Universitatea Tehnică a Moldovei Catedra Automatică și Tehnologii Informaționale
Disciplina: Teoria
Probabilității si Informației Varianta 1
Raport Tema: Teoria probabilităţilor. Calculul probabilităţilor.
A realizat
student grupa TI-172 Adasanu Gicu
A verificat
Gheorghe Ceban
Chisinău 2018
1. Scopul lucrării
Familiarizarea și rezolvarea exercițiilor de probabilitate în sistemul Mathematica Mathematica Wolfram. 2. Considerații teoretice
La rezolvarea exerciţiilor ce urmează, vor fi folosite unele funcţii din cele enunţate anterior şi unele din funcţiile: Collect[expr,x] – reduce – reduce termenii asemenea din expresia expr şi îi
aranjează după puterile lui x;
Sum[f[i],{i,imin,imax}] – calculează – calculează suma valorilor funcţiei f pentru i de la i min până la imax cu pasul +1; NSum[f[i],{i,i min,imax}] – calculează – calculează o valoare a sumei valorilor funcţiei f pentru i de la i min până la imax cu
pasul +1; Product[f[i],{i,imin,imox}] - calculează produsul produsul valorilor funcţiei f pentru i
de la i min până la imax cu pasul +1;
NProduct[f[i],{i,imin,imox}] – calculează – calculează o valoare a produsului valorilor funcţ iei f pentru i de la imin până la
imax cu pasul +1.
3.Realizarea lucrării 1. Se aruncă un zar de
două ori. Să se calculeze probabilităţile evenimentelor aleatoare: aleatoare:
1) A = suma numerelor apărute nu întrece m , 2) B = suma numerelor apărute este egală cu r ,
numerelor apărute este mai mare ca n. 3) C = produsul numerelor Valorile parametrilor : m =4, n =14 , şi r =5 : Rezolvare.
Spaţiul evenimentelor elementare =(i, j): 1 i, j 6. 1) Favorabile pentru evenimentul A sunt evenimentele elementare elementare A= (1;1), (1;2), (1;3), (2;1), (2;2), (3;1). Cum card A=6 şi card =36, avem In[1]=N[6/36] Out[1]=0.1666 P(A)= 0.1666
2) Favorabile pentru evenimentul B sunt evenimentele elementare B={(1;4), (2;3), (3;2), (4;1) . Cum card A=4 şi card =36, avem In[2]=N[4/36] Out[2]=0.1111 P(B)=0. 1111
2
3) Favorabile pentru evenimentul C sunt evenimentele elementare elementare C= (3;5), (3;6), (4;4), (4;5), (4;6), (5;3), (5;4), (5;5), (5;6), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6). Cum card A=13şi card =36, avem In[3]=N[13/36] Out[3]=0.3611 P(C)= 0.3611
2. Într-un lot care conţine 1 01 piese
de acelaşi acelaşi tip sunt 8 piese piese cu careva careva defect. Se extrag extrag fără
revenire 6 piese. Dacă toate piesele extrase sunt calitative, atunci lotul este acceptat, iar în caz contrar este refuzat. Să se calculeze probabilitatea evenimentului evenimentului A= lotul este -acceptat.
Rezolvare.
Notăm: Ai= piesa cu numărul numărul de extragere i este este calitativă, i=1, 2, 3, 4, 5, 6. Are loc egalitatea: A A1
A2 A3 A4 A5
.
A6
Avem: P ( A)
( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1
P
P ( A5 | A1 A2
3 A4 )
A
2 ) P ( A4
A
| A1
P ( A6 | A1 A2
2 A3 )
A
A3 A4
A5 )
.
In[4]=N[(93/101)* In[4]=N[(93/101)* (92/100)* (91/99)* (90/98)* (89/97)* (88/98)] Out[4]=0.5891 P(A)= 0.5891
3. Un aparat constă din trei elemente care în timpul funcţionării lui pot
să se deterioreze
independentt unul de altul. Notăm: Ai=elementul i nu se deteriorează, i=1, 2, 3. Se cunosc independen
probabilităţile acestor evenimente: p1=P(A1)=0,9 p2=P(A2)=0,8, p3=P(A3)=0,7. Să se calculeze probabilităţile evenimentelor: evenimentelor: A=nu se deteriorează nici un element, B=se deteriorează un singur element, C=se deteriorează două elemente , D=se deteriorează toate elemente le, E= primul element nu se se deteriorează.
