LIBRO-INTRODUCCION A LA GEODESIA SATELITAL.pdf

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

INDICE 1.1

INTRODUCCIÓN .......................... ........................... ............................ ............................ .10

1.2

LA ESFERA .......................... ........................... ............................ ............................ ..........11

o

CIRCULOS MÁXIMOS.- ......................... ............................ ........................... ....................12

o

PROPIEDADES ELEMENTALES.- .......................... ............................ ............................ .....12

o

VOLUMEN Y SUPERFICIE DE LA ESFERA: .......................... ........................... ....................13

o

DOMINIO SOBRE LA SUPERFICIE ESFÉRICA:......................... ............................ ...............13

o

TRIANGULO ESFÉRICO: ............................. ........................... ............................ ...............14

1.3 o

1.4

FORMULAS DE LOS SENOS................... ............................ ........................... ....................15 LEY DE SENOS PARA UN TRIANGULO ESFERICO: ........................... ............................ .....15 FORMULAS DE LOS COSENOS. ........................... ............................ ............................ .....16

o

LEY DE COSENOS PARA UNA TRIANGULO ESFERICO................. ............................ ..........16

o

ALGUNAS OTRAS FORMULAS. ........................... ............................ ............................ .....17

o

LEY DE COSENOS PARA VERTICES ........................... ............................ ........................... .17

1.5 o

FORMULAS DE BESSEL. ............................. ........................... ............................ ...............18 CLASIFICACION DE LAS FORMULAS DE BESSEL: ............................. ............................ .....19 1ra FORMULA DE BESSEL: Teorema del coseno para lados ............................ ....................19 2da FORMULA DE BESSEL: Teorema del seno ....................................................................23 3ra FORMULA DE BESSEL: Teorema de las Cotangentes ....................................................25 4ta FORMULA DE BESSEL: Teorema del coseno para ángulos ............................................26

1.6

FORMULAS DE BORDA......................... ............................ ........................... ....................27 ENUNCIADO DEL TEOREMA:...............................................................................................27

1.7

ANALOGÍAS DE GAUSS-D'ELAMBRE............................. .......................... .........................31 ENUNCIADO DEL TEOREMA................................................................................................31

1.8

REGLA DEL PENTÁGONO DE NEPER............................. .......................... .........................33

1.9

APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA ESFERICA.................... ............................ ..........35

1.10

Conclusiones ......................... ............................ ............................ ........................... ......36

1.11

BIBLIOGRAFÍA ........................ ............................ ........................... ............................ ......36

2.1introduccion ..........................................................................................................................37


2.2 ASTROMETRÍA ......................................................................................................................40 2.3

ASTRONOMÍA DE POSICIÓN: ............................. ............................ ............................ .....40

o

LA ESFERA TERRESTRE: ............................. ........................... ............................ ...............40

o

LINEAS Y CIRCULOS IMPORTANTES: ............................ ........................... ........................41

2.4

ESFERA CELESTE: ............................. ........................... ........................... .........................42

o

MOVIMIENTOS DE LA TIERRA ............................ ............................ ............................ .....42 Consecuencias de la rotación de la tierra ...........................................................................43 LOS SOLSTICIOS ..................................................................................................................44 LOS EQUINOCCIOS ..............................................................................................................45

3 .................................................................................................................................................46 2.5

LOS OBJETOS CELESTES Y SUS MOVIMIENTOS APARENTES............................. ...............48 LA ALTURA DEL POLO CELESTE Y LAS ESTRELLAS CIRCUMPOLAR ES ............... ....................... ............51 ....51

O

2.6

EL MOVIMIENTO DEL SOL EN EL CIELO............................ ........................... ....................52

2.7

EL MOVIMIENTO DEL SOL EN LA ESFERA TERRESTRE ......................... ........................... .54

2.8

COORDENADAS ASTRONÓMICAS: .......................... ............................ ........................... .56

o

SISTEMA DE COORDENADAS DEL HORIZONTE: ............................. ............................ .....56

o

SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS: ........................... ............................ ..........57

o

SISTEMA DE COORDENADAS ECUATORIALES: .......................... ............................ ..........57

o

COORDENADAS ECUATORIALES ABSOLUTAS: .......................... ............................ ..........59

o

SISTEMA DE COORDENADAS ECLÍPTICAS: ........................... ............................ ...............60

2.9

TRANSFORMACIONES ENTRE LOS DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS ..............62

2.10

TIEMPO......................... ............................ ........................... ............................ ...............66

o

EL TIEMPO Y SU MEDIDA. ......................... ........................... ............................ ...............66

o

TIEMPO ROTACIONAL.......................... ............................ ........................... ....................67

o

DEFINICIÓN DE AÑO. ........................... ............................ ........................... ....................69

2.11

CORRECCIONES A LOS SISTEMAS DE COORDENADAS ASTRONÓMICOS: ........................70

o

PARALAJE:.......................................................................................................................71

o

COORDENADAS TOPO CÉNTRICAS, GEOCÉNTRICAS Y HELIOCÉNTRICAS: .......................71

o

PARALAJE DIURNA:......................... ............................ ........................... .........................71

o

PARALAJE ANUAL: .......................... ............................ ............................ ........................72

2.12

Conclusiones ......................... ............................ ............................ ........................... ......74

2.13

BIBLIOGRAFÍA ........................ ............................ ........................... ............................ ......74

3.1

INTRODUCCIÓN Y DEFINICIÓN DE ELIPSE ............................ ............................ ...............75 REVOLUCIÓN:


o

ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN: ......................... ............................ ............................ ..........78

3.3

DETERMINACION DE UN PUNTO SOBRE EL ELIPSOIDE ............................ .......................80

3.4

LA GRAN NORMAL O NORMAL PRINCIPAL (N) ......................... ............................ ..........82

3.5

SECCIONES SOBRE EL ELIPSOIDE DE REVOLUCION. CURVATURAS ............................ .....84

3.6

RADIO DE CURVATURA DE LA ELIPSE MERIDIANA ......................... ............................ .....85

o

RADIO DE CURVATURA DEL VERTICAL PRIMARIO: GRAN NORMAL........................... .....86

o

RADIO DE CURVATURA DE UNA SECCION SECCION NORMAL EN UN ACIMUT CUALQUIERA ........87

o

RADIO DE CURVATURA MEDIO.......................... ............................ ............................ .....90

o

SECCIONES NORMALES RECIPROCAS. LA LINEA GEODESICA ........................... ...............90

o

LONGITUD DEL ARCO DE PARALELO ............................ ........................... ........................90

o

LONGITUD DEL ARCO DE MERIDIANO ............................. ........................... ....................91

3.7

ACIMUT GEODESICO Y CONVERGENCIA DE MERIDIANOS .......................... ....................95

3.8

ECUACIÓN DE LA LÍNEA GEODÉSICA, FORMULA DE CLAIRAUT................... ....................96

3.9

APLICACIÓN ........................... ............................ ............................ ........................... ....100

3.10

bibliografia ............................ ............................ ............................ ........................... ....101

4.1

INTRODUCCIÓN .......................... ........................... ............................ ...........................1 02

4.2

FUNCIÓN VECTORIAL Y CAMPO VECTORIAL ........................ ............................ .............103

4.3

GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR ......................... ............................ ......................104

4.4

ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL ............................ ............................ .............105

4.5

CAMPO ESCALAR POTENCIAL .......................... ............................ ............................ ...107

4.6

ATRACCION GRAVITATORIA DE NEWTON, POTENCIAL GRAVITATORIO .......................1 07

4.7

FUERZA CENTRIFUGA, POTENCIAL CENTRIFUGO........................... ............................ ...109

4.8

GRAVEDAD Y POTENCIAL DE LA GRAVEDAD ............................ ............................ ........110

o

UNIDADES DE GRAVEDAD ............................. ........................... ............................ ........111

4.9 POTENCIAL Y GRAVEDAD NORMAL ....................................................................................112 4.9

EL GEOIDE.......................... ........................... ............................ ............................ ........114

o

UTILIDAD EL GEOIDE............................ ............................ ........................... ..................115

4.10

ONDULACION DEL GEOIDE ........................... ............................ ............................ ........115

o

PROYECCION DE PIZETTI ........................... ........................... ............................ .............116

o

PROYECCION DE HELMERT ........................... ............................ ............................ ........117

4.11

FIGURA DE LA TIERRA .......................... ............................ ............................ .................117

o

LA GEODESIA CLÁSICA ......................... ............................ ........................... ..................117

o

LA GEODESIA MODERNA .......................... ........................... ............................ .............117 FÍSICA


o

MÉTODOS DE LOS ARCOS ......................... ........................... ............................ .............119

o

MÉTODO DE LAS ÁREAS ........................... ........................... ............................ .............120

o

MÉTODO GRAVIMÉTRICO......................... ........................... ............................ .............121

4.13

BIBLIOGRAFÌA ........................ ............................ ........................... ............................ ....123

5.1

INTRODUCCION .......................... ........................... ............................ ...........................1 24

5.2

SISTEMA DE COORDENADAS ASTRONOMICAS O NATURAL ............................ .............125 SISTEMA GEOCENTRICO ASTRONOMICO. ........................... ............................ .............125

o

  

Latitud astronómica ( ): ..................................................................................................125 Longitud astronómica ( ): ................................................................................................125 Altura ortométrica ( ):.....................................................................................................126 SISTEMA TOPOCENTRICO ASTRONOMICO. ..................................................................126

o



Distancia cenital ( ): .........................................................................................................127

Acimut astronómico astronómico (



): .............................................................................................127

SISTEMA DE COORDENADAS GEODESICO ........................... ............................ .............128

o

3.1 SISTEMA GEOCENTRICO GEODESICO..........................................................................128 -

LATITUD GEODÉSICA(ϕ GEODÉSICA(ϕ).- .........................................................................................128

-

LONGITUD GEODÉSICA (λ).(λ). - ......................................................................................128

-

ALTURA ELIPSOIDAL (h).- .......................... ............................ ............................ ........129

3.2 SISTEMA TOPOCÉNTRICO GEODÉSICO .......................................................................129 o

SISTEMA CARTESIANO GEOCENTRICO............................. ........................... ..................130

o

SITEMA DE REFERENCIA GENERAL GEODESICO Y LOCAL CARTESIANO ........................1 34

o

TRIEDRO LOCAL DE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES........................... ..........................1 38

o

DESVIACION DE LA VERTICAL ............................ ............................ ............................ ...140

ECUACIÓN DE LAPLACE, PUNTO LAPLACE ............................................................................144 6.1INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................149

6.2.MARCO TEORICO .........................................................................................................150 o

EXCESO ESFERICO ............................ ........................... ........................... .......................150

o

TEOREMA DE LEGENDRE: ......................... ........................... ............................ .............151

o

TEOREMA DE GAUSS: .......................... ............................ ............................ .................151

o

ESFERA DE JACOBI: ......................... ............................ ........................... .......................152

o

DESARROLLO DE WEINGARTEN-PUISEUX ............................ ............................ .............155

o

PROBLEMAS GEODÉSICOS PRINCIPALES.......................... ........................... ..................158 Problema Directo .............................................................................................................158


METODO ALGEBRAICO .....................................................................................................158 o

Problema Directo ............................ ........................... ........................... .......................159

Problema Inverso .................................................................................................................162 Cálculo de acimutes y convergencia de meridianos .......................... ............................ ...162



Cálculo de la distancia entre los dos vértices A y B........................................................164 7.1. INTRODUCCION .................................................................................................................166 7.2. TRASLADO DE POSICIONES GEOGRAFICAS ........................................................................167 o

Traslado de posiciones geográficas por métodos geodésicos.- ............................ ........167

o

Traslados de posiciones geográficas por métodos topográficos .......................... ........167 Los métodos planimétricos ..............................................................................................168 Los métodos altimétricos .................................................................................................168 El método taquimétrico ...................................................................................................168

7.3. TRASLADO DEPOSICIONES GEOGRÁFICAS POR MÉTODOS GEODÉSICOS ........................168 Poligonal ...........................................................................................................................168 Radiación ..........................................................................................................................170 Triangulación ....................................................................................................................171 Trilateración .....................................................................................................................174 7.4.DEFINICION DE TOPOGRAFIA .............................................................................................176 o

LEVANTAMIENTOS ......................... ............................ ........................... .......................177 Clases de levantamientos .................................................................................................177 Topográficos .....................................................................................................................177 Geodésicos .......................................................................................................................177

7.5.LIMITE DE EXTENSION DE LOS LEVANTAMIENTOS TOPOOGRAFICOS ................................177 GRAFICISMO, ESCALA Y CENTIMETRO GRAFICO......................... ............................ .............177 Escala: ..............................................................................................................................178 ERROR LINEAL ..................................................................................................................179 ERROR PERIFERICO ...........................................................................................................180 ERROR ANGULAR ..............................................................................................................181 7.6.TRASLADO DE POSICIONES GEOGRAFICAS Y METODOS TOPOGRAFICOS ..........................182 NORTE GEOGRAFICO (NG): ...............................................................................................183 NORTE DE DE CUADRICULA (Nc): .......................... ............................ ............................ ........183 CONVERGENCIA DE MERIDIANO : ....................................................................................183 ACIMUT (Z): ......................................................................................................................183 ORIENTACION (O): ............................................................................................................183


MARCACION (α): (α): ..............................................................................................................184 DISTANCIAS Y SUPERFICIES...............................................................................................184 o

RADIACION ............................ ............................ ............................ ........................... ....184 ITINERARIO .......................................................................................................................185 INTERSECCION ..................................................................................................................186 LA INTERSECCION DIRECTA ..............................................................................................186 LA TRISECCION DIRECTA ...................................................................................................188 LA INTERSECCION INVERSA ..............................................................................................189 LA INTERSECCION MIXTA..................................................................................................192

o

TRILATERACIÓN .......................... ........................... ............................ ...........................1 92

o

TAQUIMETRIA: ........................... ............................ ........................... ...........................1 95

7.7.LA REPRESENTACION UTM .................................................................................................198 o

LA ORIENTACION ............................. ........................... ........................... .......................200

o

CONVERGENCIA DE MERIDIANOS .......................... ............................ ..........................2 00

o

EL MODULO DE DEFORMACION LINEAL REDUCIDO ........................... ..........................2 01

7.8.LA REFERENCIA TOPOGRAFICA Y LA PROYECCION U.T.M...................................................203 8.1.INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................205 8.2.LA RED GEODÉSICA CLÁSICA ..............................................................................................206 8.3. CONSTRUCCIÓN CONSTRUCCIÓN DE LA RED O TRIANGULACIÓN ........................... ............................ ........208 o

Proyecto de la Triangulación ............................. ............................ ............................ ...209 Dimensiones de los lados .................................................................................................210 El Reconocimiento del Terreno ........................................................................................211 LA SEÑALIZACIÓN .............................................................................................................213

o

La Observación y El Control de Resultados .......................... ............................ .............214

o

La Compensación ............................ ........................... ........................... .......................215

8.4.LA RED GEODÉSICA CLÁSICA ESPAÑOLA.............................................................................216 8.5.LAS REDES GEODÉSICAS TRIDIMENSIONALES ....................................................................218 8.6.ORIGEN Y EVOLUCIÓN DE LA RED GEODÉSICA ESPAÑOLA .................................................219 o

El Servicio Internacional de Rotación IERS ........................... ............................ .............221

o

El Servicio Internacional Para Geodinámica IGS ............................ ............................ ...222

o

El marco ETRF89. La campaña EUREF89 .......................... ........................... ..................223

o

Las campañas IBERIA95 y BALEAR98 .......................... ........................... .......................223

o

Le Red REGENTE ......................... ........................... ............................ ...........................2 24

8.7. RED GEODÉSICA NACIONAL EN AMERICA Y EN EL PERU ...................................................225


o

LA CAMPAÑA GPS DEL PROYECTO SIRGAS ...................................................................227 PAIS

o

N°. DE ESTACIONES ........................................................................229

RED GEODÉSICA HORIZONTAL NACIONAL CLASICA ....................................................230

8.8. RED GEODESICA EN EL PERU .............................................................................................230 CUMPLIMIENTO DE OBJETIVOS ........................................................................................231 o

MAPA DE LA RED GEODESICA NACIONAL .....................................................................233

o

DESCRIPCION DE LA INTEGRACION A SIRGAS ...............................................................234 ESTADO DE REALIZACION .................................................................................................234

o

PROGRAMACION PARA OBTENCION DE RESULTADOS FINALES ...................................235 ¿QUÉ PERMITE AL PAÍS CONTAR CON LA REGGEN? .........................................................235 RED GEODÉSICANACIONAL GPS .......................................................................................235

o

ACTIVIDADES DE MANTENIMIENTO EJECUTADAS EN 2005 ..........................................237 RESUMEN .........................................................................................................................238

o

RESOLUCION JEFATURAL N° 079-2006-IGN-OAJ-DGC ..................................................240 SE RESUELVE:....................................................................................................................241

o

RED GEODESICA GEOCENTRICA NACIONAL (REGGEN): ................................................244

8.9.PRINCIPALES PUNTOS GEODÉSICOS EN EL PERÚ ................................................................245 o

PRINCIPALES PUNTOS GEODÉSICOS EN LA REGIÓN JUNÍN ...........................................245

o

PROCEDIMIENTO PARA OBTENER LA FICHA TECNICA ..................................................247

8.10. FICHAS TECNICAS DE LOS PRINCIPALES PUNTOS GEODESICOS DE JUNIN ......................249 o

anexos ..........................................................................................................................253 RED GEODESICA MINERA .................................................................................................253 CUADRO DE COORDENADAS EN WGS-84 .........................................................................253 CUADRO DE COORDENADAS EN EL SISTEMA ITRF 94 .......................................................253 INSTITUTO GEODESICO DEL PERÚ ....................................................................................254 PROYECTO SNAPP-96 .......................................................................................................254 PUNTOS GPS .....................................................................................................................254 COORDENADAS DE LA SUB RED GEODESICA MINERA ......................................................255

9.1.INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................258 9.2. REDUCCIÓN DE DISTANCIAS ..............................................................................................259 9.3. CORRECCIÓN METEOROLÓGICA ........................................................................................259 1.12

.....................................................................................................................................260

9.4. CALCULO DE DESNIVEL ......................................................................................................260 A) REDUCCIÓN AL HORIZONTE

...260


o

B) REDUCCIÓN A LA HORIZONTAL DE A ........................................................................261

o

C) CORRECCIÓN POR ESFERICIDAD ...............................................................................261

o

D) CORRECCIÓN POR REFRACCIÓN ...............................................................................263

o

E) CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE REFRACCIÓN ...........................................................264

o

F) CORRECCIÓN CONJUNTA POR ESFERICIDAD Y REFRACCIÓN ....................................266

9.5. REDUCCIÓN DEL TERRENO A LA CUERDA ..........................................................................267 9.6. REDUCCIÓN DE LA CUERDA AL ARCO ................................................................................269 9.7. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS .................................................................................................270

A) CORRECCIÓN ANGULAR PARA PASO DE LA SECCIÓN NORMAL A LA LÍNEA GEODÉSICA 270

o

B) CORRECCIÓN ANGULAR DEBIDA A LA DESVIACIÓN DE LA VERTICAL .......................272

o

C) CORRECCIÓN ANGULAR DEBIDA A LA ALTURA DEL PUNTO DE ESTACIÓN ...............273

o

D) CORRECCION ANGULAR DEBIDA A LA ALTURA DEL PUNTO OBSERVADO ................274

o

10.1 INTRODUCCION ................................................................................................................277 10.1,TRANSFORMACION DE HELMERT .....................................................................................278 10.2. TRANSFORMACION DE AFINIDAD O DE 7 PARAMETROS:................................................281 10.3. ESTABLECIMIENTO DE UN SISTEMA LOCAL: ....................................................................282 o

UN ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN: ...................................................................................282

o

UNAS COORDENADAS DE PARTIDA O DATUM: ............................................................283

o

UNA TERCERA COORDENADA LLAMADA ALTURA ORTOMETRICA: ..............................284

o

EFECTOS DE USAR DATUM DIFERENTES: .....................................................................285

FIG.10.8 ................................................................................................................................285 o

SISTEMA LOCAL UTILIZADO POR EL PERU ....................................................................286

10.4.ESTABLECIMIENTO DE UN SISTEMA GLOBAL: ..................................................................286 10.5.PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA: ..................................................................................288 10.6.MODELO DE LOS 7 PARAMETROS DE BURSA – WOLF: .....................................................289 10.7.MODELO DE 3 PARAMETROS: ..........................................................................................289 10.8.MODELO DE 7 PARAMETROS DE MOLODENSKY-BADEKAS: .............................................290 o

OBTENCION DE LAS COORDENADAS CARTESIANAS .....................................................291

o

Transformaciones entre los sistemas ED50 y WGS84 ...................................................291 SISTEMA WGS84 ...............................................................................................................291 SISTEMA ED50 ..................................................................................................................291

o

CALCULO DE LOS 7 PARAMETROS DE MOLODENSKY-BADEKAS ...................................293

o

EJEMPLO

........296


10.9. MODELOS ESTANDAR Y ABREVIADO DE MOLODENSKY: .................................................298

2.

o

FORMULA ESTÁNDAR DE MOLODENSKY: .....................................................................298

o

FORMULA ABREVIADA DE MOLODENSKY:....................................................................299

Cartografía y geodesia satelital por Roger Alejos, Víctor Hugo . .........................301


La Trigonometría es una rama de la Matemática en la que se analiza la medida de las partes de los triángulos, tanto de los triángulos planos como de los esféricos así como de las figuras que se forman con ellos. Así como en Topografía y en Cartografía es muy importante la Trigonometría Plana, en Astronomía y en Geodesia es fundamental el análisis de los triángulos esféricos. En el posterior desarrollo de la Trigonometría Esférica se considera básico el conocimiento de la Trigonometría Plana y de las propiedades de las funciones trigonométricas. El análisis de las figuras que se representan sobre la superficie esférica lo lleva a cabo la Geometría Esférica. Los conceptos fundamentales de esta Geometría son los siguientes: circunferencias máximas, circunferencias menores, distancia esférica, ángulo esférico Mediante estos conceptos se definen el triángulo esférico y su triangulo polar y además se deducen sus propiedades fundamentales


Es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera.

Fig. 1.1 Euclides

Euclides fue el que definió a la esfera como solido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular de su diámetro. Esfera proviene del término griego sphaíra, que significa pelota. Una esfera E, de centro en el punto (a,b,c) y radio k, es el dominio de R3 definido por:

Fig. 1.2 superficie definida por:

E= {(x, y,z)



R3/(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=k2}


o

Una Circunferencia máxima, o ciclo, sobre una esfera, es el perímetro de la sección producida por la intersección de la esfera con un plano que pasa por el centro de la esfera; por tanto, su radio será el de la esfera. Una Circunferencia menor es el perímetro de la sección producida por la intersección de la esfera con un plano que no pase por su centro.

Fig. 1.3 Circulo menor y máximo o

a.- Cuatro puntos del espacio euclidiano R 3 definen a una esfera. b.- Por un punto P de la superficie de una esfera pasan infinitos círculos máximos .Por dos puntos P y Q de la superficie de una esfera pasa un círculos máximo y solo uno. c.- Si la longitud de arco desde A hacia B es a y el radio de la esfera es k , el ángulo sobre el círculo máximo es a/k .

Fig. 1.4 puntos no coplanario Definen una esfera


Fig. 1.5 Por cualquier punto P de la Superficie pasan infinitos

o

El volumen de una esfera es el volumen de revolución engendrado por un recinto circular que gira alrededor del diámetro. Sabiendo que:

  

, es la ecuación del circulo de radio k.

CALCULANDO:

           

o

D

Fig.- 1.6 Dominio sobre la superficie esférica


                         

 

Un dominio de superficie esférica es un recinto o área sobre la superficie de la esfera limitado por curvas contenidas en dicha superficie. o

Un triángulo esférico de vértices A, B y C , es el dominio de superficie esférica limitado por tres círculos máximos que se cortan en A,B y C

Fig.- 1.7 Dominio limitado por tres círculos máximos

Los lados a, b y c , son respectivamente, los arcos de circulo máximo opuestos a A,B y C. En todo triángulo esférico de lados a, b y c ; y de vértices A,B y C sobre una superficie esférica de radio k , se puede distinguir 6 ángulos: A, B y C : son los ángulos diedros que definen los círculos máximos que se cortan en dichos puntos. a/k, b/k y c/k ; son los ángulos centrales (con vértice en centro de la esfera) barridos por cada uno de los lados a, b y c. De igual forma se aplican todas las formulas trigonométricas en cada uno de estos ángulos.


o

Los senos de los lados de un triángulo esférico son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.

              Demostración: Tracemos el plano perpendicular al radio OA que pasa por C y el plano perpendicular al radio OB que pasa por C; la intersección de estos dos planos con el ángulo triedro asociado al triangulo esférico ABC la forman

Fig.- 8 Ley de senos para un triángulo esférico

Los triángulos planos CED y CDF , tal y como se aprecia en la figura: El

radio

de

la

esfera

es

          =CE,

así pues

=OE,

.

=

= CF y .

R=1,

es

claro

por

 

= OF ; por otra parte, CD =

, de donde:

construcción .CE y CD =



que .CF;


La otra razón, es decir ,

 

        es igual, y para ello se razona análogamente.

o

En un triángulo esférico el coseno de cualquier lado es igual a la suma del producto de los cosenos de los otros dos lados y el producto de los senos de los mismos por el coseno del ángulo opuesto, es decir:

         =

+

=

+

=

+

Demostración: Según se aprecia en la figura anterior:

                      = OF = OD.

=

(c – x) = OD.

+ CE.

Los otros dos casos son similares.

=

.

+

+ OD.

=OE

+ DE


o

                    Demostraremos solamente la primera ya que las demás son análogas.

                                                     o

Aplicando la ley de cosenos ya mencionada al triángulo polar y teniendo en cuenta las relaciones de sus ´ángulos resultan las siguientes fórmulas:


                   Demostración:

Desde las fórmulas de los cosenos, obtenidas en la sección anterior, se pueden obtener de inmediato un conjunto de varias fórmulas conocidas como "relaciones del seno por el coseno" o también denominadas Fórmulas de Bessel. Fueron deducidas por primera vez por el gran matemático Friedrich Wilhelm Bessel (Wesfalia, Alemania, 1784-Kaliningrado, Rusia, 1846). C

a b

B

O c A

Fig.- 1.9 triangulo esférico para las fórmulas de Bessel


OBJETIVO: Poder calcular un lado o un ángulo cualquiera en triangulo esférico, a partir del conocimiento de otros tres elementos de dicho triangulo

o

1er GRUPO DE BESSEL: Teorema del coseno para lados 2do GRUPO DE BESSEL: Teorema del seno 3er GRUPO DE BESSEL: Teorema de la cotangente 4to GRUPO DE BESSEL: Teorema del coseno para ángulos 1ra FORMULA DE BESSEL: Teorema del coseno para lados

Fig.- 10 Triangulo esférico

Enunciado del teorema del coseno para lados: En todo triangulo esférico, el coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos lados, más el producto de los senos de dichos lados por el coseno del ángulo comprendido, es decir:

cos a = cos b . cos c +sen b . sen c . cos A cos b =cos a . cos c +sen a . sen c . cos B cos c =cos a . cos b +sen a . sen b . cos C


Conceptos previos a) Definición de altura esférica: Se llama altura esférica hc (CH) del triángulo esférico ABC sobre una esfera de radio r al arco del ciclo perpendicular al arco AB y que pasa por C. b) Proyecciones: Proyección de C sobre el plano OAB produce P. Proyección de P sobre la recta OA es N. Proyección de P sobre la recta OB es M.

Fig.- 11 Triangulo esférico para la fórmula de Beseel

c) Triángulos formados:

 

 


     

     

ACLARACION DE LOS ANGULOS:

RECORDAR

Se llama ángulo correspondiente a un diedro, al ángulo formado por dos perpendiculares a la arista en un mismo punto y una en cada cara. El ángulo CON es b ya que es el mismo ángulo que COA. ACLARACION DE LOS ANGULOS:

RECORDAR

Se llama ángulo correspondiente a un diedro, al ángulo formado por dos perpendiculares a la arista en un mismo punto y una en cada cara. El ángulo CON es b ya que es el mismo ángulo que COA.

DEMOSTRACION (Teorema del coseno)

C

A

    

P

N

C

B M

    


         

C r a O

M

C r b O

De 1 y 2

N



SUSTITUYENDO CN Y CM

            

                         Por tanto:

   

Dividiendo entre r:


    

Análogamente para los cosenos de los lados “b” y “c”:

Se tendría

cos b = cos a . cos c +sen a . sen c . cos B cos c =cos a . cos b +sen a . sen b . cos C Estas fórmulas permiten calcular: Los ángulos, conociendo los tres lados. Un lado, conociendo los otros dos y el ángulo comprendido.

2da FORMULA DE BESSEL: Teorema del seno

Enunciado del teorema del seno: En todo triangulo esférico, los senos de los lados son proporcionales

       

a los senos de los ángulos opuestos, es decir:

Permiten calcular un lado o un ángulo; conociendo su ángulo opuesto, o lado opuesto, y otro par de elementos opuestos.

DEMOSTRACION (Teorema del seno)

Fig.- 12 Triangulo esférico para la fórmula de Beseel

Se llama altura esférica hc (CH) del triángulo esférico ABC sobre una esfera de radio r al arco del ciclo perpendicular al arco AB y que pasa por C.


       NECESITAMOS CALCULAR CP: C

A N

P

Y sustituyendo:

                  Y ahora CN:

Análogamente, volvemos a calcular CP:

   Y ahora CM:

   Y sustituyendo en:

Igualando:

     

     


                       

Simplificando y ordenando:

Trazando la altura esférica ha sobre el lado a, se probaría la relación:

Por tanto:

3ra FORMULA DE BESSEL: Teorema de las Cotangentes

Por el teorema del coseno y del seno se tiene: cos a  cos b  cos c  sen b  sen c  cos A  cos c  cos a  cos b  sen a  sen b  cos C    sen a sen c   sen C   sen A

Sustituyendo cos c y sen c en la primera fórmula, obtenemos: Cos a = cos b.(cos a.cos b + sen a.sen b.cos C) + sen b . sen a. senC .cosA Sen A

Simplificando: Cos a = cos a.cos 2 b + cos b.sen a.sen b.cos C + sen b.sen C.cot A.sen a

  

 Pasamos el

Cos a - cos a.

sumando del 2º termino al



miembro:

= cos b.sen a.sen b.cos C + sen b. sen a. sen C.cot A



Cos a .(1-   ) = cos b.sen a.sen b.cos C + sen b. sen a. sen C.cot A. Cos a.  b = cos b.sen a.sen b.cos C + sen b. sen a. sen C.cot A. 

Sacamos factor común cos a en el

termino:



Dividimos ambos miembros por sena . senb, se tiene:


Cot a . sen b = cos b . cos C + sen C . cot A

DE FORMA ANALOGA Y POR PERMUTACION SE TIENE: Cot a . sen b = cos b . cos C + sen C . cot A Cot a . sen c = cos c . cos B + sen B . cot A Cot b . sen a = cos a . cos C + sen C . cot B Cot b . sen c = cos c . cos A + sen A . cot B Cot c . sen a = cos a . cos B + sen B . cot C Cot c . sen b = cos b . cos A + sen A . cot C

4ta FORMULA DE BESSEL: Teorema del coseno para ángulos

Recordar: Triangulo Polar: Dado el triángulo ABC, hallamos el polo Del mismo modo determinamos el polo



 

del lado c más próximo al vértice C.

del lado b y el polo

del lado a.

A=Ap

O B

Bp

Cp C

Fig.- 1.3 Triangulo Polar

Aplicando el teorema del coseno para lados al triangulo polar ABC, se tiene: Cos

      = cos

PORTANTO:

.cos

+ sen

.sen

.sen


    

SIMPLIFICANDO:

-cos A = (- cos B). (- cos C) + sen B. sen C. (- cos a) MULTIPLICANDO LA IGUALDAD POR (-1):

cos A = - cos B. cos C+ sen B. sen C. cos a OBTENIENDOSE LAS FORMULAS QUE RELACIONAN TRES ANGULOS Y UN LADO:

cos A = - cos B. cos C+ sen B. sen C. cos a cos B = - cos A. cos C + sen A. sen C. cos b cos C = - cos A. cos B + sen A. sen B. cos c

ENUNCIADO DEL TEOREMA: A partir de las fórmulas del ángulo mitad de la tri gonometría plana, y sustituyendo las fórmulas del coseno, podemos obtener un grupo de fórmulas que explicitan la tangente del ángulo diedro mitad, obtenidas por primera vez por Jean Borda (París, 1733-1799). Si llamamos p al semiperímetro del triángulo definido por los arcos a, b y c, se tiene:

            De las fórmulas del coseno para la esfera trigonométrica, se tiene:


          Y, a partir de la fórmula de la trigonometría plana que da la tangente del ángulo mitad, se puede escribir:

                                                                         Podemos, entonces, escribir que:

Y, por analogía:

                    

En definitiva, se obtiene, para una esfera de radio k:


                                                  

O sea:

La tangente del ángulo diedro mitad es la raíz cuadrada del cociente de dividir el producto de los senos del complemento semiperimetral de los ángulos centrales adyacentes por el producto del seno del semiperímetro por el seno del complemento semiperimetral del ángulo central opuesto. Para despejar desde estas fórmulas el seno y el coseno correspondientes, tengamos en cuenta

                   

las fórmulas de trigonometría plana que nos dan:

Por lo cual, al sustituir:

                          


    

                  

Donde se ha simplificado la expresión del denominador haciendo:

                        Se obtienen, así, el seno y coseno del ángulo diedro mitad, referidos a una esfera trigonométrica, esto es, de radio unidad:

                                                                                  


ENUNCIADO DEL TEOREMA Usando las fórmulas de Borda, y teniendo en cuenta que por la fórmula del ángulo suma de la trigonometría plana es

          Podemos obtener mediante una sencilla sustitución las fórmulas llamadas analogías de Delambre, obtenidas por Jean Baptiste Joseph Delambre (Amiens, 1749 - París, 1822). Efectivamente, se tiene:

                                                                                                                                  


          Se obtiene en definitiva:

Análogamente, se obtienen:

                                                              

Permutando circularmente las letras se obtienen otras 8 fórmulas que completan el grupo:


                                             Esta es una regla mnemotécnica para la resolución de triángulos esféricos. Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo con A=90° Sea el siguiente triangulo la figura a analizar en el cual el Angulo A es 90º C a

b

B A

c

Fig. 1.4 triangulo esférico de neper


a

C

B A=90º

90º-c

90º-b

La regla del pentágono de Neper dice que el coseno de un elemento situado en un vértice es igual al producto de las cotangentes de los elementos situados en los vértices continuos e igual al producto de los senos de los elementos situados en vértices opuestos. Por ejemplo, en el caso de un triángulo rectángulo tenemos que :



De igual manera para un triángulo donde a=90º pasamos a formar nuestro pentágono. En el triángulo consideraremos al lado a =90º 180º-A

b

c

a = 90º 180º-A

b

c a= 9 0º

90º -C

90º- C

90º- B

Figura 1.5 : regla de los pentágonos de neper

La regla del pentágono de Neper dice que el coseno de un elemento situado en un vértice es igual al producto de las cotangentes de los elementos situados en los vértices continuos e igual al producto de los senos de los elementos situados en vértices opuestos. Por ejemplo, en el caso de un triángulo rectángulo tenemos que


Cos(180-A)=cot(b)*cot(c)=sen(90-C)sen(90º-B)=cos(C)*cos(B) Y así podemos sacar varias relaciones con la regla de neper. Ejemplo: Demostrar que en un triángulo esférico se verifica: Un cateto y su ángulo opuesto son ambos ángulos agudos o ambos obtusos Del pentágono de neper figura numero 1:

CosB= sen(90º-b)* senC= cosb*senC SenC =cosB/cosb >0

Entonces: caso1 (b) < 90º y B <90º si cumple esta condición entonces b y B son agudos. Caso2 (b) >90º y B> 90º si cumple esta condición entonces B y b son obtusos.

La trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía, estudia triángulos esféricos, es decir, figuras formadas por arcos de circunferencias máximas contenidos en la superficie de una esfera. El triángulo esférico, al igual que el triángulo plano, tiene seis elementos, los tres lados a, b, c , y los tres ángulos A, B y C . Sin embargo, los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares en vez de lineales, y dado que son arcos de circunferencias máximas de una esfera, su medida viene dada por el ángulo central correspondiente. Un triángulo esférico queda definido dando tres elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que en la geometría plana, hay fórmulas que relacionan las distintas partes de un triángulo que se pueden utilizar para calcular los elementos desconocidos. La trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección estereográfica y en la geodesia. Es también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.


La trigonometría esférica es un tema muy importante para la medición de grandes distancias La trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección estereográfica

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Pedro Garafulic Cabiedes - Universidad de Santiago de Chile

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Francisco Luis Flores: Historia didáctica de la trigonometría

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Calos S. Chinea : formulas de la trigonometría esférica



http://www.cartografia.cl/index.php?option=com_content&task=view&id=96&It emid=9



http://www.geodesiasatelitall/index.option=com_content&task=view&id=96&Ite mid=9

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www.monografias.com

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www.rincondelingeniero.com


La Astrometría o Astronomía de posición es la parte de la astronomía que se encarga de medir y estudiar la posición, y el movimiento propio de los astros. Estudia y mide la movilización, las paralajes y la posición de los astros para determinar Coordenadas geográficas de un lugar y la orientación del norte astronómico.

La importancia del zodiaco Además del movimiento diario de la esfera de las estrellas fijas, nuestros antepasados observaron cómo el Sol cambiaba su posición diaria entre los astros. Su camino, llamado Eclíptica, atravesaba las conocidas constelaciones del Zodiaco. Aunque de origen babilónico, su división actual en doce constelaciones procede de los griegos. En la imagen adjunta podemos comprobar cómo se mueve el Sol por el Zodiaco a lo largo del año. El calendario anual de 12 meses, usado ya por los egipcios; pero mejorado por Julio César, inventor del año bisiesto, es una consecuencia lógica de la observación del movimiento del Sol. La Astronomía de Posición es la ciencia que estudia la posición y movimiento de los cuerpos materiales del universo en el espacio y en el tiempo, mediante medidas efectuadas en observaciones astronómicas.


EL CIELO DE PTOLOMEO Aunque los planetas se movían por la eclíptica, lo hacían de una forma irregular. El sabio Alejandrino Claudio Ptolomeo explicó este movimiento como podemos ver en el modelo adjunto.

Fig. 2.1 cielo de Ptolomeo

En el modelo notamos su obsesión por los círculos perfectos. Es la consecuencia lógica de las ideas sobre el Universo del filósofo griego Aristóteles, anterior a Ptolomeo y gran autoridad en el pensamiento filosófico del mundo grecolatino:

FIG. 2.2 orbitas

Los planetas se mueven en círculos perfectos llamados epiciclos. El centro de los epiciclos sigue un círculo perfecto alrededor de la Tierra, llamado deferente. El centro de la deferente no coincide con la posición de la Tierra. Existe un punto, el

ecuante, respecto al que el planeta se mueve siempre a la misma

velocidad. -El mundo supra lunar, el de los astros, es perfecto y todos los movimientos son circulares. -El mundo sublunar, el habitado por los hombres, es imperfecto y todos los objetos se disponen en él según su mayor o menor peso.


La filosofía del Universo de Aristóteles y la astronomía de Ptolomeo dominaron el pensamiento humano hasta el Renacimiento.

LA HIPÓTESIS DE COPÉRNICO Aunque no el primero en pensarlo (ya lo había hecho Aristarco, sin aceptación en la Grecia clásica), fue Nicolás Copérnico, en el siglo XVI, el que desarrolló una alternativa heliocéntrica al sistema de Ptolomeo. 1. El Sol está inmóvil en el centro de las estrellas fijas, que no poseen ningún movimiento. 2. La Tierra y los demás planetas giran en órbitas circulares respecto al Sol. 3. La Tierra tiene además un movimiento de rotación diurno alrededor de su eje. 4. La Luna gira alrededor de la Tierra. Es una ciencia derivada de la Astronomía que sirve para determinar Coordenadas Geográficas de un Lugar y la orientación del Norte Astronómico.

FIG. 2.3 teoría geocéntrica

GALILEO CONFIRMA A COPÉRNICO Aunque Lippershey es el reconocido inventor del telescopio, Galileo Galilei fue el primero en emplearlo para la Astronomía (hacia 1610). En la escena de la derecha se muestra Júpiter y sus satélites como los veía Galileo. Las observaciones con su telescopio le llevaron a las conclusiones siguientes: 1. Al observar el cielo nocturno vio muchas más estrellas que a simple vista. Comprendió que había estrellas que no podíamos ver a simple vista porque estaban demasiado lejos. Las estrellas están a diferentes distancias, no unidas a una superficie esférica como suponían los pensadores antiguos. 2. La Luna presentaba montañas, valles y cráteres como la Tierra. Era un planeta similar al nuestro, no el astro "perfecto" que imaginaba Aristóteles 3. Venus presentaba fases como la Luna y cambiaba de tamaño. Evidentemente Venus giraba alrededor del Sol, no de la Tierra. 4. Júpiter presentaba 4 satélites que giraban a su alrededor. Era la prueba notoria de que la


Es la especialización de la astronomía que estudia la posición de los astros en el cielo, con el fin de establecer las coordenadas celestes y sus variaciones en el tiempo y reconstruir los movimientos de las estrellas. Como la parte experimental o técnica que permite medir la posición de los astros y los instrumentos que la hacen posible. La astrometría utiliza métodos fotográficos e instrumentos que permiten medir las posiciones estelares.

Usa la posición de los astros para elaborar un modelo de su movimiento o definir los conceptos que se usan. Se encarga de definir los distintos tipos de coordenadas astronómicas y sus relaciones. Describe el movimiento de los astros, planetas, satélites y fenómenos como los eclipses y tránsitos de los planetas por el disco del sol. Tiene pues por objeto situar en la esfera celeste la posición de los astros midiendo determinados ángulos respecto a unos planos fundamentales. La astronomía de posición tiene pues por objeto situar en la esfera celeste la posición de los astros midiendo determinados ángulos respecto a unos planos fundamentales.

o

Como los diámetros ecuatorial y polar son casi iguales, para resolver numerosos problemas de astronomía, se supone que la tierra es una esfera denominada esfera terrestre. La esfera terrestre cuenta con varias líneas y puntos principales, entre ellos el Eje, los Polos, el Ecuador, los Meridianos y los Paralelos. Diámetro ecuatorial: 12.756,28 km

Diámetro polar: 12.713,50 km


FIG. 2.4 esfera terrestre

o

LINEAS Y CIRCULOS IMPORTANTES:

EJE: El eje de la Tierra está inclinado respecto a la elíptica, y esto produce las estaciones. Si el eje de la tierra fuese perpendicular a la elíptica, no habría estaciones, ya que el ángulo de incidencia de los rayos del Sol sobre cada parte de la Tierra sería siempre el mismo en cualquier época del año.

ECUADOR: Es el círculo máximo normal al Eje de la Tierra. Los polos están separados 90º del Ecuador. El Ecuador divide a la Tierra en dos semiesferas o hemisferios, llamados Hemisferio Norte y Hemisferio Sur. Circulo máximo perpendicular al eje de la tierra.

PARALELOS: Círculos menores paralelos al eje de la tierra. TROPICO DE CANCER: Paralelo al hemisferio norte separado del ecuador 23 ° 27’ TROPICO DE CAPRICORNIO: Paralelo simétrico al trópico de cáncer ubicado en el hemisferio sur, por tanto también separado del ecuador 23 ° 27’

CIRCULO POLAR ARTICO: Paralelo que se encuentra separado del polo norte 23 ° 27’ CIRCULO POLAR ANTARTICO: Paralelo que se encuentra separado del sur 23 ° 27’


La tierra queda dividida por estos paralelos en cinco zonas que reciben los siguientes nombres: ZONA TORRIDA: Comprendida entre los trópicos y que el ecuador divide en dos partes. ZONA TEMPLADA: Limitada por los trópicos y los círculos polares. ZONA GLACIAR: Las extremas comprendidas entre los círculos polares y los polos. MERIDIANOS: Círculos máximos que pasan por los polos y son normales al ecuador,

Para ubicar objetos en el cielo, no basta con usar las constelaciones, hay que usar coordenadas celestes análogas a las coordenadas geográficas. Imaginen que estamos en el centro de la Tierra, y que ésta es una esfera transparente. Desde ese lugar podríamos ver los astros proyectados sobre esta esfera. Con este mecanismo, se utilizan dos sistemas de medición de posiciones en el cielo. Uno de ellos es el AZIMUTAL, en el cual se utilizan el azimut (sobre el horizonte) y la altura (cero en el horizonte y 90 grados sobre nuestras cabezas).

ESFERA CELESTE LOCAL O TOPOCENTRICA: Tiene por centro el ojo del observador, es la que contemplamos en un instante dado vemos la mitad de una esfera la que está sobre nuestro horizonte.

ESFERA CELESTE GEOCENTRICA: Tiene por centro la tierra. ESFERA CELESTE HELIOCENTRICA: Tiene por centro el sol.

FIG. 2.6 esfera celeste

o

La Tierra, como cualquier cuerpo celeste, no se encuentra en reposo sino que está sometida a movimientos de diversa índole. Los principales movimientos de la Tierra son los movimientos de rotación, traslación, precesión y nutación y otros más.


MOVIMIENTO DE ROTACIÓN Es un movimiento que efectúa la Tierra girando sobre sí misma a lo largo de un eje ideal denominado Eje terrestre que pasa por sus polos. Una vuelta completa, tomando como referencia a las estrellas, dura 23 horas con 56 minutos y 4 segundos y se denomina día sidéreo. Si tomamos como referencia al Sol, el mismo meridiano pasa frente a nuestra estrella cada 24 horas, llamado día solar. Los 3 minutos y 56 segundos de diferencia se deben a que en ese plazo de tiempo la Tierra ha avanzado en su órbita y debe de girar algo más que un día sideral para completar un día solar. La primera referencia tomada por el hombre fue el Sol, cuyo movimiento aparente, originado en la rotación de la Tierra, determina el día y la noche, dando la impresión que el cielo gira alrededor del planeta. En el uso coloquial del lenguaje se utiliza la palabra día para designar este fenómeno, que en astronomía se refiere como día solar y se corresponde con el tiempo solar.

FIG. 2.7 declinación del eje terrestre

Como se observa en el gráfico, el eje terrestre forma un ángulo de 23,5º respecto a la normal de la eclíptica, fenómeno denominado oblicuidad de la eclíptica. Esta inclinación produce largos meses de luz y oscuridad en los polos geográficos, además de ser la causa de las estaciones del año, causadas por el cambio del ángulo de incidencia de la radiación solar.

