2012
KAJIAN EPISTEMOLOGI MATEMATIKA DAN ILMU ALAM Rezky Agung Herutomo
Abstrak
Pengetahuan matematika diklasifikasikan sebagai pengetahuan apriori, karena terdiri dari proposisi yang menegaskan atas dasar alasan saja. Alasan tersebut termasuk logika deduktif dan definisi yang digunakan dalam hubungannya dengan seperangkat asumsi aksioma atau postulat matematika, sebagai dasar untuk menyimpulkan pengetahuan matematika. Setiap pernyataan adalah aksioma yang diambil dari yang sebelumnya ditetapkan oleh set aksioma, atau diturunkan oleh aturan inferensi dari satu atau lebih pernyataan terjadi sebelumnya dalam urutan. Logika adalah masa muda matematika dan matematika adalah masa dewasa logika. Logika menjadi lebih matematis dan matematika menjadi lebih logis. Ilmu-ilmu alam bukan hanya berupa kumpulan lukisan gejala alam. Ada semacam keyakinan bahwa masing-masing gejala alam itu tidak berdiri sendiri, tetapi saling berkaitan dalam satu pola sebab akibat yang dapat dipahami dengan penalaran yang seksama. Ini menjadi tugas teori dalam ilmu-ilmu alam. Jika diteliti, sekelompok gejala dapat dirangkum dalam suatu wadah yang meletakkan masing-masing gejala itu pada jalur-jalur yang berkaitan dengan hukum penalaran yang serasi dari aturan sebab akibat yang dinamakan hukum alam. Adakalanya gejala-gejala alam yang tersedia masih berupa bahan mentah, jauh dari siap untuk dirangkaikan dalam satu teori. Untuk itu perlu dikembangkan konsep-konsep baru sebagai penolong. Konsep-konsep tersebut meskipun sangat abstrak namun harus tetap murni, artinya ada pengamatan atau pengukuran yang sanggup memberi informasi tentang nilai konsep tersebut.
1. Kajian Epistemologi Matematika Matematika
Ilmu-ilmu pengetahuan semuanya telah menggunakan matematika, baik matematika sebagai perkembangan aljabar maupun statistik. Philosophy Philosophy modern tampaknya juga tidak tepat bila pengetahuan tentang matematika tidak mencukupinya. Banyak sekali ilmu-ilmu sosial sudah sampai mempergunakan matematika sebagai sosiometri, psychometri, economimetri, dan sebagainya. Hampir dapat dikatakan bahwa fungsi matematika hampir sama luasnya dengan fungsi bahasa (Santoso, 1976). Matematika
dan
logika,
sejarah
berbicara,
banyak
studi
yang
membedakannya. Matematika terkait dengan ilmu pengetahuan, sedangkan logika
2012
terkait dengan Yunani. Tapi keduanya telah berkembang di zaman modern: logika menjadi lebih matematis dan matematika menjadi lebih logis. Konsekuensinya adalah bahwa kini telah menjadi sepenuhnya mustahil untuk menarik garis antara keduanya, bahkan, keduanya adalah satu. Mereka berbeda sebagai anak dan manusia dewasa: logika adalah masa muda matematika dan matematika adalah masa dewasa logika (Russel, 1919). Dari konsep dasar logika nantinya dikembangkan sejumlah konsep matematika seperti himpunan, aljabar, teori bilangan, fungsi, hingga limit yang melahirkan kalkulus nantinya (Bartle, 2000). Floyd (2005) menjelaskan matematika dan logika memiliki kemampuan untuk menggali, merumuskan, dan menilai secara kritis asumsi mengenai ekspresi ilmu pengetahuan, makna, dan berpikir dalam bahasa yang filosofis yang bergantung pada sifat matematika dan logika kebenaran. Matematika adalah ilmu deduktif, yang dimulai dari premis tertentu, setelah diterima melalui proses yang ketat dari deduksi di berbagai teorema yang ada. Memang benar bahwa