JOÃO BATISTA DE AZEVEDO DUTRA –
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CARGA DO CAPACITOR: Circuito RC Este trabalho descreve o comportamento do circuito RC série, com o capacitor inicialmente sem carga. A solução adotada, adotada, utiliza o método clássico de análise de circuitos por meio de equações diferenciais. Este processo envolve uma série de conceitos implícitos na utilização da Transformada de Laplace. O exemplo com os parâmetros v(t), R e C definidos é resolvido com o auxilio do programa computacional MATLAB.
Figura 1: Circuito RC série Onde: v(t) = V.U -1(t) e C sem carga
1) TENSÃO E CORRENTE NO CAPACITOR. ESTADO PERMANENTE ( t → ∞ ): O capacitor totalmente carregado, comporta-se como um circuito aberto, portanto, no estado permanente i p (t) = 0 e vc (t ) = V
EQUAÇÃO DIFERENCIAL: R i +
1 C
∫ i dt = V
RESPOSTA TRANSITÓRIA: v(t)=0 e temos a equação diferencial homogênea Equação característica: r +
1 RC
= 0 , cuja raiz é r = −
1 RC
Logo a solução da equação homogênea será ih (t ) = K .e
−
di dt
+
1 RC
i=0
( raiz real ) 1
RC
t
RESPOSTA COMPLETA: i(t) = ip(t) + ih(t) , portanto i(t) = 0 + i h(t) Condições iniciais: No instante em que a chave fecha o circuito (t=0), o capacitor sem gaga equivale a um curtocircuito, resultando i (0) =
logo
V R
= k .e , k = 0
V R
V R
e vc (0) = 0
e a solução completa será
i(t ) =
V R
−
.e
1 RC
t
(1) ( t≥0)
TENSÃO NO CAPACITOR: V = Ri(t) + vc(t) então, v c ( t ) = V (1 − .e
−
1 RC
t
) (2) ( t≥0)
2) CONSTANTE DE TEMPO: −1
Para t = RC → vc (t ) = V (1 − .e ) onde e = 2,718 , portanto vc(t) = 0,632 V O termo RC é chamado constante de tempo . É o tempo para o capacitor armazenar 63,2% da tensão V. Após o tempo tempo 5RC, podemos podemos considerar considerar o capacitor capacitor com a tensão tensão armazenada armazenada totalmente. totalmente.
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3) ENERGIA ARMAZENADA NO CAPACITOR. A energia fornecida ao capacitor, num intervalo de tempo, pode tem a seguinte expressão: t 2
∫
W c (t ) = pc (t ) dt ( Joule), onde Pc(t) = i(t). vc(t) t 1
Logo , para o exemplo com as expressões (1) e (2), onde a carga do capacitor inicia em t=0, a energia armazenada será: t
W c (t ) =
V
∫ R
t
−
e
RC
dt .V (1 − e
−
t
RC
0
1
V C (1 − 2e 2 2
−
t
RC
+e
2 t RC
−
1
) dt =
V
2
R
RC (
) = C [V (1 − e 2
−
1 2
2 t RC
−
e
−e
−
t
RC
1
) ] = V C ( e 2 t 0
2
2 t RC
−
−e
−
t
RC
1
− + 1) = 2
t
RC
)]2
Então, concluímos que a energia armazenada no capacitor, em um intervalo de tempo t=0 até t : W C (t ) =
1 2
2
C vC (t ) (Joule) (3)
1 Sendo que, a energia máxima armazenada para t →∞ será W C = C V 2 2
4) EXEMPLO:
Na figura 1, v (t) = 100 U-1(t) , R = 10 Ώ e C = 1,0 μF. Determine a corrente i(t), a tensão Vc(t) e a energia armazenada Wc(t) no capacitor, inicialmente descarregado, após o fechamento da chave:
Solução utilizando o programa de linguagem computacional MATLAB
1 f o 1
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m . e i r e s _ c r _ o t i u c r i c \ e i r e s _ c r _ o t i u c r i c \ o c i m e d a c a \ s o t n e m u c o d s u e M \ o i r á u s U \ s g n i t t e S d n a s t n e m u c o D \ : C 3 1 : 0 2 1 1 / 3 0 / 4 1
; ) '