Consecuencias de la rotación de la tierra A. La sucesión de los días y las noches. B. La forma achatada de la tierra. C. Los puntos cardinales. D. El movimiento aparente de la esfera terrestre. E. La desviación de los cuerpos en su caída. F. Los vientos y las corrientes marinas.


Es un movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol. La causa de este movimiento es la acción de la gravedad, originándose cambios que, al igual que el día, permiten la medición del tiempo. Tomando como referencia el Sol, resulta lo que se denomina año tropical, lapso necesario para que se repitan las estaciones del año. Dura 365 días, 5 horas y 47 minutos. El movimiento que describe es una trayectoria elíptica de 930 millones de kilómetros, a una distancia media del Sol de prácticamente 150 millones de kilómetros ó 1 U.A. (Unidad Astronómica: 149 675 000 km). De esto se deduce que la Tierra se desplaza con una rapidez media de 106 200 km/h (29,5 km/s).

FIG. 2.8 movimiento de traslación

La trayectoria u órbita terrestre es elíptica. El Sol ocupa uno de los focos de la elipse y, debido a la excentricidad de la órbita, la distancia entre el Sol y la Tierra varía a lo largo del año. A primeros días de enero se alcanza la máxima proximidad al Sol, produciéndose el perihelio, donde la distancia es de 147,5 millones de km, mientras que en los primeros días de julio se alcanza la máxima lejanía, denominado afelio, donde la distancia es de 152,6 millones de km.

LOS SOLSTICIOS El 21 o 22 de junio, la tierra se encuentra en su posición de órbita, su eje se encuentra inclinado en un ángulo máximo de 30º hacia el sol. El hemisferio sur se encuentra más alejado. Esta circunstancia se conoce como solsticios de verano, para el hemisferio norte. Seis meses más tarde, 22 o 23 de diciembre, la tierra se encuentra en una posición equivalente, en un punto de su órbita diametralmente opuesto. En esta época, conocida como solsticios de invierno para el hemisferio norte, el eje presenta su inclinación máxima respecto al sol, aunque ahora es el hemisferio sur el que se encuentra inclinado hacia él. Y presenta el solsticio de verano. La posición del círculo de iluminación en el solsticio de invierno hace que el día y la noche tengan distinta duración en casi todos los puntos del globo. Resulta evidente que:    

La noche es más larga que el día en el hemisferio en que se inicia el invierno. El día es más largo que la noche en el hemisferio que entra en verano. La desigualdad entre el día y la noche aumenta a medida que nos alejamos del ecuador geográfico. En las latitudes simétricas, respecto al ecuador geográfico, las duraciones del día y de la noche son exactamente opuesta.


  

Entre el círculo polar ártico y el polo norte, la noche dura 24 horas. Entre el círculo polar antártico y el polo sur, el día dura 24 horas. Solsticio de invierno, para el hemisferio norte.

LOS EQUINOCCIOS        

Equinoccio de primavera el 20 o 21 de marzo. Equinoccio de otoño del 22 o 23 de septiembre. El circulo de iluminación pasa por los polos y coincide con los meridianos a medida que la tierra gira. El día y la noche dura 12 horas en todas las latitudes. Las condiciones reinantes en el hemisferio norte y el hemisferio sur son las mismas. La salida del sol tiene lugar a las 6:00 A.M. y la puesta del sol a las 6:00 P.M. en todos los lugares del globo, exceptuando a los polos, donde exist en condiciones especiales. El sol sale por un punto situado exactamente al oeste con la excepción de los polos en donde el sol permanece sobre el horizonte todo el día pero con un movimiento en sentido contrario. En el Ecuador el sol tiene al mediodía, una altura de 90º. La sombra de cualquier poste vertical, en este lugar, apunta directamente hacia el oeste desde las 6:00 A.M. hasta el mediodía y apunta directamente hacia el este, desde el mediodía hasta las 6:00 P.M.

MOVIMIENTO DE PRECESIÓN



Fig. 2.9 movimiento de precesión


Fig. 2.10 movimiento de precesión y nutación

Según las apariencias, la tierra parece estar inmóvil mientras su alrededor giran todos los cuerpos celestes aproximadamente 24 horas.


Si se utiliza como origen de referencia el sistema topocéntrico, en el cual se considera a un observador en el centro ocupando el centro del Universo, se comprueba que el Sol, la Luna, los Planetas y las Estrellas giran alrededor nuestro. Estos objetos celestes se ven moverse de Este a Oeste dando la sensación de que es la bóveda celeste la que está girando alrededor de la tierra, cuando en realidad es la Tierra la que gira alrededor de su propio eje, en sentido Oeste-Este. Si contemplamos las estrellas durante horas veremos un movimiento común sin cambiar la figura de las constelaciones. Las estrellas que están hacia el Este, se elevan; las que están hacia el Sur se mueven hacia el Oeste, y las que están hacia el Oeste bajan hacia el horizonte hasta desaparecer. Solamente es la estrella Polar la que aparentemente no gira, pero en realidad si efectúa un giro completo, tan pequeño que a ojo desnudo nos parece que esta quieta. Tomando como punto fijo de orientación la estrella Polar, se reconoce que todo el movimiento común de las estrellas se realiza en un sentido contrario al de las agujas del reloj (sentido directo). Si nos fijamos en el lugar que ocupa en el cielo una constelación dada a una hora determinada (por ejemplo la Osa Mayor a las 10 de la noche en la estación invernal), al día siguiente a la misma hora, no nos damos cuenta y nos parece que está en el mismo sitio, pero realmente cada día adelanta casi 4 minutos, es el denominado día sideral, cuyo valor es exactamente 23 horas, 56 minutos, 4.091 segundos, lo que equivale a un arco de 1º. Cada 15 días adelanta 1 hora, que equivale a un arco de 15º, entonces el aspecto del cielo ya no es el mismo, y a los seis meses, la Osa Mayor la encontraremos en la posición opuesta, llegando al mismo punto de origen otros seis meses después. Sucederá lo mismo con las demás estaciones. Esto nos demuestra que la Tierra se desplaza alrededor del sol y al cabo de un año vamos viendo las distintas constelaciones. El día sideral es el tiempo transcurrido entre dos pasos sucesivos de una estrella por el meridiano del lugar. Su duración coincide con el periodo de rotación terrestre. El día solar verdadero es el tiempo que separa dos pasos consecutivos del centro del Sol por el meridiano del lugar (su duración es 24 horas). El Sol llega al Sura aproximadamente cada día a las 12 horas del mediodía, pero una estrella llega a la misma posición cada día cuatro minutos antes que el Sol, y debido al movimiento de traslación el día solar verdadero es unos minutos más largo que el sideral. El hecho de que veamos distintas constelaciones en diferentes estaciones del año, es consecuencia del circuito del Sol en la esfera celeste. Sólo podemos ver estrellas en aquella parte del cielo que está lejos del Sol, y como que este se mueve a través del cielo en dirección Este, cubre progresivamente unas constelaciones y dejar ver otras. Por ejemplo, en junio el Sol está en aquella parte de la Eclíptica que atraviesa Tauro y, durante un par de meses, antes y después de esa fecha, la constelación está situada en el cielo iluminado. En diciembre, cuando el Sol se ha desplazado a la parte opuesta de cielo, Tauro


luce brillantemente a medianoche en el sur del cielo. Esa traslación es consecuencia de la diferencia entre el tiempo sideral y el tiempo solar. Si el observador se encuentra en una latitud septentrional media, como por ejemplo España, podemos considerar que la latitud media es 40ºN; la estrella Polar aparece a 40º por encima del horizonte norte. Vemos que las estrellas describen un movimiento a lo largo de su trayectoria (denominado movimiento diurno), unos cortan el horizonte del lugar de observación, de forma que las vemos salir, culminar y más tarde ocultarse. Las estrellas que distan menos de 40º del polo celeste nunca se pondrán, dichas estrellas no salen ni se ponen nunca, están siempre sobre el horizonte y siempre se ven, son la llamadas “estrellas circumpolares” siendo

ejemplos típicos las constelaciones de Osa Mayor, Osa Menor, Casiopea, Draco, etc. El nombre “estrellas circumpolares” es relativo pues varían según la latitud del observador.

Orientándonos hacia el horizonte sur, nos encontramos con que nunca podemos ver estrellas a menor distancia d 40º del polo sur, cuya declinación es de -50º. En la práctica, a causa de la atmosfera, el límite queda reducido. Esto significa que, objetos más al sur como las nubes de Magallanes y otros objetos celestes están perpetuamente escondidos a nuestra vista. Si el observador se encuentra en el polo Norte todas las estrellas describen círculos paralelos al horizonte, ninguna estrella sale ni se pone, es decir, nunca aparecen nuevas estrellas. La estrella Polar se encuentra en la cabeza del observador, en el cenit, que apunta hacia el eje terrestre. Vemos perpetuamente la mitad exacta de la esfera celeste, mientras que alguien situado en el polo sur tendría una visión análoga de la otra mitad de la esfera celeste.

FIG. 2.11 Movimientos aparente de las constelaciones circumpolares alrededor del eje del mundo o Polo Norte Celeste

Si el observador se encuentra en el Ecuador, podía ver que casi todas las estrellas describen círculos alrededor de la línea meridiana y todas las estrellas salen y se pone, excepto la Polar. La Luna también de la impresión de que recorre un círculo perfecto alrededor de la Tierra. Además del movimiento común de la bóveda celeste la luna está dotada de un movimiento propio de Este a Oeste. Podemos observar que cada hora se desplaza en casi la mitad de su diámetro, se pone unos 49º minutos más tarde cada día, o sea que se desplaza unos 13º cada día. Los planetas realizan un movimiento doble en la esfera celeste: por una parte, participan el movimiento diurno de la bóveda celeste trasladándose de Este a Oeste, y por otro poseen un movimiento propio de Oeste a Este. Si observamos y anotamos en un atlas estelar sus


a las estrellas que virtualmente parecen fijas. Pero su movimiento no es regular, sino que se interrumpe por periodos permaneciendo inmóvil por unos días, luego se mueven en dirección contraria, de Este a Oeste (denominado movimiento retrogrado), para posteriormente seguir su ruta normal, es decir la dirección Oeste-Este. Estos movimientos se deben a la combinación de la traslación de la Tierra y del planeta alrededor del Sol.

FIG 2.12 Trayectoria de las estrellas según la latitud del lugar

o

LA ALTURA DEL POLO CELESTE Y LAS ESTRELLAS CIRCUMPOLARES

La altura del polo celeste sobre el horizonte depende de la latitud del lugar de observación. Así, en el polo geográfico (esto es, el que se encuentra en la superficie de la Tierra), donde la latitud es de 90º, ya sea norte o sur, el polo celeste coincide perfectamente con el cenit. Al desplazarnos hacia el ecuador geográfico, donde la latitud es de 0º, la altura del polo celeste también disminuye, hasta llegar también a los 0º. Siempre que nuestra latitud no sea de 0º, todos los astros que se encuentren en las inmediaciones del polo celeste describirán un círculo completo sobre el horizonte y nunca se ocultarán. Cuanto más cerca del polo geográfico nos encontremos, mayor altura tendrá el polo celeste y mayor será el círculo de astros que no se ocultarán. Los astros que nunca se ocultan debido a esta circunstancia se llaman circumpolares. En el siguiente dibujo podemos observar cómo es el círculo de la circumpolaridad a una latitud de aproximadamente 40º norte, esto es, la latitud de la zona de Madrid o de Nueva York.

FIG 2.13 Si viajamos hacia el sur, hasta las latitudes de las Islas


Canarias o del norte de México, mientras que la altura de la estrella polar sobre el horizonte disminuye, el círculo de la circumpolar dad se hace más pequeño.

FIG 2.14 Veamos ahora un hermoso video que muestra cómo gira El Carro en torno a la estrella Polar, en la latitud de Zamora. La Polar está arriba a la derecha de la imagen. Por cierto, que al no estar exactamente en el polo norte celeste, también tiene su propio movimiento, aunque es casi inapreciable. Este video es obra del astrónomo Manu Arregui:

El camino que recorre el Sol en la esfera celeste, motivado por la traslación de la Tierra en torno a él, se llama eclíptica, porque es la línea en la que se producen los eclipses (la eclíptica es lo que se conoce como un círculo máximo en una esfera). Existe una banda, más ancha, que rodea a la eclíptica, es el zodiaco, que se divide en doce signos, que antiguamente coincidían con las constelaciones de sus miembros nombres, pero que ya no es así. Esto último es debido al movimiento de precesión de los equinoccios, que ya hemos descrito más arriba. Los planetas y la Luna siempre se encuentran en el zodiaco.


FIG 2.15 mov. Del sol

Ecuador celeste La Tierra, como sabemos, está dividida en dos mitades denominadas hemisferios. El círculo que divide la Tierra en dos se llama ecuador terrestre, y forma un ángulo de 90º con el eje del mundo. Si proyectamos el ecuador terrestre sobre la esfera celeste obtenemos lo que se conoce como ecuador celeste. Este concepto es necesario tenerlo muy claro para poder comprender lo que viene a continuación.

FIG 2.16


El 21 de marzo, fecha del equinoccio de primavera el sol sale por el este y se pone por el oeste. Al pasar los días, estos puntos se desplazan hacia el norte, primero rápidamente, luego lentamente, hasta el 21 de junio, fecha del solsticio de verano, en el que el Sol alcanza su altura máxima. A partir del 21 de junio, los puntos se alejan del norte y se van acercando el este y al oeste, cuyas posiciones vuelven a ocupar el 22 ó 23 de septiembre, equinoccio de otoño. Luego se acercan al punto sur, hasta el 22 de diciembre, solsticio de invierno, del cual se alejan después. Transcurrido un año, vuelven a coincidir con los puntos este u oeste.

FIG 2.17 solsticios y equinoccios

Si se construye un aparato denominado gnomon (constituye un importante instrumento de cálculo astronómico) que consta de una varilla colocada verticalmente en el suelo, se puede determinar el ángulo que nos da la altura del sol sobre el horizonte a cada instante, mediante un sencillo cálculo trigonométrico utilizando la fórmula:

        

A consecuencia del movimiento diurno, la sombra de la varilla se desplaza en el plano horizontal y cruza la línea Norte - Sur cuando el Sol pasa por el meridiano del lugar, eso ocurre al mediodía (es el momento en que el sol alcanza su culminación superior y cuando está en el inferior se dice que es medianoche). El 21 de diciembre, solsticio de invierno, la sombra de la varilla es máxima, al estar el sol bajo en el horizonte, mientras que el 21 de junio, solsticio de verano, la sombra, la sombra


proyectada por la varilla es mínima, consecuencia de la máxima altura alcanzada por el Sol sobre el horizonte. Un día antes de que el sol atraviese el ecuador el 21 de marzo su declinación es negativa, al día siguiente (21 de marzo) su declinación vale cero, en ese instante el Sol coincide con el punto Aries. La duración del día sería igual a la de la noche. En los días posteriores la declinación del Sol es positiva, sigue subiendo hasta que su declin ación alcanza +23º27’, estando el sol en ese instante en el solsticio de verano o Trópico de Cáncer. En el hemisferio norte ese día es el más largo del año y la noche es la más corta. A partir de ese momento la declinación del sol empieza a disminuir hasta que nuevamente es cero el 21 de septiembre, coincidiendo con el paso del Sol por el punto Libra, momento en que otra vez la duración del día es igual a la de la noche. Sigue disminuyendo la declinación, ahora con valores negativos, hasta el solsticio de invierno o Trópico de Capricornio (21 de diciembre) alcanzando su declinación el valor de - 23º27’, época a la que corresponden las noches más largas y los días más cortos.

FIG 2.18 método de la sombra


Para especificar con exactitud y de forma univoca la posición de los astros en la bóveda celeste los astrónomos utilizan varios sistemas de coordenadas. Debido a que la posición de un astro es sobre una esfera, se usan los sistemas esféricos que tienen las siguientes características: El punto de origen de todos los sistemas es el centro de la Esfera Celeste. Cada sistema tiene un plano fundamental, un eje fundamental, un punto fundamental y un sentido de giro para la medida de los ángulos. En cada sistema una de las coordenadas, se mide a partir de una dirección fija del plano fundamental de 0º a 360º y la otra coordenada se mide a uno y otro lado del plano fundamental de 0º a 90º. o

Para fijar la posición de un astro haciendo uso de este sistema, se utilizan dos coordenadas: Azimut (Z) y Altura (h); en el cual el plano fundamental es el Horizonte, el eje fundamental es el que une el cenit y el nadir, el sentido horario y el punto fundamental al Sur; siendo: Altura (h): Es el arco comprendido entre el horizonte y el astro, medido sobre el círculo vertical que pasa sobre el astro. La altura varía de 0º a 90º hacia el cenit y de 0º a -90º hacia el nadir. Azimut (Z): Es el arco de horizonte medido (en unidades angulares) desde el punto cardinal sur hasta la intersección con el horizonte del círculo vertical que pasa por el astro, en sentido retrógrado (SONE), de 0° a 360°. Distancia Cenital (z): Es el arco comprendido entre el cenit y el astro medido sobre el círculo vertical que pasa por ella. La distancia cenital es igual a

(90º- h) y varia de 0° a 180°.

Es importante recalcar el hecho de que a causa del movimiento diurno las coordenadas horizontales de un astro están cambiando permanentemente por lo que es necesario especificar el tiempo de la observación con la mayor exactitud. De igual forma, para el mismo instante de tiempo, las coordenadas horizontales de dos observadores con distintas latitudes y/o longitudes difieren también.

FIG 2.19


o

Se usa para fijar la posición de un punto sobre la superficie de la Tierra, para el cual se hace uso de dos coordenadas: Latitud (Ø) y Longitud (λ).

Latitud (Ø): Es el ángulo comprendido entre el Ecuador y el círculo paralelo que contiene al lugar de observación. La Latitud varía de 0º a 90º y es positiva hacia el Norte y negativa al Sur. Longitud (λ): Es el ángulo diedro comprendido entre el Meridiano de origen y el Meridiano que pasa por el lugar de observación, medido sobre el Ecuador a partir del Meridiano de origen. La longitud varia de 0º a 360º o de 0 h a 24h y es positiva hacia el Este de dicho Meridiano; se toma como Meridiano de origen aquel que pasa por el observatorio de Greenwich (G). Puede medirse la Longitud de 0º a 180º siendo positiva hacia el Este de “G” y negativa hacia el Oeste de “G”.

FIG 2.20

o

Usado para determinar la posición de los astros en la Esfera Celeste. Para fijar la posición de un astro haciendo uso de este sistema, se efectúa mediante dos subsistemas que son: 1. COORDENADAS ECUATORIALES LOCALES. 2. COORDENADAS ECUATORIALES ABSOLUTAS.

LA ESFERA CELESTE A un observador situado en la superficie de la tierra le parece que se encuentra en el centro de una esfera, de radio ilimitado en la que todos los otros cuerpos celestes se mueven de este a oeste. (a esta esfera se le da el nombre de esfera celeste). Pero con centro en el centro de la tierra, es útil para resolver problemas de astronomía y navegación. COORDENADAS ECUATORIALES LOCALES: Que hace uso de las coordenadas de Declinación (δ) y ángulo horario (t).


COORDENADAS ECUATORIALES ABSOLUTAS: Que

hace uso de las coordenadas de

Declinación (δ) y ascensión recta (A.R.), (α).

En el primer caso el plano fundamental es el Ecuador y el radio vector es la Meridiana; mientras que para el segundo caso solo varía el radio vector, el cual está dado por la “Línea de los Equinoccios”; siendo ésta la intersección de los planos del Ecuador con la Eclíptica y uno de sus extremos es el “Punto Vernal”, “Equinoccio de Aries” o “Primer Punto de Aries”, que se

produce el 21 de marzo de cada año.

COORDENADAS ECUATORIALES LOCALES: Llamado así porque varía con la posición del observador, siendo: Declinación (δ): Es el arco comprendido entre el Ecuador y el astro medido sobre el círculo horario que pasa por ella; la declinación varía de 0º a 90º y es positiva hacia el norte y negativa hacia el sur. Angulo Horario (A.H.) ó (L): Es el ángulo diedro comprendido entre el Meridiano del observador y el círculo horario que pasa por el astro. El ángulo horario se mide sobre el plano ecuatorial y varia de 0 h a 24h y es positivo hacia el Oeste. Se mide el ángulo horario a partir del polo elevado del Ecuador hacia el Oeste. Cuando el astro pasa por el meridiano del observador se dice que ella está culminando y en ese momento el ángulo horario es igual a cero. Aplicaciones 1 determine las coordenadas ecuatoriales de una estrella que se observa con acimut igual a 205°26’12”, bajo una altura de 67°29’13”, en un lugar de latitud de12°03’. Solución:

FIG 2.21

FIG 2.22

Las coordenadas solicitadas vienen dadas por. T=24h-T’

(1)

δ = 90°-P Aplicando las relaciones

teniendo en cuenta B=T’

a=77°57’ c=p


         

b=22°30’47” Z=180°

=C=25°26’12”

                    Resolviendo tenemos:

T’= 0h44m46s

y P= 57°55’35”

Teniendo en cuenta la relación (1) se obtiene: T = 23h 15m 14s

y δ = 32°04’25”

o

ASCENSIÓN RECTA (α): Es una de las coordenadas astronómicas que se utilizan para localizar los astros sobre la esfera celeste, equivalente a la longitud terrestre (coordenada geográfica). Es el ángulo diedro comprendido entre el círculo horario que pasa por el astro y el círculo horario de origen. Se mide a partir de la intersección del círculo horario de origen con el Ecuador; es positiva hacia el Este y varia de 0h a 24h ó de 0º a 360º. Se toma como círculo horario de origen, a aquel circulo que pasa por el Punto Vernal, Equinoccio de Aries o Primer Punto de Aries, el cual se produce por la intersección de la Eclíptica con el Ecuador, cuando el Sol parece pasar del Hemisferio Sur al Hemisferio Norte. El punto Aries (o punto Vernal) está en la posición del Sol en el equinoccio de Primavera o Equinoccio vernal.

Su

símbolo es α.

FIG 2.23


DECLINACIÓN ( δ ): Es el arco comprendido entre el Ecuador y el astro medido sobre el círculo horario que pasa por ella; la declinación varía de 0º a 90º y es positiva hacia el norte y negativa hacia el sur. Una vez obtenida la declinación, el valor obtenido será la declinación aparente y si se desea conocer la declinación real es preciso tener en cuenta las correcciones debida al paralaje, la aberración anual, la precesión y la nutación. Además, si el astro pertenece al Sistema Solar habrá

que tener en consideración la aberración planetaria y el paralaje geocéntrico. Se representa por δ.

Un objeto en el ecuador celeste tiene una declinación de 0°. Un objeto sobre el Polo norte celeste tiene una declinación de +90°. Un objeto sobre el Polo sur celeste tiene una declinación de −90°. Un astro que está en el cenit, tiene una declinación igual a la latitud del observador. La Estrella Polar tiene una declinación +90° Una estrella circumpolar es aquella cuya declinación mayor a

, donde

, es la latitud

del observador. Estas estrellas son siempre visibles desde su hemisferio correspondiente, ya que no se ocultan bajo el horizonte. En latitudes altas (>67º) es posible que durante una parte del año el Sol tenga una declinación mayor que 90-67=23º produciendo que el Sol este siempre sobre el horizonte, fenómeno conocido como sol de medianoche. Como en las hipótesis de la Esfera Celeste se considera que los astros son fijos; las coordenadas ecuatoriales de los astros según declinación (δ) y ascensión recta ( α); (referidos a los elementos fijos de la Esfera Celeste), hacen que las coordenadas para cada astro sean fijas; debido a ello las coordenadas de declinación y ascensión recta de los astros, vienen dado por catálogos que se editan anualmente como FK5, Almanaque Náutico, Almanaque Astronómico, etc.

FIG 2.25

o

Usado este sistema para fijar la posición de los astros en la Esfera Celeste. En este sistema el plano fundamental es el plano de la eclíptica y el radio vector es el máximo de Longitud Celeste de origen; el cual contiene al Punto Vernal (Línea de los Equinoccios).


Para fijar la posición de un astro en la Esfera Celeste, se usan dos coordenadas: Latitud Astronómica (βα) y Longitud Astronómica (λα). Siendo:

LATITUD ASTRONÓMICA ( βα ): Es el arco comprendido entre la eclíptica y el astro, medido sobre el círculo máximo de Longitud Celeste. La Latitud Astronómica es (+) al Norte y comprendida entre el p olo de la eclíptica y el polo celeste.

FIG 2.26

LONGITUD ASTRONÓMICA ( λα ): Es el ángulo diedro comprendido entre el primer círculo máximo de Longitud Celeste y el círculo máximo de Longitud Celeste que contiene al astro. La Longitud Astronómica se mide a partir del Punto Vernal y en sentido anti horario es decir hacia el Este (siendo positiva en este sentido), sobre la eclíptica. La longitud varía de 0h a 24h ó de 0º a 360º. FIG 2.27


En la astronomía es muy útil poder pasar de unas coordenadas a otras, para un eficiente trabajo. Para tal fin es útil la trigonometría esférica, pero esta no nos proporciona formulas exactas para poder cambiar de coordenadas, por lo cual uno debe ser capaz de interpretar las diferentes situaciones. Transformación entre coordenadas horizontales, ecuatoriales horarias y ecuatoriales absolutas Consideremos un astro X de coordenadas horizontales (A; h) y de coordenadas ecuatoriales horarias (H; ) y un lugar de la Tierra de latitud . Sobre la esfera celeste se forma un triángulo esférico, denominado triángulo de posición o astronómico, cuyos vértices son el polo norte celeste (P), el cénit astronómico (Z) y el propio astro (X). El ángulo de vértice P y determinado por el meridiano del lugar y el meridiano celeste que pasa por el astro depende del ángulo horario H, y del acimut A depende el ángulo de vértice Z y determinado por el vertical que pasa por el polo norte celeste y el vertical que pasa por el astro. Los valores de estos ángulos dependerán del lugar que ocupe el astro y de la latitud del lugar. El ángulo cuyo vértice es el astro y que está determinado por el meridiano celeste y el vertical que pasa por el astro se denomina ángulo paraláctico (q).

El lado PX es el arco del meridiano celeste entre el polo norte celeste y el astro, el lado ZX es el arco del vertical entre el cénit y el astro y el lado PZ es el arco del meridiano del lugar entre el polo norte celeste y el cénit, siendo sus valores respectivos 90°- , 90°- h y 90°- o equivalentemente, la distancia polar, la distancia cenital y la colatitud.


FIG 2.28 Coordenadas horizontales y horarias.

Proposición.- Sea  la latitud de un lugar en el hemisferio norte (  > 0) y sea X un astro situado en el hemisferio norte, occidental y visible, de coordenadas horizontales (A; h) y coordenadas ecuatoriales horarias (H; ). Entonces las coordenadas horarias y el ángulo paraláctico en función de las coordenadas horizontales y la latitud del lugar vienen dadas por:

              Recíprocamente, las coordenadas horizontales y el ángulo paraláctico en función de las coordenadas horarias y la latitud se obtienen mediante las expresiones:

            

Transformaciones entre coordenadas ecuatoriales absolutas y eclípticas Sea X un astro de coordenadas absolutas ( ; ) y coordenadas eclípticas ( ; ).


Su situación sobre la esfera celeste determina un triángulo esférico cuyos vértices son el polo norte celeste (P), el polo norte eclíptico () y el propio astro (X). Los ángulos correspondientes a los vértices P y  dependen de la ascensión recta y de la longitud eclíptica, pues están determinados respectivamente por el coluro de los solsticios y el meridiano celeste y por el máximo de longitud que pasa por el polo norte celeste y el máximo de longitud que pasa por el astro. Los valores de estos ángulos dependerán de la situación del astro sobre la esfera celeste. El ángulo cuyo vértice es el astro y que está determinado por el meridiano celeste y el máximo de longitud que pasa por el astro se denomina ángulo en el astro ( ) El lado PX es el arco del meridiano celeste entre el polo norte celeste y el astro, el lado X es el arco del máximo de longitud entre el polo norte eclíptico y el astro y el lado P  es el arco del coluro de los solsticios entre los polos norte celeste

y

eclíptico,

siendo

sus

valores

respectivos 90°-, 90°- y . FIG 2.29 Coordenadas absolutas y eclípticas

Proposición.- Sea X un astro situado en el hemisferio norte celeste de coordenadas ecuatoriales absolutas (; ) y coordenadas eclípticas (; ).Si la latitud eclíptica es positiva y la ascensión recta es menor de 90° entonces las coordenadas eclípticas y el ángulo en el astro en función de las coordenadas absolutas vienen dadas por:

                     













Recíprocamente, las coordenadas absolutas y el ángulo en el astro en función de las coordenadas eclípticas por:

                          




























Siendo  la oblicuidad de la eclíptica. Transformaciones entre coordenadas absolutas y galácticas Sea X un astro de coordenadas absolutas ( ; ) y coordenadas galácticas (l; b), y consideremos las coordenadas ecuatoriales absolutas del polo norte galáctico ( G; G). Su situación sobre la esfera celeste determina un triángulo esférico cuyos vértices son el polo norte celeste (P), el polo norte galáctico (G) y el propio astro (X).

Los ángulos correspondientes a los vértices P y G dependen de la ascensión recta y de la longitud celeste que contiene al polo norte galáctico y el meridiano celeste, y el segundo por los meridianos galácticos que pasan por el polo norte celeste y el astro. El lado PX es el arco del meridiano celeste entre el polo norte celeste y el astro, el lado GX es el arco del meridiano galáctico entre el polo norte galáctico y el astro y el lado PG es el arco del meridiano celeste que pasa por G, siendo sus valores respectivos 90°- , 90°- b y 90°-  G. galáctica, pues están determinados, el primero por el meridiano

FIG 2.30 Coordenadas absolutas y galácticas

Proposición.- Sea X un astro situado en los hemisferios norte celeste y galáctico de coordenadas absolutas (; ) y coordenadas galácticas (l; b). Entonces las coordenadas galácticas en función de las coordenadas absolutas se obtienen mediante:

                





























Recíprocamente, las coordenadas absolutas en función de las coordenadas galácticas vienen dadas por:

    






        







Siendo (G; G) las coordenadas absolutas del polo norte galáctico

El concepto de tiempo siempre está relacionado con la idea de movimiento la medida del movimiento consiste en correlacionar las posiciones de un sistema físico con las posiciones de otro. Así, se ordenan una serie de sucesos con respecto a otra serie de sucesos. Por ejemplo, si queremos estudiar el movimiento de una pelota que se desplaza sobre el piso relacionamos las diferentes posiciones de la misma a lo largo de su camino con las diferentes posiciones de las agujas de un reloj. Una serie de sucesos una serie de posiciones de un sistema físico natural o artificial una serie de posiciones de un sistema físico natural o artificial constituye una escala de tiempo si definimos una unidad de medida y un origen de la escala podemos elegir una serie discontinua de sucesos periódicos, asumiendo que se repiten a intervalos regulares o una serie continua de sucesos dada por las posiciones de un sistema con movimiento continuo, asumiendo que los intervalos de tiempo entre dos sucesos son iguales cuando los espacios recorridos son iguales (movimiento uniforme) la medida del tiempo se reduce a medidas espaciales.

o

El objeto fundamental de la Astronomía de Posición es la determinación precisa de las posiciones de los astros y los cambios que en éstas se producen. Por ello, se hace imprescindible establecer alguna variable que nos mida estas variaciones posicionales. Si nos referimos al Universo podemos definir el tiempo como la variable que describe los cambios que experimentan las coordenadas espaciales de los astros, estando pues íntimamente relacionado con la idea de movimiento. La medida del movimiento consiste en correlacionar las posiciones sucesivas de un sistema físico con las posiciones de otro sistema y, por tanto, el tiempo consistirá fundamentalmente en la ordenación de diferentes estructuras espaciales sucesivas o sucesos con respecto a otras estructuras sucesivas. La ordenación de sucesos mediante comparación con otra serie de sucesos proporcionar a distintos tiempos en función de la serie de sucesos que se elija como base de la comparación. En cualquier caso, tanto la serie de sucesos a ordenar como el suceso o sucesos que se elijan de referencia, han de ser simultáneos.


Si se efectúan dos o más medidas de las coordenadas espaciales (x; y; z) de un cuerpo del Universo respecto de un sistema de referencia {O;X; Y;Z}, se obtienen valores diferentes de x, y , z en las sucesivas medidas. Para expresar esta variabilidad de las coordenadas espaciales se las considera como funciones de una variable t, denominada tiempo, cuyo dominio es el conjunto de los números reales. Una escala de tiempo es estable si las unidades sucesivas tienen la misma duración y es exacta si la duración de las unidades sucesivas coincide con la definición de la unidad adoptada. La accesibilidad de una escala representa la posibilidad de conocer con la menor demora posible el valor correspondiente en esa escala a un instante determinado mediante cualquier sistema físico. Así, un reloj es cualquier sistema físico que permita determinar el valor numérico del variable tiempo t correspondiente a un estado del sistema. o

Una escala de tiempo rotacional es una escala astronómica basada en el movimiento de rotación de la Tierra, cuyo origen es el instante de paso de un determinado punto de la esfera celeste por el meridiano superior del lugar de observación, y cuya unidad es el día, o intervalo de tiempo transcurrido entre dos culminaciones superiores de dicho punto. Para determinar mediante observaciones astronómicas una escala de tiempo rotacional, habría que medir el movimiento angular del meridiano local del observador con respecto a un punto fijo sobre la esfera celeste. Pero la no existencia de un punto fijo en el Universo hace que el punto que se elija sea cuanto menos accesible, fácilmente observable y que esté bien definido sobre la esfera celeste. Independientemente del punto de la esfera celeste que se elija, siempre es la Tierra en rotación la que sirve como reloj astronómico del tiempo rotacional. En este sentido, si el punto elegido es el punto Aries entonces tendremos una escala de tiempo denominada tiempo sidéreo, y si eligiéramos el Sol, tendríamos tiempo solar.

TIEMPO UNIVERSAL (TU): Se considera día (24 horas) el tiempo que tarda el sol en pasar dos veces consecutivas por el meridiano del lugar. Para medir el tiempo se toma como referencia un sol imaginario llamado sol medio que recorre arcos iguales en tiempos iguales (el sol verdadero recorre una elíptica y por lo tanto los días no son exactamente iguales). El día medio se divide en 24 horas. El día comienza a contar cuando el sol medio pasa por el meridiano inferior (00:00). para que cada lugar, de distinta longitud, no tuviera una hora distinta se tomó una hora base que es la contada a partir del meridiano de Greenwich a la cual se le denomina tiempo universal (tu) o también hora civil en Greenwich (HCG), GMT, UTC, hora ZULU (denominación militar o aérea). A esta hora están referidos los almanaques náuticos y de ella hay que partir para los distintos cálculos y horarios.


HORA CIVIL DEL LUGAR: Es el tiempo que hace que pasó el sol medio frente al meridiano inferior del lugar. Al ser del lugar entra en función la longitud del mismo y como referencia para medirla se toma el meridiano cero o de Greenwich. Cada punto de la Superficie Terrestre tiene una hora diferente en función de su Longitud.

HORA LEGAL – HUSOS o ZONAS HORARIAS: Para que en cada lugar no se tuviera una hora diferente en función de su longitud, se dividió la tierra en 24 husos o zonas horarias de 15º cada uno (360º:24 = 15º), de manera que todos los lugares, dentro de cada huso, tuvieran la misma hora llamada hora legal, hora de huso u hora de zona (hz). Esto indica que hay que cambiar la hora cuando se pasa de un huso a otro. Una zona horaria abarca 7,5º a cada lado del meridiano central del lugar.

Es la establecida por el gobierno de un país por razones económicas,

nacional o

internacionales y se diferencia de la legal en números enteros. Es decir la Hora oficial será igual a la legal o zonal más el adelanto o el atraso que tenga ese país.

DÍA SIDÉREO: Se define el día sidéreo como el intervalo de tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos del punto Aries por el meridiano superior del lugar.

DÍA SOLAR: Como el intervalo de tiempo transcurrido entre dos culminaciones superiores sucesivas del Sol por el lugar de observación.

LA HORA SOLAR: El tiempo solar es una medida del tiempo fundamentada en el movimiento aparente del Sol sobre el horizonte del lugar. Toma como origen el instante en el cual el Sol pasa por el Meridiano, que es su punto más alto en el cielo, denominado mediodía, al cual se le asigna el valor de 12. Sin embargo, el Sol no tiene un movimiento regular a lo largo del año, y por esta razón el tiempo solar se divide en dos categorías:

FENÓMENOS QUE INFLUYEN EN LA HORA La precesión y la nutación hacen que estas escalas no sean uniformes, por lo que habrá que buscar recursos que garanticen en la mayor medida posible la uniformidad de estas escalas.


LA PRECESIÓN: Se manifiesta en la variación del plano del ecuador terrestre causando un largo período que sin pérdida de generalidad puede achacarse a la acción gravitatoria conjunta del Sol y de la Luna

NUTACIÓN: Es la variación del plano de la eclíptica. Estas variaciones suponen que la posición del punto Aries también varíe como consecuencia de ser la intersección del ecuador celeste y de la eclíptica. De corto período debido aunque no de forma exclusiva a la acción de los planetas. o

AÑO SI DÉ RE O : intervalo de tiempo que le toma al sol recorrer los 360 de su órbita = intervalo de tiempo entre 2 pasos consecutivos del sol por un punto fijo de su órbita (el equinoccio de una determinada época o las estrellas fijas)

AÑO TR ÓPI CO : intervalo de tiempo entre 2 pasos consecutivos del sol por γ El año trópico es ≈20m más corto que el a ño sidéreo

Año sidéreo=365.25636 d m Año trópico=365.242199 d m

CALENDARIOS: Sistema de medida de intervalos largos de tiempo basados en acontecimientos periódicos como el movimiento de los planetas.

CALENDARIO JULIANO (46 A.C.): basado en el calendario solar egipcio de 365 días solares medios introducido en Roma por Julio César en el año 46ac basado en ciclos de 4 años: (3x365+1x366)/4=365.25, 366 días años bisiestos. 1) se le agregaron 85 días al año 46ac que resultó de 445 días (año de la confusión) para corregir el desfasaje con el ciclo natural de las estaciones 2) se adoptaron 3 años de 365 días solares medios, dividido en 12 meses de 31 y 30 días alternativamente, con febrero de 29 3) se adoptó 1 año bisiesto (los múltiplos de 4) de 366 días con un día agregado a febrero entre el 23 y el 24 El año del calendario juliano tenía en promedio 365,25 días solares medios


4) unos años después Marco Antonio introdujo una modificación a la duración de los meses que perdura hasta nuestros días

CALENDARIO GREGORIANO Basado en el calendario juliano de 365,25 días solares medios reformado por el papa Gregorio XIII en 1582 para que la Pascua se celebrase el primer domingo después del plenilunio siguiente al equinoccio de primavera, según lo determinado por el Concilio de Nicea en el año 325 1) el 4 de octubre de 1582 pasó a ser 15 de octubre (se omitieron 10 días) 2) se modificó el número de años bisiestos: ya no serían bisiestos los años divisibles por 400 el año del calendario gregoriano tiene en promedio 365,2425 días solares medios

Las posiciones aparentes de los astros en el cielo están afectadas por algunos fenómenos que originan pequeños desplazamientos en sus direcciones respecto de la dirección geométrica definida por tales sistemas de referencia. Atendiendo al efecto que causan, estos fenómenos se pueden clasificar en: geométricos y físicos. Los efectos geométricos afectan directamente a uno o varios elementos fundamentales del sistema de referencia considerado. A este grupo pertenece la paralaje diurna, paralaje anua, la precesión y nutación. Si se efectúa un cambio de origen del sistema de referencia entonces se producirá una variación en las direcciones de los objetos celestes. Cuando se realiza un cambio entre orígenes topo céntrico, lugar de observación, geocéntrico, centro de masas de la Tierra; este efecto geométrico se manifiesta como el ángulo desde el que se ve el radio terrestre, denominándose paralaje diurna, y cuando el cambio se efectúa entre orígenes geocéntrico y heliocéntrico, centro de masas del Sol; se denomina paralaje anua y es el mayor ángulo subtendido por la distancia Sol - Tierra. Por otra parte, la Tierra no es una esfera, sino que presenta un abultamiento ecuatorial aproximándose en mayor medida a un elipsoide de revolución. Debido a este abultamiento ecuatorial, las fuerzas externas que actúan sobre la Tierra en rotación producen un desplazamiento en sentido retrógrado del eje terrestre y, consecuentemente, se generará una variación en las posiciones de los planos fundamentales, el ecuador celeste y sobre la eclíptica y, por supuesto, sobre su intersección: el punto Aries. Por tanto variarán las coordenadas ecuatoriales y eclípticas. El desplazamiento del eje de rotación terrestre se descompone en la


precesión, o movimiento de largo periodo, y en otro movimiento de corto periodo, denominado nutación. Los efectos físicos afectan directamente a la dirección aparente de los objetos celestes. A este grupo pertenecen la refracción atmosférica, la aberración de la luz y el movimiento propio. o

En general, el paralaje es la deviación angular de la posición aparente de un objeto, dependiendo de la posición del observador. Podemos evidenciarla paralaje cuando observamos con uno de nuestros ojos, y cubriendo un objeto con nuestros dedos con el brazo extendido, si cambiamos ahora el ojo de observación, veremos que ya nuestro dedo no oculta el objeto. o

Si el origen del sistema de coordenadas astronómicas es el lugar de observación sobre la superficie de la Tierra, entonces las coordenadas se denominan coordenadas topo céntricas; si es el centro de masas de la Tierra se denominan coordenadas geocéntricas, y si es el baricentro del Sistema Solar, que coincide aproximadamente con el centro dinámico del Sol, se denominan coordenadas heliocéntricas. Transformación entre coordenadas topo céntricas, geocéntricas y heliocéntricas:

               Si (A; h) y ( ;

) son las coordenadas topocéntricas y geocéntricas horizontales de un astro,

entonces las expresiones de transformación entre ambas coordenadas vienen dadas por:

Siendo R el radio de la Tierra, y d, d0 las respectivas distancias topo céntrica y geocéntrica de dicho astro. o

Se denomina paralaje diurna (p), o paralaje en altura, de un astro en un instante determinado, al ángulo bajo el cual se ve el radio terrestre desde el astro. Si z y z0 son las distancias cenitales topo céntrica y geocéntrica, entonces la paralaje diurna de un astro viene dada por p = z - z0: La paralaje diurna debe aplicarse cuando se realicen transformaciones entre coordenadas topo céntricas y geocéntricas y para astros del Sistema Solar. Su mínimo valor, 0o, se alcanza


cuando el astro está en el cénit y cuanto más alejado esté el astro, menor será su paralaje diurna. La paralaje diurna varía con el movimiento diurno pues, aunque la distancia geocéntrica sea constante, la distancia cenital topo céntrica varía. Se utiliza para el cálculo de distancias y semidiámetros angulares de astros del Sistema Solar. Semidiámetro angular de un astro del Sistema Solar: Se denomina semidiámetro angular (S) de un astro al ángulo subtendido desde el centro de la Tierra por el radio del astro. Si determinamos la distancia geocéntrica al astro y su semidiámetro angular podemos determinar el radio del astro. Si consideramos el modelo esférico de la Tierra, entonces el semidiámetro angular de un astro del Sistema Solar viene dado por:

     

Siendo z la distancia cenital topo céntrica, s el ángulo subtendido desde el lugar de observación por el radio del astro y P su paralaje horizontal. o

Se denomina paralaje anua (w) de un astro al mayor ángulo subtendido por la distancia entre el Sol y la Tierra. Debido a que la distancia Sol-Tierra es muy pequeña respecto a las distancias geocéntrica y heliocéntrica de astros no pertenecientes al Sistema Solar, se asumirá que para dichos astros la órbita de la Tierra es circular y de radio igual al semieje mayor de la órbita elíptica. La paralaje anua de un astro viene dada por:

 

Siendo ST la distancia entre el Sol y la Tierra y d0 la distancia geocéntrica del astro.

FIG 2.31


Nuevas unidades de distancia: Al ser la órbita de la tierra alrededor del Sol una elipse con éste en uno de sus focos, la distancia entre ambos no es constante. El punto de esta órbita más próximo al Sol se denomina perihelio, y el más distante afelio. Obviamente, ambos puntos son los extremos del semieje mayor. No obstante, en la mayoría de las situaciones astronómicas se considerará una órbita circular cuyo radio es la distancia media de las distancias entre el Sol y la Tierra. Si consideramos la órbita elíptica “aparente” del Sol alrededor de la Tierra, donde la Tierra está

en uno de los focos, a los puntos del semieje mayor más próximo y más alejado de la Tierra se denominan perigeo y apogeo, respectivamente. Unidad astronómica (UA): A la distancia media existente entre el Sol y la Tierra, siendo aproximadamente igual a 149598000 Kms. Esta unidad es válida para medir distancias en el Sistema Solar y sus proximidades. Año-luz (A-L): A la distancia recorrida por la luz en un año, siendo su valor aproximadamente

   

Se considera que el valor de la velocidad de la luz es 300000Km/seg. Parsec (pc): A la distancia a que debe estar un astro para que su paralaje anua valga 1; su valor es

La equivalencia del parsec con la unidad astronómica y con el año luz es:

  

La estrella más próxima al Sol es alfa-Centauro, que se encuentra a 1,31 parsecs. La estrella Sirio, que es la más brillante del hemisferio norte celeste, se encuentra a 2,7 parsecs


La astronomía de posición es un tema muy importante para la determinación de distancias, tipo de movimiento de los astros tanto aparentes como absolutos. La astronomía de posición

es de gran importancia para la teoría de la proyección

estereográfica.



Pedro Garafulic Cabiedes - Universidad de Santiago de Chile



http://www.cartografia.cl/index.php?option=com_content&task=view&id=96&Itemid



http://www.geodesiasatelitall/index.option=com_content&task=view&id=96&Itemid



www.monografias.com



www.rincondelingeniero.com


La elipse se define como el el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos llamados focos es constante. Si se denomina

2a esa constante 2c a la distancia entre los focos F Y F` b a la distancia comprendida entre los centros de la elipse y el vértice superior p. en cualquier elipse se verificara.

             Figura 3.1 el elipsoide

Elementos de la elipse Si se observa el punto M de la figura, por pertenecer pertenecer a la elipse, verificara la condición del lugar geométrico, es decir la suma de distancias de M a F y F´ será constante

         

e igual a 2a o lo que es lo mismo.

Figura 3.2


Por tanto, se puede generalizar que para cualquier elipse, se cumple que las longitudes representadas en la figura tienen los valores señalados.

