Documento Internet: Thompson “Las fracciones” Introducción Cuando se inicia la enseñanza de fracciones, la instrucción en el aula debería dirigirse a proporcionar a los niños una fundamentación firme para la comprensión de las fracciones. Los jóvenes aprendices adquieren habilidades en fracciones en varias fases; ellos van ganando con el tiempo comprensiones a ritmos variados. Nosotros describiremos cinco etapas en las cuales la enseñanza se centra sobre la progresión del estudiante, de su razonamiento y comprensión de las fracciones. Estas son: Fase I: Reparto Actividades instruccionales: plegado en continuo, repartos en discreto, Actividades específicas: partes iguales, 1.1 repartiendo galletas, 1.2 compartiendo pastel, 1.3 repartiendo igual, 1.4 introducción de fracciones como partes de un conjunto, 1.5 notación fraccionaria. Fase II: Relaciones fraccionarias: nombrando y comparando Actividades específicas: 2.1 fracciones con fichas a doble-color, 2.2 el equipo de las fracciones, 2.3 cubriendo, 2.4 descubriendo, 2.5 registrando recubrimientos, 2.6 construyendo rectángulos. Fase III: Fracciones como razón y el concepto de equivalencia Actividades específicas: 3.1 la casa del panqueque, paso 1, paso 2, paso 3. Fase IV: Suma y sustracción de fracciones Actividades específicas: 4.1 La barra de dulce, paso 1, paso 2, paso 3, 4.2 Pizza, paso 4. Fase V: Multiplicación y división de fracciones Actividades específicas: 5.1 la panadería, 5.2 la barra de chocolate de Bob, 5.3 las galletas, 5.4 bebida refrescante, 5.5 el dinero, 5.6 la distancia. Los conceptos y actividades específicas que los estudiantes entenderán y reconocerán están diseccionados durante cada fase. Estos conceptos son prerrequisitos para actividades que incorporan experiencias previas de los estudiantes con fracciones. Durante cada fase, los estudiantes obtendrán y aplicarán varias estrategias para razonar acerca de las fracciones. La progresión de las fases comienza con reparto la cual sirve como “preparación” a las fracciones y concluye con la multiplicación y división. Incluir oportunidades 1
para que los estudiantes construyan el sentido de las fracciones es el vía crucis de una enseñanza de la matemática efectiva. Más aún, la enseñanza debería mantener muchas oportunidades a través del año para que ellos usen el lenguaje fraccional y aprendan a representar las fracciones que usan símbolos. Puntos de partida La comprensión de fracciones de los niños es típicamente incompleta y confusa. Nosotros por consiguiente debemos introducir una variedad de formas en las que los estudiantes pueden aprender acerca de fracciones (es decir, actividades geométricas y numéricas relativas a situaciones de la vida real). La comprensión de fracciones de los niños depende de experiencias pasadas y presentes con ellas. Las experiencias con fracciones informales ocurren diariamente en el mundo de los niños. Cuando interactúan con una variedad de materiales y situaciones, los niños empiezan a comprender el mundo a su alrededor y su relación con las fracciones. Los profesores pueden incrementar el aprendizaje de los niños, proporcionando experiencias cualificadas basadas en habilidades, conceptos visuales y manipulaciones. Los jóvenes aprendices están acostumbrados a seguir y usar reglas en matemáticas. Sin embargo, las reglas no les ayudan a entender los conceptos; ellos necesitan poder trabajar con las fracciones en el contexto de la vida real, más que memorizar reglas. La enseñanza en el aula debería incluir experiencias prácticas con los conceptos básicos de fracciones que soportarán la comprensión de los estudiantes sobre fracciones. Fase I: Reparto Actividades instruccionales: Plegado en continuo, repartos en discreto. Actividades específicas: partes iguales. 1.1 repartiendo galletas. 1.2 compartiendo pastel. 1.3 repartiendo igual. 1.4 introducción de fracciones como partes de un conjunto. 1.5 notación fraccionaria. I. Conceptos y metas intermedias Las instrucciones y actividades durante esta fase deberían desarrollar en los estudiantes la habilidad de dividir un objeto o un conjunto de objetos en partes iguales. En esta fase, los estudiantes deberían reconocer que: • Las fracciones son partes de conjuntos, partes de un todo. • Los objetos y conjunto de objetos pueden dividirse en partes iguales.
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• Las tareas de reparto varían de acuerdo a la definición de unidad. II. Tipos de actividades instruccionales • Crear actividades de plegado que puedan llevar a descubrir propiedades geométricas. • Pida a los estudiantes que hagan un plegado para obtener una forma (por ejemplo un cuadrado). Asegúrese de discutir las diferentes maneras de hacer un plegado. • Solicite respuestas acerca de cuales plegados generan partes iguales. • Reparta a los estudiantes figuras especificas para que repartan en partes iguales entre un número escogido de personas. • Use palillos y corte figuras grandes de materiales durables tales como carpetas o cartulinas. • Las figuras pueden representar pizzas (tortas o galletas) y los palitos se usan para cortar la pizza en partes iguales. • Introduzca actividades que les exija a los estudiantes seccionar las figuras para reorganizar las partes para formar una figura de igual área. III. Pre-conceptos / concepciones previas • Las fracciones que tratan con grupos de cosas son a menudo difíciles de entender para los estudiantes. Los estudiantes pueden no ser capaces de ver las partes fraccionales de objetos. Por ejemplo, ellos pueden pensar la “mitad” como cualquier parte de un todo, más que, una de dos partes iguales del todo. • Los libros de texto ofrecen a menudo ejercicios para que los estudiantes completen, sin centrarse en las propiedades geométricas de las figuras (todo), o de las partes, y atribuyen frecuentemente nombres de fracciones a partes desiguales de un todo. Como estos textos usan diagramas previamente partidos, los estudiantes tienen dificultad para representar no simbólicamente. Una manera de ayudar adecuadamente a los estudiantes a entender mejor el “reparto” es presentarles experiencias en acto para ellos. Los siguientes ejercicios tratan con reparto e introducen las fracciones como las partes de conjuntos. • Aunque los problemas para figuras diferentes pueden ser los mismos, para algunos estudiantes, cambiar las formas parece ser o mismo que cambiar el problema y presenta un nuevo desafío.
IV. Actividades específicas / evaluación / Preguntas de discusión Grado: 2 – 3 Duración: varios días a varias semanas. Descripción: partes iguales.
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Estas actividades familiarizan a los estudiantes con ejercicios de reparto equitativo que trata con un conjunto discreto de objetos. Nosotros sugerimos completar la totalidad de cada una de estas lecciones introductorias. 1.1 Repartiendo galletas Diga a la clase que hay 16 galletas en una caja. Cuatro niños las comparten igualmente. ¿Cuál es la porción para cada niño? Haga este dibujo en hojas y distribúyalo.
