Informe Laboratorio Serie y Transformada de fourier fourier
.
INFORME LABORATORIO SERIE Y TRANSFORMADA DE FOURIER USANDO MATLAB Rafael Duran Pedro Jimenez
RESUMEN:
En este documento se muestra la herramienta matemática computacional MATLAB como asistente en el análisis e interpretación de representaciones a través de la Serie y Transformada de Fourier PALABRAS CLAVE: transformada de Fourier, serie de Fourier,
Tomando la forma:
1 INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN 1.1 CONCEPTOS GENERALES: Básicamente la Serie o Transformada de Fourier se encarga de pasar una señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su transformada inversa y volver al dominio temporal. Usualmente, las series se aplican a señales periódicas mientras que las transformadas a señales no periódicas pero que se truncan en un segmento de interés para realizar su análisis. El trabajo con la señal en el dominio de la frecuencia, no sólo sirve como información, sino que se puede modificar, de forma que es ampliamente utilizada en diseño y análisis de filtros, procesado de la imagen y audio, comunicaciones (modulaciones, líneas de transmisión, etc.).
2 DESARROLLO
1.2 SERIE DE FOURIER:
La serie de Fourier se puede definir como una suma de términos (Serie Trigonométrica) en función de Seno y Coseno que va desde menos infinito y hasta infinito. Puede entenderse como una representación bastante precisa de señales sinusoidales múltiplos de una frecuencia fundamental.
2.1 ACTIVIDAD 1: En el intervalo
está 0 t 2 la señal g(t) está
1 g(t )
Según este enunciado, Cualquier señal se puede descomponer en los siguientes términos:
1
La frecuencia fundamental esta dada por:
1
dada por:
0 t
t 2
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.
g(t) =
b sen n
n 0 t =
n 1
4
sen t
4 3
sen3t
4 5
sen5t
2.1.2 DESCOMPOSICION EN ARMONICOS Se grafico las diferentes componentes de la sumatoria de la Serie de Fourier en colores variados agregando paulatinamente armónicos hasta reconstruir la señal de la figura 1.
Figura 1. Señal dada para la actividad 1
2.1.1 ANALISIS EN FORMA ANALITICA Y CON MATLAB:
El algoritmo elaborado en matlab es el siguiente:
Se observa que la señal g(t) es una función impar por lo que
% el primer armónico o frecuencia fundamental de la señal cuadrada en azul t=0:.1:10 y=4*sin(t)/pi; plot(t,y) hold on %el segundo armonico en verde y=(4/pi)*[sin(3*t)/3]; hold on plot(t,y,'g') %el tercer armonico en ++++ y=(4/pi)*[sin(5*t)/5]; hold on plot(t,y,'+') %el cuarto armonico en magenta y=(4/pi)*[sin(7*t)/7]; hold on plot(t,y,'m') %el quinto armonico en negro y=(4/pi)*[sin(9*t)/9]; hold on plot(t,y,'k') %el sexto armonico en amarillo y=(4/pi)*[sin(11*t)/11]; hold on plot(t,y,'y') %el septimo armonico en cyan y=(4/pi)*[sin(13*t)/13]; hold on plot(t,y,'c') %el octavo armonico en ooooooooo y=(4/pi)*[sin(15*t)/15]; hold on plot(t,y,'o') %el noveno armonico en ......... y=(4/pi)*[sin(17*t)/17]; hold on plot(t,y,'.') %el decimo armonico en xxxxxxxxxxx y=(4/pi)*[sin(19*t)/19];
Y bn se calcula teniendo en cuenta los intervalos de la señal dada:
bn
2
T 0
sen n 0 t
2 T
2
sen n 0tdt
Su periodo y su frecuencia fundamental se muestran a continuacion:
T = 2
0
2
T
1
Por lo cual bn resulta:
2
2 cos nt 2 cos nt bn 2 n 2 n 0 =
1
1 cos n 1 1 cos n n n
Por lo anterior podemos determinar lo siguiente:
4 ......................... para n impar b n n 0 ........................... para n par Y finalmente la serie de Fourier de g(t) es la siguiente:
2
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. hold on plot(t,y,'x') %la resultante en rojo, al sumar las armonicas, de la señal cuadrada. y=(4/pi)*[sin(t)+(sin(3*t)/3)+(sin(5* t)/5)+(sin(7*t)/7)+(sin(9*t)/9)+(sin( 11*t)/11)+(sin(13*t)/13)+(sin(15*t)/1 5)+(sin(17*t)/17)+(sin(19*t)/19)]; plot(t,y,'r')
Tomando los límites de 0 a T, tenemos:
1
T
g (t )e T
F (w)
Este algoritmo produjo la siguiente grafica:
T
1 A
t e T T
jn ot
dt
0
jn ot
dt
0
usando tabla de integrales tenemos que la solución general de una integral de estas es la siguiente:
xe
dx
x
e
x
2
x 1
Por lo cual:
F (n)
o
Ae
jn ot
2
2
2
T n o
jn t 1
T
o
0
2
i 1 2
Figura 2. Suma de armónicos de la señal de la figura 1
A
2
4n En la figura 2 se puede observar que a medida que se suman mas armónicos se puede llegar a la señal original (señal de color rojo)
2
e
jn 2
j 2n 1
A 2
4n
2
Tenemos también:
e
2.2 ACTIVIDAD 2:
jn2
= cos n 2 - jsen n2 = 1
Por lo cual F(n) es igual a:
Obtenga el espectro de frecuencia de la siguiente señal por medio analítico y a través de MATLAB:
F (n) F (n)
jA 2n jA
A 2
4n
2
A 2
4n
2
jA 2n
2 n
Seguidamene se hallo el valor de ao, que en este caso lo denominamos Fo:
Figura 3. Señal dada para la actividad 2
Fo =
2.2.1 ANALISIS EN FORMA ANALITICA Y EN MATLAB:
1
T
T 0
f (t )dt
1 T
A
T
0
T
2 A T
Para la solución analítica se uso la formula general de la transformada de Fourier:
tdt
A
2 T 2 2
3
2 A t 2
T
T 2 0
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. hold on y=1/2-sin(8*t)/(8*pi); plot(t,y,'+') hold on y=1/2-sin(9*t)/(9*pi); plot(t,y,'y') hold on y=1/2-sin(10*t)/(10*pi); hold on plot(t,y,'o') y=(1/2)-(sin(t)/pi)-(sin(2*t)/(2*pi))(sin(3*t)/(3*pi))-(sin(4*t)/(4*pi))(sin(5*t)/(5*pi))(sin(6*t)/(6*pi))+(sin(7*t)/(7*pi))+(s in(8*t)/(8*pi))+(sin(9*t)/(9*pi))+(sin (10*t)/(10*pi))+(sin(11*t)/(11*pi))+(s in(12*t)/(12*pi)); plot(t,y,'m')
Agrupando ambos resultados:
jAn Fn A 2
Para n
0
Para n = 0
2
La serie de Fourier de la figura 3 la expresamos en su forma exponencial:
g(t) = -
jA 6
A 2
+
e j 3
ot
jA 2
-
jot
e
jA 4
e
j 2 t
jA 4
e
-
j 2 ot
jA 2
e
j t
+
.......
Este algoritmo produjo la siguiente grafica:
Expresando g(t) mediante la serie trigonométrica de Fourier:
g (t ) -
A A A A sen 0t sen2 0t sen3 0t 2 2 3
A
sen4 0 t . . . . . . . 4
El respectivo análisis en MATLAB, se hizo teniendo en cuenta la serie obtenida analíticamente, la cual su suma en armónicos nos mostrara la señal dada en la figura 3. El algoritmo es el siguiente: clc clear all close all
Figura 4. Suma de armónicos de la señal de la figura 3
t=0:0.1:15; y=(1/2)-sin(t)/pi; plot(t,y,'g') hold on y=1/2-sin(2*t)/(2*pi); plot(t,y,'b') hold on y=1/2-sin(3*t)/(3*pi); plot(t,y,'r') hold on y=1/2-sin(4*t)/(4*pi); plot(t,y,'g') hold on y=1/2-sin(5*t)/(5*pi); plot(t,y,'m') hold on y=1/2-sin(6*t)/(6*pi); plot(t,y,'k') hold on y=1/2-sin(7*t)/(7*pi); plot(t,y,'x')
En la figura 4 se puede observar que a medida que se suman mas armónicos se puede llegar a la señal original (señal de color magenta)
2.2.2 OBTENCION FRECUENCIA:
DEL
ESPECTRO
DE
Para obtener el espectro de frecuencia de la señal diente de sierra de la figura 3, primero se debe hallar la magnitud y fase para cada muestra:
Fn = |Fn|
j n
e
√ 4
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.
Fn
A 2n
2.3 ACTIVIDAD 3: 1
e jtg
1
A 2 n 0
=tg () 90
2 n 2
Proponga un ejemplo descrito donde se aplique la transformada de Fourier y sus propiedades.
0
2
Para n = 1, 2, 3, . . . . Para n = -1, -2, -3, . . . . .
