LAS REDES ESPACIALES Y LA CELDA UNITARIA Depende principalmente del ordenamiento de los átomos, iones o moléculas que constituyen el sólido, y de las fuerzas de enlace entre ellos. Si los átomos o iones de un sólido están ordenados de acuerdo con un patrón que se repite en el espacio, forman un sólido que tiene un orden de largo alcance (OLA) al cual se le llama sólido cristalino o material cristalino. El tamaño y forma de una celda puede describirse por tres vectores de la red a, b y c, con origen en un vértice de la celda unitaria. Las longitudes axiales a, b y c y los ángulos interaxiales α, β y Υ son las constantes de la red de la celda unitaria.
SISTEMAS CRISTALINOS Y REDES DE BRAVAIS Los cristalógrafos han demostrado que tan sólo se necesitan siete tipos diferentes de celdas unitarias para crear todas las redes. Muchos de los siete sistemas cristalinos tienen variaciones de la celda unitaria básica. A. J. Bravais demostró que con 14 celdas unitarias estándar se pueden describir todas las redes posibles. En el sistema cúbico hay tres tipos de celdas unitarias: cúbica sencilla, cúbica centrada en el cuerpo y cúbica centrada en las caras. En el sistema ortorrómbico se encuentran los cuatro tipos. En el sistema tetragonal existen sólo dos: simple y centrado en el cuerpo.
PRINCIPALES ESTRUCTURAS CRISTALINAS METÁLICAS La mayoría de los metales puros (aproximadamente 90%) cristalizan al solidificar en tres estructuras cristalinas compactas: cúbica centrada en el cuerpo (BBC), cúbica centrada en las caras (FCC) y hexagonal compacta (HCP). La mayoría de los metales cristalizan en estas estructuras empacadas densamente porque la energía disminuye a medida que los átomos se acercan y se enlazan entre sí. La distancia entre los átomos (distancia interatómica) en las estructuras cristalinas puede determinarse experimentalmente por análisis de difracción de rayos X.
Estructura cristalina cúbica centrada en el cuerpo (BCC) Cada una de estas celdas tiene el equivalente a dos átomos por celda unitaria. Un átomo entero se encuentra en el centro de la celda unitaria y un octavo de esfera se encuentra en cada vértice de la celda, lo que equivale a otro átomo. Así, hay un total de 1 (en el centro) + 8 × 1/8 (en los vértices) = 2 átomos por celda unitaria. La estructura cristalina BCC no es una estructura compacta, dado que los átomos podrían situarse aún más juntos. Muchos metales como el hierro, cromo, olframio, molibdeno y vanadio tienen la estructura cristalina BCC a temperatura ambiente.
Estructura cristalina cúbica centrada en las caras (FCC) El factor de empaquetamiento para esta estructura compacta es de 0.74, que comparado con 0.68 de la estructura BCC, indica que esta última no es compacta. La celda unitaria FCC tiene un equivalente de cuatro átomos por celda unitaria. En
la celda FCC, los átomos se contactan conta ctan en la diagonal de la cara del de l cubo, por lo que la relación entre la arista del cubo a y el radio atómico R es
El APF para la estructura cristalina FCC es de 0.74, que es mayor que el factor 0.68 de la estructura BCC. Un APF de 0.74 es el máximo de compacto posible para “átomos esféricos”. Muchos metales como el aluminio, cobre, p lomo, níquel y hierro
a temperatura elevada (de 912 a 1 394°C) cristalizan con la estructura FCC.
Estructura cristalina hexagonal compacta (HCP) Los metales no cristalizan con la estructura cristalina hexagonal sencilla porque el APF es demasiado bajo. De los metales presentados, el cadmio y el zinc tienen una relación c/a superior a la ideal, lo que indica que los átomos en estas estructuras están ligeramente alargados a lo largo del eje c de la celda unitaria HCP. Los metales magnesio, cobalto, circonio, titanio y berilio tienen una relación c/a menor que la relación ideal. Por tanto, en estos metales los átomos están ligeramente comprimidos en la dirección del eje c .
POSICIONES DEL ÁTOMO EN CELDAS UNITARIAS CÚBICAS Se utilizan los ejes cartesianos x , y y z . En cristalografía, la zona positiva del eje x es generalmente la situada hacia afuera del papel, la zona positiva del eje y es la situada hacia la derecha del papel, y la zona positiva del eje z es la situada hacia arriba del papel. Las zonas negativas son las opuestas a las que se han descrito. Las posiciones atómicas restantes de la celda unitaria BCC se consideran sobreentendidas. De forma análoga se pueden localizar las posiciones atómicas en la celda unitaria FCC.
DIRECCIONES EN LAS CELDAS UNITARIAS CÚBICAS Para los cristales cúbicos los índices de las direcciones cristalográficas son los componentes del vector de dirección descompuesto sobre cada eje de coordenada y reducidos a mínimos enteros. Las coordenadas de posición de la celda unitaria donde el vector de dirección emerge de la superficie del cubo después de convertirlas en enteros, son los índices de dirección. Las direcciones serán cristalográficamente equivalentes si el espacio atómico en cada dirección es el mismo.
