La integración es la operación inversa a la derivación. El símbolo de integración es
∫
,
aunque en realidad no puede considerarse separado de la diferencial, o sea que en ∫ F (x) dx la x) es lo que se integra y de alguna manera puede considerarse enmedio función F ( x enmedio del símbolo
∫
y de la diferencial dx. De tal manera que si y = f ( x x) es la función original, su derivada es
dy dx
= F (x) ; entonces
la integral de esta última regresa a la función original, es decir
∫ F (x) dx = f (x) Por ejemplo, si la función original es y = x2 , su derivada es otra función función de equis, en este caso, 2 x. Por lo tanto, si se integra 2 x se regresa a la función original x2: 2 = 2 x dx x ∫
(a)
Sin embargo, si y = x2 + 2, su derivada es dy
=2
dx
(la misma que de la función y = x2)
y, por lo tanto, su integral es la función original, esto es que 2 = +2 x dx x 2 ∫
Pero obsérvese que tanto
(a)
como
(b)
(b)
son la misma integral
∫ 2 x dx
y sin embargo
tienen diferente resultado. Esto se debe a que cualquier función que termine en la suma de una constante, al derivarse dicha función se obtiene cero al final como resultado de la derivada de la constante final. Entonces al integrar debe agregarse agregarse siempre un término constante + C . Así aparecerán todas las fórmulas de integración. Una integral de una función F ( x x), visto de otra forma, es lo mismo que preguntarse: ¿La derivada de qué otra función da F ( x x)? Así, en los ejemplos recientes, la integral
∫ 2 x dx equivale
a preguntarse ¿la derivada de qué da 2 x? Y la respuesta es es la derivada de x2; pero también de, por ejemplo, x2 + 2; o de x2 + 5; o de x2 + 23. En general, de x2 + C .
FÓRMULAS FUNDAMENTALES Son cinco las fórmulas fundamentales o más elementales de integración: (1)
∫ dx = x + c
(2)
∫ x
n
dx =
xn + 1 n +1
+c
, para n … - 1
∫ c u d x = c ∫ u dx ∫ ( u + v + w + ...) dx = ∫ u dx + ∫ v dx + ∫ w dx + ...
(3) (4)
dx
∫ x
(5)
En donde:
= ln x + c
c = constante. u, v, w, ... = funciones o variables.
La fórmula (2) funciona para todos los valores de n, excepto para cuando n = - 1, porque vuelve cero el denominador. Cuando n = - 1 se tiene la fórmula (5).
Ejemplo 1:
Integrar ∫ x 6 dx
Solución:
Por la fórmula (2 (2):
∫
∫
6
dx =
6
x
dx =
6 +1
6 +1 x 7
7
+c
+c
COMPROBACIÓN: Una integral, por su propia definición, se comprueba derivando su resultado: 7 d ⎛ x
7 ⎞ d ⎛ x ⎞ d c c + = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 7 dx ⎝ 7 d x d x ⎠ ⎝ ⎠
=
1 ⎛ d 7 ⎞ x + 0 7 ⎜⎝ dx ⎟⎠
=
1 7x6 ) ( 7
= x 6 que es lo que se integró.
2 x 24 ∫ dx
Ejemplo 2:
Integrar
Soluc Solució ión: n:
Por la fór fórmu mula la (3), (3), la la cons consta tant ntee se echa echa par paraa afue afuera ra de de la inte integr gral al::
∫ 24 x
2
∫
dx = 24 x 2 dx
Ahora empleando la fórmula (2):
⎡ x 2 + 1 ⎤ = 24 ⎢ +c ⎥ ⎣ 2 +1 ⎦
24 x 3 = +c 3 2 3 24 8 x dx x = +c ∫
COMPROBACIÓN: Derivando el resultado de esta integral: d dx
( 8 x 3 + c ) =
d dx
8x3 +
d dx dx
c
= 24 x 2 que es lo que se integró.
∫7
9
Ejemplo 3:
Integrar
Solu Soluci ción ón::
Por Por la fórm fórmul ulaa (3), (3), la la cons consta tant ntee se echa echa par paraa afue afuera ra de de la int integ egra ral: l:
dx
∫ 7 x dx = 7 ∫ x dx 9
9
Ahora empleando la fórmula (2):
⎡ x 9 + 1 ⎤ 7 ∫ x dx = 7 ⎢ ⎥+c ⎣ 9 +1 ⎦ 9
7 x10 ∫ 7 dx = 10 + c 9
∫ (6
2
+ 8 x − 9 )dx
Ejemplo 4:
Integrar
Solu Soluci ción ón
