kkk

การศึกษาเรชันแนลคิวบอยด์บางรูปทรง โดยสามจำนวนปฐมฐานของปีธากอรัส อาหนึ่ง ชูไวย∗ และ บุญญา เพียรสวรรค์ ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยนเรศวร จังหวัดพิษณุโลก 65000

บทคัดย่อ จากนิยามซึ่งกำหนดว่า เรชันแนลคิวบอยด์ (rational cuboid) เป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ มี ความยาวของด้านประกอบยอดมุมทั้งสามเป็นจำนวนเต็มบวก a, b, c โดยที่ a < b < c หรือ b < a < c และ gcd(a, b) = 1 และ a2 + b2 = d2ab , a2 + c2 = d2ac , b2 + c2 = d2bc เมื่อจำนวนเต็มบวก dab , dac , dbc แทน ความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ที่มีความยาวของ ด้านประกอบมุมฉากเป็นจำนวนเต็มบวก a กับ b, a กับ c และ b กับ c ตามลำดับ การศึกษาอิสระฉบับนี้ มีจุดประสงค์เพื่อศึกษาเรชันแนลคิวบอยด์บางรูปทรง เมื่อกำหนด (a, b) บางคู่ที่มีเงื่อนไขว่า a2 + b2 เป็นจำนวนกำลังสอง gcd(a, b) = 1 และทั้ง a และ b น้อยกว่า 100 แล้วทำให้ได้ว่า มีจำนวนเต็มบวก c, d ที่ gcd(c, d) = 1 และ d < c ที่ทำให้ c, ad และ bd เป็นด้านประกอบ ยอดมุมทั้งสามของเรชันแนลคิวบอยด์ โดยเราจะเรียกเรชันแนลคิวบอยด์ดังกล่าวว่า เรชันแนลคิวบอยด์ รูปทรงพิเศษ ผลการศึกษาพบว่า บางคู่ของ (a, b) ที่ทำให้ได้เรชันแนลคิวบอยด์รูปทรงพิเศษประกอบด้วย (20, 21), (20, 99), (24, 7), (48, 55), (60, 11), (60, 91), (80, 39) และ (84, 13) คำสำคัญ เรชันแนลคิวบอยด์ สามจำนวนปฐมฐานของปีธากอรัส สมการไดโอแฟนไทน์

1

ความรู้พื้นฐาน

บทตั้ง 1.1. กำลังสองของจำนวนคี่ จะอยู่ในรูป 8k + 1

∃k ∈ Z

บทตั้ง 1.2. ([1], หน้า 35) สำหรับทุกจำนวนเต็ม a, b1 , b2 , ..., bn จะได้ว่า ถ้า a| b1 , a| b2 , ..., a| bn แล้ว a| (bx1 + bx2 + ... + bxn ) เมื่อ x1 , x2 , ..., xn เป็นจำนวนเต็มใดๆ ∗

Email address: [email protected]

2

อาหนึ่งชูไวย และ บุญญา เพียรสวรรค์

ทฤษฎีบท 1.3. ([1], หน้า 179) ถ้า (x0 , y0 , z0 ) เป็นสามจำนวนปฐมฐานของปีธากอรัส จะได้ว่า x0 6≡ y0 (mod 2) ทฤษฎีบท 1.4. ([1], หน้า 180) ชุดจำนวนเต็มบวก (x0 , y0 , z0 ) ที่เป็นสามจำนวนปฐมฐานของ ปีธากอรัสจะอยู่ในรูป x0 = a2 − b2 , y0 = 2ab และ z0 = a2 + b2 สำหรับจำนวนเต็มบวก a, b บางค่า ที่ a > b, gcd(a, b) = 1 และ a 6≡ b( mod 2) บทนิยาม 1.5. ([5], หน้า 95) ให้ m ∈ Z+ และ a ∈ Z ซึ่ง gcd(a, m) = 1 จะได้ว่า a เป็นส่วนตกค้างกำลังสองของ m ถ้า x2 ≡ a( mod m) มีผลเฉลย a ไม่เป็นส่วนตกค้างกำลังสองของ m ถ้า x2 ≡ a( mod m) ไม่มีผลเฉลย บทนิ ยาม 1.6. ([5], หน้า 96) กำหนดให้ p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ และ a เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง p - a สัญลักษณ์ a เรียกว่า สัญลักษณ์ของเลอจองด์ (Legendre Symbol) โดยที่ p ( 1 ถ้า a เป็นส่วนตกค้างกำลังสองของ p a = p −1 ถ้า a ไม่เป็นส่วนตกค้างกำลังสองของ p

ทฤษฎีบท 1.7. ([21], หน้า 379 - 380) ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ และ a, b เป็นจำนวนเต็มที่ p - a และ p - b จะได้ว่า a b 1.) a ≡ b( mod p) =⇒ = p p a b ab 2.) = · p p p 2 a 3.) =1 p บทนิยาม 1.8. ([19], หน้า 518) เราเรียกทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก (rectangular parallelepiped) ที่มีความยาวของด้านประกอบยอดมุมทั้งสามเป็นจำนวนเต็มบวก a, b, c โดยที่ a < b < c (หรือ b < a < c) และ จำนวนเต็มบวก dab แทน ความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากที่มี ด้านประกอบมุมฉากเป็น a กับ b dac แทน ความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากที่มี ด้านประกอบมุมฉากเป็น a กับ c dbc แทน ความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากที่มี ด้านประกอบมุมฉากเป็น b กับ c ตามลำดับ ว่า เรชันแนลคิวบอยด์ (Rational Cuboid) เมื่อ a2 + b2 = d2ab , a2 + c2 = d2ac และ b2 + c2 = d2bc

การศึกษาเรชันแนลคิวบอยด์บางรูปทรงโดยสามจำนวนปฐมฐานของปีธากอรัส

รูปที่ 1: เรชันแนลคิวบอยด์

ข้อสังเกต 1.9. ในบางครั้งเราจะเรียกเรชันแนลคิวบอยด์ ว่า ออยเลอร์บริกค์ (Eulur Brick) จากบทนิยามที่ 1.8 จะได้ว่าเรชันแนลคิวบอยด์ คือ ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ดังรูปที่ 1

ทฤษฎีบท 1.10. (N. Saunderson, [27]) สำหรับจำนวนเต็มบวก a, b, c ที่เป็นรากปฐมฐานของ ปีธากอรัส จะได้ว่า 4abc, a(4b2 − c2 ) และ b(4a2 − c2 ) เป็นด้านประกอบยอดมุมทั้งสามของ เรชันแนลคิวบอยด์บางรูปทรง

ตัวอย่าง 1.11. ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านประกอบมุมทั้งสามต่อไปนี้ เป็นตัวอย่างของ เรชันแนลคิวบอยด์

ลำดับที่ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

a b c 44 117 240 85 132 720 187 1, 020 1, 584 195 748 6, 336 495 4, 888 8, 160 935 17, 472 25, 704 1, 105 9, 360 35, 904 1, 155 6, 300 6, 688 1, 575 1, 672 9, 120 1, 755 4, 576 6, 732

√

a2 + b 2 267 732 1, 884 6, 380 9, 512 31, 080 37, 104 9, 188 9, 272 8, 140

√

a2 + c 2 244 725 1, 595 6, 339 8, 175 25, 721 35, 921 6, 788 9, 255 6, 957

√

b2 + c 2 125 157 1, 037 773 4, 913 17, 497 9, 425 6, 405 2, 294 4, 901

3

4

2


ที่มาของการศึกษาอิสระ เรื่อง การศึกษาเรชันแนลคิวบอยด์ บางรูปทรงโดยสามจำนวนปฐมฐานของปีธากอรัส

