LA ACTIVIDADES_TRIGO 1°

Trigonometría Actividades

Primer grado de Secundaria

Editorial

TrigonomeTría Libro de acTividades Primer grado de secundaria coLección inTeLecTum evoLución ©

Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor RUC 20545774519 Jr. Dávalos Lissón 135, Cercado de Lima Teléfonos: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 Fax: 330 - 2405 E-mail: [email protected] www.editorialsanmarcos.com

Responsable de edición: Yisela Rojas Tacuri Equipo de redacción y corrección: Josué Dueñas Leyva / Christian Yovera López Marcos Pianto Aguilar / Julio Julca Vega Óscar Díaz Huamán / Kristian Huamán Ramos Saby Camacho Martinez / Eder Gamarra Tiburcio Jhonatan Peceros Tinco Diseño de portada: Miguel Mendoza Cruzado / Cristian Cabezudo Vicente Retoque fotográfico: Luis Armestar Miranda Composición de interiores: Lourdes Zambrano Ibarra / Natalia Mogollón Mayurí Roger Urbano Lima Gráficos e Ilustraciones: Juan Manuel Oblitas / Ivan Mendoza Cruzado Primera edición: 2013 Tiraje: 15 000 Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.° 2013-11967 ISBN: 978-612-313-052-7 Registro de Proyecto Editorial N.º 31501001300690 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del editor. Impreso en Perú / Printed in Peru Pedidos: Av. Garcilaso de la Vega 978 - Lima. Teléfonos 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 E-mail: [email protected] Impresión: Aníbal Paredes Editor S.A.C. Calle San Carlos, mz. B lote 5, urb. Santa Marta, Lima, ATE RUC 20538732941 Este libro se terminó de imprimir en los talleres gráficos de Aníbal Paredes Editor S.A.C. Calle San Carlos, mz. B lote 5, urb. Santa Marta, Lima, ATE RUC 20538732941

La coLección inTeLecTum evoLución para Secundaria ha sido concebida a partir de los lineamientos pedagógicos establecidos en el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular, además se alinea a los patrones y estándares de calidad aprobados en la Resolución Ministerial N.º 0304-2012-ED. La divulgación de la coLección inTeLecTum evoLución se adecúa a lo dispuesto en la Ley 29694, modificada por la Ley N.º 29839, norma que protege a los usuarios de prácticas ilícitas en la adquisición de material escolar. El docente y el padre de familia orientarán al estudiante en el debido uso de la obra.

Contenido Temas

Páginas

Ángulo trigonométrico Aplicamos lo aprendido Practiquemos

PRIMERA UNIDAD

5 7

Sistemas de medición angular Aplicamos lo aprendido Practiquemos

10 12

Longitud de arco Aplicamos lo aprendido Practiquemos

15 17

Maratón matemática

20

Área del sector circular Aplicamos lo aprendido Practiquemos

SEGUNDA UNIDAD

23 25

Razones trigonométricas de ángulos agudos Aplicamos lo aprendido Practiquemos

28 30

Propiedades de las razones trigonométricas Aplicamos lo aprendido Practiquemos

33 35


38

Triángulos rectángulos notables Aplicamos lo aprendido Practiquemos

40 42

Razones trigonométricas de ángulos notables

TERCERA UNIDAD

Aplicamos lo aprendido Practiquemos

45 47

Resolución de triángulos rectángulos Aplicamos lo aprendido Practiquemos

49 51

Ángulos verticales Aplicamos lo aprendido Practiquemos

54 56


59

Sistema de coordenadas cartesianas Aplicamos lo aprendido Practiquemos

61 63

Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal

CUARTA UNIDAD

Aplicamos lo aprendido Practiquemos

66 68

Reducción al primer cuadrante Aplicamos lo aprendido Practiquemos

71 73

Sistema métrico decimal Aplicamos lo aprendido Practiquemos

75 77


80

Unidad 1

Aplicamos lo aprendido tema 1: 1

Ángulo trigonométrico

Calcula x.

2

-7x

Calcula c x + 1° m . 3 2x + 1°

89°

-49°

A) 7° D) 21°

3

B) 11° E) 89°

C) 13°

Calcula x.

A) 2° D) 20° 4

-5° -19°

B) 7° E) 49°

C) 11°

B) 18° E) 45°

C) 12°

B) 2α + 3θ 3 α E) 5

C) α + θ 5

Calcula x. -5x

40°

4x

3x

x

A) 5° D) 16° 5

B) 19° E) 24°

C) 13°

Halla a + 1°.

A) 15° D) 30° 6

Calcula x. 5x

3a

2α 3θ

-39° -21°

A) 3° D) 8°

B) 10° E) 11°

C) 21°

A) θ - α 5 - 2α 3 θ D) 5

TRIGONOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

5

7

Halla x.

8

Halla x. 140°

3x - 8°

2x + 7°

2° - 3x -150°

A) 7° D) 20° 9

B) 8° E) 25°

A) 3° D) 24°

C) 15°

Calcula x.

10

B) 0° E) 36°

C) 15°

Halla x, si OS es bisectriz. T O

-73°

3x + 2°

38° - 5x S

x - 30° R

A) 5° D) 30° 11

B) 17° E) 73°

A) 1° D) 20°

C) 9°

Calcula x.

12

B) 2° E) 30°

C) 5°

B) 189° E) -210°

C) -223°

Halla q.

x

47°

Bisectriz

15°

θ

C) -330°

Calcula x.

A) -192° D) 226° 14

Calcula q, siendo OA bisectriz del ángulo COD. A

D θ

x O

60° C

C) -150°

A) 140° D) 120° 8. D 7. c

10. b 9. A

12. c 11. E

14. D 13. A

Claves

Intelectum 1.°

5. E

6

B) -140° E) -150° 6. D

B) -190° E) 240°

E

C) 160°

3. D

A) -210° D) 230°

O

4. A

30°

1. c

13

B) -179° E) 330°

2. b

A) 270° D) 340°

Practiquemos A) 90º - a D) 90º - α 2

NIVEL 1 Comunicación matemática 1.

De las figuras, señala el sentido en que giran los ángulos trigonométricos horario (H) o antihorario (A).

7.

B) 90º + a E) 90º + α 2

C) a

Halla x. 10° - x x + 50°

Fig. 1 ( )

Fig. 2 ( )

A) 25° D) 30°

B) 20° E) 22°

C) 15°

Resolución de problemas Fig. 3 ( ) A) AHAH D) HAHA 2.

Fig. 4 ( ) B HHAH E) HAHH

8.

C) HAAH

De las figuras en el problema 1, señala positivo o negativo de acuerdo al sentido de giro de los ángulos trigonométricos. A) (+)(-)(+)(+) D) (+)(-)(+)(-)

B) (-)(-)(+)(+) E) (-)(-)(-)(+)

α θ

C) (-)(+)(-)(+)

A) -45° D) - 37° 2

Razonamiento y demostración 3.

Del gráfico, si a = 3q, calcula el valor de -q.

9.

Calcula x.

C) - 45° 2

B) -36° E) -76°

Si a + b = 20°, calcula el valor de 3a. b

x

a

-50°

A) 40° D) 50° 4.

B) 36° E) 60°

C) 48°

C) 240°

A -x -x

5.

B) -180° E) -270°

10. En el gráfico, OC es bisectriz. Halla 20° - x.

Calcula x.

A) 30° D) 40°

A) -200° D) -240°

B) 20° E) 60°

x

x O

35°

C

C) 25°

B

A) 310° D) 120°

Halla x. x - 10°

-20°

B) -290° E) -200°

C) -270°

NIVEL 2 Comunicación matemática

A) 10° D) 40° 6.

B) -10° E) 30°

C) 15°

11. Sea el ángulo trigonométrico b definido por: b = a + q; indica su sentido de giro.

Halla x en función de a. α

α

θ

x


7

12. De la figura mostrada analiza las proposiciones:

Resolución de problemas 18. Se tienen 2 ángulos trigonométricos consecutivos de sentidos de giro opuesto:

30° θ

α

+AOB = 10° - x , +BOC = 20° + 3x Si el ángulo AOC mide 90°, calcula x si es negativo.

I. q es negativo. II. -q + a gira en sentido horario. III. a + q = 60° A) VVV D) FFV

A) -25° D) -10°

B) FVV E) FVF

C) VFV

Razonamiento y demostración

B) 10° E) 50°

C) 20°

14. Halla x en función de a y q.

A) 42° D) 46°

B) 36° E) 40°

C) 38°

NIVEL 3 α

Comunicación matemática

2x

21. De la figura, analiza las proposiciones dadas.

θ

B) α - θ 2 -α 2 θ E) 2

C) 2(a - q) θ α

3x + 30°

30° - 6x

45°

I. a es un ángulo recto positivo. II. q + a tienen sentido de giro horario. III. 45° - q = a

15. Calcula x.

A) 8° D) 16°

C) -2°

+AOB = 50° - 4a, +BOC = 2a - 10° de sentido horario y antihorario, respectivamente. Si la medida del ángulo AOC es 180°, calcula a.

-20° 30°

D) α + θ 2

B) -8° E) -4°

20. Sean los ángulos trigonométricos:

x

A) a - q

B) 12° E) 10°

C) 20°

16. Señala la relación correcta.

A) FVF D) VVF

B) FVV E) FFV

C) FFF

22. ¿En qué sentido debe girar q para que el ángulo b = a + q, gire en sentido horario? OB bisectriz del +AOC. B

C a

q

A) a = q D) a - q = 90°

B) a = -q E) 2a = q

D

C) q - a = 90°

23. Calcula a.

B T

α

8° -12° 10°

4x - 12° A

8

B) 2°

Intelectum 1.°

C) 3°

A

O


6x - 8°

O

θ α 50°

17. Halla x, si OT es bisectriz.

A) 1°

C) -5°

19. Sean los ángulos trigonométricos opuestos por el vértice O, 7x - 3° y 2x + 21°; si dichos ángulos giran en sentidos opuestos, calcula 3x + 2°. A) 16° D) -16°

13. Calcula x.

A) 60° D) 40°

B) -90° E) -30°

D) 4°

E) 6°

A) 30°

B) 20°

C) 35°

D) 40°

E) 24°

30. Sabiendo que q + x = 60°. ¿Cuál es el valor de q y x, respectivamente?

24. De la figura, determina el valor de x. 5x 3x -7x

A) 24° D) 32°

x

B) 20° E) 40°

C) 26°

A) 50° y -10° D) 75° y -15°

θ

B) 65° y -5° E) 80° y -20°

C) 70° y -10°

25. De la figura, determina el valor de x.

Resolución de problemas

15° - x 20° + 3x

A) 30° D) 28°

5° + x

B) 34° E) 29°

C) 35°

A) 2° D) 10°

26. De la figura, determina el valor de x.

A) a + b + q D) -q -a + b

-150

B) 30° E) 50°

C) -40°

27. Halla x en función de a; q y b.

C) 8°

B) 2a + b - q E) a + b - q

C) a - b + q

33. Se tienen 3 ángulos consecutivos que forman un ángulo llano AOD y estos son: +AOB = x + 10°, antihorario; m+BOC = 90°; m+COD = 30° - x, horario, calcula el valor de x. A) 50° D) 55°

x θ

B) 6° E) 3°

32. Se tienen 3 ángulos agudos consecutivos: +AOB = b, horario; +BOC = -a, antihorario; y +COD = q, antihorario. Si el ángulo AOD = y, gira en sentido horario, calcula y.

x

A) 60° D) 40°

31. Sean los ángulos consecutivos y agudos: +AOC = 5x - 3°, antihorario y +COB = 9° - 6x, horario. Si el rayo OC es bisectriz, calcula x.

B) 52° E) 48°

C) 56°

-β α

C) b - a + 90°

29. b

28. A

33. D 27. D

32. E

25. b

26. b

31. b

24. A

8. c 9. D 10. A

29. De la figura, determina el valor de n.

Nivel 3 21. E

B) b + a - 90° E) a - b + 90°

Nivel 2 11. 12. b 13. E 14. b

A) b - a - 90° D) a - b - 90°

C l a ve s

x

30. D

28. De la figura determina el valor de x.

23. A

C) a - q - b

22.

B) 2a - b + q E) a - b + q

15. E 16. D 17. b 18. A 19. E 20. E

A) 2a + b - q D) a + b + q

A) 5 D) 20

B) 10 E) 25

D c A A E b A

(4n + 12)°

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

120°

Nivel 1

(2 - 7n)°

C) 15


9


Sistemas de medición angular

Convierte 80g a radianes.

A) 3p rad 5 2p rad D) 5 3

B) 6 E) 10

4

B) 6p rad 7 6p E) rad 5

C) 3p rad 5

A) 1

B) 2

D) 3

E) 3 2

C) 1 2

Calcula: J=

C) 9

Calcula: M = p rad + 18° ; en el sistema centesimal. 10

Convierte 160g a radianes.

A) 8p rad 5 4p rad D) 5

C) 4p rad 5

Un ángulo mide 70g y su suplemento (11x + 7)°. ¿Cuál es el valor de x?

A) 3 D) 5 5

B) 8r rad 5 p E) rad 5

2

6

40 g p rad 10

Calcula x. 7π rad 15 50

A) 40g D) 18g

10 Intelectum 1.°

B) 36g E) 30g

C) 42g

g

A) 30° D) 80°

x

B) 51° E) 41°

C) 84°

Calcula: 2 2 M = C -2 S ; C siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo.

B) 17 100 E) 5 44

A) 380

10

A) p rad 2 p D) rad 8

C) 11

Expresa 37, 43° en grados, minutos y segundos sexagesimales.

B) 38°20'30" E) 37°2'30"

14

C) 3 rad 2

C) p rad 4

Si el número de grados centesimales de un ángulo excede en 6 al número de grados sexagesimales, calcula: R - p , 10 siendo R el número de radianes de dicho ángulo.

B) 3p 10 E) p 12

C) 3p 5

Expresa 217 533s en grados, minutos y segundos centesimales.

A) 21g 3m 44s D) 21g 75m 33s

10. c

8. D

9. D

7. c

B) 2g 75m 43s E) 21g 7m 33s

C) 2g 17m 53s

Claves

B) 45 rad E) 35 rad

B) p rad 3 E) p rad 35

A) p 5 p D) 6

C) 37°25'48"

Halla la medida de un ángulo en radianes si se cumple que: R2 = π d2S - 3 C n ; para R, C y S son las medidas del ángulo en 2 el sistema radial, centesimal y sexagesimal, respectivamente.

12. A 11. c

A) 30 rad D) 60 rad

12

C) 17

Si se cumple: 3S - 2C = 35 Calcula el ángulo en radianes, siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo.

5. A

B) 7 E) 54

A) 37°21'37" D) 37°26'64"

14. D 13. D

13

D) 19 100

Si se cumple: S = 54° y C = (7n + 4)g Calcula n, siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo.

A) 5 D) 8 11

C) 3 π

6. b

9

B) 2 π E) 20 π

3. E

A) 1 π D) 60 π

4. b

8

1. D

Siendo S, C y R lo conocido para un ángulo no nulo, reduce: A = 60R C-S

2. D

7


11

Practiquemos NIVEL 1

8.

Comunicación matemática 1.

Analiza las siguientes proposiciones: I. En el sistema sexagesimal, el ángulo de una vuelta se divide en 400 partes iguales. II. El número de radianes de una vuelta es 3π. III. Un minuto sexagesimal es equivalente a 100 segundos sexagesimales. A) VFV D) VFF

2.

B) FFF E) VVV

C) VVF

En la figura, el ángulo q es la tercera parte de una vuelta. ¿Cuáles son las medidas del ángulo q en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial?

θ

A) 130°; 100g; p rad 2 g 400 C) 120°; ; 2p rad 3 3 E) 190°; 200g; 400 rad 3

B) 100°; 200g; π rad g D) 180°; 200 ; 3p rad 3 4


Convierte p rad a grados sexagesimales. 5 A) 32° D) 72°

4.

B) 20° E) 36°

Convierte 25g a grados sexagesimales. A) 18,5° D) 22,5°

5.

6.

B) 23,5° E) 18°

C) 14°

B) 6p rad 7

D) 4p rad 5

E) 6p rad 5

C) 3p rad 5

C) p rad 5

Expresa 81° en grados centesimales. A) 80g D) 75g

B) 120g E) 90g

12 Intelectum 1.°

10. Siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo, reduce: J = 2C + 3S C-S A) 17 B) 27 C) 37 D) 47 E) 57 11. Siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo, reduce: J = 3C - S C-S A) 17 B) 19 C) 21 D) 23 E) 25

Resolución de problemas 12. Señala la medida circular de un ángulo cuyo número de grados centesimales es igual a 130. A) 13p rad 20 13p D) rad 5

B) 13p rad 10 13p E) rad 30

C) 13p rad 12

13. Señala la medida sexagesimal de un ángulo cuyo número de grados centesimales es igual a 40. A) 26° D) 27°

B) 36° E) 18°

C) 54°

A) 20° D) 30°

B) 24° E) 54°

C) 27°

15. Si se cumple que: S = nC, siendo S y C lo conocido para un ángulo, halla: E = 12n + 0,2

Convierte 54° a radianes. B) 3p rad 5 E) 3p rad 10

Siendo S, C y R lo conocido para un ángulo no nulo, reduce: J = S+C R p A) B) p C) 190 380 190 p 380 D) E) p p

S = 6x + 3 y C = 7x + 2 , siendo S y C lo conocido para dicho ángulo.

Convierte 160 a radianes. A) 8p rad 5

C) 20g

14. Señala la medida sexagesimal de un ángulo que verifica:

g

A) p rad 10 D) 4p rad 5 7.

C) 40°

9.

