UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS CICLO 2015-1
Dinámica de rotación.
1. OBJETIVO TEMÁTICO. 1.1 1.1 Anali Analiza zarr el movimi movimien ento to de un cuerp cuerpo o rígido rígido y aplic aplicar ar conce concepto ptos s de dinámica y energía en la rueda de Maxwell en la rotación y la traslación. 1.2Estudio 1.2 Estudio cuantitativo cuantitativo de la dinámica de un cuerpo rígido para verificar de manera experimental el cumplimiento de las leyes físicas ue rigen el comportamiento de este fenómeno. 1.! 1.! Anal Analiz izar ar los los fact factor ores es ue ue pued pueden en infl influi uirr en la o"te o"tenc nció ión n de los los resultados esperados.
2. OBJETIVO ESPECÍFICO.
2.1 Encontrar de manera experimental la relación entre la energía potencial y la energía cin#tica cin#tica de rotación rotación y de traslación de un cuerpo cuerpo ue inicia su movimiento partiendo del reposo so"re el plano inclinado constituido constituido por dos e$es. El movimiento es una rodadura y por consiguiente una de las componentes energ#ticas del modelo matemático será rotacional% cuyo cuyo momen momento to de inerc inercia ia con respect respecto o al e$e de giro giro se calcu calcular lara a indirectamente.
2.2&alcular de manera directa los valores del momento de inercia de cada componente% sumándolos y comparándolos con el resultado anterior.
3. FUNDAMENTO TEÓRICO.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS CICLO 2015-1 M'ME()' *E +(E,&+A. Es una medida de la inercial de rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar ue refle$a la distr distri"u i"ució ción n de masas masas de un cuer cuerpo po o un siste sistema ma de partíc partícula ulas s en rotación% respecto al e$e de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del e$e de giro- pero no depende de las fuerzas ue intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempea un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal longitudinal de un sólido rígido. El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a aduirir una aceleración angular.
/ara una masa puntual y un e$e ar"itrario% el momento de inercia es0
I =m r
2
*onde m es la masa del punto% y r es es la distancia al e$e de rotación. *ado un sistema de partículas y un e$e ar"itrario% se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distanc distancia ia r de cada cada partícul partícula a a dico dico e$e. e$e. Matemát Matemáticam icament ente e se expresa expresa como0 I =∑ mi r i
2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS CICLO 2015-1 /ara un cuerpo de masa continua se generaliza como0
El su"índice de la integral indica ue se integra so"re todo el volumen del cuerpo. Este concepto desempea en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. 3a masa es la resistencia ue presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de +nercia es la resistencia ue presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así% por e$emplo% la segunda ley de (ewton0 a 4 F m tiene como euivalente para la rotación0
τ = I
α
*ónde0 •
567 es el momento aplicado al cuerpo.
•
5+7 es el momento de inercia del cuerpo con respecto al e$e de rotación. 2
•
d θ α = 2 es la aceleración angular . d t
1
3a energía cin#tica de un cuerpo en movimiento con velocidad v es
2
mv
2
% mientras ue la energía cin#tica de un cuerpo en rotación con velocidad
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angular 8 es
2
I ω
2
% donde + es el momento de inercia con respecto al
e$e de rotación. 3a conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por euivalente la conservación del momento angular 0 L= I ❑
El vector momento angular% en general% no tiene la misma dirección ue el vector velocidad angular 9 ω :. Am"os vectores tienen la misma dirección si el e$e de giro es un e$e principal de inercia. &uando un e$e es de simetría entonces es e$e principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese e$e conduce a un momento angular dirigido tam"i#n a lo largo de ese e$e.
TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Esta"lece ue el momento de inercia con respecto a cualuier e$e paralelo a un e$e ue pasa por el centro de masa% es igual al momento de inercia con respecto al e$e ue pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos e$es0 (CM )
I eje= I eje + M h
2
dónde0 I eje es el momento de inercia respecto al e$e ue no pasa por el centro de masa- + 9&M:e$e es el momento de inercia para un e$e paralelo al
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS CICLO 2015-1 anterior ue pasa por el centro de masa- M ; Masa )otal y ; *istancia entre los dos e$es paralelos considerados.
MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE MASAS PUNTUALES )enemos ue calcular la cantidad I =
∑ x m 2
i
i
*onde xi es la distancia de la partícula de masa mí al e$e de rotación.
MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE MASA /asamos de una distri"ución de masas puntuales a una distri"ución continua de masa. 3a fórmula ue tenemos ue aplicar es I =∫ x dm 2
dm es un elemento de masa situado a una distancia x del e$e de rotación.
