ADMINISTRACIÓN INDUSTRIAL INDUSTRIAL II
Laboratorio 3 PROGRAMACIÓN PROGRAMACIÓN LINEAL METODO SIMPLEX SOLVER ANALISIS DE SENSIBILIDAD CON LINDO “
”
PROGRAMA DE FORMACIÓN REGULAR
Administración Industrial II
TECSUP
SOLUCIONES ANALITICAS DE UN PL
“
”
I. OBJETIVOS: 1. Utilizar el Método Simplex para solucionar analíticamente un modelo de programación Lineal de n variable. 2. Utilizar el software EXCEL SOLVER para la optimización de la función objetivo sujeta a sus respectivas restricciones. 3. Realización una análisis de sensibilidad utilizando Lindo e interpretar los resultados globales para la toma de decisiones en una actividad productiva. II. INTRODUCCIÓN TEÓRICA: Simplex, es método analítico para la solución de un modelo de Programación Lineal, este método consiste en mejorar la solución de un tablero a otros, de allí que decimos que es un método iterativo. Esta mejora se refiere a que tomamos un punto del poliedro y pasamos a uno mejor. Básica
Z
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
S4
S5
Solución
Z
1
-3
-1
-3
-2
0
0
0
0
0
0
S1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
5
S2
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
12
S3
0
0
0
5
-1
0
0
1
0
0
25
S4
0
0
3
1
0
0
0
0
1
0
10
S5
0
0
0
-4
4
0
0
0
0
1
5
Una de las grandes fortalezas de una hoja de cálculo es la facilidad con la que se puede usar en forma interactiva para realizar varios tipos de análisis de sensibilidad. Una vez que el Solver se ha preparado para obtener una solución óptima, el usuario puede encontrar de inmediato lo que sucedería si uno de los parámetros del modelo fuera cambiado a algún otro valor. Todo lo que se debe hacer es incorporar este cambio en la hoja de cálculo y después dar clic de nuevo sobre el botón de resolver.
X1
X2
X3
X4
Utilidad
5
2
1
4
Rest 1
1
2
3
4
50
Rest 2
0
1
-1
1
Rest 3
0
0
5
Rest 4
0
3
Rest 5
0
X1
Usadas
Unidades Producidos:
50
Disponible <=
50
0
<=
25
-1
0
<=
25
-1
0
0
<=
30
0
-4
4
0
<=
5
X2
X3
X4
0
0
Ganancia Total 0
PROGRAMA DE FORMACIÓN REGULAR
250,00
20
TECSUP
Administración Industrial II
Lindo es un programa desarrollado por la compañía lindo inc., permite encontrar la solución a un médelo de programación lineal de una manera fácil y amigable con el usuario, además permite análisis los datos.
III. EQUIPOS Y MATERIALES:
Software de simulación EXCEL SOLVER Computadora. Guía de laboratorio.
IV. PROCEDIMIENTO: 4.1 Ejemplo Aplicativo utilización deL MÉTODO SIMPLEX En el siguiente Modelo, utilizar simplex para encontrar el resultado. Max z = 3x1 + x2 + 3x3 + 2x4 s.a. x1 <= 5 x1 + x2 + x3 + x4 <= 12 5x3 - x4 <= 25 3x2 + x3 <= 10 -4x3 + 4x4 <= 5 x1, x2, x3, x4 >=0 Nota: El método aplicado del Simplex, solo son para modelos de Maximización y de restricciones <=.
