Koordinat Umum Untuk menemukan posisi partikel, kita membutuhkan tiga koordinat. Koordinat tersebut bisa berupa koordinat kartesian , , dan , koordinat silinder , , dan , koordinat bola , , dan , atau tiga koordinat lainnya yang sesuai. Jika ada penghambat atau pemercepat pada gerak partikel, kita membutuhkan kurang dari tiga koordinat. Misalnya, jika partikel dipaksa untuk bergerak pada bidang permukaan, dua kordinat sudah cukup, misalnya partikel dipaksa untuk bergerak sepanjang garis, satu koordinat sudah cukup untuk mendeskripsikan gerak dari partikel. Berdasarkan pada sistem mekanik yang terdiri terdiri dari sistem seperti ini pada waktu tertentu, kita membutuhkan
buah partikel. Untuk menentukan posisi dari buah vektor, sedangkan masing-masing vektor
dapat dideskripsikan ke dalam tiga koordinat. Tentunya, kita membutuhkan koordinat untuk mendiskripsikan sistem mekanik tersebut. Jika terdapat gaya penghambat, maka jumlah total koordinat yang dibutuhkan untuk menentukan sistem akan berkurang. Sebagai contoh, misalkan saja sistemnya adalah benda tegar, dan seperti yang kita ketahui, jarak diantara dua partikel yang berbeda adalah tetap. Jarak yang tetap ini (tidak berubah) dapat diekspresikan ke dalam bentuk persamaan. Benda tegar dapat dideskripsikan secara lengkap hanya dengan enam koordinat, untuk itu, hanya enam koordinat yang dibutuhkan untuk menentukan kofigurasi dari sistem benda tegar tersebut. Keenam koordinat tersebut adalah tiga koordinat posisi dari beberapa titik referensi yang sesuai dengan benda, biasanya pusat massa yang berkenaan dengan titik pusat koordinat yang digunakan, dan sisa tiga koordinat menjelaskan orientasi benda terhadap ruang. Kita
telah
mendeskripsikan
tertarik
pada
penentuan
jumlah
koordinat
minimum
yang
dibutuhkan
untuk
partikel. Biasanya, gaya kendala pada sistem tersebut dideskripsikan oleh persamaannya.
Misalkan saja terdapat
buah persamaan persamaan yang mendeskripsikan gaya konstrain. konstrain. Maka jumlah koordinat koordinat
minimum yang dibutuhkan dibutuhkan untuk mendeskripsikan gerak secara secara lengkap atau konfigurasi konfigurasi dari sistem tersebut pada waktu tertentu diberikan oleh [12.1]
Di mana
adalah derajat kebebasan sistem. Ini tidakalah tidakalah penting, apakah buah koordinat tersebut
adalah koordinat kartesius, kartesius, silinder, silinder, ataukah sistem sistem koordinat koordinat yang lain. Sebagai faktanya, parameter tertentu, seperti panjang,
bisa berupa
, sudut, energi, kuantitas tak berdimensi, atau kauntitas lainnya,
sepanjang itu mendeskripsikan konfigurasi sistem secara lengkap. Nama koordinat umum diberikan untuk setiap set dari kuantitas yang mendeskripsikan keadaan atau konfigurasi konfigurasi sistem secara lengkap. koordinat umum tersebut biasanya dituliskan sebagai [12.2a]
atau [12.2b] di mana
buah
buah koodinat umum ini tidak dibatasi oleh suatu konstrain apapun. Jika masing-masing koordinat dapat berbeda secara independen dengan lainnya, maka sistem dikatakan holonomik. Dalam sistem tak holonomik, semua koordinatnya tidak berbeda secara independen satu sama lain. Maka dari itu, dalam sistem ini, jumlah derajat kebebasannya adalah kurang dari jumlah minimum dari koordinat yang dibutuhkan untuk menentukan konfigurasi dari sistem. Sebagai contoh, bola yang menggelinding sempurna pada bidang permukaan kasar hanya membutuhkan lima koordinat untuk menentukan konfigurasinya, dua untuk posisi pusat massanya, dan tiga untuk menentukan orientasinya. Tetapi kelima koordinat tersebut tidak dapat berbeda secara independen. Ketika bola menggelinding, tak kurang dari dua koordinat yang harus berubah. Oleh karena itu, ini adalah sistem yang tak holonomik. Investigasi dan deskripsi mengenai sistem tak holonomik tidak akan dibahas disini. Kita dapat membatasi diskusi kita kali ini hanya pada sistem yang holonomik. satu set dari koordinat umum yang sesuai dengan sistem adalah mereka yang hasil dalam persamaan geraknya mendorong kepada interpretasi gerak yang mudah. Koordinat umum masing-masing dimensinya direpresentasikan oleh
ini membetuk kofigurasi ruang, yang
. Lintasan sistem direpresentasikan oleh kurva di dalam
konfigurasi ruang tersebut. Lintasan dalam konfigurasi ruang ini tidak dapat meminjamkan dirinya kepada interpretasi yang sama seperti lintasan dalam ruang tiga dimensi biasa. Dalam analoginya pada koordinat kartesius, kita mungkin mendefinisikan turunan da ri , yaitu, sebagai kecepata umum. Mari kita misalkan partikel tunggal yang koordinat kartesius , , dan -nya adalah fungsi dari koordinat umum
,
, dan
yaitu, [12.3]
Andaikan sistemnya berubah dari kofigurasi mula-mula yang diberikan oleh sekitarnya yang diberikan oleh
menjadi konfigurasi
. Kita dapat mengekspresikan perubahan ini ke dalam
koordinat kartesian sebagai relasi berikut: [12.4]
Dengan ekspresi yang sama untuk
dan
, di mana sama dengan tiga koordinat, dan turunan parsial
,
dan seterusnya, adalah fungsi dari . Nilai dari
tergantung dari derajat kebebasannya. Misalnya, jika tidak ada
kendala,
,
dan dari Pers. [12.1] untuk
, seperti yang telah kita gunakan di atas.
akan kurang
dari 3 jika tidak ada kendala pada sistem. Sekarang marilah kita tinjau kasus yang lebih umum yang mana sistem mekanikanya terdiri dari partikel dalam jumlah yang banyak yang memiliki derajat kebebasan. Konfigurasi dari sistem ini ditentukan oleh koordinat umum baru menjadi
. Misalkan saja konfigurasi sistemnya berubah dari .
Koodinat
. Perpindahan
kartesian ,
, dan
umum sebagai [12.5]
dari
menjadi konfigurasi partikel
berubah
dari
dapat diekspresikan dalam bentuk koordinat
Dengan ekspresi yang sama untuk umum
dan
. Sekali lagi turunan parsialnya adalah fungsi dari koordinat
.
Penting sekali pada saat untuk membedakan di antara dua jenis perpindahan: perpindahan sebenarnya dan perpindahan semu massa
bergerak dari
. Misalkan saja sebuah massa menuju
dikenai sebuah gaya luar
dalam interval waktu
dan menyebabkan
. Perpindahan ini harus konsisten terhadap
persamaan gerak dan persamaan kendala yang mendeskripsikan sistem massa ini; oleh karena itu, perpindahan semacam ini dinamakan dengan perpindahan sebenarnya. Pada sisi lain, perpindahan semuadalah perpindahan yang konsisten dengan persamaan kendalanya tetapi tidak terhadap persamaan gerak maupun waktunya. Misalnya bandul pada pendulum dengan panjang mungkin bergerak dari
menuju
pada sembarang interval sepanjang bandulnya tetap berada pada busur dari lingkaran dengan jari-jari . Maka
dan
digunakan dalam perpindahan semu seperti kasus di atas. Kita akan menggunakan prinsip
dari kerja semu seperti dibawah ini. Kita dapat menganggap bahwa perpindahan semu
merupakan hasil dari kerja
. Pada dasarnya, perpindahan seperti ini, orientasi relatifnya dan jarak diantara dua partikel tidak
berubah http://kurniafisika.wordpress.com/2010/04/24/koordinat-umum/
