PRACTICA DE LABORATORIO(SOLUCION)
TEMA: Cadenas de Markov OBJETIVOS
Al culminar la presente práctica, el alumno estará capacitado para: Resolver y analizar procesos estocáticos mediante cadenas de markov. Resolver problemas de cadenas de markov absorbentes. Interactuar con los modelos
RECURSOS Uso del software WinQSB con la opción Markov process DURACIÓN DE LA PRÁCTICA Una sesión MARCO TEÓRICO Revisar material de lectura: cadenas de Markov. Formular procesos markovianos utilizando la teoría de Cadenas de Markov para determinar el comportamiento del sistema en condiciones de estado estable. Determinar altenativas de optimización para el sistema en estudio. CASO 1: El 1 de enero (de este año), las panaderías Klosman controlaban el 40% de su mercado local, mientras que las dos panaderías, A y B, tenían 40 y 20 por ciento, respectivamente, respectivamente, del mercado. Basándose en un estudio de una empresa de investigación de mercado, se compilaron los siguientes datos: la panadería KLOSMAN retiene el 90% de sus clientes, y gana el 5% de los clientes de A y el 10% de los de B. la panadería A retiene el 85% de sus clientes y gana 5% de los clientes de Klosman y 7% de los de B. la panadería B retiene 83% de sus clientes y gana 5% de los clientes de Klosman y 10% de los de A.
a) ¿Cuál será la participación de cada empresa el primero de enero del año siguiente? ( Ver solución en Excel) La participación de cada empresa en 1º de enero del año siguiente (P1) será:será: -
La empresa Klosman tendrá una participación del 40 % del mercadoLa empresa A tendrá una participación del 37 % del mercadoLa empresa B tendrá una participación del 23 % del mercado b) ¿Cuál será la participación de cada empresa a largo plazo? :
La participación de cada empresa a largo plazo será:La empresa Klosman tendrá una participación del 43 % del mercadoLa empresa A tendrá una participación del 27.9 % del mercadoLa empresa B tendrá una participación del 29.1 % del mercado
MATRIZ D T año
K
A
B
SUMA
K
0.9
0.05
0.05
1
A
0.05
0.85
0.1
1
0.1
0.07
0.83
1
0.4
0.4
0.2
1
B p0
0
p1=PO*T
1
0.4
0.374
0.226
0.9
0.05
p2=P1*T
2
0.4013
0.35372
0.24498
0.05
0.85
0.1
p3
3
0.403354
0.3378756
0.2587704
0.1
0.07
0.83
p4
4
0.40578942
0.32547589
0.26873469
p5
5
0.40835774
0.3157554
0.27588685
p6
6
0.41089842
0.30812206
0.28097952
p7
7
0.41331264
0.30211724
0.28457013
p8
8
0.41554425
0.29738519
0.28707056
p9
9
0.41756614
0.29364957
0.2887843
0.43023256
0.27906977
0.29069767 0.430232558
0.27906977
0.05
0.29069767 1
0.45 0.4 0.35
p10
10
0. 41937043
0. 29069534
0. 28993423
p11
11
0. 42096158
0. 28835496
0. 29068347
0.3
p12
12
0. 42235151
0. 28649763
0. 29115085
0.25
Series1
p13
13
0. 42355633
0. 28502112
0. 29142255
p14
14
0. 42459401
0. 28384535
0. 29156064
0.2
Series2
p15
15
0. 42548294
0. 28290749
0. 29160957
0.15 0.1 0.05 0