3
Rezolvare.
1) Vom exprima evenimentul aleator A prin evenimentele A 1, A2 şi A3. Nici un element nu se deteriorează. In[5]=N[(1-0.9)*(1-0.8)*(1-0.7) Out[5]=0.006 P(A)=0,006
2) Vom exprima evenimentul aleator B prin evenimentele B1, B2 şi B3. Se va deteriora numai un singur
element când primul element se deteriorează şi al doilea – nu – nu şi al treilea – nu, – nu, sau al doilea se deteriorează şi primul - nu şi al treilea – nu, – nu, sau al treilea se deteriorează şi primul – nu – nu şi al doilea – nu. nu. In[6]=N[0.9*(1-0.8)*(1-0.7)+(1-0.9)*0.8*(1-0.7)+(1-0.9)*(1-0.8)*0.7] Out[6]=0.092 P(B)= 0.092
3) Vom exprima evenimentul aleator C prin evenimentele C 1, C2 şi C3. Se va deteriora două elemente când
primul şi al doilea element element se deteriorează, deteriorează, al treilea – nu, – nu, sau primul şi al treilea se deteriorează, al doilea nu, sau al doilea da şi al treilea - da, primul – nu. nu. In[7]=N[0.9*0.8*(1-0. In[7]=N[0.9*0.8*(1-0.7)+0.9*(1-0.8) 7)+0.9*(1-0.8)*0.7+(1-0.9)* *0.7+(1-0.9)*0.8*0.7] 0.8*0.7] Out[7]=0.398 P(C)= 0.398
4) Vom exprima evenimentul aleator D prin evenimentele D 1, D2 şi D3. Toate elementele se deteriorează. In[8]=N[0.9*0.8*0.7] Out[8]=0.504 P(D)= 0,504
5) Vom exprima evenimentul aleator E prin evenimentele E 1, E2 şi E3. Nu se va deteriora primul element
când al doilea şi al treilea element se deteriorează, sau al doilea şi al treilea – nu, nu, sau al doilea- da şi al treilea-nu, sau al doilea- nu şi al treilea-da. In[9]=N[(1-0.9)*0.8*0.7+(1-0.9)* (1-0.8)* (1-0.7)+ (1-0.9)* 0.8*(1-0.7)+ (1-0.9)* (1-0.8)*0.7 Out[9]=0.1 P(E)=0,1
4
4. Un magazin primeşte
pentru vânzare vânzare articole cu exterioare identice fabricate fabricate la trei uzine în
proporţie de: n1=20% n1=20% de la uzina nr.1, nr.1, n2=30% de la uzina nr.2 şi n3=50% n3=50% de la uzina uzina nr.3. Procentele de articole defectate sunt: m1=5 pentru uzina nr.1, m2=3 pentru uzina n r.2 şi m3=2 pentru uzina nr.3. 1) Care este probabilitatea că un articol cumpărat să fie calitativ? 2) Un articol luat la întâmplare este defectat. Care este probabilitatea că acest articol a fost fabricat la uzina nr.1. k=1; Rezolvare.
1) Notăm: A=articolul luat la întâmplare este calitativ . În raport cu faptul care uzină a fabricat articolul
luat pot fi enunţate ipotezele: Hi=articolul luat a fost fabricat de uzina nr.i , i=1, 2, 3. P(H1)= 0.2; P(H2)= 0.3 ; P(H3)=0.5 Cum mi din articolele fabricate de uz ina i sunt rebut, rezultă că (1 mi)% din piese sunt calitative. Conform formulei P(A\H)=1-m, aflam P(A|H1), P(A|H2), P(A|H3). Deci
P ( A | H 1 )
= 0,95, P ( A | H 2 ) = 0,97 şi P ( A | H 3 ) = 0,98.