ÍNDICES DE MILLER PARA LOS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS EN CELDAS UNITARIAS CÚBICAS
Para identificar a los planos cristalinos en una estructura cristalina cúbica se utiliza el sistema de notación de Miller. Los índices de Miller de un plano cristalino se definen como el recíproco de las fracciones de intersección (con fracciones simplificadas) que el plano presenta con los ejes cristalográficos x, y y z de las tres aristas no paralelas de la celda unitaria cúbica. El procedimiento para determinar los índices de Miller para un plano cristalográfico cúbico es como sigue: Se elige un plano que no pase por el origen de coordenadas (0, 0, 0). 2. Se determinan las intersecciones del plano en la función de los ejes cristalográficos x , y y z para un cubo unidad. Estas intersecciones pueden ser fraccionarias. 3. Se obtiene el recíproco de las intersecciones. 4. Se simplifican las fracciones y se determina el conjunto más pequeño de números enteros que estén en la misma proporción que las intersecciones. Este conjunto de números enteros son los índices de un plano cristalográfico y se encierran en paréntesis sin utilizar comas. La notación ( hkl ) se utiliza para indicar los índices de Miller en un sentido general, donde h, k y l son los índices de Miller de un plano cristalino cúbico para los ejes x , y y z , respectivamente. 1.
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Y DIRECCIONES EN LA ESTRUCTURA CRISTALINA HEXAGONAL Índices para los planos cristalinos en celdas unitarias HCP Se identifican mediante cuatro índices en vez de tres. Los índices de los planos cristalinos HCP, llamados índices de Miller-Bravais , se indican por las letras h, k , i y l y van encerrados en paréntesis como ( hkil ). Hay tres ejes basales a1, a2, a3, donde a1 y a2 forman ángulos de 120° entre sí. El cuarto eje o eje c es el eje vertical localizado en el centro de la celda unitaria.
Planos basales Dado que el plano basal superior en la celda unitaria HCP es paralelo a los ejes a1, a2 y a3, su intersección con estos ejes será en el infinito. Así, a1 =∞, a2 = ∞ y a3 = ∞.
Planos del prisma Tomando los recíprocos de estas intersecciones, se tiene h = 1, k = 0, i = −1 y l = 0, o el plano (10 0). A veces, los planos HCP son indicados solamente por tres índices (hkl ), dado que h + k = −i . Sin embargo, los índices ( hkil ) se utilizan habitualmente, debido a que ponen de manifiesto el carácter hexagonal de la celda unitaria HCP.
Índices de dirección en las celdas unitarias HCP Las direcciones se indican habitualmente por cuatro índices u, v, t y w encerrados entre corchetes como [uvtw ]. Los índices u, v y t son los vectores de la red en las direcciones a1, a2 y a3, respectivamente y el índice w es una red en el vector reticular en la dirección c . Para mantener la uniformidad entre las direcciones y los planos HCP se ha acordado para las direcciones que u + v = t . −
COMPARACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS CRISTALINAS FCC, HCP YBCC Estructuras cristalinas FCC y HCP Son estructuras compactas; esto es, sus átomos, que se consideran aproximadamente como “esferas”, están empaquetados lo más juntos posible de
forma que se alcanza un factor de empaquetamiento de 0.74. Como analogía, se puede imaginar el apilamiento de planos de canicas de igual tamaño, unos sobre otros, minimizando el espacio entre las canicas.
Estructura cristalina BCC No es una estructura de empaquetamiento compacto, por tanto, no presenta planos de empaquetamiento compacto como los planos {111} en la estructura FCC y los planos {0001} en la estructura HCP; los átomos de la estructura BCC tienen direcciones de empaquetamiento compacto en las diagonales del cubo, cuyas direcciones son (111).
CÁLCULOS DE LA DENSIDAD VOLUMÉTRICA, PLANAR Y LINEAL DE LAS CELDAS UNITARIAS Densidad volumétrica La celda unitaria de un metal y un valor del radio atómico del metal obtenido por análisis de difracción de rayos X se obtiene un valor de la densidad volumétrica del metal, aplicando la ecuación
Densidad atómica planar Se calcula una cantidad llamada densidad atómica planar aplicando la relación
Para que el área de un átomo se contabilice en este cálculo, el plano de interés debe cortar el centro del átomo.
Densidad atómica lineal Se calcula una magnitud llamada densidad atómica lineal a partir de la relación:
POLIMORFISMO O ALOTROPÍA Una forma cristalina en diferentes condiciones de temperatura y presión. Este fenómeno se llama polimorfismo o alotropía. Muchos metales de importancia industrial como el hierro, titanio y cobalto sufren transformaciones alotrópicas a temperaturas elevadas a presión atmosférica.
ANÁLISIS DE LAS ESTRUCTURAS CRISTALINAS Las estructuras cristalinas se ha obtenido principalmente por la técnica de difracción de rayos X que utiliza radiación de aproximadamente la misma longitud de onda que la distancia entre los planos de la red cristalina. Sin embargo, antes de exponer de qué forma los rayos X son difractados por los cristales, se debe considerar cómo se obtienen los rayos X para aplicaciones experimentales.
