OSCILACIÓN DE UN PÉNDULO SIMPLE . Panamá, 5 de Septiembre de 2012. Dinámica Aplicada. Universidad Tecnológica Tecnológica de Panamá – Facultad de Ingeniería Mecánica. 1IM-132 (B)
Abstracto Si una partícula tiene movimiento rectilíneo, su aceleración es siempre proporcional a la distancia a un punto fijo de la trayectoria y está dirigida hacia este punto fijo, entonces se dice que la partícula tiene movimiento armónico simple. Este tipo de movimiento es la
forma
más
sencilla
de
movimiento
periódico, y es el que presenta el péndulo analizado en el presente informe.
Marco Teórico El movimiento que describe un péndulo simple se puede describir como el de una vibración de un cuerpo rígido respecto a un
el desplazamiento angular respecto a la
eje de referencia, donde el desplazamiento
mencionada vertical θ, medido en dicho
está medido en términos de una coordenada
plano. La longitud del alambre es una
angular. Si se analiza esta definición con
restricción la cual restringe a la masa del
detenimiento, se podrá notar que lo dicho es
péndulo a moverse en un movimiento
válido también para cuerpos que describen
circular respecto al marco de soporte. Al
vibración torsional. Así, se podría tomar a la
reconocer a la longitud del alambre como
oscilación de un péndulo simple como un
una restricciones lo que hace a θ una
caso especial de vibración torsional, donde
coordenada generalizada del movimiento de
una masa está suspendida verticalmente a
oscilación del péndulo.
partir de un marco de soporte por medio de un hilo o filamento, como se presenta en la ilustración contigua. Cuando la masa es desplazada de la vertical que se forma a partir del origen O, la masa oscilará respecto a dicha vertical periódicamente. Si se restringe el movimiento a un solo plano, la coordenada que describe el movimiento es
A continuación se presenta el diagrama de cuerpo libre de la masa:
n = 21 Aquí se observa que la longitud del alambre es la única variable de la cual depende la frecuencia natural, por lo que la masa dentro del modelado de un péndulo simple no es de importancia para realizar este cálculo. El periodo será a su vez, como vimos en experiencias pasadas, el inverso de
n = 2
A partir de la Segunda Ley de Newton, se
.
La aplicación más famosa del péndulo simple
tiene que:
θ =θ =Ӫ
es en los relojes de pared antiguos debido a su gran precisión y confiabilidad.
[1]
Para pequeños ángulos de oscilación, la función seno puede ser remplazada por dicho ángulo, alcanzando una precisión cercana al 100% para ángulos de 5.5º. Así,
=Ӫ Ӫ+ =0
sustituyendo Sin por como sigue:
n
, reordenamos [1]
Despejando se y reacomodando se obtiene:
[2]
La ecuación [2] es análoga a la expresión (2.5) utilizada en la experiencia pasada (ver
guía de laboratorio No. 3, “Modelado de un Sistema Masa Resorte” para mayor información). La mencionada ecuación es:
ẍ+=0 Donde θ hace las veces de x y g/l hace las veces de k/m, al desarrollar la mencionada ecuación (2.5). La frecuencia natural se escribe como sigue:
Procedimiento 1. Seleccione los parámetros (longitud y masa) de un péndulo simple. Para cada una de las tres experiencias a realizar. 2. Especifique las condiciones iniciales (condiciones de frontera). 3. Mida el periodo natural de oscilación para tres ciclos de movimiento. Calcula el periodo promedio de ola oscilación.
Calcule
natural
la
y
la
frecuencia
frecuencia
natural
circular. 4. Obtenga la ecuación diferencial de movimiento
en
función
de
θ.
Obtener la posición, velocidad y aceleración para: 4.1 θ(0) = xθ 0 y Ӫ(0) = 0. Graficar utilizando:
Excel,
MATLAB
o
Scilab y Simulink o XCOS. 5. Determine periodo,
analíticamente la
frecuencia
el
circular
natural y la frecuencia natural del movimiento.
Resultados para una masa puntual Masa de la esfera: 520 g = 0.520 kg. Data experimental:
Longitud (m)
τ1 (s)
τ2 (s)
τ3 (s)
τprom' (s)
τprom = τn (s/oscilación)
f n (Hz)
ωn (rad/s)
0.600
4.460 4.460 4.440
4.453
1.484
0.674
4.233
0.400
3.680 3.690 3.660
3.677
1.226
0.816
5.126
0.200
2.580 2.510 2.580
2.557
0.852
1.173
7.372
τprom’ vendría siendo el periodo promedio
Por
medido para tres oscilaciones. Por definición,
ecuaciones:
lo
el periodo es el tiempo que dura una oscilación, por lo que el periodo es en
realidad τprom (τprom’/3) . A partir de la ecuación diferencial de
posición,
velocidad y aceleración:
Ӫ+ =0 =1n+2n ̇= n[1n2n] ̇
Remplazando
(0) = 10º =
.