c) Klosman decide hacer una campaña publicitaria a efectos de ganar clientes, dicha campaña altera las probabilidades de transición de estados de la siguiente manera: la panadería Klosman retiene el 90% de sus clientes, y gana el 15% de los clientes de A y el 20% de los de B. la panadería A retiene el 75% de sus clientes y gana 5% de los clientes de Klosman y 7% de los de B. La panadería B retiene 73% de sus clientes y gana 5% de los clientes de Klosman y 10% de los de A. Sí a Klosman le cuesta $350 por mes una campaña publicitaria y por cada cliente ganado obtiene un ingreso igual a 10 dólares mensuales, ¿por cuántos periodos debe mantener su campaña publicitaria, sabiendo que se compite en un mercado de 1000 clientes? d) Suponiendo que las participaciones se recalculan mensualmente con esta nueva matriz de transición, el beneficio neto de la iniciativa publicitaria para KLOSMAN vendría dada por: e) BN = (X0*Tn - X0)*1000I*(10, 0, 0) T - 350*n f) Para que la iniciativa sea beneficiosa para Klosman, este beneficio neto debe ser mayor a 0. g) Los resultados obtenidos con ayuda de Excel se muestran a continuación: N
BN 1 250 2 353 3 343.14 4 247.3582 5 86.612816 6 -122.9694589 7 -369.0889409 8 -642.4322455
Series3
h) La cantidad de clientes que migren hacia Klosman sera cada vez menor y el beneficio neto de la publicidad será menor. i) De esta manera se recomienda que Klosman mantenga publicidad por 5 meses
Soluciondo en Excel clientes K
A
B
Suma
K
0.9
0.05
0.05
1
A B
0.15 0.2
0.75 0.07
0.1 0.73
1 1
p0 p1=PO*T
0 1
0.4 0.46
0.4 0.334
0.2 0.206
400 460
400 334
200 ADIC 206
p2=P1*T p3 p4
2 3 4
0.5053 0.539314 0.56473582
0.28792 0.2556796 0.23307585
0.20678 0.2050064 0.20218833
505.3 539.314 564.73582
287.92 255.6796 233.075848
206.78 205.0064 202.188332
105.3 139.314 164.73582
p5 p6
5 6
0.58366128 0.59770305
0.21719686 0.20602064
0.19914186 0.19627631
583.661282 597.703054
217.19686 206.020639
199.141858 196.276307
p7 p8
7 8
0.60809111 0.61575678
0.19813997 0.19257336
0.19376892 0.19166986
608.091106 615.756775
198.139974 192.57336
p9
9
0.62140107
0.18863475
0.18996418
621.401075
188.634749
p10 p11
10 11
0.62554901 0.62859213
0.18584361 0.18386267
0.18860738 0.1875452
p12 p13
12 13
0.63082136 0.63245221
0.18245478 0.18145282
0.18672387 0.18609497
630.821357 632.452211
p14
14
0.63364391
0.18073887
0.18561722
p15
15
0.63451379
0.18022956
0.18525665
incliente gastp 600
dif 350
25
1053 1393.14 1647.3582
350 350 350
70 1043.1 1297.358
183.661282 197.703054
1836.61282 1977.03054
350 350
1486.6128 1627.0305
193.76892 191.669865
208.091106 215.756775
2080.91106 2157.56775
350 350
1730.9110 1807.5677
189.964176
221.401075
2214.01075
350
1864.0107
625.549015 185.843608 188.607377 225.549015 628.59213 183.862673 187.545197 228.59213
2255.49015 2285.9213
350 350
1905.4901 1935.921
182.454775 186.723867 230.821357 181.45282 186.094969 232.452211
2308.21357 2324.52211
350 350
1958.2135 1974.5221
633.643907
180.738873
233.643907
2336.43907
350
1986.4390
634.513791
180.229556 185.256653 234.513791
2345.13791
350
1995.1379
185.61722
60
CASO 2.- Una empresa fabrica impresoras. Antes de mandar a ventas las impresoras, se analiza el lote. Las categorías de inspección son: no funciona (NF), regular, bueno y excelente. Las impresoras NF se desechan, mientras que los lotes excelentes se envían inmediatamente a ventas. Los lotes regulares y buenos se regresan para ajustes y se vuelven a probar. Las proporciones de lotes regulares y buenos que cambian de categoría se dan en la tabla siguiente: DE NF REGULAR BUENO EXCELENTE REGULAR 0.05 0.25 0.35 0.35 BUENO 0 0.15 0.2 0.65 a) Descríbase este proceso de prueba como una cadena de Markov absorbente y calcúlese la matriz de transición.