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Paso 1: Cambiar el modelo a su forma estándar, convirtiendo las desigualdades en igualdades y adicionando una variable de holgura (Sn) en cada restricción Max z - 3x1 - x2 - 3x3 - 2x4 = 0 s.a. x1 + s1 = 5 x1 + x2 + x3 + x4 + s2 = 12 5x3 - x4 + s3 = 25 3x2 + x3 + s4 = 10 -4x3 + 4x4 + s5 = 5 x1, x2, x3, x4 >=0
Paso 2: Preparar el tablero inicial, a partir del modelo estandarizado. Básica
Z
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
S4
S5
Solución
Z
1
-3
-1
-3
-2
0
0
0
0
0
0
S1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
5
S2
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
12
S3
0
0
0
5
-1
0
0
1
0
0
25
S4
0
0
3
1
0
0
0
0
1
0
10
S5
0
0
0
-4
4
0
0
0
0
1
5
Paso 3: Elegir la columna de la variable con el coeficiente más negativo, la cual se llamara columna Pivot. Básica
Z
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
S4
S5
Solución
Z
1
-3
-1
-3
-2
0
0
0
0
0
0
S1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
5
S2
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
12
S3
0
0
0
5
-1
0
0
1
0
0
25
S4
0
0
3
1
0
0
0
0
1
0
10
S5
0
0
0
-4
4
0
0
0
0
1
5
Paso 4: Para elegir la fila Pivot, se divide la columna solución por cada uno de los coeficientes de la columna Pivot, se descartan los resultados infinitos y negativos, eligiéndose el menos positivo, como fila Pivot, ella indica que variable ingresa a la columna Básica. El elemento que se intercepta entre la fila y columna Pivot, se llama el Pivot. Básica Z S1 S2 S3 S4 S5
Z 1 0 0 0 0 0
X1 -3 1 1 0 0 0
X2 -1 0 1 0 3 0
X3 -3 0 1 5 1 -4
X4 -2 0 1 -1 0 4
S1 0 1 0 0 0 0
S2 0 0 1 0 0 0
S3 0 0 0 1 0 0
PROGRAMA DE FORMACIÓN REGULAR
S4 0 0 0 0 1 0
S5 0 0 0 0 0 1
Solución 0 5 12 25 10 5
#¡DIV/0! 12 5
10 -1,25
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TECSUP
Administración Industrial II
Paso 5: Se realiza la primera iteración, el nuevo tablero, contendrá el resultado de la columna Pivot, esta es dividida cada uno de sus elementos entre el Pivot. PRIMERA ITERACION
Básica
Z
Z
1
S1
0
S2 X3
0 0
S4 S5
0 0
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
S4
S5
Solución
0
0
1
-0,2
0
0
0,2
0
0
5
Paso 6: La columna Pivot en el nuevo tablero, se llena de ceros a excepción de la ubicación de Pivot. PRIMERA ITERACION
Básica
Z
X1
X2
X3
Z
1
0
S1
0
0
S2
0
0
X3
0
S4 S5
0 0
0
0
1
X4
S1
S2
S3
S4
S5
Solución
-0,2
0
0
0,2
0
0
5
0 0
Paso 7: Los demás resultados se obtienen de la siguiente manera: Nuevo renglón = (Renglón actual) – (Su coeficiente de la columna pivote) * (Nuevo reglón pivote). Básica
Z
X1
X2
X3
X4
Z
1
-3
-1
-3
-2
S1
0
1
0
0
0
S2
0
1
1
1
1
S3
0
0
0
5
-1
S4
0
0
3
1
0
S5
0
0
0
-4
4
-3 – (-3)*(0) = -3
PRIMERA ITERACION
Básica
Z
X1
X2
X3
Z
1
0
S1
0
0
S2
0
X3
0
S4
0
0
S5
0
0
X4
S1
S2
S3
S4
S5
Solución
-0.2
0
0
0.2
0
0
5
0
0
0
1
Paso 8: Una vez encontrados todos los resultados de los demás elementos, evaluamos si los coeficientes de las variables se volvieron cero (0) o positivos, hemos llegado al final de las iteraciones.
PROGRAMA DE FORMACIÓN REGULAR
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TECSUP
PRIMERA ITERACION
Básica
Z
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
S4
S5
Solución
Z
1
-3
-1
0
-2.6
0
0
0.6
0
0
15
S1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
5
S2
0
1
1
0
1.2
0
1
-0.2
0
0
7
X3
0
0
0
1
-0.2
0
0
0.2
0
0
5
S4
0
0
3
0
0.2
0
0
-0.2
1
0
5
S5
0
0
0
0
3.2
0
0
0.8
0
1
25
Se puede notar, que los coeficientes para las variables x1, x2 y x4 son negativas, eso indica que no estamos en la solución. Se realiza otra iteración.
