Modos básicos de aplicación de las tensiones sobre una grieta Modo I (modo de abertura) corresponde a separación de las caras de la grieta bajo la acción de tensiones normales; Modo II (modo de deslizamiento) refiere al desplazamiento de los labios bajo la acción de tensiones de corte perpendiculares al frente de grieta;
Modo III (modo de desgarre) se produce por deslizamiento y cizalladura de los labios de la fisura, en una dirección paralela al frente de grieta.
Ecuaciones de las tensiones elásticas en los puntos próximos a una grieta - A partir de los conceptos de tensión plana y deformación plana
- Ecuaciones de equilibrio - Ecuaciones de compatibilidad para las deformaciones
- Función de Airy de la tensión - Solución de la ecuación biharmónica - Funcion compleja de Westergard para placas cargadas biaxialmente - Se obtienen los desplazamientos para modo I
a X
2 r a
Y
- Factor de intesidad de tensiones en modo I Westergard (1939), Irwin (1957)
2 r
cos
3 1 sin sin 2 2 2
cos
3 1 sin sin 2 2 2
a
XY
3 sin cos cos 2 2 2 2 r
Tensión plana y deformación plana: tensiones y desplazamientos en coordenadas cartesianas y cilindricas Mode I:
Tenión plana (plane stress)
Deformación plana (plane strain)
Linear Elastic Crack-tip Fields (tension plana y deformación plana) Mode II:
Mode III:
CARACTERISTICAS DEL CAMPO DE TENSIONES - Las expresiones de las tensiones y los desplazamientos se reducen a formulas muy sencillas:
-Los detalles de la tensión aplicada y geometría entran sólo a través de K !!! Para una placa infinita con una grieta central pasante: K = ( a)1/2
- Pero para cada modo la forma del campo de tensiones es distinto !!!
- Principio de superposición : para un modo determinado, los valores de K son aditivos Funciones angulares del factor de intensidad de tensiones para los tres modos de fractura
Variación de la tensión normal al plano de la grieta Si examinamos la componente de la tensión x, tenemos (línea discontínua): El valor de la tensión tiende a infinito cuando r tiende a cero. Esto es debido a que se ha supuesto que el ángulo de curvatura de la punta de la grieta es cero y que el material es sólo elástico. En realidad, necesariamente debe tener un valor finito tanto el radio como la tensión a partir de la cual el material deja de ser elástico. A medida que nos alejamos de la punta la tensión tiende a cero lo cual no es válido. La expresión desarrollada para la tensión es válida solamente a distancias muy pequeñas de la punta de la grieta
yy a lo largo de la dirección del eje
yy
=0
KI 2 r r zona dominada por la singularidad Fig. 4.3 Tensión normal al plano de la grieta en modo I
Factores de intensidad de tensiones para otras geometrías
- Probetas con una grieta en el borde en una placa semi-infinita (Semi infinite edge notched specimens)
KI
- Anchura finita con una grieta central pasante (Finite width centre cracked specimens) - Anchura finita con una entalla en el borde ( Finite width edge notched specimen) - Probetas con la fuerza sobre la grieta (Crack-line loading specimens) -Grietas Elípticas / Semielípticas (Elliptical / Semielliptical cracks)
edge notched
C*
a*f
a W
finite width
Anchura finita con una grieta central pasante (Finite width centre cracked specimens) :
f(a/W) Irwin:
KI
a
W a tan a W
a Brown: f W
a 1 0.256 W
a 1.152 W
approx.
Isida: 36 term power series
Feddersen:
KI
a sec
a W
2
a 12.200 W
3
Probetas con una grieta en el borde en una placa semi infinita (Semi infinite edge notched specimens). Bordes libres: la grieta se abre más que en una placa infinita resultando en un aumento del 12% en el factor de intensidad de tensiones
KI
1.12
a Single edge notched (SEN)
SEN:
Finite-width edge-notched specimens:
a a 1.122 0.231 W
KI
Double edge notched (DEN)
a 10.550 W
2
a 21.710 W
3
a 30.382 W
4
0.5% accurate for a/W < 0.6
DEN: 0.5% accurate for any a/W
KI
a
a 1.122 1.122 W
a 0.820 W 1
2
2a W
a 3.768 W
3
a 3.040 W
4
Dos soluciones importantes desde el punto de vista práctico Probetas con una fuerza puntual sobre la grieta (Crack-line loading specimens) (P: fuerza por unidad de espesor) P
K IA
a
a a
P
K IB
a a
a
x x
x x
Para una fuerza en el centro
KI
P
Grieta bajo una presión interna (la fuerza por unidad de espesor en dx es Pdx, siendo P la presión interna)
a
KI disminuye cuando la grieta aumenta de longitud !