Empl Emplea eanndo prim primer eram amen ente te la fórm fórmul ulaa (4) de la suma:
∫ ( 6 x
2
+ 8 x − 9 )dx = ∫ 6 x2 dx + ∫ 8 xdx − ∫ 9dx
Para cada una de las tres integrales pendientes pendientes se utiliza la fórmula (3), donde la constante se echa para afuera de la integral:
∫ 6 x dx + ∫ 8 xdx − ∫ 9dx = 6∫ x dx + 8∫ xdx − 9 ∫ 2
2
dx
Ahora, para las dos primeras integrales integrales debe usarse la fórmula fórmula (2) y para la tercera integral la fórmula (1):
⎡ x 2 + 1 ⎤ ⎡ x1 + 1 ⎤ ∫ 6 x dx + ∫ 8 xdx − ∫ 9dx = 6 ⎢⎣ 2 + 1 ⎥⎦ + 8 ⎢⎣ 1 + 1 ⎥⎦ − 9[ x] + c 2
6 x3 8x2 = + −9 +c 3 2
∫ ( 6 x
2
+ 8 x − 9 )dx = 2 x 3 + 4 x 2 − 9x + c
Ejemplo 5
5 1⎞ ⎛ − ⎟ dx Integrar ∫ ⎜ 4 x 2 − x + x ⎠ 4 ⎝
Solu Soluci ción ón
Empl Emplea eanndo prim rimeram eramen entte la fórm fórmul ulaa (4) de la suma:
5 1⎞ 5 1 ⎛ 2 2 4 x x dx 4 x dx xdx dx dx − + − = − + − ⎟ ∫ ⎜⎝ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 4 x ⎠ = 4∫ x 2 dx − ∫ xdx +
5 4
∫
dx −
∫
dx x
Para la primera y segunda integral se emplea la fórmula (2) ; para la tercera integral la fórmula (1) y para la cuarta integral la fórmula (5) :
⎛ x3 ⎞ x 2 5 = 4⎜ + ⎟− 2 4 ⎝ 3 ⎠
∫
− ln x + c
5 1⎞ 4 x 3 5x x2 ⎛ 2 4 − + − = − + − ln x + c x x dx ⎜ ⎟ 4 3 2 4 x ⎝ ⎠
Ejemplo 6:
Integrar ∫ x 7 dx
Soluci Solución: ón:
En estas estas inte integra grales les debe debe escr escribi ibirse rse la la funció funciónn con expo exponen nente te fracci fracciona onario rio para para conv convert ertirl irlaa a la forma un:
∫
∫
7
dx = x7 / 2 dx dx
=
∫
x
7 +1 2
7 +1 2
+c=
x9 / 2
9 2
2 x 9 / 2 x dx = +c 9 7
dx
Ejemplo 7:
Integrar ∫
Solu Soluci ción ón::
Escr Escrib ibie iend ndoo la la fun funci ción ón con con exp expon onen ente te nega negati tivo vo::
x 9
dx
∫ x9 = ∫ x =
x
dx
=
∫ x9
−9
dx
− 9 +1
− 9 +1
+c=
1 +c 8 8 − x
x
−8
−8
+c
+c
11 dx 3 6 x5
Ejemplo 8:
Integrar ∫
Soluci Solución: ón:
Escrib Escribien iendo do afuer afueraa de la la integ integral ral la la consta constante nte y con expo exponen nente te fracc fraccion ionario ario y negati negativo vo la la función, se tiene que:
∫
11 dx 11 − 5 / 3 x dx = ∫ 3 5 6 6 x ⎡ − 5 +1 ⎤ ⎡ ⎤ − 2 / 3 3 ⎥ 11 ⎢ x ⎥ 11 ⎢ x = + c⎥ = + c⎥ ⎢ ⎢ 2 6 ⎢ − 5 +1 6 ⎥ ⎢ − ⎥ 3 ⎣ 3 ⎦ ⎣ ⎦ =
∫
⎤ 11 ⎡ 3 33 c + = +c ⎥ 2 / 3 6 ⎢⎣ − 2 x 2 / 3 12 x − ⎦
11 dx 11 = +c 2 / 3 3 5 − 4 x 6 x
Ejemplo 9
4⎞ ⎛ 2 9 x 6 x dx − + ⎟ ∫ ⎜⎝ x ⎠
Solu Soluci ción ón::
Empl Emplea eand ndoo prim primer eram amen ente te la fórm fórmul ulaa (4) (4) de la suma suma::
4⎞ 4 ⎛ 2 2 9 x 6 x dx 9 x dx 6 x dx dx − + = − + ⎟ ∫ ⎜⎝ ∫ ∫ ∫ x ⎠ x Ahora con la fórmula fórmula (3) de la constante para cada una de ellas:
= 9∫ x 2 dx − 6∫ x dx + 4 ∫
dx x
Para las dos primeras primeras integrales debe utilizarse la fórmula (2) de la potencia y para la tercera integral la fórmula (5):
⎡ x 2 + 1 ⎤ ⎡ x1 + 1 ⎤ = 9⎢ ⎥ − 6⎢ ⎥ + 4 [ln x ] + c ⎣ 2 +1 ⎦ ⎣ 1+1 ⎦
9 x3 6x2 = − + 4 ln x + c 3 2 4⎞ ⎛ 2 3 2 9 x 6 x dx 3 x 3 x − + = − + 4 ln x + c ⎟ ∫ ⎜⎝ x ⎠
EJERCICIO 20
1)
x11dx
∫
2)
∫
3)
∫ 6 xdx
4)
6 9 x ∫ dx
5)
∫ ( 6 x − 5) dx
6)
3 2 1 1 9 − + x − 5) dx x x ( ∫
7)
2 7 x ( ∫ + 8 x − 2 ) dx
8)
2 x 3 ( ∫ + 10 x − 11) dx
dx
9)
∫ x4
11)
4 2 ⎞ ⎛ 3 x dx 8 − + ∫ ⎜⎝ 3 x 2 5 x ⎟⎠
13)
11 x ⎛ 6 − ∫ ⎜⎝ 11 x 6
15)
5 ⎛ 11 10 x8 ∫ ⎜⎜ 10 5 x8 + 11 ⎝
⎞ ⎟ dx ⎠ ⎞ ⎟ dx ⎟ ⎠
x10 dx
dx
10)
∫ 2 x
12)
⎛ 3 5 x9 ∫ ⎜⎜ 5 x9 + 3 ⎝
14)
⎛ 9 2 x5 ⎞ ∫ ⎜⎝ 2 x5 + 9 ⎟⎠ dx
16)
13 ⎛ 13 11 x 4 ∫ ⎜⎜ 11 13 x4 − 13 ⎝
⎞ ⎟ dx ⎟ ⎠
⎞ ⎟ dx ⎟ ⎠
