Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ingeniería Industrial Licenciatura en Ingeniería Industrial
Dinámica Aplicada y Teoría de Control Laboratorio #3 de Dinámica
Profesor Jorge De La Cruz
Integrantes: Santos Rivero
8-853-1448
[email protected] santos_rivero@hotmai l.com
Kimberly Rouse
8-859-1993
[email protected] [email protected] om
1 II 131 (B)
Panamá, 7 de mayo de 2012
Laboratorio # 3 Movimiento Libre Amortiguado Introducción En el mundo de la industria se utilizan muchos aparatos o mecanismos con amortiguamiento. Por ejemplo máquinas con un desbalance en sus masas, la estructura que sostenga dicha maquinaria, edificios con movimiento vibratorio debido a sismos, entre otros. El estudio de los mismos es importante para ver el tiempo que tarda el objeto de estudio en regresar al estado de equilibrio. Además podemos ver qué tan grandes van a ser las oscilaciones de las mismas aunque para los casos que estamos estudiando las deformaciones (desplazamientos) son muy pequeñas. En el siguiente laboratorio veremos dos casos donde utilizar las ecuaciones de movimiento libre amortiguado. Veremos qué pasa con distintos grados de amortiguamiento y utilizaremos el programa Scilab (xcos) para graficar los mismos por medio de diagramas.
1. Objetivo general
Modelar y simular sistemas dinámicos utilizando Simulink, Scicos o Xcos.
2. Objetivos específicos 1. 2. 3. 4.
Analizar sistemas dinámicos y obtener su modelo matemático. Observar cómo responden los sistemas a distintos grados de amortiguamiento. Clasificar los sistemas dinámicos según el grado de amortiguamiento. Obtener las rigideces y constantes de amortiguamiento equivalentes para los sistemas en estudio.
3. Marco teórico El movimiento libre amortiguado que experimente un sistema dinámico puede ser afectado por el grado de amortiguamiento que este posea, este puede influir en el tiempo en que el sistema regrese a su posición de equilibrio a demás del número de oscilaciones que realice. El sistema puede no oscilar dependiendo del grado de amortiguamiento que presente el mismo. El grado de amortiguamiento que posea el sistema también afecta otras variables utilizadas en lo que son sistemas de control automático.
4. Procedimientos 1. Obtener el sistema masa-resorte equivalente para los sistemas propuestos. 2. Obtener la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento del sistema. La ecuación diferencial debe estar expresada en función de las variables algebraicas del sistema. 3. Realizar los diagramas de bloques correspondientes a cada sistema. 4. Simular los sistemas. 5. Análisis de los resultados.
5. Casos de estudio
Figura 1: L = 110cm, m = 4,2kg y k = 2 x103N=m. 1. Simular el sistema dinámico mostrado en la figura 1 bajo las siguientes condiciones de amortiguamiento: a) Sistema subamortiguado (0 < η < 1), simular el sistema para valores de _ iguales a : 0.1, 0.2, 0.3, 0.7, 0.8, 0.9 b) Sistema críticamente amortiguado (η = 1). c) Sistema sobreamortiguado (η > 1), simular el sistema para valores de _ iguales a: 1.1, 1.2 y 1.3. Presentar lo siguiente:
Sistema masa-resorte equivalente para el sistema en estudio. 2c
3
2k
Ecuación de movimiento (cálculos).
Para m:
Para 2m:
η= 0.1
Diagrama de bloques utilizado para la simulación. Gráficas de la solución obtenida por medio de la simulación del sistema dinámico (Identificar cada gráfica).
η= 0.2
η= 0.3
η= 0.7
η= 0.8
η= 0.9
η= 1
η= 1.1
η= 1.2
η= 1.3
Presentar una tabla en la que se identifique el tiempo en el cual se estabiliza el sistema, junto con la identificación del grado de amortiguamiento y el (η) utilizado (ordenar de menor a mayor tiempo de estabilización). Grado de amortiguamiento
ᶯ (eta)
sub-amortiguado
0.9
0,37
sub-amortiguado
0,7
0,69
sub-amortiguado
0,8
0.9
1
0.9
sobre amortiguado
1.1
1,11
sobre amortiguado
1,2
1,31
sobre amortiguado
1,3
1,5
sub-amortiguado
0,3
1,97
sub-amortiguado
0,2
3
sub-amortiguado
0,1
5.8
críticamente amortiguado
Tiempo de Estabilización (s)
Haciendo referencia al grado de amortiguamiento, ¿Se presenta oscilación en todos los casos?. Sustente su respuesta. No se presenta oscilación en todos los casos: Como vemos en las gráficas solo hay oscilación cuando el sistema es sub amortiguado η<1. En los sistemas sobre amortiguados y críticamente amortiguados solo hay una sola curva y por lo tanto, no hay oscilación.
