PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
DEDUCCIÓN DE LAS FUERZAS DE FIJACIÓN Y LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO PARA VIGAS CON CARGAS COMUNES Ortiz David1, Molina Marcos2, Martínez Hugo1, J. Bernal Elan2, Hernández Daniel1, García Pascual2, Berruecos Sergio1
1. Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, Unidad Zacatenco, Instituto Politécnico Nacional, Distrito Federal, México. 2. Facultad de Estudios Superiores Aragón, Universidad Nacional Autónoma de México, Nezahualcóyotl, Estado de México.
VIGA 1.
Principio de Superposición.
Incompatibilidades geométricas y coeficientes de flexibilidad. Se obtienen los momentos internos
con base en VIF 1.
0≤≤ ⁄2 ∑=0⇒ = 0 ⁄≤≤ 2 ∑=0
1
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
2=0⇒ = 2 0≤≤ ∑=0 1 =0⇒ = 0≤≤ ∑=0 1=0⇒ = 1
De VIF 2, el momento interno
es
A partir de VIF 3, se formula el momento interno
.
Se calculan los desplazamientos y pendientes requeridos.
⁄ 1 5 = = = 0⁄ 2 = 48 ⁄ 1 = = = 011⁄ 2 11 = 8 1 = = = = = 3 1 = = = 1= = 2 = = = = 2 2
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
1 = = = 1111= = Sistema de ecuaciones de flexibilidades y cálculo de las redundantes.
=0 1 =0 2 5 48 3 2 =0 3 8 2 =0 =0 4 = 2 = 8 ↑∑=0⇒ 2 =0⇒ = 2 ∑=0⇒ 8 2 2 =0⇒ = 8
Las ecuaciones de compatibilidad para la deflexión en respectivamente
y la pendiente en
Al sustituir los resultados en el sistema simultáneo de ecuaciones se tiene
Resolviendo el sistema resulta
Ecuaciones de equilibrio.
Las reacciones desconocidas restantes se obtienen de
3
son,
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D VIGA 2.
Principio de Superposición.
Incompatibilidades geométricas y coeficientes de flexibilidad.
0≤≤ ∑=0 2=0⇒ = 2 ⟺ = 0≤≤ ⟺ =1 0≤≤ 1 = = = 2 = 8
Con base en VIF 1 se deducen los momentos internos
Se retoman los momentos internos
y
.
de la primera deducción.
Se obtienen los desplazamientos y pendientes necesarios.
4
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
1 = = = 2 1 = 6 = = = =
Remítase a la viga 1 y observe que
3
2
2
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y cálculo de las redundantes. Con los resultados se plantea
8 3 2 =01 6 2 =0 2 = 2 = 12 ↑∑=0⇒ 2 =0⇒ = 2 ∑=0⇒ 12 2 2 =0⇒ = 12
Al resolver el sistema se obtiene
Ecuaciones de equilibrio.
Por lo tanto,
5
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D VIGA 3.
Principio de Superposición.
Incompatibilidades geométricas y coeficientes de flexibilidad.
0≤≤ ⁄2 ∑=0 2 2 3=0⇒ = 3 ´ ´ 2 2 = ⇒´= ⁄≤≤ 2 ´´
De VIF 1, las funciones de momento
La intensidad
son
se obtiene de
Se deduce la intensidad
.
6
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
= ´´ ⇒´ ´ = =2 2 2 2
La carga concentrada equivalente de la carga seccionada es
= 2 2 2 ̅ = 3 2 122 ℎ ∑=0 2 12 =0 2 2 3 2 2 = 3 2 12 ⟺ = 0≤≤ ⟺ =1 0≤≤
y su punto de aplicación es
Se usan los siguientes momentos internos
Se requiere de
⁄ 1 11 = 3 ⁄ 3 2 12 = 192 7
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
2 ⁄ 3 1 7 3 2 = 3 1 ⁄ 3 2 12 1= 96 = 3 = 2 = 2 = 3 2 11 192 3 2 =0 1 796 2 =02 5 = 4 = 96 ↑∑=0⇒ 4 2 =0⇒ = 4 ∑=0 5 96 2 122322 122 13 2 4 =0 5 = 96 Sistema de ecuaciones de flexibilidades y cálculo de las redundantes.
