidad, conociendo otras tres cantidades relacionadas de dos magnitudes directamente proporcionales. EJEMPLO En general, para resolver una regla de tres simple directa, aplicaremos el siguiente cálculo:

a"b a b c·b = 3" "x = c"x c x a

3

Si 6 revistas de automóviles cuestan 18 �, ¿cuánto costarán 9 revistas? Averiguamos si existe proporcionalidad entre las dos magnitudes: • Si compramos el doble de revistas, el precio se duplica. • Si compramos la mitad, el precio se reduce a la mitad. Las magnitudes Número de revistas – Precio son directamente proporcionales. Planteamos la regla de tres: cuestan Si 6 revistas " 18 � 4 costarán 9 revistas " x � Aplicando las propiedades de la proporcionalidad directa: 6 18 = 9 x Para calcular el valor de x aplicamos la propiedad de las proporciones: 6 ? x = 9 ? 18 9 ? 18 = 27 x= Y despejamos x: 6 El precio de 9 revistas es 27 �.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 8 En la cocina de un instituto han pagado 42 €

por 70 barras de pan. ¿Cuánto tendrían que pagar si hubieran comprado 45 barras?

9 Un coche gasta en gasolina 0,46 € cada 4 km.

¿Cuánto costará el combustible en un viaje de 270 km si mantiene el mismo consumo?

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3.2 Regla de tres simple inversa ANTES, DEBES SABER…

DATE CUENTA

Cuál es la fracción inversa de una fracción

El inverso de un número a 1 es . a 1 El inverso de 7 es . 7

La fracción inversa de 8 3 1 La fracción inversa de 4 La fracción inversa de

a b es . b a 3 8 3 es . La fracción inversa de - es - . 8 3 8 1 4 4 es = 4. La fracción inversa de - es - =- 4. 4 1 1

La regla de tres simple inversa es una técnica que nos permite calcular el valor de una cantidad, conociendo otras tres cantidades relacionadas de dos magnitudes inversamente proporcionales. EJEMPLO 4

Un edificio es pintado por 12 obreros en 15 días. ¿Cuántos días emplearán 20 obreros en pintar el mismo edificio?

El primer paso es averiguar si existe algún tipo de proporcionalidad entre las dos magnitudes: • Si trabajan el doble de obreros, tardarán la mitad de días. • Si trabajan la mitad de obreros, el número de días que tardarán será el doble. Las magnitudes Número de obreros – Días son inversamente proporcionales. El planteamiento de la regla de tres simple inversa es similar al de la regla de tres simple directa: Si 12 obreros 20 obreros

tardan

" 15 días4 " x días

tardarán

Sin embargo, en la resolución debemos tener en cuenta que, en vez de la segunda fracción, consideramos su inversa:

12 x = 20 15

En general, para resolver una regla de tres simple inversa, aplicaremos el siguiente cálculo:

a"b a x a·b = 3" "x = c"x c b c

Para calcular el valor de x aplicamos la propiedad de las proporciones: 12 ? 15 = 20 ? x 12 ? 15 =9 x= Y despejamos x: 20 Por tanto, los 20 obreros emplearán 9 días en pintar el edificio.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 12 Si el tiempo empleado por 7 trabajadores

en limpiar una calle es de 7 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores?

14 Un grifo vierte 6 litros por minuto y tarda 5 horas

en llenar un depósito. Si vertiese 1 litro por minuto, ¿cuánto tiempo tardaría?

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Repartos proporcionales

4

4.1 Repartos directamente proporcionales Para repartir una cantidad, N, en partes directamente proporcionales a a, b y c, cada parte se obtiene multiplicando la constante de proporcioN por cada número a, b y c. nalidad a+b+c EJEMPLOS 5

Un agricultor quiere regar con 300 m3 de agua tres parcelas de forma

directamente proporcional a sus superficies, que son 2, 3 y 5 hectáreas, respectivamente. ¿Cuántos metros cúbicos destinará al riego de cada parcela? Dividimos la cantidad de agua que se va a repartir entre la suma de las dimensiones de cada parcela. 300 300 = = 30 2+3+5 10

2 ha

3 ha

5 ha

Multiplicamos este resultado por las dimensiones de cada una de las parcelas. A la parcela de 2 hectáreas le corresponden: 2 ? 30 = 60 m3 de agua A la parcela de 3 hectáreas le corresponden: 3 ? 30 = 90 m3 de agua A la parcela de 5 hectáreas le corresponden: 5 ? 30 = 150 m3 de agua 1

Antonio tiene dos hijos: Bernardo y Carla. Bernardo, a su vez tiene 3 hijos, y Carla otros 2 hijos. Antonio quiere repartir 20 000 € entre Bernardo y Carla de forma directamente proporcional al número de hijos que tiene cada uno. ¿Cuánto les corresponde a Bernardo y a Carla? Dividimos la cantidad que va a repartir Antonio entre la suma del número de hijos de Bernardo y Carla. 20 000 20 000 = = 4 000 3+2 5 Multiplicamos este resultado por el número de hijos de Bernardo y Carla. A Bernardo, que tiene 3 hijos, le corresponden: 3 ? 4 000 = 12 000 € Y a Carla, que tiene 2 hijos, le corresponden: 2 ? 4 000 = 8 000 €

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 16 Reparte 28 000 en partes directamente

proporcionales a 3 y 7.

5 Reparte 102 � en partes directamente

proporcionales a 3, 2 y 1, respectivamente.

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4.2 Repartos inversamente proporcionales ANTES, DEBES SABER… Cómo se dividen fracciones

F

F

F F

F

F

Para dividir fracciones multiplicamos en cruz. a c a?d 3 5 3?7 21 : : = = = 4 7 b d b?c 4?5 20 F F

Cómo se divide un número entre una fracción Para dividir un número entero entre una fracción, se expresa el número en forma de fracción poniendo como denominador 1. 5 7 5 7 5?3 15 : =5: = = = 1 3 1? 7 7 3 7 3

Para repartir una cantidad, N, en partes inversamente proporcionales a a, b y c, cada parte se obtiene dividiendo la constante de proporcionalidad N entre cada número a, b y c. 1 1 1 + + a b c EJEMPLO 6

Tres camareros se reparten 295 � de propinas en partes inversamente

proporcionales a los días que faltaron en el trimestre, que fueron 2, 5 y 7. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Dividimos la cantidad de dinero que se va a repartir entre la suma de los inversos del número de días que faltó cada camarero en el último trimestre. 295 295 59 295 59 295 ? 70 : = = 295 : = = = 350 1 70 59 70 59 1 1 1 + + 70 2 5 7 Multiplicamos este resultado por los inversos del número de días que faltó cada camarero en el último trimestre. Al camarero que faltó 2 días le corresponden:

1 350 ? 350 = = 175 € 2 2

Al camarero que faltó 5 días le corresponden:

1 350 = 70 € ? 350 = 5 5

Al camarero que faltó 7 días le corresponden:

1 350 = 50 € ? 350 = 7 7

El inverso de 2 es

1 . 2

El inverso de 5 es

1 . 5

El inverso de 7 es

1 . 7

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 19 Reparte 70 en partes inversamente

proporcionales a los números 3 y 4.

20 Reparte 1 100 en partes inversamente

proporcionales a los números 5 y 6.

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Problemas con porcentajes

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ANTES, DEBES SABER… CALCULADORA

Cómo se calcula el tanto por ciento de una cantidad

Para hallar un tanto por ciento en la calculadora utilizamos la tecla % .

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad multiplicamos esa cantidad por el porcentaje y dividimos entre 100. 20 8 20 % de 250 = 250 ? = 50 8 % de 300 = 300 ? = 24 100 100

35 % de 460 4

6

0

#

3

5

%

"

161

6.1 Cálculo de porcentajes Un porcentaje o tanto por ciento expresa la cantidad de una magnitud correspondiente a 100 unidades de la otra. Se escribe con el signo %. EJEMPLOS 8

En un instituto de 200 alumnos, el 25 % de los alumnos llevan gafas. ¿Cuántos alumnos llevan gafas?

llevan gafas

El porcentaje de una cantidad también se puede calcular mediante una regla de tres: a 100 " a 3 "x = C · C " x 100

Si de 100 alumnos ------" 25 alumnos 3 llevarán gafas de 200 alumnos ------" x alumnos 100 25 = 200 x 9

" x=

¿Qué porcentaje de aciertos tuve si encesté 7 canastas de 32 intentos? encesté

Si de 32 intentos ----" 7 2 encestaré de 100 intentos ----" x Tuve un 21,88 % de aciertos. 2

200 ? 25 = 50 alumnos 100

32

7

" 100 = x " x =

7 ? 100 = 21,88 % 32

Están estropeados 240 tornillos, que corresponden al 8 % de los tornillos fabricados. ¿Cuántos tornillos se han fabricado? Si de 100 tornillos de x tornillos

se estropean

-------" 8 tornillos 3 se estropean -------" 240 tornillos

100 8 = 240 x

" x=

100 ? 240 = 3 000 tornillos 8

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 6 Calcula el 15 % de 300, 4 500 y 60 000. 27 Un embalse con capacidad de 200 hm3

se encuentra al 45 % de su capacidad. ¿Qué cantidad de agua contiene? 28 En un periódico se dice que 80 de cada

1 500 personas practican deportes de riesgo. Expresa este dato en porcentaje.

7 Hay 54 personas, es decir, el 18 % de las personas

entrevistadas, que dicen no estar de acuerdo con los impuestos municipales. ¿A cuántas personas se ha entrevistado en total? 8 De las 12 toneladas de tomates recogidos

este año se ha estropeado un 14 % de la producción. ¿Cuántas toneladas de tomates podemos vender?

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6.2 Aumentos y disminuciones porcentuales Aumentar un t % equivale a calcular el (100 + t) % de esa cantidad. EJEMPLO 10 Un coche que el año pasado valía 15 000 € ha aumentado su precio este año en un 20 %. ¿Cuál es su precio actual? Si el precio inicial, el 100 %, ha aumentado un 20 %, el precio final será el 100 + 20 = 120 % del precio inicial. Por tanto, el coche costará: 120 = 15 000 ? 1,2 = 18 000 € 120 % de 15 000 = 15 000 ? 100

Disminuir un t % equivale a calcular el (100 - t) % de esa cantidad. EJEMPLO 3 Un coche que el año pasado valía 15 000 € ha disminuido su precio este

año en un 20 %. ¿Cuál es su precio actual? Si el precio inicial, el 100 %, ha disminuido un 20 %, el precio final será el 100 - 20 = 80 % del precio inicial. Por tanto, el coche costará: 80 80 % de 15 000 = 15 000 ? = 15 000 ? 0,8 = 12 000 € 100

El 20 % de 144 =

20 · 144 = 100

= 0,2 · 144

6.3 Porcentajes encadenados Los porcentajes encadenados surgen cuando aplicamos aumentos o disminuciones porcentuales sucesivamente. Equivalen a aplicar un único porcentaje, que es el producto de todos ellos.

El 120 % de 144 =

120 · 144 = 100

= 1,2 · 144

EJEMPLO 11 Un televisor que cuesta 200 € está rebajado en un 30 %. Al ir a pagar en caja nos añaden el 16 % de IVA. ¿Cuál es el precio final? Un televisor de 200 € costará: 116 % del 70 % de 200 = 1,16 ? 0,70 ? 200 = 0,812 ? 200 = 162,40 € Porcentaje rebajado

Porcentaje final F

Porcentaje con IVA

El precio final del televisor, 162,40 €, es el 81,2 % del precio inicial.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 29 Una raqueta de tenis cuesta 180 € más

un 16 % de IVA. ¿Cuál es su precio final? 9 ¿Cuánto son 2 € menos su 15 %?

31 Un disco compacto vale 12 €. El dependiente

me rebaja un 15 % por ser un cliente habitual, y al pagar me cobran un 16 % de IVA. ¿Cuánto pago por el disco?

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Magnitudes directamente proporcionales

Magnitudes inversamente proporcionales

?3

?3

4

6

Magnitud A

1

2

4

6

Magnitud B

5

10

20

30

Magnitud B

24

12

6

4

F

F

?2

F

F

:2

?2

:2

?3

1 2 4 6 = = = = 0,2 10 20 30 5

G

Constante de proporcionalidad directa

Porcentajes a % de C = C ?

a 100

F

2

F

1

F

Magnitud A

F

F

?2

F

:2

F

?2

F

:2

:3

1 ? 24 = 2 ? 12 = 4 ? 6 = 6 ? 4 = 24

G

Constante de proporcionalidad inversa

Aumentar C un t % " Calcular (100 + t) % de C Disminuir C un t % " Calcular (100 - t) % de C


1. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE

LA REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

2. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE

LA REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Un coche, a velocidad constante, consume 7 litros de gasolina al recorrer 100 km. Si el coche recorre 250 km a esa misma velocidad, ¿cuántos litros consumirá?

En un velero en el que se prevé que viajen 18 tripulantes, se almacena agua para 10 días. Si al final solo viajan 15 tripulantes, ¿para cuántos días tendrán agua?

PRIMERO. Identificamos

PRIMERO.

las magnitudes. Distancia recorrida – Consumo de gasolina

SEGUNDO. Averiguamos

si existe relación de proporcionalidad entre ellas. • A doble distancia, doble consumo. • A mitad de distancia, mitad de consumo… Las magnitudes Distancia – Consumo son directamente proporcionales.

TERCERO.

Planteamos la regla de tres. consume

Si en 100 km ----" 7 litros 3 consumirá en 250 km ----" x litros CUARTO. Establecemos la igualdad entre las razones de la regla de tres y despejamos la incógnita.

100 7 = 250 x

7 ? 250

" x = 100 = 17,5 litros

Manteniendo la misma velocidad, consumirá 17,5 litros en recorrer 250 km.

Identificamos las magnitudes. Número de tripulantes – Días

Averiguamos si existe relación de proporcionalidad entre ellas. • A doble número de tripulantes, la mitad de días. • A la mitad de tripulantes, doble de días… Las magnitudes Número de tripulantes – Días son inversamente proporcionales.

SEGUNDO.

TERCERO.

Planteamos la regla de tres.

Si 18 tripulantes 15 tripulantes

beben

---" 10 días 3 beberán ---" x días

CUARTO. Establecemos la igualdad entre las razones, considerando la inversa de la segunda, y despejamos la incógnita. 18 x 18 ? 10 = " x = 15 = 12 días 10 15 Tendrán agua para 12 días.

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3. REPARTIR UNA CANTIDAD EN PARTES

4. REPARTIR UNA CANTIDAD EN PARTES

DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Reparte 70 en partes directamente proporcionales a 3 y 4.

Reparte 70 en partes inversamente proporcionales a 3 y 4.

PRIMERO. Dividimos la cantidad que se va a repartir entre la suma de las partes.

PRIMERO. Dividimos la cantidad que se va a repartir entre la suma de los inversos de las partes. N 70 70 70 ? 12 = = = = 120 1/a + 1/b 1/3 + 1/4 7/12 7

N 70 70 = = = 10 a+b 3+4 7 SEGUNDO. Multiplicamos

ese resultado por cada una de las partes. La cantidad que le corresponde a 3 es: 3 ? 10 = 30 La cantidad que le corresponde a 4 es: 4 ? 10 = 40

Multiplicamos ese resultado por cada uno de los inversos de las partes. 1 A 3 le corresponden: ? 120 = 40 3 1 A 4 le corresponden: ? 120 = 30 4 SEGUNDO.

1. RESOLVER PROBLEMAS DE PORCENTAJES Resuelve los siguientes problemas: a) De 120 personas entrevistadas, el 30 % está de acuerdo con la regulación del tráfico en la ciudad. ¿Cuántas personas entrevistadas están de acuerdo con la regulación del tráfico? b) Según una encuesta, 9 de cada 12 fumadores quieren dejar el hábito del tabaco. ¿Qué tanto por ciento de los fumadores quiere dejar el tabaco? PRIMERO. Planteamos una regla de tres con los datos del problema. Hay que considerar que una de las

cantidades será 100 y estará relacionada con el tanto por ciento. están de acuerdo

a) Si de 100 ---------" 30 3 están de acuerdo de 120 ---------" x Resolvemos la regla de tres directa. 100 30 120 ? 30 = a) " x = 100 = 36 personas x 120

lo quieren dejar

b) Si de 12 ---------" 9 3 lo quieren dejar de 100 ---------" x

SEGUNDO.

b)

12 9 = x 100

"x=

100 ? 9 = 75 % 12

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. Determina si existe proporcionalidad entre las dos magnitudes, y calcula su constante.

4. Puedo gastar 20 € diarios durante 7 días. Si quiero tener dinero para 10 días, ¿cuánto podré gastar al día?

Magnitud A

5

6

8

12

Repartir una cantidad en partes proporcionales

Magnitud B

120

100

75

50

5. Reparte 100 en partes directa e inversamente proporcionales a 7 y 3.

2. Calcula el 24,5 % de 348. Resolver problemas mediante la regla de tres simple 3. Si 60 barras de pan valen 42 €, ¿cuánto costarán 85 barras?

Resolver problemas de porcentajes 1. En las oficinas de una compañía de seguros trabajan 320 personas. De ellos, el 55 % son mujeres. ¿Cuántos hombres hay en la oficina?

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Actividades MAGNITUDES PROPORCIONALES 38. ● Indica cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales. a) La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro. b) La longitud del lado de un cuadrado y su área. c) El número de hijos de una familia y el número de días de vacaciones. 39. ● En un mercado hay dos puestos donde se venden manzanas con estas tablas de precios. PUESTO A 1 kg

2 kg

3 kg

0,53 €

1,06 €

1,59 €

2 kg

3 kg

0,60 €

1€

1,50 €

¿En cuál de estos puestos las magnitudes peso y precio son directamente proporcionales?

¿CÓMO SE CALCULA UN VALOR DESCONOCIDO EN DOS MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES?

10. Calcula los valores desconocidos de esta tabla, sabiendo que los datos corresponden a dos magnitudes directamente proporcionales. Magnitud A

8

12

24

b

Magnitud B

3

a

9

12

PRIMERO. Se establecen los cocientes entre cantidades

correspondientes de ambas magnitudes, incluyendo los valores desconocidos. 8 12 8 b = = 12 a 3 3 SEGUNDO. Se calculan los valores desconocidos

aplicando la propiedad de las proporciones. 3 ? 12 = 4,5 8

8 ? 12 = 3 ? b " b =

8 ? 12 = 32 3

500

1 000

25 000

4

200

41. ● Observa la tabla de proporcionalidad de las magnitudes siguientes. Magnitud M

4

6

7

9

10

Magnitud M'

12

18

21

y

y'

Comprueba que las magnitudes M y M' son directamente proporcionales, y calcula y e y'.

a) ¿Cuánto gastará en un trayecto de 675 km? b) Si al llenar el depósito completo caben 60 litros de gasolina, ¿cuántos kilómetros podré viajar sin repostar? 12. ● Si un bolígrafo cuesta 45 céntimos: a) ¿Cuánto cuestan 23 bolígrafos? b) ¿Cuántos bolígrafos puedo comprar con 2 € y 25 céntimos?

HAZLO ASÍ

8 ? a = 3 ? 12 " a =

100

11. ● Mi coche, en un viaje de 345 km, ha gastado 27,8 litros de gasolina. Si el consumo se mantiene en los mismos niveles:

PUESTO B 1 kg

40. ● Completa la tabla, sabiendo que es una tabla de proporcionalidad directa.

42. ● Señala cuáles de los siguientes pares de magnitudes son inversamente proporcionales. a) El número de máquinas y el tiempo que tardan en hacer un trabajo. b) La edad de una persona y su velocidad al caminar. c) La base y la altura de un rectángulo de área 20 cm2. d) La base y la altura de un rectángulo de 40 cm de perímetro. 43. ● Estudia si las magnitudes son directa o inversamente proporcionales. a) El radio de una circunferencia y su longitud. b) La velocidad que lleva un coche y el tiempo que emplea en hacer un determinado recorrido. c) El número de entradas de un cine y su precio. d) La superficie de una pared y el tiempo que se tarda en pintarla. e) La gasolina que gasta un coche y la distancia que recorre.

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REGLA DE TRES

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA UN VALOR DESCONOCIDO EN DOS MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES? 13. Calcula los valores desconocidos de esta tabla, sabiendo que los datos corresponden a dos magnitudes inversamente proporcionales. Magnitud A

36

48

4

b

Magnitud B

9

a

81

12

PRIMERO. Se establecen los productos entre cantidades

correspondientes de ambas magnitudes, incluyendo los valores desconocidos.

15. ● Si pintar una habitación de 35 m2 cuesta 125 €, ¿cuánto costará pintar otra de 55 m2? 47. ● Por construir una valla de 12 metros se han pagado 1 250 €. ¿Cuánto habrá que pagar por otra valla de 25 metros?

12 m

25 m

36 ? 9 = 48 ? a 36 ? 9 = b ? 12 SEGUNDO. Se calculan los valores desconocidos

aplicando las relaciones de la proporcionalidad inversa. 36 ? 9 = 6,75 48 36 ? 9 = 27 b= 12

a=

16. ● Pablo está ayudando a su padre en la frutería y observa esta factura:

44. ● Completa las siguientes tablas para que sean de proporcionalidad inversa. a)

2

3

4

48. ● Amanda se ha comprado una pieza de tela de 2 metros que le ha costado 32 €. ¿Cuánto le hubiese costado un trozo de 3,2 metros?

5

b)

4

12

30

0,90

Factura 151 2 kg de patatas

1,40 €

3 kg de manzanas

2,55 €

60

2 lechugas

1,34 €

28

Total

5,29 €

45. ● Comprueba que las magnitudes M y M' son inversamente proporcionales, y calcula el valor de y e y'.

A partir de la factura anterior, calcula las cantidades desconocidas de estas facturas. Factura 152

Magnitud M

4

6

8

10

16

4 kg de patatas

?€

Magnitud M'

12

8

6

y

y'

2 kg de manzanas

?€

3 lechugas

?€

Total

?€

46. ●● En cada una de estas tablas de proporcionalidad inversa hay un error. Corrígelo y calcula la constante de proporcionalidad. a)

9

6

5,4 4,5

4

6

9

10

13

12

b)

1,2 2,4 4,8 50

25

12

Factura 153

6

7,2 ! 10 8,3

14. ●● En recorrer 224 km tardo 2 h y 42 min. ¿Cuánto tardaré en hacer un trayecto de 345 km si voy a la misma velocidad? ¿Y qué distancia recorreré en 1 h y 36 min?

1 kg de patatas

?€

5 kg de manzanas

?€

5 lechugas

?€

Total

?€

17. ● Encuentra el término que falta en cada una de estas proporciones. 125 4 12 11 a) = b) = 50 x 36 x

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49. ● Un coche, viajando a una determinada velocidad, consume 25 litros de combustible en un viaje de 300 km. ¿Cuánto consumirá en un viaje de 550 km, si va a la misma velocidad? 50. ●● Un tren que circula a 100 km/h tarda 5 horas en llegar a una ciudad. ¿A qué velocidad circula otro tren que tarda 6 horas y cuarto en hacer el mismo recorrido?

51. ●● Si un pintor ha pintado 75 m2 de pared con 125 kilos de pintura: a) ¿Cuánta pintura habría necesitado para pintar 300 m2 de pared? b) Con 50 kg, ¿cuántos metros cuadrados puede pintar? 52. ●● Quince personas realizan el montaje de unas placas solares en tres semanas. a) ¿Cuánto tardarían 35 personas en hacer ese montaje? b) Si queremos realizarlo en 15 días solamente, ¿cuántas personas necesitaríamos? 53. ●● Tres cajas de polvorones pesan 2,7 kg. a) ¿Cuánto pesan 15 cajas? b) Si nuestra furgoneta puede transportar 500 kg, ¿podemos llevar en ella 230 cajas de polvorones? 54. ●● Una explotación agraria tiene hierba para alimentar a 48 vacas durante 18 semanas.

REPARTOS PROPORCIONALES 58. ● Un constructor quiere repartir 1 000 € entre tres de sus obreros de forma directamente proporcional a su antigüedad en la empresa. Andrés lleva 9 años en la empresa, mientras que Bernardo y Carlos solo tienen 3 años de antigüedad. ¿Qué parte les corresponde?

59. ● Un abuelo decide repartir 120 caramelos entre sus cuatro nietos de forma directamente proporcional a sus edades, que son 4, 6, 6 y 8 años, respectivamente. ¿Cuántos caramelos le corresponden a cada nieto? 60. ● ● Dos amigos montan un negocio. Uno de ellos se retira al cabo de 8 meses. El otro socio continúa hasta final de año, siendo el resultado unas pérdidas de 1 500 €. ¿Cuánto tiene que pagar cada amigo? 61. ● ● Vicente y Paloma abren una cartilla de ahorros en el banco. Vicente pone 400 € y Paloma 800 €. Al cabo de unos años les devuelven 1 380 €. ¿Cómo los tienen que repartir? ¿Cuánto le corresponde a cada uno? 62. ● ● Se decide construir un puente cuyo coste, de un millón de euros, han de pagar entre tres localidades en partes inversamente proporcionales a la distancia de cada localidad al puente. Alameda está a 6 km, Buenasaguas está a 8 km y Cabestreros a 10 km. Calcula cuánto ha de pagar cada localidad.

a) ¿Para cuántas semanas tendría si fuesen 24 vacas más? b) Si pasadas 7 semanas se compran 18 vacas, ¿hasta cuándo habrá hierba?

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PORCENTAJES 18. ● ¿Qué porcentaje representan 35 personas de un total de 140? 75. ● Tres de cada cinco alumnos han tenido la gripe en el mes de enero. Expresa este dato en forma de porcentaje. 19. ● Expresa en porcentajes estos resultados. a) 14 aciertos de 23 tiros libres. b) 7 canastas de 3 puntos de un total de 11. c) 12 canastas de 2 puntos de 21 intentos. 76. ● Por un CD que cuesta 21 € me hacen un 15 % de descuento. ¿Cuánto dinero me ahorro? 77. ●● En un instituto, 63 alumnos, que son el 15 % del total, han viajado al extranjero. ¿Cuántos alumnos tiene el instituto? 78. ●● Un vendedor de coches recibe como comisión el 0,8 % de las ventas que realiza. a) Si en un mes recibió 300 € de comisión, ¿qué ventas realizó? b) Si el mes siguiente vendió por valor de 45 000 €, ¿qué comisión obtuvo? 20. ●● Un producto que valía 168 € lo han rebajado a 142,80 €. ¿En qué porcentaje se ha rebajado? 79. ●● Un comerciante decide subir el precio de una mercancía, que era de 72 €, un 3 %, y a la semana siguiente, otro 3 % sobre el último precio. ¿Cuál es el precio final de venta? 80. ●● En dos semanas consecutivas se han aplicado al precio de un artículo aumentos del 2 % y 5 %. ¿En qué porcentaje se ha incrementado el artículo sobre su precio original? 81. ●● En una tienda suben el precio de un producto de 200 € un 10 %. A la semana siguiente deciden rebajarlo un 10 % del precio que tiene en ese momento. ¿Qué ha ocurrido con el precio?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL PRECIO INICIAL CONOCIENDO EL PRECIO REBAJADO? 21. El precio de la reparación de un automóvil ha sido de 242 €, habiendo hecho un 10 % de descuento. ¿Cuánto hubiese costado la reparación si no hubieran hecho descuento? PRIMERO. Se forma una regla de tres en la que uno de

sus términos es 100 y le corresponde 100 menos el tanto por ciento rebajado. pagamos

Si de cada 100 € ------" (100 - 10) € 3 pagaremos de x € ------" 242 € SEGUNDO. Se resuelve la regla de tres directa.

100 $ 90 3 x $ 243 100

90

100

90

" x = 243 " x = "

= " "x= 243 x

100 ? 243 = 270 90

100 ? 243 = 270 € 90

22. ● ● El precio de un teléfono, rebajado en un 15 %, es de 84,15 €. ¿Cuánto valdría el teléfono sin rebaja? 23. ● ● Según la prensa, el precio de la vivienda ha bajado, en los últimos dos años, un 22,5 %. a) ¿Cuánto costaba hace dos años un piso que ahora vale 220 000 €? b) ¿Cuál sería el precio hoy de una casa que hace dos años valía 325 000 €? c) Si compré hace dos años un piso que me costó 275 000 €, ¿cuánto dinero perderé si lo vendo ahora? 24. ● ● Por no haber llevado el coche al taller durante el año pasado, me han rebajado el seguro de mi coche en un 20 %. Si este año he pagado 952,40 €, ¿cuánto pagué el año pasado? 25. ● ● El año pasado, cuando el IVA era del 16 %, una cámara fotográfica costaba 148 €. Si este año el IVA ha subido al 18 %, ¿cuánto valdrá? ¿Cuánto me hubiera ahorrado si la hubiera comprado el año pasado?

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Progresiones La mascota de la princesa El rey de Sicilia, Federico II, había encargado al filósofo de la Corte, Juan de Palermo, que examinara a Leonardo de Pisa con problemas matemáticos de difícil solución. Leonardo, más conocido como Fibonacci, les presentó las soluciones y esperó a que las evaluaran. A medida que estudiaban el trabajo, sus caras reflejaban la sorpresa que les producía. Mientras tanto, Fibonacci se había alejado un poco y charlaba con una niña que, sentada en la escalera, acariciaba a un conejito que mantenía en su regazo. –Yo tuve una pareja de conejos –decía Fibonacci. –¿De qué color eran? –se interesó la niña.

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Leonardo de Pisa fue un matemático de la Edad Media. Busca información sobre su vida. 2. El problema que aparece en el texto está incluido en su obra Liber Abaci. Investiga sobre este libro. 3. Averigua qué otros trabajos relacionados con las matemáticas realizó Fibonacci.

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–Eran blancos y los tuve en casa, a ellos y sus crías, durante 12 meses, luego me trasladé con mi padre y no me los pude llevar. ¡En un año tenía 144 parejas! –Eso es imposible –dijo la niña mientras imaginaba todo lleno de conejos. –La primera pareja comenzó a criar al segundo mes, y de cada camada me quedaba con otra pareja, que comenzaba a procrear a su vez a los dos meses de vida –repasaba mentalmente el sabio. E

F

M

A

M

J

Parejas 1

1

2

3

5

8 13 21 34 55 89 144

Mes

J

A

S

O

N

D

La niña iba apuntando y, de repente, lo vio claro. –El número de parejas es, cada mes, la suma de los dos meses anteriores.

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Antes de empezar la unidad... LENGUAJE ALGEBRAICO El lenguaje que utiliza letras y números unidos mediante los signos de las operaciones aritméticas, se denomina lenguaje algebraico. A las expresiones que utilizamos en este lenguaje las llamamos expresiones algebraicas. Lenguaje algebraico

Un número más 2 unidades El número siguiente a un número

n + 2 n F 2 F n + 1

Un número par

F

2n

El siguiente número par

F

2n + 2

Un número impar

F

2n + 1

El siguiente número impar

F

2n + 3

F

La mitad de un número


Expresiones escritas

Lenguaje usual

Al igual que para expresarnos en el lenguaje usual utilizamos expresiones escritas, para expresarnos en el lenguaje algebraico utilizamos expresiones algebraicas.

Pautas y regularidades

Al observar secuencias geométricas o numéricas podemos comprobar que en muchas ocasiones siguen pautas y regularidades.

… El número de estrellas de las figuras anteriores es:

22 + 1

1 + 1

…

32 + 1

Observamos que el número de estrellas que forma cada figura es el cuadrado del lugar que ocupa en la secuencia, más 1. Lugar 6 " 62 + 1

Lugar 11 " 112 + 1

Lugar n " n2 + 1

EVALUACIÓN INICIAL

PLAN DE TRABAJO

1. Expresa algebraicamente estas relaciones entre números.


a) La tercera parte de un número par. b) El doble del número siguiente a uno dado. c) La mitad de un número impar.

• Distinguir los tipos de progresiones. • Determinar la diferencia de una progresión aritmética, y la razón de una geométrica.

1 En esta secuencia, ¿cuántos palillos tendrá la siguiente figura?

3

5

¿Y la figura que ocupe el lugar 10?

7

9

…

• Calcular el término general de una progresión.

105

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• R

1

Sucesiones

Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales: a1, a2, a3, a4, a5, a6, … A cada uno de los números que forman la sucesión se le llama término de la sucesión, y se designa por ai , donde i indica el lugar que ocupa en la sucesión. EJEMPLO

El sexto término de la sucesión es a6. a4 es el cuarto término de la sucesión.

1

Determina cuáles son los términos a2 y a5 en estas sucesiones. a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, … b) 2, 4, 6, 8, 10, 12, …

c) -1, -5, -10, -15, -20, -25, … d) 20, 30, 40, 50, 60, 70, …

a2 es el segundo término de la sucesión, y a5, el quinto. c) a2 = -5 y a5 = -20 a) a2 = 2 y a5 = 5 d) a2 = 30 y a5 = 60 b) a2 = 4 y a5 = 10

1.1 Regla de formación Existen sucesiones en las que se pueden determinar sus términos a partir de un cierto criterio; a este criterio se le denomina regla de formación. EJEMPLOS 1

Escribe los cuatro primeros términos de una sucesión que cumpla que: a) El primer término es 3 y cada uno de los siguientes es la suma del anterior más 2. b) El primer término es -1 y cada uno de los siguientes es el anterior multiplicado por 2. a2 = 3 + 2 = 5 a) a1 = 3 b) a1 = -1 a2 = -1 ? 2 = -2

a3 = 5 + 2 = 7 a4 = 7 + 2 = 9 a3 = -2 ? 2 = -4 a4 = -4 ? 2 = -8

2 Determina la regla de formación de las siguientes sucesiones.

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, … " Cada término es el anterior más 2. b) 1, 2, 4, 8, 16, 32, … " Cada término es el anterior multiplicado por 2. c) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … " Cada término es la suma de los dos anteriores. d) 1, 3, 6, 10, 15, 21, … " Cada término es el anterior más 2, más 3, más 4…

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Di cuáles son los términos a1, a3 y a6

de las siguientes sucesiones. a) 6, 7, 8, 9, 10, … b) 0, -2, -4, -6, -8, … c) 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; … d) -1, -1, -1, -1, -1, … e) -2, -4, -8, -16, -32, …

2 Construye una sucesión que cumpla que:

a) El primer término es 5 y cada uno de los siguientes es la suma del anterior más 3. b) El primer término es 12 y cada uno de los siguientes es el anterior multiplicado por 3. 1 Determina a8 en la sucesión: 28, 26, 24, 22, 20, 18, …

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1.2 Término general ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el valor numérico de una expresión algebraica El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por sus valores correspondientes y operar. EJEMPLO 2

Determina el valor numérico de estas expresiones algebraicas. a) 3 x2 - 5x - 2, para x = 2 y x = -1 Para x = 2 " 3 ? 22 - 5 ? 2 - 2 = 12 - 10 - 2 = 0 Para x = -1 " 3 ? (-1) 2 - 5 ? (-1) - 2 = 3 + 5 - 2 = 6 b)

4n + 1 , para n = 2 y n = -1 2 4 ? 2+1 9 Para n = 2 " = 2 2 3 ? (-1) + 1 2 =- =-1 Para n = -1 " 2 2

El término general de una sucesión es una expresión algebraica que nos permite calcular cualquier término de la sucesión sabiendo el lugar que ocupa, y se representa por an. EJEMPLO 3 Encuentra el término general de estas sucesiones, y calcula a10 y a100.

a) 2, 4, 6, 8, 10, … 2 ? 1, 2 ? 2, 2 ? 3, 2 ? 4, 2 ? 5, … " Cada término es el doble del lugar que ocupa. Término general " an = 2n, siendo n el lugar que ocupa el término en la sucesión. n = 10

an = 2n --" a10 = 2 ? 10 = 20

n = 100

an = 2n --" a100 = 2 ? 100 = 200

b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, … 12, 22, 32, 42, 52, 62, … " Cada término es el cuadrado del lugar que ocupa. Término general " an = n2, siendo n el lugar que ocupa el término en la sucesión. n = 10

an = n2 --" a10 = 102 = 100

n = 100

2 an = n2 --" a100 = 100 = 10 000

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Escribe los cuatro primeros términos

de la sucesión con término general: a) an = 3n - 2 a) an = n 2 - 3n + 2 n+4 b) an = 2n + 1

7 Escribe el término general de estas sucesiones.

a) 2, 3, 4, 5, 6, … b) 3, 6, 9, 12, 15, … c) 5, 10, 15, 20, 25, … d) 4, 7, 10, 13, 16, … 1 2 3 4 5 e) , , , , , … 7 7 7 7 7

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2

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo d, llamado diferencia de la progresión. EJEMPLO 5 Determina si estas sucesiones son progresiones aritméticas.

a) 5, 8, 11, 14, 17, 20, … +3

+3 F

F

F

Es una progresión aritmética con diferencia d = 3. b) 16, 11, 6, 1, -4, -9, … +(-5)

+(-5) F

+(-5)

+(-5)

F

+(-5)

F

16, 11, 6, 1, -4, -9, … F

• La sucesión de los números enteros negativos: -1, -2, -3, …, es una progresión aritmética con d = -1.

+3

F

• La sucesión de los números enteros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, …, es una progresión aritmética con d = 1.

+3

F

+3

F

5, 8, 11, 14, 17, 20, …

Es una progresión aritmética con diferencia d = -5.