S
T
=
R=
S=
I =
R B
b) c) d) e) f)
R B NF E
R 0.25 0.15 0 0
B 0.35 0.2 0 0
R B
R 0.25 0.15
B 0.35 0.2
R B
NF 0.05 0
E 0.35 0.65
1 0
0 1
NF 0.05 0 1 0
E 0.35 0.65 0 1
absorbentes
bsorbentes
r Q
Matriz fundamental
A
Matriz de probabilidades
I-R =
Q=(I-R)
-1
=
((I-Q) )*R =
-0.35 0.8
R B
R B suma 1.461 0.639 2.1005 0.274 1.37 1.6438
R B
R B 0.073 0.927 0.014 0.986
A -1
0.75 -0.15
Número de veces a inspección ( pieza regular) 1.461 + 0.639 = 2.1 veces. Número de veces a inspección (pieza buena)0.274 + 1.369 = 1.64 veces. La probabilidad que se deseche un lote regular es de 7.31 %. La probabilidad que un lote regular se lleve a ventas es 92.69 %. De 30000 lotes probados cuantas llegarían a ventas: 30000(0.9863) = 29589 otes.
b) De 100000 lotes existentes actualmente, a los que se acaba de realizar una inspección y resultó que hay 30000 lotes buenos, 20000 lotes regulares, 45000 lotes excelentes y 5000 lotes NF. ¿Cuántos lotes de cada categoría habrá dentro de 3 inspecciones?
Ingrese los datos de la siguiente manera
Los resultado son
Entonces ahabra
Lotes Nf Lotes Regulares Lotes Buenos Lotes Excelentes
100000
0.0649
6490
100000 100000
0.0105 0.0198
1050 1980
100000
0.9052
90520 100040
c) ¿Cuántos lotes excelentes habrá en las próximas 5 inspecciones?
Lotes Excelentes
100000
0.9299
92990
d) ¿Cuántas veces, en promedio, se volverá a inspeccionar un lote que ya se había probado y había resultado regular en la prueba anterior? 1.32231405
0.5785124 1.90082645
Se volverá a inspeccionar 1.9 veces
e) ¿Cuántas veces, en promedio, se inspeccionará de nuevo un lote que ya se había probado y dio por resultado ser bueno? 0.16528926 1.32231405 1.48760331
Se volverá a inspeccinar 1.5 veces f) ¿Cuál es la probabilidad de que se deseche un lote regular? 0.0661157
0.9338843
La probabilidad es de 6.6 % g) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote regular llegue a ventas? 0.0661157
0.9338843
ES 0.934% h) De 30000 lotes probados como buenos originalmente. ¿Cuántos llegarán a ventas? 0.00826446 0.99173554
Llegaran 29 760 30000
0.992
29760
CASO 3.- Una máquina puede estar en dos estados: F “funciona” o Q “averiada”, con
tFF=0.8, tQQ=0.4, tQF= 0.6, tFQ=0.2. Cuando funciona da una utilidad de 480 por periodo y, cuando está averiada, los gastos son de 160 por periodo. a) ¿Cuál es la ganancia media al inicio del periodo?