En consecuencia,
Por lo tanto,
Ecuaciones de equilibrio.
Finalmente, se tiene
8
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D VIGA 4.
Principio de Superposición.
Incompatibilidades geométricas y coeficientes de flexibilidad. Se formula el momento interno
con base en VIF 1.
0≤≤
La fuerza resultante de la carga distribuida seccionada es
4 2 =4 4 = 3 4 4 4 ∫ 3 ̅ = ∫ 4 4 = 43 2 ℎ
y su punto de aplicación es
9
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
∑=0 4 4 2 3 3 43 2 =0⇒ = 3 23 ⟺ = 0≤≤ ⟺ =1 0≤≤ 1 2 7 = 3 3 = 90 1 2 = 3 3 1 = 10 = 3 = 2 = 2 =
Además,
Se calculan los desplazamientos y pendientes necesarios.
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y cálculo de las redundantes.
El sistema de ecuaciones de compatibilidad geométrica es
7 90 3 2 =01 10 2 =02 = 3 = 15
Por consiguiente, las fuerzas correctivas son
Ecuaciones de equilibrio.
La carga concentrada equivalente de la carga distribuida con intensidad parabólica es
= 4 4 = 23 10
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D y su línea de acción se ubica en
4 4 ∫ ̅ = ∫ 4 4 = 23 3 = 12 ↑∑=0⇒ 3 23 =0⇒ = 3 2 ∑=0⇒ 15 3 2 3 =0⇒ = 15
Así que,
VIGA 5. De forma similar a la viga 2, se tiene
11
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D VIGA 6.
Principio de Superposición.
Incompatibilidades geométricas y coeficientes de flexibilidad. De VIF 1, el momento interno
0≤≤ es
´ ´ = ´= = ∑=0 2 1 2 3 2 =0⇒ = 6 2 ( ) La intensidad
Por otra parte,
12
es
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
⟺ = 0≤≤ ⟺ =1 0≤≤ 1 11 = 6 2 = 120 1 = 6 2 1 = 8 = 3 = 2 = 2 = 11 120 3 2 =0 1 8 2 =0 2 7 = 20 = 20 ↑∑=0⇒ 720 2 =0⇒ = 320 3 ∑=0⇒ 20 2 3 20 =0⇒ = 30
Se calculan los desplazamientos y pendientes requeridos.
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y cálculo de las redundantes.
Se resuelve el sistema simultáneo de ecuaciones. En consecuencia,
Ecuaciones de equilibrio.
Las reacciones faltantes son
13
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D VIGA 7.
Principio de Superposición.
Incompatibilidades geométricas y coeficientes de flexibilidad. Se deducen los momentos internos
0≤≤ ⁄2
con base en VIF 1.
⁄≤≤ 2
∑=0 =0
∑=0 =0⇒ = ⟺ = 0≤≤
Se retoman los siguientes momentos internos
14
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
⟺ =1 0≤≤ ⁄ 1 3 = 0 ⁄= 8 ⁄ 1 = 01 ⁄1= 2 = 3 = 2 = 2 = 38 3 2 =0 1 2 2 =02 = 32 ⇒∴ = 32 = 4 ∴ = 4 ↑∑=0⇒ 32 =0⇒ = 32 ∑=0⇒ 4 32 =0⇒ = 4
Se requiere de
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y cálculo de las redundantes. Las ecuaciones de compatibilidad necesarias son
La solución del sistema es
Ecuaciones de equilibrio.
Las reacciones restantes desconocidas son
15
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D VIGA 8.
Principio de Superposición.
Incompatibilidades geométricas y coeficientes de flexibilidad.
0≤≤ ´ =
A partir de VIF 1, se calculan los momentos internos
La intensidad
.
es
= = ´= = 1 2 2 1 =1 2 1
Como se muestra en la siguiente figura, la carga trapezoidal distribuida seccionada se divide en una carga triangular y una carga uniforme.