Figura 3.3

La distancia PF tiene tiene la mismo mismo valor que el semieje mayor a

A la magnitud horizontal a, se le llama semieje mayor de la elipse. La magnitud vertical b, es el semieje menor, La distancia c es la distancia focal. Para obtener la ecuación de la elipse se se puede establecer

un sistema sistema de coordenada

cartesiano como en la figura, cuyo origen sea el centro de la elipse, y cuyos diámetros principales coincidan con los ejes X e Y. Teniendo en cuenta la definición de elipse como lugar geométrico, se calcularan las distancias de un punto punto cualquiera A de la elipse, a los dos focos F y F´ (separados la distancia 2c) y se sumaran. Esta suma deberá ser constante e igual a 2a.

Figura 3.4



Obtención de la ecuación de la elipse

Es decir:

              

Operando convencionalmente se llega a la siguiente expresión.


                        

Pero sustituyendo el valor de

Dividiendo por

en la expresión anterior, se tiene:

queda:

Que es la ecuación de la elipse de semiejes a y b centrada en el el origen de coordenada (0,0)

El elipsoide de revolución (esfera achatada en los polos) es un modelo matemático de la Tierra utilizado para realizar cálculos y que se sitúa lo más cerca posible del geoide. Existen numerosos modelos de elipsoides. Para fines prácticos, se aproxima la Tierra a un elipsoide de revolución. El Elipsoide de revolución es un sólido generado por la rotación de una elipse en torno del eje de los polos (eje menor).

Figura 3.5

El elipsoide de revolución utilizado utilizado en geodesia se obtiene girando girando la elipse alrededor del eje menor.


La ecuación del elipsoide de revolución se muestra a continuación. En ella el semieje mayor `à´´ se denomina también radio ecuatorial y el semieje menor ´´ b radio polar.

      



    

Se le llama aplanamiento a la siguiente relación:



Si a=b a=b,, entonces es =0, que es el caso de la esfera. Cuando mayor sea el aplanamiento





mas achatado será el elipsoide. Se llama primera excentricidad o simplemente excentricidad del elipsoide a la siguiente relación.

   √                 √                                    De donde

Se llama segunda excentricidad  del del elipsoide, a la siguiente relación. De donde

A partir de estas definiciones se pueden establecer las siguientes relaciones entre el aplanamiento y la excentricidad primera y segunda  .

Con cualquier pareja elegida entre los parámetros a, b c, , ,  queda queda definido el elipsoide. En la práctica se utilizan parámetros a y para su definición.

o

Un elipsoide de referencia es un elipsoide que se utiliza como un marco de referencia en cálculos cálculos geodésicos. Se geodésicos. Se trata de una forma una forma de la Tierra, con Tierra, con la que es más fácil trabajar que con el geoide. el geoide. Es Es relativamente fácil de describir elipsoide de referencia utilizando empleando fórmulas matemáticas. matemáticas. La descripción del geoide es mucho más compleja, ya que conlleva realizar mediciones muy precisas. En el siglo XVII, había dudas sobre si la Tierra era una esfera perfecta. El 1688, Isaac 1688, Isaac Newton resolvió una controversia demostrando matemáticamente1 matemáticamente 1 que la rotación de la Tierra generaba un allanamiento en la zona de los polos,. En la práctica esto no fue demostrado hasta medio siglo más tarde, por parte de de Pierre Bouguer y Alexis-Claude Clairaut. Ambos Clairaut. Ambos hicieron


hacer unas expediciones al Perú al Perú y Laponia (1735-1741), respectivamente, tienen. Fue la comparación de ambos resultados que permitió demostrar este hecho. ELIPSOIDE FECHA a(METROS) APLANAMIENTO DELEMBRE 1799 6.375.653 1/334 WABECK 1810 6.376.855 1/302.78 EVEREST 1830 6.377.276 1/300.8 BESSEL 1641 6.377.397 1/299.15 AIRY 1849 6.377.480 1/299.33 STRUVE 1860 6.378.298 1/299.73 CLARKE 1880 6.378.249.145 1/293.465 HELMERT 1907 6.378.200 1/298.3 HAYFORD 1909 6.378.388 1/297 KRASSOWSKY 1940 6.378.245 1/298.3 HOUGH 1956 6.378.270 1/297

Tabla 3.1

Posterior mente basándose en las observaciones de satélites artificiales han sido propuestos entre otros, los siguientes. ELIPSOIDE KAULA VAIS LAMBECK RAPP KHAN GAPOSCHKIN

FECHA 1961 1965 1971 1973 1973 1973

a(METROS) 6.375.652 6.378.142 6.378.140 6.378 .140 63.781.428 6.378.142 63.781.404

APLANAMIENTO 1/298.24 1/298.25. 1/298.25 1/298.256 1/298.255 1/298.256

Tabla 3.2

El elipsoide de HAYFORD fue adoptado por la IAG (Unión Geodésica Internacional) como elipsoide internacional

en su reunión de Madrid (1924). Posterior mente en la XVII La

Asamblea de la IAG, celebrada en Canberra (1979) (197 9) fue establecido un nuevo cambio aprobado por la IUGG (Unión geodésica y geofísica internacional) en su resolución nº7 que asigna al elipsoide terrestre las siguientes dimensiones. IUGG (1980)

a=6378137m

f=1/298.257222101

Este, fue el denominado Sistema Geodésico de Referencia 1980(GRS80) El nuevo sistema de referencia, es el utilizado en el denominado World Geodesic System 1984 (WGS84). La denominación WGS 84 sirve sirve para nombrar, tanto el sistema geodésico de referencia, como el elipsoide elipsoide que este sistema sistema emplea. Sus parámetros geométricos son: WGS84

a=6378137m

f=1/298.257223563

El elipsoide Hayford o internacional, es el adoptado en las últimas décadas como referencia para la península Ibérica, dentro del sistema European Datum 1950(ED50).


Una vez determinadas las dimensiones dimensiones del elipsoide por medio medio de sus semiejes a y b un punto A de su superficie viene determinado por unas coordenadas cuya elección depende, en general, del problema en el que vayan a ser utilizadas. Debido a la simetría del elipsoide con respecto a sus ejes, se suele definir la posición de un punto A mediante un par de coordenadas angulares y que reciben los nombres de latitud y longitud:

LONGITUD GEOGRAFICA ( ʎ ʎ ) : Es el ángulo diedro que forma el meridiano de Greenwich PE con el meridiano PM del punto A .Se encuentra de 0˚ a

-180˚ hacia el oeste de 0˚ a

+180˚ hacia el este .

Fig. 3.6

La latitud admite varias definiciones sobre el elipsoide. Si se considera la sección meridiana de longitud geográfica ʎ y uno de sus cuadrantes, el OPM, se define: Figura 3.7

LATITUD

GEODESICA

Es el ángulo que forma la normal AN, ( ϕ ) : Es al elipsoide en el punto A, con el plano del Ecuador, o bien, con el semieje mayor OM de la elipse meridiana que pasa por A.

LATITUD GEODESICA ( ω ): Es Es el ángulo que forma el radio OA con el plano del Ecuador. Es el ángulo que forma LATITUD EXCENTRICA O REDUCIDA ( β β ) : Es la recta OA’ con el plano del Ecuador, siendo A’ la intersección de la paralela al eje de

coordenadas que pasa por A con la circunferencia de centro O y radio el semieje mayor a de la elipse (circulo director).

RELACION ENTRE LA LONGITUD GEODESICA ( ϕ ) Y LA LONGITUD GEOCENTRICA ( ω ) : Para ello se obtendrá el valor de la


pendiente de la recta tangente al elipsoide en el punto A mediante el cálculo de la derivada de la elipse MAP en ese punto:

  +

=1→

  +

=0 →

  = -

 

→ y’= -

    

(1)

Por otro lado, se sabe que la pendiente y’ en función de la latitud geodésica, es:

-

Y’=

Igualando ambas expresiones, se llega a la siguiente relación:

-

    -

por tanto:

        

Sustituyendo (2) el valor de b²= a² (1-

, se obtiene:

=

(3)

(2)

Por otro lado, de la figura anterior, se obtiene la relación:

  

expresión anterior da la relación buscada:

 

y = (1- )

de donde:

  =

, que sustituida en la

= (1- )

Para calcular la relación existente entre la latitu d geodésica

y la latitud reducida β, se

considerara el método grafico para determinación de puntos de una elipse dado sus círculos directores que se exponen a continuación: Los circulos directores de la elipse son dos circulos concentricos de radio a y b, los semiejes mayor y menor de la eipse. Estos circulos estan representados por los de radio a=OM y b=OP. La elipse a construir, que sera concentrica con los circulos directores, se determinara punto a punto de la siguiente manera: se traza una recta horizontal cualquiera como la YA que corte al circulo de radio b, el punto de interseccion es A’’,

seguidamente se traza una recta desde el origen que pasa por A’’ esta recta cortara al circulo de radio a en A’, ahora se traza por A’ una paralela al

eje vertical que terminara en el punto de corte con la recta YA el punto A de la elipse. Por tanto, los puntos A’ y A’’ estan alineados con el origen O, por

lo que se puede establecer la siguiente relacion: Figura 3.8

   =

=



→

y=




Por otro lado, del triángulo OXA’, se puede obtener la relación:



→ x=a





=



=

Teniendo ahora en cuenta la relación (2) y sustituyendo en ella los valores hallados X e Y:

  

=

  

  

→

(5)

Se llama Gran normal o normal principal (N) en un punto A del elipsoide al segmento normal al elipsoide en ese punto, comprendido entre el punto y el semieje menor de la elipse meridiana que pasa por él. Es el segmento AN de la siguiente figura:

Figura 3.9

Calculemos su valor, en función del semieje mayor a, la excentricidad e del elipse y la latitud ϕ del punto A. Para ello, se parte de la mencionada figura, teniendo en cuenta que:

X = OX = AY = AN



→

AN = N =

 

(6)



Por tanto es necesario calcular el valor de X, y se hará en función de a, . Para ello, se sustituirá el valor de Y dado por (3) y el de b²= a² (1-

en la ecuación de la elipse:


  +

= 1→

   +

   ²

x² =



= 1→ x²(1-

= a² (1-

     =

→

+ x²(1-

x=

  

Una vez calculado el valor de X, solo queda, sustituirlo en (6) para obtener el valor de la gran normal N:

N=

  

 

Se denomina función w, o también, primera función fundamental da la latitud geodésica, a la definida de la siguiente manera: w² =

N=

por tanto:



Como en algún momento del estudio de la geometría elipsoidal, será de utilidad el caculo de los segmentos OT y AT de la figura anterior, se procederá aquí su cálculo. El segmento OT, se tendrá en cuanta la semejanza de los triángulos ATX y NAY, y las expresiones (3) y (6):

      =

→

=

Por tanto:

OT=X –

= x (1-





=N

) = N



(1-

   

) =

  (1-

(7)

Para el cálculo del segmento AT, se tendrá en cuenta la semejanza de los mismos triángulos ATX y NAY, verificándose la relación:

  =

(8)

→ AT = AN

       =N

= N

→ AT =




Las diversas secciones que pude producir un plano, al cortar el elipsoide de revolución, pueden catalogarse en dos clases: Secciones Normales, que son las producidas por planos que contengan a una normal al elipsoide en un punto determinado de su superficie, y Secciones Oblicuas, que son aquellas otras producidas por planos que no contienen a esa normal. Entre las infinitas Secciones Normales que puedan pasar por un punto A del elipsoide, se han de distinguir las dos que pasan a su vez por las direcciones principales del punto considerado. Dichas direcciones, son las tangentes en ese punto a la elipse meridiana, y al paralelo correspondiente. Por definición, estas dos direcciones son perpendiculares. La Sección Normal correspondiente a la tangente en el punto A, a la elipse meridiana, es precisamente la Elipse Meridiana. La Sección Normal correspondiente a la tangente al paralelo, en el punto A, es otra elipse normal a la anterior, y se denomina Vertical Primario.

Figura 3.10

En el punto A, y en la dirección de la elipse meridiana, corresponde la máxima curvatura sobre el elipsoide en ese punto, o el mínimo radio de curvatura ρ. En el mismo punto, corresponde,

para el vertical primario, la mínima curvatura o máximo radio de curvatura. Como se verá más adelante, este radio de curvatura, tiene por valor a la gran normal N en el punto A. Estos dos radios de curvatura N y ρ, se denominan radios de curvatura principales, y las dos

secciones normales a que corresponden, se han representado en la figura. Siendo la curvatura en un punto A del elipsoide, variable con la Sección Normal que se considere, se toma muchas veces como radio de curvatura del elipsoide, en el punto considerado la media aritmética de los infinitos radios de curvatura, correspondientes a las infinitas Secciones Normales que pasan por A, y cuyo valor es demostrara mas adelante.

  

, como ya se


Se define acimut geodésico de una sección normal cualquiera, al ángulo formado por dicha sección con la dirección norte del meridiano del lugar (su valor varía entre 0° y 360°).

    

Se puede afirmar, que el radio de curvatura de una sección normal cualquiera de acimut α es:

Se sabe por geometría diferencial, que la formula general del radio de curvatura de launa curva plana cualquiera, es:

     



Para la elipse, ya se conoce el valor de la primera derivada

y’, hallado anteriormente.

                                                     Calculemos, ahora, la segunda derivada y”.

Sustituyendo y’ e y”, en la formula general del radio de curvatura, se obtiene:

                                              

Teniendo en cuenta (2-9), (2-12) y (2-14), se llega a:


  

     Sustituyamos estas expresiones en (2-17). Además, tengamos en cuenta que se puede

                         deducir que

. Así, se puede obtener la siguiente expresión:

Simplificando, Se obtiene la expresión que se buscaba, que da el valor del radio de curvatura de la elipse meridiana ρ.

              

En el ecuador y en el polo, donde las latitudes tienen el valor 0° y 90°, respectivamente, los k radios de curvatura vienen dados por las siguientes relaciones:

Estas expresiones, se deducen fácilmente que, teniendo en cuenta el valor de w para cada latitud, y el de e en función de a y b.

o

En este apartado se va a calcular el radio de curvatura del vertical primario de un punto del elipsoide, demostrando que su valor es igual al de la gran normal N de este mismo punto. En efecto, considerando en el elipsoide de revolución la sección producida por el plano que contiene la recta según la dirección principal del paralelo de A y que pasa por el centro de ese elipsoide. Esta sección será el elipse

de


semiejes a y OA :

Figura 3.11

El vértice A de esta sección, es el vértice superior de la elipse. Como se ha visto anteriormente, su curvatura en el punto A es

    

                    En este caso b =OA por tanto

además se puede escribir como un

valor para el segmento OA, el siguiente

Luego

Ahora bien, según el teorema de Mesmer; el r adio de curvatura de una sección normal, es igual al de una sección oblicua cualquiera, dividido por el coseno del ángulo que forman ambas secciones. Según este teorema el radio de curvatura que buscamos es:

              

            Sustituyendo en la relación anterior el valor de tan dado en la expresión, se tiene:

Recordando la formula, se constata que el radio de curvatura del vertical primario en un punto, se tiene por valor de la Gran Normal del elipsoide en ese punto.

o

En esta parte se va a determinar cuáles el radio de de curvatura de una de estas secciones,

tomadas,

en

cualquier

dirección, o dicho de otra forma, en un acimut cualquiera. Para ello, se calculara primero, cuales al ecuación de la elipse coincidente con una de estas secciones normales en una dirección cualquiera, y después, su radio de curvatura.


Consideremos el elipsoide de revolución de la figura , centrando en un origen O

        

del sistema de coordenadas (O,

,

). Como ya se sabe, la ecuación de este elipsoide se

puede expresar de la siguiente manera;

Veamos los elementos A:

punto cualquiera que pertenece al elipsoide

AN :

gran normal

O:

origen del sistema

Oʼ:

origen del sistema X,Y,Z

M:

punto que pertenece al elipsoide

Mʼ:

es la proyección del punto M sobre el plano AOʼP, por tanto pertenece a este plano

   ,

C, D: son las proyecciones ortogonales de los puntos My M ʼrepectivamente sobre el plano ZX F, G: son las proyecciones ortogonales de los puntos Cy D respectivamente so bre el eje x L: es la proyección de ortogonal de Mʼ sobre el eje Z, que coincide con la proyección de C sobre el eje Z α: es el ángulo formado por CLMʼ

E: es la proyección ortogonal de de L sobre el eje X B: es la intersección de las rectas perpendiculares de



̅ ̅

: es la latitud del punto A, se mide según el angulo AOʼX, además se sabe que el angulo

CLBes igual



por ser angulos complementarios

     

Determinación de las coordenadas del punto M en ambos sistemas , y (X,Y,Z)

                                             ,

XYZ

Expresando la el punto M en

,

Relacionando ambos sistemas

Reemplazando

,

en

se tiene

X=MMʼ Y=LMʼ Z=OʼL


     

Una vez determinada la ecuación de la elipse buscada, ya solo resta su radio de curvatura a través de la ecuación general que lo proporciona

          

            

Reordenando la anterior expresión y reemplazando algunas equivalencias obtenidas anteriormente tenemos :

La cual se puede expresar, simplificada mente, de la forma

  

Donde los valores de A, B, C, D, E, F son los que se han

sustituido en la ecuación anterior Derivando y resolviendo se obtiene que :

         

    HACIENDO QUE Y=0; Z=OA. El segmento OA es el AT ADEMAS



OA=Z=

                   

Para obtener









en forma más conveniente. Se hace que

se obtiene

   y el


Dónde:

          

Si en esta fórmula (Teorema de Euler), se hace a=0 ˚, se obtendrá el radio de curvatura de la elipse meridiana; y para α=90˚se obtiene el radio de curvatura N del vertical primario

o

La media aritmética

de los infinitos radios de curvatura correspondiente a las infinitas

secciones normales que pasan por ese punto al radio de curvatura así obtenido , se le denomina radio de curvatura medio .

   o

Para cualquier superficie curva del espacio, la geometría diferencial define línea geodésica entre dos puntos de esa superficie, como aquella línea que, trazada sobre esa superficie proporciona el camino más corto entre ambos. o

E n este apartado, se va a determinar cuál es el valor de la longitud de un arco de elipsoide entre dos puntos de un mismo paralelo, en función de la diferencia de longitud entre esos dos puntos, la latitud del paralelo y el valor de la gran normal .El valor de la gran normal, lleva implícito los parámetros del elipsoide ya que depende de a y e.

Figura 3.13


Se representa en un elipsoide, la elipse meridiana de un punto A y la de otro B, los dos en el mismo paralelo. Se sabe que la latitud

  

de A, es el ángulo que forma la gran normal AN con

el eje del elipsoide .Por estar B en el mismo paralelo, su gran normal será igual a la de A y coincidirán en N. El radio r del paralelo correspondiente a la latitud segmento AI o BI, que tiene por valor:

de A y B, es el

En general, el valor de la longitud de un arco, es igual al producto del radio por el valor del ángulo que subtiende, expresado en radianes, así se puede establecer la siguiente relación en la longitud del arco de paralelo



entre A y B y la diferencia de longitudes

   

entre ambos, en la circunferencia de radio r que contiene ese paralelo.



(en radianes)

o

Se trata de determinar la longitud de un arco



de elipsoide entre dos puntos A y B de un

mismo meridiano .La expresión diferencial que da la relación entre arco, radio de curvatura y un ángulo subtendido, para cualquier, curva es:

 

  

 Figura 3.14

Donde



es el radio de curvatura de la curva en cuestión, y



el ángulo subtendido por cada

elemento diferencial de arco .Esta expresión integral es la que se va emplear para determinar

              

la longitud de un arco de meridiano en el elipsoide de revolución.


Desarrollando su denominador: 

              +….

Despreciando los términos de orden superior 4 en la expresión anterior, y teniendo en cuenta

                                                                                           ∫                        

las siguientes relaciones trigonométricas que sustituimos en ella:

Obteniéndose el valor del denominador:

Ahora reemplazamos en la ecuación del radio de curvatura de la elipse meridiana: 

Con este valor se empezara a plantear la integral dada: 

Resolviendo la integral se obtiene la siguiente expresión: 

Teniendo en cuenta la siguiente relación trigonométrica:


                    

Y sustituyendo en la última expresión de 

se tiene:

                                                                          El valor de radio de curvatura

m

de la elipse meridiana correspondiente a una latitud media

Es según el siguiente:



Ahora multiplicamos por el valor de

Y restando

resulta:

, y se eliminan términos de orden mayor que

queda:



Aplicando el desarrollo en serie del senx, hasta la tercera potencia, al seno que aparece en la expresión anterior, queda:

Simplificando y despreciando términos de orden igual o superior a



y despejamos



:




         

Por ser el segundo sumando de la expresión anterior muy pequeño, se puede sustituir el valor



             

del semieje mayor por el radio de curvatura de la elipse

en el punto de latitud media.

Sustituyendo, también, el valor de

queda la expresión:

por

      

La longitud de un arco de meridiano entre dos puntos, expresando las latitudes en radianes:

Se recuerda que el



que aparece en estas dos expresiones, es el radio de curvatura de la

elipse meridiana en el punto de latitud media



de los dos que definen el arco a medir.

El empleo de estas formulas, supone aceptar un error que llega al metro, cuando el arco de meridiano ronda los 2.200Km.por lo tanto, en general, son expresiones totalmente validas para distancias por debajo de los 500Km, pudiendo fijarse su límite de uso en el millar de kilómetros. Para mayor exactitud, es recomendable considerar mas términos del desarrollo en serie, manteniendo las potencias 8 .esta expresión de la longitud del arco de meridiano



ecuador al punto de latitud .



desde el

                                                          

*

Co,C2,…C2n

elipsoide:

son coeficientes de la primera excentricidad del


            

Si en lugar de tomar el ecuador como origen, se desea obtener la longitud de arco entre dos puntos de latitudes

  y

, situados en una misma elipse meridiana, bastara con restar

algebraicamente los respectivos valores de



, teniendo en cuenta el cambio de signo, si los

            () 

puntos se encuentran en hemisferios distintos del elipsoide .en general, se puede escribir:

Dónde:

Llamamos acimut geodésico de una sección normal, al ángulo formado por esta con la dirección norte del meridiano del lugar. Su valor varía entre 0° y 360°. Siendo así el acimut geodésico entre dos puntos A y B, el acimut correspondiente a la línea geodésica que une ambos puntos. La convergencia de meridianos se origina de llevar el acimut ZAB sobre la prolongación de la línea geodésica en B, siendo el lado superior de este que formara un ángulo ΔZ con el meridiano de B. Se obtendrá el valor de esta convergencia de meridianos ΔZ, lo que excede de 180°, la diferencia entre los acimutes recíprocos ZAB y ZBA.

ΔZ =

( ZAB – ZBA ) – 180° Figura 3.15


Figura 3.16

Llamamos línea geodésica a la línea de mínima longitud que une dos puntos de una superficie y está contenida en ella; son las líneas "más rectas" posibles (con menor curvatura) fijado un punto y una dirección dada sobre dicha superficie. Para hallar la ecuación de la línea geodésica de utilizaran conceptos como: 1. Relación trigonométrica en un triángulo esférico rectángulo utilizada en el caso de:

C

   

a





b c

Figura 3.17

B

A

Longitud de un arco de meridiano en el elipsoide



 

ρ : radio de curvatura



: Ángulo subtendido por cada

diferencial de arco. Figura 3.18

elemento


Se tiene la figura:

Figura 3.19

     

En el triángulo PCB utilizamos el concepto 1 antes mencionado:

     

Despejando Además

y

 

Según el concepto 2 mencionado antes y por relación trigonométrica en el triángulo ABC:

   

            

Para el lado BC del mismo triangulo ABC:

   

     


    

Sustituyendo en :

              Estas tres ecuaciones constituyen las ecuaciones diferenciales de las líneas geodésicas sobre la superficie del elipsoide. Con las ecuaciones anteriores y con el siguiente grafico se obtendrá la ecuación fundamental de la curva geodésica. P

C

A

dr

r + dr

r

Figura 3.20

La figura representa la sección meridiana de los puntos A y C de la primera figura y la recta tangente a dicha sección en C. Si r es el radio paralelo de A, r + dr será el radio del paralelo de C. Es así que se obtiene la siguiente expresión en la que el signo negativo del elemento dr es

                    

por la menor latitud de C respecto de A.

Despejando seno y coseno de:


                                                 

multiplicar por r dr multiplicar por dr

sumando miembro a miembro

La cantidad entre el paréntesis es nula, por tanto

Es una ecuación diferencial cuya solución

Entonces se deduce

Es así que se obtiene la fórmula de clairaut, la que nos dice que las líneas geodésicas sobre la superficie del elipsoide de revolución son aquellas en las que el producto del radio del paralelo por el seno del acimut de la curva en cada uno de sus puntos es constante.

            

Se podría establecer otra relación respecto a la latitud reducida : Se sabe que:

 


   

 

                          

Sustituyendo en la expresión hallada anteriormente:

Pero

es una constante, queda finalmente:

Dados dos puntos P1 y P2 de un elipsoide de revolución: Se conoce:



Las coordenadas geodésicas ( 1 , λ1) de P1 La longitud del arco P1 - P2

El acimut A12 de P2 HACIA P1 DETERMINAR



Las coordenadas geodésicas ( 2 , λ2) de P2 El acimut A21 de P1 hacia P2


Determinar el semieje menor, la excentricidad y la segunda excentricidad de un elipsoide en función de su semieje mayor a y el aplanamiento f. Aplicar al caso del elipsoide de hayford o internacional en el que a= 6378.388m y f= 1/297. SOLUCION

 

Sabiendo que:

Despejando b tendríamos: b =a(1-f)

Además:

           

Luego:

    √         

Reemplazando valores obtenemos: b = 6356.91 e = 0.08199

 

0.08226

“Geodesia Fisica”, (1985) Weikko A. Heiskanen yHelmut Montz “Fundamentos de Geofisica”, (1986) A. Udias yJ Mezcua “Geodesia Matematica”, (2000) Juan Mena Berrios “Calculo Superior y Teoria del Vector -Campo”, (1969) Kathleen M. Urwin

hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/gpot.html


En este trabajo estudiaremos el tema de la forma de la tierra desde el punto de vista físico. Para ello, se empezará introduciendo el concepto de geoide, concepto que se encuentra íntimamente relacionado con el estudio del campo de gravedad de la tierra, y por tanto, con la determinación del potencial de la gravedad sobre su superficie y en su espacio exterior. Realizaremos un estudio básico que permita definir la gravedad, el potencial de la gravedad, y el geoide. Para ello, recordaremos primero, primero algunas nociones elementales sobre teoría vectorial de campos.


2.1 FUNCIÓN VECTORIAL Es una función que asigna una dirección, sentido y magnitud a cada punto de una región del espacio tridimensional. Un ejemplo de función vectorial puntual sería la velocidad, en cada punto, de un volumen de fluido en movimiento.

Figura 4.2 Función vectorial

2.2 CAMPO VECTORIAL Un campo vectorial para una región se define de la siguiente manera: vectorial, correspondiente a los puntos El valor de

⃗ 



de una región

⃗  ⃗ 

es una función

, es independiente del sistema de referencia utilizado. Si se efectúa un

cambio de dirección en los ejes de referencia, variaran las componentes de

, pero la

dirección sentido y magnitud de V permanecen invariantes en el espacio. Así, la velocidad del fluido es independiente de que rotemos o no la referencia.


Figura 4.3 Campo vectorial

FUNCION ESCALAR

Una función escalar puntual es una función, que a cada punto de la región del espacio tridimensional, le asignamos un valor definido. Por ejemplo, la temperatura en cada punto del espacio, es una función escalar. Si definimos un sistema de referencia x,y,z a cada punto (x,y,z) le corresponde una temperatura determinada. Si Φ(x,y,z) es un función escalar, correspondiente a los puntos (x.y.z) de una región se dice

que a sido definido un campo escalar para dicha región. El valor Φ(x,y,z)

es independiente del sistema de referencia utilizado. Por ejemplo, la

temperatura de cada punto es independiente de las regiones y origen de los ejes elegidos La ecuación Φ(x,y,z)= c , En la que c es una constante tridimensional, representa una superficie, es decir, los puntos de una región para los que una función escalar Φ(x,y,z) toma

un nvalor c, esta sobre una misma superficie. A las superficies Φ(x,y,z) = c , a lo largo de las cuales el campo escalar es constante, se les

llama superficies de nivel o superficies equipotenciales del campo.

Si la función Φ(x,y,z) es derivable, sus tres derivadas

       Φ

Φ

Φ

Interpretadas como

componentes de un vector, definida en cada punto el vector llamado gradiente del campo escalar Φ es decir:

      

Se suele escribir también

∇

∇

Φ, designando con letra, (nabla) el operador.


          Sea Φ(x,y,z) una superficie. Tomemos dos puntos P(x,y,z) y Q(x+dx,y+dy,z+dz) sobre una

superficie, de forma que estén en un mismo entorno. Como Φ(x,y,z)= c es constante, por ser una superficie, su diferencial será nula. dΦ = 0 por tanto:

       De aquí se deduce que los vectores

             

Son perpendiculares ya que su producto escalar dΦ es nulo, el vector PQ es precisamente

Por tanto

es perpendicular a

PQ.

Si ahora Q se aproxima a P, el vector PQ tiende a convertirse en el vector tangente a la

     

superficie en P, de ahí que el vector superficie en P, Se puede afirmar

es un vector normal a la

El vector gradiente de un campo escalares, en cada punto, perpendicular a la superficie de nivel que pasa por él, e indicara la dirección de máxima variación del campo.

Dado un campo vectorial definido por t res componentes Ax (x, y, z), Ay (x, y, z), Az (x, y, z) que son funciones uniformes y derivables:

A  A ( x y z ) x  A ( x y z ) y  A ( x y z ) z 

ˆ

ˆ

ˆ


Se define rotacional del campo vectorial mostrado al vector resultante de realizar el producto vectorial simbólico siguiente: x

y

z

  x

  y

  z

ˆ

  A  

A x

ˆ

ˆ

A y

A z

  A  A y    A y  Ax    A  A x   x   z   z   A   z    y    z   z   y    x   y   x 

De

ˆ

ˆ

ˆ

manera práctica para obtener la rotacional de un campo vectorial se procede a esbozar las componentes mediante el siguiente diagrama:

x z

y

- Para hallar el componente en el eje X se realiza los siguientes pasos:

x y

z

  A z  A y    A y  Ax    A x  A z   x    z   A       y         y z z x x y       

ˆ

ˆ

ˆ

- Para hallar el componente en el eje Y se realiza los siguientes pasos:

x

z

 A 

y

  A z 

 A y  

ˆ

  A x 

 A z  

ˆ

  A y 

 Ax  

ˆ


- Para hallar el componente en el eje Z se realiza los siguientes pasos:

x

z

y

  A z  A y    A y  Ax    A x  A z     z   A      x    y     z   x   y    z   y   x 

ˆ

Si

  

ˆ

ˆ

entonces que existe un campo escalar U llamado potencial de conservativo de Es decir:

  

significa que las derivadas usadas de los componentes



, o que el campo



son iguales. Se dice

también llamado campo

puede deducirse, o procede, de un potencial escalar U.

Si : rot V  0   U tal que : V  grad U 





Si V  grad U  rot V  0 





rot V  0 

La condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial proceda de un campo escalar o función potencial, es que su rotacional sea nulo.

De acuerdo con la ley de Newton, dos puntos con masas m1 y m 2 separados una distancia r 1 se atraen el uno al otro con una fuerza representada por el vector:


  →     || Figura 4.4

Esta fuerza está dirigida a lo largo de la línea que une ambos puntos. El factor G es la constante de gravitación de Newton cuyo valor es:

 Si se conviene en hacer la masa atraída igual a la unidad, y se llama m a la masa atrayente, la

⃗ →|→|     

fuerza ejercida por m sobre la unidad de masa a una distancia r será el vector:

⃗ ∇

Por ser F irrotacional, es decir F=0 , existiría una función escalar potencial V tal que:

Si

⃗ ||→

se puede comprobar fácilmente que

 

A este campo escalar V se le llama Potencial Gravitatorio debido a la particula m extendiendo este concepto a la masa de la tierra, y suponiendo su volumen homogéneo, se estará hablando de Potencial Gravitatorio Terrestre.

  


La fuerza centrífuga que actúa sobre un cuerpo de masa m, moviéndose con velocidad angular w con respecto a un eje de giro situado a una distancia p de él, es por tanto, la fuerza centrifuga f c que actúa sobre la tierra será:

⃗  |⃗⃗|  Donde:

|⃗|    

w es la velocidad angular de la Tierra y p es la distancia al eje de rotación de la Tierra. Esta fuerza esta dirigida en la dirección del vector p (hacia afuera).

Figura 4.5

Por ser la fuerza f c irrotacional es decir que:

 ⃗  ⃗ ∇

existe una función escalar potencial

El valor de este potencial es el siguiente:

   

ya que

∇



tal




A este campo escalar , se le llama Potencial Centrifuga Terrestre.

La gravedad o interacción gravitatoria es una de las cuatro interacciones fundamentales, también origina la aceleración que experimenta un cuerpo físico en las cercanías de un objeto astronómico. También hemos visto que las fuerzas que actúan sobre la masa unidad en un punto fijo de la superficie terrestre que está considerada como una esfera homogénea en rotación y a una velocidad angular uniforme última debido a la rotación.





, son la atracción gravitatoria y la fuerza centrífuga



c,

esta

Figura 4.6 Fuerza de Gravedad

FUERZA GRAVITATORIA:

   = -G

FUERZA CENTRIFUGA:

  ⃗ c =







 c





2

La fuerza total resultante de componer la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga se llama



gravedad .


⃗    ⃗  || = -G

+

2

………. (3-3)

A la dirección de , se conoce con el nombre de dirección de la línea de la plomada o vertical física y a la magnitud

se le llama intensidad de la gravedad o aceleración.

Por ser las dos fuerzas componentes de la gravedad irrotacionales, es decir que el rotacional de sus potenciales son igual a cero, también lo es la gravedad, por lo tanto existe una función escalar potencial U tal que:

⃗ ∇

= U

A este campo escalar se le llama potencial d e la gravedad o potencial gravifico y tiene por valor el de la siguiente expresión:

U=V+



  

= G

+

2(X2+Y2)

Las superficies cuyo potencial de la gravedad U es constante U (x, y, z) = U 0 = cte., se les denomina superficies equipotenciales de nivel o geopotenciales. Por ser la gravedad en un punto, el gradiente del potencial U en ese punto, resulta que su dirección es normal a la superficie equipotencial que pasa por él. Como las superficies de nivel son, por así decirlo horizontales por todas partes, comparten el fuerte significado intuitivo físico de la horizontal y comparten la importancia geodésica de las líneas de la plomada, puesto que son normales a ella. La superficie de los océanos, es parte de una superficie de nivel, después de una ligera idealización.

o

En el sistema internacional la gravedad viene expresada en m/seg 2 En prospección se utiliza la unidad gravimétrica 1 ug = 10-6 m/seg2 En el sistema c.g.s. se expresa la gravedad en la unidad utilizada en gravimetría 1 gal = cm/seg2(propuesta por galileo), también se utiliza el submúltiplo:

1 mgal = 10-3 gal La mayoría de las mediciones gravimétricas, se realizan mediante la determinación de diferencias de gravedad entre puntos; por ello en lugar del gal, suelen utilizarse para esta tarea unidades más pequeñas como el mgal y el µgal. La correspondencia entre ellos es:


mgal = 103 µgal = 10-3 gal = 10-3 cm/ seg2 = 10-5 m/seg2 = 10 ug

De las consideraciones efectuadas hasta el momento, entre las que se ha supuesto que la tierra es esférica y que gira sobre sí misma, se ha obtenido una expresión para el potencial de la gravedad. En estas condiciones, se puede demostrar que las superficies equipotenciales del campo o potencial de la gravedad son elipsoides de revolución. Si se utilizan valores teóricos



para G, M y , se obtendrán según (3-3), valores de la gravedad para cualquier punto, para el modelo de tierra esférica. Así, se obtienen para las siguientes latitudes los siguientes valores teóricos de gravedad en m/seg2.

   

= 90° = 9,820 m/seg2 = 45° = 9,803 m/seg2 = 0° = 9,785 m/seg2

Si se comparan estos valores con los reales observados para los polos y el ecuador se aprecia una diferencia:

   

= 90° = 9,830 m/seg2 = 0° = 9,780 m/seg2

Los valores g reales son mayores que los teóricos en el polo y menores en ecuador. Esta diferencia se explica por el hecho de que la tierra esta achatada en los polos y ensanchada en el ecuador, en consecuencia el radio polar es menor que el que se ha tomado para la esfera y el ecuatorial mayor, con el consiguiente efecto para la atracción gravitacional. Aunque en principio no lo parezca, la diferencia entre estos valores reales y teóricos, son excesivamente grandes. Esto es debido a que el modelo utilizado, el de la esfera, es el más simple, pero aun alejado de la realidad. Estas diferencias, se reducirán si se utiliza un modelo más próximo a la realidad física de la tierra, como es considerarla, con la forma de un elipsoide de revolución, con la misma masa m, y velocidad angular w. pues bien, al potencial de la gravedad correspondiente a estas condiciones se le llama potencial normal Figura 4.7


Todas las superficies equipotenciales o de nivel, del campo normal así definido, son superficies de revolución achatada en los polos y simétrica con respecto al ecuador. Además, entre todas ellas se elige como superficie de referencia aquella que mejor coincide con el nivel medio de los océanos, la cual con un cierto margen de precisión responde a la ecuación matemática de un elipsoide de revolución. Por esta razón, las superficies equipotenciales del campo normal se conocen, en general como esferoides de nivel. Una vez obtenido el potencial normal y con él los correspondientes esferoides de nivel, se puede estudiar la llamada fuerza de gravedad normal que es el valor teórico de la fuerza de la gravedad Sobre las superficies de los esferoides. Esta magnitud que se define como el gradiente del



potencial normal y se representa con el símbolo , es una magnitud vectorial, dirigida según las líneas de fuerza del campo normal, o sea, perpendicular en cada punto al esferoide de nivel que pasa por él. En la superficie del esferoide de referencia, aquella que se adopta como figura dinámica aproximada a la tierra, la gravedad normal se representa con punto, la recta normal a dicha superficie.



o,

y su dirección, traza en cada

En 1929, el geodesta italiano somigliana, obtuvo una expresión para la fuerza de gravedad normal, tomando como referencia para el campo normal de la tierra, un elipsoide revolución de semiejes a y b. así para un punto situado sobre el elipsoide a una latitud geodésica

  e

y



, y siendo

los valores de gravedad teóricos en el ecuador y en los polos del elipsoide,

respectivamente, dio la expresión:

       o =

a e cos2 + b sen2 /

Existe otra variante de esta expresión, denominada formula de clairaut, en la que se introduce el parámetro de aplanamiento f del elipsoide, correspondiente al campo normal y otros dos β y βt, según las expresiones que se dan

a continuación:

f =



β=

    =

– f

 

βt = f 2 +

fβ

Figura 4.8

Si se mantiene en el desarrollo del denominador, los términos de igual orden que el cuadrado f 2 del aplanamiento elipsoidal, se obtiene la expresión de Clairaut.


 

o = e (1+ βsen2





– βtsen22 )

Esta última expresión es una relación teórica en la que los coeficientes



, β y βt son

desconocidos. Para determinarlos, se realizan mediciones gravimétricas, observando el valor real de la fuerza de gravedad g, en una serie de puntos de latitud conocida y regularmente distribuidos Sobre la superficie de la tierra. De esta forma, se obtienen ecuaciones con tres incógnitas por cada observación:

gi = ge (1+ β sen2



i – βtsen22



i)

Si se realizan n observaciones, se tendrá un sistema de n ecuaciones con tres incógnitas, que se resuelve por mínimos cuadrados. Así, se han obtenido varias expresiones para el cálculo de los valores normales de la fuerza de la gravedad o formula de cassini, que se adoptó en 1930 con Carácter mundial, por el congreso internacional de geodesia celebrado en Estocolmo y en la que basaron sus observaciones gravimétricas la mayor parte de los países de Europa y América.







Las constantes a y f que intervienen en ella, son las correspondientes al elipsoide internacional:

o = 978.049(1+ 0,0052884 sen2

– 0,0000059sen2

) gal

Existen otras expresiones, que dan la variación de la gravedad normal con la altura h, en función del valor de la gravedad

  es:



o del

elipsoide de referencia. Para el elipsoide internacional



h = o – (0,30877 – 0,00045sen2 ) h + 0,000072h2 gal

En principio la palabra GEOIDE significa” forma de tierra”, este término fue definido por primera

vez por el matemático alemán Gauss hace unos 200 años, en segundo instante definiendo la palabra geoide desde el punto de vista fundamentado en la ciencia Geodésica viene a ser: una superficie de nivel que representa al nivel medio del mar, la cual se prolonga por debajo de los continentes y cubre a la Tierra en su totalidad. Puede ser imaginada como la superficie del mar en condiciones ideales de quietud y es en todo punto perpendicular a la línea de plomada o


dirección de la gravedad. El geoide es un modelo físico que busca representar la verdadera forma de la Tierra calculándola como una superficie del campo de gravedad con potencial constante y es utilizada como referencia para determinar la elevación del terreno.

Ubicación del geoide con respecto de la superficie topográfica y el elipsoide geodésico de referencia.

Figura 4.9

o

La utilidad principal del geoide es establecer la superficie de referencia de la altura ortométrica, conocida también como altura sobre el nivel medio del mar y se aplica en trabajos de ingeniería topográfica, cartografía, GPS aerotransportado, apoyo terrestre para fotografía aérea y como un insumo para la generación de modelos digitales de elevación. Combinando información de un modelo de alturas geoidales con alturas geodésicas obtenidas mediante técnicas de posicionamiento satelital es posible obtener alturas ortométricas de cualquier punto sobre el terreno. La cual pasaremos a detallar en el siguiente ítem.

La manera de transformar el valor de altura geodésica (h) que proporciona un receptor GPS en un valor de altura ortométrica (H), es mediante la resta del valor de altura geoidal o ONDULACION DEL GEOIDE(N) dada por un modelo digital de elevación geoidal. Ahora bien si nosotros queremos hallar la Ondulacion del Geoide simplemente despejamos N en función de H y h.


P



 Q

Figura 4.10 Altura Ortométrica(H), Geodésica(h) y Geoidal(N)

H = h – N

N = h – H

Donde: H :Valor de Altura ortometrica. h : Valor de Altura geodésica. N : Valor de Altura geoidal o Ondulación del Geoide.

o

Se proyecta primero el vértice P sobre el geoide a lo largo de la línea de la plomada (ligeramente curvada) quedando la proyección en sobre el elipsoide referencia quedando el



.



.Este punto se proyecta nuevamente


o

Consiste en proyectar el punto P, desde la superficie física de la tierra directamente sobre el elipsoide de referencia, según la recta normal elipsodica, obteniendo asi el punto Q.

El conocimiento de la verdadera forma de la tierra y de los Sistemas de Referencias, ha sido el desvelo de topógrafos, geómetras y geodestas, desde 5.000 años A.C y hasta nuestros días. La parte teórica del problema general de la figura de la Tierra consiste en el estudio de las superficies de equilibrio de una hipotética masa fluida, sometida a las acciones gravitatorias y a un movimiento de rotación. Por una parte habrá que efectuar numéricamente una comprobación de que las formas teóricas que se establezcan sean compatibles con la realidad, y por otra, a partir de la observación, habrá que calcular los parámetros que definan su forma y sus dimensiones de la tierra. o

Suponía en sus consideraciones teóricas que sus objetivos, forma de la Tierra, posiciones de puntos de su superficie y campo de gravedad no variaban con el tiempo salvo por el efecto periódico de marea. La Geodesia clásica trata de resolver el problema de la figura de la Tierra siguiendo el proceso siguiente: Determinación de un elipsoide de revolución como figura aproximada de la Tierra. Determinación del geoide sobre este elipsoide dando sus ondulaciones o cotas del

geoide

sobre el elipsoide. c)

Determinación de las posiciones de puntos de la superficie topográfica terrestre con relación a la superficie del geoide mediante nivelación. o

Ha llegado a un estado de desarrollo tal que la precisión alcanzada nos dice que, como indica la teoría, ya no pueden seguirse considerando invariables los objetos de estudio.

En la seguridad que la verdadera forma de la tierra es física y no geométrica, al final del siglo XIX, se vio marcado por los grandes trabajos de mediciones de arcos de meridianos, realizadas por los geodestas junto con los astrónomos, para determinar los parámetros de un elipsoide que más y mejor se aproxime a la forma física de la tierra.


La verdadera forma de la tierra es un Geoide, la cual no se define geométricamente sino que físicamente. La figura geométrica que más se asemeja a la verdadera forma de la tierra es el elipsoide de revolución.

Figura 4.11

(1) la superficie de los océanos. (2) el elipsoide. (3) la dirección de la plomada. (4) los continentes. (5) el geoide.


Figura 4.12 Geoide o

Desde tiempos inmemoriales se idearon métodos para conocer la figura de la tierra, mediante el cálculo del perímetro y radio de la esfera terrestre, a base de obtener medidas de arcos y ángulos por ellos subentendidos desde el centro de la tierra. En los dos últimos siglos, conociendo que la tierra esta achatada por los polos, se invirtieron grandes esfuerzos en determinar la forma del elipsoide mas adecuado a la forma real de la tierra. Para ello, y con la misma idea, se realizaron observaciones de longitudes S de arcos entre dos latitudes conocidas mediante observaciones astronómicas de forma que era posible conocer el ángulo

ᵩ

ᵩ

correspondiente a dicho arco mediante la diferencia de latitudes ∆ entre ambos. Con S - ∆ . P,

ᵩ ᵩ ᵩ

si se realizan n observaciones de arcos S, y considerados, se tendrán n parejas de datos (p1,

1)

es la latitud media entre los puntos

(p2,

2),………..

(p

n,

ᵩ

n).

De esta forma, es

posible establecer un sistema de ecuaciones sobre dimensionados de n ecuaciones. Una cosa quedó clara después de los trabajos de Snellius y Picard y es que con medidas de ángulos y distancias podían obtenerse posiciones de puntos sobre la superficie de la Tierra. Pronto proliferaron, debidas principalmente a necesidades cartográficas con fines militares, civiles y de navegación, las invenciones de nuevos instrumentos de observación y se perfeccionaron los teodolitos para la medida de ángulos. Basado en la medición de un arco de meridiano, como lo que realizó Eratóstenes en su época. Posteriormente se ha perfeccionado y lo que se miden son cadenas de triángulos en el sentido del meridiano, que permiten compensar errores. Es el método que permitió determinar la forma elipsoidal de la Tierra (P. Picard, Cassini, La Hire). Posteriormente utiliza por geodestas como Delambre, Mechain, para definir elipsoides.


