6.0 KEPENTINGAN MEMPELAJARI PENGAMIRAN DALAM KEHIDUPAN MANUSIA
Ramai berpendapat bahawa Matematik hanya satu matapelajaran teori yang berkaitan logik dan nombor semata-mata. Namun begitu, tanggapan itu salah sama sekali kerana jika diperhatikan kehidupan di sekeliling kita penuh dengan aplikasi ilmu matematik. Pengamiran merupakan salah satu subtopik di bawah tajuk kalkulus. Pengamiran khususnya kamiran tentu bukan hanya sekadar teori matematik yang perlu dipelajari untuk menyelesaikan masalah Matematik namun ia memainkan peranan penting dalam kehidupan seharian. Banyak perkara yang ingin diketahui dalam kehidupan seharian dapat dikira dengan kamiran. Aplikasi kamiran banyak digunakan dalam bidang kejuruteraan dan fizik. Antaranya, kedudukan dan jarak yang dilalui oleh objek bergerak, isipadu bagi bentuk-bentuk tiga dimensi, panjang sesuatu lengkung, luas permukaan bagi lengkung, momen inersia, punca min kuasa dua voltan, dan daya-daya terhadap empangan .
6.1 Perubahan Bersih dalam Kedudukan dan Jarak yang Dilalui oleh Sesuatu Jasad yang Bergerak
Perubahan bersih dalam kedudukan
Aplikasi kamiran dalam konteks mencari perubahan perubahan bersih dalam kedudukan kedudukan dan jarak yang dilalui oleh sesuatu jasad yang bergerak adalah penyongsangan bagi kaedah terbitan. Dalam fizik, perubahan bersih dalam kedudukan
dinamakan sesaran, . Apabila sesuatu fungsi halaju jasad
diketahui maka perubahan bersih
bagi sesuatu jasad yang bergerak di sepanjang suatu garisan dari masa sehingga dapat dicari dengan mengkamirkan halaju jasad daripada hingga yang diberi.
kedudukan
a) Pergerakan pada suatu fungsi masa selanjar Jika suatu jasad bergerak di sepanjang suatu garis dan halajunya v(t) suatu fungsi masa selanjar fungsi kedudukan jasad sehingga kepada satu pemalar boleh ditentukan dengan pengamiran:
b) Pergerakan pada suatu fungsi selang masa Untuk mencari perubahan bersih kedudukan jasad pada sebarang selang waktu daripada
hingga , kita tolakkan daripada Ini dapat
dilihat melalui persamaan:
∫ Oleh itu, perubahan bersih dalam kedudukan jasad bersamaan dengan pengamiran halaju jasad tersebut dari
ke .
Jarak yang Dilalui oleh Sesuatu Jasad yang Bergerak
Jika sesuatu jarak yang bergerak di sepanjang suatu garis berpatah balik semasa dalam perjalanannya , magnitud bagi perubahan bersih kedudukan akan menjadi kurang daripada jumlah jarak yang dilalui oleh jasad tersebut. Sebagai contoh, jarak rumah Abu dengan tempat kerjanya ialah 7 kilometer. Pada satu pagi Abu bergerak ke tempat kerjanya namun setelah tiba dia terlupa bahawa dia tertinggal suatu dokumen penting untuk mesyuarat pada hari itu, maka Abu patah balik semula ke rumahnya melalui jalan yang sama untuk mendapatkan dokumen tersebut. Kereta yang dipandu Abu telah bergerak 7 kilometer ke hadapan dan kemudian 7 kilometer ke belakang balik semula kepada tempat asalan iaitu rumahnya , perubahan bersih kedudukan kereta Abu adalah sifar tetapi jumlah jarak perjalanan ialah 14 kilometer.
Bagi mengira jumlah perjalanan suatu jasad bergerak dengan cara pengamiran, pergerakan ke hadapan dan ke belakang perlu diambil kira untuk menegakkan daripada terhapus nilai antara satu sama lain. Hasilnya akan diperoleh melalui pengamiran nilai mutlak halaju dari
ke . nilai mutlak halaju ini dinamakan
kelajuan jasad.
||
Melalui aplikasi ini, pengiraan kelajuan sesebuah kereta misalnya boleh dikira.