16
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
∑=0 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 3 =0 = 2 2 2 3 3 = 6 6 2 ⟺⟺=1= 0≤≤ 0≤≤ 1 11 = 6 6 2 = 120 30 1 = 6 6 2 1 = 8 24 = 3 = 2 = 2 =
Los momentos internos restantes son
Se necesita de los siguientes desplazamientos y pendientes
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y cálculo de las redundantes.
Al construir el sistema de ecuaciones de compatibilidad y reemplazar los resultados se tiene
11 120 30 3 2 =0 1 17
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
8 24 2 =0 2 7 3 = 20 20 = 20 30
Al resolver el sistema se obtiene
Ecuaciones de equilibrio.
Finalmente,
↑∑=0⇒ 720 320 2 =0 =320 720 ∑=0 20 30 22−3320 720 =0 = 30 20
18
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D VIGA 9. W
Principio de Superposición. W
Incompatibilidades geométricas y coeficientes de flexibilidad.
0≤≤
De VIF 1, se formulan los momentos internos
.
La fuerza resultante de la carga distribuida seccionada es
= = 13 1 ∫ 4 ̅ = ∫ = 13 = 34 ℎ
y su punto de aplicación es
19
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
1 3 ∑=0⇒ 3 4 =0⇒ = 12 ⟺ = 0≤≤ ⟺ =1 0≤≤ 1 = 12 = 72 1 = 121 = 60 = 3 = 2 = 2 = 72 3 2 =0 1 60 2 =02 = 15 = 60 = = 13
Los momentos internos de las otras estructuras isostáticas son
Se calculan los desplazamientos y pendientes necesarios.
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y cálculo de las redundantes. Las ecuaciones de compatibilidad para la deflexión en respectivamente
y la pendiente en
Al resolver el sistema resulta
Ecuaciones de equilibrio.
La fuerza resultante de la carga distribuida tipo enjuta parabólica es
y su línea de acción se localiza a una distancia
20
son,
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
∫ ̅ = ∫ = 34 ℎ ↑∑=0⇒ 15 13 =0⇒ = 415 1 3 4 ∑=0⇒ 60 3 4 15 =0⇒ = 30
Las reacciones desconocidas restantes se obtienen de
VIGA 10.
Principio de Superposición.
Incompatibilidades geométricas y coeficientes de flexibilidad. Con base en VIF 1 se deducen los momentos internos 21
.
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
0≤≤ La fuerza resultante de la carga distribuida seccionada es
= 1 =∗ 1 2 1∗ 1 1 ̅ = ∫∫ 1 = ∗ 1222 ℎ
y su punto de aplicación es
∑=0 1∗ 1 2 2 =0 ∗ 12 ∗ 12 ∗ 1 = 2 2 1 2∗ 32 ⟺ = 0≤≤ ⟺ =1 0≤≤ 1 ∗ 1 = 2 2 1 2∗ 32 1= ∗8 1 ∗4 1 24 1 2 ∗3 716 24 Se usan los siguientes momentos internos
Se requiere de
22
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
1 ∗ 1 = 2 2 1 2∗ 32 1 = 1 ∗6 1 ∗2 1 ∗ 3 1118 3 = 3 = 2 = 2 = 1 ∗8 1 ∗4 1 24 1 2 ∗arct3 an 716 24 3 2 1 1 ∗6 1 ∗2 1 ∗arctan arcta3n 1118 3 2 =0 2 6 1∗ 124 1 1 9 18 = 12 13 6 6 3∗ 196 6 = 72 Sistema de ecuaciones de flexibilidades y cálculo de las redundantes.
En consecuencia,
Por lo tanto,
Ecuaciones de equilibrio.
La carga concentrada equivalente de la carga distribuida con intensidad logarítmica es
= 1 =∗ 1 2 1∗ 1 1 ̅ = ∫∫1 = ∗ 1222 ℎ
y su línea de acción se localiza a una distancia de
23
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D Finalmente, se tiene
↑∑=0⇒ =0 6 1∗ 124 5 18 = 12 ∑=0⇒ ∗̅ ∗ =0 6 3 ∗ 1 48 7 30 = 72 VIGA 11.