Figura 4.13 Esquema del método de los arcos o

Uno de los métodos que más importancia ha tenido en Geodesia para determinar el elipsoide terrestre ha sido el método de las áreas introducido por Hayford en el año 1909, y que después ha tenido grandes aplicaciones. El método está basado en la utilización de las desviaciones relativas de la vertical; que, como sabemos son, en cada punto, el ángulo formado por la vertical física y la normal al elipsoide de referencia. Ahora bien, estas desviaciones deberán referirse al geoide, por lo que habrán de estar corregidas teniendo en cuenta la influencia que sobre la dirección de la vertical tienen las desviaciones locales definidas por la topografía del terreno, además de la hipótesis admitida de compensación isostática, así como la profundidad de compensación. Entonces el método de las áreas nos dará como resultado: la profundidad de compensación isostática según la hipótesis admitida y las dimensiones del elipsoide que mejor se adapte al geoide. Consiste en calcular las coordenadas astronómicas y geodésicas de varios puntos de la Tierra. Esto equivale a disponer de las verticales y por tanto la desviación relativa de la vertical, con respecto a una serie de elipsoides. Con ello se podría determinar el elipsoide que mejor se ajustara a esta zona de la Tierra. Este fue el método que empleó Hayford y otros geodestas (Krassovski, etc.) para determinar sus elipsoides. El comienzo de la Geodesia moderna lo marcan los trabajos de Helmert, quien utilizó por vez primera el método de superficies, En 1909 el geodesta norteamericano Hayford con datos de la red geodésica de los Estados Unidos y aplicando el método de las áreas con la hipótesis.


Figura 4.14 DESVIACIÓN DE LA VERTICAL

Figura 4.15 SISTEMA GEODESICO

o

Para la determinación del geoide y del campo de gravedad de la Tierra se necesitan medidas de la gravedad, estas se obtienen con los instrumentos y métodos propios de la gravimetría Estudio de la gravitación terrestre y medición de sus variaciones en los diversos lugares. Se obtienen medidas de la gravedad tanto en zonas continentales como oceánicas. Se utiliza el péndulo, el gravímetro y el péndulo de Veining-Meisensz para zonas submarinas.


A partir de las medidas se utilizan métodos de cálculo como la fórmula de Stokes, o la transformada rápida de Fourier (FFT). Los elipsoides del WGS-84 y el IERS - 89 han sido obtenidos con este método. Los instrumentos empleados para realizar mediciones de la gravedad se denominan gravímetros o gradiómetros. La mayor parte de los gravímetros emplean resortes cuyo efecto se opone a la fuerza de gravedad que actúa sobre una masa. Existen dos clases de gravímetros: Gravímetros absolutos: Permiten conocer el valor de g directamente mediante la determinación de una longitud y/o un tiempo. Los primeros instrumentos absolutos fueron de tipo pendular, actualmente son de caída libre. Gravímetros relativos: Estos instrumentos únicamente permiten conocer la diferencia relativa de g entre dos puntos o entre dos tiempos. El período de oscilación resulta:

T  2π

2   Φ g 0  ...  1    l  16   

GRAVÍMETRICO

Figura 4.16


-

“Geodesia y Topografía”, (2006) Jose Manuel Millan Gamboa

-

“Geodesia Fisica”, (1985) Weikko A. Heiskanen yHelmut Montz

-

“Fundamentos de Geofisica”, (1986) A. Udias yJ Mezcua

-

“Geodesia Matematica”, (2000) Juan Mena Berrios

-

“Calculo Superior y Teoria del Vector -Campo”, (1969) Kathleen M. Urwin

-

www.publicacions.ub.es/liberweb/astronomia_esferica/...1/2_4.htm

-

hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/gpot.html


La determinación de coordenadas de los puntos de la superficie terrestre, toma como punto de partida el establecimiento previo de un sistema de referencia accesible al observador, que sirva de base a las medidas. Así, se introduce uno de los problemas fundamentales de la geodesia, al igual que ocurre en astronomía. La falta de accesibilidad directa a un supuesto sistema de coordenadas, solidario con el globo terrestre, obliga a efectuar medidas y transformación d coordenadas, basadas sustancialmente en datos astronómicos, por lo que se produce un inevitable enlace entre ambas ciencias. En general, los sistemas de coordenadas más utilizados, astronómico y geodésico, pueden ser a su vez, topocéntricos o geocéntricos, según que el origen del sistema se sitúe en algún punto de la superficie terrestre o en el centro de la tierra. Por tanto, es conveniente estudiar los tres sistemas de referencia fundamentales utilizados en geodesia. Estos son los sistemas de coordenadas astronómicos o naturales, los sistemas de coordenadas geodésicos y los sistemas de coordenadas cartesianos.


El sistema de coordenadas astronómico es un sistema de referencia que se caracteriza porque se define dentro de los parámetros del campo de gravedad de la tierra. Por ello, también recibe el nombre de sistema de coordenadas natural. Es el sistema propio y natural bajo el cual se realizan las observaciones del campo. Este sistema de referencia astronómico puede ser geocéntrico o topocéntrico: o

Consideremos la superficie real de la tierra y sobre ella, un punto A cualquiera. Establezcamos un sistema de referencia geocéntrico OXYZ, de forma que O es el centro de gravedad terrestre, el eje OZ es el eje instantáneo de rotación, el plano OXY, perpendicular a OZ, recibe el nombre de ecuador astronómico, y el plano OXZ es el correspondiente al meridiano de Greenwich. Si se considera la dirección de la vertical o línea de la plomada, en el punto A, y se prolonga esta dirección hasta el plano ecuatorial OXY, se observa que lo corta en un punto cualquiera P, que no tiene por qué pertenecer a la recta OE. Si se realiza la proyección ortogonal de A, sobre el plano ecuatorial OXY, se obtendrá el punto A’.

Se denomina meridiano astronómico de un punto A, a el plano determinado por la dirección AP de la vertical en A y la paralela al eje de rotación OZ que pasa por A. en el plano APA’ de la

figura. Asi se definen:



Latitud astronómica ( ): de un punto A, es el ángulo medido sobre el meridiano astronómico de ese punto, que forma la prolongación de la línea de la plomada de A con el ecuador astronómico o plano ecuatorial OXY. Se cuenta de 0° a 90°. Se toma en sentido positivo desde el ecuador hacia el norte y en sentido negativo hacia el sur.



Longitud astronómica ( ): de un punto A, es el ángulo medido sobre el ecuador astronómico o plano ecuatorial OXY, que forman el meridiano de Greenwich con el plano meridiano de A. Se cuenta de 0° a 180°. Se toma en sentido positivo hacia el este y en sentido negativo hacia el oeste.


FIGURA 5.1.

Se puede introducir una tercera coordenada natural que permita distinguir entre puntos de distinta altitud y que siga manteniendo el sentido físico de estas definiciones:



Altura ortométrica ( ): es la distancia, medida a lo largo de la vertical física, desde el geoide hasta el punto considerado A. se mide en metros. Se define numero geopotencial C de un punto A, a la diferencia entre el potencial de la

 

gravedad y el geoide. Se mide en unidades de trabajo

o

SISTEMA TOPOCENTRICO ASTRONOMICO .

El sistema de referencia topocéntrico astronómico, se utiliza para obtener coordenadas de un punto con relación al observador. Los puntos observados desde el, pueden ser otros vértices de los que se quieren conocer sus coordenadas, o un astro. Para las definiciones que siguen se consideran este último caso. Para definir un sistema de referencia local o topocentrico en un punto A de la superficie terrestre, se hará coincidir la recta fundamental Az, con la dirección de la vertical o línea de la plomada en A. es la línea AP.


El plano xy coincidirá con la horizontal de A, y queda determinado en la dirección perpendicular a la vertical en A. el plano yz es el meridiano del lugar, de forma que la dirección



coincida con el norte.

Sea E un astro cualquiera, se define vertical del astro E a el plano que contiene a la línea



vertical y al astro. Es el plano AE. En estas condiciones se definen:



Distancia cenital ( ): de un astro E desde un punto A, es el ángulo, medido sobre la vertical, que forma la vertical del punto A y la visual desde el punto al astro. Se mide de 0° a 180°. Acimut astronómico ( lugar





): es el ángulo medido sobre la horizontal



, que forma el meridiano de

(norte) y la vertical del astro. Se cuenta de 0° a 360° desde el norte, y hacia el este en

sentido positivo. De la figura se puede deducir, de forma directa, las coordenadas del punto E, expresadas según la referencia cartesiana. Estas son:

FIGURA 5.2.

        


o

Se ha estudiado que la superficie matemática que más se aproxima a la forma real de la tierra es la de un elipsoide de revolución achatado en los polos. Su máxima desviación con el geoide, en el sentido vertical, es de +- 30m. El sistema de coordenadas geodésico, toma como referencia este elipsoide, de forma que a cada punto de la superficie real de la tierra, le corresponde un punto sobre el elipsoide, que es el que define sus coordenadas. Esta correspondencia se realiza según la proyección de Helmert, es decir, según la recta normal episódica que pasa por el punto considerado. Las coordenadas geodésicas pueden tomar un sistema de referencia geocéntrico o topocentrico.

3.1 SISTEMA GEOCENTRICO GEODESICO Se define plano meridiano del lugar, (ver figura), al plano formado por la normal episódica en un punto y el semieje menor del elipsoide. Si A es un punto cualquiera situado sobre la superficie real terrestre, se define:

FIGURA 5.3.ELIPSOIDE

-

LATITUD GEODÉSICA(ϕ).- Generalizando la definición dada en el tema dos, se define como el ángulo medido sobre el plano meridiano del lugar, que forma la normal al elipsoide que pasa por el punto A, con el plano ecuatorial del elipsoide. Se cuenta de 0° a 90°. Son positivas hacia el norte y negativas hacia el sur.

-

LONGITUD GEODÉSICA (λ). - Es el ángulo medido sobre el plano ecuatorial, que forma el plano meridiano origen (greenwich) y el plano meridiano del lugar. Se cuenta de 0° a 180°. Son positivas hacia el este y negativas hacia el oeste


-

ALTURA ELIPSOIDAL (h).- Es la distancia que separa el punta A, sobre el superficie terrestre, de la superficie del elipsoide, medida a lo largo de la normal al elipsoide que pasa por el punto A considerada. Es la distancia AQ.

FIGURA 5.4.PORCION DE ELIPSOIDE

FIGURA 5.5. SISTEMA DE COORDENADAS GEOCENTRICO GEODESICO

3.2 SISTEMA TOPOCÉNTRICO GEODÉSICO Es un sistema de coordenadas que tiene al origen al observador en A, se utiliza para obtener coordenadas de otro punto B, respecto del observador. La recta fundamental (eje AZ) es la normal al elipsoide que pasa por el punto A, (ver figura). Esta normal coincide con la normal AQ de la figura anterior. El eje X se orienta según el vertical primario, y el Y, según el meridiano. El


plano XY se llama horizonte geodésico y es paralelo en A, al plano tangente al elipsoide, en el punto Q del elipsoide representado en la figura anterior. Así se define: -

DISTANCIA CENITAL GEODÉSICA (Z).- Es el ángulo que forma la normal que pasa por el punto origen A y la visual a otro punto B. se mide de 0° a 180°.

-

AZIMUT GEODÉSICO (Ag).- Es el ángulo medido sobre el horizonte geodésico, que forma la dirección Y (norte) y la del punto visado. Se cuenta de 0° a 360° y hacia el este. FIGURA 5.6. SISTEMA TOPOCENTRICO GEODESICO

o

Una vez establecidas las coordenadas geodésicas geocéntricas, definamos el sistema de coordenadas cartesiano geocéntrico o terrestre, y la relación existente entre ambos sistemas. La referencia cartesiana geocéntrica queda definida por los ejes cartesianos rectangulares XYZ. De la figura, cuyo origen O es el centro del elipsoide, que se supone próximo al geocentro de la tierra. Estos tres ejes quedan definidos de la siguiente manera:

.EJE Z.-Paralelo al eje de rotación terrestre. .EJE X.-Perpendicular al eje Z, determinado por la intersección del ecuador terrestre y el meridiano de Greenwich.

.EJE Y.-Perpendicular al plano XOZ, formando un triedro recto. Las coordenadas de cualquier punto sobre la superficie terrestre, quedan determinadas por las tres coordenadas XYZ. Que miden las distancias del punto considerado, a los tres ejes de


coordenadas, tal como se muestra para un punto genérico A como el de la figura. Atendiendo a la misma figura, determinemos la relación existente entre el sistema de coordenadas episódicas geocéntrico y el sistema de coordenadas cartesianas geocéntrico: Sea un punto A sobre la superficie terrestre separado un altura h de la superficie del elipsoide, y Q su proyección sobre el. Los ángulos Φ y

λ

son la latitud y longitud geodésicas del punto

A, que son las mismas que las del punto Q. Consideremos el radio vector r , con origen en O, que determina el punto A, y el radio vector q, con el mismo origen, que determina Q. Si n es un vector unitario en la dirección de la normal episódica, se puede deducir de la fig. Que se verifica:

 ⃗ ⃗ ⃗  ⃗ Las componentes de los vectores q (la coordenada Z se obtiene empleando la formula (2.16)) y n son las que se expresan a continuación:

         ⃗   ⃗    Por tanto, las coordenadas del punto A, definido por el radio vector r , vendrán dadas por:

                        →      La operación inversa, obtención de las coordenadas elipsoidales a partir de las cartesianas, es posible, pero el cálculo no es tan inmediato y se resuelve únicamente por iteración. El sistema converge rápidamente siempre que h<
Como

√ 

Z=

  √        →    

se tiene:

se dividen los dos miembros por


       √  √                  √    De esta última expresión se obtiene el valor de la latitud geodésica en función de las coordenadas cartesianas y de los parámetros del elipsoide e y N:

     √     

Y el cálculo de la longitud geodésica es inmediato:

Como se puede observar, la ecuación (4.3) da el valor de la altura h en función de la latitud Φ, y la ecuación (4.4) da el valor de la latitud Φ en función del a altura h. Lo ideal sería poder resolver un sistema de ecuaciones para obtener sus valores, pero por ser complicada su resolución, se realiza un cálculo por iteración, que además es fácilmente programable. Esta iteración se resuelve siguiendo los siguientes pasos:

1.-Con h=0 se calcula una primera latitud Φ con la expresión (4.4) sin tener en cuenta N. 2.-Con esa latitud Φ se calcula un primer valor para N con la expresión (2.13). 3.-Con el valor de N que se acaba de hallar, y la lat itud Φ calculada en el punto 1, se determina un primer valor de h mediante la expresión (4.3). 4.-Con este valor de h se vuelve a calcular una nueva latitud Φ mediante la misma expresión (4.4) utilizada en el punto 1, pero esta vez teniendo en cuenta el último valor de N hallado.


A partir de aquí, se repite el proceso continuando en el punto 2 y siguientes, hasta que se obtienen unos valores para la latitud Φ y altura h tales que, en dos procesos consecutivos, su

diferencia sea menor que un valor dado. Esto sucede ocurrir en tres o cuatro iteraciones. EJEMPLO: En una observación mediante receptor GPS se obtienen las siguientes coordenadas cartesianas de un vértice geodésico=4.625.924.7036; Y=-307.096.7756; Z=4.365.771.1425. Obtener las correspondientes coordenadas geodésicas, con un Error menor al milímetro para la altura y la cienmilésima de segundo para la latitud. El elipsoide WGS84 tiene como parámetros geométricos: a=6.378.137m y f=1/298.257223563.

SOLUCION:

      √      √   

Con

H=0

(4 –4)

                                            

Con (4 –3) Con (4 –4) Con (4 –3) Con (4 –4) Con (4 –3) Con (4 –4) Con (4 –3)



Las dos últimas latitudes se diferencian en menos de una cienmilésima y las alturas se diferencian en menos de un milímetro por tanto la altura buscada será h = 99.274 el cálculo de la longitud es inmediato mediante la expresión obteniéndose hacia el W por ser la coordenada Y negativa

  


o

Estudia la relación existente entre las coordenadas cartesianas de dos punto referidas al sistema general de los ejes de los elipsoide y las correspondiente a cada una de ellos referida al sistema local o topo céntrico del otro. Se sabe que para un punto A el sistema local tiene su origen en un punto el eje Az está dirigido según la normal al elipsoide, y los ejes, Ax y Ay pertenecen respectivamente al primer vertical de y al meridiano del punto .Estos ejes se corresponden con los Az , Ax y Ay de un punto A que esta sobre la superficie real de la tierra. Ahora consideremos otro punto cualquiera B situado también sobre la superficie de la tierra de coordenadas (xb , yb , zb) según el sistema local de A .Sean (Xa.Ya,Za) y (Xb,YB,Zb) las coordenadas de A YB en el sistema general de ejes cartesianos X,Y,Z .EL problema consiste en determinar las coordenadas de B (xb,yb,zb) referidos al sistema loca de A en función de las coordenadas de A (Xa.Ya,Za) y B (Xb,YB,Zb) respecto al sitema general

FIGURA 5.7. NOTAMOS QUE HAY DOS SISTEMAS DE REFERENCIA RELACION ENTRE LOS SISTEMAS DE REFERENCIA GENERAL GEODESICO Y LOCAL LAPACIANO

D la figura anterior se desprende

la siguiente relación en la que se supone que las

componente de vectores vienes expresadas respecto al sistema local de A AB=OB-OA Pero los datos del problema da las coordenadas de los vectores OB y OA no en el sistema local sino en el sistema general OBg Y OAg para resolver esta diferencia de vectores los 3 an de expresarse en el mismo sistema , que será el sistema local de A. Para ello será necesario


aplicar tensor de giro Rr correspondiente (1) para referir diferente al segundo miembro. Al sistema local. De esta forma , la expresión anterior estará expresada de la forma.

AB=R.(OBg-OAg) o que es lo mismo Definiremos R Generalidades de matriz de rotación 3D

Sentido

   

Formula General Rotación

I eje de rotación =1

I eje de rotación

J=I (modulo 3) + 1=2

j =i (modulo 3) + 1

K =j (modulo 3) +1=3

Propiedades R1 = RT

Ejemplo :

      

k =j (modulo 3) +1

        

        

En este caso para superponer el sistema general al local se deberán realizarse los siguiente güiros. Giro alrededor del eje z para aquel el eje OX se convierta e el OX’ paralelo al eje pe del

ᶗ

sistema local este giro es de 90°- y es positivo por ser contrario al giro de las agujas del reloj.El eje y queda desplazado ala posición y’ que es la del plano meridiano .

FIGURA 5.8.


FIGURA 5.9.

       Giro alrededor del eje X en la posición X’ para que el eje OY’se convierta en el OY“ paralelo al

ᵩ

eje Ay del sistema local este giro tiene por valor 90°- y es positivo por ser contrario al giro de las aguja

del reloj.

FIGURA 5.10.

         ᶗ

Por tanto de acuerdo a la nota (1) y teniendo en cuenta que ez=90°- , que ey=0 y que ex=90°-


ᵩ

ᶗ

ᵩ

ᶗ

R=Rx(90- )*Ry(0)*Rz(90°- )= Rx(90- ) )*Rz(90°- ) Entonces R=R1.R2 DESARROLAMOS LA MULTIPLICASION DE MATRICES

                       ENTONCES LEGAMOS A ESTE SISTEMA

           

Por tanto en cualquier caso:

La transformación inversa ala anterior se consigue por razonamiento similar al seguido. Asi se podrían expresar las coordenadas generales de B en función de las coordenadas cartesianas y de A y la local de B

                      

Con el sistema geodésico


o

En este apartado se va a definir el sistema de referencia local denominado triedro local de las direcciones principales, por su importancia en los problemas geodésicos principales que se estudiaran más adelante. Dado un punto A (Fig. 1) de la figura sobre el elipsoide de revolución, en el que se traza un plano tangente por dicho punto, se define el triedro local de las direcciones principales, como un triedro trirrectángulo directo Axyz, con origen en A, de forma que el plano Axy coincida con el plano tangente, estando el eje z según la dirección de la recta normal al elipsoide en A, tomando como semieje z positivo el orientado hacia el interior del elipsoide. El eje x se orienta según la dirección principal del meridiano y hacia el polo, y el eje y se orienta según la dirección principal del vertical primario. FIGURA 5.11.

Sistema de las direcciones principales Sea B otro punto cualquiera sobre la superficie del elipsoide, de forma que se conocen sus coordenadas con respecto al triedro local de la direcciones principales en A, y si se quiere calcular sus coordenadas en el sistema cartesiano geocéntrico OXYZ. De la se desprende la


siguiente relación, en la que las componentes de los vectores vienen expresadas respecto al sistema general.

⃗ ⃗ ⃗ Pero al no conocerse las coordenadas del vector sistema local

⃗ 

⃗ 

en el sistema general, sino en el

, habrá que aplicarle el tensor de giro R correspondiente (1) para referir

dicho vector al sistema general. De esta forma, la expresión anterior quedara expresada de la forma.

⃗ ⃗ ⃗    

o lo que es lo mismo:

                     

La superposición del triedro Giro alrededor del eje debe ser

con el

se lograrà mediante los siguientes giros:

para que el eje

, siendo

se sitúe paralelo al eje

. El valor de este giro

la latitud geodésica de . El sigo de este giro es positivo, ya que

según se mira desde el eje de giro, el

se produce en sentido contrario al de las agujas del

reloj el triedro quedara en la posición El giro del eje



.

para colocar el eje

paralelo al eje



. el valor de este giro es

precisamente la longitud geodésica del punto . El signo de este giro es negativo, ya que según se mira desde el eje de giro, el

, se produce en el sentido de las agujas del reloj.

Estos giros serán los que determinen el tensor de giro R, que en este caso, estará compuesto

                           

del siguiente producto (1)


                       una vez determinado R, y según expresado en la ecuación, se obtiene las coordenadas del punto B en el sistema general, en función de las generales de A y las coordenadas de B respecto de A en triedro local de la direcciones principales.

                  La transformación inversa a la anterior se consigue por razonamiento similar al seguido. Así, se pueden expresar las coordenadas de B respecto de A en triedro local de las direcciones

                       

principales, en función de las coordenadas cartesianas generales de A y B:

o

El punto de partida de un levantamiento geodésico se llama punto fundamental. Este punto sobre la superficie terrestre es llamado Datum, es el que sirve de referencia para la orientación del elipsoide que se vaya a utilizar en los cálculos geodésicos. Para realizar esta orientación, se fuerza a que en este datum coincidan la normal elipsódica y la normal astronómica o

física. Para que de esta manera el elipsoide queda orientado según esta vertical física. El levantamiento geodésico continuara con la realización de medidas geodésicas sobre el terreno, así se obtendrán coordenadas de distintos vértices referidas al elipsoide adoptado en los


cuales no coinciden

la vertical natural y la normal elipsódica. Entonces la

desviación de la vertical es el ángulo que forman la normal astronómica y la normal geodésica, la cual varía con la posición y los parámetros del elipsoide de referencia elegido. Existe la posibilidad de establecer un elipsoide concéntrico, cuya forma sea la más similar posible a un geoide. Este elipsoide puede servir como referencia para calcular la desviación vertical en diferentes puntos de la superficie terrestre. A estos ángulos obtenidos se conoce con el nombre de desviación absoluta de la vertical. Pero las redes geodésicas se han levantado en diferentes partes del mundo utilizando elipsoides de referencia diferentes, de esta manera los ángulos de desviación ya no serán comparables entre sí. A estos valores de desviación vertical correspondientes a elipsoides locales se les llama desviación relativa de la vertical. El conocer la desviación de la vertical es de suma importancia en Geodesia, porque pueden ser utilizados para determinar la figura de la Tierra, empleando el método de áreas. Se trataba de obtener aquel elipsoide que hiciera mínima la suma de cuadrados de esas desviaciones. El elipsoide resultado, será el más probable. Para calcular la desviación de la vertical θ y de sus componentes ξ y η, en función de las coordenadas geodésicas tales como latitud y longitud λ, como también coordenadas astronómicas, latitud Φ y longitud Λ. La desviación de la vertical está determinada por la porción de arco de circulo máximo θ, que une Za y Zg. De los infinitos arcos de circulo máximos que pasan por Za , en la esfera celeste, se traza uno de ellos que corte perpendicularmente al meridiano geodésico de P. Este punto de corte es el punto M, las dos componentes de la desviación de la vertical θ son: la porción de arco de circulo máximo η= ZaM y la porción de arco de circulo máximo ξ= ZgM. Consideremos los triángulos esféricos determinados por los vértices Z, Za, Zg y M , llamemos al ángulo ZZgZa acimut geodésico ε, que determina la dirección de la desviación de la vertical con respecto al meridiano geodésico P. Para el cálculo de estas componentes se aplicaran algunos conocimientos de la trigonometría esférica.

FIGURA 5.12.


Triangulo ZZaM

FIGURA 5.13.

    =

                 

DIRECCION DE DESVIACION

      


Para evitar confusión con los signos, conviene tomar como origen la cenital geodésica Zg. Dependiendo de la posición relativa del cenital astronómica Za respecto a Zg, así serán los



signos de η y ξ. El ángulo de la dirección ZgZa se obtendrá de acuerdo a estos signos. Si Za se encuentra al NE de Zg serán: η positiva y ξ positiva Si Za se encuentra al NW de Zg serán: η negativa y ξ positiva Si Za se encuentra al SW de Zg serán: η negativa y ξ negativa Si

Za

se

encuentra

al

SE

de

Zg

serán:

η

positiva

y

ξ


La Ecuación de Laplace relaciona el acimut astronómico y el acimut geodésico. Si

 ƛ

ɸ

y A son las

coordenadas astronómicas de un punto, y y son sus coordenadas geodésicas, y desde este punto de vista otro cualquiera y se obtiene como acimut astronómico A A y como acimut geodésico

   

AG la ecuación de Laplace expresa lo siguiente:

La importancia de esta ecuación estriba en que proporciona una herramienta que permite determinar el acimut geodésico AG, a partir del acimut astronómico AA, lo que es especialmente útil en el caso de efectuar observaciones astronómicas de alta precisión, en posición y acimut. Esta necesidad, nace del hecho de que el cálculo de una red geodésica se efectúa sobre el elipsoide empleando coordenadas geodésicas. Pero las observaciones, se efectúan con un aparato cuya puesta en estación, está condicionada a la dirección de la plomada, es decir, dentro del ámbito de las coordenadas astronómicas. Por tanto, es necesario saber intercambiar valores entre ambos sistemas, especialmente el acimut. L observación astronómica de precisión, aporta los datos latitud astronómica

ɸ

, longitud

astronómica A y el acimut astronómico A A, en una dirección materializada sobre el terreno. A todo vértice geodésico de una red, en el que se ha efectuado una observación de este tipo, se le llama

Punto Laplace. Como punto de partida para el levantamiento de una red geodésica, se suele utilizar un punto Laplace. En este punto de arranque, se fuerza la coincidencia de la normal al elipsoide, y la vertical física y, por tanto, se igualan las coordenadas astronómicas y las geodésicas, de forma que:

ɸ  ,

y AG= A A

Para construir la red, se realizarán medidas sobre el terreno y cálculos geodésicos, y para finalizarla, se realizará una nueva observación astronómica de precisión, en un determinado vértice de recalada, al que ya se habrá llegado mediante esas observaciones y cálculos geodésicos. En este nuevo punto Laplace, ya no coincidirán las coordenadas astronómicas y geodésicas, ni tampoco el acimut geodésico calculado AG y el astronómico A A, que se haya obtenido a otra dirección que se tome sobre el terreno. Mediante la ecuación de Laplace, se puede convertir este último acimut astronómico en el geodésico AGL y comparar, al final de la cadena de triángulos, la diferencia entre este A GL y el calculado AG. De esta forma, si se evalúa esta diferencia y se utiliza para corregir los cálculos y observaciones, se prodúcela denominada compensación astronómico geodésica. Para obtener la ecuación de Laplace, se va a considerar la misma situación que la mostrada en la fig. 4-7, pero en la que se van a añadir las direcciones, sobre los arcos de circulo máximo, aun

144


nuevo punto C. Estas direcciones determinarán los acimutes, astronómicos y geodésicos, desde el punto P a C tal como se muestra en la fig. 4-9 Supongamos que el punto C se encuentra elevado a un arco hc, respecto al horizonte físico del punto P. Sean ε y ε’ los acimutes de la desviación de la vertical en los puntos Zg y Za y sean u y u’ las

direcciones con las que se ve C tomando Zg y Za como verticales en P, respectivamente; siendo el origen de direcciones el arco del círculo máximo Za Zg que determina la desviación de la vertical.

FIGURA 5.14.

Así, de la figura de se deduce que los valores de los acimutes astronómicos AA y geodésicos AG

                      del el punto C desde Za y Zg tienen por valor:

y

De donde:

Para determinar este valor de

Cálculo de

 

se calculará primero

y después

Para este cálculo se aplicará la fórmula trigonométrica de las cotangentes (2) al triangulo CZgZa:

145


    FIGURA 5.15.

                                          Simplificando la expresión anterior y teniendo en cuenta, posteriormente que el ángulo de la desviación de la vertical es muy pequeño y que por tanto se puede aproximar su seno y su tangente al arco, se tiene:

Desarrollando la cotangente y realizando operaciones:

Como la diferencia entre las direcciones u y u’ es muy pequeña, se puede aproximar el seno al arco y con ello, obtener el valor buscando:

   Cálculo de (ε’-ε)

Para este cálculo se aplicará la misma fórmula trigonométrica de las cotangentes (2) al triangulo

ZZgZa de la figura 4.8:

              FIGURA 5.16.

146


      Simplificando la expresión anterior y teniendo en cuenta, posteriormente que el ángulo de la



desviación de la vertical es muy pequeño y que por tanto, es posible aproximar su seno y su

        

tangente al arco, se tiene:

Simplificando la expresión anterior y teniendo en cuenta, posteriormente que el ángulo de la

                                     desviación de la vertical

es my pequeño, y que por tanto, es posible aproximar su seno y su

tangente al arco, se tiene:

desarrollando la cotangente y realizando operaciones:

Como la diferencia entre las direcciones

y ’ es muy pequeña, siempre que el punto de estación

P no esté muy próximo al polo (tan

), podemos aproximas el seno al arco.

  

Por último teniendo en cuanta la expresión que define la componente n, escribimos:

               

Reemplazando ahora en la ecuación (4-18) los valores deducidos expresados por, se obtendrá la igualdad:

Donde figura la latitud geodésica

y el ángulo de desviación de la vertical

en el punto de

estación, así como la altura h c de la referencia, punto C sobre el horizonte astronómico y la dirección u dónde ésta se encuentra con relación a la normal geodésica en el punto. Como ya se ha mencionado el valor de



se determina en los puntos Laplace de la red

geodésica, con objeto de comparar los acimuts geodésicos y astronómico de algunas direcciones de la red. Procediendo de esta forma en una serie de vértices, se podrá deducir si los resultados matemáticos que proporciona la geodesia van en consonancia con los naturales que dicta la astronomía y calificar así la bondad del datum elegido para el establecimiento de la red.

147


Como consecuencia de ello, conviene hacer las siguientes consideraciones sobre la expresión (4-21). En primer lugar interesa que la referencia C utilizada en el levantamiento del acimut astronómico esté muy lejana, así como que su altura sobre el horizonte se pequeña. Una altura h c pequeña a mucha distancia del punto de estación hace que su tangente también lo sea.

      ɸ

Entonces siendo además que el ángulo de desviación

es muy pequeño se puede despreciar el

último sumando del segundo miembro de (4 -21) y escribir: Cambiando aquí la latitud geodésica

por la astronómica

cuyos valores han de ser muy

parecidos cuando la red está correctamente establecida, se obtiene:

    ɸ          ɸ

(4-22)

Sustituyendo ahora la componente n por su expresión dada en (4-12) en función de

(4-23)

 ɸ

y resulta:

valor que será comparado con el correspondiente de la red geodésica obteniendo por triangulación el objeto de controlar su orientación

148


Como toda necesidad científica, la necesidad de conocer matemáticamente la superficie terrestre nos lleva primeramente a la creación de lo que llamamos redes geodésicas, y son los vértices de estas redes lo que permite la determinación de nuevos puntos sobre la superficie de la tierra. La forma de determinar estos nuevos puntos a partir de los datos que conocemos es el desarrollo de los Problemas Geodésicos Principales.

149


o

Se estudia en trigonometría esférica que la suma de ángulos de un triángulo esférico está comprendido entre 180° y 540°:

 <   < °

Así, se define ex ces o es fé ric o









°

de un triángulo esférico, a la cantidad, que la suma de tres

ángulos, excede de 180°. Si se expresa en grados ( expresión tendrá por valor:



), en radianes (





ε



) o en segundos (



) su

   

   

ε



ε

ε

ε

π

El ex c eso es fé ric o de un triángulo, en una esfera de radio R , se suele expresar en función del



área de ese triángulo esférico. La expresión que lo da es:

  

   π

ε

ε

π

 

     

ε

π

El valor de la superficie de un triangulo esférico, expresado en función del valor de sus ángulos y de la superficie

de la esfera que lo contiene, es: 

     





°

°



150


o

“Un triángulo esférico, cuyos lados sean muy pequeños comparados con el radio de la esfera que

lo contiene, puede reemplazar para su cálculo, por uno plano cuyos lados tengan la misma longitud que los del esférico, y sus ángulos sean los de este, disminuidos en un tercio del exceso esférico”

′



  





′

  





′

  



o

  

Se define curvatura total o gaussiana de una superficie cualquiera, en un punto en el que sus radios de curvatura principales son

y



, a la relación:

    

“Para que un elemento de una superficie, considerada perfectamente flexible e inextensible, pueda

aplicarse sobre un elemento de otra superficie sin sufrir desgarraduras ni dobleces, es necesario y suficiente que en los centros de los elementos considerados, la curvatura total de ambas superficies sea la misma”.

En concreto, para que elementos del elipsoide, puedan aplicarse sobre la esfera, se debe verificar que sus curvaturas totales sean iguales. Si





es la curvatura total en un punto del elipsoide, y

es la curvatura total en otro punto de la esfera, la condición para que ambas superficies sean

151


aplicables en esos puntos, se expresa mediante la relación, estudiada en el Tema 2, que da el radio medio en un punto del elipsoide, en la que principales de ese elipsoide, en el punto considerado. En efecto:







   →



 

y son los radios de curvatura





  

 

En estas condiciones, la aplicación del elipsoide-esfera, conserva los án g u lo s , las distancias y las área s ; en particular, un arco de línea geodésica de la primera superficie, se transforma en un arco

de línea geodésica en la segunda superficie. Así las líneas geodésicas del elipsoide se pueden considerar arcos de círculo máximo, con lo que la resolución de triángulos elipsódicos se puede simplificar de triángulos esféricos. La esfera a utilizar, será distinta para cada triangulo, debiéndose calcular su radio de acuerdo a los valores de los radios de curvatura principales



y para la

latitud media de la zona en que se encuentre. Cada una de las esferas que simplifican la resolución de estos triángulos recibe la denominación de esfera local. o

Se define Esfera de Jacobi , o de los acimutes conservados, a la esfera que es tangente a un elipsoide de revolución, a lo largo del ecuador. Sea un elipsoide de revolución de un polo P y



semieje mayor como el de la figura. La esfera de Jacobi correspondiente, será la del polo P’ y su



radio tendrá, por tanto, el valor del semieje mayor del elipsoide.



Consideremos una línea geodésica sobre la superficie del elipsoide, y en ella el punto A de

 

coordenadas (

), en el que la dirección de la geodésica viene determinada por el acimut Z . Sea



T un punto sobre el ecuador de coordenadas ( acimut





. Por último, consideremos un punto B de la misma geodésica, de coordenadas (

en el que el acimut sea reducida

) por donde pasa esa línea geodésica con el



 

. A la latitud geodésica



),

de A le corresponderá una latitud

de acuerdo las relaciones del tema 2, y lo mismo ocurrirá con las latitudes de T y B.

Así de acuerdo a la fórmula de Clairaut estudiada en el mismo tema, aplicada a los puntos T, A y

B, se verificara:

152


               

 





  



        



°



  

  

°





De donde





 

 





De forma análoga, pero ahora sobre la esfera de Jacobi , consideremos el arco de circulo máximo



   

que pasa por con el mismo acimut

elipsoide. Sea su acimut es

tiene:



  

con que lo hacia la línea geodésica y sobre el

en un punto de este arco de círculo máximo, de coordenadas ( en

.

Por último, consideremos un punto acimut







de de coordenadas (

), en el que

) sobre este arco que presenta un

. Aplicando la fórmula de Clairaut de igual forma, pero en este caso sobre la esfera, se

             

De donde



°



  

  ′

′



′

′



′



°



153


Si se compara con las ecuaciones anteriores, obtenidas para la esfera y el elipsoide, se tiene:

  

′ ′ ′ ′

 

De donde:

si







→  

′



′

De esta condición se deduce que es posible establecer una correspondencia entre los puntos del elipsoide y los de la esfera de Jacobi , de forma que asociando, en general, a cada punto elipsoide



un





del

punto

 

en la esfera, de latitud esférica igual a la latitud reducida de , se verificara que todo arco de

geodésica sobre el elipsoide se puede hacer corresponder con un arco de circulo máximo sobre la

esfera de Jacobi , de forma que los acimutes son iguales a los de la línea geodésica en los puntos correspondientes en el elipsoide. Esta correspondencia no implica ninguna proyección geométrica, de hecho aunque se conserven las latitudes y acimutes en los puntos correspondientes, no ocurre lo mismo con las longitudes.



Para determinar la relación existente entre un

sobre el elipsoide y el correspondiente



sobre

la esfera, será necesario, primero, determinar la relación existente entre un elemento el emento diferencial de latitud geodésica curvatura



y un elemento diferencial de latitud reducida

de la elipse meridiana





, en función del radio de

. Para ello, se recurrirá a las expresiones del tema 2 que establecen la

relación entre ambos tipos de latitudes:

 

  

→  

 





 



→         





 



  

 





  

 



Y otra relación del tema 2, que da el valor del radio de curvatura de la elipse meridiana, junto con la recién obtenida:



                →   















 

 















 (5.9) 

154


Una vez encontrada esta relación, se aplicaran mas expresiones del tema 2 al





punto sobre el elipsoide, y al

       

       

′

′

→→

sobre la Esfera de Jacobi: sobre

     → 

 

  

        ′

  



 

′

→→          →  

    

            ′

Del tema 2 quedo establecido que forma:  

′





′

    

′



 

′

, por lo que la reciente ecuación quedara de la

 

′

Volviendo a la primera expresión (5.10), relacionándola en ella la relación (5.9) y la relación (5.12), se obtiene finalmente la relación entre un incremento de longitud en el elipsoide y el correspondiente en la esfera de Jacobi:

  →      →   →  √    

  



 









 

′ ′

  

′ ′

′ ′

 

′ ′

′







o

Sea A un punto de latitud



sobre el elipsoide, cuyos radios de curvatura principales en ese punto

son N y y p . Supongamos que desde este punto parte una línea geodésica con azimut Z, cuyo radio de curvatura en A es



.

Sea B un punto separado de A una distancia s , medida a lo largo de esa curva geodésica. Pues bien las coordenadas de B, expresadas en el sistema local de las direcciones principales (2) de A son:

        



 

        



 

155


      



 

  

 

Estos son los llamados desarrollos de Weingarten - Puiseux . Las coordenadas así obtenidas equivalen a las componentes del vector que tiene origen en A y el extremo B, expresadas en el mencionado sistema de referencia. De estos desarrollos es posible obtener las formulas inversas, que en un proceso iterativo, permiten hallar el valor de la distancia s y el acimut Z , en función de las coordenadas x , y z de B expresadas en el sistema local de las direcciones principales de A .Para obtenerlas, se comenzara por sumar los cuadrados de las dos primeras ecuaciones anteriores.

                         

  

 

 

 

 

         

 









  

   

 

 

 

 

 

  

  

  

 

 





 



La expresión que aparece entre paréntesis en el segundo término del segundo miembro, es la inversa del radio de curvatura



dado por tanto:

            

Despejando



 











  

  

:



            

 









  

  

156


La suma

     

es el mayor termino que da mayor peso al valor de

los otros términos

, N y

ya que en

son muy grandes comparados con s . Por este motivo, se puede

sustituir en la expresión anterior, el valor







por la suma suma

  

.

                                             







 

 







En esta fórmula, s esta expresado en función de la incógnita Z , por lo que se ha de buscar otra fórmula que ligue ambas incógnitas. Esta se obtendrá despejando Z en la primera y segunda ecuación de los desarrollos.



    



  

  



    ∙     ∙∙     



   



     



 





 



De donde se obtiene Z en en función de la l ongitud s : 

  ∙     ∙    



 





 



Con las formulas:



                  







 

 







157




  ∙     ∙    



 





 



Se deben calcular simultáneamente los valores de s y Z utilizando utilizando el método de aproximaciones sucesivas. El proceso se inicia tomando para Z el el valor de



y . Estos valores de Z y



 

, con el que se calcula

, se utilizan para calcular un primer valor de s . Con este valor de s , ya

se puede calcular Z de forma completa con y con el, un nuevo

. Así, se vuelve a calcular un

nuevo valor para s , y se continúa el proceso hasta conseguir la convergencia deseada, tanto en acimut como en distancia. o

Después de realizar observaciones angulares y de distancia sobre el terreno, y tras su compensación, se han de resolver el traslado de posiciones geográficas sobre el elipsoide, para establecer una red geodésica en una determinada zona. Estos problemas se denominan problemas geodésicos principales, y son el problema directo, y el problema inverso. Existen diversos procedimientos para su resolución, de los cuales, se estudiaran aquí el método algebraico y el de las esferas auxiliares.

Problema Directo Consiste en lo siguiente: a partir de un punto A del elipsoide de coordenadas conocidas ( del acimut

 

    ,

)

en el punto A, de la geodésica que lo une con un segundo punto B, y de la distancia

geodésica s entre ellos, se deben obtener la latitud y longitud geodésica de B, y el acimut inverso de



de la misma geodésica en el punto B.

Problema Inverso

     

Dado los puntos A y B de coordenadas conocidas ( consiste en calcular los acimutes, directo

 

,

e inverso

) y (

,

), el llamado Problema Inverso

, de la línea geodésica que los une, asi

como la longitud s del tramo de dicha línea geodésica entre ellos.

METODO ALGEBRAICO Este método valido para distancias de hasta 300 km, que combina métodos propios de la geodesia elipsoidal con aplicaciones algebraicas utilizadas en geodesia tridimensional.

158


o

   

Como ya se sabe, los datos del problema son las coordenadas de un punto A (

 

,

), el acimut

de la geodésica a otro punto B, y la distancia s que los separa. Las incpgnitas son las

 

coordenadas (

,

), del punto B, y el acimut inverso



. Los pasos a seguir para resolver el

problema son los que se señalan a continuación, de acuerdo a la fig, en la que se representa el sistema local de las direcciones principales (2) con origen en A, y el sistema general cartesiano con origen en O. Obtención de las coordenadas de

B a

partir de A , con

 

y s.

a) Mediante los parámetros a y f del elipsoide de trabajo se calcularan los valores de la primera y segunda excentricidad del elipsoide, e y e’, y los siguientes parámetros para la

latitud

 

, del punto A.



Radio de curvatura



Radio de curvatura



Radio de curvatura

   

del vertical primario.

de la elipse meridiana. de la normal según el acimut Z.

b) Mediante los desarrollos de Weiingarten , se calculan las componentes del –Puiseux vector

⃗

referidas al sistema de las direcciones principales de A:

159


               ⃗              

   

c) Se calculan las coordenadas cartesianas del punto A , a partir de (

,

), y h =0 , mediante:

               d) Se calculan las coordenadas cartesianas del punto B, que es el resultado de realizar la siguiente suma vectorial en el sistema general cartesiano:

⃗  ⃗  ⃗  ⃗                           

e) Calculo de las coordenadas geodésicas del punto B ( , ), a partir de las recién calculadas coordenadas cartesianas (

. En la primera de ellas se tendrá en

cuenta que h =0 , por lo que no será necesario realizar el proceso iterativo.



      















 

160


f)

Se calcula el acimut



de la geodésica que parte de A en el punto B , se

empleara la fórmula de Clairaut aplicada a los puntos A y B

  

  







  



El valor de

 

  

 

puede ser positivo o negativo

 →   <   {   →      < →      <{   →   g)

Se calcula el acimut inverso



mediante:



 ± 

h) Si se desea se puede hallar la convergencia de meridianos

  





mediante:



161


Como ya se sabe, el Problema Inverso consiste en resolver el siguiente problema; conocidas las coordenadas de dos puntos A (

       )yB(

) se deben calcular los acimutes

   y

de la

línea geodésica que los une, así con la longitud del tramo de esta línea entre ellos.

Cálculo de acimutes y convergencia de meridianos. Para llevar a cabo este cálculo se vuelve a utilizar la Esfera de Jacobi , tangente al elipsoide en el Ecuador. Al igual que el Problema Directo, se empleara la relación existente entre los puntos A’ y B’ de la esfera con los A y B del elipsoide, que asigna a los puntos de la esfera una latitud es fé ric a





igual a la latitud reduc ida de los puntos del elipsoide. Así, de acuerdo a lo estudiado

en el apartado 5 de este tema, se conservaran los acimutes, del elipsoide a la esfera, entre geodésicas correspondientes. Siguiendo con la Esfera de Jacobi , se puede obtener otra expresión mediante otra analogía de

  

Neper que relacione el acimut medio

con datos conocidos. Si se conoce el acimut medio

(semisuma de los acimutes directo

e inverso

meridianos







entre dos puntos), y la convergencia de

, se podrán determinar cada uno de los acimutes directo e inverso resolviendo un

sistema de ecuaciones. La analogía de Neper que permitirá obtener el valor de siguiente:

 



será el

     





 









Veamos, de acuerdo a la Esfera de Jacobi , cuales son

           →           los ángulos y arcos que se deben sustituir en esta expresión:

162


                   

De donde

Sustituyendo estoy valores en la analogía de Neper se obtendrá el valor buscado de

       

→

Para calcular



 



 

λ



con esta expresión, se han de calcular previamente las latitudes reducidas

los puntos A y B, así como el incremento de la latitud de

:

     

 







de

existente entre ellos en la esfera. El valor

obtenido, puede ser positivo o negativo , y en cada uno de estos dos casos se

obtienen dos valores para

  

dependerá de que el valor del

, al tener en cuenta la cantidad



. El valor a elegir para



  sea positivo o negativo. En el primer caso, al valor

obtenido se le sumara 180°, y en el segundo caso se le sumara 360°. De esta forma, y una vez

      conocida y

y

, se planteara el siguiente sistema de ecuaciones, segun el signo de

:



, que dará



     →      →                 

< 163


     →      →                  



Cálculo de la distancia entre los dos vértices A y B . Este cálculo se puede realizar, tomando como punto de partida, cualquiera de las coordenadas



ortogonales geodésicas e , empleados en el Problema Directo. Se debe utilizar, para cada caso, la mayor de ambas cantidades, e incluso se puede calcular con las dos para comprobación. En cualquier caso se utilizara el acimut

 

, calculado en las ecuaciones anteriores, para utilizarlo

               → }      

como dato en el problema. Se calculara la longitud mediante la coordenada ortogonal .