En una progresión aritmética se cumple que: a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = … = d EJEMPLO 6 Determina si estas sucesiones son progresiones aritméticas.

a) 4, 8, 12, 16, 20, … a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = a5 - a4 = … = d 8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12 = 20 - 16 = … = 4 Como se cumplen las igualdades, es una progresión aritmética con diferencia d = 4. b) 1, 4, 7, 11, 15, … a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = a5 - a4 = … = d 4 - 1 = 7 - 4 ! 11 - 7 " No es una progresión aritmética.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 8 Determina si las siguientes sucesiones son

2 Escribe los cinco primeros términos de una

progresiones aritméticas.

progresión aritmética con:

a) 1, 0, -1, -2, …

a) Diferencia d = 3 y primer término a1 = 2. b) Diferencia d = -2 y primer término a1 = -1.

b) 4, 5, 6, 7, 8, 9, … c) 2, 4, 7, 11, 16, … d) 1, 4, 9, 16, 25, … e) 11, 10, -1, -2, …

9 En una progresión aritmética a1 = 4,8 y a2 = 5,6.

Calcula. a) La diferencia, d.

b) El término a8.

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2.1 Término general de una progresión aritmética ANTES, DEBES SABER… Cómo se aplica la propiedad distributiva La propiedad distributiva nos permite transformar un producto en una suma o una resta. 4 ? (7 + 12) = 4 ? 7 + 4 ? 12 = 28 + 48 = 76 4 ? (7 - 12) = 4 ? 7 - 4 ? 12 = 28 - 48 =-20 (-11 + 22) ? (-2) = (-11) ? (-2) + 22 ? (-2) = 22 - 44 =-22 (-11 - 22) ? (-2) = (-11) ? (-2) - 22 ? (-2) = 22 + 44 = 66

El término general de una progresión aritmética es: an = a1 + (n - 1)d, siendo a1 el primer término y d la diferencia. EJEMPLO

La fórmula an = a 1 + (n - 1)d solo es válida si la sucesión es una progresión aritmética.

7 Encuentra el término general de esta progresión aritmética:

3, 5, 7, 9, 11, …

F

F

F

• El primer término de la progresión es a1 = 3. a - a1 = d 2"d=2 • Calculamos la diferencia: 2 5-3=2 Por tanto, resulta: an = a1 + (n - 1) ? d an = 3 + (n - 1) ? 2 = 3 + 2n - 2 = 1 + 2n El término general de la progresión es: an = 1 + 2n

Dados dos términos, ap y aq, de una progresión aritmética (p < q), se cumple que: aq = ap + (q - p)d EJEMPLO 3

Halla el término a 7 de una progresión aritmética de la que sabemos que a3 = 6 y d = 4.

Aplicando la fórmula para q = 7, p = 3 y d = 4: aq = a p + (q - p) ? d " a7 = a 3 + (7 - 3) ? 4 = 6 + 4 ? 4 = 22 El séptimo término de la progresión es a7 = 22.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Halla el término general de estas progresiones

aritméticas. 1 3 5 a) , 1, , 2, , … 2 2 2 b) 25, 22, 19, 16, …

12 En una progresión aritmética, el primer término

es 5 y la diferencia es -2. Determina an. 3 En una progresión aritmética, a3 = -1 y d = 2.

Calcula a5 y a11.

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2.2 Suma de n términos de una progresión aritmética Si conocemos el primer término de la progresión aritmética, a1, y el último término que queremos sumar, an: La suma, Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an - 1 + an, de los n primeros términos de una progresión aritmética, es: (a1 + a n) ? n Sn = 2 Si queremos sumar los 6 primeros términos de una progresión, el último término que queremos sumar es a6.

EJEMPLO 8 Calcula la suma de los 6 primeros términos de la progresión aritmética.

5, 8, 11, 14, 17, 20, … El primer término de la progresión es a1 = 5, y el sexto, a6 = 20. (a1 + an) ? n a1 = 5, a6 = 20, n = 6 (5 + 20) ? 6 Sn = = 75 ----------" S6 = 2 2

Si conocemos el primer término de la progresión aritmética, a1, y la diferencia, d: La suma, Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an - 1 + an, de los n primeros términos de una progresión aritmética, es: S n = a1 ? n +

n (n - 1) ? d 2

EJEMPLO 4

Halla la suma de los 9 primeros términos de una progresión aritmética cuyo primer término es a1 = 3 y cuya diferencia es d = -5.

Como conocemos el primer término y la diferencia, aplicamos la fórmula: Sn = a1 ? n +

n (n - 1) ? d 2

Para n = 9, a1 = 3 y d = -5, tenemos: 9 (9 - 1) ? (-5) 72 ? (-5) S9 = 3 ? 9 + = 27 + =-153 2 2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 15 Calcula la suma de los 10 primeros términos de

5 Calcula la suma de los 20 primeros términos

la progresión:

de una progresión aritmética que tiene como término general: an = 2n - 5

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, …

4 Halla la suma de los 12 primeros términos de una

progresión aritmética cuyo primer término es a1 = -5 y cuya diferencia es d = 3. ¿Cuál sería la suma de sus 13 primeros términos?

¿Cuál sería la suma de sus 21 primeros términos?

16 Dada la progresión aritmética con an = 10 - 5n,

halla la suma de los 25 primeros términos.

110

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3

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo r, llamado razón de la progresión. EJEMPLOS 9 Determina si la sucesión: 1, 2, 4, 8, 16, 32, … es una progresión geométrica. ?2

?2

F

F

?2

F

?2

F

?2

F

1, 2, 4, 8, 16, 32, … Es una progresión geométrica de razón r = 2. 5

? (-2)

64 -128, … ? (-2)

F

16, -32, F

-8,

? (-2)

F

4,

? (-2)

F

? (-2)

F

Determina si la sucesión: 4, -8, 16, -32, 64, -128, … es una progresión geométrica.

Si la razón es un número negativo, los signos de los términos de la progresión se alternan.

Es una progresión geométrica de razón r = -2.

En una progresión geométrica se cumple que:

a2 a3 a4 = = =…= r a2 a3 a1

EJEMPLO 6

Determina si estas sucesiones son progresiones geométricas. a) 1, -3, 9, -27, 81, … a2 a3 a4 -3 9 -27 81 = = = ... = r " = = = =-3 a2 a3 1 9 a1 -3 -27 Como se cumplen las igualdades, es una progresión geométrica de razón r = -3. b) 1, 5, 25, 50, 100, … a3 a2 a4 5 25 50 = = = ... = r " = ! a1 a2 a3 1 5 25 Como no se cumplen las igualdades, no es una progresión geométrica.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 18 Determina si son progresiones geométricas.

a) 1, 5, 25, 125, 625, … b) -1, -2, -4, -8, -16, … c) 3, 9, 24, 33, … d) 4, 4, 4, 4, 4, …

6 Escribe los cinco primeros términos de estas

progresiones geométricas con: a) a1 = 2 y razón r = 3. b) a1 = 2 y razón r = -3. c) a1 = -2 y razón r = -3.

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3.1 Término general de una progresión geométrica ANTES, DEBES SABER… Cómo se calculan potencias de números reales En una potencia de base un número entero y exponente natural: • Si la base es un número positivo, la potencia es positiva. • Si la base es un número negativo, la potencia es positiva cuando el exponente es par y negativa si es impar.

La fórmula an = a 1 ? r n – 1 solo es válida si la sucesión es una progresión geométrica.

23 = 8

24 = 16

3 3 27 d n = 2 8

3 2 9 d n = 2 4

(-2)3 = -8

(-2)4 = 16

3 3 27 d- n = - 2 8

3 2 9 d- n = 2 4

El término general de una progresión geométrica es: an = a1 ? r n-1, donde a1 es el primer término y r es la razón. EJEMPLO 10 Calcula el término general de la progresión geométrica: 2, -8, 32, -128, …

• El primer término de la progresión es a1 = 2. a2 -8 = =-4 • Calculamos la razón: r = a1 2 a1 = 2, r = -4

Por tanto, tenemos que: an = a1 ? rn-1 ------" an = 2 ? (-4)n-1

En una progresión geométrica, un término ap se relaciona con otro término aq (p < q) de esta forma: aq = ap ? r q - p EJEMPLO 7

Halla el término a7 de una progresión geométrica de la que sabemos que a3 = 6 y r = -2.

Aplicando la fórmula para q = 7, p = 3 y r = -2: aq = a p ? rq-p " a7 = a 3 ? r7-3 = 6 ? (-2) 4 = 6 ? 16 = 96 El séptimo término de la progresión es a7 = 96.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 7 Calcula el término general de estas progresiones

geométricas. a) 1, 4, 16, 64, … b) -2, 6, -18, 54, … c) 64, 32, 16, 8, … d) 243, -81, 27, -9, … e) 2, -2, 2, -2, …

19 Halla el término general y el término a 6.

a) 5, 15, 45, …

b) 3, 3 3 , 9, 9 3 , …

8 Obtén el término a12 de las siguientes

progresiones geométricas con: a) a4 = 2 y r = 3. b) a14 = 126 y r = -3.

112

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3.2 Suma de n términos de una progresión geométrica Si conocemos el primer término, a1, y la razón, r, de la progresión: La suma, Sn, de n términos de una progresión geométrica de razón r, es: Sn =

a1 (r n - 1) r-1

EJEMPLO 11 Calcula la suma de los 10 primeros términos de la progresión

geométrica: -1, -2, -4, -8, -16, … • El primer término de la progresión es a1 = -1. a2 -2 = =2 • Calculamos la razón: r = a1 -1 Sn =

a1(rn - 1) r-1

a1 = -1, r = 2, n = 10

------------" S10 = =

(-1) ? (210 - 1) = 2-1 (-1) ? (1 024 - 1) =-1 023 1

Si conocemos el primer término, a1, la razón, r, y el último término que queremos sumar, an: La suma, Sn, de n términos de una progresión geométrica de razón r es: a n r - a1 Sn = r-1 EJEMPLO 8

Halla la suma de los 9 primeros términos de una progresión geométrica cuyo primer término es a1 = 3 y cuya razón es r = -2. • El primer término de la progresión es a1 = 3. • La razón es r = -2. • Tenemos que calcular el término noveno de la progresión. Para ello utilizamos la fórmula: aq = a p ? r q-p, con q = 9 y p = 1. aq = a p ? rq-p " a 9 = a1 ? r 9-1 = 3 ? (-2) 8 = 3 ? 256 = 768 Por tanto, tenemos a1 = 3, r = -2, n = 9 y a9 = 768: 768 ? (-2) - 3 a 9 r - a1 an r - a1 = = 513 " S9 = Sn = (-2) - 1 r-1 r-1

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 21 Dada la sucesión:

2; 3; 4,5; 6,75; 10,125; … a) Comprueba que es una progresión geométrica. Halla su razón. c) Halla la suma de sus 10 primeros términos.

9 Halla la suma de los 10 primeros términos en estas

progresiones geométricas con: a) a1 = -7 y r = 2. b) a1 = 8 y r = -2. c) a2 = 27 y r = 3.

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Progresión aritmética 4,

-2

Término general: an = -2n + 2 n=1

an =-2n + 2 --" a1 =-2 ? 1 + 2 = 0

-2

0, -2, … " Término general an = a1 + (n - 1)d

Progresión geométrica ? (-2)

-4,

? (-2)

8,

F

2,

? (-2) F

n=2

---" a2 =-2 ? 2 + 2 =-2 n=3 ---" a3 =-2 ? 3 + 2 =-4 ...

2,

F

6,

F

Término general

F

F

-2 F

F

-2 F

Términos

2, 4, 6, 8, 10, …, 2n T T T TU U a1 a2 a3 a4 a5 an

-16,

? (-2)

32, … " Término general an = a1rn-1

F

Sucesión


1. DETERMINAR SI UNA SUCESIÓN ES

UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA O GEOMÉTRICA Determina si estas sucesiones son progresiones aritméticas o geométricas. a) 3, 9, 15, 21, … b) 3, 9, 27, 81, … c) 3, 9, 15, 27, … PRIMERO. Es

una progresión aritmética si: a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = …

a) 9 - 3 = 15 - 9 = 21 - 15 = 6 " Es aritmética. b) 9 - 3 = 6 27 - 9 = 18 No es aritmética. c) 9 - 3 = 6 15 - 9 = 6 No es aritmética.

81 - 27 = 54 27 - 15 = 12

2. CALCULAR LA DIFERENCIA DE

UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA Halla la diferencia de las siguientes progresiones aritméticas. b) a3 = 2 y a5 = 6

a) 3, 9, 15, 21, …

PRIMERO. Determinamos

a) a1 = 3, a2 = 9

dos términos.

b) a3 = 2, a5 = 6

SEGUNDO. Calculamos

la diferencia.

• Si los términos son consecutivos, su resta es la diferencia de la progresión. a) a2 - a1 = d 2"d=6 9-3 = 6 • Si no lo son, aplicamos: aq = ap + (q - p)d p = 3, q = 5

b) aq=ap+(q-p)d -" a 5=a3+(5-3)d 4 6 = 2 + 2d " d = = 2 2

SEGUNDO. Es

una progresión geométrica si: a2 a3 a4 = = =… a1 a2 a3 9 27 81 b) = = = 3 " Es geométrica. 3 9 27 c)

9 15 5 =3 = 3 3 9 No es geométrica.

27 9 = 15 5

3. CALCULAR LA RAZÓN DE

UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Halla la razón de las siguientes progresiones geométricas. a) 3, 9, 27, 81, … b) a3 = 2 y a5 = 6 PRIMERO. Determinamos

dos términos. b) a3 = 2, a5 = 6

a) a1 = 3, a2 = 9 SEGUNDO. Calculamos

la razón.

• Si los términos son consecutivos, su cociente es la razón de la progresión. a2 9 =r " =3 a) a1 3 • Si no lo son, aplicamos: aq = ap ? r q-p p = 3, q = 5

b) aq = ap ? r q-p -" a 5 = a3 ? r 5-3 6 6 = 2 ? r2 " r2 = = 3 " r = 2

3

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4. DETERMINAR EL TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA Determina el término general de estas progresiones aritméticas. c) d = 4 y a4 = 5 a) 3, 9, 15, 21, … b) a3 = 2 y a5 = 6 d. a) d = a2 - a1 " d = 9 - 3 = 6

PRIMERO. Calculamos

b) a5 = a 3 + (5 - 3) d

" 6 = 2 + 2d " d = 2

c) d = 4

el primer término, a1. n=4 a) a1 = 3 c) an = a1 + (n - 1)d --" 5 = a1 + 3 ? 4 " a1 = -7 n=3 b) an = a1 + (n - 1)d --" 2 = a1 + 2 ? 2 " a1 = -2 SEGUNDO. Hallamos

el término general, que viene expresado por an = a1 + (n - 1)d. a) an = 3 + (n - 1) ? 6 = -3 + 6n c) an = -7 + (n - 1) ? 4 = -11 + 4n b) an = -2 + (n - 1) ? 2 = -4 + 2n

TERCERO. Calculamos

5. DETERMINAR EL TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Determina el término general de estas progresiones geométricas. c) r = 4 y a4 = 128 a) 3, 9, 27, 81, … b) a3 = 9 y a5 = 81 r. 9 r = = 3 3

PRIMERO. Calculamos

a2 a) r = a1

"

SEGUNDO. Hallamos a1.

b) a5 = a 3 ? r5-3

" 81 = 9 ? r2 " r = 9 = 3

n=3

b) an = a1 ? r n-1 --" 9 = a1 ? 3 2 " a1 = 1

a) a1 = 3

c) r = 4 n=4

c) an = a1 ? r n-1 --" 128 = a1 ? 43 " a1 = 2

el término general, que viene expresado por an = a1 ? rn-1. =3 b) an = 1 ? 3 n-1 = 3n-1 c) an = 2 ? 4n-1 = 2 ? 22n-2 = 22n-1

TERCERO. Calculamos n-1

a) an = 3 ? 3

n

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. Escribe una progresión aritmética cuya diferencia sea 2 y otra geométrica cuya razón sea 2. 1. El término general de una sucesión es an = -n + 3. Calcula sus siete primeros términos. Determinar si una sucesión es una progresión aritmética o geométrica 3. Decide si la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, … es una progresión aritmética o geométrica. Calcular la diferencia de una progresión aritmética 4. Halla la diferencia de la progresión aritmética con a2 = 21 y a4 = 43.

Calcular la razón de una progresión geométrica 5. Halla la razón de la progresión: 4, -16, 64, -256, … Determinar el término general de una progresión aritmética 6. Calcula el término general de la progresión: 3, 7, 11, … Determinar el término general de una progresión geométrica 7. Determina el término general de la progresión: 3, 6, 12, …

115

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9:44

Actividades SUCESIONES

HAZLO ASÍ

35. ● Escribe los siguientes términos de estas sucesiones.

41. Halla el término general de la siguiente sucesión: 4 9 16 25 , , , , ... 1 3 5 7

a) 5, 6, 7, 8, 9, … b) 30, 20, 10, 0, -10, … c) 7, 14, 21, 28, 35, … d) 1, 5, 25, 125, … ¿Qué criterio de formación sigue cada una de ellas? 36. ●● Dada la sucesión: 1, 8, 27, 64, … a) ¿Cuál es su sexto término? b) ¿Y su criterio de formación? 37. ●● La sucesión 1, 4, 9, 16, 25, … tiene por término general an = n 2. Obtén el término general de las sucesiones. a) 2, 8, 18, 32, 50, … b) 3, 6, 11, 18, 27, …

c) 4, 9, 16, 25, … d) 16, 25, 36, 49, …

38. ●● La sucesión 2, 4, 6, 8, 10, … tiene por término general an = 2n. Determina el término general de las sucesiones. a) -1, 1, 3, 5, 7, … b) 6, 8, 10, 12, …

c) -2, -4, -6, -8, … d) 6, 12, 18, 24, 30, …

39. ● Halla los cinco primeros términos de la sucesión cuyo término general es: a) an = 2n b) an = (-3)n+2 c) an = 5 - 3n d) an = 2 + 4(n + 1)

¿CÓMO SE DETERMINA EL TÉRMINO GENERAL DE ALGUNAS SUCESIONES DE FRACCIONES?

e) an = 2 ? e

n-1

1 o 3

f) an = n2 + 3n - 2 n+3 g) an = n2

40. ● Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones. a) El primer término es 5 y cada término se obtiene sumando 2 al anterior. b) El primer término es 2 y cada uno de los siguientes se obtiene multiplicando 1 el anterior por . 2 c) El primer término es 3, el segundo 4 y los siguientes son la suma de los dos anteriores. d) El primer término es 8 y los siguientes son cada uno la mitad del anterior.

PRIMERO. Se

busca el criterio de formación de los numeradores y se determina su término general.

4, 9, 16, 25, … -" El primer término es el cuadrado de 2. El segundo, el cuadrado de 3. El tercero, el cuadrado de 4… Término general " (n + 1)2 SEGUNDO. Se

busca el criterio de formación de los denominadores, y se determina su término general. 1, 3, 5, 7, … --" Sucesión de números impares Término general " 2n - 1 TERCERO. El término general de la sucesión será el cociente entre los dos términos generales. (n + 1) 2 Término general " an = 2n - 1

42. ● ● La sucesión 1, 2, 3, 4, 5, … tiene por término general an = n. La sucesión 2, 4, 8, 16, … tiene por término general an = 2n. Halla el término general de estas sucesiones. 1 1 1 1 1 1 1 c) , , , , ... a) 1, , , , ... 2 4 8 16 2 3 4 5 6 7 1 3 7 15 b) 4, , , , ... d) , , , , ... 2 4 8 16 2 3 4

PROGRESIONES ARITMÉTICAS 45. ● Halla la diferencia y el término general de estas progresiones aritméticas. a) 10, 7, 4, 1, …

c) 7, 2, -3, -8, …

b) 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 , ...

d) 16, 8, 0, -8, …

46. ● Con los datos de las siguientes progresiones aritméticas: a) a1 = 13 y a2 = 5, calcula d, a8 y an. b) b1 = 4,5 y b2 = 6, calcula d, b10 y bn. c) c2 = 13 y d = -5, calcula c1, c8 y cn. d) h1 = 8 y h3 = 3, calcula d, h10 y hn.

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47. ● Considera la sucesión 2, 4, 6, 8, 10, ...

13. ● Comprueba que estas sucesiones son progresiones aritméticas, y calcula su término general:

a) ¿Es una progresión aritmética? b) Halla su término general. c) Calcula el término 30.

a) 0,5; 0,25; 0; -0,25; ...

HAZLO ASÍ

10. ● Considera la sucesión 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... a) ¿Es una progresión aritmética? Si es así, ¿cuál es su diferencia? b) Halla su término general. c) Calcula su término 42.

¿CÓMO SE INTERPOLAN TÉRMINOS QUE FORMEN UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA? 57. Interpola tres términos entre 1 y 9 para que formen una progresión aritmética.

5 4 2 , , 1, , 0, ... : 3 3 3 a) Comprueba que es una progresión aritmética. b) Halla su término general.

48. ● Dada la sucesión

49. ● Sabiendo que los términos de una progresión aritmética se pueden obtener con la calculadora, mediante el sumando constante: d +

+

a1 =

=

=

=

=

…

obtén los 10 primeros términos de las progresiones aritméticas. a) a1 = 8 y d = 5 b) b1 = 3 y d = -5

b) -1, -4, -7, -10, ...

c) c1 = -10 y d = 3 d) h1 = -12 y d = -8

50. ● En una progresión aritmética, a10 = 32 y d = 5. Averigua el valor del término a25. 11. ● En una progresión aritmética, el término a4 = 12 y la diferencia d = -3. Calcula a1 y el término general. 12. ● En una progresión aritmética, a6 = 17 y a9 = 23. a) Calcula a1. b) Halla la diferencia. c) Determina su término general. 1 5 51. ●● En una progresión aritmética, a3 = y a4 = . 2 6 a) Obtén a1 y d. b) Determina el término general. 52. ●● En una progresión aritmética, a8 = 12 y a12 = 32. Calcula la diferencia y el término general. 54. ●● Halla el término general de las siguientes progresiones aritméticas. 1 3 a) 1,73; 1,77; 1,81; 1,85; … c) , 1, , 2, … 2 2 1 3 5 7 b) 5, 2, -1, -4, -7, … d) , , , , … a a a a

PRIMERO. Se calcula a1 y d. La progresión que se quiere construir será de la forma: 1, a2, a3, a4, 9 Por tanto, resulta que: a1 = 1 y a5 = 9. Como tiene que ser una progresión aritmética: n=5

an = a1 + (n - 1)d -" 9 = 1 + (5 - 1)d 9 = 1 + 4d " d =

8 =2 4

SEGUNDO. Se

hallan los términos intermedios. a2 = 1 + (2 - 1) ? 2 = 3 a3 = 1 + (3 - 1) ? 2 = 5 a4 = 1 + (4 - 1) ? 2 = 7 Los tres términos que hay que interpolar serán 3, 5 y 7. 58. ● ● Interpola 6 términos entre 1 y 3 para que formen una progresión aritmética. 7 59. ● ● Interpola 5 términos entre los números 2 7 y para que formen una progresión aritmética. 2 61. ● Sea an = 4n + 1 el término general de una progresión aritmética. Calcula a25 y la suma de los 20 primeros términos. 62. ● En una progresión aritmética, a8 = 40 y d = 7. Halla el primer término y la suma de los 10 primeros términos. 63. ● Calcula la suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética si el tercer término es 24 y el décimo es 66. 64. ● Halla la suma de los 100 primeros números pares. 65. ● ● Calcula la suma de los múltiplos de 3 comprendidos entre 200 y 301. 66. ● Halla la suma de los 15 primeros términos de una progresión aritmética en la que a1 = 7 y a4 = 40.

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PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 72. ● Calcula la diferencia o la razón de las siguientes progresiones, y halla su término general. a) 3, 6, 12, 24, … b) 10, 7, 4, 1, … c) 1, 1, 1, 1, …

d) 16, 8, 4, 2, 1, … e) 16, 8, 0, -8, … f) 3, 9, 15, 21, …

73. ● En una progresión geométrica, a1 = 4 y a2 = 3. Obtén el término general y a20. 74. ● En una progresión geométrica, a1 = 6 y a3 = 30. Halla a4 y el término general. 75. ● Calcula. a) El término general de una progresión geométrica en la que a1 = 3 y r = 5. b) El término que ocupa el lugar 7. 2 2 2 2 76. ● Dada la sucesión , , , , ... : 3 9 27 81 a) Comprueba que es una progresión geométrica. b) Calcula el término 10. 77. ●● Halla los términos que faltan en las siguientes progresiones geométricas. a) 1; 0,1; •; 0,001; • 1 1 1 ,• b) •, , , •, 2 6 54 1 1 c) •, , •, ,• 3 12 3 81 d) •, , •, •, 2 4 78. ● El término general de la progresión 3, 6, 12, 24, ... es: a) an = 3 + (n - 1) ? 3 b) an = 3 ? 3n-1 c) an = 3 ? 2n-1 d) No se puede calcular. 79. ● En una progresión geométrica de términos positivos, a2 = 60 y a4 = 2 400. Obtén: a) Los 5 primeros términos. b) El término general. c) Los 10 primeros términos. 80. ● En una progresión geométrica, a2 = 10 y a5 = 10 000. Calcula r y los 10 primeros términos de la progresión. ¿Cuál es el término general?

81. ● ● Un término de una progresión geométrica vale 3 720 087. Si el primer término es 7 y la razón es 3, ¿de qué término estamos hablando? 83. ● En una progresión geométrica, el primer término es 5 y la razón es 3. Calcula la suma de los 8 primeros términos. 84. ● En una progresión geométrica, el segundo 1 término es 2 y el cuarto es . Halla la suma 2 de los 6 primeros términos. 14. ● Obtén la suma de los términos que se indican en las siguientes progresiones geométricas. a) S10 si a1 = 5 y a2 = 7. b) S20 si b3 = 1 y b4 = 4. c) S30 si c2 = 4 y c4 = 1. d) S40 si d1 = -1 y d3 = -4. 86. ● Dada una progresión geométrica en la que a1 = 2 y r = 0,1, obtén: a) La suma de los 6 primeros términos. 87. ● En una progresión geométrica, a1 = -1 y r = 7. Calcula. a) La suma de los 10 primeros términos. 15. ● Obtén la suma de los términos que se indican en las siguientes progresiones geométricas. a) S10 si a1 = 5 y r = 2. b) S20 si b3 = 1 y r = -2. c) S30 si c2 = 4 y r = -1. d) S40 si d1 = -1 y r = 3. 16. ● Dada una progresión geométrica cuyo término general es an = (-3)n-1: a) Halla los tres primeros términos de la progresión geométrica. b) Determina la suma de los 6 primeros términos. 17. ● ● Calcula la suma de los múltiplos de 3 comprendidos entre 200 y 301. 18. ● ● Halla la suma de los cien primeros múltiplos de 6. 19. ● ● La sucesión 1, -1, 1, -1, 1,-1, … a) ¿Es una progresión aritmética o geométrica? b) Calcula su término general. 20. ● ● La sucesión 2, -2, 2, -2, 2, -2, … a) ¿Es una progresión aritmética o geométrica? b) Calcula su término general.

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PROBLEMAS CON PROGRESIONES 94. ●● El número de usuarios de un polideportivo los fines de semana comenzó siendo de 150 personas y aumentó en 30 personas cada fin de semana a partir de entonces. a) ¿Cuántos usuarios hubo en la semana 12? b) ¿Y en las 10 primeras semanas? 95. ●● Teresa ha comprado un caballo y quiere herrarlo. Para ello tienen que ponerle 20 clavos, el primero de los cuales cuesta 1 céntimo de euro y cada uno de los restantes vale 1 céntimo más que el anterior. ¿Cuánto paga en total por herrarlo?

96. ●● ¿Cuánto pagaría Teresa si el precio del primer clavo fuese el mismo, pero cada uno de los siguientes costara el doble que el anterior? 97. ●● En un aparcamiento cobran 0,25 € por la primera hora de estacionamiento y, por cada hora siguiente, el doble de lo cobrado en la hora anterior. ¿Cuánto pagaremos por estar aparcados durante 8 horas?

101. ● ● Halla la profundidad de un pozo si por la excavación del primer metro se han pagado 20 €, y por la de cada uno de los restantes se pagan 5 € más que en el anterior, siendo el coste total de 1 350 €. 102. ● ● Una rana está en el borde de una charca circular de 7 metros de radio y quiere llegar al centro saltando. Da un primer salto de 3 metros y, después, avanza en cada uno la mitad que en el salto anterior. ¿Logrará llegar al centro?

103. ● ● Durante los cuatro primeros meses de vida, un bebé ha ido ganando cada mes un 20 % de peso. Si al nacer pesaba 2 900 gramos, ¿cuál ha sido su peso al final del cuarto mes? 104. ● ● Una escalera tiene todos los peldaños iguales menos el primero, que mide 20 cm. Al subir 100 escalones, la altura ascendida es de 1 505 cm. ¿Qué altura tiene cada peldaño? 105. ● ● ● Una bióloga está estudiando la evolución de una población de moscas.

98. ●● Un árbol de rápido crecimiento multiplica su altura por 1,2 cada año. Si al comenzar el año medía 0,75 cm, ¿qué altura tendrá dentro de 10 años? ¿Cuánto crecerá en esos 10 años? 99. ●● Dejamos caer una pelota desde una altura de 1 metro, y en cada uno de los botes que da sube a una altura igual que la mitad del bote anterior. ¿A qué altura llegará en el quinto bote? 100. ●● Lanzamos un balón que da botes a lo largo de un pasillo, como se ve en la figura.

Si al séptimo bote choca con la pared y se para, ¿qué distancia habrá recorrido?

a) Si el número inicial de moscas es de 50 y, cada 10 días, la población de moscas se cuadruplica, halla el término general de la progresión formada por el número de moscas cada 10 días. b) ¿Cuántas moscas habrá a los 50 días? c) Si el precio del alimento para las moscas en el primer día es de 1 €, y cada día aumenta 2 céntimos más, halla el término general de la progresión. d) Determina el valor del alimento en el día 20. e) Calcula el valor del alimento en los 40 primeros días.

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8

Figuras planas La riqueza de los sabios Aquella fue la gota que colmó el vaso: su propia madre le reprochaba que siendo tan sabio no fuera igualmente rico. La chanza no era nueva pero a Tales de Mileto le dolió como nunca. Se encerró en casa y comenzó a fraguar su plan. Sus estudios de los astros le permitieron predecir un perfecto año para el cultivo. Así que reuniendo todo el dinero del que disponía y aun el que, en secreto, pudo pedir prestado, se hizo con el control de todas las prensas de aceite de Mileto y su vecina Quíos. Su predicción sobre el clima fue acertada, y sus vecinos se frotaban las manos pensando en los beneficios de la cosecha de aceituna. Pero cuando fueron a moler las aceitunas sus sonrisas se tornaron en muecas, pues hubieron de pagar lo estipulado por Tales.

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Busca información sobre Tales de Mileto. 2. A Tales de Mileto se le atribuye la medición de la Gran Pirámide. Explica cómo lo hizo. 3. Además del postulado que se enuncia en el texto, investiga qué otras aportaciones geométricas realizó Tales de Mileto.

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Cumplida su pequeña venganza, y además convertido en rico, vendió las prensas y las tierras y se dedicó a sus estudios de filosofía y matemáticas, no sin antes decirle a sus vecinos: «Tomad para vosotros los consejos que dais a otros». Uno de los postulados de Tales es que un ángulo inscrito en una semicircunferencia es siempre un ángulo recto.

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Antes de empezar la unidad... POLÍGONOS Un polígono es una figura plana limitada por segmentos. D

Los lados son los segmentos que limitan el polígono. La suma de las longitudes de los lados es su perímetro.

F

F F

Los ángulos son las regiones que forman los lados al cortarse. Se escriben así: EU.

F

E

C

Los vértices son los puntos donde se cortan los lados. Se nombran con una letra mayúscula.

F

A partir de 12 lados, los polígonos se nombran: polígono de 13, 14… lados.

Las diagonales son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

F

B A

Clasificación de polígonos

Los polígonos se pueden clasificar según: • Su número de lados. • La igualdad de sus lados y ángulos. A los polígonos que tienen todos sus lados y ángulos iguales se les llama polígonos regulares. En caso contrario, son polígonos irregulares. Nombre

N.º de lados

Regular

Irregular

Nombre

N.º de lados

Triángulo

3

Heptágono

7

Cuadrilátero

4

Octógono

8

Pentágono

5

Eneágono

9

Hexágono

6

Decágono

10

EVALUACIÓN INICIAL sus lados, vértices y ángulos. Traza sus diagonales. ¿Cuántas diagonales tiene? que no sean regulares, y traza sus diagonales. 3 Contesta si es verdadero o falso.

a) Un polígono puede tener más vértices que lados. b) Un polígono puede tener más vértices que ángulos. c) Un polígono puede tener más vértices que diagonales. a)

En esta unidad aprenderás a… • Determinar las rectas y puntos notables de un triángulo.

2 Dibuja un octógono, un eneágono y un decágono

de estos polígonos.

Irregular

PLAN DE TRABAJO

1 Dibuja este polígono en tu cuaderno y señala

4 Indica el nombre

Regular

b)

• Calcular el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. • Reconocer y calcular el área del círculo y de las figuras circulares.

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Rectas y puntos notables en un triángulo

2

2.1 Medianas Las medianas de un triángulo son las rectas que se obtienen al unir cada uno de los vértices del triángulo con el punto medio del lado opuesto.

C G A

B

Las tres medianas del triángulo se cortan en un punto llamado baricentro.

2.2 Mediatrices ANTES, DEBES SABER… Cómo se construye la mediatriz de un segmento La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. P

Se dice que un polígono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices son puntos de la circunferencia.

B

A

A

B Q

Trazamos dos arcos, con centro en los puntos A y B, de igual radio y que se corten.

La recta que pasa por los puntos de corte P y Q es la mediatriz.

Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a sus lados que pasan por el punto medio. Las mediatrices se cortan en un punto llama do circuncentro. Este punto está a la misma distancia de los tres vértices del triángulo.

C

O A

B

Con centro en el circuncentro, y radio, la dis tancia del circuncentro a cualquier vértice, se puede dibujar una circunferencia que pasa por los tres vértices: la circunferencia circunscrita al triángulo.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Copia estos triángulos en tu cuaderno

y determina su baricentro. a) b)

4 Dibuja la circunferencia circunscrita a estos

triángulos. a) C

C

b) A

A

B

B

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2.3 Alturas C A

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas desde cada vér tice del triángulo al lado opuesto o su prolongación.

B

H

Las tres alturas del triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.

2.4 Bisectrices ANTES, DEBES SABER… Cómo se construye la bisectriz de un ángulo La bisectriz de un ángulo es la línea recta que divide al ángulo en dos partes iguales. B

B

B

D O

O

A

Con centro en el vértice O y cualquier abertura, trazamos un arco.

P C

A

Trazamos dos arcos que se corten, uno con centro en C y otro con centro en D.

O

Distancia entre el punto P y la recta r :

A

Los arcos se cortarán en P. La recta que pasa por O y P es la bisectriz.

r

Perpendicular

r

Distancia

Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen cada uno de sus ángulos en dos partes iguales.

Di

P

Las bisectrices se cortan en un punto llama do incentro. Este punto está a la misma dis tancia de los tres lados del triángulo.

C

I

B

A

Con centro en el incentro, y radio, la distancia del incentro a cualquier lado, se puede dibujar una circunferencia que pasa por los tres lados del triángulo: la circunferencia inscrita.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Copia estos triángulos en tu cuaderno

7 Dibuja la circunferencia inscrita de estos

y determina su ortocentro.

triángulos.

a)

a)

b)

C

b)

C A

A

B

B

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Teorema de Pitágoras

3

ANTES, DEBES SABER… Cómo se clasifican los triángulos según sus ángulos

Triángulo rectángulo Un ángulo recto

Triángulo acutángulo Ángulos agudos

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Triángulo obtusángulo Un ángulo obtuso

C a

b A

a2 = b2 + c2 B

c

EJEMPLOS 6

Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 20 y 21 cm, respectivamente. 2

2

a =b +c

2

b = 20, c = 21

2

2

------" a = 20 + 21 = 841

Despejando a: a = 7

2

21

cm

Aplicando el teorema de Pitágoras:

20

El triángulo rectángulo es el único triángulo que cumple el teorema de Pitágoras.

841 = 29 cm

cm

a

Si un cateto de un triángulo rectángulo y la hipotenusa miden 5 y 13 cm, respectivamente, ¿cuánto mide el otro cateto? Aplicando el teorema de Pitágoras: a = 13, b = 5

a2 = b 2 + c 2 ------" 132 = 52 + c2 " c2 = 132 - 52 = 144 Despejando c: c = 144 = 12 cm 8

Comprueba si los triángulos con estas medidas son triángulos rectángulos. a) 48 cm, 55 cm y 73 cm b) 3 cm, 4 cm y 6 cm Si un triángulo es rectángulo tiene que cumplir el teorema de Pitágoras. La medida mayor siempre corresponde a la hipotenusa. a) Hipotenusa = 73 cm Catetos = 48 cm y 55 cm a = 73, b = 48, c = 55 2 2 2 a2 = b2 + c2 ---------" 73 = 48 + 55 " 5 329 = 5 329 Luego el triángulo es rectángulo.

b) Hipotenusa = 6 cm Catetos = 3 cm y 4 cm a = 6, b = 3, c = 4

a2 = b2 + c2 --------" 62 ! 32 + 42 " 36 ! 9 + 16 Luego el triángulo no es rectángulo.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 10 Calcula el valor de la hipotenusa de un triángulo

rectángulo de catetos 32 cm y 24 cm.

