Ova pitanja služe kako bi se stekao uvid u to kakva se pitanja očekuju na testu opšte informisanosti na Filozofskom fakultetu Univerziteta u Beogradu. NAPOMENA: Ova pitanja neće biti na samom prije...
Pniikom pripremanja rukopisa na razliCice naCine ·SU mi pomogli skoro svi radnici jizickog InscicULa, Prirodno-macemaPckog fakullew, ce aucor smacra pnj"atnom obavezom da im izrazi zahvalnosc. Kolega S/obodan Zegarac, svesrdno se odazvao molbi da proCica prvi rukopis. Na njegova upozorenja uklonio sam u poceinom cekstu izvesne nedostatke. Na come mu posebno zahvaljujem.
t.,
,
·...
Aucor se najsrdai!nije zahvaljuje recenzencima ovog rukopisa prof. dr Aleksandru Milojevicu i docencu dr Bozida1·u Milieu, za primedbe i korisne savere koje su dati posle decaljnog i zaisca brizUivog upoznavanja sa rukopz.som, a koje sam, sa zahvalnoscu, prihvario pri pripremi ovog izdanja.
1. ·- . Odredivanje polozaja materijalne tacke . . . . . . • . . . . . . • ( ! ._!:.,)Svoistva prostora i vremena u klasicnoj mehanici . . . . . . . . . r. Odredivanje putanje materijalne tacke . . . . . . . . . . . . . . Brzina materijalne tacke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.: Uop~tavanje pojma brzine za promenljive vektore i skalare. Sektorska brzina · Ubrzanje materijalne tacke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 .. Tangencijalno i normalno ubrzanje tacke 5. Vrste kinematiCk.ih kretanja . . . . . . 5.1. Pravolinijsko ravnomerno kretanje tacke 5.2. Pravolinijsko jednako ubrzano kretanje taCke 5.3. Jednako kruZno kretanje tacke
·.
Glava III. -
KINEMATIKA KRUTOG TELA
1. 2. 2.1. 2.2.
Translatorno kretanje krutog tela .Rotaciono kretanje krutog tela Ugaona brzina . . . . . . U gaono ubrzanje . . . . .
3.
Relacija medu vektorima linearne
4. 5.
I. 1.1. 1.2. 1.3.
21
23
24 26 29 30 32 33 37 37 39
42 43 i ugaone ........
VJ
Col
Relacija medu vektorima ubrzanja al i o:. Primeri rotacionih kretanja tela 5.1. Ravnomerno rotaciono kretanje tela 5.2. Ravnomemo ubrzano rotaciono kretanje tela
Glava IV. -
17 18 19
DINAMIKA MATERIJALNE TACKE
Pojmovi sile i mase. Osnovni zakoni dinamike Sila . . . . . . Masa tela . . . Zakon dinamickog merenja sile
brzine
44 46
47 41 48 49 49 49
51
Sl
·---~--.,_-_,,--'-~~···•>;•u>''~-<;·,.,.,.....,
_·-·
'..::~~-~~
-ey •-• ,....,_
UVOD
\ \
Fizika, prem'l grckoj reCi tpucrt<;' oznacava prirodu. Medutim, u sada.Snje vreme niz nauka proueavaju prirodu.i nazivaju se prirodnim naukama. Fizika je jedna od prirodnih nauka koja se bavi proueavanjem osnovnih zakona materijalnog sveta. Posta materija ima razliO.te oblike kretanja, onda se i. fizilca deli prema tim oblicima na mehaniku, mol-ekulamu fiziku, elektromagnetizam, optiku, atomsku i nukleamu fiziku itd. Najjednostavniji- oblik kretanja materije je mehanicki. On se svodi na prouC:avanje premcitanja razlicitih tela jednog u odnosu na drugo, kao i promenu oblika tela. Svi -Ostali oblici kreranja I!'aterije su sloieniji ad mehanickog; pa je za njihova proueavanje neophodno poznavanje mehan~kog kretanja, jer se ono javlja , kao komponenta pri proueavanju ostalih fizickih pojava. Materija se definise kao objektivna realnost koja nas okruzuje, a njeno· prisusrvo nije vezano za svojstva na.Sih culnih organa. Kretanje materije dciava se u prostoru i vremenu i ono je njen atribut tj. materija i kretanje su pojmovi uzajamno povezani i neodvojivi · jedan od drugog. Naravno kretanja materije su vrlo raznovrsna i slozena Cime se i obja.Snjava tolika raznolikost prirodnih pojava od mikrosveta do makrosveta. Za nas kao subjek-re najjednostavniji oblici materije su oni koji neposredno ili posredno dehiju na naSa cula, usled cega ih neposredno zapa.Zamo njih i njihova svojstva. Ovi oblici materije izgledaj'u nam poznatiji, razum.ljiviji itd . .od drugih njenih o~ik~..kr-etanja koje ne m.oZemo J~Shvatitit. Sa pon:canjem ljudskog ~aznanja, pove6o S!: -i broj -raznih -uredaja koji posrednim pw:em detekruju prlsurnost nekog od .oblika ·materije prervarajuCi njeno prisusrvo· · u dejsrva na ijudska fula. Na -primer, u nekom •pnlZilom prosroru« radioprijemnik posrednim pucem detektuje postojanje elektromagnetne energije, kao oblika kreranja materije, pretvarajuci je u Z\ ucnu energiju koja opet moze da deluje na culo sluha. Ili, fotografski film moze detektovati postojanje . ultraljubicastog zracenja, jer pod njegovim dejsrvom emulzija filma menja boju, sto je uoCljivo za na.Se culo. vida. Od mnostva oblika postojanja materije najpristupacniji nam je oblik_ u koje:m .. I )e marerija skoncentrisana, u obliku tela ili njihovim deliCima, pa ta.kav oblik I nazivamo supstancija. Drugi vid materije jefizicko polje u kame se odigravaju izvesni procesi koji ~e posebno manifestuju u delovanju sila po kojima raz- ·
12 oko nas. S druge strane, promene su samo procesi kretanja materije koja su neprekidna i neogranicena, pa su VTeme i prostor samo oblici postojanja materije, odnosno imaju materijalisticku prirodu. Sto znaci da vreme i prostor ne mogu imati neki privilegis2ni polozaj svoje apsolutnosti u odnosu na druge oblike postojanja materije. U relativistickoj mehanici se proucava kako elementi vremena i prostora zavise od brzine kretanja tela. Pojmovi vremena i prostora u tzv. klasicnoj mehanici shvataju se apsolutno kao sto je predlozio Newton. To znaCi da se uzima da postoji sistem koji apsolutno miruje u vasioni i da je vreme u njoj isto za sve koordinatne sisteme. Prema Newtonu: •A.psolutni prostor, po svojoj S()p_sty~,!loi prirodi i bez obzira na rna sta s_polia5nje,-:_o~taj.e seoi.sTicaq i n(!pokretan. Apsolutno,--p-rirvo i matematicko vreme, po- sebi i po svojoj sopstvenoj piirodi, tece jednako bez obzira Ila rna sta spoljSanje, i drugim imenom n~iva se trajanje<~. -ovakvo shvatanje vremena i prosrora nije vezano za kre'tai~je marerije usled cega ima samo aproksimativnu vrednost organicenu na klasicnu ili Newtonovu mehaniku. Pojam materijalnosti u klasicnoj fizici je vezan za pojam supstancije koji je sa svoje strane vezan za pojam mase. *wton ~ smatrao da je masa mera koliCine supstancije u nekom telu. Medutim, ovakvo shvatanJe po)ma mase~ Te prevaztdeiiOrazvoJem--ftzJke. ~Szdasnje m:ucno shvatanje ovog pojma · bazjra se na. inerciji kao univerzalnom svojstvu svih tela da se -pro rive promeni stanja njihovog kretanja~ U ovom slucaju r:tl:!Sa t~la se tnoze definisati kao kVantitativna mera inercije tela. Ovako definisana masa predstavlja samo jedan od oblika pcfstojanja materije, kao sto su prethodno bili definisani pros tor i vreme~ -
·-~
3. Fizicke velicine. Sistem mera u iizici M!:ra nekog svojstva materije naziva se fizicka veliCimi. Na primc.r, masa je fizi&a velicma ko)a- !Zrazava meru inercije tela. Ubrzanje je fizicka velicina koja predstavlja meru promene brzine tela pod dejstvom odredene sile, itd. FiziCke veliCine su homogene ako izrazavaju isto svojstYO materije, a medusobno se razlikuju samo po veliCini, pa se mogu uporedivati. Za uporedivimje homogenih fiziCkih velicina usranovijeni su etaloni-jt:dinice, pod kojima se podrazumevaju unikari mernih uredaja za _precizl'l~eprodukovanje jedinica odgovarajuCih fizickih veficina.
3.1 Osnovne fiziCke veliCine Osnovne fizicke veliCine su one koje su tako podesno izabrane da se sve ostale fizicke veliCine mogu predstaviti pomocu njihovih odnosa. Od izbora osnovnih fizickih velicina i nji\lovih jedinica zavise sisttmi mera u fizici. Od vise takvih sistema pomenimo one koji se najce5ce upotrebljavaju ...f£.zic.Js.! ,lli CGS sistem mera ima za osnovne fizick~\'~gi_n~:_9,_J.ilinu(L) k.:o ekmem p.r_ostor~QE_~_{M) kao element materijalnosti i vreme T). Jedinice ovih ()Snovnih yeli¢ir]a resp ivno su: santJmetar em 1 sekunda (s), oQakle i naziv CGS sist~
13 U oblasti elektriciteta i magnetizma razvile su se razlicite varijante CGS sistema jedinica, posebno elektrostaticki CGS-sistem i elektromagnetski CGS sistem. Dopunska objasnjenja u vezi sa sistemima jedinica u elektricitetu i magnetizmu bice data u tim odeljcima.
Pomocu jedinica za osnovne fizicke velicine odreduju se jedinice i za izvedene fizicke velicine, koristeci se pri tome funkcionalnom zavisnoseu izmedu pojedinih fizickih velicina. Na primer, jedinice brzine u pomenutim sistemknil mera bjce cmls i m(s~ odredene jz fupkcigna!ne zayjsno§ti br.zjne (u) ;d puta (s) i vremena (t) po
za;~·nu:
v= .!_, a u zavisnosti od izabranih
jedinica osnovnih fizickih veliCina puta i vremena za CGS i S I - sistem. U ci!ju prikladnijeg izrazavanja intenziteta fizickih ve!icina uvedene su njihove manje i vece jedinice, koje su delovi ili rnultipli etaloniranih jedinica po decimalnom sistemu. Evo prefiksa i simbola decirnalnih delQ'9'a i multipla: Prefiks
•
atto femto piko nano mikro rnili cenri deci deka hekto kilo mega gig a tera
3.2 Dimenzije fizickih velicina Ocito je da se brojna vrednost neke fiziCke velicine menja ako se promeni jedinica pomocu koje je ona merena. Na primer, duzina L=l m=IOO em= = 1000 mm itd, ali karakter fizicke velicine ostao je isti i on ne zavisi od izbora jedinice. Ovo je navelo Helmholtza (Helrnholc) da uvede pojam dirnenziie fizicke velicine koja izrazava njen kvalitet. Oznaeavanje dimenzije bilo koje veliCine
1. Odredivanje polozaja materijalne tacke Polozaj materijalne tacke A u prostoru mo~e biti odreden samo u odnosu na neko drugo telo uzeto kao referentno (telo uporedivanja) slika I. U svakoj tacki referentnog tela 0 mo~;;;u se pawci rrj orjjemjsana .(ilrayca
'
..............
.. .......
.......
.......
'
/
-...... ----
I
//X
I / -y-- '_- ,_:::.1/
Sl. 1 ~etak
tQg k9ordinatnog sistema sl. ,.1. U mehanici se najcesce upotrebljava desni Descanesov (Dekan) koordinatni sistem sl. 1 a po potrebi cilindrlcni, sferni i generalisani sistem.
-
-
ili pomocu njenog vektora polozaja r= OA kao sto je pokazano na slici 1.
V ektor polozaja r moze se razloziti na komponente dui osa Ox, Oy, Oz,.
_____...,. ;-
r:--.~~~·
·4-·4·~-·r·•~,......,.
20 talco, da njegov vrh opisuje trajektoriju posmatrane tacke, koja se naziva i
-
hodografom vektora r. Polozaj materijalne taCke bice odreden pomocu njenog viliora poloiaja- kao funkcije vremena u obliku
r=xi +Yi +zk=r (r).
(2.1)
Vektorskoj jedriacini (2.1) odgovaraju tri skalarne u pravouglom koordinamom sistemu:
x=x(t); y=y(c); z=z(c)
(2.2)
JednaCine (2.1) i (2.2) nazivaju se i konacne jednaCine kretanja.
z
v
y
Sl. 3
Kretanje materijalne tacke moze biti odredeno i ukoliko je poznat geometrijski oblik putanje po kojoj se krece tacka (linija putanje) i predeni put kao funkcija vremena. Linija putanj~u opstem slucaju data je jednacinom oblika:
F(x,y, z)=O, ~
(2.3)
predeni put jednaCinom:
s=s(t).
(2.4))
" Za slueaj ravnomernog kretanja tacke po krugu u ravni xOy jednaCina (2.3) ima oblik x3+y2=R2 a jednacina (2.4) s=k c.
Po!to se u klasicnoj mehanici vreme i prostor (a to znaci i koordinate) smatraju kao neprekidne (kontinuirane) velicine, proizilazi da i funkcija (2.1) koja predstavlja putanju materijalne tacke mora biti neprekidna i jednoznacno odredena funkcija vremena, pa se moze visestruko diferencirati po vremenu.
----·-·-~-,
. ·.~..t:tT-;i;·:· :-·--;-·-~~...,..·~
-.,...-..._."""'7,"""::"~.r.r.:;;;..-~-
--~~...-..--..,•~nr~-...
-- --
........~""--=--=·-·-·
·--
---'-"-'~·-·---..:
21 3. Brzina materijalne tacke
-
--
Pretpostavimo da je putanja materijalne taCke definisana u odnosu na koordi-
.
natni sistem 0 slika 3, jednacinom r=r (c). Neka je polozaj pokretne tacke A -+
-
u trenutku t odreden vektorom polozaja r=OA, au trenutku t+Llt vektorom
- -
polozaja r,=OA1. Prema slici 3 l!!QZe se napisati jednaCina: r1 =r-i- .1 r
-
-
-
-
(3.'1)
Vektor AA1 = ll r je ~r p_~<>Il1~n~(pri_rastai)vektora polozaju r za interval vremena ll t,
odnosno vektor ll - je funkcija yremenskog intervala ll . . r
t i
naziva se jos ~~~LP--O~atke. Kolienik prirastaja vektora polozaja ~ r i intervala vremena llt u kojem je taj prira8taj nastao, naziva se vektor srednje. ---------brzine odnosno Llr =V8r Llt
(3.2)
-
-
Vektor v.,karakterise srednju promenu vektora polozaja u datom intervalu
-
vremena i ima isti pravac i smer kao i vektor llr, dok mu je intenzitet razlicit od intenziteta vektora t::.r, jer je llt>O. Smanjivanjem vremenskog intervala !::.t, tacka A1 ce se pri neprekidnom kretanju po putanji priblizavati taCki A dok ce se odnos (3.2) menjati u poeetku znatnije a zatim sve manje i manje. Gr11niena vrednost odnosa (3.2) kad llc-?0 naziva ~e trenutna b~in~ t;~.Cke A u trenutku vremena c, sto se matematickiriiozeTzrazlii'_u-o6lli
-
. llr dr ....:.. v= l1m - = - =r. llt-0
Llt
(3.3)
dl
Prema jednacini (3.3) trenutna brzina v jednaka je prvom izvodu vektora polozaja pokretne tacke po vremenu.
-
Posto je !::.t>O (posmatrane brzine za buduce kretanje taCke) onda prema jednacini (3.2) vektor Var u procesu limesa (3.3) prelazi preko raznih poloiaja secica u poloiaj tangente u datoj tacki putanje A. Prema tome, vektor
-
trenutne brzine v ima pravac tangente u datoj tacki putanje uperen u smeru kretanja tacke. Posto je u granicnom slucaju (3.3) dr=ds, pa se vektor brzine moze izraziti i u obliku: v
=
dr dt
ds-
-":'u= -To=V't'o•
dt
-
(3.4)
~:
.'~lii!&!UHPW;1
?
_.lli\Nt.lll.lihaw W
il'lf _ _ _ _ <
~--
24 Ako se vektor AS menja u toku vremena, onda prirastaj povr5ine AS koju prebrise vektor poloZa.ja pokretne tacke A u intervalu At koji tezi nuli, naziva se sektorska brzina taCke A, odnosno:
6-r)-
. AS dS 1 (. 1 .,. l u n - = - = - r X hm- = -(rxv). .:11->4 6. t dt 2 At->4 6_ l 2
(3.1.3)
U slueaju kretanja, taCke po ravni, vektor sektorske brzine ima stalan pravac i smer koji se poklapa sa normalom na tu ravan. Na sliean naCin se uvodi pojam brzine za proizvoljan skalar koji se menja u toku vremena. Takva brzina je uvek sklar jer je interval vremena skalarna velicina.
4. Ubrzanje materijalne tacke Pri proizvoljnom kretanju taCke po putanji njen vektor brzine se menja. Posmattajmo kretanje tacke A po krivolinijskoj putanji, slika 5. Neka su
--
njene brzine u ttenucima t i t+ At respektivno v i v1. U opstem slueaju vektori brzina v i V1 se razlikuju i po pravcu i po intenzitetu. Vektor promene
z
SL S brzinc Av koji se desio u intervalu vremena At )ednak je razlici vektora brzina u posmatranim ttenutcima t i t+At, tj.
Odnos vektora prirastaja brzine !:iv i vremenskog intervals !:it u kome je raj prirastaj nasrao naziva se vektor srednjeg ubrzanja taCke A:
6.;
(4.2)
At =a,.