• Asegúrese de explicar que no hay galletas sobrantes y que cada persona tendrá la misma porción. Esto les hace pensar sobre como distribuir las galletas igualmente. • Este dibujo se introduce deliberadamente como cuatro filas de cuatro para soportar su pensamiento acerca de repartir objetos. Los estudiantes deberían ver que hay cuatro filas lo cual significa que cada persona recibirá cuatro galletas. • Esta actividad introduce un número específico de objetos que se pueden compartir igualmente entre cuatro niños. Deberá presentarse y manipularse ejercicios similares para asegurar que ellos entienden el concepto de reparto igual. Por ejemplo, tres niños comparten 9 galletas. • Pregunte: ¿cuál es la porción de cada niño? Pídales a los estudiantes que expliquen sus estrategias haciendo un dibujo. 1.2 Compartiendo pastel Materiales: figuras en forma de rectángulos, carpetas o cartulinas rectangulares y palillos. Instrucciones • Dé a cada estudiante una figura en forma de rectángulo “pastel” y varios palillos. Pídales encontrar el número de personas qué podrían fácilmente compartir igualmente el pastel. • Anime a los estudiantes a explorar y no ponga límite en el número de partes a ser logrado. Esta valoración informal le revela a usted qué tanto ya saben los estudiantes acerca de fracciones. • Haga que los estudiantes registren sus hallazgos dibujando las diferentes maneras en que ellos cortan el pastel para producir cada número de partes
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congruentes. Usted podría proporcionar una hoja con rectángulos ya dibujados para ellos. • Pídales a los estudiantes explicar sus razonamientos usando sus ilustraciones. • Puede incluirse las posibles respuestas, pero no se limitan a los siguientes.
1.3 Repartiendo igual
• Dé a los estudiantes una hoja con círculos ya dibujados. Pídales que dividan el círculo en dos partes congruentes (mitades), tres partes congruentes (tercios) y así sucesivamente. Este sería un buen momento para introducirlos en el lenguaje de las fracciones. Usted puede pasar a dibujar estas particiones en el tablero para que los estudiantes expliquen su trabajo así cada uno sabrá que se está esperando. • Intente esta misma actividad usando otras formas, como los cuadrados, triángulos y pentágonos. Pídales a los estudiantes que dividan cada figura específicamente en partes iguales. • Después que los estudiantes han explorado el reparto de diferentes figuras, empiece discutiendo ¿qué números de partes congruentes son fáciles de lograr en algunas figuras pero no en otras? Pregúnteles ¿Qué técnica de reparto es la que mejor funciona en una figura particular? Hágales explicar y justificar sus razonamientos con dibujos en una hoja o en el tablero. Usted debe usar actividades similares para asistir la comprensión de los estudiantes a través de los ejercicios. 1.4 Introducción de fracciones como partes de un conjunto Usando formas ya dibujadas, como círculos, se introducen a los estudiantes las fracciones como partes de conjuntos. Haga esta pregunta: ¿Si cinco amigos quieren compartir equitativamente una pizza, cuánto le corresponderá a cada persona?
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Trace este gráfico
¿Cuántos cortes pueden hacer? Pídales que expliquen su razonamiento. ¿Si sólo 3 de los amigos comen su porción, que parte de la pizza fue comida? ¿Cuál es la relación entre la pizza y los amigos? Se espera que los estudiantes vean que se han comido 3 de las 5 tajadas. El número de tajadas es igual al número de personas, porque la pizza se ha partido equitativamente. 1.5 Notación fraccionaría En esta investigación, se introduce a los niños las fracciones y sus símbolos. Esta lección ayuda a los estudiantes a entender la estructura de la notación fraccionaria. • Traiga un paquete de seis bebidas suaves a la clase. Quite una del paquete y diga a los niños: si yo bebo esta bebida suave, puedo escribir una fracción que represente que parte del paquete de seis bebí. • En una hoja o en el tablero, escriba “1/6” Dígales a los niños que esto se lee como un-sexto y significa una de seis partes. Pregúnteles: 1. ¿A qué refiere el 6? 2. ¿A qué se refiere el 1? 3. ¿Por qué esta representación tiene sentido? 4. ¿Qué podrían escribir para mostrar la parte fraccionaria del resto del paquete de seis que no bebí? • Los estudiantes tienen que explicar sus opiniones y aclarar/corregir algunas nociones erróneas. Recuerde que está puede ser la primera introducción para las notaciones de fracciones, así ellos necesitarán tiempo para comprender y sentirse cómodos con ella. • Se espera, que ellos vean que el 6 se refiere al paquete total de bebidas suaves y el 1 se refiere a la parte que usted bebió. Ellos deberían comenzar a ver que la notación representa simplemente 1 de 6 (una parte del todo). • Quite otra y haga preguntas. Continúe introduciendo, 3/6, 4/6, 5/6, y 6/6, Asegúrese de señalar que 6/6 es igual a todo el paquete de seis Usted puede tener discusiones similares acerca de colecciones que contienen cosas distintas. • Traiga a la clase una bolsa de manzanas rojas y verdes. Pregunte: ¿qué fracción del conjunto es roja? ¿Qué fracción del conjunto es verde? • Pida a un grupo de ocho estudiantes que salgan al frente. Pregunte: ¿Qué fracción del grupo son muchachos? ¿Qué fracción está con tenis? 6
• Muestre un juego de lápices, algunos con punta y otros sin punta. Pregunte: ¿Qué fracción del juego tiene punta?, ¿qué fracción del juego no tiene punta?, ¿Qué fracción del juego tiene borrador? Después de completar esos ejercicios, los estudiantes deben empezar a ver que las fracciones son medidas de la relación entre la parte y el todo. Estas actividades llevan a desarrollar la comprensión de la relación parte-todo. Evaluación: pida a los estudiantes que expliquen su razonamiento por medio de gráficos. Esto indicará lo que realmente entienden sobre las fracciones como partes de conjuntos. Usted podría
Fase II: Relaciones fraccionarias: nombrando y comparando Actividades específicas: 2.1 fracciones con fichas a doble-color • Se piensa que esta actividad familiarizara a os estudiantes con la notación fraccionaria. Este ejercicio refuerza lo que ellos han aprendido hasta ahora sobre las fracciones como partes de conjuntos. • Distribuya 12 fichas a doble color a cada estudiante. Las monedas también podrían servir o cualquier ficha marcada en cada lado con un color diferente. Se puede optar por usar cualquier ficha que tenga dos colores diferentes. • Divida las 12 fichas en tres grupos iguales, cada una mostrando las fichas por un color Pregúnteles: ¿Qué parte fraccional de todo el conjunto está representada por cada grupo? ¿Cuántas fichas constituyen 1/3? • Voltee las fichas de un grupo. Pregúnteles: ¿Qué parte del todo es “morado”?, ¿Qué parte fraccionaria del todo es blanco?, ¿Cuántas fichas constituyen 2/3? Se espera que, los estudiantes expliquen que un grupo de cuatro fichas es gris. Esta debe ser la notación 1/3. Ellos deben empezar a ver que 8 fichas son amarillas, notando como 2/3 Este atento de cómo los estudiantes visualizan la totalidad del conjunto. Asegúrese que ellos comprendan que el conjunto total consta de 12 fichas, las cuales está pensando como 3 grupos de 4 fichas. • Los estudiantes discutirán sus soluciones en grupos pequeños y luego presentar sus respuestas a toda la clase, explicando cada grupo su razonamiento. Ejercicios adicionales: Organice de tal manera que ¼ de ellas tengan el mismo color Pregunte: ¿Qué parte del todo es morada? Discuta sus soluciones De otro conjunto con menos que 12 fichas a doble color que también tiene ¼ del conjunto este mostrando el lado gris. Pídales que encuentren tantas soluciones 7