Convierte p rad a grados centesimales. 8 g A) 45 B) 35g D) 25g E) 30g

C) 70g

A) 10 D) 13

B) 11 E) 14

C) 12

16. Señala la medida circular de un ángulo que cumple: 7C - 4S = 34, siendo S y C lo conocido para dicho ángulo. A) p rad 10 D) p rad 15


C) p rad 6

23. Siendo S, C y R lo conocido para un ángulo no nulo, reduce: J = pC - 60R pS - 40R

NIVEL 2 Comunicación matemática 17. El método de factor de conversión en los sistemas de medición angular, se usan para expresar un ángulo de un sistema a otro. Relaciona según corresponda: I. 3π rad a sexagesimales.

b. 10 9° c. p g 200

III. 50° a centesimales.

B) Ia; IIb; IIIc E) Ib; IIa; IIIc

C) Ic; IIa; IIIb

18. De la fórmula general de conversión: S = C =R 180 200 p

C) FVF

Razonamiento y demostración 19. Calcula: K = 1° 2' + 1°3' + 1°4' 2' 3' 4' A) 47 D) 64

B) 56 E) 68

C) 58

20. Convierte 67°30' a radianes. A) p rad 8

B) 3p rad 8

D) 5p rad 16

E) 3p rad 13

C) p rad 6

P = 40g + 3p rad , en el sistema sexagesimal. 4 B) 170° E) 140°

C) 50°

22. Siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo, reduce: J= A) 1 D) 4

D) 1 4

E) 3 4

C) 1 2

¿Cuál es el valor de x? A) 2 D) 8

B) 4 E) 9

C) 6

26. Señala la medida circular de un ángulo que cumple: 3C - 2S = 36; siendo S y C lo conocido para dicho ángulo. A) p rad 20

B) p rad 10

D) p rad 5

E) p rad 4

C) 3π rad 20

27. Señala la medida circular de un ángulo cuyo número de grados centesimales excede a la tercera parte de su número de grados sexagesimales en 28. A) p rad 10 D) p rad 4


C) 3p rad 10

28. Señala la medida circular de un ángulo que cumple:

21. Calcula:

A) 171° D) 120°

B) 2

25. Un ángulo mide 30g y su complemento (8x - 1)°.

I. S representa al número de grados en el sistema sexagesimal. II. C representa al número de grados en el sistema internacional. III. R representa al número de radianes en el sistema circular. B) VFF E) VFV

A) 1


Analiza las siguientes afirmaciones:

A) VVF D) FFV

D) 6 5

C) 5 4

24. Calcula el valor de la expresión, siendo S y C lo conocido para un ángulo. 405 _C - Si3 F= S2 C

g

II. 23g a radianes.

A) Ib; IIc; IIIa D) Ia; IIc; IIIb

a. 180° p

B) 4 3 E) 2

A) 1

S = 2n + 1 y C = 3n - 2; siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo. A) p rad 10

B) p rad 9

D) p rad 30

E) p rad 18

C) p rad 20

29. Si la diferencia de las medidas de dos ángulos complementarios es igual a p rad , ¿cuál es la medida sexagesimal del mayor? 10

C 2 + S 2 - 10 C 2 - S 2 19 B) 2 E) 5

C) 3

A) 72° D) 63°

B) 54° E) 60°

C) 48°


13

30. Señala la medida circular de un ángulo que cumple S.C = 810; siendo S y C lo conocido para dicho ángulo. B) 3π rad 20 E) p rad 5

A) p rad 20 D) 2p rad 5

B) 50° E) 65°

C) 55°

y

x°

A) 10x + 9y = 450 C) 9x + 10y = 450 E) x + y = 45

J=

2C - S + C-S

S°

g

C

Si S, C y R son los números correspondientes a un mismo ángulo en los tres sistemas de medición, analiza las proposiciones: I. El ángulo es la tercera parte de una vuelta. II. La medida del ángulo en el sistema radial es p . 3 g III. El ángulo en el sistema centesimal es 400 . 3 B) VVF E) VVV

C) VFF

33. De las expresiones dadas, indica la correcta. A) 1° = 60"

B) 1g = 100'

D) 1' = 1° 60

E) 1" = 1' 100


C) 1m = 60"

A) p rad 10 D) 2p rad 9

34. Convierte 3' 7'' a segundos sexagesimales. B) 135'' E) 160''

39. Señala la medida circular de un ángulo cuyo número de grados centesimales excede a su número de grados sexagesimales en 3. A) p rad 10 D) 3p rad 20

A) 20° D) 50°

B) 30° E) 60°

B) p rad 3

D) p rad 8

E) p rad 12

14 Intelectum 1.°

9. D

Nivel 2

25. D

33. D 34. A

1. b

10. D

17. D

26. c

2. c

11. c

18. E

27. b

35. D

19. E

28. c

36. b

29. b

37. b

30. b

38. A

31. D

39. D 40. c

4. D

C) p rad 10

C) 40°

C l a ve s

5. D

A) p rad 6

C) 3p rad 10

Halla la medida de dicho ángulo en grados sexagesimales.

3. E

35. Convierte a radianes 22°30'.

B) 2p rad 5 p E) rad 5

40. Si R, representa la medida de un ángulo en radianes, además: 2 p -3 R = 2 2 R p

Nivel 1

C) 157''

C) 3r rad 10

B) p rad 9 E) r rad 5


A) 187'' D) 177''

C) 5

38. Si la media geométrica de la mitad del número de grados centesimales de un ángulo y el triple de su número de grados sexagesimales es igual a 6 15 , ¿cuál es la medida circular del ángulo?

R rad

A) VFV D) FFV

5 S - 2C C-S B) 4 E) 7

Comunicación matemática 32. De la figura:

B) 10x - 9y = 450 D) 9x - 10y = 450

37. Siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo, calcula:

A) 3 D) 6

NIVEL 3

45°

g

C) p rad 4

31. La diferencia de las medidas de dos ángulos suplementarios es igual a p rad, ¿cuál es la medida sexagesimal del menor? 3 A) 40° D) 60°

36. De acuerdo al gráfico, señala lo correcto:

6. E

12. A 13. b 14. c

20. b 21. A 22. c

7. E

15. b

23. A

Nivel 3

8. D

16. E

24. c

32. A


LONGITUD DE ARCO

Halla la longitud del arco. 12 cm

120°

12 cm

A) 8π cm D) 12 cm 3

2

B) 6π cm E) 7π cm

A) π cm D) 31π cm

C) 10 cm

Halla la longitud del arco.

En un sector circular el ángulo central mide 62g y el radio 1 m. ¿Cuánto mide el arco?

4

x rad

L

B) 3π m E) p m 5

D) 25π m

C) 5π m

Halla x.

A) 1 D) 5 6

C) 2π

15 g

x

40

x 15

D) 15π

B) 9π E) 3π

Halla x.

15

A) 3π

C) 3

3x + 4 5

A) π m

28°

B) 2 E) 10

5

5m

5

C) 62π cm

Calcula x.

5m

π rad 5

B) 30π cm E) 54π cm

15

B) 5p 3 E) 28p 3

C) 7p 3

A) 15π D) 7π


15

7

Halla x.

8 35

π rad 7

Si la longitud del arco es el triple de la longitud del radio, calcula la medida del ángulo del sector circular.

x

35

A) 5π D) 35π 9

B) 6π E) 42π

Del gráfico, calcula: 3a

L2 L1

a

10

B) 2 rad E) 1 rad 3

C) 3 rad

Halla x. x

π rad 5

L2

L1

θ rad

A) 1 rad D) 1 rad 2

C) 7π

3π m

x

a 3a

B) 1 4 E) 8

A) 4 D) 1 3 11

C) 3

Del sector circular, calcula a.

A) 5 m D) 15 m 12

B) 15π m E) 7 m

C) 12π m

En un sector circular el ángulo central mide 70g y el radio 1 m. ¿Cuánto mide el arco?

6m

α 30 m

A) 1 rad D) 0,1 rad

A) 7p m 20 D) 5π m

C) 0,2 rad

Del sector circular, calcula L.

14

16 m

B) 15p m 7 E) 35π m

C) 14p m 5

En un sector circular el arco mide 4π cm y el ángulo central mide 50g ¿cuánto mide el radio?

L

C) 8π m

A) 8 cm D) 28 cm 6. E 5. c

8. c 7. A

10. D 9. A

12. A 11. c

14. c 13. D

Claves

16 Intelectum 1.°

B) 24 cm E) 32 cm

C) 16 cm

3. A

B) π m E) 3π m

4. b

A) 2π m D) 4π m

1. A

45°

2. D

13

B) 2 rad E) 0,5 rad


5.

Calcula R del gráfico.

A


R

De la circunferencia mostrada:

O

A

R

R L

α

O

A) 12 m D) 18 m

B

Se cumple: aR = L Analiza las proposiciones: I. a es el número de grados centesimales del ángulo central AOB. II. De la expresión, si L está en metros, entonces a también está en metros. III. Si R es igual a L, la medida del ángulo central es 2π rad. A) VVF B) FFF C) FVF D) FVV E) VVV 2.

Del gráfico:

6.

O

B

B) 14 m E) 20 m

C) 16 m

Halla q en el gráfico. A

8m O

24 m

θ

8m

A) 1 rad D) 4 rad 7.

R1

6π m

π/3 rad

B

B) 2 rad E) 5 rad

C) 3 rad

Del gráfico halla a.

R2

30 m b

a

θ

O

6m

α

30 m

Relaciona las expresiones para formar igualdades. a. q I. R2 b. b - a II. a R1 c. b III. q(R2 - R1) q A) aII, bIII, cI D) aIII, bII, cI

B) aII, bI, cIII E) aIII, bI, cII

A) 0,5 rad D) 0,2 rad 8.

A

B

B) 0,4 rad E) 0,1 rad

C) 0,3 rad

Halla r.

C) aI, bII, cIII

r 60° r

4m


Halla la longitud del arco.

A) p m 6 D) 6 m p

A) 3/2 m B) 2/3 m C) 12 m D) 6 m E) 4 m 4.

3m L

2 rad

A) π rad B) 2π rad C) p rad 8 D) p rad 2 E) p rad 3

9.

3π m 4 6m

Determina el perímetro de un sector circular AOB cuyo radio tiene por longitud 4 m y su ángulo central mide 0,5 rad. A) 26 m D) 10 m

6m

C) 3 m p


3m

Halla el ángulo central.

B) 9 m p 12 E) m p

B) 24 m E) 18 m

C) 20 m

10. Dada la circunferencia de 24 m de radio, determina la longitud de arco que subtiende un ángulo central de 2/3 radianes. A) 4 m D) 16 m

B) 8 m E) 20 m

C) 12 m


17

15. Halla la longitud del arco.


2m

11. Del gráfico, si R está en metros, indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: A

A) π m

R L

θ

O

B) p m 2

50

g

2m

C) p 3

D) 2π m

16. Halla la longitud del radio. R

B

I. L es igual a qR. II. q es el número de grados sexagesimales del ángulo central. III. Si la longitud de arco (L) está en metros, el número de radianes del ángulo central es igual a L . R A) FVV B) VVF C) VFV D) FFV E) VFF 12. Relaciona cada sector circular con su respectiva longitud de arco.

108°

R

2π m

A) 12 m 7

B) 7 m 12

C) 5 m 4

D) 8 m 3

3m

a. π cm O

II.

2m

b. π m

π rad

L

III.

π/4 rad 1m

A) Id, IIa, IIIb C) Ib, IId, IIIa E) Ic, IId, IIIb

B) Ib, IIc, IIIa D) Ib, IIa, IIIc

B) 3π m E) 5π m

C) 4π m

8m

x

B) 4π m E) 10π m

18 Intelectum 1.°

18. Halla x. 120°

3m

3m

B) p m 5 E) 6π m

D) 2π m

C) 3π m

A) 1 rad 2 D) 2 rad 5

B) 2 rad 3 E) 4 rad 7

C) 3 rad 2

20. Halla la longitud de las curvas AB + BC, si M es punto medio de OB, además: a = p rad y OA = OB = 4R. 6

14. Halla x.

A) 8π m D) 9π m

E) p m 2

19. Una circunferencia tiene un radio de 30 m. ¿Cuántos radianes mide un ángulo central subtendido por un arco de 20 m?

x

6m

135°

D) p m 5


60°

8m

C) p m 4

A) π m

6m

A) π m D) 2π m

B) p m 3

x

Razonamiento y demostración 13. Halla x.

3m

A) π m

c. p m 4 p d. cm 2

O 1 cm

E) 10 m 3

17. Halla la longitud del arco L.

30°

I.

E) 3π m

C) 6π m

A) πR B) 2πR C) 3πR D) 4πR E) 5πR

A

O

α

M

α

B C

21. Calcula la longitud del arco correspondiente a un sector circular cuyo ángulo central mide 36° y cuyo radio mide 15 cm. A) π cm

B) 2π cm

C) 3π cm

D) 4π cm

26. Halla la longitud del arco AB. 5m

E) 5π cm

A O

22. En un sector circular el arco mide L. Si el ángulo central se incrementa en su doble, se genera un nuevo sector cuyo arco mide: A) 2L

B) 3L

C) 4L

E) 3L 2

D) 6L

D 15 m

1 rad B

A) 12 m D) 9 m

5m

C

B) 11 m E) 8 m

C) 10 m

NIVEL 3 Resolución de problemas


27. Halla a.

23. Relaciona según corresponda:

a+1

A

I.

θ rad

O 20 cm

a rad

5π cm

a. +AOB es recto.

O θ rad

II. 18 cm

A) 2 D) 1 4

15π cm

b. +AOB es agudo.

B A

1.8 m

III.

O

c. +AOB es igual a 5p rad. 6

θ rad

90π cm

B

A) Ia, IIb, IIIc D) Ia, IIc, IIIb

B) Ic, IIa, IIIb E) Ib, IIc, IIIa

C) Ib, IIa, IIIc

24. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

R1 O

R2

B

A

I. L1R2 = L2R1

D

B) FFV

L1 - L 2 h III. L2 = (R1 + h)q

L2

L1

θ rad

A) VFV

a+1

B A

h

II. q =

C

C) VVF

D) VVV

B) 1

28. En un sector circular, el arco mide L. Si el ángulo central se incrementa en su triple y el radio se reduce a su mitad, se genera un nuevo sector cuyo arco mide: A) 3L D) 4L 3

E) 2L

29. En un sector circular, el radio mide 8 cm y su ángulo central mide 2 rad. ¿Cuál es su perímetro? A) 16 cm D) 32π cm

B) 32 cm E) 64π cm

30. En un sector circular el ángulo central mide 30° y el radio mide 24 cm. ¿Cuánto mide el arco? A) π cm D) 4π cm

Nivel 1 1. b 2. A

4

3. D 4. c

2

B) 2

C) 3

D) 1 4

C) 15π cm

B) 2π cm E) 6π cm

C) 3π cm

C l a ve s

2

A) 1 6

C) 3L 2

B) 4L

E) FVF

25. Halla q.

3

C) 3

E) 3,5


θ rad

a+4

E) 1 2

7. D

12. D

19. b

24. A

8. E

13. D

20. A

25. E

14. c

21. c

26. c

9. D 10. D

15. b 16. E

22. b

27. A 28. E

5. D

Nivel 2

17. E

Nivel 3

29. b

6. c

11. A

18. D

23. E

30. D


19

Matemática Si: C - C - C - ... = a / S + S + S + ... = a ; C: sistema centesimal; S: sistema sexagesimal. Halla la medida del ángulo en radianes. Resolución:

De los datos: ... (1)

S + S + S + ... = a

... (2)

• a S + S + S + ... k = a2

Elevamos al cuadrado cada una de las ecuaciones: 2

a C - C - C - ... k = a2 C - C - C - ... = a2 (C - a) = a2 C = a2 + a C = a(a + 1)

1.

S + S + S + ... = a2 (S + a) = a2 S = a2 - a S = a(a - 1) • Sabemos que: S = C 9 10

C) 1 9

B) 0,9 E) 1,9

A) 80g D) 97g 6.

a m

p

7.

3.

C) p = m + n

B) 7 p 12 E) 3 p 10

B) 27° E) 42°

B) 97° E) 152°

g

20 - 8x π/6 - 2x

9.

B) 77° E) 25°

C) 13°

Dado el siguiente gráfico, calcula el valor de x.

( 3x - 45 )

C) 75°

π

g

40

Si: 3S - 2C = 84

Intelectum 1.°

C) 36°

Del siguiente gráfico, calcula el valor del complemento de x.

A) 82° D) 10°

Donde S y C son lo convencional para un ángulo no nulo.

20

8.

C) 72°

Si se sabe que b π es el complemento de 30g, calcula la 20 diferencia de dichos ángulos.

C) 4 p 15

El suplemento del complemento del suplemento del complemento de un ángulo es 190°. Calcula el suplemento del ángulo aumentado en 20g. A) 100° D) 163°

5.

B) 45° E) 63°

Si un mismo ángulo mide (4a + 11)° y (12a - 18)g. Determina la medida de dicho ángulo en radianes. A) 5 p 17 D) 3 p 20

4.

B) p = m - n E) p = 2m - n

C) 80g

La suma de las medidas de dos ángulos es 3 p y la resta 20g, 5 calcula la medida del mayor ángulo en el sistema sexagesimal.

A) 50° D) 16°

Encuentra el valor de p en función de m y n. A) p = n - m D) p = 3n - m

B) 75g E) 77g

A) 68° D) 32°

a

n

Nos piden hallar la medida en radianes. Entonces: R = C & R = 380 π 200 p 200 ` R = 1,9π

Calcula el valor del suplemento del ángulo en grados centesimales.

Dado el siguiente sector circular:

a

• Reemplazamos el valor de a: C = 192 + 19 = 380

• Reemplazamos los valores obtenidos: a (a - 1) a (a + 1) = 9 10

Reduce la siguiente expresión: (S + R) 2 - (S - R) 2 , sabiendo que S (sexagesimal); H= (C + R) 2 - (C - R) 2 C (centesimal) y R (radián) para cualquier ángulo no nulo. A) 0,19 D) 19

2.

10a - 10 = 9a + 9 a = 19

2

C - C - C - ... = a

A) 5

B) 3

x

C) 6

D) 7

E) 2

Unidad 2

Recuerda Pitágoras de Samos (582 a.C-497 a.C) Filósofo griego nacido en Samos y muerto en Metaponto. Es considerado como uno de los siete grandes sabios de Grecia y su vida estuvo siempre envuelta por la leyenda. Pitágoras viajó a Egipto y Babilonia, donde asimiló conocimientos tanto matemáticos como astronómicos, así como un gran bagaje religioso. Fundó una secta caracterizada por el retiro, ascetismo y misticismo. A él se le atribuye la invención de la palabra “filósofo”.

Reflexiona • Cuando todo sale bien es fácil que las personas se apoyen unas a otras, pero al momento de la crisis podemos ver con quién contamos en realidad.

El mayor éxito científico atribuido a Pitágoras fue su estudio del sonido, descubriendo que las cuerdas de instrumentos musicales producían sonidos de tonos más agudos cuando se las acortaba. Gracias a sus observaciones, el estudio del sonido ha permanecido inalterable hasta nuestros días.

• Es más fácil perdonar a quien te hizo daño que perdonarte a ti, cuando te sabes responsable de algún error.

Pitágoras pensaba que todo el universo se apoyaba en los números y sus relaciones, procediendo a revestir a los números de ciertas propiedades mágicas, lo que llevó de una manera indirecta a la investigación sobre las propiedades matemáticas de aquellos.

• ¡Deja de preocuparte! Da un salto y comienza a actuar. Cuanto más te tardes, más se agravará tu temor. Si te quedas inmóvil te acobardarás. La acción quita el miedo.

¡Razona...! ¿Cuál es la mínima cantidad de números de la figura que deben ser cambiados de lugar para que las sumas en la vertical y horizontal sean iguales?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

15 5 3

11

9 13 19

7

17


área del sector circular

Halla el área del sector circular.

2

10 m

Halla el área del sector circular. 2m

g

3m

40

2m

10 m

A) 18p m2 D) 7p m2 3

B) 24p m2 E) 5p m2

Calcula el área del sector circular. 4m

1 rad

A) 4 m2 D) 6 m2 4

4m

B) 5 m2 E) 3 m2

B) 9 m2 E) 5 m2

C) 8 m2

Halla el área del trapecio circular.

