LAPORAN PRAKTIKUM STATISTIK ELEMENTER PENDUGAAN PARAMETER
Dosen Pengampu Dr. Sri Harini, M.Si
Oleh Nurul Anggraeni Hidayati NIM. 14610002
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2015
I.
Contoh Soal 1. Pendugaan Nilai tengah dengan Varian populasi diketahui Suatu contoh acak terdiri atas 16 batang rokok Nikmat yang mempunyai kadar nikotin rata-rata 4 mg dengan simpangan baku 0,9 mg. Tentukan selang kepercayaan 98% bagi rataan kandungan nikotin pada rokok Nikmat tersebut! Sumber: Sudaryono, statistika probabilitas, (Yogyakarta:Penerbit Andi, 2012), hlm. 205, Nomor 4
2. Pendugaan Nilai Tengah dengan Varian populasi tidak diketahui Penelitian yang dilakukan Departemen Pertanian terhadap varietas padi jenis baru yang ditanam pada 15 lokasi yang berbeda didapatkan hasil (ton/ha) sebagai berikut: 2.7, 6.0, 5.5, 5.5, 8.0, 6.5, 7.0, 6.5, 7.5, 7.5, 6.0, 6.0, 4.6, dan 5.5. Tentukan : a. Selang kepercayaan 90% untuk kemampuan produksi padi tersebut b. Selang kepercayaan 99% untuk kemampuan produksi padi tersebut. Sumber: Turmudi
dan
Sri
Harini,
Metode
Statistika,
Pendekatan Teoritis dan Aplikatif, (Malang:UIN Malang Press, 2008), hlm. 240, Nomor 4 3. Pendugaan Beda Dua Nilai Tengah dengan Varian populasi diketahui Suatu sampel terdiri dari 20 bola lampu merek A dan 25 merek B. Dari hasil penelitian diketahui bahwa rata-rata lama hidup bola lampu A 1500 jam dan simpangan bakunya 100 jam. Bola lampu B rata-rata lama hidup 1400 jam dan simpangan bakunya 200 jam. Tentukan: a. Selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata lama hidup bola lampu merek A dan B
b. Selang kepercayaan 99% untuk selisih rata-rata lama hidup bola lampu merek A dan B Sumber;Turmudi dan Sri Harini, Metode Statistika, Pendekatan Teoritis dan Aplikatif, (Malang:UIN Malang Press, 2008), hlm. 241, Nomor 8
4. Pendugaan Beda Dua Nilai Tengah dengan Varian populasi tidak diketahui Seorang dokter ingin mengetahui apakah suatu jenis ramuan obat baru efektif untuk penderita penyakit kronis. Dengan memakai alat ukur yang telah teruji kualitasnya, dokter mengamati dan mencatat tingkat rasa sakit dari 8 pasien sebelum dan sesudah obat itu dimakan dan bereaksi. Datanya dicatat dengan acuan bahwa angka yang tinggi menandakan rasa sakit yang tinggi dinyatakan sebagai berikut; Pasien
1
2
3
4
5
6
7
8
Tingkat rasa sakit sebelum 14 15 10 12 11 13 12 10 makan obat Tingkat rasa sakit sesudah 8
9
11 10 11 9
11 10
makan obat Bila diasumsikan tingkat rasa sakit sebelum dan sesudah makan obat berdistribusi normal dengan variasi yang tidak sama, buatlah selang kepercayaan 99% untuk beda rata-rata tingkat rasa sakit sebelum dan sesudah makan obat baru tersebut! Sumber;Turmudi dan Sri Harini, Metode Statistika, Pendekatan Teoritis dan Aplikatif, (Malang:UIN Malang Press, 2008), hlm. 243, Nomor 14
5. Selang Kepercayaan Untuk Proporsi Seorang pejabat bank akan memperkirakan berapa persen para nasabah yang tidak puas dengan pelayanan yang diberikan oleh para pegawainya. Untuk maksud tersebut dilakukan penelitian
terhadap 250 orang nasabah yang dipilih secara acak. Ternyata ada 60 orang yang tidak puas. Dengan tingkat keyakinan sebesar 95%, buatlah pendugaan interval persentase para nasabah yang tidak puas! Sumber: Sudaryono, statistika probabilitas, (Yogyakarta:Penerbit Andi, 2012), hlm. 207, Nomor 12
6. Selang Kepercayaan Untuk Selisih 2 Proporsi Seorang ahli genetika tertarik pada proporsi pria dan wanita dalam populasi yang mengidap kelainan darah tertentu. Pada contoh acak pertama yang terdiri dari 100 orang pria, setelah diperiksa dengan seksama diperoleh informasi bahwa terdapat 24 orang yang positif menderita kelainan darah. Pada contoh acak kedua yang terdiri dari 100 orang wanita, setelah diperiksa dengan seksama diperoleh informasi bahwa terdapat 13 orang yang positif menderita kelainan darah. Tentukan selang kepercayaan 95% dan 98% bagi selisih proporsi yang sebenarnya antara pria dan wanita yang telah positif menderita kelainan darah! Sumber: Sudaryono, statistika probabilitas, (Yogyakarta:Penerbit Andi, 2012), hlm. 206, Nomor 9
II.