3 Halla un cateto de un triángulo rectángulo con

hipotenusa 22 cm y el otro cateto, 16 cm.

124

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Aplicaciones del teorema de Pitágoras

4

4.1 Altura de un triángulo equilátero o isósceles ANTES, DEBES SABER… Cómo se clasifican los triángulos según sus lados

Triángulo isósceles Dos lados y dos ángulos iguales

Triángulo equilátero Lados y ángulos iguales

Triángulo escaleno Lados y ángulos desiguales

Podemos hallar una altura de un triángulo equilátero, o la altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles, conociendo la longitud de sus lados y utilizando el teorema de Pitágoras. C

En ambos casos, la altura siempre corta en el punto medio de la base. & y MBC & son rectángulos Los triángulos AMC con hipotenusa uno de los lados del trián ABC, y catetos, la altura y la mitad de gulo & la base.

h A

l/2 M

l/2

En un triángulo escaleno, la altura no corta en el punto medio de la base.

B

EJEMPLOS 9

Calcula la altura

de este triángulo isósceles.

5 cm

h

5 cm

F

h

4 cm

8 cm

52 = 42 + h2

5 cm

" h2 = 52 - 42 = 9 " h = 9 = 3 cm

La altura de este triángulo isósceles mide 3 cm. 1

Halla la altura de un triángulo equilátero de lado 10 cm. 102 = 52 + h2 " h2 = 102 - 52 = 75 10 cm

h

5 cm

5 cm

h=

75 = 8,66 cm

La altura de un triángulo equilátero de lado 10 cm mide 8,66 cm.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 14 Calcula el valor de a en el triángulo equilátero.

a) a

4 cm

4 ¿Cuánto mide x

en este triángulo equilátero de lado 6 cm?

6 cm

h x

x

125

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4.2 Diagonal de un rectángulo ANTES, DEBES SABER… Cómo se clasifican los cuadriláteros según sus lados y sus ángulos PARALELOGRAMOS " Lados paralelos dos a dos

Cuadrado Ángulos rectos y lados iguales

Rectángulo Ángulos rectos y lados iguales dos a dos

Rombo Lados iguales

Romboide Ángulos y lados iguales dos a dos

TRAPECIOS " Dos lados paralelos

Trapecio rectángulo Dos ángulos rectos

Trapecio isósceles Dos lados iguales

Trapecio escaleno Lados y ángulos desiguales

TRAPEZOIDES " No tienen lados paralelos

Podemos determinar la longitud de la diagonal de un cuadrado o un rec tángulo, conociendo la medida de sus lados. D

C d

A

B

& son rectángulos ABC y CDA Los triángulos & con hipotenusa la diagonal, y catetos, dos de los lados.

EJEMPLO 10 Halla la longitud

4 cm

de la diagonal de este rectángulo.

d

F

6 cm

d

4 cm

6 cm

d 2 = 42 + 62 = 52 " d = 52 = 7,21cm La diagonal de este rectángulo mide 7,21 cm, aproximadamente.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 14 Calcula el valor de a en el cuadrado.

5 Calcula la longitud

de la diagonal de este rectángulo.

5 cm

b) a

9 cm

6 cm

126

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Área de figuras planas

5

ANTES, DEBES SABER… Cuáles son las unidades de medida de superficie kilómetro cuadrado (km2) 1 000 000 m2

hectómetro decámetro metro cuadrado cuadrado cuadrado 2 2 (hm ) (dam ) (m2) 10 000 m2 100 m2

centímetro cuadrado (cm2) 0,0001 m2

decímetro cuadrado (dm2) 0,01 m2

milímetro cuadrado (mm2) 0,000001 m2

5.1 Área de triángulos y cuadriláteros A continuación tienes las fórmulas para calcular el área de estos polígonos. Triángulo

Cuadrado A=

h

b?h 2

l

b

A = l ? l = l 2

l

Rectángulo

h

Rombo D

d

A = b ? h

A=

b

D?d 2

Romboide

Trapecio b

A = b ? h

h

A=

h

b

B

(B + b) ? h 2

EJEMPLO 11 Determina el área de esta figura. 1 cm

Dividimos la figura en otras más simples cuya área sepamos calcular. Esta figura se puede descomponer en un rectángulo y un triángulo.

2 cm 5 cm

A1 = b ? h = 5 ? 2 = 10 cm2 5 ?1 b?h 4 A2 = = = 2,5 cm 2 2 2

Podemos calcular el área de cualquier polígono, dividiéndolo en otros polígonos de los que sabemos calcular el área.

" A = A1 + A2 = 10 + 2,5 = 12,5 cm2

El área de esta figura es 12,5 cm2.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 17 Calcula el área de los siguientes polígonos.

a) Un trapecio de bases 12 cm y 8 cm y altura 5 cm.

6 cm

18 Halla el área

de la figura.

4 cm

10 cm 26 cm

2 cm

127

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5.2 Área de un polígono regular ANTES, DEBES SABER… Qué es el perímetro de un polígono El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados.

d

c

e b

a

P=a+b+c+d+e

Cuáles son los elementos de un polígono regular

r a

En un hexágono regular, el lado y el radio son iguales.

• La apotema, a, es el segmento perpendicular al lado trazado desde su punto medio hasta el centro del polígono regular. • El radio, r, es el segmento que une el centro del polígono regular con un vértice cualquiera.

El área de un polígono regular es igual al producto de su perímetro por su apotema dividido entre 2. P?a A= 2 EJEMPLOS 2

Calcula el área de un hexágono regular de 58,8 cm de perímetro y 8,5 cm de apotema. A=

P?a 2

P = 58,8; a = 8,5

-------" A =

58,8 ? 8,5 = 249,9 cm2 2

8,5 cm l

El área del hexágono es 249,9 cm2. 3

Halla el área de un octógono regular de 2,48 cm de lado y 3 cm de apotema.

Como un octógono tiene 8 lados y el lado mide 2,48 cm:

l

P = 2,48 ? 8 = 19,84 cm P ? a P = 19,84; a = 3 19,84 ? 3 A = = 29,76 cm2 A= " 2 2

3 cm

El área del octógono es 29,76 cm2.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 23 Determina el área de un hexágono regular

de lado 6 cm. 21 Halla la apotema de un heptágono regular

de lado 6 cm y área 130,8 cm2.

24 Halla el área

de la siguiente figura. Observa que el interior es un hexágono regular.

2 cm

2 cm 2 cm

2 cm

2 cm

128

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5.3 Área de figuras circulares ANTES, DEBES SABER… Cuáles son los elementos de una circunferencia • Centro de la circunferencia: es el punto del cual equidistan todos los puntos que la forman.

A

Arco dio

Ra

• Radio: es un segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

O

• Diámetro: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro. Su longitud es el doble que la del radio.

Diámetro

B

• Arco: es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

Figuras circulares Círculo: superficie plana contenida dentro de una circunferencia. Sector circular: parte de un círculo limitado por dos radios y un arco. Corona circular: superficie plana comprendida entre dos circunferencias concéntricas.

Área r

A = rr 2

O

a r

A=

O

r O

R

rr 2 a 360

A = r(R2 - r 2)

Dos circunferencias son concéntricas cuando tienen el mismo centro.

EJEMPLO 4

Halla el área de estas figuras. a)

40°

b) 3 cm

3 cm

rr 2 a 3,14 ? 32 ? 40 = = 360 360 1 130,4 = = 3,14 cm2 360

A=

5 cm

A = r(R 2 - r 2) = = 3,14 ? (52 - 32) = = 3,14 ? 16 = 50,24 cm2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 26 Halla el área de un círculo cuyo diámetro

mide 6 cm. 6 Calcula el área de un sector circular determinado

por un círculo de radio 4 cm y ángulo de 100°.

27 Dos circunferencias concéntricas tienen

radios de 5 y 3 cm, respectivamente. Calcula el área de la corona que originan. Halla también el área de los círculos que generan.

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Área de triángulos y cuadriláteros

Área de un polígono regular d D

h

a

b

l

A=b?h

A = l2

D?d 2

A=

h

Área de figuras circulares

h B

b

A=

A=b?h

P?a 2

l

b h

A=

O

a

r

O

b

(B + b) ? h 2

b?h 2

A=

A = rr 2

A=

R r

O r

rr 2 a 360

A = r(R 2 - r 2)


1. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS

PARA CALCULAR LA ALTURA DE UN POLÍGONO a)

Halla la altura de estos polígonos.

b)

13 cm

h

17 cm

h

5 cm PRIMERO. Identificamos

c)

6 cm

h

8 cm

el triángulo rectángulo que determina la altura, y sus medidas.

SEGUNDO. Aplicamos

el teorema de Pitágoras. b) 62 = 32 + h2 c) 172 = 82 + h2 a) 13 = 5 + h 2 2 2 2 2 2 h = 13 - 5 h = 6 - 3 h2 = 172 - 82 h2 = 144 " h = 144 = 12 cm h2 = 27 " h = 27 = 5,2 cm h2 = 225 " h = 2

2

2

225 = 15 cm

2. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR EL LADO DE UN POLÍGONO b) m

c 20

10 cm

12 cm

G

G

SEGUNDO. Aplicamos

a) 202 = 122 + b2

b2 = 202 - 122

b2 = 256

24 cm l

b PRIMERO. Identificamos

c) cm

a)

13

Calcula el lado de estos polígonos.

G

l

el triángulo rectángulo y sus medidas.

el teorema de Pitágoras. b) l 2 = 122 + 52

l 2 = 169

" b = 256 = 16 cm l = 169 = 13 cm

10,5 cm

c) 132 = 10,52 + e

2

l o 2

2

" e 2 o = 58,75 l

l

" 2 = 58,75 = 7,66 " l = 15,3 cm

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3. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR LA APOTEMA DE UN POLÍGONO REGULAR

a)

Calcula la apotema de estos polígonos regulares.

b) 17,5 cm

PRIMERO. El

triángulo de lados el radio, la apotema y la mitad del lado es rectángulo.

a

Identificamos sus medidas considerando que en el hexágono regular el radio es igual al lado.

6 cm

SEGUNDO. Aplicamos 2

2

2

a) 6 = 3 + a

a2 = 27

r

a

12 cm

el teorema de Pitágoras.

2

" a = 62 - 32

b) 17,5 2 = 6 2 + a 2 " a 2 = 17,52 - 6 2

" a = 27 = 5,2 cm a2 = 270,25 " a = 270,25 = 16,44 cm

4. CALCULAR EL ÁREA DE UNA FIGURA PLANA Determina el área de esta figura. 1,3 m A B

C

h 2,4 m D E

1,3 m F

SEGUNDO. Hallamos

G

PRIMERO. Descomponemos la

figura en otras cuyas áreas sepamos calcular. FIGURA A " Triángulo isósceles con lados iguales de 1,3 m y base de 2,4 m. FIGURAS B, C, D, E, F y G " Semicírculos iguales de diámetro 2,4 : 6 = 0,4 m.

cada una de las áreas de las figuras que hemos obtenido en la descomposición.

Figura A " Calculamos h. h2 = 1,32 - 1,22 = 0,25

" h = 0,25 = 0,5 m

Figura B " Calculamos r. r = 0,4 : 2 = 0,2 m TERCERO. Operamos

AFigura A =

b?h 2,4 ? 0,5 = = 0,6 m2 2 2

rr 2 r ? 0,22 = = 0,06 m2 2 2 ATotal = AFigura A + 6 ? AFigura B = 0,6 + 6 ? 0,06 = 0,96 m2 AFigura B =

para obtener el área total.

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. Calcula el área de un trapecio cuyas bases miden 8 cm y 5 cm, y su altura, 3 cm. 2. Halla el área de una corona circular comprendida entre dos circunferencias de radios 5 cm y 3 cm.

Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la apotema de un polígono regular

Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la altura de un polígono 3. Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 cm.

Calcular el área de una figura plana

Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el lado de un polígono 4. ¿Cuánto mide el lado de un rombo cuyas diagonales miden 2 cm y 4 cm?

5. Calcula el área de un hexágono regular de perímetro 24 cm.

6. Halla el área de la figura.

13 cm

12 cm

12 cm

14 cm

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Actividades ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO 33. ● Dibuja varios triángulos rectángulos y señala su ortocentro. ¿Dónde se encuentra situado? 35. ●● En un triángulo rectángulo e isósceles, la hipotenusa mide 10 cm. Si se traza una circunferencia circunscrita, ¿cuál es el radio?

a) Mediana b) Mediatriz

c) Altura d) Bisectriz

¿Se verifica esto también en un triángulo rectángulo y escaleno? 39. ●● En un triángulo rectángulo e isósceles: a) La altura correspondiente a la hipotenusa, ¿es mayor que un cateto? b) La mediana correspondiente a la hipotenusa, ¿es mayor o menor que un cateto?

41. ● Calcula la longitud del lado que falta en cada triángulo rectángulo (a es la hipotenusa). a) a = 34 cm, b = 30 cm b) b = 28 cm, c = 21 cm 42. ●● Halla la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos se diferencian en 2 cm y que el menor mide 6 cm.

E

B E

2 cm

2 cm A

? 2 cm

F

45. ● En un triángulo isósceles sabemos que los lados iguales miden 7 cm y el otro lado es de 4 cm. Calcula su altura. 46. ● ● Halla la altura de un triángulo equilátero de perímetro 30 cm. 47. ● ● Obtén la longitud de la base de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 17 cm y su altura 8 cm. 48. ● ● Halla la longitud de los lados iguales de un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 42 cm y su altura 20 cm. 49. ● ● Determina la longitud del lado de un triángulo equilátero cuya altura es de 6 cm. 53. ● Calcula la longitud de x en las figuras. a)

TEOREMA DE PITÁGORAS 40. ● La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12 cm y uno de los catetos 6 cm. Obtén la longitud del otro cateto.

?

3c

C

m

38. ●● En un triángulo rectángulo e isósceles, señala el circuncentro y el ortocentro. El segmento que une estos dos puntos del triángulo es:

1c

a) En el exterior del triángulo. b) En el interior del triángulo. c) Sobre un lado.

1c C m

B 1 cm A

4 cm

m

m

37. ●● En un triángulo rectángulo, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro son puntos situados:

44. ● ● Halla la longitud de los segmentos indicados. D a) b) D 1c

36. ●● En un triángulo equilátero de perímetro 36 cm se traza la circunferencia circunscrita. Sabiendo que la mediana mide 10,39 cm, ¿cuál es el radio de la circunferencia?

43. ● Determina si los siguientes triángulos son rectángulos. En caso afirmativo, indica la medida de la hipotenusa y los catetos. a) Triángulo de lados 5 cm, 12 cm y 13 cm. b) Triángulo de lados 6 cm, 8 cm y 12 cm. c) Triángulo de lados 5 cm, 6 cm y 61 cm. d) Triángulo de lados 7 cm, 24 cm y 25 cm.

x

4 cm

c) x

5 cm

4 cm 8 cm

b)

10 x

cm

d)

x

1 17

cm

x

9 cm

56. ● ● Observa la siguiente figura: 20 cm

G

15 cm

Si los lados del rectángulo son 15 cm y 20 cm, ¿cuánto mide el radio de la circunferencia?

132

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ÁREA DE FIGURAS PLANAS 58. ● Elige la respuesta correcta en cada caso. a) El área de un rombo de diagonales 2 cm y 4 cm, es: I) 4 cm2 III) 6 cm2 2 II) 2 cm IV) 12 cm2 b) El área de un trapecio de bases 10 cm y 8 cm y altura 6 cm, es: III) 108 cm2 I) 240 cm2 2 II) 54 cm IV) 60 cm2 c) El área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 cm, es: III) 43,3 cm2 I) 86,6 cm2 II) 50 cm2 IV) 100 cm2 7. ● Calcula el área de estas figuras geométricas. a) Un cuadrado de lado 6 cm. b) Un rectángulo de 7 cm de largo y 4 cm de ancho. c) Un triángulo de 15 cm de base y 8 cm de altura. d) Un rombo con diagonales de 14 cm y 6 cm. e) Un romboide de altura 7 cm y base 12 cm. f) Un trapecio de 8 cm de altura y cuyas bases miden 14 cm y 10 cm. 59. ●● El área de un triángulo isósceles es 24 m2 y el lado desigual mide 6 m. Halla la longitud de los otros lados. 60. ●● El área de un triángulo rectángulo es 12 cm2 y uno de los catetos mide 6 cm. Calcula la longitud de la hipotenusa. 61. ●● Obtén el área de un triángulo equilátero de perímetro 90 cm. 62. ●● Si el área de un triángulo equilátero es 30 cm2, halla la longitud de su lado. 63. ●● Obtén el área de un triángulo rectángulo de hipotenusa 13 cm, siendo uno de los catetos 5 cm. 8. ●● Determina el área de un cuadrado, sabiendo que su perímetro es 48 cm. 64. ●● Calcula el área de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 7,07 cm.

68. ● ● Calcula el área de la zona sombreada.

cm 4 cm

9 cm 4 cm 8 cm

6 cm

F

11 cm

4 cm

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UN TRAPECIO ISÓSCELES SI SE DESCONOCE LA ALTURA? D

69. Calcula el área de este trapecio isósceles.

5 cm

C 2,5 cm

A

8 cm

B

PRIMERO. Se

calcula la base del triángulo rectángulo que determina la altura. Por ser el trapecio isósceles, las alturas determinan dos triángulos rectángulos iguales cuyas bases son la mitad de la diferencia de las bases del trapecio. D 2,5 cm 1,5 A E

AE = FB =

C

5 cm

h

2,5 cm

h

1,5

F

8 cm

B

AB - CD 8-5 = = 1,5 cm 2 2

SEGUNDO. Se

aplica el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que determina la altura. D 2,5 cm

1,52 + h2 = 2,52 h2 = 2,52 - 1,52 = 4

h 1,5

A TERCERO. Se

A=

h=

E

4 = 2 cm

halla el área del trapecio.

(B + b) ? h (8 + 5) ? 2 = = 13 cm2 2 2

10. ● ● Calcula el área y el perímetro del siguiente trapecio isósceles.

16 cm

6 cm

12

41

67. ● ● Determina el área de un rectángulo de base 7 cm y perímetro 24 cm.

cm

9. ●● Halla el área de este rectángulo.

66. ● ● Calcula el área de un rectángulo cuya base mide 10 cm y la diagonal 116 cm.

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70. ●● Halla el área de estos trapecios isósceles. 6 cm

a)

7m

c)

3 cm

3,5 m

4,13 m

73. ● ● Determina el área de las superficies coloreadas. 5 cm 3 cm a) c)

10 cm 16 m

b)

d) 4m 3m

164 m 24 m

14 m

b)

d)

11. ● Calcula el área de estos polígonos regulares. a) Un hexágono regular de 5 cm de lado y apotema 4,33 cm. b) Un heptágono regular de 4,17 cm de lado y apotema 4,33 cm c) Un octógono regular de 5 cm de lado y apotema 6,0355 cm. d) Un octógono regular de 4,299 cm de lado y apotema 5,19 cm.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA LA APOTEMA DE UN POLÍGONO REGULAR CUANDO CONOCEMOS SU ÁREA Y EL LADO? 12. Calcula el perímetro de un octógono regular de lado 12 cm y cuya área mide 789,12 cm2. PRIMERO. Se calcula el perímetro del polígono.

Como un octógono tiene 8 lados y su lado mide 12 cm: P = 8 ? 12 = 96 cm SEGUNDO. Se sustituyen los datos conocidos en

la fórmula para calcular el área de un polígono regular. P ? a A = 789,12; P = 96 96 ? a A= --------" 789,12 = 2 = 2 TERCERO. Se calcula el valor de la apotema despejando a en la ecuación resultante. 96 ? a 789,12 = " 789,12 ? 2 = 96 ? a " 2 789,12 ? 2 = 16,44 cm "a= 96

13. ●● Calcula la apotema de un heptágono regular de 5 cm de lado y cuya área es 90,825 cm2. 14. ●● Halla la medida del lado de un octógono regular de 4,33 cm de apotema y cuya área es 62,01 cm2. 15. ●● Obtén el área de un heptágono regular de lado 5 cm. ¿Cuál sería su área si fuese un octógono con el mismo lado?

G

5,54 cm

4 cm

16. ● Calcula el área de las siguientes figuras circulares. a) Un círculo de radio 9 cm. b) Un sector circular determinado por un círculo de radio 7 cm y con un ángulo de 80°. c) Una corona circular determinada por un círculo de radio 18 cm y otro círculo concéntrico de radio 7 cm. 74. ● ● Calcula el área de un círculo circunscrito a un triángulo rectángulo de catetos 6 cm y 8 cm. 75. ● ● Halla el área de la corona circular limitada por las circunferencias circunscrita e inscrita de un cuadrado de lado 8 cm. 76. ● ● Calcula el área de un sector circular de amplitud 60°, y radio, el de una circunferencia de longitud 12r cm. 77. ● ● Obtén el área de un círculo cuyo diámetro es igual que el perímetro de un cuadrado de lado 7 cm. 78. ● ● En una circunferencia de radio 5 cm se inscribe un triángulo rectángulo e isósceles. Calcula el área comprendida entre el círculo y el triángulo. 79. ● ● Halla el área de la zona coloreada, sabiendo que el diámetro de la circunferencia mide 10 cm. a)

c) 10 cm

10 cm

b) 10 cm

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95. ● ● Se desea hacer un círculo con losas en un jardín cuadrado, como indica la figura.

PROBLEMAS CON ÁREAS 86. ●● Observa esta torre y su sombra.

150 m

¿Qué distancia hay desde el punto más alto de la torre hasta el extremo de la sombra?

200 m

10 m

a) ¿Cuánto mide el área enlosada? b) ¿Qué área ha quedado con césped? 97. ● ● Construimos la montura de un monóculo con 10 cm de alambre. ¿Cuál es el área de la lente que encaja en la montura?

10

m

87. ●● Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre una pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

6m

88. ●● En los lados de un campo cuadrangular se han plantado 32 árboles, separados 5 m entre sí. ¿Cuál es su área? ¿Cuánto mide el lado?

98. ● ● Calcula el área que puede grabarse (en color azul en la fotografía) de un disco compacto. ¿Qué porcentaje del área total del disco se aprovecha para grabar?

89. ●● Esta señal de tráfico indica la obligatoriedad de parar. Halla su área si su altura es 90 cm y su lado mide 37 cm. 93. ●● En una pista circular se echan 15 kg de arena por metro cuadrado. ¿Qué radio tiene la pista si se han echado 4 710 kg de arena en total? 94. ●● En otra pista circular de 30 m de diámetro se quieren echar 30 kg de arena por metro cuadrado. a) ¿Cuántas toneladas de arena se necesitan? b) Si una carretilla mecánica carga 157 sacos de 5 kg cada uno, ¿cuántos desplazamientos tendrá que realizar?

F

G

F

2 cm

G

6 cm

100. ● ● Esta es la bandera de Brasil. Mide y calcula qué porcentaje del área total supone el área de cada color. 101. ● ● El teleférico de la ciudad A sale de la base de una montaña y llega hasta la cima. Desde ese punto se dirige a la ciudad B o a la ciudad C.

17. ●● Calcula la longitud de las rampas del puente.

800 m 5m

8m

15 m

A 18. ●● Un jardín en forma de trapecio isósceles tiene dos lados paralelos de 80 y 140 m, y los otros dos de 50 m de longitud. Determina su área.

1 500 m

B

3 200 m

C

a) ¿Qué distancia recorre el teleférico desde la ciudad A hasta C? b) ¿Y desde A hasta B?

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9

Cuerpos geométricos El legado de Arquímedes En Sicilia, preocupado porque el ideal de su hijo Marco fuera el espíritu guerrero y las conquistas de Julio César, Cicerón razonaba con él de esta manera: –Muy cerca de aquí, en Siracusa, vivió el ingeniero bélico más grande de todos los tiempos. Él solo fue capaz de detener al ejército romano durante más de tres años. Marco se interesó vivamente por el tema y su padre le contó la historia de Arquímedes, prometiéndole que al día siguiente irían a ver su tumba.

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. ¿Cuáles fueron las aportaciones de Arquímedes a las matemáticas y a la mecánica? 2. ¿Cuándo encontró Cicerón la tumba de Arquímedes? ¿A qué se refiere Cicerón cuando dice que: «Él solo fue capaz de detener al ejército romano durante más de tres años»?

Al día siguiente, ante la tumba donde Marco esperaba ver las hazañas de Arquímedes, solamente encontró una esfera inscrita en un cilindro. Entonces Cicerón le dijo a su hijo: –Pese a todos sus logros en ingeniería militar, no dejó ni un solo escrito sobre ellos y sí numerosos libros de matemáticas y mecánica. Él pensaba que su mayor tesoro era haber descubierto que el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la contiene.

3. ¿Cuál es el descubrimiento más importante en geometría que se atribuye a Arquímedes?

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Antes de empezar la unidad... RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO Los planos son superficies sin aristas ni ondulaciones. No tienen grosor y son ilimitados; es decir, no tienen principio ni final. Posiciones relativas de dos planos

Decimos que dos planos son secantes si se cortan en una recta.

Dos planos son paralelos si no tienen ningún punto en común. Posiciones relativas de dos rectas

Dos rectas son paralelas si están en el mismo plano y no tienen ningún punto en común. Si están en el mismo plano y tienen un único punto en común, se denominan secantes. Y si las rectas están en planos distintos y no tienen puntos comunes, se cruzan.

Paralelas

Secantes

Los planos, por ser ilimitados, no se pueden dibujar en su totalidad, por lo que dibujamos un paralelogramo.

Se cruzan

Posiciones relativas de una recta y un plano

Una recta es paralela a un plano si no tienen ningún punto en común, es secante si tienen un punto en común, y está contenida en el plano si todos los puntos de la recta pertenecen al plano.

Paralela

Secante

Contenida

EVALUACIÓN INICIAL

PLAN DE TRABAJO

1. Observando tu habitación, indica elementos que sugieren:


a) Planos paralelos. b) Planos secantes. c) Rectas paralelas. d) Rectas secantes. 1 Indica las posiciones

relativas de rectas y planos que ves en estos cuerpos geométricos.

e) Rectas perpendiculares a un plano. f) Rectas paralelas a un plano. g) Rectas secantes a un plano. h) Rectas contenidas en un plano. a)

b)

• Distinguir elementos de los poliedros. • Reconocer los poliedros regulares. • Aplicar el teorema de Pitágoras en el espacio. • Calcular áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.

137

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1

Poliedros

ANTES, DEBES SABER… Cuáles son los elementos de un polígono

Vértice

Los elementos de un polígono son: • Lados: segmentos que delimitan el polígono. Ángulo interior • Vértices: puntos donde se unen dos lados. • Diagonales: segmentos que unen Lado dos vértices no consecutivos. • Ángulo interior: ángulo formado por los lados del polígono.

al on ag i D

Cómo se nombran los polígonos Nombre

N.º de lados

Nombre

N.º de lados

Triángulo

3

Heptágono

7

Cuadrilátero

4

Octógono

8

Pentágono

5

Eneágono

9

Hexágono

6

Decágono

10

Los poliedros son cuerpos geométricos cerrados limitados por polígonos. Cara Cada polígono que limita al poliedro.

Arista Lado de cada cara.

G F

Diagonal Segmento que une dos vértices no consecutivos.

F

G

Vértice En él concurren tres o más caras. Coinciden con los vértices de las caras.

Los poliedros se nombran según su número de caras: 4 caras " Tetraedro 5 caras " Pentaedro 6 caras " Hexaedro… Llamamos desarrollo plano de un poliedro a la figura que se obtiene al extenderlo sobre un plano. A partir de él podemos reconstruir el poliedro.

F

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Cuenta el número

de caras, aristas y vértices del poliedro.

2 Halla el número

de caras, aristas y vértices de este poliedro.

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1.2 Fórmula de Euler En la mayoría de los poliedros se cumple la relación de Euler:

C + V = A + 2

N.o de caras

N.o de vértices

N.o de aristas

EJEMPLO 1

Comprueba que se verifica

a)

b)

la relación de Euler en los siguientes poliedros.

a) C = 7, A = 15, V = 10 " 7 + 10 = 15 + 2 b) C = 7, A = 15, V = 10 " 7 + 10 = 15 + 2

1.3 Poliedros regulares ANTES, DEBES SABER… Qué son polígonos regulares e irregulares Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales. En caso contrario, si tiene algún lado o ángulo distinto, el polígono es irregular.

Polígono regular Polígono irregular

Un poliedro es regular cuando todas sus caras son polígonos regulares iguales y, además, en cada vértice se une el mismo número de caras. Solo existen cinco poliedros regulares:

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

4 caras Triángulos equiláteros

6 caras Cuadrados


12 caras Pentágonos regulares


LO QUE DEBES SABER RESOLVER poliedro es un cubo 4 Este

truncado (cada vértice del cubo ha sido cortado formando un triángulo equilátero). Comprueba que se cumple la relación de Euler.

3 Indica los polígonos que forman las caras

de estos poliedros regulares. a) Octaedro. b) Dodecaedro. c) Icosaedro. 5 Indica el poliedro regular que se puede formar con:

a) Triángulos equiláteros. b) Cuadrados. ¿Cuántas caras coinciden en cada vértice?

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2

Prismas. Área

ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el área de los principales polígonos

b

A=

b?h 2

Polígono regular

Rectángulo

Triángulo h

h

A=b?h

b

a

A=

perímetro ? a 2 Arista básica

Un prisma es un poliedro que tiene dos caras que son polígonos iguales y paralelos entre sí (bases) y el resto de caras son paralelogramos (caras laterales). La altura del prisma es la distancia entre las bases.

Prisma cuadrangular oblicuo

Altura

G

Cara lateral

G

G

Base

Los prismas rectos cuya base es un rectángulo o un cuadrado reciben el nombre de ortoedros.

Arista lateral

Según la forma de las bases, los prismas pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales… Prisma pentagonal recto Decimos que un prisma es recto cuando sus caras laterales son todas rectángulos, es decir, son perpendiculares a las bases. En caso contrario, se denomina oblicuo. Se dice que un prisma es regular cuando es recto y sus bases son polígonos regulares.

Área de un prisma El área de un prisma recto es la suma del área lateral (área de sus caras laterales) y el área de las bases. El área lateral es el área de un rectángulo de ancho, el perímetro de la base, y de altura, la altura del prisma. A = ALateral + 2ABase = PBase ? h + 2ABase

h

F

h PBase

EJEMPLO

16 cm

3

Calcula el área del ortoedro que ves a la izquierda. A = PBase ? h + 2ABase = (2 ? 9 + 2 ? 6) ? 16 + 2 ? (9 ? 6) = 588 cm2

6 cm 9 cm

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 7 Clasifica este

prisma y nombra sus principales elementos.

a)

9 Halla el área de un prisma triangular, es decir,

la base es un triángulo equilátero regular, de arista básica 5 cm y 16,5 cm de altura.

140

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Pirámides. Área

3

ANTES, DEBES SABER… Cómo se clasifican los triángulos según sus ángulos Equilátero

Isósceles

Escaleno

Lados y ángulos iguales

Dos lados y dos ángulos iguales

Lados y ángulos desiguales

Vértice Arista lateral

Cara lateral

G

Apotema

Arista básica

Una pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono y sus caras laterales son triángulos con un vértice común, llamado vértice de la pirámide. La altura de la pirámide es la distancia de la base a dicho vértice.

F

Altura

F

Base

F

Pirámide hexagonal recta

En una pirámide recta todas sus caras laterales son triángulos isósceles.

Según la forma de las bases, las pirámides pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales…

Decimos que una pirámide es recta cuando sus caras laterales son todas triángulos isósceles. En caso contrario, se denomina oblicua. Una pirámide es regular cuando es recta y su base es un polígono regular. Llamamos apotema de una pirámide regular a la altura de cualquiera de sus caras laterales.

Área de una pirámide l l

a l

l

l

l l

l

El área de una pirámide regular es la suma del área lateral (suma de las áreas de los triángulos) y el área de la base. Si n es el número de aristas básicas: l?a (n ? l ) ? a PBase ? a A Lateral = n ? = = 2 2 2 PBase ? a A = A Base + A Lateral = A Base + 2

EJEMPLO

Calcula el área de una pirámide cuadrangular

regular, de arista básica 6 cm y apotema 8 cm. Como la pirámide es regular, su área es: (6 ? 4) ? 8 PB ? a = 62 + = 132 cm2 A = AB + 2 2

8 cm

4

6 cm

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Clasifica esta pirámide

y nombra sus principales elementos.

a)

12 Calcula el área total de una pirámide

hexagonal regular, con arista básica 6 cm y apotema de sus caras laterales 12 cm.

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Cuerpos de revolución. Área

4

ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula la longitud de una circunferencia y el área de un círculo Longitud de una circunferencia

r

r

L = 2rr

Área del círculo

A = rr 2

Los cuerpos de revolución son cuerpos geométricos que se obtienen al girar una figura plana alrededor de una recta (eje de giro).

4.1 Cilindro Eje de giro

Altura

G

F

Se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Su desarrollo plano consta de un rectángulo y dos círculos (bases). r

El área es la suma del área lateral más el área de las dos bases. h

A = ALateral + 2ABase = = 2rrh + 2rr 2 = = 2rr(h + r)

Radio

F

r

h

2rr

EJEMPLOS

Halla el área del cilindro de altura 4 cm y radio de la base 3 cm. A = 2rr(h + r)

h = 4, r = 3

" A = 2r ? 3(4 + 3) = = 2 ? 3,14 ? 3 ? 7 = 131,88 cm2

3 cm

El área del cilindro es 131,88 cm2. 2

4 cm

5

Calcula la altura de un cilindro de área 242 cm2 y con radio de la base 3 cm. A = 2rr(h + r)

A = 242, r = 3

" 242 = 2r ? 3(h + 3) 242 = 6r(h + 3) " 242 = 6rh + 18r

242 =18,84 ? h + 56,52 " h = La altura del cilindro es 9,84 cm.

242 - 56,52 = 9,84 cm 18,84

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 14 Dibuja el desarrollo plano y calcula el área

de los siguientes cuerpos de revolución. a) Un cilindro de 3 cm de radio de la base y 5 cm de altura. b) Un cilindro de 5 cm de radio de la base y 2 cm de altura.

4 Calcula el área de los cilindros con estas

características. a) Altura 3 cm y radio de la base 8 cm. b) Altura 6 cm y radio de la base 2 cm. 15 ¿Qué altura tiene un cilindro de área lateral

75,36 cm2 y radio de la base 4 cm?

142

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ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula la longitud de un arco y el área de un sector circular A Longitud de un arco a B

"= LAB

Área de un sector circular

a r

2r r ? a 360

A=

O

rr2 a 360

4.2 Cono Se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Su desarrollo plano consta de un círculo (base) y un sector circular. El área es la suma del área lateral más el área de la base. g

F

2rr

r

Eje de giro

F

Altura

A = ALateral + ABase = 2rr + rr 2 = A = rg 2 ? 2rg A = rrg + rr 2 = rr(g + r)

G

g Radio

r

EJEMPLO 5

Halla el área de un cono de altura 4 cm y radio de la base 3 cm. Calculamos primero la generatriz del cono: r2 + h2

r = 3, h = 4

" g = 32 + 42 = 25 = 5 cm

Calculamos ahora el área del cono: A = rr (g + r)

4 cm

g=

3 cm

r = 3, g = 5

" A = r ? 3 ? (5 + 3) = = 3,14 ? 3 ? 8 = 75,36 cm2

4.3 Esfera

G

Se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. La esfera no tiene desarrollo plano.

Eje de giro

Radio F

F

El área se calcula con la fórmula: A = 4rr 2 EJEMPLO 3

F

Centro

Calcula el área de una esfera de 3 m de radio. A = 4rr 2

r=3

" A = 4 r ? 32 = 4 ? 3,14 ? 9 = 113,04 m2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 14 Dibuja el desarrollo plano y calcula el área

de los siguientes cuerpos de revolución. a) Una esfera de 5 cm de radio. b) Un cono de 4 cm de radio y 6 cm de generatriz.

5 ¿Qué generatriz tiene un cono de área lateral

75,36 cm2 y radio de la base 4 cm? 6 Si el área de una esfera mide 642,26 cm2,

¿cuánto medirá su radio?

143

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26/07/11

15:13

5

Volumen de cuerpos geométricos

El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio encerrada dentro de su superficie. ANTES, DEBES SABER… Cuáles son las unidades de medida de volumen kilómetro hectómetro cúbico cúbico (km3) (hm3) 3 1 000 000 000 m 1 000 000 m3

decámetro cúbico (dam3) 1 000 m3

metro cúbico (m3)

decímetro cúbico (dm3) 0,001 m3

centímetro cúbico (cm3) 0,000001 m3

milímetro cúbico (mm3) 0,000000001 m3

5.2 Volumen del prisma y el cilindro

Altura

Para calcular el volumen de un prisma o un cilindro necesitamos conocer el área de su base y su altura.

h

Base

r Base

VPrisma = ABase ? Altura = ABase ? h

VCilindro = ABase ? Altura = rr 2h

EJEMPLO 7

Halla el volumen de un prisma cuadrangular, de lado de la base 3 cm

y altura 7 cm. Calcula también el volumen del cilindro inscrito en el prisma.

