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1. OBJETIVOS Verificación de la carga en función del campo eléctrico midiendo carga y campo eléctrico en un capacitor de placas planas y paralelas Determinación experimental de la permisividad del vacío con un error probable del 1%
2. FUNDAMENTO TEORICO 2.1 CAMPO ELECTRICO Un campo eléctrico en un punto del espacio puede ser definido en términos de la fuera eléctrica que actúa sobre una carga de prueba q o colocada en ese punto. Siendo mas preciso, el vector campo eléctrico E en un punto en el espacio está definido como la fuerza eléctrica F que actúa sobre una carga de prueba positiva colocada en ese punto y dividida por la magnitud de la carga de prueba q o.
= 1
2.2 CARGA ELÉCTRICA Es una cantidad escalar, fundamental y una propiedad de la materia, la que se adquiere por un proceso de cargar un cuerpo, y tiene las siguientes propiedades: 1. Existen dos clases de cargas en la naturaleza, con propiedad de que cargas diferentes se atraen y cargas iguales se repelen 2. La fuerza entre caras varia con el inverso del cuadrado de la distancia que las separa 3. La carga se conserva 4. La carga esta cuantizada
2.3 PERMITIVIDAD DEL VACÍO.; La permitividad es una constante fisica que describe cómo un campo eléctrico afecta y es afectado por un medio. La permitividad del vacío o 8,8541878176x10 12 F/m. La permitividad es determinada por la tendencia de un material a polarizarse ante la aplicación de un campo eléctrico y de esa forma cancelar parcialmente el campo dentro del material. Está directamente relacionada con la susceptibilidad eléctrica. La permitividad del vacío es el cociente de los campos D/E en ese medio. También aparece en la Ley de Coulomb como parte de la constante de fuerza de couloumb, que expresa la atracción entre dos cargas unitarias en el vacío.
ℇ
ℇ
ℇ = 1 =8.8541878176…∗10− [ ]
donde C es la velocidad de la luz, µo y es la permeabilidad magnetica del vacío. Estas tres constantes están totalmente definidas en unidades del SI.
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Figura 1
= 2 = 3 = 2 4 = 2 5 = 6 = ∗ 7 =∗∗ 8
Se tiene 2 placas conectadas, donde:
De las dos placas se tiene
Sumando las ecuaciones (4) y (5) Reemplazando (3) en (6) se tiene
Despejando Q de la ec (7)
Donde: E= Campo eléctrico entre las placas S= Área de las placas o= Permitividad del vacio Haciendo Y=Q y X=S*E, se tiene el modelo matematico
ℇ
= 9 COMPORTAMIENTO Q=Q(E)
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=8. 8 5∗10− [ ] Figura 2
3. HIPOTESIS EXPERIMENTAL HO
La variación del campo eléctrico en las placas planas y paralelas de un capacitor acciona también una variación de la carga eléctrica de tal manera que el comportamiento es en forma de una línea recta que pasa por el origen de coordenadas
4. INSTALACION DEL SISTEMA DE EXPERIMENTACION
Figura 3
5. PROCEDIMIENTO En el sistema de experimentación mostrado en la figura 2, lo primero que se hace es realizar las mediciones del diámetro de las placas paralelas, y la distancia de separación entre las placas; luego se debe medir un cierto voltaje, dejar que la carga se dirija mediante el amplificador hacia el capacitor de placas
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paralelas, luego recoger la carga del capacitor con la fuente de alimentación, registrar cuanto de carga se registra, repetir estos pasos para 12 pruebas más.
6. RESULTADOS 6.1 PRUEBA DEL MODELO MATEMATICO Para comprobar el modelo matemático teórico se reemplazan todos los datos medidos en el modelo dejando con solo las variables X e Y entonces se tiene:
=ℇ =8.8512
Superponiendo el modelo matemático teórico y los datos experimentales en forma de intervalos estimados se tiene la figura 3. 2.50E-08
Y[m
PRUEBA DELMODELO MATEMATICO CONTRA LOS DATOS EXPERIMENTALES (CONTRASTACION)
2.00E-08
1.50E-08
1.00E-08
5.00E-09
X=[t]
0.00E+00 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
Figura 4 El modelo matemático intercepta los intervalos estimados de manera que le grado de correspondencia entre este modelo y los datos experimentales son suficientemente buenos.
