Problemas Resueltos de Diseño de Experimentos Con Un Factor

Problemas resueltos de diseño de experimentos con un factor. Problema: Diseño de experimentos con un factor fijo  “Un campus universitario universitario tiene cuatro facultades. facultades. Se quiere estudiar estudiar la variable tiempo que tarda un alumno en hacer una consulta en la base de datos de la biblioteca de su facultad. Para ello se ha recogido una muestra aleatoria cuyos resultados son los de la tabla adjunta. Analizar estos datos y estudiar la influencia del factor facultad en la variable de interés”. Arquitectura I. Informática 48 37 24 18 31 29 16 6 31 24 22 24 36 38 10 30 39 41 25 24 11 15

Derecho I. Caminos 37 43 19 13 40 40 26 21 51 35 31 26 49 33 13 24 36 39 12 12 24 55 16 21 35 40 30 26

Solución: Se calcula la media y desviación típica de cada una de las facultades y del total:

Y 

=

sY  =

= 11'654 (cuasi-desviación típica muestral) = 11'537 (desviación típica muestral)

Por tanto, la suma de cuadrados global es:

Razonando igual en cada grupo, se obtiene

El contraste de interés es el siguiente:

A la vista de los resultados del cuadro anterior se puede intuir que se va a rechazar la hipótesis nula y que por tanto el factor “ facultad ” influye en la variable de interés. Se calcula la tabla ANOVA. Para ello, se tiene en cuenta que las predicciones coinciden con las medias condicionadas:

Se calcula la suma de cuadrados explicada por el factor

scT (facultad ) = = 10

i=1

4

 =

i=1

4

2

ni 

2

 + 12

2 + 15  + 13 Finalmente, se obtiene la suma de cuadrados residual

 =

2

 + 2

 = 4101'33

La tabla ANOVA es

Se rechaza la hipótesis nula para cualquier valor de el factor “facultad” es significativo. La scR se calcula a partir de los residuos

> 0'0001 y se concluye que

scR =

2 ij eij   =

2

ij 

 =

2

2

 + ... +

2

=

 + ... +

2

 +

2

 + ... +

2

 +

2

 + ... +

2

 +

= 2553'47 Se calculan intervalos de confianza al 90% para los diferentes parámetros del modelo: Intervalo de confianza para la varianza:

2

= 31'44 =

46

 <

46

40'64 = Intervalo de confianza para

Intervalo de confianza para

< <

 = 62'83

46

2

= 81'22

 <

i 

t n-I  - 1'68 = t  46

 =  <

t 46

< t 46

 = 1'68

35'4 ± 2'36 . 1'68 = 35'4 ± 3'96 = . De forma análoga se obtienen intervalos de confianza para las otras medias, 1

IC 

 =

IC 

 =

IC   = . Intervalo de confianza para la diferencia de medias. Se hace para

1 -

t n-I  = - 1'68 = t  46

 =

=  <

2

t 46 < t 46

 = 1'68

16'65 ± 3'19 . 1'68 = 16'65 ± 5'36 = . Puede considerarse que existe una diferencia significativa entre la media de Arquitectura y la media de Informática. Haciendo todos los intervalos de confianza para la diferencias de medias se obtienen

dos grupos homogéneos: Grupo 1: Informática y Caminos Grupo 2: Arquitectura y Derecho. En las siguientes figuras se representan gráficas que ayudan a entender la influencia del factor y que los residuos verifican las hipótesis estructurales.

Figura 4.27. Gráfico de cajas múltiple para los datos del problema 2.8.

Figura 4.28. Gráfico de medias condicionadas para los datos del problema 2.8.

Figura 4.29. Gráfico de residuos frente a predicciones.

Problema (Diseño de experimentos con un factor aleatorio).

 “En una empresa de montaje trabajan 135 operarios que realizan un determinado trabajo (T). La dirección de la empresa está interesada en conocer si influye el factor operario en la variable “tiempo de realización del trabajo T ”. Para ello se eligen cinco operarios al azar y se les controla el tiempo en minutos que tardan en realizar el trabajo T en diez ocasiones. Los resultados del experimento son los de la tabla adjunta. ¿Qué conclusiones se deducen de este experimento?” Oper.1.

Oper.2.

Oper.3.

Oper. 4.

Oper.5.

72

75

78

69

65

75

70

79

65

60

71

77

84

61

63

69

73

72

75

68

67

79

83

70

70

71

77

77

68

64

75

72

80

67

62

73

78

83

63

64

69

73

71

76

69

65

69

85

72

62

Solución: En este caso el diseño de experimentos tiene un factor, pero el factor es aleatorio. Se calculan las medias y cuasi-desviaciones típicas en cada grupo (operador)

De donde

En este caso el modelo matemático es

Siendo el objetivo la realización del contraste:

Teniendo en cuenta que las predicciones son las siguientes:

Se calcula la suma de cuadrados explicada por el factor

scT (operador ) =

i=1

5

 =

4 i = 1 ni 

2

 =

= 10 = 1224'2. Finalmente, se obtiene la

La tabla ANOVA es

Se rechaza la hipótesis nula para cualquier valor de > 0'0001 y se concluye que el factor “operador” es significativo, esto es, hay variabilidad entre los diferentes operadores. Se estiman las varianzas del modelo:

R

2

Al igual que en el problema anterior las siguientes gráficas ayudan a comprender e interpretar la resolución del problema.

Figura 4.30. Gráfico de cajas múltiple para los datos del problema 2.9.

Figura 4.31. Gráfico de medias condicionadas.

Figura 4.32. Gráfico de residuos frente a predicciones para los datos del problema 2.9.