2m

A) 6 m2 D) 3,5 m2 6

C) 7 m2

Halla el área del sector circular. 0,5 rad

A) 6 m2 D) 7 m2 5

C) 10p m2

B) 4 m2 E) 4,5 m2

C) 5 m2

Calcula el área del sector circular.

4m 6m

8m

6m

6m

4m

A) 20 m2 D) 18 m2

120°

B) 28 m2 E) 14 m2

C) 26 m2

A) 10p m2 D) 16p m2

B) 12p m2 E) 18p m2

C) 15p m2


23

7

Halla el área del sector circular. 2m

π rad 8


2m

50

A) 8 m2 π

C) 16 m2 π

B) π m2 8 π E) m2 4

D) 8p m2

9

8

A) 4 m2 D) 6 m2

Halla el radio de un sector circular cuya área es 4 m2 y su perímetro es 8 m.

10

11

B) 2 m E) 3,5 m

C) 3 m

De la figura, se cumple: L1 = 8L2, calcula el área S1.

12

L1

B) 2 m2 E) 8 m2

C) 3 m2


4m

A) 1 m D) 0,5 m

2π m

g

40°

A) 18 m2 π

B) 36 m2 π

D) 2p m2

E) 3p m2

C) π m2 18

Si la longitud de arco de un sector circular es 17 m y la de su radio es 6 m, encuentra el área del sector.

C

13

B) 2p cm2 E) p/4 cm2

C) p/2 cm2

g

A) 72 m2 D) 51 m2

Un sector circular de ángulo central d 15 n tiene un arco de π longitud 6 m. Calcula el área del sector.

14

B) 50 m2 E) 58 m2

En la figura, si el área del trapecio circular es igual a 39 m2, calcula el valor de x. x

7m

C) 60 m2

A) 2 m D) 5 m 8. A 7. E

10. B 9. B

12. D 11. B

14. B 13. A

Claves

24 Intelectum 1.°

S

19 m

B) 3 m E) 1,5 m

5. B

B) 120 m2 E) 150 m2

6. B

A) 240 m2 D) 100 m2

C) 62 m2

C) 1 m

3. C

A) p cm2 D) 3p cm2

B

4. B

O

L2

1. C

A

S1

2. E

6 cm


5.


Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. El círculo es un conjunto de puntos que equidistan de un punto llamado centro. II. El área de un círculo es igual a 2pR2 donde R es el radio del círculo. III. Al calcular el área de un sector circular si el radio está expresado en metros (m), el área tendrá como unidad al metro cuadrado (m2). A) FVV D) FFF

2.

B) VVF E) VVV

8m

7.

a. S 8 b. 3 S 4

O

c. S 2 O

III. C3

8.

A) Id; IIa; IIIc

B) Id; IIc; IIIb

D) Ia; IIb; IIIc

E) Ia; IId; IIIb

Halla el área del sector circular. (En m2). A) 4ab B) 5ab 2a m 2a m C) 5b a 5 D) a b 6b m E) 6ab Halla el área del sector circular.

0,5 rad

9.

Halla el área del sector circular. 18 m

A) 10p D) 12p

B

18 m

π rad 5 20 cm

4.

15 m

Halla el área del sector circular AOB. (En cm2).

O

10. Halla el área del sector circular. A

B) 8p E) 40p

C) 20p

3 rad

12 m

Halla el área del sector circular AOB. (En cm2). O

2 7 cm A

A) 6p D) 2p

B) 3p E) 4p

π 7

11. Halla el área al sector circular. 2 7 cm B

0,8 rad

C) 5p

A) 11 m2 B) 0,5 m2 C) 12 m2 D) 13 m2 E) 13 m 2

C) Id; IIc; IIIa


20 cm

E) 12 m2

13 m

d. S 4

r

3.

A) 8 m2 B) 32 m2 C) 16 m2 D) 10 m2

4m

4m

O

II. C2

Halla el área del sector circular.

C) FFV

Si las circunferencias C1; C2; C3 tienen el mismo radio; además, el área de C1 es S, relaciona cada figura con el área correspondiente a la zona sombreada. I. C1

6.

Calcula el área del sector circular MON. (En m2). A) 27p M 27 m B) 27π π 2 rad O 9 C) 30p 27 m D) 81π N 2 E) 9p

4m

A) 120 m2 B) 125 m2 C) 130 m2 D) 135 m2 E) 140 m2 A) 12 m2 B) 18 m2 C) 20 m2 D) 24 m2 E) 28 m2 A) 2 m2 B) 4 m2 C) 6 m2 D) 8 m2 E) 10 m2


25



12. En un sector circular, el arco mide 20 dm y el radio 10 dm. ¿Cuál es su área? A) 200 dm2 D) 400 dm2

B) 100 dm2 E) 50 dm2

C) 300 dm2

13. Halla el área del sector circular, si la longitud del arco AB es igual a 8 cm y el radio mide 2 cm, además, O es centro. A

A) 1 cm2 B) 2 cm2 C) 4 cm2 D) 6 cm2 E) 8 cm2

B

O

14. Calcula el área de un sector circular si la medida de su ángulo central es 25π rad y la longitud de su radio es 2 6 m. 24 A) 25π m 2 12 24 D) π m 2 13

17. Halla el área del sector circular. (En m2). A) 24p 24 m B) 12p 30° C) 48p D) 36p 24 m E) 32p 18. Halla el área del sector circular. (En cm2). A) 2p 6 cm B) 6p 60° C) 8p D) 4p 6 cm E) 9p 19. Halla el área sombreada. (En m2).

C) 25π m 2 2

B) 25p m2 E) 24p m2

4m

2m

A) 14 B) 10 C) 12 D) 9 E) 24

2m

10 m

NIVEL 2

20. Calcula el área del sector circular. (En m2). A) 8p 12 m B) 10p C) 15p 22°30' D) 9p 12 m E) 12p

Comunicación matemática 15. Si R = 6 m, para el círculo: R

21. Halla el área del sector circular. (En m2). Relaciona las expresiones de la izquierda con el valor de su área a la derecha.

II. 1/2 del círculo.

b. 21,6p m

III. 3/5 del círculo.

c. 18p m2

A) Ia; IIb; IIIc D) Ic; IIa; IIIb

B) Ic; IIb; IIIa E) Ia; IIc; IIIb

θ

8m

A

R

Resolución de problemas 22. En un sector circular el ángulo central mide 30° y la longitud de arco 2p m. ¿Cuál es el área del sector? (En m2). A) 12p

B) 24p

C) 36p

D) 18p

E) 15p

23. En un sector circular el ángulo central mide 20g y la longitud de arco p cm. Calcula el área del sector. (En cm2).

S B

Qué relación existe entre S y R si se cumple que el producto de θ y S es igual a 8. A) S y R son iguales. B) S es menor que R. C) S es a R como 2 es a 1. D) R es mayor que S. E) S es la mitad de R.

26 Intelectum 1.°

m

2

C) Ib; IIa; IIIc

16. De la figura:

O

g

12 50

a. 27p m2

I. 3/4 partes del círculo.

A) 2p B) 4p C) 3p D) 6p E) p

8m

A) p

B) 2p

C) 3p

D) 4p

E) 5p

24. En un sector circular el ángulo central mide 30° y el radio 2 3 cm. ¿Cuál es su área? A) p cm2 D) π cm2 2

B) 2p cm2 E) 2π cm2 3

C) 3p cm2

29. Determina el área de la región sombreada, si S

NIVEL 3

A

Comunicación matemática 25. De la figura:

O

D

L

θ

B

Asocia los datos en la izquierda con el valor del área en la derecha: I. L = 3p m, θ = p/2 rad

a. S

II. R = 2 m, θ = 45°

b. S

III. R = 3 cm, L = 6p cm

c. S

A) Ia IIb IIIc D) Ic IIa IIIb

3π/8 rad

O

B) Ic IIb IIIa E) Ia IIc IIIb

AOB AOB AOB

1m

= 9p cm

S

= p/2 m2

3θ

= 9p m2

O

R

31. Del gráfico, calcula θ.

θ

S

S L O

B

B) VFF

C) VVV

D) FVF

E) VFV

Razonamiento y demostración 2

27. Halla el área del trapecio circular ABCD. (En m ). A

3m B

4 rad 3

8m D

3m C

A) 16 B) 15 C) 18 D) 10 E) 14

28. Calcula E = 4A2 , si A es el área de la región sombreada. θ.R

R O

θ θ θ

R

C

E

2R

2R

R 2R

D

F

S D

3

Resolución de problemas 32. En un sector circular de área S, se duplica el radio, obteniendose un nuevo sector circular cuya área es: A) S

B) 2S

C) 4S

D) 8S

E) 16S

33. ¿Cuánto debe medir el radio de un sector circular para que su área sea numéricamente igual a la longitud de su arco? A) 0,5

B) 0,25

C) 1

D) 2,5

E) 2

34. En un sector circular el arco mide 2 cm y el ángulo central 20°. ¿Cuál es su área? A) 12p cm2 D) d 6 n cm2 π

B) 9p cm2 E) d 18 n cm2 π

C) 18p cm2

C l a ve s Nivel 1

8. D

Nivel 2

22. A

29. D

9. D

15. E

23. E

30. A

16. C

24. A

31. D

17. C

Nivel 3

32. C

18. B

25. B

33. E

19. A

26. C

34. E

6. C

13. E

20. D

27. C

7. E

14. C

21. A

28. A

1. C

A) 42 B) 21 C) 14 D) 20 E) 16

A) 20g B) 30g C) 24g D) 36g E) 40g

B

C 1

θ

Indica el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones: a. L es igual a 2θ dado que S y L son equivalentes. b. Si R es igual a 3 u, L es igual a los 2/3 de S. c. El producto de θ por S es igual a 2, entonces S y R son iguales.

A

θ

C) Ib IIa IIIc

A

O

A) 27π m2 4 B) 18p m2 C) 27π m2 3 D) 36p m2 E) 54p m2

A

O

DOE.

30. Calcula el área de la región sombreada (S).

2

26. De la figura:

A) FFV

C

E

=S

A) 4p m2 B) p m2 C) π m2 2 D) π m2 8 E) π m2 4

B

A

AOB

2. B 3. E 4. D 5. D

10. D 11. E 12. B


27


Razones trigonométricas de ángulos agudos

En el siguiente gráfico, halla x. x

2

1

En el siguiente gráfico, halla x. 12

x

3

A) 5 D) 2 10 3

B) 2 5 E) 10

C) 4 5

Halla el perímetro del triángulo.

A) 17 D) 18

4

x+7

5

20

B) 14 E) 15

C) 16

Si: senθ = 5 ; θ agudo. 13 Calcula: E = 26cosθ + 3

x+6

A) 24 D) 32 5

B) 28 E) 40

6 ; A agudo. 3 Calcula: M = 3 + 6 sec A - 2tanA

Si: senA =

A) 3 + 2 D) 2 - 1

28 Intelectum 1.°

B) 5 + 6 E) 6 3

A) 21 D) 26

C) 30

6

C) 2

B) 27 E) 13

C) 29

Si: cos q = 5 ; θ agudo. 13 Halla: tanθ

A) 13 5 D) 5 12

B) 12 13 E) 12 5

C) 5 13

7

Halla: T = cscθ - cotθ a θ

B) 24 25 E) 1 7

A) 4 5 D) 1 5

C) 25 7

Si: tana = 3 ; a agudo. Calcula: S = sec4a + 6csc2a

A) 8 D) 24 11

7 25

A) 24 7 D) 7 9

Si: tana = 2; a agudo. Halla: sen2a

8

10

B) 3 E) 36

B) 2 5 E) 3 5

Si: senθ = 0,25; θ agudo. Calcula: cotθ

A) 3 D) 4

C) 12

En un triángulo rectángulo, un cateto y la hipotenusa miden 29 y 20; calcula la suma de los catetos.

12

C) 3 5

B) 0,25 E) 7

C) 15

Indica la razón de los catetos del triángulo rectángulo ABC. B 8 C

14

Calcula el valor de x. B

41

9 C

C) 13 12

A) 19 D) 13

A

50

B) 17 E) 14

5. A

10. C

8. A

9. D

7. E

C) 10

Claves

B) 12 5 12 E) 13

D

6. E

12. B 11. C

A) 5 13 D) 5 12

x

3. C

En un triángulo rectángulo el cateto opuesto de uno de sus ángulos es igual a 10, si la hipotenusa es igual a 26, indica el valor del coseno de dicho ángulo.

C) 4 3

4. B

C) 41

B) 8 15 E) 8 13

1. E

14. C 13. E

13

B) 24 E) 26

A) 13 8 2 D) 7

2. C

A) 39 D) 35

A

17


29


6.

Halla m. m


Del triángulo ABC:

2

C 9

α

A

A) 6

θ

41

7.

B) 6

C) 5

D) 5

E) 4

D) 18

E) 24

Halla x.

B

40

1

12

9

Completa el recuadro que te ayudará en los ejercicios 2 y 3. a

a

θ

seno coseno

A) 15

tangente 2.

8.

Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 1. senθ es igual a 9 . 41 2. La suma de cosenos de a y θ es igual a 1.

3. La diferencia entre los senos de θ y a es igual a 31 . 41 A) FVF B) FFV C) VVV D) FVV E) VFV

3.

Relaciona según corresponda: I. Tangente de a. II. Seno del complemento de θ. III. Tangente de θ. A) Ia, IIb, IIIc D) Ib, IIc, IIIa

B) Ic, IIa, IIIb E) Ic, IIb, IIIa

Del gráfico, calcula:

( )

37

( ) ( )

12

A) 4

3

5.

B) 6 E) 5

C) 8

29 A

30 Intelectum 1.°

B) cotθ

θ

21

α

B

20

C) tana

D) seca

E) cscθ


B) 5 3

C) 3 4

D) 3 5

E) 4 3

11. En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual a 36. Si el cateto opuesto de uno de los ángulos es igual a 3, calcula la tangente del otro ángulo agudo. A) 1 2

8

B)

3 2

C) 3

D) 2

E)

3 3

12. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y uno de los catetos están en razón de 25 y 7. Calcula el mayor de los senos de los ángulos agudos.

x

B) 18 E) 24

E) 8

C

A) 4 5

Halla x.

A) 12 D) 10

D) 6

10. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) el cateto opuesto de A es igual a 9. Si la hipotenusa es 15, calcula cosC.

x

6

C) 5

ABC, ¿a qué razón trigonométrica corresponde el valor Del 21 ? 29

A) sena

4

A) 2 D) 10

B) 2

C) Ib, IIa, IIIc

Halla x.

35

β


C) 25

M = tanb + secb

9. a) 9 41 b) 40 9 c) 9 40

B) 20

C) 20

A) 7 24

B) 7 25

C) 25 24

D) 24 25

E) 24 7

18. Calcula: E = sec2θ


n

1

13. Completa las casillas, según corresponda.

θ

RT

a) seno

Definición

H CA CA CO CO H H CO

1

b) cosecante c) cotangente

2

d) secante

3 4

A) 1a; 2b; 3c; 4d D) 1d; 2b; 3a; 4c

B) 1b; 2c; 3a; 4d E) 1d; 2c; 3a; 4b

A) 1 2

II. secθ = III. cotθ =

B) 3 2

C) 5 2

C) 1b; 2a; 3d; 4c

a

A) 16

B) 13

C) 3

θ

D) 9

E) 18

D) 2

E) 0,8

x+3

x+1

b) H

CA

2x

c) CA

CO

A) 8

B) Ia, IIc, IIIb E) Ia, IIb, IIIc

C) Ib, IIa, IIIc

B) 6

C) 10

21. Halla: E = cos2θ + sen2θ 2 7

13

x

A) 4

C) 32

B) 7

C) 1

D) 30

E) 36

3x - 2

16. Halla: E = cotθ + cscθ

12

A) 3

θ

C) 5

B) 2

C) 8

D) 6

E) 5

23. En un triángulo, la medida de sus catetos son 2 y hipotenusa mide x + 1, determina x. A) 1

12

D) 17 5

B) 5

C) 5 - 1 D) 2

5 . Si la

E) 3

24. En el ABC (recto en C), la tangente de A es igual a 12 , si la 5 hipotenusa es igual a 13, calcula el cosB.

5

α

C) 5 12

2x + 2


A) 1 B) 12 5 D) 12 E) 13 17. Halla: S = seca - tana a

E) 1 7

x

13

a

D) 2 7

22. Halla x.

12

B) 27

a

θ

15. Halla el perímetro del triángulo.

B) 2 3

E) 9 2

20. Halla x.


A) 1

2 2

8

1

a) CO

H

A) Ib, IIa, IIIc D) Ic, IIb, IIIa

A) 28

D)

19. Calcula: 18cos2θ

14. Completa las igualdades para que las razones trigonométricas estén bien definidas. I. senθ =

2

E) 18 5

A) 12 13

B) 5 13

C) 5 12

D) 7 5

E) 13 7


31

25. En un triángulo ABC (recto en B) se cumple que: b-a = 2 b+a 3 Calcula el senA. A) 1 5

B) 2 5

C)

24 5

D) 3 4

31. Si: tana = 0,5; con a agudo. Halla: cosa

E) 1 2


A) FFV D) VFF 27. En un

B) VVF E) VFV

representa la longitud del lado opuesto al ángulo C. es la representación de la longitud del mayor lado en el ABC. III. El cateto opuesto al ángulo B se representa con la letra , minúscula. B) c; a; b E) a; b; c

θ

E) 1 4

32 Intelectum 1.°

C) 1 2

E) 3 5

34 - 5 3

C) 34 + 5

5 4 E) 5 5

B)

C)

5 y 11 ,

11 4

36. En un triángulo isósceles de base igual a 8 y lados iguales de longitud L, el coseno de los ángulos iguales es 2 . Calcula el 7 valor de L. A) 7

B) 16

C) 14

D) 4

E) 8

C l a ve s

C Nivel 1

D) 1 3

E) 1 4

Halla: senθ B) 2

D) 21 + 5

a-b

30. Si: cotθ = 1 ; θ agudo. 3

A) 3

B)

5 16 D) 4 11 11

A

D) 1 5

a2 + b2

C) 1 6

A) 5

A)

a+b

B) 1 2

C) 1 3

34. Si: cotθ = 3 ; θ agudo. 5 Calcula: M = secθ - tanθ

B

A) 1 2

B) 5 7 E) 3 4

35. En un triángulo rectángulo se tienen los catetos calcula el coseno del mayor de los ángulos agudos.

29. Calcula el coseno del mayor ángulo agudo del siguiente triángulo:

A

E)

A) 3 5

P

C) 1 2

3 2

C) 2 7

3 7 7 3

33. Si: tana = 0,75; a agudo. Halla: E = csca - cota

B

B) 1 6

B)


28. Si tanθ = 4, calcula tana.

A) 1 8

A) 3 D)

C) b; a; c


C

E) 2

D) 3

ABC (recto en A), completa los enunciados:

α

D) 2

C) 1 5

32. Si: tanθ = 2 ; θ es agudo. 3 Halla: senθ

C) FFF

I. II.

A) a; c; b D) c; b; a

B) 1 2

5

26. Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1. En un triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos. 2. El teorema de Pitágoras se cumple para cualquier triángulo. 3. La tangente del menor ángulo agudo en un triángulo rectángulo es igual a la razón entre catetos y es menor que 1.