Fuentes de rayos X Utilizados en la difracción son radiaciones electromagnéticas con longitudes de onda entre 0.05 a 0.25 nm (0.5 a 2.5 Å). Para producir rayos X para fines de difracción, se debe aplicar un voltaje de unos 35 kV entre un cátodo y un ánodo metálicos, ambos en el vacío. El origen de la radiación característica puede explicarse de la siguiente manera: primero, los electrones K (electrones en el nivel n = 1) son expulsados del átomo por bombardeo del blanco con electrones de alta energía, dejando a los átomos excitados.
Difracción de rayos X La onda de algunos rayos X son aproximadamente iguales a la distancia entre planos de los átomos en los sólidos cristalinos, pueden generarse picos de difracción reforzados de intensidad variable que pueden producirse cuando un haz de rayos X choca con un sólido cristalino. Sin embargo, antes de considerar la aplicación de las técnicas de difracción de rayos X al análisis de las estructuras cristalinas, deben examinarse las condiciones geométricas necesarias para que se produzcan rayos difractados o reforzados de los rayos X reflejados.
Análisis por difracción de rayos X de las estructuras cristalinas Método de análisis de polvo por difracción de rayos X Se utiliza una muestra pulverizada de muchos cristales para que tenga lugar una orientación al azar y asegurar que algunas partículas estarán orientadas en el haz de rayos X para que cumplan las condiciones de difracción de la ley de Bragg. Algunas veces se utiliza una cámara de polvo con un rollo de película incorporado en vez del difractómetro, pero este método es mucho más lento y en la mayoría de los casos, menos conveniente.
Condiciones de difracción para celdas unitarias cúbicas Para determinar las estructuras de los sólidos cristalinos. La interpretación de los resultados de difracción de rayos X es compleja para la mayoría de las sustancias cristalinas y sobrepasa el propósito de este libro, por ello sólo se considerará el caso sencillo de la difracción de un metal puro cúbico.
Interpretación de resultados experimentales de difracción de rayos X para metales con estructuras cristalinas cúbicas Se utiliza para determinar estructuras cristalinas. Un caso sencillo que permite ilustrar cómo se puede emplear este análisis es diferenciar entre las estructuras cristalinas BCC y FCC de un metal cúbico. Supóngase que se tiene un metal con una estructura cristalina BCC o FCC y que se pueden identificar los planos de difracción principales y los valores de 2θ correspondientes, para una serie de planos principales de difracción { hkl }.
MATERIALES AMORFOS Carecen de ordenamiento de largo alcance en su estructura atómica. Debe subrayarse que, en general, los materiales tienen una tendencia a alcanzar un estado cristalino debido a que es el estado más estable y corresponde al menor nivel de energía. Sin embargo, los átomos de los materiales amorfos están enlazados de manera desordenada debido a factores que inhiben la formación de un ordenamiento periódico. Los átomos de los materiales amorfos, por tanto, ocupan posiciones espaciales aleatorias, a diferencia de las posiciones específicas en los sólidos cristalinos. Los materiales amorfos, debido a su estructura, tienen pr opiedades superiores. Por ejemplo, en comparación con sus similares cristalinos, los vidrios metálicos tienen mayor resistencia, mejores características de corrosión y propiedades magnéticas. Finalmente, es importante mencionar que los materiales amorfos no muestran patrones definidos de difracción al analizarlos con técnicas de difracción de rayos X. Esto se debe a la falta de orden y periodicidad de la estructura atómica. En los capítulos siguientes, se explicará con detalle el papel que tiene la estructura del material en sus propiedades.
PROBLEMAS EN LA SELECCIÓN DE MATERIALES Y DISEÑO 1. En el diseño de chips de ordenadores y aparatos para microelectrónica se utilizan obleas de mono cristales de silicio en los bloques constitutivos del sistema. a) ¿A qué clase de materiales pertenece el silicio? Pertenece a los materiales cerámicos ya que dentro de sus características este elemento se encuentra en forma cristalina, es muy duro y poco soluble. b) Explique el enlace y estructura cristalina de silicio cristalino. Como podemos observar en el dibujo, el átomo de silicio presenta un enlace covalente, esto quiere decir que cada átomo está unido a otros cuatro átomos y compartiendo sus electrones de valencia. Es así, porque de otra manera el silicio no tendría el equilibrio en la capa de valencia, necesita 8 electrones para su estabilidad. c) Proponga un proceso por el que se puedan fabricar mono cristales de silicio. El proceso de fabricación de un microprocesador es complejísimo, y apasionante. Todo comienza con un buen puñado de arena (compuesta básicamente de silicio), con la que se fabrica un mono cristal de unos 20 x 150centímetros. Para ello, se funde el material en cuestión a alta temperatura (1370º C) y muy lentamente (10 a 40 mm por hora) se va formando el cristal. De este cristal, de cientos de kilos de peso, se cortan los extremos y la superficie exterior, de forma de obtener un cilindro perfecto. Luego, el cilindro se corta en obleas (wafer) de menos de un milímetro de espesor, utilizando una sierra de diamante. De cada cilindro se obtienen miles de wafers, y de cada oblea se fabricarán varios cientos de microprocesadores. El acero se fabrica añadiendo pequeños átomos de carbono a la estructura cristalina del hierro. Cuando la estructura cristalina del hierro es FCC, es posible añadir más carbono a la estructura. No obstante, la estructura normal a temperatura ambiente es BCC. Diseñe un proceso que permita la introducción de más carbono en la estructura del hierro en estado sólido. 2.