Para eliminar la incógnita del segundo miembro se realizara la aproximación



que se obtendrá la expresión que da el valor de :

  

, con lo

        



Para hallar , además de describe seguidamente:

 

ya obtenido, se deben determinar

      → 

Con el valor de , se calculara el arco el punto B:

       y

,

, e como se

 



, utilizando en vez de la esfera tangente Q, la tangente en

    

164


La longitud del arco del meridiano entre las latitudes geodésicas de A y B, es AQ’, que para lo cual se debe calcular antes el radio de curvatura de la elipse meridiana



.

      Una vez determinados

  

:

   y



en un punto de latitud media

        , se procede a calcular

  



. El signo de

 



lo dara



Una vez conocidos todos los elementos que intervienen, se halla la distancia .

165


La constitución de una red geodésica, comienza con su planeamiento a través de cadenas de triángulos, y continua, con el establecimiento físico, sobre el terreno, de las señales geodésicas correspondientes a cada uno de los vértices de estos triángulos. Posteriormente, se establece el enlace entre estas señales, mediante observaciones sobre el terreno; fundamentalmente medida s de ángulos y distancias. Una vez efectuadas todas las medidas en la red, se procede a su compensación, de forma que bien a través de los ángulos medidos o bien a través de las distancias medidas, se determinan todos los elementos, ángulos y distancias, de cada uno de los triángulos que constituyen la red. Estos serán los datos definitivos, que se utilizarán para iniciar el cálculo de coordenadas de todos los vértices. Los problemas geodésicos principales estudiados en capítulo anterior, serán la herramienta que permitirá calcular las coordenadas de los vértices geodésicos de l a red, partiendo de esos datos de ángulos y distancias definitivos, obtenidos después de la compensación. La red geodésica española se estableció de este modo, estableciendo cadenas de triángulos que corren sensiblemente a lo largo de meridianos, paralelos y costa. En el siguiente tema se tratara más detenidamente la constitución de grandes redes geodésicas, tanto a nivel nacional como internacional. En este tema, se estudiará el empleo del traslado de posiciones geográficas, mediante la aplicación de los problemas geodésicos

principales, de forma sucesiva, para generar redes

geodésicas con distinta utilidad. Se tratara también, el traslado de posiciones geográficas desde el punto de vista topográfico. Posteriormente, será conveniente adelantar algunas nociones básicas sobre la representación U.T.M., para entender la relación existente entre las coordenadas topográficas y las U.T.M.

166


El problema del traslado de posiciones geográficas, consiste en la determinación de las coordenadas de vértices, sobre el terreno, a partir de otros vértices, cuyas coordenadas son conocidas y de datos obtenidos a través de medidas de ángulos y distancias. El problema de traslado de posiciones geográficas, puede realizarse dentro del campo de la geodesia o de la topografía según se expone a continuación : o

Las medidas de ángulos y/o distancias, entre los vértices de coordenadas conocidas, y los vértices cuyas coordenadas se quieren obtener, se reducen al elipsoide y posteriormente, se realiza la compensación. Con los ángulos y/o distancias obtenidos después de la compensación, se calculan las coordenadas de los nuevos vértices a través de cálculos efectuados sobre ese elipsoide, con la resolución de los conocidos problemas geodésicos principales. Las coordenadas y acimut de partida, pueden proceder de una observación astronómica, o bien tratarse de coordenadas correspondientes a vértices pertenecientes a una red ya establecida. Para realizar los traslados de posiciones geodésicos, se emplean distintos procedimientos, que son los siguientes: 

Poligonal



Radiación



Triangulación



Trilateración

o

Los procedimientos topográficos de traslado de posiciones geográficas, se desenvuelven en un ámbito más reducido de extensión geográfica, dentro de la cual, se considera la tierra como plana. Así, las medidas de ángulos y/o distancias, se reducen a una superficie plana arbitraria, y posteriormente se realiza la compensación, con los ángulos y distancias obtenidos después de la reducción y compensación, se obtiene las coordenadas de nuevos vértices a través de cálculos geométricos. La tierra se considera plana a todos los efectos, excepto para reducción de medidas por esfericidad y refracción. Los métodos topográficos se clasifican en tres ti pos de levantamientos, según trabajen:

167


Los métodos planimétricos Son todos aquellos procedimientos que se encargan de determinar las coordenadas horizontales de distintos puntos del terreno.

Los métodos altimétricos Son todos aquellos procedimientos dirigidos a determinar los desniveles entre vértices.

El método taquimétrico Es un procedimiento topográfico, que combina, de forma ágil y cómoda, los métodos planimétricos y altimétricos, empleándolos simultáneamente para efectuar un levantamiento topográfico tridimensional de forma rápida y eficaz. La finalidad de la taquimetría no es la de efectuar el traslado de posiciones geográficas, sino el levantamiento de planos de zonas destinadas del terreno, pero puede incluirse.

Poligonal Consiste en la obtención de ángulos y distancias, mediante medida directa, estableciendo un itinerario geodésico que comprende los vértices conocidos y aquellos cuyas coordenadas se quieren determinar. Una vez medidos y reducidos estos ángulos y distancias, se calculan las coordenadas de los nuevos vértices, resolviendo los problemas geodésicos principales. Para realizar la comprobación de este itinerario, es necesario conocer las coordenadas de un punto de recalada, de forma que se puedan comparar, las nuevas coordenadas obtenidas, con las ya conocidas. A partir de la fig. -1, se describirá el procedimiento por el cual, se realizan traslado de posiciones geográficas utilizando poligonales. Supongamos que se quieren determinar las coordenadas de cuatro puntos de interés A, B, C y D, y que se han materializado previamente sobre el terreno. Sean I, E y R tres vértices geodésicos cuyas coordenadas son co nocidas.

Fig.-7.1.- Esquema de ejecución de una poligonal abierta

168


Como ya se ha mencionado, la poligonal, ya sea abierta o cerrada, debe partir de un vértice de coordenadas conocidas. Supongamos que este punto de partida es el vértice E. Se efectuará una poligonal abierta con recalada en el vértice R, de forma que el itinerario será E-A-BC-D-R. El vértice I, conocido, servirá de referencia acimutal para la medida del primer ángulo IEA. A continuación se describe el proceso de ejecución de esta poligonal en dos aspectos: el trabajo de campo y el trabajo de gabinete.

El trabajo de campo Se comenzara, estacionando los equipos de medida, teodolito y distanciómetro o (estación total), en el vértice E. Desde este vértice se mide el ángulo M1 = IEA, y la distancia EA. Una vez efectuadas estas medidas, el observador se dirigirá al punto A y, en él, efectuara una nueva puesta en estación de los equipos de medida, midiendo así el ángulo M2 = EAB, y la distancia AB. El observador vuelve a cambiar nuevamente de estación, ahora al punto B, y desde allí se mide el ángulo M3 = ABC y la distancia BC. Se pasa a la estación C y se obtiene el ángulo M4 = BCD y la distancia CD. Por último, estacionamos en D, y se mide el ángulo M5 = CDR y la distancia DR. Una vez efectuadas estas medidas y extracción de ángulos y medidas de distancias, se puede comenzar el trabajo de gabinete para obtener, sucesivamente, las coordenadas de A, B, C y D.

El trabajo de gabinete Este trabajo comienza con la obtención de una referencia acimutal, para orientar el primer ángulo medido. Esta referencia se obtendrá realizando un problema inverso entre los vértices I y E, cuyas coordenadas son conocidas. El resultado de este cálculo, serán los acimutes ZEI y ZIE. La suma de los ángulos ZEI y M1, dará como resultado el acimut ZEA, que determina la dirección del punto A desde E. En estas condiciones se podrá resolver un problema directo desde E para obtener las coordenadas de A, ya que se conocen las coordenadas de E, el acimut ZEA y la distancia EA. Como resultado de este cálculo se obtiene las coordenadas del punto A y el acimut inverso ZAE. Con este último acimut calculado ZAE y el ángulo M2 medido desde A, se obtendrá el acimut ZAB que determina la dirección de B desde A. Por tanto, se puede realizar otro problema directo, esta vez desde A, para obtener las coordenadas del vértice B. esto es posible ya que se conocen, del paso anterior, las coordenadas de A, el acimut ZAB y la distancia AB. Como resultado de este cálculo se obtendrá las coordenadas del punto B y el acimut inverso ZBA. De la misma forma, se continúa realizando este proceso de cálculos para obtener las coordenadas de C y D. Además, se obtendrán las coordenadas del vértice R de recalada. La diferencia entre las coordenadas obtenidas y las reales del vértice R, será el denominado error de recalada. La finalidad del trabajo será la que establezca, en cada caso, un valor máximo para este error de recalada. Por último, se procede a la compensación de la poligonal, repartiendo el error de recalada, en tantas partes como tramos tiene la poligonal. El error de cada una de estas partes será

169


proporcional a las distancias de cada tramo. Posteriormente, se sumaran algebraicamente, cada parte proporcional, a las coordenadas de cada nuevo vértice. En el caso de una poligonal cerrada el procedimiento es lo mismo, la única diferencia consistirá en que el vértice de partida y el de recalada son lo mismo.

Radiación Consiste en la obtención de ángulos y distancias, mediante medida directa, estableciendo dos itinerarios geodésicos distintos, de un solo salto, de forma que cada uno de ellos parte de un vértice

conocido distinto, pero recalando los dos en el mismo vértice, que es aquel cuyas

coordenadas se quieren obtener. Este es un método que se utilizara únicamente para la obtención de posiciones geográficas de puntos aislados. Se efectuara, al menos, desde dos vértices geodésicos diferentes, midiendo en cada uno, ángulo y distancia. Estos dos vértices pueden servir como inicial uno del otro. El procedimiento por el que se realiza una radiación, se ilustra en la fig. – 2. Supongamos que se quiere determinar las coordenadas de un punto de interés A, y que se ha materializado previamente en el terreno. Sean P y Q dos vértices geodésicos cuyas coordenadas son conocidos.

Fig. – 7.2.- Esquema de ejecución de una radiación.

El trabajo de campo Se comenzara estacionando los equipos de medida, estación total, en uno de los vértices, por ejemplo, el vértice P. Desde este vértice, se mide el ángulo M1 = QPA y la distancia PA. Una vez

170


efectuadas estas medidas, el observador se dirigirá al punto Q; y en él, una vez estacionado se mide el ángulo M2 = PQA, y la distancia QA.

El trabajo de gabinete Este trabajo comienza con la obtención de una referencia acimutal para el primer ángulo medido. De forma similar a como se realizó en el caso de la poligonal, esta referencia se obtendrá realizando un problema inverso entre los vértices P y Q, cuyas coordenadas son conocidas. Como resultado de este cálculo, se obtiene los acimutes ZPQ y ZQP. La suma de los ángulos ZPQ y M1 dará el acimut ZPA que determina la dirección del punto A desde P. La suma de los ángulos ZQP y M2 dará como resultado el acimut ZQA que determina la dirección del punto A desde Q. No es necesario que las iniciales de partida sean los mismos puntos P y Q. Puede darse el caso, por ejemplo, en que no exista visual entre P y Q. En este supuesto, se tomaran iniciales a otro, u otros, vértices conocidos y se procederá de la misma forma, para obtener el acimut de la dirección del punto A. En estas condiciones, se pude resolver dos cálculos de problema directo, uno desde P para obtener las coordenadas de A, ya que se conocen las coordenadas de P, el acimut ZPA y la distancia PA; y otro desde Q para obtener las mismas coordenadas de A, ya que se conocen las coordenadas de Q, el acimut ZQA y la distancia QA. Como resultado de estos cálculos se obtendrá las coordenadas de A por duplicado. La diferencia entre las coordenadas obtenidas, será el denominado error de recalada. Se tomara como coordenadas compensadas del vértice A, la media aritmética de las dos calculadas, siempre que se encuentren por debajo de los márgenes de error establecidos por el error de recalada.

Triangulación La triangulación, consiste en la obtención de la posición geográfica de un vértice, partiendo de otros dos, mediante la medida de los tres ángulos del triángulo formado por todos ellos, y de la distancia entre los vértices de partida. Esta distancia, denominada base, puede obtenerse directamente, o bien, calcularse a partir de las coordenadas de los dos vértices de partida. El procedimiento por el que se realiza una triangulación se ilustra en la fig-3. Sean A y B dos vértices geodésicos cuyas coordenadas son conocidas. Supongamos que se quieren determinar las coordenadas de un punto C de interés.

171


El trabajo de campo El trabajo de campo consiste en estacionar el teodolito o estación total en cada uno de los vértices A, B y C. Desde cada uno de ellos se miden los ángulos BAC, ABC y el BCA, respectivamente. No será necesario efectuar ninguna medida de distancia si se conoce las coordenadas de A y B, ya que de ellas se deduce la distancia AB = c, pero si, por ejemplo, no se conocieran las coordenadas de B, se podría continuar con el procedimiento de triangulación, si se mide una base como la c y se toma una referencia acimutal para orientar el triángulo.

Fig.-7.3.- Esquema de ejecución de una triangulación

El trabajo de gabinete Una vez efectuada la medida y extracción de cada uno de los tres ángulos del triángulo, se habrán obtenido los ángulos observados. A partir de ellos, se calcularan los ángulos definitivos del triángulo esférico, que serán los que se utilicen para la obtención de las coordenadas del vértice buscado. Los ángulos definitivos se obtendrán teniendo en cuenta las siguientes consideraciones: Si no se hubiese cometido error en la medida de los ángulos del triángulo, se cumpliría que su suma menos 180°, sería i gual al exceso esférico ε del triángulo esférico:

 

172


Pero en realidad, se comete un error en la observación de los ángulos, por tanto, su suma menos 180°, será igual al exceso esférico

ε afectado del error cometido en la

observación, también llamado error de cierre e, es decir, si los ángulos observados son A, B y C, será:

  

Para obtener los llamados ángulos definitivos A, B y C, se deberá compensar este error de ci erre e entre los tres ángulos Aˈ, Bˈ y Cˈ observados, pero para obtener este error de cierre e, se debe hallar primero el exceso esférico ɛ del triángulo, de forma que:

   

Para determinar el exceso esférico, se calculara el área del triángulo plano A1, B 1, C 1 aplicando el Teorema de Legendre al triángulo esférico A, B, C. Por tanto, los ángulos A1, B 1 y C1 tendrán por valor el de los ángulos observados disminuidos en un tercio de la suma del error de cierre y el exceso esférico:

                                           

Para calcular el área del triángulo plano, de ángulos A1, B1 y C1, se resuelve este triángulo por medio del teorema de los senos, obteniéndose a y b:

Con esto dos lados ya obtenidos, y el conocimiento de la latitud media en la zona de la observación, se calcula el valor del exceso esférico de triangulo mediante la siguiente expresión, teniendo en cuenta el Teorema de Gauss:

       

→    

Donde a y b son los lados calculados al resolver el triángulo, N es la gran normal para la latitud media de la zona, y ρ es el radio de curvatura de la elipse meridiana para la misma latitud. Conocido el exceso esférico ɛ, ya es posible calcular el error de cierre e. una vez calculado e, se

173


repartirá su valor entre los ángulos observados Aˈ, Bˈ y Cˈ, disminuyéndolos en

e/3, obteniendo así los ángulos definitivos A, B, y C:

  

De esta manera, se conocen todos los datos del triángulo definitivo, cuyos lados son el conocido c y los calculados a y b, y cuyos ángulos son A, B, y C. Así ya se está en disposición de aplicar los problemas geodésicos principales para obtener las coordenadas del punto C, desde A mediante un Problema Directo, y desde B mediante otro Problema Directo, adoptando como situación final de C la media de las dos obtenidas. Para la constitución de una red, se procurara que la longitud de los lados sea la mayor posible y nunca inferior a 5 kilómetros. Asimismo, ninguno de los ángulos de cada triangulo deberá ser inferior a 30° sexagesimales, siendo el triángulo ideal el equilátero.

Trilateración La Trilateración consiste en la obtención de la posición geográfica de un vértice, partiendo de otros dos conocidos, mediante la medida de las distancias existentes entre estos últimos y aquel cuyas coordenadas se quieren determinar. La distancia entre los vértices conocidos puede medirse, o bien, calculase a partir de sus coordenadas. Utilizando la fig-3, para el procedimiento de la trilateración. Supongamos que se quiere determinar las coordenadas del punto C, y sean A y B dos vértices geodésicos cuyas coordenadas son conocidas.

174


Fig.-7.4.- Esquema de ejecución de una triangulación

El trabajo de campo Suponiendo que se medirá la distancia AB = c, el trabajo de campo consistirá en estacionar el equipo de medición en los vértices A y B, y desde cada uno de ellos, con los prismas colocados en B y C, se medirán las distancias AB = c y AC = b desde A, y la distancia BC =a desde B.

El trabajo de gabinete Una vez efectuada la medición de distancias, y reducidas estas al elipsoide, se dispondrá de los datos necesarios para resolver un triángulo elipsódico, lo que se llevara a cabo por aplicación del teorema de gauss y el teorema de Legendre. Los datos disponibles de spués de las medidas, serán las distancias a, b y c. las incógnitas son los ángulos elipsódicos A, B y C. El teorema de gauss permite considerar el triángulo elipsódico como esférico, siempre que se considera que el radio de la esfera, que contiene el triángulo esférico, tiene como radio el radio medio correspondiente a una latitud media de la zona de medidas. El teorema de Legendre permite resolver el triángulo esférico como plano, siempre que se considera que los ángulos A1, B1 y C1 del triángulo plano, son iguales a los A, B y C del esférico, disminuidos en un tercio del exceso esférico ɛ. Por tanto, la primera acción a tomar es la de resolver un triángulo plano, cuyos lados son a, b y c. Así, se obtienen los ángulos planos A1, B1 y C1. Estos se calcularan mediante el teorema del coseno:

           

  

                              

Una vez obtenidos los ángulos del triángulo plano, se podrá calcular el exceso esférico ɛ con la misma expresión utilizada para la triangulación:

        

→

Ya calculado el exceso esférico ɛ, sobre la esfera de radio medio, se calcula los ángulos elipsódicos A, B y C, mediante:

    175


  Con estos datos, se está en disposición de aplicar los problemas geodésicos principales, para obtener las coordenadas del punto C desde A y desde B, adoptando como situación final de C la media de las dos posiciones obtenidas en cada caso.

Es importante subrayar el origen etimológico del término topografía para, de esta manera, poder entender mejor su significado. En este caso, aquel se encuentra en el griego donde descubrimos que se determina que esté formado dicho concepto por la unión de tres partes claramente diferenciadas: topos que puede traducirse como “lugar o territorio”, el verbo grafo que es sinónimo de

“escribir

o

pintar”

y

el

sufijo

– ia que

es

equivalente

a

“cualidad”.

Estudia el conjunto de procedimientos para determinar la posición de un punto sobre la superficie terrestre, por medio de medidas según los tres elementos del espacio: dos distancias y una elevación o una distancia, una elevación y una dirección. Para distancias y elevaciones se emplean unidades de longitud (en sistema métrico decimal), y para direcciones se emplean unidades de arco (grados sexagesimales). Es la ciencia y la técnica de realizar mediciones de ángulos y distancias en extensiones de terreno lo suficientemente reducidas como para poder despreciar el efecto de la curvatura terrestre, para después procesarlas y obtener así coordenadas de puntos, direcciones, elevaciones, áreas o volúmenes, en forma gráfica y/o numérica, según l os requerimientos del trabajo. Dentro de la Topografía se incluye el estudio de los instrumentos usados por ella, sus principios de funcionamiento, sus componentes y su operación. También se estudia teoría de errores, ya que en muchos trabajos topográficos se exigen determinados valores de exactitud en los resultados, valores que a su vez determinarán los métodos y la precisión de los instrumentos a utilizar en el proyecto.

176


o

El levantamiento es un conjunto de operaciones que determinan l as posiciones de puntos, la mayoría calculan superficies y volúmenes y la representación de medidas tomadas en el campo mediante perfiles y planos entonces son topográficos.

Clases de levantamientos Topográficos Por abarcar superficies reducidas se realizan despreciando la curvatura de la tierra sin error apreciable. Para ver el gráfico seleccione la opción Bajar trabajo del menú superior.

Geodésicos Son levantamientos en grandes extensiones y se considera la curvatura terrestre Los levantamientos topográficos son los más comunes y los que más interesan, los geodésicos son de motivo especial al cual se dedica la Geodesia.

El hecho de asumir la superficie terrestre como plana, tiene un límite de aplicación que es necesario conocer, y que determinara el límite de extensión de los levantamientos topográficos

GRAFISMO: El ojo humano es capaz de distinguir dos puntos separados entre sí a 0.2mm sobre un papel alejado a una distancia de 30cm del ojo, pero que a menos de estos de 0.2mm de separación, el ojo no será capaz de distinguirlos, y por tanto, recibirá una única imagen puntual. a esta distancia límite de la resolución humana se denomina grafismo Ejemplo: Que longitudes serán despreciables den el terreno, si la escala del plano que vamos a construir será 1/5000

177




             = 1m

Longitudes menores que un 1m no deben tomarse en cuenta

Escala: Es la relación numérica y /o grafica que existe entre la figura semejante del papel y la figura real del terreno Escala Numérica Es la relación, tal que el numerador y el denominador tienen las

mismas unidades

       

Así, la escala de 1/1000, nos indica que 1m en el plano representa 1000 metros en el terreno Escala más usadas según el levantamiento Escala grafica Es la representación geométrica de una escala numérica, todo plano

debe tener una escala grafica que generalmente se ubica en la parte inferior del mismo la representación de escala grafica se realiza tomando un línea recta ; sobre esta se toma un punto O , a partir de dicho punto segmentos iguales hacia la derecha , de modo que cada punto uno represente un numero entero en metros de metros en el terreno ; la escala se determina con ayuda de una regla graduada

Para este caso será

    178


En una escala cuando más pequeño será el denominador, más preciso serán la medidas longitudinales y angulares del plano.

ERROR LINEAL

Suponiendo la tierra esférica consideremos el plano HH’ tangente a la superficie en un punto A centro del levantamiento. La proyectar un punto B de la superficie terrestre, según la dirección de la vertical. Le corresponderá el punto B’ sobre el plano tangente, y el B’’ sobre la esfera. La distancia entre A y B, medida sobre el plano tangente a la esfera. No serán iguales. Existe una diferencia. O el error lineal, entre ellas por ser AB’ ≠AB’’. Por tanto, el error cometido al considerar la superficie como plana será

  Fig.-5.- el error lineal

Donde:

  

  

°

°

Traduzcamos ahora, este límite para el error lineal, en un límite en distancia hasta la cual se puede extender el trabajo topográfico sin tener en cuenta la esfericidad terrestre. Para ello tendremos en cuanta el desarrollo en serie de tanα, y se sustituirá en la expresión que da AB’ en

                           °

°

Pero la distancia geodésica D tiene por valor αR, y por tanto, el valor de α será : D/R sustituyendo este valor en la expresión anterior, se obtiene como valor para el error lineal, le siguiente

179


Para que este error sea despreciable se deberá cumplir que

    < →<  

ERROR PERIFERICO

Fig.-7.6.- el error periférico

Sea HH’ el plano tangente en el centro del casquete esférico AB’’M, del que se pretende obtener su representación plana si las longitudes radiales AB’’ Y AM se llevan sobre el plano HH’, conservando los ángulos en A, se producirá en el casquete un desgarramiento uniforme que es el llamado error periférico En este casquete, la circunferencia de base B’’M , tiene un radio A’B’’ , y su longitud será 2ΠA’B’’ , en el plano , esta circunferencia , viene representada por la de radio AB’ y esta tendrá , pues , una longitud superior a la de radio A’B’’ y el error periférico tendrá por valor

     

Para ELLO de igual forma que para el error lineal, se calculara el valor del error periférico, en función de la distancia D y el radio de l a tierra R , tomando los dos primeros de los desarrollados en la serie de tan α y sin α

          

180


Teniendo en cuenta la relación periférico



, se obtendrá como valor para el error

     < →<   

ERROR ANGULAR

Fig.-7.7.- el error angular

Sean los puntos A, B, C tres puntos de la superficie física esférica. Se traza un plano tangente a esta superficie esférica en uno de los puntos, por ejemplo el A’, al proyectar sobre el plano los

indicados puntos, se tiene el triángulo plano A’B1C1 Este triángulo tendrá sus lados prácticamente iguales a los del triángulo esférico A’B’C’. Se demuestra que para longitudes de lados de 30 km, el exceso esférico es de 2” aproximadamente

que repartido entre los tres ángulos, da para cada uno de ellos, un error que n o llega 0.7”. Menor que el ofrecido por los aparatos utilizados en topografía para lados de 20 km el exceso esférico es de unos 0.9”

Por las razones expuestas, el error angular se considerara inapreciable en los casos , de los otros dos errores considerados , el error lineal y el error periférico , el segundo de ellos es el que por su mayor cuantía limita la extensión de los levantamientos topográficos , y será el que tomara como límite para el trabajo.

181


La superficie de referencia que se utiliza en los procedimientos topográficos, es el plano horizontal definido por el observador. Todas las medidas angulares y de distancia, se reducen a este plano, sobe el cual se establece una cuadricula que lo dota de un sistema de coordenadas normalmente cartesiano. Sobre este plano se representaran las coordenadas de vértices obtenidas por cualquiera de los procedimientos, ya sea planimetricos o altimétricos y taquimetría, aunque en estos dos últimos casos se incluirán en el plano la representación de los datos altimétricos mediante dígitos, convenientemente posicionados. El origen de coordenadas utilizado en el levantamiento topográfico es arbitrario, aunque se suele dotar a uno de los puntos de estacionamiento, normalmente el de partida de los norte y se hace coincidir con el eje Y del sistema cartesiano utilizado. Pero evidentemente la dirección de todas las líneas verticales de la cuadricula no pueden estar simultáneamente orientadas al norte, ya que al ser paralelas darían lugar a infinitos n ortes. Esta condición se cumplirá generalmente para una sola de ellas y las demás líneas se trazan paralelas a ella. El empleo de esta cuadricula es de suma utilidad porque permite el empleo de direcciones constantes entre vértices para el cálculo topográfico y se evita el empleo de acimuts, que presentan el gran inconveniente de que para una dirección determinada, varia de un punto a otro. Surge así, la necesidad de aclarar la diferencia existente entre la dirección del Norte Real y de las líneas de la cuadricula paralelas a él; así como la definición de los ángulos que determinan las direcciones sobre el plano de representación. Para esta aclaración se dan las siguientes definiciones que dan lugar a dos tipos de norte, que a su vez, dan lugar a tres tipos de direcciones. Trabajos, de las coordenadas x=1,000, y=1,000 y z=100; aunque posteriormente a los trabajos, estas podrán variarse sumando un incremento constante de todas las coordenadas obtenidas. La orientación del sistema de referencia, será normalmente la del

Fig.-7.8.- nortes utilizados en topografia

182


NORTE GEOGRAFICO (NG): Es la dirección en cada punto, hacia el Polo Norte

geográfico. Queda materializado por la dirección de cada uno de los meridianos del reticulado. NORTE DE CUADRICULA (Nc): Es un norte ficticio que determinado por la dirección vertical de la

cuadricula. Esta dirección coincidirá, en muchos casos, con la transformada del meridiano origen del correspondiente sistema de proyección, conservándose paralela a esta dirección en toda la expansión del mapa. CONVERGENCIA DE MERIDIANO : Se llama convergencia de meridiano, en un punto, a la diferencia

angular entres las direcciones del norte geográfico Ng y el norte de la cuadricula Nc que pasan por él. La convergencia de meridiano se considerara positiva si la dirección que marca Nc queda a la derecha que la que marca Ng, y negativa si queda a la izquierda, los ángulos ɣ A y ɣB de la figura, son la convergencia de meridiano en los puntos A y B, respectivamente. Así, ɣ A sería positiva, ɣB negativa.

Fig.-7.9.- nortes utilizados en topografía

ACIMUT (Z): Es el ángulo que está formado con la dirección del norte geográfico. Se cuenta a partir del norte geográfico en el sentido de las agujas del reloj de 0˚ a 360˚. Los acimuts Z AC y ZBC

de la figura, son los acimuts con los se ve el punto C, desde A y B respectivamente. ORIENTACION (O): Es el ángulo que está formada con la dirección del norte de cuadricula. Se encuentra a partir Nc en el sentido de las agujas del reloj de 0˚ a 360˚. Los ángulos

O AC y OBC

de la figura, son las orientaciones con las que se ve el punto C, desde A y B respectivamente.

183


MARCACION (α): Se llama marcación de un punto respecto a una dirección dada, al ángulo formado por esa dirección y la visual al punto. Se mide 0˚ a 180˚ y es positiva o negativa según la visual quede a la derecha o izquierda de la dirección dada. El ángulo α de la figura es la

marcación con la que se ve B desde A, con respecto a C, y es negativa.

DISTANCIAS Y SUPERFICIES DISTANCIA NATURAL: Es la distancia que hay que recorrer sobre el terreno, para ir de un punto a otro. Tiene en cuenta las ondulaciones del terreno. DISTANCIA DIRECTA O GEOMETRICA: Es la distancia tomada en línea recta, entre dos puntos. Es la que se obtendrá con un distancio metro. Es menor que la distancia natural. DISTANCIA HORIZONTAL REDUCIDA O TOPOGRAFICA: Es la proyección, según la vertical del observador, de la distancia directa sobre el plano horizontal topográfico. Es menor que la distancia directa. Es la distancia que se emplea en los en los procedimientos topográficos. SUPERFICIE AGRARIA: Es la proyección, según la vertical del observador, de una superficie real del terreno sobre el plano horizontal topográfico. Es la que se emplea en topografía.

o

La radiación es el método más sencillo de todos los métodos propiamente topográficos, suele utilizarse en los trabajo de relleno asociado a otros procedimientos. La radiación es un método planímetro, cuya finalidad es el cálculo de las coordenadas planas de vértices del terreno.

Fig.-7.10.- la radiación

Para determinar las coordenadas, se estaciona un goniómetro en un punto central P respecto a los demás. Desde este punto de estación, se miden cenitales Z, orientaciones O, y distancias directas

184


D a esos puntos, con lo cual quedan definidos por coordenadas polares, que son fácilmente transformables a coordenadas cartesianas estableciendo un sistema cartesiano XY arbitrario, aunque se suele hacer coincidir la cuadricula con el eje Y. en estas condiciones, y de acuerdo a la figura, se obtienen las coordenadas x e y de A, y de los demás vértices, de acuerdo a las relaciones. X= DHi senOi= Di senZi senOi X= DHi cosOi= Di senZi cosOi Al cálculo de la distancia horizontal Dh mediante el producto DisenZi, se le conoce con nombre de reducción de distancias a la horizontal. El método de radiación no tiene comprobación, por lo que se utilizara solamente para obtención de puntos de relleno, o medida de pequeñas superficies.

ITINERARIO El método itinerario es un procedimiento similar al de la poligonal geodésica, pero en este caso aplicando a plano horizontal. Al igual que en la poligonal geodésica se hablaba de poligonal abierta o cerrada, aquí se puede hablar de itinerario abierto o cerrado. Se efectuaran medidas angulares y de distancia, desde cada estación, para determinar la longitud y orientación de cada tramo. Para la orientación del primer tramo SA, se utilizara una orientación conocida SI y el ángulo ISA. De igual manera, hablaremos de error de recalada, como la diferencia entre las coordenadas de un vértice conocido R y las obtenidas a través de la medición.

Fig.-7.11.- el itinerario es similar a la poligonal geodésica

Si el error de es menor que 2

√ 

metros, siendo k la longitud del itinerario introducida en kilómetros,

se considera aceptable, y se podrá compensar este error, de igual manera que se hacía con la poligonal.

185


INTERSECCION La intersección en un método topográfico que se emplea para la obtención de vértices aislados. Los procedimientos de intersección, utilizan como herramienta de cálculo, la geometría analítica, de forma, que con las coordenadas de cada vértice, con la orientaciones y marcaciones, y la elección de un sistema de coordenadas convenientes, se determinaran las ecuaciones de unas rectas, y posteriormente, su punto de intersección, que será el que de coordenadas al vértice medido. Cuanto mejores sean las condiciones en que se corten las visuales al punto a determinar, mejor determinadas quedaran las coordenadas del pun to buscado.

LA INTERSECCION DIRECTA El procedimiento consiste en lo siguiente: Se realizara estacionamiento en dos puntos conocidos, desde los que toman marcaciones a un punto de coordenadas desconocidas y que se quieren determinar. La intersección de las rectas determinadas por las direcciones de las marcaciones, darán las coordenadas del punto buscado. El cálculo de la posición por intersección directa, se realiza de la siguiente manera: Supongamos que se quieren determinar las coordenadas de un punto P, desde otros dos puntos de coordenadas conocidas A(X A , Y A) y B(XB , Y B). Para determinar la dirección del punto P respecto de A y B, se utilizaran las orientaciones entre A y B y las marcaciones o ángulos α y β medidos desde A y B a P. Sumando las orientaciones y marcaciones, esta última con su signo, se obtendrán las orientaciones del punto P . En el caso de la figura, la marcación α será negativa, por estar P a la izquierda de la dirección AB, y la marcación β será positiva por estar P a l a derecha de la dirección BA.

186


Fig.-7.12.- cálculo de la coordenada de m

En estas condiciones se establece un sistema de coordenadas planas cartesianas con origen en uno de los puntos, por ejemplo, el A, tal como se representa en la figura. De esta manera es posible calcular la orientación O AB de B con respecto a A según la siguiente expresión.

tanOAB=

    =

Como la tangente de dos valores posibles para la orientación O AB se determinara su valor según los siguientes casos:

 < →→ < < →→

Si tanOAB 0: XBA 0 se adoptara como valor de O AB el valor O AB obtenido directamente XBA 0 se adoptara como valor de O AB el valor de O AB obtenido directamente + 180˚ Si tanOAB 0: XBA 0 se adoptara como valor de O AB el valor O AB obtenido directamente + 180˚ XBA 0 se adoptara como valor de O AB el valor de O AB obtenido directamente + 360˚ Con este convenio de signos, y el signo propio de cada marcación, se obtendrán las orientaciones de P desde A y B según: OAP = OAB + α OBP = OBA + β Una vez terminada las orientaciones, es posible calcular las coordenadas de P siguiendo los siguientes pasos:

187


YPA

=

XA

+

XPA

(1) YP = YA + YPA

(2)

En el triángulo APM se verifica que:

tanOAP =

 →

→

AM =MPcotOAP YPA = XPA cotOAP

En el triángulo BPM’ se verifica que:

Tan (360˚- OBP) =

 →

BM’ = M’Pcot(360˚- OBP)

→

YPA – YBA = -(XBA - XPA)cotOBP

(3)

(4)

Sustituyendo el valor de (4) por su valor dado en (3) se tiene:

XPA cotOAP - YBA =-(XBA - XPA)cotOBP

Despejando el valor de XPA en esta última expresión se obtiene:

XPA =

 

(5)

Sustituyendo en (1) y (2) los valores de X PA e Y PA dados en (5) y (3) respectivamente, se obtienen las ecuaciones que dan las coordenadas del punto P: XP = XA +

 

YP = YA + XPA cotOAP

(6) (7)

LA TRISECCION DIRECTA Como se ha visto, la intersección di recta de un único juego de coordenadas para el punto buscado, de forma que no existe comprobación del resultado. Para obtener una solución redundante, que sirva de comprobación, se añadirá una nueva observación al punto P desde otro conocido C. Con esta nueva medida, se podrán realizar 3 intersecciones directas, siempre que desde los dos primeros puntos también se tomen marcaciones al nuevo C. Así se obtienen tres puntos de intersección distintos, que darán tres posiciones que es posible comparar. Este método es el que recibe el nombre de trisección directa.

188


Fig.-7.13.- la trilateracion directa

La finalidad del trabajo a realizar y la escala de representación, serán las que dicten el margen de error permitido entre estas posiciones. En cualquier caso, se tomara como posición definitiva, medida aritmética de las obtenidas, siempre que se encuentren por debajo de los márgenes de error considerados.

LA INTERSECCION INVERSA

Fig.-7.14.- la trilateracion inversa

189


La intersección inversa, se realiza mediante el estacionamiento, en el punto cuyas coordenadas se quiere determinar. Desde este punto, deben ser visibles tres o más vértices conocidos, como los A, ByC de forma que se toman marcaciones a cada uno de ellos. Con las coordenadas de estos vértices conocidos, y las marcaciones tomadas ellos desde el punto A determinar P, se pueden obtener gráficamente 2 arcos capaces. Los dos arcos capaces, pueden ser las parejas todos ellos procedentes de la misma observación. Con una de estas parejas de 2 arcos y su intersección, se obtendrá una situación del punto P. para obtener las coordenadas del punto P, con nuevos datos de observación que den situaciones redundantes ,se deberá visar un cuarto punto D. Así, es posible realizar otras tres intersecciones

inversas y obtener 4 situaciones con los cuales efectuar la comparación. Para este estudio se considera solo una de ellas, con los tres puntos mencionados. El cálculo de la posición por intersección inversa se realiza de la siguiente manera: Se efectúa estacionamiento en el punto P, y desde el, se realizan las lecturas a los puntos A, B y C. Estas lecturas proporcionaran la media de los ángulos .Si se calculase, por intersección directa, las coordenadas de P respecto de A, conociendo A y B, se obtendrían con las expresiones siguientes: x PA 

x BA cot o BP  Y BA

cot o BP  cot o AP

Y PA  x PA cot o AP

Pero si se tienen en cuenta las siguientes relaciones entre los ángulos : O BP  O PB  180  O PA    180 O  O PA  180 y se sustituyen en las expresiones AP anteriores, se obtienen :

X PA 

X BA cot(O PA   )  Y BA

cot(O PA   )  cot O PA

Y PA  X PA cot O PA

En estas expresiones todos los valores son conocidos, menos el de la orientación

, cuyo valor

se calculara de la siguiente forma: las cotangentes estarán en función del seno y coseno, operando O PA resulta:

X PA

cos(O PA   )

 Y BA sen(O PA   )  cos(O PA   ) cos O PA X BA

sen(O PA   )

X PA 



senO PA

X BA cos(O PA   )  Y BA sen(O PA   )

sen(O PA   ) senO PA

cos(O PA   ) senO PA  cos O PA sen(O PA   )

sen(O PA   )

sen(O PA  (O PA   ))  sen( )  sen

190


Pero el denominador es el

,

Por tanto:

X PA 

X BA cos(O PA   ) senO PA  Y BA sen(O PA   ) senO PA sen(O PA  (O PA   ))

X PA 

X BA cos(O PA   ) senO PA  Y BA sen(O PA   ) senOPA

 sen

Análogamente, utilizando los vértices A y C, se obtendría para valor de X el siguiente: PA X PA 

X CA cos(O PA   ) senO PA  Y BA sen(O PA   ) senOPA

 sen

Igualando estas dos últimas expresiones, porque deben ser iguales, y dividiendo por X BA cos(O PA   )  Y BA sen(O PA   )



: senO PA

X CA cos(O PA   )  Y CA sen(O PA   )

 sen  sen Desarrollando los senos y cosenos de los paréntesis, y efectuando las divisiones, queda: X BA (cos O PA cot   senO PA )  Y BA ( senO PA cot   cos O PA ) 

 X CA (cos O PA cot   senO PA )  Y CA ( senO PA cot   cos O PA )

Dividiendo, ahora, ambos miembros por cos O PA

se tendrá:

X BA (cot   tan O PA )  Y BA (tan O PA cot   1)  X CA (cot   tan O PA )   CA (tan O PA cot   1)

Dejando en el primer miembro los términos en

tan O PA y sacándolo como factor común queda:

tan O PA ( X BA  Y BA cot   X CA  Y CA cot  )  X CA cot   Y CA  Y BA  X BA cot 

Si ahora se tiene en cuenta que: X CA  X BA  ( X C  X A )  ( X B  X A )  X C  X B  X CB   X BC Y BA  Y CA  (Y B  Y A )(Y C  Y A )  Y B  Y C  Y BC

Resultará finalmente el valor de

tan O PA 

: tan O PA X BA cot   X CA cot   Y BC Y BA cot   Y CA cot   X BC

191


Una vez conocida la orientación

, se sustituye su valor en las expresiones

anteriores, con lo que se obtienen los valores de

e

, y una vez conocidos estos se

deducen las coordenadas de P . En este caso no importa la ambigüedad en la obtención de la ya que posteriormente en el cálculo interviene

.

LA INTERSECCION MIXTA Este procedimiento es una combinación de los dos anteriores, es decir, se puede realizar estacionamiento en los puntos conocidos y en el desconocido, y de esa forma, se obtendrán 4 situaciones redundantes mediante la aplicación de una trisección directa y una intersección inversa. Se tendrán, por tanto, mas posiciones para efectuar la comparación de posiciones obtenidas .Se realizaran las mismas consideraciones que en el punto anterior para la obtención de la posición definitiva. o

El cálculo de la posición mediante la trilateración se fundamenta en la medición de distancias. Se tiene dos vértices con coordenadas conocidas A y B a su vez las distancias reducidas a la horizontal a y b y el punto a determinar es P, se procede: Hallar el valor de la distancia c que se obtendrá con la siguiente expresión:

   

Siendo las coordenadas conocidas entre A y B se puede obtener



Fig.-7.15.- la trilateracion

La orientación de P desde A es



192


Si P se encuentra a la derecha

                  

Si P se encuentra a la izquierda

El ángulo A se obtiene por el Teorema del coseno:

Orientación



de B respecto de A se obtiene por intersección directa:

   Coordenadas relativas de P respecto a uno de los puntos conocidos A se obtendrán según:

  

  

  

  

Coordenadas absolutas de P:

          Sean las coordenadas de los puntos conocidos A (448611,377788) B (449702,380234) y sean las distancias medidas al punto P, ya reducidas a la horizontal, BP = a = 2754.985 m y AP = b = 4229.441, calcular las coordenadas del punto P.

         

193


         

  

        

   

                                           Medir una distancia más, desde otro vértice C conocido, para realizar tres trilateraciones al punto

P; medir las distancias en ambos sentidos 10 veces en cada uno de ellos.

194


Se tomara como posición definitiva la media aritmética de las tres coordenadas obtenidas en P o

Parte de la topografía que se encarga del levantamiento simultaneo de la planimetría y de la altimetría del terreno. Desde el punto de vista hidrográfico la taquimetría se utiliza para la determinación de la línea de costa, se utiliza también para la determinación de accidentes del terreno. Este principio consiste en determinar la posición de un punto respecto a un sistema de tres ejes coordenados; la dirección Y es el norte de la cuadricula, la dirección X es perpendicular a ella y la dirección Z es la vertical.

Fig.-7.16- origen de medidas

195


La medida de distancia se realizara con distanció metro y la medida de ángulos con el taquímetro, hechas las medidas de distancia se reducirá a la horizontal, multiplicando por el seno del ángulo cenital correspondiente; realizada esta reducción se utilizara el norte de la cuadricula



como referencia para las medidas angulares, es decir las orientaciones.

Fig.-7.17 perfilado de la costa mediante taquimetría

Para realizar la taquimetría se utilizara los métodos de itinerario y radiación simultáneamente; se estaciona en el vértice W y se visa dos o tres vértices R, S e Y, a continuación se visa el punto A (prisma o regla taquimétrica), de esta manera se puede determinar las coordenadas de A realizando las medidas de ángulo y distancia. Trasladando ahora el taquímetro al punto A después de visar el vértice W se visa Y, R y S; también se medirá la distancia y dirección hacia un segundo punto B. Operando de forma análoga hasta llegar hasta el vértice Y se llegara así tener el levantado del perfil de la costa comprendido entre los vértices W e Y mediante el proceso de itinerario. Cada una de las distancias WA, AB, BC, etc. Son llamadas regladas ejes, teniendo una distancia máxima de 1000 metros (usando distanciómetro) y 400 metros (usando regla taquimétrica), la orientación y longitud de cada reglada de eje se calculara:

196


Fig.-7.18.- cálculo de las orientaciones

La distancia horizontal







es la medida directa el ángulo cenital igual que para la radiación.

Obtenidas las distancias horizontales, sus orientaciones serán igual a la suma del ángulo medido



y la orientación inversa del tramo anterior:

         



Cada vez que se considere conveniente, desde cada estación A, B, C,… conforme se

levanta el itinerario a su vez también los puntos radiados (puntos de relleno, destacado). Estos puntos figuraran en un croquis y como complemento realizar fotografías. 

Estaciones A, B, C, etc. y los radiados



Error máximo

√   ,

  

etc.

distancia en kilómetros, el error se repartirá proporcionalmente a la

distancia recorrida.

197


La representación UNIVERSAL TRANSVERVERSA MERCATOR (UTM), toma como referencia a la tierra, representada por un elipsoide de revolución. No se trata de una proyección geométrica, sino de una representación totalmente analítica, que tiene su fundamento en la representación analítica conforme de Gauss. No emplea herramientas de la geometría proyectiva, aun cuando su reticulado geográfico, presenta algunas de las características en común con una proyección cilíndrica transversa, como que el meridiano cenital se transforme en una línea recta automecoica, y el Ecuador es una recta. Además de cumplir estas dos condiciones, esta representación es conforme, es decir conserva los ángulos entre direcciones correspondientes en el elipsoide y el plano de representación y por tanto las semejanzas de de formas.

LA REPRESENTACIONANALITICA CONFORME D GAUSS

DISTRIBUCION DE HUSOS EN ESPAÑA

Debido a que la representación analítica conforme de Gauss, produce un aumento de las deformaciones lineales cuando mas se aleja del meridiano central , se define , la representación UTM , aplicando la representación analítica conforme de Gauss a zonas li mitadas , Así se emplean 60 husos de 6º de amplitud cada uno, que cubren la totalidad del globo. La representación, en cada uno de estos husos, parte de su correspondiente meridiano central, y mantiene las propiedades de la representación de Gauss, siendo el origen de coordenadas la intersección del meridiano central y el Ecuador , Debido a la simetría del elipsoide de revolución , las formulas a utilizar para cada uso son las mismas, A partir de latitudes superiores a 80º la representación UTM pierde su valides y por tanto deben utilizarse otras proyecciones mas apropiadas para las zonas polares ,

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Los husos poseen cierta numeración que va desde el numero 1 al número 60partiendo del meridiano de 180º de longitud, por lo que el meridiano de Greenwich separa los husos 30 y 31, El territorio peruano se encuentra comprendido entre los husos 17, 18, y 19. A excepción del meridiano central, la transformada de los meridianos son líneas curvas que presentan su concavidad hacia el meridiano central. A excepción del Ecuador la transformada del los paralelos son líneas curvas que presentan su concavidad hacia el polo elevado. La transformada de la línea geodésica son curvas que presentan su concavidad hacia el meridiano central.