2. Una puerta es equipada con un resorte torsional y un amortiguador viscoso de tal forma que la misma retorna automáticamente a su posición inicial después de que es abierta. La puerta tiene una masa de 60kg y un momento de inercia respecto a su centroide de 7.2kgm2. El resorte torsional tiene una rigidez de 25Nm/rad.
Sistema masa-resorte equivalente para el sistema en estudio.
Ecuación de movimiento (cálculos).
Como el movimiento rotacional tiene como eje el borde de la puerta, entonces hay que encontrar el momento de inercia.
Así que:
η= 1
Diagrama de bloques utilizado para la simulación. Gráficas de la solución obtenida por medio de la simulación del sistema dinámico (Identificar cada gráfica). Con este primer diagrama encontramos el desplazamiento de la puerta.
¿Cuál es el coeficiente de amortiguamiento para que el sistema este críticamente amortiguado? 1/2 2 1/2 CCR=2η (k t*J0) =2(1)[(25Nm/rad)*19.6kgm )] =44.27 kg-m Para que η=1, el coeficiente de amortiguamiento debe ser igual al coeficiente de amortiguamiento crítico. Por ende, c=44.27 kg-m.
Un hombre con paquetes en manos patea la puerta para poder abrirla. ¿Cuál será la velocidad angular inicial que deberá provocar esta persona para poder que la puerta gire 70º? Teniendo en cuenta que 70º=1.22rad. En la primera gráfica hubo que introducir una velocidad inicial aproximada de Wi= 4.30 rad/s para que la puerta gire 70º.
¿Cuánto tiempo después la puerta volverá a estar a 5º de su posición inicial? Teniendo en cuenta que 5º=0.087rad. Según la gráfica 2, la puerta volverá a estar a 5º de su posición inicial a los t=4.7s.
Repita los pasos anteriores para el caso en que el factor de amortiguamiento sea η = 1.3
¿Cuál es el coeficiente de amortiguamiento para que el sistema este críticamente amortiguado? 1/2
2
1/2
C=2η (k t*J0) =2(1.3)[(25Nm/rad)*19.6kgm )] = 57.55kg-m
Para n=1.3 pusimos una velocidad inicial de 4.52 rad/s para que llegue a los 70º .
El tiempo que le toma regresar a los 5º (0.087 rad) de su posición inicial es 6.25s.
Podemos apreciar que cuando η aumentó también aumentó el tiempo en que tarda la puerta en abrirse o cerrase, ya que el amortiguamiento es mayor.
Conclusión En esta experiencia de laboratorio, no solo modelamos nuestro sistema masa resorte sino que también realizamos un análisis gráfico. La gráfico no la realizamos nosotros mismos, nos ayudamos con un programa llamado Scilab que hizo posible la construcción de la gráfica de desplazamiento vs tiempo de forma precisa. Luego de analizar las gráficas, en el primer problema nos dimos cuenta que el sistema sub amortiguado presenta oscilación en su gráfica, mientras que el sobre amortiguado y el críticamente amortiguado sólo tienen una sola curva. Además que el tiempo de estabilización del sistema varía para el sistema subamortiguado, cuando la η va de 0.1 a 0.7 viene de mayor tiempo a menor tiempo de estabilización, es curioso que el 0.8 tenga un tiempo de estabilización mayor que el 0.9 y que este tiempo sea igual que cuando la η es 1. En los sistemas sobre amortiguados, cuando la η va de 1.1 a 1.3 viene de menor tiempo a mayor tiempo de estabilización. En el segundo problema, analizamos un sistema rotacional utilizando el programa Scilab, solo que ahora es desplazamiento angular vs tiempo. Analizamos dos gráficas: una para η=1 y otra para η=1.3, para un mismo desplazamiento la velocidad inicial es menor para η=1 que para η=1.3; y el tiempo que le demora regresar a la posición de 5 grados es menor para η=1. Además, el coeficiente de amortiguamiento para η=1 es menor que para η=1.3.
Bibliografía
http://www.simdesign.260mb.com/lab4_1/node2.html BALACHANDRAN, B. Vibraciones. Thomson, 2004. NISE, N. Sistemas de Control para Ingeniería. CECSA, 2004.