7 cm

Para calcular el volumen del prisma, hallamos primero el área de su base. Su base es un cuadrado de lado 3 cm: A = l 2 = 32 = 9 cm2 Por tanto, el volumen del prisma será:

r 3 cm

ABase = 9, h = 7

VPrisma = ABase ? h " V = 9 ? 7 = 63 cm3 Y para calcular el volumen del cilindro tenemos que determinar el radio de la base. El radio será la mitad del lado de la base del prisma.

r=

3 = 1,5 cm " VCilindro = rr2 ? h = r ? 1,52 ? 7 = 49,455 cm3 2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 20 Calcula el volumen de un prisma hexagonal regular

cuya arista de la base mide 3 cm y la altura 4 cm. 21 Halla el volumen del cilindro circunscrito

en el prisma del ejercicio anterior.

7 ¿Qué generatriz tiene un cono de área lateral

75,36 cm2 y radio de la base 4 cm? 8 Si el área de una esfera mide 642,26 cm2,

¿cuánto medirá su radio?

144

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5.3 Volumen de la pirámide y el cono Para calcular el volumen de una pirámide o un cono necesitamos conocer, también, el área de su base y su altura.

Altura

VPirámide =

1 (A ? h) 3 Base

VCono = g

h r

Base

Si un poliedro es regular, su base es un polígono regular, y por tanto, los lados de su base son iguales.

1 (rr2h) 3

Base

EJEMPLO 8

Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos. a) 10 cm

Es una pirámide de base cuadrada.

V=

1 1 (ABase ? h) = (62 ? 10) = 120 cm3 3 3

6 cm

Es un cono. Primero calculamos su altura.

b) h

8 cm

h2 = 82 - 42 " h = V=

4 cm

h

82 - 42 = 6,93 cm

1 2 1 (rr ? h) = (r ? 42 ? 6,93) = 116,05 cm3 3 3

8 cm

4 cm

5.4 Volumen de la esfera Para calcular el volumen de una esfera tan solo hace falta conocer su radio. 4 VEsfera = r r3 3 EJEMPLO 9

Calcula el volumen de esta figura.

a)

a) El radio de la esfera es la mitad del diámetro, luego r = 2 cm. El volumen de la esfera es: 4 4 V = rr 3 = r ? 2 3 = 33,49 cm 3 3 3

4 cm

LO QUE DEBES SABER RESOLVER el volumen de las siguientes figuras.

b)

a)

27 Calcula el volumen 5 cm

7 cm

24 Calcula

3 cm

de una esfera cuyo diámetro es 10 cm.

10 cm

4 cm

145

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Prismas

Cilindros

F

h

h

h

F

r

rr

PB

A = PBase ? h + 2ABase V = ABase ? h

Conos

Pirámides

g

h

F

a

A = rr(g + r) 1 V = rr 2 h 3

g

2rr

r F

A = 2rr(h + r) V = rr2h

h

2rr

r

a

Esferas A = ABase + V=

al

PBase ? a 2

A = 4rr2 4 V = rr 3 3

r

1 A ?h 3 Base


1. APLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS EN CUERPOS GEOMÉTRICOS

b)

c)

5 cm

3 cm

4 cm

g G

4 cm

a)

3 cm

Calcula el dato desconocido en estos cuerpos geométricos.

a

al 6 cm


el triángulo rectángulo que relaciona los datos conocidos y el dato desconocido, y aplicamos el teorema de Pitágoras.

3 cm

2

2

a) g = 3 + 4

g=

32 + 42 = 5 cm

al =

a2 = 32 + 42

6 = 3 cm 2

la ecuación resultante. b) 52 = (al)2 + 32 " (al)2 = 52 - 32

a

4 cm

52 = (al)2 + 32

al

SEGUNDO. Resolvemos 2

m

g2 = 32 + 42

c) 5c

g

3 cm

b)

4 cm

a)

c) a2 = 32 + 42

52 - 32 = 4 cm

a=

32 + 42 = 5 cm

146

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3. CALCULAR EL ÁREA DE UN CUERPO

2. CALCULAR EL ÁREA

DE REVOLUCIÓN

Halla el área de este poliedro.

Obtén a) el área de estos cuerpos de revolución.

5 cm a


el tipo de poliedro 6 cm y los datos necesarios para calcular su área. Pirámide cuadrangular regular: n = 4 " PBase = 4 ? 6 = 24 cm Calculamos su apotema:

b) 4 cm

DE UN POLIEDRO

4 cm 3 cm

3 cm


el tipo de cuerpo de revolución y los datos para calcular su área. a) Cilindro: r = 3 cm h = 4 cm b) Cono: r = 3 cm Calculamos su generatriz:

a2 = 52 - 32 " a = 52 - 32 = 4 cm ABase " Área de un cuadrado ABase = 62 = 36 cm2

g2 = 42 + 32 " g =

42 + 32 = 5 cm

SEGUNDO. Aplicamos

la fórmula. a) A = 2rr(h + r) = 2r ? 3 ? (4 + 3) = = 131,88 cm2 b) A = rr(g + r) = r ? 3 ? (5 + 3) = 75,36 cm2

SEGUNDO. Aplicamos

la fórmula. PBase ? a 24 ? 4 A = ABase + = 36 + = 84 cm2 2 2

4. CALCULAR EL VOLUMEN DE UN CUERPO GEOMÉTRICO Halla el volumen de estos cuerpos geométricos.

a)


SEGUNDO. Aplicamos

la fórmula.

a) V = ABase ? h = 19,28 ? 4 = 77,12 cm3

b) V =

4 cm

4 cm

el tipo de cuerpo geométrico y los datos necesarios para calcular su volumen. a) Prisma octogonal regular: (8 ? 2) ? 2,41 P?a ABase = = = 19,28 cm2 h = 4 cm 2 2 b) Cono: r = 3 cm h = 4 cm

b)

3 cm

F

2,41 cm

2 cm

1 2 1 rr h = r ? 32 ? 4 = 37,68 cm 3 3 3


Calcular el área de un poliedro

1. Completa la tabla siguiente:

3. Obtén el área de un prisma triangular regular, de arista básica 3 cm y arista lateral 2 cm.

C

V

A

Prisma pentagonal

Calcular el área de un cuerpo de revolución

Pirámide octogonal

4. Halla el área de un cono de radio 4 cm y altura 3 cm.

Aplicar el teorema de Pitágoras en cuerpos geométricos 2. Calcula la altura de un cono con 5 cm de radio de la base y 12 cm de generatriz.

Calcular el volumen de un cuerpo geométrico 5. ¿Cuál es el volumen de un tetraedro de arista de la base 2 cm y altura 1,63 cm?

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Actividades POLIEDROS 33. ●● Dibuja el desarrollo de estos poliedros.

36. ● En esta tabla están representados los poliedros regulares. Complétala y comprueba que todos cumplen la relación de Euler. Caras

c)

a)

Vértices Aristas C + V - A

Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro

b)

Icosaedro

d)

37. ● Dibuja una pirámide pentagonal. Cuenta sus aristas, vértices y caras, y comprueba que se cumple la relación de Euler. 34. ●● Los siguientes poliedros, ¿son regulares? Razona tu respuesta. a)

b)

c)

35. ●● Comprueba si estos poliedros cumplen la relación de Euler. a)

e)

b)

f)

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE DETERMINA EL POLÍGONO QUE FORMA LA BASE DE UN POLIEDRO CONOCIENDO ALGUNA DE SUS CARACTERÍSTICAS?

9. Determina el polígono de la base en: a) Un prisma con 12 vértices. b) Una pirámide con 8 aristas. c) Un prisma con 10 caras. PRIMERO. Si

se conocen los vértices. • Un prisma solo tiene vértices en las bases. Se divide entre 2 el número de vértices y se obtienen los lados del polígono de la base. • Una pirámide tiene todos los vértices en la base, excepto uno. Se resta 1 al número de vértices y se obtienen los lados de la base. 12 = 6 lados " Base = Hexágono a) Prisma " 2

SEGUNDO. Si

c)

d)

g)

h)

se conocen las aristas. • Un prisma tiene las mismas aristas en las bases y en las caras laterales. Se divide entre 3 el número de aristas. • Una pirámide tiene las mismas aristas en la base y en las caras laterales. Se divide entre 2 el número de aristas. 8 b) Pirámide " = 4 lados " Base = Cuadrado 2

TERCERO. Si se conocen las caras. • En un prisma, restando 2 (las bases) al número de caras, se obtienen los lados del polígono de la base. • En una pirámide, restando 1 (la base) al número de caras, se obtienen los lados de la base. c) Prisma " 10 - 2 = 8 lados " Base = Octógono

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38. ● Determina el polígono que forma la base de un prisma en cada caso. a) Si tiene 10 vértices. b) Si tiene 9 aristas. c) Si tiene 9 caras.

55. ● ● Obtén el área de una cara y el área total de un tetraedro regular cuya arista vale 2 cm. 56. ● ● Calcula el área de una cara y el área total de un octaedro regular cuya arista mide 4 cm.

39. ● Averigua el polígono que forma la base de una pirámide en cada caso. a) Si tiene 10 vértices. b) Si tiene 12 aristas. c) Si tiene 9 caras.

57. ● ● Halla el área de una cara y el área total de un icosaedro regular cuya arista es de 6 cm.

41. ● Las tres aristas de un ortoedro miden 5, 6 y 4 cm, respectivamente. Halla su diagonal.

5 cm

6 cm

42. ●● Obtén la diagonal de un cubo cuya arista mide 3 cm.

sustituyen los datos conocidos en la fórmula del área del poliedro correspondiente.

44. ● La apotema de una pirámide cuadrangular regular mide 12 cm y su arista básica 10 cm. ¿Cuánto mide su altura? 45. ● La apotema de una pirámide hexagonal regular mide 10 cm y su arista básica 10 cm. ¿Cuánto medirá su altura? 46. ●● Halla la longitud de los segmentos marcados en los siguientes cuerpos geométricos. 6 cm

¿CÓMO SE CALCULA UNA MEDIDA DESCONOCIDA EN UN POLIEDRO DEL QUE CONOCEMOS SU ÁREA?

PRIMERO. Se

3 cm

a)

HAZLO ASÍ

10. Calcula en cada caso: a) La altura de un prisma de área 214 cm2 y cuya base es un rectángulo de lados 6 cm y 4 cm. b) La apotema de una pirámide con área 132 cm2 y cuya base es un cuadrado de lado 6 cm.

4 cm

54. ● Determina el área total de una pirámide triangular recta con aristas laterales de 6 cm, y con base un triángulo equilátero de 4 cm de lado.

b)

8 cm 8 cm

a) PBase = 2 ? 6 + 2 ? 4 = 20 cm ABase = 6 ? 4 = 24 cm2 A = PBase ? h + 2ABase A = 214, PBase = 20, ABase = 24" 214 = 20 ? h + 2 ? 24 " 214 = 20 ? h + 48 b) PBase = 4 ? 6 = 24 cm ABase = 62 = 36 cm2 PBase ? a A = 132, PBase = 24, ABase = 36 A = ABase + " 2 24 ? a " 132 = 36 + 2 " 132 = 36 + 12 ? a SEGUNDO. Se

despeja el valor desconocido. 214 - 48 a) 214 = 20 ? h + 48 " h = = 8,3 cm 20 La altura del prisma mide 8,3 cm. 132 - 36 = 8 cm 12 La apotema de la pirámide mide 8 cm.

b) 132 = 36 + 12 ? a " a =

ÁREAS DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 51. ● Calcula el área total de un prisma triangular recto de altura 3 cm y cuya base es un triángulo equilátero de 2 cm de lado. 52. ● Halla el área de un ortoedro de altura 5 cm y cuya base es un rectángulo de 3 # 4 cm.

11. ● ● Determina la altura de un prisma de base cuadrangular de lado 8 cm sabiendo que su área mide 345 cm2. 12. ● ● Calcula la apotema de una pirámide de base un rectángulo de lados 8 cm y 3 cm, sabiendo que su área mide 216 cm2.

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13. ●● Calcula la altura de un cilindro de área 86 cm2 que tiene como radio de la base 8 cm.

VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

14. ●● Obtén la generatriz de un cilindro de área 102 cm2 cuyo radio de la base mide 12 cm.

71. ● Obtén el volumen de una pirámide cuadrangular recta de arista 10 cm y altura 5 cm.

58. ●● Calcula la arista de: 2

a) Un tetraedro de área total 16 3 cm . b) Un icosaedro cuyas caras miden

3 cm2.

c) Un octaedro de área total 18 3 cm2. 59. ● Determina el área de los siguientes cuerpos y figuras esféricas. a)

e) 6 cm

5 cm

72. ● ● Calcula el volumen de un prisma triangular recto de altura 8 cm y cuya base es un triángulo equilátero de lado 4 cm. 73. ● ● Halla el volumen de una pirámide triangular recta con aristas laterales de 8 cm, y con base, un triángulo equilátero de 7 cm de lado. 74. ● ● Calcula el volumen de un cilindro de 12 cm de diámetro, y altura, el triple del diámetro. 77. ● Halla el volumen de un cono:

4 cm

3 cm

b)

3 cm

G

a) De radio 5 cm y altura 8 cm. b) De radio 5 cm y generatriz 8 cm.

3 cm

f)

HAZLO ASÍ

6 cm 5 cm G

4 cm

c) G

3 cm

60. ● Halla el área de: a) Un cubo cuya diagonal de una cara mide 10 cm. b) Un cilindro de 20 cm de diámetro de la base y altura 12 cm. c) Un cono de 4 cm de radio y 6 cm de altura. d) Una esfera de 12 cm de diámetro. e) Un huso esférico de 80° y radio 20 cm. f) Un casquete esférico de 10 cm de radio y 9 cm de altura. g) Una zona esférica de 8 cm de altura y 12 cm de radio. h) Una pirámide hexagonal regular de altura 3 cm y lado de la base 3 cm. 61. ●● El área lateral de una pirámide recta de base cuadrada y regular es de 80 cm2, y el perímetro de la base mide 32 cm. Calcula la apotema de la pirámide. 68. ● El radio de una esfera mide 3 cm. Calcula su área total.

¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA DE UN CUERPO GEOMÉTRICO CONOCIENDO SU VOLUMEN? 15. Calcula en cada caso: a) La altura de un prisma de volumen 63 cm3 y cuya base es un cuadrado de lado 3 cm. b) La altura de un cono de volumen 164 cm3 y cuyo radio de la base mide 6 cm. PRIMERO. Se

sustituyen los datos conocidos en la fórmula del volumen del cuerpo geométrico correspondiente. a) ABase = 32 = 9 cm2 V = ABase ? h

b) V =

1 (r r 2h) 3

V = 63, ABase = 9

" 63 = 9 ? h

V = 164, r = 6

1

" 164 = 3 (3,14 ? 62 ? h) 164 = 37,68 ? h

SEGUNDO. Se

despeja la altura en las expresiones que hemos obtenido. 63 = 7 cm a) 63 = 9 ? h " h = 9 La altura del prisma mide 7 cm. 164 = 4,35 cm 37,68 La altura del cono mide 4,35 cm.

b) 164 = 37,68 ? h " h =

78. ● ● Obtén el volumen de una esfera cuyo diámetro mide 20 cm.

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a) Un prisma de volumen 96 cm3 y que tiene como base un rectángulo de 6 cm y 2 cm. b) Un prisma de volumen 96 cm3 y que tiene como base un hexágono regular de 4 cm de lado. c) Un cilindro de volumen 78 cm3 y cuyo radio de la base mide 3 cm. d) Una pirámide de volumen 84 cm3 y que tiene como base un cuadrado de 8 cm de lado. e) Un prisma de volumen 84 cm3 y que tiene como base un pentágono regular de 4 cm de lado. f) Un cono de volumen 62 cm3 y cuyo radio de la base mide 5 cm. 17. ●● Calcula el radio de una esfera cuyo volumen mide 124 m3. 18. ●● Halla el volumen de esta figura.

2 cm

F

2 cm

80. ●●● Obtén el volumen de los siguientes cuerpos geométricos. c) 4 cm

2 cm

4 cm

88. ● ● La pirámide de Kefrén tiene las medidas que se indican en la figura.

179,37 m

215,25 m

90. ● ● Un cubo y una esfera tienen el mismo volumen, 125 cm3. ¿Cuál tiene menor área? Si tuvieras que construir un depósito cúbico o esférico, ¿en qué forma se necesita menos material? 91. ● ● La Géode es un gigantesco cine con forma de esfera. Calcula su área sabiendo que su volumen es de 24 416 640 dm3.

e)

m

3c

G

G

b)

a) ¿Cuántos botes tendremos que comprar si nos atenemos a lo que indica el fabricante? b) Si al final hemos utilizado 4 botes, ¿para cuántos metros cuadrados nos da cada bote?

4 cm

2 cm

4 cm

87. ● ● Queremos pintar una habitación rectangular (incluido el techo) de 4 # 6 m y 3 m de altura. Cada uno de los botes que vamos a utilizar contiene pintura suficiente para pintar 30 m2.

89. ● ● Calcula el área total de una torre cúbica de 10 m de arista, que tiene un tejado en forma piramidal cuya altura es 12 m.

5 cm

2 cm

86. ● ● Un ascensor tiene las siguientes medidas: 100 # 100 # 250 cm. ¿Es posible introducir en él una vara metálica que mide 288 cm?

Halla la altura de la pirámide.

2 cm

19. ●● Determina el volumen de la siguiente figura.

a)

PROBLEMAS CON CUERPOS GEOMÉTRICOS

G

16. ●● Determina la altura de los siguientes cuerpos geométricos.

3 cm 4 cm

5 cm

20. ●● En el interior de un cubo de 12 cm de arista construimos una pirámide cuya base es una cara del cubo y el vértice es el centro de la cara opuesta. Calcula el área y el volumen de esta pirámide.

92. ● ● Halla el volumen de esta piscina:

12 cm

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10 DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Busca información sobre la vida de Euclides, matemático que vivió alrededor del año 300 a.C. 2. Existen diversas teorías sobre la existencia de Euclides, investiga sobre ellas. 3. Euclides está muy relacionado con la geometría. Investiga sobre la obra de este matemático.

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Movimientos y semejanzas El carro del Sol Cuenta la leyenda que en Alejandría, en los tiempos en que se construía el famoso faro, un grupo de hombres derrotó al Sol. Apolo, al que otros llaman Ra, ordenó a sus siervos que le llevaran los ocho hombres más sabios de todos los tiempos, pues quería para él la sabiduría del mundo. Los siervos comenzaron la tarea y encontraron a los siete primeros. Fue fácil, pues todos ellos estaban en el Hades y se les conocía como los Siete Sabios. Al octavo lo buscaron entre los vivos y entre los muertos, en la tierra y en el cielo, pero no aparecía. Cansados de tanto buscar, le preguntaron al Oráculo: –Su nombre es Euclides, y el lugar donde se encuentra es la biblioteca de Alejandría. Montados en el carro de Apolo volaron hasta la biblioteca y allí hallaron a un grupo de hombres. El más anciano, que estudiaba dos cuadrados de diferente tamaño, anotando sus semejanzas y sus diferencias, fue capturado por los siervos de Apolo. –¡Euclides es nuestro! En ese instante todos los demás hombres los rodearon diciendo: –¡Yo soy Euclides! ¡Yo soy Euclides! Los enviados, ante la imposibilidad de reconocer quién era realmente Euclides, se fueron y le dijeron a Apolo que el octavo sabio no existía, que era uno y eran todos. Después de esto, Apolo liberó a los Siete Sabios, y preguntado por la razón contestó que no hay muros que contengan la sabiduría y el conocimiento.

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Antes de empezar la unidad... SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Para representar puntos en el plano se utilizan dos rectas numéricas perpendiculares denominadas ejes de coordenadas. Y Eje de En este sistema de coordenadas llamamos: ordenadas A • Eje de abscisas a la recta horizontal, y se representa por X. Origen • Eje de ordenadas a la recta vertical, O X Eje de y se representa por Y. abscisas • Origen de coordenadas al punto de B intersección de los ejes, y se representa por O. G

Coordenadas de un punto

Los puntos del plano quedan determinados por dos números entre paréntesis llamados coordenadas. Gráficamente, la primera coordenada se representa en el eje X, y la segunda, en el eje Y. Representamos el punto (-1, 2):

2

-1

Y Segundo cuadrante

Primer cuadrante

Tercer cuadrante

X Cuarto cuadrante

• La primera coordenada, -1, la llevamos sobre el eje horizontal y trazamos una recta perpendicular al eje X.

Y (-1, 2)

Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro partes, que se llaman cuadrantes.

X

• La segunda coordenada, 2, la llevamos sobre el eje vertical y trazamos una recta perpendicular al eje Y.

El punto de corte de esas dos rectas es (-1, 2). EVALUACIÓN INICIAL coordenadas de cada punto.

Y

Y

1 Indica las

C

C B

A

11

F

11 D

G

D

X


B

1

E E

PLAN DE TRABAJO

A

1

X F

2 Dados los puntos A(4, -1), B(3, 4), C(-3, 2) y D(-2, -3):

a) Represéntalos en el plano. b) Únelos en orden alfabético y une también D con A. ¿Qué figura obtienes?

• Conocer las magnitudes vectoriales. • Transformar una figura mediante traslaciones, giros o simetrías. • Construir un polígono semejante a otro mediante homotecias.

3 Dibuja los ejes de coordenadas

para que el punto sea A(2, -1). A

• Reconocer polígonos semejantes.

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1

Vectores

ANTES, DEBES SABER… Qué es una recta, una semirrecta y un segmento Línea recta

Semirrecta

Segmento

No tiene origen ni final.

Tiene origen pero no tiene final.

Tiene origen y final.

B

P

A

W, en el que Dos puntos del plano, A y B, determinan un vector fijo AB A es el origen y B es el extremo. La distancia entre A y B (longitud del segmento AB) se llama módulo del vector, y la recta que pasa por A y B es la dirección del vector. El sentido es el que va de A a B. EJEMPLO WyB W 1 Calcula el módulo, la dirección y el sentido de los vectores AB A. W Vector AB

a)

A

B

W: 3 cm. • Módulo AB • Dirección: la de la recta AB. • Sentido: de A a B. Para expresar un vector lo hacemos mediante su origen y su extremo, W, o mediante una AB W… letra: vW, w W, W a, b Estas letras son las más utilizadas.

W Vector BA

b) A

B

W: 3 cm. • Módulo BA • Dirección: la de la recta AB. • Sentido: de B a A.

Coordenadas de un vector Dados los puntos del plano A(a1, a2) y B(b1, b2) en un sistema de coordenaW son AB W = (b1 - a1, b2 - a2). das cartesianas, las coordenadas del vector AB W se escribe ⏐AB W⏐, y se define como: El módulo del vector AB W⏐ = ⏐AB

(b1 - a1)2 + (b 2 - a 2)2

EJEMPLO W. 2 Halla las coordenadas y el módulo del vector AB Las coordenadas de los puntos A y B son: A(2, 3) B(5, 4)

Y 5

B

Por tanto, las coordenadas del vector son: W = (5 - 2, 4 - 3) = (3, 1) AB

A

3

Y su módulo es:

1 1

3

5

X

W⏐ = ⏐AB

32 + 12 = 10

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Dada esta pareja de puntos, calcula

W y halla su módulo. las coordenadas del vector AB a) A(1, 3)

B(-4, 5)

1 Dada esta pareja de puntos, calcula

W y halla su módulo. las coordenadas del vector AB b) A(4, 0)

B(-1, -5)

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3

Traslaciones

ANTES, DEBES SABER… Cómo se traza una recta paralela a otra que pasa por un punto Para trazar una recta paralela a la recta r y que pase por P:

P

PRIMERO. Apoyamos uno de los bordes que forman el ángulo recto de la escuadra sobre la recta r. Colocamos, después, la regla pegada al otro borde. SEGUNDO. Deslizamos la escuadra sobre la regla, hasta que el borde coincida con el punto P. TERCERO. Trazamos la recta s que es paralela a la recta r y pasa por P.

s r

Una traslación de vector W v transforma cualquier punto P en otro punWl tiene el mismo módulo, dirección y sentido to Pl, de forma que PP que W v. Se representa por tWv .

Una traslación transforma una figura en otra figura igual.

EJEMPLO 4 Realiza una traslación de vector W v al triángulo ABC. W v

W v Bl

B C

Cl

C

Cl

Al

Al

A

Bl

B

A

Partiendo de cada vértice, colocamos vectores iguales en módulo, dirección y sentido que W v.

Uniendo los extremos de los vectores, Al, Bl y Cl, obtenemos la figura transformada de la inicial.

Dados un punto A(x, y) y un vector W v = (v1, v2), el punto trasladado de A, Al, tiene como coordenadas Al(x + v1, y + v2).

Y 6

EJEMPLO 5 Dados el punto A(2, 1) y el vector W v = (5, 2), determina las coordenadas

del punto Al, transformado de A mediante la traslación tWv . A(2, 1)

traslación

" Al(2 + 5, 1 + 2) " Al(7, 3)

W v = (5, 2)

W v

4

Al

2 A 2

4

6

8

X

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 7 Obtén la figura

trasladada de la figura F mediante el vector W v.

8 Un cuadrado tiene como vértices los puntos v W F

A(-1, 1), B (1, 1), C(1, -1) y D(-1, -1). a) Determina su trasladado AlBlClDl mediante la traslación de vector W v = (4, -2).

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4

Giros

ANTES, DEBES SABER… Cómo se contruye un ángulo Para dibujar un ángulo de 60°: PRIMERO. Colocamos el transportador sobre una recta, haciendo coincidir el vértice del transportador con un punto marcado en la recta. A continuación, hacemos una marca en 60°. SEGUNDO. Retiramos el transportador y unimos el vértice del ángulo con la marca efectuada.

Un giro de centro O y ángulo a asocia a cada punto P otro punto Pl, situado a la misma distancia de O que el punto P, y de forma que POPl = a. Se expresa como G(O; a). EJEMPLO

Un giro transforma una figura en otra figura igual.

6 Transforma el triángulo ABC mediante un giro de centro el punto O

y ángulo 120°. Bl 120°

Al

C

120° Cl

B O

B O

A

Primero trazamos rectas que unan los vértices con el centro de giro, O. Después, dibujamos nuevas rectas que formen ángulos de 120°, el ángulo de giro, con las anteriores.

C

A

Con el compás medimos, sobre la recta correspondiente, las distancias OA, OB y OC, obteniendo los puntos Al, Bl y Cl, que son los vértices del triángulo transformado.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 10 Obtén la figura transformada de la figura F

mediante un giro de centro O y ángulo de 90°.

F

1 Un triángulo tiene por vértices los puntos

A(1, 1), B(3, 1) y C(2, 4). Halla su transformado por un giro de centro (0, 0) y ángulo: a) De 90°.

b) De 60°.

11 Un triángulo tiene por vértices los puntos O

A(3, 0), B(-1, 4) y C(2, 5). Halla su transformado por un giro de centro (2, -1) y ángulo de 180°.

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Simetrías

5.1 Simetría respecto a un punto RECUERDA Punto medio G

Una simetría respecto a un punto O (centro de simetría), S(O), asocia a cada punto P otro punto Pl, tales que: • Los puntos P, O y Plestán alineados, es decir, pertenecen a una misma recta. • El punto O es el punto medio del segmento PPl.

14424431442443B

A

Misma distancia

EJEMPLOS 7 Realiza una simetría central de centro O al triángulo ABC. C

C B

B

180°

A

A

O

O

Al Bl Cl

Unimos los vértices con el centro de simetría, O. Este punto O, cada vértice y su transformado estarán en la misma línea recta, ya que la simetría central equivale a un giro de 180°. 1

Con el compás medimos la distancia OA, la llevamos sobre su recta correspondiente al otro lado del punto O y obtenemos Al. De forma similar obtendremos los puntos Bl y Cl.

Una simetría respecto a un punto transforma una figura en otra figura igual.

Realiza la simetría respecto al punto O(0, 0) del triángulo de vértices A(1, 0), B(5, 0) y C(3, 4). Y

Y

4

4

O

1

5

O

X

1

5

X

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 13 Obtén la figura transformada de la figura F

mediante una simetría central de centro O. F O

2 Un triángulo tiene por vértices A(1, 1), B(3, 1)

y C(2, 4). Realiza una simetría respecto a (0, 0). 14 Dibuja el cuadrado de vértices:

A (1, 1) B(-1, 1) C(-1, -1) D(1, -1) y calcula su simétrico respecto al origen de coordenadas y respecto al punto A(1, 1).

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5.2 Simetría respecto a una recta ANTES, DEBES SABER… Cómo se traza una recta perpendicular a otra que pasa por un punto Para trazar una recta perpendicular a la recta r y que pase por P: s P

r

PRIMERO. Apoyamos uno de los bordes que forman el ángulo recto de la escuadra sobre la recta r. SEGUNDO. Deslizamos la escuadra sobre la recta, hasta que el otro borde coincida con el punto P. TERCERO. Trazamos la recta s que es perpendicular a la recta r y pasa por P.

Qué es la mediatriz de un segmento La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

En una simetría respecto a una recta, la figura original se ve como si estuviera reflejada en un espejo.

B Mediatriz

A

Una simetría respecto a una recta r, Sr, asocia a cada punto P otro punto Pl, tales que: • El segmento PPl es perpendicular a r. • Las distancias desde P y Pl a r son iguales. Por tanto, la recta r es mediatriz del segmento PPl y se denomina eje de simetría. EJEMPLO 8 Transforma el triángulo ABC mediante una simetría respecto a e. C B

e

C

Cl

B

Bl

A

Al

En primer lugar, trazamos rectas perpendiculares al eje e desde cada uno de los vértices.

e

A

Con el compás medimos la distancia de A al eje e, la llevamos al otro lado del eje y obtenemos Al. De forma similar obtendremos los puntos Bl y Cl.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 16 Obtén la figura

transformada de la figura F mediante una simetría de eje e.

e

F

3 Un triángulo tiene por vértices los puntos

A(1, 1), B(3, 1) y C(2, 4). Realiza una simetría respecto a: a) El eje X. b) El eje Y.

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Homotecias y semejanzas

ANTES, DEBES SABER… Qué es una razón y una proporción Una razón es un cociente entre dos números o cantidades comparables. Una proporción es una igualdad de dos razones. 1,2 0,6 2 2,2 3 1 3 Proporciones: = = 0,5 = = 0,75 Razones: 3 10 6,8 2 6 1,6 0,8

Una homotecia de centro O y razón k (k > 0) hace corresponder a cada punto P otro punto Pl, alineado con O y P, de forma que OPl = k ? OP. EJEMPLO 9 Aplica a la figura ABCDE una homotecia de centro O y razón 2. O C B

D

Cl Bl

E

A

Dl Al El

A partir del punto O trazamos rectas que pasan por cada uno de los vértices A, B, C, D y E de la figura original. En cada una de esas rectas marcamos los puntos Al, Bl, Cl, Dl y El, de forma que: OAl = 2 ? OA

OCl = 2 ? OC

OBl = 2 ? OB

ODl = 2 ? OD…

Una homotecia transforma un polígono en otro semejante.

AlBlClDlEl es el transformado de ABCDE por una homotecia de razón 2.

Polígonos semejantes Dos polígonos son semejantes si cada ángulo y su transformado son iguales, y el cociente de la longitud de cada lado y su transformado es constante. A este número se le llama razón de semejanza. EJEMPLO

Cl

10 Determina si las dos figuras del margen son polígonos semejantes.

• Cada ángulo y su transformado son iguales. • El cociente de un lado y su transformado es constante. AB BC CD DA 2 = = = =k= 3 AlBl BlCl ClDl DlAl Las dos figuras son semejantes, con razón de semejanza

Dl C

Bl

D B

2 . 3

Al A

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 20 Determina si un triángulo de lados de 3, 4 y 5 cm

es semejante a otro de lados de 1,5; 2 y 2,5 cm.

4 ¿Son semejantes un triángulo de lados 6 cm, 9 cm

y 12 cm, y otro de lados 9 cm, 13,5 cm y 18 cm?

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Vectores W = (b1 - a1, b2 - a2) AB

B(b1, b2)

B AW

Simetrías Respecto a un punto S(O)

A(a1, a2)

Respecto a una recta Sr

P v W

Traslaciones tWv

B

e

Bl

Bl

B

Cl

C

O

Cl

C

Al

A

Al

A

Q O

Giros G(O; a)

C

Homotecias

Bl

Cl

B

C

D Bl E

a

B A

Dl

a Cl O

El

Al


1. Realizar traslaciones

2. Realizar giros Transforma esta figura mediante un giro G(O; a).

Transforma esta figura mediante una traslación tvW. PRIMERO. Ayudados

v W

de la escuadra y la regla, trazamos rectas paralelas al vector que pasen por cada uno de los vértices de la figura.

C D B A

v W C

D

Cl Dl

B A

Bl Al

D B O

A

de la regla, trazamos rectas que unan cada vértice de la figura con el centro de giro, O.

el transportador para trazar otras rectas que formen un ángulo a con cada una de las rectas dibujadas.

el compás o las coordenadas del vector para calcular su módulo.

esa distancia sobre las rectas que hemos dibujado, utilizando como origen los vértices de la figura. Los extremos serán los vértices de la nueva figura.

C

a

SEGUNDO. Utilizamos

SEGUNDO. Utilizamos

TERCERO. Medimos

PRIMERO. Ayudados

TERCERO. Medimos Bl las distancias Al entre el centro, a O, y cada uno de Dl D Cl los vértices de la figura, y llevamos esas distancias sobre las nuevas rectas. Los extremos serán los vértices de la nueva figura.

C

B A

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3. REALIZAR SIMETRÍAS RESPECTO

4. REALIZAR SIMETRÍAS RESPECTO

A UN PUNTO

A UNA RECTA

Aplica a esta figura una simetría S(O). D

C

B O

A

D

Al

Bl

B O

Cl

C

A

Dl

Aplica a esta figura una simetría Sr.

PRIMERO.

TERCERO. Llevamos esas distancias sobre las rectas, al otro lado del punto O.

Bl

Al

r

B

Trazamos rectas perpendiculares al eje de simetría, r, desde cada vértice. SEGUNDO.

D

Dl

Cl

C

A

r

SEGUNDO.

Con el compás, medimos las distancias entre el centro y cada uno de los vértices.

PRIMERO.

D

Trazamos rectas que unan cada vértice con el centro de simetría, O.

C

A

B

Con el compás, medimos las distancias entre el eje y cada vértice.

TERCERO. Llevamos esas distancias sobre las rectas, al otro lado de la recta r.

5. DIBUJAR UNA FIGURA SEMEJANTE A OTRA Dibuja una figura semejante a esta cuya razón de semejanza sea k.

el compás, determinamos la distancia entre el punto O y los vértices de la figura.

B

Bl

punto cualquiera O, y desde ese punto trazamos rectas que pasen por cada uno de los vértices de la figura.

PRIMERO. Fijamos un

O C

A

SEGUNDO. Con

esas distancias por k, y las llevamos sobre las rectas dibujadas. Los extremos serán los nuevos vértices. TERCERO. Multiplicamos

Cl Al


Realizar simetrías respecto a un punto

1. Dibuja un vector de extremos A(2, 3) y B(-2, 3).

5. ¿Cuál es el simétrico de A(0, 2) respecto al origen?

2. ¿Cuánto mide el ángulo de un giro de centro O equivalente a una simetría de centro O? Realizar traslaciones 3. ¿Cuál es el transformado del punto P(5, -6) por la traslación de vector W v = (-1, 6)? Realizar giros

Fl

4. Halla el ángulo del giro que transforma F en Fl.

Realizar simetrías respecto a una recta 1. Razona si es verdadero o falso. Una simetría respecto de una recta: a) Es equivalente a un giro. b) Se obtiene una figura igual. Dibujar una figura semejante a otra

O

F

7. ¿Cómo es el perímetro de una figura semejante a otra con razón 0,5?

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Actividades VECTORES

HAZLO ASÍ

31. ● Dadas las parejas de puntos, calcula W y su módulo. las coordenadas del vector AB a) A(-1, 3), B(4, 5)

c) A(4, -1), B(2, -6)

b) A(-2, 0), B(1, -3)

d) A(-3, -3), B(-1, -2)

5. ● Calcula el módulo de los siguientes vectores. W = (3, 4) W = (6, 8) a) AB e) AB W = (-3, 4) b) AB W = (3, -4) c) AB

W = (-6, 8) f) AB W = (6, -8) g) AB

W = (-3, -4) d) AB

W = (-6, -8) h) AB

¿Qué observas?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA UN EXTREMO DE UN VECTOR DEL QUE CONOCEMOS EL OTRO EXTREMO Y SUS COORDENADAS? 6. Determina las coordenadas del punto A W = (3, -4), sabiendo que B(1, 2). en el vector AB las coordenadas del vector en función de las coordenadas de sus extremos. W = (b1 - a1, b2 - a2) = (3, -4) AB G

PRIMERO. Se expresan

¿CÓMO SE CALCULAN LAS COORDENADAS DE UN VECTOR EN UN SISTEMA DE COORDENADAS? 34. Halla las coordenadas de los vectores. Se considera el vector como la diagonal de un rectángulo y se calculan las dimensiones de sus lados.