ECUACIÓN DE LA DINÁMICA DE ROTACIÓN
&onsideremos un sistema de partículas.
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F 1 y la fuerza ue e$erce la
partícula 2% F 12 .
F 2
y la
fuerza ue e$erce la partícula 1% F 21 . /or e$emplo% si el sistema de partículas fuese el formado por la )ierra y la 3una0 las fuerzas exteriores serían las ue e$erce el
/ara cada una de las partículas se cumple ue la variación del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas ue act=an so"re la partícula considerada.
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Figura 2. Fuerza reu!"a#"e $%re &ar"'(u!a
F 12 4;
F 21 % tenemos ue0
&omo los vectores
r1 ; r2
y
F 12 son paralelos su producto vectorial
es cero. /or lo ue nos ueda0 dL = M ext. dt
3a derivada del momento angular total del sistema de partículas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores ue act=an so"re las partículas del sistema. &onsideremos aora ue el sistema de partículas es un sólido rígido ue está girando alrededor de un e$e principal de inercia% entonces el momento angular 34+ ω % la ecuación anterior la escri"imos.
TRABAJO ) ENER*+A EN EL MO,IMIENTO DE ROTACIÓN
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS CICLO 2015-1 En otra página relacionamos el tra"a$o de la resultante de las fuerzas ue act=an so"re una partícula con la variación de energía cin#tica de dica partícula. &onsid#rese un cuerpo rígido ue puede
girar alrededor de un e$e
fi$o tal como se indica en la figura.
en el punto /. El tra"a$o realizado por dica fuerza a medida ue el cuerpo gira recorriendo una distancia infinitesimal ds4rdt en el tiempo dt es
>?sen θ es la componente tangencial de la fuerza% la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento. 3a componente radial de la fuerza no realiza tra"a$o% ya ue es perpendicular al desplazamiento.
El tra"a$o total cuando el sólido gira un ángulo
θ es0
En la deducción se a tenido en cuenta la ecuación de la dinámica de rotación M4+@% y la definición de velocidad angular y aceleración angular.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS CICLO 2015-1 sólido rígido en rotación alrededor de un e$e fi$o modifica su energía cin#tica de rotación.
DESCOMOPOSICON DE LA ENER*IA CINETICA EN ENER*IA DE TRASLACION ) ENER*IA DE ROTACION 3a rueda de maxwell consta de un aro de radio , y de un e$e cilíndrico conc#ntrico de radio r9r,:. Al de$ar al e$e so"re los rieles el sistema experimentara un movimiento de rodadura. En la figura 1 se muestra un rueda de maxwell en dos posiciones de su movimiento. BC y BD son la posiciones del centro de gravedad de la rueda en los puntos más alto y más "a$o de la trayectoria.
AO
HO AF HF
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/or el principio de conservación de la energía0 Epo + Ec o= Epf + Ec f + W fricción
G0 la rueda parte del reposoMgC4mgD >ricción
Mgh o= Mgh 4 + fricción
3as p#rdidas de fricción% >ricción% se de"en a la fricción por desplazamiento 9calor perdido por rozamiento: y a la fricción por rodadura 9calor producido por la deformación de las superficies de contacto:. 3as p#rdidas por rodadura son desprecia"les en el caso de los cuerpos rígidos.
como un con$unto
continuo de rotaciones sucesivas con velocidad angular
ω A alrededor de
un e$e de giro móvil ue pasa por los puntos de contacto entre el e$e cilíndrico y los rieles 9Ai:.
ω A .r% donde
,g
ω A es la velocidad angular
alrededor de Ai y r es la distancia de B a Ai 9radio del e$e cilíndrico:. 'tra manera de visualizar el movimiento de rodadura% uizás más natural% es considerando ue la composición de una traslación de del centro de
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS CICLO 2015-1 masa B% más una rotación simultánea% con velocidad angular Fg alrededor de B.
tra!ación
1
+ Ec
2
rotación
1
Ec = M " cm + I cm G ω 2
2
2
M$-imie#"$ e r$"a(i/#. El movimiento de rotación está presente en todas partes. 3a tierra gira alrededor de su e$e. 3as ruedas% los engrana$es% las #lices% los motores% el e$e de transmisión de un coce% los discos compactos% los patinadores so"re ielo cuando realizan sus piruetas% todo gira. 3a energía cin#tica de un sistema es la suma de la energía cin#tica de las partículas ue lo forman. &uando un sólido rígido gira en torno a un e$e ue pasa por su centro de masas las partículas descri"en un movimiento circular en torno a dico e$e con una velocidad lineal distinta seg=n sea la distancia de la partícula al e$e de giro pero todas giran con la misma velocidad angular 8% ya ue en caso contrario el sólido se deformaría. 3a relación entre am"as velocidades aparece en la figura siguiente0
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3a energía cin#tica del sólido causada por el movimiento de rotación será entonces0
El sumatorio es el momento de inercia del sólido con respecto al e$e de rotación% luego0
Esta energía corresponde a la energía cin#tica interna% ya ue tiene está referida al centro de masas.
