CAPITULO 0 REPASO DE FUNDAMENTOS FINANCIEROS Y ESTADISTICOS INTERES SIMPLE Y COMPUESTO El interés es la cantidad que debe pagar una persona por el uso del dinero tomado en préstamo. La cantidad cantidad del interés depende de las variables siguientes: siguientes:
CAPITAL: cantidad que se da en préstamo
PLAZO: Tiempo durante el cual se presta el capital
TASA DE INTERÉS: Costo de capital.
0.1. INTERÉS SIMPLE: Es el beneficio que se obtiene de una inversión, cuando los intereses producidos durante cada período de tiempo que dura dicha inversión se deben únicamente al capital inicial, ya que los beneficios o intereses se retiran al vencimiento de cada uno de los períodos, es decir, los intereses no se agregan al capital productivo. Ley del Interés Simple, con un capital inicial in icial de $1.000.000 una tasa del 5%, se muestra en la siguiente tabla:
Tiempo (n)
Puesto (P)
Interés
Monto (M)
0
1
1
2
50.000
1.050.000
2
3
50.000
1.100.000
3
4
50.000
1.150.000
4
5
50.000
1.200.000
1.000.000
TABLA 1: Interés Simple Monto 3 (M3) = Puesto 4 (P 4) = $1.150.000 = P 1 + (4-1) *d, donde d es la diferencia entre montos: $50.000 (interés). M 3= C 0 + n * d
Si reemplazamos a d (interés), por C 0 * i quedaría: M 3= C 0 + n * C0 * i Por lo tanto la capitalización a Interés Simple es: M 3= C 0 (1 + n * i) La actualización a interés Simple será:
El tiempo “n” será:
La tasa de interés será:
1∗ 1 1 1 1
0.2. INTERÉS COMPUESTO: Representa una acumulación de intereses que han generado en un período determinado determinado por un capital inicial. Por lo l o tanto, los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o se añaden al capital inicial, i nicial, es decir, se capitalizan.
Factor de Actualización y Capitalización ¿Recuerda usted como calcular el valor actual de un activo que produce un flujo de caja dentro de 1 año?
En donde:
1 +
Factor de actualización:
Costo de capital o tasa de interés:
Ejemplo:
Si suponemos que el flujo de caja dentro de un año es cierto de $100, y el costo de capital es el libre de riesgo (7%), entonces el valor actual del activo es:
100 $93,46 17%
Cuando hay muchos flujos de caja en varios períodos, deberíamos expresarlos en dólares de hoy para poderlos comparar. Ejemplo: Un inversor tiene posibilidad de invertir en un proyecto que produce un flujo de caja de $100 en el primer año y $200 en el segundo, el tipo de interés en un año es del 7%, y a los dos años es del 7,7%, el valor de hoy de los flujos correspondientes a los años es:
100 17,2007% $265,88 17%
Esta operación la denominaremos flujos de caja actualizados. Generalizando:
1 = 1
El VAN será:
Dónde:
: ∑= +
Inversión inicial (va con signo negativo porque desde el punto de vista del
inversionista constituye una salida de efectivo)
: Flujos de caja actualizados
Ejercicio Propuesto Un inversor está interesado en un proyecto inmobiliario de oficinas, y ha recibido malas noticias, el constructor dice que la construcción del edificio tardará dos años en vez de uno y le presenta el siguiente calendario de pagos:
Un pago de $120.000 en un momento inicial más el valor del terreno que cuesta $50.000.
Un pago aplazado de $100.000 dentro de un año.
Un pago al final de $100.000 a la entrega del edificio al final del año 2.
Dentro de los dos años el edificio podrá venderse en $420.000 (asumiremos que esta cuantía es cierta)
El tipo de interés es del 5%
El inversor desea saber si el proyecto es viable. En cambio se denomina factor de capitalización o el valor Futuro de 1 unidad monetaria a:
Donde
é
Por lo tanto el valor futuro de un capital cualquiera viene representado por la siguiente igualdad:
Dónde: S= Monto o Valor Futuro C= Capital o Valor actual i= Tasa de interés n=Tiempo
Ejemplo: 1. Encontrar el Valor futuro de 100 a una tasa de interés efectiva anual de 5% en 6 años:
$10015% $134 Dónde:
2. Una persona Deposita hoy una suma de $1.000.000 en una corporación financiera que reconoce una tasa de interés igual a 4% efectivo mensual, ¿Cuál será la cantidad acumulada al cabo de 5 años?
$1.000.00012% $3.281.030,78 11 ∗
El tiempo a interés compuesto quedara:
El interés quedara:
1 0.3. CONVERSIÓN DE TASAS 1. Nominal a Efectiva J= tasa nominal i= tasa efectiva
m = # capitalizaciones al año
Pasar de 12% capitalizable mensualmente a tasa efectiva mensual
1% es la tasa efectiva mensual.
12%12 1%
2. Tasa efectiva de un período i a una tasa efectiva de un período x. En estos casos, se utiliza tasas equivalentes.
1 1 Por ejemplo: 20% capitalizable semestralmente a efectiva anual
21% 1 110%
0.4. CAPITALIZACIÓN CONTÍNUA Para una tasa de interés nominal, si la frecuencia de capitalización aumenta, el monto compuesto resultante también aumenta, cuando la frecuencia con la que el interés se
capitaliza crece indefinidamente, se habla de que los intereses generan intereses de manera continua.
Monto
∗ ∗
Valor Actual
Por ejemplo:
1. Si una persona deposito $32.000 al 9% capitalizable continuamente, determine el monto y el interés ganado en dos años y medio.
32.000%∗, 40.074,33 40.074,3332.000$8.074,33
2. El Señor xyz, presta a un amigo $70.000 por 9 meses, cobrándole en 15% anual convertible bimestral, al finalizar este plazo deposita el monto obtenido en una cuenta de ahorros que abona el 14,5% compuesto continuamente, determine que monto acumulará el señor xyz al cabo de 24 meses. Primera parte:
% 2,5% 12,5% 115,969341821% $70.000115,969341821%, $78.226,77
Tasa efectiva bimestral=
Segunda Parte:
$78.226,77,%∗, $93.771,60 $93.771,60
Después de 24 meses, el señor xyz tendrá un monto de
3. ¿Qué cantidad habría que invertir ahora a una tasa del 26,5% compuesto continuamente para disponer de $65.000 dentro de 6 meses?
65000 ,∗, $56.993,69 0.5. DEUDA PERPÉTUA Y RENTAS PERPÉTUAS 0.5.1. Rentas Perpetuas constantes Entre los títulos que emite el Gobierno Británico existe la llamada deuda perpetua, en donde ofrecen un ingreso anual fijo indefinidamente. El tanto de rentabilidad anual de la deuda es:
=
0.5.2. Rentas Perpetuas Crecientes A los flujos de caja se les afecta por un tanto por ciento, por ejemplo de acuerdo a la inflación. Su valor actual se calcula:
Dónde:
1 1
: Tasa de crecimiento de los flujos de caja
0.6.EJERCICIOS PROPUESTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 1.
Un inversionista desea saber el valor actual de un bono emitido por el gobierno británico en donde recibirá una anualidad indefinida de $100.000, si el tipo de interés es del 10%.
2.
Utilizando la renta del ejercicio 1, se decide una asignación para cubrir los aumentos salariales que se proyecta que sean del 4% anual. Calcule su valor actual.
3.
Indique cuál es el valor Actual de $100 recibidos en el: a. Año 10 a un tanto de actualización del 1% b. Año 10 a un tanto de actualización del 13% c. Año 15 a un tanto de actualización del 25%
4.
Una Fábrica cuesta $800.000. Usted calcula que producirá unos ingresos después de costos de explotación de $170.000 al año. Si el coste de oportunidad de capital es del 14%, ¿Cuál es el valor actual neto de la Fábrica?
5.
El ganador de un concurso puede elegir entre los siguientes premios: a. $100.000 ahora b. $180.000 dentro de 5 años c. $11.400 al año indefinidamente d. $19000 al año durante 10 años Si el tipo de interés es el 12%. ¿Qué premio vale más?
6.
¿Cuántos dólares valen 0,507 dentro de 6 años si se invierten al 12%?
7.
Si el valor actual de 139 es 125, ¿cuál es el factor de actualización?
8.
Si el coste de capital es 9%, ¿cuál es el valor actual de 374 con vencimiento en el año 9?
9.
Un proyecto produce un flujo de caja de $432,00 en el primer año, $137,00 en el segundo año, $797,00 en el tercer año, si el coste de capital es el 15%, ¿Cuál es el valor actual del proyecto?
10. Una
inversión cuesta $1548,00 y paga una renta perpetua de $138,00, si el
tipo de interés es del 9%, ¿Cuál es el VAN? 11. Una
acción pagará un dividendo de $4 dentro de un año, y después se espera
que los dividendos aumenten en forma indefinida al 4% anual, si el tanto de actualización es del 14%. ¿cuál es el valor actual de la corriente de dividendos? 12. Dados dos fondos de inversión A y B,
las tasas efectivas de interés son 3% y
2,5% respectivamente, al final de 20 años el total acumulado en los dos fondos es $10.000. En el año 31 el monto acumulado de A es dos veces el de B. Determine el valor final de los dos fondos en conjunto al final del año 10.
13. Un
negocio permite a sus clientes pagar con tarjeta de crédito o recibir un
descuento r (%) por pagar de contado. Por la venta con tarjeta el negocio recibe 97% del precio de compra mes y medio después. A una tasa efectiva anual del 22%, los dos pagos son equivalentes, encuentre r.
REPASO DE ESTADÍSTICA REVISIÓN DE CONCEPTOS ESTADÍSTICOS
0.7.PROBABILIDADES Existen dos perspectivas para analizar probabilidades: Objetivo y Subjetivo, la primera se divide en clásica y empírica.
La Probabilidad clásica parte suponiendo que los resultados de un experimento son igualmente posibles y se calcula:
ú á ú
En este caso los eventos deben ser mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Mientras que la Probabilidad empírica nos dice que la probabilidad de que un evento ocurra representa una fracción de los eventos similares que ocurrieron en el pasado, este enfoque se basa en la ley de los grandes números. Los eventos futuros no se pueden predecir con certeza, pero la frecuencia relativa con la que ocurren en una larga serie de intentos es a veces sorprendentemente estable, este tipo de eventos se denominan Eventos aleatorios Si no se cuenta con información o si la información que se cuenta es poca, es posible aproximar la probabilidad de forma subjetiva, el individuo analiza opiniones e información disponibles para asignar una probabilidad de ocurrencia. Esto es Probabilidad subjetiva.
0.7.1. Conjuntos Para continuar con el desarrollo de probabilidades, necesitamos algunos elementos teóricos de conjuntos: Usaremos las letras mayúsculas para denotar un conjunto de puntos, si los elementos de un conjunto B son b 1, b2 y b3 se escribe:
, ,
Si S es el conjunto de todos los elementos en consideración, se dice que S es el conjunto universal.
∅ ⊂
Para dos conjuntos cualquiera B y C, diremos que B es un subconjunto de C o B está contenido en C (B C), si todo punto B está también en C, el conjunto nulo o vacío denotado por , es el conjunto que no contiene puntos, entonces es un subconjunto de todo conjunto.
∅
Los conjuntos se pueden representar mediante diagramas de Venn, el siguiente diagrama muestra dos conjuntos B y C del conjunto universal S, el conjunto B es el conjunto de todos los puntos dentro del cuadrado, el conjunto C es el conjunto de todos los puntos dentro del círculo, observe que B C
⊂
S C B
GRAFICO 1: CONJUNTO
∪
Considere dos conjuntos arbitrarios, la unión de B y C (B C), es el conjunto de todos los puntos en B o en C o en ambos, es decir, la unión de B y C contiene todos los puntos que están en al menos uno de los conjuntos, en el siguiente diagrama de Venn se observa B C:
∪
S
B
C
GRAFICO 2: DIAGRAMA DE VENN
∪ ∩
El área sombreada representa B C, está formada por los puntos de cualquiera de los dos círculos o de ambos. Como se puede observar la palabra clave es “o”: B o C o ambos. La intersección de B y C (B C), es el conjunto de todos los puntos en B y C simultáneamente, aquí la palabra clave es “y” . A continuación se muestra la intersección mediante el diagrama de Venn:
S C
B
GRAFICO 3: DIAGRAMA DE VENN
∪ ̅
̅
Si A es subconjunto de S, entonces el complemento de A ( = no A), es el conjunto de puntos que están en S, pero no en A. (A = S).
A
No A GRAFICO 4: CONJUNTO
∩ ∅
Se dice que dos conjuntos son mutuamente excluyentes si A B = , es decir, los conjuntos no tienen puntos en común, se muestra el diagrama de Venn a continuación:
S
A
B
GRAFICO 5: DIAGRAMA DE VENN
A continuación mostramos algunas propiedades de conjuntos:
∩∪ ∪∩ ∩∪
Y las leyes De Morgan
∩∪ ∩∪ ∩∪
A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)
∪∩
(A B) = A B (A B) = A B
Experimento Proceso por el cuál se hace una observación, por lo que al realizar un experimento, puede terminar en uno o más resultados (Eventos), a los eventos denotaremos con letra mayúscula, por ejemplo, al lanzar una dado (experimento), se puede observar los siguientes eventos: A: Observar número impar
B: Observar número menor a 5 E1: Observar un 1 E2: Observar un 2 E3: Observar un 3 E4: Observar un 4 E5: Observar un 5 E6: Observar un 6 Si observó un evento A, al mismo tiempo habrá observado un E 1, E3, E5, así el evento A se puede descomponer en 3 eventos, por lo que se denomina evento compuesto . Un evento simple no se puede descomponer cada evento simple responde a un punto muestral. El espacio muestral asociado con un experimento es el conjunto formado por todos los posibles puntos muestrales, un espacio muestral es dado por S.
, , , , ,
.
Si el conjunto S está formado por un número finito de puntos (Espacios muestrales Discretos), en nuestro caso al lanzar un dado hay 6 puntos muestrales. Al realizar un experimento 1 vez, se observará un solo evento simple. Por ejemplo, si lanzara un dado y si se observa un 1, no se observará al mismo tiempo otro número, tenemos un punto muestral simple E 1. El punto muestral simple E 2, asociado con observar un 2, por lo que los conjuntos son mutuamente excluyentes.
Ahora veremos los eventos compuestos con un experimento con espacio muestral discreto con un ejemplo:
El evento A de lanzar un dado (observación de Número impar) ocurrirá si y solo si ocurre E1, E2, E3 por lo tanto:
, , {, , ,,} De la misma manera B (Observación menor a 5)
Axiomas:
Axioma 1
Ejemplo:
Axioma 2:
Ejemplo:
≥0 0,5 1 1
0.7.2. Reglas para calcular Probabilidades Dos leyes de probabilidad
0.7.2.1.Ley aditiva de Probabilidad - Regla especial de la adición: Los eventos deben ser mutuamente excluyentes,
4,5,6
1,2 ∩0 ∪ ∪ ∩
como por ejemplo en un lanzamiento de dado son los eventos un ´”numero 4 o mayor” y un número “2 o menor” by el resultado cae en el primer grupo, entonces no puede estar en el segundo grupo, por lo tanto: Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces , por lo tanto quedaría: -
Regla General de la adición: Los resultados de cualquier experimento pueden no ser mutuamente excluyentes La probabilidad de unión de dos elementos A y B es:
0.7.2.2.Ley Multiplicativa de Probabilidad: - Regla especial de la multiplicación: Se requiere que dos eventos A y B sean independientes. Es decir, si el hecho de que ocurra uno no altera la probabilidad de que otro suceda
-
∩
Regla General de la multiplicación: Se requiere que dos eventos A y B sean dependientes. Es decir, si el hecho de que ocurra uno altera la probabilidad de que otro suceda, en este punto entramos en un concepto de probabilidad condicional, que es la probabilidad de que un evento en particular ocurra dado que otro evento ya ocurrió. La probabilidad de un evento depende de si sabemos que ha ocurrido otro evento. La probabilidad condicional, de un evento es la probabilidad (frecuencia relativa de ocurrencia) del evento dado el hecho de que uno o más elementos ya ocurrieron. Por lo tanto la probabilidad de un evento A dado que un evento B ya ha ocurrido es igual a:
/ ∩ /
Siempre que P (B) > 0, recordemos que dado B.
se lee la probabilidad de A
Por lo tanto siguiendo con la regla general de la multiplicación tendremos: La probabilidad de la intersección de dos eventos A y B es:
∩ / /
0.8.DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Antes de ver las distribuciones de probabilidad discretas, tenemos que definir ¿qué es una distribución de probabilidad? Una distribución de probabilidad es una lista de todos los resultados de un experimento asociado con sus respectivas probabilidades de ocurrencia, loa probabilidad de un evento en particular está entre 0 y 1, los resultados son eventos mutuamente excluyentes, la suma de todas las probabilidades de los diversos eventos es 1.
0.8.1. Distribuciones de probabilidad Discreta Se dice que Y es una variable aleatoria discreta si puede tomar un número finito o contablemente finito de valores distintos.
¿Por qué estudiar probabilidad? Se necesita la probabilidad de un evento observado para hacer inferencias a cerca de la población. Hay veces que ciertos tipos de variables aleatorias se presentan mucho en la práctica es útil tener a la mano la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria, esto se conoce como distribución de probabilidades de la variable aleatoria discreta.
A manera general denotaremos la letra mayúscula “Y” para denotar la variable aleatoria discreta y la letra minúscula “y” para denotar un valor en concreto que puede tomar la variable aleatoria. Por ejemplo: Denotemos Y como los 6 posibles resultados de un lanzamiento de dado, después de tirar el dado el número observado es y, observe que Y es una variable aleatoria, pero y no es aleatorio. La expresión (Y=y) es el conjunto de todos los puntos en S a los que la variable aleatoria Y asigna el valor de y. Ahora introduciremos otra nomenclatura: tome un valor de y, por lo tanto:
que es la probabilidad de que Y
La se define como la suma de la probabilidades de todos los puntos muestrales en S a los que asigna el valor de y, a veces se denota como . En donde es una función que asigna probabilidades a cada valor de y de la variable aleatoria Y, y recibe el nombre de función de probabilidad para Y. Como regla: Para cualquier distribución de probabilidad discreta:
0≤≤1
Para toda y
1
Valor Esperado de una variable Aleatoria o una función de una variable aleatoria Sea Y una variable aleatoria Discreta con función de probabilidad P (y), entonces el valor esperado de Y E (Y) será:
∗
Si P (y) es una caracterización precisa de una distribución de frecuencia poblacional entonces , que es la media poblacional.