6.2 M ODELO MATEMÁTICO AJUSTADO A LOS DATOS EXPERIMENTALES El ajuste de una función a los datos experimentales es del tipo curvilíneo correspondiente a una función lineal del tipo Y=a+bX, además es capaz de predecir valores intermedios entre las medidas y mas allá de los medidos. Esta función ajustada es:
=5.627E10+ 8.51712
El ajuste de esta función se muestra en la figura 4
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2.50E-08
Y[C
2.00E-08
”
AJUSTE DEL MODELO A LOS DATOS EXPERIMENTALES
1.50E-08
1.00E-08
5.00E-09
X=[N*m 2/ 0.00E+00 0.00E+00
5.00E+02
1.00E+03
1.50E+03
2.00E+03
2.50E+03
3.00E+03
Figura 5 Este modelo representa de buena forma a las propiedades del sistema de experimentación para el caso. Error relativo porcentual El error relativo porcentual respecto al valor verdadero b=8.85E-12 para la pendiente
8 5 E12 =∗100=8.517128. 8.85 E12 ∗100=3.76%
El valor teórico de la permitividad del vacío está incluido en el intervalo de confianza de la pendiente experimentalmente.
Figura 6
6.4 M ODELO MATEMATICO Y SU COMPORTAMIENTO Las pruebas estadísticas muestran que hay suficientes evidencias a favor de la hipótesis (Ho) tanto para el intercepto como para la pendiente. En el caso del intercepto, ( ) está incluido en el intervalo del intercepto calculado que es ( ), y se puede asumir como intercepto el valor de 0. La pendiente de la recta (8.85E-12) está en el intervalo de confianza calculada para la pendiente de la recta estimada ( ), por tanto se asume el valor de 8.85E-12 como pendiente, quedando comprobado el modelo como:
0 5.627E10±8.76310
8.51712±0.57012 =8. 8 5E12X
El comportamiento del modelo es el que se muestra en la figura 7
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2.50E-08
Y[C
COMPORTAMIENTO DEL MODELO MATEMATICO
2.00E-08
1.50E-08
1.00E-08
5.00E-09
X[N*m 2/ 0.00E+00 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
Figura 7
8. ASERCION DE CONOCIMIENTO La carga eléctrica respecto al campo eléctrico, aplicada a unas placas paralelas con una determinada area, se comprueba que la carga eléctrica es directamente proporcional al campo eléctrico multiplicado por el area de las placas que la generan, siendo el área constante, se puede decir que la carga eléctrica es directamente proporcional al campo eléctrico, confirmando que la ecuación que describe es la de una recta con una pendiente, que es la permitividad del vacio. Causa: Campo eléctrico Efecto: Carga proporcional al campo eléctrico
BIBLIOGRAFIA Serway-Beichener, FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERIA (TOMO II) Tripler, FISICA, VOLUMEN II H.Leyva N. Electrostatica y magnetismo, Tercera edicion Jaime Burgos Manrique (2001), FISICA EXPERIMENTAL III Gil- Rodriguez, FISICA RECREATIVA Jaime Burgos Manrique, PROGRAMA FISLAB vs 4. Jaime Burgos Manrique, (2009) INTRODUCCION A LA FISICA EXPERIMENTAL Wapedia, Permitividad, wapedia.mobi.es\permitividad