A la ora de aplicar el )eorema de &onservación de la Energía a"rá ue tener en cuenta estos nuevos t#rminos.
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/ara la experiencia realizada en el la"oratorio0
*espreciando el tra"a$o realizado por la fuerza de fricción so"re la rueda. W =−# Ep =− Mg# $
Entonces expresando tendremos0 1
1
2
− Mg # $ = M " + I ω 2
&omo
2
2
" =rω
" =
2g
( )+ I
M r
2
# $ 1
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4. MONTAJE EXPERIMENTAL. 4.1. MATERIALES.
Hn par de rieles paralelos 9como plano inclinado:. Hn nivel. Hna regla milimetrada. Hna rueda de Maxwell. Hna "alanza. Hn cronometro. Hn pie de rey.
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4.2.
4.2. PROCEDIMIENTOS. •
(ivelar el euipo experimental con la ayuda del nivel de "r=$ula y
•
girando los tornillos ue están situados en los "ordes. >i$e la inclinación de los rieles de manera ue la rueda se mueva con
• • •
rotación pura. Marue los puntos A C y Af y mida la distancia A C Af Marue I puntos intermedios el tramo A C y Af y mida sus distancias. Mida con el pie de rey las alturas J C asta Jf de los puntos marcados.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS CICLO 2015-1 Mida el radio del e$e de rotación de la rueda Maxwell en tres
•
posiciones diferentes en cada lado y o"tenga su valor promedio.
Tiem&$0 t 1
t 2
t 3
Di"a#(ia0m t prom.
1 7.02
7.38
7.22
2 10.61
10.373
13.03
12.67
3 14.98
14.72
16.26 16.03
16.83
16.373
Maa e! i($ 05g Rai$ e! e6e 0m
$ 2 4C.CI
C.C1
$ 3 4C.CD
C.C2D
$ 4 4C.C!
C.C!2
$ 5 4C.C!
C.CD
A 0 A 4 4C.!2
14.76 14.42
C.CCL
D A 0 A 3 4C.2D
12.66 12.32
$ 1 4C.C
2 A 0 A 2 4C.1
10.38 10.13
# $ ( m )
$ 0 4C.CK A 0 A 1 4C.CL
7.26
4
A!"ura 0m
L A 0 A 5 4C.D
0.48 0.0033
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&oloue la rueda en reposo en la posición
A 0 % su#ltela y
simultáneamente mida el tiempo ue tarda en recorrer cada tramo marcado entre A 0
A 1 % incluyendo estos puntos. ,epita esta
y
operación unas cinco veces para cada tramo. &on esta medición realice una gráfica de posición en función del tiempo y o"tenga por derivación la ecuación de la velocidad y calcule la velocidad desde A 0 asta A f . # $ .
•
Jacer una ta"la de velocidad y la diferencia de niveles
•
&onstruya la gráfica0
•
o"tenga el valor del momento de inercia de la rueda de Maxwell. /roceda a tomar los datos de la masa y dimensiones de la rueda
2
" = f ( # $ ) y de la pendiente de la recta
Maxwell% afín de calcular separadamente el momento de inercia de cada una con respecto a su e$e de rotación% s=melas y compare con el o"tenido en el paso anterior.
5. ANÁLISIS DE RESULTADOS.
% 2 (s
% 1 (s
1 2 3 4
K.2 1C.!L 12. 1D.K 1.2
% 3 (s
K.C2 1C.1! 12.!2 1D.D2 1.C!
K.!L 1C.1 1!.C! 1D.NL 1.L!
)+EM/' /,'ME*+' 9s:
.22 10.33 12.! 14.2 1!.33
& =α t
+¿ 7 t
+¿ 8
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS CICLO 2015-1 /ara poder usar el m#todo de los mínimos cuadrados realizamos la siguiente ta"la0
P"#
%$T &'(
)&*(
2
t (
2
)
4
3
t &
3
t
(
4
&
)$ &*'(
t & ( m
2
2
)
(
1 0
0
0
0
0
0
0
0.08
52.12
3!.3 !
21.3 0
0.5!
4.102
0.1!
10.! 0
111!. 23
115+.0 !
1.!5+ 3
1.21!