Los constituyentes simples del sistema Fe-C son: austenita, ferrita y cementita. Los dos primeros se caracterizan por ser soluciones sólidas, de inserción octaédrica de C en Fe-γ y Fe-α, respectivamente. La cementita (Fe3C) es un compuesto intermetálico con estructura ortorrómbica. Austenita-γ La solución sólida intersticial amagnética de C en Fe- γ es llamada austenita -γ y tiene una estructura cristalina FCC. La máxima solubilidad sólida d el C en austenita es del 2.11 % a 1148 °C, disminuyendo a un 0.8 % a 723 °C. Su dureza es de 180 a 200 HB. No es posible obtener austenita- γ a la temperatura ambiente por enfriamiento lento, aunque sí es posible en algunos aceros aleados (con 12% de Mn, o 8% de Ni, etc.). La austenita- γ es amagnética como el Fe -γ. Es blanda dúctil
y tenaz y sus características mecánicas varían con la composición. Como valores medios aproximados pueden tomarse 300 HB de dureza y entre 880 y 1100 MPa de carga de rotura. Ferrita-δ Se llama así a la solución sólida intersticial de carbono en Fe- δ, la cual tiene una estructura BCC. El C es muy poco soluble en Ferrita- δ, alcanzando una máxima solubilidad sólida del 0.09 % a 1495 °C. Ferrita-α Esta fase es una solución sólida de carbono en la red cristalina del Fe- α (BCC). El carbono es muy poco soluble en Ferrita- α, alcanzando una máxima solubilidad sólida del 0.0218 % a 727 °C, disminuyendo a un 0.008 % a 20 °C. Los átomos de carbono se disponen en los intersticios de la red de Fe- α. La Ferrita -α es magnética por debajo de los 770 °C y amagnética por arriba de esta temperatura. Se suele distinguir entre la Ferrita-α y la Ferrita-β según sea o no magnética. Como cristalográficamente se trata del mismo constituyente, normalmente se habla simplemente de Ferrita. Es el constituyente más blando de los aceros, teniendo una dureza promedio aproximada de 90 HB con unos 300 MPa de carga de rotura. Cementita (Fe3C) Termodinámicamente es inestable, y en determinadas condiciones puede descomponerse dando 3Fe + grafito. Las condiciones cinéticas requeridas para que tenga lugar esta descomposición, requieren un número tan elevado de horas que, en la práctica, no se presenta nunca en los aceros binarios Fe-C. Sin embargo por prolongada permanencia a miles de horas a temperatura superiores a los 450 °C, los aceros de bajo carbono o débilmente aleados (por ejemplo C<0.15%, Mn<0.5%), grafitizan por descomposición de cementita en ferrita + grafito. Es un compuesto frágil y es el constituyente más duro de los aceros, con una dureza promedio aproximada de 68HRC.Se presenta en celdas ortorrómbicas y es ferromagnética por debajo de los 210 °C. Cinética de la transformación de la austenita Cinética de la transformación de la austenita: Las microestructuras de los aceros son el resultado de la transformación de la austenita durante un enfriamiento lento, la cual está asociada a la transformación alotrópica γ → α por movimiento de los átomos de Fe y a una difusión de C.
Con C en solución sólida la transformación de Fe- δ a Fe-γ tiene lugar por encima de los 1394 °C, siendo tanto más alta esta temperatura cuanto mayor sea el contenido de C que el Fe presenta en solución sólida, dentro de ciertos límites. La transformación austenita a ferrita se inicia por debajo de 912 °C, siendo tanto más baja esta temperatura cuando más alto sea el contenido de C en la austenita.
Para contenidos de C superiores a 0.77% la estabilización de la fase γ es tal que su transformación alotrópica en α no tiene lugar por lento enfriamiento hasta alcanzar
los 727 °C, cualquiera que sea el contenido de C superior a 0.77%. Para ilustrar y precisar lo anterior, pueden considerarse los siguientes ejemplos de transformación por enfriamiento lento: Austenita de 0.3% C Austenita de 1% C Austenita de 0.77% C Le han entregado un material desconocido y le han pedido que lo identifique con su mejor capacidad. ¿Qué pruebas realizaría para identificar el material? 3.