diferentes como ellos puedan las posibles soluciones usando 8 ficha, mostrarían 2 fichas grises como ¼ del conjunto total y 6 fichas como ¾ de fichas blancas 2.2 el equipo de las fracciones GRADO 3 – 4 Materiales: tiras de papel de 5 colores diferentes de 3 x 18 pulgadas Tijeras, 10 sobres. Duración: 2-3 semanas. Esta actividad presenta a los estudiantes las fracciones como partes de un todo. Puede dirigirse el ejercicio a toda la clase, trabajando en parejas o en grupos pequeños. Descripción: • Organice a los estudiantes en parejas o en grupos pequeños. Cada persona necesita cinco tiras en cinco colores diferentes. (Puede cortarse 4 tiras de papel de 12 x 18 pulgadas). También, prepare el dado de fracciones, dadas, con las seis caras etiquetadas como sigue: ½, ¼, 1/8,1/8, 1/16,1/16; de uno a cada pareja o grupo. • Dar indicaciones a los estudiantes para cortar y etiquetar las tiras de papel. Pídales que tomen una tira de papel de un color particular, pliegüelo por la mitad, y córtelo en dos pedazos. Hágales etiquetar cada pieza. • Revisar la razón fundamental para la notación explicando que él todo ha sido dividido en dos pedazos del mismo tamaño. Cada trozo tienen uno de dos pedazos, y la notación es ½ que significa uno de los dos pedazos iguales. • Después, escoja un color para la segunda tira de papel, el estudiante tienen que plegarlo y cortarlo en cuatro pedazos iguales. Discuta que cada pedazo es uno de cuatro, o un – cuarto, y pídales que etiqueten ¼ en cada pedazo, entonces que plieguen, corten y etiqueten una tercera tira de papel en octavos y una cuarta tira en dieciseisavos. Deben dejar la quinta tira de papel entera y etiquetarla con 1 o 1/1. • Este proceso ayuda a los estudiantes a entender exactamente cómo ellos han tomado tiras enteras y han creado partes más pequeñas, o fracciones, del todo. Cada estudiante tienen un equipo de fracciones para usar. Haciendo los cortes y etiquetando las piezas les ayuda a relacionar la notación fraccionaria con las piezas concretas y comparar los tamaños de las partes fraccionarias. Ellos pueden ver que ¼ es más grande que 1/16, ellos pueden medir para demostrar que dos de 1/8 son equivalentes a ___. Después de crear los equipos, asegúrese de que cada una haya escrito sus iniciales al respaldo de las piezas. De les sobres para que ellos guarden sus equipos.
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2.3 cubriendo Este juego es para dos o más jugadores. Cada jugador empieza con una tira entera. La meta es ser el primero en cubrir la tira completamente con las otras piezas del equipo de las fracciones. No se permiten dos piezas superpuestas. Reglas: 1. Se turnan para coger y tirar el dado fracciones 2. La fracción en la cara superior del dado dice que tamaño de pieza colocar sobre la tira completa. 3. Cuando el juego se acerca al final y un estudiante solo necesita una pieza pequeña tal como 1/8 o 1/16, ½ o ¼ no servirá. El estudiante tienen que sacar lo que exactamente está necesitando. • Evaluación: observe la habilidad de los estudiantes para distinguir varias partes de la tira. ¿Ellos están conectando las diferentes partes? ¿Cómo pueden probar que cada fracción es más grande o más pequeña que otra? • Preguntas para los estudiantes: si usted saca en la cara superior de fracción y usted necesita 1/8, ¿por qué piensa que está no servirá? ¿Qué percibe del tamaño de las piezas? ¿cómo se diferencian? Los estudiantes deben explicar su razonamiento usando las piezas para apoyar su respuesta. • Se espera que, el estudiante verá que ____ es mucho más grande que 1/8. cada pieza fracción debe cubrir sólo su porción sin sobreponerse. • La discusión puede llevar a la equivalencia entre fracciones usando las partes ya listadas. Pida al estudiante que explique las maneras diferentes de crear una tira entera usando las diferentes piezas. Ellos pueden usar las tiras y los trozos para explicar su razonamiento. • Pídales que expliquen porqué y cómo nosotros etiquetemos las piezas de una manera particular. ¿Los números qué significan? ¿Qué relación hay de las piezas con la tira entera? • A estas alturas, los estudiantes deben darse cuenta que varias partes iguales hace una tira entera. Sus respuestas pueden ser similares a: si la tira se rompe en cuatro partes iguales, entonces ellos necesitarán cuatro piezas usted necesita para hacer una tira. Asegúrese que los estudiantes aprendan cómo nombrar y comparar las fracciones en relación con la tira entera antes de discutir cualquier lenguaje que pueda confundirlos. Si ellos comprenden el concepto, entonces ésta puede ser una oportunidad de introducir términos fraccionales como el numerador y denominador. 2.4 descubriendo La siguiente actividad da experiencia a los niños con fracciones equivalentes. Los únicos símbolos fraccionarios que el equipo de las fracciones. 9
Descubriendo Cada persona empieza con la tira cubierta con dos piezas. La meta es ser el primero en destapar la tira completamente.
Reglas 1. Tomé el cubo fraccionario y ruédelo. 2. el jugador tiene tres opciones en cada turno: para quitar una pieza (Sólo si el jugador tiene una pieza igual indicando por la cara superior del cubo fracción), o no hacer nada y pasar el cubo al siguiente jugador. (Un jugador no puede quitar una pieza y puede negociarla en el mismo giro, pero puede hacer una de las dos). Es demasiado importante para los niños verificar que cada persona negocia correctamente. 2.5 registrando recubrimientos 1. Pídales a los estudiantes que escojan trozos cualesquiera de tal manera que cubran la pieza completa. 2. Registre algunos de sus templos en la tabla o en el tablero. Por ejemplo, si un niño usa tres piezas de ¼ y dos 1/8, registre: ¼ + ¼ + ¼ + 1/8+1/8 = 1 La meta de esta actividad es promover el razonamiento de los estudiantes acerca de las piezas para reproducir. 3. Luego explique cómo abreviar la ecuación calculando los cuartos y escribiendo ¾ y 2/8 = 1 ayúdeles a abreviar varios registrando en el tablero o en el proyector. 4. Ahora que cada uno cubra sus tiras enteras con al menos cinco combinaciones de 5 maneras diferentes. 5. Esta actividad debe completar la última parte de la secuencia. Es una excelente introducción hacia la suma de fracciones. Usted puede elegir hacer esto como un ejercicio a toda la clase para asegurarse que cada uno comprendió los conceptos que han presentado. 6. sea consciente que tanto los estudiantes agarran el concepto de usar diferentes piezas para producir el todo. Pídales que expliquen sus razones particulares para seleccionar las piezas. Discuta las maneras diferentes para reconstruir la tira completa usando piezas diferentes. Discuta las maneras diferentes para reconstruir la tira completa usando piezas diferentes. Usted puede referirse a las actividades anteriores para ayudarles a entender este nuevo concepto. Si los estudiantes no entienden esta actividad, no se preocupe; ellos verán la relación gradualmente entre las partes y el todo. Nosotros sugerimos revisar la 10
actividad de bebidas suaves con esos estudiantes y relacionar ambos procesos de razonamientos. Esperamos que, ellos comprendan mejor como partes diferentes se necesitaron para hacer el todo.