A) 3 5

D)

3 2

E) 2 3

15. D

23. D

30. D

9. A

16. C

24. A

31. D

2. B

10. D

17. B

25. A

3. B

11. C

18. B

Nivel 3

4. E

12. D

19. A

26. E

5. D

Nivel 2

20. D

27. B

6. C

13. E

21. C

28. A

35. B

7. A

14. E

22. E

29. D

36. C

1.

8. D

32. C 33. C 34. B


Halla x: sen6x = cos4x

A) 0° D) 10°

3

2

B) 9° E) 15°

B) 16° E) 24°

4

A) 23° D) 25°

B) 15° E) 10°

6

C) 18°

B) 10° E) 9°

C) 12°

Halla a: sen(a + θ) = cos(8a - θ)

A) 8° D) 14°

C) 15°

Halla x: cot(3x - 60°) = tan(x + 50°)

Halla x: tan3x = cot7x

A) 8° D) 18°

C) 8°

Halla x: tan(2a + 2x) = cot(3x - 2a)

A) 18° D) 14° 5

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

B) 9° E) 15°

C) 10°

Halla x: cos(x + 8°) = sen(x + 2°)

A) 30° D) 60°

B) 40° E) 70°

C) 50°


33

B) 5° E) 10°

Sea sen30° = cos(4x); indica el valor de 3x . (4x es agudo).

B) p rad 3 p E) rad 6

12

C) p rad 4

Calcula: M = 3cos66°csc24° + 1

14

C) 2

10. B 9. E

B) 3 E) 4 12. D 11. C

14. B 13. E

C) 30°

Halla 2x si: tan a p + 3x k cot a p + 4x k = 1 4 6

B) p rad 4 p E) rad 2

C) p rad 3

Si x es agudo, calcula x; donde: cos a2x + p k sec a p - x k = 1 6 2

A) 15° D) 35°

Claves

34 Intelectum 1.°

B) 25° E) 49°

A) p rad 12 D) p rad 6

7. D

A) 1 D) 5

A) 20° D) 35°

8. A

A) p rad 12 D) p rad 2 13

C) 4°

C) 16

Halla x: cos(3x + 1°)sec(5x - 49°) = 1

B) 20° E) 60°

5. D

11

10

B) 8 E) 30

6. B

Halla x: sen4x.csc(x + 30°) = 1

A) 18° D) 6°

A) 9 D) 25

C) 36°

C) 18°

3. A

9

B) 32° E) 44°

Calcula: 2 E = < 5 tan 3° - 2 sec 28° F cot 87° csc 62°

4. C

A) 40° D) 42°

8

1. B

Halla x: tan(x - 24°)cot(60° - x) = 1

2. E

7


8.

csc(a + 30°) = sec48°


A) B) C) D) E) 2.

al par de 9.

A) 0 D) 5

senθ = cosa cota = tanθ cosa.sec(90° - θ) = 1 seca = cosθ AyB

Halla x (agudo).

B) 40° E) 60°

C) 30°

sec3a = csc2a

5.

6.

B) 15° E) 26°

C) 24°

A) p rad 10

B) 3p rad 5

D) 5p rad 3

E) 3p rad 10

A) p rad 4 D) p 16

B) 15° E) 30°

C) 20°

B) p 2 E) p 32

C) p 8

12. Calcula θ (agudo) que cumpla:

A) 10° D) 25°

A) 10° D) 15°

C) p rad 5

B) 35° E) 45°

C) 55

B) 62° E) 76°

B) 40° E) 25°

C) 20°

B) 10° E) 21°

C) 12°

Resolución de problemas 15. Sea a un ángulo agudo, si la secante de a es igual a 3; calcula el coseno del ángulo.

Halla y (agudo).

C) 64°

A) 1 3

B) 3

D) 2 2 3

E) 1 2

C) 2 2

16. Calcula la tangente de un ángulo a, si la cotangente de su complemento es igual a 2 . 5

Halla x (agudo). cot2x = tan40° A) 20° D) 32°

A) 10° D) 25°

A) 18° D) 9°

cosy = sen8°

7.

10. Halla y, si: sen40° = cos2y

14. Halla x, si: tan3x = cot2x

Halla x (agudo). senx = cos p 5

A) 82° D) 72°

C) 1

13. Si: sen4x = cos10°, halla x.

Halla a (agudo).

A) 10° D) 18°

B) 2 E) 1 2

2

senθ = cosθ

senx . csc50° = 1

4.

C) 18°

11. Si: sen3x = cosx, halla x en radianes.


A) 10° D) 50°

Calcula:

B) 12° E) 15°

E = _sen10°. csc10°i

Iguales Complementarias DyE Inversas Recíprocas

Sean a y θ ángulos agudos complementarios, marca la expresión incorrecta: A) B) C) D) E)

3.

A) 10° D) 16°

Completa correctamente la siguiente definición: Se llaman razones trigonométricas razones cuyo producto es igual a la unidad.

Halla a (agudo).

B) 27° E) 25°

C) 28°

A) D) 2 5

34 5

B)

34 2

E)

34 68

C) 5 2


35

17. Si la suma de dos ángulos agudos es igual a p rad, calcula la 2 razón entre la secante de uno de dichos ángulos y la cosecante del otro ángulo. A) 1 2 D) 1 5

B) 3 2

C) 2

E) 1

23. Halla x, si: tan(2x - 14°)tan24° = 1 A) 10° D) 40°


D) 3 2

18. Indica la relación que existe entre los ángulos en cada expresión: (a; θ; f; w, b ángulos agudos). I. sena = cosθ II. tanθtanf = 1 III. tanwcotb = 1

a) Iguales b) Complementarios

A) Ia; IIb; IIIa C) Ib; IIa; IIIa E) Ib; IIb; IIIb

I. El producto de tangentes de dos ángulos agudos es igual a 1 entonces son complementarios. II. La secante de un ángulo agudo es igual a la cosecante de otro ángulo agudo, entonces dichos ángulos son iguales. III. La suma de dos ángulos es igual a 90°, por lo tanto, la razón entre el seno de uno y el coseno del otro es igual a la unidad. B) Solo III E) II y III

C) I y II

Razonamiento y demostración 20. Halla x (agudo).

B) 60° E) 30°

C) 40°

B) 3

C) 1

E) 2 3

A) 1 3 D) 3 2

B) 1

C) 2 5

E) 2

27. La suma de dos ángulos b y θ es igual a 180°. Calcula la razón b entre la tangente de y la cotangente de q . 2 2 A) 1 6 D) 1

B) 2 3 1 E) 5

C) 3 2

28. ¿Qué proposiciones son correctas? I. Para un ángulo, no es cierto que el producto de dos de sus razones trigonométricas recíprocas es igual a la unidad.

tanx . cot20° - 1 = 0 B) 80° E) 20°

C) 60°

22. Calcula: M = tan 18° cot 18° + 3 A) 2 D) 4

25. Calcula el triple del producto de la cosecante de un ángulo agudo con el coseno de su ángulo complementario.


21. Halla x (agudo).

A) 70° D) 50°

E) 1

NIVEL 3

cosx . sec30° - 1 = 0 A) 20° D) 25°

C) 1 2

26. La adición de dos ángulos a y θ es 45°. Calcula la razón entre la sec2a y la csc2θ.

19. Indica las proposiciones incorrectas:

A) Solo II D) I y III

B) 2 3


A) 1 3 D) 2

B) Ib; IIb; IIIa D) Ib; IIa; IIIb

C) 30°

24. Halla el valor de a . b sen2a = cos(90° - 4b) A) 2

NIVEL 2

B) 20° E) 50°

B) 1 E) 6

36 Intelectum 1.°

C) 3

II. Es falso que si dos ángulos son complementarios suman 90°. III. Para un ángulo agudo, el coseno de su complemento no es igual al seno de dicho ángulo. A) I y III D) Solo III

B) Solo II E) Ninguna

C) I y II

29. Marca lo incorrecto si a y b son complementarios. A) cscasen(90° - b) = 1 B) tanb = cota C) secb = csc(90° - a) D) tanbtana = 1 E) A y C

A) 2 D) 9

C) 8

tan(8x - 8°) = cot(x + 8°)

B) 18° E) 5°

C) 10°

A) 8° D) 16°

B) 12° E) 10°

C) 15°


31. Halla x (agudo). tan(x - 5°) . cot(55° - x) = 1 B) 30° E) 24°

C) 18°

sen(x + 10°) = cos(2x - 10°) B) 50° E) 15°

C) 60°


B) 0 E) 1 3

C) 24°

C) 1

41. El seno de un ángulo agudo es igual al coseno de otro ángulo agudo. Calcula el valor de la semisuma de dichos ángulos en el sistema radial. B) p rad 2 p E) rad 4

A) p rad

tan(3x - 20°) = cot(2x + 30°) B) 26° E) 16°

40. Calcula el producto de la cosecante de un ángulo y el coseno de su complemento. A) 2 D) 1 2


A) 18° D) 20°

B) 6 E) 3

39. Calcula x (agudo).

cos2x . sec(30° - x) = 1

A) 10° D) 30°

C) p 15

E = tan18° . cot18° + cos14° . sec14° + csc32° . sen32°


A) 20° D) 25°

B) p 20 E) 3p 2

38. Calcula:


A) 20° D) 15°

A) p 10 D) 2p 3

D) p rad 6

C) p rad 3

34. Halla x (agudo). sec(x + 20°) = csc(x + 10°)

37. C 27. D 9. C

36. A 26. B Nivel 2

18. B

8. B

35. A Nivel 3 7. E

34. C

17. E

6. A

25. B 16. D

5. E

33. E 24. A 15. A

41. E 32. D 23. D 14. A

3. D

4. D

31. B

40. C 30. C

39. E

22. A

tan2θ . cot a p - q k = 1 5

21. E

37. Halla θ (agudo).

C) 25°

13. C

B) 20° E) 32°

12. E

A) 30° D) 35°

2. D

cos(6x - 10°) . sec(3x + 80°) = 1

29. C


20. E

C) 20°

11. C

B) 18° E) 24°

C l a ve s

A) 15° D) 25°

1. C

sen(3x + 10°) . csc(x + 40°) = 1

28. E


19. A

38. E

C) 30°

10. D

B) 20° E) 25°

Nivel 1

A) 10° D) 18°


37

Matemática Calcula el área de la región sombreada si el triángulo ABC es equilátero, y además su área es 39 cm2. 3 cm

B

2 S 2 = p $ 3 = 3p cm2 3 2 2

S2

2 S3 = p $ 2 = 2p cm2 3 2 3

S

S1 A

2 S1 = p $ 4 = 8p cm2 3 2 3

S3

4 cm

2 cm

Luego, sumamos todas las áreas: S1 + S2 + S3 = 8p + 3p + 2p = 29p cm2 3 2 3 6

C

Resolución:

Reemplazamos en (1) los valores obtenidos: S = d39 - 29p n cm2 6

El área pedida es: S = AT - (S1 + S2 + S3) ... (1) Por dato: m+A = m+B = m+C = 60° 60° , p 3 2 Luego, calculamos el valor de las áreas S1, S2 y S3 (S = θ r ):

` S = 23,82 cm2

2

1.

Del gráfico 5AD = CB; calcula: M = cotq + cot a cotb + cotf

5.

Dado el gráfico: θ

C

β

α

B

A) 7/4 D) 3/7 2.

α

β

θ

F

E

φ

D

Calcula el valor de x, de la siguiente expresión: sen (2x + 3) °. cos(90 - q) ° tan(90 - a) °. cos(3x + 17) ° = cosa . seca cotb . cscq

A

B) 5/3 E) 1/5

A) 10°

C) 2/3 6.

7.

6 A

3.

M

α

A) 5 d 1 + 3 n 2 8

B) 7 d 3 - 3 n 4 5

D) 2 d 3 - 2 n 3 5

E) 3 d 1 - 2 n 3 5

4.

38

B) 10 E) 9

Intelectum 1.°

E) 14°

D) 17

E) 12

Si: S1 = 8p µ2 y además: 3

C) 5 d 2 + 1 n 3 2

S1

S2

7

Calcula S2:

C) 13

A) 21p µ2 B) 15p µ2 C) 11p µ2 D) 5p µ2 E) 7p µ2 7 2 3 5 4 8.

Si: cotθ = 2 3 Calcula: J = cosq + secq cscq + senq

Determina el valor de x: 5sen (x + 15) °. sen67° 6 cos60°. tan32° = sec10°. cos23° csc80°. ctg58° A) 31 D) 13

C) 21

π/3

Calcula: J = 42 cscθ + 5 cosb B) 9 E) 7

B) 7

D

Siendo: cscb = 5 y secθ = 7 , a y b ángulos agudos. A) 10 D) 8

D) 21°

En un triángulo rectángulo se cumple: csca = 2

A) 10

C

θ

C) 18°

Calcula: R = [8sena + 3 seca] . csca

Si: AM = MD , además, se cumple que: tanθ + cota = 5 2 3 Calcula: seca + cscθ B

B) 28°

C) 22

A) 44 13 D) 17 21

B) 51 44 16 E) 35

C) 24 53

Unidad 3

Aplicamos lo aprendido 1

tema 1:

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

Calcula x.

2 16

x

x

30°

37°

A) 3 D) 8 3

Calcula x.

B) 4 E) 10

4

35 37°

A) 9 D) 17

C) 5

Calcula (a + b).

12

B) 15 E) 30

C) 12

B) 2 E) 7

C) 4

Calcula ` a + c j . b 53°

b

c

b

a a

A) 29 D) 49 5

B) 39 E) 40

C) 59

Calcula x.

A) 1 D) 3 6

Calcula (x + y).

45° x

5 10

7

37°/2

45°

A) 7 2 D) 21

40 Intelectum 1.°

B) 7 E) 14

C) 14 2

A) 5 D) 15

y x

B) 7 E) 20

C) 10

7

Calcula x . y

Calcula b 2 . a

8

a x

y

8°

b

53°/2

A) 1 D) 2 9

B) 5 E) 1 2

A) 3 5 D) 5 7

C) 3

Calcula x.

10

B) 10 7 E) 2 7

C) 5 2 7

B) 4 E) 10

C) 12

B) 21 E) 35

C) 49

Calcula x.

45° 2x

x-1 45°

37°

4

A) 2 D) 7

B) 4 2 E) 8

C) 5

Halla 2a.

A) 3 D) 5 12

a+1

74°

Calcula t. 82°

a

t

A) 12 D) 48

B) 24 E) 36

C) 6

Calcula m.

A) 14 D) 5 14

m

127° 2

Indica el valor de c a + b m . 2 b

a 143°/2 10 5

4 5

A) 10 D) 5 2

B) 40 2 E) 20 2 6. E 5. A

C) 2

C) 10 2

3. D

10. D

8. B

9. C

7. B

Claves

B) E) 4

4. D

12. C 11. D

A) 10 D) 5

1. D

14. C 13. A

13

35 2

2. B

11

6


41

Practiquemos 5.

NIVEL 1

Halla a.



Del triángulo rectángulo PQR:

4 2 R

45°

5

P

A) 2 D) 2 2 Q

4

6.

2.

B) I y III E) Ninguna

a

B) 8 E) 4

20

A) 16 D) 12

B) 18 E) 13

53° 15

α

2

1

θ

A) 12 D) 14

P

El triángulo es pitagórico. Es exacto. a es igual a 60°. La longitud de PQ es 3 . Todas.

8.

B) 13 E) 9

A) 28 D) 30 x

9.

A) 30 D) 18

42 Intelectum 1.°

C) 5

5 37°

II. C) 34 16°

53°

B) 28 E) 21

8°

C) 27 IV.

10. Calcula a.

a

B) 5 3 E) 4

14. I.

III.

C) 6

60°

C) 2 5

36

17 a

A) 10 D) 4 3

B) 5 2 E) 10


Halla x.

30°

10

A) 10 D) 3 10

C) 10

B) 35 E) 32

x

Halla a.

C) 5

13

m

Halla x.

C) 8°

13. En un triángulo rectángulo notable de 37° y 143° , el mayor de los catetos 2 2 mide 3 5 , calcula el valor de la hipotenusa.

40

12

4.

B) 5 2 E) 2 5

Calcula m.


B) 6 3 E) 8 3

B) 82° E) 53°

NIVEL 2

y

Q

A) 18 D) 8

C) 15

Halla y.

R

3.

A) 2 D) 2 37°

C) Solo II

A) 60° D) 37°

12. En un triángulo rectángulo isósceles, la hipotenusa mide 10, calcula el valor de los catetos. x

Del triángulo notable, indica la proposición 7. incorrecta.

A) B) C) D) E)

C) 8 2

Halla x.

Indica lo incorrecto: I) PQR es un triángulo pitagórico. II) RQ es igual a 3. III) m+R es igual a 37° aproximadamente. A) Solo III D) Solo I

11. La medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a 10, si uno de los catetos es igual a 8, indica el valor del menor de los ángulos agudos.

a

18

¿Cuál de los triángulos no es pitagórico?

37°

A) 20 D) 36

B) 30 E) 35

8

C) 24

A) I y II D) Solo IV

B) Solo I E) Ninguno

C) Solo III

15. Indica el valor de verdad de las siguientes 20. Calcula p. proposiciones: I. El triángulo rectángulo de 30° y 60° es aproximado. II. El triángulo rectángulo de 16° y 74° es exacto. III. Un triángulo rectángulo isósceles es un triángulo pitagórico. A) VFV D) FFF

B) FFV E) FVF

C) VFF


20

26. Del triángulo ABC.

53°/2

A) 10 D) 2 5

B) 16 E) 8 5

4y 16°

A) 8 D) 14

50

B) 12 E) 28

C) 6

22. Calcula z.

A) 2

B) 2 3

D) 1

E) 3 3

C) 4 3

72

A) x

B) 2 3 E) 8

D) 5 2

B)

3

C) 2 3

E) 2

23. Calcula x. 8 5

143° 2

A) 8

B) 16

D) 3 2

E) 8 2

D

12

B) 2 3 E) 2

C) 3

19. Halla m.

B) 3 3 2

D) 3

E) 3 3

C) 1/2

B) 24 E) 15

C) 12

25. En un triángulo rectángulo el mayor de los ángulos agudos es el doble del menor. Si la hipotenusa es igual a 10, calcula el menor de los catetos. A) 6 D) 5 10

B) 5 E) 5 3

B) Solo II E) Solo III

C) II y III

Razonamiento y demostración B 30°

A 2 D

x

60°

C

A) 4 D) 8

B) 4 3 E) 6

C) 2 3

29. Calcula p.

m

6 2

C

28. Calcula x.

24. En un triángulo rectángulo notable de 30° y 60° el mayor de los lados mide 6. Calcula la mitad del mayor de los catetos. A) 3/2

a

Indica la(s) proposición(es) incorrecta(s): I. El ángulo BAD es igual a p/3 rad. II. El ángulo CBD es igual a p/4 rad. III. El triángulo ABD es pitagórico.


