LIBRO CEPRU A.pdf

PRESENTACIÓN

En una sociedad cada vez más competitiva, necesitamos formar a los nuevos ciudadanos de manera integral, en este contexto, el proceso educativo es un evento de singular importancia en el que la sinergia de profesores y estudiantes es fundamental, siendo vital el uso de material educativo. El Centro de Estudios Preuniversitario de la Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco, con la finalidad de contribuir con sus estudiantes, ha convocado a sus profesores para elaborar un texto que permita facilitar a los estudiantes el aprendizaje de los conocimientos, que son exigidos para su acceso a la Educación Superior. Tenemos la firme convicción de que el material presentado contribuirá en la preparación de los estudiantes en su propósito de acceder a su profesionalización. El personal Directivo, Docente y Administrativo del CEPRU-UNSAAC expresa su felicitación a los estudiantes, que a través de nuestra institución han logrado ingresar a la Tricentenaria UNSAAC, y compromete sus mayores esfuerzos para que nuestros estudiantes logren prepararse adecuadamente para que en futuro próximo inmediato sean distinguidos antonianos.

EL DIRECTOR

II

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC

CEPRU

AUTORIDADES -UNSAAC: RECTOR

Dr. Germán Zecenarro Madueño

VICE RECTOR ACADÉMICO

Dr. Pompeyo Cosio Cuentas

VICERRECTORA DE INVESTIGACIÓN

Dra. Gladys Georgina Concha Flores

DIRECTORIO -CEPRU: DIRECTOR

MSc. Víctor Ayma Giraldo

COORD. ACADÉMICO

MSc. Luis F. Medina Suyo

COORD. ADMINISTRATIVO

Dr. Renné Wilfredo Pérez Villafuerte

COORD. DE CONTROL Y SEGUIMIENTO

Ing. Pablo Apaza Huanca

DOCENTES COORDINADORES -ASIGNATURAS GRUPO A: COMPETENCIA LINGÜÍSTICA

Mg. Roxssana Elvira Arredondo García

ARITMÉTICA

Lic. Mario Palomino Lezama

ÁLGEBRA

Dra. Paulina Taco Llave

GEOMETRÍA – TRIGONOMETRÍA

Mg. Leonardo Corahua Salcedo

FÍSICA

Lic. Jonny Tello Yarin

QUÍMICA

Lic. Zulma Virginia Lara Díaz Del Olmo

ECOLOGÍA Y MEDIO AMBIENTE

MSc. Violeta Zamalloa Acurio

PERSONAL ADMINISTRATIVO: Lic. Lourdes Arredondo Zárate CPC. Manuel Román Arenas Prof. Américo Farfán Portocarrero DIAGRAMACIÓN: Ing. Dany Jorge Cañihua Florez Ing. Paola Ly Triveño Ramos EQUIPO DE IMPRESIONES-CEPRU: Tec. Wilder Mora Carrillo

Sr. Genaro Anaya Álvarez

Sr. Pedro Checya Bonifacio

Sr. Wilbert Gamero Handa

Sra. Justina León Barrientos

Sra. Elisea Garay Castillo

JEFATURA DEL TÓPICO-CEPRU: Lic. Rosa Farfán Aller

Ciudad Universitaria de Perayoc, Av. de la Cultura 733, Cusco. Se prohíbe la reproducción total o parcial del presente material educativo.

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC

ASIGNATURA

COMPETENCIA LINGÜÍSTICA

CUSCO – PERÚ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC CEPRU

ÍNDICE COMPETENCIA LINGÜÍSTICA

TEMA Nº 1.- EL LENGUAJE HUMANO ..........................................................................................................Pág. 03 TEMA Nº 2.- LA FONOLOGÍA ........................................................................................................................Pág. 08 TEMA Nº 3.- LA FONÉTICA .............................................................................................................................Pág. 12 TEMA Nº 4.- LA SÍLABA .................................................................................................................................Pág. 16 TEMA Nº 5.- EL ACENTO ...............................................................................................................................Pág. 21 TEMA Nº 6.- LOS SIGNOS DE PUNTUACIÓN ...............................................................................................Pág. 25 TEMA Nº 7.- EL SUSTANTIVO ........................................................................................................................Pág. 30 TEMA Nº 8.- EL PRONOMBRE ......................................................................................................................Pág. 35

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TEMA Nº 9.- EL VERBO ..................................................................................................................................Pág. 40 TEMA Nº10.- EL ADJETIVO ...........................................................................................................................Pág. 46 TEMA Nº 11.- EL ARTÍCULO ........................................................................................................................Pág. 51 TEMA Nº 12.- LOS CONECTORES LÓGICOS ............................................................................................Pág. 57 TEMA Nº 13.- LA SINTAXIS ............................................................................................................................Pág. 64 TEMA Nº 14.- LA ORACIÓN GRAMATICAL ................................................................................................Pág. 68 TEMA Nº 15.- EL TEXTO ..................................................................................................................................Pág. 72 TEMA Nº 16.- LA LECTURA ............................................................................................................................Pág. 80

COMPETENCIA LINGÜÍSTICA |3

EL LENGUAJE HUMANO Facultad exclusivamente humana la cual posibilita simbolizar y expresar lo que se piensa, siente, etc.

CARACTERÍSTICAS

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Universal Racional Aprendido Multiforme Convencional Simbólico Sistemático Cultural

PLANOS DEL LENGUAJE

VARIACIONES LINGÜÍSTICAS

1. Lengua

1. Dialecto

2. Habla

2. Sociolecto 3. Idiolecto

EL LENGUAJE CIENTÍFICO

CARACTERÍSTICAS

1. Precisión 2. Objetividad o neutralidad 3. Universalidad 4. Concisión 5. Claridad

FORMAS

1. 2. 3. 4.

Informe científico Monografía Artículo científico Ensayo

NIVELES

1. Léxicosemántico 2. Morfosintáctico 3. Estilístico

FUENTE: Elaboración propia.

1.1. EL LENGUAJE HUMANO El lenguaje es:  La lingüística, que es el estudio científico del lenguaje humano, lo define como la facultad que los hombres tenemos de poder comunicarnos; y para esto, a lo largo de la historia, los seres humanos hemos ido desarrollando diferentes sistemas tanto lingüísticos como no lingüísticos; lo que hace que el lenguaje presente muchísimas manifestaciones distintas en las diversas comunidades: las lenguas o idiomas son las más comunes, pero también están otras que varían según el código y el canal que se esté utilizando;1 así, podemos tener un lenguaje auditivo, uno visual, uno táctil, uno olfativo, uno de las banderas; a los que añadiríamos, el mímico de los sordomudos, el código morse, el de los ciegos o sistema braille, el de las flores, etc.2  Una facultad exclusivamente humana la cual posibilita simbolizar y expresar lo que se piensa, siente, etc.  Cualquier sistema o código (palabras, representaciones gráficas, luces, colores, íconos, banderines, indicios, gestos, símbolos, etc.) que el hombre en general utiliza para expresar sus pensamientos, sentimientos, necesidades, conocimientos, proyectos, intereses, etc.  Un método exclusivamente humano y no instintivo, de comunicar ideas, emociones, deseos por medio de un sistema de símbolos producidos de manera deliberada. Estos símbolos son ante todo auditivos y producidos por los órganos del habla.3  Descartes, sobre el lenguaje, dice: “El Lenguaje es privativo del ser humano al igual que el pensamiento y constituye un medio para expresarse libremente y para responder en forma adecuada a nuevas situaciones”.  Un instrumento, herramienta o medio (lingüístico o no lingüístico) de comunicación entre los hombres. 4  Un sistema de comunicación mediante el cual los individuos de una misma comunidad nos relacionamos y entendemos.5 Ya lo dijo Saussure, el lenguaje es “heteróclito y multiforme”, 52, 53. Si bien el lenguaje se compone de lengua y habla (Saussure), no podemos decir “lenguaje español” ni “lenguaje francés”, sino lengua española y lengua francesa, respectivamente. 3 Edward Sapir, El Lenguaje- Introducción al estudio del habla (México: Fondo de Cultura Económica, 1974) ,10-31. 4 Mauricio Swadesh, El Lenguaje y la vida humana, 14-16. 5 Margarita E. LLambias Lozano, Comunicación I (Lima-Perú: Ediciones Jurídicas), 47. 1

2

4

| CEPRU2015  Una facultad propiamente humana que permite la comunicación. Así mismo, es un fenómeno no instintivo, complejo, multiforme, heterogéneo, físico, fisiológico, psíquico individual y social al mismo tiempo. 6 NOTA: Solo el lenguaje articulado o hablado: oral y escrito, constituyen el objeto de estudio de la lingüística.

1.2. CARACTERÍSTICAS A. UNIVERSAL: Porque todos los seres humanos lo utilizan en su interrelación, lo que significa que los habitantes de todos los continentes de nuestro planeta poseen y utilizan el lenguaje para comunicarse. B. MULTIFORME: Porque el lenguaje se manifiesta de muchas maneras o formas (diversas clases de lenguaje). por ejemplo de forma oral, escrita, gestual, cromática, musical, icónica, etc. C. RACIONAL: Puesto que hacemos uso de nuestra inteligencia y de la razón o raciocinio para comunicarnos. Los hombres construimos y transmitimos los mensajes utilizando el razonamiento. D. APRENDIDO: Puesto que constituye un legado cultural y se adquiere en la sociedad a través de la experiencia. E. CONVENCIONAL: Quiere decir que el lenguaje no es producto individual, por el contrario es el resultado del trabajo comunitario o grupal y para ello es necesario que los integrantes de dichos grupos se pongan de acuerdo o realicen convenios o pactos. F. SISTEMÁTICO: El lenguaje funciona de acuerdo a ciertas normas o reglas que contribuyen a la producción de mensajes de forma ordenada. En el caso del lenguaje oral y escrito tienen una gramática que lo sistematiza. G. CULTURAL: En sentido amplio, cultura es todo aquello que el hombre ha creado tanto en el plano material como en el inmaterial. En consecuencia el lenguaje es una creación humana y con él se puede seguir generando más cultura en todos los ámbitos. H. SIMBÓLICO: El lenguaje es representativo, quiere decir que una palabra, sea oral o escrita, representa o significa algo. 1.3. PLANOS DEL LENGUAJE A. LA LENGUA  Es el sistema convencional de signos orales, sonidos articulados o palabras que posee una comunidad lingüística para hacer posible la comunicación entre sus integrantes.  Es un código constituido por signos lingüísticos (palabras) y por reglas gramaticales, cuyo conocimiento comparten los hablantes que en ella se expresan oralmente o por escrito.  Es un conjunto de signos convencionales adoptados por los miembros de un grupo social para ejercitar con ellos la facultad universal del lenguaje.  La LENGUA no es más que una determinada parte del lenguaje aunque esencial. Es a la vez un producto social de la facultad del Lenguaje y un conjunto de convenciones necesarias adoptadas por el cuerpo social para permitir el ejercicio de esa facultad en los individuos.7 NOTA: La lengua presenta básicamente cuatro niveles: fonológico, morfológico, semántico y sintáctico. B. EL HABLA  Es el uso oral e individual que cada persona hace de su lengua. En su caracterización intervienen la edad, el sexo, el estado de ánimo, la ocupación y tantos otros factores porque por ejemplo hay diferencias y de hecho se puede distinguir el habla de un varón, de una mujer, de un adulto, de un niño, de un sano, de un enfermo, etc.  No existe lengua sin habla ni viceversa, pues están unidos íntimamente. Recordemos que lengua y habla son dos planos del lenguaje articulado.  Es un acto individual de voluntad e inteligencia, utiliza el código de la lengua para expresar su pensamiento personal. Saussure concluye: “El habla es la que hace evolucionar a la lengua las impresiones recibidas y habla oyendo a los demás, son las que modifican nuestros hábitos lingüísticos. Hay interdependencia de lengua y habla, aquella es a la vez el instrumento y el producto de esta”. 1.4. DIFERENCIAS ENTRE LENGUA Y HABLA8 LENGUA Sistema. Porque organizada.

es

estructurada

HABLA y

debidamente

Realización. Viene a ser la materialización de la lengua o del sistema a través de la articulación.

Código. Conjunto de elementos que se combinan siguiendo ciertas reglas para dar a conocer algo. Social o colectiva. Utilizada en una comunidad lingüística, un país o un conjunto de ellos.

Utilización. Hablar es hacer uso del código o sistema de signos. Individual. Cada persona utiliza una lengua de manera propia. Es un sello particular que posee cada individuo al pronunciar. Fisiológica y física. Cuando hablamos entra en funcionamiento nuestro aparato fonador.

Psíquica, mental o ideal. Pues se halla en las estructuras mentales de los usuarios. Más o menos fija. Conserva sus estructuras fundamentales, a pesar de que por naturaleza cada lengua es evolutiva, cambiante o diacrónica. Perdurable. Porque las lenguas se transmiten de generación en generación proporcionándole duración o larga vida. Latente. Porque aparentemente está inactiva, se halla en forma de conocimiento (teoría) a nivel mental.

Libre. Las personas hablamos de manera espontánea, voluntaria y de acuerdo a nuestras necesidades, intereses, gustos, proyectos, etc. Momentánea. Efímera, pues la cadena sonora se percibe únicamente al momento de la pronunciación. Patente. Porque es perceptible, audible, observable (práctica) a nivel concreto o de pronunciación.

1.5. LAS VARIACIONES LINGÜÍSTICAS La variación de una lengua se manifiesta a través del habla, ya que la lengua como sistema es homogénea, y más bien la variación se evidencia en la forma cómo cada hablante la usa o realiza. Se produce por diversos factores que a continuación estudiaremos. a) EL DIALECTO. Se denomina también variación diatópica, en este caso la lengua varía en el eje horizontal, por factores regionales, geográficos o territoriales.

6 7 8

Instituto Nacional de Investigación y Desarrollo de la Investigación INIDE, Lengua Española II (Lima: Ministerio de Educación, 1980) Ferdinand de Saussure, Curso de Lingüística General (Perú: Editorial VLACABO e.i.r.l., 1998), 52. Eugenio Magallanes, Lenguaje y Comunicación (Lima-Perú: Editorial San Marcos, 1998), 79-81.

COMPETENCIA LINGÜÍSTICA |5 La variedad dialectal se evidencia en 5 aspectos:  Lexicológico: Cuando se dan variaciones en el vocabulario de una región respecto a otra zona. Ejemplo:  Casaca (Perú)  Chamarra (México)  Semántico: Cuando una misma palabra expresa, en otras regiones, significados diversos. Ejemplo:  Graciosa: mujer bonita (Ica)  Graciosa: mujer con buen sentido del humor (Cusco)  Morfológico: Cuando se aprecian diferencias en la estructura interna de las palabras. Ejemplo:  Ratico (Venezuela)  Ratito (Perú)  Sintáctico: Cuando la variación se da en la estructura de la oración. Ejemplo:  Vivo al frente de la casa de tu amigo  De tu amigo en frente de su casa vivo.  Fonético: relacionado con la entonación y pronunciación. Ejemplo:  Yama (Costa del Perú)  Llama (sierra del Perú) b)

EL SOCIOLECTO. Se le denomina también variación diastrática. El sociolecto se ubica en el eje vertical. De acuerdo con los niveles socioculturales se subdivide en:  Acrolecto. Nivel sociolectal de los sectores altos, educados o cultos.  Mesolecto. Nivel sociolectal de los sectores medios.  Basilecto. Nivel sociolectal de los sectores socioculturales bajos, aquellos que no han tenido acceso a la educación formal.

c)

EL IDIOLECTO. Llamado también variación diafásica. Es la variación que sufre determinada lengua a nivel individual, es decir, cada persona tiene su forma peculiar de hablar de acuerdo con las circunstancias, fases o contextos en los que se halla. Se ubica en la intersección de los ejes horizontal y vertical.

1.6. EL LENGUAJE CIENTÍFICO

 

 

El lenguaje científico es utilizado en el contexto de la investigación científica, allí donde los científicos al descubrir objetos les atribuyen nuevas terminologías dando origen a tecnicismos en la mayoría de los casos desconocidos por el común de la población. Por tanto, es más difícil expresarlo por escrito que en forma verbal, por lo que la exactitud es una condición. Pertenece a este nivel la terminología técnica y específica que cada ciencia y cada profesión emplea para designar utensilios, objetos, procesos y operaciones. Aunque este lenguaje es de uso exclusivo de especialistas, acaba siendo utilizado con el tiempo por el común de la gente. Por ejemplo: En la lingüística: ablativo, afasia, anáfora, cognado, morfosintaxis, neutralización, pluscuamperfecto, sincretismo, tema, rema, grafema, diasistema, alófono, etc. En las matemáticas: ángulos complementarios, ángulo inscripto, ángulo obtuso, ángulo recto, ángulos suplementarios, axioma, diagonal, dividendo, media, mediana, mediatriz, moda, múltiplo, paralelas, perímetro, permutación, poliedro, polinomio, potencia, probabilidad, producto, etc. En el cine: montaje, doblaje, encuadre, fotograma, plano medio, gran angular, etc. En la navegación: proa, popa, babor, estribor, cabo, mesana, trinquete, vela, timón, ancla, etc.

1.7. CARACTERÍSTICAS DEL LENGUAJE CIENTÍFICO a) PRECISIÓN. La precisión científica exige una correspondencia biunívoca entre los elementos del conjunto de términos científicos y los elementos del conjunto de nociones, definiciones o conceptos. Tal monorreferencialidad no se cumple en el lenguaje común, en el que puede darse la sinonimia (dos o más términos tienen igual significado) y la polisemia (una misma palabra tiene múltiples significados). En el lenguaje científico se tiende a una fidelidad absoluta al lenguaje literal entendido como opuesto al lenguaje figurado. El precio a pagar por esta precisión absoluta es la falta de brillantez literaria, ya que la necesidad de utilizar siempre el mismo término para referirse a un concepto hace que este se repita una y otra vez en los textos científicos. En un texto normal, en cambio, se buscan equivalentes de cada palabra para no caer en la repetición. b) OBJETIVIDAD Y NEUTRALIDAD. El lenguaje científico está libre de las acepciones, connotaciones o matices afectivos, tan frecuentes en los mensajes del lenguaje común y literario. Pero donde más se revela la neutralidad del lenguaje científico es en la impersonalidad de su exposición, conseguida sobre todo por procedimientos sintácticos: ausencia de formas correspondientes a la segunda persona del singular o del plural, escaso empleo de la primera persona del singular, uso muy frecuente del plural de modestia en la primera persona del plural, empleo, a veces abusivo, de verbos impersonales y de la voz pasiva para eludir la presentación del sujeto de la oración, utilización de imperativos que evitan la apelación directa a la 2ª persona (consideremos, supongamos o definamos). Todo ello encierra el deseo latente de objetivizar cuanto se expone, minimizando o anulando el posible error, fallo o ilusión personal. En definitiva, se pretende sobre todo conseguir la mayor credibilidad y despertar la confianza por parte del lector u oyente. c) UNIVERSALIDAD. El lenguaje científico es utilizado por la comunidad científica internacional. Por eso, para acuñar un nuevo término hay que atenerse a unas normas terminológicas establecidas, lo que obliga, en muchas ocasiones, a sustituir algunos términos excesivamente particulares o idiosincráticos de una lengua por otros más comprensibles. Esta universalidad tiene enormes ventajas, incluso económicas como en el caso de la aplicación del Sistema Internacional de unidades (SI), las normas DIN, los símbolos de los elementos químicos, la nomenclatura química IUPAC, etc. d) CONCISIÓN. Se supone que el lenguaje científico tiende a expresar las ideas con el menor número de palabras, huyendo de la retórica o adornos literarios. De ahí la particular propensión a sustituir frases enteras por una única palabra o expresión como por ejemplo raíz cuadrada, combustión, centro de gravedad, radiografía, etc. e) CLARIDAD. El autor intenta que su mensaje sea comprendido y sacrifica a ese propósito su elegancia estilística.

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1.8. FORMAS DEL LENGUAJE CIENTÍFICO O TIPOS DE TEXTOS CIENTÍFICOS Los textos de temática científica presentan mayor dificultad en la comprensión lectora porque en muchos de ellos se incluyen tecnicismos y explicaciones complejas, por lo que son especialmente cuidadosos con el orden expositivo y la coherencia lógica de lo expuesto, y su terminología específica hace que se usen palabras especializadas propias del ámbito de una disciplina. a) EL INFORME CIENTÍFICO. El informe científico es un documento en el que se hacen públicos los resultados y conclusiones científicas alcanzadas en relación al problema que dio origen a la investigación de un modo claro, ordenado y estructurado facilitando la comprensión del lector/a. La forma más usual es la tesis de investigación académica. b) LA MONOGRAFÍA. La monografía es el estudio minucioso, exhaustivo y riguroso sobre un tema o investigación en particular donde se utilizan diversas fuentes por uno o varios autores. En la búsqueda de una monografía se utilizan variadas fuentes primarias y secundarias que encauzan la información adquirida utilizando un fichero para la ordenación bibliográfica en orden cronológico. c) EL ARTÍCULO CIENTÍFICO. Un artículo científico es un informe escrito y publicado que describe resultados originales de investigación. Esta breve definición debe matizarse, sin embargo, diciendo que un artículo científico debe ser escrito y publicado de cierta forma y teniendo en cuenta la práctica editora, ética científica e influencia recíproca de los procedimientos de impresión y publicación. d) EL ENSAYO CIENTÍFICO. El ensayo académico es un tipo de composición escrita en prosa que de forma breve, analiza, interpreta o evalúa un tema. En otras palabras, intenta resolver un problema por medio de argumentos. Este tipo de texto trata de responder un interrogante (no necesariamente demostrar una hipótesis), trata de respaldar una tesis por medio de la argumentación o exposición. Este tipo de texto, motiva el pensamiento crítico e independiente de quien escribe, ya que incita al investigador a buscar un problema y su posible solución, así como un análisis profundo e individual de algún tema en particular.9 e) PONENCIA. Son los textos breves que se destinan a la lectura y discusión colectiva; presentados ante algún evento científico: Seminario, congreso, simposio, etc. f)

TESINA. El texto científico sirve para designar trabajos de corta o mediana extensión, presentados para su evaluación académica.10

1.9. NIVELES DEL LENGUAJE CIENTÍFICO a) NIVEL LÉXICO-SEMÁNTICO. El léxico del lenguaje técnico-científico se caracteriza por ser siempre monosémico, esto es, que tiene un solo significado fijo. La terminología es muy específica, de ahí el abundante uso de tecnicismos, es decir, de palabras especializadas propias del ámbito de una disciplina. Estos se crean mediante diferentes procesos de formación de palabras. Pueden ser préstamos, especialmente del latín (latinismos), del griego (helenismos) o de otras lenguas (extranjerismos), como sucede con: virus, higiene, cloro, chip, software o átomo. También son frecuentes los términos nuevos que se forman por derivación (creación de palabras a partir de prefijos y sufijos) y composición (a partir de bases léxicas de la lengua común). Ejemplos: hidrato, aeropuerto, fibroma, parabrisas, telepatía, etc. b) NIVEL MORFOSINTÁCTICO. Los rasgos morfosintácticos del lenguaje científico y técnico, apoyan su concepción de objetividad y claridad. Por este motivo son frecuentes las estructuras oracionales enunciativas o explicativas. Se prefiere el uso de la tercera persona verbal, haciendo referencias al hablante a través del plural de modestia. El tiempo más adecuado es lógicamente el presente. c) NIVEL ESTILÍSTICO. A pesar de que la lengua de la ciencia y la tecnología tiene como objetivo principal el de comunicar sin más, sí se ha esforzado por atenerse a una serie de preocupaciones estilísticas y respeto por las normas. En general la concepción expositiva de los textos acoge expresiones ordenadas y lineales, para precisar y delimitarla información. Aunque se use como base un lenguaje ordinario, esto no impide que nos encontremos con textos amenos o elegantes. EJERCICIOS 1. La forma del lenguaje científico que se refiere al estudio recto y riguroso sobre un tema particular, utilizando fuentes bibliográficas, es: a) La monografía b) El ensayo c) El informe d) El articulo e) La exposición 2. Se denomina variación diastrática, porque: a) Se representa el basilecto y acrolecto b) Está de acuerdo al nivel psíquico - físico c) Influye en el estado de ánimo y el nivel social d) Se presenta en las capas sociales y culturales e) Está en un estrato cultural y psíquico 3. La forma del lenguaje científico que se refiere al estudio recto y riguroso sobre un tema particular, utilizando fuentes bibliográficas, es: a) La monografía b) El ensayo

c) El informe d) El articulo e) La exposición 4. Se denomina variación diastrática, porque: a) Se representa el basilecto y acrolecto b) Está de acuerdo al nivel psíquico - físico c) Influye en el estado de ánimo y el nivel social d) Se presenta en las capas sociales y culturales e) Está en un estrato cultural y psíquico 5. La neutralidad del lenguaje científico se revela en la……………….……. de una exposición: a) Honestidad b) Personalidad c) Rigurosidad d) Imparcialidad e) Subjetividad

Socorro Fonseca, Alicia Correa, María Ignacia Pineda, Francisco Lemus, Comunicación oral y escrita (México: Editorial PEARSON EDUCACIÓN S.A. de C.V. 2011), 350358. 10 Santos F. Ludeña Segovia, Comunicación 3 (Arequipa- Perú: Ediciones independencia 2015), 171-172. 9

COMPETENCIA LINGÜÍSTICA |7 6. El concepto El sistema convencional de signos orales de una comunidad lingüística cambia, evoluciona en el tiempo y espacio. Se refiere a la característica de la lengua denominada: a) Perdurable b) Latente c) Colectiva d) Diacrónica e) Sistémica 7. El ejemplo Con su padre, Carlos, salió apurado, pertenece a la variación lingüística denominada: a) Fonética b) Semántica c) Lexicología d) Sintáctica e) Morfológica 8. En la expresión La fidelidad absoluta al lenguaje literal, se aplica una característica del lenguaje científico, denominada: a) Concisión b) Claridad c) Precisión d) Neutralidad e) Objetividad 9. La expresión La utilización de gran variedad de bibliografía, que encauzan la información técnica, se refiere a: a) El ensayo científico b) El informe científico c) El artículo científico d) La monografía e) La composición académica 10. El enunciado En los textos de temática científica, el tiempo debe estar en presente, corresponde al nivel: a) Léxico – Semántico b) Morfológico – Fonológico c) Fonomonemático d) Morfosintáctico e) Estilístico 11. La expresión Cuando se trata de resolver un problema a través de argumentos, fundamentos; característica que corresponde a la forma del lenguaje científico denominada: a) Artículo Científico b) Informe científico c) Tesis d) Ensayo e) Monografía 12. La expresión En su caracterización interviene el estado de ánimo, trabajo, edad y otros factores, se refiere a: a) El Lenguaje b) El habla c) El idioma d) La lengua e) El código 13. El lenguaje científico-técnico para la formación de sus términos requiere de préstamos del latín, griego y ciertos extranjerismos; característica se refiere al nivel: a) Léxico-semántico b) Estilístico-literario c) Morfosintáctico d) Fonético-fonológico e) Ortográfico-ortológico 14. El lenguaje es: a) El uso oral y personal de la lengua española b) Un sistema de signos orales usados por los peruanos c) La forma correcta de hablar una determinada lengua d) Cualquier código que utiliza el hombre para comunicarse e) Cualquier código lingüístico que usa el hombre de manera cotidiana

15. La definición El lenguaje es el resultado del trabajo comunitario, para ello los integrantes de dichos grupos se ponen de acuerdo, a qué característica del lenguaje corresponde: a) Universal b) Multiforme c) Racional d) Aprendido e) Convencional 16. El lenguaje humano es sistemático por ser: a) Un acuerdo de ciertas reglas o lingüísticas

normas

b) El resultado de las normas generales del código civil

c) Se manifiesta de muchas maneras o formas d) El resultado del trabajo comunitario e) Parte de la creación humana 17. A medida que los años pasan, el hombre crea tanto en el plano material como espiritual, corresponde a la característica del lenguaje denominada: a) Sistemático b) Cultural c) Racional d) Simbólico e) Universal 18. La lengua es: a) El uso del sistema de signos de la lengua b) Cuando entra en funcionamiento nuestro aparato fonador c) Un código constituido por signos lingüísticos y por reglas gramaticales d) La manera espontánea y voluntaria de hablar de una persona e) Cuando se percibe al momento de la pronunciación 19. Las características del habla son: a) Universal, multiforme, aprendido y convencional b) Grupal, homogéneo, perdurable y latente c) Concreto, universal, aprendido y psíquico d) Individual, libre, patente y momentáneo e) Precisión, objetividad, concisión y claridad 20. El dialecto es: a) La lengua del grupo dominante en términos políticos y económicos b) Cuando una lengua varía en el uso de un lugar geográfico a otro c) La manera de hablar una lengua en el nivel superestándar d) La forma perfeccionada de hablar de un grupo humano e) El tecnicismo de una carrera profesional o ejercicio técnico 21. La diferencia entre el modo de hablar de los peruanos y los argentinos se debe a que ambos manejan diferentes: a) Lenguas b) Léxicos c) Dialectos d) Lenguajes e) Idiomas 22. El ejemplo, Si el Presidente de la República se encuentra en una reunión con los ministros por la mañana, pero por la tarde en la fiesta de piñata de su hijo Samín donde dialoga con sus amistades, la variación lingüística que se aprecia, es el: a) Dialecto b) Sociolecto c) Acrolecto d) Mesolecto e) Idiolecto 23. El léxico y el uso de la lengua por los sectores altos, educados o cultos de una determina sociedad, corresponde al: a) Acrolecto b) Mesolecto c) Basilecto d) Dialecto e) Idiolecto

8

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LA FONOLOGÍA Estudia los sonidos ideales o fonemas, dando importancia a su valor diferencial o distintivo y a la función que desempeñan dentro de una lengua.

UNIDADES

CLASIFICACIÓN DE LOS FONEMAS

1. Fonemas 2. Rasgos distintivos

VOCÁLICOS

1. Por el grado de apertura de la boca (modo de articulación) 2. Por la posición horizontal de la lengua (punto de articulación) 3. Por el grado de sonoridad (timbre de voz) 4. Por el grado de vibración de las cuerdas vocales

CONSONÁNTICOS

1. Por el punto de articulación 2. Por el modo de articulación 3. Por el grado de vibración

FUENTE: Elaboración propia

2.1

LA FONOLOGÍA Es parte de la Lingüística que estudia los sonidos ideales11 o fonemas, dando importancia a su valor diferencial o distintivo y a la función que desempeñan dentro de una lengua.

2.2

UNIDADES DE LA FONOLOGÍA12 El fonema es la unidad abstracta carente de significado de la lengua que sirve de modelo imaginario o tipo ideal de los elementos fónicos para la comunicación. Los fonemas, entonces, son las unidades fonológicas más pequeñas en que se puede dividir un conjunto fónico13, su característica principal es la capacidad para diferenciar significados; por ejemplo, no es lo mismo ‘caro’ que ‘carro’ o que ‘cabo’, todas están dentro del campo ‘ca _ o’, pero cambian su significado al cambiar los fonemas. El fonema no es un signo lingüístico, sino una unidad de una sola cara, ya que solo tiene significante y carece de significado. Sin embargo, sirve de base para la creación de unidades significativas del nivel superior, puesto que reúne los rasgos distintivos que permiten diferenciar los significados y construir los significantes de una lengua determinada. Un rasgo distintivo puede definirse como cada uno de los elementos constitutivos de un segmento cuya modificación puede dar lugar a un contraste significativo como en: /peso/, /beso/, /keso/, /yeso/, /seso/. NOTA: En el Español existen 24 fonemas, de los cuales 19 son consonánticos y 5 vocálicos.

2.3       

CARACTERÍSTICAS DE LOS FONEMAS Son unidades de estudio de la fonología. Son unidades mentales, ideales, abstractas. Son limitados o finitos. Constituyen la imagen mental o la huella psíquica del sonido. Carecen de significación por sí solos. Se representan entre dos barras oblicuas: / / Tienen valor diferencial o distintivo en los signos lingüísticos.

2.4

CLASIFICACIÓN DE LOS FONEMAS VOCÁLICOS Y CONSONÁNTICOS

2.4.1. LOS FONEMAS VOCÁLICOS Son fonemas que en su pronunciación no sufren obstáculos en la cavidad bucal, cuando estos sonidos se producen, salen directamente al exterior. Los fonemas vocálicos pueden funcionar por sí solos como palabra y como sílaba y constituye el núcleo silábico.

Georges Mounin, Diccionario de Lingüística (España: Editorial Labor, S.A, primera edición, 1979), 80. RAE - Nueva gramática de la lengua española-Fonética y Fonología (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2011), 54-56. 13 Antonio Quilis y José A. Fernández, Curso de fonética y fonología españolas (Burgos-España: Talleres Gráficos ALDECOA. S.A., 1979, Quinta edición), 9. 11

12

COMPETENCIA LINGÜÍSTICA |9 CLASIFICACIÓN a) POR EL GRADO DE ABERTURA DE LA BOCA (modo de articulación) Cerradas: /i/, /u/ Semiabiertas: / e /, /o / Abierta: /a/ b) POR LA POSICIÓN HORIZONTAL DE LA LENGUA, (punto de articulación) Anteriores o palatales: /i/, /e/ Central o palatal: /a/ Posteriores o velares: /u/, /o/ c) POR EL GRADO DE SONORIDAD (timbre de voz) Agudas: /i/, l e I Intermedio: /a/ Graves: /u/, /o/ d) POR EL GRADO DE VIBRACIÓN DE LAS CUERDAS VOCALES Sonoros: /i/, /u/, /e/, /o/, /a/ TRIÁNGULO VOCÁLICO (F. Hellwag, 1781)

Central

Posteriores

Palatales

Palatal

Velares

/i/

MEDIAS

/u/

/e/

BAJA

Semiabiertas (MEDIA)

/o/

Abierta (MÁXIMA)

/a/

Agudos

Intermedio

Cerradas (MÍNIMA)

Graves

MODO DE ARTICULACIÓN

ALTAS

Anteriores

Por el grado de abertura de la boca

Por la abertura entre lengua y paladar

PUNTO DE ARTICULACIÓN

GRADO DE SONORIDAD (timbre de voz)

2.4.2. LOS FONEMAS CONSONÁNTICOS Son los fonemas que en su realización sufren interrupciones significativas en la cavidad bucal. Estos fonemas por sí solos no pueden funcionar como palabras ni sílabas ni mucho menos constituir núcleo silábico. a)

CLASIFICACIÓN POR EL PUNTO DE ARTICULACIÓN. Es el encuentro de un órgano activo con otro pasivo para la producción de un determinado fonema, y son:  Bilabiales. Cuando en la fonación intervienen ambos labios formando los fonemas: / p / , / b / , / m /  Labiodental. Interviene el labio inferior y los dientes (incisivos superiores): /f /  Interdental. Se produce cuando el ápice de la lengua se introduce ligeramente entre los incisivos superiores e inferiores: /z/  Dentales. Cuando el ápice de la lengua toca o se apoya en la cara anterior de los incisivos superiores: / t / , / d /  Alveolares. Se produce este fonema cuando el ápice de la lengua se dirige hacia los alvéolos: / s / , / n / , / l / , / r / , /rr/  Palatales. Cuando el predorso o dorso de la lengua se dirige hacia el paladar medio: / ch /, /II/, /y/, /ñ/  Velares. Cuando la raíz o base de la lengua se dirige hacia el velo del paladar (úvula): /k / , / g / , / j /

b)

POR EL MODO DE ARTICULACIÓN. Se considera a la forma o manera en que se articulan los fonemas.  Oclusivas. Cuando al emitir los fonemas el paso del aire encuentra una oclusión o cierre momentáneo precipitándose luego al exterior con una breve explosión: / p / , / b / , / d / , / t / , / k / , / g /  Fricativas. Cuando al emitir los órganos articulatorios reducen el canal por donde pasa el aire. Luego por la estrechez del canal, el aire pasa friccionando o rozando las paredes internas de la boca: /f / , / z / , / s / , / y / , / j / .  Africada. Es aquella que resulta de la combinación de la oclusiva con la fricativa produciendo el sonido: /ch/  Laterales. Cuando en el proceso de fricción el aire no sale por el centro de la boca sino por los costados o carrillos: /l/, /II/  Nasales. Cuando la mayor proporción de los sonidos salen por la cavidad nasal: /m/, /n/, /ñ/  Vibrantes. Cuando al emitir los fonemas, un órgano activo elástico (glotis, úvula, velo del paladar, lengua, etc.) vibran obstruyendo y abriendo el paso del aire repetida y rápidamente: /r/, /rr/

c)

POR EL GRADO DE VIBRACIÓN. Son:  Sonoras. Cuando las cuerdas vocales vibran notoriamente: /b/, /d/, /g/, /y/, /l/, /ll/, /r/, /rr/, /n/, /ñ/, /m/  Sordas. Cuando las cuerdas vocales no vibran: /p / , / t / , / k / , / z / , / f / , / s / , / c h / , / j /

10

| CEPRU2015

CUADRO DE LOS FONEMAS CONSONÁNTICOS (Quilis y Fernández)

Punto Art. BILABIALES

LABIODENTALES

INTERDENTAL

DENTALES ALVEOLARES

PALATALES

VELARES

CUERDAS VOCALES

Modo de art. /p/

/t/

/k/

Sordos

/b

/d/

/g/

Sonoros

/j/

Sordos

OCLUSIVOS

/f/

/z/

/s/

FRICATIVOS /y/ /ch/

Sonoros Sordos

AFRICADA Sonoros Sordos NASALES /m/

/n/

/ñ/

Sonoros Sordos

LATERALES /l/

/II/

Sonoros Sordos

VIBRANTES /r/ /rr/

Sonoros

EJERCICIOS 1.

2.

3.

4.

5.

Los fonemas consonánticos bilabiales son: a) /p/, /b/, /k/, /g/ b) /p/, /b/, /m/ c) /t/, /d/, /m/ d) /k/, /g/, /j/ e) /m/, /b/, /k/ Los fonemas consonánticos / b /, / s /, / k / por el grado de vibración de las cuerdas vocales, son: a) Bilabial, fricativo y velar b) Oclusivos y fricativos c) Bilabial, alveolar y velar d) Sonoro y sordos e) Sonoros y orales La palabra PARQUE, por el punto de articulación presenta vocales: a) Central y palatal b) Central y posterior c) Central, posterior y anterior d) Anterior, intermedio y posterior e) Abierta, cerrada y semiabierta Los fonemas consonánticos velares son: a) /k/, /g/ b) /p/, /b/, /t/, /d/ c) /k/, /g/, /j/ d) /s/, /m/, /n/ e) /ch/, /g/, /k/ Por el modo de articulación, en la palabra FAMILIA, los fonemas consonánticos son: a) Oclusivos y laterales b) Sordos y sonoros c) Fricativo, nasal y lateral

d) e)

Fricativos, bilabial y alveolar Labiodental, nasal y lateral

6.

Por el punto de articulación, en la palabra COMPETENCIA, los fonemas consonánticos son: a) Velares, nasal, dental y bilabial b) Sordos y sonoros c) Velar, nasales, oclusivos y fricativos d) Velares, bilabiales, dental y nasal e) Velar, bilabiales, dental y alveolares

7.

Por el punto de articulación, en la palabra VOCES, los fonemas consonánticos son: a) Bilabial y alveolares b) Bilabial, velar y alveolar c) Oclusivo y fricativo d) Oclusivo, velar y alveolar e) Bilabial y fricativos

8.

Los fonemas consonánticos alveolares son: a) /n/, /l/, /s/, /r/ b) /s/, /n/, /r/, /rr/ c) /ll/, /r/, /rr/, /n/ d) /r/, /rr/, /n/, /l/, /s/ e) /r/, /rr/, /l/, /s/

9.

Por el velo del paladar, en la palabra ABAD, los fonemas consonánticos son: a) Sonoros b) Oclusivos c) Nasales d) Orales e) Bilabial y dental

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 11 10. El fonema es una unidad abstracta carente de significado: a) Del habla b) De la articulación c) Del lenguaje d) De la fonética e) De la lengua 11. El fonema consonántico / ch / por el modo de articulación es resultado de: a) La combinación de la fricativa con la oclusiva b) La combinación de la oclusiva con la fricativa c) La combinación de la nasal con la fricativa d) La combinación de la oclusiva con la bilabial e) La combinación de la fricativa con la lateral 12. La característica que no corresponde al fonema, es: a) Una unidad mental y limitada b) Una unidad concreta e ilimitada c) La huella psíquica del sonido d) Una unidad psíquica y abstracta e) Tiene un valor distintivo 13. Por el grado de vibración de las cuerdas vocales, en la palabra EUCALIPTO, los fonemas vocálicos son: a) Sordos b) Nasal y oral c) Orales d) Sonoros e) Agudos y graves 14. Por el timbre de voz, en la palabra ESTADO, los fonemas vocálicos son: a) Palatal, central y velar b) Semiabiertas y abierta c) Sonoros d) Aguda, intermedio y grave e) Nasal y oral 15. Por el punto de articulación, en la palabra JUEZ, los fonemas consonánticos son: a) Fricativos b) Palatal y dental c) Velar e interdental d) Fricativo y velar e) Sordo y sonoro 16. Por la vibración de cuerdas vocales, en la frase LA MAÑANA, los fonemas consonánticos son: a) Sordos b) Sonoros c) Nasales d) Lateral y nasales e) Alveolares, bilabial y palatal 17. Por el punto de articulación, en la palabra CONVIVENCIA, los fonemas consonánticos son: a) Velar, nasal, bilabial y alveolar b) Velar, alveolar, dental y velar c) Alveolar, dental y nasal d) Velar, bilabiales y nasal e) Velar, alveolares y bilabiales 18. Por el modo de articulación, en la palabra CHINCHAY, los fonemas consonánticos son: a) Africadas y nasal b) Palatales y nasal c) Africada, nasal y palatal d) Africada, alveolar y palatal e) Africada, nasal y fricativo 19. La palabra que solo tiene sonido fricativo es: a) Juan b) Vaso c) José

d) e)

Franco María

20. El fonema / s / tiene las características de ser: a) Fricativo, sonoro y oral b) Alveolar, fricativo, sordo y oral c) Alveolar, africada, sordo y fricativo d) Sordo, orla, alveolar y africada e) Oral, sonoro, palatal y fricativo 21. Los fonemas consonánticos alveolares son: a) /p/, /b/ b) /f/ c) /y/, /ch/, /ñ/, /ll/ d) /t/, /d/ e) /s/, /l/, /r/, /rr/, /n/ 22. Los sonidos /b/, /ñ/, /n/ por el grado de vibración de las cuerdas vocales son: a) Sordos b) Sonoros c) Bilabiales d) Oclusivos e) Fricativos 23. Los fonemas vocálicos anteriores son: a) /a/, /e/, /o/ b) /i/, /u/ c) /a/, /e/ d) /o/, /u/ e) /e/, /i/ 24. Los fonemas consonánticos /p/ y /d/ por el modo de articulación, son: a) Bilabiales b) Dentales c) Fricativos d) Alveolares e) Oclusivos 25. En la palabra mita, los fonemas vocálicos por el punto de articulación, son: a) Intermedio y central b) Velar y palatal c) Anterior y central d) Central y posterior e) Cerrada y abierta 26. La palabra quena, por el punto de articulación presenta fonemas vocálicos: a) Anterior y central b) Velar, palatal y central c) Velar, central y palatal d) Agudo e intermedio e) Palatal y velar 27. Al pronunciar las vocales, las cuerdas se encuentran cerradas; por lo que hay mayor vibración, por ello son: a) Ocasionalmente libres b) Generalmente trabadas c) Independientes por excelencia d) Eventualmente dependientes e) Sonoras por excelencia 28. El fonema /k/ por el punto y modo de articulación, es: a) Fricativo - alveolar b) Alveolar - africada c) Velar - nasal d) Alveolar - fricativo e) Velar – oclusivo 29. Los fonemas consonánticos palatales son: a) /y/, /ch/, /ñ/, /ll/ b) /p/, /t/, /k/ c) /y/, /j/, /k/, /ll/ d) /s/, /n/, /ñ/, /l/ e) /k/, /j/, /ñ/, /ll/

12

| CEPRU2015

LA FONÉTICA Estudia los mecanismos de producción, transmisión y percepción de la señal sonora que constituye el habla.

DIVISIÓN GENERAL

DIVISIÓN DE LA FONÉTICA EN

DE LA FONÉTICA

FUNCIÓN DEL OBJETO DE ESTUDIO

1. F. General 2. F. Descriptiva 3. Ortología, ortoepía ortofonía

1. F. Articulatoria 2. F. Acústica 3. F. Perceptiva

UNIDADES

1. Elementos segmentales 2. Elementos suprasegmental es

u

FUENTE: Elaboración propia

3.1 LA FONÉTICA La fonética es la disciplina que estudia los mecanismos de producción, transmisión y percepción de la señal sonora que constituye el habla14 y sus componentes sonoros. Estos sonidos del habla son sin lugar a duda el elemento primordial del sistema de comunicación humana15. (Rama de la lingüística)  Estudia al significante del signo lingüístico en el plano del habla, es decir a los sonidos articulados (fonos).  Investiga, desde el punto de vista físico y fisiológico, cómo se producen los sonidos articulados: pone su atención en los aspectos fónicos del habla. A la Fonética le interesa más el aspecto material de las unidades fónicas; por eso, dirige su atención al funcionamiento del aparato fonador: respiración, fonación, articulación y estudia las propiedades físico-acústicas del sonido.  La Fonética investiga la sustancia de los sonidos articulados, es decir, estudia la estructura material de los sonidos.  Sirve de base para la determinación de los rasgos distintivos16 3.2 CARACTERÍSTICAS DE LOS SONIDOS ARTICULADOS O FONOS  Tienen valor desde un punto de vista físico y fisiológico.  Son unidades de estudio de la fonética.  Los fonos se representan entre corchetes.  Son ilimitados.  Son unidades concretas.  Se materializan. DIVISIÓN GENERAL DE LA FONÉTICA17 FONÉTICA ARTICULATORIA FONÉTICA ACÚSTICA (Fisiológica) Estudia la producción de los sonidos del habla mediante la acción del aparato fonador y de los órganos articulatorios.

(Física) Analiza las características físicas de las ondas sonoras que conforman los sonidos de la lengua.

FONÉTICA PERCEPTIVA

(Auditiva) Estudia cómo se perciben las ondas. También se ocupa de investigar cómo segmentan, procesan e interpretan los oyentes los sonidos que reciben.

DIVISIÓN DE LA FONÉTICA EN FUNCIÓN DEL OBJETO DE ESTUDIO18 FONÉTICA GENERAL

FONÉTICA DESCRIPTIVA PROPIAMENTE DICHA

ORTOLOGÍA (ORTOEPÍA U ORTOFONÍA)

Se basa en el análisis de los mecanismos de producción y de las estrategias de percepción presentes en todas las lenguas del mundo.

Se ocupa de describir los sonidos particulares de las lenguas naturales. Estas pueden adoptar una perspectiva sincrónica o diacrónica (fonética histórica).

Rama de la fonética que establece las normas convencionales de pronunciación de una lengua.

3.3 UNIDADES DE LA FONÉTICA19 a) ELEMENTOS SEGMENTALES O SONIDOS DEL HABLA - Se ocupa la fonética segmental. - Se define de acuerdo con los criterios articulatorios, acústicos y perceptivos. - Se representan mediante corchetes [ ] - Se clasifican en vocales y consonantes. RAE- Nueva Gramática de la lengua española- Fonética y Fonología (España: Espasa Libros, S. L., 2010), 5. Fernando Trujillo Sáez, Antonio González Vázquez, Pablo Cobo Martínez, Elisabet Cubillas Casas, Nociones de Fonética y Fonología para la Práctica Educativa (España: Lozano Impresores S.L.L. 2002), 32. http://www.editorial-geu.com 16 Universidad Complutense de Madrid, Relación entre Fonética y Fonología (Editorial Jakobson, 2007), 31. 17 RAE - Fonética y Fonología, 24-32. 18 RAE - Fonética y Fonología, 24. 19 RAE - Fonética y Fonología, 24. 14 15

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 13

b) ELEMENTOS SUPRASEGMENTALES - Corresponden a los elementos fonéticos cuyos efectos repercuten sobre varios segmentos, como la entonación, que comprende todos los sonidos de un enunciado. - La disciplina que se ocupa de estos elementos (acento, ritmo y entonación) es la Prosodia. Los sonidos que se han venido denominando semivocales (vocal

i

y

u

al final de un diptongo. Aire, aceite, causa,

feudo) y semiconsonantes (vocales i , u en principio de diptongo o triptongo, como en piedra, hielo, huerto, apreciáis, y más propiamente cuando en dicha posición se pronuncian con sonido de duración momentánea, improlongable, abertura articulatoria creciente y timbre más próximo a la consonante que a la vocal), se agrupan, en la tradición académica reciente, bajo la denominación de vocales marginales o satelitales. 3.4 FONÉTICA ARTICULATORIA O FISIOLÓGICA Estudia la producción de los sonidos del habla desde el punto de vista fisiológico; es decir, describe qué órganos orales intervienen en su producción, en qué posición se encuentran y cómo esas posiciones varían los distintos caminos que puede seguir el aire cuando sale por la boca, nariz, o garganta, para que se produzcan sonidos diferentes. Los sonidos del habla se producen mediante la acción coordinada del conjunto de estructuras anatómicas que constituyen el Aparato Fonador y Resonador, por ello estudia cómo se generan los sonidos del habla. Los órganos que lo integran, cumplen también otras funciones fisiológicas vinculadas a la respiración y alimentación. Se relaciona con el emisor. 3.4.1 PARTES DEL APARATO FONADOR Estas son bien diferenciadas en la laringe:20 a) LA CAVIDAD INFRAGLÓTICA O SUBGLÓTICA. Proporciona el flujo de aire necesario para la producción del sonido. Está conformada por el diafragma, los pulmones, los bronquios, la tráquea y la zona subglótica de la laringe. b) LA ZONA GLÓTICA. Aquí se produce la fonación y está constituida por dos pliegues vocales denominados cuerdas vocales. La laringe está formada por nueve cartílagos de formas diferentes, aunque en el proceso de fonación se suelen considerar únicamente cuatro:  El primero de ellos es el cartílago cricoides, tiene forma de anillo de sello, más ancho en su parte posterior que en la anterior y constituyen la base de la laringe, sobre él están situados y articulados el cartílago tiroides y los dos cartílagos aritenoides.  El cartílago tiroides tiene la forma de un libro abierto hacia atrás; en su borde anterior se encuentra una saliente que se denomina nuez, manzana o bocado de Adán.  Los aritenoides son dos cartílagos en forma triangular. Como se indica, desde la parte más saliente de los aritenoides hasta la cara interna del cartílago tiroides se extienden los pliegues vocales. c) LAS CAVIDADES SUPRAGLÓTICAS. Aquí se articulan los sonidos o fonos. i. En la Cavidad Faringea (Orofaríngea). Se distinguen a su vez tres zonas:  La laringofaringe o hipofaringe, que es la zona de la faringe que conecta con la laringe.  La orofaringe o protofaringe, que está en contacto con la cavidad oral.  La rinofaringe, también denominada como cavum o epifaringe, limita con la cavidad nasal.

Figura 1. Cavidades supraglóticas http://www.editorial-geu.com

ii. La Cavidad Oral. Está conformada por los órganos articulatorios fijos y móviles.  Los fijos o pasivos son los incisivos superiores e inferiores, el maxilar superior, los alvéolos y el paladar duro.  Los móviles o activos son los labios, el maxilar inferior, el paladar blando o velo del paladar, con la úvula y la lengua. iii. La Cavidad Nasal: Se considera como órgano fijo, en donde la articulación consiste en un conjunto de movimientos que tienen lugar en las cavidades supraglóticas durante la producción de los sonidos del habla.

Figura 2. El Aparato Fonador Fonética y Fonología, RAE 2011, Pág. 7

3.5 FONÉTICA ACÚSTICA Estudia cómo se generan las ondas de transmisión de los sonidos. Se encarga de la estructura física de los sonidos del habla, es decir de analizar las propiedades físicas, lo cual permite distinguir unos de otros. Se ocupa de la medición científica de las ondas sonoras que se crean en el aire al momento de hablar. El sonido es la sensación percibida por el oído cuando las partículas de un medio elástico, que funcionan como transmisor, sufren cambios de presión provocados por el movimiento vibratorio de un cuerpo denominado fuente de sonido. El aire es el medio usual de transmisión del sonido; sin embargo, las ondas sonoras pueden transmitirse también a través del agua. Las ondas sonoras se producen cuando la fuente de sonido entra en vibración y las partículas de aire se ven sometidas alternativamente a:21  Fases de compresión. Tiempo durante el cual la presión soportada es máxima.  Fases de rarefacción. Tiempo el cual la presión es mínima. Se relaciona con el canal. La onda sonora se caracteriza mediante tres parámetros: Duración, frecuencia y amplitud. 22

20 21 22

RAE - Nueva gramática de la lengua española-Fonética y Fonología, 26-31. RAE - Fonética y Fonología, 32. RAE- Nueva gramática de la lengua española-Fonética y Fonología, 33.

14

| CEPRU2015 DURACIÓN

FRECUENCIA

Depende del TIEMPO mediante el cual se prolonga el movimiento vibratorio. La unidad de medida de una onda sonora es el MILISEGUNDO (ms).

𝐻𝑧 = Figura 3.

AMPLITUD

Depende de la RAPIDEZ del movimiento, es decir, de cuántos movimientos o ciclos se realizan mediante un tiempo determinado. La unidad de medida es el HERCIO (Hz), que equivale a un ciclo por segundo, es decir, a una fase de compresión y una fase de rarefacción que dura un segundo. La frecuencia de la onda sonora es más grave o baja cuanto menor es el número de ciclos por segundo, y más aguda o alta cuanto más elevado sea el número de ciclos por unidad de tiempo.

Depende de la FUERZA del movimiento vibratorio, fruto de las variaciones en la presión ejercida sobre las moléculas de aire. Cuando la presión es fuerte, la amplitud es grande. La unidad de medida es el DECIBELIO (dB), unidad que relaciona la amplitud del movimiento vibratorio con la intensidad del sonido.

𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 = 𝑠 −1 𝑠 Fórmula de la frecuencia http://www.editorial-geu.com.

Figura 4.

Figura 5.

Ondas sonoras

Ondas sonoras - Frecuencia 23

Figura 6.

Ondas sonoras24

https://www.google.com.pe/search?q=ondas+sonoras&rlz=1C2CHWL_esPE624PE624&biw=1366&bih=667&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=i_ifVczfOMKWyATo6OQBw&sqi=2&ved=0CAYQ_AUoAQ#imgdii=wnC9QZo2eQidDM%3A%3BwnC9QZo2eQidDM%3A%3BqVvHCNutmz4vwM%3A&imgrc=wnC9QZo2eQidDM%3A

Figura 7.

Ondas sonoras25

Figura 8.

Ondas sonoras26

Nota: Las ondas sonoras pueden ser simples y complejas.

Onda simple Onda compleja

https://www.google.com.pe/search?q=ondas+sonoras&rlz=1C2CHWL_esPE624PE624&biw=1366&bih=667&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=i_ifVczfOMKWyATo6OQBw&sqi=2&ved=0CAYQ_AUoAQ#tbm=isch&q=ondas+sonoras+fisica&imgdii=wnC9QZo2eQidDM%3A%3BwnC9QZo2eQidDM%3A%3BeEKRIp9yxYqymM%3A&im grc=wnC9QZo2eQidDM%3A 24 https://www.google.com.pe/search?q=ondas+sonoras&rlz=1C2CHWL_esPE624PE624&biw=1366&bih=667&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=i_ifVczfOMKWyATo6OQBw&sqi=2&ved=0CAYQ_AUoAQ#imgdii=wnC9QZo2eQidDM%3A%3BwnC9QZo2eQidDM%3A%3BqVvHCNutmz4vwM%3A&imgrc=wnC9QZo2eQidDM%3A 25 https://www.google.com.pe/search?q=ondas+sonoras&rlz=1C2CHWL_esPE624PE624&biw=1366&bih=667&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=i_ifVczfOMKWyATo6OQBw&sqi=2&ved=0CAYQ_AUoAQ#tbm=isch&q=ondas+sonoras+fisica&imgrc=4wgKn3bIGmWEOM%3A 26 http://www.editorial-geu.com. 23

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 15 EJERCICIOS

1.

La materialización de un fonema en el acto del habla se denomina: a) Fonema b) Monema c) Sonido articulado d) Morfema e) Sema

2.

La fonética articulatoria centra su estudio en: a) La transmisión del sonido a través del aire o de otros medios b) El funcionamiento de los órganos bucales para la producción del sonido c) La manera cómo afecta al oído del receptor cada una de las palabras pronunciadas d) Aquellos instrumentos que miden el funcionamiento del oído e) El sonido abstracto o ideal de una determinada lengua grecolatina

3.

La fonética…………….. se encarga de estructura…………….. de los sonidos del habla: a) Acústica – mental b) Articulatoria – física c) Perceptiva – segmental d) Descriptiva – física e) Acústica – física

4.

La afirmación correcta respecto a la fonética es: a) Estudia a los sonidos ideales b) Se representan entre barras / / c) Estudia a los sonidos articulados d) Estudia el valor distintivo de los fonemas e) La vocal asume la función margen silábico

5.

La fonética…….……… estudia las ondas sonoras, mientras que la fonética….………… se ocupa de la segmentación de los sonidos: a) General – descriptiva b) Perceptiva – acústica c) Articulatoria – ortología d) Descriptiva – perceptiva e) Acústica – perceptiva

6.

La parte de la Lingüística que estudia la pronunciación de los sonidos desde el punto de vista acústico y articulatorio, es la: a) Lingüística b) Fonética c) Gramática d) Fonología e) Ortografía

7.

8.

11.

Las vocales o sonidos articulados vocálicos se pronuncian: a) Sin interrupción en la cavidad bucal b) Con intervención de los dientes c) Con intervención de los maxilares d) Con apoyo de las consonantes e) Con la intervención de los órganos articulatorios de la boca

12.

Las ondas sonoras se clasifican en: a) Fonética y fonología b) Simples y complejas c) Fonos y alófonos d) Articulatoria y acústica e) Fonema y fonos

13.

En la cavidad glótica ocurre un fenómeno muy importante. Consiste en la producción del sonido producido por la salida del aire expulsado desde los pulmones y por la vibración de los pliegues vocales, este fenómeno se llama: a) Articulación b) Respiración c) Fonación d) Inspiración e) Espiración

14.

La fonética analiza los aspectos…… y……. de los……… a) Distintivo – diferencial – fonemas b) Semántico – acústico – sonidos articulados c) Fisiológico – físico – sonidos articulados d) Físico – fisiológico – sonidos ideales e) Distintivo – diferencial – sonidos ideales

15.

La fonética estudia del aspecto material o articulado de las unidades: a) Fónicas o fonos b) Fonémicas c) Grafémicas d) Fonológicas e) Sintácticas

16.

La unidad básica de estudio de la fonética es: a) El fono b) La escritura c) La palabra d) El fonema e) El aire

17.

Los fonos son sonidos pertenecientes al plano: a) De la lengua b) De la semántica c) De la fonología d) Del habla e) Del idioma

18.

Cuando los sonidos son descritos según su producción por el aparato fonador y su emisión hacia el receptor, se está ante una perspectiva: a) Generativa b) Fonológica c) Sintáctica d) Morfológica e) Fonética

19.

La……… estudia los sonidos articulados, mientras que la………… se ocupa de las representaciones abstractas, psíquicas o mentales de los sonidos: a) Fonología – Fonética b) Fonética – Morfología c) Fonética – Fonología d) Fonética – Ortografía e) Fonética – Gramática

20.

Las vocales o sonidos articulados vocálicos se pronuncian: a) Sin interrupción en la cavidad bucal b) Con intervención de los dientes c) Con intervención de los maxilares d) Con apoyo de las consonantes e) Con la intervención de los órganos articulatorios de la boca

la

Las unidades segmentales y suprasegmentales son estudiados por la: a) Grafemática b) Fonología c) Fonética d) Ortografía e) Ortología La fonética que estudia cómo segmentan y perciben las ondas es: a) General b) Descriptiva c) Articulatoria d) Acústica e) Perceptiva

9.

La fonética articulatoria se relaciona con: a) El canal b) El referente c) El mensaje d) El emisor e) contexto

10.

La alternativa correcta respecto a los fonos, es: a) Tienen valor desde un punto de vista distintivo y diferencial b) Tienen valor desde un punto de vista físico y fisiológico c) Se producen sin los contactos entre los órganos d) Son nasales según el modo de articulación e) Se presentan entre barras oblicuas

16

| CEPRU2015

LA SÍLABA Una unidad estructural que actúa como principio organizador de la lengua.

CONSTITUYENTES

1. 2. 3. 4.

LA SÍLABA Y EL ACENTO

CLASES DE SÍLABAS

SILÁBICOS Núcleo Inicio Coda Rima

1. 2. 3. 4.

S. abierta o libre S. cerrada o trabada S. tautosilábica S. heterosilábica

PRINCIPIOS DE ORDENACIÓN DE LOS SEGMENTOS

SECUENCIA VOCÁLICA 1.

Diptongo

2.

Triptongo

3.

Hiato

1. S. tónicas 2. S. átonas

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Vocal silábica Vocal satélite Aproximantes Líquidas Nasales Fricativas Africada Oclusivas

FUENTE: Elaboración propia

4.1. LA SÍLABA La sílaba es una unidad estructural que actúa como principio organizador de la lengua. Se compone de un conjunto de segmentos sucesivos agrupados en torno al segmento de máxima sonoridad o máxima abertura oral. Este segmento constituye su núcleo y, en español, es siempre vocálico. Cada núcleo de máxima sonoridad identifica una sílaba. Los segmentos que se agrupan con el núcleo en la sílaba forman sus márgenes. La palabra pan, por ejemplo, se estructura como un vocablo monosilábico: la vocal /a/ constituye el pico de sonoridad, y las consonantes /p/ y /n/ son los márgenes consonánticos anterior y posterior del núcleo silábico. En la forma verbal oía, las tres vocales forman tres picos de sonoridad máxima y se organizan en tres sílabas distintas: /o – í – a/. Los sonidos contiguos a los núcleos se agrupan a partir del contraste perceptivo que resulta de su concatenación en la secuencia.27 4.2. FACTORES QUE INFLUYEN EN LA ASOCIACIÓN DE SEGMENTOS DE UNA SÍLABA 1. Las características generales fonéticas y fonológicas de los sonidos. 2. Su mayor o menor abertura oral. 3. La posición que ocupa en la secuencia. 4.3. CONSTITUYENTES SILÁBICOS28 a) EL NÚCLEO (N), denominado CUMBRE, PICO o CENTRO. Ej.: a – la

clo – a – cas

o–í–a

a – pre – ciáis

b) INICIO (I) o ATAQUE (CABEZA o ABERTURA). El margen silábico anterior, y los segmentos que se hallan en esta posición son segmentos en posición explosiva (anterior). Ej.: Cla – ro

be – so

pe – so

pron – to

c) CODA (C). El margen silábico posterior, y los segmentos que se presentan en esta posición son segmentos en posición implosiva (posterior). Ej.: mal – dad co – men pa – red vals puen – te 27 28

RAE - Ortografía de la lengua española (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 284. RAE - Ortografía de la lengua española, 289.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 17 d) RIMA SILÁBICA (R). El núcleo y la coda pueden agruparse en un único constituyente, cuya composición es determinante para algunos investigadores en la asignación del acento léxico.

Ơ (sílaba)

I [nicio]

R[ima]

N[úcleo] Figura 9.

Figura 10.

Figura 11.

C[oda] Estructura de la sílaba29

Estructura silábica de la palabra vals [‘bals]30

Estructura silábica de la palabra cloacas [klo.’a. kas]31

4.4. CLASES DE SÍLABAS a) SÍLABAS ABIERTAS O LIBRES. Las sílabas que están desprovistas de coda (CCV, CV, V). Ej.: pri – ma – ve – ra pi – za – rra ca – mi – sa me – sa b) SÍLABAS CERRADAS O TRABADAS. Las sílabas que poseen coda(VCC, VC, CVC, CCVC, CCVCC, CVVC, CVCC, VVC) Ej.: cris – tal cons – tar pas – tel al – mas pin – tar trans – por – tar c) SÍLABAS TAUTOSILÁBICOS. Cuando dos elementos contiguos pertenecen a la misma sílaba (diptongos, triptongos y las combinaciones: pl, pr, cl, cr, fl, fr, bl, br, gl, gr, tl, tr). Ej.: plo – mo bru – ma ai – re clo – ro glo – bo puer – ta cre – cer gru – ta au – la fle – ma A – tlán – ti – co pei – ne fru – ta tru – cha cam – biáis blan – co ar – ma – rio hioi – des vien – to d) SÍLABAS HETEROSILÁBICOS. Si dos segmentos consecutivos se integran en sílabas diferentes (hiato). Ej.: ma – íz o – í – do es – pon – tá – ne – o ve – he – men – te es – pí – a ba – úl al – co – hol le – o RAE - Ortografía de la lengua española, 289. RAE - Ortografía de la lengua española, 290. 31 RAE - Ortografía de la lengua española, 290. 29 30

18

| CEPRU2015

4.5. SECUENCIAS VOCÁLICAS: DIPTONGOS, TRIPTONGOS, HIATOS32 Dentro de una misma palabra es posible encontrar secuencias de dos, tres, cuatro y hasta de cinco vocales seguidas, que pueden agruparse en la pronunciación de diferentes maneras, formando o no partes de las mismas sílabas. 4.5.1. DIPTONGOS Son secuencias de dos vocales que se pronuncian en la misma sílaba. En español, los diptongos pueden estar constituidos por las siguientes combinaciones vocálicas: a) Una vocal abierta (a, e, o) precedida o seguida de una vocal cerrada átona (i, u): vien – to vio ai – re an – cia – no cuan – to hay cua – tro sue – lo de – béis pien – so an – ti – guo boi – na b) Dos vocales cerradas distintas (i, u): ciu – dad lin – güís – ti – ca muy

es – toy au – lli – do Eu – ge – nio es – ta – dou – ni – den – se

ca – suís – ti – ca rui – do

4.5.2. TRIPTONGOS Son secuencias de tres vocales pronunciadas dentro de la misma sílaba. En español tienen necesariamente que estar constituidos por una vocal abierta (a, e, o) precedida y seguida de una vocal cerrada átona (i, u): es – tu – diáis U – ru – guay con – fiéis miau a – tes – ti – güéis am – pliáis viei – ra a – pre – ciéis ra – dioi – só – to – po a – go – biáis 4.5.3. HIATOS Son secuencias de dos vocales que se pronuncian en sílabas distintas. En español, constituyen hiatos desde el punto de vista articulatorio las siguientes combinaciones: a) Una vocal cerrada tónica (i, u) seguida o precedida de una vocal abierta átona (a, e, o): Po – dí – a Pun – tú – e E – go – ís – ta Rí – o Flú – or Ta – húr Des – ví – e Ra – íz Fe – ú – cho Pú – a Re – ír Fi – no – ú – grio b) Dos vocales abiertas (a, e, o): ca – er a – ho – go

ro – er te – a – tro

bar – ba – co – a bo – a

c) Dos vocales iguales: al – co – hol I – sa – ac ve – he – men – te

al – ba – ha – ca re – e – le – gir chi – i – ta

lo – or Ro – ci – i – to du – un – vi – ra – to

4.6. LA SÍLABA Y EL ACENTO: SÍLABAS TÓNICAS Y SÍLABAS ÁTONAS Dependiendo de sí en la palabra de la que forman parte se pronuncian con acento o sin él, se distinguen dos tipos de sílabas: a) Sílabas tónicas. Las que portan el acento léxico o primario. Ej.: car – te – LE – ra a – MI – go a – ZÚ – car pre – si – DEN – te es – pon – TÁ – ne – o BRÚ – ju – la b) Sílabas átonas. Las que carecen de acento léxico. Ej.: RE – loj A – ni – LLO VEN – ta – NA plá – TA – NO

mó – VIL AN – dén

4.7. PRINCIPIOS DE ORDENACIÓN DE LOS SEGMENTOS EN LA SÍLABA “En el dominio de la sílaba, los sonidos se organizan de acuerdo con la ESCALA UNIVERSAL DE SONORIDAD. Como se observa en la figura, esta escala establece que las vocales silábicas son las unidades más perceptibles, por ser las más abiertas. Siguen, en orden decreciente de sonoridad, las vocales satélites o marginales (tradicionalmente llamadas semivocales y semiconsonantes), los elementos aproximantes, los líquidos, los nasales y los obstruyentes; dentro de estos últimos, las consonantes fricativas son más perceptibles que las consonantes africadas y oclusivas debido a su mayor abertura”33

Vocales silábicas

Vocales satélites

+ PERCEPTIBLE

Aproximantes

Líquidas

Escala universal de sonoridad

Figura 12.

RAE - Ortografía de la lengua española, 196-200. RAE - Ortografía de la lengua española, 287. 34 RAE - Ortografía de la lengua española, 287. 32 33

Nasales

Escala universal de sonoridad 34

Fricativas

Africada

- PERCEPTIBLE

Oclusivas

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 19 “El núcleo silábico es el segmento caracterizado por la máxima sonoridad y la máxima abertura oral y, como ya se ha señalado, en español es siempre vocálico. El resto de los elementos que se integran en una misma sílaba debe presentar un grado de sonoridad menor que el núcleo, de forma que la sílaba puede estar compuesta por una sola vocal, o bien por una vocal y otros elementos (vocales satélites o marginales y consonantes aproximantes, líquidas, nasales, fricativas, africada u oclusivas). Existen, además, principio que condicionan la posición y la combinación de los segmentos en la sílaba, pues, en general, la sonoridad de estos disminuye progresivamente desde el núcleo hacia los márgenes”35 La disminución gradual de sonoridad desde el núcleo silábico hacia los márgenes se produce tanto hacia el margen anterior como hacia el margen posterior.

Ejemplo:

Trans

t= r=

– por – te

a= n= s= Margen silábico explosivo (sonoridad decreciente)

oclusivo (segmento menos perceptible) consonante líquida (segmento más perceptible) núcleo (totalmente perceptible) nasal (segmento más perceptible) fricativo (segmento menos perceptible)

Margen silábico implosivo (sonoridad decreciente)

N

4.8. TIPOS DE SÍLABAS36 Los sistemas fonológicos se describen tanto por los segmentos que los forman y sus características como por las posibilidades de combinación, que se establecen entre ellos. Nota: Se usan las abreviaturas (V) para vocal silábica, (C) para consonante y (S) para vocal satélite o marginal.

V

ala

a-la

CV

pisa

pi-sa

SV

hiere

h i e-re

VC

as

as

VS

hoy

ho i

CVC

mal

Mal

CVS

soy

SVC

huésped

CCV

plato

pla – to

CSV

tiene

t i e-ne

VCC

instaurar

VSC

austral

CCVC

tren

CCVS

pleito

CCSV

industria

CSVC

viento

vi en-to

CSVS

buey

Bue i

CSVSC

cambiáis

CVCC

constar

cons – tar

CVSC

veinte

ve i n-te

CCVCC

transportar

CCVSC

claustro

claus-tro

CCSVC

industrial

in-dus-tr i al

so i hués-ped

ins-tau-rar aus-tral Tren

ple i -to in-dus-tr i a

cam-b i á i s

trans – por – tar

Figura 13.

RAE - Ortografía de la lengua española, 287. RAE - Ortografía de la lengua española, 293. 37 RAE - Ortografía de la lengua española, 293-294. 35 36

NOTA: Las palabras que tienen dos sílabas tónicas se denominan DITÓNICAS y son los adjetivos adverbializados que terminan en MENTE, y las palabras compuestas mediante guion o sin guion. Casualmente, físico-químico, casaquinta.

Tipos de sílabas en el dominio de la palabra37

20

| CEPRU2015 EJERCICIOS

1.

A la separación denomina: a) Hiato b) Diptongo c) Triptongo d) Coda e) Cabeza

2.

Las sílabas que terminan en vocal, es decir sin coda, se denominan: a) Cerradas b) Trabadas c) Abiertas d) Tónicas e) Átonas

3.

Las palabras lentamente, ágilmente son………… porque poseen…………… a) Abiertas sílabas directas b) Ditónicas dos acentos c) Alternas sílabas cerradas d) Abiertas sílabas idénticas e) Cerradas sílabas cerradas.

4.

La palabra perdiz tiene sílabas: a) Abiertas b) Libres c) Cerradas d) Incomplejas e) Mixta

5.

6.

7.

8.

9.

10.

de

vocales

contiguas

se

La secuencia de palabras que presentan únicamente diptongos, es: a) León, búho, poeta, caoba b) Miau, huayno, eucalipto, piojo c) Canoa, oído, caudales, cueva d) Juguete, aguinaldo, quena, guitarra e) Iguana, ambiguo, ahijada, prohibir Cuando dos segmentos consecutivos se integran en sílabas diferentes, se denominan: a) Tautosilábicos b) Heterosilábicos c) Homosilábicos d) Intrasilábicos e) Rimas silábicas Las palabras grúa, ahora, reemplazar, tiito son: a) Hiatos b) Diptongos c) Triptongos d) Tautosilábicos e) Átonos El grupo de palabras constituidos solo por sílabas libres o abiertas son: a) Máscara, cartuchera, cuaderno, pistola b) Puerta celular, lápiz, duerme c) Libro, mochila, sílaba, brújula d) Estudiante, cantante, primavera e) Discos, silla, árbol, partir Las sílabas que carecen de acento, se denominan: a) Átonas b) Tónicas c) Abiertas d) Cerradas e) Diptongos La palabra que presenta diptongo, es: a) Rehúye b) Geografía c) Bloque d) Lingüística e) Azahar

11.

La palabra pensar presenta sílabas: a) Cerradas b) Abiertas c) Libres d) Incomplejas e) Ascendentes

12.

El grupo de palabras que presenta solo hiato acentual, es: a) Destruir, frío, aún b) Ataúd, búho, María c) Dios, cueva, viuda d) Ahora, paisaje, cuadro e) Día, puente, hueco

13.

El enunciado La ciudad de Ayacucho se transforma en un sensible espacio religioso durante la semana santa, presenta la siguiente cantidad de diptongos: a) 5 b) 8 c) 3 d) 6 e) 4

14.

La palabra que no presenta ningún tipo de diptongo, es: a) Cuidado b) Avión c) Violín d) Murciélago e) Querubín

15.

La alternativa correcta respecto al diptongo, es: a) Un triptongo puede tener dos vocales fuertes b) Un diptongo homogéneo está formado por una vocal débil y otra fuerte c) Un hiato solo se forma a partir de dos vocales fuertes d) Una vocal fuerte y una débil jamás se separan e) N.A

16.

La palabra que presenta el ordenación CVC se aprecia en: a) Óptica b) Cuaderno c) Soy d) Sol e) Cuerno

17.

Un constituyente silábico es: a) El diptongo b) La coda c) El hiato d) El triptongo e) La sílaba

18.

Las sílabas que poseen coda se denominan: a) Cerradas b) Tautosilábicas c) Heterosilábicas d) Abiertas e) Tónicas

19.

Las palabras cuadro, cueva y piojo; presentan diptongos: a) Descendentes b) Acentuales c) Homogéneos d) Crecientes e) Decrecientes

20.

Cada núcleo de máxima sonoridad, identifica una: a) Sílaba b) Inicio c) Ataque d) Coda e) Rima silábica

principio

de

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 21

EL ACENTO La mayor prominencia con la que se emite y percibe una sílaba con respecto a las de su entorno.

REGLAS DE ACENTUACIÓN GRÁFICA

FUNCIONES DEL ACENTO

CLASES DE ACENTO

1. F. Contrastiva 2. F. Distintiva 3. F. Culminativa

1. Acento gráfico o tilde 2. Acento prosódico

REGLAS GENERALES 1. P. Monosilábicas 2. P. Polisilábicas  Agudas  Graves o llanas  Esdrújulas  Sobresdrújulas

REGLAS ESPECIALES 1. 2. 3. 4.

Tilde diacrítica de monosílabos Acentuación de palabras con hiato Tilde diacrítica en pronombres relativos Acentuación de palabras compuestas

FUENTE: Elaboración propia

5.1

EL ACENTO El acento consiste en la mayor prominencia con la que se emite y percibe una sílaba con respecto a las de su entorno. En concreto, el acento pone de relieve una determinada sílaba, formada, por lo general, por uno o más fonemas, con respecto a las demás sílabas de una palabra. Ejemplos. 

5.2

constituCIÓN



SÍlaba



voCAblo

EL ACENTO GRÁFICO O TILDE El sistema de acentuación gráfica está constituido por un signo diacrítico, denominado tilde (´), acento gráfico u ortográfico. Ejemplos. 

VolveRÉ



LÍder



SÍMbolo

No todas las palabras tónicas se escriben con una tilde sobre su sílaba tónica. Son las reglas de acentuación gráfica las que determinan la presencia o ausencia de tilde. 5.3

EL ACENTO PROSÓDICO Al pronunciar aisladamente cualquier palabra polisílaba, no todas las sílabas que la componen se emiten y se perciben con el mismo relieve. Una de ellas destaca en el conjunto y resulta más perceptible que las demás. Esa diferencia en la pronunciación de una determinada sílaba, que establece un contraste entre ella y el resto de las que integran la palabra, recibe el nombre de acento. La marca acentual se determina de manera relativa por el contraste que se produce entre la pronunciación de unos segmentos de la cadena hablada y otros. Es un rasgo prosódico que remarca un sonido o grupo de sonidos en la palabra.

5.4

FUNCIONES DEL ACENTO DEL ACENTO PROSÓDICO38

a) FUNCIÓN CONTRASTIVA (Eje sintagmático) Se realiza en el interior de la cadena hablada y permite establecer un contraste o diferenciación entre unidades lingüísticas acentuadas e inacentuadas. Ejemplo: Físi–ca (en una palabra) Tónica

átona

átona

DUERmo tan BIEN como SUEño. (También en oraciones) b) FUNCIÓN DISTINTIVA (Eje paradigmático) Permite diferenciar palabras que solo se distinguen fónicamente entre sí por la presencia o ausencia de tonicidad. En la lengua española, el acento tiene valor fonológico, porque establece diferencias significativas entre las palabras. Por ejemplo: pú-bli-co (sustantivo), pu-bli-co (verbo), pu-bli-có (verbo) re-vól-ver (sustantivo), re-vol-ver (verbo) can-to (substantivo), cantó (verbo) 38

RAE- Ortografía de la lengua española (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 193.

22

| CEPRU2015

c) FUNCIÓN CULMINATIVA Esta función se pone de manifiesto en la cadena hablada y es la que permite percibir los diferentes grupos acentuales que componen el discurso. Estos grupos acentuales están constituidos siempre por una sílaba tónica y la sílaba átona de su entorno que se apoya en ella, y que pueden formar parte o no de la misma palabra. Ejemplo: Si te aCUERdas, Díselo. En el ejemplo existen dos grupos acentuales: en el primero las sílabas átonas si, te, a y –das se pronuncian apoyadas en la sílaba tónica CUER; y en el segundo, las sílabas átonas –se- y –lo se apoyan en la sílaba tónica DÍ. 5.5

REGLAS DE ACENTUACIÓN GRÁFICA39 REGLAS GENERALES  LA ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS MONOSILÁBICAS Las palabras de una sola sílaba nunca se acentúan gráficamente, salvo en los casos de tilde diacrítica. Así estos monosílabos no tiene tilde: mes, bien, sol, ve, ya, son, fe, fue, etc.  LA ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS POLISÍLABAS Se aplican en función de sí son agudas, llanas, esdrújulas o sobresdrújulas.

5.6

ACENTUACIÓN GENERAL 5.6.1. ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS AGUDAS (OXÍTONAS). Son aquellas cuya última sílaba es tónica. a) Las palabras agudas llevan tilde cuando terminan en los grafemas consonantes “n” o “s” o en cualquier vocal. Por ejemplo: Razón, compás, comité, iglú, además, mirarán b) No llevan tilde en los siguientes casos: - Cuando terminan en grafema consonante distinto de “n”, “s” o en vocal: Amistad, trigal, escribir, actriz, bondad, considerar - Cuando terminan en consonantes dobles: Zigzags, mamuts, confort - Cuando terminan en el grafema “y”: Virrey, convoy, carey, caray, Paraguay, bocoy, estoy, tepuy, cocuy 5.6.2.

ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS GRAVES O LLANAS (PAROXÍTONAS). Son aquellas cuya penúltima sílaba es tónica. a) La palabras llanas se escriben con tilde en los siguientes casos: - Cuando terminan en un grafema consonántico distinto de “n”, “s” o vocal: Ángel, tórax, lápiz, tóner, inútil, azúcar, Tíbet, crómlech, referéndum - Cuando terminan en consonantes dobles o triples: Bíceps, fórceps, récords, cíborg, wéstrn, clárens - Cuando terminan en el grafema “y”: Yóquey, yérsey, póney No llevan tilde: compost, tuaregs, piolets

b) Las palabras graves no llevan tilde cuando terminan en las consonantes “n”, “s” o en vocal. Por ejemplo: Margen, crisis, lata, libro, tribu, resta, callejeros, hacen, bici, parque

5.7

5.6.3.

ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS ESDRÚJULAS (PROPAROXÍTONAS). Son aquellas cuya antepenúltima sílaba lleva tilde. Ejemplos: Análisis, rápido, tónica, pacífico, génesis, válvula, cóselo, hábitat

5.6.4.

ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS SOBRESDRÚJULAS (SUPERPROPAROXÍTONAS): Son aquellas cuya preantepenúltima lleva tilde. Por ejemplo: Recítaselo, recógemelo, leyéndosela, dígansenoslo, propóngasemelo, imagíneselas

LA ACENTUACIÓN ESPECIAL40 5.7.1 LA TILDE DIACRÍTICA EN PALABRAS MONOSILÁBICAS La regla de acentuación gráfica de las palabras monosílabas prescribe que estas se escriban sin tilde. Constituyen una excepción a esta regla general en un grupo de palabras monosílabas tónicas de uso frecuente que se oponen a otras formalmente idénticas, pero de pronunciación átona. Tienen la misma escritura pero cumplen distinta función gramatical y poseen significados distintos. Tenemos: TÚ= pronombre personal (2da P.G.) Tú eres mi mejor amigo. TU= adjetivo posesivo. Tu casa es bonita. Él= Pronombre personal (3° P. G.) Él es el alumno que ganó el premio. EL= Artículo determinante. El profesor no vino hoy. MÍ = pronombre personal (1° P.G) A mí me gusta el orden. MI = adjetivo posesivo. Sust. (Nota musical). Mi mochila está rota. Empieza en mi menor. SÍ = Adverbio de afirmación, Pronombre personal (3° P.G). Adverbio sustantivado. Sí, comprendí todo. Volvió en sí después de un minuto. SI = Conjunción condicional. Sustantivo (nota musical) Si estudias ingresarás a la universidad.

39 40

RAE - Ortografía de la lengua española, 231-241. RAE - Ortografía de la lengua española, 242-275.

TÉ = Sustantivo. El té se enfría, apúrate. TE = Pronombre personal (2da P. G.) Te invito al teatro, querida amiga. DÉ =Forma del verbo dar. Dé gracias a que estoy de buen humor. DE = Preposición. Sustantivo (letra) Ella es de Puerto Maldonado. Borra la letra “de”. SÉ = Forma del verbo ser – saber. Sé que puedo mejorar en todo. SE = pronombre personal (3° P.G) Se cayó del tercer piso. MÁS = Cuantificador (adverbio, adjetivo o pronombre. Él quiere más tiempo para estudiar. Canta más bien que mal. MAS = conjunción adversativa equivalente a pero. Fuimos al estadio, mas no ingresamos.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 23 5.7.2

ACENTUACIÓN GRÁFICA DE PALABRAS CON HIATO Las palabras con hiato se acentúan gráficamente según las siguientes pautas: a) Las palabras con hiato llevan siempre tilde en la vocal cerrada, con independencia de las reglas generales de acentuación. Ejemplos: Serías, sabías, mío, actúe, búhos, oído, sabíais, desvíen, cacatúa, reído (llevan tilde a pesar de ser llanas terminadas en –n, -s o vocal) Raíz, oír, baúl, Raúl, maíz, reír, oír, laúd, tahúr (se tildan aun siendo agudas terminadas en consonantes distintas de n o s) b) Las palabras que incluyen cualquier otro tipo de hiato se someten a las reglas generales de acentuación. Así: Jaén, traerás, acordeón, peleó, Noé, rehén o chií (lleva tilde por ser voces agudas terminadas en –n, -s o vocales) Caer, baobab, soez o alcohol (no llevan tilde por ser agudas terminadas en consonante distinta de n o s) Bóer, Sáez o afrikáans (se acentúan gráficamente por ser palabras llanas terminadas en consonantes distintas de n o s, o en dos consonantes) Paella, vean, ahora, anchoa, museo, poetas o chiitas (se escribe sin tilde por terminar en –n,-s o vocal) Aéreo, línea, océano, caótico, coágulo, teórico, héroe o zoólogo (llevan tilde por ser esdrújulas)

5.7.3

ACENTUACIÓN GRÁFICA DE LAS PALABRAS CON DIPTONGO Las palabras que contienen diptongos ortográficos se acentúan gráficamente según las reglas generales de acentuación. Así: Sainz, cian, veis, pie, soy, dio, truhan, dual, fue, cruel, muon, siux, hui (no llevan tilde por ser monosílabas) Nupcial, bailar, Javier, posterior, autor, deshuesar, feudal, rehuir, ciudad, pierrots, tuaregs, virrey o estoy (no lleva tilde por ser agudas terminadas en consonantes distintas de n o s, en más de un grafema consonántico o en –y) Rufián, bonsái, habláis, recién estéis, desvió, averigüé, licuó, derruí o interviú (lleva acento gráfico por ser agudas terminadas en –n,-s o vocal) Reinan, aguantan, clientas, contabais, peinasteis, huerto, ingenuas, inocuo, fortuito, incluido o diurno (no lleva tilde por ser llanas terminadas en –n,-s o vocal) Estiércol, máuser, huésped, médiums, sóviets o yóquey (lleva tilde por terminar en consonante distinta de n o s, en más de un grafema consonántico o en –y) Diálogo, ciénaga, áulico, demiúrgico o lingüística (se acentúan gráficamente por ser esdrújulas)

5.7.4

TILDE DIACRÍTICA EN QUÉ, CUÁL, QUIÉN, CÓMO, CUÁN, CUÁNTO, CUÁNDO, DÓNDE, Y ADÓNDE La palabras tónicas qué, cuál, quién, cómo, cuán, cuánto, cuándo, dónde y adónde se escriben con tilde diacrítica para diferenciarlas de sus homónimas átonas. Como ocurre en todos los casos de tilde diacrítica, estas formas tónicas son palabras que no deberían tildarse según las reglas generales de acentuación; la función de la tilde no es identificar la posición de la sílaba tónica, sino prevenir su confusión con aquellas otras formalmente idénticas, pero de pronunciación átona y distinto valor y función.

a)

ESCRITURA CON TILDE. Estas palabras se escriben con tilde cuando pertenecen a la clase de los interrogativos o exclamativos. ¿Qué animal es aquel? ¡Qué calor! ¿Cuál es tu nombre? ¿Quién te ha hecho esto? ¡Quién pudiera volver a ser joven! ¿Cómo te olvidaste? ¡Cómo te agradezco que hayas venido! ¿Cuán firme es tu determinación?

       

NOTA: los interrogativos y los exclamativos pueden ir precedidos por una preposición sin dejar de ser tónicos ni de escribirse con tilde.  ¿Por qué ha dicho eso?  ¡Con qué poco te conformas!  ¿Hasta cuándo estás dispuesto a seguir? Así mismo, existen interrogativas y exclamativas indirectas: Preguntó qué tenía qué hacer para ir al centro. Aún no ha decidido con quién asociarse. Dime cuánto vas a tardar. Me preocupa cómo encontrar financiación. Mira qué fácil. Hay que ver cuánto has crecido. Es indignante cómo lo tratan. b)

ESCRITURA SIN TILDE. Estas mismas palabras se escriben siempre sin tilde en los casos siguiente: Cuando funciona como relativos Ha colocado en el jarrón las flores que trajiste. Conozco a la chica con quien trabajas. Sigue ahí donde lo dejaste. Cuando funciona como conjunción Insistió en que debíamos continuar. Miente tanto como habla. La casa estaba en un lugar tan apacible cuanto bello.´ Cuando funciona como preposición Te digo como amigo. Mis padres se vinieron a Madrid cuando el terremoto de Lisboa. Se detuvo a descansar donde el obelisco. Llevaba el pelo como mal peinado.

5.7.5 ACENTUACIÓN GRÁFICA DE FORMAS O EXPRESIONES COMPLEJAS a) PALABRAS COMPUESTAS Escritas en una sola palabra se someten a las reglas de acentuación como si fueran voces simples:  Hinca + pie = hincapié (con tilde por ser palabra aguda terminada en vocal)  Veinte + dos = veintidós (con tilde por ser palabra aguda terminada en -s)  Balón + cesto = baloncesto (sin tilde por ser palabra llana terminada en vocal)  Arco + iris = arcoíris (con tilde por contener un hiato)  Tío + vivo = tiovivo (sin tilde por ser palabra llana terminada en vocal)

24

| CEPRU2015 b) ADVERBIOS TERMINADOS EN –MENTE Los adverbios de este tipo se forman por la adición a un adjetivo del elemento compositivo –mente. Estas palabras presentan de manera excepcional dos sílabas tónicas, la del adjetivo base y la de la terminación.  Integra + MENte = INtegraMENte  TranQUIla + MENte = tanQUIlaMENte  Cortés + mente = fortésmente  Fácil + mente = fácilmente  Rápida + mente = rápidamente  Normal + mente = normalmente  Breve + mente = brevemente c) FORMAS VERBALES CON PRONOMBRES ENCLÍTICOS Cuando los pronombres átonos (me, te, se, lo/s, la/s, le/s, nos, os) van pospuestos al verbo, se escriben unidos a este formando una sola palabra gráfica. El acento prosódico de la palabra resultante coincide con el de la forma verbal, único elemento tónico presente en estas formas complejas:  DI + me = Dime  arrepinTIENdo + se = arrepinTIÉNdose  leER + os + lo = leÉRoslo  COma + se + lo = CÓmaselo EJERCICIOS

1.

La palabra monosílaba que en algunos casos se tilda y en otros no, es: a) Me b) Vio c) Fue d) Ti e) Si

2.

En la oración Él guardó esas fotografías en el recámara, la palabra que pertenece a la acentuación dierética, es: a) Él b) Guardó c) Esas d) Fotografías e) Recámara

3.

4.

5.

6.

En la oración Sé más solidario, nunca piensas en mí, las palabras con tilde diacrítica son respectivamente: a) Pronombre – conjunción – sustantivo b) Artículo – adverbio – pronombre c) Verbo– adverbio – pronombre d) Pronombre – adverbio – preposición e) Artículo – conjunción – preposición

9.

La palabra SI no lleva tilde cuando es: a) Preposición b) Interjección c) Pronombre d) Adverbio e) Conjunción

12.

Las palabras razón, ángel, péndulo y dígasele presentan acentuación: a) Distintiva b) Dierética c) Enfática d) Diagráfica e) General

11.

El grafema o representación gráfica del acento se denomina: a) Acento prosódico b) Sílaba atona c) Sílaba tónica d) Acentuación e) Tilde

13.

La palabra que debe presentar tilde, es: a) Grave b) Crater c) Virtud d) Vergel e) Suave

14.

En la expresión Quiero una taza de té , la palabra diacrítica es: a) Pronombre b) Sustantivo c) Conjunción d) Adverbio e) Adjetivo

Las palabras paroxítonas son: a) Entrégaselo, dígamelo, llévenselo b) Brújula, árboles, máxima, espíritu c) Árbol, ángel, baile, trampa d) Profesor, malestar, cantidad, veloz e) Dios, tren, fe, paz, dio, vio, fue

15.

En la expresión El joven movio la cabeza en señal de negativa, el nunca antes habia oido semejante barbaridad, la cantidad de acentos gráficos que falta en el texto es:

Las palabras panel, oración, pared son: a) Paroxítonas b) Sobreproparoxítonas c) Oxítonas d) Proparoxítoas e) Graves

16.

La tilde que se usa para disolver los diptongos y formar hiatos acentuales, es : a) Diagráfica b) Enfática c) Dierética d) Diacrítica e) Tópico o general

La palabra que pertenece a la acentuación dierética, es: a) Canción b) Pensar c) Peón d) Día e) Caimán

a) b) c) d) e)

1 5 4 3 2

7.

La palabra MI lleva tilde cuando es: a) Conjunción b) Pronombre c) adverbio d) circunstancial e) preposición

17.

La oración que requiere de dos tildes, es: a) Ella tiro los papeles aqui b) El encontro sus calcetines en el cajon c) Soñe con la pelicula de accion d) El viernes vendran los italianos e) Revisaran las fallas del motor

8.

En la expresión Inés había alquilado dos automóviles para la ocasión, la cantidad de palabras que pertenecen a la acentuación general son:

10.

El acento que es eminentemente oral y no presenta ningún rasgo gráfico, tradicionalmente se llama: a) Ortográfico b) Vírgula c) Átono d) Prosódico e) Virgulilla

a) b) c) d) e)

0 1 2 3 4

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 25

LOS SIGNOS DE PUNTUACIÓN

USO DE LOS SIGNOS DE PUNTUACIÓN

FUNCIONES

A. Indicar los límites de la unidades lingüísticas B. Indicar la modalidad enunciados

de

los

C. Indicar la omisión de una parte del enunciado

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

El punto La coma El punto y coma Los dos puntos Los paréntesis Las comillas Los signos de interrogación exclamación 8. Los puntos suspensivos

y

FUENTE: Elaboración propia

6.1.

FUNCIONES DE LOS SIGNOS DE PUNTUACIÓN41

A. INDICAR LOS LÍMITES DE

LAS UNIDADES LINGÜÍSTICAS Busca entre sus pertenencias. Tal vez encuentres algo que nos interese. Señorita, venga un momento, por favor. Se lo suplico. —¿Qué deseas? —me dijo. Luego se fue.

B. INDICAR LA MODALIDAD DE LOS ENUNCIADOS Quien emite un mensaje puede presentar su contenido como una información sin más (modalidad enunciativa), como una pregunta (modalidad interrogativa), como la expresión de una emoción (modalidad exclamativa) o como el intento de influir sobre el que escucha (modalidad imperativa). Hace calor, ¡Hace calor!, ¿Hace calor?

6.2.

USOS DE LOS SIGNOS DE PUNTUACIÓN

(1)

EL PUNTO (.) 42 Uso del punto en:

C. INDICAR LA OMISIÓN

DE UNA PARTE DEL ENUNCIADO Se presentó con un semblante... / Se presentó con un semblante. Hace un frío... / Hace un frío.

a) Abreviaturas Sra., pág., etc., EE.UU., ej. b) Fechas y horas 20.08.15 18.30 NUNCA SE ESCRIBE PUNTO AL FINAL DE: a) Títulos y subtítulos de libros, artículos, capítulos, obras de arte, etc. Nueva gramática de la lengua española El Señor Presidente Cien años de soledad b) Nombres de autor en cubiertas, portadas, prólogos, firmas de documentos, etc. “Riego y Aviraneta afirmaron que no había tal; que existía el contacto entre España y el resto de Europa; que así se había podido dar en España, antes que en otra nación europea, unas Cortes como las de Cádiz…” Pío Baroja

c) Dedicatorias Para William A mi amado, sin cuya ayuda esta obra no hubiera sido posible A mis padres, a mi esposo, a mis hijos

41 42

RAE - Ortografía de la lengua española (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 282-285. RAE - Ortografía de la lengua española, 292-299.

26

| CEPRU2015 d) Pies de imagen, cabecera de cuadros y tablas

Perro y gato e) Eslóganes Madre de Dios, paraíso natural Turismo en Cusco, vívelo en directo f)

Enumeraciones en forma de lista La capital del Perú es: a) Lima b) Cusco c) Trujillo d) Arequipa e) Tacna

g) Direcciones electrónicas www.minedu.gob.pe (2) 

43

LA COMA (,) 43 Usos de la coma a) Coma incidental La creatividad, como se ha explicado, es muy importante. La casa, abandonada, se convirtió rápidamente en refugio de vagabundos. Su hermano, al parecer, es piloto. Mi hija, como tú sabes, es una magnífica entrenadora. Los niños, que estaban en el patio, se echaron a correr. Como todos saben, el volcán Misti está en Arequipa. b) Coma vocativa Eduardo, no quiero que salgas tan tarde. Has de saber, prima querida, que tu padre era un gran amigo mío. Estoy a sus órdenes, mi general. Usted, aproxímese inmediatamente. c) Coma hiperbática Se arrepentirá, estoy segura, de su comportamiento. Es, sin lugar a dudas, un gran maestro. Por las mañanas, trabaja en la Universidad y, por las tarde, se dedica a realizar investigaciones de su especialidad. En el Perú, hace ya mucho tiempo que en la prensa especializada se trata este asunto. En mayo de 1990, Arequipa se convirtió en tierra de nadie. d) Coma en miembros yuxtapuestos Salieron a la calle, cerraron la puerta y subieron calle arriba. Corrían, tropezaban, avanzaban sobre él. e) Coma enumerativa Es un muchacho muy introvertido, estudioso y de buena familia. No te vayas sin correr las ventanas, apagar la luz y cerrar bien la puerta. f) Coma conjuntiva coordinada y subordinada Parece el perro del hortelano: ni come ni deja comer. Organizaremos la reunión, bien en tu casa, bien en la de mi madre. Era famoso por su expresión, así como por sus ideales. Tengo que estudiar biología, así como competencia lingüística. Ella siempre llega tarde a clases, es decir, no escucha toda la explicación de la maestra. Iré a la fiesta, pero no sé la hora. No ha dicho la verdad, porque me ha guiñado el ojo. Salió con ropa impermeable, porque llovía bastante. Algo le pasa, pues tiene mala cara. Tienes que estudiar, para que te quede claro. Si vas a viajar hoy, no dejes de comunicarme. Aunque no lo permitas, saldré a la calle. Quisieron que hable todo lo que sabía. No lo hice, así que me forzaron. Terminé la tarea, entonces me voy a jugar. Llegaron a tal grado de confianza, que no necesitaba hablarse. Son bienvenidos, siempre que vengan pacíficamente. Arreglaré la habitación, en caso de que decidas quedarte. g) Coma elíptica Su hija mayor es rubia; el pequeño, moreno. Jesús es todo amor; Judas, un traidor. h) Coma en datación de cartas y documentos (entre el lugar y la fecha) Cusco, 08 de noviembre de 2015 En Perú, a 30 de noviembre de 2015

RAE - Ortografía de la lengua española, 306.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 27 (3)

EL PUNTO Y COMA (;)44 a) Punto y coma en oraciones yuxtapuestas El trabajo dignifica al hombre; el ocio es origen de todo mal. Ángel estudia administración de empresas; César prefiere, economía. Los modestos siempre son aceptados; los soberbios son repudiados. Puede irse a casa; ya no hay nada más que hacer. Lo hizo por el bien de su familia; no puede reprochársele nada. b) Punto y coma enumerativo Cada grupo irá por un lado diferente: el primero, por la izquierda; el segundo, por la derecha, y el tercero, de frente. c) Punto y coma conjuntivo Visitó muchos países, conoció a mucha gente; pero jamás habló de ello. Siempre hablábamos de cosas muy interesantes, a veces, aburridas; pero siempre hablábamos. Los invitados, sus padres, acudieron pronto; mas no te hallaron. No vivió mucho tiempo en aquella ciudad tan lejana; pero, mientras estuvo allí, disfrutó de todo lo que le ofrecía. Los hijos, nietos y sobrinos no lo hacen por capricho; sino que es una necesidad para ellos. d) Punto y coma ante conectores Trajeron los cuadernos, cartulinas, lápices y borradores; sin embargo, falta que nos entreguen los plumones, los lapiceros y las reglas. Javier con mucho esfuerzo, logró reunir ciento cincuenta dólares; sin embargo, esta cantidad es insuficiente para comprar este televisor. Se había trasladado a una ciudad en la que no conocía a nadie; así pues, tuvo que esforzarse por establecer nuevas relaciones. Todas las mercancías que llegaban tenían que pasar un estricto control; por tanto, se distribuían con mucho retraso.

(4)

LOS DOS PUNTOS (:) 45 a) Dos puntos en enumeraciones Ayer compré dos libros: uno de Rodrigo Gonzáles Ochoa y otro de Graciela Reyes. Las regiones del Imperio Incaico fueron cuatro: Antisuyo, Collasuyo, Chinchaysuyo y Contisuyo. b) Dos puntos en discurso directo Cerró los ojos y pronunció: "La verdad, no debí mentir” Una noche, cuando me disponía a acostarme, Iskra me preguntó: -¿Por qué te casaste conmigo, Dennys? c) Dos puntos en oraciones yuxtapuestas  Causa-efecto o viceversa Se ha quedado sin trabajo: no podrá ir de vacaciones este verano. Se encontraba muy agotado: había jugado demasiado.  Conclusión, consecuencia o resumen de la oración anterior El arbitraje fue injusto y se cometieron demasiados errores: al final se perdió el partido. Se sacó la suerte, montó una buena empresa, fue presidente de la Sociedad Internacional: era todo un hombre afortunado.  Verificación o explicación de la oración anterior, que suele tener un sentido más general El chiriuchu es un plato típico del Cusco: tiene cuy, gallina, queso, torreja, tostado, entre otros.  Oposición Bethoben no es una persona: es mi perro. d) Dos puntos en conectores discursivos ¿Recuerdas lo que te conté de Nancy? Pues bien: ha vuelto a las andadas. Nunca me ha molestado colaborar. Dicho de otro modo: me gusta ayudar a los demás. La voz carbunclo se emplea con dos sentidos, a saber: ‘piedra preciosa’ y ‘enfermedad del ganado’. Ha dicho que se iba. Más aún: ha amenazado con no volver jamás. No se preocupe. Ahora buen: sigue doliéndole, vaya al médico. e) Dos puntos en escritos específicos (cartas y documentos administrativos) Estimado amigo: Querido hermano: Recordada tía: Muy señor mío: f) Dos puntos en textos jurídicos y administrativos, como decretos, sentencias, bandos, edictos, certificados, etc.; va escrito enteramente en mayúsculas CERTIFICA: Que María del Carmen Oliva de la Flor Pérez ha seguido estudios de… CONSIDERANDO: Que el artículo 27 de la Constitución...

(5)

LOS PARÉNTESIS. ( )46 a) Paréntesis para aislar incisos Las asambleas (la última duró casi cuatro horas sin ningún descanso) se celebran en el salón de actos. Alguien (y no quiero señalar) ha hecho trampa. b) Paréntesis para aislar otros elementos intercalados El año de su nacimiento (1616) es el mismo en que murió Cervantes. Toda su familia nació en Cusco (Perú). c) Paréntesis en obras teatrales (para encerrar acotaciones del personaje) DIEGO. (Golpeando con el bastón en el suelo). ¡No os hagáis ilusiones de que vais a poder conmigo! ÁNGEL. No, no; si estáis inmutada. (Ya preso en la red está) ¿Se os pasa?» RAMIRO. (con voz enojada). ¿¡Quién es, a estas horas!? LAURA. Soy yo; abre. (como imaginaba, le sorprende mi visita) d) En la reproducción de citas textuales Pensé que él no alcanzó a ver mis lágrimas […] por la oscuridad en que nos encontrábamos.

44 45

46

RAE - Ortografía de la lengua española, 349-353. RAE - Ortografía de la lengua española, 254-264. RAE - Ortografía de la lengua española, 364-370.

28

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(6)

LAS COMILLAS (“ ”) 47 a) Comillas en citas César, antes de pasar el Rubicón, dijo: “¡La suerte está echada!” “Sobreviven los que se adaptan mejor al cambio”, dijo Darwin. b) Comillas en reproducción de pensamientos «Si es deshonroso no defenderse con el cuerpo, más lo es no valerse de la razón y de la palabra, específicas del hombre» ARISTÓTELES “No tengo nada que perder”, pensó MANUELA. c) Comillas en el marcado del carácter especial de una palabra o expresión Siempre dice que las «tortas» de esa pastelería están riquísimas. Parece que últimamente le va muy bien en sus «negocios». d) Comillas en usos metalingüísticos La palabra «cándida» lleva tilde por ser esdrújula. En la oración «Me gusta tu vestido» el sujeto es «tu vestido». e) Comillas en expresiones denominativas (títulos y apodos) Su artículo « Importancia del lenguaje en la comunicación humana» se publicó en el diario El Cusco el día 28 de octubre. Escribió el artículo “El léxico de hoy” para el libro El lenguaje en los medios de comunicación, obra en la que participaron varios autores.  Suelen escribirse entre comillas los apodos y alias que se intercalan entre el nombre de pila y el apellido: Ernesto “El Che” Guevara es recordado por muchos.

(7)

LOS SIGNOS DE INTERROGACIÓN Y EXCLAMACIÓN. (¿?) (¡!) 48 a) Como en indicadores de modalidad, para enmarcar las construcciones interrogativas y exclamativas directas ¿Qué quieres? Pedro, ¿cuántos años llevas trabajando aquí? ¡Qué nombre tan bonito! ¡Me ha traído un regalo! b) Pueden omitirse los signos en títulos de obras, un capítulo o cualquier otra sección de un texto Cómo escribir bien español Qué es lo “moderno” en lexicografía c) En exclamativas o admirativas Pueden estar constituidas por interjecciones (¡Ay!), locuciones o grupos interjectivos (¡Ni modo!; ¡Caramba con el niño!), onomatopeyas (¡Chist!), vocativos (¡Niños!, cállense o grupos sintácticos y oraciones (¡Qué casa!; ¡Fantástico lugar!; ¡Cuánto me he emocionado!; ¡Es impresionante!; ¡Con lo amable que parecía!). d) En los vocativos Martha, ¿sabes ya cuándo vendrás? ¿Sabes ya cuándo vendrás, Martha? e) En los enunciados aseverativos que preceden a los apéndices confirmativos El jueves 11 es su onomástico, ¿no? No les interesa lo que estoy expresando, ¿verdad? f) Si concurren varias preguntas o exclamaciones ¿Quién era? ¿De dónde vino? ¿Te dijo a quién buscaba? ¡Cállate! ¡No quiero volver a escucharte! ¡Márchate!

(8)

LOS PUNTOS SUSPENSIVOS (…) 49 a) Para indicar la suspensión u omisión en el discurso El caso es que si lloviese… Mejor no pensar en esa posibilidad. Estoy pensando que… aceptaré; en esta ocasión debo arriesgarme. b) Para indicar la suspensión del discurso con fines expresivos (duda, temor o vacilación) El niño dice que él no ha roto el jarrón… Te llaman del hospital… espero que sean buenas noticias. Quería preguntarte…, bueno…, que si quieres ir conmigo a la fiesta. c) Para señalar la omisión de parte del texto (interrupción voluntaria porque se sobrentiende lo omitido) A pesar de que prepararon cuidadosamente la expedición, llevaron materiales de primera y guías muy experimentados… Bueno, ya se sabe cómo acabó la cosa. A quien madruga…, así que dense prisa. Y en mitad de la fiesta, se subió a una mesa y comenzó a recitar: “Con diez cañones por banda…”. d) Para insinuar, evitando su reproducción, de expresiones o palabras malsonantes o inconvenientes ¡Qué hijo de … está hecho! Vete al d… no aguanto más. e) Se emplea al final de enumeraciones en lugar de etcétera Puedes hacer lo que quieras: leer, ver televisión, oír música… f) Entre corchetes o entre paréntesis, para indicar la supresión de una palabra o un fragmento en medio de una cita textual “Fui don Quijote de la Mancha y soy agora [(…)] Alonso Quijano el Bueno” (Cervantes Quijote II). EJERCICIOS

1.

En la expresión Eran las diez de la noche, piloteaba mi nave, era mi taxi un Volkswagen del año sesenta y ocho. Las unidades lingüísticas limitadas por comas que contiene es: a) Una oración b) Dos frases c) Tres oraciones d) Tres frases e) N.A.

RAE - Ortografía de la lengua española, 380-387. RAE - Ortografía de la lengua española, 387-394. 49 RAE - Ortografía de la lengua española, 394-400. 47 48

2.

La oración que presenta incorrecta puntuación, es: a) Ella es una mujer trabajadora, amorosa, hogareña: una mujer ideal b) Quillabamba, ciudad del eterno verano c) Por tus hombros, tus cabellos discurren d) Mi santo fue el 11-06-2015 e) Son la 12.30 hrs

3.

Expresión donde el signo de puntuación indica omisión de una parte del enunciado, es:

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 29 a) A Dios rogando y con el mazo… b) Nueva Gramática de la Lengua Española c) Manuel trabaja en Cusco y María lo hace en

12.

La coma condicional se presenta en: a) No te perdono, así llores todo el día b) Iré a pasear, aunque no tenga permiso c) No fuimos al mundial de Brasil, porque no tenemos dinero d) Serán bienvenidos, siempre que vengan pacíficamente e) Tienes que estudiar, para que te quede claro

13.

El punto y coma en oraciones compuestas yuxtapuestas se presenta en: a) Brasil se quedó en casa; pero no en el mundial b) Argentina fue campeón en 1978 y en México; Perú se prepara para intentarlo c) El Cusco es ciudad cosmopolita, pero Arequipa, ciudad industrial d) Los jugadores entrenaron bien; entonces, salen a ganar e) Robaron en el banco; por tanto, serán enjuiciados

14.

El punto y coma adversativa se presenta en: a) Los peruanos atraviesan una profunda crisis; por lo tanto, el trabajo no es bien pagado b) Los peruanos atraviesan una profunda crisis social; siempre salen adelante c) Los peruanos atraviesan una gran crisis; o están en una bonanza económica d) Los peruanos atraviesan una profunda crisis moral; mas luchan por salir adelante e) Ninguno

15.

Los dos puntos yuxtapuestos se presenta en: a) La selección de Costa Rica jugó muy bien: fue la sorpresa del mundial b) Los comerciantes arrojaron de todo: piedras, ladrillos, botellas, basura c) Me dijo: me llamo Norma mientras cruzaba la pierna d) Visto el expediente, se resuelve: e) El alcalde de Wanchaq certifica:

16.

El paréntesis en acotación de obras para teatro está en: a) Nación en Cusco (Perú) b) Ser o no ser (…) c) Romeo: (Tomando a Julieta de la cintura) Te amo, vida mía d) Los periodistas (varones y mujeres) fueron desalojados del local e) Internet (red mundial de ordenadores) está siendo mal usado

17.

Las comillas en cita textual se presenta en: a) “Sobreviven los que mejor se adaptan al cambio”, dijo Charles Darwin b) Ahí viene el “Chanconcito” del salón c) La palabra “inefable” significa indefinido d) Leyó Los Jefes de Mario Vargas Llosa cuando era adolescente e) Los “teutones” ganaron limpiamente el partido de la final de futbol mundial

18.

La omisión permitida de signos de interrogación se presenta en: a) Dónde nos vemos b) Cómo escribir bien en Español c) Cómo has cambiado, Pelona d) Viva el Perú e) Cuánto

19.

La expresión que debe exclamación, es: a) Silencioso b) Animales hermosos c) Qué hermosa d) Que buscas siempre e) Donde nos vemos

20.

La expresión que debe escribirse con puntos suspensivos, es: a) Márchate de inmediato b) Oh, vida cruel c) A caballo regalado d) Chist e) Pedro, ¿me amas?

Arequipa

d) Sra. de las cuatro décadas e) Silencio absoluto 4.

El uso de las comillas es incorrecto en: a) “Vamos a calentar el Sol” es una obra de José Mauro de Vasconcelos b) “La vida es sueño” fue escrita por Pedro Calderón de la Barca c) En “El sueño del celta” Mario Vargas Llosa habla de la explotación d) Para “Evita” de “Corazón Serrano”, justicia piden sus seguidores e) Todas las anteriores

5.

En la expresión Estoy a sus órdenes, mi general, la coma es usada: a) En vocativo b) En elipsis c) En caso incidental d) En situación interjectiva e) En atributo

6.

En la expresión Pero el cadáver, ¡ay!, siguió muriendo, la coma es: a) En vocativo b) En elipsis c) Incidental d) Interjectiva e) En atributo

7.

En la expresión Al fin de la batalla, vino un hombre y le dijo: no mueras te amo tanto, la coma es usada: a) En atributo b) En objeto directo c) En circunstancial d) En predicativo e) En agente

8.

La coma conjuntiva copulativa “y” que tiene valor adversativo se presenta en: a) Brasil fue humillado, y quedó fuera del mundial b) Perú no fue al mundial, y aún no tiene un buen equipo c) Los adolescentes son inconscientes, y muy distraídos d) Estudiaba de día y de noche, hasta los feriados y domingos, y no ingresó e) N. A.

9.

La coma coordinada copulativa está presente en: a) Luchaba ora con la espada, ora con la pluma. b) Saldré a bailar bien con Raquel, bien con María Fernanda c) Brasil quedó fuera del mundial, sin embargo sigue siendo un grande del fútbol d) Parece el perro del hortelano: no come ni deja comer e) Lo vi abrazando y besando a una humilde muchacha, es de clase muy sencilla, lo sé por su facha

10.

11.

La coma coordinada conjuntiva en locuciones se presenta en: a) No hizo nunca los deberes que le encargué ni recogió su ropa del tendedero b) Tú tienes que estudiar lingüística, así como anatomía c) El Cusco es nuestra hermosa ciudad, y debemos honrarla siempre d) Se reunieron en el parque, e hicieron un bonito día al aire libre e) Juventud divino tesoro, ya te vas para no volver La coma causal se presenta en: a) Si vas a viajar hoy, avísame b) Avísame, si vas a viajar hoy c) Iré a pasear, aunque no tenga permiso d) No fuimos al mundial de Brasil, porque no tenemos dinero e) Tienes que estudiar, para que te quede claro

llevar

signos

de

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EL SUSTANTIVO

FUNCIONES DEL SUSTANTIVO

CRITERIOS

1. Semántico 2. Sintáctico 3. Morfológico

1. Como núcleo del sujeto 2. Como núcleo de la aposición 3. Como núcleo del vocativo 4. Como núcleo del O.D. 5. Como núcleo del O.I. 6. Como núcleo del Circunstancial 7. Como núcleo del Agente 8. Como núcleo del Atributo 9. Como núcleo del Predicado nominal 10. Como núcleo del Modificador indirecto

GÉNERO DEL SUSTANTIVO

1. S. Heterónimos 2. S. de Terminación variable 3. S. Comunes en cuanto al género 4. S. Polisémicos, homónimos y diferencia de género 5. S. Epicenos

NÚMERO DEL SUSTANTIVO

1. Reglas generales para la formación del plural 2. El plural de los compuestos 3. El plural de los nombres propios

FUENTE: Elaboración propia

7.1. CRITERIOS A. CRITERIO SEMÁNTICO. El sustantivo es la palabra (categoría gramatical) con el que designamos a los seres y objetos de la realidad, tengan esta existencia independiente (concreta) o existencia dependiente (abstracta). Ej.: Mujer, perro, silla, división, caridad, amor, fiesta, garúa, velocidad, pecado, etc. B. CRITERIO MORFOLÓGICO. El sustantivo es una palabra variable porque presenta accidentes gramaticales de género (masculino y femenino) y número (singular y plural) Ej.: vecino, vecina, vecinos, vecinas. C. CRITERIO SINTÁCTICO. El sustantivo es la palabra que desempeña la función privativa del núcleo del sujeto o sintagma nominal. Ej.: Aquellas mujeres están muy felices.

7.2. FUNCIONES DEL SUSTANTIVO 1. Como núcleo del sujeto Los estudiantes están alegres. 2. Como núcleo del modificador indirecto (MI) Las hermanas de Pedro estudian muy lejos. 3. Como núcleo de la Aposición Tu amiga, la profesora, escribirá una novela. 4. Como núcleo del vocativo Jóvenes, estudien bastante. 5. Como núcleo del complemento directo (CD)

6. Como núcleo del complemento indirecto (CI) Ella compró un libro para su hijo. 7. Como núcleo del complemento circunstancial (CC) Ellos trabajan en una fábrica. Mi amiga viajará con su familia. 8. Como núcleo del atributo Ese hombre es un buen arquitecto. 9. Como núcleo del predicado nominal Aquella mujer, una buena madre.

Ese hombre trajo hermosas flores. 7.3. EL GÉNERO. CARACTERIZACIÓN50 7.3.1. SUSTANTIVO HETERÓNIMOS Expresa la diferencia gramatical masculino/femenino y, simultáneamente, la oposición de sexo ‘varón’/’mujer’ (personas) o ‘macho’/ ‘hembra’ (animales) a través de términos con diferente raíz.

50

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 81 – 126.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 31 padre / madre hombre / mujer padrino / madrina caballo / yegua toro / vaca El género se manifiesta en sus combinaciones con determinantes, cuantificadores, adjetivos y participios: Nuestro querido padre / nuestra querida madre. 7.3.2. SUSTANTIVOS DE TERMINACIÓN VARIABLE Manifiestan Las diferencias de género y de sexo por medio de morfemas en palabras de la misma raíz: niño / niña gato / gata actor / actriz barón / baronesa zar / zarina En estos nombres, el género se refleja así mismo en las combinaciones con determinantes, cuantificadores, adjetivos y participios: Algunos niños arequipeños Varias niñas cusqueñas La desinencia más común del femenino es la –a: Muchacho / muchacha Lobo / loba León / leona Pero existen otros morfemas que marcan el género, generalmente en los nombres de personas: -esa: alcalde/alcaldesa, duque/duquesa, príncipe/princesa -isa: papa/papisa, profeta/profetisa, sacerdote/sacerdotisa -triz: actor/actriz, emperador/emperatriz -ina: héroe/heroína, zar/zarina 7.3.3. SUSTANTIVOS COMUNES EN CUANTO AL GÉNERO Pueden ser masculinos o femeninos sin que su forma se vea modificada. Su género (y, por consiguiente, el sexo del referente) puede manifestarse a través de la concordancia con adjetivo y determinantes: el cónyuge/la cónyuge el pianista/la pianista este testigo/esta testigo el artista/la artista el profesional/la profesional estudiante aplicado/estudiante aplicada A.

GRUPOS DE NOMBRES COMUNES EN CUANTO AL GÉNERO. Según la terminación se clasifican en varios grupos:

A.1. ACABADOS EN –A: Astronauta, autodidacta (autodidacto), burócrata, cabecilla, centinela, demócrata, guardia, homicida, jerarca, políglota (polígloto), psicópata, turista, vigía, artista, automovilista, dentista, pianista, taxista, violinista. NOTA: El sustantivo modista generó la forma -anómala morfológicamente, pero ya extendida-modisto (varón). A.2. TERMINADOS EN –E: Conserje, cónyuge, detective, extraterrestre, hereje, intérprete, partícipe, pobre, amante, cantante, cliente, delincuente, estudiante, gerente, informante, intendente, manifestante, narcotraficante, penitente, presidente, representante, traficante, viajante. Pueden ser comunes: Cacique, jefe, sastre (masculino) Cacica, jefa, sastra (femenino) A.3. LOS QUE ACABAN EN -I (tónica o átona) O EN –Y: Ceutí, maniquí, marroquí, pelotari, yóquey. Algunos terminados en -o: Contralto, modelo, sabelotodo, soprano, testigo. A.4. QUE TERMINAN EN CONSONANTE–r, -s, -t: Mártir, prócer, lavacoches, papanatas, pelagatos, pívot, auxiliar, titular, bachiller, canciller, mercader. A.5. LOS PROCEDENTES DE ADJETIVOS QUE TERMINAN EN -AL Comensal, corresponsal, heterosexual, homosexual, industrial, profesional, colegial, zagal, concejal, fiscal y otros. B.

CAMBIOS DE CLASE: profesiones, títulos y actividades

B.1. Muchos sustantivos de persona con masculino en -o que designan cargos, títulos, empleos, profesiones y actividades diversas presentan el femenino en -a: Abogada, arquitecta, bióloga, candidata, catedrática, diputada, física, ginecóloga, ingeniera, licenciada, matemática, ministra, música, odontóloga, torera, bedela, edila, fiscala, jueza o médica. B.2. Se consideran comunes en cuanto al género los sustantivos que designan grados de la escala militar, cualquiera que sea su terminación: el soldado / la soldado un teniente / una teniente el cabo / la cabo el sargento / la sargento el comandante / la comandante NOTA: en muchos países se emplea capitana para designar al femenino de este grupo militar. B.3. Otros tratamientos, admiten los dos géneros, según haga referencia a un hombre o a una mujer: Su Alteza llegó a la hora. (varón o mujer) Su Excelencia ha sido muy (generoso/generosa) conmigo. Su Majestad era partidario de abandonar Marruecos a su suerte.

32

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7.3.4. LOS SUSTANTIVOS AMBIGUOS EN CUANTO AL GÉNERO Son nombres de terminación invariable que pueden usarse como masculino o femenino, pero sin experimentar cambios de significado. Esta ambigüedad de género se da sobre todo en singular y, a menudo, es propia de algunas variedades geográficas, así como de ciertos registros y niveles de lengua. el mar/la mar el linde/ la linde el vodka/la vodka el estambre/la estambre el azúcar/la azúcar el interrogante/ la interrogante el dote/ la dote 7.3.5. SUSTANTIVOS POLISÉMICOS, HOMÓNIMOS Y DIFERENCIA DE GÉNERO Varios términos homos o polisémicos se diferencian en su significado y también en su género: el capital-la capital el cometa – la cometa el clave-la clave el editorial – la editorial el cólera - la cólera el final – la final el frente-la frente el mañana – la mañana el coma - la coma el orden – la orden el corte - la corte el parte – la parte el cura - la cura el margen – la margen el pendiente-la pendiente 7.3.6. LOS SUSTANTIVOS EPICENOS Son los sustantivos de un solo género que designan seres vivos (animales, plantas, personas), pero que no poseen ninguna marca formal que permita determinar su sexo. Todos ellos pueden ser modificados por los términos macho y hembra, que especifican el sexo que corresponde a la entidad designada. 7.3.6.1. TIPOS DE NOMBRES EPICENOS a)

Los sustantivos epicenos son nombres de animales (en su mayoría): Búho, camaleón, cebra, culebra, hiena, hormiga, jirafa, liebre, mosca, perdiz, rata, sapo, tiburón, víbora, rinoceronte, lechuza, etc. Ejs.: La avispa (macho-hembra) La ardilla macho (macho-hembra) El hipopótamo (macho-hembra) El tiburón hembra es muy peligroso Un tiburón (macho-hembra) El tiburón hembra es muy peligrosa (incorrecto)

b)

Los sustantivos epicenos son nombres de plantas (macho y hembra): Acebo, ruda, datilera, espárrago, mamón, ombú, palmera, plátano, sauce, etc. Ej.: Ombú macho/ ombú hembra

c)

Los sustantivos epicenos son nombres de personas (varón y mujer/ masculino y femenino): Víctima, criatura, rehén y vástago, personajes, etc. Personajes (femeninos o mujer) Víctima (masculino o varón) EN ENUNCIADOS: Personaje varón de la comedia/ personaje mujer de la comedia Personaje masculino de la comedia/ personaje femenino de la comedia NOTA: Es incorrecto decir La víctima (macho-hembra) El personaje (macho- hembra)

7.4. EL NÚMERO. CARACTERIZACIÓN51 Se presenta en dos formas: SINGULAR (árbol, casa, puerta, ventana) PLURAL (árboles, casas, puertas, ventanas) 7.4.1. a) b) c) d)

e) f)

7.4.2. a)

REGLAS GENERALES PARA LA FORMACIÓN DEL PLURAL52 Los nombres terminados en vocal átona y en -á, -é, -ó tónicas hacen el plural en -s: Casas, mamás, papás, calles, yanquis, libros, tribus, sofás, cafés Las terminadas en -í, -ú tónicas tienden a admitir las dos variantes de plural: Al(h)elíes o al(h)elís, bisturíes o bisturís, esquíes o esquís, jabalíes o jabalís maniquíes o maniquís, rubíes o rubís; bambúes o bambús, gurúes o gurús, tabúes o tabús, manís o maníes. Los nombres acabados en las consonantes -L, -N, -R, -D, -Z, -J hacen el plural en -es: Cónsules, mieles, leones, caracteres, tutores, paredes, peces, relojes, especímenes, regímenes. Los nombres terminados en -S, -X que son agudos o monosílabos hacen también el plural en –es: Autobuses, compases, reveses, toses, boxes, faxes. Permanecen invariables los restantes: Las dosis, las síntesis, las tesis, los lunes, los tórax, los clímax, los bíceps, los fórceps. El plural los nombres terminados en -Y se añade -es: Ayes, bueyes, convoyes, leyes, reyes, con la excepción de algunos sustantivos no totalmente castellanizados: jerséis (o yerseis). Los sustantivos acabados en otras consonantes añaden -s para formar el plural: Acimut/acimuts o azímut/azimuts; cenit/cenits o zenit/zenits; mamut/mamuts; tic/tics; tictac/tictacs; zigurat/zigurats, clubs (clubes), albums (álbumes) EL PLURAL DE LOS COMPUESTOS53 Los compuestos (sustantivo+sustantivo, sustantivo+adjetivo, verbo+sustantivo) que constituyen una sola palabra hacen el plural como si se tratara de palabras simples, lo que equivale a decir que se pluraliza solamente el segundo elemento. Bocacalles (incorrecto = bocascalles) Casatiendas, cumulonimbos Aguafuertes, cañabravas, caraduras, cubalibres, tiovivos; buenaventuras, cortometrajes, purasangres, quintaesencias un rapapolvo/varios rapapolvos un ganapán/unos ganapanes un tragaluz/ unos tragaluces

REA - Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 127. REA - Morfología sintaxis I, 130. 53 REA - Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 152-160. 51 52

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 33 NOTA: + No se dice, pues, carasduras ni tiosvivos. +Se registran ciertas vacilaciones a la hora de tomar como base el singular o el plural. El DRAE recoge, por ejemplo, los singulares el guardabosque, el marcapaso o el pararrayo, junto con el guardabosques, el marcapasos, el pararrayos. b)

Cuando los dos sustantivos se escriben separados pero constituyen una unidad léxica en la que el segundo elemento aporta información determinativa, solo se marca el plural en el primero: Años luz, buques escuela, cafés teatro, ciudades dormitorio, globos sonda, hombres rana, muebles bar, niños prodigio, operaciones retorno, peces espada, sofás cama.

c)

Los sustantivos macho y hembra no se pluralizan tampoco cuando modifican a otro sustantivo: Las panteras macho, las avestruces hembra.

d)

Se pluraliza solo el segundo elemento en los compuestos formados por dos adjetivos, se escriban separados por guion o unidos en una sola palabra, como: Conversaciones árabe-israelíes Factores político-económicos Condiciones espacio-temporales Consecuencias político-económicas

7.4.3. a)

EL PLURAL DE LOS NOMBRES PROPIOS54 Los nombres propios no tienen plural; sin embargo, cuando se asimilan (en mayor o menor medida) a los comunes. Siguen entonces las reglas de estos, como: Las celestinas, los donjuanes, las magdalenas, los quijotes. Nunca más volverá a haber en Nicaragua Adolfos Díaz, Emilianos Chamorro, José Marías Moncada, Anastasios Somoza en el poder (Ramírez, Alba)

b)

Se emplean solo en plural los nombres propios de ciertas: CORDILLERAS: Los Alpes, los Andes, los Apeninos, los Pirineos ARCHIPIÉLAGOS: Las Antillas, las Azores, las Baleares, las Canarias, las Cíes, las Filipinas, los Galápagos PAÍSES: Emiratos Árabes Unidos, Estados Unidos, Países Bajos ALGUNAS CIUDADES: Aguascalientes, Buenos Aires, Ciempozuelos, Iquitos EJERCICIOS

1.

2.

3.

4.

5.

6. 54

La oración que lleva sustantivo como núcleo del complemento directo, es: a) Ellas trabajan en el hospital b) Dejé los libros aquí c) Eva estudia demasiado d) Tus amigos están alegres e) La casa de mi tía es amplia Los sustantivos yerno / nuera son: a) Polisémicos b) Ambiguos c) Epiceno d) Heterónimos e) Contables Los sustantivos ambiguos se encuentran en la serie de palabras: a) Armazón, cometa , estambre b) León, cónyuge, artista c) Tizne, mar, calor d) Zarina, margen, lobo e) Azúcar, tilde, modelo Los accidentes gramaticales del sustantivo son: a) Género y persona b) Número y persona c) Tiempo y modo d) Género y número e) Modo y aspecto La oración que lleva un sustantivo como núcleo del complemento indirecto, es: a) Este cuento fue leído por el niño b) Tus vecinos son artistas c) Aquí está su vestido, señorita d) Llevé panes a mi prima Rina e) Nosotros iremos con el profesor El sustantivo epiceno es:

REA - Morfología sintaxis I, 160-163.

a) b) c) d) e)

Alcalde Sauce Lobo Soldado León

7.

El sustantivo inadecuadamente pluralizado, es: a) Mieles b) Mamutes c) Reveses d) Álbumes e) Lápices

8.

La oración que lleva un sustantivo como núcleo del complemento circunstancial, es: a) Pedrito vive muy lejos b) El tío de mi amiga es bueno c) Luis fue a trabajar con su madre d) El profesor salió muy temprano e) Ese ejercicio parece sumamente difícil

9.

El sustantivo que forma su femenino con el artículo, es: a) Cometa b) Cusqueño c) Guitarrista d) Tilde e) Cóndor

10.

El sustantivo es núcleo del predicado nominal, en: a) Pedro, Pablo y Juan trabajan mucho b) Arequipa, la ciudad blanca, es hermosa c) Ella compró panes; Ana, chocolates d) Esas niñas, sumamente traviesas e) Fuertemente, ella abrazó a su novio

11.

El sustantivo desde el punto de vista semántico es: a) Representa conceptualmente seres y objetos de la realidad que tengan existencia dependiente o independiente.

34

| CEPRU2015 b) Desempeña la función privativa de núcleo del sujeto c) Presenta variaciones morfémicas d) Forma grupos nominales e) Se conceptualiza dentro de un contexto o conversación

a) b) c) d) e)

Bocascalles Ganapanes Cubaslibres Guardaspolvos Aguasfuertes

12.

La oración que lleva sustantivo como núcleo del objeto directo, es: a) Paola y Mateo juegan en el parque b) Estacioné la moto ahí c) Eduardo trabaja demasiado d) Tu hermana está cansada e) El bosque de los pinos es encantador

23.

El sustantivo que forma su femenino con el artículo, es: a) Delator b) Cónyuge c) Coyote d) Cólera e) Mar

13.

Los nombres de terminación invariable que pueden usarse como masculino o femenino, sin cambiar su significado, se denominan sustantivos: a) Ambiguos en cuanto al género b) Polisémicos, homónimos y diferencia de género c) Epicenos d) Comunes en cuanto al género e) N.A.

24.

Los sustantivos gurú y bisturí se pluralizan: a) Agregando solo el morfema “s” b) Agregando solo el morfema “es” c) Admite las dos variantes del plural d) Anteponiendo el articulo e) N.A

25.

El sustantivo ambiguo es: a) Cometa b) Editorial c) Mañana d) Interrogante e) Parte

26.

El sustantivo que admite los dos géneros, es: a) Sargento b) Comandante c) Cacique d) Excelencia e) N.A

27.

Los sustantivos comunes de dos, son: a) Joven, dentista, artista, periodista b) Margen, tilde, tizne, azúcar c) Llama, delfín, jirafa, cocodrilo d) Varón, toro, yerno, caballo e) Cometa, cura, papa, crisis

28.

En la oración Nuestra Flor de María, la amiga de José, viajó a Italia. El sustantivo que cumple la función de núcleo del sintagma nominal, es: a) María b) Flor c) Nuestra d) Flor de María e) Amiga

29.

El sustantivo cumple la función de núcleo del sujeto, en: a) Nosotros fuimos a ver las danzas cusqueñas b) Ellos participarán en un concurso internacional c) Tú y ella son perseverantes en el estudio d) Algunos llegaron temprano al CEPRU e) Escribirán poemas, aquellos jóvenes románticos

30.

En la oración Nuestra Flor de María, la amiga de José, viajó a Italia. El sustantivo que cumple la función de núcleo de la aposición, es: a) María b) Italia c) José d) Flor de María e) Amiga

31.

El sustantivo que cumple la función de núcleo del sujeto está en la oración: a) Casandra estudia la lección. b) Ella estudia Competencia Lingüística. c) Iremos al cine después del paseo. d) Ninguno vino a clases. e) Estuvo lloviendo a cántaros.

32.

El sustantivo cumple la función de núcleo del sujeto, en: a) Nosotros fuimos a ver las danzas cusqueñas b) Ellos participarán en un concurso internacional c) Tú y ella son perseverantes en el estudio d) Algunos llegaron temprano al CEPRU e) Escribirán poemas, aquellos jóvenes románticos

14.

15.

16.

17.

18.

Los sustantivos jinete / amazona son: a) Polisémicos b) Ambiguos c) Epiceno d) Heterónimos e) Contables Los sustantivos ambiguos se encuentran en la serie de palabras: a) Armazón, dote, estambre b) León, cónyuge, artista c) Actor, mar testigo d) Zarina, margen, lobo e) Azúcar, margen, modelo El nombre propio tiene valor: a) Genérico b) Denominativo c) Enumerativo d) Abstracto e) Argumental El sustantivo, desde el punto de vista morfológico, es: a) Determinativo b) Invariable c) Variable d) Individual e) Polisémico La oración que lleva un sustantivo como núcleo del complemento indirecto, es: a) Mariana escucha las noticias en la radio b) Di una maceta a la tía Antonia c) Los hermanos son pintores d) Le pido, señor mío, que espere un momento e) Ustedes vayan con el coordinador

19.

El sustantivo epiceno es: a) Tortuga b) Tigre c) Gato d) Jefa e) León

20.

El sustantivo inadecuadamente pluralizado, es: a) Mieles b) Mamuts c) Compases d) Álbumes e) Pezes

21.

El sustantivo desde el punto de vista sintáctico es: a) La palabra que funciona como adverbio b) La palabra que desempeña la función privativa de núcleo del sujeto c) El conjunto de palabras de terminación invariable d) Una palabra variable e) La palabra que indica posesión

22.

El plural de los sustantivos compuestos, manifiesta correctamente en:

se

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 35

EL PRONOMBRE

CRITERIO

1. Semántico 2. Sintáctico 3. Morfológico

RELACIONES ANAFÓRICAS Y CATAFÓRICAS DE LOS PRONOMBRES

CLASIFICACIÓN DEL PRONOMBRE

1. Construcciones anafóricas

1. P. Personales

2. Construcciones catafóricas

3. P. Posesivos

2. P. Demostrativos

4. P. Indefinidos 5. P. Numerales 6. P. Relativos 7. P. Interrogativos 8. P. Exclamativos

FUENTE: Elaboración propia

8.1. CRITERIOS A. CRITERIO SEMÁNTICO. Indica la existencia de seres sin nombrarlos directamente. El pronombre es una palabra que carece de significado preciso o exacto. Tiene significado ocasional, adquiere sentido dentro de un contexto o conversación, o sea, es una palabra no-connotativa, pues no señala cualidades o características del sustantivo. Ejemplos:  Estos estudiantes son más esmerados que aquellos.  Ellos están estudiando; nosotros estamos componiendo. A.1. EL PRONOMBRE ES UNA PALABRA NO-DESCRIPTIVA Porque señala al ser sin conceptuarlo y sin dar referencia de sus peculiaridades, ejemplo: “Ese se cayó”. A.2. EL PRONOMBRE TIENE SIGNIFICACIÓN OCASIONAL Porque es una palabra de significación vacía cuando no integra un contexto, esto es, si los pronombres se encuentran de manera aislada, no tienen significado definido, fijo y estable. A.3. EL VALOR REFERENCIAL DEL PRONOMBRE Así, cuando el pronombre se carga de significado, adquiere un valor referencial. Ejs.: Vi esa hermosa casa y la alquilé. B. CRITERIO MORFOLÓGICO. El pronombre es una palabra variable porque varía en su forma para expresar accidentes gramaticales de género, número, persona y caso. Ejemplos:  Mi idea es más moderna; la tuya, antigua.  Mis ideas son más modernas; las tuyas, antiguas  Yo estudio.  Tú estudias.  Él estudia.  Ella estudia.

36

| CEPRU2015 PERSONA GRAMATICAL CASO

Primera persona

Segunda persona

Nominativo o recto

Yo, nosotros, nosotras - Yo no lo sabía. - Nosotros ganaremos. - Nosotras somos sinceras.

Tú, vos, vosotros, vosotras - Tú no estabas allí. - Vosotros siempre tenéis razón.

Él, ella, ello, ellos, ellas - Él no ha venido. - Ella ha mejorado. - Ellas son bellas.

Me, nos - No me entienden. - Todos nos miraron.

Te, os - Te querré siempre. - Os ayudaréis. - Te adoro.

Lo, la, se, los, las, se - No lo necesito. - Recógela. - Aquel hombre se veía perdido. - Esas notas ya las he leído. - Ambos se miraron.

Dativo (OI)

Me, nos - Me duelen las muelas. - Nos van a arreglar la casa.

Te, os - Te contaré una historia de amor. - Os darán una oportunidad.

Le, se, les, se - Le presté mi bicicleta. - Se lo conté todo a mi amigo. - Les ofrezco mi casa.

Preposicional u oblicuo (TERMINAL)

Mí, conmigo Nosotros, nosotras - No te olvides de mí. - Vendrás conmigo. - Vivió con nosotros. - No te vayas sin nosotras.

Ti, vos, contigo Vosotros, vosotras - Lo compré para ti. - Quiero hablar contigo. - Iré con vos. - No me iré sin vosotras.

Él, ella, ello, sí, consigo Ellos, ellas, sí, consigo - Confiaba en él. - Pensaré en ello. - Piensa demasiado en sí mismo. - Lleva los papeles consigo. - La cometa planeaba ondulante sobre ellos. - No dan más de sí.

Acusativo (OD)

Tercera persona

C. CRITERIO SINTÁCTICO. El pronombre es una palabra, que dentro de un contexto determinado, puede funcionar como sustantivo (núcleo del sujeto) como adjetivo (modificador directo) o como adverbio (circunstancial del verbo). Ejemplos: 

Estos niños son más traviesos que aquellos. Pron. (adj.)

Pron. (sust.)



Los tuyos parecen más locuaces que mis amigos.



Mi vecino trabaja allá.

Pron. (sust.)

Pron. (adj.)

Pron. (adv.)

8.2. RELACIONES ANAFÓRICAS Y CATAFÓRICAS DE LOS PRONOMBRES55 Los pronombres personales intervienen en las relaciones de correferencia, en el sentido de que se refieren a seres mencionados en el discurso. El orden en que se establece habitualmente la correferencia es: a) CONSTRUCCIONES ANAFÓRICAS. En el cual primero aparece el antecedente y luego, el pronombre o la expresión nominal que recoge su referencia; es decir, se da cuando el pronombre asume el significado de un ANTECEDENTE, palabra anteriormente mencionada en el contexto. Ejemplos. “Al fondo, dando el pecho a su pequeñuelo, la madre lo miraba sonriente” Antecede

 

Significa “pequeñuelo” por su antecedente.

Me pidió el boleto y se lo di. Los niños habían llegado oportunamente; pero no los vimos.

b) CONSTRUCCIONES CATAFÓRICAS. Donde primero aparece el pronombre y después el consecuente o subsecuente; es decir, se produce cuando el pronombre puede asumir el significado de un sustantivo o de un sintagma todavía no mencionado. Ejemplos: - No lo busques… Pedro no vale Significa

- Esto ganamos: tres mil soles Significa

 

La secretaria le dio un mensaje; sin embargo Carlos no dijo nada. Lo dejaste salir de pronto; ya volverá ese hombre.

8.3. CLASIFICACIÓN DEL PRONOMBRE56 A. PRONOMBRES PERSONALES Son las palabras que identifican a las tres personas gramaticales que intervienen en el diálogo.

55 56

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010) ,1201-1206. Leonardo Gómez Torrego, Análisis Morfológico – Teoría y práctica (España: Editorial SM Internacional, 2011), 130-150.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 37 Persona

Número

Género

singular Primera

Caso Nominativo

Caso preposicional

yo

mí, conmigo

masculino

nosotros

femenino

nosotras

Caso acusativo me

plural

nos

singular Segunda

tú, usted

ti, contigo

te

masculino

vosotros / ustedes

femenino

vosotras / ustedes

masculino

él

lo

le, se

femenino

ella

la

le, se

neutro

ello, sí, consigo

lo

le, se

masculino

ellos

los

les, se

femenino

ellas

las

les, se

plural

singular

Caso dativo

os

Tercera

plural

A.1 LOS PRONOMBRES ÁTONOS EN RELACIÓN CON EL VERBO57 Los pronombres átonos son: me, se te, le, les, la, las, lo, los, nos, os. Al carecer de acento, los pronombres átonos se apoyan fonéticamente el verbo contiguo, por lo que se llaman también pronombres clíticos. a) PROCLÍTICO. Precede al verbo y por separado.  Lo trajeron desde un pueblo lejano.  Se la dieron.  El juez nos interrogó minuciosamente.  Te admiro cada vez más.  La nombró.  Nos vendió.  Se le informó.  Se me presentó. b) ENCLÍTICO. Se pospone al verbo fusionándose; es decir, formando con él una sola palabra.  Dijéronnos.  Contósele.  Adviérteselo.  Sácale.  Nombrola.  Vendionos.  Informósele.  Explíquemelo ahora mismo. c) LOS PRONOMBRES PERSONALES REFLEXIVOS58 En el predicado, dan referencia de la misma persona que funciona como sujeto de la oración. Sintácticamente pueden funcionar como CD y CI: Adriana se peina. CD

N

Tú te afeita el bigote. CD

N

Yo me baño. CD

N

d) LOS PRONOMBRES PERSONALES RECÍPROCOS Semánticamente, indica intercambio mutuo de acciones. Ángel y Teresa se aman. Morfológicamente, son formas plurales porque responden a varios sujetos realizados de la acción verbal: Tú y yo nos saludamos. Tú y yo nos escribimos. e) LOS PRONOMBRES CUASIREFLEJOS Eliana se cayó. Ella se durmió sola. B. PRONOMBRES DEMOSTRATIVOS. Son determinantes, pronombres o adverbios. Identifican a algo o alguien estableciendo la distancia con relación al hablante. Establecen la ubicación de los seres respecto a las tres personas que intervienen en el diálogo, o sea determinan la relación de distancia que guardan con las tres personas gramaticales. 57 58

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 1183-1211. Los pronombres reflexivos y recíprocos son una variedad de los pronombres personales. Solo aquere su valor reflexivo o recíproco en la oración (salvo las formas sí y consigo que siempre son reflexivos).

38

| CEPRU2015 Cerca de mí (1ra P.G.)

Cerca de ti (2da P.G.)

Lejos de mí y de ti (3ra P.G.)

Sustantivo y adjetivo

este, esta estos, estas

ese, esa esos, esas

aquel, aquella aquellos, aquellas

Sustantivo

esto

eso

aquello

Sustantivo y adverbio

aquí, acá

ahí

allí, allá

FUNCIÓN

 Esta historia es antigua, pero esa es moderna.  Esto es para ti. C. PRONOMBRES POSESIVOS. Son aquellas que indican posesión o pertenencia de los seres señalando a las tres personas gramaticales que intervienen en el diálogo, o sea, nombran al objeto a través del poseedor.

    

1° P.G.

2° P.G.

3° P.G.

Para un solo poseedor

mío, mía, mí/ míos, mías, mis

tuyo, tuya, tu/ tuyos, tuyas, tus

suyo, suya, su/ suyos, suyas, sus

Para varios poseedores

nuestro, nuestra, nuestros, nuestras

vuestro, vuestra, vuestros, vuestras

suyos, suyas, sus

Nuestro país es multilingüe; el tuyo, no. Mi prima es morena; la tuya es rubia. Estas monedas no son nuestras. Nuestro hermano es más inteligente que el vuestro. Las mías son más grandes que tus manos.

D. PRONOMBRES INDEFINIDOS. Son cuantificadores, proporcionan una referencia vaga, imprecisa, indefinida de los seres. Uno, algo, nada, nadie, alguien, mayoría, minoría, quienquiera, varios, muchos, tantos, demás, alguno, ninguno, cualquiera, poco, todo, otro, unos, tal, cual, medio, tanto, cuanto, bastante, demasiado.    

Alguien llamó anoche. Muchos son los llamados; pocos, los escogidos. Nadie vino a ayudarte. Otro resolvió el ejercicio.

E. PRONOMBRES NUMERALES. Son aquellas palabras que indican cantidad, orden, repetición, división y distribución de los seres. a. Cardinales: Indica cantidad exacta y proporcionan la medida numérica.  Traje cinco para todos b. Ordinales: Expresa el lugar que ocupa una determinada unidad de una serie. Indica orden, ubicación o sucesión numérica.  Los últimos serán los primeros. c. Múltiplos: Indica multiplicación o repetición.  Ahora pagarás el doble; mañana, el triple. d. Partitivos: Indican la parte o fracción de un ser.  Comí solo la mitad. F. PRONOMBRES RELATIVOS. Encabezan una proposición subordinada y hacen referencia a un sustantivo antecedente. Son: Que, (la) cual, (el) cual, (los) cuales, (las) cuales, quien, quienes, cuyo, cuya, cuyos, cuyas.       

Vino el comerciante a quien vimos en la oficina del director. El libro que se publicó ayer es muy didáctico. Quien siembra viento, cosecha tempestad. La que me dio es mi amiga. El periodista quien propaló la noticia es cusqueño. Quien dio la noticia es mi amigo. La que me llamó es mi hermana.

G. PRONOMBRES INTERROGATIVOS. Son los mismos pronombres relativos; pero estos expresan pregunta o interrogación. En este casos llevan acento enfático y se presentan entre signos de interrogación cuando la pregunta es directa. Tenemos: Qué, cuál, quién, quiénes, cuánto, cómo, dónde.  ¿Dónde naciste?  ¿Qué necesitas?  ¿Cuándo llagaste?  ¿Cómo estudias? H. PRONOMBRES EXCLAMATIVOS. Son los pronombres relativos que expresan asombro, admiración o exclamación. Tenemos: Qué, cuánto, cómo, quién...  ¡Quién diría!  ¡Qué no ocurrió!  ¡Quién lo hubiera creído!  ¡Qué será de ti!

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 39 EJERCICIOS 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

La oración que presenta pronombre construcción anafórica, es: a) No le hables, Pedro es malo b) Arnaldo es infiel, ¿lo perdonarás? c) La vi llorando a Karla d) La niña está llorando sin consuelo e) Tú, Karen, eres muy linda

b) c) d) e)

con

La, los, lo, las, le, les Mío, tuyo, suyo, nuestro, vuestro Que, quien, cual, quienes Qué, quién, cuál, dónde, cómo

12.

En la expresión Si nos preguntan algo, yo contestaré, los pronombres son: a) Demostrativos b) Posesivos c) Relativos d) Numerales e) Personales

13.

En la expresión Ustedes no se vayan sin nosotros; la parte subrayada presenta el pronombre en caso: a) Nominativo b) Acusativo c) Dativo d) Preposicional e) Proclítico

14.

La oración con pronombre personal en segunda persona, es: a) El profesor nos castigó en la salida b) Ayer te vimos en la Plaza Mayor c) Después del accidente volvió en sí d) Vive conmigo ella, tu hermana e) Yo le presté un libro de Aritmética

La expresión que presenta el pronombre con función sustantiva, es: a) Pocos alumnos aprobaron el examen b) Varios vecinos protestan en la calle c) Mi vecino trabaja allá d) Alguien llamó ayer e) Otro obrero resultó herido

15.

De acuerdo al criterio morfológico, el pronombre presenta: a) Flexiones de tiempo, persona, género y caso b) Flexiones de género, número, persona y modo c) El sustantivo como núcleo del sujeto d) Flexiones de género, número y persona e) Flexiones de género, número, persona y caso

En la oración Alicia les lleva muchos caramelos, el pronombre funciona como: a) Modificador directo b) Complemento indirecto c) Complemento directo d) Complemento circunstancial e) Sujeto

16.

En la expresión No sé lo que me pasa, solo pienso en ti; el pronombre subrayado está en caso: a) Dativo b) Nominativo c) Proclítico d) Preposicional e) Acusativo

La expresión que presenta el pronombre función adjetiva, es: a) Nuestro país es multilingüe, el vuestro no b) Ella duerme conmigo todas las noches c) Todo esto es para ti d) Aquellos ganaran el concurso e) Ese es el hombre de quien te hablaron

17.

El pronombre, de acuerdo al criterio sintáctico, funciona como: a) Adjetivo, modificador indirecto b) Sustantivo, núcleo del sujeto c) Sustantivo, núcleo del predicado d) Adverbio, predicativo e) Verbo, modificador directo

La oración que presenta pronombre en caso dativo, es: a) Me besó sorpresivamente en la calle b) Tú no sabes amar ni ser amada c) Nos van a comprar un automóvil d) Quiero bailar contigo en la fiesta e) Yo te amo mucho aunque no lo parece

18.

En la oración Aquel compró un departamento elegante; la palabra subrayada funciona como pronombre: a) Adjetivo b) Sustantivo c) Adverbio d) Personal e) Indefinido

19.

En la oración Los triunfos son para nosotros; el pronombre está en caso: a) Nominativo b) Dativo c) Acusativo d) Preposicional e) Complemento directo

20.

En la oración La acosaban porque era muy atractiva; la palabra subrayada, es pronombre: a) Demostrativo b) Numeral c) Interrogativo d) Personal e) Posesivo

21.

La oración Juan se peina sin mirarse en el espejo, el pronombre personal subrayado funciona como: a) Núcleo del predicado verbal b) Complemento indirecto c) Complemento directo d) Complemento circunstancial e) Predicativo

En la oración Los compró en el mercado de polvos celestes; la palabra subrayada, pronombre, cumple la función de: a) Núcleo del sujeto b) Complemento circunstancial c) Complemento directo d) Complemento indirecto e) Modificador directo La oración que presenta pronombre construcción catafórica, es: a) Me pidió el boleto y se lo di b) Al Perú, lo debemos amar y respetar c) Lo dejaste salir; ya volverá ese hombre d) Anabel es mi amiga, ella me respeta e) Ustedes cantaron toda la noche

con

En la oración Quiero saber quién tuvo la culpa, se registra pronombre: a) Demostrativo b) Posesivo c) Interrogativo d) Indefinido e) Personal La oración que presenta exclamativo, es: a) ¡Qué mujer! b) ¡Qué ruido! c) ¡Qué barbaridad! d) ¡Qué dices! e) ¡Qué tontería!

un

pronombre

La expresión que presenta el pronombre personal LO, es: a) Lo mejor vendrá más tarde, pensó b) Lo efímero no es importante, dice mi abuela c) Lo malo pasará muy pronto, comentan ellas d) Lo bueno debe ser duradero, desea mi vecina e) Lo amaré como a nadie, dijo ella La serie de pronombres relativos, que funcionan como nexo de la proposición subordinada, es: a) Muchos, pocos, varios, cierto, alguien, nadie

con

40

| CEPRU2015

EL VERBO

ACCIDENTES GRAMATICALES DEL VERBO

CRITERIOS

1. 2. 3. 4. 5. 6.

1. Semántico 2. Sintáctico 3. Morfológico

Número Persona Tiempo Modo Aspecto Voz

CLASIFICACIÓN DEL VERBO

1. POR SU FUNCIÓN O PREDICACIÓN a) Copulativos b) No copulativos CRITERIOS  Transitivo  Intransitivo  Reflexivos o reflejos  Cuasireflejos  Impersonales 2. POR SU FORMA O CONJUGACIÓN a) Regulares b) Irregulares c) Defectivos e incompletos d) Unipersonales o terciopersonales

FORMAS VERBALES

PERÍFRASIS VERBAL

1. P. V. del Infinitivo 2. P. V. del Gerundio 3. P. V. del Participio

1. Raíz verbal 2. Desinencia

LOS VERBOIDES

1. V. del Infinitivo 2. V. del Gerundio 3. V. del Participio a. Activo b. Pasivo  Regular  Irregular

FUENTE: Elaboración propia

9.1. CRITERIOS A. CRITERIO SEMÁNTICO. Es la palabra que expresa una acción, un proceso o un estado con la posibilidad de expresarlos en distintos tiempos. Ejemplos: Ella camina por la pradera. (Acción) Karen está feliz. (Estado) El postulante es estudioso. (Existencia) Jesús nos amó a todos. (Pasión) Aquel obrero duerme muy poco. (Inacción) Andrea vive en San Jerónimo. (Proceso) B. CRITERIO MORFOLÓGICO. Es una palabra variable, pues presenta accidentes gramaticales de número, persona, tiempo, modo y aspecto (la gramática tradicional considera la voz y no el aspecto) C. CRITERIO SINTÁCTICO. Es la palabra independiente que funciona como núcleo del predicado verbal, ya sea simple compuesto o perifrástico. Ejemplos: Yo amo a mi madre. (Verbo simple) N.P

Adolfo ha comprado un libro de gramática española. N.P

Alicia tiene que viajar mañana. N.P

(Verbo compuesto) (Perífrasis verbal)

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 41 9.2. LOS ACCIDENTES GRAMATICALES DEL VERBO59 A. EL NÚMERO. Expresa la cantidad de personas que realizan o reciben la acción del verbal. Número singular (una sola) Número plural (dos o más) Ejemplos: SINGULAR

PLURAL

(yo) canto, (tú) cantas, (él) canta

(nosotros) cantamos, (vosotros) cantáis, (ellos) cantan

B. LA PERSONA. Señala si la acción verbal es realizada o recibida por la persona. Quien habla (1ra P.G.) trabajo, trabajamos A quien se habla (2da P.G.) trabajas, trabajáis De quien se habla (3ra P.G.) trabaja, trabajan C. EL TIEMPO. Indica la época o momento en que se realiza la acción verbal.

TIEMPOS VERBALES (La Gramática Estructural contempla)

TIEMPOS FUNDAMENTALES Pasado (pretérito) Presente Futuro Ejemplos: Salté, salto, saltaré

 

Tiempo simple Tiempo compuesto



TIEMPO SIMPLE. Una sola palabra expresa la significación del verbo: el verbo principal o conjugado. Ejemplos: Ana preparó asado de cordero. La secretaria redacta documentos oficiales. Pedro come pastel de choclo.



TIEMPO COMPUESTO. Dos palabras expresan la significación del verbo: el verbo auxiliar haber más el verbo principal en participio pasivo. Ejemplos: Mónica ha viajado a Huancayo. Ella ha leído una novela indigenista. Habíamos pensado en el problema toda la noche. Alfredo ha escrito una carta.

D. EL ASPECTO. Señala si la acción verbal está: Concluida (aspecto perfectivo) o en ejecución (aspecto imperfectivo). Ejemplos: Juan condujo el ómnibus. (Aspecto perfectivo) Juan conduce el ómnibus. (Aspecto imperfectivo) E. EL MODO. Señala la actitud o intención del hablante. Existen cuatro modos verbales: a) Modo indicativo. Se suele usar para presentar un hecho como real y objetivo. El hablante ve los hechos como seguros. Ejemplos: La Tierra gira alrededor del Sol. España participará en los mundiales de atletismo. b) Modo subjuntivo. Se suele usar para presentar un deseo, un hecho posible o un hecho irreal. El hablante no ve los hechos como reales. Ejemplos: ¡Ojalá llueva! Me hubiera gustado ser invisible. Queremos que Manuel escriba poemas. Tal vez viajen a Juliaca. c) Modo imperativo. Se usa para dar órdenes o para pedir algo al oyente. Existen formas imperativas para la 2ª persona del singular y para la 2ª persona del plural, tanto con las formas de tuteo o voseo como con las de respeto. También pertenece al imperativo la 1ª persona del plural. Ejemplo: Permanezca sentado. Cerrad la ventana. Baja el volumen. Mantengamos la calma. Venid conmigo. Cierra la puerta. * LA VOZ. Es el fenómeno morfosintáctico que indica: - Si el sujeto realiza la acción verbal (voz activa) o - La recibe (voz pasiva) NOTA: La voz es considerada como accidente verbal solo por la Gramática Tradicional, no por la Gramática Estructural. Ejemplos: El profesor asesora a los alumnos. (Voz activa) Los alumnos son asesorados por el profesor. (Voz pasiva) Ese muchacho lee El Quijote. (Voz activa) El Quijote es leído por ese muchacho. (Voz pasiva) El fuego devoró la madera. (Voz activa) La madera fue devorada por el fuego. (Voz pasiva)

59

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010) ,181-196.

42

| CEPRU2015

9.3. FORMAS VERBALES O CARACTERÍSTICAS60 El verbo admite formas distintas y resulta de combinar la raíz verbal con las desinencias. Las formas verbales tienen: 9.3.1. La raíz verbal (radical, lexema). Es la parte más importante de la palabra porque informa la acción y el estado del que trata. Resulta de quitar al infinitivo su terminación: ar, er, ir. Ejemplo: cont- ar, beb- er, viv- ir 9.3.2. a. b. c. d.

Las desinencias. Son las terminaciones de carácter gramatical que se añaden a la raíz para obtener distintas formas verbales. Informan sobre persona, número, tiempo y modo de la forma verbal. Ejemplo: Cont- aban, beb- ían, viv- imos La vocal temática (VT). Es el constituyente flexivo que distingue las conjugaciones junto a la raíz. (1ª conjugación en a; 2ª conjugación en e; 3ª conjugación en i) Morfema de tiempo y modo (TM). Indica cuándo se realiza una acción. Morfema de persona (P). Se refiere a si la acción la realiza el hablante, el oyente o un tercero. Morfema de número (N). Nos permite saber si es plural o singular. COMPONENTES DE LAS FORMAS VERBALES

Raíz o lexema (radical) saltsaltsaltsaltsaltsalt-

Desinencias 1ª Conjugación (vocal temática)

Pretérito imperfecto

-a-a-a-a-a-a-

-ba-ba-ba-ba-ba-ba-

Persona

Número

-s

1ª 2ª 3ª

Singular

-mos -is -n

1ª 2ª 3ª

Plural

9.4. PERÍFRASIS VERBAL61 Es la combinación de un verbo auxiliar y un verbo auxiliado, construido en forma no personal, sin dar lugar a dos predicaciones distintas y funcionan en la oración como un solo núcleo del predicado. 9.4.1. PERÍFRASIS DE INFINITIVO Verbo auxiliar + infinitivo Verbo auxiliar + nexo + infinitivo      

Obligación o necesidad: He de ir al colegio, tengo que ir, debo ir Posibilidad: Puedo ir, debo de ir Principio de acción verbal: Voy a estudiar, me pongo a estudiar, empiezo a estudiar, me echo a leer Terminación de acción: Dejo de trabajar, acabo de trabajar, termino de trabajar Aproximación: Viene a costar diez nuevos soles Repetición: Vuelvo a trabajar.

9.4.2. PERÍFRASIS DE GERUNDIO Verbo auxiliar + gerundio  Duración o progresión: Estoy comiendo, anda tonteando, voy tirando, lleva estudiando, sigue estudiando  Aproximación: Viene tardando dos horas 9.4.3. PERÍFRASIS DE PARTICIPIO Verbo auxiliar + participio  Terminación de acción: Lleva hechos tres ejercicios.  Aproximación: Te tengo dicho que te calles. 9.5. LOS VERBOIDES (FORMAS VERBALES NO PERSONALES)62 Se denominan verboides porque tienen forma de verbos, pero no funcionan como tales y adoptan las funciones de:  Infinitivo (sustantivo)  Gerundio (adverbio)  Participio (adjetivo) 9.5.1. 



9.5.2. 

EL INFINITIVO. Es la forma sustantiva del verbo y cumple la función de núcleo del sujeto. Simple: sus terminaciones son: ar, er o ir. Amar, beber, vivir. Ejemplos: El amar es maravilloso. El beber calma la sed. El vivir en paz es tarea de todos. Compuesto: se forma con verbo auxiliar haber más participio. Haber amado, haber bebido, haber vivido. Ejemplos: El haber amado fue lo mejor. El haber vivido contigo fue fascinante. EL GERUNDIO. Es la forma adverbial del verbo y cumple la función de circunstancial (expresa la acción en desarrollo) Simple: Termina en: ando o iendo. Bebiendo, Amando, viviendo. Ejemplos: Ella vive amando. Eliseo trabaja acarreando agua. Él sueña viviendo feliz.

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 188-196. REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 2105-2213. 62 REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 1961-2100. 60 61

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 43 

9.5.3.

Compuesto: Se forma con verbo auxiliar habiendo más participio. Ejemplos: Habiendo sufrido ahora vive tranquilo. Habiendo concluido mi trabajo, comí la cena. Habiendo bebido bastante, me iré. EL PARTICIPIO. Es la forma adjetiva del verbo. Existen dos clases de participios: activo y pasivo. a) El participio activo: termina en "ante", "iente" o "ente". Ejemplos: Amante, participante, sonriente, oyente, saliente, obediente. También se considera el participio activo terminado en: “ador”, “edor”, “idor”. Ejemplos: Creador, amador, gobernador, hacedor, oidor. b) El participio pasivo. adopta las siguientes terminaciones:  Participio pasivo regular, termina en: ado(s), ada(s), ido(s) o ida(s). Ejemplos: Niño amado, momento vivido, automóvil vendido, princesa amada, mochila perdida. La policía encontrará a los rehenes atados. Un edificio custodiado por la policía. El libro traducido se perdió. 

Participio pasivo irregular, termina en: cho(s)(a)(s), to(s)(a)(s), so(s)(a)(s), jo(s)(a), vo(s)(a). Ejemplos: Cliente satisfecho, documento escrito, libro impreso, postizo fijo

9.6. CLASIFICACIÓN DEL VERBO 9.6.1. POR SU FUNCIÓN O PREDICACIÓN (CRITERIO SINTÁCTICO) A. VERBOS COPULATIVOS. Son aquellos que sirven de enlace, nexo o cópula entre el sujeto y el PREDICATIVO (sustantivo o adjetivo).Estos verbos carecen de significación concreta o real, o sea no dan el sentido completo a la oración. Tenemos: SER y ESTAR, aunque también funcionan como verbos copulativos: quedar, parecer, permanecer, resultar, constituir, yacer, soler, semejar, etc. Ejemplos: Alejandro es abogado. Mi compañero está alegre. Aquel animal parece muy salvaje. B. VERBOS NO COPULATIVOS. Son aquellos que poseen significación real o concreta. Por sí solos conforman un predicado. Pueden ir acompañados de modificadores o prescindir de ellos. Se les denominan también verbos predicativos. Estos verbos se subdividen de !a siguiente manera: B.1. VERBOS TRANSITIVOS. Son aquellos que presentan complemento directo (CD) y pueden transitar de la voz activa a la voz pasiva. Ejemplos: Mi vecina lava su ropa. V.TR.

CD

Cayetana trajo noticias buenas. V.TR.

CD

Arnaldo escribe hermosas poesías. V.TR.

CD

La novia cuenta las estrellas. V.TR.

CD

Todos nosotros los aplaudimos por lo presentado. CD

V.TR.

B.2. VERBOS INTRANSITIVOS. Son aquellos que no tienen complemento directo (CD). Ejemplos: Mi vecina lava en el río. V.INTR.

Tú lees con tus padres. V.INTR. Ella trabaja en el municipio. V.INTR.

Roberto viajará a Tarapoto. V. INTR.

B.3. VERBOS REFLEXIVOS O REFLEJOS. Son aquellos cuya acción verbal se refleja o recae sobre el mismo sujeto que la realiza, utilizan los pronombres personales: me, te, se; funciona como objeto directo u objeto indirecto. El carácter reflexivo del verbo se comprueba si este acepta el refuerzo "mismo" o “misma". Ejemplos: Yo me baño. (a mí mismo) CD

Tú te

V.REF

peinas.

CD

(a ti mismo)

V.REF

Ella se

lava las manos.

CI

V.REF

(a sí misma)

CD

B.4. VERBOS CUASI-REFLEXIVOS, CUASI-REFLEJOS O REFLEXIVOS DE FORMA. Son aquellos que a pesar de utilizar los pronombres personales: me, te, se, nos, (os), estos no funcionan como CD ni como CI, sino como signos del cuasi-reflejo. (dan énfasis) Además estos verbos no aceptan el refuerzo "mismo" o "misma". Ejemplos: Yo me voy. V.C-R.

Tú te ríes. V.C-R

Ella se durmió. V.C-R.

Nosotros nos fuimos por la carretera. V.C-R.

B.5. VERBOS RECÍPROCOS. Son aquellos que tienen dos o más núcleos en el sujeto (o un sujeto en número plural) que ejercen una acción verbal mutua entre ellos mismos. Estos verbos utilizan como objeto directo u objeto indirecto, los pronombres personales: se, nos, (os).

44

| CEPRU2015 Acepta el refuerzo "mutuamente", “el uno al otro”, “entre sí” o "recíprocamente". Ejemplos: Tú y yo nos amamos. CD

V. REC.

Ellos se cuentan chistes. CI

V.REC.

CD

Frank y Alex se dictan las respuestas. OI

V.REC.

CD

B.6. VERBOS IMPERSONALES. Son aquellos cuyo sujeto se desconoce o no se precisa con exactitud. Además estos verbos no pueden conjugarse con ninguna persona gramatical. Los verbos impersonales o formas no personales del verbo pueden ser de cuatro tipos: a) Verbos que se refieren a fenómenos de la naturaleza: Llovió en Cusco. V.IMP.

Nevó en Chicón. V.IMP.

b) Los verbos haber, hacer, ser y estar en algunos casos: Hubo protesta. V.IMP.

Hizo frío. V.IMP.

Es muy tarde. V.IMP.

Está garuando. V.IMP.

c) Verbos personales empleados en tercera persona plural que actúan como impersonales porque no se conoce o no se quiere dar a conocer el sujeto: Cuentan que viajaste a Europa. V.IMP.

Tocan el timbre. V.IMP.

d) Verbos impersonales por efecto del signo de impersonalidad pronominal "se". Se traspasa local comercial. V.IMP.

Se reciben pensionistas. V.IMP. Se necesita ama de casa. V.IMP.

9.6.2. POR SU FORMA O CONJUGACIÓN (CRITERIO MORFOLÓGICO) A. VERBOS REGULARES. Son aquellos que al ser conjugados no se alteran sus raíces, solamente su terminación. Amar = amo, amas, ama, amamos, amáis, aman, amé, amaste, amo, amaron, etc. Cantar = canto, cantas, canta, cantamos, cantáis, cantan, canté, cantaron, cantarás, etc. Comer = como, comes, come, comemos, coméis, comen, comí, comiste, etc. B. VERBOS IRREGULARES. Son aquellos en cuya conjugación aparecen alteraciones en la raíz, en la terminación o en ambos a la vez. Soñar = soñamos, soñaste, soñaría, sueño, sueñas, sueñan, etc. Rogar = rogaré, rogamos, ruegas, ruego, ruegan, rogaron, etc. Dormir = dormimos, dormiste, dormí, duermo, duermes, etc. Existen verbos que tienen más de una raíz: Ser = soy, era, fui, seré. Ir = voy, iba, fui, iré C. VERBOS DEFECTIVOS. Son aquellos que presentan un cuadro flexivo incompleto, o sea no se conjugan completamente. Carecen de algunos tiempos, números, y personas. Esto se debe al propio significado del verbo que haría ilógico el uso de algunas formas verbales. Ejemplos: Abolir, transgredir, acontecer, atañer, concernir, aterirse, balbucir, blandir, despavorir, embaír, empedernir, incoar, incumbir, manir, soler, preterir, etc. Ramón Castilla abolió la esclavitud. V.DEF.

D.

VERBOS UNIPERSONALES O TERCIOPERSONALES. Son aquellos verbos defectivos que solo pueden conjugarse en la tercera persona gramatical. Corresponden a este grupo todos los verbos onomatopéyicos de animales, objetos, fenómenos de la naturaleza (menos onomatopeyas humanas). Ejemplos: Aullar, bramar, cloquear, crepitar, croar, chirriar, graznar, ladrar, relinchar, retumbar, etc. El perro ladra. V.U-T

La ametralladora traquetea. V.U-T.

9.7.

VERBOS AUXILIARES Son aquellos que sirven de ayuda para expresar la significación de los demás verbos. Estos son: ser, haber y estar. a) SER: Sirve para formar la voz pasiva. Gianmarco interpreta un tema nuevo. (V. activa) N

Un tema nuevo es interpretado por Gianmarco. N

b) HABER: Sirve para formar los tiempos compuestos. Jugué tenis con Fredy. (T. simple) N

He jugado tenis con Fredy. V.aux.

(T. compuesto)

c) ESTAR: puede actuar como auxiliar de un gerundio. Estoy amando apasionadamente. V. aux. Gerundio

Están preparando el almuerzo. V. aux. Gerundio.

(V. pasiva)

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 45 EJERCICIOS

1)

En la oración Me comprenderás, el verbo es: a) Recíproco b) Reflexivo c) Cuasi – reflexivo d) Transitivo e) Defectivo

2)

Los términos frito y bendito, son: a) Gerundio compuesto b) Participio pasivo irregular c) Infinitivo compuesto d) Participio regular e) Verboide infinitivo

3)

La oración Yo te voy a amar siempre, el núcleo del predicado verbal es: a) Verboide infinitivo simple b) Participio pasivo c) Perífrasis verbal d) Verboide gerundio compuesto e) Verbo simple

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

b) Los alcaldes favorecen a los transeúntes c) Se dará cumplimiento inmediato a la resolución d) Los usuarios preguntan sobre la avalancha de lodo e) Andrés resolvió todos los ejercicios matemáticos 12)

La oración en tiempo compuesto es: a) Ella quiere viajar a Santiago de Chile b) Cuando estaba lloviendo, se produjo el accidente c) Todos decidieron caminar para colaborar con la naturaleza d) Está escrito en la Ley Sagrada: La Biblia e) Nosotros hemos saludado esa buena acción

13)

La oración que tiene verbo copulativo, es: a) Carmen está en el patio b) Aldo está caminando c) Ella trabaja en el municipio d) Yo soy profesor e) Ellos estudian aritmética

En la expresión Algunos desalentaron a los participantes. La raíz del verbo es: a) Alentar b) Desalent c) Alent d) Alentaron e) Dsalentar

14)

En la oración Bailar constituye un ejercicio físico, la palabra subrayada es un verboide: a) Infinitivo compuesto con función de verbo b) Participio con función de adjetivo c) Gerundio simple con función de adverbio d) Infinitivo simple con función de sustantivo e) Gerundio compuesto con función de adverbio

En el enunciado El narrador término subrayado es: a) Participio Activo b) Infinitivo Compuesto c) Participio Pasivo d) Gerundio Compuesto e) Participio Pasivo Irregular

15)

La oración La concursante cantó un hermoso tema andino, el verbo presenta aspecto: a) Imperfectivo b) Potencial c) Indicativo d) Durativo e) Perfectivo

En la oración Los obreros han salido a protestar, El núcleo del predicado verbal es: a) Verbo simple b) Infinitivo c) Participio simple d) Verbo compuesto e) Gerundio compuesto

16)

La serie de participios activos es: a) Amando – soñando – veraneando – viviendo b) Participar – correr – poner – disolver c) Presidente – amante – sobreviviente – oyente d) Mutilado – diseñado – leído – tachado e) Dicho – escrito – compuso – propuso

El verbo irregular es: a) Salta b) Lloro c) Comen d) Somos e) Amarán

17)

La oración con verbo copulativo es: a) Ojalá esté contento en ese lugar b) Los amigos han viajado muy lejos c) Todos cuentan historias de amor d) Los docentes conversan con sus alumnos e) Esa mujer está demasiado preocupada

18)

La oración con verbo intransitivo es: a) Nosotros leemos buenos libros b) Ellos ayudan a los necesitados c) Tú te afeitas todos los días d) Ella se fue sin despedirse e) Mi prima estudia en el ICPNA

19)

La oración con verbo irregular es: a) Ellos comían asado de cordero b) Alguien recibió un premio fabuloso c) Escuchaba con entusiasmo la melodía d) Los extraterrestres sí existen e) Yo voy temprano a la universidad

20)

El verbo SER funciona como auxiliar en: a) La universidad es un centro de superación b) Esa enseñanza será la mejor del país c) La juventud es el tesoro de un país d) Ella fue corriendo por la calle e) El texto fue analizado por mi compañero

La oración Juan se peina sin mirarse en el espejo, el verbo funciona como: a) Núcleo del predicado verbal b) Núcleo de predicado nominal c) Objeto directo d) Circunstancial e) Predicativo El verbo intransitivo se aprecia en: a) Anita canta una hermosa melodía b) Llamaran al presidente c) La profesora explica en el aula d) El pollino pateó al campesino e) Yo escribo poemas durante la noche El gerundio compuesto se presenta en: a) Haber amado fue lo mejor b) El alumno ha resuelto los ejercicios c) Querer es poder d) Habiendo aprobado se fue a Lima e) Ella vive amando intensamente La acción verbal en aspecto perfectivo está en a) Todos los ambientes serán saneados

es mi amigo, el

46

| CEPRU2015

EL ADJETIVO

CLASIFICACIÓN DEL ADJETIVO

CRITERIOS

1. Semántico 2. Sintáctico 3. Morfológico DETERMINATIVOS

CALIFICATIVOS

CLASES

GRADOS

1. Especificativos 2. Explicativos 3. Epítetos

1. G. Positivo 2. G. Superlativo 3. G. Comparativo

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Demostrativos Posesivos Indefinidos Numerales Relativos Interrogativos Exclamativos Gentilicios

FUENTE: Elaboración propia

10.1. A.

CRITERIOS CRITERIO SEMÁNTICO. Los adjetivos “aportan contenidos que se predican de un nombre o de un grupo nominal. A menudo denotan cualidades, propiedades, tipos y relaciones, pero también cantidades, referencias de tiempo o de lugar, entre otras nociones.”63 Es decir, el adjetivo agrega información a los sustantivos. Dicha información puede referirse a cualidades, características, tipos, relaciones, cantidad, referencias de tiempo o de lugar, entre otras nociones. Por ejemplo: Significados

ADJETIVOS

SUSTANTIVOS

ADJETIVOS

de cualidad

señorita

inteligente

de propiedad

computadora

moderna

de tipo

reloj

solar

de relaciones

Política

pesquera

de cantidad

numerosos

libros

de tiempo

actual

director

de lugar

paseo

(relacionada con la pesca)

campestre

Además, se dice también que el adjetivo es la clase gramatical que modifica al sustantivo ya sea calificándolo o determinándolo. Ejemplo: esas

morenas

sus

amables

algunas

vanidosas

cuyas

cusqueñas

cuántas

dos DETERMINAN posesión ubicación cantidad imprecisión interrogación

63

bonitas dedicadas SUSTANTIVO

CALIFICAN cualidades característica defectos virtudes procedencia

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 69.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 47

B.

CRITERIO MORFOLÓGICO. El adjetivo “se caracteriza por presentar flexión de género y número. En este sentido son palabras variables. En ellas el género y número no son inherentes, ya que no poseen significado propio. Por el contrario su finalidad es mostrar la concordancia con el nombre.”64 Es decir, el género y número del adjetivo se determina por el género número del sustantivo. lexema

esest-

Flexivo de género

Flexivo de número

lexema

-s -s

librcas-

-o -a ADJETIVO

Flexivo de género

Flexivo de número

Flexivo de género

lexema

-o -s -a -s SUSTANTIVO

nuev nuev

Flexivo de número

-o -a ADJETIVO

-s -s

EL ADJETIVO ES UNA PALABRA DE INVENTARIO ABIERTO El adjetivo es considerado, lexicológicamente, de inventario abierto, pues su vocabulario va en aumento continuamente. Ejemplo: SUSTANTIVOS Nuevos Adjetivos Jóvenes cibernautas Contraseña crackeada Sociedad globalizada documento escaneado C.

CRITERIO SINTÁCTICO. El adjetivo funciona como modificador directo del sustantivo, como predicativo o atributo del verbo copulativo, y como núcleo del predicado nominal. Ejemplos:

a) Como modificador directo del sustantivo:

Algunas

niñas

estudiosas

M.D.

N

M.D.

b) Como predicativo o

Algunos

alumno s

antoniano s

están

preocupados

M.D.

N

M.D.

verbo

Pvo.

atributo:

c) Como núcleo del predicado nominal:

Mi

caballo

blanco

es

veloz

M.D.

N

M.D.

verbo

Atrib.

Este

gato

cenizo

,

muy

fino

M.D.

N

M.D.

Adv.

Adj.

M.D.

N

coma

El adjetivo “es el núcleo de los grupos adjetivales, que funcionan como modificadores del sustantivo…”65.

10.2.

El El

vecino abogado

compró hizo

la una

SUSTANTIVOS casa propuesta

más

GRUPOS ADJETIVALES linda llena de complejidades.

Art .

sustantivo

verbo

art.

sustantivo

adverbio

adjetivo

Prep.

N

M.D.

N

E

sustantivo

GRADOS DE SIGNIFICACIÓN DE ADJETIVO CALIFICATIVO Los adjetivos calificativos pueden expresar las cualidades o estados en distintos grados de intensidad. Los grados son:

A. GRADO POSITIVO. Expresa una cualidad que se atribuye a un ser o a un objeto (sustantivo) tal cual es. Mujer hermosa B. GRADO COMPARATIVO. Nombra la cualidad del sustantivo estableciendo una comparación. Presenta tres formas: a) Comparativo de superioridad Esta mujer es más hermosa que aquella. b) Comparativo de igualdad Esta mujer es menos hermosa que aquella. c) Comparativo de inferioridad Esta mujer es tan hermosa como aquella. C. GRADO SUPERLATIVO. Nombra a la cualidad en su grado máximo. Puede ser de dos formas: C.1.

Superlativo Absoluto. dimensiona la cualidad en sumo grado, sin establecer ninguna comparación. El grado superlativo absoluto puede ser de dos tipos: a) Grado superlativo absoluto perifrástico. El adjetivo en grado positivo “es modificado por adverbios como: muy, extremadamente, sumamente, extraordinariamente, notablemente, excesivamente, etc., o por expresiones adverbiales como: en grado sumo, en extremo, en alto grado, etc.” Mujer muy hermosa Mujer extremadamente hermosa Mujer sumamente hermosa Mujer excesivamente hermosa b) Grado superlativo absoluto sintético. Tiene dos formas: 1ra. Forma. Si el adjetivo termina en re o ro, se le añade “érrimo(a)”. Ejemplos: pobre libre pulcro áspero

64 65

paupérrimo libérrimo pulquérrimo aspérrimo

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 69. REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 69.

salubre íntegro mísero acre

salubérrimo integérrimo misérrimo acérrimo

Se exceptúan: ilustre y diestro que añaden el sufijo “ísimo”.

48

| CEPRU2015 2da.Forma. Si el adjetivo tiene otras terminaciones, se le añade el sufijo “ísimo(a)”. Ejemplos: Mujer hermosísima. amable amabilísimo nuevo novísimo sagrado sacratísimo bueno bonísimo grave gravísimo fuerte fortísimo loable loabilísimo sabio sapientísimo noble nobilísimo pequeño pequeñísimo valiente valentísimo magnífico magnificentísimo benévolo benevolentísimo frío frigidísimo fiel fidelísimo

C.2.

Superlativo Relativo. Maximiza o minimiza la cualidad en relación a todos de una misma clase o especie. Ejemplos: a) G.S.R. DE SUPERIORIDAD. Ejemplo: Esta mujer es la más hermosa del Cusco. b) G.S.R. DE INFERIORIDAD. Ejemplo: Esta mujer es la menos hermosa del Cusco.

D. COMPARATIVOS Y SUPERLATIVOS IRREGULARES EN ESPAÑOL Existen en español unos cuantos adjetivos que forman el comparativo y el superlativo en forma irregular, es decir, cambiando de radical. FORMAS ESPECIALES O IRREGULARES ADJETIVOS SINCRÉTICOS COMPARATIVO SUPERLATIVO (superioridad) (absoluto)

POSITIVO bueno(a) malo(a) alto(a) bajo(a) grande pequeño(a)

mejor peor (superior)66 (inferior) mayor menor

óptimo (a) pésimo (a) supremo (a)sumo (a) ínfimo (a) máximo (a) mínimo (a)

Podemos decir que estas son formas sintéticas, en general propias del lenguaje culto, para expresar los grados. Sin embargo, se puede dar a entender lo mismo también en forma analítica, así: Este arbusto es mayor que ese. sustantivo

adjetivo

Este arbusto es más alto que ese. sustantivo

Ejemplos: 10.3.

adv. adjetivo

(Forma sintética) (Forma analítica)

Este libro es mejor que el otro. La película "Hombre Araña 3" es peor que "Hombre Araña 2". La selección peruana es superior a la chilena. Los jugadores brasileños fueron inferiores a los bolivianos. Esta silaba tiene mayor fuerza de voz que la otra. “Equis” es menor que “ye”

CLASIFICACIÓN DEL ADJETIVO

10.3.1. ADJETIVOS CALIFICATIVOS Los adjetivos calificativos son palabras que expresan cualidades o estados del sustantivo al cual modifican. Ejemplo: Mañana lluviosa. Los adjetivos calificativos tienen los siguientes usos: a) ADJETIVO CALIFICATIVO ESPECIFICATIVO. Es el adjetivo que modifica al sustantivo indicando una cualidad; sirve para precisar de qué sustantivo se trata, para especificarlo. Ejemplos: Hombre bueno, mujer pobre, alumno grande. b) ADJETIVO CALIFICATIVO EXPLICATIVO. En las construcciones explicativas, el adjetivo calificativo aparece entre pausas concordando con un sustantivo. Suelen aportar una explicación i justificación. Ejemplos: Los jugadores, contentos con el resultado, lo celebraron juntos. Contentos con el resultado, los jugadores lo celebraron juntos. Las nubes, grises y espesas, amenazaban lluvia. Grises y espesas, las nubes amenazaban lluvia. Los estudiantes, que no eran tontos, advirtieron el engaño. c) ADJETIVO CALIFICATIVO EPÍTETO. Es el adjetivo que señala una cualidad propia del sustantivo y sirve para dar énfasis a la expresión, tiene la intención estética y poética. Ejemplos: duro mármol, blanca nieve, árido desierto, verde prado, ardoroso estío, roja sangre, negro carbón, frío hielo, verde hierba 10.3.2. ADJETIVOS DETERMINATIVOS Los adjetivos determinativos precisan la extensión o relación respecto al sustantivo. Los adjetivos determinativos se consideran en la actualidad como determinantes. Son de las siguientes clases: a) ADJETIVOS DEMOSTRATIVOS: Los adjetivos demostrativos modifican al sustantivo indicando la distancia de los seres en general en relación al hablante y son:

66

1ra. PG.

este, esta, estos, estas

2da. PG.

ese, esa, esos, esas

3ra. PG.

aquel, aquella, aquellos, aquellas

Los adjetivos (superior) e (inferior) no sincréticos, en latín son comparativos, en español no.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 49 Ejemplos: Pamela analizó esa obra. Ricardo compró aquel ramo. Aquellos momentos nunca volverán. Ese diente de oro. b) ADJETIVOS POSESIVOS. Los adjetivos posesivos modifican al sustantivo indicando posesión o pertenencia. PERSONA

PARA UN SOLO POSEEDOR

PARA VARIOS POSEEDORES

1ra. P.G. mío(s) mía(s) mi(s) nuestro(s) 2da. P.G. tuyo(s) tuya(s) tu(s) vuestro(s) 3ra. P.G. suyo(s) suya(s) su(s) suyos Ejemplos: mi barrio, tu ideal, nuestros orígenes, su madre, vuestras ilusiones.

nuestra(s) vuestra(s) suyas

c) ADJETIVOS NUMERALES. Modifican al sustantivo indicando cantidad y número exactos. Comprende:  Cardinales.- expresan cantidad exacta: cinco delincuentes, tres soles.  Ordinales.- Expresan orden o sucesión: segundo nivel, sexto grado, undécimo lugar.  Múltiplos.- Indican multiplicación, repetición: doble baile, triple vacuna.  Partitivos.- Indican división o fracción de la unidad (estos adjetivos van acompañados del sustantivo “parte” a excepción de medio, mitad y tercio): media manzana, cuarta parte, novena parte. En algunos casos, se forma añadiendo el sufijo “avo”: onceavo u onzavo, doceavo o dozavo, etc.  Distributivos. Indican distribución. Los adjetivos distributivos son: sendos, sendas, cada, ambos. Ella escribió sendas cartas a sus amigos. El auxiliar dio sendos comunicados a los alumnos. Cada loco con su tema. d) ADJETIVOS INDEFINIDOS. Modifican al sustantivo señalando número indeterminado, manera vaga e imprecisa. Los principales son: alguno (s), varios, ningún(o), cierto, unos, pocos, mucho(s), cuantos, etc. Ejemplos: Algunos alumnos aprobaron el examen. Cierto día llegaron al Perú hombres barbudos. e) ADJETIVOS RELATIVOS. Se refieren a un sustantivo ya mencionado en la oración. El adjetivo relativo es “cuyo” y sus variantes cuya, cuyos, cuyas. Ejemplos: El nuevo congresista, cuyo rostro apenas había visto, pronunció un discurso. La alumna cuya nota es la más alta estudia con métodos modernos. f)

ADJETIVOS INTERROGATIVOS. Modifican al sustantivo en preguntas directas e indirectas.  Preguntas directas: (con signos de interrogación) ¿Qué libro estudias? ¿Cuántos años tienes? ¿Cuál dirección buscas?  Preguntas indirectas: (sin los signos de interrogación). Quisiera conocer qué problema tienes. No sé qué producto compró.

g) ADJETIVOS ADMIRATIVOS O EXCLAMATIVOS. Modifican al sustantivo al expresar admiración o asombro. Ejemplos: ¡Qué belleza! ¡Cuánta fruta! ¡Cuánto tiempo perdiste! h) ADJETIVOS GENTILICIOS. Indican origen o procedencia. Ejemplos: Danza cusqueña Automóvil francés Jugador chalaco EJERCICIOS 1.

2.

3.

Semánticamente el adjetivo es: a) Es modificador directo o predicativo b) Varía en género y número c) Solo califica cualidades de un sustantivo d) Determina procedencia, cualidad, origen, tipo de un sustantivo e) Aporta contenido que se predica de un nombre En la oración Es un buen tipo mi viejo, el adjetivo calificativo funciona como: a) Predicativo del verbo copulativo b) Modificador directo del sustantivo viejo c) Modificador directo del sustantivo tipo d) Grupo adjetival e) Determinante La expresión en que se ha agregado un sufijo a un adjetivo para formar su grado superlativo absoluto sintético, es: a) Volverán muy felices a las clases b) Has desarrollado muy buen gusto c) Estas mucho más bella que nunca d) Bellísima sirena, la de mi sueño e) Ollanta Humala y Nadine Heredia son demasiado indolentes

4.

La oración con adjetivo explicativo es: a) ¡Quiero el helado grande! b) Muy grande te quedó el cargo c) Juan está leyendo un libro muy interesante d) Es todo un lujo, el agua caliente e) Buena moza, la que llevé al río

5.

La opción sin epíteto es: a) Las verdes praderas b) La obscura noche c) El sempiterno hielo d) El cálido sol e) La blanca luna

6.

En la oración Los enanitos verdes se alegraron cuando la bella durmiente dejó la casa rebosante de alegría, marque la opción con un grupo adjetival que funciona como modificador de un sustantivo: a) verdes b) bella durmiente c) durmiente d) rebosante de alegría e) de alegría

50

| CEPRU2015

7.

La oración Mi jefe es flexible comprensivo con sus trabajadores, presenta el grado: a) Comparativo b) Superlativo absoluto c) Superlativo relativo d) Positivo e) Comparativo

8.

La oración con adjetivo interrogativo es: a) Me preguntó qué haríamos hoy b) Cuánto cobras, le preguntó el cliente c) Para quién trabajó toda la noche d) No sé cuándo volverás a mi lado e) Pregúntale, en qué lugar se enamoró de ti

9.

10.

11.

12.

En la expresión Lo que quiero decir es que hay enunciados cuyo sentido principal es ofrecer información, el termino subrayado es: a) Adjetivo relativo b) Adjetivo numeral c) Adjetivo indefinido d) Pronombre relativo sustantivado e) Adjetivo demostrativo La opción con adjetivo numeral es: a) De todos los pastelillos, me comí dos b) Para no engordar solo como la mitad c) Tú sube en el ascensor, nos vemos en el quinto d) Estaba muy irritado, rompió dos vasos e) A ti te dio mucho; a mí, solo el doble de mi sueldo La oración que presenta grado superlativo del adjetivo, es: a) Los países europeos celebraron un acuerdo supranacional b) La liebre es más ágil que el zorro c) El alcalde de aquel pueblo es integérrimo d) Juan es menos estudioso que su hermano e) El profesor de filosofía enunció proposiciones apodícticas La oración que presenta concordancia entre sustantivo y adjetivo, es: a) Hay golpes tan fuertes que hacen sufrir al hombre b) Madre e hijos estaban preocupados por los resultados del examen de admisión c) Buscaré informaciones en los periódicos d) Trabajar y amar es vivir venturosamente e) Ahora no tengo soledad que me devore el alma

13.

En la expresión La roja sangre de sus héroes, inspira la peruanidad, el termino subrayado corresponde a un adjetivo: a) Demostrativo b) Posesivo c) Epíteto d) Indefinido e) Explicativo

14.

La afirmación adecuada respecto al adjetivo, es: a) Posee accidente gramatical de persona b) Posee accidente gramatical de tiempo c) Solo califica a los seres o sustantivos propios d) Determina de vez en cuando e) Modifica al nombre o sustantivo

15.

La oración con adjetivo superlativo absoluto es: a) Tiene ojos nigérrimos como la noche b) Cuanto más pobre, más estudioso c) Carlos es flaco y José, muy gordo d) Rojo como la sangre, blanco como la nieve e) Los muchachos aplicados estudian demasiado

16.

La alternativa que presenta adjetivo indefinido es: a) Los alumnos son estudiosos b) Algunos estudiantes aprobaron el año c) Ella juega en el campo d) Ocupó el primer puesto e) Les dieron sendos premios

17.

La expresión que presenta adjetivo en grado superlativo absoluto sintético, es: a) El libro de Rubén es extremadamente interesante b) Mi tío Ismael es muy sapientísimo c) María Esther es la menos agraciada del grupo d) Miguel es excesivamente pulquérrimo e) Los abuelos de Inés son benevolentísimos

18.

La oración que presenta adjetivo indefinido, es: a) Tanto imploró que todos le perdonaron b) Carlos escribe en la biblioteca cada mañana c) Algunos jóvenes viajaron a Francia súbitamente d) Hermosas chompas teje Estela para sus pequeños hijos e) Trabajan arduamente esos obreros chiclayanos

19.

El enunciado con adjetivo superlativo perifrástico, es: a) Esas manzanas son deliciosas b) Laura es más inteligente que Mery c) Rosa es sumamente estudiosa d) Ella es tan buena como Luisa e) Ese lobo es ferocísimo

20.

La oración que presenta adjetivo indefinido, es: a) Muchos piensan que la vida es fácil b) Se realizaron quince experimentos c) Este día es significativo para nosotros d) Cierto día cosecharon en abundancia e) ¡Qué prueba interesante!

21.

El enunciado que presenta adjetivo gentilicio, es: a) Una veintena de voluntarios trabajan denodadamente b) Tenía todas las características de un líder c) Mi hermano consiguió ingresar a la universidad d) Los damnificados nipones suman varios millares e) Esos muchachos trabajan arduamente

22.

La oración que presenta adjetivo sustantivado, es: a) Vinieron diez hombres rebeldes b) Lo triste fue perderte c) Los ricos comen bien d) Vienes el viernes e) Tengo un televisor americano

23.

El enunciado Pisaré las tristes calles y en una hermosa plaza recordaré nuestros buenos momentos. La cantidad de adjetivos es: a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 1

24.

El adjetivo calificativo en grado superlativo absoluto es: a) Tiene más problemas que sus amigos b) Es tardísimo para eso c) Esos niños están hambrientos d) Ese gobernante es peor que el anterior e) Regresa lo más rápido que puedas

25.

Los adverbios que intervienen en la formación del grado comparativo del adjetivo son: a) Muy, suavemente b) Más, menos, tan c) Que, como d) Mucho, también e) Menos, demasiado

26.

En la oración Ningún hombre debe ser indiferente en su entorno ni a su realidad, la palabra subrayada es: a) Pronombre indefinido b) Adjetivo indefinido c) Adjetivo relativo d) Adverbio de cantidad e) Adjetivo posesivo

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 51

EL ARTÍCULO

CRITERIOS

CLASIFICACIÓN

FUNCIONES Y VALORES DEL ARTÍCULO

1. Determinado 2. Indeterminado 3. Neutro

1. Semántico 2. Sintáctico 1.

M o r f HIATO EN LOS ARTÍCULOS o l ó g i c o

EL ARTÍCULO COMO SUSTANTIVADOR POR EXCELENCIA

EL ADVERBIO

CRITERIOS

CLASIFICACIÓN

APÓCOPE DEL

FRASES O

ADVERBIO

LOCUCIONES ADVERBIALES

1. Semántico 2. Sintáctico 3. Morfológico

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Adv. de lugar Adv. de modo Adv. de cantidad Adv. de tiempo Adv. de orden Adv. de afirmación Adv. de negación Adv. de duda

FUENTE: Elaboración propia

EL ARTÍCULO 11.1. CRITERIOS A. CRITERIO SEMÁNTICO. Según la Nueva gramática de la lengua española, el artículo “es una clase de palabra de naturaleza gramatical que permite delimitar la denotación del grupo nominal del que forma parte, así como informar de su referencia”67. Así mismo, es una palabra que carece de significado propio; no tiene significado ni contenido pues siempre va antes del sustantivo. Ejemplos: - El estudiante – Un amigo - Los estudiantes – Unos amigos - La cámara - Las cámaras B. CRITERIO MORFOLÓGICO. Es una palabra variable, ya que tiene morfemas flexivos o accidentes de género y número, los cuales deben concordar con el sustantivo. Ejemplos: - El artista - Un artista - La artista - Una artista - Los artistas - Unos artistas - Las artistas - Unas artistas

67

REA - Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 263.

52

| CEPRU2015 NÚMERO

GENERO: MASC.

GENERO: FEMEN.

GENERO: NEUTRO

SINGULAR

el

la

lo

PLURAL

los

las

-

C. CRITERIO SINTÁCTICO. Es un determinante que funciona como modificador directo del sustantivo, el artículo siempre antecede al sustantivo. -La casa -Los árboles F/S.

M/Pl.

-Los amigos de Inés compraron unos muebles ayer. -La casa y el colegio están cerca de un grifo junto a los manantiales. -Hoy he recibido la carta enviada por mi prima desde Suecia. 11.2. CONTRACCIÓN GRAMATICAL DEL ARTÍCULO El único artículo que se puede contraer es El, esto solo ocurre cuando se une o se amalgama a las preposiciones “a” y “de”, es decir, se llama contracción gramatical, a la fusión de dos vocales en una sola sílaba. PREPOSICIÓN a de

+ + +

ARTÍCULO el el

= = =

CONTRACCIÓN al del

USO Él va al campo. Él viene del sur.

Según la REA, las formas contractas o amalgamadas del artículo son llamadas también CONGLOMERADOS68. Nota 1. Las contracciones se usan solo ante sustantivos comunes. Si el artículo es parte integrante de la expresión denominativa, no debe contraerse, ejemplo: La soledad de El Escorial La pintura de El Greco Una página de El Quijote NOTA 2. Cuando el artículo no está integrado al topónimo se usa la contracción, ejemplos: Un viaje al Río de la Plata (Topónimo) La provincia del Chaco (Topónimo) NOTA 3. Si el artículo forma parte del topónimo entonces no procede la contracción, ejemplos: Ellos vienen de El Salvador. Viajaremos a El Cairo. 11.3. CLASIFICACIÓN DEL ARTÍCULO Para la RAE, este es el paradigma de los artículos69 A. ARTÍCULO DETERMINADO. Llamado también determinante o definido, hace referencia a un sustantivo conocido por el hablante y el oyente. MASCULINO FEMENINO NEUTRO el la lo Singular los

las

-

Plural

Ejemplos:  La casa tiene el techo rojo y las ventanas grandes.  Las rosas están en el rosal. Dice la RAE: “En, Hoy he recibido la carta, el grupo nominal está introducido por el artículo determinado o definido. Se expresa de este modo que la carta de la que se habla se supone identificable por el oyente”70. B. ARTÍCULO INDETERMINADO. Llamado también indeterminado o indefinido, hace referencia a un ser no conocido o entidades no mencionadas previamente. MASCULINO un

FEMENINO una

Singular

unos

unas

Plural

Ejemplos: Un día les contaré una historia fantástica. Unos admiradores de unas bellas damas, conquistaron sus corazones. En un rincón había un violín. ARTÍCULO NEUTRO. “LO” Llamado también genérico, sirve para sustantivar a los adjetivos convirtiéndolos en sustantivos abstractos. Ejemplos: Lo bueno supervive Lo importante es primero Lo malo se acaba Lo justo es un valor NOTA 1. Gramaticalmente se considera al artículo neutro como masculino singular, para efectos de concordancia. Ejemplos: -Lo bello es admirado. Masc./Sing.

-Lo bueno debe ser imitado. Masc./Sing.

REA - Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 267. REA - Morfología sintaxis I, 265. 70 REA - Morfología sintaxis I, 263. 68 69

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 53 11.4. FUNCIONES Y VALORES DEL ARTÍCULO A. OBSERVACIONES DEL ARTÍCULO A.1. El artículo determinado actúa como PRESENTADOR del sustantivo. Ejemplos: “Historia del hombre abunda en hechos heroicos”. (poco viva) “La Historia del hombre abunda en los hechos heroicos”. (más viva/más concreta) A.2. El artículo indeterminado “un” y sus variantes sirven para destacar la calidad y el valor, para dar mayor énfasis a la expresión. Ejemplos: -Eres amor (frase fría) – Eres un amor (frase enfática) -Ese amigo tuyo es idiota (Frase fría) – Ese amigo tuyo es un idiota (frase enfática) A.3. El artículo funciona como desambiguador de género y número de algunos sustantivos. Ejemplos: -El dentista (Masc.) -La tesis (singular) -La dentista (Femen.) -Las tesis (plural) A.4. Cuando dos o más adjetivos calificativos modifican a un sustantivo, entonces el artículo debe preceder solo al primer adjetivo. Ejemplos: -El débil y el triste mendigo durmió en el piso (incorrecto) -El débil y triste mendigo durmió en el piso (correcto) A.5. Es opcional el uso del artículo en ciertos nombres de países o ciudades. Ejemplos: -Perú/El Perú -Japón/El Japón -Cusco/El Cusco -Argentina/La Argentina *No acepta artículo: Bolivia, Chile, Colombia, Panamá. 11.5. HIATO EN LOS ARTÍCULOS. Sabemos que el artículo concuerda en género y número; pero, por razones de eufonía (armonía de sonidos), los sustantivos femeninos que empiezan con “a” o “ha” tónicas deben de estar precedidos por el artículo el, solo en número singular. En el plural acepta el artículo que le corresponde. Ejemplos: -El ánfora/Las ánforas -El águila/Las águilas -El ala/ Las alas -El arpa/Las arpas -El aula/Las aulas -El aspa/Las aspas

-El agua/Las aguas -El hada/Las hadas -El alma/Las almas -El arma/Las armas -El hacha/Las hachas

11.6. COMO SUSTANTIVADOR UNIVERSAL. El artículo es sustantivador universal porque cuando a una palabra de categoría gramatical distinta al sustantivo, se le antepone el artículo, este determina la función de la palabra (la convierte en sustantivo). Ejemplos: -El inteligente superó a todos en la competencia. -El fumar es dañino para la salud. Adj. Sustantivado

v. sustantivada

-El bien debe estar por encima del mal.

-El mío es más colorido que el tuyo.

Adv. Sustantivado

Pronomb. Sustantivada

-El ¡ay! Asustó a la familia.

-El pero debe ser superado.

Interj. Sustantivada

Conjunc. Sustantivada

-El porqué será explicado oportunamente. Conjunc. Sustantivada. -El pro y el contra deben ser analizados. Preposic. Preposic. Sustantivada.

-El vestido de rojo es el bombero. Frase sustantivada

-La que acaba de llegar es mi prima. Proposic. Sustantivada

EJERCICIOS 1.

2.

3.

4.

En la oración Un amigo es el que está en todo momento el que te levanta cuando estás decaído, se aprecia: a) Un artículo indeterminado b) Un artículo neutro c) Dos artículos indeterminados d) Un pronombre indefinido e) Un adjetivo indefinido

5.

El uso incorrecto del artículo se ve en: a) La apendicitis b) El agua c) La áspid d) El hacha e) La araña

6.

La contracción del artículo es incorrecta en: a) La delegación mañana se va a El Cairo b) La entrada al templo fue clausurada c) No podía encontrar el párrafo de El Lazarillo de Tormes d) La primicia provenía del Comercio e) Hemos comprado productos del mercado

En la expresión Entonces lo seguí con la mirada. Las palabras subrayadas son respectivamente: a) Adjetivo - artículo b) Pronombre – adjetivo c) Artículo – artículo d) Pronombre – artículo e) Pronombre – pronombre

7.

El artículo determinado se aprecia en: a) Tú me lo pediste y te lo traje b) Les llamará la semana siguiente c) Ellos quieren que lo haga d) La dejé de amar poco a poco e) No las dejes partir

El artículo y el …………… modifican al sustantivo: a) Adverbio b) Pronombre c) Sustantivo d) Verbo e) Adjetivo

8.

La expresión No lo he visto desde la última sesión que tuvimos en el CEPRU. Presenta…..artículos: a) Dos b) Tres c) Cuatro d) Cinco e) Seis

Sintácticamente, el artículo desempeña la función privativa de: a) Núcleo del modificador directo b) Núcleo del modificador indirecto c) Modificador directo d) Modificador indirecto e) Presentador del sustantivo

54

| CEPRU2015

9.

La cantidad española, es: a) Dos b) Tres c) Seis d) Nueve e) Diez

10.

Se aprecia una contracción gramatical del artículo en: a) Él día que nos conocimos fue hermoso b) De aquí a la eternidad, te amaré c) Ante lo dicho no hay vuelta atrás d) Del otro lado del río viene mi amada e) Le daré todo mi amor y comprensión

11.

de

artículos

de

la

gramática

a) “Paco Yunque” cuento que remarca las diferencias sociales y económicas b) Ayer se publicó en “El Peruano” un Decreto Supremo c) En la novela “Los Miserables” se aprecia la oposición entre el bien y el mal d) De una u otra manera los animales sirven al hombre e) La novela del “Lazarillo de Tormes” es anónima

La alternativa que presenta un artículo neutro, es: a) El hombre nace bueno, la sociedad lo corrompe b) Sombríos pensamientos lo asaltaban con frecuencia c) Lo malo es que no hay nada que comer d) Lo compré en el mercado e) Le expliqué todo con claridad

12.

La oración que presenta un artículos determinado, es: a) Vicente se lava rápidamente b) Recupera las llaves del portero c) Enrique y yo nos mirábamos d) Tú y yo haremos un gran negocio e) Nos la vendió a buen precio

13.

14.

El enunciado que presenta el artículo con función de modificador del sustantivo, es: a) Nos saludamos frecuentemente b) El juguete es muy barato c) Ustedes van a vestirse inmediatamente d) Ellos lucharon por la libertad e) Los que me entrevistaron fueron amables

15.

En la oración Deslizó una indirecta que motivó en el adversario un enfado que no pudo disimular. La cantidad de artículos que presenta la oración anterior, es: a) 2 b) 4 c) 5 d) 3 e) 1

16.

En la oración Un descanso reparador será necesario para el fatigado. La cantidad de artículos que presenta la oración, es: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5

La oración que tiene contracción gramatical mal utilizada, es:

EL ADVERBIO 11.7. CRITERIOS A. CRITERIO SEMÁNTICO. Es una clase de palabras que agrega significados y aporta ideas al verbo, adjetivo y otro adverbio. Ejemplos: -Nosotros estudiamos bastante para el examen. -Ellos corren lentamente. v.

adv.

v.

-Salió de la casa muy contento. adv.

adv.

adj.

-Llegaste demasiado tarde a mi vida. adv.

adv.

B. CRITERIO MORFOLÓGICO. Es una palabra invariable, carece de accidentes gramaticales, tiene ausencia de flexión. Ejemplos: -Yo nunca jamás me olvidaré de ti. -Nosotros nunca jamás nos olvidaremos de ti. C. CRITERIO SINTÁCTICO. Tiene una relación de modificación con grupos sintácticos, correspondiente a distintas categorías gramaticales. En efecto, los adverbios modifican principalmente a los verbos, a los adjetivos y también a otros adverbios. Ejemplos:  MODIFICA A UN VERBO: Paseas tranquilamente. v.

Ella estudió apenas.

adv.

v.

 MODIFICA A UN ADJETIVO: Sumamente satisfecho de los resultados. adv.

Ella es tan diplomática.

adj.

adv.

 MODIFICA A OTRO ADVERBIO: Irremediablemente y lejos de su patria. adv.

adv.

El camina despacio.

adv.

v.

El ingeniero es muy eficiente.

adj

Muy bella. adv.

adv.

adv.

adv.

Vivimos tan cerca y no nos vemos. adv. adv.

11.8. CLASIFICACIÓN DEL ADVERBIO71 Existen muchos criterios para clasificar los adverbios, pero los fundamentales son los siguientes: a)

ADVERBIOS DE LUGAR: Indican situación, lugar, espacio, orientación, ubicación. Ejemplos: Arriba, abajo, alrededor, afuera, dentro, adentro, adelante, debajo, fuera, junto, cerca, lejos, atrás, detrás, delante, encima, aquí, allá, ahí, dondequiera, acá, adonde, donde, adónde, dónde, etc.

71

-Arriba, siempre arriba, dijo: Jorge Chávez. -Jóvenes delante está su porvenir. -Junto a ti está tu madre. -Alrededor de tu vida, están tus objetivos. -Aquí están los mejores.

Leonardo Gómez Torrego, Análisis Morfológico – Teoría y práctica, (Madrid: Editorial SM Internacional, 2011), 234

adj.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 55 b)

ADVERBIOS DE TIEMPO: Indican período, época, ciclo, sucesos. Ejemplos: Después, después, siempre, pronto, aún, todavía, mientras, hoy, ayer, anoche, anteayer, mañana, ya, ahora, recién, -Estarás para siempre en mi corazón. cuando, cuandoquiera, recientemente, previamente, -Mañana será mejor. inmediatamente, antes, enseguida, posteriormente, -Pronto daremos el siguiente examen. simultáneamente, temporalmente, actualmente, -Inmediatamente volveremos a clases. antiguamente, recientemente, brevemente, largamente, -El Perú después será campeón. cotidianamente, habitualmente, semanalmente, -Todavía estás en mi corazón. esporádicamente, frecuentemente, bienalmente, diariamente, semanalmente, etc.

c)

ADVERBIOS DE MODO: Indica maneras, costumbres, modalidades, procedimientos, etc. Ejemplos: Regular, despacio, aprisa, -Rosa trabaja bien. ordenadamente, tranquilamente, así, -Las tortugas caminan despacio. bien, mal, apenas, tal, mejor, peor, -Carlos apenas pudo hablar. deprisa, tranquilamente, -El atleta daba sus saltos aprisa. inconscientemente, plácidamente, -El niño duerme plácidamente en los brazos de su madre. etc.

d)

ADVERBIOS DE CANTIDAD: Indica parte, porción, trozo. etc. Ejemplos: Poco, menos, mucho, tanto, tan, cuan, cuanto, algo, demasiado, bastante, -Mis amigos están muy preocupados por ti. medio, más, casi, mitad, harto, muy, -Tu casa es muy hermosa. suficientemente, nada, suficiente, -Te esperé demasiado. considerablemente, extremadamente, -Tanto tiempo disfrutamos de este amor. escasamente, notablemente, -Casi perdí la vida por ti. etc.

e)

ADVERBIOS DE ORDEN: Indica ordenación, agrupación, organización, sucesión. Ejemplos: Primeramente, últimamente, seguidamente, finalmente, etc.

-Primeramente habló el director y seguidamente el profesor. -Últimamente estoy llegando puntual. -Finalmente aprobé el examen.

f)

ADVERBIOS DE AFIRMACIÓN: Indica certeza, aseveración, confirmación, ratificación, aserción. Ejemplos: -Ciertamente volveré por ti. Sí, claro, ciertamente, seguramente, -Seguramente estaremos viajando pronto. seguro, efectivamente, -Indudablemente lograremos nuestro ingreso. indudablemente, positivamente, etc. -Los resultados fueron valorados positivamente. -Efectivamente fue elegido el candidato.

g)

ADVERBIOS DE NEGACIÓN: Señala objeción, impugnación, refutación, contradicción. Ejemplos: No, nunca, jamás, nada, tampoco, negativamente, contradictoriamente.

-No viajes, tampoco me dejes. -No, nunca, jamás te perdonaré. -Con nada me conformo.

h)

ADVERBIOS DE DUDA: Señala inseguridad, incertidumbre, titubeo, vacilación. Ejemplos: -Quizás viajes en lancha. Quizás, a lo mejor, quién sabe, acaso, -A lo mejor vuelves a soñar. tal vez, etc. -Quién sabe si nos volvamos a encontrar. -Tal vez viaje.

i)

ADVERBIOS TERMINADOS EN “MENTE” La mayoría son adverbios de modo, formados por un adjetivo más el sufijo “mente”. Fácilmente, lentamente, rápidamente, felizmente, claramente, suavemente, silenciosamente, útilmente, verdaderamente, etc.

-Retorné rápidamente. -Llegué temprano felizmente. -La exposición estuvo claramente. -Verdaderamente este trabajo es excelente. -Lentamente llegaron los invitados.

11.9. FRASES O LOCUCIONES ADVERBIALES Las frases adverbiales son expresiones fijas constituidas por varias palabras que equivalen a un solo adverbio, ejemplos: A más no poder, al máximo, a mares, a todo pulmón (cantidad), de vez en cuando, a menudo, a diario, a la vez, para siempre, a veces (tiempo), a gatas, a escondidas, a pies juntillas, a dos carrillos, punto a punto (modo). LOCUCIONES ADVERBIALES PAUTAS SINTÁCTICA “prep. + sust. sing.”

EJEMPLOS DE LOCUCIONES a bocajarro, a gusto, de día, de reojo, en secreto, sin duda

“prep. + sust. pl.”

a trozos, a pedazos, a cachos

“prep. + sust. (lat.)”

ex aequo, in memoriam, in situ

“prep. + grupo nominal”

a fuerza, al azar, a primera vista

a grito pelado, a salto de mata

“prep. + adj./part.”

a diario, en serio

a ciegas, a oscuras

“prep. + art. + adj.”

a la larga

a lo grande

correlación de prepos.

de un momento a otro, de ahora en adelante, de vez en cuanto

grupos nominales

una barbaridad, una eternidad

esquemas coordinados

más tarde o más temprano, ni más ni menos

-Resolvió el problema de matemáticas en un dos por tres. -Lucharé a brazo partido. -Esta parrillada está a pedir de boca. -Camina con pies de plomo. -Esa pareja pelean como perro y gato. -La madre la defendió a capa y espada.

a gatas, a saltos, a tientas

horrores, montones

de una vez, de un trago

acto seguido

-Trabajaremos el día viernes de sol a sol. -Ella propaló la noticia a los cuatro vientos. -Él es un hombre a carta cabal. -Todo el plan resultó a las mil maravillas. -Se puso a buen recaudo.

56

| CEPRU2015

11.10. APÓCOPE DEL ADVERBIO Se define apócope a la pérdida o desaparición de uno o varios fonemas o sílabas al final de algunas palabras. En español, se apocopan tanto adjetivos como adverbios, sustantivos, verbos y determinantes, ejemplos: Mucho-muy Tanto-tan/ Cuanto-cuán Esto sucede cuando precede a un adjetivo o a un adverbio, pero no ante más, menos y peor: -“muy bajo, muy temprano”

Los dos pierden la sílaba final ante adjetivos o adverbios: “tan bonito, cuán cercano” Pero no ante una forma verbal, aunque en el lenguaje coloquial se haga a veces: “tan es así, tan era cierto” Las firmas correctas son: “tanto es así, tanto era cierto”

NOTA: De acuerdo con el criterio de su naturaleza gramatical, los adverbios pueden ser LÉXICOS y GRAMATICALES. Léxicos cuando son de inventario abierto como adrede, bien deprisa, regular temprano y la mayor parte de los terminados en mente. Los adverbios gramaticales son de inventario cerrado. Entre estos tenemos a: - Demostrativos (aquí, ahora, así, etc.) - Identificativos o referenciales (antes/ después; delante/ detrás; encima/ debajo, etc.) - Cuantificativos (muy, algo, demasiado, etc.) - Relativos (cuando, cuanto, como, donde, etc.) - Interrogativos (cuánto, cuándo, cómo y por qué) - Exclamativos (cuánto, cuándo, cómo y por qué) - De foco o focales (no, también, solo, incluso, precisamente, concretamente) EJERCICIOS 1.

Un adverbio modifica a otro adverbio en: a) Los coches iban despacio b) Viene allí lejos c) Aquello era realmente bello d) Mis amigos eran poco estudiosos e) Camina lentamente con su padre

10.

El adverbio modifica a un adjetivo en: a) Ella habla muy bien b) El jardín es muy hermoso c) Llegó muy tarde d) Estuvo tan lejos e) Vive tan lejos

2.

La alternativa que presenta dos adverbios, es: a) Búscalo encima de la mesa b) Posiblemente deba operarme c) Aquí llueve a cántaros d) Antes era distinto, ahora es complicado e) Quiero que lo hagas mejor tu trabajo

11.

Un adverbio modifica a un adjetivo en: a) Raúl vive bastante lejos b) Quedó medio loca con tantos problemas c) Muy pronto saldrá el sol d) Tengo poco dinero e) Me conformo con poco

3.

Los adverbios únicamente de modo son: a) Ahora – siempre – nunca - jamás b) Despacio – así – mal - regular c) Allí – no – quizá - nunca d) Seguro – si – mañana - no e) Pronto – ahora – antes – hoy

12.

La relación incorrecta de la clase de adverbio es: a) Hoy – tiempo b) Nunca - negación c) Aquí – lugar d) Junto – modo e) Sí – afirmación

4.

La oración que presenta adverbio de modo, es: a) Ese chico habla demasiado b) Nos gusta mucho viajar c) Siempre vamos a nadar los martes d) Finalmente llegó a tiempo e) Nunca se nos olvida llevar la radio

13.

Los adverbios únicamente de tiempo son: a) Delante – recién – aquí – allí b) Cerca – lejos – encima – abajo c) Aquí – pronto – siempre – nunca d) Quizá – como – sí – nunca e) Pronto – ahora – antes – hoy

5.

La alternativa que presenta adverbio de tiempo, es: a) Ayer llegué a clase muy pronto b) Este árbol es muy alto c) María canta tan bien d) Aquí arriba colocaré el libro e) Quizá vuelva con él

14.

La oración que presenta solo adverbios de lugar, es: a) Ahora caminaremos rápido b) Quizá viaje a Trujillo c) Allá, lejos, alrededor de la fogata cantábamos d) No siempre dices la verdad e) Finalmente pudieron terminar su trabajo

6.

La alternativa que presenta adverbio, es: a) Otros vienen b) Van muchos c) Mucho gana d) Llevan regalos e) Algunos vendrán

15.

La alternativa que presenta adverbio de duda, es: a) Muchos postularon b) Algunos escriben c) Llevan paquetes d) Aquellos jóvenes hábiles e) Quizá vayamos al cine

7.

La alternativa que presenta adverbio, es: a) No es tan difícil saberlo b) Habló para todos c) Perdí porque no entrené d) Ella buscaba problemas e) Cristina jugó y ganó

16.

8.

Las palabras ciertamente y contradictoriamente son adverbios de: a) Modo - tiempo b) Afirmación - negación c) Lugar - orden d) Tiempo - modo e) Orden - Tiempo

La alternativa que presenta adverbio de cantidad, es: a) Eres poco hablador b) Mañana viaja a Chile c) Muy pronto saldrá el Sol d) Luis y María leen con esmero e) Tu hermana llegará pronto

17.

La alternativa correcta respecto al adverbio, es: a) La busqué abajo de la cama b) Caminaba adelante tuyo c) Estaba atrás de ti d) Mujer media loca e) caminaba detrás de ti

9.

El adverbio de orden es: a) Rápidamente b) Indudablemente c) Positivamente d) Negativamente e) Seguidamente

18.

La oración que presenta adverbio de tiempo, es: a) Nunca resultó lo nuestro b) Viven aquí c) Ayer vinieron d) Trabaja mucho e) Llegó lentamente

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 57

LOS CONECTORES LÓGICOS

LA CONJUNCIÓN

CRITERIOS

PREPOSICIONES USADAS

a, ante, bajo, cabe, con, contra, de, desde, en, entre, hasta, hacia, para, por según, sin, sobre, tras

1. Semántico 2. Sintáctico 3. Morfológico

CLASIFICACIÓN

CRITERIOS

1. COORDINATES a) Copulativas b) Disyuntivas c) Adversativas

1. Semántico 2. Sintáctico 3. Morfológico

2. SUBORDINANTES a) Causales b) Ilativas c) Concesivas d) Condicionales e) Comparativas f) Consecutivas g) Finales

PREPOSICIONES ARCAICAS

so, cabe

PREPOSICIONES INCORPORADAS LOCUCIONES

durante, mediante, pro, vía, versus

CONJUNTIVAS

FUENTE: Elaboración propia

LA PREPOSICIÓN72 12.1. CRITERIOS A. CRITERIO SEMÁNTICO. No tiene significación por sí sola; es decir, las palabras que relaciona son las que determinan el sentido de esta categoría (su significado es de carácter contextual). B. CRITERIO MORFOLÓGICO. No sufre variaciones formales, esto es, carece de morfemas. C. CRITERIO SINTÁCTICO. Funciona como conectivo, conector o nexo subordinante, es decir, puede enlazar un elemento sintáctico cualquiera como un sustantivo o elemento de valor equivalente. Ejemplo: El reloj sin correa estaba en uno de esos cajones. Sus utilidades son los siguientes: a) En el sujeto: Encabeza al modificador indirecto. b) En el predicado: Hay dos preposiciones POR y DE que encabezan al agente, solo en voz pasiva. La casa de Patricia fue construida por los albañiles Mod. Ind.

Agente

c) En el complemento régimen: Constituye un elemento argumental. Contar con su amistad. Su madre confiaba en el futuro. Comp. de Régimen

Comp. de Régimen

12.2.PREPOSICIONES USADAS a

de

hacia

según

ante

desde

hasta

sin

bajo

en

para

sobre

con

entre

por

tras

contra

72

REA - Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 2223-2266.

58

| CEPRU2015 PREPOSICIONES ARCAICAS cabe

so

PREPOSICIONES INCORPORADAS durante

mediante

pro

vía

versus

LISTA DE PREPOSICIONES 1.

A Dirección: Vamos a las fiestas de Belén. Lugar: La cevichería está a dos cuadras del mercado. Tiempo: Nos vemos a las dos de la tarde. Modo: Vamos a pie. Finalidad: Vine a que la escuches. Distancia: De aquí a la universidad hay cinco cuadras. Complemento directo: He visto a tu hijo. Complemento indirecto: Se lo dije a Manuel.

2.

Ante Significa "delante" o "en presencia de": El profesor habló ante los alumnos.

3.

Bajo Situación inferior: Estamos pasando bajo el puente. Subordinación: Andrés está bajo las órdenes de su jefe.

4.

Con Compañía de personas: Los abuelos fueron con sus nietos al zoológico. Unión de cosas: Dame un té con leche. Medio para conseguir alguna cosa: Con mucho estudio puedes conseguir la beca. Simultaneidad o concurrencia: Viajé con mucha lluvia.

5.

Contra Oposición: Mi equipo juega contra el equipo de mi esposo. Ubicación: Se apoyó contra la pared. Destino o término: Se estrelló contra un árbol.

6.

De Posesión o pertenencia: El departamento de mi amiga tiene una vista preciosa. Origen o procedencia: Yo soy de Perú. Material: Esta blusa es de seda. Tiempo: Nos vemos en mi casa a las 5 de la tarde. Tema o asunto: Me gustan las películas de acción. Contenido: Un vaso de agua. Destino o propósito: Traje de ceremonia.

7.

Desde Principio de tiempo: Pueden comenzar a venir desde las 9 de la noche. Principio de lugar: Tardo 20 minutos desde mi casa hasta mi trabajo.

8.

En Tiempo: Estamos en diciembre. Lugar: Ellos estudian español en Canadá. Medio: Ella va a su trabajo en automóvil. Precio: Lo negoció en 300 dólares.

9.

Entre Situación en medio de cosas o personas: El instituto de español está entre el banco y el restaurante. Situación en medio de acciones (infinitivo): Entre nadar y correr, prefiero nadar. En el interior de algún conjunto: Entre la gente.

10.

Hacia Indica dirección: Este es el camino hacia el cerro San Cristóbal. Indica una tendencia: Francisco tiene una inclinación hacia el arte. Tiempo: Llegaremos hacia las tres.

11.

Hasta Término de lugar: Conduciré hasta la montaña. Término de acción: Viajaré por Argentina hasta conocer mi país completamente. Término de tiempo: Nos quedaremos en la fiesta hasta las cinco de la mañana.

12.

Para Finalidad: Este informe es para mi jefe. Tiempo: El vestido estará listo para esta noche. Dirección: En una hora vamos para Valparaíso. Aptitud o capacidad: Eres bueno para todo. Utilidad: Un remedio para la artrosis. Orientación: Estudia para contador. Destinatario: Lo compré para mi hermano.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 59 13.

Por Lugar: Caminan por la avenida principal. Causa: Brindemos por Daniel, se lo merece. Medio: Mandamos las postulaciones por correo electrónico. Modo: Por la fuerza no conseguirás nada. Complemento agente: Fue rescatado por los bomberos. Finalidad (búsqueda): Preguntó por su hija. Sustitución (equivalencia): Salúdale por mí. Precio: Compró la bicicleta por 200 soles.

14.

Según Para establecer relaciones de cosas: Según nuestras normas, no puedes fumar aquí. Según mi profesor, el estudio debe ser constante.

15.

Sin Denota carencia o privación de algo o de alguien: Sin los instrumentos necesarios, el médico logró atender el parto. Cuando una cosa o persona no está: Angélica quiere un café sin azúcar.

16.

Sobre Lugar: El examen está sobre la mesa. Tema o asunto: Háblame sobre tu vida en Venezuela. Sentido figurado: Creía estar sobre el bien y el mal. Aproximación: Andaba sobre los cuarenta años.

17.

Tras Orden de secuencia: Ella estuvo toda la mañana tras su hija. Tras la tormenta, viene la calma.

18.

CABE Junto a: Mi casa está cabe el parque.

19.

SO Bajo: Prohibido arrojar basura so pena de arresto y multa.

Los casos denominados arcaizantes:

NOTA: Las preposiciones CABE “junto a” y SO “bajo”, son palabras en desuso en el español actual y solo aparecen esporádicamente en los textos literarios. A esta lista ya conocida se incluyen también: 20.

Mediante Medio: Lograremos mejores resultados mediante estas reglas.

21.

Durante Tiempo: ¿Qué vas a hacer durante la noche?

22.

Versus Contra: Este fin de semana se juega la final del fútbol peruano: Cienciano versus Real Garcilaso. Frente a: En nuestra sociedad hallamos importantes divisiones, por ejemplo en lo social, rural versus lo urbano; en lo económico la pobreza versus la riqueza.

23.

Vía El lugar por el que se pasa: El tren va a Machupicchu vía Ollantaytambo. A través de…: Los trámites para la matrícula son vía Internet.

24.

Pro En favor de…: Es una pollada pro salud.

12.3.LOCUCIONES PREPOSITIVAS73 Concepto. Son agrupaciones de palabras que adquieren conjuntamente el sentido y el funcionamiento gramatical de las preposiciones. TIPOS DE LOCUCIONES PREPOSITIVAS Preposición + sustantivo + preposición

   

de acuerdo con, a fin de, a cerca de, a causa de, a excepción de, a favor de, a finales de, a fuerza de, a raíz de con motivo a, con rumbo a, con cargo a de conformidad con, de parte de, en compañía de, en medio de, en torno a, en vez de en relación de, con relación a, por causa de, por culpa de, a través de

Sustantivo + preposición Participio + preposición

   

alrededor de, respecto de apunto de debido a relacionado con

Preposición + infinitivo + preposición



a partir de

  

en lo referente a a lo ancho de a lo largo de

Preposición preposición

+

lo

+

adjetivo



+

La profesora explica a través de mapas conceptuales.

73

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, 2276.

60

| CEPRU2015 EJERCICIOS

1.

Semánticamente, la preposición: a) Es una palabra invariable b) Funciona como nexo subordinante c) Tiene variaciones formales d) No posee significado lexical e) No tiene significado contextual

2.

En la oración Salí preposición indica: a) Destino b) Finalidad c) Utilidad d) Tiempo e) Dirección

3.

La oración que contiene preposición con significado de modo, es: a) La mujer conversa con sus amigos b) La mujer toma café con leche c) La mujer con trenzas d) Conversaba con mucha alegría e) Distribuía las carta a pie

4.

La expresión que contiene locución prepositiva, es: a) Repitió el tema al pie de la letra b) Defendía a su cliente a capa y espada c) Mario llegó a mediados de octubre d) Ya te relajaste lo suficiente, de manera que empieza a trabajar e) Saltó varios metros, sin embargo no logró el primer puesto

5.

11.

La preposición en incorrectamente utilizado es: a) Se le notaba en la manera de moverse b) Viajó en tren hasta Machupicchu c) Viajamos en la noche d) Vivo en Cusco e) Estamos en casa de mis padres

12.

Las preposiciones son: a) Que, hasta, donde b) Cuyo, so, ante c) Debajo, cabe, por d) Sobre, según, luego e) Con, mas, pero

13.

En la oración Juana prepara los chicharrones más ricos a dos cuadras del mercado central, la preposición indica: a) Compañía b) Subordinación c) Tiempo d) Modo e) Dirección

14.

Una preposición señala tiempo en: a) Ana Cecilia tiene una peluquería a tres cuadras del Estadio Garcilaso b) Estudiaremos en la UNSAAC c) Ella llega al colegio en bus d) Nos vemos en la puerta de la universidad en la tarde e) Conversaremos sobre temas de psicología

La oración Desde la tribuna voy gritando yo, alentado a mi equipo a ganar: ¡Una barra por el PERÚ! La cantidad de preposiciones es: a) 2 b) 4 c) 5 d) 3 e) 1

15.

Sintácticamente, la preposición: a) Existen preposiciones con significado gramatical b) Hay preposiciones con significado léxico c) Encabeza al modificador indirecto y complemento agente d) No sufre variaciones formales e) No encabeza la voz pasiva

6.

La preposición que no indica posición, es: a) Bajo b) Ante c) Sobre d) Hacia e) Tras

16.

7.

El enunciado en el que está mal usada la preposición hasta, es: a) Hasta los operadores de limpieza ganan más que él b) Hoy trabajaré hasta la medianoche c) El avión saldrá hasta mañana en la tarde d) Se consagraron desde la ciudad de Cusco e) Hasta Ecuador

Se observa locuciones prepositivas en: a) Salí a caminar en compañía de mi madre b) Ella sufrió durante toda su vida por lo cual luchó a brazo partido c) Todos acordaron en salir de vacaciones d) La que acaba de llegar es mi prima e) La compañía de bomberos abre un nuevo local

17.

El enunciado que presenta preposición con significado funcional, es: a) Muy temprano salió a caminar b) Sobre aquellos problemas ya no volvieron a conversar c) Desde ese año ella ya no salía a bailar d) Bajo presión trabajas bien e) Desde que nací fui feliz

18.

Las palabras so y cabe son: a) Locuciones prepositivas b) Preposiciones arcaizantes c) Conjunciones coordinantes d) Conjunciones subordinantes e) Conjunciones ilativas

19.

El enunciado En la casa de un rico mercader, rodeado de comodidades, vivía no hace mucho tiempo un perro al que se le había metido en la cabeza convertirse en un ser humano, y trabajaba con ahínco en esto. La cantidad de preposiciones son: a) Diez b) Once c) Ocho d) Siete e) Nueve

20.

La afirmación Existen más preposiciones que conjunciones en el español, es: a) Verdadera b) Falsa

8.

para

despejarme,

la

La preposición por, que señala circunstancial de causa es: a) Se fue por ahí b) Estudia por las noches c) Viajaremos por tren d) Vendí mi auto por mil soles e) No llegó por el desborde del río

9.

La oración que señale la locución prepositiva es: a) Habla con tus cinco sentidos b) No tiene nada que ver con relación a ese asunto c) Hablábamos sobre temas actuales d) De tanto en tanto, nos visitaba mi tío e) Acaso vuelva más tarde

10.

El enunciado con la preposición por, que indica modo, es: a) Lo compré por dos mil soles b) Lo hago por obediencia c) Lo hace por amor al prójimo d) Fue transmitido por radio e) María pasó por la calle

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 61

LA CONJUNCIÓN 12.4.CRITERIOS74 A. CRITERIO SEMÁNTICO. La conjunción es una palabra que carece de significado lexical. La relación conjuntiva establecida puede expresar: unión, oposición, consecuencia, etc. B. CRITERIO MORFOLÓGICO. La conjunción es una palabra que carece de accidentes gramaticales, en consecuencia es invariable. C. CRITERIO SINTÁCTICO. La conjunción es una palabra que funciona como nexo coordinante, o sea enlaza elementos de igual valor sintáctico. También funciona como nexo subordinante. Cultivan naranjas y limones. sust

sust.

Ese niño es delgado, pero resistente. adj.

adj.

¿Quién participará: él o ella? pron.

Ni hablas ni escuchas. verb.

pron.

verb

Empezarás ahora o nunca. adv.

adv.

Él no es de la capital, sino de provincia. construc.

construc.

Son muy belicosos aunque no lo parecen. proposición

proposición

12.5.CLASES DE CONJUNCIONES75 12.5.1.

a)

CONJUNCIONES COORDINANTES Se distinguen tres tipos de conectores según el significado con que matizan la relación de los elementos que unen: copulativas, disyuntivas y adversativas. CONJUNCIONES COPULATIVAS: y, e, ni: Sirven para unir dos o más elementos que podrían ir separados. Juan y Pedro vinieron a verme. Él y ella escaparon de casa. Se escribe e cuando la siguiente palabra empieza por el fonema /i/: Inteligente e instruido. Fernando e Isabel; madre e hija. La conjunción ni, también implica adicción pero es negativa: No quería ni esto ni lo otro. Ni Juan ni Pedro vinieron a verme. Nunca escribe ni llama. (puede aparecer ante el segundo miembro). Jamás hablaba (ni) de su familia ni de su trabajo. (puede aparecer ante cada uno de los miembros).

b)

CONJUNCIONES DISYUNTIVAS: o, u, o bien: tiene un valor de alternativa. Se escribe u cuando la siguiente palabra empieza por el fonema /o/: O vienes o te quedas. Compraré manzanas o naranjas. No sé si ir al cine o al teatro.

c)

CONJUNCIONES ADVERSATIVAS: pero (mas), sino, aunque: frente a las copulativas y disyuntivas, que admiten varios enunciados, las adversativas confieren dos enunciados y señalan que están contrapuestos. El conector pero indica restricción, y sino expresa incompatibilidad. Exige que el segmento precedente conlleve una negación y cuando el segundo es una oración suele aparecer sino que. El conector mas es poco frecuente en lengua hablada, es equivalente a pero. Escribo novelas, pero no poemas. No fui yo, sino mi hermano. Acudí pronto, mas no te hallé. Es antiguo, aunque eficaz.

12.5.2.

CONJUNCIONES SUBORDINANTES Las conjunciones subordinantes unen siempre proposiciones:

a) CONJUNCIONES CAUSALES: Porque, como, pues. Estudio, porque quiero aprobar. Como quiero aprobar, estudio. b) CONJUNCIONES CONDICIONALES: Si, como, cuando. Si no estudias, no aprobarás. Como no me escuches, no ingresarás en la universidad. Cuando tú lo dices, será verdad. c) CONJUNCIONES CONCESIVAS: Aunque, si bien, así. Aunque estudió tanto, no aprobó. Si bien no nos parece la mejor solución, la aceptaremos. d)

74 75

CONJUNCIONES FINALES: Para que. Toca el piano, para que vean lo bien que lo haces.

REA- Nueva gramática de la lengua española: Morfología sintaxis I, (España: Editorial ESPASA Libros S.L.U., 2010), 2395-2473. Leonardo Gómez Torrego, Análisis Morfológico – Teoría y práctica, (Madrid: Editorial SM Internacional, 2011), 250-256.

62

| CEPRU2015 e) CONJUNCIONES COMPARATIVAS: Como, que. No es tan listo como dicen. Miente más que habla. Toca el piano como un profesional. Más gente que antes. No hace tanto frío como había imaginaba. f)

CONJUNCIONES CONSECUTIVAS: Que, tal... que…, tanto…que, tan…que. Hacía mucho frío que no se podía salir de casa. Se comportó muy mal, de tal manera que hubo que expulsarlo. El Sol es tan brillante que no se puede mirar.

g)

CONJUNCIONES ILATIVAS: Luego, con que, conque. Es tarde, conque apúrate. Pienso, luego existo.

12.6.LOCUCIONES CONJUNTIVAS Las locuciones conjuntivas son grupos de palabras que se comportan como una sola conjunción. TIPOS DE LOCUCIONES CONJUNTIVAS COORDINANTES COPULATIVAS

así como, etc.

DISYUNTIVAS

bien… bien…, ya… ya…

ADVERSATIVAS

sin embargo, no obstante, en cambio, por otra parte, mientras que, excepto a, etc.

SUBORDINANTES CAUSALES

ya que, a causa de, debido a, dado que, puesto que, visto que, etc.

CONDICIONALES

siempre que, en caso de que, con tal que, a no ser que, siempre y cuando, en cuanto, a condición de que, con tal de, con tal de que, solo si, si es que, a menos que, en tanto que, etc.

ILATIVAS

por tanto, así pues, pues bien, por ende, por lo tanto, en conclusión, así es que, así que, por eso, por ello, por consiguiente, en efecto, en el momento que, etc.

CONCESIVAS

pese a, a pesar de, a pesar de que, si bien, aun cuando, por más que, por mucho que, ahora que, bien que, mientras que, etc.

COMPARATIVAS

al igual que, análogamente, así mismo, más que, tanto como, etc.

CONSECUTIVAS

de tal manera que, de modo que, de modo que, a medida que, de forma que, de manera que, etc.

FINALES

a fin de que, antes que, antes de que, etc.

ACLARATIVAS

es decir, esto es, vale decir, en otras palabras, etc.

No vas a ningún lado, a menos que te portes bien. En cuanto se duerma salgo a pasear. En el momento que salió, me sorprendió por atrás. Aun cuando te vayas, te seguiré amando (conjunción concesiva reemplazable por aunque) En tanto que lo intentes, lograrás tus objetivos (condicional). A pesar de que te lo advertí, no me hiciste caso (concesiva). Antes que los niños jueguen, acondicionaremos el patio. Antes de que oscurezca, dormirá.

EJERCICIOS 1.

La alternativa se muestra la conjunción equivalente a pero, es: a) Cantas o bailas b) Ni canta ni baila c) Saluda, pero rápido d) Abunda el colibrí o la paloma torcaza e) Trabaja, no obstante es lenta

2.

En la oración Yo lo haría si pudieras ayudarme. La conjunción subrayada puede reemplazarse por: a) Por lo tanto b) Sin embargo c) O d) Siempre y cuando e) No obstante

3.

Las conjunciones como, aunque y pero son: a) Condicional, concesiva e ilativa b) Causal, consecutiva y disyuntiva c) Comparativa, consecutivas y adversativa d) Condicional, concesiva y adversativa e) Condicional, ilativa y adversativa

4.

La oración que presenta conjunción subordinante concesiva, es:

a) b) c) d) e)

Trabaja, pero no exageres Yo lo sabía y por eso me quedé callado Ya está avisado, por lo tanto, no te quejes Es tan alto como tú Aunque me cueste la vida, sigo pensando en tu amor

5.

En la expresión Aquel hombre me hizo recordar mis días pasados con ustedes, porque era bueno. Presenta conjunción denominada: a) Causal b) Copulativa c) Disyuntiva d) Condicional e) Concesiva

6.

Una de las siguientes oraciones presenta conjunción subordinante causal: a) Solo tú y yo, lo sabemos b) Lo hicimos, sin embargo no estamos contentos c) Vine, ya que me llamaste d) Tú eres como la paloma e) Ella habla mientras tú duermes

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 63 7.

8.

9.

La oración Le diré, aunque a nadie le guste. Presenta conjunción denominada: a) Copulativa b) Concesiva c) Disyuntiva d) Causal e) Adversativa

La partícula a) Artículo que relaciona construcciones de igual valor sintáctico, es: b) Adverbio c) Pronombre d) Preposición e) Conjunción Dada las siguientes proposiciones. I. No te vi pues no llevo lentes II. Si te parece, nos encontraremos hoy III. No puedo ir hoy, porque tengo trabajo pendiente IV. Tienes una queja, pues dímelo Las alternativas que contiene conjunciones causales es: a) Solo I b) Solo III c) II y IV d) I y III e) I, III y IV

10. Relaciona correctamente. I. Aunque te arrepientas nunca te perdonaré II. No fui al cine sino al teatro III. Si estudiaras más, te iría mejor en todo IV. Yo no quiero ni contigo ni con nadie A) CONJUNCIÓN COORDINANTE B) CONJUNCIÓN SUBORDINANTE La secuencia correcta es: a) IA, IB, IIIA, IVB b) IB, IIA, IIIB, IVA c) IA, IIA, IIIB, IVB d) IB, IIB, IIIA, IVA e) IB, IIA, IIIA, IVB 11.

12.

13.

La relación incorrecta es: a) Pero – adversativa b) Que – copulativa c) Tanto… que – consecutiva d) Pues – ilativa e) Aunque - causal Sintácticamente, la conjunción: a) Es una palabra que carece de significado lexical b) Funciona solo como nexo coordinante c) Funciona como nexo coordinante y subordinante d) Expresa oposición, unión, consecuencia e) Es invariable La expresión La chica de Arequipa que tenía casaca azul salió temprano aunque se despertó tarde, presenta conjunción: a) Consecutiva

b) c) d) e)

Ilativa Comparativa Causal Concesiva

14.

La oración que presenta conjunción causal, es: a) No comprendo el porqué de tu actitud b) No comprendo por qué te pones así c) No fui a la fiesta porque no tenía dinero d) ¿Por qué no viniste? porque no tenía ganas e) Al final optaron por que no se presentasen

15.

La oración que presenta conjunción condicional, es: a) Juan no es tan bueno como dicen b) Como un gran artista presentó diversos cuadros c) Como no asistas al CEPRU, no ingresarás d) Le atrae tanto el estudio como los deportes e) Vendía mascotas como si fueran juguetes

16.

El enunciado que presenta conjunción copulativa, es: a) Continuó con sus peros, sin embargo nadie lo escuchó b) No hizo los deberes ni recogió su ropa c) Creo que es hora de retirarse o continuar con la reunión d) He caminado por todo el mundo, nadie lo impidió e) Perdí mi turno, entonces supe que Juana solo sonreía

17.

La expresión Le atrae la literatura como la matemática. Presenta conjunción: a) Condicional b) Causal c) Comparativa d) Consecutiva e) Adversativa

18.

El enunciado Porque me interesa oír su opinión, lo recibí. Presenta conjunción: a) Condicional b) Ilativa c) Comparativa d) Causal e) Concesiva

19.

Morfológicamente, la conjunción: a) Carece de significado lexical b) Puede expresar: unión, oposición, consecuencia, etc. c) Es una palabra que no posee accidentes gramaticales d) Enlaza elementos del mismo valor sintáctico e) Funciona como nexo

20.

El enunciado que posee conjunción coordinante, es: a) Espero que no se haya ido dado que se lo previne b) Lorena es estudiosa como María c) Debería guardar reserva una vez que se lo hayamos explicado d) Ni tú ni nadie puede detenerlo e) Nadie sabe si vendrá

64

| CEPRU2015

LA SINTAXIS Sintagma

CLASES DE SINTAGMAS

SINTAGMA

SINTAGMA

NOMINAL

VERBAL

1. Núcleo 2. Modificadores a) M. directo b) M. indirecto 3. Aposición a) Explicativo b) Especificativo

SINTAGMA ADJETIVAL

1. Monovalentes a) Objeto directo b) Objeto indirecto c) Circunstancial d) Agente e) Complemento de régimen 2. Bivalentes a) Atributo b) Predicativo c) Predicado nominal

SINTAGMA ADVERBIAL

SINTAGMA REPOSICIONAL

CLASES DE SUJETO

POR LA PRESENCIA DEL

POR LA CANTIDAD DE

POR LA PRESENCIA DE

SUJETO

NÚCLEOS

SUBORDINADOS

1. S. Expreso 2. S. Tácito

1. S. Simple 2. S. Compuesto

1. S. Incomplejo 2. S. Complejo

FUENTE: Elaboración propia sobre la base del Análisis Sintáctico – Teoría y práctica de Leonardo Gómez Torrego

13.1.CONCEPTO. Sintaxis es un término de origen griego que significa “orden o disposición”; como disciplina lingüística estudia las relaciones entre los elementos de una frase y las frases entre sí, y las funciones que desempeñan cada una de las palabras dentro de una expresión lingüística. La sintaxis como parte de la gramática de una lengua está encargada de estudiar a las oraciones gramaticales y a todos sus elementos constitutivos que lo conforman. La unidad básica de la sintaxis es el sintagma. EL SINTAGMA. Es una unidad sintáctica básica formada por una palabra o conjunto de palabras dotados de sentido que posee valor funcional dándoles a cada elemento una relativa autonomía sintáctica y semántica frente a otro sintagma. La sábana. La sábana bordada. La sábana bordada con hilos. La sábana bordada con hilos de oro.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 65 13.2.CLASES DE SINTAGMAS Existen varias clases de sintagmas: 13.2.1.

SINTAGMA PREPOSICIONAL.- Aparecen tanto en el SN como en el SV; su estructura es una preposición seguida de un sustantivo o adjetivo que completa el significado de un SN o un SV. Las lindas playas de la Costa Verde ofrecen una grata estadía a los limeños en el verano.

13.2.2.

SINTAGMA ADJETIVAL.-Es cuando un adjetivo es modificado internamente por un adverbio que funciona como modificador directo del SN. Un problema muy difícil se solucionó. Los hombres flacos, altos, enfermos andan lentamente.

13.2.3.

SINTAGMA ADVERBIAL.- Aparecen en el SV como circunstanciales. El ejército viaja fuertemente armado. Traemos cuanto podemos.

13.2.4.

SINTAGMA NOMINAL (SN). Denominado también frase nominal, grupo nominal, sujeto; está formado por un sustantivo, adjetivo, pronombre, verbo o cualquier otra palabra que funciona como tal, que constituyen su núcleo y todas las palabras que se agrupan en torno a él. Las niñas Las niñas gordas Las niñas gordas con enfermedad

13.2.4.1. ESTRUCTURA DEL SINTAGMA NOMINAL. El SN está constituido por núcleo y complementos. A. NÚCLEO DEL SN. El núcleo del SN siempre va a ser un sustantivo o cualquier otra palabra que se sustantive, que funcione como un sustantivo que van a sufrir variaciones de género y número. El cobrador insolente Aquella vieja casona B. COMPLEMENTOS DEL SN. Denominados también subordinados o modificadores que dependen del núcleo y giran alrededor de él como son: modificador directo, modificador indirecto y la forma declarativa: aposición. a) MODIFICADOR DIRECTO (MD) Es el elemento que se une al núcleo del SN sin la presencia de un enlace, pueden anteponerse o posponerse al núcleo; las palabras que funcionan como M.D son los artículos y adjetivos. Los modificadores directos pueden funcionar como construcción endocéntrica (N +M.D). Hombre alto. La casa blanca. Dos hermosas mujeres flacas. b) MODIFICADOR INDIRECTO (MI) Es el elemento que se une al núcleo del sintagma nominal mediante la presencia de un enlace que son preposiciones; recibiendo el nombre de término las palabras que conforman la estructura de dicho modificador; al cual se puede denominar construcción exocéntrica. Una lágrima en la mejilla. Los hijos sin padres viven tristes. c) APOSICIÓN (AP) Es otro modificador del SN que tiene el mismo valor que el núcleo del SN porque puede conmutarse con el núcleo del SN; designa de otra manera al mismo ser que se menciona en el núcleo del SN; ortográficamente siempre está encerrado entre comas; semánticamente son sinónimos. San Martín, el libertador, murió en la pobreza. El libertador, San Martín, murió pobre. 13.2.4.2. CLASES DE SUJETO (1) Por la presencia del sujeto a) SUJETO EXPRESO. Aparece escrito en la oración. El profesor felicita a Juan. b) SUJETO TÁCITO. No aparece escrito en la oración pero se sobrentiende. Felicitó a Juan. Tiene cólico. (2) Por la cantidad de núcleos a) SUJETO SIMPLE.-En su estructura existe un solo núcleo. El campesino trabaja en la chacra. b) SUJETO COMPUESTO. En su estructura existe dos a más núcleos. Carlos, Julio y Juan viven juntos. (3) Por la presencia de subordinados a) SUJETO INCOMPLEJO. El sujeto no tiene elementos subordinados al núcleo. Vallejo escribió muchas obras. b) SUJETO COMPLEJO. El sujeto tiene elementos subordinados al núcleo. El lujoso automóvil de Pedro chocó con un poste. 13.2.5.

SINTAGMA VERBAL (SV). Denominado también frase verbal, grupo verbal o predicado; es un sintagma que generalmente tiene como núcleo a un verbo que concuerda con el núcleo del SN de la oración; por eso el SV viene a ser el comentario, la descripción o explicación del SN. El electricista hace una instalación trifásica. El director revisó minuciosamente las aulas.

13.2.5.1. ESTRUCTURA DEL SINTAGMA VERBAL A. EL NÚCLEO DEL SV.- Es el verbo que funciona como el elemento principal del SV que subordina a las demás palabras. El verbo es tan fundamental en la oración que podemos llegar a prescindir de todos los demás elementos excepto de él; su función depende del tipo de predicado. B. COMPLEMENTOS DEL SV. Denominados también subordinados o modificadores, que son las demás palabras que giran alrededor del núcleo; puede ser un sintagma adverbial o un sintagma preposicional, que constituyen una referencia dependiendo sintácticamente de él. Los complementos o modificadores son de dos clases:

66

| CEPRU2015 a)

MODIFICADORES MONOVALENTES. Son los que pueden modificar o ampliar al núcleo del SV, ellos son: objeto directo, indirecto, circunstancial y agente a.1. Complemento Directo (C.D.) Es un sintagma constituido por una o varias palabras que se subordinan al núcleo del SV, que recae de manera directa la acción del verbo; el verbo que lleva es transitivo porque la acción del verbo transciende a un objeto, en algunos casos cuando se refiere a sustantivos propios el O.D lleva la preposición “a”; también el objeto directo puede ser sustituido por las formas pronominales (me, te, se, lo, la, le, las, les, los, nos, os). El vecino arrojó la basura en la pista. El vecino lo arrojó. Julio ama a Julia. a.2. Complemento Indirecto (C.I.) Es un sintagma formado por una o varias palabras que se subordinan al núcleo del SV; el verbo son todos los demás verbos menos el transitivo; generalmente encabezado por la preposición “para” o por la preposición “a” cuando este acompaña a un sustantivo propio, los cuales pueden ser sustituidos por los pronombres arriba indicados. Juan recibió una tarjeta para Susana. Juan le recibió una tarjeta. Luisa llevó un pan a Luis. a.3. Complemento Circunstancial (C.C.) Son sintagmas subordinados al verbo, constituidos por un adverbio o encabezados por una preposición que modifica en la significación del verbo. En el plano semántico los circunstanciales complementan el significado del verbo haciendo alusión al tiempo, lugar, modo, compañía, cantidad, causa, finalidad, etc. de la acción verbal; no pueden ser sustituidos por ningún pronombre. Miguel camina lentamente en la playa. Los alumnos olvidaron sus cuadernos en la carpeta. a.4. Complemento Agente (C.A.) Es un modificador del verbo de las oraciones en voz pasiva, en el plano semántico señala al ser que realiza la acción verbal, generalmente encabezado por la preposición “por”; se reconoce mediante el procedimiento de conmutación, pues al transformar la oración de pasiva a activa desempeña la función de sujeto. La ciudad es ensuciada por los transeúntes. Los transeúntes ensucian la cuidad. a.5. Complemento de régimen (C.R.) 76 Llamado también regido es un complemento del verbo introducido por una preposición y exigido por él. Sin dicho complemento explícito o implícito la oración resulta agramatical o cambia del significado. Ejemplo: Ese trabajo adolece de inconsistencia. El éxito dependerá de su esfuerzo. Yo me inclino por el azul.

b)

MODIFICADOR BIVALENTE77 b.1. Predicativo (PVO) Es la función por la que una palabra o un grupo sintáctico de palabras complementa a un verbo pleno y se predica del sujeto o del complemento directo de ese verbo.78 El predicativo en algunos casos se puede eliminar, ya que no siempre se necesario para el verbo. Ejemplo: Los jugadores salieron cansados del entrenamiento. predicativo

Paula llegó muy contenta a casa. predicativo

Susana recibió ilusionada la noticia. predicativo

Me devolvió sucias las botas. Predicativo

O.D.

Mila encontró al bebé

despierto.

O.D.

predicativo

b.2. Atributo (ATRIB.) Es la función por la que una palabra o un grupo de palabras complementan al sujeto de la oración a través de un verbo copulativo (ser, estar, parecer) o semicopulativo (permanecer, quedarse, ponerse…)79 El mes de abril es lluvioso. atributo

Yo soy médico. atributo

Víctor está enfermo. atributo

Alejandro parece cansado. atributo

Sonia llegará a ser una gran novelista. atributo

13.2.5.2. TIPOS DE PREDICADO (1) PREDICADO NOMINAL.- En este tipo de predicado el núcleo es un sustantivo, adjetivo o adverbio. Ese joven, un buen médico. Aquellas niñas, muy hermosas. Esas flores, allá. (2) PREDICADO VERBAL.- En este tipo de predicado el verbo tiene significado pleno, por tanto es el núcleo del predicado que puede funcionar solo o acompañado de otros elementos que puede sufrir variaciones en su número, tiempo, persona, modo y aspecto. El portero cerró la puerta. El complemento de régimen o regido también se denomina a veces objeto preposicional, complemento preposicional y suplemento. Leonardo Gómez Torrego, Análisis Sintáctico – Teoría y práctica (España: Editorial SM Internacional, 2011), 116-129. Los gramáticos que consideran el atributo como toda función gramatical que complementa a la vez a un nombre y a un verbo que lo necesita definen el predicativo como una función gramatical que complementa a la vez a un nombre y a un verbo que no lo necesita. Ejemplo: Alberto volvió contento del examen. = ж Alberto volvió del examen. 79 En un sentido más amplio, también se considera atributo cualquier elemento gramatical que complementa a la vez a un nombre (en función de sujeto o de complemento directo) y a un verbo que lo necesita, aunque el verbo no sea copulativo. Ejemplo: María se puso nerviosa. = ж María se puso. Noto a tu hija muy cansada. = ж Noto a tu hija. 76 77 78

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 67 EJERCICIOS b) La hermosa niña de ojos azules lloró inconteniblemente c) Sandra reprobó este semestre con notas muy bajas d) Juan fue invitado para la fiesta de Andrés e) Ernesto salió a pasear por los parques de la vieja ciudad

1.

La unidad básica de la sintaxis es: a) Modificador b) Núcleo c) Sintagma d) Sustantivo e) Verbo

2.

El sintagma: a) No posee valor funcional b) Otorga a cada categoría gramatical en la oración autonomía completa c) Es una unidad semántica básica d) Está formado solo por una palabra e) Es una palabra o conjunto de palabras que tienen valor funcional

12.

El enunciado que presenta complemento indirecto, es: a) César es ingeniero de sistemas b) Alejandro el grande conquistó centenares de pueblos para su imperio c) Miguel camina parsimoniosamente en la playa d) María olvidó el regalo para su madre e) Ojalá no llueva

3.

El núcleo de la frase nominal es: a) El adjetivo b) El verbo c) Articulo d) Adverbio e) Cualquier categoría gramatical sustantivada

13.

4.

El sintagma nominal está compuesto por: a) Núcleo y modificadores b) Sustantivo y artículo c) El núcleo, determinantes y aposición d) Determinantes, núcleo y complementos e) MD, MI y N

Se observa el sintagma preposicional en: a) Las montañas del sur peruano ofrecen una grata estadía en la primavera b) Una muchacha muy alegre llegó de lejos c) Las campañas grandes se realizan cada año en ese Centro Comercial d) Los jóvenes armados fueron a la guerra e) Aportamos cuanto tenemos

14.

Se identifica la presencia del complemento agente en: a) Salimos a caminar por la calle Maruri b) Andrés y sus amigos fueron reclutados por las Fuerzas Armadas c) Un problema se solucionó por la paciencia que tuvieron los científicos d) Ellos lucharon por una causa justa e) Manuel trabaja por su sueldo

15.

El sintagma adverbial está presente dentro del sintagma: a) Nominal b) Preposicional c) Adjetival d) Verbal e) Oracional

16.

La aposición del sintagma nominal: a) Se une al núcleo mediante un nexo o enlace b) Funcionan como modificador directo c) Recibe el nombre de término d) Tiene el mismo valor que el núcleo e) Es la forma aclarativa

El enunciado que presenta predicado nominal, es: a) Mi mamá cocinó tallarín con pollo b) Ítalo toca la guitarra cada mañana c) Se necesita empleada del hogar d) Nosotros, los ciudadanos exigimos nuestros derechos e) Juan, un excelente médico

17.

El enunciado que presenta sujeto complejo, es: a) David, Kevin y Arnold viven juntos b) El profesor Wálter felicitó al alumno que ingresó c) Ella salió a trotar en la mañana d) José Santos Chocano escribió muchas obras literarias e) Él trabaja con madera fina en su taller

La expresión Elaboran grandes proyectos de mucha envergadura presenta: a) Sujeto tácito b) Predicado nominal c) Oración simple d) Modificador bivalente e) Circunstancial

18.

El enunciado que presenta un bivalente, es: a) Carlos, un buen ingeniero b) Raquel resuelve los ejercicios c) La profesora es buena d) Esas flores, allá e) Anabel trabaja mucho

19.

El sintagma que presenta aposición, es: a) Varios tiburones furiosos atacaron la costa Norte de nuestro país b) La semilla de bambú pareciera ser infértil durante los siete primeros años c) La casona blanca pereció bajo el incontrolable fuego d) La muchacha que tenía el bikini amarillo bailó bajo el agua e) Arequipa, Ciudad Blanca, es la tierra de Mariano Melgar

20.

El enunciado que presenta CD, es: a) Max vendió bastante b) Luisa llevó la guitarra c) Esas flores, allá d) Yo soy un hombre sincero e) Un problema muy difícil de resolver

5.

6.

7.

8.

9.

El enunciado que posee sujeto es: a) Habrá muchos heridos b) En la mañana tuvieron que trabajar arduamente c) Se necesita trabajadora del hogar d) Llovió demasiado anoche en el Cusco e) Hacen tatuajes esos turistas mexicanos El enunciado que presenta sujeto simple es: a) Aquel muchacho y su amigo viajaron por muchos países b) No conocían como se realizaban los festivales en Arequipa c) Raquel e Inés realizaron muchas actividades d) La señora muy atenta y su hija llegaron del Norte del Perú e) El Rector de la UNSSAC es el un docente muy bueno

El núcleo del grupo verbal: a) Concuerda con el núcleo del sujeto b) Realiza la función de predicado c) Tiene la presencia de enlaces d) Designa de otra manera al sujeto e) Coincide con los circunstanciales

10.

La estructura del sintagma verbal está constituida por: a) Núcleo y determinantes b) Núcleo y modificadores monovalentes y bivalente c) Núcleo y subordinados d) Algunos casos se refieren a los sustantivos e) Funciona como estructura principal del predicado

11.

Se encuentra complemento directo en: a) Conocieron muchos países cuando viajaron al extranjero

modificador

68

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LA ORACIÓN GRAMATICAL La oración es unidad de predicación, segmentos que normalmente ponen en relación un sujeto con un predicado verbal.

CLASIFICACIÓN

POR SU ESTRUCTURA SINTAGMÁTICA

1. O. Unimembre - O. U. con verbo - O. U. sin verbo 2. O. Bimembre

POR LA CANTIDAD DE VERBOS O PROPOSICIONES

1. O. Simples 2. O. Compuestas a) O.C. Coordinadas - Conjuntivas - Yuxtapuestas b) O.C. Subordinadas

POR SU NATURALEZA O LA ACTITUD DEL HABLANTE

1. 2. 3. 4. 5. 6.

O. Enunciativa O. Desiderativa O. Dubitativa O. Interrogativa O. Imperativa O. Exclamativa

FUENTE: Elaboración propia

14.1.CONCEPTO - La oración es unidad de predicación, segmentos que normalmente ponen en relación un sujeto con un predicado verbal. - La oración gramatical es la expresión de un juicio o pensamiento completo. La parte de la Gramática de la Lengua que estudia las oraciones se denomina Sintaxis. - “Es una unidad sintáctica que se corresponde con la estructura gramatical constituida básicamente por un sujeto y un predicado”. - La oración posee significado completo porque comunica un mensaje. Para que tenga sentido completo es necesario la presencia de un verbo (real o sobrentendido)80. - La oración es la palabra o conjunto de palabras que tiene sentido completo, entonación, verbo conjugado y autonomía sintáctica, que trata de reflejar el hecho. Es el fragmento más pequeño del discurso que comunica una idea completa y posee independencia (es decir, podría sacarse del contexto y seguir comunicando) 14.2.CARACTERÍSTICAS  Posee sentido completo, es decir comunica una idea.  Tiene una curva de entonación, de acuerdo con la clase de oración.  Está dotado de verbo conjugado.  Presenta autonomía sintáctica. 14.3.CLASIFICACIÓN DE LA ORACIÓN 14.3.1. POR SU ESTRUCTURA SINTAGMÁTICA A. ORACIONES UNIMEMBRES81. Son aquellas oraciones que no poseen sujeto ni predicado, pero gozan de sentido completo autonomía sintáctica. Constituyen un enunciado unitario y carecen de división sintáctica. Existen dos tipos de oraciones unimembres: a) ORACIONES UNIMEMBRES SIN VERBO O CONTEXTUALES. Son expresiones de cualquier tipo que adquieren valor oracional en un determinado contexto o circunstancia; se le considera como oraciones elípticas, porque expresan un pensamiento en el menor número de palabras. Por ejemplo: INTERJECCIONES ¡Socorro! ¡Uf! ¡Vaya! ¡Auxilio! ¡Bah! ¡Jesús!

80 81

EXCLAMACIONES ¡Qué rico! ¡Cuánta pobreza! ¡Maldita sea! Muchas gracias. ¡Vaya qué hermoso! ¡Qué remedio!

Araus Gutiérrez y otros, Introducción a la Lengua Española (Madrid: Editorial Universitaria Ramón Araces S.A., 2011), 21. Dante Sinfuente Palma, Nueva gramática del español y su uso del lenguaje (Perú: Centro de Investigación y Estudios DSP, 2011), 389.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 69 b) ORACIONES UNIMEMBRES CON VERBO82. Son oraciones que presentan verbos impersonales que carecen de sujeto. Existen dos formas: FORMA IMPERSONAL PROPIA O NATURAL

Son oraciones que no presentan sujetos y se refieren a los fenómenos de la naturaleza. Ejemplos: - Llovió torrencialmente en la ciudad. - Graniza y llueve en la sierra peruana. - Amanece con un sol radiante. - Solea intensamente a medio día.

FORMA PERSONAL IMPROPIA O GRAMATICAL

Son oraciones que no precisan al sujeto y tienen verbos impersonales, como: haber, ser, hacer y estar. Ejemplos: Hubo protestas en la región. Habrá mejores artistas. Es tarde para arrepentirse. Se ofrecen muchas vacantes en la UNSAAC.

B. ORACIONES BIMEMBRES83. Estas oraciones presentan la dualidad de dos elementos o miembros constituyentes de la oración, como son: el SUJETO y el PREDICADO. Estas oraciones se presentan con dos tipos de sujetos: el sujeto expreso y el sujeto tácito. a) Sujeto expreso o explícito. Es el sujeto que se manifiesta en la oración. Ejemplos:  Los jóvenes inteligentes estudian continuamente. S



P

El estudioso viajó a la selva peruana. S

b)

P

Sujeto tácito o implícito. Presenta al sujeto de manera sobrentendida. Ejemplos:  (Ellos) Ingresaron a la universidad en primeros lugares S



S

14.3.2. A.

P

(Él) Viajó a la selva peruana. P

POR LA CANTIDAD DE VERBOS O DE PROPOSICIONES ORACIONES SIMPLES 84  Son aquellas que presentan un solo verbo principal o conjugado (ya sea simple o compuesto).  Estas oraciones no presentan proposiciones de ningún tipo en su estructura.  Pueden tener sujeto simple o compuesto. Por ejemplo: - El estudiante resolvió la prueba. - El profesor y el estudiante dialogaron amenamente. - La joven estudiosa ha ingresado a la universidad. - Los estudiantes han estudiado para el examen.

B.    

ORACIONES COMPUESTAS 85 Estas oraciones se presentan a través de nexos dos o más verbos principales o conjugados. Asimismo estas oraciones pueden presentar dos o más proposiciones coordinadas o subordinadas. Además señalan dos o más ideas. Este tipo de oraciones presentan NEXO o ENLACE y pueden ser coordinantes o subordinantes. B.1. ORACIÓN COMPUESTA COORDINADA. Son oraciones que en su estructura presentan proposiciones que poseen el mismo valor sintáctico, entre ellos tenemos: TIPO DE NEXO COORDINADOS

ORACIÓN COMPUESTA COORDINADA

YUXTAPUESTA. Carecen de nexo y se encuentran separados por signos de puntuación.

Los estudiosos merecen premio; los holgazanes deberán ser castigados.

COPULATIVA Los nexos son: y, e, ni

Margot resuelve problemas y Vanesa analiza las oraciones. Doris estudia enfermería e Irene dibuja con acuarelas.

DISYUNTIVA Los nexos son: o, u

¿Estudias inmediatamente o te quedas sin vacaciones? ¿Vamos a bailar a mi casa o prefieres ver películas?

ADVERSATIVA Los nexos son: pero, mas, sino, sin embargo, no obstante.

Mabel ingresó en primer lugar, pero no avisó a nadie. Leímos la relación de ingresantes, sin embargo no hallamos su nombre.

B.2. ORACIÓN COMPUESTA SUBORDINADA  Es la relación de dependencia estructural que se establece entre dos constituyentes sintácticos.  Una proposición subordinada es por tanto una proposición que depende de otro constituyente al que complementa o modifica.  La subordinación se establece a través de un elemento de nexo o enlace (una conjunción subordinante o un relativo) Las clases de oraciones subordinadas son: a) Proposición subordinada sustantiva. Cumple todas las funciones propias del sustantivo. Se presenta en los siguientes casos:

82Roberto

Rosadio Bernal, Morfosintaxis I (Perú: Universidad Inca Garcilaso de la Vega, Fondo Editorial, 2012), 30. Manuel Seco, Diccionario de dudas y dificultades (Madrid: Editorial Espasa Calpe, 2010) Santiago Revilla de Cos, Gramática Española Moderna (México D.F, Mc Graw Hill , 2012) 85 Dante Sinfuente Palma, Nueva gramática del Español y su uso del lenguaje, 417. 83 84

70

| CEPRU2015 CLASES

EJEMPLOS

Sustantivas del sujeto

Me encantaría que ingreses en la universidad.

Sustantivas de objeto directo

Te aconsejamos que estudies los libros nuevos.

Sustantivas del objeto indirecto

Regalan diccionarios a quienes compran novelas.

Sustantivas de complemento preposicional

Me alegro de que hayas ingresado a la universidad.

Sustantivas de complemento agente

Fue entrevistada por quien la perseguía.

Complemento circunstancial

Estudia con el que se sienta a su lado,

Complemento de un sustantivo

He visto la foto de quien él sabe.

Complemento de un adjetivo

Estoy harta de que me engañen.

Complemento de un adverbio

Estuvo cerca de que le dieran el primer lugar.

b) Proposición subordinada adjetiva. Está proposición subordinada modifica a un sustantivo que se encuentra en cualquier parte de la oración, es decir, funciona como adjetivo. Se presenta en los siguientes casos: CLASES

EJEMPLOS

Prop. subordinada adjetiva especificativa

La novela que leíste ayer está malograda.

Prop. subordinada adjetiva explicativa

Los estudiantes, que estaban aburridos, no ingresaron a la “U”.

c) Proposición subordinada adverbial. Está proposición subordinada modifica a un verbo principal (función propia del adverbio), se le reconoce como complemento circunstancial. Se presenta en los siguientes casos: CLASES EJEMPLOS

14.3.3.

De lugar

Nos encontraremos donde ustedes digan.

// Está en donde ustedes lo dejaron.

De modo

Investigaré según me dicte mi instinto.

Condicional

Si saben todo de mí no puedo hacer nada contra ellos.

Concesiva

Continúan llamando a pesar de que no les hice caso.

Causal

Duermo durante el día porque trabajo de noche.

Cantidad

Traerá cuanto dinero obtenga de sus negocios.

Finalidad

Margot vino para que le prestaras una novela.

POR SU NATURALEZA. Las oraciones por su naturaleza se presentan de acuerdo a la actitud que muestra el hablante86. A. ORACIONES ENUNCIATIVAS, ASEVERATIVAS O DECLARATIVAS. El hablante afirma o niega hechos o ideas, presenta los enunciados como si se tratase de algo objetivo. Ejemplos: o El internet facilita el acceso a la gran cantidad de información. o Hoy hace calor. o Tu prima nunca viene al CEPRU. o Los domingos no trabajamos. B. o o o o

ORACIONES DESIDERATIVAS. El hablante manifiesta un deseo. Ejemplos: Me gustaría verte. ¡Quién pudiera estar allí! Quisiera viajar durante las vacaciones. ¡Qué te vaya bien, amigo mío!

C. o o o

ORACIONES DUBITATIVAS. El hablante expresa duda o probabilidad. Ejemplos: Tal vez tengas razón. Puede que el libro esté sobre la mesa. Quizá lleguemos antes del anochecer.

D. ORACIONES INTERROGATIVAS. El hablante expresa una pregunta, pueden ser directas o indirectas; parciales o totales. Ejemplos: o ¿Quieres acompañarme a la biblioteca? o ¿Cuál es tu nombre? o ¿Te gusta el teatro? o Cuéntame, qué ha pasado. o Dónde te escondes amada mía.

86

E. o o o o

ORACIONES IMPERATIVAS O EXHORTATIVAS. Expresa mandato, orden o ruego. Ejemplos: Abre la ventana. No te muevas de donde estas, por favor. No digáis mentiras, Jaime. Debes ponerte el casco para conducir la moto.

F. o o o o

ORACIONES EXCLAMATIVAS. El hablante expresa diferentes estados de ánimo. Ejemplos: ¡Qué alegría de verte! ¡Qué animal! ¡Alto! ¡Cuántos libros tiene ella!

Roberto Rosadio Bernal, Morfosintaxis I, 91.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 71

EJERCICIOS

1.

La expresión El abuelo no le contestó a su nieto, por su naturaleza, es una oración: a) Enunciativa b) Desiderativa c) Interrogativa d) Exhortativa e) Exclamativa

2.

La expresión Quisiera estar con toda mi familia ahora, por su naturaleza, es una oración: a) Exclamativa b) Desiderativa c) Exhortativa d) Enunciativa e) Dubitativa

3.

La expresión ¡Cuánta alegría!, por su estructura sintagmática, es una oración: a) Simple b) Bimembre c) Unimembre sin verbo d) Unimembre con verbo e) Simple con verbo

4.

La expresión Ven y dime que aún me amas mucho, por su naturaleza, es una oración: a) Exhortativa b) Exclamativa c) Desiderativa d) Dubitativa e) Enunciativa

5.

6.

7.

La expresión Hubo protestas en Ministerio de Cultura, por su estructura sintagmática, es una oración: a) Bimembre con verbo b) Compuesta c) Unimembre con verbo d) Unimembre sin verbo e) Bimembre con sujeto tácito La oración simple con predicado nominal es: a) Ella no está aquí, sino allá b) Viene ahora c) Estudia y canta d) Los cóndores, los dioses del cielo e) Algunos hombres de la tierra La oración Los estudiosos merecen premio; los holgazanes ser castigados, es compuesta: a) Conjuntiva b) Subordinada c) Coordinada conjuntiva d) Coordinada yuxtapuesta e) Subordinada sustantiva

8.

La oración gramatical es una de las siguientes: a) El color de tus ojos b) Muy alegremente c) Interpreta el texto d) Bastante y sumamente humilde e) Los tres niños rubios

9.

La oración Prometieron muchos cambios, las cosas continúa igual, por la cantidad de proposiciones, es: a) Compuesta coordinada yuxtapuesta b) Compuesta subordinada adjetiva c) Compuesta subordinada sustantiva d) Compuesta coordinada conjuntiva e) Simple con sujeto tácito

10.

La oración Quienes me estiman recibieron las invitaciones ayer, es compuesta: a) Subordinada adverbial b) Subordinada adjetiva c) Coordinada sustantiva d) Subordinada sustantiva

e) Coordinada conjuntiva 11.

La oración compuesta subordinada adverbial es: a) Allá tienes que ganar ahora b) Cuando tú vuelves, te lo contaré c) ¿Cuándo llegó? d) Daba consejos a todos e) Amablemente escuchó la maestra

12.

La oración compuesta subordinada adjetiva es: a) Los estudiantes que están casados no asistieron b) Las mujeres son diosas terrenales c) Ella es amable, generosa y estudiosa d) Los estudiosos triunfan e) Bastante amable y generosa

13.

La oración Martín salió anoche con quien tú sabes, es compuesta: a) Coordinada sustantiva b) Subordinada adjetiva c) Subordinada sustantiva d) Subordinada adjetiva e) Coordinada adjetiva

14.

La oración compuesta subordinada adverbial, es: a) Compra regalos para quien ama b) ¿Cuándo terminan la tarea? c) Ese quien te saludó trabaja aquí d) Estudiamos toda la noche e) Fabiola trabaja desde cuando tuvieron los hijos

15.

La oración compuesta coordinada adversativa es: a) Trabaja con que tienes que aprovechar b) Estudia que estudia c) ¿Estudias o viajas? d) Te hubiésemos llamado pero allí no había teléfono e) Te necesitamos todos

16.

La oración compuesta coordinada es: a) Todos somos culpables, no puedes excluirte b) Comiendo todo el día c) Carlos y María viajarán d) Abrazó a quien perdonó e) Lo ubicamos todos

17.

La expresión Codifican todos los libros de la biblioteca, por su estructura sintagmática, es una oración: a) Unimembre b) Bimembre con sujeto expreso c) Compuesta coordinada d) Bimembre con sujeto tácito e) Unimembre con verbo impersonal

18.

La oración Los televisores que vendían antes no captan todos los canales, es compuesta: a) Coordinada conjuntiva b) Subordinada sustantiva c) Subordinada adverbial d) Subordinada adverbial de modo e) Subordinada adjetiva

19.

La oración La gente paga sus deudas como puede, es: a) Simple b) Compuesta subordinada adjetiva c) Compuesta subordinada sustantiva d) Compuesta subordinada adverbial e) Simple con sujeto expreso

20.

La oración Quien estudia conscientemente construye su futuro, es: a) Simple son sujeto tácito b) Simple con sujeto expreso c) Compuesta subordinada sustantiva d) Compuesta coordinada yuxtapuesta e) Compuesta subordinada adjetiva

72

| CEPRU2015

EL TEXTO Unidad lingüística comunicativa fundamental producto de la actividad verbal humana que posee siempre carácter social.

ESTRUCTURA INTERNA DEL TEXTO

PROPIEDADES DEL TEXTO

1. P. Constitutivas a) Según la estructura del texto - Coherencia - Cohesión b) Según la pragmática del texto - Intencionalidad - Aceptabilidad - Informatividad - Situacionalidad - Intertextualidad 2. P. Regulativas a) Eficacia b) Efectividad c) Adecuación

1. Idea a) I. Principal b) I. Secundarios 2. Tema a) Principal b) Secundarios 3. Título

CLASES DE TEXTO 1. Por su forma a) T. Narrativo b) T. Descriptivo c) T. Argumentativo d) T. Expositivo e) T. Dialogal 2. Por su estructura a) T. Analizante b) T. Sintetizante c) T. Centrado d) T. Paralelo e) T. Encuadrado 3. Por su contenido a) T. Informativo b) T. Científico c) T. Filosófico d) T. Humanístico e) T. de crítica literaria

FUENTE: Elaboración propia

15.1.CONCEPTO El texto tiene su origen en el latín textus que quiere decir “tejido” y se define como una unidad semántico estructural; es decir, de contenido y forma, que tiene como base al párrafo, cuyo ordenamiento es fundamental para establecer la intencionalidad de uno o más mensajes que a su vez tienen coherencia y relación con respecto a un tema o asunto. Se puede conceptuar entonces como la unidad de contenido y forma, de extensión variable, constituida por una o más frases u oraciones. Enrique Bernárdez afirma que “el texto es la unidad lingüística comunicativa fundamental, producto de la actividad verbal humana que posee siempre carácter social. Está caracterizado por un cierre semántico y comunicativo, así como por su coherencia profunda y superficial, debido a la intención comunicativa del hablante de crear un texto íntegro, y a su estructura mediante dos conjuntos de reglas: las propias del nivel textual y las del sistema de la lengua”.87 Pérez, Ollé y Vega, sostienen que “un texto puede ser breve, compuesto por una palabra o ser extenso. Lo importante es que sea un todo comprensible y que tenga un propósito comunicativo”.88 Según Cassany “texto significa cualquier manifestación verbal y completa que se produzca en una comunicación”.89 El texto tiene un carácter comunicativo, es decir, es una actividad que se realiza con una finalidad determinada como parte de su función social; un carácter pragmático, que se produce con una intención y en una situación concreta; y un carácter estructurado, es decir, constituido por una sucesión de enunciados u oraciones coherentes. 15.2.CARACTERÍSTICAS Las características fundamentales a destacar son: EL TEXTO    

Es una unidad comunicativa. Se produce con una intención. Está relacionado con el contexto o situación en que se produce. Está estructurado por reglas que le ayudan a mantener la coherencia y la cohesión.

El texto es la secuencia lingüística con sentido pleno que un hablante quiere comunicar. Constituye un acto de habla, o una serie de actos lingüísticos conexos realizados por un individuo en una situación comunicativa determinada. Halliday y Hasan afirman que la palabra texto es usada en lingüística para referirse a cualquier pasaje escrito o hablado de cualquier extensión que forme un todo unificado. 15.3.LA ESTRUCTURA INTERNA DEL TEXTO Se llama estructura interna a la organización de ideas del texto que el autor suele realizar, orientado por sus propósitos y de acuerdo a las exigencias del tema que aborda.

87 88 89

Enrique Bernárdez, Introducción a la lingüística del texto (Madrid: Arco Libros, 1987). Pérez Ollé y Vega, Claves de la conexión textual (Santiago de Chile: Salesianos, 2001). Daniel Cassany, Estudio de la lengua (Barcelona: Graó, 1993).

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 73 La organización de las ideas es un conjunto de relaciones, a través de las cuales se hace evidente el contenido del discurso. 15.3.1.

LAS IDEAS Llamamos idea a todo pensamiento o concepto que resulta de aplicar nuestro entendimiento a un objeto de conocimiento.

a)

LA IDEA PRINCIPAL Es la tesis o planteamiento central que el autor desarrolla conforme van discurriendo las ideas del texto. Dicha tesis puede consistir en la formulación de problemas, conceptos, definiciones, juicios de valor o críticas. Puede contener objetivos, intenciones, propósitos, propuestas científicas, preferencias artísticas, etc. Contiene el mensaje que se quiere transmitir al lector y es el núcleo del discurso en torno al cual giran las demás ideas. En un texto, pueden existir varias ideas, pero lo importante es descubrir aquella de mayor jerarquía, a fin de lograr una comprensión cabal del mismo. La idea principal está expresada de manera general, abstracta, conceptual o teórica.

b)

LAS IDEAS SECUNDARIAS Así, para entender el texto plenamente, es necesario identificar no solo la idea principal, sino también las ideas de menor jerarquía que contienen las características peculiares de la tesis del autor. Nos referimos a las llamadas ideas secundarias, las cuales cumplen diversas funciones en el contenido del texto. Por lo tanto, la tarea del lector consiste en descubrir las relaciones existentes entre la idea principal y las secundarias. Las ideas secundarias no están por casualidad en el texto; están presentes para servir de argumento a la idea central, para que esta sea digna de crédito, adquiera validez y sea de utilidad para resolver problemas concretos. En tal medida las ideas secundarias son muy importantes en la organización interna de un texto, ya que cumplen el papel de fundamentar y explicar con diversos recursos la idea principal, determinando sus alcances y límites. Las ideas secundarias sirven para fundamentar y explicar a través de la argumentación, la comparación, la ejemplificación, la reiteración, etc. La idea secundaria está expresada de manera específica, concreta, ejemplificada o práctica.

15.3.2.

EL TEMA Es aquello de lo que se habla en el texto. Es decir, el asunto descrito, explicado y desarrollado por diversos medios de exposición. El tema de un texto puede ser la libertad, la explotación, el amor, el conocimiento, la política, el deporte, la religión, etc.

15.3.3.

EL TÍTULO Es una frase breve que sintetiza la idea central del texto, su sentido e intención es semejante a un nombre, pues identifica a la totalidad de lo expuesto. Además presenta un carácter informativo. En eso difiere del tema que es mucho más genérico. La manera de obtener el título es similar a la idea principal, pero la respuesta en este caso debe ser más sintética.

15.4. PROPIEDADES DEL TEXTO.90 Son todos aquellos requisitos que debe reunir un mensaje oral o escrito para que pueda ser considerado como texto. La presencia de ideas desordenadas no puede ser capaz de configurar un texto, puesto que no respeta la estructura adecuada de las ideas ni de los elementos gramaticales que permitan formar una unidad constitutiva. Podemos decir que cualquier texto, por ser un acontecimiento comunicativo, posee propiedades constitutivas y propiedades regulativas. 15.4.1.

A.

PROPIEDADES CONSTITUTIVAS Es la facultad de disponer que un texto tenga unidad comunicativa. Es decir, forma parte para la composición o intercambio de información entre emisor y receptor, con el que debe presentar la coherencia y cohesión. PROPIEDADES DE LA ESTRUCTURA DEL TEXTO (INTERNAS) Se llaman así porque están centradas en el texto y actúan directamente sobre los materiales del texto. a)

LA COHERENCIA Es la propiedad del texto que relaciona la información relevante/irrelevante y establece, según Cassany: “Los datos pertinentes que se comunican y su distribución a lo largo del texto, esto es, permite organizar los datos y las ideas mediante una estructura comunicativa de manera lógica y comprensible” (en qué orden, con qué grado de precisión o detalle, con qué estructura). Por coherencia se entiende la conexión de las partes en un todo, la relación armoniosa entre conceptos, hechos e ideas que aparecen en un texto con sentido.

b)

LA COHESIÓN Es la propiedad del texto mediante la cual se establece una relación manifiesta entre los diferentes elementos del texto. Esta relación refleja el desarrollo informativo del texto, que se materializa en unidades sintácticas semánticas debidamente entrelazadas. Ahora bien, si esta característica proporciona la trabazón entre los constituyentes del texto, no garantiza por sí sola la coherencia de este: "los textos no se elaboran solo con medios lingüísticos, sino también con la ayuda de medios extralingüísticos". La cohesión textual se desarrolla en dos planos referidos a la organización intratextual: Plano macrotextual (orienta el significado global) y el plano microtextual (orienta la trabazón entre las palabras, oraciones).

B.

PROPIEDADES DE LA PRAGMÁTICA DEL TEXTO (EXTERNAS) Se llaman así porque están centradas en la relación que se establece entre emisor y receptor, en sus actuaciones. a)

90

LA INTENCIONALIDAD Se refiere a la intención comunicativa del hablante o escritor. Al iniciar una actividad de redacción se recomienda definir el propósito de nuestro escrito. Debemos preguntarnos: ¿Qué quiero conseguir con mi texto?, ¿cómo deseo que reaccionen mis lectores?, ¿qué quiero que hagan con mi texto?, ¿cómo puedo formular en pocas palabras mi propósito, etc.

Universidad de Piura, Comunicación: Nos comunicamos por medio de textos (Lima, Ministerio de Educación – DINFOCAD, 2000).

74

| CEPRU2015

15.4.2.

b)

LA ACEPTABILIDAD El receptor tiene la potestad de aceptar o no un texto, en función del tema, y de cómo se ha desarrollado el acto comunicativo, de la atractividad y utilidad que tenga el asunto para el lector.

c)

LA INFORMATIVIDAD Cualquier texto es informativo, puesto que se manejan datos, versiones de fuentes personales o bibliográficas y todo tipo de información que dé veracidad al texto.

d)

LA SITUACIONALIDAD Se refiere a todos aquellos factores o circunstancias que intervienen en todo acto comunicativo. Los textos se encuentran condicionados por una situación extraverbal concreta, es decir, por las circunstancias que rodean el acto comunicativo.

e)

LA INTERTEXTUALIDAD Enlaza todos aquellos factores que hacen depender el uso adecuado de un texto en relación con otros textos.

PROPIEDADES REGULATIVAS Es el derecho o facultad de disponer medidas o ajustes que contribuyen a mantener la expectativa del lector a lo largo del texto; para lo cual se debe tener presente las siguientes propiedades: a)

LA EFICACIA Un texto es eficaz dependiendo del esfuerzo que el emisor procure para ser claro en su realización comunicativa.

b)

LA EFECTIVIDAD Un texto es efectivo si genera una fuerte impresión en el receptor durante la lectura y si logra sus objetivos. LA ADECUACIÓN Un texto es adecuado si hay equilibrio en el uso que se hace de un tipo de texto y en el modo en que se respetan las normas de la textualidad. También se dice que el texto es adecuado si está dirigido a un público específico (niños, jóvenes, mujeres, obreros, profesionales, etc.)

c)

15.5. CLASES DE TEXTOS91 15.5.1.

POR SU FORMA a) TEXTO NARRATIVO Cuando la finalidad del texto es contar o narrar acontecimientos en los que intervienen personajes, tenemos un texto narrativo. Los hechos o acontecimientos que componen el texto narrativo se desarrollan en un tiempo y un espacio que pueden ser reales o virtuales. NARRAR es relatar unos hechos (reales o imaginarios) ocurridos en un tiempo y en un lugar determinado. La función lingüística que predomina en todo texto narrativo es la referencial. EJEMPLO: ''Un tigre que cuando cachorro había sido capturado por humanos fue liberado luego de varios años de vida doméstica. La vida entre los hombres no había menguado sus fuerzas ni sus instintos; en cuanto lo liberaron, corrió a la selva. Ya en la espesura, sus hermanos teniéndolo otra vez entre ellos, le preguntaron: -¿Que has aprendido? El tigre meditó sin prisa. Quería transmitirles algún concepto sabio, trascendente. Recordó un comentario humano: "Los tigres no son inmortales. Creen que son inmortales porque ignoran la muerte, ignoran que morirán." Ah, pensó el tigre para sus adentros, ese es un pensamiento que los sorprenderá: no somos inmortales, la vida no es eterna. -Aprendí esto- dijo por fin-. No somos inmortales solo ignoramos que alguna vez vamos a... Los otros tigres no lo dejaron terminar de hablar, se abalanzaron sobre él, le mordieron el cuello y lo vieron desangrarse hasta morir. Es el problema de los enfermos de muerte -dijo uno de los felinos-. Se tornan resentidos y quieren contagiar a todos”. El tigre enfermo, Marcelo Birmajer

b)

TEXTO DESCRIPTIVO Tradicionalmente se ha definido la descripción como una "pintura'' hecha con palabras. Y es así, pues, al describir, lo que intentamos es representar por medio de las palabras un objeto, un paisaje, una persona tal cual como si el lector la tuviera delante y la estuviera percibiendo con sus propios sentidos. DESCRIBIR es representar lingüísticamente la imagen de un objeto (sea este una persona, un animal, un ambiente, una cosa, etc.) EJEMPLO:

MÉXICO Y NUEVO MÉXICO ''El oeste de Texas divide la frontera entre México y Nuevo México. Es muy bella, pero áspera, llena de cactus, en esta región se encuentran la Davis Mountains. Todo el terreno está lleno de piedra caliza, torcidos árboles de mezquite y espinosos nopales. Para admirar la verdadera belleza desértica, visite el Parque Nacional de Big Bend, cerca de Brownsville. Es el lugar favorito para los excursionistas, acampadores y entusiastas de las rocas. Pequeños pueblos y ranchos se encuentran a lo largo de las planicies y cañones de esta región. El área solo tiene dos estaciones, tibia y realmente caliente. La mejor época para visitarla es de diciembre a marzo cuando los días son tibios, las noches son frescas y florecen las plantas del desierto con la humedad en el aire”. EL HOGAR “Un mundo se originaba en la casa paterna; más estrictamente, se reducía a mis padres. Este mundo me era muy familiar: se llamaba padre y madre, amor, severidad, ejemplo, colegio. Este mundo se caracterizaba por un tenue esplendor, claridad y limpieza; a él pertenecían las palabras suaves y amables, las manos lavadas, la ropa limpia y las buenas costumbres. Allí se cantaba el coral por las mañanas y se celebraba la navidad. En este mundo había líneas rectas y caminos que conducen al porvenir, estaban el deber, y la culpa, el remordimiento y la confesión, el perdón y los buenos propósitos, el amor y el respeto, la Biblia y la sabiduría. Uno tenía que quedarse dentro de este mundo para que la vida fuera clara, limpia, bella y ordenada”. MI MUJER “Mi mujer tiene cabellera de fuego, pensamientos de relámpago, cintura de reloj de arena, rostro angelical: es todo un bombón físico e intelectual”. 91

Universidad de Piura, Comunicación: Nos comunicamos por medio de textos.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 75 c)

TEXTO ARGUMENTATIVO La argumentación es un tipo de exposición que tiene como finalidad confirmar o refutar una tesis, es decir, una idea que se quiere probar. Así, si se trata de confirmar, la argumentación debe aducir pruebas y razones que traten de refutarla se intentará demostrar la falsedad de una idea o lo inadecuado de una aplicación o de un razonamiento. ARGUMENTAR es aportar razones válidas para defender o refutar una opinión o idea. Su objetivo es convencer al receptor de algo. EJEMPLO: LA FELICIDAD “En todos los tiempos, en todas las culturas ha sido constante el anhelo del ser humano por alcanzar la felicidad. Todos aspiramos a la felicidad y la buscamos de mil maneras ¿lograremos encontrarla? Buscamos la felicidad en los bienes externos de las riquezas y el consumismo es la forma actual del bien máximo. Pero la figura del "consumidor satisfecho" es ilusorio: el consumidor nunca está satisfecho, es insaciable y, por tanto, no es feliz. Podemos buscar la felicidad en el triunfo, en los honores. Pero ¿no es todo eso sino vanidad, en definitiva nada o casi nada? Otro modo de búsqueda de la felicidad es la autocomplacencia, así, el goce del propio placer, el deseo de perfección o la práctica de la virtud. Aspiramos a la felicidad, pero aspirar no es lo mismo que “buscar” y, todavía menos, que “conquistar” ni fuera, ni dentro de nosotros mismos. La felicidad es un don, el don de la paz interior, espiritual, de la conciliación o reconciliación con todos y con todo y, para empezar y terminar, con nosotros mismos. Para recibir el don de la felicidad el talante más adecuado es, pues el desprendimiento: no estar prendido a nada, desprenderse de todo. La felicidad, como el pájaro libre, no está nunca en la mano, sino siempre volando, pero, tal vez, con suerte y quietud por nuestra parte, se pose por unos instantes sobre nuestra cabeza”. LA BUENA ALIMENTACIÓN “Algunos comen solo dulces y postres y eso no está nada bien. Hay que comer de todo. Comiendo solo dulces, se te estropearán los dientes y, además, abusar del azúcar no es bueno ni para tu estómago ni para tu salud en general. ¡Por si fuera poco, puedes engordar! Debemos seguir una alimentación variada, porque, de lo contrario nuestro crecimiento puede verse perjudicado. Nuestro cuerpo necesita diferentes sustancias, nutrientes y estas se hallan repartidas entre las diferentes clases de alimentos. Cada tipo de alimento nos aporta algo que nuestro cuerpo necesita, por eso debemos comer de todo. No comer algún tipo de alimentos puede producirnos problemas de salud, puesto que nuestro cuerpo puede estar falto de defensas o de vitaminas. Una mala alimentación puede producirnos enfermedades, problemas de obesidad o de falta de peso y un mal desarrollo. En definitiva, no hay ninguna duda: ¡no podemos permitirnos renunciar a ningún tipo de alimento!”.

d)

TEXTO DIALÓGICO Los textos dialógicos, llamados también textos conversacionales o dialogales, constituyen un tipo de composición en el que se manifiesta el intercambio comunicativo entre dos o más personas, ya sea este real o imaginario. El diálogo es, por excelencia, el modo de expresión propio del teatro. Sin embargo, se emplea igualmente en las novelas, en los cuentos, en algunos poemas, en ensayos filosóficos y otros tipos de textos. EJEMPLO: ESCENA I Gran plaza en el Cusco con el templo del Sol en el fondo. La escena tiene lugar ante el vestíbulo del templo. Vestidos característicos de la época incaica. (Salen OLLANTA, con manto bordado de oro y el mazo al hombro, y tras él, PIQUICHAQUI.) OLLANTA.- ¿Has visto, Piqui-Chaqui, a Cusi Ccoyllur en su palacio? PIQUICHAQUI.- No, que el Sol no permita que me acerque allá. ¿Cómo, no temes siendo hija del Inca? OLLANTA.- Aunque eso sea, siempre he de amar a esta tierna paloma: a ella sola busca mi corazón. PIQUICHAQUI.- ¡Creo que el demonio te ha hechizado! Estás delirando, pues hay muchas doncellas a quienes puedes amar, antes que llegues a viejo. El día que el Inca descubra tu pensamiento, te ha de cortar el cuello y también serás asado como carne. OLLANTA.- ¡Hombre!, no me sirvas de estorbo. No me contradigas, porque en este momento, te he de quitar la vida, destrozándote con mis propias manos. PIQUICHAQUI.- ¡Veamos! Arrójame afuera como un can muerto, y ya no me dirás cada año, cada día, cada noche: Piquichaqui, busca a Cusi Ccoyllur. OLLANTA.- Ya te digo, Piquichaqui, que acometería a la misma muerte con su guadaña; aunque una montaña entera y todos mis enemigos se levantaran contra mí, combatiría con ellos hasta morir por abrazar a Cusi Ccoyllur. PIQUI-CHAQUI.- ¿Y si el demonio saliera? OLLANTA.- Aun a él hollaría con mis plantas. PIQUI-CHAQUI.- Porque no veis ni la punta de sus narices, por eso habláis así. OLLANTA.- En hora buena, Piquichaqui, dime sin recelo: ¿Cusi Ccoyllur, no es una brillante flor? PIQUICHAQUI.- ¡Vaya! Estás loco por Cusi Ccoyllur. No la he visto. Tal vez fue una que entre todas las sin mancilla salió ayer, al rayar la aurora, hermosa como la Luna y brillante como el Sol en su carrera. OLLANTA.- Sin duda ella fue. He aquí que la conoces. ¡Qué hermosa! ¡Qué jovial! Anda en este instante y habla con ella, que siempre está de buen humor. PIQUICHAQUI.- No desearía ir de día al palacio, porque en él no se conoce al que va con quipe.

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| CEPRU2015 OLLANTA.- ¿Cómo, no me has dicho que ya la conoces? PIQUICHAQUI.- Eso he dicho por decir. Como las estrellas brillan de noche, por eso solo de noche la conozco. OLLANTA.- Sal de aquí, brujo, pues mi idolatrada Cusi Ccoyllur deslumbra al mismo Sol con su hermosura. Ella no tiene rival. PIQUICHAQUI.- Aguarda que ahora ha de salir un viejo o una vieja, que creo idóneos para llevar tus recados y hablar con ella; porque aunque soy un pobre huérfano, no quisiera que me llamaran rufián. e)

TEXTO EXPOSITIVO Un texto de este tipo se refiere a las exposiciones o definiciones que encontramos en libros, textos, manuales, tratados, conferencias de un determinado tema o materia, donde el emisor debe revelar la causa-efecto de la información que realiza, con plena seguridad de convencimiento a los receptores. La finalidad de los textos expositivos es la transmisión de información y se centran en el contenido, que el receptor debe percibir claramente. EJEMPLO: LOS FLAMENCOS “Los flamencos son aves gregarias altamente especializadas, que habitan sistemas salinos de donde obtienen su alimento (compuesto generalmente de algas microscópicas e invertebrados) y materiales para desarrollar sus hábitos reproductivos. Las tres especies de flamencos sudamericanos obtienen su alimento desde el sedimento limoso del fondo de lagunas o espejos lacustre-salinos de salares. El pico del flamenco actúa como una bomba filtrante. El agua y los sedimentos superficiales pasan a través de lamelas en las que quedan depositadas las presas que ingieren. La alimentación consiste principalmente en diferentes especies de algas diatómeas, pequeños moluscos, crustáceos y larvas de algunos insectos... Para ingerir el alimento, abren y cierran el pico constantemente produciendo un chasquido leve en el agua, y luego levantan la cabeza como para ingerir lo retenido por el pico. En ocasiones, se puede observar cierta agresividad entre los miembros de la misma especie y frente a las otras especies cuando está buscando su alimento, originada posiblemente por conflictos de territorialidad”. Los flamencos del Altiplano Boliviano, Omar Rocha

15.5.2. a)

POR SU ESTRUCTURA TEXTO ANALIZANTE Es aquel que empieza con la idea principal, la misma que es explicada, ampliada, profundizada o analizada en las siguientes oraciones que son las ideas secundarias. EJEMPLO: “Los inventos facilitan la vida del hombre. El teléfono permite comunicarnos a grandes distancias en un instante, el ascensor nos facilita la ascensión y el descenso evitando la fatiga, los ventiladores nos refrescan en lugares calurosos, el automóvil nos transporta a diversos lugares en forma rápida, la computadora hace que nuestras actividades profesionales, educativas y de todo tipo sean realizadas con mayor rapidez y precisión”.

b)

TEXTO SINTETIZANTE Es aquel que presenta la idea principal al final del párrafo, pues es la síntesis o resumen de los expresado anteriormente en las ideas secundarias que sirven de explicación anticipada o preparación para interpretar y comprender el mensaje total del texto. EJEMPLO: “Unos bebés lloran porque sienten hambre, sed o dolor; otros por aburrimiento. A veces, el motivo del llanto es el miedo al abandono pues, en esta etapa de su vida, separarse de su madre les puede generar un estado de tensión. En conclusión, los bebés lloran por diferentes razones”.

c)

TEXTO ENCUADRADO Es aquel que presenta la idea principal al inicio y al final del párrafo. Al medio van las ideas secundarias para cumplir su función ampliadora, profundizadora, ejemplificadora, etc. Algunos autores le llaman texto analizante-sintetizante. EJEMPLO: “Todo ser humano puede enviar mensajes a otro mediante la Internet. Los estudiantes se pueden comunicar mutuamente, los empresarios realizan transacciones comerciales, las parejas de enamorados se envían mensajes de amor, los profesionales interactúan entre ellos. En resumen, la comunicación mediante la Internet está al alcance de cualquier persona”.

d)

TEXTO CENTRADO Es aquel que presenta la idea principal al medio o centro del párrafo, o sea las ideas secundarias se hallan tanto al inicio como al final del párrafo. EJEMPLO: En el uso coloquial, a los lípidos se les llama incorrectamente grasas, ya que las grasas son solo un tipo de lípidos procedentes de animales. Los lípidos son un conjunto de moléculas orgánicas. Los lípidos cumplen funciones diversas en los organismos vivientes, entre ellas la de reserva energética (triglicéridos), la estructural (fosfolípidos de las bicapas) y la reguladora (esteroides).

e)

TEXTO PARALELO Es aquel que no presenta idea principal ni ideas secundarias, es decir todas tienen igual importancia. Aquí una idea se compara con otra, ya sea enfrentándolas directamente o por oposición de aspectos parciales de cada una de ellas. Las ideas tienen idéntica importancia, y ninguna de ellas mantiene relaciones de subordinación con respecto a las restantes. EJEMPLO: “El objetivo de la lingüística teórica es la construcción de una teoría general de la estructura de las lenguas naturales y del sistema cognitivo que la hace posible (es decir, las representaciones mentales abstractas que hace un hablante y que le permiten hacer uso del lenguaje). El objetivo es describir las lenguas caracterizando el conocimiento tácito que de las mismas tienen los hablantes y determinar cómo estos las adquieren. Ha existido cierta discusión sobre si la lingüística debe considerarse una ciencia social o más bien parte de la psicología. En las ciencias sociales la conciencia de los participantes es parte esencial en el proceso, sin embargo, parece que ni en el cambio lingüístico, ni en la estructura de las lenguas la conciencia de los hablantes juegue ningún papel relevante. Aunque ciertamente en áreas incluidas normalmente dentro de la lingüística como la sociolingüística o la psicolingüística la conciencia del hablante sí tiene un papel, sin embargo, esas dos áreas no son el núcleo principal de la lingüística teórica sino disciplinas que estudian aspectos colaterales del uso del lenguaje.

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 77 El objetivo de la lingüística aplicada es el estudio de la adquisición del lenguaje y la aplicación del estudio científico de la lengua a una variedad de tareas básicas como la elaboración de métodos mejorados de enseñanza de idiomas. Existe un considerable debate sobre si la lingüística es una ciencia social, ya que solo los seres humanos usan las lenguas, o una ciencia natural porque, aunque es usada por los seres humanos, la intención de los hablantes no desempeña un papel importante en la evolución histórica de las lenguas ya que usan las estructuras lingüísticas de manera inconsciente (esto es estudiado por Ferdinand de Saussure quien llega a la conclusión de que los cambios de una lengua se producen arbitrariamente por variaciones que el sujeto realiza y estos son involuntarios, y que la lengua varía en la historia y por eso plantea que el estudio de la lengua debe realizarse diacrónica y sincrónicamente. Saussure deja de lado la historia de las lenguas y las estudia sincrónicamente, en un momento dado del tiempo). En particular, Noam Chomsky señala que la lingüística debe ser considerada parte del ámbito de la ciencia cognitiva o la psicología humana, ya que la lingüística tiene más que ver con el funcionamiento del cerebro humano y su desarrollo evolutivo que con la organización social o las instituciones, que son el objeto de estudio de las ciencias sociales”. 15.5.3. a)

POR SU CONTENIDO TEXTO INFORMATIVO Es aquel que tiene por finalidad informar o hacer conocer algo de los acontecimientos de toda índole que se suscitan a nivel local, regional, nacional o mundial. Su uso se circunscribe particularmente al contexto periodístico. EJEMPLO: Nadine Heredia viaja a Brasil en el avión presidencial y con gran comitiva. Son 26 personas las que la acompañan en visita de dos días. Congresista Bruce subrayó que primera dama –que hoy fue recibida por Dilma Rousseff– no puede disponer de los activos del Estado para su uso y exigirá explicaciones al respecto. La primera dama no tiene ningún cargo dentro del Estado, no tiene remuneración y menos puede generar gastos. Como si fuera la presidenta. Nadine Heredia viajó a Brasil, donde hoy fue recibida por la mandataria Dilma Rousseff por espacio de 40 minutos, pero lo que llamó la atención es que lo hizo, no solo en el avión presidencial, sino que además partió acompañada por una comitiva de 26 personas, en un hecho inusual para una primera dama. Trascendió que la primera dama, en la cita que tuvo con Rousseff, le entregó un mensaje de su esposo, en el que este le reitera su invitación a asistir a las cumbres de América del Sur-Países Árabes (Aspa) y de la Unión de Naciones Suramericanas (Unasur), que se celebrarán en Lima este año.

b)

TEXTO CIENTÍFICO Es aquel cuyo contenido se refiere a la exposición de una investigación científica en el ámbito social, en el formal o en el fáctico. Tenemos textos científicos en los libros de Sociología, Lógica, Biología, etc. EJEMPLO: CLONACIÓN MOLECULAR “La clonación molecular se utiliza en una amplia variedad de experimentos biológicos y las aplicaciones prácticas van desde la toma de huellas dactilares a la producción de proteínas a gran escala. En la práctica, con el fin de amplificar cualquier secuencia en un organismo vivo, la secuencia a clonar tiene que estar vinculada a un origen de replicación; que es una secuencia de ADN. Transfección: Se introduce la secuencia formada dentro de células. Selección: Finalmente se seleccionan las células que han sido transfectadas con éxito con el nuevo ADN. Inicialmente, el ADN de interés necesita ser aislado de un segmento de ADN de tamaño adecuado. Posteriormente, se da el proceso de ligación cuando el fragmento amplificado se inserta en un vector de clonación: El vector se linealiza (ya que es circular), usando enzimas de restricción y a continuación se incuban en condiciones adecuadas el fragmento de ADN de interés y el vector con la enzima ADN ligasa. Tras la ligación del vector con el inserto de interés, se produce la transfección dentro de las células, para ello las células transfectadas son cultivadas; este proceso, es el proceso determinante, ya que es la parte en la que vemos si las células han sido transfectadas exitosamente o no. Tendremos que identificar por tanto las células transfectadas y las no transfectadas, existen vectores de clonación modernos que incluyen marcadores de resitencia a los antibióticos con los que solo las células que han sido transfectadas pueden crecer. Hay otros vectores de clonación que proporcionan color azul/ blanco cribado. De modo, que la investigación de las colonias es necesaria para confirmar que la clonación se ha realizado correctamente”.

c)

TEXTO FILOSÓFICO Es aquel cuyo contenido está referido a una expresión del campo de la filosofía, a su vez, toma las denominaciones pertinentes. Convoca abstracción y profundidad de pensamiento. EJEMPLO: “A menos- proseguí- que los filósofos reinen en las ciudades o que cuantos ahora se llaman reyes y dinastas practiquen noble y adecuadamente la filosofía, que vengan a coincidir una cosa y otra, la filosofía y el poder político, y que sean detenidos por la fuerza los muchos caracteres que se encaminan separadamente a una de las dos, no hay, amigo Glauco, tregua para los males de las ciudades, ni tampoco, según creo, para los del género humano: ni hay que pensar en que antes de ello se produzca en la medida posible ni vea la luz del sol, la ciudad que hemos trazado de palabra. Y he aquí lo que desde hace rato me infundía miedo decirlo: que veía iba a expresar algo extremadamente paradójico, porque es difícil ver que ninguna otra ciudad, sino la nuestra, puede realizar la felicidad ni en lo público ni en lo privado…”. La República, Platón

d)

TEXTO HUMANÍSTICO Texto en el que se habla de la actividad humana en su variedad y amplitud, vale decir, desde los aspectos cotidianos, sentimentales y artísticos, hasta todas aquellas manifestaciones consideradas en la “cultura general”, hábitos, usos, costumbres, mitos, etc. EJEMPLO: “Los jóvenes de hoy no quieren otra revolución que la de todos los días, la que les haga sentirse mejor en su piel, más cómodos, más asentados, más felices. Son presentistas, pero de ahí no se concluya que sean egoístas, por utilizar por comodidad de expresión un término moralista que a menudo se les aplica, demasiado rápidamente. En efecto, estos jóvenes no aceptan la injusticia, son solidarios, puntualmente solidarios es cierto, pero toda la sociedad lo es y, de hecho, son ellos (algunos, claro) los que no dudan en ”perder” uno o dos años de su vida para irse, por ejemplo, a América Latina en un programa de cooperación al desarrollo, o trabajar por implementar el 0,7 % en España, protagonizar en Euskadi la revuelta contra ETA y los suyos, acabar con el servicio militar obligatorio y demás alternativas paramilitares… Son los jóvenes los que en mayor grado aceptan al diferente, sea bajo la forma de singularidad sexual (así con los homosexuales), sea como consecuencia de haber contraído alguna enfermedad problemática (así como el sida), sea con los emigrantes, las gentes de otra raza, etc. Es verdad que hay un riesgo evidente de aumento de actitudes xenófobas en la sociedad española. También en su juventud, pero hay que añadir, a renglón seguido, que son los jóvenes los más receptivos, cuando no los propulsores de muchas políticas de

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| CEPRU2015 mestizaje social y cultural. Más aún, no creo equivocarme si digo que el gran dilema de conjugar el mantenimiento de la historia y la tradición, de la singularidad regional o nacional propias con la globalidad y uniformidad se va a resolver, en gran medida, en la práctica consuetudinaria de los jóvenes”. Javier ELZO, en Jóvenes españoles 99, Fundación Santa María

e)

1.

TEXTO DE CRÍTICA LITERARIA Es el texto que tiene su soporte en un texto de creación literaria, mediante una apreciación preferentemente objetiva en cuanto al contenido, pero también en cuanto a la forma, vale decir, género, estilo, corriente, etc. EJEMPLO: ¿Se imaginan que pasaría si todo el mundo empezara a quedarse ciego? Pues bien, precisamente es lo que intenta narrar José Saramago en Ensayo sobre la ceguera. Como bien dice su título, la novela es un experimento a través del formato novela de cómo afectaría la falta de un sentido (la vista) al conjunto de una sociedad. Con un inicio prometedor y bien narrado - que puede provocar que se sueñe con la novela y que suscite la extraña y asustadiza sensación de que uno se puede quedar ciego en cualquier momento mientras lee el libro- y un final desgarrador que suscita las emociones más fuertes que contiene la novela, no se entiende cómo, por el camino, Saramago escribió un desarrollo tan desordenado y pesado. El autor, como tiene acostumbrado a sus lectores, es un escritor de oraciones largas, poca puntuación, que no separa los diálogos y que puede convertir párrafos en páginas. Pese a este estilo narrativo que puede provocar en lectores no acostumbrados a su prosa que abandonen el libro a mitad o que se pierdan en su lectura, Ensayo sobre la ceguera es una novela que se ha de leer despacio y que, por momentos, puede llegar a resultar monótona. Sin embargo, una vez el lector ha atravesado ese tedioso tramo, se da cuenta que muchos momentos han impregnado su retina. Un ejemplo son: la difícil salida del centro donde recluyen a los ciegos o el momento en el que dos de las aún supervivientes se mojan con el agua de lluvia y se ponen a reír. Saramago usa una perfecta descripción para provocar recuerdos en imágenes imborrables y al mismo tiempo peca de insustancialidad en los diálogos y en el acercamiento a los personajes a lo largo de la novela”. EJERCICIOS “Una madre sigue teniendo confianza en sus hijos cuando todos los demás lo han perdido. Sus brazos siempre se abren cuando necesito un abrazo. Su corazón sabe comprender cuándo necesito una amiga. Sus ojos sensibles se endurecen cuando necesito una lección. Su fuerza y su amor me han dirigido por la vida y me han dado las alas que necesitaba para volar. Una madre es capaz de dar todo sin recibir nada”. El texto anterior, por su estructura, es: a) Analizante d) Paralelo b) Sintetizante e) Encuadrado c) Centrado

2.

”La vieja y taimada zorra estaba decepcionada. Durante todo el día había merodeado tristemente por los densos bosques, y subido y bajado a las colinas; pero. .. ¿de qué le había servido? No hallaba un solo bocado; ni siquiera un ratón de campo. Cuando lo pensaba -y se estaba sintiendo tan vacía por dentro que casi no podía pensar en otra cosa-, llegó a la conclusión de que nunca había tenido más hambre en su vida. Además, sentía sed…, una sed terrible. Su garganta estaba reseca. En ese estado de ánimo. Dio la vuelta a un muro de piedra y se encontró con algo que le pareció casi un milagro. Allí. Frente a ella, había un viñedo lleno de racimos de frescas y deliciosas uvas, que solo esperaban que las comiesen. Eran grandes y jugosas e impregnaban el aire con su fragancia. La zorra no perdió el tiempo. Corrió, dio un salto y trató de asir la rama más baja, con sus hambrientas mandíbulas… ¡pero no llegó a alcanzarla! Volvió a saltar, esta vez a una altura algo mayor, y tampoco pudo atrapar con los dientes una sola uva. Cuando fracasó por tercera vez, se sentó por un momento y, con la reseca lengua colgándole, miró las docenas y docenas de ramas que pendían fuera de su alcance. El espectáculo era insoportable para una zorra famélica, y saltó y volvió a saltar, hasta que sintió mareos. Necesitó mucho tiempo, pero, por fin, comprendió que las uvas estaban tan fuera de su alcance… como las estrellas del cielo. Y no le quedó más recurso que batirse en retirada. -¡Bah! -murmuró para sí- ¿Quién necesita esas viejas uvas agusanadas? Están verdes…, sí, eso es lo que pasa. ¡Verdes! Por nada del mundo las comería. -¡Ja, ja! -dijo el cuervo, que había estado observando la escena desde una rama próxima- ¡Si te dieran un racimo, veríamos si en verdad las uvas te parecían verdes!” El Texto anterior, por su forma, es: a) Descriptivo d) Expositivo b) Argumentativo e) Dialógico c) Narrativo

3.

Las propiedades internas del texto son: a) Coherencia y cohesión b) Coherencia e intencionalidad c) Cohesión y aceptabilidad

4.

d) Informatividad y situacionalidad e) Intertextualidad y cohesión

EL USO DE INTERNET EN LOS ADOLESCENTES Internet se ha convertido hoy día en una herramienta indispensable en la vida de las personas. Sería difícil, especialmente para los más jóvenes, concebir un mundo en el cual “no estemos conectados” Ingo Lackerbauer, en su libro "Internet", señala que la importancia de internet en el futuro desborda todo lo acontecido hasta ahora, se está convirtiendo en el "medio de comunicación global". No hace falta explicar con detalles los beneficios de este maravilloso invento tecnológico. Nos permite educarnos, conocer, disfrutar. Es decir, es una herramienta multiuso. Precisamente, es este uso el que puede volverse negativo. Estamos hablando de la adicción al internet. Muchos jóvenes pasan una gran parte del día navegando por páginas, publicando en las redes sociales, o viendo videos en youtube. Usar el Internet para el entretenimiento no es algo malo en sí. Lo malo es abusar. El mundo de la web está plagado de conocimientos muy útiles, lo ideal sería también utilizarse en esa faceta, y que no sea solo como manera de ocio. ¿Cuáles son los perjuicios que puede acarrear la adicción a internet? Debido a que el adolescente pasa un tiempo considerable frente al ordenador, una de las mayores consecuencias es la pérdida de una vida social activa. Es probable que pierda el contacto que tenga con sus amigos más cercanos, y pasé más tiempo con los amigos “virtuales”. El texto anterior, por su forma es: a) Argumentativo b) Descriptivo c) Dialógico

d) Narrativo e) Expositivo

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 79 5.

Las propiedades regulativas del texto son: a) Eficacia, efectividad y coherencia b) Eficacia, cohesión y aceptabilidad c) Intencionalidad, aceptabilidad e informatividad d) Eficacia, efectividad y adecuación e) N.A.

6.

La entrevista que un periodista hace a un candidato a la presidencia de la región, por su forma, es un ejemplo de texto: a) Científico b) Informativo c) Dialógico d) Descriptivo e) Argumentativo

7.

“Una cinta de las llamadas ´comerciales´ nunca deja de ser obra de arte, aunque lo sea -como un poema sublorquiano- por modo vulgar, fracasado o detestable. Yace en ella una fábula creada por la imaginación de un hombre, fábula convertida luego por otro en sucesión de efectos visuales y auditivos, interpretada plástica, expresiva y sonoramente por algunos más, y reducida, al fin, por la industria de un nuevo equipo, a la condición de imagen proyectable. Hay en el cine finas técnicas científicas y muy poderosos fines comerciales, pero la entidad comúnmente llamada "película" o "filme" -voz aprobada ya por la Real Academia Española- alberga siempre en su seno, para su gloria o su condenación, esa sutil criatura que solemos llamar "obra de arte". En ella tiene su verdadero principio de ordenación. La película es una obra de arte, óptima algunas veces, mediocre muchas más, mala y aun malísima no pocas”. El texto anterior, por su estructura, es: a) Analizante b) Sintetizante c) Centrado d) Encuadrado e) Paralelo

8.

La propiedad del texto consistente en desarrollar un tema de manera lógica, con un sentido determinado, es la: a) coherencia b) Cohesión c) Intencionalidad d) Intertextualidad e) N.A.

9.

“La globalización es un proceso económico, tecnológico, social y cultural a escala planetaria que consiste en la creciente comunicación e interdependencia entre los distintos países del mundo uniendo sus mercados, sociedades y culturas, a través de una serie de transformaciones sociales, económicas y políticas que les dan un carácter global. La globalización es a menudo identificada como un proceso dinámico producido principalmente por las sociedades que viven bajo el capitalismo democrático o la democracia liberal, y que han abierto sus puertas a la revolución informática, plegando a un nivel considerable de liberalización y democratización en su cultura política, en su ordenamiento jurídico y económico nacional, y en sus relaciones internacionales. Este proceso originado en la Civilización occidental y que se ha expandido alrededor del mundo en las últimas décadas de la Edad Contemporánea (segunda mitad del siglo XX) recibe su mayor impulso con la caída del comunismo y el fin de la Guerra Fría, y continúa en el siglo XXI. Se caracteriza en la economía por la integración de las economías locales a una economía de mercado mundial donde los modos de producción y los movimientos de capital se configuran a escala planetaria (Nueva Economía) cobrando mayor importancia en el rol de las empresas multinacionales y la libre circulación de capitales junto con la implantación definitiva de la sociedad de consumo. El ordenamiento jurídico también siente los efectos de la globalización y se ve en la necesidad de uniformizar y simplificar procedimientos y regulaciones nacionales e internacionales con el fin de mejorar las condiciones de competitividad y seguridad jurídica, además de universalizar el reconocimiento de los derechos fundamentales de ciudadanía. En la cultura se caracteriza por un proceso que interrelaciona las sociedades y culturas locales en una cultura global (aldea global), al respecto existe divergencia de criterios sobre si se trata de un fenómeno de asimilación occidental o de fusión multicultural. En lo tecnológico la globalización depende de los avances en la conectividad humana (transporte y telecomunicaciones) facilitando la libre circulación de personas y la masificación de las TICs y el Internet. En el plano ideológico los credos y valores colectivistas y tradicionalistas causan desinterés generalizado y van perdiendo terreno ante el individualismo y el cosmopolitismo de la sociedad abierta. Mientras tanto en la política los gobiernos van perdiendo atribuciones ante lo que se ha denominado sociedad red, el activismo cada vez más gira en torno a las redes sociales, se ha extendido la transición a la democracia contra los regímenes despóticos, y en políticas públicas destacan los esfuerzos para la transición al capitalismo en algunas de las antiguas economías dirigidas y la transición del feudalismo al capitalismo en economías subdesarrolladas de algunos países aunque con distintos grados de éxito. Geopolíticamente el mundo se debate entre la unipolaridad de la superpotencia estadounidense y el surgimiento de nuevas potencias regionales, y en relaciones internacionales el multilateralismo y el poder blando se vuelven los mecanismos más aceptados por la comunidad internacional. La valoración positiva o negativa de este fenómeno, o la inclusión de definiciones alternas o características adicionales para resaltar la inclusión de algún juicio de valor, pueden variar según la ideología del interlocutor. Esto porque el fenómeno globalizador ha despertado gran entusiasmo en algunos sectores, mientras en otros ha despertado un profundo rechazo (antiglobalización), habiendo también posturas eclécticas y moderadas”. El texto anterior, por su forma, es: a) Narrativo b) Descriptivo c) Expositivo d) Dialógico e) Argumentativo

10.

El texto que presenta la idea principal al inicio y al final del texto, se denomina: a) Analizante d) Encuadrado b) Sintetizante e) Paralelo c) Centrado

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LA LECTURA

Un proceso complejo de carácter físico, fisiológico y mental, consistente en captar los rasgos gráficos o escritos para luego decodificarlo para la comprensión del mensaje, apreciar su contenido, integrar sus conocimientos a nuestro acervo cultural, reaccionar frente a lo propuesto por el autor y, sobre todo, aplicar los conocimientos adquiridos a través de la lectura a la solución de problemas teóricos o prácticos.

NIVELES DE COMPRENSIÓN LECTORA

1. Nivel Literal 2. Nivel inferencial 3. Nivel crítico

ESTRATEGIAS PARA LA COMPRESIÓN DE LECTURA

1. Previa a la lectura 2. Durante la lectura 3. Posterior a la lectura

TIPOS DE PREGUNTAS DE COMPRENSION LECTORA

1. Preguntas de retención 2. Preguntas de comprensión a) Traducción b) Interpretación c) Extrapolación

FUENTE: Elaboración propia

16.1. CONCEPTO El proceso mental de percepción, comprensión y reacción. Un procedimiento que consiste en informarse del contenido de un texto. Un medio de comunicación entre el autor y el lector, comunicación que solo se logra si el lenguaje usado por el escritor es comprendido por el lector. Un proceso complejo de carácter físico, fisiológico y mental, consistente en captar los rasgos gráficos o escritos para luego decodificarlo para la comprensión del mensaje, apreciar su contenido, integrar sus conocimientos a nuestro acervo cultural, reaccionar frente a lo propuesto por el autor y, sobre todo, aplicar los conocimientos adquiridos a través de la lectura a la solución de problemas teóricos o prácticos. 16.2. NIVELES DE COMPRENSIÓN LECTORA92 A. NIVEL LITERAL (textual, lineal) El nivel literal es aquel donde el lector se somete estrictamente a los contenidos explícitos, sin entrar en más profundidades. Este nivel es conveniente para la lectura de textos que no requieren de interpretación, como puede ser el prospecto en el que se explica cómo funciona, por ejemplo, un electrodoméstico. En estos casos la persona que lee se ajusta a lo que dice el texto y hace aquello que en él se afirma, sin más. Salvo en casos tan concretos como este, es necesario trascender lo literal e ir al fondo de las ideas transmitidas en el escrito o, dicho de forma diferente, hay que pasar de leer palabras (nivel literal) a leer ideas (nivel simbólico). B. NIVEL INFERENCIAL (deductivo, extralineal) Buscamos relaciones que van más allá de lo leído, explicamos el texto más ampliamente, agregando informaciones y experiencias anteriores, relacionando lo leído con nuestros saberes previos, formulando hipótesis y nuevas ideas. La meta del nivel inferencial será la elaboración de conclusiones. Este nivel de comprensión es muy poco practicado en las instituciones educativas ya que requiere un considerable grado de abstracción por parte del lector. Favorece la relación con otros campos del saber y la integración de nuevos conocimientos en un todo. Este nivel puede incluir las siguientes operaciones:  Inferir detalles adicionales, que según las conjeturas del lector, pudieron haberse incluido en el texto para hacerlo más informativo, interesante y convincente.  Inferir ideas principales, no incluidas explícitamente.  Inferir secuencias, sobre acciones que pudieron haber ocurrido si el texto hubiera terminado de otras maneras.  Inferir relaciones de causa y efecto, realizando hipótesis sobre las motivaciones o caracteres y sus relaciones en el tiempo y el lugar. Se pueden hacer conjeturas sobre las causas que indujeron al autor a incluir ciertas ideas, palabras, caracterizaciones, acciones.  Predecir acontecimientos sobre la base de una lectura inconclusa, deliberadamente o no.  Interpretar un lenguaje figurativo, para inferir la significación literal de un texto. C. NIVEL CRÍTICO Emitimos juicios sobre el texto leído, lo aceptamos o rechazamos pero con fundamentos. La lectura crítica tiene un carácter evaluativo donde interviene la formación del lector, su criterio y conocimientos de lo leído. Los juicios toman en cuenta cualidades de exactitud, aceptabilidad, probabilidad. Los juicios pueden ser: 1. De realidad o fantasía: según la experiencia del lector con las cosas que lo rodean o con los relatos o lecturas. 2. De adecuación y validez: compara lo que está escrito con otras fuentes de información. 3. De apropiación: requiere evaluación relativa en las diferentes partes, para asimilarlo. 4. De rechazo o aceptación: depende del código moral y del sistema de valores del lector. La formación de seres críticos es hoy una necesidad vital para la escuela y solo puede desarrollarse en un clima cordial y de libre expresión, en el cual los alumnos puedan argumentar sus opiniones con tranquilidad y respetando a su vez la de sus pares. 92

Daniel Cassany, Estudio de la lengua (Barcelona: Graó, 1993).

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 81 16.3. DEFINICIÓN DE ESTRATEGIAS El término estrategia es más amplio y en él hallan cabida todas las demás. Las estrategias de aprendizaje vienen a ser los recursos que se deben manejar para aprender mejor; es decir, el conjunto de procedimientos necesarios para llevar a cabo un plan o una tarea. En término generales, las estrategias para comprender los textos son consideradas como un conjunto de procedimientos o procesos mentales empleados por un sujeto en una situación concreta de aprendizaje para facilitar la adquisición de conocimientos; es decir, un conjunto de planes u operaciones usadas por quien aprende algo para la obtención, almacenamiento, recuperación y uso de información. 16.3.1. ESTRATEGIAS PREVIAS, DURANTE Y POSTERIORES A LA LECTURA93 El término estrategias se relaciona con términos como procedimiento, proceso, táctica, destreza, estilo, orientación, técnica, método; la distinción entre ellos, sus mutuas relaciones y parciales solapamientos depende en gran medida de las definiciones convencionales que establecen los diferentes autores. ESTRATEGIAS PARA LA COMPRENSIÓN DE LA LECTURA PREVIAS A LA LECTURA  Determinación del propósito.  Activación de conocimientos previos.  Elaboración de predicciones.  Formulación de preguntas. Hacer explícito el propósito de la lectura, conectar los conocimientos previos con el tema de la lectura y motivar a la lectura.

DURANTE LA LECTURA  Determinación de las partes relevantes del texto.  Estrategias de apoyo al repaso (subrayado, apuntes, relectura)  Estrategias de organización (mapas conceptuales, estructuras textuales)  Estrategias de autorregulación y control (formulación y contestación de preguntas) PROPÓSITOS DE CADA MOMENTO

POSTERIOR A LA LECTURA  Identificación de ideas principales.  Elaboración de resúmenes.  Formulación y contestación de preguntas.  Formulación de conclusiones y juicios de valor.  Reflexión sobre el proceso de comprensión.

Establecer inferencias de distintos tipo, revisar y comprobar la propia comprensión mientras se lee y aprende a tomar decisiones adecuadas frente a los errores o fallas de comprensión.

Recapitular el contenido, resumirlo y extender el conocimiento que se ha obtenido mediante la lectura.

16.4. LA METACOGNICIÓN EN LA COMPRENSIÓN LECTORA Según Flavell la metacognición implica, todo conocimiento o actividad cognitiva que tenga la finalidad de regular algún aspecto o tarea relacionada con el conocimiento. Por tanto, a la metacognición se le denomina “el conocimiento sobre el conocimiento”. La metacognición permite planear de antemano y tomar decisiones fundadas en lo que respecta a la vida del hombre en general. Por tanto, sirve a las esferas del mundo mental íntimo del individuo, a su conexión con el mundo social y, finalmente, a su supervivencia en un plano más general. La metacognición es el proceso que implica internarse en los recursos personales que se poseen para acceder y valorar los aspectos estructuro-lingüísticos del texto objeto de lectura. La metacognición en el proceso lector adopta especificaciones en la medida del área o dominio del conocimiento a que se aplique y según los múltiples tipos de cognición que puedan darse dentro de cada dominio. Ejemplo: aprender a operar con las cuatro reglas aritméticas básicas, requiere procesos cognitivos distintos que para clasificar u ordenar períodos históricos, o para distinguir los valores literarios de un poema. Los factores claves en el proceso de metacomprensión son: El texto, la representación de la tarea, las estrategias movilizadas, las características del lector, control y procesos de autorregulación. 16.5. TIPOS DE PREGUNTAS DE COMPRENSIÓN LECTORA94 En comprensión de lectura, tenemos las llamadas preguntas de retención y preguntas de comprensión. A. PREGUNTAS DE RETENCIÓN Las preguntas de retención corresponden al ámbito de la memoria. Con este tipo de interrogantes se trata de averiguar hasta qué punto el lector puede retener la información ofrecida en el texto. Ejemplo: Texto “¡Diablos! Si las últimas treinta o cuarenta novelas que he tratado de leer no las he terminado es porque deben tener algún defecto, algo que les impide colmar sus expectativas”. Según el texto, las lecturas inconclusas del autor se deben a: a) A sus limitaciones académicas b) Al estilo particular de la prosa c) A la diversidad de los temas contenidos d) A que deben tener algún defecto e) Al exagerado gusto literario del autor

Julio Ramón Ribeyro. La tentación del fracaso (Diario)

B. PREGUNTAS DE COMPRENSIÓN Comprender significa abarcar. Con esta idea, estimulamos al estudiante a captar no solo las ideas del texto, sino también la esencia. La comprensión no implica repetición de la información, sino procesamiento y transformación de los datos en nuevas formas que tengan sentido para el lector. La comprensión es una puerta esencial hacia los niveles superiores de raciocinio. Si los estudiantes no comprenden una idea, entonces no podrán usarla para analizar ni resolver problemas, es decir, no podrán acceder a un proceso de nivel más alto. Una pregunta del nivel de comprensión requiere un grado mayor de participación activa por parte del estudiante. Al responder una pregunta de este tipo, el estudiante debe procesar la información para lograr una respuesta acertada. El estudiante debe expresar el contenido con sus propias palabras y organizar las informaciones sin salirse del marco referencial del texto.

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Santos F. Ludeña Segovia, Comunicación 3 (Arequipa- Perú: Ediciones independencia 2015) Instituto de Ciencias y Humanidades, Propedéutica de Razonamiento Verbal (Perú: Asociación Fondo de Investigadores y Editores, 2008) ,445-524.

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| CEPRU2015 Ejemplo: “Los quipus se referían a diversos asuntos de historia, leyes, ceremonias y cuentas de negocios. Y tan puntualmente que resulta admirable; y para diversos géneros de guerra, gobiernos, tributos, ceremonias, tierras, había diversos quipus o ramales, y en cada mano de estos, tantos nuditos o hilillos atados, unos colorados, otros verdes, otros azules, otros blancos”. En el texto se comprende que los quipus eran: a) Exactos b) Monocromos c) Secretos d) Incaicos e) Divertidos B.1. La COMPRENSIÓN comprende tres tipos de preguntas: a) LA TRADUCCIÓN En el marco de la comprensión de lectura, traducir consiste en poner la comunicación o información recibida en términos distintos a los originales. Implica expresar las ideas del autor con nuestras propias palabras. La habilidad para traducir una comunicación dependerá de la posesión de información previa. En tal sentido, es recomendable que el estudiante practique constantemente con lecturas de diversos temas. De este modo podrá acceder con mayor facilidad al mensaje del texto. Ejemplo: Texto “El principio de división del trabajo y de la especialización no permite al hombre desarrollar el repertorio variadísimo de sus posibilidades, sino que se limita a reclamar a su servicio zonas particulares, dejando inactiva las demás esferas vitales. Así, no solo se limita al cuerpo o al espíritu separadamente, sino que, dentro de una u otra esfera así acotada, por lo general, únicamente reclama determinadas funciones y facultades, con lo que las demás que integran el todo orgánico se ven obstaculizados y paralizados en su desarrollo vivo”. Con relación al texto citado, podemos formular la siguiente pregunta de traducción: En el texto, se comprende por esferas vitales a: a) Las funciones del organismo b) Las capacidades del hombre c) Las actividades desarrolladas d) Las técnicas para trabajar e) Las facultades intelectuales Con la expresión “esferas vitales” el autor se refiere al conjunto de todas las habilidades –sean estas físicas o intelectuales-, algunas de las cuales quedan inactivas, debido a que el principio de división del trabajo y de la especialización hace que solo se requiera de cada hombre una cualidad específica o particular, de acuerdo a la actividad que ha de realizar. En tal sentido, hablar de esferas vitales es hablar de las capacidades del hombre. Como se observa, para responder esta pregunta hemos requerido únicamente comprender el sentido de una expresión dentro del texto, esta es una característica típica de las preguntas de traducción. b)

LA INTERPRETACIÓN La interpretación consiste en hacer valoraciones de cada una de las ideas o unidades informativas para determinar la jerarquía de las mismas e identificar la idea central y las secundarias. De otro lado, gracias a la interpretación podemos hacer inferencias o deducciones, extraer conclusiones parciales y hacer generalizaciones a partir de un conjunto de datos particulares. También evaluar el nivel de importancia que confiere el autor a cada una de sus afirmaciones. La interpretación permite identificar la postura del autor, para lo cual no debemos rebasar los límites del texto. Para realizar una buena interpretación es necesario contar con ciertos conocimientos sobre el tema que se está tratando en el texto. Dichos conocimientos solo deben servir para orientar la interpretación, y no deben ser confundidos con las afirmaciones del autor. En todo momento la interpretación debe estar sujeta a lo que dice el autor. Las ideas o nuevas afirmaciones que se hacen deben extraerse directamente de las afirmaciones textuales. Ejemplo: “El alacrán tiene muy mala fama y en todas partes es considerado un animal muy peligroso. Pero no todas las especies de alacranes son iguales: unas son más venenosas que otras. Por ejemplo, en España, se encuentran algunas que son absolutamente inofensivas. Y en general, el alacrán europeo no es mortal ni mucho menos, aunque su picadura es muy dolorosa y va seguida de hinchazón, y a veces de fiebre. En los países tropicales, viven algunas especies más peligrosas, pues esas sí pueden llegar a causar la muerte. En Marruecos, existen varios alacranes cuyo veneno es tan tóxico como el de la serpiente cobra, ya que es capaz de matar a un perro en cinco o diez segundos. Pero la especie más terrible parece ser el “alacrán de las patas coloradas”, que habita en el norte de México, cuyo veneno es mortal no solo para los niños, sino también para los adultos”.

1. La idea principal del texto anterior, es: a) El veneno de los alacranes mexicanos es el que causa más muertes b) El alacrán es un animal muy venenoso, de picadura mortal c) Según su especie, los alacranes pueden ser inofensivos o venenosos d) En los países tropicales se encuentran las especies más peligrosas e) En España, los alacranes no asustan a nadie 2. Del texto anterior se deduce que probablemente la especie más terrible del alacrán se halla en:

a) Europa b) África c) América d) Asia e) Oceanía 3. El mejor título para el texto sería: a) Alacranes españoles b) Los alacranes venenosos c) Los alacranes inofensivos d) Los alacranes e) Insectos peligrosos

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 83 c)

LA EXTRAPOLACIÓN La extrapolación consiste en la realización de predicciones basadas en la comprensión de los datos o condiciones descritas en el texto; es la formulación de hipótesis sostenibles sobre la base de las informaciones. Extrapolar es predecir la continuidad del discurso. La extrapolación requiere que el lector tenga capacidad suficiente para traducir, interpretar y ampliar las tendencias más allá del contenido del texto. Las preguntas de extrapolación precisamente miden todas estas habilidades. Veamos cuatro casos de extrapolación: PRIMERO Si los datos expuestos en el texto sufren modificaciones hipotéticas, la extrapolación consistirá en deducir las posibles consecuencias. Claro está que la información de los datos se puede realizar en distintas direcciones. Sin embargo, la forma más usual y simple es la variación de los datos en sentido contrario a lo señalado por el autor. “La adquisición de la mansión fue realizada recientemente” La compra de la casa no fue hecha hace años. SEGUNDO Si los datos se refieren a una secuencia de períodos o etapas, la extrapolación implicará un intento de extender dicha secuencia a un período posterior, incluyendo a los que prosiguen a este. “En el gobierno de Alberto Fujimori se instauró e implementó decisivamente el neoliberalismo”. En los gobiernos de Toledo, García y Humala se afianzó y creció el neoliberalismo. TERCERO Si el texto se refiere a un tema en particular, la extrapolación puede representar el intento de extender las ideas a otro tema o situación en el cual es aplicable. Esto es más que una simple modificación de la forma de comunicación; es el traslado de los conceptos a otro tema distinto del original. “El Perú presenta crisis económica”. El Perú presenta crisis de valores. CUARTO Si un texto hace referencia a un tema específico o particular, la extrapolación puede referirse al género del cual ha sido extraído dicho tema. De manera inversa, si los datos tienen que ver con una generalidad, la extrapolación puede aludir a un caso específico o particular. “La zona rural del Cusco es muy pobre”. El Perú muestra mucha pobreza en el campo. TEXTO “Antes de comenzar el examen del aspecto psicológico del egoísmo y del amor a sí mismo, debemos destacar la falacia lógica que implica la tesis de que el amor a los demás y el amor a uno mismo se excluyen recíprocamente. Si es una virtud amar al prójimo como a uno mismo, debe serlo también -y no un vicio- que me ame a mí mismo, puesto que también yo soy un ser humano. No hay ningún concepto del hombre en el que yo no esté incluido. Una doctrina que proclama tal exclusión demuestra ser intrínsecamente contradictoria. La idea expresada en el precepto bíblico ‘Ama a tu prójimo como a ti mismo’, implica que el respeto por la propia integridad y unicidad, el amor y la comprensión del propio sí mismo, no pueden separarse del respeto, el amor y la comprensión al otro. El amor a sí mismo está inseparablemente ligado al amor a cualquier otro ser”. En seguida, una pregunta de extrapolación: Si el hombre no se amara a sí mismo, entonces: a) No podría amar a los demás b) No caería en el egoísmo c) Respetaría a la sociedad d) Cumpliría con el precepto bíblico e) No respetaría la integridad personal EJERCICIOS

TEXTO 01 “En Estados Unidos hace años se detectaba un solo caso de cáncer a la piel por cada mil quinientos habitantes. Antes, la gente sana relacionada con la piel bronceada y la más elegante, presumía sus andanzas por los balnearios y las playas. Todo esto cambió. En lugar de tenderse en la playa, uno debe buscar un lugar sombreado, a donde los rayos del sol lleguen de manera indirecta. Además, conviene utilizar cremas protectoras, según lo sugiere el Instituto de Cáncer de Estados Unidos”. 1. La idea central del texto anterior es: a) El índice de cáncer a la piel en Estados Unidos b) La prevención del cáncer a la piel en Norteamérica c) El cáncer a la piel un estudio estadístico d) El carácter dañino de los días soleados e) El cáncer y su proliferación en Norteamérica TEXTO O2 “Cuando un animal no tiene un enemigo natural -es decir un depredador-, se reproduce sin freno. Por lo general, es el ser humano quien genera el problema al llevar ejemplares del reino animal a lugares que les son extraños. En la actualidad, hay preocupación en Colombia, porque en la región cafetalera se ha reproducido mucho la rana toro o mugidora. Esta rana es originaria de Estados Unidos, de donde se importó hace trece años. Como en algunos lugares hay demanda de ranas, se le empezó a criar en cautiverio. Pero hace cinco años, ejemplares de este anfibio aparecieron en Caldas, donde se desperdigaron por toda la región”. 2. A partir del texto se concluye fundamentalmente que: a) Los norteamericanos han introducido ranas en una región de Colombia donde la multiplicación ha sido vertiginosa b) Los animales se reproducen de una manera rápida si es que se extinguen sus depredadores o enemigos naturales c) Una especie de rana ha alcanzado niveles alarmantes de reproducción en una región de donde no es originaria d) El ser humano genera grandes problemas al alterar la forma de vida natural de especies animales silvestres e) La región cafetalera de Colombia presenta una gran proliferación de anfibios debido a causas desconocidas

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| CEPRU2015 TEXTO 03 “En la parte superior del cerro del Olimpo se realizaban los festines de los dioses griegos. El manjar era la ambrosía, un fruto amargo de una planta de hojas amarillas, pero que, para el caso, era divino. Hebe, la diosa de la Juventud, servía néctar en copas de oro puro y las Musas, acompañadas por Apolo a la lira entonaban cánticos. Para proteger la privacidad de tales festines, las puertas eran cuidadas por las Horas. En ese lugar jamás llovía y la temperatura era ideal”. 3. Identifique la información incompatible con el contenido textual: a) La ambrosía era un alimento divino consumido en una ceremonia realizada en las cumbres del Olimpo b) Las Horas eran personajes míticos que se encargaban de la seguridad en las ceremonias desarrolladas en el Olimpo c) La diosa de la Juventud vivía en el Olimpo y era quien atendía a los comensales en la fiesta organizada en su honor d) Los dioses consumían un manjar amargo en ceremonias privadas realizadas en el cerro Olimpo e) Las Musas, participaban junto con Apolo, en los festines divinos donde se consumían manjares y se escuchaba música TEXTO 04 “El remedio contra el cambio y la extinción es la recurrencia: el pasado es un tiempo que reaparece y que nos espera al fin de cada ciclo. El pasado es una edad venidera. Así, el futuro nos ofrece una doble imagen: es el fin de los tiempos y es su recomienzo, es la degradación del pasado arquetipo y es su resurrección. El fin del ciclo es la restauración del pasado original y el comienzo de la inevitable degradación”. 4. La tesis que se sustenta en el texto anterior es: a) El miedo al futuro no es tal, ya que existe la posibilidad de un estado de resurrección b) Los ciclos temporales se suceden de manera constante a pesar de la presencia humana c) La vida humana es cíclica y por ende supone un fin necesario para cada periodo d) La visión cíclica del tiempo permite afrontar el problema del cambio y la extinción e) El cambio y la extinción son problemas que preocupan debido a la doble imagen TEXTO 05 “El positivismo en Américalatina no fue la ideología de una burguesía liberal interesada en el progreso industrial y social como en Europa, sino de una oligarquía de grandes terratenientes. En cierto modo, fue una mixtificación, un engaño, más aun, un autoengaño. Al mismo tiempo, fue una crítica radical de la religión y de la ideología tradicional. El positivismo hizo tabla rasa lo mismo de la mitología cristiana que de la filosofía racionalista”. 5. El mejor resumen del texto anterior es: a) El progreso social e industrial en Latinoamérica no fue posible debido a la importación del positivismo europeo b) El positivismo tuvo diferentes tratamientos en los continentes debido al protagonismo de la burguesía liberal c) La diferencia de Europa, en Latinoamérica, el positivismo sí pudo criticar la mitología cristiana y la filosofía racionalista d) Los grandes terratenientes utilizaron el positivismo para cuestionar la religión y la ideología tradicional e) El positivismo latinoamericano fue desnaturalizado, a nivel teórico y práctico, debido al sector social que lo adoptó TEXTO 06 “La moral para criadas sirve de punto de encuentro en la blandenguería ideológica y a la vez en el celo tardoinquisitorial a los curas tradicionales, modernos y posmodernos. Seamos éticos, porque si la ética no existe, todo está permitido. La ética en persona se aparece de vez en cuando a sus fieles y les permite descalificar con marcado sarcasmo la supuesta "ética" de sus adversarios. Hay éticos de la liberación de la muerte, éticos de la muerte, éticos negativos. Pero todo viene a ser moral para criadas, no se vayan ustedes a creer”. 6. El texto anterior se centra básicamente en la: a) Blandenguería ideológica de la modernidad b) Imposibilidad de convivir al margen de la ética c) Incoherencia y falta de sustento de la moral de criadas d) Moral de criadas y la ética de sus adversarios ideológicos e) Descalificación de la moral por su carácter insustancial TEXTO 07 “Las mujeres en edad fértil que consumen éxtasis corren un riesgo mayor de morir que otros grupos de personas. La alta concentración de estrógenos en la sangre de las mujeres jóvenes impide que el organismo reaccione eficazmente ante la acumulación de líquido que se produce al tomar la droga. La parafernalia de la llamada droga del amor, se basa, sobre todo, en el baile desinhibido y continuo, lo que eleva la temperatura corporal; se bebe mucho más y las hormonas le indican al cuerpo que retenga líquido y beba más. Es un círculo vicioso cuya explicación se encuentra en el HMMA, un compuesto químico que el cuerpo produce a medida que asimila el éxtasis. El HMMA estimula la liberación de la hormona que nos conduce a beber. El desequilibrio resultante de la concentración de sodio puede resultar fatal”. 7. La información incompatible con el texto anterior es: a) El consumo de éxtasis promueve el baile desinhibido y continuo b) Las mujeres son más propensas al consumo de drogas como el éxtasis c) No toda mujer padece por igual los efectos de la droga del amor d) El HMMA es un compuesto químico que se produce al consumir éxtasis e) En las mujeres jóvenes la concentración de estrógenos es considerable TEXTO 08 “¿Podría un videojuego llegar a ser considerado un deporte? En opinión de Marco Conti, médico deportivo, "determinados aspectos de los videojuegos pueden considerarse como deportes. Al igual que en otras disciplinas, también en este caso, es fundamental el entrenamiento para mejorar las prestaciones. Las sinapsis cerebrales de las nuevas generaciones son más reactivas que en las personas adultas, gracias a los videojuegos. De la misma forma que ocurre con la mayoría de deportes, también el videojuego puede resultar nocivo si es utilizado en exceso. Los videojuegos producen un sensible incremento de la tensión. Sin embargo, en contra de algunas informaciones, no pueden provocar la epilepsia por sí mismos. A lo sumo, pueden producir una chispa que la active en individuos ya predispuestos".

C O M P E T E N C I A L I N G Ü Í S T I C A | 85 8. A partir de la información brindada en el texto se puede concluir que: a) Las sinapsis cerebrales se ven estimuladas por la difusión de los videojuegos b) Los videojuegos no pueden provocar por sí solos enfermedades como la epilepsia c) En alguna medida los videojuegos son un deporte, pero deben ser adoptados con prudencia d) Los videojuegos son un deporte pero provocan enfermedades como la epilepsia e) Igual que otras disciplinas deportivas, los videojuegos no son altamente dañinos TEXTO 09 “La connotación no es otra cosa que la respuesta emocional que las palabras producen en el lector, es decir, el significado que sugieren, por contraste con su vr..: Jr literal. Quizá el objetivo más importante de una buena comunicación escrita sea para el escritor controlar la reacción que su escrito producirá en el lector. De ahí que al escribir sea tan importante conocer las connotaciones de las palabras que se utilizan. Una cuidadosa selección de voces con determinadas connotaciones puede añadir fuerza a un aspecto del escrito, teñirlo de un determinado matiz o cargar a la comunicación en general de un efecto emocional”. 9. El objetivo del autor en el presente texto es: a) Contrastar las características de la connotación y denotación b) Fundamentar la relación existente entre la connotación y la respuesta emocional c) Explicar el significado de la connotación y su importancia en el arte de escribir d) Recomendar herramientas de redacción para futuros cultores de la literatura e) Aclarar el verdadero objetivo de una buena comunicación entre autor y lector TEXTO 10 “El empuje de los conquistadores españoles, después de trescientos años de lucha, los araucanos se replegaron hacia aquellas regiones frías. Contra los indios, todas las armas se usaron con generosidad: el disparo de carabina, el incendio de sus chozas, y luego, en forma más paternal, se empleó la ley y el alcohol. El abogado se hizo también especialista en el despojo de sus tierras, el juez los condenó cuando protestaron, el sacerdote los amenazó con el fuego eterno. La venta de aguardiente y las cantinas aumentaron de forma vertiginosa”. 10. La expresión que sintetiza el contenido textual es: a) De no haber sido por jueces y sacerdotes, la conquista de los araucanos hubiese resultado más difícil para España b) El sometimiento político y económico de los araucanos fue una tarea bastante difícil para los conquistadores españoles c) La conquista de los araucanos por los españoles se basó en la aplicación de las leyes y en el consumo exorbitante de alcohol d) Los araucanos se dedicaron al alcohol no por iniciativa propia, sino por el sometimiento de los conquistadores españoles e) En su afán de someter a los araucanos, los conquistadores utilizaron desde los medios más directos hasta los más sutiles TEXTO 11 “De la esencia del alma aristocrática forma parte el egoísmo, quiero decir, aquella creencia inamovible de que a un ser como "nosotros lo somos" tienen que estarle sometidos por naturaleza otros seres y tienen que sacrificarse por él. El alma aristocrática acepta este hecho de su egoísmo sin ningún signo de interrogación y sin sentimiento alguno de dureza, coacción, arbitrariedad, antes bien como algo que acaso esté fundado en la ley primordial de las cosas; si buscase un nombre para designarlo diría "es la justicia misma". En determinada circunstancia que al comienzo la hacen vacilar, esa alma se confiesa que hay quienes tienen idénticos derechos que ella: tan pronto como ha aclarado esta cuestión de rango, se mueve entre esos iguales, dotado de derechos idénticos, con la misma seguridad en el pudor y en el respeto delicado que tiene en el trato consigo mismo. Esa sutileza y autolimitación en el trato con sus iguales es una parte más de su egoísmo: se honra a sí mismo en ellos y en los derechos que ella les concede, no duda de que el intercambio de honores y derechos, esencia de todo trato, forma parte así mismo del estado natural de las cosas”. 11. El título más apropiado para el texto sería: a) El trato huraño nacido del aristócrata b) El alma aristocrática y la justicia c) El carácter del alma aristocrática d) Virtudes y defectos del aristócrata e) Justificación del alma aristocrática 12. Si adoptáramos la mentalidad aristocrática, afirmaríamos que: a) Todos hemos nacido para obedecer b) El sacrificio ajeno resulta innecesario c) Nuestro egoísmo merece ser cuestionado d) El altruismo es signo de arbitrariedad e) El aristócrata también posee esencia 13. La necesidad del sometimiento y el sacrificio de los demás, constituye para el alma aristocrática: a) Un signo excluyente de su esencia b) Una verdad absoluta

c) Signo de explotación arbitraria d) Un hecho injusto pero necesario e) Un hecho escasamente moral 14. El reconocimiento de iguales derechos en otros se presenta en el aristócrata: a) Como signo de humanismo b) Como una reacción ante el egoísmo c) De manera excepcional d) De manera inconsciente e) Para contrarrestar su egoísmo 15. Los aristócratas frente a sus iguales: a) Egoísmo acentuado b) Sutileza y autolimitación c) La esencia puramente egoísta d) Auténtica consideración e) Intercambio de honores y derecho

TEXTO 12 “Algunos padres decían que era una maestra excéntrica, otros afirmaban que era lunática por efecto del estudio exagerado, otros simplemente decían: es la mejor. Quise formarme un juicio propio así que un día decidí ingresar a su clase. Observé que todos los alumnos estaban trabajando, llenando una hoja de cuaderno con pensamientos e ideas. Empecé a leer algunos como: "no puedo llegar temprano al colegio", "no puedo entender este texto". Leí el del otro alumno y decía: "no puedo lograr usar palabras en vez de puños", "no puedo ser sincero". Caminé presuroso viendo lo que hacían uno por uno, todos describían oraciones describiendo cosas que no podían hacer. Entonces, decidí hablar con la maestra para ver qué pasaba, al acercarme noté que también ella hacía lo mismo. Estaba a punto de perder la paciencia cuando se escuchó: "entreguen sus hojas". Una vez recogidas las hojas de todos los alumnos la maestra añadió la suya y las introdujo en una caja. Luego salió al patio y los alumnos la siguieron en procesión. Con lampas y picos empezaron a cavar, hicieron un hoyo de dos metros y enterraron en él la caja. Entonces, escuché decir a la maestra: "amigos, estamos aquí reunidos para honrar la memoria de no puedo, mientras estuvo con nosotros afectó

86

| CEPRU2015 la vida de todos, de algunos más que a otros. Acabamos de darle una morada definitiva. Lo sobreviven sus hermanos 'puedo', 'quiero' y 'lo haré ya mismo', no son tan famosos como su pariente, pero serán fuertes y poderosos con su ayuda amigos". 16. El texto argumenta a favor de: a) La maestra ideal b) La noción de maestra c) La importancia del optimismo d) Una didáctica peculiar e) La excentricidad de la maestra 17. La ceremonia encabezada por la maestra se caracteriza por ser: a) Símbolo de la demencia b) Principalmente académica c) Alegórica aunque innecesaria d) Peculiar y un tanto entretenida e) Simbólica y de contenido orientador 18. Posiblemente, la ceremonia observada hizo que el autor: a) Confirme su juicio sobre la maestra b) Aprenda a ser más comprensivo

c) Ratifique las especulaciones de los padres d) Conciba a la maestra como inepta para su hijo e) Se forme un concepto favorable de la maestra 19. El autor quiso emplazar en algún momento a la maestra porque: a) Suponía la deficiencia del contenido b) Deseaba corregir su método explicativo c) Estaba disconforme con la inscripción de oraciones d) Pensaba que estaba infundiendo pesimismo e) No entendía su método totalmente improductivo 20. La maestra aludida se destaca principalmente por: a) Su gran dinamismo b) Sus actitudes misteriosas c) La profundidad de sus contenidos d) Su estilo peculiar de enseñar e) Ser cuestionada por los padres

BIBLIOGRAFÍA 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC

ASIGNATURA

ARITMÉTICA

CUSCO – PERÚ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC CEPRU

ÍNDICE ASIGNATURA : ARITMÉTICA

TEMA Nº 1.- TEORÍA DE CONJUNTOS .................................................................................. Pág. 03 TEMA Nº 2.- SISTEMAS DE NÚMEROS NATURALES .............................................................. Pág. 10 TEMA Nº 3.- SISTEMA DE NÚMEROS RACIONALES ............................................................. Pág. 16 TEMA Nº 4.- SISTEMA DE NUMERACIÓN............................................................................. Pág. 20 TEMA Nº 5.- DIVISIBILIDAD ................................................................................................... Pág. 24 TEMA Nº 6.- TEORÍA DE NÚMEROS PRIMOS ....................................................................... Pág. 28

||

TEMA Nº 7.- MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ....................... Pág. 31 TEMA Nº 8.- RAZONES Y PROPORCIONES.......................................................................... Pág. 33 TEMA Nº 9.- MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONAL ............... Pág. 37 TEMA Nº10.- REGLA DE TRES SIMPLE .................................................................................. Pág. 41 TEMA Nº 11.- REGLA DE INTERÉS SIMPLE Y DESCUENTO ................................................. Pág. 44 TEMA Nº 12.- INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA ............................................................ Pág. 46 TEMA Nº 13.- INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDADES .................................................. Pág. 52

COMPETENCIA LINGÜÍSTICA |3

1.1

CONJUNTO Intuitivamente, se entiende como una agrupación, colección, equipo o familia de entes reales o abstractos, dichos entes se conocen como ELEMENTOS. Los conjuntos se suelen nombrar con letras mayúsculas del alfabeto: A , B , C , D , E ,… La teoría de conjuntos parte de algunos conceptos primitivos que son: conjunto, pertenencia y elemento. Ejemplo: V= {x / x es una vocal} V= {a, e, i, o, u}

H = {los días de la semana} J= {0; 1; 2; 3; 4; 5;……..; 50}

1.2 RELACIÓN DE PERTENENCIA Es una relación exclusiva sólo de elemento a conjunto .Si un elemento está en un conjunto, entonces diremos que pertenece ( ) a dicho conjunto; en caso contrario, diremos que no pertenece (  ) a dicho conjunto Ejemplo:



A

5 A

A

{4}  A

4

A= {4,{5},{4,8},{6}}

{6}

6 A {4,8}

A

OBSERVACIÓN: a. a Z se lee: a pertenece a Z, a es elemento de Z, a es miembro de Z, a es un punto de Z b. Sea “a” el elemento del conjunto A y B otro conjunto, puede cumplirse sólo una de las siguientes posibilidades: a B ó a B

 

c.

Siempre se cumple que: a  a

1.3

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO a. Si se enumera o nombra cada uno de los elementos de un conjunto, se dice que dicho conjunto ha sido determinado por extensión. Esta forma también se conoce como FORMA TABULAR de un conjunto. Ejemplo: A = {4, 6, 8, 10, 12, 14} H = {Lun, Ma, Mi, Jue, Vie, Sab, Dom} b. Un conjunto se determina por comprensión, cuando se dá una o más características o propiedades que cumplan todos i cada uno de los elementos del conjunto. Esta forma también se llama FORMA CONSTRUCTIVA de un conjunto. Ejemplo: A = {2m /1< 𝑚 < 8; 𝑚 ∈ ℤ} OBSERVACIÓN: Cuando un conjunto está dado por comprensión, es posible expresarlo por extensión; pero cuando un conjunto está dado por extensión, no siempre es posible expresarlo por comprensión.

1.4

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO El cardinal de A viene a ser la cantidad de elementos diferentes dos a dos que posee se anota como n(A).  A={4;4;4;5;5;5;5,6,6;6;6;6}={4;5;6}; n(A)= 3  B={x/x es una vocal de la palabra ARITMÉTICA} n(B) = 3 OBSERVACIÓN:

a.

Para A y B dos conjuntos disjuntos n(AUB)=n(A)+n(B)

b.

Para A y B dos conjuntos

n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩ 𝐵)

c.

Para los conjuntos A, B, y C

n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩ B)-n(A∩ C) n(B ∩ 𝐶) +n(A∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

2.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

2.1

Diagramas de VENN-EULER.- Una forma ilustrativa y muy práctica para comprender intuitivamente las relaciones y las operaciones entre conjuntos, es el uso de los diagramas de Venn-Euler. Un conjunto se representa por medio de regiones cerradas. Ejemplo:

F = {a; e; i; n}

4| CEPRU2015 OBSERVACIÓN:

a.

Dos conjuntos A y B se pueden representar, a priori, de cinco maneras diferentes y sólo uno de ellos le corresponde, si se conocen sus elementos.

B

A

A

b. 2.2

A

B A

B

A

B

B

Lo curioso en estas representaciones ésta en que la primera genera a las demás, por lo que se ha hecho común su uso. Algo similar ocurre para el caso de tres conjuntos.

Diagramas Lineales.- Está dado para conjuntos comparables y consiste en segmentos de recta que ilustran la relación de comparación entre conjuntos.

E

A

D B

U A

U A

E

A D

C B

C

 2.3

Diagramas de LEWIS CARROL.- Esta dado para representar a los conjuntos y sus complementos. Para un conjunto:

Para dos conjuntos:

A´

A

Para tres conjuntos:

A´

A

A

B

B

B´

B´

A´ C

3.

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

3.1

Relación de inclusión.- Es una relación entre dos conjuntos i se suele anotar como:  Sean los conjuntos A y B, se dice que A es subconjunto de B, y se representa como si todo elemento de A es elemento de B.

A

B

OBSERVACIONES: a.

A



B se dice que:

A es subconjunto de B, A está incluido en B, b. c. d. e.

A está contenido en B, A es parte de B,

B contiene a A, B incluye a A

AB se escribe también como Si A € H entonces {A}  H Si {m, n, t}  A entonces m  A Λ n  A Λ t  A Se dice que M no está incluido en N, se anota como M  N. Si existe por lo menos un elemento de M que no pertenece a N. M = {a, e, b, o}, N = {a, e, i, o, u} luego M  N

3.2

Subconjuntos propios.- Si el conjunto A está contenido en B, i si existe por lo menos un elemento de B que no pertenece a A, se dice que A es subconjunto propio de B. Si A  B y A ≠ B entonces A es subconjunto propio de B Ejemplo: A = {2, 3, 4, 5} B = {2, 3, 4, 5, u}

B

A 2 3 4 5

u

Nro. de subconjuntos propios de A= 2𝑛(𝐴) -1 3.3

Relación de igualdad.- Si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B, y todos los elementos del conjunto B pertenecen también al conjunto A, entonces se dice que A  B y B  A  A = B , estos dos conjuntos son iguales y se anota como A = B.

ASIGNATURA: ARITMÉTICA |5 3.4

Conjuntos disjuntos.- Dos conjuntos son disjuntos (que se excluyen mutuamente) cuando no poseen elementos comunes. 𝐴 ∩B=∅

A

3.5

B

Conjuntos comparables.- Dos conjuntos A y B son comparables, cuando solamente uno de ellos está incluido en el otro, es decir, o bien A⊂ B ⋁ B ⊂ 𝐴 Ejemplo: A = { x / x es un mamífero } B = { x / x es un ballena } Sabemos que 𝐵 ⊂ 𝐴 (toda ballena es mamífero), pero

A  B (no todo mamífero es

ballena). Por lo tanto A y B son

dos conjuntos comparables. NOTA: Si A = B; entonces A y B no son comparables. Ejemplo.- Si A = {1, 3, 5 } y B = {1, 5, 3}, entonces A y B no son comparables.

4.

CLASES DE CONJUNTOS

4.1

Conjunto finito.- Es aquel que consta de cierto número de elementos distintos, que al contarlos de uno en uno, este proceso tiene fin. Ejemplo: B= {x ∈ ℕ / 4 < 𝑥 < 9}; n(B)=6

4.2

Conjunto infinito.- Se conoce como conjunto infinito a aquel conjunto sobre el cual, al efectuar el proceso de conteo de sus elementos este no tiene fin o que sus elementos son imposibles de contarlos. Ejemplo: M={X ∈ ℕ / X > 2}

5.

CONJUNTOS ESPECIALES

5.1

Conjunto vacío.- Llamado también como conjunto nulo, es aquel conjunto que no tiene elementos, se suele anotar como

y algunas veces en la forma

Ejemplo: H= {x∈ ℝ / √𝑥 2 + 16 = 0} PROPIEDADES:

   ,    ,      A, para todo conjunto A 5.2

Conjunto unitario.- Conocido también como conjunto singular o singletón, es aquel conjunto que tiene sólo un elemento. Ejemplo: A = {5;5;5;5;5} A={5} B = {x ∈ ℕ 4 < 𝑥 < 6}; B={5}

5.3

Conjunto universal.- Un conjunto anotado por U, se llama conjunto universal del conjunto A (conocido también como conjunto referencial) si U es superconjunto de A. Un conjunto puede tener varios conjuntos universales por lo que no existe un conjunto referencial absoluto, sin embargo, las situaciones matemáticas referido a conjunto universal la plantean como único. Se conviene en representar al conjunto universal por medio de una región rectangular.

U B

5.4

Ejemplo: En geometría plana, el conjunto universal es el conjunto de todos los puntos del plano. En el estudio de triángulos, cuadriláteros, hexágonos, pentágonos, etc. el conjunto universal es el conjunto de polígonos. Conjunto potencia.Sea el conjunto A, al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A, se llama conjunto de partes de A ó conjunto potencia de A, se anota como P(A) Nro. de subconjuntos de A=n [P(A)]=2𝑛(𝐴) PROPIEDADES: e1)   P (A) e2)   P () e3) A  P (A) e4) A = B  P(A) = P(B)

5.5

e5) Si A  B  P(A)  P(B) e6) n(P(A)) = n (2A) = 2n(A) e7) A y P(A) son disjuntos

Conjunto de conjuntos.Es aquel conjunto cuyos elementos son también conjuntos. A = {{2}, {3;4} ,{6;7}}

6| CEPRU2015 6.

OPERACIONES CON CONJUNTOS.

6.1

Unión o reunión de conjuntos.- Dados dos conjuntos “A” y “B”, se llama reunión de éstos a otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto “A” o al conjunto “B” o a ambos. Así por ejemplo; para: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, diremos que los conjuntos formados por {1; 2; 3; 4; 5} donde están todos los elementos de “A” y de “B”, se llama reunión de “A” con “B” y se simboliza: A  B, y se lee “A unión B”. Notación: A  B = {x/x A ∨ 𝑥 B} Propiedades fundamentales de la reunión: 1. Uniforme: Dados dos conjuntos, siempre existe y es única la reunión de ellos. 2. Conmutativa: AB=BA 3. Asociativa: (A  B)  C = A  (B  C) 4. Reflexiva: AA=A 5. De la inclusión: Si: A  B, entonces: A  B = B (ver gráfico) 6. Del elemento neutro: A   = A AU=U 7.

Si (AUB)=

A=∅ ∧ B=

Representación Gráfica:

A

A

B x

x

B

B A x

x

x

x x





Conjuntos no disjuntos Conjuntos disjuntos

Conjuntos disjuntos

 Conjuntos comparables

6.2

Intersección.-La intersección de dos conjuntos cualesquiera “A” y “B” es otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a “A” y “B”, es decir, está formado por todos los elementos comunes a “A” y “B”. Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, observamos que los elementos 2 y 3 son comunes a ambos conjuntos. El conjunto formado por estos elementos, se escribe: AB y se lee: “A intersección B”. Notación: A  B = {x/x  A

x  B}

Propiedades fundamentales de la intersección: 1.

Uniforme: Dados dos conjuntos, siempre existe y es única la intersección de ellos.

2.

Reflexiva: A  A = A

3.

Conmutativa:

AB=BA

4.

Asociativa:

(A  B)  C = A  (B  C)

5.

De la inclusión:

Si: A  B, entonces: A  B = A (ver gráfico)

6.

De la exclusión: Si: “A” y “B” son disjuntos entonces: A  B =  (ver gráfico)

7.

Del elemento neutro: A=  AU= A

Representación Gráfica:

A

B

A

B

B A x

x





Conjuntos no disjuntos

Conjuntos comparables

no hay x

 Conjuntos disjuntos

ASIGNATURA: ARITMÉTICA |7

Propiedad Distributiva: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 6.3

Propiedad Absorción: A  (A  B) = A, puesto que: (A  B)  A A  (A  B) = A, puesto que: A  (A  B)

Diferencia.La diferencia de los conjuntos “A” y “B” es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a “A”, pero que no pertenecen a “B”. Se denota por: A – B, que se lee: “A menos B”, o también “A diferencia B”. Ejemplo.- Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5} Observamos que el elemento 1 está en el conjunto “A” pero no está en el conjunto “B”. Al conjunto formado por 1, se llama diferencia de “A” con “B”. Notación: A – B = {x/x  A y x  B} Representación Gráfica:

A

B

A

x

B

A

B

B

x A 



Conjuntos no disjuntos

Conjuntos disjuntos





Conjuntos comparables

Conjuntos comparables

PROPIEDADES 1.- A – A = ∅ 2.- A – ∅ = A 3.- A - B = (AUB) – B = A - (A  B) 4.- Si B es subconjunto de A: B-A=∅ 5.- B (A - B) = ∅ Ó (A-B) ∩ B = ∅ 6.4

Complemento. Sean los conjuntos A={a, b, c, d, e} y el conjunto B={a, c, e}, se observa que “B” es subconjunto de “A” y los elementos “b” y “d”, pertenecen al conjunto “A” y no pertenecen al conjunto “B”. Al conjunto formado por estos elementos: {b, d} se le llama complemento de “B” con respecto a “A” y se denota por: B c Luego, si “B” está incluido en “A”, la diferencia: “A - B” se llama complemento de “B” respecto a “A” Notación: B c = { x / x  A y x  B } Bc={x/xB} Observación: Si el complemento es respecto al conjunto universal U donde se cumple que: B  U, entonces: Bc = B = {x / x  U y x  B } = U – B 6. Propiedades en la diferencia de conjuntos: 1. Reflexiva: A  A = A 2. Conmutativa: AB=BA 3. Asociativa: (A  B)  C = A  (B  C) 4. De la inclusión: Si: A  B, entonces: A - B =  (ver gráfico) AB=B–A 5. De la exclusión: Si: “A” y “B” son disjuntos, entonces: A–B=A AB=AB

7.

8.

9.

Del complemento: (A c) c = A A  Ac = U A  Ac = ; Uc =  De la diferencia: A – B = A  Bc A – B = B’ – Ac Leyes de Morgan: (A  B)c = Ac  Bc (A B)c = Ac  Bc De Absorción: A  (Ac  B) = A  B A  (Ac  B) = A  B

Representación Gráfica:

x B

A B

U 



Complemento de “B” respecto a “A”

Complemento de “B” respecto a U

c = U;

8| CEPRU2015

6.5

Diferencia simétrica.- Se denomina diferencia simétrica de “A” y “B” al conjunto formado por la unión de “A - B” con “B - A”. Entonces, en A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, se observa que el elemento 1 pertenece al conjunto “A” pero no pertenece a “B” y los elementos 4 y 5 pertenecen al conjunto “B”; pero no pertenecen al conjunto “A”, entonces, al conjunto formado por 1; 4 y 5 se le llama diferencia simétrica de “A” y “B” y se denota por: A  B. Notación: A  B = {x/x  (A - B)  (B - A)} A  B =(A - B) U (B - A) Representación Gráfica:

A

B

B x

A

x

x

x







Conjuntos no disjuntos

Conjuntos disjuntos

Conjuntos comparables

EJERCICIOS

1.

A  a, a ,   ,  

Si

B = {𝑥 + 2/

¿Cuántas de las proposiciones siguientes son verdaderas?

III.

a  A b) a  A c) a  A

IV.

d)  

V.

e)

I.

a)

II.

a)1 2.

e)Todos

A  a ; a, b ; a, b, c ; 2 ; 4 ;

C  b, a ; a, b ;   .

B 

Indicar el valor de las siguientes proposiciones:

P( B)  P(C ) n[ P( A  C )]  A (C  A)  P ( A)

I. II. III.

A = {𝑥 − 1/𝑥 ∈

0, 4 d) 3 4.

b)

1, 2 d) 0,1 5.

c)

3, 4

Determine por extensión el conjunto:

a)

0, 2 e)  

c)

0,1, 2

Determine la suma de elementos del conjunto: ˄ − 2 < 𝑥 < 2} c)7

d)3

˄ 6 < 𝑥 < 20}

∈

/2 < 𝑥 < 9}

n( A)  n( B )

b)18

8.

Hallar la suma de los elementos del conjunto:

c)15

B = {6𝑥/3𝑥 − 8 ∈

d)20

e)19

+

˄ 𝑥 < 4}

a)20

b)6

9.

Si : A = {𝑥/𝑥 ∈

c)50

d)60

e)42

˄ 10 < 𝑥 < 20} ˄ (√𝑦 + 15) ∈ 𝐴}

Sean: 𝑥 2 +2 3

/0 < 𝑥 < 7˄

B = {𝑥 /1 ≤ 2

a)5

b)6

e)4

6.

Determine la suma de elementos del conjunto:

𝑥+3 4

𝑥+1 2

∈

≤2˄𝑥 ∈

} }

C   x / x  A  x  B Hallar

n[ P (C )]

a)0

b)1

11. A?

¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto

A = {𝑥/𝑥 ∈

˄ 𝑥 < 3/2}

b)

A = {𝑥 3 + 1/𝑥 ∈

2

e)14

a)16

A={

˄𝑥 = 𝑥}

A = {2𝑥/2𝑥 − 1 ∈

Dado los conjuntos:

10.

3

4 e) 2, 1, 0

a)

7.

2𝑥+1

d)13

¿Cuál es la suma de los elementos de B? a)52 b)53 c)54 d)55 e)56

Determine por extensión el conjunto: 3

c)12

B = {𝑦 + 5/𝑦 ∈

a)VVV b)VFF c)VVF d)VFV e)FFF 3.

;

˄ 2 < 𝑥 < 7}

b)11

Calcule

d)4

∈

a)10

B={

A

c)3

2

A = {𝑥/𝑥 ∈

a ,   A

b)2 Si:

𝑥+1

a)63

b)7

12.

Si

c)2

d)8

˄ − 7 < 4𝑥 + 1 < 21} c)15

d)31

e)3

U es el universo de los conjuntos A, B

que A  B . Al simplificar [𝐴 − (𝐵⋃𝐶)]⋃(𝐴⧍𝐵), resulta:

A B c) A  B a)

e)4

Ac  B d) A e) B b)

y

C

tal

ASIGNATURA: ARITMÉTICA |9 13.

Al

simplificar:

d)8400

e)12600

c

 ( A  B )  ( B  A)   ( A  B ) Se obtiene: c a) A b) B c) A d) A  B e) A  B

26. A una fiesta asistieron 315 peruanos, de los cuales 100 hablan Alemán, 145 Inglés y 123 hablan solo Castellano. ¿Cuántas hablan dos idiomas? a)130 b)137 c)126 d)139 e)14

14.

27.

c

c

De 50 personas se sabe que:  5 mujeres tienen 17 años.  16 mujeres no tienen 17 años.  14 mujeres no tienen 18 años.  10 varones no tienen 17 ni 18 años ¿Cuántos varones tienen 17 ó 18 años? a)10 b)12 c)13 d)14 e)19

Al simplificar, c

 ( A  B ) c  ( A  B ) c   A , se obtiene: a) A  B b) A  B c c c c c c) A  B d) A  B e) ( A  B) 15.

Sabiendo que:

n( P( A  B ))  2

y

n( A  B )  13 , n[ P ( A  B )]  64 . El número

de elementos del conjunto 𝐴⧍𝐵, es: a)7 b)15 c)14 d)10 e)12

A  B   y además n[ P ( A  B )]  256 , n( A)  n( B )  1 , n( A  B )  3 . Hallar n( B ) .

16.

Si

a)5

b)3

17.

Si un conjunto A tiene 18 elementos, otro conjunto

c)7

d)8

e)6

B tiene 24 elementos. ¿Cuántos elementos tendrá , sabiendo que A  B tiene 15 elementos? a)24 b)25 c)26 d)27 e)28 18.

Si

n( A  B )  35

y

A B

n( A)  n( B )  48 .

El

número de elementos de 𝐴⧍𝐵 es: a)23 b)22 c)13 d)21 e)35 19.

Si

n[ P ( A)]  128 , n[ P ( B )]  16 , n[ P( A  B )]  8 , Entonces calcular n[ P ( A  B )] a)128 b)1024 c)64

d)32

e)256

20. Sean dos conjuntos comparables, cuyos cardinales se diferencian en 3. Además la diferencia de los cardinales de sus conjunto potencia es 112. Indicar el número de elementos que posee el conjunto que incluye al otro. a)7 b)13 c)9 d)4 e)2 21. Dados 3 conjuntos A, B y C tal que:, 𝑛(𝐴⧍𝐵) = 22, 𝑛(𝐵⧍𝐶) = 16, 𝑛(𝐶⧍𝐴) = 14

n( A  B  C )  n( A  B  C )  30 . Calcular n( A  B  C ) .

y

a)2

b)4

c)8

d)16

e)32

22. De un grupo de 41 jóvenes, 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no trabajan. ¿Cuántos solamente estudian? a)7 b)8 c)9 d)10 e)11 23. De un grupo de 385 estudiantes, 1/3 de los que prefieren sólo fútbol, practican fútbol y natación, ½ de los que prefieren solo natación, practican fútbol y natación, y los que no practican ninguno de los dos deportes es igual al número de los que los que practican un solo deporte (fútbol o natación). ¿Cuántos practican exactamente los dos deportes? a)210 b)105 c)70 d)175 e)35 24. A una fiesta de promoción asistieron 30 alumnos, de los cuales, 12 son varones y de estos 5 no están bailando. ¿Cuántas mujeres no están bailando? (Se baila en pareja) a)9 b)10 c)13 d)12 e)11 25. En una ciudad se determinó que el 30% de la población no leen la revista A, que el 60% no lee B y que el 40% leen A o B pero no ambas. Si 2940 leen A y B. ¿Cuántas personas hay en la población? a)6000 b)3500 c)4200

28. Cien espectadores escuchan a tres cantantes, 40 aplauden al primero, 39 aplauden al segundo y 48 al tercero, 10 aplauden a los tres, 9 aplauden solo a los dos primeros, 19 aplauden solo al tercero, 21 espectadores no aplauden, ¿Cuántas personas aplaudieron por los menos a dos cantantes? a)19 b)21 c)38 d)42 e)27 29. De un grupo de 55 personas: 25 hablan inglés, 32 hablan francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan sólo dos idiomas? a)20 b)25 c)30 d)27 e)22 30. En una encuesta a 60 personas se recogió la siguiente información, 7 personas consumen el producto A y B, pero no C, 6 personas consumen los productos B y C, pero no A, tres personas consumen el producto A y C, pero no B, 50 personas consumen al menos uno de estos productos y 11 personas consumen el producto A y B. ¿Cuántas personas consumen solamente un producto? a)34 b)39 c)23 d)30 e)10 31. De un total de 120 alumnos se observa lo siguiente: 45 aprobaron física, 46 química, 38 aprobaron matemática, 7 aprobaron física y química, 8 aprobaron química y matemática, 10 aprobaron matemática y física y 12 no aprobaron ningún curso. ¿Cuántos aprueban al menos dos cursos? a)17 b)22 c)13 d)24 e)25 32. De un grupo de 80 alumnos  Todos los varones tienen más de 22 años.  Hay 49 mujeres y 25 son casadas.  16 alumnos casados tienen más de 22 años.  10 mujeres casadas tienen más de 22 años.  60 alumnos tienen más de 22 años. Si considerar a las mujeres mayores de 22 años, no se casaron x alumnos. Hallar x. a)25 b)30 c)35 d)40 e)45 33. Dado el diagrama lineal, indica la alternativa correcta: a) C  A W b) W  C c) A  X X Y d) C  W e) A  B

A B 34. Dados: A  x  1 / x  B y B? a) 1 d) 4

C  x  16x 5

x  / x   ¿Cuántos elementos comunes tienen A 2

b) 2 c) 3 e) Son disjuntos

35. Decir a que alternativa corresponde al área sombreada:

10 | C E P R U 2 0 1 5 a) (A  B)  C

 10 aprobaron Matemática y Física.  7 aprobaron Matemática y Química.  9 aprobaron Química y Física.  17 aprobaron Matemática.  19 aprobaron Física.  18 aprobaron Química. ¿Cuántos alumnos rindieron los exámenes? a) 23 b) 32 c) 28 d) 26 e) 24

b) [A  (B  C)]  [(B  C)  A] c) (A B)  C d) (A  C)  (B  C) e) (B  A) (A  C) 36. Decir a que alternativa corresponde al área sombreada:

38. Entre los habitantes de un distrito, se ha realizado una encuesta sobre el uso de ciertos artefactos y se ha obtenido los siguientes datos: – 80% tienen televisor. – 90% tienen radio – 60% tiene cocina a gas – 2% no tienen ninguno de los artefactos anteriores – 55% tienen los tres artefactos ¿Qué porcentaje de los encuestados poseen sólo uno de estos artefactos? a) 20% b) 22% c) 21% d) 25% e) 40% 39. De un grupo de 200 transeúntes se determinó lo siguiente: 60 eran mudos, 70 eran cantantes callejeros y 90 eran ciegos; de estos últimos, 20 eran mudos y 30 eran cantantes callejeros. ¿Cuántos de los que no son cantantes no eran mudos ni ciegos?

C

A B

a) (A  C)  B

e) (A B)  (B  C)

b) C  (A B) c) (A B)  C

d) (A C)  B

a) 10

37. En un colegio rindieron exámenes finales, siendo los resultados:  4 aprobaron los tres cursos.

b) 50

c) 30

d) 20

e) 40

2.1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES Se llama sistema de los números naturales al conjunto:

= {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ..... } ;

El cual está provisto de dos operaciones binarias llamadas

ADICIÓN Y

MULTIPLICACIÓN y además está dotado de dos relaciones, la relación de igualdad y la relación de orden menor que. 2.2. ADICIÓN

A+B =S suma

sumandos

PROPIEDADES a. Propiedad de clausura o cerradura. La suma de dos números naturales es otro número natural. se cumple:

a,b b.

b

c ;c

Propiedad asociativa. La forma de agrupar a los sumandos no altera la suma.

a; b ; c c.

a

se cumple:

a

(b

c)

(a

b)

c

Propiedad de la existencia del elemento neutro aditivo. (Elemento Identidad aditiva) Viene a ser el “0”, porque al sumarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural.

!0

tal que:

a

0

0

a ,

a

a

d. e.

Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo. No se cumple. Propiedad conmutativa. El orden de los sumandos no altera la suma.

f.

Propiedad de monotonía. Si en ambos miembros de una igualdad se suma el mismo número natural, entonces el resultado será otra igualdad.

a,b

a; b ; c g.

se cumple:

Si

a

a

b

b

b

a

a

c

b

c

Propiedad cancelativa. Si en ambos miembros de una igualdad existe un mismo sumando, podemos cancelarlo y resultará otra igualdad.

a; b ; c

Si

a

c

b

c

a

b

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 11

2.3. MULTIPLICACIÓN PROPIEDADES

AxB=

P

A: multiplicando B: multiplicador

a.

Propiedad de clausura: El producto de dos números naturales es otro número natural se cumple

a,b b.

a b

c, c

Propiedad Asociativa: La forma de agrupar a los factores no altera el producto. se cumple:

a, b , c

a (b c) c.

(a b) c

Propiedad de la existencia del elemento Neutro Multiplicativo: (Elemento identidad multiplicativo) Viene a ser el “1”, porque al multiplicarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural.

!1

a 1

tal que:

1

a

a ,

a

d.

Propiedad de la existencia del elemento inverso multiplicativo. No se cumple.

e.

Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.

f.

Propiedad distributiva: La operación de multiplicación se distribuye respecto a la adición.

a,b

se cumple:

a

b

b

a

se cumple:

a, b , c

a×(b+c)= a×b + a×c

(b+c)×a g.

b×a + c×a

Propiedad del elemento absorbente: Viene a ser el cero y es tal que:

a

se cumple:

a×0=0×a=0

2.4. RELACIÓN DE IGUALDAD Un número natural se puede representar de varias maneras diferentes, por ejemplo: 12 = 5+7 = 4 x 3 = 2 +10 = 6 x 2 = .....

PROPIEDADES a)

a

a,b

b)

a

c)

Si

d)

Si

a=b

e)

Si

a=b

f)

a b=axb

b

ó

a

Propiedad de dicotomía.

b

Propiedad reflexiva.

a, a a

b

a

Propiedad simétrica.

a=c

Propiedad transitiva.

b

b=c

a×c =b×c , c

0

2.5. RELACIÓN MENOR QUE Sean a,b

,

a

n

b

, n

0/a

b . Determina que el sistema de los números naturales sea ordenado

n

PROPIEDADES

a)

a

b

b

a

b)

a

b

a

b o´ a

b

c)

a

b o´ a

b o´ a

b

d) Si

a

b b

c

e) Si

a

b

a c

f)

a

c

Si

g) Si

a c

b

a

c

b c

c

b c a

a

Propiedad de tricotomía Propiedad transitiva

si c

o

b

b si c

0

2. SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS Se llama sistema de los números enteros al conjunto: = {….;-4;-3;-2;-1;0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; … }

0 El cual está provisto de tres operaciones bien definidas llamadas ADICIÓN, MULTIPLICACIÓN Y SUSTRACCIÓN; además está dotado de dos relaciones: la relación de igualdad y la relación menor que. 2.1 ADICIÓN

A+B =S sumandos

suma

Esta operación cumple todas las propiedades mencionadas en la adición de los números naturales, al que es necesario agregarle la Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo:

12 | C E P R U 2 0 1 5 Para cada a

, !

tal que:

a

a

( a)

a

0

a

PROPIEDADES a.

Propiedad de clausura o cerradura. La suma de dos números naturales es otro número natural. se cumple: a b c ;c a,b

b.

Propiedad asociativa. La forma de agrupar a los sumandos no altera la suma. se cumple: a a; b ; c (b c) (a b) c

c.

Propiedad de la existencia del elemento neutro aditivo. (Elemento Identidad aditiva) Viene a ser el “0”, porque al sumarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural. 0 0 a a , a tal que: a !0

d. e.

Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo. No se cumple. Propiedad conmutativa. El orden de los sumandos no altera la suma. se cumple: a b b a a,b

f.

Propiedad de monotonía. Si en ambos miembros de una igualdad se suma el mismo número natural, entonces el resultado será otra igualdad. Si a a; b ; c b a c b c

g.

Propiedad cancelativa. Si en ambos miembros de una igualdad existe un mismo sumando, podemos cancelarlo y resultará otra igualdad. Si a a; b ; c c b c a b

2.2 SUSTRACCIÓN Se verifica que: M -S = D

Si

M - S=D

M:



Minuendo S: Sustraendo

D:

Diferencia

 M=S+D   M - D=S  2M=M+S+D 

2.3 MULTIPLICACIÓN

AxB=

P

A: multiplicando B: multiplicador P: producto

Esta operación cumplen todas las propiedades mencionadas en la multiplicación de los números naturales. PROPIEDADES a.

Propiedad de clausura: El producto de dos números naturales es otro número natural se cumple a b c, c a,b

b.

Propiedad Asociativa: La forma de agrupar a los factores no altera el producto. se cumple: a, b , c

c.

Propiedad de la existencia del elemento Neutro Multiplicativo: (Elemento identidad multiplicativo) Viene a ser el “1”, porque al multiplicarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural. 1 a a , a tal que: a 1 !1

d. e. f.

Propiedad de la existencia del elemento inverso multiplicativo. No se cumple. Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. se cumple: a,b Propiedad distributiva: La operación de multiplicación se distribuye respecto a la adición. se cumple: a, b , c

a (b c)

(a b) c

a

b

b

a×(b+c)= a×b + a×c (b+c)×a g.

b×a + c×a

Propiedad del elemento absorbente: Viene a ser el cero y es tal que:

a

2.4 RELACIÓN DE IGUALDAD Un número natural se puede representar de varias maneras diferentes, por ejemplo: 12 = 5+7 = 4 x 3 = 2 +10 = 6 x 2 = ..... PROPIEDADES g)

a b ó a b Propiedad de dicotomía. a, a Propiedad reflexiva. a b b a Propiedad simétrica. a=b b=c a=c Propiedad transitiva. a=b a×c =b×c , c 0

a,b

h)

a

i)

Si

j)

Si

k)

Si

se cumple:

a×0=0×a=0

a

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 13 l)

f)

a b=axb

2.5 RELACIÓN DE ORDEN MENOR QUE

Sean a,b

a

b

c

tal que a

c

ba

b si b

a

Esta relación establece que el sistema de los números enteros es ordenado y además, cumple con las propiedades dadas para la relación menor definida en el sistema de los números naturales. Ejemplos: 2<5 , ya que existe el entero positivo 3, tal que 2+3=5 8 no es menor que 6, ya que no existe un entero positivo de manera que sumado a 8 se obtenga 6 6 no es menor que 6, ya que no existe un número positivo que sumado a 6 resulte 6 PROPIEDADES 1) Si

a

b Si

2) Si

3) 4)

a

a

b

c

b

b c a c

c

a

a c

b c

a

Si

a c

b c

a

si c

o

0

b si c b si c

o

a

o b

o

a b

o

a

o b

o

a

o

b

Si

b

si c b c

a b

a

5)

a c

a a

0 o b o b

o o

b

2.6 SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS Se llama sistema de los números enteros al conjunto: = {….;-4;-3;-2;-1;0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; … }

0 el cual está provisto de tres operaciones bien definidas llamadas ADICIÓN, MULTIPLICACIÓN Y SUSTRACCIÓN; además está dotado de dos relaciones: la relación de igualdad y la relación menor que. ADICIÓN

A+B =S suma

sumandos

Esta operación cumple todas las propiedades mencionadas en la adición de los números naturales, al que es necesario agregarle la Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo: Para cada a , ! a tal que:

a

( a)

a

0

a

2.7 DIVISIÓN ENTERA Si

D

d

r

q

D: dividendo se tiene que:

1) División Exacta ( r = 0 )

D q d

D

d

0

q

ó

d:

divisor

q:

cociente

D=dxq

2) División Inexacta ( r  0 ) 3) División por Defecto.

D

d

r

q

D=d. q+r

(“r” es el residuo por defecto)

Ejemplo:

61 8

 61 = 8 x 7 + 5

5 7

(5 es el residuo por defecto)

4) División por Exceso.

D

d D = d . (q+1) – re

re q +1

(“ re“ es el resto por exceso)

Ejemplo:

61

8

64

8

3

14 | C E P R U 2 0 1 5  61 = 8 x 8 – 3 (3 es el residuo por exceso) PROPIEDADES a) r + re = d b) 0 < r < d Luego, para una división por defecto se cumple: residuo mínimo es: 1 residuo máximo es: d – 1 c) sí: se cumple:

d)

D K

d

K

d

rM

q L

M

L

qe

q 1 qe :

exceso

es el cociente por exceso

q : es el cociente por defecto Dados dos números enteros, sumándolos se obtiene un resultado entero que es la suma, restándolos se halla un resultado que es la diferencia y multiplicándolos se obtiene un resultado que es el producto. En cambio, cuando se los divide (el mayor entre el menor) se obtiene dos resultados enteros que son el cociente y el residuo, todos los cuales están relacionados por una expresión llamado algoritmo de la división y es este que lo caracteriza, a saber D=d.q+r ó D = d . (q+1) – re Todo ello hace que sea interesante plantear diversas situaciones matemáticas. Es de notar que el citado algoritmo es la aplicación de tres propiedades fundamentales, la propiedad de cerradura de la adición, sustracción y multiplicación. No implica este hecho que la división esté definida en los enteros. 2.8 CONFORMACIÓN DE NÚMEROS 1.

2.

a5b3c8 numero de seis cifras donde :a,b,c son digitos

abc

abc

2)(b

con

a

0

" a " es la cifra significativa.

abc abc

3.

(a

4.

a5b3c8

5)(c

8)

5.

aaaa

6.

(2a)(2b)(2c) 2 abc

abc 258

a0b0c0 50308 a(1111)

7.- En todo número de dos cifras: ab donde a>b ; se cumple: si

ab

ba

xy

entonces x + y = 9

8.- En todo número de tres cifras: abc , donde a>c; se cumple: si abc

xyz entonces y = 9 ; x + z = 9

cba

9.- En todo número de cuatro cifras: abcd ; donde a > d; se cumple: abcd

dcba

pqrs donde: p + q + r + s = 18

2.9 COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA) El complemento aritmético de un número natural es otro número natural, que representa la cantidad que le falta a aquel para ser igual a la unidad del orden inmediato superior de dicho número. 

Para un número de una cifra: CA(a) = 10 – a

 Para un número de dos cifras:

 Para un número de “n” cifras:

CA( ab ) = 100 – ab =

(9

a)(10

b)

CA(ab ... dc) 10n ab ... dc (9-a)(9-b) ... (9-d)(10-c)

2.10 SUMAS NOTABLES

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 15

1.

1

2

3

4

5

2.

2

4

6

8

...

2n

n(n 1) 2 n(n 1)

3.

1

3

5

7

...

(2n

1)

n2

4.

12

22

32

42

52

...

n2

n(n

5.

13

23

33

43

53

...

n3

n(n 1) 2

6.

14

24

34

44

54

...

n4

n(n

7.

22

42

62

82

...

(2n)2

8.

12

32

52

72

...

(2n

9.

1 2

2 3

3 4

n

4 5

10.

1 2 3

11.

1

12.

Progresión aritmética:

a1

2 3 4

...

a2

a3

a4

término general: an

2

1)(3n2 30 1)

1)(2n

1)(2n 3 n(2n 1)(2n 3

1)2

4 5 6

...

an

a1

(n

n(n

1)

n(n

...

1)

1)

1)(n 3

2)

1)(n

2)

n(n

3n

n(n

1)(n

2)(n

3)

4

an 1 1 a 1 1)r

suma de los primeros n-términos: 13.

1)

2n(n

...

3 4 5

1)(2n 6

sn

n (a1 2

sn

a1

an )

Progresión geométrica: término general: an

a1r n

1

suma de los primeros n-términos:

1 rn 1 r

EJERCICIOS

d) FVFV

1. Relacionar

correctamente

las

proposiciones: I. La operación de la sustracción esta completamente definida en el sistema . II. En el sistema de los números enteros el elemento neutro aditivo es único. III. El conjunto de los números naturales respecto a la relación de orden (<) es denso. IV. El complemento aritmético del complemento aritmético de un número entero positivo resulta el mismo número. a) VFVF b) VFFV c) FVVV d) FVFF. e) FFVV

2. Relacionar

correctamente

las

siguientes

proposiciones: I) Entre los número enteros a y a+1 siempre existe otro número entero. II) En el sistema de los números naturales, el número 1 es el elemento neutro multiplicativo. III) En el sistema de los número enteros el número 1 es el elemento absorbente IV) En la división entera inexacta por defecto el residuo es menor que el divisor. a) VVVV b) VFFV c) VFVF d) FVFV. e) VFFF

3. Para las siguientes proposiciones en el sistema de los números enteros , escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa:  a,b,c : a  c  b  c  a  b I)

Si a  b  b  a   ,  a,b  III)  a,b,c : a  c  b  c  a  b IV)  a,b,c : a  b  a  c  b  c II)

La secuencia correcta, es: a) VVVV

b) VFFV

c) VFVF

e) VVFF.

siguientes

4. En el sistema de los números enteros, la propiedad indicada mediante el enunciado:

(a  b)(a  b)  (a  b)(a  b);  a,b 

,

se

denomina: a)Tricotomía b)Distributiva c)Transitiva d)Conmutativa. e)Asocitativa

5. Efectuar 2  4  6 

6.

a) 2800 d) 2890 Efectuar 41  43  45  a) 1824 d) 1800

 90 b) 2650

c) 2070 e) 2782

b) 1849

c) 1824 e) 1809

 93

7. Efectuar: 1 3  2  4  3  5 

 22  24 , y dar como respuesta la suma de los valores absolutos de sus cifra. a)5 b)9 c)6 d)7 e)8 9  12  17  24   177 , y dar como respuesta la suma de los valores absolutos de sus cifras. a)14 b)13 c)18 d)13 e)12

8. Efectuar

9. La suma de los términos de una sustracción es 1000, el sustraendo es la quinta parte del minuendo. Hallar el complemento aritmético de la diferencia. a) 400 b) 600 c) 500 d) 150 e) 450

16 | C E P R U 2 0 1 5 10. La suma de los tres términos de una resta es 1200 y el

sustraendo es la cuarta parte del minuendo. Hallar el complemento aritmético de la diferencia. a) 450 b) 500 c) 550 d) 650 e) 850

22. Un número de cuatro cifras es tal que al restarle su

complemento aritmético resulta 5256. Hallar la suma de los valores absolutos de sus cifras. a) 20 b) 22 c) 14 d) 23 e) 25

23. La suma de los complementos aritméticos de los tres 11. La suma de los tres términos de una resta es 6 veces el sustraendo. Si la diferencia es 34. Hallar el minuendo. a) 63 b) 42 c) 48 d) 51 e) 57

12. Hallar la suma del minuendo y la diferencia de una sustracción, cuya suma de términos es 800 y el minuendo es el óctuplo del sustraendo. a) 700 b) 850 c) 650 d) 750 e) 450





 

13. Hallar a – b, si: CA abab  CA ab  2600 a)8

b)4

c)6

d)2

e)1

14. Calcule el mayor numeral de 4 cifras significativas diferentes tal que la diferencia, de la suma los valores absolutos de sus cifras y la suma de los valores absolutos de las cifras de su CA es 15. a) 9521 b) 9871 c) 9872 d) 8532 e) 9863

15. El producto de dos números es 2856. Si al multiplicando

se le agrega 13 unidades resulta un producto de 3740. Hallar la suma de los números. a) 110 b) 115 c) 120 d) 127 e) 130

16. El producto de un número de dos cifras por el mismo pero con sus cifras en orden inverso es 574. Hallar la suma de los valores absolutos sus cifras. a) 8 b) 10 c) 15 d) 5 e) 11

17. Un alumno tiene que multiplicar un número por 30; pero se olvida de poner el cero a la derecha del multiplicador por lo que se obtiene un resultado que difiere del verdadero en 5751. Hallar dicho número. a) 639 b) 1917 c) 213 d) 219 e) 543

18. Al dividir A entre B, se obtuvo el resto por exceso y

defecto respectivamente 15 y 12, También se encontró un cociente por defecto de 30. Contestar la suma de las cifras de A. a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 14

términos de una resta es 1552. Hallar la suma de los valores absolutos de las cifras del minuendo, si todos los términos son de tres cifras. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

24. Si abc  cba  m n (m  1) , Hallar “ a

c

”.

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

25. Determinar la suma de todos los números naturales de

tres cifras que comiencen y terminen en cifra 3. a) 3590 b) 3490 c) 6990 d) 3480 e) 3490





 

26. Si se cumple que: CA abc  CA acb  an , halle CA(a  b  c  n) a) 52

b) 73

c) 34

d) 81

e) 90

27. Se tiene un número de 4 cifras significativas, cuya

suma de sus cifras es 21 ¿cuál es la suma de las cifras de su complemento aritmético? a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

28. Con 3 cifras que suman 19, se forma un número de 3

cifras de tal manera que su complemento aritmético sea otro número de tres cifras, pero consecutivas y crecientes. Hallar dicho número a) 577 b) 766 c) 676 d) 757 e) 874

29. Hallar un número de 4 cifras, cuya suma de cifras sea

igual a su complemento aritmético. Dicho número está entre: a) 9 900 y 9 920 b) 9 920 y 9 940 c) 9 940 y 9 960 d) 9 960 y 9 980 e) 9 980 y 10 000

30. Al resolver la siguiente expresión:

A =1x7 + 2x8 + 3x9 + ....+ 30x 36. La suma de las cifras de A es.

a) 10

b) 12

c) 14

d) 16

e) 20

31. Hallar la suma: S = 12 + 32 + 52 + 72 + 92 + .....+ 412 a) 12321

b) 2382

c) 50600

d) 12341

19. La diferencia de dos números es 832, su cociente es 17 y su residuo el más grande posible. Hallar la suma de los números. a) 881 b) 993 c) 934 d) 890 e) 930

20. La suma del dividendo y el divisor en una división es 41 veces el residuo por defecto y la diferencia de ellos es 25 veces dicho residuo. Hallar el cociente por exceso. a) 2 b) 5 c) 4 d) 8 e) 9

21. Hallar

"a  c " ,

32. Si abcd = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + 20 x 21, el valor de (a + b + c + d) es:

a) 10 b) 11c) 13

d) 20

e) 25

33. Al efectuar la suma S = 1 x 3 + 3 x 5 + 5 x 7 + ... + 85 x 87, se obtuvo un resultado, cuyas cifras suman: a) 28 b) 29 c) 30 d) 31

si:

a bc  cba  pk2 a) 5

b) 6

c) 10

d) 15

e) 12

Se conoce como sistema de los números racionales al siguiente conjunto infinito de números:

e) 32

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 17 a a b

Z b

Z b

0 ; el cual está provista de tres operaciones de Adición, Sustracción, Multiplicación y además

está dotado de la relación de igualdad y relación menor que. 1.1

PROPIEDADES 1. DE LA ADICIÓN.- Se cumplen todas las propiedades estudiadas en los sistemas de los números naturales y enteros. 2. DE LA MULTIPLICACIÓN.- Además de cumplir todas las propiedades estudiadas en los sistemas de los números naturales y enteros, se cumplen también las siguientes propiedades:

c

0

!c

a b

- 0 , !

b a

1

0 , el cual viene a ser - 0 /

a b b a

b a a b

1 c

0 tal que c

1 c

1 c c

1

1

3. DE LA RELACIÓN MENOR QUE.- Además de cumplir todas las propiedades estudiadas en los sistemas de los números naturales y enteros, se cumple también la propiedad:

a b

c d

a d

b c donde : b>0 y d >0

4. PROPIEDAD DE DENSIDAD.- Esta propiedad dice que: “Entre dos números racionales distintos, existe por lo menos un número racional”

a c , b d

p q

,

/ p q

donde por ejemplo

a b 1 a 2 b

p q

c d c d

5. El sistema de los números racionales es ordenado, infinito y denso, pero no es continuo. En la recta real, dado que entre dos números racionales existen infinitos números racionales, sin embargo, dejan algunos vacios que serán ocupados por los números irracionales. 1.NÚMERO FRACCIONARIO Un número fraccionario, conocido comúnmente como “fracción”, expresa una o varias partes de la unidad y tiene la siguiente forma:

a b

donde : a

,b

0

a : se llama numerador b: denominador “a” no es múltiplo de “b” Ojo: Ningún número entero es número fraccionario y viceversa.  ¿LA OPERACIÓN DE LA DIVISIÓN ESTA TOTALMENTE DEFINIDA o BIEN DEFINIDA EN EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES? Respuesta: NO.  ¿La división en el sistema de los números racionales menos el cero está bien definida? SI 2.1.

CLASIFICACIÓN: a. Por la naturaleza del denominador.1. Fracción decimal.

a es fraccion decimal b 2.

b

10n

Fracción común.

a es fraccion ordinaria o comun b b.

b

10n

Por la relación de sus términos.1. Fracción propia.

a es fraccion propia B 2.

a
Fracción impropia.

A es fraccion impropia b

A >b

3. Fracción mixta. Dado una fracción impropia, viene a ser aquella que expresa la adición de un entero y una fracción propia. Así por ejemplo:

15 4 c.

3

3 4

3

3 4

Por grupos de fracciones.1. Fracciones homogéneas. Son aquellas fracciones que presentan el mismo denominador.

a c , y b b a Sí : b

e son fracciones homogeneas b c k ; k Z entonces, d

Propiedad:

a c y son fracciones homogeneas b d

18 | C E P R U 2 0 1 5 2. Fracciones heterogéneas. Son aquellas fracciones que presentan denominadores diferentes. Son fracciones heterogéneas:

9 11 21 13 , , , 7 5 4 10 d.

Por divisores comunes entre sus términos.1. Fracción reductible.- Son aquellas fracciones que tienen tanto en el numerador como en el denominador algún divisor en común diferente de la unidad, el cual puede ser simplificada. Ejemplo:

15 15 es fraccion reductible ya que : 35 35

3 5 7 5

3 7

2. Fracción irreductible.- Son aquellas fracciones en los cuales sus términos son primos entre sí. Ejemplo: 4/7 3. Fracciones equivalentes.- Son fracciones que expresan la misma parte de un todo, aún cuando sus términos sean diferentes. Ejemplo: 3/5 y 6/10 2.2. OPERACIONES CON FRACCIONES a. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN * Fracciones homogéneas

3 4 9 6 b.

7 4 5 6

3

* Fracciones heterogéneas.

7 4

9

3 4 11 2

10 5 4 2 4 2 6 3

5 6

5 7 9 4

3x7 4x5 4x7 11x4 2x9 2x4

41 28 26 8

13 4

MULTIPLICACIÓN

3 4

5 2

x

3 x 5 4 x 2

15 8

c. DIVISIÓN

3 4

5 2

3 4

2 5

6 20

3 10

PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES 1. 2.

2.1.1

a a+m Si f1 = <1 y f2 = b b+m a a+m Si f1 = >1 y f2 = b b+m

f1
+

f1 >f2 , m

+

NÚMERO DECIMAL NÚMERO DECIMAL EXACTO. Es aquella que presenta una cantidad limitada de cifras decimales. Origen.- Una fracción irreductible genera un número decimal exacto cuando al descomponer su denominador en sus factores primos se obtienen potencias de 2 y/o 5 Ejemplo:

17 40

17 3

2

71 100

0.425

5

71 20 5

71 4 5 5

71 2 52 2

0.71

Fracción Generatriz.- Es aquella fracción que se genera a partir del número decimal positivo y menor que 1, en cuyo numerador se ponen las cifras decimales como un número y en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. Ejemplo:

0.391

391 1000

0.56742

56742 100000

En general, se tiene:

0.abcd...z n

cifras

abcd...z 1000...0 n cifras

1.2

NÚMERO DECIMAL INEXACTO Son aquellos números que tienen una cantidad ilimitada de cifras decimales. Entre estos tenemos: a) PERIÓDICO PURO

5 99

5 9 11

5 2

3

11

0.0505050505......

0.05

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 19 Origen.- Una fracción irreductible genera un número decimal inexacto periódico puro, cuando al descomponer su denominador en sus factores primos, se obtienen factores que no son potencias de 2 ni de 5 Ejemplo:

2 3

0.66666...

0.6

Fracción Generatriz: Es aquella fracción que se genera a partir del número decimal positivo y menor que 1, en cuyo numerador se pone las cifras de la parte periódica como un número y en el denominador tantos nueves como cifras tenga la parte periódica. Ejemplo:

37 99

0.37

0.483

483 999

En general:

0. abcd...z n

cifras

abcd...z 999....9 n

cifras

b) PERIÓDICO MIXTO Origen: Una fracción irreductible genera un número decimal inexacto periódico mixto, cuando al descomponer el denominador en factores primos se obtienen potencias de 2 y/o 5 y otro factor necesariamente diferente. Ejemplo:

7 44

7 2

2

11

0.15909090.....

0.1590

Fracción Generatriz: Es aquella fracción que se genera a partir del número decimal positivo y menor que 1, en cuyo numerador se pone el número formado por la parte no periódica seguida de la parte periódica menos la parte no periódica y en el denominador se colocan tantos nueves como cifras tenga la parte periódica seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica. Ejemplos:

0.37

37 3 90

483 4 990

0.483

En forma general:

0. abcd...z αβδ.....υ n

cifras

m

cifras

abcd...zαβδ...υ abcd....z 999....9000....0 m

cifras

n

cifras

n: número de cifras decimales exactas m: número de cifras decimales inexactas (periódicas) EJERCICIOS Hallar la suma de los términos de la fracción irreductible equivalente a: 1 1 1 1 1 1 F       56 72 90 110 132 156

¿Qué fracción de lo que le falta debe recorrer para que le falte 9/16 de lo que le faltaba? A) 3/7 B) 3/9 C) 7/19 D) 7/9 E) 7/3

a) 94

8.

1.

b) 95 c) 96

d) 97

e) 98

2.

Si se quita 4 al denominador de una fracción cuyo numerador es 3, la fracción aumenta en una unidad. ¿Cuál es la fracción? a)

b)

c)

d)

e)

Si: 0, a1  0, a2  0, a3  1, 27 Hallar: a

3.

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

4.

La cantidad de fracciones propias irreductibles que existen tales que su denominador sea 56, es: A) 24 B) 25 C) 22 D) 26 E) 19

5.

El denominador de una fracción excede al numerador en una unidad. Si se agrega a ambos miembros de la fracción una unidad, la nueva fracción excede a la original en 1/72. ¿Cuál es la fracción original? A) 3/4 B) 4/5 C) 5/6 D) 6/7 E) 7/8 6. Se ha repartido una herencia entre tres personas; a la primera le tocó la cuarta parte; a la segunda 1/3 de la herencia y a la última 15000 soles ¿A cuánto asciende la herencia? A) 28000 B) 40000 C) 36000 D) 35000 E) 41000

7.

Una persona ha avanzado los 3/19 de su recorrido.

n 144 1 entero positivo existen, tal que sea mayor que 3 5 que ? 3 ¿Cuántas fracciones de la forma

A) 201

B) 181 C) 180 D) 191

con “n”

y menor

E) 190

9.

La suma de dos números racionales es 46/35 y su diferencia 4/35. Hallar el producto de dichos racionales. A) 4/7 B) 5/7 C) 7/3 D) 3/7 E) 2/7

10. Un obrero es doble rápido que otro. Si juntos pueden hacer cierta obra en 8 dias, ¿cuanto tiempo le tomaría al primero hacerlo solo?. A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

11. Hallar la diferencia entre los términos de una fracción

equivalente a 2/5, sabiendo que La suma de dichos términos es 28. A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15

12. ¿Cuántas fracciones impropias irreductibles de denominador 5 son menores que 8? A) 28 B) 29 C) 30 D) 31 E) 32

13. Hallar la suma de todos los valores de

sabiendo

20 | C E P R U 2 0 1 5 que la fracción A) 18

B) 21

a 12

23. Una varilla de a cm. de longitud se corta en 2 partes. es propia e irreductible.

C) 24

D) 30

E) 32

14. ¿Cuánto le falta a 4/11 para ser igual a los 2/3 de los

La parte menor mide

1 4

del total, luego con la parte

mayor se repite el procedimiento ¿Cuánto mide el pedazo más largo?

5/7 de los 4/9 de los 6/11 de 7? A) 2/3 B) 4/3 C) 2/9 D) 4/9 E) 1/9

15. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 4/5 existen, tal

que su numerador está comprendida entre 25 y 40 y su denominador entre 38 y 53 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 16. Al simplificar una fracción, se obtiene 1/7, sabiendo que La suma de los términos de la fracción es 40, La diferencia de los mismos es: A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

17. ¿Cuál es la cantidad entera que debe agregarse al numerador y denominador de La fracción 4/7 para que La fracción resultante esté comprendida entre 0,7 y 0,75? A) 3 B) 4 C) 5 D)6 E) 7

18. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 0,1363636...

a)

b)

c)

d)

e)

24. Un

jugador después de haber perdido consecutivamente los 4/5 de su dinero, 2/7 del resto y 4/11 del nuevo resto, gana 429 dólares y de ésta manera la pérdida queda reducida a 1/5 del dinero original. ¿Cuál es la fortuna? a) 700 b) 600 c) 605 d) 701 e) 729

25. Después de sacar de un tanque 1600 litros de agua, el nivel de la misma descendió de 2 a 1 ¿Cuántos litros 3 5 habrá que añadir para llenar el tanque? a) 3200 b) 4800 c) 24000 d) 16000 e) 12000

existen, tales que su numerador sea un número de dos cifras y su denominador un número de três cifras? A) 24 B) 25 C) 29 D) 30 E) 36

26. Cuantas fracciones comprendidas entre 19/43 y

19. ¿Cuántos decimales periódicos puros con dos cifras

27. Simplificar:

en el periodo hay entre 1/3 y 1/2. A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) infinitas

20.

Si se cumple:

1 1 1 1     ...  0, 989 2 6 12 20 n  fracciones Halle El valor de “n”. A) 96

B) 98

C) 102 D) 45

E) 68

1   1  1  1   P  1  1  1  ......1    2  3  4   999  B) 1000 C) 500 E) 1201

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.

b) 8

c) 6

3  0,153153153 a) 111/350 d) 123/345

28. Si

d) 7

a b   0,969696 ..... 11 3

b) 110/355 c) 101/305 e) 100/337

5 a   0, a 09 . Hallar 37 27 B) 5

C)4

D)6

a2  a .

E)7

29. Hallar x+y, si:

1, xy  1, yx  2,888 A)10 D) 8

B)12 E) 4

C)14

30. Si: 0, a1  0, a 2  0, a3  14 11 El valor de “a” es: A) 6

22. Hallar “a + b”, si: a) 5

0,244   1 / 3  0,222  x 11 / 4

A)2

21. Hallar el valor de “P” al simplificar:

A) 1 D) 999

23/29 son tales que sus términos son números consecutivos a)2 b)3 c)4 d)5 e)6

B) 4

C) 5

D) 8

e) 9

NUMERACIÓN.- Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números NÚMERO.- Es la idea asociada a una cantidad que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza NUMERAL.- Es la representación simbólica o figurativa del número. CIFRA O DÍGITO.- Símbolos que convencionalmente se utilizará en la representación de los numerales. SISTEMA DE NUMERACIÓN.- Es el conjunto de símbolos, reglas, principios, normas y convenios que permiten representar correctamente los números. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES. A. Del orden. Toda cifra que forma parte de un numeral posee un orden determinado de derecha a izquierda.

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 21

B. De la base. Todo sistema de numeración tiene una base que es un número entero y mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior. NOTA.- En forma práctica la base nos indica de cuantos en cuanto estamos agrupando las unidades PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN

2

binario

0,1

3

ternario

0,1,2

4

cuaternario

0,1,2,3

5

quinario

0,1,2,3,4

6

senario

0,1,2,3,4,5

7

heptanario

0,1,2,3,………6

8

octanario

0,1,2,3,………7

9

nonario

0,1,2,3,………8

10

decimal

0,1,2,3,………9

11

undecimal

0,1,2,3,………9,(10)

12

duodecimal

0,1,2,3,………9,(10),(11)

n

enecimal

0,1,2,3,………,

 n  1

Nota

a. En los sistemas de numeración mayores de 9 se utilizan convencionalismos. (10)<>  <> A (11)<>  <> B (12)<>  <> C

b. En todo sistema de numeración de base n la máxima cifra es la base menos 1,  n  1 c. Toda cifra que forma parte de un numeral es un número entero no negativo y menor que la base, es decir, en base “n”, se puede utilizar “n” cifras diferentes, las cuales son: Cifra máxima

0, 1,2,3, ........, n  1  Cifras significativas Cifra no Significativa

d. A mayor numeral aparente le corresponde menor base. 32  40  44  200  1012 es decir, si 120  45 k  n 8  7  4  3 como: 120 > 45. Afirmamos: n < k

e. Ningún numeral entero positivo de cualquier sistema podrá empezar en cifra cero. 3.

ESCRITURA Y LECTURA DE UN NÚMERO EN CUALQUIER SISTEMA: Base (10): 624

: Seiscientos veinticuatro

Valor Absoluto = 8

Base ( 2) : 1010 (2) : Uno, cero, uno, cero en base dos. Base ( 9) : 357 (9) : Tres, cinco, siete, en base

VALOR ABSOLUTO DE UNA CIFRA (V.A): Es el valor que toma una cifra por su símbolo o figura. VALOR RELATIVO DE UNA CIFRA (V.R): Es el valor que toma una cifra por la posición u orden que ocupa el número

3.1.

Valor Absoluto = 9

nueve.

85965 Valor Relativo = 900

Valor Relativo = 80000

REPRESENTACIÓN LITERAL DE LOS NÚMEROS Cuando no se conocen las cifras de un numeral, éstas se representan mediante letras teniendo en cuenta que:  Toda expresión entre paréntesis representa una cifra.  La primera cifra de un numeral debe ser diferente de cero.  Letras diferentes no necesariamente representan cifras diferentes, salvo lo indiquen.

22 | C E P R U 2 0 1 5 Ejemplo:

ab : cualquier numeral de dos cifras NÚMEROS CAPICÚAS.- Llamados también Polindrómicos. Es aquél cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales, es decir se leen igual de izquierda a derecha o viceversa.

4.



aa :

11 ; 22 ; 33 ; .........



a ba :

101 ; 323 ; 585 ; .......



abba :

1001 ; 4664; 6776 ; .........0

r e c o n o c e r

CONVERSIÓN DE SISTEMAS CASO 1: “De base n a base 10” Ejemplo: convertir 123 en base 5 a base 10 1ER MÉTODO DESCOMPOSICIÓN POLINOMICA

1235  1 52  2  5  3  38 2DO MÉTODO HORNER

1235 

1 5 1

3ER

2

3

5

35

7

38

De base nk a base n  Cada cifra del numeral genera un bloque de k-cifras  Las cifras de cada bloque se obtienen mediante las divisiones sucesivas.  Si algún bloque no obtiene las cifras requeridas se completará con cero a la izquierda. Ejemplo : Exprese 5207(9) en base 3 Resolución : 9 = 32 (cada fila de base 9 origina 2 cifras en base 3)

MÉTODO FLECHAS



5.2.

123 5   38



CASO 2 :“De base 10 a base “n” “ (n 0) MÉTODO DE DIVISIONES SUCESIVAS: Ejemplo: Exprese 196, en base 6.

2

0

7(9)

5 3 2 1 1 2

2 3 2 0 0 2

0 3 0 0 0 0

7 3 2 1 2 1

5207(9) = 12020021(3)

196  524 6

196 6 4 32 2

5

PROPIEDADES

6 5

a.

Numeral de cifras máximas

 10  178

9 CASO 3 “De base n a base m” Ejemplo: Exprese

2145

en base 3.

2145  59  2145  20123

59 2

3 19 1

778

 82  1

999  103  1

7778

 83  1

EN GENERAL:

se lleva a base 10

-

 8 1

99  10  1 2

 n  1 n  1 ....  n  1n

 nk  1

"K " Cifras

3 6 0

b.

3 2

Numeral de bases sucesivas

BASES SUCESIVAS.

 ka  1n

1a1a1a.

.. 1a1n

5.

Cambio de base especial

5.1.

De base n a base nk  se forman grupos de k cifras, a partir del primer orden.  cada grupo así formado se descompone polinómicamente, dicho resultado es la cifra en la nueva base (nk)

donde

1a1a1a.

.. 1a1a

donde

Ejemplo : Representar 10202112(3) a base 9

1a desciende como subíndice y se repite

k veces.

 ka  10

1a desciende como subíndice y se repite k

veces.

Resolución 10 1x3+0 3 10202112 = 3675(9)

20 2x3+0 6

21 2x3+1 7

12 1x3+2 5(9)

1a1b1c.

.. 1m ( n )



a  b  c  ...  m  n

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 23

a1a1a1.

..



k

a .n 

a1( n )

k

a 1 a 1 EJERCICIOS

1. Dado el numeral capicúa (𝑎 − 1)(𝑏 + 1)(7 − 𝑏)(𝑏 + 2) Determinar “a x b”. a)18 b)12

c)15

d)14

b) 7

a) 1 c) 8

d) 9

e) 10

escritos,

obtiene un número capicúa de tres cifras. Dar como respuesta la suma de las cifras diferentes de dicho numero capicúa. c) 3

d) 7

e) 6

6. Expresar “M” en base once y dar la suma de sus cifras: M= 4x113 + 7x112 + 90 a)19 b)20 c)21 d)23 e)25 7. Expresar en base 8 el mayor numeral de tres cifras en base 5. a) 164(8)

b) 174(8)

d) 172(8)

e) 133(8)

c) 274(8)

9. Si a un numeral de dos cifras del sistema decimal se le agrega la suma de sus cifras se obtiene 85, determinar el producto de sus cifras a)28 b)22 c)16 d)12 e)15 10. Determinar un numeral que al restarle el número que resulta de invertir el orden de cifras, se obtenga 72. Dar como respuesta la suma de sus cifras. b)14

c)16

d)9

e)10

11𝑎𝑏(𝑛) = 79(𝑛2 ) b)10

c)11

d)13

e)14

12. Determinar “a+b+c”, Si : 436(7) = 𝑎𝑏𝑐(8) a)13

b)14

c)15

b)24

c)28

d)32

e)34

16. Expresar en base 8 el mayor numeral de tres cifras de la base 5. b) 174(8) e) 133(8)

c) 274(8)

̅̅̅9 = 𝑏𝑎 ̅̅̅7 17. Calcular el valor de “a+b” si se cumple que: 𝑎𝑏 a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 5

18. ¿Cuántos números de dos cifras existen tal que sumándole 9 se obtiene otro número con las mismas cifras pero en orden invertido?. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 19. Se tiene un número de 2 cifras, si se le agrega un dos a la izquierda del número se convierte en un número igual a 5 veces el número original. Hallar la suma de las cifras de dicho número. a) 6

b) 7

c) 4

d) 10

e) 5

a) 500 d) 90

b) 200 e) 100

c) 10

21. El número de elementos del conjunto de los números de 4 cifras tales que las cifras que ocupan el orden impar (de derecha a izquierda) son mayores en dos que la cifra siguiente, es igual a: a) 81 b) 72 c) 63 d) 56 e) 84

22. Hallar la diferencia entre los valores de m, que verifican la relación: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑚(𝑚 + 1)(𝑚 + 2)(𝑚+3) = ̅̅̅̅̅ 105(4𝑚) a) 3

b) 7

c) 4

d) 9

e) 5

23. Si a un número de tres dígitos que empieza en 7 se le suprime este dígito, el número resultante es 1/26 del número original. ¿Cuál es la suma de los tres dígitos de dicho número?

11. Calcular “a+b+n”, Si:

a)9

e) 4

20. ¿Cuántos números capicúa de tres cifras hay?

8. Determinar un numeral del sistema decimal que cumpla las siguientes condiciones. La primera cifra es el doble de la tercera y la segunda el triple de primera. Dar como respuesta la suma de las cifras del numeral. a)8 b)9 c)10 d)11 e)12

a)12

a)20

a) 164(8) d) 172(8)

5. Al convertir (𝑎 − 3)𝑎(𝑎 + 2)(7) , al sistema quinario se

b) 5

d) 7

148

b) 11 c) 12 d) 13 e) 9

a) 4

c) 6

E = 14141414

143(𝑏); 𝑏5(𝑎); 6𝑎3(7) a) 10

b) 3

15. Determinar el valor de:

𝑎𝑏+𝑏𝑎 = 11(𝑎𝑏 − 𝑏𝑎)

Determinar “ a + b” a) 10 b) 9 c) 12 d) 11 e) 18 4. Si los numerales están correctamente determinar “a+b”

c) 800

bien escritos y ”a”, “b” y “c” son cifras diferentes entre si. Determinar “a+b+c”

𝑎𝑎𝑎𝑎(4) = 𝑥𝑦0 a)6

b) 675 e) 420

14. Se sabe que los numerales 30𝑎(4); 2𝑏𝑐(𝑎) ; 𝑏𝑏(𝑐) están

e)10

2. Hallar el valor de: “a + y -x” si

3. Si:

a) 650 d) 900

d)16

e)18

13. Cuantos números de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar.

a) 14

b) 15

c) 22

d) 17

e) 11

24. Si el numeral 12100102010211(n) se expresa en base n3, la suma de cifras aumenta en 38. Calcule cuántos capicúas existen en base n. a) 3

b) 7

c) 4

d) 6

e) 5

25. A un número de cuatro cifras se le agrega la suma de sus cifras, y se procede de la misma manera con el

24 | C E P R U 2 0 1 5 número resultante para, finalmente obtener el número 4051. Calcule la suma de cifras de dicho número inicial. a) 5

b) 7

c) 9

d) 11

b) 19

c) 28

d) 27

B K

A

A,K

B y

y

K

B

B

se tiene A

B

K

B K. Nota: Si A es múltiplo B y A Entonces podemos abreviar de la siguiente manera:

A

d) 15

e) 18

Hallar el valor de a si: ̅̅̅̅̅ = 504(𝑛) 1𝑎4

30.

b) 7

c) 8

d) 3

e) 4

Si: ̅̅̅̅̅̅̅(𝑛) = 303(5) 𝑎𝑏𝑐𝑑 Siendo a b ,c y d diferentes entre sí. Hallar c. a)0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

OBSERVACIONES:  Los conceptos de divisibilidad y multiplicidad son equivalentes; la divisibilidad se le estudia a partir de la división mientras que la multiplicidad se le estudia desde el punto de vista de la multiplicación.  Un número negativo puede ser múltiplo de otro entero positivo.  El cero es múltiplo de todo número entero positivo.  El cero no es divisor de ningún número. 3. EQUIMÚLTIPLOS Son números que contienen{8, 16, 24, 32, … } pero como queremos hallar el mínimo valor de x entonces tomemos el mínimo valor de los múltiplos de 8 de donde: x  82  x  6 . 4. TEORÍA DE CONGRUENCIAS NÚMEROS CONGRUENTES.- Dos números A y B son congruentes con respecto a un módulo m denotado por A  B (modulo m) cuando al dividir A y B entre el módulo m se obtienen el mismo resto, en caso contrario se dicen que son incongruentes. Ejemplo:

19  14 Módulo (5) es decir: 

19  3  5  4  19  5 4 

14  2  5  4  14  5 4

B

Ambos tienen un resto de 4.

Ejemplo:

15

5 3

15

5

Donde 15 es el múltiplo y 5 es el divisor.

Divisor 5

c) 13

c)234432

1.3. DIVISOR.- Sea A un número entero y B un número entero positivo, se dice que “B es divisor de A” cuando A contiene B un número exacto de veces. Nota: - B es divisor de A - A es múltiplo de B - B es divisible entre B - B es factor de A Ejemplo: -24 6 0 -4 2. MULTIPLICIDAD DE NÚMEROS Se dice que un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B cuando el valor de A es igual al valor de B multiplicado por un número entero K. Es decir

A,K

29.

b) 11

a)6

1.2. MÚLTIPLO.- Sea A un número entero y B un número entero positivo, se dice que “A es múltiplo de B ” cuando al dividir A entre B se obtiene un cociente K entero y un resto cero(0). 0

a) 10

e) 31

1.1. CONCEPTO.- La divisibilidad es la parte de la teoría de números que estudia las condiciones que deben reunir los números para ser divisible por otro.

A

̅̅̅̅̅̅̅ = 2 𝑎𝑏 ̅̅̅ ̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑐𝑑 Hallar: a+b+c+d

27. El número telefónico de Rosita es número capicúa de seis cifras. Si la primera cifra se multiplica por 11, al resultado se añade la segunda cifra; luego el nuevo resultado se multiplica por 11 y finalmente al resultado añadimos la tercera cifra, obtenemos 985. ¿Cuál es el número telefónico de Rosita? a)816618 b)789987 d)890098 e)245542

Si

e) 13

26. Un número consta de dos dígitos cuya suma es 11. Si se intercambian sus cifras resulta un número que excede en 5 al triple del número primitivo. Hallar dicho número. a) 29

28.

Está 15 contenido

Contiene múltiplo

5.

DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON k

 n r   n r k , k      k

 n r   n r k , k     





, k par

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 25 k

 n r   n r k , k     

c.



h.

, k impar

Ejemplo: Hallar el resto de dividir 337543 entre 7.



 abcdefgh 9 Cuando 

Solución: 337 se puede expresar como

48  7  1 que resulta de

........  a  b  c  d  e  f  g  h  9 

dividir 337 entre 7 y da como cociente 48 y como resto 1. 



j.

 r 1 6. REGLAS DE DIVISIBILIDAD Para saber si un número es divisible por otros o para descomponerlo en factores primos existen criterios de divisibilidad, que son reglas sencillas a utilizar para resolver este tipo de ejercicios. Éstas son: Divisibilidad por 2. Un número es divisible por 2, cuando de dicho número su última cifra es par o cero.





( h  f  d  b)  ( g  e  c  a )  0 ó 11 k.







 (3a  ..)  ...  13



Divisibilidad por 4. Un número es divisible por 4, cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un número divisible por 4 o también si el doble de la penúltima más la última cifras es múltiplo de 4. 



ó 2c  d  4

l.



Divisibilidad por 5. Un número es divisible por 5, cuando de dicho número su última cifra es 5 o cero.

m. Divisibilidad por 33. Un número es divisible por 33 cuando la suma de los bloques separados de dos cifras de derecha a izquierda es múltiplo de 33.



 abcd  5 Cuando d : 0 ú 5 .



Divisibilidad por 6. Un número es divisible por 6, es divisible por 2 y por 3 a la vez. 



abcd  6 Cuando d par y a  b  c  d  3 f.

Divisibilidad por 7. Un número es divisible por 7 cuando al multiplicar el número cifra por cifra de derecha a izquierda con los factores 1;3;2; -1; -3; -2; 1; 3; 2;… esto es:

abcdef  33 ef  cd  ab  33 . n.

Divisibilidad por 45. Un número es divisible por 45 cuando se divisible por 5 y por 9 a la vez.

o.

Divisibilidad por 99. Un número es divisible por 99 cuando la suma de los bloques separados de dos cifras de derecha a izquierda es múltiplo de 99.





h  3g  2 f  e  3d  2c  b  3a  ....  7

abcdef  99

Divisibilidad por 8. Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un número divisible por ocho o también cuando la suma del cuádruplo de la antepenúltima cifra, doble de la penúltima cifra y la última cifra es múltiplo de 8. 



 abcd  8 Cuando bcd  000 ó bcd  8 

ó 4 b  2c  d  8 .

Cuando



 abcdefgh 7 Cuando

g.

Cuando

cd  00, 25, 50 ó 75

cd  4 .

e.

.

Divisibilidad por 25. Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 25.

 abcd  25

ó



d.

Cuando

h  (3 g  4 f  e )  (3d  4c  b)

abcd  3 cuando a  b  c  d  3

 abcd  4 Cuando cd  00

Divisibilidad por 13. Un número es divisible por 13 cuando al multiplicar el número cifra por cifra de derecha a izquierda con los factores1;-3;-4; -1; 3; 4; 1; -3; -4;… esto es:

 abcdefgh 13

Divisibilidad por 3. Un número es divisible por 3, cuando la suma de los valores absolutos de dicho número es múltiplo de tres. 

Divisibilidad por 11. Un número es divisible por 11 cuando la suma de los valores absolutos de las cifras que ocupan ordenes impares menos la suma de los valores absolutos de las cifras que ocupan ordenes pares es igual a cero o un número divisible por 11.

abcdefgh 11 Cuando

 abcd  2 Cuando d : 0,2,4 ú 8 .

c.

Divisibilidad por 10. Un número es divisible por 10 cuando acaba en cero.

abcdefg 0  10



337 543  7  1543  7  1

b.



135675  9  1  3  5  6  7  5  27  9

i.

337 543  48  7  1543  (7 1) 543

a.

Divisibilidad por 9. Un número es divisible por 9 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras que lo forman es múltiplo de 9.

p.



Cuando

Divisibilidad por 125. Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 125. 



 abcd  25 q.

ef  cd  ab  99 .

Cuando

bcd  000 , ó 125 .

Divisibilidad por 2n ó 5n. Un número es divisible por 2n ó 5n cuando sus últimas “n” cifras son ceros o

26 | C E P R U 2 0 1 5 forman un número respectivamente.

r.

múltiplo

de

2n

ó

5n

s.

Divisibilidad por 𝒏 + 𝟏 en base 𝒏. Un numeral en base 𝑛 será divisible por 𝑛 + 1 si y solamente si, la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de sus cifras de orden par es cero o múltiplo de 𝑛+1

Divisibilidad por 𝒏 − 𝟏 en base 𝒏 Un numeral en base 𝑛 será divisible por 𝑛 − 1 , si y solo si la suma de sus cifras resulte un múltiplo de 𝑛 − 1.

EJERCICIOS

1. En un colegio se matricularon 600 estudiantes. De los inscritos varones se ha podido observar que los 3/7 son alumnos de quinto año, los 4/9 alumnos de tercer año y los 2/5 alumnos de segundo año. ¿Cuántas mujeres se matricularon en el colegio? A) 238 B) 232 C) 236 D) 252 E) 285 2. En una reunión de dos países a la cual asistieron 500 personas, se observa que del primer país 1/5 son economistas, 1/8 son ingenieros y los 1/7 son contadores. ¿Cuántas personas son del segundo país? A) 220 B) 232 C) 186 D) 255 E) 185 3. En un aula se observa que de 50 alumnos la séptima parte de las mujeres son estudiosas, también se pudo observar que la onceava parte de los varones no son deportistas ¿Cuántas mujeres hay y cuantos son deportistas? A) 22 y 24 B) 21 y 25 C) 28 y 20 D) 14 y 22 E) 15 y 22 4. En una reunión de profesionales hay 131 personas, la mayor parte son varones. Si la octava parte de los varones son ingenieros y la séptima parte de las mujeres son economistas, ¿Cuántos varones no son ingenieros? A) 12 B) 21 C) 30 D) 84 E) 96 5. Una compañía editora, mandó empacar un lote de libros, si lo hacen de 5 en 5, de 6 en 6, ó de 8 en 8 siempre sobran 3.Por lo que deciden empaquetarlo de 9 en 9, así no sobra ninguno. Si el número de libros pasa de100 y no llega a 400. ¿Cuántos libros son? A) 215 B) 218 C) 251 D) 219 E) 243 6. A un acto teatral ingresaron 1370 personas entre jóvenes y niños. El total de mujeres que ingresaron es 3/11 de los jóvenes; la cantidad de personas que usan anteojos es igual a los 2/7 de la cantidad de los jóvenes, y 1/3 de los jóvenes llegaron tarde. ¿Cuántas mujeres llegaron tarde, si son 1/5 del total de jóvenes que llegaron tarde, además la cantidad de niños es menor que el número de mujeres? A) 67 D) 70

B) 57 E) 77

C) 76

7. Si a un número se le resta 1, resulta divisible por 2; si se le resta 2, resulta divisible por 3; si se le resta 3, resulta divisible por 4, y así sucesivamente. Por último si se le resta 9, resulta divisible por 10. ¿Cuál es el residuo de dividir éste número entre 2520? A) 2198 B) 2126 C) 2080 D) 2519 E) 2518 8. En un corral hay cierto número de gallinas que está comprendido entre 354 y 368.si las gallinas se agrupan de 2, 3, 4 ó 5 siempre sobra 1, pero si se acomodan en

grupos de 7 sobran 4. ¿Cuántas gallinas hay en corral si se añaden 2 más? A) 327 B) 363 C) 331 D) 367 E) 376 9. En un aula forman grupos de cinco alumnos para realizar un evento, faltando un alumno; pero si forman grupos de seis alumnos no sobran ni faltan alumnos. Halle la cantidad de alumnos del aula, si es mayor de 30 pero menor que 60. A) 28 B) 54 C) 66 D) 52 E) 64 10. Un pastor cuenta sus ovejas de 7 en 7, de 8 en 8 y de 4 en 4 y sobran respectivamente en cada caso 6, 7 y 3 ovejas. ¿cuál es el menor número de ovejas que cumplen tal condición? A) 57 B) 55 C) 56 D) 54 E) 75 11. Si a un número se le divide entre 11, se obtiene 7 de residuo y cuando se le divide entre 10, se obtiene 5 de residuo. ¿Cuál es el residuo de dividir el número entre 110? A) 97 B) 95 C) 96 D) 94 E) 98 12. Un libro tiene 930 páginas. Una persona rompe una hoja el primer día, dos hojas el segundo día, tres hojas el tercer día, y así sucesivamente. ¿Qué caerá cuando rompa la ultima hoja si la primera la rompió un día martes? A) Lunes B) Martes C) Viernes D) Miercoles E) Jueves

154

13. Hallar el residuo de dividir: 155 A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

14. El resto que resulta al dividir A) 2

B) 5

C) 6

A) 1

B) 5

16. Al dividir el número

E) 5

38602 entre 9 es:

D) 3

15. Calcular el resto de dividir

8

E) 4

5 471 entre 13.

C) 8

D)10

(2401)125  2

E) 12

entre 7, su residuo

es: A) 2 17. Si

B) 0

C) 4 D) 5

N = 47880 x 33770 x 22650

E) 6 y r es el residuo de

dividir N entre 9. Hallar 3r A) 12 B) 10

C) 14 D) 15

E) 13

18. Cuando P se divide entre d se obtiene de residuo 18 y cuando Q se divide entre d se obtiene de residuo 4

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 27 sabiendo que d divide a 72.Hallar el residuo de dividir Pn * Qn entre d. A) 3 D) 4

B) 2

29. Sabiendo que el numeral

abcd es múltiplo de 15 y cd

= 4 ab +6, hallar: a+b+c+d

C) 0 E) 1

A) 8

0

0

19. Un número es 19  6 y otro número es 19  5 . Si el primero se divide entre el segundo. ¿Cuál puede ser el mínimo valor positivo del cociente si la división es exacta?

B) 10

C) 12

D) 18

E) 15

30. Al dividir un número formado por 26 cifras p seguida de 26 cifras 4 entre 7, el resto fue 5. Hallar p. A) 2

B) 3 C) 4

D) 5

E) 6

31. Si el número de cinco dígitos ab1ba, donde a>b, es A) 2 D) 5

B) 8 E) 6

C) 3

divisible entre 11, calcular el valor de (a-b).

20. ¿Cuántos valores toma, “m”, para que se cumpla la 0

3m 4m  3 ?

igualdad A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

21. La suma de los “n” primeros múltiplos de 5, mayores que 80, es 1075. Calcular “n”. A) 25 D) 10

B) 20 E) 12

B) 1

C) 3

D) 6

E) 7

32. Un alumno del CEPRU perdió su carné y no se acordaba su código, pero recordó que era de cuatro cifras divisibles por 5, 9 y 11. Además la primera y última cifra eran iguales. ¿Cuál era el código de dicho alumno?, dar como respuesta la suma de sus tres últimas cifras. A) 13

B) 15 C) 10

D) 12 E) 16

C) 15 33. La diferencia de

22. Entre 261 y 7214. ¿Cuántos números terminados en 8 son divisibles por 7? A) 95 D) 92

A) 5

B) 90 E) 99

enteros

C) 98

A) 11 B) 9

aba y bab siempre será divisible por:

C) 13 D) 6

E) 8

34. Calcular el menor número de tres cifras mayor que 800 al cual si se le resta su complemento aritmético sea un 0

17 7 .

23. Hallar el valor de la cifra “x” si el número

2 x 6 x8

A) 810 D) 801

es divisible entre 13

A) 2 D) 6

B) 3 E) 8

8xyx5y es divisible entre 88, dar el valor

numérico de x · y A) 5 D) 3

B) 2 E) 8

25. Calcular “a”, si A) 0 D) 4

C) 9

B) 3

C) 23 D) 32

E) 30

36. ¿Cuántos números del 1 al 180 son múltiplos de 3 y 4 pero no de 7? A) 12 B) 10 C) 11 D) 9 E) 13 37. Sabiendo que el número de la forma

0

11aa  7

B) 1 E) 5

C) 732

35. ¿Cuántos números de 3 cifras al ser divididas entre 4 y 7 dejan como restos 2 y 5 respectivamente?

C) 4

A) 5 24. Si el número

B) 723 E) 817

4p23q45 es

divisible por 99¿Cuál será el residuo de dividir dicho número entre 7? A) 2 B) 9 C) 4 D) 3 E) 5

C) 2

26. Sabiendo que:

38. ¿Cuántos números de 3 cifras son divisibles por 2 y 3 a la vez, pero no por 5? 0

a0(a  1)(a  1)  19

A) 110 D) 124

Hallar “a” A) 7

B) 1

C) 2 D) 4

39. Si

E) 5

0

27. Sabiendo que: A) 8

B) 1

28. Sabiendo

que

B) 10

D) 11

E) 9

0

abc = 8 , bca = 5 y

determine a*b*c. A) 8

E) 5 0

C) 16

C) 120

0

xy6yz  1375 entonces xyz es divisible entre:

A) 15 B) 16 C) 17 D) 31 E) 19 40. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 8 pero no son múltiplos de 5?

2x78 = 17 Hallar “x” C) 2 D) 4

B) 115 E) 150

0

ab = 17 ,

A) 97 D) 96

B) 91 E) 95

C) 90

41. Hallar el número de la forma:

x(x  1)(x  2)(x - 1)x A) 67856 D) 34523

B) 78967 E) 23412

0

Si es

11 9

C) 56745

28 | C E P R U 2 0 1 5 42. ¿Cuántos números de 4 cifras terminados en 3 son divisibles por 13? A) 88 D) 71

B) 98 E) 69

A) 8 D) 7

A) 22 D) 25 0

0

0

E ( 6  2)  ( 6  4)  ( 6  6)  .....  ( 6  40) 0

0

A)

6 1

D)

6 3

B)

6 2

E)

6

0

44. Si :

C) 9

47. ¿Cuántos numerales de la siguiente sucesión 275*1, 275*2, 275*3,…, 275*100 son divisibles entre 200?

C) 70

43. Simplificar: 0

B) 1 E) 5

E = 23k+1 + 26k+4 + 23 entre 7?

6 4

A) 6 D) 3

0

0

C) 15

48. ¿Cuál es el residuo que se obtiene al dividir

0

C)

B) 13 E) 12

B) 5 E) 2

C) 4

49. ¿Cuál es el residuo de dividir AxB entre 5?

a3ba3b...a3b = 36 calcule la suma de los valores

A = 4848....48

51 cifras

de ab

B = 8484....84

200 cifras

A) 2

B) 3

C) 4

300 cifras

D) 5

E) 6

A) 136 B) 133 C) 138 D) 134 E) 139 45. Hallar el número capicúa de 4 cifras múltiplo de 75. A) 5525 D) 5775

B) 5115 E) 1221

46. Si el CA de

C) 7557

aaaa es múltiplo de 7, determinar el valor

de “a”

Los números primos se estudian a partir de la clasificación de los números enteros positivos de acuerdo a la cantidad de divisores que poseen.

1.

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROSℤ+ DE ACUERDO A LA CANTIDAD DE DIVISORES QUE POSEEN:

2.-El menor número primo es el número 2. 3.-En la serie de los números primos todos son impares excepto el primero. 4.-La serie de los números primos es ilimitada. 5.-Los únicos consecutivos son 2 y 3. 6.-Si N es primo, se cumple: 0

ℤ+ = {𝟏 , 𝟐 , 𝟑 , 𝟒 , 𝟓 , 𝟔 , … . } DIVISORES: 1: 1

0

7.- Los números 2 y 3 son los únicos números consecutivos primos

3: 1; 3 4: 1; 2; 4

8.- Los números 3, 5 y 7 son los únicos impares consecutivos i PESI a la vez.

……………. NÚMEROS SIMPLES.- Números ℤ+ que tienen a lo máximo dos divisores. 1.1.1. LA UNIDAD(1).- Es el único numero ℤ+ que tiene un solo divisor y es el mismo. 1.1.2. NÚMEROS PRIMOS (PRIMOS ABSOLUTOS) Es aquel número que tiene como único divisores a la unidad y así mismo. Ejm. 2 , 3 , 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43…… Divisores de 17: 1; 17

1.2. NÚMEROS COMPUESTOS.- Es aquel número ℤ+ que tiene más de 2 divisores. Ejm: 4, 6, 8, 9, 10,……… Divisores de 12: 1, 2, 4, 6, 12 OBSERVACIONES 1.-El 1 no es primo ni compuesto porque tiene un sólo divisor.

0

𝑁 > 3 ⟹ 𝑁 = 6 1 ó 6 1

2: 1; 2

1.1.

0

𝑁 > 2 ⟹ 𝑁 = 4 1 ó 4 1

2.

NÚMEROS PESI (Primos relativos o coprimos)

Son cuando dos o más númerosℤ+, admiten un único divisor común que es la unidad

D8  8, 4, 2,1 D5  5,1

 Los.Nros : 8 y5

son PESI, pues tienen un divisor en

común a la unidad. 2.1 NÚMEROS PESI 2 a 2 Son aquellos números ℤ+ que al ser tomados de 2 en 2 resultan ser PESI

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 29 A  6  D6 : 6,3, 2,1

1º) Descomponemos N

B  25  D25 : 25,5,1

N  360

C  49  D49 : 49,7,1

N  23  32  5

OBSERVANDO: A ES PESI CON B A ES PESI CON C B ES PESI CON C

2º) Construimos la tabla:

20

21

22

23

1

1

2

4

8

3

3

6

12

24

9

9

18

36

72

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

5

5

10

20

40

(DESCOMPOSICIÓN CANONÍCA)

5

15

30

60

120

5

45

90

180

360

Por tanto los tres números son PESI 2 a 2

3.

Todo numero ℤ > 1, se puede descomponer como producto de sus factores primos elevados a exponentes enteros positivos (esta descomposición es única). +

NOTA De la tabla se tiene:

Consideremos la siguiente descomposición.

N  360

#𝐷360 = (#𝐹𝑖𝑙𝑎𝑠)𝑥(#𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠) =

= (6)𝑋(4) = 24

N  2 3 5 3

2

Siendo: 2,3 y 5 números primos  1

 1

1.3. Luego en general

 1

 a 1   b 1   c 1  SN    .  .   a 1   b 1   c 1 

S360

i) N  360  23  32  5

Con𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 divisores primos y 𝛼, 𝛽 𝑦 𝛾 son los exponentes enteros positivos.

1.1.

 a  b   c 

*Calcular:

N  a  b   c 

4.

Si N

SUMA DE DIVISORES DE UN NÚMERO N:

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NUMERO ENTERO POSITIVO CANTIDAD DE DIVISORES (1º FORMA)

 24  1   33  1   52  1  ii) S N    .  .   2 1   3 1   5 1  S360  1170  1  2  4  ...  90  180  360  NOTA SD(N) = SDcompuestos + SDsimples

# DN  # DS  # DC

SD(N) = SDcompuestos + SDprimos + 1

# DS  # DP  1

1.4.

SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE N:

# DN  # DP  # DC  1

S N1 

D12  12,6,4,3,2,1  # D12  6

i) N  360

Aplicando la formula se tiene:

DP : 3,2  # DP  2

1 *Hallar : S360

DC : 12,6,4  # DC  3

(2º FORMA): Si

1.5. 

N  a b c

ii) S360  1170 1 iii)S360 

1170 360

1 1 1   1 1 1 S360  3,325  1    ...     2 4 90 180 360  

# D12  2  3  1  6 

sN N

PRODUCTO DE LOS DIVISORES DE N:



*P360  ?

# DN  (  1)(  1)(  1)

PN  N

# DN 2

i)# D360  24

*Calcular : # D360

24

ii ) PN  360 2

N  360

P360  36012  1 2  4  ...  90 180  360 

i ) N  2 3  32  5 ii ) # DN  (3  1).(2  1).(1  1) # DN  (4).(3).(2)

1.6. CANTIDAD DE FORMAS DE EXPRESAR UN NÚMERO COMO EL PRODUCTO DE 2 FACTORES:

# D360  24 a ) FN  1.2.

TABLA DE LOS DIVISORES DE “N”

*Elaborar la tabla de divisores del Nro 360

# DN ; 2

# DN : PAR *F24  4

30 | C E P R U 2 0 1 5 # DN  1 ; 2

b) FN 

1.7. INDICADOR DE UN NÚMERO O FORMULA DE GAUSS

# DN : IMPAR

Indica la cantidad de números PESI con el número N; pero menores que N.

*F100  5

(N) = a ( - 1) (a - 1). b( - 1) (b - 1). c(  - 1) (c - 1) EJERCICIOS

1.

¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I.- Todo número primo mayor que 2 es

de la forma



4 1 . II.- El número uno es primo absoluto. III.- El número de divisores de un numero N, es la suma de los divisores simples más los divisores compuestos. IV.- Existe un numero primo que es par. V.- los números 13, 4, 12 son P.E.S.I 2 a 2. VI.- los divisores propios de un numero N, son todos los divisores de N menos él mismo. A) 6 2.

B) 5

E) 3

4. ¿Cuántos divisores de 39600 son divisibles por 3 pero no por 5 ? B) 13 E) 15

5. Determine el producto de los divisores múltiplos de 3 del número 180. A) 212.36.56 B) 210.36.56 C) 212.38.56 D) 26.36.56 E)N.A 6. ¿Cuántas veces debe multiplicarse a 18 por sí misma, para que el resultado tenga 63 divisores compuestos? A) 8 B)4 C) 5 D)6 E) 10 7. Calcular la suma de divisores de un número “N”, A) 4836 D) 3125

B) 2163 E) 2725

15. Cuantos divisores tiene 3600, tales que sean múltiplos de 3 pero no de 5

PN  2 .5 40

C)418

9.

C) 13

D)14

E)15

Determinar el valor de “n - 2”, si se sabe número:

P  5.3n

2184 A) 3

B) 6

10. Si el número A =

D) 5

42x3n

tiene tres

que el

E) 7

A)20

“ p ” divisores

¿Cuántos

12. ¿Cuántos ceros se debe poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 104 divisores compuestos? B) 3

C) 8

D) 9

B)4

C)8

D)10

E)16

ab(2a)(2b)

tiene 30

divisores. A)

6

B)4

C)8

D)9

E)7

A) 3

B) 6

C) 8 D) 12 E) 5

22. Si: 6𝑎 x 18𝑏 tiene 77 divisores hallar el producto de 𝑎 x 𝑏? B) 6

C) 8 D) 2 E) N.A.

23. sabiendo que un número es de la forma 16 x 24𝑏 y además tiene 84 divisores más que el número 1440. Dar el valor de “ 𝑏 “ B) 6

C) 8 D) 12 E) 20

24. Hallar el valor de “ 𝑝 ” si N = 198𝑝 si se sabe que tiene 130 divisores compuestos A) 10

B) 6

C) 15 D) 2 E) 8

25. El número N = 4𝑎−2 . 4𝑎 , tiene 29 divisores valor de “ 𝑎”.

A) p-1 B) 3p-1 C) 3p+1 D) 2p-1 E) 3p

A) 5

compuestos. Hallar “x+8” E) 12

20 Halla a+b, sabiendo que el número

A) 5

divisores menos que 900. Hallar dicho número y dar la suma de sus cifras. A) 15 B) 8 C)6 D) 9 E) 12

11. Si el número 16a tiene divisores tendrá 256a ?.

D) 13

19. Si 2m.32.5m+1 , tiene 60 divisores múltiplos de 10, Hallar el valor de “ 2m ” .

A) 13

tiene como suma de sus divisores a C) 4

B) 8 C)16

E) 15

21. ¿Cuántos divisores primos tiene el número 𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ si ̅̅̅ es un numero primo mayor que 37 ? 𝑥𝑦

dicho número e indicar como respuesta suma de sus cifras B) 9

D) 30

30

312  518 Hallar

A) 10

C)25

17. Hallar el valor de “ n ”, si el número es de la forma A = 2nx7, que tiene 48 números primos menores que A. A)12 B)5 C)4 D)10 E)13

8. Sabiendo que el producto de los divisores de un número es

B) 20

18. ¿Cuantos rectángulos diferentes de área 112 m2 se pueden determinar? A) 5 B) 7 C) 6 D) 8 E) 4

C) 20

sabiendo que su producto es :

A) 12 B) 7 C) 10 D) 9 E) 15 14. Hallar la suma de los divisores de 540 que sean múltiplos de 6 A) 140 B) 234 C)404 D) 103 E) 401

A) 10

¿Cuántos divisores impares tiene el número 3780? A) 16 B) 14 C) 8 D) 10 E) 12

además tiene tres

divisores más que el número 360

16. Si:13x+2 – 13x tiene 43 divisores

E) 244

A) 12 D) 16

N  9 10k y

es de la forma:

A) 10

¿Cuántos números primos son menores que 960 ?. A) 256 B) 221 C) 216 D) 208

3.

C) 4 D) 1

13. Calcular la suma de cifras del valor de N, sabiendo que

E) 10

A) 4

B) 1

C) 8 D) 2 E) 7

26. Si, 30𝑛 .15 tiene 291 divisores que no son hallar “ 𝑛”. A) 3

B) 5

hallar el

C) 1 D) 8 E) N.A

primos

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 31 27. Cuantos rectángulos existen cuya superficie es 36 m2 y sus lados están expresados en números enteros, en metros.

32. Determinar el valor de “ 𝑎 “ si N = 12𝑎 x 28 tiene 152 divisores compuestos. A) 13

A) 5 28.

B) 10

B) 5

C) 1 D) 12 E) 20

C) 18 D) 20 E) N.A 33. Si: A = 12x122x123x124x…..x12n, 18x182x183x184x…..x18n, tendrá el número N = AxB

Cuál es el menor número de términos que debe tener la siguiente serie, para que la suma tenga 6 divisores N = 91+91+91+91+. . . .

(3𝑛2 +3𝑛+2)2

A) 3

B) 6

A)

C) 8 D) 12 E) 7

A) 13

B) 10

B) 15

C)

(3𝑛+2)2 2

D)

E) N.A

2𝑛 + 2𝑛

34 ¿Cuantos números enteros existen que sean primos relativos con A = 104, menores que A? A) 1000 2005

C) 8 D) 7 E) 5

30. Hallar el menor múltiplo de 6, sabiendo que tiene 15 divisores menos que 1800. Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 13

B) (2𝑛2 + 2𝑛 + 2)2

4

2

29. Hallar el valor de “ 𝑏 “, para que el número de divisores de N = 30𝑏 , sea el doble del número de divisores de M = 15 x 18𝑏

y B= ¿Cuántos divisores

B) 1500

C) 1080

D)4000

E)

35. ¿Cuantas veces habrá que multiplicar por 8 al número 300 para que el producto tenga 123 divisores no primos?.

C) 18 D) 12 E) 25

A) 1

B) 6

C) 18 D) 10 E) 2

31. Calcular la cantidad de divisores de 14! , que sean impares mayores que 10. A) 212

1.

B) 65

C) 88 D)210 E)211

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

Nº

El MCD de dos o más números ℤ+ , es aquel número ℤ+ , que cumple las siguientes condiciones:  Es un divisor común de los números  Es el mayor de los divisores comunes Ejemplo: Calcular el MCD de 8, 12 y 20

DIVISORES

8

1 , 2 , 4 ,

12

1 , 2 , 3 ,

4 , 6

, 12

20

1 , 2 , 4 ,

5 , 10

, 20

 Los divisores comunes de 8, 12 y 20 son los divisores: 1; 2 y 4.  El MCD de ellos es el divisor 4.

8

20 15 MCD

5

4

3

4

1

1

PESI

OBSERVACIÓN: El Número de divisores comunes es igual al número de divisores del MCD.

3  MCD (20; 15) = 5

Los divisores del MCD (4) son 1; 2 y 4 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)

y

MCM (20; 15) = 5x4x3 = 60

2. POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

El MCM de dos o más números ℤ , es aquel número ℤ que cumple dos condiciones:

I)

 Debe ser un múltiplo común a los números  Debe ser el menor de estos múltiplos comunes

II) Para el MCM: “Se consideran los factores primos comunes y no comunes elevados a sus mayores exponentes”

Ejemplo: Calcular el MCM (4; 6)

3.

+

+

Para el MCD: “Se consideran los factores primos comunes elevados a sus menores exponentes”

DIVISIONES SUCESIVAS (ALGORITMO DE EUCLIDES)

𝟎 𝟒:

4,8, 𝟏𝟐, 16,20, 𝟐𝟒, 28,32, 𝟑𝟔, 40,44, 𝟒𝟖, …

D

d

𝟎 𝟔:

6, 𝟏𝟐, 18, 𝟐𝟒, 30, 𝟑𝟔, 42, 𝟒𝟖, 54, 𝟔𝟎, 66, …

R

q

 Los Múltiplos comunes son 12; 24; 36;...

 𝐷 = 𝑑𝑞 + 𝑟 q1 q2

⟸

Cociente

 El MCM de ellos es el múltiplo 12. OBSERVACIÓN: Los Múltiplos comunes son también múltiplos del MCM FORMA PRÁCTICAS PARA DETERMINAR EL MCD Y MCM. 1. DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA.

DIVIDENDO

D d

r1 MCD (D; d) = r1

0

r1

⟸ Divisor

⟸ Resto

32 | C E P R U 2 0 1 5 PROPIEDADES:



1. El MCD nunca es mayor que uno de los números.

𝐀 𝐁 𝐂

𝟏

𝐧 𝐧 𝐧

𝐧

MCD ( , , ) = × 𝐝

8. MCD(A; B; E; F) =MCD [A; MCD(B, E, F)]

2. El MCM nunca es menor que alguno de los números.

9. MCM (n A, n B, n C) = n[ MCM (A; B; C)]

o

3. Si: A  B  BK ( A  B)

A B C

1

n n n

n

10. MCM ( , , ) = × MCM(A, B, C)

⟹ MCD (A; B) = B y

11. Para Dos números A y B. Se cumple:

MCM (A, B) = A 4. Si A y B son PESI:

A

⟹ MCD (A; B) = 1

PESI p

MCM (A, B) = A x B

𝒅

= 𝒑;

𝑩 𝒅

= 𝒒;

𝑪 𝒅

MCD

q

5. Si MCD (A; B; C) = d 𝑨

B

 𝐴 = 𝑀𝐶𝐷 × 𝑝 y 𝐵 = 𝑀𝐶𝐷 × 𝑞

=𝒓

 𝑀𝐶𝑀 = 𝑀𝐶𝐷 × 𝑝 × 𝑞  𝐴 × 𝐵 = 𝑀𝐶𝑀 × 𝑀𝐶𝐷

A = p.d

B = q.d C = r.d o Donde A, B y C son d ⟹ p, q y r son PESI.

12. Dados los números: A = Na − 1

6. Si MCM (A; B; C) = m

B = Nb − 1

m m m  p ; q ;  r ⟹ p, q y r son PESI. A B C

C = Nc − 1 ⟹ MCD(A, B, C) = N MCD(a,b,c) − 1

7. Si MCD (A, B, C) = d

a c e

13. MCM ( ; ; ) =

Se cumple: 

MCD(b; d; f)

a c e

MCD(a; c; e)

b d f

MCM(b; d; f)

14. MCD ( ; ; ) =

MCD (An ; Bn ; Cn) = d n

MCM(a; c; e)

b d f

EJERCICIOS 1.

2. 3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Si el MCD(A;B;C)=120, ¿Cuántos divisores comunes tienen A, B y C? A)16. B)15 C)14 D)17 E)18 Calcular el MCD(840 ; 2520 ; 2100) A)419 B)420. C)418 D)421 E)422 Calcular el MCM(520;130) A)519 B)520. C)518 D)521 E)522 ¿Cuántos pares de números cumplen la condición de que su MCD sea 36 y su MCM sea 504? A)2. B)1 C)4 D)3 E)0 Calcule AxB si MCM(42A;6B)=8064 y MCD(77A;11B)=88. A)1519 B)1536. C)1518 D)1521 E)1522 Halle el MCD(119;68) por el método del Algoritmo de Euclides. A)16 B)15 C)14 D)17. E)18 Al calcular el MCD de dos números por el Algoritmo de Euclides se obtuvieron por cocientes sucesivos: 3;2;5y3. Halle el mayor de los números si su MCM es ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎3𝑛2𝑛. Dé la suma de cifras del resultado. A)16 B)15. C)14 D)17 E)18 Al hallar el MCD de dos números por el Algoritmo de Euclides, se obtuvo como cocientes sucesivos:1;2;1y3. Calcule dichos números si la diferencia de ellos es 48. A)180 y132. B)190 y145 C)195 y130 D)205 y140 E)210 y 131 La suma de dos números es 1200, al Hallar el MCD por el Algoritmo de Euclides se obtuvieron los siguientes cocientes:3, 3 y 2. ¿Cuál es el mayor de los números? A)950 B)920. C)280 D)940 E)930

10.

Se desea diseñar una caja cúbica de volumen mínimo para almacenar jabones cuyas dimensiones por los lados son 10cm, 12cm y 15 cm. Calcule cuántas de estas cajas se necesitarán para empaquetar un lote de 7200 jabones, si se desea que la caja contenga, la menor cantidad de jabones y no sobre espacio vacío

A)60. 11.

B)65

C)64

D)67

E)68

Si N es un número entero positivo, y 𝑁 4𝑁 3𝑁 𝑀𝐶𝑀 ( ; ; ) = 720 2

3

5

Hallar N. A)60. B)65 C)64 D)67 E)68 12. Halle la suma de las cifras, del expresada en la Base Binaria, si: 𝐴 = 333 … 3(4)

MCD(A,B)

20 cifras 𝐵 = 777 … 7(8) 20 cifras A)20. 13.

14.

15.

B)25

C)24

E)22

Calcule la suma de dos números PESI, tal que su diferencia es 7 y su MCM sea 330. A)30 B)37. C)34 D)31 E)32 Se sabe que A=12nx10 y B=10nx12, además A y B poseen 20 divisores comunes. Hallar n. A)2. B)1 C)4 D)3 E)0 Halle el valor de n en los números: N1=45x60n y N2=45nx60, si se sabe que el MCM de dichos números es 12 veces su MCD A)2.

16.

D)21

B)1

C)4

D)3

E)0

Al calcular el MCD de los números A y B, mediante el Algoritmo de Euclides: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎+3 𝐴 = (2𝑎)𝑏𝑏 ( ) 2

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑏 𝑏 𝐵 = ( ) 0 ( ) (2𝑎 − 2) 3

3

Se obtuvo por cocientes sucesivos 2;3;4;2y3 en ese orden. Determinar a2+b2 si la tercera división se hizo por exceso. A)70

B)88

C)77 D)99

E)90.

A R I T M É T I C A | 33 17.

El MCM de cuatro números consecutivos es 5460. Calcular la suma de los 4 números, si el menor de dichos números es múltiplo de 3. A)38 B)54. C)58 D)60 E)52

18.

Se sabe que la diferencia entre el MCM y el MCD de tres números es axbxc, donde: a,b y c forman una progresión aritmética creciente de razón 10 y en ese orden. Calcular el mayor valor de ellos, si se 𝑏 sabe que 𝐶11 = 78 y además la diferencia entre el mayor y el intermedio es 26, y del mayor con el menor es 65. A)90 B)65 C)105 D)93 E)91.

19.

20.

A)1350. B)1332. C)1380 D)1300 E)1360 ̅̅̅̅̅̅̅̅ ) = 120 25. Si se cumple: 𝑀𝐶𝑀( ̅̅̅ 𝑐𝑏,(2𝑎)0 ̅̅̅̅̅̅̅̅ ) = 𝑎2 ̅̅̅,(2𝑎)0 𝑀𝐶𝑀( 𝑐𝑏 Hallar a+b+c. A)6 26.

21.

Indicar el mayor de dichos números A)125. D)120

Hallar en qué cifra termina el MCM de los números: A=7862-1; B=71293-1 A)6 B)7 C)8 D)4. E)5

28.

Sabiendo que la suma del MCD y el MCM de dos números es 703. Hallar la suma de estos números. Si se sabe además que el MCD es el mayor posible y los números no son divisibles entre sí. A)327 B)409 C)407. D)410 E)411

29.

Tres corredores A;ByC parten juntos de un mismo punto de un círculo de 3600m de longitud, la velocidad de A, B y C es 75m/min., 50 m/min. Y 1 m/seg. Respectivamente. ¿Dentro de cuánto tiempo volverán a pasar juntos por la línea de partida? A)750 B)720. C)780 D)740 E)730

30.

Si: A-B=5 y el MCM(A,B)=150. Hallar A+B A)50 B)51 C)52 D)53 E)55.

Calcular k + 1. A)6 22.

B)4 C)8. D)9 E)7

Para dos números se sabe que la suma de su MCD y su MCM es 770 y diferencia de los mismos es 700. Hallar la suma de los dos números. Sabiendo que no son divisibles entre sí A)350. B)320 C)280 D)300 E)360

23.

Al multiplicarse dos números por un tercero se obtiene que su MCD es M1 y cuando se dividen por dicho tercer número, el MCD es M2. Hallar el MCD de dichos números. 𝑀1

A) √

𝑀2

D) 24.

𝑀1 𝑀2

B)

𝑀2 𝑀1

C) 𝑀1 𝑀2

E) √𝑀1 𝑀2 .

B)123 C)118 E)119.

27.

Si se cumple: 13𝐾 5𝐾 8𝐾 𝑀𝐶𝑀 [ ; ; ] = 520 7 14 7

Dados tres números: A,B y C, se cumple: MCD(A,B)=17;MCD(A,C)=17; MCD(B,C)=17;MCM(A,B,C)=1785 y A+B+C=255.

Se sabe que la diferencia entre el MCM y el MCD de tres números es 897, que la diferencia entre el mayor y el intermedio es 26 y que la diferencia entre el mayor y el menor es 65. Dar como respuesta la suma de dichos tres números A)184 B)183 C)182. D)179 E)176 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ y 𝑎𝑏𝑎 Se calcula el MCD de los números: 1𝑎6 mediante el Algoritmo de Euclides y se obtienen 4 cocientes iguales que suman 8. Si la penúltima división se realizó por exceso. Calcular a+b A)4 B)6 C)7 D)5. E)8

B)4 C)8 D)9 E)5.

Si: A = amx(a+1)2nxb7 B=(a+1)nxam+1x72 Si A y B tienen 20 divisores comunes, ¿Cuántos divisores impares tiene A, sabiendo que es mínimo? A)50

B)56. C)52 D)53

E)55

(𝑎 + 1)(𝑎 + 3)(𝑎 + 5) y el que resulta al El MCD de ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ invertir el orden de ello es 36. Hallar la suma de dichos números

Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud mediante las operaciones de sustracción o división, lo cual nos induce a señalar que se tiene dos clases de razón.

Valor de Razón Aritmética 24m/s – 20m/s

=

la razón 4m/s

Razón aritmética Es la que se obtiene mediante la sustracción y consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades de la otra. Ejemplo: Los automóviles A y B se desplazan con velocidades de 24 m/s y 20 m/s respectivamente, comparemos sus velocidades:

Antecedente Consecuente Interpretación: La velocidad del automóvil “A” excede en 4 m/s a la velocidad del automóvil “B” Razón Geométrica Es la que se obtiene mediante la división y consiste en determinar cuántas veces cada una de las cantidades contienen la unidad de referencia.

34 | C E P R U 2 0 1 5

Ejemplo: Los edificios M y N tienen una altura de 48 m y 36 m respectivamente, comparemos sus alturas (en ese orden): Razón Geométrica

[Suma de extremos] = [suma de medios] Dependiendo del valor que asumen los términos medios las proporciones aritméticas presentan dos tipos. 1.

 Antecedente 

48m

Consecuente 

36m

4 3

S/. 50 - S/.34 = S/.29 - S/ d

 Valor de la razón

cuarta diferencial luego: d = 13 NOTA Convencionalmente se asumen los términos de la proporción aritmética en el orden como se presenta en el texto

Interpretación: 

Las alturas de los edificios M y N son entre sí como 4 es a 3 porque:



Altura de M: 4(12m) Donde: 12m es la unidad de referencia.

 1er   2do   3er   4to              Tér min o   Tér min o   Tér min o   Tér min o 

Altura de N: 3(12m)  

Por cada 4 unidades de 48 m hay 3 unidades de 36 m  Las alturas de los edificios M y N están en la relación de 4 a 3 En general MAGNITUD

CANTIDADES

X

a yb RAZÓN

Aritmética

Geométrica

a–b=R

a K b

Términos a: antecedente b: consecuente R y K: valores de las razones NOTA: Cuando en el texto se mencione solamente razón o relación se debe entender que se hace referencia a la razón PROPORCIÓN Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase. Proporción aritmética Es aquel que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones aritméticas. Ejemplo: Se tiene cuatro artículos cuyos precios son: S/.15, S/.13, S/.9, S/.7. Los cuales se comparan mediante la sustracción del siguiente modo: S/.15–S/.13 = S/.2

Discreta. Cuando los valores de los términos medios son diferentes. Ejemplo: Halle la cuarta diferencial de los precios de tres artículos que son: S/. 50, S/.34 y S/.29

S/.15 - S/.13 = S/.9 - S/.7

S/. 9 –S/.7 = S/.2 Términos Médios Interpretación: El precio S/. 15 excede a precio de S/. 13 tanto como el de S/. 9 excede al de S/.7. Ejemplo: Forme una proporción aritmética con las edades de 4 alumnos y que son: 15 años, 17 años, 18 años y 14 años. T. Extremos i) 18 años - 15 años = 17 años - 14 años T. Medios Llevando los extremos y medios a un solo miembro de la igualdad se obtiene lo siguiente: Extremos Medios * 18 años+14 años = 17años+15 años 32 años = 32 años De donde podemos concluir que en toda proporción aritmética:

B. Continua. Cuando los valores de los términos medio son iguales. Ejemplo: Forme una proporción aritmética continua con los volúmenes de 4 recipientes y que son: 19 cm3, 15 cm3 y 11cm3. Ejercicios: 1. Calcule la media diferencial de las temperaturas 35º y 17º 2. Halle la tercera diferencial de los pesos 41 kg. y 35 kg. Resumiendo PROPORCIÓN ARITMÉTICA Discreta Continua Extremos Extremos a – b = b - c

a – b = c - d

Medios

Medios

b: media diferencial de a yc c: Tercera diferencial de ayb

d: Cuarta diferencial de a, b y c

Proporción geométrica Es aquel que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones geométricas. Ejemplo: Se tiene cuatro recipientes cuyas capacidades son: 21L 7L; 15L y 9L, las cuales se comparan mediante la división del siguiente modo:

21L  3 21L 15 L  21L y 5L 7L  7L 5L  7L y 15L 15 L 3 5L

.

Interpretación: La capacidad de 21L es a la capacidad de 7L como la de 15L es al de 5L. Ejemplo: Forme una proporción geométrica con las velocidades de 4 automóviles y que son: 15m/s; 20m/s; 9m/s y 12m/s. Resolución: 1.

15 m / s 9m / s 3   20 m / s 12 m / s 4

Extremo: 15 m/s y 12 m/s Medios: 20 m/s y 9m/s Valor de cada razón geométrica: 3

4 2.

20 m / s 12 m / s 4   15 m / s 9m / s 3

Extremo: 20 m/s y 9 m/s

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 35 Medios: 15 m/s y 12m/s Valor de cada razón geométrica:

4 3

* Llevando los términos medios y extremos a un solo miembro de la igualdad se obtiene lo siguiente Extremos Medios (15 m/s)(12 m/s) = (9m/s)(20 m/s) 180 =180 Extremos Medios (20 m/s)(9 m/s) = (12m/s)(15 m/s) 180 =180 De donde podemos concluir que en toda proporción geométrica:

Para razones geométricas equivalentes:

a1 a 2 a 3    b1 b 2 b3

a1  a 2  a 3  b1  b 2  b3 

* Dependiendo del valor que asumen los términos medios, las proporciones geométricas presentan dos tipos: A. Discreta. Cuando los valores de los términos medios son diferentes. Ejemplo: Formar una proporción geométrica discreta con las notas de 4 estudiantes y que son: 20; 16; 15 y 12 NOTA Convencionalmente se asumen los términos de la proporción en el orden como se presentan en el texto.

 No cambia 

II.- El producto de los antecedentes sobre el producto de los consecuentes hace variara la razón:

a1  a 2  a 3  b1  b 2  b3  n

n

 an     bn 

n

III) Serie de razones geométricas equivalentes continúas.

Ejemplo. Forme una proporción geométrica continua con las medidas de tres ángulos y que son: 12º, 18º y 27.



Ejercicios: 1. Halle la media proporcional de las obras realizadas por dos obreros y que fueron: 20m2 y 45m2. 2. Calcule la tercera proporcional de la longitud de dos pizarras y que son: 1,6m y 2,4m.

a b  k b c

se verifica:

a  ck 2

 b  ck

2

ck ck  k ck c

Resumiendo:

a b c d    k b c d e



a b  b c

d: Cuarta proporcional de a, b y c

n

producto de antecedentes  (razon) n producto de consecuentes

Continúa. Cuando los valores de los términos medios son iguales

a c  b d

 an  kn  bn

a  a  a  = 1    2    3    b1   b 2   b3   Si cambia 

Ejercicio: Calcule la cuarta proporcional de las estaturas de 3 estudiantes y que son: 1,6 m; 1,2m y 1,4m.

Discreta

 an k  bn

suma de antecedentes  razon suma de consecuentes

(1er.Tér min o) (3er.Tér min o)  (2da .Tér min o) (4to.Tér min o)

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Continua

 razon 

I.- La suma de los antecedentes sobre la suma de los consecuentes No hace variar la razón:

[Producto de Extremos]=[Producto de Medios]

B.

an k bn

Se verifica que:

b: Media proporcional de a y c. c: Tercera proporcional de a y b.

d  ek c  dk  ek 2

Propiedades de la Proporción Para la proporción:

b  ck  ek 3

a c se cumple:  b d

a  bk  ek 4 Remplazando tendremos:

B

x

ek 4 ek 3 ek 2 ek    k ek 3 ek 2 ek e

A

EJERCICIOS 1. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I)

En un proporción aritmética continua, se llama tercera proporcional a uno de sus términos extremos.

II)

Una proporción aritmética es discreta cuando los términos medios son iguales.

III)

Una proporción aritmética es continua cuando los cuatro términos de la proporción son diferente entre sí.

36 | C E P R U 2 0 1 5 IV) En una proporción discreta, se llama cuarta proporcional a cualquiera de sus términos. A) VFVF B) FVFV C) FFVV D) VFFV E) FFFF 2. En las siguientes proposiciones, escribir con (V) si es verdadera o con (F) si es falsa:

a c  b d

I) Dada la proposición geométrica

ac bd



a

A) 56

a 15. Si: b

B) 40

C) 60

D) 30

B) 8

C) 4

D) 2

16.

C) 42

D) 72

7.

B) 40

C) 90

D) 95

17.

B) 18

C) 36

D) 27

B) 40

C) 32

D) 16

B) 40

C) 32

D) 16

B) 30m

C) 50m D) 45m

B) 30

C) 27 D) 33

18.

E) 30

B) 4 y 16

D) 8 y 14

E) 2 y 8

E) 24

E) 56

E) 55 m

E) 37

C) 6 y 18

B) 36

C) 40

D) 45

E) 48

aa0K   K03

.

19.

B) 30

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

B) 52 y 36 E) 42 y 20

C)48 y 36

B) 30

C) 41

D) 26

E) 31

En una proporción aritmética continua los extremos están en la relación de 9 a 5. Si la diferencia de los cuadrados de los términos de la segunda razón es un número de tres cifras, que es el menor posible, hallar la media diferencial. A) 12

22.

E) 32

La edad de Noemí es a la edad de Carolina como 3 es a 2. Si la edad que tendría dentro de 28 años es una vez más la edad que tenía hace 10 años ¿Cuántos años tenía Noemí hace 7 años? A) 29

21.

D) 45

Al empezar la fiesta de cumpleaños de Juancito, se pudo observar que la asistencia de los varones con respecto a las mujeres era como 13 a 9. Después de 3 horas, en la fiesta se observa que llegan 8 varones y 4 mujeres. con lo cual la razón de varones a mujeres es de 3 a 2. ¿Cuántos varones y cuantas mujeres habían al inicio de la fiesta? A) 36 y 27 D) 45 y 32

20.

C) 42

En una reunión se observan que el número de varones y el de mujeres están en la relación de 7 a 9 respectivamente. ¿Cuántas parejas deben retirarse de la reunión para que por cada 15 mujeres haya 11 varones; si el número de mujeres que había al inicio excede en 28 al número de varones que hay al final? A) 10

E) 56

12. La suma, diferencia y producto de dos números están en la misma relación que los números 5, 3 y 16. Hallar los números. A) 6 y 12

D) 15

Si se cumple que:

A) 36

11. En una proporción geométrica continúa, el producto de sus cuatro términos es 1296 y uno de sus términos extremos es 3. Hallar la suma de los términos de la proporción A) 29

C) 20

m2  27  n2  147  p2  48

E) 100

10. Si Juan le da a Pedro 10m de ventaja para una carrera de 100 m; y Pedro le da a Carlos una ventaja de 20 m para una carrera de 180 m. ¿Cuántos metros de ventaja debe dar Juan a Carlos para una carrera de 200 m? A) 40m

B) 4

Halle:

9. Si la suma de los primeros términos de una proporción geométrica es 32, la suma de los segundos términos es 16 y la diferencia de sus consecuentes es 6; entonces la diferencias del número mayor y el menor , es: A) 48

E) 14

A B BC A C   9 11 10 y 3A + 2B – C = 240

además

E) 54

8. La suma de 2 números excede en 36 a su diferencia. Si el menor es respecto al mayor como 3 es a 8, el número mayor es: A) 48

D) 36

p2  32 m2  18 n2  98   K 3 7 4 ,

64 m n 8    m n 8 p , el valor de m + p es: Si: A) 9

C) 18

c e g   k d f h y además

A) 30

E) 5

6. Dos números don proporcionales a 2 y a 5 respectivamente. Si se suma 175 al primero y 115 al segundo, se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el número mayor? A) 80

B) 24

Halle: A + B – C

Por lo tanto, obtener el valor de A + B + C B)18

E) 100

Halle el valor de “k”

3 5 10   C. 5. Se conoce que A B C  1200 además: A B A) 36

D) 95

a + c + e + g = 88

E) 90

4. La suma, la diferencia el cociente de dos números enteros positivos están en la misma relación que 9,7 y 2. La cifra de las decenas del producto de dichos números es: A) 1

C) 90

E) FFV

3. Hallar la cuarta diferencial de 100 y la tercera diferencial de 120 y 90; y de la media proporcional de 100 y 49 A) 15



A) 9 D) FFF

B) 80

y ab + cd = 2500, halle el valor

a + c + f + h = 43

La secuencia correcta es: C) FVV

c d  12 6

b + d+ e + g = 67

III) En toda proporción geométrica, la suma de los antecedentes es a su diferencia, como la suma de los consecuentes es a su diferencia.

B) VVV



14. Si 8 es la cuarta proporcional de “a”; 6 y “b”; y “a” es la cuarta proporcional de “b”, 16 y 48. Hallar a + b

II) En toda proporción aritmética, el producto de sus extremos es igual al producto de sus medios

A) VFV

b

A) 75

, entonces

a c  b d



13. Si: 7 4 de: a + c

B) 14

C) 21

D) 28

E) 30

En una proporción geométrica discreta cuya razón es un número entero y positivo, el primer consecuente es igual al doble del segundo antecedente. Si la razón aritmética de los extremos es 136. Halle la suma de los antecedentes. A) 156

B) 168

C) 172

D) 180

E) 192

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 37 23.

La suma y el producto de los cuatro términos de una proporción continúa, son respectivamente 192 y 194481. Calcule la diferencia de los extremos. A) 75

24.

B) 86

C) 104

D) 144

de “C” es a la de “D” como 8 es a 9. Si cuando “B” nació, “D” tenía 27 años, ¿cuánto tenía “C” cuando “A” nació?

E) 156

A) 26

Dos personas A y B juegan a las cartas, inicialmente A tiene S/. 2 200 y B S/.4400. Después de jugar 20 partidas, la razón entre lo que tiene A y lo que tiene B es como 3 a 8. ¿Cuántas partidas ganó B, si en cada partida se gana o se pierde S/. 50? A) 8

25.

B) 12

C) 14

D) 16

A) 10

26.

B) 28

C) 20

D) 25

27.

B) 320

C) 240

D) 280

D) 32

E) 36

11  a 20  b 50  c    r3 11  a 20  b 50  c y

a  b  c  1  r6

Hallar el valor de r A) 8

B) 4

C) 2

D) 6

E) 10

29. Sea a, b, c y d números naturales tales que

a ac b    k, b d c II) d  c  39

k  N  {1; 2}

I)

E) 30

En una proporción geométrica continua el producto de los antecedentes es 400 y el producto de los consecuentes es 6 400. Hallar la suma de los 4 términos de la proporción. A) 250

C) 28

28. Sea r > 1 Si:

E) 18

Los términos de una proporción aritmética son proporcionales a 9;7; 10 y 8. Si al primero se le suma 10, al segundo se le resta 20, al tercero se suma 20 y al cuarto se le resta 20, se forma una proporción geométrica. Determine la razón de la proporción aritmética.

B) 24

Entonces el valor de “d – b ” es : A) 10

B) 28

C) 20

D) 25

E) 30

E) 260

La edad de “A” es a la de “B” como 2 es a 3; la edad de “B” es a la de “C” como 9 es a 20; la edad

(Recta) MAGNITUD:

(A1 , B1 )

Se llama magnitud a todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución); el cual se puede medir directa o inversamente. (A2 , B2 )

CANTIDAD: Es valor particular de una magnitud. Ejemplo: MAGNITUD

CANTIDAD

Longitud

2120 km.

Velocidad

30km/h

Peso

300 kg.

II) MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP) Dos magnitudes son I.P. si cuando uno de ellos aumenta o disminuye, entonces la otra magnitud disminuye o aumenta en la misma proporción.

I) MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP)

MAG.

Dos magnitudes son D.P. si cuando uno de ellos aumenta o disminuye, entonces la otra magnitud aumenta o disminuye en la misma proporción.

A

…

B

…

MAG.

VALORES CORRESPONDIENTES

A

…

B

…

CONDICION: A (D.P.) B ↔ Es decir:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA: A (DP) B

VALORES CORRESPONDIENTES

CONDICIÓN: A (I.P.) B

↔

Es decir:

A1  B1  A2  B2  k También:

; A=k 1

B

38 | C E P R U 2 0 1 5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA:

PARTES

DP

A (I.P.) B

•

(Rama de la hipérbola)

REPARTO SIMPLE INVERSO:

Es cuando el reparto se realiza en forma IP a los índices.

(A1 , B1 )

RECORDAR:

(A2 , B2 ) Ejemplo. Repartir 780 en 3 partes que sean IP a los números 6; 9 y 12 PROPIEDADES

PARTES IP

Sean las magnitudes A, B, C, D y E: 1.

A DP B

↔

B DP A

A IP B

↔

B IP A

2.

A IP B

↔

3.

A DP B

↔

4.

A IP B Si:

5.

Si:

A DP

DP

1 𝐵

↔

↔

k=

↔

MCM (6, 9 y 12) = 36;

•

REPARTO COMPUESTO

Es cuando el reparto se realiza a dos o más grupos de índices. REPARTO PROPORCIONAL: Es una aplicación de las magnitudes proporcionales, que consiste en dividir una cantidad en varias partes, las cuales deben ser DP o IP a ciertos valores llamados índices de reparto o indicadores.

Ejemplo Repartir 2 225 en 3 partes que sean DP a los números 3; 5 y 8 e IP a los números 4; 6 y 9 PARTES DP DP

1. REPARTO SIMPLE Es simple si el reparto, si el reparto se realiza en varias partes proporcionalmente a un grupo de indicadores. • REPARTO SIMPLE DIRECTO. Es cuando el reparto se realiza en forma DP a los indicadores. Ejemplo. Dividir 600 nuevos soles en tres partes que sean DP a 7, 4 y 9.

EJERCICIOS

1. Del gráfico mostrado, calcule

nk y

A .

(x,y)

A

18

9

n 12 A)2/3

O A)7

k 15 B)9

y C)12

30 35 D) 3

B 15 E) 4

2. El siguiente gráfico corresponde a la relación entre

magnitudes que intervienen en un fenómeno. Hallar b, si el área sombreada es 36 u2.

O b

B)1/2

2

C)2/5

B E)3/2

D)3/5

3. Si A varia proporcionalmente a B, al cuadrado de C e inversamente proporcional a D. Si cuando A = 8, B = 5 y C = 4 entonces D = 2. ¿Cuánto valdrá B cuando A = 2D y D = 4C? A)120

B)160

C)40

D)80

E)60

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 39 4. El siguiente cuadro muestra los valore s de las

magnitudes de A y B que guardan cierta relación de proporcionalidad. Calcular x + y. A

2

x

8

18

B

3

24

y

21

A)30

B)23

C)32

A–2 x 6

D)16

y

E)20

5. Sean A, B y C magnitudes. Se sabe que: A DP

20 30

O

C (B: cte.)

A IP B (C: cte.) Si cuando A aumenta en 60%, C aumenta en 44%, ¿Qué pasa con B?

A)12

60

A

8

m

n

B

22

32

62

B)24

C)28

D)30

B–2

E)32

12. Un grupo de amigos se van de campamento,

A) Disminuye en 75%

D) Aumenta en 75%

pero faltando 4 días para que se terminen los víveres 3 de ellos se regresan por lo que los víveres alcanzan para 3 días más. ¿Cuántas personas se quedan hasta el final del campamento?

E) No aumenta ni disminuye

A) 14

B) Aumenta en 25% C) Disminuye en 25%

B)12

C)18

D)16

E)20

13. El 6.

Se tiene 2 magnitudes A y B que son I.P. Cuando A aumenta 6 unidades, B varía en un 20%. ¿Cómo varía B, cuando A disminuye en 4 unidades?

A) 20%

7.

tiempo de vida de una maquina es directamente proporcional al cuadrado del número de mantenimientos anuales e inversamente proporcionales al número de horas anuales de trabajo. Si una máquina que trabaja 3600 horas anuales y tiene 3 mantenimientos anuales su tiempo de vida es 12 años, ¿Cuánto tiempo de vida tendrá una máquina que trabaja 4800 horas anuales y tiene 4 mantenimientos al año?

B) 30%

C) 25%

D) 40%

E) 15%

Sabiendo que: A es DP con B2 (C: es cte.)

A) 13

C es IP con A (B: es cte.) A

80

a

25

B

10

2

10

C

40

2

b

8.

B)192

C)152

D)112

3

B

A DP C cuando B es

9.

A)5000

B)5100

D)5200

E)5250

15. Si el precio de un diamante es DP al cuadrado

12

100

B

16

x

25

de su peso. ¿Cuánto se perdería si un diamante se rompe en 2 pedazos, siendo uno el triple del otro? Si el precio del diamante cuesta $32000.

C

y

3

5

A) $13 000

B) $12 000

D) $12 400

E) $13 600

B)75

C)85

D)83

E)90

A

2

16

54

250

B

60

30

20

b

Hallar b. B)

C)12

D)6

E)10

10. Si se cumple que:

de su peso. Si una esmeralda se parte en 2 pedazos, uno de los cuales tiene como peso 3/5 del otro, sufre una pérdida de S/. 24 000. ¿Cuánto costaba la esmeralda antes de romperse?

A)S/.50 000 D)S/.36 000

concatenados. Cuando funcionan 5 minutos, uno a dado 70 vueltas más que el otro. ¿Cuál es la velocidad del engranaje pequeño en R.P.M.?

A)35

Además: 6

1

y

B

2

27

8x

C

1

x

y

E)15

11. Del gráfico y de la siguiente tabla, determinar “m + n + x + y”

C)30

D)36,5

E)37,5

rueda B de 12 dientes, la cual está unida mediante un eje a la rueda C que tiene 18 dientes, esta última rueda engrana con la rueda D de 54 dientes. Si la rueda A da 120 r.p.m., ¿Cuántas vueltas da la rueda D en 15 minutos?

Calcular x+y, considere x  0 e y  0. D)12

B)40

18. Una rueda A de 24 dientes engrana con otra

A

C)10

B)S/.20 800 C)S/.15 000 E)S/.51 200

17. Dos engranajes de 8 y 15 dientes están

A IP C (B: cte.)

B)16

C) $11 600

16. El precio de una esmeralda es D.P. al cuadrado

A DP B (C: cte.)

A)18

C)5125

8

Se tiene el siguiente cuadro de valores:

A)13

E)17

A

Calcular: x+y A)80

D)16

L., pero se observa que tiene un huequito en la parte de atrás. Se sabe que con una velocidad de 40 km/h botaría 100 L. en 1h. Determinar cuántos litros habrá después de 5 horas de viaje si cada hora su velocidad aumenta en 10 km/h con respecto al anterior y partió con 50 km/h. se sabe además que si la velocidad es constante, el tiempo es DP al volumen y si el tiempo es constante, la velocidad es DP al volumen.

E)105

Sean las magnitudes A, B y C, siendo A IP cuando C es constante, constante.

C)15

14. Un camión cisterna tiene capacidad para 6000

Calcular: “a + b” A)172

B) 14

A)120

B)1200

19. Si se cumple:

C)2400

D)1500

E)150

40 | C E P R U 2 0 1 5 A DP B2 (B  20)

de dinero y de cómo respuesta la suma de sus cifras.

B (B  20)

A IP

A)12

Calcule A cuando B es 180; si A es 3 cuando B es 10. A)4

B)6

C)10

D)8

magnitudes A y B se ha descubierto que cuando 2

B . Si cuando B = 9,

cuando B  72, A es I.P. a A = 40. Hallar A cuando B = 216. (B = 72 es un punto de enlace o continuidad). C)80

D)180

E)200

los cuadrados de 1, 1/2 y 1/4. Hallar la menor de las cantidades. C)40

D)60

E)100

números 3/7, 1/3, 3/8 y 0,5. Dar como respuesta la diferencia entre el mayor y la menor de las partes. B)3260

C)3460

D)3560

E)3410

23. Se reparte una determinada cantidad de dinero

entre 4 personas. Lo que le toca al primero es a lo del segundo como 2 es a 3; lo del segundo es a lo del tercero como 4 es a 5 y lo del tercero a lo del último como 6 es a 7. Si el último recibió 5600 n.s. La cantidad repartida es:

A)19 000

B)19 400

D)16 800

E)20 000

C)19 600

518 y 520 ¿Cuánto le corresponde al menor? B)5

C)8

D)10

E)3

2 25. Repartir 540 en tres partes D.P. a 2a , 18 y 32 , siendo la suma de las dos últimas partes

420. Hallar el valor de “a”.

A)6

B)4

C)2.

D)3

E)5

26. Al repartir N en tres partes A, B y C de manera

que A es a B como 3 es a 4 y B es a C como 7 es a 3, se obtuvo como parte mayor 1400. Encuentre N.

A)2000 D)2300

B)6400

E)610

B) 21 C) 12

D) 24

E) 18

31. Se ha repartido una cantidad en partes

proporcionales a las edades de tres muchachos resultando uno con S/.450, otro con S/.540 y el tercero con S/.270. ¿Cuánto menos hubiera recibido el mayor si el reparto hubiese sido en forma inversa a sus edades?

A)S/.240

B)S/.230

D)S/.300

E)S/.250

C)S/.220

32. Repartir 42 entre A, B y C de modo que la parte de A sea el doble de la parte de B y la de C la suma de las partes de A y B. luego, el producto de las partes de A, B y C es:

A)2058

16 24. Repartir 1953 en partes D.P. a los números: 5 ,

A)6

D)720

números consecutivos decrecientes y a la vez I.P. a los números peor en orden creciente. Si la cantidad mayor obtenida es 9/19 de N. ¿Cuál es la suma de los 3 números consecutivos?

A) 15

22. Repartir 33000 en 4 partes que sean D.P. a los

A) 3360

E)144

30. N se divide en partes iguales que son D.P. a 3

21. Repartir 840 en partes que sean proporcionales a

B)30

D)120

partes obtenidas forman una progresión aritmética. Calcular la mayor parte obtenida si la parte correspondiente a “m” es 720, además “m+n” es 7.

A)960 B)420 C)620

REPARTO PROPORCIONAL

A)20

A) 64 B)81 C)100

29. Al repartir cierta cantidad D.P. a 2, m y n las

B  72 se cumple que A es D.P. a B , pero

B)320

D)18 E)20

inversamente proporcionales a las raíces cubicas de 54, 128 y 686. La parte menor es:

20. En un fenómeno donde intervienen las

A)20

C)16

28. El número 732 se divide en partes que son

E)12

3

B)14

B)980

C)686 D)1856

E)2158

33. Una herencia consta de dos partes que deben

repartirse proporcionalmente a las edades de tres hermanos. Se reparte la primera parte y se observa que a los dos mayores le corresponde S/300 y S/240 respectivamente. Se reparte la segunda parte a los dos menores, les corresponde S/360 y S/240. ¿A cuánto asciende la herencia total? (en soles).

A)1750

B)1650

D)1600

E)1800

C)1700

34. Dividir 5/6 en tres partes que sean DP a 1/2, 1/6, y 1/4 e IP a 1/5, 1/8 y 1/3. Hallar la parte mayor.

A)3/11 B)5/11 C)3/9 D)7/11 E)5/12

35. Cierta persona inicia un negocio después de 5

C)3050 E)3250

27. Tres personas deciden repartirse cierta cantidad

de dinero en forma directamente proporcional a sus edades 20, 25 y 30 años, pero luego cambian de opinión y hacen el reparto directamente proporcional a sus estaturas que son 1,2; 1,6 y 2 m. respectivamente, con lo cual el primero recibe 32 soles menos. Calcular dicha cantidad XXXXXXXXXXX

meses acepta un socio, el cual aporta 100 dólares menos que el primero, 3 meses después acepta un socio el cual invierte 500 dólares. Si el negocio duro un año al final del cual el primero y el segundo ganaron 180 y 70 dólares respectivamente. Calcular la ganancia del tercero.

A)100

B)9

C)8

D)11

E)12

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 41

La regla de tres es una aplicación de las magnitudes proporcionales, que consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de dos o más magnitudes proporcionales. De acuerdo a la cantidad de magnitudes que intervienen, la regla de tres puede ser simple o compuesta. 10.1 Regla de tres simple. La regla de tres es simple cuando intervienen solo dos magnitudes. La regla de tres simple puede ser a su vez directa o inversa. Regla de tres simple directa (R3SD). La regla de tres simple es directa cuando las dos magnitudes son directamente proporcionales (DP). Ejemplo: Si 40 obreros trabajan 100 metros de carretera por día, ¿cuántos metros por día harán 70 obreros? Solución: Analizando el problema se tiene: A más obreros se hará más metros de carretera A menos obreros se hará menos metros de carretera Entonces las magnitudes son D.P.: Luego aplicando método práctico (multiplicación en aspa) se tiene: 40 obreros 70 obreros

100 m

Es lodo lo realizado (la obra en sí) y los inconvenientes o condiciones que posee el medio para la realización, de la obra. Ejemplos: Las medidas de la obra (largo, ancho, alto, profundidad, área, volumen, etc.), dificultad de la obra, resistencia al medio, etc. En forma esquemática se tiene: Se igualan los productos de multiplicar valores que siguen a una misma raya. Ejemplo: Sabiendo que 20 obreros, trabajando 6 horas diarias pueden hacer una obra en 10 días; determinar en cuántos días 30 obreros, trabajando 8 horas diarias pueden hacer una obra cuya dificultad es dos veces la anterior. Solución: Sacamos los datos y los vamos separando en los grupos de causa, tiempo y efecto: Causa

Tiempo

Efecto

20 obr 6hr. 10días 30 obr. 8hr. “x” días

1obra 1 dific. 1obra 2 dific.

Según este método se multiplican los valores siguiendo cada raya y los igualamos así: 20 . 6 . 10 . 1 . 2 = 30 . 8 . x . 1 . 1 x = 10

x m

Regla de tres simple inversa (R3SI) La regla de tres es simple inversa, cuando las dos magnitudes son inversamente proporcionales (IP). Ejemplo: 45 obreros pueden hacer un edificio en 20 días; en cuánto tiempo harán 60 obreros la misma obra. Solución: Analizando el problema se tiene: A más obreros se terminará en menos tiempo A menos obreros se terminará en más tiempo Entonces las magnitudes son I.P. Luego aplicando método práctico (multiplicación en paralela) se tiene: 45 obreros

20 días

60 obreros

x días

10.2 Regla de tres compuesta Resulta de comparar más de dos magnitudes D.P. ó I.P. Método de las Rayas.- Las magnitudes que participan se clasifican en tres grupos: Se igualan los productos de multiplicar valores que siguen a una misma raya. NOTA: Para hallar la incógnita utilizando el “método de las rayas”, las magnitudes que intervienen son clasificadas en tres partes que son: • Causa Es todo aquello que realiza la obra o acción, así como las condiciones que tienen para realizarla. Ejemplos: Hombres, animales, máquinas, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc. • Circunstancia Son las condiciones en el tiempo para realizar la obra. Ejemplos: Horas diarias, días, meses, años, raciones diarias, etc. • Efecto

REGLA DE TANTO POR CIENTO El tanto por ciento de una cantidad es el número de partes que se toma de ella considerándola equivalente a 100.o Es una varias centésimas partes de una unidad PORCENTAJES Es la aplicación del tanto por ciento respecto a una cierta cantidad. NOTACIÓN 𝒂 “𝒂 por ciento de 𝑵 = . 𝑵 = 𝒂%𝑵” OBSERVACIONES

𝟏𝟎𝟎

a) 𝑵 = 𝟏𝟎𝟎%𝑵 b) 𝑵 + 𝒂%𝑵 = 𝟏𝟎𝟎%𝑵 + 𝒂%𝑵 c) 𝒂(𝒃%𝑵) = (𝒂 × 𝒃)%𝑵 𝒂 𝒃 4. 𝒂% del 𝒃% del 𝒄% de 𝑵= . .

𝒄

𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎

.𝑵

10.4 APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS Aumento sucesivo consiste en determinar el aumento único equivalente de varios aumentos sucesivos que se han aplicado a una determinada cantidad. Dados los aumentos sucesivos del a%, b%, c% de N

Descuento sucesivo consiste en determinar el descuento único equivalente a varios descuentos sucesivos que se han aplicado a una determinada cantidad. Dados los descuentos sucesivos de a%, b%, c% de N.

APLICACIONES COMERCIALES En la actividad comercial es usual expresar las ganancias, las pérdidas y los descuentos como tanto por ciento de los precios. Precio de venta (Pv) y Precio de costo (Pc) Todo producto que se transfiere comercialmente tiene un precio. Para el vendedor, se llama precio de venta y para el comprador, precio de costo. El vendedor, puede vender en un precio mayor al que le costó, entonces tiene una ganancia (G), de modo que: PV = P C + G

42 | C E P R U 2 0 1 5 El vendedor, puede vender en un precio menor al que le costó, entonces hay una pérdida (P). PV = PC – P Los compradores, sobre todo los minoristas y mayoristas, compran a los distribuidores con descuentos sobre el precio de lista o precio fijado (PL), que generalmente es el precio al público. Entonces:

Para los vendedores: PV = PL – descuento Para los compradores: PC = PL – descuento

EJERCICIOS

1. Si 12 obreros hacen una obra en 28 días en un 60% ¿Qué tiempo emplearan en hacer la misma obra? A) 10

B) 22

C) 20

D) 5

E) 26

2. Un regimiento debe tardar 5 días con marcha regular para llegar a su destino, pero en el momento de salir recibió la orden de que hiciese el recorrido en dos días menos, lo que obligo a aumentar la marcha diaria en 20km ¿De cuántos kilómetros fue el recorrido? A) 30 3.

B) 80

B) 45

C) 46

D) 44

E) 49

B) 13

C) 15

D) 23

E) 25

8 obreros pueden hacer una obra en 20 días después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros ¿Con cuántos días de atraso termino la obra? A)9

6.

E) 150

Un obrero recibe 50 soles por cada día que trabaja y 20 soles por cada día que no trabaja . si luego de 23 días recibe 910 soles ¿Cuántos días trabajo? A) 8

5.

D) 120

Una guarnición de 2200 hombres tienen provisiones para 62 días al terminar el día 23 se retiran 250 hombres ¿Cuánto tiempo podrán durar las provisiones que queda al resto de la guarnición? A) 40

4.

C) 100

B) 15

C) 20

D) 24

B) 94

C) 96

D) 97

B) 6.91

C) 8.91

D) 9.91

E) 5.91

8. Para pintar un cubo de 10 cm de arista se gasto 12 soles. ¿Cuánto se gastara para pintar otro cubo de 15 cm de arista? A) 20

B) 25

C) 27

D) 29

E) 26

9. La cantidad de granos de un maíz que entran en un balón esférico de 3 dm de diámetro es 120 ¿Cuántos granos entraran en un balón de 6 dm de diámetro? A) 920

B) 960

C) 970

D) 950

E) 900

B) 230

C) 231

D) 235

A)9

B)5

C)8

D) 10

E) 12

12. Se contratan 5 costureros que hacen 12 pantalones en 15 días, se pretenden tener 60 pantalones en 25 días ¿Cuántos costureros al igual de rápidos se deberán contratar además de los que ya están contratados? A)6

B)7

C) 9

D) 12

E) 10

B) 20

A) 101

D)5

E)6

C) 30

D) 40

E) 50

B) 103

C) 105

D) 104

E) 102

d) 12 albañiles y 14 peones se comprometen en hacer una obra en 30 días al cabo del quinto día se despiden a 4 albañiles y a 8 peones debido a que les dio 20 días mas de plazo para concluir la obra . hallar la relación de las eficiencias (albañil/peón). A)3/2

B)3/4

C)4/3

D)2/3

E)4/5

e) 80 obreros trabajan 8 horas diarias construyendo 480 una obra en 15 días ¿Cuantos días requieren 120 obreros, trabajando 10 horas diarias para hacer 960 de la misma obra? A) 12 f)

B) 14

C) 15

D) 13

E) 16

Si 6 leñadores pueden talar 8 árboles en 8 días ¿En cuántos días talaran 16 leñadores 16 árboles si estos últimos son ¼ menor rendidores que los anteriores? A) 4

B) 6

C) 8

D) 14

E) 16

g) Si un viajero aumenta su velocidad de marcha en 1/3 ¿Cuántos horas diarias habrá de caminar para recorrer en 4 días el camino hecho en 6 días de 8 horas de marcha cada día en su velocidad normal. A) 6

B)7

C)8

D)9

E)10

h) Un contratista debe terminar una obra en 30 días Si inicia la obra con 10obreros trabajando 6h/d transcurridos 20 días han realizado el 50% de la obra ¿Cuántos obreros adicionales se debe de aumentar, para que trabajando 8h/d se termine la obra en el tiempo previsto? A) 10 i)

B) 11

C) 8

D)5

E) 6

Quince albañiles trabajan 12 h/d , durante 16 días , pueden hacer una zanja de 4 m de largo , 2 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Si 12 albañiles durante 18 días pueden hacer una zanja de 3 m de largo , 1,5 metros de ancho y 2 m de profundidad, ¿Cuántas horas diarias deben trabajar?

E) 234

11. Un móvil va a una velocidad de 90 km/h emplea n horas para recorrer un trayecto , pero si aumenta su velocidad a 120 km/h empleara 2 horas menos , hallar n

C)4

c) Una cuadrilla de 40 obreros se compromete a construir en 24 días cierta hora, al cabo de 18 días ha hecho 5/11 de la obra ¿Cuántos obreros tendrán que reforzar la cuadrilla para terminar la obra en el tiempo fijado?

10. En una reunión a la que asistieron 378 personas se sabe que por cada 7 varones hay 11 mujeres ¿Cuántas mujeres hay en dicha reunión? A) 232

B)3

A) 10

E) 99

7. Despepitando 8250 kilogramos de mango se han obtenido 6750 kilogramos de pulpa ¿Cuál sería el importe que se tendría que gastar para obtener 9 kilogramos de pulpa si los mangos se compran a razón de 081 soles el kilogramo? A) 7.91

A)2

b) 15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 días, en ese momento abandonan el trabajo 5 obreros ¿Cuántos días tardaran en terminar el trabajo los obreros que quedan?

E) 25

Con 6 toneladas de guano se pueden abonar 27 terrenos de forma cuadrada de 4 metros de lado ¿Cuántos terrenos de la misma forma de 3 metros de lado se podrían abonar con 12 toneladas de guano A) 92

a) Dos secretarias copian 250 problemas en una semana ¿Cuántas secretarias serían necesarias para copiar 600 problemas en 4 días?

A)9 j)

B) 10

C)11

D) 12

E)13

Si 20 hombres pueden tumbar cierto número de muros o hacer 20 obras en 20 días y 12 hombres pueden tumbar 12 muros o hacer cierto número de obras en 12 días ¿Cuántas obras pueden hacer 10 hombres que tumban 15 muros? A) 9

B) 10

C) 15

D) 12

E) 16

k) Una agrupación de 1600 hombres tiene víveres para 10 días a razón de 3 rasiones diarias cada hombre. ¿Cuántos días duraran los víveres, si cada hombre toma 2 raciones diarias?

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 43 A) 10 l)

B) 20

C) 15

D) 16

E) 18

Se sabe que 30 albañiles trabajando 9h/d durante 18 días pueden construir 3 casas ¿Cuántos albañiles podrán construir 4 casas, trabajando a un ritmo de 8h/d durante 15 días? A) 50

B) 51

C) 52

D) 53

E) 54

m) 9 obreros se comprometen a realizar una obra en 24 días. si después del cuarto día legan 6 obreros mas ¿Cuántos días antes del plazo terminaron? A)5

B)8

C)6

D)9

E)4

TANTO POR CIENTO

b) 18

c) 15

d) 12

e) 30

2. El 80% del 175 por mil de N; ¿Qué porcentaje del 36% del 4 por 9 de N es? a) 27,5

b) 17,5

c) 82,5

d) 87,5

e) 90

3. ¿Qué porcentaje del doble del 60% de un número, es el 30% del 20% de los 2/5 del mismo número? a) 2 %

b) 10 %

c) 20 %

d) 24 %

e)15 %

4. Si en una reunión social, el 75% de los varones es igual al 45% de las mujeres. ¿Qué porcentaje del total de personas son mujeres? a) 37,5%

b) 62,5%

c) 36% d) 56,5%

e) 43,5%

5. En una reunión hay 100 personas de los cuales el 70% son mujeres. ¿Cuántas parejas deben llegar a la reunión para que el número de hombres sea el 60% de las mujeres? a) 40

b) 38

c) 36

d) 30

e) 42

6. En una población se determinó que el 35% son hombres y el 60% de las mujeres no fuman. ¿Qué porcentaje del total de personas son las mujeres que fuman? a) 23%

b) 20% c) 18% d) 26%

e) 30%

7. En una granja el 20% son patos, el 45% gallina y el resto conejos. Si el número de gallinas fuera el doble y el número de conejos fuera el cuádruplo, ¿Qué tanto por ciento del nuevo total serían los patos? a) 7%

b) 8%

c) 9% d) 10%

e) 15%

8. ¿Cuántos litros de agua se debe agregar a 80 litros de vino de modo que la cantidad de vino represente el 20% de la mezcla? a) 320

b) 80

c) 240

d) 160

e) 120

9. Ana lleva al mercado 4000 naranjas y encuentra que el 10% estaba malogrado y solo pudo vender el 60% de los buenos. ¿Cuántos quedaran sin vender? a) 1440

b) 1560

c) 2160 d) 1445

e) 1840

10. En la familia Rojas el 30% de los varones adultos es igual al 60% de las damas adultas, y el 15% de ellas es igual al 20% de los niños. ¿Qué porcentaje del total representan los niños? a) 20 %

b) 15 %

c) 30 %

d) 40 %

e) 25 %

11. ¿Cuál es el descuento equivalente a 3 descuentos sucesivos de 20%; 25%; y 30%? a) 55%

b) 52%

c) 60%

d) 58%

e) 59%

12. A qué descuento único equivale, los descuentos sucesivos del 10%, 20% y 50%? a) 60%

b) 65%

c) 64%

d) 70%

e) 62%

13. A qué aumento único equivalen los aumentos sucesivos del 20%, 40%, i 50%? a) 120%

b) 150%

c) 145% d) 152%

a) 75,6%

b) 125,4%

e) 162%

c) 25,4%

d) 225,4%

e) 35%

15. Del dinero que dispongo puedo comprar cierto número de lapiceros de tinta liquida y si este precio variase en 10% podría comprar 10 lapiceros mas. ¿Cuántos lapiceros podría comprar? a) 90

b) 100

c) 110

d) 80

e) 85

16. El número de artículos que se pueden comprar con una suma de dinero aumentaría en 5, si se variase en 20% el precio de cada artículo, ¿Cuál es dicho número de artículos? a) 16

1. El 9% de 45 es igual al 27% ¿de qué número? a) 24

14. Hallar un Aumento único que reemplace a 3 aumentos sucesivos del 5%, 10% y 20% respectivamente:

b) 20

c) 23

d) 17

e) 18

17. ¿En qué porcentaje varía el volumen de un cilindro cuando su altura se reduce en 25% y la longitud del radio de la base aumenta en 20%? a) Aumenta en 8% b) disminuye en 8% c) aumenta en 12% d) disminuye en 8% e) no varía 18. Si el 15% del área de un círculo es igual al 60% de la longitud de su circunferencia. Hallar el valor del radio. a) 10

b) 12

c) 8

d) 15

e) 16

19. En el estadio Garcilaso se ha disminuido 1/5 de su ancho y aumentado 1/5 de su largo. Si su área inicial era de 4000 m2, ¿cuántos metros cuadrados de su área ha variado? a) 400

b) 180

c) 160d) 200

e) 120 m2

20. Un artículo se vendió en S/.2080, ganando el 30%. ¿Cuál era su precio de costo? a) S/. 1500

b) S/. 1600

d) S/. 1700

e) S/. 1800

c) S/. 1650

21. Se vende un televisor por S/.6000 ganando el 20% del precio de venta más el 20% del precio de costo. Hallar el precio de costo del televisor. a) S/.1500 d)S/.4000

b) S/. 2000 e) S/.4500

c)

S/.3000

22. Un artículo se vende ganando el 24% de su costo; si el precio de venta fue S/. 744, hallar su costo. a) S/.650 S/.600

b) S/. 625 e) S/. 750

c) S/. 630

d)

23. Un artículo se vende perdiendo el 8% de su costo; si el precio de venta fue S/. 575, hallar su costo. a) S/.650 S/.700

b) S/. 625 e) S/. 750

c) S/. 630

d)

24. ¿Qué precio se fijó para la venta de un artículo, si luego de sufr4ir un descuento del 15%, se vendió en S/. 544? a) S/.640

b) S/. 645

d) S/.725

c) S/. 930

e) S/. 750

25. Se vende un artículo en 120 soles ganando el 25%. ¿Cuál fue el precio de costo? a) 80

b) 72

c) 96

d) 90

e) 150

26. ¿Cuál fue el precio fijado de un artículo que se vendió en 180 soles, habiéndose hecho un descuento del 20%? a) 225

b) 260

c) 240

d) 210

e) 200

27. Un artículo tiene un precio de costo de S/. 3300 ¿Cuál será el precio que debe fijarse para que, al venderlo con un descuento del 20%, se obtenga una ganancia del 25% sobre el precio de venta? a) 4400

b) 4500

d) 5500

e) 6000

c) 5000

44 | C E P R U 2 0 1 5

REGLA DE INTERÉS SIMPLE INTERÉS: Es la ganancia, beneficio, o utilidad que genera un capital prestado, durante un cierto periodo de tiempo y según una tasa fijada en porcentaje. CLASES DE INTERÉS INTERÉS SIMPLE: (El interés no se capitaliza) El interés no se acumula al capital en cada intervalo de tiempo, retirándose el interés tan pronto como se produce, permaneciendo el capital constante durante el tiempo de préstamo.

ELEMENTOS • El capital (C); Suma de dinero que su poseedor la impone o la presta a determinadas condiciones para obtener ganancia o rédito. • El interés (I); Ganancia o beneficio o utilidad que produce el capital prestado durante cierto tiempo a una tasa porcentual fijada. • La tasa de interés (r%); Es la ganancia que produce cada 100 unidades de capital (expresada en porcentaje). • El tiempo (t); Período que dura el préstamo, el cual puede estar en años, meses o días. • El monto (M); Es la suma del capital con el interés. M = C + I Observaciones: 1) En el comercio se considera: • 1 año = 360 días. • 1 año común = 365 días • 1 mes= 30 días 2) La tasa (r%) porcentual que interviene en la formula siempre debe ser anual, si no es así, se considera una tasa anual equivalente considerando que 1 año tiene: 2% mensual = 2%(12) anual = 24%anual 4% trimestres = 4%(4) anual = 16%anual 3%quincenal = 3%(24) anual = 72%anual 0.5% diarios = 0.5%(360) anual = 180%a 6% bianual = 6%. 1 anual = 3% anual

LETRA DE CAMBIO: Es un documento legalmente expedido donde una persona llamada deudora o aceptante se compromete a pagar una cierta cantidad de dinero a otra persona llamada acreedor o girador durante un plazo establecido y a una taza porcentual. b) VALOR NOMINAL ( Vn ) : Es la cantidad de dinero que está impresa en un efecto de comercio. c) VALOR ACTUAL ( VA ): Es la cantidad de dinero en efectivo que se paga o se hace efectivo un efecto de comercio, antes de la fecha de vencimiento.

d) DESCUENTO (D): Es la disminución que se hace al Valor nominal de un efecto de comercio, por haber sido cancelada antes de la fecha de vencimiento.

e) TIEMPO DE VENCIMIENTO (t): El tiempo se considera desde la fecha en que se negocia la letra a la fecha de vencimiento. CLASES DE DESCUENTOS: 1.- DESCUENTO COMERCIAL DC (Bancario abusivo o externo): Es el interés simple que genera el valor nominal durante el tiempo de vencimiento

DC =

Vn ×t×r VA ×t×r = 100 100-tr

2.- DESCUENTO RACIONAL Dr (Matemático o Interno): Es el interés simple que genera el valor actual durante el tiempo de vencimiento.

Dr =

VA ×t×r Vn ×t×r = 100 100+tr

PROPIEDADES: Se cumple con respecto a una misma letra a tasas y tiempos iguales 1)

5)

Dc - D r =

2)

6)

VA =

3)

7)

Vn =

Dc > D r

2

0.2%semanal= 0.2% 360 anual=10.3%a 7

INTERES COMPUESTO: (El interés se capitaliza) Es cuando el capital prestado se incrementa periódicamente con los intereses que produce, se dice entonces que los intereses se capitalizan.

M  Ci 1  r 

n

Donde: :

4)

Capital inicial

r : Tasa de interés

n : Nro. de periodos de capitalización

REGLA DEL DESCUENTO

a) EFECTO DE COMERCIO: Este documento tiene la función de representar una suma de dinero a través de: LETRA DE CAMBIO, PAGARE, VALE, GIRO, FACTURAS.

Vn×100 100+t×r

D c ×D r D c -D r

Dc Vn = Dr Var

NOTA: Ejemplo ilustrativo con fechas: ¿Cuantos días hay desde el 15 de Mayo al 13 de Agosto. 16 = 31 – 15

DESCUENTO: Es la rebaja que sufre el valor nominal de una letra de cambio, por ser hecha efectiva antes de la fecha de vencimiento. Matemáticamente el descuento es un interés simple. ELEMENTOS

Dr ×t×r 100

16 15

30 31

MAY

31 días 30

JUN

31 JUL

13 13 AGOS

Entonces: 16 + 30 +31 + 13 = 90 días

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 45 EJERCICIOS A) Una casa cuesta S/. 250 000 y se desvaloriza uniformemente en S/. 25 000 por año. Si una persona tiene S/. 125 000 y los deposita en una entidad financiera al 4%, ¿Al cabo de qué tiempo podrá comprarlo?

N) El interés que produce un capital de S/. 2400 depositado durante 2 meses y 10 días con una tasa de interés del 16% cuatrimestral, es:

A) 2 años y 2 meses B) 4 años y 3 meses C) 3 años y 4 meses D) 4 años y 2 meses E) 4 años y 4 meses B) Calcule el beneficio que se obtiene al colocar S/. 1 200 al 6,25% semestral durante 300 días.

O) Si un capital fue depositado durante 2 años y 6 meses y ha producido un interés igual a los 3/5 del monto. El porcentaje de interés impuesto, es:

A) 100

B) 120

C) 125

D) 110

E) 115

C) ¿Cuál es el capital que durante 260 días, prestado al 3% bimestral, genera un interés de S/. 156? A) 1 000

B) 1 530 C) 280

D) 1 320

E) 1 200

D) Se ha impuesto cierto capital durante 16 meses capitalizable cuatrimestralmente a una tasa de 5% mensual. Si se sabe que el interés generado en el segundo periodo, el interés en el cuarto periodo y el monto del segundo periodo suman S/. 101 280, halle el capital impuesto. A) 30 000

B) 36 000

D) 48 000

E) 50 000

C) 40 000

E) Un capital de S/. 2 648 se presta al 40% sobre el saldo deudor de cada trimestral. Si la deuda debe ser pagada con 3 cuotas trimestrales de igual valor, ¿Cuánto debe ser la cuota trimestral?

F)

A) 1 020,2

B) 1 024,8

D) 1 050,3

E) 1 060,2

C) 1 064,8

Una señora solicita un préstamo de S/. 2 000 a una institución financiera. Cada mes debe amortizar 100 soles del capital prestado, y además pagar un interés al inicio de cada mes del 1% sobre el saldo deudor. Determine el interés total. A) 210

B) 220 C) 225

D) 230

E) 235

G) Un comerciante depositó su capital al 7% anual y el monto que obtuvo fue S/. 6 470; pero si hubiese depositado al 3% trimestral el monto seria S/. 7 890. Halle la suma de cifras del capital. A) 14

B) 16

C) 18

D) 12

E) 20

H) Si un capital depositado al 30% de interés ha producido un interés que alcanza al 60% del valor del capital, durante cuantos meses estuvo depositado. A) 14 I)

B) 36

C) 10

D) 24

E) 12

Si los 5/7 de un capital colocado al 3%, producen anualmente 30 soles más que el resto colocado al 4%, entonces el valor del capital es: A) 5000

B) 3000

C) 4000

D) 2000

E) 2500

J) Un capital de 200 nuevos soles, prestado durante 9 meses a un interés simple, se convierte en 212 nuevos soles. La tasa de interés del préstamo, es: A) 4%

B) 9%

C) 8%

D) 5%

E) 6%

K) Se prestó un capital por 45 días y produjo un interés igual al 6% de dicho capital. La tasa semestral, fue: A) 24%

B) 36%

C) 20%

D) 48%

E) 12%

L) El monto que genera un capital en 10 meses es los 5/6 del monto que se obtendría en 15 meses. El porcentaje del capital que se gana en 6 meses, es: A) 20%

B) 50%

C) 80%

D) 40%

E) 45%

M) Hallar el capital en nuevos soles que colocado al 6% quincenal, genera en dos meses un monto de 9300 nuevos soles. A) 3500

B) 6500

C) 5500

D) 4500

E) 7500

A) 190

A) 50%

B) 224

C) 298

B) 70%

C) 10%

D) 746

D) 40%

E) 192

E) 60%

REGLA DE DESCUENTO 1. Si el valor actual y nominal de una letra de cambio están en la relación de 5 a 9, calcule el tiempo de descuento, sabiendo que se aplicó el descuento racional con una tasa del 20% cuatrimestral. A) 1 año y 6 meses B) 1 año y 2 meses C) 2 años D) 8 meses E) 1 año y 4 meses 2. Una letra pagadera dentro de 7 meses tiene un valor actual de S/. 1548. Si 5 meses después se cancela pagándose con S/. 1728, halle el valor nominal. A) 1 800

B) 1 872

D) 2 000

E) 2 120

C) 1 924

3. Faltando 2 meses para su vencimiento, el valor actual de una letra es S/. 42 000. Si 15 días después el descuento será S/. 94,5, calcule el valor nominal de la letra. A) 40 216

B) 41 212

D) 42 116

E) 42 126

C) 42 216

4. Lucero firma una letra de S/. 8 000 pagadera dentro de 18 meses, pero a los 10 meses la cancela. Se sabe que si la hubiera cancelado 2 meses antes ahorraría S/. 320 más que si la pagaba 2 meses después. Determine la cantidad de dinero que pagó Lucero por la letra. A) 4 780

B) 5 440

D) 7 200

E) 6 900

C) 6 500

5. Jenny ha firmado dos letras afectadas por la misma tasa de descuento, la primera de S/. 9 000 la que canceló cuando faltaban 73 días para su vencimiento, por lo que sólo pagó S/. 8 927. Determine en qué fecha vencía la segunda, si era de S/. 4 500 y al cancelarla el 17 de octubre le descontaron S/. 21. A) 17 de diciembre B) 3 de diciembre C) 28 de noviembre D) 25 de noviembre E) 15 de noviembre 6. Una letra es pagadera dentro de 1 año, si se le descuenta comercialmente al 10% semestral y en lugar de un descuento racional del 30%, se recibirían S/. 64 más. Calcule el valor nominal de dicha letra. A) 1 900 D) 1 940

B) 1 800

C) 2 080

E) 2 820

7. Halle el descuento comercial, para una letra de S/. 54 000 soles, el día que el descuento racional sea los 9/11 del descuento comercial. A) 12 000

B) 10 000

D) 8 000

E) 13 000

C) 11 000

8. Se tiene una letra que vence dentro de un año descontado racionalmente al 60%. La suma de sus valores actuales dentro de 7 y 9 meses e S/. 1 920. Calcule el valor nominal de la letra. A) 1 920

B) 1 720

D) 1 150

E) 9 560

C) 1 560

46 | C E P R U 2 0 1 5 9. Hoy se firma una letra por una deuda de S/. 200, considerándola a un interés simple de 30% con vencimiento en 8 meses. ¿Qué tasa de descuento se debe aplicar a dicho efecto de comercio para que al descontarla comercialmente dentro de 2 meses no exista pérdida de dinero? A) 25%

B) 36%

C) 48%

D) 80%

E) 35%

10. Los valores nominales de tres letras son proporcionales a 2, 3 y 5 y sus vencimientos, en meses, son tres enteros consecutivos crecientes respectivamente. El vencimiento común es “x” días después del vencimiento de la segunda letra, halle el valor de x. A) 6

B) 9

C) 10

D) 12

E) 15

11. Una letra de cambio se descuenta racionalmente cinco meses antes de la fecha de su vencimiento, a la tasa de interés simple de 52% anual. Si el descuento resulto 182 soles, el valor nominal de la letra es: A) 1834

B) 1001

D) 3420

E) 1022

C) 3401

12. Una letra de 24 000 soles vence dentro de 4 meses y 18 días y su tasa de descuento es de 48%. Si se paga dentro de 63 días, el monto a pagar por la letra, es: A) 20 500

B) 22 000

D) 21 960

E) 21 600

C) 22 500

SUMATORIA.- Se llama así a la representación abreviada de una suma.

Donde: xI representa a un número real i: contador que varía de 1 en 1. 1: índice inferior de la sumatoria n: índice superior de la sumatoria. ∑: Letra griega sigma y sirve para representar a una sumatoria. PROPIEDADES. 1. 2.

13. Calcular el valor nominal de una letra, que descontable en 4 meses al 5%, da una diferencia de 2 soles entre el descuento comercial y el descuento racional.

, k fijo o constante. ; k constante.

3. POBLACION.- Conjunto de personas, animales o cosas que tienen una característica común, la cual se desea estudiar. Hay poblaciones finitas e infinitas. Ejemplo: • Conjunto de empresas cuzqueñas. • Conjunto de estrellas en el universo. MUESTRA.- Es todo subconjunto de una población. DATO.- Es el resultado de medir una característica de un elemento de una población. También son los valores que asume una característica de naturaleza cualitativa o cuantitativa. ESTADÍSTICA DEFINICIÓN.- Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos, técnicas para recopilar, organizar( clasificar) presentar y analizar datos con la finalidad de describir o hacer conclusiones válidas o tomar decisiones, sobre alguna característica de una población. CLASES DE ESTADÍSTICA.

A) 6830

B) 8340

D) 1080

E) 1440

C) 7320

14. Con respecto al Descuento Comercial y Racional identificar las proposiciones Verdaderas (V) y Falsas (F). I)

La cantidad de dinero que aparece escrita en una letra de cambio se llama valor actual. ( )

II)

Si una tasa de descuento semestral es 5%, entonces la tasa equivalente anual es 10%. ( )

III: El descuento comercial siempre es menor que el descuento racional. ( ) A) FVF

B) VFF

C) VVF

D) FFF

E) VVV

15. Una letra de cambio de S/. 6 000 se cancela 3 meses antes del vencimiento. Si el descuento que se le hizo fue del 5% semestral, entonces se pagara en efectivo la suma de: A) 4850

B) 5800

C) 6150

D) 5450

E) 5850

16. La diferencia entre el descuento comercial y el descuento racional de una letra de cabio, descontable por 4 meses al 5% anual es 2, el valor nominal de dicha letra de cambio, es: A) 8120

B) 7200

C) 7320

D) 7230

E) 694

1.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.- Conjunto de métodos estadísticos que resume, describe datos mediante tablas, gráficas y operaciones matemáticas. 2.- ESTADÍSTICA INFERENCIAL.- En base a una muestra se encarga de deducir resultados o probar hipótesis sobre una población. VARIABLES ESTADÍSTICAS.- Es una característica común en una población, puede tomar diferentes valores cualitativos o cuantitativos. NOTACIÓN: X, Y etc. VARIABLE CUALITATIVAS. NOMINALES.- No tienen un orden definido. Ejemplo: • Color de ojos de las quillabambinas. ORDINALES.- Cuando existe un orden determinado. Ejemplo: • Grado de instrucción de los que trabajan en Electro Sur. VARIABLES CUANTITATIVAS.- Se expresan en forma numérica su valor. DISCRETA.- Surgen por el proceso de conteo; son números enteros. Ejemplo: • Número de hijos por familia. CONTINUAS.- Cuando la variable asume un valor dentro de un intervalo real. Ejemplo: • Estatura de las personas. • Edades de las personas. • Salarios de las personas. TABULACIÓN DE DATOS DISCRETOS. Ejemplo.- Los siguientes datos se refieren a una encuesta realizada a 10 estudiantes sobre el número de celulares que poseen. 0 2 1 1 3 1 1 2 1 2 a) Agrupar estos datos en una tabla de frecuencias. b) Grafique el pastel. c) Trace el diagrama de barras y de líneas. Solución MARCA DE CLASE.- Son los distintos valores que asume la variable.

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 47 X1 Xmin = 0; X2 = 1; X3 = 2; X4 = Xmax = 3 FRECUENCIA ABSOLUTA.- fi Es el número de veces que se repite una determinada marca de clase. FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA.F1 = f1; F2 = f1 + f2; F3 = f1 + f2 + f3; etc. f FRECUENCIA RELATIVA: hi = i n FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA. H1 = h1; H2 = h1 + h2; H3 = h1 + h2 + h3; etc. FRECUENCIA RELATIVA PORCENTUAL hI x 100% FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PORCENTUAL. HI X 100 Xi fi Fi hi Hi C 0 1 1 0.1 0.1 36 1 5 6 0.5 0.6 180 2 3 9 0.3 0.9 108 3 1 10 0.1 1 36 PROPIEDADES. 1.- 0≤ hi ≤ 1; 0≤ fi ≤ n;

f1 = F1;

La varianza poblacional (σ2) La desviación estándar poblacional (σ) La mediana poblacional La moda poblacional. ESTADÍSTICOS O ESTADÍGRAFOS.- Es una medida que describe una característica de una muestra, mediante un valor numérico. La toma de decisiones contiene un grado de incertidumbre: • La media muestral( X ) • La varianza muestral(S2) • La desviación estándar muestral(S) • La mediana muestra y la moda muestral. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.- Son valores que de manera condensada representan en un solo valor a un conjunto de datos, lo describen. Las más usuales son: • La Media aritmética. • La Mediana • La Moda. LA MEDIA ARITMÉTICA.Para datos no agrupados:

Fk = n.

REPRESENTACION DE DATOS CUALITATIVOS y DISCRETOS. DIAGRAMA DE BARRAS Y GRAFICO DE LINEAS-

; media poblacional

; media muestral.

Gráfico de líneas

Y para datos agrupados en tablas:

; Xi es la marca de clase. MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA.La media aritmética de los valores x1, x2 , … , xk ponderada por los pesos w1 , w2 , … , wk está dado por:

Xi: número de celulares perdidos. Fi : número de personas. DIAGRAMA CIRCULAR.

NOTA: El diagrama circular solo sirve para 3, 4, 5 ó 6 marcas de clases o categorías. REPRESENTACIÓN DE DATOS CUANTITATIVOS. TABLAS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS. Cuando existen muchas marcas de clase o los datos asumen varios valores distintos; entonces conviene agruparlos en intervalos de clase. [Li - Ls > [ 10 , 14 > [ 14 , 18 > [ 18 , 22 >

xi 12 16 20

fi 20 40 30

Fi 20 60 90

HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS.

40 30 Polígono de frecuencias 20

PARÁMETRO.Es una medida que describe una característica de una población, mediante un valor numérico y su cálculo requiere utilizar la población completa, por tanto las decisiones se tomarán con certidumbre total. Los más utilizados son: La media poblacional (µ)

LA MEDIANA.- De un conjunto de datos ordenados creciente o decrecientemente, es el dato que ocupa la posición central; supera al 50% de los datos y es superado por el otro 50%. CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS.• Se ordena en forma creciente o decreciente. • Si el número de datos es impar, la mediana será el dato central.

•

Si el número de datos es par, la mediana será la semisuma de los dos datos que se encuentren en el centro.

PARA DATOS CLASIFICADOS. En tablas sin intervalos: • Hallar n / 2 • Hallar Fj, frecuencia acumulada inmediato superior a n/2 • Se tendrá: Fi–1 ≤ n/2 < Fj–1

y j-1 +y j

•

Si : Fi–1 = n/2,

Me=

•

Si

Me = Yj

Fi–1 < n/2 ,

2

En tablas con intervalos, se aplica la fórmula:

48 | C E P R U 2 0 1 5 Li : Límite inferior de la clase mediana. w: Amplitud de clase. n: número de datos. Fi : frecuencia absoluta acumulada, inmediato superior a n/2 ó frecuencia absoluta acumulada de la clase mediana. Fi-1 : Frecuencia absoluta acumulada anterior a Fi.

N: tamaño de la población.

; varianza muestral. n: tamaño muestral (para datos sueltos o no agrupados).

Primero determine n/2 y luego Fi (inmediato superior a n/2).

PARA DATOS CLASIFICADOS EN TABLAS.-

LA MODA.- Es el dato que más veces se repite. La moda puede no existir (amodal), a veces hay dos modas (bimodal) o más (multimodal).

Xi : Marca de clase de la clase i - ésima. : Media aritmética muestral. fi : frecuencia absoluta de la clase i-ésima. k: número de clases o marcas de clase.

CÁLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS.

Primero determinar la frecuencia absoluta de mayor valor fj Li: Límite inferior de la clase modal. w: Amplitud de la clase modal. f i : Frecuencia absoluta de mayor valor. f i-1 : Frecuencia absoluta anterior a fi f i+1 : Frecuencia absoluta posterior a fi ∆1 = f i – f i-1 ∆2 = f i – f i+1 MEDIDAS DE DISPERSIÓN.- Son estadísticos o estadígrafos que miden el grado de dispersión o variabilidad de los datos respecto a un promedio. Estudiaremos solo la varianza y la desviación estándar. RANGO O RECORRIDO. R = XMÁX – X MIN LA VARIANZA.- Es una medida muy utilizada, mide el grado de dispersión. Existen dos clases. σ2 : varianza poblacional. S2 : varianza muestral.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR.Viene a ser a la raíz cuadrada de la varianza. Existe desviación estándar poblacional (σ) y desviación estándar muestral (S). DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA. Es cuando su gráfico es simétrico. La media, mediana y moda coinciden; también cuando su primera frecuencia absoluta es igual a la última frecuencia absoluta etc. PRINCIPIO DE UNIFORMIDAD.- En la mitad de todo intervalo de clase se encuentra aproximadamente la mitad de los datos que hay en dicho intervalo y así sucesivamente. NOTA: En estadística por lo general se trabaja con muestras. La media mediana, moda y desviación estándar, se encuentran en las mismas unidades de los datos. La varianza en unidades de los datos elevado al cuadrado.

; varianza poblacional EJERCICIOS 1.

Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes variables estadísticas: I.

“Nivel socioeconómico” Es una variable estadística cuantitativa

II.

“Número de hijos” Es una variable estadística cualitativa.

III. A)

“Peso de una persona” Es una variable estadística cuantitativa continua. VVV

B) FFF

C)FFV

D) FVF

E) FVV

- La marca de clase es el punto medio de cada intervalo de clase - Las medidas de dispersión miden el grado de separación de los datos con respecto a un valor central. - La varianza para datos tabulados se puede expresar

como:

2. En las siguientes proposiciones indicar (V) si es verdadero y (F) si es falso I.

El nivel de colesterol de los pacientes del hospital Lorena es una variable cualitativa ordinal

II.

El número de accidentes de tránsito en la ciudad de Cusco es una variable cuantitativa discreta.

III.

El grado de instrucción de los padres de familia del CEPREU, es una variable cualitativa nominal

IV. La religión de los ciudadanos del cusco es una variable cualitativa ordinal A)

VVFF

B)VVVV

C)FFVV

D) VFVF

E)FVFV

3. De las siguientes proposiciones: - La suma de las frecuencias absolutas simples es igual a 1. - En datos agrupados, la moda es la mayor frecuencia absoluta. - La moda no siempre existe y si existe no siempre es única. - En un diagrama de sectores 58% equivale a 205º - La moda y la mediana de los valores: 1,1,2,5,4,5,6,7,5,9,8,10,10,5 poseen el mismo valor.

 n Xi 1 n 2  2 i 0  S   Xi  n i 1  n  

     

2

- Una muestra es una parte de la población seleccionada con el fin de obtener una información de la población de la cual proviene. ¿Cuántas son falsas? A) 5

B) 2

C)3

D)4

E)1

4. La estadística, se clasifica en: A) Estadística descriptiva y estadística informal. B) Estadística normal y estadística inferencial. C) Estadística uniforme y estadística inferencial. D) Estadística descriptiva y estadística inferencial. E) Estadística uniforme y estadística normal. 5. Se tiene el siguiente el conjunto de datos. 2 3 3 5 7 6 7 5 8 4 7 5 2 9 1 7 6 4 2 3 7 6 8 9 7 6 3 2 6 4 Hallar la mediana. A) 5 B) 6 C) 5,5 D) 7 E) 6,5

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 49 6. De las edades de cuatro hermanos, se sabe que la media es igual a 44años, la mediana es 42 años y la moda es 40 año. La edad del mayor de los hermanos es: A)

54 B) 48 C) 52 D) 46 E) 50

7. En el siguiente diagrama circular se muestran las preferencias por cuatro universidades de 5000 alumnos de Educación Secundaria.

Halle:

X + Me + Mo

A) 42

B) 10

C) 60

D) 70

E) 80

11. Los siguientes datos representan el número de hijos de una muestra de 50 personas. Calcule el promedio de la mediana y la moda:

¿En cuánto excede el total de alumnos que prefieren a la UNI y la UNSAAC, al número de alumnos que prefieren a la UNAC y UNMSM? A) 800

B) 900 C) 1000

D) 1200

E) 1500

8. Se preguntó a 500 ciudadanos, sobre la gestión del alcalde distrital, y sus respuestas se resumen en el siguiente diagrama de sectores circulares. Calcule el número de personas que opinan que la gestión del alcalde fue buena.

A) 4

B) 3

C) 2

D) 5

E) 1

12. Dada la siguiente distribución de frecuencias:

A) 75 B) 55 C) 65 D) 60 E) 70

Se sabe además que: h1 = h5 y h2 = h4 Determinar la suma de: “h5 + h2”

9. Se hizo una encuesta sobre el número de personas aficionadas a las matemáticas y se las clasifica por edades. luego se hizo el siguiente histograma. f 40 30 26 18 12 8

A) 13.

1 2

B)

1 3

C)

1 4

D)

1 5

E)

3 4

En el curso de matemáticas I; se tienen las notas de los alumnos distribuidas según el siguiente histograma de frecuencias: Alumnos 14 12 10 8 6

10 20 30 40 5 Edad Determinar el tamaño de la muestra. 60 70 A) 35 B) 60 C) 70 D) 134 E) 135

4 2

10. Del siguiente histograma de frecuencias con ancho de clase común: 4 6 8 10 12 14

NOTAS

La nota promedio del curso, es: A) 8,

3%

B) 8 ,6%

C) 8, 46

D) 9, 2% E) 9, 12 6 % 14. Si la siguiente distribución de frecuencias, representa el número de cursos en el que están matriculados 50 estudiantes de la Facultad de Medicina Humana de la UNSAAC.

50 | C E P R U 2 0 1 5 Halle el promedio, de la moda y la mediana del número de cursos. A) 4

B) 5

C) 3,7

D) 4,25

E) 4,5

15. De una tabla simétrica de distribución de frecuencias, se sabe que H 7 = 1;

x3 =18; f5 = 30; h3 = 3h6;

f1 = 3x2;

x6 =39; H1= 0,15. Determine F4 + F2 A) 180

B) 210 C) 190 D) 195 E) 205

16. En una empresa se realizó una encuesta sobre las edades de los empleados, obteniéndose. La varianza es: A) 2.93 B) 2.56 C) 1.64 D) 2.21 E) 3.15 20. En la siguiente tabla se muestra el gasto mensual de 50 familias en soles:

Donde A es el porcentaje de empleados con 30 años o más y B es el porcentaje de empleados con menos de 45 años. Encuentre: A + B A) 75%

B) 150%

C) 170%

D) 185%

E) 190%

17. El siguiente cuadro, muestra el tablero incompleto con la distribución de frecuencias de las notas de 100 alumnos ¿Cuántos alumnos sacaron un puntaje mayor a 35?

Determine el número de familias que gastan menos de 440 soles. A) 32

B) 36

C) 38

D) 40

E) 44

21. Dada la siguiente tabla del sueldo de los trabajadores de una empresa, cuya distribución de frecuencias es simétrica:

Determine el porcentaje de los trabajadores que reciben entre s/.485 y s/.600.

A) 43

B) 42

C)

41

D) 40

E) 12

18. De la siguiente tabla se sabe que el 35% del total son menores de 28 años. Si el ancho de clase es constante, ¿cuántos tienen por lo menos 24 años?

A)

254 B) 252 C) 250 D) 248 E) 244

19. En la siguiente tabla de ancho de clase constante e igual:

A) 40,25%

B) 68%

D) 75%

E) 39,5%

C) 72%

22. Dada la siguiente distribución de frecuencias en base al ingreso familiar de 450 familias:

Si el ancho de clase es constante, ¿Cuántas familias tienen un ingreso comprendido entre 300 y 380 soles? A) 230

B) 370

C) 210 D) 356

E) 289

23. Hallar el valor de “b – a” en la siguiente tabla de distribución de frecuencias:

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 51

Además se sabe que la media es igual a 51 puntos y el ancho de clase es común. A) 0,8

B) 0,05

C) 0,44

D) 0,36

E) 0,08

24. Las notas obtenidas por 5 alumnos en la asignatura de Aritmética son: 13

10

8

16

18

Hallar la varianza: A) 12,34

B) 15,4

A) 28,30 B) 29,68 C) 30,68 D) 31,53 E) 32,32 C) 15,3

D) 12,9

E) 13,6

25.- Las edades de 20 niños atendidos en el hospital regional del cusco fueron organizados como sigue:

La varianza es: A) 16.16 B) 16.15 C) 15.16 D) 16 E) 15 26.

Se tiene la tabla de distribución de frecuencia incompleta con amplitud constante:

29.- Dada la siguiente distribución simétrica de frecuencias, de tamaño de muestra 120.

Ii

xi

hi

fi

[40 ; 60

a

r

x

[60 ; 80

b

s

y

[80 ;100

c

0,30

z

[100;120

d

0,20

u

[120;140]

e

t

v

Total

Se pide calcular “e + r + y”

Hallar la mediana. A) 20,3 B) 22 C) 22,5 D) 27,2 27.

E) 23

De la siguiente distribución de frecuencias:

Calcular el valor de “a + 5” sabiendo que la moda es 44 y la amplitud es constante. A)9

B)6

C)7

D)8

E)5

28. Del diagrama calcule la suma de la media y la mediana.

A) 154,15

B) 134,15

D) 102,2

E) 101,1

C) 104,15

52 | C E P R U 2 0 1 5

EXPERIMENTO ALEATORIO (E).- Es cualquier experimento cuyo resultado no se puede predecir antes de realizar el experimento por que consta con más de un resultado posible. Ejemplos: E1: Lanzar una moneda normal sobre una superficie plana y observar la cara superior. Puede ocurrir cara o sello. E2: Lanzar un dado sobre una superficie plana y observar la parte superior. Puede ocurrir que aparezca uno de los siguientes números: 1, 2,3 4, 5, 6. E3: Extraer una bola de una urna que contiene bolas de diferentes colores. ESPACIO MUESTRAL (S o Ω).- Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. A su vez éste se comporta como el conjunto universal. Ejemplos: Para el experimento E1 su espacio muestral es: S1 = {C, S} Para el experimento E2 su espacio muestral es: S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. CLASIFICACIÓN DE LOS ESPACIOS MUESTRALES Por el número de elementos se clasifican en • DISCRETOS FINITOS: Numero finito de elementos • DISCRETOS INFINITOS: Número infinito de elementos numerables • CONTINUOS: Número infinito de elementos no numerables EVENTO O SUCESO. Es cualquier subconjunto de un determinado espacio muestral. Notación: A, B, C etc. OPERACIONES CON EVENTOS • UNIÓN. • AB={w/ wA  wB} El evento , describe el evento de “OCURRA POR LO MENOS UNO DE ELLOS” •

INTERSECCIÓN. A  B = {w / w  A



que

w  B}

A  B : Describe el evento de que “OCURRAN AMBOS A Y B” •

DIFERENCIA El evento A – B = A ∩ Bc, se describe el evento de que “OCURRA A Y NO OCURRA B”

ANÁLISIS COMBINATORIO. Es el estudio de las técnicas de conteo. FACTORIAL DE UN NÚMERO. El símbolo factoría ( ! ) denota el producto de números enteros positivos. 0! = 1, por definición. n! = n(n–1)(n – 2)(n–3)… x3x2x1. Si n ≥ 1. Ejemplo. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. PRINCIPIO DE ADICIÓN. Si un evento designado por A ocurre de n maneras diferentes y otro evento B ocurre de m maneras diferentes, entonces el proceso A o B (en sentido excluyente) ocurren de m + n formas diferentes. En el principio de adición, o bien ocurre un caso o bien ocurre el otro caso, más nunca pueden ocurrir simultáneamente.

El principio de adición sólo será aplicado para eventos mutuamente excluyentes, es decir aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN. Si un primer evento puede ocurrir de m formas diferentes y otro segundo evento puede ocurrir de n formas diferentes, entonces los dos eventos juntos pueden ocurrir de m.n formas diferentes. Este principio se puede extender para más de dos eventos, por ejemplo para tres eventos sería: m.n.r donde r es el número de formas diferentes de ocurrir un tercer evento. VARIACIONES. Son ordenaciones, arreglos, Interesa el orden. Quien ocupa el primer lugar, segundo etc.

Vkn =

n! (n-k)!

PERMUTACIONES Si n = k, entonces la variación se llama permutación, y se escribe. n n VARIACIONES CON REPETICIÓN.

P = n!

Vkn rep  n k COMBINACIONES. (No interesa el orden) En muchos casos interesa el número de formas de seleccionar (tomar, coger) r objetos de un total de n, que consta un conjunto, sin importar el orden. Estas selecciones se llaman combinaciones. El número de combinaciones de n elementos de un conjunto, todos distintos y tomados de r en r (r ≤ n) está dado por:

Ckn =

n! k! (n-k)!

Propiedades. 1.-

C0n  1

2.-

Cnn  1

3.-

C1n  n

4.-

n Cn-1 n

PROBABILIDADES. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD.Sea A un evento en el espacio muestral ( entonces:

P(A) =

),

casos a favor de A n(A)  n() total de casos

; 0 ≤ P(A) ≤ 1 Donde: n(A): Cardinal de A o casos a favor de A. n = Número total de casos o número de elementos de Ω. P(A): Probabilidad de que ocurra el evento A Los eventos son subconjuntos, por tanto se cumple la teoría de conjuntos, luego se habla de complemento de un evento, reunión de eventos, intersección de eventos. EVENTO IMPOSIBLE

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 53 Se llama así al evento ɸ (el conjunto vacío) el cual es subconjunto de todo evento. Su probabilidad es nula:

P( ) = 0

EVENTO SEGURO. Se llama así al espacio muestral Ω. Su probabilidad es uno. P(Ω) = 1. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES. Sean los eventos A y B en un espacio muestral S. Si no tienen elementos en común A  B = ɸ, quiere decir “NO PUEDEN OCURRIR AMBOS A LA VEZ”

Se comporta exactamente como un rompecabezas. TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL Sean

los

eventos

una

partición de un espacio muestral cualquier evento A en

; entonces para

, se cumple:

EVENTOS CONTRARIOS U OPUESTOS ó COMPLEMENTO DE UN EVENTO. Sea A un evento en un espacio muestral S. se denota por A o Ac al complemento del evento A, que viene a ser el evento contrario de A. P(Ac) = 1 - P(A) A U Ac = Ω;

A ∩ Ac = ɸ

A: Acontece el evento A; Ac: No acontece el evento A

Esta propiedad tiene su diagrama del árbol, que también vale para el teorema de Bayes que estudiaremos en seguida

LEY DE LA SUMA. P(A U A ) = P(A) + P(B) – P(A∩B); mutuamente excluyentes. P(A U A ) = P(A) + P(B); si excluyentes, es decir: A∩B = ɸ

Cuando A y B no son A y B

son mutuamente

PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad de ocurrencia de un evento A, dado que ha ocurrido el evento B, se denota por define como:

P(A/B) 

;

P( A B) P( B)

y se

P(B) ≠ 0

La probabilidad de que ocurra B dado que ha ocurrido A, es:

P(B/A) 

P( A B) ; P( A)

P(A) ≠ 0

TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES. Llamado también regla de la multiplicación o probabilidad de la intersección. Es una consecuencia de la definición de probabilidad condicional.

P(A

B) = P(B).P(A/B)

ó

P(A

B2

Bk = Ω

……. PARTICIÓN DE UN ESPACIO MUESTRAL Se dice que los eventos B1, B2, …, Bk representan una partición de un espacio muestral S, si se cumplen las siguientes condiciones: 1.- B1

B2

exhaustivos. 2.- Bi ∩ Bj = Ф;

…….



Bk = Ω;

P(Bi / A) 

 P(B ).P(A/B ) i

i=1

EVENTOS INDEPENDIENTES. Dos eventos A y B son independientes, si y sólo si P(A ∩ A ) = P(A). P(B) La independencia se refiere a que la ocurrencia de uno de ellos no está influenciada por la ocurrencia o no ocurrencia del otro suceso.

P(A/B)  P( A)

colectivamente

i ≠ j; i = 1, 2, …, k; j = 1, 2, … , k Ω

P(Bi ).P(A/Bi ) k

i

B) = P(A).P(B/A)

EVENTOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS. Los eventos B1, B2, …, Bk son colectivamente exhaustivos si: B1

TEOREMA DE BAYES Si los eventos constituyen una partición de un espacio muestral S; entonces para cualquier evento A en S, se cumple:

NOTA: Si A y B son independientes, entonces A y Bc; Ac y B; Ac y Bc también son independientes.

EJERCICIOS

EJERCICIOS DE ANALISIS COMBINATORIO 1. De las siguientes proposiciones:

- El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento deterministico. - El espacio muestral puede ser infinito discreto.

54 | C E P R U 2 0 1 5

2.

3.

4.

5.

6.

7.

- Un experimento aleatorio es un experimento no deterministico. - Se llama evento a cualquier subconjunto del experimento aleatorio. - El evento seguro es el mismo espacio muestral. - Los espacios muestrales se clasifican en discretos finitos y continuos infinitos. - Un evento compuesto es unión de eventos elementales. ¿Cuántas son verdaderas? A) 4 B) 2 C) 3 D) 0 E) 1 ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio que consiste en observar el resultado de lanzar un dado y una moneda a la vez? A) 12 B) 10 C) 6 D) 8 E) 4 Se tiene 4 letras: A, B, C y D. ¿Cuántos códigos pueden formarse con estas letras si cada código puede llevarse indistintamente, una, dos, tres o cuatro letras? A) 64 B) 4 C) 20 D) 12 E) 24 Un equipo de futbol tiene 8 dirigentes. De los cuales tres son varones y el resto mujeres. Con el fin de realizar una actividad, se forma un comité integrado por 4 dirigentes en el cual por lo menos uno de los integrantes debe ser varón. El número de comités que se puede formar, es: A) 60 B) 75 C) 35 D) 35 E) 65 Si en la universidad se ofrecen 10 cursos diferentes por la mañana, 7 por la tarde y 4 por la noche ¿Cuantas opciones diferentes tiene un estudiante de inscribirse en un solo curso? A) 12 B) 21 C) 20 D) 14 E) 11 Si Iván tiene 4 pantalones, 5 camisas y 3 pares de zapatos todos de diferentes colores. ¿De cuantas maneras diferentes se puede vestir? A) 19 B) 12 C) 23 D) 48 E) 60 ¿Cuál es el número de formas que una persona avance de A a C?

A

B

C

A) 3 B) 15 C) 18 D) 8 E) 11 8.

9.

La placa de una moto consta de una letra, seguida de un digito. Si solamente se considera las letras: X, Y, Z y los dígitos: 2, 4, 6, 8 ¿cuántas placas diferentes pueden grabarse? A) 12 B) 8 C) 10 D) 9 E) 7 Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares ¿de cuantas maneras puede hacerse? A) 2880 B) 2800 C) 2560

D) 2480 E) 2720 10. ¿Cuántos números de cuatro dígitos diferentes se pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en los cuales no se repitan ningún digito? A) 3012 B) 1024 C) 526 D) 3024 E) 2144 11. Tres urnas contienen fichas del 1 al 5. Se extrae una ficha al azar de cada urna y se forma un número de 3 dígitos. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? A) 110 B) 125 C) 120 D) 140 E) 100 12. Una empresa desea ascender a 3 de sus empleados de 10 empleados seleccionados a posiciones de presidente, vicepresidente y

gerente. El número de formas distintas de efectuar el ascenso, es: A) 540 B) 720 C) 950 D) 620 E) 480 13. De 5 físicos, 4 químicos y 3 matemáticos se tienen que escoger un comité de 6; de modo que se incluyan 3 físicos; 2 químicos y un matemático. De cuantas maneras puede hacerse esto. A) 180 B) 182 C) 190 D) 360 E) 200 14. De un grupo de 10 estudiantes se elegirá una junta directiva formada por un presidente, un secretario, un tesorero y un fiscal. El número de formas diferentes de elección, es: A) 34 B) 360 C) 2520 D) 720 E) 5040 15. Una chica tiene 10 amigos; desea invitar a una reunión solo a 3 de ellos. ¿De cuantas maneras puede invitar; si entre las 10 personas hay 2 matrimonios y cada pareja asisten juntos? A) 120 B) 20 C) 12 D) 32 E) 60 16. Un examen consta de 12 preguntas de las cuales un estudiante debe contestar 10. Si las 6 primeras preguntas debe contestar por lo menos 5 ¿Cuántas posibilidades de elegir 10 preguntas tiene el estudiante? A) 21 B) 15 C) 36 D) 51 E) 27 17. Un estudiante tiene 10 libros de matemáticas y otro estudiante tiene 8 libros de física. ¿de cuantas maneras pueden intercambiar dos libros de uno por dos del otro? A) 1260 B) 620 C) 549 D) 840 E) 1620 18. ¿De cuantas maneras diferentes, 2 americanos, 3 argentinos y 4 peruanos pueden sentarse en una fila de modo que los de la misma nacionalidad se sientan juntas? A) 1700 B) 1728 C) 688 D) 892 E) 867 19. La diferencia entre el número de variaciones de “m” objetos, tomados de 2 en 2 y el número de combinaciones de estos objetos, tomados, también de 2 en dos es 45, hallar “m”. A) 6 B) C) 9 D) 12 E) 10 20. En un grupo integrado por 5 médicos y 4 odontólogos, se desea seleccionar un grupo de 4 personas. ¿De cuantas maneras diferentes se podrán agrupar, si en cada grupo debe haber a lo mucho un odontólogo? A) 105 B) 160 C) 60 D) 45 E) 56 21. De un examen de matemáticas, un estudiante debe responder siete preguntas de las diez dadas ¿de cuantas formas diferentes debe seleccionar si el debe responder por lo menos, tres de la cinco primeras preguntas? A) 64 B) 55 C) 50 D) 114 E) 110 22. Un grupo de inversionistas está conformado por 7 mujeres y 4 hombres ¿De cuantas maneras diferentes se puede formar una expedición de 6 personas en la cual debe haber por lo menos 2 hombres? A) 320 B) 125 C) 729 D) 371 E) 900 23. Un palco de seis asientos de la tribuna del estadio Garcilaso es vendido a tres parejas de profesores de aritmética ¿De cuantas maneras diferentes podemos acomodarlos si cada pareja quiere estar junta? A) 12 B) 48 C) 10 D) 16 E) 8 24. Un grupo de inversionistas está conformado por 7 mujeres y 4 hombres ¿De cuantas maneras diferentes se puede formar una expedición de 6 personas en la cual debe haber por lo menos 2 hombres?

A S I G N A T U R A : A R I T M É T I C A | 55 A) 320

B) 125

C) 729

D) 371

E) 900

EJERCICIOS DE PROBABILIDADES 1. De las siguientes proposiciones: - La siguiente notación P(A/B) indica la probabilidad de que A ocurra dado que B va a ocurrir - Si 𝐴 ⊂ 𝐵 , entonces P(B/A)=1 - Si A y B son dos eventos tales que 𝐴 ⊂ 𝐵, entonces P(A) ≤ P(B) - La probabilidad de un evento puede ser negativo. - Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces 𝐏(𝐀 ∩ 𝐁) = ∅ - Un espacio muestral esta particionado en eventos, si los eventos son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. - Para todo evento A se verifica, ∅ ⊂ 𝐴 ⊂ 𝜴, entonces, P(∅) < 𝑃(𝐴) < P(Ω) ¿Cuántas son verdaderas? A) 4

B) 2

C) 3

D) 5

E) 1

2. Se lanza un dado y se observa el número obtenido. Calcular la probabilidad de obtener al menos 5 puntos. A) 2/3 B) 3/4 C) 5/8 D) 1/8 E) 2/6 3.

Al lanzar dos dados a la vez , la probabilidad de que la suma de los resultados no sea menor que 10, es: A) 6/52 B) 1/12 C) 11/12 D) 3/4 E) 1/6 4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras y 2 sellos al lanzar una moneda 4 veces? A) 1/8 B) 2/7 C) 3/8 D) 5/6 E) 5/8 5. Entre 5 hombres y 4 mujeres se tiene que formar un grupo de 3 miembros. Si la selección se realiza al azar, hallar la probabilidad de que dos de ellos sean hombres. A) 10/21 B) 5/18 C) 9/20 D) 3/4 E) 7/8 6. Se lanzan 3 monedas. Halle la probabilidad de obtener a lo más 2 caras. A) 2/3 B) 3/4 C) 5/8 D) 1/8 E) 7/8 7. Un club consiste de 150 miembros. Del total 3/5 son varones y 2/3 son profesionales además 1/3 de las mujeres no son profesionales. Si se elige al azar un socio del club. Calcular la probabilidad que no sea profesional A) 1/5 B) 1/2 C) 1/3 D) 0 E) 1/4 8. La probabilidad de aprobar matemáticas es 2/3, la probabilidad de aprobar física es 4/9. Si la probabilidad de aprobar por lo menos una de las materias es 4/5, ¿Cuál es la probabilidad de aprobar ambos cursos? A) 16/45 B) 14/45 C) 3/22 D) 14/45 E) 2/15 9.

De un mazo de cartas se extraen dos cartas ¿Cuál es la probabilidad de que las cartas sean espadas? A) 1/17 B) 1/16 C) 3/8 D) 4/11 E) 1/8

10. En una caja hay 8 bolas rojas y 6 bolas negras. Si se extrae una Bolita al azar; ¿Cuál es la probabilidad que la bola extraída sea negra? A) 2/5 B) 3/5 C) 3/7 D) 1/2 E) 2/7 11. La probabilidad de que un estudiante apruebe al curso de física es 2/3 y de que apruebe el curso de aritmética es 3/4. La probabilidad de que apruebe ambos cursos, es: A) 7/9 B)1/2 C)1/3 D) 3/10 E) 4/5

12. De una clase que está formada por 11 niños y 7 niñas; se escoge 4 estudiantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean niños? A) 11/50 B) 11/102 C) 11/40 D) 11/100 E) 11/60 13. En una urna se tiene 4 bolas de color rojo, 6 bolas de color verde y 8 bolas de color azul ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola al azar esta sea de color verde o azul? A) 7/9 B) 7/2 C) 7/5 D) 7/8 E) 7/10 14. Una pareja de novios al contraer matrimonio, planifica tener tres hijos. La probabilidad de que la familia de recién casados tenga por lo menos dos hijos varones, es: A) 1/4 B) 1/3 C) 1/5 D) 1/2 E) 1/8 15. De una baraja de 52 cartas se extraen al azar 5 cartas. Determinar la probabilidad de que tres de ellas sean negras y las otras no. A) 13/40 B) 1625/4998 C) 14/40 D) 25/60 E) 111/117 16. Sean A y B dos eventos de un espacio muestral Ω con P(A) = 1/4, P(B) = 2/3 y P(A ∩ B) = 1/6. Determinar: P(Ac ∩ B c ). A) 1/4 B) 1/2 C) 4/3

D) 2/3

E) 3/4

17. Cinco personas; A, B, C, D y E se sientan al azar en 5 sillas distribuidas en una fila. Calcular la probabilidad de que A y B se sienten juntas A) 3/5 B) 4/5 C) 2/5 D) 1/5 E) 1/3 18. La probabilidad que tiene un alumno de aprobar matemática es 2/3, la probabilidad que tiene el mismo alumno de aprobar física es 4/9. Si la probabilidad de este alumno de aprobar por lo menos uno de los cursos es 4/5 ¿Cuál es su probabilidad de aprobar ambos cursos? A) 3/4 B) 6/7 C) 7/15 D) 12/45 E) 14/45 19. Tres caballos A, B y C intervienen en una carrera. “A” tiene doble de posibilidad de ganar que “B”, pero la cuarta parte de posibilidad de “C” ¿Cuál es la posibilidad de ganar de “B”? A) 1/3 B) 1/7 C) 1/11 D) 2/3 E) 7/8 20. En un poblado de la provincia del cusco hay una epidemia. El 16% de los varones y el 9% de las mujeres están enfermos. El número de varones es el triple al de mujeres. Si se elige al azar un individuo de esa población. ¿Cuál es la probabilidad de que este enfermo? A) 0,2 B) 0,41 C) 0,5 D) 0,1425 E) 0,45 21. En una cierta población, la probabilidad de que una familia tenga televisor es 0,80; una lavadora 0,50 y de que tenga ambos es 0,45. ¿Cuál es la probabilidad de que una tenga televisor o lavadora? A) 0,05 B) 0,15 C) 0,85 D) 0,40 E) 0,80 22. Una urna contiene dos monedas de bronce y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro monedas de bronce y tres de cobre. Si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de bronce? A) 0,25 B) 0,285 C) 0,35 D) 0,485 E) 0,121 23. Un determinado club tiene un 75% de sus miembros que son mujeres y un 25% que son

56 | C E P R U 2 0 1 5 hombres. De este club tiene teléfono móvil un 25% de las mujeres y un 50% de los hombres. Calcular la probabilidad de que un miembro de este club elegido al azar entre los que tienen teléfono móvil sea hombre. A) 0,15 B) 0,2 C) 0,35 D) 0,4 E) 0,3 24.

Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. Si Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. A) 0,38 B) 0,038 C) 0,035 D) 0,04 E) 0,35

25. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? A) 0,155 B) 0,205 C) 0,405 D) 0,415 E) 0,305 MÁS SOBRE PROBABILIDADES 1. ¿Cuál es el valor de verdad de cada proposición? I).

( ) Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio

II).

( ) Suceso o evento: Es cualquier sub conjunto del espacio muestral.

III).

( ) Siendo P(A) la probabilidad de un acontecimiento entonces se cumple: 0 ≥ P (A) ≥1

A) VFF

B) FFF

C) VVV

D) VVF

E) FFV

Se puede afirmar: I). El número de elementos que tiene el espacio muestral respecto al sexo de ellos es 8 II). La probabilidad de que nazca un varón es 1/3 III). La probabilidad de que nazca un varón y dos mujeres es 3/8 A) Solo I

B) solo III C) I y II

D) II y III

E) I y III

A) 1/5 B) 1/2 C) 1/3 D) 0 E) 1/4 4. De una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una, sea un ocho o de figura negra? B)7/14

C) 7/11

D)7/10

E) 7/12

5. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar y un sello al lanzar un dado y una moneda simultáneamente? A) 1/4

B) 1/8

A)

C) 3/7

D) 8/17

1 2

E) 9/15

6. Tres tornillos y tres tuercas están en un caja si escogemos dos piezas al azar, hallar la probabilidad de sacar un tornillo y una tuerca

C) 3/7

D) 8/17

E) 9/15

B)

1 3

C)

1 4

D)

2 3

3 4

E)

8. De 100 pacientes examinados, 20 padecían de artritis, 32 padecían de gastritis y 8 tenían ambos males. Hallar la probabilidad de seleccionar un paciente que padezca de artritis o gastritis. a)

1 100

b)

1 4

c)

44 1 d) 100 5

e)

7 25

9. Al lanzar dos dados determinar la probabilidad que la suma de ambos dados no supere 10 A) 11/15

B) 11/17

D) 9/17

E) 7/15

C) 11/12

10. La probabilidad de que Juan ingrese a la UNSAAC es 0.7 que ingrese al UNSA es 0.4: si la probabilidad que no ingrese a ninguna es 0.12, hallar la probabilidad que ingrese a ambas a la vez. A) 0,42

B) 0,22

D) 0,48

E)0,58

C) 0,24

11. En una urna hay 6 bolas azules y 5 bolas rojas con igual probabilidad de ser extraídas. Se sacan 2 bolas una por una sin reposición. Cuál es la probabilidad de que una sea azul y la otra roja? A)

2 3

B)

5 6

C)

3 11

D)

1 2

E)

2 3

12. Se extraen dos cartas una a continuación de otra de una baraja de 52. Calcule la probabilidad de que ambas cartas sean reyes 1/221

B) 1/131

C) 1/129 D)1/120

E)1/25

13. En un experimento que consiste en seleccionar aleatoriamente una baraja en un mazo de 52 naipes los eventos rey espadas no son mutuamente excluyentes. La probabilidad de escoger un rey un naipe de espadas o un rey y un naipe con espadas a la vez, será: A) 4/13

B) 5/13

C) 7/12

D) 3/13

E) 5/13

14. De los docentes de nuestra institución un 15% tienen doctorado, 60% son licenciados y los otros magísteres. El 60% de los doctores, el 80% de los licenciados y el 40% de los magísteres son varones. Se elige al azar a un docente y resulta ser mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que sea doctor? A) 2/11

3. Un club consiste de 150 miembros. Del total 3/5 son varones y 2/3 son profesionales además 1/3 de las mujeres no son profesionales. Si se elige al azar un socio del club. Calcular la probabilidad que no sea profesional

B) 1/8

7. Si se lanza una moneda tres veces al aire, ¿Cuál e la probabilidad de obtener cara por lo menos dos veces?

B)

2. A cerca del futuro nacimiento de sus tres hijos (trillizos) de la señora Elizabeth

A) 7/13

A) 2/17

B) 2/24

C) 2/15

D) 3/17

E) 4/7

15. Tres máquinas A, B, y C producen el 45%, 30% y 25% respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. Si seleccionamos una pieza al azar. Calcule la probabilidad de que sea defectuosa. A) 0,030

B) 0,038

D)0,135

E) 0,050

C) 0,125

16. Un determinado club tiene un 75% de sus miembros que son mujeres y un 25% varones. De este club tienen celular un 25% de las mujeres y un 50% de los varones. Calcular la probabilidad de que un miembro de este club elegido al azar entre los que tienen celular sea varón. A) 0,4

B) 0,5

D) 0,5

E) 0,8

C) 0,3

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC

ASIGNATURA ÁLGEBRA

f (x1)=ax2+bx+c

CUSCO – PERÚ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC CEPRU

ÍNDICE

ASIGNATURA: ALGEBRA

TEMA Nº 1.- POLINOMIOS ............................................................................................................................Pág. 03 TEMA Nº 2.- OPERACIONES CON POLINOMIOS ........................................................................................Pág. 08 TEMA Nº 3.- FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS ........................................................................................Pág. 15 TEMA Nº 4.- RADICACIÓN – RADICALES DOBLES - RACIONALIZACIÓN ..............................................Pág. 18 TEMA Nº 5.- ECUACIONES 1° Y 2° ...............................................................................................................Pág. 23 TEMA Nº 6.- INECUACIONES 1°, 2° Y VALOR ABSOLUTO.........................................................................Pág. 28 TEMA Nº 7.- MATRICES ................................................................................................................................Pág. 33 TEMA Nº 8.- SISTEMAS DE ECUACIONES ...................................................................................................Pág. 41

|| TEMA Nº 9.- RELACIONES, BINARIAS Y REALES ......................................................................................... Pág. 46 TEMA Nº10.- GEOMETRÍA ANALÍTICA (RECTAS) ......................................................................................Pág. 50 TEMA Nº 11.- CIRCUNFERENCIAS................................................................................................................Pág. 55 TEMA Nº 12.- PARÁBOLAS ............................................................................................................................Pág. 59 TEMA Nº 13.- ELIPSES.....................................................................................................................................Pág. 63 TEMA Nº 14.- FUNCIONES, BINARIAS Y REALES .........................................................................................Pág. 67 TEMA Nº 15.- FUNCIONES ESPECIALES .......................................................................................................Pág. 69 TEMA Nº 16.- FUNCIONES ............................................................................................................................Pág. 72 TEMA Nº 17.- FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA .......................................................................Pág. 76

f (x1)=ax2+bx+c

CONCEPTOS PREVIOS: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una expresión algebraica es una combinación de variables y/o constantes en cantidades finitas, en el que intervienen las operaciones fundamentales de: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación, sin variables en los exponentes. Ejemplo:

(

)

√

TERMINO ALGEBRAICO Es una expresión algebraica previamente reducida donde no se definen las operaciones de adición ni sustracción entre las variables, tiene tres partes.

3

)

R(

1 1. 2. 3.

2

Coeficiente Variables Exponentes

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Son aquellas expresiones algebraicas cuyas variables no están afectadas de radicales. Ejemplo:

(

)

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES ENTERAS Una expresión algebraica, es racional entera, cuando sus exponentes de sus variables son números enteros mayores o iguales que cero o que las variables no están en el denominador. Ejemplo:

)

S(

√

POLINOMIO Definición: Un polinomio es una expresión algebraica racional entera, con una o más variables. Ejemplos:

1.

P( )

√

Es un monomio de una variable.

2.

P(

)

Es un monomio de tres variables.

3.

P(

)

√

El polinomio en la variable

Es un trinomio de dos variables. esta representado por:

( ) Donde:

Es el grado del polinomio.

Es el número de términos de P( ) : Coeficiente principal del polinomio. : Término independiente del polinomio. : Coeficientes.

,

4| CEPRU2015 , P( ) es un polinomio mónico.

Nota: Si

Ejemplo: P( )

√

Es un polinomio de grado 7, cuyo coeficiente principal es √ y el término independiente es 2. Observaciones:

1. P( ) 2. P( ) 3. P( )

,

Se llama polinomio nulo o idénticamente nulo, cuyo grado no está definido. * + Se llama polinomio constante, cuyo grado es cero. Se llama polinomio lineal o de primer grado.

GRADO DE UN POLINOMIO Definición: El grado es una característica en relación a los exponentes de las variables, el cual es un número entero mayor o igual que cero CLASES DE GRADOS: GRADO RELATIVO (

)

a) De un Monomio: El grado relativo en un monomio, es el exponente de la variable indicada. Ejemplo: En el monomio ;

R( )

)

P(

√

; R( )

R( )

b) De un Polinomio: El grado relativo en un polinomio es el mayor exponente de la variable indica que se presenta en cualquier término.

)

Ejemplo: En el polinomio P(

;

R( )

R( )

GRADO ABSOLUTO (

)

a) De un Monomio: El grado absoluto de un monomio, es la suma de exponentes de las variables. Ejemplo: En el monomio P(

)

(P) b) De Un Polinomio: El grado absoluto de un polinomio, es el mayor grado absoluto entre sus términos. 9 7 13 Ejemplo: En el polinomio P(

)

(P) GRADOS DE POLINOMIOS CON OPERACIONES: Si P( ) Q( ) son polinomios de grado

1. P( ) 2. P( ) 3.

( ) ( )

respectivamente, con

entonces:

Q( ) Es de grado Es de grado

Q( )

con Q( )

4. ,P( )-

( )

, siempre que

Es de grado

( )

sea un polinomio.

Es de grado

5. √P( ) Es de grado Ejemplo: Dado P( )

(

 El grado de P( )  El grado de P( )

, siempre que √P( ) sea un polinomio )

Q( )

Q( ) Q( )

 El grado de Q5 (x) VALOR NUMÉRICO DEL POLINOMIO El valor numérico de un polinomio, es el valor que adquiere cuando se le asigna valores a sus variables.

Ejemplo 1: Dado Solución: P( )

(

P( )

Hallar P( )

)

)

Ejemplo 2: Dado

P(

Solución: P(

( ( )

)

(

)

( )

Hallar P(

) (

)

)

ASIGNATURA: ÁLGEBRA |5 Propiedades: a) Si P( ) es un polinomio con una variable entonces:

1. Suma de coeficientes es P( ) 2. Término independiente es P( ) b) Si P(

) es un polinomio de dos variables entonces:

1. Suma de coeficientes es P( 2. Término independiente es P(

) )

Ejemplos

1. Si P( )

(

) (

)

Suma de coeficientes es P( ) Término independiente es P( )

2. Si P(

)

(

)(

) )

Suma de coeficientes es P(

)

Término independiente es P(

EJERCICIOS 1.

Sabiendo ( Rpta: 78

que:

( )

.

)

(

;

)

Calcular

E=

,

-

( ) .

[√ ]

3. Si el grado del polinomio: ( ) ) ( ) es 49

(

) ( .

Rpta:25

5. Hallar la suma homogéneo ( )

de

coeficientes (

del

polinomio .

)

Rpta:2

) 6. Dado los polinomios: ( ) . El valor Rpta.110. (

el

(

)

( ( )

; de

a(x);

es.

polinomio:

) (

) (

su coeficiente principal es igual al independiente, entonces el valor de “n”; es:

)

término

( ) polinomio: , tiene grado absoluto igual a 11 y la diferencia entre los grados relativos de x e y es 5, entonces el valor de 2m+n; es: absoluto

del

grado

absoluto

del

polinomio:

N ( x )  ( x16  1)( x18  2)( x 20  3)...

; es 100. La suma de coeficientes; es: Rpta. 85 10. Si P y Q son dos polinomios de grados 4 y 5 respectivamente y el grado del polinomio ,(

)

(

) ) -

,

es

8.

El

valor

de

n;

valor

de

es:

grado

√(

)

)

del

)

√(

monomio

es

“2n”.

Su

coeficiente principal; es: 16. Rpta.24. 17. Si

(

√

)

√

;

GR(x)=2.

Hallar

GR

(y).

Rpta. 3. 18. Hallar a y b si el grado absoluto del monomio es igual a 17 y su coeficiente tiene el mismo valor que el grado absoluto con respecto a x. Siendo el monomio: ( ) ( ) . 19. Rpta. 5 y 3. 20. Determinar el valor de “m+p+b” para que el ( ) polinomio: sea completo y ordenado en forma descendente.

21. Dado ( ) , se sabe que la suma de los coeficientes de P es 7, además b es el doble de a. ¿Cuál es el valor de a.b?

22. Hallar

(

11. Si P es un polinomio sobre

)

(

)

en

el

( ) si el grado del monomio es 17 y su coeficiente tiene igual el grado relativo a x.

polinomio:

.

Hallar

(

) 3m-4n.

)

Rpta. 17. 24. En el siguiente monomio:

definido por:

(

se verifica que la diferencia entre grados relativos de “x” e “y” es 5 y además el menor exponente de y es 3. Hallar su grado absoluto.

es:

Rpta. 5.

Rpta. -2.

)

el

(

23. Si

(

(

valor que Rpta. 34.

20 Factores

)

)

el

Rpta. 8.

Rpta. 15.

,(

)

Rpta. 72.

grado

9. El

(

) 14. Si el grado de ( es igual a la mitad de la suma de exponentes de todas las variables. Hallar el grado relativo de y. Rpta. 8.

Rpta. 4. 8. El

)

13. Rpta. 5/4.

15. Si

4. Sea ( ) el polinomio completo y ordenado en forma ascendente, el coeficiente principal del polinomio es: ( ) si ( ) ( ) ; el valor de m ; es. Rpta: 3

entonces

√

( (

2. Determinar la suma de coeficientes de ( ) a partir ( ) de: . Rpta 55.

7. Si

√

12. Si

(

)

GR(x)=12 y GR (y)=10. Calcular el GR (z). Rpta. 7.

el

6| CEPRU2015 25. Si ( ) , ( ) - es un monomio de grado 3. Calcular el valor de “m+2”.

12.

Rpta. 5. 1.

; es:

absoluto

máximo

del

)

polinomio

En las siguientes proposiciones indicar con (v) si es verdadero y con (F) si es falso.

)

(

) (

II.-El grado de (

)

)

(

)

14.

; es 17.

)

(

, es 15.

15.

16.

Hallar el grado del polinomio ( ) , sabiendo que la suma de sus coeficientes excede en la unidad al ) duplo de su término independiente. Siendo (

)

(

),(

-

)

7.

Sabiendo

que:

( Rpta: 78

)

( )

.

(

(

Calcular

)

,

E=

-

;

[√ ]

(

.

( ) a partir 17.

(

) (

)

(

) es 49

)

de

coeficientes

(

)

Rpta: 2

(

del

(

)

.

Dados los polinomios

( )

(

( )

(

) ) y .

Si el grado del polinomio producto de los tres polinomios es 25, entonces el valor de “ ”, es:

polinomio

Rpta.: 2. 19.

Determine la suma de coeficientes en:

P( x)  ( x  4)2  ( x  5)2  6 . ) (

) ; es. Rpta: 115

) es 3.

) (

)

( )

El grado absoluto del polinomio:

)

(

Rpta.: 15. 18.

Hallar la suma homogéneo

(

)

es 7, hallar:

Rpta: 3

11.

) es 72.

, es 22 y el grado respecto a la variable “ ”

Sea ( ) el polinomio completo y ordenado en forma ascendente, el coeficiente principal del polinomio es: ( ) si ( ) ( ) ; el valor de m ; es.

(

) (

Si el grado absoluto del polinomio

(

Si el grado del polinomio:

Rpta: 25

10.

(

Rpta.: FFVV.

.

9.

)

La secuencia correcta es:

Determinar la suma de coeficientes de ) de: ( .

( )

es 12.

IV. La suma de coeficientes del polinomio

( )

Rpta 55. 8.

( )

III. El coeficiente principal del polinomio

, es:

Rpta: 11. 6.

√

II.En todo polinomio, el grado absoluto siempre es igual al grado relativo con respecto a una de sus variables.

El valor de n en el siguiente polinomio

( )

√

En las siguientes proposiciones, indicar con (V) si es verdadero o con (F) si es falsa: I. El grado de

Rpta. 4. 5.

√

)

Rpta.: 21

Rpta. VFV.

(

Hallar el valor de n Si en el monomio

El grado relativo a “ ” es 3, hallar el grado absoluto.

La secuencia correcta es:

4.

( ) ( ) ( ) ( ) siendo m un número impar.

(

) , es 72.

) (

Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio:

Rpta.: 3

III.- El coeficiente principal del polinomio (

El polinomio:

Rpta.: 12.

I.-El grado del polinomio

(

;

)

( ) ; es de grado 18 y los grados relativos a x, y, z son 3 números consecutivos en ese orden. Calcular m.n.p.

, es:

Rpta. 8. 3.

(

Rpta: FFF 13.

grado

(

III) Si GA (P)>1 y

entonces GA (PQ)=6.

Rpta. 26. El

II) Si GA (P-Q)=5, entonces GA (Q)<5.

;

√

2.

I) Si GA (P)=5, GA (Q)=5, entonces GA (P+Q)=5.

Dados los polinomio P y F, donde el grado absoluto de P es 14 y el menor exponente de x en el polinomio F es 10.el Grado absoluto de F si:

√

Dados los polinomios P y Q (definidos en la variable x) indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

Rpta. : 67. 20.

Determine la suma de coeficientes del polinomio:

P( x)  ( x  2)100 ( x  2)2 ( x  3)3  13 . Rpta.: 589.

ASIGNATURA: ÁLGEBRA |7 21.

El término independiente y coeficiente principal de:

36.

n

4

iguales. Hallar grado de

2

P( x)

√

)

√

del √

√

√

√

monomio

√

37.

la

expresión

Calcular el grado de:

es:

(

Si en el monomio

)

√

√

√

; el

√

Determinar el grado absoluto del polinomio:

(

P( x)

.

( )

es de quinto grado y

Sabiendo que

es de tercer grado.

Q( x )

Rpta: 7 38.

)

El grado absoluto del polinomio:

P(x,y) = (x3y+x)5 (x5y+x2)5(x7y+x3)5 …(20 factores),

; tal que

 P ( x )   3P ( x )  Q ( x )  ; 6 Q( x)  4

E

grado relativo a x es 2.el grado relativo a y; es. Rpta: 4 24.

de 6

Rpta.: 18. grado

Rpta.: 3 23.

grado

grado.

El

(

el

E ( x)  6 P( x)  5Q( x)  8P( x)Q( x) . Si P( x) es de cuarto grado y Q( x) es de tercer

n

Rpta.: 18. 22.

Determinar

4

P( x)  ( x  3)( x  n  2  8x )(3x  x  n)(1  6x ) Son 2

es:

Rpta: 23

Rpta. 2300 25.

(

En la siguiente expresión

)

√

√ √

. Hallar el

39.

Si la expresión:

valor de “a” para que dicha expresión sea de grado 16.

P( x) 

x 7 ( x 2 n 3 )5 ( x3n 1 )3   x 2 n 7 .x13   

Rpta: 118. 26.

Hallar el grado absoluto de la expresión

27.

√ ( ) segundo grado.

√

28.

29.

P( x, y)  ( x n2  y n1 )(7 x 3n4  y n3 )( x 2  6n  3)5 Hallar el valor de “n”

Rpta.: 15.

Rpta.: 5.

(

41.

)

(

) (

) (

)

(

31.

Hallar el ( )( 520.

(

Si

2

grado )(

absoluto del polinomio: ( ) ) (20 factores). Rpta.:

)

( ( ))

;

Rpta.: 49. 42.

Dado el polinomio ( ) el valor de ( ( )).

P( x)

43.

5

la siguiente expresión:

P( x  1) P( x )(2 x 2  1) E P( x 2  1)(4 x 2  1)

. Hallar el

P  x .

5

3

3x6 9 x 4 x m 2 x m es 8.

m.

Rpta. 12 45.

Si el grado del polinomio



P  x   3n x2  5

 5 n

x 7

3m 3

  2 x  3 n2

n 5

es 49. Hallar

n6 .

1 6

Rpta. 4

Determinar el grado de:

N ( x)  ( x 7  7)( x8  8)( x9  9)...

46.

Hallar



el

grado

P  x  x  y

20 Factores

Rpta.: 330.

3

Si el grado del monomio Hallar el valor de

P( x)  12  22  32  ...  x2

Determinar el valor de

35.

P  x    x  2   x  3   x  2 x  3

Rpta. 11 44.

Rpta: 70.

Rpta.:

Si

término independiente de

Si el grado absoluto del monomio ( ) es 79 y su coeficiente tiene el mismo valor que el grado relativo a “y”. Hallar “a.b”.

Si

sea de grado 572.

Rpta: 11

. Calcular

Rpta.: -44.

34.

¿Cuántos factores se deben de tomar en la expresión:

P( x)  ( x2  1)( x6  2)( x12  3)( x20  4)... Tal que

entonces

Rpta: 3.

33.

Si el grado de la Expresión:

Calcular el valor de “ m ”.

determinar el valor de ( ( )).

32.

Es 36.

P( x)  ( xm2  xm  5)( xm2  xm1  8)m2 ; Es 108.

) .

Rpta.: 1463. 30.

Si el grado de la expresión:

) Si el grado absoluto del monomio: ( es 15 y además el grado relativo a x es al grado relativo de y como 2 es 3. Hallar ”.

Hallar el grado absoluto del polinomio:

; es de

Rpta.: 3. 40.

Rpta.: 8.

5

Grado 8. Hallar el valor de “n”.

; si con respecto a x es de

√

4

8

7

 x

10

absoluto

y

9

 x

52 factores

Rpta. 3068

12

del

y

11

...

polinomio

8| CEPRU2015 n

47.

P  x, y   nx 7

En el polinomio

9

 

n

y 68n  x 2 y . Hallar

53.

Rpta. 62





54.



Si el grado del polinomio





P  x   50 x 2  10

E(x)  x 2  1 x 4(4)  1 x 6(9)  1 ... es:

el valor de

n factores

49.

n 2  n  1

55.

6

4

xn

x5n  4

n 2

 4x

n 1

19 n

 5x

n  3x 6

56.

P( x)  (9 x8  7)n (2 x2  3x3  1)n2 ( x9  3) Tiene como

6;

grado 47. Determinar la raíz quinta del coeficiente principal. Rpta. 9 57.

Dado el polinomio:

absoluto 22 y grado relativo

Calcular P(1,1) a partir de:

P( x, y)  a 2 x2a 3 y3b1  b2 x2a y3b4  2abx2a 1 y3b 2  x2a  2 y3b3

respecto a “a” igual a 9.

x y

sabiendo que su grado absoluto es 24 y los grados relativos respecto a x e y son iguales.

Rpta. -7 Hallar el valor de

n si GA(P)=3; GA(Q)=4 y se conoce

P Q  que el grado absoluto de la expresión P Q 

5 2n

7

5

Rpta. 65. 58.

Hallar un polinomio de segundo grado cuyo coeficiente de x y el término independiente son iguales, además P(1)=7 y P(2)=18. Dar como respuesta el coeficiente de x2.

4 n3

es igual a 4.

Rpta. 3

Rpta:2

f (x1)=ax2+bx+c

ADICIÓN DE POLINOMIOS Dados dos polinomios reales:

P( )

,

Q( )

,

El polinomio suma, está definido por:

Q)( )

P( )

Q( )

(

)

(

)

(

)

(

)

)

(

)

(

)

SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Dados dos polinomios reales:

P( )

,

Q( )

,

El polinomio diferencia, está definido por:

(P

Q)( )

P  x  , el valor de n, es:

El polinomio:

Q(a, b)  3a x5b y3  6a 2 x1b y (a1xb4 )  8a x2b y1 de grado

(P



 1 es 75. Hallar

Rpta. n=1

Rpta. 36.

52.

6

m.

los coeficientes del polinomio

Hallar la suma de todos los valore de n, para que:

Hallar

m 2

que el término independiente es 2 veces la suma de

, sea 1.

Sea un polinomio.

51.

3

P( x  1)  (2 x  3)2n  (3x  2)2n  32( x  2) si se cumple

Rpta. n=8

P( x)  x

m

Dado el polinomio:

Hallar el valor de n para que el grado del monomio:

x n 1

  200x  1 5x

Rpta:15

2

2

M ( x)  3

50.

un

Rpta:27

El grado de la expresión

Rpta:

,

polinomio de quinto grado. Señala el coeficiente del término cuadrático.

la suma del sus coeficientes.

48.

Q  x   mxm 4  2mxm5  3mxm7

Sea

P( )

Q( )

(

)

(

ASIGNATURA: ÁLGEBRA |9 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Dados dos polinomios reales:

,

P( ) ,

Q( ) El polinomio producto, está definido por:

(P Q)( ) Ejemplo:

P( )

P( ) Q( )

(

)

(

)

Dado los polinomios:

(

Q( )

)

(

R( )

)

Si el grado del producto de los tres polinomios

es 25, el valor de n es: Solución:

P( ) Q( ) R( ) ( (P) , -

;

(P Q R)

,

Entonces:

,

)

-

(

) ;

(Q)

(

)

(R)

-

(

)(

) PRODUCTOS NOTABLES

Son casos especiales de la multiplicación de polinomios, con los cuales se obtiene el polinomio producto en forma directa sin efectuar la operación de la multiplicación. Sean expresiones algebraicas, entonces: 1. Binomio al cuadrado

( 2.

)

Producto de la suma por su diferencia

( 3.

)(

Producto de binomios que tienen termino común

( 4.

)(

)

Binomio al cubo

)

(

)

Trinomio al cuadrado

)

Trinomio al cubo

( 9.

)

)(

( 8.

)

Producto de la suma de un binomio por un trinomio

( 7.

(

)(

( 6.

)

Producto de la diferencia de un binomio por un trinomio

( 5.

)

)

(

)(

)(

)

Identidad de Argand

(

)(

(

)

)(

)

(

)(

)

10. Identidad de Legendre (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

11. Identidad de Lagrange (

)(

)

(

(

)

)(

)

(

)

(

)

(

)

Ejemplo: Simplificar la expresión

(

√

S

√

)

,(

(

)

)

(

) -,(

)

(

) -

(

)

(

)

10 | C E P R U 2 0 1 5 (

√

)

√

√(

)

Ejemplo: Simplificar la expresión

( S (

)(

)(

)(

)(

)(

(

)(

)(

)(

)

)

)

)(

DIVISIÓN DE POLINOMIOS ALGORITMO DE LA DIVISIÓN Dados dos polinomios reales P( ) de grado

y ( ) de grado

, con

; existen dos polinomios únicos Q( ) y

R( ), tales que:

( )

( )

( )

( )

Observación: 1.

Grado del dividendo

grado del divisor

2.

Grado del divisor

3.

Grado del cociente = grado del dividendo – grado del divisor

4.

Grado máximo del resto = grado del divisor – 1

5.

Grado mínimo del resto = 0

grado del resto

MÉTODOS DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS A. MÉTODO DE HORNER Este método se utiliza para dividir polinomios, cuyo divisor sea de grado mayor o igual que dos. En este método primero se ordenan y completan los polinomios dividendo y divisor con respecto a una sola variable, luego se utilizan sólo coeficientes y el esquema siguiente: CON SU MISMO SIGNO CON SU MISMO SIGNO

D I V I D E N D O

d i v i s o r

CON SIGNO CAMBIADO

RECTA MOVIL (INDICA GRADO DEL RESIDUO)

C O C I E N T E Ejemplo: En la división Solución:

RESIDUO

entre

R( )

(

)

;

(

deja un residuo de

)

el valor de

Igualando los coeficientes se tiene:

;

Luego B. MÉTODO DE RUFFINI Este método se utiliza para dividir polinomios cuyo divisor sea de la forma ( ) O cualquier expresión transformable a esta. En este método primero se ordenan y completan los polinomios dividendo y divisor con respecto a una sola variable, luego se utilizan sólo coeficientes y el esquema siguiente:

D I V I D E N D O ∓ O

I

N T

RESIDUO

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 11 (

Ejemplo: En la división

)

(

)

entre

se obtiene un cociente entero

donde la suma de coeficientes del cociente es igual a dos veces el residuo. Hallar .

(

)

( (

Como:

) )

(

)

C. TEOREMA DEL RESTO Este teorema nos permite calcular directamentamente el residuo de la division de un polinomio entero en x, P( ) de cualquier grado entre un divisor binomio de primer grado o transformable a primer grado. Enunciado: el resto de la division de un polinomio entero en x, P( ) de cualquier grado entre un divisor binomio de primer grado de la forma es igual al valor numerico de por .

(∓ )que toma dicho polinomio cuando en él se sustituye x

/, es decir:

( )

(

)

Ejemplo: Hallar el resto de dividir

Solución:

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

EJERCICIOS 1)

Si “ ” satisface ( ) ( Rpta.: 130.

2)

Calcular: Rpta.: 140.

3)

Si Rpta.:

4)

5)

. Encuentre el valor de:

6.

).

, si:

,

la

expresión



,

simplificada

 a  b  2   a  b   4 a 2  b  M 2 3 3 2 a  b  a 3  b3



.

. Calcular:

Rpta.

.

.

7.

Sabiendo que: , . Encontrar el valor de: . Rpta.: . Si y , calcular el valor de: ) ( ) √ (

Si se sabe que

ab  0

2 2

Rpta. 8.



Al

M

y

Rpta.: 11. 6)

Si

x

 





de:

2 2

, es:

4 ab

a

efectuar x





 1 a 1 a x

la

2x

expresión



 1  1 , se obtiene:

a4

a  b  c  7 y a2  b2  c2  31 , el 18  2ab valor de E  , es: ac  bc Sabiendo que

Rpta. 2

5, calcular el valor de: 9.

Al simplificar la expresión

E

 ax  by 2   ay  bx 2

Rpta.: .

x2  y 2

, se obtiene: 7)

Rpta.

Simplificar:

(

)

(

)

10.

Rpta.: 13. 2. 3.

1 Si x  x Rpta. 140 Si

 5 , el valor de x3  x 3 , es:

ab  2

y

ab  3

,

el

11. valor

de

M  a3  b3  a2  b2 , es: Si

2

12.

a  b  c  5 y a2  b2  c2  7 , el valor de ab  ac  bc , es:

Si

Rpta. 9

Rpta. E=4/17 Si se sabe que

, el valor de: Rpta. 40.

Si se sabe que (

)(

y )

, el valor

, es:

Rpta. 74. 13.

es: Rpta. 4 5.

P( x  1)  x2  1 , el valor de

P(0)  P(2) , es: P(3)

de

x3  y3  5 y xy  x  1  1 , el valor de  x  y  ,

que

, es:

Rpta. -12 4.

Sabiendo

E

1.

a 2  b2

Si

, el valor de

,es:

Rpta: 4. 14.

15.

Si (

) ; es:

(

)

Rpta. 20. Al simplifica la expresión: ( )( )( Rpta: .

. El valor de

), se obtiene:

12 | C E P R U 2 0 1 5 16. 17. 18.

Si Rpta: 1.

,

√

. El valor de (

Simplificar:

)

(

(

Rpta: 8. Simplificar: )( Rpta: 0.

)

)

,(

)( (

)(

¿Cuál es el valor de si se cumple que ( ) ( ) ? Rpta: 2. 20. Si . Hallar . Rpta: 21. Si: . Halle el valor de . Rpta: 9. 22. Si . √ , √ . Calcular Rpta: 5. 23. Simplificar la expresión: ( ) √( )( ) ( )( )) Rpta: 24. Si y . Hallar . Rpta:-9. 25. Si y . El valor de es. Rpta: 12. Si

.

;

/

el

valor

de

valor

de

Si Rpta: 13.

44.

Calcular : Rpta:140.

45.

Calcular

Si

,

el

;

es:

;

es:

√ √ √

Rpta: 2

46.

(

)

(

Simplificar

29.

Rpta: y Calcular el valor de ( .

/

.

√

)

(

47.

48.

)

( Rpta: 3/2. 31.

(

)

(

)

Si se cumple que:

; el valor de . / ; es.

33.

Si

,(

) se

; donde (

)

(

)

(

)

(

)

(

) obtiene:

51.

Efectuar: Rpta:

36.

Si

(

)

(

(

)

)

)(

√(

52.

.

)(

)

.

.

Hallar

el

valor

de:

53.

) (

)

(

39.

40. 41.

Si

54.

)

,

m

es:

1  3 , determinar el valor de es : x

 x  x y  y  x  x y  x  3x  1 x  3x  1  x  3x  9 x  3x  9  x  x  1 x  x  1 6

3 2

4

2

2

2

2

a

2

 b2

 a

Si

4

6

3 2

 y4





 a 2b2  a 4  3a 2b2  a  b  a  b 

ab  4

,

ab  5

.

Calcular

E

a 3  b3 a 2  b2

Al efectuar la siguiente división:

El resto de la división

(

Si la división: ( )

√ perfecto.

, el

Hallar

( ) ( )( ) . Hallar (√ √ ).

/ ; es:

de

. Dar

, es:

,

)

el

(

valor

)

. Tiene por resto

de

,

es:

Rpta: -2.

( Simplificar Rpta: . Si tal que ( .

x

)

(

Rpta: 2 ( ) Si cuadrado Rpta: 50.

valor

Rpta: 7. (

38.

(

el valor de las siguientes proposiciones I) su resto es un polinomio constante. II) su resto es x+2. III) la división es exacta. IV) su resto es x-2. Rpta: FVFF.

Rpta: 4. Reducir:

P( )

.

√

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

.

37.

si: √

Rpta: 2/3.

Rpta: 4 35.

el

; es.

Simplificar

,

Rpta:

. Hallar el valor de:

Rpta: 1 34.

de

Rpta:20. De los siguientes productos

3

Al reducir la expresión - ( ) ; Rpta: 16ab.

.

Los que corresponden a la identidad de Argand, son: Rpta: I,III y IV. 50. Simplificar la expresión:

Rpta: 256 32.

es igual a:

m  24x  49 es un trinomio cuadrado

Sabiendo que

IV)

; si

√ .

)

valor

2

III) )

el

Si mx  10 perfecto, Rpta: 25.

II)

/ (

, si:

Dados los polinomios:

I)

) a partir de:

Hallar el valor numérico de:

, entonces;

1 1  1  1  A   x x  ( ) x    x  x  ( )x   x  x   

Rpta: 3 30.

;

Q( ) ( ;el grado ) ) ; R( ) del producto de los tres polinomios es 25. Hallar el valor de n. Rpta: 2.

49.

28.

.

Rpta:14.

Rpta: 1 27.

√ . Calcular el valor de

√

43. )-.

19.

26.

Si Rpta: 1

)( )

)(

42.

.

)

(

, es:

es un trinomio valor de “m”.

)(

)( )

Rpta: 13/4.

)( Rpta: 23. )

(

)

55. 56.

57. .

, entonces el valor de

58.

(

)

(

)

Hallar el resto de dividir . Rpta: . Un polinomio ( ) se ha dividido por ( )y( ), hallándose los residuos 6 y 3 respectivamente, entonces el resto de la división ( ) entre ( )( ), es: Rpta: -2x+5. Al dividir un polinomio ( ) entre ( ) y ( ) se obtienen residuos de 7 y 21 respectivamente. El resto de dividir ( ) entre ( ), es: Rpta: . En el cociente exacto Rpta: 2.

. hallar:

.

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 13 59.

Si a ( ) se le divide entre se obtiene un cociente de grado m termino independiente b y residuo a calcular: ( ) . Rpta: 24. Calcular m, n y p. Si el resto es: ; de

82.

84.

61.

. Rpta: . Hallar el residuo de la división de: . Entre , sabiendo que su coeficiente toma el valor numérico de 2 para . Rpta: -4.

62.

Si la división indicada

86.

60.

; es exacta,

¿Cuál es el valor real de a?. Rpta: -3. 63.

64.

83.

85.

Al efectuar la división algebraica ; se obtiene como resto R( ) ¿cuál es el valor de ? √ Rpta: 4. ( )( )( )( )( )( ) Hallar el resto de la división . Hallar el resto de la división

(

)

(

)

.

Rpta: 16. 66. 67. 68. 69.

70.

71.

72.

73.

74. 75.

76.

77.

78.

Hallar

el

resto

de

la

(

división

) (

(

)

)(

)

87.

Hallar ( ) ; sabiendo que la división , nos da un residuo de . Rpta: 121. ( ) Si al dividir entre se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es 24 y un resto de ( ) . Hallar m+n+p. Rpta: 29. (

)

.

80.

81.

Hallar el residuo en . Rpta: 2 Los restos de las divisiones de P( ) por los binomios ( ) ( ) son respectivamente 8 y -7. Hallar el resto de dividir P( ) entre . Rpta: . Hallar Rpta: 5.

b-a

si

la

división

(

dividir

)

(

(

)

)(

Determinar

el

resto

de

la

división:

(

) (

Si la división:

)

( )(

) )

; es exacta. Calcular el valor

. / .

88.

(

Al efectuar la división

)

; la suma

algebraica de los coeficientes del cociente y el resto es cero. Hallar el resto. Rpta: 1. 89.

Calcular “m” si el resto de la división

; es igual

al resto de: Rpta: 1. 90.

Hallar

a y b para que ( )

; sea una división

exacta. Rpta: 64 y 0. (

)

(

)

91.

Si en la división: ) es ( . Hallar “3ª+b”. Rpta:16.

92.

En la división:

; el resto

, la suma de coeficientes del

cociente es 176 y es resto es 20. Hallar 3a+2b. Rpta: 10. 93.

Si en la división:

; los coeficientes del

cociente disminuyen de uno en uno y el resto es 8. Hallar ab-c. Rpta: 109. 94. 95.

96. 97.

98.

El resto de la división

la 99.

; es:

Rpta: 5. La división del polinomio entre ; deja por residuo . Hallar ab-m. Rpta: 87. ¿Cuál es el valor de , si al dividir el polinomio entre , la suma de los coeficientes es 161 y el residuo 16?. Rpta: 3. ( ) Al dividir , entre ( ) , se obtiene el residuo ( ) , y ) cociente ( ) . Calcular ( . Rpta: 16. Calcular la suma de los coeficientes del cociente de siguiente

división

(

)

.

Es

exacta.

.

Rpta: 244. Calcular (

) , sabiendo que al dividir , entre , se obtiene como residuo . Rpta: 11. 100. Hallar el resto de dividir , entre . Rpta: -10. 101. Si la división

; Es exacta, entonces el ( ) valor de: ; es. Rpta: 2600 102. Hallar el valor entero de “m” si la siguiente división:

2mx 4  mx3  6 x  24 ; es exacto. 2x2  x  4 Rpta.: 4. 103. Determine el resto en:

Rpta: 4. 79.

de

Rpta: 1.

, es exacta entonces el valor

de m+n es: Rpta: 5. La suma de todos los coeficientes del cociente de ( ) dividir entre √ √ √ , es: Rpta: √ . ( ) El resto de dividir ( ) , entre ( ) ( )( ) es: Rpta: 13x+53. Los restos de dividir ( ) entre ( )y( ) son 9 y 2 respectivamente. El resto de dividir ( ) entre , es: R Rpta: ) ( ) Los restos de dividir ( ) entre ( respectivamente. El término independiente ( ) además el termino independiente del cociente de )( ), es 1 su resto dividir ( ) entre ( es: Rpta: . El termino independiente del cociente de dividir ( ) ) es 3, hallar su resto. Si el termino entre ( independiente del polinomio ( ) . Rpta: 12. ∑ Hallar la en la siguiente división

resto

Rpta: 2x-1. Si P( ) es un polinomio definido por P( ) , tal que el residuo de dividir P( ) entre ( ) es 6. Hallar el residuo de dividir P( ) ( ). Al dividir ( ) entre ( ) ; el resto de la división; es. Rpta: 8. Hallar el valor de “a y b”. Si el resto de la división entre es igual a . Rpta: RPta 11 y -1.

de

.

Rpta: 2x-1. Calcular la relación entre p y q si la división de: ( ) entre es exacta. Rpta: . En la división entre deja 0 de residuo. Hallar: A+B-C. Rpta: 14. Si la división algebraica entre genera un cociente ( ) tal que ( ) , determine el valor de n. Rpta: 2.

Si la división

el

Rpta: 2x-1.

Rpta:320. 65.

Determine

x 40  x35  x30  x 25  x 20  x15  x10  x5  9 x5  1 Rpta.: 9. 104. Hallar el resto de:

( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  x 2  4 . x2  5x  1 Rpta.: 5x  32

14 | C E P R U 2 0 1 5 105. En la siguiente división la suma de coeficientes del cociente es:

nx5  x 4  6nx  6 nx  1 Rpta.: 7. 106. Calcular el resto de:

el residuo es 4. Hallar la suma de coeficientes del dividendo. Rpta. 10 118. Dividir entre Rpta. 119. En el esquema de la división de polinomios por el método de Hornner

( x  1)3  ( x  2)3  ( x  3)3  ...  ( x  31)3 x 1 Rpta.: 216225. 107. Hallar el doble del resto de la división:

x90  (9 x)30  x 25  243x 20  9 x 2  47 x 3 Rpta.: 68. 108. Si el resto de la división:

a b

m

6

2

Rpta.: 11.

d

c

0

e

4 0

p”

0 3

2

1 4

3

Hallar a  b  c  d  e  m  n Rpta:19

109. En la división: El resto es 40 y la suma de coeficientes del cociente es 352. Hallar “ m  n ”.

Rpta.: 8. 110. En la división: 10 x6  mx5  nx 4  px3  qx 2  rx  t 2 x3  3x 2  x  1 Los coeficientes del cociente van disminuyendo de en uno en uno a partir del primero y el resto es igual

R( x)  5x  6 x  7 . Calcular el valor de “ m  n  p  q  r  t ”. 2

a

Rpta.: 78. 111. Hallar el residuo de dividir:

Rpta. 5 112. Hallar el valor de a, si al dividir: n 1

P( x)  (a  3) x  (a  1) x  (3a  4) x  a  14 Entre x  1 , el n

8

resto es 4. Rpta. 5 113. Los restos de dividir de P(x) por los binomios x  1 y x  2 son respectivamente 8 y -7. Hallar el resto de dividir P(x) entre Rpta. 5 x  3

x2  x  2 .

114. Calcule el valor de a para que la suma de coeficientes del cociente sea 161, talque el resto es 16.

ax51  2bx  2b  a x 1

igual

al

resto

2x  x 1 . x2 2

Rpta. 3

116. Calcular el residuo de la división:

(3x 2 )2  2(2x)2  mx  3m 3x  2

 a  3 x39   a  1 x38   3a  4  x  a  14 x 1

el resto es 4 ,

hallar la suma de coeficientes del cociente Rpta: 315

m n

121. Calcular

x

4

,

si

 

la

división

 6 x  mx  4n  x  4 x  8 3

2

es



exacta

Rpta: 16 122. Hallar el residuo de dividir ( )

Rpta. 14 124. Hallar el residuo de dividir ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Rpta. -9 125. Hallar el residuo de dividir ( ) Rpta. 126. Dividir

(

)

(

)(

)(

)

Rpta. ) 127. Dividir ( entre Rpta. 128. Calcular el valor de n en el polinomio ( ) sabiendo que al dividirlo entre el resto obtenido es el triple del que resulta al dividirlo entre

Rpta.3 115. Calcular m si el resto de la división: es

120. Si en la división

Rpta. 27 123. Determine el residuo de dividir ( )

( x  4)( x  5)( x  6)( x  7)( x  8)( x  9) x 2  13x  41

3x 2  mx  5 x2

2 n

8 x5  4 x3  mx 2  nx  p ; es R( x)  5x2  10 x  8 . 2 x3  x 2  3 Calcular “ m  n 

Si el cociente evaluado en cero es 3. Rpta. 9 117. En la división: ax 4  ax3  ax  1 Entre x 2  x  1

de

la

división

Rpta. 129. Determinar el resto de ( ) Rpta. -

entre

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 15

f (x1)=ax2+bx+c

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. La factorización es la transformación de un polinomio en productos indicados de dos o más factores primos.

)

Sea: P(

)

a) El número de factores del polinomio P(

(

)( )

b) El número de factores primos del polinomio P(

)( , estos son:

)

c) El número de factores algebraicos del polinomio P(

)

Ejemplo: Sea P(

(

) (

)

(

)(

)(

)

)

¿Cuántos factores, factores primos y factores algebraicos tiene el polinomio? Solución:

(

N

)(

)(

) (

N

(

N

)

(

)(

)

)(

)

Factores algebraicos

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN. 1. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN. Este método consiste en extraer un factor común monomio o un factor común polinomio a todos los términos del polinomio. Ejemplos: a)

Factorizar P( ) Solución: Factorizando P( )

b)

(

)

)

Factorizar P(

)

Solución: Agrupando P( Factorizando P(

)

(

(

)

)

(

( )

) (

)(

)

2. MÉTODO DE LAS IDENTIDADES. Recibe el nombre de las identidades, porque se utiliza las identidades algebraicas o productos notables en forma inversa. Tenemos las siguientes:

(

)(

) Diferencia de cuadrados

(

)(

) Diferencia de cubos

(

)(

) Suma de cubos

(

) Trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: Determinar el número de factores primos del polinomio

P( ) Solución: Agrupando y sacando factor común a P( )

P( )

(

)(

(

P( )

(

)(

)(

P( )

(

)(

)(

)

(

),( )

)

(

)

-

)(

)

)(

)(

)(

)

Numero de factores primos 3. ASPA SIMPLE.

( )

Tiene la forma general:

(

;

)

;

O cualquier otra expresión transformable a esta. Ejemplo: Determinar el número de factores del polinomio P( Solución: P(

)

(

)

(

)

)

Numero de factores

(

)(

4. ASPA DOBLE. Tiene la forma general:

(

)

;

)

16 | C E P R U 2 0 1 5 O cualquier otra expresión transformable a esta. Para factorizar el polinomio se considera los siguientes pasos a) Se ordena el polinomio a la forma general, en caso falte uno o mas términos se completa con ceros. b) Se forma el primer trinomio con los tres primeros términos y se aplica aspa simple, para comprobar el segundo termino. c) Luego se forma otro trinomio con los términos (3,5 y 6) y se aplica aspa simple, para comprobar el quinto termino. d) Finalmente se aplica un aspa simple con los términos (1,4 y 6) para comprobar el cuarto termino. e) Los factores serán las sumas horizontales. ) Ejemplo: Factorizar P(

)

Solución: P(

Comprobando: Aspa simple con los términos (1,4 y 6) Los factores son: P(

)

(

)(

)

5. ASPA DOBLE ESPECIAL Tiene la forma general:

( ) (

;

)

;

O cualquier otra expresión transformable a esta. Para factorizar el polinomio se considera los siguientes pasos a) Se ordena el polinomio a la forma general, en caso falte uno o mas términos se completa con ceros. b) Se descompone convenientemente los extremos, se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados. c) Se compara el resultado anterior con el término central del polinomio y lo que sobre o falte para que sea igual a éste, será la expresión que se tenga que descomponer en las partes centrales de los futuros nuevos dos factores. d) Los factores serán las sumas horizontales. Ejemplo: Factorizar P( ) Solución:P( ) Multiplicando los extremos se tiene

para

falta

( )

Los factores son: P( )

(

)(

)

6. MÉTODO DE EVALUACIÓN DE DIVISORES BINOMIOS Ese método se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado y que admitan factores de primer grado de la forma general Los ceros de un polinomio son el conjunto de valores que puede tomar la variable de un polinomio y hacer que su valor numérico sea cero. Para determinar los posibles ceros de un polinomio se considera: a) Si el polinomio tiene como coeficiente principal a la unidad, en este caso los posibles ceros racionales estarán dados por los divisores del término independiente con su doble signo (

). Por ejemplo:

P( ) Los posibles ceros estarán determinados por los divisores de

b) Si el coeficiente principal del polinomio es diferente a la unidad, en este caso se toman los valores fraccionarios que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del primer coeficiente.

P Por ejemplo: P( ) Los posibles ceros son: Para factorizar el polinomio se considera los siguientes pasos a)

Se ordena el polinomio, en caso falte uno o más términos se completa con ceros.

b)

Determinar los ceros del polinomio. (el número de ceros debe estar de acuerdo con el grado del polinomio)

c)

Deducir el factor que da lugar al cero del polinomio; si un polinomio P( ) se anula para

(

) será un factor primo del polinomio.

ó P( )

, entonces

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 17 Es decir: P( ) d)

(

) Q( )

Los factores se determinan utilizando el método de Ruffini, el cual se emplea tantas veces como ceros tenga el polinomio.

Ejemplo: Factorizar P( ) Solución: Los posibles ceros son Donde P( )

P(

)

P( )

( ) Entonces P( )

)

P(

(

) (

)(

)(

)(

)

EJERCICIOS 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. 8. 9. 10.

11.

12. 13.

14.

15.

16.

17.

18.

) ( ) , e indicar la suma de Factorizar ( los términos independientes de sus factores primos. Rpta.: 3. ) Luego de factorizar: ( . Uno de los factores primos; es: Rpta: x+1. La suma de los coeficientes de uno de los factores primos del polinomio: ( ) , es: Rpta: 1. ) El número de factores primos del polinomio ( ; es: Rpta: 4. Al factorizar: . Indicar la suma de coeficientes de sus factores primos: Rpta: 15. La suma de sus términos independientes de los ( ) factores primos de: , es: Rpta: 3. Factorizar: . )( ) Rpta: ( ( ) Factorizar: . Rpta: ( ) ( )( )( ). Factorizar: ( ) . )( ). Rpta: ( Luego de factorizar: P( ) . Dar la suma de todos los factores primos. Rpta: 4x+1. ) ( ) Factorizar: ( ) ( ; uno de los factores lineales de P(x) es: Rpta: x-4 ( ) Al factorizar el polinomio ; ¿Cuántos factores lineales tiene? Rpta: 3 La suma de los factores primos del polinomio ( ) es: Rpta: 8x-5. Uno de los factores primos del polinomio ( ) ; es: ). Rpta: ( La suma de los factores primos del polinomio ( ) ; es: Rpta: 6x-3. La suma de los factores primos del polinomio P( ) ; es: Rpta: 7x+y-3. La suma de factores primos lineales de P( ) ; es: Rpta: 3x+3. Uno de los factores primos del polinomio ( ) ; es:

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25. 26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

). Rpta: ( La suma de los términos independientes factores primos lineales del polinomio ( ; es: Rpta: -3 Hallar la suma de los coeficientes de los ) ( )( ) )( primos de: ( ((

de los )

factores )) ).

Rpta:-1. Al factorizar . El número de factores primos; es: Rpta: 2. Luego de factorizar, indicar un factor primo de ( ) ,( ) ( ) ( ); es: Rpta: 3x+3y-z. Indicar el número de factores primos de: ( ) ( ) ( ) Rpta: 3. El factor primo de mayor suma de coeficientes en el ( ) polinomio ; es: Rpta: 2x+y+2. Factorizar: P( ) . Rpta: (x-2) ( ). Hallar en número de factores primos de: ) P( , es: Rpta: 3. Uno de los factores primos del polinomio P( ) ; es: Rpta: ( )( ). Determinar el número de factores primos de ( ) ( )( ) . Rpta: 3. Determinar la suma de factores primos lineales de: ( ) . Rpta: 3x. Determinar la suma de factores primos lineales de: ( ) . Rpta: 7x+3. Halle la suma de los términos independientes de los factores primos de ( ) . Rpta: 0 Halle la suma de factores primos de: ( ) . Rpta: . Al factorizar el polinomio ( ) ; la suma de los coeficientes de uno de los factores primos ;es: Rpta: 3. El número de factores algebraicos del polinomio

18 | C E P R U 2 0 1 5

35.

36.

37. 38.

39.

40.

41.

42.

43.

( ) ( )( )( )( ) , es: Rpta:7. Al factorizar el polinomio ( ) ; el factor primo de menor suma de coeficientes, es: Rpta: x-2y. ) ( ) , e indicar la suma de Factorizar ( los términos independientes de sus factores primos. Rpta.: 3. Factorizar ( )( )( )( ) . )( )( Rpta.: ( ) Determinar uno de los factores de: ( ) ( ) ( ) Rpta.: (4a+3b). Señalar uno de los factores de: ( ) ) . Rpta.: ( La suma de los factores primos lineales del polinomio: ( ) , es: Rpta.: . Señale la suma de los coeficientes de la variable x de: ( ) Rpta.: . Indique la suma de términos independientes de los factores primos de: ( ) Rpta.: . Señale la suma de los factores primos cuadráticos del polinomio: ( ) Rpta.: .

44.

45.

46.

Indicar uno de los factores primos de: ( ) Rpta.: . Factorizar: ( ) , e indicar la suma de coeficientes de un factor primo. Rpta.: . Cuantos factores primos tiene: P( x)  x3  18x  35 Rpta.: 2.

47.

Luego de factorizar

P( x )  x 6  x 4  2 x 2  1 ;

uno de

los factores primos es. 48.

Rpta.: x3  x 2  1 . Al factorizar la expresión:

P( x)  ( x  6)( x  2)( x2 16)  48 . La suma de 49.

coeficientes de uno de los factores primos; es. Rpta.: . Después de factorizar:

P( x, y)  35xy 15 y 2  77 x  98 y 143 Halle el factor primo lineal. Rpta.: 5 y  11 50.

Al factorizar: P(a, b)  a 2  ab  3a  2b  2 ; Uno de los factores primos; es. Rpta.:

51.

a  b 1

Al factorizar el polinomio: P( y)  y 5  y 4  2 y  1 ; la suma de los factores primos es ; es. Rpta.: y3  y 2  2 y  2

2

f (x1)=ax +bx+c

RADICACIÓN Definición: una radicación es una operación √

tal que √

Donde:

√ : Radical

)

: Índice del radical ( : Radicando : Raíz n- ésima de Propiedades: 1. ( √ )

) siempre que √ exista en

con (

2.

√

2

3.

√

√

4.

√

5.

√√

√ √

y n es impar √ ; ;

siempre que √ y √ exista en

,

siempre que √

√ ;

y √ exista en

siempre que las rices indicadas existan en TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A RADICALES SIMPLES

Analizaremos los casos más simples. Cabe notar que no todo radical doble admite transformación en radicales simples. Caso I: Radical de la forma: √

√ √

Donde A y B son expresiones racionales positivas y

√ Donde:

√

, siendo

,

√

√

necesariamente una expresión racional

Ejemplo: transformar a radical simple √ Solución:

√

entonces

√ √

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 19 √

√

√

√

√

√

Forma practica de transformación de √

√

Para transformar un radical de la forma √

√ con sus respectivas restricciones en una adición o sustracción de radicales

simples, se procede de la siguiente manera: El radical doble √

√ debe ser posible escribir en la forma √

Si

;

√

entonces

√

√

√ √

√

√

√

Caso II: a) Radical de la forma: √ Donde √ √ √ transformación se establece la siguiente igualdad.

√

son expresiones racionales positivas, para realizar la

√

√

√

√

√

√

Donde son expresiones racionales positivas. Para hallar elevamos al cuadrado ambos miembros, obteniendo:

√

√

√

√

√

√

Igualando las partes racionales e irracionales respectivamente tenemos:

√

√

(1)

√

√

(2)

√

√

(3)

Resolviendo el sistema de 3 ecuaciones hallamos los valores de cualquier orden. Ejemplo: Transformar a radical simple √

√

√

√

√

√

√

√

. Las partes irracionales se pueden igualar en

√

√

√

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación:

√

√

√

√

√

√

Igualando las partes racionales e irracionales respectivamente tenemos:

√

√

√

√

√

√

De donde

√

Entonces:

√

√

√

√

Forma práctica de transformación de √

√ √

√ √

Para transformar un radical de la forma √

√

√

√

√ con sus respectivas restricciones en una adición de

radicales simples, se procede de la siguiente manera: El radical doble √

√

√

√ debe ser posible escribir en la forma. √

Si

√

√

,

√

√ √

Donde

√

√

√

√ √

√

√

√

√

entonces:

√

√

√

son expresiones racionales positivas.

b) Radical de la forma: √

√

√

√

Donde

son expresiones racionales positivas con

√ para realizar la transformación se establece la siguiente igualdad. √ Donde

√

√

8

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

son expresiones racionales positivas.

Para hallar

√

√

√

elevamos al cuadrado ambos miembros, obteniendo:

√

√

√

√

Igualando las partes racionales e irracionales respectivamente tenemos:

√

√

20 | C E P R U 2 0 1 5

√

√

(1)

√

√

(2)

√

√

(3)

Resolviendo el sistema de 3 ecuaciones hallamos los valores de Ejemplo: transformar a radical simple √

√

√

√

√

√

√

√

.

√

√

√

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación:

√

√

√

√

√

√

Igualando las partes racionales e irracionales respectivamente tenemos:

√

√

√

√

√

√

De donde

√

√

√

Analizando √

√

√

Entonces: √

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

Forma practica de transformación de √

√

√

Para transformar un radical de la forma √ procede de la siguiente manera: El radical doble √

√

√

√ √

Si

√

√

√

√

√

con sus respectivas restricciones en radicales simples, se

se transforma.

√

√

,

√

√

√

√

√

√

√

√

Entonces:

√ Donde:

√

√

√ 8 √

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

son expresiones racionales positivas. RACIONALIZACIÓN

La racionalización es el proceso que consiste en transformar el denominador (o numerador) irracional en otra expresión racional a través de un factor denominado factor racionalizador. Factor Racionalizador (FR): Es una expresión irracional tal que al multiplicar a otra expresión, la transforma en una expresión racional. CASOS DE RACIONALIZACIÓN Caso I:

Cuando el denominador irracional es un Monomio de cualquier orden.

El FR es un radical que tenga el mismo índice, pero cuyos exponentes del radicando estarán expresados por la diferencia existente entre el índice original de la raíz y los exponentes que afectan a sus variables.

N

R

√

√

Ejemplo: Racionalizar. 1. 2. 3. Caso II:

√ √ √ √

√

√

R

√

R

√ √

√ R

√ R

√

√

Cuando el denominador irracional es un binomio (o transformable a binomio) cuyos radicales son de segundo orden (o índice par)

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 21 El FR es la conjugada del denominador que se empleará tantas veces hasta que el denominador quede transformado en una expresión racional.

N √

√ N √

√

R

√

R

√

√

R

√

√

Ejemplo: Racionalizar √

1.

√

2.

√

√

Caso III:

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

R

√

R

√

√

√

Cuando el denominador irracional son radicales de tercer orden de las formas.

N √

√

√

R N

√ ∓√

R

√

√

√

∓ √

Para este caso debe tenerse en cuenta las siguientes equivalencias algebraicas

(√

√ )( √

√

√

)

(√

√ ) .√

√

√

/

Ejemplo: 1.

2.

R

√ √

√

√( )( )

√ R

√

√

√

√ EJERCICIOS

1.

Si

p

es

una

expresión

√

por: √ transformado a radicales simples es: Rpta: √ 2.

; x>0 entonces

10.

√

en radicales

12.

√

El denominador racional dela fracción es:

.

√ Si: √ Hallar “a+b”.

El denominador racional de la fracción Rpta: 18.

Al transformar: √ simples; uno de ellos es:

√

√

√

√

√

.

√

El denominador racional de la fracción

13.

Rpta: 3.

√

√

√

√

√

√

√

√

Rpta: 2.

; es:

; es:

√

√

Al simplificar la siguiente expresión se obtiene:

√

√

Rpta: 25. 11.

√ .

Rpta: √ 3.

definida

√

;

;

Rpta: 47. 4.

14.

El denominador racionalizado de la expresión: √

transformar Rpta: 2.

; es:

√

15.

Rpta: 10y. 5.

El

denominador

racionalizado

Rpta: 6. 6.

de:

√

√

;

)

)

√(

√

(√

√

)

16. .

8.

√

Rpta: √

.

, es:

17.

Rpta: √

obtiene:

simplificar la siguiente

expresión

, se obtiene:

√

√

√

.

Expresar en forma de radicales simples la expresión:

√

El √

√ √

√

.

√ .

denominador √

√

√

√

de √

la

fracción:

, es:

Rpta: 3.

Transformar en radicales simples la expresión

√

al

se

√

√

Rpta: √

Rpta: 5xy. 9.

simples

) ;

.

√

18.

; es:

radicales

√

Rpta: 66.

El denominador racionalizado de la expresión √

√ √

√

Hallar el valor de “m” en: √

√

a

√

√

√

Uno de los radicales simples del radical doble

√ )(√ √

〉 , al

〈

Rpta:

Rpta: 1/2. 7.

Si √

es:

Evaluar: √(

√(√

Sea

√ √

. .

19.

Transformaren √ √ √ Rpta:

√

radicales √ .

√ .

simples

la

expresión:

22 | C E P R U 2 0 1 5 20.

La expresión simplificada de: √√ Rpta: 1.

√

21.

El denominador racionalizado de:

√ ; es:

√

√

39.

Rpta: 5. Reducir: √

√

23.

Si √

√

.

√

Rpta: √ √

√

. 40.

. Hallar “a+b”.

√

√

√

√

√

√

.

√

Hallar

41.

Rpta: El

; es:

denominador

√

racional

de:

√

;

√

.

44.

El denominador racionalizado y simplificado de la √

√

; es:

√

45.

El denominador de la fracción

Si

√

√

√

√

.Hallar

El

√ √√

(√

46.

El

√

√

47.

racionalizado

de:

36.

√

√

.

√

48.

de

las

raíces

√

√

√

; es:

√

Calcular el valor de: √ √ √

√

√

√

√

√

√

.

Hallar la raíz cuadrada de: .

√

Reducir: √

√

√

√

√

√

√

√

Si , es una expresión definida por:

√

;

, entonces ,

simples

dela

expresión

50.

√

√

una √

Calcular el valor de “ ”, en:

expresión

√

√

√

√

√

Transformar en radicales simples: √ √ Rpta.: √

51.

reducir

√ .

√ Rpta.: 30.

.

expresión de la forma √

.

√

Calcular ( √

√

) ; si:

√

√

Rpta.: 2. √

se obtiene una

52.

Indicar el denominador de:

√ . El valor de “a+b”; es:

√

Rpta: 11. 37.

√

Rpta.: √

, es:

√

, es:

√

√

√

Indicar el denominador luego de racionalizar: √ √

√

49.

El denominador racionalizado de:

Al

√

se expresa en:

El denominador racionalizado de:

Rpta: √

√

Rpta.: 1.

denominador

Una √

√

√

√

√ )

Rpta: -15. 35.

√

Señalar el denominador de:

Rpta.: √

racionalizado

Rpta: x+4. 34.

√

; es:

Rpta: 1. 33.

√

√

.

denominador

√

Reducir y racionalizar:

Rpta.: √

Rpta: 2. 32.

√

√

; es:

es la solución de la siguiente ecuación:

√

de:

√

Rpta.:-1.

Rpta: 13.

31.

Racionalizar:

Rpta.: 2.

Rpta: 6.

30.

)

√

Rpta.: 1.

es:

Al transformar el radical doble √ √ ; , uno de sus radicales simples; es:

expresión:

29.

42.

43.

Rpta: √ 28.

(√

√

.

Rpta: 4. 27.

√

Rpta.: √

El denominador racionalizado de: √

26.

Racionalizar: Rpta.:

Rpta: 20. 25.

El denominador racionalizado y simplificado de:

Rpta.: 4.

Rpta: 23. √√ Si 4a.b.c+a.

√

√

22.

24.

√

Hallar el valor de la expresión: √ √ √ √ √ √ . Rpta: 0.

. √√

√

38.

Al extraer la raíz cuadrada de el termino racional; es:

√

Rpta.: 3. √

√

√

,

53.

Señale el denominador racional de: √√

Rpta.: 8.

Rpta: 2. 54.

Si

a  2 6(b  4) 

a  3  3b

√

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 23 Siendo a

 0  b  0 . Descomponer en radicales

simples la expresión:

a  b  2 2a  19b Rpta.:

3x  1  8 x Al transformar radicales simples, uno de ellos es:

63.

3 5

64.

Si

la

transformación

16  3x  8 2 x  8 x  2 2 x 55.

3

Al racionalizar:

65.

Rpta.

Uno de los radicales simples de:

66.

4

Rpta. 67.

√

√ √ Entonces el valor de

√

√

√

R

√

68.

es:

√

√

R 62.

69.

√

simples:

2  7 2

Al racionalizar la expresión:

1 ( 2  3  5 )3  2 2  3 3  5 5

El denominador resultante es: Rpta.18 70.

El denominador racional de:

√

1

E  x   2 x  2  8x  4 x  3  48x

, es:

43 x 2  43 xy  3 y 2

Expresar como un radical doble

Rpta:

radicales

8x 2  24 x  9  4(2 x  3) x 2  3x  x  A  B x

A

√

√

a

Hallar A+B, si:

√

Descomponer en radicales simples √

x3  x  1

Rpta.4

√

61.

x  1 , es:

2

Rpta. P  3

4

Descomponer en radicales simples √

x3 

P  29  288  112  504

R

√

x3 

4

Transformar

√

y se cumple la siguiente igualdad

√

x 1  4

√

60.

x3 

x  2x  2 2

Si

forma

x 2

3

Racionalizar

59.

la

Simplificar:

x3  2 x  1  x6  4 x4  2 x3  4 x2  4 x  1 ; es:

√

tiene

a radicales simples, uno de los radicales es:

Rpta.: 7.

R

simples

1 x 4 x2 ,   2 2 4

12 ; es: 14  21  35

58.

a 2

Al transformar:

El denominador racionalizado de:

Rpta.:

radicales

2

Rpta:6

es: Rpta.: 6.

57.

en

a  bx  x , hallar a  b

; El denominador;

25  5 3 5  3 25

56.

 4 x  24

x2

Rpta:

.

2

Rpta. 8 x  y

11  4 6

f (x1)=ax2+bx+c

ECUACIONES Definición.- Una ecuación es una igualdad condicional que contiene una o más variables. Ejemplo: sólo se verifica para Se llama solución de una ecuación al valor o conjunto de valores que sustituidos en lugar de las incógnitas transforman a las ecuaciones en identidades. ECUACIONES EQUIVALENTES Reciben este nombre las ecuaciones que tienen las mismas soluciones. Ejemplo:

sólo se verifica para Sólo se verifica para

Las ecuaciones:

y

Son equivalentes, puesto que para ambas:

S

*

+

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES I)

Ecuación Compatible.- Es aquella ecuación que tiene al menos una solución y esta a su vez pueden ser: a) Ecuación Compatible Determinada.- Es cuando la ecuación admite un número finito de soluciones.

24 | C E P R U 2 0 1 5 Ejemplo: La ecuación ( )( ) + Por lo tanto el conjunto solución es: S * b) Ecuación Compatible Indeterminada.- Es cuando la ecuación admite un número infinito de soluciones. ) ( ) Ejemplo: La ecuación (

Por lo tanto el conjunto solución es: S (Infinitas soluciones) II) Ecuación Incompatible.- Es aquella ecuación que no admite ninguna solución. ) Ejemplo: La ecuación ( , Absurdo Por lo tanto, la ecuación no admite solución alguna,

S

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE REAL Es una ecuación que se reduce a la forma: Siendo la variable o incógnita que pertenece a los reales, la ecuación se llama forma general de la ecuación de primer grado con una variable real. es decir, el conjunto solución es: S

Siendo la solución de la ecuación

2

3

Análisis de las raíces. Dada la ecuación: 1. Si La ecuación es compatible determinada y tiene solución única. 2. Si

La ecuación es compatible indeterminada y tiene infinitas solución, entonces

3. Si

La ecuación es incompatible y no tiene solucione, entonces

S

S

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE REAL Llamada también ecuaciones polinómicas de segundo grado. La forma general de una ecuación cuadrática con una variable real “x”, es: La forma normal de la ecuación cuadrática es:

ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA Dada la ecuación: 1) Si

entonces la ecuación es compatible determinada.

2) Si

entonces la ecuación es compatible indeterminada.

3) Si

entonces la ecuación es incompatible (imposible).

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA La ecuación cuadrática de baskara. 1. MÉTODO DE FACTORIZACIÓN

se puede resolver mediante una factorización o utilizando la fórmula

En la ecuación

(

debemos aplicar aspa simple al primer miembro, es decir:

)(

)

Se cumple sólo cuando

{

de donde el conjunto solución es:

}

Ejemplo: Resolver la ecuación Solución:

Se cumple sólo cuando Luego el conjunto solución es: 2.

FÓRMULA DE BASKARA Se utiliza cuando el trinomio dado por la fórmula:

de donde

2

3 no es factorizable en

√ Donde se obtienen las raíces:

. Luego las raíces (soluciones) de la ecuación esta

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 25 √

√

Donde el número real

es el DISCRIMINANTE de la ecuación cuadrática

Ejemplo: Resolver la ecuación Solución: identificando

(

) ( )

√(

)

, reemplazando en la fórmula cuadrática

( )(

)

√

√

Donde las rices son:

√

√

NATURALEZA DE SUS RAICES En la ecuación 1) Si

, entonces las raíces

de coeficientes reales, con raíces son raíces reales y diferentes.

se cumple:

Ejemplo: Resolver la ecuación Solución:

Se cumple cuando Donde

* Luego el conjunto solución es: 2) Si , entonces las raíces Observación: la ecuación cuadrática trinomio

+ son raíces reales e iguales. tiene dos raíces reales e iguales o solución única, si el

es un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: Resolver la ecuación Solución:

(

)

, Se cumple cuando

Donde Luego el conjunto solución es: 3) Si

{ ⁄ } es una única solución.

, entonces las raíces

son raíces complejas y diferentes.

Ejemplo: Resolver la ecuación Solución: identificando

(

)

√(

) ( )

, reemplazando en la fórmula cuadrática

( )( )

√

√

√

√

De donde las rices complejas son:

√

√

Donde: (√

) número imaginario

PROPIEDADES En toda ecuación

de coeficientes reales, con raíces

1. Suma de raíces: 2. Producto de raíces: 3. Diferencia de raíces: |

√

|

4. La ecuación que dio origen a las raíces (

)

(

)

Ejemplo: Sean Hallar

es:

raíces de

, si (

)(

)

S

Nos pide: (

(

)(

)

)

(

)

se cumple:

26 | C E P R U 2 0 1 5 RAÍCES ESPECIALES Sean raíces de la ecuación cuadrática Si una de las raíces es el inverso aditivo de la otra entonces las raíces son simétricas. ) Es decir: ó (

1.

Si

es una de las raíces, entonces la otra raíz será

talque

Si una de las raíces es el inverso multiplicativo de la otra entonces las raíces son recíprocas. Es decir: ó ( )

2.

Si

es una de las raíces, entonces la otra raíz será

talque

Ejemplo: calcular la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación ( ) ( ) Sabiendo que las raíces son reciprocas. Solución:

( (

) )

Identificando

y como las raíces son reciprocas, entonces se cumple: , luego la ecuación cuadrática queda:

Observación: Si las ecuaciones {

Tienen las mismas raíces (son equivalentes), entonces:

Ejemplo: Dada las ecuaciones equivalentes (

(

)

Solución: (I)

)

(

)

y

Hallar Por se equivalentes se cumple: ( II ) ( III )

De ( I ) y ( II ) De ( II ) y ( III )

(

Luego

)(

)

(

) EJERCICIOS

1.

Resolver la ecuación en x: Rpta:

2.

3.

.

8.

.

Determinar los valores de “m” de manera que las raíces de la ecuación tenga una raíz menor que 2 y otra mayor que 2. 〉. Rpta: 〈 Determinar la suma de cuadrados de las raíces de ( ) la ecuación ( ) , sabiendo que las raíces son reciprocas.

Rpta: 36. 9.

5.

Se considera la ecuación de raíces reales * +. Hallar la ecuación cuyas raíces y sean y . Rpta: La ecuación

10.

; es:

I. Es

6.

12.

Dada la ecuación:

Para que valores de m la ecuación tiene raíces iguales. Rpta: -1/2.

√

de raíces

√

y

√

. Determinar el valor de:

.

Rpta: 5/2. La solución de la ecuación es: 14.

Rpta: m+n=0. 7.

Si la ecuación: ; es compatible indeterminado. Hallar el valor de “m-n”.

La diferencia entre la mayor raíz y menor raíz de la ( ) ecuación: ( ) , es: Rpta: 14.

13.

Para que la ecuación ( )( ) sea incompatible, cual es la condición que debe cumplir m y n.

.

)

11.

II. Es compatible III. Es incompatible.

Rpta: incompatible

(

Rpta: 3.

.

compatible determinado. indeterminado. IV. Tiene como solución x=2.

Formar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean la suma y el producto de las raíces de la ecuación . Rpta:

Rpta: 82/9. 4.

Si las raíces de la ecuación cuadrática son reciprocas y la suma de raíces es b-5. El valor de “a”; es:

Hallar 3x ( )(

;

Rpta: 1. de la ecuación: ) , ( ) -

(

)(

)

.

Rpta:-2. ( (

) )(

)

15.

¿Cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones: I. . II. III. Rpta: solo II.

. No admiten raíces rales?

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 27 16.

Si la ecuación raíces a

y

; admite como tal que

33.

. Hallar “m”.

Una de las raíces de la ecuación:

(

) √

34.

√

; es:

√

√

Rpta:

19.

o

Si la ecuación:

tiene infinitas soluciones.

35.

Rpta.: 5.

El menor valor entero negativo de “n”, para que la ecuación: ( ) tenga raíces reales; es:

36.

una

de

las raíces de la ecuación: ; es -3 y la otra raíz, es:

)

Hallar el valor de x, si se tiene:

Hallar

el

.

de

valor

de

“m”,

si

la

ecuación

(

,

.

38.

( ) cuadrática: es incompatible. Hallar el

ecuación

)

valor de

mx  n  5x  3  9x  2 es Si la ecuación compatible indeterminada, el valor de m  n , es Rpta:3

40.

Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) Si x1  x2  0 , entonces las raíces son simétricas.

.

II) Si

Si las raíces dela ecuación: ( son iguales. El valor de “m”; es:

)

III) La suma de raíces es

28.

” para que la ecuación: ), sea compatible indeterminado.

la

ecuación

Hallar la mayor solución de la ecuación: (

; sabiendo que su

) Para qué valor de “k”, la ecuación: ( ( ) tiene raíces reciprocas. Rpta:-7.

El conjunto solución de ecuación

3x  5  7  x ,

El

conjunto

solución

de

la ecuación: , es:

Rpta {1} Calcular la suma de las raíces de la ecuación:

x  x x2

Hallar el valor de “a+b”, de manera que la ecuación: ; sea compatible indeterminada.

Rpta: 3. 32.

de

6  3x  12 x  24  16 x  x  2 44.

* +.

) ( ) discriminante es 25.

raices

Rpta:  1,3 43.

Rpta: 7. 31.

las

es:

; es compatible determinada.

30.

de

x  4  x  4  6  0 , es:

Para qué valor de b, la ecuación:

Rpta:

suma

Rpta:8 42.

) .

Rpta: 2. 29.

La

2

Hallar “m” de modo que: ( ) ( ) ; tenga raíces reales e iguales:

(

b c

Rpta:VVFV 41.

.

Calcular “

x1  x2 

1 1 b    , x1  0, x2  0 x1 x2 c

Determinar la ecuación cuadrática de raíces (a+b) y a.b, si a y b son raíces de la ecuación .

Rpta: (

x1.x2  1 , entonces las raíces son reciprocas.

IV) La suma de las inversas de las raíces, es

Rpta: 27.

2a  b .

39.

Rpta: 0; 2. 26.

Si la ecuación:

incompatible. Hallar Rpta.: .

Rpta:-9. 25.

.

10(a  b  8) x2  6(a  b) x  5ab  0 ; es

.

la

m para que se verifique:

Rpta.:

es

Para que valores de “m” la ecuación: ( ) ( ) ; tiene raicea reciprocas.

Si

Si a y b son raíces de la ecuación:

3x2  2(m  1) x  m  1  0 ; Determine el valor

Rpta:-10. 24.

a 2

Rpta.: 37.

; Determinar el valor de

9ab2  3a3  9a2b  3b3  192

incompatible: Rpta:

Si r y s son las raíces de la ecuación:

ax2  bx  a  0 (ar  b)(as  b)

Rpta:16/5.

23.

m m  84; Es de 34 .Hallar el valor de E  5 67

Rpta:-3/2.

Rpta: 7.

22.

Si la suma de los cuadrados de las raíces de:

x2 

( 21.

Hallar “a+b”, de manera que la ecuaciones: ( ) ; , sean equivalentes.

Hallar el valor de “k”.

Si

en la ecuación: , de manera que una de

Rpta:-13/3.

√ .

Rpta: -4. 20.

)

Rpta: -1/2.

√

18.

(

sus raíces sea la unidad.

Rpta: 24. 17.

Hallar el valor de “k”,

?

Rpta 4

45.

Hallar el valor de:

E

5 x  12  2 2 x  6

Rpta 3

3x

,

si x  0,3 

28 | C E P R U 2 0 1 5

f (x1)=ax2+bx+c

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE REAL. Es una desigualdad que tiene la forma general. Conjunto Solución En el conjunto solución, esta dado por los valores reales de la variable , que satisface la inecuación dada.

〈

〉

〈

〉

〈

] 〉

[

Ejemplo: Hallar el conjunto solución de la inecuación (

)

Solución:

S

,

〉

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE REAL La inecuación cuadrática o de segundo grado en una variable real

presenta la siguiente forma general.

SOLUCIÓN GENERAL Para resolver una inecuación de segundo grado es recomendable que desigualdad se invierte. Luego teniendo en cuenta el discriminante

(

1. Si

en caso contrario multiplicar por ( se presentan los casos.

) y la

) se cumple:



2



3



2



(

2. Si

3

) se cumple:

    3. Si ( ) La inecuación se resuelve por puntos críticos, pues el trinomio siempre es factorizable (ya sea por factorización o utilizando la formula de baskara) en el campo de los números reales. El procedimiento es:  Pasar todas expresiones a un solo miembro dejando cero en el otro.  Se factoriza la expresión, luego se iguala cada factor a cero para obtener los puntos críticos.  Estos puntos críticos se ubican sobre la recta real. Luego se asignan los signos ( ) y ( ) en forma alternada empezando de derecha a izquierda.  La solución de la inecuación estará expresada por las zonas positivas si el sentido de la desigualdad original es mayor que ( ) o mayor o igual ( )o por las zonas negativas si es que el sentido de la desigualdad original es menor que ( ) o menor o igual que ( ) Ejemplo: Resolver Solución: multiplicando por (

) se tiene

(la desigualdad se invierte)

)( ) Hallando los puntos críticos: ( Ubicando los puntos críticos en la recta real y asignando los signos ( ) y ( )

-

+ 3

- S

〈

-

+ 10

,

+ 〉

Teorema: Si el trinomio Ejemplo: Resolver

tiene discriminante

(

), entonces

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 29

Solución: El trinomio

( )( )

tiene discriminante

Entonces

luego la ecuación original es equivalente e resolver

(

)(

)

-

+

+

-4

-

5

+ ,

S

-

VALOR ABSOLUTO DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real “a” esta definido por: | | Propiedades: 1. | | 2. | | 3. | | | 4. | |

|

5. 6.

| | √ | | | || | ;

7.

⟨ ⟨

8. 9.

| |

| | | |

2

;

| |

; | | |

| | | ;

(Desigualdad triangular)

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Para resolver ecuaciones con valor absoluto se utiliza las siguientes propiedades. ( ) | | 1. | | | | 2. Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de | Solución: |

|

(

|

)

*

S Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de | Solución: |

|

|

|

+ |

|

|

*

S

+

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Para resolver inecuaciones con valor absoluto se utiliza las siguientes propiedades. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

| | | | | |

| | | | | |

( (

) )

( (

| | | |

)( )(

) )

Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de | | Solución: | (

| )….. Propiedad 1 〈

S Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de | Solución: |

|

〉

|

…. Propiedad 2

(

)

(

) (

Interceptando

( ,

S Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de | Solución: |

)

) 〉

|

|

….. Propiedad 3

S

〈

〉

〈

〉

30 | C E P R U 2 0 1 5 Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de | Solución: |

|

|

|

(

|

|

|

)( )( )

(

….. Propiedad 6

)

S

〈

-

EJERCICIOS 1.

Resolver la ecuación en x: Rpta:

2.

.

. y |

Sabiendo que

Rpta: 0

|

. Hallar el

17.

.

1.

El conjunto solución de la inecuación y

Rpta: 〈

; es:

〉.

〉.

Resolver: |

19.

Hallar el conjunto solución de: Rpta: *

Hallar la suma de todos los números enteros que

20.

. Rpta:-3. En las siguientes proposiciones indicar con (V) si es verdadero y con (F) si es falso: I. el conjunto solución de la inecuación: ; es

.

18.

〉.

satisfacen a la inecuación

5.

)

Entre que límites debe de estar comprendido “n” para que la inecuación: se verifique . Rpta: 〈

; para

4.

(

Resolver: Rpta: 〈

intervalo al que pertenece la expresión

3.

16.

El conjunto solución de: ( )( - , - , Rpta.: 〈

El conjunto solución de: 〉.

El mayor valor entero que satisface al sistema: ; es: Rpta.: 26.

; es * +. 24.

; es . Rpta: VFVF.

25.

El conjunto solución de la ecuación: | | | | |; es:

El conjunto | | ( Rpta: 〈

solución ), es:

de

la

26.

Hallar la suma del menor entero y el mayor entero | | | | que satisface a la inecuación: .

Rpta: . 11.

12.

Resolver: |

|

Rpta: *

+.

Resolver: || Rpta: ,

|

|

) Resolver: ( 〉 Rpta:〈

14.

) Dado: ( pertenece 〉. Rpta: 〈

.

.

Rpta: -

,

〉.

El conjunto solución de la inecuación: , es: Rpta.: 〈 〉.

30.

Hallar el conjunto solución de: ( )( -. Rpta.: 〈

31.

Hallar el conjunto solución de: Rpta.: 〈

32.

Resolver:

〉

29.

〉 . Hallar el intervalo al que

〈

.

Hallar el conjunto solución de: ( )( ) ( 〉. Rpta.: 〈

-.

13.

15.

.

. Señalando el

)

28.

|.

|

(

Hallar el conjunto solución de: Rpta.: 〈

.

|

Resolver: ( ) Rpta.:

27.

Resolver: |

-.

menor valor que puede tener “x”.

inecuación:

〉.

Resolver: Rpta.: 〈

|

Rpta: -11 10.

〉.

.hallar “m+n”.

Rpta: * +.

9.

Para que valores de “x” se verifica la siguiente inecuación:

Rpta.: 〈 , tal que

Rpta:3.

8.

)

22.

23.

IV. el conjunto solución de la inecuación:

7.

〉

〈

)

)(

〉.

Hallar el conjunto solución de:

. -

,

.

〉.

El conjunto solución de la inecuacion: ( ) 〉. Rpta.: 〈

Rpta.: 〈

.

)

Si

| |

+.

III. el conjunto solución de la inecuación:

6.

+.

.

, es

)(

Rpta: *

21.

II. el conjunto solución de la inecuación:

(

.

|

,.

Rpta.: 〈

〉

〈

〉

〈

〉.

)

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 31 33.

Hallar el conjunto solución de:

Rpta.: 〈 34.

35.

〉

y hallar su conjunto

52.

-

Para que valores de “ ” en la inecuación cuadrática siguiente se cumple que para todo : .

38.

Hallar el conjunto solución de:

(

Rpta.: 〈

54.

Señalar el menor valor entero positivo que verifique | la inecuación: | . Rpta.: .

55.

Al resolver: |

56.

)(

〉

〈

〉

〈

57.

58.

¿Cuántas de verdaderas? I.

las siguientes proposiciones son

II. (

)(

III.

tiene

)

IV.

tiene 60.

R Hallar el valor de k, si la ecuación ( ) ( ) Tiene solución única.

44.

61.

)(

,

,( 〉

Resolver

〈

Al resolver: ⟨

〈

)

(

)(

)

|

|

Determinar el conjunto solución de: | | | |

〉

〈

〉.

Señalar la suma de las soluciones enteras: |

|

.

El conjunto solución de la inecuación: | | | | | | |

El conjunto solución de la inecuación: | | | | | | -. Rpta.: ,

63.

El conjunto solución de la inecuación: | |

〉

⟨

Al resolver: | negativa.

, el conjunto solución, es:

|

|

| , indicar la solución

3.

Rpta.: 〈

|

Calcular: E  3x  2  2 x  8  2 x  4 ;

65.

Rpta.: 1. El conjunto solución de la siguiente inecuacion x  3  x  4 ; es.

⟨

|

|, el conjunto solución, es:

66.

El valor de la expresión:

E

+.

| Resolver: | ; siendo el conjunto solución * +, indicar “ ”. Rpta.: 6.

49.

Resolver: | * solución

67.

El conjunto solución de la Inecuación:

x2  2 x  5  x2  5x  6

| | | ; siendo el conjunto +, indicar “( ) ”.

La suma de las soluciones de la ecuación: | | | | | | | |, es:

4 x  1  x  1 Si x  0,1 ; es. x

Rpta.: 5.

; es.

1 Rpta.:   ,  7 

Rpta.: 81.

.

si x  0, 4 .

2 

48.

Rpta.:

6 x  11  3x  9

Rpta.:  7 , 

3.

Al resolver: ⟨

〉.

64.

El conjunto solución de: | | , es.

Rpta.: *

50.

|

62.

3.

Rpta.: 2 47.

)

〉

Rpta.: 2 46.

| 〉.

〈

 2

Rpta.: 2 45.

〉

Rpta.:   3 ,  

Resolver (

R

Hallar el conjunto solución de:

Rpta.:

R

43.

1.

Rpta.: 〈

2 3

tiene

Determina el conjunto solución soluciones de la | siguiente inecuación: | .

Rpta.: , 59.

tiene

, es:

|

1.

Rpta.: 0

Rpta.:

|, el conjunto solución, es:

|

El conjunto solución de: | Rpta.:0

)

〉.

|

|

 1 Rpta.:   ,  .  2

Al resolver:

R

,

El producto de las raíces de la ecuación: | | |, es: Rpta.: .

x2  8x  20  0 . El conjunto solución; es.

42.

⟨

53.

〉.

Determinar el valor de “a” tal que la inecuación: ( ) ( ) ; se verifique . Rpta.: 0

41.

El producto de las raíces de la ecuación: ⟨ Rpta.: .

Hallar el conjunto solución de:

37.

40.

, es:

|

es:

Rpta.: 〈

39.

La suma de las soluciones de la ecuación: ) | ( Rpta.: .

〉.

Resolver: solución: Rpta..

Rpta.: , 36.

〈

51.

68.

Determinar el conjunto solución de la ecuación:

 x  x  5  11 .

32 | C E P R U 2 0 1 5

8

Rpta.: 69.

86.

Al resolver la inecuación:

x  0 Se obtiene por x 5

, m  m, 

. Hallar el

87.

88.

Rpta.: 50.

89.

x  4

90.

4  3x  5 X  2 , el conjunto solución,

91.

conjunto

solución

de

la

solución 2 x  3  3  x  2  , es:

de

la

inecuación

95.

solución

de

la

Resolver la inecuación

96.

x  5  2x  4

2 x  1  x  10  x  5

97.

x4  2 x3  15x2  0

Cuántos valores enteros cumplen con la inecuación

Resolver 3  2 x  4 x  1

¿Cuántos valores enteros satisfacen la inecuación

2x  5  4x  3 ? Rpta:4 La suma de los valores enteros que cumplen con la

x2 desigualdad  2 , es: x 1 Rpta:9 85.

El conjunto solución de la inecuación 2 x  3  3 , es: x2 Rpta:

2,3

x2  2 x  3  0

Hallar el menor valor entero positivo que verifica la desigualdad:

El

conjunto

solución

2  x  1  x  x , es:

de

la

inecuación:

Si

x

es

un

número

real

que

verifica:

4x 1 9 , este número. ¿A que conjunto 2 x3 x3

pertenece?

 3, 5

Rpta:  1, 2   3  

84.

2

Rpta: Φ



Resolver la inecuación

Resolver:

Rpta: 4

Rpta: -∞,-3U[8,+∞  98.

El número real que satisface a la ecuación:

10  3x  x 2  x 2  x  6 , es: Rpta: 4

Rpta:6

83.

Determinar el mayor valor entero de k en:

2 1 x 1

inecuación

x2  4  4  2 x 82.

inecuación

Resolver la ecuación:

Rpta. [1,+

81.

la

Rpta: {-3,3}

Rpta:4,+

Rpta:

de

94.

2 x  3  4 x  5 , es:

80.

solución

Al resolver: 5  x  31  18 , se obtiene: Rpta: x  [-7,-6]U[6,7]

Rpta:–,1

Rpta.

conjunto

93.

El conjunto solución de

Resolver

1, 2

(2 x  1)2  x( x  1)  3  5x( x  3)  2( x  5)

inecuación

2x  5 1  x 2x  1 , es:  5  4 3 3 3

79.

2 se verifique para

Rpta: -7/5,+∞

conjunto

conjunto

El

m para que la

12 x2  4 x  5  k  0; x  R 92.

Rpta: –,3]

78.

inecuación

3x  5  x  2 , es:

2 x  3  3x  8 , es:

El

la

Rpta: 4

Rpta:[5,+

77.

de

Rpta:   7 ,  3   2 4  

Rpta:  ; 1  4 

76.

solución

Entre que límites debe variar

Rpta:

es:

El

conjunto

inecuación x  2mx  m  todo valor real de x .

6

75.

El

2

Si 2 x  3  4 x  2 ; determinar su conjunto solución.

El

1 3 x2  x  . Hallar m tal que m. 4 2 x4

Si

x  10 x  25  0 , es  5

Rpta.:  5 ,   

74.

inecuación

Rpta:

Conjunto solución de: 2 x  5  2  4 ; es.

Al resolver

la

2

Rpta.:  3 , 7  2 2   71. La solución de: x  4  4 x  8 ; es.

73.

de

Rpta:1/5

2

72.

solución

 4,8

Rpta:

valor de: “ 2m ”.

Rpta.:

conjunto

3x  6  5 x  2  4  2 x  60 , es:

conjunto solución

70.

El

99.

¿Cuál es el mayor número entero x que verifia:

5x  1 3x  13 5x  1 ?   4 10 3 Rpta: 0 100. El conjunto solución de:

2x 1  x  2 ,

Rpta: -1/3, 3 101. El conjunto solución de la inecuación,

2  x  x  3 , es: Rpta: -∞,-1/2] 102. Resolver:

1

1  8x 0 x  4x  3 2

Rpta: -3,-1U{2}

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 33 103. Determinar el menor de los números enteros M que satisface la inecuación: 4  6 x  3x2  M , x  .

104. Determinar el conjunto solución de la desigualdad:

( x  3  2)2  5 x  3  4 .

Rpta: 8

Rpta:2,4-{3}

f (x1)=ax2+bx+c

MATRICES Una matriz

de orden

es un arreglo rectangular de números reales expresados en

[ Abreviadamente la matriz

se denota como

0

Ejemplo:

filas y

columnas

]

[ ]

1

Es una matriz de orden

.

IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices

y

son iguales si son del mismo orden y sus elementos correspondientes son iguales, es decir:

[ [

Ejemplo: Las matrices

√

]

]

[

] [

y

]

son iguales

TIPOS DE MATRICES 1.

Matriz fila. Es una matriz que solo tiene una sola fila, es decir, es de orden

,

Ejemplo: 2.

Matriz columna. Es una matriz que solo tiene una sola columna, es decir, es de orden

[

Ejemplo: 3.

-

]

Matriz rectangular. Es una matriz donde el numero de filas es diferente al numero de columnas, es decir; es de orden

0

Ejemplo: 4.

1

Matriz cuadrada. Es una matriz donde el numero de filas es igual al numero de columnas, es decir; es de orden se denota como

[

0

Ejemplo:

1

]

[

]

DIAGONAL PRINCIPAL Y TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADA a) La diagonal principal de una matriz cuadrada iguales cuy:

La otra diagonal se llama diagonal secundaria.

b) La traza de una matriz cuadrada

denotado por

es decir:

( ) [

Ejemplo:

]

Diagonal principal: son los elementos Diagonal secundaria: Traza:

( )

PROPIEDADES DE LA TRAZA

1.

(

)

es una está formada por los elementos cuyos subíndices son

( )

( )

( ) es la suma de los elementos de su diagonal principal,

34 | C E P R U 2 0 1 5

5.

2.

(

3.

(

)

( ) )

(

)

Matriz nula. Es una matriz donde sus elementos son ceros y se denota por

0

Ejemplo:

1

[

]

MATRICES CUADRADAS ESPECIALES 1. Matriz diagonal. Es aquella matriz cuadrada donde todos sus elementos son nulos a excepción de por lo menos un elemento de su diagonal principal, es decir:

[

] 0

Ejemplo:

1

0

1

[

] √

2. Matriz escalar. Es una matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son todos iguales a un número real

, es decir:

[

* +

] 0

Ejemplo:

1

0

1

[

√

]

√ √

3. Matriz identidad.- Es una matriz escalar cuyos elementos de su diagonal principal son iguales a la unidad, se denota por I es decir:

I

I

Ejemplo:

I

0

1

I

[

]

4. Matriz triangular superior.- Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal son ceros. Es decir:

[

] 0

Ejemplo:

1

[

]

5. Matriz triangular inferior.- Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran por encima de la diagonal principal son ceros: Es decir:

[

]

Ejemplo:

0

1

[

]

MATRIZ TRANSPUESTA Definición: La transpuesta de la matriz

de orden

, es la matriz

de orden

, cuyos elementos se obtienen

intercambiando filas por columnas o viciversa.

S [

Ejemplo: Si

[

]

]

, entonces

[ 0

1

PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA

1. ( ) 2. (

)

3. ( 4. (

) )

5. (I )

I

MATRIZ SIMÉTRICA. Una matriz cuadrada es simétrica si Es decir:

[

Ejemplo:

[

] ]

.

]

(

)

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 35 MATRIZ ANTISIMÉTRICA. Una matriz cuadrada es antisimétrica si Es decir:

(

Ejemplo:

[

)

.

{ ]

PROPIEDADES DE LA MATRIZ SIMÉTRICA y ANTISIMÉTRICA 1.

La suma de dos matrices simétricas (antisimétricas), es una matriz simétrica (antisimétrica)

2.

El producto de dos matrices simétricas, no es una matriz simétrica.

3.

Si

es una matriz cuadrada cualquiera, entonces: 

es una matriz simétrica.



es una matriz antisimétrica.

4.

Si

es una matriz cualquiera, entonces tanto

como

, son matrices simétricas.

5.

La traza de una matriz antisimétrica es cero.

6.

La única matriz que es simétrica y antisimétrica es la matriz nula cuadrada

MATRIZ IDEMPOTENTE. Una matriz cuadrada es idempotente si

[

Ejemplo:

] I

MATRIZ INVOLUTIVA. Una matriz cuadrada es involutiva si

[

Ejemplo:

]

I

, donde

MATRIZ NILPOTENTE. Una matriz cuadrada es nilpotente si

[

Ejemplo:

]

donde

, se llama matriz nilpotente de índice

, donde

OPERACIONES CON MATRICES I. ADICIÓN DE MATRICES:

[

Dadas las matrices del mismo orden

[

]

,

-

0

Ejemplo: Si

[

y

]

, la matriz suma es otra matriz, definida por:

, donde

1

0

]

0

y

1

, entonces

1

II. SUSTRACCIÓN DE MATRICES:

[

Dadas las matrices del mismo orden

]

[

y

]

, la matriz diferencia es otra matriz, definida por: (

0

Ejemplo: Si

y

1

0

0

1

, entonces

1

PROPIEDADES: Sean

y

(matriz nula). Matrices del mismo orden, entonces:

1. 2. (

)

(

)

3. 4.

(

)

(

)

III. MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

[

Dada la matriz Ejemplo: Si

[

( ) ( )

0 (

] 1

) ( )

[

entonces

( ) ] ( )

encontrar

0

1

)

]

36 | C E P R U 2 0 1 5 IV. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES:

,

Dadas las matrices la matriz

-

[

y

, tales que el número de columnas de la matriz

]

son iguales, entonces el producto

,

-

[ ]

, es otra matriz de orden “

,

donde:

1

y

y el número de filas de

”, la cual se define como:

∑

Ejemplo:

0

Dadas las matrices:

[

, hallar el producto

]

.

Solución

0

1

, donde:

,

-[

]

( )( )

( )(

,

-[

]

( )(

,

-[

]

(

)( )

,

-[

]

(

)(

)

)

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

)

( )( )

( )( )

( )( )

. .

Por lo tanto:

0

1

0

1

PROPIEDADES: Sean

,

(matriz nula) e I (matriz identidad); matrices de órdenes compatibles con respecto a la adición y

multiplicación, entonces:

1. 2.

(

3.

(

4.

)

(

)

)

(

)

5.

I

I

6. 7.

Si

, no necesariamente que

8.

Si

, no necesariamente que

9.

Si

10. (

)

11. (

)

;

;

;

12.

.

. ;

. DETERMINANTES

Definición: El determinante de una matriz cuadrada A es el número real definido por | | ó

( )

∑

Donde

(

( )

∑

(

)

o

)

es menor complementario de

.

DETERMIANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN

0

Si

1

Ejemplo: Si

0

, entonces | | 1

⟨

⟨

, entonces | |

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN

⟨

⟨

(

)(

)

( )( )

.

REGLA DE SARRUS. Se utiliza sólo para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden

, se procede con los

siguientes pasos: 

Se escriben las dos primeras filas a continuación de la tercera.



Se trazan tres diagonales de derecha a izquierda y tres de izquierda a derecha



Se multiplican la diagonal principal y sus paralelas, luego se resta la suma del producto de la diagonal segundaria con sus paralelas.

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 37

[

Si

| |

]

||

| |

, entonces

(

)

||

(

)

Ejemplo:

Si | |

[

, entonces

]

(

)

(

|O| |I| | | | | | | | | | | | | |

||

)

I matrices cuadradas, entonces:

PROPIEDADES: Sean

1. 2. 3. 4. 5. 6.

||

| |

| |

| |

|

7. Si una fila o una columna de la matriz cuadrada A son todos ceros, entonces |A| = 0

[

]

, Entonces

| |

|

|

[

]

, Entonces

| |

|

|

8. Si dos filas o dos columnas de la matriz cuadrada A son respectivamente proporcionales, entonces |A| = 0.

[

]

, Entonces

| |

|

|

La primera columna es proporcional con la tercera columna.

[

]

, Entonces

| |

|

|

La segunda fila es proporcional con la tercera fila.

[

9. Si

]

es una matriz triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar o identidad, entonces | |

[

]

[ 10. Si

, Entonces

]

| |

|

|

| |

|

|

, Entonces

es la matriz que se obtiene al sumar un múltiplo de una de las filas de

[

]

[

]

Entonces

a otra, | |

entonces | |

| |

| |

2f1 + f2 11. Al intercambiar dos filas o columnas de una matriz, el determinante cambia de signo |

|

|

|

12. Si a todos los elementos de una fila o una columna de la matriz cuadrada A se multiplica por una constante “k” entonces el |A| queda multiplicado por dicha constante

Definición.- Se dice que la matriz

[

]

es singular, si | |

Definición.- Se dice que la matriz

[

]

es no singular, si | |

. .

38 | C E P R U 2 0 1 5 MATRIZ DE COFACTORES Sí A es una matriz cuadrada de orden

, el cofactor del elemento

es el determinante que resulta de eliminar la fila

[

Ejemplo: Si

con la columna

(

se define como:

)

, donde

de la matriz

]

El cofactor de

es:

(

)

⟨

⟨

El cofactor de

es:

(

)

⟨

⟨

El cofactor de

es:

(

)

⟨

⟨

El cofactor de

es:

(

)

⟨

⟨

El cofactor de

es:

(

)

⟨

⟨

El cofactor de

es:

(

)

⟨

El cofactor de

es:

(

)

⟨

⟨

El cofactor de

es:

(

)

⟨

⟨

El cofactor de

es:

(

)

⟨

⟨

⟨

Luego:

( )

[

]

MATRIZ ADJUNTA Si

es una matriz cuadrada de orden

, se define la matriz adjunta de

y se denota por

( )

a la transpuesta de la

matriz de cofactores de la matriz A.

( )

Es decir:

*

( )+

Ejemplo: Del ejemplo anterior:

( )

*

( )+

[

]

MATRIZ INVERSA

[

La matriz inversa de

]

está definida por:

( )

| | INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEN Dada la matriz

0

1

no singular, entonces la matriz inversa de

I (matriz identidad)

Donde Ejemplo: Dada la matriz

0

1

Encontrar la matriz inversa de

El determinante de A es: | |

( )

( )

Entonces:

| |

0

1

0

1

[

⁄

⁄

⁄

⁄

]

Ejemplo: Dada la matriz

[

]

, encontrar la matriz inversa de

Solución El determinante de A es: | |

( )

[

]

esta dado por:

| |

0

1

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 39 Entonces:

( )

| |

[

]

PROPIEDADES

1.

I

2.

I

3.

(

4.

(

5.

(

6.

(

7.

| |

I ) ) ) )

(

)

| |

EJERCICIOS 1.

En las siguientes proposiciones indicar con V si es verdadero y con F si es falso. I. la matriz cuadrada [ ] es triangular superior si

8.

]. Una matriz simétrica.

Hallar el valor de:

.

II. Toda matriz nula es triangular superior y triangular inferior.

[

Sea

.

Rpta: 70 9.

III. Toda matriz diagonales simétrica.

La

traza

[

IV. No toda matriz cuadrada es invertible.

de

la

matriz

],es:

inversa

de:

Rpta: 11/4

Rpta: FFVV. 2.

En las siguientes proposiciones determinar el valor de verdad:

10.

11.

El

determinante

de

[

la

Dada

[

. Calcular |

{

Dadas

]

tal

14.

|.

15.

[

matrices

] ;

]. Calcular traza de (

Si

Dado

Hallar el valor de “k”, de manera que determinante

[

]. Es -15.

La traza de la matriz inversa de

Dada

la

matriz

Hallar

la

traza

0

).

16.

[

y

], es:

[

1 .Hallar det(

17. . Halle la matriz

0

).

inversa

de

Rpta: 1/5

¿Para qué valor de x la matriz

| no admite matriz inversa?

0

Dados

1

0

matriz

1 . Halle tr (

).

( ),

Rpta: 0.

1 18.

1

matriz

Rpta: para cualquier valor real de m inversa .

] . Calcular: | | .

( )

dela

].

|

sabiendo que: Rpta: 0

y

]. El mayor elemento de X; es:

[

Rpta: -4/5 7.

1

Rpta: 20

que

Rpta: 27/10. 6.

0

Rpta: -1

las

[

.

Rpta: 4

Rpta: 218. 5.

]

, donde

de la matriz

13. matriz

[

Rpta: 11. 12.

]; es:

la

) [

matriz

Rpta: 0. 4.

]

En la siguiente ecuación matricial

(

Rpta: VVFV. 3.

[

Rpta: 82.

III. Determinante de una matriz cuadrada no nula; siempre es diferente que cero. IV. Dada la matriz A de orden 3x3, si al intercambiar las filas 1 y 3 se obtiene la matriz B y al intercambiar las columnas 1 y 2 se obtiene la matriz C; entonces | | | |.

]

Calcular: “a+b+c”.

I. La única matriz que es simétrica y antisimétrica; es la matriz nula cuadrada. II. En toda matriz cuadrada A de orden 3x3; ( ) ( ( ( )).

[

Si

Sea (

)

donde

. Rpta: [

]

{

. Halle la matriz

40 | C E P R U 2 0 1 5 19.

(

El valor de x de ⟨

) ⟨

⟨

⟨;

es:

33.

Si

la

[

matriz

] ,

es

[

].

simétrica. Hallar “a+b”.

Rpta: ¾.

Rpta: -5. 20.

[

Sea

] tal que

. El

34.

Rpta: 0.

35.

]. El valor de |

[

Si

|; es: 36.

0

1, la traza de la matriz

[

] 0

1

37.

.

[

]

[

] .

Calcular

0

Dada la matriz transpuesta

1.

Sean

1,

0

matriz ,(

)(

1,

0

)-

1 . Hallar la

40.

.

1.

0

1 ; una matriz tal que traza (

)

Rpta: 5.

| √

Dado:

√

[

Dada la matriz

0

1 ;

Hallar (

)

.

0

1 y

0

Rpta: [

3.

], es 9. ”, en la matriz escalar: ]

Rpta.: 9. Dada la matriz triangular superior: [

], hallar | |.

Rpta.: 24. 46.

Si

x 5 x  y 1  y 1   ; es una matriz A  x7 5 x  y  3  y  3 x  y  10 x  1  

triangular superior. Hallar

].

Rpta: no existe.

], dos matrices,

[

[

Hallar la inversa de la matriz

[

]y

Rpta.: 7. Hallar el valor de “

1 .

de la matriz de cofactores.

1, hallar la

0

Hallar el valor de “ ”, si el determinante de la matriz: [

] . Hallar el producto de los y

1,

]; es singular:

Rpta.: 2

]. [

[

[

44.

Sea

0

42.

45.

32.

, mostrar su forma desarrollada, para

Dadas las matrices

], la traza de la matriz

Rpta: 2.

elementos Rpta: 2.

, definido por:

si la traza de la matriz es , el valor de “ ” es: Rpta.: 4. Hallar los valores de “x”, para los cuales la matriz:

43.

Dada:

]

Si

.

inversa de A; es:

31.

[

Dada la matriz

41.

| . Hallar el valor de “k” si

Rpta: 5.

30.

de la matriz de cofactores de A.

suma de los elementos de la matriz , en: ( ) ( ) Rpta.: 7

. Calcular el valor de “n”.

29.

].hallar la suma de los

luego calcular la suma de sus elementos. Rpta.: 3.

dos matrices tales que:

Rpta: 0

28.

y

{

-.

Rpta: 1

Sea

[

Dada la matriz elementos

39.

Calcular ,

27.

|.

Rpta: 6.

Rpta: 2

0

1. Hallar |

0

Dada la matriz Rpta: 1/3.

“m+n+p”.

26.

]; es:

Rpta: 40.

38.

25.

1; .

[

.

Simplificar:

Si:

0

El determinante de la matriz triangular inferior:

;

Rpta: 0 24.

1.

Dadas las matrices

es:

23.

.

Rpta: 19.

Dada la matriz

Rpta:

1. Hallar

Hallar la traza de la matriz

Rpta: -25. 22.

0

Rpta: 0

determinante de A es:

21.

Si

47.

A

.

Rpta.: 80. Halle el valor de “k” sabiendo que:

 3 k 1 2    A  1 k 1 ; es singular. 0 k 3 4   

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 41 Rpta.: 48.

19 12

51.

Resolver la ecuación:

1

2

4

1

3

9  56 .

1

x

x2

Rpta: 0 52.

Rpta.: 5;10 49.

1  w  w2  0 , el valor del determinante de la 1 w w2    2 matriz A   w w 1  , es:  2  1 w   w Si

Hallar el valor de

 k 8 4  C   7 9 5  6 10 6 

Dada las ecuaciones matriciales:

2 1 2  2 1 2   ; A  B   2 1 1  . Hallar traza de A  2B   2 5 6    0 1 1 4 1 1    

A.

Si

53.

Hallar los valores de x para que la matriz:

 x 2  3 1 A   2 x 1 Tenga inversa.

1 4 3   . Hallar traz(cof ( A)  adj( A)) . A   1 1 0   2 0 2  

Rpta.:

, es 16.

Rpta:4

16 Rpta.: 3 50.

k si el determinante de la matriz

Rpta.

x

 {3, 1}

.

f (x1)=ax2+bx+c

SISTEMA DE ECUACIONES Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con dos o más incógnitas (variables) que se verifican para los mismos valores de las incógnitas. CONJUNTO SOLUCIÓN: Se denomina conjunto solución a los valores numéricos reales de las incógnitas (variables) que satisfacen al sistema. CLASES DE SISTEMAS: I.

SISTEMA COMPATIBLE Cuando el sistema tiene (admite) soluciones. Estos a su vez pueden ser:  Sistemas compatibles determinados. Cuando el sistema tiene un número finito de soluciones. Estos sistemas se caracterizan por tener el número de ecuaciones igual al número de incógnitas.  Sistemas compatibles indeterminados. Cuando el sistema tiene infinitas soluciones. Estos sistemas se caracterizan por tener el número de ecuaciones menor al número de incógnitas.

II. SISTEMA INCOMPATIBLE (ABSURDA O INCONSISTENTE) Cuando el sistema no tiene (no admite) solución. Esto ocurre cuando el número de ecuaciones es mayor al número de incógnitas. SISTEMAS EQUIVALENTES Dos o más sistemas distintos son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES Está dado por: Si

……(I)

{

;

entonces el sistema es homogéneo.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN Para encontrar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones de dos variables existen varios métodos como: Método de sustitución, Método de reducción, Método de igualdad de variables, Método de determinantes (regla de Cramer) SOLUCIÓN A UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES POR EL MÉTODO DE DETERMINANTES (REGLA DE CRAMER)

Dado el sistema {

42 | C E P R U 2 0 1 5 S

S

|

| ;

Determinante del sistema.

|

| ;

Determinante de “x”.

⟨

⟨

Determinante de “y”.

*(

El conjunto solución está dado por:

Ejemplo: Dado el sistema: {

) + donde:

determinar el conjunto solución.



Solución: los determinantes con respecto al sistema, a la variable “x”

S

⟨

;

⟨

⟨

;

⟨

⟨

“y”, son:

⟨

.

Donde:

*(

Por lo tanto el conjunto solución será:

)+

*(

)+

ANÁLISIS DE L SISTEMA: 1.

Si S

, entonces el sistema (I) es Compatible Determinado. En este caso las rectas se interceptan en un solo

L

punto.

L L L

Ejemplo: {

es un sistema compatible determinado.

S

2. Si

entonces el sistema (I) es Compatible Indeterminado. En este caso las rectas son

coincidentes (rectas paralelas e iguales).

L

Ejemplo:

3.

Si

L { L

S

L

es un sistema compatible indeterminado.

(

) entonces sistema (I) es Incompatible. En este caso las rectas no son

coincidentes (rectas paralelas y diferentes).

L L Ejemplo: {

L L

es un sistema inconsistente.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE TRES VARIABLES:

Está dado por: Si

……(II)

{

;

entonces el sistema es homogéneo.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN Para encontrar el conjunto solución a un sistema de ecuaciones de tres variables existen varios métodos como: Método de sustitución, Método de reducción, Método de igualdad de variables, Método de determinantes (regla de Cramer) SOLUCIÓN A UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE TRES VARIABLES POR EL MÉTODO DE DETERMINANTES (REGLA DE CRAMER)

Dado el sistema

{

;

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 43 S

S

|

| ; Determinante con respecto al sistema.

|

|; Determinante con respecto a la variable “x”.

|

|; Determinante con respecto a la variable “y”.

|

| ; Determinante con respecto a la variable “z”. *(

El conjunto solución está dado por:

) + donde:

Ejemplo: Dado el sistema de ecuaciones {

, determinar el conjunto solución.

Solución: los determinantes con respecto al sistema, y a las variables “x”, “y” y “z” están dados por:

|

|

|

|

|

|

|

|

Donde:

*(

Por lo tanto el conjunto solución será:

)+

*(

)+

ANÁLISIS DE L SISTEMA: 1.

Si S

2.

Si S

3.

Si S

, entonces el sistema (II) es Compatible Determinado.

Z

entonces el sistema (II) es Compatible Indeterminado.

(

), entonces el sistema (II) es Incompatible. EJERCICIOS

1.

Del

sistema

de

ecuaciones:

{

.

7.

El valor de “x+y”; es:

Si

{

el

sistema

(

de

ecuaciones

)

8.

9.

En el sistema {

. Hallar

en

el

sistema:

.

{

Qué valor debe tomar “m” para que “x” sea igual a .

Hallar “a+b”, el sistema: {

Rpta: 69. tiene infinitas

soluciones. qué

valor

( (

) )

sistema: {

de

“n”

el

siguiente

; no tiene solución.

Rpta:32. 11.

Hallar “m” en el sistema para que x exceda en 4

Rpta: 17/5.

unidades a y. {

Determinar el valor de “m”, para que el siguiente ( ) sistema: { sea compatible ( ) determinado.

Rpta: 52.

Rpta: 6.

“z”

y en el sistema: {

. 10.

Para

Hallar

Rpta: 1/7.

Rpta: 1.

5.

valor de “a”; es:

lineales

; es indeterminado. El valor

Rpta: 19.

4.

y

Rpta: 12.

de “m+n”; es:

3.

son equivalentes. El

{

Rpta: 1. 2.

Si los sistemas son equivalentes: {

*

{

El

valor de “y” en el

sistema: {

.

Rpta: 1/3.

+.

Para qué valor de “n” el conjunto solución del sistema:

12.

.

;

es

*(

)+

.

13.

Hallar el valor de “m”, si el siguiente sistema admite solución única: {

Rpta: 14. Rpta: -1/2.

.

44 | C E P R U 2 0 1 5 14.

Determinar

( {

“a-p”

) (

de

modo

que

el

sistema:

, es compatible detrminado.

)

Rpta.: 28.

Rpta: 4. 15.

(

“x”

) )

( (

al

)

)

(

resolver:

)

29.

.

Determinar ( sistema: { ( inconsistente.

) )

“m”

para

que

¿para qué ( ) { ( )

30.

Rpta:

“a”

el

de “a” ) )

hace

que

sea

En el sistema: {

el

incompatible?

32.

el

valor

de

sistema: {

“z”

del

siguiente

22.

Para que valor de “n” el siguiente sistema no tiene solución: ( ) { . ( )

Para qué valor de “a”, el sistema de ecuaciones lineales, tiene solución única.

( { (

) )

33.

24.

25.

34.

35.

* +.

Dado

el

sistema

de

ecuaciones

x , es:

Determine el valor de

m

para que el sistema

¿Qué valores reales toma

n

para que el sistema

 0, 6

Rpta.: 4. La condición de “a” para que el sistema:

)

Admita solución única, es:

¿Qué valor debe tomar m para que y en el siguiente sistema?

x

sea igual a

 mx  6 y  143   7 x  my  26 Rpta:5 36.

El

valor

de

m

para

que

el

sistema

3x  2my  6 sea indeterminado es:   4 x  2  m  1 y  8 3 Rpta:  7

Si el sistema de ecuaciones lineales, ( ) { ( )

(

y

 n  3 x   n  4  y  n  3   2n  3 x   n  4  y  5

.

) )

Rpta.:

Rpta:

¿Qué valor debe tomar “k” para que el siguiente sistema sea incompatible?. ( ) { ( )

( { (

)

)

Sea compatible determinada?

Es compatible indeterminado, hallar el valor de .

27.

(

sea inconsistente Rpta:22/7

+

Hallar el valor de “a+b”, de manera que el sistema: ( ) { tenga infinitas soluciones. ( ) Rpta: 13.

Rpta.: 26.

*

Halla los valores de “a” y “b” para que el sistema:

 4  m  x  12 y  3   m  3 x  2 y  4

.

Rpta:

.

10 Rpta:  11

Rpta: 13/5. 23.

.

El valor

.

Rpta: 7.

”, es:

 x  2z  6   3x  4 y  6 z  30   x  2 y  3z  8 

Rpta: 4. Hallar

y{

)

Sea incompatible:

; es:

21.

(

Que valor debe tomar “a” para que “x” sea el doble de “y”, al resolver el sistema:

{ (

sistema:

. El valor de

)

Rpta.: 31.

+

+.

{

sistema:

admite solución única.

*

¿Qué valor ( ) ( { ( ) ( Rpta: -3.

de

*

Si los sistemas:

Rpta.:

sea

valor

y

Son equivalentes; el valor de “

el

Rpta: 22/7.

20.

)

{ (

Rpta: a+b.

19.

( {

Rpta.:

Hallar

{ (

18.

Los valores de “a” y “b” para que el sistema:

No admita solución, son:

.

Rpta: 4.

17.

+.

Determinar la condición que debe cumplir “a” para que el sistema sea determinado. {

16.

*

37.

Para

que

valor

de

a

el

 a  3 x  3 y  b  3 , tiene solución única?   a  1 x  2 y  b  1 Rpta:  3

sistema

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 45

38.

3x  4 y  z  1  El valor de x  y  z del sistema  x  y  3z  3 , 3x  2 y  2 z  0 

Determinar el valor de Rpta. 5 48.

Determine el valor de

m

para que el sistema

 4  m  x  12 y  3   m  3 x  2 y  4

son equivalentes, el valor de a, es: Rpta. 12 49.

Determine el valor de

m

L1 :  2m  1 x  my  9  0

para que las rectas

Tiene solución única, cuando Rpta.

L2 : mx   m  1 y  7  0

50.

Se corten en un punto situado en el eje Y. Rpta:9/16 41.

Hallar

51.

¿Para qué valor de

n

el sistema

 nx  4 y  n es   x  ny  3  n

incompatible? Rpta: 2 valores

Rpta. z=2 52.

de

para

k

que

el

es:

44.

Indicar el valor de

x

Rpta: x

45.



El valor de m, es: Rpta. m=-31 54.

1 a  c   a  b 

1   Luego de resolver el sistema  x  7   x Indicar el valor de

1 5  y 6 5 11  y 6

Rpta. a=3 55.

Rpta. m = -1/2

Del sistema:

x y z  6

, es:

Rpta. 1/3

47.

¿Qué valor debe darse a m para que el sistema:

 y  mx  2   x  y  10 ; admita solución única?  x  my  3 

x y

El valor de y del sistema:

2 x  3 y  2   x  2z  1 3 y  8z  3 

¿Qué valor debe tomar a para que x sea igual a y en el siguiente sistema?

ax  4 y  119   5 x  ay  34

Rpta:5 46.

Dado el sistema incompatible:

 (m  11) x  (m  16) y  31   (m  15) x  (m  19) y  91

, a partir del sistema

x  y  z  0 compatible determinado   ax  by  cz  0 bcx  acy  abz  1 

a  p de modo que el sistema:

Tenga infinitas soluciones: Rpta. 6 53.

 3

Determinar

(a  1) x  4 y  10   2 x  ( p  1) y  5

sistema

 2 x  5 y  3z  1  sea compatible determinado,  x  y  z  21 3x  ky  z  35  Rpta:

Hallar z, del siguiente sistema:

x  2y  z  7   3x  y  z  8  2x  y  5 

Rpta:2

Los

Para que valor de n, el siguiente sistema no tiene solución:

Rpta. 17/5

z  x  10

43.

a , es:

a   {3}

 (n  1) x  3 y  1  (n  5) x  2 y  3

x , en el siguiente sistema

x y  7 y  z  13

42.

El sistema lineal:

(a  3) x  3 y  b  3   2 y  (a  1) x  b  1

Sea inconsistente Rpta:22/7 40.

Si los sistemas:

ax  4 y  32  3x  y  4 y  ,   5 x  ay  34 2 x  3 y  10

es: Rpta: 3 39.

z 2  2z  2

x  y  5  y  z  3 x  z  4 

56.

Al resolver el sistema Hallar el valor de Rpta. z=3

2 x  3 y  2 z  14 x  y  5 z  14 z

46 | C E P R U 2 0 1 5

f (x1)=ax2+bx+c

1. PAR ORDENADO Un par ordenado de componentes “a” y “b” es un ente matemático denotado por (

) donde “a” es la primera

componente y “b” la segunda componente. IGUALDAD DE PARES ORDENADOS Dos pares ordenados (

) son iguales si y sólo si sus componentes son iguales.

) (

Es decir: ( ) ( ) de tal manera que (

Ejemplo: determinar el valor de Solución:

)

(

)

(I) (II) De (II) en (I) 2. PRODUCTO CARTESIANO

(

)

Dados dos conjuntos . se llama producto cartesiano de ) tal que pares ordenados ( , se denota por

*( *

Ejemplo: Sean los conjuntos

*(

)(

)(

)(

)(

+y )(

)

* )+

Cuando los conjuntos finitos y tienen tiene elementos. Es decir:

y

+y * ) ( ) ( )

* (

+

+, entonces: elementos respectivamente, entonces el producto cartesiano

( Ejemplo: Entonces:

en ese orden al conjunto formado por todos los esto es:

)

( )

( )

+ Pares ordenados.

PROPIEDADES: Si

entonces

1. 2. (

)

(

)

3.

(

)

(

)

(

)

4.

(

)

(

)

(

)

5.

(

)

(

)

(

)

6. Si

entonces (

)

(

) RELACIONES BINARIAS

Sean

dos conjuntos no vacios. Un conjunto

subconjunto cualquiera de

de pares ordenados, se llama relación binaria de

, si

es un

, es decir: Es una relación binaria de

* Ejemplo: Sean los conjuntos subconjuntos del producto cartesiano

+y

*

+ , entonces las siguientes son relaciones de

*(

)( *(

*(

si y solo si

)

)( )(

)( )(

por ser

)+ )+ +

OBSERVACIÓN: Si

tiene

elementos, entonces

tiene

subconjuntos, por lo tanto existen

relaciones de

.

Del ejemplo:

*

+

( )

*

+

( )

(

)

( )

( )

( )

Por lo tanto existen

relaciones de

𝐚

R

( )

𝐛

DOMINIO Y RANGO Dada la relación binaria

( )

*

entonces:

(

)

+

Conjunto de Partida o conjunto de Pre imágenes

Conjunto de llegada Imagen o conjunto de imágenes

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 47 ( )

R

*

(

)

+

Ejemplo: Sea la relación

*(

)(

( )

)(

*

( )

R

)(

)(

)(

)(

)(

)+ entonces:

+

*

+ RELACIONES REALES DE VARIABLE REAL

Si

, se obtienen relaciones reales de variable real. En general una relación real se expresa como:

*( Donde: P(

) es una expresión algebraica ral.

Ejemplo:

*(

)

)

P(

)+

+

CÁLCULO DEL DOMINIO Para determinar el dominio de una relación real expresada como una ecuación ( términos de

, luego se analiza los valores reales que toma la variable

, se despeja la variable

)

para que la variable

en

sea real.

Ejemplo: Calcular el dominio de la relación:

*(

)

+

Solución:

√ √

( )

√

,

-

CALCULO DEL RANGO ) Para determinar el Rango de una relación real expresada como una ecuación ( , se despeja la variable términos de , luego se analiza los valores reales que toma la variable para que la variable sea real.

en

Ejemplo: Calcular el rango de la relación

*( ) Solución: ( R

+

) ( )

*

+ EJERCICIOS

1.

Sean los pares ordenados

(

)

Rpta: (

(

) iguales. El valor

de “a-b”; es.

8.

Rpta:1 2.

Si

*

+;

*

+. Hallar n(AXB).

9.

El dominio de la siguiente relación

*(

)

Rpta: ( 4.

Dada

la

√(

)(

Rpta: ( 5.

dominio

Rpta: 7.

〉

*

〈

*(

definida por: * +y

+; siendo

)

12.

*(

relación:

)

)

+; es. ).

Dados los conjuntos: definen las relaciones:

+ R (R ) Rpta: * 13.

+.

+.

El rango de la relación: :

Rpta: ,

〉.

+; es.

*

*(

)

+.

)

R

El dominio de la relación:

Rpta: 11.

Hallar rango de la relación:

*(

)

(R).

de la +.

(R) si

+.

*( {(

)

Dada la relación: +; Hallar (R) R

Hallar

10.

)}; su dominio; es. ,

R

Hallar los puntos de intersección de la siguiente *( ) + ; con los relación: ejes coordenados.

)

relación

-

Rpta: 〈 6.

,

(R)

)

Rpta: (0,-3/2).

+; es. -

*( *

Rpta: * +.

Rpta: 18 3.

Hallar

-.

*(

)

* *(

+; )

*

+ .Hallar R

+

El dominio de la relación ; es

*(

)

+

+ se (R )

48 | C E P R U 2 0 1 5 Rpta. , 14.

- .

Hallar el dominio de la relación:

*(

26.

)

Rpta. , 15.

Rpta.: ,

+. + y *( ( ).

*

+ .

* )

27.

*(

)

*(

)

+, calcular el

(

18.

29.

+.

+;

*

* )

*( )

(

(

*( *( *(

) )

)

(

(

)

)

hallar 32.

+, y

33.

+, +, hallar el valor de:

*(

)

*(

)

+,

35.

).

+

〈

〉

〈

〉

El rango de la relación

*(

R

)

( )

+

〈

〉

〈

〉

Hallar el dominio y rango de la relación:



2

Dada



/ x 2  y2  6x  4y  23  0

la



2

relación

/  2  y  9  x 2

2

real

 . Hallar Dom(R)

El conjunto de números enteros que satisfacen el rango de la relación



/ 2x 2 y  4x 2  3y  6  0 , es:

2

36.

)

|



el

dominio

*

|

+,

Rpta.: 45. Hallar el dominio de la siguiente relación:

)

|

rango

2



la

relación

 {3}  {1}

Dada

la



de

2

relación



/ x y  x  4xy  4y  0 , determinar el 2

2

Determinar el dominio y rango de la relación



R  (x; y) 



/ xy2  3y2  1  0

2

Rpta. Dom(R) = 3; + Ran(R) =  {0}

+, donde la relación +. Hallar ( ).

)

y

/ xy  x  5x  3y  6

2

conjunto que no satisface al conjunto Dom(R) Ran(R) Rpta. {1; 2}

+, se define la relación: +, si “ ” es la suma de

*(

Hallar

R  (x; y) 

los elementos del dominio y “ ” es la suma de los elementos del rango. Hallar “ ”. Rpta.: .

*(



Ran(R)

Rpta. Dom(R) = Ran(R) =

37.

*



En la relación R  (x; y)  2 / x 2 y  4x 2  2y  4  0 .

R  (x; y) 

*( | | Sea ) Hallar el dominio de la relación. -. Rpta.: , *(

25.

( )

Hallar Dom(R) Rpta. 2; 4

Rpta.: 10.

Sea

)



34.

+, se definen las relaciones: +,

* +, se define la relación: *( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ * + Si ( ) * + ( ) * +, ( ) Calcular (( ) )

24.

*(

Rpta. {-1; 0; 1; 2}

*

En

+

El dominio de la relación

R  (x; y) 

.

21. En

23.

*

Ran(R) Rpta. –1; 3

̇ +,

Hallar: Dom( +. Rpta.: *

22.

+

( )

R

R  (x; y) 

+y

*

Rpta.: 3.

20. Sea

)

Rpta. Dom(R) = –9; 3 Ran(R) = –8; 4

).

* )

*(

R  (x; y) 

+,

,

El rango de la relación

R

+,

Rpta.: 12.

19. Sean

30.

31.

+,

) (

( )

+

+, hallar la

Dados los conjuntos suma de los elementos del dominio de la relación , definido por: *( +. ) Rpta.: 14.

*(

)

R *

Sean

*(

R

).

Rpta.: * 17.

28.

+,

El dominio de la relación

R

+ y dadas las relaciones en , definidas

*

+

)

Rpta.: 3.

Dados los conjuntos Determinar la relación +. Hallar ( )

Sea por:

La suma de los números enteros de su dominio de la relación dada es:

*(

-.

Rpta. * + 16.

-.

|

38.



Dada la relación R  (x; y) 

/ y  15  x  2



; x    a; b  , determinar el valor de 2a+3b. Rpta. 73 39.

Hallar

el

 R   (x; y)  

dominio

de

la

x  4  4  x  2 /y  x x 

Rpta. –2; 2 – {0}

+

2

4

2

2

relación

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 49 40.

Hallar

el



dominio

R  (x; y) 

2

y

rango

de

/ y  2  5  4x  x

2

la



relación 50.

siguientes relaciones:

Rpta. Dom(R) = –8; 4 Ran(R) = –2; 1 41.

 x, y   A / y  x   x, y   A / y  x   x, y   A / y  x  2  0

R1 

Dado los conjuntos:

A  2 x  1/ x  ,  1  x  5 y

R2

B  1  2 x / x  ,  2  x  4

R3

2

2

R   x, y   A  B / x  y  8 . Hallar n  R 

Hallar

Rpta:10 Hallar

R

 x, y  

Rpta: 43.

Dom  R  2

Ran  R  de la siguiente relación:



2

51.

 5, 2 A  2; 4 y B  2; 2; 8 .

52.

Dados los conjuntos: y

B  {6,8}

.

Rpta: {2}

Rpta.24

Hallar el número de elementos del conjunto AxB, si.

/

x 1   0 x7 

R : A  B , Talque R  ( x, y)  AxB / x  y  16.

53.

Hallar el rango de la siguiente relación:

54.

Hallar el rango de la relación:

y



 R   x, y   

Sea

2

/y

x2 5   x  4 4 

es

Rpta:

55.

1/ 4, 

Hallar

R

el

valor

 x, y  

2

en



la

56.

A  2,3,5 y B  1, 4 . Se

definen las relaciones:

57.

R1   x, y   A  B / x  y

dominio

Hallar

R

el

Dominio

 x, y  

2

58.

de

y

 0



el

Dominio

Rpta: Dom  T 

2



relación

Rango



de

la

El dominio de la relación:

R  ( x, y)  R 2 / y 2  x 2  4 y  6 x  23  0,es:

Rpta.[-9,3]

relación

/ y2 x  3 y2  1  0

Ran  S  

 x, y  

Hallar el dominio y rango de:

Hallar el dominio de la relación:



R  ( x, y)  R 2 / y  2  5  4 x  x 2

 3, 

T

la

59.

Rpta: Dom  S 

Hallar

R  ( x, y)  R 2 / y  x 2  4 x  3  0 Si

Rpta. [-3,3], [-1,5]

R3   x, y   A  B / x  y  9 el

Sea:

(2  y ) 2  9  x 2

R2   x, y   A  B / y  x  2

 R1  R2   R3  R2  Rpta: 3,5

R  ( x, y)  R 2 / y  x 2 y  1  0

el dominio de R es [-3,1]. La suma de los números enteros de su rango, es: Rpta. 35.

Rpta:73

Hallar

 2, 2

Hallar el dominio y rango de la siguiente relación:

relación

/ y  15  x  2 , si x    a, b

Dados los conjuntos

R  ( x, y)  R 2 / 2 x 2 y  4 x 2  3 y  6  0

Rpta. Dom( R)  R  {1,1}; Ran( R)  R  [0,1

2a  3b

de

R  ( x, y)  R 2 / y( x  3)  x 2  5x  6 Rpta. Ran( R)  R  {1}

Rpta. Ran( R) 

una

relación real. Hallar su rango

49.

, es:

Hallar la suma de los elementos del dominio de



48.



A  {4,10,14}

Rpta:18

47.

El rango de la relación:

Hallar la intersección del Dominio y Rango de la relación , siendo R: A B

B  x  / x2  4

46.

n  R3 

Rpta. Ran( R)  [2, 4

Sean los conjuntos

 A  x  

45.

n  R1   n  R2 

R  ( x, y)  R 2 / x 2 y  4 x 2  2 y  4  0

R   x; y  / x  A, y  B, x  y

44.

E

Rpta:3/2

/ x  2 x  y  4 y  11  0 2

2

2

Definimos la relación R como

42.

A  3,5, 7 se define las

Dado el conjunto

y

Rpta.[-1,5] 60.

Dados los conjuntos: A  {1,3,5} y B  {2,4,6} . Se

Rango

de

 2

Ran T    0,   1

la



/ x2 y  x2  4 xy  4 y  0

relación



definen

las

R1  ( x, y)  AxB / x  y  7. R2  ( x, y)  AxB / y  6

relaciones:

Hallar la suma de todos los elementos del dominio de R1-R2 Rpta. 8

50 | C E P R U 2 0 1 5

f (x1)=ax2+bx+c

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

(

La distancia entre dos puntos

)y

(

)

está dada por:

Y B 

(

d

)

)

√(

(

)

A  X

PROPIEDADES 1.

(

)

2.

(

)

3.

(

)

4.

(

)

(

)

(

)

(

)

PUNTO MEDIO

(

El punto medio de un segmento de recta cuyos extremos son los puntos

(

B

(

(

) P

Punto medio

A

)y

(

)

)

Ejemplo: Hallar el punto medio entre los puntos (

)y(

)

Solución:

P

(

)

(

) ECUACIONES DE LA RECTA

1. ECUACIÓN GENERAL Esta dada por: L

Donde:

Pendiente de una recta: se define como la relación entre el cambio en

con respecto a

P 𝑌

𝑌

𝑌

𝑌 𝐿

𝐿

𝑋

𝑋

𝑋

𝑋

𝑚

𝑚

𝑚

𝐿

𝐿

𝑚

2. ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE

L

Esta dada por:

𝑌

(

Donde:

𝐿 P

)

) Punto de paso de la recta L; p0 L

P (



Pendiente de la recta L θ

θ

𝑋



θ Medida del ángulo de inclinación de la recta respecto al eje X positivo

3. ECUACIÓN PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGEN Está dado por: L

)

, esta dado por:

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 51 L

Y

Donde: Pendiente de la recta L

(



)

) Punto de intersección de L y el eje Y

( X

4. ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS La ecuación de la recta que pasa por los puntos

L

(

(

) y

(

)

esta dado por:

)

L

Y

B 

θ

A

X

Donde:

(

) = Punto de paso de la recta L;A L. P

L

5. ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA

L Y



(

)



(𝑎 )

X

L POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS 1. RECTAS PARALELAS Dos rectas L

L

L

Es decir:

no verticales son paralelas, si sus pendientes son iguales.

L

Y

L L X

2. RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas L L no verticales son perpendiculares, si el producto de sus pendientes es igual a

L

L

L

Y

 X

L

. Es decir:

52 | C E P R U 2 0 1 5 OBSERVACIONES: 1. La ecuación de la recta paralela a la recta L

es L

2. La ecuación de la recta perpendicular a la recta L

es L

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

(

La distancia de un punto Q

| ( )

(Q L)

( )

) a la recta L

esta dado por:

|

√

L

Y

Q X

PROPIEDADES:

1.

(Q L)

2.

(Q L)

3.

(Q L)

(L Q)

Ejemplo: La distancia del punto (

(Q L)

| (

)

(

)( ) (

√

) a la rectaL

es:

|

)

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Sean dos rectas paralelas L

yL

la distancia entre estas dos rectas está dado por:

L Y

L

(L L )

|

|

√ EJERCICIOS

1.

Sean los pares ordenados

(

)

(

8.

) iguales. El valor

de “a-b”; es. Rpta:1 2.

3.

5.

6.

9.

X

Cuál es el valor de k, si la distancia del punto ( ) al punto ( ) es 4u. Rpta. √ .

) a la recta

Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( ) y paralela a la recta . Rpta.

10.

Uno de los extremos de un segmento de recta es el punto ( ) . Hallar la suma de las coordenadas del otro extremo de dicho segmento, si el punto medio es ( ).

.

Hallar los valores de “a” y “b” para que las rectas ( ) ( ) ; pasen por ( ). Rpta. 11/2 y -23/2.

11.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( )y ( ).

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( ) y cuya suma de componentes de los puntos de intersecciones con los ejes coordenados es 3unidades.

Rpta.

Rpta.

. 12.

Para qué valor de k, las rectas ( ) y Rpta 1/3. Para qué valor de k, las rectas ( ; son perpendiculares.

son paralelas.

Hallar el valor positivo de k, de modo que la distancia del punto ( ) a la recta , sea 3unidades. Rpta. 75.

.

La recta intersección

de

( ) pasa por punto de las rectas y . Hallar el valor de m.

Rpta. -1/5.

)

13.

Rpta -1/3. 7.

(

Rpta. 5.

Rpta. 3. 4.

Hallar la distancia del punto .

La pendiente de la recta que pasa por los puntos ( )y ( ) es 3 unidades. El valor de A; es. Rpta.

14.

(

).

La ecuación de la recta paralela a y que dista √ unidades, es. Rpta.

.

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 53 15.

Hallar la ordenada positiva del punto cuya abscisa es 1 y la distancia del punto ( ), es 13 unidades. Rpta. 6.

16.

La pendiente de la recta que pasa por los puntos ( )y ( ) es 3. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a esta recta que pasa por el punto A. Rpta.

17.

.

Hallar los puntos de ordenada 3, cuya distancia a la recta es 4 unidades. )

Rpta. 21.

34.

35.

.

Determinar la ecuación por los puntos

suma (

23.

La recta

, es paralela a la recta . Hallar el valor de “ ”.

Rpta.: 2. 24.

25.

36.

Rpta.:

√

La distancia del punto ( por los puntos ( )y( Rpta.: 4.

27.

Sean (

37.

38.

,

d  R, S   5 2

y

recta que pasa por

 5, 7 

donde donde

del mayor

 6, b  y  b, 8

Determine la distancia del punto

es 10

b.

P  2, 2 

a la

y es paralela a la recta

6x  3 y  4 Rpta: 39.

3 5 5

Determinar el punto de intersección de las rectas

L1

y L2 6

los puntos ( ) , ( ) y ),que se encuentran sobre al recta Calcular

O

1 2

3

x

-3

Hallar la cuadrado R √

29.

Una recta tiene pendiente positiva y forma con el eje de las ordenadas un Angulo de 37º. Hallar la pendiente de dicha recta R

longitud , si

de la ( )y

diagonal ( )

de

un

 9 15  ,  8 4 

Rpta:  40.

d  R,S   5 2 donde R   x; 1 y S   5; 2  ; el producto del mayor valor de

y por el menor valor

, siendo

donde

E   x;2 

C   3; 4 

hallar el valor de 3 50xy .

, ,

F   5;8 

y

D   5; y 

,

y la

1,1

 10 17  ,   3 3

Rpta:  41.

Halla la pendiente de la recta que pasa por el punto

 2, 2 

y por el punto de intersección de las

3x  4 y  5  0 4 Rpta:  3 rectas

d  E, F  6

A  2, 1 , B  3, 4 

recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto

de x , es: Rpta. –26

d  C, D   8

Determine el punto de intersección de las rectas que pasan por las puntos

72 con P   2; y  , Q  8;7  y

Si d  P;Q  

Si

y

unidades. Hallar la suma de valores de Rpta:14

) a la recta que pasa ), es:

28.

31.

Q   8,7 

,

La distancia entre los puntos

R

30.

d  P, Q   72

que

R   x, 1 , S   5, 2  . El producto valor de y por el menor valor de x , es: Rpta: 26

.

26.

 2a  1, 8

son iguales. Encontrar el valor de

Conociendo

P   2, y 

Determinar el valor de , de modo que la distancia de ( ) a la recta sea de 6 unidades. Rpta.: 18. Hallar la distancia del punto medio del segmento ̅̅̅̅ a la recta , sabiendo que ( ) ( )

Si los siguientes pares ordenados

Rpta:48

Rpta. 1. Hallar la ordenada positiva del punto cuya abscisa es 1y la distancia al punto (-4,-6), es 13. Rpta: 6.

 0; 1 ,  3; 5  y  1; 2 , hallar los vértices. Rpta.  4; 4  ,  2;6  y  4; 2 

 a  b 2   a  b 2

de coordenadas de la de una recta que pasa )y ( ).

22.

puntos

Los puntos medios de las lados de un triángulo son

 9,3b  1

.

Hallar la ecuación de la recta cuyo ángulo de inclinación es y cuya intersección con el eje X es 2.

 a  4; 6 es el punto medio entre los  4  2a; 11 y 12; 1 . Hallar el valor de a .

Si

Rpta. 6

).

El punto el punto medio del segmento de la recta es ( ) si uno de los extremos es el punto ( ). Hallar la distancia de A hasta B. Rpta. √

20.

(

 7; 8 es uno de los extremos de un segmento y su punto medio es  4; 3 , hallar la suma de las Si

coordenadas del otro extremo. Rpta. –1

Hallar el valor de k para que la distancia del origen ( ) a la recta sea 3 unidades.

Rpta. ( 19.

32.

33.

Rpta. -18/15. 18.

Rpta. 10

42.

y

x  y 1  0 .

Encuentre las rectas de pendiente 3 cuya distancia al origen es

2 10

unidades.

54 | C E P R U 2 0 1 5 Rpta: 3x  43.

y  20  0 , 3x  y  20  0

Una recta pasa por

 6, 0 

Sea A=(2,3), B=(3,6) y C=(5,4) vértices de un triángulo ABC. Hallar la ecuación de la recta que contiene a la altura que parte del vértice B. Rpta: L : 3x  y  15  0

53.

Si:

formando un triángulo

de área 12u2 en el cuarto cuadrante con los ejes coordenados. Hallar la ecuación de dicha recta. Rpta: 2 x  3 y  12 44.

52.

L2 : (a  1) x  by  15  0

L1 : 3kx  5 y  k  2 es paralela a la recta L2 : 5x  3 y  7 . Hallar el valor de k .

La recta

Hallar a y b, para que representen rectas que pasan por (2,-3). Rpta: a=4, b=7

Rpta: 25/9 45.

k  0 de modo que la  3, 2 a la recta

Determinar el valor de distancia

de

L : 5x  12 y  3  k  0 Rpta: 16 46.

IL : 3x  y  3  0 A   2, 4  Rpta: Q 47.

de la recta

B   6, 2 

y

Rpta: Dada

la

sabiendo que

IL : y  mx  b

recta

.

bajo

qué

57.

L2

L1 // L2

. la

, es:

,

58.

59.

y

C   2, 1

se

61.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P=(-3,1) y es perpendicular a la recta:

La ecuación de la recta que pasa por el punto (-5,2) perpendicular a la recta: 4 y  3x  2  0 , es:

La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2) y es perpendicular a la recta: L : 2 x  3 y  5  0

La ecuación de la recta L que pasa por el punto P=(-1,-5) y es perpendicular a la recta:

L1 : 3 y  5x  1  0 , es: Rpta: 3x  5 y  28  0

IL : ay  bx  c , calcular

Rpta: 9

y 8  0

, sea perpendicular a la

, es: Rpta: 3x  2 y  7  0

IL : 3x  7 y  k  0

ab .

L : 3y  x 1  0

L1 : kx  (k  1) y  3  0

Rpta: 3 y  4 x  14  0



B   4,3

encuentran sobre la recta

Calcular el valor de k para el cual la recta: recta:

60.

A  1,1

Rpta: 3x 

es 4 unidades y

,

Rpta: 2

y0 La recta IL : x  5  0 tiene pendiente cero Dado IL : 7 x  3 y  c  0 , entonces la recta perpendicular a IL es

51.

L2

L1 : 5x  12 y  12  0

L2 : 3x  2 y  11  0

negativa. El eje x es la recta

Si

a la recta

la gráfica de IL pasa por

Rpta: FVFV 50.

Si la distancia de la recta :

ecuación de la recta

En las siguientes proposiciones marque (V) si es verdadero y (F) si es falso. I) La recta 2 x  5 y  3  0 tiene pendiente

IV)

Desde el punto (-1,2) se traza la perpendicular a la recta: L : 3x  4 y  6  0 .

Rpta: 5x  12 y  64  0  5x  12 y  40  0

m yb cuadrantes I , III , IV ? Rpta: b  0, m  0

III)

56.

B   4,5

y

, sea de pendiente 4/3

¿A qué distancia se halla dicha perpendicular del punto (4,3)? Rpta. 23/5

IL : 2 x  y  1  0

a la recta

3 5 5

II)

55.

que equidista de los puntos

condiciones de

49.

L : kx  (k  1) y  18  0

 2, 3

A   2,3

48.

Q

Hallar el valor de k para que la recta: Rpta. 4/7

Hallar la distancia del punto medio del segmento

AB

54.

sea de 4 unidades.

Hallar las coordenadas del punto

L1 : ax  (2  b) y  23  0

Sean las rectas:

2x  a2 y  0

x  2y  2

.

Calcule la suma de los valores de a si no se interceptan. Rpta: 0

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 55

f (x1)=ax2+bx+c

CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN: una circunferencia fijo llamado centro

es el lugar geométrico del conjunto de puntos P

(

)

que equidistan de un punto

). La distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia se llama radio ( )

(

*P

(

)

(

P)

(

)

+

Y K+r

A





ELEMENTOS

P

1. Centro:

C







M

K -r

2. Radio:

B

3. Diámetro: ̅̅̅̅

N

0

4. Cuerda: ̅̅̅̅̅ N

X

h -r

h +r

Nota: Área

de la circunferencia

Longitud de la circunferencia ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA 1. ECUACION CARTESIANA U ORDINARIA Por definición de distancia entre dos puntos se tiene:

( P) Elevando al cuadrado

(

)

(

√(

)

)

(

)

)

Ejemplo: Encontrar la ecuación de una circunferencia cuyo centro es ( ) ( ) entonces: Solución:

(

(

…………….. (1) (

)

)

2. ECUACIÓN CANÓNICA Si el centro está en el origen de coordenadas, entonces ) La ecuación de la circunferencia se reduce a:

(

………….. (2) Ejemplo: Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen de coordenadas y radio r =5

(

Solución:

)

(

) entonces

3. ECUACIÓN GENERAL Resolviendo la ecuación cartesiana se obtiene la ecuación general.

(

)

(

)

Donde: …………(3) A partir de la ecuación (3), se tiene la ecuación cartesiana en términos de D, E y F. Completando cuadrados para

6 (

( ) 7 )

(

6

se tiene.

( ) 7

( )

( )

)

Comparando con la ecuación cartesiana, se tiene:

(

)

Analizando el radicando 1. S

i

La ecuación (3) representa a una circunferencia de centro

.

/ y

56 | C E P R U 2 0 1 5 √

Radio

en

2. Si

La ecuación (3) representa sólo un punto que es

3. Si

La ecuación (3) no representa una circunferencia en

.

porque su radio

Ejemplo 1. Analizar si la siguiente ecuación representa una circunferencia.

Solución: Simplificando la ecuación:

S (

)

L

(

)

(

√

)

√

Ejemplo 2. Analizar si la siguiente ecuación representa una circunferencia.

Solución:Simplificando la ecuación:

S ( ) L

(

(

)

)

DOMINIO Y RANGO DE UNA CIRCUNFERENCIA: 1.

Si el centro de la circunferencia esta en el origen de coordenadas

(

)

Y

𝑟

(𝒞)

0

𝑟

𝑟

(𝒞)

R

X

,

,

-

𝑟 Ejemplo: Sea la circunferencia

( )

Solución: 2.

( )

R

, determinar el domino y el rango

,

(

Si el centro de la circunferencia es

)

Y K+r

(𝒞)

C



(𝒞)

R

,

-

,

-

K -r

X 0

h -r

h +r

(

Ejemplo: Sea la circunferencia

)

(

)

Determinar el domino yel rango. Solución:

(

)

( ) R

( )

(

) y r=3

, ,

-

, ,

-

RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA La recta tangente a la circunferencia en el punto de tangencia(

L ( Una recta L tal que L

)(

)

(

L recibe al nombre de recta normal.

), esta dado por:

)(

)

/; puesto que

√

.

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 57 (

Ejemplo: Hallar la recta tangente L a la circunferencia

(

Solución:

L

(

)(

L

(

)(

)

(

)

)

(

)

P

)(

(

)

( (

) )

, en el punto de tangencia (

(

)

)

) )(

)

Resolviendo: la ecuación de la recta tangente es: L CASOS PARTICULARES: 1. CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL EJE X Y

𝓒 (𝐱

𝐡)𝟐

𝐤)𝟐

(𝐲

𝐤𝟐

C



| |

X

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje X de centro

| |

Solución: Cuando la circunferencia es tangente al eje X se cumple La ecuación de la circunferencia es:

(

)

(

(

)

| |

)

2. CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL EJE Y Y

𝐡)𝟐

𝓒 (𝐱

C



(𝐲

𝐤)𝟐

𝐡𝟐

| |

X

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje Y, de centro en Solución: Cuando la circunferencia es tangente al eje Y se cumple La ecuación de la circunferencia es

(

)

(

| |

(

)

| |

)

3. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A LOS EJES COORDENADOS Y r = |ℎ|=|𝑘| ℎ

C

𝓒 (𝐱

𝐡)𝟐

(𝐲

𝐡)𝟐

𝐡𝟐

𝑘 X

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a los ejes de coordenadas con centro en

(

)

Solución: Cuando la circunferencia es tangente a los ejes de coordenadas se cumple

| |=| |

|

|

La ecuación de la circunferencia es:

(

)

(

)

EJERCICIOS 1.

Considere la ecuación de la circunferencia

4.

. El centro y radio; es. Rpta. ( 2.

.

Rpta. 12.

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos ( ) y ( ) . La ecuación de la circunferencia; es. Rpta.

3.

)y√

(

)

(

)

(

)

(

)

5.

.

La ecuación de la circunferencia con centro en el punto ( ) y tangente a la recta ; es. Rpta.

Determinar el perímetro del triángulo cuyos vértices son los centros de las circunferencias ; ( ) y ( ).

. / .

El centro de una circunferencia tangente a la recta en el punto ( ), esta sobre el eje Y. La ecuación general; es. Rpta.

6.

.

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la porción de la recta comprendida en el segundo cuadrante. Rpta.

(

)

(

)

.

58 | C E P R U 2 0 1 5 7.

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es ( ) y que es tangente a la recta . Rpta.

8.

)

(

)

(

)

(

La ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta y que pasa por los puntos ( )y ( ), es: Rpta.: .

23.

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con y que es tangente a la recta .

.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( )y( ) si su centro pertenece a la recta . Rpta.

9.

(

22.

)

Rpta.: (

.

El rango de la circunferencia

25.

La ecuación de la circunferencia de centro ( ) y que es tangente a la recta , es: Rpta.: ( ) ( ) .

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje Y y una cuerda cuyos extremos son los puntos ( )y ( ).

26.

Una circunferencia pasa por los puntos ( )y ( ) cuyo centro esta sobre la recta . La suma de los componentes del centro es:

(

)

(

(

Rpta.

)

)

.

.

Hallar la ecuación de la circunferencia de centro ( ) y pasa por el punto ( ). Rpta.

13.

27.

Hallar la suma de todos los enteros que verifican el dominio de la circunferencia

(

Rpta. 15.

28.

(

)

(

)

(

) La pendiente de la recta tangente es:

R

. 29.

Los extremos del diámetro de una circunferencia ( ) El dominio son los puntos ( )y de la circunferencia es:

,

R

-

.

Una cuerda de la circunferencia esta sobre la recta cuya ecuación es . Hallar la longitud de dicha cuerda. Rpta. √ .

17.

Una recta es tangente a la circunferencia ) ( ) en el punto de

(

tangencia

) y que es . Hallar su

Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 3 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas y . Rpta.

16.

)

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre el eje Y, tangente a la recta en el punto de tangencia ( )

R

Rpta. 7. El centro de una circunferencia es ( tangente a la recta ecuación.

)

Rpta:-2

.

.

14.

.

) pasa por

-.

Una circunferencia cuyo centro es ( el punto ( ). Hallar la ecuación. Rpta.

12.

)

La ecuación de la circunferencia de centro ( y que pasa por ( ), es: Rpta.: ( ) ( ) .

Rpta. ,

11.

(

24. , es:

10.

)

La ecuación de la circunferencia de centro ( )y que es tangente a la recta , es: Rpta.: .

30.

( ) ( ) si la circunferencia es Hallar tangente a los ejes coordenados con centro ( )

R 31.

,

-

Determine si la recta

3x  y  5  0 es una recta

tangente, secante o exterior a la circunferencia

x2  y 2  2 x  3  0 Rpta: secante

18.

Hallar el radio y centro de la circunferencia: Rpta.: 7 y (

19.

32.

x2  y 2  4 x  2 y  20  0

Hallar la máxima distancia del punto (11,8) a la circunferencia

Rpta: tangente 33.

21.

Determine si la recta

x  y  10  0 es una recta

tangente, secante o exterior a la circunferencia

Determinar la suma de los valores de “ ”, para que la recta , sea tangente a la circunferencia Rpta.:

3x  4 y  27  0 es una recta

tangente, secante o exterior a la circunferencia

).

Rpta.: 14. 20.

Determine si la recta

x2  y 2  4 x  2 y  20  0 Rpta: exterior 34.

.

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en la recta x  2 y  5 y pasa por los puntos

1, 2  y  5, 0 

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (6,8) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas.

35.

Rpta.:

36.

2

  y  1  5 5

Hallar la máxima distancia del punto circunferencia

y

Rpta:  x  3

10, 7 

a la

C : x  y  4 x  2 y  20  0 2

2

Rpta: 15

.

Hallar el radio y centro de la circunferencia

C : x2  y 2  4 x  6 y  12  0 Rpta: 5 y

 2, 3

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 59 37.

k0

Determinar el valor de

L : 2x  3 y  k  0

sea

circunferencia

para que la recta tangente

de

a

45.

Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de:

la

L1 : 3x  2 y  24  0

ecuación

L2 : 2 x  7 y  9  0

C : x2  y 2  6 x  4 y  0

Rpta. ( x  6) 2  ( y  3) 2  25

Rpta: 25 38.

Hallar la recta tangente a en el punto

Si

tangente

a

la

recta

47.

x2  y 2  4 x  4 y  7  0 , Rpta.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa

 7, 5

y cuyo centro es el punto de

intersección de las rectas

IL1 : 7 x  9 y  10  0

48.

41.

Si

la

y

49.

4 x2  4 y 2  8 y  4 en el punto

Hallar la ecuación de la circunferencia que es

 4, 0 

50.

Dada las circunferencias:

C1 : x 2  y 2  10 x  2 y  10  0

y que pasa por el punto

C2 : x 2  y 2  2 x  2 y  2  0

 7,1 Rpta: x 43.

2

Hallar la ecuación de la circunferencia de mayor radio tangente interior a C1 y tangente exterior a C2

 y 2  8x  10 y  16  0

4 x2  4 y 2  16 x  20 y  25  0 y que es tangente a la recta IL : 5x  12 y  1  0 con

44.

Rpta.

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica

Rpta:

 x  2  2   y  

( x  3) 2  ( y  1) 2  38

( x  3) 2  ( y  8) 2  9

Rpta: 1 tangente al eje X en

y cuyo radio es r = 4. La

Calcular la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje Y en (0,-8) y la distancia del punto más cercano al eje X es 5u, además el centro pertenece al III cuadrante. Rpta.

Q   a, b  , hallar a  b 42.

.

x2  y 2  4x  4 y  8  0

Rpta.

x  y  3  0 es tangente a la

circunferencia

(a  1, 1)

una cuerda de 6 unidades de longitud. La ecuación de la circunferencia, es.

 y 2  8x  4 y  38  0 recta

es

El punto (3,-1) es el centro de una circunferencia que intercepta a la recta L : 2 x  5 y  18  0 en

IL2 : 2x  5 y  2  0 2

circunferencia: ,

ecuación de la circunferencia C1, es:

x  y  20

Rpta: x

la

Encontrar la ecuación de la circunferencia C1 cuyo centro es el mismo de la circunferencia C:

2

por el punto

de

2

Hallar el radio. Rpta. 3

x2  y 2  9 y L : x  2 y  10  0 .

Rpta:

centro

x  y  (a  4) x  by  17  0

 3, 1 .

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica

2

el 2

a

40.

46.

4 x  3 y  15

Rpta: 39.

C : x2  y 2  2 x  y  5

51.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,4) (1,2) y (3,4). Rpta.

2

5  9 2

52.

Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto P=(3,1) y tangente a la recta x  y 3  0.

x 2  y 2  14 x  2 y  34  0

x2  y 2  4 x  6 y  11  0

La ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C=(-4,-1) y es tangente a la recta L : 3x  2 y  12  0 , es: Rpta. ( x  4) 2  ( y  1) 2  52

Rpta. ( x  3) 2  ( y  1) 2  49 / 2

f (x1)=ax2+bx+c

PARÁBOLAS DEFINICIÓN: Una parábola , , es el lugar geométrico del conjunto de puntos Q punto arbitrario Q

(

) a un punto fijo llamado foco ( )es igual a la distancia de Q

Son iguales. Es decir:

*Q

(

)

(Q )

(Q L)+

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA I.

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X 1. ECUACIÓN CARTESIANA U ORDINARIA

(

)

(

)

(

) (

, tal que la distancia de un

) a la recta fija llamada directriz L.

60 | C E P R U 2 0 1 5 Y

L 𝑅



Q



𝑉





𝐹

Eje focal

Donde: (

-



𝑅

( L)

| |

- S

la parábola se abre a la derecha

- S

la parábola se abre a la izquierda

X



0

)

Directriz

ELEMENTOS:

(

1. Vértice: 2. Foco:

)

(

)

3. Recta Directriz L 4. Eje focal

|

5. Longitud del lado recto(ancho focal): LR

|

6. Extremos del lado recto:

(

R

|

|)

(

|

|)

7. Excentricidad de una parábola:

(Q ) (Q ) 2. ECUACIÓN CANÓNICA

(

Cuando el vértice

)entonces:

3. ECUACIÓN GENERAL Esta dado por:

Con

;A

S

La parábola se abre hacia la derecha.

S

La parábola se abre hacia la izquierda.

DOMINIO Y RANGO DE LA PARÁBOLA:

S

( )

,

S

( )

-

Ejemplo: Determinar la ecuación general de la parábola con vértice en (

R

( )

R

( )

) y foco en (

)

Solución: Cuando las ordenadas del vértice y el foco son iguales entonces la parábola es paralela

(

Vértice

)

(

Foco:

( )

) (

)

(Se abre hacia la derecha)

Entonces la ecuación de la parábola es:

( ( (

) (

( ))

) ( )(

)

(

)

)

II. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y 1. ECUACIÓN CARTESIANA U ORDINARIA

(

)

(

Y

) Eje focal

Donde:  R



𝐹 L

 

L

-

 R’ Q

Directriz

X 0

(

)

( L)

| |

- S

la parábola se abre hacia arriba

- S

la parábola se abre hacia abajo

al eje X.

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 61 ELEMENTOS:

(

1. Vértice:

)

(

2. Foco:

)

3. Recta Directriz L 4. Eje focal

|

5. Longitud del lado recto(ancho focal): LR

|

6. Extremos del lado recto:

(ℎ

|

|

)

(ℎ

7. Excentricidad de una parábola:

|

|

)

(

)

(

)

2. ECUACIÓN CANÓNICA 3.

Cuando el vértice

(

)entonces:

4. ECUACIÓN GENERAL Esta dado por:

Con

;A

S

La parábola se abre hacia arriba.

S

La parábola se abre hacia abajo.

DOMINIO Y RANGO DE LA PARÁBOLA:

( ) ( )

S S

R ( ) , R ( )

Ejemplo: Determinar la ecuación general de la parábola con vértice en (

-

) y foco en (

)

Solución: Cuando las abscisas del vértice y el foco son iguales entonces la parábola es paralela

(

Vértice

)

(

(

Foco:

)

al eje Y.

) (

)

(Se abre hacia abajo)

Entonces la ecuación de la parábola es:

(

)

(

)

(

)

( (

) )( (

) ) EJERCICIOS

1.

El punto (2,3) ¿es punto de la parábola ?.

2.

8.

9.

).

Determinar el lado recto de la parábola

Hallar la ecuación de la parábola de vértice (-1,1) y foco (3,1). Rpta. P

10.

.

Hallar la ecuación de la parábola de foco F= (1,1) y de recta directriz . Rpta.

.

Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola , cuya ordenada es 3 unidades.

11.

Sean (2,1) y (2,4) vértice y foco de una parábola respectivamente. Hallar la longitud del lado recto. Rpta. 12.

Rpta. 5.

12.

Una parábola cuyo vértice es (2,1) y su foco tiene como coordenada el punto (5,1). Hallar la ecuación de la parábola.

Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es (6,4) y su recta directriz es . Rpta.

(

)

(

).

Hallar la suma de coordenadas del vértice de la parábola . Rpta. -3.

7.

).

Rpta. (2,0).

Rpta.3.

6.

(

Dada la ecuación de la parábola

.

5.

)

Hallar las coordenadas del foco de la parábola .

Rpta. 0

4.

(

Rpta. No es.

. Hallar su rango.

3.

Rpta.

El vértice de una parábola cuya directriz es es el centro de la circunferencia .

Rpta. 13.

Hallar la ecuación de la parábola de foco (7,2) y la recta directriz . Rpta.

14.

.

(

)

(

).

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en (3,-1) y recta directriz la . Rpta.

(

)

(

).

62 | C E P R U 2 0 1 5 15.

Hallar la ecuación de la parábola que tiene el vértice en (-3,5) y cuyos extremos del lado recto son (-5,9) y (-5,1). Rpta.

16.

19.

(

)

(

(

)

(

24.

25.

Rpta: 3x 30.

(

)-

, si ).

pasa

por

 4 y  48  0

La ecuación de la parábola de vértice en el centro de la circunferencia

Rpta:  y  2  31.

Una parábola con vértice en el origen cuyo eje coincide con el eje Y, pasa por el punto (4,-2), Hallar la directriz. Rpta. y  2

33.

parábola

de

Hallar la ecuación de la parábola de vértice el centro de la circunferencia

Rpta: 34.

y 2  6 y  28x  131  0

La ecuación de la parábola con vértice sobre la

Rpta:

IL1 : 3x  2 y  19  0

, foco sobre la recta

y directriz la recta

IL : x  2 , es:

y 2  4 y  12 x  64  0

36.

Hallar la ecuación de la parábola de foco F=(-4,1) y recta directriz 2 x  4  0 . Rpta. y 2  2 y  12 x  13  0

37.

Sea la parábola

ecuación

Determinar el rango de la parábola de ecuación

y  ax 2  bx  c

de vértice (2,3)

y la curva pasa por el origen de coordenadas y por el punto (4,0). Hallar a+b+c. Rpta. 9/4

Rpta:2

 40, 160

y 2  4 y  12 x  56  0

IL2 : x  4 y  0

a la recta directriz.

y  6 x  x  0 . Si x   4, 10

5x2  5 y 2  20 x  20 y  35  0

La ecuación de la parábola con eje focal horizontal y foco en (-2,3) y vértice sobre la recta IL : 5x  2 y  4  0 , es: Rpta:

y

y 2  4 x  6 y  25  0 . Hallar la distancia del foco

2

3x2  3 y 2  18x  12 y  27  0

la circunferencia

Rpta: 1 la

 2, 2  .

2 x2  2 y 2  20 x  8 y  56  0 y foco el centro de

y  ax2  bx  c . Determinar

1, 0 ,  0, 0

x  4 x  4My  8  0 . Sabiendo que el

y 2  4 y  20 x  64  0

Rpta:

35.

si pasa por los puntos

de la ecuación de la

Hallar la ecuación de la parábola de directriz la recta IL : x  2 y vértice el centro de la

recta

Sea la parábola

M

2

circunferencia

2 Dada la parábola: y  ( x  2)  2 . Determinar el

4

 12  x  5

Hallar el valor positivo de foco es

32.

Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es horizontal y pasa por los puntos (0,0), (8,-4) y (3,1) Rpta. ( y  1) 2  x  1

2

Rpta:3

Determinar la ecuación de la parábola con vértice sobre la recta , foco sobre la recta . Rpta.: .

Rpta:

x

es:

. Determinar los puntos

 1, 2  .

28.

2

parábola

Sea la parábola

Sea

4

-12

.

a  2b  3c

27.

0

C : 2 x2  2 y 2  20 x  8 y  56  0 y foco  2, 2  ,

lado recto. Rpta. 4 26.

-4

.

( ) ( ) ( Rpta.: 36.

23.

y

).

Una parábola con vértice en el origen cuyo eje coincide con el eje Y, y que pasa por el punto ( ). Hallar la directriz de dicha parábola.

,

22.

Determine la ecuación de la parábola:

).

Determinar la suma de los puntos de intersección de la parábola y la recta , en el cuarto cuadrante.

Rpta.: 21.

29.

).

Sea la parábola de ecuación . Hallar la distancia del foco a la recta directriz. Rpta.: 4.

Rpta.: 20.

(

Encontrar la ecuación de la parábola con foco en (0,-2) y recta directriz . Rpta.

18.

)

Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es F= (1,-1) y recta directriz . Rpta.

17.

(

38.

Si se tiene foco F=(5,1) y directriz cuya ecuación es y+7=0 de una parábola. Hallar el dominio y rango de la parábola. Rpta.

Dom( P)  R, Ran( P)  [3,  

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 63

f (x1)=ax2+bx+c

ELIPSE

(

Una elipse , , es el lugar geométrico del conjunto de puntos P

P

(

)

a los puntos fijos

)

tal que la suma de las distancias del punto

llamados focos, es igual a una constante

*P

(

)

(P

)

(P

)

. Es decir:

+

Y P C

X Notaciones: 1. Longitud del eje mayor:

(

)

2. Longitud del eje menor:

(

)

3. Distancia focal: (

) (L

4.

L )

5. 6. ECUACIONES DE LA ELIPSE ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X 1. ECUACIÓN CARTESIANA U ORDINARIA

(

)

(

)

Y 𝑅 a

b C

𝑅

c

𝑅

𝑅 X

ELEMENTOS: 1.

(

):Centro de la elipse

2.

Vértices o extremos del eje mayor:

3.

Focos

4.

Extremos del eje menor:

5.

Longitud de cada lado recto:

6.

Excentricidad:

7.

Eje focal

8.

Directrices: L

(

)

( (

(

)

)

(

L

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE Si el centro esta en el origen de coordenadas

(

)

(

) entonces:

)

)

64 | C E P R U 2 0 1 5 ECUACIÓN GENERAL:

DOMINIO Y RANGO DE LA ELIPSE

() R

,

()

-

,

-

Ejemplo: Determinar lo elementos de la elipse

(

)

(

)

Solución:

√ ( ) (  )  Vértices: ( √ ( )  Focos  Extremos del eje menor:

) (

( ( )

(

√

) )

( (

 Longitud de cada lado recto:  Excentricidad:

)

√

)

(

) (

)

(

)

)

√

√

√

 Eje focal:  Directrices: L

L

Dominio y rango de la elipse

()

 

R

()

,

-

,

[

-

√ ]

√

,

-

,

-

ECUACIÓN CARTESIANA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y

(

)

(

)

Y R

𝑅 a

c C

b

R

𝑅 X

ELEMENTOS:

1. 2. 3. 4.

(

): Centro de la elipse

Vérticeso extremos del eje mayor: Focos

(

)

Extremos del eje menor:

( (

5.

Longitud de cada lado recto:

6.

Excentricidad:

7.

Eje focal

8.

Directrices: L

(

)

) )

(

( )

L

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE Si el centro esta en el origen de coordenadas

ECUACIÓN GENERAL:

(

) entonces:

)

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 65 DOMINIO Y RANGO DE LA ELIPSE

() ()

R

,

-

,

-

Ejemplo: Determinar lo elementos de la elipse

(

)

(

)

Solución:

√ (



)

(

 Vértices:

) (

 Focos

√ )

(

)

(

(

√ )

)

 Extremos del eje menor:

(

(

)

)

(

)

( )

 Longitud de cada lado recto: LR

√

(

) (

)

(

)

√

√

 Excentricidad:

√

 Eje focal:  Directrices: L

L

Dominio y rango de la elipse

() R

()

,

-

,

,

-

-

[

,

√

-

√ ] EJERCICIOS

1.

La longitud del eje menor de la elipse

9.

(

a; es.

Hallar la ecuación de la elipse sabiendo que los vértices son ( ) y focos son ( ) . Rpta.

3.

Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje X. hallar su ecuación que pasa por los puntos (√ ) y ( √ ).

11.

Rpta.

√

.

Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos ( ) y su excentricidad es igual a 2/3.

12.

La ecuación de la recta directriz de la elipse

13.

(

)

(

)

; es:

.

)

(

)

. √

Hallar la ecuación de la elipse que pasa por (

),

.

El producto de las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse: ; es:

Los focos de la elipse son los puntos (-4,-2) y (-4,-6); el lado recto es 6 unidades. Hallar la excentricidad.

Los focos de una elipse son ( ) y ( ). Hallar la ecuación de la elipse, si uno de los vértices esta sobre la recta . Rpta.:

-.

Calcular la ecuación de la elipse, si la distancia focal es 4 unidades; un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6 unidades respectivamente. Rpta.

(

Rpta. ½. 14.

.

El dominio de la elipse Rpta. ,

8.

√

Hallar la ecuación de una elipse de focos ( ), ( ) y longitud del eje menor de 4 unidades.

Rpta. 80.

.

Rpta.

.

.

Rpta.

; es:

7.

) y excentricidad

tiene su centro en el origen, su eje menor coincide con el eje X y la longitud de su eje mayor es doble del eje menor.

Hallar la excentricidad de la elipse, si la distancia entre sus directrices es el triple de la distancia entre

Rpta. 6.

(

Rpta.

.

sus focos. 5.

10.

.

Rpta. 4.

),

Rpta.

Rpta. 4. 2.

Hallar la ecuación de una elipse de focos

15.

)

(

)

.

En una elipse de vértices (3,5); (3,-1) y de excentricidad 2/3. La longitud del lado recto, es: Rpta.:

16.

(

.

Determinar la ecuación de la elipse con el eje focal horizontal, que pasa por el punto ( ) y cuyo eje menor mide 6 unidades.

66 | C E P R U 2 0 1 5 Rpta.: 17.

La distancia focal de una elipse es 8. Un punto de la elipse dista de sus focos 3 y 7 unidades respectivamente. Calcular la ecuación de la elipse. Rpta.:

18.

.

una circunferencia La verdadera, es: Rpta: solo I 29.

Rpta: x 30.

La distancia entre las directrices de una elipse es 18,

21.

22.

Hallar la ecuación canónica de la elipse, con focos en el eje X, la longitud del eje mayor igual a cuatro veces la longitud del eje menor y que pasa por el punto ( ). Rpta.: . Los focos de una elipse están sobre las rectas y , el eje focal es la recta . Hallar la ecuación de dicha elipse, si el eje mayor mide 8 unidades. ) Rpta.: ( ( ) La distancia entre las directrices de una elipse es 16 unidades. Hallar su ecuación, si los focos son los puntos ( ) y ( ). Rpta.:

(

)

(

)

1,5

y

1,3

.

Rpta: 8 20.

 9 y 2  90

2

hallar su ecuación si los focos son los puntos

Hallar las rectas directrices de la elipse de ecuación . Rpta.:

Hallar la ecuación canónica de la elipse, con focos en el X, la longitud del eje mayor igual a tres veces la longitud del eje menor y que pasa por el punto

 3,3

Hallar la excentricidad de la elipse cuya ecuación es: . Rpta.: .

19.

x2  4 y 2  8 y  0 corresponde a

IV) La ecuación

.

31.

 y  42  9  x  12  72

Los focos de una elipse están sobre las rectas IL1 : 2 x  9 y  0 y IL2 : 2 x  y  0 , el eje focal es

IL : y  2 , hallar la ecuación de la elipse, si

la recta

el eje mayor mide 10 unidades. Rpta: 9 32.

 x  52  25  y  22  225

Hallar la longitud del eje mayor de la elipse que

Q  1, 5 y cuyos focos son los

pasa por el punto

 5, 2  y  3, 2 

puntos Rpta:10

33. Una de las ecuaciones de las rectas directrices de la elipse:

.

16 x 2  25 y 2  50 y  375  0 , es:

Rpta. 3x  25  0 23.

24.

Hallar la longitud del eje menor de la elipse que pasa por el punto ( ) y cuyos focos son los puntos ( ) y ( ). Rpta.: 6. Determine la ecuación de la elipse con eje focal horizontal, que pasa por el punto

 2,1

y cuyo eje

34.

Rpta. 9( x  2) 2  8( y  3) 2  512 35.

menor mide 4. Rpta: 3x 25.

La distancia focal de una elipse con eje horizotnal es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6 unidades respectivamente. Calcular la ecuación de la elipse Rpta:

26.

36.

37.

52 8

II)

x2  y 2  4 x  2 y  6  0

III)

2 x2  y 2  4 x  4 y  4  0

IV)

y  x  2 y  5x  10  0

V)

x  2 y  2x  4 y  1  0

38.

2

II) III)

La ecuación de la elipse de centro Fo=(2,-3) eje mayor paralelo al eje Y de longitud 12 y eje menor de longitud 8, es:

2

16

Los focos de una elipse están sobre las recta: L1 : 2 x  9 y  0 y L2 : 2 x  y  0

Rpta. ( x  5)  ( y  2)  1 2

2

25

9

39.

Hallar la ecuación de una elipse si su centro está en el origen de coordenada, la longitud del eje mayor es 16, los focos están sobre el eje X y la curva pasa por el punto (4,3). Rpta: 3x2+16y2-192=0

40.

Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (±2,0) y su excentricidad es igual a 2/3

x2  y 2  2 x  4  0 corresponde

a una circunferencia. El centro de cualquier circunferencia es un punto de dicha circunferencia El foco de una parábola es un punto de dicha parábola.

2

El eje focal es la recta y=2. Hallar la ecuación de la elipse, si el eje mayor mide 10 unidades.

2

La ecuación

2

39

36

De las siguientes proposiciones: I)

Hallar la ecuaciones de la elipse cuya suma de las distancias de cualquiera de sus puntos a los puntos fijos (-4,-5) y (6,-5) es igual a 16.

2

Rpta: Solo V 28.

4

Rpta. ( y  3)  ( x  2)  1

x  y  x  2y 1  0

2

8

64

I)

2

2

2

¿Cuál de las ecuaciones dadas representa una elipse? 2

2

Rpta. ( x  1)  ( y  5)  1

3x2  16 y 2  192

Rpta: e 

Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje X. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por: ( 6 , -1) y (2, 2 ) . Rpta. x  y  1

x2 y 2  1 16 12

Hallar la excentricidad de la elipse cuya ecuación es:

27.

 4 y 2  16

2

El centro de una elipse es el punto (-2,3) y su eje mayor paralelo al eje Y es igual a 16, Hallar su ecuación siendo su excentricidad 1/3.

Rpta

x2 y2  9 5

=1

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 67

f (x1)=ax2+bx+c

FUNCIÓN BINARIA Una función

es una relación binaria

que hace corresponder a un elemento

, un único elemento

, es decir:

*(

)

( )+

Notación: Se lee: f es una función de A en B. Ejemplo:

𝐟

A

B

1

3

2

4 5

3 *(

)(

)(

)+

Ejemplo:

A

B -1 0 1

0 1 *(

)(

)(

)+

una relación pero no es una función.

NOTA: a) Toda función es una relación, pero no toda relación es función. b)

es una aplicación, si

( )

c) En una función, dos pares ordenados distintos no deben tener la misma primera componente. DOMINIO Y RANGO Dada la función

() R

()

;

*

( )+

*

( )+ FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL

Una función real de una variable real del conjunto de partida

es una relación real

, un único elemento

, que hace corresponder a un elemento

del conjunto de llegada , es decir:

*(

)

( )+

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN



Dada la función

( ) ( )

el:

*

( )+

*

( )+

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Si es una función real de variable real, la gráfica de

es la representación geométrica de todos los pares ordenados que

pertenecen a .

( )

*(

)

( )

OBSERVACIÓN: Sea :

( )+

 , Si toda recta paralela al eje Y corta a la gráfica de

representación de una función.

Y

Y 𝐟

X

Es función

X

No es función

en un único punto, dicha gráfica será la

68 | C E P R U 2 0 1 5 EJERCICIOS 1.

Hallar el dominio de la función definida por:

( )

√

la

(

definida

por:

. Hallar su rango.

Rpta. ( 18.

√

19.

Rpta. 0

20.

) (

) (

) (

)+ .

21.

¿Cuáles son funciones? I.

*(

) (

II.

*(

) (

) ( ) (

) (

) (

) (

) (

)+.

7.

)+.

) (

.

√

Hallar la suma de elementos del dominio y rango *( ) ( ) ( de la función tal que: ) ( ) ( )+.

.

√

〉.

Dada la función f definida como ( . Hallar el valor de la expresión

) (

)

( )

( ) ( )

.

Si

es una función definida por ( )

Rpta.: , 24.

,

,

( ).

Rpta.

*

+.

25.

Dada la función

26.

, tal que ( )

es

( )

,

〉

[

√ ⟦

⟧

, si el

〉 , entonces

,

.

Dada la función: Hallar el rango de dicha función. R

Dada la función definida por:

,

-.

,

]

El rango de la función real

f

, definida por

x3 con x  2 , es: x 1 Rpta: 1,1 f  x 

; Cuyo dominio de f es .

√ √ -. Calcular

-.

dominio de el valor de Rpta.: 4.

Hallar la suma de los elementos del rango de la siguiente función: *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+.

,

( )

es:

23.

Hallar el rango de la función definida por: ( )

( )

Hallar el dominio de la función cuya regla de

entonces, determinese el

Rpta. 31. 10.

-.

* +.

〉

. 9.

,

Dada las funciones *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ ; *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ . La suma de los elementos del rango de la función ; es: Rpta. 16.

Hallar el dominio de la función definida por:

√

〉.

22. )+.

Rpta. 6. 8.

〈

Rpta. .

Rpta. Solo I.

( )

-

-.

Rpta. ,

Si f representa una función tal que

Rpta. ,

,

correspondencia

*(

6.

〉

;

Rpta. ,

〉.

*(

.

( )

Hallar el rango de la función definida por:

〉.

El rango de la función definida por como

-.

III.

√

Rpta. 〈

.

√

√

-y,

Hallar el dominio de la función definida por: ( )

.

5.

Hallar el rango y dominio de la función definida por: ( ) .

-.

Rpta. , 4.

)

f

Hallar el dominio de la función definida por: ( )

+.

√

〉.

función

√

Rpta. , 3.

,

〉

Dada

( )

17.

.

Rpta. 〈 2.

Rpta. *

Rpta. 9. 11.

Sea la función ( ) Rpta. ,

12.

27.

. Hallar rango de f.

-.

 7, 2  1

29.

{( √

y  x  3  1 , es:

 1, 

Dada

la

h   2, m  n  ,  3, m  2n  ,  4,3 ,  3,8

,

Si

f

representa una función, donde

f   3,7a  2b  ,  2,5 ,  2, a  2  ,  3,5b  2a 

tal que ( )

La suma de los elementos del rango, es: Rpta:44 ⟦

función

Rpta:6 30.

( )

1/ 2

h  2   2 . Hallar m  n

)

〉.

El rango de la función f definida por: ; es:

 x 1  f  x   2   14  5 x  x 

El rango de la función Rpta:

;

Rpta. No es suryectiva. 16.

28.

-.

Determinar si la función ; es suryectiva.

Hallar el dominio de Rpta:

* +.

El rango de la función f tal que }; es: Rpta. ,

15.

definida por:

El rango de la función definida por: ( ) ; es: Rpta. ,

14.

)

-

Determinar el dominio de la función definida por: . Rpta.

13.

(

,

⟧,

si

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 69 31.

Hallar

el

rango

de

la

función

Rpta. [-1/2,+∞

real

f  x   3  5  x , x   2, 2 2

Rpta: 32.

37.

3  5 , 2 

Determinar

f ( x) 

el

rango

de

la

función

33.

38.

 0,1

Hallar el dominio de de la función f de una variable real, definida como:

f ( x)  4 

Hallar el rango de la función f de una variable real, definida como:

f ( x) 

x 2  8 x  15 x3

Rpta. Ran( f )  34.

39.

 {2}

f(x)=

f  {(2,5), (1,3), (2,2a  b), (1, b  a), (b , a)} Rpta. Dm( f )  {1,1,2}, Ran( f )  {3,2,5}

40.

Hallar el rango de:

f ( x)  2 x  3 , es

Hallar

[1,7>, el

Rpta.

f ( x)  4 x 2  4 x  1  x .

f (x1)=ax2+bx+c

1. FUNCIÓN IDENTIDAD Es aquella función cuya regla de correspondencia es: 𝐘

𝐟 𝟒𝟓

2.

() R

X

( )

R

()

FUNCIÓN CONSTANTE: Es aquella función cuya regla de correspondencia es:

( )

𝐘

()

𝐟

* +

()

R X

3.

FUNCIÓN LINEAL Es aquella función cuya regla de correspondencia es:

( ) Y

𝑦

𝐚𝐱

𝐛

𝐛

() R

x  2 , x [-1,23]

()

*

el

dominio



f  x   2 x 2  8 x  3

dominio de la función, es: Rpta. x  2,1] 36.

Hallar el rango de la función: Rpta. [1,5].

2

El rango de la función:

x2  5 . 36  x 2

5 ]U[ 5 ,6

Rpta. -6,-

Hallar el dominio y rango de la función:

35.

x 2 3x 25 , si x  [0,8] .   8 4 8

Rpta. [2, 41/8]

F  x  1 1 x Rpta:

Hallar el rango de la función f de una variable real, definida como:

+

X 4. FUNCIÓN CUADRÁTICA Es aquella función cuya regla de correspondencia es:

( ) la funcion cuadrática es una parabola con eje focal paralelo al eje Y

 ,  3 



de

la

función

70 | C E P R U 2 0 1 5  Si

, la gráfica se abre hacia arriba.

 Si

, la gráfica se abre hacia abajo. 𝐘

a>0 () X

a<0

R

()

R

()

,

S -

S

5. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

( )

Es aquella función cuya regla de correspondencia es: 𝐘

𝐟 R

()

,

()

,

X

6.

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Es aquella función cuya rregla de correspondencia es:

( )

| |

𝐘

2

() ()

R 45°

45°

,

X

7. FUNCIÓN ENTERO MAYOR Es aquella función cuya regla de correspondencia es:

( )

𝐲

⟦ ⟧

   3,   2,   1,  ⟦F𝐱( x⟧ )   0,  1,   2,  3,    

 3  x  2  2  x  1 1  x  0 0  x 1 1 x  2 2x3 3 x  4

𝐘 3 2

()

1 X -3

-2

-1

-1

1

2

3

()

R

4

-2 -3 8. FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO Es aquella función cuya regla de correspondencia es:

( )

2

√

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 71 ,  Y

𝐃𝐨𝐦(𝐟) 𝟏 𝒂 9.

*𝟎 𝟏+

𝐑𝐚𝐧(𝐟) X

FUNCIÓN SIGNO Es aquella función cuya regla de correspondencia es:

 1 , x0  f ( x)  Sgn( x)   0 , x  0  1 , x  0  Y 1

𝐃𝐨𝐦(𝐟) * 𝟏 𝟎 𝟏+

𝐑𝐚𝐧(𝐟)

X -1

EJERCICIOS

1.

Hallar rango de la función definida como por ( ) √ , -. ; Rpta. ,

2.

-

4.

Sean las funciones definidas por ( ) ( ) . Hallar el rango de la función f.g. Rpta. ,

El rango de la función f definida por ( ) con ; es: Rpta. *

3.

13.

⟦

⟧;

14.

{( √

El rango de 〉. Rpta. , (

Si ( )

) ⟦

( ) ⟨

⟧ ⟨

)

} ;

*( *(

6.

15.

. Hallar . /.

. y

(

16.

( )

| ⟦ ⟧ | ). El valor de ( ); es:

función

)

(

Sea f una función lineal tales que ( ) Hallar ( ).

y ( )

.

Rpta. 10. 8.

) .

2.

)3. Hallar (

/ (

Si ( )

11.

⟧

(

) . El valor de

(

función

definida

)|

⟧⟨

⟨⟦

(

por

( )

⟨

). El valor de (

⟨ ).

⟦ ⟧, si

.

) .

Rpta.: 225. ⟨⟦ ⟧

⟨

.

/. Hallar (

20.

).

Si ( )

(

Rpta.: 21.

Rpta. 2.

22. ) ( ) (

las ) ( ) ( )+ ) ( ) ( )+. hallar (

funciones ; ).

Sea

⟦

⟧. Hallar su rango. +.

El rango de

Si

( ).

una función de variable real, definida por:

Rpta.: *

23.

)

.

( )

Rpta:

). Hallar (

f  x   x  x , si 4  x  5

 0,1

f  x  5  x  3 . Calcular f  x  1

Rpta:x-9

Sean las funciones *( ) ( ) ( Rpta. *

la

(

Rpta.3. 12.

Sea

.

Sean las funciones reales: función identidad, función constante, función cuadrática, función signo y función lineal. ¿Cuántas funciones son inyectivas?

Sean *( *(

⟦

Sea la función lineal, tal que ( ) y ( ) . El valor de ( ), es: Rpta.: 13. *( ) ( ) Si ( )+, es una función identidad, el valor de

/ ( )

/

|

18.

Rpta. 14. 10.

|

Determinar el rango de ( ) Rpta.: , 〉.

Rpta.1. 9.

( )

17.

19.

Dada la función constante

)+

Rpta. 2

Rpta. 2. 7.

funciones ; )+ . Suma .

) ( ) (

).

| la

) ( ) (

Rpta.-10.

)

.

(

las

Sea la función definida por (

Dada

) ( ) (

Rpta. 63.

Sea f una función lineal, tal que ( ) . El valor de ( ); es: Rpta.

) ( ) (

de elementos del rango de

es:

Rpta. 3. 5.

〉.

Sean

+.

;

+.

*( ) ( )+. Hallar

) ( . . /

) (

)+;

24.

Hallar el dominio y rango de la función f  x   Rpta:

D f :  0 ,  Rf :



0

x

72 | C E P R U 2 0 1 5 25.

B  4,5, 6 es el rango de la función

Si el conjunto biyectiva

,

f

tal

I La función lineal f(x)=ax+b , a≠0 es inyectiva. II La función cuadrática f(x)=ax2+bx+c,

que

x  R

 2,5 ,  3, a  , 3, 4 ,  a,5 ,  4, b . Hallar a  b

f 

2

III La función identidad I(x)=x, x  R es biyectiva.

Rpta:8 26.

IV Si f : [-1,2> →<0,6] /

f : 1, 4   a, b

Sea

una

función

f  x   x  2 x  3 . Hallar a  b 2

si

tal

Sabiendo que la función: f : [5,b] →[a,72] / f ( x)  x 2

f es biyectiva.

30.

Rpta. [4, +∞>

 8x  7 31.

Dado M={2,3,4,5,6}. Si f : M →N definida por

Rpta:  , 1 32.

1 x 1  x  2

f  x 

Calcular el rango de

f ( x)  2 x  3

es suryectiva. Hallar la suma de los elementos del rango de f. Rpta. 25 29.

Determinar el rango de la siguiente función:

H ( x)  x 2  2( x  1)  7 .

es biyectiva. Hallar a+b Rpta. 5 28.

f ( x)  4  2 x , es biyectiva.

La secuencia correcta, es: Rpta. VFVV

que

Rpta:13 27.

a≠0

es inyectiva.

1,  f  x   2x  1  x  2

Calcular el rango de Rpta:   3 ,    2

En las siguientes proposiciones marque (V) si es verdadero y (F) si es falso:

f (x1)=ax2+bx+c

CLASES DE FUNCIONES 1. FUNCIÓN INYECTIVA Una función decir:

(

)

es inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde un único elemento del dominio. Es

(

)

(

( ) ó

)

(

)

( )

Observacion:

( )

1.

Una función

es inyectiva, si para

2.

En una funcion inyectiva las segundas componentes no se repiten.

3.

Si toda recta paralela al eje una función inyectiva.

corta a la gráfica de en único punto, dicha gráfica será la representación de

2. FUNCIÓN SURYECTIVA Una función

( )

Si

es suryectiva, si el rango o imagen de coincide con el conjunto de llegada B es decir. entonces

es una función suryectiva.

Observacion: Una función

( )

es suryectiva, si

3. FUNCIÓN BIYECTIVA: Una función

es biyectiva si es inyectiva y suryectiva a l vez..

Ejemplo: Hallar el valor de

)(

{(

)(

sabiendo que la función f es inyectiva.

)(

)(

)}

Solución: por condición de inyectividad, si se repite las segundas componentes en dos pares ordenados estos son iguales, entonces:

De (

) (

(

)

(

) entonces

)

( )

(

*(

) )(

)(

)+

OPERACIONES CON FUNCIONES Sean f y g dos funciones cuyas reglas de correspondencia son ( ) y ( )

, entonces:

ADICIÓN:

*(

)

(

)( )

( )

( )

(

)

()

( )+

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 73 SUSTRACCIÓN:

*(

)

(

)( )

( )

( )

(

)

()

( )+

MULTIPLICACIÓN:

*(

)

(

)( )

( )

( )

(

)

()

()

( )

( )+

DIVISIÓN:

*(

)

( ) ( )

( )( )

( )

Ejemplo: Sean las funciones

√

( )

*

( )

( )

-

* +

++

, cuyas reglas de correspondencia son:

( )

Solución:

()

,

-

(

)

(

)( )

( ) ()

*

( )

( )

+

,

-

* +

√

( )

(

)

,

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sean f y g dos funciones cuyas reglas de correspondencia son ( ) y ( ) respectivamente, si  entonces la composición de y denotado por g o f existe y se define por:

{(

)

( ( ))

(

( ) y ( )

( ),

)}

Donde: (

)

*

( )

( )

( )+ 1

( ) (

2

( )

R

( )

R

(

R

)

)

( ( ))

( )

( )

NOTA:

{( (

) )

(

( ( ))

)( )

*

( )

(

( )

( )+ 6.

Propiedades: 1.

(

2.

g f ≠ f

3.

(g

4.

)

Ran(f) ∩ Dom(g) ≠

f) h = g

(f

I=f

;

I

h)

(f +g) h = f

f=f h+g

;

,

√

( ) ()

Solución:

(

)

,

*

(

,

)

( )

( )

-

,

R

9.

Si f y g son funciones inyectivas entonces g

, cuyas reglas de correspondencia son:

-

( )

8.

h

-

,

)

h ).(g h)

(

) R

( )

es una función inyectiva.

-

,

(

función f.

Ejemplo: Sean las funciones

( )

(f .g) h = (f

7.

g

! Función identidad I tal que

5.

)} Donde:

( ) -

-Entonces:

,

( )+

f

74 | C E P R U 2 0 1 5 (

)(

( ( ))

)

(

√

)

√

,

-

FUNCIÓN INVERSA Sea f una función cuya regla de correspondencia es:

*(

)



( )

( )+ Si "f " es inyectiva entonces la función inversa de f existe y está dado por: *(

)



( )

( )+

Propiedades: Sean f, g, I funciones inyectivas, entonces:

1.

Dom (

) = Ran (f)

2.

Ran (

) = Dom (f)

3.

(g

4.

f

f)-1 =I

5. 6.

=

f=I (

) -1 = f

Ejemplo: Seaf(x) = 2x – 3 Despejar “x” en función de “y”,

Luego a “x” se cambia por f(x)-1 y a “y” se cambia por “x”. ( ) EJERCICIOS 1.

Dadas las funciones *(

) (

) (

*( ) ( ; es:

) (

Rpta.* 2.

) (

) (

)+; )+; el rango de

) (

12.

) (

) (

) (

) (

) (

) (

Rpta. *(

) (

) (

)+;

)+. Hallar

ℎ. 13.

Sean las funciones definidas por ( ) ; √ ( ) √ |. ¿Cuántas funciones son ; ℎ( ) | inyectivas?

Sean las funciones reales: función identidad, función signo, función cuadrática, función mayor entero, función constante y función lineal. ¿Cuántas funciones son inyectivas?.

Rpta. , 6.

(

)

; ;

〈 ,

-, ⟩ .

15.

Hallar

Si (

tal que

f ( ) ) ( )

9.

Sea ( )

√

Rpta ⟨

⟩.

Sea

,

¿f suryectiva?

( )

y

y

( )

(

)

Sea

( )

( )

. Hallar Dom (

-

)+. tal que . Hallar

( ) .

√

,

;

-. ;

( )

,

-

{(

)

2(

)

}y

√

3 , el dominio de la

√

, es:

〉

〈

-.

17.

Dadas las funciones: ( ) . √ , ( ) *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+, hallar la suma de los elementos del rango de . Rpta.: 4.

18.

Dadas las funciones: 〈 〉 ( ) *( ) ( ) ( ) ( )( número de elementos del Rpta.: 4.

).

y

también bieyectiva. Hallar B.

1. ,

) (

Dadas las funciones: *( ) ( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( ) ( )+, calcular la suma de los elementos del rango de: . Rpta.: 51.

además

biyectiva tal que, ( )

, ( )

10.

es

funciones ; )+. Hallar .

16.

. Hallar el valor de b.

Rpta. 0

cual

Dadas las funciones.

Rpta.: 〈

Rpta. 5. 8.

⟨ la

Hallar la inversa del a función f definida por:

función,

Rpta. No es suryectiva. 7.

,

.

Rpta.

-.

Si

) (

Dadas las funciones tal que ( )

( )

Rpta. 2.

las ) ( ) ( )+ ) ( ) ( ) (

) ( ) (

Rpta. 14.

Si tal que ( ) tal que Dom( ).

Dadas *( *( Rpta. *(

)+.

Rpta. 1

5.

Sea la función f tal que ⟨ definida por ( ) suryectiva. El valor de m-n; es: Rpta. 30.

Dadas las funciones

*(

4.

11.

+.

*(

3.

Rpta. 13. ) (

,

-

una función tal que . Hallar m+n si f es biyectiva.

(

)+, determinar el ).

,

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 75 19.

Dadas las funciones: *( ) ( ) ( ) ( *( ) de: )

0(

)(

31.

)+, + , determinar el valor

Rpta: )1 ( ), con respecto al

(

mayor valor de “ ”. Rpta.: 2. 20.

21.

22.

24.

*(

) ( ) ( ) ( , -+ +. Rpta. *

33.

(

)( )

(

Si

34.

〉.

y

f

Dadas las funciones

/ f  x   3x  2 y

/ g  x   2x  2 , entonces  g 1 f   x  ,



Rpta: 35.

3x  4 2

Dadas las funciones

F   3, 2  ,  0,0  ,  2, 4  ,  3,1 ,  4,3 G   2,0  ,  3, 4  ,  4,7  ,  6, 2 

Rpta:59

Dadas

F 2  3G 36.

la

funciones 2

, con

y

f

g

tales

que

Dadas las funciones

f  x   x3  5x  1 , x  4, 2

g  x   3x  7 , x  0,7

x  1,7 y g  x   2 x  1

Hallar

x   2,  . Hallar el rango de la función

Rpta:

16,36

37.

f  1,0 ;  3, 3 ;  1, 4  ;  2,1

Rpta: Si

Rpta:

38.

gh f





f 1 f 1  x  1 , es:

39.

f

y

g son biyectivas , tales que 40.

funciones

Dadas las funcione:

f  {(2,3), (1,6), (4,2), (6,8)} y

f  f  g , es: g

Dada las funciones:

f 2  3g

g

Rpta. 4 41.

Rf

x  0, y

Hallar la suma de los elementos del rango de

g  1,3 ,  3,1 ,  2,0  ,  4,0 

f  x   5x2  2 x  1 . Hallar D f 5

si

g  {(2,4), (0,2), (2,3), (1,5), (4,2), (1,3)} ,

y

g  1, 2  , 3, 4 ; 2,1 ; 4,1  . Hallar f

Rpta:  4 ,  

y

x  1  f   x, y   x / y  . x  1  x 1 f* 1 x

f*

f ( x)  2 x ; las

f  1,0 ;  2,3 ,  1,3 ,  4,1

Si

x  3, 2

Rpta. {5,11}

Rpta:3/7 Sean

,

1  2 , 2

El rango de

 3 8 8 2 f     ; g 1    . Hallar f 1  2  7 5  5 9 9

Rpta: f

 2 x  8 , x  0, 2

g  {(0,2), (1,3), (4,1), (6,0), (9,8)}

x  31 9

Si las funciones

Hallar Rpta:

f  x  2   3x  2 es una función real, entonces

Rpta:

g

tal que

 3, 4 ;  4, 6 ; 1, 2

el valor de

 g  x 

f  x   x2  2 x  3

Si

g   1, 6  ;  2, 2  ;  3, 4 

h

3

g  x   5  3x , x  1, 4 . Hallar Dom  g f 

Dadas las funciones.

Hallar una función

f

Rpta: x

f g

30.



La suma de los elementos del rango de la función

con

29.

f:

g  x  x  3

f  x    x  1

28.

 2, 1 ,  4, 5  ,  7, 5  . Hallar

Hallar la suma de la elementos del rango de

Rpta:11

27.

y g

es:

g definidas por:

f  g , es:

26.

g son dos funciones definidas por

 2, 3 ,  4,1 ,  7,1

g:

Dada la siguiente función: ( ) , -. Hallar la función inversa de √ . Rpta.: ( ) . √ Dadas las funciones

x3  2 , hallar la inversa 8

f g.

)( ).

Rpta:

,

y

f

y

x2

3

f  x  x  4

f   6,8 ;  4,7  ;  0,1 ;  3,5 ;  7, 4 

25.

Dada la función real

2

. Hallar el valor de ,

( )

2x  1 . Hallar la inversa de f  x  3x  1

x 1 3x  2

Rpta: 2

)+ ,

La inversa de la siguiente función: ( ) √ (| ), es: | Rpta.:

23.

32.

Sean las funciones: *( ) Hallar: ( ). Si ( ) y si se cumple que: ( )( ) ( ) Rpta.: 2.

f  x 

Si

Sean las funciones:

f  {(4,1), (3,1), (2,4), (1,4)} , y g  {(1,1), (4,3), (5,2), (0,4)}

La suma de los elementos del rango de la función

f  g , es: Rpta. 5

76 | C E P R U 2 0 1 5 42.

Si

f ( x)  5x  3,

g ( x)  3x  1

Hallar la regla de correspondencia de Rpta ( 43.

Si

44.

f g

Sean

f  x   2x2  4x  3

g

f  g )(x)=15x-2

 1, 2  ,  0, 7  , 1, 3  , 

 2 f  3g  

f ( x)  x  4, con x  [2,6] y

Rpta.

g ( x)  2 x2  3, con x  2, 4]

y

5



86  8 5

gf

Son funciones. Determinar el dominio de ( )(x). Rpta [2,6]

2

f (x1)=ax +bx+c

FUNCIÓN EXPONENCIAL Una función f se llama función exponencial si está definida por:

( )

;

.

Nota:

( ) ( ) ( ) ( )

1. Una función f es creciente si: 2. Una función f es decreciente si: CASO 1:

. /

( )

𝑎

Si

Ejemplo:

( )

( ) x

-3

-2

-1

0

1

2

3

8

4

2

1

1/2

1/4

1/8

() ()

R

Si x se aproxima a

, entonces “y” se aproxima a 0.

Si x se aproxima a

, entonces “y” se aproxima a

∞

.

Observaciones: 1. Como

es decreciente y pasa por el punto (

la grafica de la función

( )

( )

2.

Si 𝑎

CASO 2: Ejemplo: x

-3

-2

-1

0

1

2

3

1/8

1/4

1/2

1

2

4

8

)



3,10 ,

5, 20



Hallar

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 77

() ()

R

Si x se aproxima a

, entonces “y” se aproxima a

Si x se aproxima a

, entonces “y” se aproxima a .

∞

.

Observaciones: 1. Como

la grafica de la función

( )

es creciente y pasa por el punto (

)

( )

2.

FUNCIÓN LOGARITMO Dado

,

la función logaritmo de base “a” esta dado por:

( ) CASO 1:

𝑎

Si . /

Ejemplo: x

8

4

2

1

1/2

1/4

1/8

-3

-2

-1

0

1

2

3

() R

Si x se tiende a

, entonces “y” se aproxima a

.

Si x se aproxima a , entonces “y” se aproxima a

.

∞ ()

Observaciones: 1. Como

la gráfica de la función

( )

es decreciente y pasa por el punto (

( )

2.

CASO 2:

Si 𝑎 ( )

Ejemplo: x

1/8

1/4

1/2

1

2

4

8

-3

-2

-1

0

1

2

3

)

78 | C E P R U 2 0 1 5

() R

Si x se tiende a

, entonces “y” se aproxima a

.

Si x se aproxima a , entonces “y” se aproxima a

.

∞ ()

Observaciones: 1.

Como

la grafica de la función

( )

es creciente y pasa por el punto (

)

( )

2.

Nota 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial y viceversa.

* + 2.

La función logarítmica y la función exponencial son Biyectivas.

Logaritmo natura si la base: a = e = 2.718281… entonces PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS LOGARITMOS 1.

Solamente existen sistema de logaritmos cuya base es una cantidad positiva diferente de la unidad.

2.

En el sistema de los números reales no existen logaritmos de cantidades negativas.

3.

Si la base

.

Si la base

.

4.

.

5.

.

6.

.

7.

.

8.

.

9.

.

√

10.

.

11.

.

√

√

cambio de base. NOTA: . DEFINICION.-Se denomina cologaritmo de un número N; al logaritmo de su inversa, esto es: . Ejemplo.-

.

DEFINICION.-Se denomina antilogaritmo, al número correspondiente al logaritmo dado, esto es: Si x es el logaritmo en base b, entonces: .

EJEMPLOS.1. 12.

(

)

.

A S I G N A T U R A : Á L G E B R A | 79

EJERCICIOS

1.

Hallar el dominio de la función definida por

( ) 2. 3.

L

Rpta. 〈 Hallar Rpta:3.

.

I. si

/.

II. si

el

valor

de

.

Representar la siguiente expresión como un solo logaritmo con coeficiente 1: .

5.

Rpta: . El rango de la función de variable real, tal que: ( ) , es: 〉. Rpta.: 〈

5.

6.

7.

8.

9.

Hallar el número cuyo logaritmo de base √ es igual a -6. Rpta:1/8.

9.

10.

(

El valor de E en: Rpta:9.

11.

13.

Hallar el valor de x en

1.

(

〈

15.

3.

.

e)

.

4.

+.

( ))5; es:

(L

4L

;

〉.

Determinar

dominio

.

de

la

función

( )

/; es: 〉

〈

Determinar

el

L

/.

.

〉

〉. dominio

〈

de

la

función

( )

〉.

La suma de elementos del rango de la función f ( ) ; es: definida por ( ) .

El dominio de la función ( )

L

); es:

(

〉.

Hallar la inversa de la función definida como: .

( )

L

(

)

.

El dominio de la función f definida por

( ) Rpta. 〈 17.

L

4L

. El

〉.

Sea f una función real de variable real definida por ( ) ( ) . Cuáles de las siguientes proposiciones es verdadera.

))5; es:

Señale la función inversa de:

Rpta.: | |

(

( )

〉.

Sea f una función real definida por ( ) rango; es:

(L

〉.

El rango de la función real f, definida por ( ) | | ; es:

Rpta. ,

*

.

d)

Rpta. 〈

〉

〉.

Rpta.

16.

). Determinar su dominio.

〈

( )

+ . Para que “f” sea una se debe cumplir que:

Rpta. d. 2.

L

Rpta. 〈

.

.

〉 R

c)

)

/. Hallar el dominio

Determinar el rango de la función ( ) es:

Rpta. .

*( ) ( ) Sea función exponencial a) y . b)

13.

14.

Rpta:3. Hallar el valor de x en Rpta:2. ( ) Resolver: Rpta:6

( 〉

Rpta. 〈

.

√

.

El dominio de la función f, definida por:

L

).

), es:

(

L

.

L

Rpta. 〈

12.

15.

Sea ( )

Rpta. 〈

12. )

〉y

Rpta. 〈

Rpta:0.

14.

Sea la función ( )

( )

Hallar el valor de x sabiendo que se tiene la ( ) igualdad: . Rpta: 2. Hallar el valor: (

; es:

〉.

Rpta. 〈

El valor del logaritmo de 125 en base 625; es: Rpta:0.75. ¿Cuál es la base del logaritmo de 8 si este es igual a -1.5? Rpta:1/4.

11.

El de la función ( )

Rpta. 〈

8.

10.

.

y rango.

resulta:

Considerando la función 0 1, definida por: | | ( ) . Si es sobreyectiva, encontrar el dominio de . -. Rpta.: ,

.

Por el punto (2,4) pasa la gráfica de cierta función exponencial, entonces la regla de correspondencia de dicha función; es:

Rpta. 〈

.

Rpta:

entonces ( )

Rpta. ( )

7. ,

.

Rpta. III.

6.

Al reducir la expresión:

.

entonces ( )

III. si

〉.

√

4.

entonces ( )

18.

.

Considerando la función

( )

|

dominio de . -. Rpta.: ,

|

0

1, definida por:

. Si es sobreyectiva, encontrar el

80 | C E P R U 2 0 1 5 19.

20.

21.

El rango de la función ( ) , es: 〉. Rpta.: 〈 Si ( ) Rpta.:

( )

)(

(

〉

b  1 , entonces la función f es inyectiva

III)

Si

b  0, b  1 , entonces el rango de f es b  0, b  1 , entonces la gráfica de f

interseca al eje Y en punto (0,1). Rpta:II y IV

), hallar su dominio. 31.

El rango de la función real f, definida por:

f ( x)  5Sgn( x 3)  2 , es: Rpta. {11/5 , 3, 7}

Determinar el dominio de: ( ) 〉

Si

IV) Si

* +.

Rpta.: 〈

II)

 0, 

, hallar su inversa de . .

Sea la función: Rpta.: 〈

22.

de variable real, tal que:

32.

〈

〉.

Sea f una función cuya regla de correspondencia es:

f ( x)  3Log2 x ,

x  [2,   , la función inversa

de f, si existe, es: 23.

Si ( )

L

Rpta.: 〈 24.

(L

[L

)]. Hallar el dominio de .

〉.

33.

Hallar el dominio y rango de:

( ) Rpta.: 25.

* + y ,

34.

〉.

( )

,

(

〈

〉. 35.

27.

Sabiendo que ( )

(

hallar

)

R 28.

Determinar

el

f  x    0.25 Rpta: 29.

El

de

la

y  Log3  x  2   1 , es:

Rpta: 30.

rango

de

la

función

x

0,  rango

función

inversa

la

función En

Dada la función exponencial siguientes

las

exponencial siguientes

f  x   b x, x  proposiciones

, son

f es el conjunto de los números reales no negativos y b  0, b  1

Dada la función f(x)=2ax+1, se cumple que x1, x2  R, x1f(x2). Con respecto a “a” se puede afirmar que. Rpta. a<0.

36.

Sean f(x)=3x-1, g(x)=3x, h(x)=f(x)+g(x) ¿Cuál es el valor de x tal que h(x)=4?. Rpta. x=1.

37.

La gráfica de la función exponencial de la forma f(x)=ax, 0
38.

Sea

de

2, 

¿Cuáles de las verdaderas? I) El dominio de

Dada

proposiciones indica con (V) si es verdadera o con (F) si es falsa: I Si b>1, la función no es creciente. II Si b>1, la función pasa por (1,0). III Si 0
)-

〉.

〉

f ( x)  Log( x  4) ( x 2  1) . Determine su dominio.

f ( x)  b x , x  R   {1} .

El dominio de la función logarítmica: ( ), es: Rpta.: 〈

Sea

f 1 ( x)  2 Log3 x , x [3, 

Rpta. <-4,-1>U<1,+∞>-{-3}

| ||

|

Hallar el dominio de: Rpta.: 〈

26.

Rpta.

la

función

exponencial

5x . correspondencia f(x)= x 5 1 Hallar el dominio de f-1. Rpta.

<0,1>.

con

regla

de

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC

CEPRU

ASIGNATURA

GEOMETRÍA

DCF

CUSCO – PERÚ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC

ÍNDICE ASIGNATURA GEOMETRÍA TEMA Nº 1.- NOCIONES BÁSICAS DE GEOMETRÍA ...................................................................................Pág. 01 TEMA Nº 2.- RECTA Y SEGMENTO DE RECTA ..............................................................................................Pág. 05 TEMA Nº 3.- ÁNGULOS ..................................................................................................................................Pág. 10 TEMA Nº 4.- TRIÁNGULOS.............................................................................................................................Pág. 16 TEMA Nº 5.- LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO .....................................................................Pág. 19 TEMA Nº 6.- ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES...................................................................Pág. 22 TEMA Nº 7.- CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS ..........................................................................................Pág. 27 TEMA Nº 8.- PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ......................................................Pág. 30 TEMA Nº 9.- RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS.............................................................................Pág. 33 TEMA Nº10.- CUADRILÁTEROS ....................................................................................................................Pág. 39 TEMA Nº 11.- CIRCUNFERENCIAS ..............................................................................................................Pág. 44 TEMA Nº 12.- POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS .................................................Pág. 49 TEMA Nº 13.- POLÍGONOS ...........................................................................................................................Pág. 54 TEMA Nº 14.- POLÍGONOS REGULARES ......................................................................................................Pág. 57 TEMA Nº 15.- ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES ...................................................................................Pág. 60 TEMA Nº 16.- ÁREA DE REGIONES CUADRILÁTERAS .................................................................................Pág. 64 TEMA Nº 17.- ÁREA DE REGIONES CIRCULARES Y POLIGONALES ..........................................................Pág. 67 TEMA Nº 18.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ......................................................................................Pág. 76 TEMA Nº 19.- ÁNGULO DIEDRO Y TRIEDRO ...............................................................................................Pág. 78 TEMA Nº 20.- POLIEDROS .............................................................................................................................Pág. 81 TEMA Nº 21.- PRISMAS ..................................................................................................................................Pág. 84 TEMA Nº 22.- PIRÁMIDES ..............................................................................................................................Pág. 87 TEMA Nº 23.- CILINDROS ..............................................................................................................................Pág. 90 TEMA Nº 24.- CONOS ...................................................................................................................................Pág. 93 TEMA Nº 25.- ESFERAS...................................................................................................................................Pág. 96

TEMA N° 1 NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA GEOMETRÍA La Geometría o Geometría Euclideana es parte de la matemática que estudia las figuras geométricas, sus propiedades y la relación entre sus propiedades de acuerdo a su forma, tamaño y su posición en el plano o en el espacio. La Geometría Euclideana se divide en “geometría plana” y “geometría del espacio”. TÉRMINOS MATEMÁTICOS 1. PROPOSICIÓN.- Es un enunciado u oración que tiene la característica de ser verdadero o falso. 2.

AXIOMA O POSTULADO.- Son Proposiciones verdaderas que se aceptan sin demostración

3.

TEOREMA.- Es una proposición que para ser evidente requiere ser demostrada. Consta de dos partes: a) Hipótesis.- Son los datos que se suponen que son ciertos b) Tesis.- Es lo que se debe demostrar.

ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA Son: el punto, la recta y el plano 1.

EL PUNTO.- Es un ente geométrico abstracto. Solo tiene posición en el espacio. No tiene dimensiones. Es no medible. No tiene existencia física. Postulado del punto: “Existen infinitos elementos llamados puntos” Se denota con letras mayúsculas: A, B, P, …

2.

LA RECTA.- Es un conjunto de infinitos puntos continuos que siguen una misma dirección e ilimitada en ambos sentidos. La recta no es medible. Postulados de la recta: a) “Dados dos puntos diferentes, existe una única recta que los contiene” b) Toda recta contiene por lo menos dos puntos diferentes.

3.

EL PLANO.- Conjunto de infinitos puntos que se representa mediante regiones planas que se extienden infinitamente en todas las direcciones de la región. El plano es no medible. No tiene espesor. Postulados del plano: a) Dados tres puntos diferentes no colineales existe exactamente un plano que los contiene. b) Todo plano contiene por lo menos tres puntos diferentes no colineales.

ESPACIO: Es el conjunto de todos los puntos. FIGURA GEOMÉTRICA: Es todo conjunto de puntos que adoptan una determinada forma, tamaño y posición. Las figuras geométricas pueden ser líneas, superficies y sólidos, adoptando cierta forma y teniendo una determinada extensión, excepcionalmente consideramos al punto, la recta y al plano como figuras geométricas. RELACIÓN ENTRE FIGURAS GEOMÉTRICAS Dos figuras geométricas pueden ser: 1. Semejantes (), si tienen igual forma sin importar su medida. 2. Equivalentes (), si tienen igual medida sin importar su forma. 3. Congruentes (), si tienen igual forma y medida. FIGURAS GEOMÉTRICAS CONVEXAS Y NO CONVEXAS Una figura geométrica es convexa si y solo si para todo par de puntos de esta figura geométrica, el segmento determinado por estos puntos está contenido en la figura. Una figura geométrica  es convexa

 ( P, Q    PQ  ) Q P



Caso contrario se dice que esta figura geométrica es no convexa.

P

Q

AXIOMAS: 1. Todo punto contenido en la recta, determina en la recta tres conjuntos convexos disjuntos: dos semirrectas y el mismo punto. 2. Toda recta contenida en un plano, determina en el plano tres conjuntos convexos disjuntos: dos semiplanos y la misma recta. 3. Todo plano en el espacio, determina tres conjuntos convexos disjuntos, dos semiespacios y el mismo plano

2| C E P R U 2 0 1 5 SEMIRECTA: Es uno de los sentidos de la recta, sin considerar al punto que lo determina. RAYO: Es la figura formada por una semirrecta y su punto de origen. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN UN PLANO Dos rectas en un plano pueden ser: A) Secantes. B) Paralelas. EJERCICIO RESUELTO: 1) Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) I) Una recta está contenida en un plano, cuando por los menos dos puntos de la recta pertenecen a este plano II) Dos figuras geométricas son congruentes cuando tienen igual forma y medidas diferentes. III) Si a un círculo se le excluye un radio, el conjunto resultante es convexo. Señalar la alternativa con la secuencia correcta. A)FVV B)FFV C)VFF D)FVF E)FFF Resolución: I) Verdadero:

B

P II) III)

A

.

.

Falso: Dos figuras geométricas son congruentes cuando tienen igual forma y medida. Falso: Si a un círculo se le excluye un radio, el conjunto resultante es no convexo

P

Q Rpta: VFF

EJERCICIOS 1.

2.

Las figuras geométricas de igual forma y medida, se denominan: I) Semejantes II) Congruentes III) Equivalentes IV) Isoperimetricas V) Convexos. A) Sólo I B) Sólo IV C) II y V D) Sólo II E) III y V

II. III. IV.

La congruencia siempre implica semejanza. La semejanza siempre implica congruencia. Si dos triángulos son congruentes entonces son semejantes. La secuencia correcta es: A) VVFV B) FVVV C) FVFV D) VVVV E) FVVF 5.

De las siguientes afirmaciones: I. Dos figuras semejantes son equivalentes. II. Dos figuras equivalentes son semejantes III. Dos figuras congruentes son equivalentes IV. Dos figuras semejantes son congruentes. Son ciertas: A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo IV E) II y III

6.

Señale el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I) Una región hexagonal sin dos vértices puede ser una región convexa. II) La unión de una región cuadrangular y una región triangular es un conjunto convexo. III) Tres rectas cualesquiera en el espacio determinan un conjunto convexo. La secuencia correcta es: A) VVF B) FFV C) VVV D) FVF E) VFF

7.

Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Un rayo es un conjunto convexo. II. El interior de un ángulo obtuso es un conjunto convexo. III. Una línea siempre es un conjunto no convexo. IV. La circunferencia es un conjunto convexo. V. El punto es un conjunto convexo. A) I, II y V B) Sólo II C) Solo I D) Sólo III E) II, III y IV

En las siguientes proposiciones: I. Una figura A es convexa, si para algún par de puntos

P,Q  A , se cumple que PQ  A .

II. III.

Toda línea es una figura convexa. Dos triángulos que tienen igual medida son siempre congruentes. IV. Dos figuras congruentes son siempre equivalentes. En el orden que aparecen, indicar verdadero V o falso F. A) VFFV B) VFVV C) FFFV D) FFVV E) FVVV 3.

4.

Analice e identifique la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: I. Si dos regiones planas son equivalentes entonces sus áreas son iguales. II. Un segmento de recta es equivalente a un arco cuando tienen igual longitud. III. Dos figuras geométricas son equivalentes cuando tienen medidas iguales. La secuencia correcta es: A)FVV B)VVF C)VVV D)FFV E)FFF Analice e identifique la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: I. La semejanza es una correspondencia entre puntos del plano (o espacio) que preserva la forma y la proporción.

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |3 8.

¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Un pentágono, puede ser equivalente a un hexágono. II. Dos figuras congruentes, son equivalentes. III. Dos figuras equivalentes, son siempre congruentes. IV. Un cubo y un cuadrado, pueden ser equivalentes. V. Un cuadrado y un triangulo, que tienen igual perímetro, se denominan equivalentes. A) I y II D) Sólo III

B) Sólo II E) II, III y IV

C) I. II y V

9.

¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? VI. El cilindro macizo es un conjunto convexo. VII. El interior de un ángulo agudo es un conjunto convexo. VIII. Una línea siempre es un conjunto no convexo. IX. El círculo es un conjunto no convexo. X. El punto es un conjunto convexo. A) I, II y V B) Sólo II C) Solo I D) Sólo III E) II, III y IV

10.

¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? VI. Un pentágono, puede ser congruente a una circunferencia. VII. Dos figuras congruentes, son siempre equivalentes. VIII. Dos figuras equivalentes, son siempre congruentes. IX. Un cubo y un cilindro, pueden ser equivalentes. X. Un hexágono y un triangulo, que tienen igual perímetro, se denominan equivalentes. A) I y II B) Sólo II C) II. IV y V D) Sólo III E) II, III y IV

11.

12.

13.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones corresponde a un Lema? B) Proposición que se acepta sin ser demostrado. C) Proposición que para ser evidente necesita ser demostrado. D) Proposición que sirve de base para demostrar otra proposición. E) Es una consecuencia inmediata de una proposición ya demostrada. F) Es una advertencia que se hace a una proposición ya demostrada. Responder con (V) si es verdadero y con (F) si es falso I. Dos figuras equivalentes, son siempre congruentes. II. El punto es un conjunto convexo. III. Un pentágono, puede ser equivalente a una circunferencia. IV. LEMA es una consecuencia inmediata de una proposición ya demostrada. V. Si los lados de un triángulo miden 4, 11 y 12 entonces es un triángulo acutángulo. La secuencia correcta es: A) FVFFV B) FVFVV C)VVFVF D) VFVFV E) FVVFF Un conjunto convexo es: A) Todo conjunto de puntos tal que algún segmento determinado por dos puntos del conjunto está contenido en el conjunto. B) Todo conjunto de puntos tal que existe un segmento determinado por dos puntos del conjunto está contenido en el conjunto. C) Todo conjunto de puntos tal que todo segmento determinado por dos puntos del conjunto está contenido en el conjunto. D) Todo conjunto de puntos tal que algún segmento determinado por dos puntos del conjunto no está contenido en el conjunto. E) Todas las anteriores.

14. Un cono de altura “h” y radio 3cm tiene 9 3cm3 de volumen y una cuña esférica de radio 3cm tiene por 27 volumen cm 3 , entonces el cono y la cuña son: 3 I) Semejantes II) Equivalentes. III) Congruentes IV) Iguales A) I y IV B) Sólo III C) Sólo II D) II y III E) I y II 15. Dadas las siguientes proposiciones referidas a figuras geométricas I) El semiplano no es convexo II) El conjunto de dos puntos separados es convexo. III) El ángulo es convexo IV) El cuadrado es convexo V) La región rectangular es convexo En el orden que aparecen, indicar verdadero V o falso F. A)VFFVF B)FVVVF C)FFFVV D)VVVVF E)FFFFV 16. Dadas las siguientes proposiciones, indicar con “V” si es verdadera y con “F” si es falsa: I) La intersección de dos planos es medible II) Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, III)

B, C y D; entonces: AB  BC  CD  AD En dos circunferencias concéntricas, si:

AB

CD

entonces AB  CD

IV) Las figuras adjuntas son equivalentes

b

2h b A)FVFV D)VFFV

B)FFFV E)FFVF

h C)FVVF

17. En las siguientes proposiciones al indicar con “V” si es verdadero y con “F” si es falsa, en el mismo orden en que aparecen, se obtiene: I) La región triangular siempre es convexa II) Toda región cuadrilátera es convexa III) La región angular cuyo ángulo mide 80º, es convexa IV) El interior de una circunferencia es una región convexa. A)VVFF B)VVVF C)VFVF D)FVFV E)VFVV 18. Si los perímetros de dos triángulos son cada uno 12cm, entonces dichos triángulos son: I) Congruentes II) Semejantes III) Equivalentes. IV) No convexas V) Convexas. A) Sólo I B) Sólo II C) sólo III D) II y V E) III y IV 19. Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I) El interior de una esfera es un conjunto convexo. II) En una región triangular, si se omite el punto medio de un lado, siempre resulta una región convexa. III) La región interior de un cuadrilátero equilátero es convexa. IV) La intersección de un plano con una esfera es un conjunto convexo. A)VVFF B)VFFV C)VFFV D)VFVV E)FVFV 20.

Responder con (V) si es verdadero y con (F) si es falso. I. Una línea es siempre una sucesión de puntos alineados.

4| C E P R U 2 0 1 5 II. III.

El punto es un conjunto. Una línea que cambia constantemente de dirección se denomina línea quebrada. IV. Una sucesión de puntos alineados es una línea curva. La secuencia correcta es: A) FVFF B) FVFV C) FVFV D) FVVV E) FVVF 21. Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: IV) Toda línea es una recta. V) El punto sólo tiene Posición. VI) La intersección de dos planos es un conjunto convexo. VII) Dos rectas secantes están contenidas en un solo plano. La secuencia correcta es: A)VFVV B)VVFV C)FVVV D)VVVV E)FFVV 22. En la geometría Euclideana cuál o cuales de las siguientes proposiciones son falsas: I) El plano es medible. II) La recta no es medible. III) El punto no se puede definir. IV) El punto, la recta y el plano son conceptos fundamentales de la geometría Euclideana. A) I y II B) Sólo II C) Solo I D) Sólo III E) II, III y IV 23. Para la geometría Euclideana son conceptos no definidos: I) El punto y la semirecta II) Todas las figuras III) El triángulo y el cuadrado IV) El punto, la recta y el plano V) La línea recta, el plano y conjunto de puntos. A) I y II B) Sólo I C) II y IV D) Sólo IV E) Sólo V 24. Dadas las siguientes proposiciones: I) Un punto contenido en una recta, determina en ella sólo dos figuras convexas. II) Una recta contenida en un plano, determina tres figuras convexas. III) El punto es una figura convexa. IV) El ángulo en el plano determina dos regiones: una es figura convexa y la otra no convexa. V) La circunferencia es una figura no convexa, mientras el círculo es una figura convexa. En el orden que aparecen, indicar verdadero V o falso F. A)VVVFV B)FVFFV C)FVVVV D)VVFVF E)FVVFV 25. En la geometría Euclideana, cuál o cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas. I) El punto es un objeto físico. II) El punto es una letra o un aspa. III) La recta es un concepto fundamental de la geometría. IV) El plano geométrico es medible. V) El punto no es definible. A) I y IV B) I y II C) III y V D) solo V E) solo III 26. Las figuras geométricas de igual forma y medida, se denominan: VI) Semejantes VII) Congruentes VIII) Equivalentes IX) Isoperimetricas X) Convexos. A) Sólo I B) Sólo IV C) II y V D) Sólo II E) III y V 27. Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I) Si la intersección de dos conjuntos es un conjunto convexo, entonces dichos conjuntos siempre son conjuntos convexos.

II)

La intersección de regiones circulares es siempre un conjunto convexo. III) La unión de dos conjuntos no convexos es convexo. A)FVV B)VVF C)FVF D)FFV E)FFF 28. Dadas las siguientes proposiciones, indicar con “V” si es verdadera y con “F” si es falsa: I) La figura geométrica A es convexa

 (P; Q  A  PQ  A ) II)

Una región circular de cuyo contorno se han excluido dos puntos diametralmente opuestos es convexa III) Un arco de circunferencia es convexo IV) La superficie cilíndrica circular recta es convexa A)VFFF B)VFVF C)VVFF D)VFFV E)FVFF 29. En la siguiente figura, son conjuntos convexos: I) El triángulo ABC. II) El interior del triángulo ABC. III) El vértice B. IV) El ángulo BAC.

B

150º A A) II y III D) II y IV

C B) Sólo II E) I y IV

C) I y III

30.

La definición “Es el sub conjunto del espacio formado por líneas o superficies abiertas o cerradas, respectivamente con forma y posición”, corresponde a: A) El espacio B) El segmento de recta C) La figura D) El rayo E) El punto

31.

La proposición “Por cada par de puntos pasa una y solo una recta” corresponde a un: A) Problema B) Postulado C) Corolario D) Teorema E) Lema

32. En las siguientes proposiciones escribir con (V) si es verdadera y con (F) si es falsa. I) Toda región triangular de la que se excluye su circuncentro es una figura geométrica convexa. II) Toda intersección no vacía de una recta con una superficie esférica es una figura geométrica convexa. III) La región interior de un ángulo de medida 120º es una figura geométrica convexa. IV) Un semiplano geométrico es medible. La secuencia correcta es: A) VFVF B) FFVF C) FVVV D) FVVF E) FFVV

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |5

TEMA N° 2 RECTA Y SEGMENTO DE RECTA LÍNEA RECTA Es un conjunto de infinitos puntos continuos que siguen una misma dirección e ilimitada en ambos sentidos. Representación:

Notación: se puede representar de dos maneras

Línea recta L :

Línea recta AB : A

B

SEMIRECTA: Es cada una de las porciones determinadas en una recta por cualquiera de sus puntos, sin considerar a estos. A cualquiera de estos puntos se llama origen y el conjunto de puntos ubicados a un lado del origen se llama semirrecta.

O Semirecta OQ: Q

Semirecta OR: origen O

O

O

R

RAYO: Es cada una de las porciones determinadas en una recta por cualquiera de sus puntos, considerándolos a estos.

Rayo OQ:

Rayo OR:

Q

O

O

R

SEGMENTO DE RECTA Para dos puntos cualesquiera A y B de una recta que están entre A y B.

L , el segmento AB es el conjunto de los puntos A y B y todos los puntos

Los puntos A y B se denominan extremos de AB .

A

B

A

B

L

Representación:

Notación: Segmento de recta de extremos A y B: AB MEDIDA DE UN SEGMENTO: Se denomina también longitud de un segmento. La medida de un segmento es un número real positivo

A

d

B

Medida del segmento AB:

m(AB )  d ; d 



La medida de AB se denota por: AB

m( AB )  AB SEGMENTOS CONGRUENTES: Dos segmentos son congruentes cuando tienen la misma longitud.

AB



CD  AB = CD.

A

B

C

D

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO



AB



CD

6| C E P R U 2 0 1 5 Es aquel punto que pertenece a un segmento de recta y que determina con los extremos de este dos segmentos de igual longitud. M es punto medio de AB  M  AB ; AM  MB

A

M

B

Extremos: A y B Punto medio: M OBSERVACIÓN I) Todo segmento de recta tiene un único punto medio II)

AM  MB

AM  MB

ó

OPERACIONES CON MEDIDAS DE SEGMENTOS Con las medidas de los segmentos se pueden realizar las operaciones algebraicas ( m(AB )

 AB  d 



)

RAZÓN DE MEDIDAS DE SEGMENTOS: La razón

AB BC



a

se lee AB es a BC como “a” es a “b”; es decir; AB  ak y BC  bk

b

El cual gráficamente representa:

A

ak

B

bk

C

DIVISIÓN ARMÓNICA DE UN SEGMENTO: Se dice que los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D constituyen una “cuaterna armónica”, si B y D son conjugados armónicos de A y C. En toda cuaterna armónica se cumple que:

d A

a

B

b

AB AD  BC CD

C ó

c

D

a d  b c

TEOREMA: Si los puntos B y D son conjugados armónicos de A y C, se tiene:

1 1 2 , (Relación de Descartes)   AB AD AC COROLARIO 1: Si se cumple (AB)(CD) = n(BC)(AD), entonces:

n AB

+

1 AD

=

n 1 AC

COROLARIO 2: Si se cumple n(AB)(CD) = (BC)(AD), entonces:

1 AB

+

n AD

=

n 1 AC

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO Es la recta perpendicular a un segmento que contiene al punto medio de dicho segmento.

L: mediatriz

M A

B

Teorema de la mediatriz: Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista a los extremos de dicho segmento.

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |7

L: mediatriz P

M A

B

P  L mediatriz de AB  PA  PB EJERCICIOS RESUELTOS: 1.

En un recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que (AB)(AD)  5(BC)(CD) valor de x  y  z , es: A) 13 B) 10 D) 12 E) 9

y

x CD



y AC



z AB

. El

C) 11

Resolución: B

A

C

D

Por dato: (AB)(AD)  5(BC)(CD) (AB)(AC  CD)  5(AC  AB)(CD) (AB)(AC)  (AB)(CD)  5(AC)(CD)  5(AB)(CD) (AB)(AC)  (AB)(CD)  5(AB)(CD)  5(AC)(CD) (AB)(AC)  6(AB)(CD)  5(AC)(CD) Dividiendo todos los términos entre (AB)(CD)(AC) , se tiene:

1 CD

6



AC



5 AB

De donde: x=1, y=6 y z=5  x  y  z  12 2.

Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D. tal que: es: A) 10 D) 15

B) 20 E) 25

BC AB



CD AD

, además

1 AB



1 AD



1 10

, la medida de AC ,

C) 30

Resolución:

A Por dato:

B

BC



AB

C

CD AD

AB

ó

BC



D

AD CD

Se tiene que los puntos B y D son conjugados armónicos de A y C, luego debe cumplirse la relación de Descartes

1 1 2   AB AD AC Además por dato

1 AB



1 AD



1 10

 AC  20

EJERCICIOS 1)

¿Cuál o cuáles de las proposiciones son verdaderas? I) Los puntos alineados A, B, C y D, constituyen una cuaterna armónica si se cumple que: AB. CD = AC. AD II) Si los puntos alineado A, B, C y D, constituyen un a cuaterna armónica entonces se cumple que:

1 AD

2)

+

1 AB

=

Calcular la longitud del segmento AB, sí 3BD = 4AC y AD = 22 m. A) 1m B) 3m C) 6m D) 9m E) 12m 3)

Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, M, C y D; tales que: M es punto medio del segmento AD; AB + CD = 10m y BM – MC = 2m. Calcula la longitud del segmento CD. A)12m B)6m C)15m D)9m E)3m

4)

Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, tal que AB  BD  4(CD) . Si AD=24, el valor de CD,

2 BC

III) Si los puntos alineados A, B, C y D, constituyen un a cuaterna armónica entonces se cumple que: AD. BC = CD. AB. A) Sólo I B) Sólo II C) II y III D) Sólo III E) I y II Se tiene los puntos colíneales y consecutivos A, B, C y D. Siendo B, punto medio del segmento AC.

es: A) 1

B) 6

C) 12

8| C E P R U 2 0 1 5 D) 3 5)

6)

E) 2

Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, tal que CD  3(AC) , BD  3(AB)  28 . Calcular BC. A) 1 B) 3 C) 14 D) 7 E) 4 Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D,

1 4 1   , si AB=27, CD AC 9

tal que AB.AD  n.BC.CD , el valor de n, es: A) 1 B) 2 D) 4 E) 5 7)

A) Sólo I D) Sólo III 8)

1

+

AD

1

=

AB

B) Sólo II E) I y II

AB

1



AD

2

. Si AB=4

AC

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que

AB BC



a(AD) b(CD)

y

a AB



b AD

 2.

Hallar AC. A) D)

ab 2 ab

3

B)

2a  b 2

C)

2b  a 2

E) a  b

10) Los puntos M y N dividen armónicamente al segmento

(AM)(AN) AM  AN A) 2 D) 6

AB

.

Calcular

AB

si

se

tiene:

3 B) 5 E) 3

11) Una persona camina en línea recta de un punto A hacia un punto B, de modo que al llegar al punto medio M de AB , decide regresar hasta un punto P y se da cuenta que la distancia de P hasta M es la cuarta parte de la distancia de P hasta B. Hallar la distancia de A a B, si la persona a recorrido 72 m. A) 108 m B) 144 m C) 72 m D) 126 m E) 136 m 12) Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tal que: 4AC=CD. Si BD – 4AB=20, el valor de BC, es: A)3 B)5 C)4 D)9 E)6 13) Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D,

Determinar BC. A) 3.54 B) 4.14 D) 3.64 E) 5.14

AB AD .  BC CD

+

n AB

=

8 AC C)7

16) Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E, tal que AC  CE , AB  CD  16 y DE  BC  4 . Calcule CD. A)12 B)10 C)8 D)6 E)4 17) En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que 4( AB)(CD )  (BC )( AD) y

1



4 AD



1 AB

. Calcule AC.

B)30 E)60

C)50

18) En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que C es punto medio de BD . Si

4( AB)( AD)  28  (BD ) 2 , calcule AC. A) 3

B) 5

D)3

E) 11

C) 7

19) Sean los puntos colineales i consecutivos A, B, C, D y E, tal que AB  CD  3(BC ) y DE  AB . Si luego se ubica el punto medio M de BE , donde MD=2 y AE=16, calcule MC. A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 20) En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Si se cumple la relación 4( AB)  BD  2(CD )  4 , además AB=3 y AC=5. Calcule AD. A)2 B)3 C)5 D)7 E)9

(BC )(CD )  28 y CD  BC  7 . Calcule AC. A)10 B)2 C)6 D)12 E)8

22) Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F; sabiendo que AC=15m, BD=25m, CE=20m y DF=30m; siendo M y N los puntos medios de AB y

EF , respectivamente, la medida de MN , es: A)45m B)35m C)25m D)55m E)15m 23) En una recta se ubican los puntos consecutivos A, M, N y R. Si ( AM)( AR )  3(MN )(NR ) y Calcule m  n  p . A)16 B)8 D)14 E)18

m n p .   NR AM AN

C)12

C) 6.14

14) En una recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, tal que AB  CD . La expresión:

2 AB.BC

21) Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que ( AB)(CD )  ( AD)(BC ) ,

C) 4

tal que, tal que: AD=30, AC=18 y

1 AD

B)5 E)6

A)40 D)45

y CD=6, entonces el valor de BC, es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 9)

Calcular n, si:

BC



C)

15) Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tales que: AB.CD = n BC.AD.

2

En una recta se consideran los puntos consecutivos A,

1

1 AB.BC

10

C) II y III

B ,C y D, de tal manera que:

D)

B)

A)3 D)9

C) 3

¿Cuál o cuáles de las proposiciones son verdaderas? IV) Los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, constituyen una cuaterna armónica si se cumple que: AB. CD = AC. AD . V) Si los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, constituyen una cuaterna armónica entonces se cumple que: AD. BC = CD. AB VI) Si los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, constituyen una cuaterna armónica entonces se cumple que:

1 AB2  BC2 1 E) (AB  BD)2

A) AB.BC

1 1 , es equivalente a:  AB.AC BC.BD

24) Sobre una recta se ubican los puntos A, B, C y D consecutivos, determinando así segmentos cuyas medidas satisfacen que: “BD es media proporcional

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |9 de AC y AD”. Con esa condición, calcular el valor de

2

 CD AC     AB BD  1 C) 2

B, C y

la expresión “E”, si E   A)2 D)

B)0

1 4

B y C de modo que: ( AB)(BC )  n ( AC) 2

y

AB BC   1 . Entonces, el valor de “n” será: BC AB 1 1 1 A) B) C) 2 4 3 1 D) E)1 5 

AB.AC=3BC.CD y 2

2

E      B)20 E)26

CD

+

 AC

=

 AB

.

2

C)19

y D tales que: 2CD. AB = 3 BC. AD Calcular CD. A) 1 B) 2 D) 3 E) 4

y

2 BC



5 AC

1 .

C) 5

de BC . Calcular BD, si AM  12 . A)24 B)12 C)6 D)18 E)30 29) Se tiene los puntos colineales y consecutivos R, I, C y O tales que: RI = a, IC = b, CO = c; RI. CO = IC. RO y



ab 4RO

A)8 D)9



c 3RI

Hallar E = abc

B)10 E)11

30) Se tiene los puntos colineales y consecutivos M, I, C y O tales que: MO = 24, MI  x  y , IC  x  y , A)9 D)5

B)6 E)8

 y, x  N

.

C)7

31) En una línea recta, se ubican los puntos consecutivos A, B y C, tal que 2( AC)  3( AB) y BC  6 . Calcular AC. A)20 D)12

B)18 E)16

C)14

32) En una recta se ubican los siguientes puntos consecutivos A, B, C y D tal que AB  AC  20 cm,

AC  AB  4 cm y AC  CD . La medida de AD , es: A) 18cm D) 15cm

B) 12cm E) 20cm

C) 24cm

A)1 D)4

medio de AC y 3(BC )  2(CD ) . Si AD mide 28, la C)8



B)2 E)5

C)3

CD mide 20, entonces el segmento que tiene por extremos los puntos medios de PC y BQ , mide: A)12 B)20 C)13 D)10 E)15

AB , BC , CD ; tienen medidas que cumplen con las AB BC (BC).(CD) siguientes expresiones: y  4. AD CD CD  BC Hallar la medida de AC . A)10 B)8 D)12 E)6

C)9

38) Sean los puntos colineales y consecutivos A, B y C. Si 2AB + BC2 = 20 y AC=10, el valor de AB, es: A) 10 B) 11 C) 8 D) 7 E) 9 39) En una recta se consideran los puntos consecutivos M, N, P, Q y R, donde P y Q son puntos medios de MQ y NR , además MR=30 y PQ=8. Determinar NP. A) 5 B) 4 C) 6 D) 7 E) 2

y Q son puntos medios de AB respectivamente. Hallar el valor de

1 1 1 1    AQ PD BQ PC A) 6 B) 5 D) 4

CD y PQ , si

y (AB)(CD) = 144 .

C) 7 E) 9

41) En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que: 4(AB)(CD)=(BC)(AD) y

1 4 1 . Hallar AC.   8 AD AB A) 25 D) 35

B) 25 E) 50

C) 40

42) En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que (BC)2 = (AB)(CD) y

1 AC

33) Sobre una recta se encuentran los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que B es punto medida de AC , es: A)12 B)16 D)14 E)6



(MA )2  (MB ) 2  k (MO )2  ( AO) 2 .

40) Sean A, B, C y D puntos consecutivos de una recta, P

C)7

CO  2y  x . Hallar el valor de y;

A y B, siendo O el punto medio de AB . Calcule el valor de K para que se cumpla la siguiente igualdad

37) Dado los segmentos consecutivos sobre una recta:

28) Se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D en una recta, tal que: 2( AB)  CD y M es punto medio

RC

C) 4n

AB y CD respectivamente donde AB mide 40 y

27) Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, C

ab

n0 .

36) Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B C y D. si P y Q son puntos medios de

26) Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, C

A)18 D)24

AB AD 1 1 1 y    ; BC CD AB AD n

35) Sobre una recta, se ubican los puntos consecutivos M,

25) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A,

Calcular

D. Si

Calcular AC. A) n  2 B) n D) 3n E) 2n

E)1

y D tales que:

34) Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,



A) 16 D) 14

1 BD



1 16

. Hallar el valor de BC.

B) 12 E) 8

C) 32

10| C E P R U 2 0 1 5

TEMA N° 3 ÁNGULOS ÁNGULO Definición: Figura geométrica formada por dos rayos coplanares que tienen el mismo origen y que no están en línea recta. Representación gráfica: Notación: ángulo AOB: AOB

III)

 180º    360º

IV)

AOB : OA  OB

 Región exterior del

  360º

B Región interior del

O

SEGÚN LA RELACIÓN ENTRE SUS MEDIDAS I) ÁNGULOS COMPLEMENTRIOS: dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90º.

A

R

P B

Elementos: 1)

Lados: OA ; OB

2)

Vértice: O

 

POSTULADO DE LA MEDIDA DE UN ÁNGULO: A cada ángulo AOB le corresponde un único número entre 0° y 180°, llamado medida del ángulo AOB. Se denota: Medida del AOB : m( AOB)   0° <  < 180°

B

Q

O

A

    90º  AOB y PQR son complementarios Se dice también: “ AOB complemento de PQR ” ó “ PQR complemento de AOB ” NOTA: La medida del complemento de un ángulo de medida “”, es: “90º–”

C  90º  PROPIEDAD:



 , si n es par C   C , si n es impar

CCCCC n veces

O

A

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS: Los ángulos se clasifican de acuerdo a su medida, a la suma de sus medidas y a la posición de sus lados.

II)

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS: Dos ángulos son suplementarios, si la suma de sus medidas es 180º. B

SEGÚN SU MEDIDA: I) Ángulo agudo: 0º    90º

P 

 Q

R

Ángulo recto:   90º

 III)

A

    180º  AOB y PQR son suplementarios Se dice también: “ AOB suplemento de PQR ” ó “ PQR suplemento de AOB ”

 II)

O

NOTA: La medida del suplemento de un ángulo de medida “”, es: “180º–”

se representa:

S  180º  PROPIEDAD:

Ángulo obtuso: 90º    180º

SSSSS n veces



 , si n es par S   S , si n es impar

SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS: I) ÁNGULOS ADYACENTES: Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado común, sus interiores son disjuntos y están contenidos en un mismo plano.

NOTA: I)   0º

O

lado común

II)





   180º

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |11 NOTA: Ángulos adyacentes suplementarios o par lineal.

Ángulos

Internos

Externos

Alternos (medidas iguales)



Conjugados (son suplementarios)

 O

    180º II)

Correspondientes (medidas iguales)

ÁNGULOS CONSECUTIVOS: Son aquellos ángulos con el mismo vértice y lado común que están contenidos en un mismo plano, sus interiores son disjuntos.

PROPIEDADES 1.

Si: L1 // L 2

L1  x O III)



L2

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice en donde los lados de uno de ellos son los rayos opuestos del otro.

x   2.



Si: L1 // L 2



O

L1

 x

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: Es aquel rayo cuyo origen es el vértice de un ángulo, y sus demás puntos al estar en el interior del ángulo, forman con sus lados, ángulos congruentes.

 y 

L2

B

x y  

P 

3.



O

Si: L1 // L 2

A

L1

x

Bisectriz: OP



m( AOP)  m( POB)  OP bisec triz de AOB



Teorema de la bisectriz: Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo.

 

M

x  

PM = PN

P

4.

  O

L2

Si: L1 // L 2



N



ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE:

b

externos

c

a

 

L1 

d

conjugados internos

n externos

p

m q

L1

L2

          180º

L2

5.

Los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto y a un mismo lado de una recta, tienen medidas que suman 180º

C correspondientes

D

B 

E





O

        180º

 A

12| C E P R U 2 0 1 5 6.

Los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto, tienen medidas que suman 360º B)

B C

Dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso, que tienen sus lados respectivos perpendiculares, son suplementarios.

 



O

A



        360º 7.

 +  = 180º



D 

Los ángulos opuestos por el vértice, tienen medidas iguales.



O

ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS A) Dos ángulos agudos o dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivos paralelos, son congruentes.













TEOREMA Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman un ángulo recto.

= 

B Q  C







B)

A

O     90º

ANGULOS DE LADOS PERPENDICULARES A) Dos ángulos agudos o dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivos perpendiculares, son congruentes.







P

Dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso, que tienen sus lados respectivos paralelos, son suplementarios.







  +  = 180º

 



 =

EJERCICIOS 1)

2)

Un ángulo mide (4x–100°) y su opuesto por el vértice mide (2x–40°). La medida del primer ángulo es: A)15º B)20º C)30º D)45º E)60º En

la

siguiente

figura

se

tiene

que

OP

4)

En la figura, se tiene que el ángulo AOB mide la mitad de la medida del ángulo BOD

B

C

es

90º

A

perpendicular a OQ y el ángulo AOP mide 150°

P

A

El ángulo AOQ mide: A)112º B)120º D)118° E)125º 3)

La medida del ángulo AOB es: A)30º B)50º C)60º D)70º E)80º

B

O

D

O

5)

En la siguiente figura se tiene que: OE es la bisectriz del ángulo AOD. El ángulo COD mide 55°

B

Q C)140º

Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, m( BOD)  3m( AOB)  60º tal que y

O

A

C

m( COD)  3m( AOC) . Calcule m( BOC) A)12º D)18º

B)22º E)15º

C)25º

E

D

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |13 La medida del ángulo AOE es: A)60º10´ B)60º20´ C)58°20´ D)62º30´ E)50º20´ 6)

Los ángulos AOC y BOC son complementarios donde

12) En la figura L1 es paralelo a L 2 ; L3 es paralelo a

L 4 ; L5

es

paralelo a L 6 ; además a  30º ,

b  35º . Calcular el valor de x.

m( BOC)  m(AOC) ; si se traza la bisectriz OX del ángulo AOB, el cálculo de la medida del ángulo COX, es: A)15º B)45º C)5º D)30º E)25º

a

x 7)

L1

L4

L5

En la siguiente figura se tiene que: OA  OC , el ángulo AOB mide 35°

L6

D

b L2 A)125º D)120º

O

A

C

A)

El ángulo AOD mide: A)135º B)120º D)150º E)155º

9)

C)105º

L3

13) Se tienen los ángulos consecutivos AOB. BOC y COD, tal que m( AOB)  m( COD)   . Calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos BOD y AOC.

B

8)

B)115º E)110º

C)145º

D)

El complemento de la sustracción entre dos ángulos es igual al suplemento de la suma de dichos ángulos. Determinar la medida de uno de los ángulos. A)30º B)45º C)25º D)50º E)20º



10) En la figura L1 // L 2 ,     120º . Calcular el valor de “x”.



E)

4



C)

6 

 2

3

14) En la figura L1 // L 2 y L 3 // L 4 , hallar la medida del ángulo “x”.

Se consideran los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD de modo que la medida del ángulo COD es el doble de la medida del ángulo AOB. Se traza la bisectriz OE del ángulo BOC, si la medida del ángulo AOE es 1º entonces la medida del ángulo BOD, es: A) 4º B) 3º C) 1º D) 5º E) 2º

B)

8 

4x

L1 L4

L3 x

A)38º D)34º

L2

80º

B)30º E)36º

C)40º

15) En la figura: L1 // L 2 y L 3 // L 4

L1

L1 x

2

L3 x



L2

L2 A)90º D)150º

B)130º E)120º

C)110º

11) En la figura. Si L1 // L 2 , donde



a b



7 3

4

. Calcular x.

L1

 x b

a 

A)63º D)65º

 



B)60º E)75º

L2 C)45º

L4

La medida del ángulo “x”, es: A) El complemento de 3 B) El suplemento de 6 C) El suplemento de  D) El complemento de 6 E) El suplemento de 3 16) Dos ángulos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, uno es agudo y el otro obtuso; entonces, dichos ángulos son: I) Complementarios II) Opuestos por el vértice III) Adyacentes IV) Suplementarios. V) Necesariamente consecutivos La afirmación verdadera, es: A) I B) IV C) V D) III E) II

14| C E P R U 2 0 1 5 17) Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD; se trazan las bisectrices OX , OY

y OZ de los

ángulos AOB, COD y XOY respectivamente. Hallar m( BOZ) , si m(BOY)  m( AOX)  2 A) /2 B)2/3 C)2 D) /3 E)  18) De

la

figura

L1 // L 2 // L 3

calcular

x

si:

    200º

y

.

1

23) Dado los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD. Si es

OC

la

bisectriz

del

ángulo

m(AOB)  m(AOD)  180º medida del ángulo AOC. A)80º B)100º D)90º E)105º

.

BOD

y

Calcular

la

C)95º

24) Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la m( AOB)  18º y la m( COD)  24º . Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y BOD. A)12º B)21º C)6º D)25º E)33º

x 2

25) Los rayos OA , OB , OC , OD y OE se encuentran ubicados en un mismo plano, de modo

β θ

A)85º D)60º

B)75º E)80º

que

3

la

bisectriz

del

OX

ángulo

AOB

es

perpendicular a la bisectriz OD del ángulo BOE. Si

m( EOX)  160º entonces la medida del ángulo

C)70º

BOD, es: A)70º D)40º

19) Del gráfico, hallar x

B)60º E)50º

C)90º

26) En la figura adjunta L1 es paralelo L 2 . Calcular el valor de x. A)60º B)95º C)89º D)90º E)80º

θ

80º

L1

60º

2θ

x

x

30º 20) En la figura PN// CM , calcular x.

A)20º D)15º

N A)20° B)25º C)30º D)45º E)50º

x

x x

30º C

x

21) Según el gráfico, calcular el valor de , si L1 // L 2

PN// CM .

x

y

1

C N

A)20º B)18º C)22º D)15º E)14º

B)24º E)22º

28) De la figura,

M



4θ

y

L 3 // L 4 , si y  60º . L1



x

2 

22) En al figura hallar x si L1 // L 2 . A)20º B)25º C)30º D)50º E)45º

L1 // L 2

C)20º

Calcule el mayor valor entero de x.

θ

3θ

x

x A)30º D)25º

P 4θ

C)60º

27) En la figura, calcule el valor de “x”.

M P

L2

B)30º E)25º



L3

L4

y

1

L2

3x A)119º D)121º

x

4x

2

B)120º E)125º

C)115º

29) Un ángulo mide la mitad de su complemento y el otro ángulo mide 1/3 de su suplemento. Calcule el suplemento de la suma de las medidas de dichos ángulos. A)80º B)100º C)110º D)75º E)105º

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |15 30) Si la diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes es 20°. Hallar la medida del ángulo que forma el lado común con la bisectriz del ángulo formado por las bisectrices de los dos ángulos adyacentes. A) 10° B) 15° C) 5° D) 17° E) 20º 31) En la siguiente figura: Si las medidas a, b y c están en la razón de los números 2; 3 y 4 respectivamente

A) 75° D) 105°

B) 85° E) 45°

C) 95°

37) Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Si m( AOB)  17º y m( COD)  43º , calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BOC y AOD. A)13º B)30º C)18º D)26º E)27º 38) En la figura adjunta L1 es paralelo L 2 . Calcular el valor de x.

b a

c

Calcular el valor de c: A)60º B)65º D)80º E)85º

x

C)70º 37º

32) Si en la siguiente figura se tiene: Rayo OB es perpendicular al rayo OD. El ángulo BOC mide 100°

B

A)23º D)15º 39) En

O x

A

L1

60º

C

la

L2

B)30º E)25º siguiente

perpendiculares, la

C)60º figura,

OA

y

m( BOC)  56º , OX

bisectriz del

AOC y OY es bisectriz del Calcular la m( XOY) .

D

C

D

El valor de x, es: A)160º B)165º D)175º E)150º

son

OD

es

BOD .

Y X

C)170º

B

33) Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD luego se trazan las bisectrices OX , OY y OZ de los ángulos AOB, COD y XOY respectivamente. Hallar la m(AOB) si

m( XOC)  m( XOD)  4m( BOZ)  80º A) 40° D) 20°

B) 50° E) 30°

C) 45°

O A)11º D)17º

de manera que

80º

L2

C) 50º

42) Si el suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de la medida de un ángulo es igual al complemento de la diferencia entre el complemento del complemento y el suplemento de la medida del mismo ángulo, la medida de dicho ángulo, es: A) 90° B) 75° C) 80° D) 60° E) 30°

35) Si AB// CD , Calcular el valor de “x”.

A

B

231º x

215º

C A)94º D)60º

43) Si un ángulo de medida  se divide en n ángulos consecutivos, cuyas medidas están en progresión aritmética; la medida del ángulo formado por las bisectrices del primer y el último ángulo, es:

D B)90º E)53º

C)84º

36) Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, tal que m( AOD)  180º , m( AOB)  m( COD) , se trazan las bisectrices OX , OY

y OZ de los

ángulos BOC, XOD y AOC respectivamente. Si m( ZOY)  65º entonces la medida del ángulo BOY, es:

C) 45o

41) Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOE y EOF, de modo que m(  BOC) = m(  DOE), m(  AOC) = m(  DOF), m(  BOE) = 4 m(  COD) , m(  AOF) = 2 m(  BOE) y m(  AOF) = 160°. Hallar m(  BOD). A) 50° B) 45° C) 60° D) 40° E) 55°

x B) 60º E) 70º

OA y el rayo opuesto de OC . Si

ángulo BOD, es: A) 55o B) 54o D) 60o E) 53o

L3

A) 30º D) 80º

OC es bisectriz del ángulo BOD ,

m(AOB)  m(AOD)  110o , la medida del

L1  

C)10º

OB es perpendicular a la bisectriz del ángulo formado por

20º

B)12º E)15º

40) Se tienen tres ángulos consecutivos AOB, BOC y COD,

34) En la figura L1 // L 2 // L 3 , el valor de “x” es:



A

 1  n  1   B) n  n  n  D) E) n 1 n A) 

C)

 n  1    n 

16| C E P R U 2 0 1 5

TEMA N° 4 EL TRIÁNGULO TRIÁNGULO: Dados tres puntos no colineales A, B y C se llama triángulo

ac 5.

a la reunión de los segmentos AB, BC y CA .

ABC : AB  BC  CA



Teorema de existencia: En todo triángulo la longitud de uno de sus lados está comprendida entre la diferencia y la suma de las longitudes de los otros dos lados.

bc  a bc Región exterior

ac b ac ab  c  ab

C

Región exterior

I. a)

relativa a

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS: SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS: Triángulo equilátero: Sus tres lados son de igual longitud.

B

Región interior



A

a

a





B A θ3

C 3

E

F I

c

θ1

b)

a

B

A

Lados: AB, BC, CA

a





AB y BC : lados laterales AC : base

AB=c, BC=a, AC=b Ángulos interiores: CAB, ABC, Sus medidas respectivas son:

 90º ACB

c)

Triángulo escaleno: No tiene lados de igual longitud

1, 2 , 3 d)

B

Ángulos exteriores: Sus medidas son: 1, 2 , 3

e)

Perímetro:

f)

abc Semiperímetro: p  2

g)

Puntos: interior(I), exterior(E), aferente(F)



c

a



P= a  b  c

PROPIEDADES FUNDAMENTALES: 1. En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores, es 180º:



A

b

II. a)

SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS INTERIORES: Triángulo rectángulo: Uno de sus ángulos interiores es recto.

C 

En todo triángulo, la suma de las medidas de tres ángulos exteriores, es 360º

a

b

1  2  3  360º 3.

4.



En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a dicho ángulo.

1  2  3 En todo triángulo se cumple que al lado de mayor longitud se opone al ángulo de mayor medida y viceversa

a

c 



C

Sus ángulos interiores tienen diferente medida

1  2  3  180º 2.

C

Donde:

Sus medidas son: c)

a

B

Elementos: a) Vértices: A, B, C b)

Triángulo isósceles: Dos de sus lados tienen igual longitud.

θ2

2

1

 60º

En un triángulo equilátero:

b A

C

a

A Donde:

c

B

AB y AC : catetos BC : hipotenusa

Propiedad:

  90º

2

a  b2  c 2

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |17 b)

Triángulo acutángulo: Sus ángulos interiores son agudos.

B 60º 

a

c

30º





A

C

 90º ,

 90º ,

c)

K

b 2

2

a b c

Propiedad:

2K

K

 90º

53º

2

5K

3K

Triángulo obtusángulo: Uno de sus ángulos interiores es obtuso.

B

37º 4K PROPIEDADES:



1.

a

B



c  A

x  

 b



C

 90º ,

 90º ,

A

 90º

a2  b2  c 2

Propiedad:



x

C

2.

a

b TEOREMA: Sea el triángulo ABC tal que: BC = a, AB = c y AC = b

mn  ab

n

B

m

a

c

3.

m

 A

b

C

Si a > b, a > c, y:

mn  ab

b

a  ABC es Obtusángulo

n

 ABC es Acutángulo 4.

 ABC es Rectángulo

x

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CUYOS ÁNGULOS INTERIORES MIDEN: 45º, 30º, 60º, 37º y 53º

    x  180º





45º K

K

45º K

EJERCICIOS 1.

Los lados de un triángulo miden: 2,

a  3

y 8.

5.

Los lados de un triángulo miden (x+2), (x+3) y 7. Calcular el menor valor entero que puede tomar “x” para que el triángulo exista. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6.

En un triángulo ABC, AB=6,2 y BC=7,6. Hallar la suma del máximo y mínimo valor entero que puede tomar AC. A) 15 B) 16 C) 17 D) 14 E) 13

7.

En la figura .

Calcular el menor valor entero que puede tener “a” para que el triángulo exista. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2.

3.

4.

Dos lados de un triángulo miden 5m y 6 m. respectivamente, y el tercero mide el doble de uno de los lados conocidos. Calcular el perímetro de dicho triángulo. A) 20 B) 24 C) 21 D) 23 E) 25 En un triángulo ABC. Si AB  2 y AC  10 . Hallar el valor de BC si se sabe que es entero, además el ángulo en B es obtuso. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5 En un triángulo ABC, AB=4,2 y BC=8,2 hallar la suma del máximo y mínimo valor entero de AC. A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13

A)45º B)40º C)37º D)30º E)35º

A

AB  BC  CD  BD . Hallar el valor de B



C

D

18| C E P R U 2 0 1 5 8.

En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la

16. En la figura, el valor de , es:

altura BH . La bisectriz del ángulo HBC interseca en P a AC . Si AB=7. Calcular el máximo valor entero de BP. A)13 B)6 C)9 D)8 E)12 9.

En la figura, AB=CD. Hallar el valor de .

 D

10. Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB=BC). Sobre los lados AB , BC y AC se ubican los puntos M, N y Q respectivamente, tal que el triángulo MNQ sea equilátero. Si m( BMN )  m( QNC )  98 º . Calcular

2x

AB  BC  AD , el valor de , es:

A) 75º B) 60º C) 30º D) 45º E) 50º

B



A B)48º E)46º

C)52º

11. En un triángulo ABC se consideran los puntos: M en

BC y D en AC , F es el punto de intersección de BD y AM . Si los ángulos MAC, ACB y ABD tienen igual medida, mCBD  48º y AB = BD, la medida del ángulo BFM, es: A) 74º B) 76º C) 68º D) 60º E) 45º 12. En la figura: AB  BP  QC. Calcular x. A) 75º P B) 65º C) 55º D) 45º B E) 35º

30º

A C 13. En la figura, FE  ED  3 , AB=18. Calcular la medida del segmento cuyos extremos son C y B.

B 60º

45º

19. En la figura: AB  BP  PQ medida del ángulo ABP, es: A P

 QR  RC . La

R B A) 18º D) 36º

Q B) 20º E) 37º

C C) 30º

AC , tal que AB = BD, BC = AC y el ángulo DBC mide 30°. La medida del ángulo ACB, es: A) 40° B) 30° C) 50° D) 45° E) 42°

Q

C

D

20. Se tiene un triángulo ABC y D es un punto del lado

120º

x

C

60º

m( AQM ) . A)49º D)50º

5x

3x

18. En la figura, 7  B

5

A

6x 4x

17. En un triángulo ABC. Si AB  2 y AC  10 . Hallar el valor de BC si se sabe que es entero, además el ángulo en B es obtuso. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5

C A) 18º B) 15º C) 30º D) 20º E) 10º



A)70º B)45º C)90º D)22,5º E)67,5º

21. En un triángulo ABC, en la prolongación de AC se ubica un punto P, a partir del cual, se traza una secante, que interseca a los lados BC y AB en E y D respectivamente, de modo que AP = AB = PD y el ángulo BCP mide 134°. Hallar la medida del ángulo ABC siendo un valor entero. A) 45° B) 37° C) 52° D) 32° E) 60°

37º

D A) 18 D) 20

A

F

E B) 24 E) 19

C)21

14. En la figura. Si AB  AC  CD, calcular x, además

    2. A) 100º B) 80º C) 60º D) 70º E) 50º

22. En un triángulo ABC, en el lado AC se ubican los puntos E y F, de modo que AB = BF, m(  ABE) + m(  FBC) = 40° y el ángulo EBC es recto. El ángulo ACB mide: A) 25° B) 50° C) 30° D) 20° E) 35° 23. En un triángulo isósceles ABC, AB = BC, en los lados

B 

AB , BC y AC se ubican los puntos P , R y Q respectivamente, tal que PQ = QR , m(  BPR) + m(  QRC) = 145° y el ángulo PQR mide 90° . Hallar la medida del ángulo AQP . A) 50° B) 40° C) 60° D) 37° E) 30°

C

x

A

 

D

15. En un triángulo ABC, en la prolongación de AC se ubica un punto P, a partir del cual, se traza una secante, que interseca a los lados BC y AB en E y D respectivamente, de modo que AP = AB = PD y el ángulo BCP mide 134°. Hallar la medida del ángulo ABC siendo un valor entero. A) 45° B) 37° C) 52° D) 32° E) 60°

24. El perímetro de un triángulo rectángulo es 36. Calcular el mínimo valor entero de la hipotenusa. A)12 B)14 C)16 D)13 E)15

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |19

TEMA N° 5 LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO MEDIANA: Es el segmento de recta que tiene por extremos un vértice y el punto medio del lado opuesto. A

Mediana relativa al lado BC

B

M

C

Un triángulo tiene tres medianas correspondientes a cada lado. ALTURA: Es el segmento trazado desde un vértice, perpendicular al lado opuesto o a su prolongación. C

El baricentro G, determina en la mediana, dos segmentos cuyas medidas están en la relación de dos a uno. El baricentro G, es un punto interior del triángulo. Todo triángulo tiene un solo baricentro. ORTOCENTRO: La intersección de las alturas o de sus prolongaciones es un punto llamado Ortocentro.  El ortocentro “O” en un triángulo acutángulo se encuentra en el interior del triangulo  El ortocentro “O” en un triángulo obtusángulo se encuentra en el exterior del triángulo  El ortocentro “O” en un triángulo rectángulo es el vértice del ángulo recto.

B Ortocentro

Altura relativa al lado AB

G

Altura relativa al lado BC

H A

Prolongación de

A

B

C B

Un triángulo tiene tres alturas correspondientes a cada lado. BISECTRIZ: Es la bisectriz de cada ángulo del triángulo. 

Bisectriz exterior

A

Bisectriz interior

  

C

A

Ortocentro A

E

B

D

C

AE : bisectriz exterior del triángulo ABC relativa al lado

AC , siendo AC>AB. Ortocentro MEDIATRIZ: Es la mediatriz de cada lado A

Mediatriz relativa al lado BC

M

B

C

B INCENTRO: El punto de intersección de las bisectrices interiores se llama incentro (I) que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Inradio (r): radio de la circunferencia inscrita El incentro(I) equidista de los lados del triángulo El incentro (I) es un punto interior al triángulo.

CEVIANA: Es aquel segmento de recta que tiene por extremos un vértice y un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación. A

Ceviana exterior

E



Ceviana interior

B

D

I

 

C

PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO BARICENTRO: La intersección de las tres medianas es un punto interior al triangulo llamado baricentro. A

 

r

EXCENTRO: Dos bisectrices exteriores y una bisectriz interior se intersecan en un punto llamado Excentro.

Baricentro 2a c 2b

B

B

Gb a

M

También se le conoce gravedad o gravicentro.

E1

2c

r1

C como centroide, centro de

A

C

20| C E P R U 2 0 1 5 E1 es el excentro del triángulo relativo al lado BC . E1 es el centro de la circunferencia exinscrita del triángulo relativa al lado BC . En todo triángulo se circunferencias ex-inscritas.

pueden

encontrar

tres

El circuncentro equidista de los vértices del triángulo Propiedad: En la figura si L es circuncentro , se cumple:

B

r2 2

E2

B

r1

L

E1

 A

A

C

RECTA DE EULER: Es la recta que contiene a los Puntos: ortocentro, baricentro y circuncentro

C

B

E3

r3

Recta de Euler

O G

NOTA:  Un vértice, el incentro(I) y el excentro(E) están contenidos en una línea recta  El triángulo E1E2E3 es conocido como triángulo exincentral. CIRCUNCENTRO: Las tres mediatrices de un triángulo se interceptan en un punto llamado circuncentro que es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.  El circuncentro “L” en un triangulo acutángulo se encuentra en el interior del triángulo  El circuncentro “L” en un triángulo obtusángulo se encuentra en el exterior del triangulo  El circuncentro “L” en un triangulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa R: circunradio

B

L A

H

N M

C

PROPIEDADES: 1) En todo triángulo la distancia del ortocentro al baricentro es dos veces la distancia del baricentro al circuncentro:

OG  2(GL) O

G

2k

k L

2) La distancia del ortocentro a un vértice es el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto del vértice mencionado.

OB  2(LM)

También se cumple:

R

BH  3(GN)

L 3) En un triángulo rectángulo el ortocentro, baricentro y el circuncetro se encuentran contenidas en la mediana relativa a la hipotenusa, que esta a la vez contenida en la recta de Euler

C

A B

A

R

Ortocentro

B 2x

Baricentro Circuncentro

L

x

C A

R

M

3x

C

NOTA:  El baricentro (G) se encuentra entre el ortocentro (O) y el circuncentro (L).  Todo triángulo, excepto el triángulo equilatero, tienen una unica recta de Euler.

B

A

3x

L

R

C

EJERCICIOS 1.

En un triángulo, se sabe que la distancia del baricentro al circuncentro es 3cm, entonces la distancia del ortocentro al circuncentro, es: A)7cm B)6cm C)12cm )9cm E)8cm

2.

En un triángulo acutángulo ABC, O es el ortocentro y L es el circuncentro, si m  BAC   m  BCA   30º , la medida del ángulo OBL, es: A) 37º B) 60º C) 10º D) 15º E) 30º

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |21 3.

4.

5.

6.

7.

En un triángulo, se sabe que la distancia del baricentro al circuncentro es 4cm, entonces la distancia del ortocentro al circuncentro, es: A)4cm B)6cm C)16cm D)12cm E)8cm En un triángulo obtusángulo, son puntos notables exteriores: A) Incentro y circuncentro B) Incentro y baricentro C) Ortocentro y baricentro D) Ortocentro y circuncentro E) Incentro y ortocentro . Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I) En todo triángulo no equilátero, el ortocentro, baricentro y circuncentro son colineales II) La propiedad fundamental del baricentro es la de determinar en la mediana dos segmentos cuyas medidas están en la relación de dos a uno. III) En el triángulo obtusángulo el ortocentro y el circuncentro son puntos exteriores. A)VVV B)VVF C)VFV D)VFF E)FVV Determinar el valor de verdad V o falsedad F de las siguientes proposiciones: I) Un triángulo equilátero tiene infinitas rectas de Euler II) En un triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa está contenida en la recta de Euler. III) Los puntos notables en la recta de Euler, se encuentran en el siguiente orden: ortocentro, baricentro y circuncentro IV) Los puntos notables en la reta de Euler, se encuentran en el siguiente orden: baricentro, ortocentro y circuncentro A)VVFV B)VVFF C)VFFV D)VVVF E)VFFF En la figura, si m ABO  18º , m BAO  a  12º , m OBC  m OAC  60º a , el valor de x, es:



3

x

A

3x

A) 30º D) 15º

2x B) 10º E) 5º

C C) 20º

11. En la figura:

B

E

D L A

C

F

De las siguientes proposiciones: I) L es el ortocentro del triángulo ABC II) E es el ortocentro del triángulo AEB. III) A es el ortocentro del triángulo BLC. La secuencia correcta, es: A)VVV B)VFV C)VVF D)FFV E)FVF 12. En un triángulo ABC de circuncentro L, si LC=10, la medida del ángulo BAC es 70º, la medida del ángulo BCA es 40º, la distancia de L a la altura relativa a AC , es: A) 10/3 B) 2 C) 5 D) 10/4 E) 10 13. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores

BD y AF (D en AC , F en BD ). Si m  ACB   20º y m  BAC   40º , la medida del ángulo DFC, es: B) 60º E) 70º

C) 80º

14. En la figura, H es ortocentro, si la medida del ángulo HBC es 30º, entonces la medida del ángulo HAC, es: O

B x

A 8.

B

A) 40º D) 75º

B A) 52º B) 12º C) 18º D) 72º E) 78º

10. En la figura AB=BC, el valor de x, es:

C

En la figura, E es un excentro del triángulo ABC, ED es bisectriz del ángulo BEC, m  ACB   m  DEB  .

H

La medida del ángulo BED, es:

E

A) 37º D) 53º 9.

B B) 60º E) 30º

C) 45º

lado BC , si m  BAC   45º y la altura relativa al lado BC mide 6, la longitud del circunradio de dicho triángulo, es: B) 2

D) 2/3

E) 2 3

B) 60º E) 30º

C) 45º

16. Se tiene un triángulo isósceles ABC, AB = BC, donde I es su incentro y E es su excentro respecto al lado

En un triángulo ABC, la recta de Euler es paralela al

A) 3/2

A) 37º D) 15º

15. En un triángulo acutángulo ABC, el ángulo ABC mide 45° y AC = 8 cm ; la distancia del ortocentro al vértice B, es: A) 8 cm B) 6 cm C) 4 cm D) 10 cm E) 5 cm

D

A

C

A

C

C) 2 2

BC , tal que IB = 8 cm y la distancia de E al lado AB es 10 cm. La distancia del incentro al lado AC , es: A) 2 cm D) 1 cm

B) 3 cm E) 5 cm

C) 4 cm

22| C E P R U 2 0 1 5

TEMA N° 6 ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES ÁNGULOS FORMADOS POR LAS LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO TEOREMAS: 1. La medida del ángulo mayor formado por dos bisectrices interiores es igual a 90º más la mitad de la medida del tercer ángulo interior..

ii) BM : Mediana BI : Bisectriz

B

B   

x  90º 







A

I

2

 2

C

M

iii) BM : Mediana

 

x

A 2.

x

x

BI : Bisectriz

C

BH : Altura

La medida del ángulo formado por dos bisectrices exteriores es igual a 90º menos la mitad de la medida del tercer ángulo interior.

B x=y xy



B

 A



x 

 A 3.

x  90º 



 2

C

    C

A x

 



A

x

TEOREMA: i) La longitud de la mediana respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa.

 2



B

C

La medida del Ángulo formado por una bisectriz interior y la altura trazadas desde un mismo vértice es igual a la semi diferencia de la medida de los otros dos ángulos interiores BI : Bisectriz

BM 

A

C

M

B

B x

x



 

 2

 H

I

 C

A

La medida del ángulo formado por las líneas notables en un triangulo rectángulo es: i) BM : Mediana BH : Altura

 H

B  Bisectriz  Altura  Mediana  Mediatriz  Ceviana

x  

x 

 H

C

PROPIEDADES EN EL TRIANGULO ISÓSCELES i) En un triángulo isósceles al trazar la altura relativa a la base, se tiene que la bisectriz mediana y bisectriz son coincidentes.

B

A

AC 2

ii) La altura respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo determina tres triángulos rectángulos.

BH : Altura

A

C

M

B

La media del ángulo formado por una bisectriz interior y una exterior es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo interior.



5.

I

NOTA: El ángulo formado por una bisectriz interior y otra exterior trazados desde un mismo vértice es una ángulo recto.

B

4.

 H

M

C

A

H

C

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |23

ii) En el triángulo isósceles de la figura se cumple:

PROPIEDADES 1.

B m

x  ab

x

 

x a

b

 

n

C

A 2.

P



PROPIEDADES EN EL TRIANGULO EQUILÁTERO. i) En un triangulo equilátero los puntos notables coinciden en un único punto y las líneas notables son coincidentes.

  x

m

 ortocentro  incentro  baricentro  circuncentro 

n

mn 2

x 3.

B



n  90º (

 2

)

mn  

 ii) La suma de las distancias de un punto interior a un triángulo equilátero hacia sus lados es igual a cualquiera de las alturas.



m

n

A

C

4.

m n

h  abc

h c

mn  x y

y

x

b a

B

5.



iii) Sea Q un punto exterior a un triangulo equilátero, entonces se cumple:

 

a

x  45º  



 



A

c

h

x

b

 4

C

h  abc

EJERCICIOS 1.

2.

En un triángulo ABC. si I es el incentro y la suma de las medidas de los ángulos exteriores de A y B es 290°, la medida del ángulo AIB, es: A) 145° B) 135° C) 205° D) 95° E) 115° Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB=BC), en el interior del triángulo se consideran un punto P tal que m( PAB)  m( PCA) , m( ABC)  20º . Calcule

5.

AC=10. Se traza la altura BH y la bisectriz AD (D en

BC ), las cuales se intersecan en E. el valor de BE, es: A)3/2 B)2 C)1 D)2/3 E)3 6.

3.

4.

En un triángulo ABC, el ángulo formado por la bisectriz

ˆ mide 40º. Si interior del Aˆ y la bisectriz exterior del C ˆ  30º , hallar la m C ˆ . ˆ  mC mA

m( APC) . A)130º D)80º

Los lados de un triángulo ABC miden AB=6, BC=8 y

B)120º E)100º

C)110º

Hallar la medida del ángulo obtuso formado por la intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo A)45º B)135º C)90º D)55º E)60º

A)60º D)45º 7.

CD , tal que m( BCD)  26º . La

medida del ángulo agudo formado por la bisectriz del ángulo ADC y el lado A)67º B)77º D)60º E)80º

AC , es: C)64º

C)35º

En el triángulo ABC, recto en B, AB=5; BC=12; se traza la altura BH y luego se trazan las bisectrices de los ángulos ABH y HBC que intersecan al lado AC en los puntos F y E respectivamente. Hallar el valor de FE. A)6 B)7 C)8 D)5 E)4

En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se traza la ceviana interior

B)65º E)30º

8.

En un triángulo cuyos catetos miden 3 y 4 respectivamente. Calcular la medida del ángulo agudo formado por los segmentos: altura relativa a la hipotenusa y mediana relativa a la hipotenusa. A)16º B)23º C)12º D)16º30’ E)12º30’

24| C E P R U 2 0 1 5 9.

12. En un triángulo ABC, m  BAC   2m  BCA   12º ;

En la figura, AB = 16 y BD = 13. Calcular DC

A) 24 B) 27 C) 29 D) 25 E) 14,5

B 3

A

se traza la altura BH (H en AC ) y la ceviana interior

BD tal que m  ABD   2m  CBD  , la medida del ángulo HBD, es: A)48º B)24º D)34º E)30º



2 D

C

10. En el triángulo ACB de la figura, se cumple: CS  n 3 , SB=2n, ; y n  m( SNB)  m( SNM) m( SMN)  m( SMC) . Calcular la medida del ángulo MSN.

13. En un triángulo ABC, se traza por B una paralela al lado AC que interseca a la bisectriz del ángulo BAC en P y a la bisectriz exterior del ángulo C en Q. Hallar el valor de PQ, si AB = 15 y BQ = 19. A) 2 B) 3 C) 4 D) 2,5 E) 5

B

A) 55º B) 30º C) 75º D) 60º E) 45º

N

A

14. En un triángulo ABC, el punto “O” es su ortocentro y “L” es su circuncentro. El ángulo BAC mide 60º y el ángulo ACB mide 53º. La medida del ángulo OBL, es: A)37º B)15º C) 7º D)16º E)14º

S

M

C)37º

C

15. En un triangulo ABC acutángulo AB=BC se traza la altura AH y la bisectriz interior CF secantes en el punto R. Si mHAB + mHRC.= 69º Hallar mB. A) 69º B) 33º C) 74º D) 88º E) 78º

11. En un triangulo ABC AB=BC se traza la bisectriz interior

CF y luego FR  CF (R en BC ) Si mBFR=24º, hallar la medida del ángulo en B. A)24º B) 38º C) 28º D) 36º E) 18º

TRIÁNGULOS EJERCICIOS 1.

En el triángulo ABC se cumple que m( ABC)  90º ;

A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15

AB=3 y BC=10. Encontrar la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar la longitud del lado AC . A)2 B)3 D)4 E)1

C)5

  x

4 

2

2.

Dado un triángulo ABC y un punto P exterior, tal que

PC  AB  {D} . Si PA=5, PB=4 y BC  AC  11 ,

8.

calcular el máximo valor entero de la longitud de PC . A)10 B)5 C)9 D)11 E)7 3.

En un triángulo ABC, AB=BC, se traza la ceviana interior BE en el triángulo BEC se traza la ceviana

3 En la figura mostrada AB  BC y el triángulo QSC es equilátero el ángulo QCA mide 20º Luego, el ángulo BQS mide: A) 60º B B) 40º S C) 30º D) 38º E) 35º

Q

EQ , tal que BE=BQ, si el ángulo ABE mide 48º, hallar la medida del ángulo QEC. A) 25º B) 24º D) 22º E) 20º 4.

En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la altura BH . La bisectriz del ángulo HBC interseca en P a AC . Si AB=5. Calcular el máximo valor entero de BP. A)5 B)6 C)7 D)8 E)9

5.

6.

7.

La suma de las medidas de dos ángulos exteriores de un triángulo es 270º, si el lado mayor mide 18. Hallar la distancia del ortocentro al baricentro del triángulo. A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 18 En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BD , de tal manera que AB  BC  35 y AC  25 . Hallar el mínimo valor entero de BD. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Calcular el valor de “x”.

C

A

C) 23º 9.

En la figura, AD es bisectriz y BD=2. hallar la longitud de la proyección ortogonal de AD sobre AC .

A A) 3 B) 3 C) 2 D) 2 3 E) 3 3

30º B

D

10. En la figura: AB > BC y valor es entero.

C

CD > ED .

Calcular “x”, si su

B E

A) 65º B) 110º C) 115º D) 125º E) 135º

x 66º 64º

A

C D

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |25 11. Calcule el valor de  . A) 20º B) 22º C) 25º  D) 30º E) 32º





50º



40º

B) 24º E) 44º

13. Del gráfico, m

20º

50º 10º

19. En la figura, el valor de , es:

B

A) 16º B) 17º C) 18º D) 19º E) 20º

C) 36º

4

2

m

B

m



hallar el valor de MH.



A

C A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25



14. En la figura. Hallar el valor de x. A) 12º B B) 14º C) 16º   D) 18º E) 20º



C

C

 2  D)   2

 2  C)   2   2 E)   2

B)  

A)  

E 15. En el triángulo isósceles ABC donde se cumple: AB = BC, se inscribe un triángulo equilátero según se muestra en la figura. Hallar “x”.

22. En un triángulo ABC, AB =BC,

B

CR

es una ceviana

interior, tal que m  RCB   24º . La bisectriz del ángulo ARC interseca a AC en el punto Q. Hallar la medida del ángulo AQR.

F

a

E

A)72º D)78º

b x

B)56º E)82º

C)76

23. Calcular x, si DB=BC y AE=ED=DC

L

A

C

B

16. En la figura mostrada AB  BC y el triángulo QSC es equilátero. Luego: B A) a  b B) 2a  b C) 2a  3b D) a  2b E) a  b  60º

P

se cumple:

18º

D) a  b E) a  b

M

Q y R en AB , BC y AC respectivamente tal que el triángulo RQP es equilátero. Si m( PRA)   , m( BPQ)   y m( RQC)   ;

x



A)

H

B

A

ab 2 ab B) 2 ab C) 2

 

21. Se tiene el triángulo ABC (AB=BC). Sean los puntos P,

D 3x

C

20. En la figura mostrada, si BM es mediana y PB  10,

 2



n n

A

x

A

D

R

ABC  140º .Calcule el valor de “x”.

A) 10º B) 15º C) 20º D) 30º E) 35º

50º x

A



12. En un triangulo ABC isósceles (AB=BC) se traza la ceviana interior AF, de modo que AF=BC. Si m  FAC   12º , Hallar la m  BAF  . A) 12º D) 48º

N

A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 50º

A) 30º B) 25º C) 22º D) 18º E) 36º

S a

E 3x x A

Q

C

D

24. En la figura, AC=12; Calcular el valor de BD.

E

b A

C

17. En la figura, ME=MP; FN=NQ; AE=ED y FD=FC. Calcule x: B

A) 20º B) 30º C) 35º D) 40º E) 45º

E

x

A

N 120º

P A

45º

30º F

M

Q

D

18. Del gráfico, calcular el valor de “x”.

C

53º

B

C

A)

15 3

B)

C)

10 3

D) 7

D

7 3 E) 14

26| C E P R U 2 0 1 5 25. Si a  b  60º , el valor de “X”, es

2

distancia del punto “I” al punto excentro del triángulo correspondiente al lado AB . A)10cm B)5cm D)3cm E)8cm

x 

b

A) 80º B) 90º C) 100º D) 110º E) 120º

C)12cm

35. Los lados de un triángulo ABC miden AB=6, BC=8 y

a



AC=10. Se traza la altura BH y la bisectriz AD (D en

2

26. En el interior de un cuadrado ABCD se construyen los triángulos equiláteros AFB y AED. La prolongación del segmento FE interseca en G al lado BC . Calcular la medida del ángulo FGC. A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º D) 60º 27. En la figura mostrada, si PB  9 y PC  15, hallar AB.

BC ), las cuales se intersecan en E. Calcular BE. A) 3/2 B) 2 C) 1 D) 2/3 E) 3 36. En la figura AB=AD=DC. Calcular “x”

B

A) 5º B) 6º C) 8º D) 9º E) 10º

13x D

C

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

3x 2x

A

C

37. El ABC es isósceles, AB  AC. Hallar el valor de x.

P 

B

A) 9º B) 11º C) 12º D) 13º E) 14º

x

Q 3x  40º

2x



A B 28. El ángulo interior en A de un triángulo ABC mide 20º.

Se traza la ceviana CT y en el triángulo ATC se traza la ceviana TQ . Si m ATQ  40º y TQ  QC  BC . Calcular la m B . A) 40º B) 60º C) 80º D) 75º E) 55º 29. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la bisectriz interior del ángulo BAC interseca al lado

DE

tal que AB //DE , si la medida del ángulo ADE es 28º, entonces la medida del ángulo ACB, es: A) 14º B) 24º C) 60º D) 22º E) 34º 30. La suma de las distancias del baricentro de un triángulo, a sus vértices es 24. Calcular la suma de las longitudes de las medianas del triángulo dado. A) 48 B) 36 C) 30 D) 32 E) 42 31. En un triángulo equilátero, la distancia del punto incentro a un vértice mide “x”. Calcular la distancia del incentro a uno de los puntos excentro de dicho triángulo. A) 3x B) x/2 C) x D) x/3 E) 2x 32. La altura BQ de un triángulo acutángulo ABC mide 9cm. Hallar la distancia del circuncentro del triángulo a AC , si la recta de Euler es paralela a este lado. A)3cm B)5cm C)4cm D)2cm E)6cm 33. En un triángulo acutángulo ABC, se ubican los puntos “O” ortocentro y “M” circuncentro, tales que

C

P

38. En la figura: AB  AD  DC . Calcular “x”. B

A) 5º B) 6º C) 7º D) 12º E) 4º

13x

D 3x 2x

BC en D,

en el triángulo ADC se traza la ceviana interior

68º

A

A

C

39. En la figura, calcular el valor de “x”: A) 12º B) 16º C) 18º D) 20º E) 22º

x

 2 a a

b

4x

2 

b

40. En la figura, calcular el valor de “x” A) 30º B) 40º C) 72º x D) 82º E) 90º x







34. En un triángulo ABC, la distancia del vértice “A” al punto incentro “I” del triángulo mide 4cm. Al trazar las bisectrices una interior y otra exterior correspondientes a los ángulos en los vértices C y A respectivamente, se observa que se intersecan en un punto E, donde m( AEC)  30º . Calcular la



41. En la figura, AB  BD  BC y EF  ED. Calcule el valor de x.

B

A) 100º B) 105º C) 110º D) 115º E) 120º

20º

m( AOB)  m( AMB) , si la altura AH (H  BC) mide 3 3 , calcular la medida del lado AC A)4 B)6 C)5 D)9 E)8

x

3x

E A

40º

D

F xº

C

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |27

TEMA N° 7 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Definición: Dos triángulos son congruentes si y sólo si los tres pares de ángulos correspondientes son congruentes y sus tres pares de lados correspondientes son congruentes. B

B’

TEOREMA DE LA BISECTRIZ Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados

R

C’

 A

P

C A’ ABC  A 'B ' C'

O

CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS: Para demostrar que dos triángulos son congruentes es suficiente que posean al menos tres elementos respectivos congruentes, de los cuales por lo menos uno de ellos debe ser un lado.

  Q

Los triángulos OPR y OPQ son congruentes. TEOREMA DE LA MEDIATRIZ Todo punto sobre la recta mediatriz de un segmento equidista de sus extremos

CASOS DE CONGRUENCIA: POSTULADO: ALA (Ángulo–Lado–Ángulo) Dos triángulos son congruentes, si tienen dos pares de ángulos correspondientes congruentes y el par de lados comprendidos entre ellos congruentes. Q B

L P

 





POSTULADO: LAL (Lado–Ángulo–Lado) Dos triángulos son congruentes, si tienen dos pares de lados correspondientes congruentes y el par de ángulos comprendidos entre ellos congruentes.

Q

B

Los triángulos APM y BPM son congruentes. TEOREMA DE LA BASE MEDIA En todo triángulo el segmento que tiene por extremos los puntos medios de dos lados, es paralelo al tercer lado y su longitud igual a la mitad de la longitud de este.

B

 



M 

R

P

C

A

B

R

P

C

A

M

A



POSTULADO : LLL (Lado–Lado–Lado) Dos triángulos son congruentes, si poseen sus tres pares de lados correspondientes respectivamente congruentes.



C

A

Q

B

N

 A

C

P

R

EJERCICIOS 1.

Se tiene un triángulo ABC, en el cual AB=10. Se traza

3.

una recta que interseca a BC en N y a BA en M y a

m( PBC)  30º AC , si: AC=2(PB), m( BPC)  40º , la medida del ángulo BAC, es:

la paralela trazada por A, al lado BC , en P, si PM=MN, el valor de AM, es: A) 4 B) 20 C) 5 D) 6 E) 2 2.

En un triángulo rectángulo BAC, recto en A, se traza la altura AD . La bisectriz del ángulo interior ABC, interseca a la altura en E, a CA en F y a la paralela trazada por A, a BC , en G. si BE=2, el valor de FG, es: A) 4 B) 3 C) 2 D) 6 E) 8

En un triángulo rectángulo ABC recto en “B” se considera el punto “P” exterior al triángulo y relativo a

a) 10º d) 50º 4.

b) 20º e) 80º

y

c) 40º

En un triángulo ABC, se traza la mediana AM , hallar la distancia del vértice B a la mediana, si la distancia del punto medio N de AC a la mediana es 2cm. A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 4

28| C E P R U 2 0 1 5 5.

6.

En la figura, si AB = BC y PQ = 9, entonces el valor de AP, es: A C A) 3 B) 4 5 C) 5 D) 6 Q P B E) 7 En un triangulo ABC se traza la mediana BM y luego la mediana AF del triangulo ABM, la recta paralela trazada por el punto M a AF interseca en el punto L al lado es: A) 9m D) 6m

7.

8.

BC , si AF es igual a 18 m, la longitud de ML , B) 14m E) 12m

14. En un triángulo ABC, M es punto medio de

punto medio de BM , tal que AN es perpendicular a BM , BC = 10 y AN = 8. Hallar el valor de AB. A) 2 D) 4

B) 3 E) 6

17

C)

17

15. En un triángulo ABC, M y N son puntos de los lados

AC y BC respectivamente, tal que AB = MC, m(  BAC) = m(  BMN) = 40° y m(  MBN) = 70° . Hallar la m(  ABM). A) 30° B) 70° C) 40° D) 60° E) 45°

A)60º B)50º C)45º D)55º E)75º

x 30º

C A 15º

Em La figura, si AE=CD, m(  AEB)=m(  EDC)=2  , m(  A)=m(  ECD)=  , CE=8, El valor de AC, es:

D 17. De la figura AC=BP, m(BAP)=m(PAC). Calcular α

C

B

B A

9.

E B) 12 E) 36

C) 16

D

Se tiene un triángulo acutángulo ABC y H es su ortocentro. Se construye el cuadrado BHPQ, P  BC , tal que m(  ABC) = 6 m(  APH). Hallar la m(  BAC). A) 81° B) 60° C) 80° D) 55° E) 20°

10. En el interior de un triángulo ABC se ubica un punto D, tal que AD = BC, BD = 9 cm, m(  BAD) = m(  DBC) =  , m(  DCB) = 2  y m(  ADB) = 5  . Hallar AB. A) 18 cm B) 12 cm C) 14 cm D) 20 cm D) 15 cm 11. En la figura, BD es bisectriz del ángulo ABC y BM es mediana relativa a la hipotenusa. Calcular m AEB . B A) 53º B) 37º C) 60º D) 30º E) 45º

E A

17

16. En la figura BC=AC=AD. Calcular x. B

C) 8m

En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana interior AD , en el triángulo ADC se traza la altura DE . Si los triángulos ABD y DEC son congruentes, entonces la medida del ángulo ABE, es: A)37º B)45º C)53º D)30º E)60º

A) 8 D) 24

AC y N es

D M

C

12. Se tiene un triángulo ABC, donde P es un punto interior de dicho triángulo, tal que m(  BAP) = m(  PAC) = m(  PBC) = m(  PCB) = x y m(  PCA) = 2x. Hallar m(  ABP). A) 45° B) 20° C) 26° D) 60° E) 36° 13. Sea el triángulo ABC y D es un punto del lado AC , tal que m(  ABD) = 90°, m(  DBC) = 2 m(  BAC) y AD = 2 (BC). Hallar m(  ADB). A) 72° B) 64° C) 52° D) 48° E) 60°

A)4.6º B)5º C)4º D)5.6º E)4.5º

4α 3α

P

11α A C 18. En la figura: AB  BC , AB = BC, AE  EB m(EAB)=m(ECA), si BE = 3, el valor de EC, es:

y

A A)2 B)3 2

α

C)4 2 D)2 2 E)3

E α

C B 44) En la figura: AB=AC y AE=EB, si m(ECA)=30º, el valor de x, es: E C A)10º B)12º C)18º D)15º 2x E)20º x B A 19. En el triángulo ABC se traza la altura AH , de tal modo que BH=3 y HC=10. si m( ABC)  2m( ACB) , entonces el valor de AB, es:. A) 10 B) 13 D) 7 E) 5

C) 8

20. En el interior de un triángulo equilátero ABC se construye un triángulo isósceles rectángulo ADC e interiormente a éste se construye el triángulo AEC. Hallar la medida del ángulo DAE si se sabe que m( DCE)  30º y EC=AD=DC. A) 15º B) 45º C) 5º D) 30º E) 25º 21. En un triángulo ABC, obtuso en B e isósceles, en los lados AB y

AC

se consideran los puntos E y F,

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |29 respectivamente, de modo que AE=FC y AF = BC. Si m  FBC   27º . Hallar la medida del ángulo EFB. A)27º D)45º

B)42º E)60º

C)30º

22. En un triángulo ABC, en AC se considera un punto D, de modo que: AD  BC y DC  BD . Si

31. Se tiene un triángulo rectángulo BAD, con ángulo recto en A. Exterior a este triángulo, se construye el triángulo rectángulo DBC, con ángulo recto en B; E es un punto de BD , tal que BE = 3, ED = 2 y el triángulo BAD es congruente al triángulo CBE . Hallar la medida de CD .

m( DCB)  36º , la medida del ángulo BAD, es:

A)

A)53º D)36º

D) 51

B)72º E)75º

C)30º

23. En un triángulo ABC las medianas AM y BN se interceptan en el punto G, por N se traza una paralela a AM que interseca en P a la prolongación de BA : si AB=12m y PN=PA, entonces el valor de MG, es: A) 3m B) 5m C) 2m D) 4m E) 7m 24. En un triángulo ABC, la mediatriz del lado AC interseca al lado BC en el punto F. Encontrar el mayor valor entero del lado AB , si BC = 12 y A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

FC = 7.

25. En un triángulo rectángulo isósceles recto en B, por el vértice B se traza una ceviana interior que interseca al lado AC en H. Desde los vértices A y C se trazan perpendiculares CP y AQ a la recta que contiene a B y H, si AQ=7cm y CP=15cm, entonces el valor de PQ, es: A) 4cm B) 11cm C) 8cm D) 6cm E) 9cm 26. En un triángulo ABC, mB  80º , en AC se ubica el punto “E” tal que AB=EC; las mediatrices de AE y

BC se intersecan en “F”. Calcular la mACF , sabiendo que la m C  30º A) 20º B) 15º C) 18º D) 35 E) 25º 27. En

un

triángulo

ABC,

m( ABC)  140º ,

mediatrices de los lados AB y BC

las

intersecan al

lado AC en D y E. Hallar la medida del ángulo DBE. A) 105º B) 95º C) 115º D) 100º E) 70º 28. En la figura, si AB=CP, BE=EP, y m( CAE)  m( ACE) , entonces la medida del ángulo BPE, es: A) 45º B) 50º C) 55º D) 60º E) 65º

B

A

30º

20º

C

P E

29. Si R es un punto interior de un triángulo equilátero ABC y F es un punto exterior a este triángulo respecto al lado AC , de modo que el ángulo RCB mide 30º , el ángulo RAB mide 36º , AR = RF y AF = BC , el ángulo RFC mide : A) 48º B) 42º C) 53º D) 30º E) 37º 30. En un triángulo ABC, la mediana AM (M  BC ) se prolonga hasta un punto H, tal que el ángulo AHC es recto y AB=2(MH). El ángulo BAH mide x, el ángulo HAC mide y. Hallar la relación entre “x” e “y“. A) x = y B) x = 2y C) x = 3y D) 2x = y E) 3x = y

B)

31

C 35

41

E) 7

32. En la figura mostrada, si CD = 4, el valor de BC, es: A) 4 C B 31º B) 2 6 46º

C) 5 D)

2 6

E) 4

2

14º 14º

D

A

33. En la figura: AB=BC, AD=20. Calcular BP B

A) 10 B) 15 C) 7,5 D) 8 E) 20

C

45º

A

P

D

34. Se tiene un triángulo isósceles ABC donde AB=BC. En el exterior y relativo el lado BC se considera el punto E, de modo que la m( BAE)  m( BCE)   , AE interseca a BC en el punto M. Hallar el valor de “  ” si: AM=CE y la m( EAC)  20º . A) 60º B) 45º C) 70º D) 55º E) 68º 35. En la figura, si AB=BC; AE=CD y BE=BD, entonces el valor de “x”, es: B A) 20º B) 25º D 3xº C) 18º A C 4xº D) 30º E) 45º E 36. En los lados AC y AB de un triángulo equilátero ABC, se ubican los puntos M y N respectivamente, de modo que BM y CN se intersecan en el punto P, el ángulo MPC mide 60º, BN=3 cm y MC=7 cm. Determinar el perímetro del triángulo ABC. A) 30 cm B) 24 cm C) 36 cm D) 18 cm E) 21 cm 37. Se tiene un triángulo equilátero AEF;

en la

prolongación de AF se ubica el punto C, (F está entre A y C) y B es un punto del interior del triángulo AEF, de modo que AF=BC, BF=FC y el ángulo BAF mide 30º. Hallar la medida del ángulo ABF. A) 120º B) 130º C) 110º D) 115º E) 100º 38. Sea el triángulo equilátero ABC; R es un punto interior de este triángulo y E es un punto exterior respecto al lado BC , de modo que el triángulo RCE es equilátero, el ángulo RAC mide 32º y el ángulo RCB mide 10º. Hallar la medida del ángulo REB. A) 40º B) 45º C) 55º D) 38º E) 30º

30| C E P R U 2 0 1 5

TEMA N° 8 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA RAZÓN DE SEGMENTOS: La razón de dos segmentos de recta, es la razón de los números que espresan las longitudes de estos dos segmentos, cuando se les a medido con una misma unidad.

TEOREMA DEL EXCENTRO

a

c

Dos pares de segmentos AB , CD y EF , LM son proporcionales si se verifica:

AB CD



EF LM

b

k

y

TEOREMA DE THALES: Si tres más rectas paralelas son intersecadas por dos o más rectas secantes, los segmentos determinados sobre las secantes son respectivamente proporcionales Si L1 // L 2 // L 3 

x

AB BC

S1



MN

AB

ó

NP

MN



E TEOREMA DE MENELAO: m

b

BC NP

a n

S2

A

c p

M

B

L1

N

TEOREMA DE CEVA:

L2

m

C

P

Cevacentro

b

L3 a

n

COROLARIO: Una recta paralela a un lado de un triángulo que interseca a los otros dos determina sobre ellos segmentos proporcionales.

B

Si: L // AC



a



b

c

p

a E

c d

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

c

DEFINICIÓN: Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y las longitudes de sus lados homólogos correspondientes proporcionales.

L

D

b

d

B

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR: En todo triángulo los lados adyacentes a la bisectriz interior son proporcionales a los segmentos que determina dicha bisectriz sobre el lado opuesto c

c

a

x m

x

a



m 2

n

B'



C

A

 



A



C



C'

A'

Si dos triángulos son semejantes, todos sus elementos homólogos son proporcionales (lados, alturas, medianas, bisectrices, inradios, exradios, etc.) B

 a.c  m.n

N

n



a TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR: En todo triángulo los lados adyacentes a la bisectriz exterior son proporcionales a los segmentos que determina dicha bisectriz sobre la prolongación del lado opuesto c m

c

m



a

2

c

H

A

 m.n  a.c

n

Si: ABC  MNP 

a m

a

b



b n



c p



H h

n



R r

P

 ...  k

CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS: VI) Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos pares de ángulos respectivamente congruentes.

 x

I y

r

C M

b

TEOREMA DEL INCENTRO:

x

m

p h

R

n

x

a

x

c



y



ac









b

VII) Dos triángulos son semejantes, cuando tienen un par de ángulos respectivamente congruentes y las

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |31 longitudes de los lados que forman a dichos ángulos respectivamente proporcionales. B

2)

N



c

La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, determina tres triángulos semejantes. B

c.k

ABCAHBBHC

  bk P A b CM VIII) Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. B

3)

N



a

c

c.k

 A



C

H

Los triángulos ABC y EBD son semejantes B

a.k

b.k P A b CM OBSERVACION: 1) Una recta paralela a un lado y secante a los otros dos lados de un triángulo, determina dos triángulos semejantes.



D  

E



C

A

B E

D

L

ABCEBD

C

A

EJERCICIOS 1.

En un  ABC, AB=8, BC=6 y AC=7 se traza la bisectriz interior BD . (D en A) 2 D) 1,5

2.

AC ). Calcular:

B) 0,5 E) 0,75

C) 1

En un triángulo ABC, se traza la base media relativa al lado AC y la distancia del baricentro a la base media es k. Hallar la altura del triángulo ABC relativa al lado AC . A)4k B)6k D)3k E)7k

3.

En un triángulo ABC, la distancia del vértice A a su incentro es 10, la distancia de su incentro a su 12. Hallar la medida del lado AC A)20 B)10 C)15 D)18 E)16 Dado un triángulo ABC, donde BC  AC  AB , se tiene que BC  5 y AC, AB son números enteros. Si E es el punto EXCENTRO correspondiente al lado AB , donde m( AEB)  45º , al calcular la distancia entre

5.

6.

7.

8.

A) 15 7

B) 20 7

D) 22 7

E) 18 7

C) 10 7

En un triángulo isósceles ABC , (AB = BC) ; la mediatriz de BC interseca a AC en F. Por F se traza FH // BC , H  AB , tal que FH=1 y A) 2 B) 3 D) 6 E) 4

C)5k

excentro relativo al lado BC es 14 y el lado AB mide

4.

AB y BC en los puntos P y Q respectivamente, de modo que BP = 20 , BQ = 30 y AP + QC =22 . Calcular PQ.

AD  DC .

9.

FC= 6 . Calcular AB C) 5

Se tiene un triángulo acutángulo ABC, donde el ángulo ABC mide 53o y la distancia del circuncentro a un vértice es 10. Calcular la longitud del segmento determinado por los pies de las alturas trazadas desde C y A. A) D)

48 5 44

5

B) E)

48 7 47

7

C)

46 5

.

el ortocentro y circuncentro de dicho triángulo, se obtiene: A)15/2 B)13/2 C)17/2 D)13/3 E)15/4

10. En un triángulo ABC, se traza las alturas AM y CN . Calcular BM, si AB = 5, NB = 3, BC = 6. A) 2,5 B) 3 C) 2,3 D) 3,5 E) 4

La altura BH de un triángulo acutángulo ABC mide

11. En un triángulo ABC, D es un punto de AC , por D se

27cm; si la recta de Euler es paralela al lado AC , la

trazan DE // BC y DF // AB , ( E  AB , F  BC ) . La

distancia del circuncentro del triángulo a AC , es: A)9cm B)6cm C)5cm D)13cm E)12cm

prolongación de EF interseca a la prolongación de

Las longitudes de los lados de un triángulo son números enteros positivos consecutivos. Calcular su perímetro, sabiendo que la medida del mayor ángulo interior es el doble de la medida del menor ángulo interior. A) 21 B) 13 C) 18 D) 12 E) 15 Por el baricentro de un triángulo equilátero ABC, se traza una recta secante, que interseca a los lados

AC en P, tal que AD = 3 y CP = 4. Calcular DC. A) 1 D) 2

B) 1/2 E) 5/2

C) 3

12. En un trapezoide ABCD, las bisectrices de los ángulos B y D, se intersecan en un punto de la diagonal AC . Si AB = 6, BC = 8 y CD = 12. Calcular AD. A) 9 B) 10 C) 15 D) 7 E) 11 13. En la figura se sabe que: 3AB DE = 9. Calcular AC.

2BE , BC

BD y

32| C E P R U 2 0 1 5 A) 4,5 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

D

B A)3 B)4 C)1 D)2 E)6

 

E C A D 14. En la figura AB  BC  CD  DA , si SO  2 , NO  3 , MO  4 , al calcular la medida de RO , se obtiene: R

D A)1/2 B)2 C)1 D)3/2 E)3

C

O S N A

C 5 A

37º 10

B

16. Calcular KC, si JK // AC , 5BJ=3AJ, BK = 12 A) 20 B B) 30 C) 15 D) 4 E) 16 K J A

B

M

x

C

15. En la figura, el valor de x, es:

CONGRUENCIA, PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS EJERCICIOS 1.

En la figura BF = 1, y FC = 8. Hallar AB. A) 3 B) 4 C) 4,5 D) 3,5 E) 5





R

S

exterior BF , si AD=10 y DC=6. Calcular CF. A) 16 B) 24 C) 45 D) 48 E) 36 8.

En un ABC se traza la ceviana interior AR y luego

RE // AC y EF // AR (E en AB y F en BR ). Si BF=5 y FR=3. Calcular RC. A) 4 B) 3,8 C) 4,8 D) 5 E) 5,6 9.

15 y

En un ABC, AB=20, BC=10 y AC=21 se traza las bisectrices interior BD y exterior BE, hallar DE. A) 17,5 B) 28 C) 20 D) 25 E) 15

10. En un ABC, AB = 16, se traza la mediana BM . Hallar BM, si: m
M P

N

C

Q

Hallar el valor de x en la figura: A) 2,5 B) 2 C) 3 D) 2,75 E) 3,5

12





8

En la figura AD = DC, BC=2AB, BE=8 y EF=3. Calcular FD. B

A) 5 B) 6 C) 6,6 D) 7,2 E) 5,4

A

 

11. En un ABC, BD es bisectriz interior. En los triángulos ADB y BDC, DE y DF son también respectivamente bisectrices interiores. Si AE=5, EB=15 y BF=12. Hallar el valor de FC. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 12. Los lados de un triángulo ABC miden AB = 8, BC =10 y

x 5

5.

En un ABC se traza las bisectrices, interior BD y

B

A 4.

C

En la figura MN // BC , AN = NQ, AM=28, MB MP=18. Calcular PQ. A) 9,6 B) 12,8 C) 7,2 D) 6,4 E) 15,6

7. C

Calcular la longitud del lado del cuadrado PQRS; si AS = 4 y RC = 9. A) 3 B B) 4 P Q C) 5 D) 6 E) 7 A

3.

En un ABC, AB = 12, se traza la mediana BM si: m MBC=m A+m C. Calcular BM. A) 4 B) 5 C) 8 D) 12 E) 6

F

A 2.

6.

B

13. En un ABC, “E” es un punto de AB y “F” es un punto de BC tal que m
E F  D

AC = 12. Hallar la longitud de la paralela a AC trazada por el incentro del triángulo ABC. A) 9,2 B) 7,2 C) 4,2 D) 6,2 E) 8,2



14. En un triángulo ABC, la mediana AM interseca a la C

ceviana BR en el punto F. Si AR = 2RC y AM = 10. Hallar el valor de FM. A)3 B)2 C)4 D)1 E)3/2

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |33 15. En un cuadrilátero ABCD, el ángulo externo en D mide la mitad del ángulo interior en B y la diagonal BD biseca al ángulo ABC. Hallar el valor de BD, si AB = 16 y BC = 9. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 16. En un ABC m
AE , si BE = 4 y EC = 5 el valor de AB, es: A) 4 B) 3 C) 5 D) 7 E) 6 17. En un ABC, recto en B de catetos AB = 12 y BC = 8 se inscribe un cuadrado con uno de sus vértices en B y el vértice opuesto en la hipotenusa. Hallar la longitud del lado de dicho cuadrado. A) 4 B) 5 C) 2,2 D) 4,8 E) 8 18. En un triángulo ABC, isósceles AB=BC, la mediatriz de

BC interseca a AC en el punto R. Luego se traza RF // BC AB, es: A) 3 D) 2,5

(F en AB ). Si RF=1 y RC= 6 el valor de B) 1,5 C) 3,5

C) 2

19. En un ABC,

AB=BC=10 y AC=8 la circunferencia

inscrita es tangente a AB en E y BC en F. calcular EF. A) 4 B) 4,2 C) 4,5 D) 4,8 E) 5 20. ABCD, es un trapecio recto en A y B, BC=4 y AD=9. Si M, es punto medio de AB y CM  MD , calcular AB. A) 6 B) 9 C) 8 D) 12 E) 16 21. En un ABC, AB = 12 y

AC = 8. Se traza la bisectriz

interior AF y luego FR // AC (R en AB ). Calcular RF. A) 4 B) 6 C) 4,8 D) 5 E) 5,6 22. En un triángulo ABC, P y Q son puntos de AB y BC , respectivamente, de modo que PQ // AC . Hallar la longitud de PQ , Si el triangulo PBQ y el trapecio APQC, tienen igual perímetro, siendo: AB = 12, BC = 8 y AC = 10. A) 5 B) 6,75 C) 8 D) 3,75 E) 7,5

TEMA N° 9 RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS PROYECCIONES ORTOGONALES EN TRIÁNGULOS a) Triángulo Acutángulo. B

Consideremos el triángulo rectángulo ACB, el ángulo recto en C, la altura CH , H AB , donde AC=b, CB=a, AB=c, CH=h, AH=m y HB=n. C

AB = c a

c

BC = a

h m

A

n H

C

AC = b

b

A

AB  AH , AH  m AC

Proyección ortogonal del lado CB sobre el lado CA .

a

 m



B

n

H c

Figura (*) TEOREMA 1: En todo triángulo rectángulo, la altura respecto a la hipotenusa, determina dos triángulos rectángulos parciales semejantes entre sí y semejantes al triángulo rectángulo total. R AHC  R CHB  R ACB

CB  CH , CH  n

Pr oy

 h

Proyección ortogonal del lado AB sobre el lado AC .

Pr oy



b

CA

b) Triángulo Obtusángulo. B AB = c h

a BC = a

c 

m H

A

b

C

AC = b

Proyección ortogonal del lado AB sobre el lado CA .

AB = AH , AH  m

Proy CA

Proyección ortogonal del lado CB sobre el lado CA .

CB = CH , CH = b + m

Proy CA

TEOREMA 2: En todo triángulo rectángulo (ver figura *) se verifica: a) La longitud de la altura relativa a la hipotenusa es la media geométrica de las longitudes de los segmentos de la hipotenusa determinados por dicha altura.

m h 2 =  h = m.n  h = m.n h n b) La longitud de cada cateto es la media geométrica de la longitud de la hipotenusa y la longitud de la proyección ortogonal de este cateto sobre la hipotenusa.

i. ii.

m b 2 =  b = c.m  b c n a 2 =  a = c.n  a c

b=

c.m

a=

c.n

c) El producto de las longitudes de los catetos es igual al producto de la longitud de la hipotenusa por la longitud de la altura relativa a la hipotenusa.

ab = ch d) También se cumple:

1 a RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

2

+

1 b

2

=

1 h

2

TEOREMA 3 (Teorema de Pitágoras): Si un triángulo es un triángulo rectángulo entonces la suma de los cuadrados

34| C E P R U 2 0 1 5 de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. 2

2

a +b  c

Sobre el triángulo ABC, donde AB=c, BC=a, AC=b y h b

2

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO 1. TEOREMA DE EUCLIDES: a) En cualquier triangulo oblicuángulo, el cuadrado de la longitud de un lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de la longitud de uno de estos lados por la longitud de la proyección ortogonal del otro lado sobre él. B

Donde: p =

a+b+c 2

3. TEOREMA DE LA MEDIANA: Sea el triángulo ABC, donde AB=c, BC=a, AC=b y m b

a

h



 m

2  p  p - a  p - b  p - c   b 

hb =

es la longitud de la mediana respecto al lado AC , entonces: B

c

A

es la longitud de la altura relativa al lado AC , entonces:

n

H

a

c C

b

A

h

mb

H

M

C

b/2

Respecto al

BAC

Respecto al

a = b + c - 2b.m BCA

b/2 b

2

2

2

2

2

2

2

2

c + a = 2m b +

2

c = b + a - 2b.n b) En cualquier triángulo obtusángulo, el cuadrado de la longitud del lado opuesto del ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados más el doble producto de la longitud de uno de estos lados por la longitud de la proyección ortogonal del otro lado sobre él.

2

b 2

4. TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA B

a

c

B A h

H

C

M b

a c

H

AM = MC



m

2

2

BM = HM , entonces

Proy

C

b

A

CA

2

2

a = b + c + 2b.m

HM =

a -c 2b

2

; con a > c

2. TEOREMA DE HERÓN: B

a

c

A

C

H b

EJERCICIOS 1. De la figura mostrada, calcular “x”. A) 3 B) 2 C) 5 D) 6 E) 4

x

2

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

1

x

7

6

2. Los lados de un triángulo miden 7, 8 y 9. Encontrar la medida de la mediana relativa al lado que mide 8. A) 8 B) 6 C) 5 D) 4 E) 7

3. En la figura calcular el valor de x.

10

4. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 15 y 20. Calcular la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 9

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |35

5. En un triángulo ABC, hallar la medida del ángulo A, sabiendo que entre las longitudes de sus lados correspondientes se cumple a 2  b 2  c 2  bc A)45º B)60º C)75º D)30º E)55º 6. En un triángulo ABC recto en B, AB=12m y BC=9m. calcule la longitud de la bisectriz trazada desde A. A) 10

B)4 10

D)3 10

E)5 10

C)2 10

7. En un triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto en B, en los lados AB y AC se ubican los puntos M y N respectivamente, tal que AM = MB, MN  AC , 8 y NC = 10. Calcular BC. A) 5 B) 6 C) 4 D) 8 E) 7

AN =

8. Dado el triángulo rectángulo ABC, recto en B, sean

P  BC y Q  AC , tal que AB=BQ, QP=PC, AB=8u y PC=6u. hallar la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. A)

16 5 3

D) 16 5

B)

16 5 5

C)

16 5 7

altura BH , luego se traza HG y HL perpendiculares a AB y BC respectivamente, después de trazar GE y LF perpendiculares a AC . Hallar FC, si AE=1u y EH=2u. A) 4 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6 10. Los lados de un ∆ ABC miden AB=5u, AC=6u y BC=7u. Se trazan BH  AC y HM  BC . Hallar HM. (H AC y M

BC ) 10 6 7

D) 10 6

B)

10 6 3

5

B) 3

D) 5

5

E) 4

C)

5 6 7

E) 10

11. En un triángulo rectángulo ACB, recto en C, M es punto medio de AB , tal que la distancia de M a AC y a BC son 20u y 15u respectivamente. Calcular la longitud de la altura del triángulo ABC relativa al lado

C) 2

5

5

15. En un triángulo rectángulo, la bisectriz interior del ángulo recto, determina sobre la hipotenusa segmentos de longitudes 2u y 3u. Calcular la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. A) 20/13 B) 25/13 C) 30 D) 30/13 E) 13 16. En un triángulo rectángulo BAC, recto en A, donde la longitud de uno de los catetos es 9u y la longitud de la hipotenusa es 15u, determinar la longitud de la proyección ortogonal del otro cateto sobre la hipotenusa. A) 10 B) 9 C) 9,6 D) 8,5 E) 7,5 17. Del siguiente gráfico. ¿qué relación o relaciones no son correctas? c b a   I) h a b II) III) IV) V)

E) 16

9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la

A)

A) 4

2

2

a mb n c 1 1   2 m n h

b m

abh  cmn am bn  1 b a

A) III y V D) IV y V

a

h n c

B) III, IV y V E) Sólo V

C) I y IV

18. En el triángulo ABC m(BCN)  m(BAC)  m(ABC)

de la figura y BC  BN  3k ,



AC  2k , AN  k , k R , Calcular la medida de CN

3k C 2 4k B) 3 5k C) 2 A B 2k N D) 3 E)2k 19. En un triángulo rectángulo los cuadrados de las longitudes de sus catetos son proporcionales a los números 9 y 16, respectivamente. Si la altura relativa a la hipotenusa mide 4,8 cm, entonces la suma de las medidas de sus catetos, es: A)7cm B)10cm C)14cm D)16cm E)12cm

A)

AB A) 15 D) 25

B) 22 E) 18

C) 24

12. La razón de los cuadrados de las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo es 5/8 y la proyección ortogonal de la mediana relativa a la hipotenusa sobre esta mide 6. Calcular la longitud de la hipotenusa. A) 40 B) 50 C) 52 D) 35 E) 42 13. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 6

2 y la mediana relativa a este cateto interseca perpendicularmente a la mediana relativa a la hipotenusa. Calcular la longitud del otro cateto. A) 8 B) 7 C) 6 D) 10 E) 12 14. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto en B; en el lado AC se ubican los puntos D, E y F, tal que A, D, E, F y C son puntos consecutivos; M es punto medio de BC , de modo que BD  AC ,

EM  BC , MF  AC , DE=1u y FC=5u. Hallar la longitud de la altura relativa a la hipotenusa.

20. En un triángulo ABC, la altura BH mide 6 y la medida del ángulo ABC es 45º. La recta de Euler es paralela al lado AC . Hallar la distancia del circuncentro al vértice A. A)4 3

B) 2

D) 2 2

E)2

C) 2 3

21. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura de BH y la bisectriz interior CD que se intersecan en el punto M, N  BC de modo que

MN  BC ; si CN=4BN y BM=5, determinar la longitud de AM .

351 3

A)

825

B)

D)

671

E) 2 55

C)

985 4

22. En un triángulo ABC, la base AC= 20m, se traza la altura BH (H AC ), determinar la longitud de AB si, AB-BC=4 y AH-HC=8. A) 20 B) 23 C) 22

36| C E P R U 2 0 1 5 D) 30

E) 35

longitud de la altura relativa a la hipotenusa es u. Determinar la longitud de la hipotenusa.

23. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se trazan las medianas AM y BN de modo que AM  BN .

A) 6 D) 15

Determinar la longitud de AB si BC=b. A)

b 2

b 3 D) 2

B)

b 2 2

C)

B) 7 E) 11

42

C) 13

27. La longitud de la altura de un triangulo rectángulo con

b 3

respecto a la hipotenusa mide 3 34 m y las longitudes de los catetos están en la relación de 3/5. Determinar la longitud del cateto mayor. A) 7 B) 17 C) 54 D) 34 E) 14

b( 5  1) E) 4

24. En un triángulo rectángulo, la longitud de la altura trazada desde el vértice del ángulo recto mide 26,4m y los cuadrados de las longitudes de los catetos están en la relación 9/16. Entonces uno de los catetos mide: A) 11 B) 25 C) 30 D) 33 E) 22

28. Las longitudes de los lados de un triángulo son AB = 40/3 AC = 14/3 y BC = 10. Determinar la longitud de la altura relativa al lado AC . A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

25. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la longitud de la proyección ortogonal del lado AB sobre la

29. En un triángulo acutángulo ABC se trazan las alturas

hipotenusa mide 12u y BC= 9 5 u Calcular el valor de

BE y CD , donde AC.CE=88m2 y AB.BD=108m2.

AB .

Determinar la longitud de BC . A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

A) 20 B) 12 C) 14 D) 18 E) 16 26. Las longitudes de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo son 2 números enteros consecutivos y la

EJERCICIOS DE REPASO 1.

2.

3.

4.

Dadas las siguientes proposiciones, indicar con “V” si es verdadera y con “F” si es falsa: V) Un triángulo acutángulo es un conjunto convexo. VI) Un cubo y una esfera pueden ser equivalentes VII) Dos rectángulos son siempre semejantes. VIII) El interior de un cuadrilátero es un conjunto convexo. A)FVVF B)FVVV C)VFVF D)FVFV E)FVFF Dadas las siguientes proposiciones. indicar con “V” si es verdadera y con “F” si es falsa: I) Si a una recta AB se le extrae el punto A, la resultante es un conjunto convexo. II) Dos triángulos rectángulos son siempre semejantes. III) Dos cuadrados son siempre semejantes. IV) Si un arco de circunferencia y un segmento de recta tienen la misma longitud entonces son equivalentes. A)VFFV B)VFFF C)FFVV D)VVVV E)VVVF Dadas las siguientes proposiciones, indicar con “V” si es verdadera y con “F” si es falsa: I) La intersección de dos planos es un segmento II) El interior de una circunferencia es un círculo. III) El vértice de un ángulo es un conjunto convexo. IV) Dos segmentos equivalentes son congruentes A)FVFV B)FFVV C)FFFV D)VFFV E)FFVF Dadas las siguientes proposiciones. indicar con “V” si es verdadera y con “F” si es falsa: I) La intersección de dos conjuntos no convexos puede ser un conjunto convexo. II) Si a una región triangular ABC, se le extraen los vértices A, B y C, entonces la región resultante es un conjunto convexo. III) La intersección de dos regiones triangulares es un conjunto convexo. IV) Si a una región triangular se extrae una altura el conjunto resultante puede ser convexo. A)FVVV B)VVVV C)VVVF D)VVFV E)FFVF

5.

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, w x 1   C y D; tal que AB.CD  x.BC.AD y , AC AB AD Calcular: w  x A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 6

6.

Sean los puntos C, P, R y U colineales y consecutivos,

7.

RU  PR 1 , la  (PR)(RU) 4

tal que (CP)(RU)  (PR)(CU)

y

medida de CR . Es: A) 1 B) 1/2 D) 4 E) 8

C) 2

Sean los puntos colineales y consecutivos A, B y C tal que AB  AC  18, luego se toma el punto medio M del segmento BC. Calcular AM. A) 10 B) 8 C) 9 D) 18 E) 16

8.

Sean los puntos colineales y consecutivos A, M, B y C tal que M es punto medio de AB , AB.MC  AC.BC y AB=8. Hallar la longitud del segmento BC .

9.

A) 2 2 B) 4 2 C) 4 D) 2 E) 8 En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que (AB)(AD)=5(BC)(CD) y x y z   . El valor de x  y  z , es: CD AC AB A) 13 B) 10 C) 12 D) 11 E) 9

10. Sean los `puntos colineales y consecutivos A, B, C, D y E; tal que AC  AD  BE  CE  52 , 5BD  3 AE . Calcular AE. A) 13 B) 14 D) 26 E) 20

C) 16

11. Calcular la diferencia de las medidas de dos ángulos sabiendo que la suma de sus medidas es igual a 60° y el duplo del suplemento de uno de ellos es igual al triple del complemento del otro. A) 46° B) 44° C) 42° D) 38° E) 48°

A S I G N A T U R A : G E O M E T R Í A |37 12. Encontrar el complemento de un ángulo que mide 25º más el suplemento de otro ángulo que mide 105º. A) 120º B) 130º C) 140º D) 90º E) 150º 13. Encontrar la medida de un ángulo si es igual a ocho veces su suplemento. A) 160º B) 130º C) 140º D) 120º E) 150º 14. El complemento del suplemento de un ángulo es igual al doble del suplemento del doble del ángulo. Hallar la medida del ángulo. A) 72º B) 80º C) 90º D) 60º E) 85º 15. El complemento de la diferencia que existe entre el suplemento de un ángulo y su complemento es igual a los 4/5 de la diferencia que existe entre el suplemento y el suplemento del suplemento del mismo ángulo. Hallar la medida del ángulo. A) 80º B) 85º C) 90º D) 70º E) 75º 16. El suplemento de la sustracción del suplemento y el complemento de un ángulo es igual al complemento de la sustracción entre el complemento del complemento y el suplemento del mismo ángulo. Calcular la medida dicho ángulo. A) 70º B) 120º C) 80º D) 90º E) 100º 17. Sean los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, se trazan las bisectrices OX del ángulo AOB y OY del ángulo COD. Si la medida del ángulo AOC es 25º y la medida del ángulo XOY es 45º, entonces la medida del ángulo BOD, es: A) 60º B) 45º C) 65º D) 70º E) 30º 18. Los ángulos

AOB y

BOC son

consecutivos y

complementarios. OM, ON, OP son bisectrices del AOB, BOC, MON , respectivamente. Calcular la m PON . A) 30º D) 45º

B) 22,5º E) 20º

C) 25º

19. En la región interior del ángulo recto AOB se trazan los rayos OE y OF de manera que los ángulos AOE, EOF y FOB son consecutivos, si m EOB  m AOF  125º , entonces la medida del ángulo EOF, es: A) 35º B) 45º C) 55º D) 65º E) 75º 20. Los ángulos AOB y BOC forman un par lineal y se diferencian en 60º. Se trazan las bisectrices OP y OY de dichos ángulos respectivamente; OZ es bisectriz del ángulo POY. Calcular m BOZ . A) 9º B) 10º C) 12º D) 15º E) 18º 21. Sean los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE, tal que OB es bisectriz del AOD , OC es bisectriz del BOE , 3m COD  2m DOE , si el ángulo EOB es agudo, hallar el máximo valor entero de m AOB A) 65º B) 62º C) 70º D) 86º E) 84º 22. Se tienen los ángulos consecutivos AOB. BOC y COD, tal que m( AOB)  m( COD)   . Calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos BOD y AOC. A) D)

 8  4

B) E)

 6 

C)

 2

23. Los ángulos AOC y BOC son complementarios donde

m( BOC)  m(AOC) ; si se traza la bisectriz OX del ángulo AOB, el cálculo de la medida del ángulo COX, es: A)15º B)45º C)5º D)30º E)25º 24. Un ángulo mide la mitad de su complemento y el otro ángulo mide 1/3 de su suplemento. Calcule el suplemento de la suma de las medidas de dichos ángulos. A)80º B)100º C)110º D)75º E)105º 25. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD; se trazan las bisectrices OX , OY y OZ de los ángulos AOB, COD y XOY respectivamente. Hallar m( BOZ) , si m(BOY)  m( AOX)  2 A) /2 B)2/3 C)2 D) /3 E)  26. Calcular el mayor valor entero que puede tomar uno de los lados de un triángulo cuyo perímetro es 20. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 27. Si los x/y del complemento de la sustracción entre el suplemento y el complemento de  es igual a los m/n de la sustracción entre el complemento de  y el suplemento del suplemento de , hallar . A) 90º B) 60º C) 45º D) 30º E) 15º 28. Hallar el complemento de la sustracción de las medidas de dos ángulos tales que la medida del primero excede en 60º al complemento de la medida del segundo; y la medida del segundo ángulo sea igual a la medida de la mitad del suplemento del primer ángulo. A) 1º B) 0º C) 90º D) 180º E) 30º 29. Si la diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes es 20°. Hallar la medida del ángulo que forma el lado común con la bisectriz del ángulo formado por las bisectrices de los dos ángulos adyacentes. A) 10° B) 15° C) 5° D) 17° E) 20 30. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Si m( AOB)  17º y m( COD)  43º , calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BOC y AOD. A)13º B)30º C)18º D)26º E)27º 31. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD luego se trazan las bisectrices OX , OY y OZ de los ángulos AOB, COD y XOY respectivamente. Hallar la m(AOB) si m( XOC)  m( XOD)  4m( BOZ)  80º A) 40° D) 20°

B) 50° E) 30°

C) 45°

32. En la figura, si EC = 10 y EF = 6, El valor de AD, es:

B θ A)6 B)5 C)8 D)10 E)4

F D E

3

θ A

C

38| C E P R U 2 0 1 5 33. En la figura, el ABC es equilátero, DA  4 , DC  3 . Calcular el máximo valor entero del perímetro del triángulo ABC. A A) 18 D B) 19 C) 20 D) 21 E) 22 B C 34. En un triángulo ABC, la medida del ángulo exterior en A es 126º y las medidas de los ángulos interiores en A y C están en la relación de 3 a 4. ¿De que tipo de triángulo se trata? A) Escaleno B) Rectángulo C) Isósceles D) Equilátero E) Obtusángulo 35. En un triángulo rectángulo ACD recto en C, sobre el lado AC se considera el punto B, de modo que B)6 E)14

B

37. En

A triángulo

A) 8 D) 9 38.

ABC,

y

m(A)  45 º

y

C) 12

AC se intersectan en “R” situado en el

exterior del triángulo. Hallar la medida del ángulo CRQ, si el ángulo ACB mide 20º. A) 10º B) 20º C) 15º D) 30º E) 25º 39. En ambos lados de una recta L se toma los puntos A y B, sus proyectantes miden 3 y 8, la proyección de

AB sobre la recta L mide 10. Calcular AB . A) 13

B)

D) 4 7

E) 2 91

221

C) 11

40. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 2 y 3. Hallar la relación de sus proyecciones sobre la hipotenusa.

2 3 10 E) 9

4 9 7 D) 9 A)

B)

C)

19 4

C

44. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se trazan la mediana BM y la ceviana interior CD las cuales se cortan en N tal que BN  NM. Hallar DM si

CD  16.

A) 4 D) 10

B) 6 E) 12

C) 8

45. En la figura siguiente se pide hallar BH si:

AP  10 ,

y AM  MC.

B

A) 20 B) 22 C) 24 D) 25 E) 26

E P H

un

C

M triángulo

rectángulo

ABC

sobre la hipotenusa se

CD  AB,

si las

mediatrices de BC y AD se cortan en Q. Calcular el ángulo ACQ sabiendo que el ángulo BAC mide 64º. A) 20º B) 22º C) 32º D) 64º E) 26º 47. Los radios de dos circunferencias miden 3 y 5, la distancia entre los centros es 12. Hallar la longitud de una de las tangentes comunes interiores. A) 2 5

B)

C) 4

D) 6

E) 4 5

5

48. El baricentro de un triángulo ABC es el punto “F”, de modo

que

y

AF

la

mediana

sean

BM

perpendiculares, se traza FN perpendicular a AC . Calcular BF, si AN  8 y NM  1 . A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 5 49. En la figura, si AB=BC; AE=CD y BE=BD, entonces el valor de “x”, es: B

A) 20º B) 25º C) 18º D) 30º E) 45º

A

3xº 4xº

D C

E 50. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la

41. En la figura BM y CN son medianas, BP es altura. Calcular el perímetro del MNP. Si AB=6, BC=7 y AC=5. B A) 6,6 B) 5,8 C) 6 D) 4,5 E) 7,8

x

A

toma un punto D de modo que

C

Sobre el lado BC de un triángulo ABC, se toma el punto Q , siendo AB  CQ . Las mediatrices de

BQ

M E

(m( B)  90º y AB  BC),

Calcular el valor de BC si AC  14 .

B) 10 E) 11

N

O

46. En

D M

m(C)  53 º.

80 º

D

A E

un

B

A) 30º B) 37º C) 40º D) 45º E) 50º

C)12

36. En la figura, BD es bisectriz del ángulo ABC y BM es mediana relativa a la hipotenusa. Calcular m AEB .

A) 53º B) 37º C) 60º D) 30º E) 45º

BM  MC.

AH  8, BC  40

2 2 BC  2  AB y (AD)  (BD)  45 . Hallar AC.

A)10 D)9

43. En la figura, hallar “x” si BD  EC ; DN  EN ;

ceviana interior AF y la altura BH . Calcular BC, si: AF  FC  HC  1 . A)

2

D)

2 1

B)

3

2

E)

3

2 1

C) 2

51. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza su altura

N A

C

M P 42. En un triángulo ABC, se traza la mediana AM , hallar la distancia del vértice B a la mediana, si la distancia del punto medio N de AC a la mediana es 2cm. A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 4

BH ,

luego

se

trazan

HE

y

HF

perpendiculares a los lados AB y BC . Calcular BE, si AE  1 y FC  8 . A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6

TEMA N° 10 CUADRILÁTEROS CUADRILÁTERO DEFINICIÓN: Dados los puntos coplanares, diferentes y no colineales A, B, C y D, se denomina cuadrilátero a la

CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS De acuerdo al paralelismo de sus lados, se tiene:

unión de los segmentos AB, BC, CD, AD , tal que:  Ningún par de segmentos se intersecan, excepto en sus extremos.  Ningún par de segmentos consecutivos son colineales. Notación:

I) TRAPEZOIDE Es aquel cuadrilátero que no presenta lados opuestos paralelos. 1) TRAPEZOIDE ASIMÉTRICO: Sus lados tienen diferentes medidas

ABCD := AB BC CD ABCD : Cuadrilátero ABCD

C

AD B

B C

A

D

A

D

Teorema de Euler: En todo cuadrilátero convexo ABCD, con M y N puntos medios de las diagonales, se cumple:

(AB)2  (BC)2  (CD)2  (DA)2  (AC)2  (B D)2  4(MN)2

CUADRILÁTERO CONVEXO:

C

B

B

C M

A

N

D A

CUADRILÁTERO NO CONVEXO:

2)

B

D

TRAPEZOIDE SIMÉTRICO: Una de sus diagonales es parte de la mediatriz de la otra diagonal

C

C

A

D

B

D

L

CUADRILATERO CONVEXO:

B 2

2

A

b

C

3 3

a

1

c

1 A

Propiedades:  AB = BC

4 4

d

D

Elementos:  Vértices: A, B, C, D  

Lados: AB , BC , CD y DA Medidas respectivas: a, b, c y d Ángulos interiores: DAB, ABC, BCD y CDA Medidas respectivas: 1 ,  2 ,  3 y  4



Ángulos exteriores: Medidas: 1 ,  2 , 3 , 4

 

Diagonales: AC y BD Perímetro: P a b c



Semiperímetro: p 

1)

2)

CD = DA

El segmento perpendicular a las bases, con extremos contenidos en ellas o en su prolongación se denomina altura y el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos se denomina mediana del trapecio.

B

T

C

M

N

A

d

y

 BD es parte de bisectriz del ABC y CDA II) TRAPECIO Es el cuadrilátero convexo que posee un par de lados opuestos paralelos a los cuales se les denomina bases

D

H

Propiedades:

abc d

C

B

2

PROPIEDADES FUNDAMENTALES: En todo cuadrilátero la suma de las medidas de los ángulos interiores es 360º 1   2 + 3 +  4  360º En todo cuadrilátero convexo la suma de las longitudes de las diagonales es mayor que el semiperímetro y menor que el perímetro. p  AC  BD  2p

M

N P

A  

Q D

Los ángulos adyacentes a los lados no paralelos son suplementarios La longitud de la mediana es igual a la semisuma de las longitudes de sus bases

40| C E P R U 2 0 1 5 2)

AD  BC

MN 

2



La mediana es paralela a las bases



La longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de las diagonales, es igual a la semidiferencia de las longitudes de sus bases

RECTÁNGULO: Es un paralelogramo que tiene los cuatro ángulos rectos (Cuadrilátero equiángulo)

B

C

MN// AD // BC

AD  BC

PQ   1)

P

A

2

AP = PC y BQ = QD TRAPECIO ESCALENO: Es aquel trapecio cuyos lados laterales son de diferente longitud.

  

AB = CD y BC = DA AP = PC = BP = PD Las diagonales de un rectángulo son congruentes: AC = BD.

3)

CUADRADO: Es un rectángulo que tiene los cuatro lados congruentes (Paralelogramo equiángulo y equilátero )

BC // AD ; AB  CD

C

B

D

B A 2)

C

D

TRAPECIO RECTÁNGULO: Uno de sus lados laterales es perpendicular a las bases

B

P

C

A

3)

A

D

TRAPECIO ISÓSCELES: Sus lados laterales son de igual longitud.

  

AB = BC =CD = DA AP = PC = BP = PD Las diagonales de un cuadrado son congruentes:



Las

AC  BD diagonales

de

un

cuadrado

son

perpendiculares: AC  BD y son parte de las bisectrices de sus ángulos interiores.

BC // AD ; AB  CD

B

D

C 4)

ROMBO: Es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados congruentes (Paralelogramo equilátero)

B

A  

D

Los ángulos adyacentes a los lados paralelos son congruentes. Las diagonales son congruentes.

III) PARALELOGRAMO: Es aquel cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

AB // CD , BC // DA B

C

A

D   

AB = BC =CD = DA AP = PC y BP = PD Las diagonales de un rombo son perpendiculares:



AC  BD y son bisectrices de sus ángulos interiores. El punto de intersección de sus diagonales equidista de los lados del rombo

1)

.

D

A

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS

Propiedades: 1. En todo paralelogramo una diagonal determina dos triángulos congruentes 2. En todo paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes. 3. En todo paralelogramo los lados opuestos son congruentes. 4. En todo paralelogramo, los ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios. 5. En todo paralelogramo Las diagonales se intersecan en su punto medio es decir se bisecan mutuamente.

B 

B

A

  

 2

2)

B a a



C x

x A

AB = CD y BC = DA AP = PC y BP = PD m( BAD)  m( BCD) m( ABC)  m( ADC)

x

D



D

C

a b b



C

P

a

x

CLASIFICACIÓN: 1) ROMBOIDE: Paralelogramo propiamente dicho.

A

C

P

b b

D

 2

G E O M E T R Í A |41 B

3)

C



x a

M

b b

B

S

C x

a





N

2

A

D

A 4)

Si S, M, N y R son puntos medios de AB , BC , CD y DA , respectivamente, entonces: I. Cuadrilátero MNRS es un paralelogramo MN  NR  RS  SM  AC  BD II.

B

aa y

C

b b

x  y  180º

COROLARIO: (del teorema anterior) 1) Si AC  BD entonces MNRS es un rombo.

x

d

c

d

D

R

c

D

A

2)

Si AC  BD entonces MNRS es un rectángulo

3)

Si AC  BD cuadrado.

TEOREMA DE VARIGNON: En todo cuadrilátero convexo, los puntos medios de sus lados son vértices de un paralelogramo.

AC  BD entonces MNRS es un

y

EJERCICIOS 1.

m( BAD)  105º y m( EDC)  37º , entonces

Exterior a un rombo ABCD de diagonal mayor BD , se construye el cuadrado BCEF. Hallar la medida del

m( BCE) es:

menor ángulo formado por la prolongación de AC y ED A)60º D)37º 2.

3.

B)45º E)53º

C)30º

8.

En un rombo ABCD, encontrar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BAC y BDC. A)75º B)30º C)45º D)15º E)60º El perímetro de un rombo es 24 3 , uno de los ángulos interiores mide 120º. Calcular la distancia que hay entre los lados opuestos. A)5m B)7m C)12m D)6m E)9m

4.

En un rectángulo ABCD, donde AB
AC cuya medida es 14; si el ángulo BDC mide 60º, entonces la distancia del vértice D a la recta trazada, es: A) 10 B) 6 C) 5 D) 7 E) 8 5.

En un trapecio, si el segmento que une los puntos medios de sus diagonales es la quinta parte de su mediana; entonces la razón entre las medidas de la base menor y la base mayor de dicho trapecio, es:

3 2 5 D) 3 A)

6.

1 3 2 E) 3 B)

C)

3 4

BC y CD son congruentes. B)60º E)75º

C) 53º

puntos medios de los lados respectivamente, entonces A) 13 B) 15 D) 11 E) 16 9.

ABCD , cuyas , N , P y Q son

AB , BC , CD MP es:

y

AD

C) 12

En la figura adjunta: ABCD es un trapecio BQ=6cm, QC=2cm, AD=12cm, N punto medio de HM y AM=MD, calcular NQ. (en cm) A) 4 B) 5 C) 6 D) 6,5 E) 10

Q

B

H

C

N

A

D M 10. Se unen los puntos medios de los lados consecutivos de un cuadrilátero convexo, cuyas diagonales miden 28cm y 40cm, obteniéndose un nuevo cuadrilátero, cuyo perímetro es: A)40cm B)34cm C)68cm D)102cm E)28cm 11. En un romboide ABCD se traza la bisectriz AE (E en

BC ) y CD = 6 m. Calcular la longitud del segmento determinado por los puntos medios de AC y ED B) 3m E) 4m

C) 10m

12. En un rectángulo ABCD se toman los puntos medios

Se tiene un trapezoide ABCD, tres de cuyos ángulos

A)30º D)35º

B) 35º E) 45º

En un trapezoide simétrico diagonales miden 10 y 24. Si M

A) 2m D) 5m

ˆ  60 º , las ˆ  75 º ; Bˆ  90 º y C interiores miden A diagonales se intersecan en el punto “O”. Calcular la medida del ángulo AOD; sabiendo que los lados

7.

A) 31º D) 30º

C)45º

AF prolongado interseca a

CD en G; hallar la medida de FG ; sabiendo que AF  45m A)15m D)10m

B)20m E)5m

C)25m

13. En un romboide ABCD, se traza

En un trapecio isósceles

ABCD , AB // CD y AB  DC , el triángulo DCE es isósceles ( E punto

exterior del trapecio relativo al lado

E de AD y F de CE ;

BC ). Si

BH perpendicular a

AC tal que m(ABH)=2m(DHC), si BH = 8 m y HC = 2AH, el valor de DH, es: A)16 m B)12 m C)14 m D)15 m E)18 m

42| C E P R U 2 0 1 5 14. En un cuadrilátero ABCD, m(BAD)=90º, m(ABC)= m(BCD)=60º, si 2AB  BC  8 , el valor de CD, es: A)6 B)9 C)10 D)7 E)8 15. En un trapecio m(BCD)=m(CDA)=90º,

rectángulo ABCD, AB=10 m, CB=3 m,

m(BAD)=60º, M es punto medio de traza una paralela a BM

CD , por C se

que interseca a la

prolongación de AD en P. Calcular AP. A)13 m B)12 m C)14 m D)11 m E)15 m 16. En un paralelogramo ABCD, las bisectrices de los ángulos BAD y CDA se intersecan en el punto P de

24. ABCD es un cuadrado y AQD es un triángulo equilátero. Hallar 

B

C

 Q

A) 60º B) 75º C) 45º D) 86º E) 53º

A

D

25. Dado un cuadrado ABCD cuyo centro es O, en se ubica el punto M; en la prolongación de

CD

BM se

BC , luego se traza PH perpendicular a AD si BP = 2PH. Determinar la medida del ángulo DCP. A)30º B)20º C)45º D)37º E)60º

ubica el punto N, tal que BM=MN, N dista de AD 6 unidades y AB = 8. Calcular OM.

17. En un romboide ABCD (AB>BC), las mediatrices de

26. En un trapecio ABCD se tiene que BC // AD y

AB y BC se intersecan en un punto P, situado en la prolongación de AD . Si m( ADC) = 125º , la m( PCD) , es:

m ABC 115 º ; m ADC 50º ; CD 18 . Calcular la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de las diagonales. A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 8

los lados

A) 14º D) 15º

B) 20º E) 30º

C) 25º

18. En la figura: ABFL y BCQR son cuadrados. Si M es punto medio de M al lado

LQ y AC=8, la distancia del punto

AC , es: A

C

M

R B) 2 E) 3

C) 4

19. En un paralelogramo ABCD las diagonales se intersecan en O. Se considera M punto medio de

OC . La prolongación de BM interseca a CD en N. Si MN = 5, el valor de BM, es: A) 5 B) 10 C) 7,5 D) 15 E) 2,5 20. En el trapezoide ABCD, las prolongaciones de AB y

DC son perpendiculares, si AB=6 y CD=8, la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de los lados BC y AD , es: A) 3 D) 6

B) 4 E) 7

27. En un trapecio ABCD, BC // AD , m( BAD) BC = 4; CD = 14 y m( CDA) longitud de la mediana. A) 11 B) 10 C) 9 D) 14 E) 16

82º ;

16º . Hallar la

Q

F

A) 1 D) 5

C) 3 2

28. En la figura, si AB=BC, MD=2(AM), BH=8 y CD=10, el valor de MN, es: B

L B

A) 5 B) 3 D) 7 E) 4

A

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9

29. En

N

M

D

un

trapecio

ABCD

22. La suma de las distancias de los vértices opuestos A y C de un paralelogramo ABCD a una recta exterior es igual a 48 unidades. Calcular la suma de las distancias de los otros dos vértices opuestos B y D a dicha recta. A) 36 B) 48 C) 45 D) 50 E) 30 23. La base mayor de un trapecio mide 24, calcular la base menor, sabiendo que es congruente con el segmento que tiene por extremos los puntos medios de las diagonales. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12

(BC // AD) , BC  6 ,

AD  8 . si mADC  2  , mABC  90º   , entonces el valor de CD, es: A)1 B)3 D)4 E)5

C)2

30. En la figura, JKMN es un cuadrado y KL  KM . El valor de , es:

L

C) 5

21. En un trapecio rectángulo, el menor lado no paralelo mide 8, el menor ángulo interior mide 53º. Hallar el segmento que tiene por extremos los puntos medios de las diagonales. A) 4 B) 3 C) 6 D) 4,5 E) 3,5

C

H



A)60º B)30º C)53º D)45º E)37º

31. En

un

A)45º D)30º

M

J

N

trapezoide

m(  B) 60º  valor de

K

y

ABCD,

m(  D) 75º 

,

m(  A ) 90º 

,

AB  BC

. El

mBDC , es: B)15º E)37º

C)60º

32. En un rectángulo ABCD, se consideran los puntos medios E de AD

y F de CE ; AF

prolongado

interseca a CD en G. si AG=40m, el valor de AF, es: A)30m B)10m C)20m D)25m E)15m

G E O M E T R Í A |43 33. Se tiene un trapezoide ABCD. Hallar la suma de las medidas de dos ángulos opuestos del cuadrilátero que se forma al trazar las bisectrices interiores de los cuatro ángulos del trapezoide. A)145º B)195º C)170º D)160º E)180º 34. La figura ABCD es un rectángulo, si EO AO = OC = OE. Hallar el valor de x. A) 74º B) 90º C) 69º D) 66º E) 60º

AC ,

E x B

C

si m( DAE)  20º , determinar la medida del ángulo FCD. A) 10º B) 30º C) 20º D) 40º E) 50º 43. En la figura. Si HQ = QD +2(AD) = 32. Calcular PQ.

A

D

35. En la figura, ABCD es un trapezoide, si BN=NC, el valor de x, es: B N C A) 5 10 B) 7 12 x C) 11 D) 9 53º 30º E) 8 A D 36. En un trapecio isósceles, la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de sus diagonales es la mitad de la longitud de uno de sus lados laterales. Calcular la medida del menor ángulo interior de dicho trapecio. A) 30º B) 45º C) 60º D) 50º E) 37º 37. En un rectángulo ABCD, se traza la bisectriz del ángulo B que interseca a AD en E. Hallar la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de EC y BC , si AB=20. A) 10

B) 5 2

D) 5

5 2 E) 2

C) 10 2

11

B)

D)

17

E) 2 11

13

C)

15

39. Calcular la relación de las longitudes de las bases de un trapecio en el cual las diagonales trisecan a la mediana. A)2/3 B)1/2 C)1/4 D)2/5 E)3/4 40. En un trapecio ABCD, BC // AD , las bisectrices de los ángulos interiores de A y B se intersecan en P y las bisectrices de los ángulos interiores de C y D se intersecan en T. Si AB=9, BC=11, CD=13 y AD=25, entonces el valor de PT, es: A) 6 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8 41. En un trapecio ABCD, BC // AD , AB = 6, BC = 4 y AD = 14; las bisectrices de los ángulos A y B, se intersecan en el punto P. Calcular PQ, si Q está en

CD y PQ // BC . A) 5 B) 6 D) 4 E) 8

C

 

Q



D

44. Dado un romboide ABCD, se traza la bisectriz del ángulo ABC que interseca a la diagonal AC en “P”, si AB  AD  8 y m( CAD)  2m( BAC) . Calcular CP A) 7 B) 6 C) 5 D) 8 E) 4 45. El romboide ABCD: RT=13; PS=19, Calcular “PQ”. A) 4 B Q R C B) 5 C) 6 T D) 7 P E) 8 S   A D 46. En un paralelogramo ABCD, en la diagonal AC se ubican los puntos M y N, tales que AM=MN=NC. Si el perímetro del triángulo ABD es 20cm, entonces el valor de la suma de la medidas de las tres medianas del triángulo MND, es: A) 12cm B) 5cm C) 10cm D) 15cm E) 20cm 47. De la figura ABCD y DEFG son cuadrados, si EF=5, EC=7. Determinar la longitud de AE .

38. Hallar la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de las bases de un trapecio rectángulo, sabiendo que las longitudes de estas difieren en 4 y que el lado oblicuo forma con la base mayor un ángulo que mide 37º. A)

P

BC

H A

29º

PQ // CD y

B

A) 12 B) 5 C) 8 D) 10 E) 15

O

y

C) 7

42. En un cuadrado ABCD, en el lado CD se considera un punto E de modo que AE interseque a BD en F,

C

B

F

A) 12 B) 15 C) 13 D) 14 E) 10

G E A

D

48. Se tiene el trapecio ABCD, cuyas bases BC y AD miden 17 y 23 unidades respectivamente. Se consideran los puntos M, N y S en los lados AB , CD y AD respectivamente, de tal manera que M y N son puntos medios y la medida del ángulo BAS es el duplo de la medida del ángulo MNS. Calcular SD, si AB=22. A) 10 B) 11 C) 14 D) 13 E) 15 49. En el rombo ABCD, se traza exteriormente el cuadrado BCEF, los segmentos intersecan en el punto M, si

AC

y

ED se

AC = 8 2 . Determinar

la longitud del segmento ME . A) 8

B)

D)

E) 6

8 2

4 2

C) 4

50. En un paralelogramo ABCD, AB=6, la diagonal AC=8 y BD=12. Calcular AD. A)

17

D) 3 17

B) 10 E) 2 17

C) 14

44| C E P R U 2 0 1 5

TEMA N° 11 CIRCUNFERENCIAS CIRCUNFERENCIA Es el conjunto de todos los puntos “P” de un plano que equidistan a un punto fijo “O” llamado centro.



2

C  P

1)



PROPIEDADES GENERALES EN LA CIRCUNFERENCIA Para toda circunferencia a cuerdas de igual medida le corresponden arcos de igual medida.

B

/ OP  r, r  0

C

F M

N P

E r A

.P3

B

O .P1

A

D

.P2

Si : AB  CD  m AB  m CD 2)

Para toda circunferencia las longitudes de los arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son iguales.

.T A

L3

L1

D

L2

Elementos asociados a la circunferencia: 1) Centro: O 2)

Radio: OP ,

3)

Cuerda: MN

4)

Arco: MN

5)

Flecha: FE

6) 7)

Diámetro: AB Punto de tangencia: T Interior : P1  Puntos:  Aferente : P2 Exterior : P 3 

8)

B

medida: OP=r

C

Si : AB // DC  m AD  m BC 3)

Para toda circunferencia la recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

T

4)

Para toda circunferencia las longitudes de los segmentos tangentes desde un punto exterior son iguales.

A

POSICIONES RELATIVAS ENTRE UNA CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA EN EL PLANO: Recta secante: L1

P

Recta tangente: L2

B

Recta exterior: L3 Longitud de la circunferencia:

L  2..r L  2.r

Constante (pi): 



5)

Si: PA y PB son tangentes  PA  PB Para toda circunferencia el diámetro perpendicular a una cuerda, divide al arco y a la cuerda, subtendidas, en dos partes iguales.

M

El conjunto de todos los puntos del plano cuya distancia a O es menor que la longitud del radio se denomina interior a la circunferencia. El conjunto de todos los puntos del plano cuya distancia a O es mayor que la longitud del radio se denomina exterior a la circunferencia

A

B H O

CIRCULO: Es la unión de la circunferencia y su interior. Si OM  AB

ARCO: Es una porción de la circunferencia determinada por dos puntos de ella. MEDIDA DE UN ARCO: La medida de un arco AB es igual a la medida del ángulo central correspondiente: AOB . Notación: la medida (en grados sexagesimales) de un

 AH  HB m AM  m MB

HM : flecha. 6)

Para toda circunferencia, las cuerdas equidistantes del centro son iguales entre si, por tanto los arcos correspondientes

B

arco AB, se indica como m AB

M

B P

O

O m AOB  m AB

 A

A

C N D Si: ON  OM 

AB  CD , m AB  m CD

G E O M E T R Í A |45 ÁNGULOS CON RELACIÓN A UNA CIRCUNFERENCIA Ángulo central: Es aquel ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados contienen dos radios.

1)

B

A C



x

O



x=

x

P

B

x = mAB

En este caso cumple:

A 2)



Ángulo inscrito: Es aquel ángulo cuyo vértice se ubica en la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.

mACB –mAB 2   x 2

x  β  180º

CUADRILATERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA B C

B x= 

x

C

x

A 3)

O

mAB 2  2

Ángulo semi-inscrito: Es aquel ángulo cuyo vértice se ubica en la circunferencia y sus lados están determinados por una tangente y una secante.

A

D

Circunferencia circunscrita al cuadrilátero ABCD PROPIEDADES 1) En todo cuadrilátero inscrito, la suma de las medidas de dos ángulos opuestos es 180º

B

B

C x



A 4)



 x 2

O

Ángulo ex-inscrito: Es aquel ángulo adyacente y suplementario a un ángulo inscrito.

 +  =180º



mAB x= 2

O

A 2)

D

En todo cuadrilátero inscrito, las diagonales con los lados opuestos determinan ángulos de igual medida.

A x= O  

5)

x

x

D

mAB +mBD 2

Ángulo interior: Es aquel ángulo cuyo vértice es el punto de intersección de dos cuerdas que viene a ser sus lados (ver figura)

C

CUADRILATERO INSCRIPTIBLE EN UNA CIRCUNFERENCIA Sea ABCD un cuadrilátero convexo. Si por A, B, C y D se pudiera trazar una circunferencia, el cuadrilátero ABCD es un cuadrilátero inscriptible.

B C

B I

=



 2

C

B



x

D

x=

mAB +mCD 2

A

D

A 6)

Ángulo exterior: Es aquel ángulo cuyo vértice es un punto exterior a una circunferencia y sus lados pueden ser: dos secantes, una secante y tangente, o dos tangentes a dicha circunferencia.

Si  +  = 180º

B 

x=

A 

x

P

D

C

mBC –mAD 2   x 2

A 

B

Si un cuadrilátero tiene ángulos opuestos suplementarios entonces es inscriptible. Si en cuadrilátero, las diagonales con los lados opuestos determinan ángulos de igual medida, entonces es inscriptible.

x=



x C

P

mAB –mAC 2   x 2

 





46| C E P R U 2 0 1 5 CUADRILATERO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA Teorema de Pitot: En todo cuadrilátero circunscrito, la suma de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de las longitudes de los otros dos.

B

CIRCUNFERENCIA EXINSCRITA A UN TRIÁNGULO Es aquella circunferencia tangente a un lado y a las prolongaciones de los otros dos lados de un triángulo.

P

w

C

B

AB  CD  BC  AD

c x

A A

AP  AQ  p

ra

b

D

z

a

xy  wz

y

E

C

Q

Donde: p 

abc 2

EJERCICIOS 1)

En la figura, el valor de x, es:

6)

En el cuadrado ABCD, M y N son puntos de tangencia. Calcular x.

B

G

A) 20º B) 30º C) 36º D) 45º E) 35º

3x

A

x

A) 40° B) 35° C) 45° D) 30° E) 25°

P

N x

T 2)

En la figura, se tiene un cuarto de circunferencia. calcular mDBC . A)40º B)37º C)53º D)45 E)60º

7)

C

M

Ax

A

D

Calcular la medida del arco EC

A

A B C E

50°

B) 30° E) 50°

C) 40°

C A) 45° D) 35°

D 3)

En la figura, hallar el valor de x. 8) A)30º B)20º C)45º D)50º E)60º

20º

x

(CEPRU 2013-II) En la figura AB  AP , B es punto de tangencia y O es centro de la circunferencia. El valor de x es:

C

B

80º

O x 4)



En la figura. Si O es centro de la circunferencia, el valor de x, es:

D

A

A) 160º 2 C) 80º   E) 120º   X

O

15º

A)30 D)20 5)

9) 25º

B)25 E)35

B) 160º   D) 80º  

(CEPRU 2013-II) En la figura, si A, B, C y D son puntos de tangencia y O es el centro de la circunferencia C 2 , entonces el valor de x es:

C

C)24

En un cuadrilátero convexo ABCD, en los lados se ubican los puntos E y F respectivamente, de modo que ABFE y EDCF son cuadriláteros circunscritos a las circunferencias C1 y C2 respectivamente. Si AB + CD = 40 cm y BC + AD =

AD y BC

P

C1

D

A

B E

76 cm, entonces la longitud de EF , es: A) 18 cm B) 36 cm C) 26 cm D) 12 cm E) 19 cm

C2

x A) 130º D) 120º

O

B) 125º E) 135º

C) 140º

G E O M E T R Í A |47 del arco QR y m(  BAD)–m(  BCD) = 60°, la medida del ángulo MEN, es: A) 75° B) 80° C) 60° D) 45° E) 55°

10) En la figura, determinar el valor de x 3x

x

17) En la figura, si AP=QC=r, el valor de x, es:

B x A) 30º D) 25º

B) 27º E) 45º

C) 29º

P

11) En un triangulo acutángulo ABC; N, R y P son puntos de tangencia con la circunferencia inscrita de los lados

AB

BC

y

CA

respectivamente,

y

la

AC es tangente en Q y a las prolongaciones de BA y BC circunferencia exinscrita relativa al lado

Q

r

C

A A) 90º D) 100º

B) 150º E) 110º

C) 120º

18) En la figura, si AB=BC=2, entonces el valor de r, es: A

en M y S, respectivamente. Si AN=2 y AM=3, el valor de AC, es: A)5m B)2m C)4m D)7m E)6m

B

r

12) En la figura, determinar el valor de x 45º θ

θ

x

A) 30º D) 25,5º

A) 5/2

B) 3

C)

D) 2 2

E) 2 3

10

19) En la figura, si AB=BC=ED, el valor de x, es:

B) 25º E) 22,5º

C) 29,5º

B

13) En la figura, O es el centro de la circunferencia, OM = MN. Calcular la medida del arco AB.

A)100º B)150º C)120º D)140º E)135º

80 º x

A

A)13º B)12º C)14º D)15º E)16º

C

O

C D

E O

37º

M

N

20) En la figura, si AB=10, BC=12 y CD=5, el valor de AD, es: A

B

A 14) En la figura,

A , C y D son puntos de tangencia,

B

D

CD es diámetro de la circunferencia menor. Si

m( AED )  260º , entonces el valor de x es: B

x

A

C A)4 D)6

B)7 E)3

C)5

21) En la figura, si AB = 9, BC = 15 y AC = 18, el valor de PC, es:

D E A) 80º D) 60º

P

C

B) 70º E) 85º

C) 75º

A) 21 B) 22 C) 20 D) 23 E) 19

A) 40º B) 70º C) 55º D) 45º E) 80º



A



16) Se tiene un cuadrilátero ABCD circunscrito a una circunferencia, de modo que P, Q, R y S son puntos de tangencia en los lados AB , BC , CD y AD respectivamente. M y N son puntos medios de los arcos PQ y RS respectivamente. Si E es un punto

C

A

T

15) En la figura, Si mAB  100º , el valor de  , es:

B

B

22) En la figura, si m AB  126º , m CD  26º , entonces el valor de x, es: B A) 60º B) 52º C) 62º D) 55º E) 53º

C x

A

D

48| C E P R U 2 0 1 5 23) En la figura AB es diámetro de la circunferencia. Si

m(CB)  m(BD)

y

m(ABC)=54º,

calcular

la

30) Si m BC  m AD  60º ; M es punto medio de CD y N punto medio de AB ; calcular .

m(APB).

A

A) 18º B) 22º C) 17º D) 34º E) 28º

A D P

A)60º B)70º C)55º D)40º E)75º



N

B

C

D M

C

B

24) En la figura, T y E son puntos de tangencia. LT //

AB . Hallar el valor de x. T A) 30º B) 45º C) 60º D) 36º E) 54º

31) En la figura, P y T son puntos de tangencia, si m( BAT)  2m( ACP)  160º , entonces la medida

L

del ángulo APT, es:

x A

B

x

C

B A

A) 60º B) 37º C) 40º D) 45º E) 30º

E

T

25) En la figura, AE es diámetro y N punto de tangencia. Hallar el valor de x.

B

A)15º B)18º C)12º D)20º E)10º

C P 32) En la figura, m( MPB)  45º , OM  6 y AP  4(BH ) , calcular MB.

N 2x x A

O

C

E

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

A P H

26) En la figura, AB=9, BC=7, AC=8 y MN// AC . Calcular MN.

B

O A) 7/3 B) 4/3 C) 6/5 D) 8/3 E) 9/2

M

N

A

C

27) El triangulo acutángulo ABC, está inscrito en una

A) 10º B) 15º C) 20º D) 5º E) 30º

en el punto T, (H en BC , P en AB ). Hallar la medida del arco AC, si m  ATC = 132º. A) 90º B) 94º C) 96º D) 69º E) 97º

C) b  a

D) 2(a  b)

E)

2(b  a) 3

m CE  80º . Calcular la mABC ,

T

k 2 B

A

D

H

E) k 29) Según la figura, si m(PAD)  160º , el valor de “x”, es: x

P A)38º B)40º C)42º D)44º E)48º

L

35) En la figura, A y C son puntos de tangencia y la

A) k

k 5

B

A) (a  b) 3 B) (b  a) 3

C

D)

x

70º  O

34) En un triángulo ABC; m BAC  60º , el inradio mide

(HB)2  (HC)2  k Calcule BC.

k 3

N

“a” y el exradio relativo a BC mide “b”, calcular BC.

28) Según el gráfico, T es punto de tangencia y

C)

B

M

A

circunferencia. Las alturas AH y CP , se intersecan

B)

M

33) En la semicircunferencia mostrada “O” es centro, AO = MN, hallar el valor de “x”.

A

B  D

B

A)20º B)30º C)40º D)50º E)80º

E D A

C

36) De un punto “P” exterior a una circunferencia, se traza la tangente PA y la secante PBC . Luego se trazan las bisectrices de los ángulos BAC y APC. ¿Cuál es la medida del ángulo formado por dichas bisectrices? A) 90º B) 140º C) 150º D) 60º E) 70

G E O M E T R Í A |49

TEMA N° 12 POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS COPLANARES 1) Circunferencias exteriores:

R

O

r

1)

Q

d

2)

RELACIONES MÉTRICAS ENTRE LAS LÍNEAS DE LA CIRCUNFERENCIA Teorema del producto de los segmentos de cuerda: Cuando dos cuerdas de una circunferencia se intersecan, el producto de las longitudes de los segmentos de una de ellas es igual al producto de las longitudes de los segmentos de la otra.

C

d Rr

B

P A

Circunferencias tangentes exteriormente:

.

(AP).(PB)  (CP).(PD)

D O

R

r

Q

d

3)

d Rr

2)

Teorema de la secante: Si desde un punto exterior de una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de la longitud de una secante con su parte exterior correspondiente es igual al producto de la longitud de la otra secante con su parte exterior correspondiente.

Circunferencias secantes: R

r

O

A

Q

B

d

P

.

(PB).(PA)  (PD).(PC)

D

Rr  d  Rr

C 4)

Circunferencias tangentes interiormente: 3)

Q

O R

r

d

d  Rr

Teorema de la tangente: Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante, la longitud de la tangente es media proporcional entre la longitud de la secante y su parte exterior.

A P

. 5)

D

Circunferencias interiores:

(PA)2  (PC).(PD)

C Q

O R

r

6)

TEOREMA DE PONCELET: Para todo triángulo rectángulo la suma de las medidas de los catetos es igual a la suma de las medidas de los diámetros de las circunferencias inscrita y circunscrita al triángulo.

d  Rr

d

C

Circunferencias concéntricas:

b O

A r

R

a

r

B

a  b  c  2r

R 7)

a  b  2R  2r

c

d0

Circunferencias ortogonales:

TEOREMA:

A R

r

O

Q d

d  R r 2

2



2

B

 .

 H

 D

C (AB).(AC)  (AH).(AD)

50| C E P R U 2 0 1 5 REACTAS TANGENTES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIAS I) Para dos circunferencias exteriores se pueden trazar dos tangentes comunes exteriores y dos tangentes comunes interiores.

A

PROPIEDADES ADICIONALES: Para dos circunferencias tangentes exteriores, se tiene: 1) Si T es punto de tangencia: A

P

x

y

B

B

R

N

T

mATP 

M

S

T

D

2)

C

xy 2

Si T es punto de tangencia: y

Si A, B, C y D son puntos de tangencia

B

T

AB  CD , AD // BC

xy

Si M, N, R y S son puntos de tangencia

A

MR  NS AB  CD  PT , AP  PR  MT  TC

3)

x

Si T punto de tangencia B

C

II) Para dos circunferencias exteriores, tangentes exteriormente o secantes, se tiene que la recta que contiene a sus centros y las tangentes comunes exteriores concurren en un mismo punto.

T

AB // CD

A D 4)

A, B y T puntos de tangencia A

B 

  90 º

T

5)

A, B y T puntos de tangencia

A

M  T

O

B Q Si: AM  MB    90 º

6)

A, B, C y D puntos de tangencia B

B D



TEOREMA DE STEINER:

C

A

AB // CD

a

A =

b 7)

d



A es punto de tangencia

c 

ac  db



=

A

EJERCICIOS 1.

De las siguientes proposiciones: I) Dos circunferencias que tienen únicamente dos tangentes comunes son tangentes exteriores. II) La circunferencia incluye al círculo. III) La mediatriz de una cuerda en la circunferencia contiene al centro de la misma circunferencia. En el orden correspondiente, ¿Cuál es la alternativa correcta? A)FFV B)VFV C)FVV D)VVV E)FFF

2.

En las siguientes proposiciones indicar verdadero (V) o Falso (F): I) Dos circunferencias son exteriores si la distancia entre sus centros es igual a la suma de las longitudes de sus radios. II) En una circunferencia una secante y el radio son perpendiculares. III) Una circunferencia contiene a su radio. IV) Una circunferencia contiene a su centro.

G E O M E T R Í A |51 En el orden correspondiente, ¿Cuál es la alternativa correcta? A)FFVF B)VFVF C)FVVF D)VVVV E)FFFF 3.

4.

5.

6.

Por los centros de dos circunferencias tangentes exteriores de radios congruentes se trazan una tangente a cada uno de ellos, entonces la medida del ángulo formado por dichas tangentes al intersecarse, es: A)145º B)105º C)120º D)135º E)150º Los diámetros de dos circunferencias miden 9u y 7u, y la distancia entre sus centros es 2u. La posición relativa de las circunferencias es: A) Secantes B) Tangentes Interiores C) Interiores D) Tangentes Exteriores E) Concéntricas Dos circunferencias son tangentes exteriores y la distancia de sus centros es 48cm. Si uno de los radios es los 3/5 del otro, la diferencia de las medidas de los radios es: A) 12 B) 15 C) 30 D) 18 E) 9 En la figura, si AB=CD, BE=3, BF=4, EC=2, el valor de CG, es:

12. En la figura, B, E y D son puntos de tangencia, si AC=13 y AD=12, el valor de BC, es:

B

C

AD , si AB = a,

13. En la semicircunferencia de diámetro

EB BC = 3a, CD = 2ª, el valor de , es: FC

A

E

F

B

C

A)

5 2

B)

5 4

D)

10 4

E)

10 3

D C)

10 2

G

F

7.

D

14. En la figura, G es punto de tangencia, si AG=DC=4, DE=5, AB=2, el valor de EF, es:

D A

C E

A

E

A) 1 B) 6 C) 12 D) 3 E) 8

B

A) 4 B) 7 C) 5 D) 8 E) 6

El perímetro medida de inradio, es: A) 6 D) 5

de un triangulo rectángulo es 32 y la su hipotenusa es 12. La longitud del B) 3 E) 6

A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3

G

E

B

A

D

C

C)4

F 8.

En una circunferencia se traza su diámetro AB , además se trazan las cuerdas AC y AD , la diferencia de las longitudes de las proyecciones de

AC y AD sobre AB es igual a 3. si AC=7 y AD=5, el valor de AB, es: A) 8 B) 2 D) 4 E) 3 9.

C) 6

circunferencias de diámetros AC , CD y DB . A) 118 B) 122 C) 126 D) 134 E) 132 10. En la figura, E y D son puntos de tangencia. Si AE=6, CD=5, el valor de AC, es:

21

D) E) 5

D F

A

B

C

16. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 8 m. Calcular PQ.

B A)1.3 m B)1.2 m C)1.4 m D)1 m E)2 m

C

P Q D

A

D

5

17. En la figura, AM = MC, si AP = 4 m, PB = 5 m y CQ = 3 m, el valor de BQ, es:

61 2

60 11 60 E) 13

E

E

B) 2 13 C) 2

A) 5 B) 12 C) 13 D)

Sobre el diámetro AB de una circunferencia cuya longitud es 132 se marcan los puntos C y D, Encontrar la suma de las longitudes de las

A)

15. En la figura, el lado del cuadrado BCDE mide 5, AB = 7. el valor de FD, es:

A

B

C

11. Hallar la longitud del radio de la circunferencia inscrita en un rombo cuyas diagonales miden 12 y 16 cm respectivamente. A)6,8 cm B)4,8 cm C)4 cm D)5 cm E)5,8 cm

B A)9 m B)8 m C)6 m D)10 m E)7 m

Q

P A

M

C

52| C E P R U 2 0 1 5 18. En un paralelogramo ABCD, los vértices A, B y D están contenidos en una circunferencia que interseca a BC en P, si AD es diámetro, BP = a y PC = b, el valor de AB, es: A) b(b+a)

B)

D) b(b  2a) E)

b(b  a) 2 b(2b  a)

C)

AD , si AB = k,

EB BC = 3k, CD = 2k. calcular FC

A

F

B

C

A)

5 2

B)

5 4

D)

10 4

E)

10 3

figura,

O

es

el

punto

centro

de

la

circunferencia, AC=12; AE=2 y m( BC )  3 m( AD ) . Hallar BE.

B

A)1 B)5 C)4 D)3 E)2

E

C

A

O D

26. Los radios de dos circunferencias coplanares tienen medidas de 7 y 3cm y la distancia entre sus centros es de 6cm. La posición relativa de las circunferencias es: A) Tangentes Interiores B) Tangentes Exteriores C) Interiores D) Exteriores E) Secantes

D C)

27. En una circunferencia cuyo radio mide R, se traza la

10 2

cuerda AB en la cual se ubica el punto P tal que

( AP )(PB)  6u2 y la distancia de P al centro de la

20. Un triángulo equilátero ABC, se encuentra inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 4 cm, con el lado BC exteriormente se construye el cuadrado BCDE. Hallar BE en centímetros. A)4 3 B)4 C)2 3 D)4 6

la

ba

19. En la semicircunferencia de diámetro

E

25. En

circunferencia es 3 u . Calcule R. A)2u B)3u C)4u D)2 3 u

E)3 2 u

28. Del gráfico, calcular AB, si R  6u . (A y B son puntos de tangencia). Además: mAMB  2(mAB)

E)2 6

21. En el grafico adjunto B y C son puntos de tangencia si AM=MC. Calcular la medida del ángulo AOP. M C A P

A)30º B)15º C)20º D)10º E)13º

B

A

A)2u B)3u C)4u D)5u E)6u

O

M

B

O

R

29. En la figura AB=8 y BC=6 hallar la medida del radio de la circunferencia exinscrita al triángulo. 22. Hallar el perímetro de un triángulo rectángulo, si los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita miden 4cm y 13cm. A)42cm B)52cm C)26cm D)60cm E)64cm 23. En la figura BD  FM  12, calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo rectángulo ABC.

B

A)10 B)12 C)14 D)16 E)18

F M

AB común a ellas; donde A y B son puntos sobre las circunferencias, respectivamente. Al calcular la

distancia de C al punto medio de AB , se obtiene. 1 1 3 A) B) (AB) C) (AB) (AB) 3 4 2 2 2

(AB)

E)

1 (AB) 2

A

C

30. En el gráfico, mBPC  mCQD  310º . Calcular la medida del arco AB, (B, C y D son puntos de tangencia).

B

P

Q

C

C

24. Dos circunferencias tangentes exteriormente en el punto C, determinan un segmento tangente exterior

D)

B

A)43º B)60º C)40º D)50º E)70º

D

A

A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

A 31. Se

trazan

D dos

circunferencias

tangentes

interiormente. Se traza el diámetro TB de la circunferencia más grande, a partir del punto de tangencia T. Desde B se traza una tangente a la circunferencia menor hasta C, el segmento TC se prolonga hasta intersecar a la circunferencia mayor en D. si el arco BD mide 50º, calcular:

mDCB  mCBT A)100º D)90º

B)60º E)105º

C)120º

G E O M E T R Í A |53 32. En la figura se muestran dos circunferencias secantes de radio R , inscritas en el rectángulo ABCD . Si MN  4 y AD  8 , entonces la medida del lado

AB es:

B

C

M

R

B) 4 E) 7

y

A

D

P D 38. Dos circunferencias C 1 y C 2 se intersecan en P y Q.

C) 3

Una recta secante interseca a C 1 en A y D; a C 2 en B y E, y a PQ en C. Si

33. En la figura, A y E son puntos de tangencia. Si AP  4 y QE  3 , entonces la medida de PQ es: P



A)3/2 D)1/2

AC 5 CD  . Calcular CE 2 BC

B)5/2 E)2/5

C)3/2

39. En el gráfico, ABCD es un rectángulo; P y Q son ND  2(BM )  6cm . puntos de tangencia. Si R

Calcular (QD)  2(BP) . 2

 B 

C

A

DP  a

B

C

N

A) 5 D) 6

DP son tangentes. Si AB  b , 2 a  b 2  64 , entonces AD mide:

y

A)12 B)8 C)6 D)10 E)4

R

A

37. En la figura, dadas las circunferencias secantes, AB

 Q 

D

2

P

B

A)16 cm2 B)18 cm2 C)9 cm2 D)36 cm2 E)20 cm2

N A

 E



C

M

D

Q

40. En la figura AB = 8; PQ = 5, calcular MN. A

A) 5 D) 15

B) 7 E) 12

C) 4

34. Desde un punto T exterior a una circunferencia, se trazan dos tangentes TA y TB . Por A se traza el diámetro AC . Se une T con el centro “O” de la circunferencia, este segmento la interseca en D. Si mTDC  150 º , calcular mATB . A)37º B)45º C)60º D)50º E)90º

B C

A) 11 B) 9 C) 12 D) 13 E) 7

Q P M

N

41. En la figura, CP  MN  4 , mABC  60º (Q es punto de tangencia). Calcular PQ. Q A

B C

35. En una circunferencia de diámetro AC se traza las

P

cuerdas AB y AF , siendo AF la bisectriz del ángulo BAC y BC interseca a AF en E. Si ( AE)(EF )  125 y

AC  5( AB) , entonces la medida de BE , es: A)12 B)9 C)8 D)10 E)5 36. Según el gráfico T es punto de tangencia; R  5 cm y BC  1cm . Calcule PH; si: mPA  mPB

T

B) 2 6

D) 4 6

E) 5 6

de tangencia y BC // AD . Calcular NM.

C)

A B

C

R

23 B) cm 5 27 E) cm 5

25 C) cm 4

C) 3 6

42. En la figura, AB=5, BC=4 y CD=6. Siendo B y C puntos

53 2

61 B) 2

H

N

A) 6

A)

P

25 A) cm 6 26 D) cm 5

M

B

M

59 2

53 D) 2 E) 13/2

C

D A

N

54| C E P R U 2 0 1 5

TEMA N° 13 POLÍGONOS POLÍGONO DEFINICIÓN: Sean P1 , P2 , P3 , …, Pn , (n3) puntos diferentes y no colineales de un plano. Se denomina polígono de n lados a la reunión de los n segmentos PP 1 2

II) POR LA MEDIDA DE SUS LADOS Y ÁNGULOS a) Polígono equiángulo: Polígono que tiene sus ángulos interiores congruentes. 

, P2P3 , …, Pn1Pn , PnP1 , tal que:  Ningún par de segmentos se intersecan, excepto en sus extremos.  Ningún par de segmentos consecutivos son colineales. Se denota: Polígono P1 P2 P3 ,…, Pn

P(PP ...P ) : PP 1 2 1 2

P2P3

n

…

Pn1Pn

PnP1

 

  b)

…



Ejm: Rectángulo

Polígono equilátero: polígono que tiene sus lados congruentes.

Exterior del polígono P3

Pn Interior del polígono

Ejm: Rombo c)

P2

P1

Polígono Regular: Polígono equilátero y equiángulo a la vez.

Región poligonal: es la unión del polígono con su interior.

Ejm: Triángulo equilátero

3

Pn

n

3

P3

d)

2

2

III) POR LA FORMA a) Polígono Convexo: Si su interior es un conjunto convexo.

n 1

P1

P2

1

2)

Lados: PP , P2P3 ,…, Pn1Pn , PnP1 . 1 2

3)

Ángulos interiores Sus medidas: 1, 2, 3, …,n. Ángulos exteriores Sus medidas: 1, 2, 3, …,n. Diagonales: son los segmentos cuyos vértices son

5)

B

b)

dos vértices no consecutivos: PP , PP ,… 1 3 1 4 6)

7)

CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS: I) POR EL NÚMERO DE LADOS: Nº de lados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20

Nombre Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Eneágono ó nonágono Decágono Undecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono

Polígono No Convexo: Si su interior es un conjunto no convexo.

A

Perímetro: Es la suma de las longitudes de todos sus lados: P  2p  PP 1 2  P2P3  ...  Pn1Pn  PnP1 Semiperímetro: p Diagonales medias: segmentos, cuyos extremos son los puntos medios de los lados del polígono.

Polígono Irregular: Polígono que tiene sus lados y ángulos no congruentes.

A

ELEMENTOS: 1) Vértices: P1 , P2 , P3 ,…, Pn .

4)

Ejm: cuadrado

B

POSTULADO: Para todo polígono se cumple: nº de lados = nº de vértices = nº de ángulos interiores = nº de ángulos exteriores. PROPIEDADES GENERALES DE UN POLIGONO CONVEXO DE “N” LADOS 1) En todo polígono convexo de n lados, desde un vértice se pueden trazar d  (n  3) diagonales. 2) En todo polígono convexo de n lados, las diagonales trazadas desde un vértice, determina (n  2) 3)

4)

triángulos. En todo polígono convexo de n lados, desde el punto medio de un lado, se pueden trazar (n  1) diagonales medias. En todo polígono convexo de n lados, el número total de diagonales “D”, que se pueden trazar es: n(n  3) D 2

G E O M E T R Í A |55 5)

6)

En todo polígono convexo de n lados, el número de diagonales " D v " , que se pueden trazar desde “v” vértices consecutivos, es: (v  1)(v  2) Dv  n  v  2 En todo polígono convexo de n lados, el número total de diagonales medias que se pueden trazar, es:

Dm  7)

n(n  1)

i 

180º (n  2) n

10) En todo polígono regular (ó equiángulo) de n lados, la medida de un ángulo exterior “ e ”, es:

e 

360º n

11) En todo polígono regular de n lados, la medida de un ángulo central “  c ”, es:

2

En todo polígono convexo de n lados, La suma " S i " de las medidas de los ángulos interiores, es: Si  180º(n  2)

8)

En todo polígono convexo de n lados, la suma " S e " de las medidas de los ángulos exteriores, es: Se  360º

9)

En todo polígono regular (ó equiángulo) de n lados, la medida de un ángulo interior “  i ” , es:

c 

360º n

12) En todo polígono regular (ó equilátero) de n lados, el perímetro “P”, es:

P  n  Ln Donde: Ln longitud de un lado

EJERCICIOS 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Dadas las siguientes proposiciones: I. El número total de diagonales de un dodecágono convexo es 44. II. Todo ángulo interior de un octágono equilátero mide 135°. III. El polígono regular, cuyo ángulo central mide 30°, es el dodecágono regular. Son verdaderas: A) Sólo I B) Sólo III C) Solo II D) II y III E) I y III Dadas las siguientes proposiciones: I. La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un icoságono es 360º II. El número total de diagonales de un triángulo es 3. III. Todo polígono equilátero es regular. Son verdaderas: A) Sólo II B) Sólo I C) I y II D) II y III E) I y III Dadas las siguientes proposiciones: I. Cada ángulo interior de un hexágono mide 120°. II. El número total de diagonales de un decágono es 36. III. El polígono regular, cuyo ángulo exterior mide 36°, se llama decágono. Son verdaderas: A) Sólo II B) Sólo III C) I y II D) II y III E) I y III Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Una región poligonal convexa de la que se han excluido sus vértices, es un conjunto convexo. II. Ninguna región convexa resulta de la reunión de dos regiones no convexas. III. La suma de las longitudes de dos lados opuestos de un cuadrilátero convexo es menor que la suma de las longitudes de sus diagonales. Señalar la alternativa con la secuencia correcta. A) VFV B) VFF C) VVV D) FVV E) FVF Si el número de lados de un polígono convexo se aumenta en tres, el número de diagonales aumenta en 15. Hallar el número de lados del polígono inicial. A) 4 B) 7 C) 5 D) 6 E) 8 En un polígono convexo, se cumple que la suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual 8 veces la suma de las medidas de sus ángulos exteriores. Calcular el número de diagonales de dicho polígono.

A) 135 D) 145 7.

B) 125 E) 165

C) 120

En un octógono equiángulo ABCDEFGH, se sabe que: AB  3 2 y BC  1 . Hallar la medida del ángulo BAC. A)7º30’ B)22º30’ C)8º D)37º E)53º

8.

Se tiene dos polígonos regulares, tal que la razón de las medidas de sus ángulos exteriores es 2/3. Si la diferencia de los números de diagonales de dichos polígonos es 34, entonces la medida del ángulo central del polígono con mayor número de lados, es: A)30º B)60º C)36º D)40º E)45º

9.

Hallar la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono regular, si se cumple que la medida de su ángulo interior es igual al triple de la medida de su ángulo central. A) 540º B) 720º C) 1800º D) 1080º E) 360º

10. Si la diferencia entre el número de diagonales totales de dos polígonos regulares es de 45 y sus ángulos centrales uno mide el doble del otro, entonces el polígono del menor número de lados, se denomina: A)Octógono B)Triángulo C)Hexágono D)cuadrado E)Pentágono 11. Calcular la medida del ángulo exterior de un polígono regular, sabiendo que a partir de sus cuatro primeros vértices se puede trazar 25 diagonales. A)10 B)20 C)45 D)36 E)30 12. Los ángulos internos de dos polígonos regulares suman 300º y los ángulos externos difieren en 20º. Hallar la diferencia del número de diagonales. A)102 B)108 C)63 D)76 E)92 13. Si en un polígono equiángulo, la suma del número total de sus diagonales medias y el triple del número de diagonales de cuatro vértices consecutivos, es 30 más el doble del número de lados, entonces la medida del ángulo interior del polígono es: A) 120º B) 100º C) 60º D) 72º E) 90º

56| C E P R U 2 0 1 5 14. En un polígono equiángulo, el número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de ángulos internos excede en 11 al número de vértices del polígono formado al unir en forma consecutiva los puntos medios de los lados del polígono equiángulo. Calcule la medida del ángulo exterior del polígono inicial. A)20º B)21º C)22º D)23º E)24º 15. Cada lado de un polígono regular mide 6 cm y el perímetro equivale al número que expresa el total de diagonales en cm. Hallar la medida de un ángulo interior en dicho polígono aumentado en 35º. A)120º B)144º C) 156º D)72º E)191º 16. Si el número de lados de un polígono disminuye en 2, entonces el número de diagonales disminuye en 15. calcular el número de triángulos que se forman al trazar las diagonales a partir de un solo vértice. A)12 B)6 C)8 D)10 E)7 17. Si el número de lados de un polígono convexo disminuye en 2, entonces el número de diagonales disminuye en 19. Calcular el número de triángulos que se forman al trazar las diagonales a partir de un solo vértice. A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 12 18. En un polígono equiángulo, la suma de las medidas de los ángulos exteriores más la suma de las medidas de 8 ángulos internos es igual a 1440º. Calcular la medida de un ángulo exterior. A) 45º B) 50º C) 60º D) 70º E) 80º 19. En un octógono convexo equiángulo ABCDEFGH, AB = CD, BC = DE y BD  8 2 cm. Hallar la longitud de la diagonal AE . A) 10 B) 12 D) 17 E) 16

C) 15

20. En el Interior de un pentágono regular ABCDE, se ubica el punto P, tal que el triángulo APB es equilátero. Calcule la m DPE . A) 80º B) 82º C) 85º D) 84º E) 90º 21. En un polígono regular, la medida de un ángulo interior es (k+15) veces la medida de un ángulo exterior, y además se sabe que el número total de diagonales es 135k. Calcular el número de lados del polígono. A) 80 B) 82 C) 85 D) 84 E) 90 22. En un polígono convexo equilátero de n lados, cuyo lado mide 5cm, desde n  8 vértices consecutivos se trazan 4n diagonales. Calcular su perímetro. A) 40cm B) 50cm C) 70cm D) 45cm E) 65cm 23. En un pentágono convexo, dos ángulos interiores miden 90° cada uno, y los otros ángulos interiores son congruentes. Calcular la medida de los otros ángulos interiores. A) 150º B) 120º C) 50º D) 105º E) 135º 24. Sea el octógono convexo equiángulo ABCDEFGH, donde AB  2 2 ,

BC=2 y

CD  3 2 . Hallar la

medida de AD A) 3 2

B)

D) 7 2

E) 4 2

2

C) 5 2

25. En un polígono convexo, al trazar todas las diagonales, el número de éstas resulta ser igual a 8 veces el número de vértices. ¿Cuántos triángulos existen cuyos vértices sean vértices del polígono? A) 969 B) 729 C) 1024 D) 171 E) 196 26. En un polígono regular ABCDEF…, el ángulo ACE mide 150º. Hallar el número total de diagonales. A) 210 B) 215 C) 252 D) 200 E) 230 27. En la figura, se presenta parte de un polígono regular de n lados ¿Cuánto vale n? A)40 B)36 C)45 D)18 E)24

D

E

C 164º B

F

A 28. La suma de las medidas de los ángulos interiores de dos polígonos regulares es 300º y la diferencia de las medidas de sus ángulos exteriores es 20º. Hallar la diferencia del número de diagonales. A) 102 B) 108 C) 63 D) 76 E) 92 29. En

un

polígono

regular

ABCDEFG…,

las

prolongaciones de BC y FE se interceptan en el punto P, tal que m CPE  90º . Hallar el número de lados del polígono. A) 10 B) 12 C) 15 D) 17 E) 20 30. En

un

polígono regular MNPQRS…, Hallar el número total

m MNQ  90º .

diagonales. A) 7 B) 8 D) 10 E) 20

la de

C) 9

31. En un hexágono regular ABCDEF, cuyo lado mide

13 , las prolongaciones de la diagonal CA y del lado EF , se interceptan en el punto P. Hallar el valor de PD. A) 10 B) 12 C) 15 D) 17 E) 13 32. En un polígono convexo, se cumple que, la suma del número total de diagonales más el triple del número de diagonales medias más el doble del número de vértices es 276. Calcule la diferencia del número de diagonales trazadas desde 5 vértices consecutivos y el número de diagonales trazadas de un solo vértice. A) 20 B) 32 C) 35 D) 28 E) 30 33. Se tiene un hexágono convexo equiángulo ABCDEEF, donde AB=3, BC=3, CD=4 y DE=5. Hallar la medida de AF . A) 8 B) 5 D) 7 E) 9

C) 6

34. Hallar el número de lados de un polígono convexo, si el número total de sus diagonales, más el número de triángulos que se forman al unir un vértice con los otros vértices, más el número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de sus ángulos interiores, es igual al número total de diagonales medias, aumentado en su número de vértices. A) 12 B) 8 C) 6 D) 7 E) 15

G E O M E T R Í A |57

TEMA N° 14 POLÍGONOS REGULARES POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS O CIRCUNSCRITOS Se dice que un polígono está inscrito en una circunferencia, si sus lados son cuerdas de la circunferencia.  Se dice que un polígono está circunscrito a una circunferencia, si sus lados son tangentes a la circunferencia.

HEXÁGONO REGULAR:



D

E

r

Circunferencia circunscrita al polígono

R

r R

O

ap6

O

F

C

60º

R

R

c

Circunferencia inscrita al polígono

an

A

A

B L6

B Ln

ELEMENTOS: 2) Centro: O 3) Lado (medida): Ln 4) Apotema (medida): an 5) Ángulo central (medida): c 6) Inradio (medida): r 7) Circunradio (medida): R 8) Triángulo elemental: AOB (isósceles)

AOB equilátero PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS REGULARES 1) Calculo del lado L n de un polígono regular de “n” lados en función del circunradio R y la medida del ángulo central  n . (fórmula trigonométrica)

Ln  R 2(1 cos n ) 2)

Calculo de la longitud del apotema “an” de un polígono regular de “n” lados, en función de su circunradio R y de la longitud de su lado Ln. 1 2 an  4R  L n 2 2

3)

El lado L 2n , de una polígono regular del doble

NOTA: Todo polígono regular convexo es “inscriptible” y “circunscriptible” a una circunferencia.

número de lados “2n”, en función del lado L n , de un polígono regular de “n” lados y del circunradio R, está dado por: L 2n 

TRIÁNGULO REGULAR

Ln

C

L2n

P

A

o

ap3

O R

  2 R  2 R  4R  L n 2   

120º

r

R B

R

4)

del polígono regular de “n” lados y del circunradio R, está dado por: 1 a 2n  2 R(a n  R) 2

CUÁDRILATERO REGULAR

D

C r

90º

ap4

P

R

R A

5)

El lado L n del polígono regular de “n” lados circunscrito a una circunferencia de radio “R” en función del lado Li del polígono regular inscrito de igual número de lados, está dado por: 2RL i Ln Ln  2 4 R  Li2

Li

B L4

La apotema a 2n del polígono regular del doble número de lados “2n” en función del apotema a n

L3

O

r

R

58| C E P R U 2 0 1 5 POLIGONOS REGULARES INSCRITOS Nº lados n=3

Lado Ln

L4  R 2

n=6

L6  R

n=5

L5 

n=8

Apotema an R a3  2 R a4  2 2 R a6  3 2 R a 5  ( 5  1) 4 R a8  2 2 2 R a10  10  2 5 4 R a12  2 3 2

L3  R 3

n=4

R 10  2 5 2

L8  R 2  2

n=10

L10 

n=12

Donde: R, medida del radio de la circunferencia circunscrita al polígono (circunradio)

R ( 5  1) 2

L12  R 2  3

OBSERVACIÓN: 1) El lado de un pentágono regular inscrito es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el lado del decágono regular y el lado del hexágono regular inscritos en la misma circunferencia. L5 L10

L6

L5 2  L 6 2  L10 2

EJERCICIOS 1.

Un triángulo equilátero ABC está inscrito en una

formado por las prolongaciones de las cuerdas AB

circunferencia, el circunradio mide 3 3 . Hallar la longitud del lado BC . A) 8 B) 9 D) 7 E) 10 2.

C) 12 8.

En una misma circunferencia están inscrito y circunscrito dos triángulos equiláteros; si el circunradio del inscrito mide del circunscrito mide: A) 18 B) 20 D) 15 E) 21

3.

C) 16 9.

m AB  m BC . Calcular la

medida del ángulo formado por AC y BD . A) 50º B) 45º C) 30º D) 35º E) 20º

5.

x  ; x  R , de un 2 cuadrado, se transforma en un inradio para otro cuadrado. Calcular el perímetro de este otro cuadrado. A)8x B)2x C)16x D)4x E)x El

circunradio

de

medida

A) 2

B) 2 2

D) 3

E)2

C)3

En un triángulo equilátero ABC inscrito en una circunferencia de 2cm de radio; “M” y “N” son puntos medios de

AB y AC , respectivamente.

Hallar la longitud de MN A)

7 2

D) 7 7 7.

B)2 7 E)

C)7

de

un

cuadrado

inscrito

en

una

2 , se obtiene: 2 A)3 B)1 D)2 E)10

C)

10. Dos hexágonos regulares cuyos lados miden L1 y L2 se encuentran inscrito y circunscrito en una misma L1 circunferencia respectivamente. Al calcular , se L2 obtiene: A)

2 3

D)

2

B) 2 3

5

E)

3

C) 3

3 2

11. En una circunferencia de diámetro AB , se traza la cuerda CD paralela a AB , tal que CD  R 3 ; calcular la medida del ángulo ABC. (AB=2R) A) 11º B) 12º C) 10º D) 18º E) 15º 12. Calcular la longitud del lado y del apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 3 A) 5 y 8 D) 6 y 8

2. B) 6 y 3 E) 6 y 5

C) 3 y 6

13. Sean A, B, C y D puntos consecutivos de una circunferencia, tal que el ángulo ACB mide 45º, AC

7

En una circunferencia consecutivos A , B , C

lado

C) 60º

Al calcular la longitud de la circunferencia inscrita en un cuadrilátero regular, cuyo circunradio mide

En el hexágono regular ABCDEF, la diagonal FB interseca a la diagonal AC en el punto P. si AP  1cm . Hallar la medida de su circunradio.

6.

El

B) 35º E) 37º

circunferencia mide 2 cm. calcular la longitud del lado del cuadrado circunscrito a la misma circunferencia. A)5 cm B)2 cm C)1 cm D)3 cm E)4 cm

3 3 , entonces el lado

En una circunferencia cuyo radio mide 2 , se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, talque

AC  6 , BD=2 y

4.

y CD es: A) 30º D) 45º

se y

ubican los puntos D ; de modo que

BC  L 6 y AD  L 3 . La medida del ángulo

es bisectriz del ángulo BAD , AD es diámetro y

AB  4  2 2 . Hallar AC. A)

2

B) 2

D)

3

E) 4

C) 3

G E O M E T R Í A |59 14. En la figura, O es centro de la semicircunferencia,

AB  R 2 , BC =R. Hallar el valor de

α.

B

A)

C

A) 30º D) 50º 15. En

B) 20º E) 70º

la

figura,

E)

E

5

2

circunferencia, tal que AC y BD se intersecan en el punto F. Calcular m AFD , si

C) 40º

CD 

PQ // RS , O es centro de la m PQ  60º ,

OB  3  1,

semicircunferencia,

C)

23. Sean A, B, C y D puntos consecutivos de una



D

O

B) 2

3

D) 9

R A

22. En una circunferencia, una cuerda que mide 6 , subtiende un arco de 120º. Calcular la longitud de la cuerda que subtiende un arco de 60º

mRPQS  120º . Calcular el valor de “x”.

R 2

AB  R 2 . y

( 5  1) . (R es la longitud del radio de la

circunferencia) A) 111º B) 112º D) 11º E) 110º

C) 117º

24. En un triángulo ABC, el ángulo BAC mide 45º, el

P

Q x

R

A A) 2 D) 4

ángulo ABC mide 120º y

B) 5 E) 1

distancia del circuncentro al lado AC . A) 1m B) 2m C) 6m D) 9m E) 10m

S

B

O C) 3

16. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en C. Calcular la medida del ángulo ABC, si BC=2;

AC  5  1 y m BAC  18º . A) 20º D) 45º

B) 25º E) 60º

C) 30º

17. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia de radio R 3 , donde la medida de su ángulo interior BAC es de 60º. Calcular la medida del lado

BC 4 A) R 3 5 D) R 3

B)2R

18. Si el circunradio “r” para un cierto cuadrado se transforma en un inradio para otro cuadrado. Calcular la medida del lado de ese último cuadrado. 4 A) r B)3r C)2r 3 3 D) r E)r 2 19. Hallar la suma de las longitudes de las apotemas de un triángulo equilátero y un cuadrado, inscritos en una misma circunferencia, cuyo radio mide 2. D) 2  1

E) 2  3

C) 2  2

2 m, se 20. En una circunferencia, cuyo radio mide encuentra inscrito un triangulo ABC, donde el arco AB mide 90º y el arco BC mide 120º. Calcula la medida de AC . A)

3 1

D) 2 3  1

B)

3 2

C)

26. Un hexágono regular y un triángulo equilátero están inscritos en una misma circunferencia. La apotema A del hexágono y la apotema B del triángulo están relacionados como: A) B  3A

B) 2A  3B

D) A  3B

E) A  3B

C) B  3 A

27. Un hexágono regular ABCDEF se encuentra inscrito

punto P a los lados BC y DE es 6 m. Hallar la longitud el radio de la circunferencia.

E)R

B) 2 2  1

25. Calcular la longitud del apotema de un cuadrado cuyo lado mide 4. A) 1 B) 2 C) 6 D) 9 E) 10

en una circunferencia. En la diagonal BE se ubica un punto P, tal que la suma de las distancias del

C)3R

A) 2 3  1

BC  2 2 m. Calcular la

3 3

E) 3 3  1

21. Se tiene un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia. Los lados AD y BC son los lados del triángulo equilátero y del decágono regular inscritos en dicha circunferencia. Calcular la medida del ángulo formado por la intersección de las prolongaciones de AB y DC . A) 45º B) 48º C) 42º D) 30º E) 60º

A) 5 3

B) 3 3

D)

E) 2 3

3

C) 4 3

28. El lado de un cuadrado mide 8 2 ; hallar el perímetro del octógono regular inscrito en dicho cuadrado. A) 64(2  2 )

B) 56( 2  2)

C)

D) 48(3  2 )

2

E) 72( 2  1) 29. Se tiene un cuadrado ABCD inscrito en una circunferencia, en los arcos AB y BC se ubican los puntos P y Q respectivamente, tal que la medida del arco QC es 2 veces la medida del arco AP, el ángulo formado por la intersección de BC y PQ mide 55º y la distancia del centro del cuadrado a

PQ es 3 . Calcule la longitud del apotema del cuadrado. A)

3

B)

D)

6

E) 1

5

C) 6

30. Si un triángulo equilátero ABC se inscribe en una circunferencia de radio de AB y de DF es:

b 5 2 D) b 7

A)

b , D y F son puntos medios

AC , respectivamente; entonces el valor b 7 2 E) b 5 B)

C)

b 2 2

60| C E P R U 2 0 1 5

TEMA N° 15 ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES REGIÓN PLANA: Es una porción del plano limitado por una línea cerrada.

2)

Área de la rectángulo:

región limitada

por un

triángulo

B S ABC 

a

Región plana Línea cerrada

Plano

C 3)



 S1= S2

S2

L

4)

2

SABC 

3 h 3

C

H

SABC  p(p  a)(p  b)(p  c)

a

c

Donde: p 

S2

abc 2

C

b

El área de la región triangular es igual al producto de su semiperímetro y de la longitud de su inradio.

B

A

A’

B

 AB     S 2  A 'B ' 



S2

a

c

2

Donde: p  a  b  c

2

r

REGIONES PLANAS EQUIVALENTES: Si dos regiones planas son equivalentes, entonces sus áreas son iguales, sin importar su forma.

S1

SABC  p  r

B’

S1

A 6)

C

b

El área de la región triangular es igual al producto de las longitudes de los tres lados dividido entre cuatro veces la longitud de su circunradio.

 S1= S2

B a

c

S ABC 

ÁREA DE REGIONES TRIÁNGULARES

A

Fórmula Básica: El área de una región triangular ABC, denotada por S ABC , es igual al semiproducto de la longitud de un lado y la longitud de la altura relativa a este.

R 7)

C

b

Área de la región triangular ABC.

B B

h c A

4

B

5)

1)

3 L

2

h

A



triángulo

Área de la región triangular en función de las medidas de los lados..

REGIONES PLANAS SEMEJANTES: Si dos regiones planas son semejantes, entonces la razón de sus áreas es igual al cuadrado de la razón de las medidas de un par de elementos correspondientes.

S1

por un

SABC 

A

S1

región limitada

B

REGIONES PLANAS CONGRUENTES: Si dos regiones planas son congruentes, entonces sus áreas son iguales.

2

A

b

Área de la equilátero:

ÁREA: Es la medida de una región plana cerrada, cuyo valor es un número real positivo, que se expresa en unidades de longitud al cuadrado.

a b

a

ra

C

b

S ABC 

B h

b h 2

AC : base

A

E

b

C

A

b

C S ABC  ra  (p  a) Donde: p 

abc 2

a b c 4R

G E O M E T R Í A |61 8)

Área de la región triangular ABC

14) Área de la región triangular ABC.

A m SABC  m  n

SABC  m  n

m

B

n

n B 9)

C

A

Área de la región triangular ABC. 1)

B

SABC 

 A

PROPIEDADES Teorema de la ceviana. (triángulos de alturas congruentes)

B

a

c

C

1 2

b  c  sen

S1

C

b

S1

10) Área de la región triangular en función de los exradios y el inradio.

A 2)

B

m

m

n

C

n

D

S2

Triángulos de bases congruentes.

C

B

ra

rc

S2



h2 h1

r

S1

A

A

S2 C A

b

C

S1



h1

rb 3)

b

B

S2 h2

Triángulos de alturas y bases congruentes.

B

S ABC  ra  rb  rc  r 11) El área de la región limitada por un triángulo rectángulo es igual al producto de la longitud del exradio relativo a la hipotenusa y la longitud del inradio.

S1

S2

A

B

C

M

Si BM mediana  S1  S 2

ra

4)

SABC  ra  r

r A

En todo triángulo las tres medianas determinan seis regiones triangulares equivalentes.

B

C

S

12) El área de la región limitada por un triángulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los exradios relativos a los catetos.

S

S

S

S

S

S

A A

5)

rb

rc

Sea la región triangular ABC:

B

C

S G

13) Área de la región triangular ABC.

S

S

B

A

C

G: baricentro  S 

R

hb

6

C

SABC  rb  rc

B

S ABC

S ABC 3

ha 6)

hc

Sea la región triangular ABC: M, N y P puntos medios de los lados

C

A

S ABC 

B S

M

R  h a  hb  h c 2

S A

 S

N S P

S C

S ABC 4

62| C E P R U 2 0 1 5 7)

Teorema de la bisectriz. Sea la región triangular ABC:

BT bisectriz de ABC

S1



a



1)

S2

PROPIEDADES ADICIONALES Sea la región triangular ABC:

b

B

B

a S1

S2 A

C

T

ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES SEMEJANTES: Las áreas de dos regiones triangulares semejantes son proporcionales a los cuadrados de las medidas de sus elementos correspondientes.

B



a H

SMNP

Si AMNT es un romboide  S ABC  2)

M



S1  S2

2

m

2



b n

2 2



c p

2 2

2

B S

M

m

S2

S1

T

S3 A

P

n

Q

C

P

Si CB // NP , AB // QS , AC // MT  S ABC 

a



Sea la región triangular ABC:

N

h

C

b 

p

C

T

N

c

S ABC

N

S2

A

A

S1

M

b



S1  S2  S3



2

2



H h

2

 ...  k

2

EJERCICIOS 1)

Dada una región triangular ABC de área 50cm2, se traza

la

ceviana

CN ,

donde

N AB

3( AN)  2(BN ) , al calcular el área de la región triangular ANC en cm2 se obtiene: A)30 cm2 B)10 cm2 C)20 cm2 D)15 cm2 E)35 cm2 2)

BD interseca a AE en su punto medio. Si el área de la región triangular ABC es 70 cm2 , el área de la región triangular DEC en cm2 , es: A) 10 B) 14 C) 7 D) 20 E) 15

y

8)

El área que limita un triángulo ABC es 55m2. Los lados

AB y BC

miden 15m y 18m respectivamente. Se

traza la bisectriz BE ( E  AC ). Calcular el área que limita el triángulo BEC en m2. A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 3)

El lado desigual de un triángulo isósceles mide 4

3

m y el inradio mide 3 m. Calcular el área del triángulo. (en m2)

4)

A)38

3

B)48

D)45

3

E)58

C)48

3

3

Determinar el área de un triángulo ABC; m(ABC) = 90º, la bisectriz interior BD interseca a la circunferencia circunscrita en el punto E. Si BD = 6 m y DE = 8 m. (en m2) A)32 B)42 C)40 D)4 E)52

5)

En un triángulo ABC, AB = BC, AC = 15 cm y la altura relativa al lado BC mide 12 cm. El área de la región triangular ABC en cm2 , es: A) 36 B) 32 C) 46 D) 75 E) 40

6)

El área de una región triangular ABC es 84 cm2. Se trazan las alturas AD

y CE , ( D  BC,E  AB ), tal

que CE = 12 cm y la distancia de E a BC es 2 3 cm. El área de la región triangular EBD en cm2, es: A) 7 B) 18 C) 14 D) 9 E) 12 7)

En un triángulo ABC, D y E son puntos de los lados

AC y BC respectivamente, tal que

BE = 3 EC y

En el triángulo ABC de la figura, el área que encierra el cuadrilátero ADEB es el triple del área de la región triangular DCE; donde CE=2, CD=3 y AD=1. Calcular EB. C 7 A) 2 E B)4 C)3 D)2 D E)5

A 9)

B

Los lados AB y BC de un triángulo tienen longitudes 8 y 9 cm respectivamente. Una semicircunferencia de radio que mide 6 cm es tangente a AB y BC , teniendo su diámetro sobre

AC . Hallar el área de la región triangular (en cm2). A) 25 D) 56

B) 51 E) 48

C) 45

10) Dos medianas de un triángulo miden 6 y 12 respectivamente., y al intersecarse forman un ángulo que mide 120º. Al calcular el área de dicha región triangular, se obtiene: B) 20 3 C)23 3 A) 24 3 D) 21 3

E) 22 3

11) Según el grafico, calcular el área de la región triangular APC, si EFGH es un cuadrado AH  1cm y

CG  4cm . A) 4cm2 B) 5cm2 C) 3cm2 D) 6cm2 E)7 cm2

B E

A

H

P

F

G

C

G E O M E T R Í A |63 12) En la figura, si PQ = 5 m, el área de la región triangular ABC (en m2), es: Q

A)3 B)2 C)4 D)1 E)5

P

B

A

C

13) La base de un triángulo isósceles mide 30 y la altura relativa a una sus lados congruentes mide 24. Hallar el área de dicha región triangular. A)100 B)200 C)300 D)400 E)500 14) La altura BH , H  AC , de un triángulo ABC mide

8 . Se desea trazar una recta paralela al lado AC , de modo que la región triangular quede dividida en dos figuras equivalentes, con ese propósito a que distancia de B debe trazarse dicha paralela. A)1 B)2 C)3 D)3/2 E)5/2 15) Del gráfico, el área de la región triangular ABC es 36cm2. Calcular el área de la región triangular SLN, si AM  MB ; MN  NC y AL  LN .

B A) 2cm2 B) 6cm2 C) 3cm2 D) 4cm2 E)

M

3 cm2 2

L

C

16) Las medidas de los tres lados de una región triangular, cuya área es 24 6 , son tres números pares consecutivos. Calcular el mayor de ellos. A) 14 B) 16 C) 12 D) 8 E) 10 17) La base de un triángulo isósceles mide 20 y la altura relativa a uno de sus lados congruentes mide 12. Hallar el área de dicha región triangular. A) 75 B) 64 C) 72 D) 48 E) 84 18) En un triángulo ABC, 3(AB)=2(BC) se traza la bisectriz interior BD y se ubican los baricentros G1 y G 2 de los triángulos ABD y BDC respectivamente. Calcular la razón de áreas de las regiones triangulares AG1B y BG 2C . A) 4/9 D) 2/3

A)

k 2

B)

k

D)

k 2

E)

k 2

C)

2k

22) El área que limita un triángulo ABC es 110m2. Los lados

y

AB

miden

BC

15m

y

18m

respectivamente. Se traza la bisectriz BE . Calcular el área que limita el triángulo ABE en m2. A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 23) Si el área de la región triangular ABR es 48 m2 y AM=MC, entonces el área de la región BRM, es:

B

A) 12 B) 24 C) 36 D) 15 E) 14

R

A

C

M

24) En un triángulo ABC, se tiene que dos de sus medianas miden 6 y 8 y que son perpendiculares entre sí. Calcular el área de la región triangular ABC. A)28 B)24 C)16 D)32 E)30 25) En la región triangular ABC cuya área mide 54, se

S N

A

21) En un triángulo rectángulo ABC recto en B, de incentro I, la suma de los cuadrados de las áreas de las regiones AIB y BIC es k. Calcular el área de la región AIC.

B) 2/9 E) 1

traza DE paralelo a BC , donde D  AC , E  AB y BE  2( AE ) . Calcular el área de la región triangular BED. A)8 B)10 C)6 D)4 E)12 26) En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se inscribe una circunferencia, cuyo radio mide 5 y uno de los ángulos agudos mide 53º. Hallar el área de la región triangular ABC. A)125 B)100 C)200 D)175 E)150 27) Se tiene un triángulo rectángulo ABC. Exteriormente a los catetos se construyen los triángulos equiláteros ABD y BEC. P, Q y R son puntos medios de BE , BC y

DC respectivamente. Si el área de la región triangular ABC es 20cm2, entonces el área de la región triangular PQR es: A) 10cm2 B) 12cm2 C) 8cm2 D) 4cm2 E) 5cm2 28) En un triángulo acutángulo ABC, al trazar los

C) 3/4

segmentos MN y PQ (M, P en AB y N, Q en BC )

19) Un triangulo rectángulo está inscrito en una circunferencia cuyo diámetro mide 37 cm y circunscrito en otra circunferencia cuyo radio mide 5 cm. calcular el área de la región triangular. A) 120 cm2 B) 200cm2 C) 160cm2 D) 240 cm2 E) 210cm2

paralelos a la base AC que mide 12, la región triangular ABC, se descompone en tres regiones equivalentes. Calcular la longitud del segmento más A) 2 3

B) 8

20) En la figura O es el centro de la circunferencia AB=7 m, BC=9 m y AC=8 m. Calcular el área de la región triangular AOC.

D) 4 3

E) 6

A A)

4 5 m2

B)

4 2 m2

C) 2

P

5 m2

D)

3 2 m2

E)

2 5 m2

O

B

C

distante de la base AC . C) 12

29) Un triángulo rectángulo está inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 2u. Si el mayor de los catetos subtiende un arco que mide 120º. Calcular el área de dicha región triangular. A) 2 3

B) 3

D) 4 3

E)6

C) 3 3

64| C E P R U 2 0 1 5

TEMA N° 16 ÁREA DE REGIONES CUADRILÁTERAS c) Caso particular:  =90º

ÁREA DE REGIONES CUADRILATERAS

B

El área de la región cuadrilátera ABCD, denotada por S ABCD , es el área de la región limitada por el cuadrilátero

C

S ABCD 

ABCD. 1) Sea el cuadrado ABCD:

L

B

C 2

SABCD  L L

d

L

2)

B

d

2 S ABCD 

Sea el rectángulo ABCD:

D A

h

8)

SABCD  b  h

D

b

Cuadrilátero circunscrito: El área de la región limitada por un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia es igual al producto de la longitud de su semiperímetro (p) y la longitud de su inradio (r).

SABCD 

C

r

d

AC  BD

D

9)

a D

b

Cuadrilátero inscrito o inscriptible: El área de la región limitada por un cuadrilátero inscrito o inscriptble, en función de las longitudes de los lados a, b, c y d y del semiperímetro p.

B

Sea el trapecio ABCD:

B

b

a

m

SABCD 

N

(B  b)  h

C c

C

b

M

abc d 2

SABCD  a  H

SABCD  b  h 5)

B

a

Donde: p 

C H

A

SABCD  p  r

SABCD  (a  c)  r  (b  d)  r

Sea el paralelogramo (romboide) ABCD:

h

b

2 A

B

C

c

D

B

4)

(AC)(BD) sen

C

Sea el rombo ABCD:

A

1 2



C

A

(AC)(BD)

D Sea el cuadrilátero cóncavo ABCD:

D

L

B

3)

A

2

SABCD  A

7)

1 2

A

d

2

D

h A 6)

SABCD  m  h

D

B

Sea el cuadrilátero (trapezoide) ABCD: a) B

SABCD  (p  a)(p  b)(p  c)(p  d) Donde: p 

abc d 2

10) Sea el cuadrilátero exinscrito ABCD:

C h1

S ABCD  d

d  (h1  h2 ) 2

h2

B A b)

D

a

ra c

B

A

C 

S ABCD 

O

A

b C

D

1 2

(AC)(BD)sen

d

D

SABCD  (a  c)  ra

SABCD  (d  b)  ra

G E O M E T R Í A |65

1)

PROPIEDADES DE LAS ÁREAS DE LAS REGIONES CUADRILATERAS Propiedades en trapezoides En todo trapezoide las diagonales determinan cuatro triángulos. El producto de las áreas de las regiones triangulares opuestas son iguales.

3)

Para todo trapecio ABCD; BC // AC ; se cumple:

B

C

S1

S1  S 2

S2

B S1

A

C

S2

S1  S3  S2  S4

S3

D

Propiedades para paralelogramos Para todo romboide, se cumple:

1)

S4

B

A

C

D S1

2)

Si P, Q, R y S son puntos medios de los lados del cuadrilátero ABCD, entonces:

A

B

Q

S2 P

C S3

2)

S5

S5 

S4

A

D

S

A 3)

D Para todo romboide, si P es punto cualquiera del

B

C

P

S1  S3  S2  S4

S

S

S2 A

D

S

4)

Propiedades para trapecios

B

C S4

S1 S1  S2  S3 x S 4

S2

S3

P S2

A

S ABCD  S3  S4

D

S4 A 2)

5)

Para todo trapecio ABCD; BC // AC ; se cumple:

C S

S

SABCD

C

Q S1

M

2

N S1  S 2

S2 A

2

Para todo romboide ABCD; MN // AD y PQ // AB , se cumple:

B M

SABCD

S1  S3  S2  S4 

D

B

2

Para todo romboide, P es punto interior, se cumple:

C S3

SABCD

D

Para todo trapecio ABCD; BC // AC ; se cumple:

S1

S1  S2  S3  S4

S3

S3

S1

B

S4

S1

C

R

1)

C

S2

P

A

B

lado BC , se cumple:

Q S4

Para todo romboide, se cumple:

S ABCD 2

Si P, Q, R y S son puntos medios de los lados del cuadrilátero ABCD, entonces

B

D

S S1  S3  S2  S4  ABCD 4

R

S1 3)

S1  S 2

S2

D A

P

D

EJERCICIOS 1.

2.

En un trapecio ABCD, la diagonal AC mide 10cm y las perpendiculares trazadas de los otros dos vértices a esta diagonal son 3cm y 4cm. Calcular el área del trapezoide. A)25 cm2 B)20 cm2 C)70 cm2 D)35 cm2 E)17 cm2 En el trapecio ABCD donde se trazan las diagonales que se intersecan en O, el área del triángulo AOB es 16cm2 y el área del triángulo COD es 25cm2. Calcular el área del trapecio. A)80 cm2 B)41 cm2 C)82 cm2 D)81 cm2 E)40 cm2

3.

Dos rectángulos de 3cm x 7cm cada uno son colocados uno sobre otro como se muestra en la figura. Si el área de la región sombreada es Scm2, entonces el valor de A)28cm2 B)29cm2 C)21cm2 D)10cm2 E)9m2

7S 3

, es:

66| C E P R U 2 0 1 5 4.

En un rectángulo ABCD, donde AB
5.

E)144 3

La base de un rectángulo mide 40m. Calcular el área, si el segmento de recta que une el punto medio de su base con un vértice superior mide

2 181 m. A)722m2 D)720m2 6.

B)618m2 C)517m2 E)621m2

(CEPRU 2013-INT) En el trapezoide de la figura M, N, R y S son puntos medios de sus lados, donde MR  NS  100 y AC  BD , entonces el área de la región trapezoide ABCD es:

B N C

R

7.

A

S

D B) 150 E) 175

C) 200

(CEPRU 2013-INT) En la figura, si EA  4 y AF  16 , entonces el área de la región cuadrada ABCD es:

C

B

E A) 36 D) 28 8.

9.

A

D

B) 16 E) 64

2 3 2 m 3

B)

F

C) 40

D)

3 2 m 3

E)

2 2 m 3

C) 3 m2

B

C  

A

H

D

13. ABCD es un cuadrado, hallar el área de la región triangular BEN en m2. Si EA  AD , el área de la región triangular MBN es 4m2 y el área de la región triangular MCD es 5m2. B A)10 B)9 C)6 D)8 E)4

M

C

N

E

15. Un cuadrilátero ABCD está circunscrito a una circunferencia cuyo radio mide 6m. Si BC+AD=22m, entonces el área de la región cuadrangular ABCD, es: A)140m2 B)132m2 C)130m2 D)125m2 E)120m2

17. Hallar el área que encierra un trapecio isósceles de diagonales perpendiculares, si las bases miden 4k y 6k A)25 k 2 B)20 k 2 C)24 k 2 D)22 k 2 E)27 k 2 18. En un rectángulo ABCD, la base AB  25cm y

BC  15cm , se considera M sobre AB , tal que AM  10 cm y por el punto M se trazan las paralelas

3 2 m 2

Una de las bases de un trapecio mide 10m, su altura 4m. Calcular la longitud de la paralela a las bases, trazada a 1m de distancia de la base dada; si la medida del área de la región limitada por el trapecio es de 32m2. A)7m B)9m C)4m D)8m E)5m

10. En la figura los lados del rectángulo ABCD miden 12 y 18. Hallar el área de la región triangular MNP, si M es punto medio de AD B A)6 B)24 C)18 D)12 E)9

A)10 u2 B)12 u2 C)14 u2 D)16 u2 E)18 u2

16. En un trapezoide asimétrico ABCD, la diagonal AC mide 18m, las perpendiculares trazadas de los otros dos vértices a esta diagonal miden 3m y 2m. Calcular el área de la región trapezoidal. A)55 m2 B)35 m2 C)25 m2 D)45 m2 E)15 m2

La diagonal mayor de un rombo mide 2m, la diagonal menor es congruente al lado del mismo. Calcular el área de la región del rombo. A)

E

A D 14. Al unir los puntos medios de los lados del cuadrilátero ABCD, se forma el paralelogramo EFGH, cuya base mayor es 7cm y su altura 3cm. Calcular el área del cuadrilátero. A)21 cm2 B)20 cm2 C)40 cm2 D)20 cm2 E)42 cm2

M

A) 50 D) 100

12. De la figura (BD )(BE )  20u 2 y 2( AH)  3(HD ) . Hallar el área de la región BCDH.

C P N

D M 11. Al unir los puntos medios de tres lados de un cuadrilátero, se forma un triángulo, cuyos lados miden 5m, 7m y 8m. Hallar el área de la región cuadrilátera. B)20 3 m2

D)60 3 m2

E)40 3 m2

19. En un paralelogramo ABCD, en el lado BC se considera el punto E, BD y AE se intersecan en P. Si las áreas de las regiones triangulares BEP y APD son 9cm2 y 25cm2 respectivamente, entonces el área de la región del cuadrilátero PECD, es: A) 25cm2 B) 24cm2 C) 40cm2 D) 30cm2 E) 31cm2 20. En un cuadrilátero convexo ABCD, las diagonales

A

A)15 3 m2

MN y MP a las diagonales; asimismo, desde N y P se trazan las paralelas NR y PR a las diagonales. Calcular el área que limita el paralelogramo inscrito MNRP. A)170cm2 B)200cm2 C)175cm2 D)190cm2 E)180cm2

C)25 3 m2

AC y BD son congruentes. Calcular el área de la región cuadrilátera MNPQ, si M, N, P y Q son puntos medios de los lados consecutivos del cuadrilátero ABCD y el producto de la longitud de las diagonales

MP y NQ es 38cm2. A)76 cm2 D)72 cm2

B)38 cm2 E)19 cm2

C)152cm2

G E O M E T R Í A |67

TEMA N° 17 ÁREA DE REGIONES CIRCULARES Y POLIGONALES III.

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES

5)

Área de una corona circular:

CIRCULO: El círculo es la unión de la circunferencia y su interior.

B S cor    (R 2  r 2 )

R 1)

Área del círculo:

S cor    ( AM) 2

M

O r r S

S  r2

A

O 6)

R

2

S

 r

L

Ssec    r  (

A

Ssec 

 360º

 ) 360º

 45º  ( ) 4

S sec 

 60º  ( ) 3

S sec 

 90º  ( ) 2

S sec 

120º  ( 3)

2 ) 3

S sec 

r2 12 r2 8 r2 6 r2 4 r2 3

)(R  r)

S2 S1

Área del sector circular

S sec 

2

PROPIEDADES

1)

2

SECTORES CIRCULARES ESPECIALES:

 30º  ( ) 6

L1  L 2

360º

)

L r

L  2  r  (

Angulo central

Stc  (

r



2

S tc    (R  r )(

L2

L1

O

B r

2

Propiedades:

Área del sector circular:

( AB) 2 4

Área del trapecio circular:

Perímetro del círculo: P  2  r 2)

S cor   

1  2 ( )r 2 6 1   ( )r2 2 4 1   ( )r2 2 3 1   ( )r2 2 2 1 2  ( )r2 2 3

S  S1  S 2

S



2)

S2 S1 S S  S1  S 2

3)

Área del segmento circular:

S B

S1

r O 

S  S1  S 2

Sseg  Ssec  A AOB

dS

S2

r A

4)

B

 d S seg    r 2  ( ) 4r 2  d2 360º 4 4)

S1

Área de una faja circular:

D

A

B

SABC  S2  S1

S2

S

5)

O

M

A S

C AB // CD

C

S

S  S faja  S seg (CD ) seg ( AB)

A

N

B

 (MN) 2 4

)

68| C E P R U 2 0 1 5 3)

6)

A

Área de la equilátero.

región limitada

S3 

r

S2

R

L3

S1  S 2

S1

O

S3  3  a3 2  3

ÁREA DE REGIONES POLIGONALES REGULARES

4)

Área de la región limitada por un Cuadrado:

El área de una región polígonal cualquiera es igual a la suma de las áreas de las regiones triangulares parciales en los que se puede descomponer.

L4

S4  2  R2

R O

S4  4  r 2

r

S4  L 42

D S4

S3

S5

S2

S6

B

S4  4  a42 5)

E

Área de la región limitada por un Hexágono regular:

S1

S6 

A

F O

S ABCDEF  S1  S 2  S 3  S 4  S 5  S 6

S6 

Área de la región limitada por un polígono regular inscrito de “n” lados.

Sn  p  an ; p 

R

a

7)

Ln

A

5 2 R 10  2 5 8

S5  5  r 2 5  2 5

Área de la región limitada por un Octógono regular:

S8  2  R 2 2

B

Área de la región limitada por un polígono regular circunscrito de “n” lados:

r an

Ln

p

8)

n  Ln

S8  8  r 2

Área de la región limitada por un Decágono regular:

S10  9)

Sn  r  p

O

A

Área de la región limitada por un Pentágono regular:

S5 

Sn  n  S AOB

n

2)

2

5 2 R 10  2 5 4

S10  2  r 2 25  10 5

Área de la región limitada por un Dodecágono regular:

S12  12  r 2 (2  3 )

S12  3  R 2

2

3 2 L6  3 2

S6  2  a62  3 6)

n  Ln

3 2 R  3 2

S6  2  r 2  3

R

r

O

3  R2  3 4

L 2 3 S3  3 4

B

C

triángulo

S3  3  r 2  3

r

r

O

1)

por un

B

EJERCICIOS 1.

2.

Un círculo de 10cm de radio, tiene su área dividida en dos partes iguales por una circunferencia interior al círculo. Calcular el radio de la circunferencia.

A)

2(2  3 3)

B)

3(2  3 3)

C)

2  3 3

D)

3(  3)

A) 2 2

B)5

E)

2(  3)

D) 3 2

E)4

C) 5 2

En la figura, O es el centro de la circunferencia; si el radio mide 6, entonces el área de la región sombreada es:

3.

En la figura. El área de la región rectangular ABCD es 32 cm2. Calcular el área de la región sombreada. A) 2 B C b) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A

60º

O

4.

D

Hallar el área del círculo inscrito en un sector circular de 60º y cuyo radio mide “R” unidades. 2

A)

R

2

B)

3 2

D)

R 9

R 6

2

E)

R

12

2

C)

R 8

G E O M E T R Í A |69 5.

En la figura, A y B son puntos de tangencia. Si AB  6 , entonces el área de la región sombreada es:



12. Calcular el área de la región hexagonal regular. Si el área de la región triangular formada al unir los vértices no consecutivos del hexágono es 4 3m 2 . A) 4 3 m2

B)2 3 m2

D) 9 3 m2

E) 8 3 m2

C)5 3 m2

A

13. En la circunferencia de centro O y radio 6cm, de la figura, si M y N son puntos medios, calcular la suma de las áreas de las regiones sombreadas.

 B  O1

6.

 O2

A) 9 

B) 8

D) 10

E) 7 

P M

C) 6 

Según el gráfico, calcular el área de la región sombreada, si AC=4u y mBMC  45º  .

A)6 B) 12 C)15 D) 18 E)9

15º 30º

A

B

O

N

Q A) 6 B) 8 C)12 D) 16 E) 4 2

Q

N

14. En la figura, hallar el área de la región sombreada,

B

M es punto medio de AO ; OA  OB  24 .

A 7.

B) 12 ( 4   3 3 )

C

M

En el gráfico, A y C son puntos de tangencia si OC  8u y (BC )(CD )  36u 2 . Calcular el área de la región sombreada.

C

A)20 3 m2

B)18 3 m2

C)2 3 m2

D)15 3 m2

B

tiene

un

A)16 u 2 D)25 u 2

72º y mACD  18 º A)

C

cm2

A) 100 B) 200 cm2 C) 400 cm2 D) 50 cm2 E) 250 cm2

D A

C)  D) 3 O

B

10. En una circunferencia, se trazan la cuerda máxima

AB de medida 4 y otra cuerda AC , de modo que el arco BC mide 30º. Si M es punto medio de AC . Al calcular el área de la región determinada por los segmentos BM , MC y el arco BC, se obtiene: 2   A) B) C) 5 4 3

2 E) 3

S x sabiendo 2

S 1 , S 2 y S 3 es 200 cm . C

S1

Sx

S2

S3

D

17. En la figura, se tiene un cuarto de circunferencia

 S1   .  S2 

Hallar la relación  A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 4/9 E) 1/4

S2 S1

18. En la figura, O es el centro de la semicircunferencia cuyo radio mide 2m. Calcular el área de la región sombreada. A) 3(   2)m

11. En que razón se encuentran el área de la región de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia y el área de la región del hexágono regular circunscrito a la misma circunferencia. 1 4 3 A) B) C) 2 5 8

2 E) 3

una

ABCD es un cuadrado y “A” es centro del arco BD.

diámetro AB mide 4 5 , medida del arco BC es

3 D) 7

y

tangente a

C)20 u 2

16. Hallar el área de la región sombreada que la suma de las áreas

Calcular el área de la región sombreada, donde el

A

ABCD

y P  DT

B15 u 2 E)40 u 2

B

 2 B) 2 

O

rectángulo

Si mCPD  90 º ; AB  5u

E)14 3 m2

 D) 6

E)18 ( 4   3 3 )

BC en T. Calcule el área de la región triangular APB.

D

Hallar el área de la región del hexágono, que tiene por vértices los puntos medios de los lados de un hexágono regular cuyo lado mide 4m.

2  3

M

semicircunferencia de diámetro AD

A

O

E)75 u2

E)

N

D)24 ( 4   3 3 )

15. Se

C)75 u 2 D)65 u 2

9.

C)6 ( 4   3 3 )

B

A)50 u2 B)60 u2

8.

A

A)24 



B) 2(   2)m C) (   4)m

B

2

2

D) 2(   4)m E) (   2)m

2

2

A 45º

2

O

70| C E P R U 2 0 1 5

ÁREA DE REGIONES PLANAS EJERCICIOS 1.

Calcular el área de la región triangular ABC, donde AB=10cm, mBAC =53º y mACB =45º. A) 49cm2 B) 56cm2 C) 48cm2 D) 60cm2 E) 70cm2

2.

Calcular el área de la región de un dodecágono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 4cm. A) 40cm2 B) 46cm2 C) 54cm2 D) 64cm2 E) 48cm2

3.

En un triángulo ABC, los lados AB , BC y AC miden “c”, “a” y “b” respectivamente. La altura relativa al lado AC mide 20cm, además a  c  4b . Calcular la longitud del inradio del triángulo ABC. A)7cm B)8cm C)3cm D)4cm E)1cm

4.

Calcular el área de un círculo inscrito en un triángulo

5.

B)2cm2

D)  cm2

E) 2

C) 3 cm2

2 cm2

En la figura. Calcular el área sombreada si MN = 6 N A) 9 B) 18 C) 12 D) 14 E) 10

6.

7.

A

C) 18 3 cm2

D)10

C)1,2cm

14. Un triángulo ABC se encuentra inscrito en una circunferencia de radio “R” tal que AB=R, BC=5cm y AC=8cm. Calcular el área de la región triangular ABC. A) 15cm2 B) 10cm2 C) 25cm2 D) 8cm2 E) 16cm2

B

2 cm2

Un triángulo equilátero esta inscrito en una circunferencia que mide 6 cm, calcular el área de la región que limita dicho triángulo.

27 2 2

27 2 4

cm2 cm2

B) D)

A) 12 B) 14,4 C) 12,2 D) 11 E) 15

F E A

2 cm2

27 3 4

27 3 2

cm2 cm2

E) 27 3 cm2 8.

B)3cm E)1cm

B

B) 30 3 cm2

C)

13. El lado de un triángulo mide 2 2 cm, calcular la longitud del segmento paralelo a dicho lado que divide a la región triangular en dos regiones equivalentes.

M

A)10 3 cm2

A)

12. Sobre el lado AC de un triángulo ABC se toman los puntos M y N de modo que AM=2k, MN=4k y NC=3k. Si el área de la región triangular ABC es 153cm2, entonces el área de la región triangular MNB, es: A) 70cm2 B) 60cm2 C) 72cm2 D) 64cm2 E) 68cm2

15. En la figura, EB=5, BF=FC=3 y AE=1. Calcular el área de la región triangular ABC.

En un triángulo ABC, los lados AB , BC y AC miden 9cm, 11cm y 10cm respectivamente. El punto I es el centro de la circunferencia inscrita en el triangulo. Calcular el área de la región triangular AIC.

E) 12

E) 2(2  3 3)

D) 24

A) 2 cm D)2cm

equilátero cuyo perímetro es 6 3 cm. A) 3cm2

11. Calcular el área que determina la región interior de un ángulo de 30º de medida, inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 6u. Uno de los lados del ángulo es el diámetro del círculo. B) 20 C) 3(2  3 3) A) 82

La circunferencia inscrita en un triángulo ABC es

C

16. En la figura, si el área de las regiones triangulares AEP, BEP, FPC y APD son 30cm2, 40m2, 84cm2 y 35cm2, respectivamente, entonces el área de la región triangular BFP, es: B A) 28cm2 B) 46cm2 C) 50cm2 D) 64cm2 E) 56cm2

F E P A

D

B

tangente al lado AC en el punto T y el radio de la circunferencia exinscrita relativa al lado BC mide 6cm. Si AT=10cm, entonces el área de la región triangular ABC es: A) 100cm2 B) 60cm2 C) 30cm2 D) 66cm2 E) 70cm2 9.

A) 20u2 B) 18u2 C) 24u2 D) 30u2 E) 16u2

En un cuadrado ABCD, se trazan CM y BD que se intersecan en N; M punto medio de AB ; BD  6 2 . Hallar el área de la región triangular BNC. A)6 B)8 C)9 D)5 E)7

10. Con el lado BC del cuadrado ABCD, se construye exteriormente el triángulo rectángulo BEC recto en E, donde BE  2a . Hallar el área de la región triangular ABE. A)5a B)4a C)3a D)a E)2a

C

17. Del gráfico AB=10; AC=6; PS=3 y ST=16/3. Calcular el área de la región sombreada si BS=SC.

P

A

T

S C

18. En la figura, calcular la mAM si 2A y 5A son áreas de las regiones sombreadas.

A A)53º B)60º C)45º D)37º E)30º (Nota:

M 2A 5A 53º/2)

O

B

N

G E O M E T R Í A |71 19. Calcular el área de la región del triángulo equilátero circunscrito a un círculo cuya área es  u 2 . A) 2 3 u2

B) 4 3 u2

D) 3 2 u2

E) 3 3 u2

C)  3 u2

D)

20. Dado un triángulo equilátero ABC, cuyo lado mide 4cm. calcular el área de la región comprendida entre la circunferencia circunscrita y la circunferencia inscrita. A)2 cm2 B)3 cm2 C)4 cm2 D)

3  cm2 E)  cm2 2

21. En la figura hallar el área de la región sombreada en m2, donde el arco EF mide 60º y los demás arcos corresponden a semicircunferencias de igual diámetro y el radio de la circunferencia mayor es R=4m. 2 A) 20 3  3 C B 2 B) 15 3  3 2 O C) 10 3  D A 3 2 R D) 18 3  3 E 2 F E) 12 3  3 22. En la figura AB // CD , donde M, N y S son puntos medios de DC , AB y BC respectivamente; si las regiones MDP, PQS y AQPD tienen por área x, 3x y 5x respectivamente, entonces el área de la región triangular ANQ, es: A)4x D C M B)2x C)3x P

2 x 3 3 E) x 2

S

D)

Q A

B

N

23. Encontrar el área de la región del pentágono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 2 2 cm. A) 2 10  2 5 cm

2

2

C) 5 10  2 5 cm

2

B) 4 10  2 5 cm D)

27. Hallar el área de la región hexagonal que tiene por vértices los puntos medios de los lados de otro hexágono regular cuyo lado mide 6cm. A) 100 B) 81 3 C) 80

2

10  2 5 cm

81 3 2

E)

81 3 4

28. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C. Por D punto medio de AB se traza una perpendicular que interseca al cateto CB en el punto E. Se sabe que AB  20cm y que AC  12cm . Hallar el área de la región cuadrilátera ADEC. A)50,5 B)45,5 C)58,5 D)40,5 E)55,5 29. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriores, de radios 9u y 4u. sus tres tangentes comunes al intersecarse determinan un triángulo que limita una región, calcular el área de dicha región. A)80 u2 B)90 u2 C)36,5 u2 D)86,4 u2 E)72 u2 30. En el semicírculo de centro O y radio 6cm, donde M es punto medio de BC y mABC  30º . Calcular el área de la región sombreada. A)2 B)3 C)6 D)4 E)5

C M A

B

31. De la figura, ABCD es un cuadrado y T es punto de tangencia. Calcule la razón de las áreas de las regiones sombreadas.

B

C T

A)1/4 B)1/5 C)1/3 D)1/6 E)1/8 (Nota:

53º/2)

A

D

32. La razón de las longitudes de las diagonales de un rombo es 3/5, el área de su región es 120cm2. Calcular la diferencia de las longitudes de sus diagonales. A)7cm B)4cm C)12cm D)8cm E)10m

2

E) 5 10  5 cm 24. En un cuadrado, cuyo lado mide 6m, se inscribe un rectángulo, cuya diagonal mide 8m, con la condición de que los lados del rectángulo sean paralelos a las diagonales del cuadrado. Calcular el área de la región del rectángulo. 2 2 2 A) 2 m B) 2 5 m C) 4 5 m 2 2 D) 4 m E) 5 m 25. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas CE y

BF (con F AC y E AB ) las cuales se intersecan en P, de modo que EF // BC . Si las regiones triángulares EFP y BPC tienen por áreas 16cm2 y 25cm2 respectivamente, entonces el área de la región triángular AFE, es: A) 100cm2 B) 144cm2 C) 70cm2 D) 41cm2 E) 132cm2 26. En el paralelogramo ABCD de la figura se tiene que BE  4(CE) . Si el área de la región triangular DOC es 5cm2, entonces el área de la región sombreada (en cm2), es: D C A)1/2 B)1 O E C)2 D)1/3 E)3 A B

33. En un triángulo ABC, los lados AB , BC y AC miden 5cm, 6cm y 7cm respectivamente. Se prolongan los lados en un mismo sentido con una longitud igual a la de cada lado. Determinar el área de la región triangular que se forma al unir los extremos de las prolongaciones. A) 36

6 cm2

C) 42 3 cm2 E) 21

B) 48 6 cm2 D)42

6 cm2

2 cm2

34. En un triángulo ABC se traza la altura BH , H  AC , la mediatriz del lado AC interseca a BC en N. Si el área de la región triangular ABC es 64cm2, entonces el área de la región del cuadrilátero ABNH, es: A) 36cm2 B) 40cm2 C) 16cm2 D) 48cm2 E) 32cm2 35. En un cuadrilátero convexo ABCD, sus diagonales se intersecan en F, tal que las áreas de las regiones triangulares BFC y AFD son 8cm2 y 18cm2, además la diferencia de las áreas de las regiones triangulares CFD y AFB es 7cm2. Calcular el área de la región del cuadrilátero ABCD. A) 48cm2 B) 40cm2 C) 50cm2 D) 52cm2 E) 51cm2

72| C E P R U 2 0 1 5

EJERCICIOS DE REPASO 1.

2.

3.

En el trapezoide ABCD, la diagonal BD es perpendicular al lado AB y AB  BC  BD . Calcular la mACD . A)30º B)53º C)60º D)45º E)37º En el trapecio isósceles las longitudes de las bases son entre si como 2 es a 1 y la medida de un ángulo interior es 60º. Determinar la medida del mayor ángulo que forma una diagonal y un lado no paralelo del trapecio. A)60º B)80º C)100º D)120º E)90º En el romboide ABCD, BC  8 , CD  5 y AC  10 . Hallar la medida de la proyección de BD sobre AC A)3 B)3.5 C)5 D)4 E)3,9

4.

En el trapecio ABCD, M es punto medio de AB y N punto de la base mayor AD tal que CN biseca a DM en R. Si RC  6 , el valor de RN, es: A)1 B)3 C)4 D)3/2 E)2

12. En un polígono regular ABCDE… de centro O ; M y N son puntos medios de AB y DE , respectivamente, si m( MON)  135º , entonces el número de diagonales del polígono, es: A) 14 B) 20 D) 35 E) 44

C) 27

13. Sea un hexaedro regular ABCDEF, Si BD=4 3 u, el área de la región poligonal ACDE, es: A) 12 3 u2 B) 16 3 u2 D) 8 3

u2

E) 24 3

C) 6 3 u2

u2

14. En un trapecio ABCD ( AD // BC ), AB=1, BC=2, CD=10, si la longitud de la base mayor es un número entero, el valor de esta longitud, es: A) 13 B) 11 C) 9 D) 10 E) 12 15. En un triángulo equilátero ABC inscrito en una circunferencia, cuyo radio mide 2 7 ; P y Q son puntos medios de AB y AC , respectivamente, PQ prolongada interseca a la circunferencia en el punto T. Hallar la longitud de QT

5.

Las mediatrices de los lados AD y CD de un paralelogramo ABCD se intersecan en un punto “M” que pertenece a BC . Si m∡B=110º entonces m(∡MAD), es: A)10º B)30º D)60º E)50º

6.

7.

8.

la

B) 3

D)

3

E) 2 7

de

C) 7

BC , se trazan MN y MP perpendiculares a

AB y AC , respectivamente (N AB , P AC ), NC ∩

El cuadrilátero que se forma con los segmentos determinados por los puntos medios de los lados de un trapecio isósceles de diagonales perpendiculares, se denomina: A)Cuadrado B)Rectángulo C)Rombo D)Romboide E)Trapecio Los lados del trapezoide simétrico miden 6 y 8, la diagonal mayor mide 12. Calcular la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de las diagonales. A)2 B)1 C)7/6 D)1/2 E)6/7 En un romboide ABCD, la altura BH relativa a AD

En un trapecio ABCD

7

16. En un triángulo BAC, recto en A, del punto medio M

C)40º

interseca a AC en P, si PC=3AP y BP=6, el valor de BH, es: A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12 9.

A)

MP ={Q}. Si el área de la región triangular MQC es 3 u2, el área de la región triangular ABC, es: A) 9 u2 B) 18 u2 C) 12 u2 D) 15 u2 E) 24 u2 17. En un paralelogramo ABCD, se considera P en BC , los segmentos AP y BD se intersecan en E tal que las áreas de las regiones triangulares BEP y AED son 4 u2 y 25 u2, respectivamente. Calcular el área de la región cuadrangular APCD. A) 50 u2 B) 31 u2 C) 75 u2 D) 35 u2 E) 56 u2 18. Se tiene dos circunferencias concéntricas cuyos radios miden a y b (a>b). Determinar la longitud del radio de una tercera circunferencia que sea tangente a la menor y ortogonal a la mayor. 2

A) a  b

( AD // BC ), la bisectriz del

ángulo BAD interseca en P a BC , en AD se ubica

2

D)

a b 2a

B) 2

2

E)

C)

ab

a b

a b

2

2b

2

2a

un punto E tal que CE es bisectriz del ángulo BED, si 19. En la figura, O es centro, el valor de x, es:

BE  AB  4 , el valor de PC, es: A) 1 D) 3

B) 2 E) 4

C) 8

10. En un romboide ABCD se trazan

BP

y

DQ

perpendiculares a AC (P, Q  AC ) , tal que AB=PQ. Si m( ABP)  58º , la medida del ángulo ACB, es: A) 29º D) 32º

B) 15º E) 18º

C) 16º

A) 13º B) 9º C) 10º D) 18º E) 24º

126º

x O

18º

11. Se tiene dos circunferencias tangentes interiormente en D, tal que la circunferencia menor contiene al

20. Se tiene una circunferencia de diámetro AB , desde un punto “P” exterior a la circunferencia se trazan la

centro de la mayor, se traza cuerda AC de la circunferencia mayor que es tangente a la menor en B, si AB=9 y BC=8, el valor de BD, es: A) 9 B) 8 C) 6

tangente PA y la secante PCB (C pertenece a la circunferencia). Si BC=3(PC), entonces la medida del arco BC, es: A)120º B)60º C)127º D)100º E)90º

D) 17/2

E) 6 2

G E O M E T R Í A |73 21. En un romboide ABCD se trazan

BP

y

DQ

perpendiculares a AC (P, Q  AC ) , tal que AB=PQ. Si m( ABP)  58º , la medida del ángulo ACB, es: A) 29º B) 15º C) 16º D) 32º E) 18º 22. En un trapecio rectángulo ABCD de altura AB , se traza CH perpendicular a AD (H AD ). Si BD=4, la longitud del segmento que tiene por extremos los

y X son las áreas de las regiones sombreadas y S1+S2=18S, entonces el valor de X en función de S, es: N

B

C

S

A) 12S B) 14S C) 16S D) 18S E) 10S

S1

M

S2

X

P

A Q D 32. En la figura ABCD es un cuadrado, si EO  8 2 y OF=8, el área de la región sombreada, es:

puntos medios AH y CD , es: A) 1 B) 2 C) 4 D) 3 E) 3/2

E

23. En un romboide ABCD, se ubica el punto medio M de

CD , luego se trazan AH  BM ( H  BM ),

HF  AD ( F  AD ) tal que BC=2(HF). El menor valor entero de m( BCD) , es: A) 77º B) 75º C) 76º D) 61º E) 58º 24. En un rectángulo ABCD, en la prolongación de AD se considera un punto E, tal que

m( DCE)  2m( EBC) , BE

CD  P . Si CE=12,

el valor de AB+PD, es: A) 10 B) 6 D) 12 E) 15

C) 18

la región exterior relativa a AB se ubican los puntos E y F respectivamente, de modo que BCEF es un rombo. Calcular la medida del ángulo CFA. A) 30º B) 45º C) 60º D) 75º E) 15º 27. Se tiene un triángulo ABC, en el cual la circunferencia que pasa por los puntos medios de sus tres lados pasa también por el vértice B. Calcular la m  ABC. A)60º B)70º C)80º D)90º E)120º 28. Se tiene dos polígonos regulares, tal que la razón de

2 . Si la 3

diferencia de los números de diagonales de dichos polígonos es 34, entonces la medida del ángulo central del polígono con mayor número de lados, es: A) 30º B) 60º C) 36º D) 45º E) 40º 29. En una circunferencia, una cuerda que mide 8 , subtiende un arco de medida igual a 60°. Calcular la medida de la cuerda que subtiende un arco de 90°. B) 4 3

D) 2 6

E) 4

C) 12

30. En un hexágono regular ABCDEF, cuyo inradio mide

9 u, las diagonales AC y BF se intersecan en P. 2 Calcular PC. A) 9 D) 3

B) 3 3 E) 4

C) 56

3

D) 48 E) 70

2

C

O

A

26. Dado un cuadrado ABCD, en su región interior y en

A) 6

A) 64 B) 40,5

D

33. En un trapecio ABCD ( AD // BC ), AB=5, m( BAD)  4 , m( BCD)  90º   , la bisectriz del

25. En un trapecio ABCD ( AD // BC ), AB=1, BC=2, CD=10, si la longitud de la base mayor es un número entero, el valor de esta longitud, es: A) 13 B) 11 C) 9 D) 10 E) 12

las medidas de sus ángulos exteriores es

F B

ángulo BAD interseca a BC en E, tal que EC=1, el mayor valor entero de la longitud de la base media del trapecio, es: A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 34. En un trapecio m( CDA)  2m( CAD)

y

ABCD, AD // BC , las diagonales se

intersecan perpendicularmente. Si AD=38 y CD=22, la longitud de la base menor, es: A) 16 B) 12 C) 22 D) 8 E) 6 35. En un trapecio rectángulo ABCD recto en A y B, tomando como diámetro AB se construye una circunferencia que es tangente a CD en M, si el radio de la circunferencia mide 6 y el perímetro del trapecio es 38, el valor CD, es: A)11 B)8 C)19 D)13 E)15 36. En la figura se tiene una circunferencia de centro O, tal que AB  CD y mAD  80 º . Hallar mDPO A A)15º B)10º C)30º D)20º E)40º

D

C P

O

B 37. En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia, se traza MN tangente a la circunferencia, MN //

AC , M en AB , N en BC , AB=8, BC=10, AC=12. Calcular MN. A)2 B)3 C)4 D)13/4 E)12/5 38. En la figura, T es punto de tangencia. Si AB=BT=k, entonces la diferencia de las áreas S2 y S1 de las coronas circulares, es:

C) 6

31. En la figura: AD // BC ; M, N, P y Q son puntos medios de AB , BC , CD y AD respectivamente. Si S, S1, S2

A) k2 B) 2k2 C) 3k2 D) 4k2 E) 5k2

A

S2 S1

B T

74| C E P R U 2 0 1 5 39. En el gráfico, (C y P son puntos de tangencia). Si

46. En un triángulo BAC, recto en A, del punto medio M de

BH  HA , (HB)(BP)=8, AB=2 y CD=3, el valor de CP,

es:

D

MP ={Q}. Si el área de la región triangular MQC es 3 u2, el área de la región triangular ABC, es: A) 9 u2 B) 18 u2 C) 12 u2 D) 15 u2 E) 24 u2

A) 5/2 C

B) 7 C) 3 D) 2 3 E) 4

H

B

P

47. Hallar el área de la región sombreada:

mide 3 u, las diagonales AC y BF se intersecan en P. Calcular PD. D) 17

E) 29

C) 21

41

C

A) 56 B) 52 C) 48 D) 49 E) 58

40. En un hexágono regular ABCDEF, cuyo circunradio

B)

20

B

A

A) 35

BC , se trazan MN y MP perpendiculares a

AB y AC , respectivamente (N AB , P AC ), NC ∩

8

A 2 48. Hallar el área de la región sombreada: A) 64 cm

41. En el gráfico, T y H son puntos de tangencia, AB=6. Calcular NB. H

2

2

B) 66 cm

T

C) 68 cm

2

D) 70 cm

2

10

2

37º

E) 72 cm

D

4

cm

20 cm

A

N

A)5/2 D)4/3

B)3/2 E)2

B C)1

42. En una circunferencia, una cuerda que mide 12 , subtiende un arco de medida igual a 60°. Calcular la medida de la cuerda que subtiende un arco de 120°. A) 6

B) 4 3

D) 2 6

E) 4

C) 12

43. En una circunferencia se inscriben los polígonos regulares ABCD y BEF, la diagonal AC interseca al triángulo BEF en los puntos P y Q, si FD= 3 , entonces el valor de PQ, es: A)

3

B) 2

D)

2

E) 2 3

C) 1

44. En un triángulo equilátero ABC inscrito en una circunferencia, cuyo radio mide 2 7 ; P y Q son puntos medios de AB y AC , respectivamente, PQ prolongada interseca a la circunferencia en el punto T. Hallar la longitud de QT A)

7

B) 3

D)

3

E) 2 7

C) 7

2

2

2

B) 300 cm

C) 600 cm

2

D) 220 cm

2

E) 150 cm

2

50.

E) 1 8 

Si ABCD es un cuadrado de lado 2m y el triángulo CED es equilátero. ¿Hallar el área del triángulo DAC?

B A)

C

3 1



3  1

B) 2 C) 2,25

D

D) 3  1 E) 2,125

A

E

51. En la figura, ABCD es una cuadrado, la región sombreada está limitada por arcos de circunferencias con centros en los vértices del cuadrado, si AB=4 2 u, el área de la región sombreada, es: B C A)16(–2) u2 B)4(–1) u2 C)8(–2) u2 D)2(–2) u2 E)12(–2) u2 A

“S” de 120 cm de área. Determinar el área de la región del cuadrado inscrito en todo el círculo.

cm

D) 9 

D

52. Hallar el área de la región sombreada. Si el lado del

45. En un semicírculo, se encuentra inscrito un cuadrado

A) 240

49. En una circunferencia de 12 m de radio se toma un sector circular de 60°. ¿Calcular el área del círculo inscrito en el sector? A) 8  B) 1 6  C) 4 

S 

cuadrado mide 2 5m y M, O, N, I son puntos medios. A) 6 m

2

B) 5 m

2

C) 1 m

2

D) 2 m E) 4m

O

B

2

M

N

2

A

53. Un

C

cuadrado

D

I

ABCD

está

inscrito

circunferencia, se traza la cuerda

en

PQ

una de la

circunferencia paralela a BC , que interseca a BD

G E O M E T R Í A |75 en E. Si PE=2 y EQ=6, el valor de la longitud del circunradio, es: A)2 5

B) 4 5

D)2 3

E) 4

C) 2

6

D) 4 

54. Que fracción representa el área sombreada del área no sombreada, en el cuadrado ABCD (M punto medio de AD)

1 A) 12 1 B) 11 1 C) 13 2 D) 3 3 E) 2

B

C

D

M

56. Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados de igual longitud miden b cm. Para obtener un triángulo con la mayor área posible, el tercer lado debe tener una longitud de: A) b

b 

B)

b 2

E)

b 3

C)

2 b 2

57. Los radios de las circunferencias exinscritas relativas a los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 y 8. Hallar el área de la región del triángulo en A) 100 B) 12 C) 32 D) 80 E) 16

2

m .

58. En un triángulo, sus ex–radios valen 2 m, 3 m y 6 m. Hallar el área de la región triangular.

m

D) 16 m

2

2

B) 2 m

2

E) 8 m

2

C) 6 m

2

59. Que fracción representa el área no sombreada del área sombreada, en el cuadrado ABCD (M punto medio de AD)

7 5 5 B) 7 3 C) 4 8 D) 9 5 E) 8 A)

60.

61.

63. Hallar el área de la región sombreada, en le hexágono regular de lado 6 m.

3 A) 28,01 B) 27,92 C) 29,75 D) 35,03 E) 30,03

3

3

3 3

64. El perímetro de la figura sombreada es: A

(D AC ) en la cual se ubica el punto E; el área de las regiones ABE y DBC miden 9 u2 y 16 u2 respectivamente. Calcular el área de la región AED, si AE = AD. A) 4 u2 B) 2 u2 C) 3 u2 D) 5 u2 E) 6 u2

A) 12

E) 25 

3

55. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD

D)

circunferencias originales con uno de sus puntos de corte. B) 6  C) 1 6  A) 9 

B

C

A) 28 B) 32 C) 36 D) 40 E) 49

8

12 1

65. Sí: R  r sombreada.

1

2

A) 8 B) 16 C) 9 D) 13 E) N.A.

1

. Hallar el área de la región

R

r

66. Que porcentaje del área del cuadrado es el área de la región sombreada (IMOT es cuadrado)

25 % 3 25 % B) 4 25 % C) 7 25 D) % 6 A)

I

M

T

O

E) N.A. 67. Calcular el área de la región sombreada, si BC 16 . A) 4(72  13π) m B) 4(72  13π) m

2

C) 4(60  13π) m D) 4(40  13π) m E) 4(36  13π) m

B

C

2

4

2

2

2

6 A

D

68. Hallar el área de la región sombreada: A

M

D

Calcular el radio de la circunferencia inscrita en un rombo si sus diagonales miden: 16m y 12m. a) 4,8 b) 5,2 c) 5,1 d) 3,2 e) 3,8 ¿Cuál es la diferencia de las áreas de dos círculos que son tangentes interiormente si la distancia entre sus centros es 7 cm y la suma de sus longitudes es 70 cm? A) 245 B) 280 C) 125 D) 190 E) 260

62. Los radios de 2 circunferencias ortogonales miden 8 y 15. Determinar el área del círculo inscrita en el triángulo que se forma al unir los centros de las

2



A) 3  C)

O1

3  cm

2

2  7  3 3  cm 2 3



E) 8 

3  cm

2

O



O2

B) 5  D)

3  cm

2

1  4  3 3  cm 2 3

TEMA N° 18 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO GEOMETRÍA DEL ESPACIO Llamada también estereometría o geometría de tres dimensiones, estudia las propiedades de las figuras cuyos puntos pertenecen a diferentes planos. POSTULADO: Dados tres puntos no colineales en el espacio existe solamente un plano que los contiene .

A.

b)

B.

Notación: P , se lee: Plano P TEOREMAS: 1. Dados una recta y un punto exterior a ella en el espacio existe solamente una plano que los contiene.

L

A. P

Secantes:

MÍNIMA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS: Es la longitud del segmento mutuamente perpendicular a ambas rectas alabeadas. L1 d

Dados dos rectas secantes en el espacio existe solamente un plano que los contiene.

L1 L2

P 3.

POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS PLANOS: Dos planos en el espacio pueden ser: a) Paralelos:

C.

P

2.

3.

Dados dos rectas paralelas en el espacio existe solamente un plano que los contiene.

L1

TEOREMA DE THALES: Si tres o más planos paralelos son interceptados por dos rectas secantes, los segmentos entre los planos tienen longitudes proporcionales. L1

L2

L2

A

P 1.

M

B

POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS RECTAS: Dos rectas en el espacio pueden ser: a) Paralelas:

L2

AB BC  MN NP

N

C

P

L1 RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO: Si una recta es ortogonal a un plano, entonces es ortogonal a todas las rectas contenidas en dicho plano.

L2 b)

Secantes:

Si: L  P  L  (L1 , L2, L3,...)

L1

L

L2 c)

Alabeadas o Cruzadas:

L1 L2

2.

P

POSICIONES RELATIVAS ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO: Una recta y un plano en el espacio pueden ser: a) Paralelas:

L

TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES: Si por el pie de una recta perpendicular a un plano se traza una segunda recta perpendicular a una recta contenida en dicho plano, el pie de la segunda perpendicular unida con cualquier punto de la recta perpendicular al plano, determina una recta perpendicular a la recta contenida en dicho plano.

P b)

Secantes:

M

L2

A

P

P

Recta contenida en el plano

L P

L1

L3 L

c)

L3

L2

L1

B

G E O M E T R Í A |77

EJERCICIOS 1

Indicar verdadero (V) o falso (F): I) Tres puntos determinan siempre un plano. II) Dos rectas siempre determinan un plano. III) Si una recta es paralela a un plano será paralela a todas las rectas contenidas en dicho plano IV) Si una recta es perpendicular a un plano entonces es perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano. En el orden en que aparecen marque la alternativa correcta. A) VVVV B) VFVF C) FVFV D) FFFF E) FFFV.

2

De las siguientes proposiciones, indicar si son verdaderas (V) o falsas (F) I) Tres planos pueden tener un único punto en común II) Tres planos pueden tener una única recta en común III) Desde un punto exterior a un plano se trazan 3 segmentos oblicuos de igual longitud; entonces el triángulo formado al unir los pies de dichos segmentos es equilátero. La secuencia correcta es: A)VFF B)VVV C)VVF D)VFV E)FFF

3

Si dos o mas rectas forman ángulos de igual medida con un plano: I. Estás rectas tendrán longitudes iguales. II. Estás rectas serán paralelas. III. Estás rectas serán paralelas únicamente cuando el ángulo que forman con el plano mida 90º A)FFF B)FVF C)FFV D)FVV E)VFV

4

De las siguientes proposiciones, indicar verdadero (V) o falso (F). I) Las proyecciones de dos rectas alabeadas sobre un mismo plano pueden ser paralelas. II) Todo plano perpendicular a la arista de un diedro es perpendicular a las caras del diedro. III) Si una recta es perpendicular a una de las caras de un diedro y paralela a la otra cara, entonces la medida del diedro es 90º A)VVF B)VFV C)FVV D)VVV E)FVF

5

Señalar verdadero “V” o falso “F”, considerando las siguientes proposiciones: I) Dos rectas perpendiculares a un plano, son siempre paralelas. II) Un plano en el espacio, es determinada por dos rectas no secantes. III) La distancia de un punto a un plano, es el segmento perpendicular trazado de dicho punto. La secuencia correcta es: A)VFF B)FFF C)VFV D)VVF E)FFV

6

De las siguientes proposiciones, indicar si son verdaderas (V) o falsas (F) I) Si dos rectas son paralelas a un mismo plano, entonces dichas rectas son rectas alabeadas. II) Si en cada uno de dos planos secantes, se ubica una recta, y estas son perpendiculares, entonces dichos planos son perpendiculares. III) Si dos rectas son perpendiculares a una tercera recta, entonces dichas rectas determinan un plano. La secuencia correcta es: A)FVF B)FFV C)VFF D)VVF E)FFF

7

¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera? I) Todos los planos paralelos a un plano dado son paralelos entre si. II) Todos los planos paralelos a una recta son paralelos entre si. III) Si un plano interseca a una de tres rectas paralelas también interseca a las otras dos. IV) Si una recta es paralela a un plano, la paralela trazada a dicha recta por un punto del plano está contenida en el plano. V) Por cualquier punto exterior a un plano, solo puede trazarse un plano paralelo al primero. A) I B) II C) III D) IV E) V

8

Indicar la proposición correcta. I) Dos rectas que no tiene un punto en común son paralelas. II) Dos rectas que no tienen punto en común son del mismo plano. III) Las rectas paralelas son coplanares. IV) Las rectas paralelas pueden ser concurrentes. V) Las rectas alabeadas se intersecan. A) I B) II C) III D) IV E) V

9

De las siguientes afirmaciones cuáles son falsas. I) Dos rectas perpendiculares a una tercera necesariamente son paralelas. II) La intersección de tres planos es necesariamente una recta. III) Dos planos que forman ángulos de iguale medida con un tercero son paralelos entre si. IV) La intersección de dos planos paralelos con un tercero determina dos rectas paralelas. A) I y III B) I y II C) I, II y III D) II y III E) III y IV

10

Si un plano es paralelo a una recta: I. Toda perpendicular a la recta será paralela al plano. II. Toda recta paralela al plano será paralela a la recta dada. III. Todo plano perpendicular al plano dado será paralelo a la recta dada. Indicar si son verdaderas (V) o falsas (F) A)FVF B)FFV C)VFF D)FVV E)FFF

11

¿Cuántas de las siguientes proposiciones no son falsas? I) Por una recta perpendicular a un plano, pasan infinidad de planos perpendiculares al mismo plano. II) Por una recta paralela a un plano, pasan infinidad de planos paralelos al mismo plano. III) Dos planos perpendiculares a una misma recta, son paralelos entre si. IV) Dos planos perpendiculares a un tercer plano, son paralelos entre si. V) Dos rectas perpendiculares a un mismo plano, son paralelas entre si. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

12

Se tiene una circunferencia de centro O y diámetro de medida 12 cm. Por O, se traza una recta L perpendicular al plano de la circunferencia. F es un punto de L , tal que OF=8cm. Hallar la distancia de F a cualquier recta tangente a la circunferencia. A) 10cm. B) 20cm. C) 13cm. D) 15cm. E) 16cm.

13

ABCD, es un cuadrado cuyo lado mide 4. Por B se traza BE perpendicular al plano que contiene al cuadrado, tal que BE=4. Si “O” es el centro del

78| C E P R U 2 0 1 5 cuadrado y “H” punto medio de CD , hallar el área de la región triangular EOH.

14

A) 5

B) 2 5

D) 2

E) 7 5

2

18

2

A) 4 2

B) 4

por B, se traza BR perpendicular al plano ABC de

D) 2 2

E) 8

21

D) 2

E) 7 5

ambas

rectas,

Dado un triángulo equilátero ABC cuyo lado mide 18 y su ortocentro es el punto M. Si de M se levanta entonces para MD triangular ABD, es: A) 9 D) 12

C) 3 5 22

BAC, es un triángulo recto en A. AB=6 y AC=8. Por su

C) 2

una perpendicular

En una circunferencia de centro O, se inscribe un

B) 5 5

entre

2

En un triángulo equilátero ABC cuyo lado mide “L”

A) 5

común

(AB)  (PA)  (BQ)  64 , la medida de AM , es:

incentro I se traza IH perpendicular al plano ABC, si IH=3 entonces el valor de HC, es: A) 8 B) 10 C) 11 D) 12 E) 7 17

perpendicular

AP  L1 , BQ  L2 y M es punto medio de PQ . Si

triángulo ABC, recto en B. Se traza BF perpendicular al plano ABC, de modo que BF=AC. Si AB=6 y BC=8, calcular OF.

16

Las rectas L1 y L2 se cruzan ortogonalmente, AB es

C) 3 5

modo que BR=L/2. se trazan luego RA y RC . Hallar el área de la región triangular ARC. A) L2 B) L2/3 C) L2/2 D) 2 L2 E) 7 L2 15

20

6 6

MD al  27 ,

B) 27

6

E) 15

6

plano del triángulo el área de la región C)

6

Dada la figura, donde Q es un punto exterior al plano IP , las distancia del punto Q a los lados

AB y AC miden 6 y 8 respectivamente. Si m(AQ)  10 , entonces la distancia del punto Q al plano IP , es:

Q

ABC, es un triángulo recto en B. ACD es un triángulo equilátero contenido en un plano perpendicular a un plano ABC. Si AC=8, el valor de BD, es: A) 8

B) 8 2

D) 4 6

E) 8 3

AB

y

A

son

CD

B

C) 4 3

segmentos

alabeados

y

C

IP

perpendiculares. AC es perpendicular a AB y CD . 2

60º

2

Si: (AB)  (CD)  256 , hallar la distancia entre los puntos medios de AC y BD . A) 16 B) 8 D) 12 E) 14 19

C) 4

A)

42 3

B)

92 3

D)

72 3

E)

52 3

Un segmento de recta AB se proyecta sobre un plano P. si la longitud de la proyección es la mitad

C)

82 3

de AB, el ángulo que forma AB con el plano P mide: A) 37º B) 30º C) 45º D) 60º E) 53º

TEMA N° 19 ÁNGULO DIEDRO Y TRIEDRO ÁNGULO DIEDRO Es aquella figura geométrica formada semiplanos que tienen una arista en común

P2

X

 O

por

dos

PROYECCIONES DE REGIONES PLANAS: El área de la proyección de una región poligonal sobre un plano es igual al área de dicha región multiplicado por el coseno del ángulo diedro que forman el plano del polígono proyectante y el plano de proyección.

B

Y

P1

B

A Notación: ángulo diedro AB Elementos: 1) Caras: P1 y P2 son los semiplanos que se intersecan. 2)

Arista: AB

3)

Ángulo plano o rectilíneo del ángulo diedro: XOY ; donde m(XOY)   Medida del ángulo diedro: 

4)



A

A  B cos 

G E O M E T R Í A |79 ANGULO POLIEDRO: Llamado también ángulo sólido o anguloide, es la figura geométrica determinada por tres o más planos que tienen un punto en común

ellas, a las cuales se le oponen diedros que miden 90º

V

a bc d e







E



A



B

C

3) 4) 5)

2.

Aristas: VA , VB , VC , VD , … Ángulos de Cara: AVB , BVC , … Medida de las caras: a, b, c, d, e Medida de los diedros: , , , , …

La suma de las medidas de los tres ángulos de cara siempre es mayor que 0º pero menor que 360º.

0º  a  b  c  360º 3.

La suma de las medidas de los tres ángulos diedros siempre es mayor que 180º pero menor que 540º.

ÁNGULO TRIEDRO Es el ángulo poliedro que tiene tres ángulos de cara.

V

c

180 º        540 º 4.

En un triedro, la suma de las medidas de dos ángulos diedros es menor que 180º más la medida del tercer ángulo diedro.

b a

    180 º  

5.

A





A mayor ángulo de cara se opone mayor ángulo diedro y viceversa. A menor ángulo de cara se opone menor ángulo diedro y viceversa.

C

ab

 6.

Si dos ángulos de cara son congruentes, los ángulos diedros a los que se oponen también son congruentes y viceversa.

B Notación: Ángulo triedro V-ABC Elementos: 1) Vértice: V 2) 3) 4)

Aristas: VA , VB , VC Ángulos de cara (medidas): a, b y c Ángulos diedros (medidas): ,  y 

ac TRIEDRO POLAR O SUPLEMENTARIO Se dice que dos triedros son polares o suplementarios si las aristas de uno son perpendiculares a las caras del otro. Los diedros formados por las aristas son suplementarios a las caras del otro triedro.

V

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS TRIEDROS I) POR LA REGULARIDAD DE SUS CARAS a) Triedro equilátero: Sus ángulos de cara y sus ángulos diedros tienen igual medida respectivamente.

abc

c

C’ 

’



II) POR EL NÚMERO DE CARAS RECTAS a) Triedro Rectángulo: Uno de sus ángulos de cara mide 90º: a  90 º b) Triedro Birrectángulo.- Dos ángulos de cara miden 90º cada una, a las cuales se oponen diedros que miden 90º. c) Triedro Trirrectángulo.- Es un triedro equilátero cuyos ángulos de cara miden 90º cada una de

’



a’ c’ b’ A

C

V’

c) Triedro escaleno: Sus ángulos de cara y los ángulos diedros tienen diferente medida.

abc

a A’





B’

b

b) Triedro isósceles: Dos de sus ángulos de cara y los ángulos diedros respectivos tienen igual medida.

ab



ac b ac

Notación: Ángulo poliedro V-ABCDE Elementos: 1) Vértice: V 2)



PROPIEDADES Si a, b y c son las medidas de los ángulos de cara de un triedro y ,  y  las medidas de los diedros respectivos, se cumple: 1. (EXISTENCIA) La medida de todo ángulo de cara está comprendida entre la suma y diferencia de las medidas de las otras dos.

D







B El triedro V’-A’B’C’ es el triedro polar o suplementario del triedro V-ABC.

V' A'  BVC



a  '  180º

V' B'  AVC



b  '  180º

V' C'  AVB



c  '  180º

VA  B' V' C'



a'  180 º

VB  A' V' C'



b'  180º

VC  A' V' B'



c'  180º

80| C E P R U 2 0 1 5

EJERCICIOS 1.

2.

3.

Se da un ángulo triedro trirrectángulo y sobre sus aristas se toman VA  VB  VC  10cm . Hallar el área de la región triangular ABC. A)25 2

B) 10 3

D)50 3

E) 50 2

C) 25 3

11. Dado un triángulo rectángulo isósceles ACB, tal que

Se da un triedro en donde las medidas de dos caras son 120º y 130º. ¿Cuáles son los límites de medida de la tercera cara? A)0º y 110º B)0º y 250º C)30º y 150º D)10º y 110º E)100º y 250º

A) 125 D) 12

5.

AC=CB= 3 . Desde el vértice C se traza una perpendicular al plano del triángulo hasta un punto P. Se une este punto con los vértices A y B, Calcular CP para que el diedro AB mida 45º. A)

6

B) 2 6

D)

6 /3

E) 4

C)

6 /2

Se da un circulo de diámetro EF=10 por el extremo E se traza la perpendicular ED al plano del circulo, en la circunferencia se ubica un punto A, de modo que DA=EF y AE=6. Calcular DF.

4.

10. Si dos ángulos de cara de un triedro convexo miden cada uno 45º y el diedro comprendido entre ellos miden 90º, hallar la medida de la tercera cara. A)30º B)60º C)45º D)90º E)100º

B) 136 E) 13

C)

164

Las medidas de dos caras de un ángulo triedro suman 130º y la suma de las medidas de los diedros de su triedro polar es de 340º. La medida de la tercera cara del triedro es: A) 35º B) 70º C) 40º D) 60º E) 50º Desde un punto exterior P a un plano, se trazan la perpendicular PH y las oblicuas PA y PB , de modo que los ángulos PAH y PBH miden 70º y 30º respectivamente. Determinar entre que limites está comprendida la medida del ángulo APB, si los

12. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB recto en “O” en el cual AO  OB  6m . Por el punto “O” se traza la perpendicular OM al plano del triángulo, se une M con los vértices A y B. Hallar OM, si el ángulo diedro AB formado mide 60º. A)3m B)1m C)5m D)4m E)2m 13. Se tiene un triángulo equilátero ABC de lado que mide

6m inscrito en una circunferencia de centro

“O” por el cual se traza la perpendicular OD al plano del triángulo, se une D con A, B y C. Hallar OD para que el ángulo triedro “D” sea trirrectángulo. A)4m B)2m C)3m D)1m E)5m

segmentos PA , PH y PB no son coplanares. A)40º y 80º B)0º y 280º C)40º y 280º D)0º y 80º E)40º y 200º

14. Un triángulo al ser proyectado sobre un plano determina un triángulo cuya área es la mitad del área del primero. El ángulo diedro que forman los planos de los dos triángulos mide: A)30º B)60º C)15º D)45º E)75º

6.

Las medidas de dos ángulos diedros de un triedro miden 100º y 120º hallar las medidas entre las que está comprendida el tercer diedro. A)20º y 140º B)40º y 160º C)0º y 160º D)0º y 140º E)60º y 200º

15. Dado un ángulo triedro convexo dos de sus ángulos de caras miden 80º y 120º, hallar las medidas angulares entre las que varía la tercera cara. A)40º y 200º B)0º y 160º C)40º y 160º D)0º y 200º E)20º y 160º

7.

Dos puntos M y N situados a uno y otro lado de un plano P distan de dicho plano 6cm. y 9cm.

16. El cuadrado ABCD y el triángulo equilátero ABE se encuentran en planos perpendiculares. Calcular la

respectivamente si la proyección del segmento MN sobre el plano mide 20cm. Hallar la distancia entre los puntos M y N. A) 15 B) 25 C) 10 D) 30 E) 35

distancia entre los puntos medios de BE y AD , si AB=8u A)10 B)12 C)6 D)8 E)16

8.

m y r son dos rectas alabeadas que se cruzan con un ángulo de 60º, si A m , B r y AB = 4 es la mínima distancia entre m y r , en m se considera el punto E y en r el punto F, de modo que AE=BF=3. hallar la medida del ángulo con que se cruzan AB y EF . A) 60º B) 30º D) 37º E) 53º

9.

C) 45º

Se tiene un triángulo ABC, en el cual AB=13, BC=15 y AC=14. por B se traza BF perpendicular al plano ABC, siendo BF = 12. Hallar la medida del ángulo diedro que determinan los planos AFC y ABC. A) 45º B) 30º C) 60º D) 37º E) 53º

17. Dado un triángulo ABC, por A se levanta una perpendicular

al plano del triángulo. Si el área

AV

de la región triangular ABC es

3 5

del área de la

región triangular BVC, entonces la medida del diedro A) 30º D) 53º

BC , es: B) 60º E) 37º

C) 45º

18. En un ángulo triedro convexo V-ABC, los diedros y

VC

tienen medidas iguales

VB

    135º y el

ángulo de cara BVC mide a=90º. Entonces la medida del diedro A) 120º D) 150º

VA , es:

B) 135º E) 90º

C) 100º

G E O M E T R Í A |81

TEMA N° 20 POLIEDROS SUPERFICIE POLIÉDRICA Es la superficie no plana determinada por la reunión de cuatro o más regiones poligonales planas no coplanares de modo que cualquier par de regiones poligonales, llamadas caras tienen en común a lo más un lado llamado arista.

1)

PROPIEDADES DE POLIEDROS CONVEXOS Teorema de Euler: En todo poliedro convexo, el número de caras “C” más el número de vértices “V”, es igual al número de aristas “A” aumentado en 2.

CV  A2 2)

POLIEDRO Es un sólido geométrico completamente limitado por regiones poligonales contenidas en distintos planos.

En todo poliedro convexo, la suma “S” de las medidas de los ángulos interiores de todas sus caras, está dado por:

S caras  360 º ( V  2) ó S  360 º ( A  C )

D A

C

3)

B

En todo poliedro convexo que tiene caras con igual número de lados, el número de aristas “A” es igual al semiproducto del número de caras “C” y el número de lados “n” de una cara.

H

J

A

E

4)

G F Elementos: 1) Vértices: A, B, C, …

Cn 2

Si un poliedro está formado por

k1, k 2 , ..., k m regiones poligonales como caras, cada uno con n1, n 2 , ..., nm lados respectivamente, entonces el número de aristas “A”, del poliedro está dado por:

2)

Aristas: AB , BC , …

3)

Caras: PABCD , PABF , PBFG , …

4)

Diedros: d( AB ) , d(BC ) , …

5)

Ángulos poliedros: A  BDEF , C  DBH , …

6)

Diagonal del poliedro: EC , …

7)

Diagonal del cara: CG , …

A

k 1  n1  k 2  n 2  ...  k m  nm 2

POLIEDROS REGULARES Son poliedros cuyas caras son polígonos regulares congruentes entre si y en cada vértice concurren el mismo número de aristas.

EQUIVALENCIA DE SÓLIDOS Dos sólidos son equivalentes si tienen volúmenes iguales. CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS: 1) Los poliedros pueden ser: a) Convexos: Si todas sus secciones planas convexas

son

Sección plana convexa

OBSERVACIÓN  Todo poliedro regular está inscrito y circunscrito a esferas concéntricas  Sus ángulos diedros y poliedros, respectivamente, son congruentes.  Solo existen 5 poliedros regulares NOTA: La medida de la superficie del sólido es el área y la medida del espacio correspondiente al sólido es el volumen. TETRAEDRO REGULAR: Poliedro regular cuyas caras son cuatro regiones triangulares equiláteras. El tetraedro es una pirámide triangular.

b)

No convexos: Si tiene secciones planas no convexas. Sección plana no convexa

2)

3)

Caras: C=4 Vértices: V=4 Aristas: A=6

a

a 6

4)

Altura: h 

5)

Área total: A T  a

3

a

2

3

3

2

6)

Volumen: V 

1) 2)

Caras: C  6 Vértices: V  8

3)

Aristas: A  12

4)

Apotema: ON 

5)

Área total: A T  6a

6)

Volumen: V  a

7)

Diagonal: D  a 3

12 HEXAEDRO REGULAR Poliedro regular limitado por seis regiones cuadradas. Tiene 4 diagonales, las cuales son de igual longitud y concurren en sus puntos medios el cual es el centro del cubo.

Por el número de caras: a) Tetraedro: 4 caras b) Pentaedro: 5 caras c) Hexaedro: 6 caras d) Heptaedro: 7 caras e) Octaedro: 8 caras f) Nonaedro: 9 caras g) Decaedro: 10 caras h) Dodecaedro: 12 caras i) Icosaedro: 20 caras Por la relación entre sus caras a) Regulares: caras poligonales congruentes b) Irregulares: no regulares

1) 2) 3)

regulares

a a 2 2

3

82| C E P R U 2 0 1 5 OCTAEDRO REGULAR Poliedro regular limitado por 8 regiones triangulares equiláteras. Tiene 3 diagonales, las cuales son de igual longitud y son perpendiculares en sus puntos medios. 1) Caras: C  8 2) Vértices: V  6 3)

Aristas: A  12

4)

Apotema: ON 

5)

Área total: A T  2 3a

6)

Volumen: V 

a

a

Hexaedro Octaedro Dodecaedro

a 6 6

3

Poliedro regular Tetraedro

Icosaedro 2

Formas de las caras Triángulos equiláteros cuadrados Triángulos equiláteros Pentágonos regulares Triángulos equiláteros

C

V

A

4

4

6

6 8

8 6

12 12

12

20

30

20

12

30

2

3

7) Diagonal: D  a 2 DODECAEDRO REGULAR Poliedro regular limitado por doce regiones pentagonales regulares, este poliedro posee 100 diagonales.

a

Caras: C  12 Vértices: V  20 Aristas: A  30 A T  15 V

52 5 5

15  7 5

a

2

3

a 4 ICOSAEDRO Poliedro regular limitado por veinte regiones triangulares equiláteras. Este poliedro posee 36 diagonales.

a

Caras: C  20 Vértices: V  12 Aristas: A  30 AT  5 3  a

V

2

15  5 5 12

3

a

OBSERVACIÓN Dos poliedros son conjugados cuando el número de caras de uno de ellos es igual al número de vértices del otro.

EJERCICIOS 1)

2)

En las siguientes proposiciones, escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa. I) El tetraedro regular es conjugado del exaedro regular. II) En todo poliedro convexo, si A es el número de aristas, V es el número de vértices y C el número de caras, entonces se cumple C  2  V  A III) Las caras de un icosaedro regular son regiones pentagonales regulares. La secuencia correcta es: A) VFV B) VVV C) FFF D) FVV E) FFV ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? I) En todo poliedro convexo, se cumple que el número de vértices menos dos es igual al número de aristas menos el número de caras. II) Si la sección plana de un poliedro es un polígono convexo, entonces el poliedro es convexo. III) El mínimo número de caras que puede tener un poliedro es cuatro. IV) La diagonal de un poliedro es el segmento que une dos vértices situados en la misma cara. A) I, II y III B) Sólo I C) Sólo IV

D) I y III

E) II y III

3)

Señalar verdadero “V” o falso “F”, considerando las siguientes proposiciones: I) La cara de un tetraedro puede ser una superficie cuadrangular. II) La cara de un hexaedro puede ser una región triangular III) El poliedro conjugado del hexaedro es el tetraedro. IV) El octaedro regular tiene cuatro diagonales. A)VVVV B)VVFV C)FVFV D)FVVF E)FVFF

4)

En los siguientes enunciados: I) Existen solamente 6 poliedros regulares II) El tetraedro regular es conjugado al octaedro regular III) El teorema de Euler se refiere a la relación: C  A  V  2 , donde C, A y V representan al número de caras, aristas y vértices en un poliedro respectivamente. Son falsas: A)II y III B)Sólo I C)Sólo II D)I y II E)I, II y III

G E O M E T R Í A |83 5)

Si el volumen del tetraedro regular ABCD es 81, entonces el volumen de su poliedro conjugado, es: A) 15 D) 27

6)

B) 3 E) 9

C) 6

La figura ABCD-EFGH es un hexaedro regular cuya arista mide 3. La menor distancia entre es:

F

G

E

H

B

A

7)

BD y EC

C

D

A)

2 /2

B)

D)

6 /2

3 /2

E) 3

C) 1

Las caras de un poliedro convexo están formados por regiones planas que corresponden a triángulos, cuadriláteros y pentágonos; la cantidad de dichos polígonos corresponden respectivamente a 3 números enteros consecutivos. Si el número de vértices del poliedro es el triple del cuadrado del número de los triángulos, calcular el número de aristas de dicho poliedro. A)15 B)16 C)18 D)19 E)20

8)

Cuantas aristas posee el poliedro conjugado del icosaedro regular? A)25 B)12 C)20 D)32 E)30

9)

Hallar la altura de un tetraedro regular de arista que mide “a”.

a 6 A) 2 D)

a 3 3

a 3 a 6 B) C) 3 2 E)

a 6 6

10) Un poliedro convexo de 28 vértices está formado por 6 triángulos, 8 cuadriláteros y “n” pentágonos. Calcular “n” A)8 B)10 C)12 D)6 E)15 11) ¿Cuántas caras tiene un poliedro que tiene 20 vértices y 30 aristas? A) 8 B) 12 C) 52 D) 10 E) 48 12) La suma de las medidas de los ángulos de todas las caras de un poliedro regular convexo es 1440º, el poliedro es un: A) Octaedro B) Pentaedro C) Hexaedro D) Dodecaedro E) Tetraedro 13) Calcular la relación que existe entre el volumen del octaedro regular y el hexaedro regular. Si los vértices del octaedro coinciden con los centros de las caras del cubo. A) 1/5 B) 1/6 C) 2/5 D) 3/7 E) 5/3 14) El área de la superficie de un cubo es igual al cuadrado de la longitud de su diagonal multiplicado por: A) 2 B) 2,5 C) 3 D) 4 E) 6

15) Un poliedro se encuentra limitado por un número determinado de regiones de triángulos, cuadriláteros y pentágonos, tal que dichos números sean enteros consecutivos, si el número de cuadriláteros es “n”. hallar el número de vértices del poliedro. A)2(n+2) B)4(n+2) C)3(n+1) D)n+3 E)2n+5 16) La distancia entre dos aristas no contiguas de un tetraedro regular es 4m. la suma de las longitudes de las aristas del tetraedro será A) 24 2

B) 20 2

D) 15 2

E) 36

C) 10 2

17) Calcular la relación en que se encuentran las áreas de las superficies totales de un octaedro regular y un icosaedro regular, sabiendo que la longitud de la arista del primero es el triple de la longitud del segundo. A) 1/2 B) 9/7 C) 18/5 D) 2/5 E) 8/3 18) Se inscribe y circunscribe a un cubo cuya arista mide “a” dos esferas cuyos radios miden r y R. hallar la relación entre las medidas de los radios. A) 1: 2

B) 1: 3 C) 2:5

D) 1:2

E) 2: 3

19) Hallar la distancia entre los baricentros de dos caras de un tetraedro regular cuya arista mide “a”. A)a/2 B)a/3 C)a/4 D)a/6 E)2a/3 20) En un hexaedro regular de 6cm de arista se inscribe un octoedro regular que tiene como vértices los puntos medios de las caras del cubo. Calcular el volumen del octoedro. A)32 B)34 C)36 D)38 E)48 21) Por el punto medio de la diagonal de un cubo cuya arista mide 2, se interseca con un plano perpendicular a dicha diagonal. Calcular el área de la sección de corte con el hexaedro regular. A) 3

B) 2 3

D) 4 3

E)5 3

C) 3 3

22) Hallar la medida de la altura de un tetraedro regular, cuya arista mide 9m. A)

3

B) 6 3

D)

6

E) 3 6

C)2 6

23) Hallar la relación que existe entre las áreas totales de un octaedro regular y de un icosaedro regular, sabiendo que la altura de una de las caras del primero, es igual a la arista del segundo.

8 15 12 D) 5 A)

13 5 5 E) 12 B)

C)

15 8

24) En un octaedro regular su arista mide 6 , entonces la suma de las medidas del circunradio e inradio del octaedro, es: A)

3

B)

3 1

D)

2 1

E)

3 1

C)

6 1

84| C E P R U 2 0 1 5

TEMA N° 21 PRISMAS SUPERFICIE PRISMÁTICA Es la superficie generada por una recta secante a un plano que se desplaza paralelamente a través de una poligonal cerrada contenida en dicho plano.

Prisma recto pentagonal regular

PRISMA.- Es el poliedro limitado por una superficie prismática y dos regiones limitadas por polígonos congruentes cuyos planos son paralelos entre sí. PRISMA RECTO Es un poliedro comprendido entre dos polígonos congruentes y paralelos, cuyas caras laterales son regiones rectangulares perpendiculares a las bases.

H E

Prisma recto hexagonal regular

ÁREA DE LA SUPERFICIE LATERAL: Es la suma de las áreas de las regiones de todas las caras laterales. H

G

E

E

F

A

B

G

H

E’

C

D

A’

F

G

h

P2

D

F h

C B

A

PB

D

/AL  PB  h

C

PB: perímetro de la base. h: medida de la altura

P1 A

B

Elementos: 1) Bases: ABCD, EFGH. 2) Caras laterales: ABFE;

BCGF; …

3)

Aristas de la base: AB , BC , …

4) 5)

Aristas laterales: AE , BF , … Altura: medida h = d(P1;P2)

6)

Diagonales: AG , BH , …

CLASIFICACIÓN DE LOS PRISMAS I) Por el número de lados de la base. Prisma recto triangular: 3 caras laterales. Prisma recto cuadrangular: 4 caras laterales. Prisma recto pentagonal: 5 caras laterales. Etc.

ÁREA DE LA SUPERFICIE TOTAL: Es la suma de las áreas de las regiones de todas las caras. G

H

IB

E

E

F

G

H

E’

B

C

D

A’

F

h D

C A

B

A

IB

/AT  /AL  2  IB IB : área de la región de una base. VOLUMEN:

V  IB  h II) Por el polígono de las bases. a) Prismas rectos regulares: Si las bases son regiones de polígonos regulares. b) Prismas rectos irregulares: Si las bases son regiones de polígonos irregulares.

PARALELEPIPEDO RECTÁNGULAR Llamado también rectoedro u ortoedro, es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases. En todo paralelepípedo rectangular, las caras son regiones rectangulares.

Ejemplos:

D

a

Prisma recto triangular regular

/AL  2  c  (a  b) Prisma recto cuadrangular regular

V  a b  c

c

b

/AT  2(ab  ac  bc) D  a2  b2  c 2

G E O M E T R Í A |85 TRONCO DE PRISMA Es una porción de prisma recto comprendido entre una de sus bases y una sección plana determinada por un plano secante no paralelo base. Sus caras laterales son trapecios rectángulos Sección plana

E

Se designa como tronco de prisma cuadrangular recto ABCD-EFGH a, b, c y d: son las alturas o aristas laterales IB : área de la base inferior.

IB1 : área de la base superior

/AL  suma de las áreas de las caras laterales.

H

/AT  /AL  IB  IB1

B1

a

e

F

c

b

C

D A

a b c d

V  IB 

G d

a b c d

e

4

4

B B

EJERCICIOS 1)

2)

Señalar verdadero “V” o falso “F”, considerando las siguientes proposiciones I) En un prisma las caras laterales pueden ser trapecios. II) Las aristas de un prisma que unen los vértices de ambas bases se llaman aristas básicas III) El menor número de aristas que puede tener un prisma es 9. IV) Un prisma recto triangular tiene tres diagonales. A)VFVF B)VFFV C)FFVV D)FFVF E)FFFF

8)

La arista lateral de un prisma triangular regular mide igual a la altura de la base, el área de la sección trazada a través de esta arista lateral y la altura de la base es 3 u2. Hallar el volumen del prisma en u3. A)9 D)6

9)

II) III)

laterales AA ' , BB' y CC ' respectivamente, tal que AM  3MA ' y BN  PC ' . Si el volumen del prisma es

u 3 , es:

4)

El número total de aristas de un prisma hexagonal es: A) 18 B) 9 C) 6 D) 3 E) 36

volumen. A)100 D)166

7)

58 y

I

K

G

J

C

B

74 . Calcular su

L A

B)120 E)105

B)13m E)16m

D

C)112

La base de un prisma recto es la región de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 6m y 3m; siendo la medida de su altura 4m. Determinar la longitud de la altura del prisma, si su área lateral es igual al área total de un cubo, cuya diagonal mide

6 3 m. A)12m D)15m 6)

34 ,

C) 18

H

En un paralelepípedo rectangular, las diagonales de sus caras miden

5)

B) 21 E) 12

10) En la figura ABCDEF es un hexágono regular, si AB=BH=KE=4 y AG=FL=DJ=CI=2, entonces el volumen del sólido, es:

El número de proposiciones verdaderas, es: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 3)

36 u 3 , entonces el volumen del tronco en

A) 16 D) 24

IV) La suma de las medidas de los ángulos interiores de todas las caras es igual a 720º (C  3)

C)4

Un prisma ABCA’B’C’ es intersecado por un plano determinando los puntos M, N y P sobre las aristas

Si C, A y V representan el número de caras, aristas y vértices de un prisma convexo, respectivamente C V  A 2 I)

A C 2 3 2A V 3

B)3 3 E)3

C)14m

Hallar la longitud de la diagonal de un prisma recto, si su altura mide 6 y su base es un rectángulo donde, un lado es el duplo del otro y el área total es 144 u2. A)9 B)7 C)8 D)4 E)3 La suma de las longitudes de las 12 aristas de un rectoedro es 48 y la suma de los cuadrados de sus 3 dimensiones es 50 u2. Si el área de la base es 12 u2, hallar su volumen en unidades cúbicas. A)50 B)60 C)20 D)30 E)40

E

F A)

72 3

B)

82 3

D)

92 3

E)

96 3

C)

84 3

11) En la figura ABCDEF es un prisma recto triangular, cuya arista lateral mide 15 cm; las distancias del punto P a los vértices F y C miden 14 cm y 13 cm respectivamente ( P  BE ). Si

DH mide 10 cm,

entonces el volumen del prisma en

cm 3 , es:

E H A) 880 B) 860 C) 840 D) 480 E) 460

D

F

P B A

C

86| C E P R U 2 0 1 5 12) En un paralelepípedo rectangular, su diagonal mide 12. Si dicha diagonal con la base del paralelepípedo forma un ángulo de 45º y con una cara lateral un ángulo de 30º, entonces el volumen que determina el paralelepípedo, es: A) 100

2

B) 216

2

D) 250

2

E) 225

2

C) 204

2

13) Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular son 3, 4 y 5, la suma de las longitudes de todas sus diagonales, es: A) 18 2

B) 12 2

D) 24

E) 20 2

C) 20

14) Se tiene un rectoedro ABCD-A’B’C’D’, AB=AD=AA’, la medida del ángulo AD’C, es: A)53º B)60º C)90º D)37º E)45º

si

15) Las longitudes de las aristas de un paralelepípedo rectangular son tres números enteros consecutivos. Si el área total es 94, el volumen, es: A) 80 D) 50

B) 70 E) 60

C) 100

16) Se tiene un prisma recto ABCD-A’B’C’D’, cuya base en un trapecio isósceles, BC // AD . Si AB’=13 y AA '  AD  2(BC)  12 , el volumen del prisma, es: A)480 D)432

B)430 E)216

C)422

17) El prisma ABCA’B’C’, es intersectado por un plano determinando los puntos M, N y P sobre las aristas laterales AA ' , BB' y CC' respectivamente, tal que AM=2MA’ y BN=PC’. Si el volumen del prisma es 9 m3. Hallar el volumen del tronco ABCMNP en m3. A)9 B)7 C)5 D)4 E)3 18) Se tiene un prisma recto cuya arista lateral mide 10 u. Se traza un plano que determina un diedro de 45º con la base del prisma si el área de la sección es de 14 2 u2. Calcular el volumen del sólido. A)70

B)140 2

D)70 2

E)70 3

C)140

19) Calcular el volumen en m3 de un prisma triangular en el cual una cara lateral tiene 80m2 de área y la distancia de esta cara a la arista opuesta es de 10 m. A)700 B)800 C)600 D)1200 E)400 20) El trapecio ABCD, es base de un prisma recto.

BC // AD , BC=2cm, AD=7cm. Hallar el volumen en cm3

del prisma, si su proyección sobre un plano

perpendicular a BC , tiene área 12 cm2. A)60 B)81 C)72 D)64 E)54 21) La base de un prisma recto, es base de un tetraedro regular de altura 2 6 cm y el área lateral del prisma es igual al área total del tetraedro. Hallar el volumen en cm3 del prisma. A)54 B)64 C)46 D)76 E)67 22) Hallar el volumen de un prisma recto, de base triangular, sabiendo que una arista básica mide 4 y al área de la proyección del sólido, sobre un plano perpendicular a dicha arista es 10. A)5 B)10 C)15 D)20 E)30

23) Hallar el volumen de un paralelepípedo rectangular si su diagonal mide 10 y forma un ángulo que mide 45º con la base y un ángulo de 30º con una cara lateral. A)130

B)125 2

D)90 3

E)115 2

C)141

24) Calcular el volumen de un prisma regular, tal que su base es un pentágono, cuyo apotema mide 4m y conociendo además que el área de una cara lateral es 16m2. A)140 B)160 C)220 D)120 E)210 25) Un tronco de prisma triangular recto tiene por aristas básicas segmentos cuyas longitudes son 8, 12 y 6. Las aristas laterales opuestas a estos lados miden 15, 5 y 10 respectivamente. Hallar el área lateral del tronco. A)140 B)160 C)220 D)270 E)240 26) Hallar el volumen de un paralelepípedo rectangular ABCD-EFGH, sabiendo que su diagonal mide 5 u y forma 37º con la cara EFGH, además EF=3u. A)6,5

B)9 7

D)7 5

E)5 2

C)14,5

27) Calcular el volumen del tronco de prisma triangular recto de aristas 3, 5 y 7; si sus bases están contenidas en planos que forman un diedro de 60º. Además el área de la región triangular superior es 12 u2. A)20 B)21 C)22 D)30 E)32 28) Se tiene un cuadrilátero ABCD en el cual AB=BC=6, AD=DC=8 y BD=10, a un mismo lado del plano del cuadrilátero se levantan las perpendiculares AM=4, BS=5 y DN=3, luego se unen M con N y S, C con N y S y finalmente S con N. Calcular el volumen del sólido formado. A)150 B)160 C)170 D)140 E)130 29) Se tiene un tronco de prisma cuadrangular regular ABCD-A1B1C1D1 cuya base superior A1B1C1D1 es un paralelogramo. Si AA1=6, BB1=4 y CC1=10, el valor de DD1 es. A)21 B)30 C)18 D)12 E)25 30) Hallar la longitud de la diagonal de un prisma recto, si la altura mide 6 y su base es un rectángulo donde, un lado es el duplo del otro y el área total es 144 u2. A) 9 D) 4

B) 7 E) 3

C) 8

31) Calcular el volumen en u3 del prisma recto de 384 u2 de área lateral, si su base es un triángulo cuyos lados se hallan en progresión aritmética de producto 480 u3 y la altura del prisma es el duplo del lado medio del triángulo base. A) 384 B) 438 C) 548 D) 584 E) 483 25) Se tiene un prisma recto regular ABC – A’B’C’; M y N son

puntos

medios

de

A 'B '

y

B' C'

respectivamente, tal que AN CM  E y m(  MEN) = 60° . Si AC = a , el volumen del sólido limitado por el prisma, es:

3 2 a3 4

A)

3 2 a3 8

D)

3 2 a3 3 3 a3 E) 2 4

B)

C)

3 3 a3 8

G E O M E T R Í A |87

TEMA N° 22 PIRÁMIDES PIRÁMIDE RECTA Es el poliedro que se encuentra limitado por una región poligonal (convexa) cualesquiera que se llama base y por tres o más regiones triangulares no coplanares que tienen un vértice común y que se llaman caras laterales.

a P : apotema AREA DE LA SUPERFICIE TOTAL /AT  /AL  IB IB : área de la base

V

3

TRONCO DE PIRAMIDE RECTA REGULAR Es una parte de la pirámide recta, determinado al cortar dicha pirámide con un plano paralelo a la base.

aP

h D

IB  h

V

VOLUMEN:

C M

O A

G

H

B

Notación: pirámide V-ABCD Elementos: 1) Vértice o cúspide: V

B2

E

F

aP

D

2)

Altura: VO ;

3)

Aristas laterales: VA , VB , VC , VD

4)

Aristas de la base: AB , BC , CD , DA .

C

medida: VO=h

B1 A

5) Apotema de la pirámide: VM 6) Base: polígono ABCD CLASIFICACIÓN DE LAS PIRAMIDES I) Por el número de lados de la base o caras laterales.  Pirámide recta triangular: 3 caras laterales.  Pirámide recta cuadrilátera: 4 caras laterales.  Pirámide recta pentagonal: 5 caras laterales  Etc. II) Por el polígono de las base.  Pirámides rectas regulares: Si la base es un polígono regular.  Pirámides rectas irregulares: Si la base es un polígono irregular. NOTA: Toda pirámide se denomina según el polígono que tenga como base, siendo el menor la pirámide triangular.

/AL  (p1  p2 )  aP

/AT  /AL  IB1  IB2 h V  ( IB1  IB2  IB1  IB2 ) 3 p1 : semiperimetro de IB1

p 2 : semiperimetro de IB 2 IB1 : área de la base inferior IB2 : área de la base superior SEMEJANZA DE PIRAMIDES: Todo plano secante a una pirámide y paralelo a su base determina una sección (sección transversal), que será la base de una nueva pirámide semejante a la pirámide original. V

H O’

B2 E

Pirámide recta cuadrangular

Pirámide triángular

B

G N F

D

C

B1

O M

A

B V

V

Pirámide recta triangular regular



Pirámide recta cuadrangular regular

ÁREA DE LA SUPERFICIE LATERAL

h

H

G

El área lateral /A L de una pirámide es igual a la suma de las áreas de todas las caras laterales En una pirámide recta regular se cumple: V V

D A

C

ap

M

B

A

A V  ABCD

/AL  p  aP p: semiperímetro de la base

M

A

F

B

En dos pirámides semejantes se cumple: VE VO ' EF    ...  k VA VO AB

A V EFGH

C

C

N E

ap B

H D

D

A’

VV EFGH VV  ABCD

2



(VE)

2

2



(VA)

(VE)

3

(VA)

2

2



(VO)

3



(VO')

(VO')

3

(VO)

2

 ...  k

2

(AB)

3



(EF)

3



(EF)

3

(AB)

 ...  k

3

88| C E P R U 2 0 1 5

EJERCICIOS 1)

2)

3)

En las proposiciones siguientes escribir verdadero “V” o falso “F”: I. En toda pirámide el número de caras es igual al número de vértices. II. En toda pirámide el número de aristas laterales es igual al número de caras laterales III. Una pirámide triangular tiene tres diagonales. La secuencia correcta es: A) VVF B) FVV C) VVV D) FVF E) FFV Señalar verdadero “V” o falso “F” considerando las siguientes proposiciones: I. Una pirámide recta triangular regular es un tetraedro regular. II. El mínimo número de vértices de una pirámide es 4. III. Todas las caras de una pirámide pueden ser regiones triangulares. IV. Una pirámide puede ser equivalente a un tronco de pirámide. A) VVVV B) FVVF C) FVVV D) FVFV E) FFVV Si C, A y V representan el número de caras, aristas y vértices de una pirámide convexa, respectivamente V) C  V  A  2

A 1 2 VII) V  C VI)

C

El valor de verdad de las proposiciones en el orden correspondiente, es: A) VFV B) VFF C) FFF D) VVF E) VVV 4)

En una pirámide recta cuadrangular regular, si la

3 u y el área de una de las caras altura mide laterales es igual al área de la base, el área total de la pirámide, es: A) 8 u2 B) 9 u2 C) 6 u2 D) 4 u2 E) 3 u2 5)

En el tetraedro S-ABC de 36 m3 de volumen, se toma O punto medio de CS . Hallar el volumen de la pirámide O-ABC A) 12 m3 B) 16 m3 C) 9 m3 D) 15 m3 E) 18 m3

26) En un cubo se forma una pirámide cuya base es el triángulo determinado al unir los vértices no consecutivos del cubo, cuyas aristas laterales de la pirámide son las aristas del cubo. Si el volumen del 3 cubo es 64 m , entonces el área lateral de la pirámide es: 2 2 2 A) 12 m B) 18 m C) 20 m 2 2 D) 24 m E) 16 m 27) En un tetraedro regular S-ABC de centro O y de arista que mide 6 pirámide O-ABC. A) 18 B) 15 D) 20 E) 21 6)

7)

2,

calcular el volumen de la C) 16

7V 12 7V D) 6 A)

7V 13 3V E) 8 B)

C)

4V 27

8)

El volumen de una pirámide recta de base triangular es 81 m3, la altura es trisecada por dos planos paralelos a la base. Calcular el volumen de la porción central que se determina. A) 24 m3 B) 21 m3 C) 25 m3 D) 16 m3 E) 36 m3

9)

Si una pirámide tiene 122 aristas, el número de caras que tiene, es: A) 121 B) 61 C) 62 D) 122 E) 63

10) En un tetraedro S-ABC, se considera O punto medio de AS , si el volumen del tetraedro es 46 m3,entonces el volumen de la pirámide O-ABC, es: A) 186 m3 D) 23 m3

B) 46 m3 E) 20 m3

C) 14 m3

11) Sea una pirámide recta triangular, tal que el área de su base es 18 u2 y su altura mide 9 u, se traza un plano secante paralelo a la base, que determina un tronco de pirámide cuyo volumen es 52 u3. Calcular la distancia del vértice al plano. A) 2 u B) 3 u C) 4 u D)

3u

E) 3 3 u

28) El volumen de un pirámide recta triangular regular es 3 189 u . Si la altura de dicha pirámide es trisecada en partes iguales mediante dos planos paralelos a la base, obteniéndose tres sólidos disjuntos, entonces el 3 volumen del sólido mayor en u , es: A) 123 B) 133 C) 122 D) 144 E) 150 12) Sea un pirámide recta cuadrangular regular, si la arista lateral mide 10 u y la altura 8 u, el volumen de la pirámide, es: A) 182 u2 B) 160 u2 C) 196 u2 D) 192 u2 E) 216 u2 13) Una pirámide recta cuyo volumen es 72 u3 es intersecada por un plano paralelo a la base que contiene al punto medio de la altura. Calcular el volumen del tronco de pirámide que se determina. A) 36 B) 56 C) 64 D) 54 E) 63 14) Hallar el volumen de una pirámide hexagonal regular, sabiendo que las caras laterales forman diedros de 45º con la base y las aristas básicas miden 2m A)8 m3 B)3 m3 C)4 m3 D)6 m3 E)7 m3 15) En la figura se tiene el rectoedro ABCDFOSR. Si E es

¿A qué distancia de la cúspide de una pirámide de 12 m de alto se debe trazar un plano paralelo a la base a fin de que el volumen de la pirámide deficiente sea 1/8 del volumen de la pirámide total? A) 1 m B) 6 m C) 8 m D) 4 m E) 9 m Se tiene un cubo ABCD – EFGH. La base mayor de un tronco de pirámide recta regular es la base ABCD del cubo y la base menor del tronco de pirámide es MNPQ que está contenida en la base EFGH del cubo (MNPQ es un cuadrado) , donde M, P  EG ; N, Q  HF y MQ =

del cubo es “V” entonces, el volumen del tronco de pirámide, es:

2 EM . Si el volumen

un punto cualquiera de la arista FO ; FR=4m, CS=5m y FO=3m, el volumen de la pirámide D-RES, es: A) 8m3 B) 15m3 C) 12m3 D) 5m3 E) 10m3

D

C

A

B R

F

S E

O

G E O M E T R Í A |89 16) Calcular el volumen de una pirámide hexagonal regular, sus aristas laterales miden 6 y forman con el plano de la base ángulos que miden 30°. A) 81 3 4 81 3 D) 2

B) 27 3 2 81 2 E) 2

C) 81 2 3

2 3 R 2 D) 2 R 3 3

a unidades, en la arista AD se ubica el punto O. En la pirámide ABCO, la longitud de la altura trazada desde el vértice O es igual a la longitud de OD . Calcule OD .

17) Las caras laterales de una pirámide cuadrangular regular tiene una inclinación de 45° con respecto al plano de su base, la base se encuentra inscrito en una circunferencia de radio “R” . Encontrar el volumen de la pirámide. A)

25) Se tiene un tetraedro regular ABCD cuya arista mide

3 3 R 3 E) 2 R 3 3 B)

C)

R3 3

18) El sólido de la figura esta formado por un rectoedro y una pirámide. Hallar el volumen del sólido.

B) a( 6 – 2 )

C) a( 3 + 2 )

D) a( 6 + 2 )

E) a( 6 -2) 26) Uniendo todos los centros de las caras de un tetraedro regular, se obtiene otro tetraedro regular. Si llamamos A1 al área del primer tetraedro y A2 al área del segundo tetraedro; entonces A2 / A1 es igual a: A) 1/24 B) 1/12 C) 1/9 D) 1/6 E) 1/4 27) En una pirámide triangular ABCD de base BCD, sean M y N baricentros de las caras BCD y ABC, AM y

ND se intersecan en F. Hallar AF , si: FM=7m. A) 18 B) 19 C) 21 D) 20 E) 15

a A) 5a3/3 B) 5a3/2 C) 7a3/3 D) 4a3 E) 6a3

A) a( 3 – 2 )

2a a a

19) El volumen de una pirámide es 36, su vértice es “O” y su base es el triangulo ABC, sobre la arista OA se toma un punto medio M. Hallar el volumen de la pirámide de vértice M y base el triangulo ABC. A) 9 B) 18 C) 20 D) 27 E) 12 20) En un hexaedro regular ABCD – EFGH; M y N son puntos medios de EF y EH respectivamente; GM y

28) En la pirámide O- ABC cuyo volumen es de 16m3 se toman los puntos medios M, P, N de OA , OB y OC . Determinar el volumen de la pirámide PACNM. A) 4m3 B) 5 m3 C) 6 m3 D) 7 m3 E) 8 m3 29) Las áreas de las bases de un tronco de pirámide son 2

4 y 9 m . Calcular el área de la sección determinada por un plano paralelo a las bases, trazado a 2/3 de la altura con respecto a la base mayor. A)27/8 m D)7 m

2

2

B)39/6 m E)9,5 m

2

C)49/9 m

2

2

FN se intersecan en “L”. Calcular el volumen de la

30) En una pirámide pentagonal regular, el área total es

pirámide B – LMN, si la arista del hexaedro mide 4 5 .

y el área lateral es 20 cm . Hallar el valor del diedro que forma la cara lateral con la base. A) 40º B) 50º C) 60º D) 80º E) 45º

A) 8 5

B) 5 5

D)

E) 3 5

5

C) 4 5

30 cm

2

2

31) Se tiene una pirámide triangular V–ABC, donde 21) En una pirámide triangular, el área de su base es 18u2 y la altura 9u; a la tercera parte de la altura a partir del vértice se traza un plano secante paralelo a la base. Calcular el volumen del tronco d pirámide determinado. A) 42 u3 B) 57 u3 C) 50 u3 D) 48 u3 E) 52 u3 22) Se tiene una pirámide recta V  ABCD , tal que ABCD es un paralelogramo cuyas diagonales miden AC=10cm y BD=8cm. Hallar (en cm2) el valor de: E=(VA) 2+(VC) 2-(VB) 2-(VD) 2 A) 24 B) 20 C) 28 D) 16 E) 18

VA=AB=AC=15 cm, VB=VC= 198 cm y BC=2 cm. El volumen de la pirámide (en cm3), es: A) 56 29

B) 28 29

D) 68 29

E) 84 29

C) 72 29

29) En la figura, la pirámide V-ABCDEF es regular, cuyo 3

volumen es 36 u . Si los vértices de la base de la pirámide O-MNPQRT son baricentros de las caras laterales y O es el centro de la base de la pirámide exterior, entonces el volumen de la pirámide interior en

u 3 , es:

V

23) En una pirámide triangular S-ABC, el pie de la altura coincide con el centro de la circunferencia inscrita en la base. Si los lados de la base ABC miden AB=14u, AC=13u, BC=15u y la arista lateral SA mide R

2 22 , entonces el volumen de la pirámide es: A) 142u3 B) 136u3 C) 112u3 D) 128u3 E) 168u3 24) Una pirámide tiene una base que es un cuadrado de lado 1 y su vértice se encuentra sobre una perpendicular al plano que contiene al cuadrado y pasa por un vértice del cuadrado. Si la altura de la pirámide es igual a 1, el valor de su área lateral es igual a: A) 2 B) 2 2 C)2 2 –1 D) (1+ 2 )/2

E) 1 + 2

29

Q

T M

P N

F

A

D

O

B A) 18 D) 12

E

B) 4 E) 9

C C) 24

90| C E P R U 2 0 1 5

TEMA N° 23 CILINDROS SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN: Es aquella superficie generada por una línea recta o curva que gira alrededor de una recta fija, siguiendo una cierta dirección.

X A

X

O

B

A

O

O’

C

O’

Y

A T  AL  2  B

A T  2r(h  r )

VOLUMEN:

V  r2 h

V  Bh

PLANO AXIAL O SECCIÓN AXIAL: Es la sección determinada por un plano secante que contiene al eje Si la sección axial es un cuadrado, el cilindro se llama equilátero.

B

C

AREA DE LA SUPERFICIE TOTAL:

TRONCO DE CILINDRO CIRCULAR RECTO: Es una parte del cilindro circular recto comprendido entre una base y una sección secante, cortado por un plano no paralelo a la base.

Y

Elementos: 1) 2) 3)

B

Eje: XY recta fija alrededor del cual gira la línea. Generatriz: línea ABC que gira y genera la superficie curva Directriz: cada una de las circunferencias de centro O y O’.

SÓLIDO DE REVOLUCIÓN: Es aquel generado por una superficie (OABCO’), que gira alrededor de una recta fija, siguiendo una cierta dirección.

X A

A

B

A

r

g2 B

D

AREA DE LA SUPERFICIE LATERAL:

A L  2  r  e ;

O

B

VOLUMEN: V    r 2  e

O’

C

e

C

g  g2 e 1 2 AREA DE LA SUPERFICIE TOTAL: A T  A L  B  B1

X

O

B1 g1

OBSERVACIÓN: El plano secante no paralelo a la base, determina sobre la superficie del cilindro una elipse. El área de la región de una elipse se calcula en función de la longitud de sus semiejes.

O’

C

Y

Y

Los sólidos de revolución más importantes son: cilindro, cono y esfera. CILINDRO CIRCULAR RECTO Es un sólido generado por la rotación completa de una región rectangular, teniendo como eje de giro a una recta que contiene a uno de sus lados

B h

A

B

r

h

A

menor 2a:

A elipse   eje a  bmayor

360º r

eje 2b

r

O

C

e

g

O’

SEMEJANZA DE CILINDROS:

H

h

D

G

g

r

R

Elementos: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Eje: OO ' Altura (medida): h Generatriz (medida): AB  g ; g  h  e Directriz: circunferencias de centros O y O’ Bases: círculos de centros O y O’ Radio (medida): AO'  BO  r

AREA DE LA SUPERFICIE LATERAL:

AL  P  h

A L  2  r  h

r



R

2

h H



g G 2

 ...  k 2

r h  g 2           ...  k AB  R   H  G Ab

3

3

3

r  h g 3           ...  k V R H G v

G E O M E T R Í A |91

EJERCICIOS 1)

La altura de un cilindro recto de revolución mide 10 u, si el desarrollo de su superficie lateral tiene por área 100 u2, el radio de la base mide: A) 2 u B) 3 u C) 4 u D) 10 u E) 5 u

2)

El área de la región de un cuadrado es 16 u2, calcular el área de la superficie lateral del sólido generado por la región cuadrada cuando gira una vuelta completa alrededor de uno de sus lados. A) 16 u2 B) 30 u2 C) 24 u2 D) 20 u2 E) 32 u2

3)

Hallar el número de tubos circulares de una pulgada de diámetro interior que pueden transportar el mismo caudal de agua que un tubo de 6 pulgadas de diámetro interior si ambos tienen la misma altura. A)25 B)36 C)35 D)26 E)33

4)

El perímetro de un rectángulo es 16 u, uno de sus lados mide el triple del otro. Calcular el área de la superficie total del sólido generado por la región rectangular cuando gira una vuelta completa alrededor de su mayor lado. A) 20 u2 B) 40 u2 C) 24 u2 D) 16 u2 E) 32 u2

5)

Si el desarrollo de la superficie lateral de un cilindro de revolución es una región cuadrada, de área “A” entonces el volumen del cilindro, es:

A A A) 4 D) 6)

3A A 8

3A A B) 4 E)

A A C) 8

7A A 4

En un tronco de cilindro circular recto, las generatrices mayor y menor miden 6 cm y 2 cm respectivamente; O es el centro del círculo de la base y CD es el eje mayor de la elipse de la sección del tronco, tal que el ángulo COD es recto. El volumen del tronco de cilindro (en cm3 ), es: A) 48  B) 23  C) 36  D) 72  E) 18 

7)

8)

9)

El radio de la base de un tronco de cilindro recto mide 1 cm, la generatriz mayor mide 8 cm y la menor es nula. Calcular el volumen del tronco. A)2π cm3 B)8π cm3 C)π cm3 D)4π cm3 E)5 π cm3 Un cilindro recto contiene agua hasta la mitad de su volumen, se suelta un pedazo metálico y el nivel de agua sube 3,5m. siendo la longitud del diámetro del cilindro 8m. Hallar el volumen del pedazo. A)176 B)166 C)156 D)165 E)167 Hallar el volumen del tronco de cilindro recto en m3, cuya sección recta forma 60º con la base mayor, la cual tiene un área de 60m2. Las generatrices máxima y mínima miden 10 y 4m. A)120 B)210 C)240 D)420 E)240

10) Un cilindro recto tiene sus tres cuartas partes con agua. Se suelta un cubo metálico y el nivel del agua sube en 4/  . Si el diámetro del cilindro mide 8. calcular la longitud de la arista del cubo. A)3 B)6 C)9 D)4 E)10 11) La altura de un cilindro recto de revolución mide 6 u y el área de su superficie lateral es 36 u2, calcular el volumen del cilindro. A)48π u3 B) 36π u3 C) 60π u3 D)54π u3 E) 18π u3

12) En un hexaedro regular, se inscribe y circunscribe cilindros de revolución de tal manera que sus bases están contenidas en los planos de dos caras opuestas del hexaedro, si el volumen del hexaedro es 4 m3, el volumen del sólido comprendido entre los dos cilindros, es: A)2π m3 B)3π m3 C)4πm3 D)π m3 E)4 m3 13) La altura de un cilindro recto de revolución mide 8 u y el área de la superficie lateral es 80π u2. calcular el área del círculo de la base. A) 32 u2 B) 64 u2 C) 16 u2 D) 36 u2 E) 25 u2 14) El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro circular recto, es una región cuadrada cuyo lado mide 2 u. calcular el volumen del cilindro. A)π2 u3 B) 3π2 u3 C) 4π2 u3 D)2π2 u3 E) 8π2 u3 15) Un reservorio tiene la forma de un cilindro recto de revolución y contiene agua hasta la tercera parte de su altura, se suelta un trozo metálico y el nivel de agua sube hasta llenar el cilindro. Si la longitud del diámetro del reservorio es 4 m y de la altura es 3 m, el volumen del trozo metálico aproximadamente, es: A) 25,5 m3 B) 8 m3 C) 12 m3 D) 25,1 m3 E) 24 m3 16) En un tronco de cilindro circular recto se inscribe una pirámide de base cuadrangular y de volumen 8 m3, el volumen del tronco de cilindro, es: A)16π m3 B)15π m3 C)14πm3 D)12π m3 E)10π m3 17) En un cilindro de revolución, el diámetro de la base mide 8m y su altura 21 m. si este cilindro tiene sus seis sétimas partes con agua y desde su posición normal, se le inclina hasta que el agua esté a punto de caer por el borde, determinar el ángulo de inclinación en ese instante. A) 30º B) 37º C) 60º D) 53º E) 45º 18) Calcular el volumen de un cilindro de revolución cuya altura mide 8, si el desarrollo de la superficie cilíndrica es un rectángulo cuya diagonal mide 10. A) D)

66  52

B) E)



79

C)

 72

82 



19) Un cilindro recto de revolución está en el interior de un cuarto, si su proyección sobre el techo tiene un superficie de 4 u2 y sobre una de las caras laterales de 16 u2. Calcular el volumen de cilindro. A)12 

B)9

D)16

E)16



C)12



20) Hallar el radio de la base de un cilindro de revolución de 10u de altura sabiendo que si aumenta en 5u el radio de la base resulta un nuevo cilindro cuya superficie lateral es igual al área total del cilindro primitivo. A)5 3

B) 2 3

D)2 5

E) 3 5

21) En

un

paralelogramo

C) 5 2

ABCD

sabemos

que

mA  135º , AB=4 y AD=8. Calcular el volumen del sólido engendrado por el paralelogramo cuando gira alrededor de BC. A)56 B)63 C)57 D)64 E)11

92| C E P R U 2 0 1 5 22) Hallar el volumen de un cilindro recto de revolución sabiendo que el área del rectángulo generatriz es 40u2 y la longitud de la circunferencia que recorre el punto de intersección de las diagonales del rectángulo al generar el cilindro es de 10u. A)100 B)200 C)300 D)400 E)500 23)

AB y CD son generatrices opuestas de un cilindro circular recto y O punto medio de BC . Siendo E un punto de CD, tal que OE ┴ AE, CE=8 y ED=9. Hallar el área total del sólido. A)136 B)137 C)138 D)139 E)276

24) El radio de la base de un tronco de cilindro recto circular mide 4. En la superficie lateral se toma el punto P de modo que al unirlo con los centros de las bases se forma un ángulo recto en P. Hallar el volumen del tronco, sabiendo además que la distancia de P a la base menor es 2. A)130 B)170 C)150 D)160 E)140 25) Calcular el volumen de un tronco de cilindro recto de revolución sabiendo que se puede inscribir una esfera y que la generatriz mayor mide 6 y la menor 2. A)6 B)7 C)8 D)9 E)10 26) Se tiene un tronco de cilindro circular recto en el que el volumen es numéricamente igual a su área lateral, si la diferencia entre sus generatrices mayor y menor es . Hallar la longitud de su elipse que constituye su base superior. A) 5

B)

D)2 7

E)7

C)2 5

27) En un tronco de cilindro recto, el valor numérico de su volumen es 2 veces que el de su área lateral, si la diferencia de sus generatrices mide 3  , calcular la longitud de la elipse generada en la base oblicua de dicho tronco. A) 20 B) 5 C) 10 D) 8 E) 12 28) Calcular el volumen de un cilindro circular recto, si el desarrollo de la superficie lateral es una región cuadrada, cuyo lado mide “k”. A)

k3 4

D) 4k 3

k2 4 k3 E)  B)

C)

30) Un cilindro de revolución de área total A y radio de la base R es tal que su altura es congruente al diámetro de la base. Hallar el volumen del cilindro. A)AR/8 B)AR/5 C)AR/4 D)AR/3 E)AR/2 31) En un tronco de cilindro circular recto, la generatriz mínima es nula y los planos de las bases forman un diedro de 60º. Si la suma de las áreas de las bases es 48. Calcule su volumen. B)64 3  E)144

33) Si en un cilindro circular recto de radio R y altura

3 5 R , por su superficie lateral recorre una hélice dando tres vueltas completas, entonces la longitud del recorrido, es: A) 12R B) 6R C) 9R D) 8R E) 4R

34) En la figura, el tronco del cilindro circular recto está circunscrito a una esfera de radio R. si el eje AB de la elipse forma un ángulo de 53º con la generatriz máxima

BC , entonces el volumen del tronco, es: B

9R 3 4 7 R 3 B) 3 7 R 3 C) 2 11R 3 D) 3 13R 3 E) 3 A)

A

R C

D

35) En la figura se tiene un cilindro seccionado por planos oblicuos, Si mayor

y

AD

menor

y

son las generatrices

BC

respectivamente,

AD // BC ,

AB=BC=CD=5 y AD=11, entonces el volumen del sólido, es:

B

C

4k 3 

29) Al aumentar la longitud del radio de un cilindro en 6m, el volumen aumenta en “a” m3. Si la altura del cilindro aumenta en 6m, el volumen aumenta en “a” m3. Si la altura original mide 2m, hallar la longitud del radio original en metros. A)4 B)5 C)6 D)7 E)9

A)48 D)128

respectivamente. Si el eje mayor de la elipse que se determina mide 10cm, entonces el volumen del tronco en cm3, es: A) 116 B) 210 C) 124 D) 157 E) 112

A

D

A) 32  D) 48 

B) 36  E) 55 

36) Determinar el volumen, del sólido:

2 2 A) 30 B) 36 C) 49 D) 54 E) 48

9 6

C)64

32) En un tronco de cilindro circular recto, sus generatrices mayor y menor miden 10cm y 4cm

C) 40 

2

2

G E O M E T R Í A |93

TEMA N° 24 CONOS CONO CIRCULAR RECTO Es un sólido generado por la rotación completa de una región determinada por un triangulo rectángulo, alrededor de uno de sus catetos.

360º V



r g

AL  A sec

(360º )

TRONCO DE CONO CIRCULAR RECTO: Es la porción de cono circular recto entre su base y la sección plana determinada por un plano paralelo a dicha base. 360º V

g h A

O

r

A

r

D

B

O

r

D

C

r

g

Elementos:

A

h

A

1) 2)

Vértice: V Altura: VO y h  VO

3)

Eje: VO ;

4)

Generatriz:

5) 6) 7)

Directriz: circunferencia de centro O Base: círculo de centro O Radio de la base: OB  OA y OA= r

B

AREA DE LA SUPERFICIE LATERAL:

g  VA  VB

AL    (R  r )  g AREA DE LA SUPERFICIE TOTAL:

AT  AL  B1  B2

ÁREA DE LA SUPERFICIE LATERAL:

AL    r  g

2

AT  AL  r  R

ÁREA DE LA SUPERFICIE TOTAL:

2

VOLUMEN:

AT  AL  B

V

A T    r  (g  r ) VOLUMEN: 2

V

O

R

R

 r h 3

SECCIÓN AXIAL: Es la sección determinada por un plano secante que contiene al eje.

h  3

2

2

(r  R  R  r )

SEMEJANZA DE CONOS: Todo plano secante a un cono y paralelo a su base, determina un cono parcial semejante, en los cuales se cumple: V

h M

A

r

O’

N

O

R

H

B

Si la sección axial es un triángulo equilátero, el cono se llama equilátero. DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL DE UN CONO DE REVOLUCIÓN

r R

g

g





Ar AR

h

Vr

r

VR 2r

VM VA 

r

2

R



r



2

R

VO

 ...  K 2



( VM)

2

2



( VA)

3 3

VO '

( VM)

3

( VA)

2

 ...  K

2

( VO)

3



( VO ')

3



( VO ')

3

( VO)

 ...  K

3

94| C E P R U 2 0 1 5

EJERCICIOS 1)

Si el radio de la base de un cono circular recto mide 3 cm y su altura mide 4 cm, entonces su generatriz mide: A) 3 cm B) 5 cm C) 4 cm D) 3

2)

3)

2

cm E) 4

A) 80 3

B) 72 3

D) 70 3

E) 82 3

6)

E) 12 3

El radio de la base y la altura de un cono de revolución miden 2 y 4. Hallar la distancia del centro de la base a una de las generatrices. B) 4 2 5 4 7 E) 5

C) 4 6 5

El volumen del tronco formado por dos planos paralelos a la base de un cono circular recto es 14 m3 , si estos planos trisecan la altura del cono, 3 entonces el volumen del cono, en m es: A) 50 B) 54 C) 56 D) 53 E) 52 En un cono circular recto de H metros de altura, se traza un plano paralelo a la base. ¿A qué distancia del vértice se debe trazar el plano para que determine dos sólidos equivalentes? 3 4H 3 2H 3 4H A) B) C) D)

7)

C) 68 3

Encontrar el volumen de un cono de revolución, su generatriz mide 6 y forma un ángulo que mide 60° con el plano de su base. A)9 3 B) 6 3 C)3 3

A) 4 3 5 4 5 D) 5 5)

cm

Calcular el volumen de un cono equilátero cuya longitud de la circunferencia de la base es 12  m.

D)2 3 4)

2

2

4

3 2H

3 4H

E)

2

2

2

En un cono circular recto, su altura se triseca en partes iguales por dos planos paralelos a la base, si el área lateral del cono mide 90  , entonces el área lateral del tronco de cono determinado en la parte intermedia, es: A) 30  B) 15  C) 45  D) 10  E) 20 

8)

El volumen de un cono de revolución es 10m3 y la distancia del centro de su base a la generatriz es 3m. Hallar el área lateral del cono. A) 12m2 B) 15m2 C) 10m2 D) 13m2 E) 18m2

9)

El área de la base de un cono recto de revolución es igual a 16cm2 y su altura mide 6cm. Calcular el volumen del tronco de cono recto determinado por un plano perpendicular a la altura trazada a una distancia del vértice igual a 3cm. A) 24cm3 B) 36cm3 C) 72cm3 D) 28cm3 E) 34cm3

10) Sea una región triangular equilátera de lado a, donde uno de sus lados esta contenida en el eje X y un vértice se encuentra en el origen. Entonces el volumen generado por dicha región triangular al girar alrededor del eje Y, es: A) π

3a 24 D) π 3a 3 4

3

B) π

3

3a 12 E) 3π 3a 3 4

C) π 3a 3

6

11) En un tronco de cono circular recto de altura 9, el radio de la base mayor mide el triple que el de la base menor, si un plano paralelo a la base equidistante de ellas secciona al tronco generando un círculo de área 4, entonces el volumen del tronco, será: A) 39 B) 37 C) 30 D) 35 E) 15 12) Un punto de una de las generatrices de un cono recto de revolución se encuentra a 10 cm del vértice, a 6 cm de la altura y a 8 cm del plano de la base. Calcular la longitud del radio de la base. A) 16 cm B) 12 cm C) 8 cm D) 15 cm E) 10 cm 13) Hallar el volumen de un cono de revolución, si el desarrollo de su área lateral es un semicírculo de 18cm2 de área. A)3  3cm3

B)15  3cm3

C)12  3cm3

D)9  3cm3

E)8  3cm3 14) Calcular el área de la sección de corte en un tronco de cono circular recto, originado por un plano equidistante y paralelo a las bases, si las bases tienen por área y 4cm2 16cm2 respectivamente. A) 9cm2 B) 12cm2 D) 6cm2

C) 10cm2

E) 8cm2

15) La altura BH de una región triangular ABC mide 3 y su lado AC mide 8. hallar el volumen del sólido engendrado por dicho triángulo cuando gira una vuelta completa alrededor del lado AC . A) 26  B) 18  C) 24  D) 36  E) 32  16) La generatriz de un cono recto mide 10u y al desarrollar su superficie lateral resulta un sector circular cuyo ángulo central mide 216°. Calcular el volumen del cono. A) 96  B) 86  C)94 3 D) 92  E) 96 17) El área lateral de un cono de revolución mide M u2 y la distancia del centro de la base a una de las generatrices mide N u, entonces el volumen de dicho cono es: A) MN u 3

4 MN D) u3 1+M

B) MN u 3

3 MN E) u3 6

C) MN u 3

2

18) Con un sector circular cuyo radio mide 6 y con un ángulo central que mide 120° se construye un cono de revolución. Encontrar el volumen del cono determinado. A) 18 3 B)16 3 C)14 3 D) 14 2

3

E) 16 2 

3

19) Se tiene un trapecio rectángulo de bases 3 y 7u y lado oblicuo igual a 8u que gira 360° alrededor de un eje que contiene al lado perpendicular a las bases. Calcular el volumen del sólido generado. A) 314 3   3

3 314 2 C)  3 3 E) 316 2   3 3

B) 316 3   3

3 312 2 D)  3 3

G E O M E T R Í A |95 20) El área lateral de un cono de revolución es el doble del área de su base. Encontrar la medida del ángulo que forma su generatriz con su altura. A) 15° B) 37° C) 45° D) 30° E) 60° 21) Se tiene una región triángular ABC; AC = 8 y la longitud de la altura relativa a este lado igual a 6u. Calcular el volumen del sólido que se genera al rotar 360°, dicha región triangular, alrededor de un eje que contiene a AC . A) 96 

B) 86 

D) 92 

C)94 3

E) 96

22) El desarrollo de la superficie de un cono circular recto es un sector circular cuyo radio mide 12 cm y el ángulo central mide 120º. El cono es intersecado por un plano paralelo a la base formando un cono de volumen

V2 .

Si

V1

y un tronco de cono de volumen

2 3 2 pulgadas, la altura que alcanza el agua (en pulgadas), es: A) 1 D)

2

B) 32

2

D) 10

2

E) 26

2

C) 28

C) 32 3

33)

34)

B) 6 3 u

D) 4

2u

E) 6

2u

26) La altura de un cono de revolución mide 3 cm, la suma de las longitudes de su generatriz y del radio de su base es 9 cm. Calcular el área de la superficie lateral. 2

B)30  cm

D)18  cm

2

E)24  cm

2

C)27  cm

2

2

27) El volumen de un cono circular recto es 100  cm3 y el radio de base mide 5 cm. El área lateral del cono (en cm2 ), es: A) 65  B) 72  C) 90  D) 48  E) 56  28) El volumen de un tronco de cono de revolución es 700  cm3 , su altura mide 12 cm y el radio de su base mayor mide 10 cm. El volumen del cono completo (en cm3 ), es: A) 800  B) 400  C) 900  D) 750  E) 850 

29) En un vaso de forma cónica, se echan iguales cantidades de agua y aceite, si la altura del vaso es

D) 8 7 m

E) 7 3 m

C) 2 2 m

Un tronco de cono de revolución y un cilindro recto tienen la misma altura, el volumen del tronco es los 5/3 del volumen del cilindro. Si el radio de la base mayor mide 2 m y el radio de la base del cilindro mide 1 m, el radio de la base menor del tronco mide:

2 1

B)

3 1

C)

5 1

D)

7 1

E)

3 3

En la figura, el cono parcial y el cilindro son equivalentes, determinar que fracción del volumen total es el volumen del cono parcial.

34 17 27 B) 64 17 C) 19 11 D) 63 31 E) 45

C) 6 u

A)20  cm

B) 3 7 m

A)

mide 2 6 u, el radio de la base del cono, mide:

3u

A) 2 5 m

A)

D) 3 3 cm E) 5 3 cm

A) 4

En un cono recto la altura mide 4 m y la arista del

6 m. tetraedro regular inscrito en el cono mide Un vértice del tetraedro está en el centro de la base del cono y los otros tres están en la superficie lateral, el radio de la base del cono recto, mide:

24) Se tienen dos conos rectos de revolución tangentes exteriormente de vértices coincidentes y de generatrices congruentes, el ángulo formado por las alturas de los conos mide 60º, si los radios de las bases miden 3 cm y 5 cm, la distancia entre los centros de las bases, es: A) 5 cm B) 7 cm C) 8 cm

25) Un tetraedro regular se encuentra inscrito en un cono recto de revolución, tal que uno de sus vértices se encuentra en el centro de la base del cono y los otros tres vértices se encuentran sobre la superficie lateral del cono de la base del cono. Si la altura del cono mide 6 u y la arista del tetraedro

D) 112 3

E) 96 3

2

23) El volumen de un tronco de cono circular recto de bases paralelas es 336  cm3, su altura mide 4 y el radio de la base mayor es el doble del radio de la base menor. Calcular la longitud del radio de la base menor. A) 5 cm B) 7 cm C) 8 cm D) 6 cm E) 4 cm

3

31) Una superficie S se obtiene por la rotación de un trapecio isósceles alrededor del eje que contiene a su lado mayor. Si dicho trapecio tiene un ángulo agudo de 60° y bases de 4cm y 12cm de longitud. ¿Cuál es la medida del área de S en cm2? A) 64 3 B) 128 3

32)

A) 12

C)

E) 1/2

30) En un cono circular recto, cuya altura y radio miden 9 u y 15 u respectivamente, se inscribe un cilindro circular recto, cuyo radio mide 5 u, tal que una de sus bases está contenida en la base del cono. Calcular el volumen del cilindro. A) 164 u3 B) 140 u3 C) 130 u3 D) 150 u3 E) 178 u3

V1 1  , entonces el volumen V2 en cm 3 , V2 3

es:

B) 2

2

35)

La generatriz del cono equilátero de la figura mide 24, si CQ es bisectriz del ángulo ACB, el volumen del cilindro, es:

B

A) 256 3  B) 226 3  C) 156 3  D) 256

Q

E) 256 3

A

D

C

96| C E P R U 2 0 1 5

TEMA N° 25 ESFERAS SUPERFICIE ESFÉRICA Es aquella superficie generada por una semicircunferencia al girar alrededor de su diámetro una vuelta completa.

CASQUETE ESFÉRICO: Es la porción de superficie esférica que se determina por un plano secante. 360º

B

360º

h A

R

R

O

R

R

P

También se define como: El conjunto de todos los puntos “P” del espacio que equidistan a un punto fijo “O” llamado centro.



S  P

3



/ OP  R, R  0

Elementos principales: 1) Centro: Punto fijo “O” 2)

Radio: OP ,

A CE  2    R  h

A CE    ( AB) 2

ESFERA: Es un sólido generado por la rotación completa de un semicírculo alrededor de su diámetro. También se puede decir que la esfera es la unión de una superficie esférica con su interior.

360º

medida: OP = R

ÁREA DE LA SUPERFICIE ESFERICA:

A SE  4    R 2 HUSO ESFERICO: Es la porción de superficie esférica determinada por dos semicircunferencias máximas del mismo diámetro.

R

A

R

O

B

R

 R

R 

Elementos: Centro: Punto fijo “O” Radio: Segmento de recta que tiene por extremos el centro y un punto cualquiera de la superficie esférica. Cuerda: Segmento de recta que tiene por extremos dos puntos cualesquiera de la superficie esférica.

A HE 

    R2 90 º

ZONA ESFERICA: Es la porción de la superficie esférica limitado por dos circunferencias determinadas por dos planos paralelos y secantes a la superficie esférica. 360º

R

h

Diámetro: Es la mayor cuerda, contiene al centro de la esfera. Circulo máximo o mayor: Es una sección cuyo plano contiene al centro de la esfera. OBSERVACIONES:  Toda sección plana de una esfera es un círculo  El área de una superficie esférica es igual al cuádruplo del área de un círculo máximo.  Todo plano tangente a una esfera es perpendicular al radio que tiene por extremo el punto de intersección.

R VOLUMEN DE LA ESFERA:

V

A ZE  2    R  h

4   R3 3

G E O M E T R Í A |97 SEGMENTO ESFERICO: porción del sólido esférico, comprendido entre 2 planos paralelos y secantes a la esfera.

ANILLO ESFERICO: Es el sólido generado por un segmento circular al girar 360º en torno a un diámetro del círculo correspondiente.

360º

B

B

b R

h

R

R

h

R a A

VSE 

A

h 3 h 2  (a  b 2 ) 6 2

VAE 

SECTOR ESFERICO: Es aquel sólido generado por un sector circular al girar 360º en torno a un diámetro del círculo correspondiente.

1 6

( AB) 2 h

CUÑA ESFERICA: Sólido generado por un semicírculo que gira un ángulo menor que 360º alrededor de su diámetro.

 R

R

R h

V



R

2 R 2h 3

VCE 

R 3  270 º

EJERCICIOS 1)

De las siguientes proposiciones: I) Al girar un semicírculo una vuelta completa alrededor de su diámetro, se obtiene un sólido esférico. II) La porción de la superficie esférica comprendida entre dos planos paralelos, se denomina huso esférico. III) La sección hecha en un cono circular recto paralelo a su generatriz, determina una curva llamada parábola. IV) La sección no paralela a la base de un cilindro circular recto, determina una curva llamada elipse. A)VVFV B)VFVV C)FFVV D)VFFV E)FVVV

2)

El volumen de la esfera inscrita en un cilindro circular recto cuyo volumen es 42cm3, es: A) 27cm3 B) 16cm3 C) 28cm3 D) 21cm3 E) 42cm3

3)

Si los radios de dos esferas miden 2 cm y 4 cm, la relación en que se encuentran sus volúmenes, es: A) 1/2 B) 1/8 C) 1/4 D) 1/ E) 1/6

4)

5)

Calcular el área total de una cuña esférica cuyo radio mide 6cm y la medida del ángulo diedro correspondiente es 60°. (en cm2). A) 25 B) 60 C) 70 D) 80 E) 100 Calcular la longitud de la altura de una zona esférica de una base en una superficie esférica cuyo radio mide 8m de modo que el área de la superficie de esta zona aumentada en el área que

limita su base sea igual a los 7/16 del área de la superficie esférica. A)2m B)23m C)4m D)1m E)5m 6)

Si la longitud de la arista del hexaedro regular inscrito en una semiesfera mide volumen de la semiesfera en A) 27 B) 30 D) 18 E) 36

7)

cm , es: C) 24

En la figura, el volumen del cono de revolución es 27cm 3 . Determinar el volumen de la semiesfera.

R

8)

6 cm, entonces el 3

A) 486cm 3

B) 225cm 3

D) 378cm 3

E) 450cm 3

3R C) 114cm 3

El radio de una esfera mide 3 cm, la distancia del centro de la esfera a que debe trazarse un plano para que el área del círculo que se determina sea igual a la sexta parte del área de la superficie esférica, es: A) 1 cm

B) 2 cm

D)

E)

2 cm

6 cm

C) 3 cm

98| C E P R U 2 0 1 5 9)

El radio de una esfera mide 8 cm, calcular el área de la sección que se determina sobre un plano perpendicular a uno de los radios y que contiene al punto medio de dicho radio. A) 24 cm2 B) 48 cm2 C) 16 cm2 D) 64 cm2 E) 32 cm2

10) En la figura, O es centro de la esfera, si OB= 13 cm y AC=4 cm, el área de la región triangular ACB, es:

B A) 13 cm2 B) 12 cm2 C) 15 cm2 D) 26 cm2 E) 24 cm2

A

12) Hallar el área de un casquete esférico sabiendo que el segmento que une el vértice del casquete (centro de la superficie) con un extremo es de 1/

π u. B) 2 u2 E) 4 u2

C) 1 u2

13) Hallar el área (en m2) de una esfera sabiendo que las áreas de dos círculos menores paralelos distantes 3 m y situados a un mismo lado del centro son de  m2 y 16 m2. A) 68 B) 70 C) 34 D) 17 E) 25 14) El radio de la base de un cilindro de revolución circunscrito a una esfera es 4u. Determinar la diferencia de las medidas de los volúmenes de los sólidos.

D)

128 3 132 7

B) E)

131

C)

3 136

127 3

5

15) En una misma esfera de radio de medida R, para que una “zona esférica” de altura R/3 sea equivalente a un cierto “huso esférico”, el ángulo diedro de la cuña correspondiente que se forma, medirá: A)30º B)15º C)60º D)45º E)90º 16) En la figura se observan las secciones axiales de un cono equilátero AVB y la de una esfera de centro “O” y radio de medida 2cm. calcular el volumen del sólido limitado por las superficies sombreadas. A)

V

13  3

B) 7 C) 14

31  6 14 E)  3

17) Se funden dos esferas metálicas cuyos radios miden 2m y 4m, para obtener un cilindro circular recto cuya altura mide 3m. Hallar la longitud del radio de la base del cilindro. A)4 2m

B)2 2m C) 3 2m

D) 2m

E)5 2m

4 x  , 3  entonces el área de su circulo máximo está dado por: A) 3 x B) C)  x

18) Si el volumen de una esfera está dado por

11) Una esfera, cuya superficie tiene área de 144  cm2 , es intersecada por dos planos que forman entre sí un diedro de medida 60°, de modo que la recta de intersección de los planos es tangente a la esfera y el plano bisectriz del diedro contiene un diámetro de la esfera. Calcular el volumen de la parte de la esfera comprendida en el ángulo diedro. A) 198  cm3 B) 180  cm3 3 C) 158  cm D) 160  cm3 E) 98  cm3

A)

equilátero es 8 2 , entonces el volumen de la esfera circunscrita a dicho cilindro, es: A) 32 B) 36 C) 40 D) 48 E) 64

O

C

A)  u2 D) 3 u2

30) Si el volumen de una esfera inscrita en un cilindro

E) 2x

19) En una esfera de radio R, se tiene una zona esférica equivalente a un huso esférico y la altura de la zona es R/4. Hallar la medida del ángulo diedro del huso esférico. A)37º B)53º C)30º D)45º E)60º 20) El área de una superficie esférica es 144m2, hallar el volumen de la esfera correspondiente. A) 164 B) 178 C) 268 D) 288 E) 444 21) Un semicírculo cuyo diámetro mide 12 gira 120° alrededor del diámetro. Hallar el volumen de la cuña esférica. A) 74 B) 78 C) 68 D) 96 E) 34 22) Una semicircunferencia cuyo radio mide

O

B

2 

gira

alrededor de su diámetro un ángulo de (4)°. Calcular el área del huso esférico determinado. A) 7/45 B) 8/25 C) 8/45 D) 16/45 E) 16/25 23) Se tienen dos esferas metálicas cuyos radios miden “a” y “2a”; dichas esferas se funden y se construye un cilindro recto cuya altura mide “3a”. Calcular la longitud el radio de la base del cilindro. A) a B) 2a C) 3a D) a/2 E) 3a/2 24) Hallar el área de la superficie esférica en la cual el área de uno de sus círculos máximos es 100m2. A) 200m2 B) 400m2 C) 350m2 D) 286m2 E) 420m2 25) Una zona esférica tiene una altura que mide 2,5 cm, además el área de su superficie es igual al área de un círculo máximo de la esfera. Calcular el área de la superficie de la esfera. A) 75 cm2 B) 100 cm2 C) 50 cm2 D) 25 cm2 E) 125 cm2 26) En la figura, si OA = OB = 6 m. Calcular el volumen generado por el segmento circular cuando gira 360º alrededor del radio OA. A)16π m2 B)15π m2 C)14πm2 D)18π m2 E)10π m2

D)

A

x

D) x 2

B

A 12º

60º O

G E O M E T R Í A |99

EJERCICIOS DE REPASO 01. De las siguientes proposiciones, indicar si son verdaderas (V) o falsas (F) I) Si dos rectas no se intersecan, entonces son paralelas II) Dadas dos rectas alabeadas, por una de ellas se puede trazar un plano paralelo a la otra recta. III) Si la proyección de un triángulo sobre un plano es otro triángulo, entonces la proyección del baricentro del triángulo es el baricentro de la proyección. IV) Por un punto de una recta solo se puede trazar una recta que sea perpendicular a dicha recta. A)FFFF B)FFFV C)VFVF D)FFVF E)FVVF 02. Calcular el máximo número de planos que se pueden determinar con 18 puntos del espacio. A) 810 B) 826 C) 816 D) 546 E) 1124 03. Calcular el máximo número de planos que se pueden determinar con 20 puntos no coplanares y 30 rectas no coplanares que se encuentran en el espacio. A)1575 B)2075 C)1140 D)2175 E)600 04. Encontrar la longitud de un segmento que forma con un plano un ángulo que mide 60º, tal que su proyección sobre el plano mide 5. A)15 B)5 C)10 D)5 3

E)4

05. Se tienen los planos paralelos P, Q y R. Una recta las interseca en los puntos A, B y C; y otra en los puntos D, E y F respectivamente, si BC = 12 y 4DF = 5EF, el valor de AC, es: A) 10 B) 15 C) 4 D) 8 E) 12 06. Un

triángulo

equilátero

ABC

y

una

AB semicircunferencia de diámetro están contenidos en dos planos perpendiculares. Si AB = 6 y Q pertenece a la semicircunferencia, el valor de CQ, es: A) 3 3 D) 5

B) 4 E) 6

C) 3

B) 2 2

D)

E) 4

2

PA , PB y PC . A) 12u2 B) 2u2 D) 8u2 E) 4u2

C) 6u2

11. Se tiene un punto O exterior al plano del triángulo ABC tal que el área de la región triangular ABC es igual a 18u2. En las aristas OA , OB y OC se ubican los puntos P, Q y R tal que OP = 2PA; OQ = 2QB y OR = 2RC. Calcular el área de la región triangular PQR. A) 9u2 B) 5u2 C) 6u2 D) 8u2 E) 12u2 12. En una circunferencia de centro O, y radio que mide 5, se traza la cuerda PQ que mide 6. Por O se traza la perpendicular OA al plano de la circunferencia, tal que OA = 6. Hallar la distancia de A hacia la cuerda PQ . A) 7 D)

B) 3 13

C) 6

E) 2 13

13

13. En una circunferencia de centro O y radio que mide 15, se traza la cuerda PQ en la cual se ubica el punto A, tal que (PA)(QA) = 200. Por A se traza la perpendicular AM al plano de la circunferencia, tal que AM = 4. Hallar la distancia de M hacia el centro O. A)

41

B) 4

D) 2

E) 2

C) 2 13

41

14. Por el vértice A de un cuadrado ABCD, cuyo lado mide 4 se traza la perpendicular AQ al plano del cuadrado, tal que: AQ= 3 . Si P es punto medio de

CD , la distancia de Q hacia el punto medio de BP , es: A) 3 D) 2

B) 5 E) 6

C) 4

15. Por el vértice B de un triángulo ABC se traza una perpendicular BN al plano del triángulo, luego se

07. Se tiene un punto P exterior al plano del rectángulo ABCD, si PA = 3, PB = 4 y PC = 5, el valor de PD, es: A) 3 2

10. Se tiene un punto P exterior al plano del triángulo ABC, tal que el área de la región triangular ABC es 24u2. Calcular el área de la región triangular determinado por los puntos medios de las aristas

C) 2

08. Se tiene un punto A exterior al plano del triángulo BCD, tal que BD = 9. Calcular la distancia entre los baricentros de los triángulos ABC y ACD. A) 1/2 B) 3/2 C) 3 D) 1 E) 7/2 09. Los planos de las dos circunferencias de la figura son perpendiculares, el arco ACB mide 90º, el arco ADB mide 120º y AB=2 3 . Hallar la distancia entre los centros de las dos circunferencias.

trazan

las

perpendiculares

D) 3 2 E)

6

BQ

a

los

17. Calcular la medida del ángulo que debe girar la puerta rectangular para que el hilo AB tenga una longitud igual a

A) 30° B) 37° C) 60° D) 45° E) 53°

A

y

16. Dos caras de un ángulo triedro miden 90° y 100°. Calcular la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero de la medida de la tercera cara. A) 128° B) 138° C) 148° D) 158° E) 118°

2 m, si AM=AN, BC=1m y CD=2m

C A) 2 2 B) 2 C) 3

BP

segmentos AN y CN respectivamente, tal que PN = 4, QN = 3 y CQ = 5. Calcular AP. A) 3 B) 2 C) 5 D) 1,5 E) 2,5

B M

A

D

C B

D N 18. Hallar la medida del diedro que forman los planos de la circunferencia y de la semicircunferencia cuyo

100| C E P R U 2 0 1 5 diámetro común AB mide 2 3 , M y N son puntos medios de las semicircunferencias, además MN=3.

M

A) 90° B) 127° C) 120° D) 143° E) 150°

B

30. El área de la superficie total de un octaedro regular cuya arista mide 10 cm, es:

O N A

19. En un triedro trirrectángulo P–ABC se tiene que PA=PB=PC=6. Hallar el área de la región triangular ABC. A)12 3

B)4 2

D)6 3

E)18 2

C)18 3

20. El área de la superficie total de un icosaedro regular cuya arista mide 2, es: A) 9 3

B) 20 3 C) 40

D) 80

E) 18 3

21. Dos caras de un triedro miden 45° cada una y el diedro comprendido entre ellos mide 90°. Determinar la medida de la tercera cara. A) 30° B) 45° C) 60° D) 75° E) 15° 22. Dado un triedro P y su polar Q, se sabe que dos diedros de Q tienen medidas de 80° y 130°. ¿Entre qué valores se halla la medida de la cara x de P, que es desconocida? A) 60° < x < 180° B) 50° < x < 150° C) 50° < x < 170° D) 30° < x < 140° E) 40° < x < 160° 23. Dos diedros de un triedro miden 100° y 110°. ¿Entre qué valores está comprendido la medida del tercer diedro? A) 10° y 100° B) 80° y 120° C) 30° y 170° D) 40° y 115° E) 50° y 170° 24. Los triángulos rectángulos isósceles ACB y ADB rectos en C y D forman un diedro que mide 30º. Si AB=2

2  3 , el valor de CD, es: A) 2

B) 1

D)

E)

6

29. Las medidas de dos caras de un triedro suman 185º, las medidas de los tres diedros de su triedro polar suman 320º. Hallar la medida de la tercera cara del triedro dado. A) 60° B) 45° C) 35° D) 53° E) 70°

C)

2

A)500 3

B)80 3

D)200 3

E)220 3

C)100 3

31. Calcular la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras de un dodecaedro regular. A) 6800° B) 6480° C) 6840° D) 4890° E) 5820° 32. Un poliedro está limitado por las regiones de 6 triángulos, 4 pentágonos y 7 cuadriláteros convexos. Hallar el número de aristas. A) 25 B) 33 C) 41 D) 34 E) 45 33. Un poliedro convexo está limitado por las regiones de 8 triángulos, 2 pentágonos y 5 hexágonos. Hallar el número de vértices. A) 16 B) 17 C) 19 D) 18 E) 21 34. En un poliedro convexo con 8 caras y 12 aristas, la suma del número de ángulos diedros y del número de sus ángulos poliedros, es: A) 12 B) 14 C) 16 D) 20 E) 18 35. Hallar el máximo valor entero que puede tomar la medida de la cara de un triedro equilátero. A) 119° B) 69° C) 89° D) 91° E) 81° 36. Calcular el menor valor entero de la medida de uno de los ángulos diedros de un triedro equilátero. A) 49° B) 71° C) 61° D) 58° E) 69° 37. Dos caras de un triedro isósceles tienen medidas que suman 90° y el diedro comprendido entre ellas mide 90°. Calcular la medida de la tercera cara. A) 90° B) 30° C) 120° D) 45° E) 60°

3 38. Se tiene un triedro trirrectángulo:

25. Las medidas de las caras de un ángulo triedro forman una progresión aritmética de razón “r”. Calcular el máximo valor entero de “r”. A) 49° B) 119° C) 59° D) 60° E) 75° 26. Las rectas L y L1 son ortogonales, en la recta L se consideran los puntos A y B, en la recta L1 se consideran los puntos C y D de modo que AC es la perpendicular común. Si

AB2  BC2  AD2  CD2  100 , el valor de BD, es: A) 2 D) 5

B) 5 2 E) 10

C) 3 2

27. Dos caras de un ángulo triedro miden 129° y 179°. Calcular la medida de la tercera cara, si es un número entero. A) 49° B) 50° C) 51° D) 62° E) 71° 28. Dos diedros de un ángulo triedro isósceles miden 54° y 118°. Calcular la suma de las medidas de las caras de su triedro polar. A) 314° B) 256° C) 180° D) 216° E) 268°

AB = 13; BC = 106 y OA+OB+OC. A) 24 B) 25 D) 32 E) 26

O–ABC, tal que

AC = 15. Calcular C) 30

39. La figura es el desarrollo de la superficie de un hexaedro regular. Si AB=20, calcular el volumen del hexaedro.

B

A) 32 B) 16 C) 125 D) 16 E) 64

A 40. En un prisma hexagonal regular su volumen es numéricamente igual al área de su superficie lateral. Calcular la longitud del radio de la circunferencia circunscrita a su base. A)

2 3 3

B)

3 3

D)

4 2 3

E)

2 3

C)

4 3 3

G E O M E T R Í A |101 41. Se tiene un tronco de prisma recto triangular, tomando como bases a los triángulos medianos de las bases se obtiene un nuevo tronco. Determinar la relación de volúmenes entre los dos troncos mencionados. A) 5/8 B) 4/3 C) 1/2 D) 3/4 E) 1/4 42. La arista lateral de un prisma triangular regular mide igual a la altura de la base; el área de la sección trazada a través de ésta arista lateral y la altura de la base es 3m2. Hallar el volumen del prisma. A) 6m3 B) 8m3 C) 27m3 D) 3m3 E) 9m3 43. Dada una región rectangular, cuyos lados miden “x” y “2x” respectivamente; calcular la diferencia de los volúmenes de los cilindros rectos de revolución generados, considerando como ejes el lado menor y mayor. A) 4x3 B) 0 C) 6x3 D) 2x3 E) x3 44. Calcular la longitud de la arista de un octaedro regular, formado al unir los puntos medios de las caras de un hexaedro regular de 64m3 de volumen. A) 3 2

B) 2 2

D)

E) 5 2

2

C) 4 2

45. Si una pirámide tiene 222 aristas, el número que caras que tiene, es: A) 120 B) 111 C) 112 D) 223 E) 110 46. Se tiene una pirámide cuadrangular regular, cuyo apotema es congruente a la arista de la base y su área lateral es 128. Calcular la medida de altura de la pirámide. A) 9 3

B) 8 3

D) 80

E) 4 3

C) 40

El volumen del sólido es 4,5 2 . Hallar el perímetro de la base. A) 6 B) 9 C) 15 D) 12 E) 16 48. En una pirámide pentagonal regular, el área total es 30cm2 y el área lateral es 20cm2. hallar la medida del diedro que forma la cara lateral con la base. A) 30° B) 45° C) 60° D) 37° E) 53° 49. El área de la superficie total de una pirámide cuadrangular regular es 56m2. El radio del círculo inscrito en la base mide 2m. Calcular la longitud de la altura de la pirámide.

17

B)

19

D)

23

E)

29

C)

21

50. Calcular el volumen de un rectoedro (en m3) cuyas 3 dimensiones se hallan en progresión aritmética, suman 18m y el área total del sólido es 208m2. A) 102 B) 192 C) 186 D) 144 E) 104 51. Hallar el área total de un hexaedro regular en el cual la diagonal de una cara mide 18m. A) 972m2 B) 144m2 C) 420m2 D) 716m2 E) 625m2 52. Calcular el volumen de una pirámide hexagonal regular, si la longitud de su arista lateral es el triple de la longitud de su arista básica y la longitud de su altura es A)

6 2

2. B)

3 3

3 4

E)

6 8

53. Calcular el volumen de un prisma cuadrangular regular recto de 20m de altura, si la diagonal de la base mide 2 7 m. A) 240m3 B) 280m3 C) 140m3 D) 144m3 E) 214m3 54. Calcular el volumen de un prisma cuadrangular regular, si el desarrollo de su superficie lateral, es una región cuadrada cuyo lado mide L. A) L3/4 B) L3/6 C) L3/8 D) L3/16 E) L3/18 55. Un prisma recto regular de bases ABC y LMF, donde la arista de la base mide “n” y la arista lateral AL mide 16n 3 , es intersecado por un plano que contiene a los puntos A, M y F, determinándose un tronco de prisma A – LMF. Calcular el volumen de dicho tronco. A) 2n3 B) 3n3 C) 4n3 D) 8n3 E) n3 56. Hallar el número de lados que tiene la base de un prisma, si tiene 78 aristas. A) 18 B) 24 C) 26 D) 39 E) 28 57. Los ángulos determinados por la diagonal de la base de un rectoedro con el lado de la base y con la diagonal del rectoedro miden 37° y 53° respectivamente. Calcular el área de la superficie lateral del rectoedro si su diagonal mide 25. A) 740 B) 640 C) 840 D) 660 E) 920 58. Las diagonales de tres caras diferentes de un paralelepípedo rectangular miden:

47. Una pirámide regular cuadrangular tiene como caras laterales a regiones de triángulos equiláteros.

A)

D)

C)

6 4

61 ,

74 y

85 . Calcular su volumen. A) 240 D) 210

B) 200 E) 230

C) 280

59. Calcular el área de la superficie total de un paralelepípedo rectangular, sabiendo que sus dimensiones están en progresión aritmética de razón 4 y su diagonal mide 5 11 . A) 420 B) 454 D) 492 E) 512

C) 480

60. Si el desarrollo lateral de un prisma regular hexagonal tiene un área de 120cm2 y su arista lateral mide 10cm; calcular el volumen de dicho sólido (en cm3). A) 12 3

B) 4 2

D) 6 3

E) 18 3

C) 60 3

61. Calcular el número de aristas laterales que tiene un prisma, si la suma de las medidas de todos sus ángulos diedros laterales es 1080º. A) 6 B) 5 C) 8 D) 10 E) 12 62. Calcular el volumen de un rectoedro, cuyas dimensiones son congruentes a las aristas básicas de un prisma triangular de volumen V, cuya altura es 3 veces el radio de circunferencia circunscrita a su base. A) V B) 3V/4 C) 2V/3 D) 4V/3 E) 3V/2 63. Un tronco de prisma triangular recto tiene por aristas básicas a segmentos cuyas longitudes son 8, 12 y 6cm. Las aristas laterales opuestas a estos lados miden 15, 5 y 10cm respectivamente. Hallar el área lateral del tronco. A) 270 B) 250 C) 260 D) 240 E) 255

102| C E P R U 2 0 1 5 64. Hallar el volumen de un tronco de prisma triangular si el área de la base mide 10m2 y las aristas laterales miden 9, 12 y 18m. A) 120 B) 130 C) 140 D) 100 E) 96 65. ¿A qué distancia de la cúspide de una pirámide de 6m de altura se debe trazar un plano paralelo a la base, a fin de que el volumen de la pirámide deficiente sea 1/8 del volumen de la pirámide total? A) 2 B) 3 C) 2,5 D) 1,5 E) 4 66. Calcular el volumen de una pirámide hexagonal regular, cuya arista lateral mide 24m, además dicha arista está inclinada 30° respecto a la base. A) 2590 3

B) 2592 3

C) 2492 3

D) 2592 3

E) 2582 3 67. En un tronco de pirámide recto regular de base triangular, el lado de la base mayor, la arista lateral y el lado de la base menor, miden 3n, 2n y n respectivamente. Calcular el área lateral del tronco. 2

2

A) 2 3n

B) 6 2n

3n2

E) 8 3n

D)

2

69. En una pirámide recta cuadrangular regular, la arista de la base mide “m” y su altura “3m”. Si la altura de dicho prisma es trisecada en partes iguales, mediante planos paralelos a la base, se obtienen tres porciones de sólidos; calcular el volumen del sólido intermedio que viene a ser un tronco de pirámide.

5 3 m 27 9 3 D) m 25

8 3 m 27 7 3 E) m 25 B)

C)

7 3 m 27

70. Calcular el volumen de un cilindro de revolución, si el área de su sección axial es 80 y la longitud de la circunferencia de su base es 20. A) 100 B) 1400 C) 800 D) 400 E) 1600 71. Hallar la longitud del radio de un cilindro recto en el cual su área lateral es numéricamente igual a su volumen. A) 1 B) 4 C) 1,5 D) 2 E) 2,5 72. Calcular el volumen del sólido de revolución mostrado en la figura, si AB=6, AE=ED, BC=BE y FD=8.

C

A) 205 B) 220 C) 212 D) 208 E) 204

B

A

F

base, al centro de la otra es A) 164 B) 114 D) 128 E) 152

241 . C) 134

75. Dos cilindros circulares rectos son semejantes y las áreas de sus superficies totales son 18 y 50. Hallar la razón en que están sus volúmenes. A) 9/29 B) 7/8 C) 21/25 D) 17/21 E) 27/125 76. Hallar el área total de un cono recto, cuya generatriz mide 12m, la cual forma con la base un ángulo que mide 60º. A) 108 B) 118 C) 168 D) 124 E) 198 77. Hallar el área total del sólido generado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de su hipotenusa, siendo los catetos de longitudes 12m y 16m. A) 268,8 B) 138,4 C)168,8 D) 124,5 E) 198,2

2

C) 6 3n

68. Las bases de un tronco de pirámide regular tienen áreas de 1024m2 y 625m2, siendo su altura de 42m. Hallar el volumen de la pirámide deficiente. A) 31200m3 B) 31425m3 C) 31250m3 D) 41200m3 E) 42450m3

A)

74. Hallar el área total de un cilindro de revolución, en el cual la diagonal axial mide 17 y la distancia de un extremo del diámetro de la circunferencia de una

E

D

73. Hallar la longitud del radio de la base de un cono recto de 210 de área lateral, si su generatriz mide 30m. A) 3m B) 5m C) 7m D) 9m E) 4m

78. En la superficie lateral de un cono de revolución se considera un punto distante 6, 16 y 10cm de la altura, de la base y del vértice respectivamente. Hallar el área total del cono. A) 864 B) 138 C) 768 D) 324 E) 424 79. Si el desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un semicírculo de radio 5. Calcular la longitud del radio de la base del cono. A) 5 B) 2,5 C) 1,5 D) 3 E) 4 80. Calcular el volumen del sólido de la figura, si el área de su superficie cilíndrica es 12, la altura del cilindro de revolución al cual pertenece mide 9, y

mAFB  30º .

C E

A) 36(–2) B) 54(–3) C) 48(–2) D) 48(–3) E) 36(–3)

D B F A

81. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto es una región cuadrada de área “S”. Hallar el volumen del cilindro. A)

S S 4

B)

S S 2

D)

S S 6

E)

S S 3

C)

S S 5

82. En un vaso que tiene la forma de un cilindro recto de revolución, la altura es el doble del diámetro de la base. Si el vaso contiene un líquido que ocupa las ¾ partes de su capacidad, determinar el ángulo que debe inclinarse desde su posición normal hasta el instante en que el líquido esté por derramarse. A) 30° B) 45° C) 60° D) 75° E) 37° 83. Calcular el volumen de un cilindro de revolución cuya altura mide 8, si el desarrollo de la superficie lateral es una región rectangular cuya diagonal mide 10.

72  36 D)  A)

70  18 E)  B)

C)

72 5

G E O M E T R Í A |103 84. En un cilindro de revolución, el diámetro de la base mide 8 y su altura 21. Si este cilindro tiene sus seis séptimas partes con agua y desde su posición normal, se le inclina hasta que el agua esté a punto de caer por el borde; determinar el ángulo de inclinación en ese instante. A) 30° B) 45° C) 37° D) 53° E) 60° 85. En un tronco de cilindro recto se inscribe una pirámide regular de base triangular y volumen “V”. Calcular el volumen del tronco de cilindro. A)

4 3 V 3

B)

3 3 V 4

D)

4 3 V 3

E)

4 3 V 3

C)

3 3 V 4

86. El volumen de un tronco de cono recto es 336cm3, la altura es la tercera parte del radio de la base mayor, además dicho radio es el doble del radio de la base menor; si dicho tronco es equivalente a un cono recto donde el radio de la base mide 6 veces la altura del tronco. Calcular la altura del cono recto (en cm). A) 7/4 B) 7/3 C) 8/5 D) 9/4 E) 8/3 87. El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un sector circular de radio 15 y arco de medida 216°. Hallar el volumen del cono. A) 864 B) 138 C) 768 D) 324 E) 424 88. El área de la superficie total de un cono es 200m2, el producto de las longitudes de su generatriz y el radio de su base es 136m2. Calcular el volumen de dicho cono (en m3). A) 154 B) 180 C) 230 D) 285 E) 320 89. El desarrollo de la superficie lateral de un tronco de cono de revolución es la región de un trapecio circular de área 30cm2. Hallar el volumen del tronco de cono, si la altura y la generatriz miden 3 y 5 cm respectivamente. A) 31 B) 11 C) 68 D) 60 E) 91 90. Hallar el área lateral de un tronco de cono de revolución circunscrita a una esfera si la suma de las longitudes de los radios de las bases es 18m. A) 324 B) 411 C) 268 D) 160 E) 392 91. El área de una superficie esférica es 36m2, hallar el volumen de la esfera correspondiente. A) 64 B) 72 C) 18 D) 36 E) 44 92. Hallar la longitud del diámetro de la esfera en la cual, su área es numéricamente igual a la longitud de una de sus circunferencias máximas. A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3 93. Si el radio y la altura de un cono circular recto miden 6m y 8m respectivamente. Hallar el área de la esfera inscrita en dicho cono. A) 74 B) 58 C) 68 D) 36 E) 34 94. Se tienen dos esferas concéntricas, se traza un plano secante a la esfera mayor y tangente a la esfera menor, determinando un círculo de 16u2 de área. Calcular el área del casquete menor formado en la esfera mayor, sabiendo que el radio de la esfera menor mide 3u. A) 14 B) 18 C) 28 D) 20 E) 24

95. Un semicírculo, cuyo diámetro mide 12, gira 120° alrededor del diámetro. Hallar el volumen de la cuña esférica. A) 74 B) 78 C) 68 D) 96 E) 34 96. El volumen de una esfera es numéricamente igual a su área. Si el área de un huso esférico es 1/6 del área de la esfera; hallar el volumen de la cuña esférica correspondiente. A) 4 B) 5 C) 3 D) 6 E) 9 97. La arista de un cubo, cuya área de su superficie total es de 54m2, es de igual longitud al radio de una esfera. Calcular el volumen de la esfera. A) 32 B) 31 C) 28 D) 36 E) 40 98. Un círculo de metal de radio R, se corta por un diámetro en dos partes congruentes y con una mitad se forma la superficie lateral de un cono circular recto uniendo los extremos del diámetro. Calcular el volumen de la esfera inscrita en dicho cono determinado. 3

A)

R 2 54

C)

R 3 24

3

B)

3

D)

R 3 27

R

3

3

8

3

E)

R 3 54

99. Halle el área de la superficie esférica, si el área lateral del cilindro circular recto circunscrito a dicha esfera es S. A) 5S B) S C) 2S D) 3S E) 4S 100. Halle el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de revolución, cuyo volumen es 6u3. A) 5 u3 B) 4 u3 C) 1 u3 D) 3 u3 E) 2 u3 101. Los radios de las bases de un tronco de cono de revolución de bases paralelas miden 1 y 2. Calcular el área de la superficie de la esfera inscrita en el tronco de cono. A) 4 B) 18 C) 9 D) 8 E) 16 102. Calcular la longitud de la arista de un cubo, si el volumen de la esfera inscrita es 32/3. A) 2 B) 8 C) 3 D) 4 E) 1 103. El volumen de una esfera es 36, calcular el volumen del octaedro regular inscrito en dicha esfera. A) 42 B) 48 C) 12 D) 36 E) 25 104. El departamento de Ingenieria de la Región Cusco, proyecta diseñar un tanque cilíndrico para abastecer de agua a 4 comunidades vecinas. Si cada comunidad consume 25000 litros de agua por año y el radio del tanque cilíndrico es de 5 m y se requiere un 25% más de reserva en el volumen de agua, entonces la altura del tanque es: 3

1m  1000 L

A) 12 m B) 7 m C) 9m D) 5 m E) 10m 105. La arista lateral de un prisma recto hexagonal regular mide igual que el inradio de la base. Si el circunradio de la base mide 2; entonces, el volumen del prisma es: A) 32 B) 20 C) 36 D) 18 E) 15

104| C E P R U 2 0 1 5 106. Si la generatriz de un cono circular recto y el diámetro de su base son iguales entre si; y la superficie de la esfera inscrita en dicho cono mide 2 36 m ; entonces, la superficie lateral del cono en m 2 es: A) 54 B) 48 C) 27 D) 24 E) 58 107. El volumen de un pirámide recta triangular regular es 3 189 u . Si la altura de dicha pirámide es trisecada en partes iguales mediante dos planos paralelos a la base, obteniéndose tres sólidos disjuntos, entonces el 3 volumen del sólido mayor en u , es: A) 123 B) 133 C) 122 D) 144 E) 150 108. En la figura, O es punto medio del diámetro BC . Si CE  16 y ED  18 , el área total del cilindro recto de revolución es:

O

B

C

E A) 1104 B) 480 C) 288 D) 1208 E) 2108

114. Calcular la longitud del diámetro de una esfera inscrita en un octaedro regular, cuya arista mide

2 6. A) 8

3

B) 6

D) 4

2

E) 4

C) 3

2 115. Calcular el área de la superficie esférica en m , si en una de las semiesferas se encuentran dos círculos 2 2 menores paralelos de áreas  m y 16 m respectivamente, distantes 3 m entre si y paralelos al círculo máximo de la esfera. A) 68 B) 60 C) 62 D) 74 E) 42

116. Si la arista de un octaedro regular es El triple de la arista de un icosaedro regular, entonces la relación de áreas, es: A) 18/5 B) 18/3 C) 5/3 D) 5/17 E) 7/18 117. Se funde una bola de plomo de 8 cm de radio, para obtener luego bolitas del mismo material de radio 1cm cada una. El número máximo de bolitas de plomo quese obtiene, será: A) 500 B) 600 C) 650 D) 530 E) 512 118. Calcular el área de la superficie generada por el arco AB cuando gira una revolución alrededor del diámetro CD , si AC=8 y BC=5.

C

D

A

109. En un triedro V–ABC convexo, los diedros VB y VC miden cada uno 135°. Si el ángulo BVC es recto en V, entonces el diedro VA mide: A)150° B)160° C)60° D)120° E)90°

A) 34 B) 40 C) 41 D) 39 E) 20

B

A D

2 está inscrito un 110. Si en un hexaedro de arista octoedro regular cuyos vértices son centros de gravedad de cada cara del hexaedro; entonces el volumen de dicho octoedro, es: A) D)

2 3

B)

C) 3 2

2

2 2 E) 3

3

111. El perímetro del círculo máximo de una esfera mide x. Al calcular el volumen de la esfera en función de x, se obtiene: A) D)

x

3

3

x 

2

3 2

B) E)

x

3

4 x

C)

2

x

3

6

2

112. Las aristas de un cubo son tangentes a la superficie de una esfera, calcular el volumen de uno de los segmentos esféricos exteriores al cubo, si la arista del cubo mide 4 2 . A)

16 (4  5 2) 3

B)

16 (8  5 2) 3

D) 8(4  2)

C) 16(8  5 2)

16 E) (4  2) 3 113. El lado de un triángulo equilátero ABC mide 4, por A se levanta

AQ , perpendicular al plano ABC y luego

se une Q con B y C. Halle el área de la región triangular BQC, si A) 4/3 D) 16/3

AB  2(AQ) .

B) 8 E) 8/3

C) 16

A) 20 B) 12 C) 16

40  3 44 E)  3 D)

O

2

3

8

119. En la esfera de centro O de la figura se tiene un cilindro y un cono de revolución. Hallar el volumen del segmento esférico de dos bases, la altura del cilindro mide 4, además el volumen del cilindro es el triple del volumen del cono.

120. En la figura, hallar el volumen de la semiesfera, si la altura del cono recto de revolución mide 20/3.

A) 128 B) 144 C) 225 D) 288 E) 24

53º

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC

ASIGNATURA

TRIGONOMETRÍA

1

0

0

1

CUSCO – PERÚ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC CEPRU

ÍNDICE ASIGNATURA TRIGONOMETRÍA

TEMA Nº 1.- ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO .................................................................................................Pág. 01 TEMA Nº 2.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................................Pág. 04 TEMA Nº 3.- ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL ........................................................................................Pág. 08 TEMA Nº 4.- REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE ...................................................................................Pág. 13 TEMA Nº 5.- IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................................................Pág. 17

||

TEMA Nº 6.- ÁNGULOS COMPUESTOS ........................................................................................................Pág. 21 TEMA Nº 7.- ÁNGULOS MÚLTIPLES...............................................................................................................Pág. 24 TEMA Nº 8.- TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS .........................................................................Pág. 27 TEMA Nº 9.- RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ...............................................................................................Pág. 30 TEMA Nº 10.- ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES...........................................................................Pág. 32 TEMA Nº11.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.........................................................................................Pág. 35

1

0

TEMA N° 01 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

0

1

ANGULO TRIGONOMÉTRICO Un ángulo trigonométrico es generado por un rayo OA , que gira alrededor de su origen “O”, desde una posición inicial OA hasta otra posición final OA' .

A’

II. SISTEMA CENTESIMAL “C” (FRANCÉS) La unidad de medida es el grado centesimal “1g”, que es igual a la 400 ava parte del ángulo de una vuelta. 1 grado centesimal = 1g 1 minuto centesimal = 1m 1 segundo centesimal = 1s Equivalencias:

1 vuelta  400

g

P

1  100  10000 g



Donde O: Vértice

m

III. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (INTERNACIONAL) “R” Su unidad es el Radián (1rad), y es igual a la medida de un ángulo central determinado por un arco de circunferencia cuya longitud es igual a la longitud del radio.

OA' : Lado Terminal

OP : Generatriz θ : Medida del ángulo trigonométrico ÁNGULOS DE MEDIDA POSITIVA Y MEDIDA NEGATIVA Los ángulos que se obtienen por la rotación de la generatriz en sentido antihorario son ángulos de medida positiva; y los que se obtienen por la rotación de la generatriz en sentido horario son ángulos de medida negativa. A’ O A 

P

1 rad R

1 vuelta = 6,283185…rad = 2(3,141592…)rad

P

1 vuelta  2 radianes

A’

A

Valores aproximados a π

<0

>0 MAGNITUD DE UN ÁNGULO La variación de la medida trigonométrico es:     

“”

de

un

ángulo

OBSERVACIÓN:  Para sumar o restar las medidas de ángulos trigonométricos, éstos deben estar orientados en el mismo sentido.

–



RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES Si S, C y R son los números que representan la medida “” de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial, respectivamente, se tiene: g

 = Sº = C = R rad

360

–

S

O

180

Ángulo de una vuelta S



9

O

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES Para medir los ángulos pueden existir diversos sistemas de medición, dependiendo en cuántas partes se divide el ángulo de una vuelta (A una de esas partes se llama unidad de medida) o comparando la longitud del radio con la longitud del arco que subtiende el ángulo central. I. SISTEMA SEXAGESIMAL “S” (INGLES) La unidad de medida es el grado sexagesimal “1º”, que es igual a la 360 ava parte del ángulo de una vuelta. 1 grado sexagesimal = 1º 1 minuto sexagesimal = 1’ 1 segundo sexagesimal = 1’’ Equivalencias:

1 vuelta  360º 1º  60 '  3600 '' 1'  60 ''

2 3

π ≈ 3.1416 ≈ 22 ≈ 355 ≈ 7 113

S



R

R



O

s

A

OA : Lado inicial.



s

1  100

O

O

m



C



400



C 200

C

S

10

180







R 2

R 

R

C



200



R 

OBSERVACIÓN: Para resolver ecuaciones y simplificar expresiones, se recomienda utilizar una constante “K” de proporcionalidad.

 S  180K S  9 k  S C R     K  C  200K  C  10 k 180 200  R   K    R  k  20

2| C E P R U 2 0 1 5

EJERCICIOS 1)

En la figura, 2x  y  240º

calcular

A) 140º B) 50º C) 120º D) 70º E) 60º 2)

5)

cumple

que:

10) De la figura, el valor de 900  700 B)  1600 C)  1800 D)  1000 E) 

y x

20º

11) Si a 0b

En el gráfico se tiene (4x)º  y . Calcular g

y

A)

g

D)

O

Un ángulo es medido en los tres sistemas convencionales y sus valores numéricos cumplen con la relación  SC+36CR=SCR. Entonces la medida del ángulo en el sistema centesimal, es: A) 240g B) 240g 50m C) 200g D) 300g E) 200g 50m





x y

tales

que

S C C

S

y

y

. Calcular el valor de E  x  y

x

A) 3 D) 1

B) –1 E) –2

C) 2

13) Si

Los ángulos interiores de un triángulo miden: (8x)º, D)

 10  18

B) E)

 12  20

C)

 15

g

Aº B ' C ''  13 90

m

, el valor de

B) 1,4 E) 1,9

A C B

C) 1,6

 15 4 15

B) E)

2 15  4

C)

 5

respectivamente, calcular A) D)

81 250 4 243

B) E)

9 275 3 270

X Y C)

6 245

De la figura: 16) Los ángulos de un triángulo son

Si

  243 20

E A) 2 D) –1

A)

   , es: B) 360º E) 450º

D)

C) 180º 17)

o

se expresa en la forma

g m

x y . Calcular:

100 100    100  

B) E)

180 2   100   180 100  

grados

C) 0

C)

100 100  

Un ángulo, al ser medido en el sistema sexagesimal (S) y en el sistema centesimal (C), cumple con la siguiente relación:

y  37 1 x B) 1 E) 3

9X 10

sexagesimales, (x+1) radianes y (x+2) grados centesimales. El mayor de ellos expresado en radianes, es:

 El valor de A) 400º D) 470º

, es:

15) X y Y indican la medida de un mismo arco en segundos sexagesimales y segundos centesimales

Sean S, R y C los valores convencionales de las medidas de un ángulo en el sistema sexagesimal, radial y centesimal, respectivamente, tal que 90CR  100SR  SC  SCR . Calcular el valor de S. A) 360º B) 270º C) 100º D) 120º E) 300º



9)

g

o  a  2a  0 , el valor de  a  b  , en

14) La medida de los ángulos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética de razón 12º. La medida del menor de dichos ángulos expresada en radianes, es:

g

8)

z rad

xº

A) 1,2 D) 1,8

A)

 7   50   x rad y  x  , x  R  . La medida del menor 180    9  ángulo en grados sexagesimales, es: A) 30º B) 50º C) 70º D) 45º E) 60º 7)

o

yg

12) La diferencia de las inversas de los números que expresan la medida de un ángulo positivo en grados sexagesimales y centesimales es igual a la medida en radianes del mismo ángulo sobre 2. La medida del ángulo en el sistema sexagesimal es: A) 24º B) 9º C) 6º D) 18º E) 27º

S, C y R son números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y

20 R

20x  18y , es:   2z

radianes, es:

xy

xº

respectivamente,

E

A)

En el gráfico, calcular el valor de x, si y  3 x  20º

radial

6)

se

x

A) 14 B) 12 C) 13 D) 18 E) 25 4)

si

y

A) 60º B) 70º C) 45º D) – 70º E) – 45º 3)

x,

1 1 1 1   19n    . S C S C

el valor de n es: A) 19 B) 1/19 D) 3/19 E) 1

C) 3

Entonces,

A S I G N A T U R A :T R I G O N O M E T R Í A |3 18) Se trazan tres ángulos trigonométricos consecutivos que forman un ángulo de una vuelta, cuyas medidas son:  = x° en el sentido positivo ,  =yg en el sentido negativo

y

2 = rad en el sentido 3

positivo. El valor de 10x – 9y , es: A) 2 400 B) 1 200 C) 1 020 D) 2 200 E) 2 010

x(x  2.4y) . (3y)y

A) 324 D) 324

B) 300 E) 254

C) 900

20) Si S, C y R son los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial, respectivamente, tales que:

SCR 

1140  3 4

3 S  30C  33 , satisface la relación complemento de dicho ángulo en radianes es: A) 7/20 B) 7/30 C) 7/7 D) /3 E) /5

. Calcular la medida del

ángulo en grados sexagesimales. A) 130º B) 145º C) 100º D) 135º E) 115º

el

x

rad , 30 calcular la medida de dicho ángulo en grados centesimales donde el valor de su complemento es 9xº. A) 70g B) 40g C) 65g D) 45g E) 85g

28) La medida de un ángulo es dado por

19) Un ángulo mide “x” segundos sexagesimales e “y” minutos centesimales. Calcular el valor de:

E

27) El número de grados sexagesimales S y el número de grados centesimales C que contiene un ángulo

29) Hallar las medidas de tres ángulos en grados sexagesimales, sabiendo que sumando sus medidas  rad dos a dos se obtiene 12º, 10g y 36 A) 8º, 4º, 1º B) 7º, 5º, 2º C) 6º, 3º, 9º D) 1º, 11º, 7º E) 2º, 10º, 6º 30) El número de grados sexagesimales S y el número de grados centesimales C que contiene un ángulo satisface la relación C  S  2 S , calcular el valor de dicho ángulo en radianes. A) 5/3 B) 9/5 C) 7/3 D) 8/5 E) 7/5

21) S, C y R denotan la medida de un mismo ángulo en grados sexagesimales, centesimales y radianes; 1000R  210 , la respectivamente. Si 100S  10C   medida de dicho ángulo en radianes, es:    A) B) C) 100 50 80 3 2 D) E) 70 95

31) Si M y N son las medidas de dos ángulos complementarios en radianes, calcular M  N ,

22) Para un cierto ángulo que se mide en grados sexagesimales “S” y en grados centesimales “C”, se cumple la siguiente relación de igualdad:

32) Los ángulos de un triángulo rectángulo miden   (6n)º y   (10n) g . Hallar el mayor de ellos en

2

190(C  S)   (SC)(C  S) Calcular la medida de dicho ángulo en radianes. A)1/60 B)1/30 C)1/50 D)1/40 E)1/70 23) Sean S, C y R la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal, centesimal y radial, que satisfacen la siguiente igualdad S  C  R  ángulo medido en radianes A) 2rad B) 4rad D) 3rad E) 5rad

760  2 

. Hallar el

C) 1rad

24) La media aritmética de los números que expresan la medida de un ángulo positivo, en grados sexagesimales y centesimales, es a su diferencia como 38 veces el número de radianes de dicho ángulo es a 5. Determinar la medida del ángulo en radianes. 5 5  A) B) C) 2 4 2 3 7 D) E) 2 2 25) La suma de las medidas de dos ángulos es 80g, y su diferencia es de 18º. Hallar dichas medidas en radianes. A) /3; /4 B) /3; /8 C) /4; 3/20 D) 3/2; /6 E) /4; /3 26) Sean S, C y R los números que representan la medición de un ángulo en grados sexagesimales, grados centesimales y radianes respectivamente, CSR 2S  R  4  2 . cumplen la igualdad 2S  R  4 C  S  R Calcular R. A) /6 B) /5 C) /4 D) /3 E) /2

sabiendo que M  A) /7 D) 5/8

RC 20



B) /13 E) /6

radianes. A) 7/12 D) 3/5

R

2



, R>0; N 

RS 30



7R

2



C) 5/12

B) /7 E) 2/5

C) 3/10

33) Hallar el valor de un ángulo en grados sexagesimales si se cumple la relación 4(R  C)  200  . A)60º D)50º

B)4.5º E)7.5º

C)5.5º

34) Determine el ángulo en radianes, si se cumple: SC CR 3   19 200   4 A) /14 B) /28 C) /35 D) /42 E) /49 35) En el gráfico mostrado. Calcular x.

O

x

 A) 2 +  D) 3 – 

B) 2 –  E) –2 – 

C)  – 2

36) Sean dos ángulos, de modo que el número de grados sexagesimales del primero más el número de grados centesimales del segundo es 101, y el número de grados centesimales del primero más el número de grados sexagesimales del segundo es 108. El valor del ángulo mayor es radianes, es: A) D)

64  180 81 180

B) E)

101 117 160 17

C)

72  150

4| C E P R U 2 0 1 5

1

0

TEMA N° 02 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

0

1

RAZÓN: Es el resultado de comparar dos cantidades, mediante el cociente de ellas RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO Se denomina razón trigonométrica a la relación que se establece entre los lados de un triángulo rectángulo respecto a uno de sus ángulos agudos. Las razones trigonométricas en total son seis y estas son: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante.

B c

a



A

Consideramos C.O. : cateto opuesto C.A. : cateto adyacente H : hipotenusa. razón Seno

H C.A. H C.O. C.A. H

Cos 

b

Sec 

C.A.

Cosecante

a

Cot 

C.O.

Secante

Sen 

Tan 

C.A.

Cotangente

H

Csc  

C.O.

0  Sen  1

1 Cot

Cot 

;

1 Tan

Ejemplos:  

Sen20º.Csc20º  1 Cos15º.Sec15º  1



    Tan   .Cot    1 6    6

xy

a b

A



a

a Tan  b

Tan 

b

b a

Cot 

a

c Sec  b

Sec 

c Csc   a

Csc  

b Cos   c

b c a

Cot 

Sen  Csc   1 1 Sen

c c

Si:     90º

a  Sen  Cos

b c

Tan  Cot

a c b

EN GENERAL: R.T.() = Co R.T.(90º-) Donde: R.T. Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante Ejemplos:

a

Csc  

Cos  

a

c

C

;

b

a c

C

b Sen 

Sen 

 b

a



b

; 1  Csc  

c



c

B

Csc 

 Tan 

c

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECIPROCAS El reciproco de un número es su inverso multiplicativo. Dos razones trigonométricas son reciprocas si el producto de ellos resulta la unidad.

 Sen 

Tan  Cot  1

B

0  Cos  1

;

1  Sec  

1

Cos

c

0  Tan   ; 0  Cot  

a c       1  c a

1

Sec 

;

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Calculemos la R.T. de  y  en el triángulo rectángulo mostrado:     90º

OBSERVACIÓN: Si  es la medida de un ángulo agudo se cumple:

A

a b       1  b a

1 Sec

Tan x  Cot y  1

C.O.

Tangente

 Cos 

Cos x  Sec y  1

definición

Coseno

Cos  Sec  1

OBSERVACIÓN: Sen x  Csc y  1

C

b

b c  c    b   1     

Co R.T. Coseno Seno Cotangente Tangente Cosecante Secante

 

Sen30º  Cos60º Tan15º  Cot75º



Sec  45º  x   Csc  45º  x 



Cos  20º  y   Sen  70º  y 

A S I G N A T U R A:T R I G O N O M E T R Í A |5 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE 45º, 30º, 60º, 37º Y 53º

OBSERVACIÓN: Sen x  Cos y x  y  90º

Tan x  Cot y

45º

Sec x  Csc y

K

60º

K

2K

K

TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS Se denominan triángulos pitagóricos a los triángulos rectángulos cuyos tres lados tienen una medida expresada en números enteros. B

30º

45º

K

K

53º

5K

3K 2ab 37º

4K

A

C

Al hallar las razones de aproximados, se obtiene:

Donde: a y b  Z  ; a>b

los

ángulos

notables

y

B

k: impar; k>1; kZ+

Sen

A

C

Cos

B

2k k: par; k2; kZ A

A

13

5 A

C

12

60º

37º

53º

2 2 2 2

1 2

3 2 1 2

3 5 4 5 3 4 4 3 5 4 5 3

4 5 3 5 4 3 3 4 5 3 5 4

3 2 3 3

Tan

1

Cot

1

3

3 3

Sec

2

2 3 3

2

Csc

2

2

2 3 3

B

B c

30º

+

C

Ejemplo: k=5

45º

RT

5

3

C

12

EJERCICIOS 1)

2)

La hipotenusa de un triángulo es igual al triple de la longitud de uno de sus catetos. Hallar la cotangente del ángulo opuesto a éste cateto. A)

2 2

D)

2

Si:

AB 2  BC 3

B)

2 3

E) 2

C)

2 4

A) 3 D) 6

17

3)



 3  D) 12

 6  E) 10

B)

C) 5

Si Tan(x  y)  Ctg70º  1 ; y

C)30º

Si  y  son las medidas de los ángulos agudos de un x 1 triángulo rectángulo, tal que Sen  , x  R o y x5

Tan  2 6 ; el valor de: E  24Sec  Csc  , es: B)25 C)24 E)30

C) 7/24

C)

B)20º E)45º

A)35 D)20

C

B

7)

Si: Sen  2x  15º   Cos  x  15º  , valor positivo de "x" en radianes, es: A)

B) 4 E) 7

A)50º D)60º 6)

B) 4/3 E) 5/12

Calcular:

Eyx

Tg 

10

A) 8/17 D) 11/60

.

Sen(y  20º )  Csc80º  1 . Calcular el valor de

D

A

Sec10   Csc 8 

Si:

3 Tg 9   4 Cos12

5)

2

, calcular:

4)

 4

el

menor

Si x es la medida de un ángulo agudo, tal que se verifica Sec(x  20º )  Csc(70º  x)  Sen(x  40º )Sec(x  10º )  1 Al calcular el valor de x, se obtiene: A)10º B)30º C)60º D)45º E)25º

8)

Las medidas de los lados de un triángulo son: x, ax, 2ax; calcular el valor de “a”, sabiendo que el ángulo opuesto a “x” mide 120º. A)

7 7

B) 7

C)

7

6| C E P R U 2 0 1 5

D) 9)

1 7

18) Hallar el valor de “x” en: sen(2x  20º ). sec(80º 3x)  1

7

E)

2

En la figura ABCD y DEFG son cuadrados. Calcular Ctg.

G

A)5 B)3 C)4 D)6 E)2

A)10º D)40º

B)20º E)25º

19) En la figura hallar, Tan. Si E es punto medio de AC .

F

B

C

B

60º

A

A

4

6

D

B

5

B)

3

5 2 3

2

E)

46 3

C)

3 3 23 2

20) En



la figura AC es perpendicular AE  4(EC) . Calcular el valor de:

E

D

recto en C; D es un punto del lado AC , tal que

AD  3(DC) , m( BAC)   ; m( DBC)   ; el valor de 8 Tan  Tan  , es: A) 1 D) 2

B) 3 E) 5

C) 0

Tan 2x Cot(60º  y)  2 Cos 60º ; determinar el valor de: E  2 Sen(y  20º )  3 Tan(x  20º ) A) 3 B) 1 C) 4 D) 5 E) 2 son



la

medidas

de

dos

ángulos

complementarios, de modo que Cos 

Tan 

12 5

a2 a3

y

; el valor de E  13 Sen  12 Cot , es:

A)25 D)10

B)13 E)7

B)20º E)58,5º

A)8 D)-6



D

21) Si:

1 Tan45º Sen30º 2 Cos30º 2 ; y Tanx  3Cot60º Calcular: Cot (x–y ) A)2 B)3 D)1 E)0 22) A

partir

E

de

la

2Sen Cos.Cos

A) 1 B) 1/2 C) 2 D) 3 E) 4

C)4/3 figura,

calcular

el

; si AD=DC. B  

A



C

D

B)2 E)1/3

I) C)62,5º

B 10

A

C)1/4

45(Ctg  Csc)

II)

6

26

C B

B 17

8

III)

Cos60º

A

8 16

IV) 25

10

C B 12

C)-3 A

Sen3y Cos3x B)4 E)2

 A

24) En los triángulos rectángulos siguientes:

Sen(2x  y).Sec(x  2y)  1

Cos3y

E

A)1/2 D)4

2Sen45º Ctg53º

B)9 E)-5

Sen3x

A)3 B)5 C)9 D)4 E)2

2

Calcular: E  y  x

Calcular: E 

.

C

E  sen 30º sen60º  tan37º  cos30º

  Sec(y  )  Csc(y  ) 3 6

16) Dado: Sec 

B

23) Hallar el valor simplificado de:

C)12

15) Si se cumple que: Sen(2x  30º ).Sec(20º  x)  1

A)50º D)40º

BD

(Tanx)Tan(y  15º )  1 .

13) Dadas las igualdades: Cos(15º  X)Csc(y  90º )  Tan z Cot z y

y

a

R  5(Sen  Cos)

12) Dado un triángulo rectángulo ACB, con ángulo

A)1 D)0

2 3 3

C

E

F

11) Calcular el perímetro de un triángulo ABC sabiendo que: 35 tanB = 5.tanA = 12 y AB=80m A)180m B)160m C)140m D)200m E)143m

17) Si

A) D)

A

C



D

E

10) En el gráfico mostrado. Si ABCD es un cuadrado donde BF=7 y FE=4. Calcular tan.

14) Si



37º



A)11/7 B)7/11 C)7/5 D)5/7 E)7/4

C)30º

C)6

.

Calcular:

24

C

A

24

C

Los que tienen las medidas correctas, son: A) Sólo I B) I y II C) I y III D) II y IV E) I y IV

valor

de:

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |7

      90º

25) Si

L

sen      cos 

A)1 D)2



,

el

tan   

cot     

B)7 E)9

de

 7 tan      tan 

,

determinar:

Tan 4.Cot 60º  1    20º

IV)

 Csc   Sec( )  2

B)

C)

35) Si  y  son las medidas complementarios, el L  Sec.Csc  Tan.Cot , es:

28) Si , ,  y  son medidas de ángulos agudos, el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I) Sen   Cos(20º )    30º III)

11 12 9 E) 13

11 10 13 D) 10

27) Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: Sen30º  Sen60º I) Cos45º  Cos30º II) III) Tan30º  Tan37º IV) Cot53º  Cos30º A)FFVV B)FVFV C)VFVF D)VVFF E)VVVV

Tan   Cot 2    30º

los lados AB y BC respectivamente, tal que AM = PC , MB = 3 AM , BP = 2 PC y m(  MPD) =  . El valor de tan  , es: A)

 3x  2y  2  3x  2y  Q  tan 2    sec   2    3  5 7 3 A) B) C) 3 3 5 4 2 E) D) 5 3

II)

El valor de L  tan   cot  , es: A)1 B)7 C)8 D)2 E)2 34) Se tiene un rectángulo ABCD, M y P son puntos de

C)8

cos3x.csc 2y  1

26) Si

valor

A) 0 D) 2

B) 1 E) 4

ángulos de

 +

36) Si “ x ” es la medida de un ángulo agudo y  = 22° 30’ , el valor de la siguiente expresión

1  sec (3    x) 1  cot (2  3  x)  , 1  cos ec (  3  x) 1  tan(2    x) es : A) 2 D) -1

B) 1 E) -2

C) 3

37) Se tiene un triángulo rectángulo ACB, recto en C y D AC = DB , m( es un punto del lado AB , tal que  ACD) = 45°, m(  CAB) =  y m(  ABC) =  .

A) 1 D) 3

En la secuencia correcta, es: A)VVFF B)FVFV C)VFVF D)FFVV E)VVVV

de dos valor

C) 3

Calcular el valor de la expresión:

  60º

9 10

38) Si

B) 2 E) -1

sen   sen . tan 

C) 0

sen  x  y   cos10º , y

sec  x  y   csc50º , el valor de x  2y , es:

29) El perímetro de un triángulo rectángulo es 300m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4 el cateto menor mide: A) 30 B) 70 C) 100 D) 50 E) 25

A)35º D)40º

B)20º E)30º

C)24º

39) Si:

L  2sen30º  tan 45º

E  sec 60º  sec 2 45º

30) En la figura el valor de x, es:

A  5  sen53º sen37º 

El valor de A) 3 D) 5

x 6

L  E  A , es: B) 1 E) 2

C) 7

2 40) Sean  y  ángulos complementarios, tales que 3 A) 9 D) 6

B) 12 E) 8

C) 15

tan

Cos   0,8

31) Si:

tan  

, donde  es la medida de un

ángulo agudo, el valor de 3 Csc   4 Sec  , es: A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 32) Siendo  es la medida de un ángulo agudo, 2 además: Tg   5 , el valor de M  1  Csc  , es: A) D)

7 16 11 5

B) E)

11 6 6 7

C)

3  2x 7  5x

y

tan  

  csc   cot  . entonces 2

A) 1/3 D) 1/5

B) 5 E) 1

10x  2 4x  1  cot , es: 2

41) La figura es un cubo, si M y N son puntos medios de las aristas, entonces el valor de

5 tan θ + secθ , es:

33) En el gráfico, AD=DE=EC

N

B

θ

M

  A

D

A) 4 D) 1 E

C

si

C) 3

6 5

37º

,

B) 2 E) 5

C) 3

8| C E P R U 2 0 1 5

1

0

TEMA N° 03 ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

0

1

PLANO CARTESIANO Es aquel que se forma por la intersección perpendicular de dos rectas numéricas en el origen. Estas rectas al intersecarse determinan en el plano, cuatro regiones denominadas cuadrantes. Eje de las ordenadas Y + CUADRANTE + CUADRANTE + II I + + + Eje de las – – – – –+ + + + + O X abscisas – CUADRANTE – CUADRANTE – III IV – –

3)

Simetría respecto al origen de coordenadas Y

P(x;y) r X

O

r P’(–x; –y)

RADIOS VECTORES ORTOGONALES El radio vector ortogonal de (x;y) es (–y;x) 

(x; y)  (  y; x) P’(–y;x)

COORDENADAS DE UN PUNTO Se denomina coordenadas de un punto “P” al par ordenado (x; y) en donde “x” es la abscisa y “y” la ordenada. Un punto se representa por: P(x; y), donde: x: abscisa de P y: ordenada de P

Y P(x;y)

r r

X O

Y P(x;y)

y r

O

X

x

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Un ángulo está en posición normal estándar o canónica, si su vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas y su lado inicial con el semieje positivo de las abscisas y su lado final contiene cualquier punto del plano. Y P(x;y) Lado final 

RADIO VECTOR ( r ) La medida del radio vector es la medida del segmento que tiene por extremos el origen y el punto P(x; y) del Plano Cartesiano, es siempre positivo y su valor está dado por:

PUNTOS SIMÉTRICOS: 1) Simetría respecto al eje de las ordenadas: Y P(x;y) r

r

 y  son las medidas de dos ángulos en posición normal.  positivo y  negativo ÁNGULOS CUADRANTALES Son ángulos en posición normal cuyo lado final coincide con uno de los semiejes del plano cartesiano. Son de la forma:

  (90º )  n; (n  ZZ ) ó  

X

O 2)

 Lado final

r  x 2  y 2 ; r>0

P’(–x;y)

X Lado inicial

O

(n  )

.n ;

Y+

Simetría respecto al eje de las abscisas: Y

 2

I-C

II - C 90º

P(x;y)

180º

r

XX

O

X+ 360º 270º

r

IV - C

III - C YP’(x;–y)

A S I G N A T U R A: T R I G O N O M E T R Í A |9 Los ángulos cuadrantales no pertenecen a cuadrante alguno. Los ángulos cuadrantales de acuerdo a la posición del lado final se expresan en la forma siguiente: 1º) Si el lado final coincide con X    {x / x  2k ; k  ZZ }

NOTA:

Y

2º) Si el lado final coincide con X    {x / x  (2k  1) ; k  ZZ }





4º) Si el lado final coincide con Y 

   {x / x  (4k  1) ; k  ZZ } 2    {x / x  (4k  3) ; k  ZZ } 2

ÁNGULO CENTRAL El vértice que forma el lado inicial y final coincide con el centro de una circunferencia.

L: arco de A a B L

r

: ángulo central

 O

r

X

X

O

  {x / x  (4k  1) ; k  ZZ } 2

Y

P(a; b)

r

3º) Si el lado final coincide con Y 

ó

Q(ak; bk)

r.k

r: radio (medida)

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CUATRO CUADRANTES Teniendo en cuenta que la medida del radio vector es siempre positiva y que el valor de la abscisa y la ordenada de un punto pueden ser negativos o positivos de acuerdo al cuadrante en que se encuentre el punto. Se tiene: Cuadrantes Razones Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

IC

IIC

IIIC

IVC

+ + + + + +

+ +

+ + -

+ + -

O: centro o vértice NOTA: Y

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL. Sea “” un ángulo en posición normal y P(x; y) un punto cualquiera (distinto de O) de su lado final como se observa en la figura. x: abscisa Y y: ordenada r: radio vector

(–;+)

(+;+)

Todas las R.T.

Cosecante (+)

Son

Tangente (+)

Coseno (+)

Cotangente (+)

Secante (+)

X

0

(–;–)

Seno (+)

(+;–)

P(x;y) r  X

O

Un ángulo en posición normal que se encuentra en un cuadrante se puede determinar de la forma siguiente:

  IC



2k    (4k  1) (4k  1)

y

Luego se define:

 2

, k

 2

 x Ejemplo:





Sea el punto P  3 , 3 un punto del lado final de  en posición normal.

  IIC  (4k  1)

Calcular: E  sec   4 3 sen

Luego:

sec   sen  

 3 2  32  2 r x y r

 

2 3  3

 2

3 2 3

Entonces:

 3  E   2  4 3   2 3  E=4

y

ordenada : y =3

radio vector : r 

   (2k  1) , k 

(4k  1)

Solución: abscisa: x   3

 2

3

2k

 2

 (2k  1)

x

10| C E P R U 2 0 1 5

  IIIC  (2k  1)    (4k  3)

Cot   ;  



, k

2

Sec   ;  1 Csc   ;  1

y

x



2

   

1;  

2

   (2k  2) , k  

y

2(k  1)



En ambos casos  y  son las medidas de dos ángulos coterminales.

PROPIEDADES: A) Si dos ángulos son coterminales entonces la diferencia de sus medidas es un número entero de vueltas:

x

    360n     2 n

(4k  3)



B)

2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES Consideremos la circunferencia trigonométrica:

Y 90º (0;1)

; nℤ ; nℤ

Las razones trigonométricas de ángulos coterminales son iguales. R.T. () = R.T. () Donde: RT: razón trigonométrica.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE MEDIDA NEGATIVA Y P(–x; y) P(x; y) Y r

r=1  1

(–1; 0) O

180º

1;  



(4k  3)

  IV C  (4k  3)

  Cot  

ÁNGULOS COTERMINALES Son aquellos ángulos trigonométricos que presentan el mismo vértice mismo lado inicial y final.

(2k  1)





r



(1;0) 0º X 360º

X O

 O

–

r

(0; –1)

X – r

P(–x;–y)

P(x;–y)

270º 0° 0 2k

90° /2 (4K  1)

180°  (2K  1)

2

Sen Cos Tan Cot Sec Csc

0 1 0 ND 1 ND

270° 3/2 (4K  1)

Por ejemplo: y Sen  ; Sen(  )  r x Cos  ; Cos( )  r

360° 2 2k

2

1 0 ND 0 ND 1

0 -1 0 -1 0 1 0 ND 0 ND 0 ND -1 ND 1 ND -1 ND ND: No definido VARIACIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE CUALQUIER MAGNITUD Sen   1;1  1  Sen  1

Cos   1;1  Tan   ;  



Tan 

y r x r

 Sen(  )  Sen  Cos( )  Cos

y y ; Tan( )   Tg( )  Tg x x

En general se tiene: Sen(–) = –Sen()

Csc(–) = –Csc()

Cos(–) = Cos()

Sec(–) = Sec()

Tan(–) = –Tan()

Cot(–) = –Cot()

1  Cos  1   Tan  

EJERCICIOS 1)

2)

Si Tan<0 y Sec=4, hallar: A  16 Sen Cos A)  3

B)  5

D)  15

E)  19

Si

 x , 4

es:

el valor de

A) –5 D) 5 C)  10

tan x  6 sec 4x , S sen2x  cos 8x  cos 4x

3)

B) 6 E) 4

Si Sec x  11/ 3

C) 7

y tanx>0. Hallar el valor de:

E  3Tan x  11Sen x . B) –1 E) 1

A) –2 D) 2

C) 0

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |11 4)

Determine el signo de:

Sen2 200º Cos280º Tan3 300º Csc230º

P

A) (–) D)  5)

Calcular: M  A) –2 D) 2

B) (+) C) + ó E) indeterminado

 2  



Y

X



7 13 D) 6

E)  7)

5 13 6

El

valor

de

la

expresión

   E  cot(4k  1)  sen(4k  3)  cos(4k  1) 2 2 2 k  es:

A) –1 D) –2 8)

B) 0 E) 2

A) 44/25 D) 5/2 9)

,

con

25 22

C) 1

A) 1 D) 5

C) 2/5 son

   E  f    f    , es: 4  4 B) 0 E) 2

C) 3

Sen2x  Sen4x  Sen6x B) –1/2 E) 1



y 2  3x  7

A)   ; 

1  B)  ; 1 2

1 D)  ;   2

E) 1;  

17) Si

R

C)  ; 2



Sec<0

y

Tan>0,

indicar

el

signo

de:

(2  Cos)Sen 2  Sen B) (–) C) (+) ó (–) E) Falta información

Y

(2a–1; a+4)

A) 2

 X

o

E)5 2

19) En que cuadrantes se encuentra “”, si se cumple que:

1  Cos Sen

0

A) IC y IIC B) IIIC y IVC C) Depende de  D) Todos los cuadrantes E) Ningún cuadrante

D) –1

E) – 2

21) Del gráfico, calcular el valor de: L = Sen – C os

13) La ubicación del punto P(x;y) determina a  y  como dos ángulos en posición normal con  >  y que

1

C) –2

12) Las medidas de dos ángulos coterminales son entre si como 1 es a 10. Hallar el mayor de dichos ángulos, si el menor se encuentra comprendido entre 190º y 230º. A)2200º B)2000º C)2220º D)1640º E)2360º

menores

1 n

20) Si (a+1; a–1) es un punto del lado final de un ángulo “” en posición normal, donde la longitud de su radio vector es la mínima posible, calcular: E  Sec.Csc  A) –4 B) –3 C) –2

Cos2x  Cos4x  Tanx  4Sec4x

A) 1/2 D) 2

E)  61

D)4 2

11) Si x   / 4 , hallar:

R

D)  42

C)  39

C)3 2

sen(2)  cos(4) , entonces el valor de la tan(8)  csc(6)

expresión

B)  26

B)2 2

Sen.Cos.Cot

B) 25/44 E) 22/25

f () 

A)  13

18) De la figura, hallar “Csc”

De los siguientes ángulos, indicar cuáles coterminales: α = –3 106º; β = 854º y θ = 5186º A) α y β B) β y θ C) α y θ D) Todos E) Ninguno.

10) Si

 8 ;   IIIC

A) (+) D) Absurdo

Si P(–44;–117) es un punto del lado final del ángulo  en posición normal. Hallar: k 

Cot1

Sen 



13 6

C)

C) 0

16) Hallar entre que valores varía “n” si se cumple que:

(3, 2)

13 B)  6

B) –1 E) 1

15) Dos ángulos coterminales son entre si como 2 es a 11. Hallar la medida del mayor de dichos ángulos, si el menor se encuentra comprendido entre 90º y 180º. A)825º B)858º C)880º D)902º E)935º

E  sec   csc 

5 13 6

A)

X (6;–2)



En la figura, calcular

Sec

Calcular: “Csc”

Y

6)

Tan

6

 25

14) Si se cumple que:

En la figura, hallar E  (Sen  Cos) 2

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5

Sec

360º;

además

y 2  2x  10

y

A) 0 B) 1 C) –8/5 D) –1/5 E) 1/2

 x

 P(3;–4)

22) Si “” es un ángulo positivo menor de una vuelta tal que: Sen<0 y cos<0, determinar los signos de:  2  Sen ; Tan ; Sec 3 4 2

12| C E P R U 2 0 1 5 A) +;+,+ D) +;–;+

B) +;+;– C) –;+;+ E) –;+; –

23) Si 9Tan   16  0 ; y 2

3    2 , calcular el valor 2

de E  Csc  Cot A) 1 D) 0,45

B) 0,75 E) 0,25

C) 0,50

31) Del gráfico, calcular A=Sec – Csc A)

1  Sen 24) En que cuadrante se encuentra , si: 0 Tan A) IC y IIIC D) IIC y IVC

mayor que 1200º y pero menor que 1500º, el mayor ángulo, es:. A) 1560º B) 120º E) 1440º D) 1000º E) 150º

2 2

C) –

2

D) –2 E) 0

B) Sólo IIC C) Sólo IVC E) Todos los cuadrantes



B) 2

2

P(a+1;–3)

25) De la figura, calcular: E  13Sen  3Tan

Q(–5; a–1)

y

32) Calcular el valor de:

    E  Tg  Sen  Cos    Cos Tg  Sen    2    A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

A) 1 D) 4

 x

    90º y 220º    260º . Calcular

( 3; 4) A) 26) Los ángulos coterminales  y  están en la relación de 1 a 7. Si el ángulo  está entre 90º y 180º, entonces el valor de. "    " , es: A) 120º D) 980º

B) 840º E) 1000º

C) 960º

II)

  Sen  (4k  1)   1 ; 2    Csc  (4k  3)   1 ; 2 

III)

Sec  (2k  1)   1 ;

IV)

Cos  2(k  1)   1 ;

k k

2

34) En la figura, ABCD es un cuadrado. Calcular: E  Cot.Cot

Y

2

A) 1,2 B) 1,8 C) 2,2 D) 2,4 E) 2,6

B(0;12) 

D

X 

 2

, k

 2

, k

A) 3 B) 7 C) –1 D) –7 E) 5 36) De

y



la

Tan 

   2k , k 

La secuencia correcta es: A) FVFV B) FVFF D) FVVF E) VVFV

5 Csc + Ctg

P(–1;2)

   (2k  1) , k 



4 5

3 7

35) Del gráfico, calcular: A =

C) VVVV

III)   IIIC  (2k  1)    (4k  1) IV)   IV C  (4k  1)

E) 

C)

k

  IC  2(k  1)    (4k  3) 

5 3

5 4

A(–5;0)

28) En el orden correspondiente, indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F)

II)   IIC  (4k  1)

D) 

B)

 . 

k

La secuencia correcta es: A) VFVF B) FVFV D) FVVF E) FVVV

I)

1 2

C

27) En el orden correspondiente, indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) I)

C) –1

33) Si "" y "" son ángulos coterminales, tal que



( 12; 5)

B) 2 E) 0

siguiente

Sen  Sen 7Cos

x

figura,

calcular:

 Cot

(a  b;b)

y

C) VVVV

29) Si el valor de la expresión   4  5   es número real, donde los números 4 y 5 son medidas de arcos en radianes y  es la medida un ángulo cuadrantal, el valor E  Sen  Cot  Cos , es: A) 1 B) 2 C) –1 D) –2 E) 0

un las de de

30) Dos ángulos coterminales en posición normal están en la relación de 1 a 13, si la diferencia de ellos es

A) 1 B) 2 C) 4





x

D) 5 E) 0

 (a;a  b)

.

A S I G N A T U R A: T R I G O N O M E T R Í A |13 1

0

TEMA N° 04 REDUCCIÓN DE ÁNGULOS

0

1

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE ANGULO DE REFERENCIA: Es el ángulo determinado por el eje de las abscisas y el lado final del ángulo en posición normal. Las razones trigonométricas de este ángulo solo se diferencian en el signo, en algunos casos, con las razones trigonométricas del ángulo en posición normal correspondiente, depende del cuadrante en el que se encuentre el ángulo.

Tan = Tan( – 180º ) Cot = Cot( – 180º ) Sec = –Sec( – 180º ) Csc = –Csc( – 180º ) III) Si 270º<<360º, entonces R.T.() = R.T.(360º – )

R.T.() =  R.T.(r)

Y

P(x;y)

Y



X

O 360º–



X O

P(x;y) REDUCCIÓN DE ÁNGULOS POSITIVOS MENORES QUE 360º

Sen = –Sen(360º –  )

I) Si 90º<<180º, entonces

Cos = Cos(360º –  )

R.T.() = R.T.(180º – )

Tan = –Tan(360º –  )

Y

P(x;y)

Cot = –Cot(360º –  ) Sec = Sec(360º –  ) Csc = –Csc(360º –  )

 180º–

X O

EN GENERAL: Para ángulos de la forma: (n.   )

(n.180º   ) ó

R.T.(n.180º   ) = R.T.() ; nZ; ó R.T.(n.   ) = R.T.() ; nZ Sen = Sen(180º –  ) Cos = –Cos(180º –  ) (II) (impar)  

Tan = –Tan(180º –  ) Cot = –Cot(180º –  ) Sec = –Sec(180º –  )

(2k+1)π

X

Csc = Csc(180º –  ) II) Si 180º<<270º, entonces









2kπ

X

(par)  

(impar)   (III)

R.T.() = R.T.( –180º)

(IV)

NOTA: El signo depende del cuadrante al que pertenece el ángulo n.  .

Y  –180º

(I) (par)π+

O

X

Ejemplo: a) Reducir: Sen(2k  1)  30º Solución:



X impar

Sen[(2k  1)  30º ]   Sen30º IIIC

P(x;y) b) Reducir: Cos12  60º Solución:

Sen = –Sen( – 180º ) Cos = –Cos( – 180º )

EN GENERAL:



X par

Cos [ 12   60º ]   Cos60º IV C

14| C E P R U 2 0 1 5 Para ángulos de la forma: [(2n+1).90º  ] ó [(2n+1)

 2

 ]

R.T.[(2n+1).90º  ] = CO-R.T.() ; nZ;

   b) Reducir: Tan 341  2  2  

ó

o

 ] = CO-R.T.() ; nZ

R.T.[(2n+1)

4 1

Solución:

Tan[(341) Y

 (4  1) 2 o

 (4  1)   2 (II) o

o

(4  1)

Y

 2]  Cot2

IIC

  2

(I)







 2

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS POSITIVOS MAYORES QUE 360º ó 2 rad.

Y P(x;y)

 X



(III) o

(4  1)

  2

(IV)

 Y

O n.360º 



o

(4  1)

 (4 1) 2 o

  2

Sen(2n   ) = Sen Cos(2n   ) = Cos

NOTA: El

signo depende del cuadrante al que  pertenece el ángulo [(2n+1)  ]. 2 Ejemplo:    a) Reducir: Cos (4k  1)  60º  2  

Tan(2n   ) = Tan Cot(2n   ) = Cot Sec(2n   ) = Sec Csc(2n   ) = Csc EN GENERAL:

Solución:

R.T.(n.360º   ) = R.T.() ;

o

41

Cos[4k  1) Y



 2

 60º ]  Sen60º

nZ; ó

R.T.(2n   ) = R.T.() ;

nZ

A) –2 D) 1

C) 0

IIIC

EJERCICIOS 1)

2)

El valor de

tan(240º )  csc(330º ) , es: tan(315º )  cos(120º )

A)

42 3

B)

42 3

D)

6 3

E)

22 3

Al

simplificar

E

C)

B) 0 E) 1

la

7)

D)

3 2

B) 2 E)

x  y  360º E  Sen x  Sen y  Tg x  Tg y

3

C)

A) 1 D) –2

2

0

3 D) 3

B)  E)

C) 0

Reducir:

8)

E  Tg1500º  Sec 2040º  Csc  2670º  3

Sen 2x Cos 2y  Sen 2y Cos 2x

B) –1 E) 2

Simplificar:

Calcular:

A)

5)

Si:

 2

E

A) –2 D) 1

, resulta:

E  Tg 2040º  Tg 2460º

4)

xy

Calcular:

expresión

C) 2

Si:

Calcular: A)

B) –1 E) 2

6 3 6)

sen(90º  x) cos(360º  x)  sen(180º  x) cos(270º  x)

A) –1 D) –2 3)

E

3

C)



3 3

1

Calcular:

E  Tg10º  Tg 40º  Tg140º  Tg170º

9)

B) –1 E) 2

Tg

C) 2

41 4

A) 1

B)

D) –1

E) 

C) 

2

2

3

El valor de

 7    100   31  sen   cos   tan   3 3      6  R , es:  21   17   cot  sec     4   3 

A S I G N A T U R A T R I G O N O M E T R Í A |15 A) D)

1 2 1 8

B)

3 8



C)



D)

1 2

19) Sabiendo que:

 37   23  a.Sen     .Cos     1  2   2 

E) 2

10) Al

simplificar

la

expresión

    7  cot      csc      sec     2   2  , se obtiene: sec 16    A) D)

B) E)

sec  csc 

11)

tan 

 sec 

C)

csc

Al

simplificar:

 101   14   sec     csc     2  .  2  S , resulta:  1011   14   sen     cos     2   2  A)

sen 2 .cos 2 

B)

sec 2 

C)

csc 2 .sec 2 

D)

cos 2 .

E)

sen 2 .sec 2 

Calcular E  Tan  Cot A) a D) – a2

B) – a E) –1/a

B) –2 E) 2

 341  Ctg      Ctg  2    Calcular Sec     2   A) 4 D)

E) 2

2

 41    2 

21) Dado: Cos(5x  2y)  Sen 

A) 1 D) 3

C) 0

D)

3

B) 

3

E)

8

B) 1 E) 2

8

C)

1

H  Tg

23) Si:   

4

Q

 11  Tg      Cot(11  ) 2   A  13  Cot(10  )  tg     2  B) 1

D) Cot 2 

E) Cot 2 

C) Tg2 

12

A)

7

2

 Tg

12

2

 Tg

B) 22 E) 26  3

5 12



2

 Tg

12

C) 20

, calcule:

Sen( 15   )Cos(92   )  927   1683   Sec     Csc     2   2 

3

1

B) 

16 1 D)  5

E) 

C) 

4 3

3 14

16

24) Según la figura:

15) Calcular: S  Cos1º Cos2º Cos3º  B) –1 E) 2

11

A) 28 D) 24

8

3

A) 1

C) 0

22) Calcule:

14) Reducir la expresión:

A) –2 D) 1

C)  2

B) 2

2

8

y se cumple que:

2 Sec (Csc 315º )m   3x  y    k ; m Z Z Sec (Sec300º )m   2x  3y 

13) Calcular el valor de: M  Cos60º .Cos600º .Cos6000º A) 

C) a2

Hallar el valor de:

    270º Sen  Calcular: E   Tg  Tg  Cos

1

3 2

20) Si:   ;

12) Si:

A) –1 D) 1

E) 3 3

3

 Cos180º



C) 0

 O

16) Hallar la relación que existe entre “a” y “b”. si se cumple:

 2a  3b   3  a  2b  Sen    Cos  0 2  6    A) a=b D) a=5b

B) a=2b E) a=9b

C) a=3b

sen450º Sen(90º  x).Cos(360º x) Sen(90º  x)Sec(360º  x)  Sen( x).Cos(270º x) B) Cot 2 x

D)

E) 1

Cot 2 x

E

Cos(  )  Cos  Cos  Sen    Sen  Sen  6 

A) 2 D) 1

17) Reducir la expresión:

A) Tg2 x

Calcular el valor de:

C) Tg2 x

3 3

 Cot(20k )º

k 1

B) 0 E) 16

C) 1

26) Si n  ZZ , calcular:

18) Simplificar:

A) 

C) 2

8

25) Calcular

A) –1 D) 4

P

B) 4 E) 3

Sen2210º Tan( 675º )  Cos1840º Sen( 700º )  Tan1500º  cos1150º B)  3

C)

3 3

    Sen (12n  1)  .Cos (16n  1)  3 4   P   Sec (24n  1)  4  

16| C E P R U 2 0 1 5

6

A)

B)

4 3

D)

6

C)

3

A)

3 2

33  23  41 Cos Tg 4 3 6 E 19  23  11 Ctg Sec Csc 6 6 3

A)

3 3

D)

3 24

B)

3 4

E)

2 16

C)

E

3 12

A)

3 2



3 2

D)

29) Simplificar:

E

A) D)



E)

1 2

B) E)

3

2

 Cos x Sen x

C) Sen x

B) 1 E) –2

D)

1 2

3 2

C)



3 2

2

33) Simplificar:

 a  b  2 Sen 810º 6ab Cos  90º   4ab Cos 540º 11 2 2 2 9 a Cos 50   b Sen  2ab Sen 2 2 A)

 a  b 2

D)

2

B)

C)

2a 1 E)

2

34) Simplificar: 2

P

2

2

2

(x  y )Sen1350º (x  y )Cos1980º 2

C) – 2

2

B) Sen

D) Tan

E) 1

2

(x  y) Cos900º (x  y) Sen1170º

C) Tan

Sen6540º Sec7590º Tan4290º

A)

5 3 2

B)

7 3 2

D)

7 3 2

E) 

C)

5 3 2

7 2

Sen(180º  x).Cos(90º ).Cosx Sen(180º ).Cos(90º  x).Sec(90º ) B) 3 E) 9

C) 1/9

39) Simplificar:

R

Sen40º Sen220º Sen320º Sen130º Sen230º Sen310º B) 2Tan50º E) 3Tan40º

C) 3Tan50º

40) Simplificar:

Cos 350º  Sen 100º  Cos170º Sen 170º  Cos 280º 2 Tg10º B) 3 Ctg10º C) Tg10º 3 Ctg10º E)  1 2 P

A)

Cos1090º  Cos1040º  Cos1590º Sen 2060º Sen 2110º

E)

2 2

A) Cos 

A) 1/3 D) 1/2

A) D) 32) Reducir:

B)

E)

A) 2Tan40º D) 3Tan60º

Sen  9   a  Sec  2   a  Ctg  a  3   Cos  9   a  Tg  a  5   1 B)  Csc a C)  Sen a Sen a E) Csc a

1 2

D) 2 2

C) –1

E



y 2x

38) Si: Csc.Secx  3 ; hallar:

31) Simplificar:

A)

B)

R

 3   5  Sen   A   Cos   A  2   2  E  7   9  Sen   A   Cos   A  2   2 

E

A) –2 2

37) Calcular:

30) Simplificar:

A) 0 D) 2

y

Cot(3  3  45º )  CosSec  8  8  90º  Sen   2  

2

C)

Sen  5   x   Tg  8   x   7  Ctg  x  2 

Cos x  Sen x

E) 

2x

  Cos.Sec     .Sen 2   M   an.Sen     .Tan 2  

10   14    Tg    3  3 

1 2

B)

C)

y

36) Si  y  son complementarios, calcular el valor de:

28) El valor de:

3 Cos

x

35) Si:  y  son ángulos coterminales, simplificar:

Sen

27) Calcular:

B)

D) –xy

E) 3

4

x 2y

D) 41)

Sen 4160º es equivalente a: A)  Sen 80º B)  Sen 100º C)  Sen 140º D)  Sen 160º E)  Sen 170º

42) Si los ángulos internos de un triángulo ABC están en progresión aritmética (A
P

Sen(A  2C  3B) Sen(B  C)

A) –2 D) 2TgA

B) 2 E) 2CotC



Cos(B  2A  3C) Cos(B  C) C) 0

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |17 1

0

TEMA N° 05 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

0

1

IDENTIDAD: Una identidad es la igualdad de dos expresiones matemáticas que al asignar cualquier valor real a sus variables siempre se obtiene una igualdad numérica. 2

2

2

Ejemplo: Sea (a  b)  a  2ab  b

a2

Para 2

y

b5

2

entonces

se

tiene

que:

2

(2  5)  2  2(2)(5)  5

IDENTIDADES PITAGÓRICAS:

 2 2 Sen   1  Cos  Sen   Cos   1   ;   R 2 2 Cos   1  Sen   2

2

Tan   1  Sec 

2

Tan2  Sec 2  1 ;  2 2 Sec   Tan   1



     R  (2n  1) / n  Z 2  

2

Cot 2  Csc 2  1   2 2 Csc   Cot   1

2

1  Cot   Csc 



  R  n. / n  Z

4

4

2

2

6

6

2

2

Sen x  Cos x  1  2Sen x.Cos x



Sen x  Cos x  1  3 Sen x.Cos x



Tanx  Cotx  Secx.Cscx



Sec x  Csc x  Sec x.Csc x



49  49

2

las llamaremos identidades auxiliares. Mencionaremos los siguientes:

 

2

2

(1  Senx  Cosx)  2(1  Senx)(1  Cosx)

1  Senx Cosx 1  Cosx Senx

Cosx

 

1  Senx Senx 1  Cosx 2



(Senx  Cosx)  1  2Senx Cosx



Sen x  Cos x  Cos x  Sen x

4

2

4

4

Cos

Cot 

Sen

2

2

2

Sec x  Tan x  1  2 Sec x Tan x



Csc x  Ctg x  1  2Csc x Ctg x



Sec x  Tan x  1  3Sec x Tan x



Csc x  Cot x  1  3Csc x Cot x



Sen x  Cos x  (Senx  Cosx)(1  SenxCosx)

4

4

2

2

6

6

2

6

6

2

3

2

2

3

4

2

2

Sen x  Cos x  1  2Sen x.Cos x

 Tan.Cos  Sen

En efecto: Se tiene la identidad pitagórica 2

2

Sen   Cos   1 Elevando al cuadrado y desarrollando

     R  (2n  1) / n  Z  2  

Cos

4



4

Sen

2

DEMOSTRAR:

IDENTIDADES POR COCIENTE:

Tan 

2

2

Sen   Cos   (1) Sen   2Sen Cos   Cos  2

2

2

 Cot.Sen  Cos

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

1

4

Sen   2Sen Cos   Cos   1

  R  n. / n  Z

4

4

2

2

 Sen   Cos   1  2Sen Cos 

IDENTIDADES RECÍPROCAS:

Sen  Csc  1

 Sen 

Csc  

  R  n. / n  Z

1 Csc  1

;

DEMOSTRAR:

Tanx  Cotx  Secx.Cscx En efecto: Utilizando las identidades por cociente y desarrollando se tiene:

Sen

Tanx  Cotx  Cos  Sec  1

 Cos 

Sec 

1 Sec 1

;



     R  (2n  1) / n  Z  2  

Tan  Cot  1

 Tan 

Cot 

1 Cot 1

;

Tan

     R  n / n  Z   2  IDENTIDADES AUXILIARES Además de las identidades fundamentales, hay otras que por encontrarse frecuentemente en problemas, es conveniente recordarlas para facilitar la solución de éstos y porque su verificación es sencilla, algunas son resultado directo de las identidades algebraicas a éstas



Cosx Senx

2



Cos

Senx C os x

2

Sen x  Cos x C os xSenx

1

C os xSenx 1 1  . C os x Senx

 Secx.Cscx

(ident. Pit.)

(ident. Recip.)

 Tanx  Cotx  Secx.Cscx A) PROBLEMAS DE DEMOSTRACIÓN. Para demostrar una identidad se tiene las siguientes recomendaciones.  Se puede partir de una identidad conocida o ya demostrada y haciendo uso de las identidades fundamentales se consigue la igualdad que se quiere demostrar.

18| C E P R U 2 0 1 5 Se puede escoger uno de los miembros de la identidad que se quiere demostrar, generalmente el más complejo, y mediante uso de las identidades fundamentales se trata de obtener una expresión igual al otro miembro.  Se sugiere, cuando no se tiene a la vista el camino a seguir, poner las expresiones en términos de seno y coseno Ejemplo: Demostrar que: 

Ejemplo: Si Senx – Cosx = 0.5 El valor de E = Senx.Cosx, es: Solución: Elevando al cuadrado desarrollando

 Senx  Cosx 

En efecto: Utilizando las identidades y desarrollando se tiene:



2

1

2

(

Cos 

Cos 1 Cos.Cos

)

2

 1   2

2

2

1 2

2

Sen x  Cos x  2SenxCosx 

Sen

1

Cos.Sen

1

2SenxCosx 

4

Sen  Cot

2SenxCosx  

 Sec (1  Sen )Csc  Cot 2

SenxCosx 

y

2

Sen x  2SenxCosx  Cos x 

Cos



expresiones

 Senx 2  2SenxCosx   Cosx 2 

2

Sec (1  Sen )Csc  Cot

Sec (1  Sen )Csc 

ambas

1 4

1 4 1

4

1

3 4

3 8

B) PROBLEMAS DE ELIMINACIÓN DE ÁNGULOS. Consiste en eliminar las expresiones trigonométricas y hallar una expresión algebraica que no contiene variables angulares. Ejemplo: Eliminar  a partir de: Sen = a y Cos = b. y hallar una relación entre a y b. Solución: Elevando al cuadrado ambas expresiones y sumando miembro a miembro se tiene:

D) PROBLEMAS DE REDUCCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN. Consiste en expresar la ecuación dada en su mínima expresión para ello se utiliza las identidades fundamentales. Ejemplo:

 Sen

E  Sen x  Cos x  2 Cos x

2

 a2

 Cos

;

Sen2  a2

2

4

4

2

2

2

2

2

2

2

E  (Sen x  Cos x)(Sen x  Cos x)  2 Cos x 1

Sen2  Cos2  a2  b2

2

2

2

2

2

E  Sen x  Cos x  2 Cos x

1 a b 2

4

Reducir: E  Sen x  Cos x  2 Cos x Solución: 4

 b2

Cos2  b2

;

3 E 8

2

E  Sen x  Cos x

 a2  b2  1

1

 E 1

C) PROBLEMAS CONDICIONADOS Dado una o varias condiciones se pide hallar una relación en términos de las condiciones dadas.

EJERCICIOS 1.

En la identidad:

1 cos  2



1 tan  2



1 1  , la M cot 2 

5.

A) D) 2.

Si

B)

sen cos 

cos 

C)

sen  2

6. al

6

evaluar

A) 2M D) 4M 3.

B) 5 E) 1

la

B) 16 E) 24

n 2  2n  m2

C)

n m  n

E)

n 2  m2  2n

2

2

de

sen  1  sen 2  ,

Si

n 2  m2  n

D)

m  n  2m 2

2

de

entonces

el

valor

de

Si

2

B) 2 E) 1

C) 0

Ax  (sen)x  (cos ) x y R 

A)

 cot 2  B) tan 2 

D)

sec2 

Si

E)

R sec4  , es:

C) 1

entonces

E  sec x  sec x  sec x  5 , es: A) 7 D) 1

A 2  A 4  A6 , A 2  A 2

cos2 

tan x  cos x  1 , 3

B)

valor

C) 1/4

entonces el valor de la expresión

8.

tan 2 x  n tan x  1 , resulta: A)

valor

7.

C) 48

Al eliminar x del sistema: sec x  m  csc x ,

B) 3/2 E) 5/4

A) –1 D) –2

C) 3 el

el

E  csc   tan  es:

expresión

6

1 Si sec   tan   , entonces 8 E  65cos   63cot  , es: A) 36 D) 32

4.

4

entonces

4

2

E  3sen x  2sen x  3cos x  2 cos x 4

,

E  sen x  cos x , es: A) 3/4 D) 1/2

E) 1

M  senx cos x ,

senx  cos x  2 4

expresión M es: 2

Si

2

B) 3 E) 4

C) 0

el

valor

de

A S I G N A T U R A T R I G O N O M E T R Í A |19 9.

tan 3   cot 3   4 , entonces un valor de

Si

tan 3   cot 3  , es:

5

A)

5

D) 2

B) 4

5

E) 5

5

10. Simplificar: 2

E  Secx(Cscx  1)  Cosx(Sec x  Cscx) A) Tgx D) Ctgx

B)Tg2 x C) Ctgx Secx E)Secx Sec3x

11. Simplificar: 2

 Secx.Cscx  Tgx   Secx.Cscx  Ctgx     Cscx Secx    

2

E =

A) –1 D) Sec2X 12. Si:

B) Csc2 X E) 0

Tg   Sen  

Calcular: A) 3 D) 6

C) 1

2

E  sec   cos  B) 5 E) –1

C) 7

2

 Cscx  Ctgx     Cosx  1 

B) Cos2 X E)2

2

C) 1

Secx  Cosx  2

D) 1

E) 3

2



Secx  Cosx  1

C) 3

E=

4

(Tgx  Senx)(Tgx  Senx)

B) E)

C) 3

C)

6 1

8

E) 1

2



 4  Secx

3

5

B)

2 5

E) 

2

C) 

3 2

5 3

7

2

4

2

2

E  Sec x  Csc x , en términos de . A)Cos2  D)Tg2

B)Sec2 E)Ctg2

C)Csc2

2



Cos2x

B) E) Secx

1  Sen x Cosx  Senx Cosx C) Tanx

 1  Cosx     Senx 

B) 4 E) –1/2

(Cscx  2Cosx) A)2 D) 1

n

 Sen x.Secx  Cos xCscx

B) 4 E) 0

C) 3

2

C) 3

A) a D) 2 a

4

2

B) 1 E) 2(a + 1)

2

2

C) a + 1

29. Al hallar una expresión equivalente de:

E  Secx  1  Secx  1  Donde x0; , se obtiene una expresión de la 2 aCosx

forma:

b  cSenx

A) 2 D) 1

. Hallar E  a  b  c

B) 3 E) 5

C)4

30. Si se cumple que nTgx = m, hallar. E=

2

Sen x  Senx  1 , calcular: 4

2

E  Cos x  Cos x B) 4 E) 5

n

1

4

Cscx  Ctgx  1

Senx

Secx  2Senx

E  Sec x  aCos x  Tan x  2Sec x.Tan x  aSen x

Secx  Tgx  1

1  Cosx

A)2 D) 1

Ctg x

28. Simplificar.

12

18. Calcular a para que la siguiente igualdad se convierta en una identidad. a

19. Si

C) 5 3

27. Calcular n para que la siguiente igualdad se convierta en una identidad.

17. Reducir:

A)2 D) –1/3

A)

Tg x  Sen x  Tg x.Sen x

1 6 6 2 2 2 (Sen x  Cos x)  (Cos x  Sen x) 4 1 3

A) D) Cscx

D) 3 2

4

16. Reducir:

Sen3x

B) 2 2

2

2

4

B) 4 E) 0

E=

2

26. Si Sen   Sen x  Cos x . Hallar 4

5

E)  a  1

2

A)

D)

15. Simplificar:

D)

2

22. Si: Tgx – Cscx = 1, calcular el valor de E = (Cscx – Cosx)(1 +Ctgx) A) 2 B) 4 C) 3 D) 1 E) –5

2

Sec x  Cos x  1

1

4 1

a 1

C)

calcular el valor de : E = Senx + Cscx

B) 4

A)

2

2

2

A)2

1

2a  1

3a  1

B)

Secx  1 Cscx  1 2

3

D)

2

Tg x

Sec x  Cos x  2

1

a 1

25. Sabiendo que:

14. Simplificar:

E=

A)

2

 Tgx  Secx    Senx  1 

A)2 D) 1

21. Si: Secx = a + Cscx , determinar: E = Tgx + Ctgx – 1, además se sabe que xIIC, a>1

E  Ctg x  Cscx

E= 

E=

C) 3

24. Si: Ctgx + Cosx = 1, calcular:

13. Reducir:

A) Tg2X D) Ctg2 X

B) –4 E) –5

23. Si: Tgx – Senx = 1 , calcular: E = Secx.Cscx – Senx + Cosx A) –2 B)2 C) –3 D) 4 E) –1

5 2

3

A) –2 D) –1

5

C) 3

3

20. Si Cos x  Cosx  n ; Sen x  Senx  m Calcular: E = mCscx + nSecx

m n 2

A)

C) 3

2

m n 2

D)

m

m n 2

B)

2m

mSenx  nCosx nSenx  mCosx

2

2

2n m n 2

E)

2

n

m n 2

C)

2mn

2

20| C E P R U 2 0 1 5

31. Sabiendo que: Senx = Ctg y Sen = Ctgx, calcular el valor de 2

Tg x

E A) –2 D) 5

4

Csc 

B) 2 E)6



Csc x

Calcular E = Cscx (Sen – Cos ) A) 

2

2  Cos x  Cos x

D)  2

4

A) –2E 2 D) –4E 4

B) –1E1 E) 0E1

C) –3E0

43. Al simplificar la expresión queda:

Secx  Cscx  m 2

2

E  1

Tg x  1  nTgx B) n2 - m2 = 2n D) n2 - m2 = -2n

34. Reducir. E  Tg x

4

E  Sen x  Cos x

C) Senx

n

2

E) 1

2

2Cos x  Sen  1

A) n2 + m2 = 2n C) n2 - m2 = 3n E) n3 – m3 = 2n

C) 3

2

42. Hallar el intervalo de variación de E si:

33. Eliminar x de las ecuaciones.

2

B)

5

2

B) Secx E) 0

Sen  Cos

2

Sen 

C) –3

1 P 

Sen  Cos

Tgx =

32. Calcular P para que la siguiente igualdad se convierta en una identidad.

A) Cosx D) 1

41. Sabiendo que:

2

Tanx  Cotx 

con x0;

4

 1

2 Tanx  Cotx



A) 2Sen x B) SenxCos x C) 2Cosx D) Senx + Cosx E) Senx – Cosx

 Sec x i

i1

A) Senn x B) Secx C) Secn–1 D) Secx(Secx+1)(Secnx–1) E) Secx(Secx+1)

n 1

x  Sen

Sen

n 1

x  Cos

2n

2n

A) 2 D) –4

B) 6 E) 4

x  Cos

x

n1

n1

x  Sen



Senx ab2

A) =a–b C) a2b = 1 E) a + b = ab 37. Si:

Senx a 2



Cosx a2

B) + = 3ab D) a2 + b2 = 2ab

Cosx b

2



b2

Tanx c

, calcular el valor de

B) b2c2 E) 3

8

B) 3 E)4

D  (1  sen x )(1  cos x )(1  sec x )(1  csc x )sec 2 x

sen4 y

47. Si

2

2

A) = B) q2 + r2 = (q2 + p2 )3 C) p3q2 = (p2 + r2 )3 D) r2 – q2 = (p2 + 2r2 )3 E) 4pqr = (p2 + 2q2 )3

5 B) 2

D) 1

E) 3

48. Si tan x 

 1 , donde x , y son agudos; el sen4 x 2



cos 4 x 2

cos y C)



5 , es : 2

3 2

cos y  b sen y ; (x , y son agudos ). Hallar sen y  b cos y

el valor de

D

39. Sabiendo que:

mSenx – nCosx = m+1 ; nSenx + mCosx = n+1 determinar el valor de E = m + n + 1. A)2 B) 0 C) 3 D) 4 E) –2

1  Senx

cos2 x

7 A) 2

(q2 + r2 )3

1  Senx

cos4 y

sen y

pCos x.Senx  q ; pSen x.Cosx  r

m



C) secx

valor de la expresión: D 

38. Eliminar x en:

40. Si se sabe que x0,

C) 1

46. Al reducir y simplificar la expresión:

sen x C) 2ab2c

2

C) 2m

E = tgx – Ctgx

2

A) a2b2 D) 4

2

Sec .Csc 

Se obtiene: A) tanx B) cotx D) cscx E) 1

E  a (a  b )

p2q2r2

8

A) 2 D) 5

, Secx. Cscx = 3

2

2

B) m–2 E) –m

C) 3

b

2

Ctg   Tg 

Tg x  Ctg x  47 , calcular

45. Si

x)

36. Eliminar el parámetro x si:

a

2

A) m+n D) m

n 1

Hallar el valor de:

E  Sen x  Cos x  n(1  Sen

2

E

35. Sabiendo que tara todo x se cumple que n 1

Cos   Sen   m , Hallar

44. Si

 2

valor de E  m  n A)2 B) 0 D) 1 E) 5

A) b2 D) b + 1

2

, calcular el

A)

a m 1 b m 1

D) a+b+m C) 3

B) b2 – 1 E) b – 1

C) b2 + 1

49. Si tanx + secx – mtanx = a cotx + cscx – mcotx = b Hallar el valor de tanx.

 , y además

, n  (Tgx  Secx  1)

(bsen y  cos y)(sen y  b cos y) 1 . sen x cos x

B)

a  m 1 b  m 1

E) 1

C)

am bm

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |21 1

0

TEMA N° 06 ÁNGULOS COMPUESTOS

0

1

Sean los ángulos consecutivos  y . Desde un punto

IDENTIDADES AUXILIARES

cualquiera P, del lado final del ángulo , tracemos PA



Sen(  )  Sen(  )  Sen   Sen 



Cos(  )  Cos(  )  Cos   Sen 



Tan  Tan 



Tan  Tan 



Cot  Cot 



Cot  Cot 



Tan  Tan  K  TanTan   K ; K  Tan(   )

Relacionando convenientemente se tiene: R.T. DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS



Tan  Tan  K  TanTan   K ; K  Tan(   )

Sen(   )  Sen.Cos  Cos.Sen



Senx  Cosx 

2Sen(x  45º )

Cos(    )  Cos.Cos  Sen.Sen



Senx  Cosx 

2Sen(x  45º )

2

2

2

2

perpendicular al eje X, PD perpendicular al lado final del ángulo . Por D tracemos DC paralelo al eje X y DB perpendicular a dicho eje X.

Y P  C

 

+

O

Tan(  )  Cot(  ) 

D

A

X

B

Sen(  ) Sen.Sen Sen(  ) Sen.Sen



3Senx  Cosx  2Sen(x  30º )

Tan  Tan



3Senx  Cosx  2Sen(x  30º )

1  Tan.Tan



Senx  3Cosx  2Sen(x  60º )



Senx  3Cosx  2Sen(x  60º )

Cot.Cot  1 Cot  Cot

k  ZZ Si A  B  C   ; 2 ; 3 ;...;k  ; TanA  TanB  TanC  TanA  TanB  TanC CotA  CotB  CotA  CotC  CotB  CotC  1



Sen(    )  Sen.Cos  Cos.Sen

 3 5  ; ; ;...;( 2k  1) ; k  ZZ 2 2 2 2 CotA  CotB  CotC  CotA  CotB  CotC TanA  TanB  TanA  TanC  TanB  TanC  1

Cos(    )  Cos.Cos  Sen.Sen

Cot(  ) 

Sen(  ) Cos.Cos

RELACIONES ADICIONALES

R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS

Tan(  ) 

Sen(  ) Cos.Cos

Tan  Tan 1  Tan.Tan



Si A  B  C 



 A  B  A.Senx  B.Cosx  A  B

Cot.Cot  1 Cot  Cot

2

2

2

2

EJERCICIOS 1)

Reducir:

E A) Tanx D) Coty 2)

Reducir: M  A) Tanx D) Tany

3)

Sen(x  y)  Senx Cosy

B) Tany E) 1

Sen(x  y) Cosx Cosy



y valor

Si

tan(  )  3

 Tany

D)

C) 1 5)

tan A.tan B.tan C  M de C) 0

la

E) 1

valor de

A)

E  tan A  tan B  tan C , es: B) M

M2

C) Cotx

B) Cotx E) 2Tanx

A B C  Si entonces el A) 2M

4)

Cos(x  y)  Senx Seny

D)

, expresión

1 3 5 9

y

tan(   )  5

, entonces el

tan 2 , es:

4 7

B)



E)

1

C) 1

Si:     30º . Calcule: 2

2

M  (Cos  Cos)  (Sen  Sen) A) 2  2

B) 2  2

D) 2  3

E) 2  3

C) 4

22| C E P R U 2 0 1 5

6)

Si

5 , entonces el valor positivo de la 2 sen(45º  x) F , es: sen(135º  x)

tan x  cot x 

expresión A) 1 D) 5

7)

Si

D)

2

cos 

El

, donde  y 

de

la

expresión

 3 5 7  cos 2  cos 2  cos 2 16 16 16 16

A) –24/7 D) 4/3

D)

C) 0

B) 8 E) 9

A)

, es:

, entonces el

C) 6

4  3Tan21º 3  4Tan21º

B) 24/7 E) –4/3

C) 7/4

2

2ab 2

a b

ab ab

2

B)

b a 2

b a

2 2

2

E)

C)

2

2

2

2

a b a b

2

a b 2 2

37) Al simplificar la expresión:

sen2  sen2 (   )  sen2 cos2   sen2 (   )  cos2  se obtiene : A) 0 B) -1 D) -2 E) 1

 tan  cot  , C) 2

5 ; el valor de la expresión : 4 sen(z  x) sen(z  y) cos(x  y) , es:   cos z cos x cos z cos y cos x cos y

38) Si x + y =

11) Simplificar:

M  Tan1º Tan2º Tan1º Tan2º Tan3º A) 1 D) Tan4º

B) 2 E) Tan3º

C) Tan6º

12) Si Tan  Tan  4 , calcular el valor de:

P A) 1 D) 4

Sen(  ) Cos(  )  Cos(  )

B) 2 E) 5

C) 3

13) Hallar los límites entre los cuales varía la expresión:

E  3Sen  Cos A) [  2 ; 2 ]

B) [  3 ; 3 ]

D) [ 1; 3 ]

E) [ 3 ; 2]

C) [  1;1]

TanB 3



TanC 4

A)

2

B)

5

D)

3

E)

6

, calcular “TanC” C) 2

SenA  SenB  CosC  0 Calcular: E  2TanB  TanC C) 0

16) Calcular el valor de E  sec y csc x[sen(x  y)  sen(x  y)] B) 0 E) –2

B) 3 E) 4

C) –1

C) 1

39) Hallar el valor de:

 1 12 E .   5 5 tan  tan tan  tan 24 24 24 24 A) 3 B) 1 C) 2 ( 3  1) tan

D)

5

E) 3

40) Hallar el valor de la expresión:

A) 2 D) 0

   x ) ] [1 + tan(  x ) ] 8 8 B) 1 E) -3

C) 3

20) Calcular el valor de: E  A)

15) Si A  B  C  180º , además

B) –1 E) 2

A) 2 D) 0

[1 + tan(

14) Si A  B  C  180º , además

A) 1 D) 2

2ab

Sen  b  Sen de

tan  tan  tan        y 2 3 4 valor de E  4 tan  tan  , es:

A) –2 D) 1

2

2

Hallar el valor de Cos(   ) en términos de “a” y “b”

B) 2 E) 0



2

2

a b  2

Cos  a  Cos

10) Sean ,  y  medidas de ángulos agudos. Si

2

2

19) Sabiendo que:

valor

TanA

D)

C) 1

El

A) 10 D) 12

a b 2

a b

2

a b 2 2

18) Calcular el valor de: M 

B) 3 E) 4/3

A) –2 D) 4

2

2

 5    tan  1  tan  , es: 9 36  9

E  cos 2

C) E)

2

B)

2 2

C) 1

valor

A) 3/4 D) 1/3

2

a b 2

2

2 2

E)

E  tan

9)

1 2

B)

Cosx  Cosy  b Hallar Cos(x  y) A)

tan   sen 2  y tan  

3 2 1  2

Senx  Seny  a

C) 2

1  sen 2  son ángulos agudos, el valor de cos(  ) , es: A)

8)

B) 3 E) –5

17) Sabiendo que:

3

D) 3 2

B)

2 3

Sen70º Sen50º Cos10º C)

3 2

E) 3

21) Calcular el valor de: E  Tan20º  Tan25º (1  Tan20º ) A) 3/2 D) 1/3

B) 1 E) 1/4

C) 1/2

A S I G N A T U R A T R I G O N O M E T R Í A |23

A) 1/2 D) 1/4

32) Determinar el valor de:

Tan 50º

22) Calcular: E 

Tan70º Tan20º B) 2 E) 4

P C) 1

A) 2

23) Las tangentes de los ángulos de un triángulo ABC están representados por 3 números consecutivos, Calcule tanA.tanB.tanC A)24 D)48

B)6 E)18

C)60

26) Si

se

2CosxSeny

B) 12 E) 7

B)5/27 E)6/23

A)

3

B) 3

D)

2

E) 2

2

;

5

Tan2b 

1 5

;

2

C)

3 

E)

D)

2

2

 37º B

2

a  b  ab

B A)15º B)26º C)36º D)37º E)45º

2 6

Cosx  Cosy 

5 2

B)1/5 E)1/6

Tanx  Cotx A) 2 D)

3 3

B) 2

C) 4

determinar

A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

13

3 2

E)

2

C

39) Del gráfico, calcular cos(x  y)

x

3

y y

n

13

x

13 3 A)

31) Calcular el valor de:

K  Tan55º Tan55º Tan10º Tan10º A) 0 D) –2



m

C)

3

30º

A

E) 4–2 3

B)

B M

Determinar Tan

2

C

R  3Cot  Csc30º

30) En la identidad trigonométrica 2senx  3 cos x  k cos(x   )

A)



38) La figura muestra un triángulo ABC, siendo el segmento CM una mediana. Calcular:

C)1/4

  Senx  Cos  x   3 

que

M

N

A

5

Calcular: Cos(x  y)

29) Sabiendo

C

N

37) En la figura, hallar el máximo valor de “”.

2

a b 2

28) Si: Senx  Seny 

D)

M

2

A)2/3 D)2/5

D

A) –18 B) –15 C) –12 D) –9 E) –6

(a  b)(b  1) 2

2

2

2

A

B)

a b 2

C

36) Del gráfico, hallar “Tan  ”

2

2

C) 1

A

Sen3º Cos4º  b

a b 2

sen35º  cos 35º

A) 3/2 B) –1/5 C) 5 D) –3/2 E) –1

C)7/27

Hallar Sen1º , en términos de “a” y “b” A)

sen20º  3 cos 20º

B

27) Si: Sen4º Cos3º  a

2

C) 13

2

35) De la figura, calcular Tan; si ABCD es un cuadrado.

calcular Tan(a  b  c) A)4/7 D)5/23

33) Señale el máximo valor de: L  3senx  4 cos x  12sen(37 º  x)

C) 0

Tan(a  b  c) 

cumple:

3

E) 1

E

Sen(x  y)  Sen(x  y)

B) –1 E) 2

C)

34) Calcular el valor de

25) Reducir:

A) –2 D) 1

cos 17 º cos 43º

B) 2

3 6

A) 12 D) 15

24) Simplificar: W  (Tan  Tan)CosCos  Sen(   ) A) Cot B) Cot C) 1 D) 0 E) 2

E

D)

sen60º  3sen17º sen43º

B) –1 E) 2

C) 1

D)

n m n nm

B) E)

m n

m n

C)

m nm

24| C E P R U 2 0 1 5

1

0

TEMA N° 07 ÁNGULOS MÚLTIPLES

0

1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE: sen 2  2 sen cos    

2

2

cos 2  cos   sen  2 tan  tan 2  2 1  tan 

1  cos   cot     1  cos  2 El signo de la razones trigonométricas se elige de acuerdo al cuadrante al que pertenece /2.

2



1  cos   tan     2 1  cos   

cot 2 

cot   1 2 cot 

IDENTIDADES AUXILIARES

IDENTIDADES AUXILIARES: 2

cos 2  1  2 sen 



2

cos 2  2 cos   1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO TRIPLE 

3

sen3  3sen  4sen 



3



cos 3  4 cos   3 cos 



tan 3 

3

3 tan   tan 



2

1  3 tan  

3



cot 3 

3 cot   cot  2

1  3 cot 



IDENTIDADES AUXILIARES sen3  4 sen sen( 60º  ) sen( 60º  )  

cos 3  4 cos  cos( 60º  ) cos( 60º  )



tan 3  tan  tan( 60º  ) tan( 60º  )

   



sen 3 sen cos 3 cos  tan 3 tan 

 

 2 cos 2  1 

 2 cos 2  1 



2 cos 2  1

2    1  cos  sen    2 2 2    1  cos  cos    2 2

   1  Cos tan    Sen 2  tan    csc   cot  2    1  cos  cot    Sen 2  cot    csc   cot  2   cot    tan    2 csc 2   2   ctg    tan    2 ctg 2   2

tan 2

 sec 2  1 tan tan 2 .tan  sec 2  1

NOTA:

2 cos 2  1 3 1 4 4 sen   cos    cos 4 4 4

2

1+ tan2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD

cos 2 

2 tan 2

1  cos   sen     2 2

sen2 

1–tan  2

1  cos   cos     2 2  

EJERCICIOS 1.

Si:

Cos   Sen  

A) 8/9 D) 1/25

1 , calcular Sen2 3

B) 4/5 E) 24/25

4.

C) 3/4

Reducir la expresión: E  A) 1/12 D) 2/3

3.

B) 1/16 E) 1/3

A)

2  4sen 20º

Si:

Cos  

24 25

C) 3 5.

Sen 2 x  Sen x E Cos 2x  1  Cos x B) senx 2 E) tan x

4Ctg 2x 4Tg 2x

B)

D)

E)

2

4Ctg 2x Tg 2x

C) Ctg 2x

12 cos 65º.cos 25º

Simplificar la expresión:

A) cotx 2 D) cot x

2

Sec x  Csc x , es: Csc 2 x

E

2

2.

La expresión equivalente a:

C) tanx

Calcular: A)

5

D)  2

; 270º    360º

  3 Sen  Cos 2 2 B) E) 2

2

C)  5

1  tan  2

1  tan 

2 tan  2

1  tan 

;

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |25 17. Calcular “n” en la identidad: 6.

Calcular: L  tan 22, 5º  cot 22, 5º A) –2 D) 1

7.

B) –1 E) 2

     m , 4  

Si: cos 

A) 2m D) 1 – 2m 8.

9.

n

16sen cos  cos 2 cos 4 cos 8  sen2 

C) 0

A) 1 D) 4

C) 2m – 1

1 1  2 2

tan 2x.tan x  a , a  0 , entonces el valor de tan 2x , es: E tan x A) a  1 B) a  1 C) a D) a  2 E) a  2 Si

Si

6sen 2x  cos 2x

es: A) 8 D) 6 10. Al

B) 3 E) 4 simplificar

obtiene: A) tan  D) csc 11. Si

B) E)

la

E

1 A) 5

2

expresión

cot 

R C)

tan 2 , se 1  sec 2

sec

 , entonces el valor de la 4

1 C)  5





1  sen  1  sen ,

se obtiene:

 2 D) sen cos

 2 E) sen2 B)

sen

C)

cos 

A)

3  5 , el valor de cot 3 es: 2 24 12 12 A) B) C)  5 5 5 12 24 D)  E)  25 25 tan

a , b  0 , entonces el valor de b a b , es: E  sec(2) csc(2)

14. Si

cot  

A) a+1 D) b+1

B) ab E) a

C) b

15. Al reducir la expresión : 16cot8x+8tan4x+4tan2x+2tanx, se obtiene : A) 2 cot x B) tan x C) cot x E) cot 2x E) 2tan x 16. Simplificar:

Ctg 8x  Csc x  Csc 2x  Csc 4x  Csc 8x A) Ctg x B) Ctg 2x C) Tg 2x x D) Tg x E) Ctg 2

1 Cos 8x  2 2 C)

Cos x x E) Ctg 2

Tg x

19. Al reducir y simplificar la expresión : Cos3x+cos3(120o–x)+cos3(120o+x)– se obtiene: A) 0 D) 3 20. Si

B) 1 E) 4

3 cos3x, 4

C) 2

cos x cos y cos z    5 ; hallar el valor de: cos 3x cos 3y cos 3z tan3x tan3y tan3z .   tan x tan y tan z B) 11 E) 14

C) 12

x x  b cot 2  a  b ; el valor de 4 4

2 21. Si a tan

B)

ba ab

C)

cos

ab 2

E) a – b

 tan x  1 , el valor de )  2 4 tan x  1   4x 2 tan ( ) , es : 8

22. Si sec(x 

A) 1 D) 4 23. Si:

13. Si

1 1  2 2

B)

Sen x x D) Co s 2

x , es : 2 ab A) ab ab D) 2

1 1 1 1   cos 4 , es: 2 2 2 2

5 B) 5 2 E) 5

1 1  2 2

A) 13 D) 10

cos

1 12. Al simplificar la expresión 2 A)

tan x ,

C) 5

sec   5 y 0   

expresión

D)

 1 , entonces el valor de

C) 3

18. Reducir:

calcular: " sen2 "

B) 2m + 1 E) 1 – m

B) 2 E) 6

B) 2 C) -2

Tg A 

1 3

A) 0,75 D) –0,5

y

C) 3

A  B  45º , el valor de Tg B , es:

B) 0,5 C) –0,75

C) 1

24. Calcular:

 Sen A  Sen B  2   Cos A  Cos B  2 2  AB 2 Sen    2  1 A) 1 B) C) 4 2 M

D) 2

E) 0,25

25. Si: x  y 

 2

, calcular el valor de:

E A) cos2y D) cosx

2

2

2

2

sen y  sen x sen y  sen x

B) cos2x E) cosy

C) –cos2x

26. Calcular el valor de “k” si se cumple que:

cos A) –2 D) 2

2

 45º    sen  45º    ksen cos  2

B) –1 E) 1/2

C) 1

26| C E P R U 2 0 1 5

27. Simplificar: L 

A) 1

B) 2

D) 4

E)

A) sen4x D) 2



D)

2

B) cos E) 2

29. Simplificar: E

A)

C) 3

28. Reducir la siguiente expresión: A  A) 1 D) cos2

2 39. Si: Tg x  mTgx  1 , calcular:

2  2  2  2 cos 8x 2x 4 cos 2 2

cos 4 2

2

1  8sen  cos 

C) sen

Tg 2 B) 2/3 E) 4/3

m

C) 1/3

E   Sen x  Cos x    Sen x  Cos x  A) 4 cos 4x B) 3  Cos4x C) 3  Cos4x D) 3Cos4x E) 3Sen4x 4

40. La razón de las longitudes de dos lados de un rectángulo es 4. Hallar la tangente de la medida del ángulo obtuso determinado por sus diagonales. A) –1/2 B) –3/5 C) –8/15 D) –1/5 E) –7/15

A) cosx D) cscx 4

B) secx E) cotx

6

3  33. Si: 2 2 16 Sec   Csc  El valor de: Cos 4 , es: A) D)

B) E)

1

2 2 1

34. Si: Sen4 x  Cos4 x  A) 6 D) 8

1 2

A  Cos4x . Hallar: A  B B C) 9

36. Simplificar:

D)

5

5

Sen x  Cos x  Sen x  Cos x 2

E)

A) Senx D) Cosx

1 Tg 2 x 2 1 Tg 4 x 2

C)

k



2

; ( 2 ángulo agudo) calcular:

B) 2k 2  4k  1

C) k 2  2k  1

45. Hallar: A) 1 D) 2,5

B) Sen2x E) Cos2x

38. La expresión equivalente a: 1

, es:

B) csc 2 x D)  csc 2 x

1 3 Csc 20º  Sec 20º  4 B) 1,5 E) 0,5

C) 2

  3 y además: Tg   x  1 , Tg   x  1 B) 2 C) 3

46. Calcular "x", si: A)

1

D)

E)

2

3

47. Calcula el valor de "k", en la identidad:

1

Tg 2x  Ctg x 1 

1 k 1

A) 1 D) 4

C) Sen4x

Tg x   Tg 2x 

2

Tg 2x

Sen x  Cos 2x Sen 4x   1  Cos 2x   1  Cos 4x 

A)  sec xcsc x C) sec xcsc x 3 E) csc x sec x

2

A) 2k 2  k

2

37. Simplificar:

E

2

C) 1/4

Cos2

Cos 2x  Sen 2x B)

2

D) k  4k  1 E) 2k  4k

medidas de los ángulos agudos de dicho triángulo. A) 10º B) 50º C) 20º D) 40º E) 30º

1 Tg 4 x 4 1 Tg 2 x 4

x x  Tg  2 Csc x 2 4

B) 1/3 E) 1/7

2

35. Los catetos de un triángulo rectángulo miden: (1  Cos40º ) y sen40º. Calcular la diferencia de las

A)

C) senx

x

Calcular: cos

44. Si: sen C)

B) 5 E) 7

E

43. Si se cumple que: Tg

A) 1/2 D) 1/5

Sen   Cos   1

3 2

2

E) m  2

2

32. Reducir:

6

m 2

x  Ctg  45º    Tg x 2  42. Reducir: E  x  Sec x  Tg  45º   2 

31. Si: Sen   Cos   3 Sen  Cos  , calcular:

C)

Calcular:

4

A) –2/3 D) –1

2 m2

Tg 2x

Tg 2x Tg 2y Tg 2z   Tg x Tg y Tg z A) 2  m B) 3  m C) 4  m D) 5  m E) 6  m

C) cos2x

30. Si tan 2x  3 tan x  0 , calcular sec2x. A) –4 B) –6 C) –2 D) –3 E) –1 4

B)

2

41. Si se cumple que: Tg 2 x Tg x  Tg 2y Tg y  Tg 2z Tg z  m

Sen 3x Cos 3x  Sen x Cos x

B) senx E) 1

m

B) 2 E) 5

1 2

Sec x  1 C) 3

48. Hallar el valor de x, indicado en el gráfico E x A) 10 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

D    A

4 C 3 B

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |27 1

0

0

TEMA N° 08 TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

1

TRANSFORMACIÓN DE SUMA O DIFERENCIA DE SENOS O COSENOS A UN PRODUCTO

 Α B  A B  SenA  senB  2sen  cos    2   2   Α B  A B  SenA  senB  2cos   sen    2   2 



= –2Cos46ºSen6º Cos62º + Cos10º = 2Cos36ºCos26º



Cos7x – Cos2x = –2Sen

 

Cos(40º+x)+Senx=2Sen(10º+x)Cos10º Cos(40º+)+Cos(40º–) = 2Cos40º Cos

9x 5x sen 2 2

Ejemplos:  2Sen50º.Cos15º = Sen65º + Sen35º  2Cos8x.Cos2x = Cos10x + Cos6x  2Sen40º.Sen12º = Cos28º – Cos52º  2Cos15º.Cos25º=Cos40º+Cos(–10º) = Cos40º + Cos10º  2Cos(25º+x)Cos(25º–x)=Cos50º + Cos2x

 B  A B  CosA cos B  2 cos   cos    2   2   ΑB  A B  CosA  cosB  2sen   sen    2   2 

IDENTIDADES ADICIONALES:

PROPIEDAD: Si: A + B + C = 180º, se cumple:

senx  seny  x y  xy  tan   cot   senx  seny  2   2  senx  seny  x y  tan   cos x  cos y  2  senx  seny  xy   cot   cos x  cos y  2  senx  seny  xy  tan   cos x  cos y  2  senx  seny  x y   cot   cos x  cos y  2  cos x  cos y  xy  xy   cot   cot   cos x  cos y  2   2 

A B C cos cos 2 2 2 A B C cosA  cosB cosC 4sen sen sen  1 2 2 2 senA  senB senC 4cos

sen2A  sen2B  sen2C  4senA senB senC cos2A  cos2B  cos2C   4cosA cosB cosC  1 Si: A + B + C = 360º, se cumple:

A B C sen sen 2 2 2 A B C cosA  cosB cosC  4cos cos cos  1 2 2 2 senA  senB senC 4sen

TRANSFORMACIÓN DE UN PRODUCTO DE SENOS Y COSENOS, COSENOS O SENOS A UNA SUMA O DIFERENCIA SE SENOS O COSENOS 2SenACosB = Sen(A+B) + Sen(A-B)

PROPIEDADES ADICIONALES: 

La suma de los senos de tres arcos que están en

2 ó 120º es 0. 3 sen(x  120º )  sen x  sen(x  120º )  0

progresión aritmética cuya razón es 2CosASenB = Sen(A+B) - Sen(A-B) 2CosACosB = Cos(A+B) + Cos(A-B)



La suma de los cosenos de tres arcos que están en

2 ó 120º es 0. 3 cos(x  120º )  cos x  cos(x  120º )  0

2SenASenB = Cos(A-B) - Cos(A+B)

progresión aritmética cuya razón es

Ejemplos: Transforme a producto las siguientes expresiones:  Sen40º + Sen20º = 2Sen30ºCos10º  Sen8x – Sen4x = 2Cos6x Sen2x  Sen40º–Sen52º = 2Cos46ºSen(–6º)

EJERCICIOS 1. Simplificar:

R = Cos20º + Cos 100º + Cos 140º

A) Tan 2 D) Cot 

2. Calcular: M 

B) Cot 2 C) Tan  E) 0

B) –6 E) 3

1 2 2 D) 2 A)



E  sen85º  B) E) 2

el

valor

C) 4

C) 1/2

E  cos 77º cos 43º sen16º sen18º  cos121º cos 61º

es:

A) –1 D) –5 43) El valor de

41) El valor de la expresión

C) 2

cos 4x 2  , entonces cos 6x 3 E  cot x.cot 5x , es:

Sen(x  3y)  Sen(3x  y) Sen2x  Sen2y

B) 2 E) –1/2

B) 1 E) 0

42) Si

Si x  y  60º A) 1 D) 1/4

A) –1 D) –2

2

sen40º cos 65º , es: sen70º C) 1

de

28| C E P R U 2 0 1 5 44) Al transformar en producto la expresión obtiene:

1  sen , se

    2sen    cos    4 2 4 2     B) 2sen    cos    4 2 4 2     C) 2sen    cos    4 2   4 2     D) 2sen    cos    4 2 4 2       E) 2sen    cos     2 4  2 4 A)

A) 4 Cos 4º Sen 8º Cos 12º B) 4 Sen 4º Sen 8º Sen 12º C) 4 Cos 4º Cos 8º Sen 12º D) 4 Sen 4º Cos 8º Cos 12º E) 4 Cos 4º Cos 8º Cos 12º 12. Reducir: M 

progresión aritmética cuya razón es B)  1/ 2 E) 0

3. Simplificar: S  A) 1 D) Tan 3

2 , se obtiene: 3

C) 1

Sen  Sen3  Sen5 Cos  cos3  Cos5

B) Tan 2 C) 2 E) 0

4. Simplificar: Q = Cos + Cos3 + Cos5 + Cos 9 A) 4Cos2Cos3Cos4 B) 2 Cos 3Sen C) Sen 3Sec4 D) Cos 3 E) 1

Cos2  Cos4 Cos  Cos10 

A) 1/2

B) –1/2

D) – 3 /2

E) 0

6. Simplificar:

C)

B) –1/2

D) – 3 /2

E) 0

C)

3 /2

Para: x = 5º B)

D) 2 + 3

E) 1

3 /2

C) 2– 3

8. Simplificar:

Sen  SenK  Sen(2K  1) M Cos  CosK  Cos(2K  1) A) Tan K D) Cot 

B) Tan  E) 1

C) Cot K

9. Calcular: Sen2 24º – Sen2 6º A)

5 1 4

B)

D)

5 1 8

E)

13. Hallar el máximo valor de: R= Sen (50º + x) – Sen (10º - x) A) 1/2

B) 1

D)

E) 2

5

C)

3

14. Si A + B + C = . Hallar “x” en la siguiente igualdad: A C B SenA+SenB–SenC = x Sen Sen Cos 2 2 2 A) –4 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 15. Calcular: T= Sen 81º Sen 9º –Sen 48º Sen 12º A) 3/4 B) 1/2 C) 1 D) –1 E) –1/2

A) 1 D) sen x

5 1 4

C)

B) 0 E) cos7xcos2x

A)

5 1 2

B)

5 1 2

D)

5 1 4

E)

5 1 8

R

Sen2x  Sen3x  Sen4x Cos2x  Cos3x  Cos4x

A) 1/2

B) 2 Cos (a + b) D) 2 Sen (a – b)

C) –1

C)

5 1 4

18. Simplificar:

7. Simplificar:

R

A) –2 Sen (a + b) C) 2 E) 2 Cos (a – b)

17. Calcular: Sen 24º. Cos 6º

3 /2

P= Cos 55º + Cos 65º + Cos 175º

A) 1/2

Cos(a  3b)  Cos(3a b) Sen2a  Sen2b

16. Simplificar: R= Cos6xCosx+Sen5xSen2x– Sen6xSen3x

5. Si =30O Simplificar:

M

4 Sen 2 Cos 3 Sen 4 4 Cos 2 Sen 3 Cos 4 4 Sen 2 Sen 3 Sen 4 4 Cos 2 Cos 3 Cos 4 4 Sen 2 Cos 3 Cos 4

11. Factorizar: T= Sen 24º + Sen 16º - Sen 8º

45) Al sumar los cosenos de tres arcos que están en

A) 1 D) 1/2

A) B) C) D) E)

5 1 8

1 4

Cos5xCos3x  Sen3xSenx Cos2x

A) Cos 2x D) Cos 8x

C) Cos 6x

19. Transformar : A= Sen 3 Cos  + Sen 2 Cos 4 A) Sen 5 Sen  B) Cos 5 Sen  C) Sen 5 Cos  D)Sen 5 Sen 3 E) Cos 5 Cos  20. Simplificar: R=Cos77Cos43+Sen16Sen18+Cos121Cos61 A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 21. Transformar a producto B=2Sen(3x+y)Sen(3x-y) – 2Sen(x+y)Sen(x-y) A) Sen4xSen2x B) 2 Sen4xSen2x C) 1 D) 4 Sen4xSen2x E) –2 Sen4xSen2x 22. Calcular: A= Cos 5º – A) 1

10. Factorizar: B= Sen  + Sen 3 – Sen 5 + Sen 9

B) Cos 4x E) Cos 10x

D)

Sen 40 º . Sen 25 º Sen 70 º

B) 2

2 /2

E)

C)

3 /2

2

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |29 33. Calcular: 23. Simplificar:

A

Cos3xSen2x  Cos4xSenx M Cos5xCos2x  Cos4xCos3x A) Cot x D) –Cot 2x

B) Cot 2x E) Cot 3x

C) –Cot x

24. Si: Cos  = 0,75

3  . Sen 2 2

Calcular: T= 32 Sen A) 2 D) 10

B) 6 E) 12

2

D) 1

E)

3

3

B)

3 3

D)

2

3

E)

23

A) D)

Sen(2x + 30º ) + sen(2y + 30º ) Cos(2x + 45º ) - +cos(2y + 45º ) B)

2

E

C) – 2

1 3

B) 3

D) -3

M  Cos A C Cot 2 2

Sen2A + Sen2B SenC C) 2Cos (A+B)

B) Cos 14º E) 5Sen37º

C) Sen14º

30. Calcular el valor de:

Cos51º Cos34º -Sen21º Sen4º Cos100º +Cos10º

6 3

6 4

D)

B)  E)

A)

1 2

D)



1 4

2 4 6  Cos  Cos 7 7 7 1 1 B) C) 4 3 1 E)  2

6 4

C)

6 2

A) -11 D) 11

B) -12 E) 16

xz ) , 2 yz cos 2y  cos(y  z)  2sen2 ( ) y 2 cosx  cosy; hallar el valor de la expresión :

cos2x+cos2y + cos2xcos2y . A) 3 B) 2 D) -2 E) 4

40. De acuerdo al gráfico, hallar el equivalente de: xyz, siendo:

P PQ = x Q θ O

Senx + mSen3x + Sen5x Cosx + mCos3x + Cos5x

   3    2 

C) ctg  E) 0.

R

C) Tan3x

sen(  )  sen4 32. Reducir: B  cos(  )  cos 4    3    2 

θ θ S

B) Tan5x E) mTan3x

A) tg 

C) 1

PR = y

6 3

31. Simplificar:

A) Tan2x D) mTanx

C) -10

2 39. Si cos 2x  cos(x  z)  2sen (

PS = z R=

C) -1

3sen3xcosx+7cos3xsenx=senxcosx, El valor de 16cos6x, es:

29. Convertir a monomio: P = 3+5Sen23º

A) 

B) 2 E) 3

38. Si

A) Cos (A+B) B) Cos (A-B) D) 2Cos (A-B) E) 2senC

M=

C) 4

37. Calcule el valor de:

28. En un triangulo ABC, reducir:

A) 2Sen13º D) 5Cos 7º

B) 3 E) 5

A) 1 D) -2

C) 6

M=

C) 2

Cos 40º 0

36. Si tan 4x = 3 tan 3x , hallar el valor de : E = 2 ( cos 2x + cos 4x + cos6x ).

1 3

E)

B) E)

Sen 50º 2 Cos 40º Sen 10º Cos 80º 2 Sen 10º Sen 70º

A) 1 D) 2

27. En un triángulo ABC, se cumple: SenA +SenC = 2SenB, determinar: M = Cot

1 Sen 40º

35. Calcule el valor de:

2 26. Si: Cos   , calcular: 3 9 5 E  cos cos  sen4 sen3  . 2 2 7 7 7 A)  B) C) 18 9 18 7 5 D)  E)  9 9

A) 

3 3

C)

Sen 80º  Cos 250º  Sen 40º

C) 8

A) 2

A)

34. Reduzca la expresión:

25. Si x+y = 15º. Calcular:

M=

Cos 50º  Cos 20º  Sen 20º Sen 20º  Sen 50º  Cos 20º

 3      2 

B) tg 

 3      2 

D) ctg 

A) Sen6θ+Sen4θ–Sen2θ B) Sen6θ–Sen4θ–Sen2θ C) Sen4θ+Sen2θ–Sen6θ D) Sen2θ–Sen6θ–Sen4θ E) Sen6θ+Sen4θ+Sen2θ

30| C E P R U 2 0 1 5

1

0

TEMA N° 09 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

0

1

LEY DE SENOS (LEY DE BRIGGS) “En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos y la constante de proporcionalidad es el diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo”

LEY DE TANGENTES: En todo triángulo la suma de dos lados es a su diferencia como la tangente de la semisuma de los ángulos opuestos a dichos lados es proporcional a la tangente de la semidiferencia de los mismos ángulos.

A

B

a b c    2R senA senB senC

c

a O

A

c

Donde:

R B

C

b

LEY DE COSENOS (LEY DE CARNOT) “En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman”

C

a AC Tan( ) ac 2  a  c Tan( A  C ) 2

b

B

b2  a2  c 2  2ac CosB

a

c 2  a2  b2  2ab CosC

c

BC Tan( ) bc 2  b  c Tan( B  C ) 2

LEY DE LAS PROYECCIONES: En todo triángulo cada lado es igual a la suma de las proyecciones de los otros dos lados sobre él.

a2  b2  c 2  2bc CosA

A

A B Tan( ) ab 2  a  b Tan( A  B ) 2 C

b

a  b  CosC  c  CosB

c

B

b  a  CosC  c  CosA

a

A

c  a  CosB  b  CosA

C

b

EJERCICIOS 1)

Los lados de un triángulo miden 3, 5 y 7; el mayor ángulo es: A) 60º B) 30º C) 135º D) 150º E) 120º

2)

Calcular la medida del ángulo C, si el triángulo ABC tiene las siguientes medidas : BC  10m ; AC  20m y ˆ 2. Csc A A)90º D)50º

3)

4)

B)120º E)75º

D) 5)

c

 C

75º B

C

7)

Los lados de un triángulo son números enteros consecutivos tal que el coseno del mayor ángulo es 1/5. calcular el perímetro de dicho triángulo. A)12 B)24 C)15 D)9 E)18

8)

ˆ  74º ; a=7 y b=1. En un triángulo ABC se cumple: C

B

   tan    2 , entonces el valor de cot( 2 ) , es: 2   2b 2(a  b) c A) B) C) ac ab ab Si

2

Si los senos de los ángulos de un triángulo son C proporcionales a 4, 5 y 6 unidades, hallar Cos( ) 2 3 5 7 A) B) C) 4 7 9 1 9 D) E) 2 11



a

c

6)

A



2a ab

Dado el triángulo ABC de la figura. Hallar el ángulo B A)30º B)37º C)45º D)53º E)60º

En el triángulo escaleno ABC de la figura:

b

E)

A

C)60º

Los lados de un triángulo se encuentran en progresión aritmética de razón 2. Si la medida del ángulo menor es la mitad de la medida del ángulo mayor, entonces el perímetro del triángulo es: A) 10 B) 20 C) 25 D) 35 E) 30

b ac

Calcular tan( A)1/2 D)1

A B ) 2

B)5 E)6

C)4

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |31 9)

En la figura mostrada, hallar la medida del ángulo , si AD  BC A 

A)35º B)30º C)25º D)10º E)20º

80º D

11) Si: AM  3.BM y BC  5 . Hallar AC.

C

D) 2 E) 1

C

2

B)

2 1

3

C) 2

2

E) 1

2

20) En la figura, AB=BC. calcular AB.



B A) 3 7



B) 43

A

B

M

12) En un triángulo ABC de perímetro 36m. hallar senA+SenB+senC; si AB  k senC (k=2) A)15 D)18

B)16 E)19

C)17

5

C) 46 D)7 E)8

3

8

A

C

46) La medida del menor ángulo interno de un triángulo cuyos lados miden 2, A) 45º B) 15º D) 30º E) 60º

13) Con los datos de la figura, hallar cos A)

b

19) Los tres lados de un triángulo son tres números enteros consecutivos. El mayor ángulo es el doble del menor ¿cuánto miden los lados? A)3,4,5 B)5,6,7 C)6,7,8 D)2,3,4 E)4,5,6

3

A) 3 B) 5 C) 3

a

c

A

D)

m

8

hallar

B

A) 5

mostrado,

18) En un triángulo sus lados son 9, 10 y 17, hallar la tangente de la mitad del mayor ángulo.

 m

triángulo

C

10) En la figura mostrada calcular: m.cos. A)1/2 B)1 C)2 D)4 E)3

el

senA senB  senC  a bc A)1 B)2 C)0 D) –1 E) a–(b+c)

30º B

17) En

7

2 y 1  3 , es: C) 75º

B)

5 7

47) Los lados de un triángulo miden 4 cm, 5 cm y 6 cm ,y los ángulos opuestos a estos lados miden ,  y 

14

respectivamente. Calcular el valor de la expresión:

C)

3 7

D) E)

2

120º



5 7 12 4 7

11 14) Los lados de un triángulo miden 42cm y 32cm, el ángulo que forman miden 150º, hallar el área del triángulo A) 336cm2 B) 330cm2 C) 436cm2 D) 346cm2 E) 363cm2 15) En la figura si cos  

5 6

. Hallar el valor de m, si H es

48) En un triángulo ABC, BA = cos 3 ; AC = cos  . Hallar BC en términos de A) sen 4 D) 4

m 

2

16) En la figura se tiene, 78cosA=x y cosC=0,6. Hallar el perímetro del triángulo ABC.

, si m( BAC)

B) cos 4 E) 10

 4 .

C)tan 4

49) Dado un triángulo ABC, se cumple:

26

C

18 u

y

tan(

  )  tan( )  8 ; calcular: 2 2

 . 2

A) 5 D) 3 28

C)

opuestos a dichos lados respectivamente, tal que

cot

X

8 5 u 2 , entonces su

50) Si a, b y c son las medidas de los lados de un triángulo y  ,  ,  son las medidas de los ángulos

a=4b

B

A



si el área del triángulo es perímetro, es: A) 10 u B) 14 u D) 20 u E) 15 u

H

6

A)84cm B)86cm C)80cm D)85cm E)88cm

3 4

C)

3Sen C  4Sen B  4Sen A

punto medio. A)10 B)5 C)4 D)3 E)6

sen  sen  sen . sen  sen  sen 3 4 A) B) 5 5 2 1 D) E) 5 5

B) 8 E) 2

C) 6

32| C E P R U 2 0 1 5

1

0

0

TEMA 10 ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES

1

SE = Sur-Este NO = Nor-Oeste

Observador

1 4

N

O ON



NE

O

N

Línea visual

E

NN

N

N

Rosa Náutica: Es el plano, en el cual están contenidas las 32 direcciones notables de la brújula. N1 N 4 E NN E

ÁNGULOS VERTICALES: Se llaman así a todos aquellos ángulos que se determinan en un plano vertical. El instrumento para medir estos ángulos es el teodolito a) Ángulo de elevación: Es aquel, cuya medición se realiza entre la línea visual y la línea horizontal; pero cuando el objeto se encuentra por encima del horizontal.

NE

E1 4N

Línea horizontal

O

ESE

SSO

SE

Línea horizontal

SSE

Ángulo de depresión: Es aquel cuya medición se realiza entre la línea visual y la línea horizontal; pero cuando el objeto se encuentra por debajo del horizontal.

E

E

SO

OS

Observador

E

E EN

O

O

b)

1 4

S

RUMBO O DIRECCIÓN: Es la desviación angular que sufre la Rosa Náutica con respecto a dos direcciones principales, al ubicar un punto. N



Línea visual

O

N

d 

O

E



P  ÁNGULOS HORIZONTALES. Son aquellos ángulos contenidos en un plano horizontal. El instrumento de medición para estos ángulos es la brújula

Q



P

E

S

S

DIRECCIONES: Principales: Se evalúan a 90º E;O;N,S

El punto Q se encuentra en la dirección EN y a “d” metros del punto “P” El punto P se encuentra en la dirección SO y a “d” metros del punto “Q”

Secundarias: Se evalúan a 45º NE = Nor-Este SO = Sur-Oeste

EJERCICIOS 1)

2)

El ángulo de elevación con el cual se observa la parte superior de un edificio es 15º, acercándose 50m el nuevo ángulo de elevación es el doble del inicial. Calcular la altura del edificio. A)50m B)35m C)25m D)20m E)15m Una persona recorre 60 Km en la dirección E60ºN, luego se desplaza en la dirección E83ºS hasta llegar a un punto donde se observa la posición inicial en la dirección O30ºN, la distancia entre el punto inicial y final es: A) 20 Km D) 60 Km

3)

B) 30 Km E) 45 Km

cot   cot   metros es: A) 80 D) 20 4)

Desde un punto en tierra, se observa la cúspide de una torre con un ángulo de elevación . Si el observador se acerca 10 m al pie de la torre, el ángulo de elevación sería . Dado

5)

B) 40 E) 100

C) 60

Dos móviles parten del punto A, el primero en la dirección N2E y recorre 400 m, el segundo con un rumbo de SE y recorre 300 m. Si la distancia que los separa a los dos móviles es de 500 m, entonces el valor de , es: A) 120º D) 53º

C) 80 Km

1 , entonces la altura de la torre en 2

B) 30º E) 37º

C) 60º

Bajo que ángulo se ve la fachada de un edificio de 7m de largo, cuando el ojo del observador está a 5m, de uno de los extremos y a 8m del otro. A)45º B)60º C)75º D)120º E)135º

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |33 6)

7)

8)

9)

Dos móviles parten de un punto A, el primero en la dirección N3E y el segundo con rumbo S2E. Si el primero recorre 16 km, el segundo recorre 12 km y la distancia que los separa a los dos móviles es 20 km, entonces el valor de , es: A) 16º B) 12º C) 30º D) 20º E) 18º Guido, Ignacio y Donato están ubicados en un terreno plano de tal forma que Guido observa a Ignacio en la dirección N60ºE; Ignacio observa a Donato en la dirección S30ºE. Si la distancia que separa a guido de Donato es el doble que la que separa a Guido de Ignacio, entonces la dirección en que observa Donato a Guido, es: A) S60ºO B) N30ºO C) N45ºE D) S30ºE E) N60ºO En el instante en el que un avión vuela a 1000 m sobre el nivel del mar, divisa en la misma dirección del vuelo dos botes con ángulos de depresión de 45º y 53º. La distancia entre los botes, es: A) 200 m B) 250 m C) 300 m D) 100 m E) 150 m Dos móviles parten de un mismo punto, el primero se dirige en la dirección NE y el segundo en la dirección SE. Se sabe que, cuando el primero recorre 10 m y el segundo 24 m, la distancia entre los dos es 26 m. El valor de    , es: A) 120º B) 60º C) 150º D) 45º E) 90º

10) Desde un punto A situado al Sur de una torre se observa la parte más alta de ésta con un ángulo de elevación de 45º y desde otro punto B situado al Este de la torre se observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 30º. Si la distancia de A a B es 80 m, entonces la altura de la torre en metros, mide: A) 36 B) 60 C) 40 D) 50 E) 30 51) Desde la azotea de un edificio un observador divisa la azotea de un segundo edificio con un ángulo de elevación de 37º; enseguida el observador baja 14 metros hasta el pie de un edificio y observa nuevamente la azotea con un ángulo de elevación de 53º. La altura de este segundo edificio, es: A) 32 m B) 36 m C) 28 m D) 30 m E) 24 m 52) Una persona inicia su viaje en la dirección N30ºE recorriendo 28 Km, luego se desvía con una dirección S7ºE, hasta llegar a un punto donde se observa el punto de partida con una dirección N60ºO. Determinar la distancia entre el punto de partida y su punto de llegada. A) 28 Km B) 35 Km C) 16 Km D) 18 Km E) 21 Km 53) Jaimito sostiene dos globos. El ángulo de elevación del globo que tiene en la mano derecha es de 21º y la cuerda mide 5 metros. El ángulo de elevación del globo que sostiene en la mano izquierda es de 24º y la cuerda mide 5 entre los globos es: A)

5 3

B)

D)

5 5

E) 2

2 metros. La distancia que hay

3 5

C) 5

11) Juanito decide viajar y sale de su pueblo A en la dirección N(90º )E llegando a una ciudad B en la cual decide tomar el rumbo

S(90º 2)E y llega

al pueblo C, finalmente decide retomar a su lugar de origen y enrumba según N(4)O . Si la distancia de A hacia B y la distancia de B hacia C es la misma; entonces el valor de , es: A) 10º B) 30º C) 20º D) 15º E) 25º

12) Desde la parte superior de un edificio de altura “h” se observa la parte superior de otro edificio con un ángulo de elevación “  ” y de la parte superior del segundo edificio, se observa la base del primero con un ángulo de depresión “  ”. Calcular la altura del segundo edificio, siendo h = 20 m; cot  = 1 y

 = 5. A) 25 m D) 26 m

B) 15 m E) 20 m

cot

C) 22 m

13) Dos personas están colocadas a ambos lados de un poste. Una de ellas observa la parte más alta del poste con un ángulo de elevación de 45º y la otra con un ángulo de elevación de 37º. Si la distancia entre ambas partes es de 28m. ¿Cuál es la altura del poste? A)9m B)10m C)11m D)12m E)13m 14) Desde un punto situado al sur de una torre se observa la parte más alta de ésta con un ángulo de elevación de 30º y desde otro punto situado al este de la torre el ángulo de elevación es de 45º. Hallar la altura de la torre sabiendo que la distancia entre los dos puntos de observación es de 10 m. A) 10 m B) 5 m C) 25 m D) 50 m

E)

5m

15) Dos móviles parten de un punto, el primero en la dirección NE y el segundo con un rumbo S2E. Cuando el primero recorre 20m y el segundo 21m la distancia que los separa es 29m, Hallar "". A) 10º B) 30º C) 60º D) 45º E) 20º 16) Un móvil se desplaza 40km según la dirección S60ºO con respecto a un punto inicial, luego se desplaza 20 km según la dirección N60ºO. Hallar el desplazamiento total con respecto a su nueva ubicación. A) 10 3 km B) 15 7 km

C) 20 7 km

D) 20 14 km E) 25 7 km 17) Una torre está al pie de una colina cuya inclinación al plano horizontal es de 15º una persona se encuentra en la colina a 12m de la base de la torre y observa la parte más alta de la torre con un ángulo de elevación de 45º ¿cuál es la altura de la torre? A) 4 6 m

B) 6 6 m

D)14m

E) 5 6 m

C)15m

18) Dos torres están en la misma dirección NE de un persona. Esta persona camina 200m y una de las torres está en la dirección norte y la otra al NO de dicha persona. Hallar la distancia entre las torres si la persona caminó en la dirección este. A) 100m

B) 50m

D) 150m

E) 50 2 m

C) 100 2 m

19) Pedro, José y María están situados en un terreno de tal forma que: Pedro observa a José en la dirección N60ºE, José observa a María en la dirección S30ºE. Sabiendo que la distancia que separa a Pedro de María es el doble que la que separa a Pedro de José. ¿En que dirección observa María a Pedro? A)N75ºE B)N72ºE C)O30ºN D)O53ºN E)NE 20) Dos barcos A y B se encuentran separados un distancia de 6 km. B se encuentra con respecto de A en la dirección S 70º E. Un submarino se encuentra con respecto de A en la dirección S 10º E y con respecto de B en la dirección S 20º O. ¿A qué distancia se encuentra el submarino del barco A? A) 18 km B) 14 km C) 6 km D) 12 km E) 20 km

34| C E P R U 2 0 1 5 21) Un topógrafo desea determinar la anchura de un río, se ubica en un punto C y observa un punto A de la rivera opuesta en la dirección N53ºE, después se desplaza hacia el Este siguiendo la orilla del río hacia un punto B situado a 252 m de C. Si B queda al Sur de A, y suponiendo que las orillas del río son rectas paralelas, la anchura del río, es: A) 180 m D) 200 m

B) 144 m E) 189 m

C) 60 m

22) Calcular el perímetro de una región triangular sabiendo que las longitudes de sus lados son números enteros consecutivos y que el ángulo interior mayor es el doble del menor. A) 18 D) 12

B) 9 E) 15

C) 21

23) Desde un punto en tierra se divisa la parte alta del tercer piso de un edificio con ángulo de elevación “α” y la parte baja del sexto piso con ángulo de elevación “β”. Si lo alto del edificio es visto con una elevación angular “θ”, verificándose que:

tg  2tg  3tg

¿Cuántos pisos tiene el edificio? A) 17 B) 19 E) 21 D) 23 E) 25 24) Desde un punto en la tierra ubicado a una distancia “d” de la base de un árbol, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación “β”. El árbol es cortado a una altura “h” de su base; y al caer su punta forma con el suelo un ángulo “θ”. Hallar:

 sec   1  tg B)  csc   1  tg C)  sec   1  ctg D)  csc   1  tg E)  csc   1  ctg

d h

A)

2

D) 4

2

9no piso



500m 29) Dos autos parten de un mismo punto siguiendo las direcciones N30ºE y N53ºE. Obtener la relación que guardan sus velocidades, si en todo momento uno de los autos se encuentran al Sur del otro. A) 8/3 B) 8/5 C) 7/2 D) 5/2 E) 5/3 30) Una persona se desplaza por una camino que hace un ángulo “” con la horizontal. Si observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación de “2”, luego sube una distancia 2veces la altura de la torre hacia esta y observa el mismo punto con un ángulo de elevación de “3”. Hallar el valor de csc. A) 1/3 B) 3 C) 4 D) 1/4 E) 5

de la torre si

B) 2

2

E) 5

2

C)

3 2 2

H h

A)

3 3 2

B)

3 3 2

C)

32 3 2

D)

32 3 2

E)

10mo piso

una distancia igual que la anterior. Hallar la altura

26) Desde un avión que se encuentra a una altura H se observa la parte más alta y la parte más baja de una torre de altura h con ángulos de depresión de 45º y 60º respectivamente. Halle:

5 3143 3143 B) 500 1 C) 274 25 D) 3143 36 E) 3143 A)

31) Una persona se encuentra al Oeste de una torre y observa su extremo superior con un ángulo de elevación de 60º, luego de recorrer 60 m se encuentra en la dirección S(90º  )E de la torre a

25) Un alumno observa la parte superior de una pared con ángulo de elevación “α”; cuando la distancia que separa la pared del alumno se ha reducido a la cuarta parte, el nuevo ángulo de elevación es “2α”, halle tg2α. A)

28) Si nos situamos a una distancia de 500m de un edificio de 100m de altura, que tiene 25 pisos idénticos. Hallar el valor de la tangente del ángulo  mostrado.

3 2

27) Una estatua está colocada cima de un cerro a 24m de la base del cerro, los ángulos de elevación de la parte más alta de la estatua y de la cima del cerro son 45º y 37º respectivamente. Halle la altura de la estatua. A) 5m B) 6,5m E) 6m D) 7m E) 9m

tan   3 7 .

A) 50

3 m B) 40 3 m

D) 60

3 m E) 3 40 m

C) 20

3m

32) Una persona colocada a una distancia de 36 m del pie de una torre observa su parte más alta con un ángulo de elevación, cuya tangente es 7/12. Hallar la distancia en la misma dirección que debe alejarse con respecto del punto de observación anterior para que el nuevo ángulo de elevación tenga por tangente 1/4. A) D)

48 m 36 m

B) E)

24m 12 m

C)

72 m

33) Desde un satélite de comunicación se observa a la tierra bajo un ángulo de valor “”. Considerando a la tierra como una esfera de radio “R”. Hallar la altura en que se encuentra el satélite, en función de “” y “R”. A) R cot( / 2) B)

R sec( / 2)

C)

R csc( / 2)

D)

R(sec( / 2)  1)

E)

R(csc( / 2)  1)

1

0

TEMA N° 10 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

0

1

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Es el conjunto no vacío de pares ordenados de números reales (x; y), donde “y” está relacionado con “x” mediante una determinada regla de correspondencia, de modo que para cada valor de “x” hay uno y solo un único valor de “y” que le corresponde. Esta relación entre “x” y “y” se puede representar mediante una ecuación o enunciado y se puede representar gráficamente en el plano cartesiano.

f  (x;y)  x

Su gráfica es simétrica al eje Y Las funciones coseno y secante son funciones pares. FUNCIÓN IMPAR Una función f(x) es impar si cumple: f(  x)   f(x) ; x  Dom(f ) ; (  x)  Dom(f )

Y

/ y  f(x)

f(x)

f

Donde y  f(x) : regla de correspondencia FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA: Es un conjunto no vacío de pares ordenados (x;y) de números reales, donde a la primera componente de corresponde un valor angular expresado en radianes (números reales) y la segunda componente es el valor obtenido de la razón trigonométrica de esos ángulos; se tiene por ejemplo:

f  (x;y)  x

/ y  sen x; x 

O

x

X

–f(x) Su gráfica es simétrica al origen “O” de coordenadas cartesianas. Las funciones seno; cosecante; tangente y cotangente son funciones impares.



Donde:

FUNCION PERIÓDICA: Se dice que una función f es periódica si existe un número real T tal que:

Variable independiente

y  sen x

–x

Regla de correspondencia

f(x  T)  f(x) ;

Variable dependiente FUNCIÓN CRECIENTE: Una función “f” real de variable real es creciente, si:

x1  x2  f(x1)  f(x 2 ) ; x1 ;x2  Dom(f ) y

Es aquella que repite completamente su grafica cada cierto intervalo en su dominio, a este intervalo se le denomina periodo “T”. Por ejemplo:

Y

f

f(x2)

2

f(x1) O

 x;(x  T)  Domf ; T>0

1

x1

x

x2

-/2

/2

O



T

3/2

T

2

T

Periodo mínimo Periodo

FUNCIÓN DECRECIENTE: Una función “f” real de variable real es creciente, si: x1  x2  f(x1 )  f(x2 ) ; x1 ;x2  Dom(f )

Periodo FUNCIÓN CONTINUA:

y

y

f(x1) f(x2)

x O

O

x1

x2

a

f

x

f es continua en x=a

f FUNCIÓN PAR Una función “f” es par si cumple: f(  x)  f(x) ; x  Dom(f ) ; (  x)  Dom(f )

y

Y

O

x

O

a

f no es continua (es discontinua en x=a)

f(–x ) = f(x)

–x

f

x

X

X

36| C E P R U 2 0 1 5 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Es una circunferencia con centro en el origen de coordenadas del plano cartesiano que la contiene y cuyo radio es igual a la unidad.

Valores cuadrantales:

Origen de complemento s

Origen de arcos

r=1 O

(1;0)

(0; –1) LINEA DEL SENO: Dado un arco en posición normal contenido en una circunferencia trigonométrica, el seno del arco es igual a la ordenada de su extremo.

B

 2

P(x;y)

1 

+

1a0

Decreciente

II

–

0 a –1

Decreciente

III

–

–1 a 0

Creciente

IV

+

0a1

Creciente

LINEA TANGENTE: La tangente del arco asociado a una Circunferencia Trigonométrica, es la ordenada del punto de intersección entre la tangente que pasa por el origen de arcos y la prolongación del radio que pasa por el extremo del arco.

T(1;y1)

YB

0 2

Q A

P 

 O

1

A

X

–1

3 2

En el I OQP : Sen 

I

1

X 

O

2 1

Cuad Signo Variación Comportamiento

P(x;y)

Origen de suplementos

Y

3/2 0

 –1

Variación en los cuadrantes:

(0;1)

(–1;0)

/2 0

0 1

Cos

PQ y  OP 1  Sen  y

En el I OAT : Tan 

Variación del Seno

1  Sen  1

AT y1  OA 1  Tan  y1 +

Valores cuadrantales: /2 1

0 0

Sen

 0

3/2 –1

2 0

 2

Variación en los cuadrantes:

Cuad Signo Variación Comportamiento I

+

0a1

Creciente

II

+

1a0

Decreciente

III

–

0 a –1

Decreciente

IV

–

–1 a 0

Creciente



0 2

3 2

LINEA DEL COSENO: Dado un arco en posición normal contenido en una circunferencia trigonométrica, el coseno del arco es la abscisa de su extremo.

YB Q



P(x;y)

1  O

 2

X 

En el I OQP : Cos 

PQ x  OP 1  Cos  x

Variación del Coseno

1  Cos  1

Variación de la Tangente

0 2

A

–1

–

3 2 0

  T an    Valores cuadrantales: 0 0

Tan

1

/2

/

 0

3/2

/

2 0

Variación en los cuadrantes:

Cuad Signo Variación Comportamiento I

+

0 a +

Creciente

II

–

– a 0

Creciente

III

+

0 a +

Creciente

IV

–

– a 0

Creciente

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |37

LÍNEA COTANGENTE: La cotangente del arco asociado a una Circunferencia Trigonométrica, es la abscisa del punto de intersección entre la tangente que pasa por el origen de complementos y la prolongación del radio que pasa por el extremo del arco.

YB

 2



T(x1;1) 

1

P 

 O

0 2

A

3 2

X

–

–1

+

+1

Variación de la Secante

BT x1 En el I OBT : Cot   OB 1  Cot  x1

  Sec  1   1  Sec   Valores cuadrantales:

–

+

0 2

3 2

+

1 a +

Creciente

II

–

– a –1

Creciente

III

–

–1 a –

Decreciente

IV

+

+ a 1

Decreciente

Y

Valores cuadrantales: 

/

3/2 0

T(0;y2)  B

2

/

P 1 

Variación en los cuadrantes:

O

Cuad Signo Variación Comportamiento I

+

+ a 0

Decreciente

II

–

0 a –

Decreciente

III

+

+ a 0

Decreciente

IV

–

0 a –

Decreciente

1



O

A

T(x2;0)

En el I OPT OT y2 Csc   OP 1

+

 2



+1 0 2

X En el I OPT Sec 

:

X

:

P



A

 Csc  y 2

LINEA SECANTE: La secante de un arco contenido en una circunferencia trigonométrica, es la abscisa del punto de intersección de la tangente geométrica trazada del extremo del arco con el eje X.

YB

2 1

I

  Cot  

/2 0

/

LÍNEA COSECANTE: La cosecante del arco contenido en una circunferencia trigonométrica, es la ordenada del punto de intersección de la tangente geométrica trazada del extremo del arco con el eje Y.

Variación de la Cotangente

0

3/2

Cuad Signo Variación Comportamiento



/

 –1

/

Variación en los cuadrantes:

 2

Cot

/2

0 1

Sec

OT x2  OP 1

3 2

–1

 Sec  x 2 Variación de la Cosecante

–

  Csc  1   1  Csc  

38| C E P R U 2 0 1 5

FUNCIÓN TANGENTE: La función tangente denotado por Tan, está definido por

Valores cuadrantales: /2 1

0 Csc

/

3/2 –1



/

   f  (x;y)  x / y  tanx; x   (2k  1) ;k   2  

2

/

Donde: y = f(x) = Tan(x), regla de correspondencia

Variación en los cuadrantes:

Cuad Signo Variación Comportamiento I

+ a 1

Decreciente

II

+ +

1 a +

Creciente

III

–

– a –1

Creciente

–

IV

–1 a –

4y 3 2 1 x

0      -1  

Decreciente

 

 

-2 -3

FUNCIÓN SENO: La función seno denotado por Sen, está definido por

f  (x;y)  x



/ y  sen x; x 

Función Dominio

Donde: y = f(x) = Sen(x), regla de correspondencia Evaluando la función para algunos valores de “x”, se tiene: – /6 /4 /2  x 0 y

0

0

1/2

2

1

-4

Rango Periodo Discontinua

f(x) = Tan x   2n  1   2 = –;+   ; 3  ; 5  ;...;  2n  1   2 2 2 2

FUNCIÓN COTANGENTE: La función denotado por Ctg, está definido

0

f  (x;y)  x / y  c tgx; x 

2

cotangente

 k;k 



Donde: y = f(x) = Ctg(x), regla de correspondencia

y 

4y



3



2

x

       

 

1

 

0      -1  



x  

 

-2 -3 -4

Función Dominio Rango Periodo Continua

f(x) = Sen x = –;+ –1;+1; –1  sen x  +1 2 x

Función Dominio

FUNCIÓN COSENO: La función coseno denotado por Cos, está definido por

f  (x;y)  x

/ y  cos x; x 



Rango Periodo Discontinua

f(x) = Cot x

 n

= –;+  … ;- ; ; 2; 3 ; ...; n

FUNCIÓN SECANTE: La función secante denotado por Sec, está definido por

   f  (x;y)  x / y  sec x; x   (2k  1) ;k   2  

Donde: y = f(x) = Cos(x), regla de correspondencia

Donde: y = f(x) = Sec(x), regla de correspondencia

y

4y



3 2



1         

x  

 

0      -1  

x  

-2 

-3 -4

Función Dominio Rango Periodo Continua

f(x) = Cos x = –;+ –1;+1; –1  sen x  +1 2 x

Función Dominio Rango Periodo

f(x) = Sec x   2n  1   2

  1;1 2

 

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |39 Discontinua

 ; 3  ; 5  ;...;  2n  1   2 2 2 2 FUNCIÓN COSECANTE: La función cosecante denotado por Csc, está definido por:

f  (x;y)  x

/ y  csc x; x 

 k;k 

Ejemplo: Graficar f(x)  A cos x ; para A=1; 2; Y 2



2cosx

(½)cosx -/2

4y

/2

O

3



-1

1  

 

VARIACIÓN DEL PERIODO; El periodo T depende del valor de k y del tipo de función que se tenga El efecto que produce k en el gráfico de la función es: Estirarla horizontalmente, si 01 1 Ejemplo: Graficar f ( x )  sen (k x ) ; para k=1; 2; ; -1 2

-2 -3 -4

Función Dominio

f(x) = Csc x

 n

Rango

Y

  1;1 2 … ;- ; ; 2; 3 ; ...; n

-

Sen; Csc

T

Cos; Sec Tan; Cot Sen; Csc

2 |k|

T T

Cos; Sec

Sen(x)

-/2 /2

O

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA: Sea la función trigonométrica: f ( x)  A [F.T.]n (k x  )  B Donde: k –{0}; nZ+ La función se puede graficar más fácilmente teniendo en cuenta los siguientes criterios: y máx  y mín Amplitud: A0 (si tiene) A  2 Periodo: T



3/2



Sen(2x) k=1 T  k=2 T 

2 |k| 2 |k|

2



| 1| 2



|2|

Sen(

1 2

3

7/2 4 X

x)

 2 

2  4 1 | | 2 2 2 k=–1 T    2 | k | | 1 |

k=

1

2

T 

2

5/2 2



|k|

VARIACIÓN DE : La constante  tiene el efecto de desplazar la gráfica de la función hacia la derecha o hacia la izquierda. Si >o, la gráfica se desplaza hacia la izquierda Si 
|k|  |k|

Desplazamiento de fase:  Tan; Cot >0 (izquierda) <0 (derecha)

Y 2

Término independiente: B B>0 (desplazamiento hacia arriba) B<0 (desplazamiento hacia abajo)

sen ( x 

1 -

VARIACIÓN DE LA AMPLITUD: Sea la función: f ( x )  A senx ó f ( x )  A cos x El número |A| se llama amplitud de la función seno ó coseno. El efecto que produce A en el gráfico de f ( x )  A senx ó f ( x )  A cos x , es: Estirarla verticalmente si A>1 Comprimirla verticalmente, si 0
1 2

; –2.

-/2

-/4 O

/4

/2

-1 sen ( x 

-2

  4

)

 4

)

3/2

2 X

Sen(x)

VARIACIÓN DE B: La constante B tiene el efecto de desplazar la gráfica hacia arriba o hacia abajo. Si B>0, la gráfica se desplaza hacia arriba Si B<0, la gráfica se desplaza hacia abajo. Ejemplo: Graficar f ( x )  sen ( x )  B ; para B= 0; 2; 1

2senx

Sen(x)+2

Y 2

senx

1

Sen(x)

1

- -/2

X

-2cosx

-2

     -1  

Y 2

2

x

0

n:par

3/2

cosx

2

n:impar

/2

O

1 -1

2

senx



3/2

2 X

- -/2

/2

O



-1 -2

; –2

1

Donde: y = f(x) = Csc(x), regla de correspondencia

Periodo Discontinua

1 2

-2senx

Sen(x)–1 -2

3/2

2 X

40| C E P R U 2 0 1 5

NOTA: Si una función tiene la forma: h(x)=a.f(x)+b.g(x), donde a y b toman valores en R R , además f(x) y g(x) son funciones trigonométricas. El periodo de la función h(x) es T(mínimo) si y solo si los periodos de las funciones f(x) y g(x) son también iguales a T. Por ejemplo: f(x)  2sen(4x)  sen(

8x ) , el periodo de 3

Es decir: f(x)  2sen(4x)  sen(

T

2





|k|

8x ) , 3 3 4 3

2

 3 2

2 9

4 3

Entonces el periodo de f es

2

está función es el periodo mínimo de ambas funciones

EJERCICIOS 1.

2.

3.

¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa para un ángulo del tercer cuadrante? A) El coseno es menor que la secante B) La tangente es positiva C) La cosecante es negativa D) El seno es mayor que la secante E) La cotangente es positiva.

Una función crece en el IC y IIC, decrece en IIIC y IVC. Diga Ud. de cual de las siguientes funciones se trata.

B) C) D)

Tg(x+90º) es E) 5.

6.

7.

–





El periodo de la función y =

sen2x

De las siguientes funciones: I) sec x II) Csc x III) tg x . Se puede afirmar: A) Solo una de ellas es creciente en el IC. B) Las tres crecen en el IV C. C) Solo dos de ellas decrecen en el IIIC. D) Las tres crecen en el IIC. E) Solo una de ellas es decreciente en el IVC rango

de

la

función

f

definida

1  senx 1  senx  , es: 4 1   9  9 A) B) 0; C) 1;  4  2 ;1  7       5 9 3 9    D)  4 ; 4  E) 4 ; 4     f (x) 

f (x)  2senx  1 ,

Al calcular el rango de la función se obtiene:

3,1

3,1

B)

 3,1

E)

  3, 1

C)

 3,1

5 3 x , entonces el valor mínimo de la 2 2 función f (x)  sec x , es: 

A)  D) 1

B) 0 E) 1

 

C)

11. Si f (x)  4sen  3x 

 3,3 D)  5,5 A)

es 

Cuál o cuales de las siguientes afirmaciones son falsas. I.) La función tangente es creciente en todo su dominio. II.) La función cosecante es creciente en dos cuadrantes consecutivos. III.) Si unimos el rango de las funciones seno y secante obtenemos el rango de la función cotangente. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Todas E) Ninguna

El

E) y  csc x 9.

     

 n    ;n   2  , 1 U 1,

D) y  sec x

10. Si

(2n  1) 2 ,n  Z

   (2n  1) ;n  2     (2n  1) ;n  2 

C) y  ctgx

D)

la función coseno es mayor que la función seno en el IC. La función tangente es una función estrictamente decreciente en todo su dominio. La función Cotangente es una función estrictamente creciente en todo su dominio. El dominio de la función trigonométrica: y =

 1; 1

B) y  tan x

A)

B) Cosecante D). Coseno

Cual de las siguientes afirmaciones es verdadera. A)

Marque la alternativa que contenga a la función trigonométrica con su dominio correspondiente: Función Dominio A) y  cos x

¿Cuál es la función trigonométrica que en el cuarto cuadrante decrece hasta alcanzar el valor 1, a medida que el ángulo crece?. A) coseno B) tangente C) cotangente D) secante E) cosecante.

A) Secante C) seno y secante E) Todas las anteriores 4.

8.

B)

  , hallar Dom(f )  Ran(f ) . 5

 4, 4

 2; 2 D) 1; 2

C)

 3, 4

E)

12. El rango de la función A)



f (x)  2cos x  1 , es:

 3; 1 E)  0; 3 B)

C)

0; 2

13. Determinar el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I)

tan x  cot x,  x  0;

II)

cot x  tan x,  x 

 4

  ; 4 2

III) La función tangente es creciente en todo IV) La función cotangente es decreciente en

0;  por

La secuencia correcta es: A) FVFV B) FFVV D) FVVV E) FFFV

C) VFVV

2

14. Se tiene la función y  2  5cos x . Si x  rango de la función, es:

3,0

A)



D) 3,7





B) 2, 3 E) 7, 3





C) 3,2



, el

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |41 15. Si

 2 2  Cosx  , 2 2

rango de la función

x  0,  , entonces el

2, 4

B)

1,1

D)

1,3

E)

3,3

C)

0,3

  3  16. Si x   6 ; 4  , entonces el rango de la función   5  Senx , es: y 3 11  5  5  A) C)  6 ; 4  6 ; 2  B)  2 ;3       11 11     D)  2 ;3 E)  3 ; 4      17. En las siguientes proposiciones, indicar el valor de verdad (V) o falsedad (F) II)

cot 2  tan 5 sen1  cos 2

III)

cos x  senx. x  0;

IV)

sen(cos x)  cos(cos x)

I)

 2

B)

5     x  2 n  n  6  

C)

     x  (4n  1) n   2  

D)

     x  (2n  1) n   2  

E)

3n    x  n  2  

19. El

dominio

de

la

  , es: 3

D)

1.2

E)

; 1

( )

IV)

csc x1  csc x 2

( )

La secuencia correcta, es: A) VVVF B) VFVF D) FFVV E) VVFV 22. El

rango

de

la

C) VVVV función

definida

por

1 f (x)   senx(1  senx) , es 6 1 13  13   1 13  A) 0, C) ,  6  B)  6 , 6  6 6     13   1 13  D) 0,  E)   12 , 6  6    f (x)  tan(x  ) , es: 3  k    k    k  

    (2k  5) 3      (2k  1) 2      (6k  5) 6 

 k    (2k  1) k    k

E)

24. Dada

la

f (x)  tan x , si

función

x

  ; 4 2

entonces el rango de la función f, es:

función

2 3  , 2 3 

sec x1  sec x 2

C)

f

definida

por

A)

; 2

D)

1; 

2; E) ;1 B)

C)

25. Determinar el periodo de la función f(x) = sen 6x – sen 4x. A) 2 D)

2 3

B)



C)

12

 6

E) 

26. Determinar el periodo de la función f(x) = sen310x + cos65x . A) 2 D)

2 5

B)



C)

5

11 5

E) 

27. Marque lo incorrecto: El periodo de la función: A) y  senx

  , entonces el rango de la función , 6 3  f (x)  sec(x) , es: B)

III)

D)

20. Si x  

1, 2

( )

B)

 x  f (x)  tan    , es: 2 3    A)  2k  / k   2   5   B)  k  / k  3      C)  k  / k   2      D)  2k  / k   3   5   E)  2k  / k  3  

A)

csc x1  csc x 2

C) FVFV

 

5     x  n  n  6  

 , en 2

23. El dominio de la función

18. El dominio de la función y  7Sec  x  A)

II)

A)

La secuencia correcta es: A) VFFF B) VFFV D) VFVF E) FVVF

  x1  x 2  

las proposiciones escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa. I) ( ) sec x1  sec x 2

f (x)  Cotx  3 , es:

A)

21. Dada la siguiente condición

C)

1; 

2 3 ,  3

es 2

B) y = tag3x

es

C) y = sen4x

es

 3  2 2

D) y = csc3x

es

E) y = sec2x

es 4

3

28. Indicar Verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

42| C E P R U 2 0 1 5 I. II. III.

Sen( 2 ) > Sen(1) Cos(3) > Cos(4) Sen(3.29) > Sen(4.93)

A) VVV D) VFV

( ) ( ) ( )

B)VFF E)FFF.

A) y = sen

C)FFV

 2  sen x  ; 4 3

x

2 3 ; 2 2

2 2   ;  cos x   x  ; 2 2 4 4   III. Si x   tan x  1;  ; 4 2

1

C) FFF

0

2

2

–1

–1 C) y =Tgx

D) y = Ctgx

0

0

2

2

E) y =Secx

3  0  sen x  1 4 5 II. 0  x   1  cos x  1 4   III.   x     tan x   2 2 0 x

La secuencia correcta es: A) VFV B) VVV D) VVF E) FVF

3

C) y  sen x

1

30. Determinar el valor de verdad (V) o falsedad de las siguientes proposiciones: I.

 6

35. El grafico que no corresponde a la función indicada es: A) y =Cosx B) y =Senx

0

II. Si

La secuencia correcta es: A) FFV B) VVV D) VVF E) FVV

B) y = sen

D) y = sen3x E) y = sen6x

29. Determinar el valor de verdad (V) o falsedad de las siguientes proposiciones: I. Si

 3

1 0 –1

2

36. La ecuación de la grafica adjunta es:

C) FFF

y

31. Ordenar de menor a mayor. E: Sen5 ; Sen4 ; Sen3 P: Cos2 ; Cos4 ; cos6 Dar como respuesta los menores de cada grupo: A) Sen3 ; Cos4. B) Sen4 ; Cos4. C) Sen5 ; Cos6. D) Sen5 ; Cos4. E) Sen3 ; Cos6.

2

1

x /2

0

5/4

32. Sea la función definida por:

1

f(x) =

4  9 A) 0;   4

+Cosx(1+Cosx); hallar el rango de f.

1  2 

1 9 4 4

B)  ; 

9 D) 0;  4

C)  ;1

A) y = 1 – sen2x B) y = 1 + sen2x C) y = 1 + cos2x D) y = 1 – cos2x E) y = senx + cosx 37. La ecuación de la gráfica adjunta: y = a + bSenx. Hallar: E = a.b

1 9 ; E) 4 4

Y 2 2

33. Si el dominio de la función f(x)  Ctg (Bx) ; B>0, es

{

2k 3

f(x) es: A) D)

1

;k  ZZ } . Entonces el periodo mínimo de

2

B)

3 4



C)

2

3

A) 2 D) 4

E)

3

34. Determinar la ecuación de la sinusoide de la figura adjunta.

y



/2

O

–/2



B) 3 E) 6

3/2 C) 1

38. Hallar las coordenadas del Punto E.

y P



1

0

–1

x

x 





2

6

3

2

3

H A) (Sen ; –Cos) C) (Sen ; Cos) E) (–Cos ; Sen)

E

x2 + y2 = 1

B) (–Sen ; Cos) D) (–Cos ; –Sen)

2X

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |43

EJERCICIOS DE REPASO 1)

Para un cierto ángulo que se mide en grados sexagesimales “S” y en grados centesimales “C”, se cumple la siguiente relación de igualdad:

190  C  S   

2

8)

E

 SC  C  S 

Calcular la medida de dicho ángulo en radianes:

1 60 1 D) 40

1 30 1 E) 70

A)

2)

3)

Sean (5x) y (5y) las medidas de dos ángulos agudos, tal que se cumple Cos(5x)  Csc(5y)  1 , el valor de:

B)

es: A) 1 D) 7

1 50

C)

9)

Encontrar la medida de un ángulo en radianes, si dicha medida está dada en grados sexagesimales (S) y en grados centesimales (C), donde la suma de los valores numéricos de S y C es 152. A) 0.80  rad. B) 0.40  rad. C) 0.30  rad. D) 0.28  rad. E) 0.42  rad. Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en grados sexagesimales, grados centesimales y radianes respectivamente, tal que:

CSR R4  2 R4 CSR

Si:

 5  D) 3 4)

 4  E) 8

C)

 2

75 19

sec(   40º )  csc(   50º )  0

B)  10

1 , el valor de 12

E  Tan  Tan , es:

Tan(x  2y  30º ).Tan(y  x)  1

y

medidas de dos ángulos agudos, entonces el valor de E  3x  y , es: A)20º B)10º C)30º D)5º E)15º En la figura, el valor de S  Tan  Tan2  Tan3 , es:

 



22 3 25 D) 3

B) –1 E) 2

25

3 25 29 E) 3 B)

C) 1/2

12) Si se cumple que: Tan(2x + y + 8º) = Cot(x + 2y + 16º) Sec(2x + 3y – 8º) = Csc(x + y + 20º) Calcular “y – x” A) 1º B) 2º C) 3º D) 4º E) 5º 13) Calcular el valor de:

E

csc 30º (1  sen30º )(1  sen60º )

D) sen

tan 60º  tan 45º

 3  6

B) tan

sec 60º



C) tan

4

E) sen

 6

 3

14) En qué cuadrante se encuentra , si:

15) Si

6Cos5x = 5Cos3x ,

1  Sen 0 Tan

entonces el valor de

E  Tanx.Tan4x , es A) 11 D) –11

B) –1/11 C) –1 E) 1/11

16) Al simplificar la expresión:

π   Sen 2  4k+1 +θ   Sen 2  2k  1 π  θ  2   E= π π  S ec  2πk   C sc 2  4k  1 +  2 4  resulta A) 1/2 D) 1/3

55

2

A) IC y IIIC B) Solo IIC C) Sólo IVC D) IIC y IVC E) Todos los cuadrantes

C)6

Sen(x  y)  Cos(3x  50º )  0 , donde x e y son

A)

2

cos 3x  cos 3y  2 cos 3x.cos 3y  1

A) tan

B)12 E)10

2

sen 3x  sen 3y  2sen3x.sen3y  1



3 10 E) 4

respectivamente. Si Sen.Sen 

7)

C)15º

11) Si se cumple que: tan 3x. tan 3y  1

 10 C) 4

En un triángulo ABC, recto en C, las medidas de los ángulos agudos en los vértices A y B son  y β

Si

2

Calcular el valor de (x – y) A)10º B)20º D)25º E)30º

A) –2 D) 1

veces la suma de las inversas de esos números, el valor de  en radianes, es:

6)

2

E = tan 2x  tan x B)3 C)10/3 E)2/3

10) Si se cumplen las igualdades: sen(2x  y).csc(40º  y)  csc 

E=

Si la media geométrica de la inversa de los números que representan la medida  de un ángulo, en grados centesimales y sexagesimales, multiplicado

A)8 D)18

tan2x.tanx = 1

2

por la semidiferencia de los mismos, es igual a

5)

C) 2

Evaluar:

B)

 10 A) 3  10 D) 2

B) 4 E) 1/2

Calcular: A)5/3 D)1/3

El valor de R, es: A)

Tg2 (5x)  Tg2 (5y)  2Tg(5x)  Tg(5y)  7 , Ctg2 (5x)  Ctg2 (5y)  2Ctg(5x)  Ctg(5y)  7

B) Cos C)Sen E) 1

17) A partir de las ecuaciones siguientes:

8 C)

3 22

3   Senx  Sen x = a  3  Cosx  Cos x = b

La relación correspondiente que no depende de la variable x , es:

44| C E P R U 2 0 1 5

a

2ab 

A) B)

2

 b2 

3

2ab = a +b

C)

3

2

ab = a +b

3

26) Simplificar:

sen(x  y)

3

cos x.cos y

2

A) –1 D) 0

a 2 +b 2  2ab

D)

a

E) ab 

2

 b2 

E  Ctg(A  B) , es: B) –11/7 C) –1/13 E) –13

2 2 19) Si Tan   Ctg   11 ,

1

B) 7/12 E) –5/7

A)3/2 D)4/3

C)3/4

B)2/3 E)2/5

y

A) 10 B) 1 3 C) –8/5 D) –1/5 E) 1/2

P(–5;–3)

29) En el gráfico, AM=MN=NB Calcular: K  Tan.Cot

B(–1; 7)

A) –6 B) –5 C) –4 D) –3 E) –2

N

X

3

30) Calcular el valor de:

E  cos 80º 2 sen70º sen10º

periodo

mínimo

de

la

función

f(x)  Sen2 x  Cos2x , es:  6  E) 2 B)

 3

C)

 4

A) 1/2 D) 3/4

  x  0 ; π    , entonces 2

y

B) 2/3 E) 4/3

el rango de la función

f(x)  Secx , es: A) 2 ; +

(1  tan 25º )(1  tan 20º ) 2

A) D)

tan 25º  tan 35º  3 tan 25º. tan 35º

B)

2 3

E)

3

E

C)

 ;  2  2;  

D)

 ;  1  1;  

3 2

2 3

5 tan16º B)1/5 E)2

C)3/5

33) La expresión equivalente a:

Ctg10º  Tg10º

24) Calcular el valor de 2

2

2

E  (sen18º  cos12º )  (sen12º  cos18º ) B) 4 E) 1

4n 2

n 4

C) 3

A) Sen2 20º B)

Hallar el valor de:

B) 2n E) 2n  1

0

, es:

Csc 20º D) cos40º

E  Ctg  Tg ; A) n  1 D) n

C)

2

tan 53º  tan 37º

A)5/2 D)2/5

E)  2 ; 3

2

1

32) Calcular el valor de:

B) 3 ; +

Tg 4 

C) 3/2

31) Calcular el valor:

E

1 1 23) Si   Cosx  2 2

A) 5 D) 2



A(–7;–5)

3; 2

E)  3 ;  1

A) 

Y



M

D) 2;  3 

x



C) 2;  3

25) Si:

, calcular el valor

2

C) –7/12

3

B)  3 ;  1  1;

D)

1

; Tan(   ) 

Tan4

de Tagx

22) El

C) 1

2 de E  Tan(    )

  45º,90º . Calcular el

2  Secx  2, x  IVC . Determinar el rango

A) 1;

sen(z  x) cos x.cos z

28) Del gráfico, calcular. L  3Tan2  Tan

20) Una persona inicia su viaje en la dirección N30ºE recorriendo 28 Km, luego se desvía con una dirección S7ºE, hasta llegar a un punto donde se observa el punto de partida con una dirección N60ºO. Determinar la distancia entre el punto de partida y su punto de llegada. A) 28 km B) 35 km C) 21 km D) 18 km E) 16 km 21) Sea



B) senx + cosy E) tanx – tanz

27) Si Tan(  ) 

entonces el valor de:

valor de A) 5/12 D) –12/5

sen(y  z) cos y.cos z

3

18) Si Ctg(A  C)  4 y Ctg(B  C)  3

A) –7 D) –7/13



2

Ctg 20º

C) 1

E) cos50º

34) En la figura, AE=3, EB=2, DC=2 y CB=1, calcular Tan.

D

 4 C) n  1 2

A) –2 B) –1 C) 1/2 D) 1 E) 2



A

E

C

B

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |45 D)

35) Reducir la expresión: B) – 3

2

D) –4 2

Y

C) 2

A) –1/2 D) –1/6

y=   2

6 Cos

B) –1/3 E) –5/6

 2

B)

 3

C)

 4

D) 19

E) 5

C)

17

A) 0 D)

C)

f  x    csc x  ctgx  cos

E)

41) Señale el rango de la función: 2

 3;4  D)  1;3  A)



 1;4 

  ;a  pertenece a la grafica de la función 3 

42) El punto 

 a

f  x   3senx  cos x. Calcular el valor de f   A) D)

3 3 2

B) 1/2 E)

C) 1

2 2

43) Siendo S y C las medidas de un ángulo en grados sexagesimales y centesimales, respectivamente: Si: es: A)

S C   8 , la medida del ángulo en radianes 9 10

 ra d 6

B)

2

2



2

C)

 4



2

Cos  20º  Cos 200º

A) –3 D) –1

2  rad ra d C) 5 4



C tg  40º  C tg 400º

B) 0 E) –2

, es: C) 1

1 4 1 E) 2 B)

C)

1 3

2 Cos  x  y 

Sen  x  y   Sen  x  y  B) 5 E) 9

, se obtiene: C) Ctgy

49) La función trigonométrica que crece en el I y II cuadrante, decrece en el III y IV cuadrante, es: A) Cosecante B) Secante C) Tangente D) Coseno E) Seno

2

y  3 Sen x  4 Cos x B)  2;3  C)  2;4  E)

5 



48) Dadas las proposiciones: I) Las funciones y = Sen x, y = Cos x, y = Sec x, y = Csc x tienen el mismo período. II) La gráfica de la función y = 2 + Sen x, se obtiene trasladando verticalmente 2 unidades hacia arriba la gráfica y = Sen x III) El período mínimo de y = Tg (2x) es 2 Al Indicar con V, si es verdadera y con F si es falsa, se obtiene: A) VVF B) VFV C) FFV D) FFF E) FVF

x

2   C)  k   2     2k  1  2  

B)

 k

D)

E)

A) Tg x D) 7

2

40) Halle el dominio de la función:

A)

E

E

E) 2



2



47) Si: 7 + Tg y = Ctg x, simplificando la expresión:

,

B) 1

3



B)

1 8 1 D) 7

1  1  g  x    cos x   cos x   , determinar: 2  2  gmáx  gmín

3

2

A)

f  x    2  senx  2  senx  y

fmáx  fmín

6 



46) El valor de la expresión: E=Sen5ºCos5ºCos10ºCos20ºCsc40º, es:

39) Dadas las funciones:

E



45) El resultado de simplificar la expresión:

ceviana interior AD , tal que BD=3, calcular el valor de AD. B) 4

A) D)

38) En un triángulo ABC, AB=5, BC=8, y AC=7 , se traza la

2

X

C) –2/3

 6  E) 2

A) 

1 2

O

37) Se inventa un nuevo sistema de medición angular X, tal que 12X (doce grados X) equivalen a 15º, el número de radianes a que equivalen 72º, es:

A)3

y = cosx

2

E) 2 3

36) Calcular Cos 2 , si: Csc

D)

 ra d 2

E)

44) En la figura, hallar el área de la región sombreada.

P  ( 3  1)sec 5º ( 3  1)csc 5º A) 4

2 rad 3

50) Al simplificar la expresión

E

Sen x  k Sen 3x  Sen 5x Cos x  k Cos 3x  Cos 5x

se obtiene: A) Tg 2x D) Ctg 3x

B) Tg x E) Ctg 2x

C) Tg 3x

51) Al resolver la ecuación: 2

1  Cos x  2 Sen x La solución en el II cuadrante, es: A)

2 3

D) 

5 9 5 E) 6 B)

C)

4 3

52) El ángulo comprendido entre dos lados de un paralelogramo de 30 cm y 20 cm, mide 60º. La longitud de su diagonal mayor en cm, es:

46| C E P R U 2 0 1 5 A) 10 15

B) 10 13

D) 10 17

E) 10 19

C) 10 18

D) E)

53) Si: Cos 2650º  k , el valor del Sen 950º es: A)  1  k

1k

D)

2

2

B)  1  k

2

C)

1 k

2

 Cos x     Sen x 

54) El valor de:

Sen  270º   3 Cos  180º 

5 Cos  270º   Cos  180º   2 Sen  270º A)

1 2

D) –2



1 2

C) 

B) 4

55) Sen 300º, reduciendo al primer cuadrante, es: B) –Cos30º E) –Sen 60º

C)Cos 30º

D)

6 4

2

3 2

2

B) E)

3 4

2

3 2

2

57) Sabiendo que Cos x =

2 5 3 1 D) 3

B) 

A)

E)

 2 3 D) 2

6

C)

2

1 , el valor de Cos 2x, es: 2

1 3

C) 

C)

3 4

60) ¿Qué cantidad se debe agregar al cociente que existe entre la diferencia del Sen 60º y Sen 30º , y la suma de estos mismos valores, para que el resultado sea el doble de Tg 45º ?

3 3 3 1

61) El

3 1 3 3

2

A) E = 1/4 D) E = 2

3

ˆ  A) Cos B

3

de

la

  2  3 Sen     , es: 4 4  B) E= –1/2 E) E = –2

C) E=1/2

62) Al expresar las ecuaciones: 3

y  Cos   Sec  Sólo en términos de “x” y “y”, se obtiene:

B)

2

x  2x

1 2

ˆ  E) Cos B

2x  3

A

C

2

x  3x  3

ser igual a Csc 30º ? A)

B) 3

3

C) 2 2

2

E) 2y  y x  x  1  0

5 8

A) 60 cm

2

B) 70 cm

2

D) 90 cm

2

E) 80 cm

2

C) 100 cm

2

E  Sen 300º  Cos 240º  Ctg 135º A)

2 3 2

D)

3 3 2

68) Al

B) 

2 3 2

E)

33 2

C) 

3  Cos 50º 2

expresar

33 2

como

producto

expresión:

69) Los

lados

de

un

triángulo

miden: 3 

10  2 5 y 2, el coseno correspondiente al lado mayor: A)

6

B) 

10  2 5

C)  E) 

6

del

5 10  2 5

D)  5

10  2 5

5 10  2 5

2 2

 x 2  y 2  x 2y 2  1

se

obtiene: A) 2 Sen 40º Sen 30º

x  Sen   Csc

x  yx y  1

B

ˆ 2 D) Cos B

3

A)

1 2

B) 2 2 Sen 10º C) 2 Sen 40º Sen 20º D) 2 Sen 40º Sen 10º E) 2 Sen 20º Sen 10º

3

3 1

valor

E  Sen

C)

3 3

E)

D) x  arc Ctg  2 

E) x  arc Ctg  2 

67) El valor de:

B) 288  dm C) 288 dm D) 288  cm E) 240  dm

D)

C) x  arc Tg  2 

Sen A  Sen B 

2 3

B)

B) x  Tg  2 

66) En un triángulo ABC (recto en C) de hipotenusa igual a 16 cm, determinar el área de su región triangular, si se conoce además que:

1 9

A) 280 dm

12 3 3

viene dada por: A) x  Tg  2 

D) 2 3

1 2

59) El minutero de un reloj mide 12 dm . ¿Cuál es la longitud que recorre su extremo en 12 horas, si una revolución es 2 radianes?

A)

1

65) ¿Por qué factor debe multiplicarse a Ctg 60º para

B)  E)

2

ˆ 1 C) Cos B

58) El periodo de la función f(x)=2+Tgx, es: A)

  Sen 45º 

ˆ  2 B) Cos B

56) El valor de Sen 75º , es: A)

1

64) En el gráfico siguiente, se muestra un triángulo oblicuángulo. Se pide hallar el coseno del mayor ángulo.

E) –4

A) Sen 30º D) Sen 60º

 x  y  x 3y3  1  x  y  xy  1

63) La solución de la ecuación trigonométrica:

1 k

E)

 x 2  y 2  x 2y 2  1

C)

70) Calcular en radianes el valor de la expresión:

E  120º 100

g

5 ,

ángulo

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |47 A)

3 5

5 6 7 E) 6 B)

D) 7

71) Si: Tg    A)

D)

C)

7 5

3 y Sen   0 , calcular " Csc  ". 2

7 2

B)

3 2

E)

7

C)

 , el valor de la expresión: 6 Sen  17     Cos  48     , es: E  323    129   Sec     Csc    2   2  5 3 1 A) B)  C) 16 16 16 5 3 D)  E) 16 16

79) Si  

7

3

3

80) Si   22º 30 ' , el valor de la expresión: 2

72) Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: 0  Sen210º I) II) III)

0  Tan310º 0  Cos110º 0  Csc200º

IV) La secuencia correcta, es: A)VFVF B)VVVV D)VVFF E)FFVV

IV) La secuencia correcta, es: A)VVFF B)VVVV D)VVVF E)VFVF

B) 3 3

D) 2 3

E)

2 3

C)

4 3

75) Al simplificar:

2 Sen  x  y   Tg y Cos  x  y   Cos  x  y  B) Ctg x

D) Tg x

E) Ctg 2x

C) Tg y

B) 45º E) 37º

C) 53º

 en posición normal. El valor de la expresión: E

2

2

 Sen   Cos   2

A) 9 D) 6

III)

B) 7 E) 10

C) 8





 Su dominio es   2k  1  ; k  2 Es discontinua para todo x   k; k 

IV) Su rango es

 1; 1

Cuál o cuáles son incorrectas: A) I y II D) Sólo III

 3 ;  1 

E)

B) Sólo I E) I y IV

3

1; 3 

C) Sólo II

 3 ;  1 

 1; 3

5  ; , hallar el valor de: 6 18

R

Sen      Sen      Sen        Sen  Sen  Sen  Sen  Sen  Sen 

A)

2

B) 2 3

D) 

2 3 3

E) 

C)

3 3

3 3

 M  Cot   Cot ; si     2  2 A) –1 D) –2

B) 0 E) 1

C) 2

R

Sen  2  45º   Sen  2  45º  Cos  2  30º   Cos  2  30º 

A)

2 6 2

B)

6 4

2

C)

2 2

6

D)

2 4

6

E)

3 4

6

, es:

78) Referente a la función trigonométrica f  x   Csc x , de las proposiciones siguientes: I) Es creciente en dos cuadrantes consecutivos II)

B)

85) Si     30º , calcular:

77) Si P  5; 4  es un punto del lado final de un ángulo

Cos   Sen 

C) 90°

84) Hallar el mínimo valor de:

76) En un triángulo ABC, AB  6 , BC  5 y el ángulo BAC mide 30º. Calcular la medida del ángulo ACB. A) 60º D) 75º

1; 1 

83) Dado  

3

ac b  cb a c

Tanx . A)

D)   3 ;  1

3

se obtiene: A) Tg 2x

C) 11

82) Si:  2  Sec x   2, hallar entre qué valores varía

C)  1;

C)FVFV

74) i Sen 2x  Cos x , donde x es la medida de un ángulo. Calcular Tg x  Ctg x . A) 4 3

B) 10 E) 8

; la medida del ángulo A, es: A) 60° B) 150° D) 135° E) 120°

C)FVFV

Tan180º  Cos180º Cot90º  Cot270º Csc90º  Csc270º

III)

A) 7 D) 9

81) Si en un triángulo ABC, se cumple que:

73) Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: Cos90º  Sen90º I) II)

 Tan 2   Cot 2   E  , es:  Cot  Tan  



86) Una persona desde lo alto de un edificio de 20 m de altura, observa un auto que se desplaza durante 8 segundos en la pista alejándose del edificio en línea recta, con ángulos de depresión inicial de 30º y final de 15º. Hallar la velocidad con que se desplaza el auto: A) 10 m/s

B) 15 m/s

D) 5 m/s

E) 20 3 m/s

C) 5 3 m/s

48| C E P R U 2 0 1 5 1  Tan  , el valor de la expresión: 9 Sen       Sen      , es: E 2Cos     

87) Si Cot 

A) 10 D) 8

B) 7 E) 6

C) 9

88) En un sistema de coordenadas rectangulares, si   IIQ ,   IIIQ y   IVQ ; el signo de las expresiones en el orden que se indica:

P

Cos   Cos  Sen   Sen 

E

Sec   Sec  Sec   Csc 

E) 3 3  1 95) Encontrar los ángulos coterminales con 20º comprendidos entre 7500º y 8000º y dar la suma de las medidas de dichos ángulos. A) 15520º B) 20500º C) 21000º D) 18000º E) 15000º 96) En la figura, O  XY es un sistema de coordenadas rectangulares, el radio vector O P genera un ángulo de medida   0 medida

<



y OQ genera un ángulo de 0.

 a P   2

Si:

3, 

a  2

y

Q   a 3,  a  , el valor de E  Tan   Tan  , es:

Sec   Ctg  , es: Tg   Tg  A)          B)                C)    D)          E)          R

y

A) 0 B) 2 C) 1 D) 3 E) 4



 O

x

89) Al simplificar la expresión:

3

E

2

2



Sen x

2

Tg x

2



3



2

Ctg x

se obtiene: 2

2

A) Tg x  Ctg x 2

2

C) Sec x  Csc x 2

2

2

B) Ctg x  Tg x 2

2

D) Csc x  Tg x

97) Calcular el valor de:

cos10º cos 30º  cos 50º .........  cos 170º A) 1/2

2

E) Csc x  Tg x

D)

90) Al simplificar la expresión:

E

Tg   Tg  Tg   Tg   Tg      Tg     

se obtiene: A) 1 D) –3

B) –2 E) 2

C) 3

x  E  Tg   y   Sec  330º 3x  6y  es: 2  B) 1 E) 2

C) 3

92) El equivalente de la siguiente expresión:

E  2Sen  3x  y  Sen  3x  y   2Sen  x  y  Sen  x  y 

, es: A) Cos 2x  Cos 6x B) Sen 6x  Cos 2x C) Sen 2x  Cos 6x D) Cos 2x  Sen 5x E) Sen 2x  Cos 2x

2

2

Sen x  Sen y  1 se obtiene:

  , y 4 2   D) x  , y  4 6

  , y 4 4   C) x  , y  4 6   E) x  , y  4 2

B) x 

94) Dado sen B 

6 2

E) 0

    5   Cos   10  Sen    Cot   20  9 3  9    E         Cos    Sen    Cot   2  9  9  6  se obtiene: A) 1

B)

2

D) 0

E)

3

99) Si Ta n64 º 

5 13 1 D) 13 A)

C) 1

80 , el valor de Tan13º es: 39 3 2 B) C) 13 13 4 E) 13

de g  x   5sen2x y su rango es igual al rango de

1 2

A) x 

2 2

.

C) 1/2

100) Dado a 3 ; si el dominio de f  x  es igual al rango

93) Para los ángulos en el primer cuadrante; al resolver el sistema de ecuaciones:

Sen x Sen y 

B) 1

98) Al simplificar la expresión:

91) Si: Sec x  Csc 2y , el valor de la expresión:

A) 2 D) 4

Q

P

2

Cos x

2

, determinar cos 2 B.

A) 2 3  1

B) 3 3  5

C) 2 3  3

D) 2 3  3

hx 

2 3 5 D) 3 A)

 p cos 3x , el valor de , es: 6 k 3 3 B) C) 2 5 4 E) 5

101) En la figura se tiene que AD  DC  m , AB  8, BC  3 y BD  5 . El valor de la expresión E  m cos  , es: A) 2 B) 1/2 C) 0 D) 1 E) 1

A

B



D

C

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |49 102) En la figura:

Donde 5º  x  45º ; calcular el valor de la

B



AN  BM  x  R Si     6  y     2  ,

expresión: A) 1

N

A) 2xsen2 cos 3 B) 2xcos3 sen 3 C) 2xsen cos 2 D) 2xsen cos 3 E) 2xsen cos 4

sen  300º   2 tan  60º

A)

sec  1470º 

9 4

D) 

9 4

B) 

A) 920º D) 980º

4 9

4 9

considerando al semieje positivo de las abscisas O X como el lado inicial de los ángulos, la función secante de todos los ángulos positivos o negativos cuadrantales que tienen como lado final al semieje positivo de las ordenadas O Y , se denota por:

  2k  1    B) Sec   2k   

  3k  1    ; k  2  

B) 2M E) M+1 2

Tan A  Sen x

,

C) 2M

B) Sen x

D) Cos x

E) –2

y

2

Cot B  Sec x  Tan x ,

E) 1

C) 1

la

C) 3/2

2

C)

3

1 2

la

función

f  x   Ctg x ,

trigonométrica

5 2  x  , 2

se

tiene

las

siguientes



, se obtiene:

77

E) 77

2 Sec  2x  10º  4  Tg x  Tg  90º  x  3

f x  f x  f x  f x 

I.

crece de  a 0 decrece de

C) 5

 a 0

decrece de 0 a 

IV. crece de 0 a  Determine cuál o cuáles de las proposiciones indicadas son verdaderas. A) Sólo I B) Sólo II C) I y IV D) II y III E) Sólo III

C

2

la expresión E  2 bc Cos     ac Cos     ab Cos   

109) Si:

de

115) Para el triángulo ABC de la figura:

Si a  b  c  77 , entonces al evaluar el valor de

77 3

B)

C) Sen x

108) En un triángulo ABC, sus lados BC , AC y AB miden “a”, “b” y “c”, respectivamente, y sus ángulos interiores en los vértices A, B y C miden ,  y  , respectivamente.

D)

valor

E) 2

114) Para

III.

x x  Cot 2 2 siguiente expresión: E  Csc  2x   Cot  2x  D) Cos x

B) 2/3 E) 4/3

3 2

II.

Tan

B) 2

el

proposiciones: 2

107) Si x es un número real positivo, calcular el valor de la

A) 2

calcular

expresión:

donde

calcular el valor de Tan  A  B  : A) 2

 AB 5 Sec    2  3

112) Si

D) 1

105) Si Csc 89º  M , entonces el valor de Sec  901º

B)

x  2

E) Sen  2x 

A)

  4k  1    ; k  2  

E) Sec  

2

D) Tg 

113) Dos ángulos coterminales con medidas α y β están en la relación de 1 a 7. Si la suma de las medidas de dichos ángulos es mayor de 400º y menor que 500º, calcular el valor de coseno de β.

D) Sec  

A) 77

x  2

A) 6/5 D) 5/6

; k

  4k  3    ; k  2  

2

B) Cos  2x 

2 2 E=  Sen A  Sen B    Cos A  Cos B 

; k

C) Sec  

2

x  2

A) Cos 

C) Sen 

A) Sec

2

2A , será: B

entonces el valor de

104) En un sistema de Coordenadas Rectangulares XOY,

106) Si

C) 960º

2

E) 1

es: A) M D) M

B) 940º E) 1000º

111) Si: Tg x  Ctg x  A y Sec x  Csc x  B



C)

E) 6

3

"   "

H

M

103) Calcular el valor de la expresión:

E

C) 4

110) Los ángulos coterminales  y  están en la relación de 1 a 7. El ángulo  está entre 90º y 180º. Hallar:



A

B) 2

D)

entonces BN mide:



2 E  3 Csc  3x 



A

B

N

AB  6 , BC  3  1 , AC  2 y m  BNC   105º . Calcular la medida del segmento CN . A) 2

B) 3

D)

E)

2 3

C) 4

3 2

116) Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I)

Sen 

1 3    IIC  Cos   2 2

50| C E P R U 2 0 1 5

4 4    IIIC  Sen   3 5 12 5 Cos      IIIC  Tan  13 12

Tan 

II) III)

A)VVF D)VVV 117) Siendo

B)VFV E)FVV

P   2;3 

C)VFF

un punto que pertenece al lado

final del ángulo  en posición normal, el valor de la expresión:

124) Si: Csc   5 2 Hallar el valor de:

E  Ctg   2 Sen  34 5 36 D) 5

B) –1 E) 3

C) 2

118) El lado final de un ángulo  en posición normal pasa por el punto

 7; 14

2  . El valor de la expresión:

2 2 3

B)

D)

2 2

E)

2

A)

1

D)

2

3

B)

0

E)

8

C)

1

2

3

126) Calcular:

  2  2xy Sec   y Sen 2 2 L 3 2  x  y  Sen  4 xy Cos 2  2 2

xy D)  1 A)

119) En la figura, el valor de Co s  , es:

B) x  y E)

C)

2

x y

2

1

127) Si se cumple que:

y

 4

Sen   1  Cos    Tg



x

Además  y  son ángulos cuadrantales comprendidos entre 0º y 360º, Calcular:

P  Sen      

 5; 12 

120) Del gráfico, calcule Se n  .

4 A)  5 3 B)  5 2 C)  5 5 D)  7 2 E) 5

34 5

x Csc

2

5 12 5 B)  12 5 C)  13 12 D)  13 E)  2

C)

E   Cos50º  Cos20º    Sen50º  Sen 20º 

4 2 2 C) 3 3

A)

B) 

125) Calcular el valor de:

E  Tg   Sen  , es: A)

36 5 44 E) 5

A) 

13  Sen   Cos   , es: A) 1 D) –2

 Co s   0

A) 1 D) ½

  2 Cos    2 

B) 0 E) 2

C) –1

128) Si  y  son coterminales y

Tg   3 ,

calcular:

Sen   Co s  .

y

  3;4 

121) Si: Sen x  expresión:

Sen   

1 D)  5 123) Si: Tg   

3 10

D)

10 3

E)



C)



10 3

10 9

  Sen   45º  2  E   Tg   45º  4  B)    C)        E)  Ó 

1 , 90º  x  180º , el valor de la 5

Csc x  Sec x , es: 1  Tg x C) –2

122) Si se cumple que:

A)

B)

129) Si "" es un ángulo positivo del tercer cuadrante. Hallar el signo de la expresión:

B) 5 E) 0

Calcular: L=

3 10

x



E A) 3 D) 1

A) 

2

Sen 45º Sec 60º

A) D)

15 Cos   Sen  B)  2 C)  3 E)  15 /16

 

130) Reducir:

A)

   IIIQ



D)

Ctg 425º Ctg 352º Tg 352º Tg 605º 1 3 3 B) C)   2 2 2 1 E) 1

131) Si el área de la región sombreada es

Ctg  .

16u

y

  4;n 

2 y Sec   0 5



Hallar el valor de:

L  5Sec   2 Csc  1 C) 1

A) 0

B)

D) 2

E)

x

5 A) 

1 4

B) 

1 2

C) 

1 3

2

, calcule

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |51 D)

1 5

E) 

2  Sec x  Cos x   1  Sen x  K     Csc x  Sen x   1  Cos 2 x 

1 5 A)

132) Calcular el valor de:

E  Sen 50º 2 Cos 40º Sen 10º

A) 1 D) 2

B) 0,2 E) 3

C) 0,5

Sec 40º  Tg 40º  Tg 40º Sec 40º  Tg 40º A) Cos 40º B) Sec 40º C) Tg 40º D) 1 E) 2 E

134) Calcular el valor de "", si:

2 Sen 2º  Cos 47º  Cos  A) 40º D) 43º

B) 41º E) 44º

C) 42º

Tg 20º  Ctg 73º 135) Calcular el valor de: J  1  Tg 20º Ctg 73º A)

4 3

D)



4 3

B)

3 4

E)



136) Si: 3     Cos Calcular:

R

9 16 3 D) 16 A)

C)

1

 2

 85    37   Sen     Tg     3   3  A  97    65   Csc     Cos     6   4  1 3 3 A)  B)  C) 2 4 4 E)



3 2 4

B) –2 E) 4

Determinar: A) 0,6 D) 0,8

140) Simplificar:

A) D)

Tg x Sen x

C) –3

    0, 8 ; 90º    180º

Cos  270º   B) –0,6 E) –0,8

E B) E)

Cos x  Sen x  Tg x Sen x  Sec x B) Csc x C) 1 E) Cos x 3

3

Sen x  Cos x  Sen x  Cos x Sen x  Cos x A) 0 B) 1 C) Tg x D) Cos x E) 2 E

144) Calcular "k":

Csc x  k  Ctg x  A) –1 D) 2

Sen x 1  Cos x

B) 0 E) –2

C) 1

Csc x  Ctg x  3 Calcular el valor de: Sen x B) 2 E) 3/5

2

2

E  Sen  Tg   Cos  Ctg   2 Sen  Cos  A) 2 D) 4

B) 5 E) 10

C) 3

147) Al eliminar x, en 6

6 Sen x  Cos x  m …  I  Sen x  Cos x  n …  II 

Se obtiene: 4 A) n  4 m  4 2 B) 3n  4 m  4 4 2 C) 3n  4 m  6n  1 4 D) n  m  4 4 2 E) 3n  4 m  6n  1 2

4

Sen x  Cos x 

3 5 2 D) 5 A)

149) Si: C) 0,7

C) 1/2

146) Sabiendo que: Sec   Csc   5 Hallar el valor de:

Calcular:

E  2 Sen 210º 6 Cos  240º   3 Tg120º

139) Si: Sen  180º

Ctg x

143) Simplificar:

148) Si:

138) Calcular el valor de: A) –1 D) 1

Sen x Tg x

A) 1 D) 4

Sen   15      Cos  92      927    1683   Sec      Csc     2   2  3 3 B) C)  8 16 3 E) 4

1 2

D)

C)

Tg x Cos x

145) Si:

3 4

137) Calcular el valor de:

D) 

A)

E)

E

142) Reducir:

133) Simplificar:

B)

1 D) Sen x

6

9 10 6

Sen x  Cos x 4 B) 5 3 E) 10 2

3

Ctg x C) Cos x 1

141) Simplificar la expresión:

C)

xz y

2

2

"Tg  "

A)

1

B) xy

D)

z y xz

E)

3

2 Cos x  Cos x

7 10

x Sen   y Cos   z

Calcular:

Sen x  2 Sen x

C)

150) Si: Sen 2x  Calcule: A) –7/9 D) –2/7

x y

2 3 4

4

E  Sen x  Cos x B) 7/9 E) –2/9

C) 2/9

52| C E P R U 2 0 1 5

151) Reducir:

161) Si los lados de un triángulo ABC están en progresión aritmética, y se cumple que:

1  Cos 24º 2 H 2 A) Cos 6º B) Sen 6º C) Sen 3º D) Cos 3º E) Sen12º 1

a Cos A)

M

Tg A  Tg B  1

Sen 2A   2  4 Sen A

C)

k k

kk

E)

valor de:

2

2

Sen  B)

1

kk

D)

 Csc 

kk

1

kk

154) En un triángulo ABC se cumple: m A  37º , m C  30º

,

a 1 ; b 

156) En un triángulo ABC, simplificar:

B)

2 3

D)

3 2

E)

1

B)

3

D)

3 3

E)

2 2

C  60º , a  2 3  C)

3

A)

2 2m

B)

3 3m

D)

4 3m

E)

4 2m

C)

3 2m

a  3m , calcular: K  b Cos C  c Cos B B) 3 m C) 7 m E) 6 m

166) En un triángulo ABC,

1m 2m

167) La ecuación de la gráfica es:

y  2 Sen 4x

x

0

C) 27

158) En un triángulo ABC, se tiene:

159) En un triángulo ABC, se sabe que:

a

3 1

A)

 2 u 4

D)

u

2

B)

 2 u 8

E)

2u

C)

 2 u 2

2

168) Sabiendo que:

b2 y c 6 Determinar: L  2A   B  C 

3 Sen x  7 Cos x  a  b Cos 2x Hallar el valor de: M  3a  2b

A) 45º D) 60º

A) 9 D) 11

;

B) 70º E) 85º

C) 80º

160) En un triángulo ABC, se cumple que:

2

2

B) 15 E) 7

C) 13

169) Halle el valor de la expresión:

 a  b  c  b  c  a   3bc

Calcule la medida del ángulo "A". A) 30º B) 15º C) 60º D) 20º E) 40º

y

2 2

y

a  25 ; b  31 y c  7 2 Determine la medida del ángulo "A". A) 75º B) 30º C) 60º D) 15º E) 45º

2

Tg  A  B  .

ángulo A mide 12m . Si: Sen A  3 ¿cuánto mide el lado opuesto al ángulo B?

Sen A Sen B Sen C 1    a b c 6 a b c   Calcula: E  Sen A Sen B Sen C B) 45 E) 54

3

Calcular el área del triángulo sombreado.

157) En un triángulo ABC, se cumple:

A) 24 D) 36

C)

. Calcular:

2

D) C) –1

2

A)

A)

Sen A  Sen B c  a E  Sen B  Sen C b  c B) 1 E) 4

4 3

C  60º , a  3b calcular el

165) En un triángulo oblicuángulo, el lado opuesto al

y A  30º . Determinar la máxima diferencia entre las medidas de los ángulos B y C. A) 60º B) 30º C) 90º D) 45º E) 50º

A) 2 D) 3

A)

BC  x  1 y

C) 11

155) En un triángulo ABC, se sabe que

Tg  A  B  .

b2 3

AB  x  1 . Determinar el valor de "x". B) 10 E) 14

C) 7

164) En un triángulo ABC, si:

1

2

A) 9 D) 13

B) 8 E) 9

163) En un triángulo ABC, si

   Cos , Sen   0 , Calcular 2 2

2

A)

C) 0

1  Sen 

Ma c C) 3b

a  Cos B  Cos C    b  c  Cos A Sen B  Sen C

A) 5 D) 6

2

P2

2b E) 5b

162) Si el circunradio de un triángulo ABC mide 4, determinar el valor de la siguiente expresión:

Sabiendo que:

153) Si k Sen

B)

4b D) b

5 Tg 2A  Tg 2B  Tg 4

B) –1 E) 2

C 3b 2 A  c Cos  2 2 2

Determina el equivalente de:

152) Hallar el valor de:

A) –2 D) 1

2

L A) 2 D) 1/2

Sen 20º  3 Cos 20º Sen 40º Cos 40º

B) 4 E) 1/4

C) 1

Sen B ,

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |53

170) Halle "m" en la identidad:

    Sen  mx  Sen 2x Sen   x  Sen   x   4  4  m

A) 2 D) 6

B) 4 E) 3

171) Si: Cos    Halle: Cos

13 3

D)

5 3 ;  13 2

B) E)

    Sen   6n  1   Cos   8n  1    3  4 E    Sec  16n  1    4

C) 8

 2

2

A)

178) Calcular:

3



C)



13 5



3

B)

D)

3 6

E)

2

179) Hallar

13

3 2

3 4

C)

3 4



el

rango

de

función:

f(x)  (3  tan x)(1  tan x) A) [0; + D)  –; 4]

26

13

A)

B) [4; + E)  –; 2]

C)

90  es equivalente a: 11 8 13  A)  Sen B) Sen 11 11 2 2 C) Sen D)  Sen 11 11 9 E) Sen 11

180) Sen 172) Señale verdadero (V) o falso (F) en: I.

 la función seno es creciente. 2 3 ; 2  la función seno es decreciente 2

En

0;

II. En

III. La función seno es decreciente en el segundo cuadrante. A) VVF B) VFF C) FVF D) FFF E) VFV 173) Señale verdadero (V) o falso (F) en:

 ;  la función coseno es decreciente I. En 2 3 II. En ; la función coseno es creciente 2 III. La función coseno es creciente en A) VVV D) FFV

B) VFV E) FVF

 ; 

 2

C) FVV

2 2 2

C)

2 1 2

E)

4 2

B)

2 2 2

D)

2 1 2

176) Reducir:

x 1 2 R x Csc x Tg  1 2 2 x 2 x B)  Tg C) Ctg 2 2 2 x E)  Ctg 2 Csc x Ctg

177) Calcular:

A) 0 D) –2

D)

Tg 932º  Tg1320º  Tg1665º Tg1470º Ctg1342º

3n 3n

3 3 E) 4 n B)

C)

n 3

182) Si: Cos    x   5 Cos    x  Calcular: E  Tg   Tg x B) –2/3 E) 1

C) –1

y  1  Sen 2x Calcular el área del triángulo sombreado. y

2

M  Csc 2x  Csc 4x  Csc 8x  Ctg 8x x x x A) Tg B) Ctg C) Ctg 2 2 4 D) Tg x E) Ctg x

x A) Tg 2 x D)  Tg 2

A)

n

183) La ecuación de la gráfica es:

175) Reducir:

2

K

A) –2/5 D) 4/7

 174) Señale el valor de: Cos 8 A)

181) Si: Tg 32º  Tg 82º Simplificar:

0

x

 2 u 16  2 D) u 2 A)

B)

 2 u 8

E)

u

C)

 2 u 4

2

184) Halle el dominio de la siguiente función:

Sen x  7 Cos x

f x   A) D)

B)

 k

E)



C)

  2k  1 



 2

185) Señale el dominio de la función:

3 Sen x Sen 2x  1 n  B) 4

gx 

Cos  20º   Cos160º Ctg 35º Ctg 55º Sen 110º B) 1 E) –1

C) 2

A)

 

  2n  1 

 4

54| C E P R U 2 0 1 5

C)

  4n  3 

E)

  2n

 4

D)



  n 2

x x f  x   4sen(  )cos(  ) 2 2 A) 3/4 D) 1/2

186) Hallar el dominio de la función "f" definida por:

f x  

1  Cos x 

 2k  1   2  C)  2k  1  4 E) 2k

g  x    2  senx  2  senx   2

B)

A) 5 D) 11

las

f(x)  tan(

funciones:

x 3

)

y

función g(x), sabiendo que f(x) y g(x) tienen el mismo periodo.

{

3k

}; k  ZZ 8 k { }; k  ZZ 8 3(k  1) { }; k  ZZ 4 3(4k  3) { }; k  ZZ 8 (2k  1) { }; k  ZZ 8

B) C) D) E)

3

1;2

1;3

B)





E) 1;3

1;3

C)





196) Hallar el rango de la función:

   g  x    cos  2x    , x  4 4  3 5   A)  B)  ; ; 4 4 4 4 

3  ; 4 4

D)

3  sen x  1 . 2  x  y  cos    2 6

que

2 3

B) –;–2  

C)  –;–1]  [ 1;+

2 3

D)



3



5  ; 4 4

  2;+

3  2  3  ;1 2 

  E)  

1  2 

;+

Hallar

el

rango

de:

 

B) 0;

D)  ;1

3   2;+

D) –;–



1 2

A)  0; 



 –;–1  2;+

 –;–

3;1

 3 5  E)   ;   4 4 197) Sea x un ángulo positivo menor que una vuelta, tal

 5  ;   3 6 2

E)

A)

C)

189) Determinar el rango de la función f(x)  sec x ; x

A)

C) 9

f  x   2senx  cos 2x

 g(x)  Sec(Bx  ) , determinar el dominio de la 4

A)

B) 4 E) 12

195) Si x  0;  , hallar el rango de la función:

187) El rango de la función f(x)  5 sec x  2 , es: A)  –;–5  5;+ B)  –;–5]  [ 2;+ C)  –;–1]  [ 1;+ D)  –;–2]  [ 2;+ E)  –;–3]  [ 7;+ 188) Dadas

C) 2

194) Calcule la suma de los valores máximo y mínimo de la función.

Cos x  1 ; k   4k  1  2  D)  4 k  1  4

A)

B) 1/4 E) 4

C) 0;1

198) La función que corresponde representación gráfica, es:

a

la

siguiente

Y 2 2

190) Se define la función f(x)  sec (3x)  2 tan(3x)  3 ; el rango de f tiene la forma [a; +. Hallar el valor de “a” A) 2 B) 1 C) 5 D) 3 E) –3 191) Determine los intervalos de crecimiento de la función f(x)  Cscx ; x   0;   ;2. A)

 0; 

C) 0; E)

 2

 0;

B)

 

 2

3

;2

2

  ;

3 2

D)

 2  2

;   

3

;   ;



192) Señale el rango de la función:

f  x 

3

senx cos x  sen x cos x

 1 1 A)   ,   4 4  1 1 ,   6 6

D)  

3

2  1 1 B)   ,  C)  2 2

 1 1 ,   8 8

E)  

193) Hallar el periodo de:

2

1 1  , 4 4

;2

3 2



6 O –1

2

X

x

B) y  2 sen( )  1

–4 A) y  3 sen( )  1

8 x C) y  3 sen( )  1 3 x E) y  3 sen( )  1 4

x

8 x D) y  3 sen( )  1 3

199) ¿Cuál o cuáles de los siguientes puntos pertenece a la gráfica de una circunferencia trigonométrica? I) (1;) II) (;0) III) (1;1) IV)

(

A) I y II D) sólo IV

1 2

;

3 2

)

B) sólo III C) III y IV E) todos los puntos

A S I G N A T U R A : T R I G O N O M E T R Í A |55 200) La figura adjunta corresponde a la gráfica de la función f(x)  A  Bsen x , el valor de E  A.B , es: Y 4

205) En el gráfico halle:

5  /4 /4

A) 3 D) 6



/2

O

B) 2 E) 9 mínimo

 2 f(x)  5  2 tan (3x  ) , es: 4  B)3

4

D) 

E)

3/2

x

2 X

N

C) 4

periodo

A)

y  Cos x M

2

201) El

de

C)

la

A)

 3  ;0    2 

B)

 ;0 

C)

 ;   

D)

E)

 0;0 

   ; 1  2 

función

 3

 2

202) Del gráfico, halle el área de la región sombreada.

1

206) Identifique la gráfica de la siguiente función:

y  3  4 Sen

y = cosx

A)

y

3

y = senx –1

x

1

2

 2

D)

4

B) /2 E)

2x . 7

7



A) 

M N

y

C) 2

B)

 2

7 y

7

8

3 203) Halle la ecuación de la cuerva mostrada, si es de la forma: y  a Sen bx  c .

y

x

1 C)

14 

y

4 7



x

3

x

1

2 D)

y  2 Sen 2x  1 y  3 Sen 2x  1 E) y   Cos x A)

B)

C)

D)

y  Sen 2x  1 y  Sen 2x  2

y 8

3

204) En la gráfica de la función "f" definida por:

x

2

f  x   ASen Bx Calcular:  A  B  y

7

7

E)

f x 

3

2 x

6

2 0

2

x /7

207) Sea la función "f" definida por:

 3 5 D) 6 A)

B)

2 3

E)



C)

 6

  f  x   Cos   2x  4   7  Halle su rango  x    ;  24 24

.

56| C E P R U 2 0 1 5

A) D)

1   2 ;1   1    2 ;1 

B)

 0;1 

E)

0;1

C)

 1;1 

211) Identifique la ecuación de:

208) En el siguiente gráfico determine las abscisas de los puntos A y B. y 1

 2 3



B

 3

x

 3

A

2 3



A)

y  Sen x  1

B)

y  1  Sen2x

C)

y  1  Cos x

D)

y  Sen2x  1

E)

y  2  Cos x



3 B)  ; 4 3 D)  ; 2

2

y

B) f  x  

2 Sen3x

2 3

 12

0

C) f  x   4 2 Sen3x D) f  x   4 2 Cos2x

x

E) f  x   4 2 Cos3x

y=acosbx 1

B) 4 E) 10

I.

La función

y  Sen(2 x) Tg x

II.

La función

y  Sen x .Csc x

III.

La función y=Tanx.Cotx es par

A) VVV D) FFV

8 C) 6

210) La Grafica de la función A)

4

A) f  x   2 2 Sen2x

213) Determinar el valor de verdad (V) o falsedad (F) en las proposiciones:

4/3

2

B) VFV E) VFF

es impar es par

C) FVV

214) Si f(x) = aSen(kx) , g(x) = aCos(kx), son funciones cuyas graficas se muestran en la siguiente figura. Calcular las coordenadas del punto P.

f  x   2Cos2x  1 , es:

2

y

f(x)

10 2

3



4

g(x)

x

  ; 2 3    2 C)  ;   3 2    5  E)  ; 2  3   A) 

3

x



1 C)

215) En el

y

intervalo

 5  ; 2  12    5 2 D)  ;   12 2   B) 

0,2

el siguiente grafico

corresponde a:

3

x

1 2

1

3

P

-2

B)

1

y 3 2

x

3/2

D)

y

0

/2

2

4

1

x

A) sen x + 2cos x C) 2(sen x + cos x) E) 3(sen x + cos x)

E)

1 1 3

–3



2 y



x

x

212) Identifique la ecuación de:

3 4 3 2

209) Del gráfico, calcular a/b

A) 2 D) 8



1

1

  A)  ; 8 8 3 3 C)  ; 5 5 4 4 E)  ; 5 5

y

0

B) 4cos x +3sen x D) 3sen x + 2cos x

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC

ASIGNATURA FÍSICA

CUSCO – PERÚ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC CEPRU

ÍNDICE

FÍSICA

TEMA Nº 1.- LA FÍSICA ..................................................................................................................................Pág. 03 TEMA Nº 2.- MAGNITUDES.............................................................................................................................Pág. 07 TEMA Nº 3.- VECTORES ..................................................................................................................................Pág. 11 TEMA Nº 4.- CINEMÁICA ............................................................................................................................Pág. 17 TEMA Nº 5.- DINÁMICA ................................................................................................................................Pág. 23 TEMA Nº 6.- ESTÁTICA ...................................................................................................................................Pág. 27 TEMA Nº 7.- ENERGÍA MECÁNICA .............................................................................................................Pág. 32 TEMA Nº 8.- HIDROSTÁICA Y HIDRODINÁMICA ......................................................................................Pág. 36

||

TEMA Nº 9.- TEMPERATURA Y DILATACIÓN................................................................................................Pág. 42 TEMA Nº10.- CALOR ....................................................................................................................................Pág. 45 TEMA Nº 11.- TERMODINÁMICA..................................................................................................................Pág. 53 TEMA Nº 12.- ELECTROSTÁTICA ...................................................................................................................Pág. 59 TEMA Nº 13.- ELECTRODINÁMICA ..............................................................................................................Pág. 64 TEMA Nº 14.- ELECTROMAGNETISMO .........................................................................................................Pág. 69 TEMA Nº 15.- ONDAS Y SONIDO .................................................................................................................Pág. 73 TEMA Nº 16.- ÓPTICA....................................................................................................................................Pág. 76 TEMA Nº 17.- FÍSICA MODERNA ..................................................................................................................Pág. 82

1.1 LA FÍSICA (PHYSIS = Naturaleza) La palabra física procede del vocablo griego physis que significa naturaleza. La Física es una rama de la Filosofía Natural es una ciencia fáctica de tipo experimental que estudia: hechos o fenómenos naturales, las leyes que determinan la estructura del universo con respecto a la materia y la energía de la que está constituido. 1.2 IMPORTANCIA Y PARTES DE LA FÍSICA. De sobra son conocidas infinidad de palabras que el lenguaje diario pone en nuestras bocas: velocidad, fuerza, energía, luz, color, sonido, etc. y tantas y tantas otras que forman parte de nuestra vida diaria. Si nos introducimos en campos más profesionalizados nos encontramos con tecnicismos tales como: luminotecnia, resonancia, reactancia, ondas moduladas, etc., que son utilizados y a veces intuitivamente. Un solo vistazo a las conquistas de nuestra civilización, es suficiente para revelarnos la trascendencia de la ciencia física: la luz eléctrica, el radio, el teléfono, la televisión, el automóvil, el avión, los reactores nucleares, los satélites artificiales, etc., son todos productos de la Física, aquí radica la importancia de su estudio. Desde las más elevadas posiciones intelectuales; médicos, biólogos, geólogos, filósofos, historiadores, geógrafos, ingenieros, etc., hasta el más humilde trabajador, todos, absolutamente todos ellos sin excepción, necesitan en un momento determinado de la Física para comprender algo que en ellos o fuera de ellos está sucediendo; toda persona, aunque no haya seguido nunca un curso de Física, llega a su estudio teniendo más conocimiento sobre el tema de lo que podría suponer, de lo contrario, no hubiera podido vivir en este mundo sin tener cierta conciencia de esta disciplina. 1.3 MÉTODO CIENTÍFICO Consiste en el desarrollo de las siguientes operaciones. 1. Observación y experimentación.

3.

Organización – leyes.

4.

Verificación.

 Electrostática  Electrodinámica  Electromagnetismo

 Hidrostática  Hidrodinámica

2. Hipótesis y teoría.

1.4 ¿CÓMO SE DIVIDE LA FÍSICA? 1.4.1 FÍSICA CLÁSICA Y FÍSICA MODERNA a) Física Clásica Con el estudio de la ley de la gravitación universal y las leyes del movimiento. Isaac Newton dio origen a la Física clásica. En la Física clásica, desde el punto de vista de la Mecánica, son válidas las leyes de Newton y desde el punto de vista electromagnético son válidas las ecuaciones de Maxwell.

Termometría Calorimetría Termodinámica Gases  Dilatación térmica    

 Óptica geométrica  Óptica física

 Movimientos vibratorios  Pulsos y ondas  Interferencia de ondas  Acústica

b) Física Moderna Con el descubrimiento de los electrones por Thomson (1897), la Física Clásica empezó a “tambalear” porque los científicos no lograban explicar el movimiento de los electrones dentro del átomo usando las leyes clásicas de la Física, pero, felizmente en 1900, cuando Max Planck estaba estudiando la emisión y absorción de energía de un cuerpo negro, encontró que la única alternativa para que las observaciones sean coherentes con la teoría, era necesario asumir que “las Moléculas emiten o absorben energía en forma discontinua, en paquetes pequeños y discretos llamados “cuantos” o “fotones”. Otra teoría que revolucionó la Mecánica es la Teoría de Relatividad de Einstein, propuesto en 1905. Esta teoría surgió debido a las contradicciones que se encontraron cuando fueron aplicadas las leyes de Newton para movimientos con velocidades comparables a la velocidad de la luz (300 000 km/s). FÍSICA MODERNA 1900 - ? MECÁNICA CUÁNTICA

RELATIVIDAD

Basada en la Teoría Cuántica de M. Planck 1900

Basada en la Teoría de la relatividad de Einstein 1905

Sirve para explicar los fenómenos a nivel de la estructura del átomo.

Sirve para explicar los fenómenos con velocidad próximas a la velocidad de la luz

TEORÍA CUÁNTICA M. Planck – 1900 (P Nobel 1913)

NIVELES ESTACIONARIOS DE ENERGÍA N. Bohr - 1913(P. Nobel 1922)

DUALIDAD DEL ELECTRÓN (Onda – Partícula)

MECÁNICA CUÁNTICA

ECUACIÓN DE ONDA DE SCHÖDINGER E. Schödinger - 1926

L. de Broglie – 1924 (P. Nobel 1929)

PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE W. Heisemberg – 1927 (P. Nobel 1932)

4| CEPR U 2 01 5 La Física moderna estudia los fenómenos que no son percibidos por nuestros sentidos directamente, donde las leyes de Newton y las ecuaciones de Maxwell no son válidas. Según la Física moderna, las leyes de Newton son casos particulares de la Física Relativista y Cuántica. 1.5 MATERIA: Es todo objeto o material que ocupa un lugar en el espacio, Actualmente se estima que hay tres tipos de materia que son: la materia fría oscura, la materia oscura caliente y la materia “bariónica” u observable, que es la que interactúa con los campos electromagnéticos. Podemos decir que la materia observable del universo está formada en un 99 % por Hidrógeno y Helio. El 1% restante corresponde a los elementos más pesados a los cuales, en conjunto, los astrónomos designan como “metales”.

SÍMBOLO

ELEMENTO QUÍMICO

ÁTOMOS

H

Hidrógeno

1.000.000

He

Helio

63.000

O

Oxígeno

690

C

Carbono

420

N

Nitrógeno

87

La materia no se distribuye de manera uniforme, sino que se concentra en lugares concretos: galaxias, estrellas, planetas. Sin embargo, el 90% del Universo es una masa oscura, que no podemos observar. Por cada millón de átomos de hidrógeno los 10 elementos más abundantes son:

Si

Silicio

45

Mg

Magnesio

40

Ne

Neón

37

1.5.1

Fe

Hierro

32

S

Azufre

ESTRUCTURA DE LA MATERIA - PARTÍCULAS ELEMENTALES

16 Constituyentes fundamentales de toda la materia del universo. Hasta el descubrimiento del electrón por J. J. Thomson en 1897, se pensaba que los átomos eran los constituyentes fundamentales de la materia. Este hallazgo, junto con el de Rutherford del núcleo atómico y del protón en 1911, hizo evidente que los átomos no eran elementales, en el sentido de que tienen estructura interna. El descubrimiento de Chadwick del neutrón en 1932 completó el modelo atómico basado en un núcleo atómico consistente en protones y neutrones rodeados de un número suficiente de electrones como para equilibrar la carga nuclear. Sin embargo, no explicaba la gran estabilidad del núcleo, que claramente no podía mantenerse unido por una interacción electromagnética, pues el neutrón no tiene carga eléctrica. En 1935, Yukawa sugirió que la fuerza de intercambio que lo mantenía juntos estaba mediada por partículas de vida corta, llamadas mesones (partículas medianas), que saltaban de un protón a un neutrón y hacia atrás de nuevo. Este concepto dio lugar al descubrimiento de las interacciones fuertes y de las interacciones débiles, dando un total de cuatro interacciones fundamentales. También dio lugar al descubrimiento de unas 200 partículas “elementales” de vida corta, algunas de las cuales eran claramente más elementales que las otras. En la clasificación actual existen dos clases principales de partículas: los leptones que son partículas livianas (electrón, muón, neutrinos, partículas tau), que interaccionan tanto con la interacción electromagnética como con la interacción débil y que no tienen estructura interna aparente, y los hadrones que son partículas voluminosas (nucleones, piones, etc.), que interaccionan con la interacción fuerte y tienen una estructura interna compleja. La estructura hadrónica está basada ahora en el concepto de Murray Gell-Mann de quark, introducido en 1964. En este modelo, los hadrones se dividen en bariones (que se desintegran en protones) y mesones (que se desintegran en leptones y fotones). Los bariones están formados por tres quarks y los mesones por dos quarks (un quark y un anti quark). En la teoría quark, por lo tanto, las únicas partículas realmente elementales son los leptones y los quarks. 



LEPTÓN (partículas livianas): Son partículas elementales que están formadas por el electrón, el muón, la partícula tau y tres tipos de neutrinos. Los leptones interaccionan mediante la interacción electromagnética y la interacción débil. HADRÓN (partículas voluminosas): Son una clase de partículas subatómicas que interaccionan fuertemente. Esta clase incluye a los protones, los neutrones y los piones. Los hadrones tienen una estructura interna constituida por quarks. Los protones están formados por tres quarks de carga: (2/3 e, + 2/3 e, -1/3 e) y los neutrones están formados por tres quarks de cargas (2/3 e, - 1/3 e, -1/3 e). Los hadrones son o bien bariones que se desintegran en protones o son mesones que se desintegran en leptones y fotones o en pares de protones. Las únicas partículas realmente elementales son los leptones y los quarks.

CLASIFICACIÓN DE LOS QUARK N°

TIPO

sim

Nombre

Carga

1

UP

U

Arriba

+2/3 e

2

DOWN

D

Abajo

– e/3

3

CHARM

C

Encanto

+ 2/3 e

4

STRANGE

S

Extraño

– e/3

5

TOP

T

Cima

+2 e/3

6

BOTTOM

B

Fondo

– e/3

1.6 EL UNIVERSO El Universo contiene galaxias, cúmulos de galaxias y estructuras de mayor tamaño llamadas supercúmulos, además de materia intergaláctica, estrellas y planetas, hidrógeno atómico, hidrógeno molecular, moléculas complejas, compuestos de hidrógeno, nitrógeno, carbono, silicio, entre otros elementos, y rayos cósmicos. Materia, energía, espacio y tiempo, todo lo que existe forma parte del Universo. Es muy grande, pero no infinito. Si lo fuera, habría infinita materia en infinitas estrellas, y no es así. En cuanto a la materia, el universo es, sobre todo, espacio vacío. Se estima que el universo contiene 100 mil millones de galaxias y cada una contiene 100 mil millones de estrellas. El sol es sólo una estrella de una de las galaxias. LA TEORIA DEL BIG-BANG: Gran explosión que ocurrió hace 13700 M-años (Según informe NASA-Mayo 1999) La edad del universo está estimada en 12000 M- años. La teoría del Big Bang o gran explosión, supone que hace millones de años la materia tenía una densidad y una temperatura infinita, toda la materia del Universo estaba concentrada en una zona extraordinariamente pequeña del espacio, y explotó. Hubo una explosión violenta y, desde entonces, el universo va perdiendo densidad y temperatura. La materia salió impulsada con gran energía en todas las direcciones. Los choques y un cierto desorden hicieron que la materia se agrupara y se concentrara más en algunos lugares del espacio, y se formaron las primeras estrellas y las primeras galaxias. Desde entonces, el Universo continúa en constante movimiento y evolución.

ASIGNATURA: FÍSICA|5 LA TEORIA INFLACIONARIA: Alan Guth intenta explicar el origen y los primeros instantes del Universo. Se basa en estudios sobre campos gravitatorios fortísimos, como los que hay cerca de un agujero negro. Supone que una fuerza única se dividió en las cuatro que ahora conocemos, produciendo el orige del Universo. El empuje inicial duró un tiempo prácticamente inapreciable, pero fue tan violenta que, a pesar de la atracción de la gravedad frena las galaxias, el Universo todavía crece. 1.7 LAS GALAXIAS Una galaxia es un grupo de varios miles de millones de estrellas y de material interestelar sostenido por la gravedad. LA VÍA LÁCTEA Nuestro sistema solar está en una galaxia que se denomina vía láctea. Vista desde la tierra forma una nube pálida y estrecha que cruza el cielo nocturno de un lado a otro. Nuestra galaxia está compuesta de 200 a 300 mil millones de estrellas que forman un disco grande con brazos espirales, tiene 5 000 millones de años, mientras que el sistema solar y la tierra tiene cerca de 4700 millones de años, parece un pequeño arroyo de leche, que es lo que inspiró a los antiguos griegos para llamarla vía láctea, Más tarde, nació el sol, y luego los nueve planetas, entre ellos la Tierra, los cuales se formaron como bolas de nieve por aglomeración de la materia en el interior de esta nebulosa original. 1.8 INTERACCIONES Es el efecto físico en el que interviene un número determinado de cuerpos, partículas o sistemas de partículas como resultado del cual se obtienen algunos cambios físicos. Las interacciones están relacionadas con los cuatro tipos de fuerzas que existen en la naturaleza (gravitacional, electromagnética, nuclear débil y nuclear fuerte). Estas cuatro interacciones juntas pueden explicar todas las fuerzas observadas que pueden ocurrir en el universo. INTERACCIÓN GRAVITACIONAL o FUERZA GRAVITACIONAL Nos mantiene a nosotros, a la atmósfera y los mares fijos sobre la superficie del planeta. Es aquella interacción cuyo valor es de unas 1040 veces más débil que la interacción electromagnética, es la más débil de todas. La fuerza que genera actúa entre todos los cuerpos que tienen masa y la fuerza siempre es atractiva. Si fuera mucho más fuerte de lo que es, interrumpiría rápidamente la expansión del Universo. INTERACCIÓN NUCLEAR DÉBIL. Transforma los quarks de uno a otro tipo. Puede convertir protones en neutrones, y en consecuencia es la responsable del decaimiento de ciertos átomos radioactivos. Sin fuerza débil no habría brillo del Sol ni vida en la Tierra. Es aquella interacción cuyo valor es de unas 1010 veces más débil que la interacción electromagnética, ocurre entre leptones y en la desintegración de los hadrones. Las partículas mínimas de la interacción débil son los bosones W+, W- y Z0. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. Es la responsable de las fuerzas que controlan la estructura atómica, reacciones químicas y todos los fenómenos electromagnéticos. Puede explicar las fuerzas entre las partículas cargadas, pueden ser tanto atractivas como repulsivas. La partícula mínima de la interacción electromagnética es el fotón. INTERACCION NUCLEAR FUERTE Enlaza los quarks entre sí, formando neutrones y protones, y a su vez enlaza a estos para formar los núcleos de los átomos. Es aquella interacción cuyo valor es de unas 102 veces mayor que la interacción electromagnética, aparece solo entre hadrones y es la responsable de la fuerza entre los nucleones que confiere a los núcleos su gran estabilidad. Actúa a muy corta distancia dentro del núcleo (10-15 metros). Las partículas mínimas de las interacciones fuertes son los gluones.

FUERZA

PARTÍCULA MEDIADORA

Electromagnética

Fotón

Nuclear Fuerte

Gluón

Nuclear Débil

Bosones: W+, W- y Z0.

Gravedad

gravitón

EJERCICIOS 1) Según la teoría del Big-Bang, la proposición correcta, es. I. El universo siempre ha existido tal como se le conoce ahora. II. El universo no ha sufrido variaciones en su evolución III. El universo no existe IV. El universo deviene de una gran explosión V. El universo ha sido creado por Dios. a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo V e) Solo IV. 2) Respecto de las partículas intermediarias asociadas a las interacciones fundamentales de la materia, la proposición correcta, es: I. El leptón es la partícula intermediaria de la interacción electromagnética. II. Los hadrones son las partículas intermediarias de la interacción nuclear fuerte. III. El fotón y el protón son partículas intermediarias IV. El fotón y el gluon son partículas intermediarias.

V. El electrón y el protón son las partículas intermediarias de la interacción electromagnética A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo V E) Solo IV. 3) Los quarks son componentes de los: a. Electrones b. Fotones c. Leptones d. Hadrones e. Microondas 4) Sobre la estructura de la materia, el menor constituyente microscópico de la misma aceptado contemporáneamente, es: a. El neutrón b. El cristal c. El núcleo atómico d. La molécula e. El quark 5) De los siguientes enunciados, elegir la afirmación correcta: I. El quark tiene masa doble que la del protón

6| CEPR U 2 01 5 II. El quark está conformado por electrones. III. El sol tiene un núcleo de Hidrógeno. a)FVF b) FFV c) FFF d) FVV e) VVV 6) De las siguientes proposiciones, diga usted cuáles son verdaderas (V) o falsas (F): I. La interacción eléctrica del protón con el electrón en un átomo, es una interacción fuerte. II. La interacción gravitatoria entre la tierra y la luna, es una interacción débil. III. La interacción entre neutrinos y fotones se debe a la interacción fuerte. a) FVF b) FFV c) FFF d) FVV e) VVV 7) La física moderna se basa en los estudios de: I. Newton y Planck II. Newton y Einstein III. Einstein y Planck Son ciertas: a) I b) II c) III

d) I y III

e) I y III

8) Identifique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. La física es una rama de la filosofía natural. II. La física estudia las propiedades básicas del universo. III. La física es una ciencia experimental. a) FFF b) FVF c) FFV d) VVF e)VVV 9) Identifique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. El movimiento de objetos a velocidades comparables con la velocidad de la luz, lo realiza la mecánica relativista. II. El estudio de objetos de tamaño atómico o mas pequeño lo realiza la mecánica quántica III. La física moderna comprende la relatividad y el electromagnetismo. a) FFF b) FVF c) FFV d) VVF e)FVV 10) Identifique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: a. La teoría del Big Bang afirma que hace millones de años la materia estaba concentrada y tenían densidad y temperaturas no infinitas. b. La teoría del Big Bang afirma que después de la gran explosión el universo continúa en constante movimiento y evolución. c. La teoría inflacionaria supone que existía una fuerza única que se dividió en 4 fuerzas. d. Las estrellas y galaxias se formaron producto de los choques y desorden que hicieron que la materia se agrupara. a) FFFF b) VFVV c) F V VV d) VVVF e) VVVV 11) Identifique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Los millones de estrellas que conforman una galaxia se mantienen unidas por la fuerza gravitatoria. II. Un protón se pueden convertir en neutrón por la fuerza nuclear fuerte. III. En las partículas voluminosas se manifiesta la fuerza nuclear fuerte. IV. En las partículas livianas se manifiesta la fuerza nuclear débil. a) FFFF b) VFVV c) F V VF d) VVVF e) VVVV 12) Identifique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: a. Los electrones son materia barionica b. Los muones son partículas voluminosas. c. Los hadrones son partículas voluminosas. d. Los neutrinos tienen estructura interna. a) FFFF b) VFVF c) F V VF d) VVVF e) VVVV 13) De los siguientes enunciados, elegir la(s) afirmación(es) correcta:

I. El neutrón esta constituido por tres quarks. II. Un quark esta conformado por un protón, un electrón y un neutrón. III. Los quark poseen estructura interna. IV. Un Leptón es una partícula indivisible. a) FFFF b) FVFV c) V F F V d) VVFV e) FVVF 14) Las Partículas mediadoras de las interacciones Electromagnética y nuclear fuerte son respectivamente: a. Hadrones, quark b. Fotón , gluones c. leptones, Gluones d. fotón, leptones e. fotón, bosones 15) La fuerza de interacción electrostática y gravitacional entre un electrón y un protón Del átomo de hidrogeno ES aproximadamente de 8×10-8 N y 4×10-47 N ¿Cuántas veces mayor es la fuerza electrostática que la fuerza gravitacional? a) 2×1039

b) 1×1039 c) 2×1040 d) 2×1038 e) 1×1040

16) La interacción gravitacional se produce : I. Para cuerpos que tienen masa II. Para cuerpos solo de masas por encima del orden de magnitud de 1020 kg. III. Para partículas con carga eléctrica como son los electrones y protones. a) I y II b) III c) II y III d) II e) I y III 17) En el núcleo atómico se produce la interacción: I. Interacción electromagnética II. Interacción nuclear fuerte III. Interacción gravitacional a) Solo II b) solo I c) II y III d) solo II e) I y II 18) De los siguientes enunciados elegir La afirmación correcta I. La física es el estudio de la materia y sus interacciones. II. La física se ocupa estrictamente del estudio de la fuerza. III. La física se ocupa únicamente del estudio de La energía. a) Solo II b) solo I c) II y III d) solo III e) I y II 19) De los siguientes enunciados elegir la afirmación correcta I. La masa del electrón es el doble del protón. II. El quark esta conformado por electrones. III. El sol tiene un núcleo de hidrógeno. a) II b) I c) III d) I y II e) II y III 20) De los siguientes proposiciones diga cuales son verdaderas o falsas I. La interacción eléctrica del protón con el electrón en un átomo de hidrogeno es una interacción fuerte. II. La interacción entre la Tierra y la Luna es una interacción gravitacional. III. La interacción entre neutrones y protones se debe a la nuclear fuerte. a) VVF b) FVF b) FFV c) FFF d) FVV e) VVV 21) Son partes de la física a. Cinemática, óptica, Hidrostática. b. Cinemática, óptica, Derecho. c. Electricidad, Mecánica, Contabilidad. d. Química, Matemática, Termodinámica. e. Electrónica, Geología, Economía.

ASIGNATURA: FÍSICA|7

INTRODUCCION. Cualquier número o conjunto de números que se utiliza para describir cuantitativamente un fenómeno físico recibe el nombré de cantidad física. Para definir una cantidad física debemos especificar un procedimiento de medición de esa cantidad, o bien una manera de calcular a partir de otras cantidades mesurables. La definición de una cantidad, expresada en función del procedimiento utilizado para medirla, se denomina definición operacional. Algunas cantidades solo pueden definirse mediante definiciones operacionales. En mecánica se emplean como cantidades fundamentales la masa, la longitud y el tiempo, en otras áreas de la física se emplean otras cantidades fundamentales como la temperatura, la carga eléctrica y la intensidad luminosa. 2.1. MAGNITUD, CANTIDAD Es todo aquello que siendo susceptible de aumento o disminución, es susceptible a ser medido apreciando con cierto grado de exactitud. Cuando una magnitud se puede medir a través de un instrumento de medida, se dice que dicha magnitud es una magnitud física. CLASIFICACION DE MAGNITUDES. Se clasifica en dos grupos. I.

POR SU ORIGEN. a. Magnitudes fundamentales b. Magnitudes derivadas II. POR SU NATURALEZA. a. Magnitudes escalares b. Magnitudes vectoriales 2.2. MEDICIÓN DE MAGNITUDES FÍSICAS, UNIDAD. UNIDAD.- Es una medida estándar con la cual se puede distinguir un resultado particular o una magnitud adoptada como patrón de medición. MEDIR.- Es comparar una magnitud física cualesquiera con otra tomada como unidad o patrón, pero de la misma especie. MEDICION.- La medición de cualquier magnitud física es una técnica por medio de la cual asignamos un número a una propiedad física como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón. SISTEMA DE UNIDADES Es un conjunto completo de unidades tanto fundamental y derivadas, que se utilizan para expresar, cuantificar o medir las demás magnitudes, dentro de ellos podemos mencionar. a. Sistema absoluto b. Sistema técnico gravitacional c. Sistema internacional de unidades (S. I. U) 2.3. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES ( S. I ) - SISTEMA LEGAL DE UNIDADES DE MEDIDA DEL PERÚ (S.L.U.M.P) SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S. I. U) En la actualidad todos los conocimientos científicos se desarrollan en base al sistema internacional de unidades la cual se ha adaptado en la 11ava Conferencia General de Pesas y Medidas en el año 1960, Consta de 7 magnitudes fundamentales, 2 suplementarias y un conjunto de cantidades derivadas.

UNIDADES MAGNITUD FÌSICA

UNIDAD DE BASE

SIMB

Longitud

Metro

m

Tiempo

Segundo

s

Masa

Kilogramo

kg

Ampere

A

Kelvin

K

Intensidad luminosa

Candela

Cd

Cantidad de Sustancia

Mol

Mol

Intensidad de corriente eléctrica Temperatura Termodinámi ca

DE

BASE DEFINICIÓN

Es la longitud equivalente a 1670763,73 veces la longitud de la onda de la radiación naranja del Kriptón -86. Es la longitud del trayecto recorrido en el vació, por un rayo de luz en un tiempo de 1/299792458. Es la duración de 9 192 651 770 periodos de radiación correspondientes a la transición entre los niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. Es la unidad de masa (no de peso ni de fuerza), igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo. Es la intensidad de corriente constante que mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable, y que estando en el vacío a la distancia de un metro el uno del otro, produce entre estos conductores una fuerza de igual a 2x10-7N, por metro de longitud. Es la fracción 1/278,16 de la temperatura Termodinámica del punto triple del agua. Es la intensidad luminosa en una dirección dada de una fuente que emite radiación luminosa monocromática de frecuencia 540x1012Hz y del cual la intensidad radiante en esa dirección es 1/665 W por estereorradián. Es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene, tantas cantidades elementales como átomos hay en 0,012kg de carbono 12.

8| CEPR U 2 01 5

UNIDADES SUPLEMENTARIAS MAGNITUD

UNIDAD

SÍMBOLO

Angulo Plano

radián

rad

Angulo Sólido

estereorradián

sr

SISTEMA LEGAL DE UNIDADES DE MEDIDA DEL PERU (SLUMP). El S. I. U. es el sistema que rige en el Perú, aprobado mediante ley 23560, promulgada el 31 de diciembre de 1982 conocida (SLUMP). Tiene como base e incluye en su estructura el S. I. U, y por lo tanto incorpora todas las Características del S. I. U. PREFIJOS Existen además una serie de prefijos para formar múltiplos o sub múltiplos de las Unidades fundamentales

PREFIJOS PARA FORMAR SUBMÚLTIPLOS:

PREFIJOS PARA FORMAR MÚLTIPLOS PREFIJO

SÍMBOLO

Yota

Y

Zeta

Z

Exa

E

Peta

P

Tera

T

Giga

G

Mega

M

kilo

K

Hecto

H

Deca

da

2.4.

FACTOR

EQUIVALENCIA

y

𝟏𝟎−𝟐𝟒

0,000000000000000000000001

zepto

z

−𝟐𝟏

0,000000000000000000001

1000000000000000000

atto

a

−𝟏𝟖

0,000000000000000001

1000000000000000

femto

f

−𝟏𝟓

0,000000000000001

−𝟏𝟐

0,000000000001

FACTOR

EQUIVALENCIA

PREFIJO

𝟐𝟒

1000000000000000000000000

yocto

𝟐𝟏

1000000000000000000000

𝟏𝟖 𝟏𝟓 𝟏𝟐

𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎

SÍMBOLO

1000000000000

pico

p

𝟗

1000000000

nano

n

𝟔

1000000

micro

µ

𝟑

1000

mili

m

𝟐

𝟏𝟎

100

centi

c

𝟏𝟎𝟏

10

deci

d

𝟏𝟎

𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎

𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎

−𝟗

0,000000001

−𝟔

0,000001

−𝟑

0,001

−𝟐

0,01

−𝟏

0,1

𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎

ANALISIS DIMENSIONAL. FÓRMULAS EMPÍRICAS.

Son expresiones matemáticas que relacionan las magnitudes derivadas con las magnitudes fundamentales, para resolver una ecuación dimensional, es necesario sustituir cada magnitud conocida por sus respectivas dimensiones. Una ecuación dimensional se denota por: [ ] Ejemplo: [A]: Se lee ec. Dimensional de A. FINALIDADES. Dentro de las finalidades tenemos: 1.

Expresar las magnitudes derivadas en términos de las magnitudes fundamentales

2.

Comprobar la validez de las formulas haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional.

3.

Dar dimensiones y unidades a las respuestas de un problema

4.

Deducir y obtener formulas empericas a partir de los procesos experimentales

PROPIEDADES. 1.

Las magnitudes físicas no cumplen con la suma ni con diferencia esto es: LT-2 + 4LT-2 + 7LT-2 - 10LT-2 = LT-2.

2.

Todos los números reales expresados en sus diferentes formas son adimensionales, pero dimensionalmente es igual a la unidad. Ejemplo.

sen  (log tag (  )) 2 / 3

Es adimensional.

Pero la ecuación dimensional de la expresión es: [ sen 2.5.

 (log tag (  )) 2 / 3 ] = 1

PRINCIPIO DE HOMOGENIDAD.

Establece que en toda ecuación física las dimensiones de sus miembros siempre deben ser iguales dimensionalmente. Sea la ecuación. AX + BY + CZ = E. se debe cumplir: [Ax] = [By] = [Cz] = [E] Es una representación matemática que describe la relación cuantitativa entre dos o más magnitudes físicas. Sea la magnitud física "F" dependiente de las magnitudes a, b y c, entonces se verifica la siguiente relación: F = K aX bY cZ Donde: K: Constante de proporcionalidad.

ASIGNATURA: FÍSICA|9 A la expresión anterior se le conoce con el nombre de formula empírica, la cual surge a partir de procedimientos experimentales. FORMULAS EMPIRICAS Magnitud Derivadas Aceleración ECUACION DIMENSIONAL DE MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS

Símbolo

Unidad

Dimensiones

a

m/s2

L/T2

rad/s2

T-2

Aceleración angular Área

A

m2

L2

Densidad

ρ

kg/m3

M/L3

L

Frecuencia angular

ω

rad/s

T-1

Kg

M

Momento angular

L

kg.m2/s

ML2/T

Segundo

s

T

Velocidad angular

ω

rad/s

T-1

Intensidad de corriente

Amperio

A

I

Entropía

S

J/K

ML2/T2.K

Fuerza

F

Newton (N)

ML/T2

Intensidad luminosa

Candela

Cd

J

Frecuencia

f, ν

Hertz (Hz)

T-1

Temperatura termodinámica

Kelvin

K

θ

Calor

Q

joule (J)

ML2/T2

Calor específico molar

C

J/mol.K

ML2/T2.K

Cantidad de sustancia

mol

Momento de inercia

I

kg.m2

ML2

Momento lineal

P

kg.m/s

ML/T

Periodo

T

s

T

Potencia

P

W =(J/s)

ML2/T3

Presión

P

Pa = (N/m2)

M/LT2

Calor específico

c.e.

J/kg.K

L2/T2.K

Torque o momento



N.m

ML2/T2

Velocidad

V

m/s

L/T

Volumen

V

m3

L3

Trabajo y Energía

W

J = (N.m)

ML2/T2

Caudal

Q

m3/s

L3/T

Magnitud fundamental

Unidad

Símbolo

Longitud

Metro

m

Masa

Kilogramo

Tiempo

Dimensión

mol

N

EJERCICIOS

1) La potencia transmitida en una cuerda por una onda senoidal se calcula con la fórmula: P= 0,5 μω2A2v Donde: P= potencia, ω = frecuencia angular, A = amplitud y v = velocidad. Hallar la ecuación dimensional para μ

a) ML3T-2

b) MLT-1

Hallar la ecuación dimensional de resistencia R. a) ML-1I

b) LMT-1I-2

d) ML2T-3I-2

d) MLT-3I-1

c) L3M-1T-2I

relación:

2 C= A .D

F .V

2

Donde C=velocidad, D=densidad, F=fuerza, y V=volumen a) L3T-2

b) MT-1

c) L6T-2 c) L6T2

d) LT-3

4) En el siguiente problema hallar las dimensiones de P , sabiendo que Q=fuerza, W=trabajo, Z=aceleración, V=volumen.

ZV P= QW sen30

d) MLT-3



mv2



P=Po  e 2 CTE  1

 

 

Donde: v= velocidad, m= masa, E= Energía, T= Temperatura, y P= Potencia. a) L

b) Tθ

c) θ2

d) θ

e) Mθ

6) La frecuencia de oscilación (f) con que oscila un péndulo físico se define:

f 

3) Hallar la ecuación dimensional de A, si se cumple la

c) M-3/2L2T

5) Hallar la ecuación dimensional de C en la siguiente expresión:

a. ML-1 b) LMT-1 c) L3M-1T-2 c) M2L-2T-1 d) MLT-3 2) Las leyes de electricidad están definidas por: V=IR y V=W/q Donde: V=diferencia de potencial, I =Intensidad de la corriente eléctrica, q =carga eléctrica, W = trabajo

c) M-1/2L2T-1

1 2

mgd Donde: I

m= masa; g=aceleración de la gravedad; d=distancia. ¿Cuál es la ecuación dimensional del momento inercial (I)? a) ML2 b) ML-2 c) ML-2T-2 d) MT-2 e) ML-2T-2θ-2 7) ¿Cuál es la ecuación dimensional de “E” y que unidades tiene en el SI?

E

m  2 A cos t f F 2 sen 3

, Donde

10 | C E P R U 2 0 1 5 M=masa (Kg); A= amplitud(m); ω=frecuencia angular; f=frecuencia (Hz); F=fuerza(N) a) T2;s2 b) T-1;Hz c) T-1;red/s d) T; s e) LT-1; m/s 8) Hallar A y α, si la ecuación siguiente es dimensionalmente exacta. Si d=distancia y t=tiempo. d= Vo.t + 1 At + 1 αt 2

a) 9)

y LT

6

b)

LT-1

y LT-3

c) LT-2 y LT-3

D) LT2 y LT-3

Hallar A si la expresión siguiente es dimensionalmente exacta.

16) La aceleración con que se mueve una partícula en el M.A.S., se define por la ecuación:

    A . cos .t   

a) -1

c) L3M-1T-2

c) M2L-2T-1

d) MLT-3

10) Si la siguiente ecuación dimensional es exacta determinar las dimensiones de X e Y, siendo: A= fuerza, B=trabajo, C=densidad

a) L3T y L-5T2 d) L y T

b) LT y L2 e) L-4T2 y L-5T2

c) L4T-1 y L-3T2

12) En la siguiente expresión dimensionalmente exacta: V=volumen, A=área, L=longitud, T=tiempo. Hallar la ecuación dimensional de B.C

B 2 .A

AV 2 R

;

Donde:

m=masa;

g=aceleración de la gravedad; V=velocidad y R=radio.

a) 9

dimensional

c) 1 ; ML

d) L; ML-1

siguiente

es

de

k

y

A

e) 1; ML-1 dimensionalmente

b) -3

c) 3

d) -9

e) 0

α+β b) 2

c) -2

d) -1

e) -3

Donde V=volumen, P=presión, ρ=densidad y v=rapidez. Hallar el valor de α+β+ γ+ δ a) 5

b) 0

c) 4

d) 3

e) 2

b) 3

c) 4

d) -1

e) 0

 .l  W . p 2  

Donde W=trabajo; ε=energía/volumen; l= longitud. Las dimensiones de α y p son respectivamente. a) ML-1T-2; L -3/2 ML2T-2;

23) Si

b) ML-1T-1; L-3/2

L-3

la

e) siguiente

M2L2T-2;

c) ML-2T-2; L-3/2

L-3

expresión

física

Y  k ln  A  B.C   ln C.D ; hallar B

a) L

b) M

c) T-1

d) 1

es

exacta:

D

e) faltan datos energía

de

Donde: k=constante elástica y X=deformación. Hallar α + β

Donde

a) 3

P=potencia; h=altura; m=masa. Hallar las dimensiones de “Q”. M3L6T-6

b) e) M3L3T-3

c)

M3L-6T6

15) Si la expresión siguiente es dimensionalmente exacta. Hallar la ecuación dimensional de y.

A  V .t  n. y.R   .t 2 a  2  k . log  n     A P  V  

;

24) La siguiente ecuación expresa la deformación de un resorte: E=(1/2)kαXβ

o 2,3Q  ( Ph  R. log 0,8) 4.sen30 o m.sen36

a) d) M2L3T-3

e) 5

20) La energía de un fluido, el cual circula por una tubería, está dada por la ecuación: E=Vα(Pβ+(1/2)ργvδ)

d) Hallar la ecuación respectivamente.

ML6T-6

d) 4

22) La siguiente ecuación es dimensionalmente exacta:

F  kmg 

14) La ecuación homogénea:

c) 3

FxDyvz=(n+tgθ).m1.m2.m3

a) 1

c) L2T-2

13) En un determinado instante un cuerpo ejerce una fuerza sobre una cuerda determinado por la siguiente

b) L ; M

e) 3

21) Si la energía cinética de una partícula tiene la siguiente ecuación : Ek=kMaVb ; hallar a+b

C = 3 V  K A  BLT

e) L-2T

d) -2

18) En la expresión mostrada hallar z, si F=fuerza, D=densidad, v=velocidad y m1,m2,m3 son masas.

a) 1

b) ML-1T-4 ; L2T-2 ; L2 c) ML-1T-4 ; L2T-2 ; L-2 e) ML-3T-4 ; L2T-2 ; L2

d) L6T2

b) 2

Hallar:

P= at2 + bD + cF ;Donde : t= tiempo, D=densidad y F=fuerza. Hallar las dimensiones de a, b y c

b) MT-1

c) 2

Donde: T= temperatura; R= 8,31 joule/(mol.°K)

11) Si la presión P esta expresada por:

a) L3T-2

; Donde: t=tiempo;

19) La ecuación que define la energía interna sobre mol de un gas ideal tiene la fórmula: U=3/2RαTβ

AX + BY = C

a) 1; M

b) 1

a)1

b) LMT-1

ecuación:

e) ML5T-5

Donde: F= fuerza, K=numero, C=velocidad, A=L-1MT-1 , B=longitud.

A + M + S M2 B B 2  a.L

a) ML-1T4 ; L2T-2 ; L-2 d) ML-1T-4 ; L-2T2 ; L-2

d) ML-2T5

c) ML-3T5

17) En la siguiente expresión homogénea hallar el valor de x+y+z ; F= KAyBxCz

Si a=aceleración, M=masa y L=longitud.

a) M3L-1T

b) ML2T-5

ω=frecuencia angular; A=amplitud. Determinar: α – β

3

2

LT-2

a) nL3T-5

;

Donde: t=tiempo; R=radio; a=aceleración; P=potencia; V=velocidad.

b) 2

c) 4

d) 1/2

e) 5/2

25) Si la presión que ejerce un fluido tiene la fórmula:

P  .Q x d y A z ; Donde λ=constante; d=densidad; A=área; Q=caudal. Determinar la expresión correcta de presión. a)  Q d A2

2

2

b)  Q d A

2

d)  Q d A

2

e)  Q d A2

2

c)  Q d A

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 11 26) Si la siguiente ecuación dimensional es exacta determinar las dimensiones de X e Y, siendo: A= fuerza, B=trabajo, C=densidad

d) Adimensionalmente ambas 29) Teniendo que la dimensionalmente

AX + BY = C a) L3T y L-5T2

b) LT y L2

d) L y T

e) L-4T2 y L-5T2

27) La ecuación

S  (2E / m)  2gh

a)ML2T2θ

b) ML-2T-1θ

d) L-4Tθ

e) L4T-1θ-1

c) L-2Tθ-1

30) Los resultados de Vanders Waals para los gases ideales se pueden expresar por  an 2  , tal que P:  P  2  V  nb   nRT V  

presión, V volumen, n: numero de moles, R: constante de los gases, T: temperatura y considerando la ecuación dimensionalmente correcta. Calcule:  a   b 

m(K 2  h 2 )

b) LT-1, T2

los gases es dada por:

velocidad promedio de las moléculas, V volumen, n: número de moles, R: constante física, T: temperatura. Calcule:     R 

(Donde M es el momento de una fuerza,  un ángulo, m una masa y h una longitud). a) L2,T

para y

( P   v1 )(V   v2 )  nRT tal que P: presión, v1, v2:

c) L4T-1 y L-3T2

es dimensionalmente correcta siendo: E = trabajo, m = masa, g = aceleración, h = altura Luego la dimensión de S es: a) (LT-1) 1/2 b) LT-1 c) L-1T d) (LT)1/2 e) No tiene dimensiones 28) Las dimensiones de K y C en la ecuación dimensionalmente homogénea siguiente son respectivamente: M Sen  C

ecuación correcta

e) L-1, T-2

a)ML2T-2

c) L, T-2

b) ML2T-2N-1 c) M2LT-2

d) M-1LTN e) ML-2T-2

3.1. VECTOR Es un segmento de línea recta orientado, que sirve para representar a las magnitudes vectoriales dentro UN ESPACIO EUCLIDIANO BIDIMENSIONAL y TRIDIMENSIONAL que tiene las siguientes características.

1) 2) 3) 4)

Punto de aplicación Módulo o magnitud Sentido Dirección

Dirección

 A  A

Sentido

Módulo

NOTACIÓN: : Vector A, = Módulo del vector

3.1.1

 Pto. Aplicación

CLASIFICACIÓN DE VECTORES Los vectores se clasifican en: 1) Vectores colineales. 2) Vectores concurrentes. 3) Vectores Coplanares 4) Igualdad de vectores 5) Vectores equivalentes a) Vectores deslizantes b) Vectores libres c) Vectores fijos

3.1.2

COMPONENTES DE UN VECTOR

I. COMPONENTES RECTANGULARES EN DOS DIMENSIONES. Las componentes de un vector en dos dimensiones son mutuamente perpendiculares entre sí. Es decir forman un ángulo de 90º.  A (

AX ;AY )

A X  A Cos  A Y  A Sen 

Y AY

 AX

X

12 | C E P R U 2 0 1 5 

Cuyo módulo es:  A  =

A 2x  A 2y

II. COMPONENTES RECTANGULARES EN TRES  A

DIMENSIONES Z

 ( AX; AY; AZ )

AZ

A X  A Sen Cos  A Y  A Sen Sen A Z  A Cos 



Cuyo módulo es:

AX





 A  = A2  A2  A2 x y Z

3.1.3

AY Y

AP

X

VECTOR UNITARIO ( û ).

Es aquel vector cuyo módulo es la unidad y tiene por

misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector. A

  A U

dicho vector también se le llama versor.

A

VECTORES UNITARIOS EN EL PLANO Y EL ESPACIO

I)

EN EL PLANO

Y

  Los vectores o versores unitarios en el plano son: i ; j

 i : Indica la dirección en el eje X (+)

 j : Indica la dirección en el eje Y (+)   i : Indica la dirección en el eje X (-)   j : Indica la dirección en el eje Y (-)

X II)

EN EL ESPACIO  



Los vectores o versores unitarios en el espacio son: i ; j y k

Z

 i : Indica la dirección en el eje X (+)  j : Indica la dirección en el eje Y (+)



 k : Indica la dirección en el eje Z (+)

Y

   A  Ax ; Ay  Ax i  Ay j     A  Ax ; Ay ; Az  Ax i  Ay j  Az k

 



X



ANGULOS DIRECTORES (  ,  ,  ) Son aquellos ángulos que forman los ejes coordinados rectangulares positivos, con el vector en cuestión y su función es indicarnos la dirección del vector con respecto a cada eje.

A X  A Cos   Cos  

AX

A Y  A Cos   Cos  

AX

A Z  A Cos   Cos  

AX

Z

 A

 A

AZ

Cosenos Directores



 A

AX



 AY

Y

X 3.1.4 OPERACIONES CON VECTORES A) SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES Sumar dos o más vectores es encontrar otro vector resultante que produzca los mismos efectos que los vectores sumandos.

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 13 

Sean los vectores A  ( A 1 ; A 2 ; A 3 ;. . . A n ) y

 B  ( B 1 ; B 2 ; B 3 ;. . . B n )

   S  A  B  ( A 1  B 1 ; A 2  B 2 ; A 3  B 3 ;. . . A n  B n )

El vector suma será: CASOS PARTICULARES

I.

PARA EL ESPACIO.

II.

PARA EL PLANO.

  A  ( A1 ; A 2 ; A 3 ) y B  ( B1 ; B 2 ; B 3 )

 A  ( A1; A 2 )

   S  A  B  ( A1  B1 ; A 2  B 2 ; A 3  B 3 )

   S  A  B  ( A1  B1; A 2  B 2 )

y

 B  ( B1; B 2 )

DEFINICIÓN. La definición geométrica consiste en construir un polígono con los vectores sumandos, manteniendo constantes sus tres elementos (módulo, dirección y sentido)

METODO DEL PARALELOGRAMO Este método es válido solo para dos vectores coplanares y concurrentes, cuya resultante es la diagonal del paralelogramo.

   R A  B



El módulo de la resultante se determina por:  2 2 R  A  B  2 AB cos 

(Ley de Cosenos)

CASOS PARTICULARES I). Si:  = 0° entonces Cos = 1 R MAX  A  B

II). Si:  = 180° entonces Cos = -1 R MIN  A  B

III). Si:  = 90° entonces Cos = 0

R  AB La dirección del vector resultante para dos vectores se determina mediante la ley de los senos. R A B   Sen  Sen  Sen 

B) I.

PRODUCTO DE UN VECTOR PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR Cuando se multiplica un escalar por un vector resulta otro vector de igual dirección, en este caso sólo cambia dicho vector en magnitud. Así tenemos: 

Sea KR una cantidad escalar y A un vector, el producto escalar de un vector por un escalar está definida por:  P

 K

 A

 K ( AX; AY; AZ )

 P  ( KA X ; K  P

AY;K AZ )

    P X i  PY j  PZ K

14 | C E P R U 2 0 1 5 II.

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

  Llamado también producto punto viene a ser el producto de sus componentes rectangulares y se denota por, A  B   A  B  ( AX; AY; AZ )( BX; BY; BZ )   A  B  A XB X  A Y BY  AZBZ

El producto escalar también se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman dichos vectores



  A  B  A B Cos 

A cos 

PRODUCTO INTERIOR DE VECTORES UNITARIOS.   i  i 1

  i  j 0

  j j 1

  j k  0

  k k  1

  k i 0

Z

Y X III.

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

Llamado también producto cruz de dos vectores el cual origina un tercer vector perpendicular al plano formado por dichos vectores. Este producto se denota por:

    A x B  A cruz B



El producto vectorial de dos vectores se halla haciendo uso las determinantes:   AxB 

 i Ax

 j Ay

 k Az

Bx

By

Bz

     A x B  ( A y Bz  A z B y ) i  ( A x Bz  A z B x ) j  ( A x B y  A y B x ) k

La magnitud o modulo del producto vectorial de dos vectores es igual al producto de sus módulos por el seno del ángulo .     A x B  B A sen 

IV.

PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES UNITARIOS

   i x j k

   j x i  k

   j xk  i

   kx j i

   kx i  j

+ ANTIHORARIO

Z

_

   i xk   j

HORARIO

HORARI

X paralelogramo: La magnitud o modulo del producto vectorial es igual al área de un El área del triángulo está dado por: Area  1  x  A B 2

Propiedades:  

A A  A 2





A A  0









A B  B  A









A B   B  A





A  B  AB Cos  



A  B  AB Sen 

Y   Area  A x B

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 15

EJERCICIOS







A  B C , si C=4

1) En la figura. Hallar

8) Dado los vectores

Z

A yB . Determine el vector unitario

 A  B   2  A  B 

de la operación:  lado del cubo es 1m)

(0, 0, 4)

(Considere que el

Z

 B

(5, 0, 0)

(0, 5, 0)

  c) 2i  4 j

  b) i  j

a)

   i  j k  3     i  j  k j

d)

3) Encuentre el vector unitario que sea perpendicular al

   A  2 j  2k

plano formado por los vectores

 a) j

 b)  6i

 c)- i

 d)6 i

A

paralelogramo con

e)

14



a) (1, 2, 3)

b) (-4, 2, 6)

d) (4, 2, 6)

e) (-4, -2, -6)

10)

c) (2, 4, 6)

Si los módulos de los vectores P y Q son 50N y 52N. Halle F = P+Q. a) (10,-10,-10)

Z

b) (14,18,12)

 e)6 k

c) (20,-18,14)

Q diagonales de un P  1;2;2 y Q  3;4;6 , el P

3



y

5/3; entonces, el valor de Z, es: a)3 b)2 c)1 d)-2 e) -1 5) Sean los vectores

c)

11

Hallar un vector A que es paralelo al vector B  (-2,   1, 3), si A  B  28

9)

d) (-20,18,-14)

B  3,2, Z  sobre el 1 unitario u A  1, 2,2  , es 3

con vector

 ˆi  ˆj  kˆ 

 2iˆ  3jˆ  kˆ 

27

4) El módulo de la proyección de vector

b)

14

 3iˆ  3jˆ  3kˆ 

II. III. Dos vectores son iguales cuando no tienen el mismo modulo, dirección y sentido. Indicar con (V) si es verdadera y con (F) si es falsa en el orden que aparece, se obtiene: a) FFF b)VVV c)FVF d)VVF e)VFF

  B  3j

 3iˆ  ˆj  kˆ 

 2iˆ  ˆj  3kˆ 

d)100 e)-100

2) Dadas las siguientes proposiciones: I.

Y

X

X

a)50

 A

Y

y

12

Q

e) (-24,18,48)

Y P X

4

3

11) Para sacar un clavo se le aplican dos fuerzas concurrentes de 16N y 14N. Si las fuerzas forman entre si un ángulo de 60o. ¿Cuál es la fuerza resultante que actúa sobre dicho clavo? a)26N

área de la región limitada por el paralelogramo es.

b) 30N

c)36N

d)40N

e)20N

12) La resultante máxima de dos vectores es 14u y la mínima es 2u. Hallar la magnitud de la resultante cuando dichos vectores sean ortogonales. a)20u

a) 5 3u 2

b) 2 5u 2 c) 3 5u 2 d) 7 3u 2 e) 5 5u 2

6) Si el módulo de la suma de dos vectores de igual módulo es dos veces el módulo de su diferencia, hallar la medida del ángulo comprendido entre dichos vectores a)60º

b)30º

c)45º

7) En la figura, hallar:

d)90

e)53º

resultado fuerzas. a)2

d)26u

b)6

61 . Calcular el módulo de la mayor de las c)4

d)5

e)7

a) 20 y 143o

A BC

A

b) 20 y 127o

B

53o

c) 10 y143o d) 10 y 127o e) 10 y 53o

B C

A

4

D

C

Y

15)

2

Con relación a un vector, indique la verdad (V) y falsedad (F) de las siguientes expresiones:

X

i  2j  3k

e)12u

14) Hallar el módulo y dirección del conjunto de vectores mostrado. Además A=40, B=20, C=11, D=15.

6

3i  4j  5k b)

c)28u

13) Dos fuerzas de valores consecutivos actúan sobre un cuerpo formando un ángulo de 60o entre sí, dando por

Z

a)

b)24u

c) 2i d) 4 j

e) 4k

I.

Tiene magnitud

II.

Tiene dirección

16 | C E P R U 2 0 1 5 III.

Tiene infinitas componentes

a) VVV 16)

c)FVV

e) 2 a 2 d)VFV

e)FFV

b) 15

c)20

d)30

Dado el vector a= (4;-12; z) , hallar z, siendo  a=13. a) 1

26)

e)10

Determinar la dirección del vector resultante del conjunto de vectores mostrados en la figura:

b)2

25u

b) 37o 45

c) 45o

o

16o 53

10u

d) 53o

o

a) 13u

a) (-24,-18,24)

d) 15u

d) (-24,-18,-24)

12

e) (-24,-18,48)

x

7u

B ) C

A B

28)

a) 30u

4

x 

El vector unitario asociado al vector A de la figura, es:

z

c) 25u d) 10u

60u

C 4

45u

b) 15u

y



o

d) 64k

12u

Si el sistema mostrado tiene resultante horizontal, determinar el módulo de ésta:

50u

53o

y

e) 50u



20

En un rectángulo ABCD se encuentran los vectores AB; AC; AD; BD; DC; y CB. La resultante de los 6 vectores es: b) AC

c)3AC

d)2AB

b) 28u

c)20u

A 30

20

x

25

25

25

e)2AD

La resultante máxima de dos vectores es 16u y la resultante mínima es 4u; determinar el módulo del vector resultante cuando forman 60o. d)10u

e)5u

En el cubo mostrado: hallar la resultante de vectores, si el lado del cubo es “a”. a) a 2 b) a 3 d) a 6

   b) 1  5 i  3 j  4 k    10  

   a) 2  3 i  5 j  4 k    10  

c) 1 10

     5 i  3 j 4 k   

d)

2 5

     4 i  3 j 5 k   

   e) 2  3 i  5 j  4 k    10  

29)

c) a 5



 



Obtener K si: K = m A B  C D cuando m 

a) 2 unidades

e) 2a 2 En la siguiente figura determinar la resultante de los vectores mostrados, el lado del cubo es “a”.

b) 1 unidad c) 3 unidades d) 4 unidades

a) a b)2a c)3a d)4a

e)

2 unidades

1u

e) a 2



A

1u En el cubo de lado “a” que se muestra, hallar el modulo del vector R= A + B - C – D. a) a b) a 2 c) a 3 d) 2a

y

3

c) 3 i+ 4 j+ 5k

19)

24)

4

a) i+ j+ k

e) -64k

23)

T

En la figura el resultado de la expresión ( A x es: z

e) 26u

22)

P

c) (24,18,24)

4

5u

c) 28u

a) 14u

z

b) 12 i+ j

b) 10u

21)

e)5

Hallar el vector F; si F=T + P, sabiendo además que T = 50N y P = 52N.

27)

Determinar el módulo del vector resultante de los vectores mostrados:

a) 2AC

d)4

3u

e) 60o

20)

c)3

b) (-24,-18,48)

a) 30o

18)

25)

Dado los vectores A=20i + 8j y B=-13i + 16j determine su resultante. a)25

17)

b) VVF

A



D 

B C

B D



C

2 6

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 17

4.1.

CINEMATICA

Es parte de la mecánica que estudia y describe el movimiento de un cuerpo o partícula, sin tomar en cuenta las causas que lo producen. SISTEMA DE REFERENCIA.- Para afirmar que un objeto se encuentra en reposo o en movimiento, es necesario conocer, un sistema de referencia. En general el valor o la medida de una magnitud física depende del sistema de referencia del observador que realiza la medida. Los sistemas de referencia fundamentales son los inerciales. Dos sistemas son inerciales cuando se mueven con velocidad uniforme uno con respecto al otro, y todo sistema de referencia que se mueva con velocidad constante con respecto a uno de ellos también es inercial. El sistema de coordenadas con un sistema de medición representa un sistema de referencia. Un sistema de referencia ideal está formado por un objeto considerado como sistema de referencia, un observador que mide el movimiento del objeto y un instrumento de medición. MOVIMIENTO.- Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo con respecto a un punto de referencia (origen de coordenadas). Elementos descriptivos del movimiento 1. Móvil.- Es el cuerpo, partícula y en general cualquier objeto que experimenta el fenómeno del movimiento.

r

2. Vector posición ( ).- Denominamos así al vector que nos permite ubicar un móvil con relación a un punto tomado como referencia (punto origen de coordenadas). 3. Trayectoria (τ).- Viene a ser la línea o sucesión de puntos que describe el móvil durante su movimiento. Si la trayectoria es una línea recta, el movimiento se denomina rectilíneo y si es una curva, curvilíneo. 4. Espacio recorrido ó recorrido (e).- Es la longitud o medida de la trayectoria. Es un escalar, y su medida siempre es positiva. 5. Desplazamiento ó vector Desplazamiento ( D ).- Es el vector que une la posición inicial y la posición final del móvil

   D  rf  ri . ⃗ ) es una magnitud vectorial que indica cuán rápido y en qué dirección se mueve un móvil. VELOCIDAD.- La velocidad (𝑉 RAPIDEZ.- Es el módulo de la velocidad. VELOCIDAD MEDIA

Vm

Es una magnitud vectorial determinada por la relación entre el desplazamiento y el tiempo

empleado para dicho desplazamiento. ⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝑚 =

∆𝑟 𝑟𝑓 − 𝑟𝑖 = ∆𝑡 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖

Su limitación está en que un intervalo de tiempo no nos da la información precisa de la rapidez y dirección de la partícula en un determinado instante. RAPIDEZ LINEAL Ó RAPIDEZ PROMEDIO ( VP ).- Es aquella magnitud física escalar que mide la rapidez del cambio de posición en función del recorrido

VP 

e e  t t f  ti

⃗ ). VELOCIDAD INSTANTANEA (𝑉 Es la velocidad que tiene una partícula en cada instante y en cada punto de la trayectoria. Se calcula: ⃗ = lim 𝑉

∆𝑟

∆𝑡→0 ∆𝑡

= lim

𝑟𝑓 − 𝑟𝑖 − 𝑡𝑖

∆𝑡→0 𝑡𝑓

La velocidad no solo se genera por el aumento o disminución de la posición sino también por el cambio de posición ⃗ ).- Es una magnitud vectorial que mide la variación de la velocidad que experimenta un móvil en un ACELERACION (𝒂 intervalo de tiempo. ⃗⃗⃗ = 𝑎 4.2.

⃗𝑓 − 𝑉 ⃗𝑖 𝑉 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖

=

⃗ ∆𝑉 ∆𝑡

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.).

Es aquel movimiento cuya trayectoria es una recta y los espacios iguales son recorridos en tiempos iguales.

18 | C E P R U 2 0 1 5 

El espacio es directamente proporcional al tiempo.



La velocidad es constante. La aceleración a = 0



em

Vm/s

e1 t1

e=vt tgθ = v

e2

Área = espacio recorrido

v A=e

e1 

t

e2 t2

...

en tn

v

cte.

e e e vt t t v v m / s, cm / s y km / h

v

t(s)

Aplicaciones (M.R.U.) Tiempo de alcance (ta)

ta 

d v1  v 2

Tiempo de encuentro (te) t e 

, v1  v 2

d v1  v 2

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME VARIADO (M.R.U.V.). CARACTERISTICAS: 1.

La velocidad varía en forma uniforme (v: variable)

2.

En iguales intervalos de tiempo, el móvil experimenta los mismos cambios de velocidad, es decir que la velocidad varía uniformemente con el tiempo.

3.

a = cte.

Vm/s am/s2

v=at

a

tgθ=a=cte

v2 v1

v θ

t1

t2

v v f  v i  t t

Área = Cambio de velocidad

A=∆v=at

t(s) t

Las ecuaciones del MRUV son:

 v

1.

v

2.

e  v

(+) Movimiento acelerado

f

i

 at

(-) movimiento desacelerado.

3.

4.

5.

i

t(s)

t 

1

at 2

2

v 2  v 2  2 ae f i  v  v f i e   2  1 en  v0  a(2 n  1) 2

  t 

MOVIMIENTO DE CAIDA LIBRE. Cuando un cuerpo se deja caer o se lanza desde una determinada altura sobre el piso, el cuerpo desarrolla un movimiento vertical y adquiere la aceleración de la gravedad g = 9,8 m/s 2. Al analizar este movimiento, se aplican las ecuaciones del M.R.U.V. Estas ecuaciones se cumplen en el vacío, sin considerar la resistencia del aire, además considerando que la altura de caída es mucho menor que el radio terrestre TIRO VERTICAL. Cuando se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial vi, el cuerpo llega a la altura máxima (hm) en este punto la velocidad es igual a cero. Los vectores velocidad y aceleración de la gravedad en cualquier punto de la trayectoria, tienen sentidos contrarios, de manera que el movimiento es retardado o desacelerado.

(+) Movimiento de bajada-acelerado (-) movimiento de subida-desacelerado

 v

1.

v

2.

h  v

f

i

i

 gt

t 

1

gt 2

2

3.

v 2  v 2  2 gh f i

4.

 v   v f i t h    2  

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 19 MOVIMIENTO DE PROYECTILES Se denomina proyectil a cualquier objeto a la cual se le comunica una velocidad inicial y sigue después una trayectoria determinada debido a la influencia de la fuerza gravitatoria que actúa sobre el cuerpo u objeto y a la resistencia de rozamiento que ofrece el aire. El movimiento de proyectiles es aquel movimiento cuya trayectoria es una parábola la cual es descrito por un movimiento compuesto (M.R.U. y M.V.C.L.) Tiro Semi Parabólico Cuando un cuerpo es lanzado horizontalmente con una velocidad (vo = vox) que se mantendrá constante a lo largo de su movimiento, la velocidad vertical inicial es igual a cero, pero a medida que el cuerpo cae, esta velocidad va aumentando de valor, las distancias recorridas tanto en el eje vertical como en la horizontal se han efectuado en intervalos de tiempos iguales. El proyectil en el eje horizontal desarrolla un M.R.U., por tanto,

x  v 0X t

ya que no

VX

existe aceleración horizontal. En el eje vertical el movimiento de la esfera corresponde a una caída libre, por tanto:

y 

h VY

1 2 gt 2

Las ecuaciones:

x  v0 t

X

1 y  g t2 2 Las expresiones anteriores nos permiten determinar la posición del proyectil en cualquier punto (x,y) de la trayectoria.

Y

Tiro parabólico. El proyectil es lanzado desde el punto (o) con una velocidad inicial (vo) y H MAX V0Y una inclinación () tal como se muestra en la figura, por efecto de la gravedad a medida que el proyectil sube de manera inclinada se ve  forzado a bajar retornando al piso, esta trayectoria ocurre cuando no hay V0X presencia de aire, en todo momento posterior al instante del disparo, el R MAX proyectil adquiere la aceleración de la gravedad. Las componentes de la velocidad inicial de disparo: V0X = V Cos V0Y = V Sen Teniendo en cuenta las ecuaciones del movimiento en los ejes “X” i “Y”. Se tiene la ecuación de la trayectoria:

Y  X Tan  

X

g X2 2 2V0 Cos 2 

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE PROYECTILES Tiempo de vuelo:

Relación entre H y t:

Tvuelo

2 V0 Sen   g

H Max

V 2 Sen 2   0 2g

H 

Altura máxima:

4.3.

g t2 8

Relación entre H y R:

Tg  

4H R

MOVIMIENTO CIRCULAR

Es el movimiento periódico en dos dimensiones que tiene como trayectoria una circunferencia Cuando un objeto realiza una trayectoria circular, se desplaza a lo largo de un arco de la circunferencia, y por lo tanto está barriendo ángulos.

t2

0

Angulo recorrido. Es el ángulo barrido por el arco de circunferencia. Se designa por el símbolo  y su unidad es el radian.

R 

t1

Δ

Magnitudes del movimiento circular 

ΔS

2 V02 Sen  Cos  V 2 Sen   0 g g

r

 Velocidad angular. Incremento de ángulo recorrido en una unidad de tiempo. Se expresa con ω y su unidad es el radian por segundo (rad/s). 

Velocidad angular media. Es la velocidad angular medida entre dos instantes de tiempo 𝜔𝑚 =



Velocidad angular instantánea. Es la velocidad angular en un solo instante de tiempo. 𝜔 = lim 𝜔𝑚 = lim ∆𝑡→0



∆𝑡→0

∆𝜃 ∆𝑡

=

𝜃2 −𝜃1 𝑡2 −𝑡1

∆𝜃 ∆𝑡

Velocidad lineal ( Velocidad tangencial). Incremento del arco de circunferencia en una unidad de tiempo. Se exprese por v y se mide en m/s. v =Δ s/Δt. Es la misma velocidad que la de los movimientos rectilíneos.

20 | C E P R U 2 0 1 5 Se relaciona con la velocidad angular por la relación:

𝑽 = 𝝎. 𝒓



Periodo. Tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta completa de la circunferencia. Se designa por T y se mide en segundos.



Frecuencia. Es la inversa del periodo y corresponde al número de vueltas que efectúa el cuerpo en un segundo. Se expresa con el símbolo f y se mide en hertz ( Hz). f = 1/ T.

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU). Se caracteriza por tener velocidad constante en modulo, pero cambia dirección constantemente, por eso existe una aceleración centrípeta que es constante.

la

Un movimiento circular es uniforme cuando el móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales. Ecuaciones Espacio lineal (s)

Espacio angular ()

s = so + v. Δt

 = o + ω. Δt

Aceleración centrípeta.- Una partícula que se mueve con una trayectoria circular de radio r y con rapidez constante v tiene una aceleración cuya dirección esta hacia el centro de la circunferencia y cuya magnitud se calcula: 𝑎𝑐 =

𝑣2 𝑟

La velocidad angular y la frecuencia se relacionan por: = 2πf En los rodillos en contacto o con fajas, la velocidad lineal en la periferia es la misma. Se cumple : ω1/ ω2 = r2/r1 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA). Se caracteriza por tener una aceleración angular y una aceleración tangencia constante, pero no así una aceleración normal, que va aumentando o disminuyendo con la velocidad. Aceleración angular.- A la variación (aumento o disminución) experimentada por la velocidad angular de un cuerpo se le conoce como aceleración angular (α), se expresa por: 𝜶=

∆𝝎 ∆𝒕

=

𝝎𝟐 −𝝎𝟏 𝒕𝟐 −𝒕𝟏

Aceleración tangencial.- Llamado aceleración lineal (at) , se expresa por la variación de la velocidad lineal por variación de tiempo: 𝒂𝒕 =

∆𝒗 ∆𝒕

=

𝒗𝟐 −𝒗𝟏 𝒕𝟐 −𝒕𝟏

La aceleración tangencial se relaciona con la aceleración angular por:

 

 αt

1.



2.

1 αt 2    t  i 2

3.

 2   2  2 α f i

4.

     f i t     2  

(+) Movimiento acelerado (-) Movimiento desacelerado

f

i

at = α.r

EJERCICIOS

1)

Determinar la distancia y la ongitud recorrida cuando el móvil va desde A hacia B, en sentido horario. La circunferencia tiene 30 cm de radio.

3)



 





a) 7 i  5 j

b) 0.6 m ; 0.5π m c) 0.3 m ; 0.5π m

4)

60º

d) 0.6 m ; 0.6π m

A

B

Un móvil es capaz de moverse solo por las aristas, de 10 m, de un cubo, con una rapidez de 10 m/s. Determine su velocidad media al moverse de de O a P en el menor tiempo posible, según la figura. a) 5 m/s b) 5 3 m/s 3 c) 10 m/s d) 10 3 m/s 3

Z

P

a) 1122 5)

X

Y





b) 7 i  5 j









c) 2 i  j d) 2 i  4 j

Una persona ubicada entre dos montañas emite un grito y recibe el primer eco a los tres segundos y el siguiente a los 3,6 s. ¿Cuál es la separación (en m) entre las montañas?. Considere la velocidad del sonido: 340 m/s. b) 1648

c) 1561

d) 1178

Dos partículas se mueven con MRU, la partícula A tiene una rapidez de 20 m/s según el eje “x” y pasa por el origen en t = 0 s, la partícula B tiene una rapidez de 30 m/s según el eje “y” y se dirige al origen pasando por y = 30 m en t = 0 s. ¿A que distancia se encuentran entre si a los 0,5 s?. a)

o



del móvil en el tercer segundo, es:

a) 0.3 m ; 0.6π m

2)

El vector posición de un móvil viene dado por: r= t 2 +2t i+ t 2 +1 j . La velocidad media (en m/s)

5 13

b) 2 13

c) 3 13

d) 5 10

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 21 6)

Dos insectos vuelan con velocidades constantes en el mismo plano horizontal y están iluminadas por un foco de luz, y la figura muestra la posición de los insectos para t = 0 s. Determine la longitud de separación (en m) entre las sombras de los insectos al cabo de 2 s. a) 16

a) 6 s b) 5 s c) 9 s

100 m/s

d) 8 s e) 10 s

b) 30

53º

45º

2m

c) 12

160 m

4 m/s

d) 24

1m

16) Sobre un plano inclinado, se lanza una esferita con una velocidad de 50 m/s y un ángulo de tiro de 53º, como se muestra. ¿Cuál es el alcance horizontal (en m) de la esferita?

3 m/s

1m

a) 600 7)

Un móvil parte del reposo y recorre dos tramos consecutivos, el 1ro acelerando a 6 m/s2 y el segundo desacelerando a 3 m/s2. Si el tiempo total empleado es de 15 s. Hallar la máxima velocidad (en m/s) alcanzada en todo el movimiento. a) 30

8)

c) 35

b) 5 h

c) 4 h

d) 3 h

Un auto viaja desde la ciudad A hasta otra B distante 2 km, empleando 50s. En uno de los viajes (de A hacia B) después de 20 s de haber iniciado su movimiento sufre desperfectos que lo obliga a detenerse 15 s. ¿Cuál debe ser su magnitud de la velocidad (en m/s) con que debe continuar el viaje para que llegue a B sin ningún retraso? a) 50

b) 40

c) 70

d) 80

10) Se lanza un objeto hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Después de cuánto tiempo la velocidad será de 30 m/s. a) 2 s

b) 7 s

c) 4 s















12) De un caño cae una gota cada 0,1 s. Si cuando está por caer la tercera gota se abre la llave y sale un chorro de agua, con qué velocidad (en m/s) debe salir dicho chorro para que alcance a la primera gota, justo cuando llegue al piso. Si el caño se encuentra a una altura de 7,2 m. a) 2,2

b) 1,2

c) 1,5

v0

d) 500

53º

17) En una rueda que gira con MCU la velocidad de los puntos situados en su periferia es 6 veces mayor que la de los puntos que se encuentran a 10 cm más próximo al eje de giro de la rueda. El radio de la rueda es: a) 12 m

b) 7 m

c) 9 m

ω a) 1,2

15 m/s

b) 1,7

53º

c) 1,3 d) 1,5

19) La grafica v – t corresponde a dos móviles que parten de la misma posición, determine en que instante se encuentran. v(m/s) a) 16 s 8

b) 4 s c) 12 s

A

d) 8 s

B

d) 2,4

proyectil es lanzado con una velocidad de 60 2 m/s. ¿Para que tiempo la velocidad del proyectil tendrá una inclinación de 37°? b) 2 s

c) 1,5 s

d) 2,4 s

14) Sabiendo que la velocidad con que el proyectil destruye el vidrio de una ventana es de 5 m/s, calcular la distancia X desde el cual debió ser lanzada. v0 vo = 3 2 m/s 45° a) 1 m

0

6

8

t(s)

20) El gráfico representa el movimiento unidimensional de un cuerpo. Determinar con qué rapidez constante debería moverse para efectuar el mismo desplazamiento en igual tiempo (en m/s) V(m/s) a) 0,2

2

b) 0,6

t(s)

c) 12

0

6

4

10

d) 1,2 -1

e) 0,4

b) 2 m c) 2,1 m

d) 10 m

18) Un disco gira en un plano horizontal, si tiene un hueco a una cierta distancia del centro por donde pasa el móvil que luego de caer pasa por el mismo hueco. ¿Cuál es la velocidad angular del disco? (en rad/s)

13) Con una inclinación de 45° con la horizontal, un

a) 1,2 s

37º

d) 6 s

11) Una partícula cae en el último segundo un cuarto de la altura total que ha caído. Que tiempo (en s) estuvo cayendo. a) b) 2 3  2 c) 3 3  1 d) 2 3  2 3 1



c) 400

d) 26

Media hora más tarde después de la partida del bus, cuya rapidez de viaje es de 60 km/h llega un tardío pasajero que con el fin de no perder el bus inicia la persecución en un auto con una rapidez inicial de 40 km/h y acelerando constantemente con 20 km/h2. ¿En cuánto tiempo el auto alcanza al bus?. a) 2 h

9)

b) 40

b) 450

X

d) 2,5 m

15) En el diagrama, determine el tiempo que empleara el proyectil para colisionar con el plano inclinado.

21) Una particula gira en un circulo de 3π m de diametro a una velocidad de 6 m/s, 3 s despues su velocidad es 9 m/s. Calcular el numero de vueltas que ha dado al cabo de 6 s. a) 12

b) 18

c) 9

d) 10

22 | C E P R U 2 0 1 5 22) En un MCUV en el instante en que su rapidez es de 10 m/s, el vector velocidad forma un angulo de 37° con el vector aceleracion. Si el radio de la trayectoria circular es 10 m, la velocidad (en m/s) de la particula 6 s despues, es: a) 80

b) 60

c) 90

d) 100

23) Se muestra la posición de un proyectil luego de 4 seg. de su lanzamiento en (A) si desarrolla un MPCL. Determine su alcance horizontal (d). a) 260 m b) 100 m c) 80 m d) 60m e) 200 m

29) Si los puntos periféricos de un disco que gira uniformemente se mueven a razón de 40cm/s y los puntos que se hallan a 2cm de la periferia lo hacen a razón de 30cm/s ¿qué radio tiene el disco? (en cm) a) 4

b) 2

(A)

d

b) 2,5

(Expresada en m/s).

a) 20

d) 3,5

b) 12

c) 14

d) 16

32) Dos móviles A y B parten simultáneamente siguiendo una misma trayectoria circular. El móvil A parte instantáneamente con MCU a π/2 rad/s y B parte del reposo con MCUV a π/8 rad/s2. Si el móvil B parte 3π/4 rad delante del móvil A. Determinar cuántos segundos como mínimo le tomarán al móvil A en alcanzar al móvil B. a) 3,5

b) 25

c) 0,5

31) En un MCUV un punto se mueve desde el reposo, si luego de ½ s la velocidad tangencial es 4 m/s, hallar en m/s2 la aceleración total en ese instante. Radio de curvatura 8/3 m. a) 10

24) El gráfico desplazamiento tiempo para el movimiento de un carro es el que se indica en la figura. La velocidad media para los primeros 4 segundos es:

d) 8

30) Un ventilador es desconectado durante 10segundos, de modo que su velocidad pasa de 2400 RPM a 900 RPM. ¿Qué aceleración experimentó en rev/s2, si el movimiento fue uniformemente desacelerado? a) 6

45º 10 2

c) 10

b) 2

c) 4

d) 6

e) 8

33) Si el engranaje A gira con una velocidad angular de W = k rad/s., determinar la velocidad angular de B. (en rad/s):

c) 10 d) 17.5

rA = 4k metros

e) N.A

rC = 0.5 K metros 25) Una partícula parte del reposo. Su gráfico aceleración - tiempo se indica en la figura, para los 4 primeros segundos de su movimiento. La máxima velocidad en (m/s) durante los primeros 4 segundos será:

rB = 3 K metros

a) 5K/4

b) 8K/3

c) 12K

d) 6K

e) 4K/3

34) En la figura, un disco giro con una velocidad angular|w ⃗⃗⃗ |; la magnitud de la velocidad tangencial en m/s en el punto A, es:

a) 40 b) 30 c) 20 d) 10

𝑤 ⃗⃗

e) Ninguna de las anteriores.

R

A 26) Cilindro que posee una lavadora de secado centrífugo, realiza 60 vueltas en 15 segundos. Hallar su velocidad angular en rad/s. (π = 3) a) 24

b) 12

c) 4

⃗𝐴 𝑉

d) 12

x

B

R=20 cm𝐵 | = 10 𝑚/𝑠 |𝑣 x=8 cm

⃗𝐵 𝑉

a)6 b)7 c)5 d)4 e)8

27) El espacio recorrido por un móvil (en km) cuyo gráfico (v-t) es el de la figura, es:

a) 1.60

35) Una partícula realiza un movimiento circular uniformemente acelerado con aceleración tangencial de módulo at = 2 m/s2. Si la magnitud de la aceleración normal en el instante t = 0 s fue de 1 m/s2, halle la magnitud (en m/s2) de la aceleración normal, cuando el desplazamiento angular sea de 3 radianes. a) 9

b) 2.65

b) 10

c) 11

d) 12

e) 13

36) El disco A gira con una frecuencia de 1200 rpm. Determine la rapidez del punto “P” (en m/s) que se encuentra a 12 cm del centro (radio de los discos A y B son 12 y 20 cm respectivamente).

c) 0.80 d) 2.05 e) 2.15

a) 100 28) Un cuerpo da una vuelta en 22s. Si al recorrer 40cm de arco emplea 10 s ¿cuál es el radio de giro? (π = 22/7) (en cm) a) 14

b) 12

c) 10

d) 15

b) 40 c) 120 d) 160 e) 80

A

B

P

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 23

5.1. DINÁMICA Es parte de la mecánica que estudia la relación entre la fuerza y el movimiento. La dinámica se basa en las tres leyes de Newton; Fue Sir Isaac Newton quién formula las leyes que llevan su nombre y que son la base de la mecánica.

 I

IMPULSO: ( ) Es una magnitud vectorial que aplicado a un cuerpo hace que éste experimente algún cambio en su movimiento. O sea nos indica el grado de efectividad que posee una fuerza para poner en movimiento o para detener a un cuerpo, en un intervalo de tiempo definido.





Matemáticamente: I  F  t Unidades: N s  CANTIDAD DE MOVIMIENTO ( p ) o Momentum lineal. Es una magnitud vectorial cuya transmisión es instantánea y se hace por vía del impulso. Se define como el producto de la masa por su velocidad.

  p  mv

La cantidad de movimiento es la medida del movimiento mecánico y el impulso es la medida de su variación. TEOREMA DEL IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO: Si



       v  v 0  mv  mv 0  F  ma  m  t  t        F  t  mv  m v 0  I  p  p 0

Finalmente:

  I  p

“Si sobre un cuerpo o sistema de partículas actúa un impulso externo, este tendrá un valor igual al cambio producido en la cantidad de movimiento del cuerpo o sistema” PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO: Sí si

     F t  p  F t  p final  pinicial ;

  F 0 

  p final  pinicial

“La Cantidad de Movimiento total del sistema no puede modificarse, si no ejercen fuerzas exteriores sobre dicho sistema”. LEYES DE NEWTON 1era LEY DE NEWTON (Ley de la Inercia) “Un cuerpo de masa constante permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme , a menos que sobre ella actúe una fuerza”. 2da LEY DE NEWTON: “Siempre que una fuerza no equilibrada actúa sobre un cuerpo produce una aceleración en dirección de la fuerza que es directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa del cuerpo”

  FR  m a ;

3era

Si “m” es constante.

LEY DE NEWTON (Ley de Acción y Reacción): “Si un cuerpo le aplica una fuerza a otro (acción); entonces el otro le aplica una fuerza igual y en sentido contrario al primero (reacción)”. FUERZA: Es una magnitud vectorial que aparece por interacción de dos cuerpos y modifica el estado de reposo o movimiento de un cuerpo, además de generar deformaciones. La fuerza se define como la variación de la “Cantidad de Movimiento” respecto al tiempo. UNIDAD: En el S. I.: Newton = N TIPOS DE FUERZAS: a) FUERZAS DE CONTACTO: Son del tipo electromagnético y se producen por el contacto físico entre dos o más cuerpos. b) FUERZAS DE CAMPO: Es aquella fuerza donde no interviene el contacto físico entre los cuerpos, pero que actúan a través del espacio, a dicho espacio se le denomina campo. CLASIFICACIÓN DE LAS FUERZAS RESPECTO A SU POSICION: 1.- FUERZAS EXTERNAS: Son aquellas que se presentan en la superficie de los cuerpos que interactúan. Ejm. El peso, la reacción, fuerza de rozamiento, etc. 2.- FUERZAS INTERNAS: Son las que mantienen juntas las partículas que forman un sólido rígido. Ejm la fuerza de tensión, la fuerza de compresión, la fuerza elástica. FUERZA DE ROZAMIENTO O FRICCIÓN: Es aquella fuerza que surge entre dos cuerpos cuando uno trata de moverse con respecto al otro, ésta fuerza siempre es contraria al movimiento o posible movimiento, o sea se oponen al movimiento relativo entre dos superficies y tienen origen en la adherencia y en las irregularidades de sus superficies. CLASES DE ROZAMIENTO: a) POR DESLIZAMIENTO: Cuando un cuerpo se desliza o trata de deslizarse sobre otro. b) POR RODADURA: Si un sólido rueda sobre otro sólido. c) POR VISCOSIDAD: En los líquidos o gases.

24 | C E P R U 2 0 1 5 CLASES DE ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO: a)

ROZAMIENTO ESTÁTICO ( fs ): Es la que se presenta en las superficies que están en reposo. El valor de la fuerza de rozamiento estático varía desde cero hasta un valor máximo, el cual lo adquiere cuando el cuerpo en contacto está a punto de moverse, pero sin conseguirlo (inminente movimiento).

f s  s N

b)

ROZAMIENTO CINÉTICO ( fk ): Es aquella que se presenta cuando hay movimiento de un cuerpo respecto al otro. Cuando el cuerpo tiene movimiento propiamente dicho, el valor de la fuerza de rozamiento disminuye y permanece casi constante, si es que la velocidad no es muy grande. (entre 0,01 m/s y 20 m/s).

f k  k N

 s = Coeficiente de

 k = Coeficiente de

rozamiento estático. N = fuerza normal.

rozamiento cinético.

LEYES DEL ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO: 1.- Las fuerzas de rozamiento es independiente del área de las superficies de contacto. 2.- La fuerza de rozamiento es independiente de la velocidad del cuerpo en movimiento, si su velocidad no es muy grande. 3.- El valor del coeficiente de rozamiento depende del tipo de materiales de las superficies de contacto. 4.- El coeficiente cinético siempre es menor que el coeficiente estático.

0  k  s  1

MASA ( m ): Es una magnitud escalar que mide la inercia de un cuerpo. Sin embargo la inercia de un cuerpo está en función a la cantidad de materia por lo que también podemos afirmar que “Masa es la cantidad de materia que tiene un cuerpo” Unidad: En el S.I. es el kilogramo = kg PESO ( w ): Es la fuerza gravitatoria con la cual un cuerpo celeste ( en nuestro caso la Tierra ) atrae a otro, relativamente cercano a él. DIFERENCIAS ENTRE MASA Y PESO. MASA Es la inercia del cuerpo Magnitud escalar Se mide con balanza Unidades: kg, g, lb

PESO Es la fuerza que hace caer al cuerpo Magnitud vectorial Se mide con dinamómetro

Sufre aceleraciones No depende de la latitud y de la altura

Produce aceleraciones Depende de la altitud y de la altura

Unidades: N, dina,

kg

5.2. DINÁMICA CIRCULAR. Es la parte de la Mecánica que estudia las condiciones que deben cumplir una o más fuerzas, para que un determinado cuerpo se encuentre en movimiento circular.



FUERZA CENTRÍPETA ( Fc ) : Es la resultante de todas las fuerzas radiales que actúan sobre un cuerpo en movimiento circular y viene a ser la responsable de obligar a dicho cuerpo a que su velocidad cambie continuamente de dirección, dando   origen a la aceleración centrípeta. Fc  mac Donde:

n   Fc   Firadiales

;

i 1



F

radiales





ac 

v2  2R R



 F  F van al centro

FUERZA TANGENCIAL (

salendel centro

 Ft ):

  Ft  mat

5.3. INTERACCION GRAVITACIONAL La fuerza entre el Sol y los planetas o entre la Tierra y los cuerpos próximos a su superficie son manifestaciones de una propiedad intrínseca de la materia. Para describir el movimiento planetario se desarrollaron teorías: 1.- TEORIA GEOCENTRICA: Fue enunciado por Claudio Ptolomeo quien sostenía que todos los cuerpos celestes giraban alrededor de la Tierra describiendo órbitas circulares. Es decir se consideraba a la Tierra como el centro del Universo. 2.- TEORIA HELIOCENTRICA: Fue enunciada por Nicolás Copérnico, quien sostenía que eran los planetas los que giraban alrededor del Sol describiendo órbitas circulares. Años más tarde esta teoría fue apoyada por Galileo Galilei, quien utilizando su telescopio rudimentario también llegó a la conclusión que los planetas giraban alrededor del Sol. 3.- TEORIA ACTUAL: Johannes Kepler, basado en las mediciones de su profesor Tycho Brahe, formuló las siguientes leyes: a)

LEY DE LAS ORBITAS: Los planetas giran alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas y el Sol ocupa uno de los focos.

b)

LEY DE LAS AREAS: El área barrida por el radio vector que une el Sol con un planeta es la misma para tiempos iguales.

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 25

Si

t AB  t CD ; se cumple : A1  A2

c)

LEY DE LOS PERIODOS: Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de sus distancias

medias al Sol.

T 2  kRM3 ; Radio medio: RM ; RM  R  r

2 T12 T22   k  cons tan te RM3 1 RM3 2

K es una constante; entonces:

LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL: “Dos partículas cualesquiera en el universo, se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros”.

F

G M1 M 2 ; d2

Donde:

G  6,67  10 11

N m2 kg 2

CAMPO GRAVITATORIO: Es la región del espacio que deja sentir su efecto de atracción. INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO (

 g

rodea a la masa M donde

): Es una magnitud vectorial. Se define:

  F g m0

… (1)

UNIDADES: N  m 2

kg s Si F  G M m 0 ; ………….. ( 2 ) d2 ( 2 ) en ( 1 ), se tiene:

g G

M d2

Aceleración de la gravedad. ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD EN LA SUPERFICIE DE UN PLANETA DE RADIO R:

gS  G

m ………….. ( 3 ) R2

VARIACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD CON LA ALTURA:

g G

M  R   gs   2 ( R  h) Rh

2

EJERCICIOS

1)

Calcular la aceleración de los cuerpos m1 y m2 y las tensiones de las cuerdas

a) 4 N 4)

(m1 = m2 = 10 kg; mpolea = 0).

a) 20N y 40N b) 30N y 50N

d) 50N y 70N e) 60N y 80N El sistema de la siguiente figura parte del reposo en la posición mostrada. La aceleración con que se mueve el sistema es:

5)

g  10 m / s 2 a) 2m / s 2

3)

Un cuerpo de 2 kg de masa desciende por un plano inclinado en 37º cuya longitud es 2 m. Si el tiempo empleado en llegar desde el extremo superior a la base del plano es 1 segundo, hallar la fuerza de fricción sobre el cuerpo. ( g = 10 m/s2).

d) 7 N

e) 1 N

En un laboratorio de mecánica; a diversos bloques con diferentes masas que se encuentran sobre una superficie horizontal lisa; se les aplica una misma fuerza a cada una de ellas, resultando la gráfica adjunta para las aceleraciones medidas. Hallar el valor de m.

Cuando una moneda se lanza horizontalmente con 5 m/s sobre una mesa recorre 5 m hasta detenerse, halle el coeficiente de rozamiento cinético entre la moneda y la mesa. a) 0; 15 b) 0; 25

2

b) 1m / s c) 3m / s 2 d) 5m / s 2 e) 4m / s 2

c) 6 N

a) 0,75 kg b) 1kg c) 0,50 kg d) 0,45 kg e) 0,95 kg

c) 40N y 60N

2)

b) 5 N

6)

c) 0; 35 d) 0; 45 e) 0,55

Los bloques A y B se encuentran en equilibrio en la posición mostrada. Si se retira lentamente el bloque A de peso 20 N. ¿Qué distancia ascenderá el bloque B? k = 100 N/m a) 20 cm b) 10 cm c) 30 cm d) 35 cm e) 25 cm

26 | C E P R U 2 0 1 5 7)

Un bloque de 20 kg de masa es abandonada desde una altura h = 5 m, cayendo sobre una balanza de resorte. Si el impacto duró 0,2 segundos. ¿Cuál es la lectura de la balanza? a)1200N b)1400N c)1000N d) 1500 N e) 1600 N

8)

Calcule la aceleración con que sube verticalmente una nave espacial cerca de la superficie lunar cuando sus propulsores le proporcionan una fuerza con la cual cerca de la superficie terrestre se mantendría suspendida en el aire. La aceleración de gravedad terrestre es 6 veces mayor que la lunar (

a) 9)

gL

)

6g L

c) 12 y 8,5 d) 10 y 7 e) 15 y 8,5 15) Dos bloques están unidos por una cuerda que contiene un resorte de rigidez k = 700N/m. si no es considerable la fricción y el sistema tiene aceleración constante, hállese el estiramiento del resorte, en cm. (g=10m/s2) a) 1 b) 5

b)

5g L

3g L

c)

4g L

d)

e)

Despreciando el peso de las poleas, calcular el valor de “F” tal que el bloque de 400N descienda acelerando a razón de 2 m/s2. (g = 10m/s2)

d) 15

175 N

53º

e) 20

16) Las poleas tienen masas “m” y están libres de fricción. ¿Qué masa deberá tener el bloque “A” para estar en reposo?

a) 230N

F

b) 160

50N

c) 10

2g L

a) 11/3m

c) 80

b) 7/3m

d) 40

c) 5/3m

e) 23

10) El diagrama muestra el instante en que una cadena homogénea y uniforme de longitud “4a” es dejada libre en una pequeña polea lisa. Halle la aceleración de la cadena en dicho instante, en m/s2. a) 1,9 b) 2,9

A

e) 4m

2m

m

17) Dos bloques de 2 kg cada uno se arreglan del modo en que se muestra en el diagrama, si hay carencia de fricción y la polea móvil es de poco peso halle la aceleración (m/s2) del bloque “A” cuando F = 20N a) 1

a

c) 3,9

d) 3m

b) 2

3a

d) 4,9

c) 3

e) 5,9 11) Despreciando las fricciones y la inercia de las poleas. ¿Cuál es la aceleración (m/s2) que adquiere el sistema al ser dejado libre? m = 4kg; M = 8kg . (g=10m/s2) a) 2,33

F A

B

d) 4 e) 5 18) Se muestra la rotación vertical de una masa de 4 kg atada a una cuerda de 2m de longitud, halle la tensión en el lugar mostrado si en ese momento la velocidad es 2 5 m/s.

b) 3,33

a) 25N

c) 4,33

m

b) 30

d) 5,33

c) 35

e) 6,33

d) 40 12) Menospreciando las fricciones por deslizamiento y considerando que las partículas son idénticas relacione las aceleraciones a1/a2: a) 1/3

a1

b) 1/2

a2

c) ¼

c) 4 rad/s

e) 3/2

d) 2 rad/s

13) En un planeta el día dura 4 horas y el radio es 1296km. ¿Cuánto menos pesará un cuerpo de 10 kg en el ecuador con respecto al peso en el polo del mencionado planeta? b) 0,25

c) 2,5

d) 0,03

e) 0,3

14) Si la fuerza de fricción que actúa sobre cada bloque de 3kg es la misma y el sistema acelera con 0,5 m/s2, entonces la tensión en la cuerda que une los bloques y la fricción que actúa sobre el sistema es (en N) respectivamente: (F = 20N) a) 10 y 17 b) 8 y 13

a) 5 rad/s b) 3 rad/s

d) 2/3

a) 0,025N

e) 45 19) El péndulo cónico de la figura tiene una longitud de 50 cm y al girar la cuerda forma con la vertical un ángulo de 37º ¿Cuál es la velocidad angular de la bolita?

F

e) 6 rad/s 20) Las leyes que describen el movimiento de los planetas alrededor del sol, son: a) Leyes de Isaac Newton b) Leyes de Nicolas Copernico c) leyes de Tycho Brahe d) Leyes de Albert Einstein e) Leyes de Johannes Kepler

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 27

6.1. ESTÁTICA: La estática fundamentalmente está basada en la primera ley de Newton la cual establece: “Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme, a menos que sobre él actúe una fuerza no equilibrada” y la tercera ley de Newton (principio de acción y de reacción) FUERZA (𝐹 ) Es todo ente capaz de modificar el estado de equilibrio de un cuerpo, las cuales producen una serie de efectos cuando actúan sobre dicho cuerpo; entre los efectos que producen son: de traslación, de compresión y de rotación de los cuerpos, además la fuerza es una magnitud física vectorial. UNIDADES En el sistema internacional la fuerza se mide en Newton. [𝐹 ] = kg m/s2 = Newton = N COMPOSICION DE UN SISTEMA DE FUERZAS a) COMPOSICION DE FUERZAS CONCURRENTES Se dice que dos o más fuerzas son concurrentes cuando sus líneas de acción se interceptan en un solo punto.

     FR  F1  F2  F3  ...............  Fn

Z

  FR   Fi

Y X b) COMPOSICION DE FUERZAS PARALELAS Las fuerzas paralelas pueden ser o no del mismo sentido. La resultante de estas fuerzas debe tener una línea de acción paralela a las fuerzas dadas. 









FR  F1  F2  F3  F4

 6.2. MOMENTO O TORQUE DE UNA FUERZA (



)

Un cuerpo al ser sometido a la acción de una fuerza puede presentar los siguientes casos: Se mantienen en reposo, se traslada o rota.



d

A la tendencia de la fuerza de hacer girar con respecto a un punto se denomina momento o torque de una fuerza; y es perpendicular al plano formado por, el vector fuerza y el vector posición. 𝜏 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀0 = 𝑟 × 𝐹 El módulo del momento o torque de una fuerza. De la fig.

𝑠𝑒𝑛𝛼 =

𝑑 𝑟

|𝜏| = |𝑟 × 𝐹 | = |𝑟||𝐹 |𝑠𝑒𝑛𝛼

⟹ 𝑑 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝛼∴|𝜏| = 𝐹𝑑

UNIDADES En el sistema internacional de unidades:

[𝜏] =m N

Signos convencionales del momento o torque

+

Antihorario

-

Horario

MOMENTO O TORQUE DE UN SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES. 

Sean las fuerzas







F1 , F2 , F3 , ..., Fn , fuerzas concurrentes que tienen un punto de aplicación común sobre un cuerpo,

entonces el momento o torque que produce cada una de las fuerzas está dada por: 





 R  r x FR 





Z 





 R  r x ( F1 , F2 , F3 , ......... Fn ) 





R

  i

0 X

Y

28 | C E P R U 2 0 1 5 TEOREMA DE VARIGNON Establece lo siguiente: “El momento resultante de un sistema de fuerzas concurrentes con respecto a un punto es igual a la suma de los momentos de las fuerzas componentes respecto al mismo punto”. MOMENTO O TORQUE DE UN SISTEMA DE FUERZAS PARALELAS

 Sean las fuerzas







F1, F2 , F3 , ....................... Fn , fuerzas no concurrentes, el momento o torque que produce cada

una de las fuerzas respecto al punto “o” es. 













 R  r 1 x F1  r 2 x F2  ...  r n x Fn 





 R   r i x Fi

Z

o

Y

X PAR O CUPLA Es un sistema de dos fuerzas iguales paralelas y de sentidos opuestos como se muestra en la figura.







F R  F1  F 2



tal que

 



F 2   F1 F R  0

Z

MOMENTO DEL PAR. El momento de un par o cupla respecto al “o” está definido por: 𝜏𝑃 = 𝐹𝑑

0 6.3. EQUILIBRIO

Y

X

Un cuerpo cualesquiera se encuentra en equilibrio cuando carece de todo tipo de aceleración. EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA

Dado que sobre una partícula solo pueden actuar fuerzas concurrentes no existe momentos o torques que actúen sobre la partícula; la condición necesaria para que una partícula se encuentre en equilibrio es que la suma vectorial de las fuerzas deben ser iguales a cero.







Fi  0

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO Un cuerpo rígido es un sólido idealizado cuyas dimensiones y formas permanecen fijas e inalterables cuando se aplican fuerzas externas. En un sentido estricto un cuerpo rígido es aquel en el que dos puntos cualesquiera no cambian de posición relativa, ni varía la distancia entre ellas bajo la acción de fuerzas externas, en la práctica no existen cuerpos rígidos absolutos. Un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio cuando cumple las siguientes condiciones.

1. PRIMERA CONDICION (Condición necesaria) Establece lo siguiente “La suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo deben ser iguales a cero”





 Fi  0

2. SEGUNDA CONDICIÓN (Condición suficiente) Establece lo siguiente “La suma vectorial de los momentos o torques deben ser iguales a cero”







i  0

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE 

DIAGRAMA DE UN CUERPO LIBRE ( D C L ) Es una representación esquemática del cuerpo aislado en la que figuran fuerzas internas y externas que interactúan sobre dicho cuerpo



A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 29 Diversas reacciones en sistemas estáticos

Denominación

Detalle

Diagrama

Apoyo de rodillo

Ry

Ax

Apoyo simple o pasador

Ay Rugoso Ax

A

Ay

Superficie lisa y rugosa

Liso B

By

N Plano inclinado liso

mg cos 

m gse n





mg Fc : Fuerza de contacto

Fc

Fc

Bx

Cuña

Ax Wc

Wb

. EJERCICIOS 1)

Sobre un cuerpo actúa las fuerzas F1 = (4i – 2j) N, F2 = (-3i - j) N y F3. Si el movimiento del cuerpo es trayectoria rectilínea con rapidez constante. El módulo de la fuerza F3 (en N),es

a)

10

2)

b)

c)

13

Muestre el diagrama perfectamente pulidos.

d) 4

15 de

los

4)

El diagrama, halle la tensión “T” despreciando el peso de las cuerdas.

37 º T

e) 6

cuerpos

libres

5)

En la figura mostrada la masa del bloque es de 8kg. En equilibrio. Sabiendo que las poleas tienen peso despreciable, determinar la magnitud de la fuerza “F” (g = 10 m/s2). a) 5N

3)

Para la carga de 50N suspendida y en reposo, halle la tensión “T”

b) 10N c) 15N d) 20N

53º

e) N. A.

T

53º

F

30 | C E P R U 2 0 1 5 5)

En la figura mostrada la masa del bloque es de 8kg. En equilibrio. Sabiendo que las poleas tienen peso despreciable, determinar la magnitud de la fuerza “F” (g = 10 m/s2).

12) La cuerda y la polea mostrada se comportan idealmente. El sistema se encuentra en equilibrio, si m1 = 2 kg. Entonces m2 es (en kg).

a) 5N b) 10N c) 15N d) 20N

m2

F

e) N. A.

m1 6)

En el sistema mostrado en equilibrio, calcular la tensión en la cuerda AB, si cada esfera pesa 10N

A

a) 5N b) 10N

B

c) 15N d) 20N e) N.A. 7)

El módulo de la fuerza F es de 300N. Expresarla en función de los vectores unitarios i y j y determinar sus componentes escalares.

13) En la figura el número de fuerzas que actúan sobre el bloque A son:  a) 2 F1 A b) 3 B c) 4  d) 5 F2 e) N. A. 14) Determinar la fuerza horizontal P. que será necesario aplicar al centro C de un rodillo de peso Q y radio “a”, para hacerlo pasar por encima de un obstáculo “D” de altura h.

P

y

C

h D 15) Si el sistema mostrado esta en equilibrio, y m1 = 4 N. Encontrar el valor de m2 – m3

x

30 º

2

F 8)

El módulo de la fuerza F es de 500N Expresarla en función de los vectores unitarios i y j y determinar sus componentes escalares. y

45 º

1

37 º

3

F 2

60 º

9)

x

En la figura se indica la pendiente de la fuerza F de 800N. Expresarla en función de sus vectores unitarios i y y j.

16)

Sabiendo que la tensión en la cuerda es de 120N, ¿Cuál es el valor de “m”? (no hay rozamiento) a) 24 kg b) 20 kg c) 18 kg

e) 12 kg

3 4

F

La recta soporte de la fuerza F de 600N pasa por los puntos A (-2; 1) y B (3; 3) tal como indica en la figura. Hallar las componentes escalares x e y de F.

y

17) Si no existe rozamiento y m = 9 kg, calcular la tensión en la cuerda. a) 54 N

c) 48 N

B

m

d) 40 N

A

x

Hallar la resultante de las cinco fuerzas y su momento mostrados en la figura. Cada pequeño cuadrado es de 1m de lado.

e) 36 N

35 N 30 N 20 N 15 N

a) D b) E c) F d) G e) C

x

37 º



18) Una escalera homogénea de peso P que se encuentra apoyada sobre un muro liso y un piso rugoso, se halla en equilibrio; indicar el punto de convergencia de las fuerzas en equilibrio.

y

40 N

37 º

b) 50 N

F

11)

m

d) 16 kg

x 10)

37 º

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 31 19) Si se tiene las fuerzas que muestra la figura en

   R 3  XYZ ; hallar F1  2 F2  F3

en newtones.

a)

80 Nm

Las unidades de la figura representan las unidades tanto de fuerzas en newtones como de distancia en metros.

b)

60 Nm

c)

50 Nm

d)

70 Nm

e)

N.A

⃗ , cuyo punto de 24) Si la fuerza 𝐹 = 3𝑖 + 4𝑗 + 3𝑘 ⃗ con respecto al aplicación es: 𝑟 = −3𝑖 + 2𝑗 + 𝑘 origen del sistema de coordenadas el momento, es.

a)

189

b)

101

c)

d)

303

99

e)

404

20) Un bloque de 120N de peso se encuentra en equilibrio sobre un plano liso, tal como indica la figura. Determine la fuerza de reacción del plano y la tensión en la cuerda.

⃗ a) 10𝑖 − 12𝑗 − 18𝑘

⃗ b) 10𝑖 + 12𝑗 − 18𝑘

⃗ c) 2𝑖 + 12𝑗 − 18𝑘

⃗ d) 2𝑖 − 12𝑗 + 18𝑘

⃗ e) −2𝑖 − 12𝑗 − 18𝑘 25) El sistema se encuentra en equilibrio. Si la barra es homogénea, ¿Cuál es el peso de la barra? a) 100N b) 200N c) 300N d) 400N e) N.A.

a)35N y 24N b) 36N y 96N c) 20N y 40N d) 72N y 46N e) 72N y 96N

100 N

26) Una barra rígida doblada en L de 25cm de longitud se mantiene en equilibrio. Determinar “X” en centímetros.

x

21) Sobre la placa rectangular de la figura, actúa el sistema de fuerzas cooplanares que se muestra. ¿Cuál de los siguientes vectores representa mejor la dirección de la resultante?

5cm

27) Una fuerza



 F

actúa sobre un tablón homogéneo

de peso P que se halla apoyado como muestra la figura; hallar la reacción en el apoyo B.

a)

b)

c)

d)

P e) 1 1 a) 1 F  P b) 3 c) 1 d) 3 FP F F P FP 4 2 4 2 2 2 4 4

e)

22) Siendo las superficies lisas, se requiere calcular las reacciones en A y B para el equilibrio. La esfera pesa 60 N; F = 30 N

28) Hallar el momento resultante respecto al punto A del sistema de fuerzas que actúan sobre la placa rectangular rígida ABCD, donde AB = 4m y BC = 3m

a) 50 N y 100 N

A

b) 40 N y 80 N

F

c) 100 N y 50 N

37 º

d) 80 N y 40 N

B

23) Hallar el momento de las fuerzas que actúan sobre el elemento estructural con respecto al punto A.

60 N

3m

a)

24iˆmN

b)

72 ˆjmN

c)

48 kˆmN

d)

 24 ˆjmN

e)

 48 kˆmN

10 N

2m

A

4m

50 N

32 | C E P R U 2 0 1 5

Trabajo: Es una magnitud física escalar, que se define como el producto escalar de la fuerza (quien realiza trabajo) aplicada y el vector desplazamiento r. es decir: 𝑊 =𝑭∙𝒓 Se mide en Joules (J). Siendo: F: vector fuerza; r: vector desplazamiento Trabajo realizado por una fuerza constante El trabajo realizado por una fuerza constante sobre un cuerpo que se mueve por una línea recta, es igual al producto del módulo de la componente tangencial de la fuerza, (paralela al camino recorrido) por la distancia. 𝑊 = 𝐹𝑇 𝑑 Siendo: d: distancia; FT: fuerza tangencial Potencia: En muchas situaciones de interés practico, el tiempo que se necesita para realizar un trabajo es tan importante como la cantidad de trabajo efectuado es decir la potencia indica el mayor o menor poder con el que una maquina puede realizar trabajo. Concepto de Potencia.- Es aquella magnitud escalar que nos indica la rapidez con la que se puede realizar trabajo. También se dice que la potencia es el trabajo realizado por unidad de tiempo.

trabajo W F .d    FV tiempo t t

P P: potencia;

W: trabajo;

t: tiempo;

F: fuerza

d : distancia;

V : velocidad

Unidad en S. I. 1Watt = 1 Joule / Segundo Equivalencia 1 Kw.=1000Watts; 1CV = 735 watt. Observaciones 1. Si: potencia total 0 entonces el cuerpo se mueve acelerado 2. Si: potencia total  0 entonces el cuerpo se mueve retardadamente. 3. Las fuerzas normales no desarrollan potencia. Energía Cinética: Es la energía que posee la partícula en virtud de su movimiento, se define por: 𝐸𝑐 = 𝑚𝑣 2 /2 Siendo: m: masa; v: velocidad Energía Potencial: Es la energía que posee un cuerpo, en virtud de su posición 𝐸𝑝𝑔 = 𝑚𝑔ℎ Siendo: h: altura (m); g: intensidad de campo gravitacional; m: masa Energía potencial Elástico (Ee): Esta energía se da en los cuerpos deformables y está sujeto al estiramiento que experimenta un resorte.

E PE 

A

1 k x2 2

Donde la energía se mide en Joule en el S.I. Siendo K la constante de elasticidad del resorte, “x” la deformación del resorte. Energía Mecánica Total (EM) Es la suma de todas las energías mecánicas presentes en un sistema y se determina mediante la siguiente ecuación

E M  E pg  EC  E PE Fuerzas Conservativas.- Son las fuerzas que cuyo trabajo no depende de la trayectoria seguida por el punto de aplicación ni de tipo de movimiento. Esto es que su trabajo solo depende de la posición inicial y final del punto de aplicación, es decir de las disposiciones de las partes del cuerpo o sistema. Nota: 

El trabajo realizado por las fuerzas conservativas en trayectoria cerrada es nulo.



En mecánica tenemos dos fuerzas conservativas: fuerza elástica y gravitatoria.

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 33 Entre las fuerzas no conservativas tenemos las fuerzas disípativas, son aquellas cuyo trabajo total, cualesquiera que sea la trayectoria, siempre negativo, por ejemplo fuerza de rozamiento, y los de resistencia al movimiento cuerpos en los líquidos y gases.



Sistemas Conservativos y no conservativos. Un sistema mecánico (sistema de punto material) se llama conservativo, si en el todas las fuerzas internas y externas son conservativas. Los sistemas que no satisfacen las condiciones indicadas se dice que son no conservativos. Teorema del Trabajo y la Energía Mecánica La variación de la energía mecánica es igual al trabajo desarrollado por las fuerzas no conservativas. Se da cuando las fuerzas son de oposición o de fricción

W  E M  E Mf  E Mi Teorema del Trabajo y la Energía Cinética El cambio de energía cinética que experimenta un cuerpo es igual al trabajo desarrollado por la fuerza tangencial lineal.

Wneto  Ecinetica  ECf  ECi Teorema del Trabajo y la Energía potencial. El cambio de energía potencial que experimenta un cuerpo es igual al trabajo desarrollado.

Wneto  E potencial  E Pf  E Pi Teorema de la Conservación de la Energía Mecánica La energía mecánica final es igual a la energía mecánica inicial si y solo si el trabajo de las fuerzas externas como el rozamiento, la resistencia del aire, etc. Sean igual a cero.

E M inicial  E Mfinal

EJERCICIOS

1. Un cuerpo de masa "m" es soltada en "A" si su velocidad en "B" es de 6 m/s y no existe fricción. Hallar la máxima velocidad que puede adquirir la masa "m". a)

10 m/s

b) 2

10 m/s

c) 3

10 m/s

4. Si el bloque de 5 kg se suelta en "A" y se desplaza por las superficies inclinada y horizontal lisas, determine la máxima deformación que experimenta el resorte. (K = 1 kN/m) a) 70 cm b) 50 cm c) 35 cm d) 30 cm e) 25 cm

d) 3 m/s e) 5 m/s 2. En la figura, un bloque es lanzado de "A" con una

4 gr

velocidad de . ¿Hasta qué altura vertical desde su lanzamiento, sube el bloque sin desprenderse de la vía sin fricción?

5. En la figura la esfera de 1 kg comprime al resorte de rigidez K = 400 N/m por acción de la fuerza F = 200 N. Al dejar de actuar F, ¿Cuál será la energía cinética de la esfera al pasar por B?; (desprecie la fricción).

a) 2r

a) 10 J b) 20 J

b) 5r/3

c) 30 J

c) 2r/3

d) 40 J

d) 4r/5

e) 50 J

e) r/5 3. Si dejamos de aplicar la fuerza F=20 N, el bloque de 2 kg que inicialmente estaba en equilibrio, es jalado por el resorte (K=100 N/m). Hallar la energía cinética del bloque, en el instante que deja de acelerar. No hay fricción (g = 10 m/s2) a) 2 J b) 4 J c) 5 J d) 8 J e) 10 J

6. La esfera lisa ingresa a un tubo de 15 m que ha sido doblado tal como se muestra. Cuando la esfera esté a 2 m por encima del extremo A, tiene una rapidez que es la mitad de la que tuvo cuando ingreso al tubo. ¿Con qué rapidez ingresó? (g= 10 m/s2) a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s d) 40 m/s e) 25 m/s

34 | C E P R U 2 0 1 5 7. Un bloque de 80N. Se desplaza por acción de la fuerza “F” de 50N. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el piso horizontal es 0,2. Determinar el trabajo realizado por “F” al cabo de 4s., si el cuerpo parte del reposo. (g = 10m/s2).

a) 60 d) 56

F

b) 720 e) 540

c) 900

8. Una esfera hueca que por su interior pasa un tubo liso, es dejada en libertad en A tal como se muestra. Determine su rapidez con la cual llega a impactar al piso. Desprecie la resistencia del aire (g = 10 m/s2)

a)

6 m/s

b)

8 m/s

c)

10 m/s

d)

12 m/s

e)

14 m/s

b) 40 e) 34,2

c) 48

14. El collarín liso de 2 kg es soltado en la posición mostrada, cuando el resorte de rigidez K = 240 N/m, se encuentra sin deformar; determine cuantos centímetros como máximo desciende el collarín; (g = 10 m/s2)

37º

a) 360 d) 180

13. Un bloque de 1Kg. es arrastrado 10m. sobre una superficie horizontal bajo la acción de una fuerza “F”. Si el coeficiente de rozamiento cinético es de 0,4 y el bloque acelera a razón de 2m/s2, determinar el trabajo realizado por “F”. ( g = 10 m/s2 )

a) 0,5 m b) 0,4 m c) 0,3 m d) 0,2 m e) 0,1 m

15. Determine con que rapidez pasa el bloque de 1 kg por el punto A, sabiendo que la deformación máxima del resorte es de 0,4 m, (K = 1000 N/m; g = 10 m/s2). a) 5 m/s b) 8 m/s c) 10 m/s

9. La esfera pasa por A con una rapidez de 2 10m / s . Determine la altura máxima respecto de B luego de pasar por dicho punto (g = 10m/s2)

d) 15 m/s e) 16 m/s

a) 1,3 m b) 4,2 m c) 6,2 m

16. Si se suelta la esfera de 2 kg en la posición que se indica, ¿qué tensión soporta la cuerda cuando está vertical? (g = 10 m/s2).

d) 3,4 m e) 3,2 m 10. Determine la máxima deformación que experimenta el resorte de rigidez 4200 N/m, si la esfera de 0.5 kg ingresa al agujero liso con 0.5 m/s. (g = 10 m/s2) a) 1,5 cm b) 2 cm c) 2,5 cm d) 3 cm e) 3,5 cm 11. Sobre la parte superior de un resorte sin deformar, se deja suavemente una esfera de 1 kg. Determine la máxima deformación del resorte de K = 400 N/m. (g = 10m/s2) a) 2 cm b) 4 cm

a) 30 N b) 40 N c) 60 N d) 80 N e) 100 N 17. Un bloque pequeño desliza por la vía sin rozamiento, tal como se indica. Si el bloque desciende a partir de A, ¿cuál es el módulo de la fuerza que ejerce la vía sobre el bloque en B? a) 2 mg b) 3 mg c) 4 mg d) 5 mg e) 6 mg

c) 5 cm d) 7 cm e) 9 cm

12. El eje vertical mostrado es liso. Calcular con que rapidez se debe lanzar el collarín de 2 kg para que el resorte (K = 1120 N/m) se comprima 0,5 m como máximo (g = 10 m/s2). a) 8 m/s b) 10 m/s c) 12 m/s d) 13 m/s e) 15 m/s

18. Una esfera de 1 kg está suspendida de una cuerda de 1 m. de longitud. Si golpeamos a la esfera, esta adquiere una rapidez de 6 m/s; para luego describir un arco de circunferencia vertical. Determinar el módulo de la tensión para el instante en que la esfera pase por B. (g = 10 m/s2) a) 3 N

b)2 N

c) 1 N

d) 0 N e) 4N

19. Sobre un bloque de 10kg.que descansa en una pista horizontal de coeficiente de fricción 0,25; se aplica una fuerza de 300N tal que hace 37º con la horizontal. Determinar la potencia neta (en w) de deslizamiento y la eficiencia de traslación del bloque, si la fuerza actúa durante 4s. a) 5780 y 0,70 b) 6780 y 0,8 y 0,4 e) 1320 y 0,9

c) 7890 y 0,3

d) 2340

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 35 20. Un cuerpo de masa 2 kg se deja caer en el punto "A" de una superficie rugosa de coeficiente de rozamiento µk = 0,25. Hallar el trabajo neto realizado en el tramo AB sobre el bloque si el cuerpo se detiene a 1 m del punto "B". Considere que R = 30 cm

26. Una pequeña esfera de 500 g parte del reposo de A y se desliza por su superficie semiesférica lisa. Halle la reacción normal en el punto C si: g=10 m/s2.

a) 2 N b) 3 N

c) 4 N d) 6 N

e) 9 N

27. Un bloque de 20kg de masa se encuentra inicialmente en reposo y es levantada por un joven a través de una cuerda, jalándola con 400N. ¿Hallar el trabajo realizado por el Joven durante 4s? a) -0,98 j

b) -9,8 j c) +0,49 j

d) -4,9 j e) +4,9 j

21. Una bala disparada horizontalmente con una velocidad de 200 m/s penetra en un bloque de madera hasta una distancia de 20 cm. Suponiendo que la bala se dispara a una tabla de la misma madera de 5 cm de espesor y que la resistencia de la madera es constante, ¿cuál es la velocidad de la bala después de atravesar la plancha? Asumir que el bloque y la tabla permanecen fijos. a) 100 m/s b)120 m/s c)141 m/s d)150 m/s

e) 182 m/s

22. Una bala de 20 gramos atraviesa un bloque de madera de 10 cm. de espesor. Si la bala ingresa con la velocidad de 10 m/s y sale con 6 m/s. ¿Qué fuerza promedio ejerció la madera sobre la bala en su recorrido?. Despreciar las pérdidas por calentamiento. a) 64 N b) 6,4 N c) 0,64 N d) 640 N e) 6 400 N 23. Un objeto de 2 kg está sometidos a una fuerza "F" de dirección constante y se mueve a lo largo del eje x. El módulo de la fuerza varía con la posición "x" según la relación: F=100-2x donde "x" se expresa en metros y "F" en newton. Si el objeto parte del reposo en x = 0. ¿Cuál será la velocidad en x = 50 m? a) 40 m/s d) 60 m/s

b) 30 m/s e) 70 m/s

c) 50 m/s

c) 200J

d) 400J

e) 180J

a) 2

gL

d) 3

gL /3

b) 3

gL e) 7

c) 2

gL /3

gL

29. Un bloque de 4 kg es lanzado sobre una superficie rugosa. Determinar la energía cinética de dicho bloque cuando se han consumido 100 J de energía. (g = 10 m/s2)

2 m/s

b) 8 m/s

pase por la posición más alta con una rapidez de m/s (g = 10 m/s2).

2

a)5 m/s

2

b) 80J

28. Una cadena flexible e inextensible de longitud "L" está colocada sobre una polea sin fricción de tal modo que una parte de la cadena se encuentra suspendida en un lado con una longitud igual a "L/3". Hallar la velocidad con la cual abandona a la polea. La cadena es totalmente homogénea

a) 5

24. La esfera se encuentra atada a una cuerda de masa despreciable y 60 cm de longitud. ¿Qué velocidad se le debe dar en la parte más baja? para que la esfera

b)5

a) 100J

c) 5 m/s d) 6 m/s e) 7,5 m/s 30. Un bloque de 2 kg es lanzado sobre una superficie horizontal rugosa tal como se muestra. Determine la rapidez del bloque cuando pasa por B.

m/s

(g = 10 m/s2)

m/s

a) 3 m/s

c)8 m/s d)8 e)

2

b) 1 m/s

26 m/s

c) 4 m/s

25. Que trabajo debe realizar “ F” para que el bloque de 2kg.recorra 10m. partiendo del reposo con una aceleración de 200cm/s2. Si la masa de la polea es despreciable y el coeficiente de rozamiento es 0,4. (g = 10m/s2).

d) 5 m/s e) 2 m/s 31. En la figura, una partícula parte del reposo desde el punto “A”. Determine la altura “h”, sabiendo que la velocidad en el punto “C” es de 20m/s ,

F

a) 25m b) 10m c) 20m

a) 120

b) 150 c) 180

d) 60

e) 30

d) 30m e) 15m

g  10 m / s 2

36 | C E P R U 2 0 1 5

8.1. MECÁNICA DE FLUIDOS: Es la parte de la mecánica de fluidos que estudia el comportamiento y los efectos que originan los fluidos en reposo. En resumen vamos estudiar la aplicación de las leyes y principios de la mecánica estudiada, llamada mecánica de Newton, para lo cual hemos dividido el estudio en:

 Hidrostática.- Estudia a los líquidos en reposo.  Neumoestatica.- que estudia a los gases en reposo.  Hidrodinámica.- Que estudia a los fluidos en movimiento. 8.1 Presión.- concepto.- presión atmosférica.- presión hidrostática. Conceptos Previos Fluido.- Es toda sustancia capaz de fluir, en particular un líquido o un gas cualesquiera. Una de las propiedades más importantes es la de ejercer y transmitir presión en toda dirección. Los fluidos (líquidos y gases), son perfectos si rápidamente adoptan la forma del recipiente que los contiene y poseen gran movilidad, siendo perturbados por la mínima acción ejercida sobre ellos (en caso contrario se llaman Viscosos) Densidad.- es aquella magnitud escalar que nos indica la cantidad de masa que tiene un cuerpo por cada unidad de volumen. Cada sustancia (sólida, líquida o gaseosa) tiene su propia densidad, esto es:

Densidad 

Masa m   Volumen v

Su unidad en el S.I. de la densidad se expresa en kg/m3 Densidad relativa.- es la relación entre la densidad de un cuerpo y la densidad de otro que se toma como referencia. Para los sólidos y líquidos se toma como referencia la densidad del agua.

r = densidad relativa

r 

c = densidad del cuerpo H

2O

c H O 2

= densidad del agua

Densidad de algunos Materiales Líquido

Densidad de algunos sustancias

Densidad (k/m3)

Sustancia

Densidad (k/m3)

Benzol

1000

Aluminio

2600

Agua

1000

Hierro

7900

Glicerina

1200

Latón

8400

Aceite de Ricina

900

Helio

900

Kerosén

800

Cobre

8600

Mercurio

13600

Corcho

200

Alcohol

790

Plomo

11300

Plata

10500

Nota: la densidad relativa es adimensional es decir no tiene unidades.

Peso Específico.-llamada también gravedad específica, es el peso por unidad de volumen de un cuerpo, se determina por la relación entre el peso de unidad cuerpo y su volumen.

Peso Específico 

Peso w   Volumen v

Su unidad en el S. I.: es [N/m3] Relación del peso específico y la densidad

  g peso  gv

,y

m  v

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 37 Presión.-Es una magnitud física tensorial que expresa la distribución normal de la de la fuerza sobre una superficie. La magnitud tensorial implica que la presión tiene múltiple puntos de aplicación y manifestación normal sobre la superficie, que establece la diferencia con la magnitud vectorial. La presión se define como la magnitud de la fuerza perpendicular que actúa por cada unidad de área.

presión 

Fuerza Normal área

La unidad de presión en S. I., es: [P]=N/m2 = pascal (Pa)

 Si la fuerza es perpendicular  F

área

P

F A

 Si la fuerza es oblicua

área

 F F cos  P

F cos  A

Fsen La fuerza oblicua tiene dos componentes: La componente perpendicular es la que ejerce la presión. La componente paralela o tangencial no ejerce presión, generalmente son fuerzas de rozamiento. Observaciones:

 Fuerzas iguales pueden ejercer presione diferentes  Fuerzas diferentes pueden producir presiones iguales. Presión absoluta.- Presión manométrica. Presión atmosférica (po) Es la presión que ejerce el aire sobre la superficie terrestre. Si la tierra fuese perfectamente esférica, el valor de la presión atmosférica en la superficie seria la misma para todos los puntos; pero esto no es así, puesto que nuestro planeta tiene montañas y depresiones. 1atmósfera=76cmde Hg =1,033kgf/cm2 1Po=1, 01x105pa=1,01bar 1bar = 100kpa=105pa

Es la presión que ejerce un líquido sobre cualquier cuerpo sumergido. Para el equilibrio mecánico de una columna de líquido se tiene:

PH  líquido. g . h

h

Presión Absoluta o Total.- Es suma de la presión atmosférica más la presión hidrostática.



gh

h1

2 A

B

PB  PA  gh

Es un tubo en forma de U que contiene un líquido de densidad . Una de las ramas de la U se conectan al



recipiente cuya presión (P) está abierta a la presión atmosférica (Po). Es aquel instrumento que se utiliza para medir presión de un gas encerrado en él. P

P  Po  gh

h

A

B

Si la presión P dentro del recipiente es menor que la

Principio Fundamental de la Hidrostática.- La diferencia entre las presiones de dos puntos de un mismo líquido es igual a:

8.2. Principio de Pascal.

1

h1

h1   1 h2 2 Manómetro.

PRESIÓN HIDROSTÁTICA (PH)

P = Po +

Tubo en U.- Cuando en un tubo doblado en “U” dos líquidos 1 y 2 no miscibles, en equilibrio, en equilibrio, las aturas de sus superficies libres con relación están en razón inversa de sus densidades.

A h B

presión atmosférica Po la fórmula es:

P  Po  gh

Si la columna del líquido de densidad (



) habrá subido

por el ramal de la izquierda. (Haga el esquema y demuestre la formula).

38 | C E P R U 2 0 1 5 Principio Pascal.- expresa lo siguiente: “La presión aplicada a un fluido se transmite sin disminución alguna a todas las partes del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene”

Prensa Hidráulica.- Físicamente una prensa hidráulica está constituida por dos cilindros y dos pistones o émbolos deslizantes de diferentes diámetros, en uno de los cuales se coloca la carga que se desea elevar en el otro (el menor diámetro) se le aplica la fuerza correspondiente.

F1

F1 A1

F2 A2

A2

A1

P2 P1

F2

Aplicación del Principio de Pascal 8.3. Principio de Arquímedes.

Todo cuerpo sumergido en forma total o parcial en un líquido en reposo relativo, está sometido a la acción de una fuerza perpendicular a la superficie libre del líquido sobre el cuerpo, denominado fuerza de imponer.

E   L gVc.s L ;  L

 E

8.4. Hidrodinámica . Es la rama de la mecánica de fluidos que se encarga de estudiar los fluidos en movimiento. Para su mejor estudio es necesario conocer las siguientes definiciones.

Flujo Laminar.- Es un flujo uniforme de tal manera que las particulas de fluido siguen trayectorias que nose cruzan entre si.

Fluido.- Es toda sustancia capaz de fluir, en particular un líquido o un gas cualesquiera. Una de las propiedades más importantes es la de ejercer y transmitir presión en toda dirección. Esto es una sustancia que se deforma continuamente cuando se somete a ciertos esfuerzos. Los líquidos y los gases no mantienen una forma fija, tienen la capacidad de fluir. Viscosidad.- Se denomina viscosidad a la friccion interna que existe entre las capas del fuido.

Flujo turbulento.- Se caracteriza por que en fluido se forman pequiños remolinos llamados corrientes secundarias. Esta corriente absorbe una cantidad de energia. Turbulencia

Por ejemplo: El aceite es mas viscoso que el agua. Fluido ideal.- Es un fluido que tiene un flujo ideal (fuido no viscoso) Flujo Ideal.- Flujo de un fluido que es incompresible, bidimensional norotacional, estable y no viscoso. Fujo de fluidos.- Es el paso del fuido a traves de los canales.

Gasto o Caudal (Q).- Es el volumen de fluido que atraviesa por una determinadad seccion recta de la tuberia en cada unidad de tiempo.



Si despreciamos la viscosidad (fluido ideal) todas las moleculas del fluido avanzarian con la misma velocidad a traves del tubo.

Q

A v

Volumen tiempo

d

El flujo o caudal que fluye por un tubo en untiempo dado __

se calcula con la siguiente realcion: Q  AV



La viscosidad de un fuido real impide que todas las moleculas tengan la misma velocidad. La maxima velocidad se observa en el centro del ducto (tubo) mientras que las moleculas que estan pegadas en la pared interior del tubo no se mueven (v = 0)

__

Donde: A es el área de la seccion transversal del vaso y V la velocidad media del fluudo.

Ecuación de continuidad: En el diagrama se muestra una tubería que gradualmente desminuye de diametro, obviamente la velocidad del fluido debe cambiar debido al obturamiento. Si el fluido incompresinble, como sucede con los liquidos, se demuestra que el caudal (Q) es constante a lo largo de la tubería. Q1

Flujo Rotacional.- Los liquidos en un dispositibo que estan girando constituyen un ejemplo en las que la velocidad de cada particula varia en proporcion diricta a la distancia del centro de rotacion.

Q1  Q2 A1v1  A2v2

A1

v1

A2

Ecuacion de continuidad

Q2 v2

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 39 . 8.5. Principio de Bernoulli:

Dividiendo

En el diagrama se considera una tubería que trasporta un fluido no viscoso, la selección de la tubería es variable, el pluido logra avanzar debido a la presiones P1 y P2. La densidad del fluido es



entre

 g obtendremos

la

ecuación

de

Bernoulli para los puntos 1 y 2

De la figura deduce:

P1 v12 P v2   y1  2  2  y2 g 2 g g 2 g

Esta ecuacion se debe aplicar en los problemas, lalas presiones P1 y P2 pueden ser las manometricas o las absolutas. La ecuacion de Bernoulli tambien se escribe de la siguiente manera.

P v2   y  cons tan te g 2 g

p1  

2 1

De esta escuacion se deduce que: “En esencia, el Prencipio de Bernoulli establece que donde la velocidad de un fluido es alta, su presíon es baja, y donde su velocidad es baja, la presión es alta”

2 2

v v  gy1  p 2    gy 2 2 2

EJERCICIOS

1) El radio aproximado de la aorta es 1cm y la sangre que pasa por ella tiene una velocidad de 30cm/s calcule el caudal de la sangre de la aorta.

 d) 50  a) 20

cm3/s cm3/s

 e) 60  b) 30

cm3/s

c)40



cm3/s

cm3/s

a) 10m/s b) 20m/s

2) ¿Qué seccion debe tener un ducto de califaccion si el aire que se mueve en su interior es 3m/s debe sustituir al aire de una habitacion de 300m3 de volumen cada 15min? a) 0.09m2 b) 0.11m2

7) Un chorro sale por una orificio practicado en un deposito muy ancho, a una profundidad h=5m por debajo de la superficie. Calcule la velocidad con la que sale el chorro. g = 10m/s2

c) 0.43m2 d) 0.53m2 e) 0.64m2

3) Un bloque cúbico de 10 cm de arista y densidad 0,5 g/cc flota en un recipiente que contiene agua y aceite en la forma que muestra la figura. Si la densidad del aceite es 0,8 g/cc. ¿Qué espesor tiene la capa de aceite?



c) 3m/s

h

d) 40m/s e) 50m/s

8) La base de un tanque muy ancho se halla a 1,25m del suelo. El tanque contiene agua con una profundidad de 0,8m si se produce un pequeño hoyo como se muetra en ala figura. ¿ Que alcance horizontal x tendra el chorro? g = 10m/s2 a) b) c) d)

1m 2m 3m 4m

e) 5m

0,8m

agua

1,25m

x a) 1 cm.

b) 2 cm. c) 3 cm.

d) 4 cm. e) 5 cm.

4) ¿En cuantas horas un caño de 1cm de radio llenará con agua una cisterna de m3 de capacidad? La velocidad del chorro es de 4m/s.



a) 0.53h

b) 0.69h

c) 0.4h

d) 0.2h

e) 0.1h

5) Se usa un ducto de aire de 16cm de radio, en él el aire viaja con una velocidad de 2m/s. El ducto se reduce gradualmente hasta que su nuevo radio es de 8cm, calcule la velocidad del aire en el tubo angusto. a) 2m/s

b) 4m/s

c) 6m/s

d)8m/s

e) 10m/s

6) El radio del émbolo de una reringa hipodermica es de 0,5cm y el de la aguja es 0,1mm. ¿con qué velocidad sale el chorro por la aguja cuando el émbolo avanza con una velocidad de 1cm/s? a) 15m/s

b) 25m/s

c) 35m/s

d) 45m/s

e) 55m/s

9) Se tiene una manguera de jardín de 2cm de diámetro por el cual fluye agua con una rapidez de 0,1m/s. En el extremo se adapta una llave de 1mm de diámetro ¿cuál es la velocidad en m/s de salida del agua? a) 30m/s

b) 40m/s

c) 50m/s .d) 60m/s .... e) N.A.

10) Hallar el volumen (litros) de agua que fluye por minuto, de un tanque, a través de un orificio de 2cm de diámetro situado a 5m por debajo del nivel libre del agua. (g=10 m/s2 y = 3)



a) 2x10-3m/s b) 3x10-3m/s c) 4x10-3m/s d) 5x10-3m/s e) N.A. 11) Se muestran dos recipientes iguales con la misma cantidad de agua, en uno se tiene un cubo de hielo de peso W. Las lecturas de las balanzas son L1 y L2, respectivamente. Indique la relación correcta entre dichas lecturas.

40 | C E P R U 2 0 1 5 a) 10 Pa b) 20 Pa c) 5 Pa d) 60 Pa e) 8 Pa 20) Siendo la fuerza igual a 50 N. Calcular la presión en cada caso. a) L1 = L2 b) L1 = L2+W c) L2=L1+W e) L2 = L1-2W

d) L1 = L2 + W a)

12) Un cuerpo de 30 cm3 de volumen ¿Qué empuje experimentará si se sumerge en el alcohol?

b) 1m2

Rpta. E = 0,237 N

13) En un tubo en “U” de ramas verticales, de igual sección, se vierte mercurio de densidad 13600kg/m3. Si por una de las ramas se agrega un líquido desconocido hasta lograr el equilibrio, como se muestra en la figura, vascular la densidad del líquido desconocido.

21) La punta de un lápiz tiene un área de 0,001 cm2 ; si con el dedo se comprime contra el papel con una fuerza de 12N. ¿Cuál es la presión sobre el papel? a) 1,3x108pa

b) 1,2x108pa

d) 1,5x108pa

e)1,6x108pa

22) ¿Cuál es la presión del agua en el fondo de un estanque cuya profundidad es de 2 m? (g = 10 m/s2) a) 2 KPa

20cm

B

b) 20

c) 2000

A

a) 1088KPa

Rpta. Dx = 10200 kg/m3 14) En un tubo en U, se agrega los líquidos “A” y “C”, como se muestra en la figura. ¿Cuánto será el valor de x? DB = 4000 kg/m3; DA = 2000kg/m3; DC = 2500kg/m3.

b)10480

15cm

C

10cm

e) 0,2

c)10080

d)9880

e) 9480

24) ¿Cuál será la presión que ejerce una fuerza de 20 KN perpendicular en un área de 100 m2? a) 1 200 Pa

b) 200

c) 500

d) 300

e) 800

25) Determine la presión hidrostática sobre el fondo de una piscina de 3 m de profundidad. (g = 10 m/s2) a) 1.104Pa.. b) 1,5.104

A

d)20000

23) Un recipiente de 30 cm de largo 6 cm de ancho y 8 cm de alto está lleno de mercurio. ¿Cuál es la presión hidrostática en el fondo del recipiente?

15cm

Hg

c) 1,4x108pa

c) 2.104

d) 2,5.104

e) 3.104

26) Una enfermera aplica una fuerza de 40 N al pistón de una jeringa cuya área es de 10-3 m2. Encuentre la presión que ejerce, en Pa.

x

a) 2.104

B

b) 3.104 … c) 4.104

d) 8.104

e) 9.104

27) Determinar la diferencia de presión entre "A" y "B". Rpta. X = 20cm 15) En una prensa hidráulica el menor émbolo se ha desplazado 8 cm, se requiere saber que distancia se habrá desplazado el mayor émbolo, sabiendo sus áreas de 4 y 12 cm2 respectivamente. Rpta. X = 2,7cm 16) Calcular la densidad que tiene un cuerpo que flota en un líquido cuya densidad es de 8000 kg/m3, sabiendo que lo hace con el 25% de su volumen fuera del líquido. Rpta. Dcuerpo = 6000 kg/m3 17) En un edificio la presión del agua en la planta es de 70x104pa y en el tercer piso es de 58x104pa. ¿Cuáles la distancia entre ambos pisos? g = 10m/s2. Rpta. H = 12 m 18) El cubo pesa 100 N y su arista es de 5m. Hallar la presión que ejerce sobre la mesa.

a) 25 Pa b) 250 c) 2500 d) 25000 e) 0,25

28) Se muestra un vaso que contiene agua y aceite. La densidad de este aceite es de 600 kg/m3. ¿Cuál es la presión hidrostática (en pascales) en el fondo del vaso? a) 600 b) 800 c) 1000 d) 1 400 e) más del 1400

a) 1 Pa b) 2 Pa

29) Se muestra un depósito que contiene mercurio. Calcúlese la presión en el fondo del depósito debido al mercurio en Pa. (g =10 m/s2)

c) 3 Pa

a) 25200

d) 4 Pa

b) 26200

e) 5 Pa

c) 27200 d) 28200

19) En la figura hallar la presión que ejerce el ladrillo de masa 4kg: (g=10m/s2)

e) 29200

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 41 30) Hallar la L. a) 1500 b) 2500 c) 3500 d) 4500 e) 550 31) En el sistema mostrado, determine la presión hidrostática en el punto "A". DAgua = 1 000 kg/m3. DMercurio = 13 600 kg /m3.

37) Se desea construir una prensa hidráulica para ejercer fuerzas de 104 N. ¿Qué superficie deberá tener el pistón grande, si sobre el menor de 0,03 m2 se aplicara una fuerza de 500 N? a) 0,03 m2

d) 0,6

e) 6 g/cm3

, C =

a) 12 g/cm3 b) 8 c) 4

b) 9944

d) 16

c) 1 188

e) 32

e) 1144

c) 0,3

38) Los líquidos están en equilibrio. Si: A = 3 1g/cm3 Halle la densidad del líquido "B".

a) 1044 KPa

d) 1266

b) 0,06

39) Hallar la presión del gas encerrado en "A". a) 12 cmHg b) 15

32) En la figura mostrada, determine la presión hidrostática en "A". 1 = 800 kg/m3; 2 = 1 000 kg/m3 a) 10 KPa b) 8 c) 12 d) 16 e) 4 33) En la figura, determine la A y B , si se sabe que: A + B = 1600 kg/m3.

c) 13 d) 30 e) 7,5

40) El diagrama muestra una prensa hidráulica cuyas áreas en los pistones son 0,02 m2 y 0,98 m2. Calcula la fuerza "F" que puede suspender la carga mostrada. a) 60 N b) 70

a) 400 y 1200 kg/m3

c) 80

b) 800 y 800

d) 90

c) 600 y 1000

e) 100

d) 200 y 1400 e) 750 y 850

34) En el sistema mostrado, determinar la PGas. Si la PAtmosfera = 100 KPa. a) 10 KPa b) 15 c) 5 d) 20 e) 25

35) En el esquema adjunto 1 = 500 kg/m3, 2 = 800 kg/m3. Se pide 3

41) Determine "F" si el auto de 800 kg se encuentra en equilibrio (desprecie la masa de los émbolos) D1 = 400 cm; D2 = 50 cm; g = 10 m/s2. a) 125N b) 150 c) 1000 d) 500 e) 800

A  60cm2 , A  800 cm2

1 2 42) En la figura y que los émbolos son de pesos despreciables, calcular la fuerza F que se necesita para mantener al bloque de 80kg de masa en equilibrio.

( g  10 m / s ) 2

a) 640 kg/m3

a) 120N

b) 740

b) 6N

c) 840

c) 600N

d) 940

d) 60N

e) 320

e) 12N

36) Determine la relación entre las presiones en los puntos A y B. a) 1/3 b) 2/3 c) 3/2 d) 4/3 e) ¾

43) (EXAMEN CBU 2007-I) La figura muestra un manómetro en “U”, conteniendo dos líquidos no miscibles si

1   2  1200 Kg / m3 , Kg . / m 3 , son: en a) 480 y 720 b) 640 y 560 c) 500 y 700 d) 720 y 380 e) 800 y 400

las densidades de los líquidos

42 | C E P R U 2 0 1 5

TEMPERATURA: La temperatura es una propiedad física mensurable de la materia, que representa la medida del grado de caliente o frío que presentan los cuerpos. A nivel microscópico, la temperatura está relacionada con la energía cinética molecular media. La temperatura es una magnitud referida a las nociones comunes de caliente o frío. Por lo general, un objeto más "caliente" que otro puede considerarse que tiene una temperatura mayor, y si es frío, se considera que tiene una temperatura menor. En Física, se define la temperatura como una magnitud escalar relacionada con la energía interna de un sistema termodinámico, definida por el principio cero de la termodinámica. Más específicamente, está relacionada directamente con la parte de la energía interna conocida como "energía sensible", que es la energía asociada a los movimientos de las partículas del sistema, sea en un sentido traslacional, rotacional, o en forma de vibraciones. A medida de que sea mayor la energía sensible de un sistema, se observa que éste se encuentra más "caliente"; es decir, que su temperatura es mayor. En el caso de un sólido, los movimientos en cuestión resultan ser las vibraciones de las partículas en sus sitios dentro del sólido. En el caso de un gas ideal monoatómico se trata de los movimientos traslacionales de sus partículas (para los gases multiatómicos los movimientos rotacional y vibracional deben tomarse en cuenta también).Dicho lo anterior, se puede definir la temperatura como la cuantificación de la actividad molecular de la materia. MEDIDA DE LA TEMPERATURA El desarrollo de técnicas para la medición de la temperatura ha pasado por un largo proceso histórico, ya que es necesario darle un valor numérico a una idea intuitiva como es lo frío o lo caliente. Multitud de propiedades físico-químicas de los materiales o las sustancias varían en función de la temperatura a la que se encuentren, como por ejemplo su estado (sólido, líquido, gaseoso, plasma), su volumen, la solubilidad, la presión de vapor, su color o la conductividad eléctrica. Así mismo es uno de los factores que influyen en la velocidad a la que tienen lugar las reacciones químicas. La temperatura se mide con termómetros, los cuales pueden ser calibrados de acuerdo a una multitud de escalas que dan lugar a unidades de medición de la temperatura. LEY CERO DE LA TERMODINAMICA Antes de dar una definición formal de temperatura, es necesario entender el concepto de equilibrio térmico. Si dos partes de un sistema entran en contacto térmico es probable que ocurran cambios en las propiedades de ambas. Estos cambios se deben a la transferencia de calor entre las partes. Para que un sistema esté en equilibrio térmico debe llegar al punto en que ya no hay intercambio neto de calor entre sus partes, además ninguna de las propiedades que dependen de la temperatura debe variar. Una definición de temperatura se puede obtener de la Ley cero de la termodinámica, que establece que si dos sistemas A y B están en equilibrio térmico, con un tercer sistema C, entonces los sistemas A y B estarán en equilibrio térmico entre sí. Este es un hecho empírico más que un resultado teórico. Ya que tanto los sistemas A, B, y C están todos en equilibrio térmico, es razonable decir que comparten un valor común de alguna propiedad física. A esta propiedad se denomina temperatura. ESCALAS DE TEMPERATURA: Las escalas de medición de temperaturas, se dividen escalas relativas y escalas absolutas. Las relativas utilizan dos puntos fijos; el punto de ebullición del agua y el punto de fusión del hielo. Las escalas absolutas parten del cero absoluto, en el cuál teóricamente no existe movimiento molecular. En el Sistema Internacional de Unidades, la unidad de temperatura es el Kelvin (K), y la escala correspondiente es la escala Kelvin o escala absoluta, que asocia el valor "cero kelvin" (0 K) al "cero absoluto", y se gradúa con un tamaño de grado igual al del grado Celsius. Sin embargo, fuera del ámbito científico el uso de otras escalas de temperatura es común. La escala más extendida es la escala Celsius (antes llamada centígrada. Esta es una escala relativa, que utiliza dos puntos fijos: 0° para el punto de fusión del hielo y 100°, para el punto de ebullición del agua; de modo que entre dichos puntos hay 100 divisiones. La escala Fahrenheit, también es una escala relativa, la cual utiliza dos puntos fijos: 32° para el punto de fusión del hielo y 212° para el punto de ebullición del agua, de modo que entre dichos puntos hay 180 divisiones. También se usa a veces la escala Rankine (°R) que establece su punto de referencia en el mismo punto de la escala Kelvin, el cero absoluto, pero con un tamaño de grado igual al de la Fahrenheit. 10.5 RELACION ENTRE LAS ESCALAS DE TEMPERATURA En el diagrama de la Fig.1, podemos establecer las siguientes proporciones: oC

tC t F − 32 TK − 273 TR − 492 = = = 100 180 100 180

100

oF

212

oK

oR

373

672

273

492

0

0

Reduciendo: tC t F − 32 TK − 273 TR − 492 = = = 5 9 5 9

0

-273

32

-460 Fig.1

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 43 A partir de las ecuaciones, se pueden establecer las relaciones entre las distintas escalas de temperatura. Para establecer relaciones cuando hay cambios de temperatura, se deducen las siguientes: ∆t Cc ∆t F ∆TK ∆TR = = = 5 9 5 9

DILATACION TERMICA La dilatación térmica es el fenómeno físico, que consiste en la variación de las dimensiones de un sólido por la variación de la temperatura. Como se verá posteriormente la variación de la temperatura se produce por la adición del calor. DILATACION LINEAL En la Fig.2, inicialmente se tiene una varilla de longitud Lo, a la temperatura To, al incrementarse la temperatura al valor T, la longitud aumenta al valor L. Por tanto el incremento de temperatura y de longitud es: ∆T y ∆L = L - Lo

∆L = L - Lo To

DILATACION SUPERFICIAL Al calentar una lámina metálica de área inicial Ao , cuya temperatura inicial es To , hasta una temperatura T, también se produce un incremento en el área ∆ A = A – Ao , de modo que: la variación en el área es proporcional a la variación de temperatura, o sea: ∆A=β∆T O también:

A = Ao (1 + β ∆ T )

En estas expresiones, β = 2 α , es el coeficiente de dilatación superficial y también depende del material de la lámina.

Lo

DILATACION CUBICA

L

T

Donde α es el coeficiente de dilatación lineal y depende de la naturaleza del material de la varilla. Se expresa en oC-1, en general grados de temperatura a la menos uno.

Fig.2 Experimentalmente se encuentra que la variación de longitud ∆L de la varilla y la variación de temperatura ∆T son proporcionales, así :

Si calentamos un cuerpo de volumen inicial Vo, para el cual su temperatura inicial es To, éste adquiere un nuevo volumen V a la temperatura final T, también se encuentra: que la variación de volumen del sólido es proporcional al cambio de temperatura, por tanto: ∆V=ρ∆T

∆L=α∆T Reemplazando valores. L – Lo = α ( T – To ) , despejando la longitud final será:

El volumen final será:

V = Vo ( 1 + ρ ∆ T )

Donde ρ, es el coeficiente de dilatación cúbica, el cual depende del material, en el caso de los sólidos: β = 3 α .

L = Lo (1 + α ∆ T )

PROBLEMAS RESUELTOS

seguidamente al aumentar en 72 oR. El incremento en será:

1.- Expresar una temperatura de 50oC en grados Fahrenheit.

oC

SOLUCION

∆T = tF =

5 9

𝑥72 = 40 oC, por tanto la temperatura final será

de : 80 oC y expresada en grados Kelvin: T = 273 + 80 = 353 K.

9 x50 + 32 = 122o 5

2.- Un cuerpo tiene una temperatura inicial de 40 oC , se le incrementa su temperatura en 72 oF , luego disminuye en 40 K y finalmente se le aumenta en 72 oR. La temperatura final del cuerpo en grados Kelvin, es: SOLUCION

3.- En un termómetro A, las lecturas 160o y 0o son iguales a 140o y -10o del termómetro B. La temperatura que corresponde en el termómetro B para 40o del termómetro A, es: SOLUCION

Al incrementar en 72oF, la nueva temperatura es: 40 + 5 𝑥72 = 80 oC, al disminuír en 40 K, la nueva

Por proporciones:

9

temperatura será: 80 – 40 = 40 oC.

40 160

=

𝑡𝐵 +10 150

, de donde tB = 27,5 oB

EJERCICIOS 1) La longitud de una columna de mercurio de un termómetro es de 5 cm, cuando el termómetro se sumerge en hielo chancado y 25 cm cuando el termómetro se coloca en agua hirviendo. La columna de mercurio mide 26,4 cm cuando el termómetro se encuentra a una temperatura de: a) 105ºC b) 106ºC c)107ºC d) 108ºC e) 109ºC 2) A que temperatura en grados Celsius, se cumple la siguiente relación: K + 2ºF = 2R – 9ºC a) 69,7 b) 68,6 c) 67,4 d)65,2 e) 64,7

3) Se construyen tres escalas "A", "S" y "L", de tal manera que las lecturas de las escalas A y S coinciden numéricamente en 30º y las escalas S y L en -40º. Determinar a qué lectura coinciden numéricamente las escalas A y L. Si además una variación de 1ºA es igual a una variación de 2ºS y está igual a una variación de 3ºL. a) 10 b) 12,5 c) 15 d) 17,5 e) 20

44 | C E P R U 2 0 1 5 4) La temperatura en la superficie del Sol es alrededor de 6000 K, expresar dicha temperatura en grados Celsius, Fahrenheit y Rankine. Rpta: 5727 oC ; 10 340,6 oF ; 10 832,6 R. 5) Un objeto se encuentra 47 oC, si se calienta en 36 oF y luego se enfría en 54 oR. Hallar la temperatura final en Kelvin.

Rpta. 8 oC 18) Se tiene una esfera hueca de radio R y espesor despreciable, en su interior se halla otra esfera de radio r. ¿ En qué relación se encuentran sus radios R/r; para que el volumen de la parte intermedia no varíe al incrementar la temperatura?. Se cumple además que: αr = 8 αR . Rpta. 2

Rpta. 310 K 6) En una escala relativa en oZ, el punto de ebullición del agua es de 150 oZ y el de congelación del agua 30 oZ. ¿Qué temperatura en oZ, le corresponde a 20 oC?. Rpta. 54 oZ

19) Un recipiente de vidrio pírex de 1000 cm3 de volumen está lleno de mercurio a 20 oC. ¿Cuántos cm3 se derramarán cuando la temperatura se eleve a 50 oC?. αvidrio = 4x10-6 oC-1; ρHg = 1,82 x 10-4 oC-1 . Rpta. 5,46 cm3

7) Se diseña una nueva escala absoluta oY y que coincide con la escala Celsius a 200o. ¿Qué valor registra la nueva escala para el punto de ebullición del agua?.

20) Un cubo de latón de 10 cm de arista, se dilata 6 cm 3. Calcular el aumento de temperatura. αlatón = 2 x 10-5 o C-1. Rpta. 100 oC

Rpta. 157,7 oY 8) La diferencia de temperaturas de dos cuerpos es 90oC. Si a la mayor temperatura se disminuye en 54oF y a la menor se le aumenta en 20 K. Calcular la nueva diferencia de temperaturas en oC.

21) Una varilla A, a 40 oC tiene igual longitud que otra varilla B, cuya temperatura es de 30 oC. ¿A qué temperatura común las varillas tendrán igual longitud?. αA = 10-5 oC-1; αB = 2 x 10-5 oC-1. Rpta. 20 oC

Rpta. 40oC 9) La temperatura de un cuerpo disminuye en 54 oF y a continuación aumenta en 60 oC. Si la temperatura final del objeto fue de 300 K. ¿Cuál fue su temperatura inicial en oC?. Rpta. – 3 oC

22) Una lámina rectangular de 4 m de longitud y 3 m de ancho, se calienta uniformemente desde 20 oC de tal modo que su temperatura varía con el tiempo de acuerdo al diagrama de la Fig.3. Calcular el área en el instante t = 120 s. Si β = 8 x 10-5 oC-1. Rpta. 12,03 m2

oN,

10) En una escala de temperaturas el punto de ebullición y de fusión del agua son de 400 y 100 grados N. ¿ A qué temperatura esta escala y la Celsius coinciden en valor numérico?.

T(oC ) 40

Rpta. – 50 oC 20

11) Se diseñan dos nuevas escalas A y B, tal que la variación de 3 oA equivale a 5 oB. si un valor de 50 oA se registra para 30 oB. ¿ En qué valor coinciden dichas escalas?.

t (s) 0 Fig.3

Rpta. 80o 12) Determine las longitudes de una varilla de latón y otra de hierro, de tal manera que a cualquier temperatura la diferencia de longitudes entre las varillas sea de 5 m.(αlat=18x10-6 ºC-1 y αfe=12x10-6 ºC-1) a) 12 y 17 b) 11 y 16 c)10 y 15 d) 9 y 14 e) 8 y 13 13) Determine el coeficiente de dilatación lineal de un sólido del cual se sabe, que si su temperatura aumenta en 50ºC, entonces su densidad disminuye en el 12%. a) 9x10-4 b) 7x10-4 c)5x10-4 d) 3x10-4 e) 10-4 14) Un alambre de 20 cm de longitud, es doblado en forma circular, dejando una abertura de 2 cm entre sus extremos. Si se incrementa la temperatura en 100 oC. ¿ Cuál es la longitud final de la abertura?. Α = 3 x 10-5(oC)-1.

23) Una vasija de vidrio contiene 1000 cm3 de mercurio, lleno hasta el borde; si se incrementa la temperatura del recipiente, este alcanza un volumen de 1009 cm3 y se derraman 9 cm3 de mercurio. ¿Cuál fue el incremento de la temperatura?. αHg = 6 x 10-5 oC-1. Rpta. 100 oC 24) Las rieles de acero de un ferrocarril, tienen 12 m de longitud a 35 oC. Calcular la dilatación para una temperatura de 110 oF. Para el acero el coeficiente α = 12 x 10-6 oC-1. Rpta. 6 mm 25) Determinar en cuanto debe incrementarse la temperatura del sistema, ver Fig.4, para que las varillas se junten; si 2 αA + 3 αB = 4x10-4 oC-1.

Rpta. 2,006 cm

80 mm

15) Un disco de acero tiene un diámetro de 100 cm a 30 oC. Calcular la temperatura final de tal forma que pueda encajar perfectamente en un agujero de 99,97 cm de diámetro. αacero = 1,1 x 10-5(C)-1.

A

Rpta. 12,17 oC 17) Un depósito de vidrio tiene una capacidad de 100 cm3 a 3 oC, estando lleno de un líquido. ¿A cuánto habrá que elevar la temperatura para que se derramen 0,025 cm3 del líquido?. Los coeficientes de dilatación cúbica son: ρvidrio=8x10-5(C)-1; ρAl =13x105(C)-1 .

B

20 cm

Rpta. 2,7 oC 16) Se tiene una plancha de aluminio, cuya superficie a 10 oC, es de 1 dm2 la cual experimenta un aumento de 1 mm2 con la elevación de la temperatura. Halle la temperatura final. α Aluminio= 23x10-6(C)-1.

80

30 cm Fig.4

Rpta. 2x104 oC 26) Un cubo metálico que en condiciones normales de presión y temperatura, tiene una masa de 79.45 kg; siendo su densidad 11,35 g/cm3 y su coeficiente de dilatación lineal igual a 2,8 x 10-5 K-1, se coloca en un ambiente cuya temperatura es diferente y se comprueba que su nuevo volumen es de 7 058,8 cm3. Determinar la temperatura del nuevo ambiente. Rpta. 100 oC .

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 45

CALOR En la actualidad se sabe que el calor es una forma de energía, que se transfiere de un objeto a otro, debido a una diferencia de temperaturas. Esta energía se debe al movimiento de las moléculas del cuerpo. El calor es una energía en tránsito. UNIDADES DEL CALOR En el Sistema Internacional (SI), el calor se expresa en Joule. Las unidades de la cantidad de calor (Q) son las mismas unidades del trabajo (W). SISTEMA DE MEDIDA

UNIDAD DE MEDIDA

Sistema Técnico

Kilográmetro (Kgm)

Sistema Internacional (S.I.)

Joule (J)

Sistema C.G.S.

Ergio (erg)

Hay otras unidades usadas como Caloría (cal), Kilocaloría (Kcal), British Termal Unit (BTU). Caloría: es la cantidad de calor necesaria para aumentar la temperatura de 1 gramo de agua de 14,5 °C a 15,5 °C a la presión de 1 atmósfera (Presión normal). British Termal Unit (BTU)= Unidad Térmica Británica de calor, que se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de una Libra de agua en un 1 oF. Relación entre unidades 1kgm = 9,8 J 1 J=107erg 1 kgm = 9,8.107 erg

1cal=4,186 J 1kcal=1000 cal=10³ cal 1 BTU = 252 cal = 1,054 kJ

ENERGIA INTERNA: Las moléculas de los cuerpos sólidos, líquidos o gaseosos se encuentran en constante movimiento y además presentan interacciones moleculares, debido a este movimiento de interacción se crea la energía interna. También se observa que a mayor temperatura, mayor será la energía cinética promedio por molécula. Por lo que se concluye de que: A mayor temperatura, mayor será la energía interna; ya que aumenta la energía cinética molecular. CALOR ESPECÍFICO DE UN CUERPO: Es la razón o cociente entre la capacidad térmica C de un cuerpo y la masa (m) de dicho cuerpo. Además, en el calor específico se debe notar que es una característica propia de las sustancias que constituye el cuerpo, en tanto que la capacidad térmica C depende de la masa (m) y de la sustancia que constituye el cuerpo. El calor específico de una sustancia se calcula: 𝐶 𝑐𝑒 = 𝑚 De la expresión anterior se deduce que :

ce =

Q m∆T

Relación en la cual se ha reemplazado la capacidad térmica C. El calor específico en el SI.se expresa en J/kg•K y en el sistema técnico en : cal/g• oC. Se presenta en el Cuadro 1, los calores específicos de algunas sustancias.

SUSTANCIA

CALOR ESPECÍFICO J/kg• oC

Kcal/kg• oC(o cal/g• oC)

Aire

1050

0,25

Alcohol

2430

0,58

Aluminio

920

0,22

Cobre

390

0,093

Vidrio

840

0,20

Hielo

2100

0,5

Hierro(Acero)

460

0,11

Plomo

130

0,031

Mercurio

140

0,033

Tierra(promedio)

1050

0,25

Vapor

2010

0,48

Agua

4190

1,0

Madera(promedio)

1680

0,40 CUADRO 1.- CALORES ESPECIFICOS

46 | C E P R U 2 0 1 5 CAPACIDAD TERMICA O CALORIFICA: La Capacidad térmica de un cuerpo o Capacidad calorífica: es la relación entre la cantidad de calor (Q) recibida por un cuerpo y la variación de temperatura (Δt) que éste experimenta. Además, la capacidad térmica es una característica de cada cuerpo y representa su capacidad de recibir o ceder calor variando su energía térmica. La capacidad térmica se expresa en J/ K ó en cal/°C ó en Kcal/°C. 𝑄 ∆𝑇

𝐶= De la ecuación anterior, el calor transferido se calcula:

Q12 = C ∆ T Q12 es el calor transferido o recibido durante algún proceso. CALOR SENSIBLE: El calor sensible es la cantidad de calor recibido o cedido por un cuerpo al sufrir una variación de temperatura ∆ T, sin que ocurra un cambio de estado físico (sólido, líquido o gaseoso). De la Ec. 9.4, se obtiene: Q = m ce ∆T TRANSFERENCIA DE CALOR Como se sabe el calor es una forma de energía en tránsito. Sólo se manifiesta si existe una diferencia de temperaturas entre dos cuerpos o dos partes de un mismo cuerpo.. El calor fluye en la dirección de mayor a menor temperatura. Los mecanismos de transferencia de calor son los siguientes: CONDUCCION TERMICA Es el mecanismo de transferencia de calor a través de un material, sin transporte de materia. En los sólidos, la única forma de transferencia de calor es la conducción. Si se calienta un extremo de una varilla metálica, de forma que aumente su temperatura, el calor se transmite hasta el extremo más frío por conducción. No se comprende en su totalidad el mecanismo exacto de la conducción de calor en los sólidos, pero se cree que se debe, en parte, al movimiento de los electrones libres que transportan energía cuando existe una diferencia de temperatura. Esta teoría explica por qué los buenos conductores eléctricos también tienden a ser buenos conductores del calor. En 1822, el matemático francés Joseph Fourier dio una expresión matemática precisa que hoy se conoce como ley de Fourier de la conducción del calor. Esta ley afirma que la velocidad de conducción de calor a través de un cuerpo por unidad de sección transversal es proporcional al gradiente de temperatura que existe en el cuerpo (con el signo cambiado). 𝑇1 − 𝑇2 𝑄̇ = 𝑘 𝐴 ( ) 𝐿 T −T Donde 𝑄̇ es el flujo de calor, se expresa en W; A es el área perpendicular al flujo del calor y ( 1 2) es el gradiente L

de temperatura, en la cual; L es el espesor del material, como se observa en la Fig.5

T1

T2

A

𝑄̇

Fig.5 L El factor de proporcionalidad k, el cual se expresa en W/m•K; se denomina conductividad térmica del material. Los materiales como el oro, la plata o el cobre tienen conductividades térmicas elevadas y conducen bien el calor, mientras que materiales como el vidrio o el amianto tienen conductividades cientos e incluso miles de veces menores; conducen muy mal el calor, y se conocen como aislantes. En ingeniería resulta necesario conocer la velocidad de conducción del calor a través de un sólido en el que existe una diferencia de temperaturas conocida. Para averiguarlo se requieren técnicas matemáticas muy complejas, sobre todo si el proceso varía con el tiempo; en este caso, se habla de conducción térmica transitoria. Con la ayuda de ordenadores (computadoras) analógicos y digitales, estos problemas pueden resolverse en la actualidad incluso para cuerpos de geometría complicada. En la Cuadro 2, se dan las conductividades térmicas de varias sustancias.

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 47 CUADRO 2 : CONDUCTIVIDADES TERMICAS

Material Metales

k

Sist.Técnico

k

W/m• oC

Kcal/m•s• oC

240

5,7x10-2

Otros

Cobre

390

9,4x10-2

Hierro y acero

46

1,1 x 10-2

Aluminio

Plata

420

10 x

10-2

Liquidos

SI

Sist.Técnico

W/m• oC

Kcal/m•s• oC

Ladrillo

0,71

17 x 10-5

Concreto

1,3

31 x 10-5

Algodón

0,075

1,8 x 10-5

0,059

1,4 x 10-5

0,84

20 x 10-5

0,042

1,0 x 10-5

2,2

53 x 10-5

Cartón

de

fibra 10-5

Aceite(Tras)

0,18

4,2 x

Agua

0,57

14 x 10-5

Vidrio Lana

de

vidrio Gases

Hielo

Aire

0,024

0,57 x 010-5

Madera

Hidrógeno

0,17

4,0x10-5

Pino

0,12

2,8 x 10-5

0,024

0,58x10-5

Vacío

0

0

Oxígeno

CONVECCIÓN:Si existe una diferencia de temperatura en el interior de un líquido o un gas, es casi seguro que se producirá un movimiento del fluido. Este movimiento transfiere calor de una parte del fluido a otra por un proceso llamado convección. El movimiento del fluido puede ser natural o forzado. Si se calienta un líquido o un gas, su densidad (masa por unidad de volumen) suele disminuir. Si el líquido o gas se encuentra en el campo gravitatorio, el fluido más caliente y menos denso asciende, mientras que el fluido más frío y más denso desciende. Este tipo de movimiento, debido exclusivamente a la no uniformidad de la temperatura del fluido, se denomina convección natural. La convección forzada se logra sometiendo el fluido a un gradiente de presiones, con lo que se fuerza su movimiento de acuerdo a las leyes de la mecánica de fluidos. Supongamos, por ejemplo, que calentamos desde abajo una cacerola llena de agua. El líquido más próximo al fondo se calienta por el calor que se ha transmitido por conducción a través de la cacerola. Al expandirse, su densidad disminuye y como resultado de ello el agua caliente asciende y parte del fluido más frío baja hacia el fondo, con lo que se inicia un movimiento de circulación. El líquido más frío vuelve a calentarse por conducción, mientras que el líquido más caliente situado arriba pierde parte de su calor por radiación y lo cede al aire situado por encima. De forma similar, en una cámara vertical llena de gas, como la cámara de aire situada entre los dos paneles de una ventana con doble vidrio, el aire situado junto al panel exterior —que está más frío— desciende, mientras que al aire cercano al panel interior —más caliente— asciende, lo que produce un movimiento de circulación. El calentamiento de una habitación mediante un radiador no depende tanto de la radiación como de las corrientes naturales de convección, que hacen que el aire caliente suba hacia el techo y el aire frío del resto de la habitación se dirija hacia el radiador. Debido a que el aire caliente tiende a subir y el aire frío a bajar, los radiadores deben colocarse cerca del suelo (y los aparatos de aire acondicionado cerca del techo) para que la eficiencia sea máxima. De la misma forma, la convección natural es responsable de la ascensión del agua caliente y el vapor en las calderas de convección natural, y del tiro de las chimeneas. La convección también determina el movimiento de las grandes masas de aire sobre la superficie terrestre, la acción de los vientos, la formación de nubes, las corrientes oceánicas y la transferencia de calor desde el interior del Sol hasta su superficie. La transferencia de calor por convección es una combinación de los fenómenos de conducción térmica, movimiento de un fluido y la mezcla de éste. Existen dos tipos de convección: la llamada convección libre, en la que los cambios de densidad originan el movimiento de masas en el fluido, y la convección forzada, en la que un dispositivo mecánico ( bomba o ventilador) produce el movimiento del fluido. La expresión que corresponde al flujo convectivo de calor no tiene el carácter de ley física, sino que es solo una ecuación empírica. La transferencia de calor por convección depende de las propiedades del fluido, de la superficie en contacto con el fluido y del tipo de flujo. Entre las propiedades del fluido se encuentran: la viscosidad dinámica µ, la conductividad térmica k, la densidad ρ. También se podría considerar que depende de la viscosidad cinemática η, puesto que η = µ /ρ . Entre las propiedades de la superficie que intervienen en la convección están la geometría y la aspereza. El tipo de flujo, laminar o turbulento, también influye en la velocidad de transferencia de calor por convección.

48 | C E P R U 2 0 1 5 En cualquier caso, la velocidad de transferencia de calor por convección siempre es proporcional a la diferencia de temperatura entre la superficie y el fluido. Este hecho se modela matemáticamente mediante la Ley de Enfriamiento de Newton: 𝑄̇ = ℎ 𝐴 (𝑇𝑠 − 𝐹𝑓 ) Donde Ts es la temperatura de la superficie en contacto con el fluido y T f es la temperatura del fluido lo suficientemente lejos de dicha superficie. La influencia de las propiedades del fluido, de la superficie y del flujo se cuantifica en el coeficiente de película o coeficiente de transferencia de calor por convección ( h ) , el cual se expresa en W/m2•K, A es el área de la superficie. RADIACIÓN La radiación presenta una diferencia fundamental respecto a la conducción y la convección: las sustancias que intercambian calor no tienen que estar en contacto, sino que pueden estar separadas por un vacío. La radiación es un término que se aplica genéricamente a toda clase de fenómenos relacionados con ondas electromagnéticas. Algunos fenómenos de la radiación pueden describirse mediante la teoría de ondas, pero la única explicación general satisfactoria de la radiación electromagnética es la teoría cuántica. En 1905, Albert Einstein sugirió que la radiación presenta a veces un comportamiento cuantizado: en el efecto fotoeléctrico, la radiación se comporta como minúsculos proyectiles llamados fotones y no como ondas. La naturaleza cuántica de la energía radiante se había postulado antes de la aparición del artículo de Einstein, y en 1900 el físico alemán Max Planck empleó la teoría cuántica y el formalismo matemático de la mecánica estadística para derivar una ley fundamental de la radiación. El ritmo mediante el cual un cuerpo radia energía térmica es proporcional al área del cuerpo y a la cuarta potencia de su temperatura absoluta, este resultado se conoce como Ley de Stefan- Boltzmann: I = ε σ A T4 Donde I es la potencia radiada en W, A el área, ε es la llamada emisividad del cuerpo y σ una constante universal que recibe el nombre de constante de Stefan, cuyo valor es: α = 5,6703 x 10-8 W/m2 • K4. La emisividad ε es una fracción que varía de 0 a 1 y que depende de la superficie del objeto. Cuando la radiación incide sobre un objeto opaco, parte de la radiación se refleja y parte se absorbe. Los objetos de colores reflejan la mayor parte de la radiación visible, mientras que los objetos oscuros absorben su mayor parte. El ritmo con que absorbe radiación un cuerpo viene dado por: I A = ε σ A T o4 Donde To es la temperatura del entorno. Si un cuerpo emite más radiación que la que absorbe, se enfría, mientras que el entorno se calienta al absorber la radiación procedente del mismo. Si el objeto absorbe más que emite, se calienta mientras el entorno se enfría. Cuando un cuerpo está en equilibrio con sus alrededores, T = To ;emite y absorbe radiación al mismo ritmo. Podemos escribir la potencia neta radiada por un cuerpo a la temperatura T hacia sus alrededores a la temperatura To como: Ineto = ε σ A ( T4 – To 4) Finalmente un cuerpo que absorbe toda la radiación que incide sobre él, posee una emisividad igual a 1 y recibe el nombre de cuerpo negro. Un cuerpo negro también es un radiador ideal. CAMBIOS DE FASE: En la Física se denomina cambio de estado a la evolución de la materia entre varios estados de agregación sin que ocurra un cambio en su composición. Los tres estados más estudiados y comunes en la Tierra son el sólido, el líquido y el gaseoso; no obstante, el estado de agregación más común en nuestro universo es el plasma, material del que están compuestas las estrellas (si descartamos la materia oscura). Los cambios de estado de agregación de la materia o transformaciones de fase de la materia, son los siguientes:



Fusión: Es el paso de un sólido al estado líquido por medio de la energía térmica; durante este proceso isotérmico (proceso que absorbe energía para llevarse a cabo este cambio) hay un punto en que la temperatura permanece constante. El "punto de fusión" es la temperatura a la cual el sólido se funde, por lo que su valor es particular para cada sustancia. Las moléculas se moverán en una forma independiente, transformándose en un líquido.



Solidificación: Es la transformación de un líquido a sólido por medio del enfriamiento; el proceso es exotérmico. El "punto de solidificación" o de congelación es la temperatura a la cual el líquido se solidifica y permanece

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 49 constante durante el cambio, y coincide con el punto de fusión si se realiza de forma lenta (reversible); su valor es también específico.



Vaporización: es el proceso físico en el que un líquido pasa a estado gaseoso. Se realiza cuando la temperatura de la totalidad del líquido iguala al punto de ebullición del líquido a esa presión. Si se continúa calentando el líquido, éste absorbe el calor, pero sin aumentar la temperatura: el calor se emplea en la conversión del agua en estado líquido en agua en estado gaseoso, hasta que la totalidad de la masa pasa al estado gaseoso. En ese momento es posible aumentar la temperatura del gas.

La evaporación es importante e indispensable en la vida cuando se trata del agua, que se transforma en nube y vuelve en forma de lluvia, nieve, niebla o rocío. Cuando existe un espacio libre encima de un líquido caliente, una parte de sus moléculas está en forma gaseosa, al equilibrase, la cantidad de materia gaseosa define la presión de vapor saturante, la cual no depende de la temperatura.



Condensación: Se denomina condensación al cambio de estado de la materia que se encuentra en forma gaseosa a forma líquida. Es el proceso inverso a la vaporización. Si se produce un paso de estado gaseoso a estado sólido de manera directa, el proceso es llamado sublimación inversa. Si se produce un paso del estado líquido a sólido se denomina solidificación.



Sublimación: es el proceso que consiste en el cambio de estado de la materia sólida al estado gaseoso sin pasar por el estado líquido. Al proceso inverso se le denomina Cristalización inversa; es decir, el paso directo del estado gaseoso al estado sólido. Un ejemplo clásico de sustancia capaz de sublimarse es el hielo seco. CUADRO 3 TEMPERATURAS DE CAMBIO DE FASE Y CALORES LATENTES

Sustancia

Punto de fusión

Lf

J/K

Lf

Kcal/kg

Punto De ebullición

Oro Helio

Lv

Kcal/kg

oC

oC

Alcohol

Lv

J/kg

-114

1,0x105

1063

0,645x105

25 15,4 -

78

8,5x105

204

2660

15,8x105

377

-269

0,21x105

5 207

-

-

Plomo

328

0,25x105

5,9

1744

8,67x105

Mercurio

-39

0,12x105

5,9

357

2,7x105

65

Agua

0

3,3x105

80

100

22,6x105

540

Plata

961

0,88x105

21

2193

23x105

558

Oxígeno

-218,8

0,14x105

3,3

78

8,5x105

51

Tungsteno

3410

1,84x105

44

5900

23x105

1150

SOLIDO

CONDENSACION

LIQUIDO

VAPORIZACION

VAPOR

Fig.6. CAMBIOS DE FASE DE UNA SUSTANCIA

La diferencia entre calor y temperatura es que el calor depende de la masa y la temperatura no, ya que la temperatura es la medida del promedio de las energías cinéticas de las moléculas y el calor es la suma de las energías cinéticas de las moléculas. Cuando una sustancia absorbe una cantidad dada de calor, la velocidad de sus moléculas se incrementa y su temperatura se eleva. Sin embargo, ocurren ciertos fenómenos curiosos cuando un sólido se funde o un líquido hierve. En estos casos la temperatura permanece constante hasta que todo el sólido se funde o hasta que todo el líquido pase a fase vapor. Si cierta cantidad de hielo se toma de un congelador a -20º C y se calienta, su temperatura se incrementa gradualmente hasta que el hielo comience a fundirse a 0º C ; durante el proceso de fusión permanece constante, hasta que todo el hielo pase a agua. Una vez que el hielo se funde la temperatura comienza a elevarse otra vez con una velocidad uniforme hasta que el agua empiece a hervir a 100º C, durante el proceso de vaporización la temperatura permanece constante, si el vapor de agua se almacena y se continúa el calentamiento hasta que toda el agua se evapore de nuevo la temperatura comenzará a elevarse.

50 | C E P R U 2 0 1 5 CALOR LATENTE DE FUSIÓN El cambio de fase de sólido a líquido se llama fusión y la temperatura a la cual este cambio ocurre se le llama punto de fusión. La cantidad de calor necesario para fundir una unidad de masa de una sustancia a la temperatura de fusión se llama calor latente de fusión. Así por ejemplo para el agua el calor latente de fusión es LF = 80 cal/g. CALOR LATENTE DE VAPORIZACIÓN El cambio de fase de líquido a vapor se llama vaporización y la temperatura asociada con este cambio se llama punto de ebullición de la sustancia. El calor latente de vaporización de una sustancia es la cantidad de calor por unidad de masa que es necesario para cambiar la sustancia de líquido a vapor a la temperatura de ebullición. Para el agua el calor latente de vaporización es Lv = 540 cal/g. Cuando cambiamos la dirección de la transferencia de calor y ahora se quita calor, el vapor regresa a su fase líquida, a este proceso se le llama condensación, el calor de condensación es equivalente al calor de vaporización. Así mismo cuando se sustrae calor a un líquido, volverá a su fase sólida, a este proceso se le llama congelación o solidificación. El calor de solidificación es igual al calor de fusión, la única diferencia entre congelación y fusión estriba en si el calor se libera o se absorbe. Es posible que una sustancia pase de fase sólida a gaseosa sin pasar por la fase líquida; a este proceso se le llama sublimación. La cantidad de calor absorbida por la unidad de masa al cambiar de sólido a vapor se llama calor de sublimación. VAPORIZACIÓN Existen tres formas en las que puede ocurrir dicho cambio: 1) Evaporación: se produce vaporización en la superficie de un líquido ( es un proceso de enfriamiento). 2) Ebullición: vaporización dentro del líquido. 3) Sublimación: el sólido vaporiza sin pasar por la fase líquida. METODO DE MEZCLAS: La Calorimetría, es la ciencia que mide la cantidad de energía generada en procesos de intercambio de calor. El calorímetro es el instrumento que mide dicha energía. El tipo de calorímetro de uso más extendido consiste en un envase cerrado y perfectamente aislado con agua, un dispositivo para agitar y un termómetro. Se coloca una fuente de calor en el calorímetro, se agita el agua hasta lograr el equilibrio, y el aumento de temperatura se comprueba con el termómetro. El calorímetro de mezclas es un recipiente aislado térmicamente, que en el caso de los utilizados en el laboratorio tiene aproximadamente 1 litro de capacidad. Se llama de mezclas porque en su interior se mezclan el agua fría y el agua caliente, o el agua con el sólido a estudiar. Tanto alrededor, como en su fondo y en su tapa, tiene una cubierta de fibra de vidrio, espuma de plástico o poliuretano que impide el flujo de calor hacia adentro o hacia fuera (recipiente adiabático). La tapa es removible para ingresar por ella el agua, o el sólido del cual quiere determinarse su calor específico. En su interior se encuentra una resistencia eléctrica, un agitador y un termómetro que salen al exterior por la tapa removible. El agitador sirve para lograr una buena mezcla del agua dentro del calorímetro ya que si no se mezclara, el agua quedaría estratificada a temperaturas levemente diferentes. En caso de que no exista el agitador, se podrá reemplazarlo agitando suavemente el recipiente a mano para lograr el mismo efecto. La resistencia eléctrica se encuentra en el medio del líquido para suministrar calor al líquido en caso de ser necesario. Sus 2 terminales eléctricos se encuentran en la tapa. En el siguiente esquema se observa un calorímetro de mezclas: TERMOMETRO

AGITADOR

CALORIMETRO

Fig.7 DIAGRAMA DE UN CALORIMETRO

Sea m y ce la masa y el calor específico del material que se desea determinar. El cuál se encuentra a una temperatura T . Sea además To , mo la temperatura del agua y la masa de la misma. Consideremos que m C, es la masa del calorímetro y ce cal

su calor específico correspondiente. La Ecuación fundamental de la Calorimetría está basada en la conservación de la

energía y si no hay pérdidas de energía hacia los alrededores: ∑ 𝑄𝑖 = 0 𝑖

La suma de todas las transferencias de calor es igual a cero. Esta afirmación es equivalente a decir que el calor que pierde un cuerpo a mayor temperatura es absorbido por los que lo rodean y se encuentra a menor temperatura. Por tanto al colocar en el calorímetro el objeto cuyo calor específico queremos determinar se tiene el siguiente balance de energía: m ce (T – TE ) = mcal ce cal (TE – To) + mo ce agua (TE – To ) despejando el calor específico del material: 𝑐𝑒 =

mcal (TE − To ) + mo ce agua (TE − To ) m(T − TE )

Expresión en la cual TE es la temperatura final de equilibrio que alcanza todo el sistema.

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 51

PROBLEMAS RESUELTOS 1) En un calorímetro de capacidad calorífica despreciable, el cual contiene agua a 30oC; se introduce 10 gramos de vapor de agua a 100 oC. En el equilibrio térmico, la mezcla alcanza una temperatura de 50 oC. Determinar la cantidad inicial de agua. SOLUCION Aplicando la ecuación fundamental de la calorimetría: ∑ 𝜕𝑄 = 0 , se tiene: -10x540 + 10x1(50-100) + m x 1 (50-30= 0, de donde la masa inicial de agua es: m = 295 gramos. 2) En un recipiente aislado se agregan 250 gramos de hielo a 0oC a 600 gramos de agua a 18 oC. Hallar la temperatura final del sistema. SOLUCION El agua a 18oC cede un calor Q1= 600x1x18 = 10 800 cal, el hielo para fundirse requiere Q2= 250x80 = 20 000 cal. Por tanto el calor cedido por el agua no puede fundir todo el hielo. Se concluye que la temperatura final del sistema es 0 oC. 3) ¿Qué cantidad de calor se debe extraer a 10 kg de vapor de agua a 160 oC, para obtener hielo a – 20 oC?. SOLUCION Enfriamiento del vapor a 100 oC : Q1= 10 x 0,48 (160-100) = 288 Kcal Condensación del vapor: Q2 = 10 x 540 = 5400 Kcal Enfriamiento del agua a 0oC : Q3 = 10 x 1 x (100 – 0) = 1000 Kcal Calor desprendido al forma hielo a – 20 oC : Q4 = 10 x 0,5 ( 20 – 0) = 100 Kcal. Por tanto el calor total que se debe extraer es: 7588 Kcal. EJERCICIOS

1) En un recipiente de capacidad calorífica despreciable se encuentran “m” gramos de hielo a 0º C. Se introducen en el 120 g de agua a 60º C, que permiten fundir exactamente todo el hielo ¿Qué cantidad de hielo había en el recipiente? 2) Se mezclan 20g de agua a 10ºC con 40g de agua a 40ºC. Hallar la temperatura final del agua 3) En un recipiente de capacidad caloríficadespreciable se mezclan 20g de hielo a una temperatura de -10ºC, con 200g de un metal a una temperatura de 60ºC, si

Cemetal  0,1cal / g º C ,halle la masa final del hielo 4) Se vierten 500g de hielo a -10 C en un gran reservorio de agua a 0 ºC. Hallar la masa de agua que se solidifica 5) Una cacerola con agua se coloca al sol hasta que alcanza una temperatura de equilibrio de 30 C , la cacerola esta echa de 100g de un metal cuyo calor especifico es de 0.2cal / g C y contiene 200g de agua. Para enfriar el sistema, se agregan 100g de hielo a 0 C. Halle la masa final del hielo. 6) Hallar la temperatura de equilibrio que resulta de mezclar, 40 g de agua a 20 oC, con 60g de agua a la temperatura de ebullición. Rpta. 68 oC 7) Cantidades iguales de calor se agregan a masas iguales de aceite y agua. La temperatura del agua se eleva en 10 oC y la del aceite en 15 oC. Hallar el calor específico del aceite. Rpta. 0,67 cal/g • oC 8) Raúl ha comido una hamburguesa de carne con queso(860 Cal) y una porción de papas fritas(200 Cal). Pensando que perdería estas calorías se interna en el gimnasio realizando levantamiento de pesas. ¿Cuántas veces deberá levantar pesas de 50 kg para lograr su cometido?. Suponer que Raúl levanta las pesas 1,9 m y que no gasta energía en bajar las pesas. 1Cal: describe el contenido de energía en los alimentos: 1 Cal = 103 cal; g = 10 m/s2; 1 cal = 4,18 J.

Rpta. 32 J 10) Una gran roca de mármol ( ce = 0,2 cal/g• oC) de 200 kg de masa cae verticalmente desde una altura de 150 m y choca con el terreno. Calcular el aumento de temperatura de la roca si permanece en ella el 50% del calor generado. Usar: g = 10 m/s; 1 J = 0,24 cal. Rpta. 0,9 oC 11) Una mezcla de agua y aceite está a 10 oC y contiene 15 g de agua y 20 g de aceite. ¿Qué cantidad de calor se requiere para calentar la mezcla hasta 30 oC?. El calor específico del aceite es de 0,6 cal/g• oC. Rpta. 540 cal 12) En un recipiente de capacidad calorífica despreciable, se mezclan “m” kg de agua a 15 oC con “2m” kg de agua a 75 oC; cuando se alcanza el equilibrio térmico se vuelve a echar al recipiente “5 m” kg de agua a 79 oC. ¿Cuál será la temperatura de equilibrio al finalizar el proceso?. Rpta. 70 oC 13) En una plancha de níquel de 0,8 cm de espesor y una diferencia de temperaturas entre sus caras de 64 oC, se transmite 6,67 Kcal/min, a través de área de 100 cm2 perpendicular al flujo de calor. Calcular la conductividad térmica del níquel. Rpta. 5,85 W/m•K 14) En un horno eléctrico se hace un pequeño orificio de 1 cm2 de área( a modo de cuerpo negro) en una de sus paredes que está a 1727 oC. Hallar la potencia radiada a través del orificio. σ = 5,67x10-8 W/m2•K4. Rpta. 284,86 W 15) Un metal de 100g de masa a una temperatura de 80º C, se vierte sobre una gran masa de Hielo a 0ºC. Hallar la masa de hielo que se derrite.

C eMetal  0.1

Rpta. 4664 veces. 9) La masa de una bola de acero es de 1 kg, al ser soltada impacta en el suelo con una rapidez de 10 m/s y rebota con una rapidez 6 m/s. ¿Qué cantidad de calor se produce?. 1 J = 0,24 cal.

cal cal cal L C  0.5 F Hielo  80 g g º C , eHielo gº C ,

16) ¿Cuál es la máxima cantidad de hielo a 0 oC, que se puede derretir en 0,4 L de agua que está a 20 oC?. Rpta. 100 g

52 | C E P R U 2 0 1 5 17) Un cubo de hierro de 0,8 kg se extrae de un horno a 300 oC y se coloca sobre un enorme bloque de hielo a 0 oC. ¿Qué cantidad de hielo se derretirá?. El calor específico del hierro es 0,107 cal/g• oC. Rpta. 321 g 18) ¿Desde qué altura se debe soltar una bola de plomo a 27 oC, para que al chocar contra el suelo se funda por completo?. Para el plomo: Tfusión = 327 oC; Lfusión = 6 cal/g; ce = 0,0305 cal/g•K; g = 10 m/s2; 1 cal = 4,18 J. Rpta. 6332,7 m 19) Se tiene un calorímetro de 350 gramos de masa y de calor específico 0,2 cal/g• oC, el cual está lleno con 100 gramos de agua a 20 oC. Si se introduce un cubo de hielo de 30 gramos a -10oC.Calcular la temperatura final del conjunto. Rpta. 4,25 oC 20) Se

mezclan

tres

sustancias

cuyos

datos

son:

m1  100 g , ce1  0,1cal / g º C, T1  10 º C , m2  400 g , ce 2  0,2cal / g º C, T2  30 º C , halle la temperatura final de equilibrio

21) En una caldera de hierro de 10 kg de masa hay 20 kg de agua a 10 ºC. Hallar el calor que se debe suministrar al caldero, junto con el agua Para hervir el

0, 01 cal/g º C

.

22) Un depósito contiene 100 g de agua a una temperatura de 20 ºC. Al interior del mismo vierten 200 g de agua a 80 ºC. Suponiendo que todo calor perdido por el agua caliente que haya sido absorbido por el agua fría, halle la temperatura final de la mezcla. 23) Un taladro emplea una potencia de 300 W para perforar esferas de acero de 2 kg, trabajo que demanda de 5 minutos. Hallar el incremento de la temperatura de las esferas sabiendo que estas absorben el 60% del calor desarrollado por la fricción. El calor específico del acero es

0,12 cal/g º C

(

1J  0, 24 ca l ). 24) En un calorímetro de capacidad calorífica despreciable se mezclan cien volúmenes de agua cuyas masas y temperaturas correspondientes son: 1g a 1 ºC, 2 g a 2 ºC, 3 g a 3 ºC, … , 100g a 100 ºC. Hallar la temperatura de equilibrio.

25) En un calorímetro de cobre se mezclan 50 g de agua

cuya temperatura es de 40 ºC con 200g de agua hirviendo, llegado el equilibrio el termómetro del calorímetro marca 70 ºC. Hallar el equivalente en agua del calorímetro. La temperatura inicial del calorímetro era 20 ºC.

26) Tres líquidos A, B y C se mantienen a las temperaturas

TA TB ,

y

TC

. Cuando se mezclan masas iguales de

TAB

A y B, la temperatura de la mezcla es y cuando se mezclan masas iguales de B y C, la temperatura es

T

30) Se suelta un bloque de hielo de 100g desde una altura de 48m, si debido al impacto con el suelo toda la energía mecánica del hielo se convierte en calor, indique la masa de hielo que se derrite. 31) Una esfera de cobre de 2 cm de radio, se calienta en un horno a 400 oC. Si su emisividad es de 0,3. ¿A qué tasa radia energía?. Rpta. 17,4 W 32) El Sol radia energía desde su superficie a una tasa de 6,5 x 107 W/m2. Suponiendo que el Sol se comporta como un cuerpo negro(lo cual es aproximadamente cierto); encontrar la temperatura superficial.} Rpta. 5800 K 33) Hallar el número de Kcal, que se conducen por día a través de una ventana de vidrio de 1,5 m x 2,5 m x 8 mm, cuyas caras interior u exterior se encuentran a 18 oC y 4 oC respectivamente. Para el vidrio k = 1,9 x 104Kcal/m•s• oC. Rpta. 1,31 x 105 Kcal /Día

m3  1200 g , ce3  0,4cal / g º C, T3  50 º C ,

agua. El calor específico del hierro es

Rpta. 0,625 g

T

BC , Determinar la temperatura AC que se obtienen mezclando masas iguales de A y C.

27) Hallar la cantidad de agua que se vaporiza cuando a un litro de agua que está a 80 oC, se le suministra 25,4 Kcal. Rpta. 10 g 28) ¿Cuántos gramos de agua a la temperatura de ebullición se deben mezclar con 10 gramos de hielo a 0 oC, para lograr obtener una temperatura de equilibrio de 40 oC?. Rpta. 20 g 29) En un lago a 0 oC, se colocan 10 gramos de hielo que está a – 10 oC. ¿Cuánto mas de hielo se formará?.ce Hielo = 0, 5 cal/g• oC.

34) Una lámina de un aislador térmico, tiene 100 cm2 de sección transversal y 2 cm de espesor. Su conductividad térmica es de 2 x 10-4 cal/cm•s• oC. Si la diferencia de temperaturas entre las caras opuestas es de 100 oC. ¿Cuántas calorías pasarán a través de la lámina por día?. Rpta. 8,64 x 104 cal/Día

400 g

35) Un vaso de aluminio tiene una masa de y está a la temperatura de 20 ºC, en él se depositan 60 g de aceite cuya temperatura es 30 ºC y también 40 g de agua calentada hasta 80 ºC. Hállese la temperatura de la mezcla. El calor específico del aluminio es

0, 2 cal/g º C . El calor específico del aceite es 0, 5 ca l/g º C . 36) Los geofísicos han calculado que, en promedio la temperatura de la corteza terrestre se eleva en 1 oC por cada 30 m de aumento en la profundidad. La conductividad térmica de la corteza terrestre es de 0,75 W/m• oC. ¿A qué velocidad pierde la Tierra el calor de su núcleo?. Asumir que el radio terrestre es de 6 x 106 m, π= 3. Rpta. 1,08 x 1013 J/s 37) Se desea obtener cubitos de hielo a –20 ºC de 5 g cada uno, si se dispone de agua a 25 ºC, ¿Qué calor debe ser extraído para obtener cada uno de estos cubos? el calor específico del hielo es

0, 5 ca l/g º C .

38) El agua de un radiador de automóvil hierve a 100 ºC, a razón de medio litro cada 30 minutos, averigüe la potencia en caballos vapor que pierde por este motivo. 39) ¿Qué cantidad de agua se puede llevar al punto de ebullición (a presión atmosférica normal), consumiendo 3 kWh de energía? La temperatura inicial del agua es 10 ºC, se desprecian las pérdidas de calor. 40) Se tiene un recipiente vació del cual se abren dos caños, cada uno de ellos vierte agua, a razón de 10 litros/minuto, a la temperatura de 60°C y el otro, a razón de 15 litros/ minuto a la temperatura de 20°C. La temperatura de equilibrio, es: a) 60°C

b) 36°C

c) 20°C

d) 16°C ……e) 45°C

41) En la figura se muestra una bala de 250 gramos, que se mueve con una velocidad de 20m/s, la cual impacta contra el bloque de madera cuya masa es 3,75 Kg.; incrustándose en ella. La velocidad que posee el conjunto después del impacto, es: a) 5 3m / s b) 5 3 c) 5 m / s m/s 8 8 d) 5 3 m / s e)

10

3 m/s 10

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 53

ECUACION DEL SISTEMA DE GAS IDEAL La termodinámica estudia las trasformaciones de una forma de energía en otra y el intercambio de energía entre dos sistemas. En otras palabras estudia la relación entre calor, trabajo y energía; en particular de la conversión del calor y trabajo. La termodinámica en la ciencia que estudia que se encarga solamente del estudio de las transformaciones del calor en trabajo. Definiciones previas. Sistema aislado.- es aquella región de espacio que se aísla en forma real o imaginaria, con el fin de poder estudiar lo que ocurre dentro de ella. Durante este estudio, la materia no debe salir ni entrar. Sustancia de trabajo.-Es aquel elemento que se utiliza primero como medio de transporte del calor que luego intervienen en la transformación del calor en trabajo. Generalmente se utiliza: Vapor de agua, Combustible, Gases ideales. Gases Ideales.-Llamado también gases perfectos. Son aquellos en los cuales se tiene las siguientes consideraciones ideales.  Sus moléculas tienen dimensiones propias (volumen) despreciable.  Sus moléculas no interaccionan entre sí, esto indica que su energía potencial es despreciable.  Los choques contra las paredes del recipiente son elásticos. ECUACION DE ESTADO PARA PROCESOS ISOCORICOS, ISOBARICOS E ISOTERMICOS P Estados Termodinámicos.-para un gas ideal, el estado termodinámico es una situación específica del gas definida por sus propiedades termodinámicas, estas son la presión absoluta (P), el volumen (V) y la temperatura absoluta (T). T ,V , P Estas propiedades termodinámicas del gas ideal se relacionan con la ecuación de estado. 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 V Donde: p: presión absoluta (N/m2); V: volumen (m3); n: número de moles del gas ideal (mol); T: temperatura absoluta (ºK) R: constante universal de los gases ideales. 𝐽 T 𝑅 = 8,31 ; 𝑚𝑜𝑙 𝐾

Proceso Termodinámico.- Si un gas ideal debe ser llevado de un estado inicial (O) hasta un estado final (F) apreciamos que el gas pasa por estados intermedios, luego: EL proceso termodinámico viene a ser la secuencia del estado que sigue el gas desde un estado inicial a otro estado final. En la figura se muestra el proceso termodinámico de (O) a (F) Existe una gran cantidad de procesos, pero los más importante son:

p F 0

a)

Proceso Isócoro: Es aquella secuencia de estados en el cual el volumen permanece constante, también es llamado isovolumétrico. En el plano P-vs-V el proceso isócoro se representa por una recta vertical.

O

V0

VF

V

p

p F

0

F

V0

VF

0 O b) c)

V

V0=V

O

F

Proceso Isobárico.- Es aquel proceso en el cual la presión del gas permanece constante. En el plano P-vs-V el proceso isobárico se representa mediante una recta horizontal. Proceso Isotérmico: Este proceso se caracteriza porque la temperatura del gas ideal permanece constante. En el plano P-vs-V el proceso isotérmico se representa mediante una hipérbola equilátera.

p

p 0

0 F O d)

V

V0

VF

F V O

V0

VF

V

Proceso Adiabático.- Es aquel proceso en el cual el gas ideal no recibe ni cede calor al medio ambiente. Una rápida compresión podría considerarse como un proceso adiabático. En el plano P-vs-V el proceso adiabático es semejante a una isoterma pero con mayor pendiente. MEZCLA DE GASES-LEY DE DALTON En una mezcla de gases la presión total es igual a la suma de las presiones parciales de los componentes. La presión parcial de un gas componente de la mezcla es la presión que ejercería dicho gas si ocupara todo el volumen de la mezcla. La ley de Dalton es solo cierta en el caso de los gases perfectos. Sin embargo, a presiones inferiores a unas cuantas atmosferas, las mezclas de gases se comportan con gases perfectos y se puede aplicar esta ley en todos los cálculos.

54 | C E P R U 2 0 1 5

TRABAJO TERMODINAMICO Trabajo de un gas: Cuando el gas se dilata, desplaza los cuerpos que lo rodean (Pistón), ósea produce trabajo. El gas encerrada produce trabajo sobre el ambiente que lo rodea debido a que cambia de volumen. A todo cambio de volumen corresponde un trabajo de gas. V En el diagrama: P: presión que ejerce el gas encerrado sobre el pistón. Pe: presión que ejerce el medio ambiente (exterior) sobre el pistón. Si el proceso es lento (Cuasiestático). 𝑝 = 𝑝𝑒 Si el proceso del gas varía de Vo a VF debido a la influencia de la presión del gas, la presión y el volumen del gas se relacionan según el proceso que sigue el gas, luego: El trabajo que realiza un gas depende del volumen final, volumen inicial y de la trayectoria o proceso termodinámico que sigue el gas. En el diagrama P-V observamos dos procesos termodinámicos que tienen los mismos estados inicial y final. p

p

pe

p F

A

F O O

0

B

V0

W

V

VF

O V0

V

VF

Los estados inicial (O) y final (F) son iguales pero por tener trayectorias o procesos diferentes los trabajos de "O" hacia "F" también serán diferentes. 𝑊𝑂𝐴𝐹 ≠ 𝑊𝑂𝐵𝐹 i. Calculo del Trabajo (W) En un diagrama P- V el trabajo que produce un gas es igual al área bajo la curva (Proceso). En un proceso de expansión ósea cuando el volumen del gas aumenta, el trabajo es positivo (+W). OF: El volumen aumenta (expansión)

p

p VF˃ VO

VF˂ VO

F

0

0 W

O

F

V0

W V

VF

O

V0

VF

V

En un proceso de compresión, ósea cuando el volumen del gas disminuye, el trabajo es negativo (-W). OF: El volumen disminuye (compresión) ii. Trabajo de un gas en un Proceso Isócoro (V: cte).- En un diagrama P - V el proceso isócoro se representa por un segmento vertical, esto indica que no hay área bajo la curva. En un proceso isócoro el gas no produce trabajo, por no haber variación de volumen. W =0.

p

p

W = p(VF – VO) F 0

F VF = V0 =V

W 0 O

O

V

V0=VF

V0

VF

V

iii. Trabajo de un gas en un Proceso Isobárico (P: cte) En un diagrama P - V observamos que el trabajo equivale al área de un rectángulo. 𝑊 = 𝑝(𝑉𝐹 − 𝑉𝑂 ) Está fórmula solamente debe ser usada cuando la presión del gas sea constante. iv. Trabajo de un gas en un Proceso Isotérmico (T: cte) Es un diagrama P-V la curva es una hipérbola, el trabajo sería el área sombreada pero en la geometría euclidiana no se enseña el cálculo de este tipo de áreas (observe que uno de los lados es una curva); es necesario conocer ia matemática diferencial e integral, por ello el área será dada directamente. A=W

p

p

0 0 W

F W O

V0

VF

V

O

V0

F VF

V

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 55 𝑉𝐹 𝑝𝐹 𝑉𝐹 − 𝑝𝐹 𝑉𝑂 𝑊 = 𝑛𝑅𝑇 𝑙𝑛 ( ) 𝑊 = 𝑉𝑂 1−𝛾 n: Número de moles de gas. γ: coeficiente adiabático R: Constante universal de los gases ideales. T: Temperatura absoluta. VF: Volumen final. Vo: Volumen inicial. pF: presión final. po: presión inicial. La fórmula solamente debe ser usada cuando la temperatura es constante. v. Trabajo de un gas en un Proceso Adiabático.- al igual que en el proceso isotérmico el trabajo es el área sombreada pero el cálculo de esta área necesita de la matemática diferencial e integral. En los procesos isotérmicos y adiabáticos los trabajos son hallados con el cálculo diferencial e integral. Recordemos que la adiabática tiene numéricamente mayor pendiente que la isoterma. Observación: En el proceso adiabático como en cualquier proceso usamos: 𝑝𝑜 𝑉𝑜 𝑝 𝑉 = 𝐹 𝐹. 𝑇𝑜

𝑇𝐹

Además de ésta ecuación en el proceso adiabático también se puede usar: 𝛾 𝛾 𝑝𝑜 𝑉𝑜 = 𝑝𝐹 𝑉𝑜 Capacidad Calorífica Molar de un Gas Ideal.- Existen diversas maneras de cómo podemos calentar el agua, para cada uno de estos procesos es necesario una cantidad de calor diferente. El calor necesario pana él calentamiento de un gas depende del proceso elegido Existen dos procesos especiales para el calentamiento de un gas. B A a) A volumen constante (V: cte) b) A presión constante (p: cte) a) Capacidad Calorífica Molar a Volumen Constante (Cv) T Es la cantidad de calor que necesita un mol de una sustancia para que su GAS temperatura varíe en una unidad de grado, sin que varíe su volumen. Observe que los tornillos A y B impiden que el volumen del gas varié. ∆𝑇: Variación de la temperatura. QV: calor suministrado a volumen constante. n: Números de moles. QV 𝑄 Luego: 𝐶𝑉 = 𝑉 de donde𝑄𝑉 = 𝑛𝐶𝑉 (𝑇𝐹 − 𝑇𝑂 ) b)

𝑛 ∆𝑇

Capacidad Calorífica Molar a Presión Constante (Cp) Es la cantidad de calor que necesita un mol de una sustancia para que su temperatura varíe en una unidad, sin que varíe su presión Observe que la presión sobre el pistón (P) permanece constante mientras que el volumen va aumentando. Qp: Calor suministrado a presión constante. n: Numero de moles de gas. ∆𝑇: Variación de la temperatura. 𝑄 Luego: 𝐶𝑝 = 𝑝 de donde𝑄𝑝 = 𝑛𝐶𝑝 (𝑇𝐹 − 𝑇𝑂 ) 𝑛 ∆𝑇

"Qp" es mayor que "Qv" debido a que Qp no solamente calienta W gas sino fue también permanente que el gas se dilate (el pistón sube) Luego: 𝐶𝑝 > 𝐶𝑉 CV (cal/mol K) Cp (cal/mol K) Gas MONOATOMICO

3

5

DIATOMICO

5

7

La relación entre Cp y Cv se denomina coeficiente adiabático, siendo 𝛾 =

𝐶𝑝 𝐶𝑉

ENERGIA INTERNA DE UN GAS IDEAL La energía cinética de traslación Ec. de las moléculas de un gas ideal está relacionada con la temperatura absoluta T por la ecuación 3 𝐸𝐶 = 𝑛𝑅𝑇 2

En donde es el número de moles del gas y R es la constante universal de los gases si de consideran que esta energía de traslaci0on constituye toda la energía interna del gas, esta ultime dependerá únicamente de la temperatura del gas y no de su volumen o de su presión. Escribiendo u en lugar de Ec, se tiene 3 U= nRT 2

a. Energía Interna de un Gas Ideal (U) Para cualquier sustancia; sólida liquida o gaseosa la energía interna se debe a la interacción y al movimiento desordenado de sus moléculas. La energía interna (U) de una sustancia está ligada al comportamiento microscópico de sus moléculas. En el caso de un gas las moléculas están "relativamente" alejadas unas de otras de modo que la interacción molecular es despreciable, ósea: En un gas, la energía interna se debe a la energía cinética de sus moléculas, especialmente la energía cinética de traslación Se puede observar que si la temperatura de un gas es mayor, sus moléculas tendrán mayores velocidades de traslación, luego: La energía interna de un gas es una función directa de la temperatura absoluta U=f (t)… (q) Esto indica que si la temperatura del gas permanece constante, la energía interna no cambiará. b. Variación de la Energía Interna (∆𝑼) De lo anterior, sabemos que la energía interna de un gas depende exclusivamente de la temperatura, luego: Las variaciones de energía (∆𝑼) en un gas suceden solamente cuando hay p variaciones de temperatura (∆𝑇) Cuando la temperatura de un gas cambia, el gas sigue cierto proceso, pero como F A la energía interna (U) del gas depende solamente de la temperatura entendemos que: La variación de la energía interna (∆𝑼) de un gas depende solamente de las temperaturas final (𝑇𝐹 ) e inicial mas no del proceso que sigue el gas.

O O

V0

B VF

V

56 | C E P R U 2 0 1 5 Ejemplo: En el diagrama P-V observamos dos procesos OAF y OBF que parten del mismo estado inicial (O) y terminan en el mismo estado final (F) pero siguiendo caminos diferentes; Como la variación de la energía interna (∆𝑼) de un gas depende solamente del inicio (O) y del final (F) pero no del proceso afirmamos que: ∆𝑈𝑂𝐴𝐹 = ∆𝑈𝑂𝐵𝐹 PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA Cuando suministramos calor (Q) a un gas podemos observar que la temperatura se incrementa y que el gas se expande, si varía la temperatura podemos decir que varía la energía interna (∆𝑼) del gas, y sí se expande entenderemos que el gas produce trabajo (W). Luego: “El calor entregado a un gas es empleado para variar La energía interna y para que el gas produzca trabajo” 𝑄 = ∆𝑈 + 𝑊 Esta ley representa simplemente un balance de energía, estableciéndose que la energía no se pierde sino que se transforma. i. Primera ley en el proceso isócoro.- En un proceso isócoro el volumen permanece constante, ósea no hay variación de volumen, por lo tanto el gas no produce trabajo. 𝑊=0 Aplicando la primera ley, calor suministrado a volumen constante tenemos que: Como la variación de la energía (∆𝑈) no depende del proceso, en cualquier proceso la variación de la energía podrá hallarse con: ∆𝑈 = 𝑛𝐶𝑉 ∆𝑇 𝑄𝑉 = 𝑛𝐶𝑉 ∆𝑇 ii. Primera Ley en el Proceso Isobárico. En un proceso ISOBARICO el trabajo se halla con 𝑊 = 𝑛𝑅∆𝑇 Observe que en cualquier proceso ∆𝑈 se halla con ∆𝑈 = 𝑛𝐶𝑝 ∆𝑇 𝑄𝑝 = 𝑛𝐶𝑝 ∆𝑇 iii. Primera Ley en el Proceso Isotérmico En un proceso ISOTÉRMICO la temperatura permanece constante, luego no hay variación de energía interna. ∆𝑈 = 0 𝑉 En un proceso Isotérmico el trabajo se halla con: 𝑊 = 𝑛𝑅𝑇𝑙𝑛 ( 𝐹 ) 𝑉𝑂

Calor suministrado a temperatura constante, es:

𝑉

𝑄𝑇 = 𝑛𝑅𝑇 ( 𝐹 ) 𝑉𝑂

En el proceso ISOTÉRMICO teórica-mente todo el calor suministrado se convierte en trabajo. iv. Primera Ley en el Proceso Adiabático.- En este proceso ADIABÁTICO no hay transferencia de calor 𝑄=0 Luego aplicando la primera ley tenemos: 𝑊 = −∆𝑈 En el proceso ADIABÁTICO el gas produce trabajo a consta de su energía interna. c.

Ciclo termodinámico.- Cuando la sustancia de trabajo luego de sufrir varios procesos vuelve hasta su estado inicial (o) decimos que ha sucedido un ciclo termodinámico. En un ciclo termodinámico el estado inicial y el estado final coinciden Los ciclos termodinámicos pueden ser horarios o antihorarios.

d.

Trabajo (W) en un Ciclo Termodinámico.- En un diagrama P-V en trabajo equivale al área que encierra el ciclo termodinámico, considerándose que: a) Si el ciclo es horario el trabajo neto es positivo (+W) b) Si el ciclo es anti horario el trabajo neto es negativo (-W) SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA a) Motores o Maquinas Térmicas.- Generalmente es llamado motor a cualquier aparato que transforma cualquier energía en energía mecánica. Los motores TÉRMICOS son aquellos aparatos que transforman la energía térmica (CALOR) en TRABAJO. Existen diversas máquinas térmicas: MOTORES DE VAPOR, puede ser: Máquinas de vapor Turbinas de vapor MOTORES DE COMBUSTIÓN INTERNA MOTORES DE GASES CALIENTES b) Segundo principio de la Termodinámica Para entender esta ley recordemos el funcionamiento de un motor de combustión interna. El combustible (gasolina) colocado en el cilindro del motor al ser quemado libera su energía interna en forma dé calor "QA" aumentando violentamente la presión y la; temperatura de los gases del cilindro. El aumento de la presión y la temperatura en el interior del cilindro dilatan los gases empujando los pistones moviendo de este modo el mecanismo interno del motor realizándose un trabajo "W". c) Ensuciados del segundo principio de la termodinámica: 1.- Es imposible extraer calor de un sistema a una sola temperatura y convertirla en trabajo mecánico sin que el sistema o los alrededor cambien de algún modo 2.- No es posible ningún proceso espontaneo cuyo único resultado sea el paso del calor (energía térmica) de un objeto a otro de mayor temperatura 3.-Es imposible que una maquina térmica trabaje cíclicamente sin producir ningún otro efecto que extraer calor de un solo foco realizando una cantidad de y trabajo exactamente equivalente

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 57

EJERCICIOS

1) Un gas se mantiene a presión constante si su temperatura varía desde 50 a 100°C en que factor varia su volumen 2) una vasija de 10 L contiene gas a 0°C y a una presión de 4 atm ¿cuántos moles de gas hay en la vasija? 3) Hallar el trabajo de 1 a 2, si la temperatura en el estado 2 es de 127ºC el número de moles de gas es n = 2moles. atm   V(  ) mol º K 1 R = 0.08 20

8

2

T(K )

isotérmicamente hasta que alcance su volumen original. Finalmente se le aumenta a la presión isocoricamente hasta que el gas retorna a su estado inicial ¿hallar el trabajo realizado durante el ciclo, tomar ɤ=1.4? 13) Se tiene un gas monoatómico que se calienta mediante un proceso isovolumétrico desde la presión de 10 kPa hasta 20 kPa. Sabiendo que la energía interna se incrementó en 60 kJ, calcular el volumen del gas. (en m3) 14) En un cilindro cuya sección tiene un área de 0,4 m2 se encuentra un gas ideal que se expande realizando un trabajo de 130 J. Calcular el desplazamiento del émbolo cuando el gas pasó del estado 1 al estado 2.(en m) P (Pa) 1

4) Halle el trabajo en el ciclo termodinámico considere ln2=0,7 P  pa 

160

3 2 V (m )

100

1

20

5 Isoterma

P (Pa) 10

1

3

2

2

80

 

20

V m3

V (m3) 8

5) Una habitación tiene 5mx6mx3m. Si la presión del aire en ella es una atmosfera y su temperatura es 300K, ¿hallar el número de moles de aire que salen de la habitación? 6) El punto de ebullición del helio a una atmosfera es 4.2K ¿cuál es el volumen ocupado por el gas helio al evaporarse 10 g de helio liquido a la presión de un atm y una temperatura de 4.2 K? 7) Un recipiente con volumen de 6 L contiene 10g de helio líquido. Cuando el recipiente se calienta a la temperatura ambiente ¿cuál es la presión ejercida por el gas sobre sus paredes?

15) Un gas experimenta una expansión isobárica desde 27 ºC. Calcular la temperatura final del proceso en ºC. n=4 mol, (R=8 J/mol K) 16) Un gas ideal experimenta una expansión adiabática 3

de acuerdo a la ley 𝑝𝑉 2 = 𝑐𝑡𝑒. Calcular el trabajo realizado por el gas, sabiendo además que el volumen se cuadruplica al pasar del estado 1 al 2. (en J)

P (Pa) 800

1 adiabática

8) Un gas diatomico realiza 300 J de trabajo y adsorbe 600cal calor ¿Cuál es la variación de energía interna experimentada por el gas? 9) Indicar en cual de los procesos termodinámicos el gas pierde calor: P A

Adiabatica D

2 0

V (m3)

1

17) En el proceso termodinámico mostrado, hallar la variación de energía interna del sistema (en J) si éste cede 400 J de calor. P (Bar)

b

6 B

C c 2

10) Una bala de plomo inicialmente A 30 g C se funde al golpear en blanco. Suponiendo que toda la energía cinética del inicial de la bala se convierte en energía interna de la misma para elevar su temperatura y fundirla ¿cuál es su velocidad en el momento del impacto? 11) Una maquina con una producción de 200W tiene un rendimiento del 30%. Trabaja a 10ciclos/s ¿Cuánto trabajo se realiza en cada ciclo? 12) un gas ideal a 300K ocupa un volumen de 0.5 m3 el gas se expande adiabáticamente hasta que su volumen es de 1.2 m3. A continuación se le comprime

a V (lt)

V

2

4

P (Pa) 1

2

5

15

300

V (m3) 0

58 | C E P R U 2 0 1 5 18) Un gas ideal monoatómico experimenta una expansión isobárica. Calcular la cantidad de calor que se necesitó proporcionar al gas. (en kJ) 19) Cierto gas monoatómico se expandió isobáricamente de modo que su temperatura pasó de 27 ºC a 127 ºC. Si el calor absorbido durante el proceso fue 400 J, calcular cuántos moles de gas había en el recipiente. (R=8 J/mol K) 20) Cierto gas ideal triplica su volumen en un proceso isotérmico a la temperatura de -9,4 ºF. Si en dicho proceso el gas absorbe 750 J de calor, determine el número de moléculas que lo conforman. (ln(3)=1, k = 1023 J/K) 21) Sabiendo que el ciclo mostrado lo realiza una máquina térmica y que en cada ciclo recibe 1500 J de calor, hallar su eficiencia. (en %)

32) un recipiente 250cm3 contiene criptón a una presión de 500 mm de mercurio. Otro recipiente de 450 cm3 está lleno de helio a una presión de 950mm de mercurio. Se mezcla el contenido de ambos recipientes abriendo una válvula de conexión. Suponiendo que todas las manipulaciones se realizan a temperaturas constantes. ¿Hallar la presión total de la mezcla y la proporción en volumen de cada gas componente? Se desprecia el volumen de la válvula y tubería de conexión. 33) Un cilindro con área de la base de 2m contiene un gas ideal que se expande isotermicamente desplazando el embolo a una altura de 10 cm. Calcular la cantidad de calor (Kcal), que se le 2

suministra al gas con una presión de (1J=0,24cal)

P (Pa) 1

g

La masa molar del gas B es MB = 40 m ol

2

a) 8,2

250

3 V (m3) 7

12

22) Hallar el trabajo en el ciclo termodinámico, si la temperatura en el estado A y C es de 100º K y 400º K respectivamente: P(Pa) C

2

B

A

2

4

8

3

V(m )

23) Una máquina térmica trabaja entre las temperaturas de 27 ºC y 227 ºC, absorbiendo 600 J de calor y cediendo al exterior 420 J de calor ¿Cuál es su eficiencia? (en %) 24) Un sistema termodinámico cuya energía interna es 500 cal es sometido a un proceso isocórico. Si al sistema se le proporciona 1 Kcal. ¿Cuál será entonces, su energía interna final?. (en Kcal.) 25) Una máquina térmica posee una eficiencia del 40%. Cuando recibe 5000 kJ de calor de la fuente de alta temperatura, hallar QB. (En kJ) 26) Una máquina térmica que trabaja a 10 ciclos tiene una producción de 300 J de trabajo total por los 10 ciclos, si la máquina posee un rendimiento de 0,3 ¿cuánto calor absorbe y cuánto calor cede en cada ciclo? (en J) 27) En un proceso isobárico, el gas ideal aumenta su volumen en un 20%. Halle el porcentaje en el que varia su temperatura 28) Hallar el cambio de entropía (en J/K) en un proceso isotérmico de 0,8 mol de un gas ideal, si su volumen varía de 1,5lt a 3lt. (ln2=0,4, R=8 J/mol K) 29) Al pasar de un estado a otro en un proceso isotérmico el gas ideal triplica su volumen. Halle la presión final , si se sabe que inicialmente la presión del gas fue de 10kPa 30) 100 g de una sustancia a 127 ºC se transforma en vapor a 127 ºC, hallar el cambio de entropía (en cal/K), si su calor latente de vaporización es LV = 640 cal/g. 31) Una mezcla de dos gases A y B cuyo volumen es de 10m3 contiene 40moles. Si se sabe que el número de moles del gas A es de 10moles. Hallar la densidad de la mezcla. g m La masa molar del gas A es MA = 30 ol

c) 4,8

d) 6,9

e) 9,6

34) Calcular la potencia desarrollada en un minuto de una maquina termica que recibe 1200J de calor y que funciona a las temperaturas de 727°C y 17°C; si su rendimiento real coincide con el rendimiento ideal.

4 100

b) 4,3

2 x10 5 Pa

a) 16,4W

b) 8,3W

c) 14,2W

d) 9,4W

e) 4,2W

35) Se tiene una mezcla de tres gases con igual número de moles, dentro de un volumen de 10m3. Indique la alternativa incorrecta: a) La temperatura de los tres gases es la misma. b) La presión que ejerce cada uno de los gases es la misma. c) El volumen de cada uno de los gases es el mismo. d) Las densidades de los gases son diferentes. e) El calor específico de los gases es diferente. 36) El número de moléculas de la mezcla de tres gases A, 23 B y C es de 25 x10 , donde el 30% está compuesto por el gas A; el 20% por el gas B y el 50%, por el gas C. Si la mezcla ocupa un volumen de 690 litros en condiciones normales de temperatura, la presión parcial (en Pa.) del gas B, es: ( K  1,38 x10 a) 3850

b) 5880

23

J / K )

c) 1250

d) 2730

e) 6873

37) La densidad (masa por unidad de volumen) de un gas 3 ideal es 5 Kg / m . Si la presión del gas es 831 KPa y su temperatura 27°C, establecer la masa molar de dicho gas. Considerar la constante universal de los gases: J R  8,31 mol  K a) 18 g/mol b) 30 g/mol c) 14g/mol d) 7g/mol e) 15g/mol 38) Indique cuál de las alternativas es incorrecta: a) El trabajo en un proceso isócoro es siempre igual a cero. b) En un proceso adiabático, el gas al realizar trabajo gasta su energía interna. c) En un proceso isotérmico, la energía interna del gas no varía. d) La energía de un gas ideal solo depende del movimiento interno de sus moléculas. e) Una máquina de vapor puede transformar todo el calor que recibe en trabajo. 39) De acuerdo al segundo principio de la Termodinámica podemos afirmar que: a) Los sistemas termodinámicos evolucionan buscando establecer estados con menor grado de desorden y menor entropía b) Los sistemas termodinámicos evolucionan buscando establecer estados con mayor grado de desorden c) en la naturaleza no puede existir maquinas térmicas de primera generación d) En la naturaleza pueden existir maquinas térmicas de segunda generación e) En todo proceso termodinámico se conserva la energía.

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INTRODUCCIÓN Una de las propiedades fundamentales de la materia es la carga eléctrica. Esta propiedad se manifiesta a distancia, a través de la ley de interacción eléctrica entre cuerpos cargados, conocida como la LEY DE COULOMB. La cantidad de carga que posee un cuerpo depende de la carga fundamental (la que posee el electrón) y esta a su vez producirá en la región de su entorno un campo eléctrico y un potencial eléctrico. ELECTROSTÁTICA: Es una parte de la Física que estudia las propiedades de las cargas eléctricas en reposo. ELECTRICIDAD: Es el fenómeno que producen los electrones al trasladarse de un punto a otro.

CARGA ELÉCTRICA Es una cualidad o propiedad del cuerpo la cual se da por el exceso o defecto de electrones. CARGA FUNDAMENTAL: carga elemental, carga mínima en la naturaleza; la carga del electrón es igual a la carga elemental. Hay dos clases de carga eléctrica: Carga eléctrica positiva: Cuando los átomos del cuerpo pierden electrones (defecto de electrones); ejemplo una barra de vidrio se carga positivamente cuando es frotada con una tela de seda. Carga eléctrica negativa: Cuando los átomos del cuerpo ganan electrones (exceso de electrones), por ejemplo, una barra de plástico (o resina) se carga negativamente cuando se frota con una tela de lana. UNIDADES DE LA CARGA ELÉCTRICA EN EL SI: La unidad de la carga en el S.I. es el Coulomb (C). CONDUCTOR ( conductor de la electricidad): Es aquel cuerpo en el cual las cargas eléctricas se mueven libremente sin encontrar mayor resistencia: como ejemplos tenemos los metales, el cuerpo humano, etc. DIELÉCTRICO o aislador (mal conductor de la electricidad): Es aquel cuerpo que no posee carga libre. ELECTRIZACIÓN: Cualquier sustancia se puede electrizar (cargar) al ser frotada. En un cuerpo neutro (no electrizado) el número de protones es igual al número de electrones. Pero si frotamos dos cuerpos entre si hay transferencia de electrones de un cuerpo hacia el otro, entonces el que pierde electrones presenta defecto de electrones y se carga positivamente, el que gana electrones presenta exceso de electrones, es decir queda cargado negativamente. CUANTIFIZACIÓN DE LA CARGA ELÉCTRICA: Todo cuerpo tiene carga eléctrica proporcional a la carga elemental. La Cuantización de la carga eléctrica se expresa a través de la siguiente ecuación: q=ne Donde: q = carga eléctrica del cuerpo, e = carga eléctrica elemental, n = número de carga elemental. PARTÍCULAS CARGADAS Electrón Protón

MASA 9,02.10- 31 kg

CARGA ELÉCTRICA - 1,6.10-19 C

1,66.10- 27 kg

+ 1,6.10-19 C

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CARGA ELÉCTRICA: La carga no se crea ni se destruye sólo se desplaza o transfiere de un cuerpo a otro. En un sistema aislado eléctricamente, se cumple que:

Qtotal inicial  Qtotal final

Casos particulares: a) Si los cuerpos 1 y 2 inicialmente cargados entran en contacto, la proporción de las cargas que poseen después

q1 q 2  r12 r22

será:

b) Si los cuerpos 1 y 2 inicialmente cargados se conectan a través de un alambre conductor, la proporción de las cargas que poseen después será:

q1 q 2  r1 r2

FUERZA ELÉCTRICA LEY CUALITATIVA: Partículas Cargadas con el mismo signo se repelen y partículas cargadas con signos contrarios se atraen. LEY CUANTITATIVA: LEY DE COULOMB: La magnitud de la fuerza de atracción o repulsión entre dos partículas puntuales cargadas es directamente proporcional al producto de las dos cargas que interaccionan e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Donde:

F k

q1q2 r2

N m 2 constante de proporcionalidad C2 denominada constante de Coulomb.

k

4 0

k  9  10 9

donde

 0  8,85 .10 12

C 2 constante Nm 2

de

permitividad eléctrica del espacio vacío. En esta fórmula no se debe reemplazar el signo de las cargas, puesto que se obtiene la magnitud de la fuerza. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: Dos o más fuerzas eléctricas que actúan sobre un cuerpo cargado producen una fuerza resultante, equivalente a la acción de las n fuerzas.

    F  F1  F2  ...  Fn

CAMPO ELÉCTRICO IDEA DE CAMPO ELÉCTRICO: Se llama campo eléctrico a la región del espacio donde todo cuerpo cargado percibe una fuerza eléctrica. Por tanto, la fuerza eléctrica se puede entender como el producto del campo eléctrico

60 | C E P R U 2 0 1 5 externo al cuerpo cargado multiplicado por el valor de la carga. INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO: En un punto del campo eléctrico, el vector campo eléctrico se define como la fuerza del campo que actúa sobre una partícula cargada (carga de prueba) por unidad de carga:

E Si

F q0

, cuya intensidad es: E=F/q0

reemplazamos Qq k 20 F r  E  q0 q0

la

fuerza

eléctrica

d) Las líneas de fuerza paralelas e igualmente espaciadas indican que el campo eléctrico es homogéneo y uniforme, entonces la intensidad del campo eléctrico es igual para cualquier punto. E1 = E2 = E 3 SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES: Son todas aquellas superficies cuyos puntos tienen el mismo potencial eléctrico. Las superficies equipotenciales siempre son perpendiculares a las líneas de fuerza.

en:

kQ E 2 r

En esta fórmula no se reemplaza el signo de la carga. Unidad de la intensidad el campo eléctrico: [E]=N/C.

CAPACIDAD ELÉCTRICA CAPACIDAD ELECTRICA (C).- Cantidad de carga eléctrica (Q) que se le debe entregar o sustraer a un cuerpo conductor para modificar en una unidad el potencial eléctrico (V) en su superficie:

C

POTENCIAL ELÉCTRICO DEFINICIÓN: El Potencial Eléctrico en el punto “A” es el trabajo que por unidad de carga eléctrica se desarrolla para desplazar dicha carga desde el infinito (∞) hasta el punto “A”:

W V   A q0 Unidad del potencial eléctrico: [V]= J/C = Voltios = V El potencial eléctrico a la distancia “r” de una carga puntual es: k Q VA 

La capacidad eléctrica depende de su forma y de sus dimensiones. Unidad de la capacidad eléctrica: [C]=Faradio=F El Faradio es una unidad muy grande razón por la cual se usa submúltiplos, como el micro faradio (μF), el nano faradio (F), etc. Un capacitor o condensador es un dispositivo que puede almacenar carga eléctrica. La capacidad eléctrica para una esfera conductora cargada de radio r, es:

C

rA

DIFERENCIA DE POTENCIAL: La diferencia de potencial entre B y A es el trabajo por unidad de carga realizado por las fuerzas externas al mover dicha carga de A hacia B.

W VBA  VB  VA  AB q0

Q V

r  4 0 r k

CAPACITOR O CONDENSADOR DE PLACAS PARALELAS PLANAS: Dispositivo formado por 2 placas conductoras dispuestas paralelamente, con igual magnitud de carga pero con signos diferentes que sirven para almacenar cargas.

r

De esta ecuación se despeja el trabajo que realizan las fuerzas externas para que una carga q sea trasladada desde A hasta B.

WAB  (VB  VA ) q LINEAS DE FUERZA: También llamado Líneas de Campo. Son líneas que se trazan para darnos una idea de la configuración del campo eléctrico en cualquier punto del espacio que rodea una carga eléctrica o un sistema de cargas eléctricas.

Un condensador se simboliza gráficamente por:

+

-

C

La capacidad eléctrica C de un condensador plano es directamente proporcional al área (A) de las placas e inversamente proporcional a su distancia de separación r:

C   0

A r

donde: a) En cualquier punto del campo, el vector campo  eléctrico ( E ) tiene una dirección tangente a la línea de fuerza. b) Las líneas de fuerza nunca se cruzan. c) Mientras más cercanas están las líneas de fuerza, más intenso será el campo eléctrico. EA > EB

 : constante dieléctrica del material que separa las placas del condensador.  del aire y del vacío = 1 F   0  8.85  10 12   m

La distancia de separación entre las placas debe ser menor comparado con las dimensiones de la placa con el fin de obtener un campo homogéneo entre las placas. Si esta distancia no es pequeña, en los extremos del condensador se observa el llamado efecto de borde, las líneas de campo se curvan hacia fuera. La capacidad eléctrica C de un condensador esférico (esferas concéntricas), es:

C   0

Rr Rr

Donde: r = radio menor y R = radio mayor

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 61 La diferencia de potencial entre las armaduras de un condensador plano es:

V  V1  V2  V3  cons tante

 V  E *r

Q  q1  q 2  q3 n

C eq   C i

ENERGÍA ALMACENADA POR UN CAPACITOR (U):

es decir: Ceq  C1  C2  C3

i 1

C1

1 1 q2 U  q V  C V2  2 2 2 C

q

q1

C2 q2 C3 q3

Ce Q -Q

V q V

V

q

V

V

ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES.

V

CAPACIDAD EQUIVALENTE (Ceq): Es aquel condensador capaz de reemplazar a un conjunto de condensadores acumulando la misma cantidad de energía que el conjunto de condensadores, el condensador equivalente “Ceq” debe encontrarse sometido a la misma diferencia de potencial que los 2 puntos que limitan al conjunto de condensadores reemplazados.  CONDENSADORES EN SERIE: Conectados unos a continuacion de otro, con el objetivo de compartir la diferencia de potencial de la fuente.



PUENTE WHEATSTONE EN CONDENSADORES:

El circuito “1” se llamará Puente Wheatstone si se cumple que: C1 C4 = C2 C3. Cuando esto sucede el condensador C5 no almacena carga, luego VD = VE. Esto quiere decir que el condensador C5 puede CORTOCIRCUITARSE o juntar los puntos D y E. El circuito “2” es equivalente al circuito “1” .

q1  q2  q3  Q  cons tan te

V  V1  V2  V3 n

1 1  C eq i 1 Ci C1 C2 q1 - q2 q q

es decir:

1 1 1 1    C eq C1 C 2 C3

C3 q3 q

Ceq Q Q V

V

V

V

1

2

3

V

V

Si fueran dos condensadores:

C eq 

C1 C 2 C1  C 2

´

CONDENSADORES EN PARALELO: Conectados a una misma diferencia de potencial con el objetivo de compartir la carga que entrega la fuente. EJERCICIOS CARGA ELÉCTRICA Y LEY DE COULOMB a) 1050N 1)

2)

Dos esferas conductoras muy pequeñas poseen cargas de +20C y -30C y se acercan hasta ponerse en contacto, luego se separan hasta que su distancia es 0,1m. La fuerza de interacción entre ellas es: a) 22,5N

b) 525,5N

d) 20,5N

e) 25,5N

b) 70N y 120N c) 80N y 100N d) 70N y 20N

3)

g

B

q2 e) 70N y 220N Dos esferas con iguales cargas q=7.10-5C se encuentran suspendidas de dos cuerdas aislantes e inelásticas, de modo que al establecer el equilibrio adoptan la posición mostrada en la figura. El peso de la esfera 1 es:

37º

4)

37,5cm

1

e) 1550N

5) 30cm

g

d) 6750N

A q1



c) 1750N

c) 522,5N

El sistema mostrado se encuentra en equilibrio, el peso de cada esfera es: W1=30N y W2=40N, y las cargas son q1=20C y q2=40C. Las tensiones en las cuerdas A y B son: a) 10N y 120N

b) 1700N

37º 2

Si q1=+150C , q2=+40C y q3= - 60C. La fuerza resultante que actúa sobre la carga 1 es: a) 40N b) 60N 1 2 3 c) 55N 2 d) 45N 1 m m e) 35N En una recta se encuentran dos cargas q1=+9C y q2= - 4C. Para que las dos primeras cargas se encuentren en equilibrio, la carga positiva q3 que se debe colocar en el punto P de la recta que une a las cargas, es:

q1

q2 x

y

P 

a) +30C b) +26C c) +46C d) +35C e) +36C

62 | C E P R U 2 0 1 5 6)

Se sabe que qA= - 125C, qB=+40C y qC=+75C. La fuerza eléctrica resultante que actúa sobre la esfera ubicada en B, es: a) 7N C b) 8N 33 c) 6N m d) 5N e) 4N 60º A B

7)

Para que las cargas q=100C, colocadas en cada uno de los vértices de un cuadrado permanezcan en equilibrio, el valor y signo de la carga Q que debe colocarse en el centro del cuadrado, es: a) q(22-1)/4 b) q(22+1)/4 c) q(22+4)/4 d) q(2+1)/4 e) q2/4 Dos esferas de volumen 8.10-6m3, en cuyos centros se encuentran cargas iguales q están unidas por una cuerda, de modo que una de ellas flota con medio volumen fuera de un líquido cuya densidad es 1800kg/m3 y permitividad eléctrica relativa r=4. La carga q necesaria y suficiente para que la tensión en la cuerda sea nula, es: (g=10m/s2)

8)

a) 3C b) 1C 1m c) 4C d) 5C e) 8C Un electrón (-e) de masa m gira en torno del núcleo de un átomo de hidrógeno con un radio r. La velocidad angular w del movimiento es: a) e/r(m/K)1/2 b) r/e(K/m)1/2 c) er(K/m)1/2 d) e/r(K/m)1/2 e) e/r(Km)1/2

5)

6)

7)

r

9)

10) Dos esferas de igual masa y carga q están unidas por una cuerda L=4m, según se indica en la figura. El periodo de las pequeñas oscilaciones del sistema es: (g2m/s2). a) 1s q b) 2s g c) 3s L  d) 5s q e) 4s

1)

2)

CAMPO ELÉCTRICO Un campo eléctrico está creado por una carga puntual. La intensidad de este campo a 80cm de la carga, si a 20cm de la misma es igual a 4.105N/C, es: a) 2,5.104N/C b) 2.104N/C c) 5.104N/C d) 25.104N/C e) 0,5.104N/C La intensidad del campo creado por una carga puntual en un punto es E1=8.103N/C. Si en otro punto 1m más cerca de la carga el campo eléctrico es E2=1,8.104N/C, la carga Q y la distancia a la que se encuentra el punto señalado, es: a) 3.10- 6C y 8m d) 10.10- 6C y 3m

3)

4)

b) 8.10- 6C y 3m e) 8.10- 6C y 2m

A 37º 30º

B

9)

POTENCIAL ELÉCTRICO 1)

a) –10.10- 6C b) –50.10- 6C c) –60.10- 6C d) –40.10- 6C e) –20.10- 6C

Si q=32C y d=24cm, la intensidad del campo eléctrico resultante (en kN/C) en el punto A, es: a) 5 A b) 6 c) 7 d d d) 8 e) 9 +q -q d

10) Si las cargas q1=8C y q2=12C se encuentran en x=0 y x=4m respectivamente, el punto en el eje X, donde el campo eléctrico es cero, es: a) 1,4m b) 8,8m c) 3,8m d) 2,8m e) 1,8m

c) 18.10- 6C y 13m

Se sabe que q2= - 63C y q3= +200C. Para que la intensidad del campo total en el punto P indicado sea nulo, el valor y signo de la carga q1 es: a) 6.10- 6C b) 5.10- 6C q1 P q2 q3 c) 4.10- 6C  2m 3m 2m d) 2.10- 6C e) 1.10- 6C En la figura se muestran dos esferas cargadas y ubicadas en los vértices A y B de un triángulo ABC. Si AC=3m, BC=10m y qA=+3C. Para que la intensidad del campo en C sea horizontal, el valor de qB es:

C

8)

En los vértices de un rectángulo se han colocado cuatro cargas eléctricas, de modo que: qA=+5C, qB= - 8C, qC=+2C y qA= - 3C. Si además AB=303cm, y BC=30cm, la intensidad del campo eléctrico en el punto de intersección de las diagonales, es: a) 1.105N/C B A b) 2.105N/C c) 5.105N/C d) 8.105N/C C D e) 7.105N/C En los vértices A, C y D de un cuadrado se han colocado tres cargas eléctricas. Para que la intensidad del campo eléctrico resultante en el vértice B sea colineal con AB, el valor de qC es: a) -72C A b) -22C B +10 c) -77C C d) -102C e) -75C D C +28 C La carga de la esferita metálica es q= - 10C de tal modo que frente al campo eléctrico uniforme de intensidad E=4.105N/C mantenga la posición mostrada en la figura, el peso de la esferita metálica, es: a) 5N b) 8N 30º 60º c) 4N d) 2N e) 1N Ambas esferitas se encuentran en equilibrio suspendidas por hilos aislantes y sometidas a la acción del campo eléctrico de intensidad E=6.105N/C, la carga de la esferita B, es: a) 3.10- 6C b) –3.10- 6C c) –6.10- 6C d) –5.10- 6C A 30c B e) –8.10- 6C

2)

3)

4)

El potencial eléctrico en un punto de un campo es 200V. El trabajo que deberá realizar un agente externo para colocar una carga de 5.10-4C en dicho lugar, es: a) 0,1J b) 0J c) 0,2J d) 2J e) 1J A 6m de una carga Q=8.10-4C se ha colocado una segunda carga q, realizándose para el efecto 6J de trabajo, el valor de q, es: a) 3C b) 5C c) 4C d) 2C e) 7C El potencial creado por una carga puntual en un punto cercano a él es –6KV. Si en otro punto 3m más alejado el potencial es mayor en 2KV, el valor y signo de la carga, es: a) 1m, +3C b) 1m, +6C c) 6m, -4C d) 2m, 2C e) 4m, 8C Para que el potencial en el centro de un triángulo equilátero sea cero cuyas cargas están ubicadas en los vértices del triángulo q1=+5C y q2= - 6C, el valor y signo de la carga q3 es:

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 63

5)

6)

7)

8)

9)

a) 6C b) 3C c) 9C d) 1C e) 2C En la figura mostrada se tiene q1=+2C y q2=+5C, la distancia x entre los puntos M y N, sabiendo que sus potenciales son iguales, es: (x0). A) 1m B) 2m q1 q2 M C) 4m  D) 6m x 1m 2m E) 3m Para colocar una carga q=200C en el vértice D del cuadrado de 3m de lado, si se sabe que qA=+6C, qB= - 92C y qC=+12C. El trabajo que será necesario realizar contra las fuerzas del campo, es: A) 5,4J A B B) 6J C) 4,5J D) 6,5J E) 3J C D Sabiendo que el potencial en el punto X es 200V, conociéndose además que al trasladar una carga de prueba q=-4.10-3C desde Y hasta X, el campo eléctrico realizó un trabajo de 2J, el potencial en el punto Y, es: A) –200V q B) –300V C) 100V D) 500V X Y E) 600V  trasladar una carga de prueba q=5C desde B Para hasta A, sabiendo que Q=80C y AB=20cm. El trabajo que debe realizar un agente externo es: A) 2,5J A B) 5,5J q C) 7,5J D) 3,5J Q 3 B E) 7,5J 7 Dos esferillas con cargas q1=+33C y q2=+4C se encuentran ubicadas en los extremos de un diámetro de 4m de longitud. sabiendo que cualquier carga que se traslade entre A y B no demanda ningún trabajo, la distancia x que define la posición del punto B con relación al centro O de la semicircunferencia, es: A) 2m y 2,5m A  B) 3m y 8m C) 2m y 0,93m D) 1m y 0,93m 53º q2 E) 1m y –0,93m q1  xB  O

10) Dos cargas q1=+6.10-5C y q2= - 4.10-5C se encuentran a 6m de distancia. El trabajo que deberá efectuar un agente externo para separarlos 2m más, es: A) 0,3J B) 0,4J C) 0,5J D) 0,2J E) 0,9J CAPACIDAD ELÉCTRICA 1)

El proceso de carga de un condensador se realiza según se indica en el gráfico, siendo q la carga, y V el potencial adquirido. En base a éste gráfico se pide la capacidad del conductor y la energía potencial electrostática almacenada cuando V=12V. A) 3F y 2,16.10-4J B) 5F y 0,16.10-4J q() C) 1F y 1,16.10-4J 21 D) 7F y 2,16.10-4J E) 9F y 4,16.10-4J 0

2)

7

V(V)

La capacidad de una esfera conductora que posee una carga de 20C y que se encuentra en el vacío es 1F. El radio y la energía que almacena es: A) 8.109m y 100J B) 9.109m y 200J C) 5.109m y 300J

3)

4)

D) 3.109m y 600J E) 4.109m y 200J Si se duplicaran sus dimensiones y la distancia entre sus placas se redujera a la mitad, la nueva capacidad de un condensador de placas planas, rectangulares y paralelas de capacidad 5F, es: A) 20F B) 10F C) 50F D) 60F E) 40F En el espacio entre las armaduras de un condensador plano descargado se introduce una placa metálica que tiene la carga Q, de manera que entre dicha placa y las armaduras quedan los espacios d1 y d2. Las áreas de la placa y de las armaduras del condensador son idénticas e iguales a A. La diferencia de potencial entre las armaduras del condensador, es: A) Q(d2+d1)/(20A) D) (d2-d1)/(20A)

5)

6)

B) Q(d2-d1)/0 E) Q(d2-d1)

C) Q(d2-d1)/(20A)

Un condensador de capacidad C1=6F se carga con una batería de 5V. A continuación se conecta de la batería y se conecta a otro condensador descargado de capacidad C2=4F. La carga final que tendrán cada uno de los condensadores, es: A) 10C y 10C B) 12C y 12C C) 28C y 2C 5V C C D) 18C y 12C E) 8C y 2C Se muestran 4 placas metálicas iguales en el aire y separadas mutuamente una distancia “d”. El área de cada placa es S. Determinar la capacitancia equivalente entre x e y. 0S

a) d



x

 y

30 S

b) 2d 2 0 S

c) 3d d)

2 0 S d

0S

e) 4 7)

Si se sabe que Vxy=100V (las capacidades están expresadas en microfaradios). La carga almacenada por el sistema de condensadores mostrado, es: A) 100C 2 2 3 1 3 B) 200C x     y C) 50C  D) 140C E) 300C 8) Para el acoplamiento de condensadores mostrado, si se sabe que éste tiene una energía almacenada de 3.10-2J. Todas las capacidades están expresadas en microfaradios. La carga que almacena el sistema, es: A) 8.10-4C B) 6.10-4C 4 5 1 2 8 -4 x        y C) 2.10 C D) 4.10-4C  E) 3.10-4C 9)

Si C=12F es la capacidad de todos los condensadores conectados en el sistema de condensadores mostrados en la figura. La capacidad equivalente del sistema de condensadores mostrado entre x y y, es: A) 20F

x 

y

B) 25F C) 21F D) 30F E) 60F

64 | C E P R U 2 0 1 5

INTRODUCCIÓN La Electrodinámica estudia los fenómenos asociados al movimiento de cargas eléctricas en conductores. CORRIENTE ELÉCTRICA El movimiento de cargas eléctricas a través de un conductor constituye una corriente eléctrica. La intensidad de la corriente a través de un conductor se define, como la carga eléctrica que atraviesa la sección transversal del mismo en la unidad de tiempo:

𝐈=

𝐪 𝐭

Se expresa en Ampere (A). De esta definición se deduce que el Coulomb que es la unidad de carga está definida en términos del Ampere.1 C = A•s Se tienen dos tipos de corriente: continua y alterna. La primera es constante en el tiempo y es proporcionada por las baterías, los paneles fotovoltaicos, etc. La corriente alterna es variable en el tiempo, generalmente se expresa mediante una función cosenoidal o sinusoidal. Esta es proporcionada por las Centrales Hidroeléctricas por ejemplo. Muchos equipos como las computadoras requieren corriente continua para su funcionamiento y es necesario transformar la corriente alterna en corriente continua. LEY DE OHM El físico alemán George S. Ohm(1787-1854), descubrió de forma teórica y experimental la Ley que expresa la relación entre la intensidad de la corriente (I) que circula a través de la sección de un conductor, la diferencia de potencial o voltaje y la resistencia eléctrica (R). La cual se expresa: VAB = R I Donde: VAB = diferencia de potencial entre los extremos del conductor. R = resistencia del conductor en Ohm (Ω) . 1Ω = V/A I = corriente a través de la sección transversal del conductor en A. RESISTENCIA ELÉCTRICA El movimiento de los electrones en el interior de un conductor se efectúa por medio de choques con las moléculas y átomos del conductor. Hay oposición dentro del conductor al paso de los portadores de la carga eléctrica. Esta oposición se conoce con el nombre de resistencia eléctrica del conductor. La resistencia eléctrica es proporcional a la longitud del conductor e inversamente proporcional al área de la sección transversal y depende de la naturaleza del conductor. A estos resultados llegó el físico francés Poulliet, ecuación que se expresa:

𝑅= 𝝆

𝑳 𝑨

Donde : 𝛒 = resistividad en Ω•m L = longitud del conductor y A el área de la sección transversal del conductor y R se expresa en Ω. Existen ciertos materiales como los superconductores, los cuáles bajo ciertas condiciones específicas adquieren propiedades eléctricas y magnéticas, como la pérdida de resistencia eléctrica y la capacidad de excluir campos magnéticos en su interior, para lo cual se requiere bajas temperaturas absolutas. Esto dificulta las investigaciones. A su vez los semiconductores son los materiales de moda en la electrónica actual, debido a lo cual ésta ha desarrollado enormemente sus aplicaciones, los cuales pueden transformar la radiación solar en energía eléctrica, mediante los paneles fotovoltaicos. ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS. Se utiliza en las máquinas y dispositivos de alto consumo de energía eléctrica, tal como sucede en las hornillas eléctricas, los motores turbogeneradores, subestaciones de energía eléctrica, etc. a) En Serie

A

R1

R2

R

B A

B

I

I

Por todas las resistencias pasa la misma corriente I, el resistor equivalente R, debe soportar esta corriente y todo el voltaje VAB = V1 + V2 , reemplazando la relación de Ohm: R I = R1 I + R2 I R = R 1 + R2 b) En paralelo I A A I1 I2 I R1 R2 R B

B

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 65 odas las resistencias se encuentran al mismo voltaje V AB, el resistor equivalente R reemplaza a los resistores R 1 y R2 y soporta todo el voltaje. La corriente que ingresa al circuito se reparte en cada resistencia, de modo que:

I = I1 + I2

VAB/R = VAB/R1 + VAB/R2 1

De donde:

𝑅

=

1 𝑅1

+

1 𝑅2

PUENTE DE WHEADSTONE En la siguiente figura, el circuito que se muestra se conoce como puente de resistencias de Wheatstone. Se dice que el puente está balanceado, si se cumple: R 1R3=R2R4 y entonces se puede eliminar R5 , de esta forma se encuentra la resistencia equivalente entre A y B.

c)

R2

R1 A

B

R5 R3 R4

POTENCIA ELECTRICA: En un circuito eléctrico como el de la Fig., la fuente de fuerza electromotriz , proporciona la energía eléctrica necesaria para que las cargas eléctricas circulen en el circuito, o sea: 𝑊 R

 =

𝑊 𝑞

=

𝑡 𝑞 𝑡

=

𝑃 𝐼

+ 

la potencia proporcionada por la Fuente:

I

-

P=I En los calentadores eléctricos, en las planchas eléctricas, tostadoras, hornos eléctricos de panificación, etc., se transforma la energía eléctrica en energía calorífica. Las resistencias eléctricas de los artefactos señalados se calientan, poniéndose en muchos casos al rojo vivo, debido a que los electrones libres en su movimiento chocan contra las moléculas del conductor, perdiendo energía que se va transformando en calor. A este fenómeno se conoce como efecto Joule, de modo que: la potencia calorífica en un elemento resistivo o la disipación de potencia eléctrica en flujo de calor:

P = VAB I = R I2 = VAB/ R La energía calorífica: E = P t = R I 2 t Como 1 J = 0,24 cal El calor disipado: Q = 0,24 R I 2 t en (cal).

en (W) en (J)

LEYES DE KIRCHOOFF El circuito anterior se puede resolver con la Ley de Ohm, existen circuitos con más de una f.e.m. conectadas a elementos resistivos que requieren un tratamiento especial en los cuales se utilizan las Leyes de Kirchooff. PRIMERA LEY : La suma de las corrientes que ingresan a un nudo, es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo. En forma matemática: ∑ 𝑖 = ∑ 𝑠 Un nudo es un punto donde convergen tres o más conductores. Esta Ley expresa la conservación de la carga eléctrica. SEGUNDA LEY : La suma algebraica de las f.e.m. en una malla es igual a la suma algebraica de las caídas de voltaje en dicha malla. Matemáticamente: ∑ ϵi = ∑ R I Malla es una trayectoria cerrada cualquiera de un circuito o parte de él. Para el uso de estas leyes se debe tener en cuenta los siguientes criterios: 1) Elegir un recorrido en la malla, el cuál puede ser horario o antihorario. 2) Si al atravesar una f.e.m. el sentido de la misma coincide con el recorrido de la malla el valor de la f.e.m.  se toma con signo positivo, en caso contrario se le asigna un signo negativo. 3) Al atravesar una resistencia, si el sentido de la corriente coincide con el recorrido, a la caída de voltaje se le asigna un signo positivo, en caso contrario le asignaremos un sentido negativo. 4) Así para el circuito de la Figura, aplicando las Leyes de Kirchooff, se tiene: R1 a R2 c Malla acba: (recorrido antihorario) : 1 = I2 R2 + I3 R5 + I2 R4 (1) I 2 I1 + + Malla abda: (recorrido horario) : 2 = I1 R1 + I1 R3 + I3 R5 (2) 2 R 1 I3 Aplicando la Primera Ley de Kirchooff al nudo a : I3 = I1 + I2 (3) d R3

b

R4

Si son conocidos los valores de las resistencias, las incógnitas son las 3 corrientes, de modo que las tres ecuaciones planteadas resuelven el circuito.

66 | C E P R U 2 0 1 5

PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Un alambre conductor de resistividad ρ = 1,7 x 1011 Ω•m, de 10 m de longitud; tiene una sección transversal de 10-5 mm2. Se le aplica una diferencia de potencial entre sus extremos de 68 V. ¿Cuál será la corriente que circula por dicho conductor ?. SOLUCION De la ecuación de Poulliet : R =

1,7𝑥10−11 𝑥 10

= 17Ω , por tanto de la Ley de Ohm : I =

10−5 𝑥10−6

68 17

=4A

2.- En el circuito de la Fig.1 que se muestra, ¿cuál es el valor de la resistencia R; de modo que la resistencia entre los terminales A y B sea de 173 Ω ?. Usar: √3 = 1,73 R

R

1Ω

42 V

A

I1

A 1Ω

173 Ω

R

2Ω

4Ω

I2 B Fig.2 SOLUCION

Fig.1

Reduciendo el circuito: R1=173 +R y R2 = luego se cumple: como RAB = 173 = R +

(173+𝑅)𝑅

173+2𝑅 (173+𝑅)𝑅 173+2𝑅

resolviendo la ecuación se obtiene: R = 100 Ω.

3.- Para el circuito que se muestra en la Fig.2, hallar la lectura del amperímetro. SOLUCION Por el método de la espira con corriente, en la superior: I1 + (I1 – I2) = 42 (1) Igualmente en la espira con corriente I 2 : 2 I 2 +4 I2 + ( I 2 – I1 ) = 0 de donde despejando : I 1 = 7 I2 reemplazando en la Ec.1, se obtiene I2 = 42/13 A, que es la corriente que circula en el amperímetro. 4.- Para el circuito de la Fig.3, calcular la potencia y la corriente que entrega la fuente. 8Ω

7Ω 26 V

6Ω

2Ω

3Ω

Fig.3 Redibujando el circuito la resistencia equivalente se encuentra por el método de los puntos al mismo potencial. Así los resistores de 2 , 3 y 6 Ω , se encuentran en paralelo. De modo que R 1= 1 Ω. Este resistor se encuentra en serie con el de 7Ω y dan como resultado un resistor R2 = 8 Ω. Este resistor finalmente se encuentra en paralelo con el de 8 Ω. Por tanto la resistencia total es : R=

8𝑥8 16

= 4 Ω.

La corriente que ingresa al circuito : I = 26/4 = 6,5 A La potencia que proporciona la fuente : P = 26(6,5) = 169 W. EJERCICIOS 1.

a) 2.

Para el circuito mostrado en la figura encontrar la I en la resistencia de

0,5A b) 1A c) 0,4A d) 2A e) NA

10 

( ) en el circuito de la figura. La corriente que circular por R2 R1  2K y R2  3K . Despreciar la resistencia interna de la fuente.

Establecer el valor de la fuerza electromotriz una intensidad de 0,04amperios,

a) 150V b) 75V e) 480V 120V e) 80V 3.

La resistencia equivalente del sistema mostrado en la figura es:

a)

3R 8

b)

4 R c) 8R 3

d)

2 R e) 8R

tiene

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 67 4.

La resistencia equivalente entre a y b es:

a) 5.

6

b)

4

c)

3  2

d)

5

e) 2

Por un conductor circula una corriente eléctrica, cuya intensidad de corriente en función al tiempo se muestra en la gráfica. Hallar la cantidad de carga eléctrica que pasa por el conductor entre t = 0s y t = 10s

a) 35C b) 75C c) 65C d) 85C e) 95C 6.

El valor de la intensidad de la corriente medida por el amperímetro en el circuito de la figura, es:

a) 2A b) 6A c) 4A d) -2A e) 0 7.

8.

Dos resistencias de 3 y 6 que están conectadas en paralelo se encuentran a una diferencia de potencial de 60V. La potencia disipada en la resistencia equivalente de dichas resistencias es: a) 1200W b) 600W c) 1800W d) 1400W e) 800W Dado el circuito que se muestra en la figura. Si la intensidad de la corriente que circula por la resistencia de 12  es 100mA, el valor de la resistencia R en ohmios, es:

a) 16 b) 10 c) 14 d) 20 e) 24 9.

Calcular la intensidad de corriente que circula por la resistencia R = 2 , si cada pila tiene un voltaje de 1,5V y una resistencia interna r = 0,2

10.

.

a) 4,5A b) 1,5A c) 2,5A d) 0,5A e) 3,5 A En el circuito; el amperímetro y el voltímetro son ideales. Halle la lectura del amperímetro. 60V 2 5

A

V

3

20V

11. Determinar el tiempo que debe circular una corriente de 5A por un conductor de resistencia eléctrica igual a 4, para disipar una cantidad de calor, capaz de derretir 5Kg de hielo a 0OC a) 4.64 horas b) 3.24 horas c) 2.98 horas d) 2.13 horas e) 1.67 horas

68 | C E P R U 2 0 1 5 12. En el circuito; halle el potencial del punto x, si el punto está conectado a tierra:

30

x

50V

110V

5 y 15

140V

13. Determine la lectura del voltímetro ideal:

6 2

80V

20 3

20V

14. El conductor mostrado es de plata (Resistividad = 1.64x10-8.m), estando sus dimensiones en metros. ¿Cuál es su resistencia entre los puntos A y B?

A

0.

02

100 10-2 B

a) 0.82 b) 0.0082 c) 82 d) 8.2 e) 0.082 15. La corriente que normalmente fluye en un transistor es de 2 mA. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que fluyan 10 C por la sección transversal de un conductor que transporta esa corriente? a) 2  10

3

b) 5  10

s

3

s

3

c) 6  10 s

d) 8  10

3

s

e) 9  10

3

s  16. Por una resistencia de 500 circula una corriente de 0,44 A. Entonces, dicha resistencia está conectada a una

diferencia de potencial de: a) 120 V b) 110 V c) 240 V d) 440 V e) 220 V 17. En un calentador eléctrico ordinario, la corriente es de 5A ¿Qué cantidad de carga pasa por dicho calentador en 8 min.? a) 2000C b) 2100C c) 2200C d) 2300C e) 2400C 18. Al conectar a un tomacorriente de 220 voltios una plancha, se obtiene una corriente de 8 Amperios. Si la plancha fuera conectada a 110 voltios, ¿Qué corriente circularía por ella? a) 4 A b) 8 A c) 16 A d) 6 A e) 3 A 19. Determinar la resistencia eléctrica de un alambre de 5 km de longitud y 40 mm2 de sección, si su resistividad es

1,7  10

8

.m .

c) 2,125Ω d) 10  e) 4,25  a) 2  b) 5  20. A través de un conductor la intensidad de corriente en dependencia con el tiempo viene dada por el siguiente gráfico. ¿Cuál es la carga que pasa por una sección recta del conductor en los 8 primeros segundos de la circulación?

I(A) 6

O a) 24C

t(s)

8

b) 48C

c) 56C

d) 12C

e) 26C

21. Una plancha eléctrica de 500W se conecta a una tensión de 220 voltios. Calcule su potencia; si se conecta a una tensión de 110 voltios a) 380 W b) 260 W c) 250 W d) 125 W e) 540 W 22.

En el circuito de la figura, la resistencia total es:

2 10

V 15 5 5 a) 1.6

b) 1.5

c) 1.8

d) 1.7

e) 2.5

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 69

ELECTROMAGNETISMO Es una rama de la física que se centra en estudiar las relaciones existentes entre las cargas eléctricas en movimiento y los campos magnéticos.

Así como una carga eléctrica crea a su alrededor un campo eléctrico, decimos que un imán produce en el espacio circundante un campo magnético.

1.-Magnetismo.- Es una propiedad que presentan algunas sustancias (Fe, Co y Ni) llamadas imanes que consiste en atraer limaduras de hierro. Imán.- Es un cuerpo que tiene la propiedad de atraer trozos de hierro. Los imanes pueden ser naturales (Magnetita Fe3O4) o oxido ferroso férrico. Polos Magnéticos.- Llamamos así a aquellas zonas del imán en donde se concentra su magnetismo, esto indica que el imán solo tiene fuerza atractiva en sus extremos, a estos extremos se les llama polos y la parte media zona neutra, estos extremos se denominan según su orientación con relación a los puntos cardinales polo norte (+) y polo sur (-) N

S

Fuente:http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Magnet0873.png

Líneas mostrando el campo magnético de un imán de barra, producidas por limaduras de hierro sobre papel. Campo magnético terrestre

N S

Interacción magnética.-La atracción y repulsión entre los polos de los imanes es similar al comportamiento de las carga eléctricas iguales y contrarias. Es decir la ley de las cargas es análoga a la ley de los polos. Polos magnéticos iguales se repelen, y polos magnéticos contrarios se atraen. FF S N

NS

F F S N

S N

Al partir un Imán siempre se tiene un polo norte y un polo sur esto nos permite concluir que los Imanes están constituidos por pequeños dipolos magnéticos. Entonces las sustancias magnéticas pueden atraerse o repelerse y se le atribuye una propiedad denominada PROPIEDAD MAGNETICA y esta propiedad se debe al movimiento de un electrón al interior de un átomo y se estableció que el electrón tiene un movimiento de rotación sobre su propio eje. Entonces esto hace que todo átomo se comporte como un imán elemental lo que hemos planteado como dipolo magnético. Todo Imán tiene asociado en sus alrededores un campo denominado campo magnético Mediante el campo magnético se efectúan las interacciones entre partículas con carga eléctrica en movimiento. Faraday represento el campo magnético a través de líneas imaginarias llamadas (líneas de inducción del campo magnético) las cuales se caracterizan por ser cerradas y orientadas desde el polo norte hacia el polo sur magnético del imán.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:CampoMagnetico.png

Las líneas del campo magnético terrestre salen del polo norte magnético hacia el polo sur. Una brújula apunta en la dirección Sur-Norte por tratarse de una aguja imantada inmersa en el campo magnético terrestre: desde este punto de vista, la Tierra se comporta como un imán gigantesco y tiene polos magnéticos, los cuales, en la actualidad, no coinciden con los polos geográficos. La diferencia, medida en grados, se denomina declinación magnética. La declinación magnética depende del lugar de observación. Permeabilidad magnética.-Es la facilidad con que este cuerpo se deja atravesar por las líneas de fuerza. La permeabilidad del aire o vacío está dado por: μo= 4π x 10 – 7Tm/A

=

4π x 10 – 7Wb/A. m

Fuerza magnética sobre una carga eléctrica. Cuando una partícula cargada se mueve dentro de un campo magnético se produce una fuerza sobre la carga que es perpendicular a la velocidad de la carga y al campo magnético.

Fm = q ( V x B ) Fm = q v B senθ , si θ = 90º Fm = q v B Expresión en la que

es el ángulo entre v y B.

La figura muestra las relaciones entre los vectores.

Campo magnético.-Es la región del espacio que rodea a todo polo magnético.

70 | C E P R U 2 0 1 5 Fuerza entre corrientes eléctricas rectilíneas. Cuando se tiene dos conductores paralelos y rectilíneos por los cuales circulan corrientes eléctricas se produce una fuerza entre ellos que puede ser de atracción o repulsión según que las corrientes sean del mismo sentido o sentido contrario respectivamente.

Fuente:http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Campo_Magnetico.png

Si una partícula cargada se mueve a través de una región en la que coexisten un campo eléctrico y uno magnético la fuerza resultante está dada por:

Esta fórmula es conocida como relación de Lorentz. Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica.

Fm = q ( V x B ) Fm = q v B senθ Fm = i t v B senθ Fm = i l B senθ , si θ = 90º Fm = i l B Campo magnético de una corriente eléctrica rectilínea.

F1 = i1 l B2 ; F2 = i2 l B1 F1 = 2x 10 -7 i1 i2 l / d

;

B = μo i/ 2π d

Flujo magnético. Es una magnitud escalar, que nos indica el número de líneas de inducción que atraviesa perpendicularmente una superficie imaginaria plana. El flujo magnético es directamente proporcional a la componente normal del campo y proporcional al área de la superficie atravesada.

Ф = B┴. A = B A cosθ Si , θ = 0º Ф = B. A Inducción electromagnética.- es el proceso por el cual se generan corrientes inducidas debido al movimiento de un campo magnético exterior sea acercándose o alejándose.

ε = BVL Ley de Faraday- Henry.- la fuerza electromotriz inducida εi en un circuito es igual a la rapidez con la cual está cambiando el flujo magnético que atraviesa el circuito. B α i /d B α i /d (cosθ + cosβ) B = K i /d (cosθ + cosβ) , K = μo/ 4π = 10 – 7 N/A2 B = ( μo i / 4π d) (cosθ + cosβ) Observaciones:

1.- Si θ = β B = μo i / 2π d , Ley de Ampere B = 2x 10 -7 i / d 2.- Si θ = 90º, β = 0º (semirrecta) B = μo i / 4π d = 10 -7 i / d

εi = ΔФ / Δt para N espiras εi = N( ΔФ / Δt) Ley de Lenz.- El sentido de la fuerza electromotriz inducida es tal que se opone a la causa que la origina, que es la variación de flujo magnético.

εi = - ΔФ / Δt para N espiras εi = - N( ΔФ / Δt) Donde el signo ( - ) indica que la fuerza electromotriz inducida debe generar un campo contrario a la variación de flujo.

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 71 EJEMPLO: El alambre de la figura, forma un ángulo de 30° con respecto al campo B de 0.2. Si la longitud del alambre es 8 cm y la corriente que pasa por él es de 4A, determínese la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre el alambre.

El área efectiva que el flujo penetra es aquella componente del área perpendicular al flujo. Así pues, de la ecuación:

se obtiene

Solución

Ejemplo.

Al sustituir directamente en la ecuación se obtiene

Una bobina consta de 200 vueltas de alambre enrolladas sobre el perímetro de una estructura cuadrada cuyo lado es de 18cm. Cada vuelta tiene la misma área, igual a la de la estructura y la resistencia total de la bobina es de 2

La dirección de la fuerza es hacia arriba como se indica en la figura del ejemplo Si se invirtiera el sentido de la corriente, la fuerza actuaría hacia abajo. Ejemplo. Una espira rectangular de 19cm de ancho y 20cm de largo forma un ángulo de 30° con respecto al flujo magnético. Si la densidad de flujo es 0.3 T, calcúlese el flujo magnético que penetra en la espira.

. Se aplica un campo magnético uniforme y perpendicular al plano de la bobina. Si el campo cambia linealmente desde 0 hasta 0.5Wb/m² en un tiempo de 8s, encuéntrese la magnitud de la fem inducida en la bobina mientras el campo está cambiando. Solución. El área de la espira es (0.18m)² = 0.0324 m². El flujo magnético a través de la espira par t=0 es cero por lo que B=0. Para t=0.8s, el flujo magnético a través de la espira es

Por lo tanto, la magnitud de la fem inducida es

Solución

EJERCICIOS 1.-Determine el flujo magnético que atraviesa un anillo circular de 20cm de radio, si la inducción magnética es uniforme. B = 4T

30º

a) 8π x 10 -2 b) 4π x 10 -2 c) 6π x 10 -2 d) 7π x 10 -2 e) 2π x 10 -2 2.-En la figura el flujo a través de la superficie triangular es m = 2,4 wb calcular el valor de la intensidad de campo magnético si se sabe que es uniforme y paralelo al eje Y. Z

a) 15.107 m b) 2.106m c) 12.107 m d) 24.104 m e) 11.10-7 m 4.-En la figura se tienen dos conductores rectos paralelos infinitos. Hallar la intensidad del campo magnético resultante en el punto A, si I1 = 4A y I 2 = 6A I1 I2 A 0,4m 0,5m a) 0,4 x 10 -6 b) 0,4 x 10 -2 x 10 -2

X

B 37º

e) 8

5.-Dos hilos conductores transportan 60A, son perpendiculares entre si. Halle la magnitud del campo magnético en el punto P. 60A

37º

c) 6π x 10 -2 d) 7 x 10 -2

5mm 37º

Y

75cm a)10 b)8 c)6 d)12 e)14 3.-Una partícula cargada con q=+20μC y masa 2x10-6 kg ingresa perpendicularmente a un campo uniforme de 20mT, con una velocidad de 3x107 m/s. Calcula el radio de trayectoria circular si queda atrapada en el campo magnético.

60ª a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 6.-En qué relación se encuentran los campos magnéticos entre 1 y 2. (R2 = 3R1 = 6 cm).

I R

R

72 | C E P R U 2 0 1 5 a) 1/2 b) 3/1 c) 1/4 d) 4/1 e) 1/3 7.-En la fig. se tienen tres conductores rectilíneos y paralelos, hallar la fuerza aplicada sobre el conductor C de 25cm de longitud.

0,25 , Hallar la velocidad de la bobina en el instante en que la f.e.m.i es 2V (x esta en m y B en mT)

V D

C 3cm

30A

B

G 5cm

10A

20A

a)3x10-4 b) 8x10-4 c) 5x10-7 d) 2x10-4 e) 6x10-5 8.-Un hilo conductor PQR se encuentra en el plano XY sobre el cual actúa un campo magnético B de manera perpendicular al hacer circular una corriente de 1A como en la fig, el tramo PQ experimenta una fuerza de 100N. Halle la magnitud de la fuerza resultante sobre todo el hilo.

a)40 b)20 c)30 d)10 e)50 13.-Un alambre de 60cm de longitud y 24gramos de masa está suspendido mediante dos alambres flexibles con B = 0,4T. Cuál es la magnitud de la corriente que se requiere para anular la tensión en los alambres que lo sostienen. B x x x x x x x x x

x x

x x

x

x

x

60cm x x

x

x x

2m P

Q 53º

B

a) 1 b)2 c) 4 d) 5 e) 6 1m

R

a)80,6 b)80 c)80,9 d)80,1 e)80,2

14.-Un hilo muy largo que conduce una corriente de 5A comparte el mismo plano vertical con una espira rectangular con una corriente de 4A . que peso deberá de tener esta espira para que se mantenga en equilibrio. En (mN). 10m

9.-Determine el módulo de la fuerza magnética sobre el conductor PQR que transporta 20A. . . . . . . . . .B = 0,1T .P . . . . . . . .

I=4A

2cm 1cm

0,6m Q.

i .

37º . i. .

.

i . . . R. .

a)2 b)1 c)3 d)4 e)5 10.-Los tres conductores rectilíneos que se indican en la figura son infinitamente largos, están en el mismo plano y conducen corrientes constantes, F12 es la fuerza por unidad de longitud que el conductor 1 ejerce sobre el conductor 2. F32 es la fuerza por unidad de longitud que el conductor 3 ejerce sobre el conductor 2. La relación

F12 F32

es igual a:

A)1/3 B)1/2 C) ¾ D)2/3 E) 3/2 11.-En la fig. se muestra un alambre ABC ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre dicho alambre si AB = 5cm y BC = 3cm? x

A i

x

x

x

x

x

x

x

x B x

x

B = 10T

x

x

x

x 60º x x

x

x x C x x

i

x

a)7 b)4 c)5 d)6 e)9 12.-Una bobina rectangular de 2x103 espiras y 4cm2 de sección recta se mueve en el interior de un campo magnético que varia con la posición según B = 62,5x +

i = 5A a)2 b) 6 c) 3 d) 4 e) 5 15.-Una carga positiva q = 3,2 x 10 – 19C se mueve con una velocidad V = 2i + 3j+ k m/s a través de una región en la que existe un campo magnético uniforme y un campo eléctrico uniforme ¿Cuál es la fuerza total en ¨N¨ que actúa sobre la carga? Si B = (2i + 4j + k ) T y E = (4i – j + 2k) V/m a) 3,2 x 10 – 19( -3i + 3j +4k) b) 3,2 x 10 – 19( -3i + 6j +4k) c) 3,2 x 10 – 19( -3i + 3j +9k) d) 3,2 x 10 – 19( -2i + 3j +4k) e) 3,2 x 10 – 19( -3i + 8j + 4k) 16.-Una particular cargada con 10uC se está moviendo a lo largo del eje Y con una rapidez de 106m/s y en el instante en que pasan por el origen de coordenadas está sometida a la acción de los campos B1 = 0,3iT y B2 = 0,4kT. Hallar la fuerza que experimenta la partícula. a) 4i – 3k b) 2i + 4k c) 3i + 5j d)5i e)4k 17.-Cuando se aplica la fuerza de 20mN a la barra metálica, esta se desliza con velocidad constante sobre el alambre conductor halle la f.e.m.i. B = 20mT . . . . . . . .

.

. . 0,3Ω .

.

V.

.

.

.

F

15cm .

a)2 b)6 c)3 d)4 e)5 17.- Dos conductores son perpendiculares entre sí y se hallan en un mismo plano. Hallar el campo magnético en el punto c, en a) 40 b) 60 c) 20

 T.

40 A

20 cm

C 20 cm

d) 10 e) 30

60 A

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 73

ONDA. Es la perturbación que se propaga en un medio material o en el vacío, transportando energía y momentum lineal sin desplazamiento de masa. Ondas mecánicas. Son las ondas que se propagan en un medio material. Ondas transversales. Son las ondas que se propagan también en el vacío. Ondas transversales. Aquellas donde la dirección del movimiento oscilatorio de las partículas es perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

FENOMENOS ONDULATORIOS. Los fenómenos que caracterizan al movimiento ondulatorio son: La interferencia y la difracción. Interferencia. Es la superposición de dos o más onda en una región del espacio. Son constructivas cuando la diferencia de camino de la onda es igual a un número entero de la longitud de onda. r2 – r1 = m λ. m=1, 2, 3, .. Son destructivas cuando la diferencia de camino de la onda es igual a un número impar de media onda. r2 – r1 = (m+1/2) λ. m=0, 1, 3, 5, ..

Onda longitudinal. Aquellas donde la dirección del movimiento oscilatorio de las partículas es la igual a la dirección de propagación de la onda.

EXPRESIÓN MATEMATICA DE UNA ONDA. La expresión matemática que expresa el movimiento de una onda es: 𝑌(𝑥; 𝑡) = 𝑌𝑜 𝑆𝑒𝑛(𝑘𝑥 + 𝑤𝑡) Y, es la dirección de oscilación de las partículas. Y O, es la amplitud. k, es el número de onda. w, es la frecuencia angular. t, es tiempo. x, es la dirección de propagación de la onda.

Amplitud (YO). Es el máximo valor que alcanza una partícula al oscilar. Longitud de onda (λ). En la distancia entre dos partículas con las mismas características (dos crestas consecutivas). Número de onda (k). Es el número de ondas que hay en 2π. (k=2π/λ). Periodo (T). Es el tiempo que tarda en recorrer una longitud de onda la perturbación. Frecuencia (f). Es el número de longitudes de onda que hay en la unidad de tiempo (f=1/T). Frecuencia angular (w). Se relaciona con la frecuencia (w=2πf). Velocidad de propagación (V). La rapidez de propagación de la onda se puede calcular con V=λ/T=λf. La velocidad de propagación de una onda depende de las características del medio en que se propaga.

Difracción. Se produce cuando la onda al propagarse se encuentra con un obstáculo y a este lo rodea. En el patrón de difracción se observa máximos secundarios, cuando la diferencia de camino de la onda es igual a un número impar de media onda. r2 – r1 = (m+1/2) λ. m=0, 1, 3, 5, .. Se observa mínimos, cuando la diferencia de camino de la onda es igual a un número entero de la longitud de onda. r2 – r1 = m λ. m=1, 2, 3, .. SONIDO. Son las ondas mecánicas detectadas por el oído humano. La respuesta del oído humano con respecto a la frecuencia es desde 20 Hz hasta 20 000 Hz. Con respecto a la intensidad es desde 10-12 hasta 1 W/m2. Las ondas mecánica cuya frecuencia son menores a 20 Hz, se denomina como Infrasónica, en el caso que las frecuencias son mayores a 20 000 Hz, se llaman ultrasónicas.

En una cuerda: F, es la fuerza aplicada o tensión. µ, es la densidad lineal de la cuerda. 𝐹 𝑉=√ 𝜇 En un líquido: 𝐵 𝑉=√ 𝜇 B, es la compresibilidad del líquido y ρ es su densidad. El signo +, Indica que la onda se propaga de derecha a izquierda, en caso contrario el signo es -. POTENCIA. Es la energía que transporta la onda por unidad de tiempo. P=E/t J/s. INTENSIDAD. Es la potencia de una onda por unidad de área. I=P/S. Si la fuente de la perturbación es puntual, la onda se propaga formando casquetes esféricos concéntricos, entonces el área es 4πr2.

La intensidad umbral del sonido es 10-12 W/m2 y la intensidad de dolor es 1 W/m2. Se llama ruido, al sonido no deseado (molestoso).

74 | C E P R U 2 0 1 5 El sonido son ondas longitudinales. En el aire se perturba la presión, La propagación se efectúa por la variación de presión en todo el espacio. La rapidez del sonido en un medio depende de la elasticidad y de la densidad del medio. En general, vsolidosvliquidosvgases La velocidad del sonido en el aire es de aprox. 340 m/s a temperatura ambiente; en el agua dulce 1435 m/s; en el agua de mar 1500 m/s; en el hierro o acero 5100 m/s. La acústica. Es parte de la Física, que tiene por objeto el estudio de las ondas sonoras en diferentes ambientes (teatro). Potencia. Como se ha indicado es la energía que propaga la onda sonora en la unidad de tiempo por un material. Intensidad. Es la potencia por unidad de área. La intensidad del sonido se determina utilizando la expresión: 𝑃 𝐼= 𝑆 (W / m2 = J/sm2) P: potencia. S: área

El nodo es el lugar donde las amplitudes se anulan, los vientres corresponde a la suma de las amplitudes máximas. La frecuencia de las ondas estacionarias depende del número de nodos, si se mantiene constante la longitud de la cuerda, Se determina utilizando: 𝒗 𝒗 𝒇𝒏 = =𝒏 = 𝒏𝒇𝟏 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … 𝝀𝒏 𝟐𝑳 La frecuencia fundamental es cuando n=1, el segundo armónico es cuando n=2, así sucesivamente. La velocidad de propagación de la onda en una cuerda se determina con: 𝑻 𝒗=√ 𝝁 donde T=tensión en la cuerda m/L)

μ= densidad lineal, (μ =

Cuando la fuente es puntual, la intensidad a la distancia r, se calcula con: 𝐼=

𝑃 4 𝜋 𝑟2

Donde r es el radio de la superficie esférica en cuyo centro se ubica la fuente puntual de potencia P. Nivel de Intensidad (dB) El oído capta (percibe) intensidades tan bajas como de 10-12 W/m2 Que es el umbral de audición o limite audible y la más alta es 1 W/m2 (umbral de dolor). Este intervalo es muy grande para ser representado en un gráfico, por lo cual, se utiliza papel semilogarítmico. En el eje logarítmico se representa el nivel de intensidad sonora. La relación matemática que se utiliza para expresar la relación de potencias, intensidades de rangos muy grandes es el decibelio. En el caso del sonido: 𝐼 𝑑𝐵 = 10 𝐿𝑜𝑔 ( ) 𝐼𝑜 Siendo: I0 = 10-12 W/m2

EFECTO DOPPLER Se produce efecto Doppler cuando la fuente de sonido o el observador se encuentran en movimiento. Cuando la fuente se acerca al observador, la longitud de la onda sonora para el observador es de menor valor en relación al de la fuente, la frecuencia para el observador es mayor al de la fuente. Es lo contrario si la fuente se aleja del observador. 𝑣 1 𝑓𝑜 = ( )𝑓 = ( 𝑣 ) 𝑓𝑠 𝑣 ± 𝑣𝑠 𝑠 1± 𝑠 𝑣

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDAS Cuando dos ondas que viajan en la misma dirección, pero, de sentido diferente, con amplitud, número de onda y frecuencia angular iguales, la interferencia se llama ondas estacionarias.

Donde vs= rapidez de la fuente v = rapidez del sonido fo: frecuencia oída por el observador fs: frecuencia del sonido producido por la fuente Cuando el observador se encuentra en movimiento, la ecuación es: 𝑣 ± 𝑣𝑜 𝑣𝑜 𝑓𝑜 = ( ) 𝑓𝑠 = (1 ± ) 𝑓𝑠 𝑣 𝑣 Donde vo = rapidez del observador sonido

y

v = rapidez del

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 75 EJERCICIOS 1) 𝑌(𝑥, 𝑡) = 0.12 𝑆𝑒𝑛 2𝜋 (

𝑥 0.20

− 10𝑡)La

expresión

de

una

onda transversal que se propaga en una cuerda de 80 cm de longitud y 2 kg de masa, está dada por: , x en metros y t en segundos. La rapidez de propagación y la tensión en la cuerda es: a. 2 m/s; 10 N b. 3 m/s; 1 N c. 5 m/s; 5 N d. 5 m/s; 20 N e. 2 m/s; 13 N 2) Se tiene una cuerda tensa de 0.2 kg de masa, al cual se le aplica una fuerza de 30 N para perturbar la cuerda, la longitud de la cuerda es 6 m, la rapidez de propagación (en m/s) a. 30 b. 20 c. 12 d. 35 e. 28 3) Una perturbación ésta representada por: 𝑌(𝑥, 𝑡) = 0.5 𝑆𝑒𝑛 (3𝜋 𝑥 + 2𝜋 𝑡), la distancia que recorre en 6 s, es: (Y y x en metros y t en segundos) a. 4 m b. 3 m c. 7 m d. 2 m e. 3.5 m 4) Una onda se desplaza en una cuerda, que se representa por: 𝑌(𝑥, 𝑡) = 2 𝑆𝑒𝑛 (2 𝑥 − 3 𝑡), Y y x en cm y t en s. La rapidez de propagación y la longitud de onda, es: a. 1.5 cm; π cm b. 3.5 cm; 4π cm c. 3 cm; 4π cm d. 2.5 cm; 2π cm e. 5 cm; 3π cm 5)

𝑌(x, t) = 3 Sen(2π x) Cos(π t)La ecuación de una onda una onda estacionaria en una cuerda está dada por la expresión: donde: x en cm y t en s. Si la frecuencia fundamental es ¼ Hz. Hallar a qué armónico corresponde dicha onda. a. 2 b. 3 c. 5 d. 1 e. 4

6)

Una cuerda uniforme tiene una masa de 0, 3 kg y una longitud de 6 m. La cuerda se mantiene en tensión suspendiendo un bloque de 20 N de peso. Determine el tiempo que tarda en viajar desde la polea hasta la pared, el pulso mostrado.

V

1m

7)

Una cuerda se fija por sus extremos haciéndole vibrar generando ondas estacionarias cuya expresión es: Y(x, t) = 0.4 Sen(0.4 x) Cos(400 t), x en cm y t en s. Si la cuerda vibra en su cuarto armónico, determinar la longitud de la cuerda. a. 10 π cm b. 30 π cm c. 50 π cm d. 11 π cm e. 40 π cm 8) A (π)-1/2 metros de una fuente sonora puntual el nivel de intensidad sonora es 100 dB. Hallar la intensidad de la onda a 2*(π)-1/2 m. a. 0.25*10-2 W/m2 b. 25*10-2 W/m2 c. 2.25*10-2 W/m2 d. 1.25*10-2 W/m2 e. 2.5*10-2 W/m2 9) En el fondo de un lago se produce un sonido cuya frecuencia es de 400 Hz. Cuando este sonido pase hacia el aire. ¿En cuanto disminuye su longitud de onda? En el agua la velocidad del sonido es de 1530 m/s. 2, 975 2, 6 4 5 3, 3 2 4 2, 9 6 3 2, 5 4 5 a) b) c) d) e) 10) Un violín produce un nivel de intensidad sonora de 40 dB. ¿Qué nivel sonoro producirán 10 violines? a. 50 dB b. 60 dB c. 45 dB d. 40 dB e. 55 dB 11) El sonar se usa para mapear el fondo de los océanos. Si una señal ultrasónica es recibida 4.0 s después de ser emitida, ¿Qué profundo es el suelo del océano en ese lugar?(en m) a. 2570 b. 3000 c. 3570 d. 2500 e. 3450 12) Calcule la intensidad generada por una fuente puntual de sonido 5652.0 W en un punto situado a 3.0 m de distancia (en W/m2)(π=3.14). a. 55 b. 58 c. 50 d. 60 e. 45

13) Si la distancia desde una fuente puntual de sonido se triplica , la intensidad del sonido será: a. 3I b. (1/3)I c.6I d. (1/9)I e. (1/12)I 14) Si la intensidad de un sonido es de 10-4 W/m2 y la intensidad de otro es de 10-2 W/m2, ¿cuál es la diferencia de las intensidades de sonido en decibeles? a. 40 dB b. 30 dB c. 60 dB d. 80 dB e. 120 dB 15) A una distancia de 10.0 m desde una fuente puntual, el nivel de intensidad es de 70 dB. ¿A qué distancia desde la fuente será el nivel de intensidad igual a 30 dB?(en m) a. 530 b. 600 c. 1000 d. 800 e. 1200 16) Cuál es la frecuencia oída por una persona que viaja directamente a 1224 km/h hacia el silbato de una fábrica (f= 800 Hz) a. 600 Hz b.700 Hz c. 900 Hz d. 1600 Hz e. 1800 Hz 17) Una cuerda de 150 cm tiene una masa de 300 g, si contiene una onda estacionaria (ver figura), cuando la tensión es 180 N, calcule la frecuencia de oscilación.

150 cm

18) Al estar cerca de un cruce de ferrocarril, usted escucha el silbato de un tren. La frecuencia emitida por el silbato es de 400 Hz. Si el tren viaja a 204 m/s, ¿cuál es la frecuencia que escucha? a.1250 Hz b.1000Hz c.600 Hz d. 400 Hz e. 680 Hz 19) Un bote anclado es movido por ondas cuyas crestas están separadas 20 m y cuya rapidez es de 5 m/s. ¿Con qué frecuencia las olas llegan al bote? a)

4 Hz

b)

2 Hz

c)

1Hz

d)

5 Hz

e)

6 Hz

20) ¿Qué tan rápido, en kilómetros por hora, debe moverse una fuente de sonido hacia usted para hacer la frecuencia observada 5 % mayor que la frecuencia verdadera? a. 400 b. 456 c. 345 d. 408 e. 560 21) La cuerda mostrada en la figura tiene una longitud de 4 m entre los puntos A y B; su densidad lineal de masa es de 0,4 kg/m. Esta cuerda es excitada en su extremo izquierdo con una frecuencia de 80 Hz. El bloque que se le debe colocar en su extremo derecho para que resuene (onda estacionaria) en 10 segmentos, debe tener un peso W, en newtons, de:

A

B

W a) 1638,4 N e) 1400,4 N

b) 1438,4 N

c) 1640,4 N d) 1550,4 N

22) Un peatón escucha una sirena variar en frecuencia de 476 a 404 Hz, cuando un carro de bomberos se acerca, pasa y se aleja por una calle recta. ¿Cuál es la rapidez del carro? (Considere que la rapidez del sonido en el aire es de 343 m/s) 23) Una onda es transversal, cuando las partículas del medio oscilan: a) Con velocidad nula b) Paralelamente a la dirección de propagación de la onda c) Oblicuamente a la dirección de la propagación de la onda d) En cualquier dirección e) perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

76 | C E P R U 2 0 1 5 .

Concepto.- Es una parte de la física que se encarga de estudiar la luz, su naturaleza, sus fuentes de producción, su propagación y los fenómenos que experimenta. Naturaleza de la luz.- Desde tiempos muy remotos, la naturaleza de la luz fue uno de los grandes enigmas para los hombres, lógicamente existieron teorías al respecto. Así, las teorías antiguas consideraban a la luz como pequeños corpúsculos que salían del cuerpo luminoso y al llegar al ojo; permitían la observación de los objetos de donde habían partido. La formulación seria de esta teoría (teoría corpuscular) la hizo ISAC NEWTON en el siglo XVII con ello pudo explicar las leyes de la reflexión y de la refracción, una característica importante de esta teoría es que la velocidad de la luz debía ser mayor en el agua o en el vidrio que en el aire. Contemporáneo a Newton, era CRISTIAM HUYGENS; quien consideraba que la luz estaba formada por ondas similares a las ondas del sonido, o sea ondas 1ongitudinales (teoría ondulatoria). Newton rechazó la teoría ondulatoria y debido a su gran reputación, este rechazo fue aceptado por una gran mayoría, la teoría corpuscular de Newton, fue aceptada durante más de un siglo, hasta que en 1,801, THOMAS YOUNG reavivó la teoría ondulatoria, introduciendo la idea de interferencia como un fenómeno ondulatorio, tanto en la luz como en el sonido, sin embargo, el trabajo de Young quedó desconocido por más de una década, hasta que el físico francés AUGUSTIN FRESNEL, convenció con grandes demostraciones que la teoría ondulatoria de la 1uz era válida. En 1850. FOUCAULT midió la velocidad de luz en el agua y demostró que es menor que en el aire, destruyendo así la teoría corpuscular de Newton. Años más tarde, JAMES CLERK MAXWELL demuestra que las ondas electromagnéticas tienen igual velocidad de propagación que la luz; Maxwell sugirió correctamente que esto no es accidental sino que indica que la luz es una onda electromagnética. HERTZ comprueba en forma experimental que las ondas electromagnéticas experimentaban los mismos efectos que la luz: reflexión, refracción, polarización, interferencia, difracción, etc. Posteriormente en 1900, el mismo Hertz, descubrió un nuevo fenómeno luminoso: Cuando un cuerpo cargado de electricidad es Iluminado, preferentemente con luz ultravioleta, se desprenden de él, cargas eléctricas negativas (electrones), a este fenómeno se le llamó "EFECTO FOTOELÉCTRICO" y sólo se puede explicar, si se admite que la luz no está formada por ondas, sino que está formada por corpúsculos. En cierto modo un retorno a la teoría de Newton. Es así entonces como MAX PLANK enuncia su "TEORÍA DE LOS CUAMTONS”, en el cual sostiene que la luz está formada por pequeños paquetes de energía llamados FOTONES. Esta teoría después fue perfeccionada por ALBERT EINSTEIN. En la actualidad se considera que la luz tiene naturaleza dual. o sea que en algunos fenómenos se comporta como corpúsculos y en otros como onda. Propagación y velocidad de la luz.-En un medio homogéneo, 1a 1uz se propaga en línea recta y con velocidad constante que en el vació es igual a v = (2,99792  0,00003)×108 m/s; aproximadamente: 300000 km/s. ALBERT MICHELSON, el primer científico norteamericano que recibió un premio Nobel (1,907), mide la velocidad de la luz a 1o largo de una distancia de 22 millas entre los montes Willson y San Antonio en California, utilizando espejos octogonales giratorios. REFLEXIÓN DE LA LUZ Es aquel fenómeno luminoso que consiste en el cambio de dirección que experimenta un rayo de luz (en un mismo medio) al incidir sobre una superficie que le impide continuar propagándose cambiando de dirección para continuar su propagación en el medio en el cual se encontraba inicialmente. CLASES DE REFLEXIÓN A.- REGULAR: Es cuando la superficie se encuentra perfectamente pulida, en este caso, si se emiten rayos incidentes paralelos entre si, al cambiar de dirección se obtienen rayos reflejados que siguen siendo paralelos entre si.

ELEMENTOS DE LA REFLEXIÓN 1. Rayo Incidente. Es aquel rayo luminoso que llega a 1a superficie. 2. Rayo reflejado. Es aquel rayo que aparentemente sale de la superficie. 3. Normal. Es aquella línea recta imaginaria perpendicular a la superficie en el punto de incidencia. 4. Ángulo de Incidencia (𝑖). Es el ángulo formado entre el rayo incidente y la normal. 5. Ángulo de reflexión (𝑟). Es el ángulo formado entre el rayo reflejado y la normal

Normal 𝑖 Rayo incidente B.- DIFUSA (IRREGULAR): Es cuando la superficie presenta irregularidades o porosidades, en este caso a1 emitir rayos incidentes paralelos entre si, estos cambian de dirección obteniéndose rayos reflejados que ya no son paralelos entre sí.

𝑟 Rayo reflejado

LEYES DE REFLEXIÓN REGULAR 1. El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado se encuentran en un mismo plano el cual es perpendicular a la superficie reflectante. 2. El valor del ángulo de incidencia es igual al valor del ángulo de reflexión. 𝑖=𝑟

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 77 .

ESPEJOS

Un espejo es toda aquella superficie reflectante perfectamente pulida donde únicamente ocurre reflexión de tipo regular. Se clasifican en planos y curvos, cumpliéndose en cualquier caso que dividen el espacio que lo rodea en dos dimensiones, lo que está frente al espejo (zona real) donde cualquier distancia que sea medida se considera positiva y la región detrás del espejo denominada zona virtual donde cualquier distancia medida se considera negativa. Objeto.- Es aquel cuerpo, a partir de1 cual se trazan los rayos luminosos que inciden en el espejo, como siempre está en 1a zona real, la distancia al espejo, será siempre positiva. Imagen.- Es la figura geométrica obtenida mediante la intersección de los rayos reflejados o la prolongación de estos, llamándose en primer caso real y en el segundo virtual. IMAGEN DE UN PUNTO EN UN ESPEJO PLANO Para obtener la Imagen de un punto, basta con trazar dos rayos incidentes y ver donde se cortan los rayos reflejados o sus prolongaciones.

O p

Zona Virtual 𝑖

x

𝑟

y y q

x Zona Real

I

IMAGEN DE UNA FIGURA EN UN ESPEJO PLANO Para obtener la imagen de una figura, se determina las imágenes de varios puntos pertenecientes al objeto para luego unirlos. Espejos Angulares.- En este tipo de espejos el número de imágenes depende del ángulo que forman los espejos y de la posición del objeto. 360o Sea “n” el número de imágenes: 𝑛 = o − 1 𝛼

Conclusión: En todo espejo plano: A) La imagen se forma en la zona virtual. B) La imagen es derecha. C) La distancia de la imagen al espejo es igual a la distancia del objeto al espejo. D) El tamaño de la imagen es igual al tamaño del objeto. Espejo Esférico: Es aquel casquete de esfera cuya superficie interna o externa es reflectante. Si 1a superficie reflectante es la cara interna, el espejo es cóncavo, mientras que si la superficie reflectante es la cara externa el espejo es convexo.

Convexo

Cóncavo

ELEMENTOS DE UN ESPEJO ESFÉRICO 1. Centro de curvatura (C).- Es el centro de 1a esfera que origina al espejo. 2. Radio de curvatura (R).- Es el radio de la esfera que da origen a1 espejo. 3. Vértice (V).- Es el centro geométrico del espejo. 4. Eje principal (£)- Es la recta que pasa por el vértice y el centro de curvatura. 5. Foco principal (F).- Es aquel punto ubicado sobre el eje principal en el cual concurren los rayos reflejados o la prolongación de ellos; provenientes de rayos incidentes paralelos al eje principal. 6. Distancia focal (f).- Es 1a distancia entre el foco principal y el vértice; aproximadamente es la mitad del radio de curvatura. CONSTRUCCIÓN DE IMÁGENES EN UN ESPEJO ESFÉRICO I) ESPEJO ESFÉRICO CÓNCAVO. Se presentan 5 casos según la posición del objeto. 1. Cuando el objeto se encuentra entre el infinito y el centro de curvatura. La imagen es real invertida y de menor tamaño que el objeto.

Z.R. Z.V. O

F

C I

V

2.

Cuando el objeto se encuentra en el centro de curvatura. La imagen es real invertida y del mismo tamaño que el objeto.

Z. Z. OC I

F

V

78 | C E P R U 2 0 1 5 3.

Cuando el objeto se encuentra entre el centro de curvatura y el foco. La imagen es real invertida y de mayor tamaño que el objeto.

Z.R.

Observaciones 1. Si un rayo de luz pasa de un medio a otro más denso el rayo refractado se acerca a la normal. 2. Si un rayo de luz, pasa por un medio a otro menos denso el rayo refractado se aleja de la normal.

Z.V.

O I 4.

F

C

V

𝑖

C

Medio 1 Medio 2

Cuando el objeto se encuentra en el foco, no se forma imagen (Los rayos reflejados son paralelos) (no hay imagen)

V

Z.R. Z.V.

𝑟

O C

5.

densidad (2)>densidad(1

F

V

Cuando el objeto se encuentra entre el foco y el vértice. La imagen es virtual, derecha y más grande que el objeto. La imagen es virtual porque se forma con la prolongación de los rayos reflejados.

C

𝑖 medio 1 medio 2 V

C

𝑟

I

O F

V Z.R Z.V . .

II) ESPEJO ESFÉRICO CONVEXO

Es un caso único porque se obtiene el mismo resultado. Si el objeto está situado entre el infinito y el espejo, la imagen es: Virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto.

densidad (2)
𝐶 𝐶 𝑛 = =1 𝑉 𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜 𝐶

Ejemplo: en el agua: V = 225000 km/s

O

𝑛𝑎𝑔𝑢𝑎 =

I V

F

Z.R.

C Nota: El índice de refracción nunca puede ser menor que la unidad, el mínimo valor que puede tomar es 1.

Z.V.

REFRACCIÓN DE LA LUZ Es aquel fenómeno luminoso que consiste en el cambio de dirección que experimenta la luz al atravesar la superficie de separación de dos medios de diferente densidad. Este fenómeno se explica de manera satisfactoria utilizando la teoría ondulatoria.

Normal

𝑖 Medio 1

Rayo incidente

Medio 2

𝑟 Rayo refractado

300000 4 300000 3 = 𝑛 = = 225000 3 𝑣𝑖𝑑𝑟𝑖𝑜 200000 2

LEYES DE REFRACCIÓN 1. El rayo incidente, la normal y el rayo refractado se encuentran en un mismo plano, el cual es perpendicular a la superficie de refracción. 2. Ley de Snell.- El índice de refracción del medio en el cual se propaga el rayo incidente, multiplicado por el seno del Angulo de incidencia es igual al índice de refracción del medio en el cual se propaga el rayo refractado multiplicado por el seno del ángulo de refracción. 𝑛1 𝑠𝑒𝑛𝑖 = 𝑛2 𝑠𝑒𝑛𝑟 ANGULO LIMITE (L) Cuando un rayo luminoso pasa de un medio denso a otro menos denso, el rayo refractado se aleja de la normal de modo que si el ángulo de incidencia aumenta progresivamente el ángulo de refracción también aumenta, hasta que llega un momento en que el ángulo de refracción mida 90° y el rayo luminoso sale al ras de la superficie de separación. El ángulo de incidencia que corresponde a esa refracción se llama ángulo límite.

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 79

medio 1 medio 2

𝐿

Biconvexa

De la ley de Snell: densidad (2)>densidad (1)

𝑛2 𝑠𝑒𝑛𝐿 = 𝑛1 𝑠𝑒𝑛90° ⇒ 𝑛2 𝑠𝑒𝑛𝐿 = 𝑛1 ⇒ 𝑠𝑒𝑛𝐿 = 𝑛1 /𝑛2 𝑛 Donde: 𝐿 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( 1 )

Plano Menisco convexo Convergente

B. Divergentes.- Cuando los bordes son más anchos que

la parte central se caracteriza por hacer que los rayos paralelos al eje principal que llegan a la lente se separen de manera que sus prolongaciones se cortan en un solo punto.

𝑛2

REFLEXIÓN TOTAL.- Cuando un rayo luminoso pasa de un medio denso a otro menos denso y el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite, el rayo ya no se refracta; sino más bien se refleja en la superficie como si este fuera un espejo en esas condiciones la luz no puede salir del medio y el fenómeno se llama reflexión total, también se llama espejismo.

medio 1 medio 2 



Menisco convergente

𝐿 Reflexión Total Densidad (2)>densidad (1) PROFUNDIDAD APARENTE.- Cuando una persona observa un objeto localizado en otro medio de diferente densidad, lo que ve no es realmente la posición exacta del cuerpo, sino más bien su imagen, formado por las prolongaciones de los rayos refractados. De la figura: n1sen = n2sen (1) () y (): son ángulos pequeños sen = tg = x/ H (2) sen = tg = x/ h (3) 𝑥 𝑥 𝑛 (2) y (3) en (1) 𝑛1 ( ) = 𝑛2 ( ) ⇒ ℎ = 𝐻 2 𝐻

H



x objeto

ℎ

𝑛1

h 

x imagen

LENTES Una lente es toda sustancia transparente limitada por dos superficies de las cuales por los menos una de ellas debe ser esférica. CLASES A. Convergentes.- Cuando la parte central es más ancha que los bordes, se caracteriza por hacer que los rayos paralelos al eje principal que llegan a la lente se refracten de manera que todos concurren en un solo punto.

Biconvexa

Plano convexo

ELEMENTOS DE UNA LENTE

1. Centro óptico (Co):Es el centro geométrico de la lente. 2. Centros de curvatura(C1,C2)Son los centros de las esferas que originan la lente

3. Radios de curvatura (R1, R2):Son los radios de las esferas que originan la lente.

4. Eje Principal: Es la recta que pasa por los centros de curvatura y el centro óptico

5. Foco (F):Es aquel punto ubicado en el eje principal en

el cual concurren los rayos refractados que provienen de rayos incidentes paralelos al eje principal. Toda lente tiene 2 focos, puesto que la luz puede venir por uno u otro lado de la lente, o sea: A) Foco Objeto (Fo): Es el foco ubicado en el espacio que contiene al objeto B) Foco Imagen (Fi): Es el foco ubicado en el espacio que no contiene al objeto. C) Foco principal (F):Es el punto en el cual concurren los rayos refractados o las prolongaciones de los refractados que proviene de rayos incidentes paralelos al eje principal y que provienen del objeto, el foco principal puede estar ubicado en el foco imagen o en el foco objeto. D) Distancia focal (f): Es la distancia del foco principal a la lente este valor se determina con la ecuación del fabricante que posteriormente estudiaremos. OBSERVACIONES  En las lentes, a diferencia de los espejos, la zona en que esta el objeto se llama zona virtual, en donde cualquier distancia tiene signo negativo, la zona detrás de la lente se llama zona real y allí cualquier distancia tiene signo positivo, la distancia objeto es la distancia del objeto a la lente y a pesar de que se mide en la zona virtual, siempre se toma con signo positivo.  En los espejos la distancia focal es la mitad del radio de curvatura en las lentes esto casi nunca sucede.

80 | C E P R U 2 0 1 5 CONSTRUCCIÓN DE IMÁGENES.- Para la determinación de la imagen de un objeto se emplea básicamente 3 rayos luminosos, de los cuales son indispensables sólo 2 de ellos; estos son: 1. Un rayo paralelo al eje principal que luego de atravesar la lente y refractarse pasa por el foco principal. 2. Un rayo luminoso que pasa por el centro óptico y que no se desvía. 3. Un rayo luminoso dirigido hacia el foco no principal y que luego de atravesar la lente y refractarse se propaga paralelo al eje principal. Ilustración.  En una lente convergente.

Z.V .

Z.R .

4. Cuando el objeto se encuentra en el foco.

No se forma imagen, los rayos refractados son paralelos.

5. Si el objeto se encuentra entre el foco y la lente.

La imagen es: virtual, derecha y de mayor tamaño que el objeto.

Z.V .



Z.R .

C1

En una lente divergente.

CONSTRUCCIÓN DE IMÁGENES EN LAS LENTES La construcción de imágenes se realiza de manera similar a lo que hemos visto en los espejos esféricos. Así vamos a resumir en los siguientes resultados: I. Imágenes en lentes convergentes: 1. Si el objeto se encuentra entre el infinito y el centro de curvatura. La imagen es: real invertida y de menor tamaño que el objeto.

II. Imágenes en las lentes divergentes Las lentes divergentes siempre producen imágenes virtuales, derecha y de menor tamaño que el objeto.

1

Fórmulas de las lentes: Aumento:

𝐴=

𝑝 −𝑞 𝑝

=

Potencia:

La imagen es: real invertida y de igual tamaño que el objeto.

Z.V .

Z.R .

1 𝑓

ℎ𝑖 ℎ𝑜

𝑃= 1

Ecuación del fabricante:

2. Si el objeto se encuentra en el centro de curvatura.

1

𝑞

+ =

𝑓

1 𝑓

= (𝑛 − 1) [

1

𝑅1

−

1 𝑅2

]

ECUACIONES. A) Formula de las lentes conjugadas (Gauss) 1 1 1 − = 𝑝

𝑞

𝑓

Regla de signos: p: siempre es positivo si q es (+) la imagen es real e invertida; si q es (-) la imagen es virtual y derecha f es (+) para lentes convergentes; f es (-) para lentes divergentes B) Ecuación del fabricante 1 𝑓

3. Si el objeto se encuentra entre el centro de curvatura y el foco. La imagen es: real, invertida y de mayor tamaño que el objeto.

= (𝑛 − 𝑛𝑀 ) [

1

𝑅1

−

1 𝑅2

]

n = índice de refracción de la lente nM = índice de refracción del medio. R1 = radio de la superficie más cercana al objeto. R2 = radio de la superficie menos cercana al objeto. C) Ecuación de Newton 𝑓2 = 𝑥1 𝑥2 x1 = distancia del objeto al foco objeto. x2 = distancia de la imagen al foco imagen

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 81 D) Potencia (P) p = dioptría f = metro

𝑃=

E) Aumento (A)

1 𝑓

𝐴=

−𝑞 𝑝

=

ℎ𝑖 ℎ𝑜

Regla de signos: Si A es (+) la imagen es virtual y derecha, mientras que si A es (-) la imagen es real y derecha EJERCICIOS

1)

Un niño se encuentra a 1 m de un espejo plano colocado en una pared vertical. Para que el niño de 1,25m de estatura pueda ver el árbol situado a 3 m delante del espejo. ¿Cuántos metros de altura tendrá el espejo para ver íntegramente al árbol? (Altura del árbol 8m). Rpta: x = 2 m.

2)

Si se tiene una lente de índice n=2 rodeada de aire. Calcular la distancia focal, si los radios de la lente bicóncava son iguales. Rpta: f = -R/2.

3)

Calcular el poder dióptrico de la lente biconvexa con radios de curvatura de 15 cm y 30 cm. ( = 1,5). Rpta: P= 5 dioptrías.

4)

Un objeto de 12 cm de altura se coloca a 240 cm delante de una lente biconvexa de radios iguales a 80 cm. Calcular la distancia imagen y su altura (n = 1,5). Rpta: q = 120cm [I]= 6 cm.

5)

Calcular la distancia focal de una lente plano cóncavo si el radio de la cara curva es de 50 cm. (n = 1,5). Rpta: f = -100 cm.

6)

Una lente menisco divergente tiene radios de curvatura R = 70 cm. y R = 50 cm. Calcular la potencia de la lente. (n = 1,5). Rpta: P= -2/7 dioptrías.

7)

8)

9)

10)

11)

12)

Un objeto de 10 cm. de altura se coloca a 60 cm. de una lente biconvexa de vidrio (n = 1,5) cuyas caras esféricas tienen radios de 20 cm. Calcular la altura de la imagen. Rpta: hi = 5 cm. Una placa metálica está en el fondo de una piscina lleno con agua, de profundidad 6,5 m ¿A qué profundidad aparente observaremos a la placa al mirarla oblicuamente? Rpta: 5 m. Una varilla penetra en el agua formando un ángulo de 45° grados con la superficie. ¿Qué ángulo se apreciará entre la superficie del agua y la varilla sumergida? (agua = 4/3). Rpta: = 37° Un objeto de 12 cm de altura se coloca a 240 cm delante de una lente biconvexa de radios 80 cm y 80 cm (nv = 1,5) Calcularla distancia de la imagen a la lente. Rpta: q = 120 cm Una lente menisco convergente tiene radios de 30 cm y 60 cm. Calcular la distancia focal de la lente: (nV = 1,6). Rpta: f = 100 cm. Determine la distancia entre la esferita y su imagen formada en el espejo “AB” que se indica.

Hallar la distancia de la imagen al espejo. Rpta: q=7,5 cm 15)

En un el espejo cóncavo, la distancia del objeto al foco es 90 cm y de la imagen real al mismo foco es de 40 cm. Calcular la distancia focal “f”. Rpta: f=60cm

16)

Un objeto ubicado a 3 m de un espejo esférico cóncavo genera una imagen real a 1,5 m del vértice del espejo. ¿Qué distancia X deberá acercarse el objeto al espejo para que la nueva imagen se ubique en la posición inicial donde estaba el objeto? Rpta: X=3/2 m

17)

Un objeto se halla a 60 cm de un espejo cóncavo, si se le acerca al espejo 10 cm, entonces la distancia entre el espejo y la imagen queda multiplicada por 5/3. Hallar la distancia focal del espejo. Rpta: f=40cm Calcular la distancia de un objeto a un espejo esférico cóncavo de 180 cm de radio, si la imagen es real e igual al 50% del tamaño del objeto. Rpta: p=270cm Calcular la distancia focal de un espejo convexo sabiendo que la distancia de un objeto a dicho espejo es 30 cm, y que su imagen es la sexta parte de él. Rpta: f=-6cm Un objeto de 5 cm de alto se ubica a 180 cm de un espejo convexo de 90 cm de radio de curvatura. Calcular el tamaño de la imagen. Rpta: A’B’=1cm Se coloca un objeto a 45 cm de un espejo esférico y como consecuencia se obtiene una imagen derecha e igual al 20% del tamaño del objeto. Determine el tipo de espejo y su radio. Rpta: R=22,5cm Un espejo esférico produce una imagen a una distancia de 4 cm detrás del espejo, cuando el objeto de 3cm de altura se encuentra a 6 cm frente al espejo. ¿Cuál es la naturaleza del espejo, el radio y el tamaño de la imagen? Rpta: R = -24cm; A’B’= 2cm Determine las características de la imagen de un objeto colocado a 160 cm del centro óptico de una lente convergente de 80 cm de distancia focal. Si la altura del objeto es de 6 mm.Rpta: A’B’=6mm; q=160cm Determine las características de la imagen de un objeto de 12 mm de alto colocado a un metro de una lente convergente de 80 cm de distancia focal. Rpta: A’B’=48mm; q=4 m Determine las características de la imagen de un objeto de 8 mm. colocado a 60 cm. de una lente divergente de 40 cm. de distancia focal. Rpta: A’B’=3,6cm; q=-24cm Determine las características de la imagen que proporciona una lente divergente de 40 cm de distancia focal, debido a un objeto de 10 cm de alto colocado a 60 cm de dicha lente Se tiene 2 placas de vidrio de índices n2 y n3 = 1,25 un rayo de luz incide con un ángulo de 30° sigue la trayectoria indicada y se refleja totalmente sobre la

18)

19)

20) 21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

cara vertical ab. Calcular el valor de n2. Rpta:𝒏𝟐 = 13)

14)

A) 10 cm B)15 cm C)20 cm D)25 cm E) 30 cm Calcular la distancia de un objeto a un espejo esférico cóncavo de 120 cm de radio, sabiendo que esta proporciona una imagen derecha e igual al cuádruple del objeto. Rpta: P=45 cm En un espejo convexo de 60 cm de radio de curvatura y a 10 cm de él se coloca un objeto.

√𝟓 𝟐

28) Se muestra la incidencia y reflexión de un rayo de luz que llega paralelo y a una altura “H” del piso, sobre una superficie plateada que pertenece a un cuarto de circunferencia de radio “R”, hallar “R”.

82 | C E P R U 2 0 1 5

 35)

H

 H sec   2 a)  H csc   4 c)

 H tan   2 b)  H cot   2 d)

36)

A) n =

3/2

B) n =

C) n =

2/3

D) n =1,5

30)

E)n=1,33

Dos espejos angulares forman un ángulo de 20º. ¿Cuál ha de ser el ángulo de incidencia en uno de ellos para que al cabo de 3 reflexiones el rayo reflejado sea paralelo al incidente? a) 15º b) 18º c) 20º d) 25º e) 25º En la grafica mostrada determine el ángulo que forma el rayo incidente del espejo A con el rayo reflejado en el espejo B.

A

 H csc   2 e) 29)

3/4

rayo de luz

(EXAMEN CBU 2007-II) Un rayo de luz que viaja en el aire, ingresa a un medio transparente de índice de refracción igual a 2 . Si el ángulo de refracción es de 30°, el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión, son respectivamente: a) 60° y 60° b) 45° y 45° c) 45° y 30° d) 30° y 30° e) 45° y 60° Determinar la medida de “θ” si BC es el rayo reflejado y BD el rayo refractado. Además n1=3 y

a) 40º 37)

60º

B

b) 80º

c) 50º

d) 60º

e) 30º

Qué distancio existe entre las terceras imágenes de cada serie, producidas por los espejos planos A y B?.

20cm

n2=2,5 2

espejo

A

o bjeto

espejo

n2 n1

B

40cm

37º



D

C

a) 77º b) 81º c) 85º d) 92º e) 98º 31) (EXAMEN DE ADMISION 200I-I) Un espejo plano cuadrado de un metro de lado se apoya sobre unos de sus lados en el suelo, permaneciendo inclinado 30° respecto a la vertical. Al medio día, cuando la radiación solar es perpendicular al suelo, el área del suelo que esta iluminado por el espejo será igual a: en metros cuadrados. a) 0,43 b) 0,50 c) 0,87 d) 1,00 e) 2,00 32)

a) 25º

38)

39)

Sobre un prisma de hielo ( n  4/3 ) incide un rayo de luz de un solo color, al ángulo del prisma es 37º, hallar “  ”. 40)

b) 16º c) 18º



d) 20º e) 21º 33)

34)

(EXAMEN CBU 2000-II) Delante de un espejo cóncavo de distancia ocal 0,5m, se encuentra un objeto de 6cm de tamaño a una distancia de 2m. Hallar el tamaño de la imagen real que produce el espejo (en cm). a) 6 b) 1 c) 2 d) 3 e) 12 Un rayo luminoso incide con un ángulo de 45º sobre una de las caras de un cubo transparente de índice de refracción “n”. Hallar este índice de refracción con la condición que al incidir en la cara interna del cubo el rayo de luz forme el ángulo límite. 45º

41)

42)

43)

44)





N

45)

a) 80 cm

b) 120 cm

d) 360 cm

e) 180 cm

c)240 cm

Calcular el aumento de un espejo cóncavo, de 45 cm de distancia focal. Cuando colocamos un objeto a 15 cm de su vértice. a) 1.0 b) 1.5 c) 2.0 d) 2.5 e) 3.0 Un observador se ubica a 120 cm de un espejo cóncavo de 60 cm de distancia focal. ¿A qué distancia en cm, del espejo se forma la imagen del observador? a) 80 b) 90 c) 110 d) 100 e) 120 Un rayo luminoso incide sobre un espejo con un ángulo de 22º con respecto a la normal, si el espejo gira en 8º, ¿qué ángulo gira el rayo reflejado? a) 18º b) 16º c) 20º d) 25º e) 14º Se dispone de un espejo esférico cóncavo, con una distancia focal de 20 cm. ¿A qué distancia del vértice del espejo se debe colocar un objeto para que su imagen real se forme a 60 cm del vértice? a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cm d) 40 cm e) 50 cm Hallar el aumento de un espejo cóncavo en el instante en que la imagen virtual se forma a 80 cm cuando el objeto se ha colocado a 40 cm. a) 1 b) -1 c) -2 d) 2 e) 0 Calcular el aumento de un espejo cóncavo, de 45 cm de distancia focal. Cuando colocamos un objeto a 15 cm de su vértice. a) 1.0 b) 1.5 c) 2.0 d) 2.5 e) 3.0 Un objeto es colocado a 5 cm de una lente convergente cuya distancia focal es de 10 cm. Determine la naturaleza de la imagen. a) real, invertida y de mayor tamaño b) Virtual, invertida y de mayor tamaño c) Virtual, derecha y de menor tamaño d) Real, invertida y de menor tamaño e) Virtual, derecha y de mayor tamaño Un rayo de luz incide en una de las caras internas de una cubeta de paredes interiores reflectoras,

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 83 este rayo refleja posteriormente en el fondo y luego en la cara opuesta a la primera cara de incidencia, si el rayo que emerge de la cubeta forma 140º con el rayo incidente, hallar el ángulo de incidencia en el fondo de la cubeta. a) 18º b) 24º c) 20º d) 25º e) 16º Un hombre de altura “h” está frente a un espejo de 1 m de ancho y de altura 3h/4, como muestra la figura, para que el hombre pueda verse de cuerpo entero tendrá que:

46)

h h 2 a) alejarse del espejo b) acercarse al espejo 2 h h 4 c) subir el espejo d) acercarse al espejo 2 e) subir el espejo h

h

3 h 4

Principio de relatividad de Einstein: Postulados de la teoría de la relatividad: Primer Postulado: (Principio de la relatividad) Las leyes de la física son INVARIANTES, es decir, tienen la misma forma en todos los sistemas de referencia inerciales. Segundo Postulado: (magnitud de la velocidad de la luz) La velocidad de la luz tiene el valor c, es independiente del movimiento de la fuente o del sistema de referencia del observador. Transformación de Lorentz: Para llegar a un fin en los resultados del principio de la relatividad, en primer lugar debemos encontrar como dos observadores en movimiento relativo uniforme describirán el mismo evento. Las formulas relativistas de transformación de las coordenadas que satisfagan la condición de invariancia del intervalo se denominan transformaciones de Lorentz. Estas transformaciones expresan el paso del sistema inercial de referencia K al sistema K´ que se desplaza con respecto al K a la velocidad V según el sentido positivo del eje X. las ecuaciones de transformación son:

x 

y  y ;

x  Vt ; 1

z  z ;

V2 c2

x   Vt  1

;

y  y ;

z  z ;

2

V c2

reposo)

X R  X L  LO

(LO

X L   ( X L  Vt o ) ;

 

1 2

V  1   c Donde to es el tiempo en que se miden simultáneamente las coordenadas derecha e izquierda de los extremos de la regla, en el sistema K. Se deduce que

V  L  Lo 1    c

2

V x c2 t  V2 1 2 c y K

V t   2 x c . t 2 V 1 2 c

Contracción de la longitud Los objetos acortan su longitud en la dirección en que se mueven: este efecto es difícil de medir. Es el sistema de referencia en el que no se mueve, la medida de la regla del grafico es.

X R   ( X R  Vt o ) ;

t

Las transformaciones de Lorentz son simétricas conservan su aspecto al pasar del sistema K´ al cambiando el signo de V:

x

Sabiendo que:

es la longitud en

Figura17. 1: A) La longitud de la nave permanece invariable para el tripulante de la nave. B) En cambio para el observador en la tierra la nave sufrió una contracción. Ejemplo 1 (Admisión 2010-II) Un proyectil de 10cm de longitud es disparado a una velocidad de 0,8 c, en la dirección de su longitud, para un observador en la tierra la longitud del proyectil, es de: (c= velocidad de la luz) A) 6 cm B) 10 cm C) 24 cm D) 12 cm E) 18 cm Solución: La longitud propia es: Lo  10cm la velocidad del proyectil es V  0,8c . La longitud para el observador en la tierra se calcula por:

V  L  Lo 1    c

2

Reemplazamos datos:

 0,8c  L  10 cm 1     c  Simplificamos y obtenemos:

2

L = 6 cm.

84 | C E P R U 2 0 1 5

DILATACION DEL TIEMPO: Se puede llegar a la conclusión de que el intervalo de tiempo entre dos eventos cualesquiera que ocurren en el mismo lugar parece más largo cuando se observa desde un marco de referencia móvil que cuando se observa desde el sistema en reposo. Sea el evento 1 cuando se enciende una lámpara al tiempo t`1 en la posición x`; entonces, los observadores en el sistema K determinan los tiempos.

Reloj de los astronautas

t   1,2h ;

velocidad de la

nave V = 0,6 c Reemplazamos datos:

1

t 

 0,6c  1    c 

Simplificamos y obtenemos:

2

1,2h

t  1,5h

Masa y Energía. La consecuencia más notable de la teoría de Einstein fue

t1   (t1  Vx / c 2 ) t 2   (t 2  Vx / c 2 )

la equivalencia entre la masa y la energía. E  mc Masa Relativista: La masa de un cuerpo en movimiento es mayor que cuando el cuerpo se encuentra en reposo. La relación entre la masa mr medida en movimiento y la masa mo medida en reposo, es: 2

Por lo tanto la duración del proceso es:

t 2  t1   (t 2  t1 ) 

1 V  1   c

2

(t 2  t1 )

t  t 

mr 

Podemos escribir entonces

t 

1 V  1   c

2

t 

Este efecto es tan real, que se ha observado y verificado experimentalmente de muchas maneras. Dónde: t : Intervalo del tiempo medido por el observador en reposo. t  : Intervalo del tiempo medido por el observador en movimiento (tiempo propio) “Los relojes en movimiento funcionan más lentamente que los relojes estacionarios” Paradoja de los hermanos: Dos hermanos mellizos (Gonzalo y Sebastián) de 20 años se despiden uno viajara en una nave espacial a la velocidad cerca al de la luz. Cuando la nave llegue a su destino y luego regrese, Sebastián tendrá 55 años, mientras que Gonzalo tendrá 90. Qué ha pasado?. Simplemente que para Sebastián que voló a gran velocidad se redujo el tiempo y por lo tanto se habrá trasladado al futuro, de modo que cuando se encuentra con su hermano Gonzalo, éste estará ya un anciano.

mo V  1   c

2

Esta expresión indica que la masa puede ser infinita cuando la velocidad se acerca a la velocidad de la luz, entonces no es posible alcanzar la velocidad de la luz. Ejemplo 3: (CEPRU 2011-II) Una partícula se desplaza con una velocidad V de modo que su masa es de 4 veces su masa en reposo. El valor de su velocidad relativista en función del valor de la velocidad de la luz c en el vacío, es: A) 0,3 2c B) Solución:

3 C) c 2

0,5c

La masa relativista es:

D) 15 c E) 0,2 3c 4

m r  4m o

reemplazamos en la

ecuación:

4m o 

mo V  1   c

2

Simplificamos, despejamos V y tenemos: V  15 c

4

Cantidad de movimiento: Definida la masa relativista   podemos redefinir la cantidad de movimiento P  mV por la cantidad de movimiento relativista dada por la relación:

 P

m V  1   c

Figura 17.2 La Relatividad Especial afirma que el tiempo transcurre más lentamente a bordo de la nave y el tiempo transcurre más rápido para el hermano que quedó en la Tierra. Ejemplo 2: (CEPRU 2013 I) En el espacio, los astronautas de una nave espacial que van a una velocidad v = 0,6 c, van a echar una siesta de 1,2 h. El periodo de tiempo que dura la siesta medido desde la tierra, es: (c: velocidad de la luz) A) 0,8 h B) 1,7 h C) 0,9 h D) 1,5 h E) 0,6 h Solución: Utilizamos: donde 1

t 

V  1   c

2

t 

(Intervalo del reloj estacionario tierra t )

(Intervalo del reloj en movimiento nave t  )

2

 V

Se cumple que el valor de la cantidad de movimiento relativista es mayor que la cantidad de movimiento clásico. Lo mismo sucede con su inercia. A mayor cantidad de movimiento el cuerpo se resiste en mayor medida a cambiar su velocidad. Energía Cinética: La energía cinética de un cuerpo es igual al incremento de su masa como consecuencia de la variación de velocidad, multiplicada por el cuadrado de la velocidad de la luz. La energía cinética relativista de una partícula está dada:

K  m  mo c 2

Energía total: Se establece que una partícula o sistema en reposo con masa en reposo mo también posee energía, denominad energía en reposo o energía propia Eo y está dada por la relación.

E o  mo c 2 La energía total de una partícula con velocidad relativista respecto a un observador inercial esta dada por la suma de su energía en reposo y su energía cinética.

Etotal  K  Eo La energía total combinando las ecuaciones anteriores estará dada por la siguiente expresión:



E 2  EO2  p 2 c 2

1 V  1   c

2

NOCION DE FISICA CUANTICA Postulados de Planck:

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 85 Primer postulado: Cada oscilador solo puede tener ciertas energías múltiplos enteros de la cantidad h de tal manera que la energía de un oscilador en cualquier instante solo puede ser:

E  nh

Esta expresión quiere decir que al energía esta cuantificada o dividida en paquetes cada uno de magnitud h . Cualquier cambio de la energía E del oscilador no ocurre gradualmente y continuamente sino súbita y discretamente ejemplo de 3h a 2h Segundo postulado: Un oscilador radia energía cuando pasa de uno de los valores o niveles de emergía a otro menor y la energía E que pierde se emite como un pulso de radiación electromagnética de energía h . También un oscilador puede absorber un cuanto h de la energía incidente pasando inmediatamente al nivel superior de energía. Efecto Fotoeléctrico: El efecto fotoeléctrico consiste en el desprendimiento de electrones de una superficie metálica cuando se hace incidir una radiación electromagnética. Esto se comprende fácilmente ya que la radiación electromagnética incidente implica la existencia de campos eléctricos y magnéticos de los cuales principalmente el eléctrico pueden ejercer fuerzas sobre electrones del metal, haciendo quesean emitidos. Fue Einstein quien planteo que la radiación electromagnética de frecuencia υ contenía paquetes de energía (Fotones).

La

relación

E  h

P

Los electrones, para ser emitidos necesitan una determinada energía mínima Uo llamada función de Trabajo. Einstein aseguro que un electrón emitido absorbe toda la energía de un solo foton; es decir, que la energía total de la radiación incidente es la suma de las energías de los fotones.

max h  U  UO c   Energia Energia cinetica electron

Funcion de trabajo

Figura 17.3 Los electrones se desprenden por la acción de la luz Efecto Compton: Los fotones de rayos x tienen momento, en la misma forma en que lo tiene una partícula, y que el proceso dispersor es una colisión elástica entre un fotón y un electrón. El cambio en la longitud de onda de los fotones de los rayos X, debido a la dispersión elástica con los electrones se conoce como efecto Compton

Compton

esta

dada:

λ s : Longitud onda dispersada. λo: Longitud de onda original Momentum del fotón: Dado que el fotón tiene energía, podríamos esperar que tiene masa; pero el fotón no tiene masa, puesto que él viaja con velocidad c. Compton y Debye en sus teorías del efecto Compton utilizaron Energía del fotón = mc2 =Pc Energía del fotón = h Igualamos estas dos expresiones y tenemos:

Donde h= 6.63x10-34 J.s; cste de Planck.

foton

de

h s  o  (1  cos  ). mo c

h c

P

h 

Naturaleza ondulatoria de las partículas Ondas de Broglie: De Broglie planteo una relación entre la longitud de onda λ de la luz (propiedad ondulatoria) y la cantidad de movimiento (propiedad corpuscular de los fotones). Afirmo que la relación de la cantidad de movimiento debía ser válida tanto para los electrones, protones y demás partículas materiales, como para la luz.



h p

Principio de incertidumbre de Heisenberg: Con el propósito de localizar una partícula (objeto en estudio), debemos, tocarla con otra partícula o mirarla por medio de un haz de luz. Hagamos que el haz de luz sea tan débil para que su momentum no perturbe al objeto en estudio. Para este fin miremos el objeto en estudio con un solo fotón o toquemos el objeto en estudio con una sola y extremadamente pequeña partícula. Al fotón o a la partícula que utilizamos para investigar el objeto en estudio le llamaremos partícula de prueba. Para minimizar la perturbación que podría causar la partícula de prueba utilizamos una energía tan baja como nos sea posible. Existe, sin embargo, un límite inferior de esta energía, debido a que la longitud de onda de la partícula de prueba debe ser más pequeña que el objeto en estudio que estamos observando. Los efectos de difracción e interferencia causados por las ondas asociadas a la partícula de prueba formaran imágenes extremadamente borrosas del objeto en estudio. En particular el detalle fino lo podemos observar utilizando ondas, ya sea ondas de luz o corpusculares, si el detalle es del mismo tamaño de la longitud de onda. De aquí que la posición del objeto en estudio en la cual lo estamos mirando puede tener un error de

x  

El momentum de la partícula de prueba está dado por

P

h. 

Cuando esta toca al objeto que estamos

mirando, parte de este momentum se transfiere al objeto en estudio, y el momentum del objeto en estudio puede alterarse debido a esta perturbación. Por lo tanto, la incertidumbre en el momentum del objeto está dado por:

P 

h



Si multiplicamos esta expresión por

Px  h

x

encontramos:

86 | C E P R U 2 0 1 5 Si utilizamos el experimento más imaginable preciso para localizar la posición de un objeto y simultáneamente medir su momentum, el producto de los errores de estas dos mediciones será aproximadamente tan grande como la constante de Planck h. La expresión es una forma del principio de incertidumbre de Heisenberg. Podemos también escribir: Px  ћ/2 Donde ћ : constante de Dirac ћ=1,5x10-34J.s ћ=h/2π Una segunda forma del principio de Heisenberg es:

Et  h

Ejemplo 4 (Admisión 2006-I) Se observa que la velocidad de un electrón es de 5x105 m/s, con una precisión de 0.002 %. Calcular la incertidumbre (en μm) al determinar la posición del electrón. (ћ=1x10-34Js y me= 9x10-31 kg) A) 45/9 B) 110/9 C) 75/9 D) 50/9 E) 35/9 Solución Velocidad del electrón ve= 5x105 m/s, masa del electrón me = 9x10-31 kg, ∆x : incertidumbre de la posición de la partícula. De la ecuación de Heisenberg: Px  ћ/2 si P  mv e Entonces:

mv e x  ћ/2

…… (1)

Error

relativo

tendremos:

e% 

porcentual

0.002 % 

Reemplazando

y y

entonces

v e ve

en

la

expresión

(1)

tenemos:

m  0.002 %  ve x  ћ/2 x 

10 34 50 ; x  m 9 2  0.002 %  5  10 5  9  10 31

En una medición simultanea de la coordenada x y el momentum p de una particula.

p x  También: Donde

p x 

x

y

p

h 4

ћ/2 son los errores (o incertidumbres) de x

op Implica que más exactamente se localiza una partícula en su posición, mayor será la incertidumbre en la medición de su momento y viceversa. Así tampoco la energía y el tiempo se pueden determinar simultáneamente con precisión infinita.

 E t 

h 4

EJERCICIOS

1)

2)

3)

4)

5)

Los mesones de los rayos cósmicos llegan a la superficie de la tierra con diferentes velocidades. Hallar el porcentaje de la disminución relativa de la longitud de un mesón, si su velocidad es el 95% de la velocidad de la luz. A)69% B)59% C)63% D)75% E)56% ¿Qué velocidad relativa debe tener un cuerpo en movimiento para que la disminución relativista de su longitud sea igual al 25%?(c= velocidad de la luz) A) 0,66 c B) 0,75 c C) 0,80 c D) 0,86 c E) 0,90 c Un niño hace un viaje de ida y vuelta a una estrella que dista de la tierra 20 años luz; con una velocidad de 240 000 km/s en relación a la tierra. ¿Cuál es el tiempo que demora el viaje medido por el reloj que lleva el niño?. ¿Qué edad tendrá su hermano menor que tenia 5 años cuando parte? (expresar las respuestas en años) A)40; 45 B)30; 35 C)30; 55 D)40; 55 E)50; 55 Un astronauta mide su nave espacial cuando se encuentra en reposo en la tierra y encuentra que tiene 120 m de largo. Si la nave tripulada por el astronauta tiene luego una velocidad de 0,99 c. ¿Qué longitud (en m) de la nave mide ahora el astronauta? A) 17 B) 37 C) 57 D) 77 E) 97 Una barra rígida hace un ángulo

1  37º

con el eje X cuando esta en reposo respecto a un observador. ¿A que rapidez debe moverse la barra paralelamente al eje X para que parezca formar con este un ángulo

 2  45º

velocidad de la luz)

37º

X

A) 0,6 c B) 0,7 c C) 0,8 c D) 0,9 c E) 0,98 c

? (c=

6)

Un astronauta viaja al planeta x, situado a 8 años luz de la tierra. Si la nave se desplaza con una velocidad constante de 0,8c. ¿que tiempo en años indicara su reloj para todo el viaje? A) 14 B)12 C)10 D)8 E)6

7)

¿Qué velocidad debe tener un electrón para que su masa sea el doble de su masa en reposo? A) 0,27 c B) 0,47 c C) 0,67 c D) 0,87 c E) 0,97 c

8)

Hallar la cantidad de movimiento relativista de una partícula en (kg m/s) cuya energía relativista es el triple de su energía en reposo. (masa en reposo

5 2  10 30 kg : 3

A) 8x10-30 B) 5x10-20 C)4x10-21 D)2x10-21 E)3x10-20 9)

¿Con que rapidez tendrá que moverse una partícula, para que el valor de su cantidad de movimiento relativista sea tres veces su valor clásico?

A) 2 2  108 m / s B) 2 3 10 8 m / s D) 3 2 108 m / s E) 4 2 108 m / s

C) 2 2 10 9 m / s

10) Un electrón cuya masa en reposo es

m0  9,110 31 kg

se acelera hasta que su

energía cinética relativista es 0,2 MeV. La masa en ese instante, es: A) 12,6 10 31kg B) 9,110 31kg C) 6,6  10 31 kg D)

12,6 10 30 kg E) 9,110 30 kg

11) Indique verdadero o falso de las siguientes afirmaciones. I. Las leyes de la física son variantes de acuerdo al primer postulado de la teoría de la relatividad II. El efecto fotoeléctrico consiste en el desprendimiento de electrones de una superficie metálica. cuando se hace incidir una radiación electromagnética III. El cambio en la longitud de onda de los fotones de los rayos X, debido a la dispersión elástica con los electrones se conoce como efecto Compton A)FFF B)FVF C)VVV D)FVV E)FFV

A S I G N A T U R A : F Í S I C A | 87 12) El volumen de un cubo es Lo3 cuando esta en reposo. Determine el volumen que parece tener cuando se le mira desde un sistema de coordenadas que se mueve a

5 en la c 3

dirección de una de las aristas del cubo. A)

9 3 B) 8 3 C) 64 3 D) 27 3 E) 5 3 LO Lo Lo Lo Lo 27 27 8 5 3

13) La masa de un protón en reposo tienen el valor de

m0  1,67 10 27 kg

si la energía total de un

protón es el doble de su energía en reposo. La cantidad de movimiento, es: A) 8,7  10

19

kg.m/s B)

8,7 10 18 kg.m/s E) 8,7 10

29

7,7 10 19

D) 3,7 10

19

kg.m/s

C)

kg.m/s

(1eV=1,6x10-19 J; h =6,63x10-34 J.s) A) 10,02 B)112 C)11,2 D)11 E)1,12 20) La longitud de onda umbral para el potasio es de 564 nm. La función trabajo (en eV) para el potasio, es: (1eV=1,6x10-19 J; h =6,63x10-34 J.s) A)2,3 B)2,4 C)2,1 D)2,2 E)2,8 21) Una nave espacial en forma triangular es tripulada por un observador y ambos se mueven con una velocidad constante V = 0,9C. Cuando la nave esta en reposo en relación con un observador en reposo en la tierra, las medidas de las distancias a’ y b’ son 48m y 20m respectivamente. ¿Cuál es la forma de la nave vista por un observador en reposo en la tierra cuando la nave esta en movimiento en la dirección mostrada en la figura?

kg.m/s

b'

14) Calcular la longitud de la onda dispersada de un o

a'

haz de rayos x de longitud de onda 0.4 A si el haz sufre una dispersión de Compton de 90º(

C A)

h  0.0243 mo c

Longitud

de

onda

de

Compton.) 0.4243 B)0.2243 C)0.0243 D)0.5243 E)0.8243

15) Determínese la cantidad de fotones que emite por minuto una bombilla roja de 50 W la longitud de onda roja es de 600 nm. A) 9  10 21 B) 11  10 21 C) 13  10 21 D) 5  10 21 E) 7  10 21 16) Ciertos fenómenos son explicados considerando que la luz esta constituida por un flujo de corpúsculos energéticos (fotones) y que estos poseen una energía E dada por la relación E  h con υ: frecuencia de la luz, h: constante de Planck. Respecto de esta constante , correctamente podemos afirmar: A) Es una constante adimensional B) Tiene dimensión de cantidad de movimiento relativista. C) Tiene dimensiones de onda dispersada por la relación de Compton. D) Viene expresada en Joules- segundo. E) Viene expresada en unidades de energía fotoeléctrica. 17) ¿Cuál de los siguientes enunciados describe el efecto Compton. A) La velocidad de la luz tiene el valor c, es independiente del movimiento de la fuente o del sistema de referencia del observador. B) Los objetos acortan su longitud en la dirección en que se mueven C) La energía cinética de un cuerpo es igual al incremento de su masa como consecuencia de la variación de velocidad D) consiste en el desprendimiento de electrones de una superficie metálica cuando se hace incidir una radiación electromagnética E) El cambio en la longitud de onda de los fotones de los rayos X, debido a la dispersión elástica con los electrones. 18) Un haz de láser de longitud de onda 400 nm tiene una intensidad de 100 W/m2 Cuantos fotones llegan en 1 s a una superficie de 1cm2 perpendicular al haz. ( h =6,63x10-34 J.s) A) 1014 B)1016 C)2x1016 D)1020 E)1018 19) Determinar la energía cinética máxima de los fotoelectrones si la función trabajo del material es 2x10-19 J y la frecuencia de la radiación incidente es 3x1015 Hz.

b a (movimiento )

(reposo )

A) a = 21m y b = 20m B) a = 24m y b = 20m C) a = 28m y b = 20m D) a = 33m y b = 20m E) a = 40m y b = 20m 22) El umbral de longitud de onda para la emisión º

2300 A , º determine la longitud de onda (en A ) que fotoeléctrica

en

el

Wolframio

es

debe usarse para expulsar a los electrones con una energía cinética máxima igual a la mitad de su función trabajo. a) 1432 b) 1533 c) 1555 d) 1584 e) 1600 23) Los fotoelectrones emitidos por un metal son frenados por un potencial de corte de 3,64 V. Determinar (en del metal. a) 8,8

10

14

Hz

) la frecuencia umbral

b) 9,2 c) 9,8

d) 10,2 e) 12,4 24) 25) Un foton incide sobre un metal cuya función trabajo es de 4 eV. Si el fotoelectrón tiene una energía cinética máxima igual al 60% de la energía fotonica, determine la longitud de onda del foton 8 en nm) (1eV=1,6x10-19 J; h =6,63x10-34 J.s) A)121 B)122 C)123 D)124 E)125 26) La cantidad de movimiento de un foton de frecuencia 1014 Hz es: ( h =6,63x10-34 J.s) A) 2,21 10

28

kg.m/s B)

22,110 27

kg.m/s

C)

22  10 28 kg.m/s D) 2  10 25 kg.m/s 28 E) 221  10 kg.m/s 27) Un foton de energía 2,5x10-15 J choca según el efecto Compton con un electrón en reposo. Después del choque, el electrón disparado con una energía cinética de 5x10-17 J. La energía del foton dispersado (en eV), es: (1eV=1,6x10-19 J) A)115,3 B)1533 C)0,153 D)15312,5 E)153,12 28) Un foton cuya energía es 104 eV choca con un electrón en reposo y se dispersa en un ángulo de 60º. Hallar la longitud de onda del foton dispersado (en nm). ( h =6,63x10-34 J.s) (λc=0,00243 nm) A)0,1 nm B)0,2 nm C)0,3 nm D)0,125 nm E)1,25 nm

88 | C E P R U 2 0 1 5 . 29) Un foton de radiación electromagnética interactúa con un electrón libre en reposo si el corrimiento Compton es igual al 15% de la longitud de onda de compton. El coseno del ángulo de dispersión, es. A)0,85 B)0,83 C)0,5 D)0,7 E)0,9

Kg  m Kg  m 23 0 , 2  10 0 , 525  10 s s A) B) Kg  m Kg  m 23 5,25  10 23 s s D) 10 Kg  m 24 s E) 10

  1,05  10 34

( J s) 31) Sobre una superficie metálica incide radiación º

24

C)

a) 2,94 eV b) 3,94 eV c) 4,94 eV d) 5,94 eV e) 6,94 eV 32) Los mesones de los rayos cósmicos llegan a la superficie de la tierra con diferentes velocidades. Hallar el porcentaje de la disminución relativa de la longitud de un meson, si su velocidad es el 95% de la velocidad de la luz (aproximadamente). a) 56% b) 59% c) 63% d) 75% e) 69% 33) Un astronauta está acostado en una nave espacial, paralelo a la dirección en la cual se mueve. Para un observador en la tierra, la 8

30) Un microscopio utiliza fotones para localizar a un electrón en un átomo a una distancia de 0,1 Ǻ. ¿Cuál es la incertidumbre de la cantidad de movimiento del electrón localizado de esta manera?

velocidad de la nave espacial es de 2  10 m/s y el astronauta tiene una estatura de 1,324 m. ¿Cuál es la estatura (en m) del astronauta medida cuando está en reposo? a) 1,48 b) 1,58 c) 1,68 d) 1,78 e) 1,88

de longitud de onda 3000 A y emite fotoelectrones con una energía cinética máxima de 1,2 eV. ¿Cuál es la función del trabajo del 15 h  4,14  10 eV  s ). material? (Dato:

34) na nave espacial acorta el 1% de su longitud cuando está en vuelo. ¿Cuál es su velocidad en m/s? (como factor de 107). a) 2,4 b) 3,2 c) 4,2 d) 5,4 e) 4,5 35) Un astronauta se dirige con una velocidad de 0,6 C hacia un planeta que se encuentra a 10

3  10 m (medido por un observador de la tierra). Calcule el tiempo del viaje para un observador de la tierra y el tiempo que dura el viaje medido por el astronauta. a) 133; 166 b) 166; 133 c) 157; 178 d) 178; 157 e) 157; 188 36) ¿Cuántas veces aumentará la vida de una partícula inestable (medida por el reloj de un observador en reposo) cuando se mueve con una velocidad igual al 99% de la velocidad de la luz? a) 3,1 b) 4,1 c) 5,1 d) 6,1 e) 7,1

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC

ASIGNATURA

QUÍMICA

CUSCO – PERÚ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC CEPRU

ÍNDICE ASIGNATURA: QUÍMICA

TEORÍA TEMA Nº 1.- MATERIA................................................................................................................... Pág. 03 TEMA Nº 2.- TEORÍA ATÓMICA ................................................................................................... Pág. 09

||

TEMA Nº 3.- SOLUCIONES ........................................................................................................... Pág. 11 TEMA Nº 4.- HIDROCARBUROS .................................................................................................. Pág. 17 TEMA Nº 5.- COMPUESTOS NITROGENADOS........................................................................... Pág. 20

EJERCICIOS

En física y filosofía, materia es el término para referirse a los constituyentes de la realidad material objetiva. Se considera que es lo que forma la parte sensible de los objetos perceptibles o detectables por medios físicos. También se usa el término para designar al asunto o tema que compone una obra literaria, científica, política, etc. o también para hablar de una asignatura formal o disciplina en la enseñanza y cualquier tema o cuestión para escribir o hablar En física, se llama materia a cualquier tipo de entidad física que es parte del universo observable, tiene energía y es capaz de interaccionar con los aparatos de medida, es decir, es medible. Clásicamente se consideraba que la materia tenía dos propiedades que juntas la caracterizan: que ocupa un lugar en el espacio y que tiene masa, en el contexto de la física moderna se entiende por materia cualquier campo, entidad o discontinuidad que se propaga a través del espacio-tiempo a una velocidad igual o inferior a la de la luz y a la que se pueda asociar energía. Así todas las formas de materia tienen asociadas una cierta energía pero sólo algunas formas de materia tienen masa. 1.1 Materia másica La materia másica se organiza jerárquicamente en varios niveles y subniveles. La materia másica puede ser estudiada desde los puntos de vista macroscópico y microscópico Propiedades de la materia ordinaria Propiedades generales Las presentan los sistemas materiales básicos sin distinción y por tal motivo no permiten diferenciar una sustancia de otra. Algunas de las propiedades generales se les da el nombre de extensivas, pues su valor depende de la cantidad de materia, tal es el caso de la masa, el peso, volumen. Otras, las que no dependen de la cantidad de materia sino de la sustancia de que se trate, se llaman intensivas. El ejemplo paradigmático de magnitud intensiva de la materia másica es la densidad. Propiedades extensivas o específicas Son las cualidades de la materia dependientes de la cantidad de que se trate. Son aditivas y de uso más restringido para caracterizar a las clases de materia debido a que dependen de la masa o cantidad de materia. Si de las propiedades intensivas puede decirse que caracterizan a las distintas sustancias o materiales, de las propiedades extensivas puede decirse que caracterizan a los cuerpos o los sistemas materiales. Propiedades intensivas o particulares Son las cualidades de la materia independientes de la cantidad que se trate, es decir no dependen de la masa no son aditivas y, por lo general, resultan de la composición de dos propiedades extensivas. El ejemplo perfecto lo proporciona la densidad, que relaciona la masa con el volumen. Es el caso también del punto de fusión, el punto de ebullición, el coeficiente de solubilidad, el índice de refracción, el módulo de Young, etc. Propiedades químicas Son aquellas propiedades distintivas de las sustancias que se observan cuando reaccionan, es decir, cuando se rompen y/o se forman enlaces químicos entre los átomos, formándose con la misma materia sustancias nuevas distintas de las originales. Las propiedades químicas se manifiestan en los procesos químicos (reacciones químicas), mientras que las propiedades propiamente

llamadas propiedades físicas, se manifiestan en los procesos físicos, como el cambio de estado, la deformación, el desplazamiento, etc. Ejemplos de propiedades químicas:

   

Corrosividad de ácidos Poder calorífico o energía calórica Acidez Reactividad

*Estado sólido

*Estado líquido

*Estado gaseoso

La materia se puede encontrar en tres estados diferentes: Durante un día de lluvia se ven gotas de agua a través de tu ventana. Estas gotas caen al suelo y forman pozas de agua de diversas formas y tamaños. Seguramente, has notado que estas pozas se secan rápidamente cuando sale el Sol, aunque también lo hacen sin la presencia de él. El calor del Sol transforma el agua líquida en vapor de agua; este fenómeno se produce además en todos los lugares de la Tierra donde hay depósitos de agua y recibe el nombre de evaporación. Cuando hace mucho frío el agua contenida en las pozas se transforma en hielo; este proceso recibe el nombre de solidificación o congelación. Estas transformaciones ocurren con otras sustancias de la naturaleza y se producen de acuerdo a las propiedades y características de cada una de ellas. Todas las sustancias que forman el universo están constituidas por materia. La materia es todo lo que tiene masa y ocupa un lugar en el espacio. La materia puede ser dura como un bloque de hielo, blanda como el agua líquida, o sin forma como el aire ESTADOS DE LA MATERIA 1. Estado sólido Un sólido es una sustancia formada por moléculas que se encuentran estrechamente unidas entre sí mediante una fuerza llamada fuerza de cohesión, las partículas están muy unidas, y solo vibran en su puesto La disposición de estas moléculas le da un aspecto de dureza y de rigidez con el que frecuentemente se le asocia. La forma definida de los sólidos es producto de la fuerza de cohesión que mantiene unidas a las moléculas. Los sólidos son duros y presentan dificultad para comprimirse. Esto se explica porque las moléculas que los forman están tan cerca, que no dejan espacios entre sí. Si miras a tu alrededor, notarás que todos los sólidos tienen una forma definida. Esta característica se mantiene, salvo que actúe sobre ellos una fuerza tan grande que los deforme. Los Sólidos

Tienen dificultad para comprimirse

Tienen forma definida

Los sólidos pueden identificarse por estas dos propiedades generales. Si agrupas sobre una mesa un elástico, un vidrio, plastilina, una piedra, un plato y una cuchara, podrás decir que todos ellos son sólidos; sin embargo, cada uno de ellos es diferente del otro. Ahora la observación te permitirá hacer una clasificación. Clasificar significa agrupar identificando las propiedades que sirven de base para ello, de acuerdo a un criterio establecido previamente.

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¿A qué se debe que los sólidos sean diferentes? Estas diferencias pueden explicarse debido a que los cuerpos sólidos presentan propiedades específicas, en mayor o menor grado, entre las cuales señalaremos: * Elasticidad: Un sólido recupera su forma original cuando es deformado. Un elástico o un resorte son objetos en los que podemos observar esta propiedad. Estira un elástico y observa lo que sucede. * Fragilidad: Un sólido puede romperse en muchos pedazos (quebradizo). En más de una ocasión habrás quebrado un vaso de vidrio o un objeto de greda. Estos hechos representan la fragilidad de un sólido. *Dureza: Un sólido es duro cuando no puede ser rayado por otro más blando. El diamante de una joya valiosa o el utilizado para cortar vidrios presenta dicha propiedad. 2. Estado líquido Un líquido es una sustancia formada por moléculas que están en constante movimiento de desplazamiento y que se deslizan unas sobre las otras. La disposición de estas moléculas le da un aspecto de fluidez con la que frecuentemente se les asocia.

Los Líquidos

Tienen forma Son indefinida incompresibles acercarse más; sólo pueden deslizarse las unas sobre las otras.

Los líquidos, AL propiedades específicas entre las cuales señalaremos:

igual

que

los

sólidos,

presentan

* Volatilidad, es decir, facilidad para evaporarse. Esta propiedad se aprecia claramente al dejar abierto un frasco con alcohol, en que se percibe su olor y disminuye el volumen. * Viscosidad, es decir, dificultad al escurrimiento. ¿Has dado vuelta alguna vez una botella de aceite o, tal vez, has echado aceite al motor de un vehículo? ¿Observas lo mismo al derramar un vaso .con agua? La diferencia en la observación se debe a la viscosidad. Estas propiedades se presentan en mayor o menor grado en todos los líquidos. Los perfumes, la bencina y la parafina son líquidos volátiles. La miel y la leche condensada son líquidos viscosos. 1.

Estado gaseoso

¿A qué se debe que los líquidos cambien de forma?

Un gas es una sustancia formada por moléculas que se encuentran separadas entre sí.

Si aplicas fuerza sobre la superficie del agua de una cubeta, observarás que ésta pierde su aspecto inmóvil y que puedes distinguir su movimiento a través de la formación de ondas en la superficie.

Esta disposición molecular le permite tener movilidad, por lo que no posee forma propia y puede comprimirse. En él la fuerza de cohesión es nula y ha sido remplazada por la fuerza de repulsión entre las moléculas.¿Por qué los gases no poseen forma propia? Los gases no poseen forma propia, porque las moléculas que los forman se desplazan en todas direcciones y a gran velocidad; por esta razón los gases ocupan grandes espacios. El olor a comida que se prepara en la cocina se esparce por toda la casa con rapidez, porque las moléculas tienden a ocupar todo el espacio disponible.

Los líquidos son fluidos porque no tienen forma propia, sino que adoptan la forma del recipiente que los contiene. Por ejemplo, si echas igual cantidad de un líquido en un tubo de ensayo, a un plato o en una botella, éstos adoptarán la forma de cada uno de estos objetos. Si observas algunos líquidos notarás que ninguno de ellos tiene forma definida y que, al igual que los sólidos, tampoco pueden comprimirse. Si intentas comprimir el agua de la cubeta notarás que se escurre hacia los lados, pero que no disminuye su volumen. ¿A qué se debe el cambio de forma que pueden presentar los líquidos? La forma indefinida de los líquidos se debe a que la fuerza de atracción que mantiene unidas las moléculas es menos intensa que la fuerza que mantiene unidas las moléculas de los sólidos. Alguna vez habrás jugado a echarle agua a una jeringa y habrás empujado el émbolo. ¿Qué has observado? ¿Por qué los líquidos son incompresibles?. Los líquidos son incompresibles porque las moléculas que los constituyen están tan unidas que no pueden

¿Por qué los gases pueden comprimirse? Los gases pueden comprimirse debido a la disposición separada de las moléculas que los compone. Si aplicas una fuerza intensa al émbolo de una jeringa con aire y tapas con el dedo su extremo anterior, notarás que el espacio ocupado por el gas disminuye. Esto se debe a que las moléculas se acercan entre sí y ocupan un menor espacio, el cual depende de la magnitud de la fuerza aplicada. Los Gases

No tienen forma propia

Pueden comprimirse

Los cambios de estado y sus características Cambio de estado: El estado en que se encuentra un material puede transformarse a través de cuatro procesos: fusión solidificación, evaporación, condensación y sublimación. Las transformaciones de la materia en los tres estados se conocen con los siguientes nombres: Fusión

Solidificación

Condensación

Sublimación Deposición

Evaporación

ASIGNATURA: QUÍMICA |5 líquido, como el agua o el aceite; estado gaseoso, como el aire del medio ambiente o de un balón de gas. El agua puede pasar con facilidad por los tres estados físicos. Estas transformaciones se producen por acción del calor. Cuando la temperatura desciende más allá de los 0 ºC, el agua se presenta en su estado sólido (hielo). Si la temperatura aumenta más allá de los 100 ºC, el agua se presenta en su estado gaseoso (vapor de agua). A temperatura ambiente el agua se presenta en estado líquido. Estos cambios de estado sufridos por el agua y otras sustancias de la naturaleza reciben el nombre de cambios físicos. ¿Qué entendemos por cambio físico? El paso de estado sólido a líquido recibe el nombre de fusión; el de estado liquido a gaseoso, evaporación; el de estado gaseoso a líquido, condensación; y el de líquido a sólido, solidificación, de sólido a gas o de gas a sólido, sublimación o de gas a sólido deposición. La temperatura es un factor clave en los cambios de estados, calentando o enfriando podemos hacer que muchos materiales pasen del estado sólido al líquido y al gaseoso, o viceversa, es decir, los cambios de estado son reversibles. La modificaciones de la temperatura y la presión provocan cambios de estados de la materia como ellos solo cambia la forma física, también se les llama cambio físico. ¿A qué temperaturas se producen estos cambios? La temperatura a la que funde una sustancia recibe el nombre de punto de fusión; esta temperatura es característica y específica para cada sustancia. Conozcamos algunos puntos de fusión a nivel del mar:

La temperatura a la cual una sustancia ebulle o hierve recibe el nombre de punto de ebullición y se reconoce o identifica porque una vez alcanzado no aumenta; permanece constante. Conozcamos algunos puntos de ebullición a nivel del mar:

SUSTANCIA PUNTO DE FUSIÓN (º Celsius) Agua

0º

Azufre

119º

Cobre

1.084º

Hierro

1.535º

Cambio físico es el cambio transitorio de las sustancias, que no afecta la naturaleza de las moléculas que lo forman. Aunque cambie el aspecto físico de la sustancia que lo presenta. ¿Cuándo se produce un cambio físico? Un cambio físico se produce por acción de un agente externo a la naturaleza de la materia. En el caso del agua, el agente externo es el calor. No sólo el calor es un agente externo; una presión también es un agente que provoca cambio físico, como puede ser el cambio de forma o de posición de un objeto o cuerpo. El calor como agente de cambio también puede provocar cambios de volumen en los cuerpos. Se entiende por volumen todo lo que ocupa un lugar en el espacio. Mediante la observación científica se puede tomar conciencia de estos cambios e identificarlos a través de sus efectos. ¿Cuáles son los efectos de algunos cambios físicos? Uno de ellos es el cambio de estado de la materia. Este efecto es transitorio y las sustancias mantienen sus propiedades. Si dejas de aplicar calor a una tetera con agua hirviendo, el agua permanecerá en su estado líquido y cesará su transformación acelerada a estado gaseoso. La observación de un papel estirado y, luego, de un papel arrugado, te permite inferir que ha sufrido un cambio físico y que su agente de cambio es una fuerza como la presión. 2. Cambio químico

SUSTANCIA PUNTO DE EBULLICIÓN (ºCelsius) Alcohol

78,4º

Azufre

100º

Azufre

444º

Hierro

1.880º

Para que se produzca evaporación no necesariamente la sustancia debe alcanzar su punto de ebullición. Frecuentemente se produce evaporación en todo momento a temperatura ambiente. El agua contenida en una tetera se empieza a evaporar antes de alcanzar el punto de ebullición. La evaporación es una transformación que ocurre en la superficie del líquido. La ebullición se produce en la totalidad del líquido. CAMBIOS DE ESTADO DE LA MATERIA 1. Cambio físico La materia es susceptible de sufrir cambios, los cuales pueden ser transitorios o permanentes. En el desarrollo de este texto nos referiremos, en primer lugar, a los cambios transitorios y, luego, a los permanentes. Los cambios transitorios son producidos por agentes externos a la naturaleza de la materia, como por ejemplo el cambio de estado. La materia se puede encontrar en tres estados físicos: estado sólido, como la madera o el hierro; estado

Si observas una vela encendida, verás cómo se quema su mecha, se derrite y cae lentamente su esperma. Luego, al terminarse la vela, habrá una gran cantidad de esperma y muy poco o nada de mecha. Si tratas de reconstruir la vela, podrás tomar la esperma derretida y formar otra. ¿Qué ocurre con la mecha de esta nueva vela? La nueva vela no podrá tener mecha, porque anteriormente se consumió, transformándose en un humo negro. Si aplicas lo que ya sabes sobre los cambios de la materia, podrás decir que la esperma ha sufrido un cambio físico, porque sólo cambió de forma, pero no su composición ni sus propiedades. Sin embargo, en la mecha ha ocurrido un cambio químico. Cambio químico, también llamado reacción química, es aquel tipo de cambio en que la materia experimenta modificaciones en su composición química. Las sustancias se convierten en otras sustancias que tendrán propiedades nuevas, distintas de las propiedades de las sustancias iniciales. En la naturaleza existen muchos cambios químicos, como por ejemplo cuando se oxidan algunos metales, se pudre la fruta, la leche se corta o el carbón se quema. La oxidación de los metales es uno de los ejemplos más interesantes. Si te fijas bien, en cualquier trozo de hierro de la casa podrás ver que éstos contienen algo de óxido y que se emplean pinturas especiales para evitar que el óxido aumente y que el hierro termine quebrándose. Al ocurrir el cambio químico de la oxidación, las moléculas de oxigeno se unen al hierro y se produce un cambio en las propiedades de éste. Este fenómeno puede demostrarse a través de la siguiente actividad: Si colocas un imán con limadura de hierro en el extremo de una balanza de dos brazos y equilibras su peso, y luego calientas la limadura de hierro hasta dejarla al rojo, con lo cual se oxidará, la balanza entonces se

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inclinará hacia el lado de la limadura de hierro. Esto ocurre porque el oxigeno se ha unido químicamente al hierro y, por lo tanto, éste ha aumentado su masa.

Respecto a la cantidad de sustancias, la manzana y el aire contienen varias sustancias diferentes; el agua y la sal están formadas por dos sustancias y el oro sólo por una.

Si aplicamos lo anterior al ejemplo de la vela, tendríamos que tener distintas masas al iniciar y al terminar el experimento.

De esta forma, la cantidad de sustancias que conforman la materia, determinan su clasificación en: elementos, compuestos y mezclas.

¿En qué caso tendrá mayor masa la vela, al comienzo o al final?

Los elementos químicos son las sustancias que no pueden descomponerse en otras más simples.

Dado que hemos establecido que la mecha de la vela "desaparece" casi completamente, lo lógico es que la masa final sea menor que la inicial, porque se perdió masa de la mecha. Esto se produce fundamentalmente porque al quemarse la mecha de la vela, ésta comienza a transformarse en un gas (humo) que se mezcla con el aire y que, al no estar encerrado, no se puede masar. También hay pérdida de masa, debido a que se desprende vapor de agua.

De los ejemplos indicados, el oro corresponde a un elemento químico. Otros ejemplos son el oxígeno, el carbono y el hierro.

Lo anterior nos indica que en todo cambio químico debemos fijarnos en los productos que se forman, ya que en algunos casos se pueden producir gases. Sustancias que componen la materia Una manzana, el aire, el agua, la sal o el oro, tienen algo en común: son materia. Sin embargo, existen diferencias entre ellos cuyo origen se encuentra en las sustancias que los componen. Al hablar de las sustancias que contiene un determinado tipo de materia, nos referimos a su composición química. La composición química de la materia tiene que ver con la identificación y cantidad de las diferentes sustancias que la componen. Cada una de las sustancias presentes en ella tiene diferentes propiedades. Por una parte, se identifican las propiedades físicas, que se pueden observar con los sentidos o con la ayuda de un instrumento, sin variar la composición de la materia. Así, el color, la textura, la masa, el punto de ebullición o el punto de fusión son propiedades físicas de la materia. En cambio, el hecho de que una sustancia se queme por la acción del calor tiene que ver con sus propiedades químicas.

- Compuestos: Son sustancias puras que están constituidas por 2 ó más elementos combinados en proporciones fijas. Los compuestos se pueden descomponer mediante procedimientos químicos en los

Los compuestos químicos son las sustancias que resultan por la unión de dos o más elementos químicos, combinados en cantidades exactas y fijas a través de enlaces químicos. Las mezclas se obtienen de la combinación de dos o más sustancias, que pueden ser elementos o compuestos. Sin embargo no se establecen enlaces químicos entre los componentes de la mezcla. A continuación estudiaremos cada uno de estos tipos de materia. CLASIFICACIÓN DE LA MATERIA 1.- Clasificación de la materia La materia la podemos encontrar en la naturaleza en forma de sustancias puras y de mezclas. * Las sustancias puras son aquéllas cuya naturaleza y composición no varían sea cual sea su estado. Se dividen en dos grandes grupos: Elementos y Compuestos. - Elementos: Son sustancias puras que no pueden descomponerse en otras sustancias puras más sencillas por ningún procedimiento. Ejemplo: Todos los elementos de la tabla periódica: Oxígeno, hierro, carbono, sodio, cloro, cobre, etc. Se representan mediante su símbolo químico y se conocen 115 en la actualidad.

elementos que los constituyen. Ejemplo: Agua, de fórmula H2O, está constituida por los elementos hidrógeno (H) y oxígeno (O) y se puede descomponer en ellos mediante la acción de una corriente eléctrica

ASIGNATURA: QUÍMICA |7 (electrólisis). Los compuestos se representan mediante fórmulas químicas en las que se especifican los elementos que forman el compuesto y el número de átomos de cada uno de ellos que compone la molécula. Ejemplo: En el agua hay 2 átomos del elemento hidrógeno y 1 átomo del elemento oxígeno formando la molécula H2O. Molécula de agua (H2O), formada por 2 átomos de hidrógeno (blancos) y 1 átomo de oxígeno (rojo)

hecho de que en estas mezclas se distinguen muy bien los componentes. - Filtración: Este procedimiento se emplea para separar un líquido de un sólido insoluble. Ejemplo: Separación de agua con arena. A través de materiales porosos como el papel filtro, algodón o arena se puede separar un sólido que se encuentra suspendido en un líquido. Estos materiales permiten solamente el paso del líquido reteniendo el sólido.

Molécula de etano (C2H6), formada por 2 átomos de carbono (negros) y 6 átomos de hidrógeno (azul) Molécula de butano (C4H10), formada por 4 átomos de carbono (negros) y 10 átomos de hidrógeno (blancos) Cuando una sustancia pura está formada por un solo tipo de elemento, se dice que es una sustancia simple. Esto ocurre cuando la molécula contiene varios átomos pero todos son del mismo elemento. Ejemplo: Oxígeno gaseoso (O2), ozono (O3), etc. Están constituidas sus moléculas por varios átomos del elemento oxígeno.

- Decantación: Esta técnica se emplea para separar 2 líquidos no miscibles entre sí. Ejemplo: Agua y aceite. La decantación se basa en la diferencia de densidad entre los dos componentes, que hace que dejados en reposo, ambos se separen hasta situarse el más denso en la parte

* Las mezclas se encuentran formadas por 2 ó más sustancias puras. Su composición es variable. Se distinguen dos grandes grupos: Mezclas homogéneas y Mezclas heterogéneas. - Mezclas homogéneas: También llamadas Disoluciones. Son mezclas en las que no se pueden distinguir sus componentes a simple vista. Ejemplo: Disolución de sal en agua, el aire, una aleación de oro y cobre, etc.

inferior del envase que los contiene. De esta forma, podemos vaciar el contenido por arriba (si queremos tomar el componente menos denso) o por abajo (si queremos tomar el más denso). En la separación de dos líquidos no miscibles, como el agua y el aceite, se utiliza un embudo de decantación que consiste en un recipiente transparente provisto de una llave en su parte inferior. Al abrir la llave, pasa primero el líquido de mayor densidad y cuando éste se ha agotado se impide el paso del otro líquido cerrando la llave. La superficie de separación entre ambos líquidos se observa en el tubo estrecho de goteo.

- Mezclas heterogéneas: Son mezclas en las que se pueden distinguir a los componentes a simple vista. Ejemplo: Agua con aceite, granito, arena en agua, etc.

- Separación magnética: Esta técnica sirve para separar sustancias magnéticas de otras que no lo son. Al aproximar a la mezcla el imán, éste atrae a las limaduras de hierro, que se separan así del resto de la mezcla.

2.- Métodos de separación de mezclas heterogéneas Los procedimientos físicos más empleados para separar los componentes de una mezcla heterogénea son: la filtración, la decantación y la separación magnética. Estos métodos de separación son bastante sencillos por el

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3.- Las disoluciones Una disolución es una mezcla homogénea formada por 2 ó más sustancias puras en proporción variable. Las disoluciones pueden ser binarias (2 componentes), ternarias (3 componentes), etc. Ejemplo: Una mezcla de agua con sal es una disolución. El componente de la disolución que se encuentra en mayor cantidad se llama disolvente y el o los que aparecen en menor cantidad se llaman solutos. Ejemplo: En una disolución de sal en agua, la sal es el soluto y el agua es el disolvente. 3.1.- Concentración de una disolución Las disoluciones pueden clasificarse en concentradas o diluidas según la cantidad de soluto sea grande o pequeña con respecto a la cantidad de disolvente. Pero estos términos son cualitativos, no dan una cantidad exacta medible. Para ello, se emplea el término concentración. La concentración de una disolución es la cantidad de soluto que hay disuelto en una determinada cantidad de disolvente o en una determinada cantidad de disolución. Existen distintas formas de expresar la concentración de una disolución: 1) Tanto por ciento en masa Es la masa de soluto (en gramos) que hay en 100 gramos de disolución. % en masa del soluto = (masa de soluto / masa de disolución) x 100 Ejemplo: Preparamos una disolución que contiene 2 g de cloruro de sodio (NaCl) y 3 g de cloruro de potasio (KCl) en 100 g de agua destilada. Calcula el tanto por ciento en masa de cada soluto en la disolución obtenida. Primeramente, se trata de identificar a los solutos y al disolvente. En este caso, el disolvente es el agua, pues es la sustancia que se encuentra en mayor proporción y los solutos serán NaCl y KCl. La masa de soluto será la que hay para cada uno de ellos; la masa de disolución es la suma de todas las masas de sustancias presentes en la mezcla: 2 g + 3 g + 100 g = 105 g. Por tanto: % en masa de NaCl = (2 g / 105 g) · 100 = 1,9 % de NaCl en la disolución. % en masa de KCl = (3 g / 105 g) · 100 = 2,8 % de KCl en la disolución. Esto indica que si tuviésemos 100 g de disolución, 1,9 g serían de cloruro sódico, 2,8 g serían de cloruro potásico y el resto, hasta 100 g, serían de agua. 2) Tanto por ciento en volumen

Ejemplo: Preparamos una disolución añadiendo 20 g de sal a agua destilada hasta tener un volumen de 500 ml. Calcular la concentración en masa. En este caso, el soluto es la sal y el disolvente es el agua. El volumen de disolución es 500 ml = 0,5 litros. Por tanto: Concentración en masa = 20 g / 0,5 l = 40 g/l. 4.- Solubilidad La cantidad de soluto que se puede disolver en una cantidad determinada de un disolvente es limitada. El azúcar, por ejemplo, es soluble en agua, pero si en un vaso de agua añadimos cada vez más y más azúcar, llegará un momento en el que ésta ya no se disuelva más y se deposite en el fondo. Además, se disuelve más cantidad de azúcar en agua caliente que en agua fría. La cantidad máxima (en gramos) de cualquier soluto que se puede disolver en 100 g de un disolvente a una temperatura dada se denomina solubilidad de ese soluto a esa temperatura. Así, la solubilidad se expresa en gramos de soluto por 100 g de disolvente. La solubilidad de una sustancia pura en un determinado disolvente y a una temperatura dada es otra de sus propiedades características. Cuando una disolución contiene la máxima cantidad posible de soluto disuelto a una temperatura dada, decimos que está saturada a esa temperatura. En este caso, si añadimos más soluto, éste se quedará sin disolver. 4.1.- La solubilidad de los gases Cuando se eleva la temperatura de una disolución de un gas en un líquido, se observa, por lo común, que le gas se desprende. Esto se produce porque la solubilidad de los gases en los líquidos disminuye al aumentar la temperatura. Ejemplo: Una bebida carbónica a temperatura ambiente tiene menos gas disuelto que si está fría, esto se debe a que a mayor temperatura se disuelve menos cantidad de gas y parte de éste se escapa. 5.- Métodos de separación de mezclas homogéneas Existen varios métodos para separar los componentes de una mezcla homogénea o disolución. Entre los más utilizados están la cristalización y la destilación simple. - Cristalización: Esta técnica consiste en hacer que cristalice un soluto sólido con objeto de separarlo del disolvente en el que está disuelto. Para ello es conveniente evaporar parte del disolvente o dejar que el proceso ocurra a temperatura ambiente. Si el enfriamiento es rápido se obtienen cristales pequeños y si es lento se formarán cristales de mayor tamaño.

Es el volumen de soluto que hay en 100 volúmenes de disolución. % en volumen del soluto = (volumen de soluto / volumen de disolución) x 100 Ejemplo: Preparamos una disolución añadiendo 5 ml de alcohol etílico junto a 245 ml de agua. Calcula el % en volumen de soluto en la disolución. En este caso, el soluto es el alcohol pues está en menor cantidad y el disolvente es el agua. El volumen de disolución es la suma de volúmenes de los componentes (no tiene porqué ser así siempre): 5 ml + 245 ml = 250 ml. Por tanto: % en volumen de alcohol = (5 ml / 250 ml) · 100 = 2 % de alcohol en la disolución. 3) Concentración en masa Es la masa de soluto que hay disuelta por cada unidad de volumen de disolución. Concentración en masa = masa de soluto / volumen de disolución La unidad de concentración en masa, en el S.I., es el kg/m3 pero en la práctica se emplea el g/l.

- Destilación simple: Esta técnica se emplea para separar líquidos de una disolución en función de sus diferentes puntos de ebullición. Es el caso, por ejemplo, de una disolución de dos componentes, uno de los cuáles es volátil (es decir, pasa fácilmente al estado gaseoso). Cuando se hace hervir la disolución contenida en el matraz, el disolvente volátil, que tiene un punto de ebullición menor, se evapora y deja un residuo de soluto no volátil. Para recoger el disolvente así evaporado se hace pasar por un condensador por el que circula agua fría. Ahí se condensa el vapor, que cae en un vaso o en un erlenmeyer.

ASIGNATURA: QUÍMICA |9 Ejemplo: Esta técnica se emplea para separar mezclas de agua y alcohol. El alcohol es más volátil que el agua y es la primera sustancia en hervir, enfriándose después y separándose así del agua.

Elemento Símbolo

Elemento

Símbolo Elemento Símbolo

Aluminio

Al

Flúor

F

Oxígeno

O

Arsénico

As

Oro

Au

Fósforo

P

Bario

Ba

Hidrógeno

H

Platino

Pt

Bismuto

Bi

Yodo

I

Potasio

K

Bromo

Br

Hierro

Fe

Silicio

Si

Calcio

Ca

Plomo

Pb

Plata

Ag

C

Magnesio

Mg

Sodio

Na

Cloro

Cl

Manganeso

Mn

Azufre

S

Cromo

Cr

Mercurio

Hg

Estaño

Sn

Cobalto

Co

Níquel

Ni

Tungsteno

W

Cobre

Cu

Nitrógeno

N

Zinc

Zn

Carbono

La Teoría Atómica

Elementos y Compuestos La materia está constituida por sustancias puras ó por mezclas de sustancias. Sustancia: forma de materia que tiene una composición constante ó definida y con propiedades distintivas. Ej.: agua, amoníaco, oro, oxígeno. Mezcla: es una combinación de dos ó más sustancias en la cual las sustancias conservan sus propiedades características. Ej.: aire, leche, cemento. La composición no es constante. Las sustancias puras tienen una composición constante y están formadas bien por elementos ó por compuestos. Los elementos son las unidades básicas de las que está compuesta la materia

La palabra átomo significa indivisible en griego.. El filósofo Demócrito (460-370 B.C.) creía que la materia estaba formada por partículas indivisibles a las que llamo átomos. En 1803 Dalton formula la teoría atómica que se basa en las siguientes hipótesis 1. Los elementos están formados por partículas pequeñas llamadas átomos. 2. Todos los átomos de un elemento son iguales y los átomos de diferentes elementos son diferentes y tienen por ello diferentes propiedades. 3. Una reacción química produce únicamente la separación, combinación ó reordenamiento de los átomos; nunca se crean ni se destruyen átomos. 4. Los compuestos están formados por átomos de más de un elemento y la relación entre el número de átomos de cada elemento siempre es un número entero ó una fracción sencilla. Los átomos son las unidades básicas que forman la materia.  Un elemento está compuesto por solo una clase de átomos  En los compuestos los átomos de dos ó más elementos se combinan en proporciones definidas.  Las mezclas no implican interacciones entre los átomos como en los compuestos y por ello los elementos de una mezcla se pueden combinar en proporciones muy variables Los átomos son las partículas más pequeñas de un elemento que retiene las propiedades químicas del elemento En los tiempos de Dalton se conocían las siguientes teorías:

 Hasta la fecha se han identificado 115 elementos 

diferentes de los cuales 83 se encuentran en forma natural y el resto se obtuvieron en procesos nucleares. El 90% del cuerpo humano esta compuesto únicamente por tres elementos: carbono, hidrógeno y oxígeno.

Los elementos se representan mediante símbolos de una o dos letras, y únicamente la primera letra se escribe en mayúscula. Los símbolos de los elementos derivan de sus nombres en latín, griego, árabe, alemán, inglés ó francés. En la tabla siguiente se muestran los nombres y símbolos de los elementos más comunes:

2. Ley de composición constante o de proporciones definidas de Proust: muestras diferentes de un mismo compuesto siempre contienen los mismos elementos y en la misma proporción en masa. 3. Ley de conservación de la masa: la masa total de la materia después de una reacción química es la misma que la masa total antes de la reacción. La masa ni se crea ni se destruye. A partir de estas leyes Dalton derivó la ley de las proporciones múltiples: si dos elementos pueden combinarse para formas más de un compuesto, las masas de uno de los elementos que se combinan con una masa fija del otro mantienen una relación de números enteros pequeños. Descubrimiento de la estructura atómica

 1803 Dalton – el átomo es indivisible  1890-1910 Se acumulan evidencias de que el átomo

está formado por partículas más pequeñas: los rayos catódicos formados por partículas de carga negativa, la radioactividad con tres tipos de rayos: rayos alfa que consisten en partículas cargadas negativamente, los rayos beta formados por partículas cargadas negativamente y los rayos gamma formados por partículas sin carga.

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Modelo atómicos: Modelo de Rutherford (1910)

 Las cargas positivas de los átomos, protones, están 

concentradas en un conglomerado central dentro del átomo, que denominó núcleo. La mayor parte del volumen del átomo es espacio vacío dónde las partículas negativas, electrones, se mueven alrededor del núcleo.

Chadwick (1932) descubre el neutrón – partículas sin carga en el núcleo. La estructura atómica moderna: Las partículas subatómicas que forman el núcleo son:

  

el electrón el protón el neutrón

El Electrón El electrón está cargado negativamente con una carga 1.602 x 10-19 Culombios (C). Por conveniencia la carga de las partículas atómicas y subatómicas se expresa como múltiplos de este valor, conocida como carga electrónica. Por ello decimos que la carga del electrón es –1. El Protón El protón tienen una carga +1 carga electrónica (ó, +1.602 x 10-19 C) Los Neutrones Los neutrones no tienen carga, podemos decir que su carga es neutral. Nota: como los átomos tienen el mismo número de protones que de electrones su carga neta es nula. Los protones y neutrones están localizados en el núcleo del átomo, que está en el centro del átomo y cuyo tamaño es pequeño comparado con el tamaño del átomo. La mayor parte del átomo es espacio vacío dónde se mueven los electrones alrededor del núcleo. Los electrones son atraídos por los protones del núcleo por las fuerzas de atracción entre partículas de cargas opuestas. Esta fuerza de atracción es la base de muchas de las propiedades de los distintos átomos. Los electrones son los protagonistas de muchas reacciones químicas. En los modelos atómicos los electrones se representan como una nube difusa. La masa del átomo es muy pequeña y por ello las masas de las partículas subatómicas se miden en unidades de masa atómica. (amu). Una unidad de masa atómica es igual a 1.66054 x 10-24 gramos. ¿Cuáles son las masas de las partículas subatómicas? Protón = 1.0073 uma Neutrón = 1.0087 uma Electrón = 5.486 x 10-4 uma Comparando la masa de las distintas partículas subatómicas:

 Las masas del protón y neutrón son casi idénticas  El núcleo ( protones + neutrones) contiene casi toda la masa del átomo.

 Los electrones, con tienen la misma carga que el

protón, tienen una masa de tan solo el 0.05% la masa del proton.

El tamaño de un átomo es también bastante pequeño, con diámetros atómicos entre 1 x 10-10 y 5 x 10-10 metros, o lo que es lo mismo entre 1 y 5 Å . Nota: como las distancias atómicas son muy pequeñas se suelen dar en angstroms (Å). Un angstrom es igual a 1x 1010 metro. El diámetro del núcleo atómico es del orden de 10-4Å. Por lo tanto el diámetro del núcleo es alrededor del 0.01% del diámetro del átomo. El modelo atómico moderno El model o de Bohr fue modi fi cado por el aporte de l as investi gaciones posteri ores. El modelo actual sostiene básicamente que los electrones no ocupan una órbita a distancia fija, si no que hay probabilidad de encontrarl os dentro de una determi nada región del espacio que rodea al núcleo llamada orbital

Cuando se quiere caracterizar e identificar cada uno de l os electrones de un átomo, el modelo atómi co actual defi ne l os Números cuánticos q u e s e r e p r e s e n t a n c o n l a s l e t r a s n, l, m y s. P a r a e n t e n d e r m e j o r e s t e modelo imaginemos que un átomo es como un edificio de departamentos muy especial. Este edificio está construido como una pirámide invertida, con más departamentos arriba que abajo. El electrón es en esta comparación, una persona que está en un departamento de este edi fi cio. Para l ocalizar un electrón en este edi fi cio especi al , primero hay que ubicarlo en un piso. Cada piso representa el el número cuántico principal n Este número e s e l q u e d a i d e a d e l a c a n t i d a d de energía que tiene el electrón. Existen 7 p i s o s o 7 posibles valores de n : 1, 2 , 3 , ……… .. 7 Si n = 1 el electrón estará en el primer nivel de energí a. Una vez que se ubi ca en qué piso está el el ectrón, hará fal ta conocer en qué departamento está, y esto depende del número de pi so. Esta i nformaci ón se expresa como el número cuántico acimutal l Este número depende del valor de n. Su valor es n - 1, de tal modo que los val ores de l son siempre aquellos comprendidos entre 0 y n – 1 .Por ejemplo: si n = 2, l puede tomar los valores 0 y 1, que son sus dos subniveles, como si en el segundo piso hubiera dos departamentos. A su vez, los valores de l determinan la forma del orbital de cada subnivel. En este caso, para l = 0 se tiene un orbital s; y para l =1, se tiene un orbital p. Es como si cada tipo de departamento tuviera un plano distinto. Para ilustrar esta comparación le presentamos esta figura: Ampliemos la información con la siguiente tabla:

Además, cuando se ubica al electrón en un determinado "departamento" o subnivel, hay q u e a v e r i g u a r e n qué "habitación" está. Esta información se e x p r e s a c o m o e l t e r c e r número cuántico o número magnético m y está relacionado con el magnetismo del electrón. Depende del valor de l y puede tomar todos los valores enteros comprendidos entre + l y - l Si el valor d e l f u e r a p o r e j e m p l o 3 , e n t o n c e s l o s v a l o r e s d e “ m” Serían -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 En nuestra comparación del edificio, estos valores representarían las distintas habitaciones en las que esa persona podría encontrarse. Por úl ti mo queda defi nir en qué "posi ción" está esa persona. Si se consi dera que sól o puede optar entre dos posi ci ones, para el caso del el ectrón tomará una de ellas. Esta información se define con el número cuántico de spin s Este número indica el sentido d e g i r o d e l e l e c t r ó n , y solo tiene 2 valores: +½y-½ Para termi nar, exi ste una restri cci ón expresada en el : Principio de exclusión de Pauli Q u e p o s t u l a q u e e n u n mismo átomo no pueden existir dos electrones con los cuatro números cuánticos iguales. P o r l o m e n o s d e b e n d i f e r e n c i a r s e

A S I G N A T U R A : Q U Í M I C A | 11 en el número de spin. Si retomamos el e j e m p l o d e nuestro edificio especial, esta restricción sería que no podría haber dos personas en una misma habitación ubicadas en la misma posición. Hidrógeno

Configuración electrónica De acuerdo al modelo atómico moderno escribir la configuración electrónica (CE) de u n átomo significa ubicar sus electrones en sus r e s p e c t i v o s n i v e l e s y s u b n i v e l e s d e energía. Para averiguarla, se necesita conocer el número atómico (Z).

Deuterio

Tritio

La forma más común es el hidrógeno, que es el único átomo que no tiene neutrones en su núcleo. Otro ejemplo son los dos isótopos más comunes del uranio:

Le mostramos a continuación un ejemplo y le sugerimos que consulte la figura de la pirámide: Para Z = 7 CE = 1s2 /2s2 2p3 Donde:• Los números representan los niveles de energía que posee este átomo. En este caso el átomo tiene 2 niveles, es decir n = 1 y n = 2.• L a s l e t r a s s y p representan l os subni veles de energí a de cada ni vel . Por ejempl o cuando n = 2, hay dos subniveles: 2s y 2 p Los superíndices expresan la cantidad de electrones que hay en cada subnivel. En este caso, 1s2 quiere decir que tiene dos electrones en el subnivel.En parti cul ar, se llama configuración electrónica externa (CEE) a la di stri buci ón delos electrones del último nivel de energía.

Los cuales se denominan uranio-235 y uranio-238. El primero se utiliza en reactores nucleares y en bombas atómicas, en tanto que el segundo carece de propiedades necesarias para esas aplicaciones. En general las propiedades químicas de un elemento están determinadas fundamentalmente por los protones y electrones de sus átomos y en condiciones normales los neutrones no participan en los cambios químicos. Por ello los isótopos de un elemento tendrán un comportamiento químico similar, formarán el mismo tipo de compuestos y reaccionarán de manera semejante. La Tabla Periódica Boyle(1661) 12 elementos

Para Z = 9 CE = 1s2 /2s2 2p5

Lavoisier(1789): 33 elementos

La configuración electrónica externa es 2s22p5 porque el número 2 representa el mayor nivel de energía del átomo.

Dmitri Mendeleev (1864) Tabla periódica de 64 elementos

Isótopos, números atómicos y números másicos Características que determinan la estructura del átomo de un elemento químico:

 Número atómico (Z): el nº de protones en el núcleo de cada elemento. Todos los átomos de un elemento tienen el mismo número de protones.

 Como la carga del átomo es nula, el número de electrones será igual al número atómico.

 Número másico (A) ó número de masa: el nº de protones y neutrones en el núcleo de un átomo de un elemento.

 El número de neutrones de un elemento químico se

puede calcular como A-Z. No todos los átomos de un elemento dado tienen la misma masa. La mayoría de los elementos tiene dos ó más isótopos, átomos que tienen el mismo número atómico, pero diferente número másico. Por lo tanto la diferencia entre dos isótopos de un elemento es el número de neutrones en el núcleo.

La forma aceptada para denotar el número atómico y el número másico de un elemento X es:

Tomemos por ejemplo el átomo de carbono: Para el carbono Z=6. Es decir, todos los átomos de carbono tienen 6 protones y 6 electrones. El carbono tiene dos isótopos: uno con A=12, con 6 neutrones y otro con número másico 13 (7 neutrones), que se representan como:

El carbono con número másico 12 es el más común (~99% de todo el carbono). Al otro isótopo se le denomina carbono 13.. El hidrógeno presenta tres isótopos, y en este caso particular cada uno tiene un nombre diferente

Más de la mitad de los elementos químicos conocidos se descubrieron entre 1800 y 1900. La clasificación de estos elementos en grupos según el comportamiento químico condujo al desarrollo de la tabla periódica. Ciertos elementos tenían características comunes: 

Litio (Li), Sodio(Na) y Potasio (K) son metales blandos y muy reactivos.



Helio (He), Neón (Ne) y Argón (Ar) son gases con una reactividad casi nula.

Mendeleev en 1864 observó que al ordenar los elementos en masas atómicas crecientes las propiedades físicas y químicas se repetían en un patrón periódico. Más tarde el ordenamiento se hizo en función del número atómico (concepto desconocido en los tiempos de Mendeleev). Como muestra de la naturaleza periódica de los elementos se observa que en la tabla periódica ordenada por el número atómico da lugar a columnas dónde los metales blandos antes citados se colocan justo antes que los gases inertes. Los elementos de cada columna de la tabla periódica pertenecen a la misma familia o grupo y a las filas horizontales se les denomina período. Los elementos a lo largo de un período tienen propiedades que varían progresivamente a lo largo de la tabla, mientras que los elementos del mismo grupo o familia tienen propiedades físicas y químicas similares. Varios grupos de elementos tienen nombres comunes de uso frecuente que hay que conocer. : Grupo

Nombre

Elementos

IA/1

Metales alcalinos

Li, Na, K, Rb, Cs, Fr

IIA/2

Metales alcalinotérreos

Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra

VIIA/17

Halógenos ("formadores de sales")

F, Cl, Br, I, At

0/18

Gases nobles (inertes)

He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn

Los elementos de la misma familia tienen propiedades similares debido a que tienen la misma distribución de los electrones en la periferia de sus átomos. La tabla periódica la forman 113 elementos siendo a mayoría (90) metales (17 no metales y 8 metaloides). Las

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propiedades de metales y no metales son distintas, como podemos ver en la tabla siguiente: Metales Alta conductividad eléctrica que disminuye al aumentar la temperatura

No metales Baja conductividad eléctrica (excepto para el C como grafito) Buenos aislantes del calor

Alta conductividad térmica

Sin brillo metálico Brillo gris metálico (excepto Au y Cu) Son sólidos(excepto el mercurio que es líquido)

Sólidos(50%), y gases(50%) y uno líquido: el bromo Frágiles en estado sólido

maleables (pueden laminarse) No dúctiles Dúctiles

Tabla Periódica En general se pueden clasificar los elementos en tres tipos: metales, no-metales y metaloides. Metales (con fondo verde en la tabla)



No metales (dentro de los cuales están los gases nobles)

Metaloides (átomo en el límite entre metales y no metales que no sea justan claramente a una clase; en color amarillo en la tabla). El carácter metálico aumenta de arriba abajo y de izquierda a derecha con respecto a la posición en la tabla periódica. CLASIFICACIÓN DE LOS ELEMENTOS 1. Primera tentativa de clasificación: Triadas de Döbereiner. Entre 1817 y 1829, J. W. Döbereiner, profesor de Química de la Universidad de Jena, expuso su ley de las triadas, agrupando elementos con propiedades semejantes. 2. Segunda tentativa de clasificación: Ley de las octavas de Newlands. En 1864, el químico inglés J. A. R. Newlands observó que dispuestos los elementos en orden crecientes a sus pesos atómicos, después de cada siete elementos, en el octavo se repetían las propiedades del primero y por analogía con la escala musical enunciaba su ley de las octavas. 3. Tercera tentativa de clasificación: Sistema periódico de Mendelejeff. Fue el químico ruso Dimitri I. Mendelejeff el que estableció la tabla periódica de los elementos comprendiendo el alcance de la ley periódica.

Los primeros trabajos de Mendelejeff datan de 1860 y sus conclusiones fueron leídas 1869 en la sociedad Química Rusa. El mismo resumió su trabajo en los siguientes postulados: 1. Si se ordenan los elementos según sus pesos atómicos, muestran una evidente periodicidad. 2. Los elementos semejantes en sus propiedades químicas poseen pesos atómicos semejantes (K, Rb, Cs). 3. La colocación de los elementos en orden a sus pesos atómicos corresponde a su valencia.

4. Los elementos más difundidos en la Naturaleza son los de peso atómico pequeño. Estos elementos poseen propiedades bien definidas. Son elementos típicos. 5. El valor del peso atómico caracteriza un elemento y permite predecir sus propiedades. 6. Se puede esperar el descubrimiento de elementos aún desconocidos. 7. En determinados elementos puede corregirse el peso atómico si se conoce el de los elementos adyacentes. He aquí una síntesis clara y muy completa no solo de la construcción de la tabla, sino también de su importancia química. La tabla periódica moderna consta de siete períodos y ocho grupos.

A S I G N A T U R A : Q U Í M I C A | 13 Períodos: Cada franja horizontal.

Afinidad electrónica

Grupo Cada franja vertical.

La electroafinidad, energía desprendida por un ion gaseoso que recibe un electrón y pasa a átomos gaseosos, es igual el valor al potencial de ionización y disminuye al aumentar el número atómico de los miembros de una familia. La electronegatividad es la tendencia de un átomo a captar electrones. En una familia disminuye con el número atómico y en un período aumenta con el número atómico.

Familia: Grupo de elementos que tienen propiedades semejantes.

Ventajas del sistema de Mendelejeff 1. Corrigió los pesos atómicos y las valencias de algunos elementos por no tener sitio en su tabla de la forma en que eran considerado hasta entonces. 2. Señaló las propiedades de algunos elementos desconocidos, entre ellos, tres a los que llamó ekaboro, eka-aluminio, y eka-silicio. 3. En 1894 Ramsy descubrió un gas el que denominó argón. Es monoatómico, no presenta reacciones químicas y carecía de un lugar en la tabla. Inmediatamente supuso que debían existir otros gases de propiedades similares y que todos juntos formarían un grupo. En efecto, poco después se descubrieron los otros gases nobles y se les asignó el grupo cero. 4. Todos los huecos que dejó en blanco se fueron llenando al descubrirse los elementos correspondientes. Estos presentaban propiedades similares a las asignadas por Mendelejeff.

Defectos de la tabla de Mendelejeff 1. No tiene un lugar fijo para el hidrógeno. 2. Destaca una sola valencia. 3. El conjunto de elementos con el nombre de tierras raras o escasas (lantánidos) no tiene ubicación en la tabla o es necesario ponerlos todos juntos en un mismo lugar, como si fueran un solo elemento, lo cual no es cierto. 4. No había explicación posible al hecho de que unos períodos contarán de 8 elementos: otros de 18, otros de 32, etc. 5. La distribución de los elementos no está siempre en orden creciente de sus pesos atómicos. Tabla periódica moderna En el presente siglo se descubrió que las propiedades de los elementos no son función periódica de los pesos atómicos, sino que varían periódicamente con sus números atómicos o carga nuclear. He aquí la verdadera Ley periódica moderna por la cual se rige el nuevo sistema: "Las propiedades de los elementos son función periódica de sus números atómicos" Modernamente, el sistema periódico se representa alargándolo en sentido horizontal lo suficiente para que los períodos de 18 elementos formen una sola serie. Con ello desaparecen las perturbaciones producidas por los grupos secundarios. El sistema periódico largo es el más aceptado; la clasificación de Werner, permite apreciar con más facilidad la periodicidad de las propiedades de los elementos. Propiedades periódicas y no periódicas de los elementos químicos Son propiedades periódicas de los elementos químicos las que desprenden de los electrones de cadena de valencia o electrones del piso más exterior así como la mayor parte de las propiedades físicas y químicas. Radio atómico Es la distancia de los electrones más externos al núcleo. Esta distancia se mide en Angström (A=10-8), dentro de un grupo Sistema periódico, a medida que aumenta el número atómico de los miembros de una familia aumenta la densidad, ya que la masa atómica crece mas que el volumen atómico, el color F (gas amarillo verdoso), Cl (gas verde), Br (líquido rojo), I sólido (negro púrpura), el lumen y el radio atómico, el carácter metálico, el radio iónico, aunque el radio iónico de los elementos metálicos es menor que su radio atómico.

Enlaces químicos Iones Los átomos están constituidos por el núcleo y la corteza y que el número de cargas positivas del primero es igual al número de electrones de la corteza; de ahí su electronegatividad. Si la corteza electrónica de un átomo neutro pierde o gana electrones se forman los llamados iones. Los iones son átomos o grupos atómicos que tienen un número de electrones excesivo o deficiente para compensar la carga positiva del núcleo. En el primer caso los iones tienen carga negativa y reciben el nombre de aniones, y en el segundo están cargados positivamente y se llaman cationes. Elementos electropositivos y electronegativos Se llaman elementos electropositivos aquellos que tienen tendencia a perder electrones transformándose en cationes; a ese grupo pertenecen los metales. Elementos electronegativos son los que toman con facilidad electrones transformándose en aniones; a este grupo pertenecen los metaloides. Los elementos más electropositivos están situados en la parte izquierda del sistema periódico; son los llamados elementos alcalinos. A medida que se avanza en cada período hacia la derecha va disminuyendo el carácter electropositivo, llegándose, finalmente, a los alógenos de fuerte carácter electronegativo. Electrones de valencia La unión entre los átomos se realiza mediante los electrones de la última capa exterior, que reciben el nombre de electrones de valencia. La unión consiste en que uno o más electrones de valencia de algunos de los átomos se introduce en la esfera electrónica del otro. Los gases nobles, poseen ocho electrones en su última capa, salvo el helio que tiene dos. Esta configuración electrónica les comunica inactividad química y una gran estabilidad. Todos los átomos tienen tendencia a transformar su sistema electrónico y adquirir el que poseen los gases nobles, porque ésta es la estructura más estable. Valencia electroquímica Se llama valencia electroquímica al número de electrones que ha perdido o ganado un átomo para transformarse en ion. Si dicho número de electrones perdidos o ganados es 1, 2, 3, etc. Se dice que el ion es monovalente, bivalente, trivalente, etc. Tipos de enlace En la unión o enlace de los átomos pueden presentarse los siguientes casos: 1. Enlace iónico, si hay atracción electrostática. 2. Enlace covalente, si comparten los electrones. 3. Enlace covalente coordinado, cuando el par de electrones es aportado solamente por uno de ellos. 4. Enlace metálico, so los electrones de valencia pertenece en común a todos los átomos. Enlace iónico o electrovalente Fue propuesto por W Kossel en 1916 y se basa en la transferencia de electrones de un átomo a otro. La

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definición es la siguiente: "Electrovalencia es la capacidad que tienen los átomos para ceder o captar electrones hasta adquirir una configuración estable, formándose así combinaciones donde aparecen dos iones opuestos". Exceptuando solamente los gases nobles todos los elementos al combinarse tienden a adquirir la misma estructura electrónica que el gas noble más cercano. El átomo que cede electrones se transforma en ion positivo (catión), en tanto que el que los gana origina el ion negativo (anión). Propiedades generales de los compuestos iónicos En general, los compuestos con enlace iónico presentan puntos de ebullición y fusión muy altos, pues para separarlos en moléculas hay que deshacer todo el edificio cristalino, el cual presenta una elevada energía reticular. Enlace covalente normal Se define de la siguiente manera: "Es el fenómeno químico mediante el cual dos átomos se unen compartiendo una o varias parejas de electrones; por lo tanto, no pierden ni ganan electrones, sino que los comparten". Un átomo puede completar su capa compartiendo electrones con otro átomo.

externa

Cada par de electrones comunes a dos átomos se llama doblete electrónico. Esta clase de enlace químico se llama covalente, y se encuentra en todas las moléculas constituidas por elementos no metálicos, combinaciones binarias que estos elementos forman entre sí, tales como hidruros gaseosos y en la mayoría de compuestos de carbono. Cada doblete de electrones (representado por el signo :) Intercalado entre los símbolos de los átomos, indica un enlace covalente sencillo y equivale al guión de las fórmulas de estructura. En enlace covalente puede ser: sencillo, doble o triple, según se compartan uno, dos o tres pares de electrones. Enlace covalente coordinado Se define de la siguiente forma: "Es el enlace que se produce cuando dos átomos comparten una pareja de electrones, pero dicha pareja procede solamente de uno de los átomos combinados. En este caso el enlace se llama covalente dativo o coordinado. El átomo que aporta la pareja de electrones recibe el nombre de donante, y el que los recibe, aceptor. Cuando queremos simplificar la formula electrónica se pone una flecha que va del donante al aceptor. Enlace metálico La estructura cristalina de los metales y aleaciones explica bastante una de sus propiedades físicas. La red cristalina de los metales está formada por átomos (red atómica) que ocupan los nudos de la red de forma muy compacta con otros varios. En la mayoría de los casos los átomos se ordenan en red cúbica, retenido por fuerzas provenientes de los electrones de valencia; pero los electrones de valencia no están muy sujetos, sino que forman una nube electrónica que se mueve con facilidad cuando es impulsada por la acción de un campo eléctrico. NOMENCLATURA INORGÁNICA VALENCIA: Es la capacidad de combinación de un elemento. Se representa mediante un número sin signo, denominado número de valencia. ESTADO DE OXIDACION: (número de oxidación) el número de oxidación es la carga relativa aparente de un elemento en una especie química que tendría si los 2 electrones del enlace fueran asignados al elemento más electronegativo. Para compuestos iónicos el número de oxidación corresponde a la carga del ion

Ejemplo Compuesto iónico estado de oxidación ÓXIDO de aluminio III Al 2O3 Fluoruro de sodio

NaF

E.O. (Al) = +3 E.O. (O) = -2 E.O. (Na) = +1 E.O. (F) = -1

Para compuestos covalentes: los números de oxidación son asignados de modo que el elemento más electronegativo “gana” los electrones compartidos (le corresponde un número de oxidación negativo y el menos electronegativo los “pierde” (adopta un número de oxidación positivo). Ejemplo 1: en el cloruro de hidrógeno HClg a pesar de que los átomos comparten un par de electrones, la carga relativa aparente del cloro seria -1. La información entre paréntesis (g) indica que el compuesto se encuentra en estado gaseoso. H – Cl

*H . Cl

-

H+ Cl

NOMENCLATURA Consiste en asignar nombres químicos a la sustancias mediante procedimiento sistemático de modo que sea sencillo y practico. Estas normas son establecidas por La Unión Internacional de Química Pura y Aplicada (I.U.P.A.C.) Clasificación: o Nomenclatura clásica o tradicional: emplea como primer vocablo el nombre genérico del compuesto asi como prefijos y sufijos. Ejemplo HClO ÁCIDO hipocloroso o Nomenclatura stock: fue desarrollado por el químico Alfred Stock y adoptado por la IUPAC en 1941. Ejemplo Ni3O2 ÓXIDO de níquel III o Nomenclatura sistemática: toma en consideración la atomicidad de la sustancia. Es aceptado por la IUPAC Ejemplo V2O5

pentÓXIDO de divanadio

FUNCIÓN QUIMICA Es un conjunto de compuestos con propiedades químicas semejantes, este comportamiento común se debe A la presencia de un grupo FUNCIONal común. GRUPO FUNCIONAL: Conjunto de átomos comunes a todos los compuestos de una misma función. FUNCIÓN ÓXIDO ÁCIDO Hidruro Hidróxido

GRUPO FUNCIONAL O2H+ HOH-

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES QUÍMICAS INORGÁNICAS Las FUNCIONes químicas inorgánicas se pueden clasificar:  De acuerdo a su origen FUNCIONes que se originan de la combinación con el oxigeno  Óxidos o Ácidos o Básicos  Hidróxidos  Ácidos oxácidos  Sales oxisales o Neutras o Acidas o Básicas

A S I G N A T U R A : Q U Í M I C A | 15 Funciones que se originan de la combinación del hidrogeno Hidruros Metalices No metálicos Ácidos hidrácidos Sales haloideas Neutras Acidas

 o o   o o

Ejemplo.

Óxido básico Son compuestos binarios constituidos de un metal y el oxigeno. Metal + O2

óxido básico

Formulación: La fórmula se escribe intercambiando los números de oxidación entre el metal y el oxigeno, colocando subíndices con números arábigos. Na+ + O2-

Na2O

óxido de sodio

B2O3

Nomenclatura sistemática (IUPAC): Para nombrar los óxidos ácidos se usan prefijos numerales di, tri, tetra, penta, etc. Para indicar el NÚMERO de átomos presentes en cada elemento en la formula química. Ejemplo 1: el cloro puede tener cualquiera de los siguientes estados de oxidación +1,+3, +5, +7 cuando forma óxidos ácidos.

Compuesto Cl2O

óxido de calcio

Cl2 O3

Nomenclatura tradicional:  Si el metal que forma el ÓXIDO tiene un solo NÚMERO de oxidación, se antepone la palabra ÓXIDO al nombre del metal

Cl2 O5

Ca2+ + O2-

CaO

Ejemplo



K2O ÓXIDO de potasio MgO ÓXIDO de magnesio Al2O ÓXIDO de aluminio ZnO ÓXIDO de zinc Si el metal tiene dos nueros de oxidación, se agrega al nombre del metal es sufijo oso para el menor valor e ico para el mayor valor.

Ejemplo

Cu2O ÓXIDO cuproso CuO ÓXIDO cúprico FeO ÓXIDO ferroso Fe2 O3 ÓXIDO ferrico La Unión Internacional de Química Pura y Aplicada (IUPAC) recomienda la nomenclatura de los óxidos básicos según la nomenclatura de Stock

Cl2 O7

Compuesto

Nombre tradicional SO2 Anhídrido sulfuroso SO3 Anhídrido sulfúrico Ejemplo 3: el nitrógeno puede tener siguientes estados de oxidación +3. óxidos ácidos. Compuesto

La nomenclatura de Stock consiste en denominar el óxido con el número de oxidación del metal correspondiente en número romano colocado entre paréntesis, después del nombre del elemento. ejemplos:

N2 O3

Compuesto

Nombre Nomenclatura de Tradicional Stock Cu2O Óxido cuproso Óxido de cobre (I) CuO Óxido cúprico Óxido de cobre (II) FeO Óxido ferroso Óxido de hierro (I) Fe2 O3 Óxido férrico Óxido de hierro (II) Son compuestos binarios constituidos de un no metal con el oxigeno. Algunos metales como el manganeso o el cromo forman óxidos ácidos. No Metal + O2

ÓXIDO ÁCIDO (Anhídrido)

Nombre tradicional Anhídrido hipocloroso Anhídrido cloroso Anhídrido clórico Anhídrido perclórico

nomenclatura de sistemático ÓXIDO de di cloro TriÓXIDO de dicloro Penta ÓXIDO de dicloro HeptaÓXIDO de dicloro

Ejemplo 2: el azufre puede tener cualquiera de los siguientes estados de oxidación +4. +6 cuando forma óxidos ácidos.

Nomenclatura de Stock:

ÓXIDO Ácidos ( Anhídridos)

Anhídrido bórico

Si el no metal forma varios óxidos ácidos, se usan los siguientes prefijos: hipo para el mínimo NÚMERO de oxidación, per para el máximo NÚMERO de oxidación y los sufijos oso e ico para los números de oxidación intermedios.

Si los números de oxidación son iguales, o si es múltiplo del otro, se simplifican. Ejemplo:

(trióxido de azufre) (dióxido de carbono)

Si el no metal que forma el óxido ácido (anhídrido) forma un solo óxido ácido, se antepone la palabra anhídrido al no metal y se le coloca el sufijo ico

Según el número de elementos que poseen  Binarias  Ternarias  Cuaternarias FUNCIÓN ÓXIDO

Ejemplo:

S6+ O2SO3 C4+ O2CO2 Nomenclatura tradicional:

N2O5

Nombre tradicional Anhídrido sulfuroso Anhídrido sulfúrico

nomenclatura de sistemático Dióxido de azufre trióxido de azufre cualquiera de los +5 cuando forma

nomenclatura de sistemático TriÓXIDO de dinitrogeno PentaÓXIDO de dinitrogeno

Óxidos neutros: son óxidos que no forman ni ácidos ni hidróxidos con el agua. Compuesto N2O

Nombre tradicional ÓXIDO nitroso

NO

ÓXIDO nítrico

CO

Monóxido de carbono

nomenclatura de sistemático Monóxido de dinitrogeno Monóxido de nitrógeno Monóxido de carbono

ÓXIDOS ANFOTEROS: son aquellas que presentan características acidas y básicas. PER ÓXIDOS Y SUPER ÓXIDOS

La fórmula se escribe intercambiando números de oxidación entre los no metales, colocándolos como subíndices en números arábigos. Ejemplo: Cl+5 O2` Cl 2O5 Si los números de oxidación son iguales o si uno es múltiplo del otro, se simplifica: Ejemplo:

Los per óxidos y súper óxidos constituyen estados de fuerte oxidación que se producen solo con algunos elementos de los grupos de los metales IA (Alcalinos) y IIA (alcalinos térreos) también se conocen peróxidos de Zn, Cd y Hg, se caracterizan por presentar en su estructura los grupos funcionales:

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Peróxido

(peroxo)

O2-2

SuperÓXIDO

( superoxo)

O21-

FUNCIÓN HIDRURO

Nomenclatura:

Hidruros metálicos:

Para darles lectura se cambia únicamente la palabra ÓXIDO por peróxido o superÓXIDO según sea el caso:

Son compuestos binarios formados por el hidrogeno y un metal, especialmente los del grupo IA Y IIA, pudiendo participar algún metal de transición, Si es así el elemento de transición participa con un solo estado de oxidación.

PERÓXIDOS (O2-2) Alcalinos IA Li2O2 , Na2O2 , K2O2 , Rb2O2 , Cs2O2 , Fr2O2 , H2O2 Alcalinos terreos IIA BeO2, MgO2 , CaO2 , SrO2 , BaO2, RaO2 SUPERPERÓXIDOS

Alcalinos IA LiO2 , NaO2 , KO2 , RbO2 , CsO2 , FrO2 ,

FUNCIÓN HIDRÓXIDO (bases) Resultan de la reacción de un ÓXIDO básico con agua. Hidróxido

CaO + H2O Ca (OH)2 Fe2O3 + 3 H2O 2 Fe (OH)3 Los metales alcalinos forman hidróxidos cuando reaccionan directamente con el agua a temperatura ambiente: Metal Alcalino +

H2O

Formulación: Metal + Hidrogeno

Hidruro Metálico

Nomenclatura:

Alcalinos terreos IIA BeO4 , MgO4 , CaO4, SrO4 , BaO4, RaO4

H2O

Hidruro Metálico

La fórmula se escribe intercambiando los números de oxidación entre el metal y el hidrogeno, colocando subíndices con números arábigos. Solo en este caso el hidrogeno participa con el estado de oxidación -1.

(O21-)

ÓXIDO básico +

Metal + Hidrogeno

Hidróxido +

H2

Compuesto nomenclatura 2 Na + 2 H2O Nombre 2 NaOH + H2 de sistemático Nomenclatura: tradicional N2O ÓXIDO nitroso Monóxido de Si el metal que forma el hidróxido tiene un solo NÚMERO dinitrogeno de nombrenítrico del compuesto se inicia NOoxidación el ÓXIDO Monóxido decon la palabra hidróxido seguido del nombrenitrógeno del metal. CO Monóxido de Monóxido de HIDRÓXIDO de…………………….Nombre del metal carbono carbono Ejemplo: Hidróxido de sodio Metal Alcalino + NaOH H2O Hidróxido + H2

Se nombra anteponiendo la palabra correspondiente y el término hidruro.

Ejemplo:

Na H Hidruro de sodio Al H3 Hidruro de aluminio Ca H2 Hidruro de calcio Li H Hidruro de litio Hidruros no metálicos: Son compuestos binarios formados por un no metal con el hidrogeno. No Metal

+ Hidrogeno

Hidruro No Metálico

+ Hidrogeno No Metálico ElNo noMetal metal actúa con un solo NÚMEROHidruro de oxidación y el hidrogeno actúa con estado de oxidación +1 Formulación: La fórmula se escribe intercambiando los números de oxidación entre el hidrogeno y el no metal. Nomenclatura: Se les nombra, agregando el sufijo uro al nombre del no metal.

Hidróxido de magnesio

Ejemplo 1: con elementos del grupo VIIA (grupo 17):

Al (OH)3

Hidróxido de aluminio

HF (g)

Fluoruro de hidrogeno

HCl

Cloruro de hidrogeno

(g)

Si el metal que forma el hidróxido tiene dos números de oxidación, se agrega al nombre del metal el sufijo oso para el menor NÚMERO de oxidación e ico para el mayor número de oxidación.

Compuesto H2S (g)

Hidróxido……………….oso (menor NÚMERO de oxidación HidrÓXIDO……………….ico (mayor NÚMERO de oxidacion Fe (OH)3 Hidróxido férrico CuOH Hidróxido cuproso Cu (OH)2 Hidróxido cúprico

Nomenclatura de Stock: Según la nomenclatura de Stock, el nombre del compuesto se inicia con la palabra hidróxido seguido del nombre del metal. El número de oxidación del metal se indica en número romano colocado entre paréntesis. Ejemplos:

metal

HIDRURO de…………….. Nombre del metal

Mg (0H)2

Nomenclatura tradicional:

Ejemplo:

del

Nombre tradicional sulfuro de hidrogeno

H2Se (g)

HBr (g) HI (g)

seleniuro de hidrogeno H2Te (g) teleruro de hidrogeno Bromuro de hidrogeno

IUPAC sulfano selano telano

Yoduro de hidrogeno

Ejemplo 2: con elementos del grupo VIA (grupo 16) Los hidruros de elementos de los grupos VIA y VIIA forman asidos hidrácidos con el agua. El nombre IUPAC del agua es oxidano Algunos hidruros reciben nombres especiales:

Compuesto Fe (OH)2 Fe (OH)3 CuOH Cu (OH)2

Nombre tradicional Hidróxido ferroso Hidróxido férrico Hidróxido cuproso Hidróxido cúprico

nomenclatura de sistemático Hidróxido de hierro (II) Hidróxido de hierro (III) Hidróxido de cobre ( I ) Hidróxido de cobre (II)

Elementos del grupo VA (grupo 15) Compuesto NH3 P H3 AsH3 SbH3 N 2 H4 P 2 H4

Nombre tradicional amoniaco fosfina arsina estibina hidrazina difosfina

IUPAC azano fosfano arsano estibano diazano difosfano

A S I G N A T U R A : Q U Í M I C A | 17 Elementos del grupo IVA (grupo 14) Compuesto SiH4 GeH4 SnH4 PbH4

Nombre tradicional silano germano estannano plumbano

Elementos del grupo IIIA (grupo

IUPAC silano germano estannano plumbano

Compuesto

Nombre IUPAC tradicional BH3 borano borano Pb2 H6 diborano diborano NH4+ ion amonio H3O+ ion hidronio (agua protonada) PH4* ion fosfonio H3S+ ion sulfonio * es un hidruro metalico ** El boro se considera un no metal en la mayoría de sus propiedades químicas. El boro es un semimetal con propiedades no metálicas pronunciadas. FUNCIÓN ÁCIDO Con excepción de los casos especiales, los oxoÁCIDOs resultan de la reacción de un ÓXIDO ÁCIDO con agua en proporción equimolar.

PREFIJO

ESTADO DE OXIDACION IMPAR

META

1 ÓXIDO ÁCIDO + 1 agua

PIRO

1 ÓXIDO ÁCIDO + 2 aguas

ORTO

1 ÓXIDO ÁCIDO + 3 aguas

Los óxidos ácidos del fosforo, arsénico, antimonio y boro forman este tipo de ácidos. Ejemplo: P2O3 + H2O 2 HPO2 ÁCIDO metafosforoso P2O3

+ 2 H2O

H4P2O5

ÁCIDO pirofosforoso

P2O3

+ 3 H2O

2 H3PO3

ÁCIDO ortofosforoso

P2O5

+

2 HPO3

ÁCIDO

+ 2 H2O

H4P2O7

ÁCIDO piroosforico

+ 3 H2O

2 H3PO4

H2O

metafosforico P2O5 P2O5 2.

ÁCIDO ortofosforico

si el número de oxidación es par PREFIJO

ESTADO DE OXIDACION PAR

H2O

META

1 ÓXIDO ÁCIDO + 1 agua

PIRO

2 ÓXIDO ÁCIDO + 1 aguas

+

H2CO3 H H2O2SO4 2 HNO3

ORTO

1 ÓXIDO ÁCIDO + 2 aguas

Ejemplo: el azufre forma asidos con los estados de oxidación +4, y +6 Ejemplo: el nitrógeno forma asidos con los estados de oxidación +3, y +5 Compuesto Número de nombre tradicional oxidación del Elemento principal HClO

Cl+ (mínimo)

Ácido hipocloroso

HClO2

Cl+3

Ácido cloroso

HClO3

Cl+5

Ácido clórico

HClO4

Cl+7(máximo)

Ácido perclórico

Compuesto

Número de oxidación del Elemento principal H2 SO3 S4+ H2 SO4 S6+ Ácidos polihidratados:

nombre tradicional

Poliácidos: Son ácidos que poseen dos o mas átomos del no metal en su formula. El NÚMERO de dichos átomos se indican por medio de prefijos di,tri,tetra n Anhídrido

Agua

Poliácido

n Anhídrido + Agua Donde n = 2, 3,4…

Poliácido

+

2 CrO3 + H2O

H2Cr2O7

ÁCIDO dicromico

2 B2O3 + H2O tetracromico

H2B4O7

ÁCIDO

3 SO3

H2S3O10

+ H2O

Ácido sulfuroso Ácido sulfúrico

nombre tradicional

Ácido nitroso Ácido nítrico

ÁCIDO trisulfurico

OTROS CASOS: Algunos metales poseen estados de oxidación con los cuales forman oxidas ácidos ( ver excepciones en la parte final del capitulo) Bi2O5

+ H2O

Mn2 O7 + H2O permangánico CrO3

Los óxidos ácidos de algunos elementos reaccionan con Número de oxidación del Elemento principal N3+ Cl5+

El ÓXIDO ÁCIDO del silicio SiO2, puede formar este tipo de compuesto: SiO2 + H2O H2SiO3 ácido metasilicico SiO2 + 2H2O H4SiO4 ácido ortosilicico

MnO3 + H2O mangánico

CASOS ESPECIALES:

HNO2 HNO3

Si el número de oxidación es IMPAR

+

Nomenclatura: Para nombrarlos se sustituye la palabra anhídrido por ácido, con los sufijos propios del sistema de nomenclatura considerado. En la nomenclatura tradicional se usan los mismos prefijos empleados en los anhídridos: hipo, per sufijos oso, ico. Ejemplo: el cloro forma ácidos con los estados de oxidación +1,+3,+5,+7

Compuesto

1.

13)**

Algunos hidruros aceptan a un ion hidrogeno H+ adoptando los siguientes nombres:

ÓXIDO ÁCIDO Oxoácido CO2 + H2O SO3ÓXIDO + H2ÁCIDO O N2O 5 + H2O Oxoácido

el agua en varias proporciones produciendo ácidos polihidratados. Según el número de oxidación del elemento su nomenclatura puede ser:

+

H2O

2 HBiO3 H2MnO4

ÁCIDO bismutico ÁCIDO

2HMnO4 ÁCIDO H2CrO4

ÁCIDO crómico

ÁCIDOS HIDRÁCIDOS: Son hidruros no metálicos de los grupos VIA Y VIIA en solución acuosa: Hidruro No Metálico + Agua

poliácido

Se les nombra añadiendo la palabra ÁCIDO y Hidruro No Metálico + Agua poliácido sustituyendo la terminación URO del hidruro no metalico por la terminación HIDRICO. La información entre paréntesis (ac) indica que el compuesto esta en solución acuosa. También se puede emplear (aq)

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Ejemplos: HF(ac) HCl(ac) HBr(ac) HI(ac) IONES

tomara en cuenta los términos ácido, diácido, tríácido etc según la siguiente tabla:

Ácido fluorhídrico Ácido clorhídrico Ácido bromhídrico Ácido yodhídrico

Son especies químicas que poseen carga eléctrica por ejemplo: Cl-, (SO4)2-

Nº de H+ aun presentes en el ion 1H

IONES MONOATÓMICOS:

2H

Terminación

ÁCIDO

( HCO3)ion carbonato ácido

Diácido

( H2PO4)ion fosfato diácido

 Cationes.- pueden nombrase por la nomenclatura tradicional o por la nomenclatura de Stock. Catión

Nomenclatura tradicional

Nomenclatura Stock

Na+

Ion sodio

Ion sodio

Cu+

Ion cuproso

Ion cobre (I)

Fe3+

Ion férrico

Ion hierro (III)

 Aniones.- se nombran colocando la palabra ion seguido del nombre raíz del elemento origen seguido inmediatamente del sufijo uro Anión Nombre

Nombre

Anión Nombre

F-

Ion fluoruro

Te2-

Ion teluro

Cl-

Ion cloruro

N3-

Ion nitruro

Br-

Ion bromuro

P3-

Ion fosfuro

Ion Ioduro

As3-

Ion arseniuro

Ion sulfuro

Sb3-

Ion antimoniuro

Ion selenuro

C4-

Ion carburo

IS2Se2-

El ion

O2-

Nombre

se denomina ion ÓXIDO

IONES POLIATÓMICOS  Cationes: generalmente reciben nombres comunes NH4+

ion amonio

NO2 +

CO2+ H3O+

ion nitronio

ion carbonilo ion hidronio

 Aniones: se formula generalmente al retirar uno o más iones hidrogeno H+ de un oxoácido. La carga del ion resultante, llamado anión u oxoanion es igual al NÚMERO de hidrógenos perdido con signo negativo. H2SO4

2 H+ + (SO4)2-

1. Si el ÁCIDO pierde todos su hidrogenos: Nombre del ÁCIDO ÁCIDO …….OSO

Nombre del ion

ÁCIDO ……..ICO

Ion …..ATO

Ejemplo: HClO4 ÁCIDO perclórico HNO3 ÁCIDO nítrico H2SO4 ÁCIDO sulfúrico

Una variante emplea el término hidrogeno, dihidrogeno etc. que se antepone al nombre de la sal según el número de hidrógenos no reemplazados. (H2PO4)- ion fosfato diácido Ion dihidrogenofosfato Si se ha sustituido la mitad de los iones hidrógenos, también se puede emplear el prefijo bi (HS)ion sulfuro ácido Ion bisulfuro (HCO3) ion carbonato ácido Ion bicarbonato FUNCIÓN SAL Oxisal: Resultan de la reacción de un ácido oxácido con un hidróxido para formar una oxisal correspondiente y agua. Oxácido + Hidróxido

Ca2+ SO4 Ca SO4 Nomenclatura: Se nombran considerando que si el nombre del ÁCIDO termina en oso, se reemplaza dicha terminación por ito. Análogamente, si el nombre del ácido termina en ico se reemplaza esta terminación por ato. Al nombre del resto ácido (anión u oxoanion) le sigue el nombre del metal (catión) proveniente del hidróxido. Ejemplos: Formula Cd(NO3)2 FeSO4

Cu2SO3 KMnO4

Ion …..ITO KNO3 NaNO2 H+ + ClO4 ion perclorato H+ + NO3 ion nitrato 2 H+ + SO4 ion sulfato

2. Si no pierden todos sus hidrógenos: La sustitución parcial de iones hidrogeno por parte de un ácido, genera un ion ácido que para nombrarlo, se

Oxisal + agua

Para establecer la escritura y nomenclatura de las sales Oxácido + Hidróxido Oxisal + agua se deben considerar lo siguiente: Formulación: La formula se establece intercambiando los valores de las cargas del resto ácido (anión u oxoanion) con la carga del metal (catión), escribiéndolos como subíndices, si uno de ellos es múltiplo del otro, se simplifican. Ejemplo: Al+3 NO3 Al (NO3)3

Fe2(SO4)3

Nomenclatura:

Ejemplos

Nombre Tradicional Nitrato de cadmio Sulfato ferroso Sulfato férrico Sulfito cuproso Sulfito cúprico Nitrato de potasio Nitrito de sodio

Formula AgClO3 KClO3

Nombre Tradicional Clorato de plata Clorato de potasio Dicromato de potasio

K2Cr2O7 KMnO4 KBrO3

Permanganato de potasio Bromato de potasio

Na2SO4

Sulfato de sodio

K2CrO4

Cromato de potasio

SALES HALOIDEAS Son compuestos binarios formados por reacción de un ácido hidrácido con hidróxido. Ácido Oxácido + Hidróxido

Sal Haloidea + agua

Formulación: ÁCIDO Oxácido + Hidróxido Sal Haloidea + La formula se escribe intercambiando el número de agua oxidación del resto ácido (anión) con el número de

A S I G N A T U R A : Q U Í M I C A | 19 oxidación del metal (catión) proveniente del hidróxido. Dichos números se colocan como subíndices en números arábigos. Ejemplos: Mg+2 ClMgCl2 K+

S2-

Nomenclatura tradicional

NaCl MgBr2

Cloruro de sodio Bromuro de magnesio Sulfuro de calcio Cloruro cuproso Cloruro cúprico Cloruro de potasio sulfuro de cadmio

CaS CuCl CuCl2 KCl

Fe (OH)3 + 2 H2SO4

2H2O + Fe ( HSO4)2 Hidrogeno sulfato de hierroII

Nomenclatura Stock

Formulación: la formula se escribe reemplazando Ejemplo: CuOHNO3

Nitrato básico cuproso Hidroxi nitrato de cobre II Nitrato v de cobre II

Cr (OH) TeO4

Telurato básico cromico Hidroxi telurato de cromo III Telurato IV de cromo III

Ca (OH) PO3

Meta fosfato básico de calcio

Cloruro de cobre (I) Cloruro de cobre (II)

Hidroximetafosfato de calcio Trioxometafosfato (V) hidroxi de calcio 2Fe (OH)2 + H2SO4

2H2O + Fe2 (OH)2SO4 Dihidrox - sulfato de dihierro II

Las sales son compuestos iónicos muy abundantes. Son sólidos a temperatura ambiente y sus iones forman redes cristalinas. Algunos son muy solubles en agua con el NaCl, KNO3, y el Na2SO4. Otros en cambio son muy insolubles en agua como por ejemplo el AgCl, BaSO4, CaCO3. Clasificación de las sales. Para fines de nomenclatura, las sales se clasifican en:

3Fe (OH)2 + H3PO4

3H2O + Fe3 (OH)3PO4 Trihidroxifosfato de hierro II

SALES NEUTRAS: son aquellas que no presentan hidrogeno en el anión comprende las sales oxisales y haloideas.

H3PO4 + NaOH + Ca (OH)2

CdS



+ H2CO3 H2O + NaHCO3 Hidrogeno carbonato de sodio

 SALES BASICAS; son aquellas que contienen oxidrilos sustituibles por no metales en su constitución.

K2S

Nomenclatura: Se nombran reemplazando la terminación hídrico del ÁCIDO por el término uro seguido del nombre del metal considerando su estado de oxidación, para el menor oso y para el mayor ico. Ejemplos: Catión

NaOH

Sales oxisales: Ejemplo: H2SO4 + 2 NaOH

Na2SO4 + 2 H2O

2HNO3 + Cu (OH)2 Sales haloideas: Ejemplo: HCl + NaOH

Cu (NO3)2 + 2H2O NaCl

H2S

FeS

+ Fe(OH)2

+ H2O + 2H2O

SALES DOBLES: son aquellas sales que tienen dos metales distintos en su constitución, Ejemplo: H2SO4 + NaOH + KOH

KNaSO4 + 2H2O NaCaPO4 + 3H2O

Nomenclatura: Se denomina nombrando la palabra doble entre el resto ÁCIDO y los metales. Se nombran a los metales en orden de electronegatividades. Ejemplo: KNaSO4

sulfato doble de sodio y potasio

K2Ca(Cr2O7)2

dicromato de calcio y dipotasio

La palabra doble se puede omitir

 SALES ÁCIDAS: son aquellas que contienen hidrógenos ácidos en su constitución.

Mg(OH)2 + Ca (OH)2 + 4HClO4 4H2O + MgCa (ClO4)4 perclorato de calcio i magnesio

Formulación: la formula se escribe reemplazando parcialmente los hidrógenos de un ÁCIDO por átomos metálicos.

KOH + Ca (OH)2 + H3PO4 3H2O + KCaPO4 (orto) fosfato de calcio y potasi

Ejemplo:

CASOS ESPECIALES:

Na+ +

(HSO4)-

NaHSO4

Na+ + (H2PO4)NaH2PO4 Nomenclatura: Se nombran siguiendo el siguiente orden:

 El Mn, Cr y el V forman óxidos ácidos y óxidos básicos con los siguientes números de oxidación:

(Nombre del anión) DE (nombre del metal)

Elemento

Ejemplo: NaHSO4

Mn Cr V

Sulfato ácido de sodio Bisulfato de sodio Hidrogeno sulfato de sodio

KH2PO4

Ortofosfato diácido de potasio Fosfato diácido de potasio Dihidrogenofosfato de potasio

NaHCO3

Carbonato ácido de sodio Bicarbonato de sodio Hidrogeno carbonato de sodio

Óxidos básicos +2 +3 +2 +3 +2 +3

Manganeso (+2 +3)

Óxidos ácidos +4 +6 +7 +3 +6 +4 +5 Manganeso ( +4 +6 +7)

MnO

MnO3

ÓXIDO manganoso

anhídrido mangánico Trióxido de manganeso

Mn2O3

Mn2O3

Óxido mangánico Óxido manganeso III

anhídrido permanganico

El manganeso forma con el estado de oxidación +4 el dióxido de manganeso MnO2

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Cromo (+2 +3) CrO Óxido cromoso Cr2O3 Óxido crómico

Cr2O3 anhídrido cromoso CrO3 anhídrido crómico

El Cr2O3 se comporta como ÓXIDO básico u ÓXIDO ÁCIDO según el medio Vanadio (+2 +3) VO Óxido vanadioso V2O3 Óxido vanádico

Vanadio ( +4 +5 ) VO2 anhídrido vanadioso Dióxido de vanadio V2O5 anhídrido vanádico PentÓXIDO de di vanadio

 El carbono forma óxidos neutros con el estado de oxidación +2 Carbono (+2 ) (ÓXIDO neutro) CO Monóxido de carbono



Vanadio ( +4 ) (ÓXIDO ÁCIDO) CO2 anhídrido carbónico Dióxido carbono

El nitrógeno forma óxidos neutros con los estados de oxidación +1 +2 +4 Nitrógeno (+1 +2 +4) (Óxidos neutros) N2O Óxido nitroso NO Óxido nítrico NO2 dióxido de nitrógeno

metálico del ácido. Casi todas las sales son sólidos cristalinos de alto punto de fusión y de ebullición.

Cromo ( +3 +6 )

Nitrógeno ( +3 +5 ) N2O3 anhídrido nitroso Trióxido de dinitrogeno N2O5 anhídrido nítrico PentÓXIDO de di nitrógeno

Teoría de Ácidos y Bases de Svante August Arrhenius Svante August Arrhenius (1859-1927) fue un químico suizo que estudiaba en la escuela para graduados. Nació cerca de Uppsala, estudió en la Universidad de Uppsala y se doctoró el año 1884. Mientras todavía era un estudiante, investigó las propiedades conductoras de las disoluciones electrolíticas (que conducen carga). En su tesis doctoral formuló la teoría de la disociación electrolítica. Él definió los ácidos como sustancias químicas que contenían hidrógeno, y que disueltas en agua producían una concentración de iones hidrógeno o protones, mayor que la existente en el agua pura. Del mismo modo, Arrhenius definió una base como una sustancia que disuelta en agua producía un exceso de iones hidroxilo, OH-. La reacción de neutralización sería: H+ + OH- H2O La teoría de Arrhenius ha sido objeto de críticas. La primera es que el concepto de ácidos se limita a especies químicas que contienen hidrógeno y el de base a las especies que contienen iones hidroxilo. La segunda crítica es que la teoría sólo se refiere a disoluciones acuosas, cuando en realidad se conocen muchas reacciones ácido-base que tienen lugar en ausencia de agua. En los tiempos de Arrhenius se reconocía a los ácidos en forma general como sustancias que, en solución acuosa.

 Tienen un sabor agrio si se diluyen los suficiente para poderse probar.

 Hacen que el papel tornasol cambie de azul a rojo.  Reaccionan con los metales activos como el

magnesio, zinc y hierro produciendo hidrógeno gaseoso, H2 (g).

 Reaccionan con los compuestos llamados bases

(contienen iones hidróxido, (OH-) formando agua y compuestos llamados sales. La sal que se forma está compuesta por el ion metálico de la base y el ion no

La reacción de un ácido con una base se llama neutralización. Si se mezclan las cantidades correctas de ácidos y bases, se pierden sus propiedades originales. El producto de reacción tiene un sabor que no es agrio ni amargo, sino salado. Se produce una sal y agua cuando un ácido neutraliza una base. Arrhenius propuso que las propiedades características de los ácidos con en realidad propiedades del ion hidrógeno, H+, y que los ácidos son compuestos que liberan iones hidrógeno en las soluciones acuosas. Arrhenius y otros científicos reconocían en términos generales que las bases (también llamadas álcalis) son sustancias que, en solución acuosa,

   

Tienen un sabor amargo. Se sienten resbalosas o jabonosas al tacto. Hacen que el papel tornasol cambie de rojo a azul. Reaccionan con los ácidos formando agua y sales. Arrhenius explicó que estas propiedades de las bases (álcalis) eran en realidad propiedades del ion hidróxido, OH-. Propuso que las bases con compuestos que liberan iones hidróxido en solución acuosa. Las definiciones de Arrhenius son útiles en la actualidad, siempre y cuando se trate de soluciones acuosas. ÁCIDOs y bases de Arrhenius:

 Los ácidos liberan iones hidrógeno en agua.  Las bases liberan iones hidróxido en agua. Teoría de Ácidos y Bases de Bronsted - Lowry

Johannes Niclaus Bronsted (1879-1947), químico danés, nÁCIDO en Varde. En 1908 recibió el título de doctor en Filosofía y un cargo de profesor de química en la Universidad de Copenhague. Sus trabajos más importantes fueron en el campo de la termodinámica. Thomas M. Lowry (1847-1936) fue un químico británico que, junto a Johannes Bronsted, anunció una teoría revolucionaria como resultado de los experimentos con ácidos y bases en solución, que desafiaba la definición clásica de ácidos y bases no relacionados al crear un nuevo concepto el de pares ácido-base conjugados. Las definiciones de Arrhenius de los ácidos y bases son muy útiles en el caso de las soluciones acuosas, pero ya para la década de 1920 los químicos estaban trabajando con disolventes distintos del agua. Se encontraron compuestos que actuaban como bases pero no había OH en sus fórmulas. Se necesitaba una nueva teoría. Las definiciones de Bronsted - Lorwy son,

 Un ácido de Bronsted - Lowry es un donador de protones, pues dona un ion hidrógeno, H+

 Una base Bronsted - Lorwy es un receptor de protones, pues acepta un ion hidrógeno, H-

Aún se contempla la presencia de hidrógeno en el ácido, pero ya no se necesita un medio acuoso: el amoníaco líquido, que actúa como una base en una disolución acuosa, se comporta como un ácido en ausencia de agua cediendo un protón a una base y dando lugar al anión (ion negativo) amida: NH3 + base NH2- + base + H+ El concepto de ácido y base de Brønsted y Lowry ayuda a entender por qué un ácido fuerte desplaza a otro débil de sus compuestos (al igual que sucede entre una base fuerte y otra débil). Las reacciones ácido-base se contemplan como una competición por los protones. En forma de ecuación química, la siguiente reacción de ÁCIDO (1) con Base (2) Ácido (1) + Base (2) Ácido (2) + Base (1) se produce al transferir un protón el Ácido (1) a la Base (2). Al perder el protón, el Ácido (1) se convierte en su base conjugada, Base (1). Al ganar el protón, la Base (2) se convierte en su ácido conjugado, Ácido (2). La ecuación descrita constituye un equilibrio que puede

A S I G N A T U R A : Q U Í M I C A | 21 desplazarse a derecha o izquierda. La reacción efectiva tendrá lugar en la dirección en la que se produzca el par ácido-base más débil. Por ejemplo, HCl es un ácido fuerte en agua porque transfiere fácilmente un protón al agua formando un ion hidronio: HCl + H2O H3O+ + ClEn este caso el equilibrio se desplaza hacia la derecha al ser la base conjugada de HCl, Cl-, una base débil, y H3O+, el ácido conjugado de H2O, un ácido débil. Al contrario, el fluoruro de hidrógeno, HF, es un ácido débil en agua y no transfiere con facilidad un protón al agua: HF + H2O H3O+ + FEste equilibrio tiende a desplazarse a la izquierda pues H2O es una base más débil que F- y HF es un ácido más débil (en agua) que H3O+. La teoría de Brønsted y Lowry también explica que el agua pueda mostrar propiedades anfóteras, esto es, que puede reaccionar tanto con ácidos como con bases. De este modo, el agua actúa como base en presencia de un ácido más fuerte que ella (como HCl) o, lo que es lo mismo, de un ácido con mayor tendencia a disociarse que el agua: HCl + H2O H3O+ + ClEl agua también actúa como ácido en presencia de una base más fuerte que ella (como el amoníaco): NH3 + H2O NH4+ + OHTeoría de Ácidos y Bases de Gilbert Newton Lewis Gilbert Newton Lewis (1875- 1946) fue un químico estadounidense que inventó la teoría del enlace covalente. Nació en Weymouth, Massachusetts, y estudió en las universidades de Nebraska, Harvard, Leipzig y Gotinga. Enseñó química en Harvard desde 1899 hasta 1900 y desde 1901 hasta 1906, y en el Instituto de Tecnología de Massachusetts desde 1907 a 1912. A partir de ese año y hasta su muerte fue profesor de química física en la Universidad de California en Berkeley, y también fue decano de la Escuela de Química. La historia del desarrollo de la teoría de los ácidos y bases no estaría completa sin al menos un breve vistazo al modelo de Lewis de los ácidos y bases. En el año de 1923 Lewis propuso el concepto más general de ácidos y bases y también introdujo el uso de las fórmulas del electrón - punto. De hecho, el empleo de pares electrónicos en la escritura de fórmulas químicas es también la base del modelo ácido - base de Lewis. Según Lewis, las definiciones para ácidos y bases son:

 Un ácido de Lewis es una sustancia capaz de aceptar

(y compartir) un par electrónico.  Un ácido de Lewis es una sustancia capaz de donar (y compartir) un par electrónico. Todas las sustancias químicas que son ácidos según las teorías de Arrhenius y de Bronsted Lowry también lo son de acuerdo con la teoría de Lewis. Todas las sustancias que son bases según las teorías de Arrhenius y de Bronsted - Lowry lo son también de acuerdo con la teoría de Lewis. Según esta teoría, un ión hidrógeno, H+, no deja de ser un ácido, y un ión hidróxido, OH-, es todavía una base, pero las definiciones de Lewis expanden el modelo ácido - base más allá de los modelos de Bronsted y Arrhenius.

Las definiciones de Lewis de los ácidos y bases tienen una importancia especial en la química orgánica, pero las definiciones de Arrhenius o de Bronsted - Lowry son por lo general adecuadas para explicar las reacciones en solución acuosa. Ejemplos Ejemplo de la teoría de Arrhenius:

 El ácido Clorhídrico , HCl (ac) reacciona con el

magnesio metálico produciendo hidrógeno gaseoso y cloruro de magnesio. 2 HCl (ac) + Mg H2 (g) + MgCl2 (ac) Ejemplo de la teoría de Bronsted - Lowry:

 En la reacción del cloruro de hidrógeno gaseoso, HCl

(g), con agua para dar ácido clorhídrico, el HCl (g) es el donador de protones. Todas las bases de Arrhenius son también bases de acuerdo con la definición de Bronsted, pero hay otras bases. En el caso de la reacción del cloruro de hidrógeno con el agua, el receptor de protones (la base) es el agua. HCl (g) + H2O (l) H3O+ (ac) + Cl- (ac) Ejemplo de la teoría de Lewis:

 El amoníaco se comporta como una base, pues es capaz de ceder un par de electrones al trifluoruro de boro para formar un par ácido-base: H3N: + BF3ðH3N-BF3 Conclusiones

Hoy en día hay varias teorías acerca de loa ácidos y los bases las cuales difieren ligeramente entre sí pero nos damos cuenta que tienen mucho que ver una con la otra. Por ejemplo, la teoría de Lewis tiene mucho que ver con la de Arrhenius la cual dice que un ácido es aquella sustancia que aporta iones de hidrógeno en solución acuosa y que base es aquella sustancia que aporta iones de hidrógeno en solución acuosa. La teoría de Bronsted - Lowry por otra parte dice que Un ácido de Bronsted - Lowry es un donador de protones, pues dona un ion hidrógeno, H+ y que una base Bronsted - Lorwy es un receptor de protones, pues acepta un ion hidrógeno, HBALANCEO DE UNA ECUACIÓN QUÍMICA 1. 2. 3.

Ecuación química Reacción química Balanceo de una ecuación química

Antes de comenzar con el tema de balanceo de ecuaciones químicas, veremos la parte teórica de la misma. Primero comenzaremos definiendo lo que es una ecuación química y posteriormente una reacción química, ya que entre ellas existe una diferencia que las distingue unas de otras. Ecuación química Es la representación gráfica o simbólica de una reacción química que muestra las sustancias, elementos o compuestos que reaccionan (llamados reactantes o reactivos) y los productos que se obtienen. La ecuación química también nos muestra la cantidad de sustancias o elementos que intervienen en la reacción, en sí es la manera de representarlas. Reacción química Es también llamado cambio químico y se define como todo proceso químico en el cual una o más sustancias sufren transformaciones químicas. Las sustancias llamas reactantes se combina para formar productos. En la reacción química intervienen elementos y compuestos. Un ejemplo de ello es el Cloruro de Sodio (NaCl) o comúnmente conocido como "sal de mesa" o "sal común". La diferencia entre una ecuación y una reacción química es simple: En la ecuación es la representación simbólica lo cual utilizamos letras, símbolos y números para representarla, mientras que en la reacción química es la forma "practica" de la misma (Cuando se lleva a cabo). Balanceo de una ecuación química Balancear una ecuación significa que debe de existir una equivalencia entre el número de los reactivos y el número de los productos en una ecuación. Lo cual, existen distintos métodos, como los que veremos a continuación Para que un balanceo sea correcto: "La suma de la masa de las sustancias reaccionantes debe ser igual a la suma de las Masas de los productos"

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Veremos 3 tipos de balanceo de ecuaciones químicas: Balanceo por TANTEO, ÓXIDO-REDUCCIÓN (REDOX) Y MATEMATICO O ALGEBRAICO: BALANCEO POR TANTEO Para balancear por este o todos los demás métodos es necesario conocer la Ley de la conservación de la materia, propuesta por Lavoisier en 1774. Dice lo siguiente "En una reacción química, la masa de los reactantes es igual a la masa de los reactivos" por lo tanto "La materia no se crea ni se destruye, solo se transforma" Como todo lleva un orden a seguir, éste método resulta más fácil si ordenamos a los elementos de la siguiente manera: Balancear primero:  Metales y/o no metales  Oxígenos  Hidrógenos De esta manera, nos resulta más fácil, ya que el mayor conflicto que se genera durante el balanceo es causado principalmente por los oxígenos e hidrógenos. Balancear por el método de tanteo consiste en colocar números grandes denominados "Coeficientes" a la derecha del compuesto o elemento del que se trate. De manera que Tanteando, logremos una equivalencia o igualdad entre los reactivos y los productos. Ejemplo: Balancear la siguiente ecuación química:

3. El oxígeno tendrá valencia de 2- excepto en los peróxidos con -1 4. Los alcalinos tienen en sus compuestos oxidación +1 5. Los alcalinotérreos tienen en sus compuestos oxidación +2 6. Los alógenos tienen en sus compuestos con aluros oxidación -1 7. La suma de los números de oxidación de todos los átomos de un compuesto es igual a la carga de los compuestos 8. Si algún átomo se oxida su número de oxidación aumenta y cuando un átomo se reduce, su número de oxidación disminuye Ejemplo: Balancear la siguiente ecuación:

Si vemos la primera regla, esta nos dice que todos los elementos libres tendrán valencia cero, entonces vemos la ecuación y localizamos a los elementos libres, en este caso son el fierro y el hidrógeno, colocamos un cero como valencia.

Continuamos con las demás reglas y encontramos a los oxígenos e hidrógenos y les asignamos la valencia que les corresponde, establecidas en las reglas:

Para continuar, obtenemos la valencia de los elementos que nos sobran, en este caso el azufre y el fierro: Ubiquémonos en el azufre (S) del primer miembro en la ecuación

Continuamos: ¿Cuántos oxígenos hay en el primer miembro? Encontramos 4 porque 3 mas 1 es igual a 4 Y ¿Cuántos en el segundo? Encontramos 6 porque el dos (situado a la izquierda del Fe) se multiplica por el subíndice encontrado a la derecha del paréntesis final y se multiplica 2*3 = 6 Por lo tanto en el segundo miembro hay 6 oxígenos.

y posteriormente obtendremos la valencia del azufre. Quede claro que la del hidrógeno y la del oxígeno ya la tenemos. Para obtener la valencia del azufre, simplemente (pon mucha atención aquí) vamos a multiplicar la valencia del oxígeno por el número de oxígenos que hay. (En este caso hay 4 oxígenos) y hacemos lo mismo con el hidrógeno, multiplicamos su valencia por el número de oxígenos que hay. Queda de la siguiente manera

Entonces colocamos un 3 del lado izquierdo del hidrógeno en el primer miembro para tener 6 oxígenos

Posteriormente, Vamos con los hidrógenos, en el primer miembro vemos que hay 6 hidrógenos y en el segundo igualmente 6. Entonces concluimos de la siguiente manera:

Ya que tenemos los resultados, ahora verificamos que todo elemento químico es eléctricamente neutro y lo comprobamos de la siguiente manera: Tenemos que llegar a cero. Buscamos cuanto falta de dos para ocho. Entonces encontramos que faltan 6, este número será colocado con signo positivo +

Por lo tanto, la ecuación está balanceada. BALANCEO POR EL MÉTODO DE ÓXIDO-REDUCCIÓN Es también denominado "Redox" y consiste en que un elemento se oxida y (hablar de oxidación se refiere a que un elemento pierda electrones y su valencia aumente) el otro se reduce (cuando el elemento gana electrones y su valencia disminuye) para éste método se siguen los siguientes pasos o reglas: 1. Todos los elementos libres que no formen compuesto, tendrán valencia cero 2. El hidrógeno tendrá valencia de +1 excepto en hidruros con -1

El 6 que acabamos de obtener es la valencia del azufre en el primer miembro. Ubiquémonos en el fierro del segundo miembro en donde se encuentra el compuesto

Localizamos al fierro. Para obtener su valencia primero denominamos si es monovalente o divalente etc. Ya que vimos que es divalente, necesitamos saber la valencia del radical sulfato, en este caso es

A S I G N A T U R A : Q U Í M I C A | 23 Para obtener la valencia del fierro, multiplicamos la valencia del radical (-2) con el subíndice que se encuentre fuera del mismo

Ahora, para poder completar el balanceo, (atención) vamos a intercambiar los números que se oxidaron o redujeron. Esto es el 3 y el 1.

Después lo dividimos entre el número de fierros que hay en el compuesto (en este caso hay dos fierros)

El 3 lo colocaremos en el lugar del 1 y el 1 en el lugar del 3

Queda de la siguiente manera: 2 * 3 = 6 6/2 = 3 El tres que acabamos de obtener es la valencia del fierro. Que nos quede claro, ya tenemos la valencia del fierro que es 3, ya tenemos la valencia del oxígeno que es -2, ahora nos falta la valencia del azufre (S) lo cual realizaremos algo similar con lo dicho con anterioridad: Multiplicamos la valencia del radical sulfato (-2) con el subíndice (3) y después con el número de oxígenos que hay dentro del paréntesis (4).

Estos números resultantes se colocan de lado izquierdo de los elementos que se oxidaron o redujeron. El número 1 (que por lo general no se escribe) se coloca de lado izquierdo del fierro en los dos miembros. El número 3 se coloca de lado izquierdo del hidrógeno en los dos miembros quedando de la siguiente forma:

Obtenemos un total de 24. Este número que resultó se le llama valencia parcial Después continuamos con el fierro. Ahora ya que tenemos que la valencia del fierro es 3 entonces multiplicamos la valencia por el NÚMERO de fierros que hay (hay 2) Y nos da un resultado de 6. Entonces: Tenemos 6 y tenemos -24, de 6 a 24 ¿Cuánto falta?

Entonces de esta manera podemos deducir que la ecuación está balanceada, pero, no es así, uno de los pasos para terminarla es: "Una vez obtenidos los números de la ecuación, se completará con método de tanteo". Verificamos si así está balanceada: 1= Fe =2

Respuesta: +18 Ahora el 18 lo dividimos entre el número de azufres que hay: nos da un total de 6 o sea +6.

3= S =3

Y de esta manera ya obtuvimos todas las valencias del compuesto químico:

12= O =12

Ahora, vamos a verificar cuál elemento se oxida y cual se reduce, para esto, chequemos las valencias de los elementos, debemos verificar que en los dos miembros estén iguales. Si vemos al fierro en el primer miembro y luego lo vemos en el segundo. Encontramos que sus valencias ya no son las mismas por tanto el elemento se está oxidando porque aumenta su valencia de cero a 3

6= H =6 Con este insignificante 2 que acabos de encontrar en el fierro del segundo miembro LA ECUACIÓN NO ESTÁ BALANCEADA aunque los demás átomos lo estén. Completamos por tanteo En el primer miembro (Fe) hay 1 átomo, en el segundo 2, entonces colocamos un 2 en el primer miembro y… CALCULOS ESTEQUIOMETRICOS LEYES PONDERALES Ley de la conservación de la masa (o de Lavoisier). La masa de un sistema permanece invariable cualquiera que sea la transformación que ocurra dentro de él; esto es, en términos químicos, la masa de los cuerpos reaccionantes es igual a la masa de los productos de la reacción.

Ahora, si nos fijamos en el hidrógeno del primer miembro, se está reduciendo con el hidrógeno del segundo miembro:

Entonces la ecuación queda de la siguiente manera:

Esta ley se considera enunciada por LAVOISIER, pues si bien era utilizada como hipótesis de trabajo por los químicos anteriores a él se debe a LAVOISIER su confirmación y generalización. Un ensayo riguroso de esta ley fue realizado por LANDOLT en 1893-1908, no encontrándose diferencia alguna en el peso del sistema antes y después de verificarse la reacción, siempre que se controlen todos los reactivos y productos. La ley de la conservación de la materia no es absolutamente exacta. La teoría de la relatividad debida a EINSTEIN ha eliminando él dualismo existente en la física clásica entre la materia ponderable y la energía imponderable. En la física actual, la materia y la energía son de la misma esencia, pues no sólo la energía tiene un peso, y por tanto una masa, sino que la materia es una forma de energía que puede transformarse en otra forma distinta de energía. La energía unida a una masa material es E = mc2 en donde E es la energía, m la masa y c la velocidad de la luz

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Ley de las proporciones definidas (o de Proust).

Cuando dos o más elementos se combinan para formar un determinado compuesto lo hacen en una relación en peso constante independientemente del proceso seguido para formarlo. Esta ley también se puede enunciar desde otro punto de vista Para cualquier muestra pura de un determinado compuesto los elementos que lo conforman mantienen una proporción fija en peso, es decir, una proporción ponderal constante. Así, por ejemplo, en el agua los gramos de hidrógeno y los gramos de oxígeno están siempre en la proporción 1/8, independientemente del origen del agua. En una transformación de masa en energía o recíprocamente, la relación entre ambas variaciones es, análogamente, E = m.c2 La letra griega  (delta) indica variación o incremento (positivo o negativo) de la magnitud a que antecede. La relación entre masa y energía da lugar a que la ley de la conservación de la materia y la ley de la conservación de la energía no sean leyes independientes, sino que deben reunirse en una ley única de la conservación de la masa-energía. No obstante, las dos leyes pueden aplicarse separadamente con la sola excepción de los procesos nucleares. Si en una reacción química se desprenden 100000 calorías la masa de los cuerpos reaccionantes disminuye en 4,65 10-9 g, cantidad totalmente inobservable. Estos delicados análisis fueron realizados sobre todo por el químico sueco BERZELIUS (1779 - 1848). No obstante, será el francés PROUST, en 1801, quien generalice el resultado enunciando la ley a la que da nombre. La ley de las proporciones definidas no fue inmediatamente aceptada al ser combatida por BERTHOLLET, el cual, al establecer que algunas reacciones químicas son limitadas, defendió la idea de que la composición de los compuestos era variable. Después, de NÚMEROsos experimentos pudo reconocerse en 1807 la exactitud de la ley de Proust. No obstante, ciertos compuestos sólidos muestran una ligera variación en su composición, por lo que reciben el nombre de «berthóllidos». Los compuestos de composición fija y definida reciben el nombre de «daltónidos» en honor de DALTON. Ley de las proporciones múltiples (o de Dalton). Las cantidades de un mismo elemento que se unen con una cantidad fija de otro elemento para formar en cada caso un compuesto distinto están en la relación de números enteros sencillos. La ley de Proust no impide que dos o más elementos se unan en varias proporciones para formar varios compuestos. Así, por ejemplo, el oxígeno y el cobre se unen en dos proporciones y forman dos óxidos de cobre que contienen 79,90 % y 88,83 % de cobre. Si calculamos la cantidad de cobre combinado con un mismo peso de oxígeno, tal como 1g, se obtiene en cada caso:

Las dos cantidades de cobre son, muy aproximadamente, una doble de la otra y, por tanto, los pesos de cobre que se unen con un mismo peso de oxígeno para formar los dos óxidos están en la relación de 1 es a 2. El enunciado de la ley de las proporciones múltiples se debe a DALTON, en 1803 como resultado de su teoría atómica y es establecida y comprobada definitivamente para un gran número de compuestos por BERZELIUS en sus meticulosos estudios de análisis de los mismos. Ley de las proporciones recíprocas (0 de Richter). Los pesos de diferentes elementos que se combinan con un mismo peso de un elemento dado, dan la relación de pesos de estos Elementos cuando se combinan entre sí o bien múltiplos o submúltiplos de estos pesos. Así, por ejemplo, con 1g de oxígeno se unen: 0,1260 g de hidrógeno, para formar agua; 4,4321 g de cloro, para formar anhídrido hipocloroso; 0,3753 g de carbono para formar gas carbónico, 1,0021 g de azufre, para formar gas sulfuroso, y 2,5050 g de calcio, para formar óxido cálcico. Pero los elementos hidrógeno, cloro, carbono, azufre y calcio pueden a su vez combinarse mutuamente y cuando lo hacen se encuentra, sorprendentemente, que estas cantidades, multiplicadas en algún caso por números enteros sencillos, son las que se unen entre sí para formar los correspondientes compuestos Esta ley llamada también de las proporciones equivalentes fue esbozada por RICHTER en 1792 y completada varios años más tarde por WENZEL. La ley de las proporciones recíprocas conduce a fijar a cada elemento un peso relativo de combinación, que es el peso del mismo que se une con un peso determinado del elemento que se toma como tipo de referencia. Al ser el oxígeno el elemento que se combina con casi todos los demás se tomó inicialmente como tipo 100 partes en peso de oxígeno; la cantidad en peso de cada elemento que se combinaba con estas 100 partes en peso de oxígeno era su peso de combinación. El menor peso de combinación que así se encontraba era el del hidrógeno, por lo que fue natural tomar como base relativa de los pesos de combinación de los elementos el valor 1 para el hidrógeno; en esta escala el oxígeno tiene el valor 7,9365 (según las investigaciones últimamente realizadas) y otros elementos tienen también valores algo inferiores a números enteros. Pero puesto que el hidrógeno se combina con muy pocos elementos y el peso de combinación de éstos tenía que encontrarse en general a partir de su combinación con el oxígeno, se decidió finalmente tomar nuevamente el oxígeno como base de los pesos de combinación redondeando su peso tipo a 8,000; el del hidrógeno resulta ser igual a 1,008 y el de varios elementos son ahora números aproximadamente enteros. Estos pesos de combinación se conocen hoy como pesos equivalentes. El peso equivalente de un elemento (o compuesto) es la cantidad del mismo que se combina o reemplaza -equivale químicamente- a 8,000 partes de oxígeno o 1,008 partes de hidrógeno. Se denomina también equivalente químico. Debido a la ley de las proporciones múltiples algunos elementos tienen varios equivalentes. Ley de los volúmenes de combinación (0 de Gay- lussac). Muchos de los elementos y compuestos son gaseosos, y puesto que es más sencillo medir un volumen que un peso de gas era natural se estudiasen las relaciones de volumen en que los gases se combinan.

A S I G N A T U R A : Q U Í M I C A | 25 En cualquier reacción química los volúmenes de todas las substancias gaseosas que intervienen en la misma, medidos en las mismas condiciones de presión y temperatura, están en una relación de números enteros sencillos. GAY-LUSSAC formuló en 1808 la ley de los volúmenes de combinación que lleva su nombre. Al obtener vapor de agua a partir de los elementos (sustancias elementales) se había encontrado que un volumen de oxígeno se une con dos volúmenes de hidrógeno formándose dos volúmenes de vapor de agua; todos los volúmenes gaseosos medidos en las mismas condiciones de presión y temperatura.

Esta relación sencilla entre los volúmenes de estos cuerpos gaseosos reaccionantes no era un caso fortuito pues GAY-LUSSAC mostró que se cumplía en todas las reacciones en que intervienen gases tal como muestran los esquemas siguientes:

MODELO ATÓMICO ACTUAL Es un modelo mecánico cuántico, matemático probabilístico, estructurado en base:

GAY-LUSSAC observó que el volumen de la combinación gaseosa resultante era inferior o a lo más igual a la suma de los volúmenes de las substancias gaseosas que se combinan. La ley no se aplica a la relación entre los volúmenes de los cuerpos sólidos y líquidos reaccionantes tal como el volumen de azufre que se une con el oxígeno para formar anhídrido sulfuroso.

1. NÚCLEO y

Es la región central del átomo, de tamaño muy pequeño en comparación al volumen total del átomo, está constituido por protones y neutrones a los que se les denomina NÚCLEOnes.

Broglie llego a la conclusión de que las ondas se comportaban como particulasd, y estas exhiben propiedades ondulatorias.

a. Protón (p+) : Es la partícula de carga positiva, se halla en el núcleo, sus principales características son: Masa = 1.67262 x 10 -24 g Carga = 1.6022 x 10 -19 coulomb b. Neutrones (nº) : Son partículas eléctricamente neutras, con una masa ligeramente mayor que la masa de los protones.





A la dualidad de materia de Louis de Broglie

Principio de incertidumbre de Heisemberg

Es imposible conocer con certeza el momento p (definido como la masa por la rapidez) y la posición de una partícula simultáneamente. 

Las ecuaciones de Schodinger

Esta ecuación incorpora tanto el comportamiento de la partícula, en términos de la masa m, como el de la onda, en términos de una función de onda, la cual depende de la ubicación del sistema en el espacio (como la que guarda un electrón en un átomo) En el modelo atómico actual se considera al átomo , un sistema energético en equilibrio, constituido por una parte central denominado núcleo donde se concentra su masa y por una región de espacio exterior que es la nube electrónica donde se hallan los electrones moviéndose a grandes velocidades en orbitas no definidas. ESTRUCTURA DEL ÁTOMO Con base la teoría atómica de Dalton, un átomo se define como la unidad básica de un elemento que puede intervenir en una combinación química. El átomo está formado por:

Masa= 1.67493 x 10-24 2. ENVOLTURA Es la región de espacio exterior que rodea al núcleo en el cual se encuentran en movimiento los electrones. a.Electrones (e-) : Son partículas de carga negativa, sus características son: Masa= 9.107 x 10 -28 g Carga = -1.6022 x 10 -19 coulomb NÚMERO DE MASA (A) Es el número total de neutrones y protones presentes en el núcleo de un átomo de un elemento. A = Nº p+ + Nº nº NÚMERO ATÓMICO ( Z)

b. Neutrones (nº)

Es el número de protones en el núcleo del átomo de un elemento. En un átomo neutro el número de protones es igual al número de electrones, de manera que el número atómico también indica el número de electrones presentes en un átomo y la posición que ocupa cada átomo en la tabla periódica.

2. Envoltura, capa o nube electrónica

Z = Nº p+ = Nº e-

a. Electrones (e-)

Considerando esta simbología, cualquier elemento se representa de la siguiente manera:

1. Núcleo atómico a. Protones ( p+)

AZ

X

10

| CEPRU2015

NUCLIDOS

1s 2s

2p

1. ISOTOPOS

3s

3p

3d

Son átomos de un mismo elemento que tienen el mismo número atómico pero diferente número de masa.

4s

4p

4d

4f

5s

5p

5d

5f

6s

6p

6d

7s

7p

Ejemplo: Hidrogeno: Hidrogeno Deuterio Tritio

A 1 2 3

Z 1 1 1

2. ISOBAROS Son átomos de diferentes elementos pero con igual NÚMERO de masa. Ejemplo:

A 59 59

Níquel Cobalto

Z 28 27

EXCEPCIONES AL PRINCIPIO DE AUF BAU Existe un grupo de elementos químicos, que no cumplen con las reglas de la configuración electrónica. Estos se reconocen fácilmente porque en su configuración electrónica (átomo neutro) termina en el subnivel d4 y d9 , sus CONFIGURACIÓNes verdaderas terminan respectivamente en d5 y d10, debido a que el electrón del ultimo subnivel “s” se traslada al subnivel “d” incompleto. CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA DE IONES.

3. ISOTONOS Son átomos de diferentes elementos, pero con igual número de neutrones. Ejemplo:

A Potasio 39 Calcio 40

Z 19 20

nº 20 20

Las orbitas son consideradas por Bohr como aquellas regiones de espacio alrededor del núcleo donde giran los electrones con una energía fija. Un nivel de energía está relacionado con la densidad o nube electrónica. A los niveles de energía se les denomina también números cuánticos principales, se les designa por la letras: K, L ,M, N, O, P, Q, y por números: 1, 2, 3, 4, 5, 6………..

SUB NIVELES DE ENERGÍA Cada nivel de energía de un átomo está conformado por subniveles, en los cuales se encuentran distribuidos los electrones de un nivel con energías ligeramente diferentes, se les designa con las letras : s, p, d, f, g … :

K

Subnivel : s

ION POSITIVO (CATION): Se origina por perdida de electrones. ION NEGATIVO (ANION): Se origina por ganancia de electrones. NÚMEROS CUANTICOS

NIVELES DE ENERGÍA U ORBITAS

Nivel

Cuando un átomo gana o pierde electrones se genera un ion.

L

M

N

O

sp

spd

spdf

spdf

Este conjunto de números se utilizan para describir los orbitales atómicos e identificar a los electrones que están dentro. 1. NÚMERO CUANTICO PRINCIPAL (n) Describe el nivel de energía principal que ocupa el electrón, es decir el espacio en el que se mueve el electrón alrededor del núcleo. Puede ser cualquier entero positivo, n= 1, 2, 3, 4, … (nivel) Para cada nivel de energía se encuentran como máximo 2n2 electrones. 2. NÚMERO CUANTICO SECUNDARIO, SUBSIDIARIO, AZIMUTAL O DEL MOMENTO ANGULAR Expresa la forma de los orbitales. l = 0, 1, 2, 3…. (n-1) valor máximo El número cuántico subsidiario o secundario indica el subnivel o un tipo específico de orbital atómico que el electrón puede ocupar. l = 0, Subnivel = s,

ORBITALES Son las regiones de espacio alrededor del núcleo en la nube electrónica, donde existe la posibilidad de encontrar a los electrones. En un orbital, máximo pueden encontrarse dos electrones y cada subnivel está formado por orbitales de formas geométricas definidas.

1,

2,

3,

……

p,

d,

f

……

3. NÚMERO CUANTICO MAGNÉTICO ( ml ) Describe la orientación espacial del orbital atómico. En cada subnivel, ml puede tomar valores integrales desde ( - l ) ….. 0 ….. ( + l ) El valor máximo de ml depende del valor de l

CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA

4. NÚMERO CUANTICO DE GIRO O DE SPIN ELECTRÓNICO (ms)

Es la manera en que están distribuidos los electrones entre los distintos orbitales atómicos. También se refiere a la distribución de los electrones de un átomo es sus diferentes niveles y subniveles de energía.

Se refiere al giro del electrón y a la orientación del campo magnético que este produce. Para cada conjunto de n, los valores de n, l y ml, ms puede tomar valores de +1/2 o -1/2 Cada orbital atómico, solo puede acomodar a dos electrones uno con ms = +1/2 y otro ms= -1/2

PRINCIPIO DE CONSTITUCIÓN (O AUF BAU)

PRINCIPIO DE EXCLUSIÓN DE PAULI

Para determinar la configuración electrónica de un átono en estado basal (baja energía), considera como si se quitaran todos los electrones del átono y luego se volvieran a introducir uno por uno en los orbitales, empezando por de menor energía.

Es útil para determinar las CONFIGURACIÓNes electrónicas de los átomos poli electrónicos. Este principio establece que no es posible que dos electrones de un átono tengan los mismos cuatro números cuánticos.

Para recordar el orden de llenado se recomienda en uso

REGLA DE HUND Establece que la distribución electrónica más estable en los subniveles es la que tiene el mayor número de espines paralelos.

A S I G N A T U R A ; Q U Í M I C A | 11

Definición.- Una solución o disolución es una mezcla homogénea de dos o más sustancias

198 g de agua. La masa molar del ácido clorhídrico es 36.5 g/mol

Componentes

1 𝑚𝑜𝑙 𝑑𝑒 𝐻𝐶𝑙 𝑔 𝑑𝑒 𝐻𝐶𝑙 𝑚𝑜𝑙

𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐻𝐶𝑙 = 24.4 𝑔 𝑥

36.5

Soluto.- sustancia presente en menor cantidad Solvente.- es la sustancia que se encuentra en mayor cantidad

𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐻𝐶𝑙 = 0.668 Reemplazando en (4)

Unidades de concentración.- El estudio cuantitativo de una disolución requiere que se conozca su concentración, es decir, la cantidad de soluto presente en una determinada cantidad de una disolución.. Unidades físicas. Porcentaje en masa.- es la relación de la masa de un soluto en la masa de la disolución multiplicado por 100% 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 % 𝑒𝑛 𝑚𝑎𝑠𝑎 = 𝑥 100% 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

(1)

Ejemplo. Una muestra de 0.892 g de cloruro de potasio se disuelven en 54.6 g de agua ¿Cuál es el porcentaje en masa de cloruro de potasio en la solución?

𝑚 = 3.37 Molaridad (M).- es el número de moles de soluto disueltos en 1 litro de solución, es decir;

0.892 𝑔 𝑥 100% 0.0892 𝑔 + 54.6 𝑔

Reemplazando en (5)

𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑥 100% 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

(2)

Ejemplo. ¿Cuál es el porcentaje en volumen de una solución preparada a partir de 50mL de etanol y 150 mL de agua?

𝑀 = 0.136 Normalidad (N).-se define como el número equivalentes de soluto en 1 litro de solución, es decir; 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 =

𝑁° 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝐿𝑖𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

aPorcentaje masa en volumen.- es la relación de masa de soluto disuelto en 100 mL de disolución multiplicado por 100% (3)

Ejemplo. Si se disuelve 10 g de hidróxido de sodio en 250 mL de solución. Calcular el porcentaje masa en volumen de la solución resultante Reemplazando en (3)

𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 (𝑃𝐸𝐺)

(7)

Para un ácido 𝑃𝐸𝐺 =

𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 𝑑𝑒𝑙 á𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑁° 𝑑𝑒 𝐻𝑖𝑑𝑟𝑜𝑔𝑒𝑛𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑜𝑛𝑖𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

b.- Para una base 𝑃𝐸𝐺 =

𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑁° 𝑑𝑒 𝑜𝑥𝑖ℎ𝑖𝑑𝑟𝑖𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑜𝑛𝑖𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

c.- Para una sal 𝑃𝐸𝐺 =

𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 ó 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

Ejemplo.- se prepara 100 mL. De una solución de hipoclorito de sodio a partir de 15 g de dicha sal. Calcular la normalidad de la solución preparada. Masa molecular gramo del hipoclorito de sodio: 74.5 g

10 𝑔 % 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑥 100% 250 𝑚𝐿 % 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 4 %

Reemplazando en (7)

Unidades químicas Molalidad (m).- es el número de moles de soluto disueltos en 1 Kilogramo (1000 g) de un solvente, es decir; 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝐾𝑔)

(6)

Peso equivalente gramo

% 𝑒𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 0.25 %

𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑥 100% 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

de

𝑁° 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 =

50 𝑚𝐿 % 𝑒𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑥 100% 50 𝑚𝐿 + 150 𝑚𝐿

0.034 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐾𝐶𝑙 0,25 𝐿 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

𝑀=

Reemplazando en (2)

𝑚𝑜𝑙𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 =

1 𝑚𝑜𝑙 𝑑𝑒 𝐾𝐶𝑙 𝑔 74.5 𝑑𝑒 𝐾𝐶𝑙 𝑚𝑜𝑙

𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐾𝐶𝑙 = 0.034

Porcentaje en volumen.- es la relación del volumen de un soluto en el volumen de la disolución multiplicado por 100%

% 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =

(5)

Ejemplo.- Calcule la concentración molar de una solución de cloruro de potasio que contiene 2.5 g de dicha sal en 250 mL de solución. Masa molar del cloruro de potasio: 74.5 g/mol 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐾𝐶𝑙 = 2.5 𝑔 𝑥

% 𝑒𝑛 𝑚𝑎𝑠𝑎 = 1.61%

% 𝑒𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =

𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝐿𝑖𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

𝑀𝑜𝑙𝑎𝑟𝑖𝑑𝑎𝑑 =

Reemplazando en (1) % 𝑒𝑛 𝑚𝑎𝑠𝑎 =

0.668 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐻𝐶𝑙 0,198 𝐾𝑔 𝑑𝑒 𝐻2𝑂

𝑚=

(4)

Ejemplo.- Calcule la molalidad de una disolución de ácido clorhídrico que contiene 24.4 g de dicho ácido en

𝑁° 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑁𝑎𝐶𝑙𝑂 =

15 𝑔 74.5 𝑔

𝑁° 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑁𝑎𝐶𝑙𝑂 = 0.20 Reemplazando en (6) 𝑁=

0.20 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑁𝑎𝐶𝑙𝑂 0.10 𝐿 𝑁= 2

(7) (7)

28

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TETRAVALENCIA DEL CARBONO El átomo de carbono se localiza en la tabla periódica en el grupo IV A.

(Todos los elementos de la tabla periódica, exceptuando al hidrógeno y los gases nobles, presentan el fenómeno de hibridación). Los cuatro electrones de este orbital híbrido nos dan las cuatro valencias del carbono, las que se dirigen a los cuatro vértices de un tetraedro regular, presentando un ángulo de 109° 28'. Estructura tetragonal híbrida del carbono Por comodidad, los cuatro enlaces que forman el carbono se indican de la siguiente forma:

En general los orbitales moleculares pueden ser: orbitales sigma y orbitales.

Su configuración electrónica es: C6 = 1s2, 2s2, 2p2 Su modelo atómico (Bohr) es el siguiente: Con este modelo se deduce que la valencia del carbono es 4 y por eso se llama tetravalente. No acepta ni dona electrones, sino que los comparte al combinarse, formando enlaces covalentes.

En los alcanos, entre carbono y carbono presenta enlaces sencillos llamados sigma. En los alquenos presenta al menos un enlace doble, en donde uno de los enlaces es sigma y otro es enlace . En en los alquinos prencenta almenos un triple enlace en donde, un enlace es sigma y los otros dos son enlaces , como en el caso de la molécula del acetileno (etino).

La hibridación es un reacomodo espacio energético de orbitales atómicos puros, de esta manera forman una geometría de enlace más eficaz.

HIDROCARBUROS Las reglas de nomenclatura para compuestos orgánicos e inorgánicos son establecidas por la Unión Internacional de Química pura y aplicada, IUPAC (de sus siglas en inglés). Nomenclatura química) En este capítulo profundizaremos sobre las reglas para la nomenclatura de alcanos (hidrocarburos con enlaces sencillos) ya que éstas constituyen la base de la nomenclatura de los compuestos orgánicos. (Para mejor comprensión del tema ir primero a: Radicales). Estas reglas son las siguientes: 1.- La base del nombre distintivo es la cadena continua más larga de átomos de carbono. 2.- La numeración correlativa de los átomos de carbono se inicia por el extremo más cercano a una ramificación (es lo mismo que decir un sustituyente o un radical). En caso de encontrar dos ramificaciones a la misma distancia, se empieza a numerar por orden alfabético desde el extremo más cercano a la ramificación de menor orden alfabético. Si se encuentran dos ramificaciones del mismo nombre a la misma distancia de cada uno de los extremos, se busca una tercera ramificación y se numera la cadena por el extremo más cercano a ella. 3.- Si se encuentran dos o más cadenas con el mismo número de átomos de carbono, se selecciona la que deje fuera los radicales alquilo más sencillos. En los isómeros se toma los lineales como más simples. El npropil es menos complejo que el isopropil. El ter-butil es el más complejo de los radicales alquilo de 4 carbonos.

4.- Cuando en un compuesto hay dos o más ramificaciones iguales, no se repite el nombre, luego de colocar los números que corresponden a las ubicaciones de dichos radicales se le añade el nombre con un prefijo numeral. Los prefijos numerales son: Número 2 3 4 5 6 7

Prefijo di o bi tri tetra penta hexa hepta

6.- Se escriben las ramificaciones (no olvidar: sustituyentes o radicles, es lo mismo) en orden alfabético y el nombre del alcano que corresponda a la cadena principal se agrega al nombre del último radical. Al ordenar alfabéticamente, los prefijos numerales y los prefijos n-, sec- y ter- no se toman en cuenta. 7.- Por convención, los números y las palabras se separan mediante un guión, y los números entre si, se separan por comas. La comprensión y el uso adecuado de las reglas señaladas facilitan la escritura de nombres y fórmulas de compuestos orgánicos.

A S I G N A T U R A : Q U Í M I C A | 29 Ordenamos los radicales en orden alfabético y unimos el nombre de la cadena al último radical.

Radicales alquilo Ya sabemos que cuando alguno de los alcanos pierde un átomo de hidrógeno se forma un radical alquilo. Estos radicales aparecen como ramificaciones sustituyendo átomos de hidrógeno en las cadenas. Los radicales alquilo de uso más común son: — CH3

— CH2 — CH3

Metil o Metilo

Etil o Etilo

— CH2 — CH2 — CH3

— CH2 — CH2 — CH2 — CH3

n-Propil o n-Propilo

n-Butil on-Butilo

isopropil o Isopropilo

Isobutil o Isobutilo

sec-Butil o sec-Butilo

ter-Butil o ter-Butilo

5-isopropil-3-metilnonano 3)

Buscamos la cadena de carbonos continua más larga, numeramos por el extremo más cercano al primer radical, que en este caso es del lado izquierdo. Nombramos los radicales con su respectivo número en orden alfabético y unimos el nombre de la cadena al último radical.

Las líneas rojas indican el enlace con el cual el radical se une a la cadena principal. Esto es muy importante, el radical no puede unirse por cualquiera de sus carbonos, sólo por el que tiene el enlace libre. Ejemplos de nomenclatura de alcanos 1)

3-metil-5-n-propiloctano 4)

Se define la cadena de carbonos continua más larga y se numera desde el extremo más cercano a un radical, y se identifican todos los radicales que haya.

La cadena continua más larga tiene 7 carbonos y se empezó la numeración desde la derecha porque ahí está el radical más cercano (CH3). Identificamos los radicales y el número del carbono al que están unidos (2-metil y 4etil), los anotamos en orden alfabético (no importa el número) y al último radical le unimos el nombre de la cadena, y nos queda: 4-etil-2-metilheptano

Seleccionamos la cadena continua de carbonos más larga. Al tratar de numerar observamos que a la misma distancia de ambos extremos hay un radical etil, entonces nos basamos en el siguiente radical, el n-butil para empezar a numerar.

Recuerde que el n-butil por tener guión se acomoda de acuerdo a la letra b, y no con la n:.5-n –butil-4,7dietildecano 5)

2)

Buscamos la cadena continua de carbonos más larga, la cual no tiene que ser siempre horizontal. Numeramos por el extremo más cercano a un radical, que es el derecho.

Al seleccionar la cadena de carbonos continua más larga observamos que a la misma distancia de cada extremo hay un radical, un metil y un etil, entonces iniciamos la numeración por el extremo más cercano al etil ya que es el radical de menor orden alfabético.

30

| CEPRU2015 Los dos radicales de la estructura están en el mismo carbono (el Nº 5) por lo tanto se coloca uno arriba y el otro abajo del carbono 5, indistintamente.

3-etil-4-metilhexano Si conocemos el nombre del compuesto

Completamos con los hidrógenos

En otros casos es posible que nos den el nombre del compuesto y a partir de éste graficar la fórmula estructural del mismo: Ejemplos: 1) 3,4,6-trimetil heptano Graficamos la cadena heptano, que tiene siete átomos de carbono. Los numeramos de izquierda a derecha, pero se puede hacer de izquierda a derecha.

5) 5-sec-butil-5-ter-butil-8-metilnonano Nonano es una cadena de 9 carbonos.

Ahora colocamos los radicales en el carbono que les corresponda (Un metil en el 3, un metil en el 4 y un metil en el 6, que es igual a 3,4,6 –trimetil). Tenga cuidado de colocar el radical por el enlace libre.

Como el carbono forma 4 enlaces, completamos nuestra estructura con los hidrógenos necesarios para que cada uno tenga sus 4 enlaces.

Colocamos los radicales.

Ahora completamos con hidrógeno para que cada carbono tenga 4 enlaces.

2) 3-metil-5-isopropilnonano Nonano indica que es una cadena de 9 carbonos.

Colocamos los radicales (un metil en el 3, un isopropil en el 5)

Los radicales pueden acomodarse de diferentes formas, siempre y cuando conserve su estructural.

6) 5-isobutil-4-isopropil-6-n-propildecano Decano es una cadena de 10 carbonos que numeramos de izquierda derecha.

Colocamos los radicales cuidando de acomodarlos en forma correcta.

Finalmente completamos con los hidrógenos necesarios para que cada carbono tenga sus 4 enlaces.

4) 5-ter-butil-5-etildecano Decano es una cadena de 10 carbonos.

Contamos los enlaces para poner los hidrógenos necesarios para completar 4 enlaces a cada carbono.

A S I G N A T U R A : Q U Í M I C A | 31 Propiedades Químicas: Presentan muy poca reactividad con la mayoría de los reactivos químicos. Por este motivo se los llama también parafinas. El ácido sulfúrico, hidróxido de sodio, ácido nítrico y ciertos oxidantes los atacan solo a elevada temperatura. CH3 — CH3 ——-> CH3 — CH2 NO2 + H2O (a 430°C y en presencia de HNO3) El primer miembro de la familia de los alcanos es el metano. Está formado por un átomo de carbono, rodeados de 4 átomos de hidrógeno. Fórmula desarrollada:

Combustión: CH3 — CH3 + 7/2 O2 —> 2 CO2 +

3 H2O + 372,8 Kcal

Compuestos de Sustitución: Las reacciones de sustitución son aquellas en las que en un compuesto son reemplazados uno o más átomos por otros de otro reactivo determinado. Loa alcanos con los halógenos reaccionan lentamente en la oscuridad, pero más velozmente con la luz.

Fórmula molecular: CH4

CH4

+

Cl2

metano

—–> (luz)

CH3Cl

+

HCl

cloruro de metilo

ALQUENOS:

Los demás miembros se diferencian en el agregado de un átomo de carbono. Los nombres de los más conocidos son: Etano: dos átomos de C. Propano: Tres átomos de C. Butano: Cuatro átomos de C. Pentano: Cinco átomos de C. Hexano: Seis átomos de C. Heptano: Siete átomos de C. Octano: Ocho átomos de C. Nonano: Nueve átomos de C. Decano: Diez átomos de C. Algunas fórmulas: Etano: H3C —- CH3 Propano: H3C —- CH2 —- CH3 Pentano: H3C —- CH2 —– CH2 —– CH2 —– CH3 Para concluir decimos que los alcanos presentan la siguiente fórmula molecular (CnH2n+2). Donde n es la cantidad de átomos de Carbono y (2n+2) nos da la cantidad de átomos de hidrógeno. Propiedades físicas: Los alcanos son parte de una serie llamada homóloga. Ya que cada término se diferencia del que le continúa en un CH2. Esto nos ayuda a entender sus propiedades físicas ya que sabiendo la de algunas podemos extrapolar los resultados a las demás. Las principales características físicas son: Los cuatro primeros miembros bajo condiciones normales o en su estado natural son gaseosos.

Los alquenos se diferencian con los alcanos en que presentan una doble ligadura a lo largo de la molécula. Esta condición los coloca dentro de los llamados hidrocarburos insaturados junto con los alquinos. Con respecto a su nomenclatura es como la de los alcanos salvo la terminación. En lugar de ano como los alcanos es eno. Al tener una doble ligadura hay dos átomos menos de hidrógeno como veremos en las siguientes estructuras. Por lo tanto, la fórmula general es CnH2n. Explicaremos a continuación como se forma la doble ligadura entre carbonos. Anteriormente explicamos la hibridación SP3. Esta vez se produce la hibridación Sp2. El orbital 2s se combina con 2 orbitales p, formando en total 3 orbitales híbridos llamados Sp2. El restante orbital p queda sin combinar. Los 3 orbitales Sp2 se ubican en el mismo plano con un ángulo de 120° de distancia entre ellos. El orbital p que no participo en la hibridación ocupa un lugar perpendicular al plano que sostiene a los tres orbitales Sp2. El enlace doble se forma de la siguiente manera: Uno de los orbitales sp2 de un C se enlaza con otro orbital sp2 del otro C formando un enlace llamado sigma. El otro enlace está constituido por la superposición de los enlaces p que no participaron en la hibridación. Esta unión se denomina Pi (∏). Así tenemos por ejemplo Eteno, Propeno, Buteno, etc. Al nombrar Alquenos y Alquinos a la doble o triple ligadura se le adjudica un número que corresponde a la ubicación de dicha ligadura. Eteno: CH2 = CH2 Propeno: CH2 = CH2 –CH3 Buteno – 1

Entre el de 5 carbonos y el de 15 tenemos líquidos y los restantes sólidos.

CH2 = CH — CH2 — CH3

El punto de ebullición asciende a medida que crece el número de carbonos.

CH3 – CH = CH — CH3

Todos son de menor densidad que el agua. Son insolubles en el agua pero solubles en solventes orgánicos.

Buteno – 2

Pentino – 2 CH3 — C ≡ C — CH2 —-CH3

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Propiedades Físicas: Son similares a los alcanos. Los tres primeros miembros son gases, del carbono 4 al carbono 18 líquidos y los demás son sólidos. Son solubles en solventes orgánicos como el alcohol y el éter. Son levemente más densos que los alcanos correspondientes de igual número de carbonos. Los puntos de fusión y ebullición son más bajos que los alcanos correspondientes. Es interesante mencionar que la distancia entre los átomos de carbonos vecinos en la doble ligadura es más pequeña que entre carbonos vecinos en alcanos. Aquí es de unos 1.34 amstrong y en los alcanos es de 1.50 amstrong.

En esta hibridación, el orbital 2s se hibridiza con un orbital p para formar dos nuevos orbitales híbridos llamados “sp”. Por otra parte quedaran 2 orbitales p sin cambios por cada átomo de C. El triple enlace que se genera en los alquinos está conformado por dos tipos de uniones. Por un lado dos orbitales sp solapados constituyendo una unión sigma. Y las otras dos se forman por la superposición de los dos orbitales p de cada C. Ejemplos: Propino CH ≡ C — CH3

Propiedades Químicas:

Propiedades físicas:

Los alquenos son mucho más reactivos que los Alcanos. Esto se debe a la presencia de la doble ligadura que permite las reacciones de adición. Las reacciones de adición son las que se presentan cuando se rompe la doble ligadura, este evento permite que se adicionen átomos de otras sustancias.

Los dos primeros son gaseosos, del tercero al decimocuarto son líquidos y son sólidos desde el 15 en adelante.

Adición de Hidrógeno:→

Los alquinos son solubles en solventes orgánicos como el éter y alcohol. Son insolubles en agua, salvo el etino que presenta un poco de solubilidad.

En presencia de catalizadores metálicos como níquel, los alquenos reaccionan con el hidrógeno, y originan alcanos. CH2 = CH2

+

H2

——> CH3 – CH3

+

31,6 Kcal

Su punto de ebullición también aumenta con la cantidad de carbonos.

Propiedades Químicas:

Adición de Halógenos

Combustión:

CH2 = CH2

2 HC ≡ CH + 5 O2 ——> 4 CO2 + 2 H2O + 332,9 Kcal

+

Br2 ——-> CH2Br – CH2Br

Dibromo 1-2 Etano

Adición de Halógenos:

Adición de Hidrácidos:

HC ≡ CH —- CH3

CH2 = CH2

+

HBr ——->

CH3 — CH2 Br

Monobromo Etano Cuando estamos en presencia de un alqueno de más de 3 átomos de carbono se aplica la regla de Markownicov para predecir cuál de los dos isómeros tendrá presencia mayoritaria. H2C=CH —CH3+H Cl→ H3C— CHBr — CH3 monobromo 2 – propano

→ H3C — CH2 — CH2Br monobromo 1 – propano Al adicionarse el hidrácido sobre el alqueno, se formara casi totalmente el isómero que resulta de unirse el halógeno al carbono más deficiente en hidrógeno. En este caso se formara más cantidad de monobromo 2 – propano. Combustión: Los alquenos también presentan la reacción de combustión, oxidándose con suficiente oxigeno. C2H4 + 3 O2 —->

2 CO2 + 2 H2O

+

CL2 —> HCCl = CCl — CH3

Propino

,2 – dicloro propeno

Adición de Hidrógeno: Se usan catalizadores metálicos como el Platino para favorecer la reacción. HC ≡ C —- CH3

+ H2 ——> H2C = CH — CH3

Propino

Propeno

Se puede continuar con la hidrogenación hasta convertirlo en alcano si se lo desea. Adición de Hidrácidos: HC ≡ CH —- CH3 Propino – 1

+ HBr —-> H2C = C Br —- CH3 Bromo – 2 – Propeno

Como se observa se sigue la regla de Markownikov. Ya que el halógeno se une al carbono con menos hidrógenos. En este caso al del medio que no tiene ninguno. Ahora vamos a explicar como se denominan a los hidrocarburos con ramificaciones.

Etano Diolefinas: Algunos Alquenos poseen en su estructura dos enlaces dobles en lugar de uno. Estos compuestos reciben el nombre de Diolefinas o Dienos. Se nombran como los Alcanos, pero cambiando le terminación ano por dieno. H2C = C = CH2 Propadieno – 1,3 H2C = CH — CH = CH2 Butdieno – 1,3 ALQUINOS: Estos presentan una triple ligadura entre dos carbonos vecinos. Con respecto a la nomenclatura la terminación ano o eno se cambia por ino. Aquí hay dos hidrógenos menos que en los alquenos. Su fórmula general es CnH2n-2. Para la formación de un enlace triple, debemos considerar el otro tipo de hibridación que sufre el átomo de C. La hibridación “sp”.

Aquí podemos ver que tenemos dos ramificaciones. Los grupos que forman esa ramificación son considerados radicales. Radical en química es un átomo o grupo de átomos que posee una valencia libre. Esta condición los hace susceptibles a unirse a cadenas carbonadas en este caso. Obtenemos un radical cuando al metano (CH4) le quitamos un átomo de hidrógeno en su molécula quedándole al carbono una valencia libre.

CH3 Este radical se llama metil o metilo. Su nombre deriva del metano. Se les agrega el sufijo il. Si lo obtuviéramos a partir del Etano se llamaría etil y a partir del propano, propil y así sucesivamente.

A S I G N A T U R A : Q U Í M I C A | 33 Etil y Propil:

2-metil Butano (ramificado)

H3C — CH2 – H3C — CH — CH2 – A veces se presentan otros radicales cuando el hidrógeno faltante es de un carbono secundario, es decir, que está unido a otros dos carbonos. Si al propano le quitamos un H del C del medio tenemos al radical isopropil:

Para ser considerado una ramificación, el radical debe estar en un C que no sea del extremo, es decir, en un C secundario. Si hubiésemos puesto el metil en el otro C secundario, el nombre no hubiera variado ya que la numeración empezaría del otro extremo.

H3C — CH — CH3

2,2 –dimetil Propano

Otros radicales que podemos citar son el isobutil y el terbutil derivado del butano. Isopropil e Isobutil Los Alquenos y Alquinos también pueden presentar este tipo de isomería al cambiar la posición de sus grupos ramificados. Pero presentan aparte otro tipo de isomería llamada de posición. En esta isomería lo que varia es la posición del doble o triple enlace. Por ejemplo: Ter-butil

Buteno-1 CH2 = CH — CH2 — CH3 Buteno-2 CH3 — CH = CH — CH3

Volviendo al primer ejemplo de hidrocarburo ramificado.

Vemos claramente una cadena horizontal integrada por 4 átomos de C, y un grupo metilo en la parte superior. Este metil es la ramificación. Se nombra primero a este metil con un número que indica la posición de este en la cadena más larga. El NÚMERO uno se le asigna al carbono que está más cerca de la ramificación. Luego nombramos a la cadena. El nombre es 2 metil-Butano. Otros ejemplos:

2,2,4-triimetil pentano (Los metilos están ubicados en los carbonos 2 y 4 respectivamente). Se toma como carbono 1 el primero que esta a la izquierda ya que más cerca de este extremo hay más metilos.

FUNCIONES ORGÁNICAS Son compuestos ternarios que contienen oxigeno carbono e hidrógeno: donde el oxigeno forma parte de un grupo de átomos denominado grupo FUNCIONal, el cual es determinante en las propiedades del compuesto. Las principales FUNCIONes son: FUNCIONes oxigenadas simples:

 alcoholes: Los

alcoholes se caracterizan por reemplazar un hidrógeno de un hidrocarburo saturado por un hidroxilo (OH). La nomenclatura tradicional antepone la palabra alcohol y da la terminación ílico al prefijo que indica cantidad de átomos de carbonos.

Ejemplos: Alcohol metílico: CH3.OH Alcohol etílico: CH3---CH2.OH Según IUPAC deben nombrarse con la terminación OL Ejemplos:

Isomería: Los compuestos hidrocarbonados al tener fórmulas grandes presentan variación en su disposición atómica. Es decir, con la misma fórmula molecular pueden tener varias fórmulas desarrolladas. Esto es la isomería. Aunque tenemos que decir que hay varios tipos de isomería. Aquí explicaremos por ahora la isomería de cadena, o sea, las distintas formas que pueden tomar las cadenas carbonadas. Por ejemplo, en el caso del Pentano (C5H12), a este lo podemos presentar como una cadena lineal o como cadenas ramificadas. Pentano (lineal) H3C — H2C —H2C — H2C — CH3

metanol etanol propanol Dioles y polioles: si en la cadena existe más de un OH se nombran anteponiendo el prefijo que indica número, por ejemplo diol, triol. Ejemplo: CH2.OH---CH.OH---CH2.OH 1,2,3 comúnmente glicerina o glicerol

propanotriol,

Los alcoholes pueden ser primarios, secundarios o terciarios según estén ubicados en un carbono primario, secundario o terciario.

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Propiedades: Los primeros de la serie son todos líquidos pero los puntos de fusión aumentan a medida que aumenta el peso molar, dependiendo esto también de la forma de la molécula. Son solubles en agua debido a la presencia del grupo hidroxilo que le permite formar puentes hidrógenos. Menos densos que el agua a medida que aumenta el tamaño de la molécula y el peso molar, la densidad aumenta y la solubilidad en agua disminuye. Son ácidos débiles no reaccionan con bases fuertes pero si con metales alcalinos para producir hidrógeno. El etanol puede oxidarse dando como productos acetaldehído y ácido acético.



ácidos: En general, los ácidos son sustancias de sabor agrio que reaccionan con los metales produciendo hidrógeno, y cambian el color de los indicadores que se utilizan para reconocerlos. Es una sustancia que en disolucion produce iones de hidronio H3O

3. Son corrosivos. 4. Producen quemaduras de la piel. 5. Son buenos conductores disoluciones acuosas.

de

electricidad

en

6. Reaccionan con metales activos formando una sal e hidrógeno. 7. Reaccionan con bases para formar una sal más agua. 8. Reaccionan con óxidos metálicos para formar una sal más agua.

 aldehídos: Los aldehídos son compuestos

orgánicos caracterizados por poseer el grupo FUNCIONal -CHO. Se denominan como los alcoholes correspondientes, cambiando la terminación -ol por -al :

Cualquier compuesto químico que puede ceder protones es un ácido. Un ejemplo es el ácido clorhídrico, de fórmula HCl: HCl → H+ + Cl- (en disolución acuosa) o lo que es lo mismo: HCl + H2O → H3O+ + Cl-

Es decir, el grupo carbonilo C=O está unido a un solo radical orgánico. Se pueden obtener a partir de la oxidación suave de los alcoholes primarios. Esto se puede llevar a cabo calentando el alcohol en una disolución ácida de dicromato de potasio (también hay otros métodos en los que se emplea Cr en el estado de oxidación +6) Propiedades Propiedades físicas

 La doble unión del grupo carbonilo son en

parte covalentes y en parte iónicas dado que el grupo carbonilo está polarizado debido al fenómeno de resonancia.

 Los aldehídos con hidrógeno sobre un carbono sp³ en El concepto de ácido es el contrapuesto al de base. Para medir la acidez de un medio se utiliza el concepto de pH. Cualquier compuesto químico que puede ceder protones es un ácido. Un ejemplo es el ácido clorhídrico, de fórmula HCl: HCl → H+ + Cl- (en disolución acuosa) o lo que es lo mismo: HCl + H2O → H3O+ + ClEl concepto de ácido es el contrapuesto al de base. Para medir la acidez de un medio se utiliza el concepto de pH. Tipos de ácidos 1. Ácido monoprótico: un ácido monoprótico es aquel que posee un hidrógeno para donar. 2. Ácido diprótico: posee dos hidrógenos para donar. 3. Ácido triprótico: posee tres hidrógenos para donar. 4. Ácido tetraprótico: posee cuatro hidrógenos para donar. 5. Ácido poliprótico: posee más de cuatro hidrógenos para donar.

Propiedades de los ácidos 1. Tienen sabor agrio como en el caso del ácido cítrico en la naranja y el limón. 2. Cambian el color del papel tornasol azul a rosa, el anaranjado de metilo de anaranjado a rojo y deja incolora a la fenolftaleína.

posición alfa al grupo carbonilo presentan isomería tautomérica.Los aldehídos se obtienen de la deshidratación de un alcohol primario, se deshidratan con permanganato de potasio, la reacción tiene que ser débil , las cetonas también se obtienen de la deshidratación de un alcohol , pero estas se obtienen de un alcohol secundario e igualmente son deshidratados como permanganato de potasio y se obtienen con una reacción débil , si la reacción del alcohol es fuerte el resultado será un ácido carboxílico.

Propiedades químicas

 Se

comportan como reductor, por oxidación el aldehído de ácidos con igual número de átomos de carbono. La reacción típica de los aldehídos y las cetonas es la adición NÚCLEOfílica.

 cetonas: Una cetona es

un compuesto orgánico caracterizado por poseer un grupo FUNCIONal carbonilo unido a dos átomos de carbono, a diferencia de un aldehído, en donde el grupo carbonilo se encuentra unido al menos a un átomo de hidrógeno. Cuando el grupo FUNCIONal carbonilo es el de mayor relevancia en dicho compuesto orgánico, las cetonas se nombran agregando el sufijo -ona al hidrocarburo del cual provienen (hexano, hexanona; heptano, heptanona; etc). También se puede nombrar posponiendo cetona a los radicales a los cuales está unido (por ejemplo: metilfenil cetona). Cuando el grupo carbonilo no es el grupo prioritario, se utiliza el prefijo oxo- (ejemplo: 2-oxopropanal).

A S I G N A T U R A : Q U Í M I C A | 35 FUNCIONes oxigenadas compuestas:

 éter: Los éteres están comprendidos como una clase

de compuestos en los cuales dos grupos del tipo de los hidrocarburos están enlazados a un átomo de oxígeno, es decir su estructura general es del tipo R-O-R. En los éteres simétricos los dos grupos son idénticos mientras que en los asimétricos son diferentes.

Nomenclatura de los éteres. Los ejemplos que siguen ilustran los nombres comunes de algunos éteres. El grupo FUNCIONal carbonilo consiste en un átomo de carbono unido con un doble enlace covalente a un átomo de oxígeno. El tener dos átomos de carbono unidos al grupo carbonilo, es lo que lo diferencia de los ácidos carboxílicos, aldehídos, ésteres. El doble enlace con el oxígeno, es lo que lo diferencia de los alcoholes y éteres. Las cetonas suelen ser menos reactivas que los aldehídos dado que los grupos alquílicos actúan como dadores de electrones por efecto inductivo. Cetonas alifáticas Resultan de la oxidación moderada de los alcoholes secundarios. Si los radicales alquilo R son iguales la cetona se Denomina simétrica, de lo contrario seráasimétrica.

o Isomería  Las cetonas son isómeros de los aldehídos de igual número de carbono.

 Las

cetonas de cuatro carbonos presentan isomería de casos específicos).

más posición.

de (En

Cetonas aromáticas Se destacan las quinonas, derivadas del benceno. Cetonas mixtas Cuando el grupo carbonilo se acopla a un radical arilico y un alquílico, como el fenilmetilbutanona. Para nombrar los cetonas tenemos dos alternativas:

o El

nombre del hidrocarburo del que procede terminado en -ona. Como sustituyente debe emplearse el prefijo oxo-.

Propiedades físicas de los éteres. El éter metílico (P.e. -24°C) y el éter metil etílico (P.e. 8°C) son gases a temperatura normal. Ya el éter etílico (P.e. 35°C) es un líquido muy volátil. Los éteres con cadenas carbonadas mayores van teniendo mayor punto de ebullición a medida que aumenta la longitud de la cadena. Los éteres de cadena recta tiene un punto de ebullición bastante similar a los alcanos con peso molecular comparable. Por ejemplo: el éter C2-H5-O-C2-H5, con peso molecular 74 tiene un punto de ebullición de 35°C, y el alcano CH3-CH2-CH2-CH2-CH3 de peso molecular 72 tiene un punto de ebullición de 36°C. Los éteres tienen una solubilidad en agua comparable con los alcoholes para peso molecular similar, así el éter C2-H5-O-C2-H5 tiene la misma solubilidad que el alcohol CH3-CH2-CH2-CH2-OH unos 8g/100ml de agua a 25°C. Propiedades químicas de los éteres. Los éteres son muy inertes químicamente y solo tiene unas pocas reacciones características.

 ester: Los ésteres se forman por reacción entre un ácido

Carbonilo por orden alfabético y a continuación la palabra cetona.

y un alcohol. La reacción se produce con pérdida de agua. Se ha determinado que el agua se forma a partir del OH del ácido y el H del alcohol. Este proceso se llama esterificación.

Propiedades físicas

Pueden provenir de ácidos alifáticos o aromáticos.

o Citar los dos radicales que están unidos al grupo

Los compuestos carbonílicos presentan puntos de ebullición más bajos que los alcoholes de su mismo peso molecular. No hay grandes diferencias entre los puntos de ebullición de aldehídos y cetonas de igual peso molecular. Los compuestos carbonílicos de cadena corta son solubles en agua y a medida que aumenta la longitud de la cadena disminuye la solubilidad. Propiedades químicas Al hallarse el grupo carbonilo en un carbono secundario son menos reactivas que los aldehídos. Solo pueden ser oxidadas por oxidantes fuertes como el permanganato de potasio dando como productos dos ácidos con menor número de átomos de carbono. Por reducción dan alcoholes secundarios. No reaccionan con el reactivo de Tollens para dar el espejo de plata como los aldehídos, lo que se utiliza para diferenciarlos. Tampoco reaccionan con los reactivos de Fehling y Schiff. y es muy importante para todo.

Se nombran como sales, reemplazando la terminación de los ácidos por oato seguido del nombre del radical del alcohol. Ejemplo: etanoato de propilo es un éster formado a partir del ácido etanoico y el alcohol propílico.

 Propiedades físicas:

Los de bajo peso molar son líquidos de olor agradable, similar al de la esencia de las frutas que los contienen. Los ésteres de ácidos superiores son sólidos cristalinos, inodoros. solubles en solventes orgánicos e insolubles en agua. Su densidad es menor que la del agua.  Propiedades químicas: Hidrólisis ácida: Por calentamiento con agua se descompone en el alcohol y el ácido de los que proviene. éster + agua ------------- ácido + alcohol Con un exceso de agua la reacción es total. Es un proceso inverso a la esterificación. CH3.CO.O.CH3 + H2O ------------ CH3.CO.OH + H.CH2.OH

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Los compuestos nitrogenados son aquellos que contienen, además de átomos de carbono y de hidrogeno átomos de nitrógeno aunque también pueden contener átomos de oxígeno. Se clasifican en: AMINAS AMIDAS AMINOÁCIDOS NITRILOS

AMINAS

Las aminas pueden considerarse como compuestos derivados del amoníaco (NH3) al sustituir uno, dos o tres de sus hidrógenos por radicales alquílicos o aromáticos. Según el número de hidrógenos que se substituyan se denominan aminas primarias, secundarias o terciarias.

Las aminas se clasifican de acuerdo con el número de átomos de hidrógeno del amoniaco que se sustituyen por grupos orgánicos. Las que tienen un solo grupo se llaman aminas primarias, las que tienen dos se llaman aminas secundarias y las que tienen tres, aminas terciarias. Las aminas sencillas se nombran enumerando los grupos que sustituyen a los átomos de hidrógeno del amoniaco y terminando con amina. Si hay varios grupos o radicales sustituyentes iguales se usan los prefijos di o tri. Cuando se trata de grupos diferentes estos se nombran por orden alfabético (etil antes que metil, o butil antes que propil, prescindiendo del tamaño) y terminando con la terminación amina. Ejemplos: Compuesto

Nombres

CH3-NH2

Metilamina

CH3-NH-CH3

Dimetilamina

CH3-CH2-NH-CH2-CH2-CH3 Etilpropilamina

Dicho de otra manera, el número de grupos orgánicos unidos al átomo de nitrógeno determina que la molécula sea clasificada como amina primaria (un grupo orgánico), secundaria (dos grupos) o terciaria (tres grupos). Si al menos uno de los grupos sustituyentes es un grupo arilo, entonces la amina independientemente de ser primaria, secundaria o terciaria, será aromática. Ejemplos:

 Aminas primarias: etilamina, anilina, ...  Aminas

secundarias: dimetilamina, dietilamina, etilmetilamina, ...

 Aminas terciarias: trimetilamina, dimetilbencilamina, ... Las aminas son simples cuando los grupos alquilo son iguales y mixtas si estos son diferentes.

Amina primaria

Amina primaria aromática

Amina secundaria aromática

Amina secundaria

Amina terciaria aromática

CH3 | N-CH3 | CH3

Trimetilamina

CH3 | N-CH2-CH2-CH3 | CH2-CH3

Etilmetilpropilamina

Las aminas comprenden algunos de los compuestos biológicos más importantes que se conocen. Ellas funcionan en los organismos vivos como biorreguladores, neurotransmisores, en mecanismos de defensa y en muchas otras funciones más. Debido a su alto grado de actividad biológica muchas aminas se emplean como medicamentos. Las aminas se encuentran formando parte de la naturaleza, en los aminoácidos que conforman las proteínas que son un componente esencial del organismo de los seres vivos. Al degradarse las proteínas se descomponen en distintas aminas, como cadaverina y putrescina entre otras. Las cuales emiten olor desagradable. Es por ello que cuando la carne de aves, pescado y res no es preservada mediante refrigeración, los microorganismos que se encuentran en ella degradan las proteínas en aminas y se produce un olor desagradable. Las aminas son parte de los alcaloides que son compuestos complejos que se encuentran en las plantas. Algunos de ellos son la morfina y la nicotina. Algunas aminas son biológicamente importantes como la adrenalina y la noradrenalina. Las aminas secundarias que se encuentran en las carnes y los pescados o en el humo del tabaco. Estas aminas pueden reaccionar con los nitritos presentes en conservantes empleados en la alimentación y en plantas, procedentes del uso de fertilizantes, originando N-nitrosoaminas secundarias, que son carcinógenas.

A S I G N A T U R A : Q U Í M I C A | 37 AMIDAS

Reducción de amidas a aminas

Una amida es un compuesto orgánico que consiste en una amina unida a un grupo acilo convirtiéndose en una amina ácida (o amida). Por esto su grupo FUNCIONal es del tipo RCONH'', siendo CO un carbonilo, N un átomo de nitrógeno, y R, R' y R'' radicales orgánicos o átomos de hidrógeno:

El hidruro de litio y aluminio reduce las amidas a aminas.

Se puede considerar como un derivado de un ácido carboxílico por sustitución del grupo —OH del ácido por un grupo —NH2, —NHR o —NRR' (llamado grupo amino).

La Urea es uno de los compuestos más importantes relacionados con las amidas. Su estructura es:

La urea es un polvo blanco cristalino utilizado en plásticos y fertilizantes. Es un producto del metabolismo de las proteínas; se encuentra en altas concentraciones en la orina de los animales.

Ejemplos:

Nombre

Fórmula

Etanamida (Acetamida) NMetilpentanamida N,NDietilpropanamida

Formalmente también se pueden considerar derivados del amoníaco, de una amina primaria o de una amina secundaria por sustitución de un hidrógeno por un radical ácido, dando lugar a una amida primaria, secundaria o terciaria, respectivamente.Concretamente se pueden sintetizar a partir de un ácido carboxílico y una amina:

TIPOS DE AMIDAS Existen tres tipos de amidas conocidas como primarias, secundarias y terciarias, dependiendo del grado de sustitución del átomo de nitrógeno; también se les llama amidas sencillas, sustituidas o disustituidas respectivamente.

Las amidas se nombran como derivados de ácidos carboxílicos sustituyendo la terminación oico del ácido por amida.

La síntesis de urea en un laboratorio fue el hecho que rompió con la idea de que solo se podía sintetizar compuestos orgánicos de forma natural. La producción de la urea ocurre en el organismo, mientras que a nivel industrial se obtiene por reacción de amoniaco. AMINOÁCIDO Un aminoácido es una molécula orgánica con un grupo amino (-NH2) y un grupo carboxilo (-COOH). Los aminoácidos más frecuentes y de mayor interés son aquellos que forman parte de las proteínas. Dos aminoácidos se combinan en una reacción de condensación entre el grupo amino de uno y el carboxilo del otro, liberándose una molécula deagua y formando un enlace amida que se denomina enlace peptídico; estos dos "residuos" de aminoácido forman un dipéptido. Si se une un tercer aminoácido se forma untripéptido y así, sucesivamente, hasta formar un polipéptido. Todos los aminoácidos componentes de las proteínas son L-alfa-aminoácidos. Esto significa que el grupo amino está unido al carbono contiguo al grupo carboxilo (carbono alfa) o, dicho de otro modo, que tanto el carboxilo como el amino están unidos al mismo carbono; además, a este carbono alfa se unen un hidrógeno y una cadena (habitualmente denominada cadena lateral o radical R) de estructura variable, que determina la identidad y las propiedades de cada uno de los diferentes aminoácidos. La estructura general de un alfa-aminoácido se establece por la presencia de un carbono central (alfa) unido a un grupo carboxilo (rojo en la figura), un grupo amino (verde), un hidrógeno (en negro) y la cadena lateral (azul):

"R" representa la cadena lateral, específica para cada aminoácido. Tanto el carboxilo como el amino son grupos FUNCIONales susceptibles de ionización dependiendo de los cambios de pH, por eso ningún aminoácido en disolución se encuentra realmente en la forma representada en la figura, sino que se encuentra ionizado. Los aminoácidos se clasifican habitualmente según las propiedades de su cadena lateral:



Neutros polares, polares o hidrófilos: serina (Ser, S), treonina (Thr, T), glutamina (Gln, Q), asparagina (Asn, N), tirosina (Tyr, Y).



Neutros no polares, apolares o hidrófobos: alanina (Ala, A), cisteína (Cys, C), valina (Val, V), leucina (Leu, L), isoleucina (Ile, I), metionina (Met, M), prolina (Pro, P), fenilalanina (Phe, F), triptófano (Trp, W) y glicina (Gly, G).

38

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

Con carga negativa o ácidos: ácido aspártico (Asp, D) y ácido glutámico (Glu, E).



Con carga positiva o básicos: lisina (Lys, K), arginina (Arg, R) e histidina (His, H).



Aromáticos: fenilalanina (Phe, F), tirosina (Tyr, Y), triptófano (Trp, W) y prolina (Pro, P) (ya incluidos en los grupos neutros polares y neutros no polares).

NITRILOS Los nitrilos son compuestos orgánicos que poseen un grupo de cianuro (-C≡N) como grupo FUNCIONal principal. Son derivados orgánicos del cianurode los que el hidrógeno ha sido sustituido por un radical alquilo. Para nombrar los nitrilos se añade el sufijo –nitrilo al nombre del hidrocarburo correspondiente a la cadena carbonada. En el caso de que haya más de un grupo – CN o bien se encuentre unido a un anillo, se suele emplear el sufijo –carbonitrilo.

Glicina

Alanina

Valina

Cuando existen otros grupos FUNCIONales de mayor prioridad el grupo –CN se nombran con el prefijo cianoocianuro de…... Ejemplos:

NOMBRE

FORMULA

cianuro de hidrógeno

H-C≡N

acetonitrilo o etanonitr ilo

CH3-C≡N

Se refiere al comportamiento de cualquier aminoácido cuando se ioniza. Cualquier aminoácido puede comportarse como ácido y como base, por lo que se denominan sustancias anfóteras.

propionitrilo o propan onitrilo(Cianuro de etilo)

CH3-CH2-C≡N

Los aminoácidos y las proteínas se comportan como sustancias tampón.

butironitrilo o butanoni trilo

CH3-CH2-CH2-C≡N

pentanonitrilo

CH3-CH2-CH2-CH2-C≡N

hexanonitrilo

CH3-CH2-CH2-CH2-CH2-C≡N

Butanodinitrilo

C≡N-CH2-CH2-C≡N

Acrilonotrilo

CH2=CH-C≡N

Malononitrilo

C≡N-CH2-C≡N

Piruvonitrilo

CH3-CO-C≡N

Fenilalanina

Cisteína

Leucina

PROPIEDADES



Ácido-básicas.

 Ópticas. Todos los aminoácidos excepto la glicina tienen 4 sustituyentes distintos sobre su carbono alfa (carbono asimétrico o quiral), lo que les confiere actividad óptica; esto es, sus disoluciones desvían el plano de polarización cuando un rayo de luz polarizada las atraviesa. Todos los aminoácidos proteicos son L-aminoácidos.

 Químicas. Las que afectan al grupo carboxilo, como la descarboxilación. Las que afectan al grupo amino, como la desaminación. Las que afectan al grupo R o cadena lateral.

 Solubilidad. No todos los aminoácidos son igualmente solubles en agua debido a la diferente naturaleza de su cadena lateral, por ejemplo si ésta es ionizable el aminoácido será más soluble.

blaze 1. Indicar el número de cambios físicos y cambios químicos. - La carbonización del papel con ácido sulfúrico. - La fundición del cobre. - La rotura de un vidrio. - La oxidación del cobre. - El encender un fosforo. A) 1 ; 4 B) 4 ; 1 C) 3; 2 D) 2 ; 3 E) 2 ; 2

- El ácido nítrico es una mezcla heterogénea - La combustión de la madera es un fenómeno físico - La digestión es un fenómeno químico - La putrefacción es un fenómeno físico A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 11.

Al estudiar una muestra material, se observó los siguientes hechos:  Funde a baja temperatura  Arde en el aire produciendo luz blanca  Puede ser molido a partículas pequeñas  Reacciona con el cloro para producir un cloruro  Se dilata al aumentar su temperatura Cuántos de estos fenómenos involucran cambios físicos? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Qué proposición es falsa: A) La materia se clasifica en elementos y compuestos B) La masa es la medida de la cantidad de materia C) El aire es una mezcla homogénea D) El oxígeno es una sustancia pura E) El agua es una sustancia compuesta

12.

Señale el número de cambios físicos en los siguientes fenómenos: - El doblado de un clavo de acero - La sublimación del yodo sólido - La fermentación de la chicha - La combustión del etino B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

4.

Indique cuál de los siguientes cambios no es físico: A) La volatilización del etanol B) La ruptura de un vaso de vidrio C) La combustión del acetileno D) La destilación del agua E) La disolución de AgNO3 en agua

13.

5.

Indicar cuántas sustancias simples existen en la siguiente relación: Agua oxigenada; Ozono; Diamante; Fósforo rojo; Aire; Oro. A) 5; B) 1; C) 2; D) 3 ; E) 4

Indicar el número de cambios físicos en los siguientes casos: - El encendido de un cigarrillo - El trozado de la madera - La disolución de plata en ácido nitrico - La putrefacción de la materia orgánica A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

14.

Indicar la sustancia en: A) B) C) D) E)

2.

Indicar si es verdadera (V) o falsa (F) cada una de las siguientes proposiciones: - La sublimación del CO2 sólido es un cambio químico ( ) - La disolución de sacarosa en agua es un cambio físico - La oxidación de un clavo de hierro es un cambio químico ( ) - La corrosión de un metal es un cambio físico ( ) La secuencia correcta es: A) VFVF B) FVFV C) VVFF D) FVVF E) FFVV

3.

6.

7.

A) 0

Indique la relación incorrecta: A) Licor _ mezcla B) Ácido Muriático – sustancia C) Agua potable – mezcla D) Petróleo _ mezcla E) Hielo seco – sustancia

15.

De las siguientes clases de materia: Acero, bronce, hidrógeno, , oxigeno, gasolina, agua, cal viva, calcita ¿Cuántos son compuestos? A)3 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6

A) B) C) D) E)

8. Indicar correctas, en: KI C6H12O6 H3PO4 Soda caustica compuesta A) 0 B) 1

16.

el

número

de

relaciones

sustancia simple mezcla compuesto sustancia C) 2

D) 3

A) B) C) D) E)

10.

Agua Acero Vino Hidrógeno – Alcohol medicinal –

aire gas natural grafito gasolina querosene

La sublimación inversa o deposición es el cambio de estado de: Sólido a líquido Líquido a sólido Líquido a gas Gas a líquido Gas a sólido Al paso de un gas a estado sólido y de un líquido a estado gas, se les denomina respectivamente: Vaporización – licuación Solidificación – condensación Volatilización – licuación Sublimación – fusión Sublimación inversa – evaporación

E) 4 17.

9..

pareja que señala respectivamente una compuesta y una mezcla homogénea,

Cuál de los siguientes cambios de estado de la materia requiere de un incremento de energía calorífica? A) Licuación y sublimación inversa B) Evaporación y sublimación C) Vaporización y condensación D) Solidificación y vaporización E) Licuación y vaporización Señalar el número de proposiciones incorrectas, en:

A) B) C) D) E) 18.

El cambio de estado que ocurre con aumento de temperatura, es: Vaporización Solidificación Licuación Condensación Deposición

Con respecto al ion 4020Ca2+ se puede afirmar que presenta: A) 20 protones, 20 neutrones, 18 electrones B) 20 protones, 20 neutrones, 20 electrones

40

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C) 18 protones, 20 neutrones, 18 electrones D) 18 protones, 18 neutrones, 18 electrones E) 20 protones, 18 neutrones, 18 electrones 19. El modelo atómico actual se basa, en el: A) Modelo matemático cuántico y probalístico B) Principio de constitución o construcción C) Principio de exclusión de Pauli D) Regla de Hund E) Principio de Sommerfeld

E) 3 , -1 , 0 , +1/2 29.

Si Z es igual a 24, que valores corresponden a los cuatro números cuánticos del décimo noveno electrón de su configuración electrónica. A) 4 , 0 , 0 , +1/2 B) 3 , 1, -1 , +1/2 C) 3 , -1 , -1 , -1/2 D) 4 ,0 , 0 , -1/2 E) 3 , 0 , 0 , +1

20. El número cuántico magnético nos indica: A) La orientación espacial que rodea al núcleo atómico B) La forma de la región del espacio que ocupa el electrón. C) El subnivel energético del electrón. D) El nivel de energía E) La distancia que existe entre el núcleo y el electrón.

30.

21.

A) 6

A) 12

Un anión divalente es isoelectronico con un catión trivalente, y este último es isobaro con el cloro (A=35, Z=17) y a la vez es isótono con el fosforo (A=32 Z=15).Determinar su número atómico B) 14 C) 17 D) 18 E) 13

22. I) II) III)

Escribir como verdadero (V) ó falso (F) El Zn+2 es isoeléctrico con 28Ni El Zn+2 pertenece al grupo IIB El Zn+2 y el 28 Ni se encuentran en el cuarto periodo IV) El Zn+2 tiene los orbitales “d” completos, Y escriba la proposición correcta A) FVFV B) FVVV C) VFVF D) VVFF E) FFFV 23. Cuáles son los números cuánticos que indican el nivel y orbital en que se encuentran los electrones? A) Principal y magnético B) Principal y de spin C) Secundario y spin D) Secundario y magnético E) Magnético y azimutal 24. A) B)

C)

D)

E)

Respecto al enlace, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? Las electronegatividades de los dos átomos enlazados en la molécula de cloro son diferentes. El enlace químico que se produce cuando dos átomos comparten un par de electrones se llama enlace covalente. Cuando se forma un enlace químico entre dos átomos, el tipo de enlace dependerá de los valores de electronegatividad de los átomos unidos. Para la formación de un enlace covalente coordinado se requiere de un átomo que proporcione el par de electrones de enlace y otro que los acepte. El enlace iónico se produce entre un metal y un no metal, de preferencia ambos representativos.

A) 70 31.

La combinación de números cuánticos del ultimo electrón de un átomo es n=4 l=1 m=+1 s=+1/2. Hallar A sabiendo que el número de neutrones excede en 4 a la de protones. B) 37 C) 33 D) 23 E) 43 El número de orbitales “d” con spines apareados para el átomo de número atómico 44, es: B) 7 C) 5 D) 8 E) 4

32. Indicar el número de proposiciones correctas, en la estructura de Lewis para el ácido brómico. - Existen dos enlaces covalentes coordinados. - Existen tres enlaces covalentes coordinados. - Presentan 9 pares de electrones libres o electrones no enlazantes. - El ácido brómico presenta un enlace múltiple covalente. - En el átomo de bromo, hay un par de electrones libres. A) 2 B) 5 C) 3 D) 4 E) 1 33.

Indique verdadero (V) o falso (F), para las siguientes proposiciones, respecto al elemento cuyo átomo tiene número de masa 89 y 46 neutrones: I Pertenece al grupo VB II Es un elemento de transición III Es un elemento no metálico IV Pertenece al 5to. Periodo. La secuencia correcta es: A) VV FF B) VF VF C) FV FV D) FF VV E) FF FV 34. A) B) C) D) E) 35.

En la estructura de Lewis del nitrato de potasio, señale la alternativa correcta: El nitrógeno tiene un par de electrones no compartidos. Todos los enlaces son covalentes. Presenta un enlace covalente múltiple. Existen 2 enlaces covalentes dativos. El Potasio no cumple con la regla del octeto. Cuál será el número de neutrones de un elemento que pertenece al grupo de los metales alcalinos y se halla ubicado en el tercer período de la tabla periódica siendo su número de masa 23. A) 10 B) 15 C) 19 D)12 E)14

36. 25. A) 33

Si la configuración electrónica de un elemento termina en el orbital 4p3 . Hallar el número atómico de dicho elemento. B) 35 C) 17 D) 23 E)43

26.

Indique que numero atómico pertenece al quinto periodo. A) 35 B) 36 C) 37 D) 34 E) 55 27. A) 28.

¿Qué numero atómico corresponde a un elemento del cuarto periodo y al grupo IB? 37 B) 30 C) 29 D) 21 E) 19

Los números cuánticos del electrón ganado por el cloro para formar el ion Cl-, son: A) 3 , 1 , +1 , -1/2. B) 2 , 1, -1 , +1/2 C) 3 , -1 , -1 , -1/2 D) 2 ,0 , +1 , -1/2

En la estructura de Lewis del ión fosfuro P3- ( Z=15) , cuántas afirmaciones son incorrectas . - Tiene 7 orbitales atómicos llenos - Tiene 3 orbitales atómicos semi-llenos - Tiene 9 electrones con spin - ½ - La sumatoria de ml + ms para el último electrón de la capa mas externa es ½ - Tiene 10 electrones con número cuántico magnético igual a cero. A) 2, B) 1, C) 3, D) 4, E)5 37. ( ( ( ( (

Respecto al K2SO3, cuáles de las siguientes proposiciones son Verdaderas y falsas: ) Es un compuesto iónico ) Tiene cuatro enlaces covalentes ) El S tiene octeto expandido ) Tiene 10 pares de electrones compartidos ) El K1+ cumple con la regla del octeto A) VVFFV B) VFVFV C) VVVFF D) VFFFV E) VVVFF

A S I G N A T U R A : Q U Í M I C A | 41 E) 38. A)

Indicar la proposición correcta es: El nitrato de plata y el selenito de sodio tienen un enlace dativo B) El nitrato de plata y el selenito de sodio tienen un enlace multiple C) Ambos compuestos tienen solo enlace covalente D) En el selenito de sodio existe 5 pares de electrones libres E) En el selenito de sodio existen 2 enlaces dativos. 39. En la estructura de Lewis para el NaNO3, indicar verdadero o falso en las siguientes proposiciones. - Presenta dos enlaces múltiples - Existe un enlace covalente dativo - Existe dos enlaces covalentes normales - Presenta un enlace iónico - Tiene siete pares de electrones no compartidos A) FVFVF B) FFVVV C) VVFVF D) FVFVV E) VFVFF 40.

48.

5,1,1,+1/2 A qué grupo y periodo pertenece en la tabla periódica un elemento cuyo electrón diferenciador tiene los siguientes números cuánticos: 4, 1, +1, +1/2 A) VA y 4, B) VIIB y 4, C) IIIA y 4, VIA y 4, E) VIIIA y 5

49.

Las propiedades de los elementos químicos son función periódica de sus números atómicos, dicho enunciado corresponde a: A) Moseley B) Rutherford C) Dalton D) Mendeleiev E) Meyer

50.

El tipo de enlace en el RaCl2 es ...............y en una molécula de NH3 es..................... Iónico– covalente no polar Iónico – covalente polar Covalente – iónico Iónico – covalente coordinado Metálico – covalente polar

A) B) C) D) E)

¿Qué compuesto presenta enlace covalente polar? A) CaO B) NaCl C) H2 D) HCl E) MgCl2

51.

41.

I. II. fusión III. Son solubles en solventes apolares A. FVF B. VVV C. FFV D. VVF

¿Cuántos pares de electrones comparten el carbono y el oxígeno en la molécula de CO2? (A) 4 B) 2 C) 3 D) 8 E) 6

42. Qué proposición es falsa? A) El HF presenta enlace covalente polar B) El H2 presenta enlace covalente polar C) En el enlace covalente coordinado se comparte el par de electrones donados por uno de los átomos. D) Un enlace iónico se forma por atracción electrostática de dos iones de carga opuesta E) En un enlace covalente existe compartición de electrones 43. En la molécula del ácido sulfúrico: A) No existe ningún enlace covalente multiple B) Existe un enlace covalente dativo C) Existe dos enlaces covalentes dativos D) Existe tres enlaces covalentes normales E) Existe cuatro enlaces covalentes dativos 44. A) B) C) D)

¿Cuál no es característica del enlace covalente? El enlace es de naturaleza electrostática Se comparten pares de electrones de valencia Se puede establecer entre elementos iguales o diferentes Se forman cuando se combinan dos átomos que tienen igual electronegatividad o la diferencia de electronegatividades es muy pequeña. Es propia de la molécula de hidrogeno.

D)

Con respecto a las propiedades de los compuestos iónicos, marque como verdadero (V) o falso (V) y luego elija la alternativa correcta. Al estado sólido conducen la corriente eléctrica Tienen relativamente altas temperaturas de E. VFV

52.

En los siguientes compuestos; de acuerdo a su notación de Lewis, identificar quienes cumplen con la regla del octeto. I. AlCl3 II. BF3 III. N2O4 A)solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) II y III 53.

Indicar el compuesto con mayor número de enlaces dativos: A) CS2 B) Cl2O7 C) P2O5 D) HNO3 E) O3

54.

Marcar la alternativa incorrecta sobre el enlace iónico A) El enlace se produce entre metales de baja electronegatividad y no metales de alta electronegatividad. B) Las electronegatividades de los átomos que forman el enlace son diferentes. C) Se produce por la transferencia de electrones entre los átomos enlazados. D) El átomo que cede electrones se denomina dador. E) El átomo que recibe electrones de denomina aceptor.

La configuración electrónica del elemento de número de masa 91 y numero atómico 40, tiene: A) 51 electrones B) 4 electrones en el último nivel de energía C) 1 electrón desapareado D) 10 electrones en el penúltimo nivel de energía E) 2 electrones de valencia

Marcar la proposición incorrecta, en relación a los tipos de enlaces covalentes. A) En el enlace covalente normal, cada átomo aporta el mismo número de electrones B) El enlace covalente no polar se forma entre átomos de diferentes electronegatividades. C) En el enlace dativo, el par de electrones del enlace es aportado solamente por uno de los átomos. D) En un enlace múltiple 2 átomos pueden compartir 2 ò 3 pares de electrones. E) En un enlace covalente polar los átomos enlazados tienen siempre electronegatividades diferentes.

46.

56.

E) 45.

A) B) C) D) E) 47. A) B) C) D)

Un elemento X posee la siguiente configuración electrónica 3S2 3P5 el periodo y familia al que pertenece dicho elemento es: 3 y VA 3 y VIIA 3 y IVA 7 y IIIA 7 y VIIA Para el elemento de numero atómico Z=37 , identificar los números cuánticos del último electrón. 5,0,0,+1/2 5,0,0,-1/2 4,1,1,-1/2 5,0,1,+1/2

55.

Señalar la proposición incorrecta, de acuerdo con la estructura electrónica de Lewis para la molécula del AgNO3. A) El nitrógeno tiene un par de electrones no compartidos. B) Existe un enlace covalente coordinado. C) Existe un enlace iónico. D) El oxígeno cumple con la regla de octeto E) Presenta ocho pares de electrones no compartidos. 57.

Señalar el tipo de enlace químico que no corresponde a la estructura de cada compuesto. A) H2O : enlace covalente. B) MgO : enlace iónico. C) O2 : enlace covalente no polar D) K3N : enlace covalente polar.

42

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E) NaBr : enlace iónico.

67.

58.

A) B) C) D) E)

El Número de oxidación del oxígeno en los compuestos Na2O2 y CaO2, es: +1/2 y 2 -2 y -2 -1 y -1 +2 y +1 -1 y -1/2

68. A) B) C) D) E)

La relación incorrecta FÓRMULA – NOMBRE, es: HF = Fluoruro de hidrógeno H2Se (ac) = Seleniuro de hidrógeno P2O5 = Oxido de fosforo (V) Cl2O3 = Oxido de cloro (III) CS2 = Sulfuro de carbono (IV)

69.

Señalar el compuesto químico que no es hidruro metálico: NH3 NaH CaH2 LiH AlH3

Escribir la estructura de Lewis de las especies dadas. Indicar aquella que presenta dos enlaces covalentes coordinados. A) Cl2O B) H3AsO4 C) NH3 D) P2O3 E) ClO359.

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. El enlace covalente polar se produce entre átomos de diferentes electronegatividades. II. En los siguientes elementos: H2, O2, Cl2, en cada uno existe enlace covalente no polar. III. En una molécula binaria, las diferentes electronegatividades entre sus átomos formar un enlace apolar. A) VVV B) VVF C) FVF D) FFV E) FFF 60.

Proponer la estructura de Lewis correcta, e indicar el número de pares de electrones no compartidos. I. H3PO4 II. N2O3 A) 10 ; 8 B) 8 ; 8 C) 9 ; 8 D) 9 ; 9 E) 7 ; 8 61.

Se mezclan A gramos de una solución de KOH al 35% con B gramos de una solución de la misma sustancia al 10% y de esta forma se ha obtenido 600 gramos de solución al 15%. Determine los valores de A y B. A)480 y 120 B) 130 y 470 C) 470 y 130 D) 120 y 480 E) 190 y 410

61.

Se tiene una solución acuosa de densidad 0,9 g/cm3 con una concentración al 15% en masa de hidróxido de magnesio. Determina su molaridad, normalidad y molalidad respectivamente. A) 1,8; 4,8 y 1,2 B) 2,33; 4,66 y 4,7 C) 2,33; 4,66 y 3,04 D)0,60; 1,20 y 4,80 E) 1; 2 y 2,5 62.

En la molécula de KClO3, de acuerdo a su estructura electrónica de Lewis, el número de proposiciones correctas, son: - Forma tres enlaces covalentes. - Tiene un enlace iónico. - Presenta siete pares de electrones libres. - Conduce la corriente eléctrica en solución acuosa. - Tiene dos enlaces covalentes dativos. A) 5 B) 3 C) 2 D) 1 E) 4

63.

Indicar verdadero ( V ) o falso ( F ) en las proposiciones, para el ion fosfato PO4-3, de acuerdo a la estructura de Lewis. I. Tiene 4 enlaces covalentes simples ( ) II. Tiene 3 enlaces covalentes simples ( ) III. Tiene un enlace covalente dativo ( ) IV. Tiene un enlace covalente múltiple. ( ) A) VVVV B) VFVF C) VVFF D) FFFV E) FFVV

A) B) C) D) E) 70. A) B) C) D) E) 71. A) B) C) D) E) 72. A) B) C) D) E) 73.

A) B) C) D) E)

El compuestos que tiene mayor numero de átomos de oxigeno, es: Hidrógeno pirocarbonato de calcio Tetraborato de sodio Dihidroxicromito de sodio Sulfato de oro (III) El ácido telúrico En los siguientes compuestos: Ca3 (PO4)2; KClO4; Li2O2 Los números de oxidación del fosforo, cloro y oxígeno, son: +5,+5,+1 +5,+7,+1 +5,+7,-1 -5,+7,+1 +3,+5,-1

De las relaciones fórmula- nombre, ¿Cuántas son correctas? K2O2 : Peróxido de potasio SrO4 : Superóxido de estroncio LiO : Peróxido de litio SeO : Óxido de selenio Na2O2 : Peróxido de sodio

En las siguientes formulas, el número de compuestos que presentan enlaces iónicos, es: P2O5 ; MgCl2 ; PH3 ; Na2S ; HNO3 A) 4 B) 2 C) 5 D) 1 E) 3

A)4; B)5; C)1; D)2; E) 3 75.

De acuerdo a la estructura electrónica de Lewis, la fórmula en la que el átomo central no cumple con la regla del octeto, es : A) NH3 B) PCl5 C) CO2 D) SO2 E) Cl2O5

Marcar la alternativa correcta con respecto a los compuestos: I. HClO3 ; II. K2CO3 A) Las dos compuesto solo tienen enlace covalente B) El compuesto I, muestra dos enlaces covalentes C) El compuesto II, tiene enlace iónico, mas no covalente D) I y II son compuestos covalentes E) El número de electrones compartidos entre el cloro y oxígeno en el compuesto I, es 6

De los siguientes pares FORMULA-NOMBRE, el par correcto, es: H2B4O7 : Ácido tetrabórico H3AsO4 : Ácido piroarsénico C2O6 -2 : Ortocarbononato Zn(OH)4 : Hidróxido de zinc ClO:Clorito

74.

64.

65.

En las fórmulas CH4, CO2, CO y H2CO3, el número de oxidación del carbono, es: -4 , +4, +2, +4 +4 , +4, +2, +4 -4 , -4, +2, +4 -4 , +4, -2, +4 +4 , -4, -2, -4

66.

76. A) B) C)

El nombre correcto del compuesto químico Mg(H2PO4)2 , es: A) Dihidrógeno fosfato de magnesio B) tetra hidrógeno fosfato de magnesio C) hidrógeno fosfato de magnesio D) Fosfato de Magnesio E) Fosfato de hidrógeno y magnesio Señalar los nombres correctos que corresponden a: KHSO4; Ag3(OH)2BrO3 : Hidrogeno sulfito de potasio , dihidroxibromato de plata Hidrogenosulfato de potasio, dihidroxibromato de plata Hidrogeno sulfito de potasio , dihidroxibromito de plata

A S I G N A T U R A : Q U Í M I C A | 43 D) E) 77.

Hidrogeno ortosulfato de plata , dihidroxihipobromito de plata Hidrogeno sulfato de potasio , dihidroxibromato de plata

A) B) C) D) E)

El número de oxidación del cromo, en los compuestos, NaCrO2 , CrO , PbCrO4, es: +3,+2+3 +3,+1,+3 +3,+2,+6 +6,+2,+3 +2,+2,+6

78. A) B) C) D) E)

Indicar la relación correcta: H3PO4 : Acido (orto)fosfórico H3SiO4: Ácido ortosilícico H4P2O3: Ácido ortofosfórico H2S2O7: Ácido sulfúrico H2SO4 : Ácido ortosulfúrico

79.

En los compuestos, CaO, SO3, MnO, SiO2, Ag2O, Al2O5. El número de óxidos básicos, es: 2 4 5 3 1

A) B) C) D) E) 80. A) B) C) D) E)

La fórmula que corresponde al dihidroxipermanganato de indio es: In(OH)MnO4 In(OH)2MnO4 InHMnO2 In2(OH)2MnO4 In2(OH)(MnO4)2

81.

Indicar como verdadera (V) o falsa (F), las parejas FORMULA- NOMBRE: - KO2 - Oxido de potasio ( ) - CaO2 -Peróxido de calcio ( ) - Na2Cr2O7 – Cromato de sodio ( ) - K2MnO4 – manganato de potasio ( ) La secuencia correcta, es: A) FVFV B) VFFV C) VVFV D) VVVF E) FFFV 82.

Indicar como verdadera (V) o falsa (F), las siguientes proposiciones. - Un ejemplo de hidruro metálico es SeH2 ( ) - El manganeso es un elemento químico que forma solo óxidos ácidos. ( ) - En la fórmula OF2 el oxigeno tiene número de oxidación -1/2. ( ) - El azufre en los sulfuros de plomo tiene número de oxidación -2 ( ) La secuencia correcta, es: A) FFFV B) FFVV C) VVFF D) VVVV E) FVFF 83. A) B) C) D) E) 84. A) B) C) D) E) 85.

La sal que presenta mayor número de átomos, por unidad de fórmula, es: Bromuro de cobre (II) Cromato de sodio Dicromato de amonio Fosfato de oro (III) Carbonato de sodio La fórmula que corresponde al pirofosfato de calcio y disodio, es: Na2CaPO3 NaCaPO7 Na Ca 2P2O7 Na2CaPO3 Na2CaP2O5 A partir de 5 moles de Na2CO3 ¿Qué proposición no es correcta? (PA Na=23, C=12, O=16)

A) contiene 10 moles de iones sodio Na+ B) Contienen 15 moles de átomos de oxígeno C) Contiene 5 at-g de carbono D) Posee 15 moles de iones carbonato CO32E) Hay 60 g. de carbono 86.

El hierro, el componente principal del acero, es el metal más importante en la sociedad industrial. Cuantos átomos de hierro habrá en 95,8 g de hierro y cuantos gramos de hierro habrá en 5 moles de hierro? (PA Fe= 55.85) A) 1.03 x 10 24 átomos, 279.25 g. B) 1.04 x 10 23 átomos, 279.25 g. C) 1.04 x 10 -24 átomos, 279.25 g. D) 10.40 x 10 23 átomos, 289.25 g. E) 0.04 x 10 -24 átomos, 279.25 g. 87. A. B. C. D. E.

Hallar la masa y el número de átomos de hidrógeno en 3 moles de H3PO4 294g y 54X1023 492 g y 45X1023 249g y 47X1024 234g y 45X1025 200 g y 54X1023

88. El número de Avogadro representa: A) El número de átomos que hay en una molécula gramo B) El número de moléculas que hay en una moléculagramo C) El número de unidades de masa relativa D) El número de moléculas que existe en 2 litros de un gas a 37ºC E) la masa absoluta de un átomo 89.

¿Cuál de los siguientes conceptos son aplicables al mol? I) Indica un número de masas moleculares II Indica una determinada cantidad de sustancia III) El número de unidades de masa relativa A) Solo I B) I y II C) Sólo II D) I y III E) Sólo III 90.

Las tablas de composición de alimentos indican 159 mg de potasio en una manzana de tamaño regular. Determine el número de átomos de potasio que existe en una manzana. ( PA K=39) A) 6.02 x 10 23 B) 6.02 x 10 -23 C) 2.46 x 10 24 D) 2.46 x 10 23 E) 2.46 x 10 21 91.

Calcule la masa de 2 x 10 23 moléculas de agua destilada (PA H=1 , O=16) A) 5.98 g B) 8.96 g C) 5.01 g D) 5.38 g E) 4.38 g 92.

Calcular el volumen en ml y el número de átomos en dicho volumen, que ocuparan 5 g de gas helio a 0ºC y 760 mm de Hg.(PA He=4) A) 22570 mL , 7.52 x 10 -23 átomos B) 28000 mL , 7.52 x 10 23 átomos C) 2800 mL , 7.52 x 10 23 átomos D) 28000 mL , 0.752 x 10 23 átomos E) 22570 ml , 6.52 x 10 23 átomos 93.

El porcentaje en peso de cada elemento en una molécula de ácido piro sulfúrico es : (PA , H=1, S=32, O=16) A) 35.96, 1.12, 62.92 B) 33.96, 1.12, 62.92 C) 33.96, 1.02, 65.02 D) 1.12, 35.96, 62.92 E) 1.12, 37.96, 60.92 94.

Hallar la composición centesimal del agua en una sal de nitrato de sodio tetra hidratado (PA , Na=23, N=14, O=16, H=1) A) 45.46 % B) 45.86 % C) 54.14 % D) 11.46 % E) 56.92 95.

La fluorita es un mineral de calcio, siendo un compuesto de metal con flúor, el análisis muestra que 2.76 g. de muestra de fluorita contiene 1.42 g

44

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de calcio. Calcule el porcentaje de calcio y fluor en la fluorita. A) 64.41, 35.59 B) 51.44, 48.56 C) 64.01, 35.99 D) 53.75, 46.25 E) 46.25, 53.75 96.

Calcular la masa de Hidrogeno fosfato de sodio que deben estar contenidos en 0.5 moles de dicha oxisal ácida. (PA , H=1, P=31, O=16, Na=23) A) 61 g B) 61.9 g C) 71.9 g D) 71.0 g E) 70.0 g En una reacción de combustión completa de un compuesto, se libera oxido de carbono (IV) y agua. Al realizar el análisis, se observó que el porcentaje de carbono fue de 52.17 % y el de hidrógeno 13.04 %. Cuál será su fórmula verdadera si su masa molar fue 46g/mol? A) C2H6O B) C2H3O C) C2H6O2 D) C2H6O3 E) C2 OH6

C) D) E)

Síntesis y descomposición Descomposición y simple desplazamiento Metátesis y descomposición

106

En la siguiente reacción quimica: H2(g) + I2(g) 2HI(g) H = -20 kcal Se clasifica como: A) Homogénea, reversible, exotérmica y síntesis B) C) D) E)

Homogénea reversible exotérmica y síntesis Homogénea, reversible endotérmica y síntesis Homogénea irreversible endotérmica y metátesis Homogénea, reversible, exotérmica y metátesis

107.

Las siguientes reacciones químicas:

97.

98.

El análisis elemental de un compuesto iónico, dió los resultados siguientes: 2.82 g de Na, 4.35 g de Cl y 7.38 g de O¿ Cuál es la fórmula empírica y el nombre del compuesto? A) NaCl04 Clorato de sodio B) NaCl0 Hipoclorito de sodio C) NaCl04 Perclorato de sodio D) NaCl02 Clorito de sodio E) NaCl03 Clorato de sodio

CH4(g) + 2O2(g)

CO2(g) + H2O(l) + calor

H2(g) + O2(g) A) B) C) D) E)

2H2O(g)

Se pueden clasificar en: Exotérmica y reversible Endotérmica y reversible Exotérmica y heterogénea Endotérmica y descomposición Exotérmica y descomposición

Que masa ocupará 58 litros de gas fosfina a CN? (PA H=1 P=31) A) 44.8 g B) 22.4 g C) 83.39 g D 88 g E) 82.03 g

El número de moles de oxígeno en 2 moles de hidrógeno silicato de cobre ( I) es: A) 12,6 x 10 23 B) 2,4 x 1023 C) 36,12 x 10 23 D) 4 E) 6

100.

109.

99.

Cuantos moles y átomos contiene una masa de 28 gramos de hierro? (PA Fe=56) A) 0.5 , 3.01 x 10 23 B) ) 0.5 , 30.1 x 10 23 C) ) 1.5 , 3.01 x 10 23 D ) 0.5 , 3.01 x 10 -23 . E) 0.05 , 3.01 x 10 -24 101. En la siguiente ecuación química: SO2(g) + O2 (g) 2SO3 (g) + calor La correcta, es: A) Síntesis – exotérmica B) Descomposición – exotérmica C) Síntesis – endotérmica D) Desplazamiento simple – endotérmica E) Descomposición – endotérmica 102.

La fórmula empírica del ácido acético, ingrediente principal del vinagre es CH2O. ¿Cuál es la fórmula verdadera del compuesto si su masa molar es de 60 g/mol. M.A. : C=12; H=1; O=16 A)CH3COOH; B) CH3OH; C) CH3CHO; D) C2H5OH; E)C2H5COOH

103.

La suma de los coeficientes del agente reductor y oxidante en la ecuación química balanceada, es: HNO3 + Cu --------> Cu(NO3)2 + NO + H2O A) 11; B) 8; C)3; D) 5; E) 9

104.

El sodio reacciona con el agua formando hidróxido de sodio e hidrógeno molecular con liberación de energía.

Los tipos de reacciones a los que pertenece, son: A) Desplazamiento simple y exotérmica B) Descomposición y exotérmica C) Metátesis y endotérmica D) Descomposición endotérmica E) Desplazamiento simple y endotérmica 110. Al balancear la reacción en medio ácido H2O2 + I2 HIO3 + H2O Los coeficientes del agente reductor y del agua son: A) 1–4 B) 2–4 C) 5–2 D) 1–3 E) 4–1 111.

Al balancear la ecuación escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa KMnO4 + HCl MnCl2 + KCl + Cl2 + H2O I. El coeficiente del agente reductor 10 II. El número de electrones transferidos 10 III. El coeficiente de la sustancia oxidada 5 IV. Se forman 8 moles de agua La secuencia correcta es: A) FVVV B) VFFF C) FVFV D) FVVF E) FVFF

KMnO4 + FeSO4 + H2SO4 --------> K2SO4 + MnSO4 + Fe2(SO4)3 + H2O

Al balancear la ecuación química en medio básico   Cl2 + IO 3 CI- + IO 4 El coeficiente del producto reducido, es:

A)8; B)4; C)2; D)16;

A)

2 B) 1

113.

Al balancear la ecuación química en medio ácido

105.

En la Ecuación química balanceada el número de moléculas de agua es:

108.

E)5

En las siguientes reacciones químicas.

Zn + HCl KClO3

ZnCl2 + H2 KCl + O2

Identificar el tipo de reacción química: A) Simple desplazamiento y descomposición B) Descomposición y doble desplazamiento

112.

C) 3

D) 4

E) 5

KClO4 + H2O2 KCl + O2 + H2O Los coeficientes del agente oxidante y reductor es: A) 1y4 B) 4 y 1 C) 4 y 4 D) 1 y 3 E) 3 y 1

A S I G N A T U R A : Q U Í M I C A | 45 114.

Al balancear la ecuación en medio ácido. Señalar la proposición verdadera 2   Cr2O 7 + NO 2 Cr3+ + NO 3 2 A) El ion Cr2 O 7 es el agente oxidante  B) El ión NO 2 es la sustancia que se reduce C) D) E) 115.

El coeficiente de la sustancia oxidada es 2 Se forman 5 moles de agua La suma de los coeficientes de los productos es 10 Al balancear la ecuación química:

NaNO2 + Al + NaOH

Na3AlO3 + NH3 + H2O

La suma de dos coeficientes de los productos es: A) 4 B) 6 C) 7 D) 5 E) 3 116.

124.

A) B) C) D) E) 125.

Al balancear la siguiente ecuación en solución ácida: 

MnO 4 A) B) C) D) E)

que se forma es: (Masas atómicas: N = 14, H = 1) A) 60.71 g B)19.29 C)10.71 D)23.3 E)9.32

+ Fe2+ → Mn2+ + Fe3+

La suma de los coeficientes de los productos es: 10 14 24 6 9

117. Balancear la ecuación química: Zn + HNO3 Zn (NO3)2 + NH4 NO3 + H2O I. El Zn es el agente reductor II. El coeficiente de la sustancia oxidante es 4 III. El coeficiente del agente oxidante es 10 IV. La suma de los coeficientes de los productos es 8 La secuencia correcta, es: A) VFVV B) FVFF C) VFFV D) VFFF E) FVVV 118. En la siguiente reacción química balanceada: Cl2 + KOH KClO + KCl + H2O Marcar la alternativa correcta A) El agente reductor gana 2 electrones B) La suma de los coeficientes de los productos es 6 C) El productor reducido es KClO D) Se forman 3 moles de agua E) La sustancia oxidada es KCl Calcular el peso en Kg de la cal viva (CaO) que se puede obtener calentando 200Kg de caliza que contiene 95% de CaCO3 A)106,4 B)100,4 C)102,4 D)101,4 E) 200.4

A) B) C) D) E) 126.

A) B) C) D) E)

En la reacción: 𝑪𝒂𝑪𝑶𝟑 + HCl 𝑪𝒂𝑪𝒍𝟐 + 𝑪𝑶𝟐 + 𝑯𝟐 𝑶 Si el rendimiento de la reacción es del 70%,la cantidad de carbonato de calcio que se necesita para obtener 22.2 g de cloruro de calcio es: A) 28.82g B) 14g C) 20 D) 25 E) 12 123.

Se hace reaccionar 50 gramos de nitrógeno con 30 gramos de hidrógeno. La cantidad de amoniaco

En la descomposición catalítica del clorato de potasio se produce oxigeno gaseoso y cloruro de potasio, Si en el reactor se colocan 122.5g de clorato de potasio ¿qué volumen de oxigeno se produce a condiciones normales? 33.6 333 3.36 133 3

Si 8 gramos de A reaccionan con 20 gramos de B, y 8 gramos de A reaccionan con 16 de C. ¿Cuántos gramos de B reaccionarán con 4 gramos de C?. A) 4 B) 5 C) 6 D) 2 E) 3

128.

A) 129.

120. Se balancea la ecuación química: Al + NaOH + H2O NaAlO2 + H2 La suma de todos los coeficientes estequiometricos, es: A) 11 B) 12 C) 13 D) 9 E) 10

122.

Al reaccionar 112 gramos de nitrógeno gaseoso con 60 gramos de hidrogeno gaseoso para formar amoniaco. Determinar el reactivo en exceso y cuanto de exceso queda sin reaccionar. H2 - 36g N2 – 30g H2 - 10g N2 – 40g NH3 – 10g

127.

119.

121. Al balancear KClO3 + H2SO4 + FeSO4 Fe2(SO4)3 + KCl + H2O Cuántas proposiciones son correctas. I. El cloro es el agente reductor II. La suma de los coeficientes del agente oxidante y reductor es 7 III. El coeficiente de la sustancia reductora es 6 IV. El coeficiente de la sustancia oxidante es 3 V. Se producen 4 moles de agua A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5

Al reaccionar 476 g de bromuro de potasio con un exceso de ácido sulfúrico, el rendimiento de la reacción es del 60% según la ecuación: KBr + 𝑯𝟐 𝑺𝑶𝟒 𝑲𝟐 𝑺𝑶𝟒 + 𝑩𝒓𝟐 + 𝑺𝑶𝟐 + 𝑯𝟐 𝑶 Determinar los gramos de óxido de azufre (IV) que se producen. 76.8 g 67 g 43 g 100 g 30 g

Si 23 gramos de sodio se combinan con 1 gramo de hidrógeno y 35.5 gramos de cloro se combinan con 23 gramos de sodio, ¿cuántos gramos de hidrógeno se combinarán con 142 gramos de cloro?. 4g B) 8 g C) 2 g D) 6 g E) 7 g Hallar el peso de cal viva (CaO) que se puede obtener al calentar 200 g de caliza del 95% de pureza, si el rendimiento de la reacción es de 80%

CaCO3 A) 851.2 g B) 88.00 g C) 81.52 g D) 95.12 g E) 85.12 g

  

CaO + CO2

130.

En la siguiente ecuación química: KClO3 (s) + calor → KCl (s) + O2 (g) Si el rendimiento de la reacción es del 65%, ¿Cuántos gramos de clorato de potasio se necesita para producir 20 litros de oxigeno molecular a condiciones normales?. Pesos atómicos: K= 39 , O= 16 , Cl = 35.5 A) 112.2 B) 72.9 C) 51.1 D) 145.8 E) 104.2 131.

En la combustión completa del gas propano ¿cuantos gramos de propano del 90% de pureza se debe quemar para obtener 268 litros de dióxido de carbono en condiciones normales? A)195 B)200 C)100 D)19.58 E)20 132. A) B) C) D) E)

La ley que confirma la formación de los compuestos AuCl y AuCl3, se denomina Ley de las proporciones múltiples Los volúmenes de combinación Ley de Lavossier Las proporciones definidas Las proporciones reciprocas

46

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133.

El ácido clorhídrico reacciona con el carbonato de calcio para producir cloruro de calcio, dióxido de carbono y agua. ¿Qué cantidad de carbonato de calcio reaccionara, si se utilizó 584 gramos de ácido clorhídrico del 70% de pureza. A)560 g B)480 g C)780 g D)600 g E)500 g 134.

En la siguiente ecuación: Nitrato de potasio nitrito de potasio + oxigeno gaseoso El volumen de oxígeno que se produce en condiciones normales a partir de 8 moles de nitrato de potasio es: A) 89.6 B) 70.0 C) 120 D) 22.4 E) 44.8 135. A) B) C) D) E) 136.

A) B) C) D) E)

Que masa de zinc del 80% de pureza será necesaria hacer reaccionar con ácido sulfúrico para producir 11.2 litros de hidrogeno gaseoso. 40.65 56.0 80.0 34 4 Se hace reaccionar 6 gramos de carbono y 32 gramos de oxígeno para producir 14 gramos de óxido de carbono(II), según la ecuación siguiente: 𝑪(𝒔) + 𝑶𝟐(𝒈) 𝑪𝑶(𝒈) Para que se cumpla con la ley de las proporciones fijas y definidas ¿Cuántos gramos del reactivo en exceso queda sin reaccionar. 24 g 40 g 48 12 30

137.

Reaccionan 140 g de A con 60 g de B para formar un determinado compuesto. Y otro de 30 g de un elemento E se combina con 15 g de F. ¿Qué masa de A se combinará con 36 g de un elemento E?. A) 42 B) 34 C) 60 D) 30 E) 120

E)

100litros de oxígeno y 150 litros de CO2

143.

Cuantos gramos de óxido de cobre(II) se requiere para obtener 11.2 litros de nitrógeno gaseoso en condiciones normales de acuerdo a la ecuación: + 𝑵𝑯𝟑(𝒈) 𝑵𝟐 + Cu + H2O 119 g 138 g 230 g 477 g 20 g

CuO A) B) C) D) E) 144.

En un reactor se mezcla 180g de NO y 108 gramos de oxígeno, llevándose a cabo la ecuación: NO + 𝑶𝟐(𝑮) 𝑵𝑶𝟐(𝒈) Determinar el reactivo limitante y cuantos gramos de óxido de nitrógeno (IV) se forma, A) NO – 276 g B) NO2 - 123 g C) O2 43 g D) NO - 144 g E) O2 - 100 g 145. En la ecuación: NaCl + 𝑯𝟐 𝑺𝑶𝟒 Na HSO4 + HCl Hallar el volumen en litros de HCl (g) en condiciones normales que se obtendrá a partir de 11.7 g de NaCl del 80% de pureza y un ligero exceso de ácido sulfúrico. A) 4 g. B) 2g. C) 8g D) 10g E) 20g 146. A) B) C) D) E)

La nomenclatura correcta, en las siguientes proposiciones corresponde a: HIO : Acido yodoso Cu(OH) B4O7 : Hidroxitetraborato de cobre II Ag H 3As 2O5 : Trihidrógenoarsenato de plata Pb(OH)NO2 : Hidroxi nitrato de plomo II CdH2CO4 : Dihidrógeno ortocarbonato de cadmio

147.

138.

Se combinan 40 g de SO2 y 25 g de O2, determinar el % en masa del reactivo en exceso. Para la reacción. SO2 + 1/2O2 → SO3 A) 60% B)40% C) 10% D) 30% E) 25%

A) B) C) D) E)

139.

148.

Si en un recipiente se tiene 16 g de H2 y 16 g de O2. Hallar el reactivo en exceso de acuerdo a la reacción: H2 + ½ O2 → H2O A) 14 g B) 16 C) 2 D) 18 E) 20 140.

Si 28 g de Fe reaccionan con 9 g H2O según: 2Fe + 3H2O → Fe2O3 + 3H2. Que reactivo y en qué cantidad se encuentra en exceso: A) 9.4 g B) 18.67 C) 27.0 D) 56.0 E) 22.4 141.

De acuerdo a la ley de Gay Lussac el volumen de amoníaco que se produce a partir de la reacción de 4 litros de nitrógeno con suficiente hidrogeno de acuerdo a la ecuación: 𝑯𝟐(𝒈) + 𝑵𝟐(𝒈) 𝑵𝑯𝟑(𝒈)

A)8 litros B)16 litros 142.

C)3 l litros D)4 litros

E) 2 litros

Cuantos litros de oxigeno molecular y de óxido de carbono (IV) se obtendrán de la combustión completa de 200 litros de gas metano en condiciones normales, según la ecuación: 𝑪𝑯𝟒(𝒈) + 𝑶𝟐(𝑮) 𝑪𝑶𝟐(𝒈) + H2O A) 400 litros de oxígeno y 200 litros de CO2 B) 100 litros de oxígeno y 200 litros de CO2 C) 100litros de oxígeno y 50 litros de CO2 D) 200 litros oxígeno y 200 litros de CO2

Señalar que alternativa es incorrecta para los estados de oxidación de los siguientes compuestos: KAgMnO4 1+, 1+, 6+, 2CaMg(SO3)2 2+, 2+, 4+,2BaMgP2O7 2+, 2+, 5+, 2Na H2BO3 1+, 1+, 3+, 2KClO 2 1+, 5+, 2-

A) 64

Tres moles del compuesto XO2 pesan 192 gramos. Calcular el peso de 2 átomos de X, B)32x 10-23 C)12 D)18x 10-23 E)10,6 x 10-23

149. Al balancear la siguiente ecuación CrI 3 + Cl 2 + NaOH Na 2 CrO4 + NaIO4 + NaCl + H2O Indicar cuál de las proposiciones es correcta A) La sustancia que oxida al Cl2 es el NaOH B) El número de moles de agua formados durante la reacción es 16 C) Los electrones transferidos en la ecuación balanceada es 27 D) La suma de los coeficientes del agente reductor y la sustancia que se reduce es 54 E) La suma de los coeficientes del agente reductor y agente oxidante es 29 150.

A)

En un recipiente se tiene 45 g de sodio metálico y 10 L de sulfuro de hidrógeno, al reaccionar estas sustancias , qué peso de sulfuro de sodio se formara en condiciones normales de presión y temperatura, además de generar hidrógeno.m.a Na=23 H=1 S=32 76,3 g B) 78 g C) 20 g D) 39 g E) 34,8 g

A S I G N A T U R A Q U Í M I C A | 47 151. A) B) C) D) E)

Calcular la normalidad de 300 mL de una solución que contiene 22 g de borato de amonio 0,67 N 2,5 N 0,64 N 10,5 N 1,95 N

162. A) B) C) D) 163.

152.

Se mezclan A gramos de una solución de KOH al 35% con B gramos de una solución de la misma sustancia al 10% y de esta forma se ha obtenido 600 gramos de solución al 15%. Determine los valores de A y B. A) 480 y 120 B) 130 y 470 C) 470 y 130 D) 120 y 480 E) 190 y 410

164.

153.

Se tiene una solución acuosa de densidad 0,9 g/cm3 con una concentración al 15% en masa de hidróxido de magnesio. Determina su molaridad, normalidad y molalidad respectivamente. A) 1,8; 4,8 y 1,2 B) 2,33; 4,66 y 4,7 C) 2,33; 4,66 y 3,04 D)0,60; 1,20 y 4,80 E) 1; 2 y 2,5

A) B) C) D) E)

154.

165.

La molalidad de una solución hidróxido de sodio al 10 %(P/p) es: A)2.78m B)27.8m C)1.73m D) 3.00 E)17.8 155.

A)1 B) 0.5 C) 3 D) 2 E) 0.1

acuosa

de

Calcule la normalidad de una disolución que se obtiene al diluir con agua 3.5 litros de ácido sulfúrico 4 molara, hasta obtener un volumen final de 28 litros.

156.

Una solución acuosa de ácido sulfúrico al 80% de densidad 1,37 g/mL: Qué peso en gramos están contenidos en 40 mL y qué volumen ocupa 30 gramos del ácido. Se disuelven 35g de MgCl2 en 150 g de agua dando una solución cuya densidad es 1,12 g/cc. Calcular la concentración de la solución en:  % m/m  % m/v A. 18,92 % y 21,19% B. 29,16% y 22,19% C. 21,19% y 19,16% D. 18,92% y 22,19% E. 18,92% y 20% 157. Se tiene una solución de Ácido sulfúrico al 84% en peso, de densidad 1.82 g/mL. Calcular la Molaridad y la Normalidad. M.A. : H=1; S=32; O=16 A) 15.6 - 31.2; B)14 – 30; C) 31.2 – 16.5; D) 15.6 – 21.3; E) 31.2 – 15.6 158.

Calcular el peso gramo equivalentes de los siguientes compuestos químicos: Ca3(PO4)2 , H3PO4 , Al(OH)3 , HCl. M.A. : Ca=40; P=31; O=16; H=1; Al=27; Cl=35.5 A)51.6;32.6;26;36.5 B)32.6; 51.6;25; 35 C)36.5;30; 20; 35 D)32.5; 32.6; 16; 26.5 E) 50;30;26;30 159.

A) B) C) D) E)

Cuantos gramos de NaOH, están presentes en 200 g de una solución 0.5 molal de NaOH M.A.: Na=23; O=16; H=1 A) 3.92; B)39.2; C) 3; D) 9.2; E) 2.39 160. Se tiene una solución acuosa de Sulfato de Aluminio al 10 % p/v, la Molaridad y Normalidad de la solución es: M.A.: Al= 27; S=32; O=16 A) 0.29 - 1.75; B)2.9 – 17.5; C) 29 – 17.5; D)9.2 – 7.51; E) 0.29 – 17.5 161. El Número de gramos de Fosfato de Calcio que están presentes en una solución 3N de esta sal en un volumen de 500 mL, es: M.A.: Ca=40; S=32; O=16 A)77.4; B)7.74; C) 774; D)47.7; E) 74.7

Cuál es la molalidad de una disolución que contiene 20g de azúcar (C12H22O11), Disueltos en 125g de agua. P.A. C=12, O =16 0.5 E) 1 1.5 5.0 0.2 En 120 g de agua (D=1g/mL) se ha disuelto a la temperatura de 23oC, se ha disuelto 0,45 g de KBr y 0,95g de NaCl. ¿Cuál es el porcentaje en peso de NaCl en la solución? A) 0,78 B) 0.80 C) 0.92 D) 0,92 E) 0,84 Se tiene 115 gramos de solución de ácido clorhídrico 9.5 N de densidad 1.15 g/mL. La cantidad de agua que debe añadirse a esta solución, para obtener para obtener una solución 1.5 N, es: 500 mL 533 mL 633 mL 100 mL 200 mL Se requiere preparar 500 gramos de una solución acuosa de hidróxido de potasio al 8 % en peso. La cantidad de hidróxido de potasio es: 20 g 30 g 40 g 50 g 25 g

166.

Una solución de HCl al 15 % en masa, tiene una densidad de 1.25 g/mL.¿Cuántos gramos de soluto hay en medio litro de solución. A) 93.8 g B) 15 g C) 80 g D) 70 g E) 30

g 167.

Se tiene una solución de ácido bromhídrico 2 M de densidad 1.62 g/mL. El porcentaje en masa de HBr es: A) 18 % B) 12 % C) 10 % D) 15 % E) 8 %

168. A) B) C) D) E)

A 25 mL de solución de ácido nítrico 3 normal se añade 125 mL de agua. La normalidad de la solución resultante es: 1.0 N 1.5 N 2.0 N 0.5 N 0.8 N

169.

Un frasco contiene ácido sulfúrico concentrado del 60 % en masa y densidad 1.2 g/mL. La normalidad y la molalidad de la solución es: (Masas atómicas: H = 1, S = 32, O = 16) A) 14,7 N y 15,3 m B) 12,6 N y 10,3 m C) 7.35 N y 10,3 m D) 7.35 N y 15,3 m E) 14,7 N y 15,3 m 170. ¿Qué peso en gramos de etanoato de sodio, se requiere para preparar 200g de una solución acuosa al 60% en peso?. A) 130 B) 135 C) 135 D) 156 E) 120 171.

Hallar el porcentaje en peso de alcohol a la temperatura de 8oC, en una mezcla formada por 170 mL de alcohol de densidad 0,8 g/mL y 135 mL de éter de densidad 0,7 g/mL. a) 59% b) 60% c) 62% d) 73% e) 74%

172.

Hallar el porcentaje en volumen de NaCl a la temperatura de 18oC en una mezcla formada por 600g de NaCl de densidad 0,9 g/mL y 1200g de ácido sulfúrico de densidad 0,92g/mL. a) 30% b) 41% c) 33,8% d) 40% e) 35,9%

48

| CEPRU2015

173.

174.

175.

Una disolución de 120 mL, contiene 34g de sulfato de sodio. Si la densidad es de 1,20g/mL. Hallar el porcentaje en peso del sulfato de sodio en la solución. a) 23,61% b) 43,2% c) 36% d) 23,4% e) 76,8% Cuál será la molaridad del ácido nítrico puro al 25% en masa de densidad 1,12g/ml. (H=1,N=14,O=16) a)0,5 b) 1,2 c) 1,4 d) 0,98 e) 4,44 Determine la molaridad de 500 ml de solución. Si se dispone NaOH al 60% en masa de densidad 1,6g/mL. (H=1,Na=23,O=16). a) 0.50 b) 0.048 c) 0.33 d) 0.54 e)0.23

176.

Calcular el porcentaje en masa del ácido bórico de una solución 2M cuya densidad es 1,82g/mL. (H=1.B=11,O=16) a) 1% b) 6,2% C) 6,38% d)5% e) 6,8%

177.

Cuál es la molalidad del ácido nítrico al 30% puro de densidad 1,112 g/mL. (H=1,N=14,O=16). a) 7 b) 6,8 c) 9,3 d) 8,03 e) 7,95

178.

Se preparó una solución de NaOH al 60% en masa de densidad 1,4g/mL. Determine la concentración molal de la solución. (Na=23,O=16,H=1). a) 131,25 b) 123,4 c) 37,5 d) 121,6 e) 98,4

179.

Determine el peso del ácido fosfórico necesario para obtener 800 ml de una solución 3 decinormal. (H=1, P=31;O=16). a) 23,4 B) 33,2 c) 7,9 d) 24,2 e) 68,94

180.

Hallar los peso equivalentes en gramos por equivalente gramo de: HNO3, Ba(OH)2, Fe2O3, Al2(SO4)3. (H=1, N=14, O=16, Ba=137, Fe=56, Al=27,S=32) A) 60 80 28 38,2 B) 62 82 29 37,3 C) 63 85,5 26,7 57 D) 63 87,3 28,7 40,3 E) 61 84 32 42 La densidad del ácido bórico al 70% en peso es 1,6 K/L. Determine la normalidad y la molaridad del ácido. (H=1, B=11,O=16). A)19 y 23,3 B)20 y 13,4 C) 16 y 16 D) 18,06 y 18,06 E)21.03 y 42,06

181.

182.

183.

La cantidad de pirofosfato de Ag necesario para preparar 150ml de solución de pirofosfato de Ag decinormal es: (Ag=108, P=31, O=16). a) 11,21 b) 2,87 c) 3,45 d) 3,23 e) 2,27 Para una solución de ácido sulfúrico de densidad 1,84g/ml y 26N. Determine el porcentaje en masa del ácido. a) 23,2 b) 69.2 c) 45,6 d) 31,7 e) 56,2

184.

Cuántos litros de agua en una disolución de CaO de densidad 2.2 g/ mL y 40 % en peso, hacen falta para preparar 14 litros de una solución 2 N (H = 1, Cl=35,5). a) 3.5 b) 0.89 c) 31,4 d) 0,15 e) 11.1

185.

Cuál es la molaridad de una solución de ácido sulfúrico de densidad 1.65 g/mL y porcentaje al 64%. Masas atómicas: H= 1; S= 32 y O=16 u.m.a. A) 10.77; B)10; C)5; D)17.7; E)7.7

186.

187.

A 100 Kg. De H2SO4 al 25 % de pureza se le agrega 20 Kg de Zinc del 100% de pureza. Determine el volumen de H2 desprendido a C.N.; M.A. ( Zn=65; H=1;O=16; S= 32). A) 5714,2 L; B) 5000 L; C)714L; D) 6000 L; E)4000 L Los alcanos de acuerdo a la estructura de su cadena carbonada, se clasifican en : A) saturados e insaturados B) saturados y aromáticos C) normales y ramificados D) alicíclicos y aromáticos E) isómeros y aromáticos

188.

El número de carbonos cuaternarios en el 5 – terc butil – 3 – etil – 8,9 dimetil – 2,8 undeca dieno, es: A)5 B)3 C)4 D)6 E)2

189.

En la combustión completa del nonano, el número de moles de oxigeno que reacciona es : A)28 B)9 C)14 D)7 E)18

190. I. II. III. IV.

En las siguientes proposiciones, señale V (verdadero) o F (falso) y luego escoja la alternativa correcta : la halogenacion de los alcanos es una reacción de sustitución Los alcanos son sustancias muy reactivas En los alquenos la mayor parte de las reacciones son de sustitución Los hidrocarburos son sustancias combustibles. A)V V F V B)V F V V C) V F F V D)V F V F E) F V V F 191. Los combustibles fósiles como fuente natural de hidrocarburos se originan en la descomposición de : A) el aire B) minerales C) materia orgánica D) materia inorgánica E) el agua 192. Cuando el acido clorhídrico reacciona con el 3 – metil - 2 – penteno, el producto formado es: A) 3 – metil – 2 –cloro pentano B) 2 – cloro – 3 – metil pentano C) 3 – cloro – 3 – metil pentano D) 3,3 dicloro pentano E) 3,3 dicloro – 3 - metil pentano 193. En la reacción del 2 metil pentano con el bromo gaseoso, el producto principal es: A) 2 metil bromo pentano B) 2 bromo pentano C) 2 bromo – 2 – metil pentano D) 2 - bromo metil pentano 194. 2-2 dibromopentano El número de carbonos terciarios y cuaternarios que existe en el 3 – terc butil – 4 neopentil – 2,4 hexadieno es: A) 3 – 3 B) 4 – 2 C) 2 – 4 D) 5 – 1 E) 1 – 5 195. En la hidratación del 3 etil – 6 – metil – 5 deceno, el producto formado es: A. 3 – etil – 6 metil decanol B. 3 – etil – 6 metil – 6 decanol C. 8 – etil – 5 –metil – 5 decanol D. 8- etil – 5 – metil decanol E. 5,8 dimetil decanol 196. I.

II. III. IV.

Señale las siguientes proposiciones de V (verdadero) o F (falso) y luego señale la alternativa correcta: Los primeros y últimos carbonos de una cadena carbonada siempre son carbonos primarios. El carbono terciario tiene un hidrogeno enlazado. La formula global de un hidrocarburo solo muestra los enlaces carbono carbono. Los alquinos participan en reacciones de adición. A) V V F V B) V V V F C) F V F V D) F V V F E) F F V V

197. Señalar la alternativa correcta respecto a los compuestos aromáticos. A) Los dobles enlaces son aislados B) Los dobles enlaces son conjugados C) Tienen núcleo de ciclo hexano D) Conocidos también como olefinas E) El benceno y fenil son isómeros 198. Señalar la alternativa correcta respecto a los aromáticos de núcleos condensados. A) El naftaleno tiene 3 carbonos inactivos B) El antraceno y naftaleno son isómeros C) El antraceno y fenantreno son isomeros D) En el antraceno el carbono 4 y 7 son equivalentes E) El fenantreno está formado por tres anillos bencénicos lineales.

A S I G N A T U R A Q U Í M I C A | 49 199.

La nomenclatura de los siguientes compuestos aromáticos, son:

CH3

CH3 H5C2 HC

A) B) C) D) E) 200.

O C H

HC H3C

CH3 p-butiltolueno; acido m- isopropilbenzoico p-isoprolpiltolueno; m- isopropiltolueno p-sec.butiltolueno; m- isopropilbenzaldehido p-isobutiltolueno; m- propilbenzaldehido p- metoxitolueno; m-metoxibenzaldehido La nomenclatura de los siguientes compuestos aromáticos, son:

OH

Cl A) B) C) D) E) 201.

; m-cloro, fenil-benceno; alfa naftol p- cloro, fenil-benceno; alfa naftol m- cloro, fenil-benceno; beta naftol m-cloro,bencil-benceno; alfa naftol m-cloro, fenil-benceno; 2-hidroxiantraceno

La nomenclatura de los siguientes compuestos aromáticos, son:

Cl H2N CH3

NH2 ;

A) B) C) D) E) 202.

Alfa amino, beta cloroantraceno; alfa amino beta metilfenantreno 1-amino, 10-cloroantraceno; 9-amino, 1-metilfenantreno p-cloroanilina; m- metil anilina p-clorotolueno; m- aminametilfenantreno 3-amino, 9-cloroantraceno; 1-amino, 3-metilfenatreno

La nomenclatura de los siguientes compuestos aromáticos, son:

NH2

O C OH

O

A) B) C) D) E) 203.

CH

3 ; Benzaldehído; p- metoxianilina Acido benzoico; p-metoxianilina Carboxi benceno; metoxi,amino benceno Acido benzoico; p-metanoatoanilina Metoxitolueno; m-metoxibenzaldehido

Cuántos de los siguientes compuestos son aromáticos OH CH3

CH3

CH3 OH

A) 1 204.

B) 2

C) 4

D) 5

E) 3

Señalar la alternativa incorrecta A) Las reacciones que ocurren en aromáticos es por adición B) Las reacciones que ocurren en aromáticos es por sustitución C) La fórmula molecular de fenol es C6H6O D) En la nitración del benceno como producto se forma una molécula de agua E) La fórmula molecular de fenantreno es C14H10

50

| CEPRU2015

205.

En la siguiente reacción el producto principal que se forma es:

+ H3C CH2 Cl A) B) C) D) E)

AlCl3

+ HCl

?

metilbenceno clorobenceno propilbenceno etilbenceno m-cloro,etilbenceno

C2H5

206. la estructura correcta de 2-etil, 7-metilfenantreno,es:

C2 H 5

A)

H5C2

B)

C)

CH3

CH3

CH3 H 5C 2

H5 C2 D)

CH3

E)

CH3 207.

En la siguiente reacción el reactivo que falta, es:

+ A) B) C) D) E) 208.

209.

?

H2SO4

NO 2

fenilo nitrato ácido nítrico ácido sulfúrico nitrobenceno

Al balancear la reacción de combustión del etanol, la suma de los coeficientes de los reactantes y productos es: A) 8 B) 9 C) 7 D) 6 E) 5 Por deshidratación del 2-butanol a 180°c y en presencia de ácido sulfúrico, se obtiene: A) 2-buteno B) 1-butanol C) 2-butino D) 1,2-butadieno E) 1-butino

210.

La fórmula molecular del 3-metil-2-butanol es: A)C5H11O B) C5H12O C) C4H10O D) C5H12 E) C5H12O2

211.

Por oxidación del 2-butanol en presencia de dicromato de sodio, se obtiene: A) 3-butanona B) Butanal C) 2-buteno D) Butanona E) 1-buteno

212.

Indicar con verdadero (V) o falso (F) las proposiciones: El etilenglicol es el 1,2-etanodiol ( ) En el fenol el grupo hidroxilo se encuentra en carbono cuaternario ( ) La reacción de un etanol con el sodio produce etóxido de sodio ( ) Por deshidratación bimolecular de alcoholes se obtiene alquenos ( ) La secuencia correcta es: A)V F V F B) V V V F C) F V F V D) V V F F E) F V F F

-

213.

+ H2O

En el p-isopropil fenol, el número de carbonos secundarios y terciarios es:

A)0 y 6

B) 0 y 5

C) 2 y 2

D) 3 y 3

E) 3 y 4

214.

La fórmula molecular del m-etil fenol es: A) C10H10O B) C10H8O C) C6H8O D) C8H8O E) C8H10O

215.

Marcar con verdadero (V) o falso (F) las proposiciones: El 2-fenil-2-propanol es un fenol ( ) El 1,4-dihidroxibenceno se denomina hidroquinona ( ) Los fenoles son compuestos que tiene grupo hidroxilo unido a carbono aromático ( ) En el fenol el grupo hidroxilo se encuentra en carbono secundario ( ) La secuencia correcta es: A) F V V F B) V F F V C) F F V V D) V F V F E) F V V V

216.

Indicar la relación incorrecta: A) Oxidación de alcohol primaria: aldehído B) Oxidación de alcohol secundario: cetona C) Combustión de alcoholes:Ácidos carboxílicos D) Reducción de cetona:Alcohol secundario E) Hidratación de alqueno: alcohol

217. Al deshidratar el 2-metil-2-butanol, se produce: A) 3-metil-2-buteno B) 2-metil-2-buteno C) 2-metil-2-butino D) 2-metil butanol E) 2-metil butano

A S I G N A T U R A Q U Í M I C A | 51 218. -

Marcar con verdadero (V) o falso (F) las proposiciones: El dietil éter se puede obtener por deshidratación bimolecular del etanol con ácido sulfúrico y a 140ºC( ) Los éteres son compuestos con grupo funcional –COOH ( ) El acetato de etilo es un éter ( ) El fenil metil éter es el metoxibenceno ( ) La secuencia correcta es: A) V V F F B) V F F V C) F F F V D) V V F V E) F F V V

219.

De la relación siguiente: fenilalanina, anilina, bencilamina, alanina y valina cuantas SON AMINOACIDOS A) 3 B)1 C)2 D)4 E)5

220.

El etoxietano se produce por la reacción de: A) Oxidación del etanol B) Hidratación del etanol C) Reducción del aldehído D) Deshidratación bimolecular de etanol E) Fermentación de glucosa

221.

Por la reacción de etanol con el metanol en presencia de ácido y temperatura, el producto principal que se forma es: A) Metanoato de etilo B) Metoxietano C) Etanoato de metilo D) Dietil éter E) Dimetil éter

222.

Por reducción de la propanona se obtiene: A) Acido propanoico B) 1-propanol C) 2-propanol D) Propanal E) Propano

223. ( ( ( ( (

224.

232.

Indique verdadero o falso según corresponda. ) El carbono alfa de cada aminoácido, con excepción de la glicina, lleva unidos cuatro grupos químicos diferentes. ) la característica que determina que cada aminoácido sea químicamente distinto es el la cadena lateral R ) La fenilalanina y la tirosina poseen un anillo aromático en su cadena lateral R ) La cisteína y la serina son aminoácidos azufrados. ) La tirosina y la serina, poseen un grupo hidroxilo en su cadena lateral R A) VVVFV B) FVVFV C) FVVVV D) VVVFF E) FFVFV Indicar con verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: - La función aldehído se encuentra en carbono secundario - La función cetona se encuentra en carbono secundario

-

226.

¿Cuál de los siguientes polisacáridos constituye una fuente de reserva de energía en los animales?: A) Sacarosa B) Glucógeno. C) Almidón. D) Celulosa E) Lactosa 227. Respecto a los carbohidratos, indicar si es verdadero(V)ó Falso(F), según corresponda y elegir la alternativa correcta. ( ) La glucosa, la galactosa y la fructosa son isómeros ( ) La sacarosa está formado por glucosa y galactosa ( ) La lactosa se encuentra en la caña de azúcar ( ) El almidón está formado por amilosa y glucógeno A) VFVF B) VFFF C) FVFV D) FFVV E) VVFV 228. Los azucares son compuestos formados por: A) C, S y O B) H, C y N C) C, O y N D) N, H y C E) C, H y O 229. A) B) C) D) E)

La saponificación se produce entre: éster graso y agua ácido graso y un hidróxido de sodio ácido graso y un hidróxido alcalino ácido graso y un alcohol éster graso y un hidróxido alcalino

230.

La lactosa está formada correspondiente a : A) Glucosa y Glucosa B) Fructosa y glucosa C) Glucosa y galactosa D) Fructosa y galactosa E) Fructosa y Fructosa

Indicar con verdadero (V) o falso (F) las proposiciones: La fórmula del etilenglicol es CH2OH-CH2OH ( ) La fórmula del glicerol es CH2OH-CH2-CH2OH ( ) El dietil éter es el etoxietano ( ) Los éteres tiene grupo funcional R-O-O-R ( )

por

231. La galactosa es: A) Aldohexosa B) Cetopentosa C) Triosa D) Cetohexosa E) Disacárido

Para la estructura siguiente:

Marcar la alternativa correcta: A) Es sacarosa B) Está formada por galactosa y glucosa C) Es cetohexosa 233.

- La glucosa es un pentahidroxihexanal - La sacarosa es un oligosacárido La secuencia correcta es: A) F V V V B) F V V F C) V F V V D) F V F V E) V F V V 225. Respecto a los carbohidratos. ¿Cuántas alternativas son correctas? ( ) La combustión de la glucosa produce en los organismos vivos: óxido de carbono (IV) y agua. ( ) Los carbohidratos más simples son los monosacáridos y los oligosacáridos. ( ) La cetosa más abundante en la naturaleza es la Dfructosa () Las plantas y animales almacenan la glucosa en forma de almidón y glucógeno, respectivamente. ( ) La celulosa es un oligosacárido estructural en las plantas. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

D) E)

Es almidón Es maltosa

La secuencia correcta es: A) V V V F B) V V F F C) F V F V D) V F V F E) V F F F

dos

hexosas

52

| CEPRU2015 B) C) D) E)

234. La masa molar del metoxibenceno es: A)109 g/mol B)108 g/mol C)96 g/mol D)92 g/mol E)110 g/mol 235.

Indicar falso (F) o verdadero ( V) a las siguientes propuestas. ( ) El 3,3 dimetil -2- butanol corresponde a un alcohol terciario ( ) La reducción del, 1,4 butanodiol produce ácido 1,4 butanodioico ( ) El glicerol corresponde estructuralmente al 1,2,3 propanotriol ( ) La oxidación del 3 hexanol produce 3 hexanona e indicar la alternativa correcta A) VVVV B) FVFV C) VVFV D) FFFF E) FFVV 236.

La nomenclatura correcta para los siguientes compuestos :

CH3- C( CH3) 2 – CN

y

El ácido acético se produce industrialmente por la reacción directa de metanol con óxido de carbono(II). CH3OH + CO ------> CH3COOH

¿Cuántos gramos de metanol tienen que reaccionar con CO en exceso para preparar 5 Kg. De ácido acético, si el rendimiento esperado es del 80 %. M.A. : C=12; H=1; O=16. A)3333,3 g. ; B) 3030 g. ; C) 2666,66 g.; D) 3000 g. ; E)2000 g. 238.

En la reacción de hidratación del 2-metil propeno el producto formado, es: A)2-metil-2-propanol B) 2-propanol C) 2-metil propanol D) propanol E) 1-metil- 1-propanol 239.

La fórmula molecular del compuesto: etil neopentil – amina, es: A) C7H11N B) C7H17N C) C7H19N D)C6H16N E) C17H7N 240.

La siguiente formula:

Corresponde a: A)Dimetilbenceno D) N,N – dimetilanilina 240.

B) N – dimetil anilina E) benzamina

La siguiente fórmula general:

Corresponde a: A) Una amina secundaria B) Una amina terciaria C) Una amida secundaria D) Un nitrilo E) un aminoácido 241. La siguiente formula: NH2 CH2 – CH2 – CH2 – COOH Corresponde a: A) Ácido butanoico

242.

Marca la alternativa que corresponde al nombre del siguiente compuesto químico: (CH2)2 – CH3 CH3 – N – (CH2)4 – CH3 A) N – etil, N – metilbutilamina B) N –metil, N – propilpentanamina C) N, N – dietil – N – metilamina D) N – metil – N – pentil – N – isopropil amina E) N,N,N - metiletilpentilamina 243. El aminoácido más simple es: A) Tirosina B) Alanina C) Fenilalanina D) Serina E) Glicina 243. La siguiente estructura:

( C6H5)2 N-C5H11 es:

A) 2,2 dimetil propanonitrilo y N-fenil, N-pentil anilina B) pentanonitrilo y trifenilamina C) butanonitrilo y difenil- 2 pentenamina D) 2 metil propano nitrilo y difenil pentanamina E) 2 metil propano nitrilo y difenil, pentil amida 237.

N – butil amina Acido amino butanoico Acido 4 - amino butanoico Butilamida

C) Anilina

A) D)

Corresponde a: Tirosina B) Alanina Serina E) Glicina

244. A) B) C) D) E)

C) Fenilalanina

Los aminoácidos se caracterizan porque tienen en su estructura: Un grupo aldehído y un grupo cetónico Un grupo amino y un grupo carboxilo Un grupo amino y un grupo carbonilo Un grupo carbonilo y un grupo aldehído Un grupo oxidrilo y un grupo amino

245. El nombre del siguiente compuesto químico: NH2 – CO – A) B) C) D) E)

es:

Fenilamina Fenilcarboxiamida Benzamida Anilina Acido benzoico

246. Las siguientes formulas: NH2 – CO – CH3 ; CH3 – NH – CO – (CH2)2 – CH3 Corresponden respectivamente a A) Etanamida y N – metil propanamida B) Etanamida y Pentanamida C) Propanamida y N – metil propanamida D) etanamida y N – metil butanamida E) Etanamida y propanamida 247. La siguiente formula general: R – CO – NH2, corresponde a: A) Una amina B) Un aminoácido C) Una amida D) Un nitrilo E) Una cetona 248. La siguiente formula general: R – C ≡ N corresponde a: A) Una amina B) Un aminoácido C) Una amida D) Un nitrilo E) Una cetona 249. El nombre del siguiente compuesto químico: CH3 – (CH2)3 – C ≡ N, es: A) Cianuro de propil B) Butano nitrilo C) Cianoetano D) Pentanamida E) Pentano nitrilo 250.

El nombre del siguiente compuesto químico de acuerdo a la IUPAC:

A S I G N A T U R A Q U Í M I C A | 53

51.

A) m – cloro benzonitrilo B) m – cianoclorobenceno C) Cianuro de m – clorofenilo D) 4 – cloro fenilo E) Cianuro de p – clorofenilo Las siguientes formulas: CH3 – C ≡ N; CH3 – CH2 – C ≡ N; corresponden respectivamente a: A) Cianoetano y etanonitrilo B) Etanonitrilo y cianuro de etilo C) Cianuro de etilo y cianuro de propilo D) Ciano etano y ciano propano E) Ciano metano y cianuro de propil

254.

252.

Por oxidación del propanal en presencia del permanganato de potasio como agente oxidante, el principal producto formado, es: A) Etil, metil éter B) 2-propanol C) Propanona D) Acido propanoico E) Propano

253.

En el N,N,-etil,fenil propanamida, la formula molecular, es: A) C11H14N2O B) C10H15NO2 C) C11H13N2O D) C10H13NO2 E) C11H15NO

Las siguientes estructuras, corresponden a los siguientes disacáridos:

A) B)

Sacarosa y Maltosa. Maltosa y Lactosa.

C) D)

Lactosa y sacarosa Maltosa y sacarosa

255. El 3-isopropil-1-nitro naftaleno y el 2-clorofenantreno, tienen como fórmula molecular, respectivamente: A) C13H13NO2 y C14H9Cl C) C13H12NO2 y C13H9Cl B) C14H12NO2 y C14H10Cl D) C15H13NO y C14H8Cl

E)

E) C14H13NO

Lactosa y maltosa

y C13H8Cl

CARBOHIDRATOS Conocidos también como azúcares o glúcidos abundan en la naturaleza y son sintetizados por plantas y animales. Químicamente, los carbohidratos son polihidroxialdehídos o polihidroxicetonas, cuyas formas cíclicas son las que más abundan. CLASIFICACIÓN. Por el número de unidades monoméricas, pueden ser: a) Monosacáridos, b) Oligosacáridos y c) Polisacáridos. A) MONOSACARIDOS. Son los azúcares más simples que no pueden ser hidrolizados en otros azúcares más simples. Se les nombra con la terminación OSA. I) Por el número de carbonos pueden ser:α Con 3 átomos de carbono. Triosas, ejemplo: Gliceraldehido. Con 4 átomos de carbono. Tetrosas, ejemplo: Eritrosa. Con 5 átomos de carbono. Pentosas, ejemplo: Ribosa. Con 6 átomos de carbono. Hexosas, ejemplo: Glucosa, fructosa, galactosa. II) Por su estructura pueden ser: Aldosas. Son polihidroxialdehídos que tienen varios grupos hidroxilo (-OH) y el grupo formilo aldehído (-CHO). Ejemplo: Glucosa (aldohexosa), galactosa (aldohexosa). Cetosas. Son polihidroxicetonas también con varios grupos (-OH) y el grupo carbonilo (-CO-), ejemplo: fructosa (cetohexosa). Sí una hexosa es un monosacáridos de seis átomos de carbono con el grupo funcional aldehído corresponde a una aldohexosa. En cambio, sí se presenta con el grupo cetona se dice que es una cetohexosa. La mayoría de los monosacáridos naturales son pentosas o hexosas. Entre los monosacáridos más importantes se tienen: Glucosa, fructosa y galactosa. GLUCOSA (DEXTROSA), C6H12O6, corresponde al 2, 3, 4, 5, 6 - pentahidroxihexanal. Es un sólido blanco soluble en agua. Las estructuras son:

DGlucosa ( α –D-glucopiranosa) FRUCTOSA (LEVULOSA), C6H12O6, corresponde a 1, 3, 4, 5, 6 pentahidroxi-2-hexanona. Es un ácido blanco, soluble en agua muy abundante en las frutas y miel de abejas.

D-

Fructosa

(α –D - fructofuranosa)

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GALACTOSA, C6H12O6, es un polihidroxialdehído, se encuentra formando parte del disacárido lactosa (Azúcar de leche).

DGalactosa B) OLIGOSACARIDOS. Son glúcidos que al hidrolizarse se desdoblan entre 2 a 10 monosacáridos. Los ms importantes son los disacáridos, como: maltosa, sacarosa y lactosa. MALTOSA, C12H22O11. Se encuentra en la malta de cebada. Su hidrólisis produce dos glucosas.

( α – D - galactopiranosa)

LACTOSA, C12H22O11. Se considera como azúcar de leche, formada por glucosa y galactosa.

SACAROSA, C12H22O11, abunda en caña de azúcar, formado por glucosa y fructosa. Es soluble en agua β (1, 2) . C) POLISACARIDOS Son macromoléculas, formadas por polimerización de varias moléculas de monosacáridos. Siendo los más importantes: Almidón, glucógeno y celulosa. ALMIDÓN Es considerado como polímeros de la glucosa. Ampliamente distribuido en los vegetales. Se almacena en tuberculosa, frutos, raíces y semillas. Está constituido por dos polímeros : Amilosa. Polímero formado por cadenas largas de estructura lineal, enlace glucosídico α 1,4 que se establece entre los residuos de α glucosa Amilopectina. Formada por cadenas de estructura muy ramificada. Tiene dos tipos de enlace: Un esqueleto principal compuesto de unidades de glucosa unidas por enlaces α 1,4 glucosídico y ramas conectadas al esqueleto mediante enlaces α 1,6 glucosídico. Los puntos de ramificación se encuentran en promedio de 25 residuos de glucosa. GLUCOGENO Es un polisacárido del a glucosa se conoce como el almidón animal, se encuentra solo en células animales y no en vegetales. Se almacena en el hígado y músculos como reserva de glucosa. CELULOSA ES otro polisacárido lineal de glucosas. Se encuentra solo en células vegetales. Constituye una sustancia que da soporte a las plantas (fibra vegetal). Es materia prima para la fabricación de papel, nitrocelulosa y fibras textiles.

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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC

ASIGNATURA

MEDIO AMBIENTE

CUSCO – PERÚ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC CEPRU

ÍNDICE MEDIO AMBIENTE

TEMA Nº 1.- ECOLOGÍA, AMBIENTE Y FACTORES ECOLÓGICOS .......................................... Pág. 03 TEMA Nº 2.- RADIACIÓN SOLAR, LUZ, TEMPERATURA Y AIRE ................................................. Pág. 06 TEMA Nº 3.- AGUA, PRECIPITACIÓN, SUELO Y CLIMA ............................................................ Pág. 13 TEMA Nº 4.- SISTEMAS ECOLÓGICOS....................................................................................... Pág. 19 TEMA Nº 5.- RELACIONES EN EL ECOSISTEMA ......................................................................... Pág. 23 TEMA Nº 6.- FLUJO DE ENERGÍA EN LOS ECOSISTEMAS ......................................................... Pág. 25 TEMA Nº 7.- CICLOS BIOGEOQUÍMICOS ................................................................................. Pág. 27 TEMA Nº 8.- DIVERSIDAD BIOLÓGICA ...................................................................................... Pág. 29

|| TEMA Nº 9.- DETERIORO Y DESEQUILIBRIO AMBIENTAL.......................................................... Pág. 32 TEMA Nº 10.- DETERIORO DE LA FLORA Y LA FAUNA ............................................................ Pág. 35 TEMA Nº 11.- CONTAMINACIÓN AMBIENTAL, CONTAMINACIÓN DEL AGUA Y AIRE ..... Pág. 41 TEMA Nº 12.- CONTAMINACIÓN ACÚSTICA, DEL SUELO Y ALIMENTOS.............................. Pág. 39 TEMA Nº 13.- PROBLEMAS AMBIENTALES GLOBALES ............................................................. Pág. 45 TEMA Nº 14.- CONSERVACIÓN DEL MEDIO AMBIENTE Y DESARROLLO SOSTENIBLE ......... Pág. 48 TEMA Nº 15.- CONVENIOS PARA LA PROTECCIÓN AMBIENTE ............................................. Pág. 53 TEMA Nº 16.- TECNOLOGÍA Y GESTIÓN AMBIENTAL .............................................................. Pág. 56

1.1.

ECOLOGÍA.

Etimológicamente la Ecología es el estudio de la casa (Oikos = casa; Logos = estudio). El concepto de ecología ha tenido varias definiciones a través de su historia. (Ernesto Haeckel, 1869) quién además acuñó el término Ecología, la definió como: “El estudio de las relaciones de los organismos con su ambiente orgánico e inorgánico”. La definición más adecuada hoy día, y que se podría llamar “académica”, es «el estudio científico de las interacciones que regulan la distribución y la abundancia de los organismos”. (C. J. Krebs, 1978).

MEDIO AMBIENTE.- Es el espacio físico que rodea a un determinado ser vivo que está constituido por materia y energía; estos elementos pueden ser orgánicos e inorgánicos que permiten satisfacer las necesidades de todos los organismos vivos incluyendo al hombre, a través de, una gran cantidad de interrelaciones o interacciones que permiten el desarrollo de su vida. Muchos están de acuerdo en denominarlo también como entorno, naturaleza o simplemente medio. Las interrelaciones entre los organismos vivos y su medio determinan el funcionamiento de la vida existente en nuestro planeta, por lo que, el desarrollo de la misma se considera como la fisiología de la Tierra. Los seres vivos pueden permanecer en un ambiente durante toda su vida, sin embargo pueden cambiar de ambiente durante ciertas etapas de sus vidas, así por ejemplo en los mamíferos durante el desarrollo embrionario se encuentran en un medio acuático (líquido amniótico), pero al nacer cambian de ambiente. Las relaciones de los seres vivos con su medio, el cual les permite satisfacer sus necesidades, requiere de ciertas capacidades y características: 1. Asimilar energía, transformarla y darla. 2. Transformar energía, propiciando la elaboración de materia orgánica. 3. Liberar productos de reserva y desechos al ambiente. La presencia de las plantas y animales en el ambiente son el resultado de un largo proceso evolutivo y de una infinidad de adaptaciones, de éstos con el medio; sin embargo, en el caso del hombre su historia evolutiva natural ha cambiado para adaptarse de mejor manera a su medio, de acuerdo a las necesidades de las poblaciones. En la actualidad se considera al ambiente como un sistema global constituido por elementos naturales y artificiales de naturaleza física, química, biológica, socio cultural y sus interrelaciones, en permanente modificación por la acción humana o natural que condiciona la existencia de la vida. Es física, porque es toda la materia que se encuentra en la Tierra; es química porque todo está constituido por elementos químicos; es biológica por la presencia de todos seres vivos; y es socio cultural porque incluye todo lo hecho por el hombre. Es decir que es resultado de la sociedad, incluyendo la cultura, las costumbres y creencias de los pueblos. NIVELES DE ORGANIZACIÓN DE BIOLÓGICA Y ECOLOGÍA Al observar la materia viva se puede distinguir en ella varios grados de complejidad estructural, que son los llamados niveles de organización. Cada uno de estos niveles se basa en el nivel previo y provee el fundamento para el nivel superior, este tiene una característica nueva que no es el resultado de la simple agregación o suma de sus componentes. Por ejemplo, un grupo de comejenes escogidos al azar no es lo mismo que un termitero funcionando. Mientras que el nivel abiótico (nivel molecular) es estable, los niveles bióticos (nivel celular, nivel orgánico, etc.) no lo son, pues requieren constantemente energía para mantener su estructura. Actualmente se admiten cinco grandes niveles los cuales son: NIVEL MOLECULAR. Es el nivel abiótico en el que se puede distinguir cuatro subniveles: a.

Subnivel Subatómico. Integrado por las partículas más pequeñas de materia como protones, neutrones, electrones.

b.

Subnivel Atómico. Constituido por los átomos que son la parte más pequeña de un elemento químico, que conserva las propiedades de dicho elemento y puede intervenir en una reacción. Por ejemplo, un átomo de hierro (Fe), un átomo de oxígeno (O) etc. Subnivel Molecular. Se definen como unidades materiales formadas por la agrupación de dos o más átomos mediante enlaces químicos, por ejemplo, una molécula de oxígeno (O2), una de carbonato de calcio (CaCO3). A las moléculas constituyentes de la materia viva, se las denomina biomoléculas o principios inmediatos; por ejemplo la glucosa a la cual se le conoce como monómero de los azúcares o carbohidratos.

c.

d.

Subnivel Macromolecular. Formado por las macromoléculas, las cuales resultan de la unión de muchas moléculas o monómeros que constituyen un, por ejemplo, el almidón es un polímero o macromolécula, formado por monómeros de glucosa; las proteínas son un polímero de aminoácidos. Varias macromoléculas pueden unirse en un nivel supramolecular; por ejemplo, las glucoproteínas. Los complejos supramoleculares pueden encontrarse asociados formando organelos celulares, como los lisosomas, los retículos endoplasmáticos, entre otros, sin que éstos puedan ser considerados como individuos vivos.

NIVEL CELULAR. Es el primer nivel biótico, donde se encuentran las células procarióticas, es decir sin membrana nuclear y las células eucarióticas o células con membrana nuclear y con núcleo bien diferenciado, estas últimas presentan tres tipos de vida: las que viven aisladas (organismos unicelulares), las que se encuentran formando colonias y las que constituyen los tejidos (organismos multicelulares).

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NIVEL DE ORGANISMO. Un organismo es cualquier ser vivo, hay organismos unicelulares y pluricelulares; en éstos últimos aparece la organización tisular es decir células especializadas del mismo tipo que forman tejidos, los cuales realizan una función particular, por ejemplo el tejido nervioso compuesto de neuronas. Algunos tipos de tejidos se combinan para formar los “órganos” que son las unidades estructurales y funcionales de los seres vivos superiores ejemplo, el cerebro, el ojo, la flor. Los órganos a su vez cuando constituyen una cadena de actuaciones consecutivas dan lugar a los aparatos, (Constituidos por diferentes órganos) ejemplo, el aparato digestivo realiza la función digestiva o digestión, el aparato respiratorio, la respiración, etc. Cuando la función es realizada por un solo tipo de tejido se habla de Sistema por ejemplo, el sistema óseo, sistema nervioso, sistema muscular, etc. Todos los sistemas que funcionan de manera conjunta forman un ser vivo individual, un organismo. NIVEL DE POBLACIÓN. Un grupo de organismos morfológicamente muy parecidos, que potencialmente se entrecruzan, constituyen una especie. Al conjunto de individuos de una misma especie que viven en un área determinada y en un momento determinado se los considera una población. Por ejemplo, la población de conejos que existe hoy en Pisac. NIVEL DE ECOSISTEMA.- Este nivel comprende tanto el conjunto de poblaciones de diversas especies que viven e interactúan en una misma área, formando la llamada comunidad o biocenosis así como el lugar en el que se encuentran viviendo (el medio no viviente), con sus condiciones físico–químicas que comprende la tierra, el agua y la atmósfera, lo que conforma el llamado biotopo. El conjunto de biocenosis y biotopo se denomina ecosistema. En el ecosistema acuático, por ejemplo, los peces, las plantas acuáticas, las larvas de insectos, etc., constituyen la biocenosis; y la salinidad, la acidez del agua, su temperatura, el contenido de oxígeno disuelto, etc., constituyen el biotopo. Finalmente, toda la superficie de la Tierra que está habitada por seres vivos recibe el nombre de biosfera. Por consiguiente se debe comprender, que nuestro planeta es en su conjunto, el nivel de organización superior, un ente vivo con nombre propio “El planeta Tierra”.

1.2. METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION CIENTIFICA El método científico es un procedimiento que utiliza la ciencia para tratar un problema o conjunto de problemas usando, fundamentalmente, el pensamiento lógico. Es decir en el método científico, se efectúa ordenadamente el pensamiento reflexivo para descubrir la verdad. Método de trabajo científico es la sucesión de pasos que debemos dar para descubrir nuevos conocimientos o, en otras palabras, para comprobar o rechazar hipótesis que implican conductas de fenómenos, desconocidos hasta el momento. Consta de las siguientes etapas:

   

Observación Formulación de hipótesis Experimentación Conclusiones OBSERVACION Consiste en examinar atentamente los hechos y fenómenos que tienen lugar en la naturaleza y que pueden ser percibidos por los sentidos. Cuando un científico encuentra un hecho o fenómeno interesante lo primero que hace es observarlo con atención. FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS Después de las observaciones, el científico se plantea el cómo y el porqué de lo que ha ocurrido y formula una hipótesis, que consiste en elaborar una explicación provisional de los hechos observados y de sus posibles causas.

EXPERIMENTACION Emplea metodologías y técnicas, contiene la descripción y argumentación de las principales decisiones metodológicas adoptadas según el tema de investigación y las posibilidades del investigador. La claridad en el enfoque y estructura metodológica es condición obligada para asegurar la validez de la investigación. Aquí se registran los datos obtenidos de las observaciones y las descripciones del fenómeno. A esta recolección de datos se le añade la información que se obtiene de la experimentación y evaluación CONCLUSIONES El análisis de los datos permite al científico comprobar si su hipótesis era correcta y dar una explicación científica al hecho o fenómeno observado, consiste en la interpretación de los hechos observados de acuerdo con los datos.

ECOLOGÍA Y MEDIO AMBIENTE |5

1.3. LOS FACTORES ECOLOGICOS. Se les denomina también como condicionantes ambientales o ecológicos, un factor o condicionante ambiental, es cualquier componente del ambiente que actúa en forma directa e indirecta sobre los seres vivos durante la vida de un organismo o en otros casos durante una determinada etapa de sus vidas, éstos tienen la capacidad de: Eliminar especies de áreas climáticas o físico-químicas no apropiadas; es decir influyen en el reparto geográfico o distribución de los seres vivos.  Modifican tasas de natalidad y mortalidad provocando migraciones y condicionan la densidad de la población.  Favorecen las adaptaciones y modifican cuantitativa y cualitativamente a los organismos a través del metabolismo, formando una gran cantidad de diferentes seres vivos. Considerando que cualquier componente del medio se comporta como un factor ambiental, se toma en cuenta la siguiente clasificación: 

a)

LOS FACTORES AMBIENTALES ABIÓTICOS:

1. Los factores sidéricos. Son las características del Sol, la Tierra como planeta, la luna, cometas, planetas, estrellas, etc., pero que tienen una gran importancia sobre el ambiente, así por ejemplo el Sol es el proveedor de energía para el mantenimiento de la vida y sin él no podría existir ningún ser vivo sobre el planeta, es decir las plantas, los animales y el hombre. 2. Los factores eco-geográficos. Son las características específicas de un paisaje natural, siendo posible que un factor determinado tenga un campo de acción aún más amplio en cuanto ejerce su influencia en paisajes colindantes. Los principales son: a. Los geográficos. La latitud que viene a ser la distancia angular de una determinada localidad de la tierra en relación con el paralelo 0° del ecuador, determinando la latitud norte y la latitud sur. La altitud de un determinado lugar considerando como inicio el nivel del mar. La presión atmosférica o peso del aire. Las estaciones o la variación del clima durante el año. La duración del día y la noche, etc. b. Los orográficos. Las cadenas de montañas con sus variaciones climáticas por la altura. Las laderas de las montañas. Su orientación a la iluminación. Las barreras naturales. Las planicies. Los mares. Valles. Quebradas, ríos. etc. c. Los geológicos. La composición de las rocas, los yacimientos de minerales Ejemplo los afloramientos de sal. Los volcanes, los sismos, los deslizamientos, derrumbes, huaycos, etc. d. Los edáficos. Los suelos con todas sus características físicas y químicas, como las diferentes composiciones de los suelos, su color, su estructura, su textura, etc. e. Las características de las aguas dulces. Cuando se refiere a los lagos y lagunas (factores limnológicos) y los ríos y arroyos (factores potamológicos). f. Los oceanográficos. Las características de los océanos como: las corrientes marinas, la profundidad, la temperatura, la salinidad, densidad, afloramientos de aguas, etc. g. Los climáticos. El clima es la manifestación del efecto de fenómenos atmosféricos o meteoros que se producen en un determinado lugar, en consecuencia sus componentes son factores climáticos como: la radiación solar, la presión atmosférica, la temperatura, la humedad, precipitación, los vientos, la nubosidad. Desde el punto de vista ecológico el clima es el factor de mucha importancia para la vida, porque determina la distribución de plantas y animales en continentes y océanos. 3. Los Factores Físico Químicos.- Son los que determinan una parte importante de las relaciones ambientales, estableciendo nexos con las formas de vida y son:  

Factores químicos.- Se refiere a las características químicas del medio, de acuerdo al estado de la materia, es decir aire, agua y los continentes, además incluye la salinidad, la alcalinidad, la acidez, los nutrientes entre otros. Factores físicos.- Comprenden las características físicas, como: viento, nieve, heladas, hielo, luz, temperatura, erosión, movimientos del suelo, fuego, eventos naturales, corrientes marinas, características del agua, entre otros.

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b) FACTORES AMBIENTALES BIÓTICOS. Son los seres vivos o animados, con vida de naturaleza orgánica, dentro de estos se tienen:  





Las relaciones entre organismos. Tienen una influencia muy variada según provengan de individuos de la misma especie (relaciones intraespecíficas), o de especies distintas (relaciones interespecíficas). La vegetación. Es el conjunto de plantas como proveedoras de alimentos, cobertura y refugio, es de fundamental importancia para los animales. Tienen características especiales debido a que sus células poseen pigmentos clorofilianos dentro de unos organelos celulares llamados cloroplastos, este pigmento tiene la gran cualidad de trasformar la energía lumínica en glucosa, y a partir de esta se forman productos orgánicos como hidratos de carbono (azúcares, almidones). La densidad poblacional. Es la concentración de individuos de la misma especie dentro de un área geográfica. Toda especie animal o vegetal puede desarrollarse en un determinado espacio en forma óptima sólo con una población en equilibrio con su ambiente. Este equilibrio, es condicionado principalmente por la cantidad de recursos disponibles. Cuando existe un exceso poblacional, o sea mayor cantidad de individuos y menor disponibilidad de alimentos y de espacio, se producen diversos fenómenos de control natural para restablecer el equilibrio entre la oferta de alimento y la población. Los seres humanos. La influencia del hombre sobre el ambiente es de suma importancia para el mantenimiento de las poblaciones a través del desarrollo de la tecnología. El hombre es un animal que ha llegado al más alto grado de evolución biológica, desarrollando un sistema nervioso que le permite discernir, es decir tiene una inteligencia que ha desarrollado una serie de conocimientos y técnicas para poder alterar, modificar y transformar el ambiente, para poder satisfacer sus necesidades forma óptima.

2.1. RADIACIÓN SOLAR. Proviene de la raíz latina radius = rayo, viene a ser la expansión de la energía en el espacio, debido a la emisión de partículas atómicas o rayos de energía electromagnética de longitud de onda corta, los cuales se transportan en el vacío con la misma velocidad y que tiene naturaleza electromagnética; cuando inciden en un determinado cuerpo pueden reflejarse, refractarse o ser absorbidos. Cuando una radiación tiene la capacidad de producir trabajo se denomina energía, así por ejemplo la luz es una radiación, denominada energía lumínica, de la misma forma el calor es una radiación denominada energía calorífica. Desde el punto de vista energético la Tierra es un sistema abierto porque tiene la capacidad de recibir constantemente la energía que viene del Sol y producir salida de energía calorífica y que va al espacio exterior, ese flujo o recorrido de energía es la que mantiene todos los procesos vitales en la Tierra. La mayor parte de la energía solar, se irradia en forma de ondas magnéticas cuyas longitudes de onda varían de 0,1 micras hasta las ondas hertzianas o de radio cuya longitud de onda es de varios kilómetros. La unidad de medida de las radiaciones es la Unidad Angstrom (A°), que equivale a la millonésima parte del milímetro (mm).

Espectro de Radiación Electromagnética

CANTIDAD DE ENERGÍA SOLAR QUE LLEGA DE LA ATMÓSFERA.La energía solar que llega a la atmósfera terrestre cada año equivale a 56X10 23 Joules de calor. De ésta aproximadamente la mitad, es reflejada por las nubes y los gases de la atmósfera, el resto alcanza la superficie terrestre (28 x 10 23 Joules de calor); solo el 50% está en la región de longitud de onda visible, que podría efectuar la fotosíntesis, el otro 50% es radiación infrarroja o ultra violeta débil. Por consiguiente, el ingreso anual de radiación fotosintética activa del espectro de luz visible

ECOLOGÍA Y MEDIO AMBIENTE |7 (del violeta al rojo) equivale al 14X1023 Joules de calor. Sin embargo de esta cantidad alrededor del 40% es reflejada por la superficie de los océanos y desiertos.

Total 56X1023 Joules (100%)

50% se refleja por las nubes y gases de la atmósfera 50% llega a la superficie terrestre

 50% es luz fotosintética (14X1023 Joules) 40% es reflejada por océanos y desiertos.  50% son rayos IR y UV.

Otros cálculos indican que la luz que llega a la Tierra es de 2.0 cal/cm 2/min; a esta cantidad se le denomina Constante solar. La cifra indicada es una elevada cantidad de energía, la cual si fuese usada en un 100% de eficiencia por las plantas fotosintéticas, se podría producir cerca de 325 toneladas de materia vegetal por cada kilómetro cuadrado de superficie terrestre por hora. EFECTOS PARA LA SALUD Y EL PLANETA: A.- RADIACIONES IONIZANTES.- Son Radiaciones de alto contenido energético, capaces de desprender electrones de los átomos y convertir a éstos en iones positivos; los electrones e iones altamente reactivos resultantes, alteran millones de compuestos orgánicos en las células vivas. (Miller T. 1994). Comprenden: Rayos cósmicos.- Proceden del espacio exterior, la ionización en la atmosfera aumenta con la altitud exposición a esta radiación en el espacio incrementa riesgos para la salud (cáncer). Rayos gamma.- La enorme energía de los fotones gamma los hace especialmente útiles para destruir células cancerosas (radioterapia). Dada su alta energía pueden causar grave daño al núcleo de las células, son usados para esterilizar equipos médicos y alimentos. Rayos X.- Se utiliza en medicina debido a que los huesos absorben mucho más radiación que los tejidos blandos. Es por esto que los médicos los usan para tomar fotografías de los huesos. ( radiografías) Radiación Ultravioleta (UV).- La mayoría de la luz ultravioleta que proviene del Sol, se encuentra bloqueada por la atmósfera de la Tierra (estratosfera), pero algo logra pasar. Esta radiación puede a su vez subdividirse en tres bandas:  UV-A: De menor contenido energético y de menor peligrosidad biológico. En pequeñas cantidades ayuda a las plantas en la fotosíntesis y a producir vitamina D en los humanos. Los microorganismos expuestos a esta radiación no son dañados, por ser de baja energía.  UV-B: Esta fracción, si bien es cierto, es algo filtrada por la atmósfera terrestre (nubes), llega a la superficie ocasionando serios daños biológicos por tener mediana capacidad energética. Esta fracción es la que merece la mayor atención con el fin de prevenir y de mitigar sus perjudiciales efectos biológicos, como quemadura de piel, cáncer a la piel, cataratas, así como daño a la vegetación.  UV-C: Esta fracción por su alto contenido energético, es absolutamente mortal para toda especie viviente, afortunadamente gracias al escudo conformado por la capa de ozono (ozonósfera) que se encuentra en la estratósfera, se filtra esta letal radiación. B.- RADIACIONES NO IONIZANTES Son radiaciones que no poseen suficiente contenido energético, para formar iones, comprenden:

 





Radiación visible.- Esta es la parte del espectro electromagnético del sol, que los humanos podemos ver, incluyendo los colores del arcoíris los cuales, cuando se combinan, dan origen a la luz blanca. Infrarroja.- Es la parte del espectro solar comprendida por encima de los 760nm., conocida como energía calórica, por lo que es usada por los instrumentos de sensibilidad remota de los satélites para detectar recubrimientos vegetales, propiedades biológicas, formaciones geológicas, emisiones provenientes de la atmósfera de la Tierra y vapor de agua en la atmósfera. Los cuerpos calientes producen radiación infrarroja y tienen muchas aplicaciones en la industria, medicina, astronomía, etc. Microondas.- Son ondas electromagnéticas de baja energía, ionizadas en la ionosfera, pueden ser usadas para estudiar al Universo, comunicarse con satélites en órbita terrestre. Las microondas se usan en el radar y otros sistemas de comunicación, así como en el análisis de detalles muy finos de la estructura atómica y molecular. Se generan mediante dispositivos electrónicos. Ondas de radio.- Ondas electromagnéticas provenientes del sol, de baja energía, de longitudes mayores al metro, se usan para transmisiones de estaciones de radio.

IMPORTANCIA.  

La energía calórica recibida del Sol, que atraviesa la atmósfera, calienta el vapor de agua provocando alteraciones en la densidad de los gases y por consiguiente causan la circulación atmosférica (vientos). La mayor parte de la energía que procede del sol es utilizada por los seres vivos, las plantas la absorben directamente produciendo la fotosíntesis, que transforma la energía en alimento disponible para otras formas de vida (herbívoro, carnívoro, etc.)

EL SOL COMO FUENTE DE ENERGÍA Es la principal fuente de energía, por la combustión de hidrógeno y cuya forma de degradación es el helio, es emitida por el Sol al espacio y una pequeña parte es recibida o interceptada por la Tierra en forma de ondas electromagnéticas en una cantidad aproximada de 1,7 x 1014 Kw La dirección con la cual incide la radiación solar directa depende tanto de la localización geográfica del lugar, como de la época del año. Además también depende de la orientación de la superficie expuesta. En la zona tropical, es decir, cerca de la línea ecuatorial, la energía es más abundante.

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La energía solar es directa o indirectamente el origen de todas las fuentes de energía que hoy disponemos, a excepción de la energía nuclear (del átomo), geotérmica (del calor del interior de la Tierra) y mareomotriz (de las mareas). Ventajas del uso de energía solar   

Es inagotable, mientras que los combustibles fósiles (petróleo, gas, carbón) se agotarán en el futuro; Es una energía limpia y no es polutante o contaminante La energía solar puede aprovecharse de varias formas: para secado, calefacción y para producir energía eléctrica.

Desventajas del uso artificial de la energía solar 





El flujo de potencia que alcanza la superficie terrestre es pequeño (< 1 Kw/m 2) comparado con el suministro de los combustibles fósiles, lo que implica una utilización extensiva; es decir, a mayor potencia se requiere de mayor área de dispositivos. La energía solar disponible en una localidad varía estacionalmente durante el año y, además, se ve afectada por variaciones meteorológicas (nubes, noche), que están fuera del control humano. Esto implica la necesidad de acumulación (baterías) con el fin de suministrar el consumo requerido. Los equipos necesarios para utilizarla, requieren de inversiones iniciales elevadas, comparadas con las que se requieren para sistemas convencionales.

2.2. LUZ SOLAR Es una fracción del espectro de radiación electromagnética emitida por el Sol, corresponde a las longitudes de onda comprendidas entre los 390 nm (violeta) hasta 760 nm (rojo). Aunque estos límites de base fisiológica podrían ser ligeramente distintos si no fueran definidos por el hombre. En estudios de ecología interviene en tres aspectos:  Duración del día (horas luz).  Intensidad, que varía de acuerdo a factores locales, no debe provocar daño en ningún momento.  Naturaleza de la luz: UV, IR, etc. La luz, que influye sobre los organismos, proviene directa o indirectamente casi exclusivamente del Sol; con excepción de algunas bacterias, todos los organismos existentes en la Tierra dependen de la luz. EFECTOS BIOLÓGICOS DE LA LUZ. En líneas generales se puede señalar que la cantidad de luz solar es un factor importante para establecer la distribución de las plantas y animales, además porque representa la principal fuente de energía que permite la asimilación de CO 2 por las plantas para la síntesis de sustancias orgánicas, mediante la fotosíntesis. La luz es un factor que influye por igual en organismos acuáticos y terrestres. A.- FOTOSÍNTESIS. Desde el punto de vista energético la fotosíntesis es el proceso por el cual los organismos con clorofila (plantas y algas), capturan energía lumínica y la transforman en energía química. La Fotosíntesis, es el proceso mediante el cual las plantas verdes combinan el dióxido de carbono (CO 2) de la atmósfera con el agua en presencia de clorofila, producen materia vegetal, emitiendo al ambiente oxígeno (O2). Este proceso de las plantas depende de la intensidad y de la calidad de la luz. A mayor intensidad aumenta la fotosíntesis hasta un cierto nivel. La intensidad de la luz (longitud de onda por frecuencia) es ecológicamente importante para las plantas, siendo particularmente sensibles las plantas acuáticas como las algas. De este proceso químico y biológico dependen tres aspectos de importancia en el ambiente:  Por la fotosíntesis las plantas verdes producen alimentos y materia orgánica para sí mismas y para alimentar a los animales herbívoros, y éstos, a su vez, a los animales carnívoros en las cadenas alimenticias.  Se vuelve a utilizar el dióxido de carbono (CO2) producido por los animales y por los procesos de putrefacción o descomposición. De otra manera el CO2 saturaría el planeta.  Se restituye el oxígeno al aire y se hace posible la respiración. La ecuación química condensada de la fotosíntesis es simple y da una idea muy general de lo que sucede, aunque en realidad es una serie compleja de más de 40 reacciones: 6 CO2 + 12 H2O

C6 H12 O6

+ 6 O2 + 6 H2O

La fotosíntesis se realiza en dos etapas que son: Las reacciones luminosas que dependen de la luz y son independientes de la temperatura. La velocidad de las reacciones luminosas aumenta con la intensidad luminosa (dentro de ciertos límites) pero no con la temperatura. Y las reacciones oscuras dependen de la temperatura y son independientes de la luz. En estas reacciones oscuras, la velocidad aumenta con la temperatura (dentro de ciertos límites), pero no con la intensidad luminosa. A partir de la glucosa (C6 H12 O6) un azúcar muy común en las frutas, se producen la sacarosa, el almidón, la celulosa, la lignina o madera y otros compuestos que son la base de los alimentos para las plantas mismas y para los herbívoros. B) AHILAMIENTO, AHILADO O ETIOLACION.Es una alteración que experimentan las plantas por la falta de luz y de ventilación, que provoca un desarrollo anómalo: como el alargamiento y crecimiento desproporcionado del tallo y las ramas de la planta, con pérdida de resistencia en sus tejidos estructurales (entrenudos más largos, menos gruesos, mayor fragilidad, etc.); la decoloración general de la planta, ya que no presentan su color verde normal, se vuelven amarillentas (clorosis), pierden sus pigmentos interiormente, por la abundancia de jugos acuosos y el predominio de las sustancias carbonatadas sobre las nitrogenadas.

ECOLOGÍA Y MEDIO AMBIENTE |9 C) FOTOPERIODO. Es el número de horas de luz en un ciclo de 24 horas, lo que equivale a señalar que es la duración de las horas de luz durante un día. Los organismos dan respuesta a las horas luz o a la duración del día. Algunos organismos requieren más luz y otros menos. El fotoperiodo está determinado por los cambios de iluminación que reciben las plantas, que de este modo pueden modificar su germinación o regular su reproducción y crecimiento. El desarrollo de las plantas puede ser activado o no, dependiendo del número de horas de luz recibidas. Algunos árboles necesitan un número determinado de horas de luz al día, para que sus procesos metabólicos funcionen; pero cuando llega el otoño los días son más cortos, y al no recibir las horas de luz que necesitan, su crecimiento se detiene y entran en una fase de reposo. El mismo mecanismo también es válido para los animales. En las zonas donde las condiciones ambientales son favorables la mayor parte del año (por ejemplo en latitudes ecuatoriales), los animales inician su actividad sexual cuando estos factores son propicios: alimentación, temperatura, presencia de individuos del sexo opuesto, etc. En nuestra zona es posible distinguir plantas de días más largos, que florecen con más de 12 horas de luz como el capulí, chachacoma, q’euña, kiswar (qolle), amancay, etc.; mientras que otras crecen con menos de 12 horas de luz como el kantu, ñucchu, tarwi (quera), chinchircoma, aliso o lambran. Sin embargo existen plantas neutras donde no influye la luz del día como el girasol. D) GERMINACIÓN DE SEMILLAS.- La luz estimula o inhibe la germinación de semillas en algunas especies. Entre las semillas sensibles, que son inhibidas por la luz son denominadas fotoblásticas negativas. E) CRECIMIENTO DE LAS PLANTAS y FORMACION DE ORGANOS.- El primer efecto de la luz es iniciar los patrones de expresión genética, y la plántula comienza a formar cloroplastos fotosintéticamente activos, alterando sus formas de crecimiento, de alargamiento rápido, en la producción de hojas y un tallo capaz de soportarlas . F) FOTOTROPISMO.Es la respuesta del vegetal frente a un estímulo luminoso. El fototropismo positivo hace referencia al crecimiento de la planta hacia la fuente de luz y es el caso del tallo, porque éste crece hacia la fuente luminosa. En cambio, el fototropismo negativo implica un crecimiento de la planta en dirección contraria a la de la fuente lumínica; ese es el caso de la raíz que no necesita de la luz. G) SOBRE LA DISTRIBUCIÓN DE LAS PLANTAS. En ambientes terrestres, las plantas han sido clasificadas de acuerdo con sus necesidades de luz en heliófilas y esciófilas. Las heliófilas sólo crecen si hay luz intensa, muchas de ellas han desarrollado adaptaciones para tener acceso a grandes cantidades de luz, tales como las lianas y plantas trepadoras (uña de gato), la salvia, entre otras. Las plantas esciófilas se desarrollan con escasa iluminación; por ejemplo: los musgos y helechos que suelen crecer a la sombra de grandes árboles. H) FOTOCINESIS. Es el efecto sobre la actividad fisiológica de los animales. La luz regula la actividad locomotora de los animales, así por ejemplo muchas especies son activas durante el día (aves, insectos), otras de noche (lechuza, murciélago, felinos) y otras al amanecer. Igual existen algunas que salen al atardecer, cuando el sol se está ocultando como es el caso de la cigarra llamada “Qesq´ento”. I) ÓRGANOS DE LOS SENTIDOS.-. Se manifiesta especialmente en los ojos. Por ejemplo, los animales que viven con poca luz, mayormente tienen ojos grandes y son nocturnos; en plena oscuridad se reducen o desaparecen los órganos captadores de luz como el caso de los peces que viven en los fondos marinos, o en el caso de parásitos internos (lombrices, tenias, triquina, etc.). J) LA LUZ DE LA LUNA.Es el reflejo de la luz que proviene del Sol, ejerce influencia también sobre los animales, así por ejemplo en los bosques tropicales amazónicos se sabe que cuando hay noches de luna llena existe mayor actividad que en las noches sin esa luz, muchos felinos como el jaguar, tigrillo etc., tienen mayor actividad en esas noches, de igual manera muchos pescadores aprovechan la luz de la luna para pescar mayor cantidad de peces. 2.3. CALOR Y TEMPERATURA. CALOR.- Es un tipo especial de energía que solo se manifiesta en tránsito, no se puede aislar ya que es una energía que se transmite de un cuerpo a otro, debido a la diferencia de temperaturas que estos presentan y está determinado por la agitación molecular interna que presentan los cuerpos, es decir cuando hay mayor agitación el cuerpo está más caliente; y si la agitación es menor es cuando el cuerpo está más frío. Este flujo siempre ocurre desde el cuerpo de mayor temperatura hacia el cuerpo de menor temperatura, ocurriendo la transferencia de calor hasta que ambos cuerpos se encuentren en equilibrio térmico. Los cuerpos no tienen calor sino energía interna. El calor es parte de dicha energía interna (energía calorífica) transferida de un sistema a otro, lo que sucede con la condición de que estén a diferentes temperaturas. TEMPERATURA.- Es una magnitud física que expresa el nivel de calor ya sea de un cuerpo, de un objeto o del ambiente. Viene a ser el movimiento cinético molecular de los cuerpos debido a la cantidad de calor que reciben o pierden y se mide en grados. Dicha magnitud está vinculada a la noción de frío (menor temperatura) y caliente (mayor temperatura). Es el estado térmico de una sustancia con respecto a su capacidad de trasmitir calor. La temperatura es un factor ecológico importante, ya que sus variaciones e influencia son muy evidentes, y a diferencia de otros factores ecológicos, puede medirse con relativa facilidad.

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MEDICION DE LA TEMPERATURA La temperatura es una medida del calor o energía térmica de las partículas en una sustancia. También se dice que la temperatura es el índice de nivel térmico donde se encuentra determinada cantidad de calor (es un factor numérico que se emplea para medir la cantidad de calor de un cuerpo), se mide con el termómetro en diferentes escalas, y se expresa en grados. Temperatura Ambiental.- Es la temperatura del ambiente y se puede medir con un termómetro ambiental; La temperatura es una medida relativa, las escalas que se basan en puntos de referencia deben ser usadas para medir la temperatura con precisión. Hay escalas comúnmente usadas actualmente para medir la temperatura: la escala Fahrenheit (°F), la escala Celsius (°C), la escala Rankine (°R) y la escala Kelvin (°K). Cada una de estas escalas usa una serie de divisiones basadas en diferentes puntos de referencia, tal como se describe a continuación:

TEMPERATURA CORPORAL DE LOS ANIMALES. Además del calor proveniente del exterior por las radiaciones infrarrojas del Sol, los animales poseen un calor propio, proveniente de los procesos de transformación y oxidación de los alimentos (metabolismo). En base a esta producción de calor y a la velocidad del intercambio entre los organismos y el medio, los animales pueden clasificarse en dos grupos: HOMOTERMOS. Llamados también endotermos u homeotermos. Son aquellos animales de sangre caliente que conservan su temperatura corporal constante gracias al elevado metabolismo que poseen; pueden adaptarse a diferentes ambientes (fríos o cálidos), porque tienen la capacidad de regular su temperatura corporal. Entre éstos se encuentran las aves y los mamíferos. Tienen mecanismos que les permiten regular su temperatura a nivel del sistema nervioso y endocrino. Las plumas de las aves, los pelos de los mamíferos y el tejido subcutáneo que viene a ser tejido adiposo, son estructuras tegumentarias que los aíslan térmicamente del medio ambiente. POIQUILOTERMOS. Conocidos también de sangre fría en el caso de animales. Producen poco calor y éste se libera rápidamente al ambiente. Los animales invertebrados, peces, anfibios y reptiles son poiquilotermos; la temperatura de su cuerpo es variable y depende del ambiente, por lo cual son ectotermos. Es decir, la temperatura corporal de estos organismos se encuentra muy cerca a la temperatura ambiental. Un descenso de la temperatura ambiental implica disminución en su temperatura corporal y actividad fisiológica.

LIMITES DE TOLERANCIA A LA TEMPERATURA: Los animales se desarrollan bien en temperaturas que oscilan entre 5°C y 35°C, rango que constituye su temperatura óptima, existiendo además una temperatura máxima y otra mínima que limitan las posibilidades de vida de un animal determinado, constituyendo estos tres valores sus temperaturas críticas. De acuerdo con la amplitud para tolerar los cambios de temperatura del ambiente, los animales se pueden clasificar en estenotermos y euritermos. 



Estenotermos. Son los organismos que soportan pequeñas diferencias de temperatura (reptiles, anfibios, insectos). Cuando las temperaturas extremas están próximas a la óptima, se dice que el animal es estenotermo, porque toleran escasas variaciones térmicas. Estas condiciones se dan en alta mar y en los bosques ecuatoriales. Un ejemplo es el pez antártico que tolera de -2°C hasta 2°C. Camélidos sudamericanos Euritermos. Son los que pueden soportar grandes diferencias de temperatura (aves, mamíferos), es decir resisten temperaturas extremas muy alejadas de la temperatura óptima; estas condiciones son propias de los climas continentales y playas, así como aguas dulces. Ejemplo, la mosca que tolera desde los 5°C hasta los 45°C.

Se distingue los siguientes rangos de temperatura:

1.

Temperatura óptima.- Es aquella temperatura en la que los procesos vitales se realizan con la máxima velocidad

2.

Temperatura máxima efectiva.- Corresponde a la mayor intensidad calorífica bajo el cual el organismo puede seguir viviendo indefinidamente en estado de actividad.

3.

Temperatura máxima de supervivencia.- Es la temperatura más alta en la que un organismo ya no pueden realizar sus funciones en forma normal, por tanto se produce la muerte.

4.

Temperatura mínima efectiva.- Es la temperatura más baja en la que un organismo puede vivir indefinidamente y en estado activo.

5.

Temperatura mínima de supervivencia.- Es la temperatura más baja en la que el organismo ya no pueden vivir y muere, al entrar en coma por enfriamiento y ésta depende del periodo de exposición a dicha temperatura.

E C O L O G Í A Y M E D I O A M B I E N T E | 11 EFECTOS DE LA TEMPERATURA EN LOS ORGANISMOS: 

En los ambientes acuáticos, la temperatura no puede bajar por debajo del punto de congelación en condiciones naturales. Esto quiere decir que la temperatura del agua no es nunca inferior a 0°C y en los océanos nunca desciende por debajo de -2.5°C. La temperatura máxima en ambientes marinos probablemente corresponda a 36°C obtenidos en el Golfo Pérsico. En aguas someras y sobre todo en las aguas continentales dicha temperatura máxima puede ser mayor. Por otro lado, la temperatura más baja registrada en la superficie corresponde a la región Siberiana con -70°C. En el otro extremo, se han registrado en algunos desiertos temperaturas superiores a los 60°C.



El suelo de los desiertos expuesto a la acción de los rayos solares durante el mediodía puede alcanzar los 84°C. El agua en las fuentes termales y géiseres puede aproximarse a los 100°C e incluso se puede alcanzar temperaturas más elevadas en zonas volcánicas.



La temperatura es importante para el desarrollo de los organismos, generalmente a mayor temperatura el desarrollo es más rápido, es decir el tiempo requerido para una determinada etapa del desarrollo se acorta, debido a que a mayor temperatura se aceleran los procesos fisiológicos del organismo.



La temperatura también influye en el proceso de reproducción, por ejemplo la maduración de los huevos de la mosca doméstica demora 20 días a 20°C. Y solo 4 días a 30°C; así mismo se ha comprobado que las aves que viven en la puna, ponen menos huevos que sus congéneres que viven en zonas calientes, por ejemplo el gorrión americano), llamado también como pichinco, ponen un promedio de dos huevos en la puna, mientras que en las zonas más calientes pueden poner hasta 5 huevos en cada incubación.



La temperatura constituye con frecuencia un factor decisivo para la distribución de plantas y animales en zonas climáticas, debido a las adaptaciones a la temperatura ambiental, existen plantas y animales propios de temperaturas bajas y otros en temperaturas altas, las especies de zonas cálidas no pueden vivir en zonas frías, por ejemplo la palmera pijuayo que vive en la selva amazónica no puede crecer en la puna.

QUIESCENCIA O DORMICIÓN.- Cuando el desarrollo presenta una parada brusca, el cual es inducido directa o indirectamente por las condiciones ambientales. Este estado se presenta en dos formas: Estivación: Es un alto en el desarrollo producido cuando la temperatura es muy elevada o también la humedad escasa, factores a menudo ligados. Ciertas náyades de libélulas pueden sobrevivir varios meses en las arenas secas; huevos de mosquitos de varias especies resisten en estivación hasta que aparecen las lluvias.  Hibernación: Ocurre cuando las temperaturas se hacen lo suficientemente bajas como para detener completamente el desarrollo. El estado de hibernación tienen lugar en especies de zonas frías y templadas a temperaturas relativamente bajas, tal es el caso de muchos mamíferos como el oso polar, el oso pardo, el zorro ártico entran en hibernación. Cuando un organismo está aletargado, los procesos bioquímicos que se producen en él, están determinados por la temperatura del ambiente. 

CAMBIOS DE TEMPERATURA EN EL SER HUMANO

La temperatura normal del cuerpo de una persona varía dependiendo de su sexo, actividad reciente, consumo de alimentos y líquidos, la hora del día, etc. y en el caso de las mujeres, de la fase del ciclo menstrual en la que se encuentren. Tradicionalmente la medicina, considera que la temperatura corporal normal oscila entre 36,5°C y 37,5 °C en el adulto saludable; el valor promedio viene a ser 37°C. Existen mecanismos de regulación térmica interna y externa en el ser humana como:    

Mecanismos externos de pérdida de calor: pueden darse por radiación, conducción, convección y evaporación física. Mecanismos internos de pérdida de calor: que son controlados por el organismo son la sudoración, evaporación, vasodilatación. Mecanismos externos de ganancia de calor: pueden ser por radiación directa del sol y la irradiación. Mecanismos internos de ganancia de calor: entre los que se considera la vasoconstricción, piloerección, termogénesis química, espasmos musculares, o pueden ser provocados por fiebre producto de enfermedades infecciosas.

Reacciones en el ser humano a las diferentes temperaturas corporales: Al calor: 37 °C: temperatura normal del cuerpo (tomada en cavidad oral). Puede oscilar entre 36,5 y 37.5 °C, el valor promedio viene a ser 37°C. 40 °C: mareos, vértigos, deshidratación, debilidad, náuseas, vómitos, cefalea y sudor profundo. (Hipertermia) Al Frío: 35 °C: Temblor intenso, entumecimiento y coloración azulada/gris de la piel. (Hipotermia) 2.4. ATMOSFERA Y AIRE. La atmósfera (del griego atmos = vapor, humo y sfaira = globo, esfera). Es la envoltura gaseosa de la Tierra y comprende el aire, permite la vida en ella. Se extiende hasta más allá de los 2,400 Km. desde la superficie y no es uniforme. Además de gases contiene polvo, humo, nubes, humedad que le dan una apariencia brumosa. Está dividida en 5 capas: Estructura de la Atmósfera: 



TROPOSFERA.- Es la capa más próxima a la tierra y alcanza un promedio de 12 Km., la temperatura disminuye con la altura, en ella se desarrollan la mayoría de los fenómenos meteorológicos (lluvias, vientos, relámpagos, humedad, arco iris, etc.). ESTRATOSFERA.- Alcanza hasta los 50 Km. de altura, se denomina también como región de calma (no hay fenómenos meteorológicos), la temperatura es mayor que en la troposfera, a los 30 Km. aproximadamente empieza la capa de ozono que se constituye como una pantalla protectora contra la radiación ultravioleta. El oxígeno se halla enrarecido.

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

MESOSFERA.- se encuentra por encima de la estratosfera, alcanzando una altura de 80 Km. En esta capa el aire es más enrarecido. Con temperaturas bajas. IONOSFERA.- Se extiende hasta los 500 Km., capa intensamente afectada por las radiaciones solares, por ello es que los compuestos se encuentran ionizados (con carga eléctrica negativa y positiva), y las temperaturas son extremadamente altas. EXOSFERA.- Se encuentra por encima de los 500 Km. En ella los gases son más enrarecidos y no se puede determinar su límite exacto.

AIRE.- Es una mezcla de gases que constituye una delgada capa, como parte de la atmósfera terrestre y tiene en suspensión materias solidas finas (polvo); el aire tiene peso, está sujeto a la acción de la gravedad es decir, lo que implica que se concentra en la capa más baja de la atmosfera y que está en contacto con la superficie de la tierra (tropósfera). CARACTERÍSTICAS.         

Es incoloro e inodoro en pequeñas cantidades. Es azul en capas de gran espesor. Un litro de aire pesa 1003 gramos. El peso del aire origina la presión atmosférica. Compresibilidad.- Es la capacidad de los gases de poder ocupar un volumen menor al inicial, al ser sometido a presión. En este proceso se origina un incremento de temperatura. Elasticidad.- Si se retira la presión, los gases son liberados y vuelven a ocupar su volumen inicial, y la temperatura desciende. Movilidad.- Es la capacidad de desplazamiento de los gases por acción del viento. A mayor altura menor densidad de oxígeno, por la disminución de la presión atmosférica la densidad del aire es menor, y los átomos de oxígeno están más distanciados unos de otros. A mayor altura, menor temperatura en la troposfera, que desciende uniformemente hasta la tropopausa. Por eso con la altura hace más frío. A mayor altura menor peso o presión atmosférica.

COMPOSICIÓN. a) Componentes principales.    

Nitrógeno (78,09 %), atenúa la actividad química del oxígeno, las plantas lo toman de la tierra y no del aire, los microorganismos fijan aproximadamente 92 millones de ton. /año. Oxígeno (20,95 %), indispensable para los seres vivos, interviene en la respiración y otros fenómenos como la combustión y la fermentación; con la altura a 5,500 msnm. disminuye a la mitad. Argón (0,93 %), su concentración condiciona la distribución de las plantas y animales en la superficie de la Tierra. Dióxido de carbono (0,03 %), de gran importancia en la fotosíntesis, junto con el oxígeno interviene en la quimiosíntesis, ambos en el proceso de mineralización de la materia orgánica, por vía microbiológica.

b) Componentes secundarios (0,01 % se presentan solo en trazas)     

Neón Helio Metano Criptón Hidrógeno

0,0018 0,00052 0,00015 0,0001 0,00005.

IMPORTANCIA La Atmosfera    El Aire          

Protege a la tierra, al impedir el ingreso de los meteoritos, pues éstos al entrar en contacto con la termosfera se volatilizan. También impide el ingreso excesivo de radiación solar. Regula la temperatura terrestre, permitiendo el ingreso de radiación, que es necesaria para poder vivir. Sin atmósfera se tendrían temperaturas muy extremas. En la troposfera se producen los fenómenos meteorológicos que constituyen el clima

Posibilita la respiración y combustión, al encontrarse presente el oxígeno. Permite la trasmisión del sonido. Hace posible la propagación de la luz, pues al ser transparente los rayos de luz viajan libremente. Permite el vuelo de aves y aviones, al ofrecer resistencia. Hace posible el ciclo hidrológico, como también se autopurifica, al realizarse los ciclos de las sustancias fundamentales para la vida (Agua, CO2, N2 y otros). Ayuda en la agricultura, pues el suelo necesita de oxigenación para ser cultivable. Hace posible la vida, porque sin el oxígeno y el dióxido de carbono (necesarios para la vida) no sería posible la existencia de plantas, animales y humanos. Es fuente de materia prima para la industria de extracción de oxígeno, nitrógeno y otros gases como neón, helio, argón, etc. Es fuente de energía, mediante el aprovechamiento de los vientos (energía eólica), de la luz (energía lumínica) y el calor (energía calórica). Gracias al oxigeno del aire es posible la combustión.

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3.1. LA HIDROSFERA.- Es la capa de agua que rodea la Tierra. El agua circula continuamente de un lugar a otro, cambiando su estado físico, en una sucesión cíclica de procesos que constituyen el denominado ciclo hidrológico, el cual es la causa fundamental de la constante transformación de la superficie terrestre. La energía necesaria para que se puedan realizar esos cambios de estado del agua y el ciclo hidrológico procede del Sol. En resumen es una cubierta dinámica, con continuos movimientos y cambios de estado, que regula el clima, participa en el modelado del relieve y hace posible la vida sobre la Tierra. La hidrósfera es responsable de riesgos geológicos externos como: inundaciones, deslizamientos. La hidrosfera se formó por la condensación y solidificación del vapor de agua conteniendo en la atmósfera primitiva. Entre las características de la hidrosfera destacamos su composición mineral, salinidad, contenido en oxígeno, variación de la temperatura con la profundidad y densidad. EL AGUA RECURSO VITAL PARA LA VIDA.- Es el compuesto más abundante del planeta Tierra. El total de agua sobre la tierra forma la hidrósfera y junto a la litósfera constituyen la superficie del planeta; este recurso cubre cerca del 71% (3/4 partes de la superficie del planeta) en su mayor parte agua salada y en menor proporción agua dulce. El agua es un líquido compuesto por oxígeno e hidrógeno, su fórmula es H2O. En forma natural no existe pura, casi siempre contiene disueltas sustancias minerales y orgánicas que le asignan ciertas características en el color, olor y sabor. La distribución del agua en el país, es muy irregular, existiendo zonas de escasez como de abundancia tanto en el tiempo como en el espacio, por ejemplo la vertiente del Pacífico tiene poca cantidad de agua para mayor población ya que en la costa se encuentran las ciudades más pobladas del país, mientras que la vertiente del Atlántico presenta mayor cantidad de agua para poca población. El agua representa entre el 50% y el 90% de la masa de los seres vivos, en el hombre aproximadamente el 65% de su peso es acuoso, en un árbol aproximadamente el 60%, mientras que en las medusas más del 90% de su peso es agua. Características Ecológicas del Agua:        

Es un líquido incoloro, inodoro e insípido. Se congela a 0 °C y entra en ebullición a los 100 °C (a nivel del mar). Tensión superficial o película de tensión superficial, que es la fuerza de atracción molecular interna que hace que la superficie de los líquidos tenga cierta resistencia. Elevado calor específico, hace que el agua actúe como regulador térmico. Desempeña un papel importante en las soluciones (en forma de geles, soles, etc), como agente de reacciones químicas y por su poder disolvente. La densidad máxima del agua es de 1 gr/cm3 a 4°C. Es esencial para toda forma de vida, ayuda a mantener el clima de la tierra y diluye los contaminantes. Permite la homeostasis de los ecosistemas en el planeta.

Clasificación de las Aguas.- El agua en la tierra se encuentra en una dinámica constante de acuerdo al ciclo hidrológico, se puede clasificar en dos grandes grupos: a) Aguas saladas o marinas.- El planeta tierra tiene una superficie de 510 millones de Km 2 de los cuales 361 millones de Km2 son aguas marinas, es decir un 96,5 % del volumen de agua del planeta se encuentra en los mares y océanos; contiene sales disueltas no siendo apta para beber ni para ser utilizada en cultivos ni para la mayoría de usos industriales, excepto para procesos de enfriamiento. El agua del mar tiene aproximadamente 3,5 % de sales disueltas, esta característica tiene gran influencia en la vida marina, puesto que las plantas y animales marinos están adaptados a la salinidad. Contenido de sales en aguas marinas (gr/l): Na

K

Ca

Mg

Cl

SO4

CO2

Total

10,7

0,39

0,42

1,31

19,3

2,69

0,073

34,9

Las aguas marinas contienen una cantidad aún no conocida de especies vegetales y animales, los mares y océanos pueden ser considerados como los pulmones de la humanidad, en vista que tienen aproximadamente el 71% de la superficie del planeta y diariamente en éstos se realiza el proceso fotosintético que además de producir hidratos de carbono para la alimentación de los consumidores, produce oxígeno para la respiración principalmente. b) Aguas dulces o continentales.- Representan el 3,5 % del total de las aguas del planeta, de ésta cantidad el 2.9% se encuentra en las nieves perpetuas de los polos y glaciares, y el 0.6% restante se encuentra en los ríos, riachuelos, lagos, lagunas, pantanos y otros cuerpos de agua dulce que se encuentran en los continentes. Esta cantidad de agua dulce en la tierra, relativamente pequeña, se recicla y purifica de manera constante en el ciclo hidrológico. Los cuerpos de agua dulce se clasifican en dos series: - Cuerpos de agua lénticas o leníticas.- Son cuerpos de agua aparentemente sin movimiento como lagos, lagunas, pantanos, etc. En nuestra zona se tienen varios cuerpos de agua con estas características, como las lagunas de Langui, Pomacanchi, Piuray, Huaypo, Urcos, Huacarpay, etc. Ecológicamente son importantes porque moderan el clima de los lugares ribereños al almacenar calor y perderlo lentamente, así mismo sirven de hábitat a una serie de plantas y animales. Otro aspecto muy importante es que suministran de agua potable a las ciudades. - Cuerpos de agua lóticos.- Son aguas que discurren sobre la superficie de la tierra como ríos, riachuelos y arroyos, los cuales están asociados a una cuenca hidrográfica, sirven para el riego de cultivos, el transporte (especialmente en la selva) y otros usos como recreación, etc.

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Importancia y Usos del Agua.- El agua es un recurso indispensable para los seres vivos incluido el hombre, su importancia puede verse desde dos puntos de vista: 1. 2.

Es fuente de vida, sin ella no pueden existir las plantas, animales y los seres humanos; es decir que si no existiera agua no existiría vida sobre la tierra. Es indispensable en la vida diaria, se utiliza en: a. Uso Doméstico.- En la casa, para lavar, cocinar, regar, etc. b. Uso Industrial.- Como para la generación de electricidad, curtido, fabricación de alimentos, como: disolvente, materia prima, para procesos de calentamiento y enfriamiento, etc. Estas aguas mayormente se devuelven a la naturaleza sin ser tratadas para purificarlas, por esta razón la calidad de los ríos y mares se está deteriorando. c. Uso Agrícola.- Para riego de cultivos en los campos. d. Uso Ganadero.- Para dar de beber al ganado. e. Uso Acuícola.- Especialmente en la piscicultura (crianza de peces estabulados y otras especies). f. Uso para la práctica de deportes acuáticos como: natación, esquí acuático, canotaje, etc. g. Uso Municipal. Para riego de parques y jardines en las ciudades.

Clasificación de los Seres Vivos de acuerdo a sus necesidades de Agua.- De acuerdo a sus requerimientos de humedad los seres vivos se clasifican en: 1. 2. 3. 4.

Hidrófilos o Acuáticos.- Aquellos organismos que viven en el agua como peces, anfibios en etapas larvarias, muchos invertebrados, plantas acuáticas, etc. Higrófilos.- Organismos que tienen elevadas necesidades de humedad en el suelo o el aire, sin llegar a ser acuáticos, por ejemplo invertebrados como chanchitos de la humedad, lombriz de tierra, así como la palmera aguaje y los bosque nublados de la selva alta. Mesófilos.- Aquellos que tienen medianos requerimientos de agua, adaptados a vivir en zonas con climas de humedad cambiante (alternancia de épocas secas y húmedas), son la gran mayoría de seres vivos; las plantas cultivadas de nuestra zona, las arañas. Xerófilos.- Organismos que están adaptados a vivir en ambientes secos como los desiertos, poseen defensas especiales contra la evaporación como cutículas, caparazones o que asimilan continuamente agua a través de los alimentos. Por ejemplo los cactus, los caracoles de las lomas costeras, el camello, alacranes.

3.2. PRECIPITACIÓN.La precipitación se define como el fenómeno de caída de agua de las nubes hacia la tierra ya sea en forma líquida o sólida. El calor existente en la superficie de la tierra produce la evaporación es decir la conversión del estado líquido del agua al estado gaseoso, este luego se expande o se sublima, luego por la baja de temperatura se condensa formando las nubes, estas pueden ser trasladadas por las corrientes de aire y al chocar unas a otras las gotitas de agua se juntan haciéndose cada vez más grandes, por consiguiente aumentan en tamaño y peso, hasta que no pueden ser sostenidos en el aire y caen a la superficie terrestre. La precipitación tiene mucha importancia en el desarrollo de la vida y esta no está regida solamente por la precipitación pluvial sino por el equilibrio entre la precipitación y la evaporación. En el mundo existen zonas muy lluviosas como las zonas intertropicales: ejemplo Indonesia, la selva amazónica una parte del África donde llueve más de 2,000 mm al año, por el contrario existen zonas extremadamente secas, como el desierto de Atacama en el norte de Chile, en el que se registró una precipitación de 1,8 mm en diez años, el desierto del Sahara en África. ORIGEN. -Toda precipitación se produce por la condensación del vapor de agua contenido en las masas de aire, que se origina cuando dichas masas de aire son forzadas a elevarse y enfriarse. Para que se produzca la condensación es preciso que el aire se encuentre saturado de humedad y que existan núcleos de condensación. El aire está saturado si contiene el máximo posible de vapor de agua; entonces su humedad relativa es del 100%. El estado de saturación se alcanza normalmente por enfriamiento del aire, ya que el aire frío se satura con menor cantidad de vapor de agua en comparación con el aire caliente. Los núcleos de condensación (que permiten al vapor de agua recuperar su estado líquido) son minúsculas partículas en suspensión en el aire y así es como se forman las nubes. CARACTERISTICAS DE LA PRECIPITACIÓN El interés sobre la precipitación se ha puesto en determinar las cantidades promedio anuales, estacionales y mensuales, la variabilidad con respecto a los promedios, los períodos lluviosos y secos, la frecuencia, intensidad, etc. Referidos a distintos períodos de tiempo y a diferentes tipos de precipitación, entre las principales características podemos citar las siguientes: 1. CANTIDAD.- Se expresa como la altura de agua recogida a nivel del suelo o cerca de él expresada en mm, por lo general la medición de la lluvia se efectúa una vez al día, agrupándose estos resultados por meses o por años. Cuando la lluvia es inferior a 0,1 mm se considera que la precipitación es inapreciable porque es demasiada pequeña para ser medida por el pluviómetro, cuando es mayor que 0,1 en un tiempo de 24 horas se conoce como “día lluvioso”. 2. INTENSIDAD.- Se refiere a la cantidad de lluvia caída por unidad de tiempo, sea diaria, horaria o intervalos más cortos, normalmente se expresa en mm/hora. Aunque es conveniente diferenciar entre la cantidad de agua recogida en el transcurso de una lluvia y la referida al período de una hora. Así por ejemplo si un registro es de 34 mm en tres horas, representa una intensidad media de 11.3 mm/hora; en otro ejemplo si cae 12 mm en cinco minutos supone una intensidad de 144 mm/hora. La intensidad varía según sea la superficie que se considere, por ejemplo en el centro de una tormenta fuerte la cantidad total de lluvia media puede ser alta, pero cuando más se amplía el área estimada, el promedio de intensidad decae.

E C O L O G Í A Y M E D I O A M B I E N T E | 15 Clasificación de la precipitación de acuerdo a la intensidad. Intensidad Característica     

Débil Moderada Fuerte Muy fuerte Torrencial

< a 2 mm/h. entre 2,1 y 15 mm/h. entre 15,1 y 30 mm/h. entre 30,1 y 60 mm/h. > 60 mm/h.

3. DURACIÓN.- Está dada por el tiempo que dura cada precipitación, muchas veces se considera a la intensidad como la relación cantidad/duración. 4. FRECUENCIA.- Cuando se dispone una serie de datos, es importante considerar el período de retorno o recurrencia de ciertas intensidades máximas o críticas, entendiendo como tal el número de años que en promedio han de transcurrir para que se origine un fenómeno de magnitud igual o mayor al de la referencia. 5. VARIABILIDAD.- La variabilidad es tanto temporal como espacial y está relacionada con la dinámica general de la atmósfera. La variabilidad temporal se manifiesta en la magnitud de los valores extremos de las series pluviométricas registradas en los diversos observatorios y deban ir acompañadas de otros parámetros estadísticos como la frecuencia, intensidad y variabilidad de las precipitaciones en el tiempo y en el espacio. Las precipitaciones por su variabilidad pueden ser diarias, mensuales y anuales. 6.- EXTENSIÓN SUPERFICIAL DE LA PRECIPITACIÓN.- La extensa cantidad de lluvia registrada en un intervalo de tiempo dado, cambia de acuerdo al lugar de la zona que se considera presentando una variación análoga a la duración de la intensidad de la lluvia. Desde este punto de vista en las latitudes templadas se pueden presentar las siguientes características: Desierto 0 - 250 mm/año Pradera, sabana o Bosque desierto 250 - 750 mm/año Bosque seco 750 - 1,250 mm/año Bosque húmedo > a 1,250 mm/año TIPOS DE PRECIPITACION.- Según el proceso que conduce a su formación, la precipitación principales siguientes:

se clasifica en los tipos

a.

Precipitación Convectiva.- Es aquella que resulta cuando el aire húmedo ascendente se satura y se condensa al enfriarse, la precipitación es intensa. El chubasco de lluvia o de nieve, y el granizo o la nieve granulada son las formas asociadas con la precipitación convectiva.

b.

Precipitación Orográfica.- Es la que se forma cuando el aire es forzado a elevarse, enfriarse y precipitar por la presencia de una barrera natural, como una montaña, lo que es al mismo tiempo un factor importante en la intensificación de la precipitación y su distribución. Este tipo de precipitación Orográfica ocurre, por ejemplo, en la Cordillera Azul, en las zonas de Tingo María, Quincemil en el Perú, donde las lluvias anuales sobrepasan los 4 000 mm.

c.

Precipitación Frontal.- Es aquella que se produce cuando las corrientes de aire convergen y se elevan. En las regiones tropicales es muy típica la convergencia y la inmediata ascensión del aire. En las latitudes medias, la convergencia frontal se caracteriza por la elevación gradual del aire cálido sobre el aire más frío.

3.3. LA LITOSFERA: (De la palabra griega que significa literalmente «esfera de piedra») es la capa más superficial de la Tierra sólida, caracterizada por su rigidez. La litosfera está fragmentada en una serie de placas tectónicas o litosféricas, en cuyos bordes se concentran los fenómenos geológicos endógenos, como el magmatismo (incluido el vulcanismo), la sismicidad o la orogénesis. Las placas pueden ser oceánicas o mixtas, cubiertas en parte por corteza de tipo continental EL SUELO. El suelo (o la tierra) es un manto continuo sobre la superficie de todos los continentes, excepto sobre montañas muy abruptas y sobre los hielos y glaciares. Sus características cambian, ya sea en profundidad, en color, en composición, y en contenido de nutrientes. Cuya organización es el resultado de procesos físicos, químicos y biológicos. El suelo sirve de soporte y fuente de nutrientes a las plantas, protección y refugio de animales, para el hombre necesario en sus diversas actividades. COMPOSICIÓN. El suelo es una mezcla variable de materiales sólidos, líquidos y gaseosos, sin embargo se puede señalar que el suelo está formado por una parte inorgánica y una orgánica:  La parte Inorgánica está formada por fragmentos de la roca madre, como grava, arena, limo y arcilla, además de agua, aire y minerales.  La parte orgánica es la parte más importante del suelo, constituida por restos de plantas y animales en diferentes estados de descomposición, la mayor fuente de materia orgánica son las raíces y partes aéreas no utilizadas de las plantas, la materia orgánica tiene por finalidad aumentar la porosidad y la capacidad de retención hídrica del suelo, reduce la erosión. Origen. La ciencia que estudia los suelos se denomina Edafología, sin embargo la que estudia el origen o génesis del suelo se denomina Pedología, este origen depende de la acción de factores ambientales, estos se expresan de acuerdo a la siguiente función S = f (P,C,R,T,O) Donde: S= suelo, P= roca madre (material parenteral), C=clima, R= relieve, T= tiempo, O= organismos vivos. El suelo se origina por la acción de los elementos del clima (precipitación, frío, calor, vientos) que van descomponiendo la roca madre en partes cada vez más pequeñas, este proceso se denomina Meteorización o Intemperismo o Edafización. Se distinguen dos tipos:

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1. Meteorización física o desintegración: Llamada también meteorización mecánica o desintegración, donde las rocas están sometidas constantemente a la acción meteorizante del congelamiento y deshielo, temperatura, humedad, etc., que rompen progresivamente la roca hasta quedar pequeños fragmentos, sin que se produzcan cambios mineralógicos en su composición, siendo idéntico a la roca madre. 2.Meteorización química: Es un proceso de intemperismo que tiende a originar cambios en la composición del suelo (forma y en la estructura química), resultando mineralógicamente diferente a la roca original. Esto se origina por los minerales solubles que cambian, existen dos clases de cambios por solubilidad y por estructura. a.

b.

Cambios por solubilidad, se tiene los siguientes procesos:  Solución. o Eluviación, que permite el transporte por medio del agua de materiales disueltos por la misma en solución coloidal o suspensión.  Hidrólisis. Da como resultado hidróxidos.  Carbonatación. Da como resultado carbonatos. Cambios por estructura. Con los siguientes procesos:  Hidratación. En el que se produce la fijación de determinadas moléculas de agua por un mineral, el agua ablanda los minerales, favoreciendo una fácil alteración por acciones físicas y químicas.  Oxidación. Que se da especialmente en rocas que contienen compuestos de hierro.  Reducción.

Perfil del Suelo. Se denomina así a la distribución vertical del suelo, presenta tres capas denominadas horizontes: 



 

Horizonte A: Es la capa superior, donde se encuentran las rocas descompuestas, de color pardo o marrón, con materias orgánicas e inorgánicas (arena, arcilla, limo, cascajo), es el substrato fértil con gran cantidad de materia orgánica. Horizonte B: Conformado por la acumulación de minerales y arcillas, es una capa densa que recibe las aguas que se infiltran desde el horizonte A, presenta raíces y flora microbiana, tiene diferentes colores según la composición (Castaño, amarillo, blanco, rojo). Horizonte C: Es la roca madre en proceso de descomposición o material parenteral, que puede estar muy superficial o a gran profundidad, no presenta microorganismos. Horizonte R (Roca Madre): que puede o no haber dado origen al suelo en el cual subyace.

Los Suelos del Perú: El Perú es un país pobre en buenos suelos, a pesar de su gran extensión, sólo el 19,86 % de los suelos del Perú son aptos para la agricultura y la ganadería. En forma general los suelos del Perú se han clasificado en siete regiones de suelos o regiones geoedáficas:

a)

b) c) d) e) f)

g)

Región yermosólica.- Se ubica en la costa desértica que abarca unos 10 millones de hectáreas. Los suelos buenos están en los escasos valles costeros; en los valles irrigados predominan los suelos aluviales, de alta calidad; en los desiertos predominan los suelos arenosos, los salobres y los aluviales secos en los cauces secos; en los cerros y colinas predominan los suelos rocosos; en la costa norte (Piura y Tumbes) los suelos son arcillosos y alcalinos; en la costa sur existen suelos volcánicos. Región litosólica.- Se ubica en las vertientes occidentales áridas de los andes, donde la topografía es muy desfavorable, predominan los suelos pedregosos y rocosos. En las partes bajas hay arenosos y áridos con calcio. En las partes medias hay suelos con arcilla y cal, con capa oscura y cal y suelos pardos. Región paramosólica.- Se ubica en las regiones andinas por encima de los 4000 m.s.n.m. donde existen buenos suelos, pero el uso agrícola está limitado por el frío. Predominan los suelos ricos en materia orgánica y ácidos, existen suelos rocosos, calcáreos, arcillosos profundos y orgánicos. Región kastanosólica.- Se ubica en los valles interandinos entre 2200 y 4000 m.s.n.m. y en la parte superior de la selva alta. Predominan los suelos calcáreos de color rojizo y pardo rojizo, arcillosos y profundos finos. En el sur predominan los suelos de origen lacustre, a veces con mal drenaje y suelos de origen volcánico. Región lito-cambisólica.- Se ubica en la selva alta entre los 2200 y 3000 m.s.n.m. La pendiente es extrema y los suelos son pobres y erosionables por las altas precipitaciones. Predominan los suelos superficiales y de formación incipiente o jóvenes; pueden ser ácidos o calcáreos y con frecuencia de color amarillo. Región acrisólica.- Se ubica en las partes medias e inferiores de la selva alta entre 500 y 2800 m.s.n.m. Comprende algunos valles con buenos suelos. Predominan suelos profundos de tonos amarillos y rojizos, con buen drenaje y arcillosos muy profundos. Hacia la selva baja aparecen suelos arcillosos ácidos y con fierro. En las pendientes los suelos son rocosos. En los fondos de los valles los suelos son aluviales, a veces con mal drenaje y suelos arcillosos. Región acrisólica ondulada.- Se ubica en la selva baja. Hay suelos rojos y amarillos, ácidos y de baja fertilidad, jóvenes de perfil poco diferenciado, mal drenado (propio de los aguajales), moderadamente fértiles y bien drenados, muy infértiles arenosos y de arenas blancas.

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3.4. CLIMA. El clima es una serie de estados atmosféricos que se suceden habitualmente en el curso de un año, en una localidad, región, zona, etc. También se puede definir como el promedio del estado atmosférico de un determinado lugar. La definición de clima debe diferenciarse del tiempo atmosférico o tiempo que se define como los cambios atmosféricos en un momento dado y en un lugar determinado. Los dos factores más importantes que determinan el clima de una zona, son la temperatura con sus variaciones estacionales, y la cantidad y distribución de la precipitación durante cada año, la forma de representar el clima se basa en estos dos factores y se hace mediante los diagramas o climatodiagramas. COMPONENTES DEL CLIMA. Los componentes más importantes del clima son: los elementos climáticos y los factores climáticos. Elementos Climáticos. a) Elementos Climáticos: El clima está condicionado por los elementos del tiempo, que son los diversos fenómenos atmosféricos que en conjunto determinan las características climáticas de un lugar, los cuales se caracterizan por ser variables en el tiempo y espacio. Tenemos a los siguientes:  La radiación solar: es una forma de energía y proviene del Sol. Calienta la superficie de la Tierra y es responsable de la circulación de los vientos, de la evaporación del agua y otros aspectos. Se mide con el heliómetro o heliógrafo.  La temperatura: es el efecto de calentamiento por la energía del Sol, y responsable de las sensaciones de calor y frío. Influye sobre el desarrollo de las plantas y los animales, y los seres humanos. Se mide con el termómetro.  La humedad: es el contenido de vapor de agua en la atmósfera. Sin el agua en la atmósfera no habría nubes y no se producirían las precipitaciones. Procede de la evaporación del agua de los continentes y mares. Se mide con el higrómetro.  Las precipitaciones: son el fenómeno de caída del agua de las nubes en forma líquida (lluvia, garúa) o sólida (nieve, granizo). Se producen por la condensación del vapor de agua por disminución de la temperatura. Se mide con el pluviómetro. El producto de la precipitación y la temperatura es la evaporación de la superficie terrestre y se conoce como evapotranspiración. Ésta, conjuntamente con la temperatura, define las condiciones en una región: cuando la evapotranspiración es mayor que la precipitación se tienen los climas áridos, y cuando la evapotranspiración es menor que la precipitación se tienen los climas húmedos.

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Es la cantidad de agua procedente de la atmósfera que cae en un lugar determinado, se precipita en diversos estados: Líquido (lluvia, rocío), sólido (granizo, nieve), gaseoso (vapor de agua, neblina y nubes). La precipitación se mide con el Pluviómetro o Pluviógrafo y es registrada en mm.  La presión atmosférica: es el peso de la atmósfera sobre la superficie, y equivale a 1,033 kg por cm 2 a la orilla del mar. Disminuye con la altitud, de manera que a mayor altura los cuerpos pesan menos. La presión atmosférica es variable y la mayor presión atmosférica indica que el aire pesa más por el mayor contenido de humedad. Se mide con el barómetro.  El viento: es el movimiento del aire por las diferencias de temperatura y de presión atmosférica, desde los lugares de mayor presión hacia los de menor presión, lo que depende de los diferentes niveles de calentamiento de la superficie por el Sol. Se mide con la veleta y el anemómetro. b) Factores Climáticos. Son aquellas características propias y fijas de un lugar que determinan de modo preponderante el clima y que causan modificaciones en los elementos climáticos. Entre los factores climáticos se tienen: Factores climáticos primarios: 1.

Latitud Geográfica.- Es la distancia que existe de un punto de la Tierra a la línea ecuatorial, que determina la mayor o menor inclinación con que caen los rayos solares sobre un lugar y establece la duración de los días. 2. Altitud.- En relación con el nivel del mar, factor que fija las condiciones propias de tempratura, humedad y turbulencia del aire. Factores climáticos secundarios: 3.

Continentalidad. Se llama así al mayor o menor alejamiento de una zona con respecto al mar, es decir cuanto más lejos se encuentra una zona del mar, es más continental; este hecho hace que el clima de una zona determinada cambie totalmente si se encuentra cerca o alejada del mar, cuanto más alejada está del mar va disminuyendo la temperatura, ya que el agua es el mayor agente moderador del clima por su alto calor específico. Exposición hacia una orientación. La exposición de un lugar hacia una orientación determinada, ocasiona una mayor o menor incidencia de los rayos solares y por consiguiente un mayor o menor calentamiento del suelo, por ejemplo: en una montaña no son iguales las condiciones climáticas de acuerdo a su orientación a oriente u occidente.

4.

EL CLIMA EN EL PERÚ:

A) Fenómenos y accidentes geográficos que influyen en el clima. El Perú es un país de clima muy variado por la influencia

de un accidente geográfico y fenómenos siguientes:  La Cordillera de los Andes. Recorre el país longitudinalmente dividiendo las masas de aire del Pacífico y el Atlántico, estableciendo una barrera a la circulación de los vientos.  La Corriente Oceánica Peruana. También llamada Corriente fría peruana o Corriente de Humboldt. Tiene aproximadamente 100 millas de ancho, de aguas frías y que va de sur a norte, hecho que trae consigo una escasa evaporación y consecuente ausencia de lluvias en la costa peruana (aridez de la costa).  La Contracorriente Oceánica Ecuatorial. O Corriente del Niño, con masas de agua cálida y que circula de norte a sur, provocando lluvias en la costa norte (Tumbes y Piura).  El Anticiclón del Pacífico Sur. Con circulación de vientos de Sur a Norte (van en sentido contrario a las agujas del reloj) recogen la humedad existente y la llevan a la costa, donde se condensa en forma de nubes bajas y persistentes entre Mayo a Octubre, con alto contenido de humedad atmosférica.  El Anticiclón del Atlántico Sur. Se ubica cerca de las costas argentinas con masas de aire húmedo y frío llegando al Perú por el sudeste (Madre de Dios, Cusco) ocasiona precipitaciones en el flanco oriental sur de la Cordillera de los Andes. Entre los meses de Mayo a Setiembre puede provocar descensos de temperatura en esta zona conocidos como friajes o surazos.  El Ciclón Ecuatorial. Se ubica en la Amazonía con masas de aire de baja presión, tibia y húmeda y es responsable de la mayoría de lluvias y el clima cálido de la selva baja. Estos condicionamientos hacen que el Perú tenga una alta diversidad de climas.

B)

Clasificación de los climas del Perú:

Tipo

Altitud msnm

Precipitación mm/año

Temp.

Zona

Características.

C. Semi - cálido muy seco

Hasta los 2000 m

150 mm/año

20°C

Costa S. C y N

Carácter árido.

C. cálido muy seco

Hasta los 1000 m.

200 mm/año

24°C

Costa N. Piura y Tumbes

Carácter cálido y seco

C. Cálido Templado

Entre 1000-3000 m.

500–2000 mm/año

> 20°C

Valles interandinos

Clima de montaña baja

Clima frió

Entre 3000-4000 m.

700 mm/año

12°C

Valles interandinos mesoandinos

Clima de montaña alta

C. frígido

Entre 4000-5000 m.

700 mm/año

6°C

Zona Altoandina

Clima de Puna, páramo

Clima de Nieve

> de 5000 m.

>700 mm/año

< 0°C

Altas cumbres

Nieve perpetua

Clima semi - cálido muy húmedo

Entre 800 - 2500 m.

>2000 mm/año

22°C

Vertientes orientales andinas

Selva Alta

Clima cálido húmedo

Entre 59 - 800 m.

2000 mm/año

30°C

Bosque tropical Amazónico

Selva Baja

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4.1. NIVELES DE ORGANIZACIÓN DEL ECOSISTEMA ESPECIE. Son organismos semejantes en apariencia, comportamiento, constitución y estructura genética, reproductivamente aislados. POBLACION. Es un grupo de individuos que pertenecen a una misma especie, ocupan un área determinada (Hábitat) y realizan intercambio de genes (o capacidad de reproducción) en un determinado espacio y tiempo. COMUNIDAD. Constituido por poblaciones de diferentes especies, plantas, animales, microorganismos, denominada también (biocenosis, biota o comunidad biótica); que viven o comparten ambientes y hábitats, donde interactúan directa o indirectamente en un espacio físico (Biotopo). 4.2. SISTEMA ECOLÓGICO - ECOSISTEMA. El ecosistema constituye un nivel de integración, en el que interactúan dos componentes: los seres vivos o factores bióticos (biocenosis) y su medio físico o factores abióticos (biotopo). En el ecosistema estos factores se relacionan y dan lugar a procesos de intercambio de materia y energía, interactuando y generando cambios que hacen que el ecosistema sea dinámico. En el ecosistema existen entradas de materia y energía: energía solar, elementos minerales, atmosféricos, y agua; pérdidas y salidas que ocurren en forma de calor, oxígeno, CO 2, compuestos húmicos, sustancias orgánicas arrastradas por el agua, etc. A los ecosistemas también se les denominan biogeocenosis o geobiocenosis. El término ecosistema fue propuesto por primera vez por el ecólogo británico Arthur G. Tansley, 1935); hacia 1950 los ecólogos elaboraron la noción científica de ecosistema, definiendo como la unidad de estudio de la ecología. Constituyen sistemas complejos, la selva tropical, los desiertos, ríos, lagos, etc. en la que coinciden miles de especies vegetales, animales y microorganismos que habitan el aire, el suelo o el agua; produciéndose interacciones complejas.

Biotopo. Es el espacio físico ocupado por la biocenosis (comunidad biológica), es decir un área geográfica de superficie y volumen variable. El biótopo está caracterizado por un conjunto de factores abióticos de naturaleza fisicoquímica, localización geográfica, intensidad de flujo solar, viento, temperatura, higrometría, concentración de los compuestos y elementos minerales fundamentales (H2O, CO2, O2, NO3-, PO4 =, C2). Hábitat. Lugar donde un organismo vive, donde encuentra las condiciones favorables para alimentarse, reproducirse y poder vivir; es el lugar donde se buscaría a una determinada especie, por ser su dirección ecológica. Por ejemplo, el hábitat de los cochinitos de humedad son debajo las piedras, entre las raíces y tallos del kikuyo, etc., el hábitat de la vicuña es la puna; el de la lombriz de tierra, el suelo húmedo; en efecto son lugares donde se colectan estos organismos. Nicho ecologico. Es la función que desempeñan los organismos dentro de su comunidad. El nicho ecológico de un organismo depende de: Tipo de alimentación, Actividades que realiza, Fuente de energía que utiliza, Influencia que tiene o ejerce en los organismos que lo rodean, Velocidad de su metabolismo. Son ejemplos de nicho ecológico: La posición trófica que ocupa el organismo en el ecosistema: (como productor, consumidor o desintegrador); a veces una especie (por ejemplo la mariposa), ocupa en las distintas etapas de su vida (huevo, oruga, crisálida, mariposa adulta) diferentes nichos ecológicos. 4.3 COMPONENTES DE UN ECOSISTEMA.

Componentes del Ecosistema

Componente Abiotico

Agua, aire, nutrimentos, energía solar, etc.

Componente

Plantas, animales y microorganismos.

Biotico

I.- COMPONENTES ABIÓTICOS: Los componentes abióticos más importantes de un ecosistema son los factores físicos y químicos, que influyen en los organismos vivos.

Ecosistemas terrestres

La energía solar, temperatura, las precipitaciones, vientos, la lattitud, altitud, frecuencia de incendios, naturaleza del suelo, etc.

Ecosistemas acuáticos

La energía solar, temperatura, turbidez, presencia de materia orgánica, corrientes, profundidad, oleaje, vientos, etc.

Algunos factores físicos importantes que afectan a:

20

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II.- COMPONENTES BIÓTICOS: A). Productores o autótrofos: Transforman la energía luminosa en energía química potencial para producir sus propios alimentos (glucosa y demás sustancias nutritivas), a través de la fotosíntesis. A este grupo pertenecen los vegetales; y en los ecosistemas de aguas dulces y marinos, está representado por el fitoplancton, las algas y las plantas cerca de la orilla. B). Consumidores o heterótrofos: Son organismos que consiguen su energía y elementos nutritivos, a partir de otros seres vivos. Hay varias clases de consumidores dependiendo de cuál sea su fuente primaria de alimentos, así se tiene: Herbívoros Aquellos que comen plantas o algas, son consumidores primarios porque se alimentan directamente del productor. Por ejemplo: Rizófagos (comen raíces), Frugívoros (frutas), Granívoros (semillas), xilófagos madera),etc. Carnívoros Aquellos que comen a los herbívoros y otros animales, son consumidores secundarios. Omnívoros Aquellos que comen una gran variedad de alimentos, tanto animales como plantas, también llamados generalistas (cerdos, ratas, osos, el hombre) etc. Consumidores especiales Tales como:  Los súper depredadores.- Son aquellos que consumen a otros carnívoros, como los tiburones, orcas, focas, serpientes, águilas, etc.  Los carroñeros.- Llamados también necrófagos, que se alimentan de cadáveres en descomposición, es decir se alimentan de organismos muertos de forma natural; cóndor, buitres, moscas, cuervos, etc.  Los detritófagos (detritívoros).- Aquellos que consumen partículas residuales, lo que queda de la alimentación de otros animales, es decir de detritus (partes de organismos muertos, fragmentos y desechos de organismos vivientes). Tenemos los cangrejos, hormigas, gusanos de tierra (lombrices de tierra) escarabajos.  Los parásitos.-Aquellos que se alimentan de sustancias orgánicas (sangre, tejidos), o alimentos ingeridos por otro organismo llamados huésped, de acuerdo a como se localicen pueden ser ectoparásitos o endoparásitos. Así tenemos a las pulgas, zancudos, tenias, etc. C). Descomponedores o Desintegradores y Transformadores. Son consumidores que descomponen la materia orgánica a materia inorgánica en los ecosistemas. Comprenden a las bacterias y hongos, que digieren la materia orgánica muerta para conseguir nutrientes y liberar los compuestos resultantes más sencillos en el suelo y el agua, donde son captados por los productores. 4.4 CLASIFICACIÓN DE LOS ECOSISTEMAS.- Según su origen los ecosistemas se clasifican en: Ecosistemas Naturales: Son ecosistemas no intervenidos por el hombre, formados por un bosque, desiertos, lagos, lagunas, mares, montañas, glaciares, entre otros. Ecosistemas Artificiales: Son ecosistemas intervenidos y/o generados por el hombre llamados también antrópicos y son: Ecosistemas Maduros 1. Los ecosistemas que aparecen más o menos en sus estados naturales, generalmente no son empleados, ni habitados por el hombre, que son considerados por su potencialidad, por ejemplo áreas de producción de agua. Ecosistemas Controlados

2. Los ecosistemas que controla el hombre para uso recreativo o para la producción de recursos naturales, como parques, bosques controlados, áreas de caza y otros.

Ecosistemas Productivos

3.Los ecosistemas que emplea el hombre para la producción intensa de alimentos de recursos naturales como chacras, ganaderías, minas, etc.

Ecosistemas Urbanos

4. Ecosistemas donde el hombre vive y trabaja, como áreas industriales, ciudades y pueblos.

4.5 FUNCIONES Y CARACTERÍSTICAS DE LOS ECOSISTEMAS. 1.- Desarrollo de los ecosistemas. (Sucesión ecológica): Es un proceso ordenado mediante el cual, las comunidades cambian en el curso del tiempo como resultado de la interacción de factores abióticos y bióticos, que dan lugar finalmente a una comunidad madura, compleja y estable (clímax). Estos cambios son estructurales y funcionales que experimenta el ecosistema. Así mismo, este proceso permite a los sistemas naturales ajustarse a las condiciones físicas que los rodean y maximizar así los flujos de energía en sus compartimientos bióticos y abióticos. Las condiciones que favorecen la sucesión son: La accesibilidad de organismos para colonizar el área donde el sistema se desarrolla, abundancia de energía solar, agua y materia inorgánica, clima favorable, espacio para crecer. Un ejemplo típico de sucesión ecológica, es el que ocurre cuando se produce inundaciones, incendios., etc. La comunidad inicial está constituida por microorganismos, plantas y animales pequeños. Posteriormente se incorporan plantas arbustivas en las orillas, atrayendo a gusanos, insectos, anfibios y algunas aves. Luego es habitado por plantas y animales mayores. El ecosistema se transforma secuencialmente de un pantano, humedal, bosque arbustivo y bosque arbóreo. Cuando la humedad disminuye hasta límites críticos, la vegetación es sustituida por plantas xerófitas y una nueva fauna.

E C O L O G Í A Y M E D I O A M B I E N T E | 21 2.- Homeostasis. Proviene del latín (homeo=igual, stasis=posición) se define como la capacidad que tiene el ecosistema de mantener su estabilidad, por medio de mecanismos de retroalimentación negativa y autorregulación. Los ecosistemas tienen en sí, un equilibrio dinámico; las fluctuaciones naturales se deben a las variaciones climáticas, migraciones, sequías, inundaciones, incendios, etc. En los organismos vivos, la homeostasis consiste en la regulación balanceada de sus procesos metabólicos para retener las condiciones necesarias para la vida. La homeostasis comprende el mantener un flujo de sustancias necesarias, la producción de energía y la eliminación de desperdicios. 3.- Autorregulación. Los ecosistemas están regulados por determinados mecanismos (entradas y salidas de energía y materia), que les permiten alcanzar un equilibrio dinámico (Homeostasis), cuando este equilibrio ha sido alterado, el ecosistema tiene la capacidad de autorregularse en el tiempo hasta lograr su estabilidad o equilibrio. Dicha estabilidad se manifiesta en una óptima recirculación de materiales y mínimas pérdidas de energía. (Resiliencia: capacidad del ecosistema de recuperarse después de haber sufrido una perturbación). 4.6 DIVERSIDAD DE ECOSISTEMAS ZONAS DE VIDA. Es un conjunto de ámbitos específicos en la que se consideran divisiones balanceadas de tres factores climáticos importantes como: biotemperatura, precipitación y humedad ambiental, en relación a las regiones latitudinales y fajas altitudinales, considerados como factores independientes, que dejan un sello característico para cada zona de vida, mientras que los factores bióticos son considerados como dependientes, subordinados al clima. Inicialmente Holdridge (1947) denominó sus unidades bioclimáticas como formaciones vegetales pasando luego a denominarse Zonas de Vida, las mismas que permiten sacar conclusiones sobre la vida animal, el hombre y sus actividades socio-económicas. Holdridge, estableció las 117 Zonas de Vida en el Mundo; en base a este sistema J. Tosi (1960) publicó las Zonas del Vida Natural del Perú como un primer avance y ONERN (1976) publicó el mapa ecológico del Perú, considerando solo 84 Zonas de Vida y 17 de carácter transicional distribuidas en tres fajas latitudinales en el país: Región Latitudinal Tropical, Subtropical y Templada. ECORREGIONES NATURALES DEL PERÚ Una ecorregión es un área geográfica que se caracteriza por condiciones bastante homogéneas en lo referente al clima, a los suelos, a la hidrología, a la flora y a la fauna, y donde los diferentes factores actúan en estrecha interdependencia. Además es delimitable geográficamente y distinguible de otras con bastante claridad. De acuerdo a Antonio Brack para el Perú ha determinado 11 ecorregiones y son las siguientes: 1. El mar frío de la Corriente Peruana: Comprende la porción del Pacífico oriental, donde ejerce su influencia la Corriente Oceánica Peruana de aguas frías, con un ancho de unas 100 millas. 2. El mar tropical: Comprende la porción marina al norte de los 5o L. S. y se extiende hasta Baja California. Se caracteriza por aguas cálidas y por flora y fauna propias de los mares tropicales. 3. El desierto del Pacífico: Se extiende a lo largo de la costa, desde los 5o hasta los 27° L. S., con un ancho variable, siendo su límite altitudinal promedio los 1000 msnm, en el centro del Perú. 4. El bosque seco ecuatorial: Comprende una faja costera de 100 a 150 km de ancho en los Dptos. de Tumbes, Piura, Lambayeque y La Libertad, hasta los 7o L. S. en las vertientes occidentales y la porción seca del valle del Marañón, hasta los 9o L. S. 5. El bosque tropical del Pacífico: Se extiende a lo largo de la costa del Pacífico desde el norte del Perú hasta América Central. En el Perú comprende un área poco extensa en el interior del departamento de Tumbes, en El Caucho. 6. La serranía esteparia: Se extiende a lo largo del flanco occidental andino, desde el departamento de La Libertad (7° L. S.) hasta el norte de Chile, entre los 1000 y 3800 msnm en promedio. 7. La puna y los altos Andes: Se extiende encima de los 3500-3800 msnm desde Cajamarca. al sur del paso de Porculla, hasta Chile y Argentina. 8. El páramo: Se extiende desde Venezuela hasta el norte del Perú, al norte del paso de Porculla, en las alturas andinas encima de los 3500 msnm. 9. La selva alta: Se extiende por todo el flanco oriental andino. En el norte del Perú penetra profundamente hacia ambos flancos del valle del Marañón y pasa a las vertientes del Pacífico en Piura, Lambayeque y Cajamarca. 10. El bosque tropical amazónico o selva baja: Comprende la Amazonia por debajo de los 800 msnm, y es la más extensa del país. 11. La sabana de palmeras: Se presenta en el Perú sólo en las pampas del río Heath, en el departamento de Madre de Dios.

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BIOMAS Denominados también como áreas bióticas o paisajes bioclimáticos. Un bioma es el conjunto de ecosistemas de estructura y organización semejante, de gran tamaño; se identifican por poseer determinadas características geográficas (altitud y la latitud que determina la cercanía a los trópicos, el ecuador, o los polos); un tipo específico de vegetación principal, asociadas con un clima (húmedo o seco; cálido, templado o frío); y una fauna particular. Es la expresión de las condiciones ecológicas del lugar en el plano regional o sub continental. Clases de Biomas Hay diferentes sistemas de Clasificación de Biomas, que en general suelen dividir la tierra en dos grandes grupos: Biomas terrestres y biomas acuáticos. 1. Biomas Terrestres. El clima, es el factor más importante que determina la distribución de los biomas terrestres. Por ejemplo tenemos:  Los bosques. Son ecosistemas con estrato dominante de tipo arbóreo, bien desarrollado que se encuentran en regiones de clima cálido húmedo y presentan poca diversidad, el bosque de coníferas es sustituido por el bosque caducifolio. En el Hemisferio Norte, este bioma está dominado por robles, olmos, castaños y numerosos arbustos. En las zonas templadas, si la pluviosidad es baja y la estación seca muy marcada, se instala otro tipo de bosque, de hoja perenne y resistente a la sequía estival.  Las selvas, Son extensas superficies cercanas al centro del Ecuador, Sudamérica, África, Asia y Oceanía; climas muy húmedos y calurosos, provistas de lluvias abundantes y de ríos caudalosos que experimentan crecidas violentas en otoño. Son de gran biodiversidad presentan grandes árboles y plantas trepadoras (lianas, orquídeas, etc.); en Fauna: Primates, pájaros, mamíferos como el jaguar y muchos insectos.  Las sabanas Tienen poca vegetación (mayormente gramíneas) y suelos infértiles, cubren áreas extensas en América del Sur, África, India, Sudeste Asiático y Australia Septentrional. Vegetación: Hierbas, árboles dispersos Fauna: aves, reptiles, pequeños mamíferos, como la liebre, el venado, el coyote, y ocasionalmente el puma y el jaguar.  Las tundras Se hallan en lugares muy fríos, cercanos a los polos como la Antártida, las islas sub antárticas y parte de la Patagonia; temperaturas bajas (entre -15 °C y 5 °C); precipitación pluvial es más bien escasa (unos 200mm 3 al año) y poseen poca vegetación (musgos, hierbas, y líquenes); Fauna: reno, lobo, zorro ártico, osos polares, pingüinos, etc.  Los desiertos, Son ecosistemas en donde la precipitación pluvial es menor a 250 mm 3 al año, baja humedad, las condiciones en ellos son extremas, tanto que el clima entre el día y la noche, varía notoriamente, pueden ser desiertos cálidos (Sahara) o fríos (Gobi). Un mecanismo climático que forma desiertos en zonas cercanas a las costas, es el ascenso de corrientes marinas frías cerca de los bordes continentales occidentales de África y América del Sur, la vegetación escasa con una serie de adaptaciones definidas, animales de hábitos nocturnos.  Las estepas Se ubican en lugares con escasas precipitaciones, al igual que los montes, es un territorio llano y extenso, de vegetación herbácea con predominio de hierbas bajas y matorrales, clima seco semi árido, Estas regiones se encuentran lejos del mar, con clima árido continental, precipitaciones que no llegan a los 500 mm 3 anuales.

2. Biomas Acuáticos: Pueden ser: Los biomas marinos: Caracterizados por la diferente profundidad que alcanzan las aguas y por la distancia a la costa. Los biomas dulceacuícolas: Las aguas quietas o Lénticas (de lagos y lagunas); las aguas corrientes o Lóticas (de ríos y arroyos.)

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5.1. RELACIONES INTRAESPECÍFICAS U HOMOTÍPICAS. Se produce entre individuos de la misma especie, se presentan esencialmente para el proceso de reproducción y el mantenimiento de la especie: 1. Las relaciones entre sexos opuestos: Pueden ser cortas porque los gametos son vertidos al agua donde se realiza la fecundación y los descendientes son independiente de los padres. O ser intensas cuando los individuos se encuentran directamente para el apareamiento, al llegar a la madurez sexual presentan comportamientos reproductivos ya que producen hormonas, feromonas, sustancias que atraen al individuo del sexo opuesto. 2. Las agrupaciones casuales o agregaciones.- Se dan entre individuos de la misma especie, sin o con poco trascendencia en ecología, tal es el caso del transporte pasivo por el agua o viento, frecuente en las orillas de los mares o de grandes ríos, o de reuniones casuales ocasionadas sólo por factores externos por ejemplo, en una fuente de luz y actividades de los organismos como: abrevaderos o bebederos, alimento, descanso, sea en arboles con frutos y flores o áreas libres, sin generar vínculos. Por ejemplo: guacamayos en colpas, loros en pisonay, mariposas en flores, pingüinos en playas. 3. La asociación o sociedad.- Es la relación permanente o temporal de individuos de la misma especie, se genera vìnculos. La vida en sociedad ofrece múltiples ventajas para el individuo, como la defensa común, la búsqueda de alimento y mayor rendimiento por división del trabajo: 

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Asociaciones de relación hacia los descendientes.- Se refieren a todas las medidas que toman los progenitores para asegurar el desarrollo y superviviencia de los descendientes. En muchos casos la relación con los descendientes continúa por un tiempo mayor e incluye el transporte de las crías (marsupiales, como las mucas o carachupas); adiestramiento en la búsqueda y captura de alimento (felinos), limpieza lamiendo o alejando los excrementos (perros, zorros, aves, etc.); el enseñar a comer (patos, gallinas), enseñan a volar (rapaces) etc. Las crías y pichones no se alejan de los padres hasta que puedan sobrevivir solos (perros, gallinas, zorros, gatos). Agrupaciones familiares.- Viven en grupos familiares (clanes), tienen comportamiento jerárquico, normalmente el macho más grande y fuerte lidera la manada (gorilas, vicuñas, lobos, felinos,) etc. Colmenas.- Son una forma especial de familia, conformado por miles de individuos donde los individuos se caracterizan por diferenciaciones morfológicas y fisiológicas para diferentes tareas, como la reproducción (reinas y zánganos), la alimentación, mantención y construcción (obreras), la protección (soldados), etc. Es muy común entre abejas, avispas, hormigas y comejenes o termites.

La agrupación de individuos de la misma especie puede producir tres efectos:  

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Cooperación.- Es una relación favorable al individuo y al conjunto para la alimentación, la defensa, el trabajo, etc. Es el típico caso de las colmenas (abejas, avispas) y de los grupos familiares o clanes (vicuña). Competencia.- Se da cuando los individuos compiten por el espacio o el alimento necesario para otros, con variadas consecuencias para el individuo (la migración, la desnutrición, la falta de protección, el decaimiento, el estrés y hasta la muerte). Es muy común entre especies territoriales, o sea, que defienden un territorio, como en el caso de la vicuña en que un macho adulto (jaiñachu) posee un promedio de 6 hembras y defiende su territorio contra otros grupos familiares, y de machos jóvenes que están en busca de una manada; se da también en plantas que compiten por luz, espacio y nutrientes. Interferencia.- Se da cuando los individuos se hacinan en un espacio estrecho, con consecuencias psíquicas y fisiológicas (luchas, amenazas, heridas y muerte). Por lo general se produce por el aumento de la población en un espacio limitado (tal es el caso de las aves guaneras que en un metro cuadrado se encuentran hasta 5 nidos) y con escasa disponibilidad de alimentos.

5.2. RELACIONES INTERESPECIFICAS O HETEROTIPICAS.- Son relaciones que se dan entre individuos de especies diferentes, las que pueden ser favorables o desfavorables, presentándose todas las gamas desde el simple vivir o estar juntos hasta el de favorecerse mutuamente o estorbarse causándose la muerte. A.- MUTUA TOLERANCIA Y CONVIVENCIA 

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SINEQUIA. Cuando dos organismos viven juntos y se toleran mutuamente, sin hacerse daño; por ejemplo, existen aves que anidan cerca de avisperos como el shipillico o papamoscas amarillo. Otros animales conviven en la misma madriguera tolerándose como la serpiente shushupe y el majaz sin causarse daño. EPIFITISMO. Cuando algunas plantas (epifitas) crecen encima de otras y las utilizan como soporte, favorecidas por la materia orgánica que se acumula sobre los troncos y ramas de la hospedera. Son muy conocidos los casos de epifitismo de las bromelias o achupallas, orquídeas, musgos y líquenes, que viven sobre árboles en busca de luz. FORESIA (+/o). Cuando un individuo se deja transportar temporalmente por otra especie, son conocidos los casos de ácaros que se prenden de insectos para dejarse transportar; la larva del coleóptero Meloe se prende de abejas para llegar a la colmena y continuar, allí su desarrollo. Otro ejemplo es el caso del tornillo (Dermatobia hominis). COMENSALISMO (+/o). La relación en la que una de las especies participa del alimento de otra. Estos casos son muy frecuentes, los pumas al cazar sus presas (vicuña, taruca) dejan a los zorros y los cóndores restos de alimentos que luego son consumidos por éstos; los humanos conviven con las moscas y las cucarachas, que se alimentan de los restos que ellos dejan. Ciertos comensales acompañan al cazador para participar de su alimento ejemplo el pez rémora y el tiburón respectivamente. AGALLAS (+/o), Corresponde a proliferaciones de tejidos en las plantas provocadas por organismos extraños; muy comunes son las agallas provocadas por insectos (avispas, moscas, hormigas) en las ramas y hojas de plantas. Las avispas, moscas y hormigas se introducen en el tejido de la planta, ponen allí sus huevos, y la planta reacciona formando una especie de tumor o protuberancia, como forma de defensa ante un cuerpo extraño. Las larvas se alimentan temporalmente del tejido vegetal de la agalla, al completar su desarrollo abandona la planta, sin afectar a otras partes de la planta.

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B.- ASOCIACIÓN INDISPENSABLE DE BENEFICIO MUTUO (+/+) MUTUALISMO (+/+). Corresponde a las asociaciones entre dos especies que reportan un beneficio para ambas, mejorando su aptitud biológica: como obtener alimento, protección contra los enemigos o un ambiente favorable donde crecer y reproducirse. Las relaciones mutualistas pueden ser consideradas como un tipo de trueque o canjeo biológico en el que las especies intercambian recursos (por ejemplo carbohidratos o compuestos inorgánicos) o servicios (tales como dispersión de gametos o de descendientes o protección contra predadores). Por lo tanto es preferible categorizar a los mutualismos según el grado de vínculo de la asociación: 1. Facultativo: cada individuo obtiene un beneficio, pero no depende del otro (no imprescindible).  Entre animales.- Se presenta en cangrejos que conviven con anémonas de mar para protegerse, y otros dejan crecer sobre su caparazón esponjas y ascidias para protegerse y camuflarse. Algunos peces viven dentro de los pepinos de mar, sin parasitarlos ni producirles daño alguno. Existen hormigas "ganaderas", que cuidan a pulgones de las plantas, los cuales a su vez producen un líquido dulce, que sirve de alimento a éstas. 2.

Obligado para uno y facultativo para el otro:  Entre animales y plantas superiores.- Se producen generalmente para alimentar a aquellos y para la reproducción de éstas. La relación más clara es aquella entre animales polinizadores (abejas, mariposas, picadores, murciélagos, etc.) y las plantas con flores. Estas están estructuradas en tal forma que al extraerse el néctar y el polen, una parte de éste es transportado a otras flores para polinizarlas. La atracción para los polinizadores se produce por colores y olores de las flores. Ciertas plantas no logran reproducirse si no cuentan con el polinizador específico si éste se extingue la planta también se extinguirá. Ciertas hormigas tropicales como la tangarana viven en huecos de árboles (Cetico) y defienden a su árbol hospedero.

Obligado para ambos (SIMBIOSIS): De dependencia. Cuando dos organismos viven permanentemente juntos y se favorecen mutuamente, ambos se benefician, pero no pueden vivir separados uno del otro, con un grado de dependencia muy variable y pertenecen a especies o grupos sistemáticos muy distintos la relación se denomina simbiosis (del griego sim = juntos y bios = vida). Esta forma de relación está muy difundida en la naturaleza. Se tienen los siguientes casos:  Simbiosis liquénica. Es la relación entre un hongo y un alga, en este caso el alga al realizar la fotosíntesis produce oxígeno y materia vegetal, que es aprovechado por el hongo; mientras, el alga aprovecha la humedad captada por el hongo y vive de sus detritos. La asociación es tan fuerte que ninguno de los dos puede existir en forma separada del otro, y han formado un grupo taxonómico especial de plantas (líquenes).  Simbiosis en plantas. Es común la simbiosis con hongos y bacterias. Ciertos hongos (Mycorrhiza) rodean las raíces de árboles y penetran en las capas celulares externas y provee al árbol de agua y sales, y aprovechando la savia, siendo imprescindibles para el crecimiento. Ejm. Pinophytas. En las Fabáceas (leguminosas) son característicos los nódulos en las raíces, que albergan bacterias del Género (Rhizobium), capaces de captar nitrógeno del aire y hacerlo aprovechable para las plantas. Esta relación es tan importante que casi todas las proteínas vegetales provienen de esta simbiosis. El helecho acuático Azolla, muy común en lagunas y pantanos, está asociado a una alga Cyanophyta (Anabaena) fijadora de nitrógeno, por lo que son utilizados como mejoradores del suelo y como forraje.  Simbiosis en el intestino de animales.- Se dan con bacterias y protozoarios que ayudan a digerir sus alimentos con ayuda de enzimas, logrando descomponer las fibras vegetales haciéndolas absorbibles, ubicándose en los intestinos de vertebrados (equinos, roedores y muchas aves) y en la panza de los rumiantes (vacas, oveja). La misma función cumple ciertos protozoarios (flagelados y ciliados, como Entodinium en el intestino de termites o comejenes para digerir la madera. (xilófagos).  Simbiosis en el hombre.- También tiene relaciones simbióticas con bacterias, que viven en el Intestino y ayudan a digerir los alimentos. Al tomar antibióticos se destruye esta "flora Intestinal" y se perturba el proceso digestivo. 5.3 RELACIONES DE DEPREDACIÓN Y PARASITISMO (+/-) 1. Depredación o Episitismo (+/-).- Es la relación entre un animal (el depredador) que utiliza a otro (la presa) como alimento y lo mata. La relación depredador-presa puede ser muy variada e implica una serie de adaptaciones morfológicas en el depredador y la presa (garras, colmillos, visión aguda, ventosas, velocidad, etc.). Entre los depredadores y las presas existe una relación numérica: las poblaciones de presas y depredadores varían periódicamente; si aumenta el número de presas, aumenta el número de depredadores y viceversa, por ejm. el depredador natural de la vicuña es el puma que caza vicuñas adultas. El zorro o atoj también caza vicuñas, pero generalmente crías. Otros Ejm. (zorro- perdiz), (sapo – insectos), (lechuza- ratones silvestres). 2. Parasitismo (+/-).- Es la relación donde un organismo (parásito), generalmente más pequeño utiliza a otro (hospedero o huésped) como fuente de alimento (sustancias orgánicas o alimentos ingeridos) sin matarlo, al menos en forma inmediata. Los parásitos pueden reducir ciertos órganos como extremidades, visión, audición, etc.), especialmente en los casos de parásitos internos. Debilitan a su huésped causándole enfermedades y muerte. El parasitismo puede ser de varias clases: 3.

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Ectoparasitismo.- Cuando el parásito vive u obtiene su alimento en el exterior del hospedero. Ejm. las pulgas, los piojos, ladilla, garrapata, el vampiro, el zancudo, los mosquitos, el pique o nihua, el izango o gapa, ácaros, mata palo, cabello de ángel (Cuscuta grandiflora, planta parásita ), etc. Endoparasitismo.- Cuando el parásito vive en el interior del hospedero y se alimenta de alimentos ingeridos o de sustancias orgánicas de éste (sangre, tejidos). Los endoparásitos debilitan al hospedero y le causa enfermedades. Se tiene los siguientes formas:  Hemoparásito.- El protozoario Plasmodium vivax, es un parásito de la sangre y causa la enfermedad del paludismo o malaria que es transmitido por el mosquito Anopheles.  Enteroparásito.- Cuando el parásito se encuentra en el intestino del huésped ejm. Taenia solium, Ascaris lumbricoides, Oxiuros spp,  Histioparasito.- Cuando el parásito se localiza en el tejido del huésped puede ser en los músculos o en el tejido cerebral (Neurocisticercosis) Ejm. el cisticerco (quiste) de la Taenia solium, causa la enfermedad denominada Cisticercosis por consumo de carne de cerdo y alimentos contaminados. La Fasciola hepática parasita el hígado de varios mamíferos incluido el hombre. Otras formas de Parasitismo.- (conocido también como parasitismo social) Cuando el parásito deja criar su prole por otra especie (hospedero). Un caso típico en la costa peruana, es el Tordo parásito o Mirlo negro, que pone sus huevos en los nidos de la Pichisanka (Gorrión Andino), y deja criar sus pichones por ésta. Las colmenas de abejas tienen también parásitos (coleoptero Meloe), que dejan criar sus larvas por éstas.

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6.1 DEFINICIÓN La energía es la capacidad para realizar un trabajo. En el ambiente encontramos la energía en dos formas o categorías: Energía cinética: energía en acción o movimiento; realiza un trabajo a expensas de la energía potencial, como por ejemplo: energía mecánica, la luz, el calor, etc.  Energía potencial: energía almacenada, en cuerpos o sistemas, capaz de realizar un trabajo, o liberar una o más formas de energía, como la leña, petróleo, carbón, gas natural o las baterías, etc. 6.2 FLUJO DE ENERGÍA EN LOS ECOSISTEMAS 

El flujo de energía a través del ecosistema es unidireccional (Odum, 1991), su transferencia y fijación es gracias a la fotosíntesis en forma de biomasa vegetal y está gobernada por dos leyes de la termodinámica LEYES DE LA TERMODINAMICA: CONSERVACIÓN Y DEGRADACIÓN DE LA ENERGÍA. “En los cambios físicos y químicos, ninguna cantidad detectable de energía es creada o destruida, sino que en estos procesos, la energía sólo puede cambiar de una forma a otra”. Esta ley no se aplica a los cambios nucleares, donde la energía puede ser producida a partir de pequeñas cantidades de materia. Esta ley significa que el ingreso de energía siempre es igual al egreso de energía: no podemos obtener algo a partir de nada en términos de cantidad de energía. Cuando la energía del sistema se pierde en el ambiente circundante, la reacción es exotérmica. Cuando la energía del exterior es introducida al sistema para hacer que éste alcance un estado energético superior, la reacción es endotérmica. La segunda ley de la termodinámica o ley de la entropía o degradación entrópica,: establece que cuando la energía se transfiere o se transforma, hay pérdida de energía en forma de calor. Cuando se quema carbón para calentar un recipiente con agua y producir vapor, parte de la energía produce vapor y parte se dispersa como calor en el aire de alrededor. Lo mismo ocurre con la energía en el ecosistema. A medida que la energía es transferida en forma de alimento de un organismo a otro, una gran parte de la energía se degrada en forma de calor, el cual deja de ser transferible. El resto es almacenado como tejido vivo. LEY DE DIEZMO ECOLÓGICO.- Al aplicar las leyes de la termodinámica al flujo de energía en los ecosistemas, se ha considerado que al pasar la energía de un nivel trófico a otro, se asimila sólo 10% de energía que se obtuvo en el nivel precedente, lo que significa que del 100% de energía capturada, los organismos ocupan 90% en su metabolismo, movimiento, transporte, etc., almacenando en su estructura 10% del total consumido para ser aprovechado por el siguiente nivel trófico. Este fenómeno se conoce en ecología como Ley de Diezmo Ecológico, cuyo enunciado dice en concreto: "Sólo 10% de la energía fijada en un nivel trófico es utilizado por el siguiente nivel". Calor Calor Calor Productores 1000 Kcal

Herbívoros 100 Kcal

Carnívoros 10 Kcal

Carroñeros 1Kcal

Analizando este enunciado, observamos que un vegetal utiliza 90% de la energía solar que fija para realizar sus funciones de supervivencia y en caso de servir de alimento a algún herbívoro, éste sólo podrá utilizar 10% de toda la energía que fijó el vegetal. A su vez, el herbívoro utiliza 90% de esa cantidad que recibió para sobrevivir, y en caso de servir de alimento a algún carnívoro, éste sólo podrá utilizar 10% de la cantidad que recibió el herbívoro. NIVELES TRÓFICOS.- Basándose en su alimentación las especies en el ecosistema se ubican dentro de niveles tróficos, término que es utilizado para designar en la cadena, red, o pirámide alimenticia el lugar, la posición o el número de etapas que separan a un organismo de los productores, o la posición del consumidor en relación al productor. El primer nivel trófico, pertenece a los productores o plantas (vegetales), cuya fuente de energía es el sol y sus nutrientes provenientes del suelo, agua y la atmósfera. El segundo nivel trófico, pertenece a los herbívoros que se alimentan de vegetales, que constituyen los consumidores primarios. Los herbívoros son capaces de transformar la energía almacenada en forma de tejido vegetal en tejido animal; su función es esencial para el ecosistema, pues sin ellos los niveles tróficos superiores no existirían. El tercer nivel trófico, pertenece a los carnívoros o consumidores de segundo orden. Los carroñeros generalmente ocupan el último nivel trófico y constituyen los consumidores de cuarto orden. CADENAS TRÓFICAS. Describen el flujo de energía a través de un ecosistema, la energía almacenada por las plantas se mueve a través del ecosistema en una serie de etapas, donde los organismos comen y son comidos; mediante las cadenas

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tróficas los organismos se relacionan entre sí por la forma en que se alimentan unos de otros, enlazándose y constituyendo las cadenas donde cada tipo de organismo ocupa una posición en relación con los productores, constituyéndose como una representación de las relaciones de alimentación que hay entre los organismos que integran una comunidad.

REDES ALIMENTARIAS.- La cadena trófica no es lineal, los recursos se comparten, en especial en los inicios de la cadena. La misma planta sirve de comida a un a gran variedad de organismos y éstos sirven de alimento a varios depredadores. De este modo, las cadenas tróficas se conectan para formar una red trófica cuya complejidad varía entre diferentes ecosistemas y dentro de ellos.

PIRÁMIDES ECOLÓGICAS.- La estructura y función trófica pueden mostrarse gráficamente por medio de las pirámides ecológicas, en las que el primer nivel corresponde a los productores, forman el rectángulo de la base y los niveles sucesivos, están formados por rectángulos superpuestos en las que cada uno, representa un nivel trófico distinto, cuyo espacio es proporcional al número de individuos o cantidad de biomasa o de energía para nutrir al siguiente eslabón. Cada uno de los niveles tróficos desde los vegetales hasta los carnívoros representan progresivamente una menor cantidad de la energía original del sistema y desde luego una menor cantidad de tejido vivo o biomasa; por consiguiente, puede observarse que la estructura es piramidal. Pirámide del mar 5° CARROÑEROS Y DEPREDADORES: Tiburones 4° DEPREDADORES SUPERIORES: Cachalotes, lobos marinos 3° DEPREDADORES INFERIORES: Delfines, aves guaneras, cojinovas, calamares, bonito. 2° CONSUMIDORES PRIMARIOS: pejerrey, malaguas, sardinas, zooplancton, anchovetas, ballenas. 1° PRODUCTORES: Fitoplancton. Pirámide de la costa alta (Lomas costeras) 5° CARROÑEROS: cóndor, gallinazo negro, camarón. 4° CARNIVOROS: zorro, zorrino, gato silvestre u osjollo, puma, murciélago, cernícalo, lechuza de los arenales, jergón de costa, culebra de las lomas, lagartijas, salamanquera, arañas, alacranes. 3° OMNIVOROS: Chihuaco, perdices. 2° HERBÍVOROS: venado gris, ratones, vizcacha, palomas, tortolitas, insectos, crustáceos. 1° PRODUCTORES: achupallas, algas, mito, tara, cactus, musgos, líquenes. Pirámide de puna 5° CARROÑEROS: cóndor, china linda,

E C O L O G Í A Y M E D I O A M B I E N T E | 27 4° CARNÍVOROS: puma, zorro, osjollo, zorrino, culebras, arañas, alacranes, cernícalo, aguilucho. 3° OMNIVOROS: picaflor, perdiz, chihuaco, patos silvestres, parihuana 2° HERBÍVOROS: vicuña, taruca, guanaco, huallata, mariposas, llama, alpaca, vizcacha, Chinchilla. 1° PRODUCTORES: pajonal, kiswar, totora, achupalla, chochos o lupinus, tola, yareta, huanarpo, mito. Pirámide de selva baja 5° CARROÑEROS: cóndor real, gallinazos negros 4° CARNÍVOROS: jaguar, comadrejas, tigrillo, loromachaco, lobo de río, águila arpía, shushupe, lagarto, oso hormiguero, pájaro carpintero. 3° OMNÍVOROS: sajino, mono choro, pustti, achuni o capizo, muca muca, huangana, paujil. 2° HERBÍVOROS: sachavaca, armadillo, pava de monte, picaflor, hormigas, insectos 1° PRODUCTORES: bosque con variedad de plantas, tallos, hojas, flores, frutos, raíces.

En la tierra existen aproximadamente más de 105 elementos químicos, de los cuales 30 a 40 son necesarios para la vida; de éstos 6 son indispensables (C,H,O,N,P y S), conocidos como elementos principales o primarios, los secundarios se encuentran en cantidades pequeñas: B, Zn, Mg, Mn, Ca, Fe, Cu, Si, etc. Para el crecimiento de las plantas los más importantes son N, P y K. Se denominan ciclos biogeoquímicos, porque durante un tiempo los elementos se encuentran formando parte de los seres vivos, a los que llegan por los vegetales generalmente, y en otro momento son parte de la materia inerte en el planeta y además se trasladan de unos a otros por medio de reacciones químicas y recirculan en la biosfera a través de reacciones químicas. Estos elementos básicos de la materia viva conforman los nutrientes, con los que se alimentan los organismos. Se trata de movimientos circulares de elementos químicos del mundo abiótico, que siguen caminos característicos (atmósfera, hidrósfera), por lo que llegan desde el medio a los organismos, dichos elementos se incorporan en los tejidos de las plantas y los animales en crecimiento, con la muerte de los organismos retornan al medio a menudo sufren complicadas transformaciones antes de ser recapturados por otros organismos. CARACTERÍSTICAS.    

Presencia y movimiento del elemento químico, desde el medio ambiente hasta el organismo; y su retorno al medio ambiente. Presencia de organismos (vegetales, animales y microorganismos). Presencia de un depósito de fondo o depósito geológico, (atmósfera o litósfera). Cambio químico (reacciones).

CLASIFICACIÓN DE CICLOS BIOGEOQUIMICOS Según el tiempo de permanencia del elemento en el ambiente físico, se dividen en: 1.

2.

Ciclos gaseosos (Globales).- Corresponden al Carbono, Oxígeno y Nitrógeno, que durante su etapa como materia inerte forman gases: el CO2, O2, N2 se encuentran formando parte de la Atmósfera en proporciones que se mantienen más o menos constantes. Tienen como depósito o almacén principal del elemento a la atmósfera. Son también llamados ciclos rápidos, porque todo el elemento disponible en el planeta se recicla, y no existen perdidas en las diferentes transformaciones químicas que sufren. Ciclos sedimentarios (Locales).- Corresponden al Fósforo, Potasio, Calcio, Magnesio, Cobre, Zinc, Hierro, Boro, Cloro, Molibdeno, Manganeso, Azufre, entre otros. Tienen como depósito a la litósfera (rocas sedimentarias) donde son liberados por acción atmosférica. También llamados como ciclos lentos, porque el elemento no está disponible siempre para que ingrese nuevamente a los organismos y sea reciclado. Son elementos con una movilidad pequeña que no disponen de mecanismos de transporte a largas distancias.

Algunos autores clasifican al ciclo del agua como un tercer tipo de ciclos biogeoquímicos, sin embargo no se le considera como tal, debido a dos factores:  

A que el ciclo del agua, no está formado por un solo elemento sino por una molécula, (H2O). El reservorio principal es la Hidrósfera y no la atmósfera ni la litósfera.

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CICLO DEL CARBONO El depósito principal de carbono es la atmosfera, y se presenta bajo la forma de dióxido de carbono en un 0,03%. El ciclo consiste en la sucesión de transformaciones que sufre el carbono a lo largo del tiempo. Es un ciclo biogeoquímico de gran importancia para la regulación del clima de la Tierra, y en él se ven implicadas actividades básicas para el sostenimiento de la vida. El ciclo comienza cuando los productores terrestres (plantas) o productores acuáticos (fitoplancton), absorben el dióxido de carbono de la atmósfera y usan la fotosíntesis para convertirlos en compuestos orgánicos, como carbohidratos (glucosa). Luego las células de los productores que consumen oxígeno y de los consumidores efectúan la respiración aeróbica, que descompone o degrada la glucosa y otros compuestos orgánicos complejos y convierte el carbono a dióxido de carbono en la atmósfera o agua, para la reutilización por los productores. Es por ello que se le considera como el más perfecto de los ciclos biogeoquímicos, ya que regresa al medio casi a la misma velocidad con que es utilizado. Cuando las plantas y los animales mueren, se descomponen por la acción de los hongos y bacterias, que convierten las macromoléculas de carbono en CO2, el cual regresa a la atmósfera, de donde es captado por las plantas, también de este modo se inicia el ciclo. En ciertas condiciones, cuando esta descomposición es muy lenta, la materia orgánica se transforma en humus, que es un componente importante del suelo. En situaciones de falta de oxígeno, la materia orgánica se acumula en forma de combustibles fósiles (la hulla, el carbón, el petróleo, gas) que retornan al ciclo en forma de CO2 mediante procesos de combustión. Alternativamente en el ambiente al carbono se le encuentra en forma mineral como carbonatos, rocas calizas de origen biogeno, que constituyen inmensos depósitos de algunas zonas (cretácico y pérmico marinos para el Cusco), que por la alteración que sufren por agentes atmosféricos devuelven el carbono a la atmósfera. El CO2 en la atmosfera se disuelve con el agua, formando ácido carbónico, este ácido reacciona con las rocas (silicato de Ca) y libera Ca e iones bicarbonato (Ca++, HCO3-), el plancton lo incorpora en sus caparazones y esqueletos bajo la forma de CaCO3, cuando mueren los organismos, se depositan en el fondo de los océanos y forman sedimentos de carbonato, que reaccionan con las rocas, formando rocas de silicato y liberando CO2 gaseoso a la atmosfera desde el fondo oceánico.

CICLO DEL NITRÓGENO El depósito geológico del Nitrógeno lo constituye la atmósfera, ocupando un volumen del 78% que se encuentra en su forma molecular (N2), no puede ser utilizado directamente por las plantas; por lo cual es necesario que se produzca su fijación en forma de nitrato y amoniaco, a partir de organismos muy particulares o su mineralización en el suelo. El nitrógeno es un constituyente importante de los aminoácidos, que forman proteínas en los seres vivos. Los vegetales son los que integran el nitrógeno a los ecosistemas, pero se requiere de transformaciones previas a nitratos, por medio de procesos bioquímicos, de esa forma son absorbidos a través de las raíces; posteriormente los animales lo obtienen como aminoácidos al consumir los vegetales. Al morir las plantas, animales y sus productos de desecho (úrea, amoniaco) se descomponen por la acción bacteriana, y que liberan al nitrógeno, en forma de amoniaco que nuevamente se transforma en nitratos o en nitrógeno libre que vuelve a la atmósfera. 

ETAPAS DEL CICLO DEL NITRÓGENO

A.

Fijación del Nitrógeno.- Es el proceso por el cual el Nitrógeno atmosférico se transforma en otros componentes derivados del nitrógeno para que sea utilizada por las plantas, a través de dos mecanismos:  Fijación Biológica: En la que participan bacterias simbióticas fijadoras de nitrógeno (Género: Rhizobium) con leguminosas, que tienen nódulos en sus raíces, donde las bacterias Rhizobium fijan nitrógeno atmosférico (N2) convirtiendolo en amoniaco (NH3), que en el agua del suelo forma iones amonio (NH4), que son absorbidos por las raíces de las plantas para producir moléculas orgánicas (Proteinas). (Miller T. 1994). Asimismo existen organismos de vida libre fijadores de nitrógeno como (bacterias: Azotobacter, Bacillus y las algas verde azules como: Anabaena y Nostoc).  Fijación Atmosférica: Se realiza mediante un proceso físico-químico que se presenta cuando las tempestades eléctricas (relámpagos) convierten al nitrógeno atmosférico en ácido nítrico, que se disuelve con la lluvia y precipita en la tierra. B. Procesos:  Proceso de Mineralización (Amonificación): Las bacterias del suelo son las que transforman el nitrógeno orgánico (proteínas, aminoácidos, urea) en formas utilizables para las plantas, en compuestos inorgánicos o minerales, como son amoniaco, amonio y sales de éstos. La mineralización del Nitrógeno con desprendimiento de amoniaco se denomina también aminificación o amonización.  Proceso de Nitrificación: Es la conversión de las sales de Amonio (NH 3), en nitritos y posteriormente a nitratos. Por acción de bacterias nitrificantes como: Nitrobacter y Nitrosomas.  Proceso de Desnitrificación: Es el proceso mediante el cual el nitrato del suelo es reducido a nitrógeno gaseoso u óxido de nitrógeno, retornando el nitrógeno de esta manera a la atmósfera; el proceso se da en suelos carentes de oxígeno en condiciones anaeróbicas y cuando el suelo contiene mucha materia orgánica, participan las bacterias desnitrificantes (Pseudomonas). CICLO DEL FÓSFORO El fósforo en los seres vivos, forma parte de los ácidos nucleícos (ADN y ARN); del ATP y de otras moléculas que almacenan la energía química (ADP); de los Fosfolípidos que forman las membranas celulares; y de los huesos y dientes de los animales, ésteres de bajo peso molecular de enzimas, vitaminas, etc. La mayor reserva de fósforo está en los depósitos de rocas marinas y en la corteza terrestre, en donde se encuentra bajo la forma de rocas fosfáticas o compuestos de calcio (apatita), fierro, manganeso y aluminio conocidos como fosfatos. A partir de estas rocas, y debido a procesos de meteorización, el fósforo se transforma en ion fosfato y queda disponible para que pueda ser absorbido por las plantas, que los integran en su estructura, para realizar sus funciones vitales. En ambientes terrestres las plantas absorben el fósforo disuelto (ión fosfato) que pasa a los animales, volviendo de nuevo al medio tras la muerte de éstos y de los vegetales, así como por la eliminación continua de fosfatos en los excrementos. En la descomposición bacteriana de los cadáveres, el fósforo se libera en forma de ortofosfatos (PO4H2) que pueden ser utilizados nuevamente por las plantas. Así mismo, el fósforo proveniente de las rocas, puede ser arrastrado por las aguas, llegando a los océanos, en donde es absorbido por el fitoplancton, incorporándose a la cadena trófica pasando a los peces, aves que pueden devolver el fósforo a la litósfera, mediante sus excrementos (guano de islas). Parte de este fósforo también puede sedimentar en el

E C O L O G Í A Y M E D I O A M B I E N T E | 29 fondo del mar, formando grandes acúmulos de rocas sedimentarias que resultan inaccesibles, ya que tardarán millones de años en volver a emerger y liberar estas sales de fósforo, generalmente gracias a movimientos orogénicos. El Perú tiene 74,000 ha. de depósitos fosfatados en Bayovar (Sechura-Piura) y depósitos de guano de isla en el litoral. CICLO HIDROLOGICO El ciclo del agua recoge, purifica y distribuye el suministro fijo del agua de la tierra. La importancia del agua, radica en que forma parte de todo organismo vivo y mantiene el ecosistema en equilibrio. La energía solar es la fuerza motriz del ciclo del agua, y presenta dos vías: 

Vía Ascendente.- Se inicia con el movimiento de agua, mediante rutas principales que son: la evaporación de las masas de agua (océanos, lagos y ríos) y la transpiración que se debe a la difusión del agua a través de las membranas de los tejidos vegetales y se integra a la atmósfera en forma de vapor. Esta humedad atmosférica o vapor de agua, al enfriarse el aire, se sublima y condensa formando las nubes.

Vía Descendente.- Cuando por condensación, las partículas de agua que forman las nubes alcanzan un tamaño superior a 0,1 mm, comienza a formarse gotas, que caen por gravedad dando lugar a las precipitaciones (en forma de lluvia, granizo o nieve). El agua precipitada toma diferentes rumbos:  Se infiltra y es captado por las raíces de las plantas.  Discurre por la superficie y en muchos casos produce la erosión de los suelos.  Se une formando lagos, ríos, pantanos etc.  Se infiltra y va a formar las aguas subterráneas donde es utilizado bajo diferentes formas. 

INFLUENCIA DEL HOMBRE EN LA ALTERACION DE LOS CICLO BIOGEOQUIMICOS: El hombre a través de sus diversas actividades puede afectar los ciclos ecológicos, lo cual se resume en:   

La producción de elementos para uso industrial o agrícola. La liberación inadvertida del producto por otras actividades. La concentración secundaria de estos elementos después de que el hombre lo utiliza.

El N2 por ejemplo se produce principalmente por la fijación industrial del gas nitrógeno y se emplea sobre todo en los fertilizantes. En 1970 se produjo más de 30 millones de toneladas, toda esta cantidad no es absorbida por los cultivos, sino que una considerable cantidad es arrastrada a los ecosistemas acuáticos, contribuyendo en la eutrofización de los cuerpos de agua. Las grandes cantidades de CO2 en la atmósfera por la combustión de varias formas de carbono fósil, perturban en forma creciente el ciclo biogeoquímico de éste elemento. Se sabe que anualmente la concentración de CO 2 en la atmósfera se incrementa en 2.3 ppm. Igualmente el ciclo del carbono se verá alterado por el incremento del mortal monóxido de carbono en el aire que es producido principalmente por el parque automotor. En el caso del Azufre, este elemento existe como impurezas en los combustibles y cuando estos se queman, se convierten en óxidos de azufre que son altamente tóxicos y corrosivos.

La “Diversidad Biológica" De acuerdo al Convenio Internacional sobre la Diversidad Biológica (CDB), se entiende como “la variabilidad de organismos vivos de cualquier fuente, incluidos, entre otras cosas, los ecosistemas terrestres y marinos y otros ecosistemas acuáticos y los complejos ecológicos de los que forman parte”. Comprende las diferencias genéticas dentro de cada especie que permite la combinación múltiple de formas de vida, que sustentan la vida del planeta; la diversidad, entre las especies y de los ecosistemas. Es sinónimo de Vida sobre la tierra. La reunión de Río, (Brasil - 1992) reconoció la necesidad de la preservación (conservación) futura de la diversidad biológica, bajo el criterio de sostenibilidad. (Utilización de componentes de la diversidad biológica de un modo y a un ritmo que no ocasione la disminución a largo plazo). La ONU declaró como “El día Internacional de la Diversidad biológica” al 22 de mayo de cada año. 8.1. COMPONENTES DE LA DIVERSIDAD BIOLOGICA.La Diversidad Biológica incluye tres niveles o categorías jerárquicas diferentes: 1. Diversidad Genética. Consiste en la diversidad de los genes, es la variación hereditaria dentro y entre las poblaciones de organismos, cuya base está en los cromosomas que contienen a los genes, los mismos que se encargan de transmitir los caracteres heredables dentro de las especies. Ejm variedades de papas, de maíz, de quinua; razas de alpaca, de perros, etc. 2. Diversidad específica. Se refiere al número de especies presentes en un ecosistema, es sinónimo de riqueza de especies, o variedad de especies diferentes de organismos (plantas, animales, microorganismos). Ejm la queuña, el chachacomo, el oso de anteojos, lobo de rio, oscjollo etc. 3. Diversidad ecosistémica. Se refiere a la distribución espacial de los diversos ecosistemas que albergan las especies y poblaciones en forma de comunidades vegetales y animales. Ejm los bosques, lagos, ríos, desiertos, etc.

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Fuente: A. Brack, 2000 Además, se incluye una nueva categoría la Diversidad Cultural, que viene a ser la expresión humana de la diversidad biológica, representa la diversidad del conocimiento humano que se ha desarrollado a través de la historia, diferentes culturas, incluye creencias, mitos, leyendas, lenguaje, conocimiento científico, actitudes psicológicas, tecnologías en el sentido más amplio, manejos, aprovechamientos, disfrute y comprensión del entorno natural. 8.2 OBJETIVOS.- De conformidad con las disposiciones del CDB que tiene como objetivo general promover medidas que conduzcan a un futuro sostenible, se tiene tres objetivos específicos:   

Conservación de la diversidad biológica. Utilización sostenible de los componentes de la diversidad biológica. Participación justa y equitativa en los beneficios que deriven de la utilización de los recursos genéticos.

Importancia. 1. 2. 3.

1.

2.

La diversidad biológica es el eje principal para el equilibrio de la Biosfera, ya que sus diversos elementos conforman las unidades funcionales que aseguran muchos de los servicios básicos para nuestra supervivencia. Representa el capital natural, cultural y económico para el hombre ya que el uso y el beneficio ha contribuido al desarrollo de la cultura humana y es una fuente potencial para satisfacer necesidades primordiales. La diversidad biológica ofrece a la humanidad servicios ecológicos o ambientales como: mejoramiento de la calidad de aire, agua; circulación hidrológica, generación y regeneración de suelos, recirculación de nutrientes, asimilación de desechos, control biológico en cada uno de estos servicios participan los seres vivos que forman parte de la diversidad biológica. Considerando los beneficios y usos potenciales se pueden agrupar cuatro grupos: Aspecto Ecológico.  Los componentes de la diversidad biológica son reguladores de los flujos de materia y energía (regulación trofodinámica a través de las cadenas y redes alimenticias)  Cumplen papel importante en la regulación y estabilización de las tierras (bosques) contra acciones del viento y aguas de escorrentía.  Los bosques juegan papel importante en los procesos atmosféricos y climáticos.  Los componentes son indispensables para el funcionamiento de los agros ecosistemas. Aspecto económico. La diversidad biológica es el más importante y primer recurso para la vida diaria, genera recursos económicos a través de actividades como:  Agricultura: fabricación de alimentos, productos farmacéuticos, cosméticos,  Industria: fibras textiles, madera, fuente de energía (biomasa), aceites, perfumes, tintes, papel, ceras, caucho, látex, resinas, venenos, etc.  Ganadería: Suministros de recursos de origen animal como lana, seda, piel, carne, cuero, lubricantes, etc.  Turismo y recreación, belleza del escenario, parques, bosques, ecoturismo.

3.

Aspecto científico. Cada uno de los componentes de la diversidad biológica es una pista de investigación científica, que permite el conocimiento de la evolución de la vida, ayuda a entender cómo se desarrolla o funciona el proceso vital y el papel que cada especie tiene en el ecosistema.

4.

Aspecto Cultural. La diversidad biológica constituye capital cultural porque está referido a la ética manera y medios a través de los cuales la sociedad humana se relación con el ambiente y lo maneja, un ejemplo de ello es la percepción de la naturaleza, el conocimiento tradicional del ambiente.

PELIGROS PARA LA DIVERSIDAD BIOLOGICA.- Las amenazas o peligros para la diversidad biológica son las actividades humanas insostenibles que realiza, se pueden clasificar en:  FISICOS: Modificación y alteración de hábitats, extracción y degradación de los componentes bióticos y abióticos, mecanización agrícola, desaparición de condiciones naturales del suelo y el ambiente, cambio de uso de la tierra, alteración global del clima, crecimiento acelerado de la población humana, presión sobre los recursos naturales, expansión urbana desordenada, entre otros.  QUIMICOS: Liberación de sustancias químicas en los ecosistemas, contaminación del medio hídrico, suelo y aire con sustancias químicas, uso de productos agrícolas de síntesis química, entre otros.  BIOLOGICOS: Liberación de organismos extraños o modificados, introducción no planificada de especies exóticas DIVERSIDAD BIOLÓGICA EN EL PERÚ El Perú es uno de los cinco países con mayor diversidad biológica y variedad de climas y ambientes naturales del mundo. Esta característica se debe a una serie de factores como: su ubicación geográfica entre el ecuador y el trópico, la existencia de la Cordillera de los Andes, la presencia de corrientes marinas fría y cálida; y la amplitud de la plataforma continental. Estas condiciones naturales han configurado una geografía muy particular única que sirve de hábitat para un

E C O L O G Í A Y M E D I O A M B I E N T E | 31 gran número de especies de flora y fauna silvestre muchas de ellas endémicas es decir propias de o exclusivas de nuestro país. El Perú es uno de los doce países considerados como megadiversos en el Mundo, son poseedores del 70% de la diversidad biológica del Mundo (Brasil, Colombia, Ecuador, México, Perú, Zaire, Madagascar, Australia, China. India, Indonesia y Malasia). El Perú es centro mundial de origen de la agricultura y la ganadería.- Los centros más antiguos de presencia de cultivos son Ancash en la cueva Guitarrero; Ayacucho y Junín para los camélidos y el valle árido de Chilca, al Sur de Lima, es considerado uno de los centros más dinámicos de domesticación de plantas en la Costa, donde se cultivaban pallares y otras especies hace 8000 años. Centro mundial de recursos genéticos.- Es un centro destacado a nivel mundial en recursos genéticos, posee al menos 182 especies de plantas domesticadas, algunas de importancia mundial como son la papa, el tomate, el camote, el maíz, la papaya, la palta, el achiote, entre otras. De estas especies domesticadas existen muchas variedades, en especial de la papa y del maíz, dos de los cuatro cultivos alimenticios más importantes de la Tierra. 1.

Diversidad de recursos genéticos: El Perú posee una alta diversidad genética por ser uno de los centros mundiales de origen de la agricultura y la ganadería, y en consecuencia, es uno de los centros mundiales más importantes de recursos genéticos de plantas y animales.  Es el primer país es variedades de papa (unas 3000), de ajíes, de maíz (36 ecotipos), de granos andinos (quinua, kiwicha, cañigua), y de tubérculos y raíces andinos.  Tiene un muy alto sitial en frutas (623 especies), en cucurbitáceas (zapallos y caihuas), en plantas medicinales (1408 especies), en plantas ornamentales (unas 1 600 especies), y en plantas alimenticias, y en animales domésticos.  Posee 182 especies de plantas nativas domésticas con centenares y hasta miles de variedades, y además las formas silvestres de esas plantas. Por ejemplo de la papa existen 9 especies domesticadas con unas 3000 variedades, y unas 85 especies silvestres.

2.

Diversidad de especies El Perú posee una muy alta diversidad de especies, a pesar de los registros incompletos y fragmentados. Flora:        

Posee al menos 25 000 especies de plantas (10% del total mundial) de las cuales un 30% son endémicas. Es el 5º país en el mundo en número de especies. 1º en número de especies de plantas de propiedades conocidas y utilizadas por la población (4 400 especies); y 1o en especies domesticadas nativas (182). Es el primer país en número de especies de orquídeas y posee la orquídea más grande del planeta, que llega a 13 metros de altura y se encuentra en Huachucolpa (Huancavelica). Posee la planta con el fruto más grande de la Tierra, el zapallo macre, cuyo fruto puede llegar a pesar más de 70 kg. Posee, además, 553 frutales nativos diversos; 1408 especies de plantas medicamentosas; y 1 600 especies de plantas ornamentales. Posee 15 especies de tomates.

Fauna:             

3.

1º en peces (2 000 especies, 10% del total mundial); 1º en aves (1 816 especies); 3º en anfibios (379 especies); 3º en mamíferos (462 especies) Primero en mariposas. Es el segundo país del mundo en variedad de primates con 34 especies, y uno endémico, el choro de cola amarilla. En un solo árbol de Madre de Dios los científicos han encontrado 5 000 especímenes de insectos, el 80% nuevos para la ciencia. En un km2 de bosques de Madre de Dios se pueden ver 800 especies de aves, el doble que en toda Europa y América del Norte. El mar peruano es una de las siete cuencas pesqueras marinas del mundo, y la que tiene la mayor biomasa y diversidad de recursos hidrobiológicos disponibles. Por la cantidad de nutrientes el mar peruano es conocido como "una sopa de plancton". En el mar existen 32 especies de mamíferos marinos, 700 de peces y cerca de 400 de mariscos (moluscos, crustáceos, erizos, etc.). En las islas del litoral, conocidas como islas guaneras, se pueden observar las mayores concentraciones de aves marinas del planeta, que se cuentan por millones. Posee 6 formas de animales domésticos: la alpaca, forma doméstica de la vicuña (Lama vicugna) y cruzada con llama; la llama, forma doméstica del guanaco (Lama guanicoe); el cuy, forma doméstica del poronccoy (Cavia tschudii); la chinchilla domesticada en California con animales del Perú; el pato criollo, forma doméstica del pato amazónico (Cairina moschata); y la cochinilla (Dactilopius costae) asociada al cultivo de la tuna.

Diversidad de paisajes y ecosistemas.- El Perú posee una muy alta diversidad ecológica de climas, de pisos ecológicos y zonas de producción, y de ecosistemas productivos.  En bosques tropicales es el segundo país en América Latina (después de Brasil) y el cuarto a nivel mundial, y posee el 13% de los bosques tropicales amazónicos. En superficie total de bosques es el octavo a nivel mundial.  Se reconocen 11 ecorregiones  De las 117 zonas de vida reconocidas en el mundo 84 se encuentran en el Perú.  De los 32 tipos de clima de la Tierra, en el Perú se encuentran 28.  En el territorio nacional se encuentran ecosistemas reconocidos a nivel mundial por su altísima diversidad de especies como el mar frío de la Corriente Peruana; los bosques secos en la costa norte; la puna; la selva alta, y los bosques tropicales amazónicos, donde la diversidad de especies llega a su máxima expresión.  Posee la cordillera glacial más grande de los trópicos, que es la Cordillera Blanca. Posee, además, cerca de 50 picos nevados superiores a los 6 000 m.  En los Andes peruanos existen 1769 glaciares, 1007 ríos y más de 12200 lagos y lagunas.  El cañón del Colca en Arequipa es el más profundo de la Tierra.  Tiene acceso a tres grandes cuencas hidrográficas (Cuenca amazónica, del Pacífico y del Titicaca

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4. Diversidad cultural y humana 

 

El Perú cuenta con 14 familias lingüísticas y al menos 44 etnias distintas, de las que 42 se encuentran en la Amazonía y 2 en la zona andina (Quechua y Aymara). Estos grupos poseen conocimientos importantes respecto a usos y propiedades de plantas y animales y las técnicas de manejo. Las comunidades nativas y campesinas son centros importantes de conocimientos tradicionales, y forman parte del acervo de ciencia y tecnología del país y del mundo. La diversidad cultural y biológica ha producido un arte culinario muy diverso con más de 500 potajes diferentes.

Plantas de origen peruano: entre otras se tiene: Kiwicha, Molle, Chirimoya, Llacón o llakuma. Olluco, Achiote. Maca, Tuna, Saúco peruano, Papaya, Papaya de olor, Camote, Zapallo, Calabaza, Coca, Yuca, Palta, Algodón, Oca, Granadilla, Tumbo, Cantuta, Cañihua, Quinoa, Lúcuma, Rocoto, Aguaymanto, Maíz, etc. Centro mundial de endemismos.- El Perú tiene numerosas especies endémicas de plantas (más de 5 500) y de vertebrados, con cerca de 350 especies. Aún falta hacer un trabajo muy minucioso sobre la distribución de las especies endémicas, el mapeo y la situación poblacional de las mismas. 8.3 PATRIMONIO NACIONAL Cada país o nación tiene una herencia o patrimonio nacional, que lo identifica y lo distingue de los demás países. Este patrimonio comprende tres aspectos: el natural, el histórico y el cultural: 1. El Patrimonio Natural. Se refiere al conjunto de plantas, animales, paisajes, ecosistemas, biomas, formaciones vegetales y recursos genéticos de un determinado país, y que constituyen una herencia común. Estos aspectos con frecuencia únicos de un país y que no se encuentran en otro. Por ejemplo: La cordillera Blanca, por ejemplo, con sus nevados y sus quebradas, sólo se encuentra en el Perú. El mono choro de cola amarilla y muchas otras especies de la fauna nacional sólo se encuentran en el Perú. La conservación del patrimonio natural comprende tres aspectos fundamentales: la conservación de los recursos naturales, la conservación de la diversidad biológica y la conservación de los paisajes. 2. El Patrimonio Histórico. Está representado por los lugares donde se realizaron acontecimientos históricos resaltantes de los seres humanos o los restos de su actividad en el pasado. Constituye una herencia que identifica a determinados grupos humanos y le da continuidad a través del tiempo. Son sus recuerdos de familia a nivel de población. Machupicchu, por ejemplo, es un monumento único de la arquitectura prehispánica en el Perú, al igual que Chan Chan o las tumbas de Huaca Rajada del Señor de Sipán. El patrimonio histórico también comprende lugares especiales donde se realizaron gestas importantes en el devenir histórico de un país. Tal es el caso del Balcón de Huaura, donde San Martín proclamó la independencia, o la pampa de Chacamarca, donde se llevó a cabo la batalla de Junín. 3. El Patrimonio Cultural. Es el conjunto de las expresiones artísticas, idiomas, conocimientos y tecnologías de un determinado grupo humano o de una nación. El patrimonio cultural del Perú es extremadamente heterogéneo, reflejo de la heterogeneidad ecogeográfica del territorio peruano. Los conocimientos de los grupos nativos sobre las plantas útiles forman parte de este patrimonio, como también los idiomas, los dialectos, las danzas, la música, la arquitectura local, etc. En el Perú se considera como Patrimonio nacional a:  Los usos culturales y tradicionales de la Hoja de Coca  Fiesta de la Virgen del Carmen de Paucartambo  El charango, Pisco sour, La cocina peruana  La cultura Q'ero, grupo étnico cultural. La ONU, a través de la Organización de las Naciones Unidas para la Educación y la Cultura (UNESCO), ha establecido una convención para la protección del patrimonio mundial y es el organismo encargado de designar el patrimonio nacional de una nación como patrimonio mundial. En base a dicha convención, el Perú ha inscrito a Cusco, S.H. de Machupicchu, Cajamarca, Lima antigua, Chan Chan, las Líneas de Nazca, las Reservas de Biosfera del Huascarán, del Noroeste y del Manu como parte de este patrimonio de la humanidad; se han incluido a esta lista El Gran Pajaten – Reserva de Biosfera de Rio Abiseo y el Casco monumental de Arequipa, Ciudad Sagrada de Caral (Supe) como patrimonio cultural de la humanidad.

9.1 DETERIORO Y DESEQUILIBRIO AMBIENTAL. Es la alteración o modificación del ambiente por acción de fenómenos naturales y acciones antrópicas propiciando el desequilibrio ambiental. FACTORES QUE AFECTAN EL EQUILIBRIO ECOLÓGICO. Naturales:    

Actividad volcánica, glaciación, sequias, inundaciones Huracanes, Incendios forestales, sismos, tsunamis. Radiactividad. Fenómenos geodinámicos: deslizamientos, huaycos, derrumbes, hundimientos, desbordes, anegamientos, etc.

Antrópicas: 

Explosión demográfica

E C O L O G Í A Y M E D I O A M B I E N T E | 33         

Contaminación ambiental Efecto invernadero, calentamiento global y cambio climático. Inadecuada disposición de residuos sólidos. Quema de combustibles fósiles. Deforestación, quemas e incendios forestales. Uso de clorofluorocarbonos. Destrucción del hábitats Sobre explotación (tala, caza, pesca). Uso excesivo de agro tóxicos.

PRINCIPALES EFECTOS:     

Pérdida de diversidad biológica. Alteración y pérdida del paisaje natural. Alteración de los flujos de energía y funcionamiento de los ecosistemas. Deterioro de la calidad ambiental y calidad de vida. Problemas sociales y económicos.

9.2. PROBLEMAS AMBIENTALES: EROSIÓN DEL SUELO.- Es la degradación y el transporte de partículas del suelo, por medio de agentes erosivos como: el agua, viento, gravedad y hielo; los que ocasionan pérdida de nutrientes y fertilidad de los suelos y finalmente la desertificación y escases de alimentos. La erosión del suelo es un proceso natural causado por las aguas superficiales, el viento en menor medida y puede verse incrementado por las actividades humanas o antrópicas. La erosión natural es denominada también geológica (meteorización o intemperismo) e induce a la formación de suelos sobre los continentes; en cambio, la erosión de origen antrópico o acelerada intensifica la pérdida de suelos. Tipos de erosión: a. Erosión hídrica.- Es la degradación, transporte y sedimentación de las partículas del suelo por lluvias intensas, escurrimiento superficial, riego por gravedad; falta de vegetación. Este tipo de erosión es más evidente en la zona andina y la selva alta o ceja de selva. b. Erosión eólica.- Es el trasporte de las partículas del suelo por acción del viento, produciendo excavaciones o depresiones poco profundas, se presenta en áreas llanas con poca pendiente y desprovistas de vegetación este tipo de erosión es más evidente en la costa. c. Erosión gravitacional.- Es la erosión causada por efecto de la gravedad, se presenta en suelos con pendientes pronunciadas, expuestos a deslizamientos, ocasionado por la pérdida de la cobertura vegetal. Este tipo de erosión es más evidente en la zona andina y selva alta. Causas:

      

Falta de cobertura vegetal, por causas naturales y antrópicas; (incendios, quemas, sobrepastoreo, deforestación, agricultura intensiva). Deficiencia en la planificación de obras de ingeniería. Crecimiento urbano desordenado. Cambio de uso de los suelos. Uso de maquinaria pesada. Inadecuados sistemas de drenaje. Siembra en surcos a favor de la pendiente

Efectos: 1. Degradación química: pérdida de la fertilidad del suelo por lavado de nutrientes, empobrecimiento y disminución de la productividad. 2. Degradación física, alteración de la estructura, compactación del suelo al emplear maquinaria pesada o pisoteo animal, alteración del paisaje visual, afloramientos de horizontes B o C del suelo. 3. Degradación biológica, disminución de la materia orgánica, alteración de la flora y fauna edáfica. Acciones de Prevención y Mitigación:           

Clasificación y utilización de tierras por su vocación y capacidad de uso mayor. Ordenación técnica de los cultivos, pastizales, forestales, etc. Planificación adecuada de la construcción de carreteras y vías de acceso. Prohibir la colonización espontánea en áreas vulnerables. Gestión y manejo integral de cuencas hidrográficas. Conservar los bosques y praderas naturales. Conservación y manejo sostenido de los suelos. Conservar y habilitar andenes para las prácticas agrícolas en laderas. Sembrar en surcos en contorno o transversal Practicar la agroforestería (proteger los campos agrícolas con cortinas cortavientos o cercos vivos) Reforestar con plantas nativas

9.3 FENOMENOS O EVENTOS NATURALES Riesgo. Es la probabilidad de que un territorio o una zona, pueda verse afectada por un fenómeno natural de rango extraordinario. Catástrofe. Es el efecto perturbador que provoca sobre un territorio, un episodio natural de rango extraordinario y que a menudo supone la pérdida de vidas humanas. Son sucesos fatídicos que alteran el orden regular de las cosas, puede ser

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natural (sequía) o antrópica (conflictos armados, incendios). Se diferencian en su dinámica cronológica y los daños que generan. Pueden causar daños y perturbaciones que desencadenan en un desastre. Desastre.- Es un evento natural de mayor magnitud y gravedad que una catástrofe con pérdida de vidas humanas y materiales; ocasiona crisis socioeconómica con graves consecuencias en diversos planos, provocando: hambrunas, miseria, epidemias, migraciones, etc.) y necesita ayuda externa. INCENDIOS FORESTALES.- Son eventos de fuego que escapan al control del hombre, el cual avanza en forma descontrolada y tiene efectos devastadores sobre la vegetación arbórea, arbustiva y herbácea, fauna existente y poblaciones humanas. Originado por el triángulo del fuego (alta temperatura, material combustible y oxígeno). Clasificación por su Origen: 1. Natural. Incendios causados por: Descargas eléctricas (rayos), Erupciones volcánicas, Reflexión de los rayos solares sobre superficies pulidas de rocas y minerales. Fricción de ramas.

   

2. Antrópico. Son los incendios causados por el hombre y pueden ser: Incendios accidentales. Ocasionado accidentalmente o por descuido personal, como; el inadecuado manejo de las quemas, fogatas mal apagadas, etc. Incendios intencionales. Ocasionado por acción premeditada del hombre, ejemplo; incendios iniciados por rivalidad, pleitos, venganza, etc.

 

Quemas: Son acciones intencionadas realizadas por el hombre, con diversos propósitos, técnicas definidas y racionalidad propia, hasta cierta forma manejada o localizado, con objetivos propios, como: ampliación de frontera agrícola, eliminación de malezas o control de plagas entre otras. TIPOS DE INCENDIOS:    

Suelo (Subterráneo) Cuando el fuego afecta el subsuelo, se propagan, quemando raíces, microorganismos y materia orgánica superficial (humus). Superficie. Suceden a ras del suelo, afectando la vegetación herbácea: hierbas, pastos y demás vegetación postrada (primer estrato). Copa, corona o aéreo. Cuando el fuego se traslada a través de la copa de los árboles, quemándolos y provocando su muerte. Avanza rápido debido a la fuerza del viento. Ejemplos bosques Mixto. Resultan de la interrelación de los anteriores: Copa – superficie, superficie – suelo, copa- superficie – suelo.

Efectos de los Incendios en el ambiente:      

Pérdida de la Diversidad Biológica (destrucción de la cobertura vegetal y de la fauna existente) Erosión de los suelos, con reducción de su capacidad productiva, Alteración del paisaje (pérdida de la belleza escénica), Reducción de la posibilidad de aprovechar las bondades que brinda la flora, en especial los bosques. Contaminación del aire (con humo, cenizas y otros), Genera emisiones de CO2 (acrecentando el efecto invernadero).

Acciones de prevención.  Cumplimiento de las leyes de protección ambiental.  Sensibilización, educación y conciencia ambiental.  Estudios de riesgos de incendios por Defensa Civil y otras instituciones. 9.4. INUNDACIONES. Es un fenómeno natural y recurrente como resultado de lluvias intensas, continuas y persistentes, en un lugar determinado, que generan un incremento paulatino de los caudales de los ríos hasta superar o sobrepasar la capacidad de almacenamiento o retención del suelo. Produce desborde de ríos que inundan áreas planas (llanuras de inundación), en general, aquellos terrenos aledaños a los cursos de agua. Causas:   

Descongelamiento de los glaciares que incrementan el caudal y volumen de los cuerpos de agua, produciendo desbordes e inundaciones. Excesivas precipitaciones, donde el suelo no puede absorber o almacenar todo el agua que cae, por falta de cobertura vegetal. Desembalse de represas, haciendo que todo el agua almacenada se libere bruscamente originando inundaciones.

Actividades humanas, que agravan las inundaciones:

a. b. c. d.

Impermeabilización del suelo en las áreas urbanas (pavimentación, asfaltado). Pocas áreas verdes en las áreas urbanas y cuencas altas. Tala de bosques y deforestación que retiran la cobertura vegetal. Asentamientos humanos ubicados en áreas de inundación, provocando mayores desbordamientos. DESLIZAMIENTOS. Es el desplazamiento lento o progresivo de grandes masas de suelos, rocas, en taludes naturales o artificiales inestable, se caracterizan por presentar necesariamente un plano de deslizamiento a lo largo del cual se produce el movimiento que puede ser lento o violento. Causas: a. Suelos saturados por fuertes precipitaciones o crecimiento de aguas subterráneas. b. Orientación de las fracturas o grietas en la Tierra.

E C O L O G Í A Y M E D I O A M B I E N T E | 35 c. d. e. f. g. h.

Acción de la gravedad y actividad sísmica Pérdida del soporte lateral de un talud natural, generalmente por construcción de obras viales y viviendas Cantidad de lluvias en el área, genera infiltraciones de agua en las pendientes pronunciadas originando en ocasiones represas temporales, por falta de canalización adecuada de aguas. Pérdida de cobertura vegetal, Crecimiento urbano desordenado, Deficiencia en los estudios de planificación.

DERRUMBES. Es la caída repentina de una franja de terreno o material no consolidado o rocas débiles (con grietas, fracturas, fallas entre otros) que pierde su estabilidad, por el socavamiento del pie del talud, no presentan planos o superficies de deslizamiento. Suelen ser repentinos y violentos. Causas:  

Pendientes fuertes, Construcción inadecuada de vías de acceso y los mencionados para deslizamientos.

HUAYCO. Es un término de origen peruano, derivado de la palabra quechua “huayco” que significa quebrada, a lo que técnicamente en geología se denomina aluvión. El huayco o lloclla, es un tipo de aluvión de magnitudes ligeras a moderadas, generalmente ocurre durante el período de lluvias. Son corrientes o flujos de lodo de ocurrencia eventual, de aguas turbias que arrastran a su paso materiales de diferentes tamaños desde suelos finos hasta enormes bloques de rocas, así como maleza, troncos, arboles, etc. desplazándose a lo largo de un cauce definido con desbordes laterales. Se presenta en forma rápida y violenta con fuerte ruido. Causas   

Intensas precipitaciones Represamiento natural (deslizamientos y derrumbes) Colmatación de los ríos

Acciones de prevención  Construcción de terrazas en laderas  Conservar la vegetación en las partes altas o cabecera de cuencas.  Planificación de la construcción de las vías de acceso.  Evitar la construcción de viviendas en las fajas marginales de los ríos  Estudio de Riesgos Naturales. Medidas de mitigación 

Reponer la cobertura vegetal especialmente las plantas nativas, para facilitar la infiltración del agua (Reforestar).

MEDIDAS DE PREVENCION CONTRA DESASTRES PRODUCIDOS POR FENOMENOS NATURALES. Prevención es actuar con anticipación para evitar que los desastres se magnifiquen.     

Control sobre la deforestación desmedida Construcción de barreras y muros de contención Evitar la construcción de viviendas en laderas, cerca de ríos y volcanes. Tener una mochila que contenga: linterna, radio a pilas, conservas, mantas, medicamentos, agua, dinero, documentos. En conclusión es tarea y deber de cada ser humano cuidar y ser guardián de la madre naturaleza que es el hogar de todos los seres vivos.

GESTION DE RIESGO DE DESASTRES EN EL PERU.- la gestión del riesgo de desastres (GRD) es un enfoque que otorga sostenibilidad al desarrollo de nuestro país; el cual se está convirtiendo en un tema importante ya que se están desarrollando políticas, estrategias y acciones que reducen potenciales daños futuros y brindan mayor seguridad. En los últimos años se ha convertido en un elemento de imprescindible en la planificación y gestión del desarrollo de un país altamente expuesto a peligros y con tantas vulnerabilidades como el Perú.

10.1. LA FLORA Y FAUNA: Son recursos naturales renovables, se regeneran por reproducción o propagación, propiedades por las que el ser humano ha domesticado diversas especies de animales y plantas con el fin de satisfacer sus necesidades alimenticias; sin embargo, el requerimiento de estos recursos para satisfacer la demanda humanas de plantas medicinales, ornamentales, frutales o derivados de animales como carne, grasa, pieles entre otros, provenientes de la vida silvestre son utilizados de manera insostenible, lo que genera los siguientes problemas:  Deterioro gradual flora y fauna silvestres por actividades humanas, que provocan la disminución en las poblaciones.  Deterioro y/o pérdida del hábitat  Extinción de especies.  Erosión genética, puede afectar gravemente a las futuras generaciones

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Tipos de deterioro a. Erosión genética y extinción de especies.- Erosión genética es la pérdida o reducción de la variabilidad genética (genes o germoplasma). Causas de la erosión genética:     

Introducción y uso de variedades exóticas, en lugar de las variedades es nativas o locales. Pérdida de genes o variedades por extinción o desaparición de especies tanto de flora como de fauna. La selección natural de especies, dispone de menor material genético para ejercer su actividad y por tanto se verán reducidas las posibilidades del cambio evolutivo. El conocimiento ancestral del hombre andino ha permitido el desarrollo y uso de los recursos de flora y fauna, sin embargo en la actualidad muchas de estas especies y variedades ya no existen. La actividad humana al hacer uso intensivo de recursos naturales y diversidad biológica (flora y fauna silvestre) acelera el proceso de extinción con consecuencias irreversibles. Un caso notorio es la Chinchilla chinchilla, que es una especie considerada extinta en los andes en su hábitat natural, provocado por la sobre explotación.

b.

Uso excesivo de la biomasa.- La biomasa es la materia orgánica de plantas y animales, los antiguos peruanos utilizaron la biomasa animal y vegetal de manera sostenible para una serie de actividades y satisfacer sus necesidades, fue mayor la utilización en la colonia y república. En la actualidad se ha intensificado el uso excesivo de biomasa, sin considerar la sostenibilidad de los mismos. La utilización de estos recursos se da en las siguientes actividades: Alimentación: Peces, aves, mamíferos, anfibios, reptiles, tubérculos, cereales, frutas, semillas, hojas, raíces, Medicina: capsulas de uña de gato, Forraje: pastos Madera: muebles de madera de cedro, caoba, nogal, intimpa Leña: queuña, chachacomo, kishuar, tola, yareta, Qolle, molle, mutuy Otras actividades: Cueros y pieles (venado, sajino, lagarto, lobo marino, tigrillo), adornos de plumas, escamas y caparazones de tortugas, armadillo, etc. La vegetación de uso esotérico-religioso (hojas de coca).

c.

Extracción selectiva sin control.- Se extrae y utiliza especies de flora y fauna con atractivos especiales que tiene alta demanda en el mercado, ejemplo, látex (caucho natural), aceites esenciales, resinas, tónicos, fármacos, fibras, maderas. pieles, cueros, caparazones, colmillos, como mascotas, etc. Entre las especies que han disminuido notablemente por extracción selectiva, se tienen por ejemplo:  Flora: Cedro, Quina, Shiringa (caucho natural), Sangre de grado, Caoba, Intimpa, Sano Sano, Uña de gato, Maca, Algarrobo,  Fauna: Chinchilla, Pava Aliblanca, Suri (ñandú andino), Vicuña, Lobo marino, Picuro, Paiche, Suche, Venado, Tortuga Charapa, Anchoveta,

d.

Pesca no planificada. Es la pesca insostenible sin respetar las épocas de veda con fines industriales. Actualmente se han reducido las poblaciones de especies como anchoveta, sardina, merluza, el lenguado, el bonito y otros; debido a diferentes Causas:    

Pesca excesiva, Contaminación, El no respeto de épocas de veda Las concesiones y otros factores, que están demostrando que los ecosistemas marinos son mucho más frágiles.

En el Perú, es la pesca de la anchoveta creció de 100 000 a 14 millones de toneladas entre 1950 y 1972. La industria del aceite y de la harina de pescado se consideró como uno de los "milagros de la economía peruana". El Perú llegó a ser el primer país pesquero del mundo y más de 30 000 familias llegaron a depender de la industria pesquera. Las opiniones de los científicos y expertos que alertaban sobre la depredación del recurso y las consecuencias que esto iba a traer al equilibrio ecológico del mar, no fueron escuchadas. El recurso fue sobre explotado causando disminución de las poblaciones de cardúmenes de anchoveta y toda la industria se derrumbó entre 1972 y 1973. La quiebra de las industrias pesqueras trajo consecuencias muy graves: miles de familias quedaron sin trabajo, dando lugar a problemas sociales; las poblaciones de aves guaneras y la producción de guano de isla descendieron drásticamente.

10.3 SITUACIÓN DE LAS ESPECIES AMENAZADAS DE FAUNA SILVESTRE EN EL PERÚ. En nuestro país desde hace muchos años atrás se viene haciendo evaluaciones nacionales sobre el estado de la fauna silvestre, de acuerdo a estos resultados se deroga el D.S. 034 – 2004 – AG (301 especies amenazadas de fauna) y se mantiene para la flora el DS 043- 2006 –AG. Decreto Supremo que aprueba la actualización de la lista de clasificación y categorización de las especies amenazadas de fauna silvestre legalmente protegidas. DECRETO SUPREMO Nº 004-2014-MINAGRI. (En el que se reporta 535 especies amenazadas de la fauna silvestre pertenecientes a los mamíferos, aves, reptiles, anfibios e invertebrados). DECRETA: Artículo 1º.- Aprobación de la actualización de la lista de clasificación y categorización de las especies amenazadas de fauna silvestre legalmente protegidas Apruébase la actualización de la lista de clasificación sectorial de las especies amenazadas de fauna silvestre establecidas en las categorías de: En Peligro Crítico (CR), En Peligro (EN), y Vulnerable (VU); las mismas que se especifican en el Anexo I que forma parte del presente Decreto Supremo. Artículo 2º.- Incorporación de las categorías Casi Amenazado (NT) y Datos Insuficientes (DD) como medida preventiva para su conservación Incorpórase en la presente norma las categorías de: Casi Amenazada (NT) y Datos Insuficientes (DD), como medida precautoria para asegurar la conservación de las especies establecidas en dichas categorías y que se especifican en el Anexo I que forma parte del presente Decreto Supremo.

E C O L O G Í A Y M E D I O A M B I E N T E | 37 De acuerdo a la utilización y manejo que se ha dado a las especies de flora y fauna en el Perú éstas se han agrupado en las siguientes categorías:

CATEGORÍAS DE ESPECIES AMENAZADAS DE LA FAUNA Y FLORA SILVESTRE EN PELIGRO CRÍTICO (CR).- Se considera que una especie está En Peligro Crítico, cuando enfrenta a un riesgo extremadamente alto de extinción en estado silvestre de, acuerdo a los siguientes criterios: 1. Una reducción en la población observada, estimada, inferida o sospechada menor o igual a 90% en los últimos 10 años o tres generaciones. 2. Extensión de la presencia estimada menor de 100 Km2. 3. Tamaño de la población estimada en menor de 250 individuos maduros. 4. El análisis cuantitativo muestra que la probabilidad de extinción es de 50% en 10 años o tres generaciones EN PELIGRO (EN).- Una especie está En Peligro, cuando enfrenta un riesgo muy alto de extinción en estado silvestre, de acuerdo a los siguientes criterios: 1. Una reducción en la población observada, estimada, inferida o sospechada menor o igual a 70% en los últimos 10 años o tres generaciones. 2. Extensión de la presencia estimada menor de 5000 Km2. 3. Tamaño de la población estimada en menor de 2500 individuos maduros. 4. El análisis cuantitativo muestra que la probabilidad de extinción es de por lo menos el 20% en 20 años o cinco generaciones VULNERABLE (VU).- Una especie es Vulnerable, cuando se considera que se está enfrenta un riesgo alto de extinción en estado silvestre como: 1. Una reducción en la población observada, estimada, inferida o sospechada menor o igual a 50% en los últimos 10 años o tres generaciones. 2. Extensión de la presencia estimada menor de 20 000 Km2. 3. Tamaño de la población estimada en menor de 10 000 individuos maduros. 4. El análisis cuantitativo muestra que la probabilidad de extinción es de 10% dentro de los 100 años CASI AMENAZADO (NT).- Una especie está Casi Amenazado, cuando ha sido evaluado y no satisface actualmente los criterios que se tienen para las categorías: En Peligro Crítico, En Peligro o Vulnerable; pero está próximo a satisfacerlos o posiblemente lo haga en el futuro cercano. Ejemplos de fauna amenazada en cada categoría: EN PELIGRO CRÍTICO: Mamíferos:  Chinchilla brevicaudata  Pinchaque (Tapir de altura)  Ratón Arrozalero de Zúñiga Aves:  Perdiz de Kalinowski  Zambullidor de Junín  Pava Aliblanca  Suri Reptiles:  Tortuga de mar gigante  Cocodrilo de Tumbes Anfibios:  Rana de Junín Invertebrados:  

Tingomaria hydrophila “opilión” Sulcophanaeus actaeon “pelotero “acatanka”

VULNERABLE Mamíferos:  Oso hormiguero  Maquisapa  Taruca  Armadillo gigante Aves:  Guacamayo rojo  Águila arpia  Parihuana (flamenco andino) Reptiles:  Tortuga Taricaya  Caimán Negro Anfibios:  Rana Marsupial (Gastroteca ochoai)  Rana cornuda Invertebrados:  

Pamphobeteus antinous “tarántula” Titanus giganteus “escarabajo gigante”

EN PELIGRO Mamíferos:  Mono Choro de cola amarilla  Guanaco  Oso de anteojos  Maquisapa vientre blanco  Gato andino (Oscollo)  Lobo de rio Aves:  Pingüino de Humboldt,  Pelicano peruano  Zambullidor del Titicaca,  Cóndor andino Reptiles:  Tortuga charapa Anfibios:  Sapo (Bufo corinates) Invertebrados: verde”,  

Dynastes neptunus “escarabajo torito” Orobothriurus atiquipa “alacrán”

CASI AMENAZADO Mamíferos:  Coto mono  Vicuña  Puma  Jaguar u Otorongo Aves:  Halcon peregrino  Paujil  Gallareta gigante Reptiles:  Iguana Marrón  Lagarto enano  Caiman negro Anfibios:  Rana (Telmatobius brevirostris),  sapo común (Bufo espinolosus)

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DATOS INSUFICIENTES (DD) Mamiferos:     Reptiles:   

Dasyprocta kalinowskii “sihuro”, “añuje” Inia geoffrensis “bufeo colorado” Leopardus colocolo “gato andino” Leopardus tigrinus “gato tigre común” “tigrino”

Anfibios:    

Ameerega smaragdina “rana dardo amazónica” Ameerega rubriventris “rana venenosa” Telmatobius colanensis “rana acuática de Colán” Telmatobius necopinus “rana acuática de Wiens”

Amphisbaena polygrammica “lagarto gusano” Crocodilurus amazonicus “cocodrilo Tegu” Epictia melanurus “Serpiente ciega”

Ejemplos de flora amenazada en cada categoría: EN PELIGRO CRÍTICO: 121 especies  Qolle  Kiswar  Algodón silvestre  Keuña (Polylepis incana)  Papa silvestre (algunas especies)

EN PELIGRO : 42 especies  Achanccarey o begonia silvestre  Huayacan  Atoc cedro  Huarango  Algarrobo  Puya raymondii

VULNERABLE : 155 especies  Aliso o lambram  Helecho arbóreo  Mangle  Cedro  Gigantón (Jawacollay)  T’asta  Caoba

CASI AMENAZADO : 86 especies  Sangre de grado  Uncca  Cantu rojo  Chinchircuma  Huaranhuay  Barbasco  Nogal

11.1. CONTAMINACION. Es la incorporación de agentes “contaminantes”, que originan modificaciones, alteraciones en los recursos y daños en la estructura física, química y biológica de los ecosistemas. Es decir, es la introducción al ambiente, de sustancias extrañas y tóxicas (líquidas, sólidas o gaseosas) y diferentes tipos de energías, en cantidades suficientes que ocasionan un desequilibrio ambiental, poniendo en riesgo la salud humana. FUENTES DE CONTAMINACIÓN 1. NATURAL. Cuando la contaminación es ocasionada por procesos naturales como: la radioactividad de algunas rocas magmáticas y granitos que desprenden isotopos radiactivos, la acumulación de componentes químicos durante la formación de los suelos (sales y minerales), erosión del suelo, aguas geotermales; eventos naturales como: erupciones volcánicas, huaycos, inundaciones, derrumbes, entre otros. 2. ANTRÓPICA. Producto de las diferentes actividades humanas sean doméstica, extractivas (minería, tala de bosques), de transformación (industrial) y obtención de productos y/o alimentos (curtiembres, pecuaria, agrícola, industrias alimentarias), transporte; que generan contaminación. TIPOS DE CONTAMINANTES 1. Contaminantes Biológicos:  Microorganismos patógenos como: bacterias, hongos, virus, protozoos, huevos y quistes de parásitos. Los más comunes son los microorganismos evacuados con las heces fecales, los que son peligrosos para la salud humana, plantas y animales. También pueden ser, esporas y polen  Derivados o residuos orgánicos de los seres vivos: sangre, aserrín, desechos de fábricas de cerveza, procesamiento de alimentos, especialmente productos cárnicos y lácteos. 2. Contaminantes Físicos:  De tipo físico-mecánicos, relacionado principalmente a distintas energías o manifestaciones de la energía, como: Energías mecánicas tales como sonidos, ruido, vibraciones y variaciones de presión, sedimentos de barro y relaves mineros.  Energías electromagnéticas como radiaciones, láseres, campos eléctricos y magnéticos, radiactividad (Uranio). Energías caloríficas como cambios bruscos de temperatura. 3. Contaminantes Químicos: Se producen a partir de los diversos procesos de transformación, al modificar la materia prima, elaboración y obtención de productos sintéticos.  Inorgánicos: Compuestos tóxicos, minerales (plomo, cobre, cadmio, mercurio, hierro, zinc), Ácidos (nítrico, clorhídrico, sulfúrico), álcali (potasa soda caústica), plásticos, abonos sintéticos.  Orgánicos: plaguicidas, derivados de ácidos grasos, disolventes orgánicos, (bencina, acetona), detergentes, hidrocarburos, gases combustibles (metano, etano, propano, butano), fenoles.

E C O L O G Í A Y M E D I O A M B I E N T E | 39 11.2. CONTAMINACIÓN DEL AGUA Es la introducción de sustancias ajenas al sistema acuático, ocasionando la alteración de las características físicas, químicas y biológicas del agua, transformándola en una sustancia peligrosa o alterando la calidad de agua resultando de esa forma dañina para la vida de los seres vivos. La contaminación del recurso hídrico reduce el potencial de aprovechamiento del agua y genera escasez. FUENTES DE CONTAMINACIÓN DEL AGUA: NATURALES 

Erosión del suelo: contamina aguas superficiales con polvo, minerales, arena, limos, arcillas; Influyendo en la turbidez. Las aguas atmosféricas son susceptibles de contaminarse con polvo y sustancias en suspensión. Descomposición de la materia orgánica (Plantas y animales). Radioactividad: presencia de isótopos de Potasio, Uranio, Torio y derivados. Metales pesados: presencia de Cd, Hg, Pb, normalmente presente en las rocas.

    ANTRÓPICAS. 



  



Doméstica: Vertido de aguas residuales, son altamente contaminantes, poseen alto contenido de materia orgánica y sustancias inorgánicas que se encuentran en productos de limpieza como nitratos, nitritos, fosfatos, sulfatos, etc. a ello se añade la carga de microorganismos altamente patógenos; provocando serios problemas en la salud humana, en muchos casos son causantes de enfermedades epidémicas como el cólera, disentería, fiebre tifoidea, hepatitis viral, gastroenteritis, shiguelosis, etc. Industrial: Los residuos líquidos de las industrias que contienen productos químicos: sales, ácidos, colorantes, álcalis, material espumoso de detergentes (que añade fosfatos al agua), metales pesados, sustancias tóxicas, minerales, etc. Transito: El transporte acuático contamina con residuos de petróleo, gasolina, aceites, lubricantes, plomo, etc. Minería: Relaves mineros, ácidos, lixiviados, alquitrán, minerales y metales pesados Cu, Hg, Pb, etc. Agricultura: Genera residuos de fertilizantes sintéticos, (Nitrógeno orgánico, amonio, Fósforo en exceso que por arrastre o lixiviación al llegar a los cuerpos acuáticos causan la eutrofización de medios acuáticos lenticos), pesticidas, etc. Radioactividad: por explosiones nucleares, accidentes en centrales nucleares, residuos de laboratorios de medicina nuclear, etc.

EFECTOS EN LA SALUD. 

 



Los contaminantes biológicos presentes en el agua producen enfermedades transmisibles de origen hídrico, tales como: cólera. fiebre tifoidea, disentería, diarreas, gastroenteritis, shiguelosis, hepatitis A, poliomielitis, hidatidosis, parasitosis y otros. La Radioactividad produce efectos neurológicos, mutaciones, tumores, padecimientos cardiovasculares y neoplasias. El mercurio metálico depositado en los fondos de los ambientes acuáticos, por su uso en lavaderos de oro (Madre de Dios) es transformado en compuestos órgano-metálicos por bacterias anaerobias y están disponibles en el suelo para ser absorbidos por los seres vivos, produciendo una enfermedad denominada MINAMATA que ocasiona daños neurológicos, parálisis, entumecimiento de los músculos, trastornos del habla y visión borrosa, en casos severos muerte por intoxicación. El cadmio vertido en las aguas por desagües industriales, relaves mineros y residuos peligrosos, llega a la cadena alimenticia, en el hombre y los animales se acumula en los huesos, produciendo la descalcificación, los cuales de vuelven quebradizos, causando osteoporosis, esta enfermedad se denomina YTAY- YTAY (¡ay – ay!).

ESTÁNDARES DE LA CALIDAD DE AGUA PARA CONSUMO DE ACUERDO A LA OMS (ORGANIZACIÓN MUNDIAL DE LA SALUD) Los parámetros más comúnmente utilizados para establecer la calidad de las aguas son los siguientes: oxígeno disuelto, pH, sólidos en suspensión, demanda bioquímica de oxígeno (DBO), fósforo, nitratos, nitritos, amonio, amoniaco, compuestos fenólicos, hidrocarburos derivados del petróleo, cloro residual, zinc total y cobre soluble.  El agua debe ser incolora, inodora y de sabor agradable  Dureza de 100 a 500 ppm  Turbidez de 0 a 5 UNT (unidades nefelométricas)  pH de 7 a 8  Bacterias coliformes 0/100 ml de muestra.  Nitratos menos de 45 ppm Potabilización del agua: el agua para ser considerada potable y apta para consumo humano, pasa por un proceso de tratamiento físico, químico y bacteriológico (desinfección del agua), estos procesos confieren al agua de consumo humano características que cumplen con los parámetros de la OMS y garantizan la plena desinfección, para este proceso está autorizado el uso de CLORO en gas, líquido o en polvo, siendo el valor normal de Cloro residual en el agua de consumo humano de 0.5 a 0.8 ppm (mg/litro). Hábitos de Consumo Responsable:    

Uso racional del agua, NO al desperdicio Conservar las fuentes de agua dulce Evitar la contaminación Educación Sanitaria a todo nivel.

11.3. CONTAMINACION DEL AIRE Es la alteración o cambios que se produce en la composición química de la atmósfera, por la introducción de contaminantes (sólidos, gaseosos), emitidos por diferentes fuentes (industrias, parque automotor, etc.) y que producen modificación de la calidad del aire, cambiando el clima, produciendo las lluvias ácidas, destrucción del ozono, etc.

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FUENTES DE CONTAMINACIÓN DEL AIRE NATURALES: Erosión de los suelos (polvo, tierra), ceniza, humo, gases provenientes de la actividad volcánica e incendios; descargas eléctricas producidas en la atmósfera que liberan ozono, óxidos e iones de nitrógeno, sal marina en partículas microscópicas, organismos vivos (polen, esporas, microorganismos) y radiactividad con predomino de Radón. ANTRÓPICAS: Residuos sólidos, aerosoles, polvo producto de la actividad doméstica, productos del tránsito vehicular como CO, CO2, SO2, óxidos nitrosos, hidrocarburos, plomo, asbesto. Desperdicios, metales pesados (Hg, As, Pb, Cr, Mn), gases tóxicos, polvo, aceite; eliminados por las industrias. Petróleo, humo de fundiciones provenientes de minas. Pesticidas, fertilizantes, polvo estiércol, desperdicios agropecuarios provenientes de labores agrícolas. Basura cósmica y bombas nucleares, producto de la investigación y avance de la tecnología espacial y actividad bélica. CLASIFICACIÓN DE CONTAMINANTES ATMOSFÉRICOS. Atendiendo a su evolución en el medio se tiene: Contaminantes primarios. Aquellos procedentes directamente de las fuentes de emisión y se mantienen como tal sin modificación por ejemplo: plomo (Pb), monóxido de carbono (CO), dióxido de azufre (SO 2), óxido nítrico (NO), amoniaco (NH3), material particulado y elevada concentración de CO2 , entre otros. Contaminantes secundarios: Aquellos originados en el aire por la interacción entre dos o más contaminantes primarios, o por sus reacciones con los componentes naturales de la atmósfera. Por ejemplo: ozono (O 3), peroxiacetil-nitrato (PAN), hidrocarburos (HC), trióxido de azufre (SO3), nitratos (NO3), ácido sulfúrico (H2SO4), material particulado (PM) , entre otros. AGENTES CONTAMINANTES: Los principales agentes contaminantes del aire son: 1. OXIDOS DE CARBONO: Los principales son el Monóxido de Carbono (CO) y Bióxido de Carbono (CO2) (considerado como gas de efecto invernadero); el CO es dañino para la salud humana, se origina por la combustión incompleta del petróleo, gasolina, carburantes, algunos fuentes industriales: centrales térmicas, fundiciones e incineradoras; incendios forestales, combustión incompleta de la leña; y también por causas naturales como: emanaciones volcánicas, descomposición de materia orgánica y respiración. Efectos: La exposición a concentraciones elevadas de CO puede producir la muerte, a dosis reducidas producen dolores de cabeza, mareos, disminución de la concentración y del rendimiento, efectos sobre el Sistema Nervioso y agudeza visual. En el caso de CO tiene la capacidad de combinarse con la hemoglobina de la sangre formando la carboxihemoglobina (COHb) por consiguiente se reduce drásticamente la capacidad de la sangre de transportar O2 a los tejidos, causando la muerte (Hipoxia cerebral). 2. OXIDOS DE AZUFRE: Trióxido de Azufre (SO3), Dióxido de Azufre (SO2), el SO2 se emite por la actividad humana principalmente por la quema de combustibles fósiles y sus derivados, como el petróleo, gasolina, carbón natural gas natural) en instalaciones generadoras de calor y electricidad como las termoeléctricas, fábricas de autos, refinado de petróleo, fundición de minerales sulfurados, zinc, cobre y plomo; fábricas de elaboración de ácido sulfúrico. También el SO 2 se genera por la oxidación del sulfuro de hidrógeno (H2S), producto de la descomposición de la materia orgánica en condiciones anaeróbicas y la actividad volcánica. Efectos: causa enfermedades respiratorias, afecta a la vista, disminución de la secreción muconasal, aumento de la frecuencia respiratoria, penetra a los pulmones causando tos asmática crónica. 3. OXIDOS DE NITRÓGENO: Son el N2O (Óxido Nitroso, es un gas de efecto invernadero), el NO2 (dióxido de nitrógeno, pardo rojizo, no inflamable, toxico y de olor asfixiante) se generan por combustión interna de los automotores, incineradores e industrias que utilizan el carbón mineral, también por los procesos industriales (fabricación de ácido nítrico). El Peroxiacetil Nitrato (PAN) se produce por reacciones fotoquímicas, poseen un marcado carácter fitotóxico, ocasionando daños en los vegetales. Efectos: El NO2 afecta a la salud humana, produce irritación nasal y sistema digestivo, el incremento de la concentración produce: percepción olfativa, incomodidades respiratorias, dolores respiratorios agudos, edema pulmonar y muerte. 4. HIDROCARBUROS Son sustancias que contienen Carbono e Hidrógeno en su composición, como metano, propano, butano; Isopropeno, benceno, tolueno, benzopireno entre otros. Siendo el más importante el metano (CH4) proveniente de la descomposición anaeróbica de la materia orgánica, en menor proporción de la actividad geotérmica y principalmente de la explotación de los yacimientos de carbón, gas natural y petróleo; de las fábricas durante sus procesos de combustión, refinerías, buques transportadores de petróleo. Efectos: Los hidrocarburos causan daño en concentraciones elevadas en la atmósfera, como el benceno a 100 ppm causa irritación de la mucosa, entre 7500 a 20000 ppm durante 5 a 10 minutos es fatal, el Tolueno después de 8 horas a 600 ppm de exposición causa pérdida de coordinación, dilatación de pupilas y muerte. 5. PARTICULAS o MATERIAL PARTICULADO (PM10). Se encuentran suspendidas en la atmósfera, pueden ser sólidas o pequeñas gotas líquidas; se denominan aerosoles si es una dispersión sólida o líquida en medio gaseoso o se presentan como neblinas (gotas líquidas en suspensión), humos (partículas de hollín producto de la combustión), Emanaciones (vapores condensados de sustancias orgánicas o metálicas), polvos (rotura mecánica de la materia sólida). Fuentes naturales: polvo del suelo, partículas procedentes de las emisiones gaseosas naturales como sulfatos a partir de H 2S, nitratos a partir de óxidos de nitrógeno, fotoquímica a partir de terpenos, actividad volcánica o incendios forestales. Fuentes antropogénicas: partículas formadas a partir de contaminantes gaseosos como los sulfatos procedentes del SO2, nitrato procedente de los óxidos de nitrógeno, fotoquímica a partir de hidrocarburos. Efectos: Las partículas penetran al cuerpo a través del sistema respiratorio provocando daños en el sistema respiratorio, afecta principalmente a los pulmones pasan por los alveolos pulmonares provocando fibrosis pulmonar y llegan hasta el torrente sanguíneo, interfieren en los mecanismos de limpieza del sistema respiratorio. 6. PLOMO. Es un metal pesado muy peligroso para la salud, en el Perú, afecta a la población de la Oroya y del Callao, con incidencia dramática en vecinos que viven cerca de los depósitos de minerales que se exportan del puerto.

E C O L O G Í A Y M E D I O A M B I E N T E | 41 Fuentes: Polvo o humo producidos por ciertos trabajos o combustión de la gasolina de los automóviles, escapes de automóviles con nafta, con tetraetilo de plomo como aditivo, depósitos de minerales; industria de la construcción, los sanitarios que aún presentan en su composición plomo, demolición de estructuras de acero pintadas con pinturas a base de plomo, actividades de soldadura, pulverización, aglutinado y recubrimiento de metales con plomo, en la industria del plástico. Fundiciones de plomo, fábricas de baterías, productos como cosméticos y juguetes no permitidos. Efectos: Produce una enfermedad llamada Saturnismo, es particularmente tóxico en niños de 6 meses a 6 años, produciendo en ellos retraso en el crecimiento y desarrollo, ya que compite con el Calcio y el Hierro. Produce diversas afecciones en el sistema nervioso las que se manifiestan en una reducción del coeficiente intelectual que derivan en dificultades en el aprendizaje desde la infancia. Afecta al normal desarrollo de huesos retardando el crecimiento, se acumula en distintos órganos y tejidos, produciendo anemia y trastornos renales. Las investigaciones han demostrado que los huesos y los tejidos blandos de los niños (cerebro, riñones e hígado), aún en proceso de desarrollo, absorben un 50% del plomo, mientras que la tasa de absorción en los adultos es de un 20%. Estándares de la Calidad del Aire (ECA – PERU):     

SO2 = 365 microgramos / m3 de aire en 24 horas NO2 = 200 microgramos / m3 de aire en 01 hora CO = 30 000 microgramos / m3 de aire en 01 hora PM-10 = 150 microgramos / m3 de aire en 24 horas (partículas < 10 micrómetros) Plomo = 1.5 microgramos / m3 de aire en 01 mes

Acciones para Mejorar la Calidad del Aire:           

Normas legales que incentiven el uso de tecnología limpia y el fomento del uso de energía renovable. Elaborar e implementar el Plan a Limpiar el Aire en cada Ciudad. Educación y sensibilización ciudadana, Involucrar a los medios de comunicación. Mejorar el entorno ecológico (áreas verdes, forestación, reforestación). Manejo adecuado de los residuos sólidos (basura). Fomentar el ordenamiento territorial. Planificar el tránsito vehicular. Promover el uso de transporte masivo (buses), Promover las revisiones técnicas de los vehículos, Mejorar la calidad de los combustibles. Promover las caminatas y el uso de bicicletas.

CONTAMINACION ACUSTICA O SONORA La experiencia humana está relacionada con el sonido que constituye un estímulo importante y necesario, a la vez es el canal de comunicación, pero según sus características y procedencia pueden ser agradables y agresivos. La contaminación acústica, es producto de sonidos y vibraciones ambientales con efectos nocivos o molestos de cualquier índole que recibe el oído, es medido en decibeles (dB). Los valores recomendados por la Organización Mundial de la Salud (OMS), establece como nivel de confort acústico de 55 dB. Siendo el límite de tolerancia recomendado por la OMS es de 65 dB. Por encima de este nivel, el sonido resulta perjudicial o dañina para el descanso, la concentración y la comunicación; es dolorosa a partir de los 120 dB; puede causar la muerte cuando llega a los 180 dB. CAUSAS Son aquellas relacionadas con las actividades humanas como el transporte, la construcción de edificios y obras públicas, las industrias, el tráfico, locales de ocio, aviones, etc. EFECTOS       

Afecta las actividades del desarrollo social ya que interfiere con la comunicación, aprendizaje, concentración, rendimiento y descanso. Produce malestar, irritación, lesiones inmediatas, nerviosismo, cefaleas. Trastornos físicos: elevación pasajera de la agudeza auditiva Trauma acústico: envejecimiento prematuro del oído y pérdida de la capacidad auditiva. Daño al oído Genera trastornos durante el descanso. Trastornos que van desde lo psicológico (paranoia) hasta lo fisiológico (irritación) por la excesiva exposición a la contaminación sónica. Puede causar grandes daños en la calidad de vida de las personas si no se controla bien o adecuadamente, el estrés.

Se debe regular los estándares nacionales de la calidad ambiental para ruidos con el objeto de proteger la salud y mejorar la calidad de vida; en el Perú INDECOPI es la entidad responsable de verificar los equipos que se utilizan para la medición de ruidos

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dB 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 150

Escala de ruidos y efectos que producen Ejemplo Respiración. Rumor de hojas Susurro Campo por la noche o calle tranquila Biblioteca, ruidos nocturnos de una ciudad Conversación tranquila Conversación en el aula Aspiradora. Televisión alta, tránsito muy intenso Lavadora. Fábrica Moto. Camión ruidoso Cortadora de césped, ruido doloroso Bocina a 1 m. Grupo de rock Sirena cercana Despegue de avión a 25 m

Efecto. Daño a largo plazo Gran tranquilidad Gran tranquilidad Gran tranquilidad Tranquilidad Tranquilidad Algo molesto Molesto Molesto. Daño posible Muy molesto. Daños Muy molesto. Daños Muy molesto. Daños Algo de dolor Rotura del tímpano

12.1 CONTAMINACION DEL SUELO El suelo se contamina por la introducción de sustancias extrañas o contaminantes, alterando sus características naturales. Un suelo se puede degradar al acumularse en él sustancias toxicas y extrañas a niveles que repercuten negativamente en el comportamiento de los suelos. Se trata pues de una degradación química que provoca la pérdida parcial o total de la productividad del suelo. Se puede distinguir entre contaminación natural, frecuentemente endógena (sustancias propias del suelo), y contaminación antrópica, siempre exógena (Provocada por el hombre). Fuentes contaminantes del suelo: a. Naturales: presencia de minerales, metales pesados, microorganismos, sustancias radiactivas como emanaciones de uranio. b. Actividad humana: El desarrollo de la civilización ha obligado a intensificar las actividades agrícolas, en la actualidad hay la necesidad de producir mayor cantidad de alimentos y otros productos agrícolas, para satisfacer el hambre del mundo; por otro lado la superficie de suelos cultivables disminuye debido al crecimiento demográfico, urbanización, incremento de la industria, deterioro del suelo y contaminación.  Doméstica: generación y acumulación de residuos sólidos (basura), aguas residuales (desagües), excretas humanas al aire libre a falta de servicios higiénicos en las viviendas, excretas de animales a falta de un adecuado saneamiento e higiene ambiental, convirtiéndose en focos de contaminación, afectando a los suelos.  Tránsito: residuos de petróleo, lubricantes, plomo procedente de la gasolina, caso de las carreteras con alto tráfico vehicular.  Industria: los diferentes tipos de industrias contaminan el suelo con residuos sólidos, líquidos y gaseosos, metales pesados, ácidos, colorantes y otros ejemplos: la industria del petróleo, refinerías, cemento, plantas de energía, metalúrgicas.  Minas y fundiciones: relaves mineros, depósitos de escombro, polvo de minerales, residuos de metales pesados como Mercurio, Plomo y Cadmio; así como el Selenio, Cianuro, entre otros contaminan el suelo; además de los humos los que contienen óxidos, dependiendo del mineral en explotación como el Oro, Cobre, Zinc; las plantas que crecen sobre estos suelos contaminados concentran estos componentes a niveles tóxicos.  Agricultura: el uso excesivo de abono sintético en suelos agrícolas caso de los nitratos, fosfatos, urea, cloruros, genera salinización y elimina a los organismos útiles del suelo, lombrices, insectos, protozoos, hongos y bacterias.  La combinación de nitratos con pesticidas produce una sustancia denominada NITROSAMINA, la cual produce cáncer.  Los residuos de plaguicidas químicos utilizados en la agricultura, se concentran en los suelos y pasan a la cadena alimenticia, causan toxicidad y son peligrosos para la salud de los organismos y el hombre. PLAGUICIDAS COMO CONTAMINANTES DEL SUELO. Los Plaguicidas son productos químicos sintéticos se denominan también pesticidas o agro tóxicos, son usados para controlar las plagas de los cultivos, sanidad animal, control de vectores de enfermedades, control de plagas en alimentos almacenados, conservación de la madera, adelantar la maduración, evitar la caída de los frutos, retrasar la germinación, etc. 1. Contenido:  Principio activo: toxico o veneno  Preparado comercial : inerte 2. Ingresa y actúa por: (Klimmer.1997)  Contacto  Inhalación  Ingestión 3. Clasificación: 3.1. De acuerdo a su objetivo y especificidad: Pueden clasificarse en: insecticidas compuestos por sustancias para eliminar insectos que causan enfermedades, herbicidas lucha contra las malas hierbas, nematicidas combate gusanos (nematodos), acaricidas contra ácaros, molusquicidas contra moluscos (caracoles), rodenticidas, contra roedores y fungicidas contra los hongos. 3.2. De acuerdo a su peligrosidad: se pueden clasificar en:  Extremadamente tóxicos (banda roja),  Altamente tóxicos (banda amarilla),

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Moderadamente tóxicos (banda azul) y Ligeramente tóxicos (banda verde)

Plaguicidas peligrosos: a. Organoclorados. Son a base de hidrocarburos clorados, son sintéticos, estables, persistentes, liposolubles, se almacenan en el tejido adiposo, se biomagnifican, causa efectos agudos y crónicos (cáncer), Ejemplos: Aldrin, Endrin, Dieldrin, DDT, Lindano, Clordano, Heptacloro, Hexaclorobenceno, Dicloropropano; no tienen antídoto. b. Organofosforados. Son a base de los ácidos ortofosfórico, tiofodfórico, pirofosfórico y fosfórico, son liposolubles, causan intoxicaciones y envenenamientos (efectos agudos en el hombre), son neurotóxicos, inhiben la enzima Acetil Colinesterasa que controla los impulsos nerviosos, produciéndose una intoxicación endógena por acetilcolina, manifestándose los síntomas a los pocos minutos de exposición al tóxico, generando nauseas, mareos, convulsiones epileptiformes, cólicos intestinales, temblores, fibrilaciones en la cara, cianosis, delirio y muerte. Ejemplos: Campeón, Paration (Folidol), Dimeton, Dimetoato, Malation, Triclorofon, tienen antídoto la Atropina. c. Carbamatos. Son derivados del ácido carbámico, actúan inhibiendo la enzima Acetil Colinesterasa, son degradables pero en el proceso liberan sustancias altamente tóxicas, los síntomas de intoxicación en el hombre es similar al de los organofosforados. Ejemplos: Carbaril , Sevin, Isolan.; tienen antídoto la Atropina. (Klimmer.1997) d. Piretroides.- Obtenidos al inicio en base a plantas, el principio activo es el PIRETRO como la nicotina del tabaco y la rotenona del barbasco, algunos piretroides sintéticos se consideran peligrosos, son inestables químicamente se combinan con otras sustancias del suelo, resultando ser altamente tóxicos. Ejemplos: repelentes, champú, anti piojos, Herbicidas Moderadamente tóxicos y no biodegradable: Gramoxone que afecta pulmones, riñones de manera irreversible, no tiene antídoto, muta génico y mortal

4.- Tipos de intoxicación por plaguicidas en la salud humana. 

Agudos: Los síntomas se presentan a los pocos minutos de haberse expuesto al tóxico generalmente causa la muerte por envenenamiento. Crónicos: El tóxico se va acumulando en el organismo muchos años, produciendo diversos tipos de cáncer, malformaciones congénitas, leucemia y mutaciones genéticas.

12.2 CONTAMINACIÓN ALIMENTARIA: La salud depende de los alimentos que se ingieren más que de cualquier otro factor, es decir “somos lo que comemos”: la calidad y cantidad de alimentos ingeridos tiene influencia directa sobre el organismo: para que los alimentos cumplan su función deben llegar en condiciones óptimas para su consumo (características organolépticas naturales, valor nutritivo, libres de contaminantes y adulteración). Causas: 1. Contaminación biológica alimentaria: Cuando el alimento contiene gérmenes patógenos, como bacterias, virus, hongos, parásitos y protozoos o formas biológicas caso de las algas microscópicas, esporas, polen, huevos y quistes de parásitos. Un alimento contaminado es la causa de enfermedades de transmisión alimentaria (ETAS), como el cólera. Disentería, amebiasis, fiebre tifoidea, hepatitis viral tipo A, parasitosis, intoxicaciones alimentarias y otros. La OMS estima que en los países en vías de desarrollo, el 70 % de las enfermedades diarreicas son transmitidas por los alimentos contaminados, siendo la segunda causa de mortalidad y morbilidad, anualmente mueren 10 millones de niños menores de 05 años en los países pobres por enfermedades diarreicas agudas. Por ejemplos: Infecciones Bacterianas: tifoidea, paratifoidea, botulismo, gastroenteritis, disenterías. Parasitosis: Cisticercosis, amebiasis, giardiásis, teniasis. Intoxicaciones: con Estafilococus (presente en comidas saladas, sesina), Clostridium botulinum (presente en alimentos enlatados vencidos). Fuentes de contaminación biológica de los alimentos:  



Consumo de carne de animales enfermos: La fiebre de malta trasmitida por cabras, la cisticercosis por el cerdo, la brucelosis por el ganado vacuno. Manipuladores de alimentos: las personas pueden ser portadoras de enfermedades de transmisión alimentaria por malos hábitos de higiene personal y prácticas antihigiénicas en la preparación de los alimentos, principalmente a falta del lavado de manos. Ambiente insalubre: el entorno donde se prepara y almacena los alimentos debe ser muy limpio para evitar la contaminación cruzada, puede afectar la calidad de los alimentos la presencia de insectos, mascotas, animales domésticos, basura y aguas servidas. Criptococosis (hongo presente en excretas de palomas que ocasiona necrosis en los riñones.

2. Contaminación química alimentaria: Cuando el alimento contiene elementos o sustancias químicas tóxicas y peligrosas para la salud humana, que pueden ser orgánicas e inorgánicas, se produce a partir de los diferentes procesos de transformación, al modificar la materia prima, tales como:        

Residuos de metales pesados: plomo, mercurio y cadmio Residuos de plaguicidas peligrosos: organoclorados y organofosforados Residuos de fertilizantes sintéticos (nitrato que genera nitrosamina sustancia cancerígena) Benzopireno y dioxinas (sustancias cancerígenas) presente en alimentos ahumados, a la parrilla, al carbón y aceite requemado. Restos de medicamentos y antibióticos en carnes Hormonas de crecimiento en animales y vegetales Aditivos químicos: como colorantes: tartrazina; conservantes : Sales de nitro en embutidos; en panes blanco : Bromato, todos cancerígenos Sustancias tóxicas como micotoxinas y aflatoxinas (producidas por hongos del genero Aspergillus flavus); mutagénicos y teratogenicos; alergógenos (sustancia que puede inducir una reacción de hipersensibilidad (alérgica) en personas susceptibles.

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3. Contaminación física alimentaria: provocado por: 





Vientos y polvos. cuando los alimentos se consumen frescos y expuestos a la intemperie, el viento transporta polvos, los cuales pueden contener sustancias químicas o biológicas que contaminan los alimentos por ejemplo las frutas, carnes, dulces, paletas, raspados y frituras expendidas en vía pública. Radiación. puede ser irradiación natural procedente del espacio o radiactividad producida por el hombre en las plantas nucleares para la producción de energía eléctrica, con fines bélicos, científicos e industriales. Sin embargo, este tipo de energía supone mucho riesgo cuando no se tiene las precauciones debidas, tal es el caso del accidente de Chernóbil que provoco precipitaciones radiactivas que se extendió a Europa contaminando a los animales y vegetales para el consumo. Humos. se ha encontrado en los alimentos ahumados como el pescado, pollo asado y carne a la brasa que liberan una sustancia química llamada benzopireno precursor del cáncer de estómago y leucemia.

ACCIONES DE PREVENCION Y PROMOCION DE LA SALUD Las acciones de prevención y promoción de la salud constituyen un proceso que consiste en proporcionar a los pueblos, los medios necesarios para mejorar y su salud y ejercer un mayor control sobre la misma. Tiene por objetivos:

  

Que las autoridades competentes ejerzan un control sanitario y ambiental de los alimentos desde la producción, cosecha, almacenamiento, transporte, distribución, comercialización, preparación, servido hasta el consumo. Capacitar a los manipuladores en higiene alimentaria Implementar servicios de saneamiento ambiental básico en los locales de producción, fabricación y expendio de alimentos.

SEGURIDAD ALIMENTARIA. De acuedo a la Organización de las Naciones Unidas para la Agricultura y la Alimentación (FAO) durante la Cumbre Mundial de la Alimentación (1996). La definición indica que existe seguridad alimentaria "Cuando todas las personas tienen en todo momento acceso físico, social y económico a los alimentos suficientes, inocuos y nutritivos que satisfagan sus necesidades energéticas diarias y preferencias alimentarias para llevar una vida sana y activa". HIGIENE AMBIENTAL. El concepto está vinculado a mantener las condiciones sanitarias del entorno para evitar que éste afecte la salud de las personas. La higiene ambiental, por lo tanto, implica el cuidado de los factores químicos, físicos y biológicos externos a la persona. Se trata de factores que podría incidir en la salud: por lo tanto, el objetivo de la higiene ambiental es prevenir las enfermedades a partir de la creación de ambientes saludables. La higiene ambiental debe cuidar la salud tanto de las generaciones actuales como de las futuras. Incluye, por lo general, tareas de desinfección (para controlar las bacterias y organismos que son nocivos para la salud), desratización y desinsectación Eliminar las ratas y otros vectores para proteger la higiene y salud ambiental. Estos animales pueden generar diversas enfermedades en los seres humanos por considerárseles vectores. Lo más usual, en caso de hallarse ratas, es desratizar el lugar en cuestión. EL USO DE PLANTAS NATURALES EN LA CONSERVACIÓN DE LA SALUD Las plantas llamadas medicinales son cualquier especie que contiene principios activos con propósitos terapéuticos, que son precursores para la síntesis de nuevos fármacos (Akerele, 1993). La Organización Mundial de la Salud (OMS) ha estimado que más del 80% de la población mundial utiliza, rutinariamente la medicina tradicional para satisfacer sus necesidades de atención primaria de salud y que gran parte de los tratamientos tradicionales implica el uso de extractos de plantas o sus principios activos. I. Plantas depurativas: Son aquellas que ayudan a la liberación y eliminación de toxinas del organismo (limpieza de la sangre) realizado, principalmente, por el hígado, riñones, intestino, pulmones, piel y mucosas. Ejemplos: pinco-pinco, cola de caballo, cebada, runa manayupa, grama, sauco, ortiga, diente de león, limón. Sábila, zarzaparrilla etc. II. Plantas curativas o antiinflamatorias: Son aquellas que disminuyen la hiperactividad e inflamación de la mucosa respiratoria y fluidifican las secreciones bronquiales. Ejemplo: mullaca, muña, borraja, huamanripa, matico, juñuca. Existen también otras plantas antiinflamatorias que actúan en otros órganos como: linaza, penca de la tuna (Nopal), llantén, malva blanca, Kion, limón, cedrón, algarroba, sábila, entre otras. III. Plantas antiestres: Son aquellas que actúan como relajantes o sedantes locales y disminuyen el estado de ansiedad, permitiendo mejor efecto terapéutico de las plantas curativas o de sostén: valeriana, pimpinela, manzanilla, toronjil, lavanda, romero, salvia, rosa, entre otros. IV. Plantas preventivas: Son aquellas que incrementan las defensas del organismo, estimulando el sistema inmunológico. Aportan, además, vitaminas y minerales, mejorando el estado nutricional del paciente: Ejemplos: uña de gato, confrey, sábila, ajo, etc.

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La demografía es el estudio de la composición, tamaño, movimiento de la población, su importancia radica en sus implicancias sociales, económicas, culturales y políticas, base para el diseño de toda política económica y social de un país. 13.1.- EXPLOSIÓN DEMOGRÁFICA. Es el aumento súbito de la cantidad de habitantes en una determinada región. Este incremento de la población tiene consecuencias importantes y genera cambios socio-económicos. Actualmente la población humana supera los 7,000 millones en la Tierra. Esta cifra, cobra más relevancia si atendemos el ritmo de crecimiento de la población, que ha sido tan rápido que ha supuesto una verdadera explosión (cada diez segundos nacen 27 seres humanos más en el planeta, 250,000 al día que compartirán con nosotros tierra, alimentos, agua y otros recursos). La explosión demográfica se perfila, como uno de los hechos más relevantes que afectan al género humano, sobre todo si se pone atención al binomio presión demográfica y recursos naturales disponibles. Causas Explosión Demográfica:   

Incremento de la tasa mundial de natalidad, muy superior a la tasa de mortalidad. Rápido descenso de la mortalidad infantil, sin una reducción correspondiente en la tasa de natalidad. Avance de la ciencia y la tecnología médica.

Efectos de la Explosión Demográfica: a.

Sociales:

b.

Mayor demanda de servicios sociales de salud y educación, para satisfacer adecuadamente las necesidades de la población y especialmente del mayor número de niños.  Mayor demanda de servicios básicos de infraestructura; agua y desagüe, electrificación, vías de comunicación., etc.  Escasés de puestos de trabajo, (desempleo y sub-empleo).  Aparición de extensos barrios marginales en los que las familias carecen de los servicios básicos y los que tienen son deficientes.  Se acentúan la pobreza y la extrema pobreza.  Se acrecientan los problemas de violencia familiar así como la violencia callejera.  Proliferación de una serie de enfermedades (de transmisión sexual, así como de enfermedades ambientales)  Problemas sociales de tierras. Económicos: 

c.

 Bajo ingreso per-cápita  Baja calidad de vida (educación, salud, vestido, alimentación, vivienda, recreación, etc.). Ambientales:

 Destrucción de bosques y ecosistemas  Alteración de hábitat y pérdida de la biodiversidad  Erosión y desertificación  Mayores niveles de contaminación ambiental.  Mayor demanda de agua, disminución de acuíferos y otros cuerpos de agua.  Apertura de nuevas áreas de cultivo y consiguiente disminución de otros ecosistemas MEDIDAS DE CONTROL POBLACIONAL.- Los programas de control de la natalidad o de planificación familiar consisten en la adopción de determinadas medidas, con el objetivo de controlar el crecimiento de la población. Esta regulación se lleva a cabo en cada país de acuerdo a diferentes factores socioeconómicos, políticos y culturales. En 1967 las Naciones Unidas crearon el Fondo de las Naciones Unidas para las Actividades en Materia de Población, que ha organizado tres Conferencias Mundiales de Población: en Bucarest (1974), en México (1984) y en El Cairo (1994). La III Conferencia, de El Cairo (1994), presentó novedades y avances importantes, en gran medida derivados del nuevo escenario internacional más complejo, así como por estos otros factores: 



En primer lugar, en el plano del análisis, se subrayó la estrecha relación que existe entre las políticas de población y el desarrollo económico, social, medioambiental y los derechos humanos. En otras palabras, desde una concepción del control de la natalidad con un criterio meramente demográfico. En segundo lugar, se asumió como estrategia la mejora de la condición de la mujer, con equidad de género y su empoderamiento, como clave de los procesos de desarrollo, lo cual se plasmó en la asunción, por primera vez, de los conceptos de derechos reproductivos y de salud reproductiva.

13.2.- INCREMENTO DEL EFECTO INVERNADERO El efecto invernadero es un fenómeno natural que permite la vida en la Tierra, se produce por la absorción de parte de la radiación solar que es reflejada por la superficie de la Tierra. Esta absorción es realizada por los llamados gases de efecto invernadero (GEI); siendo los más importantes y naturales : el vapor de agua, el dióxido de carbono y el metano, de no existir estos gases la temperatura de la superficie de la Tierra sería de -180C a -200C.

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Pequeñas cantidades de dióxido de carbono y vapor de agua (principalmente en las nubes) y trazas de otros gases generados e incrementados por la actividad humana (ozono, metano, óxido nitroso, clorofluorocarbonos, etc.) de la troposfera, tienen una función clave y determinante en la temperatura media de la tierra y por tanto en sus climas. Sin embargo por el Incremento del Efecto Invernadero debido a las elevadas concentraciones atmosféricas mundiales de dióxido de carbono, metano y óxido nitroso; resultado de la actividad humana desde 1750 y en la actualidad han superado los valores. El aumento global de la concentración de dióxido de carbono se debe fundamentalmente al uso de combustibles fósiles y cambios en el uso del suelo, mientras que el incremento de metano y óxido nitroso se deben principalmente a la agricultura y ganadería. El aumento del dióxido de nitrógeno (NO2) en la atmósfera se deriva parcialmente del uso creciente de fertilizantes nitrogenados. El NO2 también aparece como sub-producto de la quema de combustibles fósiles y biomasa y asociado a diversas actividades industriales (producción de nylon, producción de ácido nítrico y emisiones vehiculares). La principal fuente natural de producción de metano (CH 4) son los pantanos. El metano se produce también en la descomposición anaeróbica de la basura en los botaderos y rellenos sanitarios; en el cultivo de arroz, en la producción y distribución de gas y combustibles. El incremento del efecto invernadero, se debe al aumento de concentración de CO 2 atmosférico, ya que es virtualmente transparente a la entrada de energía solar que calienta la superficie terrestre; pero, al ser reflejado en forma de radiación infrarroja es absorbida por el CO2. Otros gases efecto invernadero que se han añadido por la actividad humana son: óxido nitroso, óxidos de azufre, óxidos de nitrógeno, metano y los CFC. Formando una densa capa de SMOG. Consecuencias del Incremento del Efecto Invernadero:      

La temperatura de la Tierra se elevará entre 1.5ºC y 4.5°C Fusión de los casquetes polares y aumento del nivel del mar. Desertificación, inundaciones y sequías en otros lugares. El calentamiento será mayor en las latitudes altas en invierno y permitirá que la atmósfera superior se enfríe y las inferiores se calienten, Menos precipitación y menos humedad en algunas zonas y mayor en otras. Calentamiento global y cambio climático

13.3. CALENTAMIENTO GLOBAL Y CAMBIO CLIMATICO. El calentamiento global es un término utilizado para referirse al fenómeno del aumento de la temperatura media global de la atmósfera terrestre y de los océanos. La principal causa del calentamiento global es el incremento del efecto invernadero. El Cambio climático, según la Convención Marco de las Naciones Unidas sobre el Cambio Climático, se refiere a un cambio del clima atribuido directa o indirectamente a la actividad humana que altera la composición de la atmósfera mundial y que se suma a la variabilidad climática natural observada durante periodos de tiempo comparables. Asimismo el cambio climático se debe a la modificación del ALBEDO, que es la cantidad total de radiación que llega a la Tierra y es reflejada; depende de las variaciones naturales en la cobertura nubosa o en las características superficiales. CAUSAS:     

Incremento del efecto invernadero por emisiones de CO2, metano, óxido nitroso y los clorofluorocarbonos (CFCs). Que provocan la elevación de la temperatura global (0,5ºC durante el siglo XX). Incremento del albedo del planeta por la continua alteración de la superficie. Alteración del ciclo hidrológico, generando sequías en unos lugares y lluvias torrenciales en otros, ya que es un fenómeno muy susceptible al efecto de otras actividades humanas. Sequías que pueden afectar seriamente a los bosques, favoreciendo los incendios que destruyen los árboles y liberan rápidamente a la atmósfera grandes cantidades de CO2, transformándose en pastizales o sábana. Cambios regulares de la circulación atmosférica por los cuales se producen modificaciones anuales en la circulación de los vientos y consiguientemente, en el intercambio térmico entre las distintas regiones.

Efectos en América Latina: (Fuente IPCC)   

 

Un aumento en la velocidad a la que se pierde la biodiversidad. Impactos adversos en bosques nublados, bosques tropicales y zonas de matojos secos de forma estacional, los hábitats de zonas bajas (arrecifes coralinos y manglares) y los humedales en el interior. La pérdida y retirada de glaciares, podría afectar de forma adversa a la descarga y el suministro del agua en áreas en donde el derretimiento de los glaciares es una fuente importante de agua, afectando a la estacionalidad de sistemas como las lagunas en los Páramos, que contienen una gran cantidad de biodiversidad. Inundaciones y sequías más frecuentes, con en los que las inundaciones que aumentan la descarga de sedimentos, causando una degradación de la calidad del agua en algunas zonas. Los ecosistemas de manglares se van a degradar a gran velocidad, debido a la elevación del nivel del mar, lo que reducirá las poblaciones de algunos tipos de peces.

El cambio climático podría alterar los estilos de vida de la población humana, alterando la producción de alimentos y la disponibilidad de recursos acuáticos así como los hábitats de muchas especies que son importantes para la población indígena. La zona andina del país se considera como una de las 10 zonas con mayor vulnerabilidad al cambio climático. DISMINUCIÓN DE LA CAPA DE OZONO. El ozono en la atmósfera se encuentra en una estrecha franja entre los 20 y 40 km. de altura y que representa el elemento decisivo para la permanencia de vida en la Tierra. La concentración normal de ozono en la Estratosfera es de 0.1 ppm (esta capa enriquecida se llama capa de ozono) comparado con las 0.02 ppm en la atmósfera inferior (Troposfera), por lo que se le denomina ozono troposférico el cual es tóxico. La capa de ozono no deja pasar los rayos ultravioleta, pero si pasaran producirían la destrucción del fitoplancton que es la base de las cadenas alimenticias del océano, por lo que peligrarían todos los organismos marinos, en el hombre causaría el debilitamiento inmunológico, daños a la vista y cáncer. En 1974 los científicos norteamericanos Rowland (EEUU) y Molina (México) descubrieron que los CFC (Clorofluorocarbonos) destruyen el Ozono.

E C O L O G Í A Y M E D I O A M B I E N T E | 47 En 1995 un agujero alcanzó una extensión de diez millones de km2 (más grande que toda Europa) en el Ártico fue el 30%. Los rayos UV cercanos a la luz visible ( Uva ) en pequeñas cantidades ayudan a la piel humana a producir vitamina “D” que sirve para fijar el calcio en los huesos y hace que las personas de piel clara se bronceen. A dosis mayores, los rayos UV producen quemaduras y envejecimiento prematuro, cáncer de la piel y cataratas, dependiendo del tiempo de exposición y la concentración. Hasta hace poco, los clorofluorocarbonos (CFCs) se usaban mucho en aplicaciones industriales como; refrigerantes, espumas, aislantes y disolventes. Los clorofluorocarbonos son transportados por fuertes vientos hacia la estratósfera, en un proceso que puede tardar de 2 a 5 años. Los clorofluorocarbonos se descomponen en la estratósfera y liberan cloro, elemento químico que ataca al ozono. Cada átomo de cloro actúa como catalizador, combinándose y descomponiendo repetidamente hasta 100,000 moléculas de ozono, durante el tiempo que permanece en la estratosfera. Otras sustancias que destruyen el ozono son los pesticidas como; el bromuro de metilo, el halón usado en los extintores de incendios y el cloroformo, utilizado en procesos industriales. LA LLUVIA ACIDA.La lluvia ácida presenta un pH menor (más ácido) que la lluvia normal o limpia. Constituye un serio problema ambiental ocasionado principalmente por la contaminación de hidrocarburos fósiles. Estos contaminantes son liberados al quemar carbón y aceite cuando se usan como combustible para producir calor, calefacción o movimiento (gasolina y diesel). El humo del cigarro es una fuente secundaria de esta contaminación, formada principalmente por dióxido de azufre (SO 2) y óxidos de nitrógeno (NOx). Las erupciones volcánicas y los géiseres contribuyen con una pequeña cantidad de estos contaminantes a la atmósfera. La lluvia ácida se forma generalmente en las nubes altas donde el SO 2 y los NOx reaccionan con el agua y el oxígeno, formando una solución diluida de ácido sulfúrico y ácido nítrico. La radiación solar aumenta la velocidad de esta reacción. SO3+H2O --> H2SO4 2NO2+H20 --> HNO3 + HNO2 Cuando están cerca de la superficie en las diversas formas de precipitación afectan negativamente a los lagos, los árboles y otras entidades biológicas que están en contacto habitual con las precipitaciones. Estas reacciones se producen en zonas donde se queman combustibles fósiles como las centrales termoeléctricas y complejos industriales. Además, las nubes pueden llevar los contaminantes a grandes distancias, dañando algunos bosques y lagos que están muy alejados de las fábricas en las que se originaron las emisiones dañinas. Y cerca de las fábricas se producen daños adicionales por deposición de partículas de mayor tamaño. En Europa central una cuarta parte de los bosques están afectados por la lluvia ácida que defolia las plantas o impide que las raíces absorban las sales minerales del suelo, en el mar la lluvia ácida provoca la destrucción del plancton, mientras que en los ríos y lagos causa la muerte de los peces y de otros organismos vivos, en las ciudades provoca la corrosión de la piedra y obras de arte, monumentos y edificios.

13.4. BENEFICIOS Y RIESGOS DE LAS CENTRALES NUCLEARES Una central nuclear es una planta o instalación industrial empleada para la generación de energía (electricidad), propulsión (buques y naves espaciales), a partir de energía nuclear, utilizando material fisionable, que mediante reacciones nucleares proporcionan energía calórica. La energía nuclear que se usa para producir energía eléctrica y residuos nucleares, se deben proteger en depósitos aislados, si se produce una fuga puede contaminar fuertemente la atmósfera. Con la escases de petróleo muchos países comenzaron a usar energía atómica, para producir electricidad y otros usos; sin embargo se pueden producir liberación de energía como en Chernóbil (Ucrania, 1986), en la que se liberó 500 veces más energía radioactiva que la bomba de Hiroshima (1945), en el instante fallecieron 31 personas, se evacuaron 116,000 personas, posteriormente se produjo la muerte de 200,000 personas por diferentes tipos cáncer, se calcula que ésta radioactividad desaparecerá en 300,000 años. Actualmente en el mundo existen más de 443 centrales nucleares, que producen 17% de la producción mundial de electricidad. Efectos biológicos de la radiación  





La radiación transfiere energía a las moléculas de las células, como resultado de esta interacción las funciones de las células pueden deteriorarse de forma temporal o permanente y ocasionar incluso la muerte de las mismas. La gravedad de la lesión depende del tipo de radiación, de la dosis absorbida, de la velocidad de absorción y de la sensibilidad del tejido frente a la radiación. Los efectos de la radiación son los mismos, tanto si ésta procede del exterior, como si procede de un material radiactivo, situado en el interior del cuerpo. Los efectos que aparecen tras una irradiación rápida se deben a la muerte de las células y pueden hacerse visibles pasadas horas, días o semanas. Una exposición prolongada se tolera mejor y es más fácil de reparar, aunque la dosis radiactiva sea elevada. No obstante, si la cantidad es suficiente para causar trastornos graves, la recuperación será lenta e incluso imposible. La irradiación en pequeña cantidad, aunque no mate a las células, puede producir alteraciones a largo plazo. Dosis altas de radiación sobre todo el cuerpo, producen lesiones características, produciendo un deterioro severo en el sistema vascular humano, que desemboca en edema cerebral, trastornos neurológicos y coma profundo y la muerte. También se puede producir la pérdida de fluidos y electrolitos que pasan a los espacios intercelulares y al tracto gastrointestinal, deterioro de la médula ósea e infección terminal. El aumento estadístico de leucemia y cáncer de tiroides, pulmón y mama, es significativo en poblaciones expuestas a cantidades de radiación relativamente altas.

VENTAJAS.DE LA ENERGIA NUCLEAR.      

1/3 de la energía usada en Europa es energía nuclear Una pequeñísima cantidad de energía nuclear puede producir inmensas cantidades de combustibles. Este uso de energía evitaría la producción de dióxido de carbono y mejoraría la calidad de aire e implicaría el descenso de muchas enfermedades. Su uso evitaría el calentamiento global Se puede transformar en energía mecánica, para su aplicación en transporte Se obtendría una fuente de combustible inagotable.

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DESVENTAJAS   

La seguridad de uso de esta energía está a cargo de personas, por lo que las decisiones irresponsables, pueden ocasionar accidentes fatales. Puede utilizarse con fines militares para la fabricación de instrumentos bélicos (Nagasaky e Hiroshima en Japón. 1945). Produce residuos nucleares que pueden dañar el medio ambiente, pudiendo durar esto por muchos años.

14.1. CONSERVACIÓN.  MITO DE LA INAGOTABILIDAD.- Corriente basada en que los Recursos Naturales son inagotables, es decir a pesar de su uso desmesurado siempre permanecerán en el tiempo  PROTECCIONISMO : Corriente filosófica que concibe "Encerrar bajo llave" es decir que los Recursos Naturales deben mantenerse en el estado en que se encuentran, NO destruir lo poco que queda para que las generaciones futuras lo conozcan  CONSERVACIONISMO : Corriente basada en el Concepto de "Desarrollo Sostenible" que implica que los Recursos Naturales deben ser utilizados administrados y protegidos de manera sostenible, es decir sin ser degradados y desperdiciados, de tal manera que estén disponibles para satisfacer las necesidades de las generaciones actuales y futuras. "Uso racional y equilibrado".

LA CONSERVACIÓN Implica bienestar del medio ambiente y humano en base a una ética (Conciencia), moral (Acciones) ambiental. En 1980 la Unión Internacional para la Conservación de la Naturaleza y Recursos Naturales (UICN) presenta la siguiente definición de Conservación como: “Es la gestión de la utilización de la biosfera por el ser humano, de tal manera que produzca el mayor y sostenido beneficio para las generaciones actuales, pero que mantenga su potencialidad para satisfacer las necesidades y aspiraciones de las generaciones futuras” (IUCN/PNUMA/WWF, 1980). Principios de la conservación de acuerdo a la Estrategia Mundial de Conservación (UICN, PNUMA y WWF). Es un documento elaborado por la Unión Internacional de Conservación de la Naturaleza (UICN), el Programa de las Naciones Unidas sobre el Medio Ambiente (PNUMA) y Fundación Mundial para la Vida Silvestre (WWF); que son dependencias de UNESCO (ONU); que establecen los siguientes principios básicos para lograr el adecuado uso de la naturaleza y sus recursos: 1. 2.

3.

Mantener los procesos ecológicos esenciales y los sistemas que sustentan la vida, dentro de los primeros están la regeneración y protección del suelo, agua y aire; los ciclos biogeoquímicos, el flujo de energía en los ecosistemas; mientras que los sistemas que sustentan la vida son la agricultura, ganadería, pesquería, forestería, acuicultura, etc. Preservar la diversidad genética: (toda la gama de material genético que se encuentra en los organismos vivos), de la cual dependen los programas de producción necesarios para la protección y el mejoramiento de plantas cultivadas, animales domésticos y microorganismos, así como el avance científico y médico, la innovación tecnológica y la seguridad de varias industrias que utilizan recursos vivos. Asegurar el aprovechamiento sostenido de las especies y ecosistemas (sobre todo peces y fauna silvestre, bosques y pastos), que constituyen la base vital para millones de comunidades rurales, así como de importantes industrias.

Estos principios determinan los objetivos, que pueden lograrse únicamente si gobiernos, industrias y el público, apoyan esta estrategia para la protección de especies y ecosistemas dentro y por encima de todo programa de desarrollo. Para mantener los principios de conservación, se debe tomar en cuenta los siguientes valores:    

Éticos.- toma de conciencia ambiental Estéticos.- Conservación de paisajes, bosques, praderas, valles, quebradas) Científicos.- Conocimiento y manejo de los recursos naturales. Económicos.- Satisfacción de necesidades económicas en base al uso sostenible de los recursos naturales.

14.2. CONSERVACIÓN DE LOS ECOSISTEMAS A.- MANEJO INTEGRAL DE CUENCAS HIDROGRÁFICAS: Concepto de cuenca hidrográfica.- Una cuenca hidrográfica es una división topográfica que limita áreas vertedoras de agua (ríos), es decir viene a ser el territorio de influencia de una corriente de agua, determinada por una línea imaginaria de divisoria de aguas. Es una unidad de planificación y gestión ambiental Concepto de manejo.- Significa un ordenamiento de actividades que va permitir la regulación, control y uso de los recursos naturales dentro de una cuenca, con el fin de obtener producción y protección de los suministros de agua, incluyendo el control de la erosión y de avenidas, así mismo la protección de los valores estéticos asociados con la vegetación y el agua.

E C O L O G Í A Y M E D I O A M B I E N T E | 49 Manejo integral en cuencas hidrográficas .- Viene a ser la posibilidad de utilizar todo, además de los aspectos antes señalados, debe buscarse un ordenamiento de actividades de agricultura, ganadería y forestería, turismo, etc, en un espacio geográfico denominado cuenca hidrográfica Objetivos:  Mantener, mejorar aumentar la cantidad, calidad del agua en el tiempo.  Mejorar las condiciones microclimáticas existentes.  Garantizar el correcto aprovechamiento del agua a través del manejo racional del ciclo del agua.  Controlar la erosión de los suelos y mantener su fertilidad.  Incrementar y fomentar la cobertura vegetal (arbórea, arbustiva y herbácea).  Mantener y respetar la diversidad biológica.  Utilizar en forma racional y sostenida los recursos naturales. B. La forestación y la reforestación: Son acciones forestales fundamentales que contribuyen a hacer realidad estos conceptos. El Decreto Supremo Nº 003-2005-AG, en cierta medida unifica estos conceptos, al señalar que la reforestación es el repoblamiento o establecimiento de especies arbóreas o arbustivas, nativas o exóticas, con fines de producción, protección o provisión de servicios ambientales, sobre superficies forestales y de protección, que pueden o no haber tenido cobertura forestal. La reforestación no está desvinculada, sino más bien es un medio para atenuar y compensar la tala y comercio ilegal de recursos del bosque, la cual constituye un problema ancestral en el Perú. Este problema, que por las características sociales y técnicas con que se lleva a cabo en la actualidad y los impactos negativos que tiene en la economía y en la ecología del país, requiere ser eliminada o mitigada, de manera que se consolide la gestión forestal lícita, que es un frente de búsqueda del desarrollo sostenible del país. Este fenómeno, por la particular gravedad que reviste cuando tiene lugar en las áreas naturales protegidas del país, afecta sensiblemente a la conservación de la biodiversidad, con las graves implicancias futuras que de él se desprenden. En consecuencia, reforestar es una acción que permite establecer o recuperar la cobertura vegetal en un área determinada, y como toda acción puede ser, en sí misma, un fin y un medio.  

Es un fin cuando el área reforestada se constituye en un bosque, contribuyendo así a mejorar la calidad de vida de los seres que la habitan, y Es un medio, cuando a través de ella se promueve la creatividad, la participación ciudadana, el trabajo en equipo, la educación, los valores y el respeto a la naturaleza, además de la recuperación, intercambio y difusión del saber y experiencias. También es un medio cuando se promueve el empleo y cuando se convierte en el recurso para ingresar al mercado, aportando al desarrollo económico de la nación.

C. BOSQUES DE PROTECCIÓN. Son superficies que por sus características bióticas y abióticas sirven fundamentalmente para preservar los suelos, mantener el equilibrio hídrico, conservar y proteger los bosques rivereños orientados al manejo de cuencas para proteger la diversidad biológica y la conservación del ambiente. Dentro de estas áreas se promueven los usos indirectos como: el ecoturismo, la recuperación de la flora y fauna silvestre en vías de extinción y el aprovechamiento de productos no maderables. (Ley Forestal y de Fauna Silvestre, 27308). 14.3. CONSERVACION EN AREAS NATURALES PROTEGIDAS DEL PERÚ Las Áreas naturales Protegidas de acuerdo a la ley de Áreas Naturales protegidas (N° 26834) son los espacios continentales y/o marinos del territorio nacional, expresamente reconocidos y declarados como tales, incluyendo sus categorías y zonificaciones, para conservar la diversidad biológica y demás valores asociados de interés cultural, paisajístico y científico, así como por su contribución al desarrollo sostenible del país. Las Áreas naturales conforman en su conjunto el Sistema Nacional de Áreas Naturales Protegidas por el Estado (SINANPE), a cuya gestión se integran las instituciones públicas del Gobierno Central, Gobiernos Descentralizados de nivel Regional y Municipalidades, Instituciones privadas y las poblaciones locales que actúan, intervienen o participan, directa o indirectamente en la gestión y desarrollo de estas áreas. Servicio Nacional de Áreas Naturales Protegidas por el Estado (SERNANP), es un Organismo Público Técnico Especializado adscrito al Ministerio del Ambiente, a través del Decreto Legislativo 1013, encargado de dirigir y establecer los criterios técnicos y administrativos para la conservación de las Áreas Naturales Protegidas – ANP, y de cautelar el mantenimiento de la diversidad biológica. Desde el 2009 el SERNANP, es el ente rector del SINANPE, y en su calidad de autoridad técnico-normativa realiza su trabajo en coordinación con gobiernos regionales, locales y propietarios de predios reconocidos como áreas de conservación privada. FUNCIÓN DEL ÁREA NATURAL PROTEGIDA Las áreas naturales protegidas son esenciales para la conservación de los recursos vivos de una nación, pues permiten que:  Mantenimiento a perpetuidad de muestras representativas de regiones naturales importantes.  Mantenimiento de la diversidad física y biológica.  Conservación del germoplasma silvestre. CONTRIBUCIÓN DEL ÁREA NATURAL PROTEGIDA Las áreas protegidas contribuyen a la conservación de recursos vivos y al desarrollo sostenido, ya que:  Proveen oportunidades para la investigación y el monitoreo de especies silvestres y ecosistemas, y su relación con el desarrollo humano;  Proveen oportunidades para los programas de educación ambiental del público en general, y para quienes dirigen la política;  Proveen oportunidades para el desarrollo rural y el uso racional de tierras marginadas;  Proporcionan áreas para recreación y el turismo.  Permiten la conservación en el Perú.

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CLASIFICACIÓN: Áreas de uso indirecto. Son aquellas que permiten la investigación científica no manipulativa, la recreación y el turismo, en zonas apropiadamente designadas y manejadas para ello. En estas áreas no se permite la extracción de recursos naturales, así como modificaciones y transformaciones del ambiente natural. Son áreas de uso indirecto los Parques Nacionales, Santuarios Nacionales y los Santuarios Históricos. Áreas de uso directo. Son aquellas que permiten el aprovechamiento o extracción de recursos, prioritariamente por las poblaciones locales, en aquellas zonas o lugares y para aquellos recursos, definidos por el plan de manejo del área. Otros usos y actividades que se desarrollen deberán ser compatibles con los objetivos del área. Son áreas de uso directo las Reservas Nacionales, Reservas Paisajísticas, Refugios de Vida Silvestre, Reservas Comunales, Bosques de Protección, Cotos de Caza y Áreas de Conservación Regionales. LAS ÁREAS NATURALES PROTEGIDAS POR CATEGORÍAS EN EL PERÚ: PARQUES NACIONALES, SANTUARIOS NACIONALES, SANTUARIOS HISTÓRICOS Y RESERVAS NACIONALES. Son categorías del Sistema Nacional de Áreas Naturales Protegidas (SINANPE) I.- USO INDIRECTO PARQUES NACIONALES áreas que constituyen muestras representativas de la diversidad natural del país y de sus grandes unidades ecológicas. En ellos se protege con carácter intangible la integridad ecológica de uno o más ecosistemas, las asociaciones de la flora y fauna silvestre y los procesos sucesionales y evolutivos, así como otras características, paisajísticas y culturales que resulten asociadas. 1. CUTERVO (20/09/61), ubicado en el departamento de CAJAMARCA, (flora, fauna y la Cordillera de Tarros). 2. DE TINGO MARIA (14/05/65), ubicado en el departamento de HUANUCO, (flora y fauna silvestre, La bella durmiente, la Cueva de lechuzas que protege al Huácharo, Cueva de pavas y las aguas sulfurosas de Jacintillo). 3. MANU (29/05/73), ubicado en el departamento de MADRE DE DIOS, CUSCO, para la investigación y monitoreo de los parámetros ambientales, muestra representativa de la diversidad de la selva del sureste. Preserva patrimonio cultural con poblaciones nativas. 1977 Reserva de Biosfera del Manu, 1987 Patrimonio Natural de la Humanidad 4. HUASCARAN (01/07/75), ubicado en el departamento de ANCASH, (la Cordillera blanca, fauna: jaguar, llama, guanaco, colibrí, ciervos, tapir y patos). 5. DE CERROS DE AMOTAPE (22/07/75), ubicado en el departamento de TUMBES y PIURA, (protege bosques secos del Noreste). 6. RIO ABISEO (11/08/83), ubicado en el departamento de SAN MARTÍN, (bosque de neblina, conserva al mono choro de cola amarilla). 7. YANACHACA-CHEMILLEN (29/08/86), ubicado en el departamento de PASCO, (vertiente oriental de los andes, forma parte del Pleistoceno Ucayali-Pachitea). 8. BAHUAJA SONENE (17/07/96), ubicado en el departamento de MADRE de DIOS y Puno, (bosque húmedo tropical, protege la única muestra de sabana húmeda tropical). 9. CORDILLERA AZUL (22/05/01), ubicado en San Martín, Loreto, Ucayali y Huánuco. (conserva pantanos de altura, bosquecillos enanos, lagos, y riachuelos de altura). 10. OTISHI (15/01/03), ubicado en Junín, Cusco y Apurímac. (Maquisapa, mono lanudo, oso hormiguero gigante, oso de anteojos, gallito de las rocas, águila arpía, ocelote, 11. ALTO PURUS (20/11/04), ubicado entre Ucayali y Madre de Dios, protege riqueza invalorable de flora y fauna, identificado como “Zona prioritaria para la Conservación de la Biodiversidad Biológica”. Debido a su rica biodiversidad, es uno de los últimos nichos ecológicos del Perú; sin embargo, esta ventaja natural también lo convierte en un área permanentemente amenazada, por lo que su estado actual es considerado como “vulnerable”. (de mayor extensión) 12. ICHIGKAT MUJA - CORDILLERA DEL CÓNDOR (09/08/07). Está ubicado en los distritos de Río Santiago y El Cenepa, provincia de Condorcanqui departamento de Amazonas. Dentro de los objetivos se encuentra la conservación de la única muestra de la Ecorregión de los Bosques Montanos de la Cordillera Real Oriental, así como la conservación de la diversidad biológica y los procesos de la Cordillera del Cóndor y la protección de las cabeceras de cuenca de dicha cordillera. SANTUARIOS NACIONALES.- áreas donde se protege con carácter intangible el hábitat de una especie o una comunidad de la flora y fauna, así como las formaciones naturales de interés científico y paisajístico. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

8.

9.

HUAYLLAY (07/08/74), ubicado en el departamento de PASCO, (bosque de piedras de Huayllay). CALIPUY (08/01/81), ubicado en el departamento de LA LIBERTAD, (rodal de Puya Raimondi). LAGUNAS DE MEJIA(24/02/84), ubicado en el departamento de AREQUIPA, (avifauna en peligro de extinción y especies migratorias DEL AMPAY (23/07/87), ubicado en el departamento de APURIMAC, (bosque de Intimpa Podocarpus glomeratus, lagunas altoandinas). MANGLARES DE TUMBES (02/03/98), ubicado en el departamento de TUMBES, (bosque de los manglares de Tumbes, muestra del Noroeste e invertebrados acuáticos). DE TABACONAS NAMBALLE (20/05/88), ubicado en el departamento de CAJAMARCA, (oso de anteojos, tapir de altura y el bosque de Intimpa). MEGANTONI (18/04/04), ubicado en la parte central de la cuenca del río Urubamba, en la Cordillera del Ausangate, distrito de Echarate, provincia de La Convención (Cusco). Es una de las pocas cuya vegetación permanece intacta y permite conectar la región de la puna con la selva baja. Esta zona no solo contiene una riqueza impresionante de especies únicas y restringidas a sus rangos latitudinales, sino que también sirve como corredor continúo para la fauna. Se encuentra El Pongo de Mainique tiene un significado sumamente importante para la cultura Machiguenga y Yine Yami de la cuenca del río Urubamba. PAMPA HERMOSA (26/03/09), Está ubicada en los distritos de Huasahuasi y Chanchamayo en las provincias de Tarma y Chanchamayo respectivamente, en el departamento de Junín. Su objetivo principal es conservar una muestra representativa única de los bosques montanos tropicales remanentes en la selva central, la misma que incluye altos valores de diversidad biológica, resaltando especies endémicas o de distribución restringida y grupos taxonómicos relevantes para la ciencia CORDILLERA DEL COLÁN (09/12/09), Está ubicado en los distritos de Aramango y Copalín en la provincia de Bagua y en el distrito de Cajaruro en la provincia de Utcubamba, ambas provincias pertenecientes al departamento de Amazonas. comprende una muestra de los bosques montanos o yungas del norte del Perú, en sus tres pisos altitudinales: pre montano, montano bajo y montano.

E C O L O G Í A Y M E D I O A M B I E N T E | 51 SANTUARIOS HISTÓRICOS.- áreas que protegen con carácter de intangible espacios que contienen valores naturales relevantes y constituyen el entorno de sitios de especial significación nacional, por contener muestras del patrimonio monumental y arqueológico o por ser lugares donde se desarrollaron hechos sobresalientes de la historia del país. 1. 2. 3. 4.

CHACRAMARCA (07/08/74), ubicado en el departamento de JUNÍN, (escenario de la batalla de Junín, restos arqueológicos de la cultura Pumpush). PAMPA DE AYACUCHO, (14/08/80) ubicado en el departamento de AYACUCHO, (escenario de la batalla de Ayacucho, manifestaciones culturales y artesanales de la población, circuito turístico Ayacucho-Wari-Pampa de la Quinua). MACHUPICCHU(08/01/81), ubicado en el departamento de CUSCO, (formaciones geológicas, restos arqueológicos de la Ciudadela Inca de Machupicchu, belleza paisajística, protección de flora y fauna) BOSQUE DE POMAC (04/06/01), ubicado en el departamento de LAMBAYEQUE, protege el entorno natural y los restos arqueológicos del Señor de Sipán.

II.- USO DIRECTO RESERVAS NACIONALES.- Áreas destinadas a la conservación de la diversidad biológica y la utilización sostenible de los recursos de flora y fauna silvestre, acuática o terrestre. En ellas se permite el aprovechamiento comercial de los recursos naturales bajo planes de manejo, aprobados, supervisados y controlados por la autoridad nacional competente. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

13.

14.

PAMPA GALERAS - BARBARA D’ACHILLE (18/05/67), ubicado en el departamento de AYACUCHO, (conserva la vicuña). JUNIN (07/08/74), ubicado en los departamentos de JUNÍN/PASCO, (lago de Junín, utilización racional de aves, ranas y totoras). PARACAS (25/09/75), ubicado en el departamento de ICA, (protección de ecosistemas marinos. Patrimonio cultural e histórico. Utilización racional de lobos marinos). LACHAY (21/06/77), ubicado en el departamento de LIMA, (investigación para el uso racional de Lomas). TITICACA (31/10/78), ubicado en el departamento de PUNO, (belleza escénica del lago, desarrollo socioeconómico de las poblaciones aledañas mediante uso de flora y fauna). SALINAS Y AGUADA BLANCA (09/08/79), en el departamento de AREQUIPA / MOQUEGUA, (conserva flora y fauna, formaciones geológicas de área y uso racional de las especies). CALIPUY (08/01/81), ubicado en el departamento de LA LIBERTAD, (conserva poblaciones silvestres de Guanaco). PACAYA SAMIRIA (04/02/82), ubicado en el departamento de LORETO, (Investigación de flora y fauna acuática, manejo adecuado del paiche, vaca marina y sapo pipa). La más extensa. TAMBOPATA (04/09/88) ubicado en Madre de Dios. (desarrollo socioeconómico de poblaciones con uso de flora y fauna silvestre). ALPAHUAYO – MISHANA.- (16/01/04), LORETO, Conservación de la diversidad biológica de la zona. TUMBES.- (11/07/06) TUMBES, Destinado a la conservación de la diversidad biológica de la zona. SISTEMA DE ISLAS, ISLOTES Y PUNTAS GUANERAS. (31/12/09), ubicado entre las regiones Ancash, Lima, Ica y Arequipa. está integrada por un conjunto de 22 islas, islotes y grupos de islas y 11 puntas a lo largo de la costa peruana, que van en forma discontinua desde las costas frente a Piura hasta llegar casi a la frontera con Tacna. Estas puntas e islas cubren en total 140 833,47 ha. Su principal objetivo es conservar una muestra representativa de la diversidad biológica de los ecosistemas marino costeros del mar frío de la corriente de Humboldt, así como asegurar su aprovechamiento sostenible con la participación justa y equitativa de los beneficios que se deriven de la utilización de los recursos. PUCACURO. (23/10/10). Ubicada en el distrito de El Tigre, provincia y departamento de Loreto. Su principal objetivo es proteger una muestra representativa de los bosques húmedos de la ecorregión Napo y del Centro Endémico del Napo. Asimismo, busca proteger las nacientes de la cuenca hidrográfica del Pucacuro y garantizar la continuidad de los procesos que generen bienes y servicios ambientales. SAN FERNANDO. (09/07/11). Ubicada en el distrito de Santiago, de la provincia de Ica, así como en los distritos de Changuillo, Nazca y Marcona de la provincia de Nazca, en el departamento de Ica, el objetivo es conservar la diversidad biológica, cultural y paisajística de los ecosistemas marino-costeros, que forman parte de las ecoregiones del mar frío de la corriente peruana y del desierto pacífico templado cálido, así como promover el uso sostenible de los recursos naturales del área, contribuyendo de esta manera al bienestar de la población local y el de sus futuras generaciones.

RESERVAS PAISAJÍSTICAS: áreas donde se protege ambientes cuya integridad geográfica muestra una armoniosa relación entre el hombre y la naturaleza, albergando importantes valores naturales, estéticos y culturales. REFUGIOS DE VIDA SILVESTRE: áreas que requieren intervención activa con fines de manejo, para garantizar el mantenimiento de los hábitats, así como para satisfacer las necesidades particulares de determinadas especies, como sitios de reproducción y otros sitios críticos para recuperar o mantener las poblaciones de tales especies. BOSQUES DE PROTECCIÓN.- áreas que se establecen con el objeto de pasantías, la protección de las cuencas altas o colectoras, las riberas de los ríos y de otros cursos de agua y en general, para proteger contra la erosión a las tierras frágiles que así lo requieran. En ellos se permite el uso de recursos y el desarrollo de aquellas actividades que no pongan en riesgo la cobertura vegetal del área RESERVAS COMUNALES.- Áreas destinadas a la conservación de la flora, fauna silvestre, en beneficio de las poblaciones rurales vecinas. El uso y comercialización de recursos se hará bajo planes de manejo, aprobados y supervisados por la autoridad y conducidos por los mismos beneficiarios. Pueden ser establecidas sobre suelos de capacidad de uso mayor agrícola, pecuario, forestal o de protección y sobre humedales. Para la Región Cusco se tiene la Reservas Comunales Machiguenga y Asháninka. COTOS DE CAZA.- Áreas destinadas al aprovechamiento de la fauna silvestre a través de la práctica regulada de la caza deportiva. III.- ZONAS RESERVADAS.- Además de las categorías mencionadas, tenemos las Zonas Reservadas, que se establecen de forma transitoria en aquellas áreas que, reuniendo las condiciones para ser consideradas como áreas naturales protegidas, requieren la realización de estudios complementarios para determinar, entre otras cosas, su extensión y categoría. Las Zonas Reservadas también forman parte del SINANPE.

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EN EL PERÚ SE HAN ESTABLECIDO:   

74 ANP de administración nacional, que conforman el Sistema Nacional de Áreas Naturales Protegidas por el Estado – SINANPE. 15 ANP de conservación regional. 46 ANP de conservación privada.

14.4. DESARROLLO SOSTENIBLE El modelo actual de desarrollo no ha dado los resultados esperados de paz, justicia, bienestar, uso cuidadoso de los recursos naturales y democracia. El país debe decidir el futuro en base a tres alternativas:   

Continuar con el estilo de desarrollo que se viene aplicando o no cambiar nada sustantivo. Frenar o detener el desarrollo en espera de mayores elementos de juicio para tomar decisiones, sin crear nuevos riesgos ecológicos. Iniciar un desarrollo sostenible prudente, pero firme, que aporte las experiencias necesarias.

La primera alternativa es fácil; pero altamente irresponsable. Implica seguir destruyendo los bosques, vejar y agredir a los pueblos nativos, crear zonas degradadas y tierras abandonadas, disminuir las pesquerías, reducir las especies madereras valiosas incrementar la pobreza y los problemas sociales, entre otras cosas. En fin, seguir haciendo lo que se ha hecho hasta ahora o profundizar los problemas ambientales, sociales y económicos. La segunda es irrealizable social y económicamente, porque no es posible detener procesos y parar la historia. Esta alternativa originaría problemas sociales y economices mayores a los actuales. La tercera es la deseable y de alta responsabilidad hacia el futuro. El nuevo camino debe ir por el desarrollo sostenible que se oriente a conseguir la paz, Injusticia, la democracia, el bienestar y el desarrollo, cuidando los recursos naturales. Por lo que el desarrollo sostenible es un modelo de desarrollo que busca calidad de vida y calidad ambiental con la ordenación y conservación de recursos naturales, está orientado al cambio tecnológico e institucional, de tal manera que se asegure la continua satisfacción de las necesidades humanas para las generaciones presentes y futuras. COMISIÓN BRUNTLAND: Nuestro futuro común “Nuestro Futuro Común” (nombre original del Informe Brundtland) fue el primer intento de eliminar la confrontación entre desarrollo y sostenibilidad. Dicho documento postuló principalmente que la protección ambiental había dejado de ser una tarea nacional o regional para convertirse en un problema global. Todo el planeta debía trabajar para revertir la degradación actual. También se señaló que debíamos dejar de ver al desarrollo y al ambiente como si fueran cuestiones separadas. El Informe dice que “ambos son inseparables”. Asimismo señala que la degradación ambiental es consecuencia tanto de la pobreza como de la industrialización, ambos debían buscar un nuevo camino. La importancia de este documento no sólo reside en el hecho de lanzar el concepto de desarrollo sostenible (o desarrollo sustentable), definido “COMO AQUEL DESARROLLO QUE SATISFACE LAS NECESIDADES DEL PRESENTE SIN COMPROMETER LAS NECESIDADES DE LAS FUTURAS GENERACIONES”, sino que este fue incorporado a todos los programas de la ONU y sirvió de eje, por ejemplo, a la Cumbre de la Tierra celebrada en Río de Janeiro en 1992. Componentes del Desarrollo sostenible.Los cuatro componentes deben ser considerados en forma integral. 1. El componente ambiental. Se refiere prioritariamente a conservar el medio ambiente y los recursos naturales; mejorar o mantener el flujo de energía y materia en los ecosistemas; preferir el uso de insumos endógenos en vez de los exógenos; y manejar el ambiente natural, los recursos naturales, y usarlos con previsión. 2. El componente social. Se refiere a las premisas siguientes: basar el desarrollo al máximo en las poblaciones locales y sus logros, poner restricciones al crecimiento de la población (porque en una "Tierra finita la población no puede crecer de manera indefinida"), y ser más participativo e involucrar a los pobladores locales en las decisiones que les afecten. 3. El componente tecnológico. Considera una rápida transformación de la base tecnológica de la civilización industrial, con nuevas tecnologías más limpias, más eficientes y de ahorro de recursos naturales, mitigando los impactos sobre el ambiente. 4. El componente económico. Busca que el crecimiento económico esté subordinado al mantenimiento de los servicios ambientales, contemple la equidad con las generaciones presentes (equidad intrageneracional) y con las futuras (equidad intergeneracional) y oriente el crecimiento económico hacia la calidad del mismo y la distribución de la riqueza generada. 14.4. USO SOSTENIDO Y HÁBITOS DE CONSUMO RESPONSABLE DE LOS RECURSOS NATURALES. El incremento de la población sumado al desarrollo tecnológico derivó en un consumo desmedido por parte de la sociedad moderna, lo cual implica la utilización de inmensas cantidades de recursos naturales, constituyendo una amenaza para el ambiente, generando contaminación, destruyendo ecosistemas y reduciendo la calidad de vida de la población. Los patrones actuales de consumo son insostenibles. Si estas tendencias se mantienen se pondrá en riesgo el futuro de la humanidad. El cambio no es fácil, lograr un consumo responsable, implica romper con hábitos de consumo muy arraigados en nuestras costumbres y buscar alternativas que sustituyan los actuales modelos de consumo.

E C O L O G Í A Y M E D I O A M B I E N T E | 53 El uso sostenido y responsable de los Recursos naturales es una nueva forma de consumo, que logra satisfacer las demandas de la población, proporciona una mejor calidad de vida y optimiza el uso de los recursos naturales, sin poner en riesgo la capacidad del ambiente para satisfacer las necesidades de generaciones futuras. ¿Alcances de un consumo responsable? Consumir responsablemente no significa consumir menos, sino hacerlo de forma diferente. Es un derecho y a la vez una obligación para disfrutar de un ambiente sano. Lograr un consumo responsable implica:  



Modificar los hábitos diarios, convirtiéndose en un consumidor activo e informado. Establecer ciertos criterios para la elección de un producto: evaluar su historia, la conducta del productor durante todo el ciclo de vida del producto (desde el nacimiento hasta el fin), priorizar la compra de productos certificados, entre otros. En conclusión, son cambios en las actitudes humanas.

En los últimos años, el ambiente ha sido una constante preocupación, la demanda social de protección de la naturaleza se ha visto reflejada en innumerables leyes que establecían nuevas formas de actuar. A continuación veremos las más destacadas y sus respectivas finalidades: 15.1.1 El Club de Roma (en inglés Club of Rome) es una ONG. Fue fundada en el año 1968 en Roma por un pequeño grupo de personas: científicos y políticos. Sus miembros estabán preocupados por mejorar el futuro del mundo a largo plazo de manera interdisciplinar y holística. El Club de Roma encargó el conocido informe “Los límites al crecimiento” (en inglés The Limits to Growth) encargado al MIT (Massachusetts Institute of Technology) y publicado en 1972, poco antes de la primera crisis del petróleo y que ha tenido varias actualizaciones. La autora principal de dicho informe, en el que colaboraron 17 profesionales, fue Donella Meadows (biofísica y científica ambiental), la conclusión del informe fue: si el actual incremento de la población mundial, la industrialización, la contaminación, la producción de alimentos y la explotación de los recursos naturales se mantiene sin variación, alcanzará los límites absolutos de crecimiento en la Tierra. 15.1.2 Reunión de Estocolmo 72, “Conferencia de las Naciones Unidas sobre el Medio Humano”, realizado en Estocolmo Suecia en 1972. Por primera vez que a nivel mundial se manifiesta la preocupación por la problemática ambiental global en la Conferencia Mundial y con el informe del Club de Roma “Los límites del Crecimiento”. Surge la Declaración de Estocolmo, aprobada durante la Conferencia, que, por vez primera, introdujo en la agenda política internacional la dimensión ambiental como condicionadora y limitadora del modelo tradicional de crecimiento económico y del uso de los recursos naturales. Los debates fueron precedidos por la publicación de un informe elaborado por científicos de todo el mundo, denominado Una sola Tierra: El cuidado y conservación de un pequeño planeta. Se publicó en diez lenguas y fue puesto a disposición de todos los delegados. Las deliberaciones de la Conferencia se desarrollaron en tres comités: 1) sobre las necesidades sociales y culturales de planificar la protección ambiental; 2) sobre los recursos naturales; 3) sobre los medios a emplear internacionalmente para luchar contra la contaminación. La Conferencia aprobó una declaración final de 26 principios y 103 recomendaciones, con una proclamación inicial de lo que podría llamarse una visión ecológica del mundo, sintetizada en siete grandes principios. 15.1.3 ECO 92, Conferencia de las Naciones Unidas sobre el Medio Ambiente y el Desarrollo, fue una de las “Cumbres para la Tierra”, organizada por la ONU, celebrada en Río de Janeiro – Brasil en 1992. Los países participantes acordaron adoptar un enfoque de desarrollo que protegiera el medio ambiente, mientras se aseguraba el desarrollo económico y social. Los 178 gobiernos aprobaron diversos documentos, los cuales son: 

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 

Programa 21(Agenda 21): este es un plan de acción que los gobiernos trazaron, tiene como finalidad que el mundo abandone el modelo de crecimiento económico insostenible en favor de la protección y renovación de los recursos ambientales de los que depende el crecimiento y desarrollo en el siglo XXI Declaración de Río sobre medio ambiente y desarrollo: se reafirma lo aprobado en Estocolmo; se definen en 27 principios los derechos y deberes de los Estados, protegiendo la integridad del sistema ambiental y de desarrollo mundial. Declaración de principios para orientar la gestión, la conservación y el desarrollo sostenible de todos los tipos de bosques, esenciales para el desarrollo económico y para la preservación de todas las formas de vida. Tres Convenciones sobre: a) el Cambio Climático, los países desarrollados acordaron reducir sus emisiones de dióxido de carbono y otros "gases de efecto invernadero" a los niveles de 1990 antes del fin del año 2000. Convinieron también en transferir a los países en desarrollo, tecnología e información para hacer frente a los problemas derivados del cambio climático; b) la diversidad biológica, El Convenio obliga a los Estados a conservar la biodiversidad y garantizar su desarrollo sostenible y velar por que se compartan de manera justa y equitativa los beneficios derivados del aprovechamiento de los recursos genéticos; y c) la Desertificación, establece el marco para todas las actividades encaminadas a combatir la desertificación, centrada en el aumento de la productividad, su rehabilitación, la conservación y reordenación de las tierras y recursos hídricos.

CONVENIO SOBRE LA DIVERSIDAD BIOLÓGICA (ECO-92) Este Convenio es el primer acuerdo mundial sobre la conservación y utilización sostenible de la diversidad biológica. Cuenta con 180 Estados miembros y es jurídicamente vinculante.

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El Convenio tiene tres metas principales: La conservación de la diversidad biológica La utilización sostenible de los componentes de la diversidad biológica La participación justa y equitativa en los beneficios derivados de la utilización comercial y de otro tipo de los recursos genéticos. El Convenio obliga a los Estados a que conserven la diversidad biológica y que se utilicen de forma sostenible los recursos que la componen. Asimismo obliga a que se compartan de forma más justa y equitativa los beneficios derivados del aprovechamiento de los recursos genéticos. Entre los principales temas que se abordan en el Convenio pueden mencionarse:   

   

Medidas e incentivos para la conservación y utilización sostenible de la diversidad biológica Acceso reglamentado a los recursos genéticos Acceso a la tecnología y transferencia de tecnología, incluida la biotecnología Cooperación técnica y científica

   

Evaluación de impacto ambiental Educación y conciencia pública Suministro de recursos financieros Presentación de informes nacionales sobre las medidas para poner en práctica los compromisos asumidos en virtud del tratado.

15.1.4 PROTOCOLO DE KIOTO, Japón 1997 (Río + 5). Es un protocolo de la (CMNUCC) Convención Marco de las Naciones Unidas sobre el Cambio Climático, y un acuerdo internacional que tiene por objetivo comprometer a los países industrializados a reducir las emisiones de seis gases de efecto invernadero que causan el calentamiento global: dióxido de carbono (CO2), gas metano (CH4) y óxido nitroso (N2O), además de tres gases industriales fluorados: hidrofluorocarbonos (HFC), perfluorocarbonos (PFC) y Hexafluoruro de azufre (SF6), en un porcentaje aproximado de al menos un 5 %, dentro del periodo que va desde el año 2008 al 2012. 15.1.5 REUNIÓN DE JOHANNERBURGO, África del Sur 2002, “Cumbre Mundial sobre el Desarrollo Sostenible”. En términos más generales, su finalidad consistía en reforzar los compromisos asumidos en la Cumbre de la Tierra que se habían dilatado, con el objetivo de frenar el deterioro del ambiente y mejorar el nivel de vida de los más pobres a la mitad antes del 2015. La desigualdad económica entre países es enorme, un 20% de la población causa el 85% de la contaminación y consume el 80% de la energía y el 50% del agua del planeta. Otro objetivo fundamental fue reducir el efecto invernadero, llevando a efecto el Protocolo de Kioto y aumentando el uso de energías renovables hasta un 15% para el 2012, la tasa de energía eólica y solar en el consumo mundial A la Cumbre asistieron 104 jefes de estado y de gobierno y 9.000 representantes de 190 países. A pesar del éxito de la convocatoria, una ausencia significativa fue la G. Bush, presidente de los EEUU. De esta forma, en su carácter de primera potencia mundial y en una postura singularmente similar a la adoptada en Río, volvió a restar fuerza a los acuerdos multilaterales y quitó peso al “pacto mundial” sobre el desarrollo sustentable. 15.1.6 CUMBRE DE NAIROBI 2006 - “Cumbre del Clima” lleva al continente africano las lentas y espesas negociaciones para frenar el calentamiento global. En Nairobi se debía acelerar el compromiso mundial para cumplir Kioto y preparar el camino más allá del 2012. 15.1.7 CUMBRE DE BALI 2007, Indonesia. Se propuso el establecimiento de un nuevo protocolo pos-Kioto, que habría que firmar en 2012 y potenciar la transferencia de tecnologías limpias a los países en vías de desarrollo, con el fin de facilitar su compromiso voluntario con el nuevo protocolo pos-Kioto, sobre todo a los más desarrollados de ellos como la India y China. 15.1.8 CONFERENCIA DE COPENHAGUE 2009. (XV Conferencia Internacional sobre el Cambio Climático COP 15), Dinamarca. Tenía como meta preparar futuros objetivos para reemplazar los del “Protocolo de Kioto”-que termina en 2012. Los políticos que asistieron no lograron firmar el acuerdo justo, ambicioso y vinculante que el clima necesita para evitar que la temperatura media global aumente en más de 2ºC. Esta cumbre fue la culminación de un proceso de preparación que se inició en Bali en 2007, con una "Hoja de Ruta" adoptada por los países miembros. El acuerdo fue tomado por cuatro países emergentes (China, India, Brasil y Sudáfrica) y los Estados Unidos en la noche del 18 de diciembre, que fue comunicado y aceptado posteriormente por la UE. El texto, no vinculante, sin objetivos cuantitativos y sin plazos (y que no prolonga pues el Protocolo de Kioto), fue criticado por numerosos gobiernos y organizaciones como un "fracaso". 15.1.9 CONFERENCIA DE CANCUN 2010, México. La Conferencia de las Naciones Unidas sobre Cambio Climático en Cancún, llegó a su fin con la adopción de un paquete equilibrado de decisiones que coloca a todos los gobiernos en una posición más firme en el camino hacia un futuro bajo en emisiones y apoya una mejor acción sobre cambio climático en el mundo en desarrollo. Dicho paquete, llamado "Los Acuerdos de Cancún", es muestra de que las naciones pueden trabajar juntas, hacia un futuro de bajas emisiones, proteger del cambio climático a las personas vulnerables y para distribuir el dinero y la tecnología que los países en desarrollo necesitan para planear y construir sus propios futuros sostenibles. También acordaron acciones concretas para la preservación forestal en las naciones en desarrollo, lo cual aumentaría los avances. Han acordado rendirse cuentas entre ellos sobre las acciones que lleven a cabo para lograr sus metas, y lo han expuesto de una manera en la que alientan a los países a ser más ambiciosos con el paso del tiempo. 15.1.10 CUMBRE MUNDIAL SOBRE EL CLIMA DE DURBAN 2011 (COP 17), Sudáfrica. Culminó con la aprobación de una hoja de ruta para un tratado mundial, como exigía la Unión Europea, que obliga a comprometerse a los grandes contaminadores: China, Estados Unidos y la India. El acuerdo, también incluye la puesta en marcha del Fondo Verde para el Clima acordado en el COP16 de Cancún (México) para ayudar a los países en desarrollo a hacer frente a los estragos del cambio climático. Se prolongó la vigencia del Protocolo de Kioto; se logra la firma de un segundo plazo de Kioto (menos EEUU), que caduca el 2012. Durban fija la fecha de inicio del segundo periodo de compromiso de Kioto para 2013, con lo que se evita un vacío en la lucha contra el cambio climático, pero deja para posteriores reuniones su fecha de finalización, 2017 o 2020. No se formulará un nuevo acuerdo que suceda al Protocolo de Kyoto hasta la próxima conferencia sobre el clima, que tendrá lugar en Qatar en 2012. En los próximos años deberán fijarse los objetivos de reducción de emisiones para los distintos

E C O L O G Í A Y M E D I O A M B I E N T E | 55 países. Sin embargo, la UE y los Estados que se han adherido al Protocolo de Kyoto sólo generan un 15% de las emisiones globales de gases contaminantes. Países como China y la India, dos de los grandes contaminadores, no están sometidos a esta normativa. 15.1.11 CUMBRE RIO+20. Nombre abreviado de la cuarta Conferencia de Naciones Unidas sobre Desarrollo Sostenible en Río de Janeiro Brasil. El objetivo principal de la conferencia era lograr un avance en cuanto al compromiso de los Estados y la comunidad mundial respecto a los grandes cambios de este siglo XXI, siendo los dos ejes principales: la economía verde en el contexto de la erradicación de la pobreza y el marco institucional para la sostenibilidad. Durante la Conferencia, casi un centenar de jefes de Estado y Gobierno, junto con miles de participantes del sector privado, las ONG y otros grupos, estuvieron reunidos tratanto der establecer las llamadas "metas de desarrollo sostenible", un conjunto de objetivos de la ONU establecidos en torno al medio ambiente, el crecimiento económico y la inclusión social. Esta Conferencia sobre Desarrollo sostenible ha tenido lugar veinte años después de la primera cumbre histórica de Río de Janeiro en 1992, y diez años después de la de Johannesburgo en 2002. 15.1.12 CUMBRE MUNDIAL SOBRE EL CAMBIO CLIMÁTICO, QATAR 2012 (COP 18) Continuando con la anterior Cumbre de Durban (COP 17), su objetivo ha pretendido ser el de sentar las bases para un acuerdo climático que asegure que el aumento de temperatura global no supere los 2º C, umbral estimado a partir de cual existe un grave riesgo de desestabilización del sistema climático que pueden producir impactos de consecuencias impredecibles. Los 194 países reunidos en Doha han alcanzado un acuerdo de mínimos, conocido como Puerta Climática de Doha, y que prorroga hasta 2020 el periodo de compromiso del Protocolo de Kioto, que expiraba este año. Esta prórroga tiene obligaciones para muy pocos países (léase, UE, Australia, Noruega y Croacia) y del que se caen Rusia, Japón y Canadá. Además, se marca como objetivo un complicadísimo pacto mundial en 2015 que debe incluir a Estados Unidos, China, India y Rusia. 15.1.12 CUMBRE SOBRE CAMBIO CLIMÁTICO VARSOVIA 2013, Polonia. Fue una continuación con la anterior Cumbre de Doha (COP 18), su objetivo inicial era el de acercar posiciones para un acuerdo en 2015 que permita reducir las emisiones contaminantes. Sin embargo, a este acuerdo se oponen varios países, entre ellos el anfitrión, Polonia, con un modelo económico basado en el carbón. La Cumbre de Doha concluyó con una resolución para alargar el periodo de compromiso del Protocolo de Kioto hasta 2020, pero algunos de los países más contaminantes como EEUU, China, Rusia, Japón o Canadá no se sumaron. En esta ocasión han sido delegados de 192 países y de ONGs los que han participado analizando los efectos del cambio climático y las fórmulas para reducir las emisiones contaminantes.

15.2

CALIDAD AMBIENTAL:

Es el bienestar de medio físico y del medio socio-económico para lograr la conservación ambiental. COMPONENTES: Presenta dos componentes, los cuales tienen a su vez indicadores. 1. Componente del Medio Físico: que presenta 3 sub-sistemas: 1.1. Medio Inerte.- Se encuentran el agua, suelo, aire, luz, minerales, rocas, etc. Indicadores    

Clima. Engloba todas las condiciones atmosféricas que constituyen el clima de una región, por ello no es necesario conservar los factores ambientales y evitar su degradación para el bienestar de toda la biocenosis. Calidad del Aire. Este indicador se refiere a la calidad del aire expresada en términos del grado de pureza o de los niveles de contaminación existentes. Calidad del Agua. Este indicador se refiere a la calidad del agua expresada en términos del grado de pureza o de los niveles de contaminación existentes en este medio. Suelo. Constituye un factor importante como soporte y defensa de las plantas y del resto de los seres vivos, es necesario conocerle estado del suelo en cuanto se refiere a la presencia o ausencia de sustancias contaminantes.

1.2. Medio Biótico. Está formado por las plantas, animales y los microorganismos. Indicadores Flora. Son los indicadores más importantes de la condición ambiental de territorio, del estado del ecosistema porque es el resultado de la interacción de los demás componentes del medio. Fauna. Constituye todas las características propias de las comunidades de animales que se hallan ligados por una fuerte relación de dependencia a determinados biotopos. 1.3. Medio Perceptual. Referido al paisaje natural: Valles, quebradas, montañas, ríos, lagunas, mesetas, etc. 2. Componente del Medio Socio-Económico: Es un sistema constituido por las estructuras y condiciones sociales, históricoculturales, y económicas en general de las comunidades humanas o de la población en un área determinada. Indicadores del componente del medio socio-económico:    

Demografía. La población constituye el eje básico de todo el sistema socio-económico, es el receptor último de las variaciones y alteraciones derivadas de los otros componentes del medio. Factores Socio-culturales. Son valores singulares en lo social y en lo cultural, tiene significancia en el empleo, aspectos económicos, históricos, científicos, y educativo artísticos. Uso del Territorio. Constituye la forma de uso del territorio por ejemplo en la agricultura, forestal, residencia, comercial, industrial, etc. Arqueología. Indicador que determina presencia de restos arqueológicos de épocas pasadas así como asentamientos humanos y lugares de trabajo.

CALIDAD DE VIDA: Condición de que el hombre debe tener alimentos, vestido, vivienda, recreación, educación, seguridad social y otros bienes y beneficios en calidad y cantidad compatibles con ideales razonables de acuerdo a su condición humana. Calidad de vida, significa vivir sin incertidumbres en el presente y futuro, descartando los temores y presiones de

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las guerras, del hambre, la miseria, las catástrofes ambientales y principalmente la injusticia. Calidad de vida significa vivir a plenitud gozando de todos los bienes que nos brinda la naturaleza, sin sentirnos culpables de nada, ni tener remordimientos en el futuro. COMPONENTES: Presenta cuatro componentes, los cuales tienen a su vez indicadores. 1 Componente del Bienestar Psicológico: presenta los siguientes indicadores:  Compañerismo, amor  Autorespeto, autoestima  Tranquilidad de espíritu, estimulación, retos  Popularidad, participación, dominancia, novedad  Realización individual, Satisfacción sexual 2 Componentes de la Situación Económica: con los siguientes indicadores:  Ingreso per cápita, empleo, desempleo, sub empleo  Dependencia financiera (grado de dependencia)  Independencia económica  Vivienda (alquilada, propia, otros)  Distribución de la riqueza (participación de los beneficios)  Distribución de alimentos (crisis, precios, accesibilidad)  Transporte (tarifas, combustibles, itinerarios)

3 Componente del Tiempo Libre: con los siguientes indicadores:  Entretenimientos (cine, TV, radio, otros)  Recreación (caminatas, parques, viajes)  Deportes (pistas, campos oportunidades)  Cultura (teatro, ópera, música, danza, poesía, etc. oportunidades de participación)  Medio Ambiente (parques nacionales, lagunas, ríos, bosques)  Exposición a la contaminación ambiental (aire, agua, suelo, radiación, ruido, alimentos, bebidas) 4 Componente Político: indicadores:  Participación política (campañas, elecciones)  Información (generación de noticias, cobertura de la información)  Libertades y derechos  Capacidad de respuestas (del gobierno, al gobierno)  Igualdad (ingresos, oportunidades, participación, justicia)  Servicios públicos (agua, desagüe, energía eléctrica, recojo de basura, tratamiento de residuos sólidos, tratamiento de aguas residuales, apagones, etc.)

ESTILOS DE VIDA SALUDABLES. Definidos como los procesos sociales, las tradiciones, los hábitos, conductas y comportamientos de los individuos y grupos de población que conllevan a la satisfacción de las necesidades humanas para alcanzar el bienestar. Se puede elaborar un listado de estilos de vida saludables, que al asumirlos responsablemente ayudan a prevenir desajustes biopsicosociales - espirituales y mantener el bienestar para generar buena calidad de vida, satisfacción de necesidades y aspiraciones y el desarrollo humano integral. Algunos de estos factores protectores o estilos de vida saludables podrían ser:    

Tener proyecto de vida en base a objetivos y planes Promover y Mejorar la autoestima y la identidad. Brindar afecto y mantener la integración social y familiar. Promover la convivencia, solidaridad, tolerancia y negociación.

    

Seguridad social en salud y control de factores de riesgo y enfermedades Ocupación de tiempo libre y disfrute del ocio (recreación). Comunicación y participación a nivel familiar y social. Accesibilidad a programas de bienestar, salud, educación, culturales, recreativos, entre otros. Seguridad económica.

La estrategia para desarrollar estos estilos de vida saludables es en un solo término el compromiso individual y social convencido de que sólo así se satisfacen necesidades fundamentales, se mejora la calidad de vida y se alcanza el desarrollo humano.

16.1. TECNOLOGÍA AMBIENTAL O TECNOLOGIA LIMPIA: O tecnología verde es la que se utiliza sin dañar el ambiente, es la aplicación de la ciencia ambiental para conservar el ambiente natural y los recursos, y frenar los impactos negativos de la involucración de humanos. El desarrollo sostenible es el núcleo de las tecnologías ambientales cuando se aplicado como solución para asuntos ambientales, las soluciones tienen que ser socialmente equitativas, económicamente viables, y ambientalmente seguras.

E C O L O G Í A Y M E D I O A M B I E N T E | 57 16.1.1. FORMAS DE TECNOLOGÍAS LIMPIAS a. Transporte limpio: El uso de combustibles alternativos para el transporte como el gas natural comprimido, tecnologías automotrices incluidas la transferencia de energía eléctrica por acoplamiento inductivo (carga inalámbrica, biocombustibles de tercera generación a partir de recursos sustentables como la silvicultura, algas). b. Agricultura limpia: Es un sistema global de gestión de la producción que fomenta y mejora la salud del agroecosistema, y en particular la biodiversidad, los ciclos biológicos, y la actividad biológica del suelo. Hace hincapié en el empleo, siempre que sea posible de métodos culturales, biológicos y mecánicos, en contraposición al uso de materiales sintéticos, para cumplir cada función específica dentro del sistema". (Comisión del Codex Alimentarius, 1999). c. Tecnologías ambientales:  

Uso de bioenergía a partir de desechos biológicos, tales como efluentes, residuos de alimentos y basura de rellenos sanitarios. Tecnologías de gasificación y de producción de biocombustible a partir de árboles, plantas y residuos hasta el uso de la digestión anaeróbica de los desechos de los campos para soluciones de energías integrales para el predio agrícola.

d. Tecnologías eficientes en el uso de energía: Hay una amplia gama de empresas de tecnología limpia que están desarrollando tecnologías y procesos eficientes en el uso de energía y recursos para la industria. Estos adelantos comprenden motores, bombas y válvulas nuevos eficientes para usar en el procesamiento de alimentos, electrodomésticos y maquinaria industrial. e. Energía renovable: Son aquellas que se producen de forma continua y son inagotables a escala humana: solar, eólica, hidráulica, biomasa y geotérmica. Las energías renovables son fuentes de abastecimiento energético respetuosas con el medio ambiente.  



Energía Solar: Es la energía obtenida a partir del aprovechamiento de la radiación electromagnética procedente del Sol ejemplo uso en calefactores, hornos solares electricidad, termas solares. Energía hidráulica: Se basa en aprovechar la caída del agua desde cierta altura. La energía potencial, durante la caída, se convierte en cinética. El agua pasa por las turbinas a gran velocidad, provocando un movimiento de rotación que finalmente, se transforma en energía eléctrica por medio de los generadores. Es un recurso natural disponible en las zonas que presentan suficiente cantidad de agua, y una vez utilizada, es devuelta río abajo. Su desarrollo requiere construir pantanos, presas, canales de derivación, y la instalación de grandes turbinas y equipamiento para generar electricidad. Energía eólica: El viento es una masa de aire en movimiento, esta masa de aire posee energía mecánica que es proporcional a su velocidad y puede ser aprovechada en muchas aplicaciones y es lo que denominamos energía eólica. Es decir, la energía cinética generada por efecto de las corrientes de aire, y que es transmutada en otras formas útiles para las actividades humanas.

Además de estas tecnologías renovables, Nueva Zelandia está desarrollando la obtención de energía a partir de recursos de biomasa junto con la captación de los movimientos de las mareas y las olas. 16.2. IMPACTO AMBIENTAL: Se define como la “Alteración o Modificación del ambiente ocasionada por la acción directa o indirecta del hombre o de la naturaleza”. Un huracán o un sismo pueden provocar impactos ambientales, sin embargo el instrumento Evaluación de Impacto Ambiental (EIA) se orienta a los impactos ambientales que eventualmente podrían ser provocados por obras o actividades que se encuentran en etapa de proyecto (impactos potenciales), o sea que no han sido iniciadas. De aquí el carácter preventivo del instrumento. 



Evaluación de impactos ambientales: Es la alteración o efecto que produce una determinada acción sobre el medio ambiente en sus distintos aspectos. El concepto puede extenderse, con poca utilidad, a los efectos de un fenómeno natural catastrófico. Técnicamente, es la alteración de la línea de base, debido a la acción antrópica o a eventos naturales.Las obras públicas como la construcción de una carretera, un pantano o un puerto deportivo; las ciudades; las industrias; una zona de recreo para pasear por el campo o hacer escalada; una granja o un campo de cultivo; cualquier actividad de estas tiene un impacto sobre el medio. Por lo tanto Las acciones humanas, son los principales motivos que han producido que un bien o recurso natural sufra cambios negativos. Estudios de impacto ambiental es aquel que se usa para hacer referencia a todos aquellos informes, estudios, investigaciones y pruebas que se realicen en determinado ambiente ante los resultados que una transformación en el medio ambiente puede generar. Los estudios de impacto ambiental se consideran necesarios a la hora de establecer si aquellas transformaciones programadas que tengan lugar en el medio ambiente terminarán generando mayores perjuicios que beneficios.

16.2 SANEAMIENTO AMBIENTAL. Es el conjunto de acciones técnicas y socioeconómicas de salud pública, que tiene como objetivo alcanzar niveles crecientes de salubridad, que reducen los riesgos para la salud y previene la contaminación del ambiente, tiene la finalidad de promover y mejorar las condiciones de vida de las poblaciones. Evita la aparición de enfermedades por deficiente saneamiento ambiental, como: cólera, disentería, fiebre tifoidea, diarreas, teniasis, parasitosis, tétanos, micosis, leptospirosis, poliomielitis, amebiasis, hidatidosis, hepatitis tipo A, malaria y otros. OBJETIVOS DEL SANEAMIENTO AMBIENTAL 1. Disminuir la prevalencia de enfermedades relacionadas al deficiente saneamiento ambiental. 2. Conseguir el bienestar y mejorar la salud de la población modificando los factores ambientales nocivos para obtener un estado óptimo de salubridad.

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COMPONENTES DEL SANEAMIENTO 

Abastecimiento de agua de consumo humano en cantidad y calidad.

 

Disposición sanitaria excretas. Disposición sanitaria residuos sólidos.

de de

  

Higiene de los alimentos. Control de roedores e insectos vectores. Control de zoonosis.

16.4 RESIDUOS SÓLIDOS Sustancias, productos o subproductos en estado sólido o semisólido de los que su generador dispone, o está obligado a disponer, en virtud de lo establecido en la normatividad nacional o de los riesgos que causan a la salud y el ambiente. FUENTES DE GENERACIÓN DE RESIDUOS SÓLIDOS    

Domiciliario o doméstico Comercial De limpieza pública Establecimientos de salud

   

Industrial Mercados Agropecuario Construcción



Establecimientos actividades especiales.

y

CLASIFICACIÓN DE LOS RESIDUOS SÓLIDOS POR SU NATURALEZA a.

ORGÁNICOS: Residuos biodegradables, putrescibles, se descompone fácilmente por acción de las bacterias desintegradoras del suelo, restos de alimentos, verduras, frutas, restos de cosecha, residuos de mataderos o camales, guano de los animales o estiércol, papel y cuero. INORGÁNICOS: No se descomponen fácilmente, en algunos casos demoran muchos años y otros nunca se descomponen, ejemplos: vidrio, metales, jebe, caucho, chatarra, plástico, latas, cenizas, restos de cemento.

b.

MANEJO INTEGRAL DE RESIDUOS SÓLIDOS Son técnicas operativas y administrativas para el tratamiento adecuado de los residuos sólidos, mediante la aplicación de métodos sanitaria y ambientalmente segura aplicando los principios de prevención de impactos negativos y en protección de la salud humana. Operaciones para un adecuado manejo de los residuos sólidos:    

Minimización de residuos Segregación Reaprovechamiento Almacenamiento

   

Recolección Comercialización Transporte Tratamiento

 

Transferencia Disposición final

REGLAS DE LAS TRES “R” Reducir: Es cambiar los hábitos de consumo, generar menos basura en la fuente, comprar solo lo esencial y productos duraderos no descartables. Reutilizar: Darle uso a los objetos antes de tirarlos a la basura, adaptarlos para reemplazar a otros que podemos necesitar Reciclar: Los residuos se pueden separar en la fuente de generación y ser derivados a lugares de reciclaje donde pasa por un proceso de transformación, como vidrio, metales, plástico, caucho, chatarra, cartones, papeles. La práctica del reciclado trae los siguientes beneficios: 

Disminuye la cantidad de Residuos sólidos que se debe enterrar (por lo tanto, aumenta la vida útil de los rellenos sanitarios). Conservar los recursos naturales. Economiza energía. Minimiza la contaminación del aire, del suelo y de las aguas. Genera empleos, mediante la creación de empresas recolectoras y de reciclado.

     RELLENO SANITARIO: Instalación destinada a la disposición sanitaria y ambientalmente segura de los residuos sólidos en la superficie o bajo tierra, basados en los principios y métodos de la ingeniería sanitaria y ambiental, requiere de:  

Vías de acceso para la recolección. Topografía con buena capacidad aprovechamiento.

de

  

Distancia para evitar molestias a la población. Material de Cubierta. Aprovechando sólo lo existente en las cercanías.

TIPOS DE RELLENO: 1. Zanja o Trinchera. Se utiliza generalmente en terrenos planos, se hace una zanja de 2 o 3 m de profundidad, se impermeabiliza el terreno y los residuos se depositan dentro, luego se compacta y se va cubriendo con la misma tierra que se sacó de la zanja. Empleado mayormente en la costa. 2. Pendiente o Ladera. Adecuado para las zonas con desnivel. Desde la parte alta se depone la basura, se compacta y se cubre con tierra. Igual que en la forma anterior se deben dejar respiraderos para evacuar los gases. 3. Relleno Sanitario en bloque. Los residuos sólidos se compactan en bloques, empleando una compactadora especial, se dispone en lugares adecuados y se cubre con tierra, la ventaja no filtran los lixiviados porque han sido previamente extraídos por el sistemas de bloque. VENTAJAS:    

Se evitan malos olores en las inmediaciones Impide la presencia de roedores, moscas, y otros insectos, Los terrenos, una vez cerrados, pueden ser destinados a campos de juego, parques, áreas verdes. Es importante tomar en cuenta que después de un tiempo se producen fermentaciones y para evitar la filtración de los productos resultantes de la descomposición de algunos componentes de la basura es indispensable que la capa inferior del relleno sea impermeable (no deje filtrar líquidos) y, además, esté situada por lo menos a un metro de las capas acuíferas subterráneas.

E C O L O G Í A Y M E D I O A M B I E N T E | 59 DESVENTAJAS:  Cuando el relleno no está adecuadamente manejado se convierte en un botadero.  Ocupa áreas extensas y al cierre es dificultoso encontrar otras áreas.  Genera problemas sociales con las poblaciones aledañas.  Vida útil corta, dependiendo de la cantidad de residuos generados y las condiciones del territorio.  Generación de lixiviados. 16.5 GESTIÓN AMBIENTAL. Es el proceso orientado a administrar, planificar, evaluar y monitorear con la mayor eficiencia posible los recursos ambientales existentes en un determinado territorio buscando mejorar la calidad de vida de sus habitantes, dentro de un enfoque de desarrollo sostenible. La gestión ambiental responde al "cómo hay que hacer" para conseguir lo planteado por el desarrollo sostenible, es decir, para conseguir un equilibrio adecuado para el desarrollo económico, crecimiento de la población, uso racional de los recursos y protección y conservación del ambiente. Abarca un concepto integrador superior al del manejo ambiental: de esta forma no sólo están las acciones a ejecutarse por la parte operativa, sino también las directrices, lineamientos y políticas formuladas desde los entes rectores, que terminan mediando la implementación. PRINCIPIOS DE LA GESTION AMBIENTAL  Obligatoriedad en el cumplimiento de la política nacional ambiental, el plan y la agenda nacional de acción ambiental  Articulación en el ejercicio de las funciones públicas  Descentralización y desconcentración de capacidades y funciones ambientales  Garantía al derecho de información ambiental  Participación y concentración a fin de promover la integración de las organizaciones representativas del sector privado y la sociedad civil en la toma de decisiones ambientales. COMPETENCIAS O RESPONSABLES DE LA GESTION AMBIENTAL  

Los Ministerios Los Gobiernos Regionales

 

Las Municipalidades (provinciales y distritales) Entidades del estado

16.6 SISTEMA NACIONAL DE GESTION AMBIENTAL - SNGA Es la parte de la administración de las entidades públicas o privadas que incluyen la estructura organizacional , la planificación de las actividades, las responsabilidades, las prácticas, los procedimientos, los procesos y los recursos para desarrollar, implementar y llevar a efecto, revisar y mantener la política ambiental y de los recursos naturales. Tiene la finalidad de orientar, integrar, coordinar, supervisar, evaluar y garantizar la aplicación de las políticas, planes, programas y acciones destinadas a la protección del ambiente y contribuir a la conservación y aprovechamiento sostenible de los recursos naturales. SISTEMA REGIONAL DE GESTIÓN AMBIENTAL - SRGA Está conformado por un conjunto organizado de entidades públicas, privadas y de la sociedad civil que asumen diversas responsabilidades y niveles de participación, en los siguientes aspectos: a. La conservación y aprovechamiento sostenible de los recursos naturales b. La reducción, mitigación y prevención de los impactos ambientales negativos generados por las múltiples actividades humanas. c. La obtención de niveles ambientalmente apropiados de gestión productiva y ocupación de territorio d. El logro de una calidad de vida adecuada para el pleno desarrollo humano INSTRUMENTOS DE GESTION Y PLANIFICACION AMBIENTAL DE APLICACIÓN REGIONAL a. Elaboración de planes de acción ambiental y agendas ambientales regionales determinando responsables para el cumplimiento de sus actividades y metas. b. Diseñar y dirigir participativamente la implementación progresiva de las estrategias regionales sobre cambio climático, diversidad biológica y otros. c. Administrar el sistema regional de información ambiental. d. Establecimiento de políticas regionales e implementación de ordenamiento territorial ambiental. e. Elaboración de propuestas de medios, instrumentos y metodologías necesarias para la valorización del patrimonio natural de la región. f. Elaboración de propuestas en materia de investigación y educación ambiental a nivel regional. g. Desarrollo de mecanismos regionales de participación ciudadana. h. Desarrollo de incentivos económicos orientados a promover prácticas ambientalmente adecuadas a nivel regional. Planificación ambiental. Es la recopilación, organización y procesamiento de la información para facilitar la toma de decisiones que dan solución total o parcial a problemas definidos por funciones o necesidades ambientales específicas, asegurando que las componentes ambientales que se estudien sean las relacionadas con el problema analizado y que los vínculos de la función analizada con otras funciones, sean conocidos por el ente a la persona responsable de la toma de decisiones". *Planificación que reconoce el ambiente como un sistema físico y biológico a considerar en la consecución de objetivos. Proyectos de Gestión Ambiental La Gestión Ambiental promueve el desarrollo sostenible fundamentado en tres pilares: lo social, lo ambiental y lo económico, para desarrollar proyectos como: 





Diagnóstico, caracterización y manejo integral de residuos sólidos Desarrollo de tecnologías limpias Estudios de ecoeficiencia industrial

 

 

Asesoría en producción más limpia Valoración de subproductos y residuos industriales Manejo de residuos sólidos Biohuertos

 

Manejo de bosques Energías renovables

IMPRESO EN LAS INSTALACIONES DEL

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS UNSAAC

CEPRU

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