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APENDICE A. REGISTRO DE DATOS EXPERIMENTALES± Tabla No 1 CLASE
INSTRUMENTO
Voltimetro Amplificador lineal de carga Errores absolutos Voltimetro Limites de medida
1,5 1,5
ES MAX
ERROR ABS
100 [V] 3E-08 [C]
1,5 4,5E-10
= 100% = 1.5100∗100 =1,5 =∗10=1,5∗10=15 = 100% = 1.5∗3100 8 =4,510 =∗10=4,510∗10=4,59
Amplificador lineal de carga
Limites de medida
Tabla No 2
MAGNITUD
MEDIDA
Diametro D
25,5±0,1 [cm]
Distancia de separacion d
2,0±0,1 [mm]
Tabla No 3
No
V±δV [V]
Q±δQ [C]
1
20±1,5 4,30E-09±0,45E-09
2
25±1,5 6,30E-09±0,45E-09
3
30±1,5 7,30E-09±0,45E-09
4
35±1,5 8,30E-09±0,45E-09
5
40±1,5 9,60E-09±0,45E-09
6
50±1,5 1,16E-08±0,45E-09
7
55±1,5 1,21E-08±0,45E-09
8
60±1,5 1,30E-08±0,45E-09
9
70±1,5 1,63E-08±0,45E-09
10
80±1,5 1,83E-08±0,45E-09
11
90±1,5 2,01E-08±0,45E-09
12
100±1,5 2,21E-08±0,45E-09
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B. PROCESAMIENTO DE DATOS B.1. DETERMINACION DEL CAMPO ELECTRICO
El área de la placa plana
Error del área de la placa
Entonces
=ℇ 8 = d 2 4 = = 4 0.255 =0.0511 π2 = = π2 ∗0.255∗0.001=0.0004 =0.0511±0.0004 = = ( ) +( )
Para el calculo del campo eléctrico
Calculo de la propagación del error
Tabla No. 4.
No
E [N/C]
Q±δQ [C]
1 10000±0901 4,30E-09±0,45E-09 2 12500±0976 6,30E-09±0,45E-09 3 15000±1061 7,30E-09±0,45E-09 4 17500±1152 8,30E-09±0,45E-09 5 20000±1250 9,60E-09±0,45E-09 6 25000±1458 1,16E-08±0,45E-09 7 27500±1566 1,21E-08±0,45E-09 8 30000±1677 1,30E-08±0,45E-09 9 35000±1904 1,63E-08±0,45E-09 10 40000±2136 1,83E-08±0,45E-09 11 45000±2372 2,01E-08±0,45E-09 12 50000±2610 2,21E-08±0,45E-09
Considerando:
Parametros
Se tiene
== =∗ =ℇ =8.=08 5∗10− =+ =+ M. A. JORGE M.
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Tabla 3
No
X=s*e
Y=Q
X^2
Y^2
XY
1
5,11E+02
4,30E-09
2,61E+05
1,85E-17
2,20E-06
2
6,39E+02
6,30E-09
4,08E+05
3,97E-17
4,02E-06
3
7,67E+02
7,30E-09
5,88E+05
5,33E-17
5,60E-06
4
8,94E+02
8,30E-09
8,00E+05
6,89E-17
7,42E-06
5
1,02E+03
9,60E-09
1,04E+06
9,22E-17
9,81E-06
6
1,28E+03
1,16E-08
1,63E+06
1,35E-16
1,48E-05
7
1,41E+03
1,21E-08
1,97E+06
1,46E-16
1,70E-05
8
1,53E+03
1,30E-08
2,35E+06
1,69E-16
1,99E-05
9
1,79E+03
1,63E-08
3,20E+06
2,66E-16
2,92E-05
10
2,04E+03
1,83E-08
4,18E+06
3,35E-16
3,74E-05
11
2,30E+03
2,01E-08
5,29E+06
4,04E-16
4,62E-05
12
2,56E+03
2,21E-08
6,53E+06
4,88E-16
5,65E-05
1,67E+04
1,49E-07
2,83E+07
2,22E-15
2,50E-04
∑ = ∑ ∑∑ ∑ 1, 6 7E+04 1, 4 9E07 = 122,5120E04 2,8=8. 3E+07 1, 6 7E+04 5 1712 ∑∑ = 8. 4 312 1, 4 9E07 1, 6 7E+04 = =5. 6 27E10 12 =5.627E10+ 8.51712