60°

a

A

A) Solo I D) I y III C) 4 10

C) FVF

B

2a

4x

n

A) 6 D) 18

6

C) 6 2

18. Halla n.

6 2

B) VFF E) FFF

27. De la figura: 10 6

60°

A) 1 D) 4

z

C

5

Indica el valor de verdad de las proposiciones: I. ABD es un triángulo notable, aproximado y pitagórico. II. BDC no es un triángulo rectángulo pitagórico. III. La medida del segmento AC es igual a 21.

82°

17. Halla x.

A) 3 2 D) 3

D

A) FFV D) VFV

30°

x

37°

A


2 3 3

20

C) 4 5

21. Halla y.

16. Halla x.

B

p

C) 8

S 10 R

53°

A) 14 D) 6

60°

p T

U

B) 8 E) 16

C) 4


43

30. Halla x.

35. Calcula BP, si AC es igual a 12 2 .

B

A

60° P

2 6

8°

x C

B) 3 E) 4

C) 2 2 A) 6 D) 9

31. Calcula x. B

A) 37° D) 15°

C

B) 10 10 E) 18

C) 15

32. Calcula x. 25

16°

A

B) 7 E) 6

C) 5

C

x

30°

D

B) 12 E) 18

C) 12 3 32. C 33. E 34. B 35. D 36. C 37. B

A) 7 D) 24 3

C) 30°

37. Sea un triángulo rectángulo donde la medida de su hipotenusa es igual a 50, si uno de sus ángulos agudos es igual a 8°. Calcula la altura relativa a la hipotenusa. A) 10 D) 25

B

33. Si AQ = 72, calcula QC.

A) 125 D) 64

B) 96 E) 128

C

C)72

A

A) 16° D) 15°

C

45°

x

B) 8° E) 37°

44 Intelectum 1.°

a D

C) 7°

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

3a

Nivel 1

B

A A C B E D A E

9. C 10. B 11. D 12. B 13. B

34. Calcula x.

16. D 17. A 18. C 19. C 20. E 21. B 22. C 23. D 24. B

37°

Q

C l a ve s

25. B

B

A

3.

14. C 15. D

A) 10 D) 20

B) 46° E) 53°

Nivel 2

53°/2

C) 15

36. La razón de catetos en un triángulo rectángulo es igual a Calcula la mitad del mayor de sus ángulos agudos.

3 A

B) 10 E) 12


37° 2

x P

45° C P

B

26. D 27. D 28. B 29. E 30. A 31. C

A) 2 3 D) 6

45°

Nivel 3

A


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

Calcula: M = 8sen30° - 5sen53°

A) 2 D) -1 3

B) 1 E) 4

4

20 cos 60c - 1

A) 3 D) 4

B) 2 E) 1

A) 1 D) 5

6

B) 2 E) 3

C) 4

B) 2 E) 5

C) 0

Calcula: S = 6 sen37c + sen53c@ . 10

A) 15 D) 14

C) 5

Calcula: T = cot37° + sec53°

Calcula: S = tan260° - 1

A) 1 D) 3

C) 0

Calcula: T=

5

2

B) 16 E) 20

C) 18

B) 4 E) 2

C) 6

Calcula: T = cot45° . sec60°

A) 3 D) 8


45

Calcula: 30sen30c + 1

Calcula: P = 4sen260° + 9

10

Calcula E. E = 25sen74° + 7 cot 82°

A) 1 D) 5

C) 9

14

C) 3/5

10. C 9. B

12. E 11. B

14. A 13. D

Claves

46 Intelectum 1.°

B) 1/2 E) 0

C) 1/5

Halla T. T = tan 53° + cos60° + cot8° 2

A) 8 D) 7

7. D

B) 1/2 E) 4/5

Halla el valor de z. 2

Calcula J. J = cos2 127° + sen53° 2

A) 2 D) 1

C) 2

z = 5 csen 37° m - cot 127° 2 2

8. E

13

B) 5 E) 7

12

B) 8 E) 5

B) 1/2 E) 5

5. E

A) 2 D) 1

A) 6 D) 4

C) 14

C) 5

2 sen45c + 2 cos 45c

6. E

B) 12 E) 21

B) 4 E) 1

Calcula: M=

A) 13 D) 16 11

A) 2 D) 0

C) 1

C) 1

3. A

9

B) 2 E) 5

4. D

A) 3 D) 4

Calcula: T = 3cot260°

1. C

S=

8

2. B

7

Practiquemos NIVEL 1 Comunicación matemática 1.

Relaciona cada valor numérico con su respectiva razón trigonométrica. I. sen30° II. cos37° III. tan8°

a) 1/7 b) 4/5 c) 1/2

A) Ia IIb IIIc C) Ib IIc IIIa E) Ic IIa IIIb 2.

B) Ib IIa IIIc D) Ic IIb IIIa

¿Qué alternativa es la correcta? A) sen60° = 1/2 C) cot8° = 1/7 E) A y C

Calcula: R = 6 3 sen60° A) 6 D) 12

4.

C) 10

M = 10sen245° - 2 B) 4 E) 1

C) 5

S = 8sen30° + 5sen37°

6.

B) 8 E) 11

C) 9

Calcula: S = 8 3 cos30° + 2 A) 16 D) 15

7.

8.

C) 13

B) 14 E) 10

C) 12

M = 3 5 cos 53° + 4 2

Efectúa:

B) 6 E) 13

C) 9

11. Efectúa: M= A) 3 D) 4

B) 10 E) 7

R = 7tan8° + 3cot 143° + 1 2

C) 8

Razonamiento y demostración 16. Si: senq = tan 53°/2; calcula cotq (q es agudo) A) 2 D) 2

B) 1 E) 0

C) 2

A) 1/2 D) 4/3

M=

12. Calcula la diferencia de tan82° y tan45°.

A) 12 D) 10

B) 3/4 E) 3

B) 6/7 E) 7

C) 5

B) 45° E) 53°

C) 37°

B) 8 E) 9

cosb = 7/25

C) 6

8 sec 37° + 9 sec 53°

E = cot230° +

A) 9 D) 12

14. Si a, b y q son ángulos agudos, identifica el valor de cada uno si:

B) 4 E) 5

C) 6

3 .cot60° + 3cot45° B) 6 E) 16

C) 7

21. Efectúa: A=

2 3 cos 30° + 3 tan 30°

A) 1 D) 5

B) 2 E) 6

C) 3

22. Evalúa:

a = 37°; b = 16°; q = 45° a = 16°; b = 53°; q = 45° a = 37°; b = 74°; q = 45° a = 74°; b = 37°; q = 16° a = 30°; b = 74°; q = 45°

Y=

18 cot2 60° - sec 60°

A) 0 D) 3

B) 1 E) 9

C) 2

23. Efectúa:

15. Se tienen los ángulos agudos x; y; z; si se cumple: seny = 1/2

E=

4 tan 37c + sec2 60c + 2

A) 1 D) 7

B) 2 E) 11

C) 3


Indica el valor de verdad: I. x no es un ángulo aproximado. II. y es un ángulo exacto. III. z es igual a 45°. A) FVV D) FVF

C) 1

19. Efectúa: M=

NIVEL 2

A) B) C) D) E)

C) 1

3 sen60°+ 4 2 sen45°+ sen30°

13. En un triángulo rectángulo, el cateto A) 3 opuesto a uno de sus ángulos agudos es D) 7 igual a la cot 53°/2, si la hipotenusa es igual a 4, calcula dicho ángulo. 20. Efectúa:

sena = 3/5 tanq = 1

5 3

18. Efectúa:


A) 6 D) 8/7

B) E)

17. Se cumple: sen(x + p/6)csc3x = 1 Calcula: tan3x

3 tan 37° + 3 2

tanx = 7/24 cosz = 2 2

Halla:

A) 6 D) -1 9.

B) 14 E) 17

Efectúa: N = 5sen37° + 10sen53° A) 13 D) 11

C) 10


Calcula: A) 7 D) 10

A) 12,5 D) 8

A) 60° D) 30°

Calcula: A) 3 D) 4

5.

B) 9 E) 5

B) 12 E) 3

10. Calcula: T = 6 3 . sec30°sec16°

B) sec45° = 2 D) sen16° = 24/25


A) 2 D) 1

B) VFV E) VVF

C) FFV

24. Sean a y q ángulos agudos, si cosq es igual a 3/5, calcula la csca, donde a es el doble del complemento de q. A) 4/5 D) 25/24

B) 5/4 E) 7/25

C) 5/3


47

25. En un triángulo rectángulo la razón de sus catetos es de 1 a 7, si a es el menor de sus ángulos agudos; calcula sen2a. A) 4 5

B) 12 13

C) 7 25

D) 3 5

33. Del triángulo rectángulo: 10

E) 1 2

α

NIVEL 3

7 2

Calcula sen(10a - 6°).

Comunicación matemática 26. Si se cumple que: 25 16°

cotα

12cscθ

B) VVF E) FVF

C) VFV

B) FVF E) VVF

B) 18

C) 10

D) 6

E) 7

A) 10

B)

2

D) 1

E)

3 2

C)

5


A) 4/5 D) 24/25

B) 3/5 E) 2 /2

C) 7/25

37. a y q son los ángulos agudos en un triángulo rectángulo, si tanq es igual a 4/3, calcula la cot a/2.

2 + 25 cos 74° + tan 82° C) 3

C) 3 5

36. En un triángulo rectángulo, la razón entre la hipotenusa y uno de los catetos es igual a 5 , calcula el seno del doble del menor de sus ángulo.

29. Calcula: B) 6

B) 1 7 E) 1 2

3 2 D) 4 5

C) FFV

y = 7cot82° + 4sec245° + 3cot230°

A) 4

3 2

35. Calcula: P = 5sen(x)tan(6x - 3°)sec(5x + 5°) cuando x es igual a 8°.

28. Calcula:

A=

E)

A)


A) 15

D) 1 2

C) 4 5

5 secq = 5sen30°

27. Sea la expresión: cos(90° + b - 2a)sec(a - 2b) = 1 Señala las expresiones correctas: I. sec(2a - 2b) = 2 II. tan(a - b + 15°) = 1 III. csc(a - b + 7°) = 2 A) VFF D) FFF

B) 24 25

34. Calcula sen2q(q agudo) si:

Indica el valor de verdad según corresponda: I. cotq es igual a 3 . II. a es igual a 8°. III. El complemento de q es 45°. A) FFV D) VVV

A) 7 25

D) 5

E) 2

A) 2 D) 3

B) 5/4 E) 1/2

C) 1/3

30. Efectúa:

M = 10 sen 143° . tan 127° - 2 5 cos 53° 2

A) 4

2

B) 10

2

C) 7

D) 8

31. Efectúa: k= A) -7

6 tan30°sen45° + 8sen82°cos45°sec37° B) -5

C) 8

D) 10

E) 6

32. Se cumple (para a < 45°) sen20° = cos(2a - 4) Calcula tana/2. A) 1

B) 7

48 Intelectum 1.°

C) 4 3

D) 1 2

C l a ve s

E) 2

E) 1 3

Nivel 1 1. D 2. B 3. B 4. A 5. A 6. B 7. D 8. B

9. E

16. E

24. D

31. C

10. A

17. C

25. C

32. E

11. C

18. C

Nivel 3

33. B

12. A

19. E

26. B

34. D

13. D

20. C

27. E

35. D

Nivel 2

21. B

28. B

36. A

14. C

22. C

29. A

37. D

15. A

23. C

30. E


RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Calcula x en función de m y a. B

2

Halla x en términos de m, a y b. C

D

α

m

x A

α

C

m

A) mcos2a D) mcotacsca 3

B) msenacota E) msenacosa

4

β

A) asenacosb C) acosasenb E) asenasecb 5

A

B) asecasenb D) asenacscb

A) acscftanq C) acscfsenq E) acosfsecq

C

θ

C

B) acscfcosq D) acscfcotq

Determina el perímetro del triángulo ABC en función de q y m.

m D

B

A) m2senqcosq C) m2sen2qcosq E) m2cos2q

φ

A

m A

6

x

θ

C

Halla el área del rectángulo ABCD en términos de q y m. B

E

a

x H

B

B) mcosatanb D) msenacosb

B

a α

x

Halla x en términos de a; q y f.

B

A

D

A) msenatanb C) msenasecb E) msenacotb

C) msen2a

Halla x en términos de a; a y b.

β

α

A

B) m2senqcos2q D) m2sen2q

θ

A) m(1 + tanq) C) m(1 + cotq + secq) E) m(1 + cotq + cscq)

C

B) m(tanq + cscq) D) m(1 + cscq)


49

7

Calcula BH en términos de a y m.

8

Halla HC en función de q y m. B

B

A

α

H

m

C

A) msen2a C) msenacosa E) msenatana 9

A

B) mcos2a D) msenaseca

10

C

H

B) mtanqsecq D) mtan2q

Halla x en términos de q y a. A

C x

m

A) mtanq C) mtanqsenq E) mcot2q

Halla x en términos de q y m.

D

θ

E

H

a

x A

θ

B

m

A) mcos2q C) msenqtanq E) msen2q 11

θ

B

C

A) acosqcotq C) acosqcscq E) acot2q

B) msenqcosq D) mcosqcscq

Calcula CD en términos de m; a y q.

12

B) acosqsenq D) acos2q

Halla CD en función de m y q.

C

C B

D

θ

D θ α

θ

m

B

A) mtanqcota C) mcotqseca E) mtanqsena 13

A

A

m

E

A) mcos2qsenq C) mcos3q E) msen2qcosq

B) mtanqcsca D) mcotqtana

Del gráfico, halla tanq.

14

B) mcosqsen2q D) msen3q

Halla x.

45°

37°

θ

60° 5

θ

A) 5 D) 3 3 8. D 7. C

10. A 9. E

12. B 11. E

14. C 13. C

Claves

50 Intelectum 1.°

B) 5 2 E) 3

5. A

E) 3 3 3

C) 5 3

3. D

C) 2 2 3

1. C

3 2

6. E

D) 3 2 2

B)

4. A

2 2

2. E

A)

x

Practiquemos A) atanq D) a senq 2


5.

Crucigrama Completa el siguiente crucigrama y descubre el nombre del matemático famoso más joven de la historia. I. Tipo de ángulo menor a 90°. II. Cateto que se encuentra al lado del ángulo. III. Figura geométrica formada por dos líneas que parten de un mismo punto. IV. Lados del triángulo rectángulo. V. Polígono de 3 lados. VI. Cateto que se opone al ángulo.

B) acotq

C) asenq

E) acosq

Halla x. 3 3 60º

A) 6 D) 8 3 6.

x

B) 6 3 E) 3

C) 3

Halla n.

I II

8

n

III

45°

IV

A) 3 2 D) 4 2

V VI : Matemático francés que sentó las bases de la teoría de grupos. Murió a la temprana edad de 21 años en un duelo. 2.

7.

B) 8 E) 2 2

C) 8 2

Halla x. x

Dibuja un triángulo rectángulo ABC (recto en B), cuyo cateto AB mide 4 m y el ángulo opuesto a este cateto mide 37°.

2

A) 0,5 8.

B) 3,5

C) 4,5

37°

D) 2,5

E) 1,5

Halla a. 4 53°

A) 17 5 D) 2


Halla x en función de m y a. α

9. x

4.

B) mcosa E) mcsca

Halla x en función de a y q.

C) 12 5

C) mtana

Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, donde m+BAC = 60° y el valor de AC es 2 3 m, determina el valor de AB. A) 2 m D) 2 3 m

B) 3 m E) 3 m

C) 4 m

10. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, donde m+BCA = 30° y el valor de BC = 3 m, determina el valor de AC.

x θ

B) 11 5 E) 3


m

A) msena D) mcota

a

a

A) 6 m D) 5 m

B) 3 m E) 3 m

C) 2 3 m


51

16. Halla x.

NIVEL 2

A) 14 B) 12 C) 10 D) 16 E) 9

Comunicación matemática 11. Sea:

A x

4m

37°

B

37°

20

17. Halla x.

C

Relaciona según corresponda: Lado conocido

AC

Lado desconocido

BC

Cateto adyacente a 37°

x-2

AB

12. Dibuja un triángulo rectángulo ABC recto en B, donde el lado conocido AB mide 8 m y el ángulo adyacente a este cateto mide a. Luego, halla los lados desconocidos en función de a.

A) 47 B) 49 C) 36 D) 34 E) 52

x-1 10

53°

8

18. Calcula a. A) 10 B) 6 C) 7 D) 9 E) 13

a-1 6 1

53°

Resolución de problemas 19. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, donde m+CAB = 30°, el valor de AB = 3m y el valor de BC = (x - 1) m. Halla x.


3

B)

D)

3 +1

E) 3

A) 1 D) 3 m

2a β

x

E) 2atanb

B) 5 3 m E) 15 m

C) 2 3 m

Comunicación matemática 21. Dibuja un cuadrado ABCD, donde la diagonal mide 3 2 m. Luego, halla la longitud del lado del cuadrado.

8°

x

8° 50 m

15. Halla a. A) 9 B) 12 C) 3 D) 6 E) 8

C) 2

NIVEL 3

14. Halla x. A) 14 m B) 15 m C) 24 m D) 10 m E) 8 m

3 -1

20. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, donde m+CAB = 30°, se traza una ceviana CD, donde D ! AB. Además, AD = DC y DB = 5 m, halla el valor de CB.

13. Halla x en función de a y b. A) 2acscb B) asecb C) 2asecb D) atanb

A)

a 5

52 Intelectum 1.°

3

L= 37°

22. Relaciona según corresponda, usa razones trigonométricas: 37°

5

x=

2

A) 5 3 D) 10 2

B) 15 E) 10 3

C) 5

27. Halla CE, si ABCD es un cuadrado.

x

B

C E

x

45°

2

x=3 A

A) 5 D) 3

x

3

x=2 3

60°

37° 8

D

B) 3 E) 2

C) 2 3

28. Halla x.


5

x2 + 1

23. Halla x en función de a y q.

37°

θ

60°

A) atanq D) acscq

60°

x

A) 2 D) 4

a

B) asecq E) acosq

C) acotq


A) D)

a

A) 2acosq D) atanq

C) 2 2

29. Se tiene un cuadrado ABCD, exterior al lado AB se construye un triángulo rectángulo EAB, recto en A, donde m+BEA = 45° y EB = 6 m. Halla la medida de CD.

24. Halla x.

θ

B) 2 E) 3

θ

x

B) acosq E) acotq

C) 2asenq

B) 6 m E) 3 m

2m 3m

C) 6 m

30. Se tiene un triángulo ABC, se traza la altura BH donde H ! AC. Además m+BAH = 53°, m+BCH = 30°, HC = 12 m. Halla AB. A) 2 3 m D) 5 3 m

25. Calcula n.

B) 3 m E) 3 m

C) 5 m

3n 60° 2 3

A) 1

B) 1 2

C l a ve s

C) 2

D) 4

26. Halla x.

E) 5

Nivel 1

7. E

13. A

1.

8. C

14. A

9. E

4. E

Nivel 2

5. A

11.

15. 16. 17. 18. 19.

6. D

12.

