DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA ESTADISTICA-2008-I MVH
Certamen Nº 1- 523210 (Sección 3) Problema 1.(15 Puntos). Una empresa que se dedica a la construcción de microchips de computación, mantiene un sistema de control permanente sobre sus productos, en forma automatizada y con un 95% de precisión. Si se estima que el 0.4% de los chips producidos por la empresa no se ajustan a las especificaciones especificaci ones técnicas. Determine la probabilidad probab ilidad que qu e un chips no se ajuste ajus te a las especificaciones, especificacio nes, dado que los resultados del control así lo indican. Solución Definamos los eventos: A=El chip se ajusta a las especificaciones especificaci ones técnicas C= El sistema de control indica que el chip revisado está ajustado a las especificaciones. especificaci ones. c Datos: Datos: P(A ) = 0.004 0.004 Ê P(A) = 0.996 0.996 La precis precisión ión del del sistema sistema de de control control se tradu traduce ce en: en: P(C/A) P(C/A) =P(C =P(C -/A c) = 0.95 El Sistema Control es preciso (no se equivoca) si dice que el chip está ajustado, dado que efectivamente está ajustado y dice que no está ajustado cuando está desajustado a las especificaciones. Se deduce deduce que las las probabil probabilidad idades es de equiv equivocar ocarse se : P(C c/A) =P(C/A =P(C/A c)= 0.05, 0.05, c c P ( C / A ) P( P ( A ) 0 . 9 5 ( 0 . 0 0 4 ) Se pide: P(Ac / Cc) = = 0.0536 = 0.0038 =0.0686 P(Cc ) 0.0536
donde donde P(Cc) =P(C =P(Cc/Ac) P(Ac)+P(C )+P(Cc/A) P(A) = 0.95(0 0.95(0.00 .004)+ 4)+0.0 0.05(0 5(0.99 .996)= 6)= 0.0536 0.0536 Problema 2. (15 Puntos) Los registros de ventas diarias de una empresa fabricante de computadoras muestran que se venderán 0, 1 ó 2 sistemas centrales de cómputo con sus probabilidades según la siguiente tabla: Número de ventas 0 1 2 Probabilidad 0.7 0.2 0.1 a) Determinar la distribución de X, el número de ventas en un periodo de dos días, suponiendo que las ventas son independientes de un día a otro. b) Calcular la probabilidad de que al menos se formalice una venta en un periodo de dos días. c) Determinar el número medio de ventas en un periodo de dos días. Solución a) Denotemos Denotemos por (a , b) los registros de ventas ventas en en cada cada día , donde donde a representa las ventas del primer día y b las ventas del segundo día.
Así X = x ssi a+b =x, x= 0, 1, 2, 3, 4 X= 0 ssi ocurr ocurree (0 (0 , 0) Ê P(X=0) P(X=0) = 0.7( 0.7(0.7 0.7)=0 )=0.49 .49 por por inde indepen penden dencia cia X=1 ssi ocurre (0,1) o (1,0) Ê P(X=1) = 2(0.7)(0.2)=0.28 2(0.7)(0.2) =0.28 X=2 ssi ocurre (1,1) o (0,2) o (2,0) Ê P(X=2) = 0.2(0.2)+ 2(0.7)(0.1)=0.18 2(0.7)(0.1)=0.18 X=3 X=3 ssi ssi ocur ocurre re (1,2 (1,2)) o (2,1 (2,1)) Ê P(X= P(X=3) 3) = 2(0. 2(0.1) 1)(0 (0.2 .2)= )=0. 0.04 04 X=4 ssi ocurre (2,2) Ê P(X=4) = (0.1)(0.1)=0.01 (0.1)(0.1)=0.01 x 0 1 2 3 4 p(x) 0.49 0.28 0.18 0.04 0.01 b) P(X 1) = 1 P(X=0) = 0.51 c) E(X)=2 E(X)=2(E(N (E(Nºº ventas ventas diarias) diarias))=2(. )=2(.4)=0 4)=0.8 .8 o E(X)= E(X)= xp(x) xp(x) = 0(0.4 0(0.49)+.. 9)+....+4( ..+4(0.01 0.01)= )= 0.8 0.8
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Problema 3. (15 Puntos). El rendimiento, en metros cuadrados, de un tarro de cierta pintura (considerada como muy buena por su calidad) tiene función de distribución acumulada dada por: 0 y0 y 0 Ÿ y<2 8 F(y) = . 2 y 2 y<4 Ÿ 16 1 y4
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a) ¿Cuál es la probabilidad que el rendimento de un tarro esté entre 0.5 mts 2 y 2 mts 2? b) ¿Cuál es la probabilidad que el cuarto tarro ocupado sea el primer tarro con rendimiento superior a 3.5 mts 2 . c)¿Cuál es el rendimiento esperado por tarro?
Solución Sea Y = Rendimiento de un tarro en m2. Y es una variable continua porque su función de distribución lo es. 4 3 0.5 a) P(0.5 Y 2) = F(2) F(0.5) = 16 = 16 = 0.1875 8 b) p=P(Y 3.5) = 1 PÐY Ÿ $Þ&)= 1 12.25 = 3.75 16 16 Sea X" = Nº de tarros ocupados hasta encontrar el que tiene un rendimiento superior a 3.5 m# Þ X1 µ Geométrica (p= 3.75 ) 16 12.25 3 3.75 Se pide P(X1 =4) = ( 16 ) ( 16 )= 0.1052 c) E(Y) =
(
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y dy+ 8
4
( y( y8 )dy = 246 + 2456 = 62#4 = 2.58 m . 2
2
Problema 4. (15 Puntos). Un libro con 500 páginas contiene, en promedio, 3 errores por 10 páginas. ¿Cuál es la probabilidad que haya más de una página que contenga al menos 3 errores? Solución. Sea Y = Nº de páginas de las 500 que contienen al menos 3 errores. Y µ Binomial ( n=500, p = P(X 3) ), donde X= Nº de errores por página, X µ Poisson ( .= 0.3)
y por lo tanto
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p = P(X 3) = 1 P(X Ÿ 2) = 1 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
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(0.3)#
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= 1 e0.3 +0.3e0.3 + # e0.3 œ " 1.345 e0.3= 0.0036. Así, Y µ Binomial ( n=500, p = 0.0036 ) y la probabilidad pedida es: P( Y 1) = 1 P(Y Ÿ 1) = 1 P(Y=0)+P(Y=1) " %** = 1 500 0.0036! Ð0.9964Ñ500 &!! 0 " 0.0036 Ð0.9964Ñ œ " 0.9964500 (500)(0.0036) (0.9964 499) = 1 0.46 = 0.54
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