Y 5 3

C

Cl D

B

primera coordenada del vector es 1 3 5 X la dimensión del largo del rectángulo que determina. Se considera positiva si el desplazamiento es hacia la derecha, y negativa si es hacia la izquierda. a) AAl " 3 unidades a la derecha " 3 b) CCl " 3 unidades a la izquierda " -3 1

PRIMERO. La

Al

A

SEGUNDO. La

segunda coordenada es la dimensión de la altura del rectángulo. Se considera positiva si el desplazamiento es hacia arriba, y negativa si es hacia abajo. a) AlB " 2 unidades hacia arriba " 2 b) ClD " 1 unidad hacia abajo " -1 Luego las coordenadas de los vectores W = (3, 2) y CD W = (-3, -1). son AB

A(a1, a2), B(1, 2)

(1 - a1, 2 - a2) = (3, -4) SEGUNDO. Se iguala, coordenada a

coordenada, y se resuelve la ecuación resultante. 1 - a1 = 3 " 1 - 3 = a1 " a1 =-2 2 - a2 = -4 " 2 + 4 = a2 " a2 = 6

Las coordenadas del otro extremo del vector son A(-2, 6).

35. ● ● Determina las coordenadas de los extremos del W, y obtén sus coordenadas y su módulo. vector AB a) Y

b) A

5

5

3

3

1

32. ● Determina las coordenadas de A en W y represéntalo gráficamente. el vector AB W = (2, 3) y B(-3, 4) a) AB W = (-1, 0) y B(2, 5) b) AB W 33. ● Obtén las coordenadas de B en el vector AB y represéntalo. W = (2, -2) y A(-3, 3) a) AB W = (-2, -3) y A(2, -1) b) AB W = (3, 0) y A e 2, - 5 o c) AB 2

Y

3

A

1

B 1

B

5

1

X

3

5

X

36. ● ● Dibuja el vector de extremos A(-2, 2) y B(3, 0) y calcula sus coordenadas y módulo. 7. ● ● Determina el módulo de los siguientes vectores.

Y B

E

D 1 A 1

F C X

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TRASLACIONES 40. ● Obtén la figura transformada de la figura F mediante una traslación de vector W v. a) W v F

11. ● Calcula las coordenadas del triángulo AlBlCl, trasladado de ABC mediante el vector W v de la figura.

Y A

C W v

B

1 1

b) v W

X

42. ● ¿Cuál es el vector de la traslación que transforma el punto A(2, -3) en el punto Al(-1, 7)?

F

43. ● Calcula las coordenadas del punto transformado del punto B(4, -2) mediante 1 2 una traslación de vector W v = e , - o. 5 3

c) W v

44. ● ● Determina gráficamente los vectores de las traslaciones que transforman la figura F en Fl y Fm, respectivamente. Obtén también sus coordenadas.

F

d)

Y F

Fl

5

W v F

3

F m

1

8. ●● Dado el segmento AB, formado por los puntos A(1, 4) y B(-3, 5), calcula las coordenadas del segmento AlBl, transformado de AB mediante la traslación de vector W v = (-1, -3). 9. ●● Calcula las coordenadas del segmento AlBl, trasladado del segmento AB mediante la traslación W v = (2, -5), siendo A(-1, 3) y B(-2, 4).

Punto

Vector de traslación

A(1, 3)

W v = (1, -2) Bl(0, 3)

B(-2, -4) W = (-3, -5) w

Dl(5, 1)

D(1, 5) E(0, 3)

Cl(7, 2)

W t = (3, -2)

5

7

X

Y 3 Fl 1 -8

Punto trasladado

3

45. ●● Halla la figura F que ha dado lugar a la figura Fl, al aplicarle una traslación de vector W v = (-2, -3). Antes de hacerlo, determina cuáles serán las coordenadas de los vértices de la figura F.

10. ●● Tenemos una traslación t Wv de vector W v = (2, 1). Halla los transformados por esa traslación de los puntos A(2, 3), B(-1, 4), C(-2, -2) y D(2, -3). 41. ●● Completa la siguiente tabla:

1

-4 -2

-6

-4

-2

1

3

X

12. ● ● Un triángulo tiene por vértices los puntos: A(3, 0), B(-1, 4) y C(2, 5) a) Halla el transformado de ABC, AlBlCl, mediante el vector W v = (-3, 5). b) Halla el transformado de AlBlCl, AmBmCm, mediante el vector W v = (2, 4).

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GIROS

15. ● ● Dibuja un triángulo equilátero ABC. Haz giros de centro el vértice A y ángulos 60° y 120°. ¿Qué figura forman los tres triángulos que se obtienen?

48. ● Obtén la figura transformada de F por el giro de centro O y el ángulo indicado. a) Ángulo de 90°.

49. ● ● Determina el centro y el ángulo del giro que transforma F en Fl. O Fl

F F

b) Ángulo de 45°. 50. ● ● Halla la figura F que ha dado lugar a la figura Fl al aplicarle un giro de centro el origen y ángulo de 90°.

O

Y

F

5

Fl

c) Ángulo de -120° (120° en el sentido de las agujas del reloj).

3 1 -6

1

-2

3

5

X

51. ● ● Completa esta tabla, referida a distintos giros con centro en el origen de coordenadas.

F O

13. ●● Copia la figura en tu cuaderno y determina gráficamente el triángulo AlBlCl, transformado del triángulo ABC por un giro de 45° con centro en el punto A.

-4

Punto

Ángulo

A(1, 0)

90°

Punto transformado Bl(0, 3)

90°

Y

C(1, 2)

C

180° Dl(3, 4)

180° B

El(-3, 0)

E(0, 3)

A 1 1

X

14. ●● Halla la figura transformada de esta por G(O; 90°) y G(A; 90°). Escribe, en cada caso, las coordenadas de los vértices del triángulo.

SIMETRÍAS 53. ● Obtén la figura transformada de F por una simetría central de centro O. c)

a) F

Y

O O

1 O

1 A

X

F

b)

d)

F

F O O

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54. ● Determina la figura transformada de F mediante: a) Una simetría de centro el origen. b) Una simetría de eje el eje de ordenadas. Y F 3 1 -6

-4

-2

1

3

5

X

¿Qué relación hay entre las coordenadas de los vértices de F y los de sus transformados?

HOMOTECIAS Y SEMEJANZAS 57. ● Las figuras T y Tl son homotéticas. Halla el centro y la razón de la homotecia.

T Tl

58. ● Calcula la longitud de los lados de un triángulo semejante a otro cuyos lados miden 7, 11 y 13 cm, si la razón de semejanza es k = 3.

16. ● Calcula las coordenadas del punto Pl, simétrico del punto P(2, 1), en la simetría de centro O(0, 3). Represéntalos gráficamente.

59. ● ● Los seis lados de un hexágono miden 13, 14, 15, 17, 19 y 20 cm. Un lado de otro hexágono semejante mide 80 cm. Si la razón de semejanza es un número entero, ¿cuánto miden los demás lados?

17. ● Dibuja el segmento de extremos A(1, 3) y B (-2, -2) y, después, construye y calcula su simétrico respecto al punto C(-3, 4).

60. ● ● Dibuja un rectángulo de 8 # 6 cm y añádele 3 cm en cada lado. ¿Has obtenido un rectángulo semejante? ¿Por qué?

18. ● Dibuja en tu cuaderno esta figura y construye la figura simétrica a la dada respecto al punto A.

61. ● ● Calcula la razón de semejanza de estos polígonos. ¿Qué relación tienen los perímetros?

1,4 cm

F

3 cm 5,1 cm

55. ●● Determina el centro de simetría que transforma F en Fl y Fl en Fm, y el eje de simetría que realiza las mismas transformaciones. Fl

F

Fm

56. ●● Completa la tabla, referida a distintas simetrías. Punto

Eje de simetría

A(1, 3)

Ordenadas Ordenadas

Punto trasladado Bl(0, 3)

PROBLEMAS CON MOVIMIENTOS Y SEMEJANZAS 78. ● ● Queremos hacer un armario en miniatura, semejante a otro cuyas dimensiones son 180 # 110 # 45 cm, de forma que la altura sea 13,5 cm. Calcula su ancho y su profundidad. 79. ● ● Determina las dimensiones que tendrá una casa rectangular en un plano a escala 1 : 50, si en la realidad su base es la mitad de la altura y su área es 144 m2. 80. ● ● Una célula humana tiene un diámetro aproximado de 3,5 millonésimas de metro y, con un microscopio electrónico, se ve con un diámetro de 1,75 cm. Calcula cuántos aumentos tiene el microscopio.

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DESCUBRE LA HISTORIA... 1. El ámbito científico es uno de los campos en los que más se utilizan las funciones. Busca casos reales en los que se use la representación de funciones. 2. Según los datos oficiales, ¿cuántas muertes hubo por gripe española en España entre los años 1915 y 1921? 3. Busca datos y distintos tipos de gráficas sobre la incidencia de la gripe A en el mundo durante el año 2009.

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Funciones La gripe española Salamanca, 1918. Dos enfermeras, una de ellas con evidentes signos de agotamiento, realizaban el cambio de turno en el hospital. La enfermera saliente, Carmen, le daba unas pautas a la inexperta enfermera que llegaba a relevarla. –No te involucres personalmente con el paciente, no quieras saber ni su nombre, porque probablemente en pocos días habrá muerto. –La gripe causaba estragos entre la población–. Observa los síntomas y si ves que el enfermo tiene los pies azules… no te entretengas y reza por su alma. Tres años después, Ana, cuyo trabajo de voluntaria había concluido, leía en el periódico local las cifras oficiales de muertes por gripe en los últimos años. Sus ojos se humedecieron al recordar a su amiga Carmen, que engrosaba el número Muertes anuales de víctimas correspondiente ña por gripe en Espa a 1918. 6 481 1915 21 7 0 El número de muertes 1916 7 479 1917 a causa de esta pandemia 147 114 1918 se cifró entre 20 y 40 21 235 1919 5 millones en todo el mundo. 82 17 1920 37 5 8 1921 El otro diario de la ciudad, en lugar de una tabla, LA VERDAD presentó la Muertes anuales por gripe información 140 mediante una 100 gráfica. 60

El Diario

Miles de muertos

11

20 Año 15 16 17 18 19 20 21

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Antes de empezar la unidad... POLINOMIOS Monomios Expresiones algebraicas

-x 4x 2

7 -6x

Polinomios 4

-x + 2 4x 2 - 6x + 4

Para designar los polinomios utilizamos una letra mayúscula, indicando entre paréntesis las letras (variables) que aparecen en el polinomio. P(x) = -x + 7 " Polinomio con una variable, x. P(x) = 4x 2 - 6x + 4 " Polinomio con una variable, x. Valor numérico de un polinomio

El valor numérico de un polinomio es el valor que obtenemos al sustituir las letras por valores determinados y operar después.

Podemos obtener tantos valores numéricos en un polinomio como números diferentes asignemos a la variable o variables del mismo.

P(x), para un valor x = a, lo expresamos como P(a) y se obtiene sustituyendo la variable x por el valor a en el polinomio y operando. P(x) = -6x + 2 para x = 2 P(2) = -6 ? 2 + 2 = 10 para x = -1 P(-1) = -6 ? (-1) + 2 = =6+2=8 P(x) = 7x 2 + 3x para x = 2 P(2) = 7 ? 22 + 3 ? 2 = 34 para x = -1 P(-1) = 7 ? (-1)2 + 3 ? (-1) = =7?1-3=4

EVALUACIÓN INICIAL 1 Construye tres polinomios con cualesquiera de estos monomios:

x2 -x2 4x -3x 8 -8 2 Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para x = -2.

a) P(x) = 2x - 1 b) P(x) = -x - 7 c) P(x) = x2 + 4x d) P(x) = -5x2 + 8x - 24 3 Determina el valor que tiene que tomar x para que se cumpla

que P(x) = 0 en estos polinomios. a) P(x) = x - 4 b) P(x) = 2x + 8 c) P(x) = -4x d) P(x) = -x + 6

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Reconocer si una relación entre variables es o no una función. • Determinar el dominio, puntos de corte con los ejes y máximos y mínimos de una función. • Representar y analizar funciones.

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1 RECUERDA Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir, y su valor se puede expresar por un número. Son magnitudes: la longitud, el peso, la superficie…

Concepto de función

Una función es una relación entre dos magnitudes o variables numéricas, x e y, de forma que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. La variable x se denomina variable independiente, y la variable y, variable dependiente. ANTES, DEBES SABER… Qué son magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número. F

Peso (kg)

1

2

3

…

6

…

Precio (€)

8

16

24

…

48

…

F

F

:2

F

?2

?2

:2

EJEMPLO La relación en la que a cada número le hacemos corresponder su raíz cuadrada no es una función. Al número 4 le correspondería 4 = ±2, es decir, dos valores distintos.

1

El precio del metro de alambre es 0,60 €. La relación entre las variables Longitud de alambre y Precio, ¿es una función?

El precio es proporcional a la longitud de alambre:

Longitud (en m)

Precio (en €)

1

? 0,60

2

? 0,60

3

? 0,60

x

? 0,60

" 0,60 " 1,20 " 1,80 " 0,60 ? x = y

Podemos expresar esta relación como: y = 0,60x. Si agrupamos algunos pares de valores en forma de tabla, tenemos que: Longitud (m)

0,5

1

1,5

2

2,5

Precio (€)

0,30

0,60

0,90

1,20

1,50

Vemos que para cada longitud, x, tenemos un único precio, y, porque una cantidad de alambre no puede tener dos precios distintos. Luego esta relación sí es una función, donde la variable independiente, x, es la longitud de alambre y la variable dependiente, y, es su precio.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Di, razonando tu respuesta, si la relación

2 Dados los números 3, 5, 7 y 9, calcula para cada

entre este par de magnitudes es o no una función.

uno el número o números que le corresponden con esta relación, e indica si es función.

a) El peso de una persona y su altura.

a) Su doble más 2.

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2

Formas de expresar una función

2.1 Función definida por un enunciado La relación entre las variables de una función la podemos expresar de forma verbal. • «A cada número le asociamos su cuadrado». • «Dado un número, le asignamos su mitad más 1». EJEMPLO 2

Pon varios ejemplos de funciones expresadas mediante enunciados. • Las ofertas de un supermercado relacionan el peso o la cantidad de unidades con un determinado precio. • Los parquímetros de una ciudad muestran el tiempo que podemos estacionar en función del dinero abonado.

2.2 Función definida por una expresión algebraica ANTES, DEBES SABER…

La expresión algebraica de la función que asocia a cada número su triple menos 7 se puede escribir como:

Cómo se expresa un enunciado con una expresión algebraica

Enunciado


El triple de un número La mitad de un número

" 3x x "

2 El cuadrado de un número x " 2 El cuadrado de un número más 2 unidades " x2 + 2

En ocasiones, las funciones vienen dadas por una expresión algebraica. Esta expresión se denota y = f (x) y se llama ecuación de la función. Cada valor de la variable independiente x, sustituido en la ecuación de la función, permite calcular el valor de la variable dependiente y.

y = 3x - 7 f (x) = 3x - 7 y = f (x) = 3x - 7 Y el valor de esta función en x = 4 se representa como: f (4) = 3 · 4 - 7 O como: y = f (4) = 3 · 4 - 7

EJEMPLOS 3

Determina la expresión algebraica de la función que asocia a cada número, x, un valor, y, igual que su cuadrado, x2. Expresión algebraica " y = x2

4

¿Cuál es la expresión algebraica de la función que asocia a cada número su triple menos 7? ¿Qué valor tiene la función para x = 4? Expresión algebraica " y = f(x) = 3x - 7 Para x = 4

" f (4) = 3 ? 4 - 7 = 12 - 7 = 5

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Expresa, mediante un enunciado, las siguientes

funciones. a) y = 2x - 1

5 Obtén la expresión algebraica

de la función que asocia a cada número: b) y = -x + 3

a) Su triple.

c) Su doble más 5.

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2.3 Función definida por una tabla de valores Una función puede estar definida también por una tabla de valores. EJEMPLO 5

Construye una tabla de valores para la función y = 2x + 1. y = 2x + 1

x

y

x = -2 " y = 2 ? (-2) + 1 = -3

F

-2

-3

x = -1 " y = 2 ? (-1) + 1 = -1

F

-1

-1

" y = 2 ? 0 + 1 = 1 x = 1 " y = 2 ? 1 + 1 = 3

F

0

1

F

1

3

x = 0

2.4 Función definida por una gráfica ANTES, DEBES SABER… Y

Qué es un sistema de coordenadas

Antes de unir los puntos debemos reflexionar sobre si tiene sentido hacerlo o no. Esto dependerá de los valores que puedan tomar las variables.

B(-3, 3)

Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por: • Eje de abscisas, X, que es la recta horizontal. • Eje de ordenadas, Y, que es la recta vertical. • Origen de coordenadas, O, que es el punto de corte de los ejes.

A(2, 2) 1 C(-2, 0)

E(1, 0) 1

X

D(-1, -2)

Los pares de valores relacionados de una función, (x, y), determinan puntos del plano en un sistema de coordenadas cartesianas. La representación de todos esos puntos forma su gráfica. La variable independiente, x, se representa en el eje de abscisas y la variable dependiente, y, en el eje de ordenadas. EJEMPLO 6

Y

Utilizando la tabla del ejemplo anterior,

dibuja la gráfica de la función y = 2x + 1. Según la tabla, las coordenadas de los puntos son: (-2, -3) (-1, -1) (0, 1) (1, 3) (2, 5)

y = 2x + 1 1

En principio, la gráfica estaría formada solo por esos puntos. Sin embargo, como la variable x puede tomar cualquier valor, podemos unir los puntos.

1

X

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 8 Halla una tabla de valores para las siguientes

8 Halla una tabla de valores para las siguientes

funciones, exprésalas mediante un enunciado. a) y = x + 2

b) y = 2x + 3

c) y = x

2

funciones y obtén su representación gráfica. e) y = -3x - 1

f) y = x 2 + 1

h) y = -x

170

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3

Características de una función

3.1 Dominio F

Qué es un intervalo -0,5

-0,1234…

F

-0,001 -0,7

0

-1

[a, b)

F


CERRADO

ABIERTO

El extremo pertenece al intervalo.

El extremo no pertenece al intervalo.

El segmento coloreado de verde es el intervalo de extremos -1 y 0, y lo representamos como [-1, 0], [-1, 0), (-1, 0] o (-1, 0), según pertenezca o no a él cada uno de los extremos. Los puntos -0,5; -0,001; -0,7; -0,12345… pertenecen a este intervalo. Es decir, pertenecen a él todos los números reales comprendidos entre -1 y 0.

El dominio de una función f(x) es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente. Se representa por Dom f. EJEMPLOS 7

Calcula el dominio de la función.

Y

El dominio se calcula en el eje X. Son todos los valores de x para los que existe función. En este caso, los intervalos [-6, 3] y [5, 6]. Lo escribimos así: Dom f = [-6, 3] , [5, 6]

SE ESCRIBE ASÍ 1 1

-6

3

f(x)

5 6

X

Para indicar que una propiedad se cumple en varios intervalos a la vez utilizamos el símbolo ,. [4, 5] , [7, 9]

8

Es decir, todos los puntos del intervalo [4, 5] y todos los puntos del intervalo [7, 9].

Determina el dominio de la función y = x2. y = x2 " Asocia a cada número su cuadrado. Como existe el cuadrado de cualquier número, su dominio es todos los números reales. Lo escribimos así: Dom f = R

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Determina

Y

12 Dada la función que asocia a cada número real

el dominio de la función.

su triple menos 6, obtén: a) Su expresión algebraica. b) Su dominio y gráfica.

2 3

X

13 Considerando la función que asocia a cada

número real su inverso más 3. a) Escribe su expresión algebraica. b) Obtén su dominio.

171

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3.2 Continuidad Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Función continua

Función no continua

EJEMPLO 9

María va en motocicleta y circula a una velocidad constante de 25 km/h. Estudia y representa la función que relaciona el tiempo transcurrido con el espacio que recorre María. Primero, construimos una tabla de valores. Distancia (km)

0

0

1

25

2

50

3

75

4

100

Espacio (km)

Tiempo (h)

Y 100 75 50 25 1

2 3 Tiempo (h)

4 X

Podemos tomar cualquier cantidad de tiempo, y para calcular la distancia recorrida bastará con multiplicar por 25, es decir, podemos unir los puntos de la gráfica. La función es continua. Una función es continua cuando no tiene puntos de discontinuidad.

3.3 Puntos de discontinuidad Si al dibujar la gráfica de una función existe algún punto en el que la gráfica se interrumpe, decimos que es un punto de discontinuidad de la función. EJEMPLO 10 Un artesano fabrica relojes que vende a 600 € cada uno.

Si emplea una semana en fabricar cada reloj, representa la función Tiempo – Ganancia y determina sus puntos de discontinuidad.

Ganancia (€)

Y 2 400

Hasta que no termina la primera semana, no construye ningún reloj; por tanto, la ganancia es 0. A partir de la primera semana, su ganancia es 600…

1 800 1 200 600 1 2 3 4 Tiempo (semanas)

X

Los puntos de discontinuidad de la función son los números naturales: 1, 2, 3, …

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 16 Dadas las funciones y = -x + 3 e y = x2:

a) Forma las tablas de valores. b) Representa las funciones. c) ¿Son funciones continuas?

19 Determina los puntos

de discontinuidad de esta función.

Y

1 1

X

172

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3.4 Puntos de corte con los ejes ANTES, DEBES SABER… Cómo se resuelve una ecuación En una ecuación, para despejar la incógnita, podemos hacer que cualquier término aparezca en el otro miembro de forma inversa a como estaba: • Si estaba sumando, aparece restando; y si estaba restando, sumando. x - 4 = 7 " x = 7 + 4 x + 4 = 7 " x = 7 - 4 • Si estaba multiplicando, aparece dividiendo; y si estaba dividiendo, multiplicando. x 9 3x = 9 " x = = 9"x=9?3 3 3

Los puntos de corte con los ejes de una función son los puntos de intersección de la gráfica con ambos ejes de coordenadas. • Los puntos de corte con el eje X son de la forma (a, 0) y el valor de a se calcula resolviendo la ecuación f(x) = 0. • El punto de corte con el eje Y es de la forma (0, b) y el valor de b se calcula obteniendo f(0).

Y (0, f(0))

(a, 0) X

EJEMPLO 11 Halla los puntos de corte con los ejes de la función y = -3x + 2.

• Puntos de corte con el eje X. Su ordenada es 0. Para hallar su abscisa resolvemos la ecuación. f(x) = -3x + 2

2

f(x) = 0

Una función solo puede tener un punto de corte con el eje Y.

" -3x + 2 = 0 " -3x = -2 " x = 3

Y

2 El punto de corte con el eje X es A e , 0 o. 3 • Punto de corte con el eje Y.

X

Su abscisa es 0. Para calcular su ordenada hallamos f(0). x=0

f (x) = -3x + 2 " f(0) = -3 ? 0 + 2 = 2 El punto de corte con el eje Y es B (0, 2). Si representamos la función y = -3x + 2, vemos que los puntos de corte coinciden con los que hemos determinado. x

y

-2

8

-1

5

0

2

1

-1

2

-4

Si tiene más de un punto de corte, no es una función.

Y

B 1

A 2

X

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 22 Halla los puntos de corte con los ejes.

a) y = 3x - 6 b) y = x + 1 c) y = -2x

26 La función y = 5x, ¿en qué punto corta al eje Y?

¿Y la función y = 5x + 1?

173

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3.5 Crecimiento y decrecimiento Dada una función f(x) y los valores x = a y x = b, tales que a < b: • La función es creciente entre a y b si f(b) > f(a).

Y f(b) f(a) a

b

X

• La función es decreciente entre a y b si f(b) < f(a).

Y f(a) f(b) a

b

X

• La función es constante entre a y b si f(b) = f(a).

Y f(a) = f(b) Y

a X

Esto significa que en el eje X, a la izquierda del 8, hay un trozo de eje del que hemos prescindido porque no tiene gráfica.

X

EJEMPLO Y 6

12 Determina el crecimiento

y el decrecimiento en esta gráfica, que representa a las personas, en miles, que acuden a un centro comercial a lo largo de un día.

Personas (miles)

8

b

5 4 3 2 1 8

10

12

14 16 Horas

18

20

22

24 X

Para estudiar el crecimiento y el decrecimiento de una función debemos mirar su gráfica de izquierda a derecha. Analizando la gráfica de esa manera, vemos que: • Desde las 8 h hasta las 12 h, la función crece. • Entre las 12 h y las 14 h, decrece. • Desde las 14 h hasta las 16 h, se mantiene constante. • De las 16 h a las 18 h, vuelve a crecer. • Desde las 18 h hasta las 20 h, y desde las 20 h hasta las 24 h, la función decrece. Utilizando intervalos, esto lo podemos expresar así: • Es creciente en los intervalos (8, 12) y (16, 18). • Es decreciente en los intervalos (12, 14) y (18, 24). • Es constante en el intervalo (14, 16).

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Dibuja la gráfica de una función que sea siempre

creciente. Después, dibuja la gráfica de otra función que sea siempre decreciente.

29 Dibuja la gráfica de una función que sea

creciente en los intervalos (0, 3) y (6, 8) y decreciente en (3, 6) y (8, 10).

174

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3.6 Máximos y mínimos Y

• Una función continua tiene un máximo en el punto x = a cuando pasa de ser creciente a decreciente en ese punto.

e

ent eci

Cr eci en

cr De

te

Máximo

X

• Una función continua tiene un mínimo en el punto x = a cuando pasa de ser decreciente a creciente en ese punto.

Cr eci en

nte cie cre De

te

Y

Mínimo X

EJEMPLOS 13 La siguiente gráfica muestra la evolución de la temperatura de un paciente

Temperatura (°C)

a lo largo de 10 horas. Halla sus máximos y mínimos. Y 40

La función tiene tres máximos que se alcanzan al cabo de x = 3, x = 5 y x = 8 horas, y tres mínimos transcurridas x = 4, x = 6 y x = 9 horas.

39 38 37 1

3

4

5 6 Horas

7

8

9

10 X

Esta gráfica muestra el número de ardillas que han poblado una reserva natural durante los últimos 10 años.

Ardillas

1

2

Y

a) ¿En qué años ha habido más ardillas?

800

b) ¿En qué años ha habido menos?

700 600 10 11 X

02 03 Años

c) ¿Cuál ha sido el año en el que ha habido más ardillas? ¿Y el año en el que ha habido menos?

a) Los años en los que ha habido más ardillas han sido 2004 y 2009. b) Los años en los que ha habido menos ardillas han sido 2002 y 2007. c) El año en el que ha habido más ardillas ha sido 2004, y el que menos, 2007.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 33 Dibuja una función que tenga máximos

en x = -2 y x = 3, y mínimos en x = 1 y x = 2.

2 Dibuja una función creciente en los intervalos

(0, 2) y (6, 10), y que tenga un máximo en x = 2.

175

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Funciones Máximo Y

Eje de ordenadas

G

P(a, b)

G

O

Eje de abscisas

Ecuación de la función

y = f(x) Variable dependiente

X

Variable independiente

y = x2 - 1 " f(2) = 22 - 1 = 3 f (-2) = (-2)2 -1 = 3

Mínimo


1. REPRESENTAR UNA FUNCIÓN Representa la función que relaciona el tiempo que circula un ciclomotor a 20 km/h con el espacio que recorre. una tabla de valores de la función.

Tiempo (h)

1

2

3

4

5

6

…

Espacio (km)

20

40

60

80

100

120

…

SEGUNDO. Representamos

los puntos en unos ejes cartesianos.

TERCERO. Analizamos

el tipo de variables de la función. • El tiempo es una variable continua (puede tomar cualquier valor). • El espacio recorrido es también una variable continua (puede tomar cualquier valor entre dos valores dados).

Y 100 Espacio (km)

PRIMERO. Construimos

80 60 40 20 1

Unimos los puntos representados con una línea porque ambas variables son continuas.

2

3

4

5 X

Tiempo (h)

2. CALCULAR LOS PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Halla los puntos de corte con los ejes de la función y = 2x + 1. • Con el eje Y

• Con el eje X PRIMERO. Resolvemos

f(x) = 2x + 1

la ecuación f(x) = 0.

f(x) = 0

1

" 2x + 1 = 0 " x =- 2

SEGUNDO. Escribimos

el punto cuya ordenada es 0 y cuya abscisa es la x que hemos calculado. 1 Punto de corte con el eje X " d- , 0n 2

PRIMERO. Hallamos

f(0).

f(x) = 2x + 1

x=0

" f(0) = 2 ? 0 + 1 = 1

SEGUNDO. Escribimos

el punto cuya abscisa es 0 y cuya ordenada es el valor de la función en ese punto, que es el resultado anterior. Punto de corte con el eje Y " (0, 1)

176

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3. ESTUDIAR UNA FUNCIÓN Estudia esta gráfica que muestra la temperatura de un paciente a lo largo de un día, tomada cada 4 horas.

Temperatura (°C)

Y 40 39 38 37 X

PRIMERO.

4

Calculamos el dominio.

8

12

16

20

24

Horas

En el eje X se toman valores entre 0 h y 24 h " Dom f = [0, 24] SEGUNDO. Determinamos

los puntos de corte. La gráfica no corta al eje X. La gráfica corta al eje Y en 38 °C " El punto de corte con el eje Y es (0, 38).

TERCERO. Mirando

la gráfica, de izquierda a derecha, determinamos el crecimiento y el decrecimiento.

Es creciente en los intervalos (0, 4), (8, 12) y (16, 20). Es decreciente en los intervalos (4, 8), (12, 16) y (20, 24). CUARTO. Determinamos

los máximos y los mínimos.

Hay máximos en x = 4, x = 12 y x = 20. Hay mínimos en x = 8, x = 16 y x = 24.


Calcular los puntos de corte con los ejes

1. En la función f(x) = 3x - 2, ¿cuál es el valor de f(x) si x = -1? ¿Y si x = -2?

3. Calcula los puntos de corte con el eje X de y = x2 - 1.

1. En la función y = -2x + 1, ¿cuál es el valor de f (0)? ¿Y de f (3)?

Estudiar una función

Representar una función 2. Un kilo de naranjas cuesta 0,72 €. Representa gráficamente la función que relaciona el número de kilos de naranjas con su precio. 2. Una compañía telefónica factura a sus clientes por minutos completos. Si cada minuto cuesta 3 céntimos, representa la función. 3. Representa gráficamente la función y = x + 1. ¿Se pueden unir los puntos de la función? 4. Representa gráficamente la función y = 1 - x. ¿Se pueden unir los puntos de la función?

Y

4. Decide cuáles de estas condiciones cumple la función. X

a) Tiene máximos, pero no mínimos. b) Tiene dos máximos y dos mínimos. c) Es siempre decreciente. d) Es siempre creciente. 5. Observa esta gráfica e indica los máximos y mínimos.

Y

1 1

X

177

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Actividades CONCEPTO DE FUNCIÓN

EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN

39. ● De estas relaciones, señala las que representan una función. Razona tu respuesta.

43. ● Escribe la expresión algebraica de la relación que existe entre las siguientes magnitudes.

a) Un número positivo y su raíz cuadrada.

a) El radio de una circunferencia y su longitud. b) El radio de una esfera y su volumen. c) El área de un círculo y su radio.

b) Un número positivo y su raíz cúbica. c) Un número negativo y su valor absoluto. d) El número de lados de la base de una pirámide y su número total de aristas. 40. ● Escribe tres ejemplos de funciones y señala cuál es cada variable.

HAZLO ASÍ

b) Y

X

determina si a algún valor de x le corresponde más de un valor de y.

PRIMERO. Se

a) Y

b) Y

X

X

SEGUNDO. Si

ocurre así, la gráfica no corresponde a una función. En caso contrario, sí corresponde a una función. Por tanto, b) es una función y a) no lo es.

42. ● Indica cuáles son funciones y cuáles no. a) Y

c) Y

b)

d)

Y

2007 0

2008 11

2009 3

2010 8

2011 14

5. ● ● Responde a las cuestiones de la actividad anterior con las siguientes funciones. a) La función que asocia a cada número su triple menos 2 unidades: f (x) = 3x - 2 b) La función que asocia a cada número el doble de su inverso: 1 f (x) = 2 ? x c) La función que asocia a cada número el doble de su cuadrado: f (x) = 2 ? x2 47. ● ● Una bolsa de patatas fritas cuesta 1,50 €. Expresa algebraicamente la función Número de bolsas – Precio, construye una tabla de valores y realiza su gráfica. 6. ● ● La tarifa para mandar un telegrama es la siguiente: 70 céntimos de euro de cuota fija y 5 céntimos por cada palabra.

X

X

2006 5

a) Halla su expresión algebraica. b) Calcula los valores de la función para x = 2 y x = 0. 2 c) ¿Existe valor de la función en x = ? 3

41. Indica si estas gráficas son funciones o no.

X

2005 3

4. ● Dada la función que asocia a cada número entero su cuarta parte más 5 unidades:

¿CÓMO SE IDENTIFICA UNA FUNCIÓN MEDIANTE SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA? a) Y

3. ● En esta tabla se reflejan el número de nacimientos de una localidad en los últimos 7 años. Dibuja una gráfica que refleje esta situación.

Y

X X

a) Expresa la relación funcional entre tarifa y número de palabras mediante una tabla y mediante una gráfica. b) Determina la expresión algebraica que relaciona ambas magnitudes.

178

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CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

57. ● Halla los puntos de corte con los ejes de las funciones.

49. ● Estudia la continuidad de estas funciones. ¿Tienen puntos de discontinuidad? a)

b)

Y

Y

1 1

1 1

d) y = (x - 3)2 e) y = x 3 - 8 f) y = -3

a) y = 4x - 1 b) y = 5 c) y = x 2 - 3

X

X

11. ● Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función.

Y 6 4 2

Temperatura (°C)

50. ● Luis está enfermo y le toman la temperatura 4 veces al día durante 3 días, obteniendo los puntos de esta gráfica. 40 39 38 37 36

A X

8

X

B

C

D

E F

G X

59. ● Observa la gráfica de esta función. Y 7 6 5 4 3 2 1

¿Podemos unir los puntos? ¿Es una función continua? 7. ● Dada la función que asocia a cada número su cuádruplo más 2 unidades: a) Escribe su expresión algebraica. b) Representa gráficamente la función. c) ¿Es continua?

1

8. ● La gráfica que marca la temperatura de un local a lo largo del día, ¿es continua? 9. ●● Un vendedor de muebles tiene un sueldo base de 480 € y, por cada mueble que vende, cobra una comisión de 10 €. a) Representa la gráfica que expresa la ganancia total en función del número de muebles vendidos. b) La función, ¿es continua? 10. ● Determina los puntos de corte con los ejes en esta función.

6

12. ● Observa Y esta gráfica de una montaña rusa e indica los máximos y mínimos.

Y

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 Tiempo (h)

4

2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X

a) Señala su dominio. b) ¿Es una función continua? c) Estudia su crecimiento y decrecimiento. d) Señala sus máximos y mínimos, si los tiene. 13. ● Estudia el crecimiento de esta función. Determina sus máximos y mínimos. Y 4 2

Y 4

-4

2

-2

4

X

-2 2

4

6

X

-4

179

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68. ● ● Representa una función con estas características:

14. ● Representa gráficamente la función y = 3x. a) ¿Es continua? b) Estudia su crecimiento y decrecimiento. c) ¿Tiene máximos esta función? ¿Y mínimos?

• Dom f = R • Pasa por los puntos (-3, 0) y (0, 2). • Es creciente hasta x = -2, constante en el intervalo (-2, 4) y decreciente a partir de x = 4.

15. ● Representa gráficamente la función y = x - 3. a) ¿Es continua? b) Estudia su crecimiento y decrecimiento. c) ¿Tiene máximos esta función? ¿Y mínimos?

17. ● ● Representa una función con las siguientes características: • Creciente en los intervalos [2, 5] y [7, 9], • Decreciente en [5, 7] y constante en [0, 2]. • La función es continua.

16. ● Representa gráficamente la función y = 3 - x. a) ¿Es continua? b) Estudia su crecimiento y decrecimiento. c) ¿Tiene máximos esta función? ¿Y mínimos?

18. ● ● Representa una función con estas características: • Dom f = [0, 10] • Es siempre creciente.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE REPRESENTA UNA FUNCIÓN CONOCIENDO ALGUNAS DE SUS CARACTERÍSTICAS?

PROBLEMAS CON FUNCIONES

66. Representa una función con estos datos: – Dom f = R – Pasa por los puntos (-2, 0), (2, 0) y (4, 0). – Tiene un mínimo en (3, -2). – Tiene un máximo en (0, 2).

19. ● ● El número de asistentes a una representación teatral se muestra en la siguiente tabla. Día 1 2 3 4 Asistentes 1 210 1 195 1 065 1 207

PRIMERO. Se

representan los puntos por los que pasa la función.

Se dibujan los puntos en los que 2 hay mínimos y máximos. 2 4 Sobre los máximos -2 X se representa un arco -2 con su parte cóncava hacia abajo. Y sobre los mínimos, un arco con su parte cóncava hacia arriba. Y

6 7 1 198 1 126

SEGUNDO.

a) Representa gráficamente estos datos. b) ¿Puedes unir los puntos? c) ¿Es una gráfica creciente? d) ¿Hay algún máximo en la función? ¿Y mínimo?