KI
Solución muy útil para: - Placas con remaches o tornillos - Problemas donde hay presión interna
KI
a
P a
P a
a
a
0
a a
x dx x
2a a2
x2
dx
a
P a
2 Pa
0
a a
x arcsin a a
x x
a a
x dx x
a
P 0
El mismo resultado que para una tensión externa
a
Grietas elípticas
Las grietas se forman en realidad en discontinuidades de la superficie como por ejemplo se muestra en las figuras
Empezaremos considerando situaciones ideales: • Grietas elípticas inmersas en el interior del material.
•Grietas semi-elípticas superficiales
Ejemplo: grieta en una esquina en una sección longitudinal en la intersección de un recipiente a presión.
Grieta elíptica en un medio infinito bajo Modo I Solución de Irwin:
a
KI Where
sin
2
a 2 cos c2
4
: elliptic integral of the second type
2 0
1
2
1
(c 2
a2 ) c
2
sin 2
d
Q
Las grietas que se producen en servicio tienen generalmente una forma irregular, pero al propagarse por fatiga o por corrosión bajo tensión suelen adquirir una forma próxima a la forma elíptica si se trata de una grieta en el interior, o semielíptica si se trata de una grieta superficial. En este último caso suele ser costumbre llamar 2c a la longitud del eje mayor de la elipse y a al semieje menor. a/c
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.000
1.016
1.051
1.097
1.151
1.211
1.277
1.345
1.418
1.493
1.571
KI varia a lo largo del frente de grieta
max. at min. at
= /2: = :
KI
KI
a
a
a c
Gieta circular: KI
1 * /2
a
Durante el crecimiento de una grieta elíptica ésta tenderá a ser circular : importante en problemas de fatiga
Grieta semielíptica en la superficie Para = /2 Donde Q1/2 es la integral elíptica:
Q
2 0
(c2 a 2 ) 2 1 sin 2 c
d
Existe una aproximación para con un error menor del 5%.
Q
3 8
a 8 c
2
Grietas superficiales semi-elípticas Generalmente, en la práctica, el tipo de grieta más común es una grieta semielíptica o de un cuarto de elipse superficial. La presencia de superficies libres significa que debemos añadir factores correctores a las expresiones para grietas en el interior. En el caso de la grieta elíptica superficial, la presencia de la superficie se tienen en cuenta mediante un factor de 1.12, mientras que una grieta de un cuarto de elipse típica de una esquina el factor es 1.2. También hay que tener en cuenta la presencia de la otra superficie delante de la grieta si el espesor no es mu grande comparado con la profundidad de la grieta. Las soluciones más exactas para grietas semielípticas superficiales son las obtenidas por Raju y Newman y que se basan en cálculos por elementos finitos. En este caso el factor de intensidad de tensiones se escribe
KI C
a/
Donde (ver figura siguiente) W>>c y el valor de C depende de a/c, a/B y . Los valores de C se indican en la tabla.
Grieta superficial semielíptica sometida a tracción KI C
a/
Factores de intensidad de tensiones para una grieta semielíptica superficial en una placa de dimensiones finitas, de acuerdo a Newman y Raju
Factores de intensidad de tensiones para grietas superficiales semi-elípticas: la solución de Newman y Raju (la más exacta) en comparación con otras aproximaciones
KI a Q
SUPERPOSICION DE FACTORES DE INTENSIDAD DE TENSIONES
1) Grieta bajo una presión interna:
K IA
K IB
K IC
K ID
0
K ID
K IC
H
P
a
P
2) Grieta superficial semielíptica en un recipiente a presión
R B
KI H
K IP
CP 1 KI
KI H
K
P I
C
P
a
CPR B
H
CP
R B
K IP
a
a
a
a
3) Grietas emanando de un agujero cargo una carga P siendo el agujero pequeño comparado con las grietas
KI
a 2
P 2
a
f
where P is the force per unit thickness
a W
Applications of Fracture Mechanics to Crack Growth at Notches
Numerical Solution:
S
Newman 1971
2a
2c
l
l
L* : transitional crack length S
L*
c 1.12 * K t
2
1
Example: 2c = 5 mm, L* = 0.25 mm 2c = 25 mm, L* = 1.21 mm
For crack length l ≥ 10% c: crack effective length is from tip to tip!!! (including notch)
Consequences:
plane window
Edge crack at window
Crack in groove of a pressurized cylinder
Lager effective crack length by a contribution of a notch !