La varianza una variable aleatoria discreta será el valor esperado de
:
:
Ejemplo: Calcular la media o Valor esperado, la varianza y la desviación estándar Y
0 1 2 3
P(y) 0,13 0,25 0,375 0,25
0∗0, 1 31∗0, 2 52∗0, 3 753∗0, 2 51, 7 5 = = 301,1,7755 ∗0,∗0,2150, 3 191,37575 ∗0,25 21,75 ∗0,375
Varianza
Desviación estándar
0,93750,97
Ampliaremos nuestro análisis a tres teoremas que servirán para calcular el valor esperado y varianza de distribuciones más complicadas:
Teorema 1 La media o valor esperado de una cantidad no aleatoria c es c.
Demostración:
Como:
∗
1
Entonces:
Teorema 2:
El valor esperado del producto de una constante c por una función de una variable aleatoria es igual a la constante c que multiplica al valor esperado de la función de la variable.
Teorema 3:
El valor esperado de la suma de sus funciones de un variable aleatoria Y es igual a la suma de sus respectivos valores esperados
⋯…………… ⋯……………… 2 2 2 2 0 ∗0,131 ∗0,252 ∗0,3753 ∗0, 2 54
Utilizando los tres teoremas antes citados, desarrollaremos un teorema para encontrar la varianza de una variable aleatoria discreta:
Aplicando el teorema 3:
Si es una constante y se aplican los teoremas 1 y 2 a los términos segundo y tercero respectivamente tenemos:
Como
quedará:
Quedando la varianza:
Utilizando el Ejemplo anterior la varianza será:
Por tanto: 4 * (1,75) 2 = 0,9375
Función Generatriz de Momentos La función generatriz de momentos de una variable aleatoria X evaluada en t, se define:
La función generadora de momentos es única, es decir, si dos variables aleatorias tienen la misma función generadora de momentos, se dice que tienen una misma distribución. La función generadora de momentos identifica de manera única la distribución de probabilidad. Si evaluamos
Es decir:
´ 0 ´ ⌋ 0 ´0 ´´0 ´´ 0
Quiere decir: Derivando con respecto a t de Si derivo 1 vez:
Si derivo 2 veces:
Si derivo 3 veces:
, evaluada en t = 0.
0.8.2. Distribuciones de Probabilidades continuas Consideremos la lluvia diaria en la ciudad de cuenca. Con un equipo de medición de precisión perfecta, la cantidad de lluvia podría tomar cualquier valor en 0 y 5 pulgadas, por lo tanto nos encontramos con un número incontable e infinito de puntos en el intervalo entre 0 y 5. Una variable aleatoria que puede tomar cualquier valor en un intervalo se denomina Variable aleatoria Continua. A diferencia d una variable aleatoria discreta, en una variable continua es matemáticamente imposible asignar probabilidades a cada valor dentro de un intervalo, por lo tanto es necesario otro procedimiento.
≤ <<
La función de distribución de una variable aleatoria Y, denotada por F (Y), es tal que para .
La naturaleza de la función determina si es una variable aleatoria discreta o continua. Comenzaremos analizando la función de distribución para una variable aleatoria discreta y continuaremos con la continua. Supongamos una distribución binomial:
Y 0 1 2
P(y) 0,25 0,5 0,25
GRAFICO 6: DISTRIBUCION BINOMIAL
≤2 ≤2 0
Cuál es F (-2)? , como los únicos valores de Y a los que se les asigna probabilidades son 0,1, y 2, ninguno de estos valores son menores o iguales a -2, por tanto, F (-2) = , por lo tanto si usamos la misma lógica, F (Y)=0 para Y<0. Cuál es el valor de F (1,5)= P (0)+P (1) ya que estos son los únicos valores que están por debajo o igual de 1,5, es decir:
Generalizando:
1,5 0 1 14 12 0,75 0 <0 0≤<1 ≤0,0,27551 1≤<2 ≤2
Como se observa en el gráfico anterior este tipo de funciones son escalón, las funciones de distribución para variables aleatorias discretas son escalón. Desde el punto de vista práctico es evidente que:
∝ −−lim−∝ 0 ∝ −−lim+∝ 1 <ó, : , , , ≤
La función de distribución de una variable aleatoria continúa:
<<
Una variable aleatoria Y con función de distribución F (Y), se dice que es continua si F (Y) es continua para
GRAFICO 7: DISTRIBUCION DE UNA VARIABLE ALEATORIO CONTINUA Si y es una variable aleatoria continua, entonces, para cualquier número real y, P (Y = y) = 0
>0
Si esto no fuera cierto, , entonces F (Y) tendría discontinuidad (salto), en términos concretos, considere la probabilidad de que veamos una medida de lluvia diar de 2,1343 pulgadas, el improbable que veamos un valor exacto de 2,1343 pulgadas, pero si podemos ver muchos días entre 2 y 3 pulgadas. Sea F (y) la función de distribución de una variable continua Y, entonces f (y) viene dado por:
´
Dónde,
es la función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria Y.
Por lo tanto:
−
La relación entre la función de densidad y de distribución se visualiza en el siguiente gráfico:
GRAFICO 8: FUNCION DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCIÒN La Función de densidad es un modelo teórico para la distribución de frecuencias A continuación se describen ciertas propiedades de la función de densidad
≥0
Para toda y,
<< + − 1
≤≤ ≤≤ ≤ ≤
Cuando nos piden encontrar la probabilidad de que Y caiga en un intervalo específico, esto es , si a
Media o Valor esperado de una variable aleatoria Continua El Valor esperado de una variable aleatoria continua es:
+ −
La cantidad corresponde a P (y) de la variable aleatoria discreta y la integral evoluciona de la sumatoria y es análoga. Siguiendo el mismo criterio que una variable aleatoria discreta, la varianza de una variable aleatoria continua es igual a:
0
Nota: Si la variable aleatoria es continua, la probabilidad de que la variable aleatoria tome exactamente un valor de x es 0. Esto se expresaría:
La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor particular es 0, la razón es que no hay área bajo la curva, solo se podrá calcular probabilidades sobre intervalos, por lo tanto en variables aleatorias continuas
<≤ ≤≤ ≤< <<
Estas relaciones no son iguales si hablamos de distribuciones de probabilidad discretas. En el caso discreto:
<≤≠ ≤≤≠ ≤<≠ <<
0.9.EJERCICIOS PROPUESTOS DE ESTADÍSTICA.
1. Supongamos que hay una familia tiene dos hijos de edades diferentes y estamos interesados en el género de estos niños, denotemos F si es mujer y M si es hombre, y denote con un par, por ejemplo F,M si el hijo de más edad es niña y el más joven es niño. Hay 4 puntos en el conjunto S de posibles observaciones: S = (F,F F,M M,F M,M) Denote A al subconjunto de posibilidades que no tenga hombres, B al subconjunto de posibilidades que contenga 2 hombres, C, al subconjunto que contenga al menos un hombre, indique los elementos de A, B,
C, A∩B, AUB, A∩C, AUC, B∩C, BUC, C∩
2. De un total del 60 estudiantes que asiste a la universidad, 9 viven fuera del campus, 36 son Pasantes y 3 son pasantes y viven fuera del campus, encuentre el número de estudiantes que: a. Son pasantes, viven fuera o ambos b. Son pasantes y Viven en el campus c. Graduados que viven en el campus 3. Un gerente de una fábrica de azúcar sabe de qué la probabilidad de que la funda de azúcar de venta al público pese menos de lo legal es 2,5%, y la probabilidad de que pese más es de 7,5%. ¿cuál es la probabilidad de que la funda tenga un peso satisfactorio? Demuestre con un diagrama de Venn. 4. Suponga que la probabilidad de que saque un 100 en esta materia es de 25%, la probabilidad de obtener un 75 es un 50% ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea mayor que 75? 5. La junta directiva de Deltha Seguros cuanta con 8 hombres y 4 mujeres, un comité de 4 miembros será elegido al azar. a. ¿Cuál es la probabilidad de que los 4 miembros del comité sean mujeres?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que los 4 miembros del comité sean hombres? c. ¿Las probabilidades de los puntos a y b suman 1? Explique su respuesta. 6. A continuación se presenta el número de llamadas diarias al servicio del 911 durante los últimos 50 días. Hubo 22 días en los que realizaron 2 llamadas de emergencia y 9 días en los que realizaron 9 llamadas: Número de llamadas Frecuencia 0 8 1 10 2 22 3 9 4 1 Total 50 a. Convierta esta información del número de llamadas en una distribución de probabilidad b. ¿Es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta o continua? c. ¿cuál es la media de la cantidad de llamadas de emergencia al día? d. ¿Cuál es la desviación estándar de la cantidad de llamadas diarias? 7. Suponga que X tiene una distribución binomial con n=2 y p=0,5 encuentre F(x). 8. Suponga que:
0, <0 1,, 0≤≤1 >1
Encuentre la función de densidad para x y grafíquela
9. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad dada por:
3 0 0≤≤1 0≤≤2 1 ≤≤2 1 <<2
Encuentre F(x) y grafique F(x) y f(x)
10. Dado f(x) = y f(x) = 0, en cualquier otra parte, encuentre el valor de c para el cuál f(x) es una función de densidad válida. Posterior calcular 11. Deltha Seguros Pretende ofrecer productos de seguros para vida a hombres de 60 años por internet. La tabla de mortalidad indican que la probabilidad de que un hombre de esa edad sobreviva otro año es de 0.98. Si el seguro se ofrece a 5 hombres de 60 años. ¿Cuál es la probabilidad de que los 5 sobrevivan el año?¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 1 no sobreviva?
NOTA: VER ANEXO 2. DEDUCCIONES ESTADÍSTICAS.
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LOS SEGUROS, TEORIA DE LA UTILIDAD Y DESICIÓN DE ASEGURAMIENTO Manejo Del Riesgo El trabajo de un experto en riesgo es la identificación, medición y control de las contingencias que en esencia son aleatorias, esto era tradicionalmente en el seguro de vida y luego pasó a otros ramos de seguros como son los patrimoniales, de salud y asistencia médica. Para cubrir el acontecimiento de dichas contingencias las empresas y personas debían tener grandes cantidades de dinero en reservas para afrontar los riesgos, pero aparecieron las compañías de seguros que asumen estos riesgos a cambio de un pago. Luego este análisis de riesgos se extendió al campo de las inversiones en donde se tratar de identificar, medir, cuantificar y controlar los riesgos de crédito, mercado, liquidez y operativo, etc. Por lo tanto un concepto clave a tratar a lo largo del presente libro es el Riesgo, en el contexto de este libro, es la posibilidad de que algo malo suceda y esta ocurrencia desemboca en una pérdida financiera, por ejemplo, si una persona fallece estaría privando de ingresos a sus familiares dependientes o a socios de algún negocio. Si una persona se enferma tendrá que desembolsar una cantidad de dinero afectando así su flujo de efectivo, lo mismo puede pasar con pérdidas de bienes patrimoniales como la casa o vehículo, en todo caso, no hay como librarse de esos acontecimientos desastrosos, pero si se puede tomar medidas para mitigar esa pérdida, Una de esas medidas es el seguro. Analicemos el siguiente ejemplo: Si suponemos que es casi improbable de que suceda cierto evento, pero si ocurre provocará una pérdida financiera de $100.000, si se estima que 1 de cada 100 personas experimentará esa pérdida y si aseguran 1000 personas entonces se debe esperar una
pérdida de 10 personas; sobre este supuesto el asegurador cobrará una prima de $1000 a cada una, y obtendrá unos ingresos de $1.000.000 que servirá para cubrir la pérdida de los 10 asegurados. Este principio veremos más adelante llamado equivalencia financiera- actuarial.
1.1.MODELOS ESTOCÁSTICOS VS DETERMIISTICOS El ejemplo anterior, es un modelo determinístico, si el asegurador sabe exactamente cuánto tendrá que pagar por indemnizaciones, deberá cobrar una cantidad que equipare a estas para mantener un equilibrio financiero, en la realidad el asegurador no sabe o no puede predecir dichas cantidades con exactitud, al vender pólizas espera beneficiarse del efecto de la diversificación, y puede predecir aproximadamente el # de siniestros y cuantía de los mismos en ese a modelo.
1.1.1. MODELOS DETERMINISTICOS FLUJOS DE CAJA Una característica de la matemática actuarial es modelar la transferencia de dinero, las instituciones financieras compañías de seguros y otras empresas aceptan dinero en ciertos momentos y deberán hacer pagos en otros. Para construir nuestro modelo, primero fijaremos una unidad de tiempo en años, el tiempo cero será hoy, mientras que el tiempo t será t unidades de tiempo en el futuro. Seleccionaremos una unidad arbitraria de capital, en esta parte supondremos que los dineros se pagan o reciben en unidades de tiempo enteros, la cantidad de dinero recibido se llama ck, un valor positivo de ck indica que se recibe fondos, mientras que un valor negativo significa que hay salida de dinero. Se presenta a continuación un vector flujo de efectivo C = (co, c1, c2,………….cN), donde N es la duración final Supongamos que presta 10 ahora, luego 5, la secuencia de pagos será desde 4 al 6 período de 7, el vector flujo de efectivo es: C= (-10.-5, 0, 7, 7,7) Desde el punto de vista del deudor, el flujo será:
-C = (10, 5, 0,-7,-7,-7) En esta sección analizaremos métodos para analizar el flujo de efectivo, para lo cual hay que responder las siguientes preguntas: 1. ¿Cuándo es una transacción que vale la pena emprender? 2. ¿Cuánto se debe pagar para recibir una secuencia de flujos de efectivo? 3. ¿Cómo se comparan las transacciones para decidir cuál es viable? Para esto hay que valorar tomando en cuenta el valor del dinero en el tiempo, en todo caso, en la práctica no es posible responder a las preguntas anteriormente mencionadas porque no nos enfrentamos a flujos de efectivo conocidos o deterministas. Otras definiciones de Flujos de caja: Normalmente el modelo de flujos de caja captura la diferencia entre ingresos y salidas de efectivo, estos se pueden hacer bajo diferentes ópticas dependiendo del propósito del análisis.
Definición 1:
Es un vector
,
, en donde
>0 >0
y las cantidades
individuo, institución y/o sistema. Si
Definición 2:
Es un vector aleatorio
,
, en donde
∈ <0
, que entran y salen de un
son ingresos y
>0
y las cantidades
se llaman egresos.
∈
, con un número
de componentes variables y aleatorios, normalmente, estos flujos de caja son de proyectos de inversión, y flujos de compañías de seguros en donde su pago está sujeto a probabilidad de ocurrencia de siniestros.
ALGUNOS MODELOS DE FLUJOS DE CAJA
Bono Cupón Cero. - Son inversiones de renta fija de corto plazo con intereses que se paga al final del contrato. Ejemplo, una inversión de $1000 a 90 días para recibir $1010
∆ 10é
Bonos con Cupón. - Es un instrumento de renta fija, que normalmente son emitidos a largo plazo con pago de intereses periódicamente, los pagos pueden ser semestrales, anuales, etc. Por ejemplo, un capital de 1000 a 5 años al 5% anual. Normalmente, los bonos son emitidos por gobiernos. Por lo tanto, el gobierno toma el dinero y entrega el bono al inversionista, a su vez el inversionista adquiere un derecho de cobro periódico de los intereses.
Bonos corporativos. - Son iguales que el que emiten los gobiernos a diferencia que el riesgo es más elevado, por lo que la tasa de interés o rendimiento mínimo requerido por el inversionista es más alta en bonos que emiten las empresas que en los bonos que emite el gobierno.
Acciones. - A diferencia de los anteriores que son instrumentos de deuda, las inversiones en acciones dan derecho a la propiedad de una empresa, por lo que, la ganancia de estos inversionistas está dividida en dos partes:
Ganancias de capital (cuando sube el precio de la acción)
Los dividendos de la empresa.
En estos casos, los flujos 766de caja del inversionista son más volátiles que los anteriores, y dependerá cuan rentable es la empresa.
Rentas Vitalicias. - Funciona como una anualidad cierta, pero en lugar de tener
pagos con regularidad, en la renta vitalicia los pagos terminan al fallecimiento del propietario, en el caso de nuestro país hablamos de pensión por jubilación en el IESS o el pago de una renta vitalicia del empleador al empleado en caso de cumplir 25 años de trabajo en la misma empresa .
Seguros de vida.- La compañía de seguros paga una suma de dinero al momento de fallecer el asegurado, el pago se realiza a los beneficiarios, para hacerse acreedor a este beneficio, el asegurado deberá pagar una prima. El valor del seguro (prima única) para una cobertura de 1 año viene dado por:
Dónde:
∗∗ 11
Nota: En el seguro planteado, suponemos que el pago se realiza al fin del año de fallecimiento.
Seguros Patrimoniales. - A diferencia del anterior en donde el interés asegurable es la vida de la persona que genera ingresos, en seguros patrimoniales el interés asegurable es la pérdida patrimonial aleatoria, hablamos de seguros de vehículos, inmuebles, marítimo, aviación, transporte, etc. Desde el punto de vita del asegurador, los ingresos vía primas se suman a un fondo de riesgos, en donde la historia del número de siniestros con sus respectivas cuantías afecta al valor de la prima de seguros.
Proyectos de Inversión. - En un horizonte de tiempo los desembolsos para la realización de proyectos de inversión varia de proyecto a proyecto, supongamos un proyecto inmobiliario, este requerirá un desembolso inicial para la compra del terreno, luego la realización requerirá salidas de efectivo, también tendrá ingresos de efectivo por la venta de unidades habitacionales .
1.2. CONCEPTOS BÁSICOS Y ECONOMÍA DEL SEGURO IMPORTANCIA Las operaciones de seguros han sido establecidas con el ánimo de protegerse respecto a contratiempos financieros, los mismos que puedan suceder aleatoriamente y que forman parte de planes futuros de personas, empresas, etc. Lo que se trata de hacer con el seguro desde el punto de vista del asegurado es transformar una pérdida de gran impacto o severidad y/o frecuencia en un gasto fijo - conocido llamado prima, que servirá para mitigar la posible pérdida financiera. Las coberturas con seguros limitan aquellos contratiempos financieros aleatorios, teniendo en cuenta que las operaciones de seguros no reducen la probabilidad que acontezcan esas pérdidas o sucesos (en términos de seguros, siniestro). Más bien, la operación de seguros proporciona incentivos financieros para lograr una cobertura a las pérdidas; entonces, una operación de seguros es un medio para reducir el impacto financiero adverso (pérdida patrimonial), que impide la realización normal de las actividades futuras. La justificación económica de una entidad aseguradora, es que contribuye a un bienestar general, mejorando expectativas que los planes futuros no se vean frustrados por pérdidas debidas a sucesos aleatorios imprevistos (siniestros); y por lo tanto no causen pérdidas patrimoniales adversas a su tomador y/o asegurado. Antes de empezar nuestro tema en materia de seguros es importante repasar los siguientes conceptos:
Probabilidad: Es la posibilidad que ocurra o que se produzca determinado acontecimiento, que nos sirve para calcular (en teoría de elecciones del consumidor y/o productor en condiciones de incertidumbre) el valor esperado y la variabilidad de posibles resultados.