Aplicând formula probabilităţii totale obţinem: In[10]=N[0.2*0.95+0.3*0.9 In[10]=N[0.2*0.95+0.3*0.97+0.5*0.98] 7+0.5*0.98] Out[10]=0.971 P(A)=0,971
2) Din formula lui Bayes avem: P ( H 1 | A )
P ( H 1 ) P ( A | H 1 ) P ( H 1 ) P ( A | H 1 )
Cum P ( A | H 1 ) = 0,05,
(
P H 2
P ( A | H 2 )
) P ( A | H 2 ) P ( H 3 ) P ( A | H 3 )
.
= 0,03, P ( A | H 3 ) = 0,02 , din formula lui Bayes avem
In[11]=N[(0.2*0.05)/( In[11]=N[(0.2*0.05)/(0.2*0.05+0.3*0. 0.2*0.05+0.3*0.03+0.2*0.02) 03+0.2*0.02)]] Out[11]=0.8695
P(B)= 0.8695
5. O monedă se aruncă de n
ori. Să se calculeze probabilităţile evenimentelor: A= valoarea a apărut
de k ori, B=stema a apărut nu mai mult de 2 ori, C=stema nu a apărut nici o dată . Numărul n este egal cu 25 plus num ărul variantei, iar k este egal cu 10 plus numărul variantei. 1)
Fie evenimentul A=apariţia valorii de 11 ori. Formula Bernoulli pentru n = 26, k = 11,
p=P(A)=0.423 şi q =0.577 5
In[12]=N[(Binomial[26,11])*(0.423)^11*(0.395)^15] Out[12]=0.0005
P(A)= 0.0005 1) Fie evenimentul B=apariţia stemei de 2 ori . Formula Bernoulli pentru n = 26, k = 2, p=P(A)=0.076
şi q =0.924 In[13]=N[(Binomial[26, 2])*(0.924)^2*(0.076)^24] Out[13]=3.8260
P(B)= 3.8620 2) Fie evenimentul C=stema nu a apărut nici o dată . Formula Bernoulli pentru n = 26, k = 0, p=P(A)=1
şi q =0 In[13]=N[(Binomial[26, 0])*(1)^0*(0)^26] Out[33]=0
P(C)= 0
6. Probabilitatea ca un aparat electric să se
defecteze în perioada de garanţie este p=0,12. Să se
calculeze probabilitatea ca din 1000 aparate cumpărate, în perioada de garanţie, să se defecteze m aparate. Numărul m este egal cu 100 plus numărul variantei.
p=0,12, q=0,88, q=0,88, n=1000, n=1000, m=101 In[14]=N[(Binomial[1000 In[14]=N[(Binomial[1000,, 101])*(0.12)^101*(0.88) 101])*(0.12)^101*(0.88)^899] ^899] Out[14]=0.0069
P(A)= 0.0069 7. Într-o urnă sunt
extrag 15 bile de trei culori: 4 bile albe, 5 bile negre şi 6 bile albastre. Se extrag
succesiv cu revenire 10 bile. Să se calculeze probabilităţile evenimentelor: A= toate bilele sunt albe,
B=2 bile sunt albe, 3 sunt negre şi 5 sunt albastre, C=2 bile sunt albe iar restul sunt de
alte culori.
p1=P(A1)=4/15; p2=P(A2)=5/15=1/3; p2=P(A2)=5/15=1/3; p3=P(A3)=6/15=2/5; p3=P(A3)=6/15=2/5; 1) n=10, k1=10, k2=0, k3=0; In[15]=N[10!/(10!*0!* In[15]=N[10!/(10!*0!*0!)*(4/15)^1 0!)*(4/15)^10*(1/3)^0*(2 0*(1/3)^0*(2/5)^0] /5)^0] Out[15]=1.8183x10-6
P(A)=1.8183x10-6 6
2) n=10, k1=2, k2=3, k3=5; In[16]=N[10!/(2!*3!*5!)*(4/15)^2*(1/3)^3*(2/5)^5] Out[16]=0.0679
P(B)= 0.0679 3) n=10, k1=2, k2=5, k3=3; In[17]=N[10!/(2!*5!*3!)*(4/15)^2*(1/3)^4*(2/5)^3] Out[17]=0.1415
P(C)= 0.01415 8. Să se calculeze probabilităţile evenimentelor A, B şi C din exerciţiul 7 cu condiţia că bilele
extrasă nu revine în urnă. n=15 bile, n1=4
A =
bile albe, n2=5 bile negre, n3=6 bile albastre, m=10, m1=2, m2=3, m3=5
toate bilele sunt albe
Eveniment imposibil deoarece vom extrage 10 bile insa albe in total sunt 4 , 10>5; m1=2 bile sunt albe, m2=3 sunt negre şi m3=5 sunt albastre
B =
C45 C5C5 P(3,4,3)= C In[18] =
[((!⁄ (!∗!) ) ∗ (!⁄(! ∗ !)) ∗ (!⁄(! ∗ !)))⁄(! (!⁄(! (!⁄!))]
Out[18]= C = =
. . ×
m1=5 bile sunt albe iar restul sunt de alte culori
45 C3 6 C P(4,6)= C
[((!⁄ (!∗!) ) ∗ (!⁄(! ∗ !)))⁄(!⁄(! ∗ !))] Out[19]= .
In[19]=
9. 1)
Care este probabilitatea că numărul 3 va apărea pentru prima dată la a 9 -a aruncare a zarului?
2) Care este probabilitatea că la primele 9 aruncări ale zarului numărul 3 nu va apărea? Numărul m este 9.
1) Cum p = 1/6 şi q = 1 1/6 = 5/6, din formula obţinem P(21) = pq17= (1/6)(5/6)16. In[20]=N[(1/6)*(5/6)^8]
7
Out[20]=0.0387
P(A)= 0.0387 2) Care este probabilitatea că la primele m aruncări ale zarului numărul 3 nu va apărea?
P0(15) = q8= (5/6)8 In 21 :=N (5/6)^8 Out[21]=0.2325 10.. Probabilitatea unui eveniment A într- o experienţă aleatoare este p: p 10
= P(A)=0,0 08. 1) Să se
calculeze probabilitatea că în decursul a 1000 repetări a acestei experienţe e venimentul A se va realiza de 9 ori (să se folosească formula care rezultă din teorema locală Moivre -Laplace şi formula
care rezultă din teorema Poisson). 2) Să se calculeze probabilitatea că numărul de realizări ale evenim entului A să fie cuprins între 5 şi 13. 1) Să se calculeze probabilitatea ca în decursul a 1000 repetări a acestei experienţe evenimentul A se va realiza de 9 ori (să se folosească formula care rezultă din teorema locală Moivre -Laplace şi formula care rezultă din teorema Poisson).
1
P n (k )
2npq np q
e
1 k np npq 2
2
,
( ∗. )^2] 1 [ √ ∗.∗. ∗.∗. P1000(13)≈ 2∗1000∗0.008∗0.991 √ 2∗1000∗0.008∗0.991
[(⁄√ ∗ ∗ ∗ . ∗ . ) ∗ [(⁄) ∗ ((∗.) ⁄√ ∗.∗. ∗.∗. )^]] Out[22]:= . In 22 :=
P n (k )
a
k
e
k !
a
,
−1000∗0.009 (1000∗0.009) P1000(12)≈ 12!
[((( ∗.)^)⁄! )∗[∗.]] .
In 23 := Out[23]:=
2) Să se calculeze probabilitatea ca numărul de realizări ale evenimentului A să fie cuprins între k 1=5
şi k 2=13
P1000(5≤
3∗.∗. 1 ∗.∗. √ ∗.∗. k≤13) ≈ ∫ 7∗.∗. 2 2 √ √ ∗.∗. ∗.∗.
8
[(⁄√ ∗ )∗[ ⁄], {, ( ∗ . ∗ . ) ⁄√ ∗.∗. ∗.∗. , ∗.∗. }] (∗.∗.)⁄√ ∗.∗. Out[24] := .
In[24] :=
Concluzie
laborator am învăţat să calculez calculez rezultatele la problemele problemele de calcul al al probabilităţii . La această lucrare de laborator De asemenea am realizat că sistemul de programe Mathematica permite: calculul valorii exacte, calculul unei valori aproximative cu şapte cifre semnificative şi calculul unei valori aproximative cu un număr dorit de cifre semnificative.
9