Kajian Pustaka
Pendahuluan Pada umumnya jika kita mengadakan penelitian terkadang kita tidak tahu secara tepat nilai-nilai parameter dari distribusi teoritis di mana sampel itu kita ambil. Hal tersebut terjadi karena kita tidak mengambil seluruh populasi yang akan diteliti. Artinya kita mengalami kesulitan untuk menentukan sampel yang representative mewakili populasi. Untuk itu kita perlu mencari sampel yang benar-benar dapat mewakili populasi dengan metode dan cara yang efektif. Adapun sampel yang akan digunakan dalam penelitian disebut sebagai penduga
atau estimator. Sedang fungsi nilai sampel yang digunakan untuk menduga parameter disebut penduga parameter dan angka yang merupakan hasilnya disebut dugaan secara statistic. (Nana Danapriatna dan Roni Setiawan,2005:69-70) Statistik inferesia atau statistic induktif adalah pengambilan kesimpulan mengenai nilai sebenarnya dari parameter (yang dihitung berdasarkan populasi) yang didasarkan atas perhitungan sampel sehingga kesimpulan tersebut mengandung unsur ketidakpastian (uncertainly factor). Artinya, kesimpulan tersebut bisa benar dan bisa salah. Hal ini karena data yang digunakan adalah data pendugaan atau estimasi dari sampel yang mengandung kesalahan dalam penarikan sampel.
Statistika
inferesia
(induktif)
mempersoalkan
tentang
bagaimana menduga atau menguji hipotesis mengenai parameter populasi yang belum diketahui dengan menggunakan contoh acak dan hitung peluang. Dugaan terhadap parameter populasi dapat berupa pendugaan titik (point estimation) yang dapat juga berupa pendugaan interval/selang (interval
estimation). Pendugaan titik adalah pendugaan yang
didasarkan pada keyakinan yang pasti mengurai nilai penduga terhadap parameternya. Jika kita menduga dengan sampel, diharapkan nilainya akan sama dengan nilai populasinya. Tetapi hal ini mempunyai resiko penyimpangan, ditunjukkan dengan tingkat kesalahan atau eror. (Sunyoto, 2010) Dalam praktek, pendugaan titik yang hanya satu angka tidak memberikan gambaran tentang jarak atau selisih nilai penduga terhadap nilai yang sebenarnya. Hal ini karena suatu nilai sangat dimungkinkan memiliki penyimpangan dimana yang diharapkan tidak sama dengan kenyataan. Oleh karena itu untuk memperkecil tingkat kesalahan yang terjadi dalam pendugaan terhadap nilai variable tertentu, kita lebih baik menggunakan pendugaan interval, yaitu pendugaan berupa interval yang dibatasi oleh dua nilai yang disebut
nilai batas bawah dan nilai batas atas. Interval demikian disebut interval keyakinan.(Sudaryono, 2012:180-182) Pendugaan bertujuan mendapatkan gambaran yang jelas tentang ciri-ciri populasi yang tidak diketahui dengan menggunakan informasi contoh atau penduga (estimator). Agar ciri-ciri atau parameter populasi dapat ditampilkan dengan jelas dan benar, penduga yang digunakan harus merupakan penduga terbaik. Statistika sampel yang digunakan untuk menduga parameter populasi dikatakan terbaik apabila memiliki ciri-ciri sebagai berikut: (Partino, 2010) Ciri penduga yang baik:
Tidak bias; Suatu penduga dapat dikatakan tak bias apabila nilai harapan dari penduga tersebut sama dengan nilai parameter yang diduga, seperti:(Sudaryono, 2012:182) ( ̅) ( ) ( ̂) Penduga yang tidak bias terjadi apabila parameter variabel sampel random sama dengan penduga parameter populasi. Dengan kata lain mendekati nilai sebenarnya dari parameter yang diduga. (Nana Danapriatna dan Roni Setiawan,2005:70) Apabila nilai tengah dari distribusi penarikan sampel suatu statistic adalah sama dengan parameter populasi, maka statistic ini disebut parameter yang tidak bias dari parameter tersebut, kalau tidak demikian maka disebut penduga yang bias. Nilainilai statistic yang bersangkutan disebut penduga yang tidak bias atau penduga yang bias. Contoh 1. Nilai tengah (mean) dari distribusi penarikan sampel nilai tengah
̅
, yaitu nilai tengah populasi. Maka nilai tengah
sampel ̅ merupakan penduga yang tidak bias dari nilai tengah populasi
Contoh 2. Nilai tengah dari distribusi penarikan sampel varians , dimana
merupakan sampel
yang bias dari varians populasi yang disesuaikan
̂
merupakan penduga
. Dengan memakai varians , kita mendapatkan bahwa
sehingga ̂ merupakan penduga yang tidak bias dari ̂
.(Spiegel, Murray R,1992:163)
Efisiensi Apabila distribusi sampling dari dua statistic mempunyai nilai tengah (atau nilai harapan) yang sama, maka statistic dengan varians yang lebih kecil disebut penduga yang efisien dari nilai tengah sedangkan statistic yang lain disebut penduga yang tidak efisien. Nilai-nilai statistic yang bersangkutan berturut-turut disebut penduga yang efisien atau tidak efisien. Contoh Distribusi penarikan sampel dari nilai tengah dan median keduanya mempunyai nilai tengah yang sama, yaitu nilai tengah populasi. Namun demikian, varians dari distribusi penarikan sampel nilai tengah adalah lebih kecil daripada varians dari distribusi penarikan median. Oleh karena itu, nilai tengah sampel merupakan penduga yang efisien dari nilai tengah efisien dari nilai tengah populasi, sedangkan median sampel merupakan penduga yang tidak efisien. Dari antara semua statistic yang menduga nilai tengah populasi, nilai tengah sampel merupakan penduga yang paling baik dan efisien. (Spiegel, Murray R,1992:163-164)
Konsisten Artinya, distribusi
tetap berkonsentrasi pada
meskipun
bertambah banyak. Makin besar ukuran sampel penduga makin mendekati nilai parameter yang diduga. (Nana Danapriatna dan Roni Setiawan,2005:70)
Menurut Sudaryono (2012:182), suatu penduga dikatakan konsisten apabila jumlah kuadrat galatnya mendekati nol kalau ukuran contoh mendekati tak terhingga.
