Predavanja Iz Fizike 1-Mehanika

SADRŽAJ KOLEGIJA Program je usklañen prema principima principima Bolonjske deklaracije.

VISOKA TEHNIČKA ŠKOLA PULA POLITEHNIČKI STUDIJ

PREDAVANJA IZ FIZIKE 1 PRVI DIO MEHANIKA KRUTOG TIJELA I MEHANIKA FLUIDA MMVIII

OBVEZE STUDENATA Osnovna obaveza studenata je redovito sudjelovanje na nastavi, rješavanje školskih i doma ćih zadaća i polaganje meñuispita. PROVJERA ZNANJA TIJEKOM SEMESTRA Provjera znanja provodi se kontinuirano tijekom čitavog semestra na satovima numeričkih vježbi, školskih i doma ćih zadaća i meñuispita. Sudjelovanje na nastavi Prisutnost na nastavi i vježbama student potvrñuje potpisom. Izuzev dugotrajnih opravdanih odsustavanja ostala odsustva od nastave i vježbi mogu se opravdati do 30% od ukupnog broja planiranih sati nastave i vježbi. Redovito sudjelovanje u nastavi nastavi = 5 bodova (5%).

Uvod Fizikalne veličine, mjerne jedinice, SI sustav mjernih jedinica Kinematika Kinematika materijalne materijalne toč točke, pravocrtno gibanje, kružno gibanje, složena gibanja Dinamika, Newtonovi zakoni, masa, sila, impuls sile, sile, količina gibanja, Energija, rad Centralne sile, gravitacijska sila, gravitacijsko polje Mehanika fluida, Pascalov zakon, hidrostatskit lak, barometarska formula, uzgon Dinamika fluida, stacionarno strujanje, jednadžba kontinuiteta, Bernoullijeva  jednadžba, viskoznost, laminarno i turbolentno strujanje, Reynoldsov broj Toplina, toplinske promjene krutih tvari i tekućina, plinski zakoni, jednadžba stanja idealnog plina, prijenos topline, vo ñenje, strujanje, zračenje, Fourieov zakon, Osnove termodinamike, funkcija stanja i funkcija procesa, termodinamički zakoni, toplinski kapaciteti za jednoatomne i dvoatomne plinove, kružni procesi, procesi, stupanj iskoristivosti, entropija, Kinetičko molekulska teorija, tlak, temperatura, promjena agregatnih stanja

Školske zadać zadaće Školske zada će organiziraju se u obliku rješavanja numeričkih, problemskih ili logi čkih zadaća koja nisu unaprijed najavljena. Zadanih pet zadataka rješava se za vrijeme od 15 minuta. Tijekom semestra planira se pet školskih zadaća. Sadržaj školskih zada ća: 1. zadaća – pretvorba mjernih jedinica 2. zadaća – kinematik kinematikaa materijaln materijalnee to čke, gibanja po pravcu: jednoliko, ubrzano, slobodan pad, kružna gibanja; 3. zadaća – dinamika materijalne to čke, sile, gibanja u gravitacijskom polju, rad, energija, snaga; 4. zadaća – mehanika fluida, Stevinov, Stevinov, Pascalov, Arhimedov zakon, uzgon, 5. zadaća – plinski zakoni, toplina, zakoni termodinamike, termodinamike, Carnotov kružni proces, entropija Od druge do pete školske zada će rješavaju se nakon što je ispredavano gradivo, a prva s e zadaća rješava na početku akademske godine odnosno do kraja mjeseca listopada Tijekom rješavanja školske zadaće nije dozvoljena upotreba Promemorije fizikalnih formula, drugog pisanog materijala i mobilnog telefona. Dozvoljena je upotreba kalkulatora. Točno i potpuno rješenje pojedine zada će donosi 2 boda, a nepotpuno rješenje vrednuje se proporcionalno tomu. Student koji nije rješavao ili je neto čno riješio pojedinu zada ću istu ne mora ponavljati. Toč Točno rješenje svih školskih zadać zada ća = 10 bodova (10%).

1

Raspored i sadržaj meñ meñuispita: Domać Domaće zadać zadaće Domaća zadaća može biti u obliku numeri čkih zadataka ili zadanih odnosno sa mostalno odabranih seminarskih tema. Rješenje numeri čkih problema ili seminarskih tema student priprema i prezentira ostalim kolegama u Power Point formi s projekcijama. Tema seminara može biti i iz gradiva koje još još nije ispredavano. Pojedina Pojedina prezentacija ne može trajati duže od 10 minuta. Tijekom semestra planira se po jedna doma ća zadaća za svakog studenta. Domać Domaće zadać zadaće = 15 bodova (15%). Meñ Meñuispiti Svaki od tri planirana meñuispita ima 10 zadataka s po četiri ponuñena odgovora. Točan odgovor donosi 1 bod, neto čan odgovor donosi -0,5 bodova, neodgovoren zadatak donosi 0 bodova. Uspješno riješeni svi me ñuispiti sudjeluju u ECTS bodovima sa 40 bodova (40%). Nepotpuna rješenja vrednuje se proporcionalno tomu Prvi meñuispit donosi 20 bodova (20%), (20%), drugi me ñuispit donosi 5 bodova (5%), (5%), a tre ći meñuispit donosi 15 bodova (15%). (15%). Tijekom rješavanja zadataka na meñuispitu studenti ne mogu imati na raspolaganju raspolaganju Promemoriju fizikalnih formula, formula, drugi pisani materijal i mobilni telefon. Dozvoljava se upotreba kalkulatora.

2. meñ meñuispitodržat će se u tjednu od 5.12. do 11.12. Sadržaj : mehanika fluida, statika fluida, fluida, tlak, atmosferski tlak, barometarska formula, formula, Stevinov i Pascalov zakon, uzgon, Arhimedov zakon, dinamika fluida, stacionarno strujanje,  jednadžba kontinuiteta, kontinuiteta, Bernoullijeva jednadžba, viskoznost, laminarnoi turbolentno strujanje, Reynoldsov Reynoldsov broj. Točna i potpuna rješenja drugog meñuispita donosi 5 bodova, bodova, a nepotpuna rješenja vrednuje se proporcionalno tomu. Drugi meñ meñuispit = 5 bodova bodova (5%). (5%).

1. meñ meñuispitodržat će se u tjednu od 31.10. do 6.11. Sadržaj : pretvorba mjernih jedinica, jedinica, kinematika materijalne točke: gibanje čestice, srednja i trenutna brzina, ubrzanje, pravocrtno gibanje, jednoliko kružno gibanje: frekvencija i ophodno vrijeme, kutna i obodna brzina, kutno, radijalno i tangencijalno ubrzanje,  jednoliko ubrzano i usporeno usporeno kružno gibanje, složena gibanja, gibanja, vertikalni, horizontalni horizontalni i kosi hitac, dinamika dinamika materijalne to čke: Newtonovizakoni, Newtonovizakoni, masa, sila, impuls impuls sile, koli čina gibanja, relativnost gibanja: Galilejeve i Loretzove transformacije, princip ekvivalencije, sila, sila, koli čina gibanja, energija, potencijalna energija, kineti čka energija, zakon o čuvanja energije, centralne sile, gravitacija, gravitacijsko polje, gravitacijski potencijal, potencijal, troma i teška masa Točna i potpuna rješenja prvog meñuispita donosi 20 bodova, bodova, a nepotpuna rješenja vrednuje se proporcionalno tomu. Prvi meñ meñuispit uispit = 20 bodova bodova (20%) (20%)

3. meñ meñuispit uispit održat će se u tjednu od 23.01. do 29.01. Sadržaj : toplina, temperatura, toplinske dilatacije, toplinske promjene krutih tvari i tekućina, plinski zakoni, Boyle-Mariotteov, Boyle-Mariotteov, Gay-Lussacov, Charlesov zakon,  jednadžba stanja plina, Avogadrov Avogadrov zakon, plinska jednadžba, toplinski kapaciteti kapaciteti krutih tvari i teku ćina, promjene agregatnih stanja, prijenos topline, vo ñenje, strujanje, zračenje, Fourieovzakon, zračenje crnog tijela, Stefan-Boltzmanov Stefan-Boltzmanov zakon, Wienov zakon, Kirchhoffov Kirchhoffov zakon, kinetičko molekulska teorija, tlak idealnog plina, unutarnja energija, stupnjevi slobode, osnove termodinamike, funkcija stanja i funkcija procesa, prvi zakon termodinamike, osnovni termodinami čki procesi, izohorni, izobarni, izobarni, izotermni i adijabatski proces, drugi zakon termodinamike, termodinamike, Carnotov kružni proces, povratnost procesa i entropija, entropija u nepovratnim procesima, tre ći zakon termodinamike (Nernstov princip) Točna i potpuna rješenja tre ćeg meñuispita donosi 15 bodova, a nepotpuna nepotpuna rješenja vrednuje se proporcionalno tomu. Treć Treći meñ meñuispit = 15 bodova (15%).

2

ECTS BODOVI ZAVRŠNI ISPIT Završni ispit će se održati od 16. do 19. tjedna (1.02. – 28.02. 2009.)

Za kolegij Fizika 1 predvi ñena su 4 ECTS boda koji su raspodijeljeni ovako:

Pismeni dio završnog ispita: Pismeni dio završnog ispita sastoji se od pet numeri čkih zadataka. Tijekom rješavanja zadataka studenti mogu imati na raspolaganju Promemoriju fizikalnih formula i kalkulator. Nije dozvoljena upotreba drugog drugog pisanog materijala i mobilnog telefona. Broj bodova za pojedini potpuno riješen zadatak iznosi 5. Prilikom vrednovanja zadataka vrednuje se i postupak. Nepotpuna rješenja vrednuje se proporcionalno tomu. Pismeni dio završnog ispita = 25 bodova (25%).

- sudjelovanje u nastavi – 5 bodova (5%) - redovito rješavanje školskih zadataka – 10 bodova (10%) -redovito rješavanje doma ćih zadataka – 15 bodova (15%) (15%)

Usmeni dio završnog ispita: Usmeni dio završnog ispita sastoji se od intervjua sa studentom iz podru č ja programa kao i o širim op ćim temama iz podru č ja Fizike 1. Osnovni izvor studentu za pripremu tog dijela ispita su Pitanja za usmeni ispit iz Fizike 1 objavljena na web stranici www.politehnika-pula.hr. Usmeni dio završnog ispita = 5 bodova (5%).

- za uspješno položeni pismeni dio završnog ispita – 25% - za uspješno položeni pismeni pismeni dio završnog ispita ispita – 5%

-- za sve planirane uspješno položene meñuispite uispite – 40 bodova bodova (40%) 1. meñuispit 20 bodova (20%), (20%), 2. meñuispit 5 bodova (5%), (5%), 3. meñuispit 15 bodova (15%) (15%)

Bodovni prag za pozitivnu ocjenu je 40 bodova (40%).

Fizika je fundamentalna prirodna znanost. Naziv je grčkog podrijetla i znači priroda. Povijesni je naziv bio filozofija prirode

PREDAVANJA IZ FIZIKE 1

Značaj fizike za razvoj tehničkih znanosti temelji se na činjenici da su sva tehnička dostignuća proizašla iz rezultata istraživanja prirodnih znanosti, posebno fizike

PRVI DIO

Nazivani su 'filozofi prirode' svi mislioci koji su, u prošlosti, istraživali prirodne fenomene.

MEHANIKA KRUTOG TIJELA I MEHANIKA FLUIDA

Danas, 'filozofija prirode' odnosno fizika ima mnogo suženije polje istraživanja. Vremenom su se osamostalile druge znanosti i uže specijalističke discipline kao što je astronomija, geofizika, geologija, mehanika, astrofizika, meteorologija, elektronika, kibernetika, fizikalna kemija itd.

3

Što to rado i često zovemo “prirodom”? Φϋςγέ →     PHYSIS = PRIRODA, → PHYSIS

NATURA , NATURE

 fenomeni u  fenomeni u  mikroskopskom  mikroskopsk om  makroskopskom  makroskops kom  svijetu  svijetu (Svemir) (struktura tvari)  fenomeni u perceptivnom perceptivnom č ovjeka   (osjetilnom) svijetu ( č   )

č ar č  je ..Fizi č  ar istraživa č   je poput putnika kome neki neki sitni detalj što strši strši u krajobrazu može  može  ć eg biti orijentir koji mu pomaže da predvidi i nasluti vidik iza slijede ć  eg brežuljka.

Sunce, sa svojim planetarnim sustavom, sustavom, je prvi takav orijentir kada se upu ć  ujemo  ć ujemo  prema svemirskim prostranstvima u makrosvijet. ć emo ć ušnog, Kre ć  emo li u svijet si ć  ušnog, orijentiri su skriveni ljudskom oku i udaljeni od  svakodnevne percepcije i iskustva. Naše predvi ñ anje anje “krajobraza iza brežuljka” bit ć e  e  toliko pouzdano koliko je pouzdano naše poznavanje zakona fizike i kemije –   jedinog orijentira na koji se u mikrosvijetu doista možemo možemo osloniti. U spoznavanju zakonitosti iz “svijeta maloga” nije zanemarivo iskustvo iz “svijeta  velikoga”. Polazna postaja puta u mikrosvijet bila je upravo analogija s planetarnim  sustavom…(I Picek, Elementarne  č estice, estice, 1997.)

Planetarni sustav u nastajanju

Putovanje u mikrosvijet nalik je silaženju ljestvama (kvantnim ljestvama) sve niže i niže prema zadnjoj stanici mikrosvijeta odnosno početnoj pračestici od koje je prije 15 milijardi godina godina sve i započelo.

Rutherfordov model atoma, 1909. god. (nazvan i planetarni model zbog a socijacije sa gibanjem planeta oko Sunca)

Spuštanje kvantnim ljestvama od kristala do kvarka kvarka – i dalje dalje do Higsovog Higsovog bosona bosona

Ta hipotetička pračestica od koje je nastala masa poznatih poznatih elementarnih čestica elektrona, protona i neutrona prvi hipotezira škotski fizičar Peter Peter Higgs 1964. godine. godine. Budući da se čestica ponaša kao boson boson ( čestice koje prenose fiundamentalne fiundamentalne sile, prozvane po indijskom fizičaru Satyendri Satyendri Nathu Bose-u) Bose-u) fizičari je danas zovu Higgsov Higgsov boson odnosno kolokvijalno kolokvijalno “božja čestica”.

Higgsov Higgsov boson

4

Upućivanje u rad 10. rujna 2008.

Opseg akceleratora iznosi 27 km i prostire se na granici Švicarske i Francuske.

Simulacija modela Higgsovog bosona ( “božječestice”)

5

LHC – Large Hadron Collider - akcelerator ili hadronski sudarač čestica nalazi se u tunelu 100 metara ispod površina zemlje na granici Švicarske i Francuske. Tunel s vakuumom je dužine 27 km. Hadroni( grč. adros = jak) je subatomska čestica koja generira jaku nuklearnu silu. Hadron nije elementarna čestica nego je sastavljena od fermiona kao što su kvarkovi i antikvarkovi i bosonakao što su gluoni. Gluoni generiraju kromodinamičku silu koja vezuje kvarkove jedne s drugima. Brzina čestica koju se postiže u akceleratoru je 99,99 % od brzine svjetlosti odnosno čestica obiñe cijeli krug za 1/11 245 sekunde. U akceleratoru je instalirano 9600 velikih supravodljivih magneta na temperaturi – 271 0C ( svega dva stupnja ispod apsolutne nule) tako da je to najhladnije mjesto u svemiru. Cilj tog najskupljeg eksperimenta uopće (cijena 5 milijardi eura ili 9,7 milijardi dolara) je dokaz postojanja tzv. Higgsovog bosona ili pračestice stvaranja Svemira u Velikom prasku prije 13,7 milijardi godina. Higgsov boson je još popularno nazvan “božja čestica”

Ta čestica nazvana Higgsov boson dala bi odgovor o podrijetlu mase odnosno stvaranje materijalnog svijeta i potvrdu teorije o Velikom prasku. Teorijski su ga još 1964. godine predvidjeli britanski fizičar Peter Higgs, te Belgijanci Francois Englert i Robert Brout. Zbog neuhvatljivosti Higgsov bozon popularno je nazvan “božjom česticom”. Otkriju li fizičari idućih godina Higgsov bozon, bit će to veliki trijumf ljudskog uma, te fantastična potvrda Standardnog modela, fizikalne teorije za koju se smatra da najpotpuniji način opisuje materijalni svijet. Projekt su započeli 1989. godine nobelovci Carlo Rubbia, Chris Chris Llewllin Smith i Luciano Maini. LHC – hadronski akcelerator bit će pušten u pogon 10. rujna 2008. godine u 9,00 sati po srednjeevropskom vremenu.

Priča je započela prije 15 milijardi godina : Rubbia: Bing Bang non più solo teoria filosofica. «Fino a ieri il Big Bang era una categoria filosofica. Da oggi, invece, è un esperimento e al Cern è possibile simulare in maniera accuratissima le condizioni dell'universo nei suoi primi milionesimi di secondo». A spiegarlo il premio Nobel per la fisica, CarloRubbia. Le condizioni dell'universo così simulate verranno poi comprese, aggiunge Rubbia, «grazie alla filosofia naturale di Galileo Galilei». Il fisico avverte poi che «Lhc è una maratona, non una gara di cento metri. Oggi abbiamo dato il via, ma solo negli anni vedremo che cosa l'esperimento avrà da dirci». «Ora siamo prontia iniziare la parte scientific a - conclude Rubbia- ma risposte già scritte non ne abbiamo: dobbiamoora osservare la natura e leggere i suoi messaggi, sarà lei a guidarci versole tappe successive della nostra ricerca».