20. B

2.

10 60°

x

3. C

10. C

A A B D D

Nivel 3 21. 22. 23. C 24. A

28. B 29. D 30. D

25. C 26. E 27. E


53


ÁNGULOS VERTICALES

Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación b. Calcula la medida de la línea visual, si el edificio mide h.

A) hsecb D) hsenb 3

B) 28 m E) 34 m

A) 25 m D) 40 3 m

54 Intelectum 1.°

B) 20 3 m E) 27 m

4

C) 30 m

Desde lo alto de una torre se ve a una persona en tierra con ángulo de depresión 30°. Si la torre mide 20 m, halla la medida de la línea visual.

C) 40 m

A 16 m de la base de un árbol el ángulo de elevación, para la parte más alta, es 37°. Calcula la altura del árbol.

A) 10 m D) 17 m

C) hcotb

Desde un punto en tierra se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 53°. Si la línea visual mide 35 m, calcula la altura del edificio.

A) 24 m D) 32 m 5

B) htanb E) hcscb

2

C) 12 m

Desde un punto situado a 300 m de la base de una torre se observa la parte más alta de esta con un ángulo de elevación de 30°. Calcula la altura de la torre.

A) 100 m D) 200 m 6

B) 11 m E) 14 m

B) 100 2 m E) 200 3 m

C) 100 3 m

Desde lo alto de una torre se ve un objeto en el suelo con un ángulo de depresión de 45°. Si la línea visual mide 20 2 m, halla la altura de la torre.

A) 30 m D) 25 m

B) 15 m E) 35 m

C) 20 m

14

C) 4 m

C) 48 3

Un reflector situado a ras del suelo ilumina un monumento bajo un ángulo de 45°, si trasladamos el reflector 5 m más cerca al monumento, este se ve bajo un ángulo de 53°. ¿Cuál es la altura del monumento?

A) 12 m D) 28 m

B) 16 m E) 32 m

C) 20 m

Una persona que está sobre un muro de 3 m de altura, observa dos puntos A y B con ángulos de depresión de 45° y 37° respectivamente hacia cada lado, en el suelo y en el plano horizontal. Halla la longitud de AB.

A) 6 m D) 9 m

B) 7 m E) 10 m

5. C

10. A 9. B

7. B

C) 8 m

Claves

B) 4 3 m E) 6 3 m

B) 48 E) 36

3. B

C) 80

Un nadador se dirige hacia un faro y observa la parte superior con un ángulo de 30°, al avanzar 10 m el ángulo de elevación se duplica. Halla la altura del faro.

12. C 11. E

A) 7 3 m D) 5 3 m

12

C) 3,15 m

Desde una torre de control de 24 m de altura se observa un barco con un ángulo de depresión de 30°. Calcula la distancia del barco al pie de la torre.

A) 24 3 D) 24

C) 30°

Desde lo alto de una cima se observa un obstáculo con un ángulo de depresión de 60°. Si dicho obstáculo dista 40 3 m del pie de la cima. Calcula la altura de la cima.

B) 80 m E) 120 m

10

B) 3,12 m E) 3,5 m

1. E

B) 37° E) 70°

A) 120 D) 90 m

14. B 13. D

13

A) 3,36 m D) 3,17 m

Desde el avión un piloto mide la línea visual hacia un barco y obtiene 1000 m. Si el avión está a 600 m de altura, calcula el ángulo de depresión en ese instante.

A) 53° D) 30° 11

C) 56 m

8. B

9

B) 28 m E) 60 m

6. C

A) 14 m D) 21 m

Un niño de estatura 1,56 m divisa una hormiga en el suelo con un ángulo de depresión de 30°. Calcula la medida de la línea visual.

8

4. C

Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación a (tana = 1/4). ¿A qué distancia de la torre se halla el punto de observación, si la altura de la torre es 7 m?

2. C

7


55

Practiquemos A) 1,5 m


4.

Crucigrama

B) 2 m

C) 3 m

D) 1 m

E) 5 m

Halla la distancia d entre el poste y la hormiga, si el ángulo de elevación de la hormiga es 37°.

Completa el siguiente crucigrama y descubre el nombre de un matemático. I. Primera letra del alfabeto griego. II. Ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal. III. Tipo de línea, paralela a la superficie, que pasa por el ojo del observador. IV. Tercera letra del alfabeto griego. V. Tipo de línea que une el ojo de un observador con el objeto que se observa. VI. Aquellos ángulos obtenidos en un plano vertical formados por las líneas visuales y la línea horizontal.

A) 25 m D) 20 m

5.

6.

V VI :Matemático francés, recordado por sus aportes a la teoría de números y la publicación del teorema de Fermat. 2.

Un árbol proyecta una sombra que es un metro menos que su altura. Si el ángulo de depresión de la parte superior al extremo de la sombra del árbol es 53°, calcula la altura del árbol. A) 3 m D) 4 m

II IV

B) 5 m E) 2 m

C) 6 m

Desde la parte superior de una colina se divisa el techo de una casa con un ángulo de depresión de 53°. Si la línea visual mide 100 m, calcula la altura en que se encuentra el observador, si la casa tiene una altura de 3 m. A) 83 m D) 45 m

B) 60 m E) 80 m

C) 70 m

Dibuja el enunciado

Desde lo alto de un edificio se observa una piedra con un ángulo de depresión de 30°. Si la piedra se encuentra a 7 m del pie del edificio, calcula la altura del edificio.

Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio de altura 20 m con un ángulo de elevación 37°.

A) 7 3 m

7.

D) 7 3 m 4 8.

9.

Razonamiento y demostración Halla la altura h del niño. Si el ángulo de depresión con la que el niño observa el objeto es 37°

B) 7 3 m 2 E) 7 3 m 5

C) 7 3 m 3

Desde lo alto de una torre se ve a un perro con ángulo de depresión de 30°. Si la torre tiene una altura de 80 m, calcula la medida de la línea de vista. A) 150 m D) 260 m

3.

C) 15 m


I III

B) 12 m E) 16 m

B) 160 m E) 140 m

C) 150 m

A tres metros del pie de un árbol una persona de 3 m de estatura observa a dicho árbol bajo un ángulo recto. Calcula la altura del árbol. A) 2 3 m

B) 5 3 m

D) 3 3 m

E) 8 3 m

C) 4 3 m

10. Edy observa a su papá con un ángulo de elevación q. Si la altura del hijo y del papá son, respectivamente, h y H, calcula la distancia que los separa. A) Hcotq + htanq C) (H - h)secq E) (H + h)cotq

56 Intelectum 1.°

B) (H - h)tanq D) (H - h)cotq

encontrando esta vez un ángulo de p/6. Encuentra la altura del faro (desprecia la altura del tripulante que hizo la observación).


A) 10 m

11. Relaciona según corresponda: Ángulo de depresión

α

Ángulo de elevación

α

α

Ángulo de observación

12. Completa el enunciado: El _____, es el ángulo formado por la _____ y la _____, cuando el objeto se encuentra por _____ de la _____. Con las siguientes palabras: A) Línea horizontal C) Encima

B) Ángulo de elevación D) Línea visual

Razonamiento y demostración 13. Halla H. Donde: el ángulo de elevación con la que el niño observa la copa del árbol es 16°.

B) 10 m

C) 6 m

D) 8 m

E) 7 m

14. Halla h. Donde: el ángulo de depresión con la que el águila observa al conejo es 30°

C) 12 m

D) 14 m

E) 18 m

16. Desde lo alto de un monumento de 30 m de altura, los ángulos de depresión de dos piedras que están sobre el terreno a un mismo lado respecto del monumento son de 45° y 30°. ¿Qué distancia las separa? A) 21,9 m

B) 21,3 m

C) 21,6 m D) 11,9 m E) 11,6 m

17. Una escalera está apoyada en una pared formando un ángulo de 30° con la vertical, luego desde la parte superior se divisa un punto en el suelo con un ángulo de depresión de 30°. Calcula la longitud de la escalera si la distancia de su parte inferior al punto observado es 3 m. A) 3 m D) 6 m

C) 3 3 m

B) 94 m E) 3 m 2

18. Un nadador se dirige hacia un faro y lo observa con un ángulo de 30°, al avanzar 10 m el ángulo de elevación es ahora el doble del anterior. Calcula la altura del faro. B) 3 3 m E) 10 3 m

A) 3 3 m D) 4 3 m

C) 5 3 m

19. Desde lo alto de un edificio se observa un automóvil con un ángulo de depresión de 37°. Dicho automóvil se desplaza con velocidad constante, luego avanza 28 m acercándose al edificio y es observado con un ángulo de depresión de 53°. Si desde esta posición tarda en llegar al edificio 6 segundos, calcula la velocidad del automóvil. A) 3 m/s

A) 2 m

B) 15 m

B) 6 m/s

C) 7 m/s

D) 12 m/s E) 4 m/s

20. Juan observa la punta de un mástil con un ángulo de elevación q, se acerca una distancia D en dirección al mástil y observa el mismo punto anterior con un ángulo de elevación b. Halla la altura del mástil. A) Dcotqcotb

D cot θ - cot β D E) cot θ + cot β

C) D(cotq - cotb)

B)

D) Dtanqtanb

NIVEL 3 Comunicación matemática 21. Observa la gráfica y completa usando definiciones: A) 10 m

B) 6 m

C) 12 m

D) 15 m

E) 8 m

Resolución de problemas 15. Una balsa se aproxima hacia un faro. En un determinado instante, el faro es observado por el tripulante de la balsa con un ángulo de elevación de p/12. Al recorrer 36 m adicionales vuelve a observar,

AB: a: AC:


57

22. Según la gráfica.

del edificio con un ángulo de elevación de 45°. ¿Cuál es la altura del edificio? B) 4 2 m E) 3 6 m

A) 6 2 m D) 6 m

Indica verdadero(V) o falso(F) según corresponda: I. El ángulo de elevación de la hormiga es 53°. ( ) II. El niño mide 1,5 m. ( ) III. El niño divisa a la hormiga con un ángulo de depresión de 37°. ( )

Razonamiento y demostración 23. Halla la altura del poste. Donde: Ángulo de elevación de la hormiga en A: 30° Ángulo de elevación de la hormiga en B: 60°

C) 6 6 m

27. Halla la distancia a la que se encuentra un observador del pie de un pedestal de 4 m sobre el cual se encuentra una estatua de 5 m. Si, además, el ángulo de elevación del observador hacia la parte superior de la estatua es el doble del ángulo de elevación para la parte superior del pedestal. A) 16 m

B) 12 m

C) 6 m

D) 8 m

E) 10 m

28. Una persona de 1,6 m de estatura observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación de 22°30'. Luego camina 40 m hacia la torre y ahora la observa con un ángulo de elevación de 45°. Calcula la altura de la torre. (Considera: 2 = 1, 41) . A) 19,8 m D) 29,9 m

B) 29,4 m E) 19,4 m

C) 29,8 m

29. Una persona observa lo alto de un árbol con un ángulo de elevación de 60°. ¿Cuánto debe retroceder para que observe el mismo punto con un ángulo de elevación que es el complemento del anterior? Considera la altura del árbol 5 3 m y la estatura de la persona 1,73 m.

A) 3 m D) 5 m

B) 2 3 m E) 4 m

C) 5 3 m

24. Halla la longitud AB. Donde: Ángulo de depresión desde C al punto A: 45° Ángulo de depresión desde C al punto B: 37° C

A) 8 m aprox. D) 6 m aprox.

B) 10 m aprox. E) 12 m aprox.

C) 4 m aprox.

30. Un avión se encuentra volando horizontalmente a 180 km/h. En cierto instante, el piloto ve una señal en tierra con un ángulo de depresión de 30°. Dos minutos después, estando sobre la señal, el piloto observa, a una distancia de 1000 m, un aerostato con un ángulo de elevación de 60°. ¿A qué altura está volando el aerostato en ese instante? A) 2 3 km D) 3, 5 3 km

B) 2, 5 3 km E) 4 3 km

C) 3 3 km

58 Intelectum 1.°

8. B

29. A

28. C

30. B 22. 15. E

21. 14. A

13. D

Nivel 3 5. D

12.

20. B 11.

3. A

4. D

19. B

18. C

Nivel 2 2.

26. Un edificio está al pie de una colina cuya inclinación con respecto al plano horizontal es 15°. Una persona se encuentra en la colina a 12 m de la base del edificio y observa la parte alta

1.

E) 4 3

17. A

D) 6 5

16. A

C) 3 2

9. C

B) 8 3

10. D

A) 5 2

Nivel 1

25. Dos edificios de alturas H y h (H 2 h) están separados una distancia d. Desde el punto más alto del edificio de altura H se observa la parte más alta y más baja del otro edificio con ángulos de depresión de 30° y 60°, respectivamente. Halla H/h.

C l a ve s


7. C

E) 7 m

6. A

D) 6 m

27. B

C) 1 m

26. C

B) 4 m

B

25. C

A) 5 m

H

23. C

A

24. E

3m

Matemática Si AB = 8 3 , calcula el valor de EF.

Resolución:

Del gráfico tenemos:

A

A

F

30°

E 60°

30°

D

60°

C

F

sen30° = 2x 3 & 1 = 2x 3 AB 2 8 3 `x=4

30°

B

C

Dado el cuadrado MNPQ, halla el valor de la longitud de su lado, si AM = 2CP = 4 N

x

E

2x 3

C

1.

x 3 30°

5.

60°

30°

D

B

Si ABCD es un cuadrado, halla el valor de: M = cotq - 2

D

P A

A 37° M

2.

3.

O

Q

B

A) 2 3

B) 3 _ 3 + 1i 2

D) 3 _ 3 - 1i 2

E) 2 3 3

C) 5 _ 3 - 1i 2

Si QM =

B) 9 m

A) 1 6.

Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación q; si nos acercamos 60 metros el ángulo de elevación para la parte alta del poste es de 45°. ¿Cuál es la altura del poste? Considera senq = 1 . 37 A) 6 m

C

θ

C) 5 m

D) 15 m

E) 12 m

3 , calcula el área del triángulo PQR en función de q. 2 Q

C) 1 2

D) 5 2

E) 1 3

B) 40 m

C) 16 m

D) 25 m

E) 35 m

Un avión viaja a una altura constante. En un determinado momento observa con un ángulo de depresión q un puerto. Luego se desplaza una distancia igual al doble de la altura a la que se encuentra y observa el puerto con un ángulo de depresión (90° - q). Calcula: R = cotq - tanq A) 3

8.

B) 2 3

Desde el pie de un poste el ángulo de elevación para observar la parte más alta de una torre es de 53°, y desde la parte superior del poste que tiene 8 m de altura, el nuevo ángulo de elevación es 45°. Calcula la altura de la torre. A) 32 m

7.

37°

B

B) 0

C) 2

D) 1

E) 3/2

Si: EB = 3 y AD = 1, calcula tana. C

60°

P

A) 1 sen2q 2

60° M

3 sen2q 4 E) 1 cos2q 2 B)

D) 3 senq . cosq 4.

θ

53°

R D

C) sen2q + 1

A

A) 1 3

Calcula OP en el siguiente gráfico: 9.

B

4 30°

A

A) 1 D) 3/2

P

D

O

B) 2/3 E) 4/3

C

C) 1/2

E α

53°

B) 5 9

C) 3 8

D) 1 5

B

E) 4 7

Si x e y son ángulos agudos, tal que cumplen las siguientes condiciones: cos(2x) . sec(y - x) = 1 ... (1) sen(2x) = cosy ... (2) Calcula: x + y A) 30° D) 42°

B) 45° E) 28°

C) 72°


59

Unidad 4


Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano: • P(-2; -3) • R(4; -1) • T(-1; 3) • Q(-5; 6) • S(2; 5) • U(2; -2) ¿Cuáles pertenecen al IVC?

A) P y R D) R y U

3

B) Q; R y T E) Q y T

B) ! 3 E) 0

B) 5 E) 8

4

B) 11 E) 51

C) 17

Si el punto medio del segmento cuyos extremos son A(3; 5) y B(x; y) es M(-1; 2); calcula x + y.

A) 6 D) 4 6

C) 7

¿Cuál es la distancia entre P(-3; 1) y Q(2; 5)?

A) 5 D) 41

C) 1

Halla la distancia entre A(-1; 2) y B(3; 5).

A) 3 D) 7

2

C) P; S y U

Halla x; si la distancia entre el punto A(x; -2) y B(4; 2x) es 5.

A) 2 D) ! 1 5

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

B) -6 E) -5

C) -4

Calcula la medida del menor lado del triángulo ABC, si sus vértices son A(0; 1), B(5; 7) y C(-3; -5).

A) 3 3 D) 3 7

B) 3 5 E) 3 11

C) 3 6


61

7

Halla las distancias mínima y máxima del punto A(7; 10) a la circunferencia de centro (1; 2) y radio 5.

8

Del gráfico, halla x. B(6; 8) x M

P(11; 4)

N

A(0; 0)

A) 5 y 15 D) 2 y 12 9

B) 4 y 14 E)1 y 11

A) 17 D) 5

C) 3 y 13

Calcula OP (aprox.), si: A(-9; 2) y B(-3; 10).

10

y

B

B) E)

C) 3

2 7

Calcula el área del siguiente triángulo: P(-2; 2)

O(2; 3)

P A x

O

A) 10 D) 10,3 11

B) 8,5 E) 10,4

Q(-1; -3)

C) 10,2

A) 10,5 D) 9

Halla la suma de coordenadas del punto medio del segmento cuyos puntos extremos son: M(2; 7) y N(6; -3).

12

B) 13 E) 8,5

C) 14,5

B) 37 E) 2p

C) 4p

Halla el área del círculo:

O

r (2; -2)

A) 8 D) 2 13

B) 6 E) 7

A) 67 D) 8p

C) 5

Si el punto (x; y) es el punto medio del segmento cuyos extremos son: A(-2; -3) y B(6; 5). Calcula x - y.

14

Del gráfico, calcula el valor de r: y O r

Q(9; -2)

M

x

(7; -7)

P (a; b)

C) 10

3. D

6. B 5. B

8. A 7. A

10. A 9. B

12. D 11. B

14. D 13. c

Claves

62 Intelectum 1.°

B) 12 E) 15 4. B

A) 5 D) 13

C) 1

1. D

B) -2 E) 1

2. D

A) -1 D) 0


Razonamiento y demostración Comunicación matemática

1.

3.

A continuación, grafica lo señalado para cada caso:

Determina la distancia del punto A(-5; 2) al punto B(4; 5). B) 3 10 E) 6 10

A) 10 D) 10

I. La recta numérica: 4.

C) 5 10

Determina las coordenadas del punto medio de AB, si: A(-6; 7) y B(4; 3). A) (-1; 5) D) (-7; 1)

II. El punto Q(-3; 1) en el plano cartesiano: 5. y

1 O

1

x

6.

C) (-5; 7)

Calcula la distancia entre A(1; -3) y B(-5; 5). A) 5 D) 11

2

-3 -2 -1

B) (5; 6) E) (6; 3)

B) 8 E) 10

Halla r.