Kecukupan (sufficiency) Selain tak bias, efisien dan konsisten, penduga juga harus mengandung semua informasi tentang parameter populasi atas dengan kata lain, penduga tersebut harus mempunyai syarat kecukupan. Dalam hal ini, median dan modus bukanlah penduga yang berkecukupan karena hanya mencakup satu nilai pada pertengahan data yang telah diurutkan atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi.(Sudaryono, 2012:182) Pemeriksa yang sufficient, misalnya ̅ adalah pemerkira yang memanfaatkan seluruh informasi mengenai parameter yang akan diperkirakan, yang terkandung dalam suatu sampel. Pemerkira ini akan dikembangkan oleh Sir R.A. Fisher (sufficient artinya cukup). Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut: ̂
merupakan
sufficient
estimator
dari
,
apabila
̂ mencakup seluruh informasi tentang , yang terkandung di dalam sampel, dengan perkataan lain kalau distribusi bersayarat dari variabel: sebagai sampel untuk nilai ̂ yang diketahui, tidak tergantung pada parameter . Ini berarti fungsi kepadatan bersama dari (
dapat ditulis sebagai berikut: )
=
(
) ⁄̂ ( ̂ ̂)
Fungsi g yang bersyarat tak tergantung pada
. Perlu
disebutkan di sini bahwa ̅ dan p merupakan pemerkita
sufficient
bagi
U
dan
proporsi
sebenarnya
P.(J.
Supranto,1986:38) Pendugaan Interval (Interval kepercayaan/confidence Interval) Menurut Nana Danapriatna dan Roni Setiawan (2005:81), sering ditemukan bahwa pendugaan titik (point estimation) kurang identic untuk mewakili parameter populasi. Oleh karena itu, diperlukan pendugaan interval atau interval kepercayaan untuk memperoleh pendugaan hasil yang lebih obyektif. 1. Pendugaan rata-rata untuk sampel besar Untuk sampel lebih besar dari 30 (
) dari populasi
tidak terbatas dengan interval keyakinan ⁄
maka: ⁄
√
√
Sehingga keyakinan bawahnya adalah sebagai berikut. dan keyakinan batasnya
⁄ √
Sedang
koefisien
⁄ √
probabilitasnya
atau
koefisien
keyakinannya adalah sebagai berikut. (
⁄
⁄
)
Galat dalam pendugaan rata-rata dengan taraf nyata a nilainya tidak akan melebihi
⁄
.
2. Pendugaan rata-rata untuk sampel kecil Untuk sampel lebih kecil (
) menggunakan distribusi
yang variabelnya standar (distribusi standar). Adapun rumus yang digunakan adalah sebagai berikut. √
√
3. Menghitung besarnya sampel untuk pendugaan rata-rata Untuk
mengadakan
sampling
secara
random
untuk
menduga parameter populasi maka kita harus mengetahui berapa besar sampel random yang harus diambil/digunakan.
Hal ini dilakukan agar memperoleh pendugaan yang tepat atas dasar interval keyakinan. ⁄
|
|
Dimana
:
= Ukuran sample = Simpangan baku = Suatu nilai penyimpangan terhadap = Nilai
⁄
tabel
Berdasarkan kriteria tersebut, ̅ (rata-rata sampel), ̂ (proporsi sampel), dan s (standar deviasi) masing-masing merupakan pendunga yang baik untuk populasi), P (proporsi populasi) dan
(rata-rata
(standar deviasi
populasi). Sedang menurut Turmudi dan Sri Harini (2008:225) Dalam pendugaan parameter ini akan dibicarakan selang kepercayaan untuk nilai ( ) dan selang kepercayaan untuk proporsi ( ). A. Pendugaan Nilai Tengah ( ) Misalkan diberikan populasi terbatas atau tak terbatas di mana simpangan baku pendugaan titik bagi rataan populasi dinyatakan dengan ( ̅ ) Tanda
atau
dibaca diduga sama dengan.
