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ESTRUCTURAS DE MADERA

ANEXOS CAPÍTULO III CAPITULO 1

CUESTIONES GENERALES 1.1

Introducción

La madera, es el material por excelencia más noble que jamás la especie humana ha utilizado tanto en la industria como en la construcción. Prácticamente todas las culturas de la humanidad han empleado la madera en la agricultura, pesca, ingeniería, vivienda, etc. La madera es probablemente el único recurso renovable que se utiliza a gran escala y que su aprovechamiento no daña al medio ambiente. La madera no puede circunscribirse a un período más o menos largo de la humanidad, ya que es un material que de forma permanente se ha utilizado en la construcción, estando presente a lo largo de toda la historia de la civilización. Así, en las zonas de abundantes bosques la madera constituía la totalidad de la edificación, desde su estructura, hasta los cerramientos y cubierta. En zonas con menor cantidad de madera, ésta se usaba en la cubierta y en su estructura horizontal. Actualmente hay cierto rechazo a utilizar la madera como material estructural, siendo más habitual el uso del acero y del hormigón. Ello es debido, en gran medida, a dos condicionantes, que son la durabilidad de las estructuras de madera y su comportamiento frente al fuego. Sin embargo, se tiene en muchas ciudades numerosos ejemplos de edificios construidos de madera que han llegado a nuestros días en un excelente estado de conservación. Con la evolución de su tecnología se han mejorado las propiedades de sus productos derivados, han surgido nuevos productos que han ampliado su campo de aplicación y se han complementado con otras materias primas para mejorar sus prestaciones. En el caso de otros materiales de construcción, como son el acero y el hormigón, son habituales las medidas de protección frente a agresiones externas por lo que no nos debe extrañar la protección de la madera cuando las condiciones lo requieran. Los distintos métodos de tratamiento y la calidad de estos protectores aseguran una gran durabilidad, protegiendo del ataque de hongos e insectos, así como de UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

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FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA


ANEXOS CAPÍTULO III

los agentes atmosféricos, viento, agua, temperatura, sol o variaciones de humedad. Con respecto al comportamiento frente al fuego, las estructuras de madera tratada presentan mejor comportamiento que las de acero, debido principalmente a su baja conductividad térmica, que hace que la temperatura exterior no llegue rápidamente al interior. Además, la carbonización superficial retrasa el efecto de la combustión y, por otra parte, la dilatación térmica de la madera es prácticamente despreciable. Aunque la madera, en principio, es un elemento de construcción más caro que el hormigón y el acero ofrece un tipo de diseño, una estética y una calidez que no ofrecen esos otros materiales. La estructura de la madera esta compuesta principalmente por células largas y esbeltas llamadas fibras. Estas células tienen una forma tubular hueca, cuya longitud sigue la dirección longitudinal del tronco (para el transporte de agua y nutrientes durante su crecimiento). Esto proporciona a las piezas cortadas de madera una característica que se conoce con el nombre de veta; esta se dirige a lo largo de las piezas cortadas de madera. Esto a su vez suministra una referencia para observar diferentes acciones estructurales relacionadas con la veta; es decir si son paralelas a la veta, perpendiculares a la veta u oblicuas a la misma. Los componentes principales de la madera son los siguientes: - La celulosa, arrollada helicoidalmente en la pared tubular, con una resistencia a la tracción de 10.000 k/cm2 (superior a la del acero). - La lignina, que constituye la masa de la pared tubular, actuando como aglomerante de la celulosa, con una resistencia a la compresión de 2.400 k/cm2 (superior a la del hormigón). El origen orgánico de la madera la hace susceptible de ser degradada por organismos xilófagos. Este hecho permite considerarla como un material naturalmente biodegradable. Sin embargo, para la actuación de la mayoría de estos organismos xilófagos, se requieren contenidos de humedad o situaciones que no son frecuentes en una construcción bien concebida y mantenida. Las técnicas de tratamiento y los productos protectores de la madera permiten en la actualidad evitar los riesgos de ataque en las situaciones comprometidas. La UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

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protección de los materiales de construcción frente a la agresión del medio (tratamiento contra la corrosión del acero, anodizado del aluminio, recubrimientos mínimos en el hormigón armado, etc.), son procedimientos asumidos por la práctica. Sería por tanto injusto pretender utilizar la madera sin ninguna protección, si las condiciones de utilización lo requieren. La madera es un material combustible a temperaturas relativamente bajas. Este fenómeno, evidente para cualquier persona, crea una desconfianza, generalmente poco meditada, hacia su utilización en la construcción. Las causas de los incendios no se encuentran generalmente en los materiales estructurales (incluida la madera), sino en los elementos de carácter decorativo, revestimientos, mobiliario, instalaciones hacia las cuales no siempre se mantiene la misma desconfianza. En el caso de la madera existen razones que permiten un buen comportamiento ante el fuego, en una situación de incendio: •

La baja conductividad térmica hace que la temperatura exterior no llegue rápidamente al interior.

•

La carbonización superficial, con una conductividad térmica inferior, aumenta el efecto anterior.

•

La dilatación térmica es despreciable.

•

Los gases de la combustión no son tóxicos

De esta forma es fácil conseguir tiempos elevados de estabilidad al fuego para los elementos estructurales, con el fin de permitir la evacuación del edificio o la extinción del incendio. La tecnología de la madera laminada, la madera microlaminada y los productos prefabricados de composición mixta, se orientan hacia una especialización y optimización cada vez mayores.

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FIG. 1.1 Aprovechamiento de la madera en la construcción

1.2

Estructura del Tronco

FIG. 1.2. Estructura del tronco La mayor parte de los árboles usados con fines estructurales son exógenos, es decir que aumentan de tamaño creando madera en la superficie exterior debajo de la corteza. En una sección de un tronco podemos apreciar las distintas partes que lo forman, la parte más externa, la piel del árbol, es la parte que lo protege, se llama corteza y salvo en algunos casos, como el corcho, tiene escasas aplicaciones. La siguiente capa llamada "líber" es una corona que envuelve el tronco formada por fibras elásticas por donde circulan los nutrientes del árbol, llamada también corteza interior. Por debajo del "líber" encontramos el "cambium" se trata de un tejido elástico formado de células provistas de una delgada membrana de celulosa. A lo largo del periodo anual del crecimiento del árbol, el "cambium" forma un anillo; estos son llamados anillos anuales, que con frecuencia están compuestos por material alternado de color claro y de color oscuro, así que contando los anillos del corte podemos saber la edad del mismo. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

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A continuación encontramos otra corona circular llamada "albura" que ya es madera pero todavía sin madurar, en formación; ésta no se puede trabajar por ser poco estable y resistente. Debajo de la "albura" está el "duramen" que es la madera propiamente dicha, la que utilizaremos para los distintos usos, la más interna recibe el nombre de "madera vieja" distinguiéndose dentro del "duramen" por su color mas oscuro. En el centro del corte que observamos en la Fig. 1.2., como el eje del árbol, está la médula, que según el tipo de árbol puede ser más o menos gruesa, y con el paso del tiempo puede secarse y desaparecer. Observando un corte también podremos distinguir el tipo de madera al que pertenece. Las maderas blandas tienen una fibra de trama ancha mientras que en las duras la fibra es más compacta. Al comprar una tabla se debe saber distinguir de que tipo de árbol se ha obtenido y si es apta para el trabajo que se irá a realizar, hay que saber si se va alabear y en que dirección la va a hacer, observar para ello en el canto de la tabla la dirección de las fibras, no es tarea fácil ya que la calidad de la madera varía aunque proceda de árboles del mismo tipo, pero la experiencia puede ayudarnos. 1.3

Familias Maderables

Especies Coníferas y Latifoliadas El tipo particular de árbol del cual proviene la madera se denomina especie, existen dos grandes grupos botánicos que incluyen la mayor parte de las especies vegetales

susceptibles

de

suministrar

maderas

comercializables:

las

Gimnospermas y Angiospermas a las que comúnmente se hace referencia de forma simplificada como coníferas, también llamadas como árboles de madera blanda y latifoliadas también llamadas como árboles de madera dura o de hojas frondosas. Los términos madera blanda y madera dura no expresan el verdadero grado de dureza de las distintas especies de árboles. Algunos árboles de madera blanda son tan duros como los árboles de madera dura de densidad media, en tanto que algunas especies de árboles de madera dura tienen madera más suave que algunos árboles de madera blanda.


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En el grupo de las frondosas están las especies de hoja caduca presentes en todos los continentes. Normalmente se distingue entre frondosas de zonas templadas y frondosas tropicales. Se estima que existen en el mundo alrededor de 17.000 especies maderables de las cuales solo tienen carácter comercial unas 400 y sólo unas cuantas docenas son las seleccionadas con fines estructurales. En Bolivia tenemos los siguientes árboles maderables: Almendrillo Verdolago Palo María Gabón Ochoó

Ø LATIFOLIADAS (Hoja caduca):

Pinos............. Araucarias Abetos

Ø CONÍFERAS (Hoja perenne):

MADERAS DE MONTE BOSQUE BOLIVIANO ES RICO EN ESTAS.

Insigne Ciprés Radiatas

BOSQUE BOLIVIANO ES POBRE EN ESTAS.

Mara Cedro Ø MADERAS PRECIOSAS : Roble Guayacán Moroudillo Las maderas preciosas no deben utilizarse en la construcción, deben utilizarse en la mueblería. 1.4

Propiedades físicas


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Las propiedades de la madera dependen, del crecimiento, edad, contenido de humedad, clases de terreno y de las distintas partes del tronco.

1.4.1 Humedad La madera contiene agua de constitución, inerte a su naturaleza orgánica, agua de saturación, que impregna las paredes de los elementos leñosos, y agua libre, absorbida por capilaridad por los vasos y traqueidas. Como la madera es higroscópica, absorbe o desprende humedad, según el medio ambiente. El agua libre quedando,

además

del

desaparece totalmente al cabo de un cierto tiempo, agua

de

constitución,

el

agua

de

saturación

correspondiente a la humedad de la atmósfera que rodee a la madera, hasta conseguir un equilibrio, diciéndose que la madera esta secada al aire. La humedad de la madera varía entre límites muy amplios. En la madera recién cortada oscila entre el 50 y 60 por ciento, y por imbibición puede llegar hasta el 250 y 300 por ciento. La madera secada al aire contiene del 10 al 15 por ciento de su peso de agua, y como las distintas mediciones físicas están afectadas por el tanto por ciento de humedad, se ha convenido en referir los diversos ensayos a una humedad media internacional de 15 por ciento. La humedad de las maderas se aprecia, además del procedimiento de pesadas, de probetas, húmedas y desecadas, y el calorimétrico, por la conductividad eléctrica, empleando girómetros eléctricos. Estas variaciones de humedad hacen que la madera se hinche o contraiga, variando su volumen y, por consiguiente, su densidad. El porcentaje de humedad (H):

H=

PH − PO *100 PO

Donde: PH : Peso en el estado húmedo PO : Peso en el estado seco

En la construcción las maderas deben utilizarse siempre descortezadas y secas.


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Antes de la construcción, la madera deberá secarse a un contenido de humedad apropiado y tan parecido como sea práctico al contenido de humedad en equilibrio promedio de la región en la cual estará la estructura. Si el contenido de humedad de la madera excede el límite indicado para la madera seca (15 por ciento), el material solamente podrá usarse si el riesgo de pudrición en el tiempo que dure el secado es eliminado. La madera deberá ser almacenada y protegida apropiadamente, contra cambios en su contenido de humedad y daño mecánico, de tal manera que siempre satisfaga los requerimientos de la clase estructural especificada. 1.4.2 Densidad y Peso específico La relación que existe entre la masa y el volumen de un cuerpo se llama densidad. Por costumbre cuando se usa el sistema métrico se toma la masa como el peso del cuerpo. El peso de la madera es la suma del peso de parte sólida más el peso del agua. El volumen de la madera es constante cuando están en el estado verde, el volumen disminuye cuando el contenido de humedad es menor que el punto de saturación de las fibras y vuelve a ser constante cuando se ha alcanzado el estado anhidro o seco al horno.

Se pueden distinguir en consecuencia cuatro

densidades para una misma muestra de madera: Densidad verde, seca al aire, anhidra y básica. El peso específico es la relación entre el peso de la madera, a un determinado contenido de humedad, y el peso del volumen de agua desplazado por el volumen de la madera. Considerando que el agua tiene densidad igual a 1 puede decidirse que la relación entre la densidad de la madera dividida entre la densidad del agua igualan a su peso específico.

En el sistema métrico la densidad y el peso

específico tienen el mismo valor. Según el Manual de Diseño en Maderas del Grupo Andino, las maderas se clasifican en los siguientes grupos: Ø GRUPO A → γ ≅ (750 – 850) k/m3. Ø GRUPO B → γ ≅ (700 – 750) k/m3. Ø GRUPO C → γ ≅ (600 – 750) k/m3. 1.4.3 Contracción e Hinchamiento UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

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La madera cambia de volumen según la humedad que contiene. Cuando pierde agua, se contrae o merma, siendo mínima en la dirección axial o de las fibras, no pasa del 0.8 por ciento; de 1 a 7.8 por ciento, en dirección radial, y de 5 a 11.5 por ciento, en la tangencial. La contracción es mayor en la albura que en el corazón, originando tensiones por desecación que agrietan y alabean la madera. El hinchamiento se produce cuando absorbe humedad. La madera sumergida aumenta poco de volumen en sentido axial o de las fibras, y de un 2.5 al 6 por ciento en sentido perpendicular; pero en peso, el aumento oscila del 50 al 150 por ciento. La madera aumenta de volumen hasta el punto de saturación (20 a 25 por ciento de agua), y a partir de él no aumenta más de volumen, aunque siga absorbiendo agua. Hay que tener muy presente estas variaciones de volumen en las piezas que hayan de estar sometidas a oscilaciones de sequedad y humedad, dejando espacios necesarios para que los empujes que se produzcan no comprometan la estabilidad de la obra. 1.4.4 Dureza La dureza de la madera es la resistencia que opone al desgaste, rayado, clavado, etc. Depende de su densidad, edad, estructura y si se trabaja en sentido de sus fibras o en el perpendicular. Cuanto más vieja y dura es, mayor la resistencia que opone. La madera de corazón tiene mayor resistencia que la de albura: la crecida lentamente obtiene una mayor resistencia que la madera que crece de prisa. En nuestro medio la comercialización de la madera estructural se realiza según su dureza, y se clasifican en: -

Duras: almendrillo, quebracho, verdolago.

-

Semiduras; palo maría, yesquero, jororí, palo román.

-

Blandas: ochoó.

1.4.5 Hendibilidad Se llama también facilidad a la raja y es la aptitud de las maderas a dividirse en el sentido longitudinal bajo la acción de una cuña. El rajado es más fácil, en sentido de los radios. Como madera muy hendible se acostumbra citar el castaño, como madera hendible, el roble, y como madera poco hendible, el carpe. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

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1.4.6 Conductividad La madera seca es mala conductora del calor y electricidad, no así cuando esta húmeda. La conductividad es mayor en el sentido longitudinal que en radial o transversal, y más en las maderas pesadas que en las ligeras o porosas, por lo cual se emplean como aisladores térmicos en las paredes. 1.4.7 Dilatación térmica El coeficiente de dilatación lineal de la madera es muy pequeño, pudiendo ser despreciado.

1.5

El mercado maderero

En el mercado las maderas se presentan de la siguiente manera: Ø Rollizo, (sección circular) con diámetro ≅ (15 – 40) cm. Ø Aserradas, esta forma se obtiene aserrando el rollizo en sus cuatro caras, obteniendo una sección rectangular:

h

b*h = ESCUADRIA

b

•

Listones :

1 b (2 - 2 )" 2 1 h (2 - 2 )" 2

b (3 - 4)" •

Viguetas :


h (3 - 4)" A10




b (15 - 20)cm •

Vigas :

h (15 - 25)cm

b (25 - 30)cm •

Basas(grandes vigas) :

h (35 - 45)cm

Es muy difícil encontrar en los aserraderos piezas de longitud mayor a 8 metros, y diámetro superior a 50 centímetros. Ø Planchas, estas se construyen de la siguiente manera: •

Se cortan tablas y se unen con pegamento

•

La parte superior e inferior con tablas y el centro con virutas y desperdicios Tablas

(1 -121)" Virutas

La utilización de las planchas permite un uso óptimo de las maderas; lamentablemente en este ramo la industria boliviana es pobre. 1.6

Protección de la madera

Las maderas se protegen fundamentalmente contra el ataque de los hongos e insectos y además contra la humedad. • Ø Protección contra hongos e insectos :


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•

HONGOS ↔ FUNGICIDAS (Derivados del cobre) INSECTOS ↔ INSECTICIDAS (Depende del atacante)




Los fungicidas e insecticidas a usarse deben ser consultados con un biólogo y adquiridos en las tiendas especializadas. Aplicación.- Para aplicar fungicidas e insecticidas (veneno) debe asegurarse la protección del personal, generalmente mediante la utilización de mascarillas. Para la aplicación existen tres procedimientos: •

Brochado

Se prepara las mezclas de veneno y agua en la

dosificación especificada, y con unas brochas se pinta las piezas de madera, cabe señalar que el brochado es POCO EFECTIVO. •

Atomizado

Preparadas las mezclas se fumigan las piezas de

madera utilizando fumigadores manuales o mecánicos (con motor), este procedimiento tiene una EFECTIVIDAD MEDIA. •

Inmersión

La inmersión se utiliza especialmente en las factorías

(fábricas), se construyen grandes piscinas y se llenan con las mezclas, se sumergen en ellas las piezas por un tiempo mínimo de 48 horas. Este tipo de procedimiento es MUY EFECTIVO. Dependiendo de la importancia y tiempo de servicio de las estructuras de madera el

ingeniero decidirá el procedimiento de aplicación.

Ø Protección contra la humedad.- La humedad origina en las maderas pudrición, este efecto es extremadamente peligroso, mucho más que el ataque de hongos e insectos (salvo las termitas), se protege contra la humedad mediante la utilización de barnices y aceites (creosotas). 1.7

Defectos de la madera

Debido a la naturaleza misma de la madera muchos defectos son muy comunes en su estructura. Se considera como defecto a cualquier irregularidad en la madera que afecte a su durabilidad o resistencia. Entre los defectos que más se encuentran en la madera se tienen: Ø Una fenda o rajadura, que es una separación a lo largo de la veta, generalmente entre los anillos anuales. Este defecto influyen

a los

miembros que estaban sujetos a flexión, debido a que disminuye su resistencia al esfuerzo cortante. Este defecto no afecta tanto a elementos sometidos a compresión longitudinal, como columnas.


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Ø Un nudo, que es la parte de una rama que ha sido rodeada por el crecimiento del árbol. La influencia de este defecto en la resistencia depende en su número, sus dimensiones y en la ubicación que tienen en el miembro estructural a analizar; esto influirá en los valores admisibles de diseño a emplear. Ø Una grieta, que es una separación a lo largo de la veta, cuya mayor parte atraviesa los anillos anuales de crecimiento; y se producen generalmente a partir del proceso de curado. Este defecto influye al igual que una fenda o rajadura en la disminución de resistencia al esfuerzo cortante. Ø Una hendidura, que es una separación longitudinal de la madera que atraviesa la pieza de una superficie a otra. Ø Una bolsa de resina, que es una abertura paralela a los anillos anuales que contiene resina, que puede estar en estado líquido o sólido. Ø La veta oblicua, debida a la forma cónica de los troncos, cuando se asierre una pieza larga de madera de un tronco de árbol corto, o cuando al cortar un madero no se lo mantuvo recto durante el corte. Este defecto afecta directamente sobre ciertos usos estructurales de la piezas de madera, como por ejemplo su reducción de resistencia a la compresión (en columnas), debido a que su valor máximo se da cuando ésta es paralela a la veta, y al estar de manera oblicua esta debe resistencia debe reducirse con la fórmula de Hankinson (esto se verá a detalle en el siguiente Capítulo). Ø La pudrición, que es un proceso natural de un organismo que estuvo vivo, pero que se presenta en cierto grado de descomposición dentro del árbol incluso durante su periodo de crecimiento, formando bolsas de pudrición. Si existe pudrición en una pieza de madera para uso estructural debe rechazarse; y para prevenir la pudrición nueva existen varios tratamientos, como la impregnación de sustancias químicas a la masa de madera. Este factor es de suma importancia en piezas que estarán expuestas a la intemperie.


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Nota.- Para las tolerancias y la clasificación visual por defectos de la madera estructural se recomienda dar lectura a la Pág. 3-12 de la “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino” 1.8 Curado de la madera Se conoce como curado al proceso de remoción de humedad de la madera verde (piezas recién cortadas); que se efectúa de dos maneras: secada al aire exponiendo la madera a aire más seco durante un largo periodo de tiempo, o secada al horno calentándola para expulsar su humedad. La madera curada es en general más rígida, más fuerte y menos propensa a cambiar de forma. El contenido de humedad de la madera se define como la relación del peso del agua en una pieza de madera y el peso de una muestra secada al horno (humedad cero), expresada como porcentaje. 1.9 La madera en la construcción VENTAJAS: Ø La madera es aislante tanto del calor como del frío, es el material más usado en las obras de reciclaje. Por otra parte la liviandad del material no es gravosa sobre la estructura existente y la obra de madera se la puede considerar una estructura fácilmente desmontable y por lo tanto puede ser una construcción no-fija. Ø El uso de la madera en la construcción está indicado para zonas con riesgo sísmico, ya que gracias a la liviandad del material es de reducida masa y por lo tanto tiene un elevado coeficiente antisísmico. En caso de terremotos es mucho más segura la solución de un techo de madera, sobre cualquier tipo de construcción, ya que la madera compensa y reduce las vibraciones provocadas por el terremoto. En la construcción con madera se busca siempre, en lo posible, fabricar los elementos en bloques únicos, para transportarlos al lugar mediante camión y colocarlo en obra con el auxilio de grúas móviles. La ventaja mayor que deriva de tal procedimiento está en la posibilidad de construir la estructura UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

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en un local controlado dentro del establecimiento del fabricante y poder efectuar el montaje de los elementos en forma rápida y en seco. Los techos con estructura de madera permiten la elección de cualquier tipo de

cubierta.

En el caso de techos muy planos (angulación hasta 10º) se aconseja una cubierta de chapas; para angulaciones superiores (mayor de 20º) es posible cubrirla

con

tejas

cerámicas.

Si la madera simple sólida, escuadrada en aserradero, no alcanza a ser idónea para una determinada construcción, se utiliza algo técnicamente superior como lo es la madera laminada, respetando siempre las dimensiones indicadas por el constructor. Las uniones entre los elementos, se efectúan con los métodos de la carpintería artesanal o sea, mediante grampas, planchas, clavos metálicos o similares. Las fuerzas de transmisión admisibles son ensayadas en el laboratorio. El medio de unión clásico en la construcción de madera es el clavo. Ø Respecto a su bajo peso específico, la madera tiene óptimas características de resistencia mecánica y tiene además óptimas características como aislante

térmico.

La madera es muy resistente a los ataques de sustancias químicas y puede ser utilizada en ambientes especiales (como por ejemplo, piscinas, cobertizos industriales, etc.); tiene la capacidad de absorber la humedad del aire, acumularla y restituirla a esta última. Las estructuras relacionadas con las construcciones de madera pueden ser fácilmente prefabricadas, lo que significa un ahorro, tanto en términos de tiempo como en costo de montaje. Los edificios construidos con madera son fácilmente desmontables y las estructuras de madera pueden ser recicladas

o

re-utilizadas.

Tecnologías modernas, como el encolado, permiten producir elementos estructurales cuya longitud supera en mucho los límites establecidos por el crecimiento del árbol. Ø No sufre oxidación UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

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DESVENTAJAS: Ø Fácilmente combustible (En caso de que no existe tratamiento previo) Ø Ataque de agentes orgánicos (Hongos, insectos) Ø Es Higroscópico (Aumento de volumen y disminución de volumen al tomar o perder agua) Ø Fácilmente deformable. 1.10

Normas de diseño

Las normas de diseño son documentos técnicos que tienen fuerza de ley; en esos documentos encuentra el ingeniero fórmulas, valores y recomendaciones que le permiten diseñar estructuras de manera segura y económica, aún en contraposición a la resistencia de materiales. Generalmente las normas se construyen de manera experimental (observando la realidad objetiva). Se pueden mencionar las siguientes normas: Ø MANUAL DE DISEÑO PARA MADERAS DEL GRUPO ANDINO Ø DIN 1052 (Coníferas) Ø CHILENA NCh5006 (Coníferas) Ø TIMBER DESIGN MANUAL (con su suplemento “NDS”) Ø LRFD MANUAL FOR ENGINEERED WOOD CONSTRUCTION EJERCICIO PROPUESTO.Ø Control de lectura, máximo de 2 hojas manuscritas en papel tamaño carta. Ø Dar especial importancia a los siguientes conceptos: « Especies Coníferas « Especies Latifoliadas « Humedad en la madera « Peso específico de la madera « Escuadría « Defectos de la madera « Curado de la madera « Normas de Diseño UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

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Ø Visitar los aserraderos de nuestra ciudad, para averiguar los tipos de madera, escuadrías, longitudes, etc., que se comercializan en el mercado.


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MÉTODOS DE DISEÑO Y ANÁLISIS ESTRUCTURAL La parte principal de todo trabajo de diseño estructural es la necesidad de concebir y evaluar el comportamiento físico de la estructura al resistir las cargas que debe soportar; para lo cual debe hacerse un trabajo matemático para apoyar este análisis. Concluido el análisis se debe realizar el trabajo de diseño; pero para esto deben considerarse los comportamientos estructurales simples y la metodología de diseño a seguir. 2.1

Métodos de Diseño

Actualmente se utilizan 2 métodos principales de diseño que son: Ø El método tradicional que se conoce como diseño por esfuerzos de trabajo admisibles.- En este método se utilizan relaciones básicas derivadas de la teoría clásica del comportamiento elástico de los materiales; la adecuación o seguridad de los diseños se mide al comparar con respecto a dos límites principales: un aceptable para el esfuerzo máximo y un nivel tolerable para el alcance de la deformación. Estos límites se calculan tal como se presentan en respuestas a las cargas de servicio; es decir a las cargas producidas por las condiciones de uso normal de la estructura, los movimientos tolerables se llamaban deflexiones admisibles, alargamiento admisible, etc. En esencia el método de los esfuerzos de trabajo consiste en diseñar una estructura para trabajar a algún porcentaje apropiado establecido de su capacidad total. Sin embargo lo que es verdaderamente apropiado como una condición de trabajo tiene mucho de especulación teórica. Con el objeto de establecer en forma convincente ambos límites de esfuerzo y deformación, fue necesario ejecutar ensayos de estructuras reales. Este método de diseño constituye en su mayoría a los reglamentos de diseño, y en especial el Manual de diseño para maderas del Grupo Andino, la cual es la que se usa en nuestro medio.


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Ø Método de la resistencia o LRFD, en el cual se usan límites de falla para el trabajo de diseño. El método de la resistencia consiste en diseñar una estructura para fallar, pero para una condición de carga más allá de lo que debería experimentar durante su uso. Una razón principal para favorecer los métodos de resistencia es que la falla de una estructura se demuestra con relativa facilidad mediante pruebas físicas. 2.2

Esfuerzos que resiste la madera

La acción de las cargas somete a las maderas a los siguientes esfuerzos: 2.2.1 COMPRESIÓN: Este esfuerzo se produce cuando una fuerza tiende a comprimir o aplastar un miembro. Este esfuerzo se presenta en las columnas de edificaciones, así como en algunas barras que conforman distintos tipos de armaduras.

•

Paralelas a las fibras(veta) ↔ adσ CII • Perpendicular a las fibras ↔ adσ C ⊥ • Inclinadas a las fibras ↔ 2.2.2 TRACCIÓN: Es un esfuerzo que se produce cuando una fuerza tiende a estirar o alargar un miembro. La cuerda inferior y ciertas almas de miembros de armaduras y cabios atirantados trabajan a tracción. Si se conoce la fuerza total de tracción axial (denotado por P) en un miembro, así como el área de su sección transversal (denotado por A), el esfuerzo unitario de tracción se encuentra a partir de la fórmula básica del esfuerzo directo : σ T =

P A •

Paralelas a las fibras ↔ adσ TII

2.2.3 FLEXIÓN: Este tipo de esfuerzo por lo común se genera por la aplicación de momentos llamados momentos flexionantes (sobre todo en


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vigas), produciendo esfuerzos flexionantes (tanto de compresión como de tracción).

•

↔ adσ f

2.2.4 CORTE: Se produce un esfuerzo cortante cuando dos fuerzas iguales, paralelas y de sentido contrario tienden a hacer resbalar, una sobre otra, las superficies contiguas del miembro. Este esfuerzo que es muy común se presenta en la mayoría de los elementos estructurales, y por ejemplo en vigas cabe señalar que existen 2 tipos de esfuerzo cortante, el vertical y el horizontal; y por lo general las fallas por cortante en vigas de madera se deben al esfuerzo cortante horizontal, y no al vertical. •

↔ adτ

2.2.5 DEFORMACIÓN: La deformación es el cambio de tamaño o forma que siempre sufre un cuerpo que está sometido a una fuerza. Cuando las fuerzas son de compresión y de tracción axial, las deformaciones son acortamientos o alargamientos, respectivamente. Cuando una fuerza actúa en un miembro flexionándolo (como lo hacen las cargas en las vigas), la deformación se llama flecha. ↔ Flechas; este fenómeno en las maderas es extremadamente peligroso, las flechas admisibles dependen del grupo de las maderas: L (cm) • Grupo A ↔ adf ≅ 250 - 300 L (cm) • Grupo B ↔ adf ≅ 225 - 275 • Grupo C ↔ No debe utilizarse para resistir cargas (sólo para estructuras provisionales).


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ESTRUCTURAS DE MADERA 2.3


PROPIEDADES ELÁSTICAS

2.3.1 Limite Elástico.El diseño de las estructuras de madera se basa en la teoría elástica, en la cual se establece que las deformaciones son directamente proporcionales a los esfuerzos, es decir que al ser aplicada una fuerza se produce una cierta deformación, y al ser aplicada el doble de esta fuerza se producirá el doble de la cantidad de deformación. Esta relación se mantiene sólo hasta un cierto límite, después del cual la deformación comienza a aumentar en un grado mayor que los incrementos de carga aplicada; el esfuerzo unitario para el cual ocurre este límite se conoce como límite elástico o límite de proporcionalidad del material. Más allá del límite elástico se produce una deformación permanente en el miembro. En el Método de esfuerzos admisibles el diseño establece que no se debe sobrepasar el límite elástico para la estructura sometida a cargas de servicio. 2.3.2 Módulo De Elasticidad Axial .El Módulo de elasticidad de un material es la medida de su rigidez, y este es la relación entre el esfuerzo unitario y la deformación unitaria, siempre que el esfuerzo unitario no exceda el límite elástico del material. El modulo de elasticidad axial “E” varia entre: 55000
Ø GRUPO A:

Almendrillo Quebracho Roble

Ø GRUPO B:

Verdolago Palo María Laurel


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E ≈ 100000 kg/cm2

E ≈ 80000 kg/cm2


ESTRUCTURAS DE MADERA Gabón Ochoó

Ø GRUPO C:

2.4


Cálculos

E ≈ 65000 kg/cm2

Es muy recomendable que se hagan los cálculos estructurales con programas o paquetes en computadora, debido a que en el diseño profesional el trabajo es complejo y debe realizarse de la manera más rápida posible; por tal motivo en el presente texto se hace un tutorial de los programas SAP2000 y Robot Millenium para la simulación estructural de armaduras. También para un diseño y verificación rápida de resultados se adjuntará al presente documento unas planillas Excel en las que efectúan diseños automáticos de los diferentes tipos de problemas que se abarquen en el presente texto. EJERCICIO PROPUESTO.Ø Al término de avance del capítulo, el alumno deberá usar la información de éste capítulo y realizar un resumen de máximo dos páginas manuscritas, con los formatos de presentación sugeridos por el docente, además de un cuadro resumen

en

el

que

plasme

las

ideas

fundamentales

del

capítulo.

Adicionalmente, repasar el significado de los siguientes términos: « Diseño por esfuerzos admisibles o ASD « Diseño por resistencia o LRFD « Límites de Servicio « Esfuerzos que resiste la Madera « Límite Elástico « Módulo de Elasticidad Axial


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ANEXOS CAPÍTULO III CAPITULO 3 DISEÑO DE VIGAS

Una viga es un elemento estructural que resiste cargas transversales. Generalmente, las cargas actúan en ángulo recto con respecto al eje longitudinal de la viga. Las cargas aplicadas sobre una viga tienden a flexionarla y se dice que el elemento se encuentra a flexión. Por lo común, los apoyos de las vigas se encuentran en los extremos o cerca de ellos y las fuerzas de apoyo hacia arriba se denominan reacciones. 3.1

PROPIEDADES DE LAS SECCIONES

Además de la resistencia de la madera, caracterizada por los esfuerzos unitarios admisibles, el comportamiento de un miembro estructural también depende de las dimensiones y la forma de su sección transversal, estos dos factores se consideran dentro de las propiedades de la sección. 3.1.1 Centroides.- El centro de gravedad de un sólido es un punto imaginario en el cual se considera que todo su peso está concentrado o el punto a través del cual pasa la resultante de su peso. El punto en un área plana que corresponde al centro de gravedad de una placa muy delgada que tiene las mismas áreas y forma se conoce como el centroide del área. Cuando una viga se flexiona debido a una carga aplicada, las fibras por encima de un cierto plano en la viga trabajan en compresión y aquellas por debajo de este plano, a tensión. Este plano se conoce como la superficie neutra. La intersección de la superficie neutra y la sección transversal de la viga se conoce como el eje neutro. 3.1.2 Momento de inercia En la figura 3-1 se ilustra una sección rectangular de ancho b y alto h con el eje horizontal X-X que pasa por su centroide a una distancia c =h/2 a partir de la cara superior. En la sección, a representa un área infinitamente pequeña a una distancia z del eje X-X. Si se multiplica esta área infinitesimal por el cuadrado de su distancia al eje, se obtiene la cantidad ( a x z2). El área completa de la sección estará constituida por un número


A23




infinito de estas pequeñas áreas elementales a diferentes distancias por arriba y por debajo del eje X-X. Entonces, el momento de inercia se define como la suma de los productos que se obtienen al multiplicar todas las áreas infinitamente pequeñas por el cuadrado de sus distancias a un eje. FIGURA 3.1

Y b a c

z

h

X

X

Y

Ref.: Elaboración Propia

Los dos ejes principales de la figura son X-X y Y-Y, pasan por el centroide de la sección rectangular, con respecto a un eje que pasa por el centroide y es paralelo a la base es IX-X = bh3/12, con respecto al eje vertical, la expresión sería IY-Y = hb3/12. 3.1.3 Radio de Giro.Esta propiedad de la sección transversal de un miembro estructural está relacionada con el diseño de miembros sujetos a compresión. Depende de las dimensiones y de la forma geométrica de la sección y es un índice de la rigidez de la sección cuando se usa como columna. El radio de giro se define matemáticamente como r= I / A , Donde I es el momento de inercia y A el área de la sección. Se expresa en centímetros porque el momento de inercia está en centímetros a la cuarta potencia y el área de la sección transversal está en centímetros cuadrados. El radio de giro no se usa tan ampliamente en el diseño de madera estructural como en el diseño de acero estructural. Para las secciones UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A24




rectangulares que se emplean comúnmente en las columnas de madera, es más conveniente sustituir el radio de giro por la dimensión lateral mínima en los procesos de diseño de columnas.

3.2

DEFLEXIONES ADMISIBLES

Se llama flecha o deflexión a la deformación que acompaña a la flexión de una viga, vigueta o entablado. La flecha se presenta en algún grado en todas las vigas, y el ingeniero debe cuidar que la flecha no exceda ciertos límites establecidos. Es importante entender que una viga puede ser adecuada para soportar la carga impuesta sin exceder el esfuerzo flexionante admisible, pero al mismo tiempo la curvatura puede ser tan grande que aparezcan grietas en los cielos rasos suspendidos revestidos, que acumule agua en las depresiones de las azoteas, dificulte la colocación de paneles prefabricados, puertas o ventanas, o bien impida el buen funcionamiento de estos elementos. Las deflexiones deben calcularse para los siguientes casos: a.- Combinación más desfavorable de cargas permanentes y sobrecargas de servicio. b.- Sobrecargas de servicio actuando solas. Se recomienda que para construcciones residenciales estas no excedan los límites indicados en la siguiente Tabla: TABLA 3.1: DEFLEXIONES MAXIMAS ADMISIBLES Carga Actuante

(a) con cielo

(b) sin cielo

raso de yeso

raso de yeso

L/300

L/250

L/350

L/350

Cargas permanentes + sobrecargas Sobrecarga

Ref.: TABLA 8.1 de Pág. 8-‐3 del “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”

L es la luz entre caras de apoyos o la distancia de la cara del apoyo al extremo, en el caso de volados. Los valores indicados en la columna (a) deben ser utilizados UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A25




cuando se tengan cielos rasos de yeso u otros acabados que pudieran ser afectados por las deformaciones: en otros casos deben utilizarse los valores de la columna (b). Aunque las consideraciones para definir la flecha pueden ser importantes, la determinación precisa de la flecha es un objetivo inalcanzable por las siguientes razones: Ø La determinación de las cargas siempre incluye algún grado de aproximación. Ø El módulo de elasticidad de cualquier pieza individual de madera siempre es un valor aproximado. Ø Existen diferentes restricciones en la deformación estructural debido a la distribución de cargas, resistencias en las uniones, rigidez debida a elementos no estructurales de la construcción, etc. Las deflexiones en vigas deben ser calculadas con el módulo de elasticidad Emin del grupo de la madera estructural especificado. Para entablados debe utilizarse el Epromedio, las deflexiones en viguetas y elementos similares pueden también determinarse con el Epromedio, siempre y cuando se tengan por lo menos cuatro elementos similares, y sea posible una redistribución de la carga. Los módulos de elasticidad para los tres grupos de maderas estructurales considerados se indican en la tabla 3.2.: TABLA 3.2: MODULO DE ELASTICIDAD (kg/cm2) GRUPO A GRUPO B GRUPO C Emínimo

95,000

75,000

55,000

Epromedio

130,000

100,000

90,000

Ref.: TABLA 8.2 de Pág. 8-‐3 del “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”

3.3

REQUISITOS DE RESISTENCIA

3.3.1 Flexión.- El momento flexionante es una medida de la tendencia de las fuerzas externas que actúan sobre una viga, para deformarla. Ahora se considerará la acción dentro de la viga que resiste flexión y que se llama momento resistente. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A26




Para cualquier tipo de viga se puede calcular el momento flexionante máximo generado por la carga. Si se desea diseñar una viga para resistir esta carga, se debe seleccionar un miembro con una sección transversal de forma, área y material tales, que sea capaz de producir un momento resistente igual momento flexionante máximo; lo anterior se logra usando la fórmula de la flexión. Por lo común la fórmula de la flexión se escribe como:

σ=

M⋅y I

Donde el tamaño y la forma de la sección transversal están representados por la inercia (I) y el material del cual está hecha la viga está representado por σ, la distancia del plano neutro a cualquier fibra de la sección esta representa por “y”, el esfuerzo en la fibra más alejada del eje neutro se le llama esfuerzo de la fibra extrema (c). Para vigas rectangulares: FIGURA 3.2 SECCION TRANSVERSAL, DISTRIBUCION DE ESFUERZOS NORMALES PRODUCIDOS POR FLEXION

b

c=h2

Mc I My I EJE NEUTRO

y

c=h2 Ref.: Elaboración Propia

Sustituyendo los datos para una viga rectangular y para obtener el esfuerzo de la fibra extrema tendremos:

h M⋅c 2 σ= = I b ⋅ h3 12 M⋅

σf =


A27

6 ⋅ M max b ⋅ h2




Los esfuerzos de compresión y de tensión producidos por flexión (σ), que actúan sobre la sección transversal de la viga, no deben exceder el esfuerzo admisible, fm, para el grupo de madera especificado. TABLA 3.3: ESFUERZO MAXIMO ADMISIBLE EN FLEXION, fm(kg/cm2) GRUPO A

210

GRUPO B

150

GRUPO Ref.: TABLA 8.3 dC e Pág. 8-‐4 del “Manual de Diseño para Maderas del 100 Grupo Andino”

] Estos esfuerzos pueden incrementarse en un 10% al diseñar entablados o viguetas si hay una acción de conjunto garantizada. 3.3.2 Corte.-

Como mencionamos en el capítulo anterior, se produce un

esfuerzo cortante cuando dos fuerzas iguales, paralelas y de sentido contrario tienden a hacer resbalar, una sobre otra, las superficies contiguas de un miembro. En la figura 3.3a se representa una viga con una carga uniformemente distribuida. Existe una tendencia en la viga a fallar colapsándose entre apoyos, como se indica en la figura 3.3b. éste es un ejemplo de cortante vertical.

En la figura 3.3c se muestra, en forma

exagerada, la flexión de una viga y la falla de partes de la viga por deslizamiento horizontal, este es un ejemplo de cortante horizontal. Las fallas por cortante en las vigas de madera se deben al esfuerzo cortante horizontal, no al vertical.

