16.
KNICKEN GERADER STÄBE
16.1
EINFÜHRUNG
Bei den bisher behandelten Problem wurde stets angenommen, dass zwischen den am betrachteten Bauteil wirkenden äußeren und inneren Belastungen ein s t a b i l e s Gleichgewicht vorliegt. Dabei wird eine Gleichgewichtslage dann als stabil bezeichnet, wenn das System unter den an ihm angreifenden Belastungen nach einer hinreichend kleinen Störung wieder in seine Gleichgewichtslage zurückkehrt. Für diese
Gleichgewichtslagen wurden dann Spannungen und Verformungen
untersucht.
Festigkeitsproblem maximale Spannung
≤
zulässige Spannung
Durch die Festigkeitsberechnung wird sichergestellt:
maximale Verformung
≤
zulässige Verformung
Im Falle des Versagens wird die Funktionsunfähigkeit durch Werksoffversagen hervorgerufen. Beispiele: Zugstab, Kugelbehälter unter Innendruck, Biegung von „kompakten“ Balken
Es gibt jedoch zahlreiche Probleme, für die bei einer bestimmten Belastung, der sog. kritischen Belastung, die betrachtete Gleichgewichtslage nicht mehr stabil sondern indifferent bzw. labil ist. Man bezeichnet solche Probleme als Stabilitätsprobleme. Bei ihnen hat man sich bei der Berechnung mit den Bedingungen zu beschäftigen, die zur Instabilität führen.
Stabilitätsproblem Durch eine Berechnung muss sichergestellt werden:
maximale Beanspruchung
≤
zulässige Beanspruchung
Im Falle des Versagens wird die Funktionsunfähigkeit durch Formversagen hervorgerufen. Beispiele:
Die Kenntnis der kritischen Belastung ist für die Praxis sehr wichtig, denn im Falle ihrer Überschreitung erleidet das Bauteil meist so große Verformungen, dass seine Tragfähigkeit dadurch erschöpft wird und es seine Funktionsfähigkeit verliert. Die dabei auftretenden Spannungen sind meist sehr viel kleiner als die für den Werkstoff zulässigen Spannungen.
Als Beispiel für Stabilitätsprobleme wird das Knicken betrachtet:
Wird ein gerader Stab mit überall gleichem Querschnitt in Richtung der Stablängsachse zusammengedrückt, dann wird er – vollständig zentrischer Kraftangriff, absolut gerade Stabachse und isotroper Werkstoff vorausgesetzt – um ein Stück Δl x = ε x ⋅ l =
σ x E
⋅l =
F ⋅ l zusammengedrückt. E ⋅ A
Bringt man nun zusätzlich in der Mitte des Stabes eine kleine S t ö r k r a f t Fz
an, dann wird die Stabmitte um die
Verschiebung wmax in z-Richtung ausgelenkt. Nach Wegnahme der Störkraft geht der Stab wieder in seine ursprüngliche Lage zurück, d.h. die gerade Linie ist die s t a b i l e Gleichgewichtslage des gedrückten Stabes. Steigert man nun Fx , dann wird die Stabilität der geraden Lage kleiner, d.h. es genügt eine immer kleinere Störkraft F z , um dieselbe Auslenkung wmax hervorzurufen. Der Stab geht aber nach Wegnahme der Störkraft stets wieder in seine stabile gerade Lage zurück. Das eigentlich Interessante an der Sache ist aber: Bei einer bestimmten Druckkraft Fx = F k ( Fk = Knicklast oder kritische Last ) ist zur Auslenkung des Stabes in eine beliebig gekrümmte Lage nur noch eine verschwindend kleine Störkraft nötig. In diesem Falle ist die Auslenkung w max keine bestimmte Funktion von F x , sondern unbestimmt. Der Stab befindet sich im i n d i f f e r e n t e n Gleichgewicht. Mit anderen Worten: Der Stab kann gerade sein, wird aber durch beliebig kleine Seitenkräfte aus dieser geraden Lage gebracht. Bei kleinen Laststeigerungen über Fk hinaus, erweist sich beim idealen Stab, der bei der Belastung mit F k noch gerade ist, eine gekrümmte Lage als neue stabile Gleichgewichtslage. Die maximale Auslenkung w max hängt dann von der Druckkraft Fx = Fk +
ΔFk
ab. Dabei führen schon sehr kleine Laststeigerungen
ΔFk
zu sehr großen Auslenkungen. Praktisch hat
allerdings diese mögliche Belastungssteigerung über F k hinaus keine Bedeutung, da sich der Stab bereits bei der Belastung mit Fk in einem äußerst gefährdeten Zustand befindet. Ein solcher Zustand kann bei einem Konstruktionsteil keinesfalls zugelassen werden.