Y

TERCERO. Siguiendo

las indicaciones de las flechas que señalan la dirección de la gráfica y los puntos por los que pasa, se representa la función.

5 765

2 2

4

-2 -2

67. ●● Representa una función tal que: • Dom f = R • Pasa por los puntos (5, 0) y (7, 0). • Tiene puntos mínimos en (0, 1) y (6, -3). • Tiene un máximo en (3, 5).

X

71. ● ● En un instituto han medido la longitud, en metros, de la sombra del edificio principal cada hora, a lo largo de un día de invierno (a partir de las 18:00 horas era de noche), obteniendo esta tabla.

Hora

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17

Longitud

23 18 14 10

4

2

6

10 16 21

a) Haz la representación gráfica. b) ¿Es una función continua? c) Estudia las características de la función.

180

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20. ●● En esta tabla aparecen los puntos que he anotado en los 9 partidos de baloncesto disputados en el torneo. 1 12

Partido Puntos

2 8

3 17

4 5

5 3

6 14

7 10

8 9

9 11

74. ● ● En un entrenamiento para una carrera de 5 000 m, un atleta ha registrado estos tiempos. Tiempo (s)

0

10

20

30

40

50

…

Espacio (m)

0

65

130

195

260

325

…

a) Representa estos datos en una gráfica. b) ¿Se pueden unir los puntos de esa gráfica? ¿Es continua la función que has dibujado? c) ¿En qué partido conseguí anotar más puntos? d) ¿Cuál fue el partido en el que anoté menos puntos? 73. ●● En la gráfica se muestra la superficie de edificación de viviendas (en millones de metros cuadrados) concedida en cada mes del año. Y 13

a) Representa los datos en una gráfica. b) Si continúa con la misma velocidad, ¿qué tiempo tardará en recorrer 5 000 m? c) Escribe la expresión algebraica que relaciona el espacio recorrido con el tiempo empleado. 23. ● ● La gráfica siguiente representa un viaje en coche.

11 10 9 E

F M A M J

J A S O N D X

a) Analiza su continuidad. b) ¿En qué puntos corta a los ejes? c) Estudia su crecimiento. d) Señala sus máximos y mínimos. e) ¿En qué meses se superaron los 12 millones de metros cuadrados? ¿Entre qué dos meses se registró el mayor crecimiento? 21. ●● Esta tabla muestra la conversión de velocidad medida en kilómetros por hora a millas por hora. km/h millas/h

16,1 10

32,2 20

48,3 30

64,4 40

80,5 50

… …

a) Represéntala gráficamente. b) Escribe la expresión algebraica que relaciona la velocidad en kilómetros y en millas por hora. c) Si un coche circula a 60 millas/h, ¿cuál es su equivalente en kilómetros por hora? ¿Y si va a 100 km/h? 22. ●● Con un operador telefónico, en las llamadas nacionales cada paso cuesta 5 céntimos de euro y dura medio minuto. a) Haz una tabla y representa la función Tiempo – Coste. b) Indica su expresión algebraica. c) Calcula su dominio.

Y 50 30 10 20 40 X Tiempo (min)

a) ¿Cuántos kilómetros recorrió en la primera media hora? ¿Y en la segunda media hora? ¿A qué velocidades? b) ¿Cuánto tiempo estuvo parado? c) ¿Qué distancia recorrió desde el minuto 30 al minuto 40? ¿A qué velocidad, en km/h? 24. ● ● El siguiente gráfico muestra la altura del sol sobre el horizonte (expresada en grados) en una ciudad el día 1 de octubre. Y Altura (m)

Espacio (km)

12

50 30 10 4

8

12 16 Hora

20

X

a) ¿A qué hora sale el sol aproximadamente y a qué hora se pone? b) ¿Es una función continua? c) Calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) ¿Cuál es el máximo de la función? e) ¿Cuántas horas de sol hay ese día?

181

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12

Funciones lineales y afines El cálculo tiene dos padres Al oír abrirse la puerta, Leibniz levantó los ojos del papel en el que escribía y, sin tan siquiera saludar al recién llegado, comenzó a quejarse, visiblemente alterado: –De todos es conocido que la trayectoria de mi vida es intachable. ¿Cómo es posible que duden de mí? He dado sobradas pruebas de honestidad y talento suficientes para esto y aún para más. La respiración agitada de Leibniz hizo que su interlocutor, Bernoulli, lo calmara asegurándole que nadie en todo el mundo, salvo en Inglaterra, dudaba de él.

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Busca información sobre la vida y la obra de los personajes que aparecen en el texto. 2. ¿Cuál fue el conflicto que enfrentó a Newton con Leibniz? ¿Cómo se resolvió la pugna? 3. ¿Cuáles fueron las aportaciones más importantes de Leibniz al estudio de las funciones?

301386 _ 0182-0195.indd 182

–Yo no conocía el trabajo del maestro Newton, incluso le escribí contándole mis progresos. Pero no he plagiado el trabajo de nadie –aseveró Leibniz. –He venido a comunicarte una buena noticia: la comisión ha acabado sus investigaciones y su conclusión es que las dos teorías han sido desarrolladas independientemente. Es más, en mi opinión tu sistema es mucho mejor, sobre todo por la notación que utilizas. La teoría desarrollada por Leibniz y por Newton es de capital importancia para el estudio de muchas propiedades relativas a las funciones. Leibniz fue el primero en utilizar el término «función» para designar la relación entre dos magnitudes.

21/07/11 9:58

Antes de empezar la unidad... FUNCIONES Una función es una relación entre dos magnitudes o variables numéricas, x e y, de forma que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Y

Y

X

Es una función, porque no tiene más de un punto en la misma vertical.

X

No es una función, porque hay más de un punto en la misma vertical.

La variable x se denomina variable independiente, y la variable y, variable dependiente. Representación gráfica de una función a partir de su expresión algebraica

La expresión algebraica de una función se escribe como y = f(x) y se llama ecuación de la función. Representamos la función y = 2x - 1. Para ello, primero elaboramos una tabla de valores. y = f(x)

Valor de x

x

f(-1) = 2 ? (-1) - 1 = -2 - 1 = -3

-1 0

f(0) = 2 ? 0 - 1 = 0 - 1 = -1

1 2

y

-1 -3 F

0

-1

f(1) = 2 ? 1 - 1 = 2 - 1 = 1

1

1

f(2) = 2 ? 2 - 1 = 4 - 1 = 3

2

3

Representando estos puntos obtenemos la gráfica de la función. En este caso, es posible unir los puntos porque se puede calcular el doble menos una unidad de cualquier número, aunque no sea entero.

Si el valor de x es 3, el valor correspondiente de y es f (3) = 2 · 3 – 1 = 5.

Y

1

y = 2x - 1 1

X

EVALUACIÓN INICIAL

PLAN DE TRABAJO

1. Indica si estas gráficas son funciones o no.


a)

Y

b)

Y

X

X

• Identificar las funciones cuya gráfica es una recta. • Representar rectas a partir de su ecuación.

1 Representa gráficamente las siguientes funciones. Para ello construye

primero una tabla de valores. a) y = 3x b) y = 3x + 2

c) y = 3x - 2 d) y = -3x

e) y = -3x + 2 f) y = -3x - 2

• Calcular la ecuación de una recta. • Reconocer y estudiar funciones lineales en la vida cotidiana.

183

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21/07/11 9:58

1

Función lineal

ANTES, DEBES SABER… Cuándo una función es creciente y cuándo decreciente Dada una función f (x) y los valores x = a y x = b, tales que a < b: • Si f (b) > f (a), la función es creciente entre a y b.

Y f(b) f(a) a

b

X

• Si f (b) < f (a), la función es decreciente entre a y b.

Y f(a) f(b) a

b

X

Una función lineal (o de proporcionalidad directa) es una función con ecuación de la forma y = m ? x, siendo m un número. • Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen, (0, 0). • El número m se llama pendiente. • La función es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0. Una línea recta es siempre creciente o siempre decreciente.

EJEMPLO 1

Representa gráficamente estas funciones lineales. a) y = 2x " Función lineal

x

0

1

2

3

y

0

2

4

6

Y y = 3x

Pasa por (0, 0). Pendiente m = 2 > 0 " Función creciente.

b) y = 3x " Función lineal

y = 2x y = -x

x

0

1

2

3

y

0

3

6

9

1 2

X

Pasa por (0, 0). Pendiente m = 3 > 0 " Función creciente.

c) y = -x " Función lineal

x

0

1

2

3

y

0

-1

-2

-3

Pasa por (0, 0). Pendiente m = -1 < 0 " Función decreciente.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Indica si las funciones son lineales y, en ese

caso, determina su pendiente y su crecimiento o decrecimiento. 3 a) y = 3x - 4 b) y = 5x c) y = x 4

3 Obtén una tabla de valores y representa

las siguientes funciones lineales. a) y = 0,5x

c) y = 4x

e) y = -0,5x

b) y = -2x

d) y = x

f) y = 10x

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Función afín

2

ANTES, DEBES SABER… Cómo se calculan los puntos de corte con los ejes Y

• Los puntos de corte con el eje X son de la forma (a, 0) y el valor de a se calcula resolviendo la ecuación f (x) = 0.

(0, f(0)) (a, 0)

• El punto de corte con el eje Y es de la forma (0, b) y el valor de b se calcula obteniendo f (0).

X

Una función afín es una función con ecuación de la forma: y = m? x + n siendo m y n números. • Su gráfica es una línea recta. • El número m es la pendiente. • El número n es la ordenada en el origen. La recta corta al eje Y en el punto (0, n). • La función es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0. EJEMPLO 2

Representa gráficamente estas funciones lineales. a) y = x + 1 " Función afín

x

0

1

2

3

y

1

2

3

4

Pendiente m = 1 Como m > 0 " Función creciente. Ordenada en el origen n = 1. La recta corta al eje Y en el punto (0, 1).

b) y = -2x - 3 " Función afín x

0

1

2

3

y

-3

-5

-7

-9

Pendiente m = -2 Como m < 0 " Función decreciente.

Ordenada en el origen n = -3.

La recta corta al eje Y en el punto (0, -3).

Y

Una función lineal es una función afín con n = 0.

y=x+1

1 1

X

y = -2x - 3

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Indica si estas funciones son afines,

y determina su pendiente y su ordenada. a) y = 3x - 4

c) y = x2 - 5

7 Obtén una tabla de valores

y representa estas funciones afines. a) y = 2x + 3

b) y = -x + 4

185

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Función constante

3

ANTES, DEBES SABER… Cuáles son las posiciones relativas de dos rectas

Una función constante es una función afín con m = 0.

Rectas paralelas

Rectas secantes

Rectas coincidentes

No tienen ningún punto en común.

Tienen un punto en común.

Son la misma recta.

Una función constante es una función con ecuación de la forma y = n, siendo n un número. • El valor de la variable y es el mismo, n, para cualquier valor de la variable x. • Su gráfica es una línea recta paralela al eje X. • Su pendiente es m = 0. • Su ordenada en el origen es n, es decir, la recta corta al eje Y en el punto (0, n). EJEMPLO 3

Representa la función y = 3. Es una función constante, de la forma y = n, siendo n = 3. Su gráfica es una recta paralela al eje X que pasa por (0, 3). Al hacer una tabla de valores, el valor de la variable dependiente, y, es siempre constante e igual a 3. x

1

2

3

4

5

y

3

3

3

3

3

Y

y=3

1 1

X

Si representamos los puntos de la tabla, obtenemos la gráfica de la función, que es una recta paralela al eje X.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Calcula los cortes con los ejes.

a) y = -7 b) y = 0 c) y = 1

d) y = 2 e) y = -2 f) y = -3

9 Representa las siguientes rectas.

a) y = -7 b) y = 0 c) y = 1

d) y = 2 e) y = -2 f) y = -3

186

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26/07/11 10:23

Ecuaciones y gráficas

4

4.1 De la ecuación a la gráfica Si conocemos la ecuación de una función lineal o afín, para representarla gráficamente determinamos dos de sus puntos y trazamos la recta que pasa por ellos. EJEMPLOS 1

Representa gráficamente las siguientes funciones. a) y = 4x Calculamos dos puntos de la función. Para ello, damos dos valores cualesquiera a x y hallamos el valor de y. Si x = 0 " y = 4 ? 0 = 0 " La función pasa por el punto (0, 0). Si x = 1 " y = 4 ? 1 = 4 " La función pasa por el punto (1, 4). Representamos en un sistema de coordenadas los dos puntos obtenidos y trazamos la recta que pasa por ellos. La línea recta que resulta es la gráfica de la función.

Y

1 1

X

b) y = 4x - 1 Determinamos dos puntos dando dos valores cualesquiera a x. Si x = 0 " y = 4 ? 0 - 1 = -1 " La función pasa por el punto (0, -1). Si x = 1 " y = 4 ? 1 - 1 = 3 " La función pasa por el punto (1, 3). Y

Representamos los dos puntos y trazamos la recta que pasa por ellos. La línea recta que resulta es la gráfica de la función.

1 1

4

X

Representa estas funciones. a) y = 2x + 1 x

y

0

1

1

3

b) y = -x

Y

1

y = 2x + 1 1

X

Y

x

y

0

0

1

-1

1 X

-1 y = -x

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 13 Determina dos puntos por los que pasen

13 Determina dos puntos por los que pasen

las siguientes funciones y represéntalas.

las siguientes funciones y represéntalas.

a) y = -3x b) y = -6x + 7

e) y = 4x - 2 f) y = -x + 3

c) y = -2x + 4 d) y = -4x

g) y = -0,4x h) y = x - 2

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4.2 De la gráfica a la ecuación Cuando la gráfica de una función es una recta: • Si la recta pasa por el origen de coordenadas, es una función lineal, y = mx, y su pendiente, m, es la ordenada de x = 1. • Si no pasa por el origen, es una función afín, y = mx + n, donde n es la ordenada de x = 0 y m + n es la ordenada de x = 1. EJEMPLOS 2

Calcula la ecuación de las siguientes funciones. a)

Como la recta pasa por el punto (0, 0) su ecuación es de la forma y = mx. Para determinar m calculamos la ordenada para x = 1. La recta pasa por el punto (1, 5) " m = 5 X La función es y = 5x.

Y

Las funciones lineales pasan por los puntos (0, 0) y (1, m).

1 1

Las funciones afines pasan por los puntos (0, n) y (1, m + n).

b)

Y 1 2

Como la recta no pasa por el punto (0, 0) su ecuación es de la forma y = mx + n. Para determinar n calculamos la ordenada X para x = 0. La recta pasa por el punto (0, -2) " n = -2 Para determinar m calculamos la ordenada para x = 1.

La recta pasa por (1, -1) " m + n = -1

n = -2

" m - 2 = -1 " m = -1 + 2 = 1

La función es y = 1 ? x + (-2) = x - 2. 5

Determina la expresión algebraica de estas funciones. Y a) Pasa por (0, 0) -" y = mx a) Pasa por (1, -2) " m = -2 b) La función es y = -2x.

1

X

b) No pasa por (0, 0) " y = mx + n Pasa por (0, 1) -"n=1

n=1

-2

Pasa por (1, 2) -" m + n = 2 --" m = 1 La función es y = x + 1.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER Y

2 Halla la ecuación

de estas rectas.

a)

de estas funciones.

b) 1

Y

3 Calcula la ecuación

b)

a) 1

1 X

X

1 c)

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7

Aplicaciones

ANTES, DEBES SABER… Cómo se resuelve una ecuación de primer grado En una ecuación, para despejar la incógnita, podemos hacer que cualquier término aparezca en el otro miembro de forma inversa a como estaba. 8 =4 2

F

F

2x + 3 = 11 " 2x = 11 - 3 " 2 x = 8 " x = Pasa restando

Pasa dividiendo

EJEMPLO 8

Los taxis de una localidad cobran 1,75 � por la bajada de bandera y 0,80 � por cada kilómetro recorrido.

a) Estudia y representa la relación Precio – Distancia recorrida. b) ¿Cuántos kilómetros hemos hecho si el viaje nos ha costado 5,80 �?

1,75 �

1,75 � + 0,80 �

1,75 � + 0,80 � + 0,80 �

a) El precio por recorrer x kilómetros es: 0,8 x, a lo que hay que añadir 1,75 � que nos cobran por la bajada de bandera. Así, el precio del taxi, y, al recorrer x kilómetros es: y = 1,75 + 0,8 x La ecuación de la función Precio – Distancia recorrida es una función del tipo y = mx + n, con m = 0,8 y n = 1,75. Para representarla determinamos dos de sus puntos: x=0

y = 1,75 + 0,8x -" y = 1,75 + 0,8 ? 0 = 1,75 " Punto (0; 1,75) x=1

y = 1,75 + 0,8x -" y = 1,75 + 0,8 ? 1 = 2,55 " Punto (1; 2,55) Y 5,80

Precio (�)

5 4 y = 1,75 + 0,8x

3 2 1 1

2

3

b) Si el viaje nos ha costado 5,80 �:

4

5

X 6 Distancia (km)

y = 5,80

y = 1,75 + 0,8x - 0,8x = 5,80 - 1,75 " 5,80 = 1,75 + 0,8x " " x = 5,06 km La distancia recorrida ha sido 5 km, aproximadamente.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 24 En un puesto del mercado hemos visto

la siguiente oferta: «Una bolsa de 10 kg de tomates cuesta 16 €». c) ¿Qué tipo de función es? d) ¿Cuánto cuesta una bolsa de 7 kg?

25 La temperatura, en un lugar de la Antártida,

a las 12 h es de 5 °C y cada hora baja 4 °C. Representa gráficamente la relación entre la hora del día y la temperatura en ese lugar de la Antártida.

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Función lineal

Función afín

y = mx

y = mx + n

Y

Pendiente

y = mx m>0

Pendiente

Y

Ordenada en el origen

(0, n)

y = mx + n X

X y = mx m<0

Representación de rectas

Función constante

y=n

y=x-2

Y y=n

Ordenada en el origen

(0, n) X

x

y

0

-2

1

-1

Y

y=x-2

1 X

2


1. REPRESENTAR RECTAS A PARTIR DE SU ECUACIÓN

Realiza la gráfica de la siguiente función: y = -x + 2 PRIMERO. Calculamos

dos puntos de la función. Para x = 0: x=0 y = -x + 2 -"y=0+2=2 La recta pasa por (0, 2). Para x = 1: x=1 y = -x + 2 -" y = -1 + 2 = 1 La recta pasa por (1, 1).

SEGUNDO. Dibujamos

los puntos y trazamos la recta que pasa por ellos. Esta es la gráfica de la función.

2. CALCULAR LA ECUACIÓN A PARTIR DE SU GRÁFICA Halla la ecuación de estas rectas. PRIMERO. Observamos

Y s

r 2

si la recta pasa por el X 2 origen de coordenadas. • Si pasa, la recta es de la forma y = mx. • Si no pasa, es de la forma y = mx + n. Como r pasa por el origen " y = mx Y como s no pasa por el origen " y = mx + n SEGUNDO. Si la recta es de la forma y =

mx + n, n es la ordenada para x = 0. La recta s corta al eje Y en (0, 2) " n = 2

la ordenada para x = 1. • Si y = mx, la ordenada es m. • Si y = mx + n, la ordenada es m + n. r pasa por (1, -1) " m = -1 Ecuación: y = -x n=2 s pasa por (1, 3) " m + n = 3 -"m=1 Ecuación: y = x + 2 TERCERO. Hallamos

Y y = -x + 2 1 1

X

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1. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE FUNCIONES LINEALES Y AFINES El coste fijo de la factura del agua es de 12,06 € al mes. A esa cantidad hay que añadir el precio por metro cúbico consumido, que es de 1,11 €. Representa gráficamente la relación existente entre el Importe de la factura – Número de metros cúbicos consumidos. PRIMERO. Determinamos

las variables dependiente e independiente de la función.

El importe de la factura depende de los metros cúbicos consumidos. Variable dependiente: y " importe de la factura. Variable independiente: x " metros cúbicos consumidos. SEGUNDO. Planteamos la

ecuación de la función.

El importe de la factura será de 12,06 €, que se pagan como coste fijo, más 1,11 € por cada metro cúbico de agua consumido. Es decir: Coste factura = 12,06 + 1,11 ? número de metros cúbicos consumidos y = 12,06 + 1,11 ? x TERCERO. Representamos

gráficamente la función.

Como es una función lineal, para representar la función determinamos dos de sus puntos: Si x = 0 " y = 12,06 + 1,11 ? 0 = 12,06 La función pasa por el punto (0; 12,06) Si x = 1 " y = 12,06 + 1,11 ? 1 = 13,17 La función pasa por el punto (1; 13,17) Representamos los dos puntos y trazamos la recta que pasa por ellos. La línea recta que resulta es la gráfica que relaciona el importe de la factura y el número de metros cúbicos consumidos.

Y 27 24 21 18 15 12 9 6 3 1 2 3 4 5 6 7 8 X


Calcular la ecuación a partir de su gráfica

1. Identifica si estas gráficas pertenecen

3. La recta representada tiene como ecuación:

a una función lineal, afín o constante. a)

b)

Y

X

c)

Y

Y Y

X

2 X

1

X

a) y = x b) y = x + 3 c) y = -x d) y = -x + 1

Representar rectas a partir de su ecuación 2. Determina si los siguientes puntos pertenecen 1 a la recta y = x + 2. 2 a) (0, 0)

c) (2, 3)

b) (1, 2)

d) (-1, 0)

Resolver problemas mediante funciones lineales y afines 1. El precio de un bolígrafo es de 1,10 €. Representa gráficamente la relación existente entre Coste – Número de bolígrafos comprados.

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Actividades FUNCIONES LINEALES, AFINES Y CONSTANTES 4. ● Determina cuáles de las siguientes funciones son lineales y, en caso de que lo sean, indica cuál es su pendiente y si son crecientes o decrecientes. a) y = 4x

d) y = -4x - 2 3 e) y = x 4 3 f) y =- x + x2 4

b) y = 4x + 2 c) y = -4x

5. ● Determina la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes funciones afines. ¿Son funciones crecientes o decrecientes? 1 a) y = 2x + 3 d) y = x + 3 2 1 b) y = -2x + 3 e) y =- x + 3 2 1 c) y = -2x - 3 f) y =- x - 3 2

30. ● ● Una función lineal pasa por el punto de coordenadas (2, 8). Determina su pendiente y su ecuación. ¿Es creciente o decreciente? 8. ● Una función lineal pasa por el punto P(-5, 10). a) Calcula su pendiente. b) Determina su expresión algebraica. c) ¿Cómo es la función, creciente o decreciente? 9. ● ● La función lineal que pasa por P(-3, -8), ¿será creciente o decreciente? 10. ● ● Indica el signo de la pendiente de la función lineal que pasa por cada punto. Después, calcúlala. a) P(3, 4) b) P(-2, 5) c) P(-3, -9) 31. ● Este es el gráfico de una función de proporcionalidad directa. Dibuja los ejes si el punto A tiene de abscisa x = 3. A

6. ● Considera las funciones siguientes. a) y = -3x b) y = -3x + 2 c) y = -3x + 5

d) y = x + 1 e) y = x - 4 f) y = x

Halla la pendiente y la ordenada en el origen de cada una.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA LA ECUACIÓN DE UNA FUNCIÓN LINEAL SI CONOCEMOS UN PUNTO POR EL QUE PASA, DISTINTO DEL ORIGEN?

a) ¿Cuál es la ordenada del punto A? b) ¿Y la expresión algebraica de la función? 32. ● Clasifica estas funciones en lineales y afines. ¿Cómo lo haces?

Y t

s

u

X

7. Determina la ecuación de una función lineal que pasa por el punto de coordenadas (3, 12). los valores de las coordenadas del punto por x e y en la ecuación de la función lineal, y = mx.

r

PRIMERO. Sustituimos

y = mx

x = 3, y = 12

SEGUNDO. Calculamos

" 12 = m ? 3

m.

12 = m ? 3 " m =

12 =4 3

TERCERO. Escribimos la ecuación de la función sustituyendo m por el valor calculado. La ecuación de la función lineal es y = 4x.

33. ● Clasifica las funciones. 1 x 3 b) y = -0,25x a) y =-

1 x+5 2 d) y = 1,7x

c) y =

34. ● En las siguientes funciones, señala cuál es el valor de la pendiente y de la ordenada en el origen. a) y = -3x + 6 b) y = 10x

c) y = -2x - 5 d) y = -9x

192

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ECUACIONES Y GRÁFICAS

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA LA ECUACIÓN DE UNA FUNCIÓN AFÍN SI CONOCEMOS UN PUNTO POR EL QUE PASA Y SU PUNTO DE CORTE CON EL EJE Y? 11. Determina la ecuación de una función afín que pasa por el punto de coordenadas (3, 12) y cuyo corte con el eje Y es (0, 6). n sustituyendo las coordenadas del punto de corte con el eje Y por x e y en la ecuación de la función afín, y = mx + n.

PRIMERO. Calculamos

y = mx + n

x = 0, y = 6

" 6 = m ? 0 + n " n = 6

m sustituyendo las coordenadas del otro punto conocido por x e y en la ecuación de la función afín donde añadimos el valor de n calculado.

SEGUNDO. Calculamos

y = mx + 6

35. ● Clasifica las funciones en crecientes y decrecientes sin representarlas. ¿Cómo lo haces? a) y = 12x - 3 1 2 b) y = x + 3 6 c) y = 0,25x - 3

d) y = -7x - 4 12 e) y =- x 5 f) y = 0,7x + 0,65

36. ● ● Determina el signo de la pendiente y de la ordenada en el origen de estas funciones:

Y t

r

u

s X

x = 3, y = 12

" 12 = m ? 3 + 6 6

" 12 - 6 = 3m " m = 3 = 2 TERCERO. Escribimos

la ecuación de la función sustituyendo n y m por los valores calculados. La ecuación de la función afín es y = 2x + 6. 12. ●● Halla la ecuación de una función afín que pasa por el punto de coordenadas (2, 8) y cuyo corte con el eje Y es (0, 4). 13. ●● Calcula la ecuación de una función afín que pasa por el punto de coordenadas (-2, -6) y cuyo corte con el eje Y es (0, -3). 14. ●● Determina la ecuación de una función afín que pasa por el punto de coordenadas (-2, 6) y cuya ordenada en el origen es 3. 15. ●● ¿Es creciente la función afín que pasa por el punto de coordenadas (1, 12) y cuyo corte con el eje Y es (0, -4)? 16. ●● Determina la pendiente de las siguientes funciones afines. a) Pasa por (2, 7) y su punto de corte con el eje Y es el (0, 3). b) Pasa por (-2, 7) y su punto de corte con el eje Y es el (0, 3). c) Pasa por (-2, -7) y su punto de corte con el eje Y es el (0, -3). 17. ● Representa las funciones y = 3 e y = -2. ¿Qué característica tienen?

37. ● Representa las siguientes funciones. a) y = x + 2

b) y = 2,5x

c) y = -2x - 3

18. ● Clasifica estas funciones en lineales y afines. Señala, en cada caso, el valor de la pendiente y la ordenada en el origen y represéntalas. 1 a) y = -0,7x c) y = - x 4 1 b) y = x + 3 d) y = -3,5x - 3 2 19. ● Representa gráficamente las siguientes funciones de proporcionalidad directa, en unos mismos ejes de coordenadas. a) y = 3x c) y = -3x 1 1 d) y = - x b) y = x 3 3 20. ● Representa en unos mismos ejes de coordenadas estas funciones. Explica las diferencias entre ellas. a) y = -x c) y = -3x 1 1 d) y = - x b) y = - x 2 3 21. ● Representa, sobre el mismo sistema de coordenadas, estas funciones. a) y = 4x c) y = 5x e) y = 6x b) y = -4x d) y = -5x f) y = -6x ¿Qué ocurre con las gráficas a medida que la pendiente es mayor?

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22. ● Representa en unos mismos ejes de coordenadas estas funciones. Explica las diferencias entre ellas. 1 a) y = x b) y = x c) y = 2x d) y = 5x 2 23. ● Representa estas funciones. a) y = -4x + 1

b) y = 5

c) y = x

24. ● Representa, en unos mismos ejes, las siguientes funciones y explica las diferencias entre ellas. a) y = 2x

b) y = 2x - 3

c) y = 2x + 1

39. ● Calcula las expresiones algebraicas de las funciones representadas por estas rectas. Y

a) 1 c)

1 40. ● ¿Cuál es la representación de y =- x - 1? 2 a)

c)

Y

1

6 cm/min 1

d)

Y

1

X

Y

1 X

1

41. ●● Di qué puntos pertenecen a la gráfica de la función y = 3x - 6. A(1, 3) B(-1, -9)

C(1, -9) D(11, 27)

E(-4, -6) F(5, 9)

42. ●● Escribe cuatro puntos que pertenezcan a cada una de estas rectas. 1 3 a) y = 2x - 5 c) y =- x 2 2 b) y = -3x - 2

68. ● ● Al abrir las compuertas de un estanque, el nivel de agua inicial es de 120 cm, y desciende a razón de 6 cm por minuto.

1

1

1

a) Estudia y representa gráficamente la función que relaciona los gramos comprados y el precio. b) ¿Cuánto costará comprar medio kilo?

Y

X

b)

66. ● Pilar quiere comprar patatas fritas a granel para celebrar su cumpleaños. Una bolsa de 200 gramos le cuesta 2 €.

a) Escribe la ecuación de la función que relaciona el tiempo con el espacio recorrido. b) ¿De qué tipo es? Obtén su gráfica. c) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 245 km?

X

d)

25. ● ● El coste fijo en la factura mensual de electricidad es de 10 € al mes. Además, cada kWh cuesta 0,02 €. Haz una tabla que relacione el gasto mensual en kWh y el importe. Escribe la función asociada y represéntala.

67. ● ● Una motocicleta se desplaza a una velocidad constante de 35 km/h.

b) 1

PROBLEMAS CON FUNCIONES LINEALES Y AFINES

d) y = 0,25x - 3

X

a) Haz una tabla en la que se refleje el nivel de agua (cm) en función del tiempo (minutos). b) ¿Qué tipo de función es? Represéntala. c) ¿Qué nivel de agua habrá a los 15 minutos? d) ¿Cuánto tarda el estanque en vaciarse? 26. ● ● De un muelle de 5 cm vamos colgando diversos pesos y anotamos la longitud en función del peso, obteniéndose la siguiente tabla: Peso (kg)

0

2

4

Longitud (cm)

5

6

7

6

8

…

a) Copia y completa la tabla, y escribe la función que representa la longitud del muelle en función del peso. b) Represéntala gráficamente.

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69. ●● La siguiente tabla relaciona la presión que ejerce el agua en el mar y la profundidad a la que estamos.

Presión (atm)

Y

1

2

3

10

0,096

0,192

0,288

0,96

Temperatura (°C)

Profundidad (m)

72. ● La gráfica siguiente refleja la temperatura atmosférica (°C) en función de la altitud (km).

10 6 2 -2 -6

1

3

X

5

Altitud (km)

a) Escribe la expresión algebraica de la función Altitud – Temperatura. b) ¿Cuál es su ordenada en el origen? ¿Qué significado tiene? c) ¿Qué temperatura habrá a 9 km de altitud?

Estudia la función que relaciona ambas magnitudes y represéntala. ¿Qué presión ejercerá el agua en la Fosa de las Marianas, cuya profundidad es 11 033 m? 70. ●● A nivel del mar, el agua hierve a 100 °C, pero cada incremento de 100 m en la altitud supone una décima de grado menos para hervir. a) Calcula el punto de ebullición en las cimas del Aneto (3 404 m) y del Everest (8 850 m). b) Indica la expresión algebraica de la función Temperatura de ebullición – Altitud.

28. ● ● En un momento del día, la sombra de un palo de 1 m de altura es de 0,3 m. Considerando que la altura de un objeto y la longitud de su sombra son directamente proporcionales, haz una tabla donde se refleje la longitud de la sombra de varios objetos en función de su altura para ese mismo instante. Escribe la ecuación de la función y represéntala.

71. ●● Un corredor sale del kilómetro 2 de un maratón con una velocidad de 9 km/h.

a) Completa la tabla.

Tiempo (horas)

0

1

Distancia (al km 0)

2

11

2

3

4

b) Escribe la expresión algebraica de la función Distancia – Tiempo y represéntala gráficamente.

29. ● ● Se quiere representar una función que dé el precio de la leche en función de los litros que se compran. ¿Cuál es el gráfico más adecuado a dicha función? ¿Por qué? Y

a) Haz una tabla con algunos valores que relacionen el lado del hexágono con su perímetro. b) Representa gráficamente esta función. c) Calcula su expresión algebraica. d) ¿Cuál es el valor de la pendiente de la función?

X

1

27. ●● Expresa el perímetro de un hexágono en función del valor de su lado.

Y 2

X Y

Y X 3

4

X

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AG

O

Muerte por heridas de guerra

O

O

J

I UN

E

ABR IL 185 M 4 AY O

Muerte por enfermedad

MA

RZO

185

5

Abril 1854 a Marzo 1855

ST

O

JULI

Muerte por otras causas

BR E

EM

VI

O

ER

BR

FE ENERO

1855

196

“Nuestros hospitales causan más muertos que los cañones del enemigo. Señor, no permitáis que el honor de Inglaterra sea enterrado en una sala de hospital.” ¡Dios salve a la Reina!

NO

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El informe, que fue enviado al Secretario de la Guerra, solicitaba ayuda para eliminar las trabas que estaba encontrando entre los mandos del ejército, y concluía con una nota manuscrita que rezaba:

OCTUBR E

3. ¿A qué campo aplicó Florence Nightingale sus estudios de Estadística?

Nightingale comenzó a aplicar medidas higiénicas, y fue recopilando datos y organizándolos mediante gráficos para facilitar su lectura.

BR TIEM SEP

2. ¿Cuáles fueron las medidas que adoptó Florence para frenar la mortalidad en los hospitales militares?

Sidney Herbert, que ocupaba el cargo de Secretario de Estado para la Guerra, había tomado la decisión más arriesgada de su carrera política al encargar a su amiga Florence Nightingale la organización del cuerpo de enfermeras de campaña con objeto de mejorar los hospitales en la guerra de Crimea. Era el año 1854 y su futuro político estaba en manos de aquella dama. Cuando se preparaba para ir a la zona de conflicto, el país entero se estremeció por la aniquilación de la Brigada Ligera, tras una carga suicida contra las baterías rusas. Esta acción fue difundida, no como un desastre, sino como prueba del valor y el honor de los ingleses.

BRE

1. Florence Nightingale ocupa una página honorífica en la historia de las matemáticas. Busca información sobre su vida y su obra.

¡Dios salve a la Reina!

IEM

DESCUBRE LA HISTORIA...

Estadística

DIC

13

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Antes de empezar la unidad... INTERVALOS Un intervalo de extremos a y b está formado por todos los números comprendidos entre a y b. ! Los números -0,5; -0,7 ; -0,12345… pertenecen al intervalo de extremos -1 y 0. Es decir, pertenecen a este 0 -1 intervalo todos los números reales entre -1 y 0. Tipos de intervalos

Un intervalo puede contener a los dos extremos, uno o ninguno.

0

1

2

El intervalo abierto (0, 2) contiene a todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, excluidos los extremos 0 y 2.

ABIERTO

CERRADO

El extremo no pertenece al intervalo.

El extremo pertenece al intervalo. G

El intervalo cerrado [0, 2] contiene a todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluidos los extremos 0 y 2. • Si los extremos del intervalo no pertenecen a él, se dice que es abierto.

(a, b]

2

G

1

G

0

G

• Si los dos extremos pertenecen al intervalo, se dice que es cerrado.

a

b

• Si el extremo menor pertenece 0 1 2 al intervalo y el mayor no, se dice que es cerrado por la izquierda y abierto por la derecha. El intervalo [0, 2) contiene a todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluido el 0 y excluido el 2. • Si el extremo menor no pertenece 0 1 al intervalo y el mayor sí, se dice que es abierto por la izquierda y cerrado por la derecha.

2

El intervalo (0, 2] contiene a todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluido el 2 y excluido el 0. EVALUACIÓN INICIAL 1 Escribe tres números que pertenezcan al intervalo (12, 14).

1. Define cinco intervalos de la misma amplitud, en los que estén contenidos estos valores: 14 16 12 20 10 19 16 14 17 15 12 11 10 12 13 20 15 12 14 20 19 13 16 17 12 11 10 14 12 19 ¿Cuántos valores contiene cada intervalo? 2. Define cuatro intervalos de la misma amplitud, en los que estén contenidos estos valores: 3,5 5,2 6,3 3,2 4,1 6,8 6 5,1 6,3 4,9 5,4 3,7 4,6 5,7 5 6,2 5,9 4,2 7 5,3 4,6 5,3 3,8 4,2 ¿Cuántos valores contiene cada intervalo?

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Reconocer los elementos de un estudio estadístico. • Construir tablas de frecuencias. • Interpretar y representar datos mediante gráficos. • Calcular e interpretar medidas estadísticas.

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Conceptos básicos

La Estadística es la ciencia que se encarga de recopilar y ordenar datos referidos a diversos fenómenos para su posterior análisis e interpretación.

1.1 Población y muestra

Si la muestra no se escoge bien, las conclusiones del estudio pueden ser erróneas.