Esto es verdad debido que la resistencia al

esfuerzo cortante de la madera es mucho menor en el sentido paralelo a las fibras que en el transversal a éstas. FIGURA 3.3 GENERACION DEL ESFUERZO CORTANTE


A28




(a)

(b)

(c)


Los esfuerzos cortantes unitarios horizontales no están uniformemente distribuidos sobre la sección transversal de una viga. El esfuerzo de corte en una sección transversal de un elemento a una cierta distancia del plano neutro puede obtenerse mediante:

τ=

V ⋅S b⋅I

En esta expresión se tiene: τ= esfuerzo cortante unitario horizontal, en cualquier punto específico de la sección. V= fuerza cortante vertical total en la sección elegida S= momento estático con respecto al eje neutro del área de la sección transversal. I= momento de inercia de la sección transversal de la viga con respecto a su eje neutro. b= ancho de la viga en el punto en el que se calcula τ. Para una viga de sección rectangular el máximo esfuerzo de corte resulta al sustituir:

h ⎞ h b ⋅ h2 ⎛ S = ⎜b× ⎟× = ; 2⎠ 4 8 ⎝

I=

b ⋅ h3 12

V ⋅ S V × bh 2 / 8 τ= = I ⋅ b bh 3 / 12 × b

3 Q

τ = ⋅ max 2 b ⋅ h CORTANTE EN UNA VIGA FIGURA 3.4 GENERACION DEL ESFUERZO


A29



ANEXOS CAPÍTULO III 3 V 2 bh

b h 2

h 4

x h


Los esfuerzos cortantes, τ, no deben exceder el esfuerzo máximo admisible para corte paralelo a las fibras, fv, del grupo de madera estructura especificado. TABLA 3.4: ESFUERZO MAXIMO ADMISIBLE PARA CORTE PARALELO A LAS FIBRAS, fv(kg/cm2) GRUPO A

15

GRUPO B

12

GRUPO Ref.: TABLA C 8.4 de Pág. 8-‐5 del “Manual de Diseño para Maderas del Grupo 8 Andino”

Estos esfuerzos pueden incrementarse en un 10% al diseñar entablados o viguetas si hay una acción de conjunto garantizada.


A30



ANEXOS CAPÍTULO III FIGURA 3.5

y

R : Radio promedio de tronco

x

h

y

R

y

R

x

x b


Se desea establecer una relación entre la base y la altura de una viga de sección rectangular, de tal manera que la capacidad resistente de esta viga sea la mayor posible, de esta forma se puede utilizar un tronco de madera con el menor desperdicio. Como la deformación gobierna el diseño, entonces debe encontrarse dimensiones que generen el mayor momento de inercia posible.

b ⋅ h3 I= 12 R 2 = x 2 + y2

y2 = R 2 − x 2 y = R 2 − x 2 ................(1)

2x ⋅ (2y)3 I= 12

4 I = ⋅ x ⋅ ( R 2 − x 2 )3 3 4 I = ⋅ x ⋅ (R 2 − x 2 )3 3 4 I = ⋅ x 2 ⋅ (R 2 − x 2 )3 3 Derivando la inercia en función de x: UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A31



[

4 ⎡1 I'x = ⋅ ⎢ ⋅ x 2 ⋅ (R 2 − x 2 )3 3 ⎣ 2 la expresión: Simplificando 4 I'x = ⋅ 3

{ [x

2


] ⎤⎥ ⋅ { [x −1 2

2

⎦

][

⋅ (3 ⋅ (R 2 − x 2 )2 ) ⋅ (−2x) + (R 2 − x 2 )3 ⋅ (2x)

][

⋅ (3 ⋅ (R 2 − x 2 ) 2 ) ⋅ (−2x) + (R 2 − x 2 )3 ⋅ (2x)

]}

]}

2 ⋅ x 2 ⋅ (R 2 − x 2 )3

Ahora se iguala a cero la expresión derivada, esto con el fin de encontrar el punto crítico, o sea para maximizar la inercia:

4 I'x = ⋅ 3

{ [x

2

][

⋅ (3 ⋅ (R 2 − x 2 )2 ) ⋅ (−2x) + (R 2 − x 2 )3 ⋅ (2x) 2 ⋅ x 2 ⋅ (R 2 − x 2 )3

] }= 0

Simplificando la expresión:

I 'x = −x 2 ⋅ (3 ⋅ (R 2 − x 2 ) 2 ) + (R 2 − x 2 )3 = 0

I ' x = −3x 2 + (R 2 − x 2 ) = 0

R 2 = 4x 2 x=

R 2

∴b = R Reemplazando x en ecuación (1):

R2 y= R − 4 2

y=

3 2 ⋅R 4

y = R⋅

3 4

y = 0.866R Ahora como h = 2y entonces:

h = 1.73R UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A32




Y también como b = R:

h = 1.73 b ∴ Toda vez que se asume una escuadría para el diseño de una viga se debe procurar que la altura sea 1.73 veces de la base.

3.4

VIGAS COMPUESTAS

3.4.1 Vigas reforzadas lateralmente con perfiles de acero FIGURA 3.6

1

2

Madera Pernos

Madera

h

h

Pernos

b

Planchas


b

Cuando las cargas que actúan sobre las vigas de madera son grandes, y fundamentalmente cuando la longitud de las vigas es de 7.5 a 8 metros (esto ocurre en los puentes), es necesario reforzar la escuadría de la viga con perfiles de acero colocados lateralmente en ambas caras tal como se observa en la figura. Algunas veces las condiciones arquitectónicas de una estructura, obligan también a utilizar este procedimiento de refuerzo. Lo más importante del método constructivo es el aumento de la rigidez y la mejoría de la estabilidad dimensional, en especial con respecto a la flecha producida por UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA A33



cargas de larga duración, que son posiblemente las más significativas. Los componentes de una viga reforzada con acero se sujetan firmemente entre si con pernos que los atraviesan, de modo que los elementos actúen como una sola unidad. Espesores de las planchas: ü 1/4’’ ü 1/8’’ v e

ü 1/16”

ü 1/32” No es conveniente usar mayores espesores de plancha, debido a su mayor peso propio. Principio: “La deformación vertical de ambos materiales debe ser la misma”. Cuando las vigas de madera se refuerzan por medio de perfiles de acero dispuestos lateralmente, habrá que tener en cuenta para efectos de cálculo, los distintos módulos de elasticidad, del acero Ea y de la madera Em. Bajo la hipótesis de que tanto los perfiles de acero como la viga de madera experimentan la misma deformación vertical, esto ocurre siempre y cuando el elemento de unión (perno) este adecuadamente apretado. Entonces siguiendo el principio, y para una viga simplemente apoyada con una carga q uniformemente distribuida se tiene: Flecha para la madera:

Flecha para el acero:

f mad

5 ⋅ q m ⋅ L4 = 384 ⋅ E m ⋅ I m

f ac

5 ⋅ q a ⋅ L4 = 384 ⋅ E a ⋅ I a

Entonces por el principio:

f mad = f ac Entonces:

qa qm = E m ⋅ Im E a ⋅ Ia UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A34




q m Em ⋅ Im = qa E a ⋅ Ia

q TOTAL = q m + q a

, donde

3.5.2 Vigas acopladas mediante cuña horizontal de madera La figura 3.7. muestra el acoplamiento de 2 vigas mediante un grupo de cuñaperno. Estos acoplamientos se utilizan especialmente en la construcción de puentes. Con el acoplamiento se pretende construir grandes basas de altura “h” comprendidas entre 60 cm y 80 cm: 60
a

CUÑA

T2

t

h 2

σa

e

h

T1 T3

h 2

PERNO


b

¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo. El estudio de estos acoplamientos no obedece a desarrollos teóricos (teoremas, etc.), Estos valores referenciales han sido determinados experimentalmente (Norma Alemana DIN) La separación “e” se deja para permitir aireación entre las vigas evitando de esta forma la putrefacción de ellas, sin embargo debe procederse a su mantenimiento y limpieza cuando sea necesario. La madera de la cuña debe ser por lo menos del mismo grupo que la madera de las vigas y el acero del perno no debe ser corrugado. Ante la acción de las cargas, las vigas que intervienen en el acoplamiento tienden a deslizarse las unas respecto a las otras. Entonces se origina la fuerza “T1” de aplastamiento sobre la penetración de la cuña en la madera.

T1 = σ a ⋅ b ⋅ t Donde: σa = Esfuerzo de aplastamiento de la madera en la cuña, (30 k/cm2 - 50 k/cm2). UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A35




Cuando se apretan los pernos se generan las fuerzas “T2” sobre la cabeza de las cuñas, experimentalmente se ha determinado que “T2” depende del diámetro (f) del perno:

T2 = µ ⋅ f s ⋅ A p ; ⇔ µ ⋅

π ⋅φ 2 4

⋅ fs ;

µ = (0.5 - 0.6)

Ante la acción de cargas los pernos presionan sobre el hueco que se ha hecho en la madera para introducir los pernos, está presión esta representada por “T3”.

T3 = (150 - 170) ⋅ φ 2 ;

Donde φ en cm.

Entonces la capacidad de carga (de resistencia) del grupo cuña-perno será: T=T1+T2+T3 En esta suma T1 es dominante y muchas veces solamente se toma éste, dejando T2 y T3 como factores de seguridad. Ahora determinaremos el número de cuñas: FIGURA 3.8 h 2

h h 2

b


Z=

I cg (Momento de inercia de toda la escuadría) Q (Momento estático)

b ⋅ h3 2 Z = 12 = ⋅ h h h 3 b⋅ ⋅ 2 4 Con este valor es posible calcular la fuerza horizontal que origina el deslizamiento entre vigas: UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A36




H=

M MAX Z

Entonces el número de cuñas será:

n≅

H T

Es conveniente, para estar del lado de la seguridad sustituir T por T1. Finalmente en el punto medio entre 2 cuñas adyacentes se ubicará un perno

Ejemplo 1: Encontrar la escuadría de una viga de 6.5 metros de longitud, que se encuentra simplemente apoyada, y soporta una carga uniformemente distribuida de 0.3 toneladas por metro. El esquema es el siguiente: q = 0.3 t/m

A

B 6.5m

Se debe elegir el grupo al cual pertenece la madera a utilizar; en este caso se usará madera del GRUPO A, que será el ALMENDRILLO. adσ f

↔ 210 k/cm2

adτ ↔ 15 k/cm2

•

Grupo A (Almendrillo)

E ↔ 95000 k/cm2 L (cm) adf ↔ 275 γ ↔ 800 k/m3

Para hallar la carga debido al peso propio se debe asumir la base y la altura de la sección de la madera; para asumir una sección aproximada se debe recurrir a las siguientes ecuaciones: • • UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

h = 1.73 ⋅ b M adσ f = Z A37




Donde la primera ecuación es la relación de escuadría óptima, y la segunda ecuación es la ecuación de flexión, donde M es el momento por carga viva y Z es el módulo de la sección, entonces:

adσf =

M M 6M = = 2 Z b⋅h b ⋅ h2 6

Sustituyendo la el valor de la altura de la escudaría óptima:

adσ f =

6M 2⋅M = 3 2 b ⋅ (1.73 ⋅ b) b

Entonces:

b=3

2⋅M adσ f

Ahora se halla el momento producido por la carga viva:

CT ⋅ L2 300 ⋅ 6.52 M= = = 1584.38 k ⋅ m 8 8 Pero además se debe hacer incidir el coeficiente de seguridad a flexión (se tomará el valor de 2).Entonces la base será:

b=

3

2 ⋅ 158438 = 14.45cm 210 2

h = 1.73 ⋅ 14.45 = 25cm Pero como por lo general la comercialización de la madera se realiza en pulgadas, se ve por conveniente redondear las dimensiones de la sección, y además aumentarla un poco debido a que no se tomó en cuenta el peso propio: ESCUADRÍA:

Ø b =15 cm Ø h =25 cm

El peso propio será:

Pp = γ ⋅ b ⋅ h Pp = 800 k/m3 . 0.15 m . 0.25 m = 30 k/m La carga total será:

CT = q + Pp CT = 330 k/m


A38




Las reacciones serán:

RA =

RA =

q⋅L 2

650 ⋅ 6.5 = 1072.5 k 2

R B = 1072.5 k Los esfuerzos internos serán los que se presentan en el siguiente diagrama; el momento máximo se calcula con:

M MAX

C T ⋅ L2 330 ⋅ 6.5 2 = = = 1742.81 k ⋅ m 8 8

Diagrama de esfuerzos internos: q = 0.3 t/m

Pp A

B 6.5m

1072.5 k

1072.5 k

1072.5 k CORTANTES 3.25m

1072.5 k

MOMENTOS

Mmax

Mmax=1742.81 k.m.


A39



ANEXOS CAPÍTULO III 6 ⋅ M max

σf =

FLEXIÓN :

σf =

b ⋅ h2

6 ⋅ 174281 15 ⋅ 25

2

= 111.54 k / cm 2

Como este valor es menor al admisible, entonces cumple.

El coeficiente de seguridad a la flexión será:

C.Seg f =

adσ f

σf

=

210 = 1.88 111.54

Este coeficiente es muy bajo, debe salir mayor o igual a 2, entonces se sospecha que se deberá cambiar de escuadría, pero por razones académicas se continuara el ejercicio. CORTE:

τ= τ=

3 Q max ⋅ 2 b⋅h

3 ⋅ 1072.5 = 4.29 k / cm2 2 ⋅ 15 ⋅ 25

Como este valor es menor al admisible, entonces cumple. El coeficiente de seguridad al corte será:

C.Seg τ =

adτ

τ

=

15 = 3.50 4.29

Este coeficiente es un valor aceptable. DEFORMACION: La deformación admisible será:

f

ad

=

L (cm) 650 = = 2.36 cm 275 275

La flecha que produce la carga será:

f=

5 ⋅ q ⋅ l4 = 384 ⋅ E ⋅ I

5 ⋅ 3.3 ⋅ 6504 = 4.13 cm 15 ⋅ 253 384 ⋅ 95000 ⋅ 12

Como este valor es mayor al admisible, entonces falla, ∴ CAMBIAR ESCUADRIA! UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A40




Los tres fenómenos (flexión, corte y deformación) no son aislados, se presentan simultáneamente. En general en las maderas la deformación es el fenómeno más peligroso, mas que la flexión, mas que el corte. Por eso se exige en las maderas un coeficiente de seguridad para la deformación entre 1.5 a 2. Como la escuadría asumida es insuficiente: AFINAMIENTO

Para el afinamiento se va añadiendo de pulgada en

pulgada. ESCUADRÍA:

Ø b =15 cm Ø h =35 cm

El peso propio será:

Pp = γ ⋅ b ⋅ h Pp = 800 k/m3 . 0.15 m . 0.35 m = 42 k/m La carga total será:

CT = q + Pp CT = 342 k/m DEFORMACION : La flecha que produce la carga será:

5 ⋅ q ⋅l4 f = = 384 ⋅ E ⋅ I

5 ⋅ 3.42 ⋅ 650 4 = 1.56 cm 15 ⋅ 353 384 ⋅ 95000 ⋅ 12

Como este valor es menor al admisible, entonces cumple. El coeficiente de seguridad a la deformación será:

C.Seg f =

adf

f

=

2.36 = 1.51 1.56

Este valor de coeficiente de seguridad a la deformación entra en el rango recomendado de 1.5 a 2, por lo tanto la escuadría asumida cumple. Nota.- La deformación gobierna el diseño (es el efecto más desfavorable para maderas).


A41




Los coeficientes de seguridad sirven para asegurar la estructura ante cargas que no hubiesen sido consideradas, o algunos defectos de la madera que se va a emplear. Otra alternativa del ejercicio anterior hubiese sido modificar las condiciones de apoyo, como por ejemplo en vez de ser simplemente apoyado, que fuese empotrado-empotrado para así disminuir la deformación.

Ejemplo 2: Se dispone de madera del grupo A para construir una viga de puente, por el puente transita el tren que se observa en la figura. Determine la escuadría de la viga. El esquema es el siguiente: 0.2 t

0.2 t Pp A

B

1.5 [m]

6.0 [m]

Se asumirá los siguientes datos del GRUPO A. adσ f

↔ 210 k/cm2

adτ ↔ 15 k/cm2

E ↔ 95000 k/cm2 L (cm) adf ↔ 275 γ ↔ 750 k/m3 Para predimensionar la sección (lo explicado en el anterior ejemplo): o Grupo A

b=3

2⋅M adσ f

Ahora se halla el momento producido por la carga viva, para esto se ubica la carga en la posición más desfavorable (análisis de línea de influencia):


A42



ANEXOS CAPÍTULO III 0.2 t

0.2 t

A

B 2.25m

De los formularios de los anexos del capitulo 3: M = P ⋅ a = 200 ⋅ 2.25 = 450 k ⋅ m Pero además se debe hacer incidir el coeficiente de seguridad a flexión (se tomará el valor de 2).Entonces la base será:

b=

3

2 ⋅ 45000 = 9.50cm 210 2

h = 1.73 ⋅ 9.50 = 16.435cm Pero como por lo general la comercialización de la madera se realiza en pulgadas, se ve por conveniente redondear las dimensiones de la sección, y además aumentarla un poco debido a que no se tomó en cuenta el peso propio: Ø b =12.5 cm

ESCUADRÍA:

Ø h =25 cm El peso propio será: Pp = 750 k/m3 . 0.125 m . 0.25 m = 23.44 k/m è Pp=25 k/m ESTÁTICA: Debe posicionarse el tren de tal manera que esa posición genere los esfuerzos máximos (Flexión, cortante y deformación).Se colocan las dos cargas simétricas respecto el centro de la viga (análisis de línea de influencia). FLEXIÓN : La sección crítica para el momento máximo es el centro del tramo por tanto debe situarse el tren de manera compartida respecto al centro. 0.2 t

0.2 t

A

B

x 275 k

∑M

A

= 0 ⇒ (2.25 + 3.75) ⋅ 200 − 6 ⋅ VB + 150 ⋅ 3 = 0


275 k

A43




VB = 275k ⇒ VA = VB = 275k x2 = 275 ⋅ x 25 ⋅ M 2 0 < x < 2.25

555.46 k٠۰m 0 k٠۰m

562.50 k٠۰m 555.46 k٠۰m

x2 = 275 ⋅ x 25 ⋅ − 200 ⋅ (x − 2.25 ) M 2 2.25 < x < 3 6 ⋅ M max

σf =

σf =

b ⋅ h2

6 ⋅ 56250 = 43.2 k/cm 2 < adσ f ⇒ BIEN 2 12.5 ⋅ 25

CORTE: La sección crítica para el cortante máximo es en el extremo del tramo (cualquier extremo), por tanto el tren de cargas debe situarse: 0.2 t

0.2 t

A

B

425 k

∑M

125 k A

= 0 ⇒ 1.5 ⋅ 200 + 150 ⋅ 3 − 6 ⋅ VB = 0

VB = 125k 6 ⋅ VA - 6 ⋅ 200 - 4.5 ⋅ 200 - 3 ⋅ 150 = 0 VA = 425k ⇒ Q MAX τ=

3 Q max ⋅ → 2 b⋅h

3 425 = 2.04 k/cm 2 < adτ ⇒ BIEN 2 12.5 ⋅ 25

τ= ⋅

DEFORMACIÓN: La flecha que produce la carga será:


A44


ESTRUCTURAS DE MADERA 0.2 t


0.2 t

A

0.2 t

B

f1 =

f2 =

A

5 ⋅ q ⋅ L4 = 384 ⋅ E ⋅ I

P⋅a (3 ⋅ L2 − 4 ⋅ a 2 ) = 24 ⋅ E ⋅ I

B

0.2 t

A

B

5 ⋅ 0.25 ⋅ (600) = 0.27 cm ; 12.5 ⋅ 25 3 384 ⋅ 95000 ⋅ 12 4

200 ⋅ 225 ⋅ 3 ⋅ 600 2 − 4 ⋅ 2252 = 1.06 cm 3 12.5 ⋅ 25 24 ⋅ 95000 ⋅ 12

(

)

f T = f1 + f 2 = 0.27 + 1.06 = 1.33 cm

adf =

L(cm) 600 = = 2.4 cm ⇒ f T < adf ⇒ BIEN 250 250

COEFICIENTES DE SEGURIDAD (HOLGURA): Flexión:

C.Seg f =

adσ f

σf

=

210 = 4.86 43.2

=

15 = 7.35 2.04

=

2.40 = 1.81 1.33

Cortante:

C.Segτ =

adτ

τ

Deformación

C.Seg f =

adf

f

La escuadría encontrada se encuentra dentro lo aceptable dentro del marco de la seguridad(pero es antieconómico, en lo posible procurar afinar lo mas cercano al coeficiente de seguridad de 1.5), los coeficientes de seguridad respecto a la flexión y el cortante son mayores que el coeficiente de seguridad de la deformación, eso prueba una vez más que la deformación en las maderas es el fenómeno más peligroso (Esto no ocurre en el concreto ni en el acero


A45




Ejemplo 3: DINTEL DE VENTANA Madera Grupo: B

Piso Superior Mamposteria de Ladrillo Gambote de Carga 2.70 m

Dintel de Madera

Luz Libre = 2m 30 cm

Entrega o Descanso (minimo 30 cm)

2.30 m

A diferencia de los anteriores ejercicios ahora la carga no esta dada, debe el ingeniero procurar estimar la carga con la mayor precisión posible. De nada servirá cualquier afinamiento aritmético o algebraico si la carga no ha sido adecuadamente estimada. Existen dos posibilidades para estimar la carga:

2.0 m 1m

α

α

X 2.30 m

Se considerará el efecto arco con:

50° < α < 65° UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A46




Cálculo de h: Con un α = 60º: tan( 60 º ) =

h 2.30 / 2

h = 1.99m ≅ 2.0m Cálculo del área:

⎛1 ⎞ A = 2⎜ ⋅1.15 ⋅ 2 ⎟ ⎝2 ⎠

A = 2.3m 2 Cálculo de x:

2 1 = 1.15 x x = .0575m Para el ladrillo:

# Ladrillos ≅ 130

und. m2

Peso p / cada Ladrillo = 2.5kg Peso total de Ladrillo = 130 ⋅ 2.5 ⋅ 2.3 = 747.5kg ≅ 748kg Para el mortero:

Volumen de una hilera de mortero = 0.02 ⋅ 0.25 ⋅1.16 = 0.006m3

# Hileras = 30 Volumen total de mortero = 30 ⋅ 0.006 = 0.18m3 Peso especifico del mortero = 2200

kg m3

Peso total del mortero = 0.18 ⋅ 2200 = 396kg Peso total: PT = Plad + Pmort = 748 + 396 = 1144kg Ahora, distribuyendo el Peso total en la longitud:

qT =

PT 1144 k = = 497.4 L 2.30 m

Ahora, lo que falta es asumir la escuadría del dintel: UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A47




Entonces:

b=3

2⋅M adσ f

Ahora se halla el momento producido por la sobrecarga:

C T ⋅ L2 497.40 ⋅ 2.32 M= = = 328.91 k ⋅ m 8 8 Pero además se debe hacer incidir el coeficiente de seguridad a flexión (se tomará el valor de 2).Entonces la base será:

b=

3

2 ⋅ 32891 = 9.57 cm 150 2

h = 1.73 ⋅ 9.57 = 16.55cm Pero como por lo general la comercialización de la madera se realiza en pulgadas, se ve por conveniente redondear las dimensiones de la sección, y además aumentarla un poco debido a que no se tomó en cuenta el peso propio: Ø b =10 cm

ESCUADRÍA:

Ø h =17.5 cm cmccmcm Peso propio de la madera:

Pmad = 0.10 ⋅ 0.175 ⋅ 700 = 12.25

k m

Carga total: q Total = 497.4 + 12.25 = 509.65

kg m

FLECHA: La flecha que produce la carga será:

5 ⋅ q ⋅ L4 f = = 384 ⋅ E ⋅ I

5 ⋅ 5.097 ⋅ 230 4 = 0.52 cm 10 ⋅ 17.53 384 ⋅ 75000 ⋅ 12

Como este valor es menor al admisible, entonces cumple. El coeficiente de seguridad a la deformación será:


A48




C.Seg f =

adf

f

=

0.92 = 1.77 0.52

Este valor de coeficiente de seguridad a la deformación entra en el rango recomendado de 1.5 a 2, por lo tanto la escuadría asumida cumple (se puede afinar aun más, en busca de bajar los costos). DETALLE CONSTRUCTIVO: Ø Por razones constructivas : base de dintel = 7.5cm Ø Por razones teóricas Ø Profundidad de clavo

: base de dintel = 5cm : prof. = 18 cm

17.5

CLAVO

7.5 Ejemplo 4: Determinar la escuadría de madera para la viga AB, y determinar si corresponde reforzar la escuadría con perfiles de acero. En el sitio los troncos son jóvenes y por consiguiente de poco diámetro. ¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo. Se debe elegir el grupo al cual pertenece la madera a utilizar; en este caso se usará madera del GRUPO A, que será el ALMENDRILLO. adσ f

↔ 210 k/cm2

adτ ↔ 15 k/cm2

•

Grupo A (Almendrillo)


E ↔ 95000 k/cm2 L (cm) adf ↔ 275 γ ↔A49 800 k/m3 FACULTAD DE CIENCIAS

Y TECNOLOGIA



Para hallar la carga debido al peso propio se debe asumir la base y la altura de la sección de la madera, la máxima escuadría que se puede encontrar en un bosque joven: Ø b =17.5 cm

ESCUADRÍA:

Ø h =30 cm El peso propio será:

Pp = γ ⋅ b ⋅ h Pp = 800 k/m3 . 0.175 m . 0.30 m ≈ 42 k/m La carga total será (sin acero):

qT = q + Pp qT = 1000 k/m +42 k/m = 1042 k/m Ahora se desea saber cuanto de la carga total puede asumir la escuadría de madera: DEFORMACION: La deformación admisible será:

f

ad

=

L (cm) 700 = = 2.54 cm 275 275

El coeficiente de seguridad de deformación es de 1.5 a 2, por lo se asume un valor de 1.6, por lo tanto:

C.Seg f =

adf

f

⇒f =

adf

C.Seg f

=

2.54 = 1.59 cm 1.6

La flecha que produce la carga será:

5 ⋅ q ⋅ L4 fm = = 1.59 = 384 ⋅ E m ⋅ I


5 ⋅ q m ⋅ 700 4 ⇒ q m = 1.90 k/cm 17.5 ⋅ 30 3 384 ⋅ 95000 ⋅ 12 A50




∴ qT > qm à REFORZAR qa= 1042 – 190 = 852 k/m Necesariamente debe reforzarse la escuadría, pues ella sola no es capaz de resistir a la carga total. Continuaremos el ejercicio solamente por motivos académicos, pues que es tan grande la carga que debe asumir el acero en proporción a la madera (relación aproximada de 4 a 1) que sería preferible construir la viga de otro material (Concreto puro o acero puro). Generalmente un buen refuerzo de acero debe cubrir como máximo el 50% de la carga total. Elegimos el uso de planchas para el refuerzo:

30

Madera Pernos

17.5 Ahora se debe elegir espesor de plancha:

Planchas

e = 1 " = 0.64 cm 4

El momento de inercia es afectado por cada una de las planchas de acero.

fa =

5 ⋅ q a ⋅ L4 = 1.59 = 384 ⋅ E a ⋅ I

5 ⋅ 8.52 ⋅ 7004 ⇒ h a = 53cm > h m = 30cm 3 0 . 64 ⋅ h a 384 ⋅ 2.1 × 10 6 ⋅ 2 ⋅ 12

La altura del acero supera a la altura de la madera e imposibilita o por lo menos dificulta el proceso constructivo, además de que todavía no esta considerado el peso del acero.

γ ACERO = 7850 k/m 3 Pp = 2. 0.0064 m . 0.53 m. 7850 k/m3 = 53.25 k/m qTOTAL≈ 1100 k/m Entonces nos vemos en la necesidad de cambiar de escuadría de la viga de madera, para eso diremos inicialmente que la madera soportará el 50% de la UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A51




anterior carga total y con esta aproximación sacaremos los valores de la base y la altura de la viga.

5 ⋅ q m ⋅ L4 fm = = 1.59 = 384 ⋅ E m ⋅ I

5 ⋅ 5.50 ⋅ 700 4 b ⋅ h3 ⇒ = 113834.24 cm 4 3 12 b ⋅ ha 384 ⋅ 95000 ⋅ 12

Sustituyendo la relación de escuadría óptima:

b ⋅ (1.73 ⋅ b) 3 = 113834.24 cm 4 ⇒ b = 22.66 cm 12 Entonces: Ø b =25 cm

ESCUADRÍA :

Ø h =45 cm

Pp = 800 k/m3 . 0.25 m . 0.45 m = 90 k/m La carga total será (sin acero):

qT = q + Pp qT = 1000 k/m +90 k/m = 1090 k/m La flecha que produce la carga será:

5 ⋅ q ⋅ L4 fm = = 1.59 = 384 ⋅ E m ⋅ I

5 ⋅ q m ⋅ 700 4 ⇒ q m = 9.17 k/cm 25 ⋅ 45 3 384 ⋅ 95000 ⋅ 12

∴ qT > qm à REFORZAR qa= 1090 – 917 = 173 k/m Para la escuadría de la basa la madera resiste el 84.12% de la carga total sin tomar en cuenta todavía el peso del acero.

5 ⋅ q a ⋅ L4 fa = = 1.59 = 384 ⋅ E a ⋅ I

5 ⋅1.15 ⋅1.73 ⋅ 7004 ⇒ h a = 32.7cm ⇒ Usar h a = 35cm 3 0.64 ⋅ h a 6 384 ⋅ 2.1×10 ⋅ 2 ⋅ 12

En la anterior ecuación se esta mayorando en un 15% la carga del acero con objeto de tomar en cuenta el peso propio del mismo. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A52




Aunque los elementos del detalle constructivo se estudiarán de forma más profunda en los próximos capítulos, a manera de introducción se presenta los detalles de unión de viga reforzada. Longitud perno = 30 cm. Diámetro perno = ½”

Se usarán: Pernos

La plancha de acero se extenderá una distancia “d” a cada lado del centro línea de la viga, esta distancia puede calcularse exactamente de la teoría de las deformaciones, sin embargo se tiene:

1 ⎛ L ⎞ 1 ⎛ 700 ⎞ d= ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ = 116.67 ≅ 120 cm. 3⎝ 2 ⎠ 3⎝ 2 ⎠ Se puede determinar exactamente esta distancia por la teoría de las deformaciones: Donde:

∂2y E⋅I⋅ 2 = M ∂x Para la condición de carga, el momento en función de x será:

M=

q ⋅ L ⋅ x q ⋅ x2 − 2 2

Entonces:

E⋅I⋅

∂2y q ⋅ L ⋅ x q ⋅ x2 = − 2 2 ∂x 2

Integrando:

E⋅I⋅

∂y q ⋅ L ⋅ x 2 q ⋅ x 3 = − + C1 ∂x 4 6

Luego:

q ⋅ L ⋅ x3 q ⋅ x4 E⋅I⋅y = − + C1 ⋅ x + C 2 12 24 Hallamos C1 y C2 con las condiciones de borde: C2=0 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A53




C1 = −

q ⋅ L3 24

La ecuación general de la elástica será:

E⋅I⋅y =

q ⋅ L ⋅ x 3 q ⋅ x 4 q ⋅ L3 ⋅ x − − 12 24 24

Ahora se debe hallar a que distancia “x” la madera se deforma 1.59 cm. bajo la aplicación de la carga total qTOTAL = 1090 k/m.

X X qt =1090 k/m B

1.59cm

1.59cm

A

L=7m Entonces reemplazando en la ecuación de la elástica:

95000 ⋅

25 ⋅ 45 3 10.90 ⋅ 700 ⋅ x 3 10.90 ⋅ x 4 10.90 ⋅ 700 3 ⋅ x ⋅ (−1.59) = − − 12 12 24 24

0.454 ⋅ x 4 − 635.83 ⋅ x 3 + 155779166.7 ⋅ x - 2867589844 0 = 0 Resolviendo la ecuación polinomial: x1= 221.35 x2= 478.55 x3= - 497.63 x4= 1198.237

x

cm cm cm cm

De las cuales se descartan las dos últimas por ser soluciones incoherentes. Entonces “d” será igual:

d=

x 2 − x 1 478.55 - 221.35 = = 128.6 cm. 2 2

Usamos el mayor entre el calculado y el valor referencial dado anteriormente. è d =128.6 ≈ 130 cm. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A54




La separación entre pernos será de 10 cm. ESQUEMA ESTRUCTURAL

C L 10

d = 130

350 700

SECCION TRANSVERSAL:

7,5 10

35

45

10 7,5

L =30cm Perno: Ø = 1" 2

25


A55




Ejemplo 5: Sobre la viga de puente transita un vehículo liviano. Representado por el tren de cargas. Determinar la escuadría de la viga utilizando madera el grupo A. El esquema es el siguiente: 0.5 t

0.5 t

q=0.25 t/m Pp A

B

2.5 [m]

8.0 [m]

La escuadría máxima que se puede encontrar en los aserraderos es: Ø b = 22.5 cm

ESCUADRÍA:

Ø h = 45 cm El peso propio será: Pp = 800 k/m3 . 0.225 m . 0.45 m = 81 k/m è Pp=81 k/m qTOTAL= (250+81) = 331 k/m Entonces: 0.5 t

0.5 t

A

0.5 t

B

f1 =

f2 =

A

5 ⋅ q ⋅ L4 = 384 ⋅ E ⋅ I

P⋅a (3 ⋅ L2 − 4 ⋅ a 2 ) = 24 ⋅ E ⋅ I

B

0.5 t

A

B

5 ⋅ 3.31 ⋅ (800) = 1.08 cm ; 22.5 ⋅ 45 3 384 ⋅ 95000 ⋅ 12 4

500 ⋅ 275 ⋅ 3 ⋅ 800 2 − 4 ⋅ 275 2 = 0.57 cm 3 22.5 ⋅ 45 24 ⋅ 95000 ⋅ 12

(

)

f T = f 1 + f 2 = 1.08 + 0.57 = 1.65 cm

adf =

L(cm) 800 = = 2.93 cm ⇒ f T < adf ⇒ BIEN 275 275

C.Seg f =


adf

f

=

A56

2.93 = 1.77 1.65




Ya que el fenómeno más desfavorable para la madera es la deformación, y estando su coeficiente de seguridad en un buen margen, suponemos que cumplirá los requisitos de flexión y corte, sin embargo se recomienda hacer la verificación de estos. La escuadría de la basa seleccionada es muy difícil de conseguir en el aserradero, por tanto la construiremos utilizando un acoplamiento de dos vigas de sección cuadrangular: Sustituyendo los valores referenciales obtenemos:

t=

h 45 = = 3.75 ≅ 4 cm; 12 - 20 12

e=

h 45 = = 3 cm. 15 - 20 15

a ≥ 5 ⋅ t = 5 ⋅ 4 = 20 cm; t > e SIEMPRE! φp =

b 22.5 = = 2.25 cm ⇒ φ p = 1" = 2.54 cm. 10 10

σ aplast madera ≅ (30 − 50) k/cm2 ; T1 = σ a ⋅ b ⋅ t = 40 ⋅ 22.5 ⋅ 4 = 3600 k

T2 = µ ⋅ f s ⋅ A p ; ⇔ µ ⋅ µ = (0.5 - 0.6);

π ⋅φ 2 4

⋅ fs

f s = (800 − 1200) k/cm 2 (Acero dulce)

T2 = 0.5 ⋅

π ⋅ 2.54 2 4

⋅ 800 = 1964 k

T3 = 170 ⋅ φ 2 = 170 ⋅ 2.54 2 = 1096.8 k

T = T1 + T2 + T3 = 7110.8 Como dijimos antes es preferible usar la fuerza T1 para sacar el número de cuñas:

Z=

2 2 ⋅ h = ⋅ 45 = 30 cm 3 3

Ahora necesitamos determinar el momento máximo, para esto tomaremos la posición más desfavorable del tren de carga:

∑M

A

= 0 ⇒ (2.75 + 5.25) ⋅ 500 − 8 ⋅ VB + 2648 ⋅ 4 = 0

VB = 1824 k ⇒ VA = VB = 1824 k x2 = 1 824 ⋅ x 331 ⋅ M 2 0< x <2.75 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A57

3764.41 k٠۰m 0 k٠۰m FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA



3764.41 k٠۰m 3764.41 k٠۰m

x2 M = 1824 ⋅ x - 331⋅ 2 − 500 ⋅ (x − 2.75) 2.75< x <5.25

El momento máximo lo tendremos al centro del tramo:

M MAX = 1824 ⋅ (4) - 331⋅

(4)2 − 500 ⋅ (4 − 2.75) 4023 k٠۰m 2

Entonces la fuerza horizontal será:

H=

M MAX 4023 × 100 = = 13410 k Z 30

n=

H 13410 = = 3.73 ⇒ n = 4 T1 3600

Colocado de cuñas: 0.5 t

0.5 t

q=0.25 t/m

A

B 8.0 [m] 1824 k 3218 k·m 2414 k·m

1824 k

4023 k·m

1609 k·m 805 k·m MOMENTO

1824 k 913.75 k

CORTANTE

413.75 k 413.75 k 913.75 k

1824 k


A58




La ordenada correspondiente al máximo momento se divide entre el número de cuñas sin tomar en cuenta los extremos. De cada punto se dirige una paralela al eje x hasta cortar la curva de momentos. De los puntos de corte se suspenden rectas hasta cortar la curva de cortantes, estableciendo en la gráfica de cortantes las áreas que se observan en la figura. Se identifica el centro de gravedad de cada área; de este punto se suspende una recta hasta cortar a la viga y en cada punto de corte se introduce una cuña. Entre cuña y cuña en el punto medio se dispondrá de un perno, se empezará con un perno situado entre el apoyo y la primera cuña. Se recomienda ubicar siempre una cuña donde el momento es máximo. Si la distancia entre cuñas “s” <20 cm. entonces se deberá buscar una mayor escuadría, en caso de columnas se dispondrán cuñas verticales. A partir del centro de línea hacia la derecha se dispondrá del mismo número de cuñas y de posición simétrica. EJERCICIO PROPUESTO.En la lectura de capítulo dar especial importancia a los siguientes conceptos: o Deflexión Admisible o Módulo de Elasticidad Axial: Emínimo o Módulo de Elasticidad Axial: Epromedio o Sección Óptima o Vigas reforzadas con perfiles de acero o Vigas Acopladas PROBLEMA PROPUESTO.Ø Diseñar la siguiente Viga reforzada con una plancha de acero para las condiciones de apoyo y cargas que se muestran en la figura. La madera corresponde al Grupo A. Discutir los resultados en clase.


A59




q = 0.5 t/m

B

A

h

4.5 m

b Ø Resolver el siguiente problema: “Un albañil usa una tabla (de 40x10cm) de madera para poder pasar de un lado a otro, lleva consigo una carretilla, en la cual trae bolsas de cemento. Suponiendo que el albañil pesa 60 kilogramos, el peso de la carretilla de 25 kilogramos.

Se pide dibujar una grafica de la

cantidad de bolsas de cemento (enteras) que se puedan cargar en función de la longitud de la tabla (cada 25 cm). Suponer el esquema como una carga puntual, y simplemente apoyado; y considerar un coeficiente de seguridad a la deformación mínimo de 1.8. La madera pertenece al grupo B.”


A60




DISEÑO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN

4.1 INTRODUCCION.Se entiende como miembros a compresión a aquellos elementos que se encuentran principalmente solicitados por cargas de compresión, como columnas y entramados; pero en general un elemento estructural es solicitado por mas de un tipo de esfuerzo, por lo que en la realidad casi todas las columnas estructurales trabajan a compresión y flexión combinadas (flexo-compresión). Las columnas son elementos donde las cargas principales actúan paralelas al eje del elemento, y por lo tanto trabaja principalmente a compresión; cuya longitud es varias veces mayor que su dimensión lateral más pequeña. El esfuerzo de compresión es muy peligroso en este tipo de elemento estructural, por la presencia de pandeo, que es una falla por inestabilidad. El tipo de columna que se usa con mayor frecuencia es la columna sólida sencilla, que consiste en una sola pieza de madera, cuya sección transversal es cuadrada u oblonga. Las columnas sólidas de sección transversal circular son usadas con menos frecuencia. Una columna formada por varios miembros es un ensamble de dos o más miembros cuyos ejes longitudinales son paralelos; se impide que se toquen los elementos mediante unos bloques separadores colocados en los extremos y punto medio de su longitud. Otros tipos de columnas son las llamadas columnas compuestas, que están conectadas mediante sujetadores mecánicos. Los pie-derechos en marcos ligeros de madera y en entramados también son columnas. En el procedimiento de diseño del “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino” de deben de seguir los siguientes pasos:


A61




Ø Para COMPRESIÓN AXIAL: 1. Definir las bases de cálculo. a) Grupo estructural de la madera a utilizarse b) Cargas a considerarse en el diseño c) Condiciones de apoyo, y factor de longitud efectiva. 2. Determinar efectos máximos. 3. Establecer los esfuerzos admisibles, modulo de elasticidad, así como el valor de Ck. 4. Asumir una escuadría, y extraer sus propiedades geométricas. 5. Calcular la esbeltez para cada dirección. 6. Calcular la carga admisible, y compararla con la carga solicitante. Ø Para FLEXOCOMPRESIÓN: 1. al 6. Se determina de la misma manera que para Compresión Axial. 7. Determinar la carga crítica de Euler. 8. Calcular el factor de amplificación de momentos km. 9. Verificar que la ecuación general de elementos a flexocompresión sea satisfecha (que de un valor < a 1). El diseño de elementos sometidos a compresión o flexo-compresión debe realizarse tomando en cuenta su longitud efectiva, que será denotada por L ef .La longitud efectiva es “la longitud teórica de una columna equivalente con articulaciones en sus extremos”.Esta longitud efectiva se obtiene multiplicando la longitud no arriostrada “L” por un factor de longitud efectiva “k”, que considera las restricciones o grado de empotramiento que sus apoyos extremos le proporcionan. El Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino recomienda que en ningún caso se tome una

longitud efectiva menor que la longitud real no

arriostrada, o sea por mas de que el factor k sea menor que 1 de acuerdo con las condiciones extremas, se recomienda tomar mínimamente k =1, debido al grado de incertidumbre de restricción al giro que las uniones puedan proporcionar. En la siguiente tabla se presentan algunos casos para la evaluación de la longitud efectiva en función de sus restricciones.