MERIDIANOS Y PARALELOS EN REPRESENTACION UTM

LA CUADRICULA UTM

Las coordenadas empleadas en la UTM se miden, verticalmente, sobre direcciones paralelas al meridiano central y horizontalmente, sobre paralelos al Ecuador, es decir se establece un sistema de ejes cartesianos XY, Las coordenadas horizontales se denominan X y las verticales Y, Para evitar el uso de coordenadas horizontales negativas, se desplaza el origen de coordenadas horizontales 500.000 Las coordenadas verticales se cuentan apartir de cero, desde el Ecuador .E en puntos de latitudes sur, para evitar la existencia de Y negativas, se desplaza el origen 10000.000 metros hacia el sur. Las coordenadas X aumentan hacia la derecha y las coordenadas Y aumentan hacia arriba.

199


o

La curvatura de los meridianos implica una variabilidad en los acimutes, lo que representa un inconveniente para el empleo de direcciones. Para soslayar este inconveniente la representación UTM emplea la cuadricula ortogonal cuyo origen es el anteriormente mencionado, de forma que todas las referencias verticales son paralelas al meridiano central y todas las horizontales lo son respecto al Ecuador. De esta forma se consigue que los orígenes para las medidas de ángulos en cualquier punto, sea la dirección de la transformada del meridiano origen, Como ya se sabe, alos ángulosasí obtenidos se les denomina orientación, se denominan con la letra O, y se encuentran de 0º a360º en sentido de las rotaciones directas, tomando como origen la direccione Norte del referido eje o referencia.

ACIMUT, ORIENTACION Y CONVERGENCIA DE MERIDIANOS

Existirá una diferencia entre el acimut y la orientación de una determinada dirección, desde el momento que el origen de medida para cada uno de ellos es distinto. Para el acimut, el origen es el meridiano, que en cada punto, sigue la dirección del norte geográfico Ng , de forma que presenta concavidad hacia el meridiano cenital. Para las orientaciones, el origen es la dirección del meridiano central o norte de la carta Nc. o

La correspondiente a la convergencia de meridiano γ, en un punto ,como la diferencia angular

entre las direcciones del meridiano o norte geográfico Ng y la paralela al meridiano central o norte de la carta Nc, que pasan por el . La convergencia de meridianos se considera positiva para



puntos situados al este del meridiano central y negativa para los situados al Oeste.

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Existe una expresión mediante la cual, se puede calcular la convergencia de meridiano γ , en un punto en función de sus coordenadas geodésicas y de los parámetros del elipsoide de referencia utilizado en la representación, esta expresión es.

        

Siendo η un coeficiente que depende de la latitud y de la primera excentricidad e,

  

 

Siendo

o

En cartografía, se define módulo de deformación lineal L, ala relación entre la longitud de un elemento lineal dl, en la superficie de referencia y la longitud del elemento lineal dl´ correspondiente, después de la transformación cartográfica en el plano de representación. En el

  

caso de la representación de Gauss, este módulo se denomina K´. 



Tal como se ha adelantado, en el caso de que este modulo de deformaciones lineal sea la unidad, se verifica que las longitudes de los elementos lineales en el elipsoide y el ‘plano de representación

son iguales, no hay deformación lineal, y se dice que la representación es automecoica en aquellos puntos y dirección que verifican esta condición. Como se deduce de las condiciones impuestas a la representación de Gauss, esta no tiene por qué ser automecoica en ningún punto ni dirección de la representación, a excepción de los pertenecientes al meridiano central, y en la dirección de este. El coeficiente de la deformación lineal K´,aumenta en aquellos puntos más alejados del meridiano central. Por tanto a cualquier medida de distancia efectuada sobre el plano

de representación, en todos aquellos puntos

externos al meridiano central, será necesario aplicar el factor de corrección K´, para que se correspondan con las medidas geodésicas. La relación que existe entre las distancias

   

correspondientes en la representación y el elipsoide es: 



El valor del módulo de deformación K´ en un punto, se puede expresar en función de la posición del punto y de los parámetros del elipsoide.

201


    

N: es la gran normal correspondiente ala posición dada P: es el radio de curvatura de la elipse meridiana



: La longitud correspondiente al meridiano central

: la latitud de la posición dada

Por otro lado, en la representación UTM para evitar que la deformación lineal K´ llegue a producir alteraciones sensibles en zonas alejadas del meridiano central, se aplica un factor de reducción de escala que se representa por Ko. El efecto de aplicar este coeficiente multiplicador de K´, es el de disminuir las deformaciones en los bordes de cada huso, obteniéndose deformaciones mínimas en los meridianos simétricos próximos a +-2º07´. El factor de reducción de escala Ko tiene un valor fijo de 0.9996. Al producto del módulo de deformaciones K´ por el factor de escala Ko, se le conoce con el nombre de Modulo de deformación lineal reducido K. Este módulo de deformación K es propio de la representación UTM y según dicho tendrá el valor de:

       

INTERPRETACION DEL FACTOR DE ESCALA KO

202


Así para poder utilizar una distancia medida en el campo, sobre l a cuadricula UTM primero se le deberán realizar las correcciones oportunas para reducirlas al elipsoide y una ves sobre el elipsoide, se le debe aplicar la corrección que proporciona el módulo de deformación lineal

 

reducido K, de acuerdo ala siguiente expresión:

El hecho de que los resultados de los trabajos topográficos se representen en un sistema rectangular de coordenadas, unas veces arbitrario; pero otras, utilizando como origen las coordenadas absolutas de la representación U.T.M. de un vértice geodésico, lleva en ocasiones a confundir ambas referencias. Por ello es necesario aclarar la diferencia existente. Por ello es necesario aclarar la diferencia existente entre el sistema de referencia plano utilizado en topografía y de la representación U.T.M. La referencia topográfica es un sistema de coordenadas tridimensional, en el que las coordenadas principales X e Y, se encuentran en el plano horizontal del observador .Para el posicionamiento horizontal todas las medidas angulares y de distancia, se reducen a este plano, de forma que todo punto del terreno, observado y medido, es dotado de unas coordenadas X e Y en la mencionada referencia. Como se ha visto, la representación U.T.M. utiliza un sistema de coordenadas X e Y, sin embargo, la referencia de la que provienen sus coordenadas no es un plano. La representación U.T.M. utiliza como superficie de referencia el elipsoide, por tanto, las coordenadas X e Y que utiliza esta representación, se deben considerar procedentes de una latitud y longitud geodésica. Una vez transformado el elipsoide al plano de representación de la cuadricula U.T.M. y el de la referencia topográfica son distintos. Teniendo en cuenta estas consideraciones, se podrá utilizar la cuadricula U.T.M. para el levantamiento topográfico utilizándola como si de un sistema cartesiano se tratara. Pero para ello, las distancias medidas sobre el terreno, una vez reducidas a la horizontal, se deben multiplicar por el modulo de deformación reducido K, y los ángulos medidos que se utilizaran, serán las orientaciones. Se podrán deducir distancias de la cuadricula U.T.M. con escalimetro, pero estas distancias, para considerarse horizontales, deben ser divididas por el mencionado módulo de deformación reducido K. También se pueden deducir ángulos de la cuadricula U.T.M., pero siempre se tratara de orientaciones; para obtener un azimut se deberá aplicar, en el punto de medida, la corrección por convergencia de meridiano.

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En el caso de la intersección, si se toman como vértices conocidos, vértices con coordenadas U.T.M., para obtener las coordenadas del punto buscado se harán las mismas medidas y cálculos que en la referencia plana topográfica; y así, las coordenadas obtenidas serán U.T.M. Esto es debido a dos razones: que en la intersección solo intervienen medidas angulares y que la representación U.T.M. es conforme. Pero, sin embargo, si lo que se pretende es hallar la distancia topográfica del punto calculado a los vértices conocidos, habrá que tener en cuenta que la distancia obtenida entre ellos, por aplicación del teorema de Pitágoras es una distancia en la escala U.T.M., y por tanto, para obtener la topografía se deberá dividir la distancia U.T.Mpor el modulo de deformación lineal reducido K. Esto es debido a que la representación U.T.M., en general no es automecoica. En el caso se la trilateracion, si se toman como vértices conocidos, vértices con coordenadas U.T.M., antes de efectuar los cálculos se deben convertir las distancias horizontales al punto buscado, obtenidas después de la medida, en distancias aptas para ser usadas en la cuadricula U.T.M. Por tanto, habrá que multiplicarlas por el módulo de deformación lineal reducido K. una vez hecho esto, se obtendrán las coordenadas del punto buscado, aplicando el procedimiento estudiado para el plano, y esas coordenadas obtenidas serán U.T.M.

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En temas anteriores, se ha podido mencionar en distintas ocasiones, la determinación de la forma de la Tierra, como la base utilizada para la representación cartográfica, cuentan con un pilar fundamental que es la Red Geo d é s ic a. En el presente trabajo se estudiarán algunas nociones sobre los procedimientos que se han de seguir para efectuar la triangulación o construcción de una re d g eo dé s ic a. Principalmente desde el punto de vista clásico, una vez estudiada, la base de partida para el establecimiento de una red de este tipo, se repasará el estado actual de la red geodésica clásica de España. Posteriormente, se realizará una introducción a la geodesia tridimensional, que servirá como punto de partida para conocer la evolución de la red española, con los procedimientos proporcionados por la geodesia espacial, y su papel, dentro de este desarrollo, a nivel mundial.

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Se define Red Geodésica como la figura formada por una constelación de puntos distribuidos con cierta simetría por el territorio y enlazadas entre sí por las visuales correspondientes, proyectada sobre un elipsoide de revolución que se emplea como superficie de referencia. Esta definición hace referencia a la figura de un elipsoide de revolución, que conlleva a determinar previamente: su forma y dimensiones; así como su posición con respecto a la Tierra. La forma y tamaño, queda determinada mediante los parámetros: semieje mayor a y aplanamiento f . Para determinar su posición con respecto a la Tierra, se elige un punto que se llamará Punto Fundamental de la Red, en el que se consideran coincidentes o paralelas las superficies del elipsoide y geoide, es decir, la desviación de la vertical es nula. Además, se establece el paralelismo entre el eje de rotación de la Tierra y el Ecuador terrestre con los correspondientes del elipsoide. La serie de parámetros que definen la forma, tamaño y posición del elipsoide se denomina Datum de la red o sistema geodésico de referencia. En el punto fundamental de la red, se realiza una observación astronómica de precisión, por lo que este punto tendrá consideración de Punto Laplace. Es decir se determina lo más exacto posible su: latitud, longitud y acimut de una determinada dirección. Estos resultados se asignan como datos de referencia geodésicos, de forma que en el punto fundamental, se verifican las igual dades:

Mediante nivelación, se obtiene la altura del punto fundamental con relación al geoide, es decir, la altura ortométrica H de forma que se iguala a la altura elipsoidal h, se supone un paralelismo entre elipsoide y geoide. En definitiva, se cumplirá alg una de las dos condiciones:

Determinado el datum del sistema geodésico, el siguiente paso para la constitución de la red geodésica, consiste en el proceso de observación y cálculo. Este proceso comprende dos facetas: La Primera Planimetría, en la cual se proyectan sobre el elipsoide todos los vértices de la red y se calculan sus coordenadas geodésicas. La segunda Altimétrica, mediante la que se obtienen, por nivelación y medidas de gravedad, las alturas ortométricas de los vértices situados en l a superficie terrestre. Se ha tratado en el grupo anterior, para el cálculo de las coordenadas geodésicas, la Geodesia Clásica, utiliza básicamente, dos procedimientos que son la triangulación y la trilateración. Con

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estos dos métodos, se obtienen sobre el terreno, los datos necesarios, que una vez compensados, que se emplean para la resolución de los numerosos triángulos elipsoidales que conforman la red y determinan sus vértices geodésicos. Todos los triángulos de la red , tendrán elementos angulares y lineales relacionados con los triángulos colindantes, disponiéndose entonces de una figura poligonal que liga todos los vértices entre sí. La triangulación consiste en la medición rigurosa de todos los ángulos en los distintos vértices, así como las distancias en algunos lados de la red. La trilateración, consiste en la observación de todas y cada una de las distancias trazadas en la figura poligonal, junto con alguno de los ángulos. Ya se efectúe la observación de una u otra forma, los datos obtenidos se reducen a su proyección elipsoidal, se resuelven los distintos triángulos y se procede a compensar la red en su conjunto. En la triangulación es necesaria la medida de determinadas distancias; debido a que un triángulo no tiene solución con la sola medida de sus ángulos, y por tanto se hace necesario establecer la llamada base medida, que proporciona la correspondiente dimensión, a los triángulos de la red. Esta base, se establece como uno de los lados del primer triángulo de la red , según la dirección del acimut, obtenido en el punto fundamental de la red. Los procedimientos e instrumentos empleados para la medida de una base, se desarrollaran en un tema posterior. La proyección sobre el elipsoide, de los distintos elementos observados, se realiza según la Proyección de Helmert, que como ya se estudió en su momento, consiste en hacer corresponder cada punto de la superficie terrestre, con el situado sobre el elipsoide al pie de la recta normal que pasa por dicho punto. De esta forma, es evidente que las distancias medidas sobre el terreno han de sufrir una reducción, antes de ser utilizadas en los cálculos. Asimismo, también las observaciones angulares deberían ser reducidas, si bien dichas reducciones angulares son muy pequeñas, debido a la práctica conservación de los ángulos cuando se proyectan sobre el elipsoide. Respecto de la compensación en bloque de la red, existen varios procedimientos para efectuarla, siendo el Método de los Mínimos Cuadrados uno de los más utilizados, debido a la enorme potencia de cálculo de los ordenadores. Una vez determinados y compensados, todos los ángulos y distancias elipsoidales de la Red Geodésica, obtenidas las coordenadas geodésicas del punto fundamental, así como el acimut de una determinada dirección, que ha de estar incluida en la poligonación; es posible calcular las coordenadas geodésicas de todos y cada uno de los vértices de la red, mediante la resolución de los Problemas Geodésicos Principales. Queda así levantada la red, a falta de asignar a cada punto, su correspondiente altura ortométrica, problema de carácter geométrico-mecánico que ha de resolverse mediante nivelación y mediciones de gravedad relativas a la superficie del geoide. Las redes actuales, construidas y calculadas por Geodesia Clásica de la forma descrita, se denominan Redes de Primer Orden. En ellas, las longitudes y latitudes de los vértices suelen estar

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determinadas con gran precisión. Sin embargo, en cuestión de altimetría, la exactitud de los valores absolutos de Altura Ortométrica es muy variable, debido al desconocimiento de la verdadera posición del geoide (hasta hace pocos años). Además, las alturas elipsoidales, tampoco pueden ser determinadas sin hacer intervenir la Gravimetría. No obstante, con los procedimientos característicos de la Geodesia Espacial, este problema va alcanzando soluciones progresivamente. Hoy en día es posible conocer con mucha exactitud las tres coordenadas geodésicas de cualquier punto en base a medidas satélite, así como evaluar las ondulaciones del geoide con un alto margen de precisión. A partir de aquí y con apoyo en las coordenadas de los vértices levantados, nada impide densificar la red de puntos conocidos, estableciendo Redes de Segundo y Tercer Orden, reduciendo el área de trabajo de los distintos levantamientos. Se llega así, al campo más simple de la Geodesia: La Topografía, rama de la Geodesia, en la que, como ya se sabe, la superficie terrestre puede considerarse plana.

Se han mencionado las definiciones de triangulación y trilateración sus procedimientos con los cuáles se obtenían datos para determinar las formas poligonales que formaban una red . Mediante la triangulación se medían ángulos, y mediante la trilateración, distancias. Ambos métodos conllevan al conocimiento de los elementos de los distintos triángulos que componían la cadena de triángulos de una red. El más clásico y antes utilizado ha sido el de la triangulación; de ahí el motivo del término triangulación se ha utilizado, y se sigue utilizando todavía, extendiendo su significado, para nombrar todos aquellos aspectos que llevan a la determinación de una Red Geodésica . En la actualidad, no existe un procedimiento exclusivo para la construcción de Redes Geodésicas , que sólo utilice medidas de Ángulos, Triangulación , o sólo medida de Distancias, Trilateración; si no que se utilizan ambos métodos a la vez, y su definición se confunde en una. Por ello, se utiliza la denominación Triangulación para incluir todos aquellos métodos de medida, y los analíticos, que llevan a la determinación de las coordenadas de los vértices de la red .

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o

Antes de iniciar la observación de una Red Geodésica, es necesario realizar el Proyecto de la

Red. Este Proyecto comienza con el estudio, sobre un mapa de la región, de las posibles soluciones, eligiendo el emplazamiento más conveniente para los vértices y para las bases, así como del Punto Astronómico Fundamental . La elección del emplazamiento de los vértices, depende de las condiciones del terreno y de las dimensiones que quieran darse a los triángulos. Los vértices, habrán de ser puntos con horizonte despejado, desde los cuales puedan efectuarse las necesarias observaciones, a los restantes vértices que hayan de enlazar. Suelen ser los picos más altos de las montañas.

Forma de los Triángulos Ahora veremos, cuál debe ser la forma más adecuada, C

con la que se deben formar los triángulos de una Red 4 0 °

° 4 6

Geodésica, así los errores en la triangulación sean mínimos. En este caso supondremos los triángulos

c

b

como si fueran planos, ya que las conclusiones serán las mismas que supuestos esféricos o episódicos.

Base medida

77 °

A

FIGURA 8.1

Sea el triángulo ABC de la Fig. 3, en el que b es la base med ida. Se verificará:

 

El lado b, y los ángulos B y C, se habrán obtenido por observación, de manera que vendrán afectados de ciertos errores medios. Para estudiar cómo influyen estos errores medios en el lado calculado c, se recurre al análisis de errores Se demuestra en análisis, que si m x 2 es el error medio o error cuadrático medio de una función x de varias variables α, β, γ , etc; y m α 2 , m β2 , m γ 2 , etc, son los errores cuadráticos medios de estas variables, se ha de verificar: Sí:

209


Si

      



          

Aplicando esta expresión al caso que ahora interesa, se obtendrá:

                               

De la expresión (3-1), se obtienen las siguientes derivadas parciales:

Sustituyendo estos valores en (3-2), se obtendrán como Error Cuadrático Medio de c .

           

Suponiendo que B y C se han medido con igual precisión, se debe cumplir: mB = mC

De la expresión (3-3), se deduce que para que m , sea mínimo, conviene que CotB y CotC sean pequeños, lo que equivale a decir que B y C sean grandes. Por tanto, para que los tres ángulos, sean lo más grande posible simultáneamente, se llega a la conclusión de que el triángulo ideal es el triángulo equilátero. Por ello, en la triangulación, debe fijarse un límite inferior para el valor de sus ángulos.

Dimensiones de los lados En la triangulación, el valor de un lado cualquiera se calcula como resultado de la resolución de un número determinado de triángulos. Cuanto mayor sea el número de triángulos intermedios, mayor será el error correspondiente al último lado calculado. De esta manera conviene que el número de triángulos que cubran una determinada región sea el menor posible y en consecuencia que los lados sean grandes. No obstante, las magnitudes de los lados quedan limitadas por las condiciones físicas del terreno, pero aún en terreno llano, la misma curvatura de la Tierra impide visuales de más de 40 o 50 Km.

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Para este inconveniente, se recurre al empleo de señales elevadas, pero es un procedimiento costoso, y las torres construidas tienen poca estabilidad. En la unión de Cabo Juby con las Canarias, se utilizó una torre metálica de 60 metros de altura, para una visual de 140 Kilómetros. Para el caso de terreno montañoso, es fácil aumentar los lados, aprovechando esta circunstancia en el enlace de España con África, en la antigua Red Geodésica , se construyeron triángulos con lados de hasta 270 Kilómetros de longitud. Otro factor que es conveniente tener en cuenta, a la influencia en la longitud de los lados, es la llamada Refracción Lateral. En Geodesia, las observaciones son siempre próximas al horizonte, recorriendo las visuales todo su camino próximas al horizonte, a través de las capas bajas de la atmósfera, que tomando como figura de la Tierra la del elipsoide, y supuesta la atmósfera dispuesta en capas elipsódicas, hay una desviación de la luz en acimut. Esta Refracción Lateral, debida a la forma de las capas de la atmósfera, recibe el nombre de

Refracción Elipsódica; su valor es muy pequeño y sistemático. Existe otro factor accidental que modifica la refracción de la luz, y que afecta a las observaciones geodésicas. Se trata de la desigualdad en las condiciones atmosféricas de las capas próximas a la superficie terrestre. Como no es posible conocer estas variaciones, se cometen errores considerables en las observaciones, sin que además, pueda calcularse su valor. Se ha estudiado experimentalmente la influencia de esta refracción, llegándose a la conclusión que aumenta con la longitud del lado, hasta que éste llegue a tomar el valor de 90 Km; a partir de aquí vuelve a disminuir. Por tanto, conviene evitar el empleo de lados que ronden esta cifra. La cuestión, sobre cuál sería la longitud más favorable para los lados de una Red Geodésica , no se llegó a resolver definitivamente. Existen opiniones a favor de ambas soluciones, por encima de 90 Km o por debajo de ella. La primera triangulación, realizada en España, se efectuó con lados cuya longitud oscilaba entre los 40 y los 50 Km.

El Reconocimiento del Terreno Una vez realizado el proyecto de la triangulación , se realiza el Reconocimiento del Terreno. Es una operación muy delicada e importante, depende en gran manera la rapidez y facilidad con que se pueda efectuar la triangulación , la precisión de los resultados obtenidos, y en definitiva, el éxito de su ejecución. Para el Reconocimiento del Terreno, se han de reunir las informaciones que puedan ser de utilidad para el desarrollo de l os trabajos, tales como: Carreteras y caminos existentes, medios de acceso a los distintos vértices, condiciones climatológicas de la región, alojamientos posibles, medios de transporte, lugares de desembarco, etc. Los planos, cartas náuticas, mapas, fotografías aéreas, etc., reunidas para el proyecto de la triangulación, constituyen un valioso elemento para el reconocimiento del terreno y la elección definitiva de los vértices.

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Con el Reconocimiento del Terreno, se asegura la intervisibilidad de los distintos vértices. Un error en este sentido, que sólo se revela en el momento de hacer las medidas, puede dar lugar a un gran retraso en la marcha general de tos trabajos. Se ha de procurarse que las estaciones elegidas, ofrezcan la mayor garantía posible, en cuanto a permanencia de señales se refiere. No es fácil predecir los cambios, que durante un largo periodo de años, pueden producirse en un lugar dado, pero si se puede sospechar, que las proximidades a carreteras, ciudades, terrenos de labor, etc. no constituyen lugares apropiados para estacionar, pues las primeras pueden ser ensanchadas o corregidas, las ciudades se irán extendiendo, los terrenos de labor ser removidos por tractores, etc. La colocación adecuada de las señales reducirá la pérdida de estaciones, si no llega a evitarlas. Es importante que el acceso a los vértices sea relativamente fácil; los lugares más accesibles, son los más expuestos al deterioro y pérdida de señales. Es muy conveniente, hacer una descripción y croquis de las estaciones, a medida que se realiza el reconocimiento del terreno, pues facilitará la confección de la correspondiente reseña del vértice. Esta reseña, que también describirá el acceso al vértice, facilitará la llegada a ellos del personal, que posteriormente ha de efectuar las medidas, o tener que estacionarse en el futuro para otros cometidos. En todos los vértices que sean seleccionados como parte de la red, deben dejarse señales provisionales, que permitan visarlos desde otros vértices próximos que se el ijan. En muchos casos, podrán usarse para estas señales, elementos como pirámides de piedra, jalones de madera, trípodes o señales prefabricadas, que de todas formas habrán de emplearse más tarde, para efectuar las medidas. Antes de reconocer un vértice, y colocar señales en propiedades privadas, debe solicitarse autorización a los dueños. Una explicación y ruego preliminares, allana posibles inconvenientes y facilita ayuda de propietarios o arrendatarios, que en la mayoría de los casos será necesaria. A cada estación elegida, se le debe asignar un nombre para su identificación. Es muy conveniente que estos nombres sean los que ya estén reconocidos por los habitantes del lugar. A toda costa, se debe evitar el utilizar nombres arbitrarios; debe elegirse algún nombre que esté íntimamente relacionado con un accidente geográfico, bien reconocido en el lugar y que permita localizarlo rápidamente en el futuro. A los vértices situados en lugares determinados como ciudades, iglesias, colegios, montes conocidos, aldeas, etc., se les dará el nombre de aquellos.

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LA SEÑALIZACIÓN Las antiguas señales, utilizadas para materializar los Vértices

Geodésicos: De Primer Orden, eran de Mampostería con forma piramidal o de cono truncado, con unos tres metros de diámetro en las bases y cinco a siete de altura. Generalmente, se construía un pilar excéntrico a la señal, para así permitir la observación. FIGURA 8.2

Esto es debido a que los pilares servían muy bien de referencia, pero que no permitían el estacionamiento del teodolito.

En Segundo Orden, las señales consistían, en general Macizos de Mampostería rematados por un Pilar de Observación, con una altura total de tres metros. Si los vértices se hallaban en rocas nativas, se marcaban grabando a cincel cuadrados de 20 cm de lado, con un pequeño taladro en el centro. En Tercer Orden, quedaron marcadas de forma poco estable. El tiempo transcurrido desde que se construyeron estas señales, ha sido causa de la desaparición de muchas de primer orden, del deterioro de la mayoría de las de segundo orden, que desaparecieron en gran número. En cuanto a las de tercero, salvo las grabadas en roca, es prácticamente imposible encontrar ninguna. En 1939, se emprendió la tarea de recuperación y construcción de una nueva señalización; las nuevas señales, eran macizos de mampostería y ladrillos de dos cuerpos, con una altura de unos dos metros. La operación requería el replanteo previo del primitivo vértice. Al ser esto imposible, en muchos casos, se procedía al replanteo de una nueva red. En la década de los 80, el Instituto Geográfico Nacional, IGN, emprendió una nueva reconstrucción de los vértices de las triangulaciones de los tres órdenes. El trabajo se realizó con gran esfuerzo, para tratar de recuperar el mayor número de señales antiguas. La señal tipo construida, consiste en un pilar prismático de hormigón, en general de 3 metros a 1 metro de lado. En todos los casos, este prisma esta rematado por otro pilar, generalmente cilíndrico, sobre el cual se sitúa el teodolito, y que sirve a su vez como referencia para las observaciones hacia él. En el centro de la parte superior del citado cilindro, existe una marca realizada con clavo o chapa que indica la posición física y exacta del vértice.

213


o

El proceso mediante el cual se levanta la red geodésica de un territorio, ha de estar acompañado de un análisis de los resultados intermedios que dé idea de su calidad. Las coordenadas geodésicas de toda red, dependen del vértice elegido como punto fundamental, de los datos astronómicos iniciales y de la forma, dimensiones y orientación, en el espacio, del elipsoide de referencia. Es decir del DATUM de la red. Por tanto un correcto establecimiento y cálculo de este se reflejará en una buena adaptación de la curvatura del elipsoide con la correspondiente al geoide en la zo na en cuestión. Implica que el conjunto de las normales geométricas representará bastante bien al de las verticales físicas, las desviaciones relativas de la vertical serán mínimas y de carácter aleatorio, y las proyecciones sobre el elipsoide y geoide, de las figuras del terreno, no presentarán diferencias sensibles entre sí. Por el contrario, la existencia de errores exagerados en algunos de los parámetros del datum, hará que las circunstancias indicadas no se produzcan en la forma esperada, por lo que deberán tomarse entonces l as correspondientes medidas correctoras. El Control de los Resultados se va obteniendo de la red geodésica, se realiza Mediante la

Determinación de Coordenadas y Acimuts Astronómicos de algunos vértices, y Mediante la Medida de Lados de los Triángulos que Componen la Red. Los valores astronómicos se comparan con los correspondientes valores geodésicos De este modo, si existe afinidad entre ellos, se tendrá la certeza de que la matemática típica de la geodesia va en concordancia con la forma real de la Tierra, expresada esta por valores naturales que proporciona la astronomía. En este caso se verifica que el Datum de la red es el apropiado, y que se ha realizado una correcta ejecución de las observaciones y de los cálculos. Por el contrario si se observan incongruencias en la relación entre resultados astronómicos y geodésicos, en los vértices y lados de control, deberán estudiarse las magnitudes de los ángulos de desviación de la vertical, y en función de los resultados que se obtengan, proceder a la reorientación de la red, sustitución del punto fundamental, o revisión de la figura del elipsoide de referencia. En cualquier caso, y aunque la red esté bien establecida, el análisis de los ángulos de desviación relativa de la vertical debe llevar a un perfeccionamiento progresivo del datum, en consecuencia que se eliminen irregularidades locales y se mantenga la red lo mejor adaptada posible al geoide en el territorio. Es decir que dicho trabajo de perfeccionamiento, conlleva la realización de observaciones astronómicas, nada cómodas de ejecutar, el cálculo de desviaciones de la vertical, el análisis de resultados y la compensación en bloque de la red, para el caso en que hubiera que rehacerse alguna observación o retocar el datum.

214


o

Si en la observación de una red geodésica, se midieran sólo los datos estrictamente necesarios para calcular los distintos triángulos que la constituyen, al estar estos datos de observación afectados de errores, resultarían igualmente erróneos los valores obtenidos por el cálculo. Analizando una mayor precisión en estos elementos observados, y los calculados a partir de ellos, se miden en la práctica más elementos de los estrictamente necesarios, y partiendo de ésta superabundancia de datos, se determinan los valores más probables de las magnitudes buscadas, empleando los métodos de cálculo de la teoría de mínimos cuadrados. La determinación de estos valores más probables, constituye lo que se llama com pensac ión de la red. Aparte de los errores de cierre que en cada triángulo aparecerán debido a los errores de observación, existen otros errores que se han de co nsiderar: El primero es el de que en un vértice cualquiera A (Fig. 3-3), la suma de todos los ángulos que cierran la vuelta de horizonte en él, deberá ser igual a 36O°, condición que en general tampoco se verificará. De otro lado desde una base medida b se quiere llegar a un lado c de la red geodésica, siguiendo dos caminos distintos, es evidente que debería obtenerse siempre el mismo valor. Al efectuar el cálculo determinando el valor del lado c por la cadena de triángulos señalados con 1, se obtendrá un valor distinto del que daría el cálculo de los triángulos 2, debido a los errores de observación. Y por último si en la red antes considerada, además de la base b se hamedido otra base b', este valor obtenido por medida directa, deberá coincidir con el que diera el cálculo de cualquier cadena de triángulos que partiendo de la base b llegara a la base b' Todas estas exigencias habrá que tenerlas en cuenta para efectuar la compensación de la red.

b'

1 2

1

c 1

1 2

9 5°

A

° 4 7

3 1 °

° 1 9

6 9 °

2

1 2

b

Fig. 8.3.- La compensación utiliza datos redundantes para

215


Existen diferentes métodos matemáticos para efectuar la compensación por mínimos cuadrados. Cabe mencionar el Método Correlativo y El Método Diferencial , y la compensación ponderada en ambos casos.

En países pequeños como el caso de Suiza, puede concebirse la triangulación de primer orden como una malla continua que cubre todo el territorio. Pero si el país es de mayor extensión como España, no se pueden construir mallas continuas desde el principio, sino se forman unas cadenas de triángulos que siguen la dirección de los paralelos, otras que siguen la dirección de los meridianos y otra la de las costas. Este conjunto de cadenas constituye La Red de Primer Orden

Fundamental. Forma parte de esta red de primer orden fundamental las Cadenas de Enlace del archipiélago Balear con la Península, los grandes cuadriláteros que ligan a la costa sur con Argelia y Marruecos, y la cadena denominada del meridiano de Tetuán, que, como prolongación de red, enlaza a través del Estrecho con la red geodésica marroquí El archipiélago Canario, posee una red fundamental propia, que liga las islas entre sí y con el continente Africano. Entre las cadenas de primer orden fundamental, quedan grandes espacios a los que se denomina cuadriláteros, y que cubren con una red de puntos, también de primer orden, que constituyen la red de primer orden co mplementario . Los archipiélagos Balear y Canario están dotados de

redes de este tipo, que curen cada una de las islas.

Fig.8.4.- La red geodésica clásica española.

216


En al Fig. 8.4, se representa la red española de primer orden , en la que se han sombreado las cadenas fundamentales, que como puede observarse, están constituidas por: 4 cadenas de meridianos: 3 cadenas de paralelo:

Salamanca, Madrid, Pamplona y Lérida Palencia, Madrid y Badajoz

3 cadenas de costa:

Norte, Este y Sur.

Entre ellas quedan 19cuadriláteros, que toman su nombre de la población más importante que en ellos se encuentra. Como se ha mencionado, estos cuadriláteros se cubren con una red continua de triángulos de primer orden complementario, cuya resolución se apoya en las cadenas fundamentales. Enumerados de Oeste a Este, por orden decreciente de latitudes, son los sig uientes: 

Lugo, Carrión de los Condes, Vitoria, Huesca, Sea de Urgel y Figueras



Alcañices, Valladolid, Guadalajara, Caspe e Igualada.



Cáceres, Toledo, Albacete y Requena



Aracena, Córdova, Ubeda y Murcia

La Red Fundamental de Primer Orden constituida por unos 285 vértices y fue calculada apoyándose en la Base de Madridejos, Toledo de 14.662,887 metros de longitud y utilizando otras 5 bases periféricas de 2 a 3 km de longitud cada una, que sirvieron para la comprobación de los trabajos. Estas 5 bases están situadas en Lugo, Olite (Navarra), Vic (Barcelona), Cartagena (Murcia) y Arcos de la Frontera (Cádiz). La mencionada Base de Madridejos, fue medida en 1858 con la Regla Bimetálica de Ibáñez de cuatro metros de longitud. 

La Red de Primer Orden, está constituida por unos 570 vértices, incluidos los de la Red Fundamental y los de la Red Complementaria, siendo la longitud promedio de sus lados de unos 40 kilómetros.



La Triangulación de Segundo Orden, forma una red uniforme apoyada en la de Primer Orden, incluyéndose todos los vértices de primer orden. La longitud de los lados oscila entre 10 y 25 Km.



La Red de Tercer Orden, se apoya en la de Segundo Orden. Forman parte de esta red de tercer orden todos los vértices de las mallas de primero y segundo orden. De esta red se fijaron vértices en todos los pueblos donde existía Ayuntamiento, determinado normalmente mediante Intersección Directa desde dos o tres vértices, la veleta del campanario de la iglesia parroquial.

En 1993, finalizaron los trabajos de implantación de la nueva Red G eod é si ca d e Ord en In feri or ROI, constituida por 11.000 vértices homogéneamente distribuidos por toda España, debidamente

señalizados, convencionalmente observados y con coordenadas calculadas y compensadas en el Sistema de Referencia Geodésico ED50.

217


Si bien es cierto se ha estudiado la Geodesia Clásica que realiza sus cálculos sobre la superficie de un elipsoide de revolución. Por tanto, las observaciones efectuadas sobre la superficie terrestre o en el espacio deben ser Reducción al Elipsoide antes de ser utilizadas. También se ha mencionado la conveniencia de una integración a nivel mundial de todas las Redes Geodésicas existentes. A consecuencia de ello y preocupaciones relativas a otras disciplinas, nace hacia el año 1956 la Geodesia Tridimensional. Esta visión de la geodesia propone la descripción geométrica y dinámica del globo, sin el apoyo de ninguna hipótesis simplificadora, considerando como única realidad tangible el poliedro Tierra, en cada uno de cuyos vértices se pretende determinar: 

Sus coordenadas cartesianas referidas a un triedro rectangular con orígenes en el Centro de Gravedad Terrestre.



Los parámetros directores de la vertical astronómica.



El valor de la Fuerza de Gravedad (g) y su Potencial (U)

La geodesia tridimensional supone una visión de esta ciencia que puede calificar como vectorial, por cuanto ni el geoide ni el elipsoide son ya imprescindibles. En lugar de estas superficies, para referenciar puntos y direcciones se utilizan triedros rectángulos. De esta manera la posición de un punto o la determinación de una dirección, se define mediante vectores. Los sistemas básicos que se emplean en esta nueva rama de la geodesia son un Sistema General y Sistemas Loc ales. El Sistema General , es un triedro rectangular XYZ con origen en el centro de masas de la Tierra. El eje OZ coincide con el Polo convencional PCIO, que es el eje medio de rotación del planeta. El plano OXY se superpone al Ecuador medio, de manera que OX define el meridiano de Greenwich y OY completa un triedro directo. Si por desconocimiento de la posición exacta del centro de gravedad terrestre, el origen O no coincide con este punto, los tres ejes nombrado mantienen direcciones paralelas a las teóricas. Los Sistemas Locales, en cada punto P de la superficie terrestre se define otro triedro, cuyo origen es el propio punto, su eje PZ se dirige según la vertical, con los valores positivos hacia el cenit del lugar, su eje PY está contenido en el plano meridiano de P y dirigido hacia el Polo, y el eje PX pertenece al primer vertical de P, de manera que forma un triedro directo con los otros dos ejes, es decir que se ha estudiado como un Sistema De Coordenadas Topocéntrico Astronómico. De estos dos sistemas se comprende que es posible definir cualquier posición o dirección, relativa o absoluta, de los puntos de la Tierra, prescindiendo del geoide y del elipsoide. No obstante, aunque lo ideal sería que los triedros locales fuesen astronómicos, la realidad es que se utilizan los geodésicos, debido a la dificultad de conocer los parámetros astronómicos en todos los puntos. En consecuencia, los sistemas locales constituyen aproximaciones de los reales, lo que se hace

218


necesario que intervenga la figura del elipsoide, para que se pueda definir la recta normal en cada punto. Esto conlleva a una ventaja que es la posibilidad que ofrece de combinar datos tridimensionales con los obtenidos a través de la geodesia clásica. En definitiva, la geodesia tridimensional determina la posición de los puntos sobre la superficie de la Tierra, mediante vectores de posición, que tienen su origen en el centro de gravedad de la Tierra, y aprovecha las observaciones obtenidas con antelación por métodos clásicos, lo cual es posible a través de los desarrollos de Weingarten – Puiseux. Por otra parte, para establecer la forma dinámica del planeta, la geodesia tridimensional, se sirve de los métodos y conclusiones estudiados por la geodesia física, combinando sus determinaciones geométricas espaciales, para definir en cada vértice del planeta, los valores de la fuerza de la gravedad y el potencial. Ya se sabe que el elipsoide global que se utiliza para transformar las coordenadas geodésicas en coordenadas cartesianas geocéntricas del sistema tridimensional, es el elipsoide WGS84. Su determinación queda efectuada con el conocimiento de l os siguientes parámetros: 

Dos constantes a y f, conocidas y que dan su forma y tamaño.



Dos valores angulares Xp e Yp que establecen paralelismo entre el eje de simetría del elipsoide y el de rotación de la Tierra.



Tres valores lineales XӨ, YӨ y ZӨ, que definen el vector VӨ que separa el centro del

elipsoide con el centro de gravedad terrestre. Con la geodesia clásica no es posible determinar todos estos valores, en particular el vector V Ө no puede obtenerse sin el auxilio de la geodesia espacial, en base a mediciones de satélites artificiales. Gracias a estas medidas, se posibilitó la determinación del elipsoide WGS84 cuyo centro coincide con el centro de gravedad terrestre, y cuyo eje de simetría pasa por el origen convencional del Polo PCIO, determinándose su forma y dimensiones de manera que se adapte lo mejor posible al geoide, considerando éste en toda su totalidad. Este elipsoide es el que se utiliza como referencia para el sistema GPS, y a partir de él se pueden obtener los parámetros de posición de otros muchos elipsoides que se definieron en su momento por los procedimientos clásicos de la geodesia.

La mayoría de las naciones europeas a finales del siglo XIX ya habían constituido su propia red geodésica para la construcción de sus respectivas cartografías nacionales. En caso de España se inició la red geodésica en el año 1858, para servir de base a la formación del mapa nacional a escala 1:50.000. Los trabajos finalizaron hacia el año 1915. El Datum utilizado para esta red, fue

219


de Madrid , el elipsoide de referencia fue el Struve y el origen de longitudes el mismo meridiano de Madrid . Como estaciones astronómicas, se tomó la del Observatorio Astronómico de Marina, actual Real Instituto y Observatorio de la Armada R.O.A. en San Fernando (Cádiz), así como 20 estaciones más, en las que se obtuvieron latitud, longitud y acimut. La red de enlace del archipiélago Canario, constituyó un conjunto independiente con Datum propio y bases principales en Tenerife, Lanzarote y Fuerteventura, medidas con hilo invar. El Datum se denominó Pico de las Nieves y está situado en la isla de Gran Canaria. El elipsoide de referencia fue el Internacional, y el origen de longitudes se tomó en el meridiano de Greenwich. Después de la II Guerra Mundial, EE.UU. solicitaron a los países europeos todos los datos de observación y cálculo de sus redes nacionales. Una vez recopilados todos los datos, el Army Mapping Service (AMS) de EEUU, actual National Geospatial Intelligence Agency NGA (2), realizó un cálculo y compensación a nivel continental de todas las redes nacionales. Así en el año 1950 se obtuvo una sola red europea, unificada y rigurosamente compensada. El Datum de esta nueva red, fue Postdam (Alemania), el elipsoide de referencia fue el Internacional, y el origen de longitudes, el meridiano de Greenwich. A este Sistema de Referencia Geodésico se le llamó European Datum 1950, ED50. Una vez los países europeos recibieron los resultados, se observó que la exactitud continental de ED50, oscilaba entre pocos metros en el centro de Europa y más de 10 metros para el sur de Europa. A pesar de ello, su precisión relativa era mucho mayor y más que suficiente para levantamientos cartográficos de pequeñas y medianas escalas. Por ello el Servicio Geográfico del Ejercito SGE, decidió en 1968 adoptar el Datum ED50 para su cartografía básica. La mejorable exactitud de ED50, llevó a estos países europeos a realizar una investigación sobre posibles errores que podrían afectar la solución. Para coordinar esta labor la International Association of Geodesy IA G , creó una comisión para analizar y mejorar, conforme se tuvieran nuevos datos. Obteniendo de esta manera nuevas y mejores soluciones como ED77, ED79 y la actual ED87 . Esta última solución, mejoró la exactitud continental de ED50 hasta el orden de unos 2 metros. Desde el año 1957 en que se inicia la era espacial, con el lanzamiento de satélites artificiales, fue necesario crear unos marcos de referencia a nivel gl obal terrestre. Así el año 1960, el Departament of Defense DoD de los EEUU, definió el primero de estos marcos de referencia geodésicos globales: el Word Geodesic System 1960 WS60 , se le calculó posteriormente obtenidos la solución WGS66, WGS72 y, por último la WGS84 . Toda la descripción técnica de WGS84, se encuentra

recogida en el Technical Report TR8350.2 de la NGA de los EEUU. El sistema WGS84, quedó establecido con orden de precisión de 1 a 2 metros. Cuando en 1954 quedó completa y operativa la constelación de satélites NAVSTAR , los usuarios de la técnica GPS reclamaron mayor precisión en el marco de referencia. Por tal motivo, el DoD de EEUU llevó a cabo un programa de perfeccionamiento de WGS84, que dio resultado el refinamiento a nivel de

220


0.1 metros, suficiente para la precisión requerida por las actuales técnicas de posicionamiento y para todas las escalas cartográficas.

o

En el año 1087, la International Union of Geodesy and Geophysics IUGG, y la International Astronomic Union IAU, crearon el Servicio Internacional de Rotación de la Tierra, International Earth Rotation Service IERS. Al IERS, se le encomendó que fuese organismo encargado de proporcionar a la comunidad científica internacional sistemas y marcos de referencia, así como suministrar los precisos datos sobre la rotación terrestre, entre otra numerosa información técnica. Para cumplir con sus fines el IERS, estableció los Sistemas de Referencia Celeste y Terrestre

internacionales ICRS e ITRC, y los Marcos de Referencia Celeste y Terrestre Internacionales CRF e ITRF. La diferencia entre marco y sistema, estriba en que los marcos de referencia están formados por estaciones fijas que proporcionan datos para establecer el sistema, mientras que el sistema, queda realizado por el conjunto de coordenadas y velocidades de las estaciones del marco. En 1989, el Marco Terrestre de Referencia Internacional ITRF, disponía ya de una red de estaciones con precisión centimétrica gracias a técnicas VLBI, LLR, SLR. A partir de ese año el IERS, calcula cada año una nueva solución global teniendo en cuenta movimientos de placas tectónicas, observaciones GPS desde 1993 y de 1996 la técnica de Determinación de Orbitas y Radioposicionamiento

Integrado

por Satélite DORIS. De esta manera se obtuvieron las

soluciones ITRF89, ITRF90, ITRF91, ITRF92, ITRF93, ITRF94, ITRF95, ITRF96, ITRF97, ITRF98, ITRF99, ITRF2000. En la actualidad se encuentra disponible la solución ITRF2005. Para cada una de estas soluciones se dan las coordenadas tridimensionales XYZ, de cada estación para la época correspondiente y sus velocidades anuales de variación. El número de estaciones constitutivas de ITRF ha ido aumentando de forma importante. En el año 1998, existían 240 estaciones repartidas por toda la tierra, y en la actualidad más de 300.

221


Unión Internacional Geodésica IUGG

Servicio Internacional Rotación Tierra IER3

Asociación Geodésica Internacional IAG

Servicio Internacional Geodinámico IGS

Sistemas ITRS, ICRS Unión Astronómica Internacional IAU

ITRS89 ETRS39

Fig. 8.5. Procedencia De Los Sistemas Y Marcos De Referencia Terrestres

o

El año 1993 la IAG reconoció de forma oficial el Inter national Geodynamic Service IGS, de la federación de servicios de análisis de datos astronómicos y geofísicos. El IGS opera con estrecha relación con el IERS, teniendo como objetivo primario, el ofrecer un soporte que proporcione a través de datos GPS las actividades de investigación geodésica y geofísica. Para ello recopila, archiva y distribuye conjuntos de observables GPS, de la necesaria precisión para satisfacer los objetivos de un amplio rango de aplicaciones y experimentos. Para realizar esta labor, dispone de una amplia red de estaciones permanentes GPS, distribuidas por toda la Tierra y coincidentes muchas de ellas con estaciones asumidas por el IERS. E ntre ellas se cuentan 7 estaciones españolas.