dalam deduksi masa lalu, matematika sering sangat kurang tajam, namun demikian, sejauh ketegasan yang kurang dalam bukti matematis atau bukti yang rusak, maka tidak akan ada pembelaan yang mendesak akal sehat untuk menunjukkan hasil yang benar, karena jika kita mengandalkan itu, maka akan lebih baik untuk membuang argumen/bukti rusak yang sama sekali tidak digunakan, ketimbang membawa kekeliruan dalam akal sehat. Tidak ada bandingan untuk akal sehat, atau “intuisi” atau apa pun kecuali logika deduktif yang ketat, yang seharusnya diperlukan dalam matematika setelah premis ditetapkan (Russel, 1919). Ernest (1991) menjelaskan bahwa pendekatan epistemologi yang secara luas diadopsi adalah dengan mengasumsikan bahwa pengetahuan dalam bidang apapun diwakili oleh seperangkat proposisi bersama dengan prosedur untuk memverifikasi kebenarannya. Atas dasar ini, pengetahuan matematika terdiri dari satu set proposisi bersama dengan bukti-buktinya. Menurut Ernest (1991) secara tradisional filsafat matematika telah melihat tugasnya sebagai penyedia landasan suatu kepastian pengetahuan matematika. Artinya, menyediakan sistem dimana pengetahuan matematika dapat dibangun
2012
secara sistematis kebenarannya. Hal ini tergantung pada asumsi, yang diadopsi secara luas, secara implisit jika tidak secara eksplisit. Pengetahuan apriori terdiri dari proposisi yang menegaskan atas dasar alasan saja, tanpa jaminan untuk dilakukan pengamatan di dunia. Alasan tersebut terdiri dari penggunaan logika deduktif dan makna dari istilah yang dapat ditemukan dalam definisi. Sebaliknya, pengetahuan posteriori terdiri dari proposisi menegaskan atas dasar pengalaman, yaitu, berdasarkan pengamatan dari dunia. Berdasarkan
pengertian
pengetahuan
apriori
dan
posteriori,
maka
pengetahuan matematika diklasifikasikan sebagai pengetahuan apriori, karena terdiri dari proposisi yang ditegaskan atas dasar alasan saja. Alasan tersebut meliputi logika deduktif dan definisi yang digunakan yang berkaitan dengan seperangkat asumsi aksioma atau postulat matematika sebagai dasar untuk menyimpulkan pengetahuan matematika (Ernest, 1991). Dengan demikian dasar pengetahuan matematika, yang merupakan alasan untuk menyatakan kebenaran proposisi matematika, terdiri dari bukti deduktif. Bukti dari proposisi matematika adalah urutan terbatas proposisi yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Setiap proposisi berdasarkan pada aksioma-aksioma yang sebelumnya telah ditetapkan, atau proposisi dapat diturunkan oleh aturan inferensi dari satu atau lebih proposisi yang terjadi sebelumnya dalam urutan. Seperangkat aksioma merupakan istilah yang dipahami secara luas, yang meliputi proposisi yang diakui kebenarannya tanpa perlu dibuktikan (Ernest, 1991). Wittgenstein (1978) dalam Suyitno (2012) menjelaskan bahwa aksioma diitetapkan untuk suatu tujuan tertentu tanpa melihat realisasinya, disusun bukan untuk
mengekspresikan
pengalaman,
tetapi
untuk
mengekspresikan
ketidakmungkinan membayangkan sesuatu yang berbeda. Aksioma ditetapkan berdasarkan kesepakatan. Aksioma dibutuhkan karena penalaran deduktif membutuhkan premis. Premis itu harus merupakan suatu pernyataan yang bukan merupakan hasil penalaran deduktif, maka aksioma harus benar dengan sendirinya ( self evident trust, tidak memerlukan bukti). Aksioma memuat undefined element dan relasi diantaranya (Soehakso dalam Suyitno, 2012). Semua pernyataan matematika harus taat terhadap aksioma. Cara memperoleh aksioma diawali
