´ UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA, LABORATORIO DE F´ISICA MODERNA, 1 SEPTIEMBRE 2017
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´ DEL ELECTRON ´ DIFRACCION Sebastian Osorio Arciniegas.
Fabio Alejandro Duque Giraldo.
C.C 1.088.341.640 Estudiante de Ingenier´ Ingenier´ıa ıa F´ısica ısica Universidad Universidad Tecnol Tecnologica o´ gica de Pereira Pereira, Colombia Email:
[email protected]
C.C 1.088.348.685 Estudiante de Ingenier´ Ingenier´ıa ıa F´ısica ısica ´ Universidad Universidad Tecnologica de Pereira Pereira, Colombia Email:
[email protected]
Resumen: En este experimento se midi´ midi o´ directamente directamente los diame tros de los patrones de difracci on ´ de los electrones electrones los cuales eran dos anillos conc´ concentricos que aparecen en la pantalla fluorescente ´ a partir de una diferencia diferencia de potencial potencial de 3V. 3V. Tambi´ en se midi´ o indirect indirectame amente nte la distanci distancia a interpla interplanar nar en el grafito. grafito. Con estos estos datos se pudo determinar determinar la longitud de onda del electr on ´ para diferentes energ´ energ´ ıas as´ as´ ı comprobando la hip otesis ´ de De Broglie.
d : Distancia reticular interplanar del grafito.
Abstract: Abstract: In the following following experiment, experiment, diameters of electron diffraction diffraction patterns, which ones were two concentric rings who appeared in the fluorescent screen when it applies a potential potential difference difference of 3V, 3V, got measured directly. directly. Also, indirectly, indirectly, the lattice plane spacing in the graphite was measured. With the given information, we could determinate the electron wave longitude for different energies, of that way, proving the De Broglie’s Broglie’s hypothesis. hypothesis.
Palabras clave—grafito Key Words Words—lattice
I.
´ I NTRODUCCION
En 1913 1913,, H. W. y W. L. Brag Bragg g hall hallar aron on que que el arre arregl glo o regul regular ar de los atomos a´ tomos en un cristal simple podr´ıa ıa asimilarse como una matriz de elementos reticulares en planos reticulares parale paralelos los.. Entonc Entonces, es, al exhib exhibir ir esta esta red crista cristalin linaa a rayos rayos X monocrom´ monocromaticos a´ ticos o electron electrones es monoener monoenerg g eticos e´ ticos y, adem´ ademas, a´ s, suponiendo que estos e´ stos tienen un comportamiento ondulatorio, cada elemento en un plano reticular act´ua ua como un punto de dispersi´on on en el cual, se forma un tren de ondas esf´ericas. ericas. Se sabe del principio de Huygens que dichos trenes se superponen y crean un frente de onda reflejado, en este modelo la longitud de onda λ no cambia con respecto al frente de onda incidente y las direcciones de las radiaciones que son ortogonales a los dos frentes de onda cumplen la condici´on on de que el angulo a´ ngulo de incidencia es igual al angulo a´ ngulo de reflexi on. o´ n. En los rayos rayos vecin vecinos os refleja reflejados dos en los planos planos reticu reticular lares es individu individuales ales se genera genera una interfer interferencia encia construct constructiv ivaa cuando cuando las diferenc diferencias ias de trayector trayectoria ia ∆ = ∆1 ∆2 = 2dsinθ son ´ multiplos enteros de la longitud de onda.
−
2dsinϑ = nλ
Siendo: ´ ϑ: Angulo de difracci on. o´ n.
Figura 1: Representaci on o´ n esquem´ esquematica a´ tica de la condici on o´ n de Bragg.
Esta es la llamada condici on o´ n de Bragg y el angulo a´ ngulo de difracci´ cion o´ n ϑ se atribuido se conoce como angulo a´ ngulo rasante.
En esta esta pr´ practica a´ ctica de laborator laboratorio io se usa un material material policrispolicris´ talino talino como como objeto objeto de difrac difracci cion. Esto Esto corres correspon ponde de a una gran gran cantid cantidad ad de peque peque˜nos n˜ os cristale cristaless individu individuales ales esparcid esparcidos os en el espacio de manera disforme. Como consecuencia de lo anterior, siempre hay algunos que cristales en que la condici on o´ n de Bragg es satisfecha para una direcci on o´ n y una longitud de onda dadas. Las reflexion reflexiones es producidas producidas por estos estos peque˜ pequenos n˜ os cristales quedan en conos cuyo eje com un u´ n est´ esta´ dado por la dirreci´on on de incidencia. Esto explica por qu´e aparecen circulos conc´ concentricos e´ ntricos en la pantalla fluorescente la cual est a´ ubicada perpendicularmente a eje mencionado.