Paso 9: Una vez que todos los coeficientes de las variables son 0 o positivos, estamos ante el tablero óptimo. Y las soluciones son las siguientes. Básica
Z
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
S4
S5
Solución
Z
1
0
1.17
0.00
0.00
0.83
2.17
0.17
0.00
0.00
X1
0
1
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
5.00
X4
0
0
0.83
0.00
1.00
-0.83
0.83
-0.17
0.00
0.00
1.67
X3
0
0
0.17
1.00
0.00
-0.17
0.17
0.17
0.00
0.00
5.33
S4
0
0
2.83
0.00
0.00
0.17
-0.17
-0.17
1.00
0.00
4.67
S5
0
0
-2.67
0.00
0.00
2.67
-2.67
1.33
0.00
1.00
19.67
34.33
La solución: X1 = 5.00 X2 = 0 X3 = 5.33 X4 = 1.67 Función Objetivo: Z = 34.33
4.2 Ejemplo Aplicativo utilización de SOLVER de EXCEL Para ejemplificar respecto al uso de Solver utilizaremos el siguiente modelo de Programación Lineal:
PROGRAMA DE FORMACIÓN REGULAR
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Paso 1: Abrir una planilla de cálculo de Excel y definir las variables de decisión y la función objetivo. En este ejemplo se han marcado con amarillo y verde las variables de decisión y función objetivo respectivamente sólo para facilitar la comprensión. Es importante notar que la función objetivo (celda F4) será siempre una fórmula que depende de los parámetros de la función objetivo (celdas B5, C5, D5) y las variables de decisión (B4, C4, D4)
Paso 2: Se definen las restricciones del modelo. La columna en amarillo bajo el titulo "Laso Izq" es una fórmula de los parámetros y las variables de decisión en las respectivas restricciones. Por ejemplo, la fórmula incorporada en E9 es simplemente: 15X + 7,5Y + 5Z. La celda F9 es el lado derecho de dicha restricción y corresponde a una constante (315).
Paso 3: Ingresamos a la Opción Solver (Ver Instalacion Solver de Excel ). Luego definimos la celda objetivo (función objetivo), el valor que buscamos (máximización o minimización), las celdas que deseamos cambiar (variables de decisión) y las restricciones. Para nuestro ejemplo está será la pantalla que se debe obtener:
PROGRAMA DE FORMACIÓN REGULAR
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Paso 4: Accedemos a "Opciones..." y seleccionamos "Adoptar modelo lineal"y "Adoptar no negativos". Finalmente seleccionamos "Aceptar" y luego "Resolver".
Paso 5: Si el proceso se ha desarrollado en forma correcta la planilla de cálculo se actualizará y se obtendrán los siguientes resultados. Solución Óptima: X=4, Y=10, Z=36. Valor Óptimo: V(P)=6.620.
PROGRAMA DE FORMACIÓN REGULAR
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V. DESARROLLO ACTIVIDAD PRÁCTICA: 1. Para los siguientes problemas realizar una Formulación de Programación Lineal, encontrar los resultados utilizando Solver y Lindo: a. La Empresa Elit elabora yogurt y jugos a base de mango y durazno, esta empresa compra su materia prima al precio de $0,50 por kilogramo de mango y $0,30 por kilogramo de durazno, las cantidades máximas que puede comprar es de 1600 kilogramos de mango y 2100 kilogramos de durazno. El mercado de venta de yogurt es de 9000 botellas como máximo y para jugo no hay límite, el precio de venta del yogurt y de jugo es de $5 y $3 por cada botella respectivamente; estos datos y otros se dan en la siguiente tabla: Mango Durazno Venta P.Venta
Yogurt 2 kg/botella 3 kg/botella <=9000 botellas $5/botella
Jugos 3 kg/botella 1 kg/botella
Dispon. 1600 kg 2100 kg
Costo $0.50/kg $0.30/kg
$3/botella
Elabore un PL para la empresa Elit. b.