Principio de Superposición.
Incompatibilidades geométricas y coeficientes de flexibilidad.
Se deducen los momentos internos
0≤≤ ∑=0⇒ =0 con base en VIF 1.
24
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
≤≤ ∑=0 =0⇒ = Los momentos internos de las otras estructuras isostáticas son
⟺ = 0≤≤ ⟺ =1 0≤≤ + 1 = 0 = 2 3 + 1 = 01 1= 2 + 1 = = 3 + 1 = 1 = 2 = = 2 + 1 = 11=
Se requiere de
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y cálculo de las redundantes. Las ecuaciones de compatibilidad necesarias son
2 3 3 2 =01 2 2 =0 2 25
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D La solución del sistema es
3 3 = = = 3 = 32 = 32 = 2 = = Ecuaciones de equilibrio.
Por lo tanto,
3 ↑∑=0⇒ =0 3 3 = = = 3 = 32 32 = = 32 ∑=0 3 =0 = =
26
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D VIGA 12.
Principio de Superposición.
La viga a es una viga del tipo 11 en la que
=si n
. En consecuencia,
Resolvemos la viga b. Aplicando nuevamente el principio de superposición se tiene
Se determinan las fuerzas normales
de la viga b1.
27
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
0≤≤ →∑=0 =0 ≤≤ →∑=0 cos=0⇒ =cos 0≤≤ →∑=0 1=0⇒ =1 ∆ ∆=∆ 1 1 =02 2 0 1 =1 = 0 cos 1 = cos = = 0 1 cos 1 = cos
Se deduce la fuerza normal de la viga b2.
La ecuación de compatibilidad para el desplazamiento horizontal en
Expresando la ecuación
en términos de la incógnita se tiene
La incompatibilidad geométrica es
o también
El coeficiente de flexibilidad es
28
es
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
o también
2 =1 = 0 1 1 =
= = 1 1 = 2 cos =0 cos cos = = cos = →∑=0⇒cos cos =0 cos = cos =
Nota: Para las ecuaciones anteriores, no es necesariamente la longitud de la viga, más bien hace referencia a la longitud del tramo analizado. A continuación se sustituyen los resultados en la ecuación
Despejando la incógnita resulta
La reacción restante desconocida es
Sumando los resultados de las vigas a y b se obtienen las r eacciones de la viga 12.
VIGA 13. 29
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
Principio de Superposición.
Incompatibilidades geométricas y coeficientes de flexibilidad.
0≤≤ ∑=0 =0 ≤≤ ∑=0 =0⇒ = ⟺ = 0≤≤ ⟺ =1 0≤≤
Se formulan los momentos internos
con base en VIF 1.
Se retoman los momentos internos
y
de la viga 11.
30
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D Los desplazamientos y pendientes necesarios son
+ 1 = 0 = 2 2 + 1 = 01 1= 2 = 3 = 2 = 2 =
Remítase a la viga 11 y observe que
Sistema de ecuaciones de flexibilidades y cálculo de las redundantes. En consecuencia,
2 2 3 2 =0 2 2 =0 = 6 = 6 ⇒∴ 6 = 2 2 = 22 = 2 = 3 2
Al resolver el sistema da
Ecuaciones de equilibrio.
Las reacciones restantes desconocidas son
↑∑=0⇒ 6 =0⇒ = 6 ∑=0 6 =0 22 31
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
= 2 = 2= 2 = 23= 2 3
VIGA 14.
Principio de Superposición.
Incompatibilidad geométrica y coeficiente de flexibilidad. De la viga 1, se retoman los siguientes desplazamientos
5 = 48 = 3
Ecuación de flexibilidad y cálculo de la redundante. 32
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
=01 5 48 3 =02 5 = 483 = 165
La ecuación de compatibilidad para la deflexión en
es
Efectuando las sustituciones correspondientes tenemos
Al despejar la incógnita se obtiene
Ecuaciones de equilibrio.
