2D3
5 EL PUVKO EUGLIDIAKO
1
EL P U N O EUCLID EUCLIDIAN IANO. O.LA LA RECTA. RECTA.
2 cí cío o vec vectori torial al IR , do donde nde: :* (1) (1) A todo elem elemento ento
{x,
y )
ECUACION ECUACION
DE UNARECTA UNA RECTA .-
Se TI TIama PLANO EUCLIOIANO ANALITICO ANALITICO al espa de IR IR2 se le lla llama ma
PUNTO
de IR2 .
(2) Dado un conjunto L c ftz , se le lla llama ma RECTA siexiste unpunto 2 — * (*o* !/o) E R y un vecto*. a (diferente (diferente de 0) 0), , tal tales es que L - { P= (3) La dlitancJji
(x,
¿[ Pj , P2 ]
la long longitu itud d del vect vector or d[Pi d[ Pi. . P2 ] = 1.1 N O T A CI O N. -
y) y )
e
IR2 /
P = P„ + tI ,
entre dos punto puntos s
Pj
t e IR } y P2
P„
.. (*) (*)
esigual es igual a
Pj P2 , es decir, I ( P ? ^ ) I“
l p2-
pl I
Por simpl simplicid icidad, ad, co con n fre frecuen cuencia ciadenotaremos denotaremos ala ala recta L dada previamente, previamente, como como L = { Pc + ti }
(*)
y se dirS que L es LA RECTA RECTA QUE PAS PASA POR POR PG
V ES
denomi minad nado o PARALELA AL VECTOR a , el cual serS deno t oK dí dí n.eccÁ.onaZ .eccÁ.onaZ " de L .
" v ec
Al coefi coeficient ciente e t (que pued puede e ser r, s , etc.) etc.) se le llama PARAMETR PARAMETRO O ,y a la ecuac ecuaciSn iSn de (*) (*) se le conoc conoce e como ECUACION VECTORIAL VE LA RECTA L .
1.2
Cap. 5
La Recta
204
TEOREMA.-
Equi va1enteme n te,
Un punto
P
pertenecerá a la recta L
t i y to*j> t i el
vector
P„ P * P - PD es paralelo al vector a .
decir,
si P - P„ = ti ,
Es
para algún número real t .
P es un punto de la recta L ,
t i y ¿ ot o t i
i
(**)
..
1.3 EJERCICIO.-
Dados los conjuntos: Lt -
{ P = (2t + l ,-3t + 3) /
L2 » { P = (3 - 4r , 6r) / probar que SOLUCION.-
entonces
Lj y L2
puesto que se puede
Lj y
a = (2, -3), b = (-4, 6)
R }
e
,
queLj = L2
\-l -
{ P = (1.3)
+ t(2, -3) /
t
e
R
}
L2 =
{ P = (3. D)
+ r(-4,6) /
r
e
R
} .
P„ = (1, 3)
y L2 tiene a Lj = L2
pues
Lt tiene como PUN
y como VECTOR OIRECCIDNAL al vector Qc = (3,0) comoPUNTO DE PASO,
como VECTOR DIRECCIONAL.
Ahora probaremos que
r
}
expresar como
L2 son RECTASpon. deí i ni c i dn ,
T0 DE PASO al punto tor
representan RECTAS , y
t E IR
.