• Población. Todos los elementos que son objeto de estudio. • Muestra. Parte de la población que estudiamos. • Individuo. Cada elemento de la población o la muestra. • Tamaño. Número de elementos que tiene la población o la muestra.

POBLACIÓN

MUESTRA

EJEMPLO 1

Se quiere realizar una encuesta entre los alumnos de 3.o ESO

de una ciudad, en total 6 578 alumnos. Para ello, se elige a los 63 alumnos de 3.º ESO del IES «Cervantes». Determina la población y la muestra. • Población: Todos los alumnos de 3.º ESO de la ciudad. • Muestra: Los alumnos de 3.o ESO del IES «Cervantes».

• Individuo: Cada alumno de 3.º ESO de la ciudad es un individuo de la población. Cada alumno de 3.º ESO del instituto es un individuo de la muestra. • Tamaño: El tamaño de la población es 6 578 alumnos. El tamaño de la muestra es 63 alumnos.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Queremos realizar un estudio estadístico de

la talla de calzado que usan los alumnos de 3.o ESO de un instituto. a) ¿Cuál sería la población? b) Elige una muestra. ¿Qué tamaño tiene? c) ¿Quién sería un individuo? 2 Señala en qué caso es más conveniente

estudiar la población o una muestra. a) La longitud de los tornillos que, ininterrumpidamente, produce una máquina. b) La estatura de todos los turistas en un año. c) El peso de un grupo de cinco amigos.

1 Para hacer un estudio estadístico sobre la

incidencia de una enfermedad en una provincia hemos estudiado la aparición de esa enfermedad en una localidad. ¿Estamos estudiando a toda la población o solo una muestra? 3 Este es el titular de un periódico. «EL PESO MEDIO DE LOS ESPAÑOLES ES 69 KG.»

a) ¿Cómo crees que se llega a esta conclusión? ¿Se habrá estudiado a toda la población? b) ¿Qué características debe tener la muestra? ¿Podrían ser todos los individuos de la muestra de la misma edad? Si todos son mujeres, ¿sería correcta la muestra?

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1.2 Variables estadísticas Una variable estadística es cada una de las propiedades o características que podemos estudiar de un conjunto de datos. Las variables estadísticas, dependiendo de los posibles valores que puedan tomar, se clasifican según la siguiente tabla: Tipos Cualitativas

Propiedades Los valores de la variable no son números, sino cualidades.

Los valores que toma la variable son números. En cada intervalo, la variable solo puede Cuantitativas tomar un número discretas finito de valores. La variable puede tomar tantos valores Cuantitativas como queramos, continuas por pequeño que sea el intervalo.

Cuantitativas

Ejemplos – Sexo {mujer, varón}. – Color del pelo {moreno, castaño…}. – Peso. – Número de hermanos. – Número de amigos: entre 2 y 5 solo puedo tener 3 o 4 amigos, pero no 3,5 o 3,6. – Altura: entre 1,70 m y 1,80 m de altura tenemos 1,71 m; 1,715 m; 1,767 m…

Los valores de una variable estadística se designan:

x1, x2, x3, …, xn

EJEMPLO 2

Pon varios ejemplos de variables cualitativas y cuantitativas discretas y continuas.

Variables cualitativas: mes de nacimiento, calle en la que se vive… Variables cuantitativas discretas: número de hijos, número de canastas triples en un partido de baloncesto, talla de pantalón… Variables cuantitativas continuas: peso, tiempo empleado en realizar un trabajo, volumen…

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Determina si las variables estadísticas

son cualitativas o cuantitativas. a) Año de nacimiento. b) Color del pelo. c) Profesión de una persona. d) Perímetro torácico. e) Estado civil. f) Perímetro de la cintura. g) Número de veces que se ha viajado en avión. h) Color de la camisa que se lleva puesta cierto día.

2 Se hace una encuesta para

estudiar las características de los alumnos de un instituto. Pon un ejemplo de variable cuantitativa y otro de cualitativa. 6 Clasifica estas variables en cualitativas

o cuantitativas, y en ese caso, di si son discretas o continuas. a) Provincia de residencia. b) Número de vecinos de un edificio. c) Profesión del padre. d) Consumo de gasolina por cada 100 km. e) Año de nacimiento.

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2

Frecuencias y tablas

2.1 Recuento de datos Después de recopilar los datos, se procede a su recuento para expresarlos de manera ordenada, generalmente en forma de tablas. • S i la variable es cualitativa, tras la recogida de datos, se escribe cada

valor (modalidad) y se anota el número de veces que aparece cada uno de ellos. EJEMPLO 1 Se pregunta a 40 alumnos de 3.º ESO sobre su tipo de novela favorito

y obtenemos estos resultados. Realiza el recuento. Consideramos el siguiente código: A = Aventuras C = Ciencia ficción H = Histórica R = Romántica Novela favorita

Recuento

H

A

A

A

C

C

H

C

R

H

H

A

C

C

C

R

C

A

A

H

C

A

C

C

R

A

R

C

C

C

C

A

A

R

A

A

H

R

H

H

F

A

//// //// //

12

H

//// ///

8

C

//// //// ////

14

R

//// /

6

• S i la variable es cuantitativa discreta, después de recoger los datos, se

ordenan en orden creciente y se anota el número de veces que aparece cada uno. EJEMPLO 3

Construye una tabla de valores con los libros leídos por 24 alumnos durante el último año. 1 2 1 3

3 2 2 2

4 1 4 3

2 3 4 3

2 3 2 3

3 1 3 4

N.º de libros

Recuento

1

4

2

7

3

9

4

4

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 9 El color de pelo (M = moreno, R = rubio,

P = pelirrojo) de 30 personas es: M R P M M M M R R P PMMMM M M P R R R P M M M MRMMM Construye su tabla de frecuencias.

3 Esta es la cantidad de horas diarias que ha

estado funcionando una máquina. 3 6 4 8 3 9 2 6 1 6 0 5 2 3 6 8 9 1 0 6 9 7 6 4 8 6 4 7 Realiza una tabla de frecuencias.

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ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el punto medio de un intervalo El punto medio de un intervalo es el punto que equidista de los extremos del intervalo. Se calcula sumando los extremos del intervalo y dividiendo el resultado entre 2. El punto medio del intervalo (3, 5) es: Punto medio 3

4

Punto medio =

5

3+5 =4 2

• Si la variable es continua, los datos se agrupan en intervalos o clases, usualmente de la misma amplitud y, como mínimo, 4 intervalos. Para facilitar los cálculos tomamos el punto medio del intervalo, que se llama marca de clase. EJEMPLO 4

Construye la tabla de frecuencias del peso, en kg, de 20 alumnos. 66,5 59,2 60,1 64,2 70,4 50,4 41,6 47,9 42,8 55 52,2 50,3 42,2 61,9 52,4 49,2 41,6 38,7 36,5 45 Para ello define 6 intervalos de amplitud 6.

Las marcas de clase son los puntos medios de cada intervalo. Para el intervalo [36, 42) la marca de clase es:

Como el peso es una variable continua podemos agrupar los datos en intervalos. Como el menor peso es 36,5, utilizaremos como extremo izquierdo del primer intervalo 36. El extremo derecho será 36 + 6 = 42.

36 + 42 78 = = 39 2 2

El segundo intervalo tendrá por extremos 42 + 6 = 48 y 48 + 6 = 54. De la misma manera calculamos los extremos de los demás intervalos. Peso

Marca de clase

Recuento

[36, 42)

39

4

[42, 48)

45

4

[48, 54)

51

5

[54, 60)

57

2

[60, 66)

63

3

[66, 72)

69

2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 8 Las estaturas, en cm, de 28 jóvenes son:

155 166 164 158

178 176 156 164

170 169 170 174

165 158 171 176

173 170 167 164

168 179 151 154

160 161 163 157

Agrupa los datos en 3 intervalos de amplitud 10 y construye su tabla de frecuencias.

4 Estos son los pesos de los últimos 20 pacientes

de una consulta médica. 42 51 56 66 75 47 51 45 63 79 69 59 50 70 59 62 54 60 63 58 Organiza los siguientes datos en una tabla de frecuencias agrupando los datos en 5 intervalos de amplitud 8.

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2.2 Frecuencia absoluta y relativa • La frecuencia absoluta de un dato, xi, es el número de veces que aparece. Se representa por fi. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, N. • La frecuencia relativa de un dato es el cociente de su frecuencia absoluta, fi, entre el número total de datos, N. Se representa por hi. La suma de las frecuencias relativas es igual a la unidad. Una vez efectuado el recuento de datos, los valores de la variable y las frecuencias se organizan en una tabla. A esta tabla se le llama tabla de frecuencias. ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el tanto por ciento de una cantidad Para calcular el tanto por ciento de una t ?C cantidad, multiplicamos esa cantidad t % de C = 100 por el tanto por ciento y lo dividimos entre 100. Un tanto por ciento también se puede 3 75 = 0,75 = expresar como una fracción o un decimal. 4 100

" 75 %

EJEMPLO La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al número total de datos.

5

Construye una tabla de frecuencias con la talla de calzado de 20 personas.

43, 42, 41, 39, 41, 38, 40, 43, 44, 40 39, 39, 38, 41, 40, 39, 38, 39, 39, 40 Contamos el número de veces que aparece cada valor, fi. Dividiéndolo entre N = 20, obtenemos hi. Si multiplicamos la frecuencia relativa por 100, se calcula la columna de porcentajes (%). Dato

F. absoluta

F. relativa fi hi = N

Porcentaje

xi

fi

38

3

3/20 = 0,15

15 %

39

6

6/20 = 0,30

30 %

40

4

4/20 = 0,20

20 %

41

3

3/20 = 0,15

15 %

42

1

1/20 = 0,05

5%

43

2

2/20 = 0,10

10 %

44

1

1/20 = 0,05

5%

Total

20

1

%

100 %

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 El número de horas diarias que trabajan

con el ordenador 15 personas es: 3 4 0 5 5 3 4 5 0 2 2 5 3 2 0 Construye la tabla de frecuencias.

6 Los resultados de un test han sido:

100 80 92 101 65 72 121 68 75 93 Obtén la tabla de frecuencias, tomando intervalos de amplitud 10.

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2.3 Frecuencias acumuladas • La frecuencia absoluta acumulada de un dato xi es la suma de las frecuencias absolutas de los valores que son menores o iguales que él. Se representa por Fi. • La frecuencia relativa acumulada de un dato xi es la suma de las frecuencias relativas de los valores menores o iguales que él. Se representa por Hi. Equivale al cociente entre la frecuencia absoluta acumulada del dato y el número total de datos. EJEMPLO 6

Obtén la tabla de las frecuencias acumuladas de los pesos, en kg, de 20 alumnos. 36,5 46,2 41,6 55 42,2 49,2 36,5

59,2 46 47,9 52,2 55,9 36,6 45

39,1 38 42,8 50,3 52,4 38,7

Como el peso es una variable continua, podemos agrupar los datos en intervalos. El menor peso es 36,5 y el mayor, 59,9: 59,9 - 36,5 = 23,4 Así, tomamos 5 intervalos de amplitud 5.

Peso

xi

Fi

hi

6 + 6 # 9 3$ +

0,3

[35, 40)

37,5

[40, 45)

42,5

[45, 50)

47,5

[50, 55)

52,5

#17 3$ +

# 0,85 0,15 $ +

[55, 60)

57,5

#20 3$

#1 0,15 $

F

La última frecuencia absoluta acumulada coincide con el número total de datos.

+

0,3

# 0,45 0,15 $ +

# 0,70 0,25 $ +

1G

F

20 G

F

#14 5$ +

Hi

F

fi

Solo podemos calcular frecuencias acumuladas en variables cuantitativas, ya que es necesario que los datos puedan ordenarse de menor a mayor.

La última frecuencia relativa acumulada es siempre 1.

Las frecuencias absoluta y relativa acumuladas del intervalo [45, 50) son 14 y 0,70, respectivamente. Esto significa que 14 alumnos, o el 70 % de los alumnos, pesan menos de 50 kg.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 14 Los pesos, en kg, de 24 personas son:

68,5 34,2 47,5 39,2 47,3 79,2 46,5 58,3 62,5 58,7 80 63,4 58,6 50,2 60,5 70,8 30,5 42,7 59,4 39,3 48,6 56,8 72 60 a) Agrúpalos en intervalos de amplitud 10 y obtén la tabla de frecuencias. b) ¿Cuántas personas pesan menos de 50 kg? c) ¿Y cuántas más de 55 kg?

7 Estas son las notas que ha obtenido un alumno

en este curso. Realiza una tabla de frecuencias. 7 5,6 9 5 5,75 6,25 8 7,5 9 5,75 6 15 El número de horas diarias de estudio

de 30 alumnos es: 3 4 3 5 5 1 1 1 1 2 3 4 5 0 2 0 3 2 2 1 2 1 3 2 0 1 2 1 4 3 Obtén la tabla de frecuencias.

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3

Gráficos estadísticos

Los datos estadísticos se suelen expresar de forma gráfica ya que, en un golpe de vista, nos podemos hacer una idea de su distribución. En función del tipo de variable usaremos un tipo de gráfico u otro.

3.1 Diagrama de barras ANTES, DEBES SABER… Qué es un sistema de coordenadas cartesianas Eje de ordenadas

Y

Un sistema de coordenadas está compuesto por: • Eje de abscisas, que es la recta horizontal. • Eje de ordenadas, que es la recta vertical. • Origen de coordenadas, que es el punto de corte de los ejes. El origen de coordenadas coincide con el 0 de ambas rectas numéricas.

P (a, b)

b

Eje de abscisas O

a

X

En él se pueden representar los valores de dos variables relacionadas.

Frecuencias

No hay polígono de frecuencias de variables cualitativas.

Se usa para representar variables cualitativas o cuantitativas discretas. • El eje de abscisas representa los datos, y el de ordenadas, las frecuencias. • Sobre cada dato se levantan barras verticales cuya altura es la frecuencia que estamos representando. • En variables cuantitativas, si trazaDatos mos una línea poligonal que una los extremos de las barras obtenemos el polígono de frecuencias. EJEMPLO 7

Representa, en un diagrama de barras, las tallas de calzado de 20 personas que se muestran en esta tabla.

fi

Talla (xi) 37 38 39 40 41 42 43 44

fi

1

2

6

4

3

1

El polígono de frecuencias está compuesto por los puntos: (37, 1), (38, 2), (39, 6), (40, 4), (41, 3), (42, 1), (43, 2) y (44, 1)

2

1

6 5 4 3 2 1 37

38

39 40 41 42

43

44 xi

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 17 En un edificio de 16 vecinos, el número

de televisores por vivienda es: 0 1 1 2 1 3 2 1 1 1 2 2 3 0 3 2 b) Realiza el diagrama de barras.

18 En un aparcamiento público hay 25 coches

rojos, 19 amarillos, 39 plateados, 50 blancos, 27 verdes, 30 azules y 10 negros. c) Realiza el diagrama de barras.

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3.2 Histograma Se usa para representar variables cuando los datos se agrupan en intervalos. • En el eje de abscisas representamos los datos, y en el eje de ordenadas, las frecuencias. • Se divide el eje de abscisas en intervalos y se levanta un rectángulo, sobre cada uno, de altura igual a su frecuencia. • El polígono de frecuencias se obtiene uniendo los puntos medios de los extremos superiores de los rectángulos, o los vértices superiores de la derecha, en el caso de frecuencias acumuladas. EJEMPLO 2 Con la siguiente tabla

de frecuencias, realiza un histograma y su polígono de frecuencias.

Intervalo

Marca de clase

Frecuencia

[65, 75)

70

5

[75, 85)

80

4

[85, 95)

90

4

[95, 105)

100

6

[105, 115)

110

4

[115, 125)

120

2

fi

Dibujamos unos ejes de coordenadas, en el eje horizontal marcamos los extremos de los intervalos y en el vertical, las frecuencias. Dibujamos un rectángulo sobre los extremos de cada intervalo. La anchura del rectángulo coincide con la amplitud del intervalo y su altura, con su frecuencia. Para dibujar el polígono de frecuencias, unimos los puntos medios de los extremos superiores de los rectángulos. Estos puntos tienen como primera coordenada la marca de clase del intervalo, y como segunda coordenada su frecuencia.

5 3 1 65 75 85 95 105 115 125

xi

fi 5 3 1 65 75 85 95 105 115 125

xi

Los histogramas solo se pueden hacer si los datos están agrupados en intervalos.

fi 5 3 1 65 75 85 95 105 115 125

xi

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 8 Realiza

el histograma y el polígono de frecuencias correspondiente a esta tabla.

Intervalo

Frecuencia

[8, 16)

8

[16, 24)

2

[24, 32)

7

[32, 40)

1

20 Las longitudes, en cm, de 18 grillos son:

1,8 1,9 2 2,4 2,6 2,8 1,7 1,9 2,3 1,6 2,1 3 2,3 2,7 2,9 1,5 1,8 2,6 b) Realiza un histograma agrupando los datos en 4 intervalos de amplitud 0,5.

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3.3 Diagrama de sectores ANTES, DEBES SABER… Cómo se dibuja un ángulo Para dibujar un ángulo de 60°: • Colocamos el transportador sobre una recta, haciendo coincidir el vértice del transportador con un punto marcado en la recta. • Hacemos una marca en 60°. • Utilizando una regla, unimos el vértice del ángulo con la marca efectuada.

Qué es un sector circular

Radio

Un sector circular es la parte del círculo limitada por dos radios y su arco correspondiente.

Arco Centro

Para dibujar un sector circular en una circunferencia hay que conocer el centro de la circunferencia y el ángulo que abarca.

Radio

Sirve para representar cualquier tipo de variable.

No se puede realizar un diagrama de sectores con frecuencias acumuladas.

• Es un círculo dividido en sectores, uno para cada dato o intervalo. • La amplitud de cada sector circular es proporcional a la frecuencia, y se calcula multiplicando 360º por la frecuencia relativa. EJEMPLO 8

Representa con un diagrama de sectores estos datos:

Intervalo

fi

hi

[36, 42)

4

4/15

[42, 48)

4

4/15

[48, 54)

5

5/15

[54, 60)

2

2/15

Calculamos los ángulos correspondientes a cada intervalo del diagrama de sectores. 4 = 96° [48, 54) " 360° ? 15 4 = 96° [54, 60) " 360° ? [42, 48) " 360° ? 15 [36, 42) " 360° ?

5 = 120° 15 2 = 48° 15

[54, 60) [36, 42) [48, 54) [42, 48)

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 20 Las longitudes, en cm, de 18 grillos son:

1,8 1,9 2 2,4 2,6 2,8 1,7 1,9 2,3 1,6 2,1 3 2,3 2,7 2,9 1,5 1,8 2,6 c) Realiza un diagrama de sectores.

9 Las edades de 18 alumnos de un IES son:

13 15 14 16 13 15 14 16 15 14 13 13 13 15 14 16 14 14 Dibuja un diagrama de sectores.

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10:00

Medidas de centralización

4

Una vez organizados los datos de un estudio estadístico, vamos a calcular una serie de valores que nos ayudarán a interpretarlos: las medidas de centralización. • Media aritmética, x: es el cociente de la suma de todos los valores multiplicados por su frecuencia, entre la suma de todas las frecuencias. / fi ? x i f1 ? x1 + f2 ? x 2 + f3 ? x3 + … + fn ? x n = x= N N Si la variable es continua, xi es la marca de clase del intervalo. • Moda, Mo: es el valor de la variable, o la marca de clase para datos en intervalos, que tiene mayor frecuencia. Puede no ser única. • Mediana, Me: es el valor que ocupa la posición central de los datos después de ordenarlos, o la media de los dos valores centrales en el caso de que el número de datos sea par. EJEMPLO 9

Esta tabla resume los resultados

obtenidos en una encuesta realizada entre 10 parejas a las que se les preguntaba sobre el número de hijos que tenían. Calcula sus medidas de centralización e interprétalas.

CALCULADORA N.º de hijos

Frecuencia absoluta fi

0

2

1

4

2

3

3

1

Total

10

Media: 2 ? 0 + 4 ? 1 + 3 ? 2 + 1? 3 x= = 1,3 hijos 10

El dato con mayor frecuencia es 1. Hay 4 parejas que tienen 1 hijo. Moda " Mo = 1 hijo Para calcular la mediana, primero ordenamos los datos: 1+1 0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 " Me = = 1 hijo 2 INTERPRETACIÓN

• La media es 1,3. Es decir, por término medio tienen entre 1 y 2 hijos. • La moda señala que lo más frecuente es tener 1 hijo. • La mediana indica que hay tantas parejas que tienen 1 o más hijos como parejas que tienen 1 hijo o menos.

Para introducir datos estadísticos en la calculadora: 1.o Ponemos la calculadora en modo Estadístico. MODE

SD

2.o Se teclea el dato, el signo de multiplicar, la frecuencia y pulsamos en la tecla DATA . 0

#

2

DATA

1

#

4

DATA

2

#

3

DATA

3

#

1

DATA

3.º Para borrar un dato, se escribe el dato y se concluye pulsando en las teclas: 3

#

1

DEL

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 10 Organiza estos datos, relativos al número de

sobresalientes de 15 alumnos, en una tabla de frecuencias y calcula sus medidas de centralización. 4 1 0 6 1 4 1 2 3 0 2 4 0 3 1

11 Halla la media, mediana y moda de estos datos

relativos al número de días soleados durante los doce meses del último año. Una vez hayas calculado esas medidas, interprétalas. 5 6 9 11 18 22 24 26 12 15 8 12

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Estadística

Tabla de frecuencias

Alumnos de una clase " Muestra Color de ojos ---" Variable cualitativa o N. de hermanos -" Variable cuantitativa discreta Altura -" Variable cuantitativa continua

Intervalos o clases

Alumnos del IES -" Población

Intervalo

xi

fi

Fi

hi

Hi

[35, 40)

37,5

6

6

0,30

0,30

[40, 45)

42,5

3

9

0,15

0,45

[45, 50)

47,5

5

14

0,25

0,70

[50, 55)

52,5

3

17

0,15

0,85

[55, 60)

57,5

3

20

0,15

1,00

F

20

1

Marca de clase

F

Frecuencias acumuladas

G

Gráficos estadísticos

Datos

Polígono de frecuencias

Diagrama de sectores

Frecuencias

Histograma Frecuencias

Frecuencias

Diagrama de barras

Datos

Datos


1. CONSTRUIR TABLAS DE FRECUENCIAS Realiza una tabla de frecuencias para los siguientes pesos, en kg, de 20 personas. 80 45 57 66 49

54 58 69 73 81

los datos y efectuamos el recuento. El número de veces que se repiten es su frecuencia absoluta. Si la variable es cuantitativa los agrupamos en intervalos y calculamos las marcas de clase.

72 63 43 61 49

57 59 68 49 69

PRIMERO. Ordenamos

SEGUNDO. Dividimos

cada frecuencia absoluta entre el número total de datos y hallamos las frecuencias relativas, que anotaremos en otra columna.

TERCERO. Si la variable es cuantitativa calculamos las frecuencias acumuladas sumando, para cada intervalo, su frecuencia y las de los intervalos anteriores a él, y anotamos los resultados en dos columnas, una para las frecuencias absolutas acumuladas, y la otra, para las frecuencias relativas acumuladas.

Intervalo

xi

fi

Fi

hi

Hi

[40, 50)

45

5

5

0,25

0,25

[50, 60)

55

5

10

0,25

0,50

[60, 70)

65

6

16

0,30

0,80

[70, 80)

75

2

18

0,10

0,90

[80, 90)

85

2

20

0,10

1

20

1

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2. DIBUJAR UN HISTOGRAMA Y SU POLÍGONO DE FRECUENCIAS Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias de esta tabla. Intervalo

fi

[40, 50)

5

[50, 60)

5

[60, 70)

6

[70, 80)

2

[80, 90)

2

PRIMERO. Marcamos

las frecuencias en el eje vertical, y los intervalos, en el eje horizontal.

SEGUNDO. Dibujamos

rectángulos cuya base es la anchura del intervalo, y altura, la frecuencia correspondiente.

fi 6 5 4 3 2 1 40

50

60

70

80

90

xi

TERCERO. Si las frecuencias son absolutas, formamos el polígono de frecuencias uniendo los puntos medios de la parte superior de los rectángulos. Si son acumuladas, unimos los vértices superiores de la derecha de cada rectángulo.

1. CALCULAR LAS MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Halla las medidas de centralización de estos datos estadísticos: xi

fi

1

12

2

28

3

8

PRIMERO. Completamos

la tabla con una nueva columna: el producto de cada valor por su frecuencia. Además, añadimos una fila con las sumas de los datos de las columnas para facilitar el cálculo de la media.

SEGUNDO. Hallamos

las medidas. 92 = 1,92 • La media es: x = 48

xi

fi

fi ? xi

1

12

12

2

28

56

3

8

24

Total

48

92

• El dato con mayor frecuencia es 2 " Mo = 2

• Hay 48 datos (par), luego la mediana será la media de los datos 24 y 25, después de ordenarlos.

12 veces

28 veces

8 veces

644474448 644474448 644474448 2+2 1, 1, …, 1, 2, 2, …, 2, 3, 3, …, 3 " Me = =2 2

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. Si queremos estudiar la cantidad de melocotones que exceden un cierto peso, ¿deberíamos estudiar la población o una muestra? ¿Qué tipo de variable se estudia? Construir tablas de frecuencias 2. ¿Qué significa que la frecuencia relativa acumulada de un dato es 0,35?

Dibujar un histograma y su polígono de frecuencias 3. Si la frecuencia absoluta de [a, b) es c, ¿cuál es la altura del rectángulo que representa a ese intervalo en el histograma? Calcular las medidas de centralización 4. Determina la media, la mediana y la moda de los siguientes datos: 1 2 1 1 3

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Actividades VARIABLES. TABLAS DE FRECUENCIAS 32. ● Queremos hacer un estudio del número de horas que los alumnos dedican a la lectura.

35. ● Al preguntar a 20 personas sobre el número de veces que habían viajado al extranjero, el resultado fue: 3 5 4 4 2 3 3 3 5 2 6 1 2 3 3 6 5 4 4 3 a) Organiza los datos haciendo un recuento. b) Obtén la tabla de frecuencias. 13. ● El número de horas diarias de estudio de 30 alumnos es: 3 4 3 5 5 1 1 1 1 2 3 4 5 0 2 0 3 2 2 1 2 1 3 2 0 1 2 1 4 3

a) Elige una muestra para realizar el estudio. b) ¿Qué tamaño tiene dicha muestra? c) ¿Cuál es la población? 12. ● En una revista leemos que el pastor alemán tiene una altura media de 55 cm. ¿Crees que han medido a todos los pastores alemanes del planeta? Explica cómo crees que han llegado a esta conclusión. 33. ● Indica el tipo de variable estadística que estamos estudiando y di, en cada caso, qué sería mejor, si estudiar una muestra o la población. a) El programa favorito de los miembros de tu familia. b) La talla de calzado de los alumnos de un IES. c) La temperatura media diaria de tu provincia. d) La edad de los habitantes de un país. e) El sexo de los habitantes de un pueblo. f) El dinero gastado a la semana por tus amigos. g) Los efectos de un nuevo medicamento en el ser humano. h) El color del pelo de tus compañeros de clase. 34. ● De las siguientes variables, ¿cuáles son discretas? a) Número de mascotas. b) Talla de calzado. c) Perímetro craneal. d) Ingresos diarios en una frutería. e) Kilogramos de carne consumidos en el comedor de un IES durante una semana.

a) Organiza los resultados en una tabla de frecuencias. b) ¿Qué significan las frecuencias acumuladas? 14. ● Copia y completa esta tabla de frecuencias: xi

fi

10 20

50 60

%

4 5

30 40

Fi

10 16

10 41 18

15. ● Calcula la marca de clase del intervalo [10, 15). Si en este intervalo su frecuencia absoluta es 32, ¿qué interpretación se le da a la marca de clase? 16. ● Lanza 20 veces un dado y anota el resultado. Construye una tabla de frecuencias asociada a los datos que has recogido. 17. ● ● En la primera evaluación, entre los 30 alumnos de una clase, se han obtenido los siguientes resultados: • El 10 % aprobó todo. • El 20 % suspendió una asignatura. • El 50 % suspendió dos asignaturas. • El resto suspendió más de dos asignaturas. a) Realiza con estos datos una tabla de frecuencias. b) ¿Hay algún tipo de frecuencia que responda a la pregunta de cuántos alumnos suspendieron menos de dos asignaturas? Razona tu respuesta.

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18. ●● Para realizar un estudio de mercado encargamos una encuesta entre la población de jóvenes de un barrio. Preguntamos el número de veces que van al cine por semana. Los resultados de la encuesta son: 0 0 2 3 5 1 1 1 3 2 0 2 2 4 1 1 3 2 0 0 1 1 1 1 1 3 5 2 3 2 4 1 2 4 3 2 1 5 4 0 2 0 1 1 1 1 2 3 2 2 a) ¿Cuál y de qué tipo es la variable estadística que estamos estudiando? b) Construye una tabla de frecuencias. c) ¿Cuántas personas van al cine más de dos veces por semana? d) ¿Cuántas van, al menos, una vez por semana?

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS 36. ● La talla de calzado que utilizan 20 alumnos en una clase de Educación Física es: 37 40 39 37 38 38 38 41 42 37 43 40 38 38 38 40 37 37 38 38 Representa el diagrama de barras y el polígono de frecuencias para las frecuencias absolutas y para las frecuencias absolutas acumuladas. 19. ● Realiza un estudio entre tus compañeros de clase, preguntándoles qué idioma extranjero prefieren estudiar: inglés, francés o alemán. a) Organiza los resultados en una tabla de frecuencias. b) Realiza un diagrama de barras con los resultados. 20. ● Con los siguientes datos: 55 78 70 85 73 78 80 66 86 79 58 70 79 61 64 56 70 81 87 51 83 58 54 74 76 64 64 Utiliza intervalos de amplitud 10, comenzando con el intervalo [50, 60), para formar una tabla, efectúa el recuento y obtén las marcas de clase. Representa finalmente los datos en un histograma.

37. ● Las estaturas, en cm, de 27 jóvenes son: 155 178 170 165 173 168 160 166 176 169 158 170 179 161 164 156 170 171 167 151 163 158 164 174 176 164 154 a) Utiliza intervalos de amplitud 5 para formar una tabla de frecuencias. b) Representa los datos en un histograma, utilizando las frecuencias absolutas y las frecuencias absolutas acumuladas. 21. ● ● En la tabla tienes los resultados de lanzar 50 veces un dado. Cara

1

2

3

4

5

6

N.° de veces

8

12

5

9

6

10

a) Representa el diagrama de barras de frecuencias absolutas y relativas. ¿Qué observas? b) Sobre el gráfico anterior, dibuja su polígono de frecuencias. c) ¿Podrías representar los datos en un histograma? Razona tu respuesta.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CONSTRUYE UNA TABLA DE FRECUENCIAS A PARTIR DE SU HISTOGRAMA? 22. Haz la tabla de frecuencias que corresponde a este gráfico.

fi 50 40 30 20 10 10

20

30

40

50

60 xi

PRIMERO. Se

determinan los extremos de los intervalos fijándonos en los vértices de los rectángulos que están situados en el eje horizontal.

SEGUNDO. Se

calculan las frecuencias de cada intervalo calculando la altura de los rectángulos correspondientes.

Intervalos

Frecuencia

[0, 10)

15

[10, 20)

30

[20, 30)

45

[30, 40)

50

[40, 50)

35

[50, 60)

25

211

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23. ● Determina la tabla de frecuencias correspondiente a estos histogramas. a)

27. ● Realiza un diagrama de sectores para el peso de 20 alumnos que se muestra en la siguiente tabla.

fi 80 60 40 20 1

b)

2

3

4

5

xi

fi

400 300 200

Peso (en kg)

Marca de clase

Frecuencia fi

[36, 42)

39

4

[42, 48)

45

4

[48, 54)

51

5

[54, 60)

57

2

[60, 66)

63

3

[66, 72)

69

2

100 60

70

80

90

100

xi

24. ●● Reconstruye la tabla de frecuencias asociada al siguiente gráfico de frecuencias acumuladas. 28 24 20 16 12 8 4 1 12

18

24

30

36

42

48

54

39. ●●● El número de veces que se alquiló cada mes la pista de tenis de un polideportivo viene representado en este gráfico. fi 140 100

120 100

97 70

60

60

62

126 100

90

78 66

69

20 E F M A M J J A S O N D

a) Obtén las frecuencias relativas y acumuladas. b) ¿En qué porcentaje de meses se alquiló la pista más de 80 veces? 25. ● De 500 personas, 175 nunca han viajado al extranjero, 225 han ido una vez y 100, tres veces. Representa los datos en un diagrama de sectores. 26. ● De los 30 asistentes a una cena, el 20 % comió ternera, el 40 % cordero y el resto pescado. Indica la variable estadística y organiza los resultados en una tabla de frecuencias; después, representa los datos en un diagrama de sectores.

28. ● Copia y completa la tabla de frecuencias de la actividad anterior y dibuja su histograma de frecuencias relativas acumuladas. 29. ● ● Hemos estudiado el contenido en sales de 25 botellas de agua y obtenemos los siguientes datos, expresados en miligramos: 46 27 76 54

25 44 75 45

27 37 49 66

30 48 40 62 56 29 59 33 52 69

a) Clasifica la variable estadística. b) Justifica el hecho de tomar o no intervalos al realizar una tabla. c) Realiza la representación gráfica que consideres más adecuada. 30. ● Utiliza los datos de la actividad anterior y dibuja su histograma de frecuencias absolutas acumuladas y frecuencias relativas acumuladas.

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN 31. ● Obtén las medidas de centralización de la siguiente serie de datos. 7 3 2 4 5 1 8 6 1 5 3 2 4 9 8 1 0 2 4 1 2 5 6 5 4 7 1 3 0 5 8 6 3 4 0 9 2 5 7 4 0 2 1 5 6 4 3 5 2 3

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42. ● Determina la mediana de estos datos.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULAN LAS MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN CUANDO LA VARIABLE ES CONTINUA?

32. Calcula las medidas de centralización de estos datos.

a) x i

1

2

3

4

5

6

fi

5

3

4

2

4

6

b) Var.

Intervalo

Frecuencia

[0, 5)

8

[5, 10)

5

[10, 15)

6

[15, 20)

2

calcula la marca de clase de cada intervalo y las frecuencias acumuladas.

[0, 10)

[10, 20)

[20, 30)

[30, 40)

1

3

5

2

fi

43. ● ● Obtén la media, mediana y moda de los datos de la tabla.

PRIMERO. Se

Intervalo

Marca de clase

Frecuencia

Frecuencia acumulada

[0, 5)

2,5

8

8

[5, 10)

7,5

5

13

[10, 15)

12,5

6

19

[15, 20)

17,5

2

21

SEGUNDO. Se

halla la media multiplicando cada marca de clase por su frecuencia y dividiendo entre el número total de datos. 2,5 ? 8 + 7,5 ? 5 + 12,5 ? 6 + 17,5 ? 2 x= = 7,98 21

TERCERO. La

moda es el intervalo que mayor frecuencia tiene. El intervalo que mayor frecuencia tiene es [0, 5). Moda " [0, 5) CUARTO. La

mediana es el intervalo en el que está el dato que ocupa la posición central. Tenemos 21 datos, 21 : 2 = 10. La posición central es la posición 11.

xi

26

28

30

32

fi

6

7

4

3

a) Si cada valor de la tabla se multiplica por 3, ¿cuál será la media? ¿Y la mediana? ¿Y la moda?

PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA 33. ● ● Un particular invierte 6 000 € en un fondo de inversión el 1 de enero de 2007. Las rentabilidades anuales del fondo durante los años siguientes han sido: Año Rentabilidad (%)

2007

2008

2009

2010

5

4

-3

5

Si durante esos años no ha retirado capital de dicho fondo, ¿cuál ha sido la rentabilidad media del fondo durante los cuatro años? 34. ● ● La cadena de televisión RFT-TV ha realizado un estudio, entre 200 espectadores, para determinar el grado de satisfacción de la audiencia del programa La noche de los genios, obteniendo los resultados que aparecen a continuación.

La primera frecuencia absoluta mayor que 11 es 13, que corresponde al intervalo [5, 10). Mediana " [5, 10) 40. ● Obtén las medidas de centralización de esta serie de datos. 3 2 4 9 8 7 3 2 4 5 1 8 6 1 5 1 0 2 4 1 2 5 6 5 4 7 1 3 0 5 8 6 3 4 0 9 2 5 7 4 0 2 1 5 6 41. ●● Vuelve a realizar la actividad anterior con intervalos de amplitud 2. ¿Obtienes los mismos resultados? ¿Por qué crees que sucede esto?

Opinión Porcentaje

Muy bueno

Bueno

Regular

Malo

Muy malo

15

25

30

25

5

Calcula e interpreta las medidas de centralización de estos datos.

213

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14

Probabilidad ¡Jaque mate! Desde que cruzó el Canal, perseguido por la intransigencia política y religiosa que recorría la Europa continental, se le podía encontrar en aquel café: el Slaughter’s Coffee House era para Abraham de Moivre su segunda casa. Era un centro de reunión de intelectuales, donde se podían defender las ideas sin más armas que la razón.