Siniestro: Ocurrencia de riesgo asegurado.
Prima: Es el precio del seguro.
Riesgo: Es la probabilidad de ocurrencia de un siniestro. La realización de los riesgos no obedece a un patrón determinista, por lo tanto, es imposible prever
con exactitud los instantes que ocurrirán y los montos de pérdidas económicas que tendrán como consecuencia.
Asegurador: Persona Jurídica que asume riesgos a cambio de primas, se compromete a resarcir económicamente al asegurado en caso de siniestro.
Asegurado: Persona Natural o jurídica que cede el riesgo a una compañía de seguros (Asegurador), se compromete a pagar una prima a cambio de resarcimiento económico o reposición de la cosa dañada por siniestro. En caso de resarcimiento por pérdida, esta persona no tiene fin de Lucro.
1.2.1. DOS LEYES QUE SE MANEJAN EN SEGUROS Ley de los Grandes Números .
El análisis de riesgo es muy diferente si se lo hace desde el punto de vista del
asegurador y para el asegurado, la razón es la “Ley de los Grandes Números”, la m isma que opera en el caso del asegurador, pero no en el caso del asegurado. Dicha ley dice que mientras más grande sea el número de unidades de riesgo, más seguro es que la experiencia de pérdida efectiva sea igual a la experiencia de la pérdida probable, por lo que a medida que aumenta el número de unidades expuestas (ya sea personas u objetos) el riesgo disminuye. El asegurado no puede reducir su riesgo utilizando esta ley, pues no tiene a su alcance el suficiente número de unidades para reducir el riesgo. Recordaremos el concepto básico que se revisó en párrafos anteriores: La esperanza matemática, que es la probabilidad de ocurrencia por el efecto esperado. Si este concepto lo pasamos a seguros, la esperanza matemática de la pérdida será igual a frecuencia (probabilidad) multiplicado por la severidad. (Frecuencia * Severidad). A su vez, la probabilidad viene dado por:
Ejemplo:
##
Si tenemos: 10.000 autos y se siniestran 6.000 autos, la probabilidad de siniestro es de 60%, si el siniestro promedio es el costo total de siniestros dividido para el Número de siniestros, si suponemos que el costo de siniestros es de $3.000.000, entonces:
$3.0600000.000 $500.
Entonces la pérdida será de 500 * 0,6= $300 esta es la Prima de riesgo, que se cobrará a los 10.000 asegurados. La prima tiene que ser:
Suficiente
Proporcional al riesgo asumido.
Si el promedio de la suma asegurada es $10.000. Prima = $10.000 * tasa 300 = 10.000 * tasa Tasa= 0,03. SERÁ LA TASA DE RIESGO Un factor a tomar en cuenta es que el riesgo no es estático, siempre se mueve por muchos factores internos y externos. Por este motivo puede haber una desviación de la frecuencia y severidad, o lo que se llama desviación de siniestralidad. A esto sumar otros pagos de tal manera para cumplir el principio de suficiencia como:
Comisiones= 20%
Gastos administrativos= 14%
Utilidad= 6%
Factor G (suma de los 3 anteriores) = 40%
Tasa comercial= Tasa de riesgo / 1- g = 0,03 / 1 - 0,4 = 0,05 Le doy un margen de seguridad por desviaciones del 10% Tasa comercial= tasa de riego (1+margen de seguridad) /1-g Tc= 5,5% del valor comercial del vehículo.
Mutualidad.
La compañía de seguros o seguridad social, asume riesgos de un gran número de personas, fijando que las cantidades con las que cada uno de ellos aporte vía primas, habrá de contribuir al resarcimiento de los daños o pérdidas colectivas, es decir, es la consecución de una cobertura colectiva y mancomunada frente al riesgo individual de sus asegurados; busca solidaridad ante pérdidas de pocos, de un grupo grande sometido a riesgos. Su actividad es una operación para acumular riqueza, a través de las aportaciones de muchos sujetos expuestos a eventos económicos desfavorables, para destinar lo así acumulado, a los pocos a quienes se presenta la necesidad. Sigue el principio de mutualidad, buscando la solidaridad entre un grupo sometido a riesgos. Esta mutualidad se organiza empresarialmente, creando un patrimonio que haga frente a los riesgos. El efecto desfavorable de estos riesgos, considerados en su conjunto, queda aminorado sustancialmente porque para el asegurador, los riesgos individuales se compensan: sólo unos pocos asegurados los sufren, frente a los muchos que contribuyen al pago de la cobertura. Ello permite una gestión estadística del riesgo, desde el punto de vista económico, aunque se conserve individualmente desde el punto de vista jurídico.
1.3.TRATAMIENTO DEL RIESGO. a. La Asunción del Riesgo : (No aseguramiento, las personas o empresas muchas veces asumen directamente sus riesgos, en este punto las personas o empresas destinan un fondo para hacer frente a posibles pérdidas que se pueda dar en el futuro. Esta actitud no es un auto seguro. b. La Cesión o Transferencia Del Riesgo : La persona o empresa pasa paga a una aseguradora para que asuma los riesgos que el cedente desea liberarse, y este lo acepta a cambio de una prima. Se supone que el tomador de ese riesgo primero conoce la probabilidad de pérdida y por lo tanto gestiona de mejor manera que el cedente dicho riesgo, y segundo, tiene la capacidad financiera para hacer frente a las posibles pérdidas. La combinación de los objetos o sujetos expuestos al riesgo en un número suficientemente grande, de tal manera que permita la predicción de la pérdida.
c. Eliminación del riesgo : Normalmente este punto se da con personas que tienen una gran aversión al riesgo, esta persona evita por completo la asunción de
riesgos, y por lo tanto se esperaría que no tenga los mismos rendimientos que las personas que se manejan en los puntos anteriores .
Ejemplo:
Sea X el daño consiguiente en términos financieros por incendio en una nave industrial, si X=0 indica la ausencia de daño, y X= xmax denota la pérdida total del edificio, cuyo valor es xmax; por lo tanto, el intervalo (0-xmax) es el conjunto de posibles resultados.
1.4. PRINCIPIO DE ESPERANZA MATEMÁTICA DE LA UTILIDAD Dado que en ninguna de nuestras actividades podemos prever las consecuencias de nuestras decisiones, sino que a lo más, podemos ordenar nuestras decisiones con relación a la incertidumbre asociada a nuestras expectativas futuras, se ha elaborado la llamada “teoría de la utilidad ”. Entonces, ¿cómo pueden decidirse las inversiones en presencia de flujos de caja aleatorios? Para esto es necesario disponer una teoría de elección que establezca criterios de elección que permitan tener en cuenta el riesgo-rendimiento; de tal manera que maximice la utilidad esperada de los recursos. El problema de la distribución de los recursos disponibles entre consumo e inversión residirá entonces en maximizar la utilidad teniendo en cuenta la esperanza matemática de los recursos y los riesgos asumidos para la obtención de ella, por esto es fundamental usar el criterios de esperanza matemática de la utilidad como criterio de elección en futuros aleatorios, y determinar la función de utilidad que permita ordenar eventualidades. Centramos la atención en las decisiones de los consumidores en general y la utilidad que les reportará la elección entre opciones arriesgadas. Se supone que todos los decisores toman decisiones racionales, y son capaces de tomar decisiones racionales entre un gran número de alternativas, también los decisores
prefieren tener más que menos (No saciedad) es todo lo que se precisa para fundamentar la decisión de esperanza matemática de la utilidad como criterio de elección en futuro aleatorio y determinar la función de utilidad del decisor. Entonces los decisores tratarán de maximizar la esperanza matemática de la utilidad de sus recursos: Representamos (r).
a la función de utilidad de un ente, como función de sus recursos
max ∗ Interpretación: La esperanza matemática de la utilidad es: la suma de las utilidades asociadas a distintos resultados posibles ponderadas por sus probabilidades de ocurrencia . Ejemplos: 1. Una persona tiene dos opciones: Trabajar en una empresa recibiendo unos ingresos vía sueldo por $30.000 anuales o emprender un proyecto de inversión y tiene las siguientes posibilidades de ganancia: Probabilidad
Utilidad
0,25
50.000
0,50
35.000
0,25
5.000
Tabla 2: PROBABILIDAD
¿Cuál es la esperanza de los recursos en la segunda opción?
0,25∗500000,50∗35.0000,25∗5000$32.500
¿Qué alternativa le conviene a la persona?
Se prefiere la segunda opción pues la esperanza de los recursos es mayor en $2.500. 2. Analicemos el siguiente caso:
CASO
PÉRDIDA POSIBLE O EXPECTATIVA EXPOCISIÓN TOTAL
PÉRDIDA
1
1
0,01
2
1.000
10
3
1´000.000
10000
DE
TABLA 3: ANALISIS
Una pérdida de 1 podría ser de poca preocupación para la persona que toma las decisiones, que preferirían retener el riesgo y asumir la pérdida en caso de que acontezca; sin embargo, la pérdida de 1´000.000 podría ser catastrófica para la empresa; en este caso, el tomador de decisiones podría estar dispuesto a pagar más de la pérdida esperada que es de 10.000, con el fin de obtener el seguro. El hecho de que le tomador de decisiones estaría dispuesto a pagar más de su pérdida esperada, concluimos que la teoría de valor esperado es inadecuada para modelar este comportamiento.
1.5. AVERSIÓN AL RIESGO Y PRIMA DE RIESGO 2. Cuando la función de utilidad crece menos que proporcionalmente es cóncava, la utilidad marginal con respecto a los recursos es decreciente decisor es adverso al riesgo.
"<0
, el
3. Cuando la función de utilidad crece más que proporcionalmente es convexa, la
">0 "0
utilidad marginal respecto a los recursos es creciente riesgo
, es propenso al
4. En caso que la función de utilidad creciera en forma constante, se trataría de una recta, la utilidad crece de manera proporcional.
,
En seguros, cuando la persona o ente recibe más utilidad de la operación hecha con incertidumbre y por lo tanto es mayor que la utilidad esperada de los mismos se dice que el decisor es adverso al riesgo, si es menor es propenso al riesgo, y si es igual se dice que es indiferente al riesgo.
Aversión Al Riesgo
>: , ó
GRAFICO 9: AVERSIÒN AL RIESGO Para un tomador de decisiones, si la utilidad que le proporciona quedarse con la riqueza actual es mayor que la utilidad esperada que le proporciona por ejemplo embarcarse en un proyecto de inversión, una decisión lógica es quedarse como está,( no emprender dicho proyecto) Neutral Al Riesgo
: ,
GRAFICO 10: NEUTRAL AL RIESGO Propensión Al Riesgo
<: ,
GRAFICO 11: PROPENSION AL RIESGO Para un tomador de decisiones, si la utilidad que le proporciona quedarse con la riqueza actual es menor que la utilidad esperada que le proporciona por ejemplo embarcarse en un proyecto de inversión, una decisión lógica sería emprender dicho proyecto.
Nota: En general en participación de operaciones financieras se supone que todos son adversos al riesgo .
1.6. INDEMNIZACIÓN (PRESTACIÓN) PRIMA PURA, PRIMA BRUTA Consideremos una persona que posee un bien y que corre riesgo de ser destruido en un
futuro, asociemos una variable aleatoria al montaje de la posible pérdida relativa al bien, con una función de distribución conocida.
Entonces
, la esperanza
matemática de la pérdida esperada en el futuro, se la puede interpretar como la pérdida media a largo plazo, si el experimento de exponer el bien al riesgo pudiera observarse un gran número de veces en las mismas condiciones, es decir, se basa en dos grandes leyes: de los grandes números y mutualidad; suponiendo que no existe desviación de siniestralidad o pérdidas. Supongamos que el ente asegurador se establece con el fin de colaborar en la reducción de consecuencias financieras de la ocurrencia del riesgo (destrucción de bien). Por lo que el asegurador emite pólizas por las que se compromete a pagar al propietario del bien asegurado una cantidad igual o menor que la pérdida financiera, si el bien asegurado se viera dañado o destruido durante el período de vigencia y según las condiciones de la póliza. El pago aleatorio ligado al montaje de la pérdida se llama
“indemnización” la misma que no podrá ser mayor a la suma asegurada. Y la
contrapartida del compromiso por parte del asegurado reflejado en la póliza se llama Prima. La prima se determina mediante el principio de equivalencia financiero-actuarial entre asegurador y asegurado. Para una operación de seguros individual, suponemos que la función de utilidad del asegurador es lineal, el asegurador adopta el principio de valor esperado, es decir, el asegurador establece como precio básico para la cobertura total de la pérdida esperad
, llamada prima pura.
Demostración que
(comportamiento lineal)
. Este concepto parte de neutralidad al riesgo
Dada la prima pura, el asegurador necesita hacer ciertos recargos para cubrir gastos administrativos, cobranzas y cierta seguridad frente a pérdidas, es decir, este último recargo está destinado a cubrir desviaciones de la siniestralidad con respecto a su valor medio, por lo que su cálculo también dependerá de otras opciones como reaseguro y reservas de solvencia. Todo esto incrementa la prima pura a lo que se llama prima bruta
, >0, >0 1 , >0, >0 ∗
representada por .
Donde
= =
representan la cantidad asociada a los gastos que varían con las pérdidas
esperadas y con el riesgo cubierto en lo relativo a las desviaciones respecto a las
reclamaciones esperadas, es decir, cuando a la prima pura se le suma un recargo de seguridad, se conoce como prima pura recargada o prima pura con recargo de seguridad
1
(
), este recargo se destina a cubrir las desviaciones aleatorias negativas de
siniestralidad con respecto a su valor medio y contribuye a garantizar la solvencia del asegurador. Y la constante c se refiere a los gastos esperados que no varían con las pérdidas.
Si el asegurado tiene una función de utilidad
y se enfrenta a posibles pérdidas , se
mostrará indiferente a pagar una cantidad de prima P al asegurador, y que este se comprometa a cubrir las pérdidas y asumir el riesgo, se denota como:
En donde el primer término significa la utilidad, pagando la prima para obtener protección financiera; y el segundo término representa la utilidad esperada de no comprar el seguro (Asunción de riesgo). En este caso al dueño del bien es indiferente entre asegurarse o no. Como mencionamos en párrafos anteriores, si el asegurador no dispone de una subvención en caso de que la pérdida sea mayor a la pérdida esperada, la compañía correría el riesgo de quebrar, por lo tanto, el asegurador debe cobrar una prima superior a las pérdidas esperadas para evitar sus pérdidas por desviaciones de siniestralidad. En este caso el decisor se supone adverso al riesgo y por lo tanto estaría dispuesto a pagar una cantidad superior a su pérdida esperada, para evitar ese riesgo, en este caso:
>
Sea UA (r), una función de utilidad genérica del asegurador y r A los recursos monetarios actuales del asegurador, entonces la prima aceptable mínima
, para cubrir pérdida
aleatoria , desde el punto de vista del asegurador se puede obtener mediante la expresión siguiente:
Donde el primer miembro es la utilidad asociada a la situación actual del asegurador y el segundo miembro es la utilidad esperada asociada a la prima bruta
y a hacerse
cargo de la pérdida aleatoria , es decir, el asegurador se mostraría indiferente entre la
situación actual y cubrir unas posibles pérdidas mediante el cobro de una prima .
Puesto que el asegurador es adverso al riesgo, se tendrá que la utilidad esperada es menor o igual a la utilidad deseada:
≤ ≥
Donde se podría concluir que
Por otra parte, sabemos que la función de utilidad está basada en las preferencias del decisor y puesto que un asegurador puede ser una asociación, empresa, etc. La determinación de la función de utilidad del asegurador U A(r) es una cuestión bastante complicada en la práctica.
Nota Importante: La aplicación del cálculo de probabilidades se requiere esencialmente que los mecanismos subyacentes en una situación de incertidumbre, permanezcan inalterados durante el período en que va a utilizarse. Si se toma un grupo relativamente grande de personas de la misma edad, puede afirmarse que en el transcurso de un año, se registrará un número determinado de fallecidos de dicho grupo, debido al fenómeno demográfico de la mortalidad, que actúa de manera inexorable sobre los seres humanos. Si el mecanismo de mortalidad permanece constante, es decir, las condiciones de tipo geográfico, de salud, y bienestar de la población no se modifican, puede decirse que las afirmaciones probabilísticas sobre un comportamiento futuro tienen una precisión adecuada y además el riesgo de equivocarse está controlado, la misma afirmación se podría decir sobre los demás ramos de seguros, lo esencial es que se trabaje con grupos de personas u objetos que tengan un riesgo homogéneo, y que este no se modifique en el transcurso del tiempo, caso contrario, si por ejemplo, aparece una epidemia imprevista, variarían los patrones de mortalidad y ya no sería posible mantener la validez de las mismas afirmaciones probabilísticas a cerca del grupo de estudio.
Conclusión: Los diferentes grupos en observación sean iguales en cuanto a la influencia de la mortalidad.
1.7.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Juan Martínez, desea asegurar el patrimonio que dispone: 1 Vehículo BMW año 2008, la fecha actual es 16 de Mayo del 2016, el valor comercial del vehículo es
de $100.000, para obtener la cobertura por 1 año, el asegurador se llama Deltha Seguros. En base a los datos dados anteriormente: Diferenciar los datos esenciales de una póliza de seguros. (Base su respuesta en el artículo 2 del Decreto supremo 1147). 2. ¿Cuál será el precio realmente justo de cada uno de los siguientes juegos? a. Ganar $2.000 con una probabilidad del 50%, o perder $2.000 con probabilidad del 50% b. Ganar $2.000 con probabilidad del 60%, o perder $2.000 con probabilidad del 40% c. Ganar $2.000 con probabilidad del 70%, perder $4.000 con la probabilidad del 20%, o perder $10.000 con probabilidad del 10%. 3. El Señor Armando Zambrano tiene una riqueza inicial de $5.000, y va a apostar $20 a que su equipo ganará el campeonato, en tal caso recibirá un premio de $200. Armando tiene una función de utilidad del dinero logarítmica
, donde w es la riqueza final. ¿Con al menos cuanta probabilidad debe
pensar Armando que el Emelec ganará el campeonato? ¿Si el premio fuera de $400? ¿Si el premio fuera de $40? Sacar una conclusión. 4. Si un agricultor tiene una función del dinero logarítmica de
,
donde w es la riqueza final. La riqueza inicial del agricultor es $25.000, y planea comprar semillas genéticamente modificadas para resistir plagas. Los ingresos serán de $80.000 si llueve y $5.000 si no llueve. La probabilidad de lluvia es 50%, y el costo de inversión de semillas es de $20.000. Si no invierte en semillas los ingresos serán de $40.000 si llueve y $5.000 si no llueve. ¿Le interesa llevar adelante el proyecto? ¿A partir de que probabilidad de lluvia invertir es preferible a no invertir?