2.6 construyendo rectángulos Materiales: baldosines de colores, Papel cuadriculado, Marcadores o crayolas 1. Use baldosas para construir un rectángulo que es ½ rojo, ¼ amarillo, y ¼ verde. Registre y etiquete en el papel cuadriculado. 2. Encontrar al menos otro rectángulo que también sirva. Construir y registrar. 3. Ahora use baldosas para construir cada uno de los rectángulos de abajo construir y registrar por lo menos do dos maneras. Esto se hace inicialmente en parejas y luego individualmente. a) 1/3 azul 2/3 verde b) 1/6 rojo. 1/6 azul, 1/3 verde, 1/3 amarillo
Fase III: Fracciones como razón y el concepto de equivalencia Fracciones como razón y concepto de Equivalencia I. Relaciones para la secuencia de las clases, conceptos y metas intermedias. A estas alturas, los estudiantes deben entender que las fracciones son medidas de la relación entre la parte y el todo. En esta fase los estudiantes deben reconocer que: • Las fracciones también son las medidas de razones. Los dos conceptos representan una relación entre una parte y el todo. • Fracciones diferentes pueden representar cantidades iguales de una misma cantidad. • Las fracciones equivalentes tienen una razón constante. II. Tipos de Actividades Instrucciones •
Produzca problemas verbales que pueden extenderse de muchas maneras por un periodo largo de tiempo.
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• • • • • •
Use razones que describan la relación entre dos objetos separados (ejemplo: Pizzas para personas). Use razones que puedan reducirse o puedan aumentarse fácilmente e igualmente (ejemplo: 18/24= 9/12=6/8=3/4 ) Sea consciente de los dibujos que usted usa para representar problemas verbalizados. Este atento de los dibujos que sus estudiantes están haciendo. Trabaje primero con los dibujos, entonces pase a tablas de razón. Cuando use tablas de razones. Trabaje en la búsqueda de encontrar la razón constante además de situaciones multiplicadas donde la razón permanezca constante.
III. Pre- Conceptos/Concepciones Erróneas •
•
Con frecuencia, cuando se reducen fracciones están reducidas, los estudiantes no reducen el numerador y el denominador igualmente. Con el tipo de problema descrito abajo, los estudiantes naturalmente comienzan encontrando razones iguales entre secuencias fraccionales correctamente por su propia cuenta. Esto es debido al tipo de problema verbalizado y la manera en la cual esta distribuida su clase. Hasta este punto, usted ha estado trabajando probablemente con visualizar una parte de un todo, como dos pedazos pizza 7/8 de una barra de dulce. Sin embargo, esta fase trata de encontrar las relaciones entre dos cantidades en lugar de examinar una parte de un todo simplemente. Por ejemplo la actividad que sugerimos tratar con razones de pan queques a personas en un restaurante. Algunos estudiantes no entienden por que usted esta usando dos objetos diferentes de repente (Pan queques y personas) en sus problemas verbalizados. Ellos no deben preocuparse por esta situación. Esta situación estará en ellos.
IV. Actividad especificas/Evaluación/ Preguntas de discusión
Actividades específicas: 3.1 la casa del panqueque La casa del Panqueque Grado: 4-5 Materiales: Una hoja o tablero para dibujos del maestro Duración: varios días a varas semanas.
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Paso 1: Diga en la clase que ellos van a desayunar en la casa del panqueque en el pueblo con un grupo grande de otras personas. Haga estas preguntas: Si hay 24 personas en una mesa grande y el maestro lleva 18 pan queques, ¿Cuanto come cada persona si los pan queques son repartidos igualmente entre todos? Dibuje esta figura:
18 (Pancakes)
24 (Las Personas) Asegúrese que ha escrito el número de pan queques sobre el número de las personas. Este uso le permite ver a los estudiantes representan las fracciones con el numerador arriba y el denominador abajo. Sin embargo, es lo mejor que estos términos se discutan solo cuando los conceptos están comprendidos totalmente. La terminología podría confundirlos en este estado temprano. Se espera que, los estudiantes comprenderán que si hay solo 18 pan queques, pero 24 personas, cada persona conseguirán solo ¾ de un panqueque. Las actividades tratadas hasta ahora los harán preparado para dar respuesta relativamente fácil. Luego, haga esta pregunta: Ahora si las 24 personas estuvieran sentadas en dos mesas, pero el número de pan queques fuera el mismo, ¿Cuántos pan queques ahora le corresponderá a cada persona? Dígales a sus estudiantes como se representa esto en el término de un grafico: El dibujo seria como esto:
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De nuevo se espera que ellos puedan ver que cada individuo todavía solo como ¾ de un panqueque. También, como el estado anterior, dibujando el cuadro de esta manera los estudiantes empezaran a ver 9/12 como una fracción. En el futuro ellos verán 9/12 como una fracción equivalente a la fracción ¾. Haga esta pregunta: ¿que si todos nos sentáramos entre mesas? Pida a sus estudiantes representar esto en términos de un dibujo Los dibujos deben parecerse a esto:
Pregunte: ¿Si fuera alrededor de 6 mesas?
De nuevo, cada persona consigue que ¾ de un panqueque para comer. La ultima cuestión, mostrada anteriormente, con las 6 mesas, mostramos que la fracción ¾ es lo mismo que la razón de 3 pan queques a cada 4 personas. Esta razón de 3 a 4 ha permitido constante a lo largo de la sucesión, aunque las fracciones han cambiado. Con este problema, los estudiantes entienden el concepto de fracciones equivalentes (9/12 =3/4). Ellos también empezaran ha ver la relación entre las fracciones y las razones 9/12= 3:4).
Paso 2 En este, usted puede introducir una tabla de razón a sus estudiantes. Esta es una manera de facilitar graficando la relación entre los pan queques y las personas. De nuevo, la notación fraccionaria esta poniéndose mas visual. En este punto de la frecuencia los estudiantes serán capaces de encontrar rápidamente muchas fracciones iguales. 14
Preguntas: Suponga, hay 30 panqueques en una mesa de 18 personas ¿Cuáles son algunas otras maneras de sentar a las personas a las mesas en el restaurante?, ¿Cuántos pan queques conseguirá cada mesa? Tabla de razón # de pan queques
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5
# de Personas
18
9
6
3
Asegúrese de nuevo que el número de pan queques esta arriba del número de Las personas, así la razón de 5:3 o 5/3 pueda identificarse fácilmente. Cada persona en este grupo consigue 5/3 de un pan queque o 12/3 pan queques. Acepte ambas maneras de escribir la misma respuesta y cambie a la manera que usted como un maestro escribe las respuestas, para que sus estudiantes comiencen a darse cuenta que representan lo mismo. Paso 3: A estas alturas, usted todavía puede trabajar con la tabla de razones, comience a trabajar en dirección opuesta. En este momento dele a sus estudiantes la razón de la figura que ellos tienen. Cuántos panqueques, a cuantas personas dan la misma razón. Tienen que pensar de tantas formas como ellos puedan.