A62


α ESTRUCTURAS DE MADERA

α ANEXOS CAPÍTULO III

Ref.: TABLA 9.1 DE Pág. 9-‐4 del Manual Para Diseño De Maderas Del Grupo Andino


A63




A continuación se presenta una recomendación para la determinación del factor k que se usará para el diseño. Los valores teóricos para el factor k que esta en función del grado de restricción de los extremos de la columna, deben ser aumentados por el valor mostrado en la tabla 4.2, donde puede apreciarse que la mayoración se realiza cuando existe un extremo empotrado, ya que no existe un “empotramiento perfecto”en las estructuras de que se construyen en la actualidad; esta recomendación es realizada por la norma americana LRFD 1996, y conviene tenerla en cuenta al momento del diseño. TABLA 4.2 :FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA “K” PARA DISEÑO DE COLUMNAS

MODOS DE PANDEO

Valor Teorico de K Valor de K recomendado para Diseño cuando condiones son aproximadas a las ideales

0.5

0.7

1.0

1.0

2.0

2.0

0.65

0.80

1.2

1.0

2.10

2.4

ROTACION RESTRINGIDA, TRASLACION RESTRINGIDA

Condiciones de Borde

ROTACION LIBRE, TRASLACION RESTRINGIDA

Comdiciones de Borde ROTACION RESTRINGIDA, TRASLACION LIBRE ROTACION LIBRE, TRASLACION LIBRE

Ref.: FIGURA C4.2-‐1 de Pág. 197 del Norma Americana para Diseño en Maderas LRFD 1996

Cabe remarcar lo siguiente: El valor del factor k se debe determinar correctamente, ya que un error en su determinación (por pequeño que fuese) trae consigo en el diseño un error grande en el cálculo de la esbeltez y de la capacidad de carga de la columna; y por consiguiente una posible falla de la columna que trae consigo un colapso de la totalidad de la estructura. Es por eso que si se tiene UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A64




dudas en las condiciones de restricción en los extremos de las columnas se debe tomar valores de k que sean conservadores; por ejemplo si no se esta seguro que el extremo de una columna que forma parte de un pórtico restringe totalmente los desplazamientos laterales (esto mediante la utilización de muros de corte o diafragmas verticales suficientemente rígidos), entonces se debe asumir que la unión no restringe los desplazamientos laterales y por tanto le corresponde a la columna un valor de k mayor que 1. 4.2 ESBELTEZ.En estructuras de madera la esbeltez de una columna maciza simple aislada es la relación entre la longitud efectiva y la dimensión del lado menor de su sección transversal (para columnas rectangulares; tomar el diámetro si fuese columna redonda), expresada en ecuación sería:

λ=

L ef d

Donde: Lef : longitud efectiva de la columna d : Lado menor de la columna Cuando se tenga una columna rectangular donde la longitud efectiva varié en sus dos direcciones (de su sección transversal), se debe calcular la esbeltez para ambas direcciones, y se debe usar para el diseño la esbeltez que sea mayor. La esbeltez para columnas macizas simples está limitada a λ = 50; para columnas formadas por varios miembros la esbeltez está limitada a λ = 80.


A65




Clasificación de las columnas según su esbeltez.- Según el “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino” (Pág. 9-5) se clasifica a las columnas macizas simples en función a su esbeltez en: TABLA 4.3: CLASIFICACION DE LAS COLUMNAS

ESBELTEZ

CLASIFICACION

λ < 10

Ø Columnas Cortas :

10 < λ < C k

Ø Columnas Intermedias :

C k = 0.7025

Donde :

E fc

C k < λ < 50

Ø Columnas Largas :

¡NO DEBEN UTILIZARSE COMO COLUMNAS MACIZAS SIMPLES, ELEMENTOS CUYA ESBELTEZ SEA MAYOR QUE 50! Ref.: PAG 9-‐5 del Manual Para Diseño para Maderas Del Grupo Andino

De la anterior tabla Ck es la relación de esbeltez para la cual la columna, considerada como columna larga, tiene una carga admisible igual a dos tercios de la carga de aplastamiento: 2/3Afc , donde A es la sección transversal y fc es el esfuerzo admisible máximo a compresión paralela a las fibras. Los valores de Ck para cada uno de los tres grupos estructurales se presentan a continuación:

TABLA 4.4: RELACION DE ESBELTEZ LIMITE ENTRE COLUMNAS INTERMEDIAS Y LARGAS GRUPO

Ck COLUMNAS

ENTRAMADOS

A

17.98

20.06

B

18.34

20.20

C

18.42

22.47


4.3 ESFUERZOS MÁXIMOS ADMISIBLES Y MODULO DE ELASTICIDAD.UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A66




El Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino indica los esfuerzos máximos admisibles que deben utilizarse para el diseño de elementos sometidos a compresión o flexo-compresión, según el grupo estructural al que pertenece la 2

TABLA 4.5: ESFUERZOS MAXIMOS ADMISIBLES (kg/cm ) GRUPO

COMPRESION PARALELA TRACCION PARALELA FLEXION

fc

ft

fm

A

145

145

210

B

110

105

150

C

80

75

100

madera, y estos son:

Para el diseño de columnas se debe usar los valores de módulo de elasticidad E0.05 que es el modulo mínimo, que según el manual de diseño en maderas del grupo andino, corresponde a una probabilidad de hasta 5% que el módulo de elasticidad este por debajo del valor considerado; esto para el grupo estructural de madera elegido para conformar el elemento. Para el diseño de pie-derechos para entramados, se debe usar el valor de Epromedio , el cual es mayor que E Andino debido a Ref.: TABLA 9.2 DE Pág. 9-‐6 del Manual Para Diseño De Maderas Del Grupo 0.05, que en un entramado los elementos actúan de una manera más solidaria, garantizando así la seguridad. A continuación se muestran los valores de modulo de elasticidad según su grupo estructural: 2

TABLA 4.6: MODULO DE ELASTICIDAD (kg/cm ) GRUPO

E0.05

Epromedio

A

95 000

130 000

B

75 000

100 000

C

55 000

90 000



A67


ESTRUCTURAS DE MADERA 4.4 CAPACIDAD

DE


CARGA

PARA

COLUMNAS

SOMETIDAS

A

COMPRESIÓN (CARGA ADMISIBLE A COMPRESIÓN).Según el “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino” la capacidad de carga varía de acuerdo a la clasificación realizada en función de su esbeltez (Tabla 4.3), de aquí tenemos: Ø Para Columnas Cortas la carga admisible a compresión se calcula como :

N adm = f c ⋅ A Donde: A: área de la sección transversal fc: esfuerzo máximo admisible de compresión paralela a la fibra. Nadm: carga axial máxima admisible. Ø Para Columnas Intermedias la carga admisible a compresión se calcula como :

N adm

⎡ 1 ⎛ λ ⎞4 ⎤ = f c ⋅ A ⎢1 − ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ 3 ⎝ Ck ⎠ ⎥⎦

Donde:

A: área de la sección transversal fc: esfuerzo máximo admisible de compresión paralela a la fibra. λ : esbeltez del elemento (considerar solo la mayor). Ck: obtenido de la tabla 4.4 Nadm: carga axial máxima admisible. Ø Para Columnas Largas la carga admisible a compresión se calcula como :

Nadm = 0.329 ⋅

E⋅A λ2

donde :

A: área de la sección transversal λ : esbeltez del elemento (considerar UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS A68 solo la mayor). E: módulo de elasticidad, obtenido de la tabla 4.6 Nadm: carga axial máxima admisible.

Y TECNOLOGIA


4.5 CAPACIDAD

DE


CARGA

PARA

COLUMNAS

SOMETIDAS

A

FLEXOCOMPRESIÓN.Los elementos sometidos a flexocompresión deben diseñarse para cumplir la siguiente relación:

k ⋅M N + m <1 Nadm Z ⋅ fm Donde: N : es la carga axial solicitante Nadm: es la carga axial admisible km: es un factor de magnificacion de momentos debido a la presencia de carga axial

IMI:

momento flector maximo en el elemento(en valor absoluto) Z: módulo de la seccion transversal con respecto al eje del cual se produce la flexión

fm: esfuerzo admisible en flexión sacado de tabla 4.5

Los valores de N y M son conocidos (hallados del análisis de esfuerzos). El valor de N adm se halla de la misma manera que para columnas sometidas a compresión.

km =

1 1 − 1.5 ⋅

N N cr

El valor del factor de amplificación de momentos k m se halla con la ecuación: Donde: N cr es la carga crítica de Euler en la dirección en que se aplican los momentos de flexión. La carga crítica de Euler se halla con la ecuación:


A69




π2 ⋅ E ⋅ I Ncr = Lef 2 Donde: L ef es la longitud efectiva de la columna; I es la inercia de la sección transversal. El valor del módulo de la sección Z depende del tipo de sección transversal y de sus dimensiones; a continuación se muestran las propiedades geométricas de las secciones transversales más comunes: FIGURA 4.1: PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES MAS COMUNES

b ⋅ h2 ZI = 6

A = b⋅h c h

I

b ⋅ h3 II = 12

b

c=

rI =

h 12

π ⋅ d3 32

h 2

c d

I

h

A=

π ⋅ d2 4

ZI =

II =

π ⋅ d4 64

rI =

c

I

c=

b

b⋅h A= 2 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

d 4

A70

d 2

b ⋅ h2 ZI = 24




b ⋅ h3 II = 36

rI =

c=

h 18

2⋅h 3

A = área ; I =momento de inercia ; Z = módulo de la sección = I ; r = radio de giro = c


4.6 CAPACIDAD

DE

CARGA

PARA

COLUMNAS

SOMETIDAS

I A

A

FLEXOTRACCIÓN.Los elementos sometidos a flexotracción deben diseñarse para cumplir la siguiente relación:

M N + <1 A ⋅ ft Z ⋅ fm Donde: N : es la carga axial solicitante A es el área de la sección transversal del elemento ft: esfuerzo admisible a tracción, sacado de tabla 4.5

IMI:

momento flector máximo en el elemento(en valor absoluto) Z: módulo de la seccion transversal con respecto al eje del cual se produce la flexión

fm: esfuerzo admisible en flexión sacado de tabla 4.5

4.7 COLUMNAS DE SECCIÓN CIRCULAR Y POSTES.Las columnas de madera maciza de sección transversal circular no se usan de manera extensa en nuestro medio. En cuanto a la capacidad de carga, se puede UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A71




decir que las columnas redondas soportan las mismas cargas axiales que las columnas cuadradas, cuando estos tengan la misma área. Esto quiere decir que si una columna cuadrada se diseña para resistir una carga axial externa, la columna redonda de misma área transversal que la cuadrada resistirá la misma carga sin problemas. Al diseñar una columna de madera de sección transversal circular, un procedimiento sencillo es diseñar primero una columna cuadrada, y luego elegir una columna redonda con un área de sección transversal equivalente. Para encontrar el diámetro de la columna redonda equivalente, el lado de la sección cuadrada “d” debe multiplicarse por:

A rect = d 2 A circ

π ⋅ D2 = 4

π ⋅ D2 d = ⇒ D = 1.128d 4 2

IGUALANDO

Por lo tanto se debe multiplicar por el factor 1.128 el lado de la columna cuadrada para obtener el diámetro de la columna circular equivalente. Los postes son piezas redondas de madera que constan de troncos descortezados de árboles maderables. En longitudes cortas tienen un diámetro constante, pero cuando son largos tienen forma cónica, que es la forma natural del tronco de árbol. Para una columna cónica, una suposición conservadora para el diseño es que el diámetro crítico de la columna el diámetro menor en el extremo de sección menor. Si la columna es muy corta, esto es razonable. Sin embargo, para una columna esbelta, donde el pandeo se presenta a la mitad de su altura, esto es muy conservador. Sin embargo, debido a la ausencia común de la rectitud inicial, y a la presencia de numerosos defectos (como nudos, rajaduras y depósitos de resina), se recomienda usar el diámetro del extremo de menor sección para los cálculos de diseño. El uso de los postes esta

en puentes provisionales o en edificaciones,

conformando columnas o cimientos. Como cimientos, se usan como pilotes de madera, donde los postes son encajados en el suelo mediante un martinete. Sin embargo otra forma de utilizar los postes para cimentación consiste solo en UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A72




excavar un hoyo, insertar parcialmente el poste, y luego rellenar el hoyo alrededor del poste, con suelo o concreto, como se hace con los postes para cercas, apoyo para anuncios y postes de uso general. 4.8 COLUMNAS FORMADAS POR VARIOS MIEMBROS.Un tipo de elemento estructural que algunas veces se usa en las estructuras de madera es la columna formada por varios miembros. Este es un elemento en el cual dos o mas elementos de madera se sujetan juntos (mediante pernos preferentemente) para compartir la carga como una sola unidad de compresión. El diseño de estos elementos es muy complejo. A continuación para explicar como se realiza el diseño, se desarrollará un ejemplo. Ejemplo: Una columna formada por varios miembros mostrada en la siguiente figura, consta de tres piezas de almendrillo de 10×30 cm. de sección. La dimensión L1 es de 4 metros y X es de 15 centímetros. Calcular la capacidad de compresión axial.


A73




FIGURA 4.2: COLUMNA FORMADA POR VARIOS MIEMBROS X

Y

Y

X

Perno

Bloques separadores

L1

y

L2

d2

Bloques extremos L3 d1

X

Solución: Hay dos condiciones separadas que se deben analizar con respecto a la columna formada por varios miembros. Se relacionan con los efectos de la esbeltez relativa en las dos direcciones que se representan con los ejes x y y en la figura anterior. En la dirección y la columna se comporta simplemente como un conjunto de columnas macizas. Así, el esfuerzo está limitado por las dimensiones d2 y L2 y su cociente. Para esta condición, se determina lo siguiente para el ejemplo.

L 2 (400) = = 13.33 d2 30 Al usar este valor como relación de esbeltez, se determina la capacidad de una columna maciza, cuya sección transversal tenga un área igual a tres veces la de una columna de 10×30 cm. (no debe tomarse el área de los bloques separadores).


A74




Entonces: •

Almendrillo(Grupo A)

f c ↔ 145 k/cm2

E ↔ 95000 k/cm2 Como λ = 13.33 es mayor que 10 la columna no es corta. De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo A vale 17.98. Como λ es mayor que 10 pero menor a 17.98, la columna es intermedia. La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna intermedia es :

N adm

N1adm

⎡ 1 ⎛ λ ⎞4 ⎤ = f c ⋅ A ⎢1 − ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ 3 ⎝ Ck ⎠ ⎥⎦

⎡ 1 ⎛ 13.33 ⎞ 4 ⎤ = 145 ⋅ 3 ⋅ (10 ⋅ 30) ⎢1 − ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = 117358.31 k ⎢⎣ 3 ⎝ 17.98 ⎠ ⎥⎦

El segundo caso que se debe considerar en el ejemplo es el comportamiento con respecto al pandeo en la dirección x, que se revisa con respecto a dos limitaciones: 1.

L3 ≤ 40 d1

2.

L1 ≤ 80 d1

Entonces usando los datos del ejemplo se tiene:

⎛ 400 ⎞ − 15 ⎟ ⎜ L3 ⎝ 2 ⎠ = 18.5 ≤ 40 = d1 10

L1 400 = = 40 ≤ 80 d1 10


A75

CUMPLE!

CUMPLE!




La capacidad de carga para esta condición depende del valor de L1 , y se d1

determina de manera similar, a la de la columna maciza, pero se permite mayorar la capacidad de carga para columnas intermedias y largas con un factor Kx, en relación al valor de X con respecto a la longitud total de la columna, con los siguientes valores: Ø Kx = 1.5 cuando X es menor o igual a L1/20 Ø Kx = 2.0 cuando X se encuentra entre L1/20 y L1/10 Entonces: Como λ =

L1 = 40 es mayor que 10 la columna no es corta. d1

De la tabla 4.4. se saca el valor de Ck , que para una columna del Grupo A vale 17.98. Como λ es mayor que 10 y mayor a 17.98, la columna es larga. La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna larga es:

Nadm = 0.329 ⋅ N2 adm = 0.329 ⋅

E⋅A λ2

95000 ⋅ 3 ⋅ 10 ⋅ 30 40 2

= 17580.94 k

Pero como X vale 15 cm, y L1/20 = 400/20 = 20, entonces se permite mayorar la carga admisible por el factor Kx =1.5. Entonces:

N2adm = 17580.94 ⋅1.5 = 26371.41 k La capacidad de la columna será la menor entre N1adm y N2adm, entonces como el menor es N2adm :

N adm = 26371.41 k 4.9 COLUMNAS COMPUESTAS.Son columnas individuales formadas por varios elementos de secciones macizas. Por lo general, las columnas compuestas tienen los elementos unidos entre sí mediante dispositivos mecánicos, como clavos o pernos torneados. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A76




El diseño de este tipo de columnas se lo realiza en base a la capacidad del elemento individual. Es decir la menor capacidad de carga de la sección compuesta es la suma de las capacidades de las partes consideradas individuales. Las columnas compuestas más comunes son ensambles de pies derechos que se presentan en la esquina de los muros, intersecciones de muros y los cantos de los vanos de puertas y ventanas. Cuando las columnas compuestas se presentan como columnas aisladas, se hace difícil la determinación real de sus capacidades, a menos que los elementos individuales tengan una esbeltez suficientemente baja como para considerar que tienen capacidades significativas. Dos tipos de ensambles que tienen capacidades comprobadas como columnas compuestas son los mostrados a continuación. FIGURA 4.3: COLUMNAS COMPUESTAS

(a)

(b)

Ref.: Diseño simplificado de Estructuras de Madera, Parker-‐Ambrose; Pág. 143

En la figura (a) se muestra una columna de núcleo macizo esta envuelta por todos lados con elementos mas delgados. La suposición común para analizar esta columna es que la esbeltez se basa únicamente en el núcleo, pero la capacidad de compresión axial se basa en la sección completa. En la figura (b) se muestra una serie de elementos delgados se mantiene unida mediante dos placas de cubierta que tienden a restringir el pandeo de los elementos del núcleo alrededor de sus ejes poco resistentes. Para esta columna, se considera que la esbeltez se basa en el eje más fuerte de los miembros internos. La compresión axial se basa en la suma de los elementos internos para


A77




obtener un diseño conservador, pero es razonable incluir las placas si están unidas mediante tornillos o pernos. Ejemplo: En la siguiente figura se muestra la sección transversal de una columna compuesta, cuyo núcleo

es de 20×20 cm.,y las placas exteriores tienen un

espesor de 5 cm.. Se pide encontrar la altura máxima que puede tener dicha columna, para resistir una carga de 55 toneladas. Las restricciones de sus extremos se pueden asimilar en la parte inferior empotrada, y en la parte superior la unión restringe los giros pero permite desplazamientos. Trabajar con madera del grupo B.

20 cm

20 cm

30 cm

30 cm

Solución: Como datos del problema se tiene: §

Madera del Grupo B

f c ↔ 110 k/cm2

E ↔ 75000 k/cm2 Lo primero que se debe hacer es encontrar la longitud efectiva que es igual a:

Le = k ⋅ L

De la tabla 4.2 para el modo de pandeo de la columna se recomienda para el diseño el factor K =1.2. Entonces:

L e = 1.2 ⋅ L


A78




Para la esbeltez solo se debe considerar el núcleo, entonces la esbeltez igual a:

λ=

L e 1.2L = = 0.06L d 20

Obviamente la mayor longitud de la columna se dará cuando esta se analiza como columna larga. Entonces la carga admisible que puede resistir será:

Nadm = 0.329 ⋅ N adm = 0.329 ⋅

75000 ⋅ 30 2 (0.06L) 2

E⋅A λ2 =

6168750000 L2

k

Para que la columna resista la carga de 55000 k., la carga admisible debe ser por lo menos igual a ésta, por lo tanto igualamos:

N adm =

6168750000 L2

= 55000

L = 334.90 cm ≅ 3.35 m Con esta longitud se verifica la esbeltez:

λ=

L e 1.2L 1.2 ⋅ 3.35 = = = 20.1 m d 20 20

De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo B vale 18.34. Como λ es mayor que 18.34 pero menor a 50, entonces se verifica lo asumido: la columna es Larga. Por lo tanto la longitud máxima de la columna deberá ser 3.35 metros.


A79




4.10 EJEMPLOS DEL CAPÍTULO Ejemplo 1: Un miembro de madera sometido a compresión tiene una sección transversal de 15cm×15cm, y es de almendrillo. Encontrar la capacidad de carga a compresión axial (carga admisible) para longitudes efectivas de: a) 2 metros b) 6 metros c) 10 metros Solución: Como datos del problema se tiene: §

Dimensiones:

Base (b) = 15 cm Altura (h) = 15 cm

§

Almendrillo(Grupo A)

f c ↔ 145 k/cm2

E ↔ 95000 k/cm2 L 200 a) Se tiene una esbeltez igual a : λ = = = 13.33 d 15 Como λ es mayor que 10 la columna no es corta. De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo A vale 17.98. Como λ es mayor que 10 pero menor a 17.98, la columna es intermedia. La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna intermedia es:

N adm


⎡ 1 ⎛ λ ⎞4 ⎤ = f c ⋅ A ⎢1 − ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ 3 ⎝ Ck ⎠ ⎥⎦

A80



N adm


⎡ 1 ⎛ 13.33 ⎞ 4 ⎤ = 145 ⋅ (15 ⋅ 15) ⎢1 − ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = 29339.58 k ⎢⎣ 3 ⎝ 17.98 ⎠ ⎥⎦

b) Se tiene una esbeltez igual a : λ =

L 600 = = 40.0 d 15

Como λ es mayor que 10 la columna no es corta. De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo A vale 17.98. Como λ es mayor que 10 y mayor a 17.98, pero menor que 50, la columna es larga. La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna larga es :

Nadm = 0.329 ⋅ N adm = 0.329 ⋅

E⋅A λ2

95000 ⋅ 15 2 40 2

c) Se tiene una esbeltez igual a : λ =

= 4395.23 k

L 1000 = = 66.67 d 15

Como λ es mayor que 50, entonces NO DEBE UTILIZARSE ESTA COLUMNA; para usarse se debe aumentar su sección transversal. Por lo tanto para que esta columna tenga 10 metros de largo se debe aumentar su

sección a por lo menos 20×20 ó 22.5×22.5 cm.


A81




Ejemplo 2: En la siguiente figura se muestra a una viga de madera Quebracho, de 20×35 cm de sección, que soporta una carga distribuida de 1 tonelada por metro. Esta viga esta soportada por 2 columnas de madera, que transmiten la carga hacia el suelo a través de zapatas aisladas de HºAº. Se pide diseñar las columnas de madera para que resistan las cargas a las que se ven sometidas. Suponer para el diseño que la unión de viga-columna restringe los desplazamientos pero permite la rotación. Utilizar para el diseño madera del Grupo A.

5m 35 20

VIGA

4m COLUMNAS

1m

ZAPATAS


A82




Esquema Estructural: q = 1 t/m

5m

PESO PROPIO

5m

El Quebracho corresponde a una madera del Grupo A; por lo tanto la viga como las columnas son del mismo grupo estructural.

•

f c ↔ 145 k/cm2

Grupo A

El peso propio de la viga, que es igual a :

E ↔ 95000 k/cm2 γ ↔ 800 k/m3

Pp = γ ⋅ b ⋅ h Pp = 800 k/m3 . 0.20 m . 0.35 m = 56 k/m La carga total es igual a:

CT = q + Pp CT = 1000+56 = 1056 k/m Las reacciones de apoyo de las vigas serán igual a: Según fórmula de Anexo de capítulo 2:


A83



R=


C T ⋅ L 1056 ⋅ 5 = = 2640 k 2 2

Los extremos de las columnas actuarían como articulado – articulado; en la parte inferior debido a que la zapata aislada restringe los desplazamientos pero no garantiza una total restricción de la rotación. Para la unión viga columna, en el enunciado se mencionó que se podía suponer como articulado dicha unión. La siguiente gráfica muestra como actúan las columnas: q = 1 t/m

5m

Pp = 56 k/m

2640 k

2640 k

5m

5m

2640 k

2640 k

Como existe simetría geométrica como simetría de cargas, solo se analizara una columna, ya que la otra deberá ser exactamente igual. Para el diseño de la columna se debe tantear una sección, y hallar su carga admisible, que deberá ser mayor a la carga externa actuante. Para tantear con


A84




una sección que sea muy próxima a la necesaria se recurre a las tablas o ábacos para el diseño de columnas (ver Anexo del Cáp. 4). Para tantear con la Tabla A4-1(Tabla de anexos de capítulo IV), se entra con : §

Longitud efectiva, que como las condiciones de borde en los apoyos de la columna, se obtiene de la tabla 4.1 un valor de k = 1, por lo tanto la longitud efectiva es igual a la longitud real no arriostrada = a 5 metros.

§

La carga a resistir, que para este caso será 2640 kilogramos.

Entonces: TABLA A4.1 CAPACIDAD DE CARGA PARA COLUMNAS SUJETAS A COMPRESIÓN (kilogramos) PARA MADERAS DEL GRUPO A

Longitud efectiva (metros)

Sección de columna Dimensiones

b × h (cm)

Area (cm 2)

10×10 10×15 10×20 15×15 15×20 15×25 20×20 20×25 20×30 25×25 25×30

100 150 200 225 300 375 400 500 600 625 750

10 15 20 15 20 25 20 25 30 25 30

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

7813.75 11720.63 15627.50 29337.33 39116.45 48895.56 56150.69 70188.36 84226.03

5000.80 7501.20 10001.60 24598.47 32797.96 40997.45 53485.08 66856.35 80227.62

3472.78 5209.17 6945.56 17580.94 23441.25 29301.56 48637.86 60797.32 72956.79

2551.43 3827.14 5102.86 12916.61 17222.14 21527.68 40655.47 50819.34 60983.21

1953.44 2930.16 3906.88 9889.28 13185.70 16482.13 31255.00 39068.75 46882.50

1543.46 2315.19 3086.91 7813.75 10418.33 13022.92 24695.31 30869.14 37042.96

1250.20 1875.30 2500.40 6329.14 8438.85 10548.56 20003.20 25004.00 30004.80

De la tabla se observa que la sección mas pequeña cuya longitud efectiva es 5 metros y cuya carga admisible es mayor a 2640 kilogramos es la sección 15×15 cm. Pero porque la carga admisible de la sección de 15×15 cm es mucho mayor a 2640 kilogramos, nos vemos obligados por razones económicas a buscar una sección que sea más pequeña. Por lo tanto como el tanteo de las secciones se realiza pulgada por pulgada (debido a que en el comercio se vende así), probar con la sección: §

Base (b) = 12.5 cm Altura (h) = 12.5 cm

Entones: UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A85


5.5

5230.6 6974.2 8717.8 16531. 20664. 24797.



Se tiene una esbeltez igual a : λ =

L ef 500 = = 40.0 d 12.5

Como λ es mayor que 10 la columna no es corta. De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo A vale 17.98. Como λ es mayor que 10 y mayor a 17.98, la columna es larga. La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna larga es :

Nadm = 0.329 ⋅ N adm = 0.329 ⋅

E⋅A λ2

95000 ⋅ 12.5 2 40 2

= 3052.25 k

Como Nadm es mayor que 2640 kilogramos, entonces SECCIÓN RESISTE. Ejemplo 3: En la siguiente figura se muestra a una viga de madera Almendrillo, de 30×50 cm de sección, que soporta un muro de ladrillo gambote de 18 cm de espesor y de 3 metros de altura (cuya longitud es igual a la longitud total de la viga). La viga esta soportada por 2 columnas de madera de 15×15 cm de sección y, que transmiten la carga hacia el suelo a través de zapatas aisladas de HºAº. Se pide encontrar la máxima distancia “L” que puede tener la combinación viga-muro, para que las columnas del pórtico resistan las solicitaciones actuantes. Suponer para el diseño que la unión de viga-columna restringe los desplazamientos pero permite la rotación. Utilizar para las columnas madera del Grupo B.


A86




3m

50 30

VIGA

5m COLUMNAS

1m ZAPATAS

Esquema Estructural: qLad

L

PESO PROPIO

6m

El Almendrillo corresponde a una madera del Grupo A; por lo tanto para la viga:

•

Grupo A

γ ↔ 800 k/m3

El peso propio de la viga, que es igual a : UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A87




Pp = γ ⋅ b ⋅ h Pp = 800 k/m3 . 0.30 m . 0.50 m = 120 k/m La carga qLad , que se debe al peso del muro de ladrillo es igual a : •

Ladrillo Gambote

γ ↔ 1800 k/m3

q Lad = γ ⋅ espesor ⋅ altura q Lad = 1800 ⋅ 0.18 ⋅ 3 = 972

k m

La carga total es igual a:

CT = q + Pp CT = 972+120 = 1092 k/m Las reacciones de apoyo de las vigas serán igual a: Según formula de Anexo de cap2:

R=

C T ⋅ L 1092 ⋅ L = = 546L k 2 2

El peso propio de cada columna, que es igual a :

Pp = γ ⋅ b ⋅ h •

Columnas(Grupo B) γ ↔ 750 k/m3

Pp = 750 k/m3 . 0.15 m . 0.15 m . 6 m = 101.25 k ≅ 102 k Los extremos de las columnas actuarían como articulado – articulado; en la parte inferior debido a que la zapata aislada restringe los desplazamientos pero no garantiza una total restricción de la rotación. Para la unión viga columna, en el enunciado se mencionó que se podía suponer como articulado dicha unión. La siguiente gráfica muestra como actúan las columnas:


A88



ANEXOS CAPÍTULO III q = 0.97 t/m

L

PESO PROPIO

546L k

546L k

6m

6m

(546L+102) k


(546L+102) k

A89




Como existe simetría geométrica como simetría de cargas, solo se analizara una columna, ya que la otra deberá ser exactamente igual. Ahora el siguiente paso es establecer la carga admisible de la columna dato: 15×15 cm y 6 metros de longitud efectiva (igual a la longitud real debido a que k es igual a 1), y perteneciente al Grupo B. Para el valor de la carga admisible de una manera rápida se puede usar las tablas o graficas de diseño de columnas (ver Anexo del Cáp. 4). Usando la grafica de diseño correspondiente al Grupo B y a la escuadría: 15×15 cm:

CAPACIDAD DE CARGA (kilogramos)

PARADE DISEÑO DE COLUMNAS GRAFICAGRAFICA PARA DISEÑO COLUMNAS - GRUPO B- GRUPO B 40 000.00

40 000.00

35 000.00

35 000.00

CAPACIDAD DE CARGA (kilogramos)

30 000.00 30 000.00 DISEÑO DE COLUMNAS - GRUPO B GRAFICA PARA

25 000.00

20 000.00

15 000.00

10 000.00

ESCUADRIAS 10*10 10*15

25 000.00

10*20 15*15 15*20 15*25

20 000.00

15 000.00

ESCUADRIAS 10*10

10 000.00

10*15 10*20

5 000.00

15*15

5 000.00

15*20 15*25

0.00 2

3

0.00 2

4

3

6

5

LONGITUD EFECTIVA (metros) LONGITUD EFECTIVA (metros)


5

4

A90

7

6


7



3450

Entonces: Nadm = 3450 = 546L+102 L = 6.13 metros Aproximadamente: la longitud de la viga no debe exceder de 6 metros para que las columnas RESISTAN. Ejemplo 4: Para la columna mostrada en la siguiente figura se pide determinar la escuadría para que resista la solicitación actuante. Considerar para el diseño que la longitud efectiva es igual a la longitud no arriostrada. Diseñar el miembro para la especie verdolago. 20 ton

10 cm 4m


A91




DE la grafica se aprecia que la carga axial es de 20 toneladas, y debido a la excentricidad de 10 cm, genera un momento igual a 2000 kg.m., por lo tanto diseñar a flexocompresión. El Verdolago corresponde a una madera del Grupo B; por lo tanto:

•

Grupo B

f c ↔ 110 k/cm2 f m ↔ 150 k/cm2

E ↔ 75000 k/cm2 Asumir una sección: Predimensionando solo con la carga axial (con ábacos o tablas), una sección de 20×20 cumple, entonces: § Se tiene una esbeltez igual a: λ =

Base (b) = 20 cm Altura (h) = 20 cm

L 400 = = 20 d 20

Como λ es mayor que 10 la columna no es corta. De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo B vale 18.34. Como λ es mayor que 10 y mayor a 18.34, pero menor que 50, la columna es larga. La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna larga es:

Nadm = 0.329 ⋅ N adm = 0.329 ⋅

E⋅A λ2

75000 ⋅ 20 2 20 2

= 24675 k

Lo que sigue es hallar el factor de magnificación de momentos Km.:


A92




km =

1 1 − 1.5 ⋅

N N cr

Donde: Ncr es la carga critica de Euler:

π2 ⋅ E ⋅ I Ncr = Lef 2

N cr =

π 2 ⋅ 75000 ⋅ 20 4

km =

12 ⋅ 400 2

= 61685.03 k

1 = 1.947 20000 1 − 1.5 ⋅ 61685.03

El modulo resistente de la sección es:

Z=

b ⋅ h 2 20 3 = = 1333.33 cm 3 N 6 k m 6⋅ M

Nadm

+

Z ⋅ fm

<1

Verificando a la flexocompresión: Entonces aumentamos la sección: Base (b) = 25 cm Altura (h) = 25 cm 1.947 ⋅ 200000

20000 + = 2.76 > 1 24675 1333.33 ⋅150

∴ FALLA

§

Se tiene una esbeltez igual a: λ =

L 400 = = 16 d 25

Como λ es mayor que 10 la columna no es corta. De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para una columna del Grupo B vale 18.34. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A93




Como λ es mayor que 10 y menor a 18.34, la columna es intermedia. La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna intermedia es:

N adm

N adm

⎡ 1 ⎛ λ ⎞4 ⎤ = f c ⋅ A ⎢1 − ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ 3 ⎝ Ck ⎠ ⎥⎦

⎡ 1 ⎛ 16 ⎞ 4 ⎤ = 110 ⋅ (25 ⋅ 25)⎢1 − ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = 55484.95 k ⎢⎣ 3 ⎝ 18.34 ⎠ ⎥⎦

Lo que sigue es hallar el factor de magnificación de momentos Km:

km =

1 1 − 1.5 ⋅

N N cr

Donde: Ncr es la carga critica de Euler:

Ncr =

π2 ⋅ E ⋅ I Lef 2

π 2 ⋅ 75000 ⋅ 25 4 N cr = = 150598..21 k 12 k m = 12 ⋅ 400 = 1.249 20000 1 − 1.5 ⋅ 150598.21

El modulo resistente de la sección es:

Z=

b ⋅ h 2 253 = = 2604.17 cm 3 6 6

Verificando a la flexocompresión:

k ⋅M N + m <1 Nadm Z ⋅ fm


A94




Por lo tanto la sección de 25×25 resiste las solicitaciones externas.

20000 1.249 ⋅ 200000 + = 0.999 < 1 55484.95 2604.17 ⋅150

Ejemplo 5:

∴ CUMPLE

En la siguiente figura se ilustra una condición de carga para un miembro de la cuerda inferior de una armadura. La sección de el miembro es de 7.5×15 cm, y la madera utilizada es para su construcción es Quebracho. Se pide analizar el miembro y determinar si es adecuado para las condiciones de carga mostradas. 1t

1t

10 t

10 t

1m

1m 4m

Solución: El elemento esta sometido a flexotracción, para lo cual se debe verificar que:

M N + <1 A ⋅ ft Z ⋅ fm El Quebracho corresponde a una madera del Grupo A; por lo tanto:

f t ↔ 145 k/cm2 •

•

Grupo A

Base (b) = 7.5 cm Altura (h) = 15 cm

Sección


E ↔ 95000 k/cm2 γ ↔ 800 k/m3 f m ↔ 210 k/cm2

A95




La tracción actuante es:

N = 10000 k El momento actuante máximo en el miembro es:

M max = P ⋅ a = 1000 ⋅ 1 = 1000 k ⋅ m = 100000 kcm El modulo resistente de la sección es :

Z=

b ⋅ h 2 7.5 ⋅ 15 2 = = 281.25 cm 3 6 6

Verificando la relación del elemento a flexotracción:

M N + <1 A ⋅ ft Z ⋅ fm 10000 100000 + = 0.68 < 1 ∴ CUMPLE! 7.5 ⋅ 15 ⋅ 145 281.25 ⋅ 210 EJERCICIO PROPUESTO.Ø En la lectura de capítulo dar especial importancia a los siguientes conceptos: « Compresión Axial « Flexocompresión « Flexotracción « Longitud efectiva - Esbeltez « Postes PROBLEMAS PROPUESTOS.Ø Diseñar una columna circular que soportará un tanque de agua de hormigón armado de 5 metros cúbicos de capacidad. Considerar el espesor de las paredes del tanque como constante y de 7.5 centímetros. La altura a la que se encontrará el tanque será de 5 metros. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A96




Ø Realizar una planilla electrónica (tipo Excel) de diseño para los diferentes grupos de maderas utilizando secciones circulares.


A97




DISEÑO DE UNIONES El mayor problema en el diseño de las estructuras de madera es la solución de aquellos puntos en que convergen dos o más piezas (nudos), de modo que se puedan transmitir adecuadamente sus esfuerzos. Estas uniones deberán ser lo suficientemente rígidas como para que la deformación total de la estructura no exceda ciertos valores estimados como admisibles. Es así, como a los elementos que se usan para materializar las uniones se los condiciona tanto en cuanto a su capacidad de transmisión descarga como al monto del corrimiento que experimentan al quedar sometidos a carga. Tradicionalmente se distinguen dos comportamientos opuestos: uno totalmente rígido representado por las colas y otro sumamente flexible presentando grandes deformaciones y que corresponde al caso de los pernos. En un plano, intermedio se, sitúan los clavos. Cada medio de unión presentará ventajas y desventajas adecuándose cada uno a campos específicos.