y al vec
Sea y
205
La Recta
Cap. 5
P
e
Lj : P ■ (1, 3) + t(2, -3)
s e d e s e ap r o b a rq u e
P
L2
e
•
» (1 + Zt, 3 -3t)
p a r alo c u a l ,p o r
,
(**),
algún te R s ed e b ev e r i-
c a rq u e :
(P - Q0 ) • b "L (P-Q0) - b-1 -
-
D
:
[ (l + 2t. 3 - 3t) - (3.0) ] - (-6.-4)
-
(Zt-2. 3-3t) - (-6.-4)
- (—6) (2t — 2) + (—4) (3 — 3t) ahora probaremos que
L2 c
L( :
sea
0 Q
= >
Lj c
L2
L2 :Q *
e
; (3-4r, 6r)
ra algún número real r , y para lo cual bastaverificar que: (Q- P„) • 3 (Q-P0) . 3 X
*
D
. (por ** ) ;
en efecto,
- [(3 -4r, 6r) - (1,3)]. (3. Z) -
(2 - 4r, 6r - 3) • (3, Z) (3)(2 - 4r) + (Z)(6r - 3) - D
Por lo tanto, de estas dos inclusiones:
= *
L2 c
L»{
P » P„ + t3
)
en lugar del vector direccional tor que le da la inclinación a la recta L con elegir cualquier vector ta L siempre que
bt D
b ¿ea
como
.
Lj■ L2 .
O b s e r v a c i ó n .- Delejercicio previo, se deduce que,
1.4
Lt
en la recta
, 3 , que es el vec
respecto al Eje X , se puede
vedo*. dlneccional de la misma rec
PARALELO al vect or
3
,y por
lo tanto,
la
recta L tendría la representaciSn equivalente siguiente: L = Í P « P 0 + tb
}
.
dórele
b = rS
,
para algún
Por esta raz5n, no es tan correcto hablar de Re.cXa¿ dOU.g¿ da¿ ,
sino sim
n ú m e r or e a f r.
plemente de RecXai , nal
6
y no se debe confundir ya sea con el victon. (UxtccÁo
con la Inclinación de. L , que si son conceptos bien establecidos. Análogamente,
el Punto de Paso
y puede ser reemplazado por cualquier otro punto
P„
NO ES UNICO,
Q„ , SIEMPRE QUE SEA TAM
206
La Recta
Cap. 5
BIEN ELEMENTO VE LA MISMA RECTA L .
2
ECUACIONES PARAMETRICAS DE UNA RECTA SI un punto L » { P - P0 + ta } .
y donde
P * (x, y ) e L
P0 - (x0, yD) ,
,
donde
y i - (alt a2),
entonces se tienen las ecuaciones simultáneas: \
que son denominadas LAS ECUACIONES PARAMETRICAS VE LA RECTA L , con PUN TO DE PASD PD = (x0, yD) , y con VECTOF» DIRECCIONAL a - (alt a2) . Z.l
EJEMPLO.-
La recta L cuyas ecuaciones paramStrlcas son: f
x -
1- t
i
y ■
2
y que puede representarse como: L ■ { (*, y) * (1 - t, 2) } ■ tiene como Punto de Paso al punto nal al vector
i = (-1,0) ,
la inclinacifin ala recta pasa por P„ *= (1,2) .
{ (x, y) - (1,2) + t(-l, 0) } P„ = (1,2)
horizontal,
(-1,0)
, y como Vector Direccio-
ypuesto que este
vector le
L , ésta resulta ser una Ke.cXahoiu.zonta¿
*
0
1
2
,
, que
i = (-1, 0)
3
da
X
La Recta
Cap.5
3
207
FORMA SIMETRICA DE LA ECUACION DE UNA RECTA
PD * (x0, yc ) ,
SI la recta L tiene como Punto de Paso al punto y como Vector Dlrecclonal a - (a¿, a2) con aj f 0 y
a2 f 0 [es decir que,
L no es vertical ni horizontal ] , entonces <1 par
de ecuaciones simultáneas:
x0 + ta! Vo * t a2
es equivalente a: ( - t )
que es denominada LA FORMA SIMETRICA d e ta ecuación de ta Ateta L
E j e m p l o .-
La ecuación x-(-l) 2
tiene como punto de paso H
x+ 1 y - 3
-5 PD » (-1, 3)
3 - y
es equivalente a:
y representa a la recta L que y vector dlreccional
I * (2, -5) .
ECUACION NORMAL Y ECUACION GENERAL DE UNA RECTA Se dice que una
y ur VECTOR nales.