T=
F Q 0.8 0.2 0.6 0.4
F Q
F = $480 Q = $-160
X1
X2
Xn = Xn1*T π = π*T
=
X1 X2
X1= 0.8X1 + 0.6X2 X2= 0.2X1 + 0.4X2 X1 +X2 = 1 RESOLVIENDO LA ECUACION X1 = 0.75 X2 = 0.25 π = [0.75 0.25]
0.8 0.4
0.2 0.6
a) Ganancia promedio: 480*0.75 +0.25*- 160 =
$ 320.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina este averiada en el tercer periodo? 3
0.752
0.248
Es 0.248 % c) ¿Cuál es la ganancia y los gastos a largo periodo? Es la ganancia promedio d) En un periodo de un año, ¿cuántos meses funcionará la máquina? Y ¿cuántos meses estará averiada? 12
0.75
0.25
Funcionand 12*0.75=9 meses Averiado 12*0.25= 3 meses e) A largo periodo en promedio, ¿cuántos meses funcionará la máquina? Y ¿cuántos meses estará averiada? Lo mismo que un año CASO 4.- En un proceso productivo las piezas una vez procesadas son inspeccionadas para determinar si son rechazadas, reprocesadas o aceptadas para su posterior venta. Estadísticamente el 85% de las piezas son aceptadas y el 5% son rechazadas (ver diagrama siguiente). $10 proceso
reproceso
10%
5% desecho
Insp.
85% aceptación
a) Si el costo de un proceso es de $10 por pieza y el reproceso $5. ¿cuál sería el costo promedio de una pieza que termine en ventas?
Un producto tiene le siguiente proceso INICIO
1
PROCESO $10
INSPECCION
5%
RECHAZADO
10 %
REPROCESO $5
ACEPTADO
85 %
1
1
3
0.05
1
2
$10
0.85
0.10
Estados 1. Inicio 2. Inspeccion 3. 3.Rechazo 4. Aceptacion
Resolviendo en Excel
4
1
T 1
2
3
4
1
0
1
0
0
1.
2
0
0.1
0.05
0.85
2.
3
0
0
1
0
3.
4
0
0
0
1
4.
1
2
3
4
1
0
10
0
0
2
0
5
0
0
3
0
0
0
0
4
0
0
0
0
Inicio Inspec 3.Rec Acept
R
R T'
S 0
1
0
0
0
0.1
0.05
0.85
i I-R
R
1
0
0
1
1
-1
0
1
0
0.1
0
0.9
Q Q=(i-r)-1
i-R
S
A=QS
1 1.111111
0
0 0.055556 0.944444
0 1.111111
0.05
0.85 0.055556 0.944444
el El producto proveniente del estado 1 permaneCe en ese estado una vez y permanece en estado 2 1.111 veces El producto proveniente del estado 2 permaneCe en ese estado 1.1111 veces En la matriz A=QS Partiendo del estado (1) el producto pasa ala estado abSorvente(3) con 0.0556 de prob y el estado absorbente 2 (bueno) con 0.9444 de probabilidad como a permanencia del estado 2 cuesta $5 y 10% en estado 1 Costo = $10(1)+5(0.111) = ) = 10.5555 Prorratear ese costo solo a pieza buenas Costo = 10.5556/0.9444 = 11.10
b) ¿Cuál es el porcentaje de piezas rechazadas. ( en que periodo) 0.055556 0.944444
5.55 % c) A la larga ¿Cuántas veces se espera que una pieza sea reprocesada? 0 1.111111 1.111111
1.11 veces d) En un lote de 10000 piezas ¿cuántas serán rechazadas? 10000 0.055556 555.5556
555 piezas
Examen 1. Se tiene el siguiente proceso INICIO INS M E INICIO 0 1 0 0 INS 0 0.08 0.02 0.9 M 0 0 1 0 E 0 0 0 1 0 0.1 0.02 0.88 0 0 0.008 0.022 0.97 1 0 0.097 0.0274 0.8756
Programacioin dinámica Paln de producion Inversiones
. PROBLEMA DE LA MOCHILA O DE CARGAMENTO(SI) Resuelto con solver de Excel, programa en visual Basic POMS winqsb PROBLEMA DE INVERSIONES en solver de Excel en excel APLICACIÓN 4: PLAN DE PRODUCCIÓN con solver de excel