a. Varian Populasi diketahui. Salah satu penduga titik bagi nilai tengah populasi statistic. Misalkan tersebar normal dengan maka selang kepercayaan ( (
⁄
) ⁄
bagi
adalah
diketahui, adalah:
)
Selanjutnya dengan mengganti Z= yang merupakan sebaran normal baku akan didapatkan: (
⁄
⁄
)
(
⁄
Dengan
⁄ √
⁄ ) √
⁄
mempertimbangkan
rumus
tersebut,
maka
diperoleh batas kepercayaan terendah terendah dan tertinggi berturut-turut: Batas bawah = ̅
⁄
⁄ √
= ̅
⁄
⁄ √
Batas atas
Berdasarkan peluang diatas
(Simpangan baku)
bisa diketahui. Tetapi, jika
tidak diketahu, dan
dapat diganti dengan
(simpangan baku contoh),
sedangkan jika Jika
persamaan tersebut tidak berlaku. benar-benar merupakan nilai pusat selang
kepercayaan atau
̅ ̅ merupakan penduga bagi
tanpa kesalahan. Akan tetapi, hal semacam ini hampir tidak pernah terjadi. Selalu saja terdapat selisih antara Selisih antara
dan ̅ .
dan ̅ disebut galat (error) dugaan titik,
yang dapat diperoleh dengan: |
Galat:
⁄ √
|
Galat sampling (sampling error) sama dengan ⁄
Dalil: Jika
√
digunakan untuk menduga
, dapat
dipercaya bahwa galat tidak lebih dari. ⁄
Dalil : Jika dipercaya (
)
w jika ukuran contoh.
√
digunakan untuk menduga , dapat bahwa galat tidak lebih kecil dari
⁄
(
)
b. Varian Populasi tidak diketahui. Bila ragam populasi kecil (
tidak diketahui dan ukuran contoh
), maka kita tidak dapat menggunakan rumus
dari normal baku Z, tetapi kita dapat menggunakan peubah t (sebaran t). Maka selang kepercayaan (
) bagi
diberikan rumus dibawah ini: ( ̅)
⁄
Dengan nilai
⁄
⁄ √
⁄
⁄ √
adalah nilai t dari tabel dengan derajat
bebas ( ) B. Pendugaan Beda Dua Nilai Tengah (
)
a. Varian Populasi diketahui Bila dalam suatu penelitianterdapat dua populasi dengan nilai tengah
dan varian
dan
diketahui, maka penduga titik bagi selisih dua nilai tengah (
) adalah, dimana kedua peubah berasal dari kedua
populasi berukuran
dan
selang kepercayaan ( ( (( ̅
̅ )
) bagi selisih dua nilai tengah
) dan varian ⁄
)
√(
(
yang saling bebas. Maka
dan )
(̅
diketahui adalah: ̅ )
⁄
))
√(
(
)
Dengan mempertimbangkan rumusan diatas, maka diperoleh batas kepercayaan terendah dan tertinggi berturut-turut: Batas bawah
(̅
̅ )
⁄
√(
)
Batas bawah
(̅
̅ )
⁄
√(
)
b. Varian Populasi tidak diketahui Bila ragam populasi tidak diketahui, maka selang kepercayaan seperti pada pendugaan nilai tengah dengan varian populasi tidak diketahui tidak dapat langsung diterapkan. Meskipun
dan
merupakan penduga tak
bias dari variansi populasi. Sehingga perhitungan selang kepercayaan untuk (
) dengan titik kritis sebaran t
tidak dapat begitu saja diterapkan. Pembahasan ini secara khusus dibahas dalam pengujian hipotesis. C. Selang Kepercayaan untuk Proporsi Dalam materi percobaan binomial kita diberikan suatu penduga titik bagi proporsi p adalah ̂
⁄ . Jika
sebaran contoh ini mempunyai n yang cukup besar, maka sebaran bagi ̂ dapat dihampiri oleh sebaran normal dengan nilai tengah dan varian: ( ̂) ⁄ Sehingga sebaran normal baku (Z) akan menjadi: ̂ √ (
)
Dengan mendistribusikan Z kita peroleh selang kepercayaan (
) untuk p yaitu: (
⁄
)
⁄
̂ ⁄
√ (
( ( ̂
⁄
√
(
⁄
) )
) ̂
Untuk selang kepercayaan ( dalam populasi p.
⁄
√
(
) )
) untuk proporsi
Karena nilai p tidak diketahui, maka nilai p dapat diganti dengan, sehingga selang kepercayaan (
) 100%
bagi parameter p sebagaimana persamaan dapat dinyatakan dalam bentuk: ( ̂
⁄
√
̂(
̂) ̂
⁄
̂(
√
̂) )
D. Selang Kepercayaan untuk Selisih 2 Proporsi Dalam uji selang kepercayaan selisih 2 proporsi ini, diduga selisih antara 2 parameter
dan
Dimisalkan
proporsi perokok yang menderita penyakit paru-paru dan adalah proporsi bukan perokok yang menderita penyakit paru-paru. Maka kita akan mempunyai selisih antara kedua proporsi tersebut (
). Penduga titik bagi selisih antara
kedua proporsi populasi ̂
̂ . Bila
̂
̂
secara spesifik adalah
adalah proporsi keberhasilan dari , maka kepercayaan (
contoh acak berukuran bagi ( ̂
̂ )
⁄
√
)
adalah : ̂ (
̂ )
̂ (
̂ )
(
)
( ̂
̂ )
⁄
√
̂ (
̂ )
̂ (
̂ )
Berlaku umum bahwa semakin tinggi tingkat kepercayaan,
maka
semakin
panjang
kepercayaan, atau jika hendak menduga
pula
selang
dengan tingkat
ketelitian (keakuratan) lebih tinggi diperlukan selang kepercayaan lebih panjang.