For relatively small (5-10 % notch size) cracks at a hole or at a notch, the stress intensity factor K is approximately the same as for a much larger crack with a length that includes the hole diameter / notch depth. Reading: Fatige and the Comet Airplane (taken from S. Suresh, Fatigue of Materials)
RECIPIENTES A PRESIÓN DE PAREDES DELGADAS Cuando un recipiente tal como por ejemplo una tubería contiene un fluido a altas presiones. Las tensiones que se desarrollan en las paredes se pueden deducir equilibrando las fuerzas ejercidas por la presión con las tensiones desarrolladas en el interior. Esto se muestra en la figura tanto para tensión axial como para la tensión tangencial
Para un cilindro de pared delgada (t<
La tensión tangencial es el doble de la axial .
z
Pr 2t
Obtención de factores de intensidad de tensiones Existen Handbooks en los cuales pueden encontrarse factores de intensidad de tensiones. Obviamente para geometrías complicadas o cargas variables es muy probable que el factor de intensidad de tensiones no haya sido determinado o no pueda expresarse de una forma analítica sencilla.
Cuando no se encuentran, entonces debe realizarse un cálculo por elementos finitos. En las siguientes transparencias se ofrecen algunos factores de intensidad de tensiones para geometrías sencillas y que a menudo se utilizan.
Relación entre G y K •
Consideremos una grieta pasante en una placa infinita bajo desplazamiento constante en sus extremos. Supongamos que la grieta aumenta su longitud en a a lo largo del plano de la grieta en la dirección x. Una vez extendida cerramos de nuevo la grieta ejerciendo unas fuerzas sobre su superficie de magnitud igual a la componente yy del campo de tensiones que existía cuando la grieta no se había extendido en a. Estas fuerzas son después relajadas hasta cero con lo cual la grieta vuelve a abrirse hasta el valor sin tensión aplicada sobre sus caras y que denominamos uy.
a
uy
Relación entre G y K • El trabajo realizado sobre el sistema por las tensiones yy durante los desplazamientos uy a lo largo del eje y es igual al cambio en energía disponible para la fractura al disminuir el área de la grieta en S:
dU ( )u S dS • El trabajo realizado (la energía mecánica) es igual al cambio en la energía disponible para la fractura (en este caso sólo energía elástica), ya que las fuerzas externas no realizan trabajo al estar la placa bajo desplazamiento total fijo (u= constante):
1 2 ( 2 S
yy
dS )u y
dU ( )u S dS
Puesto que G se define como:
G
(
dU )u dS
Entonces
G
2 lim S 0 S
1 2 S
a
u dS
yy y
uy
Para la unidad de espesor
a
G
2B 1 lim a 0B a 2 0
u dx
yy y
Necesitamos conocer los valores de yy y uy. En el sistema x’-y’, que tiene su origen en la punta de la grieta cuando la tensión sobre ella ha sido relajada. Hemos visto que en el sistema x’y’ en tensión plana:
uy
4K I r ' E 2
4K I
( x ')
E 2 a
Lo cual es válido para x’<0 que es el caso que nos interesa. De la figura tenemos que x’= (x- a). Por tanto
uy
uy
4K I r ' E 2
4K I E 2
( x ')
4K I a x E 2
Por otra parte las tensiones vienen dadas por
yy
KI 2 x
para
x 0,
y 0 a
uy Por tanto,
G
2 1 lim a 0 a 2 0
KI 2 x
4K I a x dx E 2
2 K I2 lim a 0 E a 0
a x dx x
Realizando el cambio de variables x= a sen2z, se puede demostrar que el valor de la integral es a/2. Por tanto para tensión plana:
GI
K 2I E
En el caso de deformación plana se encuentra:
GI
K 2I E /(1 2 )
Modos II y III
De forma similar, se puede demostrar que en el caso de deformación plana para los modos II y III se tiene G II = 1
G III = 1+
2
K 2II E
K 2III E
La energía total disponible para la fractura en modo mixto de carga puede calcularse fácilmente mediante la suma de las energías de los diferentes modos
G GI GII GIII
2
1 E
K I2 K II2
2 K III 1
(4
Condición de fractura Debido a la relación existente entre G y K y considerando que en la lección anterior se estableció que la fractura ocurre cuando G alcanza un valor crítico (Gc), también podemos afirmar que la fractura ocurrirá cuando el valor de K alcance un valor crítico que se representa por Kc y que se denomina tenacidad de fractura. En tensión plana ambos están relacionados por :
GIc
K 2c E
Mientras que en deformación plana la relación es:
GIc
K 2 Ic E /(1 v 2 )
En modo I se suele reservar el simbolo KIc para la tenacidad de fractura en deformación plana, mientras que la tenacidad de fractura en tensión plana se representa mediante KC .
ESTABILIDAD DE LA FRACTURA De forma análoga a las consideraciones realizadas para la estabilidad de la fractura en términos de G, la estabilidad de la fractura se puede escribir en términos de K dG/dc > 0, dK/dc > 0,
(inestable)
dG/dc < 0, dK/dc < 0,
(estable)
ADITIVIDAD DE LOS FACTORES DE INTENSIDAD DE TENSIONES. Para materiales con un comportamiento elástico lineal, los componentes individuales de esfuerzo, deformación y desplazamiento que actúan bajo un mismo modo de carga sobre una grieta son aditivos. Sin embargo, los correspondientes valores de G asociados a los distintos factores de intensidad de tensiones no lo son. Es decir, K I total K IA K IB K IC
(4.63)
K total K I
(4.64)
pero en cambio, K II
K III
El principio de superposición permite determinar factores de intensidad de tensiones para configuraciones complejas si éstas pueden resultar de la superposición de configuraciones más sencillas.