Pasos: 1) de acuerdo a las características de peso, color, dureza, fibra etc. Defino el tipo de material. 2) Conocido el tipo de material debo conocer si es material puro o compuesto por lo que mandaría realizar un análisis químico. 3) si es un material puro para determinar qué elemento es mandarial realizar un análisis de difracción de rayos –x para determinar las contantes de red y por tanto conocer el elemento y si es un compuesto tendría que realizar un ensayo metalográfico, etc. 4. A
menudo, los álabes de las turbinas que trabajan a elevadas temperaturas y altos niveles de tensión se fabrican con grandes monocristales. a) Especule sobre las ventajas de un álabe de turbina monocristalina. b) ¿Qué propiedades debería tener el material seleccionado? c ) ¿Qué material específico seleccionaría para hacer un álabe de turbina monocristalina? a) las turbinas monocristalinas ofrecen una a gran resistencia a la tensión, pero sobre todo llegan más fácilmente a las temperaturas deseadas, siendo estas muy altas, cosa que no pasa con materiales cerámicos que no logran tales temperaturas con facilidad. b) el material seleccionado obviamente tiene que resistir altas temperatura porque para ello se le va a usar. c) podría seleccionar el silicio, titanio tomando en cuenta sus propiedades. Nombre todas las formas alotrópicas del carbono que conozca y exponga su estructura cristalina. 5.
Se conocen cinco formas alotrópicas del carbono, además del amorfo: grafito, diamante, fulerenos, nanotubos y carbinos. A presión normal, el carbono adopta la forma del grafito, en la que cada átomo está unido a otros tres en un plano compuesto de celdas hexagonales; este estado se puede describir como 3 electrones de valencia en orbitales híbridos planos sp2 y el cuarto en el orbital p. A muy altas presiones, el carbono adopta la forma del diamante, en el cual cada átomo está unido a otros cuatro átomos de carbono, encontrándose los 4 electrones
en orbitales sp3, como en los hidrocarburos. El diamante presenta la misma estructura cúbica que el silicio y el germanio y, gracias a la resistencia del enlace químico carbono-carbono, es, junto con el nitruro de boro, la sustancia más dura conocida. Fulerenos tienen una estructura similar al grafito, pero el empaquetamiento hexagonal se combina con pentágonos (y en ciertos casos, heptágonos), lo que curva los planos y permite la aparición de estructuras.
PROBLEMAS 3.1.-Defina a) sólido cristalino y b) sólido amorfo Sólido Cristalino.- Son aquellos que tienen los átomos, iones o moléculas ordenadas según un modelo tridimensional. Solido Amorfo.- Son aquellos que tienen los átomos, iones o moléculas en desorden. 3.3
Defina a) red cristalina y b) patrón. Red Cristalina: Es una distribución tridimensional de puntos en que cada uno de ellos tiene
un entorno idéntico. Patrón: Es un grupo de átomos organizados en relación de unos con otros y asociados con
puntos correspondientes de la red.
3.5 Cuales son las 14 celdas untarías de Bravais? Sistema Cristalino
Redes Especiales
Cubico
a=b=c Simple Cara Centrada α=β=γ=900 Centrada en el Cuerpo
Tetragonal
Simple Centrada en el Cuerpo
Ortorómbico
Romboédrica
Eje y Ángulos
a=b≠c α=β=γ=900
Simple Base Centrada a≠b≠c Cara Centrada α=β=γ=900 Centrada en el Cuerpo Simple
a=b=c
α=β=γ=900 Hexagonal
Monoclínica
Triclínico
a1=a2=a3≠c
Simple
α=β=900 ; γ=1200
Simple
a≠b≠c
Base Centrada
α=β=900 ; γ≠900 a≠b≠c
Simple
α≠β≠γ≠900
3.7 Cuantos átomos por celda unitaria hay en la estructura cristalina BCC? 8 átomos en las esquinas (1/8) = 1 1 átomo central = 1 TOTAL = 2 átomos
3.9.-¿Cuál es la relación entre la longitud de una arista a en la celda unitaria BCC y el radio de sus átomos? a = 4R/3
3.11
El niobio a 20oC es BCC y tiene un radio atómico de 0,143 nm. Calcule el valor de su constante de red a en nanómetros.
= 4√ 3 = 40,√ 1343 =0,323 3.13 El sodio a 20⁰C es BCC y tiene una constante de red de 0.42906nm. Calcule el valor del radio atómico de un átomo de sodio en nanómetros.