6.2 Isipadu bagi Bentuk-Bentuk 3 Dimensi Kaedah pengamiran sering diaplikasikan dalam kehidupan seharian untuk mencari isipadu bongkah yang berbentuk 3 dimensi seperti piramid, silinder, sfera, elips dan sebagainya. Antara contoh penggunaan pengamiran dalam mencari isipadu bongkah ialah mencari isipadu sebuah mangkuk yang berbentuk hemisfera berdasarkan jejari dan kedalaman air yang tertentu yang diberi. Terdapat beberapa kaedah untuk mencari isipadu bongkah-bongkah tersebut iaitu kaedah firisan, kaedah cakera dan kaedah cengkerang.
Isipadu Bongkah Hirisan
Kaedah ini digunakan untuk mencari isipadu bongkah yang mempunyai luas tapak dan ketinggian. Kebiasaanya untuk mencari isipadu geometri bongkah yang asas ialah berdasarkan hasil darab antara luas tapak dan tinggi sesuatu bongkah
tersebut.
Namun
dengan
menggunakan
kaedah
ini
dapat
memperluaskan rumus geometri bongkah bagi silinder membulat kepada silinder dengan sebarang tapak. Kaedah hirisan diaplikasikan dengan membayangkan bongkah yang ingin dikira isipadunya dipotong kepada beberapa hirisan tipis yang tebalnya
satah yang berserenjang dengan paksi- .
oleh satah-
bongkah dapat dikira dengan menambah isipadu setiap hirisan yang dipotong. Isipadu bongkah yang diketahui luas keratin rentasnya daripada hingga ialah ∫ Isipadu
Isipadu bongkah pengisaran
Isipadu bongkah pengisaran juga dikenali sebagai kaedah cakera. Bongkah pengisaran aadalah bongkah yang dihasilkan dengan cara mengisarkan suatu rantau dalam satah pada suatu paksi dalam satah tersebut. Jika
paksi
perkisaran ialah sempadan kawasan satah dan keratan rentas diambil secara serenjang pada paksi perkisaran ,maka kaedah cakera bolehlah digunakan untuk mencari isipadu pepejal. Disebabkan oleh keratan rentas cakera berbentuk bulat yang mempunyai luas,
maka isipadu setiap cakera adalah hasil darab
luas dan ketebalannya.
(w) Jika cakera adalah berserenjang kepada paksi-x, maka jejari haruslah di nyatakan sebagai fungsi bagi x. Jika cakera adalah adalah berserenjang kepada paksi-y maka jejari haruslah dinyatakan sebagai fungsi bagi y. Isipadu bongkah perkisaran jika rantau yang dikisarkan dibatasi oleh dan paksi-x pada interval
[] ialah :-
∫[ ] . Isipadu bongkah perkisaran jika rantau yang dikisarkan dibatasi oleh
[] ialah : ∫[ ] . Andaikan dan mewakili jejari cakera atau jarak antara titik pada paksi dan paksi-y pada interval
perkisaran.
Isipadu berdasarkan model petala silinder
Isipadu berdasarkan model petala silinder atau juga dikenali sebagai kaedah cengkerang merupakan salah satu cara lain untuk mencari isipadu bongkah. Ini kerana tidak semua isipadu bongkah boleh dicari dengan menggunakan kaedah hirisan dan kaedah cakera. Kaedahnya bermula dengan memenuhkan rantau yang akan dikisarkan dengan jalur-jalur segi empat tipis dan seterusnya menambahkan isipadu bagi rajah-rajah yang dijanakan oleh jalur-jalur tersebut semasa pengisaran. Hasil tambah bagi isipadu yang dijanakan oleh jalur-jalur itu merupakan hasil tambah Riemann untuk kamiran, iaitu yang nilainya memberikan isipadu bongkah pengisaran tersebut. Rumus untuk mengira isipadu melalui kaedah cengkerang yang mempunyai jejari terdalam
dan tinggi :
Berikut merupakan kaedah-kaedah dalam pengamiran yang akan menghasilkan isipadu bongkah-bongkah berbentuk 3 dimensi dengan cara yang berbeza namun masih akan menghasilkan nilai isipadu yang sama. Kaedah-kaedah ini sangat diaplikasikan dalam bidang kejuruteraan dan fizik untuk mencari isipadu roket misalnya.