FRACTURA EN MODO MIXTO Cuando dos o más modos de carga actúan simultáneamente, los valores de G correspondientes a cada modo pueden sumarse a fin de obtener la energía total disponible para la fractura:
G GI GII
GI
1
2
KI2 E
GII
2
1 E
KII2
La fractura ocurrirá cuando G alcance
K II K Ic = K IIc
un valor crítico y en primera aproximación,
K IIc
círculo: K I2 elipse:
se puede suponer que la condición K Ic
de fractura es
2 K II2 = K Ic
KI K Ic
2
+
K II K IIc
2
=1
KI
2 K I2 K II2 K Ic
Esta ecuación predice que KIIc = KIc y que el lugar geométrico es un círculo con ra En la práctica esto no se cumple y la condición de fractura más real es
KI K Ic
2
+ K II K IIc
2
=1
KII, MPa m
2024-T3, tensión plana DTD 5050, deformación plana KIIc 50
25 KIIc
0
MPa m 0
25
50
75
Condiciones de fractura en modo mixto para aleaciones de aluminio
Trayectoria de la grieta Si la tensión aplicada no es perpendicular al plano de la grieta, entonces aparecen dos modos de carga, modo I y modo II, y el camino que sigue la grieta, en general, no es coplanar con el de la grieta inicial Los factores de intensidad de tensiones en modo I y II se determinan considerando las tensiones normales y tangenciales al plano de la grieta, K I K I( 0) cos 2
(4.82)
K II K I( 0) cos sen
(4.83)
siendo el ángulo entre el plano horizontal y el plano inicial de la grieta. KI(0) es el factor de intensidad de tensiones en modo I cuando es igual a cero.
TRAYECTORIA DE LA GRIETA
Ángulo de propagación (90º+
)
90 Normal a la tensión remota
75 60 45 30
y Criterio de Gmax
15
x
0 0
15
30
45
60
75
90
(º)
Ensayo Biaxial
Trayectoria de la grieta bajo cargas biaxiales Consideremos que la grieta además de estar inclinada, está sometida a una tensión biaxial, cuyas componentes principales son 1 y 2, siendo 1 la mayor de las dos. es el ángulo entre la grieta y la dirección 2. Podemos aplicar el principio de superposición para obtener los valores del factor de intensidad de tensiones en ambos modos de carga K I K I( 0) (cos 2 B sen 2 ) (4.94)
K II
K I( 0) (cos sen )(1 B)
(4.95)
donde B es la relación de biaxialidad, definida como
B
2
(4.96)
1
)
90
Ángulo de propagación (90º+
B = 0.75 75
1
B = 0.50
60 B = 0.25 45
2
B = 0.00
y
30 15
x
0 0
15
30
45
60
75
90
(º)
Trayectoria de la grieta bajo cargas biaxiales El máximo factor de intensidad de tensiones y la máxima energía disponible para la fractura se obtienen para un ángulo óptimo, *, el cual depende de la relación de biaxialidad. En la figura se ilustra el efecto de B y sobre el ángulo de propagación. Nótese que cuando B > 0 y = 90 , resulta * = 0, es decir, la propagación ocurre en el plano de la grieta, puesto que la misma está sobre el plano principal y sometida a carga en modo I
B
2 1
)
90
Ángulo de propagación (90º+
B = 0.75 75
1
B = 0.50
60 B = 0.25 45
2
B = 0.00
y
30 15
x
0 0
15
30
45
60
75
90
(º)
OTROS FACTORES DE INTENSIDAD DE TENSIONES MPORTANTES
EJEMPLOS Y PROBLEMAS
Problema de Fractura Fractura de una placa con una grieta central. Una placa gruesa con una grieta central pasante de 80 mm tiene 200 mm de anchura y está en deformación plana. La placa ha sido fabricada con una aleación de aluminio y la tensión de fractura es de 100 MPa. a)¿Cuál es la tenacidad de fractura de la aleación?. b) ¿Cuál sería la carga que produciría la fractura para la misma longitud de grieta en: 1) una placa infinita 2) una placa de 120 mm. de anchura? SOLUCIÓN: a) Utilizando la expresión de K en términos de la función secante,
KI =
ap
a a sec( ) w
Donde la función secante se define mediante:
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura Puesto que ap= 100 MPa, a= 0.04 m, W= 0.2 m, a/w = 0.2, sec ( a /w) = 1.236. Por consiguiente, KI = 39.4 MPa m1/2 Este valor puede considerarse igual a la tenacidad de fractura, KIc, si la placa es muy gruesa y estamos en deformación plana como se indica en el enunciado. (b). (1) Cuerpo infinito con grieta central pasante:
KI = Obtenemos:
F
ap
a
= 111.1 MPa
(2) Placa finita agrietada en el centro w = 0.12 m, a/w = 0.333, sec ( a/w) = 2, Por tanto, F= 78.6 MPa Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura Consideremos una placa con una grieta en el borde de longitud c sometida a una tensión uniforme A y una fuerza F por unidad de espesor que actúa para abrir los labios de la fisura tal como se muestra en la Figura 2. (a) Determinar la tensión para producir la propagación inestable de la grieta. b) ¿Cual es el valor de la energía disponible para l fractura, G? Considere que el factor de intensidad de tensiones correspondiente a la fuerza F viene dado por: 2 F 1/ 2 = KA + KF = c) + A( ( c )1/ 2 Donde F = fuerza por unidad de espesor, = término constante superficial (igual a 1.12)
Fig. 2. Grieta en el borde con tensiones remotas uniformes y fuerzas lineales en la boca de la grieta.