La empresa Backus dentro de su línea de fabricación produce las cervezas Cristal y Pilsen Callao. La cristal se vende a 5 dólares el barril y la Pilsen Callao a 2 dólares el barril. La producción de un barril de cristal requiere 5 libras de maíz y 2 libras de lúpulo. Para elaborar un barril de Pilsen Callao se necesitan 2 libras de PROGRAMA DE FORMACIÓN REGULAR
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maíz y 1 libra de lúpulo. Se dispone de 60 libras de maíz y 25 libras de lúpulo. Plantee un PL que se pueda utilizar para maximizar los ingresos. c. Siderperú produce 2 tipos de acero en tres acereras distintas. Cada acerera tiene disponible en un mes dado 200 Hr de tiempo de alto horno. Debido a las diferencias en los hornos de cada acerera, el tiempo y el costo por producir una tonelada de acero son distintos en cada una de ellas. El tiempo y el costo en cada acerera se proporcionan en la siguiente tabla. Cada mes, Siderperú debe producir por lo menos 500 ton de acero 1 y 600 Ton de acero 2. Plantee un PL para minimizar el costo de producir el acero deseado. PRODUCCIÓN DE ACERO EN TONS.
ACERO 1 ACERO
ACERO 2
COSTO
TIEMPO
COSTO
TIEMPO
($)
(Min)
($)
(Min)
1
10
20
11
22
2
12
24
9
18
3
14
28
10
30
d. La línea Unique fabrica el perfume OHM, el cual requiere productos químicos y mano de obra. Hay 2 procesos de producción: En el proceso 1 se transforma 1 unidad de mano de obra y 2 unidades de productos químicos en 3 onzas de dicho perfume. En el proceso 2 se transforma 2 unidades de mano de obra y 3 unidades de productos químicos en 5 onzas de perfume. Unique gasta 3 dólares al comprar 1 unidad de mano de obra y 2 dólares por unidad de productos químicos. Se puede comprar cada año hasta 2000 unidades de mano de obra y 35000 unidades de productos químicos. Como no hay publicidad Unique opina que puede vender 1000 onzas de perfume. Para estimular la demanda de OHM, Unique desea contratar a la bella modelo Viviana Rivasplata. Viviana cobra 100 dólares la hora. Se estima que por cada hora que Viviana trabaja para la compañía la demanda de perfume se incrementa en 200 onzas. Cada onza del perfume OHM se vende en 5 dólares. Utilice la PL para determinar como Unique puede maximizar su utilidad. e. La empresa Trupal produce 2 tipos de papeles corrugar y extensible. La materia prima necesaria para elaborar cada tipo de papel se compra a 3 dólares la libra. Para procesar 1 libra de materia prima, se necesita 1 Hr de tiempo de laboratorio. Cada libra de materia prima procesada produce 3 metros de papel corrugar y 4 metros de papel extensible. El papel corrugar se vende a 7 dólares el metro y el extensible a 6 dólares el metro. Trupal tiene también la opción de procesar aun más papel corrugar y papel extensible para obtener papel blanco corrugar que se vende a 18 dólares el metro, y papel blanco extensible que se vende a 14 dólares el metro. Cada metro de papel corrugar que se somete a otro proceso se requiere 3 Hr adicionales de laboratorio, el costo de proceso es de 4 dólares y rinde 1 metro de papel blanco corrugar. Cada metro de papel extensible que se somete a otro proceso requiere 2 Hr adicionales de laboratorio, PROGRAMA DE FORMACIÓN REGULAR
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el costo del proceso es de 4 dólares y rinde metro de papel blanco extensible. Trupal tiene al año 6000 Hr de tiempo de laboratorio disponible, y puede comprar hasta 4000 lb de materia prima. Plantear un PL que se pueda aplicar para determinar como trupal puede maximizar sus utilidades. Suponga que el costo de las horas de laboratorio es un costo fijo. 2. Para los siguientes problemas realizar una Formulación de Programación Lineal, encontrar los resultados utilizando el método Simplex: f.