(0) = 0.
Velocidad
Aceleración
ecuaciones inmediatamente arriba, se tiene
C1 = 0. C2 =
.
valores
= 18 n+ ̇= 18 nn Ӫ= 18 n2n
Remplazando las condiciones iniciales en las que:
los
correspondientes, tenemos que:
Condiciones iniciales
= 18 n
Posición
= √ 12 +22 =C2 = 18 = tan− (21)= tan− ∞=
ecuación de frecuencia natural angular, se de
siguientes
θSin(ωnt + φ):
teórico (Ecuación [2]), y considerando la ecuaciones
las
puede escribirse de la forma x(t) =
péndulo simple, presentada en el marco
las
tenemos
La ecuación de posición también
movimiento que modela el sistema de
obtienen
que
Gráficas en Excel: las tablas de las gráficas aparecen en la sección de Anexos.
1. Para L = 0.600 m 4.0000 3.0000 2.0000 1.0000
θ (radianes) θ (rad/s)
0.0000 0
1
2
3
4
5
6
Ӫ (rad/s2)
-1.0000 -2.0000 -3.0000 -4.0000
2. Para L = 0.400 m 6.0000
4.0000
2.0000
θ (radianes) θ (rad/s)
0.0000 0 -2.0000
-4.0000
-6.0000
1
2
3
4
5
6
Ӫ (rad/s2)
3. Para L = 0.200 m 15.0000
10.0000
5.0000
θ (radianes) θ (rad/s)
0.0000 0
-5.0000
-10.0000
-15.0000
1
2
3
4
5
6
Ӫ (rad/s2)
Gráficas en MATLAB
1. Para L = 0.600 m
2. Para L = 0.400 m
3. Para L = 0.200 m
Gráficas en SIMULINK: el Diagrama de Bloques aparece e n los Anexos.
1. Para L = 0.600 m
2. Para L = 0.400 m
3. Para L = 0.200
Data Analítica:
Frecuencias angulares naturales
n = = 90..86100/2 =4.044 . n = = 90..84100/2 =4.952 . n = = 90..82100/2 =7.004 .
Frecuencias naturales
n = 21 = 21 90..86100/2 =0.644
n = 21 = 21 90..84100/2 =0.788 2 1 1 9 . 8 1 / n = 2 = 2 0.200 =1.115
Periodo natural
n = 2 = 2 9.0.86100/2 =1.554 /ó n = 2 = 2 9.0.84100/2 =1.269 /ó n = 2 = 2 9.0.82100/2 =0.897 /ó Se analizan los resultados obtenidos hasta ahora en la siguiente tabla:
Comparación de Resultados Analítico Experimental Error (%) f n f n τn ωn τn ωn f n τn (Hz) (s/oscilación) (rad/s) (Hz) (s/oscilación)
Longitud (m)
ωn (rad/s)
0.600
4.044
0.644
1.554
4.233
0.674
1.484
4.67 4.66 4.50
0.400
4.952
0.788
1.269
5.126
0.816
1.226
3.51 3.55 3.39
0.200
7.004
1.115
0.897
7.372
1.173
0.852
5.25 5.20 5.02
Como se puede observar en la tabla, ya sea mediante
datos
experimentalmente analíticamente,
se
o puede
recabados
frecuencia
calculados
natural son independientes a la masa
apreciar
tres
1. La frecuencia angular natural y la frecuencia natural son inversamente proporcionales a la longitud del
n = n ∝ 1
Así, a medida que se disminuía la longitud
del
cable
durante
la
experiencia de laboratorio, se pudo observar cómo las oscilaciones de la masa se volvían “más rápidas”, o sea, aumentaban en su frecuencia. De modo análogo, si se aumenta la longitud del alambre, se espera que las frecuencias disminuyan. 2. Al ser la frecuencia natural el inverso del periodo natural, se esperará que lo
natural
y
el
periodo
para este caso, por lo que el efecto del peso no se ha considerado
hechos recalcables:
cable:
3. La frecuencia angular natural, la
concluido
en
el
punto
1
experimente un efecto inverso. Así, mientras más corto el alambre, mayor será el periodo natural, como bien se constata en la tabla presente. Podemos escribir entonces:
n ∝
dentro del presente análisis.