C) 6

y 8

III. Un segmento de extremos A(-3; -2) y B(-2; 3); y un triángulo de vértices M(4; 2), N(5;-2) y P(-2; -3), en el plano cartesiano.

r

O

A) 9 D) 14 7.

x

6

B) 11 E) 10

C) 12

Indica las coordenadas de P. y -3

2.

M(-1; 5) N(2; -3)

P

A) (-3; 4) D) (3; 5)

IC

O(5; 7) P(3; -5)

8. IIC

9.

T(6; 1) U(-1; -4)

IVC

C) (2; 1)

Halla las coordenadas del punto medio de AB, A) (5; 3) D) (5; 4)

IIIC

S(3; 6)

B) (-3; -5) E) ( 2; -3)

-5

si: A(1; 0) y B(9; 8)

Q(-5; -2) R(-2; 3)

x

O

A continuación, relaciona con una línea a qué cuadrante pertenece cada uno de los puntos dados.

B) (5; 5) E) (5; 2)

C) (5; 6)

Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto (3; -2). Si la abscisa del otro extremo es 6, halla su ordenada. A) 2 0 6 D) -2 0 6

B) -6 0 4 E) -6 0 2

C) -4 0 6


63

10. La distancia entre los puntos A(2; 8) y B(-3; 4b) es 13. Halla un valor de b. A) -1 D) 6

B) 0 E) -3

C) 8

17. Calcula la distancia entre P(-3; 2) y Q(2; -8). A) 5 5 D) 4 5

B) 5 E) 5

C) 3 5

18. Indica las coordenadas de P.


y

P

11. Halla la distancia AC, si la distancia BC es 5 2 .

3

A = (-4; -2); B = (2; 4), C = ( x ; - 3 ); (x > 5) B) 3 E) 1

A) 2 5 D) 2 2

C) 5 2

12. Si dos vértices seguidos de un cuadrado son M(5; 7) y N(-3; 1). Calcula el perímetro del cuadrado. A) 32

B) 40

C) 36

D) 44

E) 28

A) (-4; 3) D) (-5; 6)

x

O

-4

B) (4; 3) E) (-3; 5)

C) (-3; 4)

19. Indica las coordenadas de Q.

NIVEL 2

y


Q

3

13. ¿Cuál es de las siguientes proposiciónes son verdaderas? I. El punto A(-2; -3) pertenece al IIC. II. La distancia entre M(6; 8) y N(-2; 2) es 10. III. Si un punto tiene ordenada 0, entonces está sobre el eje y. A) I y III D) I; II y III

B) Solo II E) Solo III

C) II y III

14. Completa a qué cuadrante pertenece cada punto. • M (- 2 ; 3)

! _____

• N c- 3 ; - 1 m 2 8

! _____

• Oc 3 ; -5 m 4

! _____

• P(6; 2 )

! _____

• Q c- 5 ; 2 m 3 7

! _____

• K ( 5 ; (-2) 2)

! _____

• S(-1; 0,6)

! _____

• T(4; 2 3 )

! _____

B) (3; -3) E) (5; -3)

64 Intelectum 1.°

C) ^ 5 ; - 3 h

20. Calcula r. y

A) 11 D) 17

r x

12

B) 13 E) 18

C) 14

21. Halla la distancia AB, si: A(-6; 3) y B(6; 8). A) 14 D) 10

B) 13 E) 11

C) 12


C) 5 3

16. Determina las coordenadas del punto medio de AB, si: A(8; -4) y B(2; -6). A) (4; -4) D) (2; -5)

B) ^- 3 ; 5 h E) ^ 5 ; 3 h

O

15. Determina la distancia del punto A(4; 3) al punto B(-2; -3). B) 3 3 E) 2

A) ^ 3 ; 5 h D) ^- 3 ; - 5 h

x

5

5


A) 5 2 D) 6 2

O

C) (5; -5)

22. Un segmento de extremos A(-3; 8) y B(-9; -1) es dividido en 3 partes iguales con los puntos M(a; b) y N(c; d). Halla el valor de: (a + d) - (b + c) A) -2 D) 3

B) 6 E) 1

C) 2

23. Halla la suma de coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son: A(-2; 5) y B(6; -3) A) 5 D) 2

B) 1 E) 4

C) 3

30. Halla d.


d

N(-3; -2)

24. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: • El punto Q(-3; 5) pertenece al IVC.

( )

• La distancia entre M(3; 6) y N(0; 2) es 5. • El punto medio M del segmento A(-3; 6) B(1; -2) es M(-1; 2).

( )

• Los puntos R(4; 6) y S(2; -3) pertenecen al IC.

( )

( )

25. Representa en el plano cartesiano lo siguiente:

P(2; 6)

A) 10

B) 7

C) 9,4

D) 6,5

E) 12,1

31. Halla la distancia entre los puntos medios de los segmentos AB y PQ, siendo: A(1; 2), B(-5; -8), P(-1; -5) y Q(-3; -9).

a) Todos los puntos de abscisa +3.

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Resolución de problemas b) El conjunto de puntos, tales que su ordenada es mayor que 1.

32. Halla x si el radio vector para el punto P^x; 2 h es 11 . y

P(x; 2 ) r

c) El conjunto de puntos, tales que su abscisa es mayor igual que -1. A) 2

B) 3

C) -3

C) 15

D) 30

-4

E) 12

B) 7 E) 5 3

P(-4; y)

C) 5

A) -3

28. Halla x + y, si: (x; y)

B(6; 8)

C) 7

D) 8

D) 1

E) 2

B) 32

C) 8

D) 16 2

E) 20

E) 5

C l a ve s

29. Calcula a.

y

Nivel 1

4 17 a

O

A) 2

C) 3

A(m + 2; n - 3) y B(m - 2; n + 1) A) 16

B) 6

B) 5

34. Calcula el perímetro de un cuadrado, si dos de sus vértices consecutivos son:

A(-2; 4)

A) 2

x

37°

27. Halla la distancia entre los puntos A(1; 2) y B(-3; -1). A) 6 D) 5 2

E) - 3

y

26. Determina la distancia del punto A(-4; 7) al punto B(4; 1). B) 10

D) 9

33. Halla el radio vector r para el punto P(-4; y) e indica el valor de: r + y


A) 20

x

B) 4

C) 5

x

D) 3

E) 1

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

B A E E B

8. D 9. E 10. A 11. c 12. B Nivel 2 13. B 14.

15. D

23. c

16. c

Nivel 3

17. A 18. A 19. E 20. B 21. B 22. E

24. 25. 26. B 27. c 28. D 29. E

30. 31. D 32. c 33. E 34. D


65


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Grafica y determina a qué cuadrante pertenece el ángulo: a = 4095°.

A) a ! IIC D) a ! IC 3

5

B) a ! IVC C) a ! IIIC E) Ninguna de las anteriores.

Si: 32sen5a = -1; cosa < 0 Calcula: M = senα cos α tan α

A) 1/2 D) 3/4

B) E) 1

66 Intelectum 1.°

B) 25/12 E) 15/12

C) -1/2

6

C) -5/4

Sea A(4; -3) un punto del lado final de un ángulo a en posición normal. Halla el valor de: F = secatana

A) 9/16 D) -9/16

4

Si tanq = 3/4, q ! IIIC. Halla: k = secqcscq

A) 3/5 D) -12/25

2

B) 7/16 E) 15/16

C) -15/16

Si: cos x = - 1 , halla cosx. 2 5

A) 23 25

B) - 23 25

D) - 21 25

E) - 1 25

C) 21 25

Sabiendo que: tan3q + 30 = 3; cscq < 0 Calcula: Q = senqcosqtanq

A) 9 20

B) 9 10

D) 20 9

E) 9 8

C) 10 9

7

Determina el signo de: K = sen125°tan185°cos355°

Del gráfico mostrado:

8

y 2

(-2; 1)

1

α

0

-2 -1

-1

1

x

2

Halla: P = sen2a + tan2a

A) (+) D) (-) o (+) 9

B) (-) E) No se precisa

A) 20/9 D) 20/11

C) (-) y (+)

Dos ángulos coterminales son entre sí como 1 es a 3. Halla la medida del mayor de dichos ángulos; si el menor se encuentra comprendido entre 300° y 400°.

10

B) 11/20 E) 2/5

C) 9/20

Del gráfico mostrado, halla: N = senq + cosq - tanq y

θ x P(-1; -1)

A) 620° D) 1080°

A) - 1 + 2 D) - 1 - 2

C) 270°

Determina el signo de la expresión:

12

P = tan 185°sen125° cos 225° cot 135°

A) (-) D) (+)

Determina el signo de la expresión M, si se cumple: 45° < x < 86° M = sen2xcos3xtan4x

(sen2 β + cos2 θ) . sec2 θ 2 tan β + 1

A) senb D) 1 14

B) -1 E) tanb

C) cosq

Del gráfico mostrado, calcula: M = tana + cota - sena P(-1; 3)

y

α

x

D) 11 3 6

3

C) - 11 3 6

E) 11 3

3. D

C) (-) y (+)

5. B

10. D

8. c

9. D

7. A

Claves

B) (-) E) (-) o (+)

B)

6. B

12. D 11. D

A) (+) D) No se precisa

3 6

1. A

A)

4. B

14. c 13. E

13

C) (+) o (-)

C) 1 + 2

Sean b y q dos ángulos coterminales. Halla el valor de: P=

B) (+) y (-) E) No se precisa

B) 1 - 2 E) 2 + 2

2. c

11

B) 900° E) 540°


67

Practiquemos A) (+) D) (+) y (-)


Sea P(x; y) un punto que pertenece al lado final del ángulo q, y r su radio vector; relaciona con una línea según corresponda:

6.

10 3

B) 2 10 3

D)

10 6

E)

r/x

secq

y/r

A) 2 3 3

B) - 2 3 3

r/y

D) - 3 3

E)

Si tana = - 3 y a ! IIC. Calcula: csca

8. x/r

cosq

Si q ! IC Si q ! IIIC Si q ! IIC Si q ! IVC Si q ! IIC

A) IC D) IVC

& & & & &

senq es cosq es tanq es secq es senq es

( ( ( ( (

) ) ) ) )

(-1; 4)

3 3

2 3

B) IIC C) IIIC E) A ningún cuadrante.

Resolución de problemas 9.

Sabiendo que a y b son ángulos cuadrantales que suman 180° y que se diferencian en 360°. Calcula: M = senα - cos θ senθ A) 1 D) 2

Razonamiento y demostración Calcula cotq, si:

C)

Si: senbcosb < 0 / |senb| = -senb ¿A qué cuadrante pertenece b?

Completa (+) positivo o (-) negativo, según corresponda. Para un ángulo q: • • • • •

C) 10

10 9

cotq

1 + cot θ

3.

A)

x/y 7.

C) (+) o (-)

Si: tanb = -3 y b " IIC. Halla: S = secb + cscb.

senq

2

2.

B) (-) E) No se precisa.

B) -1 E) 1/2

C) -2

10. En la figura PQRS es un cuadrado. Calcula el valor de tanq, si M es punto medio de PQ.

y

y

θ

P

x

S

x

θ

M

A) 4 D) 1/4 4.

B) -4 E) -2

Q(-a; -a)

C) -1/4

Calcula k = secfcscf; si:

A) -1 D) 1

y

R

B) 1/2 E) 2

C) -1/2

NIVEL 2 φ

x


(-3; -1)

A) 10/3 5.

B) 5/3

C)

11. Coloca (V) verdadero o falso (F), según corresponda: 10 3

Calcula el signo de la expresión: S = sen100° cos 200° tan 300°

68 Intelectum 1.°

D) 0,3

E) -5/3

• • • • • •

cos792° = cos72° sen446° = sen86° tan1280° = tan72° sec2260° = sec160° cot1972° = cot272° sen820° = sen100°

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

12. En el siguiente cuadro, completa según corresponda: sen

cos

tan

cot

18. Del gráfico:

y

sec

(-2; 3)

0°

θ

x

720° 540°

Calcula el valor de: k = secq + cscq

-90°

Resolución de problemas Razonamiento y demostración

13. Calcula tanf, si:

19. En la siguiente función: F(x) = senx - cos2x + csc(x/2) Halla el valor de F(180°): A) -1

y

B) 1

C) 2

D -2

E) 0

20. Se tiene un triángulo equilátero ABC, tal que: φ

y B

x

(-1; -3)

A) 1/3 D) -1/3

M

B) 1 E) -3

A -2

C) 3

y x

a

A(3; -4)

x

B)

D) - 3 4

E) 1

C) -1/4


B) -0,2 E) -0,8

C) 0,6

15. Halla el valor de: K = senqcosq

y

θ

B) -0,2 E) -0,5

x

C) -0,4

C) (+) o (-b)

D) 0,6 5

E)

5

B) 2M = N E) 3M = 2N

C) 2M = 3N

22. De las siguientes proposiciones respecto a: k = sena/2 . cot2a I. Si a = 180°, entonces k es positivo. II. Si a = -180°; entonces k es igual a 1. III. Si a = 630°, entonces k es negativo. A) Solo I D) Solo III

B) I y III E) I; II y III

C) II y III


Halla el valor de: J = secacsca B) -0,9 5

A) M = 3N D) M = 2N

Son falsas:

17. Si sena = 2/3 y a ! IIC. A) 0,9 5

(cos 0° + sen90°) csc270° cos 180°

N = (tan180° - cos360°)(sec180° + csc270°)

16. Calcula el signo de la siguiente expresión: J = cos100° - sen140° tan120° + cot 300° B) (-) E) N.A.

21. Compare las siguientes cantidades y luego marque la alternativa correcta. M =

(-1; 2)

A) (+) D) (+) y (-)

C 2

3 4

A) 1/4

Calcula: sena

A) 0,2 D) 0,4

α

Halla el valor de: T = senacosq

14. Del gráfico:

A) 0,2 D) -0,6

N θ

C) -0,6 5

23. Si el lado final de un ángulo canónico b pasa por P(3; -2); calcula tanb. A) 2 3

B) - 2 3

C) - 3 2

D) 3 2

E) - 3 4


69

24. Si el lado final de un ángulo en posición normal b pasa por P(-2; 3); calcula: T = senb.cosb A) 2 13

B) - 2 13 E) - 12 13

D) - 6 13

30. Determina: sec2a + tan2b.

C) 6 13

β

6 7

B) - 6 7

D) - 6 7

E) - 6 7

C) 6 7

A) 27 2

B) 16 7

D) 17 2

E)

y

(-4; 4m) 3

A) -1 D) -3

y

x

B) - 5 2 E)

C) - 10

2

A) 1240° D) 2100°

B) - 7 3

D) - 14 3

E) -7

C) 3

B) 1440° E) 2135°

C) 2520°

33. Si Q(2a - 3; 5 - 3a) es un punto del lado final del ángulo q. Halla el valor de “a” e indica a qué cuadrante pertenece q, si senq = -4/5 y a < 0.

28. Si los puntos P(-3; 2) y Q(-7; a) pertenecen al lado final del ángulo canónico q; calcula a. A) 7 3

B) -2 E) 2

32. Dos ángulos coterminales están a razón de 3 a 4. Halla la suma de los ángulos; si el menor de los ángulos es mayor que 1000° , pero menor que 2000°.

θ

0

x

(2m; -6)

27. De la figura, calcula secq.

D) - 10 2

7 2

α

B) IIC C) IIIC E) No se puede precisar.

(-2; 1)

C) 27 4

31. Determina el valor numérico de m.

26. Sabiendo que: sena > 0; cosa < 0; entonces a pertenece al:

A) - 5

x

α

S = senq.cosq

A) IC D) IVC

(2; 7 )

(-2; 1)

25. Si: tanq = - 1 ; q ! IVC, calcula: 6

A)

y

C) 14 3

A) -4: IIC

B) -3: IIIC

D) - 3 ; IIC 2

E) 3; IVC

C) - 1 ; IC 2

Resolución de problemas 29. El punto P ! IIIC, se rota 90º en sentido horario, determina cosq. y P' - 3 P

A) - 2 7 7

B) - 7

D) - 3 7

E) 2 7 7

70 Intelectum 1.°

θ

C l a ve s

x -2

Nivel 1

C) 7 7

1. 2. 3. 4. 5. 6.

c A A B

7. A 8. D 9. A 10. B Nivel 2 11. 12.

13. c 14. E 15. c 16. A 17. B 18. D 19. E 20. B

Nivel 3 21. D 22. E 23. B 24. D 25. B 26. B

27. B 28. c 29. A 30. c 31. D 32. c 33. E


REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

Reduce al primer cuadrante: sen103°

2

Calcula: sen(-300°)

A) A) cos23° D) sen193°

3

5

B) sen77° E) sen(-77°)

C) cos77°

Calcula: P = sen(-45°) + cos(-60°)

D) -

4

B) 1 - 2 4

D) 1 - 2 2

E) 1 + 3 2

C) - 1 + 2 2

Calcula: P = sen135° + cos225° + sec315°

A) - 2

B) 2 2

D) 3 2 2

E)

2

3

3 2 E) - 1 2

C) 1 2

B) 0,3 E) -0,3

C) -0,4

B) 2 3 E) 10

C) 2

2 + tan ^- 53°h csc ^- 37°h

A) 0,4 D) 0,5 6

C)

3

B)

Calcula: H=

A) 1 - 2 3

3

Calcula: tan2040° - tan2460°

A) 3 D) -2


71

A)

3 2

B) 2 - 3 2

D)

3 7

E)

C) 2 + 3 2

3 +3 3

Calcula: A = -6 3 tan120°

12

B) 26 E) 20

C) 18

Calcula S = 6 2 cos405°

14

C) 5

10. B 9. c

B) 8 E) 12 12. E 11. c

14. D 13. A

Claves

72 Intelectum 1.°

A) -2 3

B) -2

C) 5

D)

E) 1

Calcula: csc(-2670°)

3

Calcula: E = 4 cos300° + 7

B) 5 E) 3

C) 4

B) 3 E) 8

C) 2

Calcula: T = 1 + 3 tan600°

A) 6 D) 4

7. B

A) 6 D) 10

C) 2senb

A) 6 D) 2

8. D

A) 22 D) 24 13

10

B) senb E) -senb

5. E

Calcula: M = sen2940° + cot3285°

A) 1 D) 0

6. B

11

C) cotx

3. D

9

B) -cotx E) -cot2x

Calcula: E = sen(360° + b) + cos(270° - b)

4. c

A) tanx D) -tanx

8

1. B

Simplifica: sen (180° + x) sec (90° + x) E= cot (270° + x)

2. B

7


6.

A) - 1 2 D) - 3 5


Crucigrama Completa el siguiente crucigrama y descubre el nombre de un matemático.

7.

B) - 3 2 3 E) 5

C) - 3 4

B) 60 E) 8

C) 5 3

B) 5 E) 12

C) 4

B) 30 E) 12

C) 10

B) 2 6 E) 24

C) 3

Calcula: R = 5 3 . tan 600°

I. Hipotenusa entre cateto adyacente.

A) 30 D) 15

II. Ángulos en posición normal, cuyo lado final coincide con un semieje del plano cartesiano. III. Tipo de ángulo cuya medida es menor que 90° y mayor que 0°. IV. Ángulos cuya suma de medidas es 90°.