2012
dengan menetapkan unsur yang tidak diketahui ( undefined term), mendefinisikan konsep, dan kemudian menetapkan suatu pernyataan dasar atau asumsi dasar yang disebut aksioma. Konsep-konsep dan aksioma dijadikan dasar penalaran untuk memperoleh konklusi (Suyitno, 2012). Teorema matematika merupakan hasil penarikan kesimpulan dengan penalaran deduktif dari suatu himpunan aksioma (Kline, 1961). Teorema merupakan suatu informasi matematika yang kebenarannya harus dibuktikan. Bukti dalam matematika merupakan rangkaian argumen deduktif dan setiap argumen deduktif premis dan konklusi. Pemahaman suatu teorema harus diiringi dengan pemahaman terhadap buktinya (Suyitno, 2012). Matematika itu sendiri tampaknya menjadi sebuah pertemuan aktivitas pengetahuan. Matematika berbicara tentang teorema yang diketahui orang yang tahu dan yang tidak. Dengan demikian, filsafat matematika, setidaknya sebagian juga sama dengan cabang epistemologi lainnya. Namun, matematika secara prima facie berbeda dari usaha epistemik lainnya (Shapiro, 2005). Prinsip-prinsip dasar matematika, seperti “7 + 5 = 12” atau “ bilangan prima tak terhingga banyaknya”, kadang-kadang diadakan sebagai paradigma yang diperlukan kebenarannya dan bersifat apriori, sebagai pengetahuan sempurna. Tidak perlu dipertanyakan lagi tingkat kebenarannya, namun kepastian ini tetap harus dijelaskan. Beberapa dari dasar prinsip-prinsip logika, atau tampaknya benar-benar diperlukan secara keseluruhan dan apriori dalam matematika. Jika seseorang meragukan prinsip dasar logika, kemudian, mungkin menggunakan definisi lain, maka dia tidak berpikir logis sama sekali. Sebab Prima facie; untuk berpikir logis saja perlu berpikir logis (Shapiro, 2005). Hintikka (2000) menjelaskan bahwa filosofi matematika adalah bentuk paradigmatik dari apa yang dikenal sebagai pendekatan logis untuk matematika. Tesis utamanya adalah (a) bahwa kebenaran matematika adalah suatu analisis priori dan (b) bahwa matematika adalah cabang logika. Tesis kedua dapat dipandang sebagai cara untuk membantu tesis yang pertama. Dengan kata lain, (a) proposisi matematika tidak dapat dibantah oleh bukti empiris, tetapi juga melalui analisis. Tesis kedua (b) mengenai status matematika sebagai cabang logika
2012
berarti bahwa (a) semua konsep matematika, yaitu, aritmatika, aljabar dan analisis dapat didefinisikan dalam konsep logika murni, (b) semua teorema matematika dapat dideduksi dari definisi melalui prinsip-prinsip logika. Brown (2008) menjelaskan karakteristik matematika, diantaranya yaitu, kepastian (certainty); misalnya teorema yang membuktikan ketakterbatasan bilangan prima tampaknya di luar dugaan merupakan hal yang pasti. Ilmu-ilmu alam tidak bisa melakukan hal seperti itu. Meskipun memiliki prestasi yang
indah, Fisika Newton telah gagal dalam mendukung mekanika kuantum dan relativitas, dan tidak ada manusia yang akan bertaruh terlalu berat dalam waktu yang panjang tentang teori itu. Matematika, sebaliknya, tampaknya satu-satunya tempat di mana kita manusia dapat benar-benar yakin kita sudah benar. Karekateristik
matematika
lainnya
adalah
objektivitas
(objectivity);