Weenies and Buns es una planta procesadora de alimentos que fabrica hot dogs y pan para hot dogs. Muelen su propia harina a una tasa máxima de 200 libras por semana. Cada pan requiere 0.1 libras. Tienen un contrato con Pigland, Inc., que especifica la entrega de 800 libras de productos de puerco cada lunes. Cada hot dog requiere 1/4 de libra de producto de puerco. Se cuenta con suficiente cantidad del resto de los ingredientes de ambos productos. Por último, la mano de obra consiste en 5 empleados de tiempo completo (40 horas por semana). Cada hot dog requiere 3 minutos de trabajo y cada pan 2 minutos de este insumo. Cada hot dog proporciona una ganancia de $0.80 y cada pan $0.30. Weenies and Buns desea saber cuántos hot dogs y cuántos panes debe producir cada semana para lograr la ganancia más alta posible.
g. La empresa “Mirasol” envasa tres tipos de café molido, en bolsas de 500 gr. Café Expreso, café clasic y café Premiúm, a partir de dos variedades: Coffea arábica y Coffea canephora. El café clasic contiene 40% de Coffea arábica y 60% unidades de Coffea canephora; el café Premiúm contiene 50% de Coffea arábica y 50% de Coffea canephora y el café Expreso contiene 70% de Coffea arábica y 30% de Coffea canephora. Se consigue 50 kgr. de Coffea canephora y 70 kgr. de Coffea arábica. Por datos históricos se sabe que, el café Expreso, se produce como máximo el doble del café Premiúm. Los ingresos esperados para el café Expreso, clasic y Premiúm son de 5, 4 y 6 dólares por bolsa. Formule de Modelo de Programación Lineal para la producción semanal. h. La compañía manufacturera Omega discontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esta medida creó un exceso considerable de capacidad de producción. La administración quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llamados 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción: Tipo de máquina
El número de horasmáquina que se requieren para elaborar cada unidad de los productos respectivos es:
Tiempo disponible (en horas-máquina por semana)
Fresadora
500
Torno
350
Rectificadora
150
Coeficiente de productividad (en horas-máquina por unidad)
Tipo de máquina
Producto 1
Producto 2
Producto 3
Fresadora
9
3
5
Torno
5
4
0
Rectificadora
3
0
3
PROGRAMA DE FORMACIÓN REGULAR
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El departamento de ventas indica que las ventas potenciales de los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son de 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, para los productos 1, 2 y 3, respectivamente. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. i.
Un taller de mecánica realiza trabajos de cambio de aceite de motor y regulación del sistema eléctrico. Se sabe que la utilidad por cambio del aceite es de $7 y de $15 por regulación. El taller tiene un cliente fijo con cuya flota, tiene garantizado 30 cambios de aceite por semana. Cada cambio de aceite requiere de 20 min de trabajo y $8 de insumos. Una regulación toma una hora de trabajo y gasta $15 en insumos. El taller cuenta con dos mecánicos, que laboran 40 horas c/u por semana. Las compras de insumos llegan a $1750 semanales. El administrador del taller desea maximizar la utilidad total. Determine a) cuál es la utilidad total para el taller b) cuántos cambios de aceite del motor y regulación se van a realizar por semana según el plan óptimo. c) Cuál es el tiempo óptimo que van a trabajar los mecánicos a la semana? d) El taller quiere determinar si le conviene realizar un solo trabajo. Formule el modelo matemático para este problema.
PROGRAMA DE FORMACIÓN REGULAR
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ANOTACIONES: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PROGRAMA DE FORMACIÓN REGULAR
31