ñ
RECTA
no nulo, SON ORTOGONALES si es que
L * { P„ + ta } y ñ son ortogo
Cap.5
La Recta
208
A cualquier vector ñ no nulo, ortogonal a L se le llama VECTOR NCMMAL a L , y puede ser elegido como el vector
4.1
ñ = i ■*"
6 cualquier vector múltiplo de
Un punto
P pertenecerá a la recta
TEOREMA.-
punto de t>asoP0 vector P E L
P„ P
y vector normal * P - Pc
«=■
i
.
L que tiene
como
ñ , SI V SOLO S I
el
es ORTOGONAL al vector ñ
(P-P„) . F -
0
.
..
(*)
A esta última ecuacifin se le conoce como LA ECUACION NORMAL de l a *.ecXa L quí f xua pon P0 y (e¿ oct ogonal ) t i ene vec.ton. normal ñ . Si consideramos tonces
P * (*, y ) ,
ñ - (a, b) , yPG ■ ñ - - c , en
(*) se convierte en: P -ñ
-
PD • ñ
ax + by *
|------------------------- 1
-c
= »
I
a* + b i / + c - 0
que esllamada la ECUACION GENERAL de l a A.ecta
I
L normal al \1ecX 0K
ñ - (a, b) . Note que el de las variables * 4.2EJERCICIO.-
vector ñ
= (a, b)
está formado por los coeficientes
y y ,en ese orden. Hallar laecuación Normal y la ecuaci6n Genznal la recta L que pasa por los puntos Pj * (1, 3)
de y
P2 = (4, 1) . SOLUCION:Consideraremos 5 *
V*2
coi.o vector direccional al vector : *
P2' P1
=
(4* 11 ‘ (1* 3)
y como vector normal al vector :
_ n =
=
i a-1- =
(3''Z) * (2, 3)
y puesto que un Punto de Paso puede ser cualquier punto de a i \ e c t a P2 ) , entonces elegimos como
PG
al vector:
,
( Px 6
P„ = P2 = (4, 1) .
Cap.5
209
La Recta
De esta manera se tiene que, para un punto genérico (P- P„) • ñ - 0 [ P - (4. 1)] • (2. 3) - 0 <■— *>
P .ñ
■
(*. y) * (2, 3) Zx + 3y * 11 ,
P ■ (x, y) e L ,
... ECUACION GENERAL DE L ,
PD • r (4,1). (2,3) 6 sino
2x + 3y - 11 ■ 0
,
que vienen a ser las ECUACIONES GENERALAS DE LA RECTA L .
4.3 NOTA.-
5
El procedimiento seguido en el Ejercicio previo proporciociona un método ripido para hallar la ECUACION GENEkAL de una recta L si es que se conoce un p u n t o d i p a i o PD y u n v í c X o k n o n ma l ñ , haciendo: -----------------I P • ñ = P0 • ñ I
DISTANCIA DE UN PUNTO
_
n = (a, b)
Sea y
A UNA RECTA
(P - P0) • ñ » D
__
P„ • n * -c
entonces se tiene que relaci6n:
Q
;
si
L
la ECUACION NORMAL de L , donde 2 Q = (Xj, es un punto de IR ,
LA TISTAWCIA PE Q A LA RECTA L rft Q ;
l
] =
I cP - ( Q - p 0) |
viene dada por la =
210
La Recta
d [Q ; L ] =
Cap.5
(Q - P0) • ñ
| Cp - ( Q - PD ) |
I" I Q . ñ - P„ • ñ I" I I a*i + bi/j + c | (*!•
que viene a ser la fórmula de LA DISTANCIA DEL PUNTO RECTA L ruya ecuación general estS dada po-
5.1
EJERCICIO.-
|3*1 + 4
l ) ;
Q = (xj, yj) = (7,9) | 3(7) + 4(9) - 7 |
L
Q « (x^, t/y)
A LA
ax + by + c * 0
Hallar la distancia del punto Q = (7, 9) ta L : 3* + 4i/ - 7 = 0 . Cono
d[Q;L]
L :
y
a la rec -
entonces 10 unidades.