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura SOLUCIÓN Debido a la aditividad de los factores de intensidad de tensiones, el factor de intensidad de tensiones total viene dado por:
K = KA + KF =
1/2 + A ( c)
2 F ( c )1/2
Donde el último término es el factor de intensidad de tensiones de una grieta pasante de longitud c en el borde de una placa infinita y sobre la cual actúa una fuerza F por unidad de espesor en el borde. La función K(c) se representa en la Figura para un valor fijo de F y dos valores distintos de A. (La utilización de escalas logarítmicas permite diferenciar claramente las regiones en que domina cada uno de los dos términos de la ecuación (líneas discontinuas de pendientes 1/2 y -1/2). La condición de fractura K = KIc está representada por una línea horizontal discontinua. Supongamos que la grieta está inicialmente determinada por F cuando (2 F/KIc)2. Si
A
<
M (curva
A=
0, o sea que cI = (1/ )
inferior) la recta horizontal K = Kc intersecta la curva sólida en dos puntos:
en c = cI’‘ >cI lo cual corresponde a un equilibrio estable (dK/dc<0); y en c = cF, lo cual corresponde a un equilibrio inestable (dK/dc>0). Más incrementos en
A
hacen que cI’ se expanda establemente hasta
que K = KC, y cF simultáneamente se contrae hasta que finalmente c= cI’ = cF = cM. La tensión crítica
=
M
A
se calcula imponiendo que dK/dc = 0 en K = KC. Imponiendo estas dos condiciones tenemos un
sitema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es: Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
cF
Grafico de K normalizado con respecto a KC para dos valores de la tensión aplicada Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
M
=
2F cM
4 F 2 ) cM = ( KC
Vale la pena señalar que la tensión de rotura no depende del tamaño de la grieta inicial. Otro punto importante que es necesario remarcar es el cálculo de G en un caso como el presente en que existe superposición de cargas aplicadas.
G = ( KA + KF)2 / E = (KA 2 + K 2F
2 KA K F) / E
Obsérvese que si las cargas operaran por separado, las energías disponibles para la fractura en cada caso por separado serían GA = KA2/E‘ y GF = KF2/E'.
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura Se debe diseñar un recipiente a presión con un acero de alto límite elástico capaz de resistir presiones de 60 MPa. El diámetro interno es de 750 mm. y el espesor de la pared debe ser superior a 1.25 cm. El diseñador puede elegir uno de los seis aceros cuyas propiedades están resumidas en la Tabla 1. Acero e(MPa)
A
B
C
D
E
F
1790
1520
1240
1240
960
750
120
150
240
290
190
KIc(MPa m) 90
Los medios de control no destructivos de que se dispone no pueden detectar fisuras menores de 1 cm. ¿Qué acero se debe escoger para utilizar la mínima cantidad de material? Suponga que los defectos son grietas superficiales semi-circulares y que las paredes del recipiente pueden considerarse delgadas y que por tanto la presión y la tensión tangencial dentro de las paredes del recipiente están relacionadas mediante
pd = = 350MPa 2t Considere también que el factor de forma del factor de intensidad de tensiones viene dado en la gráfica adjunta Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Relación de aspecto, a/2c
Extrapolando los valores de Q para a/2c=0.5, obtenemos 2,4 y 2,18 cuando el cociente / ys varía desde 0 a 1
2c
0.4
= 0.00 y = 0.60 y = 0.80 y = 1.00
a 0.3
y
superficial
0.2
2c
0.1
2a interna
0 0.5
1.0
1.5 2.0 Parámetro de forma, Q 2
K I 1.12
a Q
Q
2
0.212 y
3 8
a2 8 c2
Problema de Fractura SOLUCIÓN Supondremos que en la pared interna del recipiente a presión existe una fisura superficial semicircular de longitud 1 cm. y de profundidad 0.5 cm. El factor de intensidad de tensiones KI en una buena aproximación viene dado por la expresión:
KI
1.12
pd 2t
a Q
Puesto que los únicos datos son d=0.75 m, a=0.005 m y a/2c=0.5, no es posible obtener KI. Además Q es una función de la tensión, y por tanto de t. Sin embargo, este factor varía
entre 2,4 y 2,18 cuando el cociente /
ys
varía desde 0 a 1. Un cálculo rápido aproximado
puede realizarse simplemente admitiendo que Q tiene su valor mínimo, es decir, 2,18, lo que conduce a sobreestimar el espesor t, por tanto conduce a la seguridad.