= 4√ 3 = √34 = √3.0.35092 4 =0.155
3.15 Cual es numero de coordinación para los átomos en la estructura cristalina FCC? El numero de coordinación para os átomos en la estructura cristalina FFC es: Nc = 12
3.17.-El platino es FCC y tiene una constante de red de 0.39239 nm. Calcule el valor del radio atómico de un átomo de platino en nanómetros a = 4R/2 R = a2/ 4 R = 0.392392/ 4 R = 0.13873nm 3.19
El estroncio es FCC y tiene un radio atómico de 0,215nm. Calcule el valor para su constante de red a en nanómetros
= 4√ 2 = 40,2√ 15 2 =0,608 3.21 Cuantos átomos por celda unitaria hay en una estructura cristalina HCP? “Proporcione una respuesta para la celda primitiva y para la celda mayor”
3 átomos en el centro del paralelepípedo = 3 átomos 2 átomos en las bases (1/2) = 1 átomos 12 átomos en las aristas (1/6) = 2 átomos TOTAL = 6 átomos
3.23 Cual es la relación c/a ideal en los metales HCP? La relación ideal en los metales es c/a = 1.633
3.25.- Calcule el volumen en nanómetros cúbicos de la celda unitaria de la estructura cristalina del titanio. El titanio es HCP a 20 C con a= 0.29504nm y C= 0.46833nm Se determina el área de la base de la celda unitaria y multiplicando esta por su altura que es c Y el área total es la suma de seis aéreas de seis triángulos equiláteros
=6∗0.560∗ =6∗(0.50.2950460)∗0.46833 =0.105917
³
³
3.27
El osmio a 20oC es HCP. Aplicando un valor de 0,135nm para el radio atómico del átomo del osmio, calcule un valor para el volumen de la celda unitaria (emplee la celda mayor). Suponga un factor de empaquetamiento de 0,74.
=1,633 = 0,74 =3 60 43 643 6 = 360 = 43 240,135 6 = = 0,74 =0,084 3.29 Enumere las posiciones atómicas para los ocho átomos de los vértices y los seis del centro de las caras de la celda unitaria FCC. Vértices
Centro de las caras
(0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1)
(1/2 (1/2 (0 (1, (1/2 (1/2
,
1/2 ,
0 1/2, ,
, 1/2 ,
,
1/2 ,
, 1
0) ,1/2) 1/2) 1/2) 1) ,1/2)
3.31 Dibuje las siguientes direcciones en una celda unitaria BCC y enumere las coordenadas de posición de los átomos cuyos centros los corta el vector de dirección. a) [100] b) [110] c) [111]
3.33.- Dibuje los vectores de dirección en cubos unidad para las siguientes direcciones cubicas:
1̅2̅
a) [1 ]
(1/2,-1/2,-1)
2̅3
b) [1 ]
3̅31]
c) [
2̅1
d) [0 ]
1̅2
e) [2 ]
3̅3
f) [2 ]
1̅01]
g) [
1̅
h) [12 ]
i) [321]
3̅
j) [10 ]
2̅2̅
k) [1 ]
2̅2̅3]
l) [
3.35
Un vector de dirección pasa a través del cubo unidad desde la posición
,, = = = 10 = 1 =0 = posición
. ¿Cuáles son sus índices de dirección?
,,
a la
− ,1, − ó→ [ 1 4 1 ]
3.37 Cuales son las direcciones cristatolograficas de una familia o forma? ¿Qué notación generalizada se utiliza para indicarla? <100> <111> <110>
Notación utilizada
3.39 Cuales son las direcciones de la familia o forma ‹111› para el cubo unidad?
< >
[1,0,0] , [0,1,0] , [0,0,1] , [0,-1,0] , [0,0,-1] , [-1,0,0] Ξ <111>
3.41.- ¿Cuáles son las direcciones tipo (111) situadas en el plano 110 de una celda unitaria cúbica? (100) - (000) = [100]
1̅10] (100) - (010) = [11̅0] (010) - (100) = [1̅10] (000) - (010) = [01̅0] (000) - (100) = [
(010) - (000) = [010]
1 1 1 , 1 11 , 1 1 1 , 1 1 1 3.43
Dibuje en cubos unidad los planos cristalinos que tienen los siguientes índices de Miller:
a) (1 ) b) (1 0 ) a) (1
c) (1
c) (1 ) d) (2 1 )
)
→ )
e) (3 ) f) (3 0 )
g) (2 0 ) h) ( )
i) ( ) j) (1 3 )
→ ∞ k) (3 l) (
) )
b) (1 0 )
→
d) (2 1 )
e) (3
→ )
→ ∞
g) (2 0 )
→
i) (
k) (3
)
→ )
→ ∞
f) (3 0 )
→
h) (
)
→
j) (1 3 )
→
l) (
)
3.45 Cual es la notación utilizada para indicar una familia o forma de planos cúbicos cristalográficos? Para identificar a los planos cristalinos en una estructura cristalina cubica se utiliza el sistema de notación de Miller.
3.47 Dibuje los siguientes planos cristalográficos en una celda unitaria BCC y enumere la posición de los átomos cuyos centros están cortados por cada uno de los planos: a) (100) b) (110) c) (111)
3.49.- Un plano cubico tiene las siguientes intersecciones axiales: a = ⅓ ; b = -⅔; c = ½ ¿Cuáles son los índices de Miller de este plano?
X INTERSECCION ⅓ RECIPROCO 3 INDICES DE MILLER 6 3.51
Y -⅔; -1,5
Z ½ 2
-3
4
Un Plano cúbico tiene las siguientes intersecciones axiales: a = 1, b = , c = son los índices de Miller de este plano?
a
Intersección
1
Recíprocos
1 2
b
c
2
3
4
. ¿Cuales
[2 3 4̅]
Índices de Miller
3.53 Determine los índices de Miller para el plano cristalino cubico que interseca las siguientes coordenadas de posición: ( ; (0, 0, 1); (1, 1, 1).