5. La función de utilidad de un tomador de decisiones viene dada por
−
, el tomador de decisiones tiene dos perspectivas económicas disponibles
al azar. El resultado de la primera viene denotado por X, que tiene una distribución normal con media 5 y varianza 2.esto se denotará:
(μ,
. La
segunda perspectiva denotada por Y, se distribuye será el preferido?
2.5 √ (6,
6. Si la función de utilidad de una persona viene dado por
.¿Cuál prospecto
, esta persona
tiene una riqueza igual a 10 u.m, y se enfrenta a una posible pérdida aleatoria ξ, con distribución de probabilidad uniforme en (0,10).Determinar la cantidad máxima que estaría dispuesto a pagar la persona por un seguro. 7. Una persona tiene una función de utilidad
−
, siendo ξ una variable
aleatoria de Benoulli, el decisor, está dispuesto a pagar una prima P 1 para asegurarse contra una pérdida de 1 u.m., en donde la probabilidad de pérdida es P. ¿Cuánto es la cantidad máxima que estaría dispuesto a pagar el decisor por el seguro? 8. Supongamos que la función de utilidad de una persona es
−
a. La persona está tratando de pagar una cantidad P 1 para asegurarse contra una pérdida de 1 u.m. , donde p es la probabilidad de pérdida b. La persona está tratando de pagar una cantidad P 2 para asegurarse contra una pérdida de 1 u.m. , donde(1- p) es la probabilidad de pérdida c. La persona está tratando de pagar una cantidad P 3 para asegurarse contra una pérdida de 1 u.m. , donde 0,5 es la probabilidad de pérdida Se pide indicar cuál de las siguientes expresiones es verdadera. 1. 2. 3.
1 1 2
9. Un tomador de decisiones dispone de unos recursos de 200u.m. y su función de utilidad viene dada por
, donde r es la riqueza final y enfrenta a una
pérdida aleatoria expresada de la siguiente forma:
PÉRDIDA
PROBABILIDAD 0
0,50
50
0,25
100
0,25
Se pide determinar la prima máxima que el decisor estará dispuesto a pagar para concertar el seguro que cubra la pérdida 10. Dos personas ( A y B) tienen la misma función de utilidad:
√
A dispone de 10 u.m. y se enfrenta a una pérdida aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo (0,10). B dispone de 20 u.m. y se enfrenta a una pérdida aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo (0,20) Se pide determinar: La cantidad máxima (X) que A estaría dispuesto a pagar por un seguro, y la cantidad máxima (Y) que B estaría dispuesto a pagar por un seguro. Determinar Y-X. 11. Un tomador de decisiones, tiene la siguiente función de utilidad:
0,01;<50
El tomador de decisiones podría mantener su riqueza w, con probabilidad p, o sufrir una pérdida de cantidad c, con la probabilidad de (1-p). Los valores de w, c y p se muestran en la tabla a continuación: Riqueza
Pérdida
probabilidad
10
10
0,50
20
10
0,5
Encontrar la prima máxima que el tomador de decisiones estaría dispuesto a pagar por un seguro, asuma que
≤<50.
12. Un asegurador dispone de unos recursos de 1 u.m. y una función de utilidad
−
, el asegurador pagará todo el montante de la pérdida aleatoria que
se distribuye uniformemente en el intervalo (0,1), determinar la prima mínima aceptable para esta cobertura.
CAPITULO 2 VARIABLES ALEATORIAS RELACIONADAS CON LA VIDA Y TABLAS DE MORTALIDAD
Antes de ver las variables aleatorias relacionadas con la vida y las tablas de mortalidad, haremos analizaremos algunos conceptos claves.
2.1. CLASIFICACIÓN DE LOS SEGUROS Los seguros en nuestro país pueden ser: de vida, o generales, o de personas y de daños (patrimoniales), a continuación, se muestra una tabla con la clasificación de los ramos de seguros en el mercado ecuatoriano, en el presente texto, analizaremos actuarialmente los seguros de vida. Cada ramo de seguros es diferente, desde la gestión operativa de los comerciales, hasta el cálculo de la prima que refleje el principio de equivalencia financiero- actuarial.
CONTRATO DE SEGUROS El contrato de seguros es un convenio o contrato entre dos partes: la compañía de seguros y el asegurado, en el que se establece que el asegurador se compromete a cubrir económicamente al asegurado, dentro de los límites convenidos, cuando presente un siniestro, (Robo, Incendio, Fallecimiento, etc.), durante la vigencia del contrato (Póliza). Como contrapartida el asegurado se compromete a pagar una prima al asegurador. El resarcimiento se dará siempre y cuando se cumplan las condiciones y exclusiones descritas en la póliza de seguros. Todo contrato de seguros puede estar sujeto a uno o varios riesgos.
2.2. CONCEPTOS BÁSICOS
El siniestro es la ocurrencia del riesgo Asegurado.
El contrato de seguros es por naturaleza: Bilateral, oneroso, principal, conmutativo y aleatorio
Bilateral: Obligación recíproca entre asegurado y asegurador.
Oneroso: Las partes reciben una utilidad de proteger el bien, el uno una utilidad en términos psicológicos y el otro por recibir la prima.
Principal: El contrato es principal pues no depende de otro y tiene su propia autonomía, no así en fianzas.
Conmutativo: La prima que paga quien contrata el seguro está perfectamente compensada, por la protección y tranquilidad que recibe.
Es aleatorio: se desconoce si su resultado va a presentar ganancias o pérdidas.
En nuestro país, tenemos regulación en tema de seguros, como es la ley de seguros privados y el decreto Supremo 1147, dado que el tema de este libro no es profundizar temas legales, dejamos al lector la posibilidad de averiguar estos temas.
2.3. VARIABLES ALEATORIAS RELACIONADAS CON LA VIDA En el caso de seguros de vida la variable aleatoria es la edad de muerte o fallecimiento y supervivencia. La muerte no es riesgo, porque es cierta, pero no se sabe cuándo llegará, eso es el riesgo, en donde el interés asegurable es el interés económico de los beneficiarios de la póliza de seguro de vida. Si la edad de muerte o fallecimiento medimos en años cumplidos estamos hablando de una variable discreta, no así si la edad de muerte medimos como un punto en el tiempo, en este caso será una variable continúa.
VARIABLES ALEATORIAS Estos conceptos ya se abordaron en la parte introductoria del texto, ahora haremos algunas aplicaciones a seguros.
Variable aleatoria Continua: Se asocia con una distribución de densidad f(x), puede tomar un valor en cualquier intervalo, en matemática y cálculo actuarial, la variable aleatoria es la edad de fallecimiento o supervivencia de una persona o grupo de personas. Consideremos un ejemplo en donde la edad de fallecimiento
es nuestra variable aleatoria y esta denotada por . El número de años de supervivencia de una persona es la variable aleatoria, si se sabe que la edad máxima que alcanzan las personas es de 100 años, entonces la variable
aleatoria puede tomar diferentes valores ( ) entre [0,100], en sentido práctico, que la variable aleatoria tome un valor específico como 75,8575 años es remota, por lo tanto, resulta más significativo encontrar la probabilidad de ocurrencia del evento en un
intervalo específico por ejemplo entre 0 y 30. Es decir 0< <30.
Como conclusión:
Cuando la longitud del intervalo tiende a 0, la probabilidad de que dentro de ese intervalo también tiende a 0; la probabilidad de que
tome un valor
tome un valor en
particular es 0. La probabilidad de que pertenezca a algún intervalo, no se ve afectada si uno de los dos extremos del intervalo está incluido o excluido. Ejemplo:
≤15 <15 15 <150 <15
Las probabilidades asociadas con las variables aleatorias continuas se pueden presentar gráficamente, haremos un ejemplo para ver:
2 ≤≤52<<5 2 ≤≤5 ≥0 ≤≤
Se puede hacer una gráfica mediante la función
, tal que el área bajo esta
gráfica entre las rectas =2 y =5, representa la probabilidad que asuma un valor entre 2 y 5. Esta área está definida por la integral:
Esto es la función de densidad de probabilidad de y define la distribución de , dado que las probabilidades no son negativas, entonces
,y
2.4. LEY DEL COMPLEMENTO
Antes de entrar a desarrollar cálculos de primas de seguros es necesario desarrollar algunos conceptos para usar la distribución del tiempo de supervivencia y la distribución que corresponde a las variables aleatorias
, asociada a la edad de
fallecimiento/quiebra de una recién nacido o de una empresa creada. Si x es la edad de una persona en un momento determinado, en donde x puede tomar
valores entre 0 y el límite superior de supervivencia ω.
Sea la variable aleatoria relacionada con la edad de fallecimiento/quiebra de un recién nacido o empresa recién creada. Y F(x) es la función de distribución de la variable por lo tanto:
≤; >0
,
Se resume como la función de distribución de x como la probabilidad que la variable
aleatoria tome valores menores o igual a x.
Por ejemplo: F (10)= Probabilidad que la variable aleatoria tome valores Ejemplos:
≤10
1. Plantee el siguiente ejercicio: Probabilidad de fallecimiento de un recién nacido entre 15 y 20 años.
15<≤20 20 ≤20
152015 ≤15
→−∞ →+∞ 2.5. FUNCIÓN DE SUPERVIVENCIA Siguiendo con la cadena de nuestro análisis, si F(x) es la probabilidad que la variable aleatoria tome valores menores o iguales a x, definimos función de supervivencia de la siguiente manera:
1 1≤
Que se interpreta como la probabilidad que sobreviva después de x años. Por lo tanto: X
S(x)
0
1
W
0
TABLA 4: INTERPRETACION En general:
S (0)= 1 S (1)=0
Por lo tanto
Ejemplo:
→∞
Grafique y exprese en función de distribución y en función de supervivencia, ¿cuál es la probabilidad que un recién nacido fallezca entre la edad x y y, donde y>x. En función de distribución
Es más probable que fallezca el recién nacido en Y que en x F (y)-F(x) Con función de supervivencia
Es más probable que el recién nacido cumpla x años que y años. S(x)-S (y) Por lo tanto:
Función de supervivencia: Probabilidad de sobreviva después de.
Función de Distribución: Probabilidad de fallecimiento antes de.
LEY DEL COMPLEMENTO
Ejemplos
1 3 0 9 0 13301 9 0 0 9 0 90 30
Por lo tanto:
−−
≤≤| > ≤≤ > O también:
2.6. TIEMPO FUTURO DE SUPERVIVENCIA
Sea x la edad de una persona, por lo tanto, el tiempo futuro de supervivencia de una persona de edad x es:
Es decir, el tiempo futuro de supervivencia es lo que le queda por vivir a la persona de edad x.
< <1
En el campo discreto, se denota como
, y se denomina tiempo de vida abreviado,
dicho de otra manera, presenta el número de años completos de supervivencia. En donde:
= k ph - k+1Px = k+1qx - k qx
2.7. NOMENCLATURA GENERAL
tqx =
Probabilidad que una persona de edad x fallezca dentro de t años, es decir,
la probabilidad de una persona de x años fallezca antes de la edad x+t.
≤; ≥0 >
tqx =
tPx= tPx= tPx=
Probabilidad que una persona de edad x llegue con vida t años más. )
1- tqx
t/nqx =
Probabilidad que una persona de x años sobreviva t años más y fallezca
en los n años siguientes.
<≤ ≤ ≤
t/nqx =
Es decir: t/nqx=
P(
- P(
t/nqx= t+nqx - tqx
DEDUCCIONES
1. tPx=
tPx=
tPx=
tPx=
2. tqx=
1−−−++
+ 1−++
tqx=
3.
t/nqx
+−++
t/nqx=
Demostración:
< ≤ ≤ ≤
t/nqx =
Es decir: t/nqx=
P(
t/nqx= t+nqx - tqx
- P(
Si se multiplica por
++
de tal manera que no se altera la ecuación quedará:
∗ ∗ =tPx * nqx+t
2.8. TIEMPO DE VIDA FUTURA
< ≤1 ≤1 <
En el campo discreto, denotaremos como el tiempo de vida futura, que lo llamaremos de tiempo de vida abreviado, que está expresado de la siguiente manera:
=k+1qx - k qx
O lo que es igual: k Px- k+1Px
Deducciones: k+1qx - k qx =
Si Multiplicamos por
++
−++ − +
1
quedará igual a:
1 ∗ 1 ∗ =k Px * 1qx+k
2.9. ESPERANZA DE VIDA ABREVIADA Y COMPLETA ¿Cuánto se espera de que viva una persona de edad edad x?
Sabemos que hay mucha variedad en el futuro, del colectivo de individuos de la misma edad, unos vivirán más, otros menos, por lo que podríamos calcular la vida futura total de todos los individuos dividiendo por el número de personas del grupo original, como resultado tendríamos una estimación promedio deseada. Por ejemplo: Tomemos tres personas de 60 años, suponga ue uno fallece a los 62, otro a los 72 1/4 y el tercero a los 911/4, la vida futura sería: 2+12 1/2+311/4 = 453/4 si este resultado dividimos para 3 podríamos estimar que uno de 60 60 vivirá en promedio 15,25 15,25 años más. más. Veamos otro enfoque para encontrar la vida futura total, supongamos que empezamos con lx número de personas a la edad x, después de un año habrá l x+1 sobrevivientes que han contribuido cada uno un año de vida a este total, al fin de los dos años habrá l x+2 sobrevivientes, continuando de esta manera podemos estimar el tiempo de vida futura de todos:
++ ++ ++ ⋯………………−− −− −− = ++ =
Si dividimos para tendremos:
La cantidad se conoce como la esperanza de vida abreviada a la edad x, la palabra abreviada significa reducida o truncada, ya que mide solamente los años futuros de vida sin contar la fracción del año. Siguiendo con el ejemplo anterior, y aplicando este concepto, el el tiempo de vida futuro para la segunda segunda persona será 12 años y para la tercera persona será 31 años, por lo que es necesario realizar un ajuste:
12
Esta se llama esperanza de vida completa
Hay que notar que la esperanza de vida es una función de la edad, para cada x, la esperanza de vida en esa edad da el número promedio de años futuros que x vivirá. Normalmente en los periódicos o diarios, diarios, nos mencionan mencionan que la esperanza esperanza de vida es de 75,3 años o de 78,2 años, este dato se refiere a la esperanza de vida de un recién nacido, lo cual es algo limitado ya que no nos dice cuál es la esperanza de vida de uno de 80 años.
, es decir, la esperanza del tiempo futuro de supervivencia.
Recordando que Se tiene que:
∫ ++
Por lo tanto:
= Esperanza de vida de un recién nacido = Esperanza de vida de uno de 10 años.
Podríamos estar interesados en el promedio de duración de vivida por x durante la próxima n años, siendo n una duración fija:
¨ = ++ =
Esto se conoce como la esperanza de vida temporal, es decir, nos da el número total esperado de años vividos durante los próximos n años de un grupo de personas de de edad x. De la misma manera que en la esperanza de vida completa, aquí es necesario realizar un ajuste:
1 : ∗ 2 =
2.10. MODELOS DE SUPERVIVENCIA QUIEBRA. TABLAS DE MORTALIDAD Para el trabajo del actuario, en el campo del seguro de vida el objetivo es estimar la mortalidad, a través de un patrón exhibido en un grupo de personas. Observar una generación desde el nacimiento hasta la muerte de la última persona de la generación. Mide:
Nacimientos
Número de Personas Personas fallecidas
Sexo
Edad de fallecimiento
Fumador/no fumador
Con todos estos datos construimos la tabla de mortalidad. Sea:
= Número de recién nacidos, en donde cada edad de fallecimiento tiene
asociada una probabilidad y una determinada d eterminada distribución de supervivencia.
∗ ;
La tabla terminará a una cierta edad denotada como w, tal que l w = 0
; que es la probabilidad que un recién nacido sobreviva a la edad x.
Por lo tanto:
+ + −−++ − + +−−++ −
tPx=
tqx=
t/nqx=
=
– t+nPx = tPx * nqx+t
tPx
= Número de fallecimientos en la edad x
Por lo tanto:
++ ∗ ++ ∗
En la práctica es importante separar tablas de vida masculina de la femenina, de fumador y no fumador, el lector debe ser consciente de que la elección de una tabla apropiada es una tarea importante. Hay veces que en la práctica se utiliza un método muy simple llamado múltiplos de moralidad estándar, es decir construyen muchas tablas partiendo de la estándar, Por ejemplo se podría decir que para ciertos riesgos la mortalidad es 150% de la mortalidad estándar, para lo cual se multiplica por 1,5 al qx estándar. NOTA: Ver en el único anexo del presente li bro la tabla actuarial calculada con una tasa de interés técnica del 4%.