Acero A:
t = 1.12
60x0.75 2x90
0.005 = 0.02377m 2.18
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura Acero B: t = 0.01783 m Tabla 2. Cálculos de las tensiones en MFE Acero C: t = 0.01426 m Acero A B C D E F Acero D: t = 0.00891 m =pd/2t 946.5 1261.9 1577.8 2525.2 3048.8 1998.2 Acero E: t = 0.00738 m Acero F: t = 0.001126 m Para los aceros C, D, E y F las tensiones son superiores al límite elástico de los aceros. El cálculo del espesor de la pared debe ser realizado mediante la condición convencional = y (El valor de la presión considerado ya tiene un factor de seguridad, de manera que por esta razón no es necesario incluirlo). Acero C, Acero D, t = 0.01815 m pd 60x0.75 t= = = 0.01815m 2 y 2x1240 Acero E, t = 0.02344 m Acero F, t = 0.03000 m Estos nuevos espesores así como los que fueron calculados antes para los aceros A y B, son todos superiores al límite inferior de 1,25 cm. El espesor más delgado se obtiene para el acero B y es de 1.78 cm. Hay que destacar que el acero seleccionado no es el de mayor límite elástico ni el de mayor tenacidad. Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema
(Diseño en términos de límite elástico)
FS= 1.5
Problema de Fractura Un disco con un agujero en el centro es puesto en rotación, aparece una tensión circunferencial proporcional al cuadrado de la velocidad angular w en la periferia del agujero. Esta tensión es igual a:
3+ = 4
2
1R [1+ 3+ 2
r 2 ( ) ] R
Donde r y R son los radios interior y exterior del disco, D es la masa del volumen del material y es el coeficiente de Poisson. El disco ha sido fabricado con un acero con las siguientes propiedades: y
= 1930MPa;
KIc = 44MPa m;
= 7.8kg / dm3 ;
= 0.3
Por otra parte, r = 2,5 cm. y R = 5 cm. Suponiendo que existe una fisura radial de longitud a = 2.5 mm. en la periferia del agujero, ¿a qué velocidad el disco se romperá?
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura Se admitirá que
KI = 1.12
a
Ésta es válida si r/a es mayor o igual a 10. La eliminación de entre (w) y KI ( ) da: 1 KIc N c = 13.555 1 2 2 [(3 + ) + (1) ] R r a4 Donde NC es la velocidad crítica en vueltas por minuto (N = 30w/ ). Con los valores numéricos propuestos se obtiene, NC = 15596. Si se hubiera realizado el cálculo en base a la tensión de rotura del material, se tendría:
N c = 19.098
u 2
2
[(3 + ) R + (1- ) r ]
= 32542
Se constata pues que la utilización de la mecánica de la rotura disminuye a la mitad la velocidad de rotación admisible. Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura Los recipientes a presión utilizados en la generación de energía son usualmente de gran espesor y operan en un intervalo de temperaturas desde temperatura ambiente hasta temperaturas elevadas y deben diseñarse con un criterio “fail-safe” (rotura segura). Un determinado recipiente esférico se propone que opera a una presión (p) de 40 MPa y a unas temperaturas desde 0ºC hasta 300ºC. El espesor de la pared (t) es de 100 mm y el diámetro (D) es 2m. Se ha sugerido utilizar dos aceros distintos: Acero A: Para este acero, KC = (150 + 0.05T) MPa m½ donde T es la temperatura de operación en grados centígrados y el limite elástico varia linealmente entre 549 MPa a 0ºC y 300 MPa a 300ºC. Acero B: Aquí KC = (100 + 0.25T) MPa m½, y varía linealmente entre 650 MPa a 0ºC hasta 500 MPa a 300ºC.