0.24
1!0.5 2
2033. +0
25!+.5 2
3.0408
38.52
0.32
21!.! 8
318+. 50!
4!+4+.5
4.104
!+.33
0.4
2!8.0 8
438+. 4!
180.1 2
!.54+3 3
10.23 4
2 .22
10.3
3 12.!
4 14.2
= 1!.3
805.0 11105 158885. 23!.48 !1.35 1.2 2 .4! !1 1!.53 5 3uego construyendo un sistema de ecuaciones este uedaría de la forma0
•
+¿ 1.2P +¿ LCI.C2 α 4 1.2 11105.46 α 1.2 O +¿ LCI.C2 P +¿ 4 1.I!K
•
LCI.C2 O
•
O
+¿
11105.46
P
+¿
158885.61 α
4 2!.DLI
,esolviendo este sistema de ecuaciones los valores para cada valor son0 α 4 9.9914
P 4 9.9992 O 4 9.999 ,edefiniendo la ecuación por a$uste de curvas nos resulta lo siguiente0
: ; 9.9914"2 < 9.9992" < 9.999
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POSICIÓN vs I!"PO 0.45 0.4
f(x) = 0x^2 + 0x + 0
0.35 0.3 0.25
$s&**%#$,-' (%)
0.2 0.15 0.1 0.05 0
0
2
4
6
8
10
#$%&' (s)
12
14
16
18
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dx dt
Entonces
" cm 4 9.99" < 9.9992 0 m /
Aceleración es igual a0 a=
d" dt
Entonces
acm 4 9.99 0 m / 2
C>!(u!$ e! m$me#"$ e i#er(ia.
/ara poder encontrar una ecuación ue se aproxime a descri"ir la relación entre la velocidad y la variación de la altura. 2
" =
2g
( )+ I
M r
2
# $ 1
/artiendo de los datos o"tenidos de m#todo de los mínimos cuadrados0 *ica ecuación de"e de ser de la forma0 F =αa + '
manera experimental% usaremos el
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/ara allar los valores de valores de α y
' ela"oramos la siguiente
ta"la y realizamos algunas operaciones matemáticas.
*ato s 1 2 ! D I
2
2
(m / )
0 0.0004 8! 0.000+82 82 0.0014! 0.001+! 81 0.002432 3! 0.00320 8!
*e esta ta"la se o"tiene0 α =0.061 ' =−0.002
3uego0
3
2
m / 2 " # $ ¿
QJ 9m:
"
2
0
0
0.008
0.00000382
0.01!
0.0000152
0.024
0.00003504
0.032
0.0000!2+!
0.04
0.0000+2+
0.12
0.00021483
# $ m
2
0
0 0.0000 !4 0.0002 5! 0.0005 ! 0.0010 24 0.001! 0.0035 2
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/
vs
,H
0
0 f(x) = 0.06x 0 0
/ (%s)
0
0
0
0 0
0.01 0.01 0.02 0.02 0.03 0.03 0.04 0.04 0.05
,H (%)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS CICLO 2015-1 Entonces0 2
" =0.061 # $
0.061
=
2g
( )+ I
M r
2
1
>inalmente despe$ando el momento de inercia0
I =0.001722 (g . m
2
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!. CONCLUSIONES. .1.
) = I ω % donde
I es el momento de inercia del
cuerpo% el cual solo depende de la forma geom#trica del cuerpo en estudio. .D.
". RECOMENDACIONES.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS CICLO 2015-1 K.1. &alcular de manera adecuada y minuciosa el momento de inercia del disco mediante el m#todo geom#trico. K.2. Asegurarse ue a"alanza marue cero Rg. al inicio. K.!. &erciorarse ue la rueda de Maxwell ruede so"re un mismo trayecto 9esto se puede lograr roseando con polvo de tiza so"re los rieles del ta"lero: evitando así deslizamientos y garantizando rotación pura. K.D. ,ealizar de la me$or manera las mediciones de las dimensiones del disco para así disminuir el error cometido.
#. BIBLIO$RAFIA.
L.1. ,. A. isica% )omo +% DS Edición% McBraw Jill% 1NNK% &ap. 1C. L.2. F. E. Bettys% >. T. Ueller% M. T. +<+&A0 &lásica y Moderna% McBraw Jill% 1NN1% . +. &. L.I. >ísica vol. + G Marcelo Alonso% Edward T. >inn. L.. >ísica /aul )ipler% tomo +. 8.7. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mi.html 8.8. http://kwon3d.com/theory/moi/moi.html 8.9. http://www.terra.es/personal/jdellund/ayuda/inercia.htm
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