S obzirom da je At skalarna velicina i veea od nule, vektor a,r. ima isti pravac
...
i smer kao i vektor !:iv samo razlicit intenzitet. Graniena vrednost jednacine (4.2) naziva se vektor ubrzanja tacke A u ~tten_utk!LYrc;_111J:Da ~~ tj.
--
. Av dv ..:.... hm- =-=v=a. At-<~ Ac de
Po~to
je vektor brzine
(4.3)
;= dr, dt
stavljanjem ove vrednosti u jednacinu (4.3)
d.obijamo: d2r
(4.4)
a=--=r, dt2
tj. vektor ubrzanja, jednak je drugom izvodu vektora polo:Zaja pokretne taCke po vremenu.
u pravouglom koordinatnom
- - -
sistemu ubrzanje a kao vektor ima tri kompo
-
nente duz osa: Ox, Oy, Oz. Kako se vektor polo:Zaja r moie razloZiti na __.
komponente r=xi+yj+zk i njegovim dvosrrukim diferenciranjem po vremenu dobijamo:
... d2 X d2 y- d 2 Z _,. a=-i+-i+-k, dt2
dt2
(4.5)
dt2
jer su onovi i, j, k nepromenljivi i po velicini i po pravcu u odnosu na dati koordinatni sistem. S druge strane, vektor a kao svaki vektor moze se predstaviti u obliku
-
a=a,.i+a11 f+a,k.
(4.6)
Uporedivanjem koeficijenata ispred istih onova iz jednacina (4.5) i (4.6) dobijamo: d2::c
-
az=--=x, dt2
d2y
-
ay=--=y, dt2
d2 z
..
a,=-- =z. dtZ
(4.7)
Iz jednaCine (4. 7) dobija se modul vektora ubrzanja u obliku
a= (az2+a11 2+az2]ll2 s[i2+ ji2+ z3]1/21
(4.8)
··.--=--xcv··~T
,.-•
-2~f
----- --- ---
-
Vektor dTo kao granicni polozaj vektora il-:-0 kad racka A1 tezi racki A im
--
-
i smer glavne normale sa ortom no. Intenzitet vektora dTo moze se zameniti
-·
uglom da. kojeg zaklapaju dve susedne tangeme Ciji su ortovi -:-u i -r1, slika 7, odakle imamo:
dTo=dTo · no=da. ·no.
(4.1.4;
Da bismo odr~d.ili i velicinu ds, povucimo glavne normale iz tacaka A i A 1 na njihove tangente. Ove normale seku se u nekoj tacki C koja se nazi\·a centar krivine. Luk krive ds=A'"A;. dve vrlo bliske tacke mozemo smatrati kao luk kniga poluprecnika R=A 1 C. Krug Ciji se element Juku poklapa sa elementom krive linije u daroj racki (krug, povucen kroz tri beskonacno bliske taCke krive linije) naziva se krugom kri.,.ine, njegov poluprecnik naziva se ~pr~ik .lcrjvine a njegov centar-=-centar krivine. Razumljivo je, da razliciti delovi putanje imaju razliCite poluprecnike krivine kao ~to je pokazano na slici 8. Iz trougla CAA1, slika 7 sledi:
d~=AA1 =drx R.
I
(4. 1.5)
7
I \
\
'....... Sl. 8
---
I
/
Konaeno, na osnovu jednaCina (4.1.3) i (4.1.4) vektor ubrzanja a jednaCini (4.1.2) mozemo izraziti u obliku:
dv drxr1o dv: oz;2a=- ·-ro+11l-- =-To+ -no. de R·drx dt R
(~~.;rna
(4.1.6)
Ova jed.naCina pokazuje, da vektor ubrzanja a ima dve komponeme u odnosu na prirodni trijcdar. Prva komponenta ubrzanja je .ll pravcu tangente na
--.
putanju i naziva se tangencijalno ubrzanje a-r definisano kao:
·-oe:__ -
""-
dv- d2s a-r= --ro= --·To. dl
(4.1.7)
dt2
Druga komponcnta ubrzanja je u pravcu i smeru glavne normale i naziva se
-
normalno ubrzanje an, definisano kao: v2-
a.= -no.
-
R
(4.1.8)
29 Ovo ubrzanje posto je usmereno ka centru krivine, naziva se i centripetalno ·· ubrzanje. Vek1:or ubrzanja a nema komponente u pravcu binormale, tj.
(4.1.9)
_,. odakle sledi da vektor ubrzanja a uvek lezi u oskulatorn()j ravni trajektorije ,-··-
-;;,;;
-·
date tacke. Njegova tangencijalna komponenta aT, karakterise promenu
---.
.....
··-
vektora brzine po veliCini. Njegova normalna komponenta a,., karakterise promenu vektora -brziile-po. pravc~.__Posto su tangenta i glavna nomiala medusobno normalne, vektor ubizanja i njegova velicina mogu biti izraieni u obliku: '
_:::=-art.a.,._.
(4.1.10)
odnosno,
a=[aT2+a 112]l/2=
[(~:r+ (~rr3~/
(4.1.11)
Poslednja jednaCina odreduje intenzitet ubrzanja kao funkciju
a=f ( v, v, R).
-
v, v i R
tj.
Analiziranjem jednaCine (4.1.10) mogu se dobiti specijalni slucajevi kretanja:
-
- -
1) a=O kretanje je jednako i pravolinijsko. 2) aT*O; a,.=O kretanje je.ne-
-
jednako i pravolinijsko. 3) aT=O; a,. *0 kretanje je jednako krivolinijsko itd. Dimenzija ubrzanja odredena je iz njegovog odnosa sa osnovnim mehaniCkim velieinama a prema jednacini (4.3):
[a]=LT-2.
(4.1.12) CGS si-
5. yrste kinematickih kretanja Pojmovi potpuno kretanja. cionalne
vektora polozaja, brzine, ubrzanja i njihovi odnosi omogueavaju odredivanje kretanja materijalne tacke bez poznavanja uzroka toga Dakle, za poznavanje kretanja taCke potrebno je znati sledece funkzavisnosti od vremena: ·
r=r (t) V=V
(t)
a=a (t).
(5.1)
32 5.2 .... Pravolinijsko jednako ubrzano kreranje raCke U slucaju ovog kretanja predeni put tacke je prava Iinija (R= co) duz koje u razlicitim trenutcima vremena pokrerna tacka ima razliCite vrednosti brzine. Kod ovog kretanja ukoliko je a-r>O, onda vektori pomeranj~. brzine i
a
tangencijalnOg Ubrzanja S!! jstog pravca j Sffiera, kretanje Se naziva praVOpqijS!iO j;dnako ubrzano, u suprornom slucaju kretanje se naziva pravolinijsko jednako usporeno a-r
dv a-r = dt
= ao =
(5.2.1)
cnnst.
odakle (5.2.2)
dv=aodt, pa integraljenjem gornje jednacine dobijamo
(5.2.3)
v=ao· r+C1. Neka je za t=O, v=vo, tada je C1 =vo pa jednaCina (5.2.3) ima oblik
(5.2.4)
v=ao· t+vo, koja predstavlja zakon promene brzine u toku ovog kretanja tacke.
s(m)
t( s)
v(Cf)
t/s)
a(£F.) Oo
t( s) Sl. 11 1(..,__
OJ3
Posto je brzina prvi izvod puta po vremenu jedna¢inu (5.2.4) mozemo napisati u obliku:
ds - =aot+vo dt ili
ds=ao t · dt+vo ·de, odakle integrajjenjem dobijamo: 1 s= -ao t 3 +vo ·r+C2. 2
(5.2.5)
Neka je za t=O, s=s0 , tada je C2=SO paprethodnujednaCinukojapredstavlja zakon pravolinijsko ravnomemo ubrzanog kretanja mozemo napisati u obliku: 1
(5.2.6)
s= -ao·t 2 +vo·t+so. 2
Na slici 11 grafiCk..i su predstavljene funkcije puta, brzine i ubrzanja pravoIinijsko jednal!:o ubrzanog kretanja taCke u toku vremena. Put je kvadratna funkcija vremena, brzina je Iinearna funkcija vremena dok je ubrzanje stalna veliCina · nezavisna od vremena.
5.3. Jednako krufuo kretanje taCke. Kretanje materijalne taCke po krugu brzinom stalnog intenziteta naziva se jcdnako krufuo kretanje. Posto se kietanJe izvodi u ravni Oxy, prema slici 12. polofaj pokreme taCke A u toku vremena odreden je jednaCinom,
r (t)=x (c) i+y (t)j,
(5.3.1)
~de
su x(r) i y(ll_projekcije vektora r na koordiname ose Ox i Oy. Za uoeeni polofaj taCke A iznose: X=T COS IX
i
y=T
Sin IX
(5.3.2)
y
X
Sl. 12
oJ'I
U tol-.-u ravnomernog kretanja tacke A po krugu, ravnomerno se menja ugao a. po zakonu: (50303)
a.=w c,
gde jew konstama (ugaona brzina)o S obzirom na jednacinu (5o3o3)
-
projekcij~
vektora r na koordinatnc os~ mogu s~ napis~ni u obliku: (503.4)
x(t)=rcoswc i y(t)=.crsincuro
Jednacina (50301) predsta\'1ja \'cktorsku jcdnacinu puranje tacke .1., dok jednaCine (5.3.4) su paramctarske jednacine iste put:mjeo Eliminisanjc:m parametra c iz jednaCina (5o3.4) dobija se jednaCina linije putanje u ob1iku x2+y2=r2,
(5o3o5)
po kojoj se krece pokrctna tacka po zakonu puta: (50306)
s=ra.=1°Wt
Brzina ovog kretanja tacke odreduje se diferenciranjem jednacine (50301) po vremenu, pa im::1mo:
dr dx; dv~ v=-=-1+--=-J de de de
(50307)
jcr su orto\ou i i j stalni u odnosu na koordinatni 0sistem Oxyo dx de 0 0 dy 0 .. 0 °-0 = -r w sm w c 1 - =r w cos w t, su proJekCIJe \'ektora brzme v na koordJdr nate ose Ox i Oy, pa se jcdnaCina (5o3o7) moze m:pisati u ob1i1.-u: (5o3o 8)
v=-rwsinw t · i+r w cos w t jo 0
Intenzitet vektora brzine v bice odreden odnosom: v=:= li 2+ y2Jll2= (12 w~ sin2 w c + 12 cu2
cos~
cu e]Lo~
'lJ=rw=const.
(5o3o9)
Zm:ci da je imenzitet Yekrora brzine v pokretne wckc A sta1an u roku vrcmena krcronjao Da bismo odrfdili rravac vc.ktorJ brzine v u odnosu na vekror poloz
jer je i·i=l i j·j=1 a i'}=joi=O, odr,kle skc.ii da je vJ.r, kuo rangenta na polupic.cnik krug~'o Smcr \ocktora brzine odreduje sc u smcru kretanja taCke tjo od Ao ka A, slik•1 12.
35 Da bi kretanje bilo odredeno potrebno je naci i jednacini: d2r d2x -:"' a=--= --oz dt2 dt2
ubrzanj~
d2v -:+ ----oJ
ovog kretanja po
(5o3o1 0)
dt2
gde su: 2
d x =-rw2coswc dt 2
~~~ = de~
-r vl~ sin w t,
projekcije vektora a na koorclinatne ose Ox i Oyo U ovom slucaju jednaCina (5o3o10) moze se napisati u obliku a=-rw2coswtoi-rw2sinwtoj,
iii
(5o3oll)
a= -w 2 (r cos w to i+r sin w c oj)= -w2 To
(5o3o12)
Intenzitet vektora ubrzanja prema jednacini (408) bice; a= [x
+ ji )112 =
[r2 w 4 cosz w t + r2 cv4 sin2 w c]ll2,
a=rw2=consto
(5o3ol3)
S obzirom da je intenzitet brzine kod ovog kretanja stalan, jednacina (5o3o9), tangencijalno je ubrzanjc jednako nuli, i postoji samo normalno ubrzanje, koje je, takode, konstamno (jednacina (5o3o13), kolinearno sa vektorom polozaja i suprotnog smera u odnosu na njega, jednacina (5o3ol2)o Uporedi\·anjem jednacina (4.1.8) i (5o3.13) gde su poluprecnici krivina samo razlicito obeleZeni dobijamo da je konstanta w=:!!....
0
r
"
-- ------ __ j
,,;,o;;;.....;..;..;....;...._
_;;;,. .;.·.a~"'".;. . .:
.;_;.t.IQ,i"ioif-~i·,-;;:,;.;.~.:;;;~Wiil~iliii
-·---b~r.-.;.,..
--·
"--~~a)'("
·v . , ~·11f·oo:lri.t.;;;~
Glava i l l - KINEMATIKA KRUTOG TELA
Kruto tel ·e zamisl"en mehanicki sistem od veliko bro·a materi'alnih tacaka.. Osnovna karakteristika ·rutog tela je da rastojanje d izmedu bilo koje dve njegove taCke ostaje nepromenjeno, bez obzira na uzroke. Pri kretanju krutog tela, svaka njegova tacka opisuje svoju putanju. Prema obliku putanje sva slozena kretanja krutog tela svode se na dve vrste: translatorno (progresivno) i rotaciono (obrtno). Da bismo odredili kretanje krutog tela potrebno je znati kretanje svake njegove tacke, po zakonima razmatranim u glavi II. Takav nacin odredivanja kretanja tela, zahtevao bi obrazovanje vrlo velikog broja jednacina kretanja (po tri jednacine za svaku tacku) .. Ova teskoca se otklanja pomenutom karakteristikom krutog tela da je rastojanje izmedu dve njegove proizvoljne tacke konstantno. U tom slucaju polozaj krutog tela u odnosu na nepokretni koordinatni sistem je odreden ako su poznate koordinate bar tri njegove tacke koje ne leze na jednoj pravoj. S obzirom na postojanje relacija izmedu tih tacaka u obliku: d= [(x2 -xt) 2+(Y2 -y1)2..;- (z~-- ZJ)2] 1' 2=const.
onda, za odredivanje polozaja krutoga tela dovoljno je uspostaviti sest nezavisnih jednacina. Zahvaljujuci ovome za proucavanja krutog tela uvode se nove kinematicke karakteristike koje su opste za sve njegove tacke, odnosno za celo telo, kao sto su u~~(l~ b!zina i_~a~o_ ybizanje;
1. Translatorno kretanje krutog tela
Polozaj proizvoljne tacke A krutog tela u odnosu na nepokretni koordinatni sistem Oxyz odreden je prema slici 13, vektorskom jednacinom r.4=ro'+r'A·
(l.l)
38 U slucaju tr:.mslatornog krcrnnja krutog tela vcktor r'_,=const. Njegove projekcije na osc (),-;, Oy, o~ su takodc konst.mmc I'Clil:ine u wku kremnju, i oznaeimo ih sa a, b, •. rcspcktil'no.
y
Sl. 13
Neka je kretanje tacke 0' u odnosu na 0 pozna to i duto parametarskim jednaCinama u obliku: Xo'=xo'(t) (1.2)
Yo'=yo'(t)
z 0'=z 0 '(t) Onda na osnovu jednacina (1.1) i (1.2) parametarske jednaCine kretanja taCke A krutog tela u odnosu na nepokretni koordinatni sistem Oxyz bice
x,.(r)=xo' (t)+a y,.(r)=yo'(c)+b z.-~ (t)=zo'
(1.3)
(c)+c
Ova jednacina pokazuje da ukoliko je poznata puranja tacke 0', putanja tacke A, ili rna koje druge tacke krutog tela, se dobija njenim pomeranjem u pravcu i smeru vektora r'.... Odnosno, poznavanje parnmetarskih jedna6na (1.2) je dovoljno za odredivanje poloi:aja proizvoljne racke krurog tela koje se translatorno krece. Brzina tacke A, u odnosu na nepokretni sistem Oxyz, dobija se diferenciranjem jednacine ( 1.1) po vremen u :
r... =r0 '
-.:.......~......,....:._.,
ili
v ... =v 0 '
(1.4)
39 ·
1er
· r ' A= canst pa Je · dr''' = 0 . Z nac1, · · d a pn· trans 1atornom k retan)U · Je
dt
krutoga tela, brzine svih njegovih tacaka su jednake. Cbrzanje tacke A u odnosu na sistem Oxyz dobicemo diferenciranjem jedna~inc (1.4) po vremenu: dvA _ d vo ' -;;;- dt
iii
a,,=ao ' ·
(1.5)
Odnosno, pri rranslatornom kretanju krutog tela, ubrzanja svih njegovih racaka su jednaka. · Na osnovu jednacina (!.3), (!.4) i (!.5) zakljucujemo: da pri translatornom kretanju krutog tela sve njegove tacke imaju ista pomeranja, brzinu i ubrzanje. Usled toga se problem proucavanja translatornog kretanja krutog tela svodi na problem odredivanja kretanja samo jedne njegove tacke. Prema tome, za kinematicko proucavanje translatornog kretanja krutog tela mogu se primeniti zakoni kretanja materijalne tacke.
