Makalah
PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT
'' Gas Fermi Elektron Bebas ''
Diajukan Kepada Bapak Dr. MUHAMMAD ANAS, M.Si. Selaku Dosen Pengampuh Mata Kuliah Pendahuluan Fisika Zat Padat
OLEH:
KELOMPOK IV
I JUSMANI A1C3 14 011
MUHAMMAD ALI SAMAD A1C3 14 019
SAHARIA A1C3 14 027
SINTA HARSINA A1C3 14 027
WA ODE MERY IMELDA A1C3 14 037
SUDIRMAN A1C3 14 047
RISMAWATI A1C3 14 055
RISKA MULIA A1C3 14 065
RISKA YULIANA RASYID A1C3 14 075
LENY HERLIANNI A1C3 14 085
JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS HALU OLEO
KENDARI
2017
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim….
Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT, atas berkat rahmat dan pertolongan-Nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan makalah mata kuliah fisika zat padat dengan judul '' Fermi Gas Elektron Bebas '' guna memenuhi tugas kelompok. Dan tidak lupa kita kirimkan shalawat kepada sang revolusioner sejati, Muhammad SAW, atas berkat kegigihan perjuangan beliau, sehingga kita bisa menikmati nikmat Allah dengan sebaik-baiknya.
Dalam makalah ini, penyusun menyajikan materi Fermi Gas Electron Bebas yang didalamnya terdapat beberapa sub materi yaitu Tingkat Energi dalam Satu Dimensi, Pengaruh suhu terhadap distribusi Fermi – Dirac, Konduktivitas Termal Logam, Kapasitas Panas Elektron Gas, Konduktivitas Listrik dan Hukum Ohm's, Gerak Bidang Magnetik dan Gas Elektron Bebas dalam Tiga Dimensi.
Penyusun mengucapkan terima kasi kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam penyelesaian makalah ini. Penyusun mengharapkan makalah ini dapat dijadikan literature dan bacaan, hingga menambah wawasan pengetahuan kita khususnya pada materi Fermi Gas Electron Bebas.
Sebagai hamba yang tidak luput dari kesalahan, penyusun mengharapkan saran dan kritikan yang sifatnya membangun agar pembuatan makalah kedepannya lebih baik lagi.
Kendari, April 2017
ii
ii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ii
DAFTAR ISI iii
BAB I PENDAHULUAN
Latar Belakang 1
Rumusan Masalah 2
Tujuan 2
BAB II PEMBAHASAN
Tingkat Energi dalam Satu Dimensi 3
Pengaruh suhu terhadap distribusi Fermi – Dirac 5
Gas Elektron Bebas dalam Tiga Dimensi 7
Kapasitas Panas Elektron Gas 11
Eksperimental Kapasitas Panas Suatu Logam 15
Konduktivitas Listrik dan Hukum Ohm's 16
Tahanan listrik eksperimental logam 19
Hamburan Umklapp 21
Gerak Bidang Magnetik 22
Efek Hall 23
Konduktivitas Termal Logam 26
DAFTAR PUSTAKA 28
iii
iii
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Telah diketahui banyak sifat fisik yang dimiliki dari logam tidak hanya logam sederhana, namun juga berkaitan dengan model elektron bebas. Menurut model ini, elektron valensi dari suatu unsur atom menjadi elektron konduksi dan bergerak bebas pada keseluruhan volume logam. Bahkan ketika logam memiliki model elektron bebas, distribusi pengisian elektron konduksi menggambarkan kekuatan potensial elektrostatik dari inti ion. Kegunaan dari model elektron bebas pada dasarnya merupakan sifat yang bergantung pada sifat kinetik dari elektron konduksi. Interaksi dari elektron konduksi dengan kisi ion akan dibahas pada bab selanjutnya.
Logam yang paling seberhana adalah logam alkali, misalnya litium, sodium, potassium, cesium dan rubidium. Pada atom bebas elektron valensi dari sodium adalah 3s. Pada logam, elektron ini menjadi elektron konduksi dalam pita konduksi 3s.
Kristal tunggal yang terdiri dari N atom akan memiliki N elektron konduksi dan N inti ion positif. Inti ion Na+ teridiri dari 10 elektron yang menempati kulit 1s, 2s dan 2p pada ion bebas dengan distribusi ruang yang pada dasarnya sama ketika logam dalam ion bebas. Inti ion menempati hanya 15% volume kristal sodium, seperti pada gambar dibawah. Jari-jari ion bebas Na+ adalah 0.98 Å, sedangkan jarak tetangga terdekat logam adalah 1.83 Å.
1Penjelasan mengenai sifat logam dalam hal ini gerak elektron bebas telah lama dikembangkan sebelum ditemukannya mekanika kuantum. Teori klasik memiliki beberapa keberhasilan, terutama penurunan dari Hukum Ohm dan hubungan antara daya hantar listrik dan panas. Teori klasik tidak dapat menjelaskan kapasitas panas dan kelemahan sifat kemagnetan yang dimiliki elektron konduksi. (Hal ini bukan merupakan kegagalan dari model elektron bebas, tetapi kegagalan pada fungsi distribusi kalsik Maxwell).
1
Selanjutnya adalah kesulitan dengan model klasik. Dari banyak jenis percobaan mengenai elektron konduksi dari logam yang dapat bergerak secara bebas pada banyak lintasan lurus atom, tubrukan elektron konduksi terjadi satu sama lain atau bahkan tubrukan dengan inti atom. Pada temperatur rendah, lintasan bebas antar atom akan sepanjang 108 (lebih dari 1cm).