Pregunta: Suponga que usted esta en una mesa y usted consigue ¾ de un panqueque ¿Cuántas personas y pan queques podían estar en su mesa? 6
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24
9
21
Los pan queques
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32
12
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Las personas
(Cada agrupación le permite ¾ de un pan queque a cada persona) Hay muchas respuestas posibles para esta pregunta como puede mostrarse con la tabla de la razón. La fila de la cima es que el número de pan queques y la de abajo es el número de personas. En la tabla de razones hemos listado unos pocos posibles arreglos. Las configuraciones más comunes serán las dos primeras cajas en la tabla. Respuestas como 9/12 o 21/28 puede no aparecer al comienzo 3 pan queques para 4 personas es una respuesta viable. Nosotros sugerimos hacer muchos problemas tales como este y similares a los de los pasos 1y 2.
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A estas alturas, los estudiantes deberán tener una comprensión buena de fracciones equivalentes. Si usted no ha escogido expresar este aprendizaje la terminología depende de usted. Con suerte, este es un concepto que sus estudiantes expresaran a usted cuando ellos empiecen a ver poco a poco todo se despliegan muy bien con el problema del pan queque. Ellos también empezaran a ver como pueden doblar la cantidad de pan queques y de personas y la razón entre ellos permanezca constante. También es cierto si nosotros doblamos las cantidades, las cuadruplicamos y así sucesivamente. Por, ellos deben tienen que empezar a darse cuenta también que para que las fracciones permanezcan iguales y la razón constante, ambos números (arriba pan queques y abajo personas) deben estar multiplicados por el mismo numero. Asegúrese que sus estudiantes entiendan estos conceptos totalmente antes de seguir: • Las fracciones también son medidas de razón. Los dos conceptos representan una relación entre una parte y un todo. • Fracciones diferentes pueden representar cantidades iguales de una misma cantidad. • Fracciones diferentes pueden representar cantidades iguales de una misma cantidad. • Fracciones equivalentes tienen una razón constante. Esta idea de distribución y de reparto equitativo crea una imagen mental de objetos que están siendo compartidos. La relación de >que es usada= y > el numero apropiado de partes debe construirse y debe afirmarse de nuevo. La idea de razones solo se desarrollara si los estudiantes recuerdan que los objetos deben compartirse igualmente. La construcción del símbolo con los números dentro de los círculos y debajo de los círculos también refuerza la imagen visual de fracciones. Atribuyendo un valor cuantitativo a lo que esta sobre la mesa y a los que están sentados a la mesa, y permitiendo que la fracción trabajen sobre esto, las fracciones adquieren significado para los estudiantes y pone una base concreta sobre la cual trabajar. Métodos de Evaluación y Preguntas de Discusión La evaluación en el curso continuada debe tener lugar durante esta secuencia que podría durar muchas semanas hará ser controlada. También deben hacerse regularmente las preguntas de la discusión para que los niños tengan una oportunidad para explicar sus razonamientos entre si. Hablando a través de un problema así es importante la comprensión global.
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Fase IV: Suma y sustracción de fracciones I. Relación para la secuencia de Clase, Concepto y Metas intermedias A estas alturas en la secuencia, los estudiantes deben ser capaces de visualizar diferentes cantidades fraccionarias. Ellos deben entender la fracción como la relación entre una parte y un todo. Ellos deben poder figurarse fracciones iguales y la razón constante entre las fracciones iguales. La fase 3 se enfoca en una actividad que involucra reparto igual de un objeto entre personas con el propósito de desarrollar los conceptos de igualación y razón. Esta fase extenderá estos conceptos e intentara desenredar unos pocos mas. Los conceptos y metas a ser alcanzado con el propósito de sumar y restar fracciones exitosamente son: . Las fracciones para ser sumadas o restadas deben tenerle mismo denominador. . Crear fracciones iguales encontrando un común denominador. . El denominador queda constante cuando suma o resta fracciones (las partes están cambiando, pero el todo queda el mismo) II. Tipo de Actividades Instruccionales Lo mejor es un problema verbal elaborado para introducir los conceptos de suma y resta. •
Comenzando con denominadores diferentes el algoritmo normal falla en este lugar. • Comenzar con un objeto fácil de ser sumado y restado como partes de una barra de dulce La imagen de la barra de dulce que ya es dividida en cierto numero de bloques esa fácil de imaginar y dibujar. Escoja una barra de dulces con varios bloques que se puedan partir en varias cantidades fraccionarias. Por ejemplo, una barra de dulce con 15 bloques se puede partir fácilmente en quinto y tercios. De esta manera sumar quintos y tercios es concreto y visualmente razonables cuando tratamos con una barra de dulces de 15 bloques. •
• •
Después de esta actividad ha sido denominada, proponga situaciones similares con pizzas que aun no han sido divididas por los estudiantes. Ahora ellos están obligados a graficar los trozos ellos mismos y deben extraer un número de ellos que pueda ser partidos, por ejemplo en tercios y cuartos o cuartos y quintos, etc. Recordar que no es importante usar los términos numerador y denominador. Convierta la explicación conceptual de un estudiante escribiendo una ecuación numérica, así que la explicación de el convierta la ecuación en el algoritmo de que pueda extraerse. 17
• •
III.
Que los estudiantes se figuren ellos mismos el común denominador que debería usarse y como ellos pueden crear fracciones iguales con denominadores diferentes. Incluir la resta como una parte de la lección. Enseñe los dos conceptos juntos puesto que ellos están estrechamente relacionados entre si y uno no es mas difícil que el otro. Preconceptos/ Concepciones Erróneas
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• •
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Cuando sumamos o restamos cantidades fraccionarias diferentes del mismo objeto, los estudiantes deben poder quebrar el objeto en un numero de piezas que pueda ser divididos fácilmente en ambas cantidades fraccionarias. Actividades de partes iguales entre diferentes numerosa ayudan a los estudiantes a pensar de esta manera. Los estudiantes deben pensar en términos de “cosas”. Cuando ellos igualan una cantidad de dulce o pizza, por ejemplo, para el problema, el razonamiento tiende a ser mas solidó. Anticipar las respuestas malas como 2/9 al sumar ¼+1/5. las respuestas como estas muestran que el estudiante no entiende el problema en términos a la cantidad desde que no se puede romperse 9 uniformemente en cuartos y quintos. El esta simplemente sumando los números de arriba y los números de abajo. Anticipar que algunos estudiantes dibujan pizzas rectangulares en lugar de cuadrados para dividirlos fácilmente en pedazos. No rechace las diferentes maneras de resolverlos problemas. Anime a la discusión abierta para compartir varios métodos.
IV. Actividades especificas/ Evaluación preguntas de discusión La Barra de dulce Paso 1: El paso 1 conlleva a repetir y extender algunos conceptos que se aprendieron en la fase 3. Diga a sus estudiantes que la barra de dulce tiene 12 bloques (como barra hershey) y ellos quieren dividírsela entre los niños. Pero, deben ser divididos uniformemente. Pregunta: ¿Cuántos niños podrían compartir este dulce igualmente? Respuesta: # de niños= 12, 6, 4, 3, 2, 1. Pregunta: ¿Por qué estos números funcionan?, ¿Cuántos bloques de la barra conseguirá cada grupo?
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(Dibuje en una tabla para mostrar las respuestas) # de niños 12 # de 1 bloques
6 2
4 3
3 4
2 6
1 12
Pregunta: ¿Cuál es la cantidad fraccionaria de la barra de dulce que cada niño en cada situación conseguirá? (Continúa con la misma tabla y agréguele otra fila) Respuesta:
# de niños 12 # de bloques 1 Fracción de la 1/12 barra
6 2 1/6
4 3 1/4
3 4 1/3
2 6 1/2
1 12 1
Pregunta: ¿Cuánto de una barra de dulce tenía 30 bloques?, ¿De cuantas maneras se podría compartir igualmente esa barra?, ¿Cuántos niños estarían en cada situación? Respuesta: # de niños 30 # de bloques 1 Fracción de 1/3 la barra
15 2 1/15
10 3 1/10
6 5 1/6
5 6 1/5
3 10 1/3
2 15 2
1 30 1
Idealmente, a estas alturas, sus estudiantes empezaran a ver que hay diferentes maneras de dividir la misma barra del dulce en un número de personas diferentes. Estas diferentes formas producen cantidades fraccionarias diferentes de la misma barra. El número de bloques dice en que maneras puede dividirse la barra uniformemente. Asegúrese que sus estudiantes hayan encontrado todas las maneras y que ellos entiendan la relación entre el número de niños, y el número de bloques en una barra, y la fracción que se usa para representar la cantidad que cada niño recibe.
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Paso 2: Continuando a lo largo de este concepto, asegúrese doblemente que sus estudiantes entiendan que estuvieron respondiendo un problema similar de una manera diferente. Pregunta: ¿Seria fácil extraer la tajada 2/3 de una barra de 15 bloques?, ¿Cuántos bloques serian los que extraen? Téngales un cuadro de esto dibujando 15 bloques y sombreando 10 de ellos. Pregunta: ¿Qué son 3/5 de la barra?, ¿Eso seria fácil o difícil de imaginar?, ¿Por qué?, ¿Cuántos bloques serian? Téngales una figura para representar esto Pregunta ¿Qué son ¾ de una barra de 15 bloques?, ¿Eso seria fácil o difícil de imaginar?, ¿Por qué? Pregunta: ¿Qué son 5/6 de 15 bloques?, ¿fácil o difícil?, ¿Por qué? Pregunta: ¿Cuál seria un número fácil de bloques para poder imaginar 5/6? (Espera la respuesta como 6,12, 24, 18) Pregunta: ¿Cuáles serian las fracciones fáciles si yo tuviera una barra con 18 bloques? Pregunta: Si yo tuviera 5/8 de una barra ¿cuantos pedazos podrían estar en la barra? Estas preguntas deberían ser respondidas en discusión en el grupo total para que sus estudiantes tengan respuestas verbalizadas para que ellos puedan oír. La discusión abierta en muy importante para la valoración. Por ejemplo, si sus estudiantes están teniendo problema en este paso en la secuencia de la lección, seguir no seria sabio. Estos conceptos que desarrollaron en el paso 1 y 2 de esta actividad son críticos para que un estudiante totalice la comprensión de fracciones, específicamente para tratar de adición y sustracción fracciones. Paso 3: Este paso involucra en realidad suma y resta de fracciones. Es mejor no decirles a los estudiantes que esto es lo que ellos estarán haciendo. Ellos lo deducirán solo. También, integre la substracción con la suma. Ellos están construidos el uno sobre el otro no necesariamente uno es mas difícil que el otro como mucha gente supone.
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Continúe usando la barra de dulce imaginariamente en su historia, pero ahora, los estudiantes deben confiar en lo que ellos saben ya determinar por ellos mismos cuantos bloques estarán en la barra. Pregunta: Maria consigue 2/3 de una barra y john consigue 3/5 de barra ¿Quién consigue más? (Asuma que las barras son iguales). Respuesta: Los estudiantes deben comprender que ellos necesitan dibujar o imaginar una barra que puede dividirse fácilmente en 3 partes y 5 partes. Por ejemplo una barra con 15 bloques hará que 2/3 = 10 piezas sacadas de un total de 15 o 10/15 para Maria, 3/5 = 9 pedazos para John o 9/15. Espera que sus estudiantes le muestren una figura para cada sombreado del bloque de Maria y John. Puesto que Maria solo consiguió 10/15 y John consiguió 9/15, claramente se ve que Maria consiguió más, 1 bloque más fuera de 15 o 1/15 más. Si sus estudiantes han dibujado los cuadros y han deducido que a Maria le correspondió 1/15 de bloques mas que john, entonces ellos han completado simplemente un problema de substracción que usa las fracciones y, ellos en realidad han completado un problema mas avanzado que una ecuación, así que los estudiantes han llegado a sustraer fracciones por ellos mismos. Ahora pregunte: ¿Cuánto dulce Maria y John consiguieron juntos? Respuesta: 10/15+9/15=19/15 de una barra, o 14/15 Desde que sus estudiantes están pensando en términos de “cosas” o “bloques, ellos automáticamente no agregan 15+15 para conseguir 19/30 incorrectamente” Continué preguntando una variedad de estas cuestiones concernientes de la barra del dulce asegurando que sus estudiantes están siguiendo el concepto de denominadores iguales. Incluimos otras preguntas: Pregunta: Ana consigue ¾ de una barra ¿Quién consigue más? ¿Cuánto más?
y Jack consigue 5/6 de una barra
Respuesta: Ana consigue 9/12 y Jack consigue 10/12. Jack consigue 1/12 más Nota: esta actividad no empezó con los denominadores iguales por que comenzamos con el alogaritmo Standard. Los estudiantes tuvieron que imaginarse por su propia cuenta que se necesitaban denominadores iguales y cuando ellos descubren una regla por su propia cuenta ellos la recordaran mejor y la practicaran correctamente más a menudo. Nosotros estamos sacando el 21
algoritmo de nuevo de una serie de descubrimientos. Estos descubrimientos se hacen evidentes a través del uso de problemas verbales que valen la pena como la actividad de barra de dulce.
Pizza Paso 4: El movimiento de las pizzas en esta fase de suma y resta es importante por que las pizzas no están divididas, en elegantes trozos de bloques. Los estudiantes deben dibujar sus propias secciones sobre la pizza. Permítales a los estudiantes dibujar sus pizzas como círculos o rectángulos Una manera puede ser mas fácil para algunos estudiantes y mas difícilmente para otros. Pregunta: Una pizza es dividida en cuartos y otra en quintos ¿Si usted toma un pedazo de cada pizza, cuanta pizza usted comió? Respuesta: los estudiantes deben dibujar cada pizza y hacer las particiones que ellos han dividido y ¼ sombreado de una y 1/5 de otra. Ellos también deben encontrar un número común que puede ser dividido en cuartos y quintos. Este numero, mas probablemente será 20.1/4 de 20 es 5 y 1/5 de 20 es 4, por lo tanto se han comido 5/20+ 4/20. Ellos igualan 9 trozos de un total de 20 o 9/20 de una pizza. Puesto que dividir 20 pedazos la pizza es un numerador grande, algunos estudiantes pueden haber elegido dibujar un pastel rectangular, y algunos pueden no haber dibujado con exactitud todos los trozos. Sin embargo, en el sentido de evaluación pregúnteles que expliquen como ellos saben que cada pizza esta dividida en 20 trozos. Una respuesta a la pregunta: ¿Por qué 20? Incluirá que de 20 pedazos puede hacerse fácilmente cuartos y quintos, además de la explicación para porque ¼= 5/20 debido a la equivalencia de fraccionarios (fase 3). Sin las fases anteriores esta fase no seria viable. Anticipe que un estudiante llegue con respuesta de 2/9 al problema anterior. Pídales que expliquen sus respuestas en términos de una cantidad. Asegúrese que las explicaciones para las respuestas fueron contestadas de manera uniforme y a menudo. Después de que su explicación sea rechazada por otros estudiantes, y el aun no entiende, trate de mostrarle con un dibujo como esta no es una posible respuesta. Y recuerde esto tomara varias semanas, si no mas, para llegar a este estado con sus estudiantes. 22
Otras inquietudes para preguntar en el paso 4 deben ser similares e incluir otras como: Pregunta: Una pizza es dividida en tercios y otra en quintos. ¿Si yo tomo dos pedazos de cada pizza, cuanto e como? Respuesta: Espera dibujos de nuevo para responder 2/3 +2/5 o 10/15+6/15=16/15 Se espera que, ellos verán que esta respuesta muestra que se comió mas de una pizza ¿Cuánto mas? 1/15 más. Pregunta: Hay una pizza que es dividida en quintos y otra dividida en séptimo. Hill toma dos pedazos de la primera (quintos) y Susy toma 2 pedazos de la segunda pizza (Séptimo). ¿Quién come más pizza? ¿Cuánto mas? Respuesta: Hill come 14/35 y Suzy come 10/35. Hill come 4/35, mas que Susy. Una revisión de los conceptos a ser desarrollados en esta fase ayudara a evaluar si los problemas que usted esta escogiendo están recorriendo los puntos necesarios. • Las fracciones para sumar o substraer debe tener el mismo denominador. •
Creando fracciones iguales para encontrar un común denominador.
•
El denominador queda constante cuando agreguemos y substraemos las fracciones ( las puertas están cambiando, pero el todo permanece el mismo)
Recuerde que no es aun importante usar los términos numerador y denominador en estas condiciones. Permita a sus estudiantes realizar el algoritmo propio de los denominadores iguales por si mismo. Incluya al tiempo problemas de suma y substracción en las actividades.
Fase V: Multiplicación y división de fracciones I. Relación para la secuencia de clases. Metas y conceptos intermedios A estas alturas en la secuencia, los estudiantes deberán poder visualizar e ilustrar las cantidades fraccionarias. Ellos deben poder crear cantidades fraccionarias iguales e identificar una razón constante. Ellos deberán ser capaces de agregar y substraer fracciones encontrando un mismo denominador y solo agregando o substrayendo los numeradores, los estudiantes deberán estar capacitados para
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explicar las cantidades fraccionarias en términos de “cosas” Los conceptos a ser desarrollados en la fase 5, multiplicación y división de las fracciones son: • • • • •
II. •
•
La multiplicación de fracciones conlleva tomar partes de una parte de un todo. Este tomar “parte de un todo” puede ser aplicado ala multiplicación de fracciones por números enteros tales como 1, números mayores que 1, y fracciones más pequeñas que 1. Los estudiantes debe también ser capaces de darse cuenta que cantidad en cada fracción esta referido a los problemas de multiplicación (en otras palabras, una fracción esta encajada en otra fracción). Los estudiantes deben eventualmente darse cuenta que aunque ellos están “dividiendo” una cantidad, la operación es todavía una multiplicación. La división de fracciones implica la acción de cuantas partes van en un todo o cuantas partes van en otra parte de un todo.
Tipos de actividades Instruccionales Para empezar el trabajo de la multiplicación, recuerde a los estudiantes primero los problemas de reparto, que fueron hechos al comienzo con el trabajo con fracciones. Motivarlos a encontrar fracciones de un numero entero, tal como los 2/3 de 12 Estos dos tipos de problemas pueden parecer como “noticias viejas” pero conseguirá que los estudiantes piensen de nuevo en términos de partes de igual tamaño y el significado de repartir una cantidad cuando se trabaja con fracciones.
•
Los estudiantes normalmente pueden deducir que un ½ de ½ ya que es relativamente mas fácil en este punto de la secuencia debido a su habilidad de dibujar rápidamente y visualizar la cantidad 1/2. Empiece pidiéndoles que resuelvan problemas como estos, o ¼ o ½ etc. Estos problemas empiezan a movilizar el pensamiento de los niños en términos de tomar partes de una parte de un todo.
•
Luego pídales a sus estudiantes que resuelvan problemas similares a encontrar “un- cuarto de cuatro quintos de una galleta, de donde el denominador del primer número es el mismo numero que es numerador en el segundo. Esto permite un dibujo fácil de la solución y les permite a los estudiantes empezar a encontrar porciones de una cantidad fraccionaria excepto ½. Ellos están viendo ¼ como incluido en 1/5.
•
Para incrementar la dificultad de multiplicación, ponga a los estudiantes a resolver los problemas similares a encontrar ¾ de 2/3 de una galleta, en 24
que el denominador del primer fraccionario es un múltiplo del numerador del segundo fraccionario. •
Luego pídales a los estudiantes que resuelvan problemas similares como encontrar 2/3 de 9/10 de una galleta en que el denominador del primer fraccionario es un factor del numerador del segundo fraccionario.
•
Finalmente el tipo más difícil de preguntas para resolver es el que incluye otros como encontrar 3/4 de 7/8 de una galleta, en que el máximo común divisor del denominador de la primera fracción y el numerador de la segunda es 1.
•
Los problemas de la división puede incorporarse al mismo tiempo con los de multiplicación. Empiece con problemas verbales de división donde el denominador de la segunda fracción es un múltiplo de la primera fracción o viceversa, para que las graficas sean fáciles de partir.
•
• •
Incluya problema de división donde use las tablas pueden hacerse en orden para encontrar la respuesta. El algoritmo normal se derivara fácilmente de las tablas, pero espere hasta muy al final de la secuencia para introducirlo
Nota: la descripción de cada tipo de problema listados antes pueden parecer confusos, pero si usted trabaja a través de los problemas dados, a ver por si mismo como cada tipo de problemas incrementa la dificultad suavemente. En todos los casos. Un dibujo para ilustrar la parte de un todo es extremadamente útil.
III. Conceptos Previos/ Concepciones Erróneas •
Los estudiantes deberán ser capaces de razonar que se necesitaron partes de igual tamaño cuando resolvieron esos problemas.
•
Ellos deberán razonar que la multiplicación de una fracción por un numero entero el resultado es una fracción.
•
Anticipe que estudiantes no comprenden que una fracción esta encajada en otra fracción y que la respuesta puede ser un numero entero.
•
Los conceptos erróneos y equivocaciones pueden resultar en la necesidad de volver a resolver más problemas de repartos iguales.
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IV.
Actividades Específicas de Multiplicación
La Panadería
Pregunta: Una porción de pastel en la panadería local es ¼ de un pastel. ¿Cuánto son 3 porciones? Respuesta: ¾ de un pastel (pida a los estudiantes que dibujen un pastel con ¾ sombreados). Pregunta: ¿Cuánto es ½ de una porción? Respuesta: ½ x ¼= 1/8 de un pastel (de nuevo pida que dibuje). Pregunta: ¿Qué es 1/3 de una porción? Respuesta: 1/3 x ¼ = 1/12 de un pastel (dibujando deben versen que cada cuarto esta cortado en tercios; 1 sección, entonces 1/12). La barra de Chocolate de Bob Pregunta: Ayer la madre de Bob empaca una barra de chocolate en su ponchera. El comió parte una de ella y guardo ½ para hoy. Hoy, el comió 2/3 de la barra restante. ¿Cuanto de la barra comió hoy? Respuesta: 2/3 x ½ = 2/6 o 1/3 de la barra entera (mire en los dibujos de los estudiantes por mitades y entonces corte de la barra de medios en tercios. Para encontrar la cantidad comida de la barra total, la otra mitad debe ser dividida también en los tercios. Esto hace el total que dividió en sextos y que 2/6 esta igual que 1/3. Pregunta: Bob consiguió una nueva barra de dulce. El comió 2/3 en un día, y guardo el 1/3 restante. Luego comió 4/5 de la barra restante. ¿Cuánto de la barra comió hoy? Respuesta. 4/15 de la barra entera ( el grafico debe mostrar en tercios y cada tercio cortado en quintos). Nota: Los estudiantes pueden encontrar esto mas naturalmente mediante problemas de suma y resta puesto que los pasos están todos dados en la verbalización del problema. Dividiendo al pastel o barra del chocolate según los pasos, la respuesta es evidente sin tener que encontrar el mínimo común denominador. 26
Las Galletas Pregunta: Usted tiene 4/5 de una galleta, pero usted quiere dar ¼ de ella a un amigo ¿Cuánto de la galleta entera usted le estaría dando? Respuesta:1/5 de una galleta. Pregunta: ¿Cuánto es ¾ de 2/3 de una galleta? Respuesta: ½ de una galleta. Pregunta: ¿Qué es 2/3 de 9/10 una galleta? Respuesta: 6/10 de una galleta. Pregunta: ¿Qué es ¾ de 7/8 de una galleta? Respuesta: 21/32 de una galleta. Para todos los problemas de la muestra, evalué los gráficos de los estudiantes a través de todos los problemas. Asegúrese, que los estudiantes entienden a que cantidad se refiere cada fracción. Haga preguntas a lo largo del proceso para impulsarlos a nuevos descubrimientos. Algunas buenas preguntas para hacer ¿Cuantas partes usted necesita? “¿Existe alguna manera de hacerlo para que obtengas partes del mismo tamaño?” ¿Cuántas partes en total hay ahora? Y ¿Cuándo dice ¾ a que se refiriéndose? Y otras preguntas como estas.
V.
Problemas específicos de División
La división es un duro concepto de entender por estudiantes y la mayoría de los maestros también tiene un tiempo para lograr crear buenos problemas que involucran la división de fracciones. Esto es por que no hay ninguna base histórica en la que se vea la necesidad de dividir las fracciones. Los matemáticos apenas decidieron que necesitaban completar la secuencia de las fracciones proponiendo un algoritmo para la división de estos. Los dibujos que hacen los estudiantes para la multiplicación también puede trabajarse con los problemas de la división. Sin embargo, la meta es hacer que los estudiantes realícenme tablas, para que el algoritmo normal pueda extraerse fácilmente fuera de la tabla. Se incluyen algunas preguntas simples:
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Bebida refrescante Pregunta: Un cántaro de bebida refrescante contiene ¾ de un litro. ¿Cuántos vasos de 1/8 litro puede echar en un cántaro? Respuesta: 6 vasos Las posibles maneras de resolver el problema: 1. Dibujar un cántaro y dividiéndolo en 4 partes, sombreando en 3 de esas 4 partes. Dividir las 4 partes por mitades para hacer octavos. Esto permite ver para 6 vasos de 1/8 de litro de bebida refrescante. 2. Haciendo algunos diagramas que muestren cuantos 1/8 de litro están en ¾ hasta cuando se han alcanzado 6 vasos. # de 1 vasos # de litros 1/8
2
3
4
5
6
2/8 (1/4)
3/8
4/8 (1/2)
5/8
6/8 (3/4)
Después de muchos problemas de este tipo de división, diríjase a problema de división que involucre otro aspecto. Tales que las respuestas estén relacionadas con dinero o distancia. El dinero Preguntas: La mitad de una pizza cuesta $1 ¿Cuánto debe costar ¾ de la pizza? Pregunta: Ana paga $1 por 3/8 de pizza ¿Cuál podría haber sido el valor de la pizza entera? Respuesta: $267 (una tabla debería mostrar de 1 frente a 8 $1/3/8. El algoritmo establece que al de dividir un entero por una fracción, se invierte la fracción y multiplica. Para este problema los estudiantes pueden comprender por que 8 dividido por 3 = 2.66666 o 2.67, permítales a los estudiantes comprender este algoritmo por ellos mismos si es posible). La Distancia Pregunta: Sobre una bicicleta, John recorre 20 Kilómetros en ¾ de hora. ¿Cuánto puede recorrer en 6 horas? Respuesta: 160 Km.
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Una solución buena incluirá una tabla de incrementos de tiempo crecientes de ¾ de hora. John viajaría 20 Km ¾ cada milla. Km Horas
20 3/4
40 1 1/2
60 2 1/4
80 3
100 3 3/4
120 4½
140 5 1/4
160 6
Otras soluciones podrían ser 6 dividido por ¾ =8 entonces. Cuando 20 Km son multiplicados por 8, la respuesta es 160. Nota: los problemas de dos relaciones como el último obligan a los estudiantes a que completen llenando las funciones y en el orden correcto aun cuando el algoritmo es conocido. La pregunta para hacer a esos problemas de división puede incluir cosas como, ¿Cómo creo los datos en la tabla? ¿Qué representa su tabla? ¿Usted completo todos los pasos necesarios? ¿Su respuesta tiene sentido? ¿Su tabla muestra incrementos iguales? ¿Por qué usted piensa que extrajo un número entero a un todo de dos fracciones? ¿Cómo puede conseguir una fracción tan pequeña cuando divide dos fracciones? ¿Qué otras situaciones involucran división de fracciones? ¿Esta usted dividiendo partes de un todo en partes mas pequeñas? Cómo usted llego a la final de la secuencia de multiplicación y división de fracciones, se pregunte si sus estudiantes han adquirido totalmente estos conceptos: • •
• • •
La multiplicación de fracciones involucrar tomar parte de una parte de un todo. Este tomar una parte de un todo se puede aplicar a la multiplicación de fracciones por números enteros tales como 1, números mayores que 1, y fracciones mas pequeñas que 1. Los estudiantes pueden también darse cuenta a que cantidad se esta refiriendo cada fracción problemas de multiplicación (en otras palabras, una fracción esta inversa en otra fracción) Los estudiantes finalmente darse cuenta que ellos están “repartiendo”· una cantidad, la operación es todavía multiplicación La división de fracciones involucra el hallazgo de cuantas partes entran en un todo o cuantas partes entran en otra parte de un todo.
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Referentes Burn, marilyn. (1992) About Teaching Mathematics: AK-8 Resourse. Sausalito, CA: Math solutions publications. Kieren, Davis & Mason (1996) . Fraction flags: Learning from children to help children learn. Mathematics Teaching in Middle School Vol2 September- October 1996. Mack, Nancy K (1998). Building a foundation for understanding the multiplication of fractions. Teaching Children Mathematics, September 1998. Pothier & Sawada (1990). Partitioning: an approach to fractions Arimetic teacher, December 1990 Streefland, reads. The fragments in Realistic Mathematics Education, A paradigm of development Investigation. Boston: Kluwer the Academic Publishers.
RACO, 18 de enero de 2008
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