POVIJEST

SVEMIRA

sadašnjost

⇒ 15·109 godina ⇒ 5·109 godina

OVDJESMO MI

⇒ 109 godina Svemir postaje transparentam

fotonska epoha

⇒ 1013 sekunde ⇒ 102 sekunde

epoha elektroslabe sile

⇒ 10-10 sekunde

epoha velikog ujedinjenja

⇒ 10-34 sekunde

epoha kvantne gravitacije

Era u kojoj prevladava tvar

⇒ 10-43 sekunde

Era u kojoj prevladav a zračenje

6

Budući da je ljudska percepcija (s pet osjetila) vrlo ograničena, u ranom razvoju svijesti i znanja čovjeka prirodne su pojave najčešće pripisivane bogovima i drugim mitološkim bićima. Usporedne frekvencije čujnosti i glasnosti čovjeka i nekih životinja opseg čujnih frekvencija čovjek

Hz 106 105

pas

opseg frekvencija glasnosti mačka delfin šišmiš

žaba

   k   u   v   z   a   r    t    l   u

104 103 102

   t   s   o   n    j   u

        č

101 100

Najveći mislilac svih vremena Aristotel (384-322 pK) smatrao je nauk prirode kao skup učenja koja su obuhvaćala medicinu, zoologiju, botaniku, matematiku i astronomiju. U svom djelu Fizika objasnio je neke prirodne pojave. Meñutim interpretacija tih pojava bila je spekulativna i nije se oslanjala na matematiku. Smatra se da je, prema modernim etimološkim parametrima, prvi pravi fizičar bio Isaac Newton (1642-1727) unatoč tome što se njegovo kapitalno djelo zove Philosophiae naturalis principia mathematica, prvi pravi kemičar John Dalton (1776-1844) a prvi pravi biolog  Mihail Lomonosov (1711-1765).

   k   u   v   z   a   r    f   n    i

Danas je suvremena metodika znanstvenog istraživanja u prirodnim znanostima multimedijalno interpolirana tako da se i za moderne istraživače može, na neki način, reći da su filozofi prirode.

Prve grane istraživanja – geometrija, statika, optika, kalorika, mehanika astronomija i tehnologija - najuže su vezane sa svakidašnjim ljudskim radom kakav je odreñen biološkom strukturom i proizvodnom djelatnošću. No fizika nije ostala pri tom prvom stupnju. Otkrivši univerzalne zakone istraživači su prešli preko makroskopske stvarnosti i otpočeli pravu istraživačku pustolovinu.

Nove grane fizike elektrodinamike i atomistika ne izlaze deduktivno-logički iz prvobitnih grana, ali su s njima organski srasle. Sila u Newtonovoj mehanici bio je onaj transcendentni element koji je vodio do otkrića elektromagnetskog polja. Invarijabilni principi su pak izgradili most od makroskopske fizike do kvantnih procesa. Sve te grane uzajamno su povezane tako da iz  jednih nastaju druge pri čemu se cijelo to stablo pomalo mijenja. Iako je Newtonova mehanika temelj za razumijevanje Einsteinove i Heisenbergove mehanike ipak se pritom i sama klasična mehanika shvaća nešto drukčije nego što je njezin osnivač zamislio.

7

Zacijelo mnogo je toga u povijesti istraživanja bilo slučajno nepotrebno i pogrešno. Meñutim cijeli taj rast od geometrije i mehanike preko elektrodinamike do moderne atomske fizike duboko je usmjeren ponajprije ljudskim radom u okolini a zatim matematičkim poopćenjima i eksperimentalnim traženjem nevidljive podloge i početka svega .

Hipoteza postojanja kvarkova

. Kako bismo inače shvatili nevjerojatan prijelaz od makroskopske zbilje do dubine elementarnih čestica? (od kvarka do Svemira). Jedan je od ciljeva tog povijesnog razmatranja je da pokaže da i fizika ima svoje rodoslovlje i priroda ima svoje drvo života

Po svoj prilici suvremeni čovjek ne može razviti bitno drugačiju fiziku nego što su je istraživači dosad razvili.

Ako je inkvizicija gonila učenjake iz vlasničko-vjerskih motiva poslije pola milenija zapaljuju se ponovno procesi na ispitu grañanske lojalnosti.

Ta univerzalnost znanstvenih istraživanja ne isključuje ljudsku slobodu i maštovitost. Mnogo je što moglo biti drukčije i još će drukčije i biti. .

Velike imperije podčinjavaju sebi univerzalni duh znanosti, a time pucaju dvojbe u savjesti njihovih učenjaka.

Generologija fizike utvrñuje samo stanovite procese i interakcije koji proizlaze iz uloge čovjeka u Svemiru

Dok se Galilei lomio izmeñu vjerske dogme i Kopernikova heliocentričkog sustava. Očevi atomske bombe Fermi, Oppenheimer, Urey i drugi pod neposrednim rukovoñenjem  jednog laika – vojnika, generala vojske US A L.P. Growesa , oplakuju žrtve katastrofe u Hirošimi i Nagasakiju, ali tek poslije 6. i 9. kolovoza 1943.

8

Reakcija nuklearne fisije

Opravdavala se ili žigosala znanost ali takva službena globalna smrt već je roñena s obje strane željezne zavjese. I nakon svih kolebanja i ustupaka znanost mora produžiti univerzalnim magistralama. Ako će znanosti uopće i biti. Kada je sagledao sve strahote A-bombe poslije Hirošime i Nagasakija Albert Einstein je izjavio: “da sam znao što sada znam postao bih postolar”. Da li bi ova planeta bila drugačiji kad bi na njoj bio jedan atomski fizičar manje, a jedan postolar više? Vjerojatno ne bi.

Avanturu atomista pod vojnim tutorima prati samoubilačka prijetnja no unatoč tome čuje se i sve snažniji poziv da se svijet složi kako bi istraživanja povećalo humane mogućnosti, a ne stvaralo nuklearno-elektronička stratište. Kad pristupimo povijesti najprije nam se nameće pitanje da li sve mora biti tako kako je bilo i kako je sada.

EnricoFermi(1901-1954)

RobertOpenheim er (1904-1967)

JER SE DOGODILO, A TO NISU U ČINILI VANZEMALJCI NEGO LJUDI – ZNANSTVENICI ! VOðENI RUKOM POLITIČARA!

Atomska gljiva H ar old U re y (18 93 -19 81)

L eo S zila rd ( 18 98 -1 96 4)

9

Hiroshima 6. kolovoza 1943. 08:15 sati, B-29 “Enola Gay” visina preleta 32 000 ft (9855 m) najmanje 90 000 žrtava u trenutku udara, više od 120 000 posredno od radijacije

Nagasaki 9. kolovoza 1945. 11:01 sati, B-29 “Superfortress Bockscar” visina preleta 29 000 ft (8930 m), 70 000 žrtava, 100 000 posredno od radijacije

Little Boy FatMan

Nagasaki before and after bombing

Napredak znanosti nije samo gomilanje činjenica i stalno dotjerivanje teorija već znači duboke preobrazbe uvriježenih nazora i načina rada. I neprestano će nas mučiti dvoumica je li se znanost morala baš tako razviti. Zacijelo moderna fizika čini nam se sve više matematičkoeksperimentalnom pustolovinom kojoj nitko ne može predvidjeti kraj ili cilj - ako ga uopće ima.

MemorialCenter in Hiroshima

Monument at ground zero in Nagasaki

10

Upućivanje u rad 10. rujna 2008.

Ploča u jednom eko- parku u Gorskom Kotaru

Podjela fizike Svaka, od nekoliko, podjela fizike ima svoje razloge: etimološke mehanika – mechánica (lat), mèchanichè (gr.) =

Suvremena se podjela temelji na numeričkim vrijednostima fizičkih veličina duljine i vremena:

stroj kalorika – calòrem (lat.) = biti topao elektromagnetizam – èlektrikes (gr.) = jantar  optika – òptica (lat.), optike (gr.) = obrt za izradu pomagala  za vid 

pragmati čke: (geofizika, fizika elementarnih č estica i fizika velikih energija, fizika kriogenih stanja,  fizika plazme i sl.). Gdje je: c – brzina svjetlosti u vakuumu ( c = 3·108 m/s), -14 10 m = promjer atomske jezgre ( 10 -4 Å), 10-10 m = promjer atoma (1Å), 1026 m = pretpostavljeni promjer Svemira.

11

 Klasič  na fizika je fizika standardnih d imenzija ( prema kriterijima ljudske percepcije koji se gibaju malim brzinama (u odnosu na brzinu svjetlosti). Klasična fizika razmatra atom kao nedjeljivu česticu, a = ne; temno = rezati (Demokrit, Bošković i dr.).

Poslije 1900. godine fizičari počinju promišljati atom kao složenu strukturu. Uvode se novi pojmovi kao što su kvant, spin, valna priroda, elementarne čestice i dr. (Planck, Thomson, Rutherford, Bohr i dr.)

Što se tiče gibanja čestica prema dosadašnjim saznanjima postulirana  je najveća moguća brzina, brzina svjetlosti u vakuumu. Tom se brzinom materijalne čestice ne mogu gibati, ali se mogu znatno približiti ( pod materijalnim česticama smatraju se čestice koje imaju tzv. masu mirovanja). Pojave koje se javljaju pri brzinama većim od jedne desetine brzine svjetlosti u vakuumu razmatra tzv. relativistič  ka fizika, a fizički zakoni poprimaju sasvim druge oblike. Pri velikim brzinama pojavljuju se efekti kao što su dilatacija vremena, porast trome mase, kontrakcija duljina, prestaje vrijediti klasično pravilo o zbrajanju brzina i dr. To je područ je relativistič  ke kvantne fizike.

 Kvantna fizika i njezine zakonitosti vrijede unutar dimenzija atoma uz pretpostavku da su brzine gibanja čestica manje od jedne desetine brzine svjetlosti u vakuumu.

Ulazeći u strukturu atoma i atomske jezgre dolazimo do pojmova i zakonitosti fizike elementarnih č estica ( protona, neutrona, elektrona, fotona, miona, piona, kaona).

Osnovna metoda znanstvenog istraživanja u fizici je eksperiment. Eksperiment je namjerno izazvana pojava u ograničenom prostoru (laboratoriju) s ciljem da se prouči, objasni i s krajnjim ciljem primjeni za izradu korisnog proizvoda. Eksperiment je dragocjen jer se može ponavljati onoliko puta koliko se smatra potrebnim. U fiziku je eksperimentalnu metodu prvi uveo Galileo Galilei. Da bi eksperiment imao svoju svrhu mora biti popraćen mjerenjima. Mjeriti znači

usporediti poznatu mjernu jedinicu s nepoznatom velič inom i odrediti brojevnu vrijednost. Za mjerenja primjenjuju se razloč iti mjerni instrumenti i pomagala.

Eksperimentom se odreñuju parametri neke pojave. Ti se parametri nazivaju fizikalne veličine.

12

Primjeri pisanja rezultata mjerenja:

Za nastajanje, trajanje i djelovanje bilo koje pojave u prirodi potrebna su tri osnovne univerzalne pretpostavke:

s = 120 m F = 20 N P = 100 W p = 2 bar I = 20 A U =100 V F = 20 N oznaka fizikalne veličine

mjerni broj

oznaka mjerne  jedinice

S izumom satnih mehanizama postalo je jasno da taj period vremena u tijeku jedne godine nije konstantan zbog kuta inklinacije osi Zemlje u orbiti oko Sunca (revolucija Zemlje) za 23,5 stupnjeva. Ovo otkriće dovelo do definicije tzv. srednjeg sunč evog dana.

Srednji sunčev dan je aritmetički prosjek svih prividnih sunčevih dana u tijeku jedne sunčeve godine od 365 dana 6 sati 9 minuta i 13 sekundi (356,2564 dana ili 31.558.153 sekunde). Srednja sunčeva sekunda definirala se kao 1/86400 srednjeg sunčevog dana.

vrijeme – Vrijeme je skalarna fizikalna veličina podložna relativističkoj dilataciji. Vrijeme se može definirati kao univerzalnu dimenziju koja nam omogućava sreñivanje sekvenci dogañaja u nekom odreñenom prostoru. Vrijeme se mjeri tako da se koriste odreñene pojave koje se odlikuju njihovom periodičnošću. Od davnine su standardi za mjerenje vremena bili gibanja svemirskih tijela. Na primjer prividni sunč ev dan bio je interval vremena izmeñu dva uzastopna prolaska Sunca iznad nekog odreñenog Zemljinog meridijana..

Sve definicije vremena koje se temelje na astronomskim mjerenjima su točnije od lokalnih definicija koje su se temeljile npr. na gibanju njihala (perioda gibanja njihala zavisi o vrijednostima gravitacijskog ubrzanja, koja nisu jednaka u svim točkama Zemlje), ili sili na opruzi kod mehani čkih satova na oprugu (koeficijent elastičnosti opruge zavisi o temperaturnoj izloženosti opruge).

13

Meñutim ni astronomske definicije vremena nisu sasvim točne,  jer se brzina gibanja Zemlj e u rotaciji tijekom vremena mijenja. Smatra se da se, zbog efekta kočenja izazvanog trenjem uslijed plime i oseke, trajanje dana produžava za 1 sekundu svakih 120.000 godina. Zbog svih navedenih uzroka netočnosti mjerenja vremena, na Meñunarodnoj konferenciji za mjere i utege održanoj 1967. godine odlučeno je da se etalon vremena od jedne sekunde definira kao 9.192.631.770 oscilacija frekvencije cezija-133. Ureñaj se nalazi u National Bureau of Standard u Washingtonu. Iz toga ureda svakodnevno se šalju radio signali u državne urede čitavog svijeta kao signal točnog vremena (u Hrvatskoj taj signal prima i emitira svim radio postajama Geofizi čki zavod u Zagrebu).

Grafit na Golom otoku

Primljenom signalu se onda zbrajaju ili oduzimaju konstantne vrijednosti vremenskih zona i na taj se način dobivaju ekstremno precizne vrijednosti mjerenja vremena u čitavom svijetu, što je izuzetno važno u npr. me ñunarodnom zračnom prometu ( Pula je GMT +1 u odnosu npr. London, GMT = Greenwich Mean Time) Vrijeme je još moguće, relativno točno, mjeriti na temelju kontroliranih frekvencija izmjenične struje, pravilnih oscilacija kristala kvarca, karakterističnog vremena radioaktivnog raspada itd. Ne postoji način mjerenja vremena koji bi imao apsolutnu karakteristiku, tu apsolutnu vrijednost ima samo ' sat koji miruje'.

2. prostor i prostor je skalarna fizikalna veličina podložna relativističkoj dilataciji. Prostor se može definirati kao univerzalna dimenzija koja nam omogućava lociranje dogañaja u neko odreñeno mjesto. Svako tijelo, od elementarnih subatomskih čestica do velikih makrokozmičkih svemirskih tijela, zahtjeva postojanje nekog odreñenog prostora. U mehanici krutih tijela i mehanici fluida poznat je tzv. zakon prostornosti koji glasi 'istovremeno dva tijela ne mogu zauzimati isti prostor '.

14

3. energija – Na samim počecima života na Zemlji tzv. homo faber (čovjek radnik) mogao se koristiti samo jednim oblikom energije, vlastitom mehanič kom energijom. Nakon vrlo velikog evolutivnog vremenskog perioda u kojem dolazi do socijalnih, a naročito mentalnih promjena kod čovjeka, tzv. homo sapiens (čovjek mislilac) otkriva drugi oblik energije, vatru, odnosno toplinsku energiju. Otkriće načina stvaranja i kontrole vatre omogućilo je brzi tehnološki postupak dobivanja i oblikovanja raznih metala kao i nemetala (npr. dobivanje stakla taljenjem silicija).

Od davnina je čovjek percipirao svjetlost, no tek u XVII stoljeću s otkrićima fizičara Newtona i Hygensa (korpuskularna i ondulatorna teorija svjetlosti), u XIX stoljeću s otkrićima Maxwella i XX stoljeću s radovima Einsteina, fenomen svjetlosti je potpuni istražen. Svjetlost je elektromagnetski val. Čestica svjetlosti (foton) je kvant elektromagnetske energije. Svjetlost je oblik energije. Energija kvanta elektromagnetskog zračenja (Planckov zakon): Ekvanta = h ⋅ ν h = 6,63 ⋅10 34 (Js) Planckova konstanta  ν = frekvencija (Hz) −

Ljudska znatiželja se sada okreće prema mikrosvijetu u kojem upoznaje još dva oblika energije, kemijsku i biološku energiju. Upoznaje fenomene kao što su fotosinteza, neke kemijske elemente (starodrevni kemijski elementi su ugljik, sumpor, željezo, bakar, arsen, srebro, kositar, zlato, živa i olovo), kemijske i biološke reakcije, razne biološke poremećaje tj. bolesti, načine liječenja tih poremećaja tj. lijekove itd. U mikrosvijetu pronañene su i elementarne električki nabijene čestice odnosno električki oblik kao i magnetski oblik energije (poznatim eksperimentom danskog fizičara Christiana Oersteda iz 1820. godine dokazana je dvojnost veze izmeñu tih dvaju oblika energije, te danas govorimo o elektromagnetskoj energiji.

Spektar elektromagnetskih valova

vidljiva svjetlost

4,17,5 · 1014 Hz

Ekvivalencija mase i energije (Einstein): E = m ⋅ c2 Masa fotona:

mfoton =

h ⋅ν c2

15

Uz fiziku mikrosvijeta Krajem XIX i po četkom XX stoljeća čitav niz fizičara, Thomson, Rutherford, Bohr, Rontgen, Wilson, Curie, Fermi, Einstein, Chadwick i drugi, istražuju fenomene u mikrosvijetu i nalaze novi oblik energije, nuklearnu energiju. Još je davne 1745. ruski kemičar i biolog Mihail Vasiljević Lomonosov formulirao zakon poznat kao zakon o održanju ili konzervaciji energije: energija se ne može iz nič ega stvoriti niti se može uništiti, dozvoljeno je samo pretvaranje iz jednog oblika u drugi.

Lomonosov je time potpuno negirao mogućnost stvaranja tzv. perpetuum mobile, stroja koji bi proizvodio rad bez utroška energije.

Pretvarači energija iz jednog oblika u drugi, koji u tom pretvaranju proizvode koristan rad, zovu se strojevi. Općenito uzevši, materija ili tvar nije ništa drugo ve ć oblik energije, prema poznatoj Einsteinovoj relaciji E = m·c2. Otkriće načina dobivanja antimaterije možda je bolje da nikada ne izañe iz znanstvenih laboratorija, jer nas povijest uči da neka senzacionalna otkrića, koja su u osnovi predviñena za boljitak čovjeka, završe za njegovo uništavanje: dinamit (Nobel), nuklearna fisija (Fermi i drugi), koherentne zrake svjetlosti – laser (Towns), te se naveliko koriste i kao sofisticirana oružja.

Od sedam tradicionalnih oblika energije s vremenom su se kemija i biologija razvile u samostalne znanstvene discipline sa mnoštvom poddisciplina. Ostalih pet pripada istraživanjima fizičara. Na temelju tih pet oblika energije i danas se može izučavanje fizike podijeliti na na temelju tradicionalne podjele na: mehaniku, nauku o toplini, elektricitet i magnetizam, nauku o svjetlosti ili optiku te atomsku i nuklearnu fiziku.

Danas u modernim metodologijama znanstvenih istraživanja nema stroge podjele po 'djelatnostima' već na istraživanjima rade timovi znanstvenika različitih specijalnosti. Fiziku možemo još jednostavnije podijeliti na klasič nu i modernu. Klasična proučava fenomene u perceptivnom svijetu, dakle pojave koje možemo percipirati i mjeriti direktnim osjetilima (fizikalna veličina je samo onaj prirodni fenomen koji se može mjeriti).

16

Klasična fizika opisuje pojave i interakcije tijela čije su dimenzije mnogo veće u usporedbi sa veličinom atoma – promjera oko 1 Ẵ (10-10 m) i koja se gibaju brzinama mnogo manjim od brzine svjetlosti (c=3⋅108 m/s). Klasična fizika temelji se na Galilejevim eksperimentima (Galileo Galilei, 1564-1642) i na tri Newtonova aksioma (Isaac Newton, 1642-1727, Philosophiae naturalis principia mathematica iz 1687. godine). U ono se doba mislilo da se svaki prirodni fenomen može objasniti zakonima klasične fizike (natura non facit saltus !). Klasična fizika razmatra atom kao nedjeljivu česticu ( a + temnos = ne + rezati).

Fizikalne veličine dijele se na osnovne i izvedene. Osnovne su veličine odreñene unaprijed (a priori) i ne mogu se reducirati . Sve ostale su izvedene veličine. Pripadnost osnovnih fizikalnih veličina zavisi o područ jima fizike: mehanika (duljina, masa, vrijeme); elektricitet (električni naboj); toplina (termodinamička temperatura); fotometrija (jakost svjetlosti); atomistika (množina čestica).

Meñutim, krajem prošlog i početkom ovog stoljeća, ( od 1900. godine) otkriven su nove činjenice koje se nisu mogle uklopiti u zakone klasične fizike. Sa radovima Einsteina (Albert Einstein, 1879-1955) iz 1905. godine i Plancka (Max Planck, 1858-1948) iz 1900.pojavila se moderna fizika: relativistič ka i kvantna fizika koja opisuje mikrosvijet molekula, atoma i subatomskih čestica. Osnovni put spoznavanja vrijednosti fizikalnih fenomena  je eksperimentalna metoda . Eksperiment je umjetno izazvana prirodna pojava koja, popraćena mjerenjima, ima za cilj spoznavanje prirodnih pojava i interakcija. Eksperimentom se odreñuju parametri neke fizikalne pojave. Ti se parametri nazivaju  fizikalne velič ine.

Simboli pojedinih fizikalnih veličina nisu proizvoljni već dogovoreni na meñunarodnoj razini na temelju ISO standarda ( International Standard Organization) i na temelju IUPAP standarda (International Union for Pure and Applied Physics – Meñunarodna udruga za izučavanje bazične i primijenjene fizike).

17

Intenzivne i ekstenzivne fizikalne veli čine  Intenzivne fizikalne velič ine su takve koje ne ovise o dimenzijama tijela koje se mjeri (npr. ako se mjeri elektri čna provodljivost nekog elektrolita i izuzme se jedna manja količina tada će taj dio imati jednaku vrijednost provodljivosti kao ukupna količina, ili temperatura kapljice vode biti će  jednaka kao i cjelokup na masa vode u razmatranju) .  Ekstenzivne fizikalne velič ine su one kod kojih će dio cjeline imati npr. manju masu, volumen, koli činu topline i drugo, od cjeline.

Omjeri Ako je parametar bezdimenzionalni tada se zove omjer (npr. stupanj korisnog djelovanja nekog stroja - η = 0,75 ili 75 %).

Konstante Ako se iznos neke veličine koja karakterizira pojave ne mijenja, ni u prostoru ni u vremenu, tada se naziva konstantom (npr. konstanta gravitacijskog privlačenja G = 6,67⋅10-11 Nm2 kg-2).

Specifične veličine Specifična veličina dobije se tako da se neka ekstenzivna veličina podijeli s jediničnom masom tvari ( npr. toplinska moć benzina-98 je 33⋅106 J/kg). Molarne ili množinske veli čine Molarna ili množinska veličina dobije se tako da se neka ekstenzivna veličina podijeli sa jediničnom množinom tvari (npr. Avogadrov broj 6,02⋅1023 molekula/mol) Parametri Kada više fizikalnih veličina karakteriziraju ponašanje neke pojave tada one zajedno čine parametar (npr. akceleracija je promjena brzine u funkciji vremena tj. a = ∆v / ∆t).

S razvojem komuniciranja i trgovine te s premještanjem stanovništva nastala je u 17. i 18. stolje ću prava zbrka mjernih jedinica. Svaka struka, svaka državica , ponekad i svaki grad imali su svoje mjerne jedinice, koje su se mijenjale s promjenama vladara. Većina od tih jedinica bile su antropološke, druge su se uzimale iz prirode, a poneke potpuno slučajno. Na primjer jedinica angloameričkog mjernog sustava YARD svojedobno je bila odreñena udaljenošću izmeñu nosa i palca ispružene lijeve ruke engleskog kralja Henryja II, a INCH ukupnom duljinom triju zrna ječma koje je iz sredine ječmenog klasa izvadio kralja Edward II. Antička mjera LITRA ili LIBRA bila je mjera za volumen i uteg ( lat. pondus), odatle su nastale jedinice eng. pound, njem. pfund. Budući da su služile i za mjerenje te žine plemenitih metala postale su i nazivi novca: lira, pound sterling (funta sterlinga)

18

I u našim krajevima su se upotrebljavale antropološke jedinice: VLAS, PALAC, PEDALJ, LAKAT, KORAK, SE ŽANJ, HVAT, ŠAKA, PREGRŠT, NARAMAK, BREME. Neke od njih su se i danas zadr žale u primjeni npr. za površine zemljišta: RAL, JUTRO, DUNUM, LANAC. Jedna od tekovina francuske revolucije bila je i zamisao o stvaranju  jedinstvenog mjernog sust ava A’ TOUS LES TEMPS, A’ TOUS LES PEUPLES – za sva vremena, za sve narode. Taj je zadatak bio povjeren Francuskoj Akademiji 1791. godine. Za jedinicu duljine inženjer Pierre Mechain predložio je duljinu svojstvenu zemlji: neka to bude 40- milijuntni dio duljine meridijana. Nazvali su je metar ( grč. – metron – mjera). Tisuću puta veću nazvali su kilometar ( grč. kilioi – tisuća) Godine 1799. načinjene su materijalne pramjere (etaloni, prototipovi) i pohranjeni u Arhivu Francuske Republike u Sevresu kraj Pariza.

Današnji je zakon usvojen na temelju zaključaka XI zasjedanja CGPM (Conference Generale des Poids et Mesures) iz listopada 1960. godine, a stupio na snagu 1. siječnja 1980. godine, (u Hrvatskoj je objavljen u NN br. 58 od 18.lipnja 1993.godine). SI (Sistem International) ili MKS-sustav sastoji se iz tri grupe mjernih jedinica: osnovne mjerne jedinice : metar za dužinu (m), kilogram za masu (kg), sekunda za vrijeme (sec), kelvin za temperaturu (K), amper za jakost struje (A), candela za jakost svjetlosti (cad) i mol za količinu tvari (mol)

Internacionalni sustav mjernih jedinica ( SI) Ovaj meñunarodni dokument (System International) u Hrvatskoj je definiran Zakonom o mjernim jedinicama i mjerilima od 18. lipnja 1993. godine. Godine 1875. sedamnaest je država, potpisnica ugovora o upotrebi metarskog sustava, osnovalo Meñunarodni ured za mjere i utege sa sjedištem u Sevresu kraj Pariza. Danas se u tom Uredu nalaze standardni prototipovi (etaloni) različitih primarnih i sekundarnih mjera. Ured ima zadatak da koordinira, na meñunarodnom planu, definicije mjernih  jedinica i tehnike mjere nja u svim granama nauke i tehnike.

izvedene mjerne jedinice - izvedene iz osnovnih na temelju tzv. definicijskih formula . Na primjer jedinica za silu njutn (N) je izveden iz definicijske formule F = m ·a, dimenzioniramo li taj izraz dobivamo [N] = [kg]·[ms-2]. Izvedenih mjernih jedinica ima mnogo: m/s, m/s2, N, Pa, V, J, Ω, W dr. uvjetno dozvoljene mjerne jedinice milja (morska) = 1852 m milja (zemaljska) = 1609 m čvor ili kt, milja na sat, Mph= 0,5144 m/s godina svjetlosti = 9,5⋅1015 m, astronomska jedinica = 15⋅1010 m, parsec = 3,21 godina svjetlosti, bar = 100 000 Pa, litra = 0,001 m3, konjska snaga (KS) = 0,7353 kW i dr.

19

Definicije osnovnih mjernih jedinica: Metar (duljina) - metar prvi spominje francuski inžinjer Pierre Mechain tijekom Francuske revolucije, točnije 1791. godine kao četrdesetmilijunski dio dužine Zemljinog meridijana. Kasnije je definicija nekoliko puta mijenjana. Danas se metar definira kao dužinu koju prijeñe svjetlosna zraka u 1 / 299 794 458 sekundi.

Sekunda (vrijeme)- nekada se sekunda definirala kao 86400-ti dio srednjeg sunčevog dana (jedan dan = 86 400 sekundi). Suvremena definicija temelji se na broju perioda vala elektromagnetskog zračenja atoma cezija. Jedna sekunda je 9 192 631 770 perioda zračenja izmeñu dva energetska nivoa cezija-133.

Kilogram (masa) - etalon kilograma pohranjen je u Meñunarodnom Uredu za Mjere i Utege u Sevresu, kraj Pariza. Radi se o jednom cilindru od platine i iridija promjera 3,96 cm i visine 3,96 cm tj. volumena oko 50 cm3. Prvobitno je kilogram bio definiran kao masa 1000 cm3 (1 litra) destilirane vode na temperaturi 4 0C.

Amper (jakost elektri čne struje) – kada se dva ravna, paralelna i beskonačno duga vodiča razmaknuta 1 m u vakuumu, u kojima protječe struja, privlače ili odbijaju silom od 2⋅10-7 N po metru duljine, struja u njima ima jakost od 1 A.

Kelvin (termodinamička temperatura) – termodinamička temperatura koja je jednaka 273,16-tom dijelu termodinamičke temperature trojne točke vode ( 1K = 0C +273,16). Trojna točka je temperatura i tlak pri kojima se sva tri agregatna stanja, (kruto, tekuće i plinovito) neke tvari, nalaze u termodinamičkoj ravnoteži.

Candela (jakost svjetlosnog izvora) – jakost svjetlosti monokromatskog zračenja frekvencije 5,4⋅1014 Hz energetske  jakosti od 1/683 wati po stera dijanu (W/strad). Mol (količina tvari) – količina tvari jednaka broju atoma u masi od 0,012 kilograma ( 12 grama) izotopa ugljika – 12 (12 C6 )..

Za vodu (led, voda i vodena para) ta točka se nalazi na tlaku od 4,58 mmHg (602,63157 Pa) i temperaturi od 0,01 0C.

20

Neke numeri čke dimenzije prirode: vrijeme: - postanak Sunca – 4,55⋅109 godina - postanak Zemlje – 4,45⋅109 godina - postanak kontinenata – 3,8⋅109 godina - postanak flore na Zemlji – 4,2⋅108 godina - nestanak dinosaurusa - - 6,7⋅107 godina - postanak čovjeka (neandertalac) – 1,2⋅105 godina - početak ljudske povijesti – 4⋅103 godina

duljina: - polumjer svemira (virtualni) – 1026 m - udaljenost Sunce-Zemlja – 15⋅1010 m (1 AJ) - udaljenost Mjesec-Zemlja – 384⋅106 m - polumjer Zemlje (srednji) – 6,4⋅106 m masa: - masa Sunca – 1,99⋅1030 kg - masa Zemlje – 5,98⋅1024 kg - masa elektrona (u mirovanju) – 9,11⋅10-31 kg - masa protona (u mirovanju) – 1,6725⋅10-27 kg - masa neutrona (u mirovanju) – 1,6748⋅10-27 kg

- perioda zemljine rotacije (oko osi) – 23 sata 56 minuta 4 sekunde - perioda zemljine revolucije (oko Sunca) – 365 dana 6 sati 9 minuta 13 sekundi

brzina: - svjetlost u vakuumu – 3⋅108 m/s - Zemlja oko Sunca (revolucija) – 3⋅104 m/s - Zemlja oko osi (rotacija) na Ekvatoru) – 465 m/s - Sunčevog sustav oko Mliječne staze – 230 km/s

brojevne veli čine: - broj nukleona u svemiru – 1080 - broj čestica u jednom molu – 6,02⋅1023 (Avogadrov broj), 1mol = 22,415 litara = 22,415·10-3 m3 - broj vrsta živih bića – 106 - broj izotopa – 103

- Mliječne staze oko centra lokalne galaksije (Andromede) 40 km/s - lokalna galaksija Andromeda oko super galaksije HydraCentaurus – 600 km/s - protoka krvi u organizmu (mirovanje) – 0,1 m/s (0,36 km/h) - najbrži sisavac - gepard – 20 m/s (72 km/h)

21

KONVERZIJA NEKIH ANGLOSAKSONSKIH MJERNIH JEDINICA U METRIČKI SUSTAV

Volumen 1 cubic foot (ft3) = 28,32 l = 28320 cm3 = 0,02832 m3 1 U.S. gallon (gal) = 3,785 l = 3785 cm3 = 0,003785 m3

Dužina 1 inch (in) = 2,54 cm = 0,0254 m 1 foot (ft) = 30,48 cm = 0,3048 m mile (M) = 1,609 km = 1609 m

Masa

1 square foot (ft2) = 929 cm2 = 0,0929 1 square mile (M2) = 2 588 881 m2

Težina

1 slug (sl) = 14,59 kg

Površina

1 pound (lb) = 0,4536 kg težine ili 4,448 N

Brzina 1 MpH = 1,609 km/h = 0,447 m/s

Snaga 1 horsepower (hp) = 745,7 W (0,7457 kW)

Sila 1 pound (lb) = 4,448 N 1 U.S. short ton = 2000 lb = 8896 N

Energija

Tlak 1 lb/in2 = 6895 Pa

1 foot·pound (ft·lb) = 1,356 J

22

Pregled nekih fizikalnih veličina sa odgovarajućim simbolima i mjernim  jedinicama u SI sustavu mjernih jedinica fizikalna veličina

simbol

brzina električni kapacitet električni naboj električni otpor električni polje energija, rad frekvencija gustoća tvari impuls sile  jakost struje  jakost svjetlosti količina gibanja količina protoka količina topline kutna brzina

mjerna jedinica u SI sustavu

v C Q R E E,W ν,f ρ

i I I p Q Q ω

m/s F C Ω

N/C, V/m J Hz kg/m3 N⋅s A cd kg⋅m/s m3 /s J rad/s

3. Prefiksi ili predmetci mjernih jedinica omogu ćuju multipliciranje jedinica radi dobivanja decimalnih višekratnika ili decimalnih dijelova: Zakonom dozvoljeni prefiksi za množenje: Yotta Zetta Exa Peta Tera Giga Mega kilo hekto deka

Y Z E P T G M K h da

1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 10 1

1 000 000000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 1 000 000 000 1 000 000 1 000 100 10

ubrzanje magnetska indukcija površina električni napon sila, težina tijela snaga spec. električni otpor specifična toplina temperatura termodin. temperatura tlak volumen vrijeme

a B A,S V,U F,G P

m/s2 T m2 V N W Ω⋅m J/kg⋅ 0 K 0C 0K Pa m3 s

ρ

c t T p V t

Zakonom dozvoljeni prefiksi za dijeljenje: deci centi mili mikro nano piko femto atto zepto yocto

d c m µ n p f a z y

10 -1 10 -2 10 -3 10 –6 10 -9 10 -12 10 -15 10 -18 10 -21 10-24

0,1 0, 01 0, 001 0, 000 001 0, 000 000 001 0, 000 000 000 001 0, 000 000 000 000 001 0, 000 000 000 000 000 001 0, 000 000 000 000 000 000 001 0, 000 000 000 000 000 000 000 001

23

1. KINEMATIKA MATERIJALNE TO ČKE Mehanika se tradicionalno dijeli na:

Osnovne fizikalne veličine kinematike su: pomak, duljina ili put gibanja (x, ∆s), vrijeme gibanja ( ∆t),

kinematiku (kinesis =

gibanje) – proučava gibanja bez obzira na uzroke tih gibanja, dinamiku -

proučava gibanja i uzroke gibanja: dinamika krutog tijela, hidromehanika, aeromehanika, mehanika plazme, statiku - bavi

se uvjetima ravnoteža tijela (statičkim i

brzina gibanja (v), ubrzanje ili akceleracija (deceleracija), (a, -a) . Tijelo se obično razmatra kao redukcija dimenzija na točku te se naziva materijalna točka.

dinamičkim).

1.1. JEDNOLIKO GIBANJE PO PRAVCU U kinematici je važno razlikovati srednju od trenutne brzine. Na primjer kad brzinomjer registrira brzinu nekog bolida, na kružnoj pisti, od 250 km/h, jasno je da se radi o srednjoj brzini ( v )koja je rezultat omjera izmeñu parametra dužine piste i uloženog vremena. Ako bismo, npr. mjerili vrijeme u kraćim i jednakim vremenskim intervalima brzine ne bi nužno bile jednake na svim intervalima. U različitim intervalima vremena t bolid može imati različite trenutne brzine (v). Iako nije moguće direktno mjeriti trenutne brzine, takva brzine se ipak može definirati s velikom točnošću.

Pretpostavimo da se neka materijalna točka koja se giba po nekoj krivulji u vremenu t 0 nalazi u nekoj točki s0 pozicioniranoj na krivulji, a u vremenu t 1 u točki udaljenoj s1. s

s(t)

s1    0

  s      1   s   =   s       ∆

tangenta na krivulju u t o

v

∆s →0

s0

ds ∆t →0

t0

∆t = t1- t0

t1

t

24

U intervalu vremena izmeñu t 0 i t 1 materijalna točka prijeñe put ∆s koji je jednak razlici putova s1 i s0 . Njezina srednja skalarna brzina u tom intervalu može se definirati:

v=

s -s t -t 1

0

1

0

odnosno

v=

Uz definiciju srednje brzine

v=

s -s t -t 1

0

1

0

∆ s ∆ t

gdje je ∆s je preñeni put materijalne toč ke u vremenskom intervalu ∆t. Općenito sa delta (∆) označavamo bilo koju vrijednost priraštaja fizikalnih veličina.

Kada se brzina materijalne točke značajno mijenja tijekom gibanja moguće ju je preciznije definirati tako da se intervali puta ∆s podijele na manje vrijednosti računajući srednju brzinu na svakom tom intervalu. Vrlo mali intervali omogućavaju približavanju vrijednosti srednje brzine stvarnoj trenutnoj brzini v.

Možemo, ne samo smatrati da su te vrijednosti približno  jednake, već možemo reći da su na infinitezimalnom intervalu one identične. Operacija graničnih vrijednosti ima temelj u analitičkoj matematici, a njezina primjena je izuzetno važna u fizici. Ako računamo srednju brzinu na vrlo malim intervalima vremena tj. kada t 1 teži k t 0 (odnosno kada ∆t teži k nuli), dobivamo vrijednost trenutne brzine v u vremenut 0 .

25

Ova se operacija s graničnim vrijednostima izvodi ovako: ∆s  ds  s1 − s 0 = lim =  = v(t ) lim t1→t 0 t 1 − t 0 t1→t 0 ∆t  dt t =t 0

gdje dt  je infinitezimalni inte rval vremena koji počinje od t 0 , a ds je varijacija promjene puta. Omjer ∆s/ ∆t predstavlja samo aproksimaciju na v, koja će biti to točnija što se ∆t približava nuli.

Za svaku pojedinačnu vrijednost vremena t  trenutna brzina  jednaka je:

v( t ) = v =

s1 − s 0 = konst. t1 − t 0

zato jer je putu s0 pripadajuće vrijeme je t0. To je jednoliko gibanje. Prijeñeni put s je jednostavni umnožak brzine v i vremena t, tj.:

s ( t ) = s 0 + v ⋅ ( t 1 − t 0)

Na isti način kako nam oznaka delta (∆) omogućava prikazivanje nekih prirasta, bez obzira na druge varijable, tako se i oznake ds, dt, dx itd. upotrebljavaju za prikazivanje infinitezimalno malih prirasta, a vrijednosti tog tipa nazivaju se  diferencijali. Granične vrijednosti prikazane u gornjoj formuli zovu se  derivacija od s po t ili derivacija s(t). Dakle, trenutna brzina je prva derivacija puta po vremenu:

v = ds dt Kod jednolikog gibanja s konstantnom brzinom može se dokazati da je trenutna brzina jednaka srednjoj brzini u bilo kojem intervalu ∆s / ∆t  .

U takvoj vrsti problema često je bolje uzeti početno vrijeme nula, t0 = 0 tako da razlika vremena t1 –t0 postane, ustvari t .

Ako se uzme da i polazna točka pripada polazištu koordinatnog sustava tj. da je s0 = 0 onda formula za jednoliko gibanje poprima jednostavniji oblik:

s

( v)

= v⋅t

26

Dijagrami s-t, v-t i a-t za jednoliko gibanje y≡s

1.1.2. JEDNOLIKO UBRZANO GIBANJE PO PRAVCU v=f (t)

v

s=f (t)

Galilejevo (Galileo Galilei, 1564-1642) fizikalno objašnjenje akceleracije ili ubrzanja omogućilo je naglom razvoju dinamike,  jer je slijedeći korak bio znanstveni opis mase i sile.

v=konst. prijeñeni

put

put

t1

t

y=0

t2

t

a

Modernim znanstvenim pristupom tom fenomenu ubrzanje ima širi smisao, kao npr. ubrzanje je promjena vektorske brzine. Za fizičara, npr. neki automobil ubrzava i kad usporava ili se giba u zavoju ( djeluje centripetalna akceleracija). Razmatramo li ubrzanje materijalne točke u jednoj dimenziji možemo reći da je to prva derivacija vektorsk e brzine u funkciji

a=f (t)

ubrzanje

Tradicionalna definicija ubrzanja bila bi: prirast ili povećanje brzine u nekom vremenu, ili još jednostavnije: brzina povećanja brzine ili hitrost povećanja brzine.

a=0 t

vremena.

Srednje ubrzanje a neke materijalne točke je, dakle, promjena vektora brzine v u danom intervalu vremena ∆t i može se prikazati ovako: r 

a=

v − v dv = t −t dt 1

U v-t dijagramu vidljivo je da je srednja vrijednost akceleracije  jednaka grafu u segmentu in tervala brzine ∆v u funkciji intervala vremena ∆t,

0

1

0

   )   v    (   a   n    i   z   r    b

   )   v    (   a   n    i   z   r    b

vrijeme(t)

∆t1 ∆t2 ∆t3

vrijeme (t)

Srednja vrijednost akceleracije odnosi se uvijek na interval vremena. S promjenama intervala vremena mijenjaju se i srednje vrijednosti akceleracije.

27

Smanjimo li intervale vremena ∆t srednja vrijednost akceleracije približit će se trenutnoj vrijednosti. Srednja vrijednost grafa sada se približava točci u trenutnom vremenu t.    )   v    (

   )   v    (

  a   n    i   z   r    b

  a   n    i   z   r    b

Prema definiciji akceleracije : a = dv dt dv= a ·dt

odnosno

Integriramo li u granicama od v0 do v i od 0 do t: vrijeme (t)

vrijeme (t)

dv Trenutna akceleracija je dakle na limesu (granici): a = ∆lim t →0 dt

Promjena brzine u funkciji vremena je stalna tj. akceleracija je konstantna ( a= konst.).

Integriramo li po x u granicama x0 do x i vremenu t u granicama od nule do t dobivamo:

dobivamo ili

v t ∫ dv = ∫ a ⋅ dt v0 0 t v − v0 = a ∫ dt 0 v = v0 + a·t

Integriramo li po x u granicama x0 do x i vremenu t u granicama od nule do t dobivamo:

x

t

x

t

x0

0

x0

0

∫ dx = ∫ v ⋅ dt

∫ dx = ∫ v ⋅ dt

Umjesto brzine v u formulu uvrstimo v = v0 + a·t t

x − x 0 = ∫ (v0 + a ⋅ t )dt 0

Rastavimo li na dva integrala: t

t

0

t

t

x − x 0 = ∫ (v0 + a ⋅ t )dt 0

Rastavimo li na dva integrala:

x = x 0 + ∫ v 0 ⋅ dt + ∫ a ⋅ tdt 0

Umjesto brzine v u formulu uvrstimo v = v0 + a·t

1 t x = x 0 + v 0 ⋅ t ∫ + at 2 ∫ 0 2 0

t

t

x = x 0 + ∫ v 0 ⋅ dt + ∫ a ⋅ tdt 0

0

t

1 t x = x 0 + v 0 ⋅ t ∫ + at 2 ∫ 0 2 0

28

Nakon rješenja integrala:

1 x = x0 + v0 ⋅ t + a ⋅ t 2 2 Kod x0 = 0 i v0 = 0 te zamjenom x≡ s (položaj po osi x = preñeni put) imamo:

Dijagram v-t za jednoliko ubrzano gibanje (sa i bez početne brzine): v

v = v0 +a · t

1 s = a ⋅ t2 2

v=a·t v0

Kada je a < 0 (negativno) (negativno) radi se o usporenom usporenom gibanju. gibanju. 0

t

1 s = (- a ) ⋅ t 2 2

Dijagram v-t

Dijagram x-t (s-t) UBRZANO GIBANJE

USPORENO GIBANJE x≡s

x≡s

UBRZANO GIBANJE

USPORENO GIBANJE

v

v

prijeñ prijeñeni

v0 x0 =0

t

t

prijeñ prijeñeni

put

t1

put

t2

t

t1

t2

t

29

Dijagram a-t

2. Kružno gibanje Kružno gibanje je gibanje čija je putanja kružni luk polumjera r.

USPORENO GIBANJE

UBRZANO GIBANJE

v2

y a

v1

a s

r

φ 0

0 t

-a

x

t

Duljina kružnog luka s i pripadni kut φ zadovoljavaju  jednakost omjera: ∆s ∆ϕ = 2rπ 2π

2.1. Kutna i obodna brzina U kružnom gibanju razlikujemo dvije bitno različite brzine:

odnosno ∆s =

2 ⋅ r ⋅ π ⋅ ∆ϕ 2⋅π

1. obodna ili tangencijalna brzina – omjer prijeñenog pomaka po obodu kružnice u funkciji vremena, zove se i tangencijalna brzina jer se tijelo giba po obodu kružnice: ∆s v = lim t 0 ∆t Materijalna točka obiñe puni krug s = 2 ⋅ r ⋅ π za vrijeme koje zovemo perioda kružnog gibanja T. ∆→

iz čega slijedi ∆s = r ⋅ ∆ϕ

Izraz za obodnu ili tangencijalna brzina ima ovaj oblik:

v=

2⋅r ⋅π T

30

2. kutna brzina – omjer opisanog kuta u funkciji vremena zove se kutna brzina.

Uz definiciju tangencijalne ili obodne brzine

v=

α ∆t

Uvrštavanjem ∆s = r ·∆φ u izraz za trenutnu brzinu

AB ∆t

v = lim t 0

∆s ∆t

v = lim t 0

r ⋅ ∆ϕ ∆t

)  ) 

v=

∆→

nastaje nastaje novi novi izraz: izraz: ∆→

polumjer gibanja je stalna veličina koja se može izlučiti ispred znaka limesa:

v = r ⋅ lim t 0 ∆→

Budući da je iz

∆ϕ ∆t

slijedi

odnosno

v=r

dϕ dt odnosno

element sa desne strane jednadžbe je diferencijalna promjena kutne koordinate u funkciji vremena, označava se sa ω i zove se kutna brzina. ω=

dϕ dt

v=r

dϕ dt ω=

a iz toga

dt =

r ⋅ dϕ v

dϕ r ⋅ dϕ v

ω=

v r v r

r 

Kutna brzina je vektorska veličina.

rad Mjerna jedinica u SI sustavu je sek

ω= r 

r 

1 radijan = 570 17’ 2π rad = 3600

31

Analogne formule pravocrtnog i kružnog gibanja Tijela u slobodnom padu  PRAVOCRTNO GIBANJE

NAZIV

FORMULA

položaj

s = s0 + vt 

KRUŽNO GIBANJE

NAZIV

položajni kut

1 2

FORMULA ϕ  = ϕ 0

Prve studije o padanju tijela i letu tijela koja nemaju vlastiti propulzor odnosno pogon (projektili) lansiranih u prostor objavio  je 1638. godine Galileo Galilei ( Pisa, 1564-1642) u djelu La

+ ϕ t 

s = s0 + v0t + at 2

prijeñeni put brzina

v=

a=

kutna brzina

ds

ω  =

2as + v

dv dt 

=

Galileo je krenuo od hipoteze da tijelo bačeno u prostor vrši složeno gibanje od kojega je najmanje jedno ubrzano (zakon gravitacije formulirao je Isaac Newton mnogo godina kasnije).

d ϕ  dt 

2a∆ϕ  + ω 

2

ω  =

2

caduta dei gravi (O padanju tijela).

∆ϕ  = ϕ  − ϕ 0

dt 

v=

ubrzanje

opisani kut

∆s = s − s0

0

0

d 2 s

kutno ubrzanje

dt 2

a=

d ω  dt 

=

d 2ϕ  dt 2

visina slobodnog pada Slobodni pad je specijalni oblik jednolikog ubrzanog gibanja sa akceleracijom sile teže ili gravitacijskom akceleracijom. dv ) = g = konst. dt r 

a= r 

v( t ) t ∫ dv( t ) = ∫ gdt v0 t0

z (t ) t t ∫ dz( t ) = ∫ gtdt + ∫ v 0dt ⇒ z0 t0 t0

1 z (t ) = g ⋅ t 2 + v0 t + z 0 2

1 z (t ) = g ⋅ t 2 + v0 ⋅ t = 0 2 z=h z0 = h0

r 

v = g⋅t

srednja brzina slobodnog pada (otpor zraka = nula)

1 h = g ⋅ t2 2

vrijeme pada t pada =

v(t ) − v0 g

t pada =

v0 g

32

Uz definiciju akceleracije sile te že brzina pada s visine h z max = h max

gP = 9,83 ms-2

v2 = 0 2g

g45 = 9,805 ms -2

v kon = v 0 = 2 ⋅ g ⋅ h max

   g    ·    m    =      G

 g    m ·   G =

v = 2 ⋅g ⋅h

G=m·g

g E= 9,78 ms-2

Srednji polumjer Zemlje RZ= 6371 km ~ 6400 km

Težina je sila kojom sila teže djeluje na svaku masu srednjom akceleracijom sile teže ( g = 9,805 ms-2) Težina je vektor usmjeren prema središtu Zemlje tj. okomito na površinu Zemlje .

Udaljenosti pojedinih planeta od Sunca u Astronomskim Jedinicama ( 1 AJ = 15·10 7 km) i pojedine vrijednosti gravitacijskih akceleracija (ubrzanja sile te že) u m/s2

Venera 0,72 g = 8,87

r 

G = m⋅g⊥ r 

Mars 1,52 g = 3,74

Saturn 9,54 g = 11,17

Uran 19,22 g = 10,49

Neptun 30,06 g = 13,25

Pluton (ex) 39, g = 0,73

SUNCE Jupiter 5,2 g = 26,01 Zemlja 1 g = 9,81 Merkur 0,38 g = 3,58

12. 12. 2012. godine svi planetarni sustavi u galaksiji Mliječne staze bit će poravnati u ravnini ekliptike. To se dogaña svakih 25 800 godina.

33

Akceleracija sile te že:

Akceleracija Zemljine sile te že:

Modul ili vrijednost akceleracije sile teže ovisi o kvadratu udaljenosti od površine do središta neke planete (polumjeru): gP = G r 

gdje je:

M g Z = G 2Z RZ r 

gdje je:

MP R 2P

g - Zemljina gravitacijska akceleracija (sila teže) M - masa Zemlje (M = 6 ⋅10 kg ) R - prosječni polumjer Zemlje R Z = 6388,733 km ≈ 6400 km = 6,4 ⋅106 m G - konstanta gravitacije – Cavendisova konstanta (G = 6,67 ⋅10 Nm kg ) r 

h

24

gP

- gravitacijska akceleracija

MP

- masa planete

RP

- prosječni polumjer planete

r 

Z

−11

2

2

−2

M 6 ⋅1024 m g P = G 2P = 6,67 ⋅10 −11 ≅ 9,805 2 2 3 RP s (6388,733 ⋅10 )

G - univerzalna konstanta gravitacije – Cavendish-ova konstanta ( Henry Cavendish, Francuska, 1731 – 1810) (G = 6,67 ⋅10 Nm kg ) −11

Z

Z

r 

−2

Modul ili vrijednost akceleracije sile teže ovisi u udaljenosti od središta planete (Zemlje):

Uz Newtonovu tvrdnju da tijela razli čitih težina u vakuumu padaju jednakim brzinama čep

g =G r 

h

M

Z

(R + h )

2

list

Z

kamen

h - visina od površine Zemlje na kojoj se tijelo nalazi staklena cijev

pumpa

34

Uz težinu tijela

Težina tijela

otpor zraka

Tijelo mase m u blizini Zemljine površine slobodno pada s ubrzanjem sile teže g čija je vrijednost zavisi o položaju tijela na Zemlji, a srednja vrijednost iznosi g = 9,805 ≈ 9,81ms 2 r 

−

r 

F

To ubrzanje stvara sila koju zovemo težina tijela:

F

G

G

r 

G = m⋅g

r 

konst. sila teže (težina tijela G = 0)

Složena gibanja

Na visini h brzina se smanji do nule i prije ñe od: v0 ⇒ vh tj. vh = g ⋅ t

1. Vertikalni hitac – složeno gibanje koje se sastoji od komponenti usporenog gibanja i gravitacijskog ubrzanog gibanja (slobodnog pada). vh= 0

penjanje

h1 = v 0 ⋅ t

g padanje h 2 = ⋅ t 2 2 h

v0 vrijeme penjanja t1 = g v0 vrijeme padanja t 2 = g ukupno vrijeme t = t 1 + t 2 v0 t = 2⋅ g

g 2 h = v0 ⋅ t − ⋅ t 2 v 0 g v 20 h = v0 ⋅ − ⋅ 2 g 2 g

Uvrstimo u izraz za visinu: v0 g v2 t 2 = 02 g t=

h=

v02 v 20 − g 2⋅g

h=

2 ⋅ v02 − v20 2⋅g

h=

v 20 2 ⋅g

h = h1 − h 2

v0

v0

g h = v0 ⋅ t − ⋅ t2 2

v0 = 2 ⋅ g ⋅ h

kona čna brzina pada jednaka je početnoj brzini

35

2. Horizontalni hitac – složeno gibanje koje se sastoji od komponenti  jednolikog gibanja u smjeru p aralelnom s podlogom i gravita cijskog ubrzanog gibanja (slobodnog pada). v0

Komponenta slobodnog pada

−y=

g 2 ⋅t 2

x v0 x2 t2 = 2 v0

x

t=

x = v0· t −y=

x = v0· t

Komponenta jednolikog gibanja

g 2 ⋅t 2

−y=

h

g x2 ⋅ 2 v20

-y = h

 jednadžba parabole x=s

g s h= ⋅ 2 2 v0 2

referentna ravnina domet hica = s

s = v0

-y

Uz horizontalni hitac

2⋅h g

domet horizontalnog hica

Uz horizontalni hitac x v0

magnet

U trenutku kada se kuglica A počinje gibati početnom brzinom v0 u horizontalnom smjeru magnet oslobodi kuglicu B i ona počinje padati u slobodnom padu. Kako se meñusobno odnose vremena padanja dviju kug lica?

36

Primjer koji dokazuje da prijeñeni put tijela u slobodnom padu (otpor zraka zanemaren) ne utječe na iznos konačne brzine pada. Vrijednost konačne brzine zavisi samo o visini na kojoj se tijelo nalazi.

3. Kosi hitac – složeno gibanje koje se sastoji od komponenti  jednolikog gibanja u smjeru p od kutom s podlogom i gravita cijskog ubrzanog gibanja (slobodnog pada). y=h

h

v1= v2= v3= v4 v4

v3

v2

v0

v1

h v = 2⋅ g⋅ h

α

s

Putanja balističke krivulje materijalne točke:

Kut θ ili kut elevacije i početna brzina tijela v0 determiniraju koordinatne komponente brzina na ovaj način:

y

vy = v0 ⋅ sin θ

vx = v0 ⋅ cos θ Domet kosog hica

Vx v0

v0

ymax

Vy

Visina hica

s=

v02 ⋅ sin 2α g

h=

v02 ⋅ sin 2 α 2⋅g

θ

x

Iz slike je vidljivo da je smjer brzine tangenta na krivulju putanje: tgα =

vy vx

x=s

v0 ⋅ sin α g

Vrijeme do tjemene točke

tt =

Ukupno vrijeme

t = 2⋅

v0 ⋅ sin α g

37

Zadatak: Odrediti kut pri kojem će visina hica biti jednaka njegovom dometu.

3. Dinamika materijalne točke 3.1. Sila imasa Osnovna postavka Newtonove dinamike je pojam sile. Što je to sila i kako se može definirati silu?

h =s

h

Definirati silu je praktički nemoguće. Normalno je da se svakom fenomenu traži uzrok, recimo da se u mehaničkim fenomenima ti uzroci zovu sile.

s

h=

v 20 ⋅ sin 2 α 2g

sin2 α = sin 2α 2

s=

v02 ⋅ sin 2α g

sin α =

2 5

v02 ⋅ sin 2 α v20 ⋅ sin 2α = 2⋅g g

Iako je čovjek od prapočetaka smatrao da je osnovni uzrok gibanja sila njegovih mišića, taj atropomorfizam ne definira silu ni u operativnom ni u konstitutivnom smislu.

α = 630 25' 4,8''

Definicija sile, koju možemo znanstveno prihvatiti, je ona koju  je ponudio svojim eksperimen tom izvršenim 1784. godine engleski fizičar George Atwood svojim tzv. padostrojem:

Još u doba Galilea gibanje tijela u slobodnom padu se pripisivalo tzv. 'sili gravitacije' , a sam je Galileo dokazao da tijela padaju konstantnom akceleracijom uslijed djelovanja konstantne sile. Na temelju tih studija silu se smatralo uzrokom promjene  gibanja, a ne samog gibanja.

38

Nekadašnja ideja, da odsutnost sile proizvodi i odsutnost gibanja, zamijenjena je drugom: sila proizvodi promjenu gibanja (akceleraciju), tj. odsutnost sile proizvodi konstantnost gibanja. Prvi fundamentalni zakon dinamike ili prvi Newtonov aksiom dinamike zakon tromosti ili inercije, proizlazi upravo iz te tvrdnje. Sila je vektorska veličina, dakle osim iznosa (modula) treba joj poznavati pravac i smjer. F r 

Proučavanje prirode uključuje proučavanje svih oblika sila. Temeljna podjela sila je na gravitacijsku, elektromagnetsku,  jaku i slabu silu. Gravitacijska sila je privlačna sila meñu masama, elektromagnetna je privlačna ili odbojna meñu električnim odnosno magnetnim nabojima, jaka djeluje u jezgri meñu nukleonima, slaba je, na primjer, uzrokom tzv. beta raspada. Klasična fizika proučava gravitacijsku i elektromagnetnu. Svi procesi i dogañaji klasične fizike mogu se objasniti ovim dvjema silama. Budući da se svako realno tijelo suprostavlja promjeni stanja svojom masom, takva masa ima karakter trome ili inercijske mase.

Moguća GUT teorija velikog ujedinjenja U ranom, vru ćem Svemiru, moguće su interakcije koje ne možemo proizvesti u zemaljskim laboratorijima. Takve su na primjer interakcije velikog ujedinjenja (GUT od engl. Grand Unification Theory), prenošene česticama težim od 1014 GeV (1GeV=10-27 kg = masa protona). Naime, u epohi velikog ujedinjenja, na temperaturi od 1029 kelvina, kad je svemir bio star svega 10 -38 sekundi temeljna su meñudjelovanja (jako, slabo i elektromagnetsko) mogla bi biti ujedinjena u jedinstvenu silu

39

3.2. Newtonovi aksiomi dinamike 3.2.1. Prvi Newtonov zakon - zakon tromosti ili inercije Ako sila determinira akceleraciju, a ne gibanje, zašto za održavanje jednolikog gibanja potrebno je raspolagati s nekim motorom ili propulzorom? Galilei je smatrao da je to zbog utjecaja trenja ili drugih sila koje osporavaju gibanje. Mnogo je teže, na primjer, gurati sanduk po hrapavoj površini nego po glatkoj površini ili ledu. Ima, dakle, smisla upitati se što bi se desilo (ili ne bi desilo) ako bi površina bila idealno glatka, beskonačno duga i ne bi postojao otpor zraka.?

Inercijalna masa

Na temelju prvog Newtonovog zakona tijelo u gibanju može mijenjati brzinu samo interakcijom s okolinom. Newton dokazuje da i u slučaju interakcije dvaju izoliranih tijela postoji relacija izmeñu promjena njihovih brzina. U slučaju sraza dvaju izoliranih tijela brzine mogu biti varijabilne ( v1 , v 2), ali omjer promjena tih brzina ostaje uvijek konstantan tj. r 

∆v1 = konst. ∆v 2

Odgovor na to pitanje dao je najprije Rene' Descartes (15961650), a kasnije formulirao Isaac Newton (1642-1727) kao prvi zakon dinamike ili zakon inercije. Taj zakon glasi: neko tijelo, ako nije prisiljeno mijenjati stanje  djelovanjem neke sile, uvijek nastoji ostati u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu. Zakon inercije pretpostavlja da je tijelo izolirano tj. da na njega okolina nema nikakvog utjecaja. Sustavi u kojima vrijedi taj uvjet zovu se inercijalni sustavi.

Taj Newtonov postulat interakc ije glasi: prilikom svake interakcije izme ñ u dvaju izoliranih tijela omjer promjena  brzina tih tijela je uvijek konstantan bez obzira na trajanje  same interakcije. U skalarnim veličinama to možemo izraziti ovako:

∆v1 = − k 1, 2 ∆v 2

gdje je k1 ,k2 konstanta koja zavisi samo o tijelima 1 i 2. Budući da su ∆v1 i ∆v2 uvijek suprotnih smjerova, konstanta ima negativni predznak.

40

Pridodamo li sada tim materijalnim točkama odgovarajuće mase m1 i m2 i znajući da promjene brzina imaju suprotne smjerove, možemo napisati:

k = 1, 2

m m

2

Taj postulat možemo definirati ovako: interakcijom dvaju izoliranih tijela, promjena brzine jednog od njih ima uvijek  suprotan smjer u odnosu na drugi i obrnuto je razmjerna  njegovoj masi.

1

i uvrštavanjem u gornji izraz dobivamo izraz postulata o interakciji dvaju materijalnih točaka:

m ∆v =− ∆v m 1

2

2

1

Ovdje se, dakle, radi o tzv. inercijalnoj masi.

Gravitacijska masa  je ona masa čija vrijednost determinira svojstvo dvaju tijela da se uzajamno privlače.

3.2.2. Drugi Newtonov zakon – osnovni zakon gibanja

Uz drugi Newtonov zakon

U gravitacijskom polju Zemlje iskustvo pokazuje proporcionalnost sile i akceleracije, što se iskazuje drugim Newtonovim zakonom:

F = m⋅a r 

r 

iz čega slijedi mjerna jedinica za silu: [F ] = [m] ⋅[a] = kgms = N −2

Sila od 1 N daje tijelu od 1 kg ubrzanje od 1 ms . −2

41

Količina gibanja

Nakon izlučivanja diferencijala imamo:

 Količ ina gibanja ili nalet se definira kao umnožak mase i brzine:

d (mv ) dt i konačno slijedi da sila uzrokuje vremensku promjenu količine gibanja:

p = m⋅ v r 

r 

Smjer vektora količine gibanja jednak je smjeru vektora brzine.

F= s 

r 

dp dt

r 

F= s 

Mjerna jedinica količine gibanja je: [p] = [m]⋅ [v] = kgms = Ns −1

Ako u izrazu za drugi Newtonov zakon akceleraciju prikažemo kao diferencijalnu promjenu brzine u vremenu: dv F = m⋅a = m dt

Zakon očuvanja količine gibanja ili jednadžba balansa: ukupni impuls zatvorenog sustava je konstantan, ukupna količina gibanja je konstantna. (Rene’ Descartes u dijelu Prirodna filozofija, 1644. godine)

r 

s 

r 

3.2.3. Tre ći Newton-ov zakon

Uz definiciju koli čine gibanja

Prilikom svake interakciji (meñudjelovanja) izmeñu dvije materijalne točke promjene količina gibanja vladaju se prema slijedećoj relaciji: ∆p 1 = −∆p 2 a u jedinici vremenskog intervala:

p1 = m ⋅ v r 

r 

r 

r 

∆p1 ∆p =− 2 ∆t ∆t r 

r 

Newton je pretpostavio da ta relacija mora biti točna u svim trenucima interakcije tj. u bilo kojem vremenu promjene količine gibanja dvaju materijalnih točaka: d (m ⋅ v1 ) d(m ⋅ v 2 ) dp1 dp =− odnosno =− 2 dt dt dt dt r 

p2 = m ⋅ v r 

r 

r 

p3 = m ⋅ v r 

r 

r 

r 

42

v1   v2  m    = m    t     t r 

slijedi odnosno

r 

ili

m ⋅ a = −m ⋅ a r 

1

Uz treći Newtonov zakon

r 

2

F = −F r 

1

r 

2

Ovaj izraz matematička je formulacija trećeg Newton-vog zakona, trećeg aksioma mehanike ili zakona akcije i reakcije , koji glasi:  svaka sili koja djeluje na neko tijelo proizvodi drugu silu  jednaku i suprotnog smjera koja djeluje na isto tijelo .

Zapravo, u prirodi sile uvijek djeluju u parovima. Valja naglasiti da se dva tijela mogu meñusobno privlačiti ili odbijati i kada nisu u neposrednom dodiru jedno s drugim, već se nalaze na nekoj odreñenoj udaljenosti (gravitacijska sila, Coulomb-ova sila izmeñu naboja).

Količina gibanja i impuls sile

sila propulzije vode

sila gibanja čamca

Dijagram F-t u slučaju nejednolikog djelovanja sile:

Impuls sile je veličina umnoška sile i vremenskog intervala u kojem ta sila djeluje: F(t)

F2

I = F ⋅ ∆t

r 

r 

Sila ne mora biti stalna u promatranom vremenskom periodu, već može biti proizvoljna funkcija vremena. U tom slučaju je impuls sile jednak površini ispod krivulje sile u F-t dijagramu, u granicama vremenskog intervala:

Fi F1

ti

t2

t

43

Podjelom vremenskog intervala na dijelove t i njihovim množenjem s iznosima srednje sile Fi u granicu (limes) kada t→0, slijedi: t2

I = lim ∑ Fi ∆t i = ∫ F(t )dt t 0 i t

r 

r 

∆ i→

r 

1

Impuls je prikazan kao integral funkcije sile po vremenu u kojem ta sila djeluje. Pri interakciji (meñudjelovanju,srazu) dvaju ili više tijela dolazi do Razmjene impulsa, posljedica čega je promjena količine gibanja tijela koja sudjeluju u interakciji. Kako je veza sile i količine gibanja izraz:

dp dt

r 

F= r 

tada je

Integriranjem dobivamo: t2

p2

∫t Fdt = p∫ dp = p 2 − p1 = mv 2 − mv1 = m(v 2 − v1 ) r 

1

r 

r 

r 

r 

r 

1

a budući da je:

F ⋅ ∆t = I r 

r 

slijedi konačno:

I = m(v 2 − v1 )

r 

r 

r 

tj. impuls sile jednak je promjeni koli č ine gibanja tijela. Ako je u početku tijelo mirovalo tj.v1=0, a na kraju intervala djelovanja sile imalo brzinu v2=v, vrijedi: I = m⋅ v Impuls sile je u tom slučaju jednak količini gibanja tijela. r 

r 

dp = F ⋅ dt r 

r 

Uz definiciju impulsa sile

Uz definiciju impulsa sile – količine gibanja Svakim izbačajem povećava se meñusobna udaljenost izmeñu igračica. U jednom trenutku više neće biti moguće dobaciti loptu.

44

Zakon očuvanja količine gibanja – interakcija ili sudar Zamisli se izolirani sustav (hipotetički sustav koji bi bio zaštićen od vanjskih utjecaja) dvaju tijela (materijalnih točaka) m1 i m2 koji se gibaju s početnim brzinama v1 i v2 tako da se dogodi meñudjelovanje ili interakcija tih tijela – na primjer sraz. Sraz ili sudar može biti elastič  an pri kojem kinetička energija ostaje sačuvana, tj. ukupna kinetička energija poslije sudara jednaka je kinetičkoj energiji prije sudara. Meñutim kada se prilikom sudara dio kinetičke energije pretvori u toplinu ili deformaciju tijela sudar zovemo neelastič  an. v2

v1

Pretpostavimo li da su tijela savršeno kruta (hipotetički tijelo koje se ne može deformirati), a sudar elastičan tada je interakcija trenutna tj. vrijeme interakcije t→0. U tom trenutku tijela mase m1 i m2, prema trećem Newtonovom Zakonu, djeluju jedno na drugo silama F odnosno F . Promjena količine gibanja prvog tijela jednaka je primljenom impulsu: I = m v − m v = F ∆t r 

r 

1

1

r 

1

1

r 

'

1

21

Isto vrijedi za drugo tijelo: I = m v − m v = F ∆t r 

2

m2

12

21

r 

m1

r 

r 

2

r 

2

2

'

2

r 

12

Prema trećem Newtonovu zakonu je:

r 

F12

F21 r 

F = −F r 

r 

12

v2, r 

r 

,

v1

a tada je:

21

I = −I

r 

r 

1

2

Uz zakon očuvanja koli čine gibanja

iz čega slijedi:

m v − m v = −(m v − m v ) r 

1

r 

1

1

'

r 

1

2

r 

2

2

'

2

a nakon separiranja:

m v − m v = −m v + m v r 

1

r 

1

1

'

r 

1

2

r 

2

2

' 2

i konačno:

m v +m v = m v +m v r 

1

r 

1

2

r 

2

1

r 

1

1

'

1

Zaključak se može poopćiti na sustav od n broja čestica: n

n

∑m v = ∑m v i =1

r 

i

i

i =1

r 

i

' i

45

Neelastični sraz Ponašanje tzv. neelastičnih ili slabo elastičnih materijala (zovu se još plastični ili djelomično elastični) je u srazovima potpuno različito od elastičnih. Takva se tijela prilikom srazova deformiraju odnosno mijenjaju oblik na račun dijela svoje kinetičke energije. Potpuno neelastični sraz bio bi takav pri kojem bi se tijela sastavila i zajedno gibala nekom brzinom v, tj. bilo bi: v1 = v2 = v.

Ako tom izrazu supstituiramo izraz za elastični sraz m1· v1 +m2· v2 = m1· v‘1 +m2 · v‘2 dobivamo izraz za neelastični sraz: m1· v1 +m2 · v2 = (m1 +m2) ·v iz kojega npr. možemo izračunati zajedničku brzinu tijela nakon sraza: v=

Balističko njihalo Ureñaj kojim se mjeri brzina taneta ili projektila. Izumio ga je engleski inovator B. Robins još 1742. godine i praktički se njegova konstrukcija nije promijenila do današnjih dana.

m1 ⋅ v1 + m 2 ⋅ v 2 m1 + m2

Tane, mase m1 i nepoznate brzine vT, ispali se u horizontalnom smjeru u neku drveno tijelo mase m2 , mnogo veće od mase taneta. Drveno tijelo je obješeno na njihalo duljine l. Budući da sraz taneta i daske traje vrlo kratko vrijeme možemo smatrati na nema nikakvih utjecaja vanjskih sila pa se prema tome čitava količina gibanja očuvala čak i ako postoje mala trenja u točki vezivanja njihala i nešto otpora zraka. Znači da se čitava kinetička energija pretvorila u potencijalnu i daska se uzdigla na neku visinu y :

l l

(m1 + m 2 ) ⋅ v2

l-y

2 y x

m1 m2

vt

= (m1 + m 2 ) ⋅ g ⋅ y

a odatle je: y

v = 2⋅g ⋅ y

46

Sada primijenimo Pitagorin poučak jer, kada uzmemo u razmatranje pomak tijela na njihalu x, duljinu njihala l i visinski pomak tijela y možemo uočiti pravokutni trokut: l2 = x2 + (l – y)2 = x2 + l2 – 2yl +y2 , budući da je vrijednost y mnogo manja o odnosu na vrijednosti x i l , član y2 može se zanemariti i jednadžbu možemo napisati u obliku 2·l·y = x 2 odnosno: x y= 2⋅l

Količina gibanja se očuvala, imamo dakle: m1 ⋅ vT = (m1 + m2 ) ⋅ v

odnosno vT =

2

sada ovaj izraz uvrstimo u izraz

(m1 + m 2 )

m1

⋅v

i nakon uvrštavanja v = 2⋅ g ⋅ y

m + m  l vT =    ⋅x⋅ g   m  

i dobivamo v=x⋅

l g

Iz izraza je vidljivo da su svi parametri vrlo lako mjerljivi.

3.2.4. Sile trenja Postoje različite vrst sila trenja, ali sve imaju jednaku karakteristiku da se odupiru silama gibanja. Spomenuti ćemo četiri vrste trenja: trenje klizanja, trenje kotrljanja, statič ko trenje i viskoznost . Prva tri odnose se na kruta tijela dok se viskoznost odnosi na fluide tj. tekućine i plinove. Temeljni uzrok sile trenja izmeñu dviju površina su meñumolekularne sile koje nastoje privlačiti površinske molekule dvaju tijela koja se nalaze u kontaktu. Te privlačne sile se zajedničkim imenom zovu sile adhezije. Samo oko 5% svih sila trenja zavisi o tzv. hrapavosti površina u kontaktu, dok ostale pripadaju utjecaju sila adhezije.

Sila trenja zavisi o sili pritiska tijela na podlogu ili na drugo tijelo (Fp) i o koeficijentu trenja (µ) tvari koje se dodiruju.

F FTR FP = G = mg

hrapavost površina u kontaktu (koeficijent trenja µ)

47

Sila trenja na horizontalnoj podlozi sila trenja = sila okomita na podlogu x koef. trenja

Ftr = FP· µ

Akceleracija tog tijela će biti:

F = F - FTR sila okomita na podlogu = težina tijela

FP = G

m ⋅ a = F − FTR

Ftr = m·g· µ

m⋅a = F − m⋅ g⋅µ Djelovanjem sile F tijelo se giba po horizontalnoj površini, toj sili se suprotstavlja sila trenja Ftr suprotnog vektorskog smjera.

KOEFICIJENT TRENJA (klizanja) – ( µ )

koža – drvo koža – metal metal – metal drvo – drvo guma – asfalt čelik – led

0,3 – 0,5 0,2 – 0,3 0,1 – 0,15 0,3 – 0,4 0,7 – 0,89 (kotrljanje) 0,015

Koeficijenti trenja kotrljanja e su oko 1/10 od  µ.

a=

F − m⋅g ⋅µ m

Sila trenja na kosini

F

φ

FP φ

φ

G=mg

FP G

FP = m ⋅ g ⋅ cos ϕ

Sila okomita na kosinu –sila pritiska na podlogu

FTR = m ⋅ g ⋅ cos ϕ ⋅ µ

Sila trenja

48

Gibanja na kosini uz utjecaj trenja Sila potrebna za gibanje uz kosinu

Akceleracija uz kosinu F = FKOSINE + FTRENJA

F = FKOSINE + FTRENJA

m ⋅ a = m ⋅ g ⋅ sin ϕ + m ⋅ g ⋅ cos ϕ ⋅ µ Sila na kosini – bez utjecaja trenja FKOSINE = G ⋅ sin ϕ FKOSINE = m ⋅ g ⋅ sin ϕ FTRENJA = m ⋅ g ⋅ cos ϕ ⋅ µ

a = g ⋅ sin ϕ + g ⋅ cos ϕ ⋅ µ

F

φ

φ

a = g ⋅ (sin ϕ + cos ϕ ⋅ µ)

G

sila trenja na kosini

Sila potrebna za gibanje na kosinu – sa utjecajem trenja

F = m ⋅ g ⋅ sin ϕ + m ⋅ g ⋅ cos ϕ ⋅ µ

Akceleracija niz kosinu F=F

KOSINE

Tijelo miruje na kosini v=0

− FTRENJA

sila trenja sila niz kosinu

m ⋅ a = m ⋅ g ⋅ sin ϕ − m ⋅ g ⋅ cos ϕ ⋅ µ sila niz kosinu – sila trenja = nula

a = g ⋅ (sin ϕ − cos ϕ ⋅ µ )

F

NIZ KOSINU

F

TRENJA

= m ⋅ g ⋅ sin ϕ

sila niz kosinu = sila trenja

= m ⋅ g ⋅ cos ϕ ⋅ µ

m ⋅ g ⋅ sinϕ = m ⋅ g ⋅ cos ϕ ⋅ µ sinϕ = cos ϕ ⋅ µ µ=

sin ϕ = tgϕ cos ϕ

49

3.2.5. Sile otpora sredstva Kretanju krutog tijela kroz fluid (zrak ili voda) suprotstavlja se sila otpora sredine u kojoj se tijelo giba. Na primjer otpor zraka (FZ) kod vozila nastaje iz dva razloga: zbog razlike tlakova na prednjem i stražnjem dijelu vozila i zove se otpor oblika i zbog trenja čestica zraka i površine vozila i zove se otpor trenja.

otpor trenja

otpor oblika

Izraz za otpor oblika:

Izraz za otpor trenja:

v 2

2

F = c ⋅A ⋅ρ ⋅ Z

x

z

FTR = m·g·µ(e)

x

Parametri u izrazu za otpor oblika jesu: cx = koeficijent otpora oblika (ovisi o aerodinamičnoj ili hidrodinamičnoj liniji) A = čeona površina tijela npr. letjelice, vozila ili plovila ρz = gustoća fluida (zraka ili vode) vx = relativna brzina gibanja aviona, vozila ili plovila u odnosu na okolinu tj. gibanje zraka ili vode

Na primjer sila koju mora savladati vozilo koje se giba uzbrdo i na njega istovremeno djeluju otpori kosine, otpor oblika i otpor trenja je: F

uspon 12%

Koeficijent otpora oblika (cx) je vrijednost dobivena ispitivanjem profila u aerodinamičnim tunelima ili hidrodinamičnim bazenima: ravna okrugla ploča cx~ 2,1

kugla cx= 0,2 -0,45

12 = sin 0,12 100 arcsin ϕ0,12 = 6,892 ≈ 7

Uspon 12 % = sin ϕ

0

šuplja polukugla cx= 1,4 -1,6

0

oblik kišne kapi cx= 0,05

50

sila gibanja = sila uspona + sila otpora oblika + sila otpora trenja sila uspona

F = m ⋅ g ⋅ sinϕ

sila otpora oblika

v2 F = c x ⋅ A ⋅ ρz ⋅ x 2

sila otpora trenja

F = m ⋅ g ⋅ cos ϕ ⋅ µ(e)

u

z

TR

4. RAD, ENERGIJA, SNAGA 4.1. Rad Sila koja djeluje na neko tijelo uzrokuje gibanje toga tijela ili njegovu deformaciju. Ako je pritom sila konstantna tijelo će se gibati ubrzano sa konstantnom akceleracijom. Ako se tijelo giba pod utjecajem neke sile kažemo da ta sila obavlja rad. Rad se definira kao umnožak sile i pomaka na kojem ta sila djeluje. Kada je sila kolinearna s putanjom tijela tada je rad:

Ukupna potrebna sila:

r 

v ∑ F = m ⋅ g ⋅ sin ϕ + c ⋅ A ⋅ ρ ⋅ + m ⋅ g ⋅ cos ϕ ⋅ µ(e) 2

F

2

x

x

z

B

A

W = F⋅ s r 

Ako sila nije kolinearna s putanjom, već s njom zatvara kut, tada rad obavlja samo komponenta sile koja djeluje u smjeru putanje:

Kada je sila koja obavlja rad promjenljiva obavljeni rad predstavlja površina ispod grafa koji prikazuje tu promjenljivu silu:

F

φ

Fs

FsA

Fs

A

B

W = F ⋅ cos ϕ ⋅ s r 

r 

Fsi W

r 

Predstavljeni rad obavila je sila koja ima konstantnu vrijednost tj. to je rad stalne sile.

FsB

A

B

Si

S

Rad se definira kao umnožak sile i pomaka: ∆W ≈ F ⋅ ∆s i

Si

i

51

Što znači da je element rada približno jednak umnošku projekcije elementa sile i pripadne projekcije pomaka (puta) i približno odgovara površini ispod krivulje Fs(s).

U zadanim granicama od A do B: B

W = ∫ Fs(s)ds Ukupni rad W je suma elemenata rada Wi . Kad diobeni element puta teži k nuli (s → 0) tada broj diobenih elemenata n teži ka beskonačnosti (n → ∞) n W = lim ∑ Fsi⋅∆si i=1 ∆s→o n →∞

A

To je izraz za rad sile F koja je uzrok gibanju materijalne točke od točke A do točke B. Izvedena mjerna jedinica u SI sustavu je: [W ] = [F ]⋅ [s ] = N ⋅ m = kg ⋅ m s = J 2

-2

 James Prescot Joule – engleski fizič ar, 1818 -1889.

4.2. Energija

Rad nekolinearnih sila

Energija je svojstvo tijela da djeluje ili obavlja rad. Kada tijelo ili sustav tijela obavlja rad tada mu se smanjuje energija (E<0). Obrnuto, ako okolina nekog tijela obavlja rad nad njim, dolazi do povećanja energije tijela (E >0). Na temelju ekvivalencije energija i rad imaju istu mjerne jedinice (J). Pojavnih oblika energije ima sedam, ali osnovna je podjela na potencijalnu (energiju položaja) i kinetičku (energiju gibanja).

W = F ⋅ cos α ⋅ s r 

52

4.2.1. Kinetička energija

Budući da se radom postigne porast brzine od 0 do v, slijedi:

Kinetička energija je energija tijela u gibanju. Energija se, po definiciji, može povezati s radom. dv W = ∫ F ⋅ ds = m ⋅ a ⋅ ds = ∫ m ds dt

v2 v 1 2 = mv 0 2 0 2 Kinetička se energija najčešće označava sa Ek:

Budući da je u granicama klasične fizike masa konstantna izvede se izvan integrala: ds W = m ∫ dv dt Budući da je ds =v dt možemo napisati W = m∫ v ⋅ dv

4.2.2. Potencijalna energija i konzervativni sistemi

v

W = m∫ vdv = m

1 EK = mv 2 2 Obavljen rad je uvijek jednak razlici tj. promjeni kinetičke energije: s v 1 1 W = ∫ Fds = m ∫ vdv = mv22 − mv12 = Ek 2 − Ek1 s v 2 2 2

2

1

1

W = ∆E

y FV

Tijelo može imati energiju i zbog svog položaja u odnosu na druga tijela. To su potencijalne ene rgije a mogu biti gravitacijska potencijalna energija, elastič na energija, elektrostatska energija i magnetska energija.

v =0

G y1 – y0 =y

FV

G

Sistem u kojem ne postoji sile trenja i ostale sile koje bi uzrokovale disipaciju kinetičke energije tijela nazivaju se konzervativni sistemi. Tipičan primjer konzervativnog sistema je djelovanje gravitacijske sile na neko tijelo u prostoru zanemarivog otpora zraka:

y1

FV = 0

FR G y0 G = -FV

x

G G = -FR

53

Zamisli se tijelo mase m koje miruje na referentnoj podlozi. Gravitacijskoj sili koja na njega djeluje suprotstavlja se reakcijska sila podloge. G = - FR

odnosno

m·g = - FR

budući da je y0 = 0 tijelo miruje. Ako sada na tijelo djelujemo nekom vanjskom silom FV u smjeru okomitom na podlogu i kada ta sila postane lagano veća od gravitacijskog privlačenja G, tijelo počinje vertikalno gibanje.

Rad koji smo izvršili nad tijelom da bismo ga podigli na visinu y je: ∆W = G · y

odnosno

K

Sada tijelo miruje na visini y1, kinetička energija uzrokovana silom FV svede se na nulu, isto tako i njegova brzina. Budući da smo otpor zraka zanemarili sila koja djeluje sada na tijelo je samo sila gravitacije.

Supstitucijom tih dvaju izraza dobivamo: 2 1 EK = m ( 2 ⋅ g ⋅ ∆y ) 2

odakle slijedi:

EK = m ⋅ g ⋅ ∆ y To je točno onoliku koliko smo uložili za njegovo podizanje. Princip održanja ili očuvanja energije je time dokazan.

v = 2 ⋅ g ⋅ ∆y 1 E = m⋅v 2

G = - FV

∆W = m · g ·  y

Ako u tom trenutku eliminiramo silu FV, tijelo slobodno pada i u trenutku udara u referentnu podlogu postigne brzinu:

i kinetičku energiju

Da bismo ga zadržali na nekoj visini y1 moramo najprije smanjivati vanjsku sil u FV sve dok ne postane lagano manja od sile gravitacijskog privlačenja, a tek onda te sile potpuno izjednačimo:

2

Potencijalna sposobnost nekoga tijela, koje se nalazi u stanju mi rovanja,da može vršiti rad na rač un svoga položaja zapravo nam kazuje da se energija može “uskladištiti” u samom tijelu. Takav oblik energije zove se potencijalna energija (E P )

54

Zakon o održanju energije i količine gibanja opisao je Newton u svom najvećem dijelu Philosophiae Naturalis principia Mathematica (objavljenom 1687. godine) i demonstrirao pomoću njihala:

Uz zakon o očuvanju energije

AB = h

Ek =

Ep = m ⋅ g ⋅ h

m⋅v

2

2

referentna ravnina

4.2.3. Snaga

Trenutna ili prava snaga odreñena je na limesu kada vremenski

interval teži k nuli: Fizikalni pojam snage (za razliku od atropomorfičkog pojma) predstavlja izvršeni rad u funkciji vremena u kojem se taj rad obavlja: W P= t

P = lim P

odnosno

P = lim ∆t →0

∆t →0

Budući da je rad

∆W dW = ∆t dt

dW = F ⋅ d s r 

r 

r 

dW F ⋅ d s = dt dt ∆s v= ∆t

r 

Taj izraz je logičan kada snaga ima stalni intenzitet  u suprotnom definiramo tzv. srednju snagu:

slijedi da je snaga

P=

r 

P=

∆W ∆t

a budući da je slijedi izraz za snagu

r 

P = F⋅ v r 

r 

55

Kad izmeñu vektora sile i vektora puta postoji neki kut α izraz za snagu je:

P = F ⋅ v ⋅ cos α Snaga je skalarna veličina, a njezina mjerna jedinica je vat (James Watt, 1736 – 1819).

−1

F21 m1

F12 m2 r

m ⋅m FG = G 1 2 r 2

Isaaca Newtona je, pri objašnjenju empiričkih zakona Johannesa Keplera o gibanju planeta, dovelo do generalizacije tog zakona po kojem meñusobna privlačenja dvaju svemirskih tijela nije ništa drugo nego specifični primjer jedne univerzalne sile koja djeluje izmeñu svih tijela.  Dva materijalna tijela masa m i M, odvojena n a nekoj meñ usobnoj udaljenosti r, uzajamno se privlač e silom usmjerenom po pravcu koji spaja ta tijela. Ta je sila proporcionalna umnošku tih dvaju masa, a obrnuto  proporcionalna kva dratu njihove meñ usobne udaljenosti .

[W ] J = = Js = W [t ] s

[P ] =

5. KLASIČNA GRAVITACIJA

Sila gravitacije koja djeluje izmeñu dvaju tijela ne zavisi o tome da li tijela miruju ili se gibaju ili o prisutnosti nekog tre ćeg tijela. Na primjer na gravitacijsku silu izmeñu Sunca i Zemlje ne utje če prolazak Mjeseca izmeñu njih. Gravitacijska sila se, dakle, razlikuje od svih drugih interakcija. Konstanta gravitacije G (koja je u vrijeme Newtona imala smisao konstante proporcionalnosti) jedna je od univerzalnih konstanti fizike. Njezina vrijednost zavisi isključivo o mjernim jedinicama koje se koriste i potpuno je nezavisna o mjestu, vremenu, temperaturi ili bilo kojoj drugoj fizikalnoj veličini.

56

Prvi koji je kvantitativno izmjerio vrijednost gravitacijske konstante bio je francuski fizičar Henry Cavendish, 1798. godine, pomoću torzione vage. Preciznija mjerenja (Jolly, 1878.; Krigar-Menzel, 1896.) dala su definitivni rezultat vrijednosti te konstante: G = (6,672 ± 0,004)·10-11 Nm2kg-2

5.1. Gravitacijska potencijalna energija Uz pretpostavku da je referentni sustav površina Zemlje tj. h = 0 i Ep = 0, tada je potencijalna energija na nekoj visini h jednaka: Ep = m·g·h Izraz je točan za male visine, jer kod većih visina potrebno je uzeti u obzir korekciju zbog promjene vrijednosti gravitacijske akceleracije (g). Točka koja se nalazi na visini h od površine Zemlje, udaljena je od središta Zemlje za RZ + h (srednji polumjer Zemlje RZ = 6371 km)

Ova vrijednost odgovara sili (izraženoj u newtonima), koja djeluje izme ñu dvije homogene kugle mase 1 kg, koje se nalaze na meñusobnoj udaljenosti od 1 m. U područ ju istraživanja Sunčevog sustava zahvaljujući fenomenu gravitacije moglo se, na primjer, 1846. godine otkriti planet Neptun, prije nego se taj planet mogao vidjeti, ili 1930. godine otkriven je takoñer “za stolom” tj. matematičkim modelom sada već bivši planet Pluton ( ove je godine na simpoziju u Pragu preimenovan u planetoid, te tako izgubio kategoriju planeta), samo na temelju gravitacijskih perturbacija koje su, zbog njegove prisutnosti, uočene na Uranu. Tada izračunata pozicija Plutona razlikovala se za manje od jednog stupnja od vrijednosti poznate danas. Budući da mu je orbitalno vrijeme 247 godina od trenutka otkrića do danas Pluton je prešao tek 30% trajanja svoje godine.

U toj točki gravitacijsko polje (γZ) Zemlje iznosi : γ Z = G

MZ (RZ + h )

2

Zamisli se tijelo mase m koje miruje na visini h. Sile koje djeluju na tijelo su jednake, ali suprotnih vektorskih usmjerenja: G – FG = 0 G = FG

m⋅g =G h

m⋅ M

Z

(R + h )

2

Z

gh = G

MZ 2

(RZ + h )

57

Izlučimo li iz tog izraza konstantu gravitacije: g (R + h ) M i uvrstimo u izraz za gravitacijsko polje M γ  = G (R + h ) 2

G=

h

Z

Z

zamisli se da tijelo mase m miruje na površini Zemlje: m⋅M m⋅g = G R Z

0

Z

Z

2

Z

2

Z

dobivamo

Gravitacijsku akceleraciju (gh) na nekoj visini h od površine Zemlje odreñujemo ovako:

nakon kraćenja mase tijela

g (R + h ) M γ  = ⋅ (R + h ) M 2

h

Z

Z

Z

Z

2

Z

g =G 0

M R

Z

2 Z

i konačno dokazujemo da je vrijednost gravitacijskog polja  jednaka vrijednosti gravitacijske akcel eracije na istim visinama: γ Z = g

Sada zamislimo to tijelo na visini h od površine Zemlje:

g =G h

M

Z

(R + h )

2

Z

Izjednačimo li ta dva izraza po konstantama G · MZ:

G ⋅ MZ = g 0 ⋅ R 2Z G ⋅ M = g ⋅ (R + h )

2

Z

h

Z

Umjetni Zemljini sateliti različitih namjena (meteorološki na visini od 700 -1000 km, znanstveni, špijunski, vojni za navoñenje, geostacionarni za telekomunikacije na visini od 36 000 km) rotiraju oko Zemlje različitim brzinama i na različitim visinama. Njihova centrifugalna sila rotacije mora uvijek biti izjednačena privlačnoj gravitacijskoj sili Zemlje.

dobivamo:

Fcp

g 0 ⋅ R = gh ⋅ (RZ + h ) 2 Z

2

FG   h

RR Z Z

i konačno:

gh = g 0 ⋅

R 2Z 2

(RZ + h )

58

Geostacionarni sateliti

Gibanje umjetnih zemljinih satelita

satelit

v

r 

FG = FC

FG r 

G⋅

FG r 

v

ms ⋅ MZ v2 2 = ms ⋅ (RZ + h ) (RZ + h )

repetitor

r 

FG r 

v r 

Telekomunikacijski geostacionarni sateliti

θ V

t

Manje tijelo se giba u blizini većeg tijela koje ga gravitac ijski privuče jer ima veću masu U trenutku prolaska kroz gr avitacijsko polje većeg tijela manjem tijelu se pove ća brzina. Taj se učinak koristi za gibanja interplanetarnih sondi ko je se na taj način ubrzavaju bez vlastitog pogona i gibaju se vlastitom inercijom.Taj se efekt zove svemirska “praćka”.

59

Svako tijelo se giba jednoliko po pravcu sve dok neka vanjska sila ne promijeni njegovo gibanje. (zakon inercije ili tromosti – 1.Newtonov aksiom mehanike) U slučaju gibanja planeta ili svemirskih sondi putanja je rez ultanta vektora njihove brzine i gravitacijskog privlačenja Sunca usmjerenog prema središtu sunčeva sustava tj. ka Suncu.

Djelovanjem gravitacijske sile na Zemlji se dva puta dnevno izmjenjuju plima i oseka.

Učinak “svemirske praćke” U interplanetarnim letovima gravitacijska sila je propulzija (gorivo). Gravitacija mase neke planete najprije privuče, a potom odbaci interplanetarnu sondu dalje do neke druge mase. Sonda se pritom giba vlastitom inercijom.

Učinak gravitacijske sile Mjeseca na zemljine vodene površine.

~ 384 000 km Položaj 1

Položaj 2

Mjesec: masa 7,5·1022 kg ( 1/81 MZ); polumjer 1738 km (0,27 Rz) , prosječna gustoća 3300 kgm-3 ( 0,6 ρz); udaljenost: najmanja (perigej) 356 400 km, najveća (apogej) 406 700 km, srednja 384 401 km; perioda rotacije 27 dana 7 sati 43 minute (siderijski mjesec).

60

Zadatak: Zemljopisne koordinate grada Pule su λ = 440 51’ 49’’ N (sjeverne širine) i φ = 130 50’44’’ E (istočne dužine). Polumjer Zemlje na λPula iznosi Rλ = 6388,733 km.

RPula

Odrediti približnu vrijednost akceleracije sile teže na područ ju grada Pule.

Meñuzvjezdane letjelice iz programa SETI Voyager 1 i Voyager 2 lansirani su 20.08.1977. i 5.09.1977. Sonde su napustile Sunčev sustav i lete svemirskim prostranstvima ususret najbližoj zvijezdi.

M g=G 2Z R Pula 2 G = 6,67 ⋅ 10−11 Nm2

VOYAGER 1

VOYAGER 2

kg

M = 6 ⋅ 1024 kg

g = 6,67 ⋅10−11 ⋅

6 ⋅ 1024

(6388,733 ⋅ 103 )2

m g = 9,805 2 s

61

VOYAGER 2 Izvor električnog napajanja će trajati do 2030. godine Meñuzvjezdani let bi trebao trajati 40 000 godina. Brzina leta 56 000 km/h ili 35 000 Mph

Povodom 500-te godišnjice otkrića Amerike 12. listopada 1992. godine obnovljen je program SETI (Search of Extra-Terrestrial Intelligence) koji je bio napušten nakon lansiranja blizanaca Voyager 1977. godine zbog financijskih razloga. Moderna astronomija potvrñuje 1010 galaksija. Svaka galaksija ima prosječno 1011 zvijezda. Ukupno dakle 1021 zvijezda. Neka svaka milijunta ima sustav planeta dolazimo do brojke od 1015 koje imaju planetarni sustav. Zar nije stoga jako pretenciozno t vrditi da smo sami u Svemiru? Ipak su neposredni kontakti su za sada malo mogući.

Posjeti i zadnje emisije signala.

Voyager Golden record

9. 07. 1979. Jupiter 25.08.1981. Saturn 24.01.1986. Uran 25.08.1989. Neptun

6. MEHANIKA FLUIDA Fluidi su zajednički naziv za tekućine i plinove. Različito im je svojstvo da su tekućine teško tlačive (reda veličina 10-10 Pa) dok se plinovi lako mogu tlačiti. Zajedničko im je svojstvo velika pokretljivost čestica te zbog toga im oblik nije trajno svojstvo već poprimaju oblik posude u kojoj se nalaze. Dio mehanike fluida koja proučava svojstva fluida u stanju mirovanja zove se statika fluida.

Osnovni problem je tehnologija malih brzina. Voyager 2 leti brzinom 56 000 km/h odnosno oko 1,56·104 m/s, a to je 19230 puta sporije od brzine svjetlosti. Najbliža zvijezda Alfa-Centauri udaljena je 4,6 svjetlosnih godina. Voyageru bi trebalo više od 88 000 godina do te zvijezde. Letjelica sa ljudskom posadom može razviti brzinu od oko 22 000 km/h. a gdje je još u tom kontekstu vrlo kratak vijek čovječ jeg života.

Zbog svoje pokretljivosti čestice u fluidu djeluju jedne na druge i sa stjenkama posude u kojoj se nalaze. Kada je fluid u mirovanju, sile interakcije koje djeluju na odreñenu površinu S uzrokuju pritisak ili tlak. Tlak je djelovanje sile okomito na jedini č  nu površinu: F p= S

Ako sila koja uzrokuje pritisak nije jednaka u svim dijelovima Površine na koju djeluje, tada se definira srednji tlak:

p=

∆F ∆S

62

Pravi tlak je granična vrijednost srednjeg tlaka uz uvjet da element površine teži k nuli: ∆F dF = p = lim S 0 ∆S dS Mjerna jedinica za tlak je:

Čestice u gibanju generiraju tlak.

∆ →

[p] =

[F] N = = Pa [S] m 2

Budući da je smisao površine vektor okomit na ravninu

dF dS r 

p=

r 

tlak je skalarna veličina.

6.1. Stevinov zakon – hidrostatski tlak Simon Stevin – belgijski fizičar (1548 – 1620) Jednolikim djelovanjem gravitacijske sile na sve čestice tekućine koja miruje, elementi svih parcijalnih sila orijentirani su okomito na dno posude. Zamisli li se otvorena posuda s tekućinom koja miruje i unutar te tekućine neki parcijalni volumen (tijelo) tekućine npr.u obliku valjka ili kvadra: F1 S

G

h

F2

Zamišljeno parcijalno tijelo tekućine ima visinu h i površinu baze  ∆S . Na gornju površinu djeluje atmosferski tlak pa, te je sila na gornju površinu jednaka: F1 = p A ·∆S Na donju površinu djeluje tlak p na dubini h, te je sila na donjoj površini jednaka: F2 = p·∆S Težina zamišljenog parcijalnog tijela tekućine je: G = ∆m·g

63

budući da je dobivamo :

a kako je volumen

∆m = ∆V·ρ

Zamišljeno parcijalno tijelo tekućine je u ravnoteži tj. ne propada niti se diže. Znači da su sile koje djeluju na njega u ravnoteži: G + F1 – F2 = 0

G = ∆V·ρ·g

Nakon uvrštavanja odgovarajućih izraza slijedi: ∆S · ρ · g·h+ pA ·∆S – p · ∆S = 0

∆V = ∆S·h

nakon kraćenja dobivamo:

ρ · g · h + pA – p = 0

G = ∆S·ρ·g·h i konačno:

p = pA + ρ · g · h

Prvi član izraza je atmosferski tlak , koji pri standardom stanju atmosfere iznosi p A = 101325 Pa, drugi č lan izraza je hidrostatski tlak koji zavisi o dubini i gustoći tekućine.

Tlak tekućine koja miruje ne zavisi o orijentaciji površine na koju djeluje. Zamislimo li neko tijelo uronjeno u tekućinu u obliku npr. prizme. Prizma miruje tj. u ravnotežnom je stanju:

c φφ

a

Sile koje djeluju na površine ploha prizme trebaju se poništavati budući da se tijelo nalazi u ravnoteži. Možemo dakle napisati ovako: pc · c · cosφ = pa · a

b

pc · c · sinφ = pb · b

Tlakovi na pojedine stranice su:

c pa = pc cos ϕ = pc a iz čega slijedi:

φ

i

i

c pb = pc sin ϕ = pc b

pa = pb = pc

Tlakovi u tekućini koja miruje su jednaki u svim smjerovima djelovanja.

64

Ako su površine dna različitih oblika i volumena posuda  jednake, a u njima se nalaze te kućine istih gustoća i na jednakim visinama, sila na dno tih posuda biti će jednaka. F p= U izraz za definiciju tlaka S supstituiramo izraz za hidrostatski tlak p = ρ·g·h i izlučimo silu, dobivamo F = ρ·g·h·S.

Taj se fenomen naziva hidrostatski paradoks.

h

Iz izraza je vidljivo da sila ne zavisi o koli čini tekućine koja se nalazi u pojedinim posudama, odnosno o težini tekućine već samo o visini nivoa i gustoći tekućine te površini dna.

Stevinov zakon – hidrostatski tlak

Djelovanje hidrostatskog tlaka - presjek brane

65

6.2. Pascalov zakon Blaise Pascal – francuski fizičar (1623 -1662) Djeluje li vanjska sila na tekućinu, tada se tlak jednoliko širi u svim smjerovima unutar volumena tekućine i djeluje u svim njezinim točkama.

F1

p1 =

F1 S1

F2

S1

S2

p2 =

F2 S2

p1 = p 2

F1 F2 = S1 S2 Ovaj zakon se odnosi na djelovanje vanjskog tlaka i naziva hidraulič ki tlak.

Primjena Pascalovog zakona

6.3. Atmosferski tlak – barometarska formula Atmosfera je Zemljin plinoviti omotač koji se proteže do oko 700 km visine i štiti planetu od štetnih ultraljubičastih i xzraka koje dolaze sa Sunca. Konvencionalno, na temelju toplinskih karakteristika, atmosfera se dijeli na:

F1 F2 ili F1 ⋅ S2 = F2 ⋅ S1 = S1 S2

- troposferu koja se prostire od površine Zemlje do oko 10 km visine na polovima i do oko 18 km visine na ekvatoru. Temperatura u tom sloju opada prilično pravilno od oko 250 C do oko –750 C. U troposferi se dešavaju sve meteorološke pojave i promjene. Prevladavajući plinovi u tom sloju su: 78% dušik, 20,8% kisik, oko 1 % argon, vodena para, uglji čni dioksid, te u tragovima neon i helij;

66

- stratosfera je sloj koji se prostire od oko 15 km do oko 55 km visine. U tom se sloju nalazi dragocjeni ozonski omotač, molekula kisika s troatomskom strukturom koja apsorbira ultraljubičasto i x zračenje; - termosfera  je sloj koji se rasprostire do oko 500 km visine. Temperatura se u tom sloju povećava do oko 7000 C i ostaje takva i u esosferi. U termosferi izmeñu oko 100 km i oko 300 km nalazi se sloj koji se zove ionosfera u kojoj su većina atoma ionizirani zbog radijacije x-zraka i srazova s energetskim česticama nazvanim  kozmič  ke zrake. - esosfera  je gornji vrlo razrije ñeni sloj omotača u kojem je temperatura konstantna od oko 7000 C.

Talijanski fizičar Evagelista Torricelli (1608-1647) izmjerio je 1645. godine vrijednost atmosferskog tlaka.

U plitku otvorenu posudu s živom uroni se zatvorena cijev takoñer ispunjena živom. Stupac žive u cijevi će se postaviti do one visine kada hidrostatski tlak, uzrokovan njegovom težinom, bude u ravnoteži s atmosferskim tlakom. Ta visina iznosi 760 milimetara, a tlak iznad žive u cijevi će biti nula p1 =0 (vakuum): pA = ρHg ⋅ g ⋅ h + p1

p1 = 0

pA = ρHg ⋅ g ⋅ h

67

Demonstracija sile koju proizvodi atmosferski tlak na površini Zemlje budući da j gustoća žive ρHg = 13595 kgm-3, a h = 0,76 m slijedi da je numerička vrijednost atmosferskog tlaka: pA = 101325 Pa

Ottovon Guericke, 1654. godina – Magdenburg

ili 1013,25 hPa

i zove se standardni ili normirani atmosferski tlak.

Mjerna jedinica za vrijeme Torricelli-ja zvala se torr. 1 torr =1 mm Hg stupca ,1 torr ≅133,3 Pa; odnosno 1Pa ≅ 75 ⋅10 −4 torra. Torr je zabranjena mjerna jedinica jer nije u SI sustavu.

Atmosfera svojom težinom djeluje na površinu zemlje ogromnom silom. Čovjek tu silu ne osjeća jer su unutarnji tlak u tijelu i vanjski tlak koji djeluje na tijelo uravnoteženi.

Sinoptička karta sa izobarama ( linije koje spajaju mjesta sa jednakim vrijednostima atmosferskog tlaka)

Otto van Guericke je iz dvije polukugle polumjera oko jednog metra, koje su svojim obodima savršeno nalijegale jedna na drugu, isisao zrak i tako proizveo vakuum. Unutarnji tlak je sada poništen, a ostao je samo vanjski, atmosferski, tlak, Sila koju je vanjski atmosferski tlak proizveo bila je tako velika da osam upregnutih konja nisu mogla razdvojiti te polukugle

68

Prema svojoj prirodi atmosferski tlak nije stalna veličina, njegova vrijednost zavisi o mnogo različitih faktora, u prvom redu o nadmorskoj visini.

Na visini h neka je tlak p, a na visini h+ ∆h neka je tlak  p+ ∆ p, prema svojstvu da tlak pada s visinom tada za pozitivni  ∆h slijedi negativni ∆ p:

Atmosferski tlak se smanjuje s nadmorskom visinom po funkciji koja je izražena tzv. barometarskom formulom . p+ p

dp= – ρ · g · dh Promjena tlaka zbog promjene visine izaziva promjenu gustoće zraka i to obrnuto proporcionalno (Boyle - Mariotteov zakon):

∆h

ρ( h )

p h p0

=

ρ( 0 )

p( h ) p( 0 ) h=0

gdje je : - p(0) = normirani atmosferski tlak na nivou mora - ρ(0) = gustoća zraka na nivou mora i temperaturi 0 0 C ( 1,293 kgm-3) - p(h) = atmosferski tlak na visini h - ρ(h) = gustoća zraka na visini h

Separiramo varijable:

p(0) ⋅ dp = − ρ( 0 ) ⋅ g ⋅ dh p( h ) Budući da su p0 i ρ0 konstante vrijednosti, tada je: p

p ( 0) = ∫

Transformiramo gornji izraz po ρ(h): ρ( h ) =

ρ( 0 )

p( 0 )

p0

⋅ p( h )

p ( 0 ) (ln p( h ) − ln p ( 0 ) ) = − ρ( 0 ) ⋅ g ⋅ h ρ( 0 )

Uvrstimo u prvi izraz za dp:

dp = −

h dp = −ρ( 0 ) ⋅ g ∫ dh 0 p( 0)

−p ( 0 )g⋅h p( h ) =−e p(0 ) ( 0) −ρ p( 0 )g⋅h p( h ) = p ( 0 ) ⋅ e

ln ρ( 0 )

p(0 )

⋅ p( h ) ⋅ g ⋅ dh

i konačno:

69

Uzmemo li u obzir da je pri normiranom tlaku i temperaturi (p 0 = 101325 Pa, t = 00 C) gustoća zraka ρ0 = 1,293 kgm-3, tada možemo barometarsku formulu izraziti i u tzv. skraćenom obliku: − h p ( h ) = p( 0 ) ⋅ e 7990

Njegov genijalni matematički um proizveo je nevjerovatne postulate koji bez zadrške vrijede i danas: način pisanja velikih brojeva te način odreñivanja broja zrnaca pijeska u kugli čiji promjer bi bio jednak promjeru Zemlje, odnos površine i volumena kugle i cilindra u kojem se smjestila ta kugla te naročito osnovne zakone mehanike i statike tj. znanosti o ravnoteži tijela. Prvi puta Arhimed rabi pojam gravitacija, kojom će se, mnogo stoljeća kasnije proslaviti Isaac Newton.

Otprilike jedno stoljeće poslije Aristotela na scenu stupa najgenijalniji duh mediteranskog civilizacijskog bazena veliki grčki um Arhimed (287 – 212 pK). Roñen u Siracusi na Siciliji u podneblju vedrih noći i sin astronoma nije mogao drugačije nego zaljubiti se u matematiku i astronomiju. Otac Fidije bio je astronom i matematičar.

Zakoni poluge i koloture koje je razvio Arhimed presudno su promjenila tehniku grañenja i arhitekturu. Beskonačni vijak, kojega je izmislio kad je dekretom postavljen za vojnog savjetnika, omogućavao je jednostavnim okretanjem vretena podizanje vode na viši nivo te jednostavnu irigaciju tla. Takoñer, kao vojni savjetnik, konstruirao je prvi katapult kao preteču artiljerijskog oruž ja. Prema legendi Arhimed je rekao: “dajte mi dovoljno dugu polugu i čvrsti oslonac u Svemiru i podići ću Zemlju”.

70

U obrani Siracuse od napada Rima, za vrijeme rata Rima protiv Kartage paraboličnim zrcalima fokusira je sunčevu svjetlost na rimske brodove i uništava ih vatrom koju je proizvela visoka temperatura.

Godine 212 pK Siracusu napadaju rimske legije. Grupa vojnika upada u Arhimedovu kuću, nalaze ga u vrtu kako, zamišljen, crta po pijesku obrise nekog novog izuma. Arhimed im se obrati na lošem latinskom jeziku “noli tangere circulos meos” – ne dirajte moje krugove. Vojnik, koji vjerovatno nije dobro razumio što mu je Arhimed mirno rekao, isukao je mač i usmrtio ga. Godine 137 pK, Ciceron, koji je postao rimski kvestor Sicilije, dao je obilježiti Arhimedov grob. Danas je na grobnom kamenu uklesana kugla u valjku i Arhimedova matematička formula njihovih meñusobnih omjera.

Arhimed je, možda, najpoznatiji po uzviku “heureka”. Riječ je nastala od glagola heurisko što znači nañem, izračunam, izmislim. U djelu “ O plivanju tijela” dokazuje računski i eksperimentalno da “na tijelo uronjeno u tekućinu djeluje sila usmjerena prema gore koja je jednaka težini tekućine koju je tijelo istisnulo”. Na taj način tijelo u tekućini postaje prividno lakše što omogućava plivanje i tijelima koja su po svojem sastavu teža od vode.

6.4. Arhimedov zakon Iskustvena je činjenica da tijela prividno postaju lakša ako se urone u fluid. Pojavu je objasnio Arhimed (287-212 pK ). pA F1 h

p1

h1

h2

p2 F2

71

nakon separiranja dobivamo:

budući da je h2 > h1 biti će i p2 > p1 i takoñer F2 > F1 tj. F2 – F1 = ∆F.

Fu = S · ρ · g · (h2 –h1)

Rezultat razlike tih dviju sila je rezultanta Fu koja je zove sila uzgona ili uzgon : ∆F = Fu = F2 – F1 = (pA + ρ · g · h2) · S – (pA + ρ · g · h1) · S

odnosno:

(voditi rač una da je  ρ gustoća tekućine u koju je tijelo uronjeno, a ne gustoća tvari od koje je tijelo izrañ eno)

i dalje: Fu = S·ρ· g·h2 – S·ρ·g·h1

Supstituiramo li u formulu izraz za gustoću tijela ρ =

Fu = ρteku ćeku⋅ g ⋅ Fu =

vrijedi i obrnuto

m ρtijela

slijedi konačni izraz za silu uzgona: Fu = ρ · g · V

Fu = S·pA + S·ρ·g·h2 – S·pA – S·ρ·g·h1

dobivamo

budući da je h2 – h1 = h a volumen uronjenog tijela V = S · h

m V

Uz Arhimedov zakon

m⋅g = G

ρteku ćeku ⋅ Gtijela ρtijela

ρteku ćeku ⋅ Gtijela = Gteku ćeku ρtijela

Sila uzgona je, dakle, jednaka je težini istisnutog fluida, iz čega slijedi posljedica da tijelo uronjeno u teku ć inu postaje lakše za  težinu istisnute tekuć ine.

72

Odnos vidljivog i nevidljivog dijela volumena ledenjaka Uz Arhimedov zakon

Fu

Fu

G

G

FU = ρ VODA ⋅ g ⋅ VU VODI FG = ρLED ⋅ g ⋅ VUKUPNI FU = FG ρVODA ⋅ g ⋅ VU VODI = ρLED ⋅ g ⋅ VUKUPNI VU VODI ρLED = VUKUPNI ρ VODA

Fu

G

Srednja specifična gustoća leda je ρLED = 917 kgm-3. Srednja specifična gustoća sjevernih mora je ρVODA = 1025 kgm-3. VU VODI 917 = = 89,46 % VUKUPNI 1025

Rene’Descartes, 1596 – 1650., francuski matemati čar i fizičar Descartesov (Kartezijev) ñavolčić: Od drvenog štapića i gume za žvakanje napravit ćemo plovak, gustoće tek nešto veće od gustoće vode. Kraj štapića treba oblijepiti s toliko gume za žvakanje da takav plovak pliva okomito. izvirujući iznad površine otprilike 1/8 svoje dužine ili manje.

Provjeru dobro odabrane količine gume za žvakanje izvest ćemo tako da plovak stavimo da pliva u čaši vode izvirujući iznad površine otprilike 1/8 svoje dužine ili manje. Ako plovak tone treba smanjiti "uteg" skidanjem dijela gume za žvakanje, a ako suviše izranja treba gume dodati.

73

Sve staviti u prozirnu plastičnu bocu napunjenu vodom i lagano stiskati bocu. Objasniti viñeno!

Objašnjenje: Drvo plovka je šupljikavo i u p orama drveta ostali su mjehuri ći zraka. Kad rukom stisnemo bocu prenosi se hidrauli čki tlak u sve to čke tekućine jednako. Voda tlači mjehuriće koji se, jer su ispunjeni stisnutim zrakom, skupe na manji obujam, a njihov prostor popuni voda. Tako se pove ća prosječna gustoća plovka i on tone na dno. Popustimo li stisak, mjehuri ći zraka se ponovo rašire istiskujući vodu iz pora drveta, i g ustoća plovka se smanji pa on izranja.

6.5. Dinamika fluida – strujanje idealnog fluida,  jednadžba kontinuiteta Strujanje idealnog fluida tumači dinamika fluida. Fluidi se ponašaju kao idealni pri konstantnoj gustoći i uz uvjet malih brzina strujanja (v < 100 ms-1). Gibanje fluida naziva se strujanje. Uzrok strujanja može biti ili vlastita težina fluida ili neka druga vanjska sila koja uzrokuje razlike u tlakovima. Za razliku od realnih fluida koji su viskozni, idealne fluide zamišljamo kao da nemaju viskoznost. Viskoznost je unutarnje trenje u tekućinama.

74

Iz gornjeg izraza proizlazi da je element volumena u vremenu t: S1

S2

v1

v2

∆V = S ⋅ v ⋅ ∆t

S3 v3

l

Zamisli se strujna cijev različitog presjeka gdje su brzine v1 , v2 i v3 stalne u funkciji vremena. U elementu vremena ∆t kroz neki promatrani presjek S proñe element volumena fluida ∆V .

Omjer tog elementa volumena i elementa vremena zove se volumni protok fluida: ∆V = QV ∆t odnosno

QV =

∆l Iz brzine fluida v = ∆t

i nakon kraćenja

i volumena elementa fluida ∆V = S ⋅ ∆l ∆V dobivamo: v = S ∆t

QV = S ⋅ v

Za slučaj idealnog fluida fluida je netlačiv, nepostojanje viskoznosti i ako unutar fluida nema ni izviranja ni poniranja) tada je masa fluida koji proteče u vremenu  ∆t bilo kojim presjekom: Iz izraza

∆V = S ⋅ v ⋅ ∆t

i izraza

∆V =

dobivamo

m ρ

u intervalu vremena

ρ ⋅ S1 ⋅ v1 ⋅ ∆t = ρ ⋅ S2 ⋅ v 2 ⋅ ∆t = ρ ⋅ S3 ⋅ v 3 ⋅ ∆t = konst .

a budu ću da su ρ i ∆t kons tan te : S1 ⋅ v1⋅ = S2 ⋅ v 2 = S3 ⋅ v 3 = konst. Ova se jednadžba zove jednadžba kontinuiteta. Iz nje slijede slijedeći zaključci: brzina fluida se poveć ava sa smanjenjem površine popreč nog  presjeka cijevnog v oda, tlak se smanjuje a količ ina fluida se ne mijenja.

m ρ

= S ⋅ v ⋅ ∆t

S ⋅ v ⋅ ∆t ∆t

m = ρ ⋅ S ⋅ v ⋅ ∆t

m1 ⋅ ∆t = m 2 ⋅ ∆t = m 2 ⋅ ∆t = konst.

75

6.6. Viskoznost, laminarni i turbolentni tok, Reynoldsov broj Fluidi (naročito tekućine) u gibanju podložni su unutarnjem trenju, uslijed trenja izmeñu vrlo pokretljivih čestica. Unutarnje trenje u tekućinama zove se viskoznost . Objašnjenje i definiciju fenomena viskoznosti postavio je francuski fizičar Jean-Leonard Poisseuille (1799-1869). Sila viskoznosti se odupire sili gibanja te ima suprotni vektorski smjer.

Pretpostavimo da se neka tekućina giba laminarno (lamina – sloj). Izmeñu slojeva koji se nalaze u kontaktu doći će do trenja. Sila unutarnjeg trenja ili sila viskoznosti ne zavisi o gustoći tekućine (strujanje vode i ulja), već samo o vrsti tvari (veličini molekula) i temperaturi tekućine. Mjerna jedinica koeficijenta viskoznosti (η) je poise, u praksi se koristi dekapoise (daPoise), a u Internacionalnom mjernom sustavu 1daPoise iznosi 1Pa·sek.

Kod tekućina u gibanju dolazi do trenja izmeñu slojeva tekućine koji se nalaze u meñusobnom kontaktu.

Pri temperaturi od 293 K (20 0C) koeficijenti viskoznosti imaju slijedeće vrijednosti: voda 0 0C 1,79·10-3 (daPoise ili Pa·sek) voda 20 0C 1,005·10-3 zrak 0 0C 1,71·10-5 0 zrak 20 C 1,84·10-5 0 živa 20 C 1,55 ·10-3 motorno ulje SAE 20 400 C (SAE = Society of Automitive Engineers) 280·10-3 0 motorno ulje SAE 40 40 C 400·10-3 0 etilni alkohol 20 C 1,2·10-3

Sila viskoznosti računa se prema slijedećem izrazu: − FV = η ⋅ S ⋅

∆v ∆l

gdje su: η – koeficijent viskoznosti S – površina slojeva tekućine koji su u kontaktu ∆v – relativna brzina jednog sloja u odnosu na drugi odnosno brzina protoka tekućine ∆l – relativna udaljenost izmeñu dva susjedna sloja

76

Znak minus ispred sile znači da je sila opozicijska gibanju Pri idealnom strujanju možemo aproksimirati da je suma slojeva  jednaka promjeru strujn e cijevi kroz koju tekućina prolazi, dakle:

Izraz za inercijalnu silu proizlazi iz izraza za impuls sile i količinu gibanja

Fi = v

∑ ∆l = 2R

pa formula poprima slijedeći oblik:

v − FV = η ⋅ S ⋅ 2R Na fluid u gibanju djeluju dvije sile: sila viskoznosti FV i inercijalna sila Fi:

dijeljenjem jednadžbe sa t dobivamo omjer protoka tj. mase i vremena

m ∆t

= ρ ⋅S⋅ v

i supstitucijom u izraz za impuls sile F ⋅ ∆t = m ⋅ v dobivamo Fi = v ⋅ ρ ⋅ S ⋅ v i konačno

Fi = ρ ⋅ S ⋅ v

2

Iz izraza

∆V = S ⋅ v ⋅ ∆t

m ρ

dm dt

i izraza ∆V =

m ρ

dobivamo:

= S ⋅ v ⋅ ∆t

m = ρ ⋅ S ⋅ v ⋅ ∆t

Omjer inercijalne sile Fi i sile viskoznosti FV zove se Reynoldsov broj (Re). Fi S⋅ ρ ⋅ v2 = Re = S⋅ η⋅ v FV 2R ρ ⋅ v ⋅ 2R Re = η

Tok tekućine će biti laminarni ako je vrijednost Reynolds-ovog broja Re ≤ 2000, ili pri brzini protoka:

vK =

2000 ⋅ η 2R ⋅ ρ

77

Turbolentna strujanja na krilu zrakoplova Ta se brzina zove kritič  na brzina laminarnog strujanja . Pri vrijednosti Re > 2000 tok će biti turbolentni, ali ne uvijek već zavisi i o drugim faktorima kao npr. hrapavosti strujne cijevi. Pri vrijednosti Re ≥ 500 000 tok će uvijek biti turbolentni.

Turbolencija proizvedena elisom zrakoplova u slijetanju

Ispitivanje turbolencije na karoseriji automobila u zračnom tunelu

78

6.7. Bernoulli-jev teorem S2

Daniel Bernoulli – švicarski fizičar (1700 – 1782) Bernoulli-jev teorem objašnjava pravilo o raspodjeli tlakova unutar strujne cijevi. Iskustvena je činjenica (koju objašnjava i jednadžba kontinuiteta) da tlak zavisi o presjeku strujne cijevi.

h2

S1 ∆  l 1

h1

Pri razmatranju tog teorema pretpostaviti ćemo da je strujanje stacionarno i da se radi o idealnom fluidu.

v2

v1

Na temelju jednadžbe kontinuiteta protok je konstantan tj. volumeni fluida koji proteku presjecima S1 i S2 u elementu vremena ∆t biti će: ∆m ∆V = S1 ⋅ v1 ⋅ ∆t = S2 ⋅ v 2 ⋅ ∆t = ρ

Rad tlačne sile u presjeku S1 je: ∆W1 = F1 ⋅ ∆l1

pretpostavi se element fluida mase m koji prolazi presjekom cijevi

odnosno kada uvrstimo

F1 = p1 ⋅ S1 dobivamo

∆W1 = p1 ⋅ S1 ⋅ ∆l1

budući da je strujanje stacionarno možemo uvrstiti ∆l1 = v1 ⋅ ∆t

te slijedi:

∆W1 = p1 ⋅ S1 ⋅ v1 ⋅ ∆t

S1 ⋅ v1 ⋅ ∆t =

∆m ρ

∆W1 = p1 ⋅

∆m ρ

slijedi:

Isto se to dogaña u presjeku S2 samo s tom razlikom što je kod presjeka S1 izvršen rad nad sustavom, a kod presjeka S2 sustav vrši rad suprotstavljajući se vanjskom tlaku, te ga zbog toga smatramo negativnim: ∆W2 = − p 2 ⋅

∆m ρ

79

Ukupan rad je sada: ∆W = ∆W1 + ∆W2

nakon supstitucije: ∆W = p1 ⋅

∆m ∆m − p2 ⋅ ρ ρ

odnosno: ∆W = ( p1 − p 2 ) ⋅

∆m ρ

Prema pretpostavi da nema unutarnjeg trenja, rad vanjskih sila tlaka jednak je promjeni energije čitavog razmatranog volumena izmeñu stjenki strujne cijevi i površina presjeka S1 i S2. Promjena energije čitavog volumena jednaka je razlici kinetičkih i potencijalnih energija elementarnih volumena ∆V1 = S1 · ∆l1 i ∆V2 = S2· ∆l2 tj.: ∆E = (EK2- EK1) + (EP2 − EP1)

uvrstimo izraz za kinetičku i potencijalnu energiju  1  2

1 2

 

∆E =  ∆m ⋅ v 22 − ∆m ⋅ v12  + (∆m ⋅ g ⋅ h 2 − ∆m ⋅ g ⋅ h1)

a nakon sreñivanja i dalje

1 1 ∆E = ∆m ⋅ v 22 − ∆m ⋅ v12 + ∆m ⋅ g ⋅ h 2 − ∆m ⋅ g ⋅ h1 2 2

1 1 p1 − p 2 = ρ ⋅ v 22 − ρ ⋅ v12 + ρ ⋅ g ⋅ h 2 − ρ ⋅ g ⋅ h1 2 2 i separiranja

kada se izjednače izvršeni rad W i promjena energije E slijedi : ∆m  1 1    p1 - p2  = ∆m ⋅ v 22 − ∆m ⋅ v12 + ∆m ⋅ g ⋅ h 2 − ∆m ⋅ g ⋅ h1 ρ 2 2  

1 1 p1 + ρ ⋅ g ⋅ h1 + ρ ⋅ v12 = p2 + ρ ⋅ g ⋅ h 2 + ρ ⋅ v 22 2 2 gornji izraz može se prikazati i ovako:

1 p + ρ ⋅ g ⋅ h + ρ ⋅ v 2 = konst . 2 Prvi član je statič  ki tlak, drugi je tlak uzrokovan visinskom  razlikom , a treći je dinamič  ki tlak. Njihov zbroj je konstantan.

80

6.8. Venturijev efekt 1. Ako je cijev horizontalna, a fluid u gibanju tada je h=0  jednadžba se reducir a na:

1 1 p1 + ρ ⋅ v12 = p 2 + ρ ⋅ v 22 = konst . 2 2 2. Ako fluid miruje u kosoj cijevi tada je v = 0, jednadžba se reducira na:

Zamisli se Bernoulli-jev torem za slučaj kada nema razlike razine tj. h = 0, tada imamo:

1 1 p1 + ρ ⋅ v12 = p 2 + ρ ⋅ v 22 2 2

p1 + ρ ⋅ g ⋅ h1 = p 2 + ρ ⋅ g ⋅ h 2 3. Ako fluid miruje u horizontalnoj cijevi tada je v=0 i h=0  jednadžba se reducira n a:

p1 = p 2

S1 v2

v1 p1 S2 < S1

ovaj izraz pokazuje da kada fluid povećava brzinu njegov se tlak smanjuje dok količina protoka ostaje ista – to je tzv. Venturijev efekt.

S2 p2

v2 > v1

p2 < p1

1 1 p1 + ρ ⋅ v12 = p2 + ρ ⋅ v 22 2 2 1 p + ρ ⋅ v 2 = konst . 2

81

Eksperimentalna potvrda Venturijevog efekta:

Venturijeva cijev:

uzmimo list papira oko 15 x 5 cm u polo žaju kako prikazuje slika. Upuhavanjem zraka iznad papira list se podiže uvis. To je dokaz Venturijevog efekta: brzina zraka iznad lista proizvodi manji tlak iznad lista tako da je tlak ispod njega sada ve ći i list se podiže uvis.

Upuhavanjem zraka u cijev na mjestu S gdje se cijev sužava poveća se brzina, a time se smanji tlak. Sada je tlak teku ćine u posudici veći i tekućina se uzdiže po vertikalnoj cijevi te raspršuje zbog brzine upuhanog zraka.

Ozoniziranje vode pomoću Venturijeve cijevi

Venturijeva cijev za mjerenje brzine fluida .

ulazni mlaz vode

1 2 P1

P2

brzina se povećava tlak se smanjuje

izlazni mlaz ozonizirane vode

ulazni mlaz ozona pod normalnim atmosferskim tlakom

1 2

82