Por lo tanto,
↑∑=0⇒ 165 =0⇒ = 1116 ∑=0⇒2 1116 =0⇒ = 163 o también
33
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D VIGA 15.
Principio de Superposición.
Incompatibilidad geométrica y coeficiente de flexibilidad.
= 8 = 3 8 3 =0 1 = 83 ⇒ = 38 ↑∑=0⇒ 38 =0⇒ = 58 5 ∑=0⇒2 8 =0⇒ = 8 Ecuación de flexibilidad y cálculo de la redundante.
Al plantear la ecuación lineal
y resolverla, se tiene
Ecuaciones de equilibrio.
34
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
o también
VIGA 16. W
Principio de Superposición.
Incompatibilidad geométrica y coeficiente de flexibilidad. De la viga 3, se retoman los siguientes desplazamientos
11 = 192 = 3
Ecuación de flexibilidad y cálculo de la redundante. Al formular la ecuación de compatibilidad para la deflexión en 35
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
11 192 3 =0 11 = 1923 = 1164 ↑∑=0⇒ 1164 2 =0⇒ = 2164 ∑=0 2122322122 13 2 2164 =0⇒ = 564
y resolverla, se tiene
Ecuaciones de equilibrio.
Finalmente,
o también
36
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D VIGA 17.
Principio de Superposición.
Incompatibilidad geométrica y coeficiente de flexibilidad. De la viga 4, se retoman los siguientes desplazamientos
7 = 90 = 3
Ecuación de flexibilidad y cálculo de la redundante. Al resolver la ecuación
resulta
7 90 3 =0 1 7 = 903 = 307 37
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
Ecuaciones de equilibrio.
↑∑=0⇒ 23 730 =0⇒ = 1330 2 13 ∑=0⇒ 3 2 30 =0⇒ = 10
Las fuerzas reactivas en el empotramiento
son
o también
VIGA 18.
Principio de Superposición.
38
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
Incompatibilidad geométrica y coeficiente de flexibilidad. De la viga 6, se retoman los siguientes desplazamientos
11 = 120 = 3 11 120 3 =0 1 11 = 1203 = 1140 ↑∑=0⇒ 2 1140 =0⇒ = 409 9 7 ∑=0⇒ 2 3 40 =0⇒ = 120 Ecuación de flexibilidad y cálculo de la redundante.
Al plantear la ecuación lineal
y resolverla, obtenemos
Ecuaciones de equilibrio.
Por lo tanto,
o también
39
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D VIGA 19.
Principio de Superposición.
W
Incompatibilidad geométrica y coeficiente de flexibilidad. De la viga 9, se retoman los siguientes desplazamientos
11 = 120 = 3 72 3 =0 1 1 = 723 = 241 ↑∑=0⇒ 3 24 =0⇒ = 247 Ecuación de flexibilidad y cálculo de la redundante.
Se formula la ecuación de compatibilidad para la deflexión en
La solución de la ecuación
es
Ecuaciones de equilibrio.
40
.
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D
3 7 ∑=0⇒ 3 4 24 =0⇒ = 24 o también
41
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D VIGA 20.
Principio de Superposición.
Incompatibilidad geométrica y coeficiente de flexibilidad.
0≤≤ ´ = ´ ⇒´= ∑=0⇒ 1213 =0⇒ = 6 0≤≤ ∑=0 1=0⇒ =
Se deduce el momento interno
con base en VIF 1.
Se calcula la intensidad
Se formula el momento interno
con base en VIF 2.
42
.
PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D Se requiere de los siguientes desplazamientos
1 = 6 = 30 1 = = 3
Ecuación de flexibilidad y cálculo de la redundante. Al plantear la ecuación
y resolverla se tiene
30 3 =0 1 = 303 = 101 Ecuaciones de equilibrio.
Finalmente,
↑∑=0⇒ 2 10 =0⇒ = 25 2 2 ∑=0⇒ 2 3 5 =0⇒ = 15
43