5.1

UNIONES CLAVADAS

Por lo general las uniones clavadas son las más económicas, y son muy usadas en especial para viviendas y edificaciones pequeñas construidas en base a entramados. Los clavos se fabrican en un amplio intervalo de tamaños y formas, según el uso que se quiera dar. Varían en tamaño desde las pequeñas tachuelas a gigantescas escarpias. Los clavos se clavan mediante un martillo, sin embargo para clavar muchos clavos, actualmente se cuenta con una gran variedad de dispositivos mecánicos para clavar. Todas las especies del grupo estructural C y muchas del grupo B pueden clavarse fácilmente, sobre todo cuando la madera se encuentra en condición verde; las maderas más densas y/o secas son por lo general más difíciles de clavar. Si se clavan maderas del grupo estructural A es conveniente hacer un pre-taladro con un diámetro del orden de 0.8 veces el diámetro del clavo, esto a menos que se usen clavos de alta resistencia, clavados mediante dispositivos mecánicos especiales. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A98




Se debe hacer notar que en cualquier unión se debe usar como mínimo al menos 2 clavos. Procedimiento de diseño para uniones clavadas.El procedimiento para diseñar éste tipo de uniones se puede esquematizar de la siguiente manera: UNIONES SOMETIDAS A CIZALLAMIENTO O CORTE 1) Establecer bases de cálculo a. Grupo de madera utilizado. b. Cargas actuantes en la unión y su orientación con respecto a las piezas de madera. 2) Seleccionar la longitud y el diámetro de los clavos. Es conveniente usar clavos de la mayor longitud posible (si se quiere, usar como guía de acuerdo al elemento a clavar las Tablas 13.16 y 13.17 del Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino). 3) Determinar

la

carga

admisible

para

un

clavo

a

simple

cizallamiento (usar Tabla 5.1) a. Clavos a doble Cizallamiento, multiplicar por 1.80 valores de la Tabla 5.1. b. Clavos lanceros, multiplicar por 0.83 valores de la Tabla 5.1. c. Clavos a Tope, multiplicar por 0.67 valores de la Tabla 5.1. 4) Para uniones construidas con madera seca, se puede multiplicar por 1.25. 5) Verificar espesores mínimos y longitudes de penetración; eventualmente reducir las cargas admisibles por clavo. 6) Determinar el número de clavos y su ubicación. UNIONES SOMETIDAS A EXTRACCIÓN 1) Establecer bases de cálculo

a. Grupo de madera utilizado. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A99




b. Cargas actuantes en la unión y su orientación con respecto a la dirección de los clavos. 2) Seleccionar la longitud y el diámetro de los clavos. La longitud debe ser entre 2 y 3 veces el espesor del elemento que contiene la cabeza del clavo. 3) Determinar la longitud de penetración: “a”, en el elemento que contiene la punta del clavo, y calcular la carga admisible para un clavo perpendicular al grano usar la Tabla 5.5. 4) Para clavos lanceros multiplicar por 2/3 los valores de la Tabla 5.5. Los clavos paralelos al grano de la madera que contiene a la punta no pueden considerarse resistentes (llamados clavos a tope). 5) Uniones construidas con madera seca, se puede duplicar la carga admisible. 6) Determinar el número de clavos y su ubicación. 5.1.1 UNIONES SOMETIDAS A CIZALLAMIENTO.5.1.1.1 Cargas Admisibles.La carga admisible de una unión clavada depende de muchos factores, como el tipo de madera utilizada y su condición, la calidad, longitud y cantidad de clavos, espesores de los elementos de penetración, etc. Las cargas admisibles en condiciones de servicio para un clavo se dan a continuación, y están en dependencia al tipo de Cizallamiento al que se encuentre los clavos en la unión. a) Simple Cizallamiento: Figura 5.1 UNION CLAVADA A SIMPLE CIZALLAMIENTO

REF.: Elaboración propia UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A100




Para lo cual se da una tabla con los valores admisibles para un clavo perpendicular al grano y sometido a simple cizalle, y en esta tabla se considera la longitud y el diámetro del clavo, así como el grupo estructural de madera a utilizar: Tabla 5.1 CARGA ADMISIBLE POR CLAVO-‐ SIMPLE CIZALLAMIENTO Longitud ( L ) mm pulg 51

2

63

2 1/2"

76

3

89

3 1/2"

102

4

d mm 2.4 2.6 2.9 3.3 2.6 2.9 3.3 3.7 3.3 3.7 4.1 3.7 4.1 4.5 4.1 4.5 4.9

Carga Admisible, kg Grupo A** Grupo B Grupo C 36 28 20 40 31 22 46 36 25 53 42 30 40 31 22 46 36 25 53 42 30 61 48 35 53 42 30 61 48 35 70 54 39 61 48 35 70 54 39 78 61 44 70 54 39 78 61 44 87 68 49

REF.: Tabla 12.1 Pág. 12-‐4 “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino” “Andino

Cabe señalar que los valores de la anterior tabla son para maderas construidas con uniones húmedas (contenido de humedad mayor o igual al 30%); para uniones construidas con madera seca se puede mayorar las cargas admisibles en un 25%. b) Otros Casos, Como por ejemplo un clavo sometido a doble Cizallamiento, clavos lanceros, y clavos a tope, se determina su carga admisible multiplicando los valores de la tabla 5.1 por factores que corresponden a cada caso, y que se dan en la tabla 5.2.


A101




Tabla 5.2 FACTORES MODIFICATORIOS DE LAS CARGAS ADMISIBLES PARA UNIONES CLAVADAS SOMETIDAS A CIZALLAMIENTO

Tipo de Unión

Esquema

Factor

1.0

a. Cizallamiento simple, clavo perpendicular al grano

0.67

b. Cizallamiento simple, clavo a tope(paralelo al grano de la madera que contiene la punta

c. Cizallamiento simple, clavos lanceros

0.83

d. Doble cizallamiento, clavo perpendicular

1.80

al grano

REF.: Tabla 12.2 Pág. 12-‐5 “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”

5.1.1.2 ESPESORES MÍNIMOS Y PENETRACIÓN DE LOS CLAVOS.a) Simple Cizallamiento UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A102




El espesor de la madera más delgado (que contiene la cabeza del clavo) debe ser por lo menos 6 veces el diámetro del clavo: 6d. La penetración del clavo en el elemento que contiene la punta debe ser por lo menos 11 diámetros: 11d. Figura 5.2 ESPESORES MÍNIMOS Y PENETRACIÓN DE CLAVOS SOMETIDOS A CIZALLAMIENTO SIMPLE

6d 11d

6d

11d

REF.: Elaboración propia

Si se tienen espesores o penetraciones menores, las cargas admisibles deben reducirse. El factor de reducción debe ser la menor de las relaciones: 1. Espesor del elemento mas delgado dividido entre 6d. 2. Penetración del elemento que contiene la punta dividido entre 11d. En ningún caso deben aceptarse espesores o penetraciones menores que el 50 % de

los (6d, 11d) antes indicados.

Para clavos lanceros estos mínimos no son aplicables. Los clavos lanceros deben ser introducidos en puntos ubicados a una distancia igual a 1/3 de la longitud del clavo a partir del plano de unión y formando un ángulo aproximadamente de 30 grados con la dirección del grano, como se muestra a continuación: Figura 5.3 UBICACIÓN DE CLAVOS LANCEROS


A103




30°

30°

L 3

L

b) Doble Cizallamiento


El espesor del elemento central debe ser por lo menos igual a 10 veces el diámetro del clavo: 10d. Tanto el espesor del elemento adyacente a la cabeza del clavo, como la penetración del clavo en el elemento que contiene la punta no deberán ser menores que 5 veces el diámetro del clavo: 5d. Figura 5.4 ESPESORES MÍNIMOS Y PENETRACIÓN DE CLAVOS SOMETIDOS A CIZALLAMIENTO DOBLE

5d

10d

5d


Si no se cumplen los requisitos expuestos anteriormente, las cargas admisibles deben reducirse. El factor de reducción debe ser la menor de las relaciones: 1. Espesor del elemento central dividido entre 10d 2. Espesor del elemento adyacente a la cabeza dividido entre 5d 3. Penetración del elemento que contiene la punta dividido entre 5d UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A104




En ningún caso deben aceptarse espesores o penetraciones menores que el 50 % de

los (5d, 10d) antes indicados.

Si se clavan la mitad de los clavos desde cada lado, el espesor del elemento adyacente a la cabeza y la penetración del clavo en la madera que contiene la punta pueden promediarse para efectos de establecer la relación con la longitud 5d.

5.1.1.3 ESPACIAMIENTOS MÍNIMOS.Los espaciamientos mínimos especificados son necesarios para evitar rajaduras al clavar la madera. Con frecuencia estos requisitos obligan a utilizar elementos de madera de dimensiones mayores a las estrictamente necesarias por resistencia. En uniones constituidas por elementos de madera orientados en direcciones diferentes se deben verificar por separado los requisitos de espaciamiento en cada uno de ellos, resultando para la unión los que sean mayores en cada dirección. a) Simple Cizallamiento.La distancia entre clavos y a los bordes o extremos de las piezas de madera deben ser mayores o iguales a los indicados en la tabla 5.3. : Tabla 5.3 ESPACIAMIENTO MINIMO PARA SIMPLE CIZALLAMIENTO O DOBLE CIZALLAMIENTO CLAVADO DE UN SOLO LADO Elementos cargados paralelamente al grano

A lo largo del grano Perpendicular a la dirección del grano

Elementos A lo largo del grano cargados perpendicularmente al grano Perpendicular a la dirección del grano

Espaciamiento entre clavos Distancia al extremo

16d 20d

Espaciamiento entre lineas de clavos Distancia a los bordes

8d 5d

Espaciamiento entre clavos

16d

Espaciamiento entre lineas de clavos Distancia al borde cargado Distancia al borde no cargado

8d 10d 5d


Cuando se use un pretaladrado, pueden usarse los espaciamientos mínimos siguientes: Tabla 5.4 ESPACIAMIENTO MINIMO PARA SIMPLE CIZALLAMIENTO CON PRETALADRADO O DOBLE CIZALLAMIENTO SIMÉTRICO UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A105



Elementos cargados paralelamente al grano


A lo largo del grano Perpendicular a la dirección del grano

Elementos A lo largo del grano cargados perpendicularmente al grano Perpendicular a la dirección del grano

Espaciamiento entre clavos Distancia al extremo

11d 16d

Espaciamiento entre lineas de clavos Distancia a los bordes

6d 5d

Espaciamiento entre clavos

11d

Espaciamiento entre lineas de clavos Distancia al borde cargado Distancia al borde no cargado

6d 10d 5d

REF.: 12.4 Cizallamiento.Pág. 12-‐7 “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino” b)Tabla Doble

Los espaciamientos mínimos recomendados varían de acuerdo a la dirección del clavado, es decir: 1) Si todos los clavos son colocados al mismo lado. 2) Si se colocan alternadamente de ambos lados. Para el primer caso, los espaciamientos mínimos son los mismos que para simple cizallamiento recomendados en la tabla 5.3. Para el segundo caso (doble cizallamiento simétrico) los espaciamientos mínimos son los de la tabla 5.4. 5.1.2 UNIONES SOMETIDAS A EXTRACCIÓN.En lo posible el diseño debe evitar que los clavos queden sometidos a fuerzas de extracción. La fuerza de extracción que puede ser resistida por un clavo depende de: Ø Grupo estructural (A, B, C) al que pertenece la madera utilizada, y su contenido de humedad. Ø Longitud y diámetro de los clavos. Ø Ubicación de los clavos en relación a los elementos de madera. Ø Penetración de los clavos en la madera que contiene la punta. Las expresiones que permiten evaluar la carga admisible para un clavo perpendicular al grano en función al grupo estructural se presentan en la tabla 5.5. Estos valores pueden duplicarse si se utiliza madera seca. Figura 5.5 UNION SOMETIDA A EXTRACCION UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A106




a min. 6d

d = diametro del clavo

Tabla 5.5 CARGA ADMISIBLE DE EXTRACCIÓN REF.: Elaboración propia

Grupo

Clavo Perpendicular al Grano

8⋅a ⋅d 6⋅a ⋅d 4⋅a ⋅d

A B C


a , d , deben considerarse en centímentros Los coeficientes se pueden duplicar si se usa madera seca


A107




Para clavos lanceros y clavos aproximadamente paralelos al grano de la madera, la carga admisible se determina multiplicando los valores calculados de la Tabla 5.5 por los factores indicados en la Tabla 5.6. Tabla 5.6 FACTORES MODIFICATORIOS DE LAS CARGAS ADMISIBLES PARA UNIONES CLAVADAS SOMETIDAS A EXTRACCIÓN Tipo de Unión Esquema Factor

1.0

a. Clavo perpendicular al grano a

0.67

b. Clavo lancero a

0

c. Clavo a tope (paralelo al grano) a


Como conclusión se puede decir que el diseño de buenas juntas clavadas requiere de un poco de ingeniería y mucha carpintería de buena calidad. Lo mejor sería que quien diseñe las juntas clavadas tenga un poco de experiencia real en carpintería. Ejemplo Se desea determinar el número de clavos para la siguiente unión. La madera central tiene de base 5 cm y de altura 10 cm; las maderas laterales son de 2.5cm de base y de 10 cm de altura. Se pide realizar la unión mediante clavos. Utilizar madera del grupo B. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A108




1 ton

0.5 ton 0.5 ton Paso1) El grupo Estructural es el B , y la carga a la que se someterán los clavos es Doble Cizalle perpendicular a la fibra. Paso2) De la tabla 5.1 se elegirá clavos de 3.5 pulgadas de longitud y 3.7 mm de diámetro Paso3) Se determinan las cargas admisibles para este tipo de clavos: De la tabla 5.2 se saca que se deben multiplicar por 1.80 los valores admisibles de la tabla 5.1. Entonces:

Padm = 48 k ⋅ 1.80 = 86.4 k. Paso4) Verificación de espesores mínimos: Ø El espesor del elemento central debe ser por lo menos 10 veces el diámetro del clavo:

10d = 10 ⋅ 3.7 = 37 mm = 3.7 cm Como la base del elemento central es de 5 cm

CUMPLE!

Ø Tanto el espesor del elemento adyacente a la cabeza del clavo, como la penetración del clavo en el elemento que contiene la punta no deberán ser menores que 5 veces el diámetro del clavo:

5d = 5 ⋅ 3.7 = 18.5 mm = 1.85 cm Como la base del elemento que contiene la cabeza del clavo es de 2.5 cm CUMPLE! UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A109




Sumando la base del elemento exterior que contiene la cabeza del clavo mas la base del elemento central, y este valor restando a la longitud del clavo, se determina cuanta penetración tiene el clavo en el elemento que contiene la punta del clavo:

5 + 2.5 = 7.5 cm L clavo = 8.9 cm Penetración = 8.9 - 7.5 = 1.40 cm 1.40 cm < 1.85 cm

REDUCIR LA CARGA ADMISIBLE DEL CLAVO.

Entonces: Factor de reducción =

1.40 = 0.76 1.85

Entonces la resistencia admisible por clavo será:

Padm = 86.4 k ⋅ 0.76 = 65.66 k. Paso5) Determinación de número de clavos:

# Clavos =

5.2

Carga 500 = = 7.61 ≅ 8 clavos Padm 65.66

UNIONES ENCOLADAS

Son uniones rígidas de efecto resistente superficial proveniente de acciones mecánicas y químicas. Su rigidez es tal que generalmente falla antes la madera vecina a la unión. Corresponden al medio de unión de maderas más nuevo y se proyecta el de mayores posibilidades para el futuro. Sus principales ventajas se detallan a continuación: i)

Posibilitan la ejecución de secciones de piezas no limitas por las del material original.

ii)

La efectividad de las secciones transversales compuestas encoladas es completa, esto es, no se producen corrimientos relativos entre los componentes.

iii)

Facilita la industrialización en la producción (prefabricación).


A110




iv)

Permiten un consumo económico de la madera (tablas y tablones).

v)

Neutralizan las fallas naturales de la madera.

vi)

Las uniones endentadas y en bisel permiten la construcción de uniones no visibles originando piezas de considerable longitud.

vii)

Las estructuras encoladas poseen una alta resistencia al fuego, e incluso pueden ser calculadas para este objeto.

viii)

Se materializan sin debilitar las piezas a unir como sucede con los restantes medios de unión.

ix)

Implican economías en el consumo del acero.

x)

La construcción de estructuras laminado encoladas permite solucionar óptimamente los requisitos estáticos como arquitectónicos.

xi)

Estas últimas estructuras poseen una excelente resistencia a los ataques químicos.

xii)

Abren

posibilidades

de

ampliaciones,

reparaciones

en

obra,

modificaciones y desmontaje sin grandes dificultades.

5.3

UNIONES APERNADAS

Son uniones desmontables de tipo puntual. El perno constituye uno de los medios de unión más antiguos y usados pese a que la capacidad de transmisión de carga en relación al consumo de acero es bastante reducida. En el funcionamiento de una unión apernada se producen tres fases distintas en la transmisión de fuerzas: a) En un comienzo, y especialmente para pernos fuertemente apretados la unión trabaja por roce. Luego los pernos se ubican contiguos a la madera presionando las paredes de los agujeros. b) Esta presión que inicialmente es uniforme en su distribución sobre la superficie del agujero, con el aumento de la carga se desuniformiza debido al efecto flector que se produce en el perno, generándose concentraciones UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A111




localizadas de tensiones en los bordes de la madera. El perno deformado se incrusta en la madera. c) Finalmente, esta deformación del perno es tal que los corrimientos que ha experimentado la unión superan ampliamente las deformaciones admisibles en uniones estructurales. Para efectos de cálculo de uniones apernadas se considera la segunda fase. Las uniones con pernos deberán realizarse de manera que exista contacto efectivo entre las piezas unidas. Si el contenido de humedad es alto, al efectuarse el montaje de la estructura en cuestión deberán hacerse inspecciones a intervalos no superiores a seis meses hasta verificar que los movimientos por contracciones han dejado de ser significativos. En cada inspección deberán apretarse los elementos de unión hasta lograr un contacto efectivo entre las caras de las piezas unidas. Además se recomienda que todos los elementos metálicos utilizados con madera húmeda tengan un tratamiento anticorrosivo. Las uniones apernadas son particularmente eficientes con maderas de los grupos estructurales A y B, pero pueden utilizarse con maderas del grupo C. Cuando se utilicen piezas metálicas de unión, los agujeros deberán localizarse de manera que queden correctamente alineados con los agujeros correspondientes en las piezas de madera. Se colocará una arandela entre la cabeza o la tuerca del elemento de unión y la madera para evitar esfuerzos de aplastamiento excesivos. Las arandelas podrán omitirse cuando la cabeza o la tuerca del elemento se apoyen directamente sobre una placa de acero. Las cargas admisibles están basadas en resultados de ensayos efectuados a uniones con pernos según la norma ASTM D 1767 – 74, sometidos a doble cizallamiento. Estos resultados corresponden a 46 especies, con uniones cargadas paralelamente al grano o en dirección perpendicular al grano del elemento central y con relaciones entre el espesor del elemento central y el diámetro del perno. 5.3.1 UNIONES SOMETIDAS A DOBLE CIZALLAMIENTO Las cargas admisibles que se presentan en la Tabla 5.7. son directamente aplicables a uniones sometidas a doble cizallamiento para el caso en que el UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A112




espesor de cada uno de los elementos laterales es igual a la mitad del espesor del elemento central. Esto es aplicable tanto para cargas paralelas como perpendiculares al grano.

Para aquellos casos en que el espesor de los

elementos laterales no alcanza a ser la mitad del espesor del elemento central, se ha optado por considerar como útil solamente el doble del espesor de los elementos laterales. Para los casos en que el espesor del elemento central no llega a ser el doble de los laterales, se recomienda que el espesor útil de los elementos laterales sea sólo la mitad de aquel elemento central.

Tabla 5.7 CARGAS ADMISIBLES PARA UNIONES APERNADAS-DOBLE CIZALLAMIENTO GRUPO A L cm. 2.0

3.0

4.0

5.0

6.5

8.0

9.0

10.0

d cm. 0.63 0.95 1.27 1.59 0.63 0.95 1.27 1.59 0.63 0.95 1.27 1.59 1.9 0.95 1.27 1.59 1.9 0.95 1.27 1.59 1.9 0.95 1.27 1.59 1.9 0.95 1.27 1.59 1.9 0.95 1.27 1.59 1.9

d pulg. 1/4 3/8 1/2 5/8 1/4 3/8 1/2 5/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 3/8 1/2 5/8 3/4 3/8 1/2 5/8 3/4 3/8 1/2 5/8 3/4 3/8 1/2 5/8 3/4 3/8 1/2 5/8 3/4

L/d 3.2 2.1 1.6 1.3 4.8 3.2 2.4 1.9 6.3 4.2 3.1 2.5 2.1 5.3 3.9 3.1 2.6 6.8 5.1 4.1 3.4 8.4 6.3 5.0 4.2 9.5 7.1 5.7 4.7 10.5 7.9 6.3 5.3

P kg 195 297 396 495 229 438 594 743 256 491 779 990 1188 536 851 1217 1485 591 943 1350 1809 645 1024 1465 1963 676 1072 1535 2057 704 1118 1600 2144

GRUPO B

Q kg 88 101 117 132 124 152 176 198 144 201 234 264 299 226 293 330 374 260 345 428 486 289 385 481 595 308 409 512 633 325 433 541 669

P kg 131 196 261 326 179 294 392 489 200 386 522 653 783 420 653 816 979 463 739 1061 1273 501 799 1148 1544 523 835 1200 1614 544 869 1248 1679

Q kg 58 67 78 88 88 101 117 132 114 134 156 175 199 168 195 219 248 206 253 285 323 235 303 351 397 253 326 395 447 270 348 426 497

GRUPO C P kg 75 113 151 188 113 169 226 282 128 226 301 375 452 268 376 470 564 297 471 611 734 318 511 731 903 329 535 766 1016 339 555 799 1070

REF.: Tabla 12.7 Pág. 12-‐14 “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino” UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A113


Q kg 34 39 45 51 51 59 68 77 68 78 91 102 116 98 114 128 145 127 148 166 188 156 182 205 232 169 205 230 261 181 227 256 290



Influencia de la Orientación de las Fuerzas con Relación al Grano Los valores indicados como P son cargas admisibles para el caso en que la fuerza en la unión sigue la dirección del grano, como se indica en la figura 5.6.

Figura 5.6 UNIÓN APERNADA A DOBLE CIZALLAMIENTO. CARGAS PARALELAS AL GRANO EN TODOS LOS ELEMENTOS P 2

P

P 2

L 2 L 2

L Ref.: Elaboración Propia

Las cargas admisibles cuando la fuerza es paralela al grano del elemento pero perpendicular al grano de los elementos laterales o viceversa (Figura 5.7) se indican como Q. Figura 5.7 UNIÓN APERNADA A DOBLE CIZALLAMIENTO.

Q


A114




a) Cargas perpendiculares al grano en los elementos laterales y paralela al grano en el elemento central Q 2

Q 2

c) Cargas perpendiculares al grano en el elemento central y paralelas al grano en los elementos Laterales.

Ref.: Elaboración Las cargas admisibles P y Q corresponden a dos situaciones límites. Si la carga Propia aplicada sigue la dirección del grano en el elemento central pero forma un ángulo θ con la dirección del grano en los elementos laterales (Figura 5.8.a.) o viceversa (Figura 5.8.b.), la carga admisible puede determinarse con la fórmula de Hankinson:

N=

P⋅Q P ⋅ sen θ + Q ⋅ cos2θ 2

Figura 5.8 UNIONES APERNADAS, CARGAS INCLINADAS CON RELACIÓN AL GRANO.

N

θ


A115



ANEXOS CAPÍTULO III a) N 2

N 2

θ

b) Ref.: Elaboración Propia

Uniones con Pletinas Metálicas Si los elementos laterales son pletinas metálicas, los valores indicados como P en la Tabla 5.7. Pueden incrementarse en 25 por ciento. No deben considerarse incrementos similares para cargas perpendiculares a la dirección del grano, Q. En ambos casos, L debe tomarse como el espesor del elemento central de madera (Figura 5.9). Las pletinas metálicas deben tener amplio margen de seguridad contra posibles fallas por corte o aplastamiento. Figura 5.9 UNIÓN APERNADA CON PLETINAS METÁLICAS

L Ref.: Elaboración Propia

5.3.2 UNIONES SOMETIDAS A SIMPLE CIZALLAMIENTO La carga admisible para un perno sometido a simple cizallamiento puede considerarse como la mitad de la carga tabulada o calculada para una unión con doble cizallamiento.

Para efectos de este cómputo, el elemento central debe


A116




tomarse con igual espesor y orientación que el elemento más grueso en la unión a simple cizallamiento; los elementos laterales deben considerarse con el espesor y orientación del elemento más delgado (Fig. 5.10). Figura 5.10 UNIÓN APERNADA SOMETIDA A CIZALLAMIENTO SIMPLE

e

t

L= t ó 2·e, el menor e


5.3.3 UNIONES SOMETIDAS A CIZALLAMIENTO MÚLTIPLE Para uniones apernadas de 4 ó más elementos (Figura 5.11) la carga admisible puede determinarse sumando las cargas admisibles para cada plano de cizallamiento.

Estas deben ser calculadas considerando los dos elementos

adyacentes a cada plano y con el procedimiento indicado anteriormente. Figura 5.11 UNIÓN APERNADA SOMETIDA A CIZALLAMIENTO MÚLTIPLE SIMPLE


Consideraciones para efectos combinados de corte y fuerza axial, además de los coeficientes de reducción de carga por Efecto de Grupo en las uniones apernadas son detalladas en el Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino. (Capítulo 12). 5.3.4 ESPACIAMIENTOS MÍNIMOS


A117




El espaciamiento entre pernos y las distancias entre éstos y los bordes de los elementos de madera deben ser suficientes para permitir que cada perno desarrolle toda su capacidad resistente. En uniones constituidas por elementos de madera orientados en direcciones diferentes, se deben verificar por separado los requisitos de espaciamiento en cada uno de ellos, resultando para la unión los que sean mayores en cada dirección. En lo que sigue, se define como línea de pernos a la que forman dos o más pernos en una línea paralela a la dirección de la carga. a) Cargas Paralelas a la Dirección del Grano En elementos en los que las fuerzas aplicadas siguen la dirección del grano; la distancia entre pernos, separación de las filas y las distancias a los bordes y extremos deben ser mayores o iguales que las indicadas. Todas estas distancias deben medirse a partir del eje del perno. Figura 5.12 ESPACIAMIENTOS MÍNIMOS ENTRE PERNOS, CARGAS PARALELAS AL GRANO

( tracción ) ( compresión )

5d 4d 4d 5d 4d 4d

2d 2d 2d

elementos en tracción elementos en compresión


b) Cargas perpendiculares a la Dirección del Grano Para elementos cargados perpendicularmente a la dirección del grano, los espaciamientos mínimos y distancias entre filas y a los bordes y extremos se presentan en la Tabla 5.8. Figura 5.13 ESPACIAMIENTO MÍNIMO ENTRE PERNOS, CARGAS PERPENDICULARES AL GRANO


A118




espaciamientos en este elemento según requisitos para cargas paralelas al grano borde no cargado 2d 4d 4d 4d borde cargado

2.5 2d y 2d 5d Ref.: Elaboración Propia

Como se indica la separación o espaciamiento entre líneas de pernos, s, es función de la relación L/d. Para L/d mayor que 2 y menor que 6 se puede hacer una interpolación lineal. (Ver Pág. 12-19 “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”). Tabla 5.8 ESPACIAMIENTOS MÍNIMOS PARA PERNOS

Elementos cargados paralelamente al grano

Espaciamiento entre pernos A lo largo del grano Distancia al extremo en tracción Distancia al extremo en compresión Perpendicularmente Espaciamiento entre líneas de pernos a la dirección del grano Distancia a los bordes

4d 5d 4d 2d* 2d

Espaciamiento entre líneas de pernos, s: para L/d ≤ 2 s= 2.5d Elementos cargados A lo largo del grano para L/d ≥ 6 s= 5d perpendicularmente al para 2 ≤ L/d ≤ 6 2.5d ≤ s ≤ 5d grano Perpendicularmente Espaciamiento entre pernos 4d a la dirección del Distancia al borde cargado 4d grano Distancia al borde no cargado 2d d = diámetro del perno ( * ) Si el espaciamiento entre líneas es mayor de 12.5 cm. es recomendable usar elementos laterales separados para cada fila.

REF.: Tabla 12.9 Pág. 12-20 “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”


A119


ESTRUCTURAS DE MADERA 5.4


EMBARBILLADOS

Corresponden a una de las pocas formas de unión de naturaleza ebanística que pueden ser desarrolladas matemáticamente. Funcionan como rótulas imperfectas ejecutadas en forma de cuña y pueden transmitir únicamente fuerzas de compresión. Existen distintas posibilidades de materializar un embarbillado, de las que se analizarán las tres más importantes. 5.4.1 EMBARBILLADO DE MEDIO TALÓN. Optimiza el trabajo de compresión entre la cuña o talón y el madero de apoyo. La superficie de contacto entre la superficie menor del talón y el madero base se orienta según la bisectriz del complemento del ángulo de incidencia de la barra comprimida sobre la barra de apoyo. Para la transmisión de fuerzas se considera solamente esta área frontal del talón, sobre la que la fuerza a transmitir se descompone en una componente normal C1 y otra según la superficie, D1, que es neutralizada por roce. Figura 5.14 EMBARBILLADO DE MEDIO TALÓN

s 2 3s

β/2

1 3

s

β/2

h



b

α

d

t

C

ha


T b

La componente C1 tiende a aplastar la entalladura en el área: A= b٠۰d. De las gráficas se pueden sacar las siguientes relaciones:


A120




C

β/2

β/2 β α = 90 º − ; 2 2

sen

α C cos = 1 ; 2 C

α/2

D1 C1

β α⎞ α ⎛ = sen⎜ 90 - ⎟ = cos 2 2⎠ 2 ⎝

sen

β t α t = ⇒ cos = 2 d 2 d

adσ aplast =

C1 b⋅d

Reemplazando los valores de las relaciones anteriormente obtenidas tenemos:

adσ aplast

⎛α⎞ C ⋅ cos⎜ ⎟ ⎝2⎠ = t b⋅ ⎛α⎞ cos⎜ ⎟ ⎝2⎠

Lo más usual es conocer la solicitación en la diagonal C, debiendo determinarse la profundidad de talón requerida en estas condiciones:

⎛α⎞ C ⋅ cos 2 ⎜ ⎟ ⎝2⎠ t= b ⋅ adσ aplast El esfuerzo admisible de aplastamiento de la madera depende del grupo de la madera y del ángulo de inclinación (α/2). La NCH. 5006 toma un valor de 75 k/cm2. Para valores usuales del ángulo de incidencia (20º<α<60º) la anterior expresión tiende a valores estables que conducen a expresiones simplificadas:

t=

C (cm.) (70 - 80 )⋅ b

En que C tiene dimensiones de kgf y b de cm. Las fuerzas transmitidas a la barra traccionada por medio de las superficie de talón deben ser neutralizadas bajo forma de fuerzas de cizalle en la superficie del saliente “l٠۰b”. De ahí que ésta longitud queda determinada por la relación: UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A121




=

T (cm.) b ⋅ adτ Horizontal

Con T en kgf, b en cm. adτ Horizontal en kgf/cm2. De acuerdo a ensayos realizados, se recomienda una longitud mínima de l≥20cm., pero sin llegar a sobrepasar el valor de 8٠۰t. En relación a la profundidad de corte “t”, también se encuentra acotada, dependiendo de la magnitud del ángulo de incidencia de la diagonal: t ≥15 mm.≤ h/4

para α ≤ 50º

t ≥15 mm.≤ h/5 55º ≥α > 50º t ≥15 mm.≤ h/6

α > 55º

Para embarbillados simultáneos en ambos lados de la barra deberá cumplirse t ≤ h/6 cualquiera sea el ángulo de incidencia de las diagonales. Para fijar el embarbillado en posición se pueden usar pernos prensores, cubrejuntas de madera clavadas o cubrejuntas de acero apernadas. 5.4.2 EMBARBILLADO DE TALÓN. Se recurre a este tipo de embarbillados cuando la zona de apoyo de la estructura es lo suficientemente reducida como para no permitir la materialización de una longitud de saliente exigida por un embarbillado de medio talón. Figura 5.15 EMBARBILLADO DE TALÓN

C

ha

b

α t



h


T b

Siguiendo el mismo procedimiento usado en la determinación de la profundidad de corte en el embarbillado de medio talón obtenemos: UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A122




t=

C ⋅ cosα b ⋅ adσaplast.

El cálculo de l es idéntico al visto para el embarbillado de medio talón. 5.4.3 EMBARBILLADO DE DOBLE TALÓN. Se usa cuando la profundidad de talón requerida resulta mayor que la admisible. Viene a ser una combinación de un embarbillado de medio talón y uno de talón. En la figura se esquematiza una posibilidad de solución. La profundidad de corte t2 del talón posterior deberá ser 1 a 2 cm. mayor que la del talón anterior, a fin de generar dos superficies de cizalle independientes. Figura 5.16 EMBARBILLADO DE DOBLE TALÓN

s 1 2

β/2

s

1 2

s C1 C2

β/2

t1

1

C

ha

b

α

t2

h

2

T


b

El proceso de cálculo de este tipo de embarbillados se realiza en 5 etapas: 1.- Se supone en una primera aproximación C1=C2=C/2. 2.- Se determina t2 en función de C2, eligiéndose el máximo valor compatible con las condiciones del problema. 3.- Con t2 se determina un C2 admisible. 4.- El talón delantero deberá tomar C1=C-C2ad. 5.- Determinar las longitudes de cizalle l1 y l2. Otra forma de solucionar este problema sin recurrir al uso del embarbillado doble, que es trabajoso de materializar, es optar por alguna de las siguientes posibilidades: -

Ensanchamiento del talón y de la barra base por medio de maderos laterales (se diseñan 1.5 veces la fuerza correspondiente)

-

Clavado de cubrejuntas laterales (se diseñan para 1.5 veces la fuerza


A123




correspondiente) -

Aumento de la altura de la barra de apoyo por medio de piezas de madera auxiliares.

Ejemplo 1 El nudo 1 al que concurren 2 barras forma parte de una cercha. Se pide diseñar la unión apernada con cubrejuntas de acero. Datos: Lb1=1.5 m.

3

Lb2=2.0 m.

b2 1

ϕ

b1

2

325 k 1200 k

Primero para los datos que se tiene se debe sacar el ángulo de inclinación formado por las barras b1 y b2: ¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo.; senφ=0.66 Ahora sacaremos las solicitaciones de las barras b1 y b2:

∑ Fy = 0 ⇒ 1200 − 0.66 ⋅ b ∑ Fx = 0 ⇒ 325 + b

1

2

= 0 ⇒ b 2 = 1818.18 k COMPRESIÓN

− 0.75 ⋅ (1818.18) = 0 ⇒ b1 = 1038.64 k TRACCIÓN

Cuando a un nudo concurren barras en compresión y tracción simultáneamente, es más conveniente iniciar el diseño a partir de las barras en compresión (puesto que este fenómeno es muy desfavorable). è Barra 2:

C = 1818.18 k L = 200 cm. K = 1 à (Articulado en ambos extremos) lefectiva= 1٠۰200= 200 cm.


A124




Asumiremos las siguientes dimensiones para maderas del Grupo A

•

Dimensiones:

•

(Grupo A)

Base (b) = 2 ½ “ =6.35 cm Altura (h) =6 ½ “ =16.5 cm

f c ↔ 145 k/cm2

E ↔ 130000 k/cm2 L 200 Se tiene una esbeltez igual a: λ = = = 31.49 d 6.35 De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck, que para un entramado del Grupo A vale 20.06. Como λ es mayor que 10 y mayor a 20.06, pero menor que 50, la columna es larga. La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna larga es:

Nadm = 0.329 ⋅ N adm = 0.329 ⋅

E⋅A λ2

130000 ⋅ 6.35 ⋅ 16.5 = 4519.1 k > C = 1818.18 k 31.49 2

En compresión coeficientes de seguridad entre 2 y 3 son adecuados por razones constructivas. La sección que inicialmente se supuso densa se verá debilitada por los elementos de unión ya sean clavos, tarugos, etc. Lo que nos obliga a tener coeficientes de seguridad relativamente altos. è Barra 1:

T = 1818.18 k L = 150 cm.

La tracción es menos peligrosa en las maderas, en cambio en el concreto la tracción es un fenómeno muy peligroso. Con objeto de facilitar la construcción de la unión es muy conveniente que todos los elementos que concurren a un nudo tengan la misma base.


A125




f c ↔ 145 k/cm2 à fc =T/A A=

T 1038.64 ⇒ A = 6.35 ⋅ h = fc 0.9 ⋅ 145

En la anterior ecuación se tomó un coeficiente de seguridad (0.9) por debilitamiento de la madera en el proceso constructivo: h =1.25 cm. En ningún caso h
•

Dimensiones:

Base (b) = 2 ½ “ = 6.35 cm. Altura (h) =2 ½ “ = 6.35 cm.

e=81"

6.35 Para ingresar a la tabla 5.7. debemos tomar como L a la longitud del elemento central de madera. (Pág. 12-16 Manual de diseño para Maderas del Grupo Andino). El diámetro de perno a utilizar será: dp=3/8”=0.95 cm. Adoptaremos los valores de L = 6.5 cm.

P = 594 k Q = 260 k

Los valores P y Q observados en la Tabla 5.7. corresponden a doble cizallamiento. El Manual de Diseño de Maderas del Grupo Andino permite mayorar los valores de P y Q en un 25% cuando se utilizan cubrejuntas metálicas (Pág. 12-16). N = 1.25 ⋅ 594 = 742.5 k


Diagonal à C/N = 1818.18 / 742.5=2.45 ≈ 3 pernos Número de Pernos: Cuerda Inf.à T/N= 1038.64 / 742.5 =1.40 ≈ 2 pernos FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA A126



Ubicación de los pernos: Para la ubicación de los pernos, se necesita determinar algunos valores: Estas distancias pueden mayorarse hasta un

5dp = 4.75 cm. 4dp = 3.80 cm. 2dp = 1.90 cm.

20% en vistas a facilitar la construcción de la unión. (Tabla 5.8.)

Para uniones con más de un perno la carga admisible debe obtenerse sumando las fuerzas tabuladas o calculadas para cada perno y multiplicando este total por un factor de reducción, que está en función del número de pernos por línea paralela a la dirección de la fuerza aplicada y no del número total de pernos. (Tabla 12.8 Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino). Para uniones con elementos laterales de acero y para los pernos de la cuerda inferior el factor de reducción de la carga admisible correspondiente a 2 pernos será 1.00; Entonces: 2 ⋅ 594 ⋅1.00 = 1188 k > 1038.64 k è BIEN

16.5 cm. 4d

2d

4d

2d 2d 2d

6.35 cm. 5d

4d

5d

La figura muestra una tentativa de ubicación de los pernos, tomando en cuenta que los valores presentados serán los mínimos y las distancias finales serán tomadas ajustándolas a la disposición final de la unión de acuerdo al proceso constructivo y la economía de ésta. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A127




Ejemplo 2 Se pide diseñar la unión del ejemplo usando un embarbillado de medio talón. Datos: Lb1=1.5 m. Lb2=2.0 m.

1818.18 k

69.3º

69.3º

α/2

D1 C1

⎛α⎞ C ⋅ cos 2 ⎜ ⎟ 2 ⎠ 1818.18 ⋅ cos 2 20.7 ⎝ t= = = 3.34 cm. b ⋅ adσ aplast 6.35 ⋅ 75 Utilizando la expresión simplificada:

t=

C 1818.18 = = 3.82 cm. Escogemos ésta 75 ⋅ b 75 ⋅ 6.35

Pero dijimos que: t ≥15 mm≤ h / 4

t<

Entonces:

para α ≤ 50º

6.35 = 1.59 cm. 4

Es necesario cambiar la altura de la cuerda inferior para poder satisfacer ésta condición: h = 4 ⋅ 3.82 ≈ 15 cm. ⇒ 6"

Las fuerzas transmitidas a la barra traccionada por medio de las superficie de talón deben ser neutralizadas bajo forma de fuerzas de cizalle en la superficie del saliente “l٠۰b”. De ahí que ésta longitud queda determinada por la relación: UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A128



=


T 1038.64 = = 10.91 cm. ⇒  = 20 cm. b ⋅ adτ Horizontal 6.35 ⋅ 15

Para reforzar el elemento se recomienda colocar un perno: dp = t/2 = 3.82/2 =1.91 cm ≈ ¾”

s 2 3s

69.3º

1 3

5 16.

s

1818.18 k

5 6.3

69.3º 41.4º

3.82 cm.

15

1038.64 k 6.35

20 cm.

EJERCICIO PROPUESTO.Ø En la lectura de capítulo dar especial importancia a los siguientes conceptos: « Uniones sometidas a cizallamiento « Uniones sometidas a extracción « Clavo lancero « Unión encolada « Fórmula de Hankinson « Embarbillado Ø Revisar y dar la correspondiente lectura de los anexos de conexiones de madera. PROBLEMAS PROPUESTOS.Ø Diseñar la mejor opción de unión (Embarbillado, clavado, apernado) y comparar los costos. Sacar conclusiones de viabilidad de ejecución de la unión.


A129




2.5 Ton 5.4Ton

25º

Lb1=1.9 m

Lb2=2.6 m.