La Recta
Cap. 5
6
PROYECCION ORTOGONAL DE UN VECTOR
211
SOBRE UNA RECTA
V
Dado un vector v y una recta la cual tiene vector direccional
a f 6 ,
L
L * { P„ + tá }
se define como
VECTOR PROYEC
CION ORTOGONAL DE v SOBRE LA RECTA L , al vector de Proyección Ortogo nal de v sobre cualquier vector direccional
Pr ^ v
i de L .
Se puede ver que el vector es un vectcr PARALELO a la recta L , y no depende del vector
dfreccional
a de L que se elija , como veremos en el siguiente Ejemplo.
6.1 Ej e m p l o .-
Sea v » (6, 8) ,
L : 2x -
+ 4 = 0
vector direccional puede tomarse so de elegir
(2. -4)
sino (-2,-1) , £ cualquier múltiplo de á ■ (4,2) : Pr i - = ( - 7 ¡ f )5
Ahora, si se eligiese
=
la recta cuyo
i > * 2)
= (4, 2) -6 (4,2).
‘
En ca
(8*4)
•
a = (-2,-1) : Pr - 5 =
5 = - ^ ( . 2,-i)
1*1
5
=
8,4),
La Recta
Cap. 5
y por lo tanto, en cualquiera de los casos:
Pr^ v = Pr- v * (8,4) .
212
7
SEGMENTO I>F RECTA Dados los puntos
llama SEGMENTO CERRADO [ P0> Pj D
al conjunto
[Po. PJ = < P = Po + t ( P! - P0) /
Al segmento cerrado
[Pc, Pj]
2 PQ , Pj e IR , se
te
[ 0 ,1]
}
también se le denota por
P0Pj simplemen
te, y es el segmento de la recta L , comprendido entre Pc y Pj . Se puede observar que conforme P = Pc + t(Pj- P0)
t crece de 0 a
se desplaza desdeP0 hasta
1 , entonces el punto Pj a una velocidad
constante, como en la siguiente figura:
en la que los puntos
R, , R2 y Rj
de igual longitud, pues guiente representación:
dividen al segmento en cuatro partes
t va tomando valores de
1/4 en
1/4 con la si -
La Recta
Cap. 5
213
Ri “
P0 + (1/4)(P!- P„)
y de esta manera se pueden ubicar
R2 -
P„ M2/4)(P!-
R3 -
P0 + <3/4)(P1 - P0) .
todos los puntos que dividen a un segmento [P0, Pj] en n partes
P0)
de Igual longitud. 7.1
EJERCICIO.-
Encontrar los puntos que dividen al segmento AB de ex tremos A • (-1, 1) y B » (49, 31) en cinco partes de
Igual longitud:
P * A + t(B - A)
P e [A. B] Pk - A + (-)(B-A)
1, 2, 3 y 4
=*
Pj P2
- A + (1/5)(B - A) - A + (2/5)(B - A)
P3 P4
■ A + (3/5)(B - A) * A + (4/5)(B - A)
8
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA:
(-1. (-1, (-1, (-1,
1)+ 1)+ 1)+ 1)+
(l/5)(50, 30) (2/5)(50, 30) (3/5)(50. 30) (4/5)(50. 30)
t e [0, 1] ,
« -
(9,7) (19, 13) (29,19) (39, 25) M:N
Dado el segmento de recta AB , el punto Q de la recta L que pasa por A y B y que divide a AB en dos segmentos en la raz6n Je m:n (denotada también m/n) con n f 0 , estS definido por la relaciCn:
El punto Q siempre se encontrarS en la recta que pasa por A y B , siem pre que m/n f -1 , pero puede estar fuera del segmento AB , como vere mos más adelante. 8.1
CASO I:
f -1
[es decir,
m / -n ]
La Recta
214
Cap. 5
De (*) resultan las siguientes formas equivalentes. AQ « (m/n) QB » (m/n)[QA ♦ AB ] (m + n) AQ - m AB
,
y coiw A ♦ (
»
(m/n)[-AQ + AB ]
AQ * Q - A ,
m+n
AB»
=
B-A,
) AB
forma que puede ser interpretada geométricamente, y de la cual se deduce la siguiente, que es muy ütil para el cSlculo explícito del punto Q : Q - (— )A ♦ m+n 8.2
EJ ER CI CIO.-
mentó AB La hi-
(— )B m+n
2,
Dados los extremos A -(1.1) yB (10, 7) del segmento AB, hallar el punto Q que divide al seg en la raz6n (-2):(-l) . raz6n (-2):(-l)
n = 1 ,
es Igual a la razfin
n+n - 3 ,
Q - (— ) A + (- 51-) B m+n m+n
2:1
, y por lo tanto,
y 3 (1 . 1 ) ♦ | (10. 7)
(7,5) . En este caso,
8.3
Q es un punto del segmento AB . (Ver la figura).