,0,
Intersecciones = Reciprocó = Índices de Miller =
1/2 2
1)
3
Intersecciones = Reciprocó = Índices de Miller =
1/2 2
(2, α, 2)
2)
Intersecciones = Reciprocó = Índices de Miller =
0 1/0
0 1/0
0 1/0
1 1
(α, α, 1) 1 1
1 1
1 1
(1, 1, 1)
3.55 Determine los índices de Miller para el plano de cristal cubico que interseca las siguientes coordenadas de posición: (0, 0, ) ; (1, 0, 0) ; ( ).
, ,0
1)
Intersecciones = Reciprocó = Índices de Miller =
0 1/0
1/2 2
1
0 1/0
0 1/0
(α, α, 2)
1)
Intersecciones = Reciprocó = Índices de Miller =
0 1/0
1 (1, α, α)
1)
Intersecciones = Reciprocó = Índices de Miller =
1/2 2
1/4 4
0 1/0
(2, 4, α)
3.57.-El volframio es BCC y tiene una constante de red a de 0.31648nm. calcule los siguientes espacios interplanares: a) d
b)d
110
a) d
a hkl
h
d
2
2
k
0.31648 110
220
2
1
2
1
0
2
2
l
c)d
310
d
110
b) d
0.2238nm
b hkl
h
220
c) d
22
2
l
22
02
c hkl
2
k
2
2
l
0.31648 310
3
d
2
k
0.111893nm
h
d
0.31648
d 220 d
2
310
3.59
2
2
1
0
2
0.100079nm
El espacio interplanar en un metal FCC es de 0,083397nm. a) ¿ Cual es su constante de red a? ; b) ¿Cual es el radio atómico del metal? Y c) ¿Que metal podría ser?
= √ ℎ + + = 0,083397 4 +2 +2 =0,40856 = 4√ 2 =0,144 Plata (Ag)=0,40856nm
3.61 Que notación se utiliza para describir los planos cristalinos HCP? Los índices de los planos cristalinos HCP llamados índices de Miller-Bravais se indican por las letras h, k, i, l y van encerrados en paréntesis ()
3.63 Determine los índices de Miller-Bravais de los planos de los cristales hexagonales de la figura. Plano 1: Intersecciones = Reciprocó = Índices de Miller =
1 1 (1, 0, 2)
α 1/α
1/2 2
i i = -1
=
-(h+k)
=
-(1+0)
Índices de Miller-Bravais = (h, k, i, l) = (1, 0, -1, 2)
Plano 2: Intersecciones = Reciprocó = Índices de Miller = i i=o
-1/2 -2
1/2 2
α 1/α
(-2, 2, 0)
=
-(h+k)
=
-(-2+2)
Indices de Miller-Bravais = (h, k, i, l) = (-2, 2, 0, 0)
3.65.- Determine los índices de dirección Miller-Bravais de las direcciones de los vectores que tienen su origen en el centro del plano basal inferior y terminan en el plano basal superior como se indica en la figura 3.18d
inteseccion reciproco IDM
a1 -1 -1 -1 a1 -1 -1 -2
a2 -1 -1 -1 a2 2 0.5 1
A3 2 -0,5 -0,5 a3 -1 -1 -2
inteseccion reciproco IDM
a1 -1 -1 -2
a2 -1 -1 -2
a3 2 1/2 1
inteseccion reciproco IDM
3.67
c 0 1/0 α
c 0 1/0 α
c 1 1 2
Determine los índices de dirección Miller-Bravais de las direcciones indicadas e la figura
3.69 Cuales son los planos mas densamente empaquetados en a) la estructura FCC y b) la estructura HCP? Estructura FCC Estructura HCP Plano (0, 0, 0, 1)
Plano
(1,
1,
1)
3.71 La constante de red para el Tántalo BCC a 20⁰C es o.33026nm y su densidad es de 16.6 g/cm3. Calcule un valor para su masa atómica.
=
= =0.33026 =0.33026/ 101 =3.6010− =. = 16.6/3.6010− =5.97910−
3.73.- Calcule la densidad atómica planar en átomos por milímetro cuadrado para los siguientes planos cristalinos en el cromo BCC, con una constante de red de 0.28846nm a) (100) p
4(1 / 4)atomos
a p
p
2
1atomo
(0.28846nm) 2
ato
12.018
nm
b) (110)
2
*
(106 nm) 2
1mm 2
12.018 x1012
ato mm
2
p
p
p
4(1 / 4) 1atomos 2a 2 2atomos
2 (0.28846nm) 2
16.99
ato nm
2
*
(106 nm) 2
1mm 2
16.99 x1012
ato mm
2
c) (111)
p
p
p
3(1 / 6)atomo 3 / 2a 2
1 / 2atomos
3 / 2(0.28846nm) 2 6.94
ato nm
3.75
2
*
(10 6 nm) 2
1mm 2
6.94 x1012
ato mm
2
Calcule la densidad atómica planar en átomos por milímetro cuadrado para el plano (0001) en el berilio HCP, con una constante de red de a =0,22856nm y c de 0,35832nm.