222


o

En el año 1987, el Comité Europeo Responsable de la Cartografía Oficial CERCO y la IAG, ante las exigencias europeas de navegación, cartografía digital unificada, investigación geodinámica, etc., y conscientes de la necesidad de disponer de un moderno y preciso Sistema De Referencia Terrestre Europ eo ETRS, crearon dos grupos de trabajo: el WGGV III ( Working Group VIII) y EUREF .

Se decidio que las coordenadas ITRF89 de las 36 estaciones europeas de ITRF89,definieran el Marco De Referencia Terrestre Europeo 1989, de forma que son coincidentes en la epoca 1989.0. En ese mismo año 1989, se decide llevar acabo la campaña EUREF89, para densificar ETRF . Para ello se determinan coordenadas ETRF de 93 estaciones distribuidas por la geografia europea. De ellas 11 estaciones son españolas.

Fig. 8.6 Estaciones utilizadas en EUREF

En el año 1992, se presentaron resultados de EUREF89. El analisis detallado de la campaña puso de manifiesto diversas deficiencias en los resultados obtenidos; las causas fueron: 

La incompleta constelacion NAVSTAR de esa epoca.



El elevado nivel de ruido de la frecuencia 1.2 del sistema GPS

Estas deficiencias fueron mas importantes en el Sur y Oeste de Europa; ademas de ello EUREF recomendo la densificacion de ETRF con modernos receptores.

o

Para cumplir la recomendación de EUREF89 y solucionar su impresicion, se inicia en la peninsula Ibérica la Cam p aña IBE RIA 95 , dirigida conjuntamnete por El Instituto Geografico Nacional de España IGN y El Instituto Portugues de Cartografia y Catastro de Portugal IPCC . Se pretendia cubrir la Peninsula Iberica con un total de 39 etstaciones (27 españolas y 12 portuguesas),

223


homogeneamnente distribuidas en el territorio peninsular, y coincidentes varias de ellas con las antiguas estaciones EUREF89. La campaña de observacion en de mayo de 1995 y en ella colaboró El Instituto Hidrografico de la MarinaI HM . Los datos obtenidos para las coordenadas de las estaciones se referenciaban a ITRF96 . Para hacerlos compatibles y comparables con los de EUREF89, fue necesario reducirlos a la epoca 1989.0. por tanto los datos de IBERIA95 tienen como referencia el datum ETRS89. Los resultados de la campaña fueron aceptados de forma oficial por la subcomision EUREF89, de la IAG en Julio de 1998 . La descripcion de IBERIA95 se dio a conocer a traves de a publicacion tecnica Nº30, del IGN , en 1999.

Fig. 8.7 La campaña Iberia

En la Fig.8.7, se muetra la densificacion de EUREF89 en la peninsula Ibérica , mediante la campaña IBERIA 95 . En ella se observa las estaciones utilizadas, tanto en España como en Portugal. Las mismas razones que llevaron a la campña IBERIA95 fueron las que motivaron una nueva campña geodesica, la BALEAR9 8 . Es decir cumplir la recomendación EUREF89 y solucionar su imprecision para la zona de las islas baleares. Esta campaña se efectuo en el mes de abril de 1998, y sus resultados finales se expresaron para la epoca 1989.9, con el objetivo de mantener su concordancia con los datos IBERIA95 . o

A la hora de establecer una cartografia europea unificada, se hace indispensable la conversion de los Marcos de los Sistemas Geodesicos Nacionales, al marco ETRF89; lo cual solo es posible a travez de la determinacion de transformaciones y superficies de ajuste desde uno a otro marco. Dicha determinacion requiere el conocimiento de ambas clases de coordenadas en un numero muy elevado de estaciones uniformemente distribuidas debiendo este numero ser tanto mayor cuantas mas irregularidades presente el Marco Local .

224


El caso de la Peninsula y Archipielagos, el IGN decidio resolver el problema mediante el proyecto de La Red Geodesica Nacional por Tecnicas Esp aciales REGENTE , consistente en el establecimiento de una densa red GPS de alta precision con estaciones coincidentes con vertices de La Red de Orden Inferior ROI , con clavos pertenecientes a la Red de Nivelacion de Alta Precision NAP .

La densidad media quedo fijada en una estacion por hoja de mapa topografico nacional MTN con escala 1:50.000, es decir de una estacion por cada 300



. REGENTE queda perfectamente

enlazada con la red de referencia europea ETRF89, por medio de las redes ibericas IBERIA 95 y BALEAR 98. REGENTE Canarias, se apoya como estacion de referencia en la estacion GPS de Maspalomas, incluida en la red ITRF93. La red REGENTE, se comenzo a establecer en 1994 y esta constituida por unos 1.080 vertices en la Peninsula y Baleares que supone una distancia media entre vertices de 20 a 25 km. En canarias, REGENTE se denomina REGCAN95 y esta constituido por 72 vertices. Repartidos entre las 7 islas con un maximo de 21 en Tenerife y un minimo de 5 en cada de las islas menores de El Hierro y La Gomera. Ademas de satisfacer la necesidad de disponer de conjuntos de dobles coordenadas, para la obtencion de parametros de transformacion entre marcos locales y ETRF89, REGENTE permite la depuracion del geoide español con precision centimetrica, facilita el apoya a usuarios GPS, y ofrece una red geodesica con precision absoluta mejor o igual que 5 centimetros.

La definición del sistema geodésico de referencia para América del Sur y el establecimiento y mantenimiento del marco de referencia son los objetivos fundamentales del Grupo de Trabajo I del Proyecto SIRGAS. Al efecto, en la primera reunión del proyecto en Asunción, Paraguay, se acordó que el sistema de referencia para el subcontinente debía coincidir con el definido por el IERS –International Earth Rotation Service- y que el marco de referencia debía materializarse mediante la medición de una red de estaciones GPS de alta precisión. El Grupo de Trabajo I se conformó inicialmente con la designación de un presidente,

225


Representantes de tres países y tres asesores científicos, posteriormente se adicionaron otros dos miembros en representación de igual número de países, para un total de cinco El Grupo efectuó tres reuniones: La Plata, Argentina en 1994, Santiago de Chile en 1996 y Margarita, Venezuela en 1997. Previamente a la primera reunión se había planificado y publicado el cronograma de actividades y reuniones a cumplir. En la reunión de La Plata se definieron los criterios para la selección definitiva de las estaciones a ser medidas e instrumentos a ser utilizados en cada una de ellas,se discutió acerca de las especificaciones técnicas y el proceso de recolección y organización de los datos. Adicionalmente se fijó la fecha para la ejecución de las mediciones. Tal como estaba previsto, la campaña de mediciones se efectuó durante los diez días siguientes al 26 de mayo de 1995, ocupándose un total de 58 estaciones. Luego del proceso de recolección y organización de los datos observados, efectuado Principalmente en el DGFI-I en Munich, esta institución, el IBGE y el NIMA comenzaron el proceso de cálculo. En la reunión de Santiago se conocieron y discutieron los resultados preliminares del procesamiento efectuado hasta esa fecha por estos tres centros, tomándose decisiones importantes con respecto a los cálculos pendientes por efectuar . Finalmente en Margarita el D GFI y el NIMA presentaron sus resultados definitivos y se acordó el procedimiento para obtener una solución única. Este capítulo correspondiente a las actividades y resultados del Grupo de Trabajo I en el presente reporte final del proyecto SIRGAS, comprende adicionalmente a esta introducción, los aspectos mas importantes de la campana de mediciones GPS, la preparación y organización de los datos provenientes de las mediciones, detalles sobre el procesamiento y finalmente, la presentación de resultados definitivos. Las actividades mas importantes ejecutadas por el Grupo de Trabajo I pueden resumirse así: 

Recolección de la información necesaria en cada país;

226




Selección de las estaciones a ser medidas en la red GPS;



Formulación de las especificaciones técnicas para las mediciones de la campaña;



Planificación y organización de la campaña de mediciones GPS;



Planificación de la fase de recolección y procesamiento de las mediciones;



Organización de la evaluación y selección definitiva de resultados.

La evaluación de estas actividades y la calidad de las coordenadas de las estaciones medidas ,permite concluir que el Grupo de Trabajo cumplió a cabalidad con los objetivos plantea dos. América del Sur dispone hoy en día de una de las redes continentales mas precisas del mundo, la cual servirá de base para el establecimiento del datum geocéntrico. La tarea inmediata es darle el mantenimiento adecuado.

o

La idea de medir una red continental de estaciones GPS y la planificación de su configuración, nació desde el mismo inicio del proyecto SIRGAS en la reunión de Asunción, Paraguay, en Octubre de 1993. El criterio inicial asumido para seleccionar las estaciones fue el de incluir en la red todos los lugares de observación LASER, VLBI, DORIS y GPS existentes en Sudamérica. Adicionalmente lograr una cobertura continental homogénea, así como garantizar el fácil acceso a las estaciones y la posibilidad de realizar las mediciones GPS. Finalmente se trató que hubiese algunas coincidencias con la red geodésica oficial de cada país. Inicialmente se seleccionaron 48 estaciones, requiriendo de cada país información detallada acerca de los lugares de observación. Se recomendó la monumentación de las marcas principales y de las referencias de tal manera que se garantizara la permanencia de las mismas. Al efecto, fue necesario un arduo trabajo para recolectar y organizar la información requerida y proporcionada por cada país. Esto incluyó la ubicación de las estaciones y sus descripciones, instrumentos disponibles en el país y problemas previstos. El Grupo de Trabajo I del proyecto SIRGAS, con la valiosa colaboración de sus asesores científicos, formuló las especificaciones técnicas necesarias para las mediciones GPS de la campaña. Estas fueron elaboradas tomando en cuenta todos aquellos aspectos que de acuerdo a la opinión de los especialistas, debían ser incluidos en un proyecto de esta naturaleza, tales como:

227


I. Preparación de los equipos II. Programa de observación III. Parámetros de seguimiento IV. Identificación de las estaciones V. Precauciones especiales VI. Anotaciones Además se preparó un formato para coleccionar la información necesaria de cada estación, de manera de obtener descripciones homogéneas de los lugares observados. Igualmente se prepararon instrucciones para el manejo de l os datos. La selección preliminar de las estaciones, realizada por cada país suramericano y con la Aprobación del Grupo de Trabajo I, permitió configurar una red de 52 estaciones. Antes de las observaciones, se efectuaron discusiones y se tomaron decisiones con respecto a la compatibilidad y disponibilidad de equipos a ser utilizados. La idea fue garantizar homogeneidad en la generación tecnológica de los instrumentos e incluir tantos receptores como fuese posible d e los países del área. Por otro lado, solo debían utilizarse receptores muy precisos. Al efecto se seleccionaron cuatro tipos de instrumentos: Ashtech Z12, Leica 200, Rogue/Turbo Rogue y Trimble SSE. Esta selección incluyó los receptores que operan en la región como parte de la red global IGS.

Debido a que en las instituciones suramericanas no existía la disponibilidad de suficientes receptores GPS de los tipos seleccionados, fue necesaria la colaboración en este sentido de instituciones europeas y del DMA (hoy NIMA). Una diferencia importante entre los receptores para efectos del posicionamiento preciso, es la ubicación relativa de los centros de fase de la antena, los cuales deben ser conocidos durante el procesamiento de los datos con la finalidad de reducir las coordenadas de la estación a la marca del monumento. Si solo se utiliza un tipo de receptor y de antena en la campaña, la posición relativa de los centros de fase es idéntica en todas las estaciones y se cancela en el posicionamiento relativo (con respecto a la estación de referencia o en la diferencia de coordenadas). Si se utilizan diferentes tipos de receptores, la variación de los centros de fase entre sus antenas, tiene que ser corregida, es decir las correcciones del centro de fase tienen que conocerse para cada tipo de antena.

228


Dado que las correcciones a los centros de fase de las antenas de los receptores empleados noeran conocidas bajo criterios aceptados internacionalmente (actualmente se dispone de las recomendaciones del IGS), se decidió colocar diferentes tipos de los receptores seleccionados en varios lugares y determinar sus distancias tridimensionales exactas por medio de mediciones locales de enlace. Por esta razón, nueve estaciones se ocuparon con dos o tres receptores de diferentes marcas. Adicionalmente a esto, se organizó el manejo de los datos de observación. Se seleccionó un centro de datos en cada país y dos centros globales para coleccionar las observaciones de todos los países. Las observaciones se realizaron, tal como estaba previsto, del 26 de mayo a las 0:00 horas de TU hasta el 4 de Junio a las 24:00 horas de TU en 1995, esto significa un total de 10 días. Finalmente se observaron 58 estaciones principales y 9 excéntricas en 11 países:

PAIS

N°. DE ESTACIONES

Argentina ..................................................10 Bolivia ........................................................6 Brasil.........................................................11 Chile ...........................................................8 Colombia ....................................................5 Ecuador.......................................................3 Guyana Francesa.........................................1 Paraguay ....................................................2 Perú.............................................................4 Uruguay ......................................................3 Venezuela ...................................................5 Total..........................................................58

Muy pocas estaciones tuvieron algunos problemas durante las observaciones. Por lo tanto puede decirse que la campaña fue un éxito total, en cuanto a la organización y a las mediciones.

229


ANTE CEDEN TES El Instituto Geográfico Nacional a través de la Dirección de Geodesia es la institución que se encarga de establecer, mantener e implementar la Red Geodésica Nacional GPS y la Red de Nivelación Geodésica en nuestro país, para lo cual interviene en proyectos de nivel continental como el SIRGAS (Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas). o

•Se implementa en el Perú hasta 1980. •Mediante mediciones astronómicas y estructura en redes de triangulación de 1,2,3 y 4 orden sobre

la base del sistema local geodésico - (PSAD 56). En 1995 se implementa en nuestro paísla Red Geodésica Geocéntrica Nacional (REGGEN), con base en el Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas (SIRGAS) . Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas (SIRGAS) El proyecto SIRGAS se origina para definir un Datum Geocéntrico para América del Sur (Paraguay 1993) con el objetivo de: a) Definir un sistema de referencia geocéntrico tridimensional. b) Determinar los cambios del marco de referencia con respecto al tiempo. c) Definir y materializar de un sistema de referencia vertical único con alturas físicas y geométricas consistente.

El Instituto Geográfico Nacional, como entidad rectora de la cartografia en Perú viene desarrollando trabajos en la consolidación de sus parámetros de referencia para el mejoramiento de su sistema de la red geodésica clásica, y con el programa de asistencia y cooperación técnica ofrecida por el Instituto Geodésico de la Universidad de las Fuerzas Armadas (IGUNIBWN) de Alemania viene ejecutando el establecimiento de un sistema de referencia geodésico geocéntrico en Perú. El empleo de instrumentos de tecnología de punta como es el GPS pe rmiten obtener

230


resultados más precisos y con la utilización de algunas estaciones de la red geodésica clásica peruana, permitirán determinar las divergencias del sistema de coordenadas PSAD 56 y el sistema de coordenadas WGS 84. Establecer una red GPS para utilizarlas en determinaciones de coordenadas en el sistema de coordenadas WGS-84 nos ofrece mejores posibilidades cartográficas a ser empleadas en diversas actividades técnico-científicas en el Perú.

CUMPLIMIENTO DE OBJETIVOS El desarrollo del proyecto SIRGAS, orienta sus actividades hacia la adopción de un sistema de referencia de precisión compatible con las técnicas actuales de posicionamiento, principalmente a las asociadas con el GPS. El programa establecido por el Grupo de Trabajo II del Proyecto SIRGAS y las coordinaciones realizadas con el Prof. Ing. Albert Schodlbauer y el Instituto Geodésico de la Universidad de las Fuerzas Armadas de Alemania, ha desarrollado el plan de acción de acuerdo al siguiente detalle: a) En el plan de trabajo anual IGN 1995 se realizó el control terrestre geodésico de cuatro puntos GPS de alta precisión para dar cumplimiento al desarrollo de las actividades del proyecto SIRGAS en las ciudades de Piura, Iquitos, Arequipa y Lima; en el período comprendido entre el 26 de mayo y 05 de junio de 1995 mediante el empleo de cuatro (04) brigadas de control terrestre para el establecimiento del Datum Geocéntrico y la red de puntos GPS de alta precisión de sudamerica, con registro de datos permanente durante las 24 horas x 6 días y sincronización de épocas cada 10 segundos en forma simultánea. b) En el plan de trabajo anual IGN 1996, se realizó el control terrestre de 28 puntos de precisión geodésica en cumplimiento del desarrollo de actividades del proyecto “SIRGAS-PERU” en las localidades de: Locumba, San Juan, Andahuaylas, A nta, Puerto

Maldonado, Juliaca, Pisco, Huacho, Chimbote, Ayacucho, Huancayo, Cerro de Pasco, Pucallpa, Talaya, Puerto Esperanza, Trujillo, Chiclayo, Chachapoyas, Tumbes, Imacita, San Lorenzo, Tarapoto, Andoas, Curaray, Gueppi, Estrecho, Caballococha y Angamos, en el período comprendido entre el 20 de agosto y 07 de setiembre de 1996, mediante el empleo de 14 brigadas de control terrestre a fin de establecer estaciones geodésicas de

primer orden, con registro de

datos en cada una de ellas durante 72 horas y sincronizaciónde épocas cada 10 segundos; apoyados en las estaciones del proyecto SIRGAS Arequipa, Lima, Piura e Iquitos con rastreo

231


permanente durante la campaña programada empleando equipos GPS de doble frecuencia, para el cual se establecieron coordinaciones en forma permanente con el Instituto Geodésico de la Universidad de las Fuerzas Armadas de Alemania quienes comprometieron su participación y asesoramiento técnico en el desarrollo de la campaña del Proyecto “SIRGASPERU”, la cual se realizó si n novedad.

c) En el Plan de Trabajo Anual IGN 1997 se ha programado realizar el control terrestre de la red básica GPS, para el cual se ha considerado la determinación de 120 estaciones de segundo orden enlazados a puntos de alta precisión del proyecto SIRGAS, con registro de datos en cada una de ellas por 24 horas y sincronización de épocas cada 10 segundos en forma simultánea, mediante el empleo de cinco (05) brigadas de control terrestre utilizando equipos GPS de doble frecuencia y última generación, el que vendrá a constituir la estructura geodésica en el Perú con determinaciones de coordenadas en WGS-84.

232


o

233


o

La integración al sistema de referencia geocéntrica para América del Sur SIRGAS, se realizó en principio al determinar cuatro (04) estaciones GPS de alta precisión con registro de datos en forma simultánea en todo el continente Sudamericano y en Perú se establecieron las estaciones en Arequipa, Lima, Piura e Iquitos. Con la participación de personal IGN y personal técnico del Instituto Geodésico de la Universidad de las Fuerzas Armadas de Alemania se realizaron estos trabajos entre los meses de mayo y junio de 1995. En 1996 se continuó con el desarrollo del pr oyecto “SIRGAS-PERU” al establecer 28 estaciones de primer orden para establecer la nueva red geodésica GPS en Perú y dar cumplimiento al convenio cooperación técnica, que estableció el Instituto Geográfico Nacional de Perú y el Instituto Geodésico de la Universidad de las Fuerzas Armadas de Alemania, siguiendo los lineamientos preparados por el Grupo de Trabajo II del proyecto SIRGAS sobre instrucciones generales para las mediciones GPS. Las 28 estaciones se han ubicado en zonas de fácil acceso, y se han tomado en cuenta algunas estaciones de la red geodésica nacional clásica como es el caso de las bases de Ayabacas, Anta, Sama, Marcona, Las Salinas, Huancayo, Cerro de Pasco, Atalaya y Chimbote, las que son estaciones Laplace que nos permitirán apreciar con mayor claridad las diferencias en los parámetros de transformación de un sistema a otro (delta x, y, z ), obtenidos en WGS-84 con referencia al PSAD 56. En el año 1997, el Instituto Geográfico Nacional en su afán de culminar con la red geodésica GPS, ha programado la determinación de aproximadamente 120 estaciones de segundo orden en todo el ámbito del territorio Peruano; mediante esta red se espera cubrir las expectativas geodésicascartográficas con coordenadas en el sistema WGS-8 4.

ESTADO DE REALIZACION A 1997 el estado de realización del desarrollo del proyecto “SIRGAS” es el siguiente:

a) Cuatro (04) estaciones de alta precisión determinadas con mediciones GPS en el método diferencial. b) Veintiocho (28) estaciones de primer orden determinadas con mediciones GPS en el método diferencial. c) Ciento veinte (120) estaciones de segundo orden programadas para la red básica.

234


o

La programación para la obtención de resultados finales es el siguiente: a) Resultado de las observaciones de la red SIRGAS 1995 a nivel Sudamérica: AGO 97. b) Resultado de las observaciones de la Red SIRGAS-PERU 1996 a nivel nacional: NOV 97. c) Resultado de las observaciones de la densificación de la red SIRGAS-PERU: DIC 97.

¿QUÉ PERMITE AL PAÍS CONTAR CON LA REGGEN? Esta red permite que el país disponga de información confiable, acorde con los avances tecnológicos, compatible con otros sistemas regionales y del mundo; la misma que sirve de soporte para la información geo-referenciada de sectores tan diversos como: Transporte, Agricultura, Energía y Minas, Vivienda, Turismo, Defensa, el campo de las actividades relacionadas con el Catastro y otros.

RED GEODÉSICANACIONAL GPS Orden "O" 10 Orden "A" 51 Orden "B" 82 Orden "C" 97 Total : 24

235


236


o

a) Re observación de 18 puntos de la zona Sur del país con la finalidad de actualizar sus coordenadas. b) Actualmente se esta realizando el ajuste de las red.

c) Establecimiento de la Línea de Nivelación geodésica de 1er orden entre el mareógrafo de Matarani-Arequipa –Sta. Lucia –Juliaca –Puno; incluyendo la determinacion de la altura ortometrica de 02 puntos de orden Cero (Matarani y Characato). Actualmente se esta realizando el trabajo de campo

237


RESUMEN El presente informe describe el procesamiento de los datos de la campaña GPS SIRGAS efectuado en el Departamento I del Instituto Alemán de Investigaciones Geodésicas (DGFI/I [Deutsches Geodaetisches Forschungsinstitut, Abt.I]), usando el software de procesamiento GPS Bernese. Se incluyeron en el análisis un total de 67 estaciones de observación en 58 lugares que cubrieron el continente Sudamericano y además algunas áreas circundantes fueron ocupadas por estaciones del Servicio Internacional GPS para Geodinámica (IGS [International GPS Service for Geodynamics]). El primer paso consistió en un ajuste de “red libre” casi sin restricciones, usando

las órbitas precisas (combinadas) del IGS. Las coordenadas finales de las estaciones fueron obtenidas por transformación de la “red libre” al Sistema de Referencia Terrestre IERS (ITRF [IERS Terrestrial Reference Frame]), por medio de siete estaciones comunes con la solución ITRF94. El error medio cuadrático está en el nivel subcentimétrico para cada uno de los tres componentes de las coordenadas X, Y, Z. En 1993 se inició el proyecto para el establecimiento de un sistema de referencia geocéntrico preciso para el continente suramericano, denominado SIRGAS - Sistema de Referencia Geocéntrico para América del Sur -. Una de las metas mas importante de este proyecto es la medición de una red de referencia constituida por 60 estaciones aproximadamente, apropiadamente distribuídas en el continente, mediante la ejecución de una campaña GPS.

238


El Departamento I del Instituto Alemán de Investigaciones Geodésicas (DGFI/I [Deutsches Geodaetisches Forschungsinstitut, Abt. I]) ha estado vinculado con este proyecto desde el comienzo del mismo, asumiendo los siguientes compromisos para el establecimiento del marco de referencia del proyecto SIRGAS: 

Poner a disposición su propia experiencia, ganada en varios proyectos internacionales, para la planificación de la campaña GPS, dedicando una cantidad considerable

de

recursos para su ejecución, incluyendo las observaciones GPS en varias estaciones; 

SIRGAS mediante “anonymous ftp”; 

procesar el conjunto completo de los datos y proveer un ajuste total de la red. Este reporte se concentra en la última actividad y resume la estrategia aplicada

para el

procesamiento de la gran cantidad de datos, el software y los modelos utilizados, presentando finalmente los resultados obtenidos. El procesamiento ha sido realizado en el DGFI con alguna ayuda de la Universidad de La Plata, Argentina Las siguientes abreviaturas se utilizan frecuentemente en este reporte: IGS = International GPS Service for Geodynamics ITRF = IERS (International Earth Rotation Service) Terrestrial Reference Frame

Los Puntos Geodésicos que forman parte del Marco de Referencia ITRF 94 son todos los puntos posicionados por el IGN hasta el año 2007. Todos los puntos posicionados de manera conjunta en elPCDPI forman parte del Nuevo Marco de Referencia ITRF 2000 incluyendo las Estaciones de Rastreo Permanente. Durante el presente año concluiremos con poner operativo las 45 ERP luego de 2 años obtendremos velocidades de cada una de ellas

239


o

Surquillo, 1 de marzo de 2006 CONSIDERANDO: Que, de conformidad Ley N° 27292 Y su Reglamento aprobado con Decreto Supremo N° 005-DE/SG, el Instituto geográfico Nacional (IGN), es un Organismo Publico Descentralizado del Sector Defensa, que tiene por finalidad fundamental, elaborar y actualizar la Cartografía Básica Oficial del Perú, proporcionando a las entidades públicas y privadas la cartografía que requieran para los fines del Desarrollo y la Defensa Nacionales. Teniendo entre otras funciones; actuar como organismo competente del Estado para normar actividades geográfico - cartográficas que se ejecutan en el ámbito nacional; Que, una de las actividades geográfico - cartográficas es el establecimiento del Sistema geodésico Oficial del Estado Peruano; Que, de conformidad al Decreto Supremo N° 005 -DE/SG, el Instituto Geo gratico Nacional, tiene entre sus funciones la organización y administración del Archivo Cartográfico Nacional, incluyendo la cartografía histórico -patrimonial y el Sistema de Información Cartográfico Nacional, con base en la Red geodésica básica Nacional, desarrollada por el IGN; Que, el Sistema geodésico Nacional es el conjunto conformado por la Red geodésica Horizontal Nacional y la Red geodésica Vertical Nacional; Que, la Red geodésica Horizontal Nacional es el conjunto de puntos situados en el terreno dentro del ámbito del territorio nacional, establecidos físicamente mediante hitos permanentes, sobre los cuales se han realizado observaciones directas y/o continuas, con el fin de obtener parámetros físicos, que permitan la interconexión y determinación de la posición horizontal, con base al sistema de referencia escogido; Que, la Red geodésica Horizontal Nacional Clásica, implementada en Perú hasta el Ana de 1980, mediante mediciones astronómicas y estructurado en redes de triangulación de primer, segundo, tercer y cuarto orden, sobre la base del sistema local geodésico, el Provisional Sudamericano 1956 - PSAD56, con datum "La Canoa Venezuela", y como modelo matemático utiliza el elipsoide de Hayford 0 Internacional de 1924, con semieje mayor a=6'378,388 metros y aplanamiento f = 1/297, materializada por el conjunto de puntos y/o vértices, distribuidos en el territorio nacional, constituyo el apoyo para los levantamientos cartográficos y topográficos de entidades públicas y privadas; Que, en 1995 se implementa la Red geodésica Geocéntrica Nacional (REGGEN), con base en el Sistema de Referencia geocéntrico para las Américas (SIRGAS) sustentado en el Marco Internacional de Referencia Terrestre 1994 - International Territorial Reference Frame 1994 (ITRF 94) del International Earth Rotation Service (IERS) para la época 1995.4 y relacionado con el elipsoide del Sistema de Referencia geodésico 1980 - Geodetic Referente System 1980 (GRS80). Esta red permite que el país disponga de información confiable, acorde .Con los avances tecnológicos,

240


compatible con otros sistemas regionales y del mundo; la misma que sirve de soporte para la información geo-referenciada de sectores tan diversos como: Transporte, Interior, Agricultura, Energía y Minas, Vivienda, Turismo, Defensa, el campo de las actividades relacionadas con el Catastro y otros; Que, la Red geodésica Vertical Nacional es el conjunto de puntos situados a 10 largo de las principales vías de comunicación terrestre dentro del ámbito del territorio nacional, establecidos físicamente mediante marcas de cota fija, sobre los cuales se han realizado observaciones directas, con el fin de obtener parámetros físicos, que permitan la interconexión y determinación de la posición vertical, referenciado con el nivel medio del mar y los valores relacionados al campo de la gravedad; Que, la Ley N° 27658 - Ley de Modelización de la geos un del Estado, establece que el proceso de modernización de la gestión del Estado tiene como finalidad fundamental la obtención de mayores niveles de eficiencia del aparato estatal, de manera que se logre una mejor atención a la ciudadanía, priorizando y optimizando el uso de los recursos públicos, estableciendo como una de las principales Líneas de acción, la eliminación de duplicidad 0 superposición de competencias, funciones y atribuciones, así como la generación de una estructura orgánica en la que prevalezca el principio de especialidad; Que, la Infraestructura de Datos Espaciales del Perú (IDEP), requiere de un Marco Referencial Espacial, moderno acorde al avance tecnológico, confiable y accesible, que garantice la precisión de los datos geoespaciales; Que, resulta necesario oficializar, el Sistema geodésico Nacional implementado y actualizado permanentemente por el Instituto Geográfico Nacional, con la finalidad de preservar y estandarizar el Marco de Referencia geodésico del país; Estando a 10 acordado, y con las visaciones de la Dirección General de Cartografía, Dirección General de Geografía, Oficina de Asesoría Jurídica; y, De conformidad a 10 dispuesto por la Ley N° 27292 en concordancia con el Decreto Supremo N° 005-DE/SG Y su modificatoria, en uso de las atribuciones conferidas por la Resolución Suprema N° 621-2004/DE/EP/DP-2005;

SE RESUELVE: Artículo Primero.Denomínese Sistema geodésico Oficial, al conjunto conformado por la Red geodesta Horizontal Oficial y la Red geodésica Vertical Oficial, que están a cargo del Instituto Geográfico Nacional. Que constituye el sistema de referencia único a nivel nacional; el cual, se encuentra integrado a los Sistemas de Referencia Mundiales. Esta materializado por puntos localizados dentro del ámbito del territorio nacional, mediante monumentos 0 marcas, que interconectados permiten la obtención conjunta 0 por separado de su posición geodésica (coordenadas), altura 0 del campo de gravedad, enlazados a los sistemas de referencia establecidos.

241


Articulo Segundo.Constitúyase como Red geodésica Horizontal Oficial a la Red geodésica Geocéntrica Nacional (REGGEN), a cargo del Instituto Geográfico Nacional; la misma que tiene como base el Sistema de Referencia geocéntrico para las Américas (SIRGAS) sustentada en el Marco Internacional de Referencia Terrestre 1994 –International Terrestrial Reference Frame 1994 (ITRF94) del International Earth Rotation Service (IERS) para la época 1995.4 y relacionado con el elipsoide del Sistema de Referencia geodesico 1980 - Geodetic Referente System 1980 (GRS80). La Red geodésica Geocéntrica Nacional está conformada por los hitos 0 senates de orden "0", "A", "B" Y "C", distribuidos dentro del ámbito del Territorio Nacional, los mismos que constituyen bienes del Estado. Para efectos prácticos como elipsoide puede ser utilizado el World Geodetic System 1984 (WGS84).

Artículo Tercero.Constitúyase como Red geodesta Vertical Oficial a la Red de Nivelación Nacional, a cargo del Instituto Geográfico Nacional, la misma que tiene como superficie de referencia el nivel medio del mar, está conformada por Marcas de Cota Fija (MCF) o Bench Mark (BM) distribuidos dentro del ámbito del territorio nacional a 10 largo de las principales vías de comunicación terrestre, los mismos que constituyen bienes del Estado. Esta Red geofísica estará sujeta al avance tecnológico tendiente a obtener una referencia altimétrica global relacionada al campo de la gravedad.

Artículo Cuarto.Las redes geodésicas de las entidades públicas y privadas que se establezcan con fines específicos, tendrán que estar referidas al Sistema geodésico Oficial. Para el uso de estas redes, es requisito indispensable la validación por el Instituto Geográfico Nacional mediante la Resolución Jefatura correspondiente. Esta información será ingresada al Archivo Cartográfico Nacional - Banco de Datos geodésicos.

Artículo Quinto.Las personas jurídicas y naturales; que realicen levantamientos geodésicos, topográficos y otras actividades que involucren la localización geoespacial en el ámbito del territorio nacional; deberán referirlos al Sistema geodesico Oficial, de acuerdo con Las Normas Técnicas establecidas por el instituto Geográfico Nacional.

242


Artículo Sexto. - Las entidades que se encuentren realizando levantamientos geodésicos 0 topográficos que no tienen como base el Sistema de Referencia geo centro para las Américas (SIRGAS), presentaran su información, obligatoriamente en doble sistema, el utilizado por la entidad y el referido a la REGGEN; y, de manera progresiva convertirán su marco de referencia a 10 establecido; con la finalidad de lograr la implementación de una (mica Red geofísica Horizontal Oficial). Articulo Séptimo .

Las personas jurídicas y naturales; que establezcan puntos de control geodésico de orden "0", "A", "B", mediante el empleo de técnicas de geodesia satelital de acuerdo a 10 estipulado en el Manual de Normas Técnicas para Levantamientos Geodésicos; entregaran una copia del expediente completo al Instituto Geográfico Nacional. Esta información será ingresada al Archivo Cartográfico Nacional - Banco de Datos geodésicos.

Artículo Octavo.Con la finalidad de uniformizar conceptos relacionados al Sistema Geodésico Oficial, el Instituto Geográfico Nacional emite el siguiente glosario:

GEODESIA: Geodesia es " la disciplina que trata sobre la medida y la representación de la tierra, incluyendo su campo de gravedad, en un espacio tridimensional, considerando la variabilidad con el tiempo". (Comité Asociado de Geodesia y Geofísica del Concilio de investigación Nacional de Canadá 1974).

RED GEODESICA: Es el conjunto de puntos, físicamente establecidos mediante marcas, hitos 0 sanates, sobre el terreno, comúnmente denominados vértices geodésicos, medidos con gran precisión, que proporcionan las coordenadas geodésicas: Latitud, Longitud y Altura. Se encuentran enlazadas y ajustadas a marcos geodésicos nacionales 0 mundiales, constituyen la infraestructura fundamental para proporcionar alta precisión a la l a cartografía.

243


o

Es la Red geocéntrica Horizontal Oficial, a cargo del Instituto Geográfico Nacional; la Misma que tiene como base el Sistema de Referencia geocéntrico para las Américas (SIRGAS) sustentada en el Marco Internacional de Referencia Terrestre 1994 – International Terrestrial Reference Frame 1994 (ITRF94) del International Earth Rotation Service (IERS) para la época 1995.4 y relacionado con el elipsoide del Sistema de Referencia geodésico 1980 - Geodetic Referente System 1980 (GRS80). La Red geodésico Geocéntrica Nacional está conformada por los hitos 0 sanates de orden "0", "A", "B" Y "C", distribuidos dentro del ámbito del Territorio Nacional, los mismos que constituyen bienes del Estado. Para efectos prácticos como elipsoide puede ser utilizado el World Geodetic System 1984 (WGS84), las constantes de estos dos elipsoides, GRS80 y WGS84, son idénticas, con excepción de una pequeña variación en el factor dinámico de deformación (J2) .Regístrese, comuníquese y publ íquese. FRANCISCO ANTONIO VARGAS VACA Jefe del Instituto Geográfico Nacional.

244


o

DISTRITOS HUANCAYO - HUANCAYO JUNIN - PERU

LOCALIDAD ORDEN CODIGO HUANCAYO

A

HYO1

UBICACION SEDAM HUANCAYO S.A.

245


DISTRITOS SAN AGUSTIN DE CAJAS HUANCAYO - JUNIN - PERU

LOCALIDAD ORDEN CODIGO HUANCAYO

A

S.E.B.H.

UBICACION BARRIO VISTA ALEGRE - HUANCAYO

PARA HALLA ESTE PUNTO GEODÉSICO TUBIMOS QUE RECURIR A SU FICHA TECNICA

PERO COMO TODO EL TRAMO DE LA RIEL DEL FERROVIAS FUE LIMPIADO POR LA MUNICIPALIDAD NO SE PERCATARON DE ESTE PUNTO GEODÉSICO Y LO RETIRARON DE SU VERDADERA UBICACIÓN

TUVINMOS QUE LIMPIAR PARA PODER HALLARLO, Y TRASLADARLO MAS O MENOS A DONDE EN REALIDAD PERTENECIA.

246


o

1.-CONSULTAR A LA IGN HACIENDO UNA LLAMADA AL NÚMERO: Central Telefónica

: (511) 475-3030 - 225-5944

2.- LUEGO COMUNICARSE AL NÚMERO. Tele Fax Comercialización (Ventas)

: (511) 475-9960

EN DONDE NOS ESPECIFICARON LOS PROCEDIMIENTOS QUE SE DEBE SEGUIR PARA PAR A COMPRAR CADA FICHA TECNICA.



PAGAR S/.120.00 ALA CUENTA 0000 282898.



ENVIAR MEDIANTE UN CORREO CORREO ELECTRONICO AL CORREO QUE QUE SE INDICARA A LA HORA DE LLAMAR :



DATOS QUE VAN EN EL MENSAJE: 1. CODIGOS DE LA FICHA TECNICA. 2. BAUCHER ESCANEADO. 3. QUE LA INFORMACION INFORMACION SE ENVIE A UN CORREO.



ENVIAR.



LISTO.

247


248


249


250


251


252


o

RED GEODESICA MINERA CUADRO DE COORDENADAS EN WGS-84

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

SEÑALES S.E. PASCO S.E. CHIMBOTE S.E.B CONCHAN S.E.B HUANCAYO B.N. TINGO MARIA IQUITOS MOYOBAMBA S.E.B. PIURA ANTA B.O. MARCONA S.E. N.E.B. SAMA PONTORCO PTO. MALDONADO ALTO HOSPICIO SATELITE MAJES AYABACAS

10 9 12 12 9 3 6 5 13 15 17 13 12 18 16 16 15

LATITUD 55 52.245632 11 21.70237 16 7.655085 0 49.935012 10 38.824341 44 5.36336 2 1.662866 25 54.23147 28 40.633448 10 14.399453 49 0.850749 21 22.542953 35 38.402807 14 13.443097 27 56.41334 30 14.088186 25 35.030949

76 78 76 75 75 73 77 80 72 75 70 74 69 70 71 72 70

LONGITUD 4 28.999189 28 0.276083 54 21.570505 14 31.024042 58 52.949467 14 25.08696 11 59.300825 11 5.320278 14 19.561714 2 3.578429 34 4.379538 13 1.321424 10 37.511664 16 43.665798 29 35.488 24 48.131454 4 16.173594

HAE 4127.5749 67.5982 31.1524 3292.4704 786.2306 113.014 856.6917 247.5995 3372.2876 630.1781 510.8637 4347.6091 240.2958 495.2136 2491.223 964.671 3882.6814

CUADRO DE COORDENADAS EN EL SISTEMA ITRF 94

SEÑALES 1 2 3 4 5 6 7 8

SATELITE MAJES AYABACAS S.E.B. HUANCAYO. S.E.B CONCHAN N.E.B. SAMA ANTA B.O. MARCONA S.E.

LATITUD 16 16 15 12 12 17 13 15

27 30 25 0 16 49 28 10

56.406 14.082 35.025 49.936 7.657 0.837 40.628 14.395

LONGITUD 71 72 70 75 76 70 72 75

29 24 4 14 54 34 14 2

35.503 48.144 16.193 31.037 21.581 4.401 19.58 3.594

HAE 2492.91 966.344 3884.08 3293.04 32.24 511.68 3373.65 631.66

253


INSTITUTO GEODESICO DEL PERÚ

PROYECTO SNAPP-96 PUNTOS GPS

OBSERVACIONES: CATASTRO MINERO EQUIPOS: TRIMBLE ANÁLISIS Y CÁLCULOS: MSc. Edmundo Norabuena INSTITUTO GEODÉSICO DEL PERÚ ELIPSOIDE DE REFERENCIA: ITRF94

ESTACI N

LATITUD

LONGITUD

ELEVACION

Elat

Elon

Eelev

°S

°W

m

mm

mm

mm

ANTA

13.477952231

72.238772293

3373.65

16.68

5.65

28.53

AYAJ

15.426395728

70.071164632

3884.08

3.70

12.90

31.20

CONC

12.268793648

76.905994617

32.24

16.70

3.07

67.32

HUAN

12.013871033

75.241954757

3293.04

12.45

19.91

10.26

MAJE

16.503911597

72.413373452

966.344

4.30

12.10

32.50

MARC

15.170665162

75.034331613

631.66

1.58

6.46

14.00

SAMA

17.816899180

70.567889286

511.68

4.55

13.85

24.39

SATE

16.465668427

71.493195257

2492.91

1.34

5.75

3.82

254


COORDENADAS DE LA SUB RED GEODESICA MINERA

ZONA 17-E-II ORD

ESTACION

WGS 84 OBSERVADAS

GRA

LATITUD MIN. SEG.

LONGITUD GRA.

H 84 SEG.

MIN 1 er. 1 er. 1 er. 1 er. 1 er. 1 er.

C° CRUZ DE CAÑA C° EREO C° EL MUERTO C° PILAN C° HUACRUPE MORANTE

5 4 5 5 5 5

7 46 24 9 48 31

44.420500 14.213600 17.581590 4.425900 29.018800 17.657292

80 80 80 80 79 80

20 21 3 2 57 6

44.733200 21.028700 50.300500 35.027000 7.353800 11.837198

252.3570 660.8130 325.7480 534.7030 680.0100 234.375

ZONA 17-E-III 1 er.

C° PUEMAPE

7

29

51.685000

79

31

32.696800

222.14600

1 er. 1 er. 1 er. 1 er. 1 er. 1 er.

C° MALABRIGO C° REQUE C° GUANACORRAL C° CALCHUDAY C° HUAÑAPE MOCHE

7 6 7 8 8 8

43 51 46 7 26 10

6.636300 32.341100 32.501900 47.687300 32.942800 13.120913

79 79 78 78 78 78

27 46 42 38 55 56

13.096400 17.354600 58.885200 18.175400 29.669800 26.442753

261.34300 593.96600 4306.22000 3828.14300 241.30400 1171.49300

ZONA 18-W-III 1 er.

C° LOS PUEBLOS

7

45

55.35550

77

44

57029758

3840.13900

1 er. 1 er.

S.E.B. JUANJUI BONABOY

7 6

1 36

39.876505 39.751016

76 77

29 56

56.03376 9.742894

246.82840 3760.55250

ZONA 18-W-IV 1 er.

V SALINAS

11

17

46.559190

77

33

4.343290

23.1050

1 er. 1 er. 1 er. 1 er. 1 er.

C° SHUPRO C° MONGON C° MANSEMICHE N.O. PASCO N.O. HUANCAYO

10 9 10 10 11

22 37 4 49 56

18.218400 29.823521 20.216578 40.028839 11.491227

76 78 78 76 75

16 17 3 12 18

19.353700 50.018629 42.988430 16.463713 43.843856

4406.2960 1143.8730 931.4770 4172.4990 3308.2460

255


ZONA 18-W-V ORD

1 er. 1 er. 1 er. 1 er. 1 er. 1 er. 1 er. 1 er. 1 er.

ESTACION

YURACCHAYOC MORRO CLARITA V ASTOMARCA ANGONA 2 CAMACHO ALTO PISCO MONTE COLORADO MACHO COYUNGO PUCUSANA

WGS 84 OBSERVADAS

LATITUD MIN. SEG. 10 50.83490 9 53.91200 19 51.64370 18 22.17510 1 52.16604 35 0.89985 53 2718959 41 30.30946 27 38.91693

GRA 13 13 12 12 13 13 13 14 12

GRA 75 76 75 75 76 76 76 75 76

LONGITUD MIN. SEG. 11 49.48850 21 1.47580 41 51.30770 6 33.093717 29 3.41947 8 30.64945 11 25.68265 25 1.21256 46 19.55419

H 84 5143.72100 197.63600 5053.94000 4432.89100 112.49500 141.52400 294.74400 1027.92700 414.36000

ZONA 18-E-V 1 er.

ALALO

15

21

40.274878

74

28

28.797159

2285.024

1 er. 1 er.

GENTIL LEON ALTO HUCCHA

16 16 16

14 29 39

17.799372 56.322799 34.472276

73 73 72

26 0 16

7.803282 32.593525 10.419327

1330.717 460.581 1200.001

1 er.

LADERAS

17

26

34.68750

71

2

34.52120

1448.110

1 er. 1 er.

APOPATA PALCA

16 17

38 ZONA 48.36790 19-W-V 47 36.07840

69 69

49 55

57.42090 29.47400

5097.08800 4302.91500

1 er.

256


HITOS OFICIALES POR ZONAS CATASTRALES ZONA CATASTRAL 17E-II 17E-III 18W-IV 18W-V 18E-VI 18E-V 19W-VI 19W-V 18W-II

HITO OFICIAL

EL MUERTO CALCHUDAY S.E.B. CERRO DE PASCO MORRO CLARITA GENTIL PONTORCO SATELITE MAZUCO LOS PUEBLOS

COORDENADAS COORDENADA S WGS 84

GRA 5 8 10 13 16 13 16 13 7

LATITUD MIN SEG 24 17.58159 7 47.68730 55 52.24560 9 14 21 27 6 45

53.91200 5 3.91200 17.79937 22.54300 56.41334 2.31940 55.35550

GRA 80 78 76 76 73 74 71 70 77

LONGITUD MIN SEG. 3 50.3005 38 18.1754 4 28.9992 22 26 13 29 22 44

1.4758 7.80328 1.3214 35.4880 6.3070 57.2975

HGT (Mts) 325.75 3828.143 4157.58 197.636 1330.717 4347.61 2491.20 391.588 3840.132

257


En este capítulo se estudiara la forma de cómo cómo resolver realmente problemas sobre el elipsoide si bien es cierto para la solución se ha utilizado elementos propios del elipsoide pero estos elementos proceden de realizar observaciones directas sobre el terreno y no sobre el elipsoide. Ahora bien para realizar reducción de observaciones ya sea ángulos o distancias se tomara en cuenta una serie de correcciones que aplicaremos a los ángulos o distancias observados sobre el terreno una vez realizadas estas correcciones se tendrá los verdaderos elementos sobre el elipsoide de modo tal que sean utilizados para resolver problemas ya estudiados. Teniendo en cuenta el párrafo anterior básicamente nos enfocaremos en cómo realizar estas reducciones para tal fin se tomara como punto de partida la suposición de que se ha utilizado cualquier equipo e medida de ángulos o distancias como puede ser el teodolito y distancio-metro respectivamente para obtener un valor observado sobre el terreno.