SUB-CASO 1-1 :
SI n y n tienen el mismo signo (ambos positivos 6
ambos negativos), entonces Q resulta un punto interior del segmento
La Recta
Cap. 5
?15
AB . B.4
SUB-CASO 1-2 :
SI m y n tienen signos opuestos,
un punto exterior al segmento AB tro de la recta que contiene a este segmento), y
Q resulta ser (pero siempre den
m i < i .
b) 8.5
Q estará mis cerca EJERCICIO.- Dados
I
aipunto
B si | jj | > 1 .
los puntos A - (2,2) y
punto
B ■ (6,4),
hallar el
que divide al segmento AB en la raz6n de
2 : (-3) . SOLUCION.-
Para este caso, Q1 *
{i ¡ ^ ]
A
por lo queel punto se encontrar!
m ■ 2,
n ■
-3,m + n ■ -1,
* ( n+~ñ > B
*
donde
-
8.6
|S|
fueradelsegmente AB ,
correspondiente al punto A, en la recta que pasa por "7 A * "7 B
m/n ■ " !
-2/3 ,
<
1 '
pero en el lado A y B .
"
3A - 2B
-
3(2,2) - 2(6.4)
-
(- 6 . - 2 )
-
Asi»
(-6. -2) .
-
EJERCICIO.- Dados los puntos A » (2.2) y B * (6.4). hallar el punto Q2 que divide al segmento AB en la raz6n de í-3):(l) .
SOLUCION.-
Para este caso,
m = -3.
( — n ■■ ) A ♦ m n
Q2
n ■ 1. m + n - -2.
(— )B m+ n
,
donde
1^1 |n |
m/n - -3 , » 3 > 1 ,
por lo que el punto se encontrarS fuera del segmento AB , pero al lado co rrespondiente al punto B. AsT,
Q, = 2
-i-A * - B - 2
-
2
=
--A 2
» - ^(2, 2) + | (6. 4) =
+ -B 2
(B, 5) .
Cap. 5
La Recta
-216-
n En (*) resulta:
AQ = - QB Q - A = - (B-Q) = Q - B
= >
A = B
lo que indica que el segmento AB consta del único punto A = B , y donde el punto Q , que se cancela en la penúltima ecua cifin, pueae ser cualquier punto del plano y no necesariamente Q = A , que por supuesto que también es soluci6n.
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Dida: las siguientes rectas: paralela a (2, 2)
a)
1-1
pasa por
(0, 0)
b)
L2
pasa por
c)
1-3
pasa por
(1. 1) > pa"alela a (1. 0) y (2, 1)
d)
L4
pasa por
e)
l5
pasa por
f)
l6
pasa por
9)
1-7
pasa por
h)
L8
pasa por
1
(2, 3) y (4, 5) (0, 3) y paralela a
(1. 1)
(4. 2)
(2. 4) . paralela a (2. 1) (0, 2) . paralela a (1. 0) (2, 2 ) y (4, 2)