A130




ARMADURAS DE MADERA 6.1 GENERALIDADES.Las armaduras de madera tienen una gran diversidad de usos, entre los que destacan la construcción de techos para diversos tipos de edificaciones, la construcción de puentes, etc. Las armaduras de madera presentan grandes ventajas para la construcción de techos de casas, estas son: su reducido peso propio (lo que facilita su montaje), su capacidad de cubrir grandes luces, y se ajustan a muchas formas de perfiles para techos. Una armadura es una estructura reticulada, con un sistema de miembros ordenados y asegurados entre sí, de modo que los esfuerzos transmitidos de un miembro a otro son de compresión o de tensión axial. Básicamente una armadura esta compuesta por una serie de triángulos, porque el triángulo es el único polígono cuya forma no puede cambiarse sin modificar la longitud de uno o más de sus lados. Con respecto a los techos soportados por armaduras: 1. Una crujía es una parte de la estructura del techo limitada por dos armaduras adyacentes; la separación entre centros de las armaduras es el ancho de la crujía. 2. Una correa es una viga que va de armadura a armadura, y que les transmite las cargas debidas a nieve, viento y el peso de la construcción del techo. 3. La parte de una armadura que se presenta entre dos nudos adyacentes de la cuerda superior se llama celosía. 4. La carga llevada al nudo de una cuerda superior o punto de celosía es, por lo tanto, la carga de diseño del techo en kilogramos por metro cuadrado, multiplicada por la longitud de la celosía y por el ancho de la crujía; a esto se le llama una carga de6.1 celosía. Figura PARTES DE UNA ARMADURA DE TECHO


A131



Ref.: Fig. 12.1 Pág.: 184 “Diseño Simplificado de Estructuras de Madera” Parker-‐Ambrose

Cuerda Superior

Carga de Celosía

ía los e C Cuerda Inferior Claro

Pendiente


Carga de Celosía

A132

Peralte


Reacción




6.2 TIPOS DE ARMADURAS.En la siguiente figura se ilustran algunas de las armaduras para techo más comunes. Figura 6.2 FORMAS DE ARMADURAS DE TECHO MAS COMUNES

a) Fink o W

b) En Abanico

c) Fink combada

d) Howe

e) De pendolón

f) Pratt

g) Warren Plana

h) Pratt plana

i) De arco y cuerda Ref.: Fig. 12.2 Pág.: 185 “Diseño Simplificado de Estructuras de Madera” Parker-‐Ambrose UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A133




En el“Manual de Diseño para Madera del Grupo Andino” se muestran también similares formas de armaduras, con sus luces recomendadas (Pág. 11-3). La altura o peralte de una armadura dividida entre el claro se llama relación peralte a claro; el peralte dividido entre la mitad del claro es la pendiente. A continuación se presenta la Tabla 6.1 en la cual se muestran la relación peralte a claro y sus respectivas pendientes para los techos más comunes. Tabla 6.1 RELACIÓN PERALTE A CLARO Y PENDIENTES DE TECHOS Relacion peralte a claro

1/8

1/6

1/5

1/4

1/3.46

1/3

1/2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Grados

14º3'

18º26'

21º48'

26º34'

30º0'

33º0'

45º0'

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pendiente

1/4

1/3

1/2.5

1/2

1/1.73

2/3

Ref.: Tabla 12.1 Pág.:185 “Diseño Simplificado de Estructuras de Madera” Parker-Ambrose

Para armaduras de techo, para evitar en lo posible esfuerzos de flexión de la cuerda superior es conveniente la ubicación de los nudos directamente debajo de las correas. También se debe procurar que la pendiente no sea excesivamente plana, debido a que es antieconómica, así como poco peralte. En zonas de vientos fuertes es conveniente usar pendientes pequeñas, implicando esto mayores cargas horizontales, como nieve (si la hay), u otras sobrecargas. Espaciamiento de las armaduras.El espaciamiento más económico depende del costo relativo de las armaduras, las correas y la cobertura. El tamaño de las correas ésta determinado por el momento flector que soportan y limitación de sus deformaciones; su costo por lo tanto varía con el cubo o cuadrado de la luz (que viene a ser el espaciamiento). También debe considerarse lo siguiente: Ø El costo de los materiales y de la mano de obra de las armaduras por m2 de techo, es normalmente varias veces el de las correas. Ø El costo de la cobertura varía con su naturaleza misma, pero probablemente no exceda al de las correas. Estas consideraciones sugieren por lo tanto que lo más conveniente espaciar al máximo las armaduras porque resulta por lo general un diseño más económico. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A134


1



Por lo tanto debe usarse por lo general aquel espaciamiento igual a la máxima luz que cubran las correas más económicas; considerando que ellas trabajan como vigas continuas ya que cubren cuando menos dos tramos. Configuración interna.La configuración de elementos internos de las armaduras debe procurar paños tales que reduzcan el número de nudos, debido al alto costo involucrado en su fabricación total. También debe considerarse: Ø Que la esbeltez de los elementos a compresión no debe ser excesiva, ya que la capacidad de carga disminuye rápidamente con el incremento de la esbeltez (ver Capítulo 4). Ø Que la flexión en las cuerdas superiores, debido a cargas en el tramo, no debe ser excesiva ya que el efecto magnificador de la presencia simultanea de la carga axial la hace más mucho más desfavorable. Ø Que el ángulo interno entre las cuerdas y entre éstas y las diagonales no sea muy pequeño, porque esto resulta en fuerzas muy grandes en las respectivas barras y requiere uniones excesivamente reforzadas. 6.3 MIEMBROS Y NUDOS DE ARMADURAS.En armaduras de madera se usa por lo general elementos simples y múltiples. La combinación más apropiada de elementos depende de la magnitud de las cargas, de las luces por cubrir y de las conexiones adoptadas. Las tres formas más comunes de configuración de armadura son las que se muestran a continuación en la figura 6.3. Figura 6.3 FORMAS COMUNES DE CONEXIONES DE ARMADURAS DE MADERA COMUNES


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a) Armadura ligera de madera de un solo elemento, con placas de conexión clavadas.

b) Miembros de madera pesada con placas de conexión de acero y nudos atornillados.

c) Miembros con varios elementos con nudos empalmados con cubrejuntas de madera y empernados.

Ref.: Fig. 12.4 Pág.: 190 “Diseño Simplificado de Estructuras de Madera” Parker-‐Ambrose


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El tipo de miembro individual, con todos los miembros en un solo plano, el cual se muestra en a), es la que se usa con mayor frecuencia para producir la armadura simple Fink o W, con miembros cuyo espesor es por lo general de 2 pulgadas. En armaduras más grandes se puede usar la forma que se muestra en c), con miembros que constan de varios elementos de madera. Si el elemento trabaja a compresión, se diseñará, por lo general, como una columna formada por varios miembros (ver capitulo 4).Para claros pequeños, los miembros son por lo general, de dos elementos con espesor de 2 pulgadas; sin embargo para claros grandes o cargas pesadas, los elementos individuales sobrepasan

las 2 pulgadas de

espesor. En la denominada armadura pesada, los miembros individuales son elementos grandes de madera, que por lo general presentan un solo plano, como lo muestra la figura c). Un tipo común de nudo para este caso, es en el que se usa placas de acero unidas con tornillos tirafondo o pernos que la atraviesan. Un tipo de unión muy común para un miembro diagonal a compresión que será conectado con la cuerda inferior es el embarbillado (ver capítulo 5), pero este tipo de unión requiere trabajo de carpintería para su ejecución, a continuación se muestra un esquema de este: C

α T

Aunque los miembros de madera tienen una resistencia considerable a la tracción, no es sencillo construir uniones que resistan a tensión, en especial si las armaduras son de madera pesada. Así como una solución a esto en la actualidad se acostumbra a que los miembros de la armadura sujetos a tensión sean de acero (con excepción a las cuerdas); como así también es muy común que se construyan armaduras en que solo las cuerdas son de madera, y todos los elementos interiores son de acero. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

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6.4 REQUISITOS DE RESISTENCIA Y RIGIDEZ.Cargas.Las armaduras se deben diseñar para resistir las cargas aplicadas (el ingeniero deberá identificarlas y determinar la magnitud de las mismas). También se debe tomar en cuenta cargas de montaje o construcción, y algunas otras cargas especiales. En el caso de que una cuerda inferior soporte un cielo raso, se debe considerar una carga mínima de 30 kg/m2 . Deflexiones.Para el cálculo de las deflexiones el “Manual de Diseño para Madera del Grupo Andino” acepta los métodos de cálculo habituales en la práctica de la ingeniería, como ser las deflexiones elásticas por métodos de trabajos virtuales que suponen las articulaciones como perfectas e indeformables. Cabe señalar que con el desarrollo de la tecnología, los programas computacionales realizan el cálculo de las deflexiones mediante el método matricial (método más exacto); por lo tanto ya no será necesario realizar los cálculos de manera manual, por lo que en este capítulo en la parte de tutoriales de programas, se realizará el procedimiento para encontrar éstas deflexiones por medio de los programas computacionales (ya sea en “SAP2000”, “Robot Millenium”, o “Cercha para la calculadora HP”). Siendo ya calculadas las deflexiones “elásticas” lo que la norma recomienda es: “Si la armadura ligera es tipo Fink o abanico, y cuyas uniones son clavadas, y son fabricadas con cartelas de tableros contrachapados se debe utilizar la fórmula siguiente para hallar la deflexión máxima en una barra de la cuerda inferior:

⎛ w ⋅ L4 ⋅104 ⎞ ⎜ ⎟ cm. δf = 1.75⎜1.15 ⋅ δ + ⎟ E⋅I ⎝ ⎠ Donde:

δ = deflexión elástica en cm.

w = carga repartida en las cuerdas inferiores (kg/m). E = módulo de elasticidad axial en kg/cm2. I = inercia de la sección transversal en cm4. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

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L = longitud de la barra analizada (perteneciente a la cuerda inferior) en mts. Las deflexiones admisibles deberán cumplir con lo estipulado en el capítulo 3, y en caso de que la armadura soporte elementos frágiles (como soporte de cielo raso de yeso u otros acabados), las deflexiones se deben limitar a las deflexiones máximas admisibles dadas en el capítulo antes mencionado. En el caso de que el espaciamiento de las armaduras sea menor o igual que 60 cm, se recomienda utilizar el módulo de elasticidad promedio: “Epromedio”, y en caso contrario, se debe considerar el modulo de elasticidad mínimo: “E0.05”. En armaduras ligeras por lo general no se considera la contraflecha, pero si por una razón especifica es necesaria, se recomienda que sea del orden de 1

300

de

la luz de la armadura. 6.5 CRITERIOS DE DISEÑO.A continuación se dan una serie de recomendaciones, que deben ser tomadas a la hora de realizar el diseño: Ø Es recomendable el uso de maderas del Grupo C, debido a su baja densidad son más livianas para su montaje, y son fáciles de clavar. Para el uso de Maderas de los demás grupos debe usarse preferentemente uniones empernadas o atornilladas. Ø Las secciones de los elementos no deben ser menores de 6.5 cm de peralte y 4 cm de ancho. A menos que se utilicen cuerdas de elementos múltiples. Ø Las uniones deben cumplir los requisitos expuestos en el capítulo 5. Ø En el caso de usar cartelas de madera contrachapada, se recomienda un espesor no menor de 10 mm. Ø Las cargas admisibles de los elementos individuales se determinaran considerándolos como columnas (ver capítulo 4). Ø En caso de que la separación entre armaduras sea menor a 60 cm, los esfuerzos admisibles pueden ser incrementados en un 10 %. Hipótesis Usuales.-


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Ø Los elementos que componen las armaduras pueden considerarse rectos, de sección transversal uniforme, homogéneos y perfectamente ensamblados en las uniones. Ø Para armaduras de techos: Las cargas de la cobertura se transmiten a través de las correas; estas a su vez pueden descansar directamente en los nudos o en los tramos entre nudos de la cuerda superior originando momentos flectores en estos elementos. Ø Las fuerzas internas axiales en las barras de las armaduras pueden calcularse suponiendo que las cargas externas actúan en los nudos. Cuando este no sea el caso, se podrá reemplazar la acción de las cargas repartidas por su efecto equivalente en cada nudo. Ø Los efectos de flexión debidos a las cargas del tramo se superpondrán a las fuerzas internas axiales, para diseñar los elementos como vigacolumna sometida a flexocompresión. Esbeltez.El valor máximo de la relación de esbeltez para el diseño será:

λ=

Lef d

≤ 50

Para elementos sometidos a cargas axiales de compresión

≤ 80

Para elementos sometidos a cargas axiales de tracción.

En el caso de cuerdas sometidas a compresión, habrá dos relaciones de esbeltez, una en el plano de la armadura y otra fuera del mismo. En el plano de la armadura, la dimensión de la sección transversal que es resistente al pandeo será el alto o peralte de la cuerda: h. Fuera del plano de la armadura, la dimensión resistente será la base: b si se trata de una sección única de madera sólida. Cuando se trate de cuerdas con más de una escuadría (elementos múltiples) el ancho equivalente para el pandeo dependerá de la forma de conexión de los elementos múltiples y sus espaciadores. El diseño debe hacerse para la mayor relación de esbeltez que presenta el elemento, considerando la longitud efectiva para cada dirección.


A140




Longitud Efectiva.- La longitud efectiva de los distintos elementos de una armadura se determinará según lo estipulado en la Figura 6.4 y la Tabla 6.2.

Figura 6.4 LONGITUDES PARA CALCULO DE Lef (para Tabla 6.2)

L3 Lc

L2

Lc

L1

Ld

C L

Ref.: Figura 11.5 Pág.:11-13 “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”

Tabla 6.2 LONGITUD EFECTIVA


A141




Elemento

d

Lef 0.4(L1+L2) ó 0.4(L2+L3) *

Cuerda

h

Sector de cuerda entre correas

b

Lc

Montante o diagonal

b

0.8Ld

* Nota: Si la longitud efectiva de uno de ellos es menor que 0.80 de la longitud efectiva de la adyacente, se tomará como longitud efectiva de cálculo 0.90 de la longitud mayor; en caso contrario se tomará el mayor promedio de las luces adyacentes. Ref.: Tabla 11.1 Pág.:11-13 “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”

Cuerdas con Carga en el Tramo.Este tipo de elementos deben diseñarse a flexo-compresión; donde las cargas axiales son obtenidas mediante una primer análisis de la armadura con cargas concentradas en los nudos, y los momentos flectores son determinados suponiendo que las cuerdas se comportan como vigas continuas apoyadas en los extremos de las diagonales y montantes. Para los casos descritos en la Tabla 6.3 pueden usarse las formulas de momento dadas allí. Tabla 6.3 MOMENTOS DE FLEXIÓN DE DISEÑO


A142




Cuerdas Superiores:

M=

w ⋅ L2 9

w ⋅ L2 M= 10

M=

w ⋅ L2 11

Cuerda Inferior (de cualquiera de las alternativas): M =

w ⋅ L2 8

Tabla entra 11.2 Pág.:11-14 de Diseño para Maderas del Grupo Andino” La Ref.: luz que en las “Manual anteriores formulas de momentos se determina como lo

muestra la figura 6.5: Figura 6.5 Luces para el cálculo de L (para Tabla 6.2)


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L1


L2

L3

L = mayor promedio de los tramos consecutivos

L=

L4

L1 + L2 L2 + L3 ó L= 2 2

L5

Ref.: Figura 11.2 Pág.:11-6 “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”

Si la longitud de uno de los tramos es menor que 0.80 de la luz mayor, se tomará el mayor promedio de las luces adyacentes. 6.6 ARRIOSTRAMIENTO EN ARMADURAS.Las armaduras individuales planas son estructuras muy delgadas que requieren alguna forma de arriostramiento lateral. La cuerda a compresión de la armadura se debe diseñar considerando la longitud total sin apoyo. En el plano de la armadura la cuerda está arriostrada por otros miembros de la armadura en cada nudo. Sin embargo, si no hay arriostramiento lateral, la longitud sin apoyo de la cuerda en la dirección perpendicular al plano de la armadura se convierte en la longitud total de la armadura; lo cual genera diseñar la cuerda como un miembro esbelto a compresión para esta longitud sin apoyo, lo cual no es factible. A continuación se muestran sistemas de arriostramiento de armaduras utilizadas en la construcción de edificios.

Ø La primera alternativa: Figura 6.6 Arriostramiento de armaduras. 1º Alternativa


A144




Ref.: Figura 12.7 Pág.: 195 “Diseño Simplificado de Estructuras de Madera” Parker-Ambrose

Es un sistema estructural, donde la cuerda superior de la armadura está arriostrada en cada nudo de éstas por las correas. Si además la cubierta de la techumbre es un elemento suficientemente rígido, esto constituye un arriostramiento muy adecuado de la cuerda a compresión (que es el principal problema de la armadura). Pero también es necesario reforzar la armadura contra movimientos fuera de su plano en toda su altura; esto se realiza según lo mostrado en la figura, mediante un plano vertical de arriostramiento en X, en puntos alternos de la celosía de la armadura. Ø Segunda alternativa: Figura 6.7 Arriostramiento de armaduras. 2º Alternativa



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Es un sistema estructural, donde la cubierta es un elemento estructural rígido que asegura las cuerdas superiores, esto solo es aplicable a armaduras ligeras. Esto proporciona un arriostramiento continuo, de modo que la longitud de apoyo de la cuerda es cero en realidad. El arriostramiento adicional se limita a una serie de varillas o angulares individuales pequeños, que se unen con la cuerda inferior, de manera alternada entre los puntos de celosía. Ø Tercera alternativa: Figura 6.8 Arriostramiento de armaduras. 3º Alternativa


Este es un sistema estructural, donde como en el primer caso las correas aseguran el arriostramiento de la cuerda a compresión, y el arriostramiento adicional esta determinado por un plano horizontal de arriostramiento en X, que se coloca entre dos armaduras al nivel de las cuerdas inferiores.

El montaje de las armaduras para techos, por lo general se lo realiza en el nivel del suelo, y luego se las coloca una a una en el techo, junto con su arriostramiento; en la siguiente figura se muestra un esquema de como se trabajan las armaduras de techo. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

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INTRODUCCIÓN AL PROGRAMA SAP2000 Efectuaremos la modelación en el SAP2000, con el siguiente ejemplo: Se desea diseñar la armadura de madera de un puente peatonal, el cual esta solicitado por cargas tal como se muestra en la figura: 300 k

300 k

300 k

300 k

300 k

300 k

300 k

300 k

300 k

300 k

300 k

300 k

300 k

300 k 1.20 m. 1.00 m.

Procedimiento Paso 1.- Establecer la geometría a) Haga doble click en el icono de SAP2000, situado en la barra de escritorio para comenzar SAP2000 Nonlinear v.8.08. b) Seleccione File/New Model… del menú desplegable, se mostrará una ventana en la cual figuran: Las unidades con las cuales se trabajará y además figuras geométricas que pueden cambiarse para adaptarse a nuestra geometría. Cambiar las unidades a Kgf, m, C.


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c) De los modelos predefinidos escoger el que más se parezca a la geometría que se tiene. (En caso de no tener una aproximación el usuario deberá establecer la geometría editando las grillas y dibujando la estructura usando el interfase que da el SAP2000, en muchos casos el dibujo de la estructura podrá hacerse más rápidamente de esta manera). Para nuestro caso, en esta ventana pulse el botón Vertical Truss d) Se habilita una ventana en la cual se debe poner los valores particulares de la cercha:

e) A continuación será necesario hacer las modificaciones para obtener un gráfico que este de acuerdo a la geometría deseada. Para esto se procederá a borrar las barras diagonales que sean pertinentes. Paso 2.- Propiedades del material UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

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Es muy importante definir las propiedades de los materiales tales como su densidad, peso específico, módulo de elasticidad, etc. Para conseguir esto seguiremos el siguiente procedimiento: a) De la barra de menú seleccione la opción Define/Materials, posteriormente se abrirá una ventana en la que aparecerán los materiales que están por defecto en el programa, tales como concreto, acero, etc. Además de estos materiales en la ventana aparece el botón Add New Material seleccionar éste. b) Se habilitará la ventana de Material Property Data, en la cual será posible cambiar todas las propiedades de los materiales que sean pertinentes, para nuestro ejemplo procederemos de la siguiente manera:

Paso 3.- Ingreso de datos a) Antes de proceder al ingreso de datos, debemos recordar que las armaduras soportan básicamente esfuerzos de tensión y compresión, los nudos de las armaduras son considerados como articulaciones, por lo que en el cargado de datos se tendrá que cumplir estas premisas b) Al no haberse realizado todavía un predimensionamiento de las barras de madera, no es posible añadir a las secciones de material las escuadrías correspondientes, por lo que se procederá a mayorar las UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA A150



cargas en un 5% para poder estimar con esto el peso propio de manera aproximada, para posteriormente realizar la iteración correspondiente y hallar exactamente la influencia del peso propio de la madera en la estructura: P =1.05 (300) = 315 k. c) Proceder a definir los casos de fuerzas actuantes. Por lo dicho anteriormente sólo será necesario crear una fuerza en la que se estará incluyendo (aunque de manera aproximada el peso propio de la estructura). En caso de existir otras fuerzas solicitantes, cargarlas de la manera establecida así como las combinaciones que puedan tener estas fuerzas. De la barra de menú seleccione la opción Define/Load Cases. Cambiar los datos que figuran en la pantalla, posteriormente seleccionar Modify Load y luego OK.

d) Con el anterior paso ya se estará tomando en cuenta el peso propio del material en los nudos, sin embargo es necesario asignar a las barras las propiedades del material para posteriormente poder verificar las deflexiones que sufre la estructura, para esto del menú seleccionamos Define/ Frame/Cable sections….. Se habilitará la ventana de Frame properties, la cual tendrá por defecto múltiples opciones, en la parte izquierda de la pantalla, en la segunda casilla, desplegar las opciones del listado y escoger la opción Add Rectangular, inmediatamente después se habilitará el cajón de Add New Property, pulsar éste.


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e) Se habilitará la ventana Regular Section, en la cual es posible colocar la sección de los elementos, es decir la altura (Depth (t3)) y la base (Width (t2)), el material con sus propiedades específicas y el nombre que se le irá a dar a la sección del elemento. Al estar ya aproximado el peso propio de la estructura no será necesario establecer con exactitud la base y la altura de las barras. Luego pulsar la opción OK, hasta salir a la pantalla principal. f) Seleccionar todas las barras y asignar las diferentes secciones según les corresponda: Assign / Frame/Cable / Sections y posteriormente elegir la opción anteriormente definida:


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g) Ahora se procederá a marcar los nudos en los que posteriormente se asignará la carga a la que serán solicitados. Una vez hecho esto de la barra de menú seleccione Assign/Joint Loads/Forces, ahora se procede a asignar la carga a todos los nudos que sean solicitados.

El signo negativo esta referido a las coordenadas globales del programa (Ver ayudas del SAP2000 para otras coordenadas.) Paso 4.- Liberación de nudos Como dijimos anteriormente, las armaduras se ven afectadas principalmente por esfuerzos de tracción y compresión. Es por este motivo que se procede a la liberación de nudos. a) Seleccionar todas las barras a las que se desea liberar los momentos. b) De la barra de menú seleccionar la opción Assign / Frame/Cable una vez seleccionada la opción se desplega un ventana de la cual se debe escoger: Releases / Partial Fixity. Se procede a las liberación de los nudos tal como se muestra en la figura:


A153




Paso 5.- Cambio de etiquetas Con el fin de obtener una disposición de resultados más organizados se recomienda el cambio de etiquetas en las barras, este cambio de etiquetas se puede hacer manualmente uno por uno o dejar que el programa realice un auto reetiquetado. Para esto se procederá a marcar toda la estructura, de la barra de menú seleccionar Edit / Change labels, inmediatamente se habilitará la ventana de Interactive Name Change, es necesario seleccionar el ítem de los elementos que se desea cambiar el nombre, en la parte de Auto Relabel Control es posible trabajar con prefijos los cuales antecederán a la numeración de la barra y su se lo desea se puede cambiar el incremento en la numeración de las barras, además de escoger el orden en el que se irá re-etiquetando las barras, ya sea primero en el X, Y o Z. Una vez hecho todo esto de la ventana Interactive Name Change seleccionar la opción Edit/Auto Relabel / All in the list. Es posible observar como cambiaron los nombres en la lista inferior de la ventana, una vez hecho todo esto pulsar OK.


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Paso 6.- Es posible establecer en esta instancia la cantidad de segmentos de las barras de los que se darán los resultados una vez hecho el análisis de la estructura, es importante definir esto ya que con esto se puede obtener una mejor disposición de resultados a momentos de imprimirlos o en caso de que se desee saber el valor exacto de las fuerzas o momentos en cierto punto de la barra. Para nuestro ejemplo solo se necesitará saber las fuerzas de tracción o compresión a lo largo de la barra y esta será constante en todo el tramo por lo tanto la separación de segmentos tendrá que ser la mínima. a) Marcar las barras que se desean, posteriormente buscar en la barra de Menú la opción Assign / Frame/Cable / Output Stations, marcar en el cuadro de Número mínimo de estaciones, luego pulsar OK.

Paso 7.- Análisis de datos


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a) Una vez hecho todo esto se procede a ejecutar el programa, para se puede ir a la barra de menú y seleccionar Analyze / Run Analysis, o caso contrario buscar el icono directamente del menú de herramientas. b) A continuación se abre una ventana en la cual se debe marcar los casos que se desean analizar, marcar éstos con el Mouse y luego hacer click en el botón Run Now

c) Es importante verificar los comentarios que se anotan en la ventana de Analysis Complete, una vez hecho esto pulsar OK.

Paso 8.- Salida de datos


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ESTRUCTURAS DE MADERA a) De

la

barra

de

ANEXOS CAPÍTULO III herramientas

seleccionar

el

icono

de

Show

Forces/Stresses, a continuación se desplegará opciones en la que podrás elegir los elementos de los que se desea ver los esfuerzos o fuerzas a las que están solicitados. Para nuestro ejemplo escogeremos Frame/Cables...

b) Posteriormente se habilitará una ventana donde se podrá escoger el diagrama de las fuerzas o momentos de los elementos anteriormente escogidos. Seleccionamos la opción de Axial Force, que nos permitirá ver las fuerzas de compresión o tracción a las que están sometidas las barras (dejar los demás valores por defecto).

c) A continuación se observa la gráfica con su respectivo diagrama de fuerzas axiales, para ver el detalle de cada barra hacer click derecho sobre la barra que se desea y se habilitará una ventana en la que se detallará las características de la barra. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

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d) La impresión de resultados puede hacerse directamente desde el SAP2000 o se puede pasarlo a archivos EXCEL o WORD para modificar los formatos de impresión a gusto. En este ejemplo se llevó los resultados a EXCEL, para ello se realizó el siguiente procedimiento: -

De la barra de menú seleccionar: Display / Show Análisis Result tables.

-

Escoger los detalles de los elementos de los que se quiere obtener

un

reporte,

así

como

los

casos

de

análisis.

Posteriormente presionar el botón Ok. -

Una vez hecho esto se habilitará una ventana en la que se presentarán tablas de los elementos anteriormente escogidos (Nudos, barras, etc.) Es posible modificar los formatos de la presentación de las tablas eliminando, cambiando nombre de los campos que figuran en este o establecer el orden en el que se presentarán las tablas, de la siguiente manera: En la barra de Menú de la tabla que se habilitó, hacer click en la opción Format, inmediatamente se habilitará la ventana Modify/Show Database

Table Format. En esta ventana también se podrá escoger los UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA A158



valores en un rango de datos que nos interese por ejemplo. (Operador/Between). Una vez establecido todos los formatos de preferencia de usuario, volvemos a la tabla de presentación de resultados en los que se verán los cambios producidos anteriormente. Finalmente para exportar las tablas a Excel, simplemente vamos a File/Export All Tables/ To Excel.

Paso 9.- Diseño de la armadura de madera Tomar los valores máximos de fuerzas de las barras de la salida de datos: Cuerda Inferior à T = 4777.5 k (Tracción) Cuerda Superior à C= 4882.5 k (Compresión) Diagonales à T = 2296.21 k (Tracción) Pendolones à C = 2079 k (Compresión) Diseño de la Cuerda Superior Ø Asumir Escuadrías:

Base (b) =7.5 cm Altura (h) = 10 cm

f c ↔ 145 k/cm2 Ø (Grupo A)


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E ↔ 95000 k/cm2 FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA




L 100 = = 13.33 d 7.5

Como λ es mayor que 10 la columna no es corta. De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck , que para una columna del Grupo A vale 17.98. Como λ es mayor que 10 pero menor a 17.98, la columna es intermedia.

N adm

⎡ 1 ⎛ λ ⎞4 ⎤ = f c ⋅ A ⎢1 − ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ 3 ⎝ Ck ⎠ ⎥⎦

⎡ 1 ⎛ 13.33 ⎞ 4 ⎤ N adm = 145 ⋅ (7.5 ⋅ 10) ⎢1 − ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = 9779.85 k ⎣⎢ 3 ⎝ 17.98 ⎠ ⎦⎥

Cseg =

9779.85 = 2.0 à BIEN 4882.5

Diseño de Pendolones Base (b) =7.5 cm Altura (h) = 7.5 cm

Ø Asumir Escuadrías:


L 120 = = 16 d 7.5

Como λ es mayor que 10 pero menor a 17.98, la columna es intermedia.

N adm

N adm

⎡ 1 ⎛ λ ⎞4 ⎤ = f c ⋅ A ⎢1 − ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ 3 ⎝ Ck ⎠ ⎥⎦

⎡ 1 ⎛ 16.0 ⎞ 4 ⎤ = 145 ⋅ (7.5 ⋅ 7.5) ⎢1 − ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = 6451.38 k ⎣⎢ 3 ⎝ 17.98 ⎠ ⎦⎥

Cseg =

6451.38 = 3.1 2079

Se observa que el coeficiente de seguridad es relativamente alto, pero por razones constructivas no es posible disminuir la escuadría, ya que lo que se quiere es mantener la misma base en toda la armadura.

Diseño de la Cuerda Inferior y Diagonales UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

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Base (DE b) CIENCIAS =7.5 cm Y TECNOLOGIA FACULTAD Altura (h) = 7.5 cm



Ø Asumir Escuadrías:

Ø

Grupo A: f t ↔ 145 k/cm2 N ad = f t ⋅ A N adm = 145 ⋅ (7.5 ⋅ 7.5) = 8156.25 k

Cseg =

8156.25 = 1.71 à BIEN (Cuerda inferior) 4777.5

Cseg =

8156.25 = 3.55 à BIEN (Diagonales) 2296.21

Paso 10.- Verificación de las deflexiones Este paso es muy importante por que será con este criterio que se defina la escuadría final de la cercha, este valor no deberá sobrepasar los especificados para puentes peatonales, que generalmente están en función de la luz del puente. Activar la opción Show Deformed Shape, el cuál es el ícono que se muestra en la figura o caso contrario pulsar la tecla F6.

Inmediatamente se habilitará la estructura deformada en la pantalla, para ver cuales son los valores de ésta, bastará solamente con hacer click derecho sobre el nudo que se desea:


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Si las deflexiones sobrepasan los valores máximos de normas, será necesario en buscar otras secciones que satisfagan las anteriores condiciones. Paso 11.- Cargado del peso propio a los nudos Es necesario realizar el cargado del peso propio a los nudos con las dimensiones anteriormente encontradas para así tener un cálculo más exacto de las fuerzas axiales en la armadura de madera, en este caso ya no será necesario mayorar las cargas a las que está sometido el puente peatonal en un 5%. Por ejemplo al nudo 26 se cargará: mitad del peso propio de la barra 36, 37 y 49

Madera del Grupo A à γ ↔ 800 k/m3 Barra 36 = 1.56205٠۰0.075٠۰0.075٠۰800 = 7.03 k Barra 37 = 1.2٠۰0.075٠۰0.075٠۰800 = 5.4 k Barra 49 = 1.0٠۰0.075٠۰0.10٠۰800 = 6.0 k Carga Total nudo 26 Peso propio= 3.515 + 2.7 + 3 + 300 = 309.215 k PROBLEMA PROPUESTO Realizar el cargado de la segunda iteración y comprobar los valores de las escuadrías obtenidas en el anterior ejercicio, así como verificar las deflexiones máximas. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A162




Introducción al Programa Robot Millenium ver. 15.A continuación se desarrollará un ejemplo completo de una armadura tipo fink (que se muestra a continuación), y se calcularan los esfuerzos y desplazamientos en los nudos mediante este programa. Ejemplo: Diseñar la armadura de un techo de dos aguas de 8 metros de luz y espaciada cada 0.90m, que estará destinada a cubrir un local escolar. Considerar que la armadura soportará cielo raso. La pendiente de la armadura 1 / 2 ( α = 26.57 º ).

wp

wq

carga sobre el techo

carga debida al cielo raso

8m

Se decide por recomendaciones de la norma, utilizar madera del grupo estructural C:

•

Grupo C

f c ↔ 80 k/cm2 f m ↔ 100 k/cm2 f t ↔ 75 k/cm2 f v ↔ 8 k/cm2

E0.05 ↔ 50000 k/cm2 γ ↔ 800 k/m3 Primeramente se deben hallar wp y wq (cargas distribuidas por metro), para comenzar el análisis.


A163




Entonces considerando las cargas: Ø Peso

propio

de

la

armadura(tanteo)

.........................................................10 k/m2 Ø Carga muerta por cobertura: o Cubierta de planchas de asbesto-cemento(ver en norma) ...........13 k/m2 o Correas, cabios y otros elementos(tanteo) ................................ ..10 k/m2 o Total cobertura:..........................................................................18 k/m2 o Proyectando al plano horizontal : 18/cos(26.46º) ........................20 k/m2 Ø Cielo

raso

(sobre

cuerda

inferior)

............................................................30 k/m2 Ø Sobrecarga

(ver

norma

).................

.........................................................40 k/m2 Entonces las cargas uniformemente repartidas serán: v Sobre las cuerdas superiores:

wp = (40 + 20 + 10) ⋅ separación = 70 ⋅ 0.90 = 63 k / m v Sobre las cuerdas inferiores:

wq = 30 ⋅ separación = 30 ⋅ 0.90 = 27 k / m Ahora para calcular las fuerzas axiales el las barras de la armadura se debe distribuir las cargas en los nudos:


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P P

P

P/2

P/2

2m

1m

Q/2

Q

Q

Q/2

8m Entonces:

P = wp(L / 4) = 63 ⋅ 8.0 / 4 = 126 k Q = wq(L / 3) = 27 ⋅ 8.0 / 3 = 72 k Ahora se introducirá la armadura con sus cargas al programa, previamente se debe etiquetar los nudos y las barras para que se puedan interpretar los resultados de manera satisfactoria: 2m

2m

4m

2,2

b9

m

4 2,2

1m

b10 7

6 b8

1

5

b4

b6

b5

b1

2m

b11 b3

b2

4

3

2

2,67m

b7

2,67m

2,67m

8m


A165




Ahora se debe ingresar al programa.

Ø Entrar a Inicio, buscar Programas, y buscar:

Se debe hacer un elegir

Ø A continuación aparece el cuadro de inicio, en el cual hay que elegir el tipo de estructura que se desea simular; entonces se debe elegir la armadura plana (encerrada en un círculo rojo).


A166




Ø Ahora aparecerá el área de trabajo del programa, que se muestra a continuación:

Ø El paso siguiente es entrar a file ,y hacer un clic en Open Library para elegir el tipo de armadura que se desea modelar ( esta opción es de UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A167




mucha ayuda, pero se esta librería no contiene todas las armaduras que puedan existir)

Ø Para nuestro ejemplo existe este tipo de armadura (Fink), así que se elige ésta opción, y aparece el siguiente cuadro:


A168




Pero se puede apreciar que no existe una opción para introducir la longitud o coordenadas de las diagonales, ya que estas son por estándar por defecto, y no son iguales a las del problema. Entonces lo que queda es cancelar esta opción y dibujar la armadura barra por barra. Ø Para dibujar barra por barra, se debe entrar al menú Geometry y elegir Bars.., en el cuadro que se abre se introduce la numeración de las barras, el material y la forma, y también le damos las coordenadas en metros el punto inicial(Beginning) y final(End) de la barra, que debe estar separada por un punto y como, por ejemplo 0;0 .


A169




Ø De esta manera se introduce la armadura, y para verla mejor se debe hacer un clic izquierdo en el área de trabajo de la pantalla, y elegir Zoom All.

Ø El paso siguiente es colocar las cargas, para lo cual primero se debe definir el tipo de carga (esto es útil cuando se discriminan las cargas como cargas muertas, vivas, sismo, nieve, etc., para realizar las combinaciones de carga que se precisen; pero en nuestro ejemplo las cargas no se discriminarán). Para esto se debe ingresar en el menú Loads , y hacer un clic en Load Types. Allí se elegirá en el primer cajón de lista la opción live (carga viva) , y se escribirá el nombre, en nuestro ejemplo se escribió carga total , para concluir se debe hacer un clic en New , y listo.


A170


ESTRUCTURAS DE MADERA Ø Luego


en el mismo menú Loads se ingresa con un clic a Load

Definition , donde en el cuadro que se abre se debe elegir Node (Nudo), y es allí donde aparece otro cuadro donde introducimos las cargas, una a la vez, siempre teniendo en cuenta que la convención del programa para las cargas es hacia arriba positivo (Z +), y hacia la derecha positivo (X +); luego de poner el valor en el cuadro, se Hace clic en Add, y se va al dibujo a ingresar las cargas en los nudos.


A171




Ø El paso siguiente es la introducción de los apoyos, para lo cual se va al menú Geometry , y se hace un clic en Supports. , allí se elige la opción pinned (o sea apoyo fijo), y se va al gráfico y se hace clic en los dos nudos que tienen apoyos.


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Ø Lo único que hace falta es hacer que el programa corra, para esto se va al menú Analysis , se hace un clic en Analysis Types , y se elige la opción Calculations.


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Ø Luego para ver los resultados se va al menú Results , donde primeramente podemos elegir Maps on Bars , donde se muestra las fuerzas en las barras de manera gráfica (todo en kilogramos)


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Ø Luego podemos elegir del mismo menú anterior las reacciones, las fuerzas en las barras, los desplazamientos, todos de manera tabular, que a continuación se muestran impresos junto con los datos de ingreso.


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DATOS DE INGRESO: -COORDENADAS DE LOS NUDOS - GEOMETRÍA DE LAS BARRAS DATOS DE SALIDA:

-REACCIONES -FUERZAS EN LAS BARRAS -DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS Ø Cabe señalar para las fuerzas en las barras, que el programa considera a la compresión como positiva y a la tracción negativa. Diseño de los elementos.Por razones constructivas se considerara que los elementos 8 y 9, así como 1 y 2, como 4 y 6, tienen la misma sección. a) Elemento 8 :

63 k/m

.61 583

b8 583

.61

Ø Asumir Escuadría:

Base (b) =5 cm Altura (h) = 10 cm

Para la longitud efectiva, de la tabla 6.2 se saca que para una cuerda la UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA A176



longitud efectiva puede ser:

Lef = 0.40(L1 + L2 ) = 0.40(2.24 + 2.24) = 1.792 m De la tabla 6.3 se saca que el momento de diseño debido a una carga distribuida, para la cuerda superior para una armadura de éste tipo es:

w ⋅ L2 M= 10 donde de la figura 6.5 se saca que la longitud L es igual a:

L=

L1 + L 2 2 + 2 = = 2 m. 2 2

Por lo tanto:

w ⋅ L2 63 ⋅ 22 M= = = 25.2 k ⋅ m 10 10 Como este es un elemento sometido a flexocompresión se debe satisfacer la siguiente ecuación (ver capítulo 4):

k ⋅M N + m <1 Nadm Z ⋅ f m Se tiene una esbeltez igual a : λ =

Lef 179.2 = = 17.92 d 10

Como λ es mayor que 10 la columna no es corta. De la tabla 4.3 se saca el valor de Ck , que para una columna del Grupo C vale 18.42. Como λ es mayor que 10 pero menor a 18.42, la columna es intermedia. La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna intermedia es : UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

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N adm

⎡ 1 ⎛ λ ⎞4 ⎤ = f c ⋅ A ⎢1 − ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ 3 ⎝ Ck ⎠ ⎥⎦

⎡ 1 ⎛ 17.92 ⎞ 4 ⎤ N adm = 80 ⋅ (5 ⋅ 10) ⎢1 − ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = 2702.86 kg 3 18 . 42 ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ Lo que sigue es hallar el factor de magnificación de momentos Km.:

km =

1 1 − 1.5 ⋅

N N cr

5 ⋅ 10 3 ⋅ π22 ⋅⋅E50000 ⋅I Ncr = 12 = 6402.98 k N cr = L 2 ef 179.2 2

km =

1 = 1.158 583.61 1 − 1.5 ⋅ 6402.98

Donde: Ncr es la carga critica de Euler: El modulo resistente de la sección es :

b ⋅ h 2 5 ⋅10 2 Z= = = 83.33 cm 3 6 6

Entonces en la formula de flexocompresión se tiene:

583.61 1.158 ⋅ 2520 + = 0.57 < 1 2702.86 83.33 ⋅ 100 Entonces CUMPLE!!! USAR 5x10 cm UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A178




Como ejercicio se plantea la conclusión del diseño de los demás elementos de la armadura, y su respectiva verificación en el programa.