á = # á
+ ∗ = á =. á⁄ = . =.∗ á⁄
3.77 Calcule la densidad atómica lineal en átomos por milímetro para el iridio FCC que tiene una constante de red de 0.38389nm en las siguientes direcciones: a) [100] b) [110] c) [111]
= 10 =2.60510/ =0.138389 1 10=3.6810/ =√ 20.2 3 8389 1 10=1.510/ =√30.1 3 8389 1
3.79 El titanio presenta un cambio polimórfico de estructura cristalina BCC a HCP por enfriamiento desde 8820C. Calcule el porcentaje del cambio en el volumen cuando la estructura cristalina cambia de BCC a HCP. La constante de red a de la celda unitaria BCC a 8820C es de 0.332nm y la celda unitaria HCP tiene a = 0.2950nm y c = 0.4683nm. 3.81.- ¿Qué son los rayos x y como se producen? Son radiaciones electromagnéticas con longitudes de onda entre 0.05 a 0.25nm(0.5 a 2.5 A ). Para producir rayos X para fines de difracción, se debe aplicar un voltaje de unos 35Kv entre un cátodo y un ánodo metálicos, ambos en el vacío, cuando el filamento del cátodo de volframio se calienta, se liberan electrones por emisión termoiónica y se aceleran a través del vacío debido a la gran diferencia de voltaje entre el cátodo y el ánodo aumentando su energía cinética. Cuando los electrones golpean el metal blanco se emiten rayos X y también se dice que son ondas electromagnéticas de igual naturaleza que la luz se diferencia nada mas por su longitud de onda mientras más pequeña es la longitud de onda más grande es la energía. 3.83
¿Qué es la radiación característica de rayos X? ¿Cuál es su origen?
Es un espectro que muestra la radiación continua de rayos X en un intervalo de longitudes de onda desde 0,2 a 1,4 y dos picos de radiación característica que se designa por línea que son características de ese elemento.
Å
El origen de la radiación característica es que: primero los electrones k (electrones en el nivel n=1) son expulsados del átomo por bombardeo del blanco con electrones de alta energía, dejando a los átomos excitados. Después algunos electrones de niveles superiores (como n=2 ó 3) caen a niveles de energía inferiores remplazando a los electrones k perdidos, emitiendo energía de una longitud de onda característica.
3.85 Deduzca la Ley de Bragg utilizando el caso sencillo en que un haz de luz de rayos X incidentes es difractado por planos paralelos en un cristal. 3.87 Rayos X de longitud de onda desconocida se difractan por una muestra de oro. El ángulo 2Ѳ es de 64.5820 para los planos {220}. ¿Cuál es la longitud de onda de los rayos X utilizados? (La constante de celda del oro es = 0.40788nm; suponga una difracción de primer orden, n=1). 2Ѳ Ѳ Plano a = 0.40788nm
= = =
[2,
2,
64.5820 32.2910 0]
+ + √ℎ sinѲ= 2 = √ℎ2sinѲ + + 20. 4 0788sin32. 2 91 = √2 +2 +0 =0.1540 3.89.- Un difractograma para un elemento que tiene una estructura cristalina BCC o FCC presenta picos de difracción a los valores de ángulo 2 siguientes: 38.68˚, 55.71˚, es de 69.70˚, 82.55˚, 95.00˚ y 107.67˚. (La longitud de onda de la radiación incidente 0.15405nm) 2
sen
sen 2
38.68
19.34
0.33117
0.10967
55.71
27.855
0.46723
0.21831
2
sen A 2
sen B
0.10967
0.21831
0.50 BCC
a
h
2
k
2
2 sen
2
2
l
0.15405nm 1
2
1
0
2
2 * 0.33117
0.3289 0.33nm
Con esto yendo a la tabla el resultado es el NIOBIO 3.91
Un difracto grama de rayos X para un elemento que tiene una estructura cristalina BCC ó FCC presenta picos de difracción a los valores de ángulo 2 siguientes: 40.633 , 47.314 , 69.144 , y 83.448 . (La longitud de onda de la radiación incidente es de 0.15405nm.)
°
°
°
°
a) Determine la estructura cristalina del elemento. b) Determine la constante de red del elemento. c) Identifique al elemento.
2
° ° ° °
Sen
° ° ° °
40.633
20.3165 0.3472
0.1205
47.314
23.657 0.4013
0.1610
69.144
34.572 0.5674
0.3220
83.448
41.724 0.6655
0.4429
= 0.1205 ⟹ =0.75→ 0.1610 = 0.3220 ⟹ =0.73≈0.75→ 0.4429 +1 +1 √1 15405√ 3 = 2 ⟹ = 0.220. 3165 =0.3842 Iridio (Ir)
3.93 Explique en términos generales por que los vidrios cerámicos tienen una estructura amorfa. El vidrio cerámico se denomina amorfo o no cristalino porque carecen de ordenamiento de largo alcance en su estructura atómica.