เรชันแนลคิวบอยด์ (Rational Cuboid) เป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากตามบทนิยามที่ 1.8 ที่มีสมบัติสอดคล้องกับ ปัญหาการแก้ระบบสมการไดโอแฟนไทน์กำลังสอง ในรูประบบสมการ x2 + y 2 = l2 , x2 + z 2 = m2 และ y 2 + z 2 = n2 จากประวัติการศึกษา ([22]) พบว่า • ในปี ค.ศ. 1719 พอล ฮอล์คเก (Paul Halcke) ค้นพบว่า 442 + 2402 , 442 + 1172 และ 2402 + 1172 เป็นจำนวนกำลังสอง • ในปี ค.ศ. 1772 ออยเลอร์ (Leonhard Euler) ค้นพบว่า สำหรับจำนวนเต็มบวก f, x, y และ z บางตัว ถ้า x = 8f (f 4 − 1), y = (1 − f 2 )(f 4 − 14f + 1) และ z = 2f (3f 4 − 10f 2 + 3) แล้ว x2 + y 2 , x2 + z 2 และ y 2 + z 2 เป็นจำนวนกำลังสอง นอกจากนี้ ยังมีการศึกษาปัญหาเกี่ยวกับสมบัติต่างๆของเรชันแนลคิวบอยด์อีกจำนวนมากมายและ ต่อเนื่องมาจนถึงปัจจุบัน ([6], [7], [8], [9], [11], [13], [14], [38], [18], [19], [20], [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29], [30], [31], [33], [34], [35], [36] และ [37]) สำหรับการศึกษาอิสระฉบับนี้ จะศึกษาเรชันแนลคิวบอยด์บางรูปทรง เมื่อกำหนด (a, b) บางคู่ ที่มีเงื่อนไขว่า a2 + b2 เป็นจำนวนกำลังสอง gcd(a, b) = 1 และทั้ง a และ b น้อยกว่า 100 แล้วทำให้ได้ว่า มีจำนวนเต็มบวก c, d ที่ gcd(c, d) = 1 และ d < c ที่ทำให้ c, ad และ bd เป็นด้านประกอบยอดมุมทั้งสามของ เรชันแนลคิวบอยด์ โดยเราจะเรียกเรชันแนลคิวบอยด์ดังกล่าวว่า เรชันแนลคิวบอยด์รูปทรงพิเศษ ดังรูปที่ 2

รูปที่ 2: เรชันแนลคิวบอยด์รูปทรงพิเศษที่มีจำนวนเต็มบวก c, ad และ bd เป็นความยาวของด้านประกอบ ยอดมุมทั้งสามด้าน


5

จากที่มาของการศึกษาอิสระฉบับนี้ ผู้วิจัยจึงพัฒนาทฤษฎีบทเพื่อใช้ศึกษาหาเรชันแนลคิวบอยด์รูปทรงพิเศษ ดังกล่าว ดังต่อไปนี้

3

ทฤษฎีบทประกอบ

บทตั้ง 3.1. สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก a, b ถ้า a − b = 1 แล้ว a2 − b2 = a + b พิสูจน์. สมมติว่า a − b = 1 จะได้ว่า dddsssa2 − b2 = (a − b)(a + b) = 1 · (a + b) = a+b บทตั้ง 3.2. สำหรับจำนวนเต็มบวก a, b บางตัว ถ้า a2 + b2 เป็นจำนวนกำลังสอง, gcd(a, b) = 1 และ 2 | a แล้ว 4 | a พิสูจน์. สมมติว่า a2 + b2 เป็นจำนวนกำลังสอง, gcd(a, b) = 1 และ 2 | a จากทฤษฎีบทที่ 1.4 จะได้ว่า ต้องมีจำนวนเต็มบวก u, v บางตัว ซึ่ง gcd(u, v) = 1 โดยที่ v > u และ v 6≡ u(mod 2) ที่ทำให้ (2uv)2 + (v 2 − u2 )2 เป็นจำนวนกำลังสอง เนื่องจาก gcd(a, b) = 1 และ 2 | a ดังนั้น a = 2uv เป็นจำนวนคู่ และ b = v 2 − u2 เป็นจำนวนคี่ และ uv เป็นจำนวนคู่ ดังนั้น จะมีจำนวนเต็ม k บางตัว ที่ทำให้ uv = 2k นั่นคือ 2uv = 4k ซึ่งแสดงว่า 4 | 2uv ดังนั้น 4 | a

บทตั้ง 3.3. (Y-G chen, [37]) ถ้ามีจำนวนเต็มบวก a, b บางตัว ที่ 4|a และ gcd(a, b) = 1, a2 + b2 เป็นจำนวนกำลังสอง และมีจำนวนเต็มบวก c, d บางตัว ที่ gcd(c, d) = 1 แล้ว c2 + a2 d2 − − −(Φ) และ c2 + b2 d2 − − −(Ψ) เป็นจำนวนกำลังสอง โดยที่ d เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับ (Φ) และ (Ψ)

จากบทตั้งที่ 3.3 กำหนดให้ c2 + a2 d2 = m2

และ

c2 + b2 d2 = n2

gcd(c, a) = u1 , gcd(c, b) = v1 จาก gcd(c, a) = u1 ทำให้ได้ว่า มีจำนวนเต็ม u2 , c1 บางตัวที่ทำให้ a = u1 u2 และ c = u1 c1 จาก gcd(c, b) = v1 ทำให้ได้ว่า มีจำนวนเต็ม v2 , c2 บางตัวที่ทำให้ b = v1 v2 และ c = v1 c2 พิจารณา

6

อาหนึ่งชูไวย และ บุญญา เพียรสวรรค์ c2 + a2 d2 = m2 (u1 c1 )2 + (u1 u2 )2 d2 = m2 u21 (c21 + u22 d2 ) = m2 m2 c21 + u22 d2 = u21

ซึ่งจะได้ว่า c21 + u22 d2 =

m 2 u1

(3.1)

และ c2 + b2 d2 = n2 (v1 c2 )2 + (v1 v2 )2 d2 = n2 v12 (c22 + v22 d2 ) = n2 n2 c22 + v22 d2 = 2 v1 ซึ่งจะได้ว่า c22 + v22 d2 =

n 2 v1

(3.2)

บทตั้ง 3.4. (Y-G chen, [37]) สำหรับเต็มบวก e, f, r, s, t, u, v, w และ M บางตัว ที่ gcd(s, t) = gcd(e, f ) = gcd(u, v) = 1, a = uw, b = vr, 4|a, gcd(a, b) = 1, a2 + b2 เป็นจำนวนกำลังสอง e 6= f , ust = vef , r(s2 − t2 ) = w(e2 − f 2 ), s1 , f1 เป็นตัวประกอบของ s และ f ตามลำดับ gcd(e, s) = s2 , gcd(t, e) = t2 , gcd(t, f ) = t3 และ gcd(s1 , s2 ) = gcd(f1 , t3 ) = 1 และ M = a2 − b2 ถ้ามีจำนวนเต็มบวก X บางตัว ซึ่ง X|M และ 2 - u แล้ว rs21 s22 + wf12 t23 = Xt22 และ r + w ≡ X(mod 8) บทตั้ง 3.5. (Y-G chen, [37]) สำหรับเต็มบวก e, f, r, s, t, u, v, w และ M บางตัว ที่ gcd(s, t) = gcd(e, f ) = gcd(u, v) = 1, a = uw, b = vr, 4|a, gcd(a, b) = 1, a2 + b2 เป็นจำนวนกำลังสอง e 6= f , ust = vef , r(s2 − t2 ) = w(e2 − f 2 ), s1 , f1 , e1 , t1 เป็นตัวประกอบของ s, f, t และ e ตามลำดับ gcd(e, s) = s2 , gcd(t, e) = t2 , gcd(t, f ) = t3 , gcd(f, s) = s3 และ gcd(s1 , s2 ) = gcd(f1 , t3 ) = gcd(t1 , t3 ) = gcd(e1 , s2 ) = 1 และ M = a2 − b2 ถ้ามีจำนวนเต็มบวก X บางตัว ซึ่ง X|M และ 2 | u แล้ว rs21 s22 + wf12 t23 = Xt22 และ rt21 t23 + we21 s22 = Xs23 และ r ≡ X(mod 8) บทตั้ง 3.6. (Y-G Chen, Li-Xia Dai, [38]) สำหรับจำนวนเต็มบวก a, b, c, d, e, f และ g บางตัว ถ้า a, b, c, d, e, f และ g เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันทุกคู่ (pairwise relatively prime) แล้ว 2abcdef ≤ (abc2 + ef g 2 )