Determine gráficamente, mediante inspección, el rango de temperaturas en el cual cada uno de estos aceros será más seguro con respecto a la fractura. Las fisuras pasantes pueden suponerse críticas y el factor de intensidad de tensiones para tales fisuras es: 2 a 2 KC 2 1
0.5 YS
La tensión de membrana en la pared del recipiente puede tomarse pD/4t y a es la
profundidad de la grieta . Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura Solución La solución de este problema se reduce a determinar los valores requeridos de KC para evitar la fractura a varias temperaturas en el intervalo operativo, es decir, 0ºC, 100ºC, 200ºC y 300ºC para ambos aceros. Estos valores pueden graficarse en términos de los valores aplicados de KI a las mismas temperaturas y el mayor margen entre los valores aplicados y los requeridos de tenacidad se ve claramente. El problema puede resolverse también analíticamente. La tensión de membrana es:
pD 4t
40 x2.0 200 MPa 4 x0.1
Aunque el diseño esta basado en la fuga antes de la rotura, la disminución de presión causada por la grieta pasante no es conocida. Por tanto es conservador considerar que la presión sobre las caras internas de la fisura no disminuye. Por tanto el factor de intensidad de tensiones total será la suma de la tensión de membrana y la presión, o sea, 240 MPa. El diseño de fuga antes de la rotura requiere que el recipiente tolere una grieta pasante de profundidad a=t y suponemos que la grieta es semcircular (2c =a) donde 2c es la longitud de la fisura en la superficie. Como no tenemos información sobre el grado de excentricidad de las fisuras, hemos supuesto que la fisura es semicircular y que a=t donde t es el espesor. Por tanto el valor requerido de la tenacidad viene dado por: Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
Valores requeridos de Kc
K
2 c
x 2402 x0.1 1 0.5
240
2
YS
Estos datos se representan en la grafica. KCA A
Claramente la tenacidad del acero A es mayor y B
por tanto ofrece unos márgenes de seguridad mayores pero sólo hasta la temperatura de
212ºC. Por encima de esta temperatura, el acero KCB
B es la mejor opción ya que su tenacidad aumenta muy rápidamente con la temperatura.
La tabla proporciona los valores requeridos de la tenacidad de fractura para estas dos aleaciones. Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura .
Acero A
Acero B
0ºC
100ºC
200ºC
300ºC
Límite Elástico MPa
540
460
380
300
Valor requerido de KC MPa m½
141.7
144.7
150.3
163.1
Valor real de Kc MPa m½
150
155
160
165
Límite Elástico MPa
650
600
550
500
Valor requerido de KC MPa m½
139.4
140.2
141.4
143.0
Valor real de KC MPa m½
100
125
150
175
Problema de Fractura Un conocido filántropo ofrece una recompensa de 100000 Euros a quien se cuelgue de una cuerda durante un tiempo mínimo de un minuto. La cuerda está unida a una placa de vidrio de 3000 cm de longitud, 10 cm de ancho y 0.127 cm de espesor. Existen algunos detalles que hacen la situación un poco complicada: 1) La placa de vidrio tiene un grieta central pasante de 1.62 cm de longitud orientada de forma perpendicular al lado mayor de la placa y paralela al suelo. La tenacidad de fractura del vidrio es 0.83 MPa m½.
2) La cuerda está suspendida sobre un pozo que contiene serpientes verdes un poco enojadas. 3) Demuestre que sus conocimientos de mecánica de la fractura son suficientes para saber si es una gran oportunidad de ganar dinero fácil, o, por el contrario, está delante de un falso filántropo malvado y tacaño que quiere evitar gastar en la compra de comida para las serpientes.
K Y
El factor de intensidad de tensiones viene dado por: donde
Y
1
a 0.256 W
a 11.52 W
2
a 12.2 W
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
3
a
Problema de Fractura SOLUCIÓN El tamaño de la placa es un tamaño finito, por tanto necesitamos utilizar la corrección Y para placas finitas. Las dimensiones de la placa son también necesarias para determinar la tensión a partir de la fuerza (=peso de la persona) que actúa sobre la placa. Puesto que 2a= 16.2 mm, a= 8.1 mm y W= 100 mm, tenemos que Y = 1.035 La tensión aplicada viene dada por:
Para una persona de peso igual a 60 kg
60 x9.81 100 x1.27
F A
F
peso
A
4.63 N / mm2
Por consiguiente, el factor de intensidad de tensiones es igual a:
K Y
a
1.035 x4.63x
0.0081
0.76
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
MPa m
area
Problema de Fractura Este cálculo está basado en el peso promedio de un estudiante de esta asignatura. Por consiguiente, con los conocimientos actuales de mecánica
de la fractura y con algo de valor, podría intentar ganar la recompensa. Pero tenga presente que el margen de seguridad es pequeño y que el vidrio en presencia de humedad sufre un proceso conocido como fatiga estática que puede hacer crecer una grieta aun cuando KI sea inferior a KIC. Por tanto, mi recomendación es que antes de tomar ninguna decisión consulte un libro y vea si la fatiga estática podría tener alguna influencia en su futuro.