2.11. TANTO INSTANTÁNEO Sabiendo que qx es la probabilidad anual de fallecimiento, la intensidad de fallecimiento varía en cada momento, y por lo tanto es necesario de disponer alguna forma de medir la variación instantánea, es decir:
<<Δ/ > Δ > l→im <<Δ/ Δ
Usando la función de distribución Fx y la definición de probabilidad condicional se tiene:
En donde:
l→im ΔΔ 1 l→im Δ Δ
Es la definición de la derivada de F(x) con respecto a x, la misma que es la función de densidad f(x), por lo tanto se tiene que la fuerza de mortalidad es:
´ ¨ ´ ´ 100 0 5000 0≤≤100 100 1 1 5000 5000 1000 5000 ∗100 2 − −+− − 2002 10000200 2 0022 1000200 2002 1000200
Supongamos que la edad de fallecimiento es una variable X, con función de densidad
Su función de distribución se obtiene:
tqx =
Si derivamos el numerador con respecto a t:
Y se obtiene el tanto instantáneo calculando dicha derivada en el punto t=0:
Si reemplazo para x = 25
Por lo tanto, una fuerza de mortalidad a las edad 25 de por ejemplo 0,025, quiere decir, que la probabilidad de fallecimiento temporal arranca con una pendiente de 0,025, esto es arranca creciendo 0,025 cada año. El gráfico de la Fuerza de mortalidad se muestra a continuación:
Fuerza de Mortalidad 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3
ux
0.2 0.1 0 1
6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 0 1
GRAFICO 12: FUERZA DE MORTALIDAD Si integramos entre 0 y x la fuerza de mortalidad para obtener la Función de distribución en función de
:
Resolviendo por sustitución:
Despejando dx quedará:
Por lo tanto la integral quedará:
1
1 ´ ´ ∗ ´
Sabiendo que la función de distribución es igual a la derivada de la función de distribución, la integral quedará:
Por tanto:
O lo que es lo mismo:
Por lo tanto F(x) será igual a:
Siguiendo el mismo criterio:
1 ∗ 1
10 1 0 1 1 −∫ 1 −∫ −∫ 1
tPx =
tqx =
−∫ 1 −∫
Para el cálculo en la tabla de mortalidad:
12 − +
2.12. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Sabiendo que un determinado sector Industrial se caracteriza porque: q 0 = 0,70, q1=0,30; q2=0,40; q3=1, y que el colectivo inicial está constituido por 1000 personas se pide: d0, l1,d1, l2, d2, l3, d3, l4. 2. Con un colectivo inicial de 100.000, y 60q0 = 0,2917, completar la siguiente tabla de mortalidad: X
qx
Px
60
0,02071
61
0,02276
62
0,0249
63
0,02712
64
0,02943
65
0,03189
dx
lx
Utilizando los resultados del cálculo anterior, calcular la probabilidad que una persona de 60, fallezca entre 64 y 65. 3. Explicar para x=23, porque: l 23 = d23+l24 4. Si q60=0,20, q61=0,25, q62=0,25, q63=0,30 y q 64=0,40: a. Encuentre lx para todas las edades entre 60-65, comenzando con l60=1000 b. Encuentre la probabilidad de que uno de 61 fallezca entre 62 y 64 c. Encuentre la probabilidad de que uno de 62 llegue con vida a la edad 65. d. Dado
0,80
5. Demostrar: a.
n/mqx
es igual a:
encontrar
para x entre 60 y 64.
++− =+ b.
n/mqx
= (nPx) (mqx+n), explique.
5. Se pide dar las expresiones de las siguientes probabilidades: a. Probabilidad que uno de 30 sobreviva 15 años b. Probabilidad de que uno de 30 alcance la edad 35 c. Probabilidad de que uno de 30 fallezca entere los 35 y 36 d. Probabilidad de que uno de 30 sobreviva, al menos 60 años más. 6. Si una tabla de fallecimiento viene representada por la función l x= 1000 calcular:
√ 100
,
a. Probabilidad de supervivencia desde el origen hasta los 18 b. Probabilidad de que teniendo 35, fallezca antes de los 50 7. Tenemos que 5P40=0,80, 10P45=0,60, 10P55= 0,40 encontrar la probabilidad de que uno de 40 fallezca entre 55 y 65 8. Supongamos que de un grupo de 100 personas de 70 años, 10 morirán en el primer año, 15 morirán en el segundo año y 20 en el tercero; calcular: q 70, q71, q72, 3P70. 9. Suponga que lx=100- x para x=0,1,2,3,………100. Buscar expresiones para: a.
nPx
b. nqx c. La probabilidad de que x fallezca entre x+n y x+n+k
10. Si
− 0≤≤100 1 100 0≤≤100 para
. Se pide Calcular: s(X), lx, F(x) , f(x)
11. Si la función de supervivencia de un determinado sector industrial viene dada por:
Se pide calcular el tanto instantáneo que quiebra cunado una empresa del sector lleva funcionando 25 años. 12. Calcular la probabilidad de supervivencia instantáneo de fallecimiento es:
10P10,
sabiendo que el tanto
1001 1201 0≤≤100 , , − 1 / , , 10<<40 0,1001 20≤≤25 36 − − 40<100 0≤≤80
13. Confirme que la siguiente función puede servir como función de supervivencia , mostrar la
14. Si 15. Si 16. Si 17. Si
encontrar:
,
encontrar: 19P17, 15q36, 15/13q36,
, para
, calcular 2/2q20
para
a.
,
, calcular:
40P50
18. El modo de la distribución de Si (25) fallece a los 58,6. Se pide determinar T, de (25)
19. Si l25= 1000, l28=955, q25=0,010 y P 27= 955/975. Se pide obtener el valor de q 26. 20. Si la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria viene dado
por:
, se pide calcular
20q40,
mediante el uso de
probabilidad condicionada.
21. Sabiendo que t/qx=0,10 para t=1, 2,3 ,……9. Se pide calcular 2qx+5 22. En un colectivo, se verifica que el tanto instantáneo
≤1 √ 0,84
+
es constante para
0≤
, y la probabilidad q x=0,16. Se Pide calcular el valor de t para el que tPx= .
CAPITULO 3 VALORES ACTUARIALES EN CASO DE FALLECIMIENTO Modelos Para Operaciones De Seguros De Vida
Conmutación N° 1
Por lo tanto
11
es el valor actual financiero
VALORES ACTUARIALES
3.1.VALORES ACTUARIALES DE OPERCIONES DE SEGUROS PAGADERAS AL FIN DEL AÑO DE FALLECIMIENTO. En esta sección vamos a ver operaciones de seguros que suministran un pago de una determinada cantidad al fallecimiento de un asegurado, normalmente al operar en el campo discontinuo, hacemos la hipótesis que el pago se hace al final del año de fallecimiento, cuando operamos en el campo continuo la operación se hace al momento de fallecimiento.
1. Valor actuarial de una operación de seguros, cuya prestación consiste en el pago de un capital unitario al final del año de fallecimiento, siempre que este ocurra pasado t años y dentro del año siguiente
Por lo tanto, la variable aleatoria asociada con el valor financiero actual, se define de la siguiente manera:
0……. …. . 0….+. . …1 … / +
t/1 x
Nota:
pues es al finalizar el año en el que sucedió el siniestro.
Esta operación la vamos a denotar de la siguiente manera: t/1Ax =
+
* t/qx
Nota: La expresión anterior es el valor actuarial que da una cobertura de seguros entre las edades x+t y x+t+1. Reemplazando queda:
− + *
Si multiplico y divido por
∗
*
Por lo tanto t/1Ax=
∗ Conmutación N°2 y N°3
+
Por lo tanto nuestra operación de seguros será: t/1Ax=
Ejemplos:
Suponga que una persona de 20 años le interesa comprar un seguro de vida por $100.000 si fallece entre los 40 y 41 años. Calcule la prima única, utilice una tasa de interés técnico del 4%. Solución: 20/1A20=
20/1A20 = 20/1A20=
* 100.000.
* 20/1q20 *100.000
− ∗ +% ∗100.000
Ejercicios Propuestos
Una persona de 45 años firma una póliza de vida por $80.000 si fallece entre los 50 y 51. Calcule la prima con la tabla de mortalidad.
Una persona de 33, desea contratar una póliza de vida con una suma asegurada de $150.000, en caso de fallecer entre los 35 y 36 años. Calcule la Prima, utilice una tasa de interés técnico del 3,2%.
El trabajador de una empresa, desea ir de viaje después de 1 año, el tiempo que pasará fuera del país será de 1 año, hoy tiene 29 años; desea contratar una póliza de seguros que pague $120.000 en caso de fallecer durante su estadía fuera del país. Calcule la prima. Utilice una tasa de interés técnico del 4%.
2. Valor actuarial de un capital unitario pagadero al final del año de fallecimiento de x; con que esto ocurra dentro de los n años siguientes (seguro temporal). A1x:n│
…… /. 1; 0 1 : ⊺ ….…. .…1./2/.. 122;3;2
Cuando el fallecimiento es dentro del primer año se actualiza con
; ya que el pago
se realiza al fin del período.
Esta operación de seguros la denotamos como: = A1x:n│. Que es el valor actuarial se un seguro temporal. Por lo tanto este valor actuarial es igual a:
−t/1qx ∗+ =
− t= /1Ax − = +
Conmutación N° 4
= + Dado esta nueva conmutación: Calcular:
− + 1:│ = 1 = + = +
Reemplazando con el valor de conmutación #3 queda: = A1x:t│=
−
Ejercicios:
Una Persona de 20 años desea contratar un seguro cuya suma asegurada sea de $100.000 si fallece antes de los 60, determine el valor actuarial con la tabla de mortalidad.
− ∗100.000
A120:40│=
Ejercicios Propuestos
Una persona de 28 años, desea contratar una cobertura de seguros, fija una suma asegurada de $100.000, el pago se hará a los beneficiarios siempre que
el siniestro ocurra antes de los 30 años. Calcule la prima única, utilice una tasa de interés técnico del 5%.
Mediante el uso de la tabla de mortalidad, calcular la siguiente prima: Una persona de 45 años le interesa contratar una cobertura de seguros, fija una suma asegurada de $200.000 que pague en caso de fallecimiento antes de los 65 años.
Calcular el valor actuarial para una operación de seguros cuyo pago se realiza al fin del año de fallecimiento si esto ocurre antes de los 70 años, sabiendo que la persona tiene 67 años y que la tasa de interés técnica es del 5%.
3. Valor actuarial de un capital unitario, pagadero al final del año de fallecimiento cuando sea que ocurra. Ax
Ejercicios:
∞ /1 = ∞ = +
Calcular la prima que tiene que pagar una persona de edad x=20, 30, 50, 60, 80; que pague a sus deudos en caso de fallecimiento cuando sea que ocurra. La suma asegurada de$ 100.000. Calcule la Prima con la tabla de mortalidad.
Ejercicios Propuestos:
∗100.000. ∗100.000. ∗100.000.
Una persona de 36 años quiere adquirir una cobertura de seguros que pague la suma asegurada de $200.000 en coso de fallecimiento cuando sea que ocurra. Calcule la prima única. Utilice una tasa de interés técnico del 4%.
Calcular el valor actuarial de una operación de seguros de vida entera, cuyo pago ($80.000) se realiza al fin del año de fallecimiento, sabido que la edad actual es de 45.
4.
Valor actuarial de un seguro diferido m años cuya prestación es 1 unidad monetaria al final del año de fallecimiento (seguro de vida completa). m/Ax
Dado que estamos tratando de un seguro diferido cuyo pago se hace al final del año de fallecimiento, el período entre x y x+m no existe cobertura, este período se llama período de diferimiento, la cobertura comienza desde x+m a w. En Caso de fallecimiento entre la edad x+m+1 y x+m+2, el pago se realizará entre x+m+2.
0 +
m/
/ ; /
+ ∗ : = + m/Ax=
E [m/ x]
m/Ax=
Ejercicios:
Una persona de 43, le interesa obtener una cobertura de seguros, para que pague a sus beneficiarios en caso de fallecimiento $80.000, si esto ocurre pasados los 48 años. Calcule la prima. Utilice la tabla de mortalidad.
∗80.000
5/A43=
Ejercicios Propuestos:
Una persona de 54, le interesa obtener una cobertura de seguros, para que pague a sus beneficiarios en caso de fallecimiento $86.000, si esto ocurre pasados los 60 años. Calcule la prima. Utilice la tabla de mortalidad.
Una persona de 21, le interesa obtener una cobertura de seguros, para que pague a sus beneficiarios en caso de fallecimiento $80.000, si esto ocurre pasados los 30 años. Calcule la prima. Utilice la tabla de mortalidad.
5. Valor actuarial de una operación de seguros con capital unitario, pagadero al fin del año de fallecimiento/quiebra si esto ocurre pasado m años y dentro de n años siguientes (seguro diferido y temporal). m/nAx
m/nAx =
:+ : │-
│
++ + −
m/nAx =
EJERCICIOS PROPUESTOS
Una persona de 30 años está interesada en una operación de seguros que presta los siguientes beneficios: a. $100.000 si fallece antes de los 50 años b. $100.000 si fallece entre los 50 y 80 años.
Una persona de 25 años está interesada en una operación de seguros: a. $20.000 en caso de fallecimiento a sus deudos en cualquier momento que esto ocurra b. Si fallece entre los 40 y 50 años, los deudos reciben $100.000 más
Uno de 29 le interesa un seguro que: a. $40.000 si fallece antes de los 45 b. $80.000 si fallece entre los 45 y 60 años c. $50.000 si fallece pasado los 60.
3.2.VALORES ACTUARIALES CUYO PAGO SE HACE EN EL MOMENTO DE FALLECIMIETO. Hasta el momento hemos realizado el cálculo de valores actuariales cuyo pago se realiza al fin del año de fallecimiento, este supuesto facilita mucho el cálculo porque supone el tiempo como variable aleatoria discreta, en la práctica esto no pasa, el tiempo es una variable aleatoria continua, y por lo tanto la edad de fallecimiento también lo es.
1. Seguro temporal cuyo pago se realiza en el momento de fallecimiento.
1
x:n│=
1x:n│
+
2. Seguro de vida entera cuyo pago se realiza en el momento de fallecimiento.
x
x=
+
Discretización de Campo Continuo:
Para discretizar el valor actuarial consideremos el valor actuarial de una unidad monetaria con prestación a la 1/ m-écima parte del año. Si sabemos que t/1qx = Entonces:
+ –++
(m) x
/ –+/ / +/–+/ / +/–+/ (m) x
=
*
*
*
………………………..
La expresión anterior, es el valor actuarial de un capital unitario que paga en la m-ésima parte de un año si ocurre el fallecimiento.
Si:
lx [ / ∗lx– lx 1/m / ∗lx 1/m– lx 2/m/ ∗lx 2/m– lx 3/m] lx [ / ∗lx 1/m– lx / ∗lx 2/m– lx 1/m/ ∗lx 3/m– lx2/m] lx = / +/ +−/ +/ +/ +−/ lx = / +/
Por lo tanto:
Si sacamos el límite donde m tiende al infinito:
(m) x
3. SEGURO DIFERIDO DE VIDA ENTERA. m/ x=
+
4. SEGURO DIFERIDO Y TEMPORAL m/n x=
+ + 3.3.SEGUROS VARIABLES
1. Valor actuarial de un seguro de vida temporal, creciente cuya prestación consiste en el pago de 1 unidad monetaria, si la persona fallece entre x y x+1, al final del año; 2 un5idades monetarias si fallece entre x+1 y x+2 y así sucesivamente. sucesivamente. (I )1x:n
La Variable aleatoria asociada con esta operación es:
(I )1x:n│ Dónde:
0 1 + / =,,. − −1+ // − 1 /1 = =
(I )1x:n│
(I )1x:n = E[(I )1x:n│] =
(I )1x:n =
0/1Ax +
2 1/1Ax + 3
2/1Ax
+…………………………………..+n
n-1/1Ax
O lo que es igual a:
(I )1x:n = 0/1Ax + 1/1Ax + 2/1Ax +………………………+ n-1/1Ax = 0/n Ax 1/1Ax
+ 2/1Ax +………………………+ n-1/1Ax = 1/n-1Ax
+………………….…+ n-1/1Ax = 2/n-2Ax
2/1Ax
= 0/n Ax + 1/n-1Ax + 2/n-2Ax + …………………..n-1/1Ax
Por lo tanto el valor actuarial (I )1x:n será:
− / = − + + 1 − − + + = = =
Conmutación N°5
= +
Por lo tanto el valor actuarial de un seguro variable temporal (I )1x:n es:
(I )1x:n=
−−
2. Valor actuarial de una operación de seguros variables de por vida. (i )x.
I x EII x = 1+ / = 1 /1
Por lo tanto (I )x es igual a:
(I )x= 0/1Ax+ 2 1/1Ax + 3 2/1Ax +………………………..…………..w (I )x= 0/1Ax+1/1Ax+2/1Ax +………………………..…………………w 1/1Ax
+ 2/1Ax +………………………………….….…w 2/1Ax
+………………………….…………….w
I x = /1 I x = +
Reemplazando con el valor de conmutación #5, nuestro Valor V alor actuarial (I )x será igual a:
(I )x=
3. Valor actuarial de una operación de seguros seguros creciente creciente en progresión aritmética diferido m años a w. m/(i )x
/ = 1 ∗+ ∗/ / + = = Por tanto: m/(I
)x =
4. Valor actuarial de una operación de seguros diferido m años, creciente en progresión aritmética, y temporal. m/n(i )x.577
+− m/nI x = / +− = + ++
m/n(I
− −
)x. =
Ejercicios propuestos: 1. Se considera una persona de 40 años, calcular el valor actuarial del capital de $200.000 pagadero al final del año en que acontezca el fallecimiento. a. En cualquier momento que acaezca el suceso b. Condicionado a que el suceso acaezca antes de cumplir 50 años c. Condicionado a que el suceso acaezca después de los 50 años d. Condicionado a que el suceso acaezca entre los 60 y 64 años (5 puntos) 2. Una persona de 28 años le interesa contratar un plan de seguros que le proporcione los siguientes beneficios: a. En caso de fallecimiento, a sus beneficiarios, la suma asegurada de $80.000, siempre que esto suceda desde los 33 a los 40 años, en progresión aritmética de 20000 por año, comenzando con una suma de $80.000. b. En caso de fallecimiento en los 5 primeros años de vigencia del contrato se devuelve la prima pagada sin intereses. Calcular la prima única. 3. Juan tiene la edad de 36 años, contrata un seguro de $50.000 pagadero al fin del año de fallecimiento si esto ocurre después de trascurridos 15 años. Y Si el fallecimiento ocurre durante los 7 primeros años, la suma asegurada será de 35.000, cuyo pago se hará al fin de los 7 años. (5 Puntos) 4. Una operación de seguros temporal por 10 años a favor de x (edad actual), proporciona las siguientes prestaciones al fallecimiento/quiebra, pagaderas al fin del año en que acaezca el suceso , expresar en valores de conmutación (3 Puntos)
Año de Fallecimiento 1 2 3 4 5
Prestación por fallecimiento 8 8 7 6 6
Año de Fallecimiento 6 7 8 9 10
Prestación por fallecimiento 5 5 4 2 2
5. Calcular el Valor actuarial para una persona de 25 años que desea una cobertura de seguros con las siguientes prestaciones: a. En caso de fallecimiento durante los 5 primeros años de vigencia del contrato, se devolverá la prima pagada
b. Desde los 30 a los 65 un seguro creciente en progresión aritmética de 2000 por año; comenzando con una suma de 10.000 si el fallecimiento ocurre entre 30 y 31. c. Pasados los 65 años la suma asegurada será de 40.000 (7 Puntos) 6. Una persona de edad 54 desea un seguro de vida, para lo cual fija una suma asegurada de $180.000 pagadero al fin del año de fallecimiento /quiebra, siempre que el suceso acaezca antes de los 58, para resolver tomar en cuenta que la tasa de interés técnica es de 4% y los datos que proporciona la siguiente tabla de mortalidad: X (edad actual) 53 54 55 56 57 58 59
lx ( número de sobrevivientes a la edad x) 1000 990 973 950 922 890 855
dx (número de fallecidos a la edad x) 10 17 23 28 32 35
Calcule el valor de la Prima Pura que deberá pagar la persona de 54 años para tener cobertura en caso de fallecimiento. 13. Una persona de edad 25, desea contratar el siguiente plan de seguros:
-
En caso de que el fallecimiento esté entre 25 y 26, se fija una suma asegurada de $3000. En caso de que el fallecimiento esté entre 26 y 27, se fija una suma asegurada de $5000. En caso de que el fallecimiento esté entre 27 y 28, se fija una suma asegurada de $7000, año en el cual se extingue el beneficio. Utilice la tasa de interés técnica del 5% y sabiendo que: d25=30, d26=34, d27=40, d28 = 50 y que el número de sobrevivientes a la edad 25 es de 1000 personas. Calcular el valor de la prima única para la operación de seguros variables.