Dem Konstrukteur stellt sich also die Aufgabe, die kritische Belastung zu ermitteln und das Bauteil so zu dimensionieren, dass die kritische Belastung mit Sicherheit nicht erreicht wird.
Zur elementaren Behandlung von Stabilitätsproblemen sind bisherige Vereinfachungen der linearen Theorie (auch genannt Theorie 1. Ordnung) aufzugeben. Zwar kann die Beschränkung auf kleine Verformungen beibehalten werden, die Gleichgewichtsbedingungen müssen jedoch stets am verformten Bauteil aufgestellt werden (Theorie 2. Ordnung).
∑ M A = 0
∑ M A = 0
B ⋅ l − F 1 ⋅ a = 0
B ⋅ l − F 1 ⋅ a − F 2 ⋅ w( x) = 0
B = F 1 ⋅
16.2
B = F 1 ⋅ a + F 2 ⋅ w( x ) = ?
a l
DER EULERSCHE KNICKSTAB
Leonhard Euler 1707 (Basel) - 1783 ( St. Petersburg)
16.2.1 BEIDERSEITS GELENKIG GELAGERTER STAB , VERSCHIEBBARES OBERES LAGER Der an seinen Enden gelenkig gelagerte Stab, mit dem in Stablängsrichtung verschiebbaren oberen Lager , soll so stark gedrückt werden, dass er seitlich etwas ausweicht. Wendet
man
die
Schnittmethode
an
und
stellt
die
Gleichgewichtsbedingungen am verformten Stab auf, so erhält man für die Gleichung der Momentenlinie des Stabes:
∑ Ms = 0 K
M ( x ) − F ⋅ w( x ) = 0
→ M ( x) = F ⋅ w( x)
Mit dem für kleine Auslenkungen w(x) zulässigen vereinfachten Ansatz ergibt sich die Differentialgleichung der elastischen Linie und damit die Differentialgleichung des Knickstabes zu:
w' ' ( x) = −
M ( x) E ⋅ I
=−
Mit der Abkürzung χ =
F ⋅ w( x) E ⋅ I F E ⋅ I
w' ' ( x) +
F E ⋅ I
⋅ w( x) = 0
lautet die Differentialgleichung
Als Lösung dieser Differentialgleichung erhält man
w( x) = C 1 ⋅ cos(κ ⋅ x) + C 2 ⋅ sin(κ ⋅ x)
Diese allgemeine Lösung der Differentialgleichung enthält noch die Integrationskonstante C 1 und C2 die aus Randbedingungen bestimmt werden müssen. Randbedingungen:
1.
2.
Aus der zweiten R.B. folgt, dass sin(κ ⋅ l ) = 0 sein muss, da sonst nur die triviale Lösung C2 = 0 und damit w(x) = 0 ( d.h. keine Auslenkung ) existiert.
sin(κ ⋅ l ) = 0
Damit ist
⇒
κ n ⋅ l = n ⋅ π
κ n =
F n E ⋅ I
Man bezeichnet die Werte
κ n
=
mit
n = 0 ,1, 2K
n ⋅ π l als die Eigenwerte des Randwertproblems. Nur wenn
κ n
der obigen Gleichung
entsprechende Werte annimmt, existieren nichttriviale (d.h. von Null verschiedene) Lösungen. Der kleinste Eigenwert der auf eine sinnvolle Lösung führt ergibt sich für …
n=1
zu
κ 1 =
π l
Setzt man ihn in die Bestimmungsgleichung für κ n ein, so erhält man die kleinste K R I T I S C H E L AS T Fk :
Die für größere Werte von n möglichen weiteren Knicklasten sind für die Bemessung von Knickstäben uninteressant, da ja nur interessiert, bis zu welcher Last der Stab ausknickt. Anmerkung: Die Knicklast Fk ist unabhängig von der Festigkeitseigenschaften des Stabwerkstoffes. Sie ist nur von der konstruktiven Gestaltung (Querschnittsform, Querschnittsabmessung, Stablänge, Lagerung) und dem Elastizitätsmodul des Stabwerkstoffs abhängig.
16.2.2
WEITERE LASTFÄLLE
Nach dem gleichen Rechengang wie in 16.2.1 für den beiderseits gelenkig gelagerten Stab durchgeführt, lassen sich die Stabilitätsgrenzen ( Knicklasten ) auch bei anderen Lagerungen der Stabenden bestimmen. Die Ergebnisse für die vier
E U L E R S C H E N G R U N D F Ä L L E sind in der folgenden Tabelle angegeben.
VORAUSSETZUNG : Ideale, prismatische Stäbe mit exakt gerader Stabachse, exakt zentrischer Lastangriff, die Belastungskräfte sind konservativ, d.h. richtungstreu. Es gilt die linearisierte Differentialgleichung der Biegelinie. A N M E R K U N G : Die hier verwendete Theorie 2 . Ordnung liefert nur die Aussage, dass bei der Belastung mit F k indifferente, von der geraden Stabachse abweichende Gleichgewichtslagen möglich sind. Die Knicklasten Fk werden exakt erfasst. Das Verhalten des Stabes im überkritischen Zustand, d.h. die Biegelinie w(x), bleibt unbestimmt.
Die Knicklasten der vier in der Tabelle aufgeführten Lastfälle können mit einer gemeinsamen Formel berechnet werden. Hierzu wird anstelle der Stablänge l die sogenannte f r e i e K n i c k l ä n g e ( = reduzierte Knicklänge ) lk eingeführt. Man erhält damit: Die in der Praxis vorkommenden Einspannungen können nur selten einem der vier Eulerschen Grundknickfälle eindeutig zugeordnet werden. Bei Fachwerken und im Stahlbau liegt die Knicklänge zwischen und
lk = l
d.h. beide Enden gelenkig gelagert
lk = 0,5 ⋅ l
d.h. beide Enden fest eingespannt
Nach DIN 4114 ( Stahlbau, Stabilitätsfälle, Berechnungsgrundlagen ) wird im Allgemeinen
lk = l
und bei besonderen
Anschlußarten lk = 0,7 ⋅ l gesetzt. Masten und Pfähle haben eine Einspannung entsprechend Belastungsfall 2. Beispiel 1 und 2
16.3
BEMESSUNG VON KNICKSTÄBEN
16.3.1
DAS KNICKSPANNUNGSDIAGRAMM
Den Quotienten aus der Knickkraft Fk und dem Stabquerschnitt A bezeichnet man als Knickspannung σ k :
Die in dieser Gleichung vorkommenden geometrischen Größen werden mit einer Kennzahl, dem Schlankheitsgrad λ , erfasst. Definitionen:
Trägheitsradius:
i=
I A
Der
Trägheitsradius
i
ist
nur
von
der
Querschnittsform
und
den
Querabmessungen abhängig. Er hat die Dimension einer Länge. Schlankheitsgrad:
λ =
l k i
Im Schlankheitsgrad beeinflussenden
λ sind alle, das Knickverhalten eines Stabes
geometrischen
Eigenschaften
verarbeitet.
Der
Schlankheitsgrad ist dimensionslos und deshalb als Größe zum Vergleich verschiedener Knickstäbe besonders gut geeignet.
Führt man den Schlankheitsgrad in die Gleichung für die Knickspannung σ k ein, so erhält man :
Das Bild dieser Funktion ist im σ k , λ -Diagramm eine Hyperbel, die sog. EULER - Hyperbel . Für die Eulersche Knicktheorie wurde die Gültigkeit des Hookeschen
Gesetzes,
nämlich
elastisches
Werkstoffverhalten, vorausgesetzt. Demnach kann die Euler-Hyperbel nur solange gültig sein, wie die Knickspannung kleiner als die Quetschgrenze des Stabwerkstoffs ist. Man muss also im Knickspannungsdiagramm zwischen 2 Bereichen, dem elastischen und dem überelastischen unterscheiden. Die Grenze zwischen beiden Bereichen liegt dort, wo die Knickspannung
σ k die Quetschgrenze des
Werkstoffes σ d St erreicht für St 37 beträgt λ g
≅
104 , für St 52 ist λ g ≅ 85
σ k = σ d St
→
Grenzschlankheitsgrad
Elastischer Bereich:
σ k < σ d St
bzw.
λ > λ g
Plastischer Bereich:
σ k > σ d St
bzw.
λ < λ g
Anmerkung:
Die Knickspannung σ k ist im elastischen Bereich nur vom Schlankheitsgrad λ , d.h. von der Stabgeometrie und vom Elastizitätsmodul E des Stabwerkstoffs abhängig. Die Festigkeit des Stabwerkstoffs spielt keine Rolle. Da für die meisten Konstruktionsstähle E = 210 000 N/mm² beträgt, verhalten sie sich im elastischen Bereich gleich. Es lohnt sich also nicht, hochfeste und damit teure Stähle für Knickstäbe zu verwenden. Durch die Verwendung von Stahlsorten höherer Festigkeit bzw. die Festigkeitssteigerung durch Vergüten, wird die Knicklast nicht erhöht. Es wird lediglich der Euler–Bereich zu kleineren λ -Werten erweitert.
16.3.2 Für
ELASTISCHER BEREICH ( Euler–Bereich)
λ ≥ λ g
kann die Bemessung von Knickstäben nach der Eulerschen Knicktheorie durchgeführt werden. Um
Ausknicken zu verhindern, muss die auf den Stab einwirkende Druckkraft kleiner als seine Eulersche Knicklast sein. Als Sicherheit gegen Knicken definiert man:
S k =
F k F vorh
Damit beträgt die zulässige Druckkraft ( Dimensionierungsgleichung ) :
Je mehr der Werkstoff ausgenutzt werden soll und je genauer die Einspann- und Belastungsverhältnisse erfasst sind, umso kleiner kann der Knicksicherheitsbeiwert Sk gewählt werden. Bei der Knickbeanspruchung sind die Sicherheitsfaktoren größer als die sonst üblichen, weil bereits kleine Abweichungen vom Idealfall erhebliche Auswirkungen haben.
Sk = 5 bis 10
im elastischen Bereich
Sk = 3 bis 8
im plastischen Bereich
Übliche Knicksicherheitsbeiwerte sind :
16.3.3
PLASTISCHER BEREICH
Der Übergang vom elastischen Bereich erfolgt nicht plötzlich. Um das Verhalten von Knickstäben im plastischen Bereich beschreiben zu können, ist man auf Knickversuche angewiesen. Die Messergebnisse von Knickversuchen zeigen für
λ < λ g
eine starke Streuung. Die Bemessung von Knickstäben erfolgt in diesem Bereich nach Gleichungen die man
gewinnt, indem man eine Kurve durch die Messergebnisse legt.
Die bekannteste empirische Gleichung ist die von T E T M A J E R , der eine gerade durch den Messpunkt legt. Danach ist
…
Gleichung der Tetmajer–Geraden.
Die Werte für die Konstanten a und b entnimmt man Handbüchern.
* bei Grauguss kommt als drittes Glied in der Tetmajer–Gleichung noch
16.3.4
Das
+ 0,053 λ ²
hinzu
- Verfahren
Im Kran-, Hoch- und Brückenbau ( Stahlbau ) ist das
-Verfahren ( enthalten in DIN 4114 ) zur Bemessung von
Druckstäben ( Knickstäben ) behördlich vorgeschrieben.
Bei diesem Berechnungsverfahren wird die Druckkraft F mit einem vom Stabwerkstoff und dem Schlankheitsgrad λ abhängigen Knickfaktor
multipliziert. Man verlangt nun den Nachweis, dass die um den Faktor
erhöhte
Druckspannung kleiner als für die den jeweiligen Werkstoff und Belastungsfall zulässigen Druckspannung ist. Damit lautet die Dimensionierungsgleichung Zahlenwert für
und σ d zul entnimmt man den entsprechenden Tabellen
KNICKZAHLEN In den Normen DIN 4114 , DIN 4113 , DIN 1052 und DIN 1051 sind Knickzahltabellen für verschiedene Werkstoffe enthalten. Die Faktoren
sind so gewählt, dass sie mit wachsendem λ größer werden, so dass die Sicherheit im
Euler–Bereich größer als im plastischen Bereich ist.
Bei größeren Werten von
λ ( d.h. bei sehr schlanken Stäben ) können nur kleine Knicklasten aufgenommen werden.
Ferner sind bei ihnen die Voraussetzungen für die Eulersche Knicktheorie schwerer zu erfüllen als bei Stäben mit kleinen Schlankheitsgraden. Störungen können leichter auftreten und wirken sich gravierender aus. Aus diesen Gründen wird die obere Schlankheit im Hochbau auf λ = 250 , im Brückenbau auf λ = 150 und bei Säulen aus Grauguss auf λ = 100 begrenzt. Das ω -Verfahren hat den Vorteil, dass man für beide Bereiche
λ > λ g und λ < λ g einheitlich vorgehen kann. Die
Dimensionierungsgleichung ist in beiden Fällen dieselbe.
BELASTUNGSFÄLLE , EINTEILUNG DER LASTEN NACH DIN 1050 In der Baustatik unterscheidet man die Belastungsfälle H , d.h. es sind in der Rechnung nur die Hauptlasten erfasst, und HZ , was bedeutet , dass in der Rechnung sowohl die Hauptlasten, als auch die Zusatzlasten, erfasst sind.
Hauptlasten
H
sind:
Ständige Lasten, Verkehrslast ( einschließlich Schneelast, aber ohne Windlast), freie Massenkräfte von Maschinen
Zusatzlasten
Z
sind:
Windlast, Bremskräfte, waagerechte Seitenkräfte ( wie sie z.B. bei Kranen auftreten können), Wärmewirkung ( betriebliche und atmosphärische)
ZULÄSSIGE SPANNUNGEN FÜR BAUTEILE
FÜHREN DES SPANNUNGSNACHWEISES Das
-Verfahren ist bequem zum Führen des Spannungsnachweises bei gegebenen Abmessungen.
Aus der Knicklänge lk , dem Querschnitt A und dem minimalen Flächenmoment Imin werden der Trägheitsradius i und der Schlankheitsgrad
λ bestimmt. Die zu dem λ -Werte zugehörige Knickzahl
Stabwerkstoff gültigen
wird dann aus der für den
-Tabelle entnommen. Der Spannungsnachweis kann dann über die Dimensionierungsgleichung
geführt werden.
Gegeben :
F , lk , A , I
i =
Daraus werden berechnet :
I
A
und
λ =
l k i
(λ ) entnommen und
Aus der dem Werkstoff entsprechender Tabelle wird
σ ω = ω ⋅
F A
≤ σ d zul überprüft.
DIMENSIONIERUNG IM ENTWURFSSTADIUM Sind im Entwurfsstadium die Querschnittsabmessungen erst festzulegen, d.h. der Schlankheitsgrad λ noch unbekannt, kann ω nicht bestimmt werden. Es muß deshalb zunächst der Querschnitt A oder der Schlankheitsgrad λ geschätzt werden und dann der Spannungsnachweis mit diesem geschätzten Wert durchgeführt werden. Danach ist in der Regel eine Korrektur des geschätzten oder errechneten Querschnitts erforderlich.
Gegeben:
F , lk
Schätzen:
A
oder
;
wurde A geschätzt , wird
Aus der dem Werkstoff entsprechenden Tabelle wird
Wenn
σ ω > σ d zul bzw.
σ ω << σ d zul
(λ ) entnommen und
berechnet
σ ω = ω ⋅
F A
≤ σ d zul überprüft.
ist, muss der Querschnitt korrigiert werden.
Beispiele 3 bis 10
