4.0 Pengenalan
Theo Theore rem m Asas Asas Kalk Kalkul ulus us tela telah h dike dikena nali li kerana kerana ia mengh menghub ubung ungka kan n dua dua caba cabang ng kalkul kalkulus, us, iaitu iaitu kalkul kalkulus us pembez pembezaan aan dan kalkul kalkulus us kamira kamiran. n. Kalkul Kalkulus us pembeza pembezaan an terbit terbit daripada masalah tangen manakala kalkulus kamiran terbit daripada masalah mencari luas. Guru kepada Newton di Cambridge, Isaac Barrow (1630 – 1677), menemui dua masalah dalam kalkulus adalah sangat berkaitan bahkan menyedari pembezaan dan kamiran adalah proses songsangan. Theorem Asas Kalkulus menunjukan hubungan songsang yang jelas antara antara pembeza pembezaan an dan kamir kamiran. an. Newton Newton dan Leibni Leibniz z menggun menggunakan akan hubung hubungan an antara antara pemb pembeza ezaan an dan dan kami kamira ran n untu untuk k memb membin ina a kalk kalkul ulus us seba sebaga gaii kaeda kaedah h mate matema mati tik k yang yang sistematik. Secara khusus mereka melihat Theorem Asas Kalkulus membolehkan mereka mengira luasdan isipadu dengan kaedah kamiran adalah mudah tanpa perlu menggunakan limit bagi suatu jumlah Kerj Kerja a kurs kursus us ini ini mera merang ngku kumi mi dua aktiv aktivit iti, i, akti aktivi viti ti 1 pert pertam ama a meng mengena enaii huku hukum m pemb pembeza ezaan an hasi hasill tamb tambah ah dan dan hasi hasill tola tolak. k. Mana Manaka kala la akti aktivi viti ti 2 pula pula menge mengena naii kadar kadar perubahan dalam masalah kehidupan harian.
5.0 Aktiviti 1
Tajuk : Hukum Pembezaan Hasil Tambah dan Hasil Tolak
Objektif : (i)
Memahami konsep hukum-hukum pembezaan.
(ii)
Mengunakan konsep hukum-hukum pembezaan untuk menyelesaikan soalan.
Langkah-langkah Pengajaran : 1.
Menerangkan terbitan pertama untuk fungsi polynomial.
2.
Memperkenalkan konsep hukum-hukum pembezaan yang terdapat dalam terbitan pertama kepada pelajar.
3.
Menunjukkan penggunaan hukum pembezaan hasil tambah dan hasil tolak dalam pelbagai contoh soalan.
4.
Pelajar-pelajar
mencuba
soalan
selepas
penunjukkan
penggunaan
hukum
pembezaan hasil tambah dan hasil tolak. 5.
Menunjukkan cara penyelesaian untuk disemak oleh pelajar selepas pelajar mencuba menjawab soalan.
6.
Latihan pengukuhan diberi kepada pelajar sebagai kerja rumah.
Resos pengajaran : Laman Web (lampiran disertakan), Komputer, Kalkulator dan Papan Putih
Teori : Terbitan pertama fungsi yang merupakan hasil tambah dan hasil beza dua sebutan algebra boleh diperoleh dengan membezakan fungsi tersebut demi sebutan.
Jika
Maka
[
]=
atau
=
Langkah – langkah Menjalankan Aktiviti Contoh Soalan
Cari
untuk setiap fungsi yang berikut :
[
]
(a)
y=
+
(b)
y=4
(c)
y=
-5
Penyelesaian :
(a)
y=4
+
=
+
-5
= 2(4 ) + (-1)
-5
–0
=8 -
(b)
y=4
Biarkan u = 4
=4
v=
=6
=u
+ v
= 4 [12(
]+
= 48
(c)
+4
=4
[
=4
(
]
+ 1)
y=
y=
y=
y=
-
-
y=3-
=0-
(4)
+
+
+
+
=
=
-
-
Lembaran Kerja :
1.
Carikan
a. y =
bagi setiap persamaan yang berikut.
+4
b. y =
c. y =
2.
Carikan terbitan pertama bagi setiap fungsi yang berikut.
a.
b.
c.
3.
Diberi
, carikan nilai
apabila
.
Jawapan Lembaran Kerja : 1.
a. b. c.
2.
a. b. c.
3.
8
6.0 Aktiviti 2
Objektif : (i)
Memahami kadar perubahan boleh menyelesaikan masalah kehidupan.
(ii)
Pelajar dapat mengaplikasikan rumus rantai dalam masalah.
Langkah-langkah Pengajaran : 1.
Menerangkan konsep kadar perubahan yang terhubung.
2.
Menunjukkan contoh soalan.
3.
Mencatatkan maklumat yang terdapat dalam contoh soalan dan mengenal pasti masalah.
4.
Menyelesaikan masalah dengan menggunakan rumus rantai.
5.
Pelajar-pelajar mencuba soalan selepas penunjukkan penggunaan rumus rantai.
6.
Menunjukkan cara penyelesaian untuk disemak oleh pelajar selepas pelajar mencuba menjawab soalan.
7.
Latihan pengukuhan diberi kepada pelajar sebagai kerja rumah.
Resos pengajaran : Laman Web (lampiran disertakan), Komputer, Kalkulator dan Papan Putih
Teori :
1.
Jika
ialah satu fungsi , maka
ialah kadar perubahan
2.
Jika sesaran s ialah satu fungsi masa t , maka
terhadap .
ialah halajunya, iaitu kadar
perubahan sesaran terhadap masa.
3.
Begitu juga
,
,
, dan sebagainya, masing-masing ialah kadar perubahan bagi
V , A , r , dan sebagainya terhadap masa t . 4.
Jika
ialah satu fungsi bagi
dan
ialah satu fungsi bagi t , maka kadar perubahan
terhadap t boleh ditentukan dengan menggunakan rumus rantai
.
yang bernilai positif mewakili kadar bertambah atau menokok bagi terhadap
.
5.
Misalnya, saat.
bermakna r bertambah 3 meter bagi setiap tambahan masa 1
Langkah – langkah Menjalankan Aktiviti Contoh Soalan 1 Jejari sebiji belon yang berbentuk sfera bertambah dengan kadar 2 perubahan isipadu belon itu apabila jejarinya ialah 5cm.
Penyelesaian :
Apakah yang hendak dicari ?
Kadar perubahan isipadu,
.
Apakah maklumat yang diberi?
(i)
Kadar perubahan jejari,
(ii)
Jejari = 5cm
Apakah cara penyelesaian?
=2
. Carikan kadar
Rumus rantai
Isipadu sfera,
=
=
Kadar perubahan isipadu,
=4
=
2
=8
Apabila
,
=8
= 200
Jadi, kadar tokokan isipadu belon itu ialah 200
Contoh Soalan 2 Seketul air batu yang berbentuk kubus melebur dan sisinya menyusut dengan kadar . Carikan kadar perubahan jumlah luas permukaan kubus itu apabila isipadunya ialah 64
.
Penyelesaian :
Apakah yang hendak dicari ?
Kadar perubahan isipadu,
.
Apakah maklumat yang diberi?
(i)
Kadar perubahan sisi,
(ii)
Isipadu kubus = 64
Apakah cara penyelesaian?
Rumus rantai
=
Isipadu kubus,
=
= 64
Maka,
= 4 cm
=
Jumlah luas permukaan, L =
=
Kadar susutan sisi,
=
=
=
Apabila
,
= 48(-0.1)
= -4.8 Jadi, kadar susutan jumlah luas permukaan ialah
.
Lembaran Kerja :
1. Jejari sebuah bulatan bertambah dengan kadar
luas bulatan apabila jejarinya ialah
. Carikan kadar perubahan
.
2. Jejari sebuah sfera bertambah dengan kadar
isipadu sfera apabila jejarinya ialah
. Carikan kadar perubahan
.
3. Isipadu sebiji belon berbentuk sfera bertambah dengan kadar
kadar perubahan jejari apabila jejarinya ialah
.
4. Sisi sebuah kubus bertambah dengan kadar
isipadu apabila sisinya berukuran
. Carikan kadar perubahan
.
5. Diberi jejari sebuah bulatan bertambah dengan kadar
perubahan luas, dalam
, apabila jejari ialah
6. Isipadu sfera menyusut dengan kadar
dalam
, apabila jejarinya ialah
Jawapan Lembaran Kerja :
1.
. Carikan
. Cari kadar
.
. Cari kadar perubahan jejari, .
2.
3.
4.
5.
6.
7.0 Kesimpulan
Kalkulus merupakan cabang matematika yang digunakan untuk menggambarkan sifat fisik dasar alam semesta, seperti gerakan planet dan molekul. Kalkulus menginterpretasi gerakan objek sebagai kurva atau fungsi, dan kemudian menentukan nilai dari fungsi-fungsi tersebut untuk menghitung tingkat perubahan halaju, luas, atau isipadu. Kalkulus dibahagikan kepada dua bahagian iaitu pembezaan dan pengamiran. Kedua-duanya dapat memecahkan masalah seperti kecepatan objek yang bergerak pada saat tertentu, atau luas permukaan objek yang kompleks seperti tudung lampu. Pelajar-pelajar perlu diterapkan dengan pembezaan asas dan pengamiran asas sebelum mengajarkan mereka tentang formula-formula pembezaan dan pengamiran yang lebih mendalam. Dengan mempelajari pembezaan dan pengamiran, pelajar-pelajar dapat
menyelesaikan
masalah
kehidupan
seharian
dengan
menggunakan
hukum-hukum
pembezaan dan pengamiran. Ia amat memudahkan dan cepat menyelesaikan masalah. Jadi, pelajar-pelajar haruslah diterapkan untuk mempelajari pembezaan dan pengamiran dengan baik.
8.0 Bibliografi
1. http://www.intmath.com/ 2. http://www.oocities.org/enotebvp/bab3/bab_3_penggunaan_pembezaan.htm 3. http://www.scribd.com/doc/48540955/UNIT2 4. (2000). In O. P. Kheng, SPM Matematik Tambahan (p. 477). Selangor Darul Ehsan: Pustaka Delta Pelajaran Sdn bhd. 5. (2012). In O. S. Moy Wah Goon, Fokus Sukses (p. 253). Kuala Lumpur: Penerbitan Pelangi Sdn.Bhd. (Musa, 2012)In Y. K. Lan Foo Huat, Matematik Tambahan SPM . Kuala Lumpur 6. (2012). In Z. Musa, Expert @Cerdik (p. 157). Shahalam: Cerdik Publications. 7. (1999). In M. W. Khoo Cheng, Matematik Tambahan SPM (p. 394). Selangor Darul Ehsan: Penerbitan Pelangi Sdn.Bhd.