CAPITULO 4 4.1.
VALOR ACTUARIAL DE PRESTACIONES EN CASO DE SUPERVIVIENCIA . nEx
El símbolo nEx expresa el valor actuarial de un capital unitario pagadero transcurridos n años, con la condición que x sobreviva a la edad x+n. nEx = nEx =
∗
n Px
Ejemplos: Para la resolución de los siguientes ejercicios, utilice la tabla de mortalidad.
Una persona de 65 años desea contratar una póliza que pague $100.000 en caso de que llegue con vida a los 70. Calcular la prima.
A una persona de 45 años e interesa un seguro de vida, que pague a sus beneficiarios $50.000 en caso de fallecimiento cuando sea que ocurra. Además, si sobreviviere a los 70, se le paga una suma de $5.000, si sobrevive a los 71, $10.000 y así sucesivamente hasta los 75 años.
4.2. RENTAS VITALICIAS Se llaman rentas vitalicias porque su pago está sujeto a la supervivencia de la persona o grupo de personas, en este apartado a diferencia del anterior, el siniestro viene dado por supervivencia. Vamos a ver dos tipos de rentas Vitalicias: Anticipadas y Vencidas
4.2.1. RENTAS VITALICIAS ANTICIPADAS 1. Valor actuarial de una renta vitalicia anual unitaria, anticipada, temporal
por n años. äx:n│.
äx:n= 1+ 1Ex +2Ex +3Ex +4Ex +5Ex +…………………………….. +n-1Ex
− = − = Conmutación # 6
= Reemplazando con el valor de conmutación: äx:n = Ejercicios:
−+
Calcular el valor actuarial de una renta vitalicia anticipada de $4000 para una persona de 36 años de edad, la renta se pagará por 20 años. Una persona de edad 40 desea contratar un plan de seguros y rentas vitalicias especificado de la siguiente manera: a. En caso de fallecimiento durante los primeros 10 años se pagará a los beneficiarios de la póliza la suma de $50.000 b. Rentas anuales anticipadas de $12.000, por 10 años. Calcular el valor actuarial.
2. Valor actuarial de una renta vitalicia anual unitaria, anticipada, de vida completa. äx.
A diferencia del Valor Actuarial anterior, la cobertura de esta va de x (edad actual) a w (límite superior de supervivencia).
äx.=
= =
Siendo así y aplicando el valor de conmutación #6 (Nx) el valor actuarial será: äx= Ejercicios:
Calcular el valor actuarial de una renta vitalicia anticipada de $5000 anuales para una persona de 65 años. La cobertura es hasta el fallecimiento. Una persona de edad 35 desea firmar una póliza de seguros con las siguientes coberturas: a. Un seguro de vida creciente en progresión aritmética, con cobertura desde hoy hasta la edad 50, comenzando con una suma de $20.000 creciendo $5000 por período. b. Una renta anticipada de $10.000, mientras viva. Desde hoy hasta el fallecimiento.
Calcule el valor de la prima única
3. Valor actuarial de una renta vitalicia anual unitaria, anticipada, diferida, de vida completa. m/äx.
m/äx.=
= Por complemento: La diferencia de los valores actuariales de la renta vitalicia anticipada de vida entera menos la renta vitalicia anticipada temporal. m/äx.=
äx - äx:n .
m/äx.=
+
Ejercicios
Calcular el valor actuarial de una renta vitalicia anticipada de $6000 anuales para una persona de edad 40. Según las condiciones establecidas es el contrato, la renta comenzará a recibir desde la edad 65.
Un empleado tiene derecho a jubilarse una vez cumplido 25 años de trabajo en el mismo lugar. El Señor Carlos lleva trabajando 12 años. La edad de Carlos es 38 años, los cálculos establecen que cundo llegue a los 25 años de trabajo tendrá derecho a recibir una renta de $3000 anuales. El empleador quiere contratar una empresa administradora de fondos y pensiones, para que le cobre hoy una prima
única de tal manera que cuando el empleado llegue a la edad de jubilación, la empresa administradora de fondos le pague al empleado. Calcular el valor que tendrá que pagar el empleador el día de hoy.
4. Valor actuarial de una renta vitalicia anual unitaria, anticipada, diferida, y temporal. m/näx.
Por complemento:
– m+n/äx.
m/näx= m/äx.
m/näx=
Ejercicios:
+−++
Una persona de x años le interesa contratar un plan de jubilación que le paga: $12.000 anuales desde los 65 años, determine el valor actuarial de la operación si: x=20, x=30 y x=50. Una persona de 30 años le interesa una operación de seguros que le paga $100.000 si fallece antes de los 70, de lo contrario, le paga $5.000 anuales mientras viva. Una persona de 22 años le interesa un plan de seguros que le proporciona el pago de $80.000 si fallece antes de los 65 años y rentas anuales de $3.000 desde los 65 hasta los 75, y desde los 76 en adelante las rentas serán de $6.000. Uno de 20 años, le interesa un seguro que paga $20.000si esto ocurre cuando sea, adicionalmente se devuelve la prima pagada más intereses si fallece durante los 5 primeros años de vigencia del contrato. Una persona de 23 años, está interesado en una operación de seguros que proporciona rentas de $5.000 anuales desde los 65 a los 80 años. Pasado esta edad, rentas de $10.000 anuales, si fallece durante los 10 primeros años de vigencia del contrato, se devuelve a los beneficiarios la prima pagada.
4.2.2. RENTAS VITALICIAS VENCIDAS 1. Valor actuarial de una renta vitalicia anual unitaria, vencida, de vida completa. ax. Como es una renta vencida, el pago se realizará en x+1, mientras siga con vida.
Esta operación de seguros es a x.
ax= 1Ex + 2Ex + 3Ex+………………………………………….w Dónde:
Por lo tanto:
∗ = = = + ax=
2. Valor actuarial de una renta vitalicia anual unitaria, vencida, temporal n años. ax:n.
ax:n= 1Ex + 2Ex + 3Ex +………………………..nEx
= = +−++ ax:n=
3. Valor actuarial de una renta vitalicia anual unitaria, vencida, diferida, de vida completa. m/ax.
Siguiendo el mismo procedimiento que los anteriores, este valor actuarial será: m/ax.=
++
4. Valor actuarial de una renta vitalicia anual unitaria, vencida, diferida, temporal. m/nax.
Dónde: m/nax= Ejemplos:
++ −+++
Una persona de 25 años le interesa una operación de seguros que consiste en el pago de $20.000 si fallece entre los 25 y 26, $25.000 entre los 26 y 27, $30.000 si es entre los 27 y 28 y así hasta los $100.000, valor que permanece constante hasta los 70, Año para el cuál se extingue el beneficio; en caso de seguir con vida, empieza a recibir rentas anuales de $10.000 de por vida. Una persona de 30 desea contratar un plan de seguros que: Pague $50.000 si sobrevive hasta los 40, $100.000 si sobrevive a los 60 y pagos anuales de $12.000 desde los 72 de por vida. Una persona de 45 años le interesa un seguro de vida por $50.000 en caso de siniestro cuando sea que ocurra, además, si sobrevive a los 70, se le paga $5.000; si sobrevive a los 71, $10.000; si sobrevive a los 72, $15.000, y así hasta los 75 años.
4.3. RENTAS VARIABLES ANTICIPADAS 1. Renta variable anticipada variable de vida completa (iä) x
(Iä)x = oEx + 2 1Ex + 3 2Ex + 4 3Ex +…………..………………………w
= oEx + 1Ex + 2Ex + 3Ex +…………………………………………....0/äx 1Ex
+ 2Ex + 3Ex +…………………………………………....1/äx 2Ex
+ 3Ex +…………………………….……………....2/äx
Por lo tanto (Iä) x será igual a:
/ä = =
Conmutación #7
= Aplicando el valor de conmutación # 7, el valor actuarial de una renta vitalicia anticipada variable de por vida será:
(Iä)x = 2.
Renta variable, anticipada, diferida, de vida completa m/iäx
m/Iäx = mEx +
2m+1Ex + 3m+2Ex + ……………………………………………….w
/ä = = + m/Iäx =
3.
Renta variable, anticipada, temporal. iä x:n
Iäx:n = 0Ex + 2 1Ex + 3 2Ex + ……………………………………………….n n-1Ex = 0Ex + 1Ex + 2Ex +……………………………………… 1 Ex
n-1Ex = 0/n-1äx
+ 2Ex +……………………………………… n-1Ex = 1/n-1äx 2Ex
+……………………………………… n-1Ex = 2/n-1äx
Por lo tanto el valor actuarial de una renta vitalicia anticipada temporal (Iä x:n), será igual a:
−/ ä − = =+−+−+ Iäx:n =
4. Renta variable, anticipada, diferida y temporal. m/niäx
m/nIäx =
+−++ −++
4.4. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Uno de 26 años le interesa un plan de jubilación que empiece ganando $5.000 a los 65 años, $7.000 a los 66, $9.000 a los 67 y así mientras viva. 2.
Una persona de 29 años le interesa una operación de seguros que consiste en: Un seguro de vida que paga $80.000 si esto ocurre antes de los 60 años, si sobrevive a los 40 años, recibe $50.000 además se tiene un plan de jubilación con una renta de $800 mensual anticipado desde los 68 años en adelante. Adicional a esto una bonificación de $1000 semestral anticipada, desde los 70 años, y un pago anual adicional anticipado de $2000 desde los 75 años
3.
Una persona de 26 años le interesa un plan de jubilación qu empieza pagando $5000 a los 65, $7000 a los 66, $9000 a los 67 y así sucesivamente mientras viva.
4.5. VALORES ACTUARIALES DE RENTAS VITALICIAS FRACCIONADAS Hasta ahora, hemos supuesto que las rentas vitalicias se pagan cada año de manera anticipada o vencida, en la práctica estas se pagan en períodos inferiores a un año: mensual, trimestral o semestral. En el caso de la pensión por jubilación, por ejemplo, es una renta vitalicia anticipada cuya frecuencia de pago es mensual.
4.5.1.RENTAS VITALICIAS FRACCIONADAS VENCIDAS
En la práctica, las rentas de supervivencia frecuentemente se pagan mensualmente, trimestralmente, semestralmente, etc.
1. Valor actuarial de una renta vitalicia de 1 unidad monetaria por año pagadera por entregas de al final de cada m – ésimo de año mientras sobreviva la persona de edad x. a x (m).
ax(m) = (1/mEx + 2/mEx +3/mEx +4/mEx +………+1Ex + 1+1/mEx + ………….n+t/mEx)
/ = = / ∗ / = / / =
Tomando el valor aproximado: n+t/mEx = nEx +
(n+1Ex – nEx)
A manera de ejemplo: 10,7Ex = 10Ex +
0,70 ( 11Ex - 10Ex)
Entonces se tiene:
m nEx +
+
nt/mEx 1 = =
( n+1Ex – nEx)
− + nEx +
n+1Ex
Entonces:
Por lo tanto a x(m) será igual a:
/ = ä = + ( )
2. Valor actuarial de una renta vitalicia de 1 unidad monetaria por año pagadera por entregas de al final de cada m – ésimo de año, Diferida, mientras sobreviva la persona de edad x. n/ax(m)
n/ax(m) = nEx * a(m)x+n = nEx
n/ax(m) = n/ax +
−
+ −
nEx
3. Valor actuarial de una renta vitalicia de 1 unidad monetaria por año pagadera por entregas de al final de cada m – ésimo de año, temporal, mientras sobreviva la persona de edad x. a (m)x:n Se lo puede calcular con la diferencia entre el de vida entera y el diferido de vida entera.
a(m)x:n = ax(m) - n/ax(m)
4. Valor actuarial de una renta vitalicia de 1 unidad monetaria por año pagadera por entregas de al final de cada m – ésimo de año, diferida y temporal, mientras sobreviva la persona de edad x. n/max(m)
Se lo puede calcular con la diferencia entre dos rentas fraccionadas temporales. n/k ax(m) = a(m)x:n+k - a(m)x:n
4.5.2.RENTAS VITALICIAS FRACCIONADAS ANTICIPADAS 1. Valor actuarial de una renta vitalicia de 1 unidad monetaria por año pagadera por entregas de al inicio de cada m – ésimo de año mientras sobreviva la persona de edad x. ä x (m).
Será igual a:
En valores de conmutación:
= / ∗ ä −
äx (m)=
2. Valor actuarial de una renta vitalicia de 1 unidad monetaria por año pagadera por entregas de al inicio de cada m – ésimo de año, diferida, mientras sobreviva la persona de edad x. k/äx (m).
k/äx (m) =
−
3. Valor actuarial de una renta vitalicia de 1 unidad monetaria por año pagadera por entregas de al inicio de cada m – ésimo de año, temporal, mientras sobreviva la persona de edad x. ä (m)x:n.
ä(m)x:n=
−− −+
4. Valor actuarial de una renta vitalicia de 1 unidad monetaria por año pagadera por entregas de al inicio de cada m – ésimo de año, diferida y temporal, mientras sobreviva la persona de edad x. k/näx (m).
+−++− +−++
k/näx (m)
4.6.EJRCICIOS PROPUESTOS 1. Una persona de 30 años le interesa un plan de jubilación que le pague $1000 mensual desde los 65 años, determine la prima. 2. Una persona de 25 años le interesa un plan de jubilación que paga $1000 mensual desde los 65 años, y este valor se irá incrementando $200 una vez a l año.
CAPITULO 5 VALORES ACTUARIALES A PRIMAS NETAS Si la pérdida del asegurador es
como la variable aleatoria asociada al valor financiero
actual de las prestaciones a pagar por el asegurador menos la Variable aleatoria asociada al valor financiero actual de las primas a pagar por el asegurado. Por lo tanto, el principio de equivalencia actuarial visto en el primera parte de este texto, se expresa:
0 0
Es decir, la pérdida esperada del asegurador es 0.
Siguiendo con la nomenclatura expuesta al inicio del presente texto:
Dónde:
está asociada al valor financiero actual de las prestaciones previstas a cargo
del asegurador. Mientras que el pago de la prima puede acordarse al momento de la firma del contrato de seguros (póliza) hacerlo una vez al inicio. En tal caso diremos que la póliza está liberada mediante el pago de una prima única. Cuando el pago de la prima no se efectúa una sola vez ( prima única) sino se realizan pagos anuales, a estos pagos se les llama primas netas, representado por la letra Px. Si la frecuencia de pagos fuera menor a un año denotaremos como P (m), siendo m el número de períodos en los que se ha fraccionado el año. Se considera que los pagos que hace el asegurado a la compañía de seguros son anticipados (pues para que el asegurador comience a asumir riegos es necesario pagar una prima), mientras que el pago que realiza el asegura es vencido (pago al fin del año de fallecimiento).
Hasta este punto hemos calculado el valor de prima única, pero en la práctica no pasa eso, los aseguradores cobran primas anuales, mensuales, trimestrales, semestrales, etc. Por tal motivo veremos en esta sección como calcularlas.
5.1.VALOR ACTUARIAL DE PRIMAS NETAS DE SEGUROS DE VIDA Para un seguro de vida completa A x , sea Px el pago anual mientras sobreviva, por lo tanto el valor actuarial de esta prima neta es:
ä ä ;ä: : ; ä:: ; ; ä: ; ä: ; D+− +
Para un seguro temporal quedaría:
Para un valor actuarial de supervivencia:
1
= nEx
1
1
=
=
Para un seguro mixto: Seguro de vida temporal y valor actuarial en caso de supervivencia:
D+ ; M−M++ − + =
5.2.PRIMAS FRACCIONADAS
Cuando el asegurado hace pagos m veces al año, si m=12, la prima es mensual, si m=2, se dice que el pago de la prima es semestral, etc. Estas primas fraccionadas pueden ser de dos tipos: a. Prima fraccionada con carácter liberatorio: El asegurador no descuenta de la indemnización las primas fraccionadas no pagadas el resto del año de fallecimiento. b. Prima fraccionada sin carácter liberatorio: El asegurador descuenta de la indemnización las primas fraccionadas no pagadas durante el resto del año de fallecimiento. Nota: En este libro nos enfocaremos en la primera clasificación. Prima fraccionada con carácter liberatorio: a. De vida entera:
b. Temporal:
ä ä :ä: : : ä: : : 12 : ä:: : 12
En valores de conmutación:
c. Temporal y de supervivencia (mixto)
En Valores de conmutación:
NOTA ADICIONAL
RESERVAS TÉCNICAS DE SEGUROS Las reservas técnicas, se deben reflejar en el balance de las compañías de seguros y reaseguros en el pasivo, y servirán para atender a las contingencias derivadas de los contratos de seguros que emitan, así como de desviación en la siniestralidad. Constituir estas reservas es de carácter obligatorio para toda compañía de seguros y reaseguros establecida en el Ecuador. En el mercado ecuatoriano la ley pide a las compañías de seguros y reaseguros establecer reservas de: a. Reserva de riesgos en Curso b. Reservas por insuficiencia de primas c. Reserva para siniestro pendientes avisados d. Reserva para siniestro ocurridos y no reportados e. Reservas Matemáticas f. Reservas relacionadas a los contratos de seguros de vida g. Reservas de desviación de siniestralidad. Toda compañía de seguros y reaseguros para otorgar una cobertura debe estar en la capacidad financiera afrontar las pérdidas potenciales mientras dure la vigencia de la póliza de seguros emitida. Es importante distinguir entre dos tipos de siniestros: a. Siniestro reportado y están en proceso de ajuste y liquidación, b. Siniestros ocurridos, pero no reportados Los costos de los siniestros son reconocidos cuando ocurren, en consecuencia, la reserva técnica de obligaciones pendientes debe incluir: a. Los Costos de siniestros reportados y están el proceso de liquidación. b. Una estimación de los costos siniestros ocurridos, pero no reportados. Esta reserva será constituida por cada siniestro. Para el cálculo de la reserva de siniestros avisados, será necesario sumar:
Total de reclamaciones reportadas y parcialmente pagadas, el total de reclamaciones incurridas, pero no suficientemente reportadas y gastos derivados al pago de siniestros. Para establecer esta reserva la compañía de seguros deberá conocer la ocurrencia del siniestro. Para el cálculo de reservas de siniestros ocurridos y no reportados se tomará en cuenta: Estimación de siniestro ocurridos y no reportados, no se tomará para el cálculo los montos de recupero y salvamento.