6.3 Panjang Lengkung Satah Pengiraan panjang bagi lengkung dalam satah adalah sama seperti pengiraan untuk mencari panjang bagi suatu jalan yang melengkung dalam peta. Kebiasaannya kita mengira panjang bagi lintasan dalam satah dengan meggunakan rumus cartesan asas manakala bagi panjang lengkungan, pembaris digunakan dengan menambah panjang
bagi tembereng lurus yang
hujungnya menyentuh lengkung tersebut. Namun begitu, ketepatan anggaran seperti ini adalah agak terbatas, bergantung kepada bagaimana tepatnya sesuatu ukuran itu diambil dan bilangan tembereng lurus yang sanggup digunakan bagi suatu lengkungan.
Dengan aplikasi penggunaan pengamiran, pengiraan yang lebih baik dapat dilakukan apabila panjang-panjang poligon dapat diperoleh daripada setiap set tembereng yang lebih pendek dan lebih tepat daripada cara asas. Terdapat beberapa rumus kamiran yang digunakan untuk mencari panjang lengkung sesuatu objek atau jarak iaitu;
√ Pengamiran ini sangat berguna dalam bidang geometri terutamanya bagi bidang pekerjaan arkitek yang perlu melakar dan menganggar panjang lengkuk sesuatu model bangunan yang akan dibina.
6.4 Luas Permukaan Pengisaran Luas permukaan pengisaran antara aplikasi penggunaan pengamiran dalam kehidupan
seharian.
Dengan
menggunakan
kaedah
pengamiran,
luas
permukaan pengisaran bagi sebarang objek dapat dicari dengan lebih meluas berbanding menggunakan kaedah asas yang menggunakan rumus cartesan. Antara contoh aplikasinya misalnya semasa bermain lompat tali. Semasa bermain lompat tali, tali tersebut menghasilkan suatu permukaan dalam ruang di sekeliling. Luas permukaan bergantung kepada panjang tali dan sejauh manakah setiap bahagian tali itu berayun. Menggunakan kaedah pengamiran luas permukaan dapat dicari dengan mengaitkan hubungan di antara luas permukaan pengisaran dengan panjang lengkung. Antara aplikasi lain dalam kehidupan seharian ialah, dengan menggunakan kaedah pengamiran kita akan dapat membuktikan bahawa jika sebuku roti berbentuk sfera dipotong kepada hirisan ia akan mempunyai jumlah kerak roti yang sama.
Persamaan pengamiran yang digunakan untuk mencari luas permukaan lengkung ialah;
√ 6.5 Nilai Purata Suatu Fungsi Pengamiran juga sangat berguna untuk memudahkan pengurusan data sesebuah organisasi misalnya sekolah. kaedah pengamiran digunakan untuk menentukan
nilai
data
bagi
data
terhingga.
Sebagai
contoh,
jika
adalah gred untuk satu kelas seramai n pelajar bagi kuiz matematik, maka purata kuiz bagi kelas itu ialah;
diberikan sebagai suatu fungsi selanjar ke atas selang , tidak mungkin untuk menggunakan persamaan di atas kerana ia menjadi bentuk yang tidak bermakna ⁄. Kita
Apabila bilangan data tak terhingga, misalnya apabila
dapat mengatasi masalah berikut dengan menggunakan kaedah pengamiran;
6.6 Momen dan Pusat Jisim Dalam bidang mekanik kejuruteraan dan fizik menyatakan bahawa setiap objek yang berjisim tertumpu pada satu titik yang dikenali sebagai pusat jisim. Misalnya, aturan planet-planet dalam bima sakti yang mengelilingi matahari pada
orbit masing-masing merupakan salah satu contoh satu titik jisim mengelilingi yang lain. Selain itu, apabila satu plat rata diimbangkan di hujung jari, hujung jari tersebut berada di pusat jisim tersebut. Jongkang-jongket berada dalam keseimbangan pada pusat jisimnya. Satu spana mungkin berputar pada pusat jisimnya semasa ia jatuh melalui udara, tetapi pusat jisim itu sendiri jatuh dalam bentuk garis lurus. Ini menunjukkan bahawa adalah penting untuk mengetahui kedudukan pusat jisim suatu objek untuk mendapatkan keseimbangannya. Melelui penyelesaian pengamiran dapat membantu ahli-ahli saintis dalam menentukan kedudukan pusat jisim tersebut. Setiap jisim menghasilkan daya ke bawah, daya ini mempunyai
kecenderungan
memutarkan
paksinya
pada
asalan
dengan
pengaruh tarikan graviti.
6.7 Kerja Dalam kehidupan seharian istilah kerja digunakan untuk menggambarkan sebarang aktiviti yang memerlukan keupayaan fizikal ataupun mental. Namun, dalam bidang sains istilah tersebut digunakan dalam bentuk yang lebih berfokus kepada penglibatan suatu daya ke atasu suatu jasad serta diikuti oleh sesaran jasad tersebut. Apabila suatu jasad bergerak dengan jarak, d di sepanjang suatu garis lurus sambil dipengaruhi oleh daya, F bermagnitud tetap dalam arah pergerakan itu, kerja yang dilakukan ditakrif sebagai;
.
Jika sebuah kereta ditolak di atas jalan ia ia boleh dikatakan sebagai kerja mengikut istilah harian dan berdasarkan persamaan
. Walaupun begitu,
jika sebuah kereta ditolak dan ia tidak berganjak maka, dikatakan tiada sebarang kerja berlaku mengikut takrif
. Ini menunjukkan takrif tidak
relevan digunakan untuk mengira kerja dalam jangka masa yang singkat. Masalah ini boleh diselesaikan dengan menggunakan kaedah pengamiran.
Kamiran daya-jarak untuk kerja
Mengepam cecair daripada suatu bekas
Kerja yang diperlukan untuk mengepam cecair yang mempunyai
isipadu,
serta ketumpatan-berat w daripada sebuah bekas ke ketinggian h di atas permukaan cecair asal diberikan sebagai;
̅ Kuantiti
̅ adalah kerja yang diperlukan untuk mengangkat berat cecair
berkenaan pada suatu jarak bersamaan dengan jarak daripada pusat jisim cecair itu sehingga kepada permukaan cecair. Kuantiti
pula
merupakan kerja yang diperlukan untuk mengangkat berat cecair bagi pertambahan jarak sejauh
unit.
Kerja dan tenaga kinetik
Kerja yang dilakukan oleh suatu daya yang bertindak ke atas suatu jasad bersamaan dengan perubahan dalam tenaga kinetik jasad berkenaan.
Untuk membuktikan teorem ini, anggapkan daya itu dikenakan di sepanjang paksi x dari a hingga b;
6.8 Daya Hidrostatik Dalam membina sesebuah empangan, empangan bahagian bawah dibina dengan lebih tebal kerana tekanan air terhadap empangan akan bertambah mengikut kedalaman. Lebih dalam air, lebih tebal sesebuah empangan patut dibina. Suatu fakta yang menarik tentang empangan ialah tekanan air pada sebarang tempat di atas permukaan empangan bergantung hanya kepada berapa jauh di bawah permukaan air tempat itu berada dan tidak sama sekali bergantung kepada isipadu air yang ditampung oleh empangan berkenaan. Oleh itu, untuk memastikan ketebalan bahagian bawah dapat menampung tekanan air, kaedah pengamiran digunakan oleh jurutera yang membina empangan. Tekanan air
pada sebarang titik dibawah permukaan empangan
sentiasa boleh dihitung dengan rumus tersebut. Untuk mengira daya hidrostatik ataupun daya yang dikenakan oleh cecair terhadap dinding suatu bekas, kaedah pengamiran diaplikasikan;
∫ ∫