barangsiapa pertama memikirkan teorema ini dan buktinya, ia adalah penemu yang hebat. Ada hal-hal lain dimana kita mungkin tidak dapat menemukan, melainkan menciptakannya. ”Raja bergerak secara diagonal” Ini adalah aturan catur, itu tidak ditemukan, melainkan diciptakan. Sudah pasti, namun kepastian yang berasal dari resolusi itulah yang digunakan untuk memainkan permainan catur itu. Cara lain untuk menggambarkan situasi ini dengan mengatakan bahwa teorema kita adalah kebenaran obyektif yang telah dibuktikan, bukan hasil konvensi semata-mata. Bukti adalah hal terpenting ( proof is essential ); dengan bukti, hasilnya pasti, tanpa itu, kepercayaan harus ditangguhkan. Itu kekuatan matematika. Terkadang matematikawan percaya proposisi matematika meskipun mereka tidak memiliki bukti. Mungkin kita harus mengatakan bahwa tanpa bukti, proposisi matematika tidak dibenarkan dan tidak boleh digunakan untuk menurunkan proposisi matematika lainnya. Dugaan Goldbach adalah contoh. Ia mengatakan bahwa setiap bilangan genap adalah penjumlahan dari dua bilangan prima, dan ada banyak contoh untuk itu, misalnya 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 7 + 5, dan seterusnya. Sudah diperiksa ke miliaran dan tidak ada contoh yang kontra, tetapi hal tersebut bukanlah bukti (melainkan hanyalah eksplorasi induktif), jika hal itu dianggap bukti, maka kita melanggar karakteristik matematika yang bersifat abstrak dan deduktif. Tetapi bagi Ahli biologi jangan
2012
ragu untuk menyimpulkan bahwa semua gagak bewarna hitam berdasarkan cara semacam ini, tetapi matematikawan (sementara mereka mungkin percaya bahwa dugaan Goldbach adalah benar) tidak akan menyebutnya teorema dan tidak akan menggunakan untuk membangun teorema lain, karena tanpa bukti (Brown, 2008).
2. Kajian Epistemologi Ilmu Alam
Kant (1786) menjelaskan setiap ilmu alam harus mencakup prinsip-prinsip yang rasional dan bersama dengan seluruh item pengetahuannya. Jadi doktrin alam atau pemikiran-mungkin sebaiknya dibagi menjadi (a) doktrin sejarah alam, yang berisi hal-hal selain fakta sistematis sekitar alam, sebagai sistem hal-hal alami sesuai dengan kesamaan golongan dan sejarah. Alam sebagai kesatuan sistematis hal-hal alami dalam waktu dan tempat yang berbeda, dan (b) ilmu alam. Ilmu alam yang benar akan memperlakukan materi pengetahuan yang sesuai dengan prinsip-prinsip apriori, sedangkan ilmu alam yang tidak benar akan memperlakukan subjek-materinya menurut hukum pengalaman. Lebih lanjut Kant menegaskan tidak ada yang dianggap sebagai ilmu yang tepat kecuali apodeictically tertentu, yaitu tertentu karena benar-benar diperlukan. Suprapto (1976) menjelaskan ilmu-ilmu alam membatasi diri dengan hanya membahas gejala-gejala alam yang dapat diamati. Tentu saja kata pengamatan yang dimaksud lebih luas daripada hasil interaksi langsung dengan pancaindera kita, yang lingkup kemampuannya sangat terbatas. Banyak gejala alam yang hanya teramati dengan pertolongan alat bantu. Tuntutan lebih lanjut bagi gejala alam yang lazim dibahas ilmu-ilmu alam adalah bahwa pengamatan gejala itu dapat diulangi orang lain (reproducible). Jadi suatu gejala alam baru akan terdaftar dalam perbendaharaan ilmu-ilmu alam setelah melalui ujian berulang kali sehingga tidak perlu diragukan lagi kebenarannya. Pembatasan yang ketat tentang gejala-gejala alam yang lazim dibahas dalam ilmu-ilmu alam itu tentu saja merupakan jaminan untuk membangun ilmu yang tangguh. Akan tetapi dipihak lain hal itu berarti bahwa ilmu-ilmu alam terpaksa melepaskan diri dari masalahmasalah yang mempunyai spektrum variabel yang amat luas, dimana karakteristik