4

7

ทฤษฎีบทที่สำคัญและการพิสูจน์

ทฤษฎีบท 4.1. สำหรับเต็มบวก c, d, e, f, r, s, t, u, v, w และ M บางตัว ที่ gcd(c, d) = gcd(s, t) = gcd(e, f ) = gcd(u, v) = 1, และ a = uw, b = vr, 2|a, gcd(a, b) = 1, a2 + b2 , c2 + a2 d2 − − −(Φ) และ c2 + b2 d2 − − −(Ψ) เป็นจำนวนกำลังสอง โดยที่ d เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับ (Φ) และ (Ψ), e > f , ust = vef , r(s2 − t2 ) = w(e2 − f 2 ) และ M = a2 − b2 แล้วจะได้ว่า มีจำนวนเต็มบวก X บางตัว ซึ่ง X|M และสำหรับจำนวนเฉพาะคี่ p บางตัว จะได้ว่า 1.) ถ้า p | a แล้ว

rX p

=1

wX 2.) ถ้า p | b แล้ว =1 p −rw 3.) ถ้า p | X แล้ว =1 p M rw แล้ว 4.) ถ้า p =1 X p 5.) ถ้า 2 - u แล้ว r + w ≡ X(mod 8) 6.) ถ้า 2 | u แล้ว r ≡ X(mod 8) 7.) ถ้า r, w และ X เป็นจำนวนกำลังสองแล้ว √ ef st s2 − t2 e2 − f 2 2 uvd2 2 = ≥d , = ≥ u v w r X หมายเหตุ • จำนวนเต็มบวก e, f, s และ t ต้องสอดคล้องกับความสัมพันธ์ของด้านทั้งสามของ สามเหลี่ยมปีธากอรัส ตามทฤษฎีบทที่ 1.4 นั่นคือ (2ef )2 + (e2 − f 2 )2 = (e2 + f 2 ) และ (2st)2 + (s2 − t2 )2 = (s2 + t2 ) • จากข้างต้นจะได้ว่า a 6≡ b(mod 2) แล้วทำให้ได้ว่า a2 + b2 เป็นจำนวนเต็มคี่ พิสูจน์. กำหนดให้ s2 = gcd(s, e) , s3 = gcd(s, f ), t2 = gcd(t, e) และ t3 = gcd(t, f ) เนื่องจาก gcd(s, t) = gcd(s, f ) = 1 ทำให้ได้ว่า s2 s3 |s, t2 t3 |t, s2 t2 |e และ s3 t3 |f และจะได้ว่า มีจำนวนเต็มบวก s1 , t1 , e1 และ f1 บางตัวที่ทำให้ s = s1 s2 s3 ,

t = t1 t2 t3 ,

e = e1 s2 t2

และ

f = f1 s3 t3

8


ดังนั้น us1 t1 = ve1 f1 จาก gcd(

s e , ) = 1, s2 s2

(4.1)

s s1 , s2

e e1 s2

จะได้ว่า gcd(s1 , e1 ) = 1 ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า gcd(s1 , f1 ) = 1, gcd(e1 , t1 ) = 1 และ gcd(t1 , f1 ) = 1 จากสมการ (4.1) ทำให้ได้ว่า e1 f1 | u และ s1 t1 | v จาก gcd(u, v) = 1 และจากสมการ (4.1) จะได้ว่า u | e1 f1

และ

v | s1 t1

ดังนั้น u = e1 f1 และ v = s1 t1 และจากกำหนด r(s2 − t2 ) = w(e2 − f 2 ) จะได้ว่า r(s21 s22 s23 − t21 t22 t23 ) = w(e21 s22 t22 − f12 s23 t23 ) ดังนั้น (rs21 s22 + wf12 t23 )s23 = (we21 s22 + rt21 t23 )t22 จาก gcd(s3 , t2 ) = 1 จึงได้ว่า มีจำนวนเต็มบวก X บางตัว ที่ทำให้ rs21 s22 + wf12 t23

=

Xt22

(4.2)

rt21 t23 + we21 s22

=

Xs23

(4.3)

จากสมการ (4.2) × rt21 − (4.3) × wf12 และ (4.2) × wf12 − (4.3) × rt21 จะได้ว่า −M s22 = X(rt21 t22 − wf12 s23 ) M t23

=

X(we21 t22 − rs21 s23 )

(4.4) (4.5)

เนื่องจาก gcd(s2 , t3 ) = 1 จะได้ว่า X|M จาก gcd(s, t) = gcd(e, f ) = gcd(u, v) = 1 จะได้ว่า gcd(s1 s2 , f1 t3 ) = gcd(s1 s2 , t2 ) = gcd(f1 t3 , t2 ) = 1

(4.6)

gcd(t1 t3 , e1 s2 ) = gcd(t1 t3 , s3 ) = gcd(e1 s2 , s3 ) = 1

(4.7)

gcd(t1 t2 , f1 s3 ) = gcd(t1 t2 , s2 ) = gcd(f1 s3 , s2 ) = 1

(4.8)

การศึกษาเรชันแนลคิวบอยด์บางรูปทรงโดยสามจำนวนปฐมฐานของปีธากอรัส gcd(e1 t2 , s1 s3 ) = gcd(e1 t2 , t3 ) = gcd(s1 s3 , t3 ) = 1 จาก X

9 (4.9)

M = M = a2 − b2 = u2 v 2 − v 2 r2 และ gcd(uv, vr) = 1 ทำให้ได้ว่า X gcd(r, w) = gcd(r, X) = gcd(w, X) = 1

(4.10)

จากสมการ (4.2) ถึง (4.10) ทำให้ได้ว่า gcd(rs21 s22 , wf12 t23 ) = gcd(rs21 s22 , Xt22 ) = gcd(wf12 t23 , Xt22 ) = 1 gcd(rt21 t23 , we21 s22 ) = gcd(rt21 t23 , Xs23 ) = gcd(we21 s22 , Xs23 ) = 1 gcd(rt21 t22 , wf12 s23 )

gcd(rs21 s23 , we21 t22 )

= gcd

rt21 t22 ,

= gcd

M 2 s X 2

rs21 s23 ,

M 2 t X 3

= gcd

= gcd

M 2 s X 2

wf12 s23 ,

we21 t22 ,

M 2 t X 3

=1

=1

สมมติว่า p|a จะได้ว่า p|wf12 หรือ p|we21 จากสมการ (4.2) และ (4.3) จะได้ว่า rX =1 p ซึ่งเป็นการพิสูจน์ ทฤษฎีบทที่ 4.1 ข้อ 1.) ในทำนองเดียวกัน จากสมการ (4.2) ถึง (4.5) จะได้ว่า ทฤษฎีบทที่ 4.1 ข้อ 2.) ถึง ข้อ 4.) เป็นจริง และจาก a = uw เราจะได้ว่า ถ้า 2 - u แล้ว 2|w ดังนั้น 2 - s1 s2 ,

2 - t2

และ

2 - f1 t3

จากสมการ (4.2) และบทตั้งที่ 3.4 ทำให้ได้ว่า r + w ≡ X(mod 8) ซึ่งเป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 4.1 ข้อ 5.) ถ้า 2|u และ 4 - u ทำให้ได้ว่า 4|a จาก a = uv จะได้ว่า 2|w ดังนั้น 2 - s1 s2 , 2 - t2 , 2 - f1 t3 และ 2 - s3 และทำให้ได้ว่า 8|we21 หรือ 8|wf12 จากสมการ (4.2), (4.3) และบทตั้งที่ 3.5 ทำให้ได้ว่า r ≡ X(mod 8) จาก gcd(e1 , f1 ) = 1 และ u = e1 f1 ถ้า 4|u 4|e1 หรือ 4|f1 ทำนองเดียวกัน จากสมการ (4.2), (4.3) และบทตั้งที่ 3.5 ทำให้ได้ว่า r ≡ X(mod 8)

10


ซึ่งเป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 4.1 ข้อ 6.) ต่อไปนี้จะเป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 4.1 ข้อ 7.) จากสมการ (4.2) และ (4.3) ทำให้ได้ว่า r2 s21 s22 t21 + rwf12 t21 t23

=

rXt21 t22

rwf12 t21 t23 + w2 e21 f12 s22

=

wXf12 s23

ซึ่งจะได้ว่า a2 s22 + rw(f1 t1 t3 )2 = wX(f1 s3 )2 − − −∗ และ b2 s22 + rw(f1 t1 t3 )2 = rX(t1 t2 )2 − − − ∗ ∗ ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า a2 t23 + rw(e1 s1 s2 )2 = wX(e1 t2 )2 − − − ∗ ∗∗ และ b2 t23 + rw(e1 s1 s2 )2 = rX(s1 s3 )2 − − − ∗ ∗ ∗ ∗ เนื่องจาก r, w และ X เป็นจำนวนกำลังสอง ทำให้ได้ว่า rw, rX และ wX เป็นจำนวนกำลังสอง จากบทตั้งที่ 3.3 ทำให้ได้ว่า s2 ≥ d และ t3 ≥ d ดังนั้น ef = s2 s3 t2 t3 ≥ d2 u จากทฤษฎีบทที่ 4.1 กำหนดว่า r(s2 − t2 ) = w(e2 − f 2 ) จะได้ว่า และ e = e1 s2 t2 , s = f1 s3 t3 จาก ∗, ∗∗, ∗ ∗ ∗ และ ∗ ∗ ∗∗ จะได้ว่า

s2 − t2 e2 − f 2 = w r

e2 − s2 r

(e1 s2 t2 )2 − (f1 s3 t3 )2 = r X (e1 s2 t2 )2 − (f1 s3 t3 )2 = X r 2 (e1 s2 t2 ) X − (f1 s3 t3 )2 X = rX 2 2 2 e1 s2 t2 X − f12 s23 t23 X = rX 2 2 2 จากสมการ (4.2) แทนค่า t2 X = rs1 s2 + wf12 t23 จากสมการ (4.3) แทนค่า s23 X = rt21 t23 + we21 s22

การศึกษาเรชันแนลคิวบอยด์บางรูปทรงโดยสามจำนวนปฐมฐานของปีธากอรัส ซึ่งจะได้ว่า e21 s22 t22 X − f12 s23 t23 X rX

e21 s22 t22 X − f12 s23 t23 X rX

e21 s22 (rs21 s22 + wf12 t23 ) − f12 s23 (rt21 t23 + we21 s22 ) rX 1 e21 s22 (rs21 s22 + wf12 t23 ) − f12 s23 (rt21 t23 + we21 s22 ) = X r 2 2 3 2 2 2 4 1 (re1 s1 s2 + we1 f1 s2 t3 ) − (rf12 t21 t43 + we21 f12 s32 t23 ) = X r 1 (re21 s21 s42 − rf12 t21 t43 ) − (we21 f12 s32 t23 + we21 f12 s32 t23 ) = X r =

= = = =

1 re21 s21 s42 − rf12 t21 t43 X r 1 2 2 4 (e1 s1 s2 − f12 t21 t43 ) X 1 2 2 2 2 (e1 s1 s2 ) − (f1 t1 t3 ) X 1 (e1 s1 s22 − f1 t1 t23 )(e1 s1 s22 + f1 t1 t23 ) − − − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ X

จากบทตั้งที่ 3.1 และ และ e1 s1 s22 6= f1 t1 t23 จะได้ว่า ∗∗∗∗∗

≥

1 (e1 s1 s22 + f1 t1 t23 ) X

จากทฤษฎีบทที่ 4.1 กำหนดว่า u = e1 f1 และ v = s1 t1 พิจารณา q 1 p 1 2 2 (e1 f1 )(s1 t1 )s2 t3 = (e1 f1 )(s1 t1 )s2 t3 X X q 1 2 2 = (e1 f1 )s2 (s1 t1 )t3 X q 2 ≤ (e1 f1 )s22 (s1 t1 )t23 X และ 2 X

q

(e1 f1 )s22 (s1 t1 )t23

√ 2p ( e1 f1 s2 )( s1 t1 t3 ) X 2p = (e1 f1 )(s1 t1 )s2 t3 X 2 ≤ (e1 f1 s2 )(s1 t1 t3 ) X =

11

12


จากบทตั้งที่ 3.6 จะได้ว่า 1 2 (e1 f1 s2 )(s1 t1 t3 ) ≤ (e1 s1 s22 + f1 t1 t23 ) X X ดังนั้น

1 2√ 2√ 2p (e1 f1 )(s1 t1 )s2 t3 = uvs2 t3 ≥ uvd2 (e1 s1 s22 + f1 t1 t23 ) ≥ X X X X

ซึ่งเป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 4.1 ข้อ 7.)

ทฤษฎีบท 4.2. สำหรับจำนวนเต็มบวก a, b บางตัว ที่ 4|a, gcd(a, b) = 1 และมีจำนวนเต็มบวก c, d บางตัว ที่ gcd(c, d) = 1, a2 + b2 , c2 + a2 d2 − − −(Φ) และ c2 + b2 d2 − − −(Ψ) เป็นจำนวนกำลังสอง โดยที่ d เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับ (Φ) และ (Ψ) และมีจำนวนเต็มบวก a1 , a2 , b1 , b2 , M , M1 , M2 บางตัว ที่ a = a1 a2 , b = b1 b2 , M = a2 − b2 , M1 |(a2 − b2 ) และ M2 |(a2 − b2 ) ถ้า 2 - a1 หรือ 2 | a1 , 8| a2 สำหรับจำนวนเฉพาะคี่ p บางตัว จะได้ว่า 1.) ถ้า p | a แล้ว

b i Mi p

= 1 สำหรับแต่ละ i = 1, 2

ai M i 2.) ถ้า p | b แล้ว = 1 สำหรับแต่ละ i = 1, 2 p −ai bi 3.) ถ้า p | Mi แล้ว = 1 สำหรับแต่ละ i = 1, 2 p M ai b i 4.) ถ้า p แล้ว = 1 สำหรับแต่ละ i = 1, 2 Mi p 5.) b1 ≡ M1 ( mod 8) และ b2 + a2 ≡ M2 ( mod 8) √ 6.) ถ้า a1 , b1 , M1 เป็นจำนวนกำลังสองแล้ว d ≤ M1 / a2 b2 และ ถ้า a2 , b2 , M2 เป็นจำนวน กำลังสอง √ จะได้ว่า d ≤ max{1, M2 / a1 b1 } กรณีที่ 1. สมมติว่า 2 - a พิสูจน์. จากกำหนด มีจำนวนเต็มบวก a, b บางตัว ที่ 4|a, gcd(a, b) = 1 และมีจำนวนเต็มบวก c, d บางตัว ที่ gcd(c, d) = 1, a2 + b2 , c2 + a2 d2 − − −(Φ) และ c2 + b2 d2 − − −(Ψ) เป็นจำนวนกำลังสอง โดยที่ d เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับ (Φ) และ (Ψ) และ จากบทตั้งที่ 3.3 และ สมการ (3.1), (3.2) เราทราบว่า gcd(c, a) = u1 และ gcd(c, b) = v1 , a = u1 u2 , b = v1 v2 และ c = u1 c1 = v1 c2 จาก 2 - a จะได้ว่า 2 - u1 u2 นั่นคือ 2 - u1 และ 2 - u2 จาก 2 - u1 และ u1 = gcd(c, a) และ 4|a จะได้ว่า 2 - c จาก c = u1 c1 และ จะได้ว่า 2 - c1


13

จาก c = v1 c2 และ จะได้ว่า 2 - v1 และ 2 - c2 จากสมการ (3.1) และ (3.2) จะมีจำนวนเต็ม s, t, e และ f ซึ่ง u2 d = 2ef,

c1 = e2 − f 2 ,

gcd(e, f ) = 1,

2|ef,

c2 = s2 − t2 ,

gcd(s, t) = 1,

2|st,

e>f ≥1

และ v2 d = 2st,

s>t≥1

ดังนั้น จากทฤษฎีบทที่ 4.1 (7.) จะได้ว่า v1 (s2 − t2 ) = u1 (e2 − f 2 ),

u2 st = v2 ef,

d=

2ef u2

จากทฤษฎีบทที่ 4.1 (7.) จะมีจำนวนเต็มบวก X1 ซึ่งสอดคล้องตามเงื่อนไข X1 |M กำหนดให้ s0 = e + f,

t0 = e − f,

e0 = s + t,

f0 = s − t

ทำให้ได้ว่า gcd(s0 , t0 ) = gcd(e0 , f 0 ) = 1 และ u1 s0 t0 = v1 e0 f 0 ,

2

2

2

2

v2 (s0 − t0 ) = u2 (e0 − f 0 ),

2d =

4ef , u2

d=

s0 2 − t0 2 u2

และ จากบททฤษฎีบทที่ 4.1 (7.) จะมีจำนวนเต็มบวก X2 ซึ่งสอดคล้องตามเงื่อนไข X2 |M สำหรับ i = 1, 2 กำหนดให้ ai = u i ,

bi = vi ,

Mi = Xi 2

อาศัยการพิสูจน์โดยทฤษฎีบทที่ 4.1 (7.) ทำให้ทฤษฎีบทที่ 4.2 กรณีที่ 1. เป็นจริง กรณีที่ 2. สมมติว่า 2 | a จาก a = u1 u2 และ 2|a จะได้ว่า • 2|u1 และ 2 - u2 หรือ • 2 - u1 และ 2|u2 หรือ • 2|u1 และ 2|u2

กรณีที่ 2.1 สมมติว่า 2|u1 และ 2 - u2 พิสูจน์. เนื่องจาก u1 = gcd(c, a) และ gcd(c, d) = 1 ดังนั้น 2|c และ 2 - d จากสมการ (3.1) และ (3.2) จะมีจำนวนเต็ม s, t, e และ f ซึ่ง c1 d = 2st,

u2 d = s2 − t2 ,

gcd(s, t) = 1,

2|st,

s>t≥1

14


และ u2 d = e2 − f 2 ,

c2 d = 2ef,

gcd(e, f ) = 1,

ดังนั้น u1 st = v1 ef,

v2 (s2 − t2 ) = u2 (e2 − f 2 ),

e>f ≥1

2|ef,

d=

s2 − t2 u2

จากทฤษฎีบทที่ 4.1 (7.) จะมีจำนวนเต็มบวก X2 ซึ่งสอดคล้องตามเงื่อนไข X2 |M กำหนดให้ s0 = e + f, t0 = e − f, e0 = s + t, f0 = s − t ทำให้ได้ว่า gcd(s0 , t0 ) = gcd(e0 , f 0 ) = 1 และ จากทฤษฎีบทที่ 4.1 (7.) จะได้ว่า u2 s0 t0 = v2 e0 f 0 ,

2

2

2

2

v1 (s0 − t0 ) = u1 (e0 − f 0 ),

d=

s2 − t2 e0 f 0 = u2 u2

จากบททฤษฎีบทที่ 4.1 (7.) จะมีจำนวนเต็มบวก X1 ซึ่งสอดคล้องตามเงื่อนไข X1 |M สำหรับ i = 1, 2 กำหนดให้ a1 = u 2 ,

a2 = u1 ,

b1 = v 2 ,

b2 = v 1 ,

M1 = X2 ,

และ

M2 = X1 2

อาศัยการพิสูจน์โดยทฤษฎีบทที่ 4.1 (7.) ทำให้ทฤษฎีบทที่ 4.2 กรณีที่ 2.1 เป็นจริง (สำหรับการพิสูจน์กรณีที่ 2 - u1 และ 2|u2 เหมือนการพิสูจน์ 2.1)

กรณีที่ 2.2 สมมติว่า 2|u1 และ 2|u2 พิสูจน์. จาก u1 = gcd(c, a) และ gcd(c, d) = gcd(a, b) = 1 ดังนั้น 2|c, 2 - d และ 2 - b จาก c = u1 c1 = v1 c2 ทำให้ได้ว่า 2|c2 จากบทตั้งที่ 3.2 และสมการ (3.1) และ (3.2) จะได้ว่า 4|c2 และ 4|u2 จึงทำให้ได้ว่า 4|c และ 4|u1 (ในทำนองเดียวกัน จากทฤษฎีบทที่ 4.1 (7.) ถ้า 2|u1 และ 2|u2 แล้ว ทฤษฎีบทที่ 4.2 จะเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ 16|a) จาก 4|u1 และ 4|u2 และจากสมการ (3.1) และ (3.2) จะมีจำนวนเต็ม s, t, e และ f ซึ่ง c2 = 2st,

v2 d = s2 − t2 ,

gcd(s, t) = 1,

2|st,

u2 d = 2ef,

gcd(e, f ) = 1,

2|ef,

s>t≥1

และ c1 = e2 − f 2 , ดังนั้น u2 (s2 − t2 ) = 2v2 ef

และ

2v1 st = u1 (e2 − f 2 )

s0 = s + t,

และ

t0 = s − t

กำหนดให้

e>f ≥1


15

ทำให้ได้ว่า gcd(s0 , t0 ) = 1 และ จากทฤษฎีบทที่ 4.1 (7.) จะได้ว่า u1 0 0 s t = v2 ef, 2

2

2

v1 (s0 − t0 ) = 2u1 (e2 − f 2 ),

d=

ef u2 /2

จากทฤษฎีบทที่ 4.1 (7.) จะมีจำนวนเต็มบวก X1 ซึ่งสอดคล้องตามเงื่อนไข X1 |M กำหนดให้ s00 = e + f,

t00 = e + f,

t00 = e − f,

e00 = s,

f 00 = t

ทำให้ได้ว่า gcd(s00 , t00 ) = 1 และ

gcd(e00 , f 00 ) = 1

จากผลดังกล่าวและอาศัยทฤษฎีบทที่ 4.1 (7) ทำให้ได้ว่า u1 00 00 s t = v1 e00 f 00 , 2

v2 (s

00 2

00 2

00 2

− t ) = 2u2 (e

00 2

− f ),

s2 − t2 e00 2 − f 00 2 d= = v2 v2

จากทฤษฎีบทที่ 4.1 (7.) จะมีจำนวนเต็มบวก X2 ซึ่งสอดคล้องตามเงื่อนไข X2 |M จากสมการ (3.1) และ (3.2) กำหนดให้ a1 = u2 /2,

a2 = 2u1 ,

b1 = v 2 ,

b2 = v1 ,

M1 = X2

และ

M2 = X1

เนื่องจาก 2|u2 ทำให้ได้ว่า 2u X (u /2)X a M 2 2 2 2 1 1 = = p p p และ

2u v (u /2)v a b 2 2 2 2 1 1 = = p p p

อาศัยการพิสูจน์โดยบทตั้งที่ 4.1 (7.) ทำให้ทฤษฎีบทที่ 4.2 กรณีที่ 2.2 เป็นจริง ซึ่งเป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 4.2

2

ทฤษฎีบท 4.3. จำนวนเต็มบวก a, b ที่ (a, b) ไม่ทำให้เกิดเรชันแนลคิวบอยด์รูปทรงพิเศษ ประกอบด้วย (4, 3), (8, 15), (12, 5), (12, 35), (16, 63), (28, 45), (36, 77), (40, 9), (56, 33), (72, 65) และทำให้เกิดเรชันแนลคิวบอยด์รูปทรงพิเศษประกอบด้วย (20, 21), (20, 99), (24, 7), (48, 55), (60, 11), (60, 91), (80, 39), (84, 13) พิสูจน์. 1. สำหรับ (a, b) = (4, 3) จะได้ว่า a = 4, b = 3, M = a2 − b2 = 42 − 32 = 7 เนื่องจาก 2 - a1 นั่นคือ a1 = 1 และ เนื่องจาก b1 ≡ M1 (mod 8) จะได้ว่า b1 = 1 และ M1 = 1 ดังนั้น a1 = b1 = M1 = 1 M1 1 ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ 4.2 (7.), d ≤ √ = √ <1 a2 b 2 2 3

16

อาหนึ่งชูไวย และ บุญญา เพียรสวรรค์ 2 2. สำหรับ (a, b) = (8, 15) จะได้ว่า a =8, b = 15, M = a − b2 = 82 − 152 = −161 = −7 × 23 a1 M 1 a1 M 1 เนื่องจาก 2 - a1 นั่นคือ a1 = 1, จาก = 1 และ = 1 จะได้ M1 = 1 จากเงื่อนไข 3 5 b1 ≡ M1 (mod 8) จะได้ว่า b1 = 1 ดังนั้น a1 = b1 = M1 = 1 ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ 4.2 (7.), M1 <1 d≤ √ a2 b 2

3. สำหรับ (a, b) = (12, 5) จะได้ว่า a = 12, b = 5, M = a2 − b2 = 122 − 52 = 119 = 7 × 17 จาก 2 - a1 นั่นคือ a1 = 1, 3 เนื่องจาก b1 ≡ M1 ≡ ±1(mod 8) จะได้ว่า b1 = 1 จากเงื่อนไข M1 ≡ b1 ( a1 M 1 b1 M1 = 1, = 1 จะได้ว่า M1 = 1, a1 = 1 ดังนั้น mod 8) จะได้ M1 = 1, 17 และ 3 5 M1 a1 = b1 = M1 = 1 ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ 4.2 (7.), d ≤ √ <1 a2 b 2 4. สำหรับ (a, b) = (12, 35) จะได้ว่า a = 12, b = 35, M = a2 −b2 = 122 −352 = −1081 = −23×47 จาก 2 -a1 นั่นคือ a1 = 1, 3 เนื่องจาก b1 ≡ M1 ≡ ±1(mod 8) จะได้ว่า b1 = 1, 7 เนื่องจาก b1 M1 = 1 จะได้ว่า M1 = 1 และ M1 = 1, 081 = 23 × 47 จาก b1 ≡ M1 ≡ 1(mod 8) 3 a1 M 1 a1 M 1 = 1 ทำนองเดียวกัน = 1 จะได้ว่า M1 = 1 ดังนั้น จะได้ว่า b1 = 1 และเนื่องจาก 5 7 M1 a1 = b1 = M1 = 1 ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ 4.2 (7.), d ≤ √ <1 a2 b 2 5. สำหรับ (a, b) = (16, 63) จะได้ว่า a = 16, b = 63, M = a2 −b2 = 162 −632 = −3713 = −79×47 จาก a= 16 จะได้ a1 = 1 และ a1 = 2 เนื่องจาก b1 ≡ M1 ≡ ±1(mod 8) จะได้ว่า b1 = 1, 7, 9, 63 a1 M 1 และ = 1 จะได้ M1 = 1 และ M1 = 79, ถ้า b1 = 1 และ b1 = 9 แล้วจะได้ว่า b1 ≡ M1 ≡ 1( 7 a1 M 1 = 1 จะได้ว่า a1 = 1 ดังนั้น a1 = 1, b1 = 1, 9 mod 8) ซึ่งทำให้ M1 = 1 และ เนื่องจาก 3 M1 และ M1 = 1 ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ 4.2 (7.), d ≤ √ < 1 ถ้า b1 = 7, 63 จะได้ว่า b2 = 1, 9 a2 b 2 a2 M 2 และ a2 = 8, 16 จาก = 1 จะได้ M2 = 1, 79 เนื่องจาก M2 ≡ a2 + b2 ≡ 1(mod 8) 7 a2 M 2 จะได้ M2 = 1 โดยเงื่อนไข = 1 จะได้ a2 = 16 ดังนั้น a2 = 16, b2 = 1, 9, M2 = 1 3 M2 จากทฤษฎีบทที่ 4.2 (7.) d ≤ max 1, √ = 1 ดังนั้น d = 1 อาศัยการคำนวณโดยตรงจะได้ว่า a1 b1 ไม่มีจำนวนเต็มบวก c, m, n ใดๆ ที่ทำให้ c2 + 162 = m2 และ c2 + 632 = n2 6. สำหรับ (a, b) = (28, 45) จะได้ว่า a = 28, b = 45, M = a2 −b2 = 282 −452 = −1241 = −73×17 จาก 2 - a จะได้ ≡ 1(mod 8) จะได้ว่า b1 = 1 และ b1 = 9 a1 = 1 และa1 = 7เนื่องจาก b1≡ M1 b1 M1 a1 M 1 a1 M 1 โดยเงื่อนไข = 1, = 1 และ = 1 จะได้ว่า M1 = 1, 73, M1 = 1 และ 3 7 5


17

a1 = 1 ตามลำดับ ดังนั้น a1 = 1, b1 = 1, 9 และ M1 = 1 ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ 4.2 (7.) 7. สำหรับ (a, b) = (36, 77) จะได้ว่า a = 36, b = 77, M = a2 − b2 = 362 − 772 = −4633 = −113 × 41 เนื่องจาก 2 - a1 จะได้ a1 = 1, 3, 9 จาก b1 ≡ M1 ≡ ±1(mod 8) จะได้ b1 = 1, 7 b1 M1 a1 b 1 = 1 จะได้ว่า M1 = 1, 41 จากทฤษฎีบทที่ 4.2 (4.) จะได้ = 1 โดยเงื่อนไข 3 113 a1 M1 ซึ่งทำให้ a1 = 1, 9 และ = 1 จะได้ M1 = 1 และ โดยเงื่อนไข b1 ≡ M1 ≡ 1(mod 8) จะได้ 7 b1 = 1 ดังนั้น a1 = 1, 9 และ b1 = 1 และ M1 = 1 ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ 4.2 (7.) 8. สำหรับ (a, b) = (40, 9) จะได้ว่า a = 40, b = 9, M = a2 − b2 = 402 − 92 = 1519 = 49 × 31 = 72 × 31 เนื่องจาก 2 - a1 จะได้ a1 = 1, 5 จาก b1 ≡ M1 ≡ ±1(mod 8) จะได้ b1= 1, 9 และ a1 M 1 โดยเงื่อนไข b1 ≡ M1 ≡ 1(mod 8) จะได้ M1 = 1, 72 , 7 × 31 เนื่องจาก = 1 จะได้ 3 −a1 b1 = −1 จะได้ว่า M1 = 1 ดังนั้น a1 = 1 และ b1 = 1, 9 และ M1 = 1 a1 = 1 และ จาก 7 ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ 4.2 (7.) 9. สำหรับ (a, b) = (56, 33) จะได้ว่า a = 56, b = 33, M = a2 − b2 = 562 − 332 = 2047 = 89 × 43 เนื่องจาก 2 - a1 จะได้ a1 = 1, 7 จาก b1 ≡ M1 ≡ ±1(mod 8) จะได้ b1 = 1,33 และ จาก a1 M 1 b1 M1 b1 ≡ M1 ≡ 1(mod 8) จะได้ M1 = 1, 89 เนื่องจาก = 1 จะได้ M1 = 1, =1 3 7 a1 M 1 = 1 จะได้ a1 = 1 ดังนั้น a1 = b1 = M1 = 1 ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ 4.2 จะได้ b1 = 1, 11 (7.) 10. สำหรับ (a, b) = (72, 65) จะได้ว่า a = 72, b = 65, M = a2 − b2 = 722 − 652 = 959 = 137 × 7 เนื่องจาก 2 - a1 จะได้ a1 = 1, 3, 9 จาก b1 ≡ M1 ≡±1(mod 8) จะได้ b1 = 1, 65 a1 b 1 และ จาก b1 ≡ M1 ≡ 1(mod 8) จะได้ M1 = 1, 137 เนื่องจาก = 1 จะได้ a1 = 1, 9, 7 a1 M 1 b1 M1 = 1 จะได้ M1 = 1, = 1 จะได้ b1 = 1 ดังนั้น a1 = 1, b1 = 1, 9 และ M1 = 1 5 3 ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ 4.2 (7.) 11. สำหรับ (a, b) = (20, 21) จะได้ว่า a = 20, b = 21, ซึ่งสอดคล้องตามทฤษฎีบทที่ 4.2 จะได้ว่า ∃c, d, m, n ∈ Z ซึ่ง c = 275, d = 12, m = 365 และ n = 373 ที่ทำให้ 2752 + (202 × 122 ) = 3652 = 133, 225 และ 2752 + (212 × 122 ) = 3732 = 139, 129 12. สำหรับ (a, b) = (20, 99) จะได้ว่า a = 20, b = 99, ซึ่งสอดคล้องตามทฤษฎีบทที่ 4.2 จะได้ว่า ∃c, d, m, n ∈ Z ซึ่ง c = 231, d = 8, m = 281 และ n = 825 ที่ทำให้

18

อาหนึ่งชูไวย และ บุญญา เพียรสวรรค์ 2312 + (202 × 82 ) = 2812 = 78, 961 และ 2312 + (992 × 82 ) = 8252 = 680, 625

13. สำหรับ (a, b) = (24, 7) จะได้ว่า a = 24, b = 7, ซึ่งสอดคล้องตามทฤษฎีบทที่ 4.2 จะได้ว่า ∃c, d, m, n ∈ Z ซึ่ง c = 693, d = 20, m = 843 และ n = 707 ที่ทำให้ 6932 + (242 × 202 ) = 8432 = 710, 649 และ 6932 + (72 × 202 ) = 7072 = 499, 849

14. สำหรับ (a, b) = (48, 55) จะได้ว่า a = 48, b = 55, ซึ่งสอดคล้องตามทฤษฎีบทที่ 4.2 จะได้ว่า ∃c, d, m, n ∈ Z ซึ่ง c = 1, 100, d = 21, m = 1, 492 และ n = 1, 595 ที่ทำให้ (1, 100)2 + (482 × 212 ) = (1, 492)2 = 2, 226, 064 และ (1, 100)2 + (552 × 212 ) = (1, 595)2 = 2, 544, 025


16. สำหรับ (a, b) = (60, 91) จะได้ว่า a = 60, b = 91, ซึ่งสอดคล้องตามทฤษฎีบทที่ 4.2 จะได้ว่า ∃c, d, m, n ∈ Z ซึ่ง c = 5, 643, d = 236, m = 15, 243 และ n = 22, 205 ที่ทำให้ (5, 643)2 + (602 × 2362 ) = (15, 243)2 = 232, 349, 049 และ (5, 643)2 + (912 × 2362 ) = (22, 205)2 = 493, 062, 025


18. สำหรับ (a, b) = (84, 13) จะได้ว่า a = 84, b = 13, ซึ่งสอดคล้องตามทฤษฎีบทที่ 4.2 จะได้ว่า ∃c, d, m, n ∈ Z ซึ่ง c = 2, 144, 115, d = 38, 324, m = 3, 867, 891 และ n = 2, 201, 237 ที่ทำให้ (2, 144, 115)2 +(842 ×(38, 324)2 ) = (3, 867, 891)2 = 14, 960, 580, 787, 881 และ (2, 144, 115)2 + (132 × (38, 324)2 ) = (2, 201, 237)2 = 4, 845, 444, 330, 169 ซึ่งเป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 4.3


4.1

ตารางแสดงค่าจำนวนเต็มบวก a, b ที่สอดคล้องตามทฤษฎีบทที่ 4.1

ชุดที่ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

4.2

สามจำนวนของปีธากอรัสที่เป็นรากปฐมฐาน (20, 21, 29) (20, 99, 101) (24, 7, 25) (48, 55, 73) (60, 11, 61) (60, 91, 109) (80, 39, 89) (84, 13, 85)

a 20 20 24 48 60 60 80 84

b 21 99 7 55 11 91 39 13

ตารางแสดงค่าจำนวนเต็มบวก c, d ที่สอดคล้องตามทฤษฎีบทที่ 4.1

ลำดับ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

จำนวนเต็มบวก c, d ตัวประกอบ gcd(c, d) c d c d 2 275 12 5 × 11 22 × 3 1 3 231 8 3 × 7 × 11 2 1 2 2 693 20 3 × 7 × 11 2 ×5 1 2 2 1, 100 21 2 × 5 × 11 3×7 1 85 12 5 × 17 22 × 3 1 3 2 5, 643 236 3 × 11 × 19 2 × 59 1 44 3 22 × 11 3 1 2 2 1, 144, 115 38, 324 3 × 5 × 29 × 31 × 53 2 × 11 × 13 × 67 1

19

20


4.3

ตารางแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนเต็มบวก a, b, c, d ที่ สอดคล้องตามทฤษฎีบทที่ 4.1

ลำดับ

a

c2 + a2 d2 = m2

c2 + b2 d2 = n2

12 8 20 21

133, 225 78, 961 710, 649 Γ

139, 129 608, 625 499, 849 ∆

11 85 12 91 5, 643 236 39 44 3 13 Π 38, 324

525, 625 Θ 59, 536 Υ

24, 649 Λ 15, 625 Φ

b

c

1. 2. 3. 4.

20 21 275 20 99 231 24 7 693 48 55 1, 100

5. 6. 7. 8.

60 60 80 84

หมายเหตุ Γ = 2, 226, 064 ∆ = 2, 544, 025 Θ = 232, 349, 049 Λ = 493, 062, 025 Π = 2, 144, 115 Υ = 14, 960, 580, 787, 881 Φ = 4, 845, 444, 330, 169 Ψ = 3, 867, 891 Ω = 2, 201, 237

d

m

n

365 281 843 1, 492

373 825 707 1, 595

725 157 15, 243 22, 205 244 125 Ψ Ω


4.4

21

ตารางแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนเต็มบวก a, b, c, d ที่ สอดคล้องตามเงื่อนไขของเรชันแนลคิวบอยด์รูปทรงพิเศษ ลำดับที่ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

c

ad

275 240 231 160 693 480 1, 100 1, 008 85 720 5, 643 14, 160 44 240 2, 144, 115 3, 219, 216

bd 252 792 140 1, 155 132 21, 476 117 489, 212

√

c2 + a2 d2 365 281 843 1, 492 725 15, 243 244 3, 867, 891

√

c2 + b2 d2 373 825 707 1, 595 157 22, 205 125 2, 201, 237

√

a2 d2 + b2 d2 348 808 500 1, 533 732 25, 724 267 3, 257, 540

กิตติกรรมประกาศ การศึกษาอิสระฉบับ นี้ สำเร็จ ลุล่วงโดยได้ รับ ความอนุเคราะห์ อย่างดียิ่ง จาก อาจารย์ รศ. ดร.บุญ ญา เพียรสวรรค์, Prof.Dr. Yong-Gao Chen, Department of Mathematics, Nanjing Normal University, Nanjing 210097, PR China, Professor Dr.Shu-Guang Guo, Department of Mathematics, Yancheng Teachers College, Yancheng 224002, PR China และอาจารย์ รศ.ม.ล.จันทรศรี ชมพูนุท (กรรมการ) อาจารย์ ดร.อัญชลีย์ แก้วเจริญ (กรรมการ) ซึ่ง กรุณาให้ คำปรึกษา แนะนำแนวคิด วิธีการ และสละเวลาอันมีค่า แก้ไขข้อบกพร่องของเนื้อหาและสำนวนภาษาด้วยความเอาใจใส่อย่างดียิ่ง ตลอดจน สสวท. ที่มอบทุน สควค. สนับสนุนการศึกษาให้กับผู้วิจัย ผู้วิจัยขอกราบขอบพระคุณเป็นอย่างสูง ณ โอกาสนี้ คุณค่าและสาระประโยชน์ อันพึงมีจากการศึกษาอิสระฉบับนี้ ผู้วิจัยขอน้อมเป็นเครื่องบูชากตเวทิตาคุณ แด่ บิดา มารดา คุณยายต่อม ค้าแป้ง (ผู้ล่วงลับ) ตลอดจนครูอาจารย์ทุกท่านที่ประสิทธิ์ ประสาทวิชาความรู้ แก่ผู้วิจัยจนสำเร็จการศึกษา

Professor Dr.Yong-Gao Chen

22


หนังสืออ้างอิง [1] ณรงค์ ปั้นนิ่ม. ทฤษฎีจำนวน. โครงการตำราวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์มูลนิธิ สอวน. 2547. [2] นฤมล ศรชัยยืน. ทฤษฎีจำนวน. ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่. 2540. [3] บุญญา เพียรสวรรค์. ทฤษฎีจำนวน. ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยนเรศวร. 2546. [4] สมวงษ์ แปลงประสพโชค. ทฤษฎีจำนวน. ชมรมคณิตศาสตร์ ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์และ เทคโนโลยี สถาบันราชภัฏพระนคร. 2540. [5] อัจฉรา หาญชูวงศ์. ทฤษฎีจำนวน. ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย. 2542. [6] A. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains., New York: Dover, 1966. [7] A. Bremner, The rational cuboid and a quartic surface., Rocky Mountain J. Math. 18 (1) (1988), pp. 105 – 121. [8] A. Bremner, The rational cuboid and a quartic surface., Rocky Mtn. J. Math., vol. 18, 1988, pp. 105 – 121. [9] A. Bremner, R. K. Guy and R. J., Nowakowski, Which integers are representable as the product of the sum of three integers with the sum of their reciprocals., Math. Comput., vol 61, 1993, pp. 117-130. [10] D. M. Buton, Elementary Number Theory., 3rd ed, Wm. C. brown Plubishers, the United States of America, 1980. [11] D. Shanks, Corrigenda, M. Lal and W. J. Blundon, solutions of the diophantine equations x2 + y 2 = l2 , y 2 + z 2 = m2 , z 2 + x2 = n2 , Math., Comp 20, (1966), p. 144–147; see Math. Comp. 23, 1969, p. 219. [12] E. Grosswald, Topics from the Theory of Numbers., the Macmillan Company, the United States of America, 1985. [13] E. W. Mayr, R. J. Anderson and P. ll. Hocschild, A Programming and Problem-Solving Seminar., Report No. STAN-CS-85-1072., Stanford University, Stanford CA 9305, pp. 3 – 12. [14] E. Z. Chein, On the derived cuboid of an Eulerian triple., Canad. Math. Bull., Vol 20, no. 4 (1977), pp. 509– 510.

[15] F. Beukers and B. van Geemen, Rational Cuboids., not published. [16] The Gifted and Talented Development Centre Tartu 2005, Estonian Math Competitions 2004/2005 ., pp. 19 – 20. [17] G. R. Kenneth, Is There a Perfect Cuboid?., D18 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 173 – 181, 1994. [18] I. Korec, Nonexistence of small Perfect Rational Cuboid., Acta Math. Univ. Comenian. 42/43 (1983), pp. 73 – 86. [19] I. Korec, Nonexistence of a small perfect rational cuboid II., Acta Math., Univ. Comenian., 44/45 (1984) p. 39 – 48. [20] J. Leech, The rational cuboid revisited., Amer. Math. Monthly, vol. 84, 1977, pp. 518-533. [21] K. H. Rosen, Elementary Number Theory., 4th ed, Addition-Wesley Longman, Inc., the United States of America, 2000. [22] L. E. Dickson, The History of the Theory of Numbers., Carnegie Institute of Washington, Washington, 1919. [23] L. J. Mordell, Diophantine Equations., Academic Press, 1969. [24] M. La1 and W. J. Blundon, Solutions of the Diophantine Equations x2 + y 2 = z 2 , y 2 + x2 = m2 , z 2 + x2 = n2 ., Math. Camp., 20 (1966), pp. l44-147. [25] M. Kraitchik, On certain Rational Cuboids., Scripta Math. 11 (1945), pp. 317 – 326. [26] N. Narumiya and H. Shiga, On certain rational cuboid problems., Nihonkai Math. J., 12 (1) (2001) pp. 75 – 88. [27] N. Saunderson, The Elements of Algebra., Vol. 2, Cambridge, 1740. [28] P. Ribenboim, Fermat’s Last Theorem for Amateures., Springer-Verlag New York, Inc., the United States of America, 1999.

[29] R. L. Rathbun, The Rational http://arxiv.org/abs/math/0111229.

Cuboid

Table

of

Maurice

Kraitchik.,

[30] R. K. Guy, Tiling the square with rational triangles in Number Theory and Applications., ed. R.A. Mollin, Kluwer, 1989. [31] S. G. Guoa, On the rational cuboids with a given face ll., Department of Mathematics, Yancheng Teachers College, Yancheng 224002, PR China. [32] W. J. Le Veque, Fundamental of Number Theory., Claremont Graduate School, Portugal, Addition-Wesley Plublishing Company, the United States of America, 1977. [33] W. G. Spohn, On the Integral Cuboid., Amer. Math. Monthly, 79 (1972), pp. 57–59. [34] W. G. Spohn, On the Derived Cuboid., Canad. Math. Bull. Vol. 17 (4) (1974), pp. 575–577. [35] W. J. A. Colman, Some observations on the classical cuboid and its parametric solutions., Fibonacci Quart., 26(4)(1988) pp. 338 – 343. [36] Y. G. Chen, On integers of the form 2n ± pα1 1 · . . . · pαr r ., Proc. Amer. Math. Soc. (to appear). CMP 99:14. [37] Y. G. Chen, On the rational cuboids with a giving faces., Department of Mathematics, Nanjing Normal University, Nanjing 210097, People’s Republic of China. [38] Y. G. Chen and L. X. Dai, Conguences wth factorial modulo p., Department of Mathematics, Nanjing Normal University, Nanjing 210097, P. R. China.

kkk

Recommend Documents