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura Una planta de procesamiento químico contiene un conjunto de reactores similares que operan a temperaturas en el intervalo entre -70ºC a 350ºC. Se desea usar una misma aleación para fabricar todos los reactores. La tenacidad de fractura y el límite elástico de la aleación escogida son: KC = (63 + T/10) MPa m½ en el intervalo de temperatura -100ºC a +400ºC Temperatura ºC
-100
Límite elástico, MPa 550
0
100
200
300
400
450
412
400
362
300
Las paredes de los reactores tienen un espesor de 15 mm y se diseñan según el criterio de a goteo antes que rotura. El factor de intensidad de tensiones es: K a) En base a las propiedades del material determine gráficamente la temperatura a la cual es más probable que el material se deforme en lugar de romperse, es decir, cuando el criterio de diseño de fractura frágil no es correcto y debe utilizarse el criterio de control de la deformación plástica. b) ¿Se puede utilizar la mecánica de la fractura a las temperaturas más altas? Determine el rango de temperaturas en el cual se puede aplicar cada criterio. Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura SOLUCIÓN Supongamos condiciones de tensión plana en el recipiente. Entonces la zona plástica viene 2 dada por:
rp
2ry
1
K
YS
Simplemente grafiquemos el límite elástico y la tensión de rotura en función de la temperatura, ya que la grafica es útil para el diseñador, aunque el problema también se puede resolver analíticamente. El cambio en tenacidad de fractura es lineal. Puesto que el criterio es el de goteo antes de rotura, podemos suponer que la grieta crítica en la fractura vendrá dada por el espeor de la pared del recipiente, o sea, 15 mm. Por ejemplo para 70ºC
Kc
0.015
56 MPa m ( 70ºC)
El cálculo entonces da valores de la tensión de fractura de 258 MPa a -70ºC, y repitiendo el cálculo pero ahora para 350ºC obtenemos 451 Mpa. Por tanto la tensión de fractura es de 258 MPa a -70ºC, y 451 MPa a 350ºC.
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura A continuación se muestra la grafica y el punto de intersección está alrededor de 221ºC. Simplemente la
probabilidad
de
que ocurra fractura a temperaturas por debajo de este punto es mucho mayor mientras que a temperaturas superiores
ocurrirá plastificación antes que la rotura. La
hipótesis de tensión plana es crítica
para la respuesta ya que un estado biaxial de tensión no conduce a un aumento en el límite elástico. Sin embargo permanece la pregunta de si el tamaño de la zona plástica delante de la punta de la grieta es
suficientemente
pequeño
para
utilizar
LEFM. Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura De la ecuación de la zona plástica está claro que al aumentar la temperatura la zona plástica aumenta. Consideremos el caso 220ºC - KC = 85 MPa m½ y limite elástico = 395 MPa;
1
rp
2
85 395
0.0147m
Este valor es igual al espesor de la pared del recipiente pero también igual a la longitud de la fisura. Por tanto, no se cumplen las condiciones de la LEFM y debería utilizarse mecánica de la fractura elastoplástica. Para ver si la LEFM es aplicable a alguna temperatura dentro del rango operativo, podemos examinar la situación a -100ºC – (KC = 53 MPa m½ y el límite elástico = 550 MPa), por tanto:
rp
1
53 550
2
0.00296 m
Este valor es aproximadamente igual a 1/5 del espesor de la pared y la LEFM puede ser válida. Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Pregunta. Lowhaphandu and Lewandowski [Scripta Mater. 38, 1811(1998)] studied the effect of crack tip radius on the stress intensity factor at failure for a specific material, as summarized in the graph below. (Note that they call crack tip radius “notch root radius” and stress intensity factor at failure “fracture toughness”.) (a) Using the stress at the tip of an elliptical hole, calculate the stress at the crack tip (as a function of applied stress) for the largest and smallest crack tip radius considered. (This is an single edge-crack with initial crack length a of 25 mm). Solution: Consider the equation given the stress σ at the tip of a crack with length a and radius of curvature R where σ0 is the applied (global or far-field) stress. Using this relation with a = 25 mm, we find that σ = 21σ0 for R = 250 μm and σ = 20001
σ0 for R = 2.5 Angstroms. (Note that it was assumed an “atomically sharp” crack tip radius for the second example, even though
it is known that the crack is NOT atomistically sharp. Anything ≤ 1 μm is acceptable, however.)
(b) Are your results from part (a) consistent with the results in the graph below (i.e., consistent with the fact that at the largest crack tip radius we measure has the largest stress intensity factor)? Explain why they are or are not consistent. Solution: Yes these results are consistent. These results suggest that a sharper crack tip acts as a stronger stress concentrator than a more blunt crack tip. Therefore it would will take less
stress to reach the “critical stress intensity” needed to fracture the material.