2012
hasil pengamatan sangat tidak menentu, seperti perangai manusia sebagai individu. Lebih lanjut menurutnya ilmu-ilmu alam bukan hanya berupa kumpulan lukisan gejala alam. Ada semacam keyakinan bahwa masing-masing gejala alam itu tidak berdiri sendiri, tetapi saling berkaitan dalam satu pola sebab akibat yang dapat dipahami dengan penalaran yang seksama. Ini menjadi tugas teori dalam ilmu-ilmu alam. Jika diteliti, sekelompok gejala dapat dirangkum dalam suatu wadah yang meletakkan masing-masing gejala itu pada jalur-jalur yang berkaitan dengan hukum penalaran yang serasi dari aturan sebab akibat yang dinamakan hukum alam. Adakalanya gejala-gejala alam yang tersedia masih berupa bahan mentah, jauh dari siap untuk dirangkaikan dalam satu teori. Untuk itu perlu dikembangkan konsep-konsep baru sebagai penolong. Konsep-konsep tersebut meskipun sangat abstrak namun harus tetap murni, artinya ada pengamatan atau pengukuran yang sanggup memberi informasi tentang nilai konsep tersebut. Dengan perkataan lain teori yang besar dalam ilmu-ilmu alam umumnya lahir sebagai karya bersama dari rentetan pengamatan dan teori yang saling menopang. Suprapto (1976) menegaskan ilmu yang hanya sanggup mengumpulkan informasi dan merangkaikannya akan berupa ilmu yang pasif. Memang, dengan mengumpulkan gejala-gejala alam dan menyusunnya dalam pola sebab akibat yang serasi kita sudah dapat merasa senang sebab sudah dapat memahami apa yang terjadi di alam ini. Rupanya ilmu alam belum merasa puas dengan ilmu semacam itu dan sudah melangkah lebih jauh lagi. Ini sudah sewajarnya sebab gejala-gejala alam yang dikumpulkan tentunya akan selalu bertambah. Perlu diambil teori-teori alam yang tidak hanya sanggup merangkaikan gejala-gejala alam yang telah diketahui, tetapi juga sanggup meramalkan gejala alam lain yang belum dikenal, sebagai konsekuensi logis dari penalaran yang dipergunakannya. Gejala ramalan itu harus dirumuskan dalam bentuk operasional sehingga memungkinkan untuk diuji dengan eksperimen. Dengan tuntutan ini dapat disaring teori yang paling meyakinkan dan sekaligus dapat dibuka cakrawala baru bagi usaha pengumpulan gejala-gejala alam selanjutnya.
2012
Ahli ilmu alam berhubungan dengan gejala fisik yang bersifat umum. Penelaahannya meliputi beberapa variabel dalam jumlah yang relatif kecil yang dapat diukur secara tepat. Gejala fisik umumnya bersifat seragam dan gejala tersebut dapat diamati sekarang. Seorang ahli kimia atau ahli fisika bisa mengulang kejadian yang sama tiap waktu dan mengamati suatu kejadian tertentu secara langsung. Gejala fisik seperti unsur kimia bukanlah suatu individu melainkan barang mati. Ahli ilmu alam tidak usah memperhitungkan tujuan atau motif dari planet. Ahli ilmu alam menyelidiki proses alami dan menyusun hukum yang bersifat umum mengenai proses. Ahli alam tidak bermaksud untuk mengubah alam atau harus setuju dan tidak setuju dengan proses tersebut. Ahli ilmu alam hanya berharap bahwa pengetahuan mengenai gejala fisik dari alam akan memungkinkan manusia untuk memanfaatkan proses alam. Jika seorang ahli ilmu alam menyusun suatu hipotesa untuk menerangkan gejala fisik tertentu maka ia tahu dengan pasti bahwa kesimpulannya yang