Tutorial Programa “Cercha” (Para La Calculadora Hp).-

Con el afán de que se pueda resolver de una manera rápida una cercha plana, sin necesidad de que se recurra a la computadora (esto muy beneficioso cuando se realiza trabajo de campo), es necesario que el ingeniero tenga herramientas como la calculadora HP(la mas común en nuestro medio), la cual provee una gran ayuda en el desarrollo de la profesión. Este programa permite resolver cualquier cercha sin importar el número de apoyos y elementos, hasta la capacidad de la calculadora; para la resolución se usa el método matricial de los desplazamientos. El procedimiento es el siguiente: 1) Se selecciona entrada de cargas 2) Se define un sistema de ejes coordenados para poder ubicar los nudos que a su vez deben estar numerados. 3) Cuando se pide numero de nudos es independiente del numero de apoyos, es decir, en una barra hay 2 nudos y puede tener 0,1 o 2 apoyos. 4) Se entran las coordenadas de cada nudo en orden al número que se le asignó. 5) Se especifica la cantidad de diferentes áreas de sección transversal en los elementos, quedando cada tipo de sección asignada a un número (aparece en pantalla)


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6) Luego se pasa a dar las ubicaciones de las barras asignándole una dirección o un sentido a cada barra, y se escriba su nudo inicial a final de acuerdo al sentido y su correspondiente TIPO de sección(él numero asignado a las diferentes áreas) 7) Se especifican las restricciones en los apoyos de la siguiente manera: Ø Numero del nudo en el cual esta el apoyo Ø Restricción en x (1 si hay o 0 si no hay) Ø Restricción en y (1 si hay o 0 si no hay) 8) Se entra el modulo de elasticidad 9) Se entra el peso unitario del material (0 si desprecia el peso propio de la cercha o carga muerta) 10) Se escoge la opción (2) y se procede con el número de nudos cargados 11) Se entra el nudo en el que actúa cada fuerza, y cada fuerza se descompone en x y y, dando positiva hacia arriba y hacia la derecha 12) Si la memoria es suficiente para el tamaño de la cercha, esperar a que corra programa. 13) Ver los resultados, donde aparecen los desplazamientos de los nudos, las reacciones y fuerzas internas de las barras (fuerza en cada nudo según el sentido de la barra) 14) La opción 4 permite ver la matriz de rigidez en su respectivo orden (opciones separadas) 15) Borrar resultados permite purgar las variables y resultados que contiene la cercha. El programa permite variar las condiciones de cargas para la misma cercha seleccionando (2) y además permite guardar los resultados después de salir. A continuación se desarrollará un ejemplo, explicando paso a paso la ejecución del programa. Este ejemplo se desarrolla en la calculadora HP 48G o G+ o Gx.( el procedimiento del programa es igual para la HP 49G). Dada la siguiente armadura Howe se pide determinar las reacciones en los apoyos y las fuerzas en las barras.(este ejemplo pertenece al texto de “Estructuras Isostáticas” del ingeniero Oscar Antezana, Pág.: 131)


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b7

0.5 t

8

6

b11 b10

b8

b12

b9

1 b1

0.8 t

b6

2m

7

b5 b13

b2

2

3

1t 2m

2m

b3

4

2m

5 b4

2m

En el directorio que contiene el programa seleccionar la opción “Run”, y a continuación aparecerá el siguiente cuadro:

Teclear el botón 1, que es la opción “Entrada De Datos”, entonces:

Presionar ENTER, entonces:


A181




Ahora se debe ingresar los valores pedidos, de acuerdo a la grafica, entonces:


Se debe ingresar las coordenadas, y luego de ingresar un nudo se debe Presionar ENTER, entonces:


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Aquí la pregunta es cuantos tipos de secciones tiene, si se quiere se puede poner distintos tipos de secciones para las barras(esto es más conveniente cuando ya se hizo correr programa una vez, y se diseño con esas fuerzas, entonces para verificar el diseño, esta opción se utiliza); pero para el ejemplo solo consideraremos una sección; luego presionar ENTER , entonces:


A183




Se pide ahora ingresar el área de cada “sección tipo”, como para el ejemplo es irrelevante ingresamos la unidad (pero se puede tantear; pero cuando ya se diseñó la cercha se deben poner las áreas diseñadas para realizar la verificación); Luego presionar ENTER, entonces:

Se debe ingresar los nudos inicial y final de cada barra; el orden de los nudos sirve para interpretar la salida de las fuerzas internas, por eso que se debe anotar esto para poder interpretar los resultados. El valor ST# es para indicar al programa que tipo de sección corresponde a cada barra.(para el ejemplo como solo existe una sección entonces solo poner 1). Luego presionar ENTER después de cada ingreso de datos para cada barra, entonces:


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:


A185





Se debe ingresar los nudos donde están los apoyos, e indicar si es fijo o rodillo. Luego presionar ENTER depuse de cada ingreso de un apoyo , entonces:


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Luego Presionar ENTER, entonces se debe ingresar el modulo de elasticidad, para el ejemplo se tomara una madera con E = 100000 kg/cm2:

Luego Presionar ENTER:

Se debe ingresar el peso especifico del material, pero cuando se quiera que el programa compute el peso propio, para el ejemplo no se requiere, entonces poner cero. Luego Presionar ENTER: UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

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Ahora se deben ingresar las cargas, para lo cual se debe teclear “2”., entonces:

Se debe ingresar el número de nudos cargados, para el ejemplo se observa claramente que son 3. Luego Presionar ENTER, entonces se debe ingresar el número del nudo y la carga externa (en toneladas), recordando siempre que positivo es a la derecha y hacia arriba; luego de ingresar cada carga se debe Presionar ENTER, entonces:


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Luego Presionar ENTER (el programa ahora ya comienza a correr, se debe esperar unos cuantos segundos):

Ahora solo queda ver los resultados, para lo cual se debe teclear “3” , entonces :

Para las reacciones de apoyo teclear “1” , entonces:


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Luego Presionar ENTER:

Para las fuerzas internas de las barras teclear “1”, entonces:

Luego Presionar ENTER, entonces aparecen las fuerzas internas en las barras; pero cabe aclararla convención del programa para interpretar los resultados: Ø En primer lugar el sentido positivo se toma de acuerdo del nudo final al nudo inicial (esto define el eje local longitudinal positivo), por ejemplo la barra 1 va desde el nudo 1 al nudo 2, entonces:

+ 1

b1

2

Ø La convención para definir la tracción y la compresión es la siguiente:


A190




COMPRESIÓN

TRACCIÓN

o Por ejemplo para la barra 2 se tiene:

+ 2

3

b2

Y de los resultados se tiene que el nudo 2 tiene un F=-1.65 ton y el nudo 3 tiene un F=1.65 ton , lo que equivaldría a:

1.65 t

TRACCIÓN 1.65 t

2

3

b2

o Como otro ejemplo para la barra 8 se tiene:

2

3

b2

8 b8 1

+

Y de los resultados se tiene que el nudo 8 tiene un F=2.4 ton y el nudo 1 tiene un F=-2.4 ton , lo que equivaldría a:


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8 b8 2.4 t

1 2.4 t

COMPRESIÓN


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A193




Al concluir de ver las fuerzas internas Presionar ENTER:

Para salir presionar ENTER:

Para guardar los resultados presionar la tecla “ F ” :


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Para salir del programa: presione la tecla “

“:

Los datos, y los resultados se encuentran grabados en la carpeta SUB, allí se puede volver a entrar (sin necesidad de correr el programa otra vez), y ver los valores que nos interesen (sobre todo los resultados):

El programa se puede descargar desde Internet de manera gratuita de la página http://www.geocities.com/hp48_civil/

,

o

de

la

página

de

la

materia

http://www.freewebs.com/emaderas .


A195




PROYECTOS ESPECÍFICOS PROYECTO #1: ENTREPISO.Se desea construir un entrepiso de madera para una biblioteca para lo cual se dispone de un espacio de 5 metros de ancho y 8.2 metros de largo de los cuales 1.2 metros serán de un volado según se muestra en la figura: VIGAS DE Hº Aº

5m

VIGAS DE MADERA

ENTABLADO

S

S

COLUMNAS DE HºAº

7.0m

1.2m

SOLUCIÓN Para no arriesgar la vida de los ciudadanos, el ingeniero procurará no construir una biblioteca en pisos elevados, especialmente los depósitos de libros. De acuerdo a las particularidades de este proyecto nos vemos obligados a realizar el entrepiso en un piso superior, pero de hacerlo con todas las precauciones y factores de seguridad necesarios, el elemento no presentará problemas de funcionabilidad, seguridad y estética. Sobre las vigas de hormigón armado descansarán vigas de madera y sobre éstas vigas se construirá el entablado. Las vigas de madera se dispondrán siempre (salvo imposibilidad) según la longitud mas corta del entrepiso en este caso 5 metros.


A196




La longitud de separación entre vigas de madera (“s”) puede adquirir cualquier valor, pero la práctica y también la estática han demostrado que ésta depende de la longitud corta y de la carga viva. Entonces se tendrá:

40 cm. < s < 80 cm.

Adoptamos una separación entre vigas de madera de 50 cm. DISEÑO DEL ENTABLADO Los valores de cargas de servicio pueden ser observados en los reglamentos de diseño de edificios. La carga viva recomendada para bibliotecas puede ser dividida según su uso en: 300 kg/m2.

Ø Biblioteca destinada para salas de lectura:

Ø Biblioteca usada para almacenamiento o archivo de libros:

750 kg/m2.

En la mayoría de los casos la biblioteca es usada tanto como para almacenamiento de libros como para salas de lectura, será conveniente, para estar del lado de la seguridad, usar el valor de 750 kg/m2 o caso contrario preguntar a los propietarios o responsables el uso específico, con todas sus particularidades, al que será destinado el ambiente. Ø Peso de Alfombra de alto tráfico: 3 kg/m2. Ø Peso propio del entablado. Para el entablado utilizaremos tablas de almendrillo con la siguiente escuadría: b = 30 cm. (12”) El peso propio será:

Pp = γ ⋅ b ⋅ h

2.5

h = 5 cm. (1”)

30

Pp = 800 k/m3 . 0.025 m . 0.30 m = 6 k/m La separación entre vigas ayudará a facilitar la construcción del entranquillado del cielo falso de estuco (yeso), ésta es una buena decisión ya que el entranquillado evitará la deformación por torsión de las vigas debido a la gran carga de biblioteca. PC.V. = 750 k/m2٠۰0.30 m = 225 k/m ↓ PAlfombra = 3 k/m2٠۰0.30 m = 0.90 k/m ↓ UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A197




Si existiera la sospecha de una futura tabiquería de ladrillo sobre el entrepiso, entonces se añadirá entre 50 a 80 kg/m2 a la carga viva. La carga total será:

q T = PC.V. + Pp + PAlfombra qT = 225 k/m + 6 k/m + 0.9 = 231.9 à 232 k/m DEFORMACION: La deformación admisible será:

f

ad

f=

5 ⋅ q ⋅ L4 = 384 ⋅ E ⋅ I

=

L (cm) 50 = = 0.167 cm 300 300

5 ⋅ 2.32 ⋅ 50 4 = 0.0372 cm 30 ⋅ 2.53 384 ⋅130000 ⋅ 12

C.Seg f =

adf

f

==

0.167 = 4.49 0.0372

Si bien el coeficiente de seguridad es relativamente alto, no es posible disminuir la altura de la tabla, otra forma de solucionar este inconveniente sería el aumentar la separación “s” entre vigas de madera, para facilitar colocado del cielo raso, nos quedamos con la escuadría adoptada. DISEÑO DE VIGAS Será conveniente definir correctamente las cargas que actuarán sobre las vigas: Carga Viva: Ø C.V. = 750 k/m2٠۰0.50 m. = 375 k/m Cargas Muertas: Ø Entablado o

PEntablado = 0.50 m ⋅ 0.025 m ⋅ 5 m. ⋅ 800 k/m 3 ⋅

1 = 10 k/m 5m

Ø Alfombra o PAlfombra = 3 k/m2٠۰0.50 m = 1.50 k/m Ø Cielo raso o PCielo Raso = 30 k/m2٠۰0.50 m = 15 k/m UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A198




Ø Peso Propio Asumir:

b = 15 cm. (6”) h = 27.5 cm. (11”)

o PViga = 0.15 m٠۰0.275 m٠۰800 k/m3 = 33 k/m La carga total será:

q T = PC.V. + PEntablado + PAlfombra + PCielo Raso + PViga qT = 375 k/m + 10 k/m + 1.5 k/m + 15 k/m + 33 k/m = 434.5 à 435 k/m DEFORMACION: La deformación admisible será:

f

ad

5 ⋅ q ⋅ L4 f= = 384 ⋅ E ⋅ I

=

L (cm) 500 = = 1.67 cm 300 300

5 ⋅ 4.35 ⋅ 500 4 = 1.04 cm 15 ⋅ 27.53 384 ⋅130000 ⋅ 12

C.Seg f =

adf

f

==

1.67 = 1.61 à BIEN 1.04

Nota.- Se utiliza Epromedio para calcular las deflexiones de éstas vigas ya que al existir más de cuatro elementos es posible una redistribución de la carga.(Ver Capítulo 3). DETALLES CONSTRUCTIVOS En el centro línea se ubicará una de las vigas y de ahí se irá repartiendo las demás:


A199




3.5 m

50 cm.50 cm.

3 c/40cm

7.0m

1.2m

La longitud de la viga no es de 5.00 metros ya que este valor es de eje a eje, es conveniente darle una buena longitud de apoyo para evitar fallas por aplastamiento. Para esto debemos saber la base de las vigas de borde (Hormigón Armado), suponemos una base de 25 cm. ya que ésta puede tener por debajo un muro de carga que generalmente tiene longitudes parecidas y con esto ayudar al encofrado de la viga de borde. Nº de Vigas ↔ 18 vigas de 15cm. x 27.5cm. x 5.25 m. Tablas: à Pedir:

Longitud unitaria = 8.325 metros Número de tablas = 17 Longitud Total = 141.525 metros 141.525 m. ٠۰ 1.10 = 155.68 metros de tablas: b = 30 cm. y h

=2.5 cm. En cortes mínimos de 4 metros. Unión Tabla-Viga Usar clavos de 2 ½” (d = 3.3 mm.)


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1" Clavos de 22 d =3.3 mm. c/10 cm.

5 5 5 à Se necesitan aproximadamente 1890 clavos, al estar trabajando con una madera del Grupo A, se recomienda pretaladrar los puntos donde se colocarán los clavos, se recomienda pedir la equivalencia en kilogramos de unos 2000 clavos de 2½” y diámetro de 3.3 mm. para la construcción de este entrepiso. Unión Viga de madera-Viga de HºAº

VIGA DE MADERA

Silla de Acero e = 81"

15

27.5

Perno Ø21" L=17.5 cm. 25

7.5

10 cm. 15

Pernos Ø21" L=10 cm.

VIGA DE HºAº 15

Para asegurar la viga de madera a la de hormigón se emplean 2 pernos de anclaje que se han embebido oportunamente en el concreto. Listones Adoptaremos una escuadría de 2½”x2½”, y se colocarán con una separación de 25 cm. cada uno.


A201




50

25

VIGA DE MADERA CLAVO LANCERO 2"

35 15

à Se necesitan aproximadamente 119 metros de madera de escuadría: b = h =2 ½” para realizar los listones del entrepiso. En cortes mínimos de 3.5 metros Malla de gallinero-Yeso-Alfombra Las dimensiones total del entrepiso serán de 8.325 m. x 5.25 m., lo que nos da un área total de 43.71 m2. De acuerdo a estos datos tendremos: Ø Yeso: 30 k/ m2 ٠۰43.71 m2 = 1311 k à ≈ 66 bolsas de 20 k Ø Alfombra: 44 m2. Ø Malla de gallinero : 44 m2 à 44 m.l. de 1 metro de ancho. NOTA.- Es conveniente aclarar que las dimensiones antes calculadas son las dimensiones reales. La comercialización de la madera se realiza por lo general en función de la dimensiones iniciales –denominadas nominales o equivalentes comerciales- que únicamente se utilizan para la determinación del volumen facturado al comprador. Al pedir la madera se aclarará que en obra se deberá tener las dimensiones reales, ya habiéndose realizado un cepillado previo.


A202




PROYECTOS ESPECÍFICOS PROYECTO #2: GRANJA AVÍCOLA Se pretende diseñar una granja avícola, para la zona del Altiplano, el espacio disponible para esto es de un terreno de 10 metros de ancho y 35 metros de largo. SOLUCIÓN Para el diseño de esta granja avícola, se escoge el uso de una armadura tipo Abanico, que van de acuerdo a las recomendaciones para proporciones y luces recomendables de armaduras de madera, para luces entre 6 y 12 metros, como parte de solución al problema, dicha armadura sustentará las correas, las cuales a su vez sustentarán la cubierta a utilizar. Finalmente las armaduras se apoyarán sobre las vigas principales las cuales transmitirán las cargas a las columnas. Para realizar un diseño que sea efectivo y cumpla con la función destinada de la mejor manera, será necesario recurrir a la experiencia y de faltar ésta: la observación de proyectos similares o de características parecidas puede ser una buena forma de realizar un buen diseño. Ø Las columnas si son de madera no deben estar separadas más de 4 metros. Ø Cuando las armaduras son de madera, la separación entre ellas en ningún caso superará los 2 metros. (Fuente. Ingeniero Oscar Antezana M.). De acuerdo a las observaciones anteriores se procederá a establecer el siguiente

CERCHA SOBRE VIGAS C/1.17 [m]

10m

esquema:


A203


VIGA SOBRE COLUMNA

3.5m

COLUMNA C/3.5 [m]

35m



Las armaduras tendrán la siguiente geometría:

L/6

ARMADURA TIPO ABANICO 2m.

CORREA c/35 [cm]

L/3 5m.

5m.

Ø Separación entre armaduras: S = 1.17 metros. Ø Separación entre correas: S1 = 0.35 metros. Ø Separación entre columnas: S2 = 3.5 metros. DISEÑO DE CORREAS Será necesario definir todas las fuerzas que influyen para hacer con esto el respectivo orden de cargas. Ø Peso de la cubierta Ø Peso por efecto de nieve (Altiplano). Ø Peso por sobrecarga de servicio (Mantenimiento). Ø Peso propio de la correa Ø Peso por efecto de viento. a) Para el peso de la cubierta es posible seleccionar uno de la tabla 7.1. En nuestro caso escogeremos el peso propio correspondiente a la chapa de metal de 1.5 mm. sobre correas, igual a 15 kg/m2. b) Para el peso por efecto de nieve, asumiremos un valor de 40 kg/m2. c) El peso producido por la sobrecarga de servicio correspondiente a un techo inclinado será de 50 kg/m2 según lo indica la Tabla 13.3. del Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A204




d) Para el peso propio de la correa asumiremos una escuadría de 2”x 2.5”, al ser una construcción de no mucha importancia, usaremos madera del Grupo B. e) La presión originada por el viento es posible estimarla mediante las siguientes expresiones:

p = Cd٠۰q ;

q = 0.00483٠۰V2

Donde “p” es la presión o succión perpendicular a la superficie que ejerce el viento, en kg/m2. “Cd” un coeficiente adimensional que depende de la posición de la superficie con respecto a la dirección del viento, la cual se supone horizontal (Ver anexos) y “V” es la velocidad del viento en km/h. Tomaremos para nuestro análisis una velocidad máxima de 120 km/h. TABLA 7.1 PESO PROPIO DE COBERTURAS kg/m2 Descripción Cartón bituminoso En tres capas sin gravilla 13 En tres capas con gravilla 35 Cielo raso de yeso con carrizo 25 Chapa de metal de 2 mm. Sobre entablado 30 Cobertura doble en teja plana sobrepuesta y desplazada a media reja 100 Chapa de metal de 1.5 mm., sobre correas 15 Cubierta de lona sin armazón 3 Cubierta de vidrio sobre tavesaños de acero (espesor del vidrio 5 mm.) 25 Cubierta de vidrio sobre tavesaños de acero (espesor del vidrio 6 mm.) 30 Cubierta de vidrio armado (alambre) de 5 mm. De espesor 30 Planchas de asbesto cemento Corrugado de 4 mm. Peso por área útil 9 Corrugado de 5 mm. Peso por área útil 13 Canalón plegado de 5 mm. 17 Teja cóncava con asiento de mortero con cabios a 0.335 m. 80 Teja concava de encaje con cabios a 0.335 m. 70 Teja plana sellada con mortero con cabios a 0.275 m. 80 Teja plana o cola de castor con cabios a 0.275 m. 70 Teja serrana de 105 kg/m2 asentada sobre torta de barro de 0.02 m. mas paja 160 Torta de barro de 2.5 cm. sobre entablados simples de 0.02 m. 67 Torta de barra más paja. 55 Ref.: TABLA 13.6 de pag. 13-5 del Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino

d) ESCUADRÍA:

Ø b =5 cm Ø h =6.35 cm

El peso propio será: UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A205




Pp = γ ⋅ b ⋅ h Pp = 700 k/m3 . 0.05 m . 0.0635 m = 2.22 k/m e)

2 5

φ = arctg ⇒ φ = 21.8º à De la gráfica sacamos:

Cd = 0.07 ⋅ 21.8º-2.10 = -0.574

q = 0.00483 ⋅ 120 2 = 69.55 kg/m 2 Entonces:

p = 0.574 ⋅ 69.55 = 39.92 ≅ 40 kg/m 2 (Succión lado Barlovento)

Una vez determinadas todas las cargas actuantes procederemos a calcular la influencia de estos sobre las correas:

Plongitunal =

Ppor m 2 ⋅ S1 ⋅ S S

= Ppor m 2 ⋅ S1 → [k / m]

S

S1

PCubierta = 15 k/m2٠۰0.35 m = 5.25 k/m ↓ PNieve = 40 k/m2٠۰0.35 m = 14 k/m ↓ PMantenimiento = 50 k/m2٠۰0.35 m = 17.5 k/m ↓ Pp =2.22 k/m ↓ Pviento = 40 k/m2٠۰0.35 m = 14 k/m Combinación de Cargas UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A206




Para hacer la combinación de cargas se tendrá que suponer los casos más desfavorables. Por ejemplo: habrá carga por mantenimiento siempre y cuando las condiciones climáticas sean apropiadas para éste o sea que sólo podrá presentarse una de las cargas entre la carga de nieve y la de mantenimiento, entonces escogemos la más desfavorable que será la de mantenimiento. Siguiendo el mismo razonamiento suponemos que para que el mantenimiento se realice no tendrá que ser precisamente en las condiciones más desfavorables de viento, razón por la cuál solamente tomaremos en cuenta el 80% de la carga por viento anteriormente calculada. PCubierta + Pp + PMantenimiento ↔ 24.97 ≈ 25 k/m ↓ 0.8٠۰Pviento ↔ 11.2 ≈ 12 k/m (En dirección perpendicular a la superficie que ejerce el viento)

12 k/m q2

ϕ q1 ϕ

25 k/m

senφ = 0.37; cosφ =0.93 q1= 23.25 ≈ 24 k/m q2= 9.25 ≈ 10 k/m C C

= 10 k/m = 12 k/m

De acuerdo al grado de inclinación de la estructura superior de la granja, el viento actúa ejerciendo succión sobre la estructura ayudando a soportar las demás cargas, por lo que el caso más desfavorable será cuando no haya presencia de viento. Entonces: C C UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

= 10 k/m = 24 k/m A207




FLECHA: La flecha admisible será:

adf = L (cm) = 117 = 0.43 cm 275 275 La flecha que produce la carga será:

f1 =

5 ⋅ q ⋅ L4 = 384 ⋅ E ⋅ I

5 ⋅ 0.24 ⋅117 4 = 0.073 cm 5 ⋅ 6.35 3 384 ⋅ 75000 ⋅ 12

5 ⋅ q ⋅ L4 = 384 ⋅ E ⋅ I

5 ⋅ 0.10 ⋅117 4 = 0.049 cm 6.35 ⋅ 53 384 ⋅ 75000 ⋅ 12

f2 =

2

2

f = f1 + f 2 = 0.088 cm. < adf ⇒ BIEN La escuadría asumida para la correa es adecuada, pero ligeramente sobredimensionada. DISEÑO DE LAS ARMADURAS Las armaduras sólo están sometidas a esfuerzos en los nudos, los esfuerzos externos son iguales a la mitad que los del medio debido a su área de influencia. No es conveniente modificar la combinación de carga a no ser que se desee incluir otra carga (Por Ej. Cielo Raso), tratándose de una granja avícola no es necesaria esta inclusión. La separación entre armaduras será mayor a 60 cm. por lo que se usará para el diseño un módulo de elasticidad mínimo igual a Emin = 75000 kg/cm2. Combinación de Cargas

1.17

1.17

VISTA EN PLANTA AREA DE INFLUENCIA DE ARMADURA

10 6

10 6


10 6

10 6

A208

10 6

10 6




Considerando las siguientes cargas: Ø Peso cubierta: PCubierta = 15 k/m2. Ø Peso de las correas: PCorreas ≈ 6.30 k/m2. o Total carga muerta por m2 de cobertura à 21.30 k/m2. o Proyectado al plano horizontalà 21.30 k/m2٠۰ cos21.8º=19.77 ≈ 20 k/m2 Ø Peso propio de la armadura aproximado ≈ 13 k/m2. Ø Peso por sobrecarga de uso (Mantenimiento): PMantenimiento = 50 k/m2. Las cargas uniformemente repartidas sobre la cuerda superior serán: WP = (50+20+13 ) ٠۰ S = 83 ٠۰ 1.17 = 97.11 ≈ 98 k/m Las cargas concentradas equivalentes sobre la cuerda superior serán: P = WP٠۰ L/6 = 98 k/m٠۰ 10/6 = 163.33 ≈ 164 k

Tomar los valores máximos de fuerzas de las barras de la salida de datos (Ver anexos): UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A209




Cuerda Inferior à T = 136.66 (Tracción) C = 273.31 (Compresión) Cuerda Superior à C= 1103.93 (Compresión) Diagonales à T = 320.25 k (Tracción) C = 220.74 k (Compresión) Pendolones à C = 164.03 k (Compresión)

1.66 m

1.66 m

9

1.66 m

8

0

1.33 m

m

2.0 m

7

1.7 9

2. 6

5

5m

1

6

1.7

3

2

95m 4

3.33 m

a) Cuerda superior.-La longitud efectiva del elemento puede ser tomada como 0.4 (L1+L2) 98 k/m 1103.93 k

BARRA 4 1103.93 k

Para la longitud efectiva, de la tabla 6.2. se saca que para una cuerda la longitud efectiva puedes ser: Lefect = 0.4 (L1+L2) = 0.4 ( 1.795+1.795) = 1.436 m. De la tabla 6.3. se saca que el momento de diseño debido a una carga distribuida para la cuerda superior para una armadura de este tipo es:

w ⋅ L2 M= 11 De la figura 6.4. se saca que la longitud L es igual a: UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS A210

Y TECNOLOGIA


L=


L1 + L 2 1.667 + 1.667 = = 1.667 m. 2 2

w ⋅ L2 98 ⋅ 1.667 2 = = 24.75 k ⋅ m 11 11

M=

Entonces: Asumimos una sección:



Lefe 143.6 = = 19.15 d 7.5

De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck , que para una columna del Grupo B vale 18.34. Entonces la columna es larga. La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna larga es :

Nadm = 0.329 ⋅ N adm = 0.329 ⋅

km =

E⋅A λ2

75000 ⋅ 7.5 ⋅ 7.5 = 3784.8 k 19.15 2

1 1 − 1.5 ⋅

N N cr

donde : Ncr es la carga critica de Euler:

Ncr =

π2 ⋅ E ⋅ I Lef 2

N cr =

π 2 ⋅ 75000 ⋅ 7.5 4 = 9464.89 kg 12 ⋅ 143.6 2

km =

1 = 1.21 1103.93 1 − 1.5 ⋅ 9464.89

El modulo resistente de la sección es :

Z= UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

b ⋅ h 2 7.5 ⋅ 7.52 = = 70.31 cm 3 6 6 A211




Verificando a la flexocompresión:

k ⋅M N + m <1 Nadm Z ⋅ fm 1103.93 1.21 ⋅ 2475 + = 0.57 < 1 3784.8 70.31 ⋅150

∴ CUMPLE

Por lo tanto la sección de 7.5 cm.x 7.5 cm. resiste las solicitaciones externas. b) Cuerda Inferior. La compresión es más peligrosa que la tracción por lo tanto verificaremos la escuadría del elemento que se encuentra a compresión. Lefect = 0.4 (L1+L2) = 0.4 ( 3.33+3.33) = 2.664 m.

BARRA 2

273.31 k

273.31 k



L 266.4 = = 35.52 d 7.5

.La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna larga es :

Nadm = 0.329 ⋅ N adm = 0.329 ⋅

E⋅A λ2

75000 ⋅ 7.5 ⋅ 7.5 = 1100.10 k > 273.31 k àBIEN 35.52 2

c) Diseño de Diagonales


A212



ANEXOS CAPÍTULO III 320.25 k

BARRA 11

320.25 k

Verificando la escuadría: Base (b) = 7. 5 cm Altura (h) = 7.5 cm N ad = f t ⋅ A N adm = 105 ⋅ (7.5 ⋅ 7.5) = 5906 .25 k > 320.25 kà BIEN

220.74 k

BARRA 5

220.74 k

La longitud efectiva para este elemento será 0.8٠۰ld. Para este caso: lefec=0.8( 1.795)=1.44 m


N adm = 0.329 ⋅

L efect 143.6 = = 19.14 d 7.5

75000 ⋅ 7.5 ⋅ 7.5 = 3788.75 k > 220.74 k à BIEN 19.14 2

d) Diseño de Pendolones


A213



ANEXOS CAPÍTULO III 164.03 k

BARRA 8

164.03 k

La longitud efectiva para este elemento será 0.8٠۰ld. Para este caso: Lefec=0.8( 1.33)=1.06 m Se tiene una esbeltez igual a : λ =

L efect 106 = = 14.13 d 7.5

Como λ es mayor que 10 pero menor a 18.34 la columna es intermedia. La fórmula que corresponde para hallar la carga admisible para una columna intermedia es :

N adm

N adm

⎡ 1 ⎛ λ ⎞4 ⎤ = f c ⋅ A ⎢1 − ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ 3 ⎝ Ck ⎠ ⎥⎦

⎡ 1 ⎛ 14.13 ⎞ 4 ⎤ = 110 ⋅ (7.5 ⋅ 7.5) ⎢1 − ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = 5460.78 kg > 164.03 k à BIEN ⎢⎣ 3 ⎝ 18.34 ⎠ ⎥⎦

Se observa que el coeficiente de seguridad para los elementos de la armadura es relativamente alto, no es posible disminuir la escuadría ya que la base necesaria para evitar sobrepasar el valor máximo de relación de esbeltez sugerido en el Manual para Diseño para Maderas del Grupo Andino, en el elemento que se encuentra en compresión de la cuerda inferior es 7.5 cm, así como el coeficiente de seguridad aceptable para la cuerda superior. Por efectos de construcción se mantendrá la misma base en toda la armadura. Será necesario verificar que las deflexiones no sean considerables:


A214




DISEÑO DE UNIONES NUDO 1

5 1

3 k b4

1

.9 103

ϕ

b1 136.66 k

2

Cuando a un nudo concurren barras en compresión y tracción simultáneamente, es más conveniente iniciar el diseño a partir de las barras en compresión (puesto que este fenómeno es muy desfavorable). è Barra 4:

C = 1103.93 k L = 179.5 cm.

e=81"

7.5 cm. Para ingresar a la tabla 5.7. debemos tomar como L a la longitud del elemento central de madera. (Pág. 12-16 Manual de diseño para Maderas del Grupo Andino). El diámetro de perno a utilizar será: dp=3/8”=0.95 cm. Interpolaremos los valores de L = 6.5 cm. y de L = 8.0 cm. Entonces: UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

P = 488 k FACULTAD DE CIENCIAS A215

Y TECNOLOGIA


ANEXOS CAPÍTULO III Q = 225 k

El Manual de Diseño de Maderas del Grupo Andino permite mayorar los valores de P y Q en un 25% cuando se utilizan cubrejuntas metálicas (Pág. 12-16). P = 1.25 ٠۰488 =610 k Diagonal à C/P = 1103.93 / 610=1.81 ≈ 2 pernos Cuerda Inf.à C/P = 136.66 / 610= 0.22 ≈ 1 perno

Número de Pernos: Ubicación de los pernos:

Para la ubicación de los pernos, se necesita determinar algunos valores: Estas distancias pueden mayorarse hasta un 20% en vistas a facilitar la construcción de la unión.

5dp = 4.75 cm. 4dp = 3.80 cm. 2dp = 1.90 cm.

7.5 3.8

3.8

PLANCHA DE ACERO e = 81" 3.75

2 3.5 2

7.5

3.75

7.5

10

7.5

NUDO 2 7 9

b8

k 25 0.

k b1 136.66 k

32

1

b5 220 .74

164.03 k

5

b11

2

b2

273.31 k

3

Paso 1) El grupo estructural es el B, se utilizarán cartelas de 1”de espesor, también del grupo B. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A216




Paso 2) De la tabla 5.1 clavos de 3 pulgadas de longitud y 3.7 mm. de diámetro. Paso 3) Se determinan las cargas admisibles para este tipo de clavos: De la tabla 5.2 se saca el factor por el que debe ser multiplicada la carga admisible, para cizallamiento simple, clavo perpendicular al grano es igual a 1.00 Entonces: Padm = 48 k ٠۰ 1.00 = 48 k. Paso 4) Verificar los espesores mínimos: Ø Longitud de penetración en el elemento adyacente a la cabeza por lo menos 6 veces el diámetro del clavo: 6٠۰ d = 6 ٠۰ 3.7 mm = 22.2 mm < 25 mm. à BIEN Ø Longitud de penetración en el elemento central debe ser por lo menos 11 veces el diámetro del clavo: 11٠۰ d = 11 ٠۰ 3.7 mm = 40.2 mm El clavo penetrará:

76 mm – 25 mm = 51 mm > 40.2 mm. à BIEN.

Paso 5) Determinación de número de clavos: De acuerdo a la gráfica anterior podemos observar que la mayoría de las fuerzas que concurren al nudo 2 son de compresión, y no serán preponderantes en el posible colapso de la unión. En todos los casos se usarán por lo menos 2 clavos.

# Clavos =

Para la barra # 11:

320.25 k = 6.67 → 7 clavos 48 k

Paso 6) Espaciamiento: De acuerdo a la tabla 5.3. se requiere conocer los siguientes valores: 16٠۰ d = 16 ٠۰ 3.7 mm = 59.2 mm 20٠۰ d = 20 ٠۰ 3.7 mm = 74 mm 5٠۰ d = 5 ٠۰ 3.7 mm = 18.5 mm 8٠۰ d = 8 ٠۰ 3.7 mm = 29.6 mm De acuerdo a estos datos acomodamos los clavos y disponemos las medidas de la cartela


A217



ANEXOS CAPÍTULO III 7.5

7.

5

23

.5

2

6

8

17

CARTELA e = 1"

6 8

8

CLAVOS 76mm. Ø3.7mm.

6

7.5

8

7.5

1 18

16 69

NUDO 5 b10 k .18 3 8 8

5

k .93 3 0 11

b4

220 .74

k

7

b5 2

1

8

34 8

2 3.5 2 8

8

CARTELA e = 1"

7.5

7.5


NUDO 7


A218




7 883

k

164.03 k

.18

b10

9

b14 k 19 . 3 88

5 b8

2 8

33

2 3.5 2

8

7.5 CLAVOS 76mm. Ø3.7mm.

8

8

CARTELA e = 1"

7.5

NUDO 9

8 883 .

25

0. 32

25 k

2 Para la barra # 11 y #12:

b15 9

b12

b11

# Clavos =


k

0.

b14

19

32

7

k

9k

.1 883

3 320.25 k = 6.67 → 7 clavos 48 k

A219




38

6 8

6

6

6


7.5

6

6

7.5

2 3.5 2

8

8

19

8

23

.5

7.

52

. 23

2

5

CARTELA e = 1"

Las uniones serán simétricas a ambos lados debido a la igualdad de las fuerzas que influyen en la armadura. EMPALMES La longitud libre (entre apoyos libres) de la armadura es de 10 metros, esta longitud no puede obtenerse en el mercado por tanto es preciso empalmar piezas. Los empalmes debilitan notoriamente a la estructura, por tanto su ubicación debe corresponder a esfuerzos mínimos.

136.66 k

136.66 k

BARRA 3

# Clavos =

Para la barra # 3:

136.66 k = 2.87 → 3 clavos 48 k CLAVOS 76mm. Ø3.7mm.

8

2 3.5 2

3.75

7.5

CARTELA e = 1"

6

8

8

6

8

DISEÑO DE VIGAS UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A220




Según los resultados del análisis de la estructura vemos que las reacciones de los apoyos de las armaduras son simétricos y valen: H = 888.31 k V = 492 k Estas cargas serán transmitidas a las vigas de acuerdo se muestra en la figura: 492 k

492 k

492 k 1.17 m

492 k

1.17 m

1.17 m

A

B

Pp 3.5 m

Ø b =15 cm

ESCUADRÍA:

Ø h = 27.5 cm

El peso propio será: Pp = 700 k/m3 . 0.15 m . 0.225 m = 23.63 k/m è Pp=24 k/m f1 =

f2 =

5 ⋅ q ⋅ L4 = 384 ⋅ E ⋅ I

P⋅a (3 ⋅ L2 − 4 ⋅ a 2 ) = 24 ⋅ E ⋅ I

5 ⋅ 0.24 ⋅ (350) = 0.044 cm ; 15 ⋅ 22.5 3 384 ⋅ 75000 ⋅ 12 4

492 ⋅ 117 ⋅ 3 ⋅ 350 2 − 4 ⋅ 117 2 = 0.70 cm 3 15 ⋅ 22.5 24 ⋅ 75000 ⋅ 12

(

)

f T = f1 + f 2 = 0.044 + 0.70 = 0.74 cm

adf =

L(cm) 350 = = 1.27 cm ⇒ f T < adf ⇒ BIEN 275 275

C.Seg f =

adf

f

=

1.27 = 1.72 0.74

DISEÑO DE COLUMNAS Para el cálculo de las reacciones que son transmitidas a las columnas por las vigas no tomaremos en cuenta la incidencia de las armaduras de los extremos, ya que estas serán sumadas posteriormente a la carga total que soporta la columna

∑M

A

= 0 ⇒ 3.5 ⋅ VA − 492 ⋅ 2.34 − 492 ⋅ 1.17 − 24 ⋅ 3.5 ⋅


A221

3.5 =0 2




V A = 535k ⇒ VA = VB = 535k Por lo anteriormente dicho, vemos que una columna soportará las cargas tal como se muestra en el siguiente esquema:

4.5 m

F = 535(2) + 492 = 1562 k

Para las columnas asumiremos una sección de 20x20.

L efect 2 ⋅ 450 = = 45 d 20


De la tabla 4.4 se saca el valor de Ck , que para una columna del Grupo B vale 18.34 18.34<λ<50, Entonces la columna es larga. Entonces la carga admisible para una columna larga será:

Nadm = 0.329 ⋅ N adm

E⋅A λ2

75000 ⋅ 20 2 = 0.329 ⋅ = 4874.07 kg 45 2

C.Seg f =

Nad 4874.07 = = 3.12 N 1562

Si bien la sección elegida parece estar sobredimensionada, la sección será la mínima necesaria para que la esbeltez se encuentre dentro de los límites anteriormente establecidos. UNIÓN ARMADURA-VIGA Una posible tentativa de unión de la cercha y la viga sería el uso de planchas metálicas y pernos, se prolongarán las planchas metálicas de las uniones de los extremos (nudo 1 y nudo 4) para así poder lograr una unión efectiva que evite el desplazamiento de la armadura.


A222




Para ingresar a la tabla 5.7. debemos tomar como L a la longitud del elemento central de madera. (Pág. 12-16 Manual de diseño para Maderas del Grupo Andino). El diámetro de perno a utilizar será: dp=3/8”=0.95 cm. Interpolaremos los valores de L = 6.5 cm. y de L = 8.0 cm. Entonces: P = 488 k Q = 225 k El Manual de Diseño de Maderas del Grupo Andino permite mayorar los valores de P y Q en un 25% cuando se utilizan cubrejuntas metálicas (Pág. 12-16). Q = 1.25 ٠۰225 = 281.25 k

Número de Pernos:

Cuerda Inf.à C/Q = 492 / 281.25= 1.75 ≈ 2 pernos

Ubicación de los pernos: Para ubicar los pernos será necesario repartirlos de manera tal que los pernos de la cuerda inferior mantenga las distancias mínimas según lo especifica el Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino, en el diseño de la unión 1 sacamos que la cantidad de pernos necesarios a usarse en la cuerda inferior sería de 1, usando los 2 pernos sacados anteriormente tendríamos un total de 3 pernos en total que serán repartidos según el siguiente esquema:


A223


ESTRUCTURAS DE MADERA PERNOS L = 10 cm. Ø38"


20 10 5

PLANCHA DE ACERO e = 81"

10 PERNOS L = 17.5 cm. Ø21"


A224



ANEXOS CAPÍTULO III CAPÍTULO 7

PROYECTOS ESPECÍFICOS PROYECTO #3: DISEÑO DE UN PUENTE PROVISIONAL Los puentes de madera para tráfico de camiones, por lo general se diseñan para una vida útil no mayor a 5 años, y se emplean como ayuda en la construcción de carreteras o vías férreas. Geometría: ELEVACIÓN:

Pasamano

A

Poste Vigas maestras Estribos de HºCº Luz total Luz libre

SECCIÓN A-A

Poste y Pasamano Entablado Vigas maestras Ancho de calzada UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A225




Para las vigas maestras se aconseja lo siguiente: •

Sección llena (madera densa o compacta) cuando la luz libre L ≤ 7.5 metros

•

Tipo cercha cuando la luz libre L ≤ 10 metros

El ancho de calzada depende del número de vías de tráfico: •

1 vía : 4 metros

•

2 vías : 7.4 metros

•

3 vías : evitar que sea de madera

Viga maestra de sección llena.Para puentes de dos vías de tráfico los reglamentos de diseño para puentes exigen que el número de vigas sean por lo menos cinco. Para el proyecto se tiene como datos la luz del puente, que es de 8 metros de largo, y 2 vías de tráfico, para el cual se adopta la siguiente configuración de vigas:

1.48 m

1.48 m

1.48 m

7.4m La separación entre vigas debe ser uniforme. Cuando las maestras son densas es preferible que el tablero descanse directamente sobre las cabezas de las maestras; en cambio cuando las maestras son de tipo cercha es buena práctica construir viguetas transversales sobre las cerchas, y recién sobre estas viguetas acomodar el tablero en la dirección del trafico. Cargas.•

Muertas

Pesos propios.

•

Vivas

Dependen de los reglamentos específicos.