8.

Calcula: A = -2 3 cot 150°

V. Ángulos cuya suma de medidas es 180°

A) 6 D) 3

VI. Ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final. 9.

I"

Calcula: A = -4 3 tan120°

II "

A) 26 D) 24

III " IV "

10. Efectúa:

V"

M = 4 2 sen1200°

VI " 2.

Calcula: cos510°

A) 6 D) 8

Relaciona según corresponda:

NIVEL 2 sen150°

-1/2

sen210°

1/2 0

sen180°


D)

I. 180° + q ! IIIC.

( )

II. 180° - q ! IIC.

( )

III. 270° + q ! IVC.

( )

IV. 720° + q ! IVC.

( )

12. Relaciona según corresponda:

3 2

B) - 3 2 1 E) 2

C) 1 2

B) - 3 3 E) - 3

C) 3 3

Halla: cot870° A)

3

D) -1 5.

11. Si q es agudo indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

Halla: sen570° A) - 3

4.


2

sec240°

-1

tan135°

-1/2


Calcula: tan750° A) 3 3 D) 3

sen330°

13. Reduce al primer cuadrante: sen110° B) - 3 3 E) 1

C) - 3

A) -sen80°

B) -cos70°

D) 1

E) 1 2

C) sen70°


73

14. Calcula:


M = 3 + 8sen150° A) 8 D) 12

B) 11 E) 7

C) 5

23. Halla: V = (6 - 8cos120°) . sen150º A) 4 D) 7

15. Calcula: L = 1 - cot135° A) 3 D) 7

B) 5 E) 2

C) 6

N = tan300° - sen150° + 2cos210° + sen30° A)

C) 3 2

S = cos300° . sen150° + sen240° . cos390°

B) 5 E) 7

C) 3

B) 2 E) 8

C) 1

A = 6 - 5 sec 240°

C) 2 3

A) 4 D) 3 29. Efectúa:

A = cos150° - cos210°

V= B) 2 3 E) - 3

C) 9

23 - sec 3000°

A) 4 D) 6

20. Calcula:

A) 0 D) -2

B) 5 E) 6

28. Efectúa:

R = sec330° + sec210° B) - 3 E) 6 3

N=

C) 7

19. Efectúa: A) 3 D) 0

A) 8 D) 10 27. Calcula:

P = csc150° - 6sen330° B) 6 E) -7

C) -0,5

K = - 2 2 sec225° + csc150°

C) 4 3

18. Calcula: A) 5 D) 4

B) 0,5 E) -0,6

26. Halla el valor de:

S = tan300° + 6cot240° B) 3 E) 10

E) 3 3

A) 0,3 D) 0,6

17. Calcula:

C) 2 3

25. Calcula:

E) 1

A) 6 3 D) 1

B) - 3 3

3

D) - 2 3

S = sen300°.cos150° B) 5 4

C) 6

24. Efectúa:

16. Calcula:

A) 4 3 D) 3 4

B) 5 E) 8

C) 2

NIVEL 3

1 - 8 2 sen225°

A) 2 D) 6

B) 1 E) 3

C) 4

30. Calcula: L=


A) 3 D) 5

21. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. q = 120° ! IIC

( )

II. q = 248° ! IIIC

( )

III. q = 330° ! IVC

( )

22. Si q ! IC indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. prad - q ! IIC

( )

II. q - prad ! IIIC

( )

III. 2prad - q ! IVC

( )

74 Intelectum 1.°

3 - 4 3 cos 150 ° B) 2 E) 6

C) 4

C l a ve s Nivel 1 1. 2. 3. 4. 5. 6.

E E A B

7. D 8. A 9. E 10. B Nivel 2 11.

12. 13. c 14. E 15. E 16. D 17. B 18. A

19. D 20. A Nivel 3 21. 22. 23. B

24. D 25. c 26. E 27. B 28. A 29. E 30. A


¿A cuántos kilogramos equivalen 3 # 107 centigramos?

A) 3000 kg D) 30 000 kg 3

B) 300 kg E) 300 000 kg

B) 800 dl E) 0,8 dl

B) 0,2 dam E) 0,02 dam

C) 80 dl

C) 2 dam

¿A cuántos hectómetros equivalen 7 # 109 milímetros?

A) 700 hm D) 70 hm 4

¿A cuántos decámetros equivalen 200 centímetros?

A) 200 dam D) 20 dam

2

C) 30 kg

¿A cuántos decilitros equivalen 80 decalitros?

A) 8000 dl D) 800000 dl 5

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

C) 70 000 hm

¿A cuántos quintales equivalen 103 kilogramos?

A) 100 q D) 10 q 6

B) 7000 hm E) 7 hm

B) 1 q E) 0,1 q

C) 1000 q

¿A cuántos kilolitros equivalen 102 decilitros?

A) 100 kl D) 10 kl

B) 0,1 kl E) 0,01 kl

C) 1 kl


75

7

En el recipiente A se tienen 250 g y en el recipiente B se tienen 450 dg. Si se decide juntar ambos en un recipiente C. ¿Cuántos hectogramos se obtendrán al realizar dicha operación?

A) 1,95 D) 2,75 9

B) 2,5 E) 3,15

11

B) 3 semanas E) 4 semanas

k

10

B) 32,5 km E) 6500 km

12

C) 3250 km

Un camión transporta 15 sacos de papa y 20 sacos de arroz. Si cada saco de papa pesa 3,6 q y 15 mag cada saco de arroz. ¿Cuál es el peso total que transporta el camión? (Obtener la respuesta en toneladas)

A) 7,2 t D) 9,6 t

C) 5 semanas

Halla la distancia de A hasta B en hm: A

La distancia de la ciudad M a la ciudad N es de 6,5 # 103 hm. Si la ciudad P se encuentra a la mitad de la distancia entre M y N, ¿cuál es la distancia entre P y M?

A) 325 km D) 3,25 km

C) 2,95

Una familia consume cada lunes, martes y miércoles 7,5 hl de agua y el resto de días de la semana 12 dal de agua diario. ¿Cuántas semanas les durará un tanque de 5,46 kl de agua?

A) 1 semana D) 2 semanas

8

B) 6 t E) 7,5 t

C) 8,4 t

Se tienen los recipientes A; B y C:

3k B

1, 92 km

C

¿Cuántos litros de agua son necesarios para llenar los 3 recipientes?

A) 259,2 l D) 270 l

A) S/.575,2 D) S/.312

C) 50 y 750

8. A 7. c

10. c 9. D

12. B 11. E

14. E 13. A

Claves

76 Intelectum 1.°

B) S/450 E) S/.625,2

5. B

B) 90 y 600 E) 75 y 600

El decímetro de tela de gasa cuesta S/.5 y el decámetro de tela de nailon cuesta S/.7. ¿Cuánto se deberá pagar por 12 metros de tela de gasa y 3600 centímetros de tela de nailon?

6. E

A) 75 y 900 D) 100 y 1000

14

C) 331,2 l

C) S/.660,5

3. A

Se tienen 45 mag de fideos y se desea empacarlos en cajas y bolsas. Cada caja contiene 12 bolsas y cada bolsa 500 g de fideos. ¿Cuántas cajas y bolsas serán necesarias para empacar todo los fideos?

B) 202,5 l E) 192 l

4. D

C) 48 hm

1. B

13

B) 9,6 hm E) 4,8 hm

2. c

A) 19,2 hm D) 96 hm

Practiquemos A) 80 kl D) 800 kl


27 hg = 1500 dg = 2q= 0,25 mag = 2 # 104 cg = 7 dam = 450 dm = 0,1 km = 8 # 105 mm = 0,5 hl = 600 dal = 3l= 5 7,5 # 10 ml = 2.

8.

Completa las equivalencias:

9.

4.

5.

C) 15

B) 0,02 E) 0,002

C) 2000

Halla el equivalente en dam de 2 # 105 cm. A) 20 dam D) 0,2 dam

7.

B) 1500 E) 0,15

B) 2000 dam E) 2 dam

Halla el equivalente en kl de 8 # 106 ml.

A) 10 km D) 12,5 km

C) 8

D) 6

B) 11,5 km E) 11,1 km

E) 7

C) 200 dam

C) 12,1 km

11. Un tanque es abastecido por 3 cañerías (A; B; C). La cañería A abastece con 7,5 kl al día; la cañería B con 50 l y el caño C con 50 dal. Si el tanque posee una capacidad dl 1185 hl. ¿Cuántos días demorarán los 3 caños en llenar totalmente el tanque? A) 10

B) 12

C) 15

D) 9

E) 18

NIVEL 2 Comunicación matemática 12. A continuación encierra en un círculo la mayor cantidad de cada terna. ▪

7,5 hg

7500 g

75 # 106 mg

▪

0,02 t

400 hg

7 # 105 dag

▪

35 hm

400 m

8 # 104 cm

0,1 dam

350 dm

▪ 6,2 # 105 mm

¿A cuántos dm equivale 0,2 hm? A) 20 D) 200

6.

C) 80 kg

¿Cuántos hg hay en 15 # 104 cg? A) 150 D) 1,5

B) 10

10. Un cartero comienza su jornada trasladándose de su casa al trabajo 28 hm, luego se dirige al mercado recorriendo 0,75 km, luego camina 250 dam, al final regresa haciendo el mismo recorrido. ¿Cuántos km camina al día?

1,05 dag 6g 300 kg 850 dm 0,15 km 2000 m 3,5 dal 78 l 8 hl

B) 8000 kg E) 16 000 kg

C) 0,5 cl

Un bote soporta como máximo 4 q. Si una persona adulta pesa 75 kg y un niño 3,5 mag. Halla el máximo n.° de personas que puede transportar si es necesario que viaje un adulto como mínimo. A) 9

¿Cuántos kg hay en 8 t? A) 800 kg D) 8 kg

B) 50 cl E) 5 cl



C) 0,8 kl

¿A cuántos cl equivale 0,05 hl? A) 500 cl D) 5000 cl

g dag kg dag hg cm dam dm hm dl kl cl dal

A continuación compara las cantidades y coloca >, < o =, según corresponda: 10,5 hg 600 cg 0,3 t 0,85 dam 1500 mm 20 hm 35 cl 0,78 kl 800 dl

B) 8 kl E) 8000 kl

▪

70 dal

32 # 103 dl

0,2 kl

▪

0,5 kl

300 l

8 # 105 cl

13. Completa múltiplo o submúltiplo, según corresponda: múltiplo dag g cg t nm km dl hl ml

g kg m m l l l


77



14. ¿Cuántos hg resultan de la suma de 0,2 mag y 50 dag? A) 7 hg D) 15 hg

B) 25 hg E) 20 hg

C) 12 hg

15. ¿Cuántos dm necesitamos sumar a 0,02 m para obtener 40 mm? A) 2 dm D) 0,2 dm

B) 20 dm E) 200 dm

C) 0,02 dm

16. ¿Cuántos hl necesitamos sumar a 40 dal para obtener 2 kl? A) 20 hl D) 30 hl

B) 16 hl E) 24 hl

C) 8 hl

17. ¿Cuántos cg necesitamos restar a 0,2 g para obtener 150 mg? A) 10 cg D) 15 cg

B) 20 cg E) 50 cg

C) 5 cg

18. ¿Cuántos m necesitamos restar a 8 hm para obtener 0,035 km? A) 700 m D) 750 m

B) 630 m E) 765 m

C) 835 m

B) 8 kl E) 48,5 kl

C) 3,95 kl

Resolución de problemas 20. En un control de peso que registra el peso de los vehículos se toman los siguientes datos durante un día: - Un auto Toyota pesa 1,7 t. - Un auto Nissan pesa 15 q. - Un auto Ferrari pesa 9 # 103 hg. Si el peso total registrado es de 47 t; y siendo el número de autos Toyota 7 y el de Nissan 12. ¿Cuántos autos Ferrari pasaron? A) 28 D) 31

B) 19 E) 15

21. Un cuadrado posee una diagonal en cm. A) 40 cm D) 4 cm

B) 400 cm E) 4000 cm

C) 21 2 dm. Halla su perímetro C) 0,4 cm

B) 400 E) 320

78 Intelectum 1.°

N = 0,02 hg + 46 dg - 0,5 dag + 5g P = 0,004 kg + 300 mg + 40 cg - 20 dg A) M > N > P D) N > M > P

B) P > M > N E) N > P > M

C) M > P > N

24. Coloca (V) verdadero o (F) falso según corresponda. I. 42 dag > 3000 mg

( )

II. 850 kg < 9600 dag

( )

III. 0,01 hg < 238 dg

( )

IV. 0,02 hl > 850 ml

( )

V. 570 dl < 0,1 kl

( )

VI. 3260 cm > 2 hm

( )

VII. 0,001 m < 40 mm

( )

VIII. 32 hm > 4700 m

( )

25. Halla el número de cg que sumados a 0,1 dag resultan 45 g. A) 44 cg D) 4,4 cg

B) 4400 cg E) 0,44 cg

C) 440 cg

26. Halla el valor de x(en cg): x cg + 925 dg = 0,08 hg + 0,004 dag A) 88 D) 562

B) 124 E) 484

C) 460

27. Halla el valor de k (en dal) en: k + 42 l = 32 dl + 300 cl A) 5,35 dal D) 1,3 dal

B) 6,25 dal E) 0,53 dal

C) 8,47 dal

28. Halla la cantidad diferente al resto. A) 0,03 hl D) 3000 cl

B) 0,3 dal E) 30 dl

C) 300 cl

29. Halla el valor de x, si

22. Una bodega envasa agua en botellas de 50 cl y 2,5 dl. Además, el número de botellas de 50 cl es el triple de las botellas de 2,5 dl. ¿Cuántas botellas necesitará para envasar 35 dal? A) 200 D) 600

M = 450 mg + 25 cg + 0,01 g + 0,28 dag


19. ¿Cuantos kl obtenemos al sumar 450 dal y 350 l? A) 4,85 kl D) 0,8 kl

23. Compara las siguientes cantidades:

C) 800

AB = 200 cm; MN = 0,1 m y AM = NB x A

A) 50 dm D) 500 dm

M

B) 0,5 dm E) 0,05 dm

N

B

C) 5 dm

30. Halla el valor de k,

Si necesita vestir a 10 personas, ¿cuántos metros (m) de tela necesita?

B

A) 149 m D) 77 m

A

C

350 cm

Si el perímetro del triángulo ABC es 0,0073 km. B) 36 m E) 180 m

C) 18 m

31. Halla el valor de x, si AC = 32 m; BD = 0,46 km y AB + CD = 2520 dm A

A) 1,2 km D) 1,2 dam

C) 167 m

0,02 hm

k

A) 3,6 m D) 1,8 m

B) 95 m E) 76 m

B

x

C

B) 12 dam E) 120 dm

D

36. En una maratón al participante: n.º 17 le falta 5 hm para llegar a la meta; al n.º 14, 300 m; al n.º 20, 3800 dm; al n.º 21, 1 km y al n.º 5, 18000 cm. De los cinco, determina qué participante va en tercer lugar. A) 17 D) 5

B) 14 E) 21

C) 20

37. José es más rápido que carlos, si Carlos recorre x dam José recorre 2,8 km más en el mismo tiempo. Determina qué distancia recorrió José, si la suma de lo que recorren ambos es 11.104 dm. A) 41 . 105 m D) 41 . 104 m

B) 41 . 102 km E) 82 . 103 m

C) 82 . 103 dm

C) 12 m

Resolución de problemas 32. Determina el área del cuadrado en cm2:

34. La granja A produce 50 hl de leche por día, mientras que la granja B produce 0,40 kl de leche perdía. ¿En cuántos días la granja A producirá 9000 dl de leche más que la granja B? A) 8 días D) 7 días

B) 10 días E) 9 días

23. D 24. 25. B 26. D 27. A 28. D 29. c Nivel 2 12. 13. 14. B

E) 1

B c D c B

D) 0,01

C) 0,10

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

B) 7 6

8. A 9. B 10. c 11. c

A) 7

15. D 16. B 17. c 18. E 19. A 20. B 21. A 22. c

33. Reduce la siguiente expresión: M = 1000 cm + 600 dm 0, 7 hm 70 000 mm

Nivel 3

C) 49

Nivel 1

B) 0, 49 E) 0, 049

C l a ve s

A) 7 D) 0, 07

30. D 31. B 32. B 33. E 34. E 35. B 36. c 37. D

7.10-5 hm

C) 15 días

35. Un sastre utiliza las siguientes medidas de tela: • • • •

52 dm para un saco. 0,02 hm para un pantalón. 80 cm para una corbata. 1500 mm para una camisa.


79

Matemática Del gráfico:

Resolución:

y

• a ! IC / b ! IIC & tana > 0 / tanb < 0 & 0° < a < 90° 90° < b < 180° 90° < a + b < 270° & cos(a + b) < 0

β α

• Luego tenemos: cos (a + b) (- ) (-) = = P= tana - tanb (+) - (-) (+) + (+) (-) P= (+) ` P = (-)

x

Halla el signo de: cos (a + b) P= tana - tanb

1.

Calcula el valor de:

6.

M = sen91° + sen92° + ... + sen125° cos1° + cos2° + ... + cos35°

M = cos90° - sen270° + tan360° sec0° - csc 270° + cos360° A) 1 3 2.

C) 1 2

B) 2

D) 1 3

A) sen5° D) 1

E) 1

Calcula las coordenadas del punto P si:

7.

y

B(0; 3) P

O (0; 0)

x

8.

B) d- 3 ; 0 n 2 E) (-2; 0)

D) (-3; 0) 3.

(0; 0)

A) 2 3 D) 1 4

(m; -6)

A) -6 D) -5

B) -8 E) -7

9.

C) -9

Halla el signo de: A = sen(b - a) 0 B = sen2a

D) -1 C) (-); (+)

80 Intelectum 1.°

x

C) 1 6

B) 3 4

E) - 1 4

C) - 4 3

10. Si tanq # senθ < 0; calcula el signo de las siguientes expresiones: II. tan100° senq

tan1125° 2 # csc 405° B) 2

θ

I. cosθ

Calcula:

A) 1 2

45°

Calcula la pendiente de la recta: A) 4 3

B) (+) 0 (-); (+) E) (+); (-)

B) 1 3 E) 2 5

(2; 3)

L1: 3x - 4y - 3 = 0

Si a ! IC y b ! IIIC

A) (+); (+) D) (-); (-)

C) 0

Del gráfico, calcula tanθ.

y

(-4; -3)

M=

B) 2senθ E) -senθ

y

x

5.

M = sen(π - θ) + cos dq - 3p n 2

(0; 1)

Halla m; si:

C) sen6°

Calcula:

C) d- 1 ; 0 n 2

θ

4.

B) cos6° E) 0

A) cosθ D) 2cosθ

A(-4; -3)

A) (-1; 0)

Calcula:

C) 1

D) 3 4

E) 1 4

A) (-); (+) D) (+); (-)

B) (-); (-) C) (+); (+) E) No se puede determinar.

LA ACTIVIDADES_TRIGO 1°

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