III.
Langkah-langkah Langkah-langkah untuk mengetahui nilai selang kepercayaan dengan menggunakan minitab adalah sebagai berikut: 1. Dibuka aplikasi “Minitab” pada menu start;
Sehingga muncul window minitab seperti dibawah ini;
2) Perhitungan Pendugaan Nilai tengah dan Selang Kepercayaan a. Pendugaan Nilai Tengah dengan Varian populasi diketahui a.1 Diklik toolbar Stat Basic Statistic 1- Sample
a.2 Sehingga muncul window 1-sample Z (Test and Confidence Interval), di klik pilihan summarized data, dimasukkan sample size, mean dan standart deviation. Kemudian di klik pilihan options;
a.3 Sehingga muncul window 1-sample Z options seperti dibawah ini, dimasukkan nilai selang kepercayaan yang diinginkan, kemudian Klik OK.
b. Pendugaan Nilai Tengah dengan Varian populasi tidak diketahui b.1 Dimasukkan semua data sampel yang ada dalam soal dalam satu kolom;
b.2 Diklik Stat Basic Statistics -sample t;
b.3 Sehingga muncul window 1-sample t (Test and Confidence Interval), di klik pilihan samples in column, dimasukkan kolom C1. Kemudian di klik pilihan options;
b.4 Sehingga muncul window 1-sample t options seperti dibawah ini, dimasukkan nilai selang kepercayaan yang diinginkan, kemudian Klik OK.
b.5 Diulangi langkah di atas untuk setiap nilai selang kepercayaan yang diminta berbeda
c. Beda Pendugaan Beda Dua Nilai Tengah dengan Varian populasi diketahui c.1 Diklik Stat Basic Statistics -sample t
c.2 Sehingga muncul window 2-sample t (Test and Confidence Interval), di klik pilihan summarized data, dimasukkan nilai sample size, mean dan standart deviation yang first dan second. Kemudian di klik pilihan options;
c.3 Sehingga muncul window 1-sample t options seperti dibawah ini, dimasukkan nilai selang kepercayaan yang diinginkan, kemudian Klik OK.
c.4 Diulangi langkah-langkah diatas untuk setiap nilai selang kepercayaan yang diminta berbeda
d. Pendugaan Beda Dua Nilai Tengah dengan Varian populasi tidak diketahui d.1 Dimasukkan data sampel yang terdapat dalam soal ke dalam 2 kolom menurut kategori masing-masing;
d.2 Diklik Stat Basic Statistics aired t
d.3 Sehingga muncul window paired-t (Test and Confidence Interval), di klik pilihan samples in column, dimasukkan kolom C1 dan C2. Kemudian di klik pilihan options;
d.4 Sehingga muncul window paired-t options seperti dibawah ini, dimasukkan nilai selang kepercayaan yang diinginkan, kemudian Klik OK.
e. Selang Kepercayaan Untuk Proporsi e.1 Diklik Stat Basic Statistics 1 Proportion
e.2 Sehingga muncul window 1-Proportion (Test and Confidence Interval), di klik pilihan summarized data, dimasukkan nilai number of events dan number of trials. Kemudian di klik pilihan options;
e.3 Sehingga muncul window 1 Proportion options seperti dibawah ini, dimasukkan nilai selang kepercayaan yang diinginkan, kemudian Klik OK.
f. Selang Kepercayaan Untuk Selisih 2 Proporsi f.1 Diklik Stat Basic Statistics 2 Proportion
f.2 Sehingga muncul window 2-Proportion (Test and Confidence Interval), di klik pilihan summarized data, dimasukkan nilai number of events dan number of trials yang first dan yang second. Kemudian di klik pilihan options;
f.3 Sehingga muncul window 2 Proportion options seperti dibawah ini, dimasukkan nilai selang kepercayaan yang diinginkan, kemudian Klik OK.
IV.
Output dan Interpretasi a. Output 1. Pendugaan Nilai tengah dengan Varian populasi diketahui One-Sample Z The assumed standard deviation = 0.9 N 16
Mean 4.000
SE Mean 0.225
98% CI (3.477, 4.523)
2. Pendugaan Nilai Tengah dengan Varian Populasi tidak diketahui a. One-Sample T: C1 Variable CI C1 6.720)
N
Mean
StDev
SE Mean
90%
15
6.300
0.924
0.238
(5.880,
b. One-Sample T: C1 Variable CI C1 7.010)
N
Mean
StDev
SE Mean
99%
15
6.300
0.924
0.238
(5.590,
3. Pendugaan Dua Nilai Tengah dengan Varian Populasi diketahui a. Two-Sample T-Test and CI Sample 1 2
N 20 25
Mean 1500 1400
StDev 100 200
SE Mean 22 40
Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: 100.0 95% CI for difference: (7.1, 192.9) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 2.18 P-Value = 0.036 DF = 36
b. Two-Sample T-Test and CI Sample 1 2
N 20 25
Mean 1500 1400
SE Mean 22 40
StDev 100 200
Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: 100.0 99% CI for difference: (-24.6, 224.6) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 2.18 P-Value = 0.036 DF = 36 4. Pendugaan Dua Nilai Tengah dengan Varian Populasi tidak diketahui Paired T-Test and CI: C1, C2 Paired T for C1 - C2 C1 C2 Difference
N 7 7 7
Mean 12.286 9.714 2.57
StDev 1.890 1.113 2.82
SE Mean 0.714 0.421 1.07
99% CI for mean difference: (-1.38, 6.52) T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = 2.41 P-Value = 0.052
5. Selang Kepercayaan untuk Proporsi Test and CI for One Proportion Sample X 1 60 0.297852)
N 250
Sample p 0.240000
95% CI (0.188426,
6. Selang kepercayaan untuk Selisih 2 Proporsi a. Test and CI for Two Proportions Sample 1
X 24
N 100
Sample p 0.240000
2
13
100
0.130000
Difference = p (1) - p (2) Estimate for difference: 0.11 95% CI for difference: (0.00345653, 0.216543) Test for difference = 0 (vs not = 0): 2.02 P-Value = 0.043
Z =
Fisher's exact test: P-Value = 0.068 b. Test and CI for Two Proportions Sample 1 2
X 24 13
N 100 100
Sample p 0.240000 0.130000
Difference = p (1) - p (2) Estimate for difference: 0.11 98% CI for difference: (-0.0164601, 0.236460) Test for difference = 0 (vs not = 0): 2.02 P-Value = 0.043
Z =
Fisher's exact test: P-Value = 0.068 b. Interpretasi 1. Pendugaan Nilai tengah dengan Varian populasi diketahui Karena selang kepercayaannya 98%. Maka kesalahan ( ) yang diharapkan dari penelitian tersebut adalah 2%. Dengan demikian ⁄
dan dari tabel Z diperoleh :
⁄
Selang kepercayaan yang dimaksud adalah (̅
⁄
⁄ √
⁄
⁄ ) √
Batas bawah = ̅
⁄
⁄ √
(
⁄ √
)
= ̅
⁄
⁄ √
(
⁄ √
)
Batas atas
Jadi selang kepercayaan 98% adalah
Dari
hasil
perhitungan
kepercayaan 98% terhadap
manual,
diketahui
bahwa
selang
kandungan nikotin dalam rokok yaitu
berada antara 3.307 dan 4.693. Sedangkan menurut perhitungan minitab didapatkan hasil berada pada kisaran antara 3.477 sampai dengan 4.523. Dari kedua hasil dapat dilihat bahwa selisihnya tipis. Jadi dapat disimpulkan bahwa hasilnya sudah benar. Maksud dari hasil perhitungan tersebut adalah dengan tingkat keyakinan sebesar 98%, diharapkan bahwa interval antara 3.307 sampai 4.693 akan memuat rata-rata kandungan nikotin yang sebenarnya. Umumnya makin besar tingkat keyakinan, makin lebar pula intervalnya. 2. Pendugaan Nilai Tengah dengan Varian populasi tidak diketahui ∑
̅ √
∑
̅)
(
√ dan ⁄
a. Dengan kepercayaan 90%, maka
Selang kepercayaan yang dimaksud adalah (̅
⁄
Batas bawah
⁄ √ ̅
⁄ ⁄
⁄ ) √
⁄ √ ⁄ √
Batas atas
=̅
⁄
⁄ √ ⁄ √
Jadi Selang kepercayaan 90% untuk varian tidak diketahui adalah dan ⁄
b. Dengan kepercayaan 99%, maka
Selang kepercayaan yang dimaksud adalah (̅ Batas bawah = ̅
⁄
⁄ √ ⁄
⁄
⁄ ) √
⁄ √ ⁄ √
Batas atas
=̅
⁄
⁄ √ ⁄ √
Jadi Selang kepercayaan 99% untuk varian tidak diketahui adalah
Dari hasil perhitungan manual, diketahui bahwa selang kepercayaan 90% terhadap sampai
6.6044.
Sedangkan
kemampuan produksi padi 5.5956 menurut
perhitungan
minitab
didapatkan hasil berada pada kisaran antara 5.88 sampai dengan
6.72. Dari kedua hasil dapat dilihat bahwa selisihnya tipis. Jadi dapat disimpulkan bahwa hasilnya sudah benar. Maksud dari hasil perhitungan tersebut adalah dengan tingkat keyakinan sebesar 90%, diharapkan bahwa interval antara 5.5956 sampai 6.6044 akan memuat rata-rata kemampuan produksi padi yang sebenarnya. Dari hasil perhitungan manual, diketahui bahwa selang kepercayaan 99% terhadap
kemampuan produksi padi 5.4 sampai
6.8. Sedangkan menurut perhitungan minitab didapatkan hasil berada pada kisaran antara 5.580 sampai dengan 7.010. Dari kedua hasil dapat dilihat bahwa selisihnya tipis. Jadi dapat disimpulkan bahwa hasilnya sudah benar. Maksud dari hasil perhitungan tersebut adalah dengan tingkat keyakinan sebesar 99%, diharapkan bahwa interval antara 5.4 sampai 6.8 akan memuat rata-rata kemampuan produksi padi yang sebenarnya. Berdasarkan kedua hasil selang kepercayaan 90% dan 99% dapat dilihat bahwa panjang selang kepercayaan 99% lebih panjang dibandingkan dengan selang kepercayaan 90%. Hal ini berlaku umum bahwa semakin tinggi tingkat kepercayaan, maka semakin panjang pula selang kepercayaan, atau jika hendak menduga dengan tingkat ketelitian (keakuratan) lebih tinggi diperlukan selang kepercayaan lebih panjang. Dari hasil diatas, menunjukkan bahwa hasil selang kepercayaan yakni berada pada 5.4-6.8 tingkat keakuratan terhadap
lebih tinggi, karena selang kepercayaan
lebih panjang.
3. Pendugaan Beda Dua Nilai Tengah dengan Varian populasi diketahui dan ⁄
a. Dengan kepercayaan 95%, maka . Maka dari tabel Z diketahui
⁄
Batas bawah
(̅
̅ )
(
Batas bawah
(̅
⁄
√(
)
̅ )
(
⁄
) √(
√(
)
)
) √(
)
Jadi selang kepercayaan 95% adalah dan ⁄
b. Dengan kepercayaan 99%, maka . Maka dari tabel Z diketahui Batas bawah
(̅
̅ )
(
Batas bawah
(̅ (
⁄
⁄
√(
)
̅ )
⁄
) √(
√(
)
)
) √(
)
Jadi selang kepercayaan 99% adalah
Dari hasil perhitungan manual, diketahui bahwa selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata lama hidup bola lampu merek A dan B antara 10.182 sampai 189.8184. Sedangkan
menurut perhitungan minitab didapatkan hasil berada pada kisaran antara 7.1 sampai dengan 192.9. Dari kedua hasil dapat dilihat bahwa terdapat perbedaan atau selisih yang cukup besar. Dalam hal ini mungkin terjadi karena terdapat kesalahan pada penentuan Nilai ⁄
, karena terdapat beberapa nilai yang sama pada tabel Z.
Kemungkinan lain adalah adanya perbedaan pembulatan. Maksud dari hasil perhitungan tersebut adalah dengan tingkat keyakinan sebesar 95%, diharapkan bahwa interval antara 10.182 sampai 189.8184 atau 7.1 sampai 192.9 akan memuat ratarata lama hidup bola lampu A dan B yang sebenarnya. Dari hasil perhitungan manual, diketahui bahwa selang kepercayaan 99% terhadap
kemampuan produksi padi 5.4 sampai
6.8. Sedangkan menurut perhitungan minitab didapatkan hasil berada pada kisaran antara 5.580 sampai dengan 7.010. Dari kedua hasil dapat dilihat bahwa selisihnya tipis. Jadi dapat disimpulkan bahwa hasilnya sudah benar. Maksud dari hasil perhitungan tersebut adalah dengan tingkat keyakinan sebesar 99%, diharapkan bahwa interval antara 51.683232 sampai 251.6831 akan memuat rata-rata lama hidup lampu yang sebenarnya. Berdasarkan kedua hasil selang kepercayaan 95% dan 99% dapat dilihat bahwa panjang selang kepercayaan 99% lebih panjang dibandingkan dengan selang kepercayaan 95%. Hal ini berlaku umum bahwa semakin tinggi tingkat kepercayaan, maka semakin panjang pula selang kepercayaan, atau jika hendak menduga dengan tingkat ketelitian (keakuratan) lebih tinggi diperlukan selang kepercayaan lebih panjang. Dari hasil diatas, menunjukkan bahwa hasil selang kepercayaan yakni berada pada -51.683232 sampai 251.6831 tingkat keakuratan terhadap selang kepercayaan lebih panjang.
lebih tinggi, karena
4. Pendugaan Beda Dua Nilai Tengah dengan Varian populasi tidak diketahui Hasil perhitungan minitab selang kepercayaan 99% adalah berada pada nilai -1.38 sampai 6.52. 5. Selang Kepercayaan Untuk Proporsi ̂ Dengan selang kepercayaan 95%, maka nilai kesalahan atau , dan ⁄ Dari tabel Z diketahui ̂
Batas bawah
⁄
⁄
√
̂(
̂)
√
Batas atas
̂
⁄
√
̂(
√
(
)
(
)
̂)
Jadi selang kepercayaan 95% untuk proporsi adalah
Dari hasil perhitungan manual, nilai selang kepercayaan 95% untuk proporsi adalah antara 0.187 sampai 0.293. Sedangkan hasil perhitungan minitab adalah antara 0.188426 sampai 0.297852. Hasil perhitungan manual dan minitab hampir sama, selisihnya sangat tipis. Jadi, dapat dikatakan bahwa selang kepercayaan 95% untuk proporsi sudah benar. Arti dari hasil selang kepercayaan untuk proporsi adalah dengan tingkat
keyakinan sebesar 95%, diharapkan interval antara 0.187 sampai 0.293 akan memuat proporsi nasabah bank yang merasa tidak puas. 6. Selang Kepercayaan Untuk Selisih 2 Proporsi ̂
̂ a. Dengan selang kepercayaan 95%, maka nilai kesalahan atau , dan ⁄ Dari tabel Z diketahui
Batas bawah
⁄
( ̂
̂ )
(
Batas atas
( ̂
(
⁄
√
̂ (
⁄
)
√
̂ (
̂ (
(
√
)
̂ )
̂ )
̂ )
√
̂ )
)
̂ (
(
(
)
(
)
̂ )
)
Jadi selang kepercayaan 95% untuk proprsi adalah
b. Dengan selang kepercayaan 98%, maka nilai kesalahan atau , dan ⁄
Dari tabel Z diketahui
Batas bawah
⁄
( ̂
̂ )
(
Batas atas
( ̂
(
⁄
√
̂ (
⁄
)
√
̂ (
̂ (
(
√
)
̂ )
̂ )
̂ )
√
̂ )
)
̂ (
(
(
)
(
)
̂ )
)
Jadi selang kepercayaan 98% untuk proprsi adalah
Sedangkan untuk nilai selang kepercayaan 95%, hasil perhitungan manual untuk selisih proporsi yang sebenarnya antara pria dan wanita yang telah positif menderita kelainan darah adalah antara 0.005564 sampai 0.2165. Sedangkan hasil perhitungan minitab adalah antara 0.00345653 sampai 0.216543. Hasil perhitungan manual dan minitab hampir sama, selisihnya sangat tipis. Jadi, dapat dikatakan bahwa selang kepercayaan 95% untuk proporsi sudah benar. Arti dari hasil selang kepercayaan untuk proporsi adalah dengan tingkat keyakinan sebesar 95%, diharapkan interval antara 0.0035 sampai 0.2165 akan memuat selisih proporsi antara pria dan wanita yang telah positif menderita kelainan darah. Dari hasil perhitungan manual, nilai selang kepercayaan 98% untuk selisih proporsi yang sebenarnya antara pria dan wanita yang
telah positif menderita kelainan darah adalah antara 0.05564 sampai 0.16436. Sedangkan hasil perhitungan minitab adalah antara 0.0164601 sampai 0.236460. Hasil perhitungan manual dan minitab hampir sama, selisihnya sangat tipis. Jadi, dapat dikatakan bahwa selang kepercayaan 98% untuk proporsi sudah benar. Arti dari hasil selang kepercayaan untuk proporsi adalah dengan tingkat keyakinan sebesar 98%, diharapkan interval antara 0.0035 sampai 0.2165 akan memuat selisih proporsi antara pria dan wanita yang telah positif menderita kelainan darah. Dari kedua hasil dapat dilihat bahwa terdapat perbedaan atau selisih yang cukup besar. Dalam hal ini mungkin terjadi karena terdapat kesalahan pada penentuan Nilai
⁄
, karena terdapat
beberapa nilai yang sama pada tabel Z. Maksud dari kedua hasil selang kepercayaan selisih dari 2 proporsi adalah dengan tingkat keyakinan sebesar 95%, diharapkan interval antara 0.005564 sampai 0.16436 akan memuat selisih atau perbedaan antara rata-rata pria dan wanita yang positif menderita kelainan darah. Begitupun dengan hasil selang kepercayaan dari dua proporsi dengan tingkat keyakinan 98%. Berdasarkan kedua hasil selang kepercayaan 95% dan 98% dapat dilihat bahwa panjang selang kepercayaan 98% lebih panjang dibandingkan dengan selang kepercayaan 95%. Hal ini berlaku umum bahwa semakin tinggi tingkat kepercayaan, maka semakin panjang pula selang kepercayaan, atau jika hendak menduga
dengan tingkat
ketelitian (keakuratan) lebih tinggi diperlukan selang kepercayaan lebih panjang. Dari hasil diatas, menunjukkan bahwa hasil selang kepercayaan yakni berada pada 0.05564 sampai 0.16436 tingkat keakuratan terhadap panjang.
lebih tinggi, karena selang kepercayaan lebih
V.
Kesimpulan Dari pembahasan diatas, dapat disimpulkan bahwa hasil perhitungan secara manual dan hasil perhitungan minitab mayoritas sama, atau hanya memiliki selisih yang sangat kecil. Jadi bisa dianggap sama. Hanya terdapat sedikit sekali dari hasil perhitungan dengan dua metode tersebut. Penyebab perbedaan ini bisa terjadi karena kesalahan perhitungan yang dilakukan oleh praktikan, atau perbedaan pembulatan nilai
⁄
atau
⁄
yang dilakukan oleh
praktikan dan minitab. Selain itu, juga bisa terjadi kesalahan dalam penentuan nilai
⁄
atau
⁄
. Karena dalam tabel Z maupun t, ada
beberapa hasil yang berbeda terhadap ⁄ yang sama.
Daftar Pustaka Danapriatna, Nana; Setiawan, Rony. 2005. Pengantar Statistika. Yogyakarta: Graha Ilmu Spiegel, Murray R. 1986. Statistik, Versi (Metrik). Jakarta:Penerbit Erlangga Sudaryono. 2012. Statistika Probabilitas. Yogyakarta:Penerbit Andi Supranto, J. 1986. Pengantar Probabilitas dan Statistika Induktif. Jakarta:Penerbit Erlangga Turmudi; Harini, Sri. 2008. Metode Statistika, Pendekatan Teoritis dan Aplikatif. Malang:UIN Malang Press