En Bolivia no existe un reglamento de diseño para puentes, por lo que se acostumbra usar la norma AASTHO, AFNOR, NORMA ARGENTINA (adecuación de la norma DIN), o los criterios racionales de diseño que pueda discernir el UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA A226



ingeniero. En todas las normas de diseño las cargas vivas están constituidas por trenes móviles denominados: Camión Tipo. Para el proyecto se asumirá como camión tipo HS20, que tiene la siguiente configuración:

P1

P2

P2

4.3 m

6m

Donde el peso por rueda del primer eje es P1: •

P1 = 3600/2 = 1800 k

Donde el peso por rueda de los ejes traseros es P2: •

P2 = 14400/2 = 7200k Diseño de Tablero.-

Se escoge una madera del grupo A, en este caso el Quebracho. El esquema de carga se muestra a continuación: La carga muerta, que es una carga distribuida, se calcula predimensionando la sección del tablero, y sumando el peso de una carpeta de rodadura. Peso Propio: ESCUADRÍA: El peso propio será:

Ø

b =30 cm

Ø

h =15 cm

Pp = γ ⋅ b ⋅ h El peso específico, y los esfuerzos admisibles del Quebracho son los siguientes: adσ f

↔ 210 k/cm2

adτ ↔ 15 k/cm2

•

Grupo A (Quebracho) UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON A227

E ↔ 95000 k/cm2 (cm) FACULTAD CIENCIAS ad f ↔ L DE 275 γ ↔ 800 k/m3

Y TECNOLOGIA



Entonces:

Pp = 800 ⋅ 0.30 ⋅ 0.15 = 36

k m

Carpeta de rodadura: Se coloca esta carpeta para que el entablado no este afectado por la intemperie; el peso por metro cuadrado de ésta capa es de 50 k/m2 , entonces el peso por metro de entablado será:

50

k k k ⋅ base = 50 ⋅ 0 . 3 m = 15 m m2 m2

El total de la carga muerta Cm será:

Cm = Pp + Pr = 24 + 15 = 51

k m

Posiciones más desfavorables de la carga viva: POSICION DE CARGA VIVA 1:

POSICION DE CARGA VIVA 2:


A228




Para la influencia de la carga viva, debemos señalar que del esquema de cargas graficado anteriormente, la posición 1 es la más desfavorable para la deformación y la flexión, y la posición 2 es la más desfavorable para el cortante. Primeramente se verificará si la sección asumida cumple a la deformación admisible y a la flexión admisible, o sea con la posición 1. Para la obtención de esfuerzos y de deformaciones se simulo una viga continua con 6 apoyos en el programa SAP2000. Se introdujo la geometría, como se explicó en el tutorial del SAP2000, el tipo de material (madera con un módulo de elasticidad de 95000 k/cm2), la sección asumida de 30 x 15 cm, y las cargas, tanto muerta como viva, siendo esta última colocada para obtener los máximos valores de momento y deformación, para 2 vías de tráfico. A continuación se puede ver gráficos de la geometría, las cargas que inciden en el tablero, y los diagramas de momentos y de deformación: Posición 1.•

Geometría:

•

Carga Muerta Cm:


A229


ESTRUCTURAS DE MADERA •

Carga viva Cv:

•

Diagrama de Momentos y Momento Máximo:

•

Deformada del entablado y Flecha Máxima:



A230




FLEXIÓN:

σf = σf =

6 ⋅ M max b ⋅ h2

6 ⋅ 187000 = 166.2 k / cm 2 2 30 ⋅ 15

Como este valor es menor al admisible, entonces cumple. El coeficiente de seguridad a la flexión será: adσ f

C.Seg f =

σf

=

210 = 1.3 166.2

FLECHA: La flecha admisible será:

adf =

L (cm) 148 = = 0.54 cm 275 275

La flecha que produce la carga, según la simulación estructural es 0.35 cm. Como este valor es menor al admisible, entonces cumple. El coeficiente de seguridad a la deformación será:

C.Seg f =

adf

f

=

0.54 = 1.54 0.35

Posición 2.•

Carga Viva:


A231



•


Reacciones en toneladas:

CORTE: La sección crítica para el cortante máximo es en el extremo del tramo (cualquier extremo), por tanto la reacción más grande hallada de la simulación estructural es la que se debe usar para verificar al cortante. Como la reacción más grande es de 8.17 ton entonces: τ=

3 Qmax 3 8170 k k ⋅ = ⋅ = 27.23 2 > adτ = 15 2 ⇒ falla 2 b ⋅ h 2 30 ⋅ 15 cm cm

Entonces se decide aumentar el área de corte del apoyo, con el uso de un torna puntas, que es una placa de madera que se aumenta en el apoyo, y va entre el tablero y la viga. Entonces colocar un torna puntas de 20 cm de espesor:

3 8170 k k τ= ⋅ = 11.6 2 < adτ = 15 2 ⇒ cumple 2 30 ⋅ (15 + 20) cm cm Por lo tanto usar para tablero sección de 30 x 15 cm, con torna puntas de 20 cm de espesor en los apoyos.


A232




DISEÑO DE VIGAS MAESTRAS.Las vigas tendrán la longitud de la luz del puente, o sea 8 metros, lo primero que se debe hallar serán los esfuerzos máximos moviendo el tren de cargas que se muestra a continuación. Pp A

B 8.0 [m]

7.2 t

1.8 t

4.3 [m]

7.2 t

6 [m]

Debido a la longitud del tren tipo que se muestra en la figura, la posición más desfavorable para el momento y para la flecha será cuando una de las ruedas ya sea la central o la trasera se encuentre al centro del tramo del puente. 1.8 t

7.2 t 4.3 [m]

7.2 t 6 [m]

A

Pp B

8.0 [m]

NOTA 1.- Para las consideraciones de la carga viva, también se debería analizar la Carga Equivalente del tren tipo para posteriormente compararla con la línea de influencia del tren tipo. Un análisis más detallado se verá en la materia de puentes. Para hacer el análisis correspondiente a las vigas primero debemos asumir una escuadría: ESCUADRÍA:

Ø b =35 cm

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMONØ

FACULTAD DE=CIENCIAS h ≈ de LA233 /12 a L/10à 800/11 72.72 àY TECNOLOGIA 70 cm



El peso propio será: Pp = 800 k/m3 . 0.35 m . 0.70 m = 196 k/m è Pp= 196 k/m El peso del tablero se determinará usando el área de influencia de una viga maestra: PT = 800 k/m3 . 1.48 m . 0.15 m = 177.6 k/m El peso producido por la capa de rodadura es: PC.R. = 50 k/m2 . 1.48 m = 74 k/m Por lo tanto la carga muerta total será: qTOTAL= (196+177.6+74) = 447.6 k/m En este punto también se introducirá el efecto de los diafragmas para las consideraciones de los esfuerzos. Los diafragmas podrán asegurar una acción conjunta de las vigas, además de lograr un arriostramiento entre éstas. Los diafragmas serán

del mismo grupo estructural que las vigas y serán

distribuidos cada metro a lo largo del puente. La sección de los diafragmas será de 10cm x 10 cm. y una longitud de 1.35 metros. (Ver anexo capítulo VII). El peso propio será: Pdiafragma =2.800 k/m3 . 0.10 m . 0.10 m . 1.35 m = 21.6 k è Pdiafragma= 22 k Entonces: DEFORMACIÓN: 7.2 t

7.2 t +0.022 t 22 k 22 k 22 k 22 k

A

B

A

B

5 ⋅ q ⋅ L4 f1 = = 384 ⋅ E ⋅ I

(

)

P1 ⋅ L3 5n 2 − 4 ⋅ P2 ⋅ L3 f2 = + = 48 ⋅ E ⋅ I 384 ⋅ n ⋅ E ⋅ I UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

22 k 22 k 22 k 22 k

A

5 ⋅ 4.47 ⋅ (800) = 0.25 cm ; 35 ⋅ 70 3 384 ⋅ 95000 ⋅ 12 4

(

)

7200 ⋅ 800 3 5 ⋅ 82 − 4 ⋅ 22 ⋅ 8003 + = 0.822 cm 35 ⋅ 703 35 ⋅ 70 3 48 ⋅ 95000 ⋅ 384 ⋅ 8 ⋅ 95000 ⋅ 12 12

A234


B



fT = f1 + f 2 = 0.25 + 0.822 = 1.072 cm

adf =

L(cm) 800 = = 2.93 cm ⇒ f T < adf ⇒ BIEN 275 275

FLEXIÓN: La sección crítica para el momento máximo es el centro del tramo por tanto debe situarse el tren de manera que la rueda central o trasera quede al centro. 7.2 t +0.022 t

22 k 22 k 22 k 22 k

22 k 22 k 22 k 22 k A

∑M

A

B

= 0 ⇒ 447.6 ⋅ 8 ⋅ 4 + 4 ⋅ 7200 + 22 ⋅ (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) − 8 ⋅ VB = 0

VB = 5489.4 k ⇒ VA = VB = 5489.4 k x2 M = 5489.4 ⋅ x - 447.6 ⋅ 2 − 22 ⋅ (x) − 22 ⋅ (x - 1) − 22 ⋅ (x - 2) − 22 ⋅ (x - 3) 0< x < 4

σf =

σf =

18156.8 k٠۰m 0 k٠۰m

6 ⋅ M max b ⋅ h2

6 ⋅ 1815680 = 63.52 k/cm 2 < adσ f ⇒ BIEN 2 35 ⋅ 70

NOTA 2.- Para las consideraciones del momento y cortante producido por la carga viva, se deberá multiplicar por la fracción de carga correspondiente a un puente sobre vigas de madera. Un análisis más detallado se verá en la materia de puentes. CORTE: La sección crítica para el cortante máximo es en el extremo del tramo (cualquier extremo), por tanto el tren de cargas debe situarse: UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A235




7.2 t +0.022 t

22 k 22 k 22 k 22 k 22 k 22 k 22 k 22 k A

∑M

A

B

= 0 ⇒ 447.6 ⋅ 8 ⋅ 4 + 22 ⋅ (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) − 8 ⋅ VB = 0

VB = 1889.4 k 8 ⋅ VA - 8 ⋅ 7200 - 22 ⋅ (8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) - 447.6 ⋅ 8 ⋅ 4 = 0 VA = 9089.4k ⇒ QMAX τ=

3 Q max ⋅ → 2 b⋅h

3 9089.4 = 5.565 k/cm 2 < adτ ⇒ BIEN 2 35 ⋅ 70

τ= ⋅

La escuadría de la basa seleccionada es muy difícil de conseguir en el aserradero, por tanto la construiremos utilizando un acoplamiento de dos vigas de sección cuadrangular: Sustituyendo los valores referenciales obtenemos:

t=

h 70 = = 5.83 ≅ 6 cm; 12 - 20 12

e=

h 70 = = 3.5 cm. 15 - 20 20

a ≥ 5 ⋅ t = 5 ⋅ 6 = 30 cm; t > e SIEMPRE! φp =

b 35 = = 3.5 cm ⇒ φ p = 1 1 " = 3.75 cm 2 10 10

σ aplast madera ≅ (30 − 50) k/cm2 ; T1 = σ a ⋅ b ⋅ t = 40 ⋅ 35 ⋅ 6 = 8400 k

π ⋅ φ2 T2 = µ ⋅ f s ⋅ A p ; ⇔ µ ⋅ ⋅ fs 4 µ = (0.5 - 0.6);

f s = (800 − 1200) k/cm 2 (Acero dulce)

π ⋅ 3.75 2 T2 = 0.5 ⋅ ⋅ 800 = 4417 k 4 T3 = 170 ⋅ φ 2 = 170 ⋅ 3.75 2 = 2390.63 k UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS A236

Y TECNOLOGIA



T = T1 + T2 + T3 = 15207.63 Como dijimos antes es preferible usar la fuerza T1 para sacar el número de cuñas:

Z=

2 2 ⋅ h = ⋅ 70 = 46.67 cm 3 3

Ahora necesitamos determinar el momento máximo, para esto tomaremos la posición más desfavorable del tren de carga. Entonces la fuerza horizontal será:

H=

M MAX 18156.8 × 100 = = 38904.65 k Z 46.67

n=

H 38904.65 = = 4.63 ⇒ n = 5 T1 8400

Colocado de cuñas:


A237



ANEXOS CAPÍTULO III 7.2 t + 0.022 t

22 k

22 k 22 k

22 k

22 k

22 k

22 k

22 k

A

B 18156.8 k·m

5489.4 k

14984 k·m

5489.4 k

11988 k·m 8992 k·m 5992 k·m 2996 k·m MOMENTO 5489.4 k

3611 k CORTANTE

3611 k

5489.4 k

Ubicación aproximada de las cuñas: Cuña #1: 88 cm. del lado izquierdo Cuña #2: 150 cm. del lado izquierdo Cuña #3: 215 cm. del lado izquierdo Cuña #4: 286 cm. del lado izquierdo Cuña #5: 362 cm. del lado izquierdo Cuña #6: 400 cm. del lado izquierdo Las demás cuñas serán simétricas a las anteriores. Los pernos se colocarán al centro de 2 cuñas adyacentes y serán de 1 ½”.


A238




Diseño por Resistencia o LRFD (Load and Resistance Factor Design).El término LRFD (Load and Resistance Factor Design), que en español se traduce a: Diseño por Factores de Carga y Resistencia, en los cuales sobresalen los términos: Resistencia, que se refiere a la capacidad de cada miembro estructural, como por ejemplo la resistencia a los momentos, resistencia a la tensión, etc. Dichas resistencias están tabuladas y se encuentran en los anexos de la norma, junto con los factores de resistencia. Esfuerzos, que se refiere a valores de la propiedades del material; los valores de resistencia que maneja la norma LRFD son equivalentes a los valores de las tensiones admisibles. En ASD los niveles de tensiones permisibles son muy bajos, y las magnitudes de las cargas están fijadas solo para niveles de servicio. Esta combinación produce diseños que se mantienen en niveles de seguridad altos y que permanecen económicamente factibles. Desde el punto de vista del ingeniero el proceso de diseño del LRFD es similar al ASD. La diferencia

más obvia entre LRFD y ASD

es que los valores de la

resistencia y los efectos producidos por las cargas en LRFD son numéricamente más grandes que en ASD, ya que estos son muy próximos a magnitudes halladas en muchos ensayos, y no reducen de manera significativa el coeficiente de seguridad interno. Los efectos de las cargas son más grandes a causa de que ellas son multiplicadas por los factores de carga que están en el rango de 1.2 a 1.6. En el método de los esfuerzos admisibles, estas cargas de servicio se usan directamente, mientras en el método de las resistencias se modifican multiplicándolas por un factor de carga para producir una carga de diseño llamada carga factorizada. El segundo paso en el proceso de diseño, es el de evaluar la respuesta en la estructura al tipo de carga, y, en especial, a la magnitud de carga requerida determinada. En el método de los esfuerzos admisibles, esta evaluación consiste en cierta forma de análisis de esfuerzos. En el método de la resistencia, la evaluación se hace para establecer la condición límite (resistencia última) para la UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A239




estructura según el tipo de carga. Para responder a las diferentes condiciones esta resistencia limitante se multiplica por un factor de resistencia para usarse en el diseño. Cargas factorizadas.- Las cargas que actúan sobre las estructuras provienen de diferentes fuentes, las primarias son la gravedad, el viento y los sismos. Para usarse en el análisis o en el trabajo de diseño, las cargas deben, primero, identificarse, medirse y cuantificarse de alguna manera y, luego, factorizarse (para el método de la resistencia). En la mayoría de las situaciones, también deben combinarse en todas las maneras posibles que sean estadísticamente probables, lo que a menudo produce más de una condición de carga para el diseño. El “Uniform Building Code” (Reglamento de Construcciones Uniformizadas) requiere la combinación de las siguientes combinaciones de condiciones mínimas para cualquier estructura: 1. Carga muerta + carga viva de piso + carga viva de techo(o nieve). 2. Carga muerta + carga viva de piso + carga de viento (o sismo). 3. Carga muerta + carga viva de piso + carga de viento + carga de nieve/2. 4. Carga muerta + carga viva de piso + carga de nieve + carga de viento/2. 5. Carga muerta + carga viva de piso + carga de nieve + carga sísmica. Esto no es todo para muchas estructuras, debido a problemas especiales. Por ejemplo, la estabilidad de un muro sometido a fuerza cortante es crítica para una combinación de carga muerta y carga lateral (viento o sismo). Las condiciones de esfuerzo a largo plazo o los efectos de la deformación plástica por fatiga del concreto con solo carga muerta como una condición de carga permanente. Al final debe prevalecer un buen juicio de diseño del ingeniero para concebir las combinaciones realmente necesarias. Una sola combinación de carga prevalece para la consideración del efecto máximo sobre una estructura dada. Sin embargo, en estructuras complejas (armaduras, arcos de edificio resistentes a los momentos, etc.) los miembros individuales por separado se diseñan para diferentes combinaciones de carga crítica. Si bien la combinación crítica para estructuras simples algunas veces se percibe con facilidad, otras es necesario el realizar análisis completos para muchas UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A240




combinaciones y luego comparar los resultados en detalle para evaluar las verdaderas condiciones de diseño. Los factores para el método de las resistencias se aplican individualmente a los diferentes tipos de carga (muerta, viva, viento, etc.). Esto contribuye a la complejidad, ya que también es posible hacerlos variar en combinaciones diferentes. En una estructura compleja e indeterminada, esto puede conducir a una montaña de cálculos para el análisis completo de todas las combinaciones. Las combinaciones de carga para ser usadas en diseño LRFD 1996:

1.4 ⋅ D

1.2 ⋅ D + 1.6 ⋅ L + 0.5(L r o S o R ) 1.2 ⋅ D + 1.6(Lr o S o R ) + 0.5(L o 0.8 ⋅ W)

1.2 ⋅ D + 1.3 ⋅ W + 0.5 ⋅ L + 0.5(L r o S o R ) 1.2 ⋅ D + 1.0 ⋅ E + 0.5 ⋅ L + 0.2 ⋅ S

0.9 ⋅ D − (1.3 ⋅ W o 1.0 ⋅ E) Donde: D : Carga muerta. L

: Carga viva causada por almacenamiento, ocupación o impacto.

Lr : Carga viva de techo. S

: Carga de nieve.

R

: Carga causada por agua de lluvia o hielo.

W : Carga de viento. E

: Carga de Sismo.

Los factores de carga dadas en las anteriores ecuaciones intentan proveer un nivel consistente de fiabilidad para un rango de valores de diferentes tipos de carga. Factores de resistencia.- La factorización (modificación) de las cargas es una forma de ajuste para el control de la seguridad en el diseño por resistencia. El segundo ajuste básico esta en modificar la resistencia cuantificada de la estructura. Esto conduce a determinar primero su resistencia en algunos términos UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A241




(resistencia a la compresión, capacidad de momento, límite de pandeo, etc.), y luego reducirla en algún porcentaje. La reducción (el factor de resistencia) se basa en diferentes consideraciones, incluyendo el interés por la confiabilidad de las teorías, el control de la calidad de producción, la capacidad de predecir comportamientos con precisión, etc. Normalmente, el diseño por resistencia consiste en comparar la carga factorizada (la carga incrementada en cierto porcentaje) con la resistencia factorizada (la resistencia reducida en cierto porcentaje) de la estructura sometida a cargas. Así, aunque los factores de carga puedan parecer bajos en algunos casos, la aplicación de los factores de resistencia conducen hasta un cierto punto a una magnificación del nivel de porcentaje de seguridad. Para proveer flexibilidad adicional y alcanzar una fiabilidad consistente a través de un rango para las aplicaciones de los productos, los factores de resistencias son aplicados a los valores referenciales de resistencias. Los factores de resistencia (Φ) son siempre menores a la unidad. La magnitud de los factores de resistencia representa una reducción relativa requerida para lograr niveles de fiabilidad comparables. Según la norma LRFD los factores de resistencia para productos basados en madera y conexiones son: Compresión: Φc = 0.90 Flexión: Φt = 0.85 Estabilidad: Φs = 0.85 Tensión: Φt = 0.80 Corte / Torsión: Φv = 0.75 Conexiones: Φz = 0.65 Factores de efecto del tiempo.Los factores de efecto del tiempo (λ) de la norma LRFD es el equivalente al factor de duración de la carga en ASD. Los factores de efecto del tiempo están tabulados en la tabla 1.4-2 de la norma LRFD para cada ecuación de combinación de carga. Estos factores fueron hallados en base al análisis de fiabilidad que consideraban la variación de las propiedades resistentes de esfuerzos, según procesos de UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A242




modelación de cargas estocásticas y efectos de deterioro acumulado. Debido a que los esfuerzos referenciales están basados en ensayos con aplicación de cargas con duración corta, los factores de efecto del tiempo son iguales a la unidad para combinaciones de carga en los cuales no ocurre una acumulación de deterioro. Los factores de efecto del tiempo están en el rango de 1.25 para combinaciones de carga en las que predominan las cargas de impacto, hasta 0.6 para combinaciones de carga en las que predominan la carga muerta.

Limites de servicio.En adición del diseño de edificaciones por los estados límites de esfuerzos, los diseñadores deben de determinar los estados límites de servicio considerados para una aplicación dada. Los limites de servicio usados mas comúnmente en el típico diseño de edificaciones compuestas por barras de madera es la limitación de la deflexión para miembros que componen la cobertura de cada piso o nivel. Los códigos de construcción han definido tradicionalmente estos límites como una fracción de la longitud del miembro a analizar. Por ejemplo el límite de L/360 para una solicitación de carga viva, o L/240 para una solicitación de la carga total es común para analizar los pisos de un edificio. Mientras los límites tradicionales de deflexión estática fueron originalmente desarrollados para limitar la rotura de los materiales de acabado con características quebradizas, estos valores también sirven igualmente en aplicaciones de luces cortas para reducir los problemas de vibración. Como el diseño de productos de madera también envuelven elementos de grandes luces con miembros de pesos ligeros, se ha puesto común para los fabricantes recomendar un criterio de deflexión más severo.


A243




ESCUADRIAS COMERCIALES DE MADERA SEGÚN NORMA DEL PACTO ANDINO La siguiente tabla es la unión de dos tablas que se encuentran en la página 3-4 y

Dimension Real b*h (cm)

Equivalente Comercial b*h (pulgadas)

Uso mas frecuente

4*4

2*2

Pie-derechos

4 * 6.5

2*3

Pie-derechos,viguetas

4*9

2*4

Pie-derechos,viguetas,columnas

4 * 14

2*6

Viguetas,vigas

4 * 16.5

2*7

Viguetas,vigas

4 * 19

2*8

Viguetas,vigas

4 * 24

2 * 10

Viguetas,vigas

6.5 * 6.5

3*3

C olumnas

6.5 * 9

3*4

C olumnas,vigas

9*9

4*4

C olumnas

9 * 14

4*6

C olumnas,vigas

9 * 19

4*8

Vigas

9 * 24

4 * 10

Vigas

9 * 29

4 * 12

Vigas

14 * 14

6*6

C olumnas

14 * 19

6*8

Vigas,columnas

14 * 24

6 * 10

Vigas

14 * 29

6 * 12

Vigas

3-5 de la mencionada norma: Las dimensiones reales son las que deben utilizarse para el diseño, y las comerciales a la hora de la compra.


A244


3.3 5 7 8.3 10 11.7 13.3 15 17 18.3 20 22 23.3 25

1m 1.5 m 2m 2.5 m 3m 3.5 m 4m 4.5 m 5m 5.5 m 6m 6.5 m 7m 7.5 m

p2


Medidas

2 3.5 4.7 5.6 6.7 8 8.9 10 11.5 12.3 13.5 14.7 15.6 16.7

1m 1.5 m 2m 2.5 m 3m 3.5 m 4m 4.5 m 5m 5.5 m 6m 6.5 m 7m 7.5 m


Mad. Dura Bs 8 14 19 22 29 35 39 44 51 54 59 81 86 92

Mad. Semidura Bs 8 13 18 22 26 31 34 39 44 47 52 73 77 83

Fuente.-‐Aserradero La Fuente

p2

A245

Medidas

Mad. Semidura Bs 13 19 27 32 39 45 51 58 65 70 77 109 115 124

2× 4

Mad. Dura Bs 13 20 28 33 44 51 59 66 75 81 88 121 128 138

2× 6

Mad. Blanda Bs 5 9 13 15 22 27 30 33 38 41 45 57 60 64

Mad. Blanda Bs 9 13 19 28 33 39 44 50 57 61 67 85 90 96

1m 1.5 m 2m 2.5 m 3m 3.5 m 4m 4.5 m 5m 5.5 m 6m 6.5 m 7m 7.5 m

Medidas

1m 1.5 m 2m 2.5 m 3m 3.5 m 4m 4.5 m 5m 5.5 m 6m 6.5 m 7m 7.5 m

Medidas

1.7 2.5 3.5 4.2 5 6 6.7 7.5 8.5 9.2 10 11 11.7 12.5

p2

2.78 4.17 5.56 6.95 8.33 9.72 11.11 12.5 14 15.28 17 18.5 19.5 21

p2

TABLA DE VIGAS

Mad. Dura Bs 7 10 14 17 22 26 29 33 37 40 44 61 64 69

Mad. Dura Bs 11 17 22 28 37 43 49 55 62 67 75 102 107 116

Mad. Semidura Bs 7 10 13 16 19 23 26 29 33 35 39 54 58 62

2×3

Mad. Semidura Bs 10 15 20 25 32 37 43 48 54 59 65 92 97 104

2× 5

Mad. Blanda Bs 5 7 9 11 17 20 22 25 28 31 33 42 45 48

Mad. Blanda Bs 7 11 15 19 28 32 37 42 47 51 57 71 75 81

ESTRUCTURAS DE MADERA ANEXOS CAPÍTULO III




A246




Viga Simplemente Apoyada – Carga Uniformemente Distribuida L

x

q⋅L R=V= 2

q

⎛L ⎞ Vx = q⎜ − x ⎟ ⎝2 ⎠

M max =

R

q ⋅ L2 8

L 2

V

q⋅x Mx = (L − x ) 2

f max (en el centro) =

R L 2

Corte

V

5 ⋅ q ⋅ L4 384 ⋅ E ⋅ I Mmax

Momento

q⋅x fx = (L3 − 2 ⋅ L ⋅ x 2 + x 3 ) 24 ⋅ E ⋅ I

Viga Simplemente Apoyada – Carga Uniforme Parcialmente Distribuida

q⋅b R 1 = V1 (max .cuando a < c) = ( 2 ⋅ c + b) 2⋅L q⋅b R 2 = V2 (max .cuando a > c) = ( 2 ⋅ a + b) 2⋅L VX (cuandox > a y < (a + b)) = R 1 − q( x − a ) ⎛ R R ⎞ M max (para x = a + 1 ) = R1 ⎜⎜ a + 1 ⎟⎟ q 2⋅q⎠ ⎝

M x (cuando x < a ) = R 1 ⋅ x UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

x a

L b

q

c

R1

R2

V1

A247

Corte FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA a+R1 q

V2



q M x (cuando x > a y < (a + b)) = R 1 ⋅ x − ( x − a ) 2 2 M x (cuando x > (a + b)) = R 2 (L − x )

Viga Simplemente Apoyada – Carga Uniforme Parcialmente Distribuida En L

Un Extremo

x a

R 1 = V1 =

q

q⋅a (2 ⋅ L − a ) 2⋅L R1

q ⋅a2 R 2 = V2 = 2⋅L

R2

Vx (cuando x < a ) = R 1 − q ⋅ x V1

2

R ⎞ R ⎛ M max ⎜⎜ para x = 1 ⎟⎟ = 1 q ⎠ 2⋅q ⎝

q ⋅ x2 M x (cuando x < a ) = R 1 ⋅ x − 2

R1 q

M x (cuando x > a ) = R 2 (L − x ) f x (cuando x < a ) =

24E ⋅ I ⋅ L

(4x ⋅ L − 2x − a )


Mmax

q⋅x (a 2 (2L − a ) 2 − 2a ⋅ x 2 (2L − a ) + L ⋅ x 3 ) 24qE⋅⋅aI2⋅(L L − x) 2 2

f x (cuando x > a) =

Corte

A248

Momento


V2



Viga Simplemente Apoyada – Carga Uniforme Parcialmente Distribuida En Cada Extremo

L x

q ⋅ a (2 ⋅ L − a ) + q 2 ⋅ c 2 R 1 = V1 = 1 2⋅L

a

b

q1

q 2 ⋅ c( 2 ⋅ L − c) + q 1 ⋅ a 2 R 2 = V2 = 2⋅L

c

q2

R1

R2

Vx (cuando x < a ) = R1 − q1 ⋅ x Vx (cuando x > a y < (a + b)) = R1 − q1 ⋅ a V1

Vx (cuando x > (a + b)) = R 2 − q 2 (L − x)

V2

Corte

2

R R1 M max (para x = 1 cuando R 1 < q1 ⋅ a ) = 2 q1 R 2 2 ⋅ q1R 2 M max (para x = L − cuando R 2 < q 2 ⋅ c) = q2 2 ⋅ q2

R1/q1

q1 ⋅ x 2 M x (cuando x < a ) = R 1 ⋅ x − 2 M x (cuando x > a y < (a + b)) = R1 ⋅ x − M x (cuando x > (a + b)) = R 2 (L − x ) −

Mmax

q1 ⋅ a (2 ⋅ x − a ) 2

Momento

q 2 (L − x ) 2 2

Viga Simplemente Apoyada – Carga Aumentando Uniformemente Desde Cero Hasta “q”; De Un Extremo A Otro.

L

x

En estas ecuaciones: W =

R 1 = V1 =

R 2 = V2 =

q⋅L 2

q R1

W 3

R2 L 3

2⋅W 3 V1

W W ⋅ x2 Vx = − 3 L2

Corte

L ⎞ 2⋅W ⋅L ⎛ M max ⎜ para x = ⎟= 3⎠ 9⋅ 3 ⎝ UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A249

Mmax FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA

Momento

V2


Mx =


W⋅x 2 (L − x 2 ) 2 3⋅ L

⎛ 8 ⎞⎟ W ⋅ L3 f max ⎜ para x = L ⋅ 1 − = 0.01304 ⎜ 15 ⎟⎠ E⋅I ⎝

fx =

W⋅x 2

180 ⋅ E ⋅ I ⋅ L

(3 ⋅ x 4 − 10 ⋅ L2 ⋅ x 2 + 7 ⋅ L4 )

Viga Simplemente Apoyada – Carga Aumentando Desde Cero Uniformemente Hasta “q”; Desde Ambos Extremos Al Centro. L

q

x

En estas ecuaciones: W = R=V=

q⋅L 2

R

W 2

L/2

L⎞ W ⎛ Vx ⎜ cuando x < ⎟ = (L2 − 4 ⋅ x 2 ) 2 2 ⎠ 2⋅L ⎝

M max (en el centro) =

f max (en el centro) = W⋅x 2

480 ⋅ E ⋅ I ⋅ L

L/2

V

W⋅L 6

Corte

⎛ 1 2⋅ x2 ⎞ L⎞ ⎛ ⎟ M x ⎜ cuando x < ⎟ = W ⋅ x ⎜⎜ − 2 ⎟ 2⎠ 2 3 ⋅ L ⎝ ⎝ ⎠

fx =

R

V

Mmax

W ⋅ L3 60 ⋅ E ⋅ I

Momento

(5 ⋅ L2 − 4 ⋅ x 2 ) 2

Viga Simplemente Apoyada – Carga Concentrada En El Centro De La Viga L

R=V=

P 2

x

M max (en el punto de aplicacion de P) = UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

P⋅L 4

A250

P

R FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA L/2 L/2

R



L⎞ P⋅x ⎛ M x ⎜ cuando x < ⎟ = 2⎠ 2 ⎝ f max (en el punto de aplicacion de P) =

P ⋅ L3 48 ⋅ E ⋅ I

L⎞ P⋅x ⎛ f x ⎜ cuando x < ⎟ = (3 ⋅ L2 − 4 ⋅ x 2 ) 2 ⎠ 48 ⋅ E ⋅ I ⎝

Viga Simplemente Apoyada – Carga Concentrada En Cualquier Punto De La Viga L

R 1 = V1 (max . cuando a < b) =

P⋅b L

R 2 = V2 (max . cuando a > b) =

P⋅a L

M max (en el punto de aplicacion de P) =

M x (cuando x < a ) =

x

P ⋅ a ⋅b ` L

P⋅b⋅x L

P

R1

R2 a

b

V1 V2

Corte

Mmax


A251


Momento



⎛ ⎞ P ⋅ a ⋅ b(a + 2b) 3a (a + 2b) a (a + 2 b ) f max ⎜ en x = cuando a > b ⎟ = ⎜ ⎟ 3 27E ⋅ I ⋅ L ⎝ ⎠ 2 2

P⋅a ⋅b f a (en el punto de aplicacion de P) = 3⋅ E ⋅ I ⋅ L P⋅b⋅x f x (cuando x < a ) = (L2 − b 2 − x 2 ) 6⋅E⋅I⋅L f x (cuando x > a ) =

P ⋅ a (L − x ) (2 ⋅ L ⋅ x − x 2 − a 2 ) 6⋅E⋅I⋅L

Viga Simplemente Apoyada – Dos Cargas Concentradas Iguales, Ubicadas Simétricamente Respecto A Los Extremos L

R=V=P

x

P

M max (ubicado entre las c arg as) = P ⋅ a M x (cuando x < a ) = P ⋅ x

R

P⋅a f max (ubicado en el centro) = (3 ⋅ L2 − 4 ⋅ a 2 ) 24 ⋅ E ⋅ I P⋅x f x (cuando x < a ) = (3 ⋅ L ⋅ a − 3 ⋅ a 2 − x 2 ) 6⋅E⋅I f x (cuando x > a y < (L − a )) =

P

R a

a

V

P⋅a (3 ⋅ L ⋅ x − 3 ⋅ x 2 − a 2 ) 6⋅E⋅I

Corte

Mmax

Momento


A252


V



Viga Simplemente Apoyada – Dos Cargas Concentradas Iguales, Ubicadas Asimétricamente Respecto A Los Extremos L

R 1 = V1 (max cuando a < b) =

P ( L − a + b) L

R 2 = V2 (max cuando a > b) =

P (L − b + a ) L

Vx (cuando x > a y < (L − b)) =

x

P

R1

R2 a

P (b − a ) L

M1 (max cuando a > b) = R1 ⋅ a

P

b

V1

M 2 (max cuando a < b) = R 2 ⋅ b

V2

Corte

M x (cuando x < a ) = R1 ⋅ x M1 (cuando x > a y < (L − b)) = R1 ⋅ x − P(x − a ) M2

M1

Momento

Viga Simplemente Apoyada – Dos Cargas Concentradas No Iguales, Ubicadas Asimétricamente Respecto A Los Extremos L x

R 1 = V1 =

P1 (L − a ) + P2 ⋅ b L

P1

P2

R1

P ⋅ a + P2 (L − b) R 2 = V2 = 1 L

R2 a

b

V1 (cuando x > a y < (L − b)) = R1 − P1 V1

M1 (max cuando R1 < P1 ) = R1 ⋅ a

Corte

M 2 (max cuando R 2 < P2 ) = R 2 ⋅ b UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A253

V2

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA M1

M2



M x (cuando x < a ) = R1 ⋅ x M x (cuando x > a y < (L − b)) = R1 ⋅ x − P1 (x − a )

Viga En Voladizo – Carga Uniformemente Distribuida

L

R = V = q⋅L

x

q

Vx = q ⋅ x

R

q ⋅ L2 M max (en extremo empotrado) = 2 q ⋅ x2 Mx = 2 f max (en extremo libre) = fx =

q ⋅ L4 8⋅ E ⋅ I

q ( x 4 − 4 ⋅ L3 ⋅ x + 3 ⋅ L4 ) 24 ⋅ E ⋅ I

Momento


V

Corte

A254

Mmax




Viga En Voladizo – Carga Concentrada En El Extremo Libre L x

R=V=P

P

M max (en extremo empotrado) = P ⋅ L

R

Mx = P ⋅ x f max (en extremo libre) = fx =

P ⋅ L3 3⋅ E ⋅ I

P (2 ⋅ L3 − 3 ⋅ L2 ⋅ x + x 3 ) 6⋅E⋅I

V

Corte

Mmax

Momento

Viga En Voladizo – Carga Concentrada En Cualquier Punto De La Viga L

R=V=P

x

M max (en extremo empotrado) = P ⋅ b

P

M x (cuando x > a ) = P(x − a )

R

P ⋅ b2 f max (en extremo libre) = (3 ⋅ L − b) 6⋅E⋅I

a

b

P ⋅ b3 f a (en el punto de aplicacion de P) = 3⋅ E ⋅ I V


A255

FACULTADCorte DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA



P ⋅ b2 f x (cuando x < a ) = (3 ⋅ L − 3 ⋅ x − b) 6⋅E⋅I P ⋅ (L − x ) 2 f x (cuando x > a ) = (3 ⋅ b − L + x ) 6⋅E⋅I

Viga Empotrada Apoyada– Carga Uniformemente Distribuida L

3⋅ q ⋅ L R 1 = V1 = 8

;

x

5⋅q ⋅ L R 2 = V2 = 8

q R2

Vx = R1 − q ⋅ x M max

R1

q ⋅ L2 = 8

3 ⎞ 9 ⎛ M1 ⎜ en x = ⋅ L ⎟ = ⋅ q ⋅ L2 8 ⎠ 128 ⎝

M x = R1 ⋅ x −

V1 V2

Corte

q ⋅ x2 2

(3/8)L

4

L q⋅L ⎛ ⎞ f max ⎜ en x = ⋅ (1 + 33 ⎟ = 16 ⎝ ⎠ 185 ⋅ E ⋅ I

L/4

M1

q⋅x fx = (L3 − 3 ⋅ L ⋅ x 2 + 2 ⋅ x 3 ) 48 ⋅ E ⋅ I

Momento

Viga Empotrada Apoyada– Carga Concentrada En El Centro De La Viga UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A256


Mmax


R 1 = V1 =

5⋅ P 16

;

M max (en extremo empotrado) =


R 2 = V2 =

L

11 ⋅ P 16

x

3⋅ P ⋅ L 16

P R2

R1

5⋅ P ⋅ L M1 (en el punto de aplicacion de P) = 32

L/2

L 5⋅ P ⋅ x M x (cuando x < ) = 2 16

L/2

V1

L ⎛ L 11 ⋅ x ⎞ M x (cuando x > ) = P⎜ − ⎟ 2 ⎝ 2 16 ⎠

V2

Corte

⎛ 1⎞ P ⋅ L3 ⎟= f max ⎜⎜ en x = L ⋅ 5 ⎟⎠ 48 ⋅ E ⋅ I ⋅ 5 ⎝

7 ⋅ P ⋅ L3 f p (en el punto de aplicacion de P) = 768 ⋅ E ⋅ I

(3/11)L

M1

L P⋅x f x (cuando x < ) = (3 ⋅ L2 − 5 ⋅ x 2 ) 2 96 ⋅ E ⋅ I f x (cuando x >

Mmax

Momento

L P )= ( x − L) 2 (11 ⋅ x − 2 ⋅ L) 2 96 ⋅ E ⋅ I

Viga Empotrada En Un Extremo Y Apoyada En El Otro – Carga Puntual En Cualquier Punto

P⋅a P ⋅ b2 ⋅ (3 ⋅ L2 − a 2 ) R 1 = V1 = ⋅ (a + 2 ⋅ L) ; R 2 = V2 = 3 3 2⋅L 2⋅L

L

P

x

M1 (En el punto de carga) = R 1 ⋅ a

R2

P⋅a ⋅b M2(En el extremo empotrado) = (a + L) 2 ⋅ L2

R1 a

b

M x (Cuando x < a) = R 1 ⋅ x V

M x (Cuando x > a) = R 1 ⋅ x − P ⋅ (x − a) f max (Cuando a < 0.414 ⋅ L en x = L ⋅

V

Corte

L2 + a 2 P ⋅ a (L2 − a 2 ) 3 ) = 3 ⋅ E ⋅ I (3 ⋅ L2 − a 2 ) 2 3 ⋅ L2 − a 2 M1


A257


Momento Pa R2

M2



a P ⋅ a ⋅ b2 a )= ⋅ 2⋅L + a 6⋅E⋅I 2⋅L + a 2 3 P⋅a ⋅b f a (En el punto de carga) = (3L + a) 12 ⋅ E ⋅ I ⋅ L3 P ⋅ b2 ⋅ x f x (Cuando x < a) = (3aL2 − 2Lx 2 − ax 2 ) 3 12 ⋅ E P ⋅ aI ⋅ L f x (Cuando x > a) = (L − x) 2 (3L2 x − a 2 x − 2a 2 L) 3 12 ⋅ E ⋅ I ⋅ L f max (Cuando a > 0.414L en x = L ⋅

Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo-Carga Uniformemente Distribuida

R 1 = V1 = V3 =

q (L2 − a 2 ) ; R 2 = V2 + V3 = q (L + a) 2 2⋅L 2⋅L

q (L2 + a 2 ) : 2⋅L

q(L+a)

V2 = q ⋅ a

Vx (Entre apoyos) = R 1 − q ⋅ x

R1

q L ⎡ a2 ⎤ ⋅ ⎢1 − ⎥) = ⋅ (L + a) 2 ⋅ (L − a) 2 2 ⎣ L2 ⎦ 8L2

M x (Entre apoyos) =

a2 L2 )