La ecuacion de ajuste es
Linea recta sobre los datos transformados
Ln
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2.50E-08 Y=[C]
2.00E-08
LINEA RECTA AJUSTADA LOS DATOS EXPERIMENTALES TRANSFORMADOS
1.50E-08
1.00E-08
5.00E-09
X=[N*m 2/C 0.00E+00 0.00E+00 5.00E+02 1.00E+03 1.50E+03 2.00E+03 2.50E+03 3.00E+03
Modelo matemático ajustado a los datos experimentales Coeficiente de confianza o valor critico t α/2 Tabla No. 5 V=n-2 10 0.005
α/2
t / =3.249
De tablas
α
Desviación estándar de la función estimada Tabla No. 6
No
Σ
X=s*e
Y=Q
y=a+bx
(y-y)^2
1
5,11E+02
4,30E-09
4,91E-09
3,78E-19
2
6,39E+02
6,30E-09
6,00E-09
8,82E-20
3
7,67E+02
7,30E-09
7,09E-09
4,37E-20
4
8,94E+02
8,30E-09
8,18E-09
1,46E-20
5
1,02E+03
9,60E-09
9,27E-09
1,11E-19
6
1,28E+03
1,16E-08
1,14E-08
2,46E-20
7
1,41E+03
1,21E-08
1,25E-08
1,86E-19
8
1,53E+03
1,30E-08
1,36E-08
3,83E-19
9
1,79E+03
1,63E-08
1,58E-08
2,55E-19
10
2,04E+03
1,83E-08
1,80E-08
1,08E-19
11
2,30E+03
2,01E-08
2,01E-08
2,26E-21
12
2,56E+03
2,21E-08
2,23E-08
5,00E-20
1,67E+04
1,49E-07
1,49E-07
1,64E-18
= ∑ 2 M. A. JORGE M.
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4E18 =4.05010 = 1,6122 1 = = 2,83E+07 121 1,67E+04 =5059166,667 4.05010 =1.80013 = √ = √5059166, 6 67 2,83E+07667 =2.76510 = ∑ =4.05010 12∗5059166, = =3. 1 693∗1. 8 0013=5. 7 0513 / =/ =3.1693∗2.76510=8.76310 =±=8. 5 1712±0. 5 7012 =±=5. 6 27E10±8. 7 6310 =ℇ =ℇ ℇℇ==0. ==8. 551712 70512 ℇ =ℇ ±ℇ ℇ =8.517±0.57012 :≠0 :=0 5, 6 27E10 0 = = =2.035 2. 7 6510 3.1693<2.035<3.1693
Desviación estándar del intercepto y de la pendiente
Incertidumbre estadística de la pendiente b y del intercepto a
Intervalos de confianza de αyβ
De
la ecuación se deduce que
El valor de la permitivida probable Entonces:
El calculado es a=5,627E-10 como estimador de α=0
Para la hipótesis Ho:
El resultado es que , el valor calculado está en la region de aceptación de la Ho, en consecuencia el valor estimado es suficientemente bueno y puede ser sustituido por 0 con una probabilidad de cometer un error no mas allá del 1% o con una seguridad cercana al 99%.. Prueba de hipótesis para la pendiente β El valor del exponente calculado es b= como estimador de β=8.85 E-12
8. 5 1712 :: ≠8. =8.8855 E12 E12 8. 5 17128. 8 5 E12 = = =1.85 1.3.810013 693<1.8.581712 5<3.1693 =| |=|8.517128.85 E12|=3.3313
Este valor esta ubicado en la región de aceptación de la hipótesis Ho, por tanto el valor calculado de puede ser sustituido por 8.85 E-12 con una confianza del 99%. Además esto afirma la veracidad del modelo matemático teórico. Errores
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8 5 E12 ==8.517128. 8.85 E12 =0.0376=3.76%
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