2. Rotaciono kretanje krutog tela oko ucvdcene ose J3.otacionim reta ·e aziva se takvo kretanje tela, pri kojem sve11,je ove tacke opjsuju km:lnjce Ciji se cemri nalaze na je no) pravo) koja se naziva 'osa rotacije. Tacke koje pripadaju osi rotacije, pri pomenutom kretanju, su nepokreme. Kao primer rotacionog kretanja navedimo rotaciju tela oko njegove dve ucvrscene tacke, slika 14. Prava koja prolazi kroz taCk.e 0 i 0' bice osa rotacije. Iz definicije rotacionog kretanja tela moze se primetiti sledece: a) da svaka njegova tacka ima svoju putanju, brzinu i ubrzanje, usled cega ove velicine ne mogu da posluze za odredivanje kretanja celog tela i b) da se radijus vektori svih tacaka (vektor povucen iz centra odgovarajuce kruznice u datu taCku) zaokrenu za isti ugao 6-cp u toku rotacije. Ugao 6-cp naziva se ugao zaokreta - ~---ili ugaoni pomeraj celog krutog tela, slika 14. Ugaoni pomeraj uzima se kao jedna od kinematickih karakteristika rotacionog kretanja krutog tela, jer je is.tLza_sy~I1i~Qye tacke. Da bi kretanje bilo definisano neophodno je jos odrediti polozaj ose- rotacije u prostoru i smer rot:l_~ije tela. Za odredenu osu rotaclje -oz-;- pototaj~krllfi)gtelau-odnosu na nepokrei:rii koordinatni sistem Oxyz odreden je veliCinom ugaonog pomeraja ~cp u odnosu na nepokremu koordinatnu ravan yOz, slika 14. Pri rotaciji tcla -veliCina ugaonog pomeraja 6-cp__r.asLe~u-tekU-V-remenapo zp;onu: ~?=<;J(l).
(2.1)
Funkcija (2.1) koja u odnosu na datu osu odreduje polozaj tela u svakom trenutku vremena smatra se da je jednoznacna, neprekidna i diferencijabilna u toku celog kretanja.
"'
I
!
40 Da bi ugaoni pomeraj definisao rotaciju tela pripisuju mu se svojstva vektora: smer. Da.kle, ugaoni pomeraj za neki ugao Llq> moze se predstaviti kao vektorciji je intenzitet brojno jednak .6-q> u pravcu ose oko
int~!~~._pray~~
Z\
y
Sl. 14
koje se vrSi ugaoni pomeraj i koji je usmeren na onu stranu odakle se vidi da se ratocija v!Si u pozitivnom smeru (pravilo desnog zavrtnja), slika 15. Ako odgovarajuCi ort oznacimo sa. cuo onda se uslovni vektor ugaonog pomeraja moze napisati u obliku: · ·· · Aq>=AcpWo.
(2.2)
(~ 4~, fl'P -- % ---
-
Sl. IS
'I; i
'L_
Da bi ugaoni pomeraj Llq> bio vektor, nije dovoljno pripisati mu vektorska svojstva, vee je neophodno da se pokorava rarunu vektorske algebre. Na
41 primer, ako telo vrsi dva uzastopna ugaona pomeranja ~cp1 i ~cp2~ njegov rezulrujuCi pomeraj, prema vektorskoj algebri, trebalo bi da bude definisan jednaCinom: ~cp
= ~cpl +
(2.3)
Llcp2,
sto nije s!ueaj za ugaone pomeraje proizvoljnih veliCina. Drugacije stoji za _,.
vrlo male ugaone pomeraje dcp. Put ds koji prede svaka taCka tela za ugaoni
-
pomeraj dcp moze se smatrati kao pravolinijski i jednak d7 kao sto je pokazano
.....
na slici 16, za uocenu tacku A. Vektorski proizvod d cp x 7 A daje vektor C"iji je imenzitet I
d-; X-;..t\=dcp7.~ sin cx=dcpp=AA1_=:ds,
pravac normalan na
·,,
Sl. 16
ravan OO'A, a smer od nas na drugu stranu. Gore navedene uslove zado_,.
voljava vektor prirastaja dr A na osnovu cega se moze napisati: (2.4)
d 7 ..t=ci_ cp X)"A=:./i!JI
-
-
U slucaju dva uzastopna ugaona pomeraja dcp1 i dcp2 proizvoljne taCk:e tela _,.
izazvace odgovarajuce pomeranje jednako d r=d 7 1 +d 7 2 iii na osnovu jednacine (2.4) imamo: d r=d
d cp x 7..t =(d cp1 +d cp) x r A odakle sledi da je d cp=d
(2.5)
42 Na osnovu jednacine (2.5) vrlo mali ugaoni pomeraji mogu se tretirati kao vek"tori, jer podlezu vektorskom sabiranju odnosno vektorskoj algebri.
-
Ve.hor ugaonog pomeranja d'f!, razlikuje sc. od vektora kao sto su: vektor ~
~
polozaj r, brzina v, ubrzanje a itd. Kod ovih vektora ne moze se posravljati pitanje o uslovnom odredival}j_u njihovog pravca i smera. Ove karakterisrike proisiiciJ iz njili.ove--pfirocte~ pa se-- rak\;i \;ektori nazivaju polarnim. Vektori
-
tipa ugaonog pomeraja d9 Ciji je pr;1vac i smer Yezan za roraciju tela, nazivaju se aksijalnim ili pseudo vektorima. ------~------------------
Napomenimo i ovo svojstvo pomenutih vektora. Vektorski pmizv:o_d_biJQdva polarna,-bilo_dya aksijalna, vektora Qbrazuje aksijalan vektor, dok vek torski proizvod aksijal;;Og i polarnog, iii obrnufo; cibrazujt:-poiarni vekror.
2.1. U gaona brzina Vektor ugaonog pomeraja je neka funkcija vremena rotacije tela. Odnos prirastaja ugaonog pomeraja i imervala vremena u kojem je raj prirasra 1 nastao, naziva se srednja ugaona brzina (za raj interval vremena). -
.:lcp
(2.1.1)
Wsr·= · ~l ·
Granicna vrednost kolicnika !:lcpf!:lc, kada i::.c tezi nuli, naziva se ugaona brzina tela u dato~ trenutku i, :=lim ~Cjl = dcp. ~·--o b.t de
(2.1.2)
Prema jednaCini (2.1.2), ugaona brzina obrtnog tela jednaka je prvom izvodu
-
vektora pomeraja po vremenu. S obzirom na svojsrva vektora dcp sledi da je i ugaona brzina w kinematicka karakteristika celog krutog tela (kao sistema tacaka). U slueajevima kada se govori o ugaonoj brzini tacke misli se na ugaonu brzinu radijusa, povucenog od · ose obnanja do uocene tacke, tj. misli sc na ·kincmaticko svojsrvo tacaka koje le:Ze na rom radijusu. Ugaona
-
brzina w_je a~jjaJan _vC!J
w=w · wo, gde je
(2.1.3)
wo on ose rotacije.
Rotacija tela sa konstantnom ugaonom brzinom w=consj naziva se jednako rotacjo_no kretanje. Ovo kretanje moze se-karakterisal:l i periodom rotacije T,
43 pod kojim se podrazumeva vr~me_zakojetelo izvrsijedanobrt tj. okrene se za ugao Cfl=27t. U toiii: slucaju(iz definicije ugaone brzine) sledi:
w= il
T= 2 7t.
iii
T
(2.2.4)
w
Reciprocna vrednost perioda obrta11j_a, predstavlja broj obrtaja u vremena i naziva _se ucestanost iii fr~kvenc_ija v pa imamo~---\1
= -
I
w
.
= -
T
.
111
w=
2 1t\l.
jedini~i
(2.1.5)
21t
2.2. U gaono ubrzanje
-
U toku vremena, vektor ugaone brzi!l_e w se menia ili ~110 posl.c;lii_ca J:lTPrn~ne rotirai_!.!_ceg tela i!LusledPiQm~Q:s~ ro(acJ~_u_prostor-u. u prvom slucaji.i-vektor ugaone brzine menja se po intenzitetu, au drugom po pravcu. Zasada razmotrimo prvi slueaj, tj. prornenljivu rotaciju tela oko uevrscene ose. br~ine
Promena vektora ugaone brzine u nekom intervalu vremena ilc naziva se srednje ugaorio ubrzanje koje je definisano odnosom
ilw
(2.2.1)
CJ.sr· = --;;:; ·
Granicna vrednost kojoj tezi odnos ilw, ka:d:.:A;:t:;.;t;::e:z:.i:n:ul:i::•::n:az::i:.:v.:a:.:s~e.:::tr:.:e~n~u•tn~im__-
----==-----------------ilc
··
ugaonim ubrzanjem koje je definisano:
- -
-
. il w dw dcu -+ ex.= hm - - = - - = - - · wo, ~.-.a il t dt dt
(2.2.2)
jer je wo=const. Dakle, ugaono .ubrzanje obrtnog tela definisano je kao grvi izvod vektora ugaone brzine po vremenu. Iz prethodne jednacine ocigledno fe da fe ugacino
-
ubrzanje ex: kinematicka karakteristika celog krutog tela. Ako je osa rotacije tela u prostoru ~~p_
-
-
zanja ex: lezi na osi I'_Otacije kao i vekior ugaone brzine. Prema tome, vektor ex: je aksijalan vektor, a njegov smer Zl1Visi od znaka prira~taja ugaone brzine. Ukoliko vektor ugaone brzine rjl_ste sa vremenom, onda vektor njenog pri-
-- i - imaju isti smer ustvari smer vektora ugaone brzine. Ukoliko --"------
rastajad~
ex:
se vektor ugaone brzine sma~juje u. t()kU vremena rotacije; onda vektori
..........
d c.u i
ex:
imaju suprotne smerove od smera vektora ugaone brzine.
·~:'\f!!•'>'l,~l•l~'"f!t 1 i'N-"'a•··--.---·
-·------
-----·-· ·-
··--·---------.
~ _- ... :·-
.·· ·.·
)'-
44 Iz definicija ugaone brzine i ubrzanja proizilaze njihove dimenzije [c:u) = [cp) -
[t] -
T1 =
T-l
[c:u) _ _ 1 = T-2. [a]= (t]- T2
Pojmovi ugaonog pomeraja, ugaone brzine i ugaonog ubrzanja su kinematitke karakteristike obrmog krutog tela kao celine, pa ocigledno ovi pojmovi iimaju .smisla samo za tela konaenih dimenzija. Iz dosada.§njeg razmatranja zakljucujemo da je za porpuno poznavanje rotacionog kretanja tela potrebno znati: ugaoni pomeraj, ugaonu brzinu i ubrzanje, polotaj. ose rotacije u prosroru i smer rotacije.
3. Relaclja medu vektorima linearne
V;
i ugaone c:u brzine
Rotaciono kreranje nekog tela odredeno je vcliCinama koje su karakteri3-r-
-+-+
-+~
-
ticne za celo telo, tj. 9 = cp(c), c:u = w(c) i ex = a(i:). Alii svaka tacka tela koje
-
rotira Una i SVOje Jinearne clemente kretanja: put ~j brzinU Vc i ubrzanje ac. Kalc:o se pomenute velicine odnose na taCke jednog tela relacija izmedu njih mora postojati. Sto se moze dokazati na jednom primeru.
Neka imamo telo .koje rotira ugaonom brzinom w u odnosu na nepokretni proizvoljnu taCku At Cijije_. vektor koordinatnisistemO.xyz, slika 17. Uocimo. .polotaja rc i neka je ugao ~. ugao izmedu w i rc, slika 17. Vektori rc i c:u odre-
_
~
-
duju ravan na koju je vektor v 1 nonnalan, i usmeren po desnoj orijentaciji pa na osnovu svojstva vektorskog proizvoda mozemo napisati: (3.1)
vc=c:uX rc. Intenzitet lineame brzine bice:
(3.2)
vt=lc:uxr,j=fdrc sin(3=c:upc.
Iz jednaana (3.1) i (3.2) moguce je odrediti Jinearnu brzinu i-te taCke tela ukoliko je poznata ugaona brzina tela i vektor polozaja uocene taCke.
KoristeCi se jednaCinom (3.1) mogu se odrediti projekcije brzine ~~ na koordiname ose nekog nepokremog koordinatnog sistema. Neka su projekcije
-
-
vektora polo&ja r1 : x 1 y 1 zc a projekcije vektora c:u :cu.,; c:uv i
CUt·
Ako orrove
·~~~-,..···~-~-'"~"····~>' -~-.......
H"O"~-·-
••-•·"
~·-~··
.....,,..,.--•--k.llr•r•l•~s-~•"'"'
0
N"""-0 ••
OU-
•~M - · . - . -
• • - • -~-
. , -·~~·-~··--·-··-···--:•••••._ ••
~T.;;>!(O.>o:~;Q
45 _,. _,. ......
koordinatnih osa obelezimo sa i, j, k, onda se jednaCina (3.1) moze napisati u obliku: , .......
i v,=wxr1=
Wx Wy '
·\.
a
j
2
Xj
0
Yi
k
(3.3)
Wz Zj
Ce a
z
y X Sl. 17
Razvijanjem determinante (3.3) dobijamo projekcije brzine u obliku: Vxi=Wy Zl -WzYI
v 11 c=wzx,-w.,z,
(3.4)
Vzi=w.,yc-w 11 Xi
Jednacine (3.4) izveo je Euler (Ojler) pa se po njemu i nazivaju. U ~em slueaju prikazanom na slici 17, gde se osa rotacije poklapa sa Oz osom, oCigledno je w.,=w 11 =0 a Wz=w pa iz jednaCina (3.4) dobijamo v.,,=-wy, Vyt=
WXj
Vzt=
0
(3.5)
--·-~-'
46 U slucaju pokretnog koordinarnog sistema zajedno sa rclom koje rotira, brzirie krajeva(mova blce -na osnovu--jednacine (3.!)
~J =w Xi de
dj =:x} dt dk
-
Poissonove (Poasonovc) jednacine.
...
(3.6)
-
de =wxk
4. Relacija medu vektorima ubrzanja
ai
i
ot
Da bismo dobili ubrzanje i-te tacke tela koje ·izvodi rotaciono kretanje oko fiksne ose, diferencirajmo njenu linearnu brzinu po vremenu pa imamo dvt d - dw ac=- = -(wxr,)=dt de de·
x -rc+wx
drt -, de
odnosrio
(4.1)
a 1=a:xr,+w xv 1•
--......
_,
-
Vektor otXrt=aTI je nonnalan na ravan koju obrazuju w i
_
_.....,_,.
r, (at 11 w), pa jeicoli-
nearan sa brzinom v 1, odnosno sa ortom tangente To u tacki At, po krugu polupreenika p=r1 sinC;:;, ;:;). Taj krug predstavlja putanju taCke At pri
-
rotaciji tela, slika 17. Intenzitet vektora aTI iznosi: ~ 1 =ot r 1 sin ---
_,._,. dw (ot, r,)=ot p 1 = - PI·
(4.2)
-~~---
..
a,.,
Iz jednacine (4.1) zakljucujemo da ubrzanje ima pravac tangente i zaro se naziva tangencijalno ubrzanje, a ,jz jc:dnacine (4.2) zakljucujt'mo da to ubrzanje kafilierise neravnomernost rotacije tela iii promenu ugaonc brzinc Tw-)-----~----po mtenztt~tu_ ot =
. . (
dt .
Drugi Clan jednaCine (4.1) u obliku
..... ..... .....
.....
....
-.
wxv,=w X f':U Xrd=w X [w X (r:+p 1)]= -w 2 p;=anc.
(4.3)
·-----····-·---
"
47
odreduje vekror koji je normalan na ravan koju odreduju vektori c.o i vc. Taj vektor je usmeren duz radijus vektora ka centru krivine u tatki At. odnosno po potegu pc od tacke A" slika 17. Ovaj vektor naziva se normalno ubrzanje posmatrane tacke tela koje rotira. Intenzitef vektora a 111 bice: (4.4)
anc=w 'Vt sin (w, vc)=w v,
jer je w.l v,. Posta se tacka A, tela krece po krugu poluprecnika pc a prema
.....
jednacini (3.2)
C,)_p_~udntenzitet
vektora a 111 moze se izraziti u obliku
2
ani=w2p c_-vc -.
(4.5)
Pl .. Iz jednacina (4.3) i (4.4) zakljucujemo da normalno ubrzanje karakterise promenu linearnc: brzine po pra\·cu.
5.
~rimeri
rotacionih kretanja tela
5.1. Ravnomerno rotaciono kretanje tela Ako je u aona brzina w tela ko'e rotira konstanta u nekom intervalu vremen11, t o rotaciono kretanje naziva se ravnomerno rotaciOno, pa imamo:
(5.Ll)
-
Posta je pravac.ismery~~OJ:l\_~ lc.ons.tantan (jer je os~ fiksna), uzmimos~I1l() nje;wv imenzitet. U cilju dobijanja zakona puta krctanja tela integralimo jednacinu (5.1.1), pa imamo: d({J=w dt
iii (5.1.2)
r,dc je C1 konstanta intcgracije, koja se 0d.reduje iz pocemih uslova. Na primer, t1ko je za c=O,
!p=wt+cpo.
Prcma tome ravnomcrno rotaciono krctanje kurakterisc se slc:decim jednacinama:
Gt
-
=0, w=const
i cp=
...
·
r::
48
5.2. Ravnomemo ubrzano rotaciono kretanje tela ~o
je vektor ugaonog.ubrzan·a-Gt.~Qil~U nekom intervalu vremena, takvo rotac1ono etanJe tela naziva se ravnomerno u rzamm, pa na osno efiniciJe 1mamo: '
dw
ex=-- =cxo=const. dr
Integraljenjem jednacine (5.2.1) po intenziteru vektora
w=cxo t+C1,
(5.2.1)
IXO
dobijamo (5.2.2)
gde C1 predstavlja ugaonu brzinu tela u pocemom momentu kad je t=O, C1=wo. odakle w=wo+IXo t.
(5.2.3)
Iz jed.naCine ( 5.2.3) dobijamo: dcp=WQdt+IXO l dt.
ili <;~=wot+
I
-cxoc2 +C2 2
(5.2.4)
gde ~ predstavlja ugao u pocetnom momenru kretanja i neka bude Cz=cpo, pa ce jednacina (~.2.4) imati oblik: cp =
1
-
2
cxo t 2 +wo t+cpo.
(5.2.5)
Na osnovu jed.naCina (5.1.2) i (5.2.5) vidi se analogija formula sa ravnomernim i jed.nako ubrzanim translatornim kretanjem.