bersifat umum tidak akan mengubah karakteristik yang ditelaahnya (Van Dalen, 1966). Ahli ilmu alam mempelajari fakta dan memusatkan perhatiannya pada keadaan yang terjadi pada alam. Kant (1786) menjelaskan ilmu alam yang asli memerlukan bagian murni yang bisa menjadi dasar bagi kepastian apodeictic. Karena prinsip-prinsip bekerja di bagian murni membuatnya benar-benar berbeda dari bagian yang menggunakan prinsip empiris, ada banyak hal yang bisa kita diperoleh dari suatu prosedur dimana bagian empiris tidak perlu digunakan, melainkan bagian murni itu sendiri yang menjelaskan sebagaimana yang benar-benar terjadi dari fenomena alam. Ilmu alam yang baik dapat mengandaikan metafisika Alam, yaitu murni rasional pengetahuan dari konsep-konsep belaka. Kenapa? Karena ilmu dengan benar apa yang disebut harus mencakup proposisi yang diperlukan, dan dalam ilmu ini mereka harus diperlukan kebenaran dengan adanya hal-hal tersebut, sehingga mereka tidak bisa didasarkan pada intuisi apriori belaka, karena tidak ada intuisi tersebut dapat menyajikan sesuatu yang menyangkut eksistensi. Proposisi yang terlibat dalam ilmu alam harus konsep yang berbasis ‘Metafi sika Alam’.
2012
Newton (1953) (dalam Thayer, History Of Philosophy Of Science) sangat tidak setuju dengan Gottfried Leibniz (1646-1716), yang berpikir bahwa hukumhukum alam yang kontingen namun dapat diketahui melalui pertimbangan apriori. Hal itu terlalu empiris mengingat fenomena bahwa Newton memulai dengan hukum-hukum (misalnya, hukum Kepler). Kemudian, dengan cara penalaran matematika dan aksioma dasar atau hukum gerak, ia menarik kesimpulan lebih jauh, misalnya, bahwa hukum kuadrat terbalik dari gravitasi berlaku untuk semua planet. Ini semacam pengurangan dari fenomena telah digambarkan sebagai induksi demonstratif. Pengamatan adalah induksi, karena pada akhirnya bertumpu pada pengalaman dan tidak bisa memberikan benar-benar suatu keyakinan ilmu pengetahuan. Tapi yang dilakukan Newton itu demonstratif, karena berlangsung secara matematis ketat. Hal menarik dari Ilmu Alam adalah Matematika merupakan elemen kunci dalam pembangunan alami ilmu alam yang tepat, tanpa matematika tidak ada doktrin menyangkut hal-hal alami yang dapat ditentukan. Pada dasar ini, Kant mengemukakan bahwa kimia usianya adalah lebih dari sebuah seni daripada ilmu. Ironinya, adalah bahwa meskipun banyak pemikir besar masa lalu (Newton khususnya) meniadakan metafisika dan mengandalkan hanya matematika untuk memahami alam, mereka gagal untuk melihat bahwa ketergantungan seperti pada matematika membuat mereka tidak mampu untuk mengembangkan ilmu alam dengan metafisika. Ternyata dalam ilmu alam pun terjadi pro dan kontra dalam hal mencari kebenaran hukum alam. Dua aliran rasionalisme dan empirisme rupanya juga menimbulkan perdebatan panjang dan berlarut di eropa. Hingga dengan munculnya Immanuel Kant (1787) dalam bukunya Critique Pure Reason yang mendamaikan keduanya. Ia mengatakan bahwa kebenaran itu bukan karena pendekatan sebjek sendiri atau karena objek yang mendekati subjek, melainkan karefna subjek itu sendirilah yang mendekati objek. Kita melihat botol, karena mata kita yang melihatnya. Hingga
dalam
mencari
kebenaran
kita
dapat
melakukannya
dengan
menurunkannya secara rasional ataupun dengan mengujinya secara empirik. Adapun konsep pengetahuan yang ada di zaman modern saat ini adalah konsep
2012
yang dicetuskan oleh Immanuel Kant. Science bisa didapat secara empirik, ataupun dengan menurunkannya secara rasional. Matematika umumnya masih menggunakan pendekatan rasional, sedangakan fisika dan kimia secara rasional dan empirik. Landasan yang berbeda inilah yang membuat perbedaan mendasar antara ilmu alam dan matematika, sebuah pernyataan di matematika akan benar cukup dengan membuktinya secara logis sedangkan fisika dan kimia perlu dibuktikan dulu di alam, seperti pada gambaran berikut: Secara matematika kita dapat menyatakan dari y = a (u +v) sebagai y = au + av, sedangkan secara fisis y = a (u +v) ada kemungkinan ia tidak sama dengan au + av hingga y = a (u +v) ≠ au + av, misalnya karena av atau au itu tidak ada dialam. Konsep epistemologi baru yang disusun oleh Kant ini memberikan suatu bangunan besar kepada kita yaitu science modern yang ada sekarang Referensi:
Bartle, R. dan Sherbert. 2000. Introduction Real Analysis Third Edition. New York: John Wiley & Sons. Brown, J. 2008. Philosophy Of Mathematics A Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures Second Edition. New York: Routledge. Floyd, J. 2005. Wittgenstein on Philosophy of Logic and Mathematics. In Stewart Shapiro (Ed.), The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic. Oxford University Press. Ernest, P. 1991. The Philosophy of Mathematics Education. London: Routledge Falmer. Hintikka, J. 2000. Hempel’s Logicist Philosophy of Mathematics: Background and Sequel. In James Fetzer (Ed.) Science, Explanation, and Rationality Aspects of the Philosophy of Carl G. Hempel . Oxford University Press. Kant,
I. 1786. Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft. ( Metaphysical Foundations of Natural Science, The English edition of Jonathan Bennett, June 2009)
Kant, I. 1787. Critique Pure Reason. (The English edition of Meiklejohn, reprint in 2010). Pennsylvania State University, Electronic Classics Series.
2012
Kline. M. 1961. Matematika. Dalam Jujun Suriasumantri (Ed.), Ilmu dalam Perspektif . Jakarta: Yayasan Obor Indonesia. Russel, B. 1919. Introduction to Mathematical Philosophy (Online Edition, February 5, 2010). London: George Allen & Unwin, Ltd. Shapiro, S. 2005. Philosophy Of Mathematics and Its Logic: Introduction. The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic (ed. Stewart Shapiro). Oxford: Oxford University Press. Santoso, S. I. 1976. Fungsi Bahasa, Matematika, dan Logika Untuk Ketahanan Indonesia dalam Abad 20 Di Jalan Raya Bangsa-Bangsa. Matematika. Dalam Jujun Suriasumantri (Ed.), Ilmu dalam Perspektif . Jakarta: Yayasan Obor Indonesia. Suprapto. 1976. Aturan Permainan dalam Ilmu Alam. Matematika. Dalam Jujun Suriasumantri (Ed.), Ilmu dalam Perspektif . Jakarta: Yayasan Obor Indonesia. Jakarta: Yayasan Obor Indonesia. Suyitno, Hardi. 2012. Nilai-Nilai Pendidikan Matematika bagi Pembentukan Karakter Bangsa. Makalah disampaikan dalam Seminar Nasional Jurusan Matematika di Universitas Negeri Semarang pada tanggal 13 Oktober 2012. Thayer, H. S., ed. Newton’s Philosophy of Nature : Selections from His Writings. History Of Philosophy Of Science. Encyclopedia Of Philosophy Vol. 7. New York: Hafner van Dalen. 1966. Ilmu-Ilmu Alam dan Ilmu-Ilmu Sosial: Beberapa Perbedaan. Matematika. Dalam Jujun Suriasumantri (Ed.), Ilmu dalam Perspektif . Jakarta: Yayasan Obor Indonesia.