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Abraham de Moivre, Isaac Newton y Edmund Halley son tres personajes a los que los unió una gran amistad. Investiga sobre su vida y su obra. 2. ¿Qué era el Slaughter’s Coffee House? ¿Cuál es la relación entre De Moivre y el ajedrez? 3. Investiga sobre las aportaciones de De Moivre al estudio de la Estadística y la Probabilidad.

301386 _ 0214-0227.indd 214

Los dos personajes que acababan de entrar en el local, Newton y Halley, amigos de Abraham de Moivre, lo buscaron con la mirada y lo encontraron en una de las mesas del fondo jugando al ajedrez. Su contrincante, visiblemente nervioso, movía su mano de una a otra pieza sin decidirse a mover ninguna. Apenas lo hubo hecho, Abraham cantó un triunfal: ¡Jaque mate!, y levantándose se acercó a sus amigos. –Nunca aprenderá, todavía piensa que para ganar al ajedrez interviene el azar y que algún día le tocará. –Monsieur De Moivre –contestó Halley–, jugáis con la ventaja de vuestros conocimientos de probabilidad y de este apasionante juego. Vuestro contrincante tenía siete posibles movimientos pero solo tras dos de ellos podíais dar jaque mate. –Sin embargo lo hizo y yo gané –repuso De Moivre, al tiempo que guardaba en sus bolsillos las monedas que había apostado en la partida.

21/07/11 8:47

Antes de empezar la unidad... NÚMEROS DECIMALES Un número decimal es un número que se compone de: • Parte entera: cifras situadas a la izquierda de la coma; esta parte del número es mayor que la unidad: unidades, decenas, centenas… • Parte decimal: cifras situadas a la derecha de la coma; esta parte del número es menor que la unidad: décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas… Comparación de números decimales

Para comparar números decimales comparamos cada unidad decimal: 1.º Parte entera. Es mayor el número que tiene mayor parte entera. 2.º Parte decimal. Si la parte entera es igual, se comparan las décimas, las centésimas, las milésimas…, siendo mayor el número con mayor parte decimal, comparada cifra a cifra. Comparamos 0,46 y 0,48 "

Z ] Parte entera: igual [ Décimas: iguales ] \ Centésimas: 6 < 8

" 0,46 < 0,48

Al añadir ceros a la derecha de un decimal, el número sigue siendo el mismo.

1,35 1,350 1,3500 1,35000

Comparamos 0,2 y 0,203. Para poder compararlos los expresamos con el mismo número de cifras decimales. Para ello añadimos ceros a la derecha del número con menos decimales. Z Parte entera: igual ] Décimas: iguales " 0,200 < 0,203 " 0,2 < 0,203 Comparamos 0,200 y 0,203 " [ Centésimas: iguales ] \ Milésimas: 0 < 3 PLAN DE TRABAJO

EVALUACIÓN INICIAL 1 Determina la parte entera y la parte decimal de estos números

decimales. a) 0,23

b) 0,7

c) 0,624

¿Cuál es la cifra de las centésimas en estos números? 2 Ordena de mayor a menor los siguientes números decimales.

0,34

0,89

0,203

0,3

0,891

0,202

3 Copia en tu cuaderno y completa con números las siguientes

desigualdades para que sean ciertas. 0,21 > 0,d3

0,1 > 0,d27

0,93 > 0,9d3

0,361 < 0,364

0,5 < 0,6d3

0,3 > 0,2d

En esta unidad aprenderás a… • Distinguir entre experimento aleatorio y determinista. • Calcular el espacio muestral de un experimento aleatorio. • Calcular el suceso complementario a un suceso. • Hallar la probabilidad de un suceso.

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Experimentos aleatorios. Sucesos

1

1.1 Experimentos aleatorios Los experimentos, dependiendo de sus resultados, pueden ser: • Aleatorios

" No podemos predecir el resultado que se ob-

tendrá al realizarlos, es decir, depende del azar. • Deterministas " Conocemos de antemano el resultado. EJEMPLO 1 Clasifica estos experimentos en aleatorios o deterministas.

a) Lanzar una moneda " Experimento aleatorio Puede salir cara o cruz, no sabemos de antemano el resultado. b) Sumar dos números conocidos " Experimento determinista Siempre obtenemos como resultado la misma suma.

Si un suceso contiene varios sucesos elementales se llama suceso compuesto.

1.2 Sucesos Cada posible resultado al realizar un experimento aleatorio se llama suceso elemental, y el conjunto de todos los sucesos elementales es el espacio muestral, E. En general, un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral. EJEMPLO 2 Determina el espacio muestral, los sucesos elementales y algún suceso

compuesto del experimento aleatorio de lanzar un dado de parchís. Al lanzar un dado podemos obtener 6 posibles resultados: que salga 1, que salga 2, que salga 3, … Espacio muestral

" E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Cada posible resultado es un suceso elemental. Sucesos elementales " {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6} Varios sucesos elementales forman un suceso compuesto. Sucesos compuestos " «Obtener número par» = {2, 4, 6} «Obtener múltiplo de 3» = {3, 6}

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Clasifica los siguientes experimentos

en aleatorios o deterministas. a) Extraer una carta de una baraja. b) Pesar un litro de mercurio. c) Preguntar a tus compañeros un número.

1 Determina el espacio muestral.

a) Lanzamos una moneda y observamos si sale cara o cruz. b) Lanzamos dos monedas y observamos el número de caras y cruces.

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1.3 Diagrama de árbol Para determinar los sucesos elementales y el espacio muestral, asociados a un experimento aleatorio, podemos utilizar un diagrama de árbol. EJEMPLOS 3 Marta tiene en su armario 2 pantalones de colores azul y verde,

respectivamente, y 3 jerséis de colores blanco, azul y verde. Si escoge al azar unos pantalones y un jersey, ¿cuál será el espacio muestral? Podemos escoger primero el pantalón y, después, elegimos entre las tres opciones de jersey. Este sería su diagrama de árbol.

" AB " AA " AV " VB " VA " VV

Cada uno de los casos de la derecha es un suceso elemental y, por tanto, el espacio muestral es: E = {AB, AA, AV, VB, VA, VV} 1

Se lanzan dos monedas y se observan los resultados. ¿Cuál será el espacio muestral? Las posibilidades en la primera moneda son cara o cruz, y en la segunda tenemos las mismas posibilidades. 1.ª moneda

2.ª moneda

Resultados

F

F

Cara – Cara

F

F

Cara – Cruz

F

F

Cruz – Cara

F

F

Cruz – Cruz

Cada elemento del espacio muestral es un suceso elemental.

Espacio muestral " {Cara – Cara, Cara – Cruz, Cruz – Cara, Cruz – Cruz} Sucesos elementales " {Cara – Cara} {Cara – Cruz} {Cruz – Cara} {Cruz – Cruz}

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Lanzamos una moneda y un dado de seis caras.

¿Cuál es el espacio muestral? Ayúdate con un diagrama de árbol.

2 Quiero pintar una valla de dos colores. Si tengo

pintura roja, verde y amarilla, ¿de cuántas maneras la puedo pintar?

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2

Operaciones con sucesos

El suceso contrario o complementario de un suceso A, A, es el formado por todos los sucesos elementales que no están en A.

EJEMPLO 2 En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado, determina los siguientes sucesos. a) El espacio muestral. b) Obtener un número mayor que 4. c) No obtener un número mayor que 4. d) Obtener el número 3. e) Obtener cualquier número excepto el 3. f) Obtener un número par. g) Obtener un número impar. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) A = «Obtener un número mayor que 4» = {5, 6}

Cuando decimos…

No ocurre A

Escribimos

" A

c) Si A = «Obtener un número mayor que 4» = {5, 6} Entonces, A = «No obtener un número mayor que 4» A está formado por todos los elementos de E menos los elementos de A. Es decir: A = {1, 2, 3, 4} d) B = «Obtener el número 3» = {3} e) Si B = «Obtener el número 3» = {3} Entonces, B = «No obtener el número 3» = = «Obtener cualquier número excepto el 3» B está formado por todos los elementos de E menos los elementos de B. Es decir: B = {1, 2, 4, 5, 6} f) C = «Obtener un número par» = {2, 4, 6} g) Si C = «Obtener un número par» = {2, 4, 6} C = «No obtener un número par» = «Obtener un número impar» C está formado por todos los elementos de E menos los elementos de B. Es decir: C = {1, 3, 5}

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 En el experimento tirar un dado, determina

4 Al lanzar dos monedas, halla el complementario

los sucesos complementarios a estos sucesos.

de estos sucesos.

a) A = «Salir 1 o 2» b) B = «No salir 5»

a) A = «Obtener dos caras» b) B = «Obtener al menos una cara»

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Probabilidad de un suceso SE ESCRIBE ASÍ

La probabilidad de un suceso es un número entre 0 y 1 que indica la posibilidad de que ocurra dicho suceso. A mayor probabilidad, mayor es la posibilidad de que ocurra.

i E " Espacio muestral iQ " Conjunto vacío (no hay ningún elemento)

De esta forma, si un suceso ocurre siempre su probabilidad es 1, y decimos que es un suceso seguro, P(E ) = 1. Análogamente, si un suceso nunca ocurre su probabilidad es 0, y entonces diremos que es un suceso imposible, P(Q) = 0. EJEMPLO 7 Tenemos 2 bolas iguales en una bolsa, una azul y otra amarilla.

Si introducimos la mano en la bolsa y extraemos una bola, calcula la probabilidad de que salga: a) Una bola azul o amarilla. b) Una bola verde.

La probabilidad es siempre un número entre 0 y 1.

c) Una bola azul. d) Una bola amarilla.

0 ≤ P (A) ≤ 1

a) P(bola azul o amarilla) = 1 " Es un suceso seguro. b) P(bola verde) = 0

" Es un suceso imposible.

c) y d) Como las dos bolas son idénticas salvo en el color, la probabilidad de extraer cada una de ellas será igual. P(bola azul) = P(bola amarilla) Por tanto, tiene sentido repartir la probabilidad de ocurrencia total, 1, entre los dos sucesos elementales. 1 P(bola azul) = 2 1 P(bola amarilla) = 2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 15 Lanzamos 2 dados y sumamos los puntos

que salen. Determina. a) Un suceso seguro. b) Un suceso imposible. ¿Cuál será la probabilidad de estos dos sucesos? 16 En una urna hay 5 bolas blancas y 4 bolas rojas.

Escribe. a) Un suceso imposible. b) Un suceso seguro.

17 En el experimento aleatorio consistente

en lanzar una moneda: a) Calcula el espacio muestral. b) Di un suceso seguro y uno imposible. c) ¿Qué probabilidad le asignarías al suceso «Salir cara»? Razona la respuesta. 5 En el experimento tirar un dado y una moneda,

pon ejemplos de: a) Sucesos imposibles. b) Sucesos seguros.

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4

Regla de Laplace

ANTES, DEBES SABER… Cómo se expresa una fracción como un número decimal Para expresar una fracción como un número decimal se divide el numerador de la fracción entre el denominador.

Para aplicar la regla de Laplace, el experimento debe ser regular, es decir, sus sucesos elementales tienen que ser equiprobables.

3 5 5 12

3

" 3 0 5 " 5 = 0,6 0 0,6

5

" 5 0 1 2 " 12 = 0,41666... 2 0 0,4166 ... 80 80

Dos sucesos son equiprobables cuando tienen la misma probabilidad de ocurrir al realizar un experimento aleatorio. Si todos los sucesos elementales de un experimento son equiprobables, decimos que es regular. En un experimento regular, la probabilidad de que ocurra un suceso A, P(A), se puede calcular aplicando la regla de Laplace. P ( A) =

Número de casos favorables al suceso A Número de casos posibles

EJEMPLO 8 En el experimento aleatorio de tirar un dado, calcula la probabilidad

de los siguientes sucesos. a) «Sacar 2» b) «Sacar número par» c) «Sacar número menor que 4» El espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} " Casos posibles = 6 Está formado por 6 resultados equiprobables: la probabilidad de obtener cada una de las caras es la misma. Podemos aplicar la regla de Laplace. a) A = «Sacar 2» = {2} " Casos favorables = 1 Casos favorables 1 P (A) = = Casos posibles 6 b) B = «Sacar número par» = {2, 4, 6} " Casos favorables = 3 Casos favorables 3 1 P (B) = = = Casos posibles 6 2 c) C = «Sacar número menor que 4» = {1, 2, 3} " Casos favorables = 3 Casos favorables 3 1 P (C) = = = Casos posibles 6 2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 19 Al lanzar un dado, calcula

la probabilidad de obtener: d) Número 3. h) Menor que 10. i) Número impar.

20 De una baraja española extraemos

una carta. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un caballo? ¿Y una figura? ¿Y oros? ¿Y una sota que no sea de copas?

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Propiedades de la probabilidad

1.ª Para cualquier suceso A se cumple que 0 # P(A) # 1. 2.ª La probabilidad de un suceso seguro es 1 y la probabilidad de un suceso imposible es 0. P(E) = 1 P(Q) = 0 5.ª Si A y A son sucesos contrarios: P(A) = 1 - P(A)

El complementario de E es Ø.

E = Ø Y viceversa, el complementario de Ø es E. Ø = E

ANTES, DEBES SABER… Cómo se resta a un número natural una fracción 6 ?1-5 5 1 1- = = 6 6 6 F

Se multiplica el denominador de la fracción por el número natural, y se le resta el numerador.

m.c.m. (1, 6) = 6

EJEMPLO 10 Lanzamos un dado y observamos la puntuación que sale.

Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos. a) Obtener un número menor o igual que 6. b) Obtener un número mayor que 9. c) Obtener un número mayor que 5. d) Obtener un número menor o igual que 5. Como hay las mismas posibilidades de que salga cualquier número, podemos aplicar la regla de Laplace. a) A = «Obtener un número menor o igual que 6» = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E P (E ) = 1 b) B = «Obtener un número mayor que 9» = Ø P (Ø) = 0 c) C = «Obtener un número mayor que 5» = {6} 1 P (C) = 6 d) D = «Obtener un número menor o igual que 5» = C 1 6-1 5 = P (D) = P (C) = 1 - P (C) = 1 - = 6 6 6

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 28 De una baraja española se extrae una carta.

Obtén la probabilidad de que: a) Sea espadas. b) Sea oros. c) Sea un rey.

d) No sea un rey. e) No sea de oros. f) No sea una figura.

29 Una urna tiene 4 bolas blancas, 2 rojas y

5 negras. Calcula la probabilidad de sacar una bola: a) Blanca. b) Roja.

c) Azul. d) Blanca, roja o negra.

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Suceso contrario

Experimentos aleatorios

E

A

Espacio muestral Suceso elemental

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

F

{5}

A

P (E ) = 1 P (Ø) = 0 P (A) = 1 - P (A)

Suceso elemental F

{1}

Propiedades de la propiedad

Suceso elemental F

{3}


1. DETERMINAR EL ESPACIO MUESTRAL

CON AYUDA DE UN DIAGRAMA DE ÁRBOL Determina el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar una moneda y un dado cuyas caras opuestas están pintadas del mismo color, siendo los colores azul, rojo y verde. PRIMERO. Fijamos

la primera posibilidad

de elección.

"CA

En este caso, el lanzamiento de la moneda cuyo resultado puede ser cara o cruz.

"CR

SEGUNDO. Añadimos

el resto de posibilidades a partir de la primera. A partir de cara o cruz indicamos los posibles colores que pueden obtenerse al lanzar el dado.

TERCERO. Escribimos

los resultados finales.

E = {CA, CR, CV, +A, +R, +V}

"CV "+A "+R "+V

2. HALLAR EL SUCESO COMPLEMENTARIO En el experimento aleatorio de lanzar un dado y, después, una moneda, calcula el suceso contrario, A, del suceso A = «Sacar un divisor de 6 en el dado y cara en la moneda». PRIMERO. Calculamos

el espacio muestral y el suceso A.

E = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+} A = «Sacar divisor de 6 en el dado y cara en la moneda» = {1C, 2C, 3C, 6C} SEGUNDO. El

contrario de A está formado por los elementos del espacio muestral, E, que no están en A.

E = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+} A = {1C, 2C, 3C, 6C} A = {4C, 5C, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+}

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3. UTILIZAR LA REGLA DE LAPLACE PARA CALCULAR PROBABILIDADES Calcula la probabilidad de los sucesos A = «Salir número par» y B = «Salir número menor que 3» en el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado. PRIMERO. Determinamos

el espacio muestral y los sucesos de los que queremos calcular su probabilidad. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {1, 2}

SEGUNDO. Evaluamos

si los sucesos elementales son equiprobables. En este caso, al lanzar el dado, todas las caras tienen la misma posibilidad de salir.

TERCERO. Contamos

el número de sucesos elementales de cada uno y aplicamos la regla de Laplace. Casos favorables a A 3 Casos favorables a B 2 P (A) = = = 0,5 P (B) = = = 0,33 Casos posibles 6 Casos posibles 6

4. CALCULAR PROBABILIDADES UTILIZANDO SUS PROPIEDADES En una fábrica se fabrican bombillas de dos colores: rojas y amarillas. Según sus controles de calidad, la probabilidad de que una bombilla esté fundida es 0,2. Calcula estas probabilidades. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una bombilla sea de color rojo o amarillo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea verde? c) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una bombilla no esté fundida? PRIMERO. Escribimos

los sucesos que nos piden en función de los sucesos conocidos utilizando el suceso seguro (E), el suceso imposible (Ø) y el complementario de un suceso. a) A = «Obtener bombilla roja o amarilla» = E ! Suceso seguro b) B = «Obtener bombilla verde» = Ø ! Suceso imposible c) C = «Obtener bombilla fundida» " C = «Obtener bombilla sin fundir» SEGUNDO. Aplicamos

las propiedades de la probabilidad para calcular las probabilidades pedidas. a) P (A ) = P (E ) = 1 b) P (B ) = P (Ø ) = 0 c) P (C ) = 1 - P (C ) = 1 - 0,2 = 0,8


Hallar el suceso complementario

1. Lanzamos tres monedas al aire y anotamos el número de caras que salen. Determina. a) El espacio muestral. b) El suceso «Salir dos caras». c) El suceso «Salir una cara o ninguna». d) El suceso «Salir dos cruces». e) El suceso «Salir al menos dos caras».

3. Al lanzar un dado, ¿cuál es el suceso complementario de A = «Salir número par»?

Determinar el espacio muestral con la ayuda de un diagrama de árbol 2. ¿Cuál es el número de sucesos elementales al lanzar una moneda y un dado?

Utilizar la regla de Laplace para calcular probabilidades 4. En una urna tenemos 8 bolas blancas, 2 rojas y 10 azules. ¿Cuál es la probabilidad de extraer al azar una bola roja? Calcular probabilidades utilizando sus propiedades 5. Si en una sala hay 50 personas y 33 son varones, ¿cuál es la probabilidad de que, elegida una persona al azar, sea mujer?

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Actividades EXPERIMENTOS ALEATORIOS. SUCESOS 31. ● Clasifica los siguientes experimentos en deterministas o aleatorios. a) Extraer una carta de la baraja española. b) Medir la hipotenusa en un triángulo rectángulo de catetos 3 cm y 4 cm. c) Lanzar 3 monedas y anotar el número de caras. d) Lanzar una chincheta y observar en qué posición queda. e) Apretar el pulsador que enciende una bombilla en un circuito eléctrico. f) Elegir al azar una ficha de dominó. g) Medir la altura de un aula. h) Lanzar una piedra al vacío y medir la aceleración. i) Averiguar el resultado de un partido antes de que se juegue. 6. ● Di cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuáles deterministas. Justifica tu respuesta. a) Pesar 1 dm3 de agua. b) Observar el color de una bola que extraemos de una urna que tiene bolas de distintos colores. c) Medir el lado de un cuadrado que tiene de área 2 cm2. d) Preguntar un número de 2 cifras. 32. ● Escribe dos experimentos aleatorios y otros dos que no lo sean. Justifica tu respuesta. 33. ● Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios. a) Extraer una carta de la baraja española. b) Lanzar una chincheta y anotar la posición de caída. c) Sacar una bola de una urna con 5 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. d) Lanzar 2 dados y restar las caras superiores. e) Lanzar 2 dados y multiplicar las caras superiores. f) Considerar las espadas de la baraja española y extraer una carta de ese grupo. g) Escoger al azar un país de la Unión Europea.

7. ● Define los sucesos elementales, el espacio muestral y dos sucesos no elementales. a) Apuntar la primera letra de una página elegida al azar. b) Elegir un número al azar y anotar su resto al dividir por 3. 8. ● Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios. a) En una bolsa hay 8 bolas numeradas del 2 al 9 y se extrae una bola. b) Lanzar una moneda y, después, extraer una carta de una baraja. c) Extraer una bola de una bolsa que contiene 3 bolas rojas, 2 verdes y 1 amarilla. 9. ● Lanzamos simultáneamente una moneda y un dado de seis caras numeradas del 1 al 6. ¿Cuál es el espacio muestral? Ayúdate con un diagrama de árbol. 34. ● Se lanzan 2 dados, uno rojo y otro azul. ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento? 10. ● ● Jaime lanza dos dados y, después, suma la puntuación obtenida. Describe el espacio muestral de este experimento. Haz lo mismo si, tras sumar los puntos, dividimos el resultado entre 3 y anotamos el resto de esa división. 35. ● Se lanzan 2 dados y se multiplica el número de puntos obtenido en cada uno. ¿Cuántos resultados se pueden obtener? Describe el espacio muestral e indica dos sucesos que no sean elementales. 11. ● Se lanzan tres monedas y se anota el resultado. a) Determina el espacio muestral. b) Describe los siguientes sucesos: • A = «Sacar 2 caras» • B = «Sacar al menos 1 cara» • C = «Sacar menos de 2 caras» • D = «No sacar ninguna cara»

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12. ● Se extrae una carta de una baraja española. a) Determina el espacio muestral. b) Escribe los siguientes sucesos: • A = «Sacar copas» • B = «Sacar rey de espadas»

16. ● ● Calcula, con una tabla de doble entrada, el espacio muestral asociado al lanzamiento de dos monedas. 17. ● ● Calcula, con una tabla de doble entrada, el espacio muestral asociado al experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados.

13. ●● Se lanza un dado de 12 caras y se consideran los sucesos: • A = «Salir cara par» • B = «Salir cara impar» • C = «Salir cara múltiplo de 3» • D = «Salir cara múltiplo de 5» • E = «Salir cara mayor que 5» • F = «Salir cara menor que 4»

OPERACIONES CON SUCESOS 36. ● Elegimos una ficha de dominó al azar. Determina los elementos de:

Escribe cada uno de estos sucesos. 14. ●● Una urna contiene 10 bolas, de las cuales hay 1 roja, 2 verdes, 3 amarillas y 4 azules. Se extrae una bola y se anota su color. a) Determina el espacio muestral.

a) El espacio muestral. b) A = «Elegir una ficha cuyos números sumen 6» c) B = «Elegir una ficha cuyos números multiplicados den 12» d) A e) B 37. ● ● Considera el lanzamiento de 3 monedas. Escribe los siguientes sucesos: A = «Obtener al menos una cara» y B = «Obtener una sola cara». Calcula.

b) Escribe los siguientes sucesos: • A = «Sacar bola roja» • B = «Sacar bola distinta de roja» • C = «Sacar bola azul»

c) A d) B 38. ● ● Extraemos una de las 28 fichas del dominó al azar y sumamos los puntos. Escribe los sucesos.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO CON UNA TABLA DE DOBLE ENTRADA?

a) A = «Obtener múltiplo de 5» b) B = «Obtener número par»

15. Calcula el espacio muestral asociado al experimento aleatorio de lanzar un dado y una moneda.

c) A d) B

PRIMERO. Se determinan los sucesos elementales.

«Lanzar un dado» = {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} «Lanzar una moneda» = {C}, {+} SEGUNDO. Hacemos corresponder los sucesos

anteriores con las columnas y las filas de una tabla. 1

2

3

4

5

6

C

1C

2C

3C

4C

5C

6C

+

1+

2+

3+

4+

5+

6+

Los resultados del interior de la tabla son los sucesos elementales que forman el espacio muestral.

39. ● ● En un bombo hay 15 bolas numeradas del 1 al 15 y se extrae una de ellas. Escribe los elementos que forman los sucesos. a) «Múltiplo de 3» d) «Mayor que 3 y menor que 8» b) «Múltiplo de 2» e) «Número impar» c) «Mayor que 4» Escribe los sucesos contrarios a cada uno de los sucesos anteriores. 41. ● ● Se lanza un dado de 6 caras y se consideran los sucesos A = {1, 3, 5, 6}, B = {1, 2, 4, 5} y C = {3, 4}. Calcula. a) A b) B c) C

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PROBABILIDAD DE UN SUCESO. REGLA DE LAPLACE 42. ● Sacamos dos cartas de una baraja española. Un suceso imposible es: a) «Sacar dos oros» b) «Sacar dos caballos de copas» c) «Sacar dos cartas de distinto palo» d) «Sacar dos figuras iguales del mismo palo» 18. ● Estudia los siguientes experimentos aleatorios y clasifícalos en regulares o no regulares. Justifica tu respuesta. a) Lanzar un dado. b) Lanzar una moneda. c) Observar si una chincheta cae con la punta hacia arriba o hacia abajo. d) Contestar al azar una pregunta que tiene cuatro posibles respuestas. 19. ● En un dado se suprime la cara 6 y se añade otra cara 1. ¿Cuál es el nuevo espacio muestral? ¿Son los sucesos equiprobables? 43. ● Al lanzar un dado, ordena, de menor a mayor grado de probabilidad, los siguientes sucesos. a) «Número impar» b) «Número igual o mayor que 5» c) «Número menor que 7» d) «Número mayor que 7»

22. ● ● Se lanza un dado de 6 caras. Halla la probabilidad de: a) A = «Salir cara par» b) B = «Salir cara impar» c) C = «Salir cara múltiplo de 3» d) D = «Salir cara múltiplo de 5» e) E = «Salir cara mayor que 5» f) F = «Salir cara menor que 4» g) G = «Salir múltiplo de 7» 44. ● De una baraja de 40 cartas se extrae una carta. Calcula las probabilidades de estos sucesos. a) A = «Obtener oros» b) B = «Obtener el rey de oros» c) C = «Obtener espadas o copas» 23. ● ● Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. Obtén la probabilidad de que la suma: a) Sea 3. b) No sea 7. c) Sea inferior a 11. d) Sea mayor que 7. 45. ● ● Se lanza un dado al aire y se suman los puntos de todas las caras menos la de arriba. Calcula el espacio muestral y la probabilidad de obtener un número múltiplo de 3. 46. ● ● En el juego del parchís se ha trucado el dado para que la probabilidad de que salga 5 sea cinco veces la probabilidad de que salga cualquier otra cara. ¿Qué afirmación es cierta?

20. ●● Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos de experimentos regulares. a) Sacar cara al lanzar una moneda. b) Obtener un 5 cuando juegas al parchís. c) Acertar el reintegro de la Lotería de Navidad. d) Salir un 2 en un dado con forma de tetraedro y caras numeradas del 1 al 4. e) Sacar oros al extraer una carta de una baraja española. 21. ●● En una bolsa hay 5 bolas rojas, 10 verdes y 5 azules. Se extrae una bola. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos. a) Sacar una bola roja. b) Sacar una bola verde. c) Sacar una bola que no sea azul.

2 3 1 b) P(cara 5) = 2

a) P(cara 5) =

5 6 1 d) P(cara 1) = 6

c) P(cara 5) =

47. ● ● En el caso del dado anterior, la probabilidad de sacar cara impar es: a)

1 2

b)

3 10

c)

7 6

d)

7 10

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48. ● Al lanzar una chincheta, puede caer con la punta hacia arriba o hacia abajo.

53. ● ● Se lanzan 4 monedas iguales. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 caras? b) ¿Y de no obtener ninguna cara? c) ¿Qué suceso es más probable, obtener 2 caras u obtener, al menos, 3 cruces? 55. ● La probabilidad de un suceso es 0,2. ¿Cuál es la probabilidad del suceso contrario? 56. ● ● Si en un dado P(1) = P(2) = P(3) = 0,14 y P (4) = P (5) = P(6) = x, ¿cuál es el valor de x?

a) ¿Es un experimento aleatorio o determinista? b) ¿Cuáles son los sucesos elementales? c) ¿Son estos sucesos equiprobables?

58. ● ● Se extrae una carta de la baraja española. Halla la probabilidad de: a) Obtener un caballo. b) No salir una figura.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULAN PROBABILIDADES CON AYUDA DE UN DIAGRAMA DE ÁRBOL? 52. Lanzamos tres monedas. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos. A = «Sacar 3 caras» B = «Sacar 2 caras» C = «No sacar ninguna cara» D = «Sacar 1 cruz» F = «Sacar a lo sumo 1 cara» G = «Sacar más de 1 cara»

PROBLEMAS CON PROBABILIDADES 62. ● ● En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han tomado carne 16 hombres y 20 mujeres, y el resto pescado. Si elegimos una persona al azar, calcula la probabilidad de estos sucesos.

PRIMERO. Se aplica la técnica del diagrama de árbol

para encontrar los sucesos elementales.

1.a moneda

2.a moneda

C C X C X X

3.a moneda

C X C X C X C X

Resultado

" CCC " CCX " CXC " CXX " XCC " XCX " XXC " XXX

E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX} SEGUNDO. Se calculan las probabilidades utilizando

la regla de Laplace. 1 8 3 P(B) = 8 1 P(C) = 8 P(A) =

3 8 4 1 P(F ) = = 8 2 4 1 P(G ) = = 8 2 P(D) =

a) Sea hombre. b) Haya tomado pescado. c) Sea hombre y tome pescado. 63. ● ● En una guardería hay 20 niños y 16 niñas. La mitad de los niños y tres cuartas partes de las niñas son morenos y el resto son rubios. ¿Cuál es la probabilidad de que, elegido uno al azar, sea niño o tenga el pelo moreno? 65. ● ● Luis y Juan tienen que recoger la habitación que comparten. Luis pone en una bolsa 3 bolas rojas, 2 verdes y 1 azul, y le propone a su hermano sacar una. Si es roja, recoge Juan, y si es azul, recoge él. a) ¿Cuál es la probabilidad de cada bola? b) ¿Es justo lo que propone Luis? c) Juan no acepta el trato y propone que si sale roja, recogerá él, y si sale azul o verde, recogerá Luis. ¿Es justo este trato? ¿Por qué?

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Y ahora... practica (Soluciones) UNIDAD 1

UNIDAD 3

1. Respuesta abierta. Por ejemplo: 18 27 , a) 8 12 22 33 , b) 12 18 26 130 , c) 16 80

1. a) • Términos: -x 3y 5y 2 • Grado: 4

14xy

1

b) • Términos: x 5 x 2 • Grado: 5

x

4

2. a) x 2 - 2x + 1

3 5 11 b) 18 23 c) 37

2. a)

1. a)

13 8

b) -

1. P(x) + Q(x) = -2x 4 - x 3 + 3x 2 + 3x - 4 P(x) - Q(x) = 4x 4 + x 3 + 3x2 - 13x + 6 2. P(x) ? Q(x) = 3x 6 + 4x 4 - 15x 3 - 12x 2 + 25x - 5 3. 4x 3 -3x - 5 4. a) x 2 ? (3x 3 + 5x - 14)

25 24

2. a) 6

3 b) 5 5 c) 6 3. a) 6 b) -1 21 c) 5

b) 6xy ? (3x 4 - xy - 2y)

d) -6xy 2 ? (1 + 2x + 4x 2)

UNIDAD 4 1. a) • Miembros: 3x - 4 4(x - 1) • Términos: 3x 4 x 4 • Incógnitas: x

169 840 355 b) 576

4. a)

b) 4x 2 + 12x + 9

UNIDAD 2

b) • Miembros: -x 2 + 7x - 1 -2(x 2 - 1) • Términos: -x2 7x -2x2 2 • Incógnitas: x

1. a) 64

g) 1

b) -64

h) 1

c) -64 1 d) 64 1 e) - 64 1 f) - 64

i) 1 1 j) 4

2. x =

k) -

1 4 1 l) 4

2. Pertenecen al intervalo 0 y 1. 1.

a) b) c) d)

39 35 63 (-6)3

2.

a) b) c) d)

35 39 3-2 33

3.

a) b) c) d)

522 52 5-26 522

1

6 5

3. a) 1 y -2

b) Sin solución 1 c) 0 y 7 d) 0

4. a) Ninguna

b) Dos

c) Dos

d) Una

2. 6 y 7 5. 19, 20 y 21 UNIDAD 5 1. a) Incógnitas: x, y Coeficientes: 2, -5, 1, 2 Términos independientes: 3, -4

6. a) 2,103 ? 106 b) -4,503 ? 10-5

b) Incógnitas: x, y Coeficientes: -1, 1, 4 Términos independientes: 0, -2

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1.

x + 2y = 3 3 - 4x + y = 6

UNIDAD 10 1.

Y

2. a) x = 2, y = 1 4 b) x = 1, y = 3

B

A 1

3. a) x = 0, y = 1 b) x = 2, y = 3 4. a) x = 1, y = 1 2 b) x = 0, y = 3

1

X

2. 180° 3. Pl(4, 0) 4. 90°

UNIDAD 6

5. Al(0, -2)

1. Existe proporcionalidad inversa, k = 600. 2. 85,26

1. a) Falso b) Verdadero

3. 59,50 €

5. Es la mitad.

4. 14 € 5. En el reparto directamente proporcional a 3 le corresponden 30 y a 7, 70. En el reparto inversamente proporcional a 3 le corresponden 70 y a 7, 30. 1. 144 hombres

UNIDAD 11 1. f(-1) = -5 f(-2) = -8 1. f(0) = 1 f(3) = -5 2. Y

UNIDAD 7 1. Respuesta abierta. Por ejemplo: Serie aritmética de diferencia 2: 1, 3, 5, 7, 9, … Serie geométrica de razón 2: 1, 2, 4, 8, 16, … 1. 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, …

1

3. No es aritmética ni geométrica. 4. d = 11

1

2. Y

5. r = -4

Precio (cent.)

6. an = -1 + 4n 7. an = 3 ? 2n-1 UNIDAD 8

3

1. 19,5 cm2 2. 50,24 cm2 3. 43,3 cm

X

1

X

Minutos

2

3.

4. 2,24 cm 5. 41,52 cm

Y

2

6. 198 cm2 1

UNIDAD 9

1

X

1. Prisma pentagonal: 7 C 10 V 15 A Pirámide octogonal: 9 C 9 V 16 A 3. Corta al eje X en (-1, 0) y (1, 0).

2. 10,91 cm

4. Cumple las condiciones de b).

3. 25,8 cm2 4. 113,04 cm 5. 0,94 cm

2

3

4. Tiene máximos en B, D y F. Tiene mínimos en C y E.

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UNIDAD 12 1. a) Función constante

b) Función afín

c) Función lineal

2. a) No pertenece a la recta.

c) Pertenece a la recta.

d) No pertenece a la recta.

b) No pertenece a la recta.

3. La recta es y = -x + 1. 1. Y

1 1

X

UNIDAD 13 1. Depende de la cantidad de melocotones que formen la población, si es un número elevado conviene elegir una muestra. La variable es cuantitativa discreta. 2. El 35 % de los datos son menores o iguales que él. 3. La altura es c. 4. Media: 1,6 Mediana: 1 Moda: 1

UNIDAD 14 1.

a) b) c) d) e)

E = {CCC, CC+, C+C, +CC, C++, +C+, ++C, +++} Salir dos caras = {CC+, C+C, +CC} Salir una cara o ninguna = {C++, +C+, ++C, +++} Salir dos cruces = {C++, +C+, ++C} Salir al menos dos caras = {CCC, CC+, C+C, +CC}

2. Hay 12 casos elementales. 3. Salir número impar = {1, 3, 5} 4. P(roja) =

2 = 0,1 20

5. P(mujer) =

17 = 0,34 50

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Dirección de arte: José Crespo Proyecto gráfico: Portada: Pep Carrió Interiores: Rosa María Barriga, Manuel García Ilustración: Grafitti s.c., José María Valera Fotografía de cubierta: Antonio Fernández Jefa de proyecto: Rosa Marín Coordinación de ilustración: Carlos Aguilera Jefe de desarrollo de proyecto: Javier Tejeda Desarrollo gráfico: Rosa María Barriga, José Luis García, Raúl de Andrés, Jorge Gómez Dirección técnica: Ángel García Encinar Coordinación técnica: Lourdes Román Confección y montaje: Alfonso García, Luis González, Hilario Simón, Marísa Valbuena Corrección: Marta López, Marta Rubio, Nuria del Peso Documentación y selección fotográfica: Nieves Marinas Fotografías: A. Toril; GARCÍA-PELAYO/Juancho; J. Escandell.com; J. Jaime; S. Enríquez; A. G. E. FOTOSTOCK; AGENCIA ESTUDIO SAN SIMÓN/A. Prieto; COMSTOCK; DIGITALVISION; EFE/SIPA-PRESS/Peter Stumpf; GETTY IMAGES SALES SPAIN/Photos.com Plus; I. Preysler; JOHN FOXX IMAGES; PHOTODISC; Kodak EasyShare; MATTON-BILD; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; ARCHIVO SANTILLANA

© 2011 by Santillana Educación, S. L. Torrelaguna, 60. 28043 Madrid PRINTED IN SPAIN Impreso en España por

ISBN: 978-84-680-0350-4 CP: 301386 Depósito legal:

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Libro mates 3º ESO Avanza

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