Figura 7. Grafica del ejemplo planteado Las graficas de la magnitud y la fase se muestran a continuación:
Los intervalos de la figura 6 son los siguientes:
q(t ) e
0 t 1
t
Conociendo la formula general para encontrar ao, an y bn, obtenemos los coeficientes de la serie i nicando por ao:
∫ )) ∫ )
Figura 5. Espectro de magnitud de la figura 3
Seguidamente se hallo an:
∫ )
∫
Figura 6. Espectro de frecuencia de la figura 3
5
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. 1)*cos(2*(3)*pi*t)+((4*(3)*pi)/(1+4*(3 )^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(3)*pi*t); plot(t,y,'r') hold on y=1.264+((2/(1+4*(4)^2*(pi)^2)))*1exp(1)*cos(2*(4)*pi*t)+((4*(4)*pi)/(1+4*(4 )^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(4)*pi*t); plot(t,y,'g') hold on y=1.264+((2/(1+4*(5)^2*(pi)^2)))*1exp(1)*cos(2*(5)*pi*t)+((4*(5)*pi)/(1+4*(5 )^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(5)*pi*t); plot(t,y,'m') hold on y=1.264+((2/(1+4*(6)^2*(pi)^2)))*1exp(1)*cos(2*(6)*pi*t)+((4*(6)*pi)/(1+4*(6 )^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(6)*pi*t); plot(t,y,'k') hold on y=1.264+((2/(1+4*(7)^2*(pi)^2)))*1exp(1)*cos(2*(7)*pi*t)+((4*(7)*pi)/(1+4*(7 )^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(7)*pi*t); plot(t,y,'x') hold on y=1.264+((2/(1+4*(8)^2*(pi)^2)))*1exp(1)*cos(2*(8)*pi*t)+((4*(1)*pi)/(1+4*(8 )^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(8)*pi*t); plot(t,y,'+') hold on y=1.264+((2/(1+4*(9)^2*(pi)^2)))*1exp(1)*cos(2*(9)*pi*t)+((4*(9)*pi)/(1+4*(9 )^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(9)*pi*t); plot(t,y,'y') hold on y=1.264+((2/(1+4*(10)^2*(pi)^2)))*1exp(1)*cos(2*(10)*pi*t)+((4*(1)*pi)/(1+4*( 10)^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(10)*pi*t); plot(t,y,'o') hold on y=1.264+(((2/(1+4*(1)^2*(pi)^2)))*1exp(1)*cos(2*(1)*pi*t)+((4*(1)*pi)/(1+4*(1 )^2*(pi)^2))*1-exp(-
Por tablas de integrales:
) Terminamos hallando bn:
∫ ) ∫ Por tablas de integrales:
) La solución final se muestra a continuación:
) ∑[ ) )] El respectivo análisis en MATLAB, se muestra a continuación:
clc clear all close all t=0:0.1:15; y=1.264+((2/(1+4*(1)^2*(pi)^2)))*1exp(1)*cos(2*(1)*pi*t)+((4*(1)*pi)/(1+4*( 1)^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(1)*pi*t); plot(t,y,'g') hold on y=1.264+((2/(1+4*(2)^2*(pi)^2)))*1exp(1)*cos(2*(2)*pi*t)+((4*(2)*pi)/(1+4*( 2)^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(2)*pi*t); plot(t,y,'b') hold on y=1.264+((2/(1+4*(3)^2*(pi)^2)))*1exp(-
6
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. 1)*sin(2*(1)*pi*t)+((2/(1+4*(2)^2*(pi )^2)))*1-exp(1)*cos(2*(2)*pi*t)+((4*(2)*pi)/(1+4*( 2)^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(2)*pi*t)+((2/(1+4*(3)^2*(pi )^2)))*1-exp(1)*cos(2*(3)*pi*t)+((4*(3)*pi)/(1+4*( 3)^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(3)*pi*t)+((2/(1+4*(4)^2*(pi )^2)))*1-exp(1)*cos(2*(4)*pi*t)+((4*(4)*pi)/(1+4*( 4)^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(4)*pi*t)+((2/(1+4*(5)^2*(pi )^2)))*1-exp(1)*cos(2*(5)*pi*t)+((4*(5)*pi)/(1+4*( 5)^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(5)*pi*t)+((2/(1+4*(6)^2*(pi )^2)))*1-exp(1)*cos(2*(6)*pi*t)+((4*(6)*pi)/(1+4*( 6)^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(6)*pi*t)+((2/(1+4*(7)^2*(pi )^2)))*1-exp(1)*cos(2*(7)*pi*t)+((4*(7)*pi)/(1+4*( 7)^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(7)*pi*t)+((2/(1+4*(8)^2*(pi )^2)))*1-exp(1)*cos(2*(8)*pi*t)+((4*(1)*pi)/(1+4*( 8)^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(8)*pi*t)+((2/(1+4*(9)^2*(pi )^2)))*1-exp(1)*cos(2*(9)*pi*t)+((4*(9)*pi)/(1+4*( 9)^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(9)*pi*t)+((2/(1+4*(10)^2*(p i)^2)))*1-exp(1)*cos(2*(10)*pi*t)+((4*(1)*pi)/(1+4* (10)^2*(pi)^2))*1-exp(1)*sin(2*(10)*pi*t)); plot(t,y,'r')
En la figura 8 se puede observar que a medida que se suman más armónicos se puede llegar a la señal original (señal de color rojo).
3 CONCLUSIONES La serie y transformada de Fourier es indispensable en el tratamiento de señales, ya que permite expresar cualquiera de estas en sumas de senos y cosenos, las cuales son señales básicas en cualquier sistema. Determinando los coeficientes de Fourier se pueden hallar los armónicos, los cuales al sumarlos permite reconstruir cualquier señal. La serie de Fourier nos permite expresarla en forma exponencial o en forma trigonométrica, lo cual nos provee alta versatilidad. MATLAB es una herramienta útil para el procesamiento de señales, ya que nos permite verificar los valores analíticos.
Este algoritmo produjo la siguiente grafica:
Figura 8. Suma de armónicos de la señal e la figura 7
7