Gráficas en SIMULINK: el Diagrama de Bloques aparece e n los Anexos.
4. Para L = 0.600 m
5. Para L = 0.400 m
6. Para L = 0.200
Anexos
Anexo I: Tablas utilizadas para graficar en Excel
Tiempo (s) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5
Longitud = 0.600 m θ θ (radianes) (rad/s) 0.1745 0.1156 -0.0213 -0.1439 -0.1693 -0.0805 0.0627 0.1635 0.1540 0.0406 -0.1003 -0.1734 -0.1295 0.0018 0.1319 0.1730 0.0973 -0.0440 -0.1557 -0.1622 -0.0593 0.0837 0.1702 0.1418 0.0178 -0.1183
0.0000 -0.5534 -0.7333 -0.4182 0.1791 0.6555 0.6895 0.2582 -0.3474 -0.7186 -0.6047 -0.0827 0.4951 0.7388 0.4838 -0.0977 -0.6133 -0.7149 -0.3340 0.2723 0.6948 0.6484 0.1644 -0.4306 -0.7350 -0.5433
Ӫ (rad/s2) -3.1273 -2.0720 0.3818 2.5779 3.0341 1.4424 -1.1228 -2.9302 -2.7599 -0.7269 1.7967 3.1077 2.3212 -0.0320 -2.3635 -3.0999 -1.7440 0.7890 2.7894 2.9072 1.0628 -1.4989 -3.0490 -2.5412 -0.3183 2.1194
Tiempo (s)
Longitud = 0.400 m θ θ (radianes) (rad/s)
Ӫ (rad/s2)
0
0.1745
0.0000
-4.5860
0.2 0.4
0.0906 -0.0805
-0.7648 -0.7937
-2.3798 2.1161
0.6 0.8
-0.1742 -0.1002
-0.0590 0.7325
4.5760 2.6331
1 1.2 1.4
0.0701 0.1730 0.1094
0.8192 0.1177 -0.6970
-1.8432 -4.5461 -2.8750
1.6
-0.0595
-0.8411
1.5623
1.8 2 2.2
-0.1711 -0.1181 0.0485
-0.1760 0.6585 0.8594
4.4964 3.1044 -1.2745
2.4
0.1685
0.2334
-4.4272
2.6 2.8
0.1264 -0.0373
-0.6171 -0.8739
-3.3202 0.9812
3
-0.1651
-0.2899
4.3386
3.2 3.4 3.6
-0.1340 0.0260 0.1610
0.5731 0.8847 0.3451
3.5216 -0.6837 -4.2312
3.8 4
0.1411 -0.0146
-0.5265 -0.8915
-3.7077 0.3832
4.2 4.4
-0.1562 -0.1476
-0.3987 0.4777
4.1053 3.8776
4.6 4.8
0.0031 0.1508
0.8945 0.4507
-0.0810 -3.9616
5
0.1534
-0.4268
-4.0306
Tiempo (s)
Longitud = 0.200 m θ θ (radianes) (rad/s)
Ӫ (rad/s2)
0
0.1745
0.0000
-9.4852
0.2
0.0168
-1.2807
-0.9129
0.4
-0.1713
-0.2465
9.3095
0.6
-0.0498
1.2332
2.7050
0.8
0.1617
0.4839
-8.7888
1
0.0809
-1.1401
-4.3967
1.2
-0.1461
-0.7034
7.9425
1.4
-0.1090
1.0047
5.9256
1.6
0.1252
0.8968
-6.8018
1.8
0.1331
-0.8321
-7.2349
2
-0.0995
-1.0569
5.4091
2.2
-0.1523
0.6286
8.2762
2.4
0.0702
1.1779
-3.8160
2.6
0.1658
-0.4019
-9.0107
2.8
-0.0383
-1.2553
2.0815
3
-0.1732
0.1602
9.4114
3.2
0.0050
1.2861
-0.2699
3.4
0.1741
0.0873
-9.4633
3.6
0.0286
-1.2693
-1.5518
3.8
-0.1686
-0.3317
9.1646
4
-0.0610
1.2055
3.3159
4.2
0.1569
0.5637
-8.5263
4.4
0.0912
-1.0970
-4.9572
4.6
-0.1393
-0.7749
7.5721
4.8
-0.1180
0.9478
6.4148
5
0.1166
0.9573
-6.3373
Anexo II: Diagrama de bloques en Simulink