5.3.Ejercicios Propuestos: 1. Determinar en símbolos de conmutación la prima anual neta pagadera cada 4 meses durante 20 años que proporciona una renta diferido de $15 mensuales, correspondientes a una empresa que lleva funcionando 30 años y cuyo primer pago se realiza al fin de los 50 años.
CAPÍTILO 6 SEGUROS SOCIALES Y COLECTIVOS (SISTEMA DE REPARTO Y CAPITALIZACIÓN) Hasta este momento nos hemos enfocado en el cáculo de los valores actuariales de seguros y rentas vitalicias individuales, recordemos que su valor actuarial debe guardar el principio de equivalencia, que viene dado por: , Recargo Seguridad
Π = P + Pe +c
Constante de Gastos
Riesgo puro (prima pura) En los seguros sociales y colectivos se mantiene este mismo principio, el cual es este caso lo llamaremos principio de equivalencia colectiva, que hace referencia a mantener un equilibrio entre las aportaciones y las aportaciones. Aportaciones = Prestaciones Bajo este principio de equivalencia colectiva podemos considerar 3 aspectos: 1. El colectivo: Grupos demográficos abiertos con cierta estructura 2. Equidad: En ocasiones se responde a un principio social más que individual, por ejemplo, aquellos que estén próximos a jubilarse necesitarán aportaciones del colectivo, ya que con sus aportaciones no llegan a cubrir sus derechos reconocidos por ley. 3. Salario: Tanto aportaciones como prestaciones se calculan en base al salario Hay ciertas diferencias entre los seguros sociales y los individuales: a. En cuanto al ámbito de protección , el seguro social va destinado a proteger aquellas personas económicamente débiles b. Los seguros sociales son obligatorios c. Las primas son pagadas en cierta proporción por el empleador d. Los seguros sociales Trata de comprender a toda la población
e. En los seguros sociales se pretende una mayor solidaridad f. La administración de los seguros sociales son de carácter público
6.1. Aspectos Importantes de Naturaleza Económica Existen aspectos importantes a la hora de valorar actuarialmente los seguros sociales y colectivos, a continuación los detallamos:
a. Aspectos Demográficos
En el gráfico anterior, se puede ver 3 gráficos, de distribución de la población, en donde en el eje vertical tenemos el número de personas y en eje horizontal las edades. El primer grafico corresponde a la población de 1950, el segundo gráfico a la población del año 2010 y el tercer gráfico a la población (proyectada) del 2050. El eje vertical está dividido en 3 partes: entre 0-A (Edad de subsidio familiar), A-B (Edad de trabajo) en donde se generan las aportaciones del sistema y mayor que B (edad jubilación) en donde los jubilados reciben sus rentas. A Medida que avanzamos en el tiempo, la estructura de la población va cambiando, la población envejece, cada vez hay menos nacidos, mientras que cada vez hay más personas adultas y adultos mayores. Un aspecto que habrá que tener en cuenta en el tiempo a través de un análisis demográfico dinámico son las migraciones entre grupos de edades, es decir, las personas hace 5 años estuvieron en edad de subsidio familiar hoy estarán en edad de trabajo y en el futuro estarán en edades de jubilación.
Aquí surge la pregunta: ¿si el sistema es solidario qué efectos tendrá en el sistema los cambios demográficos?, para responder a esa pregunta nos remitimos a la siguiente fórmula
¿Cuántos aportantes hay por cada jubilado?
La sostenibilidad del sistema se discutirá en párrafos posteriores. Por el momento mostraremos datos demográficos del Ecuador (Pirámide poblacional), realizado por el Instituto Nacional de estadísticas y Censos: Pirámide poblacional año 2005
Pirámide poblacional año 2020
Pirámide poblacional año 2060
Como podemos observar pasamos de una pirámide triangular (población joven) a una pirámide más estacionaria y posterior (año 2060) a una pirámide regresiva (envejecimiento de la población)
b. PIB (Real ) Cuando hay una caida en el PIB real, ha una contracción de la economia, caen los niveles de empleo por lo tanto el nivel de aportaciones baja el nivel de producción del país, afectando al empleo y al financiamiento de las aportaciones y al sistema de pensiones. Sin lugar a dudas los recursos de la seguridad social provienen de la renta nacional, a mayor renta, habrá generalmente una mayor propensión marginal al ahorro, por lo que los objetivos de la seguridad social estarán en parte cubiertos, Los países con bajo nivel de renta normalmente presentan problemas con el financiamiento del seguro social, en estos casos se debería utilizar un sistema de prima escalonada .
c. Inflación El objetivo en este caso es permitir que el ahorro de A-B sea lo suficientemente grande para financiar el consumo pasado B. Como vimos anteriormente, el carácter de los seguros sociales es más redistributivo y solidario, pero el análisis del efecto redistributivo debe analizarse conjuntamente con el estudio de la financiación y la normativa de prestaciones ya que ambas pueden potenciar o contrarrestar dichos efectos redistributivos. Por ejemplo, vemos que las aportaciones patronales son fácilmente transferibles a los precios de los productos, en donde los que sostienen la carga son los consumidores, de esta manera aminorando el efecto redistributivo d las prestaciones.}
En este punto es necesario discutir un efecto importante llamado de “doble incidencia” , cuando aumentan la cuantía de las aportaciones, aumentan los precios (ya que aumentan los costos de producción o de salarios), con lo que disminuye el poder de compra de los consumidores, en el corto plazo esto contribuirá a que estos pidan aumentos salariales, con tribuyendo así a una pirámide inflacionaria. Si el estado subvenciona a la seguridad social, su contribución al proceso redistributivo es más amplia, ya que se tratan de fondos que provienen de todos los contribuyentes
aportantes o no), es decir, si la financiación al seguro social se hace con cargo a impuestos, es decir mediante política fiscal progresiva, los efectos serán favorables para el sector laboral.
6.2.Previsión social 1. Pensión que recibe de Seguridad Social (Salarios, años de aportaciones, coeficiente de edad) 2. Ahorro individual 3. Jubilación Patronal
6.3.Tipos de Sistemas 6.3.1. Sistema de Reparto Las aportaciones actuales son destinadas a los jubilados actuales “Solidaridad Intergeneracional”, es decir, repartir año a año todas las cargas o prestaciones que produce el colectivo entre los cotizantes o aportantes. El principal riesgo de este sistema es el “demográfico”, se basa en solidaridad intergeneracional
Las personas que aportan, reúnen todos sus aportes en un fondo (A´), y a su vez este se reparte a las personas en edad de jubilación.
Este sistemas se enfrenta al “PROBLEMA DE LA ULTIMA GENERACIÓN”, quienes luego de n años la última generación será quien aporte para los jubilados y para ellos mismo pues ya no existe quien les aporte, es decir deberán generar un ahorro individual.
Este sistema se caracteriza por ser de Beneficio Definido: El beneficio del aportante esta previamente definido, Ley se seguridad social, código de trabajo. A continuación demostramos como se forma el equilibrio financiero-actuarial en un sistema de reparto puro. Si x+ r es la edad en la que un individuo comienza a recibir las prestaciones, consideremos un grupo demográfico cuya estructura es la siguiente:
Sistema de Reparto Edad
Número Aportantes
Salario Medio
X
Lx
Wx
x+1
lx+1
wx+1
x+2
lx+2
wx+2
…. ….
…. ….
…. ….
x+r-1
lx+r-1
wx+r-1
x+r
lx+r
wx+r
Supuestos:
Estructura demográfica permanece constante (Estacionariedad)
Pensión de jubilación permanece constante ( Ø wx+r)
Prestaciones
Ø wx+r * lx+r
Aportaciones
+− 1∗ = w
Salario Nominal
Equivalencia Colectiva
1 + ∗ + 1 ℎ ℎℎ
Donde C1 es la cuota de aportación ara el primer año.
+ ∗+ 1 ∑1 ℎ ℎ ℎ
La ecuación anterior nos muestra la cuota de aportación para la cual se forma el equilibrio financiero-Actuarial
AÑO2 Prestaciones
Aportaciones
Equilibrio
+ ∗ + + ∗ ++ + ∗ + + ∗ + + + ∗ +1+ 1 2 ℎ ℎℎ 1 + ∗ +1 +2 ℎ ℎℎ
La cuota para el segundo año es:
∗=1 2 ∑+− Generalizando: En un año k las prestaciones, aportaciones y la ecuación de equilibrio será: Prestaciones
+ ∗ +1 + 2+ ⋯. . 1+
Aportaciones
+− =ℎ∗ℎ
∗ 1 ∑12ℎ∗ℎ ⋯. . 1
Como los numeradores son crecientes, las fracciones anuales de los salarios destinadas a
las aportaciones también son crecientes, es decir, C1
+ 2+ ⋯. . 1+ + En donde
+
es la esperanza de vida abreviada, por lo tanto nuestra ecuación de
equilibrio quedaría:
1 ∗∑1∗ ℎ∗ℎ ´ 1 + 2 ⋯. . 1 ¨ 1 ∗ 1∑1ℎ∗ℎ 1 ∗ ¨ 1∑1 ∗ℎ∗ℎ
Sin embargo la pensión de jubilación no es constante, supongamos que en el años k , entonces la prima o cuota de dicha anualidad será es :
Donde Ck es la prima calculada con pensión constante. En consecuencia en un sistema de reparto puro simple, las primas varían en la misma proporción que las prestaciones, la variación conjunta de la pensión de jubilación y de los salarios de los aportantes tiene el siguiente efecto:
ó ó: 1 : ℎ∗1 ´1´ ∗ 1 ´´ ∑1ℎ∗ 1ℎ 1
La nueva prima equilibrio
En donde:
será:
1 1 1 1 1 1
En donde:
Ahora romperemos e supuesto inicial de estructura demográfica estable en el tiempo, ya que normalmente se produce una caída del número de aportantes, la viabilidad del sistema se basa en la existencia de una realimentación adecuada del colectivo mediante la entrada de nuevos miembros, deseablemente jóvenes que permitan financiar las prestaciones reconocidas por los pasivos. En conclusión un sistema de reparto simple puro tiene las siguientes características: a. b. c. d.
No acumula recursos Su aplicación práctica exige obligatoriedad en la afiliación Sistema muy sensible a cambios demográficos El sistema se basa en una transferencia de recursos intergeneracional de aportantes a pensionistas.
6.3.2. SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN
Yo ahorro para mí mismo”. Después de n años se paga el fondo que se ha ahorrado, sirviendo para mi jubilación. Ahorro individual, el principal riesgo de este sistema es el riesgo de mercado con las tasas de interés.
Depende del capital, interés, tiempo
Riesgo principal en este sistema, riesgo de inversión, relacionado con las tasas de interés.
Se hace uso de los instrumentos de renta fija, los cuales son altamente sensibles a la tasa de interés.
Se presenta el problema de la “PRIMERA GENERACIÓN”
Aportación definida : Riesgo asume el empleado/aportante. Los beneficios dependen de la inversión. (De como haya resultado esta inversión) En capitalización individual, la ecuación de equivalencia entre primas y prestaciones se establece persona apersona, mientras que en una capitalización colectiva la ecuación de equivalencia se establece para todo el colectivo (grupo homogéneo, por ejemplo personas de una misma categoría profesional). Dado que el colectivo está compuesto por personas cuyas edades son X 1, X2, X3……….Xh las ecuaciones de equivalencia individuales será:
P1 * ax1:xr-x1= R 1 * xr-x1Ex1* axr P2 * ax2:xr-x2= R 2 * xr-x2Ex2* axr P3 * ax3:xr-x3= R 3 * xr-x3Ex3* axr Si sumamos los tres equilibrios tendremos generalizando:
Ph * axh:xr-xh= R h * xr-xhExh* axr En Donde: R h = Renta anual de jubilación Xr = Edad de retiro Ph = Prima o cuota constante En un sistema de capitalización colectiva la ecuación quedaría:
= :− = ∑ =∑ = :−
ANEXOS
ANEXO 1 TABLA DE MORTALIDAD (PET 85-86) x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
lx 100.000 99.106 99.027 98.980 98.943 98.911 98.883 98.856 98.830 98.806 98.784 98.762 98.739 98.717 98.692 98.662 98.623 98.577 98.523 98.460 98.393 98.321 98.245
dx 894 79 47 37 32 28 27 26 24 22 22 23 22 25 30 39 46 54 63 67 72 76 79
px 0,99106 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9997 0,9997 0,9996 0,9995 0,9995 0,9994 0,9993 0,9993 0,9992 0,9992
qx 0,0089 0,0007971 0,0005 0,00037 0,0003234 0,0002831 0,0003 0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003 0,0004 0,0005 0,0005 0,0006394 0,000680 0,0007318 0,0007730 0,0008
μx 0,0049 0,000636 0,00042431 0,0003487 0,00030329685 0,000278 0,000268 0,000253 0,0002 0,0002 0,0002 0,000228 0,0002 0,0003 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0007 0,0008 0,0008
S(x) 1,00000 0,99106 0,99027 0,98980 0,98943 0,98911 0,98883 0,98856 0,98830 0,98806 0,98784 0,98762 0,98739 0,98717 0,98692 0,98662 0,98623 0,98577 0,98523 0,98460 0,98393 0,98321 0,98245
F(x) 0,00000 0,00894 0,00973 0,01020 0,01057 0,01089 0,01117 0,01144 0,01170 0,01194 0,01216 0,01238 0,01261 0,01283 0,01308 0,01338 0,01377 0,01423 0,01477 0,01540 0,01607 0,01679 0,01755
Tx 7.701.333 7.601.780 7.502.714 7.403.710 7.304.749 7.205.822 7.106.925 7.008.055 6.909.212 6.810.394 6.711.599 6.612.826 6.514.076 6.415.348 6.316.643 6.217.966 6.119.324 6.020.724 5.922.174 5.823.682 5.725.256 5.626.899 5.528.616
76,01 75,70 74,76 73,79 72,82 71,85 70,87 69,89 68,90 67,92 66,94 65,95 64,97 63,98 63,00 62,02 61,04 60,07 59,10 58,14 57,18 56,22 55,26
ex0 76,5133 76,1990 75,2594 74,2949 73,3225 72,3461 71,3664 70,3858 69,4041 68,4209 67,4360 66,4509 65,4663 64,4808 63,4970 62,5161 61,5406 60,5691 59,6021 58,6399 57,6795 56,7213 55,7648
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
98.166 98.089 98.009 97.927 97.847 97.770 97.693 97.613 97.532 97.450 97.363 97.272 97.174 97.068 96.951 96.828 96.699 96.562 96.411 96.240 96.051 95.866 95.659 95.418 95.169 94.915 94.598 94.242
77 80 82 80 77 77 80 81 82 87 91 98 106 117 123 129 137 151 171 189 185 207 241 249 254 317 356 371
0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9991 0,9991 0,9990 0,9989 0,9988 0,9987 0,9987 0,9986 0,9984 0,9982 0,9980 0,9981 0,9978 0,9975 0,9974 0,9973 0,9967 0,9962 0,9961
0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0009 0,0009 0,0010 0,0011 0,0012 0,0013 0,0013 0,0014 0,0016 0,0018 0,0020 0,0019 0,0022 0,0025 0,0026 0,0027 0,0033 0,0038 0,0039
0,0008 0,0008 0,000826 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0009 0,0009 0,0010 0,0010 0,0011 0,0012 0,0013 0,0014 0,0015 0,0017 0,0019 0,0019 0,0020 0,0023 0,0026 0,0026 0,0030 0,0036 0,0039
0,98166 0,98089 0,98009 0,97927 0,97847 0,97770 0,97693 0,97613 0,97532 0,97450 0,97363 0,97272 0,97174 0,97068 0,96951 0,96828 0,96699 0,96562 0,96411 0,96240 0,96051 0,95866 0,95659 0,95418 0,95169 0,94915 0,94598 0,94242
0,01834 0,01911 0,01991 0,02073 0,02153 0,02230 0,02307 0,02387 0,02468 0,02550 0,02637 0,02728 0,02826 0,02932 0,03049 0,03172 0,03301 0,03438 0,03589 0,03760 0,03949 0,04134 0,04341 0,04582 0,04831 0,05085 0,05402 0,05758
5.430.410 5.332.283 5.234.234 5.136.266 5.038.379 4.940.570 4.842.839 4.745.186 4.647.613 4.550.122 4.452.716 4.355.398 4.258.175 4.161.054 4.064.045 3.967.155 3.870.392 3.773.761 3.677.275 3.580.949 3.484.804 3.388.845 3.293.083 3.197.544 3.102.251 3.007.209 2.912.452 2.818.032