V2

V3

Corte

q⋅x 2 (L − a 2 − x ⋅ L) 2L

M x1 (Para el volado) = f x (Entre apoyos) =

-

V1

q ⋅a2 M 2 (En R 2 ) = 2 M1

Momento

q (a − x 1 ) 2 2

L (1 -

a2 L2 )

q⋅x (L4 − 2L2 x 2 + Lx 3 − 2a 2 L2 + 2a 2 x 2 ) 24 ⋅ E ⋅ I ⋅ L

f x 1 (Para el volado) =

q ⋅ x1 2 3 (4a 2 L − L3 + 6a 2 x 1 − 4ax 1 + x 1 ) 24 ⋅ E ⋅ I

Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo – Carga Uniforme Al Extremo Del Volado


a x1

R2 L 2 (1

Vx 1 (Para el volado) = q ⋅ (a − x 1 ) M 1 (En x =

L

x

A46


M2



q ⋅a2 R 1 = V1 = 2⋅L R 2 = V1 + V2 =

a

L

x1

x

q⋅a (2 ⋅ L + a) 2⋅L

V2 = q ⋅ a

q·a

R1

R2

Vx 1 (Para el volado) = q ⋅ (a − x 1 ) V2

q ⋅a2 M max (En R 2 ) = 2

V1

Corte

q ⋅a2 ⋅ x M x (Entre apoyos) = 2L M x1 (Para el volado) =

q (a − x 1 ) 2 2

f max (Entre apoyos en x =

L 3

)=

q ⋅ a 2 ⋅ L2 18 3 ⋅ E ⋅ I

f max (Para el volado en x 1 = a) = f x (Entre apoyos) =

Mmáx

Momento

q ⋅ a3 (4L + 3a) 24 ⋅ E ⋅ I

q ⋅a2 ⋅ x (L2 − x 2 ) 12 ⋅ E ⋅ I ⋅ L

f x (Para el volado) =

q ⋅ x1 2 3 (4a 2 L + 6a 2 x 1 − 4ax 1 + x 1 ) 24 ⋅ E ⋅ I

Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo-Carga Puntual Al Extremo del Volado

R 1 = V1 =

L

P⋅a ; R 2 = V1 + V2 = P (L + a) L L

x

a x1

P

V2 = P R1

M max (En R 2 ) = P ⋅ a M x (Entre apoyos) =

P⋅a ⋅x L

V2 V1

M x1 (Para el volado) = P(a − x1 ) UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

R2

Corte

A47


Momento

Mmáx



L 3

P ⋅ a ⋅ L2

)=

9 3⋅E⋅I



P ⋅a2 (L + a) 3⋅ E ⋅ I

P⋅a ⋅x (L2 − x 2 ) 6⋅E⋅I⋅L


P ⋅ x1 2 (2aL + 3ax 1 − x 1 ) 6⋅E⋅I

Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo – Carga Puntual en Cualquier Punto Entre Apoyos


P⋅b L

L

P⋅a L P⋅a ⋅b M max (En el punto de carga) = L R 2 = V2 (max cuando a > b) =

R2 a

b

V1

Corte

Pab(a + 2b) ⋅ 3a ⋅ (a + 2b) a(a + 2b) cuando a > b) = 3 27 ⋅ E ⋅ I ⋅ L

f a (En el punto de carga) =

Mmax

P ⋅ a 2 ⋅ b2 3⋅ E ⋅ I ⋅ L

Momento

P⋅b⋅x f x (Cuando x < a) = (L2 − b 2 − x 2 ) 6⋅E⋅I⋅L f x (Cuando x > a) = f x1 =

x1

R1

P⋅b⋅x M x (Cuando x < a) = L f max (En x =

P

x

P ⋅ a ⋅ ( L − x) (2 ⋅ L ⋅ x − x 2 − a 2 ) 6⋅E⋅I⋅L

P ⋅ a ⋅ b ⋅ x1 (L + a) 6⋅E⋅I⋅L

Viga Con Volado En Ambos Extremos –Volados Diferentes - Carga Uniformemente Distribuida UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

A48


V2


R1 =


q⋅L q⋅L (L − 2c) ; R 2 = (L - 2a) 2⋅b 2⋅b

L

q·L

V1 = q ⋅ a ; V2 = R 1 − V1 V3 = R 2 − V4 :

V4 = q ⋅ c

R1

a

Vx (Cuando x < L) = R1 − q(a + x1 ) Vx 1 (Para el volado) = V1 - q ⋅ x 1

c

V4

V1

Corte

x1 M1

R2

V2

Vm (Cuando a < c) = R 2 - q ⋅ c


b

A49

Mx1

V3

x M1

Momento


M2



q⋅a2 q ⋅ c2 ; M2 = − M1 = 2 2

⎛R ⎞ M 3 = R 1 ⎜⎜ 1 − a ⎟⎟ ⎝ 2q ⎠

M x (max cuando x =

R1 q(a + x) 2 - a) = R 1 ⋅ x − q 2

Viga Empotrada En Ambos Extremos – Carga Uniformemente Distribuida

R=V=

q⋅L 2

q

⎛L ⎞ Vx = q ⋅ ⎜ − x ⎟ ⎝2 ⎠

R

M max (en los extremos) = M1 (Al centro) = Mx =

L

x

q⋅L 12

L 2

q ⋅ L2 24

(

q 6Lx − L2 − 6x 2 12

R

2 L 2

V

)

Corte

q ⋅ L4 fmax(Al centro) = 384 ⋅ E ⋅ I

V

0.2113L M1

Momento

q ⋅ x2 fx = (L − x) 2 24 ⋅ E ⋅ I

Mmax

Viga Empotrada En Ambos Extremos – Carga Puntual En El Centro UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON


L

x

R

P R


R=V=


P 2

M max (Al centro y en los extremos) = M x (Cuando x <

P⋅L 8

L P ) = (4x − L ) 2 8

fmax(Al centro) =

P ⋅ L3 192 ⋅ E ⋅ I

L P ⋅ x2 f x (Cuando x < ) = (3L − 4x) 2 48 ⋅ E ⋅ I

Viga Empotrada En Ambos Extremos – Carga Puntual En Cualquier Punto

R1 = V1 (max cuando a < b) =

P ⋅ b2 (3a + b) L3


P ⋅ a2 (a + 3b) L3

P⋅a ⋅b M1 (max cuando a < b) = L2

L

P

x

R

R

2

P ⋅ a2 ⋅ b M 2 (max cuando a > b) = L2 2 ⋅ P ⋅ a 2 ⋅ b2 M a (En el punto de carga) = L3 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

a

b

V1 V2

Corte FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA

M1

Momento

Ma M2



P ⋅ a ⋅ b2 M x (Cuando x < a) = R1 ⋅ x − L2 f max (Cuando a > b en x =

2⋅a ⋅L 2Pa 3b 2 )= 3a + b 3 ⋅ E ⋅ I ⋅ (3a + b) 2


P ⋅ a 3 ⋅ b3 3 ⋅ E ⋅ I ⋅ L3

f x (Cuando x < a) =

P ⋅ b2 ⋅ x 2 (3aL − 3ax − bx) 6 ⋅ E ⋅ I ⋅ L3

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Distribuida Uniformemente En Un Tramo x

R1 = V1 =

7 ⋅q⋅L 16 R1

5 R 2 = V2 + V3 = ⋅ q ⋅ L 8 R 3 = V3 = −

R2

R3

L

1 ⋅q⋅L 16

L

V1

V3

9 V2 = ⋅ q ⋅ L 16

V2

Corte 7L 16

7 49 Mmax(En x = ⋅ L) = ⋅ q ⋅ L2 16 512

Mmax M1

Momento

1 M1 (En el apoyo R 2 ) = ⋅ q ⋅ L2 16 M x (Cuando x < L) =

q·L

q⋅x (7L − 8x) 16

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Puntual Al Centro De Un Tramo

L 2


L 2


P

R1

R2

R3


R1 = V1 =

13 ⋅P 32

R 2 = V2 + V3 = R 3 = V3 = − V2 =


11 ⋅P 16

3 ⋅P 32

19 ⋅P 32

Mmax(En el punto de carga) = M1 (En el apoyo R 2 ) =

13 ⋅P⋅L 64

3 ⋅P⋅L 32

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Puntual En Cualquier Punto De Un Tramo

R 1 = V1 =

P⋅b (4L2 − a(L + a)) 4 ⋅ L3

R 2 = V2 + V3 =

a

P⋅a (2L2 − b(L + a)) 3 2⋅L

R1

P⋅a (4L2 + b(L + a)) 3 4⋅L

Mmax(En el punto de carga) =

R3 L

V1

V3 V2

P⋅a⋅b (4L2 − a ⋅ (L + a)) 4 ⋅ L3


R2 L

P⋅a ⋅b R 3 = V3 = − (L + a) 4 ⋅ L3 V2 =

b

P

Corte

Mmax FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA Momento M1


M1 (En el apoyo R 2 ) =


P⋅a ⋅b (L + a) 4 ⋅ L2

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Uniformemente Distribuida

3 R1 = V1 = R 3 = V3 = ⋅ q ⋅ L 8 R2 =

10 ⋅q⋅L 8

R1

R2

R3

L

5 V2 = Vmax = ⋅ q ⋅ L 8

q ⋅ L2 M1 = 8

M 2 ( En

q ·L

q· L

L

V2

V1

3L 9 ⋅ q ⋅ L2 )= 8 128

v3

V2

Corte

M2

f max (En 0.46L, desde R1 y R3) =

q⋅L 185 ⋅ E ⋅ I 4

Momento

M1

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Dos Cargas Puntuales Situadas Al Centro De Cada Tramo

P

P

R1 = V1 = R 3 = V3 =

5 ⋅P 16

R1

R2 a


R3

a

a


a

V1

V2 V2

V3


R 2 = 2 ⋅ V2 =


11 ⋅P 8

V2 = P − R1 =

11 ⋅P 16

Vmax = V2 M1 = − M2 =

3⋅ P ⋅ L 16

5⋅P ⋅L 32

Mx (Cuando x < a) = R1 ⋅ x

Viga Continua – Dos Tramos Diferentes – Carga Uniformemente Distribuida

R1 =

M1 q ⋅ L1 + L1 2

R 2 = q ⋅ L1 + q ⋅ L2 − R1 − R 3 R 3 = V4 =

R1

R2

M1 q ⋅ L 2 + L2 2

V1 = R1

R3

L1

Corte

V3 = q ⋅ L 2 − R 3 V4 = R 3

L2

V3

V1

V2 = q ⋅ L1 − R1

3

3


V4

V2

x1

q ⋅ L 2 + q ⋅ L1 M1 = − 8(L1 + L 2 )

q·L2

q·L1

x2

Mx1

Mx2

Momento

M1




R q ⋅ x1 M x1 (Cuando x1 = 1 ) = R1 ⋅ x1 − q 2

2

R q ⋅ x2 M x 2 (Cuando x 2 = 3 ) = R 3 ⋅ x 2 − q 2

2

Viga Continua – Dos Tramos Diferentes – Carga Puntual situada En El Centro De Cada Tramo

R1 =

P

P

M1 P1 + L1 2 R1

R2

R 2 = P1 + P2 − R1 − R 3 R3 =

a

a

M1 P2 + L2 2

V1 = R1

R3 b

b

V3

V1

V4

V2

Corte

V2 = P1 − R1 V3 = P2 − R 3 V4 = R 3 2 2 3 ⎛ P1 ⋅ L1 + P2 ⋅ L2 ⎞ ⎜ ⎟ M1 = − ⎜ ⎟ 16 ⎝ L1 + L2 ⎠

Mm2

Mm1

Momento

M1

M m1 = R 1 ⋅ a M m2 = R 3 ⋅ b

Viga Empotrada En Un Extremo Y Apoyada En El Otro – Carga Puntual En Cualquier Punto

P⋅a P ⋅ b2 ⋅ (3 ⋅ L2 − a 2 ) R 1 = V1 = ⋅ (a + 2 ⋅ L) ; R 2 = V2 = 3 3 2⋅L 2⋅L

L x

M1 (En el punto de carga) = R 1 ⋅ a UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

P R2


R1

a V

b


M2(En el extremo empotrado) =


P⋅a ⋅b (a + L) 2 ⋅ L2

M x (Cuando x < a) = R 1 ⋅ x M x (Cuando x > a) = R 1 ⋅ x − P ⋅ (x − a) L2 + a 2 P ⋅ a (L2 − a 2 ) 3 ) = 3 ⋅ E ⋅ I (3 ⋅ L2 − a 2 ) 2 3 ⋅ L2 − a 2 a P ⋅ a ⋅ b2 a f max (Cuando a > 0.414L en x = L ⋅ )= ⋅ 2⋅L + a 6⋅E⋅I 2⋅L + a 2 3 P⋅a ⋅b f a (En el punto de carga) = (3L + a) 12 ⋅ E ⋅ I ⋅ L3 P ⋅ b2 ⋅ x f x (Cuando x < a) = (3aL2 − 2Lx 2 − ax 2 ) 3 12 ⋅ E ⋅ I ⋅ L P a f x (Cuando x > a) = (L − x) 2 (3L2 x − a 2 x − 2a 2 L) 3 12 ⋅ E ⋅ I ⋅ L f max (Cuando a < 0.414 ⋅ L en x = L ⋅

Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo-Carga Uniformemente Distribuida

R 1 = V1 = V3 =

q (L2 − a 2 ) ; R 2 = V2 + V3 = q (L + a) 2 2⋅L 2⋅L

q (L2 + a 2 ) : 2⋅L

q(L+a)

V2 = q ⋅ a

Vx (Entre apoyos) = R 1 − q ⋅ x

R1

q L ⎡ a2 ⎤ ⋅ ⎢1 − 2 ⎥) = 2 ⋅ (L + a) 2 ⋅ (L − a) 2 2 ⎣ L ⎦ 8L

M 2 (En R 2 ) =

M x (Entre apoyos) =

q⋅x 2 (L − a 2 − x ⋅ L) 2L

V2

V3

M1

Momento

q (a − x 1 ) 2 2

L (1 -

a2 L2 )

q⋅x (L4 − 2L2 x 2 + Lx 3 − 2a 2 L2 + 2a 2 x 2 ) 24 ⋅ E ⋅ I ⋅ L


a L2 )

Corte

M x1 (Para el volado) = f x (Entre apoyos) =

-

2

V1

q ⋅a2 2

a x1

R2 L 2 (1

Vx 1 (Para el volado) = q ⋅ (a − x 1 ) M 1 (En x =

L

x


M2

ESTRUCTURAS DE MADERA f x 1 (Para el volado) =


q ⋅ x1 2 3 (4a 2 L − L3 + 6a 2 x 1 − 4ax 1 + x 1 ) 24 ⋅ E ⋅ I

Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo – Carga Uniforme Al Extremo Del Volado

q ⋅a2 R 1 = V1 = 2⋅L

a

L

x1

x

q⋅a R 2 = V1 + V2 = (2 ⋅ L + a) 2⋅L

V2 = q ⋅ a

q·a

R1

R2

Vx 1 (Para el volado) = q ⋅ (a − x 1 ) V2

q ⋅a2 M max (En R 2 ) = 2

V1

Corte

q ⋅a2 ⋅ x M x (Entre apoyos) = 2L M x1 (Para el volado) =

q (a − x 1 ) 2 2


L 3

)=

q ⋅ a 2 ⋅ L2

Mmáx

Momento

18 3 ⋅ E ⋅ I

q ⋅ a3 f max (Para el volado en x 1 = a) = (4L + 3a) 24 ⋅ E ⋅ I f x (Entre apoyos) =

q ⋅a2 ⋅ x (L2 − x 2 ) 12 ⋅ E ⋅ I ⋅ L


q ⋅ x1 2 3 (4a 2 L + 6a 2 x 1 − 4ax 1 + x 1 ) 24 ⋅ E ⋅ I

Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo-Carga Puntual Al Extremo del Volado

R 1 = V1 =


L

P⋅a ; R 2 = V1 + V2 = P (L + a) L L

x

a x1

P


R1

R2

V2 V1



V2 = P M max (En R 2 ) = P ⋅ a M x (Entre apoyos) =

P⋅a ⋅x L

M x1 (Para el volado) = P(a − x1 ) f max (Entre apoyos en x =

L 3

P ⋅ a ⋅ L2

)=

9 3⋅E⋅I


P ⋅a2 (L + a) 3⋅ E ⋅ I

P⋅a ⋅x (L2 − x 2 ) 6⋅E⋅I⋅L


P ⋅ x1 2 (2aL + 3ax 1 − x 1 ) 6⋅E⋅I

Viga Apoyada Con Volado A Un Extremo – Carga Puntual en Cualquier Punto Entre Apoyos


P⋅b L

L

P⋅a L P⋅a ⋅b M max (En el punto de carga) = L R 2 = V2 (max cuando a > b) =

R2 a

b

V1

Corte

Pab(a + 2b) ⋅ 3a ⋅ (a + 2b) a(a + 2b) cuando a > b) = 3 27 ⋅ E ⋅ I ⋅ L

P ⋅ a 2 ⋅ b2 f a (En el punto de carga) = 3⋅ E ⋅ I ⋅ L P⋅b⋅x f x (Cuando x < a) = (L2 − b 2 − x 2 ) 6⋅E⋅I⋅L f x (Cuando x > a) =

Mmax

Momento

P ⋅ a ⋅ ( L − x) (2 ⋅ L ⋅ x − x 2 − a 2 ) 6⋅E⋅I⋅L


x1

R1

P⋅b⋅x M x (Cuando x < a) = L f max (En x =

P

x


V2

ESTRUCTURAS DE MADERA f x1 =


P ⋅ a ⋅ b ⋅ x1 (L + a) 6⋅E⋅I⋅L

Viga Con Volado En Ambos Extremos –Volados Diferentes - Carga Uniformemente Distribuida

R1 =

q⋅L q⋅L (L − 2c) ; R 2 = (L - 2a) 2⋅b 2⋅b

L

q·L

V1 = q ⋅ a ; V2 = R 1 − V1 V3 = R 2 − V4 :

V4 = q ⋅ c

R1

a

Vx (Cuando x < L) = R1 − q(a + x1 ) Vx 1 (Para el volado) = V1 - q ⋅ x 1

c

V4

V1

Corte

x1 M1

R2

V2

Vm (Cuando a < c) = R 2 - q ⋅ c


b

Mx1

V3

x M1

Momento


M2


CAPÍTULO I

q⋅a2 q ⋅ c2 ; M2 = − M1 = 2 2

⎛R ⎞ M 3 = R 1 ⎜⎜ 1 − a ⎟⎟ ⎝ 2q ⎠

M x (max cuando x =

R1 q(a + x) 2 - a) = R 1 ⋅ x − q 2

Viga Empotrada En Ambos Extremos – Carga Uniformemente Distribuida

R=V=

q⋅L 2

q

⎛L ⎞ Vx = q ⋅ ⎜ − x ⎟ ⎝2 ⎠

R

M max (en los extremos) = M1 (Al centro) = Mx =

L

x

q⋅L 12

L 2

q ⋅ L2 24

(

q 6Lx − L2 − 6x 2 12

R

2 L 2

V

)

Corte

q ⋅ L4 fmax(Al centro) = 384 ⋅ E ⋅ I

V

0.2113L M1

Momento

q ⋅ x2 fx = (L − x) 2 24 ⋅ E ⋅ I

Mmax

Viga Empotrada En Ambos Extremos – Carga Puntual En El Centro

L UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

2

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA P

x

R

R


R=V=

CAPÍTULO I

P 2

M max (Al centro y en los extremos) = M x (Cuando x <

P⋅L 8

L P ) = (4x − L ) 2 8

fmax(Al centro) =

P ⋅ L3 192 ⋅ E ⋅ I

L P ⋅ x2 f x (Cuando x < ) = (3L − 4x) 2 48 ⋅ E ⋅ I

Viga Empotrada En Ambos Extremos – Carga Puntual En Cualquier Punto

R1 = V1 (max cuando a < b) =

P ⋅ b2 (3a + b) L3


P ⋅ a2 (a + 3b) L3

P⋅a ⋅b M1 (max cuando a < b) = L2

L

P

x

R

R

2

a

P ⋅ a2 ⋅ b M 2 (max cuando a > b) = L2

V1

2 ⋅ P ⋅ a 2 ⋅ b2 M a (En el punto de carga) = L3


b

V2

Corte

3


M1

Momento

Ma M2


CAPÍTULO I

P ⋅ a ⋅ b2 M x (Cuando x < a) = R1 ⋅ x − L2 f max (Cuando a > b en x =

2⋅a ⋅L 2Pa 3b 2 )= 3a + b 3 ⋅ E ⋅ I ⋅ (3a + b) 2


P ⋅ a 3 ⋅ b3 3 ⋅ E ⋅ I ⋅ L3

f x (Cuando x < a) =

P ⋅ b2 ⋅ x 2 (3aL − 3ax − bx) 6 ⋅ E ⋅ I ⋅ L3

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Distribuida Uniformemente En Un Tramo x

R1 = V1 =

7 ⋅q⋅L 16 R1

5 R 2 = V2 + V3 = ⋅ q ⋅ L 8 R 3 = V3 = −

R2

R3

L

1 ⋅q⋅L 16

L

V1

V3

9 V2 = ⋅ q ⋅ L 16

V2

Corte 7L 16

7 49 Mmax(En x = ⋅ L) = ⋅ q ⋅ L2 16 512

Mmax M1

Momento

1 M1 (En el apoyo R 2 ) = ⋅ q ⋅ L2 16 M x (Cuando x < L) =

q·L

q⋅x (7L − 8x) 16

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Puntual Al Centro De Un Tramo

L 2

L 2

P UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

4


R1

R2

R3


R1 = V1 =

13 ⋅P 32

R 2 = V2 + V3 = R 3 = V3 = − V2 =

CAPÍTULO I

11 ⋅P 16

3 ⋅P 32

19 ⋅P 32

Mmax(En el punto de carga) = M1 (En el apoyo R 2 ) =

13 ⋅P⋅L 64

3 ⋅P⋅L 32

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Puntual En Cualquier Punto De Un Tramo

R 1 = V1 =

P⋅b (4L2 − a(L + a)) 4 ⋅ L3

R 2 = V2 + V3 =

a

P⋅a (2L2 − b(L + a)) 3 2⋅L

R1

P⋅a (4L2 + b(L + a)) 3 4⋅L

Mmax(En el punto de carga) =

R2

R3

L

P⋅a ⋅b R 3 = V3 = − (L + a) 4 ⋅ L3 V2 =

b

P

L

V1

V3 V2

Corte

P⋅a⋅b (4L2 − a ⋅ (L + a)) 4 ⋅ L3

Mmax

Momento UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

5

M1



M1 (En el apoyo R 2 ) =

CAPÍTULO I

P⋅a ⋅b (L + a) 4 ⋅ L2

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Carga Uniformemente Distribuida

3 R1 = V1 = R 3 = V3 = ⋅ q ⋅ L 8 R2 =

10 ⋅q⋅L 8

R1

R2

R3

L

5 V2 = Vmax = ⋅ q ⋅ L 8

q ⋅ L2 M1 = 8

M 2 ( En

q ·L

q· L

L

V2

V1

3L 9 ⋅ q ⋅ L2 )= 8 128

v3

V2

Corte

M2

f max (En 0.46L, desde R1 y R3) =

q⋅L 185 ⋅ E ⋅ I 4

Momento

M1

Viga Continua – Dos Tramos Iguales – Dos Cargas Puntuales Situadas Al Centro De Cada Tramo

P

P

R1 = V1 = R 3 = V3 =

5 ⋅P 16


R1

R2 a

6

R3

a

a

a

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA V1

V2 V2

V3


R 2 = 2 ⋅ V2 =

CAPÍTULO I

11 ⋅P 8

V2 = P − R1 =

11 ⋅P 16

Vmax = V2 M1 = − M2 =

3⋅ P ⋅ L 16

5⋅P ⋅L 32

Mx (Cuando x < a) = R1 ⋅ x

Viga Continua – Dos Tramos Diferentes – Carga Uniformemente Distribuida

R1 =

M1 q ⋅ L1 + L1 2

R 2 = q ⋅ L1 + q ⋅ L2 − R1 − R 3 R 3 = V4 =

q·L2

q·L1

R1

R2

M1 q ⋅ L 2 + L2 2

V1 = R1

L1

Corte

V3 = q ⋅ L 2 − R 3 V4 = R 3

L2

V3

V1

V2 = q ⋅ L1 − R1

R3

x1 3

3

q ⋅ L 2 + q ⋅ L1 M1 = − 8(L1 + L 2 )


x2

Mx1

Mx2

Momento

7

V4

V2

M1



CAPÍTULO I

R q ⋅ x1 M x1 (Cuando x1 = 1 ) = R1 ⋅ x1 − q 2

2

R q ⋅ x2 M x 2 (Cuando x 2 = 3 ) = R 3 ⋅ x 2 − q 2

2

Viga Continua – Dos Tramos Diferentes – Carga Puntual situada En El Centro De Cada Tramo

R1 =

P

P

M1 P1 + L1 2 R1

R 2 = P1 + P2 − R1 − R 3 R3 =

R2 a

M1 P2 + L2 2

V1 = R1

V4 = R 3

b

b

V3

V1

V4

V2

Corte

V2 = P1 − R1 V3 = P2 − R 3

a

R3

Mm2

Mm1

Momento

2 2 3 ⎛ P1 ⋅ L1 + P2 ⋅ L2 ⎞ ⎜ ⎟ M1 = − ⎜ ⎟ 16 ⎝ L1 + L2 ⎠

M1

M m1 = R 1 ⋅ a M m2 = R 3 ⋅ b


8



CAPÍTULO I

CONEXIONES DE MADERA ü FUENTE:

PÁGINA WEB: http://www.awc.org/HelpOutreach/eCourses/index.html

1. FILOSOFIA DE DISEÑO DE CONEXIONES PARA MADERA


9



CAPÍTULO I

Ø COMPRESIÓN PARALELA AL GRANO.- El primer principio sobre las conexiones de madera, es que la madera trabaja de mejor manera cuando esta sometida a compresión paralela al grano, ya que este es el modo mas fuerte de la madera. Esto hace que las conexiones de estructuras de madera sometidas a este esfuerzo sean muy fáciles de realizar :

Ø COMPRESIÓN PERPENDICULAR AL GRANO.- En las siguientes ilustraciones se realizan algunas comparaciones. Modelando la naturaleza celular de madera con un grupo de pajas. Cuando la compresión se aplica, el bulto de paja es fuerte y conectando los extremos es muy simple. La tensión aplicando también desarrolla fuerza tensionante considerable en el bulto de paja, pero colgando en los extremos se vuelve más de un desafío de diseño que una conexión conveniente. Pero si se aplica carga perpendicular al eje longitudinal de las pajas, las pajas se aplastan debido a la orientación de alineación radial muy más débil de las paredes celulares. Esto ilustra la naturaleza del anisotrópica de madera ↔ las propiedades de fuerza diferentes en tres direcciones diferentes: longitudinal (fuerte), tangencial (más débil), y radial (más débil).


10



CAPÍTULO I

Ø LA FORMULA DE HANKINSON.- Fórmula que es usada para hallar la fuerza resistente de la madera, con respecto a cualquier ángulo con relación a la veta. Muchas conexiones confían en las propiedades de resistencia a la fuerza de la madera. Cuando nosotros hemos visto, madera tiene propiedades de fuerza diferentes paralela y perpendicular al grano. La forma de la elipse sombreada en la siguiente figura relaciona como resultado a la magnitud de fuerza en la madera de una fuerza aplicada. La resistencia de madera Z a cualquier ángulo al grano puede computarse usando la Fórmula de Hankinson mostrada aquí, donde P es la fuerza resistente en compresión paralelo al grano, y Q es la fuerza del cumplimiento perpendicular al grano.


11



CAPÍTULO I

Ø CARGA DISTRIBUIDA O PUNTUAL?- El segundo principio sobre las conexiones de madera es que a esa madera se comporta mejor cuando la carga esta distribuida. La carga concentrada debe evitarse cuando pudiera exceder las capacidades resistentes de la madera fácilmente. Extendiendo la carga fuera, aumentando en lo posible el grado de redundancia.

Ø LA SIGUIENTE CONEXION PUEDE SER BUENA?.- Aquí es un ejemplo interesante de una conexión encontrado en la Biblioteca del Forintek el Canadá Cuerpo Laboratorio, Vancouver, BC. Los pares de la columna se hacen de 8”x18” x 60 ft , cumplirá con el principio de no utilizar cargas puntuales?...


12



CAPÍTULO I

Ø LO QUE PARECE LA VIOLACIÓN DEL 2º PRINCIPIO NO LO ES.- Lo que por fuera pareciera que no cumpliera con el principio de distribución de carga, es resuelto con una combinación diestra de placas de acero ocultos y remaches de madera que sirven para extender fuera la carga transferida a través de la unión. Las placas y remaches no pueden ser notados por el observador debajo.

Ø TENSIÓN PERPENDICULAR AL GRANO.- La tercera idea es el eslabón más débil de madera: la tensión perpendicular al grano. Este fenómeno a menudo lleva a los fracasos catastróficos súbitos y debe evitarse a toda


13



CAPÍTULO I

costa. Conocimiento de cómo la madera está estando cargada es todos que se necesitan para evitar este problema. Algunos de los factores que inciden negativamente en el desarrollo de fallas en este tipo de elementos son: las muescas (entalladuras o hendiduras), los pernos de diámetros grandes, y las cargas colgadas o suspendidas.

Ø MUESCAS EN LAS ESQUINAS DE MIEMBROS APOYADOS.- Las muescas en los apoyos, como las mostradas en la siguiente figura pueden llevar a una combinación de tensión perpendicular formar grano y tensiones de esquina horizontales que producen la rajadura horizontal, como las mostradas. La solución mejor es en absoluto no realizar la muesca. PROBLEMA:

SOLUCIÓN :

Ø SOPORTE COLGANTE DE UNA VIGA.-

A continuación se muestra la

manera mala y buena manera de diseñar un soporte colgante para una viga. Este soporte debe llegar mas allá de la mitad superior de la viga, para que exista la “compresión” necesaria para soportar una carga colgante;


14



CAPÍTULO I

pero una solución mejor seria talvez en envolver toda la altura de la viga con un soporte para la carga colgada.

rajadur a

carga

carga

Ø UNIONES DE VIGAS CON ELEMENTOS DE CONCRETO.- Un problema común es que para la unión de vigas con elementos de concreto se realicen muescas para su colocado. Esto es un error, y genera fisuras o rajaduras de tensión; a continuación se muestran la manera mala y buena de ejecutar la unión:


15



CAPÍTULO I

rajadur a

Ø UNIONES DE VIGAS INCLINADAS CON ELEMENTOS DE CONCRETO.Cuando se realizan muescas para realizar la unión de la viga inclinada con el concreto, la viga no esta totalmente apoyada , lo que origina grietas o rajaduras de tensión, y aberturas o separaciones de la madera al final de la veta. A continuación se muestran la manera mala y buena de ejecutar la unión:


16



CAPÍTULO I

Ø CONDICIONES MEDIO AMBIENTALES.-

Una

cuarta

idea

simplemente es ese movimiento de la madera en contestación a las condiciones medioambientales variando junto a los otros materiales del edificio. El factor principal para la madera es la humedad (debido a que la madera es un material higroscópico). Deben hacerse concesiones acomodar este movimiento, particularmente en conexiones.

Ø TIPO DE CONECTOR A ELEGIR.- La quinta idea se refiere a la selección de conectores propiamente para hacer el trabajo. En conexiones, la decisión es típicamente la prueba la habilidad del diseñador para llegar a la solución estética segura y económica. La opción del sistema de conectores es crítica a la ductilidad de la conexión, fuerza, y actuación en servicio.


17



CAPÍTULO I

Ø CONECTORES MECÁNICOS.- Un punto importante en opción del conector es de que tamaño y cuantos deben entrar en la unión. Se debe Recordar que la madera trabaja mejor cuando la carga está extendida; por lo que muchos conectores son una buena idea. A menudo, esto impondrá automáticamente que el tamaño de los conectores sea pequeño.

Ø FUERZA Y DUCTILIDAD DE LAS CONEXIONES.- La fuerza y ductilidad, lo que se necesita para realizar buenas conexiones sólidas. Se entiende conducta de fuerza por muchas conexiones, pero la ductilidad es más sutil y a veces difícil evaluar. La buena ductilidad asegura, advirtiendo y previniendo sobre

cargas laterales como sismos o viento, que podrían

hacer colapsar la estructura. Lo que se desea es un intermedio, o sea que la unión tenga un balance entre fuerza y ductilidad.

C A R UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

G

18



CAPÍTULO I

DESPLAZAMIENTO 2. CONDICIONES DE SERVICIO DE LAS CONEXIONES En servicio, la estructura esta en interacción con el ambiente, y esta influenciada por una serie de factores como la temperatura, la humedad, el contacto con otros elementos cementados, etc. El cambio de temperatura diario no tiene mucha importancia para dañar la vida de una conexión, sin embargo el cambio extremo pueden, sobre todo si hay mucho material metálico en la conexión. El metal y madera tienen coeficientes de la expansión termales muy diferentes, y esta diferencia puede causar un poco de problemas si no se han tenido en cuenta para las condiciones extremas. Es más, madera y metal responden muy diferentemente a ganancia y pérdida de humedad que también puede llevar a conducta interesante. Ø CONTENIDO DE HUMEDAD DE EQUILIBRIO.- Es el contenido de humedad que alcanza la madera en condiciones estables de humedad relativa y temperatura; y se denota como EMC. En otros países como Estados Unidos se tienen mapas o tablas del valor de EMC para maderas para todo el país, variando de región con región. Los cambios de EMC son mas notorios en climas húmedos que en climas secos.

Los cambios en

EMC se traducen en los problemas como cambio dimensional. Para


19



CAPÍTULO I

asegurar estabilidad de la conexión, es importante atar los materiales durante la construcción al EMC que ellos tendrán en servicio. En la siguiente tabla se da alguna guía en la instalación típica y su respectivo EMC. (Tabla valida en de los Estados Unidos).

Ø PROTECCIÓN CONTRA EL INGRESO DEL AGUA.- El agua es absorbida mas rápidamente a través de los extremos donde termina la veta del miembro de madera. Este proceso no tarda muchos ciclos para que comiencen a crearse rajaduras que son muy evidentes. Lo que se debe hacer es primeramente proteger estos extremos de la madera (a través de elementos de metal o goma), y luego desviar al agua de la conexión a través de canaletas u otro tipo de drenaje pluvial. A continuación se muestra una estructura no protegida y otra protegida. Extremos no protegidos, formación de rajaduras


20



CAPÍTULO I

Agua correctamente evacuada a través de canaletas

Extremos protegidos

Ø UNION VIGA COLUMNA.- A veces se piensa que lo mejor para una unión de éste tipo es se debe poner una placa de acero que une la viga con la columna y que esta cubra toda la altura de la viga; esto también es mas sencillo de construir. Pero no se le deja a la madera a que pueda sufrir cambios dimensionales debido a las condiciones ambientales, por lo que se generan rajaduras y encogimientos de la madera; se dice que hay que dejar “respirar” a la madera. La alternativa correcta es realizar placas mas pequeñas que transmitan las fuerzas, y que permitan o no interfieran con los movimientos naturales de la madera. A continuación se muestra la manera incorrecta y correcta de realizar la unión:


21



CAPÍTULO I

Ø UNION VIGA MURO.- Al igual que el anterior caso, la suspensión de la viga en su extremo, produce problemas cuando la placa de acero esta en casi la totalidad de la altura de la viga. Las suspensiones profundas de la viga que tienen sujetadores instalados en las placas laterales hacia la parte superior de la viga apoyada, pueden promover fracturas o rajaduras en el grupo del sujetador, encogimiento de madera del miembro y levantar del fondo de la suspensión de la viga; todo esto porque no se le deja deformarse libremente a la madera. ¡Este detalle mostrado a continuación NO SE RECOMIENDA!


22



CAPÍTULO I

Ø UNION VIGA MURO.- Como alternativa al detalle anterior, lo que se debe realizar es recortar la placa de acero, y que solo llegue hasta la mitad o un poco mas de la altura de la viga, y colocar los pernos en la parte inferior; esto permite el cambio dimensional de la madera sin restricción. A continuación se muestra el detalle correcto:

Ø UNION VIGA CON VIGA.- En el siguiente grafico se muestra una viga suspendida de otra viga, y debido a que la placa de acero cubre casi con totalidad la altura de la viga, y los pernos se encuentran en la parte superior


23



CAPÍTULO I

de la viga, se producen rajaduras y contracción o acortamiento de la madera. rajadur a

Ø UNION VIGA CON VIGA.- Una solución para el anterior detalle seria recortar la plancha y colocar pernos solo en la parte inferior de la viga y que el borde de la compresión de la viga todavía esté apoyado lateralmente, pero no se utilice ningún perno en la parte superior.

Ø UNION VIGA CON VIGA.- Un tipo común de unión de estos elementos son las suspensiones “Cara-montada”. En la ensambladura CRUZADA una


24



CAPÍTULO I

atención especial se requiere la longitud de la penetración del sujetador en la viga (evitar interferencia del otro lado). El tipo de conectores que se utiliza por lo general en esta unión son los clavos o remaches.

Ø UNION VIGA CON VIGA.- El siguiente tipo de unión incluye un soporte soldado en una ensambladura cruzada. El conector usado en este tipo de unión es un perno en cada carga de la ensambladura.

Soporte soldado


25



CAPÍTULO I

Ø UNION VIGA CON VIGA (MIEMBROS DE CANTO GRANDE).- Los miembros de altura grande pueden ser apoyados por las suspensiones bastante bajas. En la siguiente figura mediante apernado con las placas laterales. Las pequeñas planchas colocadas en la parte superior se utilizan para prevenir la rotación de la parte superior de la viga suspendida. Se debe observar que no se emperna la viga suspendida, porque la otra viga desarrollaría rajaduras o debido a que no se la dejaría deformar libremente.

Ø UNION

VIGA

CON

VIGA

(CONEXIONES

DISIMULADAS).-.

A

continuación se muestra este tipo de unión; que consiste en la inserción de una placa de acero y un perno dentro de la viga suspendida, y que está soldada con las placas externas. El perno que se coloca

puede ser

levemente más estrecho que la viga suspendida, permitiendo tapar de los agujeros después de que el perno esté instalado. Se debe apreciar que el corte en la viga suspendida debe acomodar no solamente la anchura de la placa de acero, pero también la anchura creciente en las ranuras soldadas


26



CAPÍTULO I

en la unión de la placa. Este diseño ayuda a resistir al fuego, porque evita que el metal que esta debajo de la capa de madera se recaliente y entre en un estado plástico durante un acontecimiento del fuego.

Ø UNIÓN DE VIGAS CON CONCRETO.- Otro transmisor de humedad, y que es muy frecuente en las uniones con elementos de madera son los materiales cementados. Estos materiales abrigan la humedad dentro de su matriz material y la transfieren a otros materiales en contacto. La madera se debe separar siempre de estos tipos de materiales, separándolos con otros materiales(como acero), caso contrario podría conducir al deterioro temprano de la madera. A continuación se muestran una serie de detalles bien realizados:


27



CAPÍTULO I

Viga apoyada en repisa

Viga apoyada en placa o muro

Ø VIGAS APOYADAS EN MAMPOSTERÍA.- Se deben tomar previsiones similares que con el concreto, pero la madera debe estar distanciada de la


28



CAPÍTULO I

mampostería como mínimo con ½”, para que pase el aire. A continuación se muestran algunos ejemplos:

Ø UNIÓN DE COLUMNA EN SU BASE.- Esta es la parte de la estructura en que la madera se encuentra más expuesta a la humedad, y debe tenerse mucho cuidado en su diseño. La experiencia ha demostrado que los detalles en los que se “envasa” con un zapato de acero no ha dado buenos resultados, debido a que la humedad no se pudo evacuar, quedando atrapada, y haciendo que el miembro se deteriore rápidamente. Por lo que este estilo “cúbico no se recomienda”.


29



CAPÍTULO I

Ø UNIÓN DE COLUMNA EN SU BASE .- Las uniones recomendadas de una columna con su base, se muestran a continuación:


30



CAPÍTULO I

Ø UNIÓN DE ARCO EN SU BASE Para tramos muy largos u otros casos como arcos en los que debe aceptarse grandes rotaciones, se necesitará una conexión tipo bisagra, debe asegurarse que la base de la conexión pueda evacuar la humedad, estas conexiones tienen un zapata de acero muy estrecho.


31



CAPÍTULO I

Ø UNIÓN DE LA BASE DEL ARCO AL APOYO La bisagra debe permitir una aireación adecuada y drenaje del agua correcto en la madera.

Ø UNIÓN DE LA BASE DEL ARCO AL APOYO


32



CAPÍTULO I

Uno podría pensar que ésta solución trabaja bien, sin embargo al permitir el contacto de la madera con charcos de agua no se estaría consiguiendo su mejor comportamiento.

La mejor solución consiste en inclinar la superficie de contacto para así evitar la formación de charcos de agua cerca de la madera.


33



CAPÍTULO I

Notar en el anterior detalle que la tapa se encuentra al filo de la parte superior de la viga, para evitar de esta manera que la sección de madera absorba el agua de lluvia y direccionar ésta lejos de la madera. La base de la conexión esta totalmente abierta. Ø COLOCACIÓN CORRECTA DE LOS CLAVOS

El hundimiento de los clavos reduce el desempeño de estos, será necesaria una revisión en campo para asegurar el correcto funcionamiento al que fueron destinados. Ø PERN


34



CAPÍTULO I

Las conexiones apernadas son atractivas, ya sea que tengan dispositivos ocultos o expuestos. Una consideración frecuentemente olvidada, es la de dar suficiente espacio para instalar y apretar los pernos y las tuercas. Especialmente en las uniones con ángulos cerrados y cuando se encuentran muy cercanos a otros miembros. Se recomienda que los pernos y otros dispositivos de unión no tengan nunca diámetros mayores a 1 pulgada. Estudios han demostrado que los pernos con diámetros mayores a 1 pulgada tienen la capacidad de introducir grandes esfuerzos de tensión en el hueco del perno, que posteriormente inducirán fisuras en la madera.


35


libro estructuras madera.pdf

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