Cadenas de Markov Absorbentes

Cadenas de Markov Absorbentes: Ejemplo 1: Consi Considé déres rese e una una tiend tienda a de depa departa rtame mento ntos s que que clasif clasifica ica el saldo saldo de la cuenta como pagada (estado 1), 1 a 30 días de retraso (estado 2), 31 a 60 días de retraso (estado 3) o mala deuda (estado 4). Las cuentas se revisan cada mes y se determina determina el estado de cada cliente. En general, los créditos no se extienden extienden y se espera que los clientes paguen sus cuentas dentro de 30 días. En ocasiones los clientes solo pagan una parte de su cuenta. Si esto ocurre cuando el saldo queda dentro de los 30 días de retraso (estado 2), la tienda ve a este cliente como uno que permanece en el estado 2. Si esto ocurre cuando el saldo esta entre 31 y 60 días de retraso, la tienda considera que el cliente se mueve al estado 2 (1 a 30 días de retraso). Los clientes que tienen más de 60 días de retraso se clasifican en la categoría de una mala deuda (estado 4); luego las cuentas se mandan a una agencia de cobro. Después de examinar los datos de años pasados, la tienda ha desarrollado la siguiente matriz:

Cuenta nta pagada 1 a 30 día días de 31 a 60 días de Mala deuda retraso retraso 1 0 0 0

Cuenta pagada 1 a 30 días de 0.7 retraso 31 a 60 días 0.5 de retraso Mala deuda 0

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.2

0

0

1

Halle el número esperado de pasos hacia la absorción. Solución: 1. Matriz de transición:

E1 E2 E3 E4

E1 1 0.7 0.5 0

E2 0 0.2 0.1 0

E3 0 0.1 0.2 0

E4 0 0 0.2 1

2. Reagrupando la matriz en 4 particiones

3.

E1

E1 1

E4 0

E2 0

E3 0

E4

0

1

0

0

E2

0.7

0

0.2

0.1

E3

0.5

0.2

0.1

0.2

Calcular (I-N) -1

I 1 0

0 1

0.2 0.1

0.1 0.2

0.8 -0.1

-0.1 0.8

N

I-N

(I-N)-1 E2 E2 E3

E3 1.2698 0.1587

0.1587 1.2698

Comenzando en el estado E2, el número esperado de pasos para la absorción es 1.2698 + 0.1587 = 1.4286. Comenzando en el estado E3, el número esperado de pasos para la absorción es 0.1587 + 1.2698 = 1.4286.

Ejemplo 2: Hallar el número de pasos hacia la absorción para la siguiente matriz de transición: E1 0.2 0 0.4 0.4

E2 0.3 1 0 0.2

E3 0.3 0 0.3 0.2

E4 0.2 0 0.3 0.2

1. Matriz de transición: E1 E1 0.2 E2 0 E3 0.4 E4 0.4

E2 0.3 1 0 0.2

E3 0.3 0 0.3 0.2

E4 0.2 0 0.3 0.2

E1 E2 E3 E4 Solución:

2. Reagrupando la matriz en 4 particiones:

E2 E1 E3 E4 3.

E2 1 0.3 0 0.2

E1 0 0.2 0.4 0.4

E3 0 0.3 0.3 0.2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0.2 0.4 0.4

0.3 0.3 0.2

0.2 0.3 0.2

Calcular (I-N) -1

I

N

E4 0 0.2 0.3 0.2

I-N 0.8 -0.4 -0.4

-0.3 0.7 -0.2

-0.2 -0.3 0.8

E1

E3

E4

(I-N)-1

E1 E3 E4

2.551 2.245 1.837

1.429 2.857 1.429

1.173 1.633 2.245

Comenzando en el estado E1, el número esperado de pasos para la absorción es 2.551 + 1.429 + 1.173 = 5.153. Comenzando en el estado E3, el número esperado de pasos a la absorción es 2.245 + 2.857 + 1.633 = 6.735. Comenzando en el estado E4, el número esperado de pasos para la absorción es 1.837 + 1.429 + 2.245 = 5.511.