1. Pojmovi sile i mase. Osnovni zakoni dinamike Deo mehanike u kQjem se izucavaiu kretanja tela zajedno sa njihovim uzro."" _ c1ma naziva se dinamika. a deo mehanike u kojem se prontavaju usloyj ravnotc:Ze tela naziva se statjka. - --
1.1. Sila Uzr,ok deformacije iii promene kretania tela je nji:tlovo medusobno dejstvo koje se flaziva interakcija. MehaniCke interakcije tela prouzrokuju ili promenu'Tsreanom pcisma:tranju, vee se prisustvo sile manifestuje preko posledica koje ona izaziva u fenomenu interakcije, bilo izmedu tela iii izmedu fizickog polja i tela. Posto se interakcije tela manifesruju ili preko njihove deformacije iii pak preko promene njihove brzine postoje dva nacina merenja sile: dinamicki koji se zasniva na merenju promene kretanja jednog od tela Kiloposledice-njihove::-il1terakci)tC.CstaiiCki -k0)1se-zasn.·wa lla inerenju- deformacije tela izazvane silom. U slucaju posto}__p_~·imentalno .je
ustano\'ljeno da dejsn·o si!e na dato relo zavisi: od napadne taC:ke sile, njenog intenziteta, praYca i smera u kome se vrsi interakcija. Ovakve karakteristike sile mog,u se prcdstaYiti pomocu vcktora usled cega sila i pred· ·, -· -· -··-,sravlja Qt'a\'u Yekrorsku veliCinu.
50 Priroda· sila• .YJ:.tf:is;i se razlikuju slede..~i_...tip_oyj_~jl!!_p_~ .. niihovoj j)!i_r~di: gravitacione, elektro~agnem.e._i nuklearne. Gr~vitacione sileuefuj"l(izmc;:du ·ceia""' po Newtonovom za!Wii"u gravit3CI)e -----··-- .. . .. =-=.......;·
-
F =-
.(m1m2-
.. z:.2.- ro,
gde su m1 i m2 mase tela koje interaguju a r, rastojanje izmedu centara _masa tih __tela. Intenzitet gravitacionih sila srazmer::m je masama tela a opada ·sa -kvadratom rastojanja izmedu njih, usled toga ove sile dolaze do izrazaja kod tela velikih masa, kao sto su nebeska tela, i deluju na velikim rastojanjima.
6X
Sl. 18
ElektromMnetru; sili= poticu usled interakcije naelektrisanih tela. Ukoliko su haele · isanja~u relativnom rnirovanju uzajamno interaguju takozvanom ~ Coulombovom (Kulon) silom:
-F = ±k --ro, q1q2r2
gde su q1 i qz naelektrisanja a r-rastojanje izmedu centara tih naelektrisanja. Ukoliko se naelektrisanje krece u magnetnorn polju B, na njega deluje magnetska sila oblika:
F=kvxB,
-
gde je v brzina naelektrisanja a B magnetna indukcija. Uzajamna dejsrva molekula, acoma kao i sile unutar acoma su elektromagnetne prirode, koje dolaze do izrazaja na relativno malim rastojanjima. Intenzitc:t elc:ktromagnetnih interakcija je mnogo puta veCi od intenziteta gravitacionih. ~~ar?e s!le delu~u izmedu cestica a~~~k_og je[?=a b7z obzira_ n~. njihova naelekmsan,e. 0 UJima se zna da cfe!UJU na vr o mahm rastOJ3nJirna oko 10-1~ m i da su vrlo velikog intenziteta, koji je veci od elektromagnetnog.
51 1.2. Masa tela
S obzirom da se razna tela razlicito suprotstavljaju premeni svog stanja kretanja u kome se nalaze, na osnovu cega se zakljucuje da je potrebno ustanoviti meru za inerciju tela. Kvanrirarivna mera za ine:ciju__ f'JC:~tl!Yiia fi~i~)gJ vsJigou ~ja se zove masa. Ov~ fi~!cka vcllona odreduje incnna i-go~yitasip_~~ ~vojstv~
glli:
Na osnovu gornjeg zakljucka, masa se ne moze de(i!lisati kao •koliCina_ materije*,jer· )e. materija opstiji pojam od. mase. Masa se ne m5)_~c:..sroatrati ni kao-kolicina -supstandje,. jer svaka supstancija poseifujeveliki broj razlicitih svojstva, ·a inrertnost supstancije je samo jedna od njih .. Prema tome pod pojmommase .rreba podrazumeyari meru..inercije..tela. U klasicnoj mehanici postoii i zakon o odr:Zanju mase, po kome ukupna masa mehanickog sistema tela ostaje ista pri svim njegovim promenama. U relativistickoj fizici rreba voditi racuna o defektu mase. Metoda merenja mase. Masa tela moze se medti na · razlicite nacine. Jedan od njih je [!?.Ctod uporedivanja!__ Telo nepoznate mase koje se nalazi na jednom tasu analiticke vage uravnotezava se etalonU:na masa u drugom tasu. U slucaju ravnote:Ze vage, mase uporedivanih tela su jednake. ~!~lon mase je izraden_ o9-_!egure pla~in~ i iridijuma u obliku valjkaciji su -~i~!!!a i precnik osnove je~n~k_l J9 mm. Masaroga- tela- uzeta je kao:iedfnka_mASe i ~ove ~e kilogram. · Posta je analiticka vaga vrlo tacan instrument, merenje masa ovom metodom je bolje od 1:106 u odnosu na jedinicu mase.
1.3. Zakon d.inamickog merenja sile OYQ~erenje
sile zasniva se_na Ney."tonovim aksiomama (osnovni zakoni)
Ovaj z;~kon nosi naziv _i zakon inercije a ustanovio ga je Galilei (Galilej). Prvi N ewtonov zakon treba ovako shvatiti: a) da je inercija svojstvena svakQlll _tei~_J_to _znati da ono..rezi za odr:Za~j~~ s~aiij~--!~Iai~~~?~_mrrovanja iii i~~-
52 naJsog pravo}jnijskogJcretanja, b) ~_si!_~pij~_e_gphoqanuzrok kret~!Jia tela, jer i bez prisustva sile, tela mogu da .se krecu i c) promenu kretanja tela izaziva
'sira;-odnosno ako na telo dejstvuje samo jedna sila, ono se ne. moze iiaiilziti u stanjumirovanja. U prvom Newtonovom zakonu pominju se pojmovi ;;ffiiroviiiiJa« firavriomernog« kretanja tela. Pitamo se: u odnosu na koji koordinatni sistem se ovi pojmovi od.nose, kad se sva tela u prirodi krecu? Dakle, .QUOstoji telo u stanju apsolutnog mirovanja za koje bi se mogao vezari refere.mni koordinatnisisfem-:-Svestan ove cinjenice, Newton je pocL_ap...solmrum..m.imya~ili--ravnoniernim pravolinijskim kreranjem podrazumevao mirovanje IIi.ravnomenio" pravolinijsko kretanje u apsolumom prostoru i vremenu (gJ:-2)-:- u-ovori'l'prostoru i vremenu >>apsolutno kretanje je pomeranje tehi iz jednog njegovog apsolutnog polozaja u drugi«. OvaJ.:vo shvatanje o kretanju je metafiziCko i ne odgovara realnosti. U realnom prostoru polozaji tela i njihova kretanja mogu biti odredeni samo u odnosu na materijalna tela. Svako od njih uslovno mozemo smatrari kao nepokretno i za njega vezari koordinatni sistem. KretaJ!ia. tela -~.Q.c!P,_QSILnil_.uslovnQ_p.~p9JsretJ1i !<-..9.Q.Ldjnami_J>!§tem nazivajl;t se apsoluma kretanja. Naravno, ovako definisana kretanja sa Newto-.novog-glediStanisu-·a·psolutna, jer ce kreranje jednog istog tela zavisiti od izbora koordinatnog sistema. Inercijalni koordinatni sistem. Iz zakona inercije ne mozemo saznati u odnosu na koji koord.inatni sistem ce relo, na koje ne dejsrvuje sila, po inerciji odr:lavati stanje mirovanja iii ravnomernog pravolinijskog kretanja. Nairne, iz kinematike je poznato, da karaktei: ki"etanja uocenog tela zavisi od karaktera kretanja posmatraca, odnosno koordinatnog sistema reference, u odnosu na koji se to kretanje odnosi. Drugim recima, kretanje koje je pravolinijsko i ravnomerno u odnosu na jedan koord.inarni sistem ne mora biti takvo u odnosu na drugi. Prema tome, prvi Newtonov zakon vazi sumo za · specijalnu vrstu koord.inatnog sistema. Eksperimentalno je pokazano da zakon inercije ne vazi za sve koord.iname sisterne, jer je slobodno ravnornerno pravolinijsko kretanje tela vezano za njegovu potpunu izolaciju od uticaja drugih tela, a to je moguce u uslovima kada se to telo nalazi na beskonacno velikim rastojanjima od svih drugih tela. Koord.inatni sistem, u odnosu na koji izolovano telo miruje ili se ravnomerno i pravolinijski k.Tece, naziva se inercijalni ili Galileiev koordinatni sisrem. Posrojanje inercijalnih sistema potvrduje se eksperimentalno (sa odredenom tacnoscu), taka na primer, iz astronomskih posmatranja i izracunavanja o ubrzanjirna nebeskih tela ustanovljena je inercijalnost he!iocentricnog koord.inatnog sistema. Odnosno, suncev sistem se krece po inerciji ka cenrru nase Gal2ksije. U uslovima na Zemlji, nemoguce je osrvariti kretunjc tela na koje ne bi dejstyovale sile gravitacije, usled toga svi koordinarni sistemi Yezani za Zemlju su neinercijalni, odnosno, svaki koordinatni sistern koji ima, u odnosu na neki inercijalni sistem ubrzanje naziva se neinercijalni koordinatni sistem. S druge strane sistem koji se krece pravolinijski i ramomerno u odnosu na neki inercija!ni sistem je takode inercijalan. Drugi Newtonov zakon. Kolicina kretanja. li prvom Newtonovom Z
----------~.. --···-··--"·-·-· ~- .. -•.--r··~o.--,.._,_.,. __ ,...._,,_.._-_..,._.__,. .. ,J•'·"""--~-,._-,,.,
53 (u teorijskoj fizici ova velicina naziva se i impuls), a koja se definise proizvodom mase i brzine tela, tj. ; (1.3.1)
p=mv.
KoliCina kretanja se predstavlja vektorom p koji je kolinearan sa vektorom brzine tela a intenzitet mu je brojno jednak proizvodu mase i brzine tela. Ovaj vektor u Descartesovom (Dekart) koordinatnom sistemu u opstem slucaju ima tri komponente duz osa u obliku:
Pr.=m V:r:,
(1.3.2)
p 11 =m vv, Pz=mvz.
Ako je masa tela konstantna i veca od nule kao sto se u klasicnoj mehanici uvek pretpostavlja, onda je prema jednacini (1.3.1) promena kolicine kretanja
-
prouzrokovana samo promenom vektora brzine v. Promena kolicine kretanja ima vaznu ulogu pri odredivanju karakteristika kretanja tela pod dejstvom sile. Dimenzije i jedinice koliCine kretanja mogu se odrediti iz dimenzija i jedinica mase i brzine, ali one nemaju svoje posebne nazive ni u jednom sistemu mera. Na osnovu pojma kolicine kretanja, i oslanjajuCi se na posmatranja i eksperimentalne rezultate o kretanju tela pod dejstvom sila, Newton je formulisao drugi zakon dinamike koji u slobodnijem tum~~'!__~i: Promena koliCine _kr~tanja, nastala u malom intervalu vremena i poc:ieljefl!l -sa tim i:O.rervalom vremena, srazmerna je sil~ __kqj~__ dejsiVllje na telo, _i deSava
seu -pr~vcu lsme"illtesue:H--- ----
Matematicka interpretacija ov_O[..?.!IkQI'_I~_.moze se -~-
r
-
--·-·
n~ __u_obl_iku:
--(m v) -=.-\
--=F., ~l
(1.3.3) '
Jednacina (1.3.3) predstavlja pocetak diferencjjalnog racuna, jednog_ od vaznih faktora za razvoj matematike toga doba. Uvodenjem elementarnog intervala vremena, pretpostavlja se da je sila za taj interval.konstantna, pa se jednacina moze napisati u obliku: lim ~(mv) = d(mv) .:ll-o{)
~
t
dt
=
dp dt
=F.
(1.3.4)
" Aka je masa tela konstantna, gornja jednaCina se moze napisati kao: dv
-
-•
m-=ma=F. de
(1.3.5)
-
Ova jednaCina predstavlja diferencijalnu jednaCinu kretanja tela! u kojoj je
-
F rezultanta svih interakcija tela mase m sa svim drugim telima, a a ubrzanje tela u odnosu na neki inercijalni sistem.
---·-- ....... .,.,,......-------, ..
56 ovakvim primerima, u prvom i drugom Newtonovom zakonu manifestuje se jedan smer uzajamnog dejstva. Na primer, kad kaiemo na telo dejstvuje sila, ustvari uzimamo u obzir samo jednu srranu uzajamnog dejstva izmedu uoeenog tela i drugog tela kao izvora te sile. U su5tini svako uzajamno dejstvo okarakterisano je sa par sila shodno trecem Newtonovom zakonu.
T.reCi Newtonov zakon moze se ilustrovati i neposrednim ili statickim medu. dejsnrom.-rera:-Na p-riiiier;-ako-ria sto stavimo teg slika l9b, teg ce dejstvovati n~-;;-·;ii~~..'cDi )e.... ______ pravac- venikaln -·-· ___ . Q ...____
·-·
..
~-
_
~
.
_.,
a smer nanize (ka cemru Zemlje).
Napad.na tacka sile Q ce se nalaziti u stolu. s druge srrane, sto ce dejsrvovati -----. .. na teg silom R Ciji je pravac i imenzitet isti kao kod sile Q samo suprotnog
.....
~
-
smera. Napadna tacka sile R nalazice se u tegu. Na osnovu treceg Newtonovog ovaj napisati: _zakona _ _ _ _za _:=· . . primer . . .mozemo . . -· .. Q+R=O.
(1.3.9)
-
J ednacina (1.3.9) ne predstav!ja ravnote.Zni uslov dejsrva dve jednake sile na jed.no telo, jer ove sile dejsrvuju na razliCita tela (sto i teg), pa se sila po telu pojediiiaeno razlikuje od nule. Prema tome; treCi Newtonov zakon izraza"'jednakost sila koje dejstvuju na razliCita i usamljena tela, pa se svako od njih nalazi pod dejstvom samo jedne sile, koja mu saopstava ubrzanje prema jednaCini (1.3.8). Znak minus, u jednaCini (1.3.8) oznaeava da su ubrzanja tela istog pravca ali suprotnih smerova. Na osnovu razmarranja sva tri Newtonova zakona kao jedinstvene celine i za inercijalne sisteme moze se zakljuciti sledece Cinjenice: svako ubrzanje tela uslovljeno je nekom silom .. s_v:aka .. sil_a_je mera dejstva nekih drugih tela na uoc~a1 u;-me imaju karakt:eruzajiunflQ'g c@:Stva.- - -- - · · Zakoni dinamike koje je formulisao Newton predstavljaju uopstavanje iskustvenih cinjenica koje su bile poznate i pre njega. Newtonova zasluga je u tome ~to je on pokazao da se sva mehaniCka kretanja mogu okarakterisati pomocu pomenuta tri zakona, uzetih kao osnovu mehanike, pa se ta mehanika cesto naziva i Newtonova mehanika.
1.4. Zakon nezavisnosti dejstva sila
- :l-~-
:....:..
Neka uoceno telo interaguje sa vise dtugih tela, u odredenom koordinatnom sistemu. Postavlja se pitanje kako deluje svaka od tih interakcija na kretanje uoeenog tela? Na osnovu eksperimentalnog proueavanja kretanja uocenog tela pod dejstvom svake od interakcija i njihovog skupnog dejstva, doslo se do zakona o nezavisnosti dejstva sila: ~
_ e 'stvo svake sile na uoceno telo ne zavisi od toga, da li· se ono nalazi u_r@".11 . ili kretlinJU lZUZtmaJu se orentzove s1fe),a-takode nt od-broia sila kQJe -dejstvuiu na ·l:c)telo. -··· ··- · · · · - · -- · - ·-· ....a I
l
··-
............
&r' an• u
'*'·' *
M e.~
57 Drugim reCima, telo pod istovremenim dejstvom vise sila ponasa se tako, njega dejstvuje samo rezultaiii:a tih sila. U. ovom slueaju .drUgi N ewtoriov zakon imace oblik:
bo· da ·na -
---d8r
··~·--···-·
m -z = dt
·---·--
.
--.- ,..__
" .;..~ L: F,=F, \ i~l
(1.4.1)
gde je .f.!ezultanta svih sqa koje deluju na uoceno telo. U _sp~cijalnotn slu-: caju kad,a.na.telo dejstvuje takav sistem sila cija je rezultanta jednaka nuli,_g_., -·-·--· ·-· . ·---····-----n-
L F,=F=O, _________..;
(1.4.2)
i~J.
onda takav sistem sila ne mpze izazvati ubrzanje tela niti promenitLstanje -njegovog kretanja. Ovakav sistem sila u mehariici-se naziva-ntilti sistem sila.
---------
1.5. Slobodno i prinudno (vezano) kretanje tela
---d2 T
m -
dt 2
- ___ ........
n
=
m _,.
_,.
l: F, + 1&-1 L Rt,
i-1
m-
gde je sa
L;
.
'~•n•u
1
- - - - , . . --- ....__
.U.::I.'-''+1.4
··r
-
-
Rt oznacena rezultanta sila reakcije veze .
. ---1&-1- - -
_,. d2r=£. dt2 m
-·---
(1.5.1)
·· ·
.lj>!!.&."""".l.LI.U.L.I."'n.l.l.l.lo
· •·
'
4
w.LAW.&,Ir.l.~.lo.&.&.
'
""
veliCii13ma.
'".c~amike
'•
')
(1.5.2)
___
....)
60 / -···---.,1
.
2.J~
'----~
Pravolinijsko kretanje materijalne tacke
Ako se materi'alna taCka pri svome kretan·u uvek nalazi na jednoj ravoj liniji, kafe se da je njeno retanJe pravolinijsko. Ta prava lillJa moze da bude 1jedna od osa pravouglog koordinatnog s1s~ma, na primer x-osa. Diferencijalni'jedti.aruta pravolmijskog"Jcretanja-iilai:erijalne tacke po x-osi, na osnovu jednaCina (1.5.6) bice: ~------
m d2x =F(x, dx' dr2 dr
r).
(2.1.1)
na
Fe=mg, .-EII=Fz=O.
z y
Fx =con st.
0
X X
Sl. 20
Diferencijalna jed.naCina kreranja u ovom slucaju a prema jed.naCini (2.1.1) bice: d2 X m - - =mg=const d'2
(2.1.2)
odalde,
~(dx) =g.
(2.1.3)
dt dt
Integraljenjem jednaCine (2.1.3) dobijamo,
dx - =cr+C1 dt
gde je
(2.1.4)
cl integraciona konstama, koja se od.reduje jz pocetnih uslova kretanja.
JednaCina (2.1.5) je opste resenje diferencijalne jednacine kretanja materijalne tatke pod dejstvom sile te:Ze. Ovo opste resenje predstavlja niz moguCnih kretanja materijalne tatke a u zavisnosti od vrednosti integracionih konstanti C1 i C2 kao parametara. Ove konstante se odreduju iz poeetnih uslova kretanja pomocu kojih se uzima ana resenje, koje zadovoljava te pocetne uslove. Na primer, prema vrednosti poeetne brzine razlikuju se tri slucaja ovog pravo!inijskog kretanja: slobodni pad, hitac u vis i hitac na dole. _Slobodni pad materijalne tacke dobija se iz jed. (2.1.5) pri pocetnim uslovima: za~=O i x(O)=xo, sto znaci da je materijalna tatka pocela kretanje iz ta e (sl. 10Fb'liz pocetne brzine. Za ave pacetne uslove iz jednacirl.e (2.1.4) dobijama C1=0, a iz jednacine (2.1.5) Cz=xo, pa ce na osnavu ovoga jednaC.ine b~redenog puta slobodnog pada materijalne tacke biti:
dx , . =gc 1 - · --\, de -- ----
V:t=-
1 2 . x= -gt-r-xo: 2
y=O;
z=O.
(2.1.6)
"
Jednacinu predenog puta mozemo predstaviti i na sledeci naCin: 2 (x-xo)
= g2c2 = g
vz2 g
)
odnosno
(2.1.7)
Vz=~__2.g~.
,.------
[ Hitac u yis dobija se iz jednaCine (2.1. 5) pri pocetnim uslovima: za t=O. ~~-vo i x(O)=O, S!O znaCi da je materijalna t::Cka pocela kretaiijeiZ koordinatnog pocetka, poce~nom lm~;inom,~__t:9tDQ_~__!!l~renai!!__l,l_QAA
dx
= +gt-vo
(2. 1.8)
x '= -gc 2 -t•oc; y=z=O. 2
(2.1.9)
Vz
=-
de
.l
1
Putrebno vreme da materijalml u:cka stifne do najvise t<.cke put; dobija se ir. uslava da je u tom trenutku njena brzina jtdnaka null, tj. vz=gr-vo=O,
re jc u-uzeno vr~:me tm~" = :!, Moksimolna visina d.o koje dospcva materi-) g
64 Integraljenjem gomjih jednaCina i uzimajuci u obzir pocetne uslove kretanja, dobijaju se njegove fWlkcije brzine i puta u obliku: C: I
'
J
dx ==vz = _!.._ Fz (c) dt+voz dt mo
~
x=
J(J '
C' ~ ":-
.; ,,, Q
(2.1.20)
t
0
Fz(l)dc}t+vozt+xo.
(2.1.21)
0
Za ostale projekcije, gomje jednacine su analogne.
Kretanje materHalne tacke pod dejstvom sile oblika F-F(v):Kao primer za ovo kretanje, razmotrimo kretanje materijalne tacke kroz neku otpomu sredinu. * Prema eksperimentalnim podacima svaka sredina pruza -Otpor 1Zrazen l
(2.1.22)
F=-k'v
Z,nak minus oznaeava da je sila suprornog smera, prema brzini cestice, a koe(k'>O, zavisi od svojsrva-srecunelCfimenZija cesrice. Na primer, za -- - --------------·- --~gJ.icu polup_re{nika_J, sila otpora ima oblik po $toks_l! (Stokes) F= -67t'T)rv, gde je '1)-koeficijent viskoznosti sredine. Razmotrimo kreranje marerijalne raCke poeetne brzi~u pravcu i smeru ~-:()~e~ otpornoj sredini k~hcijenq~__!_:~, slika 22. _,
z o~.
'F
•
A
X
-v. .
-
Sl. 22
JednaCina kreranja materijalne taCke za ovaj slucaj bice:
d2 x m-=-k'v, d£2
(2.1.23)
----
ill: dv: k' =- -v,=- ocv,, dt m *) Uticaj
Qrusi.h sila sc z.ancmo.rujc.
(2.1.24)
--~.,.
65 gdc jc
k'"
:«=-."
m
Razdvajanjcm promcnljivih i integraljenjcm, dobijamo:
Jd::
=-Cl
f dt,
odnosno (2.1.25)
lnv:=-IXt+Cl
Po!to jc iz pocetnih uslova za t=O, v:(O)=Vo, onda iz jednaCinc (2.1.25) dobijamo da je Ct=lnvu, pa sledi ' V:='Vo e-<:'1•
(2.1.26)
~
-Kako je;>o, onda jc •-'<1, a to znaCi da je v:
x= vo
J.e-a.t dt
.t•o
=r-
~
e-'7- 1
+ C2•
' (2.1.27)
~Cl~-------
StavljajuCi za t=O, .:r(O)=O, iz jednaCine (2.1.27) dobijamo: C2 = vo , a koa:
naena jedriaCina puta ccstice bice: X=
vo -(1-e-
(2.1.28)
~ Kad vreme raste, Clan e-«1 teii null, pa se ukupni predeni put eesticc u otpomoj srcdini dobija iz granitne vrcdnosti izraza (2.1.28). XD
=Jim X=~ •
(2.1.29)
~--
Vertikalno padanje materijalne ta~ke pod dejstvom sUe teie U: vazduhu. Neka Diaia cesnca m.ase m paaa sa VlSlne h u odnosu na povrsmu
-- -
-- sila otpora zemlje, pod sledeCim predpostavkama: sila tc:Ze F 1=mg=const., vazduha je proporcionalna kvadratu brzine F2=-kv2-ro, vazduh je nepokretna sredina u odnosu na Zemlju i cestica nema pocetnu brzinu. Neka se kretanje odvija po pravoj d11Z x-ose slika 23. Cesrica se_nalazi pod
-
dejstvom dve sile*: F1=mg=const i Fz=-kv2 -ro. Obe sile deluju u pravcu .:r-ose, pa ce diferencijalna jednacina kretanja imati oblik:
d2x dtZ
m - =mg-kv2z, *} Sila potiaka ae zanemaruje.
(2.1.30)
66 ili
dv:r: --=g- cx2 v2.,, dt
cx~= .!!._.
gde je
(2.1.31) Razdvajanjem promenljivih dobijamo
m
d _
I_r
dvz
__
t - g-cx-tv2x-
dv,
2vgl yg-o:v,
, 1
dv, ) yg+rxv:r ·
(2.1.32)
y
F2 A
j-
hI
F1
X
SI. 23
Integraljenjem gornje jednaCine, dobijamo:
t+C1
=
I ,A;_;-l-ln(yg-H·x)+ln(v-g+rxvx)]. 2 e1·y g
(2.1.33)
Stavljajuci t==O i v,(O)=O, iz gornje jednacine dobijamo Ct=O, pa jedna-
Stavlja)u~i u jednacinu (2.1.37) t=O i ch(O)=I, a x(O)=O, onda je C2=0, pa zakon puta kretanja materijalne tacke je:----- - ------
X=_]__ Inch IX2
(:xxc· c).-
Gornja formula moze se primeniti i za slucaj
(2.1.38) ~a_
padQl:Jranaca, kod kojih
je k= _.!_ Cx p S, gde je Cx bezdimenzioni koeficijent otpora k~ji zavisi od ----2------·--oblik_:~, _te_laj odreduje se eksperimentiilno,-p)e--gustil:la srecl.ine a s popreeni presek R1!<:iqbra!J_a. Iz ovog relativno prostog pri:iilera--vilie!e sli se sve mate.maticke teskoce kod resavanja slo:Zenih problema dinamike. )-
!-ine:rn~
harmonijsko kretanje materijalne tacke .e_od dejstvom
.sile F=F(x). Kao primer razmotrimo ~~!lodim_ei}~i<;~nalno kretanje materijalne tacke pod dejstvom sile koja zavisi sam6 od njenog- polozaja u obliku
-
F=F(x)=-kxi,
(2.1.39)
gde je F-~ciona sill!_, k~!
68 Diferencija!na jednaCina kretanja tacke bice:
drugogreda sa konstantnim koeficijentima, i njeno resavanje ne predstavlja ozbiljniji matematiCki problem u teoriji d.iferencijalnih jednacina.
y
r---.._ ~------ X X
Ss. 2S
NapiSimo jednaCinu (2.1.41) u obliku: dvs = -w2o x. dt
(2.1.42)
P~to leva suana gornje jednacine predstavlja izvod brzine po vremenu, a desna silu po jed.inici mase u zavisnosti od koordinate x, neposredno imegraljenje ove jednaCine je ~moguce. Prirodno, iz ove jednaCine mozemo odred.iri veliCine koje zavise odkoord.inate x. Dakle, potrazimo k~~()_:t>_rzina tal!lcc zavisi_gd koordinate :.; ~j_. v=v(x), koja je pak funkcija vremena t. U tom sluO!ju izvod -brzine- po vrem;~~--dvx , mozemo izraziti kao izvod slo-
dc
ZeDC
funkcije, tj.
dfls d Vx dx dvx -=-·-=-·'IJs dt dx de dx
jer je d'dllt/dt=vs, pa jednacina (16.42) dobija oblik: Vs dfls= -w2o x dx
(2.1.43)
.. -- .
~·--:;,~t,;,:~-..--.
·-
·- .•.......--""'--....--.-'-
-~~~-;.;-,:..;·~·,::..~-.;.;::;,..,;;:;.o
________________
69 Integraljenjem gomje jednacine dobijamo: 1 I 2 -o.,Z=--w 02 x 1 + -C1
2
2
2
(2.1 .44)
,
gde je Ct konstanta integracijc. Rdavanjem po t~s=
gdc jc q>-nova integraciona konstanta. u obliku: ·-
Jcdnacina
(2.1.46) mozc sc napisati
-:=~~s-in (wo t+~o sin [::t~--
(2.1.47)
Krctanjc matcrijalne taCke je __!tannonijsko oscilovanje tija je :U.llfll_i_ruda x.o ~ TaCka .0--<>ko kojc se vr$1 os-ci1ovanje naziva se cent!!"_ oscilovanja. VcliCina (CJJ()t+p) naziva se faza_osciloy_anja a «p-poectriil faza. Krctanjc jc pcdodimo, Cijc jc svojstvo f(t+ T)=f (t), gd~
k~r.ckvcncija-CJJo.
U jcdnaCini (2.1.47) period jc 2~ 2~ T=-=--=
~-
w11
Vk/m
=2~
_I-
v mfk.
(2.1.48)
"
Dalclc, period harrnonijskih oscilovanja ne zavisi od poecmih uslova krctanja, tj. T ~ isto bcz obzira na veliCinu amplituda. Kretanje kojc ima ovo svojstvo naziva s-c-~ohi"orio. Difercnciranjem jednaCine (2.1.47) po vremenu dobijamo funkcijc btiilielubrzanja tacke koja izvodi hannonijsko kretanjc - =tls=xowocos(wot+~P) de dx
dlx
l .
(2.1.4::~)
-=as= -xowa2 sin(wo t+tp) dtZ
Matcrijalna ta~a koja opisuje ovakvo krctanjc zove sc lincami hannonijski oscilator. - -- - - -~--
70 ·--------------·-·-
...
2.2. Krivolinijsko kretanje materijalne tacke Krivo1inijsko kretanjc materija1nc t~l:kc pod dt:jst\'Oill Z::Jdatih sila odrctluje sc rciavanjcm diferem:ija1nih jcdnaC·ina krcmnja ( 1.5.6), tj. dobij;,mjcm kordinata racke u funkciji vrcmcna. Opsta rcsavanja pumcnutih jcdnal:ina za proizvo1jne funkcije si1a, mmematiC:ki jos nisu r;,1zraden;,1. Us1ccd toga cemo ohraditi neko1iko poznurijd1 primcra. N;,1pomcnimo, da krivoiinijsko krctunje u opsrem s1ucaju ima svoje komponenrc u pravcu sve gi.kl-JordinaHIC ose (krivo1inijsko kreranje:: u prostoru) a u spccij. baccnoe pod uglp_D}_L_Prema orizonru, pol:ernom br-
-
-~
~!!L:ZJQ,
-
pod dejstvom sile teze mgu -~ consr, u odsustvu_ atmosfere. Krivinu zem1jinc povrsine i njeno krer:.~njc mugu sc z:.~ncmariri. Izaberimo pocerak koordinarnog sisttm:.~ 0.\yz rz,ko, da se poklapa sa pocetnim hitca kao na s1ici 26, prcma kojoj sc krct:.~njc od\·ija u ravni XOZ.
poloz:.~jem
z
-I>J 1/fll/1/1 0 '!JmAmmnm>mm>n4 -
r-
-
X
I
Xd Sl. 26
-
Diferencijalne jednacine hi tea predstavljenog tackom A na kojeg dejstvuje
-
sila mgo=const bice:
dZx
m-=0; dtZ
d2y -o· m --' 2 dt
d2m dt2 _::._- -mgo.
(2.2.1)
Prvi integrali jednaCina (2.2.1) su:
dx =V:t=Ct; dy =vy=C2, dz dt =v.= -go·t+ c3,
dt
dt
(2.2.2)
----b---~--·-··----~----
.. ----· .---
·--~-----~
71 a drugi: x=Ctc+C~;
y=C~c 7 Cs;
;; = -
21 go l 2 -t- c3 l + c6,
(2.2.3)
gJe su Ct ..... C& inregracione konstame. Iz pocctnih uslova krctanja stavljanjem t=O u jednacine (2.2.2) i (2.2.3) dobij:~mo:
Cj='liOCOS:Y.,
c~=O,
C3=vosinex,
(2.2.4)
C4=Cs=C&=0.
ZJmenom vrednosri inregracionih konstanti iz jednacine (2.2.4) u jednacine (2.2.2) i (2.2.3) dobijamo jednacine brzine i pura u zavisnosti od vremena kod razmatranog kretanja: ~-,=1'oCOS7.;
X= 1'0 l
COS
CX
1' 11
=0; v,=1•osin:x-goc
.v=O·'
(2.2.5)
I .. z=- --goc 2 +vocsin7..
(2.2.6)
2
Eliminlsanjem vremena c iz jednaCina (2.2.6) dobijamo jednacinu putanje kosog hi rca u eksplicitnom obliku:
·,
go x2
\ ;; = .\' tg :r. -
L
(2.2. 7)
--
2 v 0 2 cos 2 o:
Ako su 1•o, go i cx- zadare konstanrne vrednosti, jednacina (2.2. 7) predstav!ja parabolu Cija je osa simerrije parale!na z-osi, slika 26. Njeno teme T O
g0
pa t-e- ~~~t~ r~ena Vo2
(2.2.8)
x=O, 1•02 cos2 cx ----·-
.
biti:
. 1
Vn2
•
xr= --sm2cx ZT=--sm 2 cx. 2go -~-~---2co-----Rastojanje -~=OIL. naziva se domet kosog hitca ~ pa prema jednacini (2.2. 7) tmamo, O=x(tg?.-
(2.2.9) dobija se iz uslova
_g~--x·). 2 2 v0 2 cos cx
Prvo resenje jednacine x=O, pokazuje da parabola sece x-osu u tacki 0 (x=O, z=O), a drugo u tacki B (x=xd; z=O), odakle je: '.
2 v 0 2 cos2 cx tg ex
=
v 0 2 sin 2 ex
(2.2.10) ~ . ~o_ Xd je funkcija pocetne brzine vo i elevacionog ugla cx. Za datu pocetnu brzinu domerc·e--birt--najveei-pri-sin--2oc=Crf kada Je .t~ = 900, odnosno cr.=45a.
'tX•)= Xd·-=
! · ---
-
go
Vreme Q<>_ciizanj_a_hitc_a_u__y_is, dobijamo iz uslova da je dz =0, zato, jer u tom
--
__dL
trenutku c, hirac dostize Zmax. pa imamo: dz
.
- = -go lt + Vo sm ex= 0,
de
72 odakle t1
= vo sin a: • go
( 2 . 2 .I 1)
~-
Ukupno vreme leta kosog hitca dobijamo iz uslova da se let prekida u tre. • . . • t102 sin 2a: nutku tz, kada JC ~-"-'- pa 1z JednaCina x~"':~E: cos a: 1 Xe= _:___ Ko dobijamo: lt=
2 vo sin a:
(1.2.12)
go
Uporcdujuci jednatine (2.2.11) i (2.2.12) vid.imo da je l2=2tr, odnosno u.kupno vremc leta kosog hitca dva puta je vece od njegovog vremena podizanja. Sto znao da je VJ'c;ID~j!Odizanja hitca jednako vreffi_CIJ._I,l_Oj_ego_yog__j)adanja. Ako su parametri go i tiQ kcinstaruru a-pani.riletar a: se menja od__Q .:_:I goo' onda jednaCina kosog hitca daje p_grodicu parabola, koje zavise od parametra a:. Ako se pak menjaju· i a: i vo jednacina (2.2. 7) saCinjavace porodicu parabolicnih putanja kojc :z:avise od dva parametra. Ra:zmotrimo neke karakteristike porodice parabola :z:a promenljivi parametar a:. Ako je a:=O kretanje se na:z:iva .horizontalni hitac, a njegove jednacine kretanja dobijaju se iz jednacina (2.2.5fl2~2-:-6)u oolikU:
x=vot, y=O,
1 z=- -got 2
(2.2.13)
2
a jcdnal!ina putanjc ima oblik:
z =- .1.!!.._xa; y=O. 2 t10 2
(2.2.14)
Za a:=90° kretanje se na:z:iva hitac u vi.sjvidi odeljak ~hitac u vise). Od ostalih vredriostl-a: dobija se porodiC:a parabola obavijene jednom parabolom - obvojnicom (slika 27). Jednacina obvojnice (vidi V. I. Smirnov, Kurs vise matematikc, T-Il, str. 40, 1948) je gox2 Vo 1 z = - - -·-, (2.2.15) 2go 2vo 2 koja se na:z:iva i parabolom sigurnosti, jer ona ogranicava prostor u kame se kosi hitac moze kretati.
h
S!. 27
'·---- ·----- ·-
73 ,rostornog harmonijskog oscllatora. Razmotrirno kretanje taCke mase _m_ pod dejstvom sile proporcionalne rastojanju -
_.,
-to
......
......
_.,.
F=-k · r, pri pocetnirn uslovima r(O)=ro i v(O)=vo. ,Diferencijalna jednacina kretanja uocene tacke u odnosu na koord.inatni pocetak 0 bice: d2 r ..... m--=-kr.
(2.2.16)
dt 2
Prema jednaCini (2.2.16) vektoLubrzl!rilit tacke je kolinearan sa njenim vektorom polozaja, usled cega ce se kretanje odvijati u ravni odredenoj ~c;ktor_ima ro i vo. Pretpostavimo da je ta ravan ~y pravouglog koord.inatnog sistt!ma~ Pfojekcije jednaCine (2.2.16) na koord.fnatne ose x i y bice: d2
-
X
dt2
= -w 0 2 x
d2y -
i
dt 2
= -w 0 2 y
(2.2.17)
_/'-'
--
gde je w 20 =k/m. Opsta resenja ovih jednacina (vid.i odeljak: linearno harmo,_
nijsko kretanje materijalne tacke pod dejstvom sile F=F(x)) bice: x=a1 cos (wot+q>l)
i y=a2cos (wot+cp2)
(2.2.18),
gde su at, a2,
y2
a1
az
2 xy
- 2 +---cos(q>z-cpl)=sin 2 a1
a2
2
(q>2-
"(2.2.19)
-
koja predstavija jednacinu E.iJ:lse. Dak1e, pod dejstvom sile F= -kr, materija1na tacka se krecepoei1psi centrom u taCki 0, slika 28, prema kome je u
sa
y Vo
X
Sl. 28
svakom trenutku usmercna dejstvujuca sila. Ravan elipse u prostoru, velicina njenih poluosa i smer kretanja oscilatora po putanji se odreduju iz poeetnih uslova.
74 Odredivanje sile po kretanju koje ona izaziva. Neka se materijalna tacka mase m krec~ po spirali oblika: x=a cos we y=a sin we I&=
vu
l ,
(2.2.20)
l
g-de su Ll, (u i t'u konst:mtc. Tr<.:b~1 llUI'<.:diti siJu koja izazi1·a o1·o kri1·o!inijsko kretanje. Prem:.~ difcrencijuJnoj jednat:ini krer~inja, projckcijc sile n<.~ koordinarne ose :r, y, :: bice Fx=
Ill
d2xdc 2
= -11/Q(v-> cos w l =
-111 (•)-·• x
d2 y ·>. •) F y=m ---· =-maw-sJnc.uc----11/W·y dc2
Fz
=
//1
d''
_:z
=
0
dl~
Inrenziter i prar:.~c sile u odnosu na (2.2.21) i to;
I I I' I
ko<>rJ.in~nne
1 F = [F[''+F ,,-·'+F.,),/.' ·,- v"~-1//(u··• ·v;-:;--:---:;+ .\'"'i- y•-=m vl-> a,
~·
-:-
F_,
(2.2.21)
ose
J.obij~1mo
iz
jedn:.~cin:.l
(2.2.22)
X
cos(F, 1)•c=-- = ---F a
- -
cos (F, j) =
F,,- ....:_z_ p - a
(2.2.23)
-F cos (F, k)= ___: =0
F
Na osnovu jednacine (2.2.22) ;mkljucujemo da sila ima konstantan intenzitet, jer su m, w i a konsrantn~ velicine, a na osnovu jednacina (2.:.f13) ua· je sila normalna na osu Oz. - -------- --- - - ~----
'
---
Kao sto se vidi iz ovog primera, marem'.lticke operacije diferenciranja su jednosravnije od operacija imegraljenja pa su zadaci dinamike pronalazenja sile po njome izaz\·anom kretanju jednosravniji od zadataka odredivanja kretanja tacke pod dejstvom odredene sile.
2.3. Sile trezili!
" 75 U raznim rcalnim primerima krctanja dolazi tlo i:.:ra:f.aja vise iii manje neki od navedcnih l~tktora, koji i braktcrisu silc trcnja. Utkaj sila trenja na kreranje tela Jes
II{·-~=
d!-
"
-
-
L F;+F,. ,
--
(2.3.1)
=I
Sile trenja mere se kao i ostalc sile u mch:mi~:i. lstczanjc clasticn~~~ie mera imenziteta silc. Za slul:aj, ravnomernog pr<~voTin-ijskog kretanja tela po nckoi podlozi. prcm<~ jcdm1cini (2.3.1) sile trcnj<~ jednake su po inten:.:i.eru aktivnim silama, kojc pokrcl:u telo. Sprava :.:a odrcdivanje inten:.:iteta sile trcnja_naziva s.e . .tribomct\.IL. · Suvo i viskozno trenje. Zavisnost silc trcnja od rclativnc hrzine tela je razlicita za dodir dva cvrsta tela i za dodir cvrstog tela sa tccnoscu iii j;asom. Pri dodiru dva cvrsta tela silc trenja medu njima uvek imaju konacnu velicinu .::ak i u slucalu-kadafc niihov\.1 rctarivna br:.:ina iectnaka nuli ako na n-iillCieF srvuic neka spoljasnja silil. U ovom slucaju intenzliet-silc trcnja zavisi od inr .iteta s o ·asn·e sic. Takvo rren'e naziva sc staticko. Mcdutim, u sluL'UJU o 1 vrstog rcla ·sa tcf'ri.osCtCi1ig1rsm'n=sti'C"'TteTI;a zavise od gr~ijenta· brzine i debljine sloja i nestaju kada sc dodirujucc J
. . --------------------···""
.
·-·~-SSG ..
Sile suvog trenja. Zakonc suvo!'( trenja eksperimemalno je proucavao Coulomb (Kul()n) oko 1781. ~odinc. Rczultati tih ckspcrimmata poznati su kao zakoni 'suvog trCnJa. Predstavtmo sebi dva cvrsta tela koja sc dodiruju i
----·---------
__
,
nalaze. u rclativnom miru (slika 29). U slucaju kad jc horizontalna sila F
= 0,
15 ~~:~~~I/J/II/II/1111;5J
tN SJ. 29
ob::t tela su u sratickoj ravnotezi pod dejstvom sila Q i N koje su igog_pra't'Ca i intenzit~.LQLnQg_s.[l"&fa, a poticu od !e}inc;,_tel\l.:.l:i~s_ile_o.fp.ora_~_ Pomeranje tela I po telu 2 nece se desiti pod dejst,·om sva~e vrednosti sile
F,
vee samo pod__ci_ejstvom njene granicne velicine Fo koja ~a~Ls_i ad telakoill. se ----------------~--------
--
--- ---------------
---
----
kreta~u :....;. ----- -- -------·--
dodirujui_nprmalne sile N. Sila koja se suprotstavlja relativnom -------------------::::-.
---
----
tela l__p_oc:lci.ejs_!v~m sile F, naziva se sila trenja FT. Sila F"', po drugom New.--------~--
·---------· ,.,.,. -· -----·----.
?~~t·
.,. ···-·;hf.-..t!ll"•·">·-·, '
76 tonovom zakonu, jednaka je po intenzitetu granicnoj vrednosti sile _F=Fo -~o
-
-
suprotn()g SIJlera._:;ila F-r raste istovremeno sa silom F
o~
njene nulte
do granitne vrednosti Fo. Granicna vrednost promenljive sile F u momemu kad telo I potinje da klizi, predstavlja i maksimalnu vrednost sile statickog trenja za posmarrana tela, tj.
(2.3.2)
F'r:•mu=-Fo.
U slul!aju da je F>Fo telo I klizace se ubrzano, a ubrzanje ce biti odredeno __.---':;:;,;-·
--·-
-·--~--::;------·-··-
-··-
razlikom_sila F-F'f;. Sila F'f; u ovom slucaju naziva se silom dinall_lickog trenja, i. zaviSl.od.rel~tivn~I:J-~iD~.kJi2:anja. Eksperimentalna merenfa pokazuju da je s_ila statickog trenja veca od dinamickog_. Posto sila statickog trenja zavisi od vrednosti spoljasnje sile i moze imati sve vrednosti od 0 do F-:max; usled toga se mogu ustanoviti zakoni trenja klizanja samo za dinamicku silu i granil:nu vrednost staticke si!e trenja. Coulombovi zakoni suvog trenja glase :::-}) Static~a sila trenja
F-rma.x. proporcion~na
le ~~f!Il~lr10j_~ili_1_tj.
(2.3.3)
Fnnax=!-L• N
gde je 1-'-•-::.kQ.di_cij~Qt statickog trenja. To je neimenovani broj kojim se karakteri.Se priroda i stanje ·aoairnih povr5ina. 2.. Statitka sila trenja F-:max u velikim granicama ne zavisi oEi-velieine do. dime povrsine tela._ U slucaju vrlo malih povrsina-dodira, sila trenja se poveeava usJed-ZJ1atnijih deformacija istih. 3. Sila trenja pri kretanju tela ima suprotan smer u odnosu na njegovu relativnu brzinu klizanja. '4. Koeficijent statickog trenja veCi je od koeficijenta dinamickog trenja, ovaj poslednji zavisi Od brZiiiekretanja. tela, kao sto je pokazano na slici 30.
F;.
F;,
G
v
SL 30
Sile trenja imaju vrlo vaznu ulogu u prirodi. U izvesnim procesima prisustvo trenja je neophodno (na primer, pri svim vrstama kretanja po zemljinoi povriini) u drugim pak, ono se manifestuje negativno i zato se preduzimaju.
'
'""""."
__
...
"~··---·-..-e
...
·-"~Jdt;';_,·· -~--··----···-··--·
ru·· --Iijf•W"Pihi;iiicMjjjtjjjljfaii
77 mere za njegovo smanjenje, pri l:emu se suvo trenje zamenjuje viskoznim trenje klizanja trenjem kotrljanja.
iii
]\retanie tela u prisustvu sile trenja. Neka se telo ~~!"- nalazi nastrmoj (slika 31 ). Posto su sile duz y-ose uravnotdene, diferencijalna jednal:ina kretanja tela bice: r~i
d2x- - m - - i=F-F-r. dc 2
:(
f'
(2.3.4)
..,
·~~ , , ,,,,,,,,,,,, 7 ;;;;;;;;;;r Sl. 31
Sila F je komponenta teZine telaQ, i prema slici 31 njen intenzitet u pravcu x-ose je,E_=Q sfn a.:=mg sin a.. F-r je sila trenja Ciji je intenzitet prema jednal:ini (2.3.3) F-r-=fL;N=fL.Q cos a.=fL.mc cos a.. S obzirom na kolineamost pravca kretanja tela i dejstvuJuiSh sila vektorsku jednaCinu (2.3.4) mozemo pi sari u obliku: ·
d2 x -
dt2
(2.3.5)
=a=g (sin a.-J.L 1 cos a.).
Karakter kretanja .tela zavisice od vrednosti faktora sin a.- fL• cos a., i mogu postojati sledeCi slueajevi kretanja. a) Ako je koeficijent trenja zanemarljivo mali (I:Lr-:+0} onda ubrzanje tela zavisi od ugla hagiba strme ravni ~ i iznosi~sin a..__ l to a=g za_Gt__::;::_~: ~.E-=::O__za_~Q_~ a to su slul:aji koji se svode na kretanje hitca bez prisustva ~j_a.
.
-
b) Ako je koeficijent trenja _!J-a>Q_ a siil_G:>:fJ:• cos a., onda je prema jednaCini (2.3.5) ubrzanje tela pozitivno a>O i telo se· hece jednako ubrzanim-Jq_etanjem dlJ.z__ ~·:ose. ------c) Ako je koeficijent f:L 1 >0 a sin a.::=JL1_~()~, onda je ubrzanje tela a=O, odnosno f:L•=tg«. Dakle, telo se krece po strnioj ravni konstanmODLb~ ~0, bez obzira na svoju teZinu. Merenje ugla a: za ove uslove kretanja daje ekspcrimentalnu metodu za odredivanje koeficijenta statiCkog i dinamil:kog trenja. d) Ako je koeficijent !J.1 >0, dok je S~!!f-~OS «, telo ce se Jcretati je_4nako ~ tj. smanjivacesvoju pol:etnu brzinu, jer je ubrzanje a
78
3. Dinamika neslobodne materijalne tacke 3.1. K.lasifikacija mehanickih veza Kretanje materijalne racke pod d.ejsrvom ukrime sile i s:.1 unupred darim ogranicenjima u pogledu njenog polo;bja i brzine naziva se prinudno ili ograniceno kreranje. Klizunje tela niz srrmu ruvan, kreranje voza po sinamu, kreranje maremarickog klarna, itd. su primeri prinudnog kretanja. Uslovi (poreklo im je u drugim telima) koji ogranicuvaju slobodu kremnia m:atefijalne racke nazivaju se u meh~nici vezam:.l~ .\lehanil:ke veze koj~m ~~mo po~ ffi"ltenjulne racke nuzivuju se holonomne iJi konucne. Ha primer~e marerijulne racke po nekoj nepoRrernoj~povrszm czJu 1e jednaCina rp (x,y,z) =0, ograniceno je uslovom da koordinare marerijulne racke: x, y, z, pri njenom kreranju moraju zadovoljavati jednacinu povrsine. tj. (3. 1.1)
'? (x,y, z)=O
Jedmcina (3.!.1) naziva se ~-!ll..~ jer pred.sruvlja jednu maremaricku vezl.! medu koordinarama racke pri njenom kreranju po uocenoj pO\'fSini. Mehanicke veze koje og@!l_icavaju polo:lJj _i b_I"zinu mat~rijulne racke pri njcn~.-;n kreranju n:.Jzivaju senehO!Oiiome. i1i ~eke. .\latematick..z inrerpr.::tacija neholonomnih veza imu oblik;--------· -----? (x,y,
Z, 'Z.'x, Vy, "Z.'z,
(3.1.2)
l)=O
gde se oz.• .. , v.~, v, integraljenjem ne mo6u svesti na holonomne veze. U sluc:.Jju prinudnog k"Tetanja m:nerijalne racke, njena brzina i ubrzanje ne mogu im:.Jti proizvoljne vrednosri, vee samo one koje su u saglasnosti sa vezama. Ukoliko se meh<:znicke veze !J.~_.menj-a-~u-za...~eme kremnja marerijalne racke rj. eksplicitno ne Zlvise od vremena, naziy~ju se sracionarnim. UKOTiko pomenuri uslov nije zadovoljen, meh1nicke -v-eze nestaczonarne.
su
~
Mehanicke veze unose promenu kreranja tela u od.nosu na njegovo slobodno kretanje usled cega se manifesruju kao sile i ove si!e nazivaju se__reakcija!Jl.
-
-
m-=F+R. dt 2
(3 .I .3)
Sila R nije unapred poznata, jer zavisi kako od sile F rako i od nastalog kreranja. Usled toga, iz dopunskih uslova kretanja potrebno je prvo odrediri silu reakcije veze pa porom resavari jednacinu (3.1.3).
79 3.2. Jednacina kreranja materijalne tacke po zadaroj krivoj liniji Neka se materijalna tacka pod dejstvom svih sila krece po datoj kriv()jlifl_iii. Njena diferencijalna jednacina kretanja data je jednacinom (3.1.3)._Rj_e_:si!a reakcije veze za ovo kretanje, i moze .se razloziti na dve komponente (3.2.1)
R=N-f.LsN-ro
gde je N norma ina komponenta _r~~Jscjje_ y~ze_a f.l• N -:o njena t~e~ij~lJ.Jl ~a
tj. sila tre~. Projekcije jednaCine (3.1.3) na ortove ( -ro, no, bo), prirodnog koordinatnog sistema, bice: ,. ----
dv
rn·- =FT-f.LsN de (3.2.2)
v2
rn·- =Fn+Nn R O=Fb+Nb
J_ ednaCine (3.2.2) nazivaju se prirodnim jec:fn_a_C.inama kretanja materijalne tacke po zada~j. Prva jednacina odreduje ~n~, 1lOk druga i treca odreduju no~!!!liJ.!:!u komponentu reakcije ve-ze. U slucaju kretanja materijalne tacke j:io-ravn~;--~-;;o)jednacine (3.2.2) svodc se na sledeci obli~ --------
dv
rn- =F-::, de
(3 .2.3)
v2
m-=Fn+Nn R Fb= -Nb Kretanje matematickog klatna. Pod matematickim klatnom podrazumevamo. materiialog___tacku obesenu o nerasregl}iv konac bei mase-ci)a[e_du:Zina Rlslika 32). Kreran)emiterJJalne-tacKedesavnepo!Uku poluprel:nika R u verrikalnoj- ravni u odsustvu sile trenja. Primenorn-Tecffiiicina--(J:2:J) na ovo kretanje imaceino: - -
dv
.
m- = -rngsm
r~.,
de v2
m- =N-mgcosc<, R
(3.2.4)
(3.2.5)
gde je N-sila_r~akcije_y.eze-koju-reaJizui~konac_jer je F6=0. Neposredno integraljenje gornjih jednaCina predstavlja jectan sl6ze-ri -iriiiiematicki postupak.
,-.• ·-····1·'1''.
80 Us!ed toga razmotrimo dati problem za vrlo male uglove cc za koje se mogu primeniti s!edece aproksimacije: sina::::::cc; cc= ~; s:::::x, pace jednaCina .. . . R __(3.2.4) imati ob!ik d2x g = - -:c= -wo2x.
dta
(3.2.6)
R
R
Lo
\
A,
I
X
\{...,""
Q
Sl. 32
Re§enje ove jednaCine (vidi odeljak linearno harmonijsko kretanje materija!ne
..........
ta&e pod dejstvom sile F=F(x)) daje da je
:c=:co sin (wot+q~),
(3.2.7)
gde je 2- !_ a Wo£_ __
21r
JR ~
~=_(1)_2__=:~_:-
(3.2.8)
g
.Sto znaCi da period malih oscilacija ne zavisi od pocetnih uslova, jer su one prosto harmonijsko kretanje. Iz jednacine (3.2.5) mozemo izracunati silu oscilacija :
~_atezanja
N za slucaj malih
m~ . . - - =N -mg cos x=N -mg Jer Je cos a:= 1 R
pa imamo
mvZ (vz ) N=-+mg=m -+g.
--
R
R
(3.2.9)
--="---~--"-'-"------ ..... :
81 Jednako kruzno kretanje materijalne tacke. Neka materijalna tacka vezana za kan~p_ duzine____R_yrSLpt:inudao~po ~g~.u-hor-izo~j rami u odsustvu sile trenja (slika 33). Posto je poluprecnik putanje R..QQI:e_den, sillrrea·kfi)e kanapa koja deluje na materijalnu tacku zavisiCe jos od intenziteta
v
Sl. 33
njene -Erzine v. U ovom slucaju poznata je putanja i zakon puta, treba odrediti .silu rc;_iijscije kanapa. Iz jednacine (3.2.3) dobijamo intenzitet sile reak·---2 cije u pravcu no~ale N = ~, a njen pravac i smer iz odnosa:
R
. -
--
l'!._=man=m(w X v)=m(w X w X R)=m[w(w · R)-R(w · w)]
-
S obzirom da je u slucaju jednakokrl1Znog kretanja wJ..R, dobiiamo man=-mw2 R=Fcp.
(3.2.10)
Sila reakcije veze pri jednakom kruznom kretatJ.ju deluje na telo u pravcu poluprecnika R u smeru ka centru putanje. Usled toga se ova sila nwva i
-
c.entripetafna Fcp. Ovasifaje normalila na putanju i prisiljava telo da skreee p~trnellienjajuCi mu inienzhetbrzine--: Po- trecem Newtonovom zakonu i pokretno telo deluje na vezu (kanap) jednakom silom suprotnog smera Cija se napadrta ·tacka nalazi u telu •rveze« koje i prinudava pokretno telo na skre-
-
tanje. Ova sila naziva se centrifugalna Fct· Prema tome centripetalna i centrifugalna sila u inercijalnom sistemu su dve sile uzajamnog dejstva koje zadovoljavaju III Newtonov zakon. One dejstvuju na razliCita tela, centripetalna ria tdo koje se krece po krivini a centrifugalna na relo wezeo. Na primer, za kretanje meseca oko Zemlje, centripetalna .sila deluje na mesec a centrifugalna na Zemlju kao telo weze•. U slueaju prekida •>veze« nestaju uslovi za postojanje cemripetalne i centrifugalne sile, pa ce telo produziti pravolinijsko kretanje po tangenti na putanju, konstantnom br-.
zinom v.
82 3.3. Kretanje medusobno vezanih tela Razmotrimo kretanje tela koja su medusobno povezana nerasreglfujm kanapom duzine / (sl. 34). Neka su mase ·tela respekrivno _171k®f,m, a-masa kanapa i kotura moze se zanemariri. Sile rezine i orpora podloge koje deluiu na tela 1 i 2 medusobno se uravnotezavaju a normalne su na pravac pomerania
y
X
QJ Sl. 34
tela, pa ne uticu na ubrzanje sistema (sile trenja su zanemarene). Akti\·na sila
-
-
pod cijim se dejstvom sisrem ubrzava je sila teze Qa=mag. Posto je kanap nerastegljiv onda ce brzinJLi ubrzanje svi~si.Sierna-imati isre brojne vrednosti. Ovaj uslov moze se-predstavili jednacinama veze naznaceni koordinatni sistem:
za
xa=O
Yt=O, y2=0,
}
1.~~-::-~21 +__1~2l_i IY3 L==!· JednaCine kretanja za pojed.inacna tela bice:
dv
mt-=Nt dt
dv
m2- =N-Nt
dl
I
(3.3.1)
(3.3.2)
dv =Oa-N. J rnadt
-
S obzirom na jed.nacine veze (3.3.1) mo:Zemo napisari jednacinu kretanja celog sistema u obliku:
dv
(m1+mz+ma) dl =Qa=mag,
(3.3.3)
83 odnosno a·=
m3
1111
+ m ..• '
..L
m3
(3.3.4)
g = const .
Analiziranjem jednacina (3.3.2) i (3.3.3) zakljueujemo da su to jednaeine
--
-
kretanja istog sistem-a. Sile zatezanja kanapa N i N 1 imaju ulogu ~iill .. : _s_~lll:i ne uticun~_l!Qrz~_k.s.istema. One se mogu odrediti iz jednacma (3.3.2) · ·· ako se prei:hodno odredi ubrzanje iz jednacine (3.3.4). U prva dva navedena primera sile rcakcijc veze kao spoljasne su karakterisale trajektoriju kretanja tela a u trr~em su, kao unutrasnje, odredivale sile zatezanja izmedu tela sto znaci da su sile reakcije veze ravnopravne sa silama i mogu igrati razlicitu ulogu pl'i prinudnim kretanjima.
4. Dinamika relativnog kretanja materijalne tacke Do sad':! smo razmotrili meh,mi~ke zakone kretanja materijalne tacke u odnosu na jedan inercijalni koordinatni sistcm odreden prcma Newtonovim zakunima. Postavlja se pitanje, d'l li dinamicki zakoni utvrdeni za inercijaini sistem va.Ze i za neki neinercijalni sis tern? Ovo pitanje je utoliko vaznijc posto znamo da se Zemlja ubrzano kre~e i da svi koordinami sistemi vezani za nju su neinercijalni. Da zakoni kretanja tela za\·ise od vrste koordinatnog sistema mozemo se uveriti sledeCirn oglcdom. Zamislimo da smo neko telo mase m ...,obesili o . elasticnu oprugu uc\·rscenu za tavanicu lift~dslika 35). 'utreiilitku kada
y
Y'
OA Sl. 3S
~
--
........,
X
84 lift (sistem 0') miruje u odnosu na Zemlju (nepokretni sistem 0), obeseno telo svojom teZinom isteze oprugu sve dok sila elasricnosri opruge ne uravnoteZi. teZi.nu tela, tj.
F=Q=mg.
(4.1)
Ta ravnoteZa. bice identicna za oba posmarraca, koji se nalaze u koordinatnim sistemima 0 i 0 '. Pretpostavimo li da se lift krece ubrzanjem--=--.fl.l~Jverrikalno nani.Ze), u ovom slueaju za posmatraca u liftu (~oordinatni sistem-o-;relo J:ili:rtije-pa-se-s~je dejstvuju na njega i dalje nalaze u ravnote:Zi. Medurlm, za posmatraea koji ~£efiil)i (nep·orren·n- J
d2y - m - =-Q+Fl
(4.2)
~------~--·
gde je F1 nova vrednost sile elasticnosti opruge, uslovljene kreranjem tela, a prema-jednacini (4.2) imamo
\Ft=mg-ma~=m (g-a~).
(4.3)
----·
}:---~----
Uporedivanjem jednacina (4.1) .j (4.3) mozemo zakljuCiti da je F>F1• Dakle, vrednost elasticne sile opruge F kao mere tezine tela u nepokrernom si.Sremu 0, razlicira ;e--o~osr[F~u"1i6rn.t10itrslsremu 0 ~specijal~om sluClijiCkaaaot se lift kretao ubfZaiijem a.-;;;g {sl06odno padanje) elasticna sile opruge _F1 ~. tj. pri takom kretanju-11fiii' telo ne bi vrs_iLo deformaciju opruge, odnosno_teloJl(!_ bi pritiskiv_l!,io_ na kukuop_r_11ge iii pod llfia.-TZ:ovog zamisljenog ogleda treba·aa zakljucimo dve cinjenice:-afdlriamickizakoni .lg'etanj~i~~Qg_~re ko_Q!'Q._inatnog_s_istema i b) tezinu tela_treba razlikovari _0.~-s~le teze. Pod tetinom tela podrazumevamo rionl1alnu silu- I
o'.
4.1. Galileiev princip relativnosri. Inercijalni koordinantn.i sistem Pretpostavimo da imamo dva inercijalna koordinantna
sistem~LO' ~lika ~6).
Neka se sistem 0' krece pravolinijski i konstantnom brzinom vo=consr u odnosu na sistem 0. Odredimo karakteristike kretanja tacke A u odnosu na oba koordinatna sistema. Polozaj racke A u odnosu na koordinarne si_.,.-
--
......,.
-
steme 0 i 0' je odreden jednacinama r=r(t). i r'=r'(c') a polozaj racke 0' jednaCinom r~=ro(c) (slika 36). Kretanje racke A u odnosu na koordinam~ sisteiJ! 0 nazi\fa.se-apsol.gmo .au odnosu na 0' -----------------rel:.nivno. Kreranjep.oce.rka -----. .--· -·-koordiiJ.Il!Jl.Qg_sistema 0' u ad~ na sistem 0 naziva se prf!~· Pomenuri pojmovi imaju relativno znacenje, Jer sal:inematlcke tacke gledista pomenuti koordinatni sistemi mogu zameniti uloge. Prema slici 36, medu pomenurim vektorima polozaja postoji relacija u obliku -~
-
r(t)=ro(t)+r'(t')
----
--
--
(4.1.1)
85 iii u skalarnom obliku: x (c)=xo (c)+x' (c');
y (t)=yo (c)+y' (c');
z (t)=zo (r)+z' (t').
PretpostavljajuCi da se intervali vremena izmedu dva ista dogadaja u sistemima 0 i 0' poklapaju tj. tlt=tlt' ili t=r', pa se gornje relacije mogu izra~ - ·· -- ziri i u obliku:
--
-]
'-
r=v,o t+r'
(4.1.2)
l=l
i nazivaju se ~ejevim transformacijama. One omogueavaju odredivanje koordinata pokretnog tela u proizvoljnom- intercijalnom sistem•J ako su iste poznare u jednom od njih, u odnosu na koji se izabrani sistem krece brzinom vo=const. __.;)
c,J-o
A
y' y
X SI. 36
Drugi deo jednacine (4.1.2) ukazuje da postojr samo jec!.n.o · - · ·· inercijalnirri sistemima.
yr.~rn_e_u
svim
Diferenciranjem jednacine (4.1.1) po vremenu dobijamo d r = d ro dt dt
+ d r' , dt
odnosno (4.1.3)
v=vo+v'
gde je v brzina tacke A u odnosu na sis tern 0, a v' u odnosu ------------
·--
r~--·- ..
..
na_ 0' i vo __, I:Jg;_ina -
-··
sistema 0' ~S.l!_na sistem 0. Odnosno, apsolutna brzina v tacke A jednaka ------
.
---·------~
...,.
.._.,.
je vektorskom zbiru prenosne brzine vo i njene relativne brzine v'. S obzirom
86 cia je vo=const, onda ako je apsolu;na brzina v konstanta onda ce i njena
-
relativna brzina v' biti takode konstanta. Diferenciranjem jednaCine (4.1. 3) do hi jamo, dv dvo dv' -=-+
de
de '·
de
a posto je vo=::.const, onda je d vo =0, pa poslednja jednaCina dobija oblik · de dv
dv'
de
de
ili
(4.1.4)
a=a',
sto znaci da dva posmatraca koji se nalaze u dva inercija!na. sistema 0 i 0. uvek ce konstatovati dl su ubrzarlja_posm'ltr:mih tela...u....n.jima_jednaka. Na osnovu ovih razmatranja svojstva osnovnih fizickih veliCina u inercijalnim sistemima su sledeea. Vreme tel:e u oba inen;ijalna sistema 0 i 0' jednako r = c'. U klasienoj mehanici masa tela je konstanma i ne zavisi od koordinamog sistema u kome se nalazi, pa na osm)\"U toga, ona je nepromenljiva i u inercijalnim sistemima tj. m=m'.
(4.1.5)
Dalje, rastojanje izmedu dve tackc pusmatrano iz dva inercijalna sistema u istom trenutku vremena je isto, i nc zavisi od inercijalnog sistema u kome je
- -- --
posmatrano. Na primer, neka su vektori polozaja r1, r2 i r1' r 2' dve uocene taCke I i 2 u inercijalnim sistemima 0 i 0 '. Onda na osnovu jednacine (4.1.2) mozemo uspostaviti sledece relacije: r1=voe+r1' r2=voc+r2' Razlika gornjih jednacina daje: TJ-T~=rl' -T2
jJi
TJ,2=rh2>
(4.1.6)
tj. relativno rastojanje dve tacke je isto u svim inerc;:ijalnim sistemima u istom trenutku vremena·.· Diferenciranjem jedancine (4.1.6) po vremenu dobicemo v~oz=v'1,2
(4.1. 7)
tj. da je i re1ativna brzina dve materijalne tacke ista u dva inercijalna sistema, merena u istom trenutku vremena, u klasicnoLiri~fia_iii_Ci:·Prema-jFcinacinama od ( 4 .1.2) do (4.1. 7)pomenute·fiziclCe·velicine su jednake u dva inercija1na sistema ukoliko su istovremeno merene iii kons'tantovan·e. za merenje iii konstantovanje nelce velicne moramo se Jcoristiti nelcalc\·im signalima, koji se prostiru
87 izmedu uocenog objekta i posmatraca. Ukoliko je brzina prostiranja upotrehljenih signala konacna,.. onda je uvek potrebno neko vreme da signali predu rastojanje izmedu posmatraca i objekta, sto znaci da informacija koju dobija posmatrac o nekoj velil:ini kasni. lstovremena informacija o · jednoj velieini iii dogadaju u dva inercijalna sistema je moguca samo ako je brzina prostiranja signala beskonacno velika, sto se precutno i pretpostavlja u Galilejevim transformacijama. Iz do sada poznatih eksperimenata, signali sa takvim svojstvima ne postoje, usled cegll i Galilejeve transformacije imaju aproksjmativnu vrednost, za ona kretanja sistema.kada. su im brzine_ male u odnosu·.na ·br:z;1rie~ignala. Ova ogranicenja su i granice vazenja osnovnih zakona klasi[ne mehanike. Razmotrimo ponasanje dinamickih velicina pri prelazu od 0 ka 0'. U klasicnoj mehanici sile uzajamnog dejscva materijalnih taeaka zavise samo od njihovih relativnih polozaja, brzina i vremena tj. F=F (r, v, l) (vidi: glava IV, jednaCinu 1.5.4). No s obzirom na jednacine (4.1.6) i 4.1.7) te velicine ne zavise od izbora inercijah~og sistema ,pa se moze zakljuCiti da i sile uzajamnog dejstva dve materijalne tacke takode nece -zavisiti od izbora inercijalnog sistema. Isti zakljucak sledi i iz jednacina (4.1.4) i (4.1.5), odnosno
F=ma F ' =m ' a '
is obzirom da je m'=m i a'=a, onda sledi da je
F=F'.
(4.1.8)
Sto znaCi, da su u svim inercijalnim sistemima zakoni dinamike jednaki. Drugim recima kretanja tela u nekom sistemu (vagon) koji se krece ravnome.rno i pravolinijski odvijaju se na isti nacin kao da taj sistem (vagon) miruje. Ovaj zakljucak se moze izraziti i na ovaj nacin. Nikakvim mehanickim ogledima izvrsenim u nekom inercijalnom sistemu nije moguce ustanoviti da lise taj sistem nalazi u miru iii ravnomernom pravolinijskom kretanju. Prema tome, svi inercijalni sistemi su ekvivalentni. Ma koji od njih mo:Zemo smatrati da je u miru, a da se svi ostali .krecu u odnosu na njega pravolinijski i konstanmom brzinom. Ovaj zakljucak naziva se Galileiev princip relativnosti, na osnovu kojeg smo dosli do fundamentalne hipoteze. Osnovni mehanicki zakoni formulisani su na isti nacin za sve inercijalne sisteme.
4.2. Neinercijalni koordinatni sistem
'-
Neka su dati koordinatni sistemi 0 i 0' i posmatrana ta&a A kao na slici 37. Pretpostavimo da je sistem 0' neinercijalan tj. da se moze proizvoljno kretati u OdJ}9.§.1LillL.neJlOkreffilsis tern 0. Treba naCl karaktensnke nkretanja rtf:i(eri)alne tacke A u odnosu na neinercijalni sistem 0'. Proizvoljno kretanje neinercijalnog sistema 0' u odnosu na 0, mozemo rastaviti na njegove kom-
-
ponente: translatorno i rotaciono (na primer oko ose z' ugaonom brziuo111_c.i). Iz vektor'SKog ttougla OJ!~ ~ika 37) postavimo relaciju:------r=ro+r',
(vazi za svo vreme kretanja)
(4.2.1)
88 Razloiimo vektor r' na njegove komponente u sistemu 0' pa cemo imati:
(4.2.2)
r'=x'i'+y'j'+z' k',
gde sui', j' i k' ortovi koordinamih osa sistema 0'. Ako se uocena tacka A krece u odnosu na sis tern 0' koji se pak proizvoljno krece u odnosu na sis tern 0, onda ce se njen vektor polozaja r', menjati i po intenziteru i po pravcu rj. menjace se njegove komponente x', y', z' po velicini a njegovi ortovi i',j' i k' po pravcu. S obzirom na jednacinu (4.2.2) jednacina (4.2.1) moze se napisati u obliku
··-----
(4.2.3)
r=ro+x' i' +y' j' +z' k'
Vt
Y' y
Sl. 37
Brzina materijalne ta(!ke pri relativnom kretanju. Diferenciranjem jednacine (4.2.3) po vremenu dobijamo:
dr _dro +(dx'-:;+dy'-:;+dz'-k')+( ,di'+ ,dj'.+ ,dk') -1 -7 x - y - z de at de de . dt de dt de
---
gde su:
~ =v, dt
apsolutna brzina tacko A u odnosu na sisrem 0,
d ro =vo, apsolutna brzina tacke 0' u odnosu na sistem 0.
dl
(4.2.4)
•• •• •- ••
~f'o.o,,...,;iMTiliii:;..-.-;.•-c",''"'c~...----
89 Rezultat diferenciranja vektora r' u odnosu na sistem 0, daje dve komponente brzine i to: dx'- d ,_ d ._. (4.2.5) ' "'+ -yJ"'+ z k' v=-1 , dt dt dt
---
koja predstavlja brzinu ta~ke A u odnosu na nepokretne ortove i', j', k' sistem a 0 ', ta brzina je ustvan relativna brzma ~ brzine, jednaka: -
' d j'
' d i'
' dk'
v,.=x - - +y -- +z - , dt dt dt predstavlja brzinu
ta~ke
A pri k_QnsctaoJnim komponentcama-~- z' ali
-- -
promenljivim po pravcu otvorima i', j' i k', tj. odreduje prenosnu brzinu 19"_!:t31)ja ctacke- ilsled rotacije sistema 0 '.c c ------S obzirom na Poissonove transformacij: [(vidi glava III, jednacinu (3.6)], druga komponenta prenosne brzine mo~e se napisati u obliku: v,.=x' (w
X
i')+y' (w xj')+z' (w
lznoseCi ispred zagrade
X
k').
zajedni~ki
vektor w, dobijamo
v..-.=
(4.2.6)
iii s obzirom na sliku 37: V,.~_(o)X
(4.2.7)
(r'_z+p)=w X p,
jer su vektori w i
r;,
-
kolinearni.
Iz jedna~ine (4.2. 7) razumemo da brzina v,. predstavlja brzinu zavrsetka vek~
------
tora r' u odnosu na sistem 0, odnosno li.ne.arnu_br:zinu__l"Q~Cionog kretanja
-
~a~ke:A koja_pr.ipad-a-sis~~-Y.elm~.LP~J~~aj _r'. Drugim rec~: v,. )e brzma u oiinosu na nepokretm s1stem, 0, ah 1e pro11zrokovana rotilCIJOm neinercijalnog sistema 0 '.
Imajuci u vidu gore uvedene oznake za pojedine komponente brzina, jednaCinu (4.2.4), koja predstavlja analiticki izraz teoreme o slaganju brzina, mo~emo napisati u obliku,
-- -
v=vo+v.. +v'.
(4.2.8)
-
Vektorski zbir vo+v,.=vp_ naziva se prenosriom brzinom, jer odreduje brzinu prenosnog xretanja ta~ke A. Ova prenosna brzmaima dve komponente, brzinu translatornog kretanja koordinatnog pocetka 0' i brzinu prouzrokovanu . rotacijom koordinatnog sistema 0' ugaonom brzinom w, 6ji vektor prolazi
-
'3U
kroz poeetak koordinatnog sistema 0'. Sag1asno ovakom ozmlcavanju brzina jednaCina (4.2.8) imace s1edeCi oblik v=v:~~+v'. -----
(4.2.9)
Apaolutna brzinn ta¢ke A, jednaka je vektol·skiJm zbiru njene prenosne i ----re1ativne brzine.
l;~drefati.vnog
vektora u odnosu na ncpokretni sistem. U jednacini
(4.2.4) izrazi u zagradama predstavljaju izvod relativnog vektora polozaja r' tacke A koji zavisi od vremena, u odnosu na nepokretni sistem 0. Ako ovaj iZ\·od obele:limo sa
(dder')o , on. s~drzi
dva c1ana: izvod is tog vektora u
odnosu na neinercijalni sis tern 0 ', koga mozemo obe1eziti sa
(dr') =;; de o·
i c1ana izra:Zenog u ob1iku w X r'. Dak1e, izvod re1ativnog vektora po1o·zaja u odnosu na nepokretni sistem O· mozemo napisati u s1edecem ob1iku
(d-dcr')o = (d-dcr')o· '
...Lwxr
,'
(4.2.10)
Izraz (4.2.10) vazi i za proizvo1jan re1ativni vektor q koji zavisi od vremena, pa u opstem s1ucaju mozemo napisati
(ddcq) o = (ddcq) o· +w q.
(4.2.11)
X
Obrazac ( 4.2.11) daje nam vezu izmedu apso1utnog i re1ativnog izvoda rna kakvog veJ..."tora. Ubrzanje materijalne tacke pri relativnom kretanju. Da bismo odredili ubrzanje m-aterijalne tacke u relativnom kretanju diferencirajmo jednaCinu (4.2.8) po ,·remenu, vod-::ci racuna o jednaCini (4.2.6) i (4.2.11) dobicemo:
smatrane tacke. Izraz ao+a. X r' +w X (w X r')=apr predstavlja erenosno
'
.
ubrza11je. Ono ima dve komponente: ao je ubrzanje translatornog kretanja sistema 0' u odnosu na sistem 0, a ubrzanje a. x r' +w X (w x r') proisti('.e kao
---
p()sledic~ r~tacij~~O~.-- Izraz 2w ~ v~:;=a •. naziva se ~()!]_Q_i!~y_o__ubr,_ zanje-koje je_prO!gJQ_k().Y~!l_o_lst.Q~tiv.nin:l_jcr_etanjem u~ene _tacke L9J:ii:_tnim kretanjem sistema O'~_-Na-os'i1ovu gornjih razmatranjiidfea~- nacinu (4.2.12) mozemo napisati u obliku:
(4.2.13)
a=a' +avr+ac.
Sto znaci da je ukupno ubrzanje materijalne tacke A u sistemu 0 jed,nako
-
-
-
vektorskom zbiru relativnog a', prenosnog apr i Coriolisovog ac ubrzanja. -J.
Diferencijalna jednacina relativnog kretanja. Kretanje materijalne tacke u odnosu na nc;Lnerc_Ualni koordinatni sistem 0' opisano je jednacinom
r'=r' (t).
(4.2.14)
Diferencijalna jednacina kretanja, koja odreduje relativni vektor polozaja r', dobija se iz osnovne jednacine dinamike (II Newtonov zakon):
-
(4.2.15)
rna= ,4:Ft.
Ako se apsolutno ubrzanje a zameni izrazom ( 1.2.13) dobijamo
m(a'+apr+ac)=
L" -Ft, i-=-1
od"lkle diferencijalna jednaCina . relativnog kretanja dobija oblik n _..
rna'=
L F 1 -rnap,-mac,
(4.2.16)
i-1
iii u eksplicitnom obliku s obzirom na jednaCinu (4.2.12), \
!
.J2 r'
111d£ 2
2
=
d ro - .L;" -Ft-m---ma.xr'-mwx{wxr')-2mwxv'. 2 d£
i-1
Ako znamo silu
L:n F, i~l
(4.2.17)
.
koja dejstvuje na cesticu, ~ocetne uslove kretanja ce-
stice i prenosno kretanje sistema 0', onda re§avanjem gornje jednacine dobicemo relativni vektor polozaj r' u funkciji vremena t, koji i predstavlja konacnu jednacinu kretanja uocene tacke. ,
,uzajamnog__~jsJYJLuoc.en~ tafre~sa.drugin:t.!I!~~I!!:l· Posmatrac u i@:r_
Ln -F,.
Po njemu na_ i_sru materija1nu tacku deluju
i-=\
jg§ dod.atne sile, izrazene ~lim c1anovima jednacine (4.2.17), Cija ve1icina zavisio£rzilkona!Crei:anja-neinercija1nog sistema 0' u odnosu na inaercijalni 0, i koja se nazivaju si!!lffia inercije,. Drugim recima drugi Newtonov zakon za dva posmatraca koji -se -naTaze u razliCitim sistemima ima razliCit ob1ik, · -- -- ----~ - -~-~- ---- shod.QQ_jednacinama (4.2.15) i (
---
-------------
Sile inercije nemaju uzrok u nekom uzajamnom dejstvu, vee one potiCIJ samo od zakona kretanja s_amog.neiru:rcija1nog sistema iz l::oga se vrsqJosmatranje ktetalifa -uocene-rnaterijalne tac~Zapo-smatraca u- neinercijalnom- sistemu inercijalne sile predstavljaju realno dejstvo na kretanje uocene tacke, pa je njeno kretanje izrazeno diferencijalnom jednaCinom oblika (4.2.17). Prema tome sile inercije su svojstvene neinercijalnim sistemima, a ·to znaci da u ~-"·--·----'------_:___
slueaju
______
~-----
L F, =0, kretanje materija1ne tacke u odnosu na
inercija1ni sistem 0
i-t
ce biti inercija1no, tj. ravnomerno pravo1inijsko, dok ce istovremeno isto to kretanje iste materija1ne tacke u odnosu na neinercijalni sistem biti promenljivo tj. neinercijalno. Prema jednacini (4.2.17) inercijalne si1e izra:Zavaju se preko cetiri njena pos1ednja clana. Prva tri od njih zavise iskljucivo od zakona kretanja neinercijalnog sistema 0' u odnosu na inercijalni 0 pa se zajedno nazivaju prenosno~ s!!_~_!l!_iru;x:c!je - -
F 11 r= -mao-m c:t X r' -m w X (w Prvi clan -
X
-
(4.2.18)
r').
mao potice od translatornog kretanja sistema 0' u odnosu na
sistem 0. Drugi clan -
_,.
m c:t X r' potice od promen1jivog rotacionog kretanja
- --
osu rotacije, a treci clan - mw x (w x r') potice od rotaciQ!log_!c:J:etanla_siSieiiiilO' ol<_q_ ~s~ r9t_acije j_na~iva se centrifugalna sila iJte!cije. Na kraju, poslednji ~Jan jednacine (4.2.17)-pofice--od-iswvremenog lcreranja neinercialnog sistema 0' i re1ativnog kretanja materij~h11!racKe-l naziva·-se-€orioltsova""'Si!ainercije.-----·------------ ---------
si~efila (,f .JLQ.~ na
Fe=- 2mwxv'. Sile inercije razlikuju se od sila uzajamnog dejstva (elasticne, e1ektril:ne, gravitacione, trenja) i to: /I
- sile inercije nastaju kao posleqica ubrzanog kretanja koordinatnog sistema i za njih_~e ~~ treci Ne\\'{Onov zakon,
--
·-
""•
~,..
-·.::-,.,..;~.-~(plio-iai;i........
....
;·
- ... ~ ....-~;;;~-;;-,.-.., . , . - - - - - - -
~~ - sile inercije dejstvuju na telo samo u neinerci;alnom sist_emu, u inercijalnim sistemima ovih sila nema, -"- za svako telo k
-_r-ill~- inercije
su proporcionalne masi tela.
Pravolinijsko jednako promenljivo kretanje sistema 0' u odnosu na sistem 0. Uslovi za ovako relativno kretanje materijalne taCke bice:
.
L -Fi=O
-
i w =0. Dakle, na marerijalnu tacku ne dejstvuju_spoljasnje sile uza.,.
i=l
iamnog-dejstvi-a rreinercijalni sistem.O~-ne.vrsi_r_Q__tacionQ_kret~nje. Na osnovu pomenutih uslova i iecinacine t 4.2 17) diferencijalna jednacina kretanja materijalne tacke bice: d 2 r'
(4.2.19)
m - =-mao. dt 2
-----------------Kao primer ovog kretanja posmatrajmo utic_aj_ubrzanja sistema 0' na kretanjc -
materijalne tacke koja se nalazi u njemu. Neka je nepokremi.-Sisreil__Y.~zan za :Zeleznicke sine a pokretniO'-za vagoriu ko_mc:_se.na.honzontalnoj.i glatkoj (!J-•,;0) p<:)liC:i__ nalazi loptica __ }l; (slika 38). ·
y
Y'f I I
Oo
I
--
-mao
Oc!,.l\
\.-)
\WJ
---
• XX'
Sl. 38
Pretpostavimo sad da je vagon dobio konstantno ubrza_nje ao=const u pravcu i 5meru kao na slici 38. Kako ce izgledati kretanje loptice A u odnosu na pomenute koordinatne sisteme, odnosno za posmarrace koji se nalaze u njima? Za ~o_s_rll~~~~~u sistemu O_(~c:!_.__sin_e)joi>~a u odnosu na ovaj sistem miruje iii se krece konstantnom brzinom v=con~k u zavi~sr od p~ih uslova kretanJa vagona, jer na nju ne C1elufu m akve sile (izuzev sile t_~-~-i si~{e R>dlog-eKojefedna drugu uravno-re-zavaju}:"No kako se sistem 0' (vagon) krece ubrzano -sve-brte-i-br~t""J~p!!ca--ce ~~os~ja_ti___9!1 vagona i potecc a:~::)'JI~ilili_cz~o_::_-p_OlfcliLSmem supiomoril-od--kretanja_ vagona.
94 Posmatrac koii se nalazi u sistemu 0 '__ (ya~pnu) klizanje loprice po podl()z_i pQj~njava
dejstvom jedne silc F1 koja j.Qi saogstava _g_brzanje - ao u odnosu na vagon;-cstika Jsy.--o\·a-sira--w;amo-racta se uvccte u neli1erc!Tafnom-Sisremu o, ·a"i"bi unjemu vazio drugi Newrunov zakon naziva se inen.:ijalna sila. Kretanje loprice u odnosu na sis rem 0' bice opisano di fcrenci)[ifilom- jednacinom oblika. d 2 x' m - - =-ma 0 z. dt 2
Predpostavimo sad da je loptica na polici vagona vezana za njega elasricnom
-
opru~o~
-···---
(slika 39). Usled dejm·a inercijalne sile F1, elasricna opruga ce se
rastezati sve dok
~lasricpa
-
-
sila opruge F., ne usposravi ravnorezu sili F, rj.
-F1=Fe~. ---------------~
(4.2.21)
Drugim reCima: ___?pruga vuce lopticu ~iloll:'l F_!t _l<_oj~_i!fl_a_isti s~_er_ kao i. ubrzanje vagona ao. a intenzitet joj je jednak mao gde je m masa loptice. Posle u,sposravl)an)a)ednakosiiT4T2Tr lopr"!ca--ce pono-\•o-oirr i.imrruu -octnosu na sistem 0' (vagon). U tom slucaju, po drugom New:onovom zakonu, zbir sila __koje~dejstv-uju na lopticu je jednak nuli. Ovaj uslov je ispunjen pak u tom slucaju -
------------·
_f.t,
ako se uzme dana lopticu dejsrvuje inercijalna sila:
F;'i
.
-samo
smatra da ona,_uramo-
teiava silu kojom opruga vuce lopticu. Ovaj eksperiment u isto Heme pokaiuje- !Cako se mogu meriti inercijalne· sile.
95 Kretanje materijalne tacke u relativnom sistemu koji rotira. Centrifugalna sila inercije. Razmotrimo kretanje materijalne tacke A u odnosu na relativni sistem 0' pod sledeCim uslovima: w=const; t•o=O; v'=O i r' l_w. Go-rnjim uslovima odgovaralo bi krwtnje materijalne tacke A, koja je vazana nekim kanapom koji je prisiljava da miruje u odnosu na nivnomerno rotirajucu plocu, oko nepokretne ose z' (slika 40). Koordinatni pocetci nepokrernog 0
x'
Sl. 40
i relativnog 0' sistema kao i njihove z i z' ose$--P-Oklapaj_u; Diferencija!na jednacina relativnog kretanja prema jc;dnacini (4.2.17) d.obija oblik:
(4.2.22)
O=F-mc.u X (c.u X r') -~-.-~---
.
,
gde Je za v =0
- -
----
-
. -, 1
d2r'
.
izraz w x (c.u x r')=
.
.
a = - · - =0. Posto Je zbog normalnost!vektora r
- _____(j_]~----
-
~.
-
, .
1 c.u
dobijamo
F+mc.u2r'=O.
(4.2.23)
U odnosu nBJ2_okr.etnLkoor9_iDat_!!~ sistem 0', materijalna taCka, k~ srn_a.!I'_ac_nalaze_se-u-miru, pa jednac1ila(4:2:23) p~Vl)liUSIOvza ravnotdil foaterijalne tacke u neinercijalno!!! _s!g~ll}U. Po zatezanju kanapa posmatrac konstatuje__r,ej_nilL~riJalne 'iacke da se udalji od centra obrtanja pod dej-
-
·---
----
·---~
stvom neke~1 r.f> koja ima pravac i smer poluprec!likl!-__!.1~ i koja napada uocenu taC!ru,Siil
--