Mengapa zat yang terkondensasi secara transparan akan menjadi elektron konduksi? Jawaban pertanyaan tersebut terdiri dari dua: (a) Elektron konduksi tidak membelokkan inti ion yang menyusun kisi periodik karena gelombang zat tersebut dapat menyebar bebas pada susunan periodik. (b) Elektron konduksi tersebar hanya pada frekuensi tertentu antara elektron konduksi laiinya. Sifat inilah yang dibahas pada Asas Pauli. Gas Fermi elektron bebas akan menjelaskan bagaimana elektron bebas pada gas dengan menggunakan Asas Pauli.
Rumusan Masalah
Rumusan masalah pada makalah ini yaitu;
Bagaimana Tingkat Energi dalam Satu Dimensi ?
Bagaimana Pengaruh suhu terhadap distribusi Fermi – Dirac ?
Bagaimana Konduktivitas Termal Logam ?
Bagaimana Kapasitas Panas Elektron Gas ?
Bagaimana Konduktivitas Listrik dan Hukum Ohm's ?
Bagaimana Gerak Bidang Magnetik ?
Bagaimana Gas Elektron Bebas dalam Tiga Dimensi ?
Tujuan
Tujuan makalah ini yaitu untuk memberikan pemahaman terhadap rumusan masalah. dan sebagai bacaan bagi mahasiswa jurusan fisika guna menambah wawasan pengetahuan, pada materi Gas Fermi Elektron Bebas.
2
2
BAB II
PEMBAHASAN
Tingkat Energi dalam Satu Dimensi
Mengingat gas elektron bebas dalam satu dimensi, dengan memperhatikan teori kuantum dan prinsip Pauli. Sebuah elektron bermassa m dibatasi dengan panjang L oleh lapisan yang tak terbatas yang ditunjukkan pada Gambar 2. Fungsi gelombang ψn(x) elektron adalah solusi dari persamaan Schrödinger Hψ=ϵψ, dengan mengabaikan energi potensial yang dimiliki H=ρ2/2m, di mana ρ adalah momentum. Dalam teori kuantum p dapat ditunjukkan oleh persamaan -i d/dx, sehingga:
Hψn=- 22md2ψndx2=ϵnψn (1)
dimana ϵn adalah energi elektron dalam orbital.
Istilah orbital digunakan untuk menunjukkan solusi dari persamaan gelombang untuk sistem satu elektron. Istilah ini memungkinkan untuk membedakan antara keadaan kuantum yang sesuai dengan persamaan gelombang sistem N interaksi elektron dan keadaan kuantum kurang lebih yang dibangun dengan menempatkan elektron N ke N orbital yang berbeda, di mana masing-masing orbital adalah solusi dari persamaan gelombang untuk satu elektron. Model orbital yang tepat hanya jika tidak ada inter-aksi antara elektron.
Syarat batas ψn0=0; ψnL=0 seperti yang digunakan pada lapisan energy potensial yang tak terbatas. Hal ini terpenuhi jika fungsi gelombang sinus tersebut sesuai dengan jumlah n integral dari setengah panjang gelombang antara 0-L:
ψn=Asin2πλnx; 12nλn=L (2)
Dimana A adalah konstan. Tinjau persamaan (2) adalah solusi dari persamaan (1) , karena
3dψndx=AnπLcosnπLx; d2ψndx2=-AnπL2sinnπLx
3
Dimana, ϵn di peroleh berdasarkan
ϵn= 22mnπL2 (3)
Akomodasikan N elektron di dalam garis . Menurut prinsip larangan Pauli , tidak ada dua elektron yang dapat memiliki semua bilangan kuantum mereka identik. Artinya , masing-masing orbital dapat ditempati oleh paling banyak satu elektron . Hal ini berlaku untuk elektron dalam atom , molekul , atau padat .
Gambar 2 Tiga tingkat energi dan fungsi gelombang elektron bebas dari massa m dibatasi pada garis panjang L. Tingkat energi lengkung dinyatakan dengan bilangan kuantum n yang memberikan jumlah setengah panjang gelombang dalam fungsi gelombang. Panjang gelombang ditunjukkan pada fungsi gelombang. Energi ϵn dari tingkat bilangan kuantum n adalah sama dengan 22m(n2L)2.
Dalam padatan bilangan kuantum linear elektron konduksi orbital n dan ms ,di mana n adalah bilangan bulat positif dan nomor magnetik kuantum ms=±12, sesuai dengan orientasi spin. Sepasang orbital dinyatakan dengan nomor kuantum n dapat menampung dua elektron , satu dengan spin up dan satu dengan spin down.
4
4
Jika ada enam elektron , maka dalam keadaan dasar dari sistem orbital dipenuhi yang diperlihatkan dalam tabel :
n
ms
Electron occupancy
N
ms
Electron occupancy
1
1
3
1
1
1
3
1
2
1
4
0
2
1
4
0
Lebih dari satu orbital dapat memiliki energi yang sama . Jumlah orbital dengan energi yang sama disebut degenerasi .
Biarkan nf menunjukkan tingkat energi paling atas diisi , di mana kita mulai mengisi tingkat dari bawah (n=1) dan terus mengisi tingkat yang lebih tinggi dengan elektron sampai semua elektron N ditampung . Hal ini mudah untuk menganggap bahwa N adalah bilangan genap . Kondisi 2nf=N menentukan nf, nilai n untuk tingkat teratas diisi.
Energi Fermi ϵF didefinisikan sebagai energi yang terisi dari tingkat paling atas pada keadaan dasar dari sistem elektron N.. Persamaan (3) dengan n=nf kita miliki dalam satu dimensi :
ϵf= 22mnfπL2= 22mNπ2L2 (4)
Pengaruh suhu terhadap distribusi Fermi - Dirac
Keadaan dasar adalah keadaan sistem elektron N pada nol mutlak . Apa yang terjadi ketika temperatuere meningkat? Ini adalah masalah standar dalam mekanika statistik dasar , dan solusinya diberikan oleh distribusi Fermi - Dirac memberikan probabilitas bahwa orbital di energy ε akan ditempati dalam gas elektron yang ideal dalam kesetimbangan termal :
fϵ=1expε-μkBT+1 (5)
5Kuantitas μ adalah fungsi dari suhu, μ harus dipilih untuk masalah tertentu sedemikian rupa bahwa jumlah total partikel dalam sistem keluar yang tepat yaitu, sama dengan N. Di nol mutlak μ-ϵF , karena dalam batas T 0 fungsi f(ε)Perubahan terputus-putus dari nilai 1 ( diisi ) dengan nilai 0 ( kosong ) di ϵ-ϵF=μ. Pada semua suhu f(ϵ)adalah sama dengan ½ ketika =μ , untuk kemudian penyebut persamaan ( 5 ) memiliki nilai 2 .
5
Gambar 3 Fungsi Fermi - Dirac distribusi persamaan (5.5) pada berbagai suhu berlabel , untuk Tf=εfkb=50000 K. Hasil berlaku untuk gas dalam tiga dimensi. Total jumlah partikel konstan , tergantung pada suhu. Kimia potensi μ pada setiap temperatur dapat dibaca dari grafik sebagai energy dengan f=0.5.
Kuantitas μ adalah potensial kimia, dan pada nol mutlak potensial kimia sama dengan energi Fermi, yang didefinisikan sebagai energi paling atas diisi orbital pada nol mutlak.
Ekor energi tinggi dari distribusi adalah bagian yang ϵ-μ kbT di sini istilah eksponensial dominan dalam penyebut persamaan (5.5), sehingga fϵ exp[(μ-ϵ)/kBT Batas ini disebut distribusi Boltzmann atau Maxwell.
6
6
Gas Elektron Bebas dalam Tiga Dimensi
Partikel bebas persamaan persamaan Schrodinger dalam tiga dimensi adalah
- 22m 2 x2+ 2 y2+ 2 z2ψkr=ϵkψk(r) (6)
Jika elektron terbatas pada sebuah kubus kubus tepi L, fungsi gelombang adalah gelombang berdiri
ψnr=AsinπnxxLsinπnyyLsinπnzzL (7)
Dimana nx,ny,nz adalah bilangan bulat positif. Asal adalah di salah satu sudut kubus.
Hal ini mudah untuk memperkenalkan fungsi gelombang yang memenuhi kondisi batas periodik. Fungsi gelombang untuk menjadi periodik dalam x,y,z, dengan periode L yaitu,
ψx+L,y,z=ψ(x,y,z) (8)
untuk y dan z koordinat. Fungsi gelombang memenuhi persamaan Schrodinger partikel bebas dan kondisi periodisitas adalah dari bentuk gelombang pesawat bepergian:
ψkr=exp (ik.r) (9)
Dengan ketentuan bahwa komponen vektor gelombang k memenuhi
kx=0 ; ±2πL;±4πL;….., (10)
dan juga untuk ky dan kz.
Setiap komponen k dari bentuk 2nπ/L akan memenuhi kondisi periodisitas lebih panjang L, di mana n adalah bilangan bulat positif atau negatif. Komponen k adalah bilangan kuantum masalah tersebut, bersamaan dengan bilangan kuantum m, untuk berputar arah. Kami pastikan bahwa nilai-nilai kx memenuhi persamaan (8), untuk
7 (11)
7
dengan substitusikan persamaan (9) di (6) maka mempunyai energy ϵk dari orbital dengan gelombang vektor k:
ϵk= 22mk2= 22m(kx2+ky2+kz2) (12)
Besarnya k dari vektor gelombang berhubungan dengan panjang gelombang λ dengan k=2π
Momentum linear p dapat dinyatakan dalam mekanika kuantum oleh operator p=-i , dari mana untuk orbital (9).
pψkr=-i ψkr= kψk(r) (13)
Sehingga ψkgelombang bidang adalah fungsi eigen dari momentum linear dengan nilai eigen k Kecepatan partikel dalam k orbital diberikan oleh v= k/m.
Dalam keadaan dasar dari sistem N elektron bebas, orbital yang ditempati dapat digambarkan sebagai titik di dalam bola di ruang k. Energi pada permukaan bola adalah energi Fermi, vektor gelombang di permukaan Fermi memiliki besaran kF sehingga:
ϵF= 22mkF2 (14)
Dari persamaan (10) dapat dilihat bahwa ada satu gelombang vektor diperbolehkan yaitu, salah satu triplet berbeda dengan bilangan kuantum kx,ky,kz, untuk elemen volume (2πL)3 ruang k. Dengan demikian dalam lingkup volume 4πkF3/3 jumlah orbital adalah
2.4πkF3/3(2πL)3=V3π2kF3=N (15)
Dimana faktor 2 di sebelah kiri berasal dari dua nilai yang diizinkan bilangan kuantum berputar untuk setiap nilai yang diizinkan k. kemudian (15) memberikan
kF=3π2NV1/3 (16)
Yang hanya bergantung pada konsentrasi partikel.
8
8
Gambar 5.4 Dalam keadaan dasar dari sistem N elektron bebas orbital diduduki sistem mengisi bidang radius kF, di mana εϵF= 2kF2/2m adalah energi dari sebuah elektron memiliki gelombang vektor kF.
Tabel 5.1 Hitungan electron bebas permukaan fermi untuk logam pada suhu ruang
9
9
Gambar 5.5 Kepadatan partikel tunggal sebagai fungsi dari energi , untuk sebuah elektron gas bebas didalam tiga dimensi .dimana garis putus-putus pada kurva mewakili kepadatan sumberf(,T) D( ) orbital penuh didalam suhu yang terbatas, sehingga kBT lebih kecil dibandingkan F.Yang terbayang kepadatan mewakili orbital penuh di nol mutlak . energi rata-rata yang justru meningkat saat suhu meningkat dari 0 ke T, untuk elektron thermal daripadatan 1 ke padatan 2. `
Gunakan persamaan (14) dan (16)
F= 22m3π2NV23 (17)
hal ini berhubungan dengan konsentrasi energi electron fermi N/V. kecepatan elektron vF untuk permukaan Fermi adalah :
vF= kFm= m3π2NV13 (18)
Setelah kisaran jumlah dari orbital per unit energy ditemukan. D( ) yang disebut kepadatan suatu keadaan. Dengan gunakan persamaan (17) untuk memperoleh jumlah total dari orbital energi.
N=V3π22m 232 (19)
Jadi kepadatan suatu keadaan (untuk gambar 5) adalah :
D( ) = dNd =V2π2V2π232 12 (20)
Dimana D( ) adalah kepadatan dari satu pertikel keadaan. Atau kepadatan dari orbitals. Hasilnya mungkin dapat dinyatakan lebih sederhana dengan membandingkan persamaan (19) dan (20) untuk memperoleh :
D( ) = dNd =3N2 (21)
10Dalam kelipatan urutan dari satuan, jumlah orbitals per satuan energi yang berkisar pada energi fermi yang jumlah total elektron konduksi dibagi oleh energi fermi, sama seperti yang di harapkan.
10
Kapasitas Panas dari Elektron Gas
Pertanyaan yang menyebabkan kesulitan terbesar dalam pengembangan awal dari teori elektron pada logam menyangkut kapasitas panas dari electron konduksi. mekanika statistik klasik memprediksi bahwa partikel bebas harus memiliki kapasitas panas dari 3/2 kB, di mana kB adalah konstanta Boltzmann. Jika N, atom masing-masing memberikan satu elektron valensi ke gas elektron, dan elektron bebas bergerak, maka kontribusi elektronik untuk kapasitas panas harus menjadi 3/2 NkB, seperti untuk atom gas monatornic. Tapi ketika diamati elektron konstribusi pada suhu kamar biasanya kurang dari 0,01 dari nilai ini.
Perbedaan ini membuat para ahli bingung(terganggu), seperti Lorentz: Bagaimana elektron dapat berpartisipasi dalam proses konduksi listrik seolah-olah elektron tersebut begerak, sementara tidak berkontribusi terhadap kapasitas panas? Pertanyaan itu dijawab hanya pada penemuan prinsip eksklusi Pauli dan fungsi distribusi Fermi. Fermi menemukan hasil yang benar dan ia menulis, " satu pernyataan bahwa panas spesifik hilang di nol mutlak dan pada suhu rendah itu sebanding dengan suhu mutlak."
Ketika kita memanaskan bahan percobaan dari nol mutlak, tidak semua elektron memperoleh sebuah energy ~kBT seperti yang diharapkan secara sederhana, tetapi hanya elektron didalam orbital dalam sebuah kisaran energi kBT pada tingkat Fermi adalah termal meningkat, seperti pada gambar 5. Jika N adalah jumlah total elektron, hanya sebagian kecil dari urutan T/TF bisa panas pada suhu T, hal itu disebabkan hanya karena ketidaktepatan dalam energi rata-rata dari urutan kBT pada bagian atas distribusi energi.
Masing-masing NT/TF elektron memiliki energi panas dari ordo KBT. Total energi kinetik thermal elektronik U merupakan urutan dari :
Ud (NT/TF) kBT (22)
Kapasitas panas elektronik tersebut diberikan oleh :
Cel= U/ T NkB(T/TF) (23)
11Dan berbanding lurus dengan T, dalam kesepakatan dengan hasil percobaan yang dibahas dalam bagian berikutnya. Dalam ruangan suhu Cel lebih kecil dari nilai sederhana 23NKB dengan kelipatan dari urutan 0,01 atau kurang, untuk TF ~5X104K.
11
Sekarang diperoleh ungkapan kuantitatif untuk elektronik kapasitas panas yang berlaku di suhu rendah KBT F. Peningkatan tersebut U=UT-U(0) di dalam energi total (gambar 5) dari sebuah sistem elektron N dimana dipanaskan dari 0 ke T adalah :
U=0 d D f -0epd D() (24)
Disini f( ) adalah fumgsi dari diract Fermi (5):
f ,T, μ=1exp -μ/KBT +1 (24a)
Dan D() adalah kisaran jumlah dari orbital per-unit energi. Kalikan identitas
N=0 d D f =0epd D() (25)
Dari f didapatkan
0ep+ep )d F f D =0epd FD() (26)
Dengan menggunakan persaman (26) tuliskan (24) sebagai :
U=ep d - Ff D +0epd F- 1-f D() (27)
Integral pertama pada sisi kanan pers (27) memberikan energi yang dibutuhkan untuk mengambil elektron dari EF ke orbital energi E> Ep, dan integral kedua memberikan energi yang dibutuhkan untuk membawa elektron ke Ep dari orbital bawah EF ·jadi kedua kontribusi tersebut merupakan energi positif.
Dari hasil f D d - F di dalam integral pertama dari persamaan (27) adalah jumlah rentang energi tinggi electron dari tiap orbital d sebagai energi . Factor dari 1-f dalam integral kedua kemungkinan electron telah dihapus dari orbital . Fungsi dari U adalah mengelompokkan di dalam gambar 6.
12Kapasitas panas gas electron dapat dibedakan sebagai U sehubungan dengan T. hanya suhu yang bergantung pada persamaan (27) sebagai f .maka dapat dikelompokan untuk memperoleh :
12
Cel= U T=0 d - F f TD( ) (28)
Di dalam suhu terdapat ketertarikan pada logam τ/ F<0.01.
Gambar 5.6 ketergantungan suhu dari interaksi energi fermion gas dalam tiga dimensi. Energi yang dinormalisasikan digambarkan sebagai U/N F dimana N adalah jumlah dari electron.Suhu dituliskan sebagai KBT/ F
Gambar 5.7 Penggambaran potensial kimia μ berbanding suhu sebagai kBT untuk interaksi gas fermion dalam tiga dimensi. Untuk memudahkan dalam menggambarkan. Satuan dari μ dan kBT adalah 0.763 F
13
13
Pendekatan yang baik dalam mengevaluasi padatan D sebagai F dan keluarkan integralnya :
Cel (D F)0 d - FdfdT (29)
Uji kembali grafik pada gambar 7 dan gambar 8 untuk mendapatkan variasi potensial kimia μ dengan T menyatakan bahwa kBT F Dengan mengabaikan suhu ,
Gambar 5.8 Variasikan dengan suhu dari potensial kimia μ, untuk electron bebas gas Fermi dalam satu dan tiga dimensi. Dalam kesamaan logam τ/ F 0.01 temperatur ruang. Ini adalah kurva yang menghitung integral dari seri expansions untuk menunjukkan partikel di dalam sistem.
Ketergantungan dari potensial kimia μ di dalam fungsi distribusi gas Fermi dan mengganti μ oleh F konstan dengan τ KBT.
dfdT= - Fτ2 exp - F/τexp - F/τ+12 (30)
Didapatkan :
x - F/τ (31)
Dan diikuti untuk (5.29) dan (5.30) bahwa:
Cel=KB2TD F- Fτ dx x2exex+12 (32)
Dari integral (32) kemudian menjadi:
14- dx x2exex+12= π23 (33)
14
Dimana kapasitas panas electron dalam gas :
Cel=13π2D FkB2T (34)
Untuk persamaan (21) memiliki
D F=3N2 F=3N2KBTF (35)
Untuk elektron gas bebas, dengan kBTF F. Dengan demikian persamaan (34) menjadi :
Cel=12π2NkBT/TF (36)
Eksperimental Kapasitas Panas Suatu Logam
Kapasitas panas suatu logam dapat dituliskan sebagai jumlah dari kontribusi electron dan phonon. : C=γT+AT3, dimana γ dan A adalah karakteristik yang konstan dari sutau logam. Itu menunjukkan nilai eksperimental dari C sebagai penggabungan dari C/T berbanding T2.
C/T=γ+AT2, (37)
Observasi koefisien nilai γ sebagai besaran yang diharapkan. Tapi sering kali tidak sepakat dalam menetapkan nilai dari massa electron bebas dari logam digunakkan persamaan (5.17) dan (5.34). Dimana mth didefinisikan sebagai :
mthm=γ(observasi)γ(bebas) (38)
Bentuk ini muncul secara alami karena F berbanding terbalik dengan massa dari electron. Dimana γ m. Nilai dari perbandingan yang diberikan pada Tabel 2. Pemisahannya melibatkan 3 efek pemisahan.
Interaksi konduksi elektron dengan periodik potensi kisi kristal yang sangat kaku. .Efektivitas massa elektron dalam hal ini disebut sangat efektif secara massa
Gambar 9 nilai eksperimental kapasitas panas untuk potassium, dikelompokkan sebagai C/T berbanding dengan T2.
15
15
Interaksi elektron konduksi dengan fonon. sebuah electron cenderung berpolarisasi atau mengubah kisi di sekitarnya, sehingga elektron yang bergerak mencoba untuk menyeret ion terdekat bersamanya, dengan demikian meningkatkan massa efektif elektron.
Interaksi elektron konduksi dengan diri mereka sendiri. Sebuah elektron bergerak menyebabkan reaksi inersia dalam gas elektron di sekitarnya, sehingga meningkatkan massa efektif elektron.
Fermion berat. Beberapa senyawa logam yang memiliki nilai-nilai yang sangat besar telah ditemukan, dari konstanta kapasitas panas elektronik γ. dua atau tiga kali lipat lebih tinggi dari biasanya Senyawa fermion berat termasuk UBe13, CeAI3, dan CeCu2Si2. Telah diduga bahwa elektron f dalam senyawa ini mungkin memiliki massa inersia setinggi 1.000 m, karena saling tumpang tindih yang lemah fungsi gelombang elektron f pada ion berdekatan.
Konduktivitas Listrik dan Hukum Ohm's
16Momentum elektron bebas berhubungan dengan gelombang vektor oleh mv = ħk. Dalam medan E listrik dan medan magnet B gaya F pada sebuah muatan electron –e adalah -e [E + (1/c)v x B], sehingga hukum kedua Newton mengenai gerakan akan menjadi
16
F=mdvdt= dkdt= -eE+ 1cv ×B (39)
Karena ketiadaan tumbukan bola Fermi (Gambar 5.10) bergerak di ruang k dengan laju seragam dengan medan listrik yang diterapkan tetap. Kita mengintegrasikan (5.39) dengan B = 0 untuk mendapatkan
kt-k0= -eEt/ (40)
Jika gaya F = -eE diterapkan pada waktu t = 0 ke gas elektron yang mengisi bola Fermi berpusat asal pada k ruang, maka pada waktu kemudian t bola akan mengungsi ke pusat baru di
δk= -eEt/ (41)
Perhatikan bahwa bola Fermi dipindahkan secara keseluruhan karena setiap elektron tergeser oleh δk yang sama.
Karena tumbukan elektron dengan ketidakmurnian, ketidaksempurnaan kisi, dan fonon, lingkup yang dipindahkan dapat dipertahankan dalam keadaan stabil dalam medan listrik. Jika waktu tumbukan adalah τ, perpindahan bola Fermi dalam keadaan stabil diberikan oleh (5.41) dengan t = τ. Kecepatan tambahan adalah v = ħδk/m = -eEτ/m. Jika dalam tetap medan listrik E terdapat n elektron muatan q = -e per satuan volume, densitas listrik saat ini adalah
j=nqv=ne2τE/m (42)
Ini adalah hukum Ohm.
17Gambar 5.10 (a) lingkup Fermi mengitari tempat orbital elektron yang berada di k ruang pada keadaan dasar dari gas elektron. Momentum bersih adalah nol, karena untuk setiap k orbital ada yang diduduki orbital -k. (b) Di bawah pengaruh gaya F berperan konstan selama interval waktu t setiap orbital memiliki vektor k meningkat sebesar δk = Ft/ħ. Ini sama dengan perpindahan dari seluruh lingkup Fermi oleh δk. Total momentum Nħδk, jika terdapat N elektron. Penerapan gaya meningkatkan energi sistem dengan N (ħδk)2 / 2m.
17
Konduktivitas listrik σ didefinisikan oleh j = σE, sehingga dengan (42)
σ= ne2τm (43)
Resistivitas listrik ρ didefinisikan sebagai kebalikan dari konduktivitas, sehingga
ρ=m/ne2τ (44)
Nilai konduktivitas listrik dan resistivitas dari unsur-unsur yang diberikan pada Tabel 3. Pada unit Gaussian σ memiliki dimensi frekuensi.
Sangat mudah untuk memahami hasil (43) untuk konduktivitas gas Fermi. Yang kita harapkan muatan yang diangkut sebanding dengan kerapatan muatan ne; faktor e/m masuk (43) karena percepatan dalam medan listrik yang diberikan sebanding dengan e dan berbanding terbalik dengan massa m. Waktu τ menggambarkan waktu luang selama medan bertindak pada operator. Hasil yang sama erat untuk konduktivitas listrik diperoleh untuk tipikal (Maxwell) gas elektron, seperti yang diwujudkan pada konsentrasi pengangkut yang rendah dalam banyak masalah semikonduktor.
18
18
Tahanan listrik eksperimental logam
Tahanan listrik dari logam yang paling didominasi pada suhu kamar (300K) oleh tumbukan elektron konduksi dengan fonon kisi dan pada suhu cair helium (4 K) oleh tumbukan dengan atom ketidakmurnian dan ketidaksempurnaan mekanik dalam kisi (Gbr. 11). Tingkat tumbukan ini sering independen untuk perkiraan yang bagus, sehingga jika medan listrik dimatikan distribusi momentum akan rileks kembali ke keadaan dasar dengan tingkat relaksasi bersih.
Gambar 11 Resistivitas listrik di sebagian besar logam muncul dari tumbukan elektron dengan penyimpangan dalam kisi, seperti pada (a) oleh fonon dan (b) dengan ketidakmurnian dan situs kisi kosong.
1τ= 1τL+ 1τi (45)
di mana τL dan τi masing-masing adalah waktu tumbukan untuk hamburan oleh fonon dengan ketidaksempurnaan.
Resistivitas bersih ditentukan oleh
ρ= ρL+ ρi (46)
19di mana ρL adalah resistivitas yang disebabkan oleh fonon termal, dan ρi adalah resistivitas yang disebabkan oleh hamburan gelombang elektron oleh kerusakan statis yang mengganggu periodisitas kisi. Seringkali ρL tidak tergantung pada jumlah kerusakan ketika konsentrasi mereka kecil, dan sering ρi tidak tergantung pada suhu. Pengamatan empiris ini mengungkapkan aturan Matthiessen, yang mudah dalam menganalisis data eksperimen (Gambar 12).
19
Gambar 12 Hambatan potasium di bawah 20 K, yang diukur pada dua spesimen oleh D. MacDonald dan K. Mendelssohn. Penyadapan yang berbeda pada 0 K adalah atribut konsentrasi yang berbeda dari campuran dan ketidaksempurnaan statis dalam dua bahan percobaan.
Konsentrasi ketidak murnian sekitar 20 ppm. Dalam spesimen sangat murni rasio resistivitas sekitar 106, sedangkan di beberapa alloye. (e.e., Manganin) itu serendah 1,1.
Hal ini memungkinkan untuk mendapatkan kristal tembaga murni sehingga konduktivitasnya pada suhu helium cair (4 K) hampir 105 kali pada suhu ruangan, untuk kondisi ini τ 2×10-9s di 4 K. lintasan bebas rerata l dari konduksi elektron didefinisikan sebagai:
l=vfτ (47)
20Dimana vf adalah kecepatan di permukaan Fermi, karena semua tumbukan hanya melibatkan elektron di dekat permukaan Fermi. Dari tabel 1 bisa ditemukan vf=1,57×108cm s-1 untuk cu, sehingga lintasan bebas rata-rata adalah (4 K) = 0,3 cm. berarti jalur bebas sejauh 10 cm telah diamati dalam logam yang sangat murni dalam kisaran suhu helium cair.
20
Dengan bergantung pada suhu bagian dari tahanan listrik sebanding dengan tingkat di mana elektron bertumbukan dengan fonon termal dan elektron termal. Tingkat tumbukan dengan fonon sebanding dengan konsentrasi fonon termal. Salah satu batas sederhana adalah pada suhu di atas suhu Debye 0, disini konsentrasi foton sebanding dengan suhu T, sehingga ρ T untuk T>θ. Sebuah dasar dari teori yang diberikan pada lampiran J.
Hamburan Umklapp
Hamburan Umklapp elektron oleh fonon menyumbangkan sebagian besar resistivitas listrik dari logam pada suhu rendah. Ini adalah proses hamburan elektron-fonon di mana melibatkan timbal balik vektor kisi G, sehingga perubahan momentum elektron dalam prosesnya mungkin jauh lebih besar
Gambar 13 Dua bola Fermi di daerah yang berdekatan, konstruksi untuk memperlambat peran proses umklapp phonon di tahanan listrik.
21Dalam proses hamburan elektron-fonon normal pada suhu rendah atau dalam proses umklapp yang wavevector dari satu partikel dapat "terbalik", menganggap bagian tegak lurus (100) melalui dua daerah Brillouin berdekatan di bcc kalium, dengan bola Fermi setara termuat dalam Gambar 5.13. Separuh bagian bawah dari gambar tersebut menunjukkan tumbukan elektron-fonon normal k '= k + q, sedangkan bagian atas menunjukkan proses kemungkinan hamburan k' = k + q + G melibatkan phonon yang sama dan mengakhiri daerah luar Brillouin pertama, di titik A. Titik ini persis sama dengan titik A' dalam daerah asli, di mana AA' adalah vektor kisi resiprokal G. hamburan ini adalah proses umklapp, dalam analogi dengan fonon. Tumbukan tersebut menghasikan hamburan kuat karena sudut hamburan dapat dekat dengan π.
21
Ketika permukaan Fermi tidak memotong batas daerah, ada issome minimum q0 phonon wavevector untuk hamburan umklapp. Pada suhu cukup rendah jumlah fonon tersedia untuk hamburan umklapp jatuh saat exp (-θu/ T), di mana θu adalah temperature yang dihitung dari permukaan dengan satu elektron orbital per atom dalam daerah Brillouin bcc, dengan menunjukan satu geometri seperti q0=0,267 kf.
Data eksperimental pada Gambar 12 untuk kalium memiliki bentuk eksponensial yang diharapkan dengan θu = 23 K dibandingkan dengan Debye θ = 91K. pada suhu yang sangat rendah di bawah kisaran 2 K kalium, jumlah proses umklapp di diabaikan dan resistivitas kisi kemudian hanya disebabkan sudut hamburannya kecil, yang dalam posisi penghamburan normal atau tidak umklapp.
Gerak Bidang Magnetik
Dengan persamaan (5.39) dan (5.41) kita menyebabkan persamaan gerakan untuk perpindahan δk dari partikel bola Fermi yang bertindak dengan gaya F dan oleh gesekan yang diwakili oleh tumbukan di tingkat 1/τ:
ddt+1τδk=F (48)
Partikel masa bebas percepatan dalam ( ddt)δk dan efek tumbukan diwakili oleh δk/τ, di mana τ adalah waktu tumbukan.
22Pertimbangkan saat gerak sistem dalam seragam magnetik diajukan B. gaya Lorentz pada elektron.
22
(CGS) F=-eE+1cv×B (49)
(SI) F=-e E+v×B
Jika mv= δk, maka persamaan gerak adalah
(CGS) mddt+1τv=-eE+1cv×B (50)
Kondisi yang penting adalah sebagai berikut. Posisikan suatu medan magnet statis B terletak sepanjang sumbu z. Kemudian persamaan komponen gerak berada.
(CGS) mddt+1τvx=-eEx+Bcvy
mddt+1τvy=-eEx+Bcvx (51)
mddt+1τvz=-eEz
Hasil di SI diperoleh dengan mengganti c dengan l.
Dalam keadaan stabil dalam medan listrik statis derivatif waktu adalah nol, sehingga kecepatan drift
vx=-eτmEx-ωcτvy ; vy=-eτmEy-ωcτvx ; vz=-eτmEz (5.52)
Dimana ωc=eB/mc adalah frekuensi cyclotron.
Efek Hall
Efek hall adalah medan listrik yang dikembangkan di dua wajah konduktor, dalam arah j×B, ketika j arus mengalir melintasi medan magnet B. Perhatikan spesimen berbentuk batang dalam medan listrik memanjang Ex dan medan magnet melintang, seperti pada Gambar 5.14. Jika pada kondisi ini tidak dapat mengalir keluar dari batang ke arah y maka harus memiliki δvy=0. Dari persamaan (5.52) ini hanya mungkin jika ada medan listrik melintang
(CGS) Ey=-ωcτEx=-eBτmcEx (53)
(SI) Ey=-ωcτEx=-eBτmcEx
23
23
Jumlahnya didefinisikan dengan
RH=EyjxB (54)
Disebut koefisien Hall. Untuk mengevaluasi pada model sederhana dengan menggunakan jx=ne2τEx/m dan diperoleh :
(CGS) RH=eBτEx/mc jx=ne2τEx/m=-1nec (55)
(SI) RH=-1ne
Ini adalah berlawanan untuk elektron bebas, untuk e positif dengan definisi.
Gambar 14 Standar geometri untuk efek hall. Penampang spesimen berbentuk batang persegi panjang ditempatkan dalam medan magnet Bz, seperti pada (a). medan listrik Ex dialirkan di seluruh akhir elektroda menyebabkan kerapatan jx arus listrik mengalir ke bawah batang. Kecepatan gerak elektron bermuatan negatif segera setelah medan listrik diterapkan seperti pada (b). Defleksi arah -y disebabkan oleh medan magnet. Elektron menumpuk di satu sisi batang dan kelebihan ion positif yang didirikan pada sisi yang berlawanan seperti dalam (c). Medan listrik melintang hanya membatalkan gaya lorents karena medan magnet.
24
24
Tabel 4 Perbandingan lorong diamati koefisien dengan teori elektron bebas
[Nilai-nilai eksperimental Rh yang diperoleh nelalui metode konvensional dirangkum dari data pada suhu kamar yang disajikan dalam tabel Landolt-Bornstein. Nilai-nilai yang diperoleh dengan metode gelombang semacam alat di 4 K adalah dengan JM Goodman. Nilai-nilai dari n konsentrasi pembawa berasal dari tabel 1.4 kecuali Na, K, Al, In, di mana valnes Goodman digunakan. Untuk mengkonversi nilai Rh dalam satuan CGS dengan nilai di volt-cm / amp-gauss, kalikan dengan 9 x 1011; mengkonversi Rh di CGS untuk m3 / coulomb, kalikan dengan 9 x 1013.]
Semakin rendah konsentrasi pembawa muatan, maka akan menyebabkan semakin besar Koefisien Hall. Mengukur Rh adalah cara penting untuk mengukur konsentrasi pembawanya. Simbol Mu Rh menunjukkan koefisien Hall sesuai persamaan (54), tetapi simbol yang sama kadang-kadang digunakan dengan arti yang berbeda, yang resistensi Hall masalah dua dimensi.
25Hasil sederhana persamaan (55) sesuai dengan asumsi bahwa setiap saat relaksasi adalah sama, tergantung pada kecepatan electron. Faktor secara numerik adalah kesatuan yang masuk jika waktu relaksasi adalah fungsi dari kecepatan. Dengan penyampaian menjadi agak lebih rumit jika kedua elektron berkontribusi pada lubang konduktivitas.
25
Pada Tabel 4 teramati nilai-nilai koefisien ruang dibandingkan dengan nilai-nilai dihitung dari konsentrasi pembawa muatan. Pengukuran yang paling akurat yang dibuat dengan metode semacam alat resonansi. Nilai-nilai yang akurat dari natrium dan kalium dalam perjanjian baik dengan nilai-nilai dihitung untuk satu elektron konduksi per atom, dengan menggunakan (5.55).
Perhatikan, bagaimanapun, nilai eksperimental untuk elemen trivalen aluminium dan iodium ini sesuai dengan nilai yang dihitung untuk satu pembawa muatan positif per atom dan dengan demikian tidak sepakat besarnya dan menandatangani dengan nilai yang dihitung untuk diharapkan tiga pembawa muatan negatif.
Anomali tanda dijelaskan oleh Peierls (1928). Gerak pembawa tanda positif jelas, yang Heisenberg kemudian disebut "lubang," tidak dapat dijelaskan oleh gas elektron bebas, tetapi ia menemukan penjelasan alami dalam hal teori pita energi dikembangkannya. Teori Band juga menyumbangkan terjadinya nilai-nilai yang sangat besar koefisien hall, seperti untuk As, Sb, dan Bi.
Konduktivitas Termal Logam
Konduktivitas termal untuk partikel dengan kecepatan v adalah K=13Cvl, panas kapasitas C per satuan volume, dan berarti lintasan bebas l. konduktivitas termal gas Fermi berikut dari (36) untuk kapasitas panas, dan dengan F=12mvF2:
Kel=π23nkB2TmvF2.vF.l=π2nkB2Tτ3m (57)
26Dengan l=vFτ, konsentrasi elektron dalam n, dan τ adalah tumbukan. Dalam logam murni kontribusi elektronik dominan pada semua suhu. Dalam logam murni atau paduan teratur, elektron berarti jalan bebas dikurangi dengan tumbukan dengan kotoran, dan kontribusi phonon mungkin sebanding dengan kontribusi elektronik.
26
Rasio Thermal untuk Konduktivitas Listrik
Hukum Wiedemann-Franz menyatakan bahwa untuk logam pada suhu tidak terlalu rendah dengan rasio konduktivitas termal terhadap konduktivitas listrik untuk konduktivitas listrik berbanding lurus dengan suhu, Dengan nilai konstanta proporsionalitas independen dari logam tertentu, didukung gambaran tentang gas elektron sebagai pembawa muatan dan energi. Hal ini dapat dijelaskan dengan menggunakan (5.43) untuk σ ang (5.56) untuk K:
Tabel 5. Nomor Lorentz eksperimental
Nomor Lorenz L didefinisikan sebagai
L K/σT (58)
Dan menurut (57) harus memiliki nilai
L=π23kBe2=2,72 × 10-13ergesu-deg2
=2,45 × 10-8watt-ohm/deg2
27
27
DAFTAR PUSTAKA
28Kittel, Charles. 2005. Introduction to Solid State Physisc, Eighth Edition. University Of California ; Berkeley
28