54,31 53,35 52,40 51,44 50,48 49,52 48,56 47,60 46,64 45,68 44,72 43,76 42,81 41,85 40,90 39,95 39,01 38,06 37,12 36,19 35,26 34,33 33,40 32,49 31,57 30,66 29,76 28,87
54,8093 53,8519 52,8955 51,9394 50,9814 50,0212 49,0602 48,1000 47,1395 46,1788 45,2196 44,2614 43,3056 42,3523 41,4028 40,4548 39,5081 38,5634 37,6230 36,6890 35,7602 34,8282 33,9025 32,9869 32,0719 31,1564 30,2591 29,3715
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
93.871 93.480 93.044 92.566 92.048 91.493 90.885 90.230 89.513 88.730 87.871 86.949 85.941 84.854 83.668 82.416 81.093 79.675 78.113 76.434 74.598 72.606 70.455 68.144 65.625 62.911 59.990 56.991
391 436 478 518 555 608 655 717 783 859 922 1.008 1.087 1.186 1.252 1.323 1.418 1.562 1.679 1.836 1.992 2.151 2.311 2.519 2.714 2.921 2.999 3.323
0,9958 0,9953 0,9949 0,9944 0,9940 0,9934 0,9928 0,9921 0,9913 0,9903 0,9895 0,9884 0,9874 0,9860 0,9850 0,9839 0,9825 0,9804 0,9785 0,9760 0,9733 0,9704 0,9672 0,9630 0,9586 0,9536 0,9500 0,9417
0,0042 0,0047 0,0051 0,0056 0,0060 0,0066 0,0072 0,0079 0,0087 0,0097 0,0105 0,0116 0,0126 0,0140 0,0150 0,0161 0,0175 0,0196 0,0215 0,0240 0,0267 0,0296 0,0328 0,0370 0,0414 0,0464 0,0500 0,0583
0,0041 0,0044 0,004913 0,0054 0,0058 0,0064 0,0070 0,0076 0,0084 0,0093 0,0101 0,0111 0,0122 0,0134 0,0146 0,0156 0,0169 0,0187 0,02076 0,0230 0,0257 0,0286 0,0317 0,0355 0,03995 0,04489 0,0494 0,05568
0,93871 0,93480 0,93044 0,92566 0,92048 0,91493 0,90885 0,90230 0,89513 0,88730 0,87871 0,86949 0,85941 0,84854 0,83668 0,82416 0,81093 0,79675 0,78113 0,76434 0,74598 0,72606 0,70455 0,68144 0,65625 0,62911 0,59990 0,56991
0,06129 0,06520 0,06956 0,07434 0,07952 0,08507 0,09115 0,09770 0,10487 0,11270 0,12129 0,13051 0,14059 0,15146 0,16332 0,17584 0,18907 0,20325 0,21887 0,23566 0,25402 0,27394 0,29545 0,31856 0,34375 0,37089 0,40010 0,43009
2.723.976 2.630.300 2.537.038 2.444.233 2.351.926 2.260.156 2.168.967 2.078.409 1.988.538 1.899.416 1.811.116 1.723.706 1.637.261 1.551.863 1.467.602 1.384.560 1.302.806 1.222.422 1.143.528 1.066.254 990.738 917.136 845.606 776.306 709.422 645.154 583.703 525.213
27,99 27,10 26,23 25,37 24,51 23,66 22,81 21,98 21,16 20,34 19,54 18,75 17,97 17,20 16,44 15,69 14,95 14,22 13,50 12,80 12,11 11,44 10,79 10,16 9,55 8,96 8,40 7,84
28,4856 27,6027 26,7297 25,8651 25,0079 24,1566 23,3148 22,4804 21,6565 20,8432 20,0421 19,2493 18,4692 17,6994 16,9432 16,1930 15,4490 14,7150 13,9993 13,2958 12,6108 11,9430 11,2924 10,6584 10,0483 9,4602 8,8965 8,3384
79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
53.668 50.235 46.363 42.908 39.090 35.264 31.378 27.507 23.857 20.509 17.153 13.994 11.213 9.055 7.247 5.663 4.259 3.039 2.028 1.247 695 345
3.433 0,9360 3.872 0,9229 3.455 0,9255 3.818 0,9110 3.826 0,9021 3.886 0,8898 3.871 0,8766 3.650 0,8673 3.348 0,8597 3.356 0,8364 3.159 0,8158 2.781 0,8013 2.158 0,8075 1.808 0,8003 1.584 0,7814 1.404 0,7521 1.220 0,7135 1.011 0,6673 781 0,6149 552 0,5573 350 0,4964 345 0,0000
0,0640 0,0771 0,0745 0,0890 0,0979 0,1102 0,1234 0,1327 0,1403 0,1636 0,1842 0,1987 0,1925 0,1997 0,2186 0,2479 0,2865 0,3327 0,3851 0,4427 0,5036 1,0000
0,06309 0,0732 0,0788 0,0853 0,0981 0,1099 0,1242 0,1370 0,1468 0,1650 0,1911 0,2125 0,2177 0,2182 0,2347 0,2658 0,3112 0,3710 0,4454 0,5354 0,6425
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0,46332 0,49765 0,53637 0,57092 0,60910 0,64736 0,68622 0,72493 0,76143 0,79491 0,82847 0,86006 0,88787 0,90945 0,92753 0,94337 0,95741 0,96961 0,97972 0,98753 0,99305 0,99655
469.883 417.932 369.633 324.997 283.998 246.821 213.500 184.058 158.376 136.193 117.362 101.788 89.185 79.051 70.900 64.445 59.484 55.835 53.301 51.664 50.693 50.173
7,32 6,82 6,39 5,91 5,49 5,08 4,71 4,37 4,04 3,70 3,43 3,20 2,99 2,71 2,38 2,05 1,73 1,42 1,13 0,83 0,50
7,8237 7,3242 6,8941 6,4090 5,9861 5,5814 5,2107 4,8736 4,5427 4,2027 3,9271 3,7007 3,4946 3,2082 2,8839 2,5507 2,2267 1,9199 1,6277 1,3340 0,9964
SÍMBOLOS DE CONMUTACIÓN AL 4% (PET 85-86) x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Dx 100.000,0000 95.294,2308 91.556,0281 87.992,8596 84.576,8911 81.297,6321 78.148,6712 75.122,4353 72.214,1130 69.419,7850 66.734,9309 64.153,9120 61.672,0881 59.286,8721 56.992,1709 54.783,5064 52.655,6260 50.606,7945 48.633,7234 46.733,2931 44.905,2808 43.146,5586 41.455,0070
Cx 859,6154 73,0399 41,7828 31,6278 26,3017 22,1288 20,5178 18,9979 16,8621 14,8624 14,2908 14,3657 13,2126 14,4369 16,6579 20,8224 23,6152 26,6559 29,9025 30,5779 31,5960 32,0686 32,0524
Mx 6.760,9468 5.901,3314 5.828,2914 5.786,5086 5.754,8809 5.728,5792 5.706,4504 5.685,9326 5.666,9347 5.650,0726 5.635,2102 5.620,9194 5.606,5537 5.593,3410 5.578,9041 5.562,2462 5.541,4238 5.517,8086 5.491,1527 5.461,2502 5.430,6723 5.399,0763 5.367,0077
Nx 2.424.215,3840 2.324.215,3840 2.228.921,1532 2.137.365,1251 2.049.372,2655 1.964.795,3744 1.883.497,7424 1.805.349,0711 1.730.226,6358 1.658.012,5228 1.588.592,7378 1.521.857,8070 1.457.703,8950 1.396.031,8069 1.336.744,9349 1.279.752,7640 1.224.969,2576 1.172.313,6316 1.121.706,8372 1.073.073,1138 1.026.339,8207 981.434,5399 938.287,9813
Rx 377.485,6135 370.724,6667 364.823,3353 358.995,0439 353.208,5353 347.453,6544 341.725,0752 336.018,6248 330.332,6922 324.665,7575 319.015,6850 313.380,4748 307.759,5554 302.153,0018 296.559,6607 290.980,7566 285.418,5104 279.877,0866 274.359,2780 268.868,1252 263.406,8750 257.976,2027 252.577,1264
Sx 53.214.974,0327 50.790.758,6487 48.466.543,2648 46.237.622,1116 44.100.256,9865 42.050.884,7210 40.086.089,3465 38.202.591,6042 36.397.242,5330 34.667.015,8973 33.009.003,3744 31.420.410,6366 29.898.552,8296 28.440.848,9346 27.044.817,1277 25.708.072,1928 24.428.319,4288 23.203.350,1712 22.031.036,5396 20.909.329,7024 19.836.256,5886 18.809.916,7679 17.828.482,2279
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
39.828,5312 38.266,6253 36.764,8227 35.321,2145 33.934,9609 32.604,0924 31.325,3987 30.095,9101 28.914,3619 27.778,8963 26.686,6310 25.636,2389 24.625,3950 23.652,4355 22.715,3137 21.813,9377 20.946,9960 20.112,8067 19.308,9953 18.533,4113 17.785,5910 17.068,5912 16.376,6689 15.707,1251 15.063,5925 14.445,5661 13.843,5773 13.261,0383
30,0394 30,0093 29,5765 27,7453 25,6778 24,6902 24,6655 24,0133 23,3748 23,8462 23,9832 24,8347 25,8289 27,4127 27,7101 27,9441 28,5356 30,2420 32,9303 34,9968 32,9386 35,4381 39,6719 39,4124 38,6575 46,3901 50,0937 50,1965
5.334,9553 5.304,9159 5.274,9066 5.245,3301 5.217,5848 5.191,9070 5.167,2168 5.142,5513 5.118,5381 5.095,1633 5.071,3171 5.047,3339 5.022,4992 4.996,6703 4.969,2575 4.941,5474 4.913,6034 4.885,0678 4.854,8258 4.821,8955 4.786,8987 4.753,9601 4.718,5221 4.678,8501 4.639,4378 4.600,7803 4.554,3902 4.504,2965
896.832,9744 857.004,4431 818.737,8178 781.972,9952 746.651,7807 712.716,8197 680.112,7273 648.787,3287 618.691,4186 589.777,0567 561.998,1604 535.311,5295 509.675,2906 485.049,8957 461.397,4602 438.682,1465 416.868,2088 395.921,2128 375.808,4060 356.499,4108 337.965,9995 320.180,4085 303.111,8172 286.735,1484 271.028,0233 255.964,4308 241.518,8647 227.675,2874
247.210,1187 241.875,1634 236.570,2475 231.295,3409 226.050,0108 220.832,4260 215.640,5191 210.473,3022 205.330,7509 200.212,2128 195.117,0495 190.045,7324 184.998,3985 179.975,8994 174.979,2291 170.009,9715 165.068,4241 160.154,8207 155.269,7529 150.414,9271 145.593,0316 140.806,1329 136.052,1728 131.333,6507 126.654,8006 122.015,3628 117.414,5825 112.860,1924
16.890.194,2466 15.993.361,2722 15.136.356,8291 14.317.619,0113 13.535.646,0161 12.788.994,2354 12.076.277,4157 11.396.164,6884 10.747.377,3597 10.128.685,9411 9.538.908,8844 8.976.910,7240 8.441.599,1945 7.931.923,9039 7.446.874,0082 6.985.476,5481 6.546.794,4016 6.129.926,1928 5.734.004,9801 5.358.196,5740 5.001.697,1633 4.663.731,1638 4.343.550,7554 4.040.438,9381 3.753.703,7898 3.482.675,7665 3.226.711,3357 2.985.192,4710
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79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
2.421,4840 2.179,4116 1.934,0649 1.721,0934 1.507,6430 1.307,7691 1.118,9004 943,1397 786,5300 650,1456 522,8449 410,1487 316,0006 245,3699 188,8242 141,8772 102,5984 70,3931 45,1683 26,7054 14,3115 6,8310
148,9384 161,5232 138,5844 147,2546 141,8876 138,5699 132,7260 120,3351 106,1333 102,2951 92,5868 78,3731 58,4769 47,1083 39,6845 33,8220 28,2592 22,5173 16,7257 11,3668 6,9300 6,5683
1.780,6665 1.631,7281 1.470,2049 1.331,6206 1.184,3660 1.042,4784 903,9085 771,1825 650,8474 544,7141 442,4190 349,8322 271,4591 212,9822 165,8739 126,1893 92,3673 64,1081 41,5908 24,8651 13,4983 6,5683
16.661,2551 14.239,7710 12.060,3594 10.126,2945 8.405,2011 6.897,5581 5.589,7890 4.470,8886 3.527,7489 2.741,2188 2.091,0732 1.568,2283 1.158,0796 842,0790 596,7091 407,8849 266,0077 163,4093 93,0162 47,8479 21,1425 6,8310
13.123,4707 11.342,8042 9.711,0761 8.240,8711 6.909,2506 5.724,8845 4.682,4061 3.778,4977 3.007,3152 2.356,4678 1.811,7537 1.369,3346 1.019,5024 748,0433 535,0611 369,1872 242,9979 150,6306 86,5225 44,9317 20,0666 6,5683
91.982,3933 75.321,1383 61.081,3672 49.021,0078 38.894,7133 30.489,5122 23.591,9541 18.002,1652 13.531,2765 10.003,5277 7.262,3088 5.171,2356 3.603,0073 2.444,9276 1.602,8486 1.006,1395 598,2546 332,2469 168,8376 75,8214 27,9735 6,8310
GRAFICOS
lx 120,000
100,000
80,000
60,000
lx
40,000
20,000
1
4
7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 9 9 9 0 1
dx 4,500
4,000
3,500
3,000
2,500 dx
2,000
1,500
1,000
500
1
4
7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 9 9 9 0 1
qx 1.200000
1.000000
0.800000
0.600000
qx
0.400000
0.200000
1
4
7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 9 9 9 0 1
FUERZA DE MORTALIDAD 0.700000
0.600000
0.500000 d a d i l a 0.400000 t r o M e d a 0.300000 z r e u F
0.200000
0.100000
1
4
7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97
ANEXO 2 DEDUCCIONES ESTADISTICAS Experimento de Bernoulli Cuando el espacio muestral contiene 2 posibles valores: éxito y fracaso, es decir, un experimento que haya dos posibilidades es un experimento de Bernoulli. Denotemos como: P(E)= Probabilidad de éxito = P P(F)= Probabilidad de fracaso (1-P) Definimos a la variable aleatoria X como el número de éxitos observados. Entonces: La probabilidad del evento X=0 será la probabilidad de fracaso P(x=0)= P (F) = (1-P) La probabilidad del evento X=1 será la probabilidad de éxito P(x=1)= P( E) = P
Con estos conceptos la distribución de Bernoulli será:
− 0 1 1 0∗ 0 1∗1 1 0 0 1 1 1 ∗1 ; X=0,1
En donde x toma valores de 0 o 1, por lo tanto:
La media de una distribución de Bernoulli:
La varianza de una distribución de Bernoulli:
Para Calcular la varianza es necesario calcular
Varianza =
Entonces en la distribución de Bernoulli la media es igual a P, y la varianza es igual a P(1-P). Ejemplo:
0, 7 0,7∗0,300,21 0 1 0 1 1
Si =
calcular la varianza:
La función generadora de momentos de la Bernoulli será:
Experimento Binomial Se repite el experimento de Bernoulli n veces, siendo n fijo tal que: i. Las repeticiones son independientes entre si ii. La probabilidad de éxito se mantiene constante para todas las repeticiones iii. La probabilidad de éxito se mantiene constante para todas las repeticiones iv. Sea x la variable aleatoria número de éxitos en n repeticiones.
ῼ ……, ……, ……. ,
Sea F = fracaso y E= Éxito
¿Cuántos elementos tiene este espacio muestral? = 2 n
0…….
La probabilidad para X=0 es que todas tengan fracaso. Si la probabilidad de éxito se mantiene constante entonces la probabilidad de fracaso también. Por lo tanto: Por lo tanto la probabilidad para que salga el primer fracaso es (1-P), la probabilidad para que salga el segundo fracaso es (1-P), y así sucesivamente. Por lo tanto para P(X=0) tendré:
0 1 ∗ 1 ∗ 1 …. . , 1 1
Siendo así, la probabilidad de fracaso es
Ahora ¿cuál es la probabilidad de P(X=1)
1 1−
Hay n posibilidades de éxito y el n-1 se debe a que para observar un éxito hay n-1 fracaso, es decir, el éxito puede estar en el primer experimento, en el segundo en el tercero, hasta el n. Ahora ¿cuál es la probabilidad de P(X=2) ¿Cuántos éxitos hay? 2, por lo tanto tengo p 2 ¿Cuántos fracasos? (1-p) n-2 ¿De cuántas maneras diferentes van a estar distribuidos los dos éxitos y n fracasos? Para responder a esta pregunta supongamos n =5
ῼ ,,,,,…………. 2 2 21− ; 0,1,2,3………. 1− 1 1− = = −
Se calcula mediante combinaciones:
Por lo tanto
Generalizando tengo la distribución binomial:
En toda función de distribución la suma de las probabilidades es 1, Probemos con la distribución binomial.
Utilizando el criterio del binomio de Newton que dice:
Quedaría:
Media y varianza de una distribución Binomial Media:
− ∗ ∗ 1 = =
En este punto requerimos la función generadora de momentos, en donde la derivada de la función generadora de momentos en t =0 nos dará el valor esperado. Y la segunda deriva de la función generadora de momentos en t=0 nos dará la varianza.
Se reordena la expresión:
= ∗ = ∗1− = 1−
Aplicando el binomio de Newton tendremos la función generadora de momentos de una distribución binomial.
Por tanto:
1 1 ´ 1− ∗ ´0 1−− ∗0 1 ∗ ´´ 1
Con la función generadora de momentos saquemos la media:
Si evaluamos cuando t = 0
Por lo tanto la media de una distribución binomial es:
Si sacamos la segunda derivada de la función generadora de momentos y la evaluamos en t=0, tendremos la varianza.
Distribución Uniforme
1
Tiene forma rectangular, y queda definida por valores mínimos y máximos, por ejemplo posee un valor mínimo a y un máximo b, la altura de la distribución es constante o uniforme para todos los valores entre a y b.
Por lo tanto:
~, 1 0 ∈ ,
Cuando su función de densidad esté dado por:
Es decir, los valores que puede tomar esta variable aleatoria debe estar entre a y b. La función de densidad es:
≤−
Esta integral produce los siguientes valores:
0 << ≤ 1 ≥
Gráficamente la función de distribución vine dada por:
Demostración de la función Generatriz de Momentos de una Distribución Normal
con parámetros μ y
La función generadora de momentos de una normal es:
Demostración:
+
Si la función d densidad de una variable aleatoria Distribuida normalmente es:
Si:
Reemplazando:
− 1 − √ 2 + − + − 1 − − √ 2 + − 1 − √ 2 − + 1 √ 2 − − − + − +− 1 √ 2 −
+ − + 1 − √ 2 − + + − 1 − √ 2 − + 1 − √ 2 − ∗[+−] 2 2 1√ 2 − −+ −∗−+−+ 1√ 2 ++− −+ −−+ 1√ 2 + −+ −−√ + √ 2 √ 2 √ 2 1√ 2 + −+− √ 2
Si al exponente, sumamos y restamos la expresión alteramos la expresión, es decir:
de tal manera que no
Queda un trinomio cuadrado perfecto, es decir:
Por lo tanto ahora sustituimos
por
Quedaría:
Para resolver la integral procedemos a hacer cambio de variables:
Al ser una función par se puede poner dos veces la integral de 0 a infinito:
