Libro Acotados Cert

Firmado digitalmente José por José Domínguez de Posada Nombre de Domíngue reconocimiento (DN): cn=José Domínguez de z de Posada, c=
Cuadernos de GEOMETRÍ A APLI AP LI CADA Sistemas: ì Caballera ì Acotados

Jo sé Do Jos Dom m íng nguez uez de Posada Posada Rafael Magro Andr ade

AGRADE AGRADEC CI MI ENTOS CUADERNOS UADERNOS DE GEOMETR GEOMETRÍÍ A APLI CADA ( 2 )

Agradecemos al Prof. Dr. Carlos Gordo Murillo la cesión de algunos de los dibujos de su tema de exposición “Obras Lineales” para el Concurso para provisión de plaza 2(36- 97) del C Cuerpo uerpo de Profesor Profesor Tit ular de Universidad. Universidad. No podemos olvidar en esta ocasión a D. Ricardo Carreras Cabello, nuestro querido “Maestro”, con cuyos dibujos y croquis sobre estas materias hemos disfr ut ado t odos los que ahor a nos dedicamos a su su enseñanza. enseñanza.

CUADERNOS CU ADERNOS DE GEOMET GEOMETRÍ RÍ A APLI CADA

José Domínguez de Posada Rafael Ra fael Magro Andrade

ACOTADOS CUADERNOS UADERNOS DE GEOMETR GEOMETRÍÍ A APLI CADA ( 2 )

SI STEM A DE PLANOS ACOTADOS

CUADERNOS CU ADERNOS DE GEOMET GEOMETRÍ RÍ A APLI CADA

José Domínguez de Posada Rafael Ra fael Magro Andrade

ÍNDICE CABALLERA PLANOS ACOTADOS

CUADERNOS DE GEOMETRÍA APLICADA (2)

Página

TEMA

PLANOS ACOTADOS Elementos fundamentales......................................................... Intersecciones........................................................................... Paralelismo................................................................................ Perpendicularidad..................................................................... Abatimientos............................................................................. Cubiertas de edificios................................................................ Interpretación de planos topográficos...................................... Perfil longitudinal de un terreno............................................... Sección de un terreno por un plano.......................................... Plataformas............................................................................... Acuerdos cilíndricos y cónicos................................................... Obras lineales............................................................................ Perfiles longitudinales............................................................... Perfiles transversales................................................................ Cubicaciones de movimiento de tierras.................................... Alineaciones rectas horizontales............................................... Alineaciones curvas horizontales.............................................. Alineaciones rectas en pendiente constante............................. Alineaciones curvas en pendiente constante............................

21 31 35 37 39 41 45 54 55 56 60 61 62 63 64 66 69 72 76

APÉNDICES • •

Prácticas. Problemas para resolver en casa Ejercicios resueltos

CUADERNOS DE GEOMETRÍA APLICADA

José Domínguez de Posada Rafael Magro Andrade

ACOTADOS TEORÍA

21

ELEMENTOS FUNDAMENTALES

1.- REPRESENTACIÓN DEL PUNTO

Be Ae

P l an o d e c o m p a r a c i ó n

b

a

Y

Ce

C(0)

D(-d)

A(a)

X B(b) d O De



ACOTADOS TEORÍA

22


2.- REPRESENTACIÓN DE LA RECTA

Be

a b

re

β

Ae

b

d a B(b)

r A(a) T(0)

r e c t a g r a d ua d a 7

8

9

10

11

12

13

14

15

N(5)

g r a d u a c i ó n d e u n a r e c t a c o n o c i d o s d os p u n t o s

M(8)



ACOTADOS TEORÍA

23


Ejemplo 1.- Gradúa las siguientes rectas

B(10)

A(3)

A(3,5)

B(11)



ACOTADOS TEORÍA


24

A(12,3)

B(3,2)



ACOTADOS TEORÍA

25


3.- REPRESENTACIÓN DEL PLANO

5 4 3 2 1 0

representación en ac otados de un plano P

r e c t a d e m á x i m a p e n d i e n t e ( c o n do do b l e t r a z o ) 8

7

6

5

4

3

2

1

0

t r a z a ( h o r i zo zo n t a l d e c o t a 0

horizontales



ACOTADOS TEORÍA


26

Ejemplo 2.- Graduar el plano cuya traza se da de manera que contenga al punto A. Situar en ese plano un punto de cota 3,2.

A(5,5)



ACOTADOS TEORÍA

27


3.1.- RECTAS CONTENIDAS EN EL PLANO 3.1.1.- RECTAS HORIZONTALES r e c t a s h o r i zo n t a l e s (paralelas a la t raza)

T r a z a (h o r i z o n t a l d e c o t a 0 )

Plano de comparación



ACOTADOS TEORÍA

28


3.1.2.- RECTAS DE MÁXIMA PENDIENTE r e c t a s h o r i zo n t a l e s (paralelas a la t raza)

r e c t a d e m á x i m a p e nd i e n t e ( p e r p e n d i c u l a r a l a s h o r i z o nt a l e s )

T r a z a (h o r i z o n t a l d e c o t a 0 )




ACOTADOS TEORÍA

29


3.1.3.- RECTAS DE PENDIENTE DADA CONTENIDAS EN UN PLANO DADO

2

"m" : módulo de la r.m.p. del plano

recta de módulo "n" 1 r.m.p.

m n

se tiene que verificar que "n" > "m"


Dibuja una rect a del plano P que pase por A y tenga módulo "m" (A pertenece a P)

6 P

5 4

Nº de soluciones

3 2 "m" 1 0 A



ACOTADOS TEORÍA

30


3.2.- PLANOS DE PENDIENTE DADA QUE PASAN POR UNA RECTA DADA Pl a n o d e m ó d u l o " m " q u e p a s a p o r u n a r e c t a d a d a " r " r 4

3 2

3 P' 2

1 1 0 0 P r P l a n o de c o m p a r a c i ó n Siempre hay dos soluciones

radio de la base = 4m

Dibuja un plano que pase por la recta M N y que tenga módulo "n" Nº de soluciones " n"

M(21) N(15)



ACOTADOS TEORÍ A

31

I NTERSECCI ONES

4.- I NTERSECCI ÓN DE DOS PLANOS 4.1.- Dos planos cualesquier a

Q

P

r (intersección de horizontales de igual cota)


Dibuja la intersec ción de los planos P y Q 6 P

5 4

6

3 Q

4 2

2 1 0

0

CUADERNOS DE GEOMETRÍ A APLI CADA

José Domínguez de Posada Rafael Magr o Andr ade

ACOTADOS TEORÍ A

32

I NTERSECCI ONES

4.2.- Dos planos cuyas hori zont ales son paralelas

r (paralela a las horizontales)

Q

P


Dibuja la intersec ción de los planos P y Q 6 P

5 4

0 Q

3 2

2 4

1 6

0 8



ACOTADOS TEORÍ A

33

I NTERSECCI ONES

5.- I NTERSECCI ÓN ENTRE RECTA Y PLANO 1. Se hace pasar un pl ano auxili ar cualquiera por la recta 2. Se busca la int ersección ent re P y Q à i 3. La intersección entr e i y r es el punt o buscado à I

à

Q

r

I

Q

P i


Dibuja la intersec ción entre l a recta r y el plano P 6 P

5 4 3 2

A(1)

1

r

0

B(7)



ACOTADOS TEORÍ A

34

I NTERSECCI ONES

Ej emplo nº 1 Dados los planos P y Q a los que pert enecen A (5) y B (3) , respecti vam ent e, obt ener su int ersección.

B(3)

A(5)

Q

P

Ej emplo nº 2 Com prob ar si se cort an las dos rectas sigui ent es:

A(1,7)

D(7,3) r

s

C(2,5) B(8,1)



ACOTADOS TEORÍA

PARALELISMO

35

6.- PARALELISMO 6.1.-Planos paralelos Dos planos son paralelos si sus rectas de máxima pendiente: son paralelas tienen el mismo módulo su graduación crece en la misma dirección • • •

Q

P


Dibuja un plano paralelo al plano P que pase po r el punto A

6

P

5

A(7)

4 3 2



ACOTADOS TEORÍA

36

PARALELISMO

6.1.-Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si: sus proyecciones sobre el plano de comparación son paralelas tienen el mismo módulo su graduación crece en la misma dirección • • •

D i b u j a u n a r e c t a p a r a l e l a a l a r e c t a r q u e p a s e p or e l p u n t o A

C(17,8)

A(7)

B(-2,5)

6.1.-Recta y plano paralelos Dibuja una recta paralela a P que pase por A

P

4 3

A(5)

2 1 0



ACOTADOS TEORÍ A

PERPENDI CULARI DAD

37

7.- PERPENDI CULARI DAD 7.1.-Perpendicularidad ent re r ect a y plano • •

Plano P de módulo “ m” Rect a r de m ódulo “ n”

Se veri fi ca: m =

1 “

n

m” y “ n” son inversos y crecen en sent ido cont rar io A

r

P

rm p

3

2

A' m

n

r'

1

Plano de com paración


0


ACOTADOS TEORÍ A

38

PERPENDI CULARI DAD

Ej emplo 1 Por el pun t o A, traza una rect a perpendicular al plano P 7 6 5 4 3 2 1

P A(8)

Ej emplo 2 Por el punt o M de la rect a r, tr aza un plano perpendicular a la misma

A(2,5)

M

B(18,7) r



ACOTADOS TEORÍ A

39

ABATI MI ENTOS

8.- ABATI MI ENTO DE UN PLANO 5 4 3 A(3)

2

P 1

A'

(A )

O

((A)) t P l an o d e c o m p a r a c i ó n

t

P

A O

(A )

1

2

3 ((A))



ACOTADOS TEORÍ A

ABATI MI ENTOS

40

Ej ercicio 1 Determ inar la verdadera magnit ud del cuadrilát ero ABCD

6

5

4

1

2

3

C B

D P A

Ej ercicio 2 Represent a una circunferencia de centr o O y radio 3 cm cont enida en el plano P

14

12

10

8

6

4

2

O

P



ACOTADOS TEORÍ A

41

CUBI ERTAS DE EDI FI CI OS

9.- ELEMENTOS DE LAS CUBI ERTAS 1 2 3 4 5 6 7 8

- cu mbrera - ma nsarda - ale ro - buhardil la - lim a tesa - lim a hoya - ca ballet e - faldón o vert ient e

1

2 6

8 4

un agua dos aguas


5

7 8

3

cuatro aguas


ACOTADOS TEORÍ A

42


Ej ercicio 1 Borde de aleros hor izont al. Faldones a 30º

Ej ercicio 2 Borde de aleros hor izontal. Faldones con dist int a pendiente. c b

c

a

b b

pendient e(a) pendient e(b) pendient e(c) pendient e(d)

= = = =

0,8 1 0,5 1,2

d

a



ACOTADOS TEORÍ A


43

Ej ercicio 3 Borde de aleros horizontal. Faldones a 45º . Pati o int erior.

Ej ercicio 4 Borde de aleros no hori zont al. Faldones a 30º

A(0)

F(0) E(1)

D(2)


C(2)


ACOTADOS TEORÍ A


44

Ej ercicio 5 Borde de aleros hor izont al. Aleros cur vos. Faldones a 60º



ACOTADOS TEORÍ A

TERRENOS

45

10 .- GENERALI DADES 10.1 .-Cur vas de niv el



ACOTADOS TEORÍ A

TERRENOS

46

10.2.-I nt erpretación de planos topográficos Colina, lom a o mont aña

Hoya u hondonada



ACOTADOS TEORÍ A

TERRENOS

47

Vert ient e o ladera

Divisor ia de cuencas o divisori a de aguas



ACOTADOS TEORÍ A

TERRENOS

48

Vaguada

Barr anco, garganta o cort adura



ACOTADOS TEORÍ A

TERRENOS

49

Collado o puer t o



ACOTADOS TEORÍ A

TERRENOS

50

10.3.- Verdadera distancia entr e dos punt os topográf icos



ACOTADOS TEORÍ A

51

TERRENOS

10.4.- Det ermi nación de la cot a de un punt o t opográfico cualquiera



ACOTADOS TEORÍ A

52

TERRENOS

10.5.- Determ inación de las líneas de m áxima pendient e de un t erreno



ACOTADOS TEORÍ A

TERRENOS

53

10.6.- Líneas de pendiente constant e de un t erreno



ACOTADOS TEORÍ A

TERRENOS

54

10.7.- Perfil longitudinal de un t erreno



ACOTADOS TEORÍ A

TERRENOS

55

10.8.- Sección de un t err eno por un plano



ACOTADOS TEORÍ A

TERRENOS

56

11 .- EXPLANACI ÓN DE PLATAFORMAS 11.1.- Plataform a de bordes rect os

11.2.- Platafor ma de bordes rectos. Datos



ACOTADOS TEORÍ A

TERRENOS

57

11.3.- Plataforma de bordes rectos. Representación acotada

Dibuja el perfil longitudinal A-A’



ACOTADOS TEORÍ A

TERRENOS

58

11.4.- Plataform a de bordes curv os

11.5.- Platafor ma de b ordes curv os. Datos



ACOTADOS TEORÍ A

TERRENOS

59

11.6.- Plataforma de bordes curvos. Representación acotada



ACOTADOS TEORÍ A

TERRENOS

60

12.- ACUERDOS DE PLANOS DE DESMONTE Y/ O TERRAPLÉN Acuer dos cilíndri cos y acuer dos cónicos



ACOTADOS TEORÍA

OBRAS LINEALES

61

12.- TRAZADO DE OBRAS LINEALES

12.1.- Trazado del eje en planta



ACOTADOS TEORÍA

OBRAS LINEALES

62

12.2.- Perfil longitudinal por el eje de la obra



ACOTADOS TEORÍA

OBRAS LINEALES

63

12.3.- Perfiles transversales



ACOTADOS TEORÍA

OBRAS LINEALES

64

12.4.- Cubicación del movimiento de tierras (1)



ACOTADOS TEORÍA

OBRAS LINEALES

65

12.5.- Cubicación del movimiento de tierras (2)



ACOTADOS TEORÍA

OBRAS LINEALES

66

13.- ALINEACIÓN RECTA HORIZONTAL



ACOTADOS TEORÍA

67

OBRAS LINEALES

13.1.- Alineación recta horizontal. Trazado en planta y sección tipo



ACOTADOS TEORÍA

OBRAS LINEALES

68

13.2.- Alineación recta horizontal. Desmontes y terraplenes



ACOTADOS TEORÍA

OBRAS LINEALES

69

14.- ALINEACIÓN CURVA HORIZONTAL



ACOTADOS TEORÍA

70

OBRAS LINEALES

14.1.- Alineación curva horizontal. Trazado en planta y sección tipo



ACOTADOS TEORÍA

OBRAS LINEALES

71

14.2.- Alineación curva horizontal. Desmontes y terraplenes



ACOTADOS TEORÍA

72

OBRAS LINEALES

15.- ALINEACIONES RECTAS EN PENDIENTE 15.1.- Determinación de los planos de desmonte y de terraplén



ACOTADOS TEORÍA

73

OBRAS LINEALES

15.2.- Dibujo en planta de los planos de desmonte y de terraplén



ACOTADOS TEORÍA

74

OBRAS LINEALES

15.3.- Alineación recta en pendiente constante. Trazado en planta



ACOTADOS TEORÍA

75

OBRAS LINEALES

15.4.- Alineación recta en pendiente constante. Desmontes y terraplenes



ACOTADOS TEORÍA

OBRAS LINEALES

76

16.- ALINEACIONES CURVAS EN PENDIENTE CONSTANTE



ACOTADOS TEORÍA

OBRAS LINEALES

77

16.1.- Superficies de igual pendiente



ACOTADOS TEORÍA

78

OBRAS LINEALES

16.2.- Alineación curva en pendiente constante. Trazado en planta



ACOTADOS TEORÍA

79

OBRAS LINEALES

16.3.- Alineación curva en pendiente constante. Desmontes y terraplenes



APÉNDI CE CUADERNOS DE GEOMETRÍ A APLI CADA ( 2)

PRÁCTI CAS PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CASA



1

ACOTADOS PRÁCTI CAS

Nom br e:

NP:

GENERAL 1 Una cir cunferencia de radio 2 cm. está contenida en el plano vert ical de la f igur a y su cent ro es C y t iene cota 2 cm. Hallar la somb ra con luz f ocal de foco O ( 8 ).

O

C



2


Nom br e:

NP:

GENERAL 2 El plano de la f igur a t iene pendient e 0,75. En él se sit úa un pun t o A, que es el vert ice de un cuadrado de lado 4 cm. de manera que un vért ice cont iguo t iene cota 2 cm. y está lo m ás a la derecha posibl e. Dibuj ar el prisma recto de 6 cm. de alt ura que ti ene por base el cuadrado ant erior.

A



3


Nom br e:

NP:

GENERAL 3 Con los mi sm os dat os del ejercicio anterior , pero ahora se tr ata de una pirám ide recta de 7 cm. de altu ra.

A



4


Nom br e:

NP:

GENERAL 4 Una pir ámi de tr iangul ar de vért ice V descansa m ediant e una de sus caras lat erales en el plano horizontal de cot a -2, cont eniendo una de las aristas de la mencionada cara al segment o VA, V(2,-1,-2) A(2,0,-2) quedando la ot ra situada la izquierda de VA. La cara cont igua en VA t iene de modulo 0,6, siendo el ángulo, de ést a 30º y el plano de la cara opuest a a VA t iene de m ódul o 1. Se pide dibuj ar la pr oyección de la pirámi de t eniendo present e que el plano de la base pasa por el punt o B( -2,2,0) for mando diedros de 90º con los últ im os planos citados.



5


Nom br e:

NP:

GENERAL 5 La superf icie de un ter ren o ideal está const it uida por los dos sem iplan os que se definen en la figur a siguient e mediante una r ect a de máxi ma pendient e de cada uno de ellos. Se incluye t ambién la proyección de la rect a comú n a ambos, para facilit ar el dibujo. La escala es 1:100 0 y l as cot as están dadas en m et ros. Un cami no hori zont al de 8 met ros de ancho, t iene por eje part e de las dos rectas que se represent an asim ismo en la figu ra indicada y el arco de circunferencia de 30 m etr os de radio t angente a ellas. Se tr at a de repr esent ar los desmon t es necesarios para constr uir el cami no, con las sigui ent es caract erísti cas: - Borde izquierdo ( avanzando en el sent ido avb). Tramos rectos - Planos de t alud 1 en el prim ero y 1,5 en el segundo. Tramo cir cular - Acuerdo cónico de los dos planos ant erior es con vért ice en la superf icie del terr eno nat ural.



6


Nom br e:


NP:


7


Nom br e:

NP:

GENERAL 6 En el plano de comparación se da el cuadrilátero ABCD: AB=12, BC=3, CD=6, DA=12, BD=8. Se tomará el lado AB, paralelo y equidistante de los bordes menores, el vértice A a 2 cm. del borde inferior y C y D a la izquierda de AB. El polí gono ABCD es la base de una pirámide, cuyo vértice V que está situado por encima del plano de comparación, se proyecta en un punto interior a la base. Un plano P que pasa por el punto C y tiene de talud 2/3 corta a la pirámide dada según un polí gono cuya proyección horizontal es un cuadrado. Se pide: Representar la pirámide y su sección por el plano P, con todos los vértices acotados.



8


Nom br e:

NP:

GENERAL 7 Loa punt os A, B y C están localizados sobre el pl ano superior de un estr at o rocoso. El punt o B pert enece tamb ién a la línea de aflor amient o. El punt o D est á localizado sobre el plano infer ior de est rat ifi cación y est á a 20 m . direct ament e debaj o de C. Los pozos de sondeos que ll egan a A y C t ocan al plano superi or de estr ati fi cación a altur as de 260 y 300 m . respect ivament e. Trazar el plano topogr áfico y determ inar la inclinación del est rat o y su espesor. Dibujar así mismo las líneas de afloramiento. E = 1/ 1000



9


Nom br e:

NP:

GENERAL 8 Papel peralt ado. Escala 1/ 100. Origen de coord enadas a 7 cm . del bor de inf eri or del papel y cent rado con relación a los bor des lat erales del m ismo. Ej e X posit ivo hacia la derecha y ej e Y posit ivo hacia arri ba. Cot as en met ro s. Se define un t ercero del cual se conoce la recta A(4,-5,9) B(4,5,9). Dicho ter reno t iene una pendiente de 1/ 4 y desciende hacia el borde izquierdo del papel. En este t erreno se realiza una excavación de f orm a piram idal, según una pirám ide t al que cualquier sección de ella por un plano horizont al es un cuadrado. El vért ice de la pirámide es el punt o V(0,0,2). Las caras de la pirám ide que concur ren en V ti ene una pendiente de 5/ 3, y las hor izont ales de dichas caras son paralelas un as al eje OX y ot ras al ej e OY. La excavación se realiza ent re di chas caras. Una vez realizada la excavación, se rellena ést a vert iendo ár idos desde un pun t o situado en la vert ical del punt o V. Los áridos con que se rellena la excavación son de un mat eri al cuya pendient e nat ural es de 5/ 3. la excavación se rellena lo m áxim o posible sin que el m ateri al desborde por f uera de la misma. Se pide: 1º ) Hallar la int ersección de la excavación con el t erreno dibu j ando las lineas de nivel cada metr o. 2º ) Dibuj ar el r elleno de áridos y sus lineas de int ersección con la excavación, defin iéndol as por sus elemen t os canónicos, y dibuj ando asim ismo sus líneas de nivel cada metr o. 3º ) Dibuj ar la sección tr ansversal del conj unt o por el plano XZ.



10

ACOTADOS PRÁC PR ÁCTI TI CAS

Nom br e:

NP:

GENERAL 9

CUADE UADERNOS RNOS DE GE GEOMET OMETRÍ RÍ A APLI CADA


11


Nom br e:

NP:

GENERAL 10



12


Nom br e:


NP:


13


Nom br e:

NP:

GENERAL 11



14


Nom br e:

NP:

GENERAL 12

Los sondeos vert icales dados en los punt os A ( 1 50 E ; 750 N ; 375 ) B ( 125; 25;15 0) y C ( 1 000; 150; 20 0) cort an a una capa plana a los 130,160,.y 250 m. respectivam ente. En el punt o D (1200 ; 1 50 ; 2 00 ) se profun diza un pozo de ext racción en 200 m . y en las cótas O y 100 del m ismo se dan dos galerías t ransversales hori zont ales, tales que su longi t ud para cort ar a la capa sea m ínim a. Una vez cort ada se avanzan dos galerías en dir ección: la de cota 0,1 50 m . en la dir ección Nor deste, la de cota 100 , 200 m. en dir ección Suroeste. Los ext rem os de estas galenas están un idos por un a chim enea. Se pide: a) pendient e, dirección y buzamient o de la capa. b) Pendient e y longit ud de la chimenea.


Escala 1 / 5000.


15


Nom br e:

NP:

GENERAL 13 Los punt os A ( 800 m . E; 300 m .N ; - 560 ) y B ( 1200 E ; 750 N ; - 310 ) definen la l.m .p. de una capa plana. Desde C ( 300 E ; 125 N ; 1 50 ) de la super fi cie del t erreno se perfor a un plano inclinado descendent e de pendiente 1/ 2 de t al maner a que la distancia al plano sea m ínim a. pide : coordenadas del punt o donde el plano cort ará a la capa y longit ud de dicho plano inclinado. Escala 1 / 5000. Se



16


Nom br e:

NP:

GENERAL 14 Dadas las tub erías AB y la que pasando por C t iene una pendient e 1/ 5. descendente. A(50;110;10 0) B(200;110;85) C ( 230 ; 40 ; 11 0 ). Se pid e: a) Unirlas m ediante un t ubería vert ical. b) Haciendo una conexión en el punt o medio de la vert ical del apart ado a) h allar la pendient e de la tub ería que va hast a D ( 150 ; 10 ; 4 3 ) c) Longitud de las tuberías que partiendo de D, unen con AB y CE respectivament e siendo su pendient e del 40 % y determinar los puntos de encuentro Escala 1 / 1000.



1


Nom br e:

NP:

POLI EDROS 1 Las horizontales de un plano de pendiente 1/2 son paralelas al borde menor de la lámina; la de cota O está a 10 cm. del borde superior. Un hexágono regular de este plano tiene dos vértices opuestos en la horizontal de cota 4, y distancia 10 cm., es la sección de un cubo por un plano que pasa por el centro de éste y es perpendicular a una diagonal. Se pide: 1.- Dibujar el cubo. 2.- Dibujar los poliedros conjugados del anterior.



2


Nom br e:

NP:

POLI EDROS 2 Los puntos A(3,13,5), B(7,17,5) y C(4'5,Y,Z), siendo Z =5, son vértices de un tetraedro regular cuyo cuarto vértice, D, está a la derecha de AB. Se pide: a) Dibujar el tetraedro, acotando sus vértices y dibuja do las líneas de nivel de cm. en cm. NOTA: Las coordenadas en cm. referidas al borde inferior izquierdo del papel en sentido peraltado.



3


Nom br e:

NP:

POLI EDROS 3 Los puntos A(2) y M(5) y N(8) se proyectan sobre el plano de comparación según un triángulo equilátero de 7 cm. de lado. El punto A es un vértice de un tetraedro regular ABCD que tiene la arista BC sobre la recta MN y su cuarto vértice, D, con la mayor cota. Se pide: Representar el tetraedro.



4


Nom br e:

NP:

POLI EDROS 4 Se da el plano definido por los puntos A ( -5,0,0) B80,-4,0) y C(0,0,4). Un triángulo equilátero situado en él tiene el centro en el punto ( x,2,4) y un vértice a la cota 3 y a la izquierda. Los tres vértices pertenecen a un cubo cuya mayor parte está situada por encima del plano y cuya arista es 4 cm. Dibujar el cubo



5


Nom br e:

NP:

POLI EDROS 5 Hallar la proyección de un icosaedro regular de 7,5 cm. de arista y centro G, tal que A(18), B(15) y C(12)



6


Nom br e:

NP:

POLI EDROS 6 Los punt os A( 2) y B(z) son vért ices consecut ivos de un cuadrado situ ado en el plano cuya t raza se da. Dibuj ar el cubo que t iene por base el cuadrado

B

A



7


Nom br e:

NP:

POLI EDROS 7 Los punt os A( 4) y B(z) son vért ices consecut ivos de un cuadrado situ ado en el plano cuya t raza se da. El cuadr ado es la sección por el plan o dado de un octaedr o. Dibuj ar el octaedro.

A

B



8


Nom br e:

NP:

POLI EDROS 8 Los punt os A( 2) y B(z) son vért ices consecut ivos de un hexágono situ ado en el plano cuya t raza se da. Esta f igur a es la sección de un cubo po r un plano. Dibuj ar el cubo que t iene por sección el hexágono.

A


B


9


Nom br e:

NP:

POLI EDROS 9 Los punt os A( 4) y B(z) son vért ices consecut ivos de un t riángul o equilátero situado en el plan o cuya t raza se da. Dibujar el tetr aedro que t iene por base el t riángulo anterior.

A

B



10


Nom br e:

NP:

POLI EDROS 10 El punt o A est á sit uado en el plano de la figu ra de pendient e 2. Es el vért ice inferior de un cubo de 4 cm de lado, cuya diagonal que pasa por A es ort ogonal al pl ano. Dibuj ar un a de las solucion es del cubo sabiendo qu e uno de sus vért ices t iene cot a 6 cm .

A



11


Nom br e:

NP:

POLI EDROS 11 El punt o A(6,1'5,3) es el vért ice de un cono de r evolución de ej e vert ical cuya sección por el plano de com paración es una circun fer encia de 6 cm. de diámet ro . Los planos P y Q son t angent es al cono ant eri or y pasan amb os por el or igen. El plano P es el que asciende hacia la part e super ior del papel, y l a recta t es la intersección de ambos planos. El plano P anter ior , cont iene dos ari stas opuest as de un dodecaedr o regu lar de 3 cm. de arist a, una de las cuales, la AB, ( siendo A el vért ice del cono ant erior ), está cont enida en la rect a t, siendo la cota de B m ayor que l a de A. Los vért ices M y N, ext remos de la ot ra arist a cont enida en P, t iene cot as menor es que A. Se pide represent ar la part e del poliedro que queda por encim a del plano P, acot ando cada vért ice en cent ímetr os con aproxi mación de milím etr os, y dibuj ando las lineas de nivel cada cent ímet ro de sus caras vistas. NOTA: Papel apaisado, con ori gen de coor denadas a 2 cm del borde izquierdo y a 8 cm. del b or de super ior. Eje OX hacia la derecha y eje OY hacia arr iba. Cot as en cm.



1


Nom br e:

NP:

CUERPOS DE REVOLUCI ON 1 El punt o A(4) es el cent ro de u na cir cunferencia de 2 cm. de r adio situada en el plano de l a fi gur a. Esta cir cunfer encia es la sección de un a esfer a de radio 3 cm . Dibuj ar la esfera y hallar l a int ersección con una r ect a vert ical que pasa por A.

A



2


Nom br e:

NP:

CUERPOS DE REVOLUCI ON 2 Dos planos P y Q de pendient e 1 y 2 t ienen como t raza comú n la r ect a de la figur a. Dibuj ar un a esfera de 3 cm . de r adio t angent e a amb os planos que adem ás se apoya en el plano vert ical R

R


P

Q


3


Nom br e:

NP:

CUERPOS DE REVOLUCI ON 3 Dos planos P y Q de pendient e 1 y 2 t ienen como t raza comú n la r ect a de la figur a. Dibuj ar un cono tangent e a amb os planos de vért ice A, altur a 4 cm y semi ángulo cónico 30º

A

P


Q


4


Nom br e:

NP:

CUERPOS DE REVOLUCI ON 4 Dos planos P y Q de pendiente 1,5 y 1, t ienen como t raza comú n la recta de la figu ra. Dibuj ar un cilindro t angente a am bos planos de 6 cm. de alt ura de manera que una de sus bases pasa por el punt o A( 5) . Todo el cilin dro est á cont enida en la hoja de dibuj o

P Q A



5


Nom br e:

NP:

CUERPOS DE REVOLUCI ON 5 Papel en p osición apaisada. Cot as en cm. Eje OY el bor de izquier do y ej e OX el borde inferior. Se da el punt o M(22 ;10,5) y la rect a tp: x = 17, refer idos al sistem a de coordenadas ant es indicado. El pun t o M es el centr o de un circulo de 4 cm . de radio situ ado sobre el plano de comparación. La rect a tp es la t raza de un plano P de talud t = 1, que asciende hacia la derecha. El cir culo es la base de un cono, de vért ice V sit uado por encim a del plano P y distant e de éste 2 cm. y de cot a posit iva. El pl ano P cor t a al cono según el círculo. Se pid e: 1º ) Det ermi nar el vért ice V del cono y su cot a. 2º ) Represent ar el t ronco de cono obtenido, dibuj ando t odas las curv as de nivel de cota ent era.



6


Nom br e:

NP:

CUERPOS DE REVOLUCI ON 6 Hallar l a int ersección del cono y la esfer a de la figu ra, sabiendo que est a, está apoyada en el suelo y el vért ice del cono t iene la misma alt ura que el punt o m ás alt o de la esfera y labase del cono esta a cota nu la..

Cono

V



7


Nom br e:

NP:

CUERPOS DE REVOLUCI ON 7 Hallar la i nt ersección del cono y cilindr o de la f igur a, ambos apoyados en el pl ano hori zontal, si el vért ice del cono t iene cota 8 y las generatr ices del cilindr o 45º de inclinación.

cilindro

Cono

V



1


Nom br e:

NP:

Cubi ert as 1 Resolver l a cubiert as de la figur a si todos sus faldones t ienen igual pendient e ( 1,5) Y dibuj ar l a sección AA´

A

A´



2


Nom br e:

NP:

Cubi ert as 2 Resolver l a cubiert as de la figur a si todos sus faldones t ienen igual pendient e ( 0,5) y dib uj a la sección AA´



3


Nom br e:

NP:

Cubi ert as 3 Resolver la cubiert a de la fi gura sabiendo que los aleros hori zont ales t ienen pendiente 2 y los vert icales 1.



4


Nom br e:

NP:

Cubi ert as 4 Resolver la cubier t a de la figur a, si la pendient e de los faldo nes es 1 y su cota est á expresada en la figu ra.

0

0

1

1

1 1

1 1 0

1

1 1


2


5


Nom br e:

NP:




6


Nom br e:

NP:




7


Nom br e:

NP:

Cubi ert as 7 Represent ar las líneas de nivel del t err eno cuya plant a se ve a cont inu ación

10

15

18

22

17

30


33


8


Nom br e:

NP:

Cubi ert as 8 Se da el contorno exterior de una cubierta, definida por los puntos siguientes: A(3,5); B(18,5); C(18,25); D(3,25); E(3,20); F(6,20); G(6,10); H(3,10) y los contornos de dos patios interiores definidos por los puntos 1(10,20); J(13,18); K (13,22) el primero, y L(10,8); M( 14 , 8) ; N(14,12) y P(10,12) el segundo. El origen se tomará como el vértice inferior izquierdo del papel. Todos los puntos tienen cota 10. Representar la cubierta que parte del contorno exterior con talud 1/1 y de los patios con taludes t'=1/2. Determinar limahoyas, limatesas y líneas de nivel de cota redonda.



9


Nom br e:

NP:

Cubi ert as 9 Un edificio tiene como planta un triángulo equilátero ABC de lado 15 cm. La cubierta está formada por tres conos, cuyos vértices están en la vertical de los puntos A, B y C y a cota 10. Como base o directriz de los conos podemos considerar la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, a cota 0. Dibujar la cubierta, limitada por los planos verticales que pasan por AB, BC y CA, con lineas de nivel de m. en m. Sección de la cubierta por el plano vertical que pasa por AB y por el mediatriz del segmento AB.



10


Nom br e:

NP:

Cubi ert as 10 La proyección del contorno de una cubierta sobre el plano de comparación es un rectángulo abcd cuyos lados miden 15 y 10 metros. La cubierta está formada por seis planos y las cotas de los puntos que se proyectan en los vértices del rectángulo son las siguientes: A(0), B(0), C(3) y DCO). El plano que parte del alero AD forma un ángulo de 60º con el plano horizontal. El que parte de BA es tal que su intersección con el anterior forma con DA un ángulo de 22º30'. Dicha intersección constituye la limatesa AM. Los planos que parten de BC y CD tienen taludes de O'6 y 1, respectivamente. Su intersección constituye la limatesa CM. M y N se definen de forma que la distancia entre ellos sea la mínima posible. Los dos planos restantes están definidos por el segmento MN y los puntos B y D, respectivamente. Se trata de dibujar la proyección acotada de la cubierta a escala 1:100 sobre el papel en posición apaisada, haciendo coincidir aproximadamente el centro de éste con el del rec tángulo y colocando el lado ab de 15 metros de longitud más próximo al borde superior y el be de 10 metros más próximo al borde derecho.



11


Nom br e:

NP:

Cubiertas 11 Se da un rect ángulo ABCD: AB paralel o y más próx im o al bor de inf erior . AB = CD = 21 m etros y BC = DA = 14 metr os. Los punt os M y N, inter iores al rect ángulo, son t ales que M dista 6 m . de AB y 6 m. de DA y N dist a 8 m . de AB y 15 m . de DA. Los punt os M y N son los cent ros de dos cuadrados de 4 m . de lado. El cent ro M, con los lados paralelos a los del rect ángulo y, el del cent ro N, con lados form ando ángulos de 45° con los del rect ángul o. Se tr ata de constr uir u na cubiert a de un edificio cuyo cont orno ext erior es el rect ángulo y con dos pat ios int eri ores defi nidos por l os cuadr ados dados. Los planos que part en del rect ángulo t ienen talud 1 y l os que part en de los cuadrados tiene talud 3/ 4. Represent ar el conj unt o de la cubiert a con curvas de nivel de cota redonda con las lim ahoyas y l im atesas corr espondient es .



12


Nom br e:

NP:

Cubiertas 12



1


Nom br e:

NP:

PLATAFORMAS 1 Dado el terr eno y la plataf orm a de la figura , dibuj ar la planta resultant e, con pendiente de desm ont e 2 y pendiente de t erraplén 1. E: 1/ 2000

30

20

10

20

30

30

40

50



2


Nom br e:

NP:

PLATAFORMAS 2 Dado el terr eno y la plat aform a de la figura , dibuj ar la planta resultant e, con pendiente de desmon t e 2 y pendiente de t erraplén 1. E: 1/ 2000

50

30

30

40

40

60



3


Nom br e:

NP:

PLATAFORMAS 3 Dado el terr eno y la plataf orm a de la figura , dibuj ar la planta resultant e, con pendiente de desm ont e 2 y pendiente de t erraplén 1. E: 1/ 2000

60

40

20

20

40

60

40



4


Nom br e:

NP:

PLATAFORMAS 4 La rect a AB es la hor izont al de cot a 55 de un t err eno que se asim ila a un plan o de pendiente ½ que desciende de izquierda a derecha. La platafor ma de la figu ra est á sit uada a la cota 45.r epresent ar en acot ados E 1/ 200 y líneas de nivel de met ro en metr o, la planta result ante con pendientes de desmont e y terraplén 1/ 1

AB



5


Nom br e:

NP:

PLATAFORMAS 5 Calcular la configur ación defini t iva del terr eno. Pendient e desmon t e = 0,9 Pendient e de t erraplén = 0,6 E= 1/ 200 Cot a plataf orm a superior 35 Cota plataform a inferior 34

40

38

36

34

32

30

28 26 24 CUADERNOS DE GEOMETRÍ A APLI CADA


6


Nom br e:

NP:

PLATAFORMAS 6 Resolver el terreno adjunt o P desmont e = 1 Cot a de la plat aform a 30

P t erraplén = 0,5 E : 1/ 200

40

38

36

34

32

30 28 26 24



7


Nom br e:

NP:

PLATAFORMA 7 Resolver la plat aform a inclinada con pendientes de desm ont e 1/ 1 y pendient e de terraplén 0,75/ 1

40 Cot a 34

38

36

34 cot a 30 32

30 28 26 24



8


Nom br e:

NP:

PLATAFORMAS 8

La plat aform a de la figur a est á sit uada en la cota 100, de maner a que se accede a ell a m ediant e una r amp a que asciende desde la cot a 80. 1-Dibu j ar la plant a de desmo nt es y t erraplenes generados por la plataforma tomando 1/ 3 como pendiente de t erraplén y ½ la de desmonte. Sobre la platafor ma exist e una mont aña de for ma cónica de pendi ent e 1 cuya cim a se sit úa a la cota 140. 2.-Dibuj ar dicha mon t aña con líneas de nivel cada 5 m. y t razar un camino de ancho aproxi m ado 10m . que part iendo de B ll egue a la cima sin superar u na pendient e de 0,25 de for ma qu e su r ecorr ido sea mínimo. 3.-Dibuj ar así mismo la sección AA´ ( escala vert ical 1/ 2000)



9


Nom br e:


NP:


10


Nom br e:

NP:

PLATAFORMAS 9 Los planos P y Q ascienden con inclinaciones de 30º y 45º , y hacia la izquierda y derecha ,respect ivament e. Dibuj ar la plant a de desmont es y t erraplenes de la plataform a adjunt a. P desmont e = 1,5 ; P t erraplén = 1

P

Q

Plataforma cota 3



11


Nom br e:

NP:

PLATAFORMAS 10 El rectángulo de la figu ra de 40 x 25 m . esta sit uado a la cot a 45 m. Dibuj ar los desmon t es y t erraplenes ut ilizando taludes 1 y 2, respectivam ent e. Trazar el perf il por el punt o medio del lado m ayor



12


Nom br e:

NP:

PLATAFORMAS 11 Se definen los punt os A(3,3) de cota 4 m. B(3 ,-3) de cot a 10 m. C( -3,- 3) de cota 2 m. y D( -3,3 ) de cot a 8 m. Las coord enadas se expr esan t ambi én en met ros. El cuadril át ero alabeado ABCD es bor de de una plat afor m a que se defi ne por r ectas que, en p royección son par alelas al eje OX y en el espacio cor t an a las AB y CD. Los planos, t ant o de desmont e como de t erraplén, que part en de AB tienen de pendiente 7. Análogament e, los que part en de BC, ti enen de pendient e 6, los que part en de CD, pendiente 3 y los que part en de DA, pendient e 4. El t erreno es un plano cuya hor izont al de cot a 6 es el ej e OX, crece en sent ido posit ivo del ej e OY y form a con el plano hor izontal u n ángulo de 45°. Se pi de: Estado fi nal de l a obr a. Líneas de niv el , líneas de paso en roj o e int ersecciones del plano con el t erreno Escala 1:100



13


Nom br e:

NP:

PLATAFORMAS 12 Papel vert ical. Se considera como ej e de las X( + ) , la rect a paralela a los bor des superior e inf erior de la hoj a y equidistant es de am bos. Como ej e Y una paralela al borde izquierdo y a un cent ímet ro de dist ancia aprox im adam ent e. El OX repr esent a la hori zont al de cot a 10 de un plano ascendent e hacia el bor de superior de pendiente 1/ 2. Sobre dicho t erreno se const ruye un a platafor ma hor izontal ABCD de cot a 10 y una ram pa de acceso a la platafor ma de 2 m . de ancho y pendiente 2/ 3, cuyo eje es perpendicular a la AD en el punt o medio. Dibuj ar los desmon t es y t erraplenes correspondient es a plataform a y rampa. Talud de desmont e 1/ 2. Talud de t err aplén 1/ 1. A(7,3;- l,9) B(6,3;4) C(14,3;2,6) D(11,2;-2,6) en metr os. Escala 1: 100



1


Nom br e:

NP:

Carr et eras 1 Calcular l a plant a de desmont es y t err aplenes de la carret era horizont al adjunt a. Pendient e de desmont e 2/ 1 ; pendiente de t erraplén 1/ 1 Cot a de la carr etera 46 E :1/ 200

52 50 48

46

44 44 46 48 50 52 54 56 CUADERNOS DE GEOMETRÍ A APLI CADA

58 José Domínguez de Posada Rafael Magr o Andr ade

2


Nom br e:

NP:

Carr et eras 2 Calcular la plant a de desmon tes y terr aplenes de la carr etera adjun t a. Pendient e de desmont e 2/ 1 ; pendiente de t erraplén 1/ 1 E :1/ 2000

65

Cot a 50

60 55 50

45

40 35 30 30 35 40 45 50 CUADERNOS DE GEOMETRÍ A APLI CADA

cot a 40

55 José Domínguez de Posada Rafael Magr o Andr ade

3


Nom br e:

NP:

Carr et eras 3 Calcular la plant a de desmon tes y ter raplenes de la carr etera horizont al adjun t a. Pendient e de desmont e 2/ 1 ; pendiente de t erraplén 1/ 1 Cot a de la carr etera 40 E :1/ 2000

60

55

50

45 40

35

30 25



4


Nom br e:

NP:

Carr et eras 4 Calcular la plant a de desmon tes y terr aplenes de la carr etera adjun t a. Pendient e de desmont e 2/ 1 ; pendiente de t erraplén 1/ 1 E :1/ 2000

Cot a 40 50

60

60

50

40

30

40 50 60

cot a 50 70



5


Nom br e:

NP:

Carr et eras 5 Calcular lo s perf iles longit udin ales de las carret eras 1 y2 1


2


6


Nom br e:

NP:

Carr et eras 6 Calcular lo s perf iles longit udin ales de las carret eras 3 y4 3


4


7


Nom br e:

NP:

Carr et eras 7 Hallar la planta de desm desm ont es y t erraplenes de la carret carret era adj adj unt a. Talud alud des desmonte = talud terraplé terraplénn = 1/ 1 E= 1 / 2 00 00



8


Nom br e:

NP:

Carr et eras 8 El plano r epresent a un t erreno en el que se quiere dibuj ar una carret era de cinco t ram os, a saber: Tramo nº 1: alineación rect a AB de 100 m Tramo nº 2: Curv a de radio 100 m . y ángulo 120º , girando a la derecha. Tramo nº 3: Recta de 30 m. Tramo nº 4: Curv a de 40 m. a la derecha y de 90º Tramo nº 5: Recta de 60 m. Se pide. 1.- Const ru ir la carret era de anchura 20 m. 2.-Dibujar la planta definit iva del t erreno, util izando como t alud de desmont e 2/ 1 y de terraplén 1/ 1 3.-Ontener el perfil l ongit udinal, con los siguientes dat os TRAMO 1 PENDI ENTE 0,1 2 TRAMO 2 HORI ZONTAL TRAMO 3 RAMPA 0,0 75 TRAMO 4 RAMPA 0,0 75 TRAMO 5 HORI ZONTAL 4.- Dibuj ar l os perf iles t ransversales A, B , C y D E horizontal:1/ 1000 E vert ical: 1/ 200



9


Nom br e:


NP:


10


Nom br e:


NP:


11


Nom br e:


NP:


12


Nom br e:

NP:

Carretera 9 Dibujar la planta de desmont es y terraplenes Pd= 1 Pt = 0,5



13


Nom br e:

NP:

Carr et eras 10 Papel en posición per alt ada. Se consider a la recta XY, paralela y equidi stant e de los bordes menor es del papel. El cent ro O del papel, punt o medio de XY, es el punt o medio del segment o AC= 5 m . ( A a la derecha de C y am bos sobr e XY, AC es la diagonal m enor de un cuadril áter o ABCD, tal que AB = 5 m . ; BC = 7 m . ; CD = 4 m . y DA = 5 m . (D es el vért ice más próx im o al borde inferior del papel). La recta CY es la hori zont al de cota 5 de un pl ano P que desciende con talu d 2 hast a el plano de compar ación,acercándose al borde inf erior y t ambién l a recta XY es hor izont al de cot a 5 de ot ro plano Q, que asciende con t alud 3, acercándose al bor de superi or del papel. Las hor izont ales de cot a redonda de los planos P y Q y el plano de compar ación r epresent an un t err eno por sus cur vas de nivel. Sobre est e terr eno se debe const ruir una plat aform a horizont al de cot a 5, cuyo cont orn o es el polígono ABCD. Se pide: 1º ) Represent ar la plant a de conj unt o con sus terraplenes y desmont es y las int ersecciones correspondient es, dibuj ando las curvas de nivel con equidistancia un metro. Talud de desmont es: t = 2/ 3 Talud de t erraplenes: t = 1/ 1 2º ) Dibuj ar la tr aza del eje de un itin erario que partiendo del punto m edio del lado CD de la plataf orm a, desciende, apoyándose siempr e sobr e el t err eno, con pendiente constant e y m ódulo 3 hast a el plano de comparación, desviándose siempr e hacia la derecha para t ermi nar, con un t ramo h orizont al, en el vért ice inf erior derecho del papel. El it inerario t endrá el menor núm ero de t ram os y de mayor longitud posible. 3º ) Obtener el perfil del conj unt o por el plano de t raza MN, perpendicular a la diagonal AC, por su punt o medio O, y señalar el cruce con el it inerario obt enido en el a artado anterior. Escala: 1/ 100.



14


Nom br e:

NP:

Carr et eras 11 El croquis adjun t o represent a el eje de un camin o de 10 m de anchura, de rasante úni ca, hor izont al y a la cot a 80. Se tr at a, com o se ve, de dos alin eaciones rect as unidas por un t ramo curv o que se supone cir cular. Con t aludes de terr aplén de 1/ 1, SE PI DE: 1. Aproxim ar el cost o de la const rucción del camino, si se valora el t err aplén a 350 ptas/ m3. 2. A fin de evacuar el agua que pueda llegar por la vaguada, y a modo de t aj ea, de dispone de un t ubo ri zado de 2'5 m de diám etr o que at raviesa el terr aplén, siguiendo la línea de vaguada. Calcular l a longit ud del t ubo y dibu j ar su int ersección con el t erraplén,



15


Nom br e:


NP:


16


Nom br e:

NP:

Carr et eras 12



17


Nom br e:

NP:

Carr et eras 13



18


Nom br e:

NP:

Carr et eras 14



19


Nom br e:

NP:

Carr et eras 15



20


Nom br e:

NP:

Carr et eras 16



APÉNDI CE CUADERNOS DE GEOMETRÍ A APLI CADA ( 2)

EJERCI CI OS RESUELTOS





1

EJERCI CI O nº 1






2



3


EJERCI CI O Nº 2 E : 1/2000 En la figura se representa el eje de una carretera horizontal que discurre a la cota 100. y tiene una curva de 80 m. de radio. Se pide dibujar la planta de la misma con desmontes y terraplenes, sabiendo que la pendiente de desmonte es 1 y la de terraplén 0,5. Así mismo se pide dibujar el perfil longitudinal AB y los perfiles transversales 1 y 2. Cerca de la carretera y para asegurar la iluminación de la parte curva se sitúa una plataforma ala cota 105 y en ella un poste de 15 m. de altura en el que se ubican varios focos. Se pide, si es posible que con estos focos la totalidad de la curva que iluminada.

1

2

B

A

antena






4




5

EJERCICIO nº3





6

EJERCICIO 4





7

EJERCICIO 5

Colección José Exp ósit o

Talud desmonte 1 Talud terraplén 2 E 1/200





8

EJERCICIO 6

Colección José Exp ósit o






9




10

EJERCI CI O 7 Los punt os ABCD repr esent an la mar gen derecha de un río de 30 m. de anchur a que t ranscurr e de N a S por l a cot a 100.Las laderas que defin en el valle por el que discurr e el río ti enen pendient e 2/ 1. Por la margen derecha el t erreno est á form ado por planos t al y como se ve en la figu ra y por la izquierda don laderas de la pendiente ant es m encionada con una cota m áxim a de 260 m. y lu ego vuelven a baj ar con la m isma pendient e. Sobre est e t erreno se quiere const rui r una presa y una carr etera, ambas hori zontales a la cot a 220 de m anera que la coronación queda a la izquierda y la carret era a al derecha. La anchur a de am bas es 20m . y el parament o de aguas arr iba pasa por B t al y como se aprecia en la figur a y t iene radio de 200 m. , mi ent ras que la carr etera es rect a. Se pid e: 1. - Dibuj ar el t erreno con líneas de nivel cada 40 m. ( E: 1/ 2000) ( 2p) 2.-Pendient e del plano de la m argen derecha de mayor pendient e (0,5 p) 3.-Obtener l a cot a de F ( 0,5 p) 4.- Gradu ar la r ecta GF ( 0,5 p) 5.-Dibuj ar la pr esa sabiendo que la pendient e aguas arri ba es 8 y la de aguas abajo 4. (3p) 6.-Dibuj ar la carret era con pendiente de desmon t e 8 y pendiente de terr aplén 4. (2p) 7.-Perf il longi t udinal de la presa, carret era y terr eno por el eje de las primeras (1,5 p)






11





12




13

EJERCI CI O Nº 8 ( Joaquin Palencia Geometría Descriptiva pag.178)





14

EJERCI CI O Nº 9 ( Joaquin Palencia Geometría Descriptiva pag.185)






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EJERCI CI O Nº 10 ( Joaquin Palencia Geometría Descriptiva pag.180) La figura representa una plataforma cuadrada de cota 6. MN es la horizontal de cota 6 de un plano de talud 2. La rampa de acceso parte de la cota 0 y llega a la 6. Dibujar el terreno resultante con talud de desmonte 1/1 y de terraplén 5/4




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EJERCI CI O 17 Los punt os ABCD repr esent an la mar gen derecha de un río de 30 m. de anchur a que t ranscurr e de N a S por l a cot a 100.Las laderas que defin en el valle por el que discurr e el río ti enen pendient e 2/ 1. Por la margen derecha el t erreno est á form ado por planos t al y como se ve en la figu ra y por la izquierda don laderas de la pendiente ant es m encionada con una cota m áxim a de 260 m. y lu ego vuelven a baj ar con la m isma pendient e. Sobre est e t erreno se quiere const rui r una presa y una carr etera, ambas hori zontales a la cot a 220 de m anera que la coronación queda a la izquierda y la carret era a al derecha. La anchur a de am bas es 20m . y el parament o de aguas arr iba pasa por B t al y como se aprecia en la figur a y t iene radio de 200 m. , mi ent ras que la carr etera es rect a. Se pid e: 1. - Dibuj ar el t erreno con líneas de nivel cada 40 m. ( E: 1/ 2000) ( 2p) 2.-Pendient e del plano de la m argen derecha de mayor pendient e (0,5 p) 3.-Obtener l a cot a de F ( 0,5 p) 4.- Gradu ar la r ecta GF ( 0,5 p) 5.-Dibuj ar la pr esa sabiendo que la pendient e aguas arri ba es 8 y la de aguas abajo (3p) 6.-Dibuj ar la carret era con pendiente de desmon t e 8 y pendiente de terr aplén 4. (2p) 7.-Perf il longi t udinal de la presa, carret era y terr eno por el eje de las primeras (1,5 p)






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EJERCI CI O 19 Sobre la plant a del croquis, que se dibuj ará a escala 1:100, lim it ada por mu ros que alcanzan la cot a 10,00 m ,. Se pide: 1°.- En el sent ido vert ical de la figur a en su m ayor longit ud, de 11,50 m, enlazan t ejados planos inclinados, el de la izquierda for m ando un ángulo de 60° con el plano hor izont al y el de la derecha de 30°. Det erm inar la cota de la cumbr era o int ersección de am bos tej ados. 2°.- La part e super ior d el croqui s, que es semicir cular, se cubr ir á con un a superf icie cónica de secciones hori zont ales circular es y t angent es a los planos anteriores. 3°.- Los dos cuerpos hor izont ales later ales se cubr ir án con super fi cies cilíndr icas rem at adas en sus part es ext rem as con super fi cies esféricas t angent es a las cilíndr icas. Determ inar la int ersección de los cilindros con los tej ados planos de la pri mera pane. 4°.- La parte in ferior del croquis corresponde a una semi- pirám ide hexagonal regular que se ha cort ado y lim it ado por el plano vert ical que pasa por la línea hori zontal in feri or BC del croquis y vért ice A en el punt o medio de BC de cot a 19' 00 m . Hallar la int ersección de la cara o caras que corr espondan de la pirám ide con los tejados planos del 1º punt o.






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EJERCI CI O Nº 20 Una cubierta laminar de espesor despreciable está constituida por seis bóvedas cónicas, rect as y de base elípti ca, con v ért ice com ún V, t res cóncavas y t res convex as dispuestas en alt ernan cia. Los dos lados de un hexágono regular de 42 cm de perímet ro, sit uado en un plano h ori zont al, son l os ej es m enores de las bases elípti cas de los conos rect os, estando dichas bases en planos que for m an 60° con el horizont al. Los punt os de clave más altos de las bóvedas cóncavas t ienen cot a 10, y lo m ás bajos de las convex as, cota 0. Todo el conju nt o se cierra con parámet ros vert icales. En las zonas de int ersección de bóvedas consecut ivas se inst alarán pór t icos ret iculados que constit uyen la estr uctur a soport e, y que a su vez, servir án de lucern ari os. Se pide: 1°.- Dibuj ar acot ada la plant a del conju nt o. 2°.- Obtener el desarrollo de los cerramientos verticales correspondientes a m edia bóveda cóncava y la m it ad convexa sucesiva, con la zona de lucernamiento correspondiente. 3°.- Dibuj ar y acotar dos pórt icos situados en el m ism o plano.






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La plant a de la cubi ert a de una nave es un pen t ágono r egular ABCDE de 8,00 met ros de lado sit uado en el plano horizont al de cot a + 4,000 m. Los punt os medios de los lados definen ot ro pent ágono, cuyos punt os medios, a su vez, definen un t ercer pent ágono. Por l os lados del pentágon o ext eri or pasan planos que for m an 30° con el plano hori zont al y concurr en en un punt o, cuya proyección coincide con la del cent ro del pent ágono. Por l os lados del pentágon o int erm edio pasan planos que for man 4 5° con el plano horizont al y t ambién concur ren en otr o punt o, cuya proyección coincide con la del cent ro del pent ágono. Por los lados del pent ágono int ermedio pasan planos que for ma 45° con el plano horizont al y tam bién concurr en en ot ro punt o, cuya proyección coincide con la del centr o del pent ágono. Del m ismo modo, por los lados del pent ágono int erior pasan planos que form an 60° con el hori zontal y t ambién concurren en ot ro punt os, cuya proyección coincide con la del cent ro del pent ágono. Todos los planos de la cubier t a suben hacia el cent ro y se lim it an por las ari stas de los pent ágonos y por sus pri mer as int ersecciones. La nave est á cerr ada, entr e la cot a 0,00 y la cota + 4,00, por parament os vert icales. Se pide a escala 1:100 . 1°.- Dibuj ar la cubiert a con 0,50 m de equidist ancia. 2°.- Dibuj ar un per fil tr ansversal que pase por el cent ro del pent ágono y uno de sus vért ices, definiendo, con cot a y distancia al cent ro del pent ágono, sus puntos característicos. 3°.- Calcular l a super fi cie de la cubier t a y el volum en de la nave. La pr im era, para compr ar el mat erial que form a la cubiert a y el segundo, para determ inar la caldera que ha de calent ar la nave.

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EJERCI CI O Nº 22 Las arist as AB, AC y AD son las m ás bajas de un cub o de 5 cm de lado . Las cotas de los vért ices B, C y D son respecti vament e 1; 2 y 3' 5. SE PI DE, en acot ados: 1°.- Dibuj ar el cubo, acotan do los vért ices. 2º Somb ra arr oj adas sobre el plano de compar ación con luz paralela a la diagonal principal que pasa por el punt o A. .-






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EJERCI CI O Nº 23 Un puert o de mont aña tiene la form a de un paraboloide hiperbóli co del que se conocen las rectas A( -20 0,250,0) -B(200 ,250,80) ; C( 200,-250 ,0) -D( -200 -250 80) y M(200,0,40) -N( -200 ,0,40), cuyas coordenadas est án dadas en un sistemas de ref erencia en el que el origen es papel, en posición vert ical, con el eje OX paralelo a los bordes menor es del papel, y posit ivo hacia la der echa, y el ej e OY paralelo a los bordes mayor es y posit ivos hacia abajo. Las coordenadas vienen en metros. 1°.- Dibu j ar el t err eno, a escala 1:2 500, con líneas de nivel corr espondient es a las cotas 70,60,50,48,46,44,42 y 40 y lim it ándolo por sus int ersecciones con los planos x=200, x—200, y= 250, y= -25 0. Just ifi car el t ipo de curvas de nivel obt enido, defin iendo los elem ent os canónicos de la curva de niv el de cot a 46. 2°.- Det erm inar l a proyección acot ada del vért ice, del ej e y de las secciones principales del paraboloide al que pert enece el t erreno defini do, 3°.- Se desea const ru ir un camin o que vaya desde el punt o P(- 150.- 250.Zp) h ast a el punt o Q( 200,-187 '5,Zp) , amb os sobre el t erreno. Este camino t endrá form a de poligo nal, con sus vért ices sobre las líneas de nivel dib uj adas, e irá pegado al t erreno, de form a que su longit ud sea la menor posible y que su pendient e no sea superior al 14% . Dibuj ar la plant a del eje del camino. 4°.- Dibu ar el erfil lon itudinal del camino anterior, indicando su lon itud.






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EJERCI CI O Nº 24 Para cubrir una nave rect angular de 30 m de anchur a se piensa en una cubiert a realizada con módulos iguales adosados. Cada módul o cubre un a super fi cie cuadrada de 30 x 30 m 2. Los punt os m edios de los lados de este cuadrado corr esponden a punt os de la cubiert a de cot a 5 m, sus vért ices y su cent ro a punt os de cot a 10 m. El contor no del módul o es un octógono alabeado. La cubiert a es lami nar ( espesor despreciable) const it uida por superf icies alabeadas regl adas. SE PI DE, en acot ados: 1°.- Encont rar u na solución de cubier t a bajo las condicion es ant eri ores, definiéndola por sus curvas de nivel de met ro en m etr o. Se indicará expresament e el nom bre de las superf icies adopt adas como solución.






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EJERCI CI O 25 Papel peralt ado. Se da el pun t o 0( 7) que se proyecta a 11 cm del bord e del papel izquierdo y a 17 cm del inferi or. O es el cent ro d e una esfer a de radio 6 cm . El plano S for m a 60° con el hor izont al, sus líneas de niv el son paralelas al bor de superior del papel, asciende hacia dicho borde y la hor izontal de cota O dista 3 cm de la proyección hor izontal del centr o de la esfera h acia el bor de inf eri or del papel. SE PI DE, en acotados: 1°.- Deter m inar l a sección del plan o en la esfera. 2°.- Sit uar en l a circunf erencia sección un cuadrado t al que una diagonal f orm e 45° con el hori zont al y el vért ice A más bajo de ella quede a la izquierda de la f igur a. 3°.- Trazar el cili ndr o circunscrit o a la esfera cuyas generat ri ces for m en 45° con el plano de compar ación ascendiendo hacia la part e super ior del papel y t al que se proyecten paralelament e a sus bordes lat erales. Se considerará lim it ado el cilindr o por l a circunferencia de cont act o con la esfer a y el plano hor izontal suponiendo la esfera t ransparent e. 4°.- Hallar los planos tangent es a la esfera en los punt os M y N de int ersección de amb as circunf erencias (La sección con el plano S y la de cont act o con el cilin dr o) .






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EJERCI CI O Nº 26 Un profesor, viaj ando por I t alia, quedó sorpr endido por la iglesia parroquial de Schio. dedicada a l a Sant a Croce. En un a prim era aproxim ación, consideraremos la plant a como u n polígono regular de doce lados, dodecágono r egular de 6,00 m d e lado, y prescindi rem os del por che, que carece de int erés para nosot ros. La cota de aleros est á a 6,00 m . Los punt os más alt os de la cubi ert a, corr espondient es a las lim at esas de la part e super ior que se consideran hori zontales, est á a cota 1 5,00 m . Tres metr os más abajo, a cot a 12,00 m, exist e un hexágono regular, de ^ ,00 m de lado, que define, tant o la part e superior como la infer ior. Sabemos que la limahoya superior y l a limat esa inferior form an una linea rect a y que, tanto en la part e inferior como en la superior , las lim atesas t ienen una longit udd t al, que los triángulos que enmar can la vidr ieras son equilát eros, dentr o de su plano inclinado. La inclin ación de todos los faldones es la m isma, excepto los pequeños t ri ángulo s casi hori zontales de la part e inferior de la cubiert a. SE PI DE en acotados represent ar la cubier t a con las líneas de nives cada m etr o.



ACOTADOS PRÁCTI PRÁCTI CAS


EJERC EJERCII CI OS RES RESUELTOS UELTOS

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EJERC JERCII CI O Nº 27 Se define un t erreno del cual se conoce conoce la recta A(4,-5,9) -B(4,5,9) . Dicho Dicho t erreno t iene una pendient pendient e de 1/ 4 y desciende desciende hacia hacia el borde izquierdo de papel. papel. En este ter reno se realiza una excavación excavación según una pir ámi de, t al que cualqui cualqui er sección sección de ella por un plano h or izont al es es un cuadr cuadr ado. El vért ice de la pirám ide es el punt o V( V( 0,0,2). Las Las caras caras de la pirámide que concurr concurr en en en V ti enen una pendient pendient e de 5/ 3, y las hor izont ales de dichas caras caras son paralelas, unas al ej e OX y ot ras al ej e OY. OY. La La excavación excavación se realiza ent re di chas caras. caras. Una vez realizada la excavación, excavación, se rellena ést ést a vert iendo ár idos desde desde un pun t o situado en l a vert ical ical del pun t o V. Los Los áridos con con que se rellena lo máxim o posible sin que el el mat erial desborde desborde por f uera la misma. SE PI DE en acot ados: 1°.1°.- Hallar las int ersecciones ersecciones de la excavación excavación con el t err eno, dibuj ando las líneas líneas de nivel cada cada metr o. 2°.2°.- Dibu j ar el r elleno de ár idos y sus líneas de int ersección ersección con la excavación, defi niénd olas por sus element os canónicos, y dibu j ando asimi sm o sus líneas de nivel cada cada met ro. 3°.3°.- Dibuj ar la secc sección ión t ran sversal sversal del conju nt o por el plano XZ. XZ. Este Este apart ado se se realizará en la parte superior del papel. papel. Papel peralt ado. Esc Escala ala 1/ 100. Origen de coord coord enadas a 7 cm cm , del del bor de inf eri or del papel y centr ado con relación a los bor des lateral es del m ismo. Ej Ej e X posit ivo h acia acia la derecha y eje Y posit posit ivo hacia arri ba. Cot Cot as en met ro s.






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EJERCI CI O Nº 28 La linea ABCD represent a el eje de un cam ino, com puesto po r do s alin eaciones rect a, AB y CD, de 30 m de longi t ud cada una de ellas, unidas ent re sí por un t ram o circular t angente a am bas de radio OB= OC= 30 m . El ángulo BOC= 120°. La figu ra se dispondr á de for m a que, con el papel en posición vert ical, AB quede hor izont al en la part e inferi or del papel con el punt o A a 4 cm del borde derecho del papel y a 8 cm del borde inf erior. B queda a la izquierda de A. El camin o se pude considerar en gendr ado por un per fi l t rapecial, cuya base superior tenga el ancho del camino, 5 m, y cuyos t aludes sean 2/ 1 el int erior y 1/ 1 el ext erior. Dicho t rapecio se desplaza, mant eniéndose vert ical, con la base superi or siemp re hori zontal y norm al al eje del caminos. Las rasantes del camino quedan definidas por las cot as roj as de los punt os A(20 ) , B( 15) , C( 5) y D( 0) . El t erreno nat ural se confunde con el plano de comparación. Los t err aplenes de la carr eter a son at ravesados por u n t únel cuya sección es un segment o circular de radio 4 m y alt ura 6 m . El t únel es recto, horizont al, su eje pasa por l a vert ical pun t o O, cent ro de la curva de la carreter a, form a 45° con la alineación AB y en plant a lo verem os subiend o desde la part e izquierda del papel hacia la derecha. La part e recta de la sección del tú nel se mant iene siempr e a cot a (0) . El camin o ABCD se prolon ga desde el punt o D(0) , para t erm inar pasando por debajo de si m ismo, acot a (0) , siguiendo la alineación del t únel. El cambio de dirección se hará con una ún ica cur va circular de radio 20 m , tangent e a la alineación CD y a la del t únel. SE PI DE, en acot ados dibuj ar el conj unt o a E 1:5 00






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EJERCI CI O Nº 29 Se proyecta u n vert edero de residuos sólidos urbanos (RSU) en el lugar que se indica en el plano que se adjun t a, a escala 1:100 0. Para ello, se dispone una presa de contención de eje AB, coronación de 15 m de ancho a la cota 803 y t aludes igual a 2. SE PI DE, en acot ados: 1°.- Dibuj ar la pr esa, con curvas de nivel cada met ro y calcular el volum en de terraplén necesario para su construcción , con un error menor del 30% . 2°.- Dibuj ar la zona ocupada por el vert edero, un a vez ut ilizado, con curvas de nivel cada m et ro , con las condicion es siguient es: - Talud de l os residuos igu al a 3. - Se dispone una lim at esa, que en plant a es perpendicular a AB, por el centr o del eje de la coronación proyectada. Esta lim atesa t iene una pendient e del 2% subiendo hacia la part e superior de la hoja y comenzando a cota 809 en lo alt o del plano del t alud del vert edero. Para aclarar est a condición, se indica cómo es el perfil longit udinal a lo lar go de la limatesa - Desde la lim atesa se dej an planos a ambos lados con pendien t es del 3% descendiendo d esde la li m at esa . 3°.- Esti m ar el volu m en de RSU que caben en el vert edero, una vez ut ili zado, con un error menor del 50% . Se valorar á la present ación y exact it ud de las constr ucciones.






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EJERCI CI O Nº 30 La topograf ía que se adj unt a, realizada a escala 1/ 400, corresponde a las dos laderas mu y escarpadas de una gargant a. Una tubería cilin dri ca de 3 m de diám etr o y ej e AB, desciende desde A(536 m ) hacia B con una pendiente del 20% y, para atr avesar l a garganta, se apoyará sobre el t ablero de un puent e, que constr uye baj o las sigui entes condiciones: - El cant o (espesor) del t ablero del p uent e, incluidas las vigas, es de 1 m y su ancho de 5 m . Su eje en planta coincide con la alineación. - Para soport ar el t ablero se const ruye un ar co de directr iz parabóli ca de ej e vert ical, bajo los siguient es supuest os. - La parábola direct riz del arco pasa por el punt o C(500 m) donde su t angente f orma 58° con la hori zontal . - La mínim a distancia de dicha parábola al ej e de la t ubería es de 5,5 m. - El arco, que t iene un ancho de 3 m, t iene por t rasdós e int radós, respect ivam ente, dos parábolas coaxial es con la que sir ve de directr iz, de for ma que el cant o en la clave es de 1 m, y en el punt o C, a la cota 500 m, dond e se cimient a, su cant o es de 3 m. - Por la derecha se ciment ará a la cota 490 m . - El t ablero se soport a mediant e colum nas de 3x1 m 2, quedando, por t ant o, a cada lado un voladi zo de 1 m . El ej e de la colum na centr al coincide con el del arco, est ando las demás sim étr icament e distr ibuidas a equidi stancias de 10 m. Las columnas apoyan sobre el arco, salvo l a situada m ás a la izquierda que se cimi enta sobre el terreno a la cota 514 m . - Las cim entaciones del arco y de la colum na que no apoya sobre él, se realizarán sobre plat aform as hori zontales, excavadas sobre las laderas con t aludes vert icales, dej ando 1 m de dist ancia libre entr e ellos y los parám etr os.de los element os estr ucturales (arco y columna) . - La tubería quedará exent a (no ent errada) en el t ramo comprendido entre l os punt os en los que el recubri mi ento de t ierr as es m enor de 2 m, realizando para ello excavaciones en tri nchera, con un ancho de solera de 5 m y t aludes H/ V= 1/ 2, excepto en los que enfr entan al eje de l a t ubería, que serán vert icales. Se pide: 1°.- Dibuj ar el alzado y la plant a del conj unt o de la const rucción, definiendo las parábolas de t rasdós, int radós y directr iz del arco mediant e sus vérti ces y dir ect ri ces, las distr ibución de columnas, la t ubería y represent ar las excavaciones precisas. 2°.- I ndicar los siguient es valores: Cotas de la clave de la parábola dir ect ri z del arco. Dim ensiones de la sección del arco en el plano de cim entación de l a derecha. 3°.- Cubi car el volu m en de excavaciones que es preciso realizar . Directr ices de un arco: entenderem os como l a línea descri t a por los cent ros de gr avedad de las dist int as secciones del arco. En nu estr o caso las secciones son rectangul ares de ancho 3 m y cant o variabl e. Trasdós e intr adós. Trasdós: superfi cie ext erior convexa de un arco o bóveda, contr apuesta al int radós o superficie int erior. Dada la natu raleza del ejercicio, se valorará muy sustancialm ente la exactit ud, lim pieza y delineación. CUADERNOS DE GEOMETRÍ A APLI CADA





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EJERCI CI O 31 HALLAR LA I NTERSECCI ÓN DE LA PI RÁMI DE Y LA ESFERA DE RADI O 4 CM. APOYADA EN EL PLANO HORI ZONTAL



Libro Acotados Cert

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