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III.
A NALISIS
DE DATOS
de las a) Determinaci o´ n interplanares del grafito.
distancias
reticulares
En la figura 5 se trazaron los di´ametros D1 y D2 en funci´o n de 1/ U. Las pendientes k1 y k2 est´an determinadas por ajustes lineales que atraviesan el origen segu´ n la ecuacio´ n (1) para los datos experimentales.
√
D = k
Figura 2: Anillos c o´ ncetricos en la pantalla fluorescente.
√ 1
U
(1)
Siendo: D: Di´ametro de anillo conc e´ ntrico. ´ de aceleraci on. ´ U : Tension Resolviendo la ecuaci o´ n (2) para d :
k =
2Lh √
d 2me
(2)
tenemos: Figura 3: Bosquejo esquem a´ tico para determinar el a´ ngulo de difraccio´ n.
d = De la figura 3, se puede deducir que tan2ϑ = 2DL y adem´as aproximando para valores peque n˜ os del a´ ngulo de difracci o´ n tenemos que tan2ϑ = sin 2ϑ = 2sinϑ, por lo tanto 2sinϑ = D , con lo anterior y tomando n = 1: 2L
λ = II.
dD 2L
M ATERIALES
Para esta pr a´ ctica se utilizar o´ n unicamente artefactos de Leybold Didactic los cuales se pueden consultar en su p a´ gina web. ´ de electrones. (LD-555626) 1 Tubo de difracci on 1 Portatubo. (LD-555600) 1 Fuente de alimentaci´on de alta tensi´on 10 kV. (LD52170) 1 Calibre Vernier de precisi o´ n. (LD-31154) 1 Cable de seguridad de 25 cm rojo. (LD-500611) 1 Cable de seguridad de 50 cm rojo. (LD-500621) 1 Cable de seguridad de 100 cm rojo. (LD-500641) 1 Cable de seguridad de 100 cm azul. (LD-500642) 2 Cables de seguridad de 100 cm rojo. (LD-500644)
2Lh √
k 2me
Donde: L: Distancia entre la l´a mina de grafito y la pantalla = 0,135 m. h: Constante de Planck = 6,6256x 10−34 Js. ´ = 9,1091x10−31 kg. m: Masa del electr on e: Carga del electr o´ n = 1,6021x10−19 C. Con k 1,2 igual a:
√ √
k1 = 1,663 m V k2 = 2,8922 m V Resolviendo para d 1 y d 2 obtenemos:
d1 = 1,991128020x10−10 m. d2 = 1,144888288x10−10 m. Que son las distancias observadas en la figura 4.
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Cuadro II: Longitudes de onda experimental para D 2 U (V) 3000 3500 4000 4500 5000
D2 λ (pm) 22,1363 ± 0, 8963 20,5555 ± 1, 1942 19,3700 ± 0, 8990 18,0807 ± 0, 8752 17,0680 ± 0, 7097
c) Verificaci o´ n de la ecuaci o´ n de de Broglie. La relaci´on de Broglie,
λ =
Figura 4: Distancias reticulares interplanares en el grafito El valor real de estas distancias para el grafito es:
Relaciona a la longitud de onda del electr o´ n (λ) con la constante de Planck ( h) sobre el momentum del electr o´ n ( p), el cual se calcula mediante la raiz cuadrada de la multiplicaci´on entre dos veces la masa del electr o´ n (m), la carga del electr´on (e) y la tensi´on de aceleraci´on (U ) a la que est´e sometido.
d1 = 2,13x10−10 m. d2 = 1,23x10−10 m.
λ =
Los errores relativos para estas distancias interplanares son:
εd =
2, 13
1
εd = 1
− 1, 991128020 100 % = 6, 520 % 2, 13
1, 23
h p
√ h
2meU
(4)
Donde: e = 1,6021x10−19 C m = 9,1091x10−31 kg De la ecuaci´on (4) podemos obtener un valor experimental de la constante de Planck para los diferentes diametros y valores de tensi on, ´ estos datos se consignar´an en los cuadros III y IV, derivados de la ecuaci´on (4) para h :
− 1, 144888288 100 % = 6, 920 % 1, 23
√
h = λ 2meU
b) Determinacio´ n de la longitud de onda de los electrones.