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C R - 0 . - 5 C R - 5 . - 4 - ; ) ' - t - e C - n R - . - 0 - t . i - 4 k - . - a - c i - t C - e R - g - 5 - r . - e - 3 - n - e - a i - c - n C - e ; R i ) - 0 - c ' . i F - 3 f u - e b 0 - e , - w 1 C - . = R - w C - 5 - w . - w - 2 - e - r b ) - . C s C - m R m R - o h - 0 - c s o . - . e - 2 s - o t 0 o - o - : n 1 d h - E a = n - a - I t R u - y - R s ) g @ É n t C e - o - S o ( R s - a c c , - 5 - o - C v ) . m j R 5 t - 1 e - g R ) ( r ( - n O O s o 1 o - e T T o C t - p I I d R i U m ; ; - D U n l c . C e ) ) ; E C u e a a 0 - C R t I c ) - A R g t i p 0 - R 0 ( V c - R B I e n c ) a 1 . % ( W - T A C ) s a n t c = - e 1 ; p p ( - U L t ( t e ( ) - t ) s s p - D T M ( s n i o t - n t i i s A U 1 o n o n ( - a ( d d i - O M p o p e v - t ; d - D E u m c x t o ; - s p ) ; - E - D 0 e E n ã 2 - n C s ' ) ; - V 0 ) t m % e s ^ : - o R i : ) ' ) - E - E 1 s ) e ; r n ) E - c 5 d ) t ' - Z - T m F e ) r e ) I . t ( : : - A - N : h u d o ) o T j R - a 0 ; ( c ) ) - E O ) o ( p C C % ( É d ) i v t t - E - R T s ( e m R % ; c S ' ( ( - D - R I t a t e / ; ) V - s : ) r c c - O U l a i n T ) ) ) ( ; C - o C A o V W - A - C C o i c a % j j j * 5 R l R t ( t - T R V c n t ; ( ( ( C . - p 0 i ) ) - S I ( n â s C t e e * 0 O i . ) A E c V J - I C ê t n R ( * ) T - t 0 s T a ( ( - T o t i o * ) 1 2 + I l ( ) N p A - A O ã s c c ) ( R ( / ) U - u = t E a O I - B D s i a % j p / * 1 j C - m ) O ( R c à G ; n s p ; ; ( x V V ( ( R C P i R S R - O ) S e e a 1 C 0 k e ( = = ; k I - m R M O o N E à ; c l I t r c 1 * = = = = ) ) 1 = C - e ( E e C n E N - O ) V l E % % % : R ) ) ) ) j j + ) t T t T E - J I , - a V ; ; ; 1 = 1 j j j ( ( j i ' ' o ' ' n ' o ' ' ' ' , t A 0 0 6 = C ( ( ( ( c c = ( ( ( p ( ( e ( ã ( ( ( ( t ( - r I 0 1 j R k t e I V W i k m r s ( t - a R 1 e p p e p p r p n p p p p t o - e A = 1 r d s s t s s o s e s s s s o l l V = = o n i i i i c i t i i i i l p % % % % c % V R C f e d d % d d % d % d d d d p %
1 f o 1
w o d n i W d n a m m o C B A L T A M
0 1 : 0 2 1 1 / 3 0 / 4 1
- C - R 0 - . 5 - C - R 5 - . 4 - C - R 0 - . 4 - C - R 5 - . 3 - C - R 0 - . F 3 u 0 , 1 - C = - R C 5 - . 2 e s - C m - R h 0 o - . 2 0 1 = R - C - R , 5 ) - . t 1 ( 1 - U . - C 0 - R 0 0 1 - . = 1 ) t ( v - C : - R E 5 I - . R 0 É S : C - C * R - R t 0 4 O - . ) 0 T 0 s 0 I - ( U - = e C ) O 0 R - C P . I - R M 1 C ( E t T
0 0 0 5 . 0
4 7 6 0 . 0
2 6 2 3 . 9 9
9 4 0 0 . 0
0 0 5 4 . 0
1 1 1 1 . 0
1 9 8 8 . 8 9
9 4 0 0 . 0
0 0 0 4 . 0
2 3 8 1 . 0
4 8 6 1 . 8 9
8 4 0 0 . 0
0 0 5 3 . 0
0 2 0 3 . 0
3 0 8 9 . 6 9
7 4 0 0 . 0
0 0 0 3 . 0
9 7 9 4 . 0
3 1 2 0 . 5 9
5 4 0 0 . 0
0 0 5 2 . 0
8 0 2 8 . 0
5 1 9 7 . 1 9
2 4 0 0 . 0
0 0 0 2 . 0
4 3 5 3 . 1
5 6 6 4 . 6 8
7 3 0 0 . 0
0 0 5 1 . 0
3 1 3 2 . 2
0 7 8 6 . 7 7
0 3 0 0 . 0
0 0 0 1 . 0
8 8 7 6 . 3
1 2 1 2 . 3 6
0 2 0 0 . 0
0 0 5 0 . 0
3 : 5 ) 6 t 0 ( . i 6
9 6 4 : 3 ) . t 9 ( 3 c V
8 0 0 : 0 ) . t 0 ( c W
) 0 V (
) 0 J ( A I G R E N E
0
) A ( 0 E 0 T 0 N 0 E . R 0 R 1 O C
O Ã S N E T
- t - e - n - . - t i k - . - a - c i - t - e - g - r - e - n - e - a i - c - n - e i - c i f - e b - e - w - . - w - w - w - - r b - . - m - o - c - . - o - o h - a - y @ - o - a - o j - g - n - e - - A - R - T - U - D - O - D - E - V - E - Z - A - E - D - A - T - S - I - T - A - B - O Ã - O > - J >
CIRCUITO RC SÉRIE : v(t) = 100U- 1(t) , R = 100 Ώ e C= 1,0 μF
i (t )
V =
R
1
.e
−
1
vc (t )
=
V (1
−
.e
t
RC
−
RC
t
)
W C (t )
=
1 2 C v (t ) 2 C