258


La distancia observada con un equipo de medida de distancias corresponde a una distancia medida entre dos puntos puntos situados sobre la superficie de la tierra. Para reducir esta distancia distancia observada al elipsoide se van a seguir los siguientes pasos:

1) Calculo de la corrección meteorológica 2) Calculo de desnivel a) Reducción al horizonte. b) Corrección por esfericidad. c) Corrección Corrección por refracción. refracción.

3) Reducción de terreno a la cuerda 4) Reducción de la cuerda al arco

La distancia medida por el distancio-metro, viene determinada por los llamados valores internos y externos los internos son, el índice de estándar n y la longitud de onda λ estos son calibrados por el fabricante. Los valores externos son los debidos a las condiciones atmosféricas atmosféricas como son la presión temperatura y humedad que se observan en el momento y zona en que se realiza la medida. En la mayoría de los actuales distancio-metros la corrección meteorológica



lo realiza el

instrumento una vez introducidos los valores atmosféricos pero de no ser este el caso se podrá realizar esta corrección manualmentede la siguiente manera: Si d es la distancia observada por el distancio-metro, antes de tener en cuenta las condiciones atmosféricas la distancia real



vendrá dada por la expresión:

   = d +

Donde la corrección meteorológica estándar





= d + d( - n)

, depende de la propia distancia medida d, del índice

y el índice de refracción n, de la zona en la que se está midiendo. Para el cálculo de n

259


emplearemos la fórmula de ESSEN y FROOME, adoptada por la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica: n = 1+

         *

Donde p es la presión en mm de Hg, t es la temperatura de la bola seca en °C y e es la temperatura de presión de vapor, que se calcula con la expresión siguiente: e = e' – e' – 0.00066 0.00066

       

Aquí, t' es la temperatura de la bola húmeda, y e' es la temperatura de presión de vapor donde para una t' el valor de e' se obtendrá de: log e' = 26.12612 -

 

– 5.8697*log(t' – 5.8697*log(t' + 273.15)

En este apartado se va a calcular el desnivel entre dos puntos A y B. Para ello se tendrá en cuenta la reducción al horizonte, la esfericidad de la tierra y la refracción de la atmosfera. o

La reducción al horizonte consiste en calcular el desnivel entre A y B con respecto a la horizontal horizontal de una de ellos. En el punto A, se estaciona el teodolito, cuya altura instrumental es i. En el punto B, se coloca la mira, cuya altura es m. El Angulo cenital, observado en estas estas condiciones, es Z. Como ya se sabe Di es la distancia directa una vez aplicada la corrección meteorológica C m. De esta igualdad se puede despejar la diferencia de alturas entre B y A, que es el desnivel Δh, que se busca.

FIGURA 9.1

260


o

  

Despejando la diferencia de alturas entre B y A, que es el desnivel Δh. Que se busca.

Para el caso de que el punto B estuviera más bajo que A, la expresión será exactamente la misma se puede observar el cateto vertical, tiene el mismo valor q ue en el caso anterior, pero cambiado el signo. Pero en este caso, ese cateto se calcula con el seno de Z – 90, que equivale al coseno de Z, pero con signo negativo, por tanto, la igualdad expresada quedara igual a la anterior.

FIGURA 9.2: SI A ESTA MÁS ALTO QUE B SE OBTIENE LA MISMA EXPRESION ANTERIOR

La llamada distancia horizontal D h es la señalada y su valor, valor, como como se ha estudiado solo depende de la distancia Di y del Angulo cenital Z.

o

Una vez calculada, el desnivel entre los puntos A y B, B, es necesario considerar considerar una nueva corrección en altura, debida al efecto producido por la curvatura de la tierra, se trata de la corrección por esfericidad.

261


En la figura se observa el desnivel Δh, calculado hasta ahora y representado por el segmento BB1, la corrección por esfericidad e, consiste en aplicar las correcciones necesarias para pasar, a) del segmento BB1 al BBI y posteriormente b) del BB I al BBII. El paso de BB1 al BBI se hará directamente por aproximación. Di= 38500 metros, Z= 88 0, Rt= 6370000, para m=i

        

Así se obtiene la diferencia entre los segmentos BB1 - BBI = 2.5 cm Para el cálculo de BB I al BBII se utiliza el concepto de potencia de un punto respecto a una circunferencia.

FIGURA 9.3: CORRECCIÓN AL DESNIVEL POR ESFERICIDAD

BIA2 = BIBII (BIBII +2BIIO) Para: BIA= Di

,

BIBII = e

Di = e( e + 2Rt)



,

BIIO = Rt

Di2 = e2 +2eRt

Como e es muy pequeño comparado con el radio de la tierra se puede despreciar.

262


e =Di2 /2Rt

FIGURA 9.4: POTENCIA DE UN PUNTO

o

Un rayo luminoso al pasar de un medio de menor a mayor densidad, sufre una desviación que se acerca a la normal de la superficie que separa ambos medios. La atmosfera terrestre, se puede suponer como una sucesión de capas de aire, cuya densidad crece conforme disminuye su distancia a la superficie de la tierra, por lo que un rayo procedente de un punto, sufre sucesivas refracciones en las distintas capas, y como consecuencias de ello, presenta la forma de una curva cóncava hacia el suelo.

FIGURA 9.5: CORRECCIÓN POR REFRACCIÓN

263


Para un observador situado en A que visualiza B, aparece dicho rayo como procedente de un punto B´ , situado más alto que B, y precisamente en la dirección de la tangente en A a la trayectoria del rayo luminoso ACB, se llama corrección por refracción, a la altura r que existe entre el punto real B y el virtual B´ . La trayectoria cóncava ACB, se puede considerar como circular. El radio Rr de esta trayectoria, es muy superior al de la tierra RM. El centro de la tierra circular, de radio RM es O; y el centro de la circunferencia que describe ACB es O´. Por ser la visual AB´, tangente a la trayectoria ACB, resulta que el ángulo BÁO´ es recto. Del triangulo rectángulo ABÓ´ se puede deducir que:

AB´2 + AO´ 2 = BÓ´ 2→ D,2 + Rr2= ( Rr + r)2→ D,2 + Rr2 = Rr2 + r2 + 2Rr r

Por ser r muy pequeño, comparado con el radio Rr se desprecia el valor r2quedando: r = D,2 / 2Rr

Si se conoce el valor Rr, ya estaría resuelto el problema de la determinación de la corrección por

refracción r . Pero al no ser así, se introducirá un factor K, que habrá que determinar, cuyo valor es: k = RM / 2Rr

Rr = RM / 2K

Suponiendo conocido el valor de K, se puede obtener r por combinación de las ecuaciones anteriores. 2

r = D, K/ RM

El factor K es el llamado coeficiente de refracción. A continuación se expone el método que permite obtener su valor. o

Se puede calcular el valor del ángulo:



= r / D,

Si en esta expresión, si sustituye el valor de r, obtenido en la ecuación se tendrá:



2

= D, 1/ 2Rr D, = D, / 2R r

264


Por otro lado, consideremos dos puntos A y B sobre el terreno en los que se realizan medidas de las cenitales reciprocas ZA y ZB entre ellos sea D, la distancia directa, medida entre A y B. se considera que la altura de los dos puntos no llegara a diferir lo suficiente como para considerar distintos ángulos de refracción ρ para los dos puntos, por tanto, será el mismo ángulo. El ángulo



subtendido por A y B desde el centro O de la tierra es .

FIGURA 9.6: CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE REFRACCIÓN

CONSIDERANDO LOS ÁNGU LOS Ά Y Β SE PUEDE ESCRIBIR :





=180°- (ZA+ ) Y como







180°- (ά + Β)





= 180°- 180°+ ZA + - 180°+ ZB+



= 180°- (ZB + )



Despejando el valor de 2 se obtiene:

 

2 - + 180°- ( ZA + ZB )

Si ahora se dividen los dos miembros de esta ecuación por el valor 2 , se obtiene:

265


 

2 / 2 = + 180°- ( ZA + ZB )/ 2 )}









/ = ½ +1/2 {180°- ( ZA + ZB

Cálculo de la relación y : / = D / 2Rr / D / RM = RM /2Rr = K

Las expresiones anteriores deben ser iguales, por tanto, teniendo en cuenta el valor de multiplicando por

  oopor

K=



g para poder introducir ZA y ZB en grados, quedando:

+ RM / 2D {180 ° - ( ZA+ ZB )



y



EN EL CASO CENTESIMAL :

K=



+ RM / 2D {200° - ( ZA+ ZB )



Con esta expresión, se puede obtener el valor del coeficiente de refracción K, a partir de este estudio genérico, y teniendo en cuenta observaciones de campo efectuadas. La refracción, varía con las condiciones atmosféricas, resultando que observaciones posibles a determinadas horas de día, o en ciertas épocas del año, no lo son en otras. El coeficiente de refracción presenta un mínimo en las horas más calientes del día. Variando con las condiciones atmosféricas. De todas formas, para una misma región, en la misma época de año, y siempre que las condiciones atmosféricas no sean muy distintas, puede considerarse que el coeficiente de refracción se mantiene constante.

o

Una vez obtenidas las correcciones por esfericidad y refracción, se pueden emplear para el cálculo del desnivel. A la vista de la fig. 8-4 se deduce que la esfericidad es una corrección que aumenta el desnivel entre dos puntos, y por tanto, es a sumar, mientras que la refracción a la vista de la fig. 86.lleva a visualizar el punto observado más alto de lo que en realidad esta, y por tanto, es a restar. Si se considera de forma adjunta, se obtendrá como valor para la corrección el siguiente:



e – r =

–

K =  K) =  0.08)

e – r =0.42



266


Los valores de e, son siempre superiores los de r, por lo que la corrección e – r, será siempre positiva. El desnivel, empieza a ser afectada por la esfericidad y refracción, a partir de los 400 metros, por lo que habrá que considerando siempre en distancias superiores a este valor si se quieren obtener resultados precisos. En algunos textos de topografía y geodesia, se da la siguiente expresión, menos exacta que la (8-12), en la que D 1 se expresa en metros. e – r =

10

-6

Como conclusión, haciendo referencia al comienzo de este apartado 2.2, se da, finalmente, como expresión para el cálculo de desnivel entre dos puntos, teniendo en cuenta la esfericidad y refracción, la siguiente expresión, en la que R M es el radio de curvatura medio. ∆h

=

D1cosZ

–

(m

–

1)

+

0.42

…………………………………………………………………………………….(8-13)



El valor RM, es el del radio de la tierra más próximo a la zona de observación. Se calcula mediante la expresión (2-35) del apartado 1 1 del tema 2, para lo que es necesario determinar previamente ρ y N, que a su vez, dependen de la latitud ϕ. Por tanto, será necesario utilizar un valor para la l atitud ϕ, correspondiente a esa zona que suele ser el de la latitud media entre los dos puntos entre los

cuales se efectúa la medida de distancia. R=

 

………… (2-35)

Después de hacer la corrección meteorológica y calcular entre dos puntos, se está en disposición de aplicar la siguiente corrección para continuar con la reducción de distancias al elipsoide. La corrección de paso del terreno a la cuerda, es el cálculo que es necesario a realizar, para reducir la distancia D 1, a la cuerda D 2 del elipsoide. La cuerda queda determinada por la proyección de los puntos A y B sobre el elipsoide (fig. 8-8). Para su cálculo, se utilizara el desnivel obtenido en (8-13). En la fig. 8-8, se representa la distancia directa D 1, y las alturas h A y hB sobre el elipsoide de A y B, respectivamente. El ángulo ω es el ángulo subtendido por A y B desde el centro O de la tierra, el

valor de D2, se calcula a continuación:

267


FIGURA 9.7: REDUCCION DEL TERRENO A LA CUERDA

Se empezara por aplicar el teorema del coseno al triangulo AOB , para hallar el valor cosω:



= (h A + RM)2 + (hB + RM)2 – 2(h A + RM)(hB + RM) cos ω

-Cos ω =



- (h A + RM)2 - (hB + RM)2

2(h A + RM)(hB + RM) Por otro lado, se puede obtener una expresión con cosω a partir de la misma fig. 8-8:

   =      elevando al cuadrado  =  sen  =    (1 Despejando el valor de   , queda:  = (1 2

Sen =

– cos ω)

– cos ω)

Si ahora, se sustituye el valor obtenido en (8-14), dentro de esta últi ma expresión (8-15):

    =

- (h A + RM)2 - (hB + RM)2 2(h A + RM) (hB + RM)

Realizando la suma propuesta entre corchetes, y sacando factor común a R M dos veces en el denominador, se tiene:

    =

2(h A + RM) (hB + RM)

 

- (h A + RM)2 - (hB + RM)2

2 RMRM(1+h A/RM) (1+hB/RM)

Agrupando términos, y simplificando, queda: =

- {(h A + RM)2 + (hB + RM)2- 2(h A + RM) (hB + RM)} (1+h A/RM) (1+hB/RM)

268


El segundo término del numerador es una diferencial al cuadrado, por tanto:

  =



- {(h A + RM) - (hB + RM)}2 = (1+h A/RM) (1+hB/RM)

-(h A -hB)2

=

(1+h A/RM) (1+hB/RM)

-

(1+h A/RM) (1+hB/RM)

De donde se obtiene, finalmente, la expresión que da la distancia

   

 



sobre la cuerda:

=

Se puede observar, que en el cálculo de con

a partir de la altura h A.



interviene



y hB. Este último valor, h B se obtendrá

Hay que señalar que tal como se ha planteado al cálculo, las alturas h A y hB, que se deben introducir en la formula (8-16), deben ser elipsoidales. Si se introdujeran alturas orto-métricas, la distancia de la cuerda calculada, sería la de una cuerda sobre el geoide, y la corrección que se calculara a continuación, daría distancias sobre el geoide. Pero lo que en realidad se busca son distancias elipsoidales. En el caso de que el dato original sea la altura orto-métrica, será necesario transformarla en elipsoidal, y para ello se debe conocer la ondulación media del geoide, sobre aquel elipsoide en el que se efectuaran los cálculos. Para una distancia de unos 15 km, el hecho de emplear alturas elipsoidales u orto-métricas, darán una diferencia para la cuerda de unos 10 centímetros, valor que es superior a la corrección que se estudiara a continuación.

            →                     

Esta reducción, transforma la distancia

de la cuerda al arco sobre el elipsoide.

Se convierte de esta manera, en un elemento del elipsoide que ya puede ser utilizado para realizar cualquier cálculo que se pueda presentar. Calculemos el valor de en función de

. De ella se puede deducir

Como el ángulo , es muy pequeño, se puede sustituir el seno por su desarrollo en serie:



(1)

Por otro lado, se obtiene el valor de de la siguiente manera:

269


 →                 →       

Sustituyendo este valor en (1), queda:

En el último término de esta última expresión, por ser pequeño comparado con elevado al cubo, es posible igualar s con

, de forma que se deduce la expresión:

   →  

  

Siendo:

, y por estar

(8-18)

Cuando se llevan a cabo los trabajos de triangulación, las observaciones angulares, se realizan entre vértices geodésicos que están situados sobre la superficie física de la Tierra. Sin embargo, los valores angulares obtenidos, se han de utilizar para resolver triángulos sobre el elipsoide. Por tanto, antes de abordar el problema de cálculo de una red , se habrán de introducir las correcciones necesarias, para pasar los ángulos obtenidos por la observación a los correspondientes de los triángulos episódicos. Las correcciones angulares, que se han de tener en cuenta para transformar los ángulos observados a ángulos sobre el elipsoide, son las siguientes: Corrección angular para paso de la sección normal a la línea geodésica. Corrección debida a la desviación de la vertical Corrección debida a la altura del punto de estación Corrección debida a la altura del punto observado

o

Las visuales entre vértices sobre el terreno, quedan materializadas por el acimut de aquella sección normal , correspondiente al vértice estación, que pasa por el vértice observado. También los triángulos geodésicos episódicos, quedaban definidos, no por secciones normales, sino por líneas geodésicas. Por tanto, será necesario introducir una corrección, para pasar del acimut de la sección normal del elipsoide, al acimut de la línea geodésica correspondiente.

270


Se demuestra que el ángulo (dado en segundos) formado por las secciones normales reciprocas de dos puntos cualesquiera A y B sobre el elipsoide, en un punto A, tiene por valor:

FIGURA 9.8: LA LÍNEA GEODÉSICA TRISECTA AL ÁNFULO FORMADO POR LAS SECCIONES NORMALES RECÍPROCAS

      





Donde es la excentricidad del elipsoide, es la amplitud elipsoidal, sección normal, y



la latitud media entre A y B.



el acimut de la visual o



La línea geodésica, en cualquiera de los extremos A y B, triseca al ángulo , formado por las secciones normales reciprocas. Por tanto, el ángulo normal, es:

este valor

 

  



, que forman la geodésica y la sección

es el que da la corrección que se busca. La precisión de esta expresión depende de



la exactitud con que se calcule el ángulo de amplitud elipsoidal . En el caso más sencillo, se aproxima a su valor principal

⁄

.

Sustituyendo este valor en la figura , se obtiene una expresión que da



, y que es válida para

distancias del orden de los 50km. El valor de esta correción es muy pequeño. Para tener una idea de sus valores medios, en función de la distancia que separa los dos puntos en cuestión, se da la siguiente tabla en la que

  y

son los valores de los dos términos que componen



.

271


                                                    Cuando los puntos A y B, se encuentran sobre un mismo paralelo o meridiano, esta corrección es nula ya que las secciones normales reciprocas coinciden en una misma sección, y por tanto, con el acimut de la línea geodésica. En cualquier caso, teniendo en cuenta el tipo de trabajo, y la precisión de los equipos empleados, aplicación.

  y

pueden ser tan pequeños, que no sea necesaria su

o

Al hacer estación en un vértice de la red, las observaciones efectuadas desde él, se refieren a la vertical astronómica en ese vértice, ya que cuando se instala el teodolito se utiliza un nivel para su puesta en estación. Este nivel, está influido exclusivamente por la fuerza de la gravedad, así que su eje principal, y por tanto el teodolito, habrá quedado colocado normal a la superficie equipotencial que pasa por dicho punto. A no ser que el observador se encuentre en un punto fundamental de la red geodésica, la vertical astronómica, no coincidirá con la normal al elipsoide. Formarán un ángulo, que según se ha estudiado, es la desviación de la vertical. Esta desviación hace que el acimut que se observe en una determinada dirección, el astronómico A A, no coincidirá con el acimut geodésico A G, de la misma dirección, y que es el que se utiliza en la resolución de los triángulos episódicos. Recordando el tema de Sistema de Coordenadas en Geodesia, se puede obtener el valor de la corrección a aplicar:

 

   

 

La introducción de esta corrección pasa por el cálculo del valor de la desviación de la vertical, ya que en la expresión anterior intervienen , una de sus componentes, y , la latitud astronómica,

272


que se obtiene a partir de la Geodésica, a través del valor de la desviación de la vertical. Sin embargo, el error de esta corrección, es tan pequeño, que no se suele tener en cuenta en la práctica.

FIGURA 9.9: DESVIACIÓN DE LA VERTICAL

o

Los vértices geodésicos utilizados en las triangulaciones, no están directamente situados sobre el geoide, sino en la superficie física de la tierra, a una cierta altura sobre el nivel del mar. Al efectuar una observación geodésica, se observan los ángulos formados por los planos determinados por la vertical física en el lugar de observación, y cada uno de los vértices observados. Debido a que la vertical física, es una curva alabeada en el espacio, a medida que se incrementa la altura del punto de observación, se producirá un desplazamiento de este punto d e observación con respecto a su proyección sobre el geoide, según esa vertical. Si en este punto de intersección, de la citada vertical con el geoide, se consideran los ángulos formados por los planos normales a este, que pasan por los vértices observados, estos ángulos no serán iguales a los anteriormente medidos.

273


Será pues necesario, introducir una nueva corrección a los acimuts observados sobre el terreno, para reducirlos al geoide, teniendo en cuenta la altura del vértice de estación sobre el geoide. Sin embargo, el valor de dicha corrección es siempre despreciable, resultando además de una magnitud muy inferior a la de los errores de la misma naturaleza, originados por las desviaciones locales de la vertical, que se estudió en la anterior corrección.

FIGURA 9.10: CORRECCIÓN ANGULAR DEBIDA A LA ALTURA DEL PUNTO DE ESTACIÓN o

La altura de los puntos observados, hace necesario el cálculo de una nueva corrección. En efecto, se muestra en la Fig.10, las normales en dos puntos Ay B del elipsoide, son dos rectas que, en general, no se cortan. Por tanto ¿, si desde el vértice A, se observa una señal en B’, a una atura B’B-h sobre el elipsoide, el plano determinado por la normal en el punto A y el punto B’, será

generalmente distinto al plano que contiene la sección normal de A, que pasa por B. El ángulo que forman ambos planos, es δ, y su valor determina la corrección b uscada.

274


Esta corrección, viene dada por las siguientes expresiones, en la “e” es la

excentricidad del elipsoide, h es la altura elipsoidal del punto observado B, “s” es la longitud de la línea geodésica, Z AB el acimut de la visual o sección normal, y Z ab la latitud entre Ay B.

P

Za

A

Zu B’

B

FIGURA 9.11: CORRECCIÓN POR ALTURA DEL PUNTO OBSERVADO

δ”=δ1+ δ2 donde:

    

     

Como se puede observar, el primer termino de la expresión, es independiente de la distancia que separa los puntos A y B. Si se mantienen fijas las posiciones de A y B y se varía la altura h del punto observado B, se obtendrán unos valores para este término, del orden siguiente orden:

                   

275


Para tener idea del segundo término, que depende de la distancia “s” entre A y B,

se considerará un caso muy desfavorable, en el que h=2 000 m. En este caso, el segundo término, dependiendo de la distancia “s” tomara los siguientes valores:

              Como se puede observar, el segundo termino δ2 es siempre despreciable, y basta considerar, en la mayoría de casos, el primero únicamente. Teniendo en cuenta el tipo de trabajo, y la precisión de los equipos empleados, δ2 puede ser tan pequeño, que tampoco sea necesaria su aplicació

276


En geodesia y cartografía, es frecuente tener que resolver el problema de intercambio de coordenadas procedentes de distintas referencias geodésicas y cartográficas para emplearlas en un mismo trabajo, y presentar en alguna de esas referencias, o en otra nueva. Las referencias cartográficas vienen determinadas por los sistemas de proyección y presentación utilizados, por lo que este es un problema que se estudia en cartografía. Sin embargo, el cambio de referencias geodésicas es un problema puramente geodésico, que se suele denominar como cambio de Datum y que será tratado en este tema. La necesidad de cambio de Datum proviene del hecho de que en geodesia se encuentra, en ocasiones, con la necesidad de tener que trabajar con datos que toman como referencia Datums geodésicos locales de distintas épocas, o incluso Datums locales y coexistentes, de distinta definición. También, la mencionada aparición del Datum global, obligo a toda la comunidad geodésica internacional a estudiar el procedimiento sistemático de transformación de coordenadas geodésicas del propio sistema local; al sistema global. La técnica para la resolución de ambos problemas es la misma, por lo tanto, se puede generalizar y asumir como un mismo problema el cambio de Datum entre distintos sistemas locales, o bien entre sistemas locales y globales.

277


Helmert estudio y determino la relación existente entre las coordenadas de dos sistemas cartesianos tridimensionales, cuyos orígenes no coinciden, sus ejes nos son paralelos, y que utilizan distintas escalas para la medida de sus coordenadas. Sean dos sistemas cartesianos W y E como lo indica la figura. Uno, es el W(Ow, Xw, Yw, Zw), y el otro, el E(Oe, Xe, Ye, Ze). El sistema E, se encuentra girado unos ángulos Θx, Θy y Θz con respecto al sistema W. Además, el sistema E, no presenta la misma escala de medida que el W , la proporción existente entre una medida de E y otra de W, es un factor de escala que se denominara por K.

FIG.10.1 PRIMERA FORMA DE REPRESENTAR UNA TRANSFORMACION DE COORDENADAS

278


FIG.10.2 TRANSFORMACION DE HELMERT Sean (Xө,Yө,Zө) las coordenadas las coordenadas del origen Oe, referidas al sistema W. Las

coordenadas de ambos sistemas cartesianos pueden relacionarse a través de la expresión:

⃗ ⃗ 

El vector q expresado en el sistema W, puede sustituirse en esta suma por el vector Ve, definido en el sistema E. Para ello, este vector debe ser afectado del tensor de giro R, correspondiente y el factor de escala K, que relaciona las magnitudes de ambos sistemas:

⃗ ⃗    ⃗         

279


La superposición del triedro OeXeYeZe con el OwXwYwZw , que se corresponde con el caso más general, se lograra mediante los siguientes giros:

=

 ()                                 

Este producto da como resultado:

                                      

Si las rotaciones ex,ey,ez, son pequeñas, se puede simplificar esta matriz, R, eliminando términos cuadráticos y superiores, aproximando el seno por el propio ángulo, expresado en radianes, y expresando el coseno del ángulo a la unidad:

        

Si se sustituye este valor de R en la ecuación inicial, se obtendrá como ecuación de transformación entre los dos sistemas W y E, la siguiente:

          

280


FIG.10.3 METODO DE LOS 7 PARAMETROS

Una vez planteada la ecuación de transformación de coordenadas entre los sistemas W y E su resolución es inmediata si se conocerlos 7 valores necesarios que son dadas las coordenadas

   ,

,

,se obtienen las

   ,

,

      ,

,

,K,

,

y

, así ,

, o bien dadas estas últimas, se

obtendrán las primeras invirtiendo la misma ecuación , si por cualquier motivo , no se conocieran estos valores o su conocimiento no fuera lo suficientemente exacto , existe otro método de resolución indirecto , que necesite del conocimiento previo de un conjunto de dobles coordenadas es posible el cálculo de esos siete valores o parámetros , este método de resolución es el conocimiento como el método de afinidad o método de 7 parámetros.

           281


                Por cada conjunto de dobles coordenadas conocido aplicado a la ecuación vista aparecen 3 ecuaciones; luego para poder calcular los 7 parámetros serán necesarios al menos 3 vértices de coordenadas conocidas en ambos sistemas , de forma que puede plantea 7 o más ecuaciones en este caso 9. Una vez obtenidos estos parámetros, es posible resolver la ecuación vista para transformar las coordenadas de un sistema a otro en un entorno próximo a la zona a la que pertenecen los vértices, cuyas dobles coordenadas se conocen.

Todos sabemos que la tierra no es esférica. Pero, no solo eso, ni siquiera es un cuerpo regular achatado por los polos. Esta irregularidad hace que cada país, o incluso cada región, escoja el modelo de cuerpo (definible matemáticamente) que más se ajuste a la forma de la tierra en su territorio. Los sistemas de referencia locales proceden de la geodesia clásica y están basados en observaciones con instrumentos ópticos y gravimétricos. Estos sistemas se establecen para un determinando ámbito concreto y consisten en: o

UN ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN:

Cuyá forma se adapte lo mejor posible en ese ámbito concreto, a la superficie equipotencial o geoide.

FIG.10.4 GEOIDE Y ELIPSOIDE

282


FIG.10.5 SUPERFICIE EQUIPOTENCIAL O GEOIDE

o

Consiste en una pareja de valores de latitud y longitud. En este datum se apoya el elipsoide antes mencionado con el semieje menor paraleló al eje de rotación de la tierra, de manera que la latitud y longitud de cualquier punto en las proximidades de la superficie de la tierra , vienen dadas por las correspondientes latitud y longitud del pie de la normal al elipsoide que pasa por dicho punto. Cada datum está compuesto por: a) Un elipsoide, definido por a, b, aplastamiento. b) Un punto llamado fundamental en el que el elipsoide y el geoide son tangentes Este punto fundamental se le define por sus coordenadas de longitud y latitud, además del acimut de una dirección desde él establecida.

283


FIG.10.6 COORDENADAS DE PARTIDA

En el punto fundamental coincide el elipsoide con la superficie real de la tierra así como también coinciden las coordenadas astronómicas (las del elipsoide) y las geodésicas (las de la tierra). Aquí también encontramos: Dv: desviación de la vertical. Xi: desviación del meridiano. Estas dos desviaciones definidas vienen dadas al no coincidir la vertical perpendicular al geoide, trazada por el punto fundamental. Con la vertical perpendicular al elipsoide. Definido el Datum ya se puede elaborar la cartografía de cada lugar pues se tienen unos parámetros de referencia que relacionan el punto origen del geoide y del elipsoide con se localización geográfica, así como la dirección del sistema. o

Ya que las elevaciones sobre el elipsoide así colocado no tiene significado tangible. Esta altura ortométrica es la separación existente a lo largo de la vertical física local entre el punto en cuestión y el geoide. Esta altura ortométrica se determina por medio de observaciones gravimétricas y nivelación geométrica.

284


Altura ortométrica es la distancia entre un punto de la superficie terrestre y la superficie del geoide, medida a lo largo de la línea de la plomada, llamada también altura sobre el nivel del mar.

FIG.10.7 ALTURA ELIPSOIDAL o

285


o

La Red Geodésica Horizontal Nacional Clásica, implementada en Perú hasta el año de 1980, mediante mediciones astronómicas y estructurado en redes de triangulación de primer, segundo, tercer

y

cuarto

orden,

sobre

la

base

del

sistema

local

geodésico,

el

“Provisional

Sudamericano1956” - PSAD56, con datum “La Canoa -Venezuela”, y como modelo matemático utiliza el elipsoide de Hay Ford o Internacional de 1924, con semieje mayor a = 6’378,388 metros y

aplanamiento f = 1/297, materializada por el conjunto de puntos y/o vértices, distribuidos en el territorio nacional, constituyó el apoyo para los levantamientos cartográficos y topográficos de entidades públicas y privadas

Los sistemas de referencia global, hicieron su aparición con la aparición de los satélites artificiales. Estos permiten medir, con idénticos métodos de observación, y por tanto, niveles semejantes de exactitud, las tres coordenadas en el espacio(X,Y,Z), de cualquier vértice. Estos permiten determinar las coordenadas geográficas y la altitud de un punto dado como resultado de la recepción de señales provenientes de constelaciones de satélites artificiales de la Tierra para fines de navegación, transporte, geodésicos, hidrográficos, agrícolas, y otras actividades afines. Un sistema de navegación basado en satélites artificiales puede proporcionar a los usuarios información sobre la posición y la hora (cuatro dimensiones) con una gran exactitud, en cualquier parte del mundo, las 24 horas del día y en todas las condiciones climatológicas.

286


FIG.10.9 SISTEMA GLOBAL DE SATELITES

Como elipsoide global, se elige uno que se adapte lo mejor posible al geoide, pero esta vez a escala planetario. Pero además, este elipsoide puede ser colocado, de manera que su centro coincida con el centro de masas de la tierra, y su semieje menor este orientado en la dirección del eje de rotación de la tierra. Así colocado, se hace que su meridiano 0° pase por Greenwich. La intersección, de este plano meridiano, con el plano del ecuador será el eje X, y el Y estará a 90°en sentido dextrógiro y en el mismo plano del ecuador. De esta manera, se pueden obtener las coordenadas geocéntricas geodésicas de todo vértice cuyas coordenadas se hayan obtenido por observaciones a satélites. Estas se calculan como las correspondientes al pie de la normal a su elipsoide, que pasa por el punto en cuestión. Su tercera coordenada, la altura, viene ahora dada por la separación entre el punto en cuestión y la superficie del elipsoide así colocado. Esta altura es la altura elipsoidal. El sistema WGS84 es un sistema global, aceptado convencionalmente tras la manipulación y el ajuste de las observaciones a satélites, que se hicieron hasta ese año. Las coordenadas obtenidas por observaciones GPS, VLBI, SLR, LLR, ETC., son posteriormente ajustadas, según el sistema y marco de referencia mundial ITRS e ITRF, a una época determinada.

287


En este repaso efectuado a lo largo de los dos aparatos anteriores, sobre del establecimiento de los sistemas locales y globales, se ha insistido en la existencia de los errores y ajustes de que adolecen cada uno de los sistemas por separado, sobre todo en el caso de los locales. Si a esto de añade el no exacto y directo conocimiento de los 7 parámetros, que relacionan los dos sistemas cartesianos tridimensionales, local y global, obligadamente se ha de descartar la solución analítica directa, general y única, para la transformación de coordenadas entre los dos sistemas propuesta por la ecuación (12.2). a pesar de estos errores y ajustes, las redes de un sistema local, si guardan coherencia entre si, aunque no con las de otro sistema exterior a él. La solución al problema, pasa por aplicar el método de afinidad o de los 7 parámetros para la resolución de la ecuación (12-2). Como se ha visto, este método utiliza un juego de dobles coordenadas en cada uno de los sistemas de referencia. Con estas coordenadas es posible establecer una relación de afinidad entre estos sistemas. Así, se podrá calcular el valor de los 7 parámetros para efectuar una transformación de coordenadas entre sistemas geodésicos locales, o entre locales y globales, para una zona determinada de la región. Dependiendo de la cantidad de dobles coordenadas disponibles, y de la extensión de la región en que se encuentren distribuidas, se obtendrán parámetros de trasformación de mayor o menor cali dad. Para resolver el problema de cálculo de parámetros, aplicando el método de afinidad, se pueden mencionar tres métodos. Estos son: 

Modelo de los 7 parámetros de Bursa- Wolf



Modelo de 3 parámetros



Modelo de 7 parámetros de Molodensky-Badekas

Además de ellos, existen un método para la transformación de coordenadas por cambio de datum que se sirve de formulas dadas por Molodensky: Modelo Abreviado y Estándar de Molodensky

288


Este modelo, se basa en una transformación de afinidad de 7 parámetros, a partir de la siguiente ecuación:

           En la que se va sustituir la notación X o , Yo , Z o por  X Y Z ; además de K, Este modelo ,

,

presenta el inconveniente de que la inversión de la matriz En el ajuste por mínimos cuadrados, presenta inestabilidad, ya que si bien todos los elementos de la matriz son de orden próximo, los de la matriz de rotación pueden diferir en valores de entre 5 y 8 ordenes de magnitud por lo cual se obtiene la siguiente ecuación.

          Este modelo es una simplificaron del modelo de 7 parámetros Bursa – Wolf . Con el, se obtienen buenos resultados a la hora de obtener parámetros para extrapolar o interpolar entre varias zonas. Su ecuación es:

     289


Para resolver el problema inestabilidad del modulo de 7 parámetros de Bursa-Wolf, es necesario manipular la ecuación (12-2). Así, para el cálculo de los parámetros, se utilizan las coordenadas del centro de gravedad o centro de masas del conjunto de coordenadas utilizadas en cada sistema para el cálculo de los parámetros. Este centro de masas, no es otra cosa que la media aritmética de las coordenadas utilizadas. Si las coordenadas del centro de masas en el sistema E, son Me,

    ,

), y las coordenadas del centro de masas en el sistema W, son Mw (

 

(

,

,

,

), y se aplican a la ecuación (12-2) como si se tratara de una pareja mas del conjunto de

dobles coordenadas, se obtendrá:

           Si ahora se resta esta ecuación (12-3), a la ecuación (12-2), se obtendrá la expresión:

            

Si ahora se lama:

             Sustituyendo este valor de las coordenadas del centro de masas, del sistema W, en la ecuación (12-4), y despejando las coordenadas en el sistema W, se obtiene el modelo habitualmente utilizado para realizar la transformación de coordenadas entre los sistemas E y W:

              290


           

Para calcular unas coordenadas

,

,

siete parámetros Δx, Δy, Δz, K,

,

y

centro de masas

,

,

en un nuevo datum, además de los

, será necesario conocer también las coodenadas del

, por lo que a este método se le conoce también como modelo de 10

o (7+3) parámetros de Molodensky-Badekas. Sin embargo, para el calculo de los parámetros restantes Δx, Δy, Δz, K,

,

y

. Es aconsejable que intervengan al menos, 5 parejas de

coordenadas, lo que da lugar a 15 ecuaciones, y por tanto, 15-7=8 grados de libertad en un ajuste por mínimos cuadrados. o

Al formar el conjunto de dobles coordenadas en los sistemas a transformar, se debe tener en cuenta que el tipo de coordenadas a utilizar, son las coordenadas geocéntricas cartesianas. De esta forma, son aplicables, directamente, en las ecuaciones de transformación para los modelos: 7 parámetros de Bursa-Wolf, 3 parámetros y 7 parámetros de Molodensky-Badekas. o

SISTEMA WGS84 Las coordenadas procedentes de la observación GPS vienen expresadas en el sistema de coordenadas geocéntrico cartesiano, por lo que se pueden emplear directamente en cualquiera de los modelos mencionados.

SISTEMA ED50 Se disponen de coordenadas geocéntricas geodésicas, expresadas por medio de latitud y longitud. Además, la altura proporcionada, cuando las coordenadas se expresan e n relación a este DATUM, es la altura ortometrica (H).Por ello, para expresar en coordenadas geocéntricas cartesianas, las coordenadas correspondientes al sistema ED50, es necesario aplicar la ecuación de transformación estudiado en el tema de SISTEMA DE COORDENADAS EN GEODESIA, y que se muestra de nuevo a continuación:

      291


Dónde: N: gran normal en el punto considerado



: excentricidad del elipsoide

h : altura elipsódica Pero como se ha mencionado, en principio, se dispone de la altura ortometrica (H), por lo que será necesario conocer la ondulación del geoide para poder calcular esta altura elipsoidal (h), según la expresión:

    Dónde:

 

: Ondulación del geoide

H: altura ortometrica

 

El valor de la ondulación ( ) sobre el elipsoide ED50, se puede obtener mediante una ecuación de regresión múltiple, publicada por la NGA, para la zona Oeste de Europa. Esta ecuación, obtiene la ondulación con un error cuadrático medio de 1 metro, y se ha realizado por observación de 116 vértices. La ecuación de regresión, es la que se muestra a continuación:

                                                 

  

Dónde: φ : latitud λ : longitud

292


o

Mediante la expresión (12-5) quedo planteada la ecuación según el modelo de los 7 parámetros de Molodensky-Badekas. En este apartado, se expone el desarrollo que permite calcular el valor numérico de estos 7 parámetros. Para ello, se seguirán los siguientes pasos: El tensor de giro R, de la ecuación (12-5), se puede expresar como suma de dos matrices del siguiente modo:

                      Ecuación (12-8)

Por lo tanto, se puede escribir la misma ecuación (12-5), de la siguiente manera:

                                            Por ser los valores contenidos en las matrices K y Q muy pequeños, se puede despreciar el último término de la anterior expresión, quedando:

                    293


La segunda y tercera matriz del segundo miembro, se simplifican eliminando los valores de las coordenadas del centro de masas del sistema E. Se puede, también, sacar factor común a los dos últimos términos:

         Ecuación (12-9)

Pero la suma de matrices Q y K, tiene por valor:

                              Sustituyendo este valor en (12-9), y pasando al primer miembro la matriz de coordenadas en el sistema E, se obtiene:

              Si ahora se desarrolla esta ecuación:

                                                                                    [  ]

Agrupando todas las incógnitas, que se corresponden con los 7 parámetros, en una sola matriz, se podrá obtener una ecuación matricial equivalente a la anterior, de la siguiente forma:

294


Si se dispone de n parejas de vértices, de los cuales se conocen sus coordenadas en ambos sistemas E y W, la anterior ecuación se puede ampliar, de forma q la matriz del primer miembro, y la primera del segundo miembro, lleguen a tener 3.n filas; mientras que la matriz de los parámetros se mantiene:

                                                                  [  ]   [          ] Ecuación (10-10)

Llamaremos D a la primera matriz, que es la compuesta del conjunto de dobles coordenadas. Sean A, la matriz de los coeficientes, y X, la matriz de las incógnitas. Así, la ecuación (12-10) queda de la forma:

      Para despejar la matriz de incógnitas, se debe convertir la matriz A en cuadrada. Para ello, se ha de multiplicar por su transpuesta, por lo que también se verá afectado el primer miembro:

          Una vez cuadrada la matriz A, se multiplica este producto, por la matriz inversa del mismo producto:

                    Al anularse entre si los dos primeros factores del segundo miembro, queda

295


despejada la matriz X:

            Esta expresión es la que determina las operaciones que se han de realizar para calcular los 7 parámetros buscados. Se demuestra que los valores calculados mediante una ecuación de este tipo, corresponden a los valores obtenidos por un ajuste de mínimos cuadrados. Por tanto, los valores así obtenidos, son los que producen el mínimo error posible, considerando a la vez, todas las transformaciones propuestas por el conjunto de d obles coordenadas.

o

Calcular los parámetros de transformación entre los sistemas ED50 y WGS84 para una zona en la que se tiene el siguiente conjunto de dobles coordenadas: Sabiendo que

      

; y las coordenadas cartesianas geocéntricas del centro de masas

en el sistema ED50 son:

Solución:

1. PASO: Obtener la ondulación acuerdo a la expresión:



sobre el elipsoide ED50, en el vértice SILLERIO, de

                                                     

296


2. PASO: Con el valor de



y la altura ortometrica(H), se calculara la altura

elipsoidal, de acuerdo a:

 

=-23.488 + 200.3=176.812m

3. PASO: Con esta altura elipsoidal(h) y las coordenadas geodésicas del vértice, se obtendrán las coordenadas geocéntricas cartesianas de SILLERIO, en el elipsoide ED50 y WGS84, de acuerdo a las siguientes formulas:

        

N: gran normal en el punto considerado



: Excentricidad del elipsoide

h : altura elipsódica

                                                                                  h=176.812m

Para ED50:

Para WGS84:

4. PASO: Con los valores obtenidos pasamos a reemplazar en las siguientes ecuaciones:

297


         

Obteniendo:

Estos dos modelos, proporcionan las ecuaciones de transformación de un sistema E a otro W , y viceversa, a partir del conocimiento de 3 parámetros



y diversos datos de los

elipsoides de referencia de ambos sistemas. Con estos modelos, se obtiene la corrección que es necesario aplicar, en latitud, longitud y altura, a uno de los sistemas, para obtener las correspondientes coordenadas en el otro. Sin embargo, el modelo se puede utilizar para calcular los 3 parámetros

 

a partir del juego de dobles coordenadas. Para ello, expresadas cada



pareja de coordenadas por latitud y longitud , basta calcular las diferencias



tener

en cuenta los datos de los elipsoides de ambos sistemas, e introducción todos ellos, como datos, en las fórmulas de cualquieras de los modelos que se detallan a continuación.

o

Las fórmulas sumarse a las

que se incluyen a continuación, dan las diferencias





que han de

del sistema local, para obtener las del sistema global, es decir:

            298


      ()     ()            

  

Estas fórmulas, las siguientes magnitudes se refiere al elipsoide local: es la latitud geodésica,

 

es la longitud geodésica, es el aplanamiento, meridiana, y



   

es la altura elipsoidal, es el semieje mayor,

es la primera excentricidad,

es la gran normal. La diferencia

es el semieje menor,

es el radio de curvatura de la elipse

es la diferencia entre el valor del semieje

mayor del elipsoide global menos el valor del semieje mayor del elipsoide local. La diferencia es la diferencia entre el valor

del aplastamiento del elipsoide global menos

aplastamiento del elipsoide local. Las diferencias centros

el valor de

definen el desplazamiento entre los

del elipsoide global y el local; son las correcciones que habría

que aplicar a las

coordenadas geocéntricas cartesianas del sistema local, para convertirlas

en coordenadas

geocéntricas cartesianas del sistema global. Para las coordenadas locales, se dispone normalmente de la altura ortométrica elipsoidal

 



, en vez de la

, que es la que hay que introducir en este modelo. Para obtenerla, se empleará el valor

de la ondulación

.

o

El modelo dado por la formula abreviada de molodensky, es una simplificación del anterior, y es el que se suele utilizar para efectuar transformaciones de ficheros geográficos digitales por este motivo, la sección de geodesia de según este modelo.



, ha calculado parámetros de transformación



,

A continuación se incluyen las fórmulas de este modelo. La nomenclatura utilizada para ellas, es la misma que la utilizada en el apartado anterior. Se deben tener en cuenta

 

consideraciones, en relación a la utilización de la ondulación



obtener la altura elipsoidal , en función de la ortométria

las mismas

del geoide sobre ED50, para

.

299


                  Las zonas, para las cuales se han calculado parámetros de este tipo, son muy similares a las zonas de cobertura empleadas para el modelo de 7 parámetros de Molodensky – Badekas. Lógicamente, la exactitud de una transformación, efectuada con la Formula abreviada de Molodensky, es menor que aquella que se realice con el modelo de 7 parámetros de Molodensky – Badekas.

Para el proceso de producción cartográfica del Instituto Hidrográfico de la marina, se ha asignado cada carta del proyecto cartográfico, a una zona para la que se han calculado parámetros, siguiendo este modelo. Estas zonas, son muy similares a las mostradas en la fig.12-2 para el modelo de 7 parámetros de Molodensky – Badekas, y el esquema seguido para definirlas, se explica en el apartado 9, de este forma, si el Datum original del fichero digital, correspondiente a una de esas cartas, es el datum ED50, se transformara a datum ETRS89, utilizando los parámetros calculados para la zona asignada a esa carta. Si el fichero correspondiente a la carta a trasformar, es de pequeña escala, y por tanto, abarca varias zonas como la de fig-12, se utilizaran parámetros mas generales, para otras zonas más amplias, uniendo varias provincias. El error que se comete, en una trasformación de d atum, empleando ficheros geográficos, mediante los parámetros calculados por el IHM, atreves de la formula abreviada de Molodensky, es de 2 metros, en el peor de los casos. Como 2 metros sobre el terreno, se corresponde con el graficismo de una presentación cartográfica a escala 1:10,000, se deduce que estos parámetros, son útiles para transformar ficheros generados a partir de esta escala, y menores, lo cual incluye la casi totalidad de la cartografía náutica comprendida en el proyecto cartográfico del IHM. La NGA de los EEUU, ha realizado, a nivel de toda europea occidental, un cálculo de parámetros para utilizarlos en estos modelos. Se ha llevado a cada mediante la elección de una serie de vértices de primer orden, repartidos regularmente, y cuyas coordenadas en ED50, son conocidas. En ellos, se han obtenido coordenadas X, Y, Z realizando observaciones GPS. Posteriormente, se han resuelto las ecuaciones por el método de mínimos cuadrados utilizando el conjunto de dobles coordenadas obtenidas.

300

LIBRO-INTRODUCCION A LA GEODESIA SATELITAL.pdf

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