Cuadro III: Constante de Planck para D 1 A partir de los valores medidos en el cuadro I y las distancias reticulares interplanares del grafito halladas en el inciso a) de esta secci on, ´ la longitud de onda se puede determinar con la ecuaci´on (3) basandose en los datos experimentales:
λ =
dD 2L
U (V) 3000 3500 4000 4500 5000
D1 λ (pm) 22,4772 ±1, 2531 20,3434 ±1, 1437 19,9940 ±1, 1945 18,2408 ±1, 4024 17,2205 ±1, 1674
h (10−34 Js ) 6,6496 ± 0, 1229 6,5012 ± 0, 1129 6,8318 ± 0, 1229 6,6107 ± 0, 1229 6,5785 ± 0, 1229
(3) Cuadro IV: Constante de Planck para D 2
Utilizando esta ecuaci´on se halla las longitud de onda del electr´on experimental para cada uno de los anillos conc´entricos en las diferentes tensiones de aceleraci o´ n, los cuales se consginan en las siguientes tablas. Cuadro I: Longitudes de onda experimental para D 1 U (V) 3000 3500 4000 4500 5000
D1 λ (pm) 22,4772 ±1, 2531 20,3434 ±1, 1437 19,9940 ±1, 1945 18,2408 ±1, 4024 17,2205 ±1, 1674
U (V) 3000 3500 4000 4500 5000
D2 λ (pm) 22,4772 ±1, 2531 20,3434 ±1, 1437 19,9940 ±1, 1945 18,2408 ±1, 4024 17,2205 ±1, 1674
h (10−34 Js ) 6,5504 ± 0, 0359 6,5699 ± 0, 0359 6,6184 ± 0, 0359 6,5550 ± 0, 0359 6,5203 ± 0, 0359
De las tablas anteriores se obtiene la contante de Planck experimental h exp = 6, 608645 0, 079425x10−34 Js
±
De donde obtenemos el error porcentual:
εh =
6, 63
− 6, 608645 100 % = 0, 322 % 6, 63
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IV.
Cuadro VI: D´ıametro D 2 promedio en funci´on de la tensi´on de aceleraci o´ n.
C ONCLUSIONES
U (kV)
Se verifific´o que los electrones tienen una naturaleza dual, la que destaque depender a´ de la tensi o´ n de acerleraci o´ n U . Encontramos la longitud de onda λ asociada a estos, la cual es comparable con las distancias entre los planos. Y encontramos unos valores para las distancias interplanares, considerando las incertidumbre, que caen dentro de las referenciadas por el fabricante. Se pudo observar que el error al calcular la constante de Planck fue del 0,322 %, esto se le acredita que a pesar del error cercano al 7 % en las distancias interplanares y los di´ametros de los anillos, la linealizaci´on de en las gr´aficas y al sacar el valor de la constante de ah ´ı se corrigi o´ el error.
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
V.
4
A NEXOS
D2 interior (cm) 5,084 4,980 5,016 5,071 4,955 5,082 4,579 4,667 4,647 4,499 4,475 4.670 4,408 4,365 4,364 4,375 4,408 4,390 4,025 4,043 3,990 4,121 4,186 4,075 3,886 3,825 3,808 3,937 3,900 3,874
D2 exterior (cm) 5,339 5,423 5,308 5,512 5,539 5,330 5,145 5,027 5,120 5,116 5,234 4,986 4,489 4,732 4,850 4,807 4,769 4,853 4,445 4,466 4,424 4,480 4,452 4,474 4,247 4,148 4,120 4,121 4,226 4,205
D2 (cm)
5,220 ± 0, 2114
4,847 ± 0, 2816
4,568 ± 0, 2120
4,265 ± 0, 2064
4,025 ± 0, 1673
R EFERENCIAS [1] P RINCIPES OF M ODERN P HYSICS, N A SHBY. C, E DITORIAL H OLDEN DAY,
Cuadro V: D´ıametro D 1 promedio en funci o´ n de la tensi o´ n de aceleracion. ´ U (kV)
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
D1 interior (cm) 2,911 2,925 2,869 2,967 2,830 2,848 2,585 2,634 2,661 2,598 2,581 2,627 2,615 2,636 2,536 2,496 2,574 2,524 2,236 2,241 2,309 2,323 2,285 2,396 2,244 2,265 2,147 2,149 2,151 2,194
D1 exterior (cm) 3,188 3,156 3,180 3,277 3,213 3,220 2,891 2,869 2,955 2,937 2,867 2,914 2,848 2,900 2,906 2,836 2,872 2,808 2,660 2,691 2,601 2,678 2,671 2,605 2,571 2,463 2,452 2,495 2,439 2,465
D1 (cm)
3,049
±0, 1700
2,760
±0, 1555
2,713
±0, 1621
2,475
±0, 1903
2,336
±0, 1584
[2] M ANUAL DE LA LD LEYBOLD [ ONLINE] DISPONIBLE EN : [VISITADO EL12 JUN. 2017],
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√ Figura 5: Di´ametros D 1 y D 2 de los anillos en funci´on√ de 1/ U. Las lineas √ continuas corresponden a los ajustes lineales con las pendientes k 1 = 1, 663m V y k 2 = 